TEMA 2. FUNCIONES VECTORIALES SUBTEMA 2.8 COORDENADAS CILÍNDRICAS CIRCULARES Y
COORDENADAS ESFÉRICAS. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN, FACTORES DE ESCALA, VECTORES BASE Y JACOBIANO.
COORDENADAS CILÍNDRICAS CIRCULARES
,, = ҧ = cos Ƹ + sen Ƹ + ,, ҧ = cos Ƹ +sen Ƹ ҧ = 1 Ƹ = cos Ƹ + sen Ƹ ҧ = −ρsen Ƹ + ρcos Ƹ ҧ = Ƹ = −sen Ƹ + cos Ƹ ҧ = 1 Ƹ = ҧ = Ƹ Ƹ ∙∙ ƸƸ == 00 Ƹ ∙ Ƹ = 0 ¿Son ortogonales?:
COORDENADAS CILÍNDRICAS CIRCULARES
ҧ = cos Ƹ + sen Ƹ + z
r
Ƹ Ƹ Ƹ
u
y
x
y
,, = ,, Ƹ = cos Ƹ + sen Ƹ Ƹ = −sen Ƹ + cos Ƹ Ƹ = VECTORES BASE
x
COORDENADAS ESFÉRICAS: r cos sen i sen sen j cos k r r sen sen sen i cos sen j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e sen i cos j ˆ
ˆ
ˆ
r cos sen i sen sen j cos k ˆ
r r r
cos
2
sen
2
sen
2
ˆ
ˆ
sen 2 sen 2 sen 2 cos 2
cos 2 sen 2 cos 2 cos 2 ˆ
1
e cos sen i sen sen j cos k ˆ
ˆ
ˆ
COORDENADAS ESFÉRICAS: r
cos sen i sen sen ˆ
j cos k
ˆ
ˆ
r cos cos i sen cos j sen k ˆ
r
2
cos
r
cos
2
r
cos
2
2
ˆ
ˆ
cos 2 2sen 2 cos 2 2sen 2
cos 2 sen 2 sen 2 sen 2
e cos cos i sen cos j sen k ˆ
¿Son ortogonales?:
ˆ
ˆ
ˆ
VECTORES BASE
e e 0
e e e
e e 0
e e e
e e 0
e e e
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
COORDENADAS ESFÉRICAS:
Como sí son ortogonales: e ˆ
e ˆ
e ˆ
COORDENADAS ESFÉRICAS: z
Ƹ = cossen Ƹ + sensen Ƹ + cos Ƹ = coscos Ƹ +sencos Ƹ − sen Ƹ = −sen Ƹ + cos Ƹ Ƹ Ƹ
x
Ƹ
y
COORDENADAS CURVILÍNEAS En general, para la transformación: r
f u , v, w i
ˆ
g
u , v , w j h u , v , w k ˆ
ˆ
r
r
r
eu u r
ev v r
ew w r
u
v
w
ˆ
ˆ
ˆ
Cuando son ortogonales: eu ˆ
u u
ev ˆ
v v
Ƹ , Ƹ Ƹ
Los vectores unitarios: y son los VECTORES BASE
ew ˆ
w w
Diferencial del vector de posición: dr
r r r du dv dw u v w
r
eu u r ˆ
r r eu u u
hu
ˆ
r
FACTOR DE ESCALA
u
u
hu eu
r
ˆ
dr
hu du eu ˆ
u
hv dv ev hw dw ew ˆ
ˆ
TEMA 2. FUNCIONES VECTORIALES EJERCICIOS
Ejercicio. Considera el sistema de coordenadas curvilíneas definido por las ecuaciones: x u v y u 2v a) Obtener las ecuaciones de transformación inversa. b) Dibujar las regiones
0 ≤≤ 1 0 ≤≤ 1 y
si
y
c) Calcular los Jacobianos de transformación.
Ejercicio. Considera el sistema de coordenadas curvilíneas definido por las ecuaciones: u 3 x y v x 3 y a) Determinar si el sistema es ortogonal.
b) Sea la región del plano c) rectas
limitada por las
= 0 2 ቐ=− = 1
Determina la región del plano en que se transforma R y representa gráficamente a y
Ejercicio. Dadas las ecuaciones de transformación: x y u v x y 2u v a) Calcular los jacobianos
, , , ,
Ƹ Ƹ
b) Calcular los vectores unitarios
c) Calcular los factores de escala
y
Ejercicio. Sea la transformación:
Y sea la región
= 3+4 :ቊ= 4− 3
= 0, = 10, = 1
= 6
del plano UV limitada por las curvas: y
a) Determinar si el sistema de coordenadas ortogonal.
,
es
b) Trazar la gráfica de la región del plano XY que es imagen de la región bajo la transformación T
, ,
c) Calcular el Jacobiano de la transformación d) Calcular el área de la región
.
Á , , = Á
.
Ejercicio. Sea la transformación:
= 2 :ቊ= 2− = 1, 2 = 1+ 2 = , − 2
Y sea la región
del plano XY limitada por las curvas:
a) Determinar si el sistema de coordenadas es ortogonal. b) Graficar la región R del plano XY . c) Graficar la región R’ del plano UV que es la región en la cual se transforma la región R bajo la transformación T .
, ,
d) Calcular el Jacobiano
.
e) Calcular el área de la región R.
Ejercicio. Sea la transformación:
Y sea
u x 2 y 1 T : v 2 y x
una región en el plano
Determina:
cuya área es de
ℎ ℎ
a) Si el sistema de coordenadas b) Los factores de escala y c) Los vectores base y
Ƹ Ƹ
es ortogonal.
, ,
d) El Jacobiano de transformación
3
.
e) El área de la región siendo la imagen de la región bajo la transformación
Ejercicio. Sea el sistema de coordenadas curvilíneas definido por:
− = 2 : = =
,,
a) Determinar si el sistema de coordenadas ortogonal. , , . b) Obtener los factores de escala . c) Obtener los vectores base , ,
es
ℎ ℎ ℎ Ƹ Ƹ Ƹ ,,
d) Calcular el Jacobiano de la transformación
,,
.
Ejercicio. Sea el sistema de coordenadas curvilíneas definido por:
= sen cos() :ቐ == sen sen() ,, ℎ ℎ ℎ Ƹ Ƹ Ƹ
a) Determinar si el sistema de coordenadas ortogonal. , , . b) Obtener los factores de escala . c) Obtener los vectores base , ,
es
, , ,,
d) Calcular el Jacobiano de la transformación
.
