201111401 Introduccion a La Logica Formal Alfredo Deano PDF

Introducción a la lógica formal

Manuales f Filosofia y Pensamiento

Alfredo Deaño

Introducción a la lógica formal

El libro universitario

Alianza Editorial

Primera edición en «Aiian7~ Univers1dad Tcxto:s>~: JC)74 Pl'imera edición en «Manuales>>: 1999

A mis pt1dres y hermano,,, a M~rcedes, a Jauier l.tlu guerza y a Juan A. del Val.

R<>cnaoos kldo por la Ley. que Nabla-.: p:nas de pnMón yio mulla~. adem:'ts de las c.'OtTL-~ponchcnh,og i•Kicrnm;_ac¡onl'S pot daño.-. y pcrjuic1Ch, p.m. (jlllcncs n.'Pf\)(luJen....,.. pl~gi.aren. dismbuy~ren o comunk.un:n públicameme. en IOdo o en parte, una obm litcturilr. llrli:-;tic:.~ o cicndliC'.a, o su lrtmsfOrm:•ción. inll!tpn."'tacibn o cjcctación arristicu tüntla cm cualquier cipo de sopooe o comunicalla a lm\'~ d..: cualqu1cr medio. sin la Jll"l.'tjcptiv:l liU(Oril':tCión.

• lfercdc'ro> de Alfredo Dcaiio r Aliar~>olwotonai.S.A..Madrid.l974.1975. 1977. 1'17M.I9l!ll.I981.19S3.19S5.1986. 1988. 19S9. 1990. 1992. 1993. 199-1. 1995. 1996. 199'1 Callc.iuarol¡tn:u:io l.ucad<:Tcro.l5: 28027 Madrid: tcl
•·OCOOOfllpo6ición EF('A, S. A. l•tlr\fUC lndu:-;lri:d «Las MonjaS». 28850 Tum.jón de r\ 1xkn (Mtlt.ll'id) IIIIClfiiiiC: ( ir.llk'\IS VARONA

Pollgono (ilil Montnlvo)}, pilr<.:.:la 49 37UOM Sahu u~mc:1 P1·intt.!d in S1xrin

T INDICE

Nota preliminar . .. .. . ..... ... ... . .. •..... ..... .. • . • ....... l•rólogo . ... .. .... ..... • . • . • ........ ~ . • ........ . . . . • . • . • . • Nclta al volumen 2 •........••.••....•.•••........ • . • ..•....

11 15 19

( .tpítulo l.

P rimeros conc:eptos .... ... ........ ....... ...... .

21

F.l le~tguaj~ y sus usos .•...•..... . . .... .•....•.•......•.•.•.••••.•.••

21 23 27 2R

t..trti{IIUJ}'

y ftM'tafel'lg~;ajt •.• .. • . • . . . •.•. • .•. • • •• . • .•.• • . • • • • • • • •• • • • •

Sltmrd:t, .~~tntdn tica y praumdtlcu . • . • . •.. . • . • .• , •• . . . • .. • . •. • . • , •• . . . . . /.11 ,.(,(•H}n dt c4lculo . . . . . , .. . •.• . . ..... .. . ... , . . .••. .• . •.• , .....•..• 81blio¡ralla •.• .•.•. •.•....•.•.• .•.....•. ...•.•.••• •. • .• .•. , ..•.•..

46

La lógica de enunciados ............. .... ...... .

51

Noc:toncs bá.sica.s •••••• .•.•....•... •.•.•••.•• . • . •••••••••• , •••• , f:n.4~tcloJos y cont:ctloos • .•. .....•. • .•. • ••.•• ••. • .••••• • ••• • ••• •• • V¡¡rftrble.
SI SI SS

< .tpttulo 11.

l.n l lt!f1aC'6n • . • , • , • , ••• • • •••••.• . • . •.• . • .• • .•. • . •• . •• • . . • • · •... .

S~

1--tt rorlfuncl6n . ....•. ••• . •••• .. . • . • .•. •. , •••.• . .•••.•••.•• , • . •.• . IÁI JlJJ'Unctón •.• .••••• , •• , ••• , •••.•.•. , , •• , , .•. , • • , , , , , • , , , • , • , fJ t'OftJicit:JnGI • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••.•••.•••••• fj

SS

¡,¡..,.,¡jc;,..,¡.............................................. ..

l'"

(Q$0

,,.,feo ...........................

1 • • • • • • • • •• •

• •

•

• •

l.tll~l lógico y lt!"fJMJft cotidiano . •.•. •..•••.•.•• . • . •••••••

• •

•

•

o •••••

1·,1 rottjlmto de la!l con«ctia,w ... . • . .. • . •... •• . • . •••• . • •• • o • , • • • • o • l.tn rfmectit~Gs como fimclon~IJ d6 t~rdad • . o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1.11 rl'tll4rc16r• de f unrtorttl ••.• . • . •••••.•.. o • • • • • • • • • • • • • • • • , • • • • , • 1'11utuloglas. a>nrradlnlon~rs y txprui011n COitt/JIIntu . • . .. • .. •.•.•..• I.I'I'N lit la lógico ¿, tltt1Mia4os •. •••••.•••.••••••••••• o • • • , • • • o • • O>Nik'loftdl t i7flpl~ud6,.. BkcMJídoMI y .-qrdrwltnr"' ... .. •.•••• o • • ,

t .. tóa1ea de cnunciado'l romo y formotl:ut•Mtt 11 •htflmn I'M •

,\l ml~t1lmrd6n

,mj,,.. .,

'fl:\t('m.t .. , ..

62 6!1

n

15 '1')

85 91

93 101 107 111

lió 111>

IJIJ

1

10 IntrodUcción • ·'.::•~lóg:z::lc::•:.:':::orm:::.:::•::.'- - - - - - - - - - - - - - lkducd6rt d' Uttn'4!maJ • •••• . • . • . • . • . •• . ••• . • . • . • .. • . • . • . • . • . • • . • 122 L6gica pura y 16gica aplicada , . , . . • , • . • ... •. . . . . . . . •. . . . . . • . • . •. . • t29

3 La ló¡ica de enunciados como ststcm01 de reglas de inferencia .. • , • . •• , .

t3J

El r4:onnmfrnto nalt<~rul . • . . .. •. . . . . . . . •..... . . , . . •.• .. . . •.•.••.•

t3t t33

Lt,'tS )1 "''"S .. . . .. '. . .. .. . ..... ... ..... ........... ....... ..

4

t42

l>tJ"«ld" oxlorftdtico y df'ducd6n n.atr.rral . . ..••.•••.••••.• ••.•.• • . • E.l rdkvlo dt la Mduuión natt~rnf • . .. , .•.. , •.. , , , .• , • , •• , •...•..•

IS2

Fpiloao . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t66

Capítulo 111.

La lógica de predicados de primer orden . . . . . . . . .

NOCIOOC$ b4tiC2.S •••••••••••••••

a)

o •••••••••••••• ••• • • • • • •••• • ••••

lnlroducc.ón . • . . . . . . . • ...•....•.•.••••••••.•.•..•••••. llu~lu la l6gku 11< pr
1.4' Mglro y wl 1t1W1J, ••••. .. . . ..•.•. . . . . .....• . • . . . .. . •.. . ... Uglco dt> prmwr ordtttt y lógica dt unkn :A4fWrlor •••.• .• •. ..•... . . . b) La IÓIJ<:a de prc
e}

'''/ti Mgko de ¡m!dfcodos mo11d.tlic.'O$ . , • . • . • , •• .•• • ,

o • • , , • , •

Lo ló¡ico de los prcchc:•dos polii•dkos . ............. .. ....... .. F:.VptJ.ddl$n ti~ motii'Q.• . •. . . • . . . . . . .. . . • . . . . . • . . ... . • . . . . .. . . • l~roblflmt~.t du (!,\'(¡ui!matizadrín • . • . • .•• . •.• . • . • . . . .. . . . . . . . .. . . Prm:ttrUmfenws th• dqci:d611 4!11 lt>glt·.t, de pred/c(tdM pOiicidic.·w . •. • , . •

ttJyc.v di! lt1 Mgft•a de ¡wctlkudos puflddkM , • . • , • . •.. , , , . • , • , o, •• 11 t¡ut1 11lmwmos <<16gka tlf t1•faclrmer» . .. . ..•.• . • . . ... . . .• . . . . . • . d) ld<:ntidnd ; Cli!UHi li ct~dór<:~ numéricos y d t;'l:cripcioncs . ... . • . . . _. •. l•l tmulfrmla tle ldi!lltitlar/ • . •• . • . • . • . .. . ... . . . . . • . . . . . .• . • . _. •. C IUIIII{/1c'ilflore.t JWIItérlt'.tiS , • , . o • • , • • • , . , • • , . , . , • • • • o • • • • • • • • • • Dt~:¡t•ript•itJI)t!:1 • . • . • . • .. , ..• , •... , • ..••. • ..• . • . • .• . •.••.•. • . • . .si~tcmn de reglas de inferencia .. . . . . . . . Utt:tlrt tle ""a 0n1blón . , . , • , • , ••• , •• , . . . . • ............• . .... . . _ . . .

2 l.•t lóslc:a d e 1u cdic:"do.s oomo I~H:umwrlón

dtt far

IIUt!VlJ,'II

r4'gfus , •• . • , • , • . • , •• .•..•. . .. • .•. . • . . . • .

J..a 16Qirtl dt! prinlt'r or.tlf!ll ro100 c6fctdo de derluccl6n no rural • . • . • , •..• , • ,

173 173 173 113 115 t78 t79 183

t86

t90

t96 t99 t99 2()6

2t5 22t 225 237 237 238

243 244

245 260 260

263 267 272 272 274 287

Más a ll!t de este libro . ..... ........ ..... .• . • . • .

293

1 lA tógicll de predjc¡ados de orden superior ....................... ..

294 295

Capitulo IV.

2 La nlC-UUeorla • • • • .•.• . •.•.••••.•••.•.• . •.•••. . •

o • • • •• ••• o ••

l Las tóateas llamadas «no-cliu.aca.u ..... . ......... o • • • • o . . . . . . . . . . . 4 LóJtea.lonp~ t ica y ps1<0lo¡i.o .. . .......... . ..... •.... . .... . ...... S Apl•di«: Ló¡jco formal y Filooofia ••.•..•.....•...•.•....•..••..

Apéndice. l

Ejen:icios de deducción .... ..... . .......... . ..... .

Problemas

2 Sotudo..,

o

NOTA PRELIMINAR

299 325 336

351 JSt

l7t

1 utre los m últiples proyectos que Alfredo Deaño dejó pendientes a l encuentra la revisión completa de est..'l nueva edición conjunta ,¡, 1•" dos volllmenes de un l11troduccüm tr lll Lógica, que ha debido ser '"'''""'' ''uichl aproximadamente por s us amigos a partir de materiales wo1 11 . NC

Jll~ll~1 1 NtlS

1 ,,s nli>di rtcaciones más importantes que Alfredo Deaño tenia pensadas 11l• 'htitll lns ejercicios, que aparecen ahora considcmblemente aumentados v •~utddus en el Apéndice final, y al capitulo antes titulado «PerspectivaS>>. 1"' h•mas tratados eo éste debcrian aparecer ampliados y reorganizados • u t'l nu evo Ca pitulo IV, <>. Por desgracia, su t• ·•"·'l" rcsentar un catálogo, sino que se esforzaba por bailar unos • "t"'"" 1-...r,¡ o rganizar y clarificar esas divergencias y complementos ti 1• lu¡ut.l «normal>>. En cuanto al último apartado -<e capitulo. se ba optado por reproducir sin modificación l¡ f•u•k •rntl.l que b.1jo el mismo titulo pronunciara Alfredo Deaiio en la 1 ,.,.. t\ld,td de La Laguna en enero de 1976. 11 o) mucha' otras modificaciones menores a lo largo de todo el libro. 1 ' ""''' /ur pcon;lda en su totalidad. corrt~tcndn crr,llas e introduciendo 1 tdH Hpc• tk rnc1ora\ ll ay tamtut·n 11111 .,, ' " t tnlldad de ejemplu'

12 lnttO
suprimidos a fin de ngilizar el texto. Con todo, la eliminación de ciertos ejemplos especia lmente chispeantes sólo se entiende teniendo en cuenta que Alfredo Deaño era demasiado delicado como para herir innecesariamente la susceptibilidad de algunos miembros de la comunidad filosófica, tal vez lectores de su libro. Quizá haya que incluir en esta categoría el antiguo ejemplo de disyunción no excluyente: Se aprtnde oenaai ocultas estudiando la obra de los teósofOs o feyendo a Allhu.sser

No es probable que entretanto hubiese modificado su opinión acerca de semejantes productos filosóficos; más bien parecería que su optimismo le llevase a creer que incluso sus pructicantes podlan ser ganados para la lógica. Uno de los proyectos ni siquiera emprendidos consistía en redactar un nuevo Prefacio que englobase los dos anteriores, recogiendo además las críticas recibidas a propósito del libro e insistiendo, una vez más, en la necesidad de hacer compatible el rigor lógico con la elegancia («y, a la postre, el rigor») del lenguaje. Como suele ocurrir con los Prefacios, esa tarea quedó para el final y ni s iquiera llegó a iniciarla. Sólo ha n quedado unu serie de anotaciones redactadas en diversos momentos, en las que se mencionan diferentes temas a tocar, a fin de que nada se le quedase en el tintero. Una buena parte de esas notas alude al carácter de la nueva edición, seña lando la necesidad de introducir precisiones de carácter pedagógico•. Indicaba que la cnseRanza de la lógica se halla en tensión entre aquellos «que no entiende el simbolismo y los que lo dan por superado». Hacia continuamente hinc.tpie en que babia pretendido aunar la lógica con el buen castellano, cosa que consiguió cumplidamente. En este sentido comentaba: «hubo que echar literatura para hacer la lógica encantadora>>. Por lo que respecta al contenido de las modificaciones, deseaba señalar la supresión de una buena cantidad de notas y de unos cuantos párrafos de la antigua «lntroducción» (ahora Capitulo 1: «Primeros Conceptos»). No quiso modificar apenas el resto del capitulo, prefiriendo reto mM esas cuestiones a un mayor nivel al fwal del libro. Seña laba también que su libro no pretendia competir con otras obras introductorias, sino que quería ser más bien una propedéutica a ellas. Con esta fórmu la modesta no indicaba que su libro fuese más elemental que otros manuales, sino que tenia un fin distinto. El suyo no era simplemente un manual de texto para alumnos de lógica, sino también una verdadera «introducci6m• propagandistica («en sentido etimológico») a la lógica para cualquier persona interesada. Pam un curso de lógica • En rdadón con las ideas de Alfredo Oai\o acerca de b c:ucslión., pod.rá en brc'tc verse un trabaJO •sobft: la tn.tei\,anu. de la lósica•. rtf.."OIId'l f'n t i ~utMn de a1hcui
Nota preliminar 13

'''" umlquicr manua l es bueno, dado que las insuficiencias del texto, asi '""'"sus oscuridades, pueden subsanarse en clase. Lo realmente dificil es r-.ubor un libro que a lguien pueda leer, entender y disfrutar por cuenta ¡tlllpHI, metiéndose también de lleno en los problemas filosóficos que la l<~~th«tba muy bien cómo se le había olvidado decirlo en la primera nllllnn

1 ,, nunersión en los problemas actuales de la lógica, especialmente <1 t~t...orrollo de nuevas lógicas suscitadas por problemas externos, debla

¡ut>tlucirliC en el capitulo IV inacabado, y para ello consideraba necesario 1u1wtlucor históricamente los problemas que tratan de solucionar. 1 onalmente, deseaba extender su lista inicial de agradecimientos a per..... ,., <'Omo José Ferrater Mora, José Luis Zofio y Jesús Hernándcz, tll lrr utros que no menciona. \lwlrul, 1978

Carlos So/ís

lfi\rludido en la segunda edición.) En esta nueva edición se ha corregido ,.,, ,., "" de las anteriores. El sistema de deducción natural utilizaba una "~lu ti~ eliminación y o tra de introducción para cada conectiva. El problema l'lun lcutlucdón y eliminación de la (simple) negación, se puede obtener la de IIIIIIHiucción de la doble negación, no se puede obtener la de eliminación •lt• lu tlo hlc negación, de tan frecuente uso en las reducciones al absurd o. (i\ In rnvcrsu, con la regla de eliminación de la (doble) negación se puede ~>hlr""' lu de eliminación de simple negación, conocida como ex contraico. como seria de desear en 'una obra introductoria, inclu1• udu, v, g,, lus reglas de De Morgan. La situación podria resolverse aña•11• 11.orccido. sin embargo, más económico sustituir la antigua regla '' "'""v" de eliminación de la (simple) negación por la de eliminación de 1, lolnble) negación, rompiendo así la simetría con la de introducción ol• l.t l\tmrlc) negación, aunque obteniendo a cambio la doble regla de "'""''~""'crón del condJCJonal y, con eUa, la antigua regla primitiva de oltutul.t
,¡,,'"""'

PROLOGO

Acostumbra n los autores a rematar los prólogos de los libros mostrando '" uwadccimiento hacia todos aquellos que de un modo u otro han ·~uoludo a que el libro se escribiera. Nosotros terminaremos también rl 1111c
Y dos son, en España en 1973, los enemigos fundamentales de la hll'mal: los que, para abreviar, llamaremos «dialécticos>>, y aquellos ••IHHC n los que, en un sentido que luego explicaremos, va mos a denominar 1"~""

oomrdiCVJt)C$».

A lo• primeros debemos algunas de las manifestaciones más irritantes ; u lu ve¿ regocijantes acerca de la ciencia que con este li bro empezamos ,, 1'\ill>ncr. Han dado en pensar que la lógica formal es una especie de 1kll't'ho Mercantil del intelecto : asi como éste no seria o tra cosa que la '' ~uli•c• ón juridica de determinados procesos económicos que tienen lugar "' lu soc1cdad capitalista y que desaparecerán con ésta, asi también la l11atH,11

constitu iría la regulación formal de los procesos de pensamiento

'l" r •r dcs:lfrollan en las mentes positivistas. La lógica formal - lógica tl!lfH1 11Mumicnto administrado- ha de ser, como el capitaJismo, superada. h •mposiblc ocuparse aquí en detalles de analizar esta idea, si es que ti• ''"" 1
1 ~ 1 ft l'rálr~IIJ

1>ertenecc: al volumen

1•••• •1·•11.- dr hu t.:áphulot; 1 y lt de h• ohm

1 dC' la

IHI111I

¡,.,..,,.,~~~~ ~~~~~

a lo Mgka ftJrnHII qué

16

Prólogo 17

lntrodvceión ala lógica formal

comportamiento daría perfecta cuenta la lógica formal, y (fase superior en la evolución} cerebros libres, de neurona ágil, cerebros brdvos capaces de desconcertantes conexiones, cerebros, en suma, «dialécticos», entre comillas-; o, po r tosco que parezca, es que lo que se presenta como avanzada de la reflexión filosófica no constituye en muchos casos más que el retorno a formas primitivas de pensamiento. La lógica -en cuanto tal, e independientemente de los usos que de ella se hayan hecho o pretendan hacerse- es solamente una ciencia: ni administra ni prescribe. Se limita a presentar formalizada mente las leyes a las que la mente humana se atiene cuando se aplica a razonar. Por «medievales>> entendemos, no los lógicos de la Edad Media - a muchos de los cuales se deben espléndidas contribuciones al desarrollo de esta ciencia- , sino aquellos para quienes la lógica formal se reduce a la lógica que se imparte en nuestra Ense1ianza Media. Es una <
Cierto que la actitud, envarada y esotérica, de muchos lógicos formales ha favorecido bien poco la generalización del interés por esta disciplina. Persuadidos del carácter autosuficiente de su ciencia, se consumen en la contemplación de su <
llll'lliC,

y bastante dificil hacer comprender cuál es el Jugar - abstracto

lu~ur

que la lógica ocupa. Hemos enseñado lógica a alumnos de la r•rwcialidad de Filosofia y a alumnos de la especialidad de Psicología. 1"" primeros nos han obligado a intentar precisar la función de la '"~'e•• como instrumento de la reflexión filosófica. A los segundos hemos •h• ·•~r:tdcccrles el que, a través de su desconfianza respecto de la utilidad '" '" lógica para la psicología, nos hayan forzado a buscar lo formal en lo •""" cto, a ventilar la lógica poniéndola en contacto con el e~tudio r111¡>lr•co de nuestros procesos intelectuales. En unos y en otros - es 1h ''' · en personas que en virtud de los planes de estudio vigentes se han vl•ln privadas de conocimientos matemillicos, o han huido de ellos',¡;, el origen de este libro. Libro que, sin embargo, no se dirige sólo a los ·''""'""s: también, y en la misma medida, a todos aquellos lectores que •llu plt'mente quieran iniciarse, con muchas facilidades y un cierto sentido ,Jo,¡ humor, en éste que el fascinante Lewis Carro! calificó de «arte lu"\ lnnnte)>,

1nmpoco faltarán quienes nos acusen de habernos demorado en la de enunciados, de haber dedicado todo un volumen al cálculo luwht• mí•s elemental. .Pero es que si para un lógico avezado la lógic" lu~IJ 11

•'* fnuncictdos no reviste especia l interés teórico, especial interés didáctico '' >l•tr para el principiante en lógica. Manejando ese cálcu lo sencillo y .. d.unéstico» podrá adiestrarse para empresas lógicas de mayor alcance. Jludría, por último, reprochársenos el haber introducido, en la expo"' u\n de conceptos y técnicas tan poco complicados, demasiadas expli' u lunes, el habernos repetido tanto. También aquí hemos de recurrir " lu• enseñanzas de nuestra profesión de enseñante. Volver atrás, repetir lu yu dicho muchas veces, ha sido, para el alumno, una nc~sidad, y, puru nosotros, un motivo de jmpaciencia, Cierto que, tratándose de un 11 " " escrito, la dificultad se mitiga. Le bastaría al lector interesado con '"'ver n páginas anteriores. Pero hemos preferido ahorrarle ese esfuerto lut< tondo nosotros el de recordarle lo necesario en el momento oportuno. Son ya muchos los libros de lógica publicados. Muchos tambi~n ¡.,. 1r11ducidos al castellano. Y son tres los escritos recientemente en nuestrn I""KU!I : los de Manuel Sacristán•, Jesús Mosterín.. y Manuel Garrido•••. \11 ¡\llnemos que la afirmación de que todas estas obras y, en especial. In• t•c< últimas, hacen superfluo este libro será tomada como afirmación t.-tc\n eu. No es retórico el reconocimiento de nuestra deuda con todas ellas. 1 legada la hora de Jos agradecimientos, he de mencionar el que debo ,el 1)c¡XHtamento de Filosofia de la Universidad Autónoma de Mad rid, • •• ••• ~~ ....

llltri.lllllrCUm a la lógico y al análisl.s formol. Barcelona, Edkiones ArieJ, 1964. 1./l¡¡fm dt! ¡JrJmcr ordtn. Barcelon¡¡, Edidone.o; Arit:l, 1970. / .~ wo 3imb61ica. Volumen l. Mud••d, 1 dilc'IHl' l Tt>~ •los. 1913; segunda rd mp1c

lf\1111.,1••. 1977

18

lntroducc16n s llll6gica fomllll

construido por el profesor C1rlos Paris, y a l equipo de trabajo que en el l. C. E. de esa misma Universidad y bajo la dirección de Juan A. del Val, desarrolló, mientras pudo, el proyecto de in\•estigacióo 2.2.1. Gust.a vo Bueno, en la Facultad de Filosofia y Letras de la Universidad de Oviedo,en 1961, me inició traumAiicameoteeo la lógica formal, y en otras muchas cosas. Numerosos amigos - por orden a lfabético, Pilar CasttiUo, Vida] Peña, Carlos Piera, Javier Pradera. Víctor Sánchez de Zavala, Carlos Solís, Pilar Soto, Juan A. del Val. etc.- han seguido con un interés totalmente desprovtsto dejustificación la gestación de este libro, llegando algunos incluso a leer partes de él. Que lo escribi~ramos fue idea de Juier Muguerza. No por eso, sin embargo, ha de considerl~le culpable. Los alumnos que hao venido escucModonos tres veces por semana en los últimos tiempos son, ya lo hemos dicho, la verdadera razón de que este libro exista. y, aunque no pensamos obligarles a que lo adquieran. esperamos que su existencia sea una razón para que, en medio de otras tareas más urgentes, dediquen a lgún momento al estudio de la lógica. Siendo la especialidad de Mercedes Cabrera la historia contemporánea de España, no puede decirse que la ayuda por ella prestada haya sido de orden técnico. Madrid, 6 de septiembre de 1973.

ALFREDO DEARO NOTA A LA SEGUNDA EDICION* Nos hemos limit¡tdo a corregir las erra tas, errores e inconveniencias que hemos podido cncootrar, asl como a intentar mejorar la presentación del texto. Madrid, S de abril de 1975. A. D.

NOTA AL VOLUMEN 2

1 ; te hbro constituye la continuación de la Introducción a la lógicll '''"'"'' (l. La lógica de enunciados) publicada en esta misma Colección .. 1 "'' mntcmente reeditada. Esta segunda entrega consta, como puede verse 1'"' el lndicc, de dos partes. La primera - y más larga, con mucho'o~ntlcnc una iniciación - facilitada con ejemplos numewsos y relleractoncs "'"·••antes- a la lógica elemental de predicados en toda su extensión, v .,. completa con un capitulo de ejercicios. La Segunda Parte se , ""'IHHICde un capítulo titulado <
M"'"d"

•

•

Se lrata dt 1.4 2.• cdtaón dcl Volumen 1

t 11

;::-:U!I pcttCIK
u ''"'' .1ru•\•rrud•mcntc tk: los capítulos 111 1\' ., A¡v"d•...e de b. obta accual. • • Mt ut/11 ' 1nt,t"nKI.Id n M

20 /ntroduccl&> a 18 /6gfc;J formal

era cosa de trarnrlos de otro modo. No de modo introductorio, resignadamente didáctico, sino de manera problemática, no codificada. más acorde con el carActer abierto de esas cuestiones que aquí apenas hemos bordeado, pero algunas de las cuales nos proponemos afrontar en otro lugar y en otro tono.• Las consideraciones generales que hacíamos en el Prólogo al Volumen 1 -y que presentaban a la lógica formal terciando entre, de una parte, el oscurantismo y la nojera pseudo-progresista. y, de otra parte. entre la gaseosa especulación gratuita y la pobre astringencia formalista- siguen siendo válidas aquí. Los agradecimientos. también, aunque habría que multiplicarlos en numero e intensidad.

Capítulo 1 PRIMEROS CONCEPTOS

Madrid, 19 de julio de 1975. Alfredo Deaño.

t 1lo IOifllliÍ' y $11.1 liSOS 1 11 Jingülstica cientlfica nos ha acostumbrado a saber que nuestras l""lhilidadcs de uso del lenguaje son propiamente infinitas. En efecto : , 1 doomlnio de una lengua consiste esencialmente en la capacidad de '' '"'"11" constantemente produciendo de continuo o raciones nuevas (y nu '"In ul11o scs hechas»). A su vez, esas infinitas oraciones nuevas pueden toollnd'O u10 una palabra:. ~iJo Humpty Dumpty en un lORO más bien tltlldcftC\CO «ell palabra significa exactamente lo que )'O quiero que signi(¡que. Ni ml\f 111 meo os.~t «L.t cua:tión c:&W. -dijo Al¡cla- eren si usted pu~de hacer que la5 palabms ''trnthquc:n tantas OOPs difereat~ -1 ~ CUc:JUón e.stb -diJO Humpty Oumpty- •eo quién es d que manda. 1 \1 1 C\ hlCJO.•

• Un tratamiento mis cktmklo de esas otras cuestiont:J puede ~ene en A. Onño. lAs e
l'('w ff~nrdc:mos 1an1b1~n a los filósorosque: han diého que el hombre -y, eminentemente. •1 h unb•r hiMor,l estl priSionero en las Kd~ d~l knau ..;e. -seducido por el lc:n1ua~,. tN•ttMh4 lft'rl,. 11 (ed Sch\ec:hta). ~p 11W y I"H)), rmbrujado por él.- (WiUte•''Sit•n. rlul ..,,-hl•tl'fr ( ,.,..,..,,h;,Jt41tn n• 109•

••

Primeros conceptos

22 IntrOducción a la lógica forTTJiJI

Ante una pregunta no tiene sentido plantearse el problema de si es verdadera o falsa, de si enuncia o no un estado de cosas que de hecho 1 se da - Otro tanto cabe decir de una exclamación o de una súplica por ejemplo'· Las preguntas, las órdenes o las súplicas no tienen valo; de verdad. Sí lo tienen en cambio, y necesariamente, las afirmaciones que hacemos acerca del mundo. Al uso del lenguaje cuando lo empleamos para hace oraciones verdaderas o falsas _lo llama~os•. desde Aristóteles, uso apofántico (de hnóq>aCTIS, declaracoon, enunc•ac•on). «Todo d1scurso (lóyos)>> - dice Aristótelcs«es significativo (...). Pero no todo discurso es apofántico, sino sólo aquel en el que se da el ser. verdadero o falso. No se da esto en todos pues, por ejemplo, un ruego no es ni verdadero ni falso». y añade: <
:ÚlmS(I

.~e CQnvirri6 en un

monstntQSO i11secto

Traduzcamos esa oración, escrita en castellano, a algunas otras lenguas: Grt?gor Sam.sa hat sith i11 ei11em u~rgeh~uerlich~n lnstkttn ~rt~t--andtlt Gregoriu.s Stml$(1 In im,umem insectum st corwc>rsit Gregory Samsa became a mót~strJIOitS lnsect Gr11yor SPmsa s'11.st trtmsfurml da11a un morurrueux in.stct Gre{IQr Sam.sa si traruformo itt am mo.ttruoso in.seuo

. He ahí seis oraciones. Seis omcioncs que son distintas, porque son seis dtstmtas manchas sobre el papel y a la vez seis manchas distintas sobre el papel. Y, sin embargo, en un sentido muy claro esas seis oraciones <>. Con otras palabras : esas seis oraciones distintas enuncian una m;sma proposición. Mediante las oraciones enunciamos proposiciones·. Al producto de ese acto lingiiístico le llamamos 'enunciado'. Al hablar P~r ejemplo, la pregunta --citrhtmcnte no habitual- «¿Por que quien ama nuocajbusca v~rdad. !iiOO qu~ busca dicha ?1+ (Ciaudió Rodriguez. Aliam.a ,. ConderJa) no es, en cuanto tal, nt verdadera nt falsa (aunque sí puede krlo la afirmación a Ja que c.abría traducirla· . «Todos los que aman buso:tn dicha, no vcrdad~t). J Por re~pecto a una espe<:ie de exclamación ('(lQ)O 4
del capiuín).

• Dt' !IJterpr<>tuaone. 16 n JJ.-17 a 7.

23

't" un cnunchtdo estamos, por tanto. hHblando COIJjrmtamente de una oración y
1 ''"flllllje y metalenguaje

«'U n famoso poeta es menos inventor que descubridor', dijo Averroes», r"rolx: Jorge Luis Borges 6 . l)ice Hipólito en su obra R~{utatio onmium haereseum 1 : > 8 • I'N verdad que Vallc-lnclán ha escrito : <> 9 .

¡,Qué tienen en común las tres alirmaciones que acabamos de hacer'/ 1 l<•ommente, ni el más empedernido defensor de la idea de que todo t'WIII relacionado con todo se atrevería a decir que los tres textos habhtn dl'l mismo asunto, o que en ellos se menciona a las mismas personas. ', r•c;c a ello, es innegable que tienen algo en común (además de su uolohcoosidad). Lo que tienen en común es que en todos ellos se da lo que ltu>; en todos ellos c:obc lllhcrvar la presencia de distintos planos de lenguaje. En efecto. Hay, e11 llllntcr lugar, en cada uno de ellos, una frase - ' Un famoso poet<~ e' om·nus inventor que descubridor', 'El bien y el mal son uno', ' A bord<1 oh• In D11lila, lo recuerdo con orgullo, asesiné a sir Roberto Yone_,·, Jr~Wpcctivamente-

que se refiere, o pretende referirse. a la realidad cxtr:t

ltttMollstica, al mundo. Encontramos, en segundo término, unas expresiones 'dijo Averroes', 'fue escrita por Heráclito' y 'Valle-lnclán ha escrito' 1(11<' no se refieren a una rea lidad ajena al lenguaje - el mal, los poc t;o ,, •lo Rolx:rto Yones- , sino a las frases antes citadas. Son, pues, expresion''' que nt') se refieren propiamente al mundo, sino a otras expresiones. Ntt

huhlan del mundo, sino de algo que se ha dicho acerca del mund" ' •·stlm, por último, o tras tres oraciones - 'escribe Jorge Luis Boo·gc,·, 'dile ll ipólito' y ·es verdad' que se refieren, no a lo.s objetos, ni siquk111 t\1 menos en la ficción ---no can fic•icia. después de todo- de Kafka. l·n su telaco Lu busm de Aver-roes. Georg Cantor, fundador de la teoría de conjunhl\, ¡~oo ~~~ ¡•ha, CC)mO buen platónico, que no estaba inventando nad:t. Por el contrario, considc;•·:tlu ~~~ t¡uc:.• l><•rccida a la de un notario que levantara acti.l de la e;~~:istencia de una determim1d1• •• •h1l11d en este caso. la de los conjuntos, sus pc-opiodades y relac.iones. Incluso si :unh.u• •litlllltc;ltUlCS - la presunta de Avtrroes y la de Cantor- fueran ciertas., t:-110 no querrh1 •h •" wmo vertmos al hablar de la lógica de la identidad. que ser matcmiltico y ser poCII' ~·" lu nu~mo, sino sólo -y no es poco- que no son cosas oomplelamente distintas.. Cfr.. c:n '•Wihhl, Wiltgcnstcin, Bemerkungen iiber rlie Grundftt(lé'n der Mothtmatik, 1, 167: «El m,• le· n11~11w e~ un i•wencor. no un dcscubfidor». 11

I X, 10. I' J;If.ttn.

SS.

l k la Aucob•ottralia ap:m.>t;Íth• .-;n

Ji~l)'\

en 1.1 revisw Afnut

esp
24 lntrod"cción a la 16glc8 foonnt Primeros conceptos 25

a las expresiones. untes mencionadas, que se refieren a los objetos, sino a las expresiones que se refieren a las expresiones que se refieren a los objetos. Así, eo el caso del tercer ejemplo, no decimos que sea verdad que Vallo-Jnclán asesino a sir Roberto Yones, sino que es verdad que dice que lo hizo. En los tres ejemplos propuestos hay, pues, un nivel de lenguaje - al que llamaremos «nivel Lo>>- en el que estamos refiriéndonos a objetos; a objetos no lingüísticos. Otro nivel, el L., en el que no se habla de objetos, sino de las expresiones del nivel L0 • Y un tercer nivel, el L2, en el que hacemos referencia a las expresiones del nivel L,. En esquema : .tUnfam,oso p«ID n

MtiKU iltPrltt« lfll~

lo

dts('Vbr'ldor lijo At'f'I'TOI!'J».

"'u pe dentro de un determinado contexto. Veamos un ejemplo con las rulllilllc~ de verdad y fa lsedad. En el enunciado la L·wJudero que 'Abu/ctisim lur tsf4do .,, Clttno•, tsfaho

L, l• ._pre;,i6n 'es falso' pertenece al lenguaje-objeto por respecto a la "Jursion 'es verdadero' (aunque pueda d
L,

ISCTi#N J . /.... ~'~1

L,

Es fácil ver que la serie de niveles podría prolongarse indefinidamente: nivel L3, nivel L., ..., L,. Cabria, en efecto, decir, por ejemplo: afirma Alfredo Oeano que Jorge Luis Borges escribe que Averroes dijo que un poeta es menos inventor que descubridor.'Etc. En rigor, por respecto a un determinado nivel de lenguaje - el L 2 , por ejemplo- , todos los niveles inferiores -en este caso, el Lo y el L,se consideran como un único nivel. Pues bien : a l lenguaje que empleamos para ha blar acerca de otro lenguaje le llamamos <> por respecto al anterior. Asi, en el segundo ejemplo, la oración 'dice Hipólito en su Refuta/lo omnium haeresermr' seria uot• expresión metalingiiistiea que se refiere a la expresión del lenguaje objeto «la frase 'el bien y el mal son uno' fue escrita por HeráclitO». Obviamente, los conceptos de lenguaje-objeto y de metalenguaje no deben entenderse en sentido absoluto, como si hubiera 11nas expresiones que fueran metalingüísticas en todos los casos y o tras q ue no pudieran serlo nunca. Cierto que )>ay expresiones - como, por ejemplo, la expresión 'es verdadero' (y tambien, naturalmente, 'es falso') 10 - que se refieren siempre a enunciados y no a cosas: la expresión 'es verdadero' se refiere, concretamente, a la correspondencia de los enunciados con los hechos y, por tanto, pertenece siempre a un metalenguaje por respecto a aquel o a aquellos enunciados a los que se refiere. Ello no obsta, sin embargo, para que pueda decirse en general que el que una expresión pertentlca al metalenguaje o al lenguaje -objeto- en rigor, a rm metalenguaje o a un lenguaje-objeto- depende del puesto concreto que esa expresión •• Entmdiendo ~urclad' como otrfrm urM«inalú. es decir, como la verdad de un enunca:ado que describe un CJtado de cosas que de hecho se da fo.lnf'qt;l.m~ 1ntf'tfutus n rt"i),

1• o•rueMión ·es verdadero' pertenece al lenguaje objeto por respecto A oolnl•o' (si bien cabría decir que perteneoe aJ meta lenguaje por respecto • l.o nprcsión 'Abulcásim ha estado en C hina'). t '•·orlllls. ·pues, el lenguaje casi siempre para referirnos a los objetos. 1 oohlo'tll\ no lingüísticos. Usamos primariamente el lenguaje en lugar de los

,¡,,, t"' 11 •

Pero hay ocasiones en que usamos el lenguaje para hablar "'," ,, clcl lenguaje (como se hace sistemáticamente, dicho sea de paso, " loo loll~llisl ica). Usamos entonces un metalenguaje para mencionar las ''l'"'~l<>ncs de un lenguaje. Los conceptos de uso y mención son paralelos ,0 loo• olo• lenguaje y metalenguaje. Cuando decimos, por ejemplo, 1

n udmlm la lllwla di! tas cabelfertts en los cri$t.oles de mi indQlt-l!da 12

i 'fr yn A•·i~tótclct: «Utilizamos los nombres oomo signos de la$ cosas}> (De Soph. El.. 1 KJ. Jmt.1th11n Swif1 cuenta, en los Viaju de Gulliver, cómo uno de k>s proyectos 1•• ¡u HIC~M.lrí.~ micmbr()S de la ReaJ Academia de Lagado ero «Un platl para abolir H

t•' 111

flt, -nnl¡tlt h, 1.• ~ p;tlabrns.. cualesquiera que fuese n: y se defendía oomo una gran \'Cntaja, I4HI , ••"I'C'\'tc• de l:t ;alud como do la brevedad. Es evidente que cada palabra que hablamos •r··•• '" ~ler to ¡rudo, una dbminución de nuestros pulmo nes por corrosión, y, por lo .tanto. •lhth,•;t tt ac:orturnos In ~·fda: en oonsrtucncia. JC ideó que. sieodo las palabras &tmp&cM w • l thtmb•<: de J~.s cosas. uria más conveniente que cada pe.rsona llevase consigo ¡;oáas de Que ruera n«cs.ario hablar en el akJnto especial sobre d que habla 1 1... ,..,, .. .1¡ '".., Y e!CIC tnYCnto se hubiese implantado, ciertamente, con gran comodidad y h •Hu ti·· •~•lud para los individuos., dt no haber las mujeres. en co.csorcio con el t, J 1 •• t11naran1c:s. amtoatado con alza"" co rcbelióa si oo se les dejaba en li_bcrtad 1 tt.hlu "'"' l• lcnaua al modo de S\IS anlepa.sados; que a tales extremos llegó s.tempte 1 ...,,., 111 lo\.1 encmila por la ciencia.• (De la traducción publicada ~ la Colección A...h ..l M.adud. fsp.ua·Calpe. 1941. p6g. 148). Lo que ba becbo Swifi_ - y Dó ca~ .. !h .t ttuf' \'C)n ~.tll prosaica obkrvación estamos echando a perder la mmcnsa gn.aa t f4h"l.u.:k\n suya d e:.:plo11r cl atkrurdo ~nor oonsislente en pensar qu~ ltaf l•t.,. ..n •nu.,tement~ cl no mbre de b.s cosas,. Fn efecto: como es bien sabido. d t 11to u.. " un'""'""'" de r(nu&os., s.ino un "'f\11' .. "' v•n-."t:ptual. "' olu U1rtnn Ph•lorste &~u~uh .\-•1 ,, .,, rt.,., ''' rrmlero.

,u,,.

Primeros CMCB()t09 27 26 lntroduod6n 8 la lógica formal

lo que estamos haciendo es usar las palabras para tratar de expresar una determinada - y refinada- sensación. Cuando decimos. en cambio, In t"Xprtsf6tt 'd#mocracia popu/{lr' ~s una ré'tlundi.lnclu

e$tOy, sin duda. 14Sllndo ciertas palabras - estoy usando todas las palabras que he empleado para decir eso- , pero lo interesante aqul es que algunas de esas palabras --roncretamente. las palabras 'democracia' y 'popular'-, además de estar siendo usadas. están siendo mencionadas. Las hemos usado para mencionarlas; las hemos empleado para hablar acerca de ellas mismas. Nos limitamos a usar una palabra cuando nos servimos de ella como signo, es decir, para aludir a algo distinto de ella misma (como cuando empleamos la palabra 'viento' para referirnos a un determinado fenómeno de la oatu rale~a. o como cuando empleamos el término 'priscilianistas' para aludir a los partidarios de cierta hcrejla). Mencionamos, en cambio. una palabra -además de usarla, o us1u1dola con ese fin- cuando nos referimos a la palabra misma, cuando nos detenemos en ella, sin ir m6s alla "- La señal de esta detención en la palabra - la indicación de que esta vez no nos referimos a la cosa. sino que «nos quedamos» en el len· guaje- son las comillas: 'Amar' n un \~rbo de signifiCadO muy compltjo Al mar, los ma.r•neros. te llaman 'la mar' ~(C.,

l)

\lllftl\i.\,

111 E11 ltt frase 'era del alio la esració11 florida' hay '"' hipérbt11u11 f.!) Por "conjunto ~,."'cio· se entie11de, tn teoría de conjumos. elconjuntn qrw carece de miembros. t 1) lknjtiiiiÍII Pére! escribía a vece.• en un lenguaje especial e11 el '''"'· ¡wr ejemplo, la palabra fran cesa 'porte-feuilles' significarla. trallud · da al CMtellano, 'esr.anque cubierto rfc net~tifares'. f 11 Hl orden de las palabras '" 'de e11 M a11cha la un lugar· 110 es t'i mi.\mo que en el comienzo del Quijote. t '1 ·tlguie11 podrla pensar qur la palabra 'algorir:nw' viene del griq¡u ;Aro · ('dolor') y '6.pr6pó · ('número'). y que sig11ijica 'mimt•m
Par increíble que pueda parecer, personru que pasan por

Cl•)

2.• Usarla y a la ""'U meocionarta.. uurla para menaonarta. como cuando ckdmos: 'Aanoa&lcu' t$ &~na palabro qu~ las i(JrtiJJM tmp/tQJI

M encM)narla sin ttSOrio, como c:uando dtamos: La paUJbra qu.t 3Ú't'
14 11 lliguientc texto de Lewis Carroll prOpOrck)na uno di,•ettida muestra dt jem.r· qui2.ach•n del lenautajc mcdmnte una acumulación de meuckmcs: tcllstlul UÍ!ltc» -dij o e.J Caballero ron tono de ansiedad- . «Permitcme que te • ,une untt canción para reconfortarctlt.

«.El nombre de la caocióo se: llapta 'llaJtlod::S Eyc>.s'. GOmbre de la

canci6n, ¿no?" - preguntó Alicia, intentando

. nuru inte.rtsada. t~No.

no me entkndc:S- Así ts como R

lla~~tt~

1M Afl
fH' YIIO\

t'll¡>sil'oanálisis prommcitm lll palabra 'libido' ( del lat/11 l ibido·lll~<) ~'~~"'" si ji~era esdrújula. y no llatlfl.

Ltu· gar:GS IW priiCIJCMI la auJocr(tJM.

«Asi que ae es el

.\emáJJtiCtJ y pragmt:itica

1nmemos l3s seis afirmaciones siguientes:

..

cabtn, por Utnto, tres posibilidades: 1.• Usar. 11implc.mcnte. una palabra (es decir. u&árla sin mencionarla). oomo cu1u1 ~ do dcamós:

l•

11.1\til el momento, y para simplificar. hemos venido hablando de '"" mcnc1ón de la~ palabras. Habria a horu que generalizar y hablar del uso ~ 1.1 mención de expresiones - incluyendo no sólo palabras de lodo lil'"· sino lambién frases enteras, simples o compuestas. En realidad , uulu vez que empleamos un metalenguaje estamos usando las expres iones •l" ~stc y, al propio tiempo, estamos usando y a la vez mencionando las • •IH\•sioncs del lenguaje-objeto de que se lrate. ~

el nombre. El oombre en reahdad es d•J\' Al~"' '""~t•fi~ündu

~qu e

1k•pu6s de lo dicho en el apartado a nterior, no es dificil ver que ''" • ••1·• 111111 de estos seis ejemplos hay una expresión - 'era del año la cstacicm n,., ' lihido', 'p • h '" ~111ndo tres ftnalidades distintas, una por cada dos ejemplos_ En h" 1 y 4 hemos mencionado sendas sartas de palabras para h:tbla• •• " • •h• lns •·elaciones entre ellas, pa ra hablar de ellas sin sal im os del 1 "'""'"· r•n• asi decir. Eo los casos 2 y 5, hemos mencionado una '1''' 111lm• pu ra 1\::lacionarla con lo que ella designa.. Por Ultimo, en los casos ' \ '' h• 1 11IO\ Jltt.:ncionado una expresión pura relacionarla con los sujclos ph J,¡ Hl l h/U il,

,,¡,,.

"••1

,l •\1 algo totalmente d1slln 1o! La eancaOn se JJams · w ny;f and M r1uH'. lo que se le llama• . lhr11 1 nhJ04:C1.. ¿MI es b cu'lción·~.. d1~l Ahcia, que a c:sus allllrJ\: ~l•h.a )A 1 '1''' I.UIK"QIC I(UtdKla. 1 • ' " ' ' f'. ...~k>

• \ ,_., 1h,,,

diJttcl Caballcm

"'

11

u •l•·t ul l1 \".mc-iónes 'A-.1lllitt,~~ o, 1(;11 ,,'

28 /ntrodvccl6n B la lógica fonnal

Denominnmos <
«Podemos considerar nuestro lenguaje como una ciudad antigua: un laberinto de pequeñas calles y plazas, de cas as viejas y nuevas, y de cas:1s con ailadidos que datan de épocas distintas; y todo esto rodeado de una multitud de barrios nuevos con calles rectas regularmente trazadas y casas uniformes» u. Un poco antes, en este mismo u

Win~n.slein: Philo. UttttrJuchtmger~. nl1m. IR

-oscanoopros

~

pMrafo, hn dicho Wittgenstein q ue ti sunoo lismo de la quimica O la rwtaci6n del cálculo infinitesimal, por ejemplo, son <>. Habla • •• p;ute de nuestra historia nat·ural como pasear, como beber o como 1 1"~"' ' · Por eso, por ser tao natural e inevitable, por constituir un "'"'JlOnente tan profundo de nuestro comportamiento, por esa razón es el lrriiiHIJC Uln huidizo, tan dificil de comprender, de aisla r, de cercar cientilh 1t mente.

Pero en rigor -y la metllfora de Wiltgenstein apunta verosímil· rurollo a este hecho- Jos lenguajes nat ura les han sido también cons· truhln del hombre con su medio: su riqueza, su ambigüedad, su infinitud •Ir Hl.lllt~S no son s ino el renejo de la riqueza de esa relación. Y u" l""'luct<> de esa relación - un resultado de la necesidad de control:u • h·rulticumcnte el medio- son también los lenguajes a rtificiales. Lo qur iiHuoucnte estamos llamando 'lenguajes artificia les' son por lo general l·u~uu¡es de precisión, medios artificiosos de expresión construidos por 1"' tlrlltllrcos a rm de poder formular con mayor justeza las relaciones cntrt· ¡,, uh¡ctos estudiados por sus ciencias respectivas. Hablar, como he'""' •••lu,cN esencialmente recrear el lenguaje. La explotación de esta posibilnl¡111 oh II'
l ""M dwen lM lingüistas, «la inrormac16n aporlada por una unidad Jingtlhtica es t, 1

,._ .. , ... 1k- 1• pm~bilidad de aparición de ests unidad -en el discurso•; si. por lo tanlt), 1t '''' •rm.•c¡c\n que un hablante t$ capaz de propordonam05 está en rund6n de ~u l'fr fn '' fmplco de palabras o coostruo:iones inesptradas. diremos qa1e 005 •nf'l"rm.• 11 ••• ljUitn ll~i hace saber, por ejemplo. que la hull.a es ncgr.t quC' quien, ~.:ó mo Pabl•• N Hhl~ " "" t.4•tnumc;.l q ue In hulllt es nd h•lnl rt\'Cf!IO de ht nieve)},

Prlrneros oonceptos 31

30 Introducción a la lógica formal

encauzar, di dgir> prolongar el lenguaje en beneficio de las distintas ciencias,

o rientando sistemáticamente en un determinado sentido las posibilidades de expansión continua que el lenguaje lleva en su seno como su rasgo más peculiar y profundo. Nos preguntábamos antes: ¿a qué llamamos un cálculo? Los cálcu.los son, naturalmente, artificiales. Los cálculos no son, propiamente, lenguajes. Un cálculo es una pu ra estructura, un sistema de relaciones. Un cálculo se compone de lo siguiente: l. Un conjunto de elementos primitivoS; llamados a menudo «símbolos elementales». Ellos constituyen, como veremos, las piezas a manejar dentro del sistema. Es a bsolu tamente esencial señalar que este conj unto de símbolos primitivos ha de estar definido de un modo efectivo. Un conjunto está definido de manera efectiva cuando podemos decidir, ante un objeto cualquiera, si ese o bjeto es o no es miembro del conjunto en cuestión. Por ejemplo, el conjunto de los librepensadores que habitan en nuestra Submeseta Sur no es un conjunto detlnido de una manera efectiva: hay muchos casos que platearían serias dudas. Para definir un conjunto de una manera efectiva tenemos dos procedinúentos: a) Enumerar ex!Jaustivamente los elementos de ese conjunto : {2, 4, 6, 8, 10}, por ejemplo. Este prooedimiento resulta extremadamente laborioso cuando los elementos del conjunto son muchos y variados, y resulta inaplica ble cuando los elementos del conj unto son infinitos, como ocurre, por ejemplo, en el caso del conjunto de los números naturales. b) Definir el conjunto por medio de una propiedad lo suficientemente precisa como para permitir una decisión en el sen tido indicado: «El conjunto de los enteros positivos pares menores que 12».

2. Un conjunto de reglas -«reglas de formación» o «de construcción>>- que c¡stablecen cuáles son las combinaciones correctas posibles de esos símbolos elcmen tales. El conjunto de las reglas de formación ha de proporcionar una definición efectiva de la noción de 'expresión bien formada del cálculo', de ta l modo que sea posible, ante cualquier combinación de símbolos, decidir si es o no una fórmula bien construida. En los lenguajes naturales hay también reglas de formación que permiten combinar los elementos del vocabulario para componer con ellos oraciones. Lo que ocurre es que eo los lenguajes nan~rales esas reglas no están formuladas : el hablante de una lengua las aplica implícitamente, y sólo se hacen explícitas - sistemáticamente- cuando se elabora la gramática de esa lengua, o bien -ocasionalmente- cuando alguna construcción le resulta «extraña>> al hablante y le incita a preguntarse por las reglas que le permitirían calificarla de correcta o incorrecta. Para uo hablante del castellano es fácil ver -aunque no tao fácil explicar- que una oración como 'La heroica ciudad dormía la siesta' (Clarín) está bien construida. Tambiim le es fácil ver que una sarta de vocablos como 'so beneplácito burócratas empero metempsicosis s ingu-

htr11as' c:;t{l mal constru ida. ¿,Qué decir. !>in embargo. de expresiones como 'lus cariátides estructura ro n batipelágicamente los sintagmas monoftSitas~?

Desde el punto de vista sin táctico, la expresión es impecable. Esperamos, •In embargo, que la mayoría de los lectores convenga con nosotros en q ue wrcce de sentido. Las reglas de formación de oraciones en los lenguajes n11111rales, sobre estar implícitas, son defectivas -y no efectivas-, en el M•ntido de que permiten la entrada de expresiones que ningún hablante IO
1. Un coojuoto de «reglas de transformación>>. Aplicándolas, podemos una combinación bien construida de símbolos en otra con>hluución que resultará igualmente bien constru ida. Como los conceptos ,¡,, Nlmbolo primitivo y de fórmula o expresión bien formada, el concepto ,¡,, lransfonnacióo ha de quedar defmido de una manera efectiva, en el •mlli
Los lógicos han comparado a menudo los c.ílculos con los juegos, '"luc todo con el del ajedrez. En efecto: los símbolos prinútivos correspon,¡, 1lun a las piezas del j uego. Dado un objeto cualquiera podríamos decidir ol '" trata o oo de uoa pieza de ajedrez: ante una máquina de vapo r, 1'"' ejemplo, diríamos que no. Las reglas de formación corresponderían 11 lu• instrucciones sobre las posiciones que pueden ocupar las piezas: """ pic'Ul situada en la palma de una de las manos de un Buda del ol~lu ox no es una pieza en juego. Las reglas de transformación serian ""'"> las reglas sobre los movimientos que se pueden efectuar con la.~ 1'"'"'": asomarse a un amplio ventanal y arrojar desde él un alfil al mar ~•hll1 1 ico no sería un movimiento del ajedrez. l.us cá lculos y los juegos se parecen en que son . autárquicos, en que 111 1111ns ni o tros hacen referencia a nada ajeno a ellos, en que unos y "'"" ~arecen de otra finalidad que no sea calcular o jugar. En ambc'>S • ''"" establecemos unas reglas para combinar unos ciertos elementos: "" utcncrse a las reglas significa simplemente dejar de operar con ese ,¡.¡,.,minado cálculo, «salirse del j uego». Lo esencial de un cálculo es su • '"''•too· exclusivamente formal. D icho de otro modo: su na turale1..a l""'"l•cnte sintáctica. En efecto: acerca de un cálculo sólo se pueden hacer tu \.ll metalenguaje~ por supuesto- consideraciones de pura sintaxis: ,, 1 11 t•x rrcsíón 'X' .,¡tá mal formada>>, «La transformación de la expresión 'X' • 11 In ex presión 'Y' es correcta», etc. ' Jn cfdculo no es, por lo ta nlo. un lenguaje~ en la medida eo que no t~ll 1111

medio de comunicación,

~ eno

un purt) nrmazón sintáctico. Sus

Prim eros CO
32 Introducción s la lóglcD formal

l.

en otra fórmu la compuesta por ese símbolo determinado de tipo A. segu ido del símbolo ·¡ • y de ese símbolo determinado de tipo B ' "·

elementos carecen de significado. No son signos, sino entidades opacas que manipulamos de acuerdo con una serie de reglas. Podemos, sin emba rgo, transformar un cálculo en un lenguaje. ¿Cómo? Inrerpreramlo sus símbolos, proveyendo a sus símbolos de un significado. Tomemos un ejemplo extremadamente simple. Describamos un cálculo : · l.

IH2 RT2 a: Dada una fórmula compuesta por un símbolo determinado de tipo A, seguido del símbolo • f' y de un símbolo determinado de tipo B, se puede pasar a otra fórmula compuesta por ese símbolo determinado de tipo A . seguido del símbolo · f' y de otro símbolo cualquicm de tipo B.

Símbolos primitivos A)

t;:, A i:J. /.U A .,. Es decir. tri6ogulos con un número cualquiera de puntos en su intedo r.

8)

RT2 b:

0 .00. 0 0 ...

Dada una fórmula oompuesta por un símbolo determinado de tipo B, seguido del símbolo · 1' y de un simbo lo determinado de tipo A, podemos pasar a otra fórmula oompuesta por ese símbolo determinado de tipo 8. seguido del símbolo 'f' y de otro símbolo cualqu iera de tipo A.

Es decir, ciculos con un número cualquiera de puntos en su interior. C)

2.

Una operación. que escribiremos ' 1 ',mediante la cual ponemos en relación los elementos de A con los de B o viceversa.

Reglas de formación RFl: Un triángulo solo cotl un número cualquiera de puntos en su interior es una expresión bien formada del cálculo. R F2: Un círculo solo con un número cualquiera de puntos en su interior es una expresión bien fo rmada del cálculo. RF3: Una expresión compuesut por un símbolo cualquiera de tipo A, seguido del slmbolo 'J ·y de una expresión cualquiera de tipo B es una expresión bien fo•·mada. RF4: Una ex presión compuesta por un símbolo cualquiera de tipo B, seguido del símbolo • 1 'y de un símbolo cua lquiera de tipo A es una expresión bien formada. RF5 : Nada es una expresión bien formada a no ser en virtud de las reglas 1-4.

3.

1 la vista de lo anterior, y dado un símbolo como

¡~o~oh•moos

decidir si es o no un elemento primitivo del sistema. Evidcn-

h•llllllltc, no lo es.

l'oo c:ombio, un símbolo como

'lmbolo primit ivo del sistema, y también, por la RFJ, una fórmu l.o lt11 n ¡.,,·mnda del sistema. t ''"' combinación de sltnbolos como

•• 1111

Reglas de transformación

RTI RT! a :

Onda una fórmula compuesta por un símbolo determinado de tipo A, seguido del símbolo • f • y de un slmbolo determinado de tipo 8 , podemos transformarla en otra fórmula compuesta por ese simbolo determinado de tipo B, seguido del símbolo '1 • y de ese símbolo determinado de tipo A. RTl b: Dada una fórmula compuesta por un símbolo determinado de tipo B. seguido del símbolo ·¡ · y de un símbolo determinado de tipo A . !">demos transforma rla

' ' 1 lll lltl

JO "" •••r.o una fórmula bien formada (una fórmula, a secas) del sistem;.l. ~1

loo

•r•:•. en c.1mbio. por la

"

1"' t(JII RTI ¡xldría rnun'l!l~ 'lhM"rKh' qu~ la o per.u:ión

I!Rlllllll\ d

RF3: una expresión como

·J • tk-ne

la Pf\lpt(d."l

Primeros conceptos 3S

34 lntroducclól! s la lógica formal

Por o tra pa rte, dada una combinación de símbolos como ~:e

que es una expresión bien formada, podemos pasar de eUa a

por la regla RTI a. O también, dada una fórmula como

.é.l0 podemos, por la regla RT2 a, transformarla en o tra fórmula como Etcétera. Hasta aquí lo único que hemos hecho es explicar el manejo de un cillculo; un cálculo. como ya hemos dicho. extraordinariamente s imple y rudimentario. un cillculo de salón. No obstante, esperamos que valga parn hacer ver que operar con un c.11culo no es otra cosa que manipular un conjunto de entidades - manchas de tinta, por ejemplo, o de tiza- según unas reglas esta blecidas explicita mente de antemano. Podemos, sin embargo, como hemos dicho, interpretar el cálculo. Podemos decir, por ejemplo : los triángu los designarán individuos humanos cualesquiera del sexo mascu.lioo. Los círculos designarán individuos humanos cualesquiera del sexo femenino. El símbolo T designará la

operación

'con~racr

ma trimon.io •.

Tendremos, entonces, que una expresión como

1au t~miMit;u. de un lenguaJe como el cu..~ttclltHlO, el bantú o~~ servo-c~oam. Nn •• traw de un lenguaje na tural, sino de un leng11a]e formalozadt>,

un l.,ot~uaje con estrucwra de cálettlo, un lenguaje en el que no. sólo es 111thdal el vocabula rio, sino también -y esto es lo esenctal- la llnt•llw. liemos formalizado - si bien de una forma muy tosca- las 191•• onne~ matrimoniales en un grupo humano donde está admitido el 10 11&v•th l(l u voluntad • A•l pues, aunque en la practica los cálculos se construyen a ~en~~o twn•ondo en sus posibles aplicaciones -o incluso en una ~phcacton '""rt.o , hay que señalar que, desde el punto de VISta. teonco, son ll...•lllt.ontente independientes del lenguaje o lenguajes formabzados que se p11 ololll obtener interpretándolos. 11.1y quienes piensan que la lógica es un conjunto de cálculos, o hien 1111 1.1 h\gica es la teorla de la construcción de cálculo~. . Nu•ntros entenderemos la lógica como un conJunto de lenguaJe' 1 ,,,,,h¡¡odos, es decir, como uo conjunto de cálculos a los que se da uno tntcrprctnción en el campo de investigación que - desde Aristóteles, 1"'' In menos- constituye el o bjeto de la lógica. De entre _todos k" lo uln< 411e podemos construir hay a lgunos que po r su espeaal ~stnoc· tooooo y"' buen rendimiento son particularmente aptos para ser aplt~d os • 1111 (unbito especifico de pro blemas, el ámbito de los probletnas lógtcos. l • l··~oc.o, que durante mios de veinte siglos ha consistido en una su m:o "'''1 '"~nníz:oda de renexiones acerca de las _reglas formales d el razona "'''""'· ~xprcsadas casi s iempre en el lengua¡e natural, conslltuy~, ~n s u f111 "'" t'uutcmponl nea, la presentación rormaliz.ada de nuestro conocimicntH ttH t • u de

ese determinado

te.m::L

~lO

1 ,, '"''" do• Mgica formal

se interpretan\ como 'el varón Tal contrae matrimonio con la mujer Cual'. El paso de una expresión como

0!8 a una expresión co mo

\1~ 11 nos psicólogos han señalado " que, en el curso de su desaro-l'lho .. tqulrc,, el ni¡,o atraviesa una etapa caracterizada, entre otros ra:-oyu~. 1

" ltt'l\olre!le en q ue en ese ¡.rupo human o es-tá procrita la poli~mi~ entendida e n • 11 11 ¡¡.¡,. h •l'l•l•ml. os cJcc.r, como poligamia «s:incrónica», pueS-to qu e mngun sim~l o d e ''t't' 4 . 11 1,11 ('1h: C\Utr conectado oon más d e un símbolo de tipo 8 o A. Estana adm111d.• ,. • ,1111t,,u, f¡, que podriamot Uaroar «poligamia diac:rónicu. en la medi~. en. ~ue cualq"•e• 11 l+ll•' de esa oomunid11d podtla camblar de cónyuge con la penodJCidad que MI lul•1111 1•d e~(eclh·a te drctara. En la citada comunidad esaaria prohíbid.~ asimis~l el M•~lt u1...n 11l ctHre pet'$0nal del mismo sao. pues ninguna regla de formacaon aulonza l.•

utw 1 lun de c~prc:siones como

autorizado por RT2 b, significará 'la mujer Tal ha pasado de estar casada con el varón Tal a estarlo con el varón Cual'. Ailora ya no estamos manejando un puro cálculo. Al haber interpretado sus símbolos hemos convertido el cálculo en un lcn~u.o¡c No se trata,

8 TA..

A cambio. no existióa e1 Qlbil de inCCSh)

h , tu dtmls. si alnbu)-cramos a.l dmbolo f

t o~t

J el Psnificado 'manteoer rdacio nc:s c::a~tá\:

"' d nutmnonio' obtcndriamos una interpretación del cálculo clisti.nta fk la anterior

Llm•n ,,,rnuhtado la \tf$ió o ofictal de las rd.aciooes preparatorias de.l m."fnmomn .. un• ••-. 1t'1l.ul como la nuestra. por ejemplo. * t~·ilfit la t\Jt(m(tÓO y d&SCUsión de dichas tcorias véase d libro de Juan A. dd Val "'"'' "' , "' 1""''.-.'"'lt'lffO mjamiJ. M adnd

<;,,,,, X XI fd~ 1975.

Pr/m8ros COfiCBPIOS 37

3CI Introducción a 18 ióg/c8 fotmal

por la presencja de una t.> y «fisica judía», o -dando a cada cual lo suyo, según el viejo principio del derecho romano- de «ciencia proletaria>> y «ciencia burguesa»; cuando alguien, en concreto, emite una sarta de sonidos medianamente articulados que podría interpretarse en el sentido de que la lógica es una ciencia contrarre,•olucionaria {!), estamos en presencia de una conducta aoimista de la mejor ley. La lógica no es ni un baluarte de la reacción ni una palanca para la edificación del socialismo. La lógica es una ciencia, y las ciencias son, en principio, entidades políticamente disponibles, instrumentos o medios de Jos que podemos servirnos con diversos fines.

Son muchas las definiciones que podrían darse y se han dado de la lógica. Nosotros hemos elegido la siguiente: la lógica es la ciencia de los principios de w validez formal de la inferencia. Evidentemente, es preciso explicar esta definición t6rmíno a término. Jnfcrenci11. Como es bien sabido, los sinónimos no existen. Pese a ello, nos permitiremos considerar el término ' inferencia' como sinónimo de 'rnzona miento' o 'argumentación'. Todo razonamiento es pensamien to, pero la inversa no es verdadera: no todo acto de pensamiento consiste en razonar. El razonamiento cs. pues, u o tipo de pensamiento junto a otros varios que la psicología distingue. Un tipo de pensamiento cuyo rasgo característico es que en él se produ ce s iempre el paso de una o más a6nnaciooes que tomamos como yunto de partida a una afirmación que se sigue de aquellas. Lo especifico, por tanto, de un razonamiento o inferencia es que consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas. Eso es razonar. Recordar, por ejemplo, o imagina r son también formas de pensamiento, pero no formas de razonamien to. Aho ra bien: es menester distinguir entre el mzonamiento como actividad de un sujeto ~1 acto de razonar- y el razonamiento en cuanto producto o resultado de esa actividad. Del razonamiento en la primera acepción se ocuparía la psicología del pensamiento en uno de sus capítulos. El razonamiento como resultado -como resultado plasmado en el lenguaje, según veremos es el objeto mat~rial ~ decir, compartible con otras ciencias- de la lógica. Validez forma l. Puesto que lo que constituye un razonamiento es la relación que en ¿¡ se da entre unos enunciados que se toman como premisas y otro enunciado que resulta como conclusión, parece razonable dividir los razonamientos según la índole de esa relación Segiln la índole

~' r•u rclución los razonamientos se dividen en razonamientos válidos y

rottmumientos no vAlidos. Y cuando aquí decirnos 'razonamiento válido' decir, en un sentido que explicaremos pronto, 'razonamiento ,..,,..,/metlte vAlido'. 1 n el lenguaje ordinario se emplean a menudo expresiones como nn me parece compatible con lo anterior decir abora que.. .', 'después de hot...r defendido tal cosa, no me sorprende que ahora defienda tal otra·, qu~ trcne de extra~o. a la vista de tales aoóntecimientos, que...1', 'no Cío •~t~••" que...'. y otras muchas por el estilo. Hablamos también a veces de nhrrcnC1a», «consecuencia». «<ógica interna», etc. El uso de expresionc' do ntc tipo parece sugerir la idea de que en el pensamiento natural rmplícita una distinción entre vertlad y 11<1lidez, emre, por una parte, t. ••hdez - la corrección formal- de un razonamiento, y, por otra parté, ti hr• hn de que su.s premisas. su conclusión, o ambas, sean verdaderas Vu que se trata de tres elementos a considerar - validez o no validc-1 d '' '"""amiento, verdad o falsedad de las premisas, y verdad o falsedad de la 1 " " lu"iónimaginemos una tabla de triple entrada:

ljUtrMlOS

"'A

VALOR DE 'iEkDAO DE. LA CONO..USION

\'EitOADERA

FALSA

1

2

fALSA$

3

4

FAI..SAS

S

6

7

8

VUOADI.IAS

)

NO VAliDO

o

:¡w !; ¡;¡ ,.:¡...J~

;¿ """';.o ¡:!a

)

\'ALIDO

..

~. ~

V¡•umos un ejemplo de cada tipo 21 : Jlo 11!1<1 J (premisas y conclusión verdadera ; razonamientO DO Viliid,o) Sr Snn Pablo era monoteísta, entonces Sócrates y Yantipa no oon !rajeron matrimonio por el rito ortodoxo griego. Jl~ asi que Sócrates y Yantipa no contrajerpo matrimonio por el rito o rtodoxo griego ' 111

~"

S,on Pablo era monotelsta 1•.u.a "mphror. en los qcmplos que si&u~o todos los rnona.m.ie.rnos 1e:ndrin d4"

,, llliU

Un11~ p~ntc, por otra parte, qu~. oonw. '-ertmos.. para que el l"'Otjufllo de lu t'f mawa !H'.& (Milin bou.IJa con que In \N''~ '"' J~ t'II.J.s.

38 lnlroduccl6n a la 16¡¡/cs formal

Primeros conceptos

39

De tipo 2 (premisas verdaderas; conclusión falsa ; razonamiento no válido):

~~~· lll•mus puc;to como ejemplo de los de tipo 6 es un razonamiento

Algunos poetas escribieron también libros de ensayo Catulo era poeta. Luego Ca tu lo escribió libros de ensayo.

wall:l su conclusión. Que las premisas sean de hecho verdaderas o "" 111 'IClln, es otra cuestión ; una cuestión que cae fuera de la lógica. A" oiMUllr si es verdad que Lewis CarroU escribió la Imitación de Cri.•to "" n cosa de la lógica, s ino de la historia de la literatura piadosa. l)uo ol 7 es un número entero positivo sólo podemos saberlo sabiendo otlln16ticn. Para comprobar que Catulo no escribió libros de ensayo h """ de recurrir a los estudiosos de la literatura latina, y no a los , uhtvudorcs de In lógica. Estudiar lógi"" no consiste en estudiar si tales •• ou1olcs enunciados - relativos a tal o cual materia- son efectivamente '''"laderos. Estudiar lógica consiste en estudiar qué otros enunciados, •ltulo o" los nntcriorcs como verdaderos, babrla que aceptar como verdaderos l• ou hl6ro . la noción fundamental, constituyente, de la lógica no es la de 22 " 11lad mt•terial, la de verdad de hecho, sino la de coherencia • La lógica "" •e ocupa de verdades materiales, sino de las relaciones formales ento·c •lln• Por eso hemos dicho :mtes que, en lógica, la expresión 'razonamicntll •u lltl11' es una abreviatura de 'raronamiento formalmente válido'. Po r eso n nnc>trn definición de lógica - la definición que estamos reconsh u mul11 hemos hablado de 'va lidez formar.

De tipo 3 (prenúsas falsas; conclusió n verdadera ; razonamiento no válido):

Todos los psicólogos conductis!as son partidarios del psicoanálisis. Wa tson Cl"d partida rio del psicoanálisis. Luego Wntson em panidario del conductismo. De tipo 4 (premisas falsas; conclusión falsa; razonamiento no válido):

Si Rica rdo Strauss compuso Metamorfosis. entonces Mahler es a utor de El buque flmtasma. Es así que Ricardo Strauss no compuso Metamorfosis. Luego Mahler es autor de El buque f amasma. De tipo 5 (premisas falsas; conclusión verdadera ; razonamiento válido) : Todos los revolucionarios usan uniforme. Mussolin i no usaba uniforme. Luego Mussolin i no era revoluciooario.

De tipo 6 (premisas y conclusión fa lsas ; razonamiento válido): Si Lewis Carroll es el autor de la Imitación de Cristo. entonces Stalin fue un famoso teólogo de la Contrarreforma Es asi qu~ Lewis Carro! es el autor de la lmit.aci{m de Crisro. Luego St:•lin fue un ramoso teólogo de la Contrarreforma. De tipo 7 (premisas y conclusión vcrdadem ; razonamiento válido): Todo número entero positivo es divisible por l. 7 es un número entero positivo. Luego 7 es divisible por l.

l<1do r-J zona mieoto tiene una forma y u11 contenido; una estructura. ~ un asunto de que tmta. Los dos razonamientos siguientes: todOt ~~~ ctqua.ortmicos too psicóticos y todos los psicóticos son personas dei· dkh•du. entonces k>s csquizorrénjcos son pel'$0nas desdichadas.

Si

De tipo 8 (premisas verdaderas; conclusión falsa; razonamiento válido): No existen rarooamientos de tipo 8: no hay raronamientos vdlidos que tengan premisas verdaderas y conclusión falsa. Y ello porque precisamente se dice que un razonamiento es válido cuando• .
1 no «:li claro iDduso para quienes. como Andri Bte:IOD. disfrulaTOn de una inJor· n ~~ b~en precaria acerca de esta ocncia: • Eo lo que lla1D3mos lógica [ nó1csc tt • lhC'klft debiera haber eotrecomallado la palabra 16e]:a.'. puesto que en este conlrl.lO . ,.,.,,, . ntt:ndon:ada y no sólo us....da) sOlo '\"CO d culpable ejercicio de una debdtdad ••tt•'
¡

40

Primeros conceptos 41

IntrodUCCión a 111/óg/co formal

•h In cxlnclusión se sigue necesariamente de la verdad de las premisas,

y

"' ••ortlltl de 1" sola forma de éstas. En los Analíticos Primeros". Aristóteles Si todos los santos son creyentes y todos tos creyeo1es se mueS-tran reacios a la des· mmoMIZatción, c:ntonoc:s Lodos los santos se muestran reacios a la des.amorttUción

son, obviamente, distintos por su contenido. Su forma. sin embargo, es la mism3. Esa forma, toscamente representada, seria, en ambos casos, ésta: Si todos los... son ... y todos los... son ... , entonces todos los... son .., o. mejor. Si todos los n son b y todos los b son e, entonces todos los a son e, donde ·a·, 'b' y 'e' son, como veremos, variables que indican el lugar posible de un contenido, de cualquier contenido de un cierto tipo : en lugar ~e 'a', po r ejemplo, podemos escribir 'esquizofrénicos' o 'santos', o 'corsur1os' o 'filósofos', o cualquier otro término general. La noción de forma de un razonamiento puede ilustrarse por analogfa con las formas musicales. La misma relación habria entre, por una parte, una formu de razonamiento y, por o tra parte, los infini tos razonamientos distintos -distintos por su contenido- que podrlan hacerse con esa forma -de esa ftm•w- , que entre la forma soneto, por ejemplo, y Jos infinitos poemas - elegiacos, satlricos, de amor, etc.- escritos en forma de soneto, o que entre la forma sonata y las diferentes sonataS que nos es dado escuchH r.

A la lógica le importa únicamente la forma de los razonamientos. La lógica es lógica formal, ciencia de las formas o esquemas válidos de

ruzonamiento. CA qué llamamos una forma válida de razonamiento? A un esquema de inferencia tal que, dado cualquier razonamiento que podamos hacer in terpretando las variables de ese esquema, si las premisas del razonamiento son verdaderas, entonces necesa riamente la conclusión será verdadera ta mbien. El esquema Si todos los a son b y todos los b son e, entonces todos los a son e es un esquema vá lido porque, sean cuales fueren los términos generales con que sustituyamos 2l las variables a, b y e, si es verdad que todos los a son b y que todos los b son e, necesariamente ha de ser verdadero el enunciado 'todos los a son e'. Eo uo razonamiento válido -formalmente w lido, lógicamente (hora ya podemos decirlo así) válido-. la verdad

olrflno el silogismo como aquel discurso (,!óyo.;) en el que, afirmadas drlt·•• cosas, por el simple hecho de haberlas afirmado se sigue necesaria 1nrnte otra cosa distinta de ellas. Ahora bien : el silogismo es sólo un IIJ•• de esquema válido de inferencia, entre otros muchos, y la definición ""'tut~hca no se aplica sólo al silogismo, sino a todo razonamiento hu m•lmente válido». llc esa definición nos interesa ahora sobre todo retener la exprcsi(ln "'• <'.triamente' (t( &vd:rw~J>). En efecto: lo esencial en todo razonamient" luumtlmente v6lido es la relación de n~ces idad que se estable<:e entrr 1'" 1111\US y conclusión, de tal modo que la verdad de las primeo"' •~<••• inevitablemente la verdad de la segunda. 1 • evidente que no en todo razonamiento se da esta conexu\n "'' n.orin. Hay ocasiones en las que la conclusión se deriva de las prem~r grado de probabilidad. Asi, por ejemplo, en una inferencia comu

••

SI 1.1concepción onduhuoria de la luz es correcta. entonces la luz se moYCrá a m~•)•" ...docid.nd en el alte que en el agua.. 11• 11si que, como m0$1r6 el experimento de Foucault, la velocidad de la luz e!l m1nn• rn "1 tme que tn el agua.

1)e lns premisas no se sigue necesariamente que la concepción ondulnh" 111 olr lu lu~. sen correcta, e incorrectas las concepciones rivales en noh ''""· In concepción corpuscular. La segunda premisa únicamente nllHilo upoyo empirico n esa concepción ; la confirma (pero oo de tnt ,,,.,J,. •"'" '"yonte), la hace m.ís probable, más plausible. Uo lg11al modo, de las premisas

'""V"'

11nc.hc.nta por ciento de lo• campesinos andaluces en 1933 eran Autonio J im~nez traen 1933 un campesino andaluz.,

anarco -slrhllu•ll•l•~

,.,J,, 11<1drlnmos concluir ---
u . Se •uponc que la sushlüciótl ha de estar bJCn hecha. ~' ~C'\-" ''"' ¡, \.an.1blc 'a', por ctemplo. ser,, Wlhluld.•. en el mÍ!nxl t"Untc\to, stt:mptt 1"")' d m111tn., •~ utmM

l)t httho. en una obra que, scsUn lodos los Jnd1cios. C$1i. C$Cri1a O)n anlcrt()rtd.u.l ti·• 4"'tllllr•''· lm 'J ~piM.J (100 a 2S~ Ar"1ótda de esta misma definición 1-m rcjltll'l(lnl.~o

al ti"J"""'

Primeros (;()(lceptos 43

42 Introducción a la lógica formal

que sería contradictorio afirmar las primeras y negar la segunda (con otras palabras: sería imposible imaginar circunstancias que, haciendo verdaderas las premisas, hicieran falsa la conclusión) 26 ; y hay, de otra parte, razonamientos en los que la verdad de las premisas no conduce fatalmente a la verdad de la cooslusión, sino sólo -y de múltiples y complicadas maneras, como bao mostrado los análisis de los metodólogos de la ciencia empírica y de los psicólogos del razonamiento- a su mayor o menos probabilidad. A los razonamientos del primer tipo - aquellos que son válidos por su sola forma- se les llama a menudo «razonamientos deductivos (válidos)>>, otorgándose a los del segundo los nombres de «razonamientos inductivos», <>, «plausibles>>y otros muchos que señalan, frente a la relativa simplicidad de la inferencia deductiva, la todavía in abarcada complejidad de esta última clase de razonamientos. Principios. Según tendremos ocasión de ver, en lugar de hablar de «principios» podíamos haber hablado de leyes o de reglas. Ya hemos visto cómo en el lenguaje común existen una serie de expresiones y giros que se utilizan para estimar formalmente - es decir, en términos de pura coherencia, y con abstracción del posible valor de verdad de los enunciados que lo componen- cualquier razonamiento. La lógica pretende llevar a cabo esa estimación o valoración de una manera estructurada; la lógica pretende codificar los principios que guian el análisis de la validez formal de los razonamientos, sistematizar un conjunto de leyes o de reglas para el estudio de las condiciones formales en las que uo enunciado se puede inferir válidamente a partir de otro. Ciencia. La lógica es una ciencia. Y una ciencia formal. Dicho de otro modo: una ciencia dethlctiva. Toda ciencia es un s istema de enunciados. 26

Lewis Carro ll, en su S)·mbolic Logic. lo explica muy plá$tÍcamente. l o memos u n

razo n:.lmicoto como: «N=adio:- q uo qukra IOIOU d lmt J' qloC flQ ~~ «~ter u.n Ul i T que IWI tenga tic ..po surltie• to plin ir dando un paseo ha~a la I!$UK:i6cl .,_de to!lÁirlo sil'l « l"*r a wmr. 6$(e tn!P Id &Obra tict~ p.r " '' ¡>llk ().

1!' 1c srupo de

t'l~ll.'l no

Aparentement~ se trata

u .. lunlcs por dt!ducéión.

!\hora bien: la lógica es la teoría formal del razonamiento, el estudio oh lu urgumeotación formalmente válida, la ciencia de la ínferend a olroluctiva. Hablar de un razonamiento formalmente válido es como habla r oh•1111 razonamiento deductivamente válido, pues la conexión entre premisas v o1\lldusión sólo es necesaria ~ólo es deductiva- cuando es la pu ra 111111111 de las premisas la que nos arrastra a la conclusión. Nos encontra· '""~· entonces, con que la lógica, que es la ciencia de la deducción, S~• u su vez una ciencia organizada deductivameote, una .cjencia cuyos •mu1cindos -es decir, las verdades lógicas, cada .una de las cuales "l" f"" un modo válido de razonamiento- están ligadas por deducción, " 1h'ducen unos de otros. Resulta, pues, que la lógica es una cienci¡¡ " ''~nuxlva», una ciencia que se dobla, que se vueJve sobre sí misma : " lu ciencia deductiva de la deducción, la ciencia formal de la valide' 1111111111 de las inferencias. Es una ciencia que se rige por los mismos 1' ' hlo ipios que estudia. Ni que decir tiene que la lógica, en el transcurso de s u larga y ' '"""" ' historia, ha tenido a menudo conflictos fronterizos con algunas "t11o• disciplinas, o incluso ha sido, pura y s implemente, confundida con ,JI,•: con la psicología del razonamiento 27 , con la teoría de la ciencia "'. o"" 111 teoría del conocimiento 2 9 o con la ontología 3 0 . l'o>r supuesto también que la lógica, en cuanto ciencia del anális is form11 t ,¡, 1 ,, zona miento, no pretende en modo alguno agotar todos los as pectos oh ~wlc. Hay en el razonamiento - dicho sea cometiendo la vulgarida
cu,c-:Uia il
de u.n ruonamie•Ho formalmentc·oorrctto. No es así, sin embargo.

Veamos cómo lo explica Carroll: ".Htl .,q• i. am~bk kaor. olta Op(lrtutlid ~d 4~ ..W it ulll ~tafl'(:(3 a un a lfliata. el kplicarlo: .-¿A q ue 'tieM «;!. pcepntll ? De$de b:lt:to- « perfecr.l ~IC CI'IUedll. V si tu pred()¡o librn de IO;ica '" dice- q~K· n~ 1~ u-. nl> bap$ caw. l)lu pntm dcri.s d('(:ir- quil t$ d irii: <>:Hlllllo ¡Abf T"'IVI Q ~ pa'ISIU~ 1'11 r:Ho-.:.. PIHaiw;o> li('ff"<' ..,,.,• .so... ""XH• ~o))o Jiogii~C~U '1

1 " lógica, por tanto, también Jo es, pero con la peculiaridad de que sus fllllllciados están deductivamente trabados. En lógica, como veremos, hay •~ lumas y teoremas -o bien, reglas básicas y reglas derivadas de infe••uciu , y estos últimos -o estas últimas- se deducen, se siguen f"uualmcnte de los primeros -
Olvidando q ue, mientras la lógica es u'na ciencia rorrnal del raw narniento . l:r 1••l• ••h•l(llt c.:s una ctencia expcrinlCr:.ttal que, e n u no de su.s apartados, se ocupa del ra:wrmnt., 11111 41tlklc el punto de vista empírico. Piaget, por ej emplo. ha dedicado muchas p!tginns 11 Plll!,hlt..:cr una neta disllnción e ntre u no y otrd, y, a l pro pio tiempo. a postu la t• entre h'fo'. Undns rchtciones de buena vecindad. 1" e)lvidando que una cosa es la lógica como tal. la lógica «pma», y otra muy ' " ' ' tll\ ~1 .tunq uc distinta- la aplicación de patrones lógjoos para. el análisis de algu n o~ ~t•tlu 11 l~u no$- aspectos de ls actividad científica y sus resultados. •• ( "rt, ht nota anterior s ustituyendo 'In actividad cientifies y sus resullado s· ,-x,r 'el '"tlol• hfiiC11to humano y, como fo rm~• e minente d e 6th:, c;l co nocimiento dentifico·. 111 Olvidando q\IC la lógic:l es u nu cu:mdu, ul k tU IJtll <,¡ue la ontologí:t es un caphul(\ , ... 11 l•l"'''fl r•. Ptl'ü no o h•idC:Illc) 'l la lh1111 to l11 ••omlt \hlKh • In• mnl».

. u,..

44 Introducción a la lógica formal

Primeros conceptos 45

simplemente que la actividad científica - y precisamente por eso la actividad científica necesita de la filosofia- opera sobre la base de la división - técnica, y no social- del trabajo. De ahl que no hayamos d icho que la lógica sea la ciencia del razonamiento a secas, sino la ciencia que se ocupa de los aspectos formales del razonamiento. En efecto: cada ciencia, como decía Aristóteles 31 , «recorta>> o acota para sí un campo de objetos, aplicándose a estudiar las leyes que describen Y explican el comportamiento de éstos, reconstruyendo racionalmente ese campo. Puesto que cada disciplina estudia una especie de o bjetos, es natural que lo haga en un lenguaje específico. Nada tiene de extraño que cada ciencia, aun compartiendo con otras ciencias muchos rasgos, presente rasgos peculiares, que se reflejan en el peculiar lenguaje que utiliza. Cada ciencia se hace (o incluso se puede decir que consiste en) su propio lenguaje, tanto más alejado del lenguaje contidiano tanto más

.

.

'

'

<
aparezca al pensamiento vulgar la necesidad de plantearse los problemas relativos a l campo de objetos que constituye el tema de esa ciencia. En algunos casos, las ciencias se limitarán - y no faltará quieu diga que por eso se trata de ciencias limitadas, de ciencias aun en ciernesa utili7.ar el lenguaje común enriquecido con unos pocos términos técnicos. En otros casos ---el de la matemática, por ejemplo-, se impone la necesidad de contar con un lenguaje enteramente " artificial. Así ocurre también con la lógica. La naturaleza de su objeto de estudio -la fo rma de Jos razonamientos- hace necesario para esta ciencia el uso de un lenguaje especial. En efecto : como se desprende de los analisis psicológicos del razonamiento natura l, la distinción entre forma y contenido, y, subsiguientemente, la consideración de aquélla independientemente no es' en el . SUJClO, espontánea. La capacidad de discernir entre una y o tro se alcanzaría tan sólo - e incluso hay psicólogos que piensan que es una idealización suponer que todos los sujetos la alcanzan claramente- en la última etapa del desarrollo de las capacidades cognoscitivas, y sólo se actualizaría cuando el sujeto se viera en la necesidad de resolver problemas diseñados con el fín fundamental de ponerla en ejercicio. Por ello, una ciencia que se constituye como tal empeñándose en la tarea de a bstraer la forma de los razonamientos prescindiendo de los contenidos a los que está .

·~ ' ''" un lenguaje en el que la forma aparezca aislada, en el que la ••u u~IUra de los razonamientos se muestre sola. Alllcs hemos dicho, simplificando considerablemente, que el lenguaje 1"""' " · en resu midas cuentas, de un vocabulario -un repertorio de t~1111inos- y una sintaxis -un repertorio de reglas para combinarlos. 1'111'' bien: a la lógica no le basta con disponer de un vocabula rio tu opio, a rtificial. Le es necesario además, y sobre todo, con tar oon una •luho"s artificial, artificialmente rigurosa. Le es necesaria la formalización. 1 poounlízar un lenguaje es trazar - en el correspond iente metalenguaje. put ttupucsto- su estructura, su sintaxis. Ya hemos visto , en efe~to.

'""'" en un lenguaje natural es posible construir expresiones q ue, siendo 1111 Jllochables desde el punto de vista sintáctico, carecen, sin embargo, •h ..,,ntido. Se hace necesario, en lógica, «endurecen> las reglas - sint[•clh "" de formación, en evitación de que en los sistemas lógicos pucdnn 111 ""o enunciados de esa naturaleza n Coo otras palabras : a la lógic~ ¡,. /1111'1•'111 que la sintaxis y la semántica coincidan en lo posible; la lógie~• ,¡ • que todos los enunciados bien formados -es decir, sintáctica• 1111 nt\, co rrectos- tuvie(an sentido -es decir, fueran semánticamente '"" ""' . y desearía asimismo que la inversa fuera verdadera -es deci •·. 't"' 1oln que todos los enunciados a los que quepa reconocer un sen tidt> lo•• ' "" también sintácticamente impecables. Se trata, siu embargo, de "" ,¡,.,, NÍillplcmente piadoso, que despierta en los lingii istas actuales unn de suficiencia -dado que, en la lingüística actual, la sintaxis. 1.1 y la pregmática constituyen u o fructífero revoltijo- y en los Jt.

.,.",¡"

.,,,,¡,.

'"""'¡"''

"'' ,., Ul,.'l ltales

' ' Mtt, r, 1, 1003 a 23·26. n En rigor, no enteramente, por cuanto todo lenguaje artificinl esl!\ oorlSiruido en el seno de y a partir de un lenguaje· natural, y, a despe<:bo de su f)OIIICI'iOt indllpeodencia, que le permite funcionar autónomamente en (.-ampos restdngid•lll de 111 IH.I h·llllu.J <;icnlíf'ica, sigue en eJ fondo pendiente de ese lenguaje notural.

a cicm:w

que el ideal de coincidencia de sintaxis y semántica es inalca n¡uhh h•• "''' • en lógica. ¡\J decir cuanto acabamos de decir hemos anticipado - y, adcm/" , 11 "" lnno un tanto enigmático- nociones y pro blemas que sólo "'1" o1h ''"''" ~d i final de este libro, y al principio de o tros muchos , ' '"'' nfron tar como es debido. Así pues, limitémonos de momento a rescrvtll 1 ••• ucrdo de estas cuestiones y a no olvidar algo que ya a ntes hemuo ,¡¡, ¡,., · lu lógica se presenta en forma de cálculo. La lógica es, pü t , .,, ,.¡~tncn le, un saber formalizado acerca de los principios formales del II IIHHunicn to.

se encuentra, en cada caso, incorporada, ha de vencer la resistencia

del pensamiento - y, por ende, del lenguaje- natural, en el que forma Y contenido se dan entremezclados, en el que la primera se encuentra casi siempre oculta o difuminada por el segundo. La lógica, pues, ha de hacer-

una sonrisa de tristeza! dado q_ue hoy S~ Sabe,

, ¡, 11·•·

l lt•nlOS intentado, ya ahora, definir la lógica. Parece evidente, s on " Nntu•·ahnente. y como ya hemos insinuado, la creación Literaria es pc>sible - rcth·. "'"1!11\ ¡1mlhle- justamente porque son posibles expresiones de es1e tipo. Y la cxistc:nc.i(l .,. U•lllnl!t!l lógicos en los que es1as construcciones están prost:ritas. h"' de ser cclcbmd4t n 1• llll."thdR en que es por r~--pecto a ellas oomo adquiere auténtico senlido - i•·ónlet• "'11hft~ l•t obm de los :~rtistas del lenguaje. Pero la lógka no es ni una ciencia ni un

••1• •lrllcmguuje. sino una cic:ncin y un tute ~¡t•c tiene. según tendremos ocasión de vol', '"'l"'fl•tnl(' lnte•
lt'l I!I!UIIt lll t:

48 lr>trO
embargo, que una ciencia sólo puede definirse, en todo caso, después de haberla expuesto. Pasemos, pues, a exponer la lógica formal.

Bibliografía

Advenencia prtuitt No es sólo que la Bibliografía que sigue no sea completa. Ni es, tampoco, que, ademhs, la Bibliografía que sigue no tenga pretensión alguna de completud. Es que el sólo hecho de advenirlo resulta casi grotesco. Sabemos que la lógica es una de las ciencias que mayor desarrollo ha experimentado en el último siglo. Ello hace que la tarea de elaborar un censo de la literatura lógica producida de cien años para acá resulte punto menos que imposible incluso para todo un equipo de trabajo. Y no hablemos siquiera de la posibilidad de remontarnos bibliográficamente hasta el comienzo de la historia de la lógica. Hemos optado, pues, por ofrecer una mínima selección de escritos sobre lógica que permita al lector oontinuar siéndolo en torno al tema. Esa selección ha operado en dos planos: por una parte, en el de la determinación de los rótulos a ilustrar bibliográficamente; por otra parte, en el de la elección de los títulos a incluir bajo cada epígrafe. En cuanto a lo primero, lo mejor hubier• sido, evidentemente, dedicar tambii:n sendos apartados a la historia de los escritos sobre lógica formal desde Aristóteles hasta nuestros d ias, y a las aplicaciones de la lógica en los diversos campos de la actividad raciocinante. Ello, sin embargo, no sólo su pon la - por las razones ya aducidas- un esfueno fuera de nuestro a lcance, sino qup, au n habiendo estado dentro de nuestras posibilidades, hubiera constituido un apéndice desmesurado a una obra como esta. Por lo que se reriere a In selección de los títulos, bemos seguido dos criterios: el de la importancia de los textos yjo el de su accesibilidad. Los textos aparecen por orden alfabétioo de los nombres de sus autores. Ello introduce a veces cierta heterogeneidad en la teoría. En la práctica, sin embargo. favorece la locali2ación de los mismos. De cualquier modo, téngase presente que muchos de los libros aqui reoogidos contienen amplios respertorios bibliografieos, circunstancia que, por una suerte de transitividad, hace esta Bibliografia nuestra mucho menos insuficiente.

Primeros concevtos

C UNA!\ R .: Ei11fiilm.mg in dit symbotische Logik. mit bcsonderer BenlckíithllgumJ

lhrt'r lhrwcmhmgett, Viena Springer Verlag. 1934. Versión inglesa de W. H. Meyer y J Wilk:mson: lmroducrk>n to Symbo/it; ú>git and ils Applications. Nueva Yort... t h>Vor l'ubhcations. 19S8. 1 Hfll N, M. y NAOEL, E..: A11 lmrodr~ction to Logic and Scientific Method. Nuev;~

Yurk, Han:ourt, Broce and Comp.,ny, t9.l4. Versión c..stcllana de N. Mígue7: J"trml11cdón n lt1 Lógica y ul Método cimtiflCO. 2 vols. Buenos Aires, Amorrortu rduurcs. 1968. t ""· t M · lnmxJucrlon ro ú>glc. Nueva York. Thc Macmillan Company, 19H Vrr-.1611 c;ajlellana de N. Míguez: lnrroducci6n a la 16gica, Buenos Aires, Elldeba, l~h2. 11 .' reimpresión, 1971. loiiAHR MORA, J. y L! BLANC. H.: Lógica matemática. Mé:glque modrme. Fascieulo L Paris·La Haya. Gaulhier-VillarsfMouhHI, l'll~r . l·o&Ciallo 11, ibfd.,, 1971. 1111 111 kl, 1). y ACKERMANN, W . : Cnmdziig< der rheornny, 1969.

y M ONTAOUe, R.; Logic Techniques o.f Formal Rea.toning. Nuev:l Y(u j¡, , Broce and World, 1964. lo MMUN, 1!. J.: Begfnning I..()(JIC. London, Thomas Nclson, 196S. 1""NI !IN, 1>.: Formol• Lo"ik. Bcrlln, Walter de Oruyoer, 1967. M 111 \, 0.: EliMoelltllry J.ogic. Oxford, Oxford Universioy Press, 1965. Ve"ióu "'" hdhwu de C. Oarcia Trevijano: Lógica mgfca. B.ucelona, Ediciones Ariel, 1962; reirnpresióo er~ 1967 •~" 111 NIIA('II, H .: Ele,..nu of Symbofic ú>glc. Nueva York·Londrcs. Tht Free l'u ~•,' Mac:Millan. 1947. 41 -'1\11\N, M.t lntrod11cción n la IOgiC'a y al aJJálisis formal. Barcelona. Edicione.' lrll·t, t964. t970. 1-. 41 1NII, 1),

lliu<'ou~

... t 11 1 W

"1 h•• JommdtllioM of Afatlremat'ic'.s. A study in the philosophy o( scic:rux

~m•lml.•m

ANDEI.SOH.J. M. yJOHHSTONf., H. W .: Natural D~duct itm(Thc 1 ''11''-·'1 U.•~'' or A.úom Systems). Delmon1 (California). Wads" onh Publishm~t < Hllll\1"' l'lh2

47

t flt 11 l'•r

11.

Noroh-Holland, t9S9 2'
lll~h

Primeros conceptos

48 lnlroducción s ls lógica formal

CURRY, H. O.: A Theory of Formal Deducibility. SouLh Bend, lod.• Notre Dame Math. Lee1, n.' 6, 2.' cd .. 1957. CURRY, 11 . 0 .: Fountkrtl
l'lljrl.!i. 111 ~31. V. ca.slcllana de J. Saumartto: Para utta historia de la lógico dt

49

('IIUII ·

•lmllt\'. Videncia, Ct~ adcrnos Teorema, 1975. 1 llkA,II WIC'Z. J.: AristOIIe's Syllogisllcfrom rhe Srandpoiru

of Modern Formall..ogir. 0\lnrd, at The Cla rendon Preso, 1951; 2.' cd. ampliada, 1957. Hay aounci•d·• \rr-.i6n cas-tellana de c5ta obra en la Editorial Tec-nos.. M • 1 1 \, O S1oic l..ogic. Berkcley-Los Angeles, 1953. • 11111 1 , 11 .: AbriM' der Gtshlchtt der Logik. Berlín, 1931; 2' ed. Fnburgo-Munoch 1\.ul Alber Verla¡¡, 1959. 1 • VIIKIN, N. 1.: Híslory of Ma1hemaricol Logic from L.cilmiz ro Peana. M o-< u N•uk•. 1964. V. inglesa en Cambridge, Mass.. The M. l . T. press, 191"

f

Hr¡..-rtorios bibll0flr4/ktn. Dicc:ionnrios

u, A.: 4
1 '" ••

3. H/srorl/1 de la 16glca• Sobre lodn ella : BOc ooSÑSKI, I.·M.: Forma/e U!glk. Freiburg-Mliochen, Karl Alber Verlag. 1956. V. c:tst. de M . Brt~vo: Historio de lo lógico formal. Madrid, EWtorial Gredos, 1966. KNllALB. W. y M.•: The Deoolopmenl ofU!glc. Oxlord, at Tbe O arendon Press, 1961: rccdicioncs con correcciones en 1964, 1966 y 1968. V. casL (con las correcek>nes incorporadas) de J. Muguerza : El desarrollo de lo lógico. Madrid, Editorial Tccnos, 1972. Sobre algunos de sus periodos: BocueÑSK I, I.·M.: Anclenr Formol Logic. Amsterdam, North-Hollaod Publishiog Company, 1956. llOEHNI!R. Ph.: Mtdieool Logic. An O.rline of liS De¡;e/opmen from 1250-c. 1400. Manchcsler. 1952. L UKASIEWICZ, J.: «Z hislorii logilú zdáw. Prug/ad Filozoficzny. 37 (1934). pigs. 417-37. V. alemana : «Zur Gcschichle der Aussageologilc». ErkeMrnis, 5 (1935). &pedal mend6n mc:n:cc m este punto. por sus eslud)o$ 10brc. b ht'\IOria de la lópc:a en la Penhuula 1btnca. el Padte Vicente Muñoz. Oc: cnlrC' ,_m n''''"""'"C\4 lrabaJOS cicaremos. por e-jemplo, la L6gko llú,u~MJ>oPcw-tupna lwmu lltlWJ \.al.a11w•' 141?2 •

;f

• \cl'lakmM la gan utilid.ad que ha de te:au para k>s interesados por la lóP<* 1• '"'-'•• dt' lot •n1culos sobre d tema contenidos m d Dicdo~ ~~~ Filosoj'ID de J. F'cualtr M •• '\ • td, Oucnos Au·a. Ed. Sud-amcncana., 196S. El aulor prepara edtc:tón muy •••t 11••1• p.Ata Rt\'ttll ck Occldcntc

Capítulo 11 LALOGICADE

ENUNCIADOS

Nociones básicas 1 ,;w;l'tmlo,'\ y conectivas

111 npurtt•do más elemental -en un doble sentido: el m~s s impk y, •1 ¡uut)ln 1iempo, el apartado b~sico- de la lógica formal es la lt'.¡~lo" oh ~IIIIIICÍIIdOS 0 de propoSÍCÍOilCS. Ahurn bien : la lógica, según hemos señalado basta la saciedad '' " o 1¡olluln nniCrior, nos llega hoy en forma de cálculo. Mejor ,11, ltoo 1·• loo~kn se nos presenW en forma de sistema de cálculos, en l ya no estamos, en rigor, hablando de un pmo o
,,¡

1 ·• •tu'~ Vttmos tt exponer de inmediato esJpues,. el análisis lógico, dis-puc;,_.. tu ••filiO un cú lculo. de las relaciones de inferencia entre proposicione' \ •h olr~w expondremos los resultados formalizados del exa men de la

' 1 u f(,l1Kbd. 7 c:cm..o mualra de 1o que en el capítulo anterior dcdamos aoc"-'' 1M '" lntlrpttHkn·uo~ leónc:a de u.D ci'culo por respecto a sus diferentes inlerp~tao~-,n~. f ,..,. rtf'\(ñllntdC), "" Nllll ,.,.,ir ,¡~ II(.J(.QS qw llt'l'OTÓII. además MI lllimt'I'O flllf' ,.,, ,..,,ol •• "'"'llot•lrt un 11\frrÍj("fl, otrn int~:rpretact<\n posible de ~te cálculo que, en el IC\hl fatln~ ., ... 1 'lrl lihtn. d.~ IMM.l .a la 14\Jtc.:a tk tnun• • ulo"'

81

52 lntroduoción a la lógica formal

validez formal de las inferencias mediante las cuales deducimos un enunciado 10nuuulo en bloque a partir de otro enunciado tomado en bloque también. En las páginas que siguen trataremos de desarrollar con claridad el sentido de cuanto acabamos de decir. Y lo desarrollaremos, para empezar, en un lenguaje intuitivo. La t~rea de la lógica es, como tantas veces hemos señalado ya, el análts1s formal de los ra zonamientos. Y el lugar de ese análisis es el lenguaje. Sólo en el lenguaje, sólo en la medida en que están formulados en un lenguaje se ofrecen los razonamientos a la posibilidad del análisis. El analisis del razonamiento supone, por tanto, un análisis del lenguaje. Un análisis lógico del lenguaje. En efecto : ante una expresión como djeroo las seis y llam ó Cabra

3

nnr• d•vide el lenguaje - y ya es ; unrhhc;;•r

en dos tipos de elemento;:

De una parte, orncio11es. frases enteras. l)e otra parte, C01!}u11cwnes -en un sentido lógico del término--, partículas que sin1ln para enlazar oraciones y formar oraciones compuestas a base de oraciones simples. 1 '"" son las dos únicas catcgorlas de signos que la lógica de enun 1••'"• cnnsidera: los enunciados tomados en bloque, por un lado, y. por "" hulo. las conexiones entre ellos. 1muemos, en efecto, un ejemplo: Cuando se hubi~I"Qn aeabado 1011 mil años. sed Sa101nás soltado de t u pri!\tt\n

lición: fuimos y olmos todos., ~

el análisis literario reparará en las características del estilo de Francisco de Quevedo; el análisis lingillst ico hablará -si se trata, por ejemplo, e~ concreto, de un análisis sint!lctioo- de sintagmas nominales, de smtagmas ''"bales, etc. El análisis, en cambio, desde el nivel en que ahora 110s enconrramo!, se limitará a señalar la existencia de cuatro enunciados : a) 'Dieron las seis'. b) 'Llamó Cabra a lición'. e) 'Fuimos'. d) ' Oimosla todos'. Y en el siguiente cuarteto de Garcilaso la lógica no hallaría tampoco por ahora sino cuatro propos iciones, a una por verso:

ltihJra a extraviAr a las naciones que moran en los cuatro io¡ulos de la ,. <;,l8 y ::t Ma gog. y reuni r&ot PIra la g.uerra u .

lM"thl

, >\ qu~ queda reducido este texto cuando lo analizamos lógicament~ 1< rl n1vel de la lógica de enunciados? Queda reducido todo él a unn lo plo>posición compuesta: compuesta de dos proposiciones, la segun¡llo 1..
El ancho campo me P<•rece estrecho. ta noche dortt puro. mi es oscura.

La dtlloe c:ompoftltL, omargn y dura. Y duro campo d e b;uatla d lecho.

' Hemos subrayado más arriba la locución 'desde el nivel en que ahora nos encontramos' porque hay, como veremos, niveles de análisis lógico - y, por ende, de anMisis lógico del lenguaje- más finos, detallados y precisos que éste en que ahora nos disponemos a introducirnos. Cada nuevo cálculo lógico -o, por mejor decir, cada nueva ampliación del cálculo lógico- es solidario de un nuevo tipo de análisis del lenguaje. Y dado que cada nueva ampliación del cálculo conlleva un mayor afinamiento, una mayor sutileza en el análisis forma del razonamiento. es claro que ello supondri1 tambien una profundización C'dda vez mayor en el análisis del lenguaje, una continua prosecución de ese análisis en busca de nuevos elementos que sean relevantes para la validez de las inferencias. Por el momento nos encontramos - lo hemos dicho al comienzo-en el apartado más elementa l de la lógica. El anf1 lisis del lengur•jc que a él corresponda ha de ser, pues. también. el ml11 ••lr •llcntn l, el mús «grueso». El aná lisis del lenguujc en que s<· "·"" In ln~l." "'' lltup
>\•1 rues, el textu entero constituye una única propos•c•on COIII l'""t'' Pero den tro de ella distinguirlamos, por una parte, Ullll pll 36 tiWitt 1uoposición, sjmp1e o atómica 1 que seria 'se hubieren ucHh1uln 1 • mil uNos'. Y una segunda proposición compuesta de tres p •o ¡H•NI t u1ro enlazadas por la conjunción 'y', a saber: 'será Satanás soltudo• 111 N 1''1'-14\n'. 'saldrá a extraviar a las naciones que moran en los t;uutw n1ulm de la tierra' y '[saldrá a] reunirlos para la guerra'. Y esto es 101!111 \•n•us. entonces, qué es lo que se quiere decir al afirmar, CCIII" ' 11 •tm• hemos hecho varias veces, que este primer apartado de la ló~t"·' "'ur..• de las relaciones de inferencia entre enunciados tomado~ c:n w...,..r Quiere decir que el análisis lógico se detiene por abora al borde lo luo rnunciados, sin penetrar en la estructura interna de é:stos, sicnd11 1 '""''"'·'do, por tanto, la unidad de análisis. Quiere decir que la lóg1cn 11 '"'"l~iados es una lógica de los enunciados sin analizar. Quiere decu 1111• In lo¡¡ica de enunciados sólo tendrá en cuenta aquellas formas d~ el ol111 h un enunciado a partir de otro que sean válidas sin neccsid11ll H

ltltJt'IIU¡i~ÍS, 2(). 7 y 8. 1 n el .knlido d e que no pu(ldt ser IUUIIi;o:ada en partes q ue sean 11 su vc:t

., ,,.,,, _ ••

phl

La lógica de envnclados 56

54 lntroOOcción a la lógica formal

de analizar por dentro cada uno de ellos. Los elementos q ue romponeo internamente un enunciado -términos que designan individuos, términos que designan propiedades, etc.- son, por el momento, irrelevantes desde el punto de vista lógico. Sólo interesan los enunciados como tales, cada uno de ellos en cuanto fo rmando uo todo. Los dos razonamientos siguientes: Si la sociedad de los hombres ha de ser sJempre como ahora, entonces la co rrupción es eternll..

Es asi que la corrupción no es eterna.

Luego No h-a de ser sjemp.re como ahora la s.octedad de los hombres;

y

ru ... cucontra r el medio de indicar la presencia de un rontenido, sin

1'"' •lh• comprometerse ron ningú n rontenido concreto. Necesita un tipo

tlf •IMHara da r idea de cualquier contenido se les llama 'variables'. ~ i•llnMI•• que el contenido son los enunciados o proposiciones, esas t•tluhlc$ serán 'variables de enunciado', 'variables proposicionales', signos ~~~· pueden ser sustituidos por cualquier cosa, siempre que esa cosa

Si florecen las boneusU.s. entoooes se marchitan los túlipa.nes. Es usí que no se mar-

, .,,,l,lllltwr sea uu enunciado.

chitan los tulipanes.

In •'ostunen: la lógica es lógica formal, ronsideración abstracta de 1" '"""" de los razonamientos prescindiendo de su contenido. De su contcnhl•• , oncreto, pero no de la idea de ron tenido. Aparte, pues, de los ''•""' mediante los cuales se muestra la forma, el lenguaje de la Jógic:• 1" •1111 de una serie de signos que a ludan a la presencia de un cierto 1111h11udo. Ahora bien: en la lógica de enunciados, como primer ni vel •l•l 1111~lisis lógiro, de Jo que se trata es de analizar la valide-¿ do ohjlh lln~ razonamientos en los que se parte de premisas que son enunciado• oln '""'liwr para llegar, romo rooclusión, a enunciados que tampi>Cn 1n1111izun. Desde el punto de vista de la lógica de enunciados, In '"'"'" ' '" los razona:nientos no es sino el modo -los distintos "'' ' 1111• co mo esos enunciados se relacionan entl"e sí. Y el contenido sun lu• IH\IIlCiados mismos. llnhlcmos, para empezar, del contenido"·

Luego No Ooreoen las hortensias,

pueden darnos ocasión para hacer dos observaciones- estrechamente relacionadas, por Jo demás. En primer lugar, habría que insistir en la distinción entre forma y rontenido de un ra.zonamiento. En cada uno de los dos cita dos el rontenido es diferente. Es obvio que en uno y o tro se habla de cosas dispares: de la condición humana, en el primero; en el segundo, de floricultura. Lo cual es tanto romo decir, en segundo lugar, que la forma permanece cous tante, mienlras que el contenido varía. Lo cual. a su vez, es tanto romo volver a decir que hay dos tipos de signos: los signos tc>t!Stall!es, que representan esa fo rma que no varía, y los signos variables, que constituyen el contenido, distinto en cada caso. Ahora bien: puesto que la lógica se fija tan sólo en la forma, parece que Jos dos razonamientos que aca bamos de presentar se reducirían, desde el punto de vista lógico, a lo siguiente :

1 o// 1
1 1contenido eo general lo representamos mediante variables, medi" "' " emmcilulos cualesquiera. Es 'decir, que sustituyen

,,,.. ,,~ que sustituyen a

Si ... ,entonces ... Es así que no Luego

11 N•t l~:tce fnlta insistir -siendo. como es, evidente- en la importancia d ec::is1va 111 1' 1111 el desarrollo de la lógica formaJ ha tenKJo la introduociOn del uso de vurinhlt'!\, 1 1• ll'ljt.h••l , en efecto, se con$tituye como lógica formal, y si la forma - la idea de t '' '''' r11 una .;o(idtld abstracta. abstralda d e Jos contenidos concretos a q ue eo cad1t

No ... Pero con esto no basta. Porque la lógica, si bien prescinde de los contenidos roncretos, distintos en cada ocasión, vari<•bles de un razonamiento a otro, no puede prescindir de la idea de contenido en general, de la idea de que la forma lógica --<¡ue la lógien.
.,ntio.

11!••• •il'li • C'<:clig!td~• . pél'o a l propio tiempo, asociada con ~efinida siempre por rela ci6n u 1~ l•h··~ 1lr "'')nhmid<>. ~nt onccs no es PQSiblc poner en d\1da la nec:esjdad de utilizar v;)rirablt:' ; t"•t •tu ~ l~t ~ VIHmbles son signos que, por una parte. permiten que ltl forma se •nuesttc en • lll•lfl••. y, ul mismo tiempo, 1lOS recuerdan que, aun pudiendo ''' rorrm\ OOitSide~i\l'sc

lu•l•t+•mtlalll\lrnc:ntc del contenido - como ocurre en lus considei'(ICÍOIIcs lógioo--form:.les , .ho /!1•1 fl,., 11111 llnlhMgil, 110 SC dn 11\llll,";l SÍn éste. ta iden dC r t"lfl ll(l llnnu• U 111 idCII dO '"" +~l + l u y do t!$tc dnn ¡d c~t tu-. vnrk•blcl!..

5e lntrtXIUCC/Ofl a la lógica formal

a un enunciado cualquiera, pero, en conalqu ier caso, a un enunciado'"· Su campo de valores está constitu ido por el conjunto de los enunciados. Convendremos, siguiendo una práctica ya casi universal, en utilizar las letras •p•, •q·, •r, 's', 'l', ere., como variables de enunciado. La variable p, pongamos por caso, estará, entonces, en el lugar de un enunciado cualqu iera. Ahora bien: los enunciados de los que nos estamos ocupando por ahora son. como ya hemos señalado, los enunciados descriptivos. Y los enunciados descriptivos -a diferencia, por ejemplo, de los enunciados interrogativos, o de los prescriptivospresentao una peculiaridad, ya indicada también: son siempre, o bien verdaderos o bien falsos; tienen necesariamente un valor de verdad 39 • Por tanto, la variable p -de la que sólo sabemos que puede ser sustituida por cualquier enunciado descriptivo- podría tener el valor verdad o el valor falsedad, y siempre necesariamente uno de esos dos valores. Lo indicaremos asl:

-

La lógica de envnclados 57

1 s t.lccir, que al constdcrar conJuntumcnte dos enunciados cualesquiera, , uln uno de los cuulcs puede ser por su parte verdadero o falso. ""' encontramos con cuatro posibilidades, a saber: q ue el primero sea ""lndcro y el segundo también; que el primero sea verdadero y el vaundo falso ; que el primero sea falso, y verdadero el segundo ; y. p11 ultimo. que sean falsos ambos. Sa se trata de tres proposiciones. entonces las posibilidades serún 11\hll ,

p q

r

1 1 1 1 1 o 1 o 1 1 o o o 1 1 o 1 o o o 1

o o o

o bien asi:

donde, como es obvio, •¡· significa 'verdadero' y '0', 'falso'. Si en lugar de una sola variable tomamos dos a la vez y combinamos sus respectivos valores de verdad posibles, obtendremos una tabla de este tipo:

p q 1 1

l

o

o 1 o o Y no. pOr ejemplo. a un adjetivo, o a un adverbio, o a un sustantivo. Ad)Ctivos. adverbtOS, suttanlivoa. 10n, como nos ha tnseñado la gramática tndióonal. «parta de la oradbrot, 1 no oraooMI e-nteras. n

.a• En o1ro tupr de esta obra tnc:ootran\ el leaor una p~tación esquc:mábca de aquellos otros sistemas 16ai<:OS consuuidos sobre el pñncipio de que los nlores de

verdad de un tnunciado no se reducen a la verdad a secas y a la falsedad s.in tNs. valora intermedios: indeterminación, m-.yor o menor proN-bíhd.ad. cte. Por el momenco. sin cmbar&O. nos ;ucndremo' •1 n .• madfl 'Pnncipio de: BiYiknaa': Todo enunciado es o bien verdackro o bien rat\0

amo que el neuario admitjr

1< decir: que puede que los tres sea n verdaderos; que puede que ua verdaderos los dos primeros y el tercero falso; etc. 111 H,Cncral, dado un nl1mcro 11 de eounciadost eJ número de c.xlu • loh"" Iones posibles de sus valore.~ de verdad será 2": s i 11 vale 4. es 1 t 11 , Ni los cnunciadoe a considerar son en número de cuatro, enton~;c~ 11 lnhlia presentará d ieciséis e<1sos posibles; s i 11 = 5, treinta y dos, ct•·

lluaaaanl lnado de la lógica de enunciados. l•,~•o cst{i el segundo tipO de signos. Son aquellos cuya misi•\ 11 ~·" 1H 11 ,le enlace, esrableoer conex iones entre los enunciados represcnladu~ 11 ""'junto por las variables•0 • . \ vulll
•'* uttl

• · l m~a 1nemos una tc¡:unda interpn:taclón de este mismo c:Ucul-o. Supongamos que: 1 IIJJo\ dC" &JgnOS.. en lugar de dc::~ugnar enunciados y relaciones encrc c:nunc:1.1dM. , ...... '''"''ll y relaciones entre dases. 0.1da \ina propiedad cualquiera -la pcopiedad, 1 ,,. 11!••. de~ .cos.,'lodro, o de ~er demócrata eriuiano-, pod.emos construir la c:I.~.Se nJ "'"· 1,1 "")leCC16n-- de 1odas aquellas mtidades que reúouo .:$3 propiedad: hK ,lfo~ l•"' dem6cr.ata·etistianos. A la cspers de una defmici6n mas precisa del oona-ph• ,h·•JIIn.tremos con los símbolos 'A', ·tr, ·c. etc.. daso::s cuaksquiera~ o. conH• n durr~•• (t.~""-'idcrnndo a este ni,·'f-1 como sinónimos ambc>s ténninos.) fitn,umt.n 1 ¡uH"t • 1k' n~Jcloi, t:tln (W)m•• ti u•nrmtu de los batracios. d ClOI\Junlo de l•\ nr 11t1to:ortnt:1 tko\,tl c,:dnJ\Inl••dr ln,Jtl•hdf ~ttl(na.d oonJUntP dot le•.. dH'K<"C'In•~n . t'l\

La lógica de eni.J/ICIB
58 Introducción a la lógica fonnal

La uegación Sea un enunciado cualquiera p 41 . Con este enunciado podemos hacer, para empezar, algo muy s imple: uegarlo. La negación de p sera, como es obvio, no-p; en símbolos,

' P Ahora bien : ·-, p' es también un enunciado. Tendrá, pues, un valor de verdad. Pero su valor de verdad no será, evidentemente, el mismo que el de p. Será más bien exactamente el contrario. Si 'p' es verdadero, .._, p', que es su negación, será falso. Y si 'p' es falso, su negación será verdadera.,•. O. en forma de tabla:

A esta opcraci6n la llamaremos 'C1J11juución de p y q'. La conjunción 1111 do> enunciados es, ella a su vez, un enunciado: la unión de dos tllunciados simples o <>, hecho de partes que son enunciados- . Así pun, lu conjunción de p y q tendrá también su propio valor de verdad. \' •u va l?r de verdad, el valor de verdad del enunciado compuesto, ll•1•ondcra -es razonable suponerlo- de los valores de verdad de los tnuuciHdOs simples que lo componen. l'ucsto que se trata de dos enunciados, las posibilidades de comIHnudón de sus valores de verdad serán, ya lo hemos dicho, cuatro: p q l l

J

o

o 1 o o

LA conjunción Sean al10ra dos enunciados cualesquiera, p y q. Una forma muy elemental de ponerlos en relación sería unirlos mediante la conjunción y:

; t 'uilles serán, entonces, los valores de verdad de la conjunción de "'" t·nunciados cualesquiera? l'tttcce claro -y conforme con el uso de la conjunción 'y' en el "''•'""" o rdinario- que una conjunción sólo será verdadera cuando l• "un los dos enunciados por ella unidos, y falsa en todos Jos dcm!" •·•• El extraño enunciado 'se vencían las marioplumas y todo se 1 " lvlrnba en un profundo pínice' 43 sera verdadero sólo si es verdad tttu lns marioplumas (;e vencían y wmbién que en un profundo pinit:c '' "ulviraba todo 4 4*.

1• t-lccir,

p y q

p q

O, en símbolos:

1 1 1 o

p 1\ t¡

o 1 o o

Sea una clase cua_lquiera A. Pensemos en una clase cualquiera: la cla$e, por ejemplo. de los canallas. De formarñn parte 1odas aquellas entidades que oste-n1en esa propicd~d. que mereuan ese califi"h • 2•

en..

cacjvo. Y por respecto a esa clase podemos imaginarnos esca otra : la clase rorrnada por todas aquellas enüdades que no son un().') canallas, la clase de los no-cananas. A esto• ú ltima clase se le lla mará clase complemento de la p rimera. Así. ls. cla.<>e complemento de h1 clase de las cosas agradables será la claiie de las cosas desagr.l.dables, la cJase oomplemcnto de la clase de los suicidas será la clase formada por todos aqueJlos que no se han suicldado, ele. Y si la clase de los s-uicidas Ja representamos así: A

su chLse oomplemento seriá. en slmbolels,

p

1\

q

1

o o

o

11

lull" Corlá.Zár. Rayctela, cap. 68. Sl'lu) a hora. e n la otrn intcrprccacióo del cálculo, dos clases c:ualesquiel'a, A y 11. lt•utoOulglunns q ue la clase A es: la dase de los gasterópodos. Y que la clase 8 ~s 1~• d~• ....: ·~

1+~" urdüll l'••tlfi iM ~. ~·

u

base de la clase A )' de In clase 8. oonstruir la clase de las oo.sa.s que 1• l• vet A y B: la dase rorm:.da ¡)(Ir lc>das aquellas en1idades que son :t l:t vct

...... '''l'\•ch"J$ y necios. Oicho sin rodc:o~.vi: lu da!it de lt)li g;tstcrópodos necio!>. E."ta cl~tsc es el ,¡.. ,¡,, dr ht'l otnts dos. Se lo ll!1n11t fllntt¡•nu·•ur 'l'lfl;¡'i' ¡>rorlucw'. Es el producto tlo lit '¡.,,. ill'l d tt~<.~' . Al igual e¡ue la oonjunci6n de • •• l~tt! t¡uc lhull••mos. l:unbtén i• 'IIC'\<' '

•¡,,,., ,,.,

eo

La lógica de enunciadoS 61

lnrtO " 1a lógica tonnal

Los miembros de una conjunción - ambos, o uno cualquierapueden, evidentemente, estar negados:

Y ,i el valor de la expresión 'p " q' es p

q

1 1

o

1

o

¿Cuál sería, entonces, el valor de verdad de. por ejemplo, la tercera de las expresiones que acabamos de escribir? Si la combinación de los valores de p y q es, como hemos visto,

pl\q

1

o

o

1

o o

o

tldt la expresión 'p " .., q' será, entonces,

p -, q P"-,q p

q

1

1

1 1

o

o 1 o o

o

1

1

o

o 1 o

l

o o

o

\ el de una expresión como ._, p " .., q' no será otro que la de los valores de p y -, q será -,p -, q

-,p 1\.., q

o o

o o o

p.., q

1

o

1

1

o

o

1

o o

o

1

l

1

l'vldcntcmente, mediante la conj unción 'y' podemos unir mas de puesto que los vulo res de .., q son justamente los contrarios que los de q. dos enunciados es un enuoc:i~tdo. la intersocción de dos clases es una dase nueva cuyos micmbrot Jerln tocb.8 1quellas entidades que pcrtcmczcan a la vez a una y a o1ra c:lasc. U inrercec::dón de la clatc de los c:naoos y de la dase de lO$ ~ los seres butnal'H)Sariaoontecidos seri la c:lase de tos manos c:arilconlecidos. Así pues. dd mismo modo que una conjunción de enuncildos sólo a verdadera cuando Jo son toJos sus miembros. de: una d.aac. producto de dos daae só~ formarán parte aqudl45 tntidade$ que: ¡;un miembros de ambaJ a la \ 'C'L El pro
el•-

AnB,

y,

.upoa~ que

cada drwto reprewohi una

~

podriamos repramtarlo del modo

Jl."ucnte

, e'ufil será el valor de verdad de esta expresión? Lo que uiiH'• tltJIIIIIIA sigue valiendo. La conjunción 'p " q A r' sólo será verdacl<'' •' '"'"In lo sean sus tres miembros p

q

r

1 1 1 1 o 1 o 1 1 o o 1 o

o o

donde la date produc:to corrapondcria a la suptrflrit rarad.t

''"N

"'"'~hodos. Tres, por ejemplo:

(1

o

p " q

1

o o o o

o

(1

o

n n'

u

1\

r

82

La lógica de enunciados 83

lntmducción s la lógica formal

r nu
poq

11M'

lkM dignidad o no se tiene,

11 ¡•orllcu la 'o' posee un sentido excluyente 46. 1 n ren lidud. pues, una expresión como

poq Ahora bien : esta expresión es ambigua. Puede interpretarse en dos senlidos: en sentido excluyente o en sentido no excluyeme. Y es que en el lenguaje ordinario podemos construir expresiones de esle tipo:

l'l'r.lr ,;gnificar tanto p o q y no ambos a la vez

o se es paaa no o te es cns1 iaoo

p o q o ambos a la vez

Pero también de este otro Han tido (UJ•Iadoe todos aquellos que presentaba.o alg1.ma uua somittica o dct~ndiaD ideas d~SoJvcntcs.

l'uc• bien : aunque parece que en el lenguaje ordinario la disyuncoil n jll•l r~cclencia, la más neta, es la disyunción excluyente - y a dln

o11nponde, por supuesto, una operación lógica de la que hablarcnhl\ En el primer caso. la disyunción es excluyente: el ser pagano escluye el ser cristiano. Si se da una de las alternativas, entonces no se da la otra. O se es pagano o se es cristiano~ y tu> ambas cosas a la vez. En el segundo caso, en cambio, nos encontramos a nte una disyunción que no es excluyente: por desgracia, nada impide - nada ha impedidoque hayan sido fusilados personas que reu nían a mbas características, si bien en muchos casos ha baslado con poseer una de ellas para ser fusilado. Asl pues, en castellano, la conjunción 'o', por sí sola, es de doble sentido" . La ambigiiedad puede eliminarse, tal como nosolros hemos hecho a rriba ,. a ñudiendo a la pura disyunción la cláusula •... y no umbas oosas u la vez'. Disponemos de varias cláusulas más de este tipo: Una dcr dle.

O prtc1icula casltdad. o, th lo comrorjo. pc:rdcrit.s tu alma.

Hay ocasiones en que es el propio contexto sin más el que nos permite salir de dudas respecto de la naturaleza de la disyunción. Así. es obvio que en con textos como me lo lratrlo

\'i\"0

o muerto

,., No as.l. por t~mpto, en laUn. doode para la disJl.tncibn ~tn ~~~ ~nltdo ~d.u)l:tllr K emplea 1• pardcul11 'QaH' ("wlf-md _').y la partícula ·rvr ,,_.,.,. lt d")nnnnn rn \"U ~nndn

no e~duyentc.

ftiAo ndelante-, desde el punto de vista lógico es mucho mayor lu

IIIJ•Hinncia de la disyunción no excluyente. Por tanto, y siempre que " " llkllo¡ucmos explicita men te lo contrario, entenderemos las expresiones dd llfkl

poq ••n1u significndo o p o q o a mbos a la vez 1 11

pooNcntaremos esa disyunción no excluyente así: pvq

Noo puede sorprender, a la vista de lo dicbo, que los v:o l01 .... do de una disyunción -de una disyunción no excluyente, y e~ VIl l11 ultllmo vez que bucemos esta cualificación- sean éstos: ~,.,J,,cJ

p q

1 1 1 o Q 1

o o

p

V

q

1 1 1

o

•• t Mlll>lho por CJCmpto. t.e.ne sentido e~:duyente la partícula ·o· en el con1n1n Jlli ....,,m~ "\n puede enlenden~e en un 8enti
04 lntrocJucc/ón

a 18 lógica lonna/

La lógica de enunci:>dos 85

Es decir, que una disyunción, en el sentido indic-ado, es verdadera con sólo que lo sea uno de sus miembros. Y, naturalmente, es verdadera también s.i lo son los dos. Imaginemos una pregunta como ésta:

flllrf p1<>posiciones simples negadas

-, p r v

V

q

~s.

•¿A q~ hora sale d tren hacia la toltnncia no represiva?»

t••• ••tllllcs de verdad serian

Y esta respuesta:

opqopvq

r1s

r vls

o 1 o o

1 1

--41Hay un tren a las trece cuarenta r cinco o a las diecisiete cincuenta. y dout

Esta respuesta, que es una disyunción, será verdadera en tres case»: 1) Si hay un tren a las trece cuarenta y cinco, aunque no lo haya a las diecisiete cincuenta y dos (caso J-0 de la tabla). 2) Si no hay un tren a las trece cuarenta y cinco, pero si lo hay. en cambio, a las diecisiete cincuenta y dos (caso 0-1). 3) Si hay dos trenes, uno a las trece cuarenta y cinco y otro a las diecisiete cincuenta y dos. Y sólo será falsa si como nos tememos- no hay tren para ese sitio a ninguna de esas horas"'. Hasta ahora, sin embargo, nos hemos puesto en el caso más sencillo. Porque, por supuesto, no todas las disyunciones son simples disyunciones entre proposiciones simples como

o 1 o o 1 o

o

(p

1 l

1

o o

o 1 o 1 o o o o u

q)

r,

V

(p

q) v r

V

1

o l o 1 o 1 o

1 1 1 1

1 1 l

o

t HJthl vcrcmot. lot du;yunción -comparable con la suma aritmética., del mi~m~1 •tJJ 1• \:l'ftJUn~•ón lo snia con el product~ liene. al isual que la suma -y tambtbl "' ~~~u. 111 IJU3l que el produce~. la propitdad asociativa. de tal suerte que un.& 11

' "..'

(pvq)v'

Av B y la rt:pfC'Ient.aremos ul

V

p q r

Volvamos u las cla$e' A y B ,dos clases cualesquiera.

unión quienes h1yan et:-hado mano de ambos. U unión de dos clases A y 8 l.:t. simbolizaremos así

o

• >ulnr de verdad (dado que para que una disyunción -leng" ti ..,.,., de rniem bros que tenga- sea verdadera basta con que lo "''' .,,¡,, de ellos) seria ••.

r v s etc.,

Supon¡amm que la clase A es la clase de todas aquella" personas que han conseguido mnnltncrsc en el poder por medio del terror, y que la clase B es la clase de toda.~ aquellas personas que hnn oonseauido mantenerse en el poder me roed t1 la corrupción. Podemos, a baJe de la clase A y la clase B. construir 1a clase de todas aqueiJa.s pcrson:u que han conseguido mantenerse en el poder bien medjante el terror, bjen mediante la corrupción, bien por ambos pro«dimie:ntos. P-¡~.ra ser miembro de la clase resultante: resultante de esa operncíón. • la que llamaremos 'un í6n' o •sumo· de clases- no ha« raJua -como 11 ocurda, en cnmbio. oon La operación del pcoducco- haber ulilizadu como 1n1tnuncnto de poockr tanto e l terror como la corrupción: basta oon haber utilizlld4• uoo de esos dos recursos. Aunque también. desde luego. formaran parte de esa clase

1 1

• •¡ur l¡ls miembros de la disyunción pueden ser a su vez enunci:tth'' tni'U''"Ins. Asi,

pvq

,..,.

1

o

"•

........

pv(q v ' )

t.a lógica de enunciados 67

88 Introducción s la lógica formal

Podríamos construir expresiones en las que aparecieran a la vez la conju nción y la disyunción. ¿Cuál seria el valor de verdad de una expresión como (p

A

q) v r ?

~

tmlrl de una conjunción, cuyo segundo miembro esLá negado y una disyunción con el primer miembro negado. l'oro averiguar el va lor de verdad de la expresión entera, tendremos t111t h•lhlf, atltes de nada, el valor de verdad de cada uno de sus ...nohw\. Estos son los del primero:

•ru primer miembro es

Se trata de una disyunción, uno de cuyos miembros es a su vez una conjunción. Para hallar su valor de verdad hemos de hallar antes el de sus miembros. El de uno, r, ya lo tenemos. El del otro, (p A q). hemos de averiguarlo. No nos resultará dificil, sabiendo, como sabemos. cuál es la regla para obtener los valores de verdad de una conjunción : q

p

1 1 l

r

pAq

l

1 1

1 o o 1 o o 1 1 1 o o 1 o o

1

o o o o

"

q r

1

o o 1 1 o o 1 o o

1 1 1 1 1 o l o 1

o o o o

o o o o o o

,,

p

r

1 l 1 1 o l o 1 1 o o 1 l o 1· o o o 1

o

o o o

q (p

1\

1 1 1 l

o 1 o 1

q) v r

A

o 1 o

1 l 1

o o o o o o

q)

1 1 1 l

--, ,

1 l

V

o o

1 1

\'• tenemos los valores de verdad del primer miembro. Conozcam•" los del segundo:

o

1 'tu hum los de la expresión entera:

l

o 1 o

fl

1\ --,

••• Utilizando a la vez ~~ treS signos C()DS-tantes de que basca ahora dispooem"' pOdemos coostru•r e.xpresioor:s como áta:

1 <~ea mbmo modo que la expraión '(• p v q) ,... ~ r. 110P'W'Itfa dr tf.ta. es un enuncia~~ un c:nunca11do compuesto, un enundado oonjunhv"· un• 'd"I•Uh •hn de: enunaadcn-

r

,,

1 o o o o 1 o o o o o 1 1 1 o 1 o 1 o o 1 l o o o l

r•9•

(-A V B)A-C

q

1 1 1 1 1 1

Utilizando a la vez los tres signos constantes de que hasta ahom disponemos, podemos cootruir expresiones como ~sta:

(o p

o o o o

lllllhl~n

Y ahora, conocidos los valores de los dos miembros, podemos conocer ya el de la disyunción, es decir. el de la expresión entera: p q

op vq

opvq

--, , (o p v

q) A --, r

1 l

o l o 1

1 l l l

o 1 o

o 1 o o o 1 o

1

1

o o

MI nt1 f\pta:IÓn dcsis.n:a un:a d.a.K; t;, d .Mc intersoccióo de. por \lila panc. l:t cla..-.c unthn ••• ,¡,. .. 4;dPiph:mcnto de la daK t 'fl• elue B. y. por o tra parte. la da.se c:ompkmtnht

olfl• ·'·

(

1.8 /6gica de envnciados 68

68 lntroducciOO s lB lóglcB fonna/

E/ COntlíciOIIal

11

•c~undo

c:oso de la tabla tampoco parece presentar problemas.

•• ti cu~o de que el anteoedente sea verdadero y el consecuente ralso. Hasta ahora nos hemos limitado a traducir al lenguaje de la lógica expresiones como murió Adooail y por sv muerte lloro (Shdley)

es decir, enunciados conjuntivos; o bien como

ti ••uochcionn l será falso. En efecto : ¿qué es lo que estamos diciendo

11 d•• lo •,¡ p. entonces q'? Estamos diciendo que si se da el hecho 111nndudu por p, entonces se dam el hecho enunciado por q. Estamo~ ... ttooclo que p es condición suficiente - aunque, como veremos, no nohdón necesaria- de q. Entonces, el hecho de que se dé p y 1111 • oll •1 constituye una refutación del enunciado 'si p, entonces q' ", •••h ,.

r.•lso.

esto es, enunciados disyuntivos. ¿Qut decir. son embargo, de enunciados como

si p, entonces q,

y que se s imbolizarla asi:

A los enunciados que tienen esta rorma les llamaremos 'enunciados

ct>ndido,wtes' o 'condicionales', u secas. ¿En qut, casos ser6 verdadero un enunciado así compuesto? Veamos los casos posibles uno por uno. Tenemos, en primer lugar, el caso en que tanto el enunciado p -al que, por la posición que ocupa, llamaremos 'anteoedente' del condicionalcomo el enun.cindo q -el 'consecuente'- son verdaderos. Es claro que s i tanto su antecedente como su consecuente son verdaderos, un cond icional será verdadero:

1 1

o

1

l~n ttl.ult~•·os, y

1ulud.

viceversa. Y en el caso 0-1 el enunciado 'si

fo~lst.,,,

•u I!Ut

Cl!ltHil 1 ~

•1 ' " r.olso. No es falso, porque al decir 'si p, entonces t(, ¡,, '"'1'" u 1 llll ll llHJS d iciendo es que pes condición suficiente! pero no lu mhh 11 tt•lit Utn m•ces{u;a -es decir, no la única condición- de t¡. ( 'u l•1 o ' ''"too. pcrrectaonente la posibilidad de que q sea verdadera """'~"' • ¡., •r11 ¡>. Y, en consecuencia, puesto que la falsedad de su aniC«
1

o

o 1 o o

o o ti ,,'lnthu porcda inmów•l

1

o

los casos en que esos enunciados no sean

1

-.~

p .... q

1 t)u6 decir ahora del tercer caso, el caso en que el anteoed cnt~ lol\lo y el consecuente verdadero? En un primer momento podrluon"' """'"' tentados a decir que cuando p es falso .Y q es vcr(),ulro" t~J•~t·si6n 'si p, entonces q' no es ni verdadera ni falsa: podría pate•t 1 1 rlniCI, que. al ser ya ra lso el antecedente, carece de sentido ¡>lu" ~~" 111 rwoblema de la verdad o falsedad del condicional. 1'•''" ponsemos que estamos en una lógica bivalente. RcColl olnw• '1" 1•.- onunciados con los que trabajamos sólo pueden tener v "' ullooncntc tienen que tener- uno de estos dos valores: voooluo l "

1 1 1 o o 1

,. Es dtcir. si se nos pc:rmhr rl atropello lógjoo-form.•l o la nieve parec:i11 1nmóv•l:...

q

o 1 o o

.Ji d alma habla. t:n.tMc:t~ ya DO a d alma la que babb (Schi.'llrr)

La partícula 'si ... , entonces .. .' es también una partícula de unión entre enunciados. Podemos establecer entre un enunciado p y un enunciado q una relación que consistiría en decir:

p

1

o

1 umol l•l mu(-'+u-,. ti hecho de que la uabl.t de vtn;lad de una lf 1'"

rllt' lu "·•l~•tn uf'M~C\W\

A In~

¡1,

de 1• 111bltl de \Cfd.ad dt

uprt'\llln

'r • 41'

u11nu

La lógica de onunc#ldos 7 1

70 Introducción s la lógica formal

Queda ya sólo el último caso: aquel eo que son falsos tanto el enunciado que hace de antecedentes como el que desempeña el papel de consecuente. Cabe bacer aquJ las mismas observaciones que hacíamos en torno a l caso a nterior. Una expresión como 'si p, entonces q', mediante la cual queremos decir que no se da p sin que se dé q, sólo será falsa en el caso de que p sea verdadero y q falso. Y ése no es aquí el caso. Por tanlo, puesco que la falsedad de p y de q no hace falso el condiaonal por eUos formado, no queda o cro remedio que decir que lo hace verdadero 01.

1 1 1 o 1

o o o

~n¡u ~c

l:'n~(l('ll!f de

((p A q) ~ T) V ((-¡ q A S) -+ T) ,.,

o

Ac8 ~ ''l'fc'ient.'l

ordinario. por lo demás, consuuímm> a ,,.eces t:ondiciona.Jes como

~te:

SI

lu~uemos ahora a formar expresiones en las que aparezcan ~"''" uotte> signos constames con que hasca ahora contamos. Por eJcmplc>

u 111 d11\e. por ti hecho de serlo, son también miembcos
1

Esa será, pues, la labia de verdad del condicional 53 *. u En el

1cH.Io pareoc sencillo. Parece como s i el condicional no pla ntcarH l"nhlrmus. Pero el hecho es que el condicional lleva por lo menos l'tlnlld/ls siglos planceándolos. De algunos de ellos hablaremos mi" ld•l~tntc, a codo lo largo de esce apartado. De otros nos ocup
Ajrig.o:nto habio ~Q u¡ UI)E'IIII,

mtnn~u

ti e•pr<'M de l;u 11,4} lJMe

.w ulkJ¡¡ RIJilll

• lt1r IIJ6.

Condlclonule8 d e utc titX> Yerdtlderos en cuanto tales oondicionales, aunq\IC su nnte.cedente y consecuente ~~tan fals.os- los udJJtan con derta frecuencia Jos sujeto~ pum cxpreilor lilao usl como una conexión entre absurenscmoa.. porolra parte. en expresiones como los Uaoutdos «condicionales conrrafflciÜXtS», cuyo e11U1dio pcrtenooe mtt.s bien a la tcoóa de fa ciencia que a la lógieL Por ejemplo:

*"

o&' kit f))IIIIIJI I.IIIJ Opiliole. le hllbi(OIIJ ¡:1101111111:UI6V ~O'fl(l. . 1 docididi.I!IICIIIU~ pcn d boirrol. 41diiJ'ldltn6fl e:a d ~· DIChuo ~~~ei\H bOju t9bfe el Jll'nic.'OI11r. ru ~"¡pe. g¡ d J!M)II)ell;o • la o .i& dd mlllistu• lk1•~t~U Jl•brill llOIBiikl•bkml.:•ue.• (l., Tmtlti.)

••-.ta•

Ea evidente: que al antcocdentc: de este cond:ic:tonaJ es falso: va conua los hcehm. S• hub~era stdo \'crdack:ro -y el wb)u.ntivo indica precisamente que é:ste no es d caso , venbduo hubkra pdo tambitn el consccuc:otc- que. sin embargo, es falso también , . Tomemos dos c:lascs cualesquiera. La dase A podria ser, pOr ejemplo. 1• cl.ur de los prolc:carios con coocienaa de clase. Y la clase B podria ser la dase de loo. proletarioe -.an mil. Es evidente que la dase B es «más amplia.» que la dase -f Es t\>'idente que la due 8 i.ttclil,v la duc A. Dicho de ouo modo: todos los proletario-. con ooncicncil de clas,c ton prolcwios. pero oo todos 1M prolet.mos SQn prolcbrk''> con conek:ncia de d.se Dicho tod.:nia de ólrO modo: 1~ hrt nuormbro' de la dase A son miembros de a.. d11~ 8. pero no vtoevnsa. P\IC"\ t114'o n~>•nd•• t.o¡j.,, ''" mtemt.f•,.

arAficamente asi

\ ftil!l operu.dón se le llnmo 'inclusión de c~ses·. Y a l.a claSC' indtrkl.l t i! •'h • 1 Uuna ·~ubdtut' de es.a ottll (0 bitct. si preferimos utilizar la exprcsiún \\11 1)11111+ ,.,,uu11 11ue el conjunto incluido en o tro c:s un wb
V ( ( -

8 n 0)

<:

C)

\luu¡, hitJn: e n eatn e;a.prcsión hay algo extraño. Lo extraño es que en ella lllltH~~•u ¡ ilti~IIUI tk mpo slmbolot per•te ne<:icntcs 11 la lógica de cla$es y simbolos IIC'I !• ttl• h 11h • lt• l•'tv.lt.• c1c enunciados. lll•·n mimdo. entre opentctonci oorno ·-·••,...,y ·v·. pOr una parté. )' t•l' • ttul•u•• • 111.. •, • hi'Y u na importante difc~ncia. Y es que mientras la aplicaci6n d t' t uui+IIIIH•I ... ""' trell ¡)rimeras operaciones a u na o m!ls clases da comd re.sultmlot 11w1 11111 • ·• , , 111~ tul modo q ue, por ejemplo, el resultado de unir la clase A y 1.1 'l11 ~' il • 1/ 1•" l!tlión de A y 8). con ' e' no ocurre nada semejante. Oiremos.. cnt•••lttli, !ltu Hdt!!)!l• L>ClmO · - •, 'f'\' y 'v: sirven para oomponc-r s.imbolOS de clast.S )' rorm:U ~t
,1 un rrnmc1ado que nos habla aten:& de rclacionts entre dascs. 1 " rt wn~n nucntras una c\prestón como -4 n

Hl

La lógica 00 8f/IHICÍJJclos 73

72 lntiOducción a 18 /Cgk;8 fOfmal

de la cual sería un ejemplo el enunciado Si acepto el mundo que me or~ccn y soy feliz. asi. entonces empjezo a cavar mi propia ~epuhur•; o bten, si no soy feliz asi. y no "oo tampoco pos•bllidad de Clmb•ar ese mundo, emprendo astmismo mi autoenlerramrento.

Otra expresión en la que aparecen a la vez la negación, la conjunción. la disyunción y el condicional sería, por ejemplo:

1111• '' e' verdad que p es condición de q, del hecho de que se dé ¡t pot~lronus inferir fo rmalmente que se dará q; pero del hecho de q ue se haya d1oln 11 no podemos inferir fo rmalmente que se haya dado p. Cabe. 1ft rle
((p

A

q)

r)--> (o r- (p

V

A

ql), .. 1111

cuya tabla de verdad procedemos a construir.

'si y S
Puesto que son tres las proposiciones que intervienen, ocho serán las combinaciones de sus valores de verdad :

p q r p

A

1 1 1 1 1 o 1 1 1 o o 1 1 1

1 1

o

q (p

o o o o o o o oo o ooo o

A

q)

V

1 1 1

o 1 o 1

o

r

-,,

o 1 o 1 o 1

o

pAq -, r-+ (p

1 1

o o o o o o

A

((p A q) V r) .... q) [ • r-+ (p A q)]

1 1 1

o 1

o 1

o

1 1 1 1 1 1 1 1

Ahnra bien : si es verdad que p es condición a la vez sufícicntr , nnc,Mia de q, emonces, del hecho de que se baya dado p poden"" lnl•lll fo rmalmente que se ha dado q, y del hecho de q ue se h.oy.o ••l•o q podemos también inferir formalmente q ue se ha dado p. Quocor ••u
e), en abreviatura, (p -q).

Lu expresión es verdadera en los ocho casos posi bles. Ya veremos por q1oé esto era de esperar y ya veremos qué es lo que esto significa. El bicolldicion(J/

Como sabemos. al decir 'si p, entonces q' estamos diciendo q ue p es condición su1iciente de q, aunque no condición necesaria : es decir,

A ""la operación - y a este nuevo símbolo ·- ·, y a este "''" •1• tnundndos que tienen a •.....'como conectiva princ.ipaJ- Je llanHu t ntu pooo lllltlnes que saltan a la vista, 'bicxmdicio11ar. Y saltan u lu vl•to lomhl~n lns razones por las que la tabla de verdad de un en'"" ioii iH Nu•nolocio nal serll ésta : p

q

p+-+q

a un slmbolo de clase-. y se lec 'la rlnu anttrsea:~n de Ll dase oomptemeato de la dase A y la dase complemento c:omplemc:n1o de 11 dáJc Ir,

un.a expresión como A c(BvCJ

« un cnuO(Qdo tob«: da!a: 3 saber. el tnunciado 'la d.ue A tSCd incluMJa en la da1e suma de la cl:1'le H ,. 1.1 ,,,\(' ( '"

1 1 1 o

o 1 o o

1

o o

n rnuncindo bicondicional será verdadero en dos casos : cuando son Mhhult"ru1 tunlo su nntecedcnte como su consecuente, y cuando tanto \U

La lógica de enunciadoS 75

74 Introducción s llllógicatormaJ

antecedente como su consecuente son falsos. Un enunciado como ·s~ y sólo si p, entonces q', será, entonces, verdadero cuando p y q tengan el mismo valor de verdad ,.. . Juguemos ahora a introducir a la vez: en una misma expresión los cinco signos constantes que conocemos. Por ejemplo, en [(• p v q) -+ r] <-+ [(p

A ...,

q) v r] 56',

cuya tabla de verdad sería la siguiente: p q r

(• p v q)-+ r

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

o o o o

o o oo o o oo

(p

A ...,

[(•p v q)-+r] q) v r ..., [(p A ..., q) v r]

1 1 1 1 t

1

o

o

1 1 1

1 1 1

o 1 o

o 1 o

1 1 1

u . Tomemos dM do.sc5 cualc:li(Juicrn. Sea la clase A la dase- de Jos língOistas riguro!Ulmcnte cicnlffico!J. y lt~ cl:t\iC 8 l:1 cla~c de los. ling.i.i istas que oulti\'an l.a tingiilstic:n g<;n cm tivo-tnmll foun~ci onaJ. A estas dos d:ues les oc;urre aJgo. Les ocu(re que tienen exllctamc:nlc los ml$1nO!I rnk:mbrot. Y dos clases que tientJ~ los misrnos mtembros so o Iguales. Ltt

igu"ldud de chises lo simboll1.:ma oos :1si:

A= B Y la

rCJ)I'tSCilUt r(;tn()S

grtl.fic,:amc:nte de este

modo :

8 Oo11 observftcioncs a cs'lc rct;pec:eo:

·=·

l. El lector hubr!l. notado ya q ue el Jimbolo oo sirve para componer nombres de clases, sino para componer enunciados sobre clases. para d«:Lt q ue tal clase es igu:tl a ta l o tra.

2. No c1 lo mismo decir que dos dues tienen los miJ;mos miembn:ts -en cuyo taJO, lo que estamos haciendo, como acabamos de vex. es decir que ambas clases son iluales., son l# '"ismo clase -que decir que tienen ~1 mism-o mimero de miembros-

en cuyo CiliO d1remos que son dases equftKIIt.nr.es. Es obvio que si dos clases son igua.les 10n tambtén, por fuena., cquiva1entes. Es o b\'io. por otra parte. que la c:ooversa no es \'t:rdadtrt. La dase rormada por los miembros dd conjunto The &atle.s y !:a clase rorm:ada por tos cuatro Profetas Mayores son equivalentes. pero distan mucho de ¡.er is;uales.. h • En lóai ck la misma natumiCT.I (IUC: ' e ' y de nan•rak r.• d1st1nta a· ', 'n' y "v',

rf fCIMJ ¡>r Ól'IÍC()

A modo de aplicación de todo lo dicho basta ahora acerca de los tlanus constantes de la lógica de enunciados y de las condiciones de weuh1d de los enunciados compuestos con ellos, imaginemos el siguiente prublema "· Supongamos que se nos en tregan ocho tarjetas que poseen la siguiente ol•
1''"

111

111111 cunt, o bien un circulo azul o bien un círculo rojo; la I~Hjclu

•

11M evidente que, en princtplo, la tarjeta 1 sólo puede tener,

' hwn un triángulo rojo o bien un triángulo azul; la tarjeta 3, ,, hi111 1111 11if1ngulo azul o bien un triángulo rojo; y la tarjeta 4. ' ' hh 11 11111Írcu lo rojo o bien un circulo azul. Supongamos, en fin, que se nos pla ntea un problema en los si~uu·uh lf11nlnos: «A lguien ha hecho un enunciado general que prcrcn1lt "1 ••11ludcro de estas cuatro tarjetas. Ese enunciado dice así : ' 1\u ¡,,¡,, 1,. tw}Nt•s hay un triángulo rojo y un círculo azur. Pues bien ¡,tu •l ''''el nllmero minímo de tarjetas que habría que levantar para '"'' ' lynno olol enunciado proferido por esa persona es verdadero o falso'!o> ltrprcsente-mos mediante la variable p el enunciado 'En esta t.11¡o·1 • l •lc problema es. en tu origen. uoa prueba pslc:ológic:a idead:s por P. C. Wlll 'lo4 111 11 t+t '"l(tc:r a c:on1rascaci6n c~rtas implicadoncs de la 1eoria de Piaget sobre el ~· n~Uu, • '41Jitltl, de laJ e~~ructura.s lóa.icas. lo que Wason prc:senta como e~pcriencaa r.u.t .u.. , 1.1 CC~ntprc.nstón de los enuociados ooodicionales por parlt. de lo.~ sujelos lo hcn'l'lul RH'tlldu tk~totros en un ~rcicio para «repasaP Ja tabla de "erdad de tod.•" ,.. tn,., C'$ludiad~ hasta d monxalo. Puede c:onsultarsc al respecto cl articul•1 df ,. 1 \\ OI'ICIU, • Rq_rCSJion U\ Reasonmp. en Brit&SII J(JUmQI oJ P:rycJtology, 60. 4 f!IJ 471 MO. y !UI hbro. en t.:ol.•b<""atlc)n oon P. N. Johnson-Laird.. Pn't'ltolog)• ~f Rt>•'" '""'~

J.- ,

e,,.()',.

" filtro •• ,.., ( 't,11tl'tf

1 t,lndn"'· n.....r.ud, ''72.

76

tntr()(lucdón a 18 lógica formar

1:

-sea .la la 2, la 3. o la 4- hay un triángulo rojo' y por q el enunc1ado En esta taqeta hay un círculo azul'. De las tarjetas podemos ver una sola cara, y ello nos permite conocer el valor de verdad de uno solo de los miembros de la conjunción en cada una de ellas :

Ahora bien: el enunciado a contrastar es una conjunción. Y una conjunción sólo es verdadera cuando lo son sus dos miembros. El enunciado a contrastar es, por otra parte, un enunciado general: «En todas las tarjetas hay un triángulo rojo y un circulo azub>. Este enunciado u.niversal equivale, por tanto, a la siguiente conjunción de enunciados smgulares: <>. Salta a la vista que ese enunciado no es verdadero. No hace .falr.a dar la vuelta a 11mguna tarjeta para saber que es falso, puesto que pode~os ver ya que no ~e cumple ni en la tarjeta 2 ni en la tarjeta 4. Pod~1~ Ciertamente cumphrse en las tarjetas 1 y 3, pero, aunque así fuera, seguma s1endo falso, en cuanto que se trata de un enunciado general que - por cons1gmente- para ser verdadero habría de ser verdadero en rodas las tarjetas. ¿Cómo resolveríamos el problema si el enunciado a contrastar en lugar de ser un enunciado conjuntivo, fuera uua disyunción: «En t¿das las tarjetas hay uo triángulo rojo o un círculo azul>>? Los datos del problema siguen siendo los mismos:

.

~[QJ[QJ~ ..• ..• .., ·-1

Puesto que para que una disyunción sea verdadera basta coo que lo sea uno de sus m1embros, sabemos ya que el enunciado es verdadero en las tarjetas 1 y 3, independientemente de Jo que haya en cada una d~ ella~ po~ detrás. Así pues, para saber -que es de Jo que se trata- SI el enunc1ado es verdadero en todas, tendríamos que /evamar las tar;etas 2 y 4. El enun~Jado general seria, entonces, verdadero s i por el otro l~do de estas dos tar¡etas hub1era, respectivamente, un triángulo rojo y un cuculo azul. Cuando el enunciado a contrastar tiene la forma de un condicional el problema se hace más dificil. Veamos por qué. ' El enunciado .~n cuestión sería ahora éste: «En todas las tarjetas donde hay un tnangulo roJO hay un circulo "'""' 1 • decir: «Dada

La lógica de enunciados 77

1111u WrJeta cualquiera, si en ella hay un triángulo rojo, entonces en ella

h11y tumbit\n un círculo azul>>. Si adoptamos la primera formulación •• ¡illrque, aun siendo menos explícita, es más natural. ¡,Por qué es más d ifícil contrariar un enunciado como «En todas l•• turjctas donde hay un triángulo rojo hay un circulo azul>>, que un tnunciado como, por ejemplo, <~jll y un circulo azul>>? En ambos casos se trata de enunciados '"'"puestos de dos enunciados simples (de dos enunciados que, ademús. '"" los mismos). En un caso, el enunciado está compuesto con 'y'; '11 c.1 l o tro, con 'si ..., entonces'. Pero ocurre que mientras en Ja con· ltlll\.1ión --o en la disyunción, o, como veremos, en el bicondiciona l rl ,.,¡~,, de los enunciados es irrelevallte (es lo mismo, en efecto, dc.:i1· •l n todas las tarjetas hay un triángu lo rojo y un circulo azul>> que 1lr1 Ir «En todas las tarjetas hay un circu lo azul y un triángulo rojo», ¡our~ lanto monta 'p 1\ q' como 'q " p'), en el caso del condicional " " •llullciudos que lo componen están, por definición, ordenados: el uno ha~o tlr uutcccdeote, y el otro, de consecuente; sus posiciones no son interc:un hl11hks, puesto que el uno enuncia la condición y el otro lo condicion11do, • ¡,, Jll'imera precede siempre lógicamente al segundo. No es lo mismu 1lr1 il' ~> que decir «En todas las tarjctu• 11 111~ que hay un círculo azul hay un triángulo rojo>>.

JIJ problema, por tanto, se hace más dif'ícil cuando el enunciado .> tnlltl'nstar es un condicio nal porque en el caso de éste hay que cnn"li

''"""' además el orden de Jos enunciados que Jo componen. Un ortkoo ''"" no puede ser a lterado so pena de transformar el enunciado en " '" ' o¡111• no le es equivalente 5 8 . Puesto que el antecedente es 'Hay un triilnj1ul"

•••1"'·

resulta necesario, para quien intente reso l ver el problema.

•1"" todas las tarjetas muestran un triángulo, y, por ende, ol••• de las tarjetas - la 2 y la 3- están vueltas, mostrando • uyn color, sin embargo, desconocemos. Oo:sde el momento en que hemos sido capaces 59 de '1"" l11s caras no visibles de estas tarjetas estAo a la vista, "

suptl l ltl l

suponer "'" un trilon¡¡lll• • imagi"''""'" el problonoH

1!1 enunciado 'p - q• no es equivalente al enunciado •q - p•, como lo pruci'M

•l ht'd1o de que sus tablas de verdad arrojan resultados distintos:

1 t 1 o

o t o o

1

o t

t t

o

1

'' V lus dutc>S de la psic:::ológí¡t JXtfCCCII indicar que. no es raciJ poseer • tu>illt.u e,
- o. ol mt nn ...

78 Introducción s lB lógica formsl

deja práctican1ente de ofrecer dificultades. Puesto que el condicional sólo es falso en un caso, a saber, cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso, hemos de levantar sólo aqueUas tarjetas que hagan verdadero el antec:eden te 60, por ver si su cara no visible hace falso el consecuente (es decir, por ver si en el otro lado aparece dibujado un círculo rojo), y en ese caso el enunciado a contrastar sería falso ; y aquellas o tras que hacen falso el consecuente••, por ' 'er si en su cara no visible úenen dibujado un triángulo rojo (es decir, por ver si hacen verdadero el antecedente, que tstá oculto, pero que hay que imagi11ar oisible con sus dos posibilidades de color), y en ese caso el enunciado seria así mismo falso:

Ha brla pues, que levantar las tarjetas 1 y 2 62 . Nos queda por examinar el caso en que el enunciado cuyo valor de verdad hemos de determinar es un bicondicional. Ese enunciado bicondicional podríamos formularlo así: «Solamente hay un circulo azul en aquellas tarjetas en las que hay un triángulo rojo>> 63 . O también, puesto que el bicondicional no es, como hemos visto, sino una conju nción de condicionales, así: <> ••. ¿Qué tarjetas habría que levantar para averiguar el valor de verdad de un enuoci11do corno éste? La respuesta es: todas. En efecto : un enunciado bicondicional es verdadero cuando y sólo cuHndo los enunciados que lo componen tienen el mismo valor de verdad, •o Es decir, uqucllas que O!ltenten (o puedan ostentar por -su cara no visible que., en elle CiliO, hnbri&~ que c:on.sidcrn como antecedente) un triángulo rojo. •• Es declr, 1aqucllas en las que aparece dibujado un circulo que oo es azul, sino rojo. n S inclu110 J>O b tarjtca 4- resuh• UTt:levante parad asunto que nos ocupa. •J Esto\ formulaci6n lueot IDCJOr-. aunque es mc:nos litt>ral, mtOO$ cc:aoónica», que esla otl"': .Si y tolamente si en una tarjeta hay un triiogulo rojo. emonc:es hay .ambiéo un drtulo axuLt ... O. mis literalmente: •Si eo una ta.rjeta hay un triin..guJo rojo, entonces hay 1an1blén un drc:ulo azul y SI en una ta.Jjeta hay un d.rtulo azul. c:nl ('~ hay r:tmbttn un tribaulo rojo,.

La lógica de eniJ()(;!ados 70

.. olrolo, cuando ambos son verdaderos a la vez o cuando ambos son llloo•• 11 In vez. Por tanto, sólo podemos determinar el valor de verdad . . 1111 enunciado bicondicional si conocemos los valores de verdad de J,,. enunciados que lo integran. Y en este problema sólo conocernos, 111 '"''" tnrjeta. el valo r de uno de ellos. Es necesario, pues, para conocer "' •••'" caso el otro, dar la vuelta a las cuatro tarjetaS.

"'''"'Ir lógico y ltnguaje cotidiano <\ 111r' de proceder a pRSc:ntar los demás signos constantes de l.o Jk • de enunciados parece necesario detenerse un instante a reflexion:u "' '""m a las relaciones entre esos signos y las expres1ones del lengua1c "hn.um - ·no\ 'y", ·o·, 'si..., entonces...', etc.- a las que parettn. dr tiJ'"' modo. corresponder. l'mlrlnmos senúrnos tentados a pensar que los signos constante;, d.-1 ltnlu.o¡c de la lógica de enunciados corresponden estrictamente_ a las _na 111.1 .,, ., olllJUncioocS» - copulativas, disyunúvas, etc.- del lengua¡e ordma 1111 que a cada signo constante corresponde una y una sola ~"" 1un• 11111, y q ue a cada conjunción corresponde uno y un solo Sltl""

,¡.,,,,

'"''l'lllf;.

l'uc" bien : no ocurre as!. Ni cada constante lógica corresponde 11 '""' conexión entre enunciados eo el lenguaje ordinario, ni tamp• •\P Juln• In~ conjunciones del lenguaje ord inario tienen una traducctúll 111 1 111111oic lógico. "" hemos dicho - y hemos empezado a mostrar- que el lc"H'"' I' lo In lógica es un lenguaje artificial. Y los lenguajes artificia le• '"" lon11111)c~ restringidos, lenguajes con un radio de expresión coro<>. 1\1111 lfiiMlllljc• diseftados especialmente para formular sólo determonad" ' ("""" 1111 t1111hargo, si su capaddad expresiva es menor. es mayor su J'Ut'~ i!llloli ttll~ In de cualquier lengua. Los lenguajes naturales sirven parn ''"'" l ••• lrnguajes artificiales s irven a un objetivo concreto. Y esa "'''¡"" 1• dhcu la cumplen con mayor exactitud que el lenguaje ""''"'"'" , uyu 11mbigüedad es, por lo demás. algo a celebrar en mucho" •n•u• ~ olk'mos ya por qué las ciencias utilizan, en mayor o ""'"''' t•••l<>, lenguajes especiales: porque cada ciencia tiene su propio HhJ<'l" 1 ••tudio, y, en consecuencia, sus propias necesidades expresiva<. 1 •' '"•'• ,, t1cnc por objeto el estudio de la validez formal de las infercnco.,. 1"' wh~• cncias, los razonamientos, aparecen inevitablemente formulados rn lf lo llJIIIIIJe en algún lenguaje-. Al lenguaje hay, pues, que :ocud11 1"''' ,on.oh,;lTios. El anAiisis lógico del razonamiento acarrea._ pues. el 111 ¡h"' lógico del lenguaje. De ese análisis lógico del lengua¡c r.,ull.o 1 h 11MI>•'JC artificial de la lógica. En general, el lenguaje de una cien~•·• .,,, .. ,•tlr, por unn parle. de un anúlisis «desinteresado» (es decir. ObJctlvn In pH.JUI\..IO\. aunque c.:un h•f'tHt\1\) de un determinado campo de OhJcl u' Ullllll

80 lnlfOdUcci6n a lo lógica fonnal

--<:1 de los números, el de las 1ransformaciones sociales, el de los movimiemos de los cuerpos celcsles--, y, por o1ra parle, de un análisis <
¿Cuá l sería el resultado del análisis lógico de este texto? Quizá sea lriste, pero es éste:

<• p .... q)

1\

(p .... ..., q)

El texto se compone, en efec1o, de dos enunciados, compuestos ambos, separados por un punto y coma. Vislo desde la perspectiva del lenguaje lógico, un punto y coma sin más equivale a una conjunción. Cada

un" de los dos enunciados es un cond1C1onal, pueslo que en eMe • •nlc., to la conjunción 'cuando' desempeña la misma funció n lógica ~ur la conjunción 'si..., entonces.. .'. Por lo demás, el ~nunciado 'uno no urnc imaginación' es, obviamente, la oegación de 'uno la tiene', razón p>r In cual podemos esquematiza r uno y otro po r ....., p' y 'p', rcspectival1111111o. O tro tanto cabe decir acerca de 'la muerte es poca cosa' (q) y l• 111ucrtc es demasiado' (• q). li emos, pues, traducido un fragmento del lenguaje ordinario a l lenguaje lllil>cinl de la lógi'ca. En el curso de la traducción se han perdido 11w11ces. y matices importantes (si es que se puede decir que el contenido 111trru de un texlo es un «maliz» de éste); pero no se trala de matice> tmpurluntes desde el puolo de visla lógico. Porque lo único imporlanlc tl..dc un punto de vista lógico es la eslructura del enunciado, y eso no 11\ln no lo hemos perdido, sino que lo hemos retenido en soliturin ; 11 llln<.'il nclolo, por añadidura. Hllcnguaje de la lógica no es, por lanto, sino la presentación formali1J>d11 ti• >lctcrminados rasgos o aspectos del lenguaje ordinario, algo asl comllt1ponde una y una sola expresión del lenguaje ordinario, ni vicc:vt~>·• 1 • rcrlación entre eUos no es de 11n0 a amo, sino de •mo a mm lla u h1c-n, en otras ocasiones, de muchos a ut&O. Veamos cómo y por t¡ut 1>el lenguaje natural, en comparación con el lenguaje lógico, se puc•h•u dfdl dos cosas : que es demasiado rioo, o que es demasiado ¡xlb>r ~ 1111 •e truta de una contradicción, puesto que cada cosa se dice en un ••nlldn distinto. l'n un cierto sentido se puede decir que el lenguaje natural - cua l11"'"" de las lenguas- es superabundante desde el p unto de vis ta ~'1" "••, es decir, que para expresar una misma relación lógica, el lenguaje 11otu1•l •• permite utilizar distintas expresiones. • · M h11 decbo a menudo

u

Louis-Fcrdmand Céline: Yoya~ au botlt d« lt.r 11uit

qu~

cl lenaUije se queda cono ante: ha reahdad. CIUf

• ""'• •lht lorpemc:nte inexpresivo ante las much.u y diversas oosas que querc:mot c:xprn,1u.

' . 111mhW'n

c~tbr¡a 1•rirm:n

c:n lll¡tu'- a.tnlldo que c:l lenguaje es supcrabu hd.1nte,

Ql.l t

La lógica de entJilCiados 83

82 lntroducclón a la lógica formal

Veamos un ejemplo. Sean Jos diez enunciados siguientes: ( 1)

Es agradable caminar bajo la lluvia, siempre que se tenga algo suficienteme nte triste en q ue pensar.

Lt ostructura lógica es la misma en todos los casos, aunque esté lfiHCocntada en cada caso por giros lingülsticos distintos. Asl, una expr•olón como Ese lapso, corto q ui7.á si se le mide por el calendario, es intermina blemente lnrgo cua11do. como yo, se ha g.1.lopado a través de~~ ~~.

(2) Si la tarde está oscura, me invadirit el optimismo. (3)

Cuando alguien escribe oomo Borges, puede disculj)ilrsele todo.

(4)

Bien pcns.ado. no hay por q ué ser bienpens.antc.

10

rrducirla, en un análisis lógico, a esto :

tt

tlt•cir:

(S) Como .siga aparentando tanta felicidad. empezaré a pensar que sufre considerablemente.

(6) Se puede. decir que Marx tri\ un hegdiano, con tal de que se adare en qué sentido y hasta q ué punto. (7)

6n no habiendo vino no hay ya amor (Eurlpides),

(8) Tú dedícate al amor libre y vtr.is cómo te sorprende la muerte en pecado mortal.

(9) (JO)

En caso de que sople el viento, podremos n;.tvegar a vela.

De haberlo meditado bien, no me hubiera atrevido a escribir este libro.

Pues bien : estas diez frases, tan distintas por lo demás, se reducen, desde el punto de vista lógico, a ésta:

Todas ellas, e o efecto, puede o tomar esta forma: ( 1) Si se tiene algo suficientemente triste e n que pensar, entQnce.~ es agradable ca· mina r bajó la lluvia.

Si se le mide por el calendario, entonces ese lapso de tiempo es corto, y si se lm j(.llfopado, como yo, a ~ravés de él, entoooes es interminablcnteote largo.

J.J a nálisis lógico es, pues, en este sentido, un aoálisis reductivo :

uro nnldisis que reduce la diversidad lingü istica a una unidad lógic:t . J ••rlos s ignos lingüísticos -'si..., entonces...', 'cuando ..., ento nces...',' ... cou l•l que ...', etc.- se reducen a un solo s igno lógico : · ~ ·. 1ltras veces, sin embargo, ocurre a la inversa : a un solo signo del lortMlllljc natural corresponde más de una constante lógica. En este segundo rrlldo, el análisis lógico no reduee, sino q ue explicita. Veamos a lguno' jooolplos: (1)

(3) Si a,lguien escribe como Borges.

tnrOnCt$

puede discu.lp:i.rselc todo.

(4) Si bie1, se piensa, ttrrroncu no hay por que ser bienpensante. (5) Si sigue aparentando tanta felicidad,

enumc:~s

empezaré a pensar q ue sufre

ooosidera.btementc. (6) Si se acla ra eo qué sentido )' hasta qué punto. emonce:t se puede decir que Marx era un hegeliano. (8) Si te dedicas si amor libre, entonce$lll muerte te sorprenderá en pecado mo rwl. (10)

Si sopla el viento, enton<.:es pOdremos navegar a vela.

s;

Jo hubiera meditado bien. libro.

(2)

fl'

Caminara siete leguas 1 sin encontrar cosa viva 1 .d no fuere cue-P,.os n<:JtH'" que los perros no querían (Romance de la muerte ocultada). Y en prueba de cuanto re digo, ve a Oelfos.. pregunta a los o ritculos y

11111,1

si ha faltado a Ja verdad mi mensaje (Sófocles).

(11) ;,Adoceoarte? ¿¡Tú ... d el montón !? ¡S; has nacid o para <:audillo! (Escrivf•),

(7) Si no hay vino. eruoncrts ya no hay amor.

(9)

Miré los muros d o la patria mia 1 ~¡u n üempo fuertes ya desrnoronado!l CQu<' vedo~

(2) Si In tarde está oscura, emottces me invadirá e l o ptimismo.

f'nto~~Cts

no me hubiera atrevido a escribir este

Doode se echa de ver que en el lenguaje lógico no hay preocupaciones de estilo, d ispone de «demasiadas palabraS», que tiene muchas maneras disliiHtll( de decir un•• mis nK• cos.1.. Todo depende qui~ de si queremos decir demasbd·• t• tkrn¡,,uul" fldc::o.

(1)

¿Qu~

(t•l

Compañero en el trabajo soy con los obreros, que si ellos ejercitan mUsculc' ~ en los cuales se consume n las eoergia flsic:as. yo también. en o tro orden de tH•· lx:tjo, consumo sustancias del cuerpo para poder arrancar un átomo al ocrchul (Nicolás Salmerón)

es ese azul q ue apenas si es montaña• .si es nieve, si es azul? (Aibcr lll

( 7) Sf alguna vueha he cantao j ante panzudos patrones f he picaniao la.-; razones 1 profundns del proberio (A. Yupanqui).

La lógica de

84 lnl!rXIu
E·n todos estos enunciados aparece el término 'si'. No todos esos enunciados, sin embargo, son propiamente condicionales. En el caso 3, por ejemplo, el 'si' sin•e para introducir una oración interrogativa indirecta ; en el caso 8 -como en el 1- esa partícula parece tener sentido adversativo, equivalente a 'si bien', 'aunque' o 'mientras'. ¿Qué decir. por otra parte, del 'si' de 'apenas si es montaña'? Etcétera. El anlllisis lógico revela, pues, la existencia de una diversidad profunda por debajo de la aparente uniformidad. Lo lingüísticamente idéntico resuha ser lógicamente diverso. Otro tanto ocurre en los ejemplos siguientes: ( l) Cuando Randolph C'arter c:umpli61os treinta años, percfió la llave de la puerb de 106 aucftos (Lo~cnrt).

(2) Cuando nac1ó Buonarrolj, Mercurio y Venus hacia d trono de Júpiter (M. Mújica lainet). (3)

ascet~.dian,

envnciactos 86

"'""'''co. Pero, puesto que soy un neurótico, ese asunto me preocupa11••. lltny Jugando a razonar, a inferir unos enunciados a partir de otros. \' " c¡uc hay un juego de lenguaje, una forrna de jugar con el lenguaje Jlnurio, que consiste en razonar, en hacer inferencias. Pues bien : el lltlathtje de la lógica, construido sobre la base de este juego o rdinario .. lrnguaje, es un juego de lenguaje formalizado que consiste, pur.l y 11m1•lemente, en razonar. Las relaciones entre el juego de la lógica en el lltlaunje ordinario y el juego de la lógica en un lenguaje formalizad" • .e pueden establecer de una vez por todas. Hemos dicho ya que el ...utdo es una rec:onstrueción, una «puesta en limpio» del primero • lt&h•s de razonamiento, que en aquél eran vagas e implícitas. ;e, l>rn en éste explicitas y precisas; la estructura de los razonamiento•. t rn aquél estaba oculta o incluso desfigurada, se hace en éste patentr 1 '"1'" La traducción de un lenguaje a otro no es una traducci,\n IUho~n4tica. Exige, como toda traducción, percepción de matices, imaK' lltl~tn, ntención. en suma, a un contexto ilimitado.

(riunfa.Jes, desnudos,

Cuando en el juc¡o no intervienen el amor y el odio, la mujer nc:na mcd1ocrc (N1ctl$Che).

jueg;~

de ma-

(4) Cm1ndo e mpíccc la guerr.1, quizá nuestros hermanO$ se transformen (Brectn).

Vemos aquí, aún más claramente que en el ejemplo anterior, que todos los enunciados tienen la misma estructura lingüística. Pero no la mis ma estructura lógica. De los cuatro, sólo uno de ellos, el tercero, es un condicional. En 61 la expresión 'cuando' podría ser sustituida por 'si .... entonces .. .' sin que cambiara el sentido del enunciado, cosa que no ocurre en los otros casos. En ellos, el término 'cuando' no está empleado en su acepción condicional, sino con su sentido temporal. Es evidente que el segundo enunciado, por ejemplo, no sería equivalente a este otro : SI n1u.ió Ouonarroh, entonces Mercurio y Venus asccodian. triunfales. desnudo,;. haeio d 1rono de JUpileL

Digamos, con Wittgenstein, que el leuguaje, lejos de constituir una unidad, no es sino repertorio indefinidamente ampliable de juegos dr lenguaje, de sistemas de comunicación distintos entre sí, que engranan con el mundo de diversos modos y se gobiernan por distintos conjuntos de reglas. Cantar es, por ejemplo, un juego de lenguaje. Lo es también relatar historias, dar órdenes, r.eur o insultar. CUando yo digo «el dia había tr:lnscurrido del modo como suelen transcurrir estos diaS» estoy jugando - repitiendo a Herman Hessc- a contar algo. CUando digc> «Perdónanos nuestras deudaS» estoy jugando a suplicar. Cuando digc> ~si no estoy preocupado por ese asunto, entonces es que no soy un

1 , uttJuntO de fas conectivas

llrmos enumer:1do, hasta ahora, cinco conectivas: la negación, 111 njunci6n, la disyunción, el condiciona l y el bicondicional. Es clilh' 11u• lu enumeración no es exhaustiva. Son posib1es, evidentemente. n t lltllll "'"' hnN fom1as de conexión entre enunciados. ¿Cuántas? ""'~N de responder a esta pregunta es necesario poner de rcht·v• h• •llfcrcncia importaote entre la negación, por una parte, y, po1· 1•1111 jllth'. lns o tras cuatro conectivas hasta ahora mencionadas. L11 tlllt 11dn ~N 6sta: mientras que la operación Uamada 'negación' se u ¡lll111 ,¡,, vct a una sola proposición, sea ésta simple, como -, p,

•••n1pucsUL, como -, (p

V

-, [(p

q),

11. q) ~

r],

etc., alo¡lllcfll de las otras conectivas que hemos visto a l = siempre '

1 n afmbok>s: (-. p - -.q)-(q- p)

lflll 1ll' un

r11ronam~to

form31rnc.nte: váhdo. El esquema oorrespC:)Qd"iente se

"''"f~-~

• ""'"'~"- d~ antiJUO, y rcc•he m.)(krnamente.. corno 1a.mbién wc:rcmos. el t\(\tnhtco f,;y ·1 H1t'llf•l'l>l:'t~•bn fc:lel eomhd•m•ll'

La lógiCa d6 enunciados 87

86 lntroduoción a la J6glca form81

a dos enunciados, necesita al menos dos enunciados para poder aplicarse. No podríamos, en efecto, construir expresiones de este tipo :

P" vq p-+

1 • d<'Cif: que o bien p y q wrdadcro y q es falso (en cuyo 1 n lo que sigue, y con el ...,n.oremos cada una de las ••• d.

Nu, encontramos. pues, con un conjunto de cuatro elementos:

~q

etc.

!a, b, c. df

Dicho de otro modo: In conjtmcton, la d isyunción, el condicional y el bicondicional son conectivas tliádicas o binaria.~. La negación, en cambio, es una conectivn monódica o sin{Jrllaritl. Pues bien: ¿cuántas son las co11ecúv"s roonádicas? Y, ¿cullntas la., diádicas? Es decir: ¿cuántas operaciones pueden realizarse con una sola proposición? ¿Y con dos proposiciones? Con una sola proposición se pueden llevar a cabo cuatro operaciones. Hay cuatro conectivas monádicas, por tanto. Con dos proposiciones son posibles dieciséis operaciones 69• Son, pues. dieciséis las conectivas diádicas. ¿Por qué? No porque de hecho sólo hayamos encontrado cuatro y dieciséis. respectivamente, sino porque, por principio, son cuatro y dieciséis, y n<> pueden ser ni menos ni mfis.

Veamos primero por qué las conectivas diá dicas son, de una vez por todas, exactamente dieciséis'"· Hemos dicho que, dados dos enunciados cualesquiera, son cuatm las combinaciones que pueden hacerse de sus valores de verdad. Lo re· presentábamos así: q

fl

V V V F F

V

F

F

Ahora bien: puesto que la falsedad de un enunciado supone );o verdad de su negación (y viceversa, por supuesto) cabría dar a cst:o' cuatro combinaciones la siguiente fo rma :

a (p

A

e

b q)

V

(p

A -,

q)

V

son verdaderos (caso a); o bien p es caso -, q será verdadero) (caso b); etc. único fm de abreviar la explicación. cuatro combinaciones con las letras

(o p

A

V (-,

p

1\

'nilntos subconjuntos tiene este conjunto? Antes de nada : ¿a qué llama mos subconjunto? ii<''Ol'démoslo: llamamos subconjunto de un conjunto dado a tod(l njnnw incluido en este. Así, si

A e: B. . " " " que A es un subconJunto de B. \ oo hemos dicho también 11 que un conjunto está incluido en otw n•lu todos los miembros del primero son miembros del segund<> n.¡nc no necesariamente a la inversa). 1 11tonoes, ¿cuántos subconjuntos asi definidos tendrá ese conjunto dr lh> elementos? Tendrá dieciséis"· Estos: {af {b} {el {ti} {a, b} 111, el {a, di 1b, tlt {b, e~ {e, ti) {a,b,c) {a,b,df {a,c, d) { b,c,d) i<•ucmos, hasta el momen to, catorce. Es evidente que todos cll'" n•pl<•ll la definición que hemos dado de subconjunto. Por ejempl11 , '""junto {af, es decir, el conjunto que tiene a a como único mi~m • • •l.'o incluido en -y es, por ende. un subconjunto de- el conjuut" 1•, r. ti). De igoal modo, el conjun to { a, el, por ejemplo, es "" I•<~~IJUiliO del conjunto {a, b, e, ti) : todos los miembros del primeo u 1 • fc
(a. b, c,d~ 1/>

d q)

1t

1' unen requerir algún comentario.

o q),

Con tres: proposiciones. 256 operaciones. Con cuatro, 65.536. Con cinco. 4.294.1)67.2')ft Etcétera.

1 Y l11 d iremos de manc:rn m:'1~ tC:cui c~1 )' prcci!:>n Cll un c~phulo posterior, ~ 1 n ~enen1l, y como fó••mall~•. 11! un t'IIIUJtmto tiene n mietnbi'OS. sus sulte,) IIIUIIItl ll

;o Aunque sería m{u; natural ~mpc.zar por la& cuatro conectivas rnon3dic:•Jt. nn¡¡ que la alteración del Qrden ha de &el vir p;tr:t una mc:jOt' oomprc:n!lión del 3!1>\lnto,

•1 ; n numct(1 de 2". A~i 1'11('11, M d PIIIJUnltt que: nos ocupa tiene, ~lmo d ll ll~·d•\ • 1 ·I~ IIICilh\11.. lcndr:'l 2•, Cll 11i-1 11 tllll h~l. 'Uht.:OIIJUill(l$.

6~>

fliH('H '

-

88 lnrrodUcción a la l6gicB lcxmal

En primer lugar, podría tenerse por paradójica la afirmación de que un conjunto es un subconjunto de si m ismo. Pues lo es, y para comprenderlo basta con atenerse esltictllmente a la definición de subcon junto: un conjunto es subconjunto de otro cuando todos los nliernbro' del primero son nlicrnbros del segundo, aunque no necesarianrenre a /u inversa. No es necesario que se dé la inversa, pero nada impide tampOC<' que se dé. Es evidente, entonces, q ue todos los nliernbros del conjuntu {a, b, e, d} son miembros del conjunto {a, b, e, d), y, por ello, puedo decirse que el primero es un subconjunto del segundo (un subconjunto, como se dice, impropio. Todo conjunto es un subconjunto impropio de,..¡ mismo). El símbolo ~ designa el conjunto vaclo. Conjunto vaclo es aquel que carece de miembros. Se nos podría decir q ue son infin itos los conj untos q ue carecen de miembros: el conj unto, por ejemplo, de los reyes de España en ejercicio entre 1931 y 1973, el de los moluscos voladores, el de los stalinistas de la IV Internacional, el de los dinosnurios arriano:<. etdtera. Pero ya hemos dicho que los conjuntos que tienen los mismo' miembros son iguales, son el mismo conjunto. Y todos los conjunto< vacíos tienen, en un determinado sentido, los mismos miembros, a saber: ninguno. Por tanto, en rigor hay un tinico conjunto vacío, y por esu ha blamos de 'el conjunto vacío'. Pero, ¿por qué el conjunto vacío es un subconjunto del conjunte> {a. b, e, d}? Pues porque el conjunto vacío es un subconjunto de rodo conjunto. Y esto, a su vez, ¿por qu~? La tabla de verdad del condicional p

q

1

1

o o 1 o o 1

111\lruido con ese antecedente será, pues, vel'dadero. Y, en consecuencia. lilmpre se podrá decir con verdad que el conjunto vacío está incluido en n conjun to. sea éste el que fuere. El conjunto vacio es, pues. un bo:onjunto de todo conjunto. fenemos ya. pues, los dieciséis subconjuntos. Pero. ¿que es lo que ...., dieciséis conjuntos representan? ¿Qué representa, por ejemplo, el 111hcnnj unto (a) ·¡ Representa el hecho de que de Jos cuatro pare~ de 111nnciados

CP " qJ, (p " ..., q), C• P " q) Y

e-, P "

-, qJ.

"el primero, (p " q). es verdadero. Es decir: que ese subconjunto correstnlcr:'o a una conectiva cuya tabla de verdad ser~ la siguiente : 1, O, O, O. l•ubconjunto {b, d} representarA que son verdaderos los pares segund<> '""'lo, y falsos los otros dos. Corresponden\, por tanto, a una conectiva 1•' tabla de verdad seria tsta: O, 1, O, 1. Etcétera. Tenemos, asl, dieciséis

1

1

3

4

5

6

7

8

9

lO 11 12 13 14 15

1 o o o 1 1 1 o o o 1 1 1 o o 1 o o 1 o o 1 1 o 1 1 o 1 o o 1 o o 1 o o 1 1 1 o 1 1 o o o 1 o o 1 1 o 1 o l 1 1

1

l)

1 (1

p-+q

2

1 1

o

o ()

o

t)uc podrlnmos represenuor también a si:

1

o

1 1 1 1

,.

{

1

podr ía parafrasearse diciendo que un condicional con consecuente verdadero es ya verdadero independiente de cuál sea el valor de verdad del antcc:edente (casos 1-1 y ()..1); y que un condicional con antcoedentc falso es ya verdadero también (caso 0·1 y 0..()). Es esto último lo que no'

7

2

3

4

5

6

fl "-ot¡ -

-

-

p " q pAo(J

p " q

-

-

o pAq

-

'P "-,q

p

1\ (J

PA -,,,

-

-

-

' P" q

-

ll

-

'P 'P" ' q_.._

interesa. En efecto : decir que la clase A esté incluida en la clase B es tan le> como decir que, dado un obj eto cualq uiera, x, si x es un nliembru del conjunto A, enronces x es también miembro del conjunto B. Esta última expresión es, como bien sabemos, un condicionaL Ahora bien : si suponemos que ese conjunto A es el conjunto vacío, resultar:• que ese condicional tendrá un antecedente falso, puesto que, por definición , no hay ningún x que sea mjembro de la clase A. El condicionul

o¡

,

1()

1/ ,, " 1/

1ft " q

12

13

P"CJ

pAq

p " q

P" •q

p " •q

11

op 1\ q

-op Aq

'''"''' -

-

11' A

"'

,,, 1\ ., ,

14

15

16

-

-

p " q

p" • q

p "-,q

-op " q

-op 1\ (J

-o pl\ -, 'f

- . ,, 1\ ., 1{

-

-

La lógica de enunciados

90 IntroducCión a la lógica formal

E nto nces, la conectiva núm. 10, por ejemplo. oorresponde al suboon junto {c,d}. La núm. 13, al subconjunto {a,c,d} . Etcétera. Como el lector habrá observado. la oonectiva que lleva el núm. 1 es la oonjunción. El bioondicional es el número 7. La disyunción es el número 11. Y la conectiva que lleva el número 13 es el condicional Estas son las únicas que por ahora conocemos. Po r el m ismo proced imiento podemos llegar a establecer las cuatn• conectivas monadicas. Dado un enunciado, dos pueden ser sus valores :

1

91

cmt•c•tit.:ClS como fundonts tle r>erdad

l )o•ponemos ya, por tanto. de veinte signos constantes en total. "'"'"' dicho, un tanto vagamente, que la misión de estos signos de la lógica de enunciados - y de ahl uno de sus no mbres. 11 d• «conectivas>>- era la de servir de enlace entre variables, la de ""'"r proposiciones. Pero, ¿cómo podríamos caracterizarlas oon m!ts p! ¿Cuál es, en r igor, su naturale-m'l So>ll Jimciones. Frmcio11es tle vertlatl. O, al menos, como tales pueden

'"'""'es ""ún''

lfiHICI'Se.

es una fu nción? 1 lnpc'¡ ;m do por el principio, y a la espera de una definición m;i s lh 111 que en su momento daremos, podemos decir q ue una funciú n 1111 tipo especial de relación. De relación, ¿entre qué? l.unemos una expresió n como ¡ 4) 116

Es decir:

x 1 + 7.

b

a

p V-, p

Nos hallamos ahora ante un conj unto que tiene dos miembro)

11<1 valor que demos a x dependerá el valor de esa expresión entcr:o olunos a x el valor '5', la expresión valdrá '5 2 + 1', es decir, '32' ,,rle '2'. la expresión tomará el valor '11'. Etcétera.. 11 boen. con o tro ejemplo :

la, b}

E.l lugar donde nació :c-

Este conjunto tendrá 2', es decir, 4 subconjuntos. Estos:

{ <~\ l b} (ll, b\ "'· a los q ue corresponderá n las cuatro conectivas siguientes:

\ll'll vez de x escribimos ' Willia rn Shakespeare', la expresión entcru w nvcrtirá en una descripción de Stratford-on-Avon. Si escl'ibintt>s l ulh> Cortázar', estaremos refiriéndonos a Bruselas. Etc. lo>lllemos un tercer ejemplo. Sea la expresió n

p

1

2

3

4

1

1

o

1 1

o o

o

o

1

Todo ello podríamos representarlo también, como antes hemos bcch" así:

-

l

p

-

2

3

4

-

p -, p

-

o p

y es cl doble de x

1 • evidente q ue y está en funció n de x: del valor que demos ·' , )'t'lnlor;\ el valor q ue tome y. Si a x le damos el valor ' 12', y rom:u.> ••lo11 '24'. Si a x le damos, en cambio, el valor '273', y tomar.> ulo~r '546'. Por eso se dice que x es, en este caso, la variable 1'• miornte, la variable a la que le asignamos arbitrariamente un valor 1•l•1111Cra de entre los que constituyen su campo de valo res, mientms t ocría la variable dependiente, aquell a cuyo ''"lor queda automática"" determinado a l asigna rle un valor a la variable independiente"· tlnu función es. por tanto. una relación entre dos campos: el campo lito ¡.,, vulores que se pueden asignar a la variable independiente - u los tiiW " '"" "remos <
La número dos, es decir, In que invierte los valores de la proposiciúu de partida, es, como sabemos, la negación.

w1h H'

l.¡m tlr¡,c•,dic•'" del '';\lnt •)tnrKiull• • t' SI•• l' lt1 • l •u rW)~ el vaJor 36, el v.•IOI' llc , M''·• 1K, 11111• vuiM 2XO,d dC' \ \ l"f,l 1 In,'"

.-,.el

92 lntroduccl6n a la lógica formal

Ln lógica de $tl<:IO$ 93

que, en co rrespondencia con aquéllos, toma la variable dependiente - y a los que llamaremos propiamente «valores de la función». Así en el ejemplo citado, '24', en el primer caso, y '546', en el segundo, ; 00 los nombres del valor de la función cua ndo los valores del a rgumento de In función llevan, respectivamente, los nombres '12' y '273'. . Y pensemos, en cuarto lugar, en expresiones fu ncionales del siguiente tipo:

poodrlnmos caracterizarlo como aquella función - llamémosla ¡.,, ya 13 es el número que corresponde al condicional en la ta bla que Mmun dado de las conectivas diádicas- tal que, aplicada a dos enunciados tn unos determinados valores de verdad, da como resultado los siguientes Villmes: ~"'

fu(l, 1) ~ f u (!, 0) ~ / 13 (0, 1) = / 13(0, O) =

El autor de x es Henry Purcell

Podemos dar libremente valores a x. Podemos darle, por ejemplo. el valor 'Conc1erto de Brandeburgo n.• 1' P reguntémonos aho ra cuál sería el valor de la expresión El autor de1 Ctmdtrt() d4! Brandtbl4rgo

11.•

p

q

1 1

o o 1 o o 1

p~

1

o 1 1

q

1" conjunción, por su parte, podría representarse así :

1 es Henry Purccll

Este enunciado es falso. ¿Cuál será, en este caso, el valor de la función? En el primer ejemplo que hemos puesto, el valor de la fu nción era un número. En el segundo, el nombre de un lugar. En el tercero. de nuevo UIJ número. En el cuarto, el valor de la función es un 1)(1/or d<' verdlld. Según el valor que asignemos al a rgumento, la expresión seril verdadera o falsa. La verdad y la falsedad serún los valores posibles de la func•ón, el campo de valores de ésta. Si las examinamos ahora más de cerca, observamos que cada una de la• conectivas constituye una operación, que aplicada -en el caso de las
1 O 1 1

f,(l, 1) = 1 / 1 (1, O) =O

¡,(0, 1)

~ o

/ 1 (0, O)=

O

~,.~tono.

1 11 s conectivas pueden, po r tanto, interpretarse como funciones. Comn efecto : los a rgumentos de estas funciones son valo res, J o O, de los enunciados s imples In• valores de la función son también valores de verdad - los valores, 1 " 1), del enunciado compuesto con la conectiva. Son, pues, los valores !lo "'' dad Jo único que interviene. Mejor dicho: en rigor, es Jo único ••u lltldría intervenir. En efecto: un enunciado trans mite un determinadt) 1111omido y, a la vez, posee un determin ado valor de verdad. Pero al lll"mutizar, como hacemos en lógica, los enunciados concretos por varialit • de enunciado, hemos prescindido de los contenidos - irrelevantes ·1~ el punto de vis ta lógico- y nos bernos quedado tan sólo con ••· •~ posibles valo res de verdad. ~"' lnnes de verdad. En 1I111C, de verdad -los

1t

1••tlrt l'L'iÓtJ

de fimctores

l),wll el lector espera que emprendamos ahora la tarea de enumenor

••uncntar una a una las tres fu nciones monádicas que componen. 1111•• Ct>n la negación, las cuatro de la tabla, y asimismo las doce llu1o lunes diádicas que, sumadas a la conjunción, la disyunción, el condi"""1 y el bicondicional, hacen las dieciséis. No vamos a hacerlo, sin 11111,"~''· porque no hay ninguna necesidad lógica de ello. Y no la hay "'"'1"'' todas las demás funciones son reductibles a las cinco que cono"'"" Que son reducübles quiere decir que son definibles en términos ... <'<111<. ::;on definibles mediante las lla madas <
La lógica de enunciados 95

94 lntroduccíón a la lógica fonnal

en el que aparece el símbolo de que se trate en términos de otr,, contexto en el que el símbolo en cuestión ya no aparece. Definir contextualmente una conectiva consiste, entonces, en mostrar cómo puede sustituirse una expresión compuesta con esa conectiva por una expresión que no la contenga y que sea, desde Juego, equ ivalente a la primer:~ . Se trata, obviamente, de definiciones sintácticas, en las que no se hace alusión alguna al significado de los términos, s ino tan sólo a sus relaciones'~ Así, definir contextualmente la función que en nuestra tabla lleva el número 9 (y que corresponde, dicho sea de paso, a la disyunción excluyente)

o

1 1 1 o 1

In cual hemos definido uo contexto, 'pJ9q', en el que aparece 1~ ontctiva que se trata de definir, en términos de otro contexto, ·., (p - q)', fll 111 que la conectiva en cuestión no aparece, y que es, además, equiw•I~IH~ al anterior, como se puede ver comparando las tablas de verdad lit 11mbas expresiones 111

p

q

p+->q ' (p+-+q)

1 1 1 o

o

1

o o

o 1 o o

1 1

o

A•lmismo, podríamos definir contextualmente la función que hace el Ptlllulfo 6, del siguiente modo:

1 1

o oo o

Pf
= v 1 .(p A

q) v (o p

A

q).

So lrata> en efecto, de expresjones equivalentes:

consistiría, por ejemplo, en decir

Pf•q =o¡> (p -q),

r

14 De las cuatro funciones monftdicas nos hemos quedado tan sólo con la negación La5 otras tres son definibles por medio de 6sta >' de alguno d e lO$ functores diádic~~ En efecto : In funciún monitdica núm. 1, c uyos vaJore.'i son : J, 0} se definiría a..o;í:

p

A

expresión c uya. ta bla verdad es

Pfóq

1 (1

11 1

11

p.

'1

()

1

o 1

o

p

q pAq 'P opA q (p

1 1 1 o o l

1

o o o o o

o o 1 1

A

q)

o o 1 o

V (-,

p

A

<¡)

1

o 1

o

~h ~lcrn.

Nn es necesario, por tanto, utilizar las díecis~is funciones diitdicu• con cuatro de ellas más la negación. Pero todavía podemos ir más lejos en nuestro afán por economi ~:. · Podemos todavía reducir el número de constantes. 1od11s las funciones diádicas son, en efecto, reductibles a dos. E inclusn ""• •• dado elegir cuáles sean esas dos: Nu~ ba~la

111'""·

mientras que la definición de la función monádica núm. 3 serí.a p V !p.

oomo lo prueba la siguic n[c t:tbla de- \'Crdad p

op

1

o

o

1

Por Ullimo, la fu nción monádica núm. 4 tcndria, como defin ición

p

o p

p11.-,p

1

o

o o

o

A) O bien la negación y la disyunción. B) O bien la negación y la conjunción. C) O bien la negación y el condicional".

pv o p

1

ooncextuaJ. esta:

H lector se pregu ntará t~l vez por que no podemos tomar co mo fu nctores primil ivo!l 11 1111•11dón )' el bicondfclonal. t 11ll J¡, r,1zón de que. dadas cuatro oombinadones posibles de los v:tlorcs d<: vcrd1u.l, '" "' 111~ habr!• OOL'no mínimo dos casos en los que los valores d e verdad coir, cidau, y, 1"' ~"!Uff!, 11/cn•prc huhri1d os casos en los q11e el bicondkionaJ es \'erdadero. Nunc:• podl'lam• ~ll ,.,, l !~ llh J, \ldinir en lé...minos del biooncticion¡¡l la conjuncMm (\•erdadem en un solo c;J <~o) )'el ll•llt l111lul y fl' d isyunción (que S4~1 v cu un c¡a!'IO !lón f:tlsos).

96 lntro
La

Los comex tos en que aparezca cualquiera de las restantes funcione> diádicas pueden ser definidos en términos de contextos en los q ue ínter· vengan, bien tan sólo ...,. y 'v', bien tan sólo ._,, y 'A', bien tan sólo ._, . y· ... •. Veamos cómo. Es evidente que, puesto que las dieciséis funcione.' diádicas son reductibles a las cinco que conocemos, si mostramos que esta> cinco son reductibles a dos habremos mostrado que a estas dos son reductibles las dieciséis. Hemos dicho que en el lenguaje lógico los contenidos del razona miento se esquematizan mediante variables con un determinado cam¡x1 de valores. En el caso concreto de la lógica de enunciados o de prOpo$icione.. esas variables tendrán como campo de valores el conjunto de los enunciados 7 6 • Serán variables de enunciado. Una expresión como (p " q) .... (q " p)

es. en realidad, un esquema de infinitas expresiones: el esquema de Ja, infinitas expresiones que podriamos obtener sustüuyendo 'p' y 'q' "'" enu nciados distintos e1da vez. J>ues bien: ahom, Hl mostrar cómo unas conectivas pueden ser defrnid:~s en términos de otras, vamos a urilizar, no ya variables, sino ooriablf., de lllrrlliiJ/es. mctnvariables. Y asi como las variables 'p', 'q', 'r', 's', 't', eto. pueden ser sustituidas por pro posiciones cualesquiera, as! nuestras meta variable~;. 'X'. Y\ ·z·, etc .. podran ser sustituidas por cualesquier:t expresiones co mpuestas de variables de enunciado. Utilizamos meta varia bies pu ra ha blar acerca de expresiones construidas con variables de enuncio do, p:u11 met~c/(JIIar variables de enunciado. Ellas pet·tenecen, por tanto, a l metalenguaje. Son, pues, va riables mewlógicas, y, señaladamente, silltácticas, pues en las ex presiones en que aparecen sólo se hace referencia a las relaciones entre secuencias de signos, y no también, por ejempJ,, al significado de éstos. Así pues, del mismo modo q ue una expresión como

é1e oounciados 97

uomutilarú cualq uier esquema de disyunción obtenido sustituyendo las llhks metalógicas por variables lógicas, que podrán ser sustituidas tu •w. por enunciados concretos. La expresión 'X v Y' puede ser tnuutn, entonces. por p

....

V

q

{p A q) V (q

[p-+ (q " r)] v [q

1\

r)

-+ (p "

r)),

1 •••

.\1

Negación y disyunción

\ ·•1nns a ver, entonces, utilizando variables sintáctica~ OOmo, eo primer pueden definirse las restantes fu nciones diádicas eo términos d~l 1•11 m•¡¡acíóiJ y del functo r di.
1111111,

l 'tll'< bien: he aquí esas definiciones.

1

p

V

q

esquematiza, según acabamos de ver, cualquier disyunción entre enunciad•" concretos, una expresión como

X v Y

1'

(X

A

Y) • , 1.-, (• X v-, Y).

1• decir: una conjunción de enunciados cua lesquiera es ll ohl ojcmplificación de tu " '" lc\gieo:

Oteho de otro modo: ese campo de valores tieoe: dos ektn(n1os d valor \"'Crdad y rl n lor !dt
e.~a

expresión metalógica la constituiría c.'t"

(p " q)...,. -, (o p v -, q) n .\uthus expresiones son, efectivamente, equ ivalentes, en el sentido dt• ll•·ncn la misma tabla de verdad.

,,

(.Y-+ Y) =

o¡.(o X v Y).

t tJ.
~• Eo ri¡or. y supuesto qut: ck los couociados en general sabemos que pueden '1 ti<'ncn que se-r o bkn ~rdaderos o bien bisos. podtlamos decir que el campo de valores de "'' , ..r.abb atA c:vnstuutdo por eJ conjunto ~

t, O

equivalen!~

1• III'WICión de la disyunción de esos enunc.iados negados a su vez.

[(p A q) ... r ] - [o (p A q) v r). 1 111114' ~remos

al final dt este apenado, el bicortdieio.aal sirve para e1prc:.sar. "" tllron¡ tMJC 16t;ico la relación met;tlógic:a de equiwaleocia.

1'• th<'lllt' en ~jcmpiM com.-l ~~ 1 th j\lfd' ( ' , /1 V q)

'IC:'

~'"

IIIUC\'Cn, disparo' ('p- q"), cqutY21knte a 'N"

\t"

98 lntrodvcclón o 18 IOglca formal

3.0 (X- Y) ~

Ls lógica de enunciados 99

Of•..., [ • ( •

X

V

Y)

y

V ..., (•

V

X)).

Esta tercera definición parece exigir algún comentario, relativo al proceso mediante el cual hemos llegado a ella. Así es como hemos llegado: Comen¡:amos definiendo el bicondicional como una conjunción de oondicionales (X ..... Y) =

Df• (X

.... Y)

A

(Y .... X).

Definamos despu~ la conjunción y el condicional en términos de negación y disyunción. cosa que ya sabemos cómo hacer. Lo haremos en dos pasos, definiendo primero los oondicionales que van dentro de los paréntesis: [(X .... Y)

A

(y - X)]

B

Of· [ ( • X V Y) A (•

y

V

Antes veíamos que la conjunción de dos enunciados po
A ...,

Y).

En efecto: decir que una cosa es condición de otra es tanto como deCir que no es el caso que se dé la primera y no se dé la segunda. Por ello, una forma mAs de expresar un condiciona~ 'si p, entonces q', lería ésta: 'No p, sin q', ·no se da lo enunciado por p sin que se dé lo enunciado por q·. ).• (X .... Y)= Df• [-¡(X " ..., Y)

A ...,

(Y

A ...,

X)].

X)).

En efecto: Y ya sólo queda por eliminar la conjunción. Puesto que (X [(• X

Y)

V

A (•

y

A

V

Y) = o/·..., (• X X)]

V ...,

= Df·..., (-¡ ( ' X

V

(X .... Y) -

Y)

V ...,

(-¡ y

V

X)].

Y) =

Df·--, (-¡

X

A -,

X vX

La función moMda nUm. l (recuérdese que fa núm. 2 era la propia negación)

Xv-.x 1

l:a núm. -4, qucdaria definida como o(X v o X)

A ...,

Y) " ..., ( Y " ..., X)]

C) Negación y condicional

También podrlamos tomar como functores no defmidos -y definio· términos de ellos todos los demás- la negación y el condiciona 1 Del siguiente modo :

10

2.0 (X

A

-+

Y) 8 Q.

Y) • .,1.-, (X -+-, Y).

3.• (X- Y)

= ,1.--, [(X .... Y)-> -, (Y .... X)].

(X- Y) - Df• [(X - Y)

ddiniria como antes (peto ahora ya utilizando variables sintictic:a.:sl:

= [)¡·

En efecto:

Y).

, . Qucd11 charo. por otra pa_ne. que podemos también prescindir de Jas Olras Ir~ (unciones monAdic:aJ (dr, 1• noll 74~ pues son también defmjbles en t·érminos de negacibn y disyunción. En dccco: la función monádica mim. 1 quedaría defmida CQmo

En cuanto

(Y .... X))

t.• (X v Y) • O/·(-¡ X

Pero tambien podríamos definirlos en términos de contextos en Jos que intervienen como únicas constantes la negación y la conjuncibn. En efecto: V

A

[ • (X

Negación y conjunción

1.' (X

[(X - Y)

Y),

Queda claro, entonces, que podrlamos prescindir de quince de las d ieciséis funciones diádicas, lim.itúodonos a definir Jos contextos en que aparecen en términos de otros en los que intervienen como únicas constantes la negación y la disyunción ' 9 • B)

Of•

!ti<

A

(Y- X)] = , ,. ..., [(X- Y ) .... ..., (Y- X)J.

De veinte funciones hemos pasado a cinco, y de cinco hemos pasado • dos. l>ero es m3s: de dos podemos pasar a una. Y esa una pueden ser dM. Hay dos funciones diádicas, en términos de cualquiera de las , .,,,les se pueden definir todas las demás. •• Ln diJ)"Inción podrta 1oduso dd'ínirsc mediante el condicional e.xctushot~T~Cntc. s:in de emplear 1amWn la nq;.1ci6n:

r~~c.ntdAd

(l v n

.,ux - Y)-YJ

LB lógica de enunciados 101

100 lnlro
,

Esas dos funciones son: 1.• La función que en nuestra tabla ocupa el número 14, conocida con el nombre de 'incompatibilidad', 'negación alternativa' o 'función barra de SbeJTer·e•. Esta función se representa así:

plq. y tiene esta tabla de verdad

1/

p q

p vq

1 1

1 1 1 o

o

1

o 1 o o

1

a o

o

,.

X

,.

X .... y -

A

1

o

Y~

(p 1p)

(q 1q)

[(p 1p) 1(q 1q)]

o o

o 1 o

1 1 1

1 1

o

o¡. [( X 1Y) I(X 1Y)). O[·

[(X 1X) I(X 1X)] I
P q Plq 1

o

o 1 o o

1

1 1

o

1

1

rnzón por la cual se la conoce también con el nombre de 'negación de la conjunción'. 2.• O bien la función número 4, 'negación conjun ta', 'función Oecha', o negación de la disyunción: P q

nq

1 1 1 o o 1

o o o

o o

1

Veamos cómo pueden reducirse a la incompatibilidad las cinco fun ciones bilsicas: 1.•

X v Y=

l>f·

[(X 1X) 1(Y 1 Y)).

A m~ expresiones son, en efecto, equivalentes, como se puede mostrar con un CJCmplo : (p

V

4 • X - Y • Of· ({[(X 1 X ) 1(X 1X)) 1(Y 1 Y)} 1{((Y 1 Y) 1(Y 1 Y)) 1 l 1 \')1 ) 1({[(X 1X) 1(X 1X)] 1(Y 1 Y)} 1{[(Y 1 Y) 1(Y 1 Y)] 1(X 1X)l) 1'11 efecto :

l .. Y) • o¡· [(X .... Y) "(Y .... X)] = o¡· {[(X 1 X) 1(X 1 X)] 1(Y 1 Y)l A { [(Y

1 Y) 1(Y 1 Y)) 1(X 1X): ·

llc donde, en virtud de la definición de la conjunción en términos .. l11 incompatibilidad, obtenemos la fórmula arriba desarrollada. 1 " -, X • o1· (X 1 X).

ANI pues, incluso la negación, que parecía irreductible, puede ser· lltllnldn también en términos de esta única función. t ltro tanto podrlamos hacer utilizando, en lugar de la incompatibilidHll, lrt ""~ución conjunta o función flecha. 11 nadie escapa que estas posibilidades de reducir el número lit• .."'hines tienen un interés puramente teórico. Porque en la práclr<•• """" lo prueba, por ejemplo, la luenga defmición del bicoodiciorml 111 ltrminos de la incompatibilidad- , el uso de una sola función, y a{lll .. 111ln do~. complicaría grandemente las fórmulas y baria el cálculo punte' ..,""' que inmanejable. \In o lvidar, por IJinto, la posibilidad que en teoria tenemos de preslltllr de nlguoa o de todas ellas, seguiremos utilizando la negación. 11 ""')unción, la disyunción, el condicional y el bicondicional.

1 1 1

q) ...., ((p p) (q q)). t~UhJ/t~yltLt.

" 'Fu n~o ~• u-m. ~ ' ~re1 modo como aoostumbra a rt:pre$mt3f'Se. •De Shdfer·. por tt nombre de qu~en cnuna6. en 1911. la pos1bilidad de definir 1odas las demj.s runcionrt en lhrnioM de &ta.

cotttradicciones y expresiones (OTJSist.entes

llcrnu~ entrado en posc.
102 Introducción a la lógica formal 82

de «hablnrlo» • Esramos en disposición de servirnos de él, ya sea parn analizar expresiones del lenguaje natural y lraducirlas al lenguaje lógico reduciéndolas a su forma, como cuando traducimos la expresión A no ser que se produzca un mila&ro. esta seri la Ultima "" que Henry Jdc)lt p.en.sa con su propio cerebro y vea su imap reftejada en el espejo (R. l.. Steven.son)

de esta forma (o p ~ (q

1\

r)];

ya sea para componer direC1amente esquemas de enunciados que, provisto; en cada caso de un contenido distinto, pueden dar lugar a infinito., enunciados concretos, co mo cuando formulamos, por ejemplo, el esquema ((p

1\

q)

-+

r]

-+

(p - (q --+ r)].

Por lo que se refiere a esta última posibilidad, es evidente que podem
1\

11o

que si es verdad qu. e lo enunciado por p es condición d~ ~o

i~Mne~ndo por q, y es también verdad que no se. da lo enunCia ~ ~. rntollces es verdad que no se da lo enunCiado por p. Aq~~

mo también en el caso segundo ('si y sólo se.•. entonces...'}- =~­ l ha unas premisas y una conclusión que se mfiere _de ella~ K t~ata, por tanto, simplemente de esque~as de en.uncaado.s, ,SIDO, lOca mente de esquemas que presentan relncaones de anfere.ncaa entre =··ludos. Sustituyendo las variables por de~crminados enuncaados sam: ubtendriamos un razonamiento, un enuncaado compuesto en el q~e prn.a un razonam icnto . Es este .último tipo de esquema de eounaa o . 11ut sobre todo interesa a la lóg¡ca. luda ciencia es un s istema de enunciados. De. enuncaados que s~ 'l'llllll\o,,.,. de un modo más o menos lejano, a los ob¡etos de ~os que esa "'llft
fl'

e

;e

e

r)

Etcétera. A hora bien: si esto> esquemas -y otros con los que hubiéranw • podido prolongar la serie- son, todos ellos, esquemas de enunci:t dos, es decir, esquemas que se convenirán en determinados enunciad<>' compuestos cada vez que sustituyamos las variables por detcrminadm enunciados simples, no todos ellos son esquemas de inferencia.83 Porqu,· no en todos ellos se infieren unos enunciados a partir de otros. ru efecto: en el primer esquema, por ejemplo, lo único que hacemos " ' enunciar la conjunción de p con la disyunción de q y r; y en el cuartu enunciamos que o bien si y sólo si p entonces q, o bien no-q y r En ninguno de estos casos existen premisas ni conclusión. Por el contrario, en los casos segundo y tercero estamos enunciandu esquemas de inferencia: cstn mos diciendo en el caso tercero, po r ej c111 u Habl.tr de«
((p ..... .;) 1\ (q - r)) --+ (p --+ r} [(p " q} -> r) _, (p v r) [(p 1\ q} - p]--+ [(q v r) " ('""1q " .., r}]. •llnn vAlidos los tres? ¿Se trata de tres formas vMidas de razonar? rMrnn•lo por medio de las tablas de verdad. . 1 11 rrimera expresión es un condicional. Hallemos, pues, en pnmer , In" vulores de verdad de su antecedente: p

q

r

1 1 1 1 1 o 1 o 1 o 1 o 1 1 o 1 o o o 1

o

o o o

p-q q-+r 1

1

o o 1

o 1

1 1

o

(p - q) " (q - r)

1

o o o 1 o 1 1

ltlllt• 1111ünílmicnto t~nc o. como ~on• u ~o~111 , l)\1\"~e 11c:r rcducklo 11 (", nl,hHltlmenlc, de u n bí~•Huhdttn·•ll

1.1 rurnll•

d~

un

Ln lógica de enunciados 105

104 JntrodlJcclón a la légica formal

Y C,tos serán los del tercero:

y después, los de su consecuente:

p q

r

1 1 1 1 1 o 1

J

o

o

o 1 o

1

1

~ q) (q- r)

(p ..., r)

1

[(p

1

o o o 1 o

~

q) A (q ~ r)) (p ~ r)

~

1

1

1

1 1 1 1 1 1

1

1 1

1 1

pAlf

(p

A

q)-> r

o o o

1 1

pvr

[(p

o o o o o o

q) - r] (p v r)

A

1

1 1

1 1

1 1 1

1

1 1

o 1

1 l

1 1

1 1

o 1 o

q

(p

A

q)

->p

1 1 1

qv

--, ,

o o o 1

1

1 1

o

1 1 1

1 1 1

o

o o o

o 1 o o o 1 1 o

o o

1

1

1

((p A q) - p] - [(q v r) r) A (o q A o r)]

<• qr) (q (ov r)q

A --,

1 1

1

1

r --,q

1

o

A

A --,

o

o o o o

o o o

o o o o o o o o

Nos encontramos, pues, con tres tipos distintos de expresiones, con " d 1~1 iotos tipos de esquemas de inferencia : t.• Aquellos cuya tabla ·~otdnd da el valor verdad eo todos los casos, es decir, aquellos IIU• •un verdaderos para todas las combinaciones posibles de los valores de ""''1 de los enunciados que los componen. 2.• Aquellos otros cuya flhlu de verdad da en ocasiones el valor 1 y en ocasiones el valor O. ~ 1''Aquellas o tras expresiones que son falsas en todos los casos posibles, ltltillllns cuya tabla de verdad da siempre como resultado el valor fall'ocs bien: de los esquemas de inferencia del primer tipo se dice 110 Mun válidos. Se les llama a ·veoes tautologlas. Las tautologías son, '" '• ~nunciados formalmente verdaderos de la lógica de proposiciones fi" 1cp1·csentan otras tantas formas válidas de rnonar. A los enunciados on todos los casos posibles, formalmente falsos, se les Uama contradir~"'· Y los enunciados que son verdaderos en ciertos casos y falsos "" 111• es decir, que no son formalmente verdaderos, pero tampoco fals(l• 1n111lmcnte- reciben el nombre de expresiones consistentes. Mcdinnte el m6todo de las tablas de verdad podemos, por tan lu, 101111r la va.lidez de un esquema de inferencia. Para decidir si """ 1111111 de razonar es válida o no, basta con hacer su tabla de verdud. 1 111 Cll bo de ésta encontramos que todas las combinaciones posibles lit hrM vnlores de verdad dan como resultado el valor verdad, entonces lllloiiiiiS que se trata de una forma válida de inferencia 8 '.

.¡,.,.

--+

1 1 1 1 1 o 1 o 1 1 o o o 1 1 o l o o o 1

A

l~d

En cuanto al segundo esquema de húerencia, su tabla de verdad arroja Jos valores siguientes : p q r

p

o o 11 1 1 o 11 1 o o ll 1) 1 o no o o 1u 1 1 C) o

o o

o

1

Los valores de verdad de la expresión entera serán, por tanto, éstos : (p

1

1

1 1 l 1

o 1 o o o 1 o o o

A

1'

1

oo 1

, ,,

P ... r

1

o 1 ()

u

Htllrc los varios procedimienlos de decisión, set\alemos por ahora, junto al de las da vc•·dad., t i llamado t(métódo de reducción al absurdo». Consiste esencialmente ¡,, • IJiulcuce: lo! •IMulcnte expresi6n:

108 Introducción a la lógica IOtmal

La

¿Qué quiere decir que una forma de razonar es válida 1 Quiere decir, record~moslo, q ue, para cualquier razonamiento que poda mos hacer con esa forma, si las premisas son verdaderas, entonces lo es ta mbié•1 necesariamente la conclusión. Lo cual a su vez quiere decir que, C·Uando un razonamiento es forma lmente válido, resulta contradictorio afirmar sus premisas y negor su conclusión. Por ejemplo : puesto que el esquema de inferencia [(p - q)

A

(q ~ r))

-+

(p ~ r)

es, como antes hemos visto, válido, la conjunción de sus premisas con 1" negación de su conclusión (p - q)

A

(q ~ r)

A -,

(p -+ r),

Partimos del aupucsto de que es falsa, de que ¡e trata de una contradicción, y u. desarrollando las oons«ueocias de es1a hipótesis. venilnO$ a caer en una inconsistcnci.•. entoncc:s habremot de retirar la hipótesis '1 co11duir que la expresión es Yerdadera, que es un,l IJutolo¡la. Comencemos suponiendo que la expresión es- ratsa. cosa que indicamos ey;ribicnd.,

de enunciados 107

• unu contmdicción. Así ocurre en este caso, como podrá comprobar llltrlor por si mismo. ll~n ndo el lenguaje de la lógica de enu nciados podemos construir un IOmero infinilo de ••presiones esquemáticas. De eUas, unas serán sim· lltmcnte esquemas de enunciados y otras serán, especificamente, esquemas ilt tnfcrencia. Usando el lenguaje de la lógica de enunciados podemos IDR•Iruir infinitos esquemas de inferencia. De éstos, unos serán válidos utms no lo serán. Usando el lenguaje de la lógica de enunciados fDnadas, ya sea por la regularidad con que se dan -es decir. fllr la frect1encia con que los sujetos construyen razonamientos de es:• IMro,. . ya por su importancia en el razonamiento científico o en la 1•uncntaci6n ordinaria.

tn de la

16gietr

d~

enu11ciadoJ

el símbolo de la falsedad debajo de la conectiva principal : ~-.p-.

[(p "q)- r]- [p -(q -r))

o

So· lu conoce con el nombre de ' Ley de Doble Negación' 88 .

Ahorn bien : puesto que la expresión es uo condicional. si es fa lso sólo puede serl,, por unu razón: porque Ju antecedente es verdadero y su consecuente es ralso. Es dec•t ((p

A

q) - r] - (p- (q - r)]

1

pl1.

o o

l)cro el OOn!lcwcntc el, n &u va., u n condicional. Si, como hemos de suponer, es lo ser<• sólo pOI'QliO su ;mtcC4.."
faho~•

UM propiedad espc:cificn de~ conjuntos infin itos -es decir. de aquellos conjuntn~ \111 número infinito de miembros - es que son equivalentes a algu no d e sus subconjtJntu'l ,.,.,~ Alll, por ejemplo, el oonjunto de los oC1meros naturales tiene tantos mjembros conll• c:l lilllhtlle kl!l n(•mc:rot pátcS o como t i conjurato de Jos nümeros impares, o como el co njunh) ••

~~•

tlllmcros prirDOJ, o OOi'.lO el conjunto de los números cuadrados (siendo como es cual

,,." ,¡., 6!1IOJ un subconjunto de nquel): 1, 2, 3, 2, 4, 6,

[(p" q) - r]- (p- (q- r)J 1 1

o

o o

l . 3, 5. 7, 9. 11, 13, 15, 11, 19.• 1, 3, 5. 7, 11 ,13, 17, 19. 23, 29._ J. 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. 81, 100...

Y si e l con~ccuentc del consecuente es falso es que su antecedente es \'erdadeto y ""

consecuente es r11tso ((p "q)- r ] - [(p- (q- r)) 1 o tO J OO Conoccmot Y*. puc-. lo11'valores de vt.rdad de las tres variables (p- 1; q • 1; r = lit que etla'íbhcmos lt~mbiCn en el antecedente: ((p A q) -rJ- (p- (q - r)) 1 tiOOIOIOO y ha turgido )'1 la inconSlSICnCiol. Eo d'OCCO : pan_ia_mos del SUpuestO de (IUC el l.nteoedcntr· que es un cond!IC~oal. era \'Crdadero. Pero be aquí que si bien e) anteocdcnte de t"lf' - que es una conju.ncióo u vudadero - pues fo son p y q, sus ouembros-. su CHM $CICUC.Die _,__ es fabo : y entonces d co"J.idonal n falso. en contra de nueslta hip64<"'n micial. Y pucsco que nuestra hipótests i.n_lc:ia.l era que la expresión era ratsa, y puesto que c."\tll hipótesis nos ha llevado a una coottadi<:c:iótt.. podemos: concluir -de acuerdo con un csq~m.. Yilido de rt.zonam)(lltO que luetQ presentaremos- que la expresión oo t$ fa1S3. su~· ~ercbdera. Que es u.a.a lautoJoJia que enuncia un csquc:ma válido de inferencia. Cuantltt 1~ contradiC06n no su rae. entonttS a que se trata bien de una C'ltprcsión contra.ctic."toria, b~n ,.. un:.a expresión constne:nte.

4, 5. 6, 7. 8. 9, 10.. . 8. 10,12, 14, 16, 18, l(l...

lk! lam•l modo, el conjunto de las infinitas expresiones oonstruibles en el lenguaje d o 1.1 ...... tlr enunciado& tiene u n subconj u.nto, tambil!n infinito. que es el de las expres.ioncs 11uc• "tl•n e~Kaue mu de inftreoc:i.a. y C$-te a su vc:z. tiene un subconjunto infinito q ue es el eh: h111 ,.,,.¡uru:li que enuncian esquemas vAlidos de inferencia. •·· 1'11 lógica de clucs: - - A•A ob~ - -Ac:A Nu hay duda de que se lrata de un esquema válido: puesto que estamos ope:f'ó\ndn ,.,Jn doi valores de '''Crd.ad. y puesto que la aplicación de la función negación a ur• l•du htlce que se mv~erta d valor de '~rdad de éste. uoa oueva aplicación de la funciim ti \'alor de verdad se in"'ierta nueva menee y vud'>a a ser el mismo que antes de b •Jlfk.U.IÓD,

1 n 1• n~r.•l. por &anto:

• • P-P

,,,,_..,p • ••• p-p , , , l l p•• , p lloflf'U

108

Introducción a la Jógfca formal

[(p " q)

H

3.

p ~ {p

V

(p ~ q)..., (•

q...,-, p)'r.

uy de contraposición (del ccmdicionol) 93 . ~

5. (p. 1\ q)

(q

1\

(p

V

q) _, (q

V

(q

r)] 91" .

A

[(p

'1

V

q)

r) _, [p

V

V

(q

V

r)) 9f•.

l.cy de asocwtívidad de la disywrci6n.

O. ((p ..... q) ... r]

1

-> (p .... (t¡ ....

r)]

10

"'.

/,cy de asociatividad del bicondicional 101 .

p)....

Ley de conmutalividatl da la ccmjrmción.

6.

A

J.q de asocwtloldtul de la conjunción.

q) 9 ..,

A 2 y a 3 se les llama ·uyes de simplificación'' 1 . 4.

r) ~ [p

A

[p " (q v r)) ..., [(p

11.

11

t¡) v (t>

A

r)) 1

°

2

'.

/,e y de distributivldad de la C()rifrmci6n por llr disyunción.

p) 95'.

uy de conmutatividad de la disyunción.

12. [p

V

(q

1\

r)] _, ((p

V

q)

1\

(p

V

r}) I W.

1~y de distributiPidad de la disyunción por la conjunción. 7. (p .... q) .... (q .... p) •••.

Ley de connmtatioidad del bicondicional 91•

13. /,~y

,,.

En

l ó~ca

Supongamos, por ejemplo, que A • 0.2,3,4,5: y B = ( 4,S,6, 7,81. Tenemos, enconces: A " 8 • 4, .S. Y es evidente que (A r. 8) <= ' '· pueoto que ( 4, S) " p, 2, 3, 4, S}.

(p A q)- q q-(pvq)

'J

r)) -o [(p- q)

A

(p-or)] ' 0 ...

de distributividad del condicional por la conjunciót¡.

14.

[p- (q v r)] ~ [(p -o q) v (p ... r)) 1

•>·.

l ,I'Y de distributividad del COIIdicional por la disyunción.

15. [(p--> q)

A

(q __, r))-+ [(p-+ r)) 106'.

A e (A u 8).

' 1 Conociendo hlll condiciono¡¡ 00 verdad de los e nunciados oonjuntivo.s y d e lo11 enunciados disyu.otivos, la Vlllidcz de citos dos esquemas resulta obvia. En el a..so de 1ft le)' 2. si la premisa, tP " q', es verdadera, lo Kra también la oonclusj6n, 'p', puello que, tdcnd'' la premisa un~ ooqjundón, sólo seri verdadera si Jo son sus dos miembrot., uno de lc1~ cuales constituye la oonc:lusión. De i&ual modo, e.o el caso dt la ley l. y puesto que: para que una disyunción sea verdadera basta oon que lo sea uno de sus micmbroa. '' la premisa. ·p·. es \'C.rdadert., entonces Jo scrj, l1 QOodus•ón formada por la disyunción de·; 0011 cualquier otro eounci1do. JC:a cual fuere el
•-z•

A

de d~ (A 1'\ 8) <= A

90 •

[p ..., (q

(A e 8)- (-8 e:: - A). Hay &ambién; por otra parle,. una l.Ay d~ con1raposlci6n del bicoltdicLrm.ol: (p~q)

-(.., q~-,p) [En lógica de clas..: (A= 8) - ( -8 =-A)]

' ' ' (A n 8) <= (8 r. A); o bien (A n 8) • (0 nA~ Es decir: (A" 8),;; (B nA~ " ' (Av 8) ~ (Bv A~ " ' (A • 8) - (8 = A~ 97

Ni q ue decir tiene que el oondlclonal no posee la propied{ld conmutativn. Por dcf1 cs11w l0s introduciendn un •.m lcu en la relación en1re estos dos cnunc:U.dos. estamos d1u1d•t ,me" id:ad prioridAd lóg,jc,, a p sobre q.

nición no la posee. En efecto: 111 decir •¡¡ p, entonces q',

l.ry de tra11s itividatl tlel condicional.

16. [(p- q)

A

(q +-+ r)] ..., [(p ,.., r)] 10.,..

1·''Y de transitividad tic/ blcondico11nl. "" [(A 1'\ 8) r. C) ~ (A 1'\ (B 1'\ q). ·•· [(Av B) v C],;; (.t v(B v q), ' ' ((A = 8) • C] - (A • (8 • q), 1• 1 EJ condicional no pOSee. tampoco, lll propiedad asoaativp.. Si la peseyera,sv rornwl.• ft trl.L ésl3:

c:•w expresión, como puede compr-obar el lector mediante aJguno de los no es una utu1ologla. No es, por lltnto, una ley. (A n (Bv q ) E [(A r. B) v (A "C)], fA V (8 r. q] ¡; ((A V 8) n (A u q), 1A <= (8 1'\ C))- ((A <= 8) A (A <: C)l.

U••d~olu!l ,

'"'' ""•

'"" ll!h

111 "-

I A c: (O uC)]- (A c iJ) v (A c I(A c H) A (B c: CH •(A• (1

..... IIA

" 11) " (11 •

01 •l t 1

'11

n i

rnét r~o~.ll •'l

La lógica de eoonctadOS

11 o lntrodiJcclón a ta l6gíca lomw

17. ((p " q) -+r] .... [p-(q .... r)].

22. ..., (p

Ley de exportacú:in 108•

l.o'J' de De Morgan 111•

18. ( (p v q) " (p -+ r)

1\

(q .... r)] .... r.

2l ..., (p

Ley del dilema constructiuo 109.

.~•·¡¡unda

19. ((p v q) " (p ... r) " (q ..... s)]-+ (r v .•).

[(p

)4

Segunda ley del dilema ccn.structivo.

1\

V

q)-+ (• p

q)-+ (•

p

V...,

q) 111" .

1\-,

q)" ""·

111

ley de De Morgan. V

q)

1\ ...,

p) -+ q.

1' '' tle iliferencia de la altenwtiua •• •.

20. [(• p· v ..., q) " (r .... p) " (s .... q)] -+ ( • r v ..., s). ]). [(p

Ley del dilema destmctioo.

V

q)

1\ ...,

q) -+p.

.~•'r!ltnda ley de itiferencia de la alternatitJO '".

21. (• , ..... p) ..... p .... [(p .... q)

}(t.

Ley de Cltwlu.<.

1\

p] ..... q.

Mmlu.1 ponendo ponens 116• [p - (q- r)J- [(p

A

q)- r)

s.

.O 6tbt..otlfiJofola;r o - dt4atmo• •aeer•• 1M 6r.Or:..c" ll~. C:Mollele$ ck~ ...._,\o ao .,_...., hl
Esta Uf'#urnenll\ción tiene estructura do djJcma. Su form~. en erecto, es ésta:

((p

V

o p)

A

(p- p)

1\

- (;tro B)to ( -A v -8). •u A csca ky y a la siguiente se les llama 'Le)"'eS de De M orpn' por Aup.ihl\ W1upn, QU(\ SI bien no fue d primero en lormuJarl-as (pues hubo quien lO hilO )3 h t dlllll Media~ si fue quien las redescubrió en el si&lo ••~ para la lógica conce.mporlwe.l llh - (Av 8) 10 (-A() - 8). •• • A eru1 ley, y a la que la .sigue en nue:5tm e numeración, se les ha venill•• lhtlllllu •csílo¡ismo& disyuntivoS». E.ste modo de habfnr no es.. sin e mbargo, mAs que un11 .... ~~~" u ll' tradK1tón .Estos esquemas d e infcrenein 110 son sUogismo&, '1 nos l>'ll'ct.'t ••11!111 e unn buena razón para no dat·tcs ese nombre. 1! • 111 tcccor, lle~ado por consideraciones de simctrla, podría sentirse inducido a pcn'\111 tuubl6n ton vilidos estos dos csqucmás : '" '

oonocc con ef nombre de U1 de I"'I'O''tari6•. ' " En ¡u Protrlpdco dice Añstótela:

.te fa

(o p - p)] - p

En el DIPfche de Toulause (4· X-1937) tp;lrect citada esta frase de un mlhctano ti• At iUrias:

[(p

En ¡imboloo:

V

q)

A

p)--, q

[(p vq)Aq]--,p (-,p-q)A(p -q)

Conclusión: 'q', es decir. ·qué importa morh•'. J,ucsto que no hay más que d os allcrnotivas (que Aristótdes ror mula cxpllciuunc:nh• )' elrnilk:il•no no), a saber, que se de lo enun ~il•do por p o que se de lo enunciado por nn ,,, y pucstó quo ambas oonduccn a un ml-.mo resultado, forzoso es afirmar este rc!lull:uiH oomo verdadero. 1 10 Lo que c:$tc: C$CI\I ema - llamado :t \'eoes conseqeu~ntin miriJ bili~ viene a ded, et lo &•guic:me: Cuando hasta la oe,ación de lo eouociado por una proposición t'lll condk:Km de Jo enunciado por ésta. podemos oonctuir que Jo toundado por bita r vc.rdadtro. Cuando -como deda Ardtóleb ct1 el 1ex1o que bemos a tado en la n••t.• anterior- huta para dejar de bao:r filosofta a necesario h3c:cr ftlosofla, es que h .•, que hacer filosona eo todo caso. Se le llama 'Ley de Oavius· por e l nombre del iCJml.. 1"''1~,~• 'l"t' ,.,. f l '"Jtkl \\'1 rue~unll• l de haberla enunciado por va pri1nerot.

1 " ¡1.,tMIIIC de renex.ióo bastará, s:in emba.r¡o, para que se -percate de que no c11 "' 1 1ti~y 11 ne,.'lón que con5titu)'t Ja primera p 1oemisa 11 0 es e.xduyeote. Si es verdadera c11 h• es :ll menos uno de sus miembros o porque lo $0U los d os. Por tnnh,, tul~elllld dé uno (.Uafquiera d e ello1 puode deducirse la verdad d el otro (de ote•u , 1·• tlcclr, 11i a mbos fueran f:~lsos, la disyunción seria fals..,. siendo as:i que t:SI:Hllc)S "obt'C 1~ base de que las prellli$3S son \'Ordaderus). Peto de· la vcrdud de unt, •11~•11 110 puede conduirse la fa l.sedad del o tro. 11 • 1\ l'..;¡tll ley se la conoce eon el no mbre qut le dieron los lógicos ~dievt,lcs. , ,,;~liJO W"~IU· quiert decir: aquel modo de: nuonar. aqudla forma de 1nftrc.nc1a .n,un.onMIU} como verdadero lo eru.muulo

:¡::•"''"''''

r,-

·~~~1~utnte.

11

,l•n• In ro~16n por 1a que d C:'\4.JU('nM "

lltl "-''"'·htiMal.

\¡\h(t..l no hace más que: doi..lff\~ll:u ~1

1..8/ógica ele enunciados 113

112 Introducción a la lógjca formal

27.

((p-+ q)

A

o q]

-+

Modus tollendo tollens

Podríamos seguir enumerando leyes. Podríamos escribir infinitos libros tn lns que nos limitáramos a enumerar infinitas leyes 118. Pero esperamos qu~ baste con estas veintisiete para que todo, a este respecto, quede

o p.

117

.

'""'·

Etcétera. 111 A esta ley se la oonooe coo el nombre que le dieron lo s lógjoos medievales. 'Modus tollendtJ tQ/len..~· quiere decir: aquel modo de razonar, aquella rorma de inferencia que, afirmando que se da u na relación oondicional, y negan do (wllendo) q ue se d é k• enunc..-iado por eJ oonsec:uente, deduce. como (also y niega (tollen.s) Jo enunciado por el antooedente. TambiCn aqui., como en el caso anterior, está clara l.a rozón por la que e l esquero~'

es \'1\Jido. •

•

.+

Parece exiS-tir una fu erte tendencia a c reer q ue, puesto Q\le son vil.lidos los: dv~ esquemas anteriores, han d e serlo también estos otros dos: ((p

~

q)

A

~ -. q

-. p)

y

No lo son, sin embargo, y psra entender el por qué ba.sta con pararse a pensar en cual es el sentido lógico eslricto de La función llamada ·condicionar. Con la expresióu 'si p, entonces q' queremos decir que p es condición suficiente de q, pe-ro no oondicióu necesaria (es decir, no necesariaooeote Ja \mica oondición). Por tanto. ni del hecho de que nu se baya producido lo e nunciado por p podemos co.ncluir formalmente que es falso que. se ba yn producido lo enunciado por q, ni del hecho de que se baya producido Jo enunciado poi' Jf pOdemos ooodulr form.(l/mtntt q ue se haya producido lo enunciad o por p. (Eo este sentido si serán válidos, en cambio, los esquemas '[(p- q)" o p] _.-. q' y '[(p- q)" q] ~ p'.)

.•

..

En relación\:on e l modus tollendo tQ/Iens parcoe oportuno hablar, siquiera sea brevisim:1 men te, de Jos llamados f,.. Reducir una hipótesjs ,,1 absurdo consiste en mostrar q ue de ella se derivan oonse<:ouendas que son inaceptabk"' y q ue, por tanto, deben ser negada.o;: si conseguimos tn()S trarlo~ habremos mostrado ¡w• ende la necesidad de tetlrar la hipótesis de la que partíamos y q ue oos ha oonductdo a en:, ~ El modu.s toltendo tollens es un ejemplo claro de este tipo de argumentación: Si e~ ,•erdad Q\IC p, entonces es \trdad que q. Ahora bien : no es \'erdad q ue q. Luego no c 11 verdad q ue p. O tro modo de a rgumentación de este mismo tipo s,cria la siguiente:

((p ~ q)

A

(p

~ --,

q))

~

l'arece llegado el momento de hacer a lgunas observaciones eo torno ei ¡II Oblcma de las relaciones entre condiconal e implicación, por una parte, '' 11ur otra parte, entre bicondiconal y equivalencia. No es infrecuente - y es especialmente frecuente en la bibliografía ll•ncosa- la confusión de la implicación con el condicional. Se llega, flthmccs, a decir que una expresión como 'p - q' se puede leer, indiferen· lfltlonte, 'si p, entonces q', o bien, 'p implica q'. 11s falso q ue esto sea así: 'si p, ento nces q' y 'p implica q' signific'"' IOIIN distintas. Cuando decimos 'si p, entonces q' estamos usando el ltnMttuje -el lenguaje de la lógica de enunciados- para expresar qu e lo ~uunciado por p es condición suficiente de lo enunciado por '1 · ,. olucir, para expresar una relación entre enunciados. En cambio, cuando ~'' lmos 'p implica q' estamos usando el metalenguaje del cálculo de thlllciados para expresar una relación no entre enunciados, sino emn• •uml~r1•s de enunciados, y en este sentido lo correcto estrictamente sería tito 11' "p' impl ica 'q". Cuando decimos 'si p, entonces q', estamos diciendo ~~~·~¡se da el hecho enunciado por el antecedente, entonces se dará el hecho tflllllclado por el consecuente. Cuando decimos "p' implica 'q" estanws ~~~ lo•ndo que la verdad del amecedente implica la verdad del consecuenl c. ~ola •obra sabemos que 'verdad' y 'falsedad' so n pred icados metalingüístico> "" respecto a aquello de lo que se predican. <' tondicíonal e implicación son, por tanto, nociones s ituadas en nivele.< •!•tin tos de lenguaje. llny, sin embargo, entre uno y otro concepto, una relación que llt
-, p

que podria parafrasean;e simplemente diciendo: puesto que la hipótesis: p nos conduce consecuencias contradictorias ((p - (q A ..., q)), hemos d e neg.arla. O tro esquema de inferencia que responde a la misma idea seria

lllmlicioMI e implicación. Bicondicional y equivalencia

Por ejemplo: (p A p)- p (p V p)- p ((• p ~ q) A (p - --, q)] - (-. q- p) ((p - q) A (p A --, q)) ~ '

¡,

Et~lera .

[ (p - .., p)] - .., p,

aJ que podriamos llamar ·contra-le}' de Claoiui. En efecto : lo c¡ue muestro esta ley fli que cuand o un enunciado conlleva (es cond)cf6n d e) su lli'O I~i .1 f.,l ~edlld, c;nlonces es que ti enunciado es falso.

1

1

~'

tl• d<:c it', q ue. cuando u n esqucm.il de t'~t:O::O n ;un i cn l
114 lnttO
út lógica cl6 fltiUIICiados 115

el condicional sea lógicamente verdadero; y ademios, no se tra ta de quo ambas expresiones - 'si p, entonces q' (siendo esta expresión lógicamente verdadera) y "p' implica 'q" (o, más claramente, 'el enunciado 'p' irnplic;o el enunciado 'q")- vengan a decir lo mismo, sino que la segund,, constituye una paráfrasis metalógica de la primera, un comentario sobr. la primera hecho desde el metalenguaje. Asi pues, y puesto que, por ejemplo, (p

A

q) .... q

es un esquema válido de inferencia, podemos decir que 'p En cambio, dado un condicional como (p v q) ....

A

q' implica •1;·

r,

que no es una tautologla, no podemos decir - no podemos decir cuu verdad- que el antecedente implique el consecuente. Decir, por tanto, el enunciado ·no e$ÚI el mañatla ni el ayer o~rilo (A. Machado) implica d enuu ciado •no está el maftan¡¡ escrito' 110

equivale a decir

1111mn que 'p es equivalente a q'. Cuando decimos 'si y sólo si p, tnhHooos r¡', estamos usando el lenguaje para decir que lo enunciado flttt 11 es condición su ficiente y necesaria de lo enunciado por q. Cuando ...omos 'p es equivalente a q' estarnos utilizando el meca/enguaje para ,.rrc\llr una relación entre nombres de enunciados -reducidos a sus ..lurcs de verdad-, y no entre los enunciados mismos. En este sentido, IP correcto estrictamente sería decir "p' es equivalen te a 'q". Cuando dturnos 'si y sólo si p, entonces q', estamos diciendo que sólo en el ..... de que se dé lo enunciado por el antecedente se darlo lo enunciado ,.,, el consecuente. Cuando decimos "p' es equivalente a 'q" esta mos •••ndo que los valores de verdad del antecedente son en todos los "''' los mismos que los del consecuente. lhcondicional y equivalencia son, por tanto. nociones situ adas en niveles •l•tlnros de lenguaje. Hay, sin embargo, entre uno y o tro conceptu, Utto rcl~ción que merece la pena señalar. Bicondicional y equivalencia 1t rducionao del siguiente modo: cuando 1111 bic01uliconal es lógicamelll<' ,.lmluo. se puede decir que .su antecedente equivale a su consecuente 12 •1 esto sólo cuando el bicondicional sea lógicamente verdadero: y ademá,, ...
p.,.,

•n ~qui vaJentes.

la expresión 'si no cstfl el maOana ni el uycr escrito, entonceil no estA el mai\au .• csc:tho' es lógicamente vc•'dadera 12 1

Asi pues, y puesto que, por ejempio,

En ambos casos estamos usando un metalenguaje 122. No estamo•. en cambio, usando un metalenguaje cuando decimos

(p _, q)-(-, p

• Si no est(l el mañann ni el ayer es(:rito, entonces no estA el mal'lan:. escrito.

un esquema válido de inferencia, podemos decir que 'p _, q' ., a ._, p v q'. En cambio, dado un bicoodicional como (p

~lit 11<1

otro canto cabe decir del tér-mino 'el contecuente'. u• & decir: '1 p A - . q' 1mplica-. p'. 111 O. lo que es lo mismo: d condlC'JOn.al ui formado tsfl cons.truldo dt aa•c•il·

con un esquema lormaJrMnte

A

q)- (o p

V

q),

es una tautología, no podemos decir con verdad que el antecedente

•1• e~ presión equivalga a su consecuente; no podemos decir que sean los

1' • Hu crooto! pues lo que en lógica sólo se tomnn en euenta los valores de verd;.ltl l• 1i ruuncf1utos (y no lambtén el oonlenido que e,;prC$30). de lal manera que. par.1 CX\mo si la \'anable p. por ejemplo, desia,nara uno de Jos dos valores., V o f. y

• .. ,, l"~

:tj"'"''" qu~ un btroodiciooal sólo" \'Crdadero cuando los valores de verdad del antccc:ckn1e "'""'''" ' • los ,aJores de ~erdad del consecuenlt, si enc:ontra.tDO$ que un ~condiaon.JI

~hdo.

Estamos mcncionnndo enunciados para dc.::n ~ue C\1\IC un.- reladón de impltco•clón- entre suii nnmbrc$. tu

q)

ltlulv;~lcntc

Otro tanto cabe decir respecto de la relación en tre bicondiciou,¡/ y equloolencin. Es falso que 'si y sólo si p, entonces q' signifique In Repóresc, s.io cmbcugo, c:n que este último enuneioldo. ' El antecedente 1mplica el con\+ cuente', pertenece al mctalcnsurVc: del lenguaje de la lógica d e enunciados. El térnuw• 'el antecedente' no se refiere a ningún emmcindo, r lno al nombre de cuo.lquier etaunc•.uln que ocupe ese puesto en u nn expresión ooostruidtl con un condicional. Por supuesto •1111

V

l;~ rcl.n.IPII

•••••••ml<'ntevcrdadcro podtmos COnlcnuul-.> en el nlCI.IItn~uajc diciendo que su llnltttdcnlc 11 AU i,;Htl'iCCUCRIC.

116

lntroducdón a la lógica formal

mismo los valores de verdad de uno y otro '". Más adelante Ul veremos, en acción, la neceisidad de estas distinciones que acabamos de hacer en el plano teórico.

2. La lógica de enunciados como sistema axiomático

llllombros del conjunto de los profetas menores sustituyendo cada uno de los nombres por un simbolo distinto, con lo cual, en lugar del conjunto ( Oseas, Joel, Amós, Abdías, Jonás, Miqueas, N ah u m, Habacuc, Sofonías, Ageo, Zacarías, Malaquías}, ll111lrlnonos, por ejemplo, este otro:

{a, b, e, d, e, J, g, Ir, i, j, k, 1) ,

Simbolizaci611 y formalización No nos bemos recatado de decir en varias ocasiones que la lógica se presenta en forma de cálculo, que la lógica es la presentación formalizada de los principios del análisis del razonamiento desde el punto de vista de su estructura. Pero sí bien es cierto que lo hemos dicho, lo cierto es que no lo hemos mostrado. Porque a lo que basta ahora hemos hecho no se le puede dar el nombre de ' formalización'. No hemos presentado en forma de cálculo la lógica de proposiciones: nos hemos limitado a represeot¡•r por medio de símbolos las nociones pertenecientes a ese apartado, el más elemental, de la lógica. Y formalizar un lenguaje es mucho más que simbolizarlo. Simbolizar un lenguaje -en este caso concreto, la parte del lenguaje natural que se usa para formular inferencias de enunciados s in analizar a partir de otros enunciados que tampoco se anaüzan- consiste simplemente en sustituir cada signo - cada sigo<> relevante-de ese lenguaje por un sí mbolo. Podemos simbolizar la partlcula ~. más bien. las parliculas- que en el lenguaje ordinario s irven para expresar una relación condiconal entre enunciados por · -·. Podemo' simbolizar las conjunciones copulativas por '" '. Podemos - para torna r un ejemplo traido de otro campo- simbolizar los doce nombres de los 1'1-' E! bioondicional pl:mtea p-roblemas importantes. Por ejemplo, hemos \'isto que el bicondicio naJ posee, a d.ife~n-cia dcl co~dicic:m:tl, ta propiedad con mutativa (y asi lo expresa la ley que en nuestra hsta lleva el numero H Ahora bien: la razóo que aducíamG..-. para explicar que cl condiciona] no posee In pfopfedad conmutativa era ésta : 1~ {elación oondicional no es oonmutativa porque lo Qu<'T expresa es ju!;tamcnte que lo enunciado por una p roposición es condición de -anrececl,•, ,¡~$de ,10 punto de viua lógico, a- lo enunciado por otra propo:sición. Y &itndo c:1tt• retació, una relación ordenada (es decir. eo términos tectlicos. una relación que. e ntre otntli propi-ed:.tdes, tiene la de: ser asimétrica). es obvio que óe la afirmación de que se da C..'ill relación no cabe tnferit que se de la relación conversa. Pero entonces. si to que afitooamos mediante un bioondicional es que lo enunciad'' por tlna proposición es, no ya condición de lo e nunciado por otra, sino la única condicihu de lo enunciado por esa o1ra (es dec-ir , si et bicondicional es, oomo parece, un ooodicionr.l reforzado), cabria esperar qu~ con mayor razón, carecieta el bicondidonal de la propiednd conmutativa. La pos.ee-, sin embargo. Y la posee por la sencilla razQn -ya aducidh ~petidamentc- de que er. IÓgjca operamos únicamente a base de los \'aJores de \'trd l•t.l de los e nunciados. Si aQptamos esta limitación entonces tod o c!lll't e-n o rden. EJ ptoblem!• estA en si debemos a~ptarla. u.s Cfr. el apa:1a do 3 de este tnismo c:tpitulo.

~1111<1e

'a' s imboliza 'Oseas', 'b', 'Joel', etc.

NH lura lmente, esta simbolización que nosotros acabamos de llevar a IWhll sirve para bien poco. Sirve, a Jo sumo, como ejemplo. Hay casos. tln 11111bargo, en los que de la s imbolización se derivan notables ventajas, onoo puede ser la evitación de la sinonimia y la homonimia. Sabido es, 11 rfccto, que en los lenguajes naturales se dan a menudo casos en quo ltnuluos d iversos sirven para designar un mismo objeto - y en ese 111 decimos que los términos son sinónimos-, a si como casos en los que un mismo término designa varios objetos diferentes - fenómeno al que llf¡¡uminamos 'homonimia'. En este sentido, y puesto que, por ejemplo, 1111 l
V 1"' rece llegado el momento de formalizar la lógica de enunciados, de Jl1Uill11nr el lenguaje de la lógica proposicional en forma de cálculo, •• •Npccífic¡or las reglas que nos permiten construir y demostrar enunciados que expresan otras lnrHns formus válidas de infercncin . ya lo hem<'~ ¡lfr h11 In~ •·lemcntos básicos de un

118 Introducción ala lógica formal

cálculo: 1.0 Los símbolos primitivos.2.•Lasreglas de formación. J.• Las regla• de transformación. Algo de eso hemos visto en el apartado anterior. Allí hemos conocido, por ejemplo, los símbolos primitivos del cálculo de enunciados: variables proposicionales, y conectivas o functores de enunciado. También bemos dado a entender - aunque sólo esolas reglas - reglas de formación- que permiten combinar esos sím· bolos para construir expresiones bien formadas. Pero si bien bemos hecbo referencia a cierto tipo de expresiones formal-mente verdaderas -expresiones de esquemas válidos de inferencia-, e incluso hemos en u me· rado algunas, sin embargo, nos hemos limitado a mostrar - mediante el método de las tablas de verdad, por ejemplo- que efectivamente se trataba de expresiones verdaderas, sin llegar a demostrarlo: en otrJ s palabras, no hemos ni siquiera aludido a las reglas de transformación . En efecto:demostrar---es decir, demostrar como verdadero- un enunciad<> consiste en hacer ver que se sigue válidamente de otros enunciados verdaderos, en presentar ese enunciado como el resultado de una trans formación válida ---es decir, conforme a las reglas- de otros enunciados ya demostrados o que, como veremos, no se demuestran. La forma clásica de la formalización - pero no la única, ni tampocu a veces la preferible, como veremos en el s iguiente apartado- es In forma axiomática. Los lenguajes formalizados toman a menudo -y hastn hace poco hablan tomado prácticamente siempre- la forma de sistemt" axiomáticos. Presentaremos a continuación la lógica de enunciados en forma d<' sistema axiomático. ¿En qué consiste la axiomatización de una teorin (en este caso, la teoría de la validez formal de los razonamientuN que permiten deducir unos enunciados a partir de otros sin necesidad de realizar un análisis interno de éstos)? Una teoría es un conjunto de enunciados verdaderos -o que P<" tales se tienen- relativos (y la relación es en algunos casos muy con• pleja) a un determinado campo de problemas. Axiomatizar una teorl11 no es, entonces, otra cosa que organizar ese conjunto de enunciados th\ tal forma que, partiendo de algunos de sus miembros - los llamad"·' «axiomas>>-, y mediante la aplicación de una serie de reglas de transfo• mación, se puedan derivar los resumtes enunciados de la teoria - a '" ' que llamaremos «teoremas>>--. Axiomas y teoremas son expresiones del cálculo, fórmulas redactadas en el lenguaje del cálculo. Las reglas •k transformación, no: en cuanto reglas pata inferir unas expresiones de otra,, han de hacer mención de esas expresiones, y sabemos que sólo en '"' metalenguaje se pueden mencionar los signos de un lenguaje. Pertenecen, pues, esas reglas al metalenguaje del cálculo. Por tanto, demostrar un enunciado en un siMema axiomático tk mostrar, con otras palabras, que el enunciado en cuestión es un teorc n111 del sistema- consiste en derivarlo válidtHnculc es decir, utilizandu en la derivación sólo~ y de manera correc1u, Jw, t t'l. ur,.ott cxplíciwmcnH

L8

de envncjados 119

idos a tal efecto dentro del cálculo- a partir de los axiomas " 6 , ¡t11 lundamcntar su verdad en la de otros enunciados cuya verdad consta. 'Jilldlnnte métodos como el de las tablas de verdad sólo llegábamos IAber que unos determinados enunciados eran verdaderos. Mediante su .mostración en un sistema ax iomático podemos alcanzar a averiguar mu y por qué lo son: bernos de ver que las tautologías derivadas mu leoremas no son otra cosa que transformaciones válidamente efec· 1tlus de las tautologías elegidas como axiomas. 11nsemos, entonces, a presentar un sistema axio mático para la lógica .. Munciados. Se trata del sistema que A. N. Whitehead y B. Russell tllfrnn a conocer en sus Principia Mat!Jematica (191(). 13), el llamado y usi lo llamaremos también nosotros de ahora en adelante, para llroviar- «Sistema PM>> de la lógica de enunciados u 7 •

1dilema PM A) Símbolos primitivos: l.

Varjables proposicionales: p, q, '~ s, t, p., qh

rh sh t., ..., p,., q",

r,., s", t,..

2. Conectivas o functores de enunciado : ..., , v u•. 3. Signos de puntuación: paréntesis diversos, como '(, )', '[, ]', ' (,}' '"· 11)

Símbolos definidos "

( 1\) X

1\

Y

e

0

.

o.r· -, (-, X v -, Y)

(-+)X-+Y ~

01.-,XvY (-)x .... Y =,,. ..., [• (• X v Y) v ..., (• Y v X)]. 1 11 ' 1"

O, como \'eremos, a partir de otros teoreroas ya demostrados. En lo que sigue -y casi huelga el decirlo- nos limjtaremos a exponer. l:tm tha\:lones sólo de detalle, lo expuesto por Whitehead y RusseU en su obra, o por otn~11 llltC' (IUC a su vez han introducido variaciones de detalle en la prese:ntación de aquellcl$, tll 11cilala.r la utiljdad que para nosotros ha tenido un:l obra como la- de G . E. Hughes 1) n. 1" No alcanzamos a oomprender cómo t$ que hay autores que. en lugar de los llo•OIIII:
A

q)- ')

p• ... ·q-.r : .... : pAq· - · r, u lfl u 1.1uy:• estructur:t se deja aprt:hender nos pnrec.:c con mucha menos facilidttd, 1111 Ylt he mos dícho Q\IC aunque en p tillt itl iH l)l•,h1:unc\IQ (l¡)tmr con sólo dos fu nciones •C"ul.td (~) m ch1!10, como hemos vio¡t•l, , .... a(olu um1l r n 11' ¡m'u;tica es m\ICho m~~

120 lntrodvcclón o la lógica formal

C)

La lógica de enunciados 121

Reglas de formación:

sustituida s iempre que apa rece, y siempre por el núsmo sustituto 1 J• .

FR I.

Una variable proposicional sola es una expreston bien forma da del cálculo (como abreviatura de 'expresión bien formada del cálculo' utilizaremos ' ebl'). RF2. Si X es una ebf., entonoes -. X también lo es. RF3. Si X e Y son ebfs., enlonoes X v Y la mbién lo es'". RF4. Estas son todas las Reglas de Formación del cálculo 13'

Dicho de modo más riguroso: si X es una tesis del sistema en la tlpareoen distintas variables Ph p 2, .. ., p,., e Y1, Y1, ..., Y,. son expresio· !IN boen formadas del cálculo, la expresión resultante de sustituir en p, por p1 por Y1 , ..., p. por Y. será asimismo una tesis del

t~ur~

r

r.,

tlol cm.~.

Se le llama a esta regla ' Regla de Sustitución'. O) Axiomas: A ,(p V p)-+ p Azq-+(p V q) A,(p V q)-+(q V p) A. (p V (q V r)] -> (q V (p V r)] A 5(q - r) -+ [(p V q) - (p V r))

E)

Reglas de tran sformación : RTI.

Dada una tesis •u del cálculo, en la que aparecen variables de enunciado, el resultado de sustitu.i r una, algunas o todas esas variables por fórmulas bien formadas del cálculo• sen\ también una tesis del c{tlculo. Y ello con una UOJClo restricción, si bien importante : cada variable ha de seo

có mod o ucílb:ar las cinco principales que conocemos. Y así, por ejemplo, oomo e n segui1l11 IIC veril, 11 lt• hora de fot muli'Lr los axiomas hemos ut:iJizado, además de ht d i$yu ncif•n, el condiciono!. Es evidente que, al no tratarse de un simbolo primitivo, bubiéra mu ~ pod ido pretcl_hdjr de él. Hacerlo, sin embargo, bubiera hecho de Jos axiomas e.xpresionu t:lR Cli CCIIO

p rolijas,

1 )l A c roc1os deJ ma nejo d el cálculo, y a Ja ''ista de lo expresado en la nota nu, hemos de cencr presente que esta tercera Regla de Formación, en u nión de· fa segundn, lleva Jmpllcitas Ir~ - podr'lamos decir- «sub-reglaS» que -en aras de1 ideal (punrntcnl!' estét:ioo) de t
RFJ'.-Si X e Y son ebfs.. X ,. Y lo es. RF3 '.-Si X e Y son e bes., X - Y lo es. RFl"' .-$i X e Y 50D ebfs., X - Y lo es. •u Esta última Re&)a te introduce únicamente paca dejar bien sentado que lodas t., ~ Rc¡bt de Formac.óo c:sl&n apUcitas. o, dicbo de otro modo, que DO bay más Reglas dt Formación que lat que se acaban de e-.plicirar. Por )o dt:r!Ys. obsnvari el lector '~'"' ptrttneciendo lu Re&Jas dt Formaci6o al metaietl&uaje dd cMculo -como lo mueslra d U\oo• en su formulad6n. de variables suuicakat-. esta Cahima regla c:st• c:Krita m un nive-l'"''" mc:talinp iauco con rcspc:ao aJ cálculo. •u Con ti ttnnino "tesis' cksipamos cualquier (óuntll.- u••d.-,k,• dd cálculo, ~' '"'

uiom• o un ltorema.

Si 'X' es una tesis del sistema, y lo es también la expresión 'X ... Y', entonoes 'Y' es una tesis del sistema.

RT2.

h facil ver que esta regla -a la que se da el nombre de 'Regla de Sepa

" ''""'"-

no es otra cosa que una traducción metalingüistica de la ley p] ~ q ' '"·

11\•••·• que hemos llamado 'modus ponmdo ponens': [(p ~ q) " 1

••

Asl. esta regla permhe pasar, por ejemplo. de u.na expresión oomo p-(q-p~

,_ uno tesis del cé.lculo. a unt~ e,:presión como

r _, (s -.. r). ..l•uld1' 11 partir de aqu~ l a mcdin.nte la. aplicación d e esta regla que estamos iluslmndu l!lllu• que hemos hecho, e n c:fc:do, es sustituir las va ria bles p y q por r y s cespectivamcnlt' '"H'IJcmos que. se¡Un In primcr:t de las Rcghts de Formació n, ·, · y 's' son exprtsi()nt... u f11rmadas del dtlculo).. ~sta sustitución la ind_K:ariaooos - su poniendo q ue no5 c:ncun tt1UII H~ t:n In linea n de una demoslración y hub iéra mos de pasar a la Linea '' 1 1 •lhuuc el e mpleo de esta regla- asi:

n.- p -. (tJ n + l.-

-1<

p)

r ... (s-r)

RS (pjr,qf.'\),u

1 " t:~ Jlresi6n aJ margen indica. por este o rden, qué reglas bemos e mpleado, ttut1 llhi~'M}Il CS. en concreto, hemos hecho, y a qué línea hemos aplicado la tra nsform:u;•t•tl U1 iMu.tl modo, la Re¡.la de Sustilución auloJ1zari.a un paso oomo éste n. - p-p + 1.- (t;

lf

V

S)-(r V S)

N•• •IUIMlz.lrla. sin cntbargo, un p3so de este o tro tipo • · ((p ~ q)-r) - (p - (q-r)] • + 1.- [(1 " f)- r)- [p- (q - r))

RS (p/.<), •

\ rwt lu aulo rwuia porque la sustitución -de p por s- no se ha efectuado c:n lodct\ lu,ucll en los que a,pareoe la .,-ariabit p. PM nv..ón de la oomctdcnaa de iniciales oon la regla anterior (RS). desig;n:trt'mt",.., .. re¡.b' mediante las inic:iales de: su oombrc co lengua io¡le¡s : R O. ln;dales de uf l)ctachn'lent'.

Un.t rcp como bta autorizarla. por t'Jcmplo, d "

pv-. q

lf t

1

fp

V

,

lfl

~igtucnte

paso deductiYO:

o., Rl>·""

t

1

LDiógica de enunciad
122 lntrodtJcc/6n a la lógica formal

Lo llamaremos 'Teorema 2' 1 " -

DediiCCÍÓII de teoremll.l Partiendo de esta base es posible -porque, según veremos mi•~ adelante, el cálculo que estamos presentando es complet~ demostrar como teoremas todas las expresiones formalmente verdaderas construible< en el lenguaje del cálculo. Puesto que esas expresiones son infioit:o' en número, es obvio que no podemos demostrarlas todas, una a una Nos limitaremos a mostrar, mediante unos cuantos ejemplos, la posibilidad de hacerlo.

Teorema 3. (q-+ r)- [(p _, q)..,. (p-+ r)] . Demostrac/6n: l. (q .... r) - ((p v q)-+ (p v r)] 2 (q -+ r) -+ [ ( • p v q) -+ (o p v r)] 3. (q -+ r) -+ ((p -+ q) -+ (p -+ r)]

A5

RS{pfo p). 1 or..... ,2

Teorema 4. (p _, q) _, ((q _, r) .... (p-+ r)].

Comencemos con algunas demostraciones !Aciles' Demostración:

¿Es un teorema la expresión 'p -+ (p v p)'? Lo es. He aqul su demostración : 1,

2

q -+ (p p -+ (p

V

V

Al RS (qjp), 1

q) p)

La expresión 'p .... (p v p)' se obtiene a partir del Axioma 2 mediante una aplicación -correcta- de la Regla de Sustitución. Es, pues, '"' teorema. Le llamaremos -ya que es el primero que hemos ol:tenidn, y por esta sola razón- Teorema 1 (TI).

¿Es un teorema la expre.~ión '[p

-+

(q ..... r))

-+

l. (p -+ (q -+ r)] -+ [q -+ (p -+ r)] T2 2. {(q _, r) -+ ((p -+ q) -+ (p -+ r)) -+ { (p -+ q) -+ [(q -+ r) -+ (p -+ r)]} R S[pj(q -+ r). qf(p ..... q), rf(p -+ r)], 1 3. (q -+ r) .... [(p - q) -+ (p -+ r)] T3 4. (p -+ q) _, [ (q - r) -+ (p -+ r)] RD, 2, 3

Teorema 5.

Demostración : J.

[q .... (p .... r)]'?

p - p.

p-+ (p V p) V p) -+ p p .... p

2. (p

Juzgue el lector:

3.

l. ( p V (q V r)) -+ [q V (p V r)) 2. (o p V (o q V r)) -+ ( o q V (o p 3. [p-+ (t¡ -+ r)] ..... [ q -> (p -> r)]

TI Al ?

A4 V

r))

RS(p¡--, p, q¡--, q), 1 Df. .... , 2137

¿Cómo justir.c<~ r el paso de 2 a 3 en esta demostración? No hemos aplicado, para llega r ab~ ninguna de las dos reglas de 1111ua CJtprc•.l6n como

n.-

("1-, q - 1¡)- [(p - -,-, q) - (p - q)]

n+l.

(o• q ~ q)

• + 2.-

((,-o-,q)-(p -ql)

(p- (o q v r)J- [q- (o p v r)], ROn,n f 1

Ul' El paJO de 2 a 3 en CSUl demosuación se efectúa en virt'ud de la definictón •''"' cond,cionnl c:omo una disyunción con el primer mic:mbro negado. Es eso lo que indica"'" al margen mc:di11n1e la abreviatura 'DI. - ·. El ~lOC puede sentirse extrañado dt ~ur despub de haber insistido canto en que las únicas transformaciones autoritadas e-n el 3tstc1~o • aon hu upllcltamt'nlt'. 1u1orlndas. ec:hcmos ahora mano de un rec:u.rso dtduclivo que " IPQRCC reco¡Jdo entre las Reglas de Transrormaaón. Pero es que se da por deKontado •111 las expresiona que .101'1 ~uieal~ntn (es decir, irnerdefinibles ccmuxtualmenu) 10n, por di m~smo, íntercambiabk:s en C\lalquier momento. Y además,. la $UStituci6n de las unas put 1, o tru no csll sujeta 1 11 resuicción que opera en las aplicaciones de b. Reg)a de Sustih•\.,,., En nte último cuo. como 'tetamos. la S\ISritución debía realizarse necesariamente en h ~lo klt lupres en 1ot que 1parecitf'a la va.Nble a sustituir. Cuando se trata dd interomh• de tl:pJtsk)OCS CQI;uvalentc:s. no: no hay ne<:tSidad de deduar la surtnuaón en todo~ 1• cuoc. El decir, q~ en ril(>r, hubiéramos podido papr de l11 f\J'IC'\It\n

[ -, p v ( , f1vrn .....

l -"~ 41 v f

1 1'

r))

como [o p v (q - r)) - [q -(o p v r)] lOMO

[p- (-> q v rl] - [o q v (p- rl] Ece. ~~ hemos 11~en la con

aplicado la ddinición en todos los casos es únicamente porque así nos vístu: a obtener como teOrema la expre.s.ióo cuya demostración bu.scibamo$. 111 L.u demostraciones -
124 lntrodtlccl(xJ a 18/óglca formal

LB lógica de enunciados 125

transformación. Tampoco hemos echado mano de las defmiciones que no> permiten sustituir expresiones equivalentes. Y, sin embargo, estos son - al menos por lo que hasta ahora hemo> dicho-los únicos recursos de que podemos hacer uso en una demostración. Por lo demás, el paso de 2 a 3 parece intuitkamente claro. En efecto: si algo es condición (suficiente) de otra cosa, y esa otra cosa es condición de una tercera, parece razonable concluir que la primem ha de ser condición de la tercera. Y así, parece haber una «justificación>• intuitiva de la transición de 2 a 3 en la demostración del Teorema 5 S~ corno nos muestra el Teorema 1, 'p' es condición de 'p v p', y s1. como el Axioma 1 hace patent.e, 'p v p' es condición de 'p', resultaría extraño no llegar a la conclusión de que 'p' es condición de 'p' ('p-+ p1uo Pero, en lógica, con la intuición no basta. Mejor dicho : en lógico• sobra la intuición. La historia de la lógica contemporánea es la histori.• del destierro de la intuición del reino de la lógica. En lugar de la intuición, la formalización. Y la formalización supone la explicitación de todo d desarrollo deductivo, la programación del curso entero de la demostración . del punto de partida, del thmino de la demosLración y de los paso• intermedios. Y, sin embargo, está el Teorema 4. Y ese teore.ma -'(p-+ q) - • [(q -+ r) -+ (p -+ r)]'- muestra que, si lo enunciado por una proposición es condición de lo enunciado por otra, entonces, en el caso de que 1<> enunciado por esta segunda proposición sea a su vez condición de 1<>

enunciado por una lercera, necesariamente lo enunciado por la primcr:1 será condición - a través de una pro posición interpuesta- de lo enunciad<> por In tcrccrn. Extraigamos la mora leja ded uctiva de este teorema. Traduzcam<>s este teorema al metalenguaje del cálculo, igual que, po r ejemplo, podriamc" traducir la conducta real de una persona en regla moral de nuest ra propia conducta. La traducción metalingü istica de esa tautología rezaría, por ejemplo, como sigue: «Si 'X - Y' es una tesis del sistema, en ton~"''· si • Y -+ Z' es una tesis del sistema, es también una tesis del sistcm.• 'X- Z'». O dicho de o tro modo: ccSi 'X .... Y' e 'Y-+ Z' son te'" del sistema, entonces 'X ... Z' es una tesis del sistema». Y esta regla ,¡ que permite dar el p.~so de 2 a 3 como nosotros hemos hecho. Ahora bien: lo que hemos hecho no es otra cosa que enund.11 una nueva regla de transformación. Se trata de una regla deric'"'" Derivada 0011 respecto a las otras dos, las fundamentales. Basta sustituir 1' por X , q por Y y r por Z en la demostración del Teorema 4 p..r.o obtener una derivación de esta regla. Si las reglas de transformac1ou pertenecen al met.alenguaje del dllculo, la demostración de una regla nuc> ,, a partir de otras reglas de inferencia tendrá que estar enunciada 1'"' u• Ocurre t.impkmtnte que 1creero son 1dtnhcot..

ftl

el ejemplo se
t.~~•

de que kt pnmem v lo

u11nto en ella se mencio/Uin expresiones metalingüísticas- en el meta)llctnlenguaje del cálculo. l's evidente que la posibilidad que acabamos de desarrollar - la '""bilidad de traducir una cierta tesis del sistema a regla de inferencia IIUt nos permita transformar unas expresiones en otras dentro del mismo puede hacerse extensiva a cualquier otra tautologia, sea ésta un axioma 11 un teorema. Puesto que la tautología a la que estamos alud.i endo "fltJ
lguulmente -y esto es importante para la demostración, más abajo, del Ttmema 17- podríamos extraer del Teorema 3 (que, después de todo, trne a decir lo mismo que el Teorema 4, sólo que en otro orden) "" regla que nos permitiera pasar de 'Y-+ Z' y 'X-+ Y' a 'X-+ &.a ll111naremos tambitn 'T r.... '.

z·.

(·m, todo esto, la demostración del Teorema 5 queda asi: 1, p -+(p

)

(t>

V

fl -

V

p)

T5

p)-+ p

Al T r. -+, 1, 2

p

'''"'''11111 6. -, p V p. P.ums tración: 1

1

p -+p -.pvp

lliti'lll(l

7, p

V 1

T5 Df. -., 1 p.

l)t,.,,t t<1ción : 1 (/1 V q) - (1/ V p) (""1 p V p) ... (p V

A3 -,

p)

"1 pvp pv -.p

RS (pj-. p, qjp), 1 T6 RO, 2, 3

,,,,,.mu tt (p _.-, p) •-, p (p V p)-+ p ( , p V - , p) - -, p (p • -. p) - -. p Nn

Q.

Al RS (ph

p). 1

or. - . 2

en ntor, mls qtX: un.a rtféltnulla, "'" de 1• lq que en la rdaciótl tko dc:l •p.•rt<~do antcn.-u llt' ...,.. ti numt••• 1•1

tttc>t t~•n.•d·•'-

Lll lógica de enunc;acJos 127

126 Introducción a la lógica formal

T eoremo 9.

Pemostración:

Demostración : ).

2.

Al Df. v, 1

(p V p) -+ p (""'1 p-+ p) -+ p

l. (p V q) -> (q V p) 2. (q v r) -+ (r v q) 3. (q -+ r) -+ ((p V q) -+ (p 4.

Teorema 10.

p-+ -,-, p

2. 3.

T7 RS (p/o p), 1

pv1p 1 p V ""'11 p p-+ -,-, p

Df. -.,2

V

T) -+ (r

q)] ->

V

r)) { (p V (q

(q

V

(q

V

(r (q

V

(p

V

q)) -> (r V (p V q)] r)) -> (r V (p V q)] q)] -+ [(p V q) V T]

(q

V

r)]

-+

V V

((p

V

(r (p

RS (pfq, qj r), 1 AS

V

V

V

r)] -+ (p r)) -> [q

A3

6. (p V 7. (p V 8. (p V 9. [ r V 10. (p V

V

q)

V

V

r)] - [p

q)) r)]

A

V

(r

V

q)]}

RS [ qj(q v r), rf(r v q)], 3 RD,2, 4 A4

RS (qfr, rfq), 6 Tr.

-+,

5, 7

RS [ p/ r, qf(p v q)], 1 Tr.-,8,9

V T)

(p _, (q-+ r)]-> [(p

l'l'lirema 15.

(p - q)- (o q-+ -, p)

Teorema 11.

[(q

5. (p

Demostración: l.

(p v (q v r)]-+ [(p v q) v r).

li'Orema 14.

(""'1 p _, p) -+ p

q) _, r]

l>cmostración :

Demostración:: l. (q -> r) -+ [(p -+ q) -> (p -> r)] 2. (q- 00 q)- [(p .... q)-+ (p .... o l q)] 3. (p .... -,-, p) 4. (q - -,-, q) 5. (p - q)-+ (p .... 0 0 q) 6. (p V q)-> (q V p) 7. (o p V o l q) -> (""'11 q V o p)

8. (p .... 00 q) -+ (""'1 q .... o p) 9. (p -+ q) - (o q - o p)

T3 RS (r¡--,-, q), 1

TIO RS (p/q), _3 RD,2,4

A3

RS (pfo p, q¡--,-, q), 6 Df. -+, 7 Tr. -+, 5, 8

T5 RS [p/(p _, (q - r))], 1 Df. - . 2 T15 ((o p v o q) v r] RS (pfo p, q¡-, q). 4

l. p-+ p 2. (p .... (q -+ r)] -+ (p-+ (q -+ r)] 3. (p -+ (q-+ r)] -+ [op v (o q v r)] 4. (p V (q V r))-> ((p V q) V r) 5.

6. 7.

8. 9. 10.

[o p v (o q v r)] -+ [p .... (q- r)]-+ [(o p v o q) v r] Tr. -+, 3, 5 (pvq)->(op ... q) 141 ((o p v o q) v r] -+ [1 (o p v o q) -+ r] RS (pf(o p v o q), qfr], 7 [p-+ (q -+ r)] -+ [""'1 (o p v o q) -+ r] Tr. -, 6,8 [p -+ (q -+ r)]-+ [(p A q)- r] Df. A,9

Teorema 12. p - (p v q)

1'llremtl 16. -, -,p .... p

Demostración: 1. q -+ (p

A2

q) 2. p -+ (q V p) 3. (p V q) -+ (q 4. (q V p) - (p 5. p-> (p V q)

Teorema 13.

V

(p

-+

RS (qfp, pf q), 1 V V

A3

p) q)

o q) - (q

RS (pjq, qjp), 3 Tr. -,2,4 -> -,

p)

V

q) -> (q

2. (o p V o q) 3.

V

p)

(o q V o p) (p- o q) -+ (q - o p) -+

l.

(q -> r)

[(p v q) -> (p v r)]

AS [(p V o p) -> (p V o o ~ p)] RS (qfo p, r/ o o l TIO 3. [1 - o T'1 p 4. o p .... o 0 0 p RS (pjo p), 3 ~. (p V o p)-> (p V ooo p) RD,2,4 ->

2. (o p - ooo p)

o.

Demostración: 1. (p

lll'rnostración:

A3 ll S (p/""'1 ¡1, q/o q), 1 1ll ' • 2

7. X.

V

q) -+ (q

V

p), 1

T7 RD,5,6

J) V 1 1 1 p

(Ji

->

p)

A3

1 1 " SuJ'IOil&'unos demostrada comQ teorenm c!lla c~presión -que no es sino l!l tnu.lué· •• 11t l en~u l•ie del cíllculo de la dcliniciOn ·X v Y 11t ' \' -... Y'.

f 28

/ntr()(}uCC/ón a la lógica formal

9. (p

V --,--,--,

lO. --,--,--, p V ll. --,--, p .... p

p)""' ¡--,--,--, p

V

RS ¡q¡--,--,--, p), 8 RD,7,9

p)

p

ll<~ma puede demostrarse también a partir sólo de Jos otros cuatro \' hubida cuenta de que, como hemos indicado ya alguna vez, en la , ..cntacióo de un cálculo se tiende siempre al ahorro de elementos "'nutivos, nada tiene de extra~o que -a partir de la demostración. "" llemays, en 1926, de 1.~ ~sibilidad de derivar este «axioma» de h" tllros cuatro- la expres1on [p v (q v r))- [ q v (p v r))' haya sidu ll1n1mada de la lista de ax iomas. y reducidos éstos a los cuatro restante.~ Y aún a tres. En efecto : d:.ukasiew1cz mostró que lomando como fllnr1oncs primitivas la negación y el condicional - q ue es lo q ue ya ~1 hlu hecho Frege-, los cua tro axiomas de Principia Mathematfca podl'i:o u 1t1 • ustituidos por estos otros tres:

Df....., lO

Teorema 17. (p v (q v r)]- [q v (p v r)]. Demostración:

3.

q -+ (p v q) r ... (p v r) (q-+ r) -+ [(p v t¡) ""' (p v r)]

4.

[r ..., (p v r)] ""' l(q

l. 2.

V

r) -+ [q

A2

RS (qfr), 1 AS V

(p v r))}

RS [pjq, qjr, r/(p v rl) . .\ 5. (q V r) - [q V (p V r)] RO, 2, 4 6. {(q V r) _. [ q V (p V r)]} ..., {(p V (q V r)) (p v [q v (p v r)])} RS [qf(q v r), rf(q v (p v r))]. \ 7. (p v (q v r)]- (p v [q v (p v r)) ) RD, 5,6 8. (p V q)-+ (q V p) AJ 9. (r v p) .... (p v r ) RS (pf r, qf p), 8 lO. p-+ (r v p) RS (q/p. pf r ), 1 ll. p .... (p v r) Tr.... , 9, 10 12. (p v r)-+ [q v (p v r)] RS [qf(p v r), pf q], 1 13. p ... [q v (p v r)] Tr .... , 12, ll 14. (t¡-> r) ... ((p V lJ) ""'(JI V r)) A5 \ 5. {p- (q V (p V r})l - {( (lJ V (p V r)) V p)-+ ((q V (p V r)] V (q V (p V r)) )) RS [pj(q v (JI v r)), tJ/p, rf(q v (p v r))), 1·1 16. {(q V (p V r)] V p) _. {(q V (p V r)) V [ (q V (p V r)]} RD,13, 15 17. (p V p)- JI Al 18. { [ q V (p V r)) V (q V (p V r))) ""' [q V (p V r)) RS [pf(q v (p v r))]. 1J 19. { (q V (p V r)] V p ) - [q V (p V r)] Tr. ...,, )8, 16 20. {p V (q V (p V r))} ""'([q V (p V r)) V p} RS ( qf(q V (p v r))), X Tr. -+ , 19,20 21. {p V (q V (p V r)JJ ... (q V (p V r}) T r ..... , 21.7 22. [p V (q V r)) - [q V (p V r})

A l. (p ... q) ... [ (q - r) ... IP - r)] A2. (• p .... p)- p

A3. p ... (--, p - q) l'ero aún hay más. Los axiomas podrían reducirse a uno. En c.tc t•do Jeao Nicod -que fue quien mostró esta posibilidad- no hvo •. como alguien ha dicho. extraer las consecuencias axiom.\tk~" 1•., resultados de SheiTer relativos a la reducción de todas las funcione' '"·'lhcas Ydiádicas a una: la incompatibilidad, por ejemplo. Tomando • función como la única primitiva, es posible -mediante la utilizacil111 oln; ..reglas de inferencia, la regla de sustitución y una regla de • lt iOCIOn d •stmta de la que emplearon W b.itehead y Russell ' " u•rder a una axiomatizació n completa de la lógica de en unciados. 111111lcta, pero no cómoda. He aquí, en efecto, ese axioma o mnipotente. ft• •11i1s tarde.l::ukasiewicz y Sobocinski conseguirían acortar, y Wajsbcr¡t fll un alarde d •gno de ser ca ntado por Borgesdeducir de otro de 111 un11 lo ngitud : [ p 1(q l r)) 11[t l (lit)] 1((s 1q) 1((p

~.1 pues, cuando hablarnos de 'el cálculo de enunciados' lo hacem'" • •lncviar. Porque bay distintos cálculos de enunciados, distintas ¡>OSI 1ol.ulcs de presentar axiomáucamente la teoría de las relaciones de

rrncm entre proposiciones srn analizar.

Corno podrá observarse. este Teorema 17 es idéntico al Ax iom:o ·1 Quiere decirse, entonces, que hemos conseguido demostrar ""'""

teorema un a:t ioma. Lo cual, a su vez., quiere decir que ese axioma

l 41

Con la ayud.- de

ft i ~J(IIl l curcma (en nu~ll l h• t ¡u.•• H 1111 1\:h).

th:l Tcutt.llll·•

11 f11trtl

y lógica aplicada

1111

es imlependieute de los restantes, que puede ser demostrado a partu d• ellos 141 . Por tanto, todo lo q ue se puede demostra r a pa n ir de ,.,h

vcrtid(l a regla de infc•cnti111

l•l l (p 1s)]) l

1

1" q ue nosotros acabamos de hacer es mos tra r la posihilidad do lltur una teoría lógica. In lógica de enunciados. A lo la rgo de la •~

l 11hl 'S1 .\' c'l unn lclii~

y,\ IP' I/IIt• rllt.uuh... n. r.. "''""' M imi'>mo 7',

130 lntrodUcdón a la lógica fonnal

historia de la lógica lo normal fue presentar las leyes de la lógica de enunciados aisladas las unas de las otras y formuladas bien simplemente en el lenguaje natural, bien en un lenguaje natural enriquecido con algunos slmbolos. Sólo recientemente - a partir de Boole, y, sobro todo, de Frege- se ha llegado a presentar la lógica de enunciados en la forma de un cá lculo. Lo que nosotros hemos hecho es presentar a la vez el c61culo y su interpretación como cálculo de la lógica de enunciados, .... Ya sabemos que podrlamos no haberlo hecho asl, que podriamos haber presentad<> el cálculo solo. y que si hemos hecho lo que hemos hecho es porque. como ya indicábamos en el capítulo anter'ior. la lógica es, para nosotro,, eminentemente, investigación de los principios de la validez formal del razonamiento presentada en forma de cálculo, y no simplemente la teorí" de la construcción de cálculos. No simplemente, pero tambítn. Y así, la lógica sería la teoría de la conslrucción de cálculos, y a la vez el resultado de interpretar con nocionc' lógicas algunos de esos cálculos por ella misma construidos. Con Oll''" palabras: sí la lógica se presenta ella misma como un lenguaje formalizadn, la lógica puede emplearse tambien como instrumento para formali7m otros lenguajes. En el ejemplo que hemos estudiado - y por la sencilho razón de que este es un libro de lógica formal- todo quedaba dentru del reino de la pura lógica: las nociones fundamentales del sistema eran nociones lógicas (enunciado, negación. disyunción): de carácter lóg"'' (es decir, lógiatmente verdaderos) eran también los enunciados de partid.• del sistema, los ax iomas; y los teoremas eran tautologías, verdades lógic:tN, formuh\Cíones de esquemas vá lidos de inferencia. Pero muy bien pudiera ocurrir que la teoría a formalizar no fuera """ teorla lógica. Que ni sus nociones fueran nociones lógicas, ni sus enunciadu• - básicos o derivados- leyes lógicas, s ino, por ejemplo, enunciados de l1• mecilnica celeste, o de la gen~tica. o de la teoría del aprendizaje. No •• trataría. en estos casos, de una formalización de la lógica, sino de 1• formalización de una cierta teoría por medio de la lógica. Al desbord.tt el ámbito de la lógica pura y aplicar el cálculo a una materia extraló~t"•' nos encontraremos con que los enunciados de partida del cálculo no """'" ya verdades lúgicas, sino, pa ra decirlo de modo simplista, verdad¡·, materiales de la teoría en cuestión. Verdades materiales serán tamhtt•tt los teoremas. Y la lógica no estaría, por lo tanto, ni en el punlo de pa l'iullt ni en el punto de llegada, sino a lo largo del camino: en la rcgulattóll de los procesos de deducción entre esos enunciados que no le pertcnc.,_, ..,

..... El kaor tal \'U se precunlc por b wcrlc 41UC: h.a ((•r.-.00 la ló,.a de \.1.1 E.n otra parte de este libro volver:. a saber de tll;, y 111hr'~ l•lmb•tn f'l'O' t¡u~ ahur.1 1 estnmoll olvKI:..mlo.

LB lógica de cnunciMJo6 131

S. l.a lógica de enunciados como sistema de reglas de inferencia

11 m z()fltlmiellto uatural La lógica presenta el resultado de sus aoalisis en forma de leyes expresan esquemas válidos de inferencia, moldes correctos de ruzo larnicnto tales que, interpretadas sus variables con enunciados cualesquícl'll, 11 1"' enunciados que bao pasado a contruir las premisas son verdaderc>s, Wuladero serfl también, y necesariamente, el enunciado que aparece como mclusión. A juzgar por lo visto hasta ahora, parece como si el sujeto un Jllljrlo cualquiera, una especie de sujeto razonante ideal, por analogí.t 111 el «hablante-oyente ideal>> con que operan los lingii istas - pwcc -lo111, cada vez que realiza un razona miento, del siguiente modo : eligicnd" c l~ enlre un repertorio de formas vá lidas de razonar que habrlu que IUrcJncralojado en algú n departamento de su cerebro- la forma apropiada lca,o, interpretando luego los lugares vuelos de ésta -indicados por las u.tbles de enunciado- con los colltenidos a que trate de aludu, nponiendo finalmente el razonamiento asl elaborado a un interloeutm 1111 <.Jpacítado como él para reconocer cuándo un razonamiento es vúlido. III<.Jpaz, por tanto, en ese caso, de aceptar las premisas y a la ve' ltutJr In conclusión. No seria extraño, sin embargo, que las cosas ocurrieran de n tc·n Jlloultl, En primer lugar, parece cla ro que la generalidad de los sujCIII' llfnu gran dificultad para aislar la forma del contenido y hacer const .,,liCIOncs puramente forma les ' "· Por lo demils, los sujetos se li nu lln 11 realiza r razonamientos q ue de hecho tienen una determinaclu ... nJ11. Si al sujeto se le pregunL1ra qué es lo que él hace cuando h.J«' JJ/Onamiento, posiblemente diría -en el caso de que se trate <1~ • UIJCto bien dotado para la reflexión que comienza por sentar ""·" ""'"'liS y extrae luego una conclusión que se apoya en ellas. que tiene u IIJu~IJ¡" como fundamento. Representar el razonamiento del sujeto me t•nlc el simbolismo lógico supone <><,. posteriorl la fo l'lu:t llttJ!IIcnu del razonamiento, a lgo en lo que, como dedmos, el sujeto no lt:o Jtllllttlü. Al obrar así bemos realizado una especie de radiografla del '"""m iento, un retrato de su osamenta. Pero en las fotogra flas las cst:\ n quietas. Dicho de otro modo, y abandonando ya la melúfora : ro¡>rcscntar la estructura del razona miento mediante una ley lógie
V "''

,ftn\ 1l,

~

lrala siquiera de que ltK ~UJ(I CJ'\ lo intenten esponllneanw:ntr y In de que &e3 rt:~uha d•(ll 11 nuu11l\l ~ IQ insta a que 1«' h.tf(·"' tn

\In~'

lntu 11 t'-r-cruncni!IIC$

npropiadas.

1..8 16gica de enunciados 133

132 lnrroducción a la 16glca formal

rrecto- nos. estamos limitando a hacer un croquis de su inferencia, a presentar esquemáticamente el recorrido argumental del sujeto, pero no estamos repitiendo -> del razonamiento. Y de lo que se trata es de aplicar el análisis lógico «cinematográficamente>>. Mejor seria, entonces, describir el comporta miento raciocinante del sujeto diciendo que ha consistido en pasar de uno o más enunciados -las premisas- a un enunciado al que aquéUas sirven de justificación. Y ese paso sólo puede estar justificado en virt\1d de una regla de inferencia. Y las reglas de la inferencia - deductiva- pertenecen a 1 :~ lógica formal. No así -o no así necesariamente, ni siquiera frecuente mente- las premisas y la conclusión. Lo normal es que las premisas y la conclusión no sean enunciados formalmente verdaderos, sino enunciad''' verdaderos empíricamente. Y eso no siempre, porque pud iera ocurrir que se tratara de simples hipótesis - es decir, de enunciados cuyo valor
Es formalmMte verdadero el eounciado ·.. :, que expresa el razonamiento que de realizar cuyas premisas son, además. de hecho verdaderas.

IICt\bo

llrtn Lo que acabo de decir es que si aceptamos como premisa la proposición de que ..., hemos de aceptar inevitablemente como conclusión la proposición de que ·- .

Y c~a obligatoriedad (hemos de ... ) en el paso de las premisas a la undusión la imprime -sólo podría imprimirla- una regla de inferencia, Utt dispositivo lógico que, a partir de unas premisas con una forma dtlouninada, arrastra una determinada conclusión. 11cro aún hay más: no sólo es que el papel de la lógica en el lll<>ll;l mieoto natural se manifieste bajo la forma de reglas de infu· lttllln más bien que bajo la forma de leyes. Es que, por otra parte. t •umo ya hemos indicado hace un instante, el punto de partida, en ~·• mzonamientos que hacemos ordinariamente, no está constituidc' ptll• ticu mente nunca por enunciados formalmente verdaderos, sino por fttuuciados verdaderos de hecho, por enunciados que se nos antojan l•uoibles, por enunciados oscuramente verdaderos - y cuyo valor de odud pudiera quizá aclararse precisamente extrayendo sus consecucn· o incluso por enunciados reconocidamente falsos, pero cuyas nt¡•llcnciones nos interesa conocer. l(c.;ordemos, sin embargo, cómo procede la demostración en un s istema ll•lllliltico ' 41 • Alli partiamos siempre de enunciados formalmente ver· •••li,ros - axiomas, o teoremas ya demos trados- , para llegar, transfor· 111ttlo tautológicamente esas expresiones, a enunciados que son también 1111111 lmcnte verdaderos. 1'lcrtamente, podriamos aplicar la lógica, en la forma de sistema ll•llll(itico, al análisis de la inferencia natu ral. Podríamos, por ejemplo>, "''' 1111 n,zonamieoto ordinario proferido por un sujeto cua lquiera, ""'~'· su forma y tratar luego de deducir ese esquema como teorema. 1l11 C
1•• .

h t•M

urtificial.

1•~ 11 re¡¡las

146

Como <:uundo el científico contrasta sus hJpótesis haciendo -v estamos idcalit.:uul" los casos mas simples de contra.stacióo- inferencias del tipo de ·la siguiente: •eS• '"¡ hipóte$i$ es verdsder~. entonces se pl'Oducirán tales y tales <:Ot\Secuem.-ias en In í'o rnm •1.bcchos observables. fs asi Que esas oonsecuencias no se h

i'uesto que el razonamientQ natural opera, desde un pünto de vist;o n, 11 base de reglas de inferencia, y puesto que la lógica pretende l·n Utl lliiUC ill ~' ~~~.i co má tico que oon.slilu)'O lo lht n~ ;~lización de unn lcc,ria Jitgte;u.

l•l••t'""""'" 1\huru de 1t'H1os los Nistcn\üS .t :li~>lll/, ln" "' trl1•tlvt"'lll a N r<~s c-nnl"'~ de ,•bic h,~~o,

134 lntrodvcc/On a ID lógica formal

Lo lógiCa de emmcll>dos 135

constituir el •nálisis sistematico del razonamiento desde el punto de vista de su forma, pnrcceri• razonable, en aras de una más ajustada aplica· bilidnd de nuestra ciencia a su objeto propio, hacer el intento de presen1<1r la lógica como sistema de reglas de inferencia. Vayamos por parte'!. En primer lugar, ¿qué es una regla de inferencia? ¿Cuantas reglns de inferencia hay o podría haber? ¿Recuerda el lector cuántas leyes había en el cálculo de enunciados'' Recordémoslo: infinitas. Pues bien: infinitas son también en número 1:" reglas de inferencia. Y ello por la sencilla razón de que a cada ley corresponde una regla y a cada regla corresponde una ley. El conjuntu de las leyes y el conjunto de las reglas son conjuntos equivalente-. Una ley y una regla son lo mismo, sólo que dicho de dos maner•' distintas. Una ley es un enunciado de la lógica. Una regla, tamboén Pero una ley es el enunciado de un esquema válido de inferenCia, mientras que una regla es el enunciado de una instrucción para reali7;tr una inferencia v61ida. Los ejemplos seilalarán mejor la diferencia entre unas y otras. Tomemos una ley:

[(p .... tJ)

1\ --,

•ti• tomnmos como

premisas una expresión de la forma ~x ~ y~ Y untt p ~rcsión de la forma ·--, Y', podemos inferir como conclusión una p~resi6n de

lu forma'-, X'>>. «Podemos inferir>>. ¿Qué es lo que quere":'o~ "'" con eso'/ Queremos decir. en nuestro ejemplo, que la expresoón 1 ~' es uálidamenJe d~tlucible a partir de 'X -+ r y ' -, Y', que aquéll.o • .,~ue formalmente de éstas, que unas premisas como esas l"!p.licmr unoo conclusión de esa forma. Ya hemos indicado que el condocronat P'IC'de l>trvir para rt.flejar. para mostrar ••• la implicación de un enunciado> uqucma de enunciados por otro. Pero, mdependoentemente de . Clot,o "'"bolidad de verterla al lenguaje del cálculo -med~ante un cond1coon:tl ""'"'"nente verdadero--, Jo cieno es que la relaCI?,n de deducob~od:td ,.rtcncce al metalenguaje. No es, en efecto, una relac1on entre expr~•or~c~ .., c.olculo. sino entre los nombres de esas expresiones: de la expresron . lt deducible la expresión ·.. .'Las comillas denuncian el carácter mct.o lk1•11i~tico de lo que no está abarcado por ellas. Y la expresión 'es dedu_ciblc' .., In está. en el párrafo anterior. Simbolizarla medoante un condocoonul. ••'·' traicionar todas las consideraciones que hemos venido hacicndu f11 lo> que va de este apartado. La simbolizaremos, como es costumbre, 111..1o.mtc una raya horizontal que separa las premisas de la conclusióu P.•o tanto, al escribir

q] .... -, p.

Cun lquier enunciado que tenga esta forma será verdadero, formal mente verdadero. Y, puesto que lo que aca bamos de enunciar es una forma válida de inferencia, cualquier inferencia que posea esa estructura serlo una inferencia valida. Pero hemos dicbo que a cada ley corresponde una regla. He aqul la regla que correspondería a esa ley: 'Si lO il\1111105 como prcmÍ!)as un condicional y la negación de su consuuenh , podemos inrcrir fa ocgac-ión de su antCQeiCicote como oooclusión'.

¿Cómo formalizar - pues parecería deseable- el enunciado de csl.o regla? Es evidente que las leyes están escritas en el lenguaje del cálcul" Y es igualmente evidente que las reglas lo estao en el metalenguair En la formalización de esta regla correspondiente al lll()dus tollenol" rollens hemos empleado términos tales como 'premisas', ·condicion.ol 'negación', ·conclusión', ·consecuente', etc., términos todos que per1encc..-cn siempre a un metalenguaje, en la medida en que están destinados, ex oflirm. a mencionar expresiones de un lenguaje -de un lenguaje lógico-fonn.ol concretamente. Para referirnos a ellos hemos de utilizar, pues, variabk metalingúisticas. Metalingüísticas, por lo que acabamos de decir. Variabk porque el enunciado de una regla es un enunciado gcncrdl, aplicabk ,, cualesquoera expresiones que tengan las caractcrí
-,x

"'""'"s d iciendo

que cualquier expresión como la que figura dc_h"l•• • lu raya es deducible de cua lesquiera expresiOnes que tenga n la mos11uo u ""' <.¡ue las expresiones inscritas sobre ella. Acabamos de formular una regla de inferencia. l•n nnulcmos otra: X-+Y

Y-Z

x-z A ,.,... regla, en justa correspondencia, corresponde una ley : [(p - q) "' (q -+ r)] - (p -+ r). t n tt Plll~•··l'~ '·

w•

C~tnhdo que WtU&cOS.te:m cb a~ térmmn (u.ignt) e-n su Tr«fnru' l.A~t~i"'

L.tt lógica de enunciados 137

136 Introducción a la lógica tvrmal

Puesto que, en princip io, ni las reglas tienen preferencia sobre las leyes ni éstas sobre aquéllas, lo mejor sería quizá presentar su mutua correspondencia en línea : Regla

((p - q)

A

en

Rt".gla en lenguaje tünlcq

Ley

símbolos

X- Y

Si toma.tll()S como premisas un con~ dicional y su antccedenle podemos ioferir e1 OOI:lSecuente como ooncJu,. s ión.

p) - q

X y

((p ~ q) " (¡¡ - - ¡ q)] - -. p

((p ~ q) " (p - -. q)] - -. p

X~

Si de una proposid6n se siguen a la \'CZ uu enuociado y su negación. podemos inferir la negación de CS..'I

l'

x--.r

--.x

proposición.

Como, en Occidente al menos. es costumbre leer los textos de izquierd11 a derecha, la disposición q ue bemos adoptado pudiera hacer pens.11 al lecto r que después de todo las leyes son antes que las reglas. Saqué· mosle de esa ocasión de error trastocando el orden a lo a ncho de la página: .Regla ,

en

Regla en

let~(luaje

Ley

lécnict>

""" Hplicación más aj ustada de la lógica al a nálisis del razonamien to ••11nún - tanto en la vida cotidiana como en la ciencia-, de da r IUCn ta formalmente de los procedimientos naturales de deducción, parece rnlfcrible la presentación de la lógica en forma de reglas de inferencia . Pero hemos dicho mal. O, mejor dicho, no lo bemos dicho todo. liemos dicho que la lógica puede presentarse bien en fo rma de leyes. hlau en forma de reglas. Y debiéramos haber dicho que la lógica pucclc l'"'"cntarse en forma de sisteiiUl de reglas o en forma de sistema de leyes, 1 elegir. Ya hemos explicado, en efecto, que la lógica es una ciencia, y, por ende, un sistema. Y ya hemos visto que la teoría lógica mios •l~ouental se puede presentar como sistema de leyes. Porque es que no nus h~lllOS limitado a dar una lista de leyes de la lógica de enunciados. liamos, además, presentado esas leyes en forma de cálculo : fundamentad•l hotho< y cada una de ellas a partir de unas pocas establecidas romu A\ lumas. l'or lo tanto, de lo que se trata a hora es de presentar, tlltemati la lógica de enunciados como sistema de reglas de inferencia. N11 Nimplemente de dar una lista de reglas paralelas a la lista de leyes quo aparecía en el apartado J, sino de sistematizar las reglas, de prcIPIIIItr la casi totalidad de éstas como reglas derivadas a partir de un I"•Joocño número de reglas primitivas. Puesto que es posible deriva r todas la• leyes a partir de unas pocas leyes-axiomas que se pueden ron t<~r 111 los dedos de una mano, y puesto que las reglas no son sino 1111 trnsunto de las leyes -o viceversa- , podemos también derivar ol 1 •I•J de las reglas de inferencia a partir de uo conjunto de reglas primitivas. Ahora bien: cuando derivamos un enunciado dentro de un tl•hilliP lo hacemos de acuerdo con determinadas reglas de inferencia. Inundo lo que se deriva son j ustamente reglas de inferencia -es decir, tt(ll'csioncs que son metalingüísticas por respecto a los enunciados en cuya ~fllvución intervienen- , las reglas de inferencia que permiten derivarlas cuanto metarreglas de inferencia, meta-metalingüísticas. Repare 11 lcCI(H en que, si tomamos como nivel básico el de un raronamien lo tun lq niera expresado en un lenguaje natural, nos ha llamos ante cuatro Alv~lcs distintos de lenguaje:

'"""'"te,

"'""·en

sintbr)ios

Si tomamos como premisas una disyun-

XvY --.x

ción y 13 negación de uno de sus miem-

y

bros, podcooos inferir el otro miembro oonto conclusión.

((p

V

q)

A

o p) -q

Nivel O. Etcétera. Así pues, podemos presentar los modos vá lidos de razonar in,ll ferentemente en la forma de leyes o en la forma de reglas. Se tr.1111 , sin embargo, de una indiferencia tan sólo en la teoría. En la priocti'" -es decir, según lo que se pretende baoer con la lógica- hay raw lll'< para incljnarse por una forma de present:~ción mf\s bien que por

Y así. cuando de lo que se trata - cr,nw uhn•u

<"Ut.Ttlc

e:-; de

Ol lll

o,.,._·u•

El razonamiento en cuestión, formulado, por ejemplo, en castellano. Sea el siguiente razonamiento: 'Si Dios no existe y todo está permitido, entonces vamos inexorablemente hacia el caos. Ahora bien: no vamos hacia el caos. Por otra parte, Dios no existe. Luego no todo está permitido' '"'.

l'11n1 lu confección de e.$le razonamiento nóS hemos inspirado en una

afirm::~ciór\

.1111111111111, 111 •nCII no rtOOrdamos. por Ivao Karnm:r7-0v en la novela de F. Oostoiev$kl llluh• h1lOC meociól\ de lvan y sus hermanoil.

138 IntroduCCión a la l6glca formlll

Ni,•el 1.

1.8

La expresión del resultado de formalizar este rawnamient" la presentación de su forma separada del contenido :

• -,-, xv -, Y ~

(• p

-,,

A

MT, 1, 2

Xv-, y

DeM, 41H DN,5

7 -,y

q) - r

op

La regla de inferencia que nos permite realiza •· un ra201111

miento de esa forma, que nos autoriz.a a pasn r de

(o X11Y)-Z

-, z

Ullll ~~t

premisas con esa estructura a una conclusión como ésJ,

-,x

(o X " Y)..., Z

-, y

-,z

o X

t oon lo cual hemos obtenido la regla que buscábamos. Al dcci1 J,, hemos obtenido queremos decir que bemos conseguido demostrarla tor de otras reglas de acuerdo con un principio de orden superior.

-, y Nivel 3.

La derivación de <:$la regla de inferencia - puesto
-Q'"'"

X->Y

-, y

X

•X

V

Y

-,-,X

-,(X " Y)

-, X tso Podriamos, entonces, derivar nuestra regla a partir de estas ""'' cuatro: 1. (o X "

2. -,

z

3. -, X

IA, 6, 3 1>6

1o> mando como premisas '(o X 11 Y) - Z', ...., Z' y '-, X', hemos :lllllrtdo ...., Y'. La legitimidad de C$a infe rencia entre cualesquiera exprc· 111hl'> de esa forma. la representaremos entonces así :

o q Nivel 2.

-, (o X " Y)

\

y¡ .... z

139

Premisa Premisa Premisa

154

15 " 154

t !O Por constituir esta ~sJa, como ta.ntn. Lu lhumarcutu'l 'UI-. u 4 Es o bYi() -t~.unq u e, de todus mnnc:ru,lo ex¡>lic:arcmo!l m(ts ndcltmtc t iUC M ''' tflt queremos~ demostrar que tlq>reslon<:A de uno f('II'Oill dc:tcuulu!tdl• ~ infieren de CAfllt 1111 ''' que tienen una determinndrt f(ll'rna, h cmo~t de ,t.,;(l''·ll •·11111 l.lltun¡•• a thult• dr fUt mi

l'rncntar la lógica - o, por abora, la lógica de enunciados tan como un sistema de reglas de inferencia significa, entone....,., un conjunto de reglas b.'lsicas y derivar (o mostrar la posibilidad r) de él el conjunto - potencialmente infinito- de las restante' . Lo que esta mm en efecto, no es ot.ra cosa que dar forma de cálculo a l.o ro.otural de deducir. u r>urisima lógica. de lo que se trataría seria de deducir nuc''"' rn;ls complejas a partir de un pequeño repertorio de regla' · Cuando de lo que se trata, en cambio, es de aplicar l.o

1••

1fn¡:ue presc-nt~ al 11plicar la 1'C"3Ia ' DeM• a este aso, que el primer miembru "ltlun(;ió n e n 3 está )'1 ncpdo (-1 X ~ por lo cual, tr.u apJicar la. n!g_la, ha de u tt~- • d() dos veces. lhtl¡', rcse en que en este taso Ita rea;la lA ha sido .-.plicada ;1 unól d1syun~i bn lff!!ltd\l nuembm e~tl\ nc:¡~td o, Xv-. Y. '1111t, 111 d i ~ponct, como prc:miM, de Ir• •• t~~;• cio'•m del tlrimt •· mtémbru (línen 3 d t.' la 111+ ' • •ll• f~ otl cnkiS nfirnmr el !W:gundu, prw, tlntdr luC'ilt\, lll!uUeniéndolo tnl oorn(l ..:~tll'• , ... r·ulu

de envnclados

140 lntroc/ucckln a la lógica loona/

lógica a un material extralógico, se suele proceder eligiendo unas poc:" reglas primitivas, derivando de éstas algunas reglas auxiliares -que, en rigor, no serían necesarias, pero que son muy útiles para abreviar h" deducciones- , y dedicando unas y otras al análisis de la validez de cualquier inferencia sobre cualquier materia. Con esto basta. ¿Por qué'/ Tomemos un ejemplo. Sea el siguiente razonamiento'": «"Los ma trimonios podrian ser buenos, al menos durante un cierto tiempo, " hubiera armonía y satisfacción sexual. Pero para que eso ocurricm haría falta una educación que favoreciera la sexualidad, una experienciu

sexual prenupcial y una emancipación con respecto a la moral co11 vencional. Ahora bien: estos mismos ftJCCores. que son los qr1e permitirírm

Procedamos entonces a intentar demostrar la validez formal de lile razonamiento, a intentar mostrar que de unas premisas de esa

fllrma se s igue una conclusión con esa estructura :

1\ S

A 1)...,. p

l

(r A S 1\ 1) - (q -, (r A S A 1) S. p- (r 1\ s A r)

1\

o q)

4.

r..

' P

l." cual a su

Formalicemos este razonamiento. Esquematizaremos los enunciados con arreglo a las siguientes corr"" pondenc.ias:

( (/1 -

y sa tisfacción sexual'. q e 'los matrimonios pueden ser buenos'. r = 'se imparte una educación que favorece la sexualidad'. s = 'hay experiencias sexuales prenupciales'. 1 = 'se está emancipado con respecto a la moral convencional'.

Premisa Premisa Premisa RA,3 RDf. ..., 2 MT, 4,5

1. (p- q)

2. (r

realizar buenos matrimonios, significan al propio tiempo la condena de e.,lu insrUuei'ón" us. Luego 159 en Jos matrimonios no hay a.rmonia ni sati' facción sexua 1.>>

p ~ 'hay armonía

141

Quiere esto decir que '--, p' se infiere vá lidamente de esas premis"s. vez quiere decir que la expresión q)

1\

[(r

1\

S A 1) +-+ p]

1\

[(r A S

1\

1) - (q A o q)]l - o Ji

una tautologia, una ley. Lo cual quiere a su vez decir que la

X -• y W+-+X w- (Y A -, Y)

Según esto, el razonamiento podría formalizarse así:

-, X,

'(p - q)'

'(r

s

1\

1) +-+ p'

'(r A S

1\

1) - (q A

1\

~ur

'-, p'

Supongamos ahora que disponemos de las tres reglas siguient e<

x-Y

-,y

-,x .,,

X- (Y

-,X t 6o

1\-,

Y)

x-Y I Y-+x• e.•

Tomado de Wilhelm ReK:h: Lo reoolución suual. Parte Primera, Capitulo VIl, 1, h Los subrayados son de Reich. 1 ~' Dicho brevemente, abreviando Las conclusiones de Reie:h. 160 Esta regla, que luego presentaremos con otro nombre en una forma ligemnKIIII modificada, no ofrece ninguna dificultad: si de un enunciado .se .siguen consccut:IJd ..c:ontradictorias. podemos inferir su falsedad. Por tratar!W: de un11 rorma de rodJIC(.:I t'l ll al absurdo Uamaremos a esta repa, por ahora .'RA' 1 " Es decir. que de un bioondicion:1l. t n ._ .. ¡,niH '111" •df'l nn e~ 01r:1 cost1 qutt lo~ 1

nu es sino la versión metalógica. la traducción a regla de aquella un procedimiento correcto de deducción, una regla correcta lnrcrencia que permite extraer de unas premisas una conclusión que • IMUC válidamente de ellas. Podríamos entonces aplicar esta regla regla derivada para abreviar toda deducción cuyas premisas teng:o n miNnla forma que la de nuestro ejemplo. En efecto: contando co11 . . •c¡¡la - a la que llamaremos, para abreviar 'RWR" 62- la derivaciú11 •u• '"'tes hemos realizado constaria de cuatro pasos, en lugar de seis:

ltr. ~nuncia

o q)'

p- q l ~

(r " s " t) +-+ p (r A ,, A 1) - (q A o q) , p

"

Premisa Premisa Premisa RWR, 1, 2, 3

lt\u de dc)JO C()ndicionales;, podemos inferir c~• alquiert'l de )0$ dos aisladumentc

)lo'""""" :l

~la

regla, por aho ra. 'RDr-· (regla

lth tllldittC'llUI),

' M.c:tcl:t W11hclrn ftcich'.

ba s;~d a

en la definición oonlcxluMI

142 lntrocJucción a la /óglc:t formal

Esta es la razón de que no necesitemos entregarnos a la demostracióu de más y más reglas basta el infmito. Nos basta con unas pocas regln' primitivas y unas pocas reglas derivadas - aquellas cuya función de abreviación de las deducciones se haga necesaria con mayor frecuencia Con eso basta, porque por cada derivación correcta que realicemo' obtendremos la posibilidad de formular una nueva regla de inferench• la que se obtendría enunciando que de cualesquiera premisas que tuvieran esa forma puede infcrirse siempre válidamente una conclusión así contruid:o La nueva regla de este modo obtenida seria algo así como la moraleja que extraemos de esa derivación y que nos permitirá abreviar ulteriorc' derivaciones de enunciados que tengan la misma estructura.

Supongamos que un individuo, al que llamaremos F, intentu despertat' en otro individuo, cuyo nombre será M , impulsos autodestructivos, diciéndole - entre las muchu cosas que podría decirle- lo siguiente: F. La felicidad. am•co mio. es impos1ble. En lodo caso, s.• no c:s imposible. al menos c:Jt3 muy Jejoa. Veri usted por qué:. Si mtenta usted teriamcnte contribuu a hacer la l'e\'Oiuci6n, Ulrdt o temprano Je introducirán en la circ:cl, lo cual priu;· tic:amcnte nunca resulta grato. Aho~ bien: ¿qu6 otm cosa puede b!Lcer usted'? ¿Jntc ararse t11 el si$tema planetario de exphHnci6n't Puede usted hacer1o. poc suputslll, pero éntonces --titndo. como es us-ted, lúcido pronto hari presa en us'ed la mala conciencia. Triste. cs. pues. su destino: o la mnmorra o d temordtm.enro

Y supongamos que el diálogo continúa así: M. Ciertamente, sus presupueslos son Ílreprochables. Pero su conclusión nl!l' parece un tanto dcscspcrtnzada. Yo creo que hay ocras saJjdas..

Deducción axiomática y deducción natural

No vamos todavia a presentar ese omnipotente sistema de regla' aristocráticas y reglas de clase media alta. Antes queda algo P"' aclarar.

Oedamos que la diferencia fundamental entre el modo axiomátk11 de deducir y el modo natural de hacer inferencias deductivas er~ qu1· en el primer caso se partía de enunciados formalmente verdaderos y ,, enunciados formahnente verdaderos se llegaba a l cabo de la deducción mientras que en el segundo se puede partir - y es eso lo mlls frecuente de enunciados indeterminados en su valor de verdad o incluso decl:u.r damentc falsos, llegándose a enunciados que tampoco son tautológic"' Los enunciados formalmente verdaderos, verdaderos en virtud de su sulu forma, son - y esto no es mas q ue otra manera de decir lo mismo verdaderos en todos los casos posibles. verdaderos para cualqu ier contenido • que se adapte a esa determinada forma : son, en una palabra, oadm Y tos razonamientos naturales 163~ aunque a menudo se caracterittn por '" vaciedad, no son vacíos en este sentido. Dicho de otro modo (que •· casi el mismo): las expresiones que obtenemos al fmalizar las deduccionr' en un sistema axiomático son verdaderas por si mismas, por razón de "' propia estructura. Las que los sujetos obtienen a diario en las oonta
Y supongamos ahora que el primer hablante, F, es un lógico taimad" q1re no ha exhibido basta ahora su oondtción de tal, pero que la hace ~•lcr en este momento de una manera implacable: F. De modo que acepta usced las premisas a.11i se llaman de que patto. JX:II• oo la conclusión a la que llego. ¿No tS eso1 Oi.t:n. Formali~mos. Las prcmho'' serian tst.s: l. , _ , l q-1 3. p .... q l641 6S

Y ésta seria la conclusión : r+-s.

Y el lógico F, seguro del carácter inexorable de la disciplina qu<' pwfcsa, prosigue: P. Co n~·endrá UJicd conmi¡o en que s• se actptn que algo es condición suh c:icntc de Otra cosa y se acepta que se d.a lo pnmero, hay que aeeptllr necesars.1 mente que $C da Jo segundo. M.

Desde lue¡o.

1 4

fl f!51ll l>remisa está impUcilil en la argumcnt11Ción de f : «¿Qué o1rn coSa puede U•h·d haetr'h•, le pregunta a M tras haberle: prtsenHtdo la posibilidad de hacer la

""t~l uc:tó n

••t ••) Entendiendo ooo esta tlpresibn -co&UI,nda. pero quiD no adecuada "" ~nam.tentos que emplean los sujetos cuando. s.1n pcns::tr n• por un momtniO en IJI '"'tul lógica de los enunciados que están profi_riendo. di\(;utcn, l'l"•r ftr"''"''· de polilic:t, n .h teolog1a, o de motal seJ.uo.l.

Quw.\ no C$ti': de mU explicar por qué bemol formalizado esta pnmisa de este

.... -.., ('ttflkt '" dn:yui'K:i6n cniR p y q es. csca ~·a. eaduyerne. y puesto que la d•syunc•on hc~ )cnte ft la nc~ci6n del bicondt<:tanal, con)() mu« trl la mspeoción Cómpamttva dc: SU'i 11\11" t.thhtll de verdad, rc:pre.~cn t ¡.rem~ 1!1 t'\lllh'ltnlt de es:t nhcrnativa enlre 1, y ,1

i ""'""'''" qu~ C\tllht enlte ellas lu telncu'\n hlt"!lihtl•uml

144 /n/f'Oducci(Jn 8 "' légica fom>al F. &..c:eJente. Vaya usted apuatando. Enton. m uatcd acepta que hay una alternativa clara: o p o q. Esta es un-a de nuestras prcmiso.s. Me uoepta usted. pOr otm parte. que la pri· mcm de eu.as dos ú nica-s posíb ilidudes conduce a unt\ siluación. la situación de <:11U'mcia en 1:1 c!tr<:el. Que representaremos mediante la varia· blc r. Rooonooe usted. en tercer lugar. Que la se·

cunda de lu aJtemarh·as nos lle,·a a la mala ooncitncia, estado de c:osas cuya e:mtcnáa rc.prcsenlamos mediante la variable 1. ¿Es&amosl

¡\f:

l.

p+q

2. p

~

r

J. q-s

Premis;t

F Ahora bien: póngase us1ed en la primera pos;ibihdad. Supóngase que yo elijo el e~mino de la revolución. Entonces. puesto que estA us.· ted de acuerdo e o q ue ese a.mino. tomado en 3CI'ÍO, COndu ce a fa C3roel, SC&(Hl CCZ!l la &e¡unda P•~mi.st,, c:11 la ducel lo que me cspcrn. ¿No es

•d!

1 1

o 1 o o

t

o

1

t

1

t

o

t

o o 1 o o o

1

t t

t t

l

1

o

1 1

7. s

MP, ).1>

Convengo.

f'. l)ucs t.ntooces.. mi querido e Incoherente inh:rlotutor, no le quedan a u5ted mAs que dos camin011: o el régimen penintedorio. o esa Cll· pede de trotskismo aplicado " la ooncitocia moral: el remordimiento permanente.

1 1

8.

r.,.. $

Pero he aquí que M , basta ahora obediente y sumiso, es tambi
1

t

1

t

o o

1

1

o

1

o t

1

1 1

t

l

1

o 1 o o

o

o

1

1

1

1

1

1

1

o

o

1

o o o o

o

l

1 1

1 1

1 1

1

t t

1

t

t

o o o o

o

o

1

1

o 1

l

1

1

o

t

¿¡Qu~ torprcsa, ~rdad!? No •odos ku casos de la tabla arrojan el valor 1 1 ~· cual qutcrc dmr que la expresión no a ló¡k:amente verdadera. lo cual - puea1o ~uc· la exprai6n es uo condicional - quiere decir q ue las premisas no impllc:nn 111 conclusión. Lo tual quic:.re decir q" e aquellas puoden perfectameme ser \'erdou.J~• ·•~ y 6uat ser ralsu.. ¡,Cit.:to? - cierto- reconoce F con la reconrorcante pesadum bre con que todo U.~o~ 1( o \ rormal se plieMa al jnapela ble dictamen d e &u ciencia cuando éste le Cll ndvc 1M, M. F1je&e unsted, sin embargo. en q ue., t~i bien de las premisas que uslcll 1111 sentado. y que yo hago mias, oo se deduce 'r- $,si se deduce, en cambio, 'r v ,· Si no lo cree, lr invito a que haga la cabfa de \ltrdad d e la expresión •[(p ·•• q) 1\ (p- li " {q - .t)] - (r v & -)'. Mi prtricia -de la que acabo dr dar una pruch.t

en la coostruoción de tablas de \'erdad me dispensará a SU$ OJOS -espero tk rulizar l&.mbiéo c:sta o tra. Coolie en mL Eaa expres-ión es una 1autoJo,sa l,or ¡., tanto, la ••&ukntc
PermHame. Ha dicho usted que si acepto sus prc:mlSas he de acepuar tanabteu neeesariamm te la conclusión que usted propone. Lo c:us l es tanto como tln11 que si son verdaderas sus prem is r~s, entooots tambiCn seri. verdaderll .liU eonc:h1s1úu Lo cunl u su vez quiere: decir que c:l c:ondiciooal construjdo con esas premisas ...:üul•• antccc:dentc y esa c:onctusK\n corno consecuente es lógiCHmc:nte verdaderot o. lu '.1"' ts lo mismo, verdad ero e n todos los c:esos posibles. ¿De acuerdo? M.

F.

1

(AA8AC)-D

6. q

in1c¡raet6o. Se ~rá usted cotldeoado D Kntit

esa •nsatlslaoc:ióo consiso mismo que llaman 'mn.ll conaencia'. ¿,Conviene usted t.n es1o1

1

1

o o

1

o

o o

o o o o

8 ic.n. Supongamos ahora. por t-1 contra·

río. que ch¡c usted d esp1DOJO cam.1no 6e la

M.

1 1

o o l o o o o t

M . Asl cs. F

o

o" o

S. r

1

o

o o

1

o

1

1

o o

1

o

1

1

o

L

o

4. p

o

o o o

1 1

1

l

1

o

o

1

t

Estamos.

1

o

1

o

•- s

q- s

r

1

A A. 8 AC

B

p- r

q

•

e

A

p- q

p

Premisa

,_,

2. 3. q-•

Premisa

Premisa Premisa

4. p

S. r 6. q

MI', 2, 4

7.

N

MP,3, 6

8.

,. V ,o;

l)e acuerdo.

Entoote$., COD SU permiSO, YO)' a OOO.SU\Ilf ese oondiciOntl y a h
((p-q) A (p •r) A ltf ••IJ

lt•oo')

Asi puc:r --prosigue M-~ dr sus prem1su se si¡u-e uoa condusión toda\'l.'\ m.h por USlcd; O te VI 11 b cárttl., O se titnt tnala I:OnCIOH:W, u t~mbtu t'l:bUS n ka «r. No quil~tn•. en \'Ud.ad, encontrarme: en el lu¡ar de- 1111 IIHJIWidt.ltl qut" rueru .sujeto a b 'ff:l íkl C'IUII1\I.IdH r ) del tnunc;~do S Siendo llllliJii" PUIIniSll que fa preVISta

~er,lo.ul tt,)5

146 lnti'O
ln lógica do enunciado$ 147

¿Cuá l es la moraleja - moraleja lógica de este debate'! Son dos. como hemos anticipado. La primera de ellas viene a pone• de relieve la diferencia entre las conclusiones que se alcanzan axiomil ticamente y las obtenidas en una de esas deducciones que hemos dadn en llamar «naturales». La segunda tiende a resaltar la semejanza dt principio entre unas y otras, a mostrar que la diferencia es una diferenc•.• de presentación y a dejar claro que las diferencias de presentaci<•n son. en este caso. sumamente importantes. Vayamos por panes. En primer lugar -y esto es ahora lo m,,., importante a efectos didácticos-. el ejemplo sirve para encarecer l.t distinción entre un sistema axiomático y un sistema de reglas de inferenci.t ¿Qu¿ es lo que hemos demostrado en esta derivación efectuada dentrn de un sistema de reglas de inferencia? Hemos demostrado que si r verdad que p ... q. y que p- r y que q _, s, entonces es verdad qu• r v s. Lo que hemos demostrado, por tanto, no es que 'r v s' ,.., , verdadera, sino sólo que lo es si lo son las premisas de que hem"' partido para llegar a ella. 'r v s' no es una expresión tautológica, verdadc•·• por si misma. en virtud de su sola forma. Lo que sí es una tautolo¡•t.t es la expresión ((p .., q)

1\

(p _, r)

1\

(q -> s)] - (r v s).

Por tanto, la diferencia entre un sistema de axiomas y un cálculn de deducción natural es una diferencia en el valor de verdad de 1'" conclusiones a que en uno y otro podemos llegar. El de las conclusioun obtenidas en las demostraciones hechas dentro del primero es siemp11 el va lor verdad. El de las obten idas en el segundo puede no scrltt En un siste ma axio má tico como el expuesto en 2, hubiéramos potli,l" obtener 166 una demostración de ((p ,.. q)

1\

(p - r)

1\

Y ese alguien podriu deci rnos -y haría bien en hacerlo-: d>emoltrar que La c::tpre5i6n que usted propone es rormalmt'lue \-crdadera t'S tanto como mostra.r que de esas premiSa$ -es decir. de la ronjunc:tón de enunciados Qllf: conshtU)~n el antecedente del c:ondic:ionaJ con que usted me desatia- se .sigue esa condus-K.n. esa disyunción no exduyune de enunciados. lo que uued me pKie. por ll.nto. et que demuestre d munaado condusi6n. 'r v (, a partir de t$01 otros ucs. S1 muestro que a partir de elk>1 y aplicando oorrettamenle las reglu: de m.ft:rt:oaa se llpc: esa coodUJ.I6o babrt mosuado que d condicional oorrespon~ d.mte C$ lóp:amcotc verdadero. Con Jo cual babré satt~fecho a ustrd en s;u demandu.

Volvamos entonces, para que las semejanzas -aun a riesgo de ser lcd1osos- queden patentes. a la demostración de antes. Puesto que se ltataoo de una demostración bajo premisas -es decir, una demostración tn la que lo enunciado en cada paSO sólo es verdadero si son verdaden" In premisas que nos han permitido darlo- indicaremos, en el margen d• la izqoierda de cada linea y entre paréntesis, el número de la premis:• o ptemisas de cuya verdud depende la del enunciado que figura en esa líne:1 :

Premisa 161 Premisa 161 Premisa 167

(1) l. p-r (2) 2. q-s

(3) (3) ( 1, 3) (3) (2. 3) 11. 2. 3)

3. p-q 4. p

Ui8

MP,l, 4' 69

S. r 6. q 7. S

8.

•••

'

MP, 2, 6

rvs

(q -> s)] .... (r v s),

que es una tautologia y, por ende -en un sistema que sea compkt ... segun veremos en el Epílogo- , un teorema, pero nunca una demm tración de 'r v s'. llasta aqul, las diferencias. Seña lemos ahoru, como anunciábamos, las semejanzas. Porque tamhu u podriamos decirle a alguien a quien sólo le hubiera sido preunratlu /,, lógica de enunciados en la fo rmJJ ü un sistemJJ M reglas d<' inferelt< ,,, «0emu6strenos que es válido un razonamiento que tenga esta ft>t '"' ((p - r) " (q - s) " (p ,.. q)] _, (r v s)». ••• A lo larso 6e un p.roceso ao sufiacntemane largo como p;ua que nos Jo ah''"'"'" m ale monxnto y lo turtcientcmc:nte laborioso como para que k aCOrt!rC')trnQ'S 11 1 t. 1 que uHente ckunollar-to a titulo de c,trcitación co b-. l11h.un propias del 'J10'' .t. de uce apitulo

Ahora bien: decir que cuando una expresión es deducible de otrH condicional formado por ésta como antecedente y la primera con111 es lógicamente verdadero equivale a decir q ue al pone¡ anteceden te de una expresión una de las premisas que han servid11 deducida hemos eliminado esa premisa, la hemos convertido en le de la conclusión. De modo que podriamos dar un paso más y decir : (1,2) 9. (p ... q)-(r v s)

1 \ htdentc que lod.a prcmra. pOr d mero hecbo de ser u.1. DO depende.. en w .,1 m.A• que de t.i miSINI 1 n la fu~ J K arlfma la ntnmeaa de una alternativa.. Hemos de confl
1)

y ·p· (paso • · que

depe~

148 IntrOducción a la lógica formal

ele enunciadOs 149

Y seguir diciendo: (1) (0)

W'lllll'lll'O un condicional (p .... r). Supongamos, a título de premisa, que se da su &:ilnlcccdefi te.

10. (q -+ s)-+ [(p +++ q)-+ (r v s)] 11. (p -+ r) -+ {(q -+ s) -+ [(p .... q)-+ (r v s)]) 170.

Volvamos sobre todo lo dicho con un nuevo ejemplo. Supónga:..: que a dos individuos, el primero de los cuales es un coetáneo que no sean el de Manuel Sacristán, lo cual hace qur sólo conozca los cálculos de deducción natural, se les pide que demu<:.' tren que el razonamiento efectuado pot· un sujeto, mediante el cuu l éste ba deducido una conclusión de la forma '(p-+ q)-+ (p-+ r)' a part11 de la premisa '(q -+ r)', es un razonamiento válido. El primero de ellos dirá que lo que se le pide, entonces, es qur demuestre que

es una tautologia. Y procederá, por ejemplo, asi:

El segundo, en cambio, dirá tal vez: Tomemos como premisa el antecedente. Ahora bien: el consecuente cuya derivación se me pide es, a su vez, un condicional ((p -+ q)-+ (p -+ r)) . Tomemos también como premisa su antecedente (p - q). Y, por su parte, el consecuente del consecuente es asi170

Axioma 5 de PM RS (pf • p), 1 Df.-,2 111

(1)

l. q-+ r

(2)

2.

PrerniM

p -+ q

Expres-ión que, por aplicación rucesh•a de la RegJa de Importación, se trnnsro~n•.• , ~~ ((p - ,¡ " (q - s) " (p- ql) - (' v sl

Cfr. la derivación del teorema 3 en el apMI!1do tmtr•w• No h<:rno.s ht."Ch•~ que repetirla. 17 1

3.

p

Premisa

l)cjcmos ahora que la lógica obre por si misma:

La expresión que lleva el número 8 sólo es verdadera si lo soo las premisas 1, 2 y 3. La número 9 sólo es si los son las premisas 1 y 2 La 10 sólo es contando con que lo sea la premisa l. Y la 11 Jo es de por sl, bajo cero premisas.

l. (q "'t r) -+ [(p v q) -+ (p v r)] 2. (q -+ r) -+ [ (• p v q) -+ (• p v r)] 3. (q-+ r) -+ [(p -+ q) -+ (p -+ r)]

(3)

11, ••

(2. J)

n. 2, 3)

4.

MP, 2, 3 MP, 1, 4 1

q

5. r

(1 ,2) 6. (1) 7.

(0)

p-+r (p-+ q) -+ (p-+ r) 8. (q -+ r) -+ [(p -+ q) -+ (p

-+

r)]

Nos queda, sin embargo, a ntes de presentar el cálculo y comen"".

t IIIIIIJcjarlo, algo todavía por decir, unos últimos conceptos por precis:1r. li emos dicho que cuando lo que se nos pide es que demostre mos ru un cálculo de deducción natural, por supuesto- la expresión, ejemplo, '[(p -+ (q -+ r)] ..,. [(p A q) -+ r]', lo que hemos de hace•

1mnar como premisas l.

p - (q - r) y

2. p

A

q,

•IIICJ~Irar, a continuación, que 'r' se deriva de ellas aplicando corree !:•

]llfulc las reglas establecidas, y, finalmente, ir introduciendo como ante oh'ntes de la conclusión obtenida las premisas de que nos hcrn" ' tvtdo para obtenerla. Y hemos dicho que, en cambio, cuando lo que se exige de nosotros 11 t¡uc demostremos que la expresión '(p A q) -+ r' se sigue de la pre misn P • 1'1- r)', lo que se espera es que derivemos esa conclusión de csn •1• premisa, de tal modo que la línea - final- de la demos tracióu IIUC hayamos llegado a '(p A q) -+ r' no dependa más que de 111 en que esa única premisa aparece formulada. Asi: p-+ (q -+ r) p A q p

Premisa Premisa

q

l?l

q->r r

MP, 1, 3 MP,4,5

(1)

l.

(2) (2) (2) (1 , 2) (1 , 2)

2. 3. 4. 5. 6.

( 1)

7.

(p

A

17l

q)-+ r

l~n erc~o: si la \'erdad de lo enunciado en este JXISO 5 depende de Jo enuncirttlt• 1 y de lo enunciado en el paSQ 4. y lo enunciado en el paso 4 depende tle lo IJI•••"I"''h' cu los p:l~ 2 y 3. la ''erdad de lo enunciado en S dependerá de lo enuncirulu 111 l y en 3. ''' Jl•lllificació n intuiliva de este paso : ~j IC>~Ufl mos como línea en u m1 demoslmciÓ+l •••nl••nt;t•)n de c:nuncindos podemos pa -ttt l 1' ufirma•. c:11 otra linc:1 c1ue depender!\ de •'

1

150

1Ji lc)Uitll do enunciados 151

/ntr
La línea 7 de esta demostración, en la que aparece la cxpresióu buscada, no depende más que de la linea 1, es decir, de la prcmis11 que se nos ha dado como único punto de partida. Pero repare el lector en que en nuestra derivación hemos utilizad<> una premisa más, (p " q), que figura como linea 2. Y repare asimismo en que hemos eliminado esa premisa más tarde. La deducción, en ese sentido, es correcta. Podemos introducir cuantas premisas qucmmo< siempre que luego las eliminemos. A esas p remisas que íntroducim<>< en el curso de la deducción para luego eliminarlas se les ha llamad" a veces <> - o supuestos- a uxiliares>>, a diferencia de las qu~ podríamos llamar <>, las que se nos dan al principio y permanecen al fi nal como tales. Aéstas últimas pueden añadirse - y P"'·' su elección no nos guiamos más que por nuestro sentido táctico ;,J servicio del exito en la empresa deductiva- otras premisas subsidiaria' Son éstas enunciados que tomamos momentáneamente como dados P'"'" derivar de ellos otros enunciados y eliminarlos luego construyendo ti cond icional correspondiente 1 " - He aquí otro ejemplo : Derívese 'p _, r' a partir de '(p -> q)' y '(q-> r)'. Derivación :

(1)

l.

2. (3) 3. (3) 4. (3) 5. (1,3) 6. (3) 7. (2, 3) ' 8. (1,2,3) 9. (1, 2) 10. (1, 2) 11. (2)

p->q q-+r --, (p -+ r)

P"''

Premisa básica Premisa básica Premisa auxiliar Df...... 3"'

p

.,q ,

MP, 1,5

'" nos han dado. Pero, ¿y el lcrcci'O'/ 111 lc• ccr paso ha consisudo tormar momentáneamente como premisa auxiliar,

l.

p -+ q

4. p"

1

r

5. p 6. q

MT, 2, 7 176

qA ""'I q -, (p _, r) _, (t¡ " --, q) (p _, r)

117

7. -, ,

RA, lO

8. • q 9. qA-,q

ésta. cualquiera de esos enunciados por separado. Dicho de ouo modo: '(p A 111 • ,, y '(p A q} - q' son tautologlas. "" Veremos muy pronto cómo incluso hay reglas que hacen innecesaria la oonstrunl•'••l de este condicional. u, En efecto: si X- Y= 0 ¡. •(X A-, Y).-, (X _. Y) • nr· ..,, (X A -, Y) ¡, 1 (X " ..., l').

Es decir, por aplicación de la te&la e.xtraid:l del modus wllemlo rallo •~n 11 ·q - r• y '-. r•. 1" ' Esta regla es algo asl como c.l reverso de l;• c~ ¡)lu;;¡•du en In nota 17): oiJ•iiP•

supuesto

2. q->r 3. --, (p .... r)

--, q

Bien merece esta demostración que la comentemos en detalle. Los d" ' primeros pasos no requieren mayor justificación: son las dos premi' ·"

como

la negación de la conclusión que buscamos. Y partiendo •Htu premisa subsidia ria -en unión de las otms dos- hemos llegado 1'<11' caminos que hasta ahora sólo hemos justificado de modo informal. que pronto estableceremos con precisión- a una contradicción: ~ -, q' en la línea 9. Luego s i la suposición de que el enunciad<' 1 (¡> - r)' es verdadero - y de que, por tanto, es verdadera su conjunción lns restantes premisas- nos conduce a una contradicción, hemos d e uir que ese enunciado es falso, y, por ende, que es verdadcr~• ncgnción: y su negación es '(p .... r)', el enunciado cuya derivación bHmos y de este modo hemos hallado. Hemos adoptado una premisa r y, después de un cierto proceso deductivo, la hemos eliminado. prooeso -que en esta derivación va de la línea 3 a la línea JI especie de derivación dentro de la derivación, una especie de digresión consiste en desviarse por un momento del curso principal de la IIIIIICCI.ó n -siguiendo el curso secundario a que nos conduce esa premis:o U-'ha 1r- para luego -eliminando esa premisa- volver al camino real. (Ji versos los recursos tipográficos de que se han servido los autores
JO. (p _, r), co mo es obvio, la raya parte hacia abajo desde la Hnea en c¡uc la premisa aux iliar, flanquea por la izquierda las líneas CUY<• compone la deducción secundaria y se desvia en perpendicuh11· ¡,, lu (icrccha para separar de los pasos obtenidos en esa subderivación "'"" principa l de la derivación que continúa . 1Nl ll es l~t técn ica que utilizaremos nosotros a imitación de ellos.

1 '~

dos enunciados (línea 6, línea 8) podecnos inferir $u c.~ ·n¡u1u 1/ln

Pn ¡¡u "'bm N11rurol DeJt~cr ion . Behnont (O:tlir.,. Wadsworth f>ublishil)g ('om¡)ltny.

15.2 lntr(J(/U(;Cjón a la l6glca formal

LB

En las deducciones que a partir de este momento efectuaremos Ul"'" ccrán, por tanto, tres tipos de expresiones:

J. Las premisas básicas, originarias. Llamaremos a esas expresion• <>, a secas, y a In derecha de ellas escribiremos, para abre""' simplemente <
2.

3. Las expresiones que se siguen de cualesquiera expresiones de l••• tipos ¡ y 2 en virtud de reglas de inferencia. En su -~argen dcrcdm se especificará cuál es la regla de inferencia (o la defmiCión conte~ tu.•l pues las definiciones contcxtuales establecen equivalenc~as y las expresuu11 • equivalentes son intercambiables) a que se ha recurndo Y - por mctli" de la indicación del número de la linea en que ap.~reoen- cuáles son l.• expresiones que han servido de premisas para dar ese paso.

El cdlculo de la deducdón tlllturtll

'"' basta 1934, y sin duda como consecuencia del influjo de 1,1 la presentación axiomAtica de la lógica: vale decir, rrc'lentación de la lógica como sistema de leyes o tesis. Es en 1934 Gcntzen 183 y Jaskowski u• presentan. por separado, lo que ·uomt.rcn llama <>. 1 1 sistema de Gentzen se basaba, para la lógica de enunciados, en ochn Recordemos, en erecto, que con la negación. la conjunción. 1.1 a!IIOIIIIDICI(>n Y el condicional bastaba - y, Cn rigor, SO braba- para dcfi1111 ~ltcrna ltictl,se impuso

~t.:stan tes

t~:Arguendo a l-OfQ copllliJt(OO tfd ~N•riiOiffnl t iiiU:Jiif'x>l pr~rtft t'IIH \••nr,uun, f~l ~Jntl

t'llllt.I'IIIH'Uf(,¡¡

Se rrata de una reg.ta que hoy enunci:a••huno' 11si· ~~si mumm(l' \'linlu l' •cmt"lt> un~a C'lnJIIIII h •• de enut\Cl..'ldns. pOdemll!l infetir oon.o conc.:hnH'HI tu,.h¡t•lrtllll dr rUt'IIJ'<'l liC:I'Wit
di~td icas

e,,,

primitivas del ~ákulo de enunti•dos

Ke¡;la de introducción de la negación : (RI -¡)

-:-Y·

.,, ar.. por ejemplo. J. Sanmanln. .Srlo,tsti<:a.ló¡ic:a ~livalc:nle ylte~a de rnotk1• r - vol tll/2-3 (t913~ póp. 35S y ., Como trabaJOS represcni>IIYOS de ""'~ interpretaciones. véanu. de una parte. J. Lukasiewia. A,.i$.Jotl~'s S)·llogtttk Fm~~t ,_ StGnápoútl ll/ MDfl~r11 Fol'rNitll t..ogic. 011ord, Oartndon Prtss.. 1951; 2! ed. (aumenl.ui•J 19.51 Lo silogf.stklJ tl~ ArbWttlts. Tr. de J. Fcmández Robles revisada por M (i,,u .. l Mad.rid. Ed. 'fec:nos. 1970: y, de otra parte.. J. Corcoran. ~ristotJe's Natural [)e(huu.., Systerns:-. En J. Corcoran (ed.~ And t"l L.ogic altd lt$ Modtrn lnterprtUJflor~s. Oordrr• ''' D. Rcidcl Publ. Co., t974, I!ÓII- SS y " · . reo O r., por ejemplo, W. y M. Knc:ale. The IHr:oelopment of Lt>gtc. Oxford. (l¡ucu•l·+! Pres$... 1961; reimpr. con corree. en 1964. 1966 y 1968. El desarrollu de la l6{1irfl. 1• •• J. Mugueru. Madrid, Ed. Tecnos, 1972: cap. 111. ••• Como, pOr ejemplo. In que enunda Pedro Hispano en 1ms Sumnrnl(lft d•~•r•t~l•'

funciones de enu nciados. así monádicas como

bien: por cada una de esas cutllro conectivas fundamen tales Gcnttcll •>frece dos reglas. La primera de ellas será una regla de imroilucl'iú11 I,I onnecliva de que se trate. La segunda, una regla ile elimimll'iúll r
111111•<

Se ha discutido si la siloglstica aristotélica es un sistema de kl' o más bien un sistema de deducción natural' 79 . Por respecto u 1.. megárico-estoicos no huy, en cambio, duda alguna: en ellos seí\:d11 da mente, en Crisipo de Soles, el mits importante de los lógicos de "'' escuela- la lógica (de enunciados) aparece presentada en la fo rma de SISt<'""' de reglas de inferencia 180. Así pues, ya incluso en los origenes de nuc'~"' ciencia se daba esa nltcrnunciu entre ambas formas de presentuc"'" Reglas de inferencia eran también las consequentiae de los ~edieva lcs ••• Por lo que se refiere a la lógica contemporánea, puede decirse que " ''"''

de enunciadOs 163

'

-, x llc)\la de eliminación de la negación: (RE -,)

-,-,x X 1n "'uobr.t 8egriff~cltrift. H1llc, Ncbcrt, 1879. Reimpr.: l. Angelelh (ed.) B~gri(/,'1.1fhrlfl "''' '•' 111/siit:e. Hildeshc:1m, G. Ohm. 1964. CtJm:epwgrufw . V. esp. {~n un vnlunwu "'tit'ne otros escritos del autor) de H. P3d•ll.a. Méjico, UNAM, 1972. 1 " O Gcntt..:n : f'Untenuchun&en Ubcr da$ logische Sdlliesscn». Matltt-mt~lf\1'111 · ltllfl, \'CII 39 (1934). p(t ~. 176~2 10 y 40S·I3. Hay anunciada ve,sión Ca'itcllau:' l11 '' vl~ l ll Teonon11t. '•• S l.l!ll;i}Wsli : t~On the Rulco; t~I'Sullflt,ll lt h1n' 111 I H1 uull .ugieot. Sr•ull11 L.cJ(Iktl, 1 (JI) M1 U

V CIIS I .;n A, l)c<~l\u h'•l ), l11 ""'" 1f1 ~~~~~~~ '' /tmllll(. M:uirid, Alutll/ll 1 ¡l

154

LD lógica de enunciados 1M

lllttod<.ICCión a L1/ógica lorm81

Regla de eliminación del cond iciona l:

Regla de introducción de la d isyunción: (RI v)

x-Y

y

X

X

o bien

XvY

XvY

Regla de eliminación de la disyunción:

N<<'lu:nc:ias contradictorias (co mo las representadas por la expresu·>n , Y'), entonces podemos inferir que esa hipótesis es falsa. No e' evidentemente, esto que decimos: aunque sólo de modo intuiti\1>. a ¡¡..,,.,. utilizado esta regla repetidas veces. Se la podría llamar tambtcll hemos hecho nosotros ante-s. «Regla de reducción al abs11nlm•

(RE v)

X v Y

[j_

G_ z Regla de introducción de la conjunción : (R 1 ")

X

X

y

y

o bien

X

A

Y AX

y

y

MI·-,. Esla regla, también llamada de la doble negación, autori,., el de cualquier expresión doblemente negada a s u afirmación . Es lo '1"" riamenle se quiere decir al señalar que dos negaciones afirm:111 definitiva, median te la sucesiva aplicación de esta regla, poden"" 11\lf el número de negaciones que preceden a una expresión a uno eh' dos casos: o una o ninguna. En general, si ese número es p;u , Huccsivas aplicaciones de esta regla, nos quedaremos sin ni np.un.t fl"'dlln. mientras que, si ese número es impar, nos quedaremos con ""·'

Jtl v. Puesto que una disyunción - no excluyente~ como ésla 1rrdadcm con sólo que lo sea uno de sus miembros, es claro que '' un enunciado como premisa podemos inferir como condm.t•'ln

Regla de elimi nncibn de la conjunción :

,1f•yunci6n de ese enunciado con cualquier otro, sea cual fuere el v;¡Jp, ~adud de este. Es decir, que si, por ejemplo, partimos de que ,., '""·"''cr·o el enunciado

(RE A)

XAY

mosonll cscrnll por Stahn

~upone

Ulla J'egrcsión con respccco a [ll-"'"-111 h

o bien y

X

Regla de introducción del condicional:

inferir el enunciado -disyunción del enunciado anterior ..." " '' '" fiknofla escrita por Stahn supone una regresión oon respectO a Desearle-. ''

l;a ncntm por Rosenbcf@ supone d retorno al palc:oHtioo inferior 1" .

(Rl-) l h' hecho. y como en el caso de la regla anterior, la proposicu>n "·' que se mtrodua: en disyunción no se elige arbitrariamelll~ s1nt• "uiUO de ltl\ mteresas de la deriv:1dón. X-)'

156 Introducción a la lógica fonnat

t11 16(1/ca de en()(tCiacJos 157

RE v . Las aplicaciones intuitivas que de esta regla hemos hecho hacen casi que huelgue todo o tro comentario. Presentadas dos allcrna ti vas 186, si afirmamos que de la primera se sigue lo expresado por 1111 determinado enunciado, y otro cierto enunciado se sigue de lo expresad(l por la segunda, podemos inferir la disyunción de esos dos enunciados q ue se siguen respectivamente de los miembros de la alternativa. RI A. Si tenemos en una linea cualquiera de una derivación el enunciado p, y en otra linea el enunciado q, podemos pasar en unn tercera línea a la conjunción de esos dos enunciados. Puesto que esta m'),. dándolos por verdaderos, su conjunción lo será también. Del mismo modo que la implicación de una conclusión por 11 11 conjunto de premisas puede represen tarse, descendiendo desde el meta lenguaje al lenguaje, mediante un condicional -que será, entonces, fCH malmente verdadero- , así también, de modo parecido, la enumeracib11 sucesiva de premisas puede traducirse en una conjunción de éstas. RE A . El comentario en torno a esta regla es s imétrico al suscit"d" por la regla anterior. Tomada como verdadera una conjunción, podemo, pasar a la afirmación aislada de uno cualquiera de sus componente' La aplic.:'lción sucesiva e ininterrumpida de est.a regla de eli núnacio n de la conjunción y de la introducción de esta misma conectiva permitiri11 a los partidarios del pensamiento obsesivo, emprender una deduccil111 infinita, en la que las conclusiones se fueran s ucediendo sin apo' ''" ninguna de ellas gmndcs novedades. Por ejemplo : Esquema de derivacibn l-Iemos de seguir las dircclricc!) del Presidente Mao·Tsc-Tung,

l. p

2. Las dircclrices del Presidenle M:ao-Tse·Tung esui n mal traducidas..

2. q

l.

l

Hemos de seguir las directrices dd Presidente Mao-T.se-Tung y lus directrices del Presiden· te Mno."[!)c-Tung e11im maltroduc-idas.

4. Hemos de seguir las di•><:ctriees del Presidente Mao-Tse-TU1lg. $.

Las dircetricc:s del Presidente Mao· Tse--Tung estfln mal ttadueidas.

p-+q

Rl

A ,

l.

p -+ q

p p RE -+, 1, 3 RE -+,2,4 Rl

-+,

3-5

l. 2

p

RE ". 3

S. q

RE"· 3

4.

p p

/.Qué hacer ahora? La conclusió n que hemos de obtener tiene la fo rm:t ll•rortotctcmall. Disponiendo de la regla que estamos comentando podemos como premisa auxiliar el antecedente de la expresión bu scada, por ve• ""'miendo esa premisa -en unión de las premisas iniciales- podemos r a r. Si así fuera, estaríamos autorizados a introducir el condicion:tl e p y r y haríamos resuelto el problema. La derivación sería ésta .

6. p-+r 3. p A q

Esta regla requiere algunas observaciones. Lo que victl!" •

tu Y por esto es irreJe\'ante que La disyunciOn de p,u t•d.• ~e:• excluyente 1"'" en el e:,¡so de nuestro ejemplo de la l-:m.:d y 1.1 m1•h ~o•· u ~ 1rnc. •··' o nn c!\llu\'' ul C(lmO :1qui.

l.

2. q-+ r

2. q-> r 3. p 4. q 5. r

Y así sucesivamente. Rl -+.

es que si de uo enunciado se sigue otro, entonces podemos ·Unorlc)S med iante un condicional. La cosa, sin embargo, tiene mucha mits ia. Por una parte, en efecto, esta regla desempeña un papel central la deducción: cada vez que se nos pida que derivemos como conclusión expresión q ue tiene la forma de un condicional, nuestra estrategia •""""' 'á en tomar como premisa auxilia r el a ntecedente de dicho con· ~lkional ; si al hacerlo así conseguimos (con la ayuda de las premisas • ll/l$1eas, iniciales) derivar el consecuente, podremos unir ambos mediante condicional y obtener así la expresión buscada. Pongamos el que ~~nbalbleme•nte es el ejemplo más sencillo. Supóngase que se nos pide derivemos 'p - r' a partir de las premisas 'p -+ q' y 'q -+ r'. Comen· remos, como es natura)~ sentando estas premisas :

Pclr otra parte, y como se recordará, páginas atrás hemos utilizadu 1v:1mente esta regla a modo de lo que podríamos llamar << Regla de rga de premisas». l'c>r lo demás, la Rl -+ desempeña un papel decisivo en la lógic;~ . ~recto: en lógica se habla, desde Herbrand, del llamado <. el cual nos dice que si en el cálculo existe una demostración rnnnciado 1' a pa rtir del enunciado X (posiblemente junto con otros udados), ento nces existe también en él una demostració n de la ró rmula • 1'' En menos palabras : si hemos demostrado que de X se sigue Y, dar por demostrado que X -+ lé t ltil 11undo el ejem plo anterior: hi'IUIC)"4 demostrado que r se sigue de ,, 11111tn l·on las p•·cm is:t~ ·p • q'

y 'q .... r', hemos demostrado que de estas dos premisas se sigue ]¡, expresión 'p ~ r'. Es obvia la importancia de esta regla para el establecimiento d.: lu conexión entre los sistemas axiomáticos y los sistemas de reglas de inferencou y con ese fin la hemos utilizado nosotros en páginas anteriores. 1 o existencia de esta regla hace posible afirmar la equivalencia entre "" sistema de leyes y el correspondiente sistema de reglas. Asi, en el sistcoouo de leyes que nosotros hemos presentado - el sistema ax iomático oh Principia Matloemcotic" para la lógica de enunciados- podiamos dero v11t como teorema la expresión '((p-+ q)-+ (q .... r)] -+ (p-+ r)'. En nucstoo• sistema de reglas de inferencia podemos derivar 'p-+ r' a partir oh 'p-+ q' y 'q -+ r', y luego, merced a esta Regla de Introducción tlo 1 Condicional, podemos ir descargando premisas hasta obtener como lin" última de la derivación la expresión entera. RE.....

Esta otra regla, en cambio, apenas necesita present" '""'

La hemos conocido como Regla de Separación en el sistema axiomil lh 11

de PM. La hemos aplicado justificándola intuitivamente. Sabemos que • una versión metalingü istica de la ley llamada modus ponendo po11no Y, por lo demás, con ella no hacemos sino explicitar las propicd11d• del condicional. Procederemos a continuación a presentar una serie de regl"' ol inferencia derivadas. Se llaman «derivadas~}, obviamente, porque las in1 11 ducimos derivándolas de las reglas básicas o primitivas. Y las introduciuou porque merced a ellas muchas derivaciones se hacen más breves y sencoll11 Conviene tener presente, s in embargo, que desde el punto de vista tc\oolo bastaría con las ocho reglas que acabamos de enumerar. Sólo """'" pr{actk.as nos hacen, pues, agregar a éstas aquellas otras. El criterio de que nos valemos para escoger esas y no otras O<)•l • derivadas es simplemente el de la frecuencia con que, en funció11 ol su capacidad para abreviar las deducciones, vemos aconsejable el re
do enunci8dos 159

111

158 Introducción a la lógica formal

Regla de tra nsitividad del condicionaJ' 3' (RTr-+)

Derivación

X-+Y

l.

y .... z

x ... z

2.

n: 6.

p

X -> Y Y-+Z

p

X y

z

RE-+, 1,3 RE .... ,2,4

X-+Z

Rl ... , 3-5

Regla del modus tollens (MT)

x .... y -,y '"l X

Derivación l.

p

X-+Y

2. -, y

n: 6.

p

X

y Y11 -, Y

RE-+, 1. 3 RI A,2, 4

-,x

RI-, ,3-5

a~gla de importanción

(Rl mp)

A _..(Y-+ Z)

lA "

Y) .... Z

Derivación l. 2.

3.

X -+ (Y-+Z) XII Y X

4.

y .... z

5. 6.

y

z

7. (X 11 Y) -+ Z

p

REII,2 RE -+, 1, 3 RE 11,2 RE --+,4, 5 RI

-+,

2-6

diga mos por ahora- que una relación es trasitiva cuando si se da ,.,, md1viduo '( y vn individuo y, y entre ese individuo y y un individuo r, se d:t newaulurH.:nte. entre 'C y :. La relacilm t..'tllllhC•O•lnl e~ una relaci6 n tmn'iit1v11

ttnund,tdo•,

160 IntroduCCión a la /ó(Jica formal

1• /ó(Jica Ci6 8IIUflCiados 1&1

Regla de exportació n (RExp)

Regla de reflexividad del condicional••• (RRO -+)

Derivación

p

l. (X A Y)-+ Z 2. X

(X "' Y)-+ Z

u y

X-+(Y-Z)

.

X"' y

Rl A,2,3 RE -+,1,4

. z

6. Y -+ Z

RI -+, 3-5

7. x ... ( y ... z¡

Rt -,2-6 1 1(''

X

X

X-+ Y

l. 2

[i.

..,y .... .., x

4.

X-+ Y

p

• X

MT.I,2

, y_-,x

Rl -+,2-3 1 " '

.., y

X

1\,

1, 2

Rl •,2-3

p RE A, l

l. X"' y 2. X 3. y 4. Y "' X

l cgla de idempotencia de la conjunción (Rldem ")

l.

RE A, l Rl /\,2,3

Derivación

XAX

2. X

O bien

RI

Regla de conmuta tividad de la conjunción (RConm "') Derivación

YAX

Derivación

p

X

[ ;: •X X AoX 4.

XAY

Regla de contraposición del condicional (RContr ... )

l.

Derivación

p R E A,l

X Derivación

..,y ... ..,_.y

l.

.., Y-+oX

p

- 2. X 3. ..,.., y 4. y

x ... y

MT,I,2 REo , 3 Rl ... , 2-4

5. x-Y

l cgla de conmutatividad de la disyunción Derivación (RConm v)

XvY

l.

Yv X

[i

[5:

He aqui cl <:350 de un-a dcriv-.u:tón en cuyo seno riene lugar una subdc:n~.._ '"' que parte de: l:a preml<~a :tuuliOtr X, subdc:riva<.:i6n en la que a su vez HIÓ lncni\tul~ u na nueva subdcñv;ación. la que comienza con Y. all') Con ayud:t de: esln ~gl a es p011ible derivar la regla del m
t. x-r 2. X

p

l.

r

~

3. '""'\ Y-oX RC.ontl' -. 1 MT, 2. l 4. 1'

x- Y 1

1' 1

1

1

1

1' 1' 1

1

R(,_'o nt•· •, 1 Rl' •• 2. l

XvY X Yv X

p Rl

V,

2

y

YvX

6. YvX

Rl v, 4 RE v,l-5

'-~ tcOcxiv,l t:uandc1 Cnda c:nlidad mantiene: esa 1eluuún 1111'1111.1 l tl. l nl~ • C:ll el c.l'll', Jl(l¡• cjcmplu, de l • U.'hU,Ih n 'idCntiCfl n'). La n:laulm Ullhtl (' cflln 1.. 11, f')Hf\IIIC fl\dtt CIUIItCI.hll' t'll t~•lllh\ 111 11 '1\lfiCiCiliC de •' llll \ lll ll

' "" S.: d•ce (IUC un:• rel:tci.:\n

162 Introducción a la lógica fOtmal

111 lógica do enUfiCiados 163

Regla de idempotencia de la disyunción (R Idem v)

XvX X

Regla (segunda) del dilema constructtvo (RDC,)

Dcri vación

[;

XvX X X

RRII ~. 2

[5:

X X

RRII ~.4

6.

X

RE

l.

p

XvY x~z

V'

y-+

w

ZvW

1-5

X v Y

y

p

4.

RE~,2, ~

Df v, 1

y

Z -+X z ... y

p

XvY

p

-,z

5. 6.

y YA-, Y

Df v, 1 RE -+,3, 4 RI A,2, 5

7.

X

RJ-, , 3-6

-, x ~Y

y ... z

z

l.

6

zY

8.

z

No se piense que es1a regla es la mtsmr. (lUO 111 •rf!la de la disyunción. Por el contrario: 1~ RE v es el r"'ul.tmtnlu tlr 191

p

z

r-7·. L

RE ~,2,4

w

Rl v,5

V

w

RE ... ,3, 7 Rl v ,8

W

RE

V'

1-9

RE -+, 2, ·1 RE -+,J,t> RE Mlltc;t ~-~·• utht

de

V.

Derivación

l. -,xv -, y 2. Z-+X 3. z~y

-,x [S: -,z [7: -,z

p p p

MT. 2,4

-, y

8.

•Xv-, y z ... x w ... y

p p

XvY

2. X-+Z 3. y~z X

[5:

~ z

1/.v-,w

l.

2. 3.

[i 7

1-7

MT,3.6

-,z

Rrgla (segunda) del dilema destructivo (ROO,)

Regla (primera) del dilema constructivo 19 1 (RDC,) Derivación

XvY x ... z

w

Kcgla (primera) del dilema destructivo (RDD 1 )

, X v oY

2. -,y 4.

y-+

p

3. -, x

X

2. 3.

p p p

x ... z

JO. Z

l. X V y 2. -, x 3. -, x~Y

l.

XvY

w

Regla (segunda) de inferencia de la a lternativa (RIA,) Derivación

XvY -,y

l.

[lh_

Regla (primera) de inferencia de la alternativa (RIA,) Derivación

-,x

Derivación

RE v, 1-7

Derivación

•X voY

z ... x w ... y -,x -, z

p p p

-,zv-,w

MT,2, 4 Rl v, 5

-, y

-,w

MT,3,7

-,zv -, w_

Rl v,S

clnllm," 1n11

10.

1% V

1

W

RE

V,

19

1Rot

Introducción a la lógicB lonnal

llcgla de debili tación del bicondicio nal ( RO -)

Regla de distribució n de la conjunción por la d 1syunción (RDstr A por v) Derivación

(X

X

A

A

Y)

(Y V

V

(X

l. 2.

Z) A

Z)

X

A

(Y

V

Z

X

3. Y y

V

(X

A

Z)

RJ A,2,4 RI v,5

Y ..... x

3.

z Y)

V

(X

A

Z)

Rl A, 2. 7 Rl v ,8

X+-+ Y

A

10. (X

A

Y)

V

(X

A

Z)

RE v , l-9

y

A

6. YAZ 7. y 8. z 9. Xv y 10. XvZ

p

x .... y

-,y RI v,2 Rl v, 2 RI A, 3.•1

11.

(X

Z)

12.

(X v Y) A (X v Z)

RE v.l 11

Y) A (X

Regla de introducción del bicondicional (RI ...¡

V

X

x .... y

l. 2. 3. 4.

X (X ..... Y) A (Y ..... X) X-+Y

5.

y

p p

or ....,J RE A,3 RE-+,2,4

II•Klll (segunda) de eliminación del bicondicional (RE ..., 2) Derivación

RE A,6 RE A.6 RI v, 7 RI v, R RI A. 9. 111

V

p

(X_, Y) A(Y-+X) Df...,, l x ..... y RE A,2 o bien: Y-+X RE A,2

Regla (primera) de elimi.n ación del bicondiciona l (RE ..., 1) Derivación

9. (X

Regla de d istribución de la disyunción por la conjunción (RDstr V por A) Derivación l. X V (Y A Z) Xv(YAZ) 2. X 3. XvY (X V Y) A (X V Z) 4. XvZ 5. (X V Y) A (X V Z)

x- Y

X -+Y

x ... y

l. 2.

3.

z

X-+Y Y->X

x .... y o bien

RE A,l RE A,l

XAY (X A Y)

7. 8. ' X

x -r p

Z)

V

'lX

l. x .... y 2. ..., y 3.(X ... Y) A (y -+ X) 4.

X-+ Y

p p

or-.1 RE A, 3 MT,2,4

5. -, X

llr¡¡lu (ternera) de eliminación del bicondicional (RE+-+, 3)

Derivación

X.-.Y y X

l.

X+-+Y

2. y 3. (X ..... Y) A (Y ... X) 4. Y-+X 5.

X

p p D f ...,, l

RE A,3 RE-> ,2, 4

II•MIU (cuarta) de eliminación del bieondicional (RE.-.,4) Derivación

Derivación

l.

X-+ Y 2. Y -+ X

p p

3. (X • Yl A (Y • X) 4 . X ._ • l~

Rl A, 1, Df • •.1

~

'

,, • . y

l.

,\

2. 3. 4.

-, y

x .... y -, x (X -+ Y) A (Y-+ X) r~x

5. -, y

p p D f .-.. 1 RE A,3 MT,2, 4

1n IÓf/ICB de enunci8dcs 167

166 lntroduccién a /a lógica formal

L1 mb¡lrgo, ha de entenderse en un scnlic.Jo mús restdngido. De hecho~

Regla de transitividad del bicondicional (RTr -) Y+-+Z

x- z

4. X-+ Y 5.

y .... z

(X

~ Y) "

7.

(Y

~ X)

Df+-+, 1 RE "• 3 RE "• 3 Df - ,2 RE"· 6 RE A , 6 RTr - .4. 7 RTr -, 8, ~ Rl +-+, 9, IU

y...,x

6. (Y .... Z) 8. 9. 10. 11.

p p

x-Y

l. 2. 3.

x-Y

A

(Z .... Y)

r~z

z .... y x~z z~x

x-z

Regla de introducción de la doble negación (RI -,-,) Derivación X

-,-, X

p

l. X

n:

4.

se aplicará en el seno de una subderivación. Se aplicará, por ejemplo, cuando partiendo de una premisa auxiliar hayamos llegado a un:o au icción, derivar de eUo la negación de esa premísa auxiliar. Como hecho nosotros en nuestra derivación de 'p ..., r' a partir de 'p - • ,1•

Derivación

-,x

1.2

XA-,X

RI

-,-, X

RI -,, 2-3

A,

-.

,~.

Algunos autores - en un útil alarde de cierta informalidad- rcco· Indas las (posibles) reglas derivadas en una única regla -que Bcn· Mates, por ejemplo 192 , Llama 11de inferencia tautológica>>- quu milc escribir en una linea de una derivación una expresión que se tautológicamente de alguna o algunas lineas escritas con antcrioDecir que se infiere tautológicamente es tanto como decir que IIIIHiicional formado por una línea de esa forma (o por unas líneas f~ll forma unidas en conjunción) como antecedente y una conclusión ~"' forma como consecuente es formalmente verdadero -<:osa qnc ·· se podrá comprobar mediante la oportuna tabla de verdad regla como ésta tiene el inconveniente de su escasa pulcritud ftH · La brevedad que introduce en las deducciones -tanto mayor lllt,.,ll,l i'"'"nente cuanto mayor es la famil iaridad del sujeto deduc1or l
•

Regla ex contradictione quodliber (Ecq)

X

A -,

X y

l,;,,nogo

Derivación

(REcq) XAoX

p

-,x

RE

4. 5.

-, y...,-,x x-Y

6. 7.

X y

RI .... ,2, 3 RContr., 4 RE A, 1 RE-,5,6

l.

[t

-, y

A,

1

REo . De lo falso -decían los mejores lógícos de la Baj a "''"'' Media- se sigue cualqu ier cosa. En efecto: un condicional con antcccd¡·"l' falso es s iempre verdadero, sea cual fuere el valor de verdad del "'""' cuente. Por tanto, si tomamos una contradicción -falsa por principi.o como preolisa, podemo:s inferir cualqu ier enunciado como conduslttll

Llevada demasiado lejos, esta regla introduciría en el s istema """ especie de libertarismo deductivo. Podría deducirse C
/\t•ll bamos de iniciarnos en la lógica de enunciados. Primero, de una punto menos que intuitiva. Más tarde, exponiéndola en la ele cálculo axiomiltico. Finalmente, presentándola a modo <.le de reglas de inferencia. Que estas dos formas de presentación •·quivalentes es algo que, por explicado y repetido, no neresi111 tth••1·u mi1s que una breve evocación. Se exponga como sistema axiom!ttil:o u1111o cá lculo de deducción naturJI, la lógica de enunciados es la /\1 decir que es la misma queremos significar que en ambos 1ic11e el mis mo rendimiento. Y a l decir que en ambos casos tiene tllli mll rend imiento venimos a señalar que, sea cual fuere la forma que se dh, su poder de análisis formal de la validez de las inrcrendas t'lltmciados s in analizar tendrá sjempre el mismo alcaoce. Ese JXlc.Jcr ''' <>to·o que el de identificar como rormalmente válidos aquellos •tmmi..:n1os en los que la conclusión se siga necesariamente de las 1111

l·n 'iU 1~/t'IIN'mltln Ln()k. Odord Universily Prcs..o;, IIJ()S. tiJ{IIt~l nwlenuítim t•lt•m¡•,,t,,t, 11•1 1le AutMII (iarcl:• ·r.oe,,tjnno. M:tdrid. Tccnos, l\)"'ll

166 lnlrrxJucc/ón D la /6gic8 fotmal

Regla de traositividad del bicondicional (RTr ....)

x-Y r-z x-z

l.

Derivación

x-r

p p Df -,1 RE A,3 RE "· 3 Df+-+,2 RE "• 6 REA,6 RTr - , 4, 7 RTr -,8, ~ RI+-+,9, ICI

2. r-z 3. (X ~ Y) " (Y ~ X) 4. x~r 5. 6. (Y- Z) " (Z ~ Y) 7. r~z

r-x

8.

z~r

9. 10. 11.

X<->Z

x-z z-x

Regla de introducción de la doble negación (RI -.-.) Derivación

X

l.

..,.., X

[i: 4.

X

p

•X XAoX

Rl A,l,2

..,, X

Rl -.,2-3

embargo, ha de entenderse en un M:ollintradicción, derivar de ello la negación de esa premisa auxiliar. Como ••mos hecho nosotros en nuestra derivación de 'p- r' a partir de 'p ~ t¡' .., • r •.

Algunos autores -en un útil alarde de cierta informalidad- recotodas las (posibles) reglas derivadas en una única regla -que Bcn"' Mates, por ejemplo'". llama «de inferencia tautológica»- que ,.,mue escribir en una linea de una derivación una expresión que "" lllloerc tautológicamente de alguna o algunas lineas escritas con anterio· flrl•td. Decir que se infiere tautológicamente es tanto como decir que 11 nmdicional formado por una linea de esa forma (o por unas línc:o' .. eoa forma unidas en conjunción) como antecedente y una conclusiúu .. na forma como consecuente es formalmente verdadero -<:osa que se podrá comprobar mediante la oportuna tabla de verdad . regla como ésta tiene el inconveniente de su escasa pulcritud for... h~tu. La brevedad que introduce en las deducciones -tanto mayoo· cuanto mayor es la familiaridad del sujeto deductor "' los enunciados de la lógica, es decir, cuanto mayor es el número .. tnutologlas de que el sujeto tiene noticia- constituye su may.,· ntnjn. Siempre que, para evitar prolij idades, acudamos a esta rcgl:o ohn ocmos mediante las s iglas
> y lo comentaremos en nota.

f'"

'

Regla ex cmuradíctíQIIe quodlibet (Ecq) Derivación

(REcq) X

"..,X ' y

l.

XAoX

11. lCpllogo

p

2. , y

[3

-. x

-. r~.x x~Y

4. 5. 6. X 7. y

RE "• 1 Rl-.2,3 RContr., 4

RE ", 1 RE ~.5,6

RE-. . De lo falso -decía n los mejores lógicos de la Baja hl.ool Media se sigue cualqu ier cosa. En efecto: un condicional con antecctkno falso es siempre verdadero, sea cual fuere el valor de verdad del "''" , cuente. Por tanto, si tornamos una contradicción -falsa por prinL'i>'" como premisa, podemos inferir cualquier enunciado como conc:lu' ''•11 Llevada demasiado lejos, esta regla introduciría en el sistcm.o " "" especie dclibcrtarismo deductivo. Podría dcductr
Acubamos de iniciamos en la lógica de enunciados. Primero, de un:o punto menos que intuitiva. Más tarde, exponiendola en l:o de cálculo axiomá tico. Finalmente, presentándola a modo de ll"""r"' de reglas de inferencia. Que estas dos formas de prescntaciún equivalentes es algo que, por explicado y repetido, no necesita 1 4hnrn más que una breve evocación. Se exponga como sistema axiomático c!tlculo de deducción natural, la lógica de enunciados es la l•u•u Al decir que es la misma queremos significar que en a mb<>s " toenc el mismo rendimiento. Y al decir que en ambos casos tiene nu•mo rendimiento venimos a señalar que, sea cual fuere la forma que :;e ol~. "' ¡lOder de análisis formal de la validez de las inferencia' or cnuncindos sin analizar tendrá siempre el mismo alcance. Ese poder r otro que el de identificar como formalmente válidos aquello< moento~ en los que la conclusión se siga necesariamente de ''"

"""o

1 n ,u f·lnMnturr l.ng1c. OxJord UniYeDity ¡-..,~.., - 19M. Lñgica mntf'MIÍiiru ""'"*'"lul ti

df' Auwu (,,ud• 1~"•pnn, Madnd. Tn,,,

I'HU

188 lnttoducci6n a la lógica formal

premisas y el de detectar como no válidos aquellos otros en los que t'lt" no ocurra. Así pues, presentar la lógica de enunciados como sístem.• axiomático supone encontrar un conjunto de axiomas lo suficientemcn11· fértil como para dar de sí todos y sólo los enunciados verdaderos construiblc> combinando los símbolos primitivos del cálculo mediante lus reglas d1• formución. Y si de presentarla como cfilculo de deducción natura l se tra ta, hemos de procurarnos un repertorio de reglas de inferencia que permitan obtener rodas y SJJ/o las consecuencias que validamente se siguen de '"' premisas de que se trate. Todas. y SJJio. Hemos tocado fondo. La exigencia de que en '"' cálculo sólo puedan ser obtenidos por derivación los enunciados ••• daderos construibles con sus símbolos es la exigencia de que ese cálculn sea comiswur. La exigencia de que en él sea posible deducir wdtt los enunciados verdaderos relati vos a la teoría que con ese cálculo " prentende formalizar -esto es, la exigencia de que no haya ningún enuu ciado cxprcsable en el cálcu lo del que se sepa que es verdudero, pe•" cuya verdad no pueda ser cstablccídn demostrativamente- es la exigencm de que ese cit lculo sea completo. Estas son exigencias que se hacen .ti cálculo como un todo desde fuera de él. desde un metalenguall' Cuando estudiamos un cálculo por ver si cumple estos requisitos esta m" haciendo In merareorla de ese cálculo. Ahora bten: aunque, en abstracto, no haya diferencia entre prescnt.u una teoría lógica como sistema axiomatico y darle la forma de sistem.t de reglas de inferencia, ruando optamos por una u otra modalidad 1.. hacemos obedeciendo a motivaciones muy concretas. La presentación de J., lógicu en forma de sistema de reglas de inferencia favorece. como hcmo~• visto, su aplicación al razonurnicnto natura l. Pero, por otru pn1·te, ' "

presentación como sistema axiornótico hace más cómodas las considera,.,. , nes mctateóricas. Y son meta teóricas las consideraciones que ahora estan"" bosquejando. Po r eso desde ahora las referencias las haremos :1 1• lógica de enunciados entendida como sistema axiomático, a sabienda' <1 que todo cuanto digamos puede hacerse extensivo a cualquier presentnc""' de la lógica de enunciados como cálculo de deducción natural. Oc sobra sabemos que cuando un enunciado es verdadero su negaunn es falsa, y viceversa. Cabe decir, entonces, que un determinado sistcm.• es consistente cuando en él es imposible demostrar a la vez un enund:ttl" y su negación . Dicho de otro modo : un sistema es consistente cu:uHht, s i X es u na tesis del sistema, -, X no lo es. Si en un sistema fuera posible demostrar a la vez un enunci.HI" y su negnci6n, entonces en ese sistema seria demostrable todo enunci.ul" En efecto •U: ••) Sc-autmos aqul el procedtrruento utíli7ado por E. Nagd y J R N('~PLm ( ·r. •• trabaJO G&l~ts Proof. Nev.· York. New y,,,., 1 lntwrsity Prt'SS.. 19~ Car V 't'"''''" ' • t E.l tt'ON"MD ~,. Gi'IJt>l. Tr. de A Martm M .tolttd 1f\ lh~ l ~rro

Puesto que un condicional con antecedente falso es siempre \'erdadero, cualquier expresión de la forma X-(-,X-.Y)

será una tau tologlu •••. To memos esa expresión como premisa: l.

x ... (-,X

p

-. Y)

Supongamos ahora que han sido demostrados en el sistema dos expresiones de la forma 'X' y ....., X' (puesto que estamos operando sobre la base de que se trata de un sistema inconsisreme). Añadimoslas como premisas y veamos qué se puede deducir de todo ello: p p

l. X-.(-, X-+ Y) 2. X

3. 4.

-,x

p

-, x-.r

RE-., l. 2 RE-.,3,4

S. y

Puesto que Y puede ser sustituida por cualqt1~r expresión del cálculo, es evidente que si en éste hubiera dos tesis que tuvieran respectivamente la forma X y -, X, cualquier expresión construible con los simbolos del cálculo seria una tesis de éste. Quiere ello decir, entonces, que si un sistema es inconsistente son demostrables en él todas las expresiones bien formadas en él construibles. Lo cunl a su vez quiere decir - utilizando de pasada la Regla de Contmposición del Condicional- que si no todas las fórmulas bien foriiUldas de un sistema son demostrables -es decir, si hay al menos una que no lo es-, entonces es que el sistema es consistente. Por otra parte, para que un cálculo constituya la rormaliución adecuada de una teorla ha de contar con unos axiomas lo suficientemente fecundos y unas reglu de transformación Jo suficientemente fertilizantes como para poder demostrar todos los enunciados \'erdaderos de la teorla en cuestión. Se dice entonces que el sistema es completo. Un sistema es completo, por tanto, si toda expresión verdadera construible con sus slmbolos es una tesis del sistema. En una teorla formalizada de manera completa dentro de un determinado cálculo no hay. por tanto, verdades <>: están todas controladas, en el sentido de que pueden ser establecidas a partir de la verdad de los axiomas transmitida por ltlS reglas de inferencia. Dos son las definiciones que fundamentalmente se dan de la noción •••

1 n tic.. 1t1

~~ \ ($ \'t"tdadero, cntunct"t

a -. \ (que" ..rr• 1.. 1~,,

r~ultari ~rda~ro

,._- 1

ti •••tt•h• ~<•u .. l ttlft ltn&a wmo tu •• ti u('nle

t .... 1 htfu

ani~•U~

110 lntroducci6tl a la lógica formal

LB lógica óe eooncl8dos 111

de compleci6n. La primera - mediante la que se expresa el sentido «débil» de este concepto- es la que acabamos de enunciar. La segund.t ofrece una caracterización de la noción de compleción por respectu a la de consistencia. Un sistema es completo eo sentido fuerte cuando, si se amplía su base axiomática"'. se vuelve inconsistente. Consistenc•o~ y compleci6n son, entonces - cuando empleamos este último t~rmin o en este sentido- dos nociones en tensión : di riamos, si se nos permite el desenfado, que un cálculo puede resultar inconsistente por «pasarse de» completo, y resultar incompleto por «pasarse de>> consistente. Para tranquilidad del lector digamos que el cálculo de la lógic" de unciados es un cálculo consistente y completo. O, por mejor deci1. que a la lógica de enunciados se le puede dar la forma de un cálculu que reúna los requisitos de consistencia y compleción. Los dos que nosotros hemos presentado, por ejemplo, son cálculos acreditados que la'

reúnen. Así, la teoría lógica más elemen tal es u o cálculo acabado, terminnntt· Sobre cualquier inferencia que sometamos a su consideración emitirá un dictamen inapelable. ¿Sobre cualquier inferencia ? Tomemos una 196 : No hay judíos en la cocina Ningún gentil dice «sphoonj» Todos mis sirvientes están en la cocina Mis sirvientes no dicen nunca «sphoonj>> Si ahora, utilizando los instrumentos de formalización de que h:tst.1 el instante' disponemos, inten tára mos representar la forma de es te nm• naoúento con el fin de llegar a una estimación de su validez, ""' encontraríamos con lo siguiente:

p q r S

Y es evidente que. visto así, no se trata de uo razonamiento v!tlid" Es evidente -d icho de otro modo- que '(p 1\ q 1\ r) - s' no es """ tautología. 19'

Es decir, si se al\ndcn

11 lo11 1utinmu.s t'liHI q ue

independientes de ellos. 106 lnfc:r~n<:il' dehidn n I,,CWIK( " rroll.

Y·' t~•n1: 1n1.n.s o1 m~

q ut'l !lt.lu

Y, sin embargo, t(l.e nemos la sensación>) de que se trata de un ra/t)· namieoto correcto en su forma, de que si sus premisas son verdadera~. la conclusión cae por su propio peso. Da la impresión de que el dictamen de la lógica de enunciados no es aquí inapelable, de que podemos apelar n una instancia lógica superior, a un cálculo lógico de mayor capacidad analítica. Así es. Se trata de un razonamiento formalmente válido. Lo qu•· ucurre es que no hemos s ido capaces de mostrar su for ma lógica Porque su forma lógica en ~sta: -, V x(Jx

1\

Cx)

A x(•

Jx - -, Dx) Ax(Sx ... Cx) A x(Sx ... -, Dx)

Y esta es la demostración de su validez: L -, V x(J x 1\ Cx) 2. A x(• Jx ... -. Dx) 3. A x(Sx - Cx) 4. A x -. (Jx "Cx) 5. A x(-. Jx v -, G'<) 6. A x(Jx -+-, Cx) 7. Ja -+ -, CtJ 8. -, Ja _, -. Da 9. Sa-+ Ca 10. Ca ~ • J" 11. Sa _, -. Ja 12. Sa -+-. Da 13. Ax(Sx ... -. Dx)

p

p p Df. V , 1 Df. A, 4 Df. V , 5 RE A,6 RE A,2 RE A, 3 RContr. -. 7 RTr. -. , 9,10 RTr. -+, JI, X Rl A, 12

Se trata de un razonamiento formalmente válido, pero cuya vahdc' '"' puede ser establecida mediante el solo cálculo de enunciados. Y "' •1ue hay otras muchas formas válidas de razonar. además de aquellas que l11 lógica de enunciados es capaz de reconocer. Hay razonamientos cuy:~ v11lidez depende de algo más que de las puras relaciones entre enunciaUCi> •1uc no se analizan. En lógica, con la lógica de enu nciados no hemos hecho más que empezar.

Capítulo 111 LALOGICADE PREDICADOS DE PRIMER ORDEN

l. Nociones básicas A) Introducción /lacia la lógica de predicados

Con la lógica de enunciados, la lógica formal era capaz de decidir acerca de la validez de cualquier inferencia en la que se derivara un enunciado 1in analizar de otro u otros enunciados que ta mpoco se analizaban . lln otras palabras : la lógica formal, al nivel de la lógica de enunciados. 161o puede analizar formalmente de manera acabada aquellos razonamien· los en cuya validez no desempeña ningún papel la estn1ctura interna de las proposiciones que los componen. Y, sin embargo, hay razonamientos que, siendo formalmente válidos. no lo son simplemente en virtud de las puras conexiones externas entre lus enunciados a partir de los cuales están construidos. Su forma lógica no puede exhibirse cumplidamen te tan sólo mediante letras de enunciado y conectivas. Es preciso ir más allá: penetrar en la estructura interna de los enunciados, en busca de elementos relevantes para la validez de la inferencia en cuestión. Al final del capítulo anterior poníamos un ejemplo de ese tipo de razonam.ientos cuya validez escapa a la lógica enunciados. Pondremos ahora otro, extraído de la misma fuente: l.ewis Carroll. Ningún fósil puede estar traspasado de amor Una ostra puede estar l ra~¡lasuttn de nmo r 1AtS OSI ni S nO Son fósih'\

.,,

174 lntroduccl6n ala lógica formal

1 n kluk " o m

Si encomendá ramos a la sola lógica de enunciados la mostmcou11 de la ro rma lógica de esta inrerencia, nos encontraríamos, como bot·ll sabemos, con esto: p

q r Y asl se darla el caso de que un razonamiento que, a la lu1 •lo la intuición, a la luz de la lógica «natural», es válido, no Jo scoll a la luz de la Lógica. Si la Lógica ruera sólo la lógica de enunciad" mal cumpliría su runción de análisis rorrnal de la validez de Jos """ namientos. Pero no : la Lógica dispone de otros recursos. Y ante 1111 razonamiento como el anteriormente reproducido, la Lógica Ue,•aria a cal•• un an~lisis cuyo resultado seria el siguiente:

Ax(Fx -+o Px) Ax(Ox-+Px) Ax(Ox -+ -, Fx),

y mos traría la validez del razonamiento estableciendo que a partir de '""" premisas que tengan esa forma se puede derivar una conclusión

'""'''""(!()$ de primor (]((fon

175

. nturiamen te peyorativa, elemen tos «retóricos» del lenguaje, de los que p1ensa que carecen de trascendencia lógica y son objeto de estudio In sola gramAtica ' 9 '. A la lógica de enunciados, recordemos, corrcsponun análisis del lenguaje que distingue en éste dos tipos de elementos: una parte, los enunciados como unidades ; de o tra parte, una serie de llrtic•ul~os - 'y'. ·o·. 'si..., entonces...', etc. - mediante las que componemos lllunctadc)S a partir de enunciados simples. A la lógica de predicados. la que nos estamos iniciando, corresponde otro tipo de análisis. anillisis que penetra en los enunciados. que los examina por dentro. Podrla parecer que con esto abandonarnos la lógica de enunciado' entregamos a empresas lógico-rormales de mayor ruste. Nada de ese>. lógica de enunciados sigue con nostros. No se trata de abandonarla. de prolongar el análisis lógico. La lógica no es un conjunto de .. lt:ui<>S desperdigados; tampoco un conjunto de cálculos s.implementc -.pcr¡>ucstcos cada uno de los cuales sea la negación de los inreriorc'\ de algo enteramente nuevo. La lógica, es, más bien, "'"' lc1Jn>ulac:ión organizada de cálculos cada uno de los cuales s upone la IJitc:graciónde los anterio res en un s istema más amplio ' 98• No es, por ta nto, ni pasar a exponer ahora el cálculo de predicados vayamos a dejar un lado para siempre -en razón de las limitaciones de su alcance cé•lculo de enunciados. Lo que haremos será construir a partir de 61 y conservándolo como cá lculo Msico, de fondo- un más poderoso putJ''UJrocnlo de aná lisis lógico.

CtlUIIt

ésta. De este modo, quizá :

Ax (Fx -+-, Px) 2. A x (Ox -+ Px) 3. Fa - • Po 4. Oa-+ Po 5. Po -+o Fa 6. Oa-+-, Fa 7. A ~(Ox--, Fx) l.

p p

RE A, I RE A,2 RCon tr ""'• 3 RTr -+, 4, 5 RI A .6

¿Cómo hemos conseguido dar esta versoon de la validez rormal ''' 1 ra7onamiento propuesto? Analizando los dos enunciados q ue constittoH 11 sus premisas y el enunciado que se presenta como conclusión. Analizando los enunciados, hemos dicho. ¿Qué tipo de análisis es ,. Un a nálisis lógico. En el apartado 1 del Capitulo 11 de esta obra señalábamos '""'" a cada estrato de la lógica corresponde un determinado nivel de an:oh 1 del lenguaje. De análisis lógico del lenguaje, porque ya hemos dicho qm· ' o ese análisis lo único que queda retenido son aquell~>• elementos dcllcn)w·•l que resultan importantes desde un punto de v"''' lnjul'l d:ando de l.ul· aquellos o tros que los lógicos aoostumhr.an ,, IIJutMI, 'on cxprc~•ún tiUI

Asi pues, In lógica de predicados supone una extensión del anúlisi' rormal a trav6s del examen lógico de la estructura de los enunciados. yn : ¿qu~ descubre la lógica dentro de los enunciados"! hny allí que le interese? llay, fundamentalmente, dos cosas. De una parte, expresiones que se a i11dlolduos. De o tra parte, expresiones que designan propil.'dadt•, ondividuos o relacione• entre ellos. Interesa seiíalar que por ' individuo· entendemos sólo, como el uso de la palabra ha llegado s ugerir, oviduos humanos, sino, en general, cualquier ser concreto, determinado, oficable rrente a todo lo demás, único en algún sentido: personas. también montañas, números, ciudades, estrellas, paises, obras de a rte. aquello que tenga o pueda tener lo que la gramática tradicio nal lalltlat~1 un "no mbre propio'. hn~lt~u han pt.~ntulaado. (ll)o ru6n, que esos elementos «k)~. no ton. si bkn K mm., 1an escasos como muchos JóJIOOS piens.;11, p!H tJ(mpl.l, SnlttJ11tit- Tltnwy, d<: J K•11 N VMk, Harper ando A:ow 1~72¡ • ACIUCII.itt IC(h~ret QUC sep;IO
Y nmc:h01

rdc~antcsa

178 fntrcxJucci(Jn 8 llllógica formal

Veamos que es Jo que, situados en esta perspectiva, podemos distingult eo los s iguientes enunciados: (1) (2)

(3)

(4) (5) (6) (7)

(8) (9) ( 10) (l 1)

(12) (13) (14)

(l 5)

Virgmia Woolf era inglesa Buster Keaton estalló en carcajadas. S es menor que 7. Aníbal atacó Sagunto. Lewis CarroU tenía más talento lógico que Carl Prantl. El Jefe del Partido Fascista de la Atlánúda tomó asiento enlf< Groucho Marx y Guillermo Browo. Wittgenstein dedicó el Tractarus Logico-Philosophicus a D:n11l H. Pinsent. O teJo amaba a Desdémona más que a Eloisa. Azorin prefería Castilla a Transilvania. Justiniano dio a Moisés las Tablas de la Ley a cambio
En este conjunto de enunciados podemos distinguir, por una parl o• nombres d.e individuo - ' Buster Keaton', 'Otelo', 'Platón', 'Castilla', 'cicol11 reformador religioso', 'el Jefe del Partido Fascista de la Atlántida' ' '''' y, por otra parte, expresiones que, o bien designan propiedades caractcrl• ticas, estados, etc.) de individuos - ' ... era inglesa', '... estaUó en c:oru o · '- o b'ten re 1ac10nes . ' ' ... a ....' "1 JOdas entre e JIos - ' ... a t aco' ...", ... pre.ena ' • A las expresiones del primer tipo seguiremos llamándolas 'nombre> ,¡, ind ividuo', o 'nombres' n secas. Para designar a las del segundo introd ll\1 remos el término 'predicado'. Los predicados son, pues, expresiones ''"' designan propiedades o relaciones. Convengamos en sustituir, a efectos de esquematización lógica , 1.. nombres de individuo por las primeras le,tras del alfabeto escrita< ru minúscula: a, b, e, d, etc. Y en esquematizar las expresiones predieal ~>•• mediante letras mayúsculas que serán una especie de abreviatura de el l... en el sentido que veremos. •" Expresiones como esta 61tima~ qu.¡; de ll\OI'Il'CII1o, mdulmm entre Jos oumt•• tcrin obje-to de uamen e:Jpecial mis adelanre. b,,,., d fl,(,, .. t. IJnrr-•l'f'lclMJ'

¿Cómo com binnt· símbolos de estos dos tipos para representa r enunciados'/ Vayamos por partes. comenzando por la más fácil. To memos el primer enunciado de nuestra lista: Virginia Woolf era inglesa. Puesto que hemos acordado reemplazar los nombres de individuos y puesto que en el enunciado que acabamos de reproducir no hay más que un nombre de individuo, ese enunciado quedaría, a medio esquematizar, así:

por las letras a, b, e, d, etc.,

a era inglesa.

De igual modo, los enunciados (3). (6), (11) y (13) de nuestra lista. tnmarian. respectivamente, estas formas:

a es menor que b a tomó asiento entre b y e a fue el maestro de b, e y d

a llora por la muene de b, e, d y e. El próximo paso ha de consislir en introducir los símbolos de predicado. ¡,Cómo hacerlo? La lógica conte mporánea adopta un procedimiento que a primem vl•la pud tera parecer. un tanto artilício~o, pero que a la postre se revela ~·tmo el mils aprop1ado desde el punto de vista del analisis lógico. P•.después de lodo, un procedimiento inaugurado por el propio Aristó teles, el fundado•· de la Lógica, y consiste en escribir el slmbolo de predicado delante del slmbolo o slmbolos de individuo. Según eso, la expresión Virginia Woolf era inglesa 10 convierte

en

la Y esta fórmula puede leerse '/ de a' (es decir, '/ se dioe de ll', '1 se da en a', etc.). Ni que decir tiene que, aqui, '/' es una abrevialuw del predicado '... es inglesa' ('el ser inglesa se da en Virginia Woolf. • 'el ser inglesa se dioe de Virginia Wooll'). De acuerdo con estos criterios, los quinoe enunciados que hemos puesto como muestra tomarian respectivamente las siguientes formas: ( 1) (2)

fll . (',,

(5)

Tab.

(6)

Salx:.

(l)

M111>.

(7)

D11IK'.

(4)

'""

(lt)

' ""'

178 lnlt'OdutX;i6n a la lógica formal

(9) Pabc. ( 10) Dabcd. (11) Mabcd. (12) Abcd.

- - - - - - - - - - - - { " l
(13)

útbctk

(14) (15)

Sabcde.

Ellbcdef

Recuérdese que cada letra mayúscula es la abreviatura (no necesaria mente la inicial) del predicado que corresponda. Así, en el enunciado (2), 'C' simboliza el predicado ' ... estalló en carcajadas'; en (5), 'T' resume el pn·dicado ·... tenía más talento lógico que .. .'; etc.

Predicados monádicos y predicados poliádicos

Vistos así los enunciados por dentro, la lógica procede a clasiflca rlu' en dos grandes tipos: aquellos en los que aparece un solo nombre th individuo, y aquellos otros en los que son dos o más nombres de individoo" los que intervienen. Digámoslo de otra manera, ateniéndonos a la lctm del simbolismo: hay, de una parte, símbolos predicativos que van seguidu< de un solo nombre de individuos (el de aquel a quien se adscribe 111 propiedad, el estado, la característica designada por el predicado), y, de o1t.1 parte, símbolos predicativos que anteceden a dos o más nombres de indiv• duos (los de aquellos entre quienes se da la relación que el predicml" representa). A los predicados del primer tipo se les llama predicml"' nUlnádícos. y predicados poliódícos a los del segundo. Los predicadm poliádicos podrán ser, específicamente, diádicos -cuando para formar '"' enunciado se requiere que los sigan dos nombres de individuo (casos (11, (4) y (5) de nuestra lista de ejemplos)- ;
menos, de tres nombres de individuo' 00 : el del individuo que prefiere. d de aquello que prefiere y el de aquello o tro que postpone ('... prefiere ... " ', donde cada tramo de puntos es un lugar reservado a un nombre d<• individuo). Así, pues, todo uso del verbo 'preferir' equivale al uso de 1111 predicado como mínimo triádico. Como mínimo. en efecto, pues h1c11 pudiera ocurrir que no hubiera simplemente un solo preferidor, un imo... J" Salvo. claro esll. c:uando nOIS limitarnos- a conju(tlulu. es decir, cuando k• '"·•""'' para mtndonarlo.

178

preferido y un único objeto preterido, sino, por ejemplo. un preferídor que prefiriera dos objetos a un tercero ; etc. Asimismo, los Utus del verbo 'dar' exigen, en cualquiera de sus formas, el concurso de 11 menos tres nombres de individuo: el del donante, el del don, y el del beneficiario. Constituirían, pues, en el caso más simple, un prcdicadu lriltdico; y aun pudiera ocurrir que el donante exigiera algo a cambitl de lo que da. Nos las habríamos, entonces, con un predicado tetritdicn : ' da ... a ... a cambio de ...'. Etc. 'Amar' es también un verbo que, para su uso ordinario, precisa . tn el más intimo de los casos, de dos no mbres de individuo (el del amante, el del amado). Por otra parte, todos los usos del verbo 'suicidarse' cnnstituyen expresiones predicativas exactamente diádicas. Y la exprestón 'lor bípmo' encierra el uso de un predicado triádico, ya que d<:w ~uc 11 es bígamo es decir que a se casó con una persona, llamémosle 1>, y sin disolver el matrimonio- con una tercera, c. Es, pues, evidente que hay una serie de elementos del lenguaje h•• cunles, en su uso completamente explicito, entrañan, para constit uh enunciados, Ja reunión en torno suyo, debidamente articulados. de cloM n mhs nombres de individuo. No se es traidor como se es, por ejemplo, tuberculoso. Se puede ser -estar- tuberculoso a solas, monádicamcnte. Pero para ser un traidor hay que haber traicionado a alguien, o algu llc igual modo, no se esuangula sin más. Ha de haber tambi~n una •lctima, al menos. Y nadie tiene la propiedad de ser amigo, a secas: lo 'fue ltndrñ es una relación de amistad con algún o algunos otros. ' Traicionat ', 'rwangular', 'ser amigo' funcionar en el lenguaje como expresiones po·c dícnlivas poliádicas. No hay que olvidar, s in embargo, la existencia de expresiones predi •u tivas que dan lugar a enunciados sin más compañia que la de un solll numbre de individuo. Asi, por ejemplo, el verbo ' morir' (o cualquiera de los verbos <1"'' utdinariamente se tienen por sinónimos de éste) se presta a un uso como predicado mooildico: 'Murió Evnriste Galois', ' Rubéo Darlo feneció'. ct< No por eso, sin embargo, nos está vedado construir con estos verb<« upresiones predicativas poliádicas, corno la que figura en el enunciad" '1 variste Galois murió por una mujer'. También el verbo 'correr' puctlc emplearse como predicado mon~dico: ' Bergonzoli 201 corre'. Pero también •• puede - y en este caso se deb~ decir: ' Bergonzoli corre delante de ciertas unidades del Ejército de la República'. ' '' m11umleza de los predicados

Habl(ti).11DOS antes del carácter acumulativo de los cálculos lógicos. Mutra e~tamos empezando a verln. A los dos tipos de símbolos que

180 Introducción alal6gfca formal

or<1M 181

manejábamos en el cálculo de enunciados -letras de enunciado y conc< t.ivas- hemos añadido otros dos: símbolos que designan individuos oon cretos y símbolos que representan predicados. He aquí una e< presión en lu que aparecen a la vez ejemplares de esos cuatro tipos de slmbol"' Pa

de dis<:os. al amparo dt: un perfco:ionaddimo sisletn3 de ahavoce¡, haoe

A P~

que podría constituir una s imbolización de, por ejemplo, la siguicnli' conjunción de enunciados

un disco previamente afilado. Pero el refinamiento del auair1o ha ido a(m 1uás lejos. El d isco ho miciiln tenía grabadas composiciones de Mouri<:c Ravel. Y es el caso que el embo;r...uJu ponedor de discos t.xperimentaba profunda aversión hacia la música de este C<'m posilor. Decir .caver.sió n ~ es, e.mJ>e.ro, decir poco. El contacto con un disco de Rnvt'l no ya su audición, smo el mero contacto nsico. por brevísimo que fuer" 1<'1 producía instantlineamente, e n décimu de segundo, uu ecx:ema mcquivoco en '""' antebrazos. Y no hay ni rastro de c~te eoccma en los antebrazos de la vlchma. Nl rastro. señoras y teñores. Y el burgomaestre me:: ha pedido que descubra la \'Crdad y que la haca puhh' ·' aquí y ahora para satisfacción de codos usttdcs. Y yo no puedo hacerlo. sdloras y scJlorcs., por la ru.ón de que ¡odaYia oo ht descubterto al asesino. Es muy pronto para ello. Es muy pronto incluso para quK:n C:OJDO yo, ba amen lado su fama en la celeridad de: sus deducciones. No teman, sin embareo. ldcnliftearé al a.st$oo:r• :r. Mas por el momcnh) '" ' estoy e n tondiciones de revelarles la w:rdad de este asunto. Peco tampoco proferir-A mi boca fabedad alguna. Y así, puesto que la venhhl no puedo dec::irla. y la falsedad no quiero. han de cootcntarsc us1edcs por nlu•111 oon escuc:h.ar lo sigutcnte: x asc:smó a l.cslew Soncatr. Dicho lo cual abandonó la ts.cc:na. Tampoco ahora hubo aplausos.

Murió César Vallejo y llovía a cánLaros. En el capítulo anterior d6bamos precisiones sobre la naturaleza •li• las conectivas: eran, declamas, functores. Cada conectiva es -o puedt interpretarse como- una función : una función que relaciona los vnlott'l -de verdad- de los enunciados que conecta con los valores del enunci.111" que resulta de conecLarlos. Precisemos ahora la naturaleza de los predicados: también /os pmlt cados son fimcrorts. Sólo que se aplican a nombres de individuo. y nn n enunciados. Veamos cómo. Vamos a utili:zar, por parecernos muy expresivo, un pasaje de una no•cl.• de Ionatban Princeford - el autor que hizo famoso al detective Doc1111 Asquith- titu lada No más allá de allende los mares : El Teatro de ht Op<:ra httbla qucdndo rode-.tdo. Todos - los mUsicos, los en•1•lr1' d O$ del local, los exquisitos oyentes- permanccia n dond e estaban en el insumw t !! que se esucbó el esp¡uuoso nlarido. Los policlas formaban una circunfercncl.t t•u 1oroo al edificio, y OU'a cil·cunfcrcncia - q ue la dispos-ición del telltro h111 !>~ c:urios-amemc, oon
~urg.¡t ,

entre bastidores. el sonido que aqudlos afectan producir. Pero dejemos eso, Que no u sino pc::nosísima ankdota frente a la aravccbd del suceso que.. al SO(I.irc de: este inmetlSO fiaude, ha tenido lugar. Dt la Orqucsla -si .st me permite la 11n«doquc--- del Ettado de Racbsiw se ocupari el suptr intendente Rachnot., aqu( preKnte. Concentrémonos nO:SOUOS en el ditsuo ponedor de discos. El es la victima. Su nombre era LesiC\\' Soncarr, y su muerte fC\'L'il(' caracteres que ni s~quicl'1l una persona como yo. curtida en den asesinatos, -,-acilmM én <:aliftear de sorprendente. Jrt al ¡rnno. ain mc\s circunloquios. Su muerte se h.• producido por secdonamienlo de la yugular. Y la yugula r le ha sido seccionada cuu

Tomemos la expresión x asesinó a Lcslcw

Sonca r~

Es evidente q ue 'x' no es un simboJo como 'a', •b•, 'e', etc. ·x· no e~ nombre de ningún individuo determinado. No es una costante. Es u n.o Una variable que puede ser sustituida por cualquier nomboc mdividuo (capaz de asesinar). En su lugar podríamos escribir el ~~>nobr·e de cualquier entidad concreta. Podriamos reemplazarla por cunl nombre propio. Al hacerlo - cada vez que lo hiciéramos- con "ll>ríamos aquella expresión en un enunciado. Porque es que la expre3ión x a.sesinó a LesJew Soncatr

t!l Doc10r Asquith cumpl"· t o efocto. su promesa eo el capílulo IX y ítllun,, nuvcl.:l. 1!.1 :ti0e$ino cru el Dntlo•· Nosgdod , a mnnte de la esposa dt: S(l UC.Ut'. 1· su concidión de médiec) un t t'luuoyi"tll h11hin hecho público :'lu d nhu· n11iou , entre bniilidOI'éS, y nlli :•!iC:Mih\ 11 o.;.,,,t ilt• •lrl lll(•dc'l que se ht~ t'Cin latllt, ,.,, <4 UIC'Il h.tbcrlc proJlinndro una m~cHuln tui11141hfil• • '"' ht

1.8 16gloo d• priJdlc/Jdos de primer orden 183

182 Introducción a la lógica formal

no es un enunciado. Y no es un enunciado porque - como ha sabidu ver el Doctor Asquitb- no es ni verdadera n i falsa. Se convertirá en u 11 enunciado - verdadero o falso- cada vez que demos valores determi· nados a x. Y así, cuando, por ejemplo, digamos, escribiendo 'Moriarty' en el lugar de x, tvJoriarly astsinó a Leslew Soncarr.

habremos construido un auténtico enunciado -en este caso, un enuncüuht falso. Enu nciados falsos serían también estos otros: Perpenna asesinó a Lcslcw Soncarr Fernando Vll asesinó a Leslew Soncarr RamóQ Mercader asesinó a Leslew Soncarr,

enunciados que hemos formado sustituyendo la variable 'x' por distintos nombres de individuo. Sin embargo, si sustituyéramos 'x' pot· 'el Doctor Nosgdod' encontraríamos con el enunciado

IJ'Cij l\ i 1!4

El Doctor Nosgdod aseslnó a Lcslew Soncarr

Podemos, pues, construir una serie de expresiones que, si bien "" constituyen enunciados -en la medida en que no tienen valores dt verdad-, se convierten en tales cuando se sustituye la variable o var ia ble~ de individuo que en ellos aparecen por nombres de individuo. Es;" expresiones son expresiones funcionales. Los argumentos de la funci<'Oit son nombres de individ uo. Los valores de la función son enuncüalu• (verdaderos o falsos). En este sentido decimos que los predicados son functores. Pero "" fuoctores de enunciado, como las conectivas, sino functores de nomb"'" Sus argumentos serán los nombres de individuo de los que, en cada e"'"• se predican ; los valores de la función será n los valores de verdad de In• enunciados q ue así se constituyen. La distinción entre predicados rtt<>n" dicos y predicados poliádicos se convierte en la distinción entre funclurt -

de nombres con un solo argumento y functores de nombres con dos "''" argumentos. A esas expresiones como x es un leñador x escribió y x concibió J' en z .'( oonlrató
v u 11

IIU<, sin ser propiamente enunciados, pueden llegar a serlo por simple lllgnacióo de valores a las variables que contienen; a esos enunciados 111 ciernes que están a uo paso de convertirse en enunciados consumados. 11 les ha llamado de diversos modos: 'funciones de enunciado', 'funciones Jroposicionales', 'matrices de enuncjado', 'fórmulas abiertas', 'enunciados lhicrtos', etc. Darles el nombre de 'funciones de enunciado' supondria prc>piciar su confusión con las conectivas. La composición de enunciados es decir, la formación de enunciados compuestos mediante una conecllvu- podía, según vimos, interpretarse como la aplicación de una función uyos argumentos fueran los valores de verdad de los enunciados com· ponentes y cuyos valores fueran tos valores de verdad del enunciado JPmpuesto resultante. La utiliución de un predicado puede in terpretarso también como la aplicación de una función. Los valores de estas otras Amciones son también valores de verdad - los de tos enunciados resul· lantes-, pero sus a rgu mentos no son valores de verdad, sino nombres -· individuo. Por ello, parece que o bien deberíamos llamarles 'funcione.' ,. nombre' - haciendo asl, entre ellos y las conectivas, una distinción IJIMada en los respectivos tipos de argumento- o bien habríamos de ptar por llamarlos de otro modo. Los llamaremos 'enunciados abiertos'.

rtmo cerrar entmciados abiertos Conocemos ya un procedimiento : sustituir la variable o variables que d ios figuran por otros tantos nombres de ind.ividuo. De esta forma . 11 enunciado abierto 1111

x escribió y

11 cerrará, por ejemplo, en el enunciado Do o Ventura de Reyes y Prósper escribió El raciocinio a máquina

rn William Burroughs escribió Naketll..unch.

lla y, sin e mbargo, un segundo procedimieoto. Digamos brevemente consiste en cuantificar las variables. Y expliquemos en qué consiste t·uuntificaciún. rodos los enunciados que hasta ahora hemos venido mencionando titulo de ejemplo eran enunciados singul" rcs : e nunciados en los q u.:, hlon se ¡ldscribía un cierto atributn n un determinado ind ividuo, h¡,·n s~ c.sta hlccítt una dclcrminada ' l, lu¡.. lt'," tmht' lhHi o rntrs irHJivicluo"

~------------.!:I.D!~·· ,¡, , .........d(/0$ do {Jtlm()rorden 185

184 lnlrodUcciót> a la l6g/c8 kxmal

concretos. Es evidente, sin embargo, que los enunciados q ue profcrimtoo no son siempre enunciados singulares. Tomemos un enunciado a bierto

No quiere ello decir, sín embargo, que el cierre por cua ntificación unos enunciados abiertos como los de a ntes, x es idttitioo a si mismo X t'S UD COI'$3rio

x es un corsario

de si mbolizarse

Hay una serie de nombres que, a·l ser escritos en el lugar de , , dan lugar a un enunciado verdadero (así, los nombres 'sir W;dlt•i Releigh', 'sir Fraocis Drake', 'Cavendish', etc.). Y otro conjunto de nomhrn que darian lugar a un enunciado falso (por ejemplo, 'Pío IX', 'Enrique 111 el Doliente', ' Ramsés ll"). Supongamos, en cambio, un enunciado abierto como el siguiente

1\ x es idéntico a si mismo

V x es corsa no

A x (x es id6ntico a 111 mismo}

x es idéntico u si mismo.

¿Que ocurre en este caso? Ocurre que, sea cual fuere el nomh~r de individuo con que susútuyamos la variable x, el enunciado resull:mtr es verdadero. ¿Po r qué? Porque toda cosa es idéntica a si mi~mu Podrinmos, entonces, expresar esta circunstancia diciendo todo x

es idtnrico 1 rl mtsmo.

V" (x es un corSartc>)

Yerno~ pues, cómo el cuantificador constituye, junto con la muestrd la vanabl.e a la que afecta, una especie de prefijo que cierra el lltn•• nc:iacio ob1erto en el que esa variable aparece. Esquematizando ahora los predicados 'es idéntico a' y 'es un corsario' el procedimiento que ya conocemos, tendremos, por fin, A x(Jxx) 204 V x (Cx)

De igual modo, en el ejemplo anterior a éste, cabría expresar el hcd~o

de que hay x que son corsarios diciendo afgult(l$ X

SQ il C01'$1Hios..

Pues bien: a estas dos expresiones, 'todo$' y 'algunos', se las conno con el no mbre de «cuantificadoreS». La razón del nombre esta cl.11 • por med io de ellas indicamos cuántos individuos poseen una Cl\' 11• propiedad o entre cuántos individuos se da una cierta relación. i\1 cuantificador 'todos' se le denominará <>>03, «Cu 11 11 tificador parúcular» será el nombre del cuantificador 'algunos'. El símh" l' del cuantificador universal será •A '. El del cuantificador particular. ·

Y estos ya no son enunciados abiertos, s•'no en uocH · ad os cena dos. ltAJ)re~iones con un determinado valor de verdnd. Si con venimos. como es usual, eo Ita m.u Ugadas a las variables . por algún cuantificador (como 'x' e o la expresión •A x (Px)'). vanables libres a aquellas otras a las que ningún cuantificador alcanza Y en la expresión 'A x (Pxy)'), podremos decir que son enunciados enunciados cerrados- aquello~ que, o bien no contienen va riable~ 0 bien contienen variables libres. Son, pues, enunciados, por ejemplo, '

Ba 101 'Universal', no porque 1e rer.era al universo entero (aunque ése sen el , • en oste primer ej emplo que nosotros bc:mo5 puCJto), tino a todo un 1mluer.\'fl 1M ¡l j curso. Por ·unh-erso d el discur¡o' entendemos el conj unto de objt:tos que consti l u~t marco de reterencia de nutstro lent,uaje en un momento dado. Allí. ,¡ ena.mos h.;t( 1•" 1 arit.mttica, el universo dd disa.;rso vendr.i dado por d oonjunto de los niunCTOS o.~l ut .. l Si hablamo:s Oc dtmopar~a. por d conjunto las a.firm;.•cioncs tJUC sean. rcla1wu11 u w 11junlu\ llltllc
A x 1\ y (Px -+ Qy) Vx Ay(Qy -+ Sx)

Etc. ,..

O, t'U f•m1u

mj_s

b mdiar:

186 Introducción a la lógic.1 formal

No lo serán, en cambio, expresiones como A x (Pxy .... Qyx) A x V y (Pxyz .... Qzyx),

en las que, respectivamente, 'y' y ' z' están libres. Los cuatJtificadores

:--------------~(:::..;"M¡¡o .,. tln

1""'"' n
187

1iempre un enemigo»); otras veces el simple artículo determinado cumple una función generalizadora (
Despleguemos el sentido de los cuantificadores a través de una scl'i•• de ejemplos más explícitos. Sean los siguientes enunciados: Todas las iglesias tománicas son her-mosas. (2) Los libros de Tihamer Toth son afrodisiacos. (3) Cualqu ier desviación serf• repritnida con la mayor durezá.

(1)

(4) El hombre es po•·tador de ,,alorer. eternos. (5) Hay escritores que pretenden desttuir e l lcngunjc. (6} No f.11lan epic(lreos entre los purpurados del Renacim ien to. (7) En los Yampiro$ se dan qJ.SOS de hemofiJia. (8) Algunas dudadcs w n inhabitables.

Lo primero de todo sería señalar -aunque para percibirlo n<> " requ iere el concurso de la lógica, bastando la mera puesta en ejercirl" de la competencia lingüística de cada cual- que los cuatro prime"'' enunciados son enuodados universales. generales, enunciados que afintu••• a lgo acerca de todos Jos individuos de un determinado tipo o cla" (los libros 1de Tihamer Totb, los hombres, las iglesias románicas). 1.••• enunciados (5), (6), (7) y (8) son, en cambio, enunciados particul:tn·• enunciados en los que se afirma que algunos individuos de una dc•n minada clase ostentan una determinada propiedad. Se impone, entonces -y ahora ya estrictamente desde el punh> •h vista de la lógica formal- , una reOexión similar a la que en el capiHdn anterior hacíamos acerca de Ja relación entre las conectivas de la lúglt ,, de enunciados y aquellas partículas del lenguaje ordinario que de alr •w modo parecen correspondel'les. Aquí vemos también que lo liugiiis1u·u mente diverso se vuelve, en lógica, uniforme. Hay, en el lenguaje ordin:" '" muy variadas maneras de indicar la universalidad, de mostrar el c;orú, h o general de un enunciado: a veces lo hacemos anteponiendo la pa luh"' 'todos' al sujeto; en otras ocasiones, la palabra no es 'todos', sino 'cad" («cada hombre es un mundo»), o 'quien' («quien mal anda ma l nc;•h·"'l o 'el que' («el que calla, otorga>>), etc.: hay cusos en los que buol ,, con poner la partícula 'siempre' en el luHI" \tportuno («un perro 1'

Algunos vampiros son heooofilicos. Algunas ciudades son inhabitables..

La distinción entre ambos cuantificadores está, pues, aunque oscurnmente, clara. La simbolización ayudará, sin embargo, a que la claridad no sea menor. Fijémonos, para empezar, en los enunciados (1), (2), (3) y (4). ¿Qué IC dice en todos ellos? Se dice que todos los sujetos que poseen cierta cualidad poseen también tal otra. O - acercándonos ya a la letra de la 1imbolización- que, para todo individuo, si ese individuo posee la propiedad designada por un determinado predicado (llamémosle 'P'), rntonces habremos de atribuirle tambi~n la propiedad designada por otro predicado, 'Q'. En slmbolos:

11 x(Px-> Qx)

De este modo, nuestro ejemplo (2) podria glosarse como sigue: Pnra todo x, si x es un libro de T. Toth, entonces x es afrodisiaco.

O, representando los predicados mediante abreviaturas de las exprelioncs correspondientes en el lenguaje ordinario, Ax(Lx .... Ax),

dunde 'L' signir.ca 'ser un libro de T. T.' y 'A', 'ser afrodisiaco'. Lo mismo podríamos hacer, evidente)Dente, con todos los demás •lcmplos: (l.)

(3) (4)

11 x (Ix- Hx) 11 x (Dx ..., Rx) A x (Hx _. Px) 20 '

~0 " Alguien r>odtí:t objetarnos que 'eonstjtuir una dt:sviitción' y 'ser po(tndor' M son (11<: p•n iH ttiKo. las dcsvi
ll•tdicadun ntvm\dit)l'S, .sino por principio po li;idi ~.o'('lf'

188 Introducción a la l6g/ca formal

Dos preguntas pudieran platearse en relacJón con el cuantificad•" universal: l." ¿Es que los enunciados universales han de representar.. siempre por medio de un condicional? 2.' ¿Por qué representamo> rl cuantificador universal mediante el slmbolo '11 '? La respuesta a la primera pregunta es: sí. Siempre mediante 1111 condicional (o, en algunos casos, mediante un bicondicional) %06• Y 111 razón, ya apuntada, es que todo enunciado universal expresa una conexilou entre dos predicados, de ta l manera que todos los sujetos del prim<''" son por ende sujetos del segundo. Digamos : «todas las personas norma le, son aburridaS». Ello equivale a decir: «Dado un x, si ese x es una persuu• normal, entonces ese x es una persona aburrida>>. Si se es lo primc1o1 se es lo segundo (o, al menos, eso es lo que dice el que profirlf tal enunciado). Un predicado conlleva el otro : la posesión del atribuh• designado por el primero es condición suficiente de la posesión 1ltl atributo designado por el segundo. Por eso, en el capítulo antcri111 al presentar como ejercicio de repaso la experiencia de P. C. Wa"'" declamos que el enunciado <> era un enunciado condicional. Ponpu ese enunciado equivale a este otro: <>. ¿Por qué - preguntltbamos en segundo lugar- hemos elegido como símbolo del cuantificador un iversal ? Po rque ese símbolo reeuc11l• el de la conjunción, y con la conjunción está, en otro sentido. estrcdH• mente relacionado el cuantifiC:Jdor uni versal. En el sentido siguicnlr decir ' 11 x Px' ~sto es, decir que todos los ·' tienen la propiedad desigom olo por el predicado P- es tanto como decir -en el caso de que '1 conjunto de los x tenga un número Fi nito de miembros- que el individuoo " - que es uno de los x- tiene la propiedad P, y que el individuo b 1 1~111 la propiedad P, y que el individuo e tiene la propiedad P, y asl hasta a¡:u1111 el númeto de los x.. De igual modo, decir ' 11 x (Px -+ Qx)' equivale a ti<' o11 'si el individuo a posee la propiedad P, entonces posee la propiedad (.1 y si el individuo b posee la propiedad P, entonces posee la propieda•l ti I'C$pectO a algo). Asimitmo pod.rla a duci.rse que en la expresión 'M:• u i¡lesin rom3o.ica" hay dos predic:ados, y no uno. Cierto. Pero pi~srse que la lóg'"'' 1 o blign • representar en simbolos 1odos los nombres de individ~• o y todns Ita. eJtp l\:'~~<+tl predle~uivnt~ q ue puedan en conlr~t rse e n un enunciado. Se limita a orrcccr la J'Cl:'llhth•l +o• de hacerlo en aquellos casos en los q ue ello resulte ne<:esurio parlt poder •m• \IIMI por ese mediu, la vaJide2 de una iMercncln, 2011 Salva, como \'eremos, cuando el universo del discurso este especlficodo con 11111 rio ridad y oo haga ralta ulterior r~fcren ei.ll 01. él. Si, por ejemplo, ¡ e u.be que l!\11111 h1blando de las iglesia¡ prerromániou Silurianas. podremos limi1amos a decir 1 un "-" 1'11' ! interloauor: «Todas son hermous-.. La rt-presentaeión de es1a esprcslOn en -.ulll .. r A X PJC") no uilióa d c:oncuno dd condiOOnal Se da por desronuuSo que d t:•lllj!IM de los x es d de las igiesias prerromlnieu astunanu.

siempre por

101

C'UI1r0

Y el u niverso del disc:urso cst:l cxumatuKJn. en "''(' •·'"'· tarjetas..

fWH

el

CIUfiJUnht lh '

11

el i~d1viduo e posee la propiedad 1'. entonces posee la propiedad Q.

Un enunciado general equivale, por tanto, a una conjunción de ociados s ingulares. De tal modo que si el conjunto de los valores de x el conjunto {a, /J, e, df, podremos decir

llx Px - Pa" Pb" Pe" Pd.

l

Del mismo modo que el cuantificador universal se relaciona con el

~~~~:~r·

por una parte, y, por o tra parte, con la conjunción. así el cuantificador particular est.í conectado formalmente con la en un sentido, y, en otro sentido, con la disyunción. /.Por qué con la conjunción? Porque lo que afirmamos mediante enunciado particular es que hay ciertos individuos que a la posesión una cierta propiedad unen la posesión de otra. No enunciamos, com<> iilnte el cuantificador universn l, una conexión entre predicados, sinn coincidencia de predicados, la presencia simultánea de dos propiedades algím individuo. No decimos q ue todos los individuos de los que pred1carse P sean, por ello mismo, sujetos del predicado Q ; mh bien, que hay individuos de los que puede predicarse p y los que, además, puede predicarse Q. Decimos, por ejemplo. que huy que son escritores y que pretenden destruir el lenguaje 20•. IJr<~rtJos, en suma V x (Px

1\

Qx).

De igual modo, mediante el enunciado 'algunos vampiros son hemoestamos afirmando que hay a lgún x tal q ue x es va mpiro y x es .mofilico. Explicar por qué hemos elegido ·v' para símbolo de cuantificador es tanto como explicar la relación que existe entre este cu:on .,..ac1or y la disyunción. l omemos el enunciado (8) de nuestra serie de ejemplos : Algunas ciudades son inhabitables.

A nadie escupa que lo mejor para el género humano seria que no ciudad alguna. Consolémonos imaginando que sólo hubiera en el cu:m o ciudades. El conjunto de las ciudades. sería, pue.<. un

'

V tlll(

Jft.•dní.•mos como tercer prc:dk:ad('

rl'fl\ln.l, lh1 tn ( I ICnlldO en que lo prelcndcn

por desgracia Jo C(II\Siguen. mHl'I.IUt',

190 Introducción a la lógica forma/

C?njunto de cu.atro ~lementos: ta, b, e, dJ. Octar, en este caso, que algunuti Ciudades son mhabJtables seria como decir que o bien la ciudad 11 , ., inhabitable, o bien lo es la ciudad b, o bien la ciudad e o bien la ciudad ,¡ Así pues, una expresión como 'V x Px' será equivalente - cuando r l conjunto ~e los x sea finito- a una disyunción de enunciados singuh11 n que tendra tantos elementos cuantos elementos tenga el conjunto que co11• t1tuye el campo de valores de la variable. Y, en concreto, nuestro enunci: 11111 acerca de la inhabilidad de a lgunas ciudades, V x(CXAix)

sería equivalente a la siguiente disyunción: (Ca

A

la)

V

(Cb

A

lb)

V

(Ce

A

le)

(Cd

V

A

Id).

Recordemos, sin embargo, que para que una disyunción de enuncia• sea verdadera, tenga el número de miembros que tenga, basta con que 111 sea uno solo de ellos. En consecuencia, el fragmento de lenguaje ' V x 1•1 ha de leerse 'Hay a l menos un x tal que.. .'.

así, se nos dice~ en el cmltl del ~.:u.1 UIIIt~ador universal. Y ello al hacer un enunciado de la l'o rma Ax(Px ... Qx)

estoy afirmando en modo alguno que existan individuos de esos conjunto constituye el campo de valores de la variable x . Estoy •l~iondo, simplemente, que todo individuo que posea la propiedad desigpor P posee por ende la propiedad designada por Q. Que poseu. rnundo subjuntivo en que hemos conjugado el verbo ' poseer' señala ,·nrácter hipotético deci r, condicional- del enunciado. Al emplear " 'antificador universal estamos diciendo que para todo individuo x, 11 ese individuo puede atribuírsele con verdad el predicado P, entonces 1!11nbiién con verdad puede decirse de él el predicado Q. Que existan o no individuos es cuestión que para nada pertenece a la lógica como !al. As! pues, a l decir, po r ejemplo, Todos los fascistas usan daga con hoja de acero inoxidable

estoy en modo alguno afirmando - ni implicítamentc, ni exp!ícila-

tnc•nt<>- que existan en el mundo fascistas. Igualmente, cuando alguien p11cfiere el enunciado

La lógica y el rrnmdo

rodos los miembros de la Soc:iedad de Eclécticos se C'.tracteri:utn por su precark•

~te~gámon?s ahora brevemente en la consideración de un problcm.t que S I bren, segun algunos, carece de importancia para la lógica l"" " alguna tiene para cuantos piensan que la lógica formal no ha de ser '" ' lenguaje artificioso que sobrevuele, incontaminado, los lenguajes natural•·• Al cuaptificador particular se le conoce también eón el nombre eh 'cuantificador existencial'. ¿Po r qué? Porque al usarlo estamos afirmando la existencia de :~ 1~" ('Hay al menos un x tal que.. .'). Porque al usarlo est;lmos compromeli(:u donas a admitir que en el mundo se dan determinados entes: aquellos" 1,,. que_se atribuye e_l predicado o predicados. En este sentido se ha pc>dul11 dec1r que el cuantificador particular tiene «alcance exi.stencinl»~ «imp{il'anu nes omológicas». Y así, por ejemplo, al decir

formación intelectual

au cstil afirmando por implicación que existan miembros de la Sociedad Cclécticos. Está sólo diciendo que, si los hay, se caracterizan por lo mente cultivado de su intelecto. l'eregrina pudiera antojarse esta afirmación a quien reflexione sobre propia práctica como hablante de su lengua. Nadie, cabría pcns sin creer que realmente existan espiritistas

209

•

/1 esto podria responderse, desde las sólidas posiciones de la lógica

purn. con el siguiente argumento : llágase memoria de que los enunciados universales tienen la forma

Algunas marcas s.on mareas m~Jertas

un condicional. Y de que un condicional con a ntecedente falso (casos U-1

estoy afirmando implicitamente que en el mundo se dan fenómenos !la m:oclc" mareas. En efecto: aquel enunciado, analizado desde el punto de v"'" lógico, se reduciría a éste:

Hay al menos uo x tal que ~es unu

III!IH•ot

v. ' es

muc 1'ht.

1" "'

o~)rQts

ha explotado brillantemente esta excrañe1;a con fines literarios. Y :•si,

en su relato lA b11sca de A~rrOt'.s : «Abulcásim decia haber alcanzado los reinos del de Sin (de l:t China); sus detmcto res, oon es:• lógica peculiar que da el ndau, cauc nuncn habla pisado la China y cwc e u lo!\ templos de ese pnis habin bl.• ~

de Al (• ~ .

192 lntro
1 10 ftl¡¡h 10

y 0·0 de la Ulbla de verdad) es siempre verdadero. Por tanto, dado "" enunciado de la forma

Ax

(P.~ -+

Qx),

el hecho de que no haya ningún x que tenga la propiedad P < decir. el hecho de que ningún enunciado que constituya una ejemplilicacoun o instanciación de ' Px' ('Pa', 'Pb', 'Pe', etc.) sea verdadero- hace ~ • verdadero el condicional 210 • El hecho de que el conjunto de los ~ " • vacío no afecta a la verdad del condicional. Mejor dicho: la afc olo 1 lenguaje ordina rio en su uso apoll.ntico, esos aires de estar, como decía iiiH mios !llrios, «poniendo en limpio» el j uego de lenguaje que consiste en h:on 1 inferencias. N od ie, sin emba rgo - ni el lógico consciente, ni el lingüista tccnh ;l mente bien i>rC(>arado, ni el hablante sensato de su lengua- , P"'" ho desear esa ruptura. Y así, este últi mo, por boca del segundo, iuten l'" 111 quizl• qu(\ el primero recapacitara sobre su propia actuación lingii íSIII • diciéndole: Concedamos que el uso del cuantificador universal 110 ím¡>llo '' afirm3ción alguna de existencia. Pero presupone esa existencia 111 . Al dn 11 1'0
qui'l¡\ concedamos- no estamos a firmando por implicación que He o"'·'" Melville haya escrito o bra alguna, pero, desde luego, estamos presuponop 114-9

pus afirmar que el oocuumo vado~ un subc.:onjunto ck

tl
pueda ser verdndero o l:tlso. Con o tras palabras : es lo que que el la l enunciado pueda ser proferido con sentido. Nadie dice Merio «Todas mis esposas son feministas» a menos que sea polígamo. Aún podría el lógico formal hallar respuesta para esto. Quizá las l'"'entes consideraciones podrían constituirla. ~1 hecho de que la lógica no sea -<:omo señalaba Wittgenstein 212
¡uoJgo no del todo intrascendente. Pero, por supuesto, un lujo agradable, l11 medida en que la lógica queda asi sustra ída a las exigencias de •Kcr cuidadosamenle, sin perder detalle. la trama del lenguaje natural cunnto medio de expresión de a rgumentaciones. l'n este supuesto, lo unico que a l lógico co mpete es aisla r y analizao· su particula r pun to de vista aquellas expresiones del lenguaje ordique, al pasar a fo rma r parte de un razonamiento, pueden a fectar uiA(on modo a su validez. Es obvio que entre esas expresiones se tran los enunciados universales. Y ocurre que la lógica, dado el esquematismo que la constituye Ir da alcance universal, tiene neeesid.ad de retener, en cada tipo de tan sólo aquello que todas ellas tienen en común : únicaaquellos rasgos que, sin excepción, comparten. l'cn1cmos en expresiones de un determinado tipo: por ejemplo, en de dos enunciados compuestos con la conjunción 'y'. Es evidente en '':tstellano In conjunción 'y' tiene múltiples usos: entre otros. un .odvcr..,ti,o. que la hace equiparable a 'pero' o partículas afín"" prcvonc contra los riesgos de la filosofia y no me hicieron caso'): "'"· do~.tm<1'>. C
194 lntmducción a la idgjcs lcxrnsl

LavelJe y tUVO un desprendimiento de retina'); un USO «COnCCSiVO». ('n." sería capaz de disparar contra Cbomsky. Y eso que es un anarqutsta l. y otros muchos que nos excusamos de tipificar. . . , • ·Qué tienen en común todos esos usos de la CODJUnCIÓn y? Mu1 po~: que en todos ellos se yuxtapone una frese a . otra (' ... Y ...') Pues bien : es ese mínimo común lo que la lóg1ca reuene y transfiere a su cálculo. La conectiva • 11 • se limita a poner dos enunciados '""' junto a otrot y a construir así un enunciado compuesLO que será V\'1 dadero sólo si lo son sus dos miembros. Ni más, ni menos; aunt)lll menos es imposible. . . Vista así, es lógico que la conju nción tenga la prop1edud conmutnttYII Unir un enunciado n o tro monta tanto como unir el segundo 111 primero 213• • • El caso del cond icionttl es, a este respecto, parad1gmfluoo. Cuuml•• en el lenguaje ordiMrio. decimos 'si tal cosa, entonces ta l otra', "" estamos diciendo sencillamente (como pudiera inducir a pensar la t tttll valencia ·x - Y - 01. ..., (X " ..., Y)') que no es el caso. ~ue se dé 1t primero y no se dé lo segundo. Sólo empleamos el cond1c1onal cu:uul• pensamos que entre antecedente y consecuente hay una relación ""' intensa que ésa. Nadie , menos que sea precisamente profesor de 16~" y esté explicando las peculiaridades de su lenguaje profesional- d11 algo como 'Si Kierkegaard era un filósofo lúdico, ento~ces Sehopcn~"'"" era un empirista lógico'. Nadie. Porque nadtc pcnsana que la prnnu afirmación es condición de la segunda. Lo primero cuando el contc\1• -es decir entre otras cosas, el contenido, eso de lo que h• lógica "·" abstracció~l- indicu la existencia de una relación que ni es ni se rcthll• a una relación entre valores de verdad. ¿Quién diria, por ejemplo, 'si nnu''" entonces Alfonso Mart1nez de To ledo escribió Corlxrcllo' pensando <1"' puesto que el consecuente de ese condicional.es verdad~ro, acab~ de com¡•• ner un enunciado que c.~ verdad? ¿De que le servLna enunc1ar un ' "" dicional verdadero si eso no le sirve para nada ? Todo aquel supontr ntlo que no se dará lo primero sin que se dé lo segundo. Pero "" 1 profiere a menos que piense que, además, lo primero y lo se~'""' «tienen algo que vern. . . Y, sin embargo, puesto que las reglas del lenguaJe ordma ru• " impiden la formación de esos condicionales «ociosoS», en lo~ ~ue " " h' conexión «de sentido» entre antetedente y consecuente. el log1co •e 1'' gunta : ¿qué es lo que tienen en común todos los enunciados wwh cionales que cabe construir? Y se responde: que son falsos en el e'" " " que su antetedentc sea verdadero y su consecuente falso. 1u N ótese, por otra parte, que eJ lenguaje o rdinario 'tcne recursos pam •-twlllt 111 inversión incluso en los CftSOS en que el sentido de ·y· ¡Mre<:c h1u.:erln dindl: 'N u ' hicieron caso, y mir:• que los previne contra lc1\ 11<::,-ttM de l.t f•lo1100n': · ruv\1 u•• ti prendimj,e.nto de retina. Y et que !IC puso a k-e:•· 1111 ohm.: \ tllll jl lt'l"• de 1 .fnn~ 1 ·' lf('lh· 1 •

Volvamos con esta 1dea a lu consideración de los enunciados univcr Cierto que. en los casos más frecuentes. el uso de un enunciadc> ..ftl\"er.131 parece conllevar, si no una afirmación, sí una presuposición la existencia de los individuos de que se trate. Al decir, por ejemplo, Todos los hombra tiM
Todos fos cometas estt n deshabitados

dincil negar que se esté presuponiendo, respectivamente, la cxistcnci11

Jt hombres y de cometas.

Pero hay casos mils débiles. Hay enunciados como El que dijera lo contrario, mentiria

e, más que presuponer la existencia de las entidades en cuestitm la existencia de personas que lleven la contraria al autor de c."' unciado-, se limitan n presuponer la posibilidad de esa existenct.t puede que ni siquiera a presuponerla, sino tan sólo a considerarla lnnumemblesejemplos de ello podrlamos presentar sin más que recorre• lto códigos jurídicos o morales. De una norma como 11 que atentare contn 111 propled1-d privada de los medios de producción sem severamente cauipdo

puede decirse estrictamente que presuponga la existencia efcctiv:t partidarios de la colectivización. A lo sumo diríamos que presupouc posibilidad de que existan. E incluso, vista la cosa de otro mod~>. afirmar que al hacer público un enunciado semejante se ~"''·' llll"""'ao justamente de evitar que los baya 21 ' · llay, pues, al lado de un uso, digamos, fuerte del cuantificador ""' usos débiles de esa partlcula lógica. Y puesto que el aná li'" ha de retener únicamente el «mínimo común lógico~> 216 de t\o.tc de cada uno de los elementos del lenguaje ordinario en los que "' tra, y puesto que ese mínimo común a todos los usos del cuantt Con esta rra:$c se abre 111 Mflqj1Jiw de Aristóteles. Mark Twaiu escribe. 111 oomlcn):O de 7'1rt Ad«ru.urt$ of Hucldtberry Flmt, l.t'i pahal)mll de advertencia (flrm~tdas por «G. G.. Comandánte de Pfa.za»): «Aqucllu'l descubrir motivo en etlc rc.lato serio procesados; aquellos que intcntt •t en él un¡• moraleja. serltn desterrados: aquellos que pretendan hallar nrgmncn111, fwuli•dos». Sarnuel Ciernen• no es16 aqul 11firmando que exbtan lec1orcs 111h..-,¡, ll'ltft po•· ,\ i los hubiera,

.,.,,.,,,,.<(., 1111

1•'• (leuf : el mlnmlO Cclnl\in 1ó ttlcamcntt' tt'tn·¡u!lr

196 Introducción a la /ógi08 formol

licador universal no incluye necesariamenle

1# hlj}l• n cht

segUn parece-

la implicucu1n

de existencia. la lógica contemporimea renuncia a que los enunciad•" universales tengan, por principio, alcance ontológico. Pero decir que <> no lo tienen sugiere ya que e:. <1 contexto al que la lógica se a plica el que determina en cada caso 1" conveniencia o la ~ecesidad de su ponérselo o negárselo. El problema, sin embargo, dista de estar resuello. Porque no ., r<:$Uelve aduciendo -como hacen muchos lógicos empeñados en acend 11u su disciplina que el lenguaje lógico es un lenguaje con sus proJ"" convenciones, que pueden muy bien no coincidir con las que gobicrn.,n el uso del lenguaje ordinario. Y tampoco se solventa mantenicnol" -como han hecho algunos «filósofos del lenguaje ordinario» 11 ' - '1'" el lenguaje cotidiano 6ene, en cierta medida, su propia lógica, indcr.-u dienle de la lógica formal. Aunque a menudo han solido present.u ambas posturas - la de los lógicos purísimos y la de los abo¡:.~> del lenguaje o rdinari()- como postuo ,, contrapuestas, bten se ve que, a la postre, ambas se complemenwn l vienen a dar en lo mismo : en la disociación entre lógica forma1 • lenguaje ordinario. Aquella, reducida a una teoría angélica del racio<""" camp;1ndo po r sus respectos en un cielo sin nubes; y el lenguaje ordin:01 ''' abandonado por imposible. Pretendíamos únicamente, con esta digresión, dar señal de los múlhpli problcm:ts mosóficos que en torno a la lógica formal concurren. Y qu<' "" se resuelven eludiéndolos, instalándose en la negativa a platearlos, '''" haciéndoles rrcntc: intentando desplegar el rigor de la lógica basta lugn11 donde pa rece nconscjable su presencia. Probablemente eso suponga ''" c;unbio en el concepto de rigor lógico. Tanto mejor. Por lo demás, aqui nos hemos limitado a sugerir, en un estilu do11 berada meme «ingenuo», un posible planteamien to de este problet11n " conjunto tle problemas. En el último capitulo del libro volveremos ·' "'" ' estas cuestiones lógico-filosóficas proporcionando mayores detalles.

197

tJ nu ex presión cscrila en el lenguaje de la lógica de los predicados tnrt(tcllicc>s seríu, por ejemplo, ésta: 1\ x [(Px " -, Qx)-+ Rx]

cabría ejemplificar en el siguiente enunciado: Todos los trtmitas que no 1ie.nen 1m.visión se aburren mortalmente

1- n cambio, la e• presión 1\ x V y [(Px " Qy) - (Rxy " Syx))

podrla ser el esquema de un enunciado como Todot k» AdiCOI encuentran siempre una masoquis:ta que los sabe apreciar

como se merecen¡¡ 1

lfrt•enecerla a la lógica de los predicados poliádicos. Ahora bien : por el momento nos hemos limitado a cuantificar la• individuales. ¿Por qué no cuantificar también las letras de lre7 En el lenguaje ordina rio lo hacemos a menudo. Decimos. ejemplo, Todos los múltiplos dt 8 comparten al menos una propiedad Nl

simbolos, V P 1\ x (Mxa-+ Px) 119 ;

lnmbién l•lay un '"$SO que: todo5 los

problcm~s

fllosóficos tic:oen en comUn

csión que podríamos esquematizar así: Lógica de primer orde11 y lógica de orden superior

V P 1\x (Qx-+ Px) 210

Entramos, pues, en un nuevo apartado de la lógic-.1. Su """'"' '/6gica tle predicados'

o 'lógica cualllijicaciol!llf.

Los predicados los hemos dividido en dos tipos: predicados "'"" dicos y predicados poliádicos. Paralelamente, dividiremos la lógica 1k 1" dicados en dos secciones fundamentales: Lógica de los predicado• "'"" dicos y Lógica de los predicados poliAdicos. lU Cfr.. por ejemplo, O R1ie: Dtlr~ttt•••''- lh(' hunn l..ce~urcs. 19Sl C".w1hrkl at the Unt\'Cnrty Prc:ss., 19\4. 'P F. S1Ja'4'\oul. lnlf• J,.,,,,,,. '' '"""tc.rl Thf'l•l"l t.:rl

primer capítulo de este libro citábamos una rrase q ue Borges ~· ""'"" a Averroes : «Un fa moso poeta es menos inventor que descubrido r».

t111nbién un aforismo de Wittgenstein: <
enhltH.e-. ' fld~ P'

196 Introducción 818 lógica formal

111l¡j¡¡lcl< r1<1 p¡()(f/C{
no un descubridor». Quiere ello decir si es que aceptamos ambns caracterizaciones- que el matemático y el poeta tienen una - a l menoN una- propiedad en común. Dicho de o tro modo : V P Ax Ay[(Qx

A

Ry) ~ (Px" P y)) 221

Pues bien: aquel nivel de la lógica de predicados en el que súl11 se cuantifican variables individuales recibe el nombre de 'lógica de pretil cados de primer orden'. En un segundo nivel - lógica de predicados ti•· segundo orden- se examinaría la validez de aquellos razonamientos que, para su esquematización, requieren la cuantificación de predicados d¡• individuo. Pero podríamos seguir ascendiendo. Porque no sólo hay individuo< y predicados de individuos. Hay también predicados de predicados .!~ individuos. Y nada nos impide cuantificarlos. Al hacerlo habríamos entra, y, por otra parte, «lógica de predicwfo, de <>rtlen superior>>, que integraría a todas las de orden superior ni primero. Así, pues, y combinando ambos criterios de división -monádicaj pu liádica, y de primer ordenj de orden superior- tendríamos el siguicnh' cuadro: de primer orden

monádicos 223 {

poliádicos 124

Lógica de predicados

•

monádicos .u s de orden superior { poliádicos HG

1

199

JI) La lbgica de los predicados mouádicos 227 * /,os cuatro modelos básicos de e11unciado De expresiones de tres tipos habremos de ocuparnos bajo este epígrare. [)e expresiones como

Pa, Qa, etc. Hh De expresiones de la rorma A X Px,

1\x (Px ~ Qx),

A X (oQx v Px)

Y de expresiones como V x Px,

*

127

V x(Px

A

Qx),

V x(Px v Qx)

La lógica de clases no es sólo otr a in terpretación posible del cálculo que. en

ti texto principal del c:npítulo H. hemos interp re tado como de enunciados. Es tambii!u, 111 part~ otra manero d e interpt'etM el cáJcuJo q ue d :• tO rma " la lógica de predic:ul o~ munA:dioos. De ahi que vuelvan a hora las notas con asterisco. lnt 'Pa', 'Qa', etc., han sKlo presentadas, e n las páginas pteoedentes, como form <•" do simboliulr enunciados del tipo d e 'Gerald Ford es u n gran pen$.o'idor político• l ) lloobbelsera cojo'. Quiere ello decir q ue hasta el momento hemos analizado esos enunci:,.dos , tmo si lo q ue en ellos se afirmara fuera la posesióa , por parte de un indh•iduo d~•dn. dl.'l un deter-minado atributo. Cabria, sin e mbargo, la posibilidad de interpretarlos de <.ll~cdamos allí que. dada una p-ropiedad cualquiera, era posible construir la elase de t••das aquellas cntid<'Jdes que rompartif:ca n esa propiedad. J,ues bien: el supue~to --~.¡uc IIU\•itivamente podtia pa recer aceptable- de q ue JXtta t
111

Es decir: 'Hay ul menos una propiedad P to\1 q ue, para codo x y J)at'd httl" 1 si x es mutemittico e y es poeta, eotoooes x posee esa propiedad e y también la pt,IIH 221 Por ejemplo : •ser bet'ma.oo de' es un predicado - poliádlco- de indh•i\tuo .. ·ser una relación de parentes.eo' e.o; un predicado de predicados de individuo (N11 f un predicado de individuo, porque de un individuo no l)'\1ede decirse que sea una rcl.h 1+111 d e parentesco). ·ser ul:l cooccpto de la anuopologta• se puede emplear como pn:dinul de prcdi~dos de pre
lt• llamt\OOmos «enunciados abiertos>>. Los argu mentos de 1~ función eran nombres do.; llhlividuo. Los valores de la función. enunciados (verdaderos o falsos). Pues bier) : h.)dm llc¡ucll<>s. individuos cuyo nombre, escrito en el lugur de x. hace que ese e nunciado abierh\ .. oonvk rut en u n enunciado (oecrsdo) vc:rd:•dcro, compone-n una e-Jase: la clase de IHs huli<>s bororo. De ig\1:.-d modo, dado uo enu o cit~do abierto oomo ·x es un ~ n~ rco-dadi' ~ •s1l~ t cmól ogo', babrf• una clase de individuos. la clase de los <\ llaroo-dad{l·epistemó l c.lgc_~:-.

es un conoepto de la antropología.». Etc.

•tur.: ese ununciudo en potencia se oonvierla e n e nunciado ''erdudc:ro . L~• s cl a~ -dicho sea cortando por lo s se-ntidos, las clases no están dadas a la percepción, sino que sou cJ

113

Ejemplo d e c,:prcsióo d e este c.ilculo; A,'( (Px _, Q:<). 1\ y{ Pxy - Qxy)' sería, por ejemplo, un e nunciado de la lógicn cmtntití ~·~••Ht+•l polládica de primer orden. us 'V P A x (Qx _. Px)' seria u n esquema c ua ntifícacional de la lógica d e ,w.,:d ll.lhl+ mo midicos d e o rden superior (concretamente, de ~cgundl) ord en). l3.6 A la lógica d e predicados poJ.i¡ldioos de ord en su tlt lior pertcneccria la c.\:f'r<'!ll ·~• ' 1\ P 1\x Vy[(Qxy" R¡•x) ~ (Pxy)).

u• •A x

l11~~)S

nontbrcs - d de Paul Feycrabcnd. el primero- . esc-rilos en sus1.itución de ·"'· hM:~ u

ruun de

unn dctcrmin:td:t operación intdc:ctual. A esta operaciún ha \'enidn ll:unitnclosclc

',¡lhuucdá, (llf d(l.\'e:~·. ¿En qué oonsiste (S:t opcwdlm 't ('(\n''"'e en. d~do \ Hl pfcdicad(• 1' , lull•Mmnr t>tunido$ t:n torno suyo ~' todos k·~ m,!l ...t.hh'" \Ir lt•ll tt""' P puede Sét' l>rtdi ~.,~,d<'

1.11/ó¡¡tc" tJu pt ot.JiciJdos de "rimer orden 201

200 lntroduccl&r • /8 t
En suma: de enunciados. ora singulares, ora un iversales, or~ particu lares en Jos que. una vez apropiadamente analizados, se encuenten úni<;u y exclusivamente predicados monádicos. Si olvidamos por el momento Jos enunciados singulares, restan dtl\ tipos de enunciados: enunciados universales y enunciados particularl-. Pero mejor sería decir que son cuatro los tipos de enunciado con qu1· podemos encontramos. En efecto: si hacemos intervenir la negación tendremos: 1) Enunciados universales afirmativos; 2) Enunciados uniV\Or sales neg¡¡tivos; 3) Enunciados particulares afirmativos, y 4) Enunciad" ' particulares negativos. con \ttdad. Recurnendo a ta elocuencia de los símbolos. diremos. en resumen, que tuu c•pn:sión de b forma

ha Oc loene: 'la dase de 1odos Jos l: 1ales que Px'; es decir. 13 dase de lodos ..... 1~fc1 que h;.c:cn verdadeJO el enunciado abierto · Px'.

En el caphulo 1l nos hemo,; ocupado de las relaciones entre clases (clases qul' 11um11n o se IOIIiltxtn, que se induyen en o tras clases, que son idénticas, etc.). La l ut••~

¿Como se represen tarían en el lenguaje lógico estos cuatro tipos de enunciados en sus formas más simples? As!: Universal afirmativo llniversal negativo Particular afirmativo Purticular negativo

Ax Px Ax(• Px) Vx Px V x(-. Px)

[Todos los x son P) [Ningún x es P] 229 (Algún x es P) [Algún x no es P)' 30

Ahora bien : estos modelos valen para enunciados cuyo universo del discurso esté especificado. Estas son, efectivamente, las formas rn.'is 11mples de enunciado, pero si sabemos quiénes son esos x de los que se habla. Vamos a ver, entonces, cómo se representarían, sobre un universo del discurso no determinado con anterioridad, esos cuatro modelos de rroposición. Antes, sin embargo, hemos de detemos en el examen de la relaciones que los cuantificadores mantienen entre sí a través de la negaci6n. Sea el siguiente esquema:

1

de dtiMCII h~ d e paiar ahora --si es que queremos $tpir manteniendo una interpret.l' "'" JXImleln del c:ñlculo a c:onstderal' cambién l:ts relaciones entre las clases y sus el~trm"' '' o mic'ndwM (que Cll n-;1 onmn se llama a los individuos que sarisraccn los requi"''" j'Wll'tl ~~otr !\Ocios de uM dn~e). Oe un individuo se d ice. pues.. que pe:rceneoe a. o e" 1111 mkmbro de, o u11 un e.len1tn1o de una determinada clase. Desde: Giuseppe Peano (185S. I'> i '' el shnholn que Je utiliza para designar la relación de pertene-ncia es •t;;• {inic:i.•l •1 •l,cnr. rormu de In ccrocra persona del si.nguh1r d el prcscnce de indicativo del vc•h·' ·rJ,.r, 'ser"). Ast I)\Jé8. unt• 1!11:Jll'e:sión cómt>

-, Ax Px ~u lectura nos dice : «No todos los x tienen la propiedad P». Y, ¡,no tqutvale esto a dectr: «Hay algún x que no tiene la propiedad 1'>>'1 ln c.h11e compJomenco de una clase dada es la clase de todos Jos perccneocn a esa <:lose. U111611 du

dliSll

x

tales que no

(de las c:lltses A y B, por ejemplo}:

S'-' lt.'t1'6.: ·e1 Individuo tr rcnenc:ce a [o es un eletnento o m.iembro de] la d,l\t' <\ Oucot.le ctnro, cnconccs, que, I)Clf ejemplo, lu expresión

Av8 -

0 ¡.(xi(xeA

Ac:S -

0

vxeBH

l tUerucd6n de clmuJs:

Armand· Dl•bois crn t'r acmasim puede ser lnu:rprctadn como Arrnand*Ouboi~

tiene la propiedad de ser francmasón

¡.1\x(xeA-xeB)

lgtmldud o Wfntldml J, clti.Jt.3 :

o bien como

A - Ba.

Arm•nd· DubC:)IJ es un m1embro de la dase de los (rancrNSOrlC$.

• •

•

Ahora que disponemos )01 de los recursos simbólicos suftcientes.. de nuevo las opcraciono. ron dates

Df'

1\ x(xe-A - xE B)

L1 simbolitac~n deja pcrf«tameot.e clara la diferencia cotre operaciones como •- ·. o 'n', que componc:n nombra de clases. y operadoDe$ como •e:· o · = ·, que- componen ~1l~ •• ,&.;1111

ln~o~naadoJ

sobre d;ua.

Rec~rdoe. por lo demb. que do# Nt(Q es aquella a la que no pc-nenec:e ningiln

•h"1duo {normalmc-nce. dtnrro de un dc-1erminado uniw:rso del discurso). y clust tmiL'It:rM11. a la que prrttneccn codos Jos individuos de un de1entünado un.iYerSO dd discunc, I..Jtrr~lmcntc : •Todo ·• es no-P~t. • •• l•ltro~hntnte •AIJ.(ln • es no·Plt.

202 lntroduoclón a ta l6glca formal

Parece que si. Parece que el esquema anteriormente reproducido equav.aha este otro:

te- decir : <>) es equivalente 1.1 expresión

1

V x-; Px

Examinemos el otro caso. Unn expresión de la forma 11

~-,

VxPx tEs decir: <
Px -; V x-; Px ..... A x Px (4) -; 11 x-; Px...,. V x Px

(3)

se leeri3 : «Todos los x carecen de la propiedad P (poseen la propicd.ul no-P» ]. No es preciso derrochar perspicacia para percatarse de que < enunciado es equivalente a este otro: «No hay ningún x que po;c¡a ¡,, propiedad P»; o, en símbolos, -, V:< P:< 231

Todo esto podría resumirse diciendo que uno cualquiera de '"• cuantificadores seguido de la negación es intercambiable por el """ cuantjficador precedido de ella. Y viceversa. Pa ra los casos mas simplt -esto es, para aqueUos esquemas en los que aparece un solo predi<·"'" una sola vez- cabe decir, en términos de puras secuencias de simbc•lu que uno de los cuantificadores con la negación a su izquierda puede "a sustituido por el otro cuantificador con la negación a su derecha o ul revés- , y la expresión resultante será equivalente a la primitiva. Así ru•· (1) (2)

-. llx Px ..... V x-. Px -.V x Px ,_. llx-. Px

Es decir: gracias a la negación, cabe definir uno cualquiera de ''" cuantificadores en términos del otro. Ya sabemos de qué tipo de definición 1t trata: de una definición e<>ntexnwl. En todos los contextos en los qu e ap¡1rczca el cuantificador uni versal, por ejemplo, podemos borrar!<> y Pcribir en su lugar el cuantificador particular Oanqueado de negaciones. Hemos visto hace un momento cómo representaren símbolos los cuat rn modelos básicos de enunciado cuando éstos tienen, respectivamente, l:a ~·rma : <>, «Ninguno de ti/es es P>>, «Alguno de tllf>s es P» y «Alguno de ellos no es p,,zu_ Ahora bien: hay enunciados unavcrsales afirmativos como «Todos los hombres son inmonales»; enun .ados universales negativos como «Ningún habitante de Neptuno e' ll
Pero aún hay más. Tomemos, por ejemplo, el esquema -, V x-; P.<

que se leería : «No hay ningún x que posea la propiedad no- /'" ., de mejor manera, «No hay ningún x que no sea P». Ahora bien · r , es tanto como decir: <
llx Px

1\x(Px- Qx)",.

'u Donde el pronombre 'ellos' sustitu)'e el nombre dd conjunto--universo de lu"' \, 11111'

\C

d:1 pOr especificado.

,,. Ccp(ire:se eo que un enunciado u nivcn.:d afirmativo asi formulado oorres¡h•lhlt •1 t'I\111\Ckulo de una inclusión de cbses.

()uk:re decir!le. e nto nces, que Ull e nuncilldo como «Todos los Urboles son ¡agn•dohlc!i·•

De igua l manera, una expresión como

•llx-,Px JU El lector sabri. sin duda~ supen.r l.a J'IO.IIJ(i\.• d•ficultad que sup.mc rl h í de que a \'COC5 - y ésla es un3 • <'n cwurllutu 1• rrprl"',ón dt 1.- nc~~ I41U. k de anul;u h1 MC:ICión primitiva Cromo tl\:urn• r•• ''''' 1 tl"n•l· 1 , \ 111 \ ). 1.1 u:lu , •Ntl h.•y "'"if'm \ 1111 que.. ·• cu.md\1 tn "~~"'' h••llllt '•11 d!'~otr "Nu h.l'( u(,;uH ,

f11tclc csqucm.11itarse. bkn de este modo: 11 x(Ax- Gx)

n

204

lntroduccl6n 8 18 lógica formal

¿Cómo esquema tizar la estructu ra bilsica de los enunciados uni vr• sa les negativos? Podríamos sentimos tentados a decir que para cll11 bastaria simplemellte con negar el esquema anterior:

es decir: «Para todo ·'· s• .< es P. entonces x es no·Q>>. O, lo que es mismo, «Ningún x que tenga la propiedad designada por el predicado 1' la propiedad designada por el predicado Q». Los enunciados particulares afirmativos tendrán esta forma:

--, A x (Px ..... Qx)

Pero no. Porque eso seria tanto como decir que no rodos los '1'" poseen la propiedad P poseen la propiedad Q. Y ' no todos' sigOJfi<.o como acabamos de ver, 'algunos no'. Un esquema que empezara w11 ...., A x' seria un esquema de enunciados particulares 230, y no universalr y universal ha de ser el que corresponda a enunciados que empiezan "'" •,ningún'. Los enunciados universales negativos responderían al modelo siguicnl< A u•

x (Px ..... --, Qx) 13' "

al igual que.._, (p - q)' equivale a 'p " -, q', así tamh~u Q..:)'. ¿Qut cottc:sponder1a, en lógic.- de clases. a un enunciado de: este tipo? Oun

En c(c<:to : como

pondc:rla un cnunci:tdo aomo éste:

decir : «Hay algunos x que son a la vez P y Q>>). A los enunciados particulares negativos, en cuarto lugar, oorresponderi.1 esquema bhioo: V x (P.< A --,

Qx) 131*

La siguiente tabla presenta en resumen los cuatro tipos de enunciad<> In lógica de predicados monádicos de primer orden, con y sin cspc IUIC:ac•o'n del unh·erso del discurso, respectivamente : Traducido a ló¡ica de clases. un enunciado de este este tipo qucrria decir
- B -n1.Ax (xeA-x~ B).

Oel'inam011 la noctón de 'clases mutua~nte exduytnlts'. Dos clases (A y 8, por ejcmt1l~tl mt.Uu ~tmcnte excluyentes cuando no tienen ningún miembro en comtin. Es decir, c.:u;uh.l••· -,V x(xe A

1\

(xEA

1\

tanto como

decir que la

da.se de Jos erasmistas

y

la clase de los

csp:tñulc~

O. dicho de o tro mo do, Vx (x EA 1\XE B). U 1•

Para entender qu6 corresponde en lógka de clases a un enunciado particuhu es nect:lnrio definir una noción nueva: la de 'diferencia' de clases. Llamenw ot •frtc:ncill de la cl~tae A con respecto a la clase B (en simbolos. A -8') a la clase formadn r~ocu IPdu• uquellos individuo! que son miembros de A y no son m;embros de B :

xe B).

Ahora bien: esto, ¡e&ún se h01 vi"to, equivale a A;~-.

e1

tod;t,s las t-pocnJ) üencn ul n'enos un miembro e n oomún :

Cuando u nrniC:IHOI qut ningún indivktuo que posee tal propiedad posee también t ,, o tru t:$ como si ClUuvi6rnmo5 :tfirmnndo que ningún individuo que sea miembro de uu .. dett.:rmin11<¡1u do.sc es miembro do otra clase dete.-minada. Ahora bien : si no lo es de c~l~ óhtmu, forZOSllllJt ntc ha brá d e serlo de sus clases complemento. En erecto: e ntre una t.l.••t y su complumento ablu·car1 todo el u niverso del discurso. Por tanto.

Ae

',.,

mtcuección de do1 determinadas clam no es vacía. Afir mar .:Algunos era$mista..-; er.m

..,,.,ft•>l"'" A e: - D.

11011

2360

\l(ferfklo5,

._, 1\ :e (P.t - Qx)' es equtvalcnte a ' V x( Px ,... t Uh

V x (Px " Qx)

xE B)

Lo C:UAI. " su \'Cl -en virtud de la defmición de la conjunción en rérmin•" ••· disyunción ooo ayud a de fa neg~~.eiún- se puede transformar en 1\ x(xt A v xt B)

A- B

A

xf. B:.

1Rep._\re1e en que la diferen cia d e dases. " semejanza deJ complemento. la unit\n t 1• tnlcrsccción. es una operación que sirve para componer símbolos de clase, y thi, •me) la inclus;on o la i&u•ldad. para formar enunciados acerca de da5CS). f,ues bien e1 esquema V x(Px,..-, Q.x) "t•ll\lldr~-A

a este ocro·

y. puc:Jto que una dayunción COD el pri.mer miembro negado equivale a un c:ond.... u •• l vem rnos a du en

V xfx~A ,.. xt. 8)

a Cabria dcar uim&Smo que dos clases son mu111.. nwn1r ~-. lu~ntf'l!l cuando su miCf'Wt' \ n es la d.;uc Y.tda No ha)' mngun tndt'fKhtn .,.,.. .,.. • 1• ,.,., nu«-mbt(l de I~A• d~it_

=,1. (xlxeA

1~

afirm:aaón de que la tdue) difereft<:i:t de A con rnpe<:eo • H

Universal afirmativo

Universal negativo

f\x.(Px ~ Qx)

A x (Px ~-, Qx)

Particular afirmativo

Particular negativo

V x(Px" Qx)

Vx(Px "-, Qx)

El aumento del numero de predicados no supone tampoco una com· plejidad dificilmente salvable. El enunciado Hay hombres que nj son Hbres ni sienten nin¡_Un deseo de ser~

quedaría, en símbolos, así: V x(Hx"-, Lx "-, 0 .<) 239 •

Universal afirmativo

Universal negativo 1\x-, Px

f\x Px

Particular afirmativo

Particular negativo V Px

x•

VxPx

[Es decir: ' Hay al gún x tal que ' es hombre, y x un es libre, y x no siente ningún de seo de ser libre')

Y el enunciado El alma enamorada es alma blanda. mansa, humilde y paciente (San Juan de la Cru'l)

Problemas de traducción

.e reduciría, tras su tránsito por la lógica, a esto

Antes de proseguir, adiestrémonos en la resolución de algunos de hl\ problemas que presenta la traducción de expresiones del lenguaje ordinarin a l lenguaje de la lógica de predicados monádicos. Hay, ciertamente, expresiones que se dejan llevar al simbolismo sin mayores dificultades. Para nadie que haya llegado hasta aquí Jeyend" supondrá un problema, por ejemplo, esquematizar lógicamente el enunciad" Nin¡(m emperador es odontólogo (Carroll)

Es evidente que la forma apropiada de representarlo seria ésta: A x (Ex~ -, Ox) 23 h

Tampoco se requiere especial pericia para trazar el esquema lógico
que serta

A x [Ex~ (Bx " Mx " Hx " Px)] """·

Por fortuna, es imposib1c ofrecer un conjunto de reglas que o torgue a quien las aplique la seguridad de que sus versiones simbólicas dt· enunciados del lenguaje notural van a ser correctas. ¿Rawnes? L:l\ mismas. pero a mayor abundamiento, que aduclamos a propósito de ),, csquematización del lenguaje usual en lógica de enunciados. La negaci6n lóg¡ca es - a l menos a este nivel en que estamos- una, y muchu' son, en cambio, las formas de decir 'no' a una afiimación hecha en el lenguaje cotidiano. Son varias, asimismo, las maneras de expresar en el lenguaje de todos los días esa conexión entre enunciados que en el lenguaje lógico representamos con ·~ •. En suma : la relación, deciamo,. que hay entre cada conectiva y su trasunto aproximado en el
En lóp<:a. de clases: V .t ( Xt: A,... .l:E

V x(Gx "-, Sx)

-8

A .'C f!

- C),

Nótese que, para abreviar. hemos dado por supuesto que el universo del di:~eut!l'' tll el oonjunro de las almas ('Para todo )C.. si x es un a.lma enamorada ..:). l)•,drillmu,, , tJn emh1rgo, haberlo espccific~tdo : 'Para todo x, si x es un alma y x e~tlti enamomd1a .. .' 141 • En lógk.a de da$CS: 140

Ulh

O bk:n, estipulando que la clase A es la de Jos emperadortt y la clase H

los odon1.6 lo¡os: A e

1., lit

Hto

- B.

A C" (8nCnOnE)

que equivale a 4A•

/11

ti

(I A II•

/)) A ( I
t '' lr)ylrlf t111 pr~P
208 lntrodveei6n a la lógica formal

de expresa r la generalidad. Y así, puesto que para traducir enunciados drl castellano a la lógica de predicados monádicos habrá, en general, qm• manejar a la vez conectivas y cua ntificadores, las dificultades se acumulan mu ltipl icilndose. Siempre es d ificil - nunca es mecánica- In tarea de reducir lo multiforme a uniformidad. Cuando lo multiforme -el Jengua i<' natura l- lo es hasta (u hacia) el in linito, y cuando los uniformes "'"' varios -es decir, cuando son varios Jos moldes lógicos en que simul timeamente hemos de hacer encajar los enunciados <
Para la esquematización de estos enunciados -una tarea no sólo tris !~, sino innecesaria, a no ser (como Jo es aquí) a título de irónico tribu!•' a nuestro propósito didáctico- se precisa algo más que saber lógicu Hace falta saber casteUano: es decir, hace falta saber reaccionar ante lu• imprevistos que el uso del castellano nos reserva. Esa capacidad de reaccio\11 nos permite identificar el primero de esos enunciados como universu l afirmativo, y como particular afirmativo el segundo. Y s imbolizarlos asl

damentales de eunciado. El lenguaje natural, sin emba rgo, al berga construcciones que exigen de nosotros mayor sutileza en la traducción : algunas hay, incluso, que constituyen para el traductor verdaderas trampas. Supongamos, por ejemplo, que alguien profiere el siguiente enunciado : Nadie es verdademmcnte revolucionario a menos que sea antistalinista

Es improbable que haya quien se sienta tentado a esquematizar este enunciado del siguiente modo: Ax(Ax->Rx)

[' Para todo x, si x es anti-stalinista, entonces x es verdaderamente revo lucionario'] 1 44*.

Sería, en efecto, un error. Porque no es eso lo que eo el enunciado original se dioe. No se dice en el enunciado que el rechazo del stalinismo sea condición suficiente para dar a alguien el título de verdadero revolucionario. Lo que se afirma es que para que alguien puedu merecer tal nombre es condición necesaria la condena, por su parte, del stalinismo. Parece, entonces, que el enunciado en cuestión debería esquematizarse de esta otra manera : 1\ x ("'1 Ax

-+..., Rx)

24

' •

'

A x [Ax

->

(Sx " Px)]

[O bien: ' A, (Ax ..... Sx)', co u 'S' esquematizan do 'ser una su 11 leza pronta) 141'J

O bien, transrormando la expresión mediante la Regla de Contraposición del condicional, así: Ax(Rx..., Ax) 24 h

V x(Hx" Cx) 2430

Hasta el momento, Jos enunciados cuya esquematización hemos emprcn dido como ejercicio no han presentado dificultades de monta. Todos ellt>a eran tan sólo leves variaciones de alguno de Jos cuatro modelos '""

['Todo aquel que no sea anti-stalinista no es verdaderamente revolucionario'].

1

""•

· ,.,

['Todos los verdaderos revo lucionariosson antistalinistas'].

Si oonvenimos en que A sea la clase de los anli·stalinjstas y B la de los vel'-

dlldtros revolucionarios.. cendremos

A e B. 24

E.n lógica de clases, A e: (8 " C~ o. sencillamente, 11 e:: B. donde A es la d tUt2 11! los apodos y B la de las sutilezas prontas. No fallarla, si.n embargo. quien entendiera la afirnmci/1•' de (irt•ciAn como un:a ;/r:ff,ltt.\11 de los apodos. En ese sentido. habri;;~ que reem,)J.u:H el .._unllid\'m•l pur el bico nd k:t~•n~l y en lógica de clases. el sigrao de incluiliór' f)C•t d •h• ll'u¡,l,l!ul ,_

l.t.h

llo; decir : V ,' (fxe(Ar. JJl].

- A e - 8. '""• 8 e ti . A pilttil' de tsle instante, y por no sobrecarg¡ll' In exposición, sólo pl'tsentaremo5 las r•quemahzacinnes :.llern:ll i \•~s en lógic:• de c.:hu~e:t Cift nquellos caso10 en q ue no sc:u~ 1-4:-·•

•n1emme n1c lrtvialts. lU

N ó ltM: que

tampoco serio c:c\1 I'C".. hJ t•l ,.,., .-jtlfl¡ll•• echlll' ml.luo del bic:ond1CI1mnl

210 lntrodvcción 818/ógic8 formal

h~lt ,,

1"

Otro tanto cabria decir del enunciado Nadie entraba en la Academia de Platón a menos que supiera geometria.

Sería un error formalizarlo así: 1\ x (Gx -+ Ex)

['Pa ra todo x, si ' sa bía geometría, e u ton ces x entraba en la Academia de Pla tón'].

que dice : 'Para todo x, si x cree en el carllcter revolucionario del ruscismo, entonces es que x es un fascista, y, además, oligofrénico·.

También en este caso - y quizá con alguna mayor justificación que en el ejemplo de los anti·stalinistas- podría pensarse que en rigor el enunciado dice dos cosas : que todos los fascistas oligofrénicos creen en el tarácter revolucionario del fascismo y que todos los que creen en el taritcter revolucionario del fascismo son fascistas oligofrénícos. Es decir : 1\ x [(Fx

1\

Ox)-> Cx]

11

1\ x [Cx-+ (Fx

1\

Ox)]

o bien, puesto que se trata de una conjunción de condicionales, 11 x [(Fx

Porque eso lo que dice es que todos los conocedores de la geometrill que vivieron mientras existió la Academia entraban en ella. Lo '1'"' habría que escribir es

tht /Ht'th< tW\>S do primer orden 211

1\

Ox) ... Cx]

Dicho de o tro modo: todos y sólo los fascistas oligofrénicos creen en el car.lctcr revolucionario del fascismo.

Esta interpretación se ve abonada por el hecho de q ue la expresión tiene. entre sus equivalentes, 'Nadie sino los .. .', 'U nica rnente los ...' y 'Sólo los .. .'. Pero también se ve seriamente afectada cuando la constrastamos 'Nadie más que los ... ' -que aparece en el enunciado inicial-

1\ x (•

Gx -> -, Ex),

o, lo que es lo mismo,

con el sentido que parece tener ese enunciado inicial. El enunciado

11 x (Ex

-+

Gx)

Veamos otro ejemplo similar en estructura : Nadie mas que los rasciSias oligofréniros creen en cl carácter re\·oluciooario del fascismo.

Si lo esquematizáramos diciendo 11 x [(Fx

1\

Inicial afirma -en nuestra opinión- que la clase de los que creen que el fascismo es revoluciona rio está formada exclusivamente por fascistas oligofrénicos 24••, pero en modo alguno dice que todos los fascistas oligofrénicos formen parte de esa clase 249 •. Podría haber -es seguro que hay- fascistas tan oligofrénicos que ni siquiera saben qué es el lascísmo. El habla coloquial puede vernir aquí en nuestra ayuda. En efecto: 1lguien podría parafrasear el enunciado original diciendo: <
Ox)-> Cx]

estaríamos diciendo que todos los fascistas ol igofránicos creen en C'l carácter revolucionario del fascismo. Y ese sería un enunciado distin In del que estamos intentando traducir. La traducción correcta podría '"' esta otra: 11 x [Cx-+ (Fx

Ahora bien : hemos caracterizado los enunciados condicionales como 1quellos en los que se afirma que el antecedente es condición suficielll<' del consecuente. Este es el momento de añadir que en los enunciados condicionales se afirma también que el consecue/Jle es condición necesaria

del antecedente. Y eso es exactamente lo que decimos al decir 1\ x [Cx-+ (Fx

11

11

Ox)]

Ox)],

Decimos que hay que ser fascista, a mén de olígofrénico, para creerse que el fascismo supone una revolución - en el buen sentido de la palabra.

y decir Ax (R x -A x)

porque eso es tanto como decir •Todos los verdadc:nl'l IC\'t•luthullu•os son anti·stnlnml>' y todos los anti·stalittistas .ron vertladertiS rt~t•fl(ltntmml;n• Y 11! l if n lü ullm\O t$ ya dc"h dem:•si:tdo.

1411 •

l)icho de: otro modo: que la clase de lo! <1ue creen <1ue el rascismo es l'evo lu ~o:tO •'·m " '"de lt)ll ' ' "o~tu11 uhgorténi(:os ('/J') : 11 e: JJ hl n1tKIO !tlguno dice que D t 1

~u.,nlt:moJilt cl:l ~e 'A') c:stll incluida c:n u~o.

212 lntrodwclón a kt lógica formal

Consideremos de nuevo el problema a lravés de otro ejemplo en ¡•l que:. por intervenir también la partícula 'sólo', es también grande la '"" tación de traducirlo como un bicondicional :

111 Mrll• .,, ~,,, prn
Aquí, sí. Aquí no sólo c:tbc, s ino que p>trece obligado, el recurso al bicond icional : 1\ X (Hx..., Lx) 252

Sólo los seres humanos compran póliZaS

De acuerdo con la interpretación bicondicionalista, el esquema de 1!'1\' enunciado seria

213

O bien : 1\x (Hx-+ Lx)" 1\ x(L<-+ Hx)

1\ x (H x - Cx)

Es decir: 'si y sólo si x es un ser humano, entonces x comr• •• pólizas'. O, desplegando los condicionales contraídos en el bicondicion.ol. 'Todos los seres humanos compran pólizas y todos los que compo .tto pólizas son seres humanos'. Ahora bien: mientras que el enunciado original es a todas '"'' verdadero, el bicondicional que aspira a constituir su correcta traduce'"" no lo es. Porque ese bicondicional es una conjunción uno de cuy"' miembros es falso. No es cierto, en efecto, que todos los seres huma"'" co mpre.n pólizas. Piénsese que un criterio para determinar la corrección de nucsltll • versiones s imbólicas podría ser el siguiente: si cabe imaginar circunsl: H x)

En efecto: lo que se dice es que todos los hombres utilizan un lenguaje que está libre del control de estímulos externos o estados tntemos, y que todos aquellos seres que utilizan un lenguaje libre del control de estímulos externos o estados internos son hombres. Pasemos a un nuevo ejemplo: Nln¡una ópera de Wasner, e•oepto 1as qut. componen .su Te-r.ralogia. dura menos de diecis-iete horas.

No parece muy dificil el problema plan teado pot la presencia de la partícula 'excepto' introduciendo una oración: El siguiente esquema podría 1er correcto: fiX [(Wx "-. Tx) _.-. Dx]

Similar estructura lógica tendría este otro enunciado:

una ttlits adecuada esquematización dentro de la lógica de predicad"' mo nádieos " 0 . ¿Quiere esto decir que ningún enunciado compuesto con la p<~rtocllht 'sólo' - o cualqu ierd de sus equivalentes- puede, a pesar de las apancnltol verterse correctamente empleando el bicondicional? En absoluto. Sea, por ejemplo, el siguiente enunciado :

Su esquema, en erecto, seria:

Sólo los seres humanos u1ili:zan un lenguaje que es'á libre dd control de csdmulu

Consideremos un nuevo caso:

externos y estados i.nteroosu 1•

ut Otnt. cou. ~eña si hubtframos dicho 'Sola.mct!le los seres buftW)()S c:st;ín en tlt•l' SJa6n [o se ven en la nc:ccsidad] de comprar póhzas'. En este caso sí que sed.;~ .. Ur," la utila.acióo del biconchaonal " ' Cfr.. por ejemplo, N . Olomsky, Cartrs.in11 l.mqrmlics._Nuev:a ~orl., ll..rfM't ~ ~ R.ow. t966. V. cas:t. de E. Wultr: Li~t~~~•brirOJ t'ilrlf',..,~, M:adnd. Edrtonal Gre\kK, 1 M po:nlM.

[' Para todo x, si x es una ópera de Wagner y x no forma parte de su Tetralogía, entouoes x no dura menos de diecisiete horas'].

Ni.na;Un porapsieóloso qut no tome su ofteio con ironía es inteJigente

1\ x [(Px " -, Tx) - -, l x ]

Los que conOttn Ovtedo son los únko$ que pueden disfrutar basta eJ rondo leyendo l.
214 lnttoducclón ala /6giC
El hecho de que este enunciado sea equivalente a otro que empczar.o con 'So/amenle los que conocen Oviedo ...', induce - y no parece eng;o ño- a representarlo así:

Quizá fuera correcto esqucmato>.nrlo así: ['Para todo x, sí y sólo si la luna

Ax(Ox- Dx)

esta en cuano

Es decir: 'Si y sólo si x conooe Oviedo, entonces x puede disfru t:u hasta el fondo úo Regenta'. El enunciado

menguante, en· to nces. si x es un agente de la CJA o u11 OS()

Unicall)enlc los diom y 1011 demonios conocen el destino del hombre

hormiguero, en·

añade a las presentadas por los enunciados anteriores una dificult :HI más. Ciertamente. el enunci:odo tiene la estructura de un bicondicion:ol Centrando en ello su atención. alguien, dejándose extraviar por In "1~' riencia de la frase. podría verse llevado a esquematizarla así : A x (Dx

Mx)-+ Cx

A

tonces x adquiere figura huma · na'). Pero también podría proponerse esta otra simbolización : A x [(Cx v Ox)-. (p +-+ Fx)]

No, sin embargo. Porque entonces pareoe como si para compren
está en cuarto

men guante ad· quiere x figura humana'].

A x [(Dx v Mx) ._. Cx] 254 De modo similar, un enunciado como Los viejos y los nií\os no siempre resultan interesantes

Todo lo anterior no es más que un breve muestrario de los pro· emas que plantea la troducción de ciertos ejemplares de enunciado el lenguaje natural al simbolismo lógico. Es innecesario insistir en ue no es posible hacer de esa labor de traducción una labor rutinaria : o es posible siquiera ofrecer un inventario completo de las dificultades ue podrían presentarse en semejante tarea.

tendría una traducción adecuada en el esquema -. Ax [(h

v Nx)-+ Jx],

-, A x [(Jx

A

['Para todo x, so x es un agente de la C lA o un oso hormiguero, entonces, si y sólo si la luna

y no en

Nx)-+ lx]

A11áli.•is reductíoo y análisis preg11n111e

Veamos, por último, el enunciado Los agentes de la ClA y los osos 11ormi¡ueros sólo :•d4uic•·cn ligura hu mnu:' f8 JUilfl Cllll\

(lft CIIIU'h l IIICIIjtUfllltC

t.:Ulllhl"

Quizio sea éste el momento de resaltar un aspecto del anúlisis lógico que con frecuencia se olvida. A la vista salta el otro aspcdn do ese anil lisis: el aspecto reductivo, s implificador: la lógic;o cu 11u1 • lnwt:én de uniformes. t.:omo urscn;d di.: h.·..·hns de Procusto en los que lh.!ajüu,u l¡' crC~I ti vidad lingtiistic.:;l 1 il lttafh .1 ''11 c(ccto. 110 cnt icndl•

216 /t!I/OdUCdón a la lógica lonnal

de bellezas literarias, de sagaces matices, de retóricas modulacionc<

n símbolos:

Entre un verso como

1\x (Ax

A Pxl~•

Bx

Cacb beso peñecto aparta el tiempo (P. Salinas)

y una trivialidad como Cada paso que doy hacia adelante me aleja deJ punto de pMtida

no baria la lógica otra distinción que la derivada de la convenienc111 de elegir en cada caso distintas leuas predicativas que sirvan de abreviatur.1 No es ésta, sin embargo, la única posibilidad de hacer uso olol análisis lógico. En el capitulo anterior hemos dejado ya dicho que los Princif'lll Matilenwtica de A. N. Whitehead y 13. Rusell constituyen un momcooln decisivo en la constitución de la lógica como ciencia. Los Prind¡>iH Matilematica son a la vez una recapitulación y una cumbre. Pues bicoo en la Introducción a la primera edición de esa obra, los autores comienJ.ool orreciendo una justificación del empleo, en lógica, de un lengua ¡o artificial. De entre las razones aducidas para ello - lo abstracto dtl asunto que la lógica estudia, la rica complejidad del lenguaje natooo ool, q ue, s i bien es muy de celebrar a todos los demas efec10s, hace po~w transparente la rormu lación en él de las expresiones que enunc11111 inferencias-, nos interesa sobre todo una: la tercera que eUos dan '" y que cabria reformular así: el lenguaje lógico es un lenguaje con estrm tura de cálculo·' un lenguaje, por. tanto, cuyas reglas de formación y
lPara todo x, s i x es una alma y x estA en pecado, entonces x no alcanzará la bien"''enturanza'].

Ahora bien: ya hemos dicho que la lógica de predicados no es n cálculo aparte de la lógica de enunciados. Es, muy al contrario, na ampliaetón superadora de ¿ste: un cálculo de mayor alcance en análisis rormal de las inferencias. Por o tra parte, y en lo que se fiere a la lógica de predicados moniodicos de primer orden, es rácil er ya un isomorfismo con la lógica de enunciados. Parece. en efecto, mo s i la única diferencia con respecto a ésUt fuera el hecho de que s enunciados que enlazamos mediante las conectivas están, ahora, alizados. La estructura lógica es la misma. y el único cambio consiste que la alusión al contenido es mas detallada: en lugar de cubrir s enunciados con una letra que los abarque, articu la mos su estructura terna mediante letras predicativas y símbolos de individuo. Por lo emás, no hay direrencia. No hay direrencia entre una expresión como A x ((A-•

A

Px)--, Bx]

una expresión como (¡¡

A

q) -> -. r

Lo cual quiere decir que podemos aplicar a la primera las mismas glas de transrormación, o de inrerencia, que en el capitulo antenor litábamos a esquemas como el segundo. Aunque dicha aplicación se rá precisada y sistematizada más adelante en este mismo capírulo, demos ir ya adiestrándonos en la transformación de esos esquemas antificacionales mediante las reglas que conocemos. Veamos, pues, n unos pocos ejemplos, cómo las reglas de la lógica hacen «dar de si>> los enunciados. Por la Regla de Contraposición del condicional, el enunetado de que rtiamos se tra nsrorma en 11 X [8X _, -, (A -<

A

Px))

El consecuente de ese condicional c:o; una cunjunción de enuncind~s neda. Equ 1v.,le, por tanto. a la d"l""""'" ok cws mismos cnunc1ados egados. De la expresión an1c1uu M.· J'ut'th J'HIC'-, pas:tr a cst.a otra :

C'JJ mbtid~ tlt ti!

111 111 1 •t l l l

218 /ntroal

1• h~J'• • cln JN..IIC/Jdos de primer oroon 2tG

Lo cual, dado que una dhyunción con el primer miembro neg;odoo equivale a. un condicional. nos llevaria a: A x [Bx .... (Ax .... -. Px)] Y aplicando ahora la Regla de Contraposición del condicional ul consecuente, llegaríamos 11

11.< [ Bx - (Px

-+ -.

Ax)]

Es decir: 'Pa ra todo x, si x alcanza la bieoaventuran2a, entonces, si 1 esta en pecado es que x no es una a lma'. Afirmación un tM tO ex traña. En erecto: ¿acaso puede hablursc oto alcanzar o perder la bienaventunmza por respecto a otros entes 11111 no sean las almas? Con otras palabras : parece que cuando dec"""' que x alcanza la bienaventuranza estamos presuponi2ndo -.entre tH •·• muchas cosas- que x es una alma. Sólo de las almas se punl• decir que estén manchadas o limpias de pecado. Así pues, el con¡uuto• de las almas es el uniueroo del disCJ.rso previo -y que. por uout" debiera haber quedado implícito- de nuestro enunciado. Habría. pooo que haberlo esquematizado asi:

11 x (Px .... -, Bx)

['Para todo x. "' está en pecad~>. o" tonces x no alca11 1H

rá la bienaventuttll l za'].

símbolo ·...· viene aconse¡.odo IX>r el hecho de que la disyunción entre los que se pliegan y los que se rebelan parece excluyente. Dando, pues, por sentado que nuestra aJirmación DO puede rererir.e más que a los hombres, tendríamos:

llx (Rx ... -, Rx)

La dis yunción excluyente equivale a la negación de un bicondicion:ll Así. pues, cabe transronnar ese esquema en este o tro: A x-, (Rx ... -. Rx)

Y - puesto que un bicondicionnl es una conju nción de condicionales en este otro: 11 x-. [(Rx --. Rx) A

(-.

Rx -+ Rx)]

Habida cuenta. sin embargo, de la posibilidad de definir una eonjun en términos de disyunción con ayuda de la negación tendríamos: A

x [-. (Rx- -. Rx) v -, (-. Rx .... Rx)]

Pero aprovechando que un condicional negado equivale a La afirmaci(on conjunta de su antecedente y la negación de su consecuente, llegaríamos :o A

x [(Rx

A

Rx)

V

(o Rx

A -.

R..x))

De lo cua l, por inrerencia tautológica., venimos a dar en

11 x (Rx v -. Rx) Veamos un nuevo caso, también pro blematico. Sea el sigui,·uh enunciado: De enrre los hombrts.. unOt se rcstgnan a no ser relices.. eo tantO qne rmden .sc.rto.

o1r011

prC'

En símbolos: A x [ H x .... (R.'+++-, Rx)]

Así pues, partiendo de unn disyunción excluyente hemos llegado, por un itinerario deliberadamente ul:trgado, a una disyunción no excJuss. Ello no es ma la ocasión para pensar en la limitación que tuoJorle operar a base de puros valores de verdad Por último, y como mero ejemplo de las implicaciones -en e.•tc ) 256. 15

Respecto de esta esqucmatización podrían hacerse tres observa e"'"' • 1.° Como en el ejemplo anterior, sobraría el antecedente del condocoHnul Sólo los hombres pueden ser vlctimas del ansia de relicidad. Los"""'""

'

No se olvide que el esqucm:t (p--•q) -(p

\I M

V

q)

lihll OIOgíit.

son, pues> nuestro uni vei'SO del discurso. 2.•' Parece que resignHrsc u 1111

ht. «Pill'íldój¡¡ de l lempelot u:rl1t ttunbién una dcnominucióo apropiada. Fue é.l, en t.:fcchl,

ser feliz es la negación de prctendco· scrh li emos, pues, simll<>l11111il•

411icn la phtnloó: Cfr. C. O. f-lcln('M::I, «!{tudk:ll m thc Logic of Confinnatit•u•), M lwl, --••1. ~4 ( I I).:I,S._ ¡'t!•SS· 1·26 y 97~12 1. Rciul¡m•IIÍÚtt (w11 1111 td1~ t st-.eripl (1964) o,. Cm!fil'mMiot~••) tll ( ', G. llcínpd, A.~,~·.-1~ .,¡ Srí••mlfu• 1 '~t•liiMii••r; N Vtllk-Lond•·cs. "l11c F(c:t P •r•111 t 11lhn Mnt:nnllnn, NM, ll.IP,'i ' 4t•, 41 \ 1

los predicados correspondicn1cs pc;11· 1a naisumlc1 1a, aunque, naHHl lhlll'tlll precediéndola , en uno de lw~ l'a ...ntc dt• In uqMciún. 3.{1 l'l 'hu d•l

220 lntroducc:lón 8 la l6glca formal

Sea el enunciado

antecedente Y su consecuente. lu e
ID"'"'"'· de un flamenco

Todos los cuervm soc negros.

Se trata, sin duda, de un enunciado un iversal a firmativo cuya adecuadil esquema tízación parece ser sencillamente ésta : Ax(Cx-+Nx)

Pasemos ahora de las consideraciones lógjc:ás a las epistemológic:"

Es evidente que si encontráramos un individuo del que pudiera afirmarse ( pero no N (con otras palabras: si topáramos con un cuervo que "" fuera negro), el enunciado <(fodos los cuervos son negroS>> se verl.o refutado, falsado. Por el contrario: cada cuervo negro que encontráramos contribuidoo a confirmar 25 ' el enunciado en cuestión. Dicho en abstracto : dado un enunciado general, la existencia •h• ind ividuos que hacen verdadero su an tecedente y falso su consecucnlt haoc falso el enunciado. Y la existencia de individuos que hagan verdadc11• tanto su antecedente como su consecuente confirma cada vez m.o - pero nunca para siempre, por asi decir- su verdad. Por otra parte, es claro que si dos enunciados son equivalente tendrán las mismas condiciones de verdad. Serán verdaderos o fal"" en los mismos casos. Todo lo que haga falso a l uno constituirá asimis noo o una falsación del o tro; todo lo que s uponga una confirmación
Ax(•

N~

Prc•ce•iin:oierotos de decisión en lógica de predic11dos nwnádicos

Olvidemos, por un momento, el lenguaje ordinario. En el lenguaje la lógica de predicados monádicos podemos construir infinitos esquede enunciado. AqueUos esquemas que tengan - o a Jos que se dar, mediante las transformaciones apropiadas- forma de condicioconstituiritn, específicamente, esquemas de inferencia, esquemas que lltres:enta" modos (válidos o no válidos) de argumentación o razonamiento. 1•1sqo.oen~as cuantificacionales de inferencia serían, por ejemplo, [ Ax (Px- Qx)" Ax(Qx-+ Rx)] -+ Ax(Px-+ Rx) A x (Px -+ Qx) -+ A x (Qx -+ Px) [ Ax (Px-+ Qx)" V x(Rx "Px)]- V x(Rx" Qx)

- • Cx)

que todos reconocerían como equivalente al primero. Tomemos ahora el enunciado Todas las cosas no negras no 11on wervos

que seria la lectura en el lenguaje ordinario del esquema cuantificadoo1111l que acabamos de reproducir. Segun lo que hemos dicho. este enunciado se vería confirmado l.ulo vez que registráramos la existencia de individuos que. no siendo nc¡tooo no son cuervos; es decir, la existencia de individuos que hacen vcrdadt '" u, Pero nunca de manera rouchi)CIIIt'. rur.. . ,.. mjttc- ••l.atl.t utucr1o1 la llWuhllt-1 11 de encontrur cuenvs que oo rl1 ernn tH"~I4 "~

Ahora bien: ¿Cómo decidir si un determinado esquema cuantificacional una forma válida de razonamiento? En lógica de enunciados ••s¡poo1íamcos de un procedimiento - que no es el único- para decidir un enunciado eo el que se formu laba un esquema de inferencia o no una verdad formal. Si lo era, entonces todo razonamiento lllocciJo de esa forma seria un razonamiento válido. Ese procedimiento de decisión era el de las tablas de verdad. ¿Disponemos de algún procedimiento semejante eo lógica de predic:odos Sí. Es más : seguirnos disponiendo del propio método de tablas de verdad. Con la siguiente restricción importante: que el del di>curso sea fmito. Si el universo del discurso es finito )IO
222 lntrodiJC(;Iófl a la lógica formal

sobre un universo del discurso finito equivalía a una conjun~ón •h enunciados singulares que tendrla ta ntos miembros cuantos mternl>ll• tuviera el conjunto universo. Y sabemos también que respecto 1ltl cuan tificador particular puede decirse otro tanto, sólo que en. este casn 1• traducción habrla que llevarla a cnbo en términos de dtsymtctón. Supongamos, por ejemplo, un universo del discurso que conste eh dos individuos. A un esquema como 1\x Px - V xPx

podría transformarse, bajo el supueslo de
~-~"~ - ~"~ -~-~ ~ .... --, ~ " " (..., Ql>---, Pb) " (..., Qc- ..., Pe)] Para comprobar si este esquema es verdadero en todos los casos posibles, bastarin con hacer una tabla de verdad que empezara des· plegando las sesenta y cuatro combinaciones posibles de Jos valores de 'ftrdad de los seis enunciados que él intervienen. Nueve enunciados inlervendrían en el esquema

podríamos, entonces, darle esta otra forma: [ Ax(Px- Qx)" 1\ x(Q,< .... Rx )] -

1\ x(Px - Rx)

(P11 " Pb) - (Pa v Pb)

y es evidente que, así presentado, cabe someterlo a un tr~tamkutu con l:tblas de verdad idéntico a l que haríamos de una exprestón •k l11 forma '(p " q) -> (p v q)'. Es decir : Pll 1 1

Pb

Pa " Pb

Pa v Pb

1

1

1 1 1

o o 1 o o

o o o

(Pa " Pb) .... (Pa v 1'1•)

J 1 1 1

o

Tomemos ahora otro esquema :

(11 x (Px .... Qx ) " --, Qa] .... --, Pa Supongamos una vez mils que el universo del discul$0 se conll""' de dos individuos. Siendo así, la expresión anterior eqUivaldría a esta •••• ' : [(Pa .... Qa) " (Pb .... Qb)] " ..., Qal .... --, Pa

Y este esquema es isomórfico de

!((p .... q)

. 1\ (r

-> S)]

A --,

.

q, .... --, P

""'

cuya tubla de verdad sabemos cómo hacer. De igual modo, el esquema

IÍ le atribuyéramos un universo del discurso que constara también de tres individuos. Y puesto que intervienen nueve enunciados, habrá 29 , es decir, 5 12 mbinaciones posibles de sus valores de verdad. Desarrollar una tabla de verdad de quinien tas doce filas es una tare:~ oderadamente larga y escasamente creativa. Y lo peor es que ta mpoco !rece grandes compensaciones. En efe<:to: acabado que hubiéramos tabla de verdad, habríamos alcanzado tan sólo una precaria ceni· umbre: la de que el esquema es verdadero en cualquier uoi\·erso del iscurso que contenga tres individuos. Ahora bien: todo el mundo parcoc mvencido -sin necesidad de recurrir a refinadas técnicas lógicas de rsuasión- de que si todos los individuos -sean tres, o mil, o infi· itus- que poseen tal propiedad poseen por ende tal otra, y todos los que oseen esta otra poseen también una tercera, entonces lodos los que seen la primera poseen asimismo la illtima. Para nadie es un secreto, r ejemplo, que si todos los españoles son seres humanos y todos los res humanos son seres contradictorios, entonces todos los españoles son res contradictorios. Nuestra <, udir en ocas iones la confección de largas tablas de verdad " 9 .

1\ x (Px .... Qx)- 1\ ~ ¡--, Qx - · --, /'.~) H• Ténpse en cuenta que ' l)u', ' /'1~' ' ()u' y '(l it ..,., '""'rn ('1\111\i.Uulm• th,unl que hlm de 51!r esquemttti1..ndo~ I:Mll t lnh•. l! hl ii •Ui h l ll •ll'u ,.,, ,,. tlt'i rnunn Hl•• il!'llnlt

' l'u

224

Introducción a la lógica formal

La

Cierto asimismo que, según un teorema debido a Leopold Lowcnh eim 260, todo esquema cuantificaciona1 que, conteniendo n predicado,., sea verdadero en un unverso del discurso que tenga 2" miembros, verdadero en todo universo no vacío. Dicho mediante un ejemplo : si t•l esquema

e•

[ A x (Px- Qx) " Pa]- Qa

en el que aparecen dos predicados, 'P' y 'Q', se cumplen en un univco'"' de 2 2 -es decir. cuatro- individuos, entonces se cumple en todo un l verso no vacío. Todo ello, sin embargo, tiene una importancia que, aunque gmndo es pur.1mcnte teórica. La posibilidad de prolongar la aplicación
[(Pd ....

Qc~)

" (PIJ - Ql1)

1\

(Pt· -+ Qc) A 1 Qa]

~ -,

Pcr.

Supongamos ahora que esta oondicional fuera falso. Sólo podri.a serlo por una ' ·""''

porque su amecedentc fuera verdadero y su consecuente faloo: lndiquémoslo : ~~~A~~~A~ - ~A~~~ ~ h

t

1

o

1

o

Ahort• bien: si el antecedente es "'etdadeto. tendr.~n que serlo todos sus mjc•nluu• que se tmt:t de una conjunción. Por otrn parte, si ·-. Pa' es falso, 'Ptt' h,,l!, de ser verdildcro : pu~to

[(Pa - Qa)

t

A

1

(Pb ~ Qb) A (Pe - Qt') ,., 1 1 l l

~

Qa] -

t

o

~

Pa.

o

Tenem()s, entonctS. que ...., Qa'. que es uno de los mie1nbros de la oonjun.;;ibu •fll compone el antecedente, es ''erdndero -() ha de 5erlo, si se noepta el supuesto d ~; •tu• •! anteocdeotc en su conjunto lo es. Pero si "1 Qa' es \'erdadero, 'Qa' ha de ser falso. Y euh •n• nos encontramos con que la expresión 'Po~ Qa', -el primero de los miemhru; •• l

antecédente-, que es un condiciona]. a¡Xtrece como verdadero, y, si.n embargo. hl' u• ••• antecedente verdadero y un oonsecuenh:: falso:

[(Po- Qa) A (Pb

1 1

o

1

~

1

Qb) A (Pe - Qc) A

1

1

'1

~

Qa]---, Pa.

t

o

o

Hemos ido a d.:tr, put$, en una C()ntradicción, lo cual nos obliga a abandonar 11111 h suposición inicial de que el condicional que compone l:l fórmula entera no cm rlCi tiJul• 1 260 Lowenheirn: «Über Mog)ichkeite.n im Rcl:ttivl.:.lküh• fol,lllll'ltwtlsch~ Armo/¡•u ,.,.f , ( 19 1S). pógs. 447-470. Versión ingle.'ia c:n J. Vtlll llr li('nllntl h•tl.). l·rmtt ¡:rr>g¡• tu c,il,/ Cambridge. Mass.. Harv:lfd tJnivcrsity l'res.'i, 1'1(,.1, 1' ltl ' 1M •1 \ 1, e~p. pftg.j. 2,~ 'i \' 1

no resulta cómodo utilizar en concreto. Esa es la razón de que se recurrido a Otras técnicas más expeditivas 26 '. En cualquier caso, y dado que el propósito de este libro es sirulemoen,te el de estimular al estud io de la lógica con vistas a su aplicación diversos campos -y, señaladamente, en el de la argumentación tíinteresaba sólo dejar conslancia de que cabe, en principio, esos métodos. Ya sabemos, sin embargo, que el modo más de comprobar si un razonamiento es válido no consiste en ver1gt1ar si el enunciado que lo expresa es formalmente verdadero, sino determinar si su conclusión se sigue de las premisas de acuerdo reglas de inferencia correctas.

de la lógica de predicado.• monádicos

Al igual que hicimos en lógica de enunciados, daremos ahora una lista de leyes de la lógica de pred icados monádicos. Se trata, es, de una selección de esquemas cuantifícacionales uálidos, es decir. fórmulas inferenciales que son verdaderas en tOdos los casos, bajo tod
~>lrcnr1o n Prt:ss, 1961, l964. 1966, 1968. V. cast. de J. Muguert.a: Et desarrollo de la lbgic11.

1itlt1d, Fditorinl Tecnos, 1972; caps. J y 11 ; esp.. pbg. 23. ;n ., Y ,1$110 hi.10 en SU lfatado n epi /;¡JIIII''''/014 (l.il~·~· rlo• lmuprt'lllliom>) . 17b 16. Y

111 ltl¡¡hlll tW ¡H()(}ICMOS de ptimer orden 227

226 Introducción a la lógica formal

que las cuatro formas más s imples de enunciado eran éstaS: Todo ,1 es P' [Enunciado universal afirmativo, o enunciado de tipo A]; ' Ni11 gúo S es P' [ Enunciado particular negativo, o enunciado de tipo JI l. 'Algún S es P' [ Enunciado particular afirmativo, o enunciado en 11, y 'Algún S no es P' [Enunciado particular negativo, o enunciado en O 1 Como sabemos, en la lógica actual corresponderlan a estos cuatro tir"• los siguientes esquemas:

Ax(Px 1\ X (Px

A E I

Qx) ~ o Qx) V x(Px" Qx) V x(Px A-, Qx) ~

o

Si, por tanto, qu isiéramos reproducir estrictamente la teoría tradicionu l de las relaciones entre proposiciones cuantificadas, habríamos de ha
1\x Px

CONTRARIOS (/}

o

z0::

Ul ¡...

...J

<

(!)

Vx Px

"'

C'o,y~

~\o

c~o

R-1 Q\ o,c ~~1' '~'oR

cP""

1 0s

;::>


z0::

de otro es t:omo decir que equivale a su negación. Va len, pues, Jos siguientes cuatro esquemas:

A x Px <->-. V x-, Px V xPx<->-. 1\x-, Px 1\ x -, Px ..... -, V x Px V x • Px ._...., 1\ x Px

2. La relación de subalterll(lci/m. Un enunciado en I será subaltenOI> del correspondiente enunciado en A, y otro tanto cabe decir de oon enunciado en O por respecto al enunciado en E correspondiente. ¿Qué es lo que entraña esta relación de subaltemación? La relación de contradicción, que acabamos de ver, resultaba bien sencilla: s i "'' enunciado es verdadero, su contradictorio es falso. ¿Cuál son, ahora. lns relaciones de verdad entre enunciados subalternos? 2.1. Si un enunciado universal afirmativo es verdadero, verdadcrt> KCJ'á también el enunciado particula r afirmativo correspondiente. De igoo:ol noodo, si es verdadero un enunciado de tipo E, asimismo será verdadero el correspondiente enunciado de tipo O. Es decir:

1\xPx ... V x Px 11. x-, Px -+ V x -. Px Ahora bien: estos dos esquemas sólo serán válidos en el caso de que •• excluyan Jos universos del discurso vacios. De no ser así, los esquema' no serían válidos, pues, aun siendo verdadero el antecedente, podrí:o aer falso el consecuente 26 ' .

Ul

¡... ..J

<

"'::::> (/}

(/}

Ax -. Px (1 ·¡

o

~.:ontmd ictorio

V

x • Px

(())

SU.6CONTRARIOS

Habría, pues, cuaLro relaciones: l. La relación de contradictoriedad o contradicción. Un enUit~hHh de tipo A es contradictorio de un enunciado· de tipo O (que .,.,., acerca de lo ntismo, es decil·) que conteoga Jos mismos predicados ~~ ·~ y un enunciado de tipo E es contradictorio de un enunciad<~ de 1•1'" 1 Ahora bien : hemos de tener en cuenta dos cosas: en pronoer lu~"' que la relación de contradicción es, como ver~mo~, simétricca~ .o . h• q H~ es lo mismo, que si un enunciado es contradiCtOriO de otro, este lo 11 también del primero. En segundo lugar. que decir que un enunci:od" •

265 Las rcladones de suballet•nacióu tlltre enunciados sugieren problemas inte-resante:.. Nos limilaremos a dejar planteado aJ&uno de ellos. Se dice que, ádmitido d alcance exi$tcncial -o, en última instancia. Ja presuposición ontológica- dt un enunciado univers~J. de la verdad de ésle se sigue la del enuncia ~to p~trt iC\Ilar correspondiente. Ahora bien: cabria quizá pensar que, cuando un en unciad~) Ut~lverSa:l es verdadero, el enunciado particular corre$pondiente es, en Uf.l se.ntido. Yerdadc-m. rrrv no dice toda la verdad aceretJ del wmfJ. La oosa se ve especialmente clara si acudi· mo~ a enunc.i ados de- los que cabria llamar 'analitioos' -en el senüdo kanliano del t6rmi.no. De un enunciado como

ubriu inferir

lauuhncnte, sería correcto el paso de

(11110 f>OdiÍ{L obtenerse, por irónica contwposición del condicional. a partir de «Ningún IJillÓ>IIit'O ..:s !WCCrdOICI)) á

228

lntr
22 Si un cnunctado parucular es falso, ello acarrea la falsedad d\"1 enunciado universal correspondiente. En efecto: tomemos, por ejemplo, un enunciado particular afirmauv" V x Px. Supongamos que es falso, en cuyo caso será verdadera su negaciúu -, V x Px. Ahora bien : sabemos que 'o V x Px' equivale a '/\ x-, 1'\ Pero acabamos de ver que 1\ x-, Px ~ V x-, Px. Y si es verdader" V x -¡ Px no puede ser verdadero su contradictorio, 1\ x Px. Asi, puc•. si V x Px es falso, 1\ x Px lo es también. De igual modo puede moswuM que si es falso V x ' Px tambitn lo es A x-, Px. Cabria decir, entonces, que

- - - - - - - - -- - - - - 4n h\ul< 11
'

-, V x Px - -, A x Px

1\x Px .... -, Axo Px 1\x -, Px .... -, l\x Px 266 Ahora bien y es u• cs. nnturolmente. una consideración extralógica- : ¿quien di•ll• 1111~ al&unos sacerdotes $On ¡.nós1jcos si pcns;ar.t que es verdad que ~od.os los sacerdote::~ 1~1 ..... Las itüereocia.s que consisten en pa.511r de la verdad de un enuncLado en A o c.n E a la tlt •u subalterno son inferencias que la lóaic:a tie.ne obti13ción de cJ-amin:u y -(:(In lat _restrk' '"''' #Iludidas- aceptar como 'f,Üidas. pero que el sujeto raciocioao1e normal no rcaltU. Y n• 1 rea.1.iza porcconomia int.d«tual: porql1eson OClOSaS.. Es como. en aritmética. muldplte:.a_r 1"'' 1 Nadie multiplica un númerO por la unkjad. porque lodo el mundo ~be el_raultado !W Ir •1 de una open.cióo oaoP. que. 1in embir&O. es objeto de consideración en :antn..-1 .. Por 1o demás.. tu upenenclas de P. Oleron (a las que su autor se rcf~e:rc en ' Troill de PstC'IIolog~ E"(plnnv,uok public:ado l»JO lot dirección de P. F raliSC Y J 1'• •r Fasc:icufe Vll: •L'l o1elhgcnCC». Paris.. P. U. F .. 2! ed.. 1969, pig. -41 [V. caM cu l¡

229

4. La relación de .subcolllrtlruulml. A~ i como A y E soo contraria~ 1 y O son subcontrarias. De los enunciados subcontrarios cabe decir que no pueden ser ambos falsos. pero pueden, en cambio, ser los do• verdaderos. Dado, en efCCio, un universo del discurso no vaclo, o bien sus miembros poseen la propiedad designada por el predicado P o bien ostentan el atributo significado por el predicado -, P. Pero, por otra parte, bien pudiera ocurrir que a lgunos de Jos x fueran P, y otros. en cambio, fueran no-P. Así, pues, de la falsedad de un enunciado particular cabe deducir la verdad de su s ubcontrario :

-,V x• Px -+-¡ Ax• Px

3. La relación de contrariedad. Un enunciado de tipo A y un enunc111 do de tipo E son camrarios en tre sí. ¿Qu6 quiere ello decir? Que "" pueden ser verdaderos a la vC?~ pero sí falsos a la vez. Pero ello en , ¡ supuesto, una vez más, de que se excluyan los unive_rsos del discu"" vacíos. En ese supuesto. es evidente que dos enunc1ados umver,;;lhafirmativo el uno y el otro negativo, no pueden ser verdaderos a la ,.. Pueden, sin embargo, ser falsos ambos. Por lo tanto, de la verdad de "" enunciado universal afirmativo cabe inferir la falsedad del enunc•;uho universal negativo correspondiente. Igualmente. de la verdad de un en un<''' do en E se seguirla la ve rdad del enunciado en A que tuviera '" mismos predicados. Así, pues,

'""',_de prÍ11161' ordtN>

-¡ V x Px - V x-, Px Vx-, Px-+ Vx Px 267

En cambio, de la verdad del uno no se s igue la falsedad del otro. Algunos de los esquemas que hemos venido enumerando quedará n muy pronto recogidos en nuestra lista de leyes. Antes, sin embargo. vamos a ver hasta qué punto se mantienen estas relaciones entre esos cuatro tipos de enunciado cuando éstos aparecen presentados según el modo tradicional. Ya hemos dicho que, según la tradición, los tipo' más simples de enunciado estarían representados por estos cuatro esquemas :

Ax(Px ... Qx) flx (Px ~-, Qx) V x(Px "Qx) V x(Px 1\-, Qx)

A E I

o

¿Podemos decir que entre ellos se dan Jos cuatro tipos de relaciones que acabamos de discernir'/ l. Comencemos por la relación de COIItradicciótl. Ella sí se da también con estos esquemas. Tomemos, por ejemplo, el s iguiente enunciado univeraal afirmativo : Tcxlco los hombr.s 10n mósofO< (Gramsci).

En símbolos, 1\ ~ (llx .... Fx)

Editorial P aidós. de Buenos A .res]~ pare«n mostrar que la interpretación csponta~ ~t"' l•

sujetos dan de los enunciado! ¡>antcul.rcs es 111 interpretación «e'ct~ycotc;... Es dc\'n +¡m cuando alguien emplea un enun ciado p1ulicular es porque est~ convenetdo d~ qu~ el cnum i,ul· uni,•ersal correspoodacnte no es \'i:tdudero. Cuando algmcn d1t:c «Algunos hastorwdtlfl'll 111h 11 ten» es.. normalmente. porque cree que también es vcrdnd q ue algunos b isturiadoro!i 11n ml t'llfl u Y si es ''etdttdero el c:nunchado «Algunos h istMia€1urcs no> micnlcm' es fa lso , .. ~·• 11111 ,¡ dictori-o. Y s u oootr.adic;torio es. CC'Illn hcnhl~ vi!tl1•, (+'fq~l,•:t lt•11 hi~t()riadMcs +llit•ull ll+ 266 U. \'alide'l. de amboS C!UiliCinll" ll lií'ih• lll'••y +tllf'l (11\ l11 tlt: l(\l\ de SIIIMIICIIUII ilill ...., ¡., '
primero de esos esquemas n o es .sino o1ra formulación de· A x Px ..... V x Px'. En cunn1c1 al segund o, es equivalen le: a '/\ x o PIC - V:< o Px'. 2 '' El'l efecto: tomemos e l primer (S(¡uemf•. P n é l se d ioe que d e Ja fol~>cd.td d e un cmulciad o particular afínnativo ()!, rlw ende, de la verdud de su negncibn, ·- , V , 1'\ 'J Wl sigue l:l vcrdfl d d e s u subcvlll1l +fÍu, 1 1' \ ', Y 1u•l es : 'o V x Px' ccauiv.•lc, .'lu¡.r,un hcmu~ vÍ<>IIl, :1 • 1\ x - , 1)'\:'. Y usi cnmli. 1+1.1\•1 1''" lillhillh1u' r•t.Ji+'m. implica 'V '< - , P\ •

·v \

lg\m ht~nce,

In flii$4XIJu.l de V\

1 11 \

i llli

CO'+Il'".,""'l" th'tttuul,l iO. equivale,

tl!u:iflll, n 'A\ P\ ', y e-.¡lo un1llka lll'l tu+t•·ll!l '" •• 1nn ¡, \lfl i l lld de V\ P\.,

,,.,, Ct'lll lol

230 Jntroducc/6n 8 la J4gica f01mal

111 lt~,Jc l. rltt ¡ilrltliCildOS do primer orden

Neguemos ahora esa expresión, transfurmitndola en

En general, por tanto,

-, Ax(Hx -+ Fx)

Sabemos, sin embargo, que '--, A x' puede sustitUirse por ' V x -,• Por tanto, ese último enunciado equivale a este otro:

o V x (Px

V x-, (Hx ..... Fx)

1\ - ,

Qx) <-+ A x (Px...., Qx)

Veamos, en tercer lugar, un enunciado universal negativo: Nin¡ún jtft se equivoca 2-u

V xo (H x-+ Fx)

Si olvidamos el prefijo cuantificacional, el resto de la fórmula es simplr mente un condicional negado. Y puesto que -, (X-+ Y) = n¡· (X " -, 1) la expresión

231

En símbolos: A x(Jx-+-, Ex)

Si lo negamos. -, A x (Jx ..... -, Ex)

equivale a V x (Hx

A -,

Fx)

En efecto: negar que todos los hombres sean filósofos es tanto com" afirm:tr que hay a lgunos hombres que no lo son. Así, pues,

nos encontraremos con V x -, (Jx-+..., Ex),

que podemos transformar en

..., [Ax(Px-+ Qx)] .... V x(Px"-, Qx)

Tomemos ahora un enunciado particular negativo:

V x(Jx

1\

-,-,Ex),

es decir. en

Alaunus COll
V x(Jx "Ex)

En slmbolos: Asl, pues, en general, V x(Mx "-, Cx)

-, ( A x (Px - - , Qx)]- V X (Px

A

Qx)

Si negamos ese enunciado y afirmamos Sea, por úllimo, un enunciado particular afirmativo : -, V x(Mx

A -,

Cx)

estamos diciendo que no hay ningún x tal que x sea una cosa d11 '" metafóricamente y x no sea confusa. Y puesto que '--, V x' se pun to sustiluir por ' 1\ x 1', tendremos A x-, (Mx "-, Cx)

expresión que equivale a

Algunor lin,g\listas crten que la sidtaxis es autómma.

Bn slmbolos: V x (L< " Cx)

Si lo ncg¡tnlOS. -, V' (l .\ " Cx), ,.. l l CJCmpkl nos ha .s•d u \ Uif''ntln 1"'' lo~~~ lr,htra dd qundo de l<~ • IM·nw.-wo t'unhM• ,k tu Ju\'C'fll uda dt A~o:\k'fl l•otpulfl l '1' lf'/Ab.l oomo <\tjtu~- • l)t, u¡llm.l 1 ••• ~f. > lk• ir't Ct4111''\~,ll\ (#:1 J'h-h.th' 1 111 1'1 ! 11

232 lntroducc/6n a 18 lógica /ormal

lnicourcmos nuestra lisuo de leyes de la lógica de predicados monádicos con algunos de los esquemas válidos que hemos ido encontrando en el curso de las consideraciones precedentes:

nos encontraremos con A x-, (Lx " Cx).

J.

que podemos transformar en

2.

A X (o Lx v -, Cx)

3. 4.

A x Px - .., V x-, V x Px .... -, A x-, Ax-, Px ... .., V x V x-, Px ... -, A x

Px. Px. Px Px

y luego en 1, 2, 3 Y 4 son Ley~s de inrerdeji~tú:ilm de los cuantificadores por ío de la negación " '•.

A .< (Lx _, -, Cx) En general, por tanto,

-,[V x(Px" Qx)] ... Ax(Px--, Qx) 2. La relación de subaltemació11. Aquí no se cumple. Ni siqu"''' excluyendo los universos del discurso vacíos. De la verdad de' 1\ x (Px-> (1\ 1 no puede infcrirse la de ' V x (Px A Qx)', como tampoco la de V x (!'' -, Qx)' a partir de •A x (Px--, Qx)'. 3. La relación de contrariedad. Tampoco se cumple. Ya velamos, a l examinar la relación de """ trarie
S. 6. 7. 8.

A x (Px ... Qx) ... -, V x (Px " -, Qx) A x (Px ... -, Qx) .... -, V x (Px A Qx). V x (Px A Qx) .... -, A x (Px -> -, Qx) V x (Px A - , Qx) ... -, 1\ x (Px- Qx)

Leyes aristotélicas de oposición es el nombre que tradicionalmente se ha enido dando a 5, 6, 7 y 8. Con ello quiere decirse que se trata de eyes -cuyo origen se remonta a Aristóteles- en las que se expresa a oposición - la oposición COIItratlictorÚl- entre enunciados 270•.

'''1'

con aquella. En efecto: las relaciones de contrariedad podrían fo rmu l:u ;o

lO t ..

Su 1raduoción

11

lógica de clases es obvia. La de la primera, por ejemplo, seria

asi: A x (Px-> Qx)-> .., [ A x (Px->-, Qx)] Ax (Px _,-, Qx)->o [ Ax(Px _, Qx)]

bien 1\x(.u A)--. Vx(x< - A).

' Y los consecuentes de ambos condicionales equivalen, respectivamcutr

a ·v x (Px " Qx)' y 'V x (Px " -, Qx)'. S i admitiéramos esta rel" '""' habrlumos de ndmitir también la de subalternación. 4. La rclución de subcomrarie®d. De ella puede decirse lo " """" que de la an terior. Para poder admitir los esquemas que expre>oau 1,, subcontrnriedad, y que serian -,V x(Px" Qx)- V x(Px

A -,

Qx)

no. L.a PJtrMruis de S. 6, 1 y 8 en lógica de clases es también muy fácil. La de 6, r ejemplo. podrb. obtenerse del siguiente modo. Sea A la clase de los individuos ue hacen verdadero d enunciado abierto •p,x•, y B la clase de los individuos que hacen rdadero el enunciado abierto 'Qx'. Decir, entonces. que 1\x(Px

-+1

Qx)

uiw1t a decir que

y lo que a Jo miSmo, que

-,V x(Px " -, Qx) _, V x(Px

A

Qx)

tendría que valer la relación de subaltemación, Y" que los antcx-edruh de esos esquemas equivalen rQ,J)l.."(;livan•cuh: •• '1\ ~(Px- 1 Q,f 'A x (P~ - Q~)'.

A e: - B.

Y es:1o Uhuoo " puede: dcer tambiln con d enunciado -, V\'('(fA

1\

\;(HI

l/1/ÓIJIC/J d. (JI(J(/ICB(jos de primer orclen 235

234 lnttoduCCión s la lógica f01mal

9.

Ax(Px - Px)

16.

Ley de identidad para predicados monádicos 21 '•.

V X (Px

1\

Qx)- (V X Px

A

V X Qx)

l..cy de distribución tle/ CUalltifacadiJr part.icu/ar por La conjunción ""• .

10.

Axo (Px ".., Px)

17.

Ley de co11tradicción parn predicados monádicos 211*. 11.

Ley de distribución del cuantificadiJr particular por la disyuncwn.

Ax(Px v o Px)

18. ( V x Px ..... V t Qx) _, V x (Px _, Qx).

Ley de tercio excluso para predicados monádicos 173*. 12

Ley ü contracción dtl cuantiflaldiJr particular por el condicional.

A x (Px " Qx) .,.. (A X Px " A x Qx)

Ley de dbtribució11 del cuantificador uniuersal por la co11junción »••

13.

Vx(Px v Qx) ... (Vx Px v Vx Qx).

19.

(A x(Px- Qx)" Ax(Qx - Rx)] ~ A x(Px ..... Rx)

Ley de tra•ISitividad del condicio•aal para predicados monádicos "''

Ax(Px -.Qx)-.(Ax Px -+Ax Qx)

Lq de dl.!tribució11 del cwmtificador universal por el condicional 11'

20.

(A x (Qx _, -, Rx)

A

A x (Px _, Qx)] _, A X (Px

~o

Rx)

Ley que corresponde al mod o si1ogi.stico <>. 14.

A X (Px ,_. Q.t) _, ( 11 x Px..., A x Qx)

Ley de distrilmci6n del cuatatificador universal por el bicondicional""

15. (/1 x Px

V

1\ x Qx} _, A X (Px

V

Qx).

Ley de contrt,cció'J del cuantificador universal por la disyunción 111

ntMorO$

son trivlalct». En cfruo : para fal.sar el prim~ro habría que enoontra.r 00'1.1 barto fi'tcíl- u n fil ósofo que no fuera ní confuso ni trivial. En cambio, pa ra r~~ ~ ~~•" el segundo brutarla con eo coou;~r, por una parte, un fllósofo que no fu era confuso. y. pór Otrfl ¡x•rtc, u n (ilótofo que no fuera ariviaJ. Tr:.lduciendo 1" ley a lógico de clases se ve con basta nte daridad la d iferenclll, No es licito pas.ar de Ax (x.EA v x eB)

En lógic.1 de c:ltl.SCli esta ley podría presentarse así : Axcxe A - ;.:e A). En lógicu de clu,...

porquo e l p •·imer e nunciad o d ice: par~~: todo x. o x per1e.nece a la clase A , o pertenece 1 In cl"sc o. o perlenece a ambas. Y d segun do di<:e: o ux.Ws los x perte necen a la chtse A, o sodol los x pcncnoccn a la clase B. o wdoslos x pertenecen a ambas. nh La ley licnc forma de condicional porque la inversa no es verdadera. Vt'.\mosl•l tn lógica de CII&$CI; de

1\x o(xeA 1\X~ A).

" "-

En lógica de clústS. Ax(xe-A

V XE

- A)..

Oicho de o tro modo: e ntre una dase y su clase complemento agotan el uni,'Crso drl

Vx(xe A)" Vx (x
discurso. n •• Ax[xG(A" 8}]-(Ax(xeA) 1\ Ax(xe B)). Con e l fin de que no prohrcreo las notas. .nos abstendremos en muchO$ ca50s de d'r 1.1 craduoetón de las leyes c:uanlifiC8.cionales a lógica de dases. JH N61ese que esta ley tiene forma de condicional. En efu;to: la inversa no n fof"ft\almente venJ"'dc:na..

n• ()curre aqul to mismo que en d caso anterior. , , Podriamos habernos sentido tentados. por ioercia. a admitiT una •Ley de dñ>tu bua6o dd cuaotificador ••ul.iverul pOr la disyunción•. que: lendria CSl3 rorma : 1\ ~(PX. V Q:<)-(Av/"\ V

" \.(h)

'""''"k't

PeTO no, De un c:nunaado oomo .r1 ''tl~\1 k" ltl.o"''••• ...n o cnnfuso1: o no podri11 deducnx C'l cnund:1do • 0 tud•" l•• t!l • •t• t•n {lllnfu~ o tndu• lu

nQse puede infta'ir V x(xEA "x€ 8 }.

1 n t:fecto: el x que pertenece a A y d r que pertenece a 8 seg6n d pnmer eq¡utm.t p1.1eden iitt dos X d1SIID10S. n• A e.s1a ley se la conoce t.unbtln o.m el nombre de • Ley dd siloa,is•no•. Su (lo INaum. en efeclo. es b dd mu(l.t •ilu¡tllhcu conocido oon el nombre: de ~8mh,,.,,.. f'C'rfecl o CftU'C IM perfeclo"• 'IC'JUII AmiHI.-In lluy que adftt11t UniartK'nle CIUC en lo~ pretcnt:.ctón tt;1d1etonJI ~ llhft•• t'l "''1 rt ti• ,,., t'ff'f'IU•.¡&\, por lo ami, en ni"'· d NIUt'nH ' •rrt,.p.HUJI(I11e ni modu &uf\,,., ''"

21. [Ax(Qx ... Rx)" V x(Px" Qx)]- V x(Px" Rx)

Ley que correspOnde al modo silogistico «Darii».

Ley <1ue correspOnde a l modo silogistico «Ferio» 130 .

23. (11 x(Px- Qx)

1\

Pa]- Qa.

Modus potU'ndo ponens para predicados monádicos 21 '

•.

Finalizaremos con la siguiente observación. A las leyes de la lóg¡ca de enunciados les lla mábamos, siguiendo a todos los que han segu ido a Wittgenstein, «tautologías>>. El no mbre se justificaba por el hecho de q ue en ellas la conclusión --<:1consecuente del condicional, o del bicondicionnl. que las expresa- no hace s ino decir de o tro modo lo que ya eslio dicho en las premisas. Seria un error. sin emba rgo, seguir dando el nomhrc de tautologlns a las leyes de la lógica de pred icados monádiéos - y el error se haría mayor, si cabe habla r así, a medida que progresára mos en la lógiC'd-, porque no todas ellas son tautológicas en este sentido. Mejoo será, entonces, darles otro no mbre : pOr ejemplo, el de «esquemas vlllidos de la lógica de predicados monádicos».

24. [11 x (Px ... Qx) " -, Qa]--, Pa MM11s ro/Zendo tollens para predicados monádicos.

C) La lógica de los predicados pollAdicos

lS. (11 x (Px v Qx ) " -, Pa ]- Qa

Exposición de motivos

Lty de inferenciiJ de la alternaliiXI para predicados monád ioos.

26. llx Px- Pa

Ley d• especif=ilm. 27. Pa- V x Px

... «Soy deteet i~ pri't'ad o y ten¡o m• het~i3 desde haoe. bastante tiempo Soy un 1ipo solitario, no estoy casado, estoy entrando et1 la edad madura y no ..oy rko. He estado en la cárcd mAs de una vez y DO me ocupo de <Ü'W)rCIOS. M e: gUJta la bcbu:la, Ju mujeres (...) y aJ.aunas o tras cosas. No soy muy dc:l aamdo de tos potizorues (-). Soy hijo natural. m.n: padru bao mucno, oo tc:o¡o hennanc,.. ni hennanas. y si alguna ,.ez lle¡an a dejarme tieso en una callejuela oscura (-). nad.e. ni hombre ni mujer. $1Coriri que ha desaparecido d mo tivo y fundarnentu de su vida,,. tu

Lty de pa rticularización 182. uo Como hemos ido indicando, l:u leyes 19 (con las premisas tralltocadas), 20, 21 y 22

Dicho de o tro modo :

corrtSponden a los cuatro modos sllo¡lslicos de la príme ra figu ra. O tro tanto cabrín ha «rr

con 1o1 modos de Las figuras resta.ntes. Es prcci
1\

1\ x(Q_IC- Px)] -

V x(Px

1\

Rx).

En lógica d e. clases, [(A e 8)" •• AJ- (aeB)

O biCII

Hl Como puede \"'efK. las lc:)'C'I 2l·l1 iC dn.tní~tucn de 11" •nt~res en que: en ell,n: fi.c.uraa Pmbolos como ·a·. que a nles hc•nc" lllntlli.kt ·w,.wuuf'• md•v•duaks', 1" pretcnC"t..:t dccsou:lmboiQ!i pudiera resultar ens,,u'u~• 1 n rlr. lt' '" .-twr qut; c•dlt C'4Ul!IIIUHc mdmdu11l

Da" Ta" St1 "-, V x (Cax) " Ea "-, Ra " E' a " Ax (D'x- -, Oax) " V x V y V z V w (Bx ,., M y " -, Bz ,., -, Mz " -, Bw " ,.. -, M w " Gxa " Gya " Gza " Gwa) " A x (Px - -, Aax) " A :e· A y [(P'xa" M' ya) - -, Cxy" M"x " M" y] " -, V x -. V y [Bx " M y) " "(Hxa v Hya)] " V x [(T xa)- -, V y (By v M y)" S y] 21 • . desigoa u n dctermin3do indh•iduo. ése y no o tro. Esto pudie ra interpretarse d e 1111 mod o q ue llevara a pensar que lo q ue se d ice e n, por ejemplo . la ley número 26 es que si todo~ los x po11ecn el a tributo designado por P. toconoes Jo pos:ec el individ uo n, el concrc1o mdiv1duo tJ. Y no es asi: k> que se dice es q ue , ¡ de todtn los individuos de u n ck:ntl universo puede predicarSe u n determinado atributo, entonces ese atributo pue
238 lntroduccl&o a la lógica formal

1• 16giCIJ da predlc/Kios d8 primer Ofden 239

Como puede verse, si el lenguaje lógico no dispusiera de predicad<"

Su esquematización no ofrcoe grandes dificultades:

poliádicos nadie podria relatar en él su vida. Nadie podría, por ejempl,o, rormular en simbolos lógicos su estado civil, expresar sus odios y su•

-, V x (Rx " lxa)

amores, etc. Sin la introducción de predicados poliádicos tampoco sería posiblr - y esto si que parece necesario- traducir al simbolismo lógico los mi"

sencillos enunciados de la ciencia. No seria posible enunciar siqUicr.o que 2 es menor que 3. Si la lógica no dispusiera de los recursos necesarios para disccrnu predicados poli!dicos en los enunciados de la ciencia o de la vid.o muchos serían los razonamientos que, siendo rormaJmeote válidos, se vería u privados de su reconocimiento como tales.

['No hay ningún x tal que x esté en la revolución y x sc:o más importante que

a1. O bien: 1\ x-, (Rx " 1xa),

que equivale a Problemru dt esquema1ízaci6n

Lo dicho respecto de la traducción de enunciados del lenguaje ordinaro" al simbolismo de la lógica de predicados monádicos puede decirse tambii·oo aqui, y a mayor abundamiento. Nada de traducción mecánica: necesid:"l de actualización s imu lú\nea de la competencia lingüística y la competenco11 lógica. Veamos unos cuantos ejemplos. Sea el enunciado

Tampoco resulta demasiado laborioso verter en simbolos el enunciadto No hay nada mAs desesperante q ue un leléfono comunicando

-, V x [ 1\y(T y -+ Dxy)]

Aclunlmcntc o.o existe en la revolució n persona más importante

que Ulia.oov ~~~$.

en In « had maduNt y o no es rloo y o ha estado en la c!lro:J mis de una vt:1 y ,.,.. u lodo Jl, ti x Cll un djvo•'Cio entonces a no se ocupa de x y hay algün x ta l que x es 111111 bebid~ y x gusta a a y hay a lg.ún J' tal q ue y es una mujer e y ¡;,usta a a y hay .:•lgut• : y olsúo w que no son bebidas ni mujeres y que gustan a a, y para todo x, si x e.o; 1111 poliwnre. cnronocs u oo es mur del agrado de x, y p.arn todo ;~ y paro todo y s-i ' n padre de a e y c11 madre de cr entonces x e y oo estuvieron casados y .x esta mut'"' e .V esl(l muc•·ra, )' no hay ningún x ni ningún y cales que si x es varón e y mujer, \ 11 ~ hermano de a o y hermana de a. y $¡ hay algún x tal que ~ deja rieso a a en u na -.:;1111 juc:b OtcUra, cmonces no habr3 niogUn y, sea \•arón o sea mujer. que sjenU~ qut" h o~~ desaparecidO el moltvo y fundamento de su vida•. Se hun utilit;ado slmbolos como o M" ante la presencia de expresiones prtdicatn .• que comtenUn en elle::ngua,te ordinario con la misma leLra. Hentos pracind&do, habida cuen1a de los propó$i1o~ puramente itustratiVOJ, quc:- "" 1nirnab.ua a esquemaiJpr este texto, de al&UJ).U sutiltU$.. Por qemplo, el enunu.•·l 'He estado en la c:6rcel mis de una podría simbolizarse mas detalbdamcnle , "' ayuda c:kl predic:Wo de identidad. al que: dc:dicarciDOS: al,tunas p;\ginas mt.s adelante lt.l mismo modo. la afirmación 'Soy Ul'l tipo $0ht:uio' podr'l3 inlcrpreta.rse como si c:onhn .. ~

e·

,-ez·

una exptaión prcdk::auva pohidia: se es soli1ano rc~r r<'\pt.cto a los demis.. Ele. us Od informe del Jd'c de la Oirec.:cmn de- \tflllt~I.HI de Moscú~ ?.uOOhw, ,, .superiores. en t900 (lom<•do ck (¡ Wahrr 1 .,,..,. l'arl R t.•mm~d:. U.u'Ct'k1n... (iu,.lll'lo. I•M7, (I'IJ

Julh¡rd, ¡qc;o V t;.n4

u

tito

['No hay ningion x tal que, par:o todo y, si y es u10 telérono comunicando~ entonces ' sea más desesperante que .v'J.

La rrase Hombre 10y 'Y nada humano me es ajeno (Terencio)

podrla quedor, en símbolos, asi: Ha " 1\ .< 1\ y [(Hx " Ryx) -+ (-o Axa " -, Aya)] 286

Otro ejemplo: Pam el 101<'-lectual AO .bay nada mejor que la democracia bur&uesa. U• 1 ~ d«;lr 'u C:S hombre. Y Jl,.thl I•OIIu \ Y r-1r.1 hWin y, Si ~.: es hombre C f o t\UII\JII~r t:'~' \JUt IU.udc rdauun "'''" 1111 humh111 t•uun~o.f• '( no es ajeno 1 0 e ~ l·lnlf'l ~•l f~ -'lfUU .. "'

La lógica do p•IJdlcados de primer orden

240 Introducción a la lógica formal

En versión simbólica:

En símbolos:

A x [lx-+--, V y (Ry

A

['Para todo > si x es intelec-

Myax)]

tual, entonces no hay ningún y tal que y se" un régimen po· Jhico e y se:• mejor que la democra cia burguesa (u) para x1Tres variables - referentes a comunistas, países y movimientos revolucionarios- habriamos de manejar si quisiéramos esquematizar el siguiente enunciado : Los comuni$tas apoyan en todos los países todo movimiento revolucionario en contra del orden social y político existente (Marx-Engels}

En símbolos: Ax Ay Az [(Cx

A

Py

A

Rz)-+ Axzy] 181

A x 11 y 11 z [(lx

A

Ty

A

Sz

A

Hxyz)- M x] 289

Cuando entramos en lógica de predicados poliádicos - es decir, cuando tenemos que vérnolas con enunciados eo los que bien pudieran aparecer dos o más variables de individuo diversamente cuantificadas- hay que extremar el rigor no sólo en lo que se refiere al tipo especifico de cuantificación que conviene a cada variable, sino también en relación con Jo que se ha venido llamando alcance de un cuantificador, entendiendo por tal la secuencia de símbolos a la que afecta, es decir, la lll•on¡~itu•d de fórmula que abarca. En Jos ejemplos que siguen se plantearán llp,rot>lernas de este tipo. Tomemos una afirmación de Quine : Nin¡ún experimento taojar3 nunca una cuestjón ontológica.

Traducir este enunciado al lenguaje lógico exige el concurso de dos 11::;~r~';:~~;u~n~:a cuyo campo de valores sea el conjunto o clase de Jos 11 y otra cuyo campo de valores sea la clase de las cuestiones )nt·Oié>gic:as. ¿Cómo proceder? ¿Cuantificando universalmente la primera y larmente la segunda, ya que se habla de 'una cuestión ontológica"/ obvio que no. En este caso, 'una' equivale a 'cualquier'. Quizá, pues, forma correcta de esquematizar ese enunciado fuera ésta :

A x A y [(Ex Veamos - buscando siempre la heterogeneidadSea la siguiente gregueria de Gómez de la Serna:

A

Cy)-+ --, Zxy]

dos nuevos casos.

El quC ba hecho un empalme de dos flexibles ha sido cirujano de la eleetriddad.

Su esquema seria: Ax[VyVz (Fy

A

Fz

A

Exyz)-+ Cx] 288

En la Biblia (concretamente, en el Exodo) Icemos: EJ que en

C$C

241

dja [Ya~-e s,e rertcre al séptimo día, dla de descanso) haga un trabajo cualquiera, serlt castigado con la muene.

['Para todo x y para todo y, si x es un ex· perimento o y una c uestión ontológica, entonces no es el caso que x zanje Y1·

Aunque tal vez fuera mejor esta otra: A x [Cx-+ -, V y(Ey

A

Zyx)]

Un ejemplo algo más complicado seria el siguiente: 2n Es decir: 'Para todo x. y y :, si x es una organitaeión comuoist.a. y un P·''' y: un movimiento revolucionario en contra del orden soci11l y poUtioo exis-tente, enton<:ell \ apoya a : en y'. . , 2u Es decir: ·Para todo .x, si hay ¡¡Jg(an y y ltiKU" 1 1~1 que .x es un lleJublc o l' es un nexible y x empalma y con z, t nlt\n4.-cl \ h1• d(hl d wjano de ht olettrlotda¡l '

Siempre huy un espaí\ol que inventó las

C05lls

smtes que sus inventores reoonocidos

110 'Pnrn todo (, y y z. si x es "'' hijo df' ~~ ~~tri, ,, .-. 1111 l l"ltbltjo ll ~ipli mo dln, y ' hnoe v en r , entonces \' scllft \lllttl¡~¡ttlu t 1111 ht u\ lit'• te'

y z c\'1 '"' ~onto

242 Introducción o la 16g!ca formal

Ln /ó¡¡ICD

En este enunciado se hace referencia a tres d istintos conjuntos de individuos: el de los españoles, el de los inventos, y el de los inventores reconocidos. Habrá, pues, que cuantificar tres variables individuales. Posiblemente así: /1 X /1 y [(lx

A

Ryx) -+ V z (Ez

A

Tuy)] 290

at&t)nmóoofo.

de primer orden 243

Independientemente de que pudiera simbolizarse de otro modo, el enunciado nos sirve de ejemplo. En él puede verse cómo el cuantificador particular que afecta a la variable y úene como alcance tal sólo el antecedente de la fórmula, hallándose el consecuente afectado por l:o cuantificación universal de y. El enunciado Cuando uno ha visto un muerto los ba visiO todos u"

Dice Descartes, en la Segunda Parte del Discurso del Mérodo: No et posíble ima&inar nada au'l.ño e incrdble que no haya sido dicho por

(Jfl (JI'OdiClldOS

plantea un problema similar. Tomemos el antecedente de lo que, prc· sumiblemente. es un condicional. El antecedente es 'uno ha visto un muerto'. Ese 'uno' es un uno cualquiera. Así, pues, en símbolos:

En esquema: -, V x [(Ex v ! x)

A -,

V y (Fy

A -,

/1

Dyx)] 291

x V y(il•fy

A

Sxy) ••.

O, dicho de otro modo: /1 x [(Ex

Si un lndochino oJHra toca.r siquiera a un soldado norteamericano. todas oue;stras ruerzas en Viernam se altarian indignadas..

Y el consecuente seria llx lly(My-+ Sxy)

siguiente: , Ny

A

Oxy)] ... /1 y(Ay)

['Si hay algiou x y algún y l.ol que x es i.nlh, chino e y nv• teamericartc) t

x osa tocar ·• y, entonces hl dos los y se .o l zarían indisu·• dosT ,.. Ea decir: 'h,. todo x y todo y, si 'JC es un invento e 1 es su im·entor tCCOI'k~t\l•• cotonc:a hay aJ¡6n .t tal que tes español y : iovccuó x antes que r·~ ,., 'l:o hay nincón ~ 1&1 qoc x sea un& <'P'm'\n C\tc.ul.t y/o •ncrdblc y t.al quf' u... haya a1¡6n y tal que y sea líl6sofo e y no haya diChn \' ,., JO de abnl de 1975.

['... x ha vislo a todo y que esté muerto'].

El enunciado entero tendria, pues, esta forma llx I( V y(My

A nuestro modo de ver, una esquematización adecuada sería l10

x V y(lx"

SI

en ese estado, entonces... ').

v Jx)-+ V y(Fy" Dyx)]

El pro blema del alcance de los cuantificadores, del que hemos venidc> viendo casos, se presenta con rnayor claridad aún en afirmaciones come> 292 la siguiente (atribuible, en fecha como la de boy al Presiden''' de U. S. A.):

[V

rPara todo x.

hay algún y tal que y está muerto y x ha visto a ,,

A

Sxy)]-+ 11 y(My-+ Sxy))

Obsérvese la importancia que tienen en este caso los paréntesis, corchetes, etc., para indicar el alcance de los cuantificadores. El cuaro tificador universal que afecta a x alcanza a toda la fórmu la. En efecto: la fórmula entera es - o pretende ser- verdadera de todo x: totlo mdividuo que ha visto un muerto los ba visto todos. En cambio, con y es distinto : el consecuente de la fórmula aspira a ser verdadero de todos los y. y el antecedente, de al me/Ws uno. Etc.

Procedimi~ntos

de decisllm en lógica de predicados poliádicos

Dada cualquier expresión bien rormada de la lógica de enunci;odo,. podíamos. por el método de la. tablas de verdad (entre o tros) determinar J•t lnlcrprctcmos la C\f'ff"\tun ~" .nu('ttu· 4-:•un.- 'alaün mumo·. aunque quv.-t fucr111 mc,nr d«
un ... , .. ,

'*"'

Ml~rtu'

244

LD lCgiCII d
lntrodllcclón s la lógica formol

inequívocamente si se tra taba o no de una tautología. En lógica de predicados monádicos contá bamos asimismo con más de un procedimiento para solventar el problema de si una fórmula dada era o no un esquem;o vlllido. No existe, en lógica de predicados poliádicos, un procedimiento de decisión en este sentido: no existe -por principio- ningún procedimient<> de decisión que pueda aplicarse con fruto a 10da fórmula de la lógico de predicados poliádicos. A forriori, no existe ningún procedimiento de decisión que valga para la lógica de primer orden considerada comu un todo. A forrwr~ no existe ningún procedimiento de decisión para la lógica formal tomada en su conjunto. Contamos, eso sí, con procedimientos de alcanoe parcial, es decir, con m~tndos que penniten solventar el problema de la validez de cierto' tipos de fórmulas predicaüvas poliádicas. Su exposición, sin embargu. excede de las pretensiones de este libro, y el hecho de no llervala a cabn no afecta grandemente a su propósito fundamental, repeüdas veces expresado.

(/\ .< 11 y (Pxy-+ Qxy)

A

Pab] .... Qab

(Modus ponendo p01rens pa ra predicados di~dicos.) (/\ x 1\ y P.
(Ley de especificacllm para predicados diádicos.) Pab .... V x V y Pxy

(Ley de particularización para predicados diádicos.) Et~t.era.

A ellas añadiriamos las siguientes leyes especificas de esta sección

de la lógica de predicados de primer orden: l.

2. 3.

1\x 1\y Pxy .... 1\ y ll x Pxy V x V y Pxy .... V y V x Pxy V.~/\y P.
Todas ellas son Leyes de permutación de los cuanlif~eadcres.

Leyes de la lógica de predicados p()liádicos 294

Entre los esquemas válidos de la lógica de predicados poliádicu< que podríamos enumerar hay a lgunos que no son sino adaptacionc< triviales de leyes ya conocidas. Asl, por ejemplo:

qué llamamos

Volvamos atrbs. Una frase como Dan era mencheviquc

11.< 1\ y P.
(Que seria In versión con predicados poliád icos de una de las Ley•··' tle imerdejinlclón de los cuantificadores.) 1\ .< 1\ y (Pxy-+ Qxy)--, V.< V y(Pxy

~>

A -,

Qx y)

dla interpretarse de dos modos : o bien como el enunciado de que ciertl) ndividuo posee una determinada propiedad, o bien como la aserción e que el individuo en cuestión pertenece a una clase dada. Según l;o Interpretación que elijamos, la frase tomará, en lenguaje lógico, respectiva· ente, la forma

(Versión poliádiea de una de las Leyes de oposición.) 1\ .< 1\ y-, (Pxy

A -,

Ma

Pxy)

(Versión, para predicados poliádicos, de la Ley de contradicc/¡\n 1 ( /\ x 1\ y (P.<}'~ Qxy) A 1\ X 11 y (Q.
-+

(Ley tle transirividud del condici0110l.) l•• En lo que ,...

1i¡v.e, 1 ulvo indicación en oontr.uio,

TénpJC en cutnta que al esertbtr -, V ' '1 v'

1\yV:c Pxy- Vx 1\ yPxy

nc> es un esquema dHdo. Yerdadcro pan todas las interpretac:ioDC:S. Un ejemplo bastar:i. 5uponpmo.s que ·Px; aiJmfa 'x es padre de y'. En ese caso. d antecedente se leerla : Pi\ra todo y. hay alpn X tal que X es el padn: d.e y' decir: todo eJ mundo lieoc:. lln píldrc). El consecuenl~ pOr su pute_ rcz:aria asi: •Hay algún x taJ que para todo r. .~: d el JK~dtc de y' ([$ decir: hay alguien que es el padre -bkllógic:o- de lodo d mundo). Nn Pftr«C que el puo de una a otm • h,m.aoltn 'CA 16&kamentc JU$Ufta~~ble Si lo ruen. ptldrbmM pci'L1f, por ejemplo,
res

00'\

ocuparemos e'clt•'-" •

mente de predicados dkUbn. CUIOh(teadorcr..

..,. Si cst1 ley tiene forma de condicionaJ es porque su conversa no se cumple. E.! dcar, que

.if

<•'henden ne~dos 1(\, ••· 1

t" I<>JII<. diJ 1XItt1lcltdos d i J - orden o la forma

a eA Adopl" ndo Jos términos clásicos «ÍIItensióm> (o «comprehensi6m>) y «extellsíóm>, cabria decir que cada clase es la extensión de un predic:ul11 (en la medida en que reúne a todos los individuos de los que ese predie<~dll es verdadero). y que los predicados son claseS vistas en su intensióu (en la medida en que, sabiendo Jo que significa un predicado, sabentt,. Jo que significa pertenecer a la clase correspondiente). Diríamos entonces, en general, que la lógica de clases es una versión extensional de la lógk.t de pnedicados monádicos. To memos ahora una expresión como

247

¿No es también, sin embargo, un modo de designar una relación dos individuos 1 L1 lógica de relaciones es, por tanto, el resultado de considerar de otra manera la lógica de los predicados poliádicos. Se ha dicho que la lógica de relaciones es a la lógica de predicados poliád icos _lo que a la lógica de predicados monádicos es la lógica de clases. Y dtgamos ~n una observación que por un momento resu ltar!• críptica- que es la lógica de clases la que permite establecer esa correspondencia entre predicados poliAdicos y relaciones. Efectivamente: en lógica, las relaciones se consideran e11 exWJSíú11 . Quiere decirse: en lógica, las relaciones no se definen en virtud de lo que, por asi decir, <
Pab x ley6 y

Un predicado seguido de dos nombres de individuo. Un pred icadn, pues, di~dico. ¿No seria razonable interpretar esa expresión comn st enunciara la existencia de una relación entre a y b? ¿Qu~ manera m:" natural hay de interpretar los predicados poliádicos que como expresii•tt de relaciones entre dos o más individuos? Incluso cabria preguntar ¿qué otra manem hay de interpretarlos? Conocemos otra : un predicado n-.l¡dico es una expresión que oon " nombres de individuo compone un enunciado. Un predicado es 1111 jimctor con uno o más argumentos. Llamúbamos. recuérdese, «enunciados abiertos>> - o «funciones •k nombres)), o, como se las denominó en su origen, {
x hizo encarcelar a y x cambió y por : x se a lió con y y con z en contra de w resulta natural concebir los predicados poliádicos como functorcs de •In• o más argumentos, como fragmentos de lenguaje q ue se convierten 1'11 enunciados cuando se rellenan sus huecos -que siempre serán dos o ntios con nombres de individuo, o se procede a la cuantificación
Desde el punto de vista lógico esa relación no se definiría mediante

In explicación de en q ué consiste la tarea de leer, de qué significa la relación que se entabla entre el lecto r y el texto, sino que quedana caracterizada como aqueUa relación que media entre todos Jos x y todos los y tales que x leyó y. Dicho de otro modo, y con otro e¡emplo: la relación que vertebra el enunciado abierto 'x esta a la ttquierda de y' se reduce, en lógica, a la clase de todos los x y todo> los y tales que el primero está a la izquierda del segundo. Asl, pues, las relaciones di~dicas son clases de pares. Hasta ahora no hemos considerado sino clases formadas por individuos ais lados entre ~í. Ahora hemos de vémolas con clases de pares. Con clases de pares <~rdelltJdos, es decir, dados en un determinado o rden. En efecto: tomemos un enunciado abierto como x

toS mayor que ,,

Puedo cerrarlo sustituyendo x e y por nombres de individuo. AhorJ bien : sí, por ejemplo, sustituyo ·x' por '3' e 'y' por '7' obtendré u11 enunciado falso, mientras que si sustituyo la primera variable por '7' Y la segunda por '3' habré construido uo enunciado verdadero. El ordc11

no es, pues, indiferente. El par no (Jrdenado formado por a y b lo representaremos así:

El par ordtnadb compuesto de esos mismos individuos tcndria, en ,,,mbio, este otro aspecto:

2<48 lni/Oducci6n a lB lógica formal

Lo lógica de predicados de pn'mer orden 249

Las relaciones diádicas se emienden como clases de pares ordenados. En suma: el predicado diádico ·... denunció a .. .' - representado por 'D'- puede entenderse como la relación - !la mérnosla 'R'- que media entre todos los x y todos los y tales que x denunció a y. En símbolos : R

como la clase de todos Jos x y todos los y tales que x está casado con y), el complemento de R, - R, será la clase de todos Jos x y de todos los y tales que x no está casado con y, es decir, la clase de todos Jos pares de individuos entre los que no se da la relación matrimoni~al. 2. Suma o Ullión (absoluta) 300 de relaciones. Dadas dos relaciones R y S, podemos decir que

= o¡· {x, Y 1 Dxy} 291

Es decir: la relación R es la clase de los pa res o rdenados (x, y) tales que hacen verdadero el enunciado abierto 'Dxy'. Para no apartarnos de una práctica bien establecida, utilizaremos como símbolos de relaciones las letras R , S, T. Por otra parte, y dado que, intuitivamente, una relación es algo que se da entre individuos. parece preferible 298 evocarlo escribiendo aRb

mejor que

R uS= n1 . (x,yi(xRy v xSy):

La suma lógica de dos relaciones es la clase de todos los paros ordenados entre los que se da o bien sólo la primera relación, o bien tan sólo la segunda, o bien ambas. Es elato que la unión de d"' relaciones da como resultado una nueva relación. Así, si. por ejempl<•. interpretamos R como la relación 'hermano de' y S como la relación 'hermana de', entonces la relación suma, llamémosla T, será la relación 'hermano-o-hermana de'. 3. Producto absoluto 300 de relaciones. Dadas dos relaciones, R y S, podemos decir que

En lo que sigue vamos a desarrollar un tratamiento de los predicados diádicos en términos de relaciones, proporcional a l que, en las notas con asterico, hemos dedicado, mientras exponíamos la lógica de enunciados y la de predicados monádicos, a la lógica de clases. Repitamos: una relación cualquiera, R, es la relación que medi:a entre todos aquellos x y todos aquellos y tales que 'xRy' es verdadero : R

= o1 . :x, y 1x RyJ

- R = {x,yl • x R y} El complemento de una relación se define, pues, como el conjunh> o clase de pares ordenados entre los que no se da esa relación. Así, por ejemplo, si R es la relación 'estar casado con' (que se definir~ eserib i~ramos

t (x, y) 1Dxy) podrla parecer redundante, por cuando la segu•ldn

parte de la expresión ya especifica que es neccsarto que se haga verdadero el enunci:•du abierto 'Dxy·, y no 'Dyx'. 2 9 8 Al menos para relacio nes diádicas. que son, ya lo hemos dicho, las que ( ,,_i

exclusivamente vamos a considerar. 399 Ya Wittgenstein, en el Tractmu.s J..ouil'o--t>llifo,t)tJhJrus. pone de relieve el ((pictórico» de una expresión como 'aRb'.

xSy)l

El producto lógico de dos relaciones es la clase de todos Jos pare.' ordenados entre Jos que se da la pri mera y tambié11 la segunda. Así. si R es la relación 'hermano de' y S es la relación 'mayor que', su producto a bsoluto será la relación T: 'hermano mayor de'.

R e S=

Complemento de una relación R:

u-, Si

= , 1 .lx, y i (xRy A

4. 1nc/usió11 de relaciones

Definimos a continuación las siguientes nociones: t.

R nS

~ti Ci t't

t>¡·

A x A y(xRy- xSy)

Una relación está incluida en o tra cua ndo s i la primera se da en1rc dos individuos, entonces también se da la segunda. Por ejemplo : la relación 'estrangulador de' está incluida o contenida en la relación 'asesino de'. Todo el que estrangula a otra persona la asesina, aunque In inversa no es verdadera, pues son muchas las formas de matar. 5. 1dentidad de relaciones R =S= , 1. A x A y(xRy-xSy) Diríamos que dos relaciones son idénticas cuando, si entre dos individuos se cu mple la primera, se cumple asimismo la segunda, y 11 /11

250 lntroducCí6n a ta lógica torm•l

inversa. Así, la relación 'hermano de' y la relación ·bijo del mismo padre y de la misma madre que' son idénticas. Hasta aquí es patente el paralelismo -que el uso de los mismos símbolos ayuda a conservar- entre la lógica de relaciones y la lógica de clases. Apurémoslo mediante dos consideraciones. En primer lugar, del mismo modo que en lógica de clases hablábamos de clase universal y clase vacía, hablaremos ahora de relación universal y relación vaclu. 6. Relación univers(li es la que relaciona a todo individuo con tod" individuo dentro de un determinado universo del discurso. Es, d iclw de otro modo, la relación que se mantiene entre cualesquiera dos individuos del conjunto universo. 7. Relación oocla es la que no se da entre ningún par de individuos del conjunto que constituye el universo del discurso. En segundo lugar, repetiremos aquí una observación que hacíamo' a propósito de las operaciones con clases. Es preciso establecer una llne:t divisoria entre, de una parte, el complemento, la suma y el producto (absolutos) de relaciones, y, de otra parte, la inclusión y la identidad El complemento, la suma y el producto son, como se ha dicho. funciones de relaciones a relaciones. Son operaciones que sirven para componer nombres de relaciones con nombres de relaciones. Al aplicar, por ejemplo, el símbolo · - 'al s ímbolo, R, de una relación, lo que obtengu es el nombre de una nueva relación: ' - R', 'la relación complemento n complementaría de R'. Al escribir el slmbolo 'u' entre los nombres de d<>s relaciones he compuesto el nombre de una nueva relación: ' R v S'. ' la relación suma de R y S'. Etc. Cosa muy distinta ocurre con la inclusión y la identidad. Ella< no sirven para formar nombres de relaciones más complejas, sino para compontr enunciados sobre relaciones. Se las llama, por ello, funcian<'.' de relaciones a enunciados. Al escribir el símbolo 'e' o el símbolo· ~· entre dos nombres de relaciones. no estoy construyendo el nombre de 111M relación nueva. Estoy haciendo una afirmación acerca de esas dos relacionCl. estoy enunciando que una está incluida en otra, o diciendo que las d•" son la misma. Oarameote se ve la distinción si se piensa que expresiones com" ' - R', 'R u S' o ·Rr.S no tienen valor de verdad : son, sencillamenle nombres, y los nombres no son ni verdaderos ni falsos. Sí tendrían valt>t de verdad -sin más que sustituir R y S por nombres de relacione' concretas- expresiones como 'Re: S o 'R =S'. Porque estas expresiones son enunciados. La lógica de relaciones alberga, sin cmhargo, otros muchos conceplnH y operaciones que 110 llenen fi
IHttlt•u~.l

lo• anlcl'ior.

8.

Producto relativo de relaciones

R 1S=

Df·

(x,yi V z(xRz

A

zSy)l

El producto relativo de R y S es la relación que media entre todos los x y todos los y uolcs que hay algún z con el que ,x tiene la relación R y que tiene la relación S con y . Veamos un ejemplo. ~opongamos que se traia de definir la expresión relacional '.< c.~ el asesmo del hermano de y' (por ejemplo: ' Wan Guld asesinó a l herma no del Corsano Negro). ¿Cómo hacerlo? Defmirla como una relación simple ~xRy- equrvald~ia a pasar !'"r a lto la existencia, dentro de esa exprc s•on, de dos relactones: 'asesono de' y ' hermano de'. ¿Cómo combinnr, entonces, esas dos relaciones? Si formáramos su producto "bsoluto, el resultado sería:

.
¿Cuál es la relación entre Claudío y Hamlet? Digamos, sin dramatiz:11 , que entre ellos hay dos relaciOI)CS que son productos relativos. La primera relación seria la que media entre todos los x y totl"' los Y tales que ,hay algún z al que x asesinó y que es el padre de 1,, La segunda sena. la relación ~e todos los x y todos los y tales que hay un z con .quoen x contrajO matrimonio y que es la madre de ,. Exp~do en stmbolos las dos relaciones conjuntamente, tendríamos que la relac.ón entre ellos es

:x,yj V :(xRz"

zSy)

A

V

w(xR'w" wS'y))

Así,. pues, la relación, llamémosla T, existente entre Claudio y Hnmler es, en ngo~, el producto ab.•r>lll(() de dos productos relativos de relaciones. Es posoblc que la definición de producto relativo de relaciones '" httga upar~cer como unn . suc ill,.,n inút il, Es un hecho, sin embargo. que gr
262 lntrocJucclón D ID lógico /()lmhl

de relaciones. No es preciso ir muy lejos - no es preciso imaginno casos relaciona les como 'x obtiene plusvalia del trabajo de y', ·x simp:t tiza con el autor de y', 'y censuró una actuación de x', etc.- pur• Cenemos ejemplos mh próximos: 'x es sobrino de y', 'x es abueln macerno de y', ecc. Decir, por ejemplo, que x es abuelo materno de y es tanto eomu decir que encre x e y media una relación T que podria definirse dtl siguience modo:

T ;

Of·

{x,y i V z(xRz

A

zSy))

Donde R es 'ser padre de' y S, 'ser madre de'. Nócese la diferencia: si conscruyéramos el producto absolulo de 1.10 relaciones 'madre de' y 'padre de' obtendríamos un imposible biológiw no parece que pueda haber ningún x que sea a la vez madre y padot de alguien. En cambio, el producto relativo de esas dos relacim11 seria algo tan doméstico como una abuela paterna.

11. PotellciliS de una relación. Del mis mo modo que podemos elevar un número al cuadrado, así 1ambi\\n podemos, mediante el producto relativo, formar las potencias de una relación:

R1 • , 1. R R'; 01.RJ R R'= 01.Ri R En general,

Para entender lo que significa elevar una relación a una cierta potencia, nada como considerar la relación 'padre de':

R = padre de R' = padre de R' ; abuelo de R' ; bisabuelo de R4 = lalarabuelo de

9. Suma relmiva de relaciones R IS - , 1 .{x,yiVz(xRz v zSy))

O bien la relación 'hijo de': Lo dicho respecto del producto rela tivo arroja luz sobre el concc¡llu de suma rclativu de relaciones.

1O.

R = hijo de

R' a hijo de R' =nielo de R' ; bisnieto de

Relm:ilm imJersa.

Sea R la relación que media entre todos los x y todos los y de 1111 cierto universo del discurso :

R4

R' R0

R = "J· {x, y J xRy~

Pues bien : la relación inversa de R (en si m bolos, R) será la relu u1•11 que media - rep(trese en el orden- entre todos esos y y todos esch ,

R =,,.{y, x 1 xRyl La (relación) inversa de una relación es, pues, por así dcctr, " reciproca: es la relación que se obciene cuando consideramos los c~nnu~oo de la relación primiciva en orden inverso. AsL si R es la relación 'doble ti su inversa, )(, será la relación 'micad de': si R es 'mayor que', )( •· , 'menor que'; si R es 'explotador de', )( ~rá 'explotador por': so R • 'padre de', )(será 'hijo de' : y rep.ort"
= tataranieto de K

o

chozno de bichozoo de

Los cuacro conceptos que acabamos de ver son específicos de la de relaciones. Todos ellos son funciones de relacwnes a relacimw.\. Vamos a ver a hora algunos conceptos de la lógica de relaciones que campoco tienen crasunco en lógica de clases, pero que, a diferencia de los anceriores, son funciones de relacwnes a clases. ~\¡;ica

12. Dominio (amerior) de una relación. Sea, una vez más, la relación R: R - o¡· (x.y l xRy}

Snhre esln ba
d.a~

1• •~,. • ,¡, 1•0'dlcM!os de primer ore/M 2!56

254 lntiOducclón a la lógica formnl

En general, definiríamos el domonoo de u n.o relación como la cla:.e de h• individuos que tienen esa relación con alguien: D(R)

=o¡-

[x 1V y(xRy)l

Asi, si R es la relación '<:orruptor de', su dominio será l¡t clase th· los corruptores: si R es la relación 'madre de', D(R) será la chtse de 1:" madres; si R es la relación 'vengur a', D(R) será la clase de los ven g;¡dorcs: etc. Véase, pues, cómo la runción 'D', aplicada a una relaciúoo da como valor una clase.

13. Dominw inverso de una relación. Contando, como s iempre, con una relación R definida del m.,.t. • acostumbrado, diremos que su dominio converso, b'(R), será

ly 1 V x (x Ry)l El dominio inverso o posterior de la relación R será la clase de tod•" aquellos y con los que a lgún x mantiene esa relación. En gcnco,ol. por tanto, defittiriamos el dominio inverso de una relación como la cJ,,,, de todos los individuos con los que alguien la mantiene. Así, si R es la relación 'compadecer a', b'(R) será la clase de '" compadecid os; si R es 'padre de', b'(R) será la clase de los hijos; ., 11 es In relación ' proresor de', b'(R) puede entenderse como la clase de 1.. alumnos o como la clase de las disciplinas (dependiendo de cómu " enlicnda la relación). Etc. 14.

La lógoca de rclacoonC> llene t:unbocn '"' lc)es. Algunas de ellu> .on. por ejemplo, las siguientes:

- - R m R 301 R v S • SvR R " S = S f'l R 301 R v S e - ( - R r> -S) R " S= -( -R u - S)'o' 6. (R <= S)-(-S e - R¡ >•• l.

2. 3. 4. 5.

7.

[(R e S)

A

(S e T)]-+ (R e: T) >O>

8. [(R 1S) 1T] = [R leS 1T)] J06 9. I R <= S)-+ [(TI R) e: (TI S)) 10. )t - R 'o' 11. (Re: SJ-(1{ e~ 12. ( R - s¡ ..... (/i = ~ 13. C(It) = c(ll'>••• Etc.

Hay varias propiedades que una relación puede poseer. Caractcritaremos :olgunas de ellas. Reflexividad. Se dice que una relación R es rejlexioo cuando toda entidad estil en esa relación consigo misma. Son relaciones rcnexova,, por ejemplo. la de identidad (todo entre es idéntico a si mismo). la de semejanza. etc. Así, pues, R es renexiva cuando y sólo cuando

Ax (xRx)

CamfJll de una relación,

La suma lógica del domin io anterior de una relación y de su domo nio inverso recibe el nombre de campo de esa relación. Quiere ello dc11• que al campo de una relación pertenecen todos aquellos individu11 tales que. o bien tienen esa relación con alguien, o bien alguien tocoo esa relación con ellos, o bien ambas cosas a la vez: C(R) =

IIJ· (X 1V y (x Ry V

yRx))

Ta rnbi/:n "qui la aplicación de la runci6n - en este caso, C- a 111111 relación da como resultado una clase: sólu que en este caso la clo"' es la clase unión de otras dos. Asi -
lOI Eata ley es uno de los anMogos de la ley de doble negación e n ló¡tca ''" relaciones. Jo: Como a obvio. las leyes 2 y l expresan ha propiedad conm.mulat•va de la a.unM )'el producto abloluto de: relaciones. lOJ 4 y 5 JOD tos anik>gos. en tógK:a de rcbu;ioncs, de las leyes de De MorJ.nl l04 le-y de Coutrapos:ici6o de la inclusión de rcl:aC10D<$. loOS ley de Transitividad de la indutión dt: relaciones.

.JO• El produ~o rdat1vo 1ic:ne, como exprc:~.a «W. ley. la propiedad asoci:lnv1. (\ucu: en c:.mbio, por ra:z.ooes obvias. de In propicdnd conmutativa. JO l EA evidente que la i.t'lversa de l;l tnvcrsn de una relación cs. esn relación nusu•.• ('fr.., la DOill 301. Por otra párte, puede decirse <¡uc el oomplcmcnto de In inver11u de uno rc:l:1ci6n es Igual a la inversa de su compleroonto. Ejemplo: se;;¡ R la relación '1nnyM t¡uc' ene re números. Su inversa scrit la rc:ladón que huy entre todos Jos pares de n!'inM:n's lates que c:l primero es rnenor que el segundo. V el complemento d-e esta última I'CI:u;""•n ter!t la que hay entre todos los pares de números tales que el primero 'fíl u mc·"v' q~ el segundo. Tomemos ahora de nuevo 1• t'dacióo R. Su complemento sera l.t fda~wn uutentc mire todos los x y todos los y taks que :< no es mayor que y. V la m~en..a de C"!t:t rd.1ción será la relación que se da entre todos los pares de númtr«b 1111JQ que el pnmero nn n fMNN que eJ segundo. w• t:v,dcntc:mcntc: d c.:ampn de UIM rel.u.•lln e" 1déntico al de su mven.a

258 Introducción a la lógica lomwl

La lógica de predicados de primer orden 257

Una relación es lrrejlexivu cuando nmgunu entidad está en esa relación consigo misma. Asl, R es irreOexiva si y sólo si A x• (xR x)

No es dificil encontrar ejemplos de relaciones irreOexivas: mayor que. encima de, peor que. casado con, etc. Por último, puede ocurrir que una relación no sea ni reOexiva ni irreOexiva. Es decir : que ni es el caso que todo individuo esté en tlkl relación consigo mismo, ni es el caso tampoco que no lo cst~ ningunt>. Podrá estarlo, o no estarlo. Hablaremos entonces de relaciones "" rtf/exloos. Puesto que una relación no-reOexiva es la que ni es reOex iva 111 es irreOexiva, parece adecuado decir que R es no-reflexiva si y sólo "

Son Lumbién relaciones no-simétricas las siguiemes: odiar a, hablar mal de, admirar a, etc. Tratrsltividad.

Ax A y A z ((xRy

Simelr/(1.

Se dice que una relación R es simélricll cuando A x 1\y (xRy

~

y Rx)

Unn relación es simétrie
No faltan ejemplo: mayor que, pudre de, más desagrable que, maritl" de. amo de, etc. Y. ¡,qué decir de una relación como 'amar a'? Diremos que h:" a mores correspondidos, y o tros que no lo son. Lo cual es tanto com" decir que la relación · ... ama a .. .' no es ni simétrica ni asimétm.• Será nl>-.timérrit'a. Utilizando, como antes, la función Oecha, diremos 'l'" una relación R es no-simétrica cuando (Ax Ay (.
a

)H Rcc:uérdete d klol lrJI,UnC'ftl
~~otntido

de la funcK'm

Oaho~.

•lu(' ..ol1l da e l V11tor 1 ..-u.utd~, w •1•h·

A

y Rz) ~ x Rz] 310

Relaciones transitivas son, por ejemplo, una vez más, las de identidad y semejanza. También lo es la relación ·mayor que'; y asimismo In son ·superior a', 'más demente que', 'preferible a'. El condicional~ decir. la relaCión •... es condición suficiente de ...' entre enunciados- es también una relación transitiva. Y otro tanto cabe decir de la relación de inclusión entre clases o entre relaciones. Una relación R es imrcmsiriva cuando

[Ax(xRx)] ¡ [ Ax -, (xRx)] 309

Relaciones no-reOexivas serian, por ejemplo, la de ensalzar a (uno> puede ensalzarse a sí mismo, pero ni está prohibido ni es obligatorio!. estar Slltisfecho de, asesinar a (puesto que cabe el suicidio), cuadradu de (pues tenemos el caso del 1), etc.

Una relación R es lrllmitiva cuando

Ax Ay A:[(xR)• A yRzJ-• x Rz]

¿Relaciones intrasitivas? 'Padre de' (si a es padre de b y b lo es de ,.. • no es padre ino abuelo- de e); 'contradictorio de' (si un enunciado contradice otro, y este segundo contradice un tercero. es obvio que el primero y el tercero no son contradictorios entre sí); etc. Como era de esperar, tenemos, en tercer lugar, las relaciones q ue no 100 ni transitivas ni intransitivas: las reh1ciones no-trtmsilivas. R es no· transitiva si [ 1\ x 1\ y 11 z (x Ry

A

y Rz) ~ x Rz] l [ 1\ x A y A z (xRy " yRzl ~-, xRz 1

La relación ·amar ;l• es no· transitiva. En efecto: si a ama b y h

ama u e, entre a y e puede ocurrir cua lquier cosa. Que se amen nn es, en todo caso, lo m{,s proba ble 131 . También lo sería la relacióu 'nmigo de' (a pcsnr del dicho popu la r) ; y la relación 'limítrofe con'; etc. Compacidad.

Se dice que una relación R es compacta cuando A x A y [(xRy) - V z (xR:

A

zRy))

Dicho de otro modo: una relación R es compacta cuando

Re R' El ejemplo acostumbrado es el de la relación 'mayor que' entre numcros mcionales: si un número racional es mayor que otro. entoncc' uo ('t•n l.t)Ud.t de la nocK'•n. ).1 c'rh~o:..d"' de ""''""d•t de una rcl:ación podri.•n•n lkfmn l.t tr .. n\llnKIAd dickndtt tlll<' mt-t IC"I.h ~"" R n tt.'""'":t cuando Rl e R H 1 NctiM(' qu<' r.1ra que l .t rcl n •n u • 1 tun•lll\.t w rcqu~rc ~o~uc .-1 n~·nool •n.• d• 1· • tiC', l•·r nun.t\ ttr • hun,,. ti

258 lntrottuoc/61! o lo lógiCa formaJ

LB lógiCo do ¡xedlcados de primer orden 2!59

hay siempre un tercer número que es menor que el primero y mayor que el segundo.

Co11e.
La relación 'hermano de', por ejemplo. no es conexa. En efectu es fllcil encontrar pares de seres humanos que no son hermanos. Ott.o cosa seria si entendiéramos 'hermano de' como 'hermano en Cristo de Esa relación sí sería conexa. Es conexa asjmismo la relación •mayor que: entre numeros naturales. Dados dos números naturales distintos. siempO< ocurrirá que uno de ellos serio mayo r que el otro. Entre las propiedades de las relaciones se dan a su vez ciert." relaciones. Tomemos, por ejemplo, la tan utilizada relació.n 'bermanoo de' (entendida en su sentido más estricto, es decir, como relación cntoo varones). Es evidente que la relación 'hermano de' es simétrica: si " ' hermano de b, b es hermano de a. Y no cabe duda de que es tamb01·oo transi tivn: si 11 es hijo de los mismos padres que b y b es hijo de lo•• mis mos padres que c. entonces a y e son hijos de los núsmos pad1r Pensemos ahora : ¿es renex iva IH relación 'hermano de'? Sí lo es: y no sHii• por In razón de que todo el mundo es hijo de sus propios padres, suon por l:t razón más general de que loda relaciÓ PJ simétrica y transil (,,,, 2

cuando es conexu. t•s unnb;'éu rej1exifla .l1 . He aqui una primera rehtchu• ent re propiedades de relaciones. He ._quí otra: toda relación asimétrica es irreflexiva. Búsquense conlllt ejemplos: no los hay. Que la inversa no es cierta - que no toda relación irreflexiva 1 • asimlHrica cst{t claro. Piénsese? sin ir más lejos, en Ja relación 'distintv dt· irrcncxivu, y. sin embargo, simétrica. Dignmos. pOr último, que toda relacián qué sea irreflexiV
p.IJ 262

~ é~le es muyor que un tercero, el primero será as imismo mayor que este

ult1mo). conexa (dados dos números cualesquiera, siempre ocurrirá que un
numero

es mayor que o tro, este no será mayor, sino menor que aquél)

Has ta nqul no ~~mos hablado más que de relaciones diádicas. Haga m<" 11qu1era unn brev1s1ma referencia a las relaciones entre más de dos tér minos, cuyo estudio - a pesar de su importancia para el razonamicnh• científico, e incluso pam el ordinario- no puede decirse que esté altamente desarrollado. Los predicados lriádicos, tetrádicos, ...11-ádicos en general JI• pueden nttenderse. según ya vimos. como enunciados abiertos con tres, cu:rtm, .n argumenlos. ~simismo, y al igual que las relaciones diádicas se interpretaban comn con¡untos de pares ordenados, las relaciones entre tres términos se intc1 pretarán como conjuntos de tríos ordenados; y así sucesivamente. Asl, si R es una relación triádica podemos definirla como

lx, J', 2 1Rxyz) En genera l, una relación nádica R será

{x, ... x.l R(x 1 ... x,)f Las relaciones entre relaciones 11-ádicas (con

' ya lo hemos dich11.

11

n~nyor que 2) pueden caracterizarse por a na logía con las q ue henous

vosto entre las relaciones de dos términos. Asl, si R es una relación tetrádica, tendremos R

= u 1• ( x, y. z, w J Rxyzw}

Su complementaria, - R, será

/X, J', z, w ¡-, {Rxyzw)l Si R Y S son dos relaciones tetrádíc-as, su producto absoluto, R "s. ttrf,

l x, y, z, ><'1 Rxyz,..

1\

Sxy zw}

l tt'\\tera Pam terminar. y como muestra de las complejidades en que 111" Introduce el tratamiento h\pocn de la• rei:1C1<>nes entre mfls de dos términ'"·

Lil ló{¡lcn do prediCadoS do priroor ordon

260 Introducción a la lógica forr7UJI

consideraremos rápidamente el problema de las relaciones conversas de las relaciones poliádicas. Sea 11 un número natural. Llamaremos n! al producto de todos los números naturales entre 1 y n (incluyendo éste). Así, s i n = 5, n! ~

=1 X

2 X 3 X 4 X 5. Pues bien: si una relación tiene n términos, tendrá n! - t relaciones

conversas. La fórmula empieza cumpliéndose ya en el caso de las relaciones diádicas. En estos casos, 11 = 2, y, por tanto, 11! = 1 x 2 = 2. Las relaciones diitdicas tendrán -como en efecto tienen- 2 - 1, es decir, una

261

En cambio, el 'ser' que aparece en los tres primeros enunciados es el ser de la identidad. Cuando decimos 'Euclides fue el fundador de la Escuela de Megara' estamos diciendo que Euclides fue idéntico a l fundador de la Escuela de Megara, que Eucl ides y el fundador de la Escuela de Megara son la mismtl persona. Otro tanto ocurre cuando decimos, pot ejemplo, ' Walter Burleigh es el autor de De Purirace Arcis Logicae' o ' El que escribió Sobre la cuádruple raíz del principio de razón suficienll· fue Schopenhauer' o - más elipticamente- 'El Guemica lo pintó Picasso ·. Como signo de la identidad viene usitndose '= '. Podríamos, pues. escribir (1), (2) y (3) así:

conversa.

Las relaciones triádicas tendrán cada una 1 x 2 x 3 relaciones conversas. Etcétera.

=

6 - 1= 5

D) Identidad. cuantificadores numéricos y descripciones

Euclides • el fundador de la E:~cudu. de Megara. t2 ~ 7 +S. Francois Couperin - el autor de la Apótéósis de Lulli.

Así, pues, para decir que dos entidades cualesquiera son idéntic" '· escribiremos

El predicado de identidad

x=y A lo largo de las páginas precedentes hemos utilizado en varias ocasiones la noción de identidad. Hemos ha blado de identidad de clases También de identidad de relaciones. Incluso hemos examinado una especot· de identidad entre enunciados, representada por el bicondicional. No hemos hablado - aunque sí lo hemos usado intuitivamente coo alguna ocasión- del tipo más común de identidad: la identidad ent oc individuos. Tomemos los siguientes enunciados: Euclides fue cl fundador de la Escuela de Megara. 12
(1)

(2)

Y comparémoslos con estos olros : (4) (5)

(6)

Euclides fue disclpulo de Sócrates. 12 es un númer() par. F'rancois Coupcrin ruc un mUsioo francés.

En los seis enunciados figura el verbo ~ser~ en alguna de sus form.1!'11 Es evidente, sin embargo, que el sentido del verbo en (1), (2) y ( IJ es distinto que en (4), (5) y (6). En estos tres últimos casos el '"'' ' es, o el ser de la predicación (ta l individuo es tal cosa : discipulo ,1, Sócrates, número par, músico francés). tl, viShl (1(: <' lro modo. el ser
Y para negar que lo son,

o, más cómodamente~ X'Í'y

Nótese que, si bien el signo de identidad se.escribe entre nombres de individuo, lo que identificamos no son los nombres, sino las entidades nombradas por ellos. No estamos diciendo que la expresión 'Euclides' y la expresión 'el fundador de la Escuela de Mcgara' sean idéntica.: es obvio que no lo son. Estamos diciendo que la persona a la que se refiere el nombre 'Euclides' y la persona a la q ue se refiere. la descripcii>u 'él fundado de la Escuela de Megara' son la misma. Ahora bien : ¿acaso no es la identidad un predicado diádit'O como>, por ejemplo, 'mayor que', 'casado con' (entre monógamos) y tantos ot ros '! ¡,Por qué concederle, entonces, tratamiento aparte'? ¿Por qué es el de Identidad un predicado distinguido dentro de la lógica? Pues porque el predicado diildico '... es idéntico a ...' licnc una relevancia específica en la validez. de cierto tipo de razonamiento:>. 1-ln y. en efecto. inferencias que. siendo vfllidns. no lo son ni en virl ud de las puras relaciones entre lc\S crnuu. IIHIO" 'I"C lu~ C()mponcn. ni en virtud de lo !Interior y del scnlido c.h., lm1 'u ,!!lltllliHitHl''• ~ino lmnbién, y cspcdficH menee, en vil't ud di: 1.1 1111 ""' 111 t 11 1lln• ch-1 lll't
Es, pues- su papel determinante en la validez de c!erto~ tipo~ de onfe rencias lo que justifica la a tención especial que a la odentodad se conl't.'>. No que decor toenc que estn última aba rca a la primera. . . La lógica de la identidad, como suplemento de la lógoca de predocado>. tiene sus leyes. Y esas leyes no hacen sino desplegar el sent ido del predicado •... es idéntico a .. .'. He aqul a lgun¡u¡: l.

1\ Y(X

a

2. El uso del verbo ser en el sentido de la predímción : es dccor, el uso del verbo 'ser· para indicar que tal predicado conviene a tal individuo En la escritura lógica, esta acepeión del verbo 'ser' desaparece y qucd.o subsumida en el predicado : 'N io~foro Chumno era bizantino' se con vierte en ·na·. 3. El uso del verbo 'ser' para ind ica r la inclusión de una en o tra o de una relación en o tra. Su si mbo lo es •e·.

ciUM'

4. El uso del verbo 'ser' para significar la pertenencia de un indovodoo11 a una clase. Su símbolo es 'e'.

x).

Ley dt rejlnitidod de la identldaJ l".

2.

1\ .< 1\ y [(x • y) ..... (y • x)]

Cuarrtifitmlores numéricos

Ley de simetría de la idelltidt~d 3 ' 6

3.

1\x 1\y 1\z [(x

G

y) t.. (y • z))-+ (x

a

z)

Ley de triiiiSitividad de la ide~ttltllllt l 11 • 4.

1\ .< 1\ y ((x = ) ') - (P.n • Py)]

u y de indiscernibilidad de lo• S.

idbotlco• )ll.

1\ < 1\ y [ 1\ P (Px- P)') - (x • y)]

Ley de itltntidad de los i~tdísrernibles "'·

Obviamente, las leyes 4 y S poddan combina rse en unn . ley ~1 "' tuviera la for ma de un bicondicioMI. Que dos entidades son odént o,m quiere decir que tienen las mismas propiedades. 1\ntes de p¡u¡ar a la consideración de los cuantificadores numé11w bueno será recopilar los distintos sentidos que la lógica ba ido encontranol" en el verbo 'ser'.

La noción de identidad -o la opcrnción de identifiC'.1ción que mcdi:ooll<• su aplicnción erectuamos- permite ampliar el radio expresivo dellenguu¡c simbólico de la lógica. Hasta el momento disponemos del cuantificador universal -que 1111• permite afirmar que rodos los individuos de un determinado !o mhot11 poseen tal propiedad o están en tal relació n y el cuantificador p.1rticulao mediante el cual podemos decir que, en un cierto universo del d oscur"'· hay al meno• un individuo tal que... Ahora bien : ¿cómo decir que hay al menos dos, o al meno.< , ,..,, o, en general. al menos n individuos que hacen verdadero un determiu.ul,, enunciado abierto? Y, por olra parte, ¿cómo decir que huy a lo sumo rmo. n ltJ ,\lm•u áos, .... 11 lo sumo n individuos de los que es verdadero un determioo:ul11 predicado. monádico o poliiodico? En tercer lugar. ¿cómo expresar el hecho de hay txacramt•nrt• n individuos de los que puede decirse tal y tal cosa ? Expresiones como

1. El uso del verbo ser para indicar la identidad. Como nc:ohuoH• de ver. este uso se traduce al sim bolismo lógico escribiendo ' ' ''" " símbolos de individuo. .tu e, decir. ley que élpresa que 101 rch1ci6n de identidad tiene 1.• pr,)lliC'•I 111 • ~> str n:nexiva. He uqul l:l formulación m~!l obvia del llamado ~ Principio de klt uu,t ••1 todtt t lHldid C:t kientK-.a a si misma. l 1• Es decir: ley que enuncia que 1., de identidad es una relación siméllk.• 1" HuC'Ipn comentarios. u • t.. formul~ctón de este principtO se AIOC'Ia normalmente c:on Lt1bmt ~~~~ tml .. • f se enoxnu11 -p de aJ¡_Un modo en u n lC'\tn de AtiSI Oidcs ( T ór H"f'J'J.. 11, 1 l~l .. " 1 1 S 1 dos enttdadcs ton Kiént.ic:u.. es que hencn ,,~, nu'"""'' proptedades. ,.. Pnne1p10 m una:tdo tambten puf 1 t •htlll \e ..~., cntk.bdn ttenen hii!J.h ..tu 1'' ·1 dadcs en comUn, entonces son tdé'nt•...·-1\ ( HW • \'9-'f ''"" t"'hl ley. :~1 lkt~Ar ~ou.uH•f•• ••14 ''' ktm pfc
h.¡y al menos n indiv1duos lale! que h~y 1 lo Jumo 11 individuos lale.'l que h:\y exactamente 11 individu ~ 1alc1 que

reciben el nombre de 'cuanrificmlores numüicos·~ y sólo gracias al concurso de la noción de identidad pueden encontrar una formu lación lúgica ,odccundu. Veamos. Empecemos con ' hay al meno• n individuos tales que...'. Yu sabemos cómo dee1r que h.ty ul metros un individuo que. 1"'" c¡cmplo. ro= l:o prurocd.ul 1' (1 )

V \/' '

264 lllrroducciótl a la lógica lomtiJI

Hay al menos dos individuos que po;ccn la propiedad P se c:.enbm.o (2)

V x V y [(Px

1\

Py)

1\

(.< ~ y))

(2)

En efecto: lo que ahí d ice es que hay algún (al menos unJ x y a lgú n [al menos un] y tal que x tiene la pro piedad P e y tiene la propiedad 1' y x e y son distintos. El enu nciado 'Hay al menos rres indi•·iduos que poseen la propiedad 1' ' quedarlu. en símbolos, así: (3)

V ~ V y V r [(Px

1\

PJ'

1\

P:}

A

(x ~ y}

(x ~ t) " (y " :))

A

' Hay lll menos cuatro individuos que poseen la propiedad P' se diri,o

1\

V x V y V z V ov [(Px 1\ Py 1\ Pz 1\ Pov) (x ..¡, w) 1\ (y ~ z) 1\ (y '1" ov) 1\ (z ,. w)].

(x '1" y)

1\

1\

(x >F z) 11

Ercétcra. La récnica de csquematizución es, pues, bien sencilla. Prescidiendoo del caso más simple -el de al meno.< uno- , todo consiste en afirm.or que poseen la propiedad en cuestión tantos individuos cuantos mterc"· aclarando a continuación que se trata de individuos distíntos. Así. si se trata de decir, por ejemplo Al

O)ell OS

siete indiVkhao' apuñ:ilaron a César

ha de constr·uir·se la siguiente fórmula (en la que 'a' es 'Cayo Juh01 César'):

A

"
"

"1

~ Xa 1\ Xt ~ Xs A X 1 " X 6 1\ X 1 ~ x. A x2 ::F- x, A x1 ,. x, " x2

#- X 1 ':fi x1

I\X)~•si\Xs'I"~I\Xs~X71\~yéX 5

1\ x. <¡4 • , 1\ x, "' x 6 1\ x 5

'1" x 7 11

x6

>P

1\

X:z

~

\ J

A

X3

fA

A.a

1\X,-~

x,)].

Pasemos :o l cuantificador numérico 'loay a lo sumo n illdillltltws t:ob que .. .', Si 'llay al menos' supone un Jímile por abajo, ' Hay a lo su01ooo supone un límite por arriba en el número de individuos que cicrl'an

enunciado abierto haciéndolo ' 'erdadero. •Hay t1 lo sumo un individuo que lle.lSt.'C la propiedad P' birá, en símbolos.

/\.
A

l'z)-+ [(x =y} v (x

= z) v

(y •

=ll l

' Hny a lo sumo tres individuos que poseen la propiedad P' se dirú a si : (3)

1\ ,, 1\ y 1\ z 1\ w {(Px 1\ Py 1\ Pz 1\ Pw) -+ [(x = y) v (x • : ) v v (x • w) v (Y = z) v (y • w) v (z = ov)]}.

Así, pues, el modo de decir, en l6gia1, que hay a lo sumo n rndo viduos que poseen una determinada propiedad consiste en decir <¡uc " hubieran + 1 que la poseyeran, dos - al menos- de ellos serian idéntico' Nótese que, así como en el aoso de 'hay al menos' habla que cu:ou tificar tantas variables cuantos individuos en traran en juego, aqui hay que cuanlificar una más. Si queremos decir que a lo su mo cuatro indivic..hH)~ pOseeu unn determinada propiedad. hemos de hacerlo afirmando que, si tut•

ran cinoo, dos de ellos -como mínimo- serían el mismo. Por ejemplo: el enunciado Se tolerarán. a lo s-umo, cinco p¡rtidos pofittcos

tomará, en símbolos, la siguiente forma: 1\x , 1\x, 1\x,Ax. l\xs 1\x.(Tx , A Tx 2 1\ Tx, 1\ Tx 4 1\ T .,, " 11 Txo) ... (x, • x 2 ) v (x 1 = x 1 ) v (x 1 - x 4) v (x 1 = x 5 ) v (x 1 • x 1,) v v (x2 • x,) v (x 2 = x.) v (x 2 m x 3) v (x2 = x 6 ) v (x 3 • x 4) v v (x3 - x 5) v (x 3 = x 6) v (x4 • x 3) v (x. = x 6) v (x 3 - x 6).

Nos queda el tercer cuantificador numérico : 'Hay exactamente 11 imlt viduos tales que .. .'. Ahora bien : decir que hay exactamente n individuos que poseen un.o cierta propiedad es como afirmar a un mismo tiempo que hay al mene" 11 individuos que la poseen y a lo sumo 11 individuos que la po.~ccn Con otras palabras: 'exactamente,.· significa 'al menos 11 y a lo sumo 11' En efecto :

V'' V x 2 V x 3 V x, V Xs V x. V .<, [(Ax 1 a A Ax 2 a 1\ Ax 3 11 Jl X4tl A Ax 5a A Ax6a A Ax,o) A (."< 1 #:: x 1 1\ x 1 :¡. 'J

1\

' llay a lo sumo dos individuos que poseen la propiedad P' tcndrú. en el lenguaje de la lógica, la siguiente forma

'Hay exactamente un individuo que tiene la propiedad P' se cseri· birla a si:

1111

( 1) ( V x Px)

A

1\ x A y [(Px " Py) - (x

= y)].

'é \:''t'i

La primera p:1rle de l.o fr\rmula drcc que hay al menos un indivoduu que posee esa propttd.od lu •<~01nol.o •1ue no hay más de uno que l.r

pose"

266 Introducción a la lógica formal

1.8/ógica de prsdicados de primer orden

Así, por ejemplo, la frase de Kant

267

Descripciones

Cada rorma de juicio está determinada por exactamente un

Sean los siete enunciados siguientes:

concepto a priori

(1) la \'Íuda de O ustav Mahlc.r IU\'O a more.'i con Oskar Kokosclika. (2) El nUmero q~• e se obtiene rcsumdo 3 de 15 es impar. (3) El a utor d e la siofonla lla mada «El Filósofo» nació en 1732. (4) El que eseribió, irónicamente, «l..Qu;én ha dieho que en Espai\a no hay libcri!UI para esc ribir?» era español. (5', El autor d e The Golden &wl e ra he rmano de Willia m James. (6) La patr ia de 0.tstelao cae e l Noroeste de la Penh~sula Ibérica. (7) El padrino de Oertra nd Rusl)ell el)cribió un libro titulado A System of Lugk.

tendria que ser esquematizada de este modo: 1\ x {Jx-+ V y(Cy " Dyx) " 1\ z [Dzx .... (z =y)]} )lO

Y el enunciado (pwferido por Rudolf Hess en 1934) Hay una pers:ona q ue está más all3 de toda critica (d Führer]

presentaría, en lógica, este aspecto: {Vx [l\y(Cy-+Mxy)]

1\

Comparémoslos con estos otros siete:

1\x/\y/\z[(Mzy)->(z=x)]"'

El enunciado 'Hay exactamente dos individuos q ue poseen la pro· piedad P' tendrá la siguiente versión simbólica : V x Vy[(Px 1\ Py) 1\ (x ,¡,y)]" 1\x /\y 1\ z [(Px " Py " Pz) ..., (x = y) v (x z) v (y z)]

=

=

Por otra parte, cuando Juan Ruiz, Arcipreste de Hita, setencia

(1') Alma Sebindle r 1uvo :~mores oon Oskar Kokoschka . (!) El número 7 es impar. (J') Joseph Haydn nació en 1732. (4') Maria110 José d e Larra cm español. (5') Henry James el'a hermano de William J:tmcs. (6') Galicia cae al noroeste de la Pe nJn.sula IMric.:1. (1) John $ 1uart Mili escribió u n libro IÜulado A Systfm oj V.>gic-.

Establezcamos una correspondencia - o bligada, por lo demás-

ent re

( l)-(7) y (1')-(7). ¿Cuál es la diferencia - uno por uno, en correspon · Como diz' Aristótitcs. cosa es verdadera : d mun do 3 :u por dos cosas trabaja: la p ri01cra por a ver mantenencia; la otra coss era por a ver juntamiento con renbra plaztntera

lo que dice se reduce, desde un - triste- punto de vista lógico, esto otro :

11

1\ x {(Ox v Ax)-+ V y V z {[(Txy A Txz) 1\ (y,¡, z)] " 1\ y 1\ z 1\ 11 (Txy 1\ Txz 1\ Txw) -+ [(y= z) v (y= w) v (z = w)) 1\ (My 1\ FzH ~ "' uo Es decir: 'Para todo x, si x es uoa forma de juicio, entonces hay al 111<'1111 u n y tal que y es un concepto e )' determina a x, y. para todo z, si ; dctcrnuna ,, entonces es que z es idéntioo <1 y•. HJ Es d ecir: 'Hay al menos un x tal que, para todo y, si y es una erh ica, cnll)lll~~~ esta oo:is aua de todo y, )' para todo X. para todo y )' para todo z, si : c:sll\ 11! all[t de todo y, entonce.'i es que : es idtntjco a x'. :.Jn. Por "mundo' bay que entender. según se Ice en el título dd pocm~1, ' lt•11 ""¡ b las otrns a_nimalias•. lU Es decir: 'párn todo x, si ,ll es \I n htunhrc o :1lg\ln otro :umnal, enl vnH'II 11 lt al menos un y )' a l menos un : t:•l tll't ' l h l t'J'(·I Jh)f JI y ll ln•bnJ1' pnr : <' l' tlt 1

dencia ordenada- entre el primer conjunto y el segundo '? Tanto en los siete primeros enunciados como en los s iete ültimos se dice algo accrc.:>'. Se trata, por tanto, de determinar la distinción entre expresionc' corno, por una parte, 'El número que se obtiene restando 8 de 15', l!,lóntÍt."() :l Z, y para todo)', para todo Z y para todO W, Si .'( trabaja por y 'j .\: lt'db<1jn Jmr y \' lm!xlj :t por w, entonces o )' es idéntico a t, o y ts idéntico a w o z es idé ntic~\ 1 " • e y es un :tli mcnlo y z es una fenbra plazentera. Sciblcmos dos cosas: en ¡m mcr hlg.•r. l
llcm\'11. en efec-h), C
*''""- tfr

•III1H nt 1111\1\ )'de goce sexu:al e11 ¡wc~hC.I!lull

La lógica ele predicadOS ele primer orden 269

268 Introducción a 18 lógica formal

'La patria de Castelao', 'El padrino de Bertrand Russell', y, por otra, expresiones como '7', 'Galicia', 'John S tuart Mili'. Pues bien: lo que las distingue es que estas últimas son nombres de individuo. Se refieren a los individuos de una forma directa, llamándolos por sus nombres . En cambio, las expresiones del tipo 'El autor de El mágico prodigio.> de un nombre en un mismo contexto- llamamos u Londres 'la ciudad de la niebla'; a Pío Baroja, 'El autor de La cimlwl de la niebla'; a San Sebastiátt, 'La ciudad donde nació el autor dt· La ciudad de la niebla'. O puede ser sencillamente que no nos intercst• dar el nombre del individuo en cuestión 'nuestro agente en Albaní" ', o que Jo ignoremos ('el autor de Ltlzt~rillo de Tormes'). Para llamar a las cosas por su nombre disponemos en lógica de In < constantes individuales. Pero, ¿y para describirlas? Para describirlas es preciso arbitrar recursos simbólicos nuevos. En efecto: si en un enunciado a csquemati7..ar aparece el nombre 'Ferécra•c,· - que, desde el punto de vista lógico, es, por así decir, un objeto s impk, inanalizable-, puedo muy bien representarlo por una constante individual Pero s i aquello con Jo que me encuentro es una descripción como 'El autno de Los salvajes', ya no puedo recurrir a símbolos como 'a', 'b', ct<' Si así lo hiciera, estaría ocultando, en el s imbolismo, la presencia, en l'l lenguaje ordinario, de un predicado diádico como •... es autor de .. .' y de'"' nombre de individuo, Los salvajes, nombre de una pieza teatral. Veamos, pues, cómo representar en símbolos las descripciones. Si tuviémmos que rcfcdmos a - la clase de- los dramaturgos is:~ belinos, escribiríamos (x 1 Dx}

(donde 'D ' es. el esquema de'... es un dramaturgo isabelino'). Pero como resu lta que ahora hemos de referirnos a un individuo absolutamente único mentándolo de tal suerte que quede patente su unicidad, hemos de buscar otros procedimientos expresivos. Sí queo·cnw•. por ejemplo, decir en símbolos 'el marido de Emma Bovary', habrcmo• de hacerlo - siguiendo cierta tradición así :

e•••

Que se lee: el x tal que x está casado con a. El símbolo 'r' (la iota de los griegos) se usa como símbolo de descripción o singularización. Y así como 'A x' se lee ' Para todo x', y ' V x' se lee 'Hay al menos un x', así también 'ox' s ignifica 'el x tal que': el x tal que hace verdadero el enunciado abierto que sigue y que es el único en hacerlo verdadero. Hemos empezado enumerando una serie de enunciados que contenían descripciones y hemos procedido Juego a extraer esas descripciones y simbolizarlas aisladas. Cabría preguntar ahora cómo se esquematizaría n, enteros, los enunciados que contienen descripciones. ¿Cómo vertíríamos en símbolos, por ejemplo, el enunciado 'El autor del presente libro hubiera querido vivir en la madrileña Calle de Aristóteles'? Así:

Q [ tx (Exa)]

['Vivir en la madrileña CaUe de Aristóteles hu biera querido [ Q] el x tal que x escribió [E) este libro [a]].

Sí se trata del enunciado EJ aulor de The Volden &wl era hermano de Wllliam J~unes

tendríamos H [tx (Exa) b)

Es decir : 'el x tal que x escribió a era hermano [H] de b'. Y si sustituyéramos, en el enunciado anterior, el nombre 'William James' por la descripción 'el autor de The Principies of Psychology'. habriamos de escribir H [ IX (E.xa) IX (Exb)]

Que se leeria : 'El x tal que x escribió a es hermano del x tal que x escribió b'. Véase. pues, cómo la expresión de la descripción en símbolos ocupa el mismo lugar en la e.~quematización que los nombres de individuo. Por ejemplo: si quisiéramos expresar en lenguaje lógico el enunciado el 7 es impar

diríamos

1,,

1' 1'1 ser imp11r se d11 en a ' l.

270 Introducción a la lógica formiJI

Si, en cambio, sustituimos 'T, nombre del número 7, por la de• cripción 'el número que resulta de restar 8 de 15' y decimos d nO mero que

r~ulta

equivale a esta otr-•: H\'ly exactamente una pcoona que escribió LasfrrmtUJS de IS4bt'la y esa persona nació en Córdoba.

de. n-star 8 de 1S es impar

El primero de estos dos enunciados lo simboli2aóamos así:

e (u (Exa)]

tendríamos que optar por esta o tra esquematización 1 [ox(x = 15- 8))

320

donde la descripción ocupa el mismo lugar que antes ocupaba la cnn tante individual. Veamos algunos ejemplos más complicados. Sea. por ejemplo. rl enunciado

¿Y el segundo? El segundo es una conjunción de enunciados. Conso dercmos por separado el primero de ellos : 'hay exactamente una person,t que escribió w firmezas de l $llbela'. Ya sabemos cómo representar 'hay exactamente un individuo tal que ...'. En este caso lo baóamos asi V x (Exa

El Papa Ser¡jo 111 hiro esuancular a sus dos predeoesores

Su representación en símbolos tendría esta forma:

! E [ox (Pxa) a]l

11

J\y[Eya-+ (y= x))}

Y el segundo enunciado - 'era cordobés'- se añade sencillamente en conjunción, quedando todo de la siguiente forma :

" E { •Y [Py •x (Pxa)] a}

Es decir: Sergio 1!1 (a] hizo estrangular [E] al x tal que ' '• • predecesor suyo, y asimismo hizo estrangular al y tal que y era 1"' decesor del x tal que x era predecesor de a. La frnse

['El x tal que x escribo6 Las firmezas de 1sabe/11 era cordobés1.

Vx{Exa" J\y [Eya-+(y=x)]

"ex}

El símbolo '1' es, por tanto, una abreviatur-a. En resumen: para que un enunciado que contenga una descripciún

1ca verdadero se requieren dos condiciones: 1.'

Que exista un ind ividuo, y uno sólo, que responda a la descripción.

2.' Que el individuo en cuestión tenga la propiedad o mantega IH

Edipo matb a su padre y se Co:~só con su madre

relación que el enunciado expresa. Por ejemplo, el enunciado

tendría esta versión simbólica M [(1.< Pxa) a] "

La esposa de Lewis Carroll era cuáquera

e [(ox Mx<>) a]

falso. Porque no existe ningún individuo a quien esa descripcióu pueda aplicarse. Esa descripción e1rece de referencia. Es una descripcióu

C!l

Es decir: a mató al x tal que x era padre de a y se casó cnn r l mi que x era madre de a. Así. pues, el sí mbolo 'o' es el sí mbolo de la unicidad. Sirve. "'"" "'' a una variable. para componer una referencia a un solo individuo. u w individuo que se distingue de todos los demás por una caractco 1>11 que se indica a continuación. Y cuando una designación de tnde\IIIH encabezada por ·a· cierra un enunciado abierto, lo cierra diciendo qUt 1 hay más que un individuo - precisamente ése- que lo hace vcrd.Otl 1 Cabria, por tanto. afirmar que una expresión romo

ompropia.

El enunciado EJ 1sesino de Juan Escoto Erigtn:. estud~ba. en la abadía d-e Malmesbury

"' falso. Porque hay más de una persona a la que corresponde cs:o A Escoto Erigena lo mataron sus alumnos: quizá no todo~. rero sí mlls de unoJu. Por la misma razón serían falsos enunciado~ " ' St&un olr.t

u• Para n.aycu bt•hdad, horrno'' (U 1.. lt"f RllllOk}tti,l .tfllmt'IIU h.tbllll 11

nr,.,_••l·• ' n

ti rnuiiMio de re"l·u 1 •f

Vff'i"'"·

....... •\lmttn..-, raiJO, pent rum,..~'"' lo~ dttlttt¡'k;w\n

J 1 1 ''•••u• "" ttiuuo~ '" •uul.- In ne caso, et enurtcudH

~ti tthO II"M•IIUI

1"- l•lll• lttl lt.lhtl• t11~.h\'HJU\l áiii.UfHI

quf'

como 'El que preparó el asesinato de lo.. arov era ucraniano·. ya que .ti menos según el insigne jurista Vychinskt- buena parte de los ciududann' de la URSS participaron en dicha preparación. Por ú1tjmo, un enunciado como El ::10tor de Un 110ga/.HmdtJ J(• f11s Islas nació en loslatcm1

seria también falso. Porque, si bien hay una, y una sola persona - llamad.• 'Joseph Conrad' - que cu mple la descripción, no es cierto que e'·' persona nacicm en Inglaterra. Lo que hasta aquí hemos hecho no es sino esbozar la llamad.• «teoría de las descripciones definidaS>>. Hay, en efecto, descripeimu· indejlnit/113 -oomo, por ejemplo, la contenida en el enunciado 'Un homhtr de g¡tbiln negro cruzó la espcsurn' o en 'Un retrasado mental parl iduru• del ocultismo vio cómo se posaben sobre su mesa camilla setenta y S&<' h pla tillos volantes', o en 'Una alimaña de piel viscosa penetró en lo• aposentos del conde'. Un enunciado en el que figure una descripc•t'ln indefinida es verdadero si: 1.0 Hay al menos un individuo que cumplt la descripción (repit rese en que aqul ya no se exige, como en el caso de 1... descripciones definidas. que sea un único individuo). 2.• El indi vuln" - o individuos- en cuestión tiene la propiedad o mantiene la rcla
2. La lógica de predicados como sistema de reglas de inferencia R11zón de

111111

omisión

¡,No omitimos algo? Hacemos la pregunta porque nuestro tru t:lltm·nt" en el caphulo 1, de la lógica de enunciados, se articulaba en 1~< partes fundamentales: una iniciación. por via intuitiva, n sus lh H, IHIH basicas: una presentación axiomAtica ; y una presentación cornn ''~lt nH de reglas de inferencia. Paralelamente, aquí, en lógica de prttlt< ·"" hemos empc7.3.do con una demorada caracterización de su' " "' h01u

fundamentales. Cabría esperar que tr:ts ello pasitramos a la prc,cnt.H' o de la lógica de predicados de pnmcr orden como sistema a.uuntll Hemos o ptado. sin embargo. p;>r 'upttmirla. En efecto · la prrtrn "11 de este hbro no es otra

reltc.•• l mt~~ln

que IJ de ha~e1 utl.u.IPu~ 1

lógica al profano sin por ello profanarla: la de airear la lóg¡ca mostrando sus aplicaciones posibles, tanto irónicas como circunspectas ; la de incitar, e~ suma, a no ver en la lógica ni un enemigo de la libertad de pensar. n1 un saber esotérico, ni una fuente de hus tío. Por razones que tenemos la esperan:w de haber expuesto con la suficiente claridad, nada hay mejor para ello que presentar la lógica como clolculo de la deducción natunll , como elaboración teórica de nuestras posibilidades de argumentar de asenta r 1~. verdad de ciertos enunciados en la verdad de o tros a~rtos que admutmos co mo premisas. La prcsenwción de la lógica en la forma de sistema axiomiltico tiene, como hemos visto, sus ventajas : muestra muy bien el orden mtemo que gobierna la lógica y convierte a ésta en un sejeto especial mente bten configurado para la reOexión meta teórica. Sin ernbargo, a nosotros nos. interesa ver en la lógica un instrumento de análisis, más que un COnJunto de verdades formales ; una actividad sistemática de exh umación de la. estructura profunda de nuestros razonamientos, mejor que un depós•to de esqueletos de inferencias; una fo rmulación esclarecida de las reglas de nuestra práctica raciocinanle, antes que unconjunlo de paradigmas estáticos de argumentación. Con nuestra presentación axiomática de la lógica de enunciados cumpllamos, pues. sobre todo un propósito ilustrativo : el de informar de la posib~li~ad de presenta r la lógica formal de esa forma. Y puesto que esa posrbol tdad ya está mostrada, y no es dificil imaginar un sistema axiomá tico a mpliado hasta a barcar toda la lógica de predicados de pnmer o rden, hemos decidido evitar al lector el trance de estudiarlo con algún deta lles )>ó, Que se sepa que podriamos haberlo hecho, y con eso pasaremos a dar de la lógica la versión que más no interesa, po rque nos la hace más próxima, más claramente presente en cualquiera de nuestras rcncxiones. Se trata, pues, de presenlar la lógica de predicados de primer orden como sostema de reglas de inferencia. El sistema de reglas de inferencia para la lógica de enunciados con· tení~ ocho reglas básicas : dos -una de introducción, y otra de eliminactón- por cada uno de los cuatro signos lógicos fundamentales de ese cálculo - negación, conjunción, disyunción y condicional. Aho~a bien : ya hernos dicho - y hemos ido viendo- que la lógica de predtcados abarca - superAndola- la de enunciados. E.ua última cs. por tanto, .como un subsistema de fondo de aquélla. y todas las reglas que utohzlobamos en lógica de proposiciones seguirán siendo aplicable.~ en lógica cuantir.cacional. Pero s~ por una parte, las derivaciones que efcctua mos en el cálculo de predicados suponen el uso de las reglas del ,,. n l«lor podri c:nconlrar. cn lm ••,,,,,, ... ' .• Hlilt .... M-ltlU~I S..eraslán (~p IOly l.,. y M :muel (f..rrtdo ffl(Jp. 28() '1 '11) rrf' ofiH u i01 flft ••• ,m~li· • 11· 1 ('.tlculo de prcd!t.ldCK dt pumrr mtlrn

tntr
274

La légtca de predicados de primer orden 275

de enu nciados, exigen también, por otra parte, el concurso de nuevas reglas, específic-as de este apartado de la lógica en el que estamos. Antes, pues, de presentar el sistema global de reglas para toda la lógica de primer orden, nos detendremos en la enumeración y glosa de las reglas peculiares de la lógica de predicados.

a Pa-+ Qa O de 11 X [(Px

A -,

Qx).,.. Rx]

Presentación de las nuevas regk1s

a Las reglas del cá lculo de enunciados giraban en torno a los signos propiamente lógicos de ese cálculo. O tro tanto ocurrir.\ con las del de predicados. ¿Cuáles son los s ignos propiamente lógicos - las constantes lógicas- de ese cálculo '1 El cua ntificador universal, el cuantificador particu· lar, el signo de identidad y el símbolo de las descripciones definidas. Tendrá, entonces, que haber reglas para operar con cada uno de ellos. Empecemos por los cuantificadores. Al igual que con las conectivas, con ellos pueden llevarse a cabo dos operaciones fundamentales : introducirlos, y eliminarlos. Tendremos, en consecuencia, cuatro reglas para empezar:

Regla de elimintiCión del cuantificador universal (RE 11 ). Vamos a empezar con la formulación más sencilla, válida para la lógica de predic-ados monádicos. Luego la extenderemos a la lógica general de predicados. En su versión más simple, la Regla de Eliminación del Cuantificador Universal tendría esta forma : J.'

11 X

ffJX

(Pa

Qa) .... Ra

A -,

Nótese que, al menos cuando el universo del discurso es finitn, la Regla de Eliminación del Cuantificador Universal puede justific:ll'so por la Regla de Eliminación de la Conjunción. En efecto : si suponemu< un universo de cuatro individuos, resultará que A x Px '"" (Pa

A

Pb

A

Pe

A

Pd)

Y el paso de

Pa

A

Pb

A

Pe

A

Pd

a, por ejemplo,

Pa quedará justificado del mismo modo que lo estaba el de

32?

rpa

Nada tiene de extraño esta regla : lo que es verdadero de todo' los x es verdadero de uno cua lqu iera de ellos. El ejemplo más sencilln de aplicación de esta regla sería el paso de

p

11 x Px a

Pa Igualmente, la RE 11 nos permite pasar de, por ejemplo, 11 x (Px

-+

Donde 'qi

C$

nsi 01mo el sirnlX\Icl dt un cjcmrto

cur1 1 f¡u lr • ~•

¡l¡

I!Htl!hH· tlt'

Puesto que nuestro sistema de reglas de inferencia aspira a cubrir toda la lógica de predicados, así monádica como poliádica, habrá
Qx)

un:t variable: mel:tli n ~le 1o;ljc;a (111(' l( ll f (':IIC:IIHt curtl(lu iet pred1c:.ulu - mo nádioo, c:n t.'SCe CiiSO , y '«' cs. C:üiHH Y" hC'Iul•'" lltl vcll ecló, un p.er!Unelr••· 111¡1:" JJl

a

mlh\'llhl•l

1\ ,, , .... \ "(tp\ .. .... x,.,)

276 Introducción a la 16gica fcxmaf

La lógica de predica(/()$ de primer orcien 277

La regla, así formulada, permite, entonces, pasar, por ejemplo, •h A x 1\ y(Pxy)

a Pab

En efecto : lo que hemos hecho no es más que eliminar simultáneamcnto los dos cuantificadores y sustituir, en 'Pxy', x por a e y por b. Asimis mo, esta regla haría válido el s iguiente paso deductivo: 11. 11 + 1.

1\ x 1\ y 11 z [(Pxy " Qzx) - R yxz

(Pab " Qca) - Rbac

RE A

11

2.'

Regla de Imroducció11 del Cuantificador Universal (RI A). Así como la regla anterior encaja perfectamente con nuestras intuicio11r

e incluso a veces su aplicación

resultaría~

en la argumentación ordin:u 1,

absolutamente trivial, esta otra requiere a lgún comentario. En cfc•t" su formulación, para lógica de predicados monádicos, sería ésta :

1\ X

q>X

Y, ¿cómo es posible que en lógica se acepte como válido el P·"" de una afirmación acerca de un individuo a una afirmación rclnll\11

~ue

no. Lo que hace el geómetra es tomar un triilngulo cualquiera - dibujándolo en una pizarra, por ejemplo, o trazándolo sobre una hoja de papel- y demostrar que los tres ángulos de ese triángulo miden en total ciento ochenta grados. Pero he aquí que lo demostrado para ese triángulo vale para rodo triángulo. ¿Por qué ? Porque, como diria ya Aristóteles, ese triángulo es un triángulo cualquiera, que en nada esencial se diferencia de los demás. Y Jo que vale par.! un triángulo cualquiera vale para cualquier triángulo. Dicho de otro modo: si el hecho de que el cuadrado de la hipotenusa de un cierto triángulo rectángulo sea igual • la suma de los cuadrados de sus catetos no se debe a ninguna característica privativa de ese triángulo, sino a rasgos que ese triángulo rectángulo posee en común con cualquier otro, entonces eso que decimos de él podemos decirlo de todos los triángulos rectángulos pasados, presentes y futuros. Bien pensado, tampoco resulta tan insólito este modo de proceder deductivamente. En la argumentación ordinaria pueden encontrarse abundantes ejemplos: cuando un individuo orgánicamente normal ingiere cierta sustancia y ello produce en él cierta reacción, es lógico pensar que esa misma reacción se producirá en todos aquellos que ingieran tal sustancia (siempre y cuando, repitamos, el individuo de referencia sea en verdad un individuo cualquiera, y no, por ejemplo, un individuo que padezca determinadas lesiones); etc. Supongamos, por ejemplo, que se nos pide que demostramos la validez de una inferencia que tenga esta forma :

A x(Px ~ Qx) A x(Qx ~ Rx)

a todos los individuos de un cierto conjunto? La asombrosa perspectiva lógico-formal de Aristóteles se pone '"'' vez más de manifiesto ante quien lec un pasaje de los T ópicos c11 ti que se dice lo siguiente: «Porque no basta, para probar que l:t , " '

se da en todos los casos, argumentar en torno a un caso abJu\111 para probar que toda alma es inmortal no basta con probar que el """ • humana es inmortal. De modo que hay que convenir en que s• "" a lma cualquiera (~•uolh> .Pvxrí) es inmortal, entonces toda alma es inmo 11 11 Por lo demás, este método no debe emplearse siempre, sino sólo CUIIIHI" no podemos dar una explicación común a todos los casos, como hu• • el geómetra cuando afirma que los ángulos de un triángulo son 1guuh a dos rectos>> 328 • En efecto:' ¿cómo demuestra un geómetra que la suma de los (u'M" '" de un triángulo equivale a dos rectos? ¿Cómo demuestra un gcó1111 111 que el cuadrado e la hipotenusa de un triangulo rectángulo es a la suma de los cuadrados de los catetos? ¿Inspeccionando t()(lu• ¡ cada uno de los triángulos (o de los triángulos rectángulos)'/ Es ""''"

'M""'

"'

1'óp.. B, 3, I I C~o38 - 1 1 0b7

1\ x(Px- Rx)

Procederíamos, entonces, del siguiente modo: l. 2.

1\ x (Px ~ Qx) A x (Qx ..,. Rx)

3. Pa - Qa 4. Qa ~ Ra 5. Pa ~ Ra

p p RE /\, 1 RE A, 2 RTr -, 3, 4

Hasta aquí todo está claro: los pasos 1 y 2 consisten sencillamente la introducción de las premisas. En 3 y 4 elimina mos de ~stas los :cu:.ln,lifica•io•res - pues sólo así podremos aplicar las reglas de inferencia c:ilculo de enunciados. Pn 5 :t plicamos In Regla de Transitividad del \wdicio nul (que aquí, t~n vc1 ,te n pl u:nr~e ll enunciados sin aoaliz;H ••••u•:matiza•dos por•p', 'q', rh uk4. tu u I IH• m mclnx nnnlizados). En efecto : lincmt 3 y 4 n
Introducción a ta lógica formal

278

/11 /(lj¡icn riiJ !)lod•cndos de priroor or
Form ulando la n:gla

la propiedad P, entonces posee la propoedad /1. Aho ra bien : ¿acaso no e~ el individuo a un indi viduo cualquiera? ¿Qué tiene él que no tengan los demils x? Podemos. pues, concluir

c..'" la s•guh:nlc r~tr1cción:

Rl 1\

Siempre y cuando rr, ..., "'•· no aparezcan en inguna premi~a auxiliar no eliminada de l.o que dependan, respectivamen te, tpa. 1 , ••., a ...


6.

Rl /\ ,5

1\ ' (Px __, Rx)

A xh ..., x,. ((,Ox 1... ., x. )

Gencrali>..ándola a toda la lógica de predicados, la Regla de .lntro ducción del Cuantir.cador Universal se formularía así:

Asi. volviendo al caso más sencillo. el paso

Rl /\

Pa 1\ .< Px

A .x 1 ,

...,x"'(tpx 1•..

..,x.)

Imaginemos. por ejemplo, que se trata de demostrar la validez dd siguiente esquema: A x 1\ y (Pxy)...., 1\ y 1\ x (Pxy)

He aquí la derivación : l.

2. 3. 4.

[ 5.

12.

13.

1\x 1\y Pxy 1\ y Pay f'IIIJ 1\ x Px l>

1\yl\x l'xy

RE A, 1 RE /\, 2 Rl 1\,3 Rl/\,4

1\ .< 11 y l'xy -o 1\y 11 x Pxy 1\yl\x Pxy

RI -+, 1-5

" ·' l'.
RE/\, 7 RE /\, 8

1\yl\ xPxy-1\ x l\ yPxy 1\ ,< 1\ y P.
RI -o, 7-11 Rl+->,6,12

Rl /\, 9 Rl /1, 10

liemos venido diciendo que el requisito para poder aplic:or la R 1 , que el individuo de referencia sea. desde el punto de vista lógic<>. uu cualqmerJ.. Esto pudiera parecer intuitivamente claro, pero se h:u:e nn • sario prcsenlarlo en una \'ersión mi1s precisa. ¿Cómo traducir :ti ..:.'Ht.ul, esa e.igcncia de que el " que nos permote en el caso m.~s somph pasar de · Pu' a · 1\ y p'(· sco.a urh' m.,, entre: l1h '.,

está sujeto a la restricción de que u no haya aparecido en ningu n.o premisa auxiliar no eliminada de la que dependa Pa. Al decir c¡uc una determinada fórmula depende de una premisa auxiliar quercrr"" decir, na turalmente. que esa fórmula no se puede afirmar más que en el curso de la subderivación inaugurada por esa premisa auxilia r. Para podemos presentar ejemplos de aplicaciones correctas e in correcta de esta regla, es preferible esperar a conocer las dos que restun, y en especial la siguiente.

3.' Regla de Eliminaci6n tlel C.umtificador Particular (RE V). Esta es otra regla que también exige comentario. Limitémonos duran te un instante a la lógica de predicados monádic''' Por un principio de s imctrla podriamos. ha bida cuenta de que la RE 11 tiene la forma 1\ X (J)X

rprx pensa r q ue la Regla de Eliminación del Cuantificador Particular no e' o1tra que ésu. : V xrpx rpa.

Y no. Así formulada, ésa no seria una regla correcta de infcrcnc•:o. efecto : nada mas fácil que inferir un enunciado falso a p.utir de un enunciado verdadero mediante es.• regla. Ella nos permitiría pasar. p<>r e¡emplo. del enunciado ' lllgim c~ •lll.'in del Imperio Nuevo cscribill el l .1hrt1 flt•ltl Sulu Ot·ultu" (C.JIH.· t' ,,·uluch•t~•) al enunciado "Nefertili t'\crib1ú el l...1hro d4! /u Sulu On,ft,, h , • 'lllf 11•' fl.lrcce que sea cierta); o d.uiu

rn

280 Introducción a la lógica tommt

como válida l:l inrerencia 'Habia ,ulgón lllcnicnse que admiraba a Sóci'!H n, luego Licón admiraba a Sócrates'. Eviden temente, es imposible justifiuu desde un punto de vista lógico el paso de uoa prem1sa como Hay algún x tal que x es P

a una conclusión como

a es P Ahora bien: tanto en la ·nrgumentación natural como en el ra:~on11 miento científico se aplica un patrón de inferencia que de algún "'""" cabria calificar de «Regla de Eliminación del Cuantificador Panicul ,.," El proceso de aplicación de esa regla empezaría con el paso de """ linea de la demostración en la que se leyera Hay algún x tal que x es P

a otra que rezara

Sea a ese individuo que es P Y es evidente que esta úhima afirmacióu equivale a esta otra :

S11pongamos que a es ese individuo que es P Tenemos, pues, iniciada la formulación de la regla:

Así pues, aplicar la RE V no consiste en pasar de la afirmación que hay alguien que hace verdadero un enunciado abierto a la aserción que ese alguien es tal individuo concreto. Consiste en decir: hay algún x que ffJX; pues bien: supongamos que ese x es a y veamos qué se de ello. Ahora bien : ¿qué requisitos habrá de cumplir ese a? Veíamos cómo el caso de la RI 11 el requisito del parámetro sobre el que se efectuaba generalización era que representara a un individuo Cllalquiera. Ahora, cambio, el requisito que pesaba sobre a es en cierto sentido el : al decir 'sea a ese x tal que tpx' estamos haciendo de a un especial, estamos distinguiéndolo, señalándolo. ¿Cómo se traduce lonnalm1enteesta exigencia? Restringiendo la aplicación de la regla a aquecasos en Jos que a no aparece ni en V x qJx. ni en X, ni en na premisa auxiliar anterior que no haya sido eliminada. En efecto: aplicación de la regla sólo será correcta si ese individuo« es verdaderaun caso especial, un individuo especialmente elegido para el caso eso no ocurriría si el tal individuo hubiera aparecido ya en otra premisa 1uxu1a.r¡; por otra parte, y por la misma razón, se hace necesario que a no en la fórmula obtenida, X, pues de lo contrario no podríamos esa fórmula fuera de ia su bderivación que se ha iniciado con la ntrc>du,~ ió•n de tp«. Precisamente el hecho de que las exigencias con respecto al pa.r ámetro tan distintas en Rl /1 y en RE V hace que no sea en absoluto 0\n·ccllogeneralizar(aplicar Rl 11) sobre un parámetro obtenido al eliminar cuantificador particular (al aplicar RE V). Así, sería del todo inaceptable derivación como ésta:

Vxtpx

¿Y dcspues? Después habrá que emprender esa subderivación <1""" abre con 'tpa', y, si al cabo de ella llegamos a una fórmula ili~H mos 'X'-, podremos cerrar la subderivación Y. afirmar X .• Por lo taut,. la Regla de Eliminación del Cuantificador Particular tendna, para pmll cados monádicos, esta forma: V X ffJX

[__ X

4.

V xPx Pa

p

llx Px

RI /1, 2

/1 x Px

REV, 1,2-3

La formulación general de la RE V sería: RE V V x 11 .. ., x,.(
X

«"

Siempre y cuando ex., ..., a.. no aparezcan ni en V x 11 ..., x.. (tpx 1 , •.•,tpx,) ni en X , ni en ninguna premisa auxiliar no eliminada.

X No es imposible, m s1qu iera dificil, encontrar en el razonamiento ~I S()S de aplicación de cs1<-l rc~lu, P,l s iguien te podria ser un

ejemplo : 'Alguien robó el cuadro de Vc¡mccr. Supongamos que ha sido Re• Ahora bien : todas las joyas y o bjetos de arte que Rev roba se lnt vende a Rin. Y todos sabemos que Rin abastece de cuadros robado' " Tírps,el ramoso coleccionista. Creo que debiéramos hacer una visita a Tltf"

Veamos un ejemplo muy scnctllo que nos servir.i para ilustrar In< dos reglas relativas al cuantificador particular, y en especial la primem. Tratemos de demostrar la validez del siguiente esquema de razonamiento 119 : 1\ X (Px .., Q.<)

4.' Reglo de 1mroducclón del Cuantificador Particular (RI V). Quizá sea ésta la regla mús sencilla de todas. En su formul aci/111 para lógica de p redicados moniod icos tendría esta fo rma:

V x(Rx" Px) V x (Rx" Qx )

Derivación:

V x¡px

Lo q ue es ''erdadco·o de uno es verdadero de a lguien. Dicho de """ modo : si ¡p - y ¡pes, como sabemos. una expresión predicativa cualquicrn puede decirse de a, emonocs hay al menos un x tal que
V x , . ..., x. (tpx., ..., x..)

Al igual que la RE 1\ se relacionaba con la Regla de Elimin:ouu11 de la Coojunció11, esta Regla de Introducción del Cuantificador Pa rtll ll lllo gua rda un parentesco claro con la de Introd ucción de la D isyunc'"" En efecto : s i, con un u ni verso del discurso finito, el cuantificador pnrt ic11l.oo equ ivale a una disyunción de enunciados singulares, el paso de. 11•11 ejemplo, ' Pa' a 'V x Px' se j ustifica po r el hecho de que , ¡ ol universo tuviera. por ejemplo, tres miembros- decir •y x Px' serí:~ uu1111 decir

Pa v Pb v Pe Y es evidente que si Pa es verdadero, también lo seni cu:o ltl"" o disyunción que teng¡. a P11 entre sus miembros.

As!, pues, el paso

J. 2. 3.

1\x(Px-> Qx) V x(Rx "Px)

p p

Pa ... Qa Ra" Po

RE /\, 1

5.

Ra Pa 7. Qa 8. Ra " Qa 9. V x(Rx " Qx)

RE ", 4 RE A ,4 RE-.,3,6 Rl " · 7,5 Rl V .S

6.

10.

RE V ,2,4-9

V x (Rx " Qx)

En 3 hemos eliminado, sin más problemas, el cuantificador univcrs.d que apa rece en l. En 4 eli minamos el cuantificador particular que aparece en 2, pero, a l hacerlo, hemos de a brir una subderivación, la cual. mediante aplicació n de reglas ya conocidas de la lógica de enuncias y, en el paso de 8 a 9, de lu Regla de Introducción del Cuantificado• Particula r, nos lleva al resultado buscado, q ue a t•eoglón seguido podcmo>s ya afirmar fuera de la subderivación. Obs~rvese que no se ha transgredodu ninguna de las restricciones impuestas a la a plicación de la RE V: a nn

aparece ni en 2, ni en 9, ni en ninguna prenúsa auxiliar no climinatlil Dos reglas definen el sentido del signo de identidad "

5.' Regla de lnrrod.,ccíóto de Tendrá esta forma :

0

:

ur Identidad (RJ =).

Pa

Rl •

Pa v Pb v Pe

¡pi

en nada relevante se diferencia del paso

1\ x [(x- i)-+ q>x]

1'

Que oorrcsponde al mOtc fln , U i¡lli
f'

que ya hemos explicado en lúgu, a

V

IJ

V

r

~h~ nll!lh u~t. lc''

LB lógica de pmdicado8 de primer cxdon

284 Introducción a la /ógk;IJ fomlDI

Quiere decirse: si un pred1cado es verdadero de cierto individ'"'· será verdadero también de todo individuo idéntico a él U'. Veamos un caso sencillo de aplicación de esta regla. Sea la inrerenuu s iguiente:

285

Es decir: si todos los individuos idénticos a un individuo dado oicncn cierta propiedad, también la tendrA ese mismo individuo. Mediante esta regla podrlamos dar sin más como válida la siguiente inferencia: Todas las compo5icion~ mu.sicak':s que tknen la mjsma estructura que d Concierto para clarinete de L• mayor, KV622. de Mourt. constan d e Allegro. Ad:1c:io y Ron·

La cabeza VISible del Circulo de Viena murió asesinado Moritt Schlidc: er• la abcu vb1blc del Círculo de Viena

do (AIIegro).

Moritz Schlidc murió ascsinu.do El Concierto para clarinete en Ltt m:tyor KV622. de Menan. consta de Alle&ro.

Sea C 'ser cabeza visible del Circulo de Viena' ; A, 'morir asesinudu', y a, ' Moritz Schlick'. Derivación: p p Rl = , 1 RE A ,3 RE -+,2,4

l. A (1x Cx) 2. a= IX Cx 3. A y [(y = IX Cx)-+ Ay] 4. (a = IX Cx)-+ A a 5. Aa

Adagio y Rondo (AIIegro).

Sea, en efecto, a el citado concierto, y C, 'constar de Allegro, Ada[!.i<> y Rondo (Allegro)'. Derivación :

1.

RE= , 1

7.* Regla de lnrroduc:dlm de Descripcior~s Propias (RDP} 1 ll.

Otra sencilla inrerencia cuya validez depende de esta Regla de ln111• duccióo de la Identidad seria

RDP V y A.< [(¡>X - (x = y))

El autor de Syntuctlt Slf'IUlurts 11mpallza con d anarquismo

Richard Nixon no simptllita con el anarqu.ismo R icb~_rd

'l'(lXr¡>X)

N ixon no e' el nulor de S¡·1Jtuclic Str11ctures

Sea A, 'ser autor de S.S.'; S, •simpatizar con el anarquismo·: y .,

'Richard Nixon'. p p

l. S (1.x Ax)

RI = ,1 RE A, 3 MT.2,4

4. (a = IX Ax)-+ Sa 5. a t- lX Ax

Regla de Elin1inaci6n dt la ldtnlidad (RE Es una inversión de la regla anterior:

6.'

Si hay un individuo del que cabe decir que es el único que posee

una deternúnada propiedad (y eso es lo que d ice la premisa de la regla : que hay exactamente un x tal que rpx), entonces se puede introducil la descripción de ese individuo - que será, por ta nto, una descripcibn propia- y asignarle a ta l individuo esa propiedad Por ejemplo: sea el enunciado

Derivación:

2. -, Sa 3. Ay [(y= 1.dx)- Sy]

p

A x [(x = a) -+ Cx]

2. Ca

=).

Hay on individuo qu~ escribiÓ él ~~ru~ndo dt las ro.51U ))) S~ para simplificar, representamos 'haber escrito El tsrn.endo de rosas' por P, el esquema de ese enunciado seria el siguiente:

1,,

V y A x [Px ..-. (x = j)]

RE= A .< [(x = i} -+ rpx]

rpi ;l$l Nótese que en lu formul"eión de csw rcsl:l no us~lmos o:. oom., .:11 la olt 1! anteriores, sino \Hl slmbolo, 1, que C(l uo.:tituyc 111U1 dc...,ig.nucibn tic in
"F

Pues bien : la regla que estamos considerando nos permite pasu1· eso a P(1x Px) JU \H

Cfr. K :tf i~h -Mnnl
11p ; (f ,

Lltll VI l,\,

La lógica ds predicados de primer orden 287

286 Introducción a la lógica formal

Es decir: ' El autor de El es1ruemlo de las rosas escribió El estnwulo de las rosa.s'. Téngase presente -pues, de otro modo, y a la vista del caráctc• escasamente informativo de esta conclusión, sería fllcil el sarcasmo que la regla que nos ocupa es sencillamente una regla de introducdr/11 de descripciones propias. Su misión no es, pues, llevarnos a conclu.sJOnc• novedosas, sino permitirnos introducir una descripción cuando se t1cnc h• garantía -expresada por la premisa de la regla- de que se cumplen las condiciones para que la descripción sea propia.

8.' R egla de Introducción de Descripciones Impropias (ROl). . Aunque no vamos a utilizarla, la expondremos P,Or rozones de sunctrln Como se recordará, deciamos que una descnpc10o es 1mpr~p1a cw11H.IIl no se cumple la condición de que haya uno y un solo ob¡eto que lu

Quiere decirse: cuando no se cumplen las condiciones que hacen de una descripción una descripción pro pia -y la premisa de la rcgln lo que dice precisamente es que no se cumplen- , entonces puede intro· ducirse una descripción impropia. Que es impropia se muestra en que hace referencia a un individuo q ue no existe, pues no existe el individuo que no es idéntico a sí mismo. Con esto tenemos las ocho reglas básicas especificas del cálculo de predicados de primer o rden con identidad y descripciones. Vamos ahora a integrarlas con las de la lógica de enunciados para componer así el sistema de reglas de inferencia de la lógica de primer orden entera. La lógiéll de primer orden como cálculo de deducción nawral

l.

satisfaga. . . Para entender el sentido de esta regla quw sea oportuno rcc." d111 la noción de clase vacía. Llamábamos clase vacía a aquella que c;u cll de miembros, y decíamos que, si bien pueden formarse clases sin miemho ~~~ en número infinito, estamos autorizados a hablar de 'la clase v;oclu ya que todas ellas son i

= { x 1(x

.¡, x)}

La clase vacía seria la clase de todas aquellas entidades qm· " " son idénticas a si mismas. No hay ninguna entidad que no sea idén lll·• a sí misma, y ello garantiza la vaciedad de esa clase. Pues bien: con las descripciones impropias ocurre algo anl•l· •~" Así como en un curioso sentido puede decirse que todas las d'"' vacias tienen los mismos miembros (a saber, ninguno), asi también '"'' decir que todas las descripciones impo rpias tienen la misma denot:u "'" el vacío. y así como a la clase vacía se la defme como {x 1(' 1 111 así también podríamos asignar a todas las descripciones imporpin' """

misma denotación cuya vaciedad estuviera garantizada: diremos

(IU\' Hll••

descripción impropia designa

Signos de puntuación (comas, paréntesis, corchetes y llaves) 11.

Reglas de fo rmación RFI. Una letra de predicado 11-á dica seguida de n constanle' individuales es una fórmula bien formada. RF2. Una letra de enunciado sola es una fó rmula bien form:odn RF3. Si X es una fórmula bien formada, entonces --, X lo "' RF4. Si X e Y son fó rmulas bien formadas, entonces X v 1', X 11 Y, X _, Y y X <-+ Y también lo son. RF5. Si X es una fórmula bien formada que contiene 11 variable' libres, 11 x 1, ... , x.(X) y V x 1, ... , x.(X) son fórmulas bien fo rRF6.

La Regla de Introducción de las Descripciones Impropias '"'""' esta forma:

Estas son todas las Reglas de Formación del Cálculo.

Reglas de inferencia /\) Reglas primitivas RE o

Rl •

RDI

'·"(/)'

Letras de individuo: {variables: x, y, z, ... , x"' y,., z" constantes: a, b, e, ..., a"' b", C11

madas.

•x(x .¡, x)

o V y 1\ X ( q>X +-+ (x

Símbolos del cálculo A) Símbolos lógicos Conectivas:--,, v, ", -+, +-+ Cuantificadores: 11, V Signo de identidad : = Símbolo de las descripciones definidas : ' B) Símbolos no lógicos Letras de enunciados : p. q. r, s, t, ..., p,... q,., r,., s.., t,. Letras de predicado: P, Q, R., ..., P., Q., R,

= y)]

rz (: ~ z)

1

X y

.x

--,--,x 1\

'

¡•

X

288 Introducción a Jal6glca formnl

RE

RI v

RDP

V

V y 1\ x [ q¡x +-+ (x

Xvl'

X

RDI

= y))

[i

y))

B) Algnnas reglas derivadas Reglas de interdefinición de las conectivas 335 :

z RI A

RE A

X

XAY

)'

X

1

y

X AY

XAY

-,(X A l'}

-, (• X v -, Y)

oXv-, Y

-, Xv Y

XvY

o (X v Y)

X-> Y

-, (o

Rl -

X

A -, y)

-.XAo l'

RE -

XvY

XAY

X-Y

•X-Y

--, (X--, Y)

X

RI -,-, 4

A x 1 , ..., x" (
... ,

x,.)

334

V x 11 •••,x.(tpxh···· x.)

q¡i

1\ x [(x = i) -
y di~yunción:

RComm v

·Ridem v

XvY

XvX

YvX

X

Hs En: las ocbo r~a$ siguientes se obscrvart la J)f'CSC:nda de un doble trazo homonl:d que separa la premisa de la conctusión. E11o quM:rc decir que la aplicación de es:ts Odh• teglas puede bactr$e tanto d:e arriba 1t llboJO como de abajo a srriOO. Así. por CJCmpln. fil regla

X

=

l' )

REcq

-¡-,)(

Reglas relativas a la

RI V

A -,

X

RE 11

RE V

-,(X

Reglas relativas a la negación :

y

RI

e

[~

XvY

RI 11"

-, V y 1\ x [q>X- (x

RE = 1\ .< [ (x

XvY --"**X-.. Y

= 1) __, q¡x] l'(lllivalc :t las dos regla~ \ V 1 ! '

1

1

'

\

V

Y

La lógica do pmd/cndos d6 primor or<1on 291

290 IntroducCión a la lógica fomliJ/

Reglas relativas a l condicional

RIA 1

RIA,

Xv y -.x

X vY -, y

y

MT

RTrans ...

X-+ Y

x-Y y_.z

-, y

X

ROC,

ROC2

Xv Y

X

V

y

x-z

X-
y ... w

y ... z

Z

z

V

IV

-.x

x-z

Rlmp

RExp

X -(Y- Z)

(X " Y) ... Z

(X " Y) ... Z

X -(Y ... Z)

RContr _,

RRf( _,

X

ROO,

RO O,

-.xv-. Y

-, x v -,Y

X

z-x w ... y

z-x z_.y

Reglas relativas al bocondiciooal Rl ...

Ro ...

-. zv -. W

-. z

x ..... y

R Dstr v por "

x ..... r

Xv(Yf\Z)

RE, ......

RE, ...

x-Y

x-Y

(X

V

Y) " (X

V

Zl

-.x

y

Reglas relativas a In conjunción RComm "

Rldem "

X " y

X"X

Y"X

X

RDstr " por v

X "(Y

-,y

X

V

Zl

(Xf\!'l v (\ 1\ /)

RE,~

RE......

x- r

X+-+Y

-,x

y

-,y

X RTrans _,

x-Y y • • /. \

1

1 /

292 Introducción B 18 /óglc;l fotnliJI

Capítulo IV

Reglas de ioterdcfinición de los cuantificadores Regla de definición del cuantificador universal »ó

Regla de definición del cuantificador

ROf A

RDf V

A x., ..., xJ.tpxr. ..., x. )

V x., ..., x,J.cpx,. .... x,)

-, V

V

particular JJ;

x 11 ..., x• ..., (4'x" ··~ x. )

1

(
Regla de neg¡¡ción del cuantificador particular 319

RNeg A

RNeg V ... ,

x ..)

x ,, .... x, -, (cpx,. ..., x, )

-. Vxotp.'C

Ul

1\ X¡, ..., x. 1

Regla de neg¡¡ción del cuantificador universal 338

-, 1\ x., ..., x,.(
MAS ALLA DE ESTE

Para predic:1dos mon:idicos sólo : V .' Cf'X

u• En lóaic:• de: predicados monftdioos: 1\ XfiX

J

u • Coo pmbcados monádicos: V

1 \

..

'fl'

'

LIBRO x.)

No ya una, sino múltiples veces hemos dicho que este libro cstit escrito con el estricto propósito de llevar a l lector a la lógica form:o l, de iniciarle - con una minima sensibilidad filosófica, un cierto sentid" del bu mor y una irrefrenable preocupación por las <> en el dominio de los c.'l lculos lógicos más elemen tales. Eso es lo que explic:o que determinadas cuestiones, o incluso determinados ca mpos de investiga · ción enteros, haya n sido pasados por alto : no nos interesaba tanto ser completos cua nto resultar atrayentes, gana ndo par-• la lógica formal " qu ienes necesitan emplearla o gocen haciéndolo (y la disyunción no e' excluyente). Con otras palabras: éste no es un tratado de Lógica. siru• -cosa muy distinta- una in troducción a ella. Con ello, sin embargo, no se quiere decir q ue debamos termin:" aquí. tras haber expuesto la lógica de predicados de primer orden """ identidad y descripciones. Si de lo que se trata es de seducir ló¡;ic" formalmente al lector. parece oportuno insinuar las múltiples posibilidades. tanto técnicas como filosóficas, que la lógica, más allá de lo explic:ut.• en este libro, alberga. A su exposición esquemática dedicamos este capitulu que. siendo como un ep!logo de esta obra, quisiéramos ver convertido. para quienes nos lean, en prólogo de ulteriores lecturas. Lo que sigue no es. por tanto, sino un conjunto de alusiones (ew • í: articuladas, organizadas) a algunos de los temas cuyo conocimiento resulta absolutamente inexcusable para todo aquel que quiera hablar, con propic· dad y sin estulticia. de «la tó~ica»
...,

294 lntro
l.

MAs aHá de este libro 295

La lógica de predicados de orden superior

En el apartado 1 del capitulo lll hay un epígrafe bajo el que se lh'w• a cabo una distinción entre lógica de predicados de primer orden y ll>~it ,, de predicados de orden superior. Desde entonces, sin embargo, nada h011u •• vuelto a decir de esta última. Como se recordará, la lógica de predicados de primer orden es "'1"~11" en la que sólo se cuantifican las variables individua les, y no Lll cuantificación de predicados. Sea, por ejemplo, la siguiente frase: Hay hombres capaoes de rtpartir su amo r entre mujeres que no tienen c ualidad en común.

u iiiJI,IH!"

La presencia, en esta aserción, de la expresJoo ~ninguna cuniHiiut baceque, para su adecuada esquematización, hayamos de proceder a ulh "'' con cuantificador una letra de predicado. Asl, tal vez 340 : V x{Hx

1\

V y V z[(My 1\ - .

1\

Mz

V P(Pv

1\ 1\

y ,t; z) Pz)]}

1\

(<;:xy

1\

Cxz)

1\

341

O bien - para poner otro ejemplo-: Hay a l menos un rasgo que todos los rcgimcoes autoritarios - sean de (hll•

~¡,. 4

o de izquierdas- cooopartcn.

básicos de esta disciplina, a la que es común presentar como ejemplo de simplicidad, viene a decir lo siguiente: Toda propiedad que pertenece al nlunero 1 y taJ que, si pertenece a un pertenece también al que lo s igue en la serie, pertenece a todo número.

nUmero~

Las dos primeras palabras de este enunciado revelan ya que .;1 lugar apropiado para su esquematización es la lógica de predicados do segu ndo orden: i\ P { {Pa

1\

i\ x 1\ y [(Px

A

Syx) _, Py] J -. 1\ x Px)

3"

Y no es que en lógica de predicados esté «prohibido» cua ntific:,.· predicados (bien sean predicados de individuo, o predicados de predicado' de individuo, etc.). Lo que ocurre es que, para lleva r a cabo de modn sistemático el anitlisis formal de aquellos razonamientos en cuya va lide¡, intervienen predicados cuantificados, se requiere la construcción de un cálculo lógico que, además de desbordar en alcance al cálculo de pred icado, de primer orden, difiere esencialmente de éste. ¿Por qué difiere ? Porque ese o tro cálculo -un cálculo de predicados de segundo orden o, en general. de orden superior- carece de propiedades que nad ie puede negar a la lógica de predicados de primer orden. ¿De qué tipo so n esas propiedades que hacen - recuérdese la lógica de la identidad- que el cálculo de predicados de primer orden y el cálcul<• de predicados de orden superior no sean indiscernibles? Son propiedades mewreóricas.

En esquema: V P{ i\ x{Ax-+ [(Dx v lx) _, Px] ) } 3•1

Etcétera.. Si fácil es encontra r en el lenguaje ordinario enunciados <1" " .,.¡, pueden ser adecuadamente esquematizados dentro de la lógica ""ill'' 1111 menos dificultad encierra todavía encontrarlos en el lenguaje de In Ul 111111 En el lenguaje de la aritmética, sin ir más lejos. Uno de los P• hu l1•1" 3"0 Para si.roplifica.r, supondremos Q\IC se trota de pi menos Ms muj<:rcs, lh~n ¡tt •••·ul por o tra parte, el ejemplo serviría también su fuera una mujer y dos hvrnlu•'"' .. h bombrcs; o tres mujerc$. Etc. 1 "" Es de<:i.r: 'Hay aJg Un x tal que x es hombre y hay algún y y algún : tut '1"' roujer y z es mujer e y y : son distintos y x. es capaz de ;tm:~r :1 l' )' \ r• • ·•1 P'l de-amar a. z y no ha.y ninguna propiedad P 1al que y sea P y z ~ r . 341 Es decir: 'hay alguna propiedad P to.d qué, tx•ra todo x, si \' t.~ 1111 1tl•ih! u aull)t itario, entonces. ,.,._nto si x es de dert:ch;u; ~· ull
2. La Metateoría Como hemos señalado en más de una ocasión, bacer Meta teprl11 de los cálculos lógicos es someterlos a consideración global por vt•• si responden a ciertos requisitos. En esta ltnrodllcci6n tt ltt lógica jimu111 nos hemos limitado casi exclusivamente a mostrar las' aplicaciones de lit lógica elementa l por medio de múltiples ejemplos. Hemos, pues, po r '"¡ decir, becbo descender la lógica al aoál.isis de casos concretos de ar¡;u mentación. Pero podríamos haber completado ese movimiento con ot H• de ascenso: podríamos haber ascend ido basta un plano desde donde nos fuera dado contemplar la lógica en su conj unto, desde donde pudiémmos hacer teoría formal de las teorías lógicas. J.4J 'Para toda pro piedad P, si esu propiedad pertenece a 1 y si p
lambtén (S;t propied::td, enh•nt'CII l•tdn 1lll 1llllh) üenc esa prop;edtHI'.

Más allá de este libro 297

296 Introducción a la lógica formal

Hacer Metateoría consiste prim.apalmcnLc en estudiar si Jos c[dculos lógicos reúnen cierto tipo de propiedades o requisitos. Esos requ isi to~ son fundamentalmente treS: t.• El requisito de consistencia. Un cálculo es consistente cuando, siendo X una fórmula del cálculo, no es posible derivar en él a la vet X y --, X. Y puesto que la caracterización que acabamos de dar de In consistencia es puramente s intáctica, daremos también una definición semántica de esta noción: puesto que estamos tratando con cálculos lógicos podemos decir que un cálculo es consistente cuando todas '"' fórmulas derivables en él son verdades lógicas. 2.• El requisito de compleción' ... Un cálculo es completo, corno sa hemos, cuando en él se pueden demostrar todas las fórmulas verdadera' construibles con sus simbolos. En el caso de los cálculos lógicos, que es el que nos ocupa, esas fórmulas verdaderas serán verdaderas formalment e. lógicamente verdaderas. 3.• El requisito de decidibilidad. Se dice que un cálculo es decidiblc cuando existe en él al menos un procedimiento para decidir, en '"' número finito de pasos reglamentados, si una fórmula es verdadera o '"' (y, por ende, en el caso de que el sistema sea completo, si es o "" derivable en él). Ya hemos aludido a la ex istencia de una reciprocidad entre el requ is•h• de consistencia y el requisito de compleción. El requisito de consistenci11 por respecto a un determinado cálculo supone la exigencia de que toh.ol los distintos cá lculos lógicos, ¡,qué podríamos decir de ellos? Por lo que se refiere al cátc.ulo de enunciados, ya hemos thdh• que cumple tanto con el requisito de consistencia como con el ,¡, compleción "'· Reúne asimismo el requisito de decidibilidad : di'"'""' mos de más de un procedimiento decisorio en este cálculo. Disponen\•" por ejemplo, del método de las tablas de verdad. Por lo que se refiere al cálculo de predicados de primer ooth•oo podemos decir también que reúne los requisitos de consistenci:t y c•Hu pleción: toda fórmula derivable en el cálculo de predicados de po"'"' orden es lógicamente verdadera, y toda fórmula lógicamente verd:o dl't • l-« Dada la inexistencia en castellano de un sustanti,·o que exprese 1:• cu,1hd.1\l ,1¡ completo. se suele utilizar el neologismo ·oomplctud' o 'oomplc:titud'. Asesor.ul••" 1~"' filólogos. hemos optado pOr utilizar ·oom¡lh:<:uí••' 3 4 ~ En rigót. lo que habtht que decir e<~ 'I"C e~ f~'ls:ible y se ha het"hu l'lt r•nul111•l ocasiones prcsemar el étlc:ulo de enu•H. ~o~tl•'• \••n111 un "'~h.:rru c,u,w.tc•uc

formulable en el lenguaje del cálculo de predicados de primer orden es derivable en él. Especialmente importante es la demostración del carácter completo de este cálculo llevada a cabo por Kurt Godcl en 1930 (demostración que hoy día suele exponerse siguiendo las líneas establecidas poo· Lcon Hcnkin en un trabajo de 1949). Pero el calculo de predicados de primer orden no es decidible en su conjunto, como ya hemos indicado. Lo son ciertos estratos como la lógic:• de predicados monádicos- o ciertos conjuntos de fórmulas -cienos tipos de expresiones de la lógica de predicados poliádicos- , pero la lógica de predicados poliádicos es, como tal, indecidible, y, por lo tanto, lo C> también la lógica general de predicados, que la incluye. Lo demostró Alonzo Church en 1936. Por lo que se refiere a la lógica cuantificaciona l de orden superioo·. Kurt Godel -el mismo que, como acabamos de decir, probó en 1930 la compleción de la lógica elemental- demostró, en un celebérrimo trab<> ¡., publica.do en 1931, que es incompleta. Dicho de otro modo : mientr;.s que la totalidad de las verdades formales acerca de cua lesqu iera individuos (que son las que expresamos en la lógica de predicados de primer orden) pueden ser organizadas en un cálculo lógico que las fundamente, las verdades lógicas acerca de cualesquiera conjuntos de individuos (o, si se prefiere, acerca de cualesquiera predicados de individuo) no pueden ser presentada> en su totalidad como el conjunto de los teoremas de un cálculo lógico l••. Dicho de otro modo: no es posible construir un cálculo en el que puedan ser demostradas todas las verdades expresables.en el simbolismo del cálculo de predicados de orden superior. El hecho de que Leon Henkin , en 1950, haya «mitigado>>, por así decir, el teorema de Gódel mostrandn la posibilidad de a lcanzar en lógica cuantificacional superior una cierta compleción, una compleeión secundum quid, no priva básicamente a dicho resultado metateórico de su trascendencia para la lógica formal, para In ftlosofia de la lógica y, en definitiva, para la filosofia a secas.

Selección bibliográfica en relación con los dos aparwdos ameriores De entre los tratados e introducciones a la lógica en tos que se puede encontrar una presentación sistemática de la Metateoría, citaremos (pm orden alfabético de los nombres de sus autores) los siguientes: ANOERSON, J. M.

y J OIINSTONE, H. W .: Nawra/ Deduction (Thc Logical 8asis

of Axiom Systems). Belmont (Califomia1 Wadsworth Publishing Company, 1962. CHURCH, A.: lnrroductio, to Mathemailcal Logü:. Vol. l. Princeton, Princcwn University Press, 1956. l ~ <>

H emos gi O!W ~I\) tttl!' h ll ~~~ttl lt~lt\11 1l t I I IIIIIU.Jt M , l l utllkka (ed.) Tlut Phllt~,Vt1/1h V

ü{ Mutltt~mmir~

O:dc~rd,

(

,,,,,.,¡t lnht +•11 f l'h

t•u,•t ltU!Ihlu\:..::n'>n,

p(,&~ 2 ~3.

Más aHá d8 este libro 299

298 Introducción a la lógica fomwf G ..\RRIOO, M .: LOgu.:u simbálü:a. Vol. 1: M.•tlnd. b litonal T ecnos. IV7J . Vo l. 11

Jbidem, 1974. .Edición en un solo \'o lumen: Ibidntl, 1974; t·eimpr. 1977. .HtLBERT, D. y ACKERMANN, W.: Grut~dziigb der tlteorelisclten Logik. Berlín, Springe1 Verlag, 1928; 4.~ cd., 1959. Elemenws de lógica u:órlca. V. cast. de V. Si'l11chc/ de Zavala. Madrid , Editorial Tecnos, 1962. H UNT'ER, G .: Metalogic. An /utroduction ro the /1-fetatheory of Standard F ir:;l Oder ÚJgic. Londres. Macmillan, 1971. KLEBNE, S. C.: Jntroduclion to MetamtttiJemaric-s. Amsterda m. NOI'th·Holla nd, 1952: reimpr. 196?. Introducción a /(l metamatemtil.ica. V. caSI. de M. Garrido con 1/1 colaboración de R. 8eneyto. J. Sa.nmardn y E. Casabán. Madrid, Ediw ri11l Tecnos, 1974. MOSTERIN, J. : Lógiro de primer ordetL Barcelona. Ediciones Ariel, 1970. SACRISTA N., M.: Introducción a lo lógi<:d )' al antilisis formal. Barcelona, Ediciouc'i A.riel, 1964; rcirnpr. 1970.

Sobre el teorema de i.ocomplecióo de Gódel (1931) puede ven«'. como estu dio mo nográfico:

E. y NEWMAN, J. R.: Goders Prooj: N. York., N. York Univcr>~I V Pres.s, 1958. Hay. que sepamos, tres versiones castellanas de este libro : - La t>rueba de GOdel. V. c. de R. Xirau. Méj ico, Cuadernos del Centro d11 Estudios Filosóficos de la UNAM, 1959. - El teorcmil de Gi;del. V. c. de A. Martín. Madrid, Editorial Tecnos, 1970. - Traducción parciaJ en la versión castellana de J. R. NEWMAN (ed.). Matemátk a verdod, realidad. V. c. de M. Sacristán. Tlarcelona, Ediciones G rijalbo, 1'17-1. p¡\ gs, 79 y ss.

N AGEt-,

Como textos clasicos de Meta teoría seleccionamos, tam bién por ord l'" a lfabético, los siguientes : CHURCH, A. : «A Note on Che Eutscheidu11gSproblem». En The /()U.mal of Syml~dl1

Logic. 1 (1936~ ¡>ágs. 40-\. Correcciones en el mismo número, p¡\gs. 101-2. V. i11~h sa co M. DAVIS (ed.). The Undecldable ( Papers on U11dtcidable Pnqws,l•'ll'"' Unsoli)(Jble Problems at1d Computable Fwrctions). Hewlett (N. York), I(II V\ 11 Press, 1965. GóoF.L. K.: <«Die Vollstaod.i.gkeit dcr A.:< iome des logi..~en Funktionenk nll. ll l"" En Momusl.efte fo r Moc1JemMik und Physik, 37 (1930), p¡\gs. 349-360. V. inf'll "' en J. VAN H EtJENOORí (ed.), fr()m Frege w G6del (A Sour;,ce &ok in J'vllllllf'IIM ticol Lagic. 1879-1931 ). Cambridge, Mass, Harvard Univcrsity !'res•, t•u,¡ págs. 582-91. V. c. en A. Oeaño (cd.), Lecturas de logica fonnol. Mad rid. Al"'" ,, EditoriaJ, eo_prensa. Ot">DEL, K.: (<Ü ber formal unentscbeidbare Satze der Principia Ma themotica 1111d verwandter Systcrne, 1». En MQnats1Jefte fiir Mathematik und Pl1y.•ik, 3~ ( 1'1111 págs. 173-198. V. inglesa en M. 0AVIS (cd.), cit., p¡\gs. 4-38 y en .1. VAN 1111 JENOORT (ed.). cit., pilgs. 596·616. V. c. en Va lencia, Cuadernos Teorc•uu , t 11 prensa, y en A. Deaño (ed.), Lecwras (le ltJglca formal. cit. HBNKIN, L.: <<'Thc oompletcncss of lhc Fi•·st..Ordcr FunciOil::•l Calculu:m. l' n l f¡, Journal of Symbolic ÚJgk. 14 (19tl')), pt.xs. 1 ~9-.66. Rei mpr. en J. ll tN'IIt..k A (i d 1

P11ilowphy {)j Mathematics. Oxford, Oxlord University Press, 1969, p¡\gs. 51-63. V. c. en A. Deaño (ed.). LeCJuras de lógica f ormal. ciL HENK!N, L.: «Complctcness in the Tbeory of Types>>. En The Journal oj' Symbolic Logic, 15 (1950~ p¡\gs. 8 1-91. Reimpr. en J. H INTtKKA (cd.), The PhiloS<>ph¡• of Ma!lremacics. cit, p¡\gs. 51-63.

3. Las lógicas llamadas «no-clásicas» Acaso el rasgo más llamativo ~i no el más importante-- del estado actual de la ciencia de la lógica rormal sea la existencia, e incluso la proliferación, en derredor suyo, de las llamadas <>? Aunque c iertamente no es decir mucho, podríamos empezar diciendo que se trata de sistemas lógico s que difieren en uno o más rasgos de la lógica clásica. Y, ¿a qué llamamos <>. La pregunta inevitable es a ho ra la siguiente : ¿cuitles son esos rasgos de la ló gica clásica así entendida, por respecto a los cua les podemos mcdi 1 la pecuhandad - y, por ende, establecer la na tmaleza- de las ló g icas

l".

no-clásicas? Reflexionamos sobre la lógica clitsica como un to do : no en el scnti•l•> de la Metateoría, a la que, como bemos visto, incumbe est udia r t'1 rendimiento de los cálculos u n a vez construidos, sino en el sentido 11c examinar cuales son los supuestos q ue se han u tilizado en su constru cci:,,. Lo que ahora buscamos son aquellos supuestos no estrict.a mente f ormo/,•\ contra cuyo fondo y sobre cuya base se d espliega la lógica fonn nl clás•ca, los calco los lógicos que bemos expuesto en los capítulos 11 y 111 d<' este libro. ¿Qué es aquello - aquellos conceptos, aquellos princip ios q ue se d a por descontado a l proceder a construir los s istemas ló gic'"

«normales>)? Se dan por descontadas varias cosas: para empezar, se opera sobre él supuesto de que los e nunciados q u e la lógica manej a - los enunciados

que la lógica estudia en cua nto integrados en una estructura argumcn· ;t•) Cfr.• p~)f cj<:mi)IH, l. M. n, . ¡,h ct. ¡¡~ i · l''ll l'ntlllt' Logik. Friburgo·Munich, Vcrlali Kllrl t\lbct. 1956. fl h tm•ln 11, IH Mj11Hi ''" "'ul hL C'~ l~ · de; M. Dr~wo . Madrid, E
Más allá ae este hbro 301

300 Introducción a la lógiaJ (orml)/

tativa. es decir, en cuanto constitutivos de las premisas o de la cnn· clusión de un razonamiento- son enunciados apoflinicos. enunciado• provistos de un valor de verdad. Asimismo se actúa sobre la base de que los valores de verdad son solamente dos: el valor verdad y el valor falsedad. Los enunciados son o verdaderos o falsos. Por ot ra parte, no se admiten matizaciones, por asi decir, en los valo,.cs de verdad. Los enunciados son o verdaderos a secfJS o bien falsos sin nui,,, Un cuarto rasgo de la lógica clásica es que en ella sólo bailan cabida aquellas conexiones entre enunciados que son definibles comu funciones de verdad. Es decir: aquellas conexiones entre eouociadu' que dan Jugnr a un enunciado compuesto cuyo valor de verdad est.o enteramente en función de los valores de verdad de los enuociadu' conectados. Asi, la conjunción se puede definir como aquella conectivu que, al unir dos enunciados, produce un enunciado (compuesto) verdadc1" si y sólo si son verdaderos los dos enunciados componentes. Supongamu\. sin embargo, que en vez de decir 'p " q' decimos 'a cree que p'. E.'t< enunciado podría ser verdadero tamo si p fuera verdadero como " fuera falso. Poddamos seguir enumerando rasgos de In lógica, pero con los descritiiN bastan\ po r el momento. Los resumiremos diciendo que la lógica clásic11 es apofántica bivcde11te asertórica extensiona/. Apojá11tica, porque deja fuc1.1 de consideración aquellos enunciados de los que no quepa pregun1.11 con sentido si son verdaderos o falsos. Bivo/ente, porque no admite m.o que dos valores de verdad. Asert6rica, porque excluye la existencia <1< < ~ un valor de verdad) y una intetiSión (siendo la intensión de un nom bre el «concepto individual» que des1gna, la intensión de un ¡>o r dicado la propiedad que significa y la intensión de un enunci;¡dn la proposición que expresa), la lógica clásica opera exclusivamcn l< en términos de la primera. Así, por ejemplo, la lógica de en u" ciados tiene en cuenta únicamente la extensión de éstos, es dccu su valor de verdad: cuando, pongamos por caso, definimos el condicionnl lo hacemos diciendo que es aquella relación entre enunciados que com¡><>ll< un enunciado verdadero cuando no es el caso que el antecedente "··• verdadero y el consecuente falso. Es por respecto a estas ca racterísticas de la lógica clásica y alg" """ o tras que iritn surgiendo en el cu rso de nuestra exposición como c11h1 entender la naturaleza de las distintas lógicas no·clásicas y los moll•" que en uno u otro momento impulsaron " su construcción. En lo que sigue no vamos a ofre<.-cr unn preseotación ~i~lcrn:tut ·' o sistematizada, de las lógic:1s no ..clfuucJIN 1 llcl Rupond 1·h• que conl.i llillll con una teorí:t acerca ele Jo¡;¡ d1"1 mlo~ Ht'"M de lógicas (~(hverftonh· ~

- como también se las llama- y acera < de la relación entre ellas y la lógica clásica. Y no es ése el caso. Aunque al final diremos algo acerca de la idea que nosotros nos hacemos de esa teoria (de la que tan oe=itada está la lógica actual, al menos si la consideramos desde un punto de vista lilosófico, como es el nuestro), por el momento nos limitaremos a enumera r con un cierto orden algunas de esas JógiClls no-clásicas. caracterizándolas brevemente. MAs que otra cosa, lo que haremos será , si cabe decirlo así. lógicas excén tricas, extravagentes"" · Rompiendo el orden en que antes hemos seilalado algunos de lo> supuestos no formales de la lógica clásica, empezaremos por un ripn de lógica divergente cuyas diferencias con respecto a la lógica que hemos venido estudia ndo son, a l menos al principio, especialmente claras. Se tn1ta de las llamadas <>. La lógica po/loo/ente 3•9

«Mañana habrá una batalla naval». ¿Es verdadero, hoy. este enunciado? Si lo es, entonces el futuro está predeterminado: nada podr:o impedir que mañana se libre una batalla naval. ¡,Será, pues, falso'? Si es falso hoy que mañana habrá una batalla naval, venimos a dar en algo semejante: no ha brá posibilidad alguna de entablar mañana una batalla naval. y el futuro se nos escapa (o se nos impone) también por este lado. Nos encontramos, pues, con que la batalla naval de mañana seria. o necesaria -ento futuro contingente. Contingente : es decir. ni necesario ni imposible. Si queremos escapar a la paradoja de que nuestro futuro esté ya determinado desde siempre y para siempre -desoladora conclusión a la que nos vemos condenados en el caso de que aceptemos que tod<• enunciado acerca de eventos fu turos contingentes es, en el instante de se• proferido, o bien verdadero o bien falso- . hemos de convenir en qu e ~~ Lueao se \·en! que la cJLcemricidad no es tanta. en casi lodos los c:a.sos.. ron-.• altunO$ de lot ddenJOres de esas tóaicu creyeron en un pnDcipio. _,.._. Si uuh&aMO$ d térm,i.no «pofivalen1e» es sólo por no crear desc:oncie.rto rompiendu uoa coS-tumbre. En verdad. el término no hay por dónde cogerlo. En primer lugar, esl:• 1-a poco armónica combinación - de la que es ejemplo insigne eJ término ff.SOCiologí:m de un \'Ocablo griego y otro lalino. «Mullivalenlent pOr ejemplo, seria mucho menos !x"lsta.rdo. l'!n seg\lndo fua.u. parece imporpio el uso dd surtjo •valente.». porque •ugiere que l.t lógica biv~tlente vale por dos y la polivalente por muchos. o para muchu C0$3J Y no se ltala de que 1=- lógica bh-a)cote Yllsa pr~ra dos CIO$I.$,. sino de que opera con dos valoi"C:).. No .se nos oeurre. sin emNJ16. un 1"61ulo ahc.l"n.tlivo que sea preknbfe. y por CS\1 hemos recJido. aunque a ~~~.,1\.ltht nl~ en t i u\.u d~ la denomint'ciórl a~tumbmdn S1n e rnbotfl(•l, cieiUJll't. q ue 1)\>tlllm••ml\s de dt•S valtnc:N de• vcnl¡ul'

·•t tull• t·m·•• ''

''' •lc''t IIJltión "lóg~t que OllC~II Il con

302 lnlrodooclón a la lógica tomvol

enunciados como «Mañana habril un.t batalla naval» o btcn. ""' ejemplo. «La semana próxima se enurnomrd uno de mis amigos», '' «El año que viene tendremos la sociedad sin clases»- no son, en el "'" mento de ser proferidos, ni IX!rdaderos ni falsos. Tendrán que tcurt un tercer V!t lor de verdad. El ejemplo de la batalla naval no es nuestro, sino de Aristbtclt•, Al reproducirlo, hemos tratado de reproducir también -simplificit nduht oonsidemblemenlc-- la renexión que el fundador de la lógica formal " hizo sobre el asunto, rcnexión que lo conviene, si no en el pnnm vislumbrador de las lógicas polivalentes, si al menos en el primer autnt que cuestionó el llamado por Lukasiewicz «Principio de Bivalenct:"'· rl principio según el cual todo enunciado es o bien verdadero o hn·u falso " 0 . Sin embargo, tras este homenaje a su más remoto precursor no Viltl1HIII a tr.l7.ar una historia de las lógicas q ue operan con más de dos val'" " de vcrdnd. Vamos simplemente u asomamos a sus rudimentos. Las lógicas polivalentes pueden ser, o finítamente poliva lente.~ " 111/l nitameme polivalentes, según que admi1ao va lores intermedios en nl1u1r1o finito o infinito entre el valor verdad y el valor falsedad. Tomemos el apartado mas elemental de la lógica - la lógtc;t ''' enunciados y el caso más simple de polivalencia -una lógica con 111 valores y asom~mooos así a la lógica proposicional trivalente. l· n rll un enunciado podría tener tres valores: 1 (verdad), O (falsedad) y~ (ind
1

2

o Si negáramos ese enunciado, ¿qué valores de verdad obtcndn."""

p

'j

2 1

La única novedad esta en que la negación de un enunca.tdu .. •ll valor de verdad indeterminado es un enunciado con valor de "'"' 1 también indeterminado. .u~t

F1tuto de Arislótdes

~

p

q 1

!

o

1

i i

1

!

t

()

o o o

1

!

o

Veamos ahora qué valores de \'Crdad obtendríamos si aplicásemo> a estos argumentos las cuatro conectivas diádicas fundamentales: p

q

pAq

1

1

1

1

!

t o t ! o o o o

1

o

! t l

1

o o o

t o 1

t

o

p

V(/

1 1 1 1

! l 1

t

o

p-q

p ... q

1

1

t

!·

o

o !

1

l'

1 1 1

1

t o t

1

-. p

o1 o

Tomemos ahora dos enunciados, cada uno de los cuales podrá tener tres valores de verdad. En lógica bivalcnte, las combinaciones posibles de los valores de verdad de n enunciados venían dados por la fórmula 2" (si eran dos enunciados, cuatro combinaciones ; si tres, ocho, etc.). En lógica trivalente, dados 11 enunciados ser~ 3" el número de las combinacione-s posibles de sus valores de verdad. Sean. pues, dos enunciados. Nueve serlt n las combinaciones :

entr.tH'Ilh·l "'ti O~· lrtlrrprrUrl wlk', ~ lb.'K IV!l-1

Hemos reproducido las condiciones de verdad que -t;ukasiewicz cst.1 blece para las conectivas en lógica triva lente. Como puede verse, los criterio" para la determinación de los va lores de las funciones de verdad son 1<>' mismos que en la lógica bivalente. En efecto : convengamos en considCrtll' el va lor verdad como el mas «d istinguido», como «el mejom. Podemos decir. entonces, que. en lógica bivalente,la conjunción toma siempre el peor de los ••lores de sus argumentos: si uno de los enunciados que la fo rman « verdadero y el otro falso, falsa ser:\ In conjunción de ambos. Tambi~n en lllgica trivalcniC' lcun .• In t·nntunt:tún la peor parte: si uno de MI\ nucmbro~ es "ent~ullt~• y "' ult•• uukh·ruuoudo. el enunciado cc-l OJuntu

304 lntrcxft;cal6n o lb/Ogk:ll IOtii~Jfl

Más aHá de sste 1/tJro 30!1

será ideterminndo; si uno de cll<>> e' 111dctcrminado y falso el otro. lu conjunción será falsa. En la disyunción ocurre al revés: que toma siempre la mejor parte. Y asi es tambi~n en lógica trivalente. Entre verdad e indetcrminacii>n el valor verdad: entre falsedad e indeterminación, el valor indeterminación Y lo mismo con el condicional: en lógica bivalente el condicional sólo es falso cuando el valor de verdad de su antecedente es «mejor que el de su consecuente. En lógica trivalente ocurre de modo análogv cuando el consecuente tiene un valor m.ís bajo, o «pe<> o>, que el antecedente el valor del enunciado condicional será el del consecuente,.._ Las mismas consideraciones por analogía valen para el bicoodicion;rl P iénsese, por lo demb. que estas tablas de verdad para las cooecti' ·" -que son, repetimos, las de t.ukasicwicz en un momento dado- h;rn sido puestas como puro ejemplo. Las lógicas polivalentes estan en periodn const ituyente, y ello significa que el campo está abierto a multitud th propuestas en este sentido.

-

q} -+ {p

V

-rp

1

1

i

l

o

o o o

o o o

1 1 1

o

t

o

!

l

o

l l

i

t

t

1

o

t

1

l

1

q) .... -. fl

1

t

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

t

1

q) " ""1

! t t

!

o

1

(p -

Tampoco es una tautología el esquema: [(p .... q¡ " (p ... -. q)] .... -. p

Su tabla verdad, en efecto, sería la siguiente: p

q

l 1 1 t l o i 11

t ! o o o

o' 1

t

o

p-q

1

! ()

J

1 ~ 1 1 1

-r q p ...-.q

o

(p-+q)A(p--rq)

-.p

(p-+q)" (p-

o

o o o

t

o

t

t o

i

l

l

o

!

1

t

1 1 1 1 l

1

o t

l

!

~

1

t 1 1 1

--.q)-+-r fl 1 1 1 1

'

2

1

1

l

1-

l J

1

l

Ni lnmpoco sería una verdad formal, en lógica trivalen te, la siguicuh•

q)

ley de la lógica de dos valo res:

es. según puede comprobarse, una tau tología también en lógica trivalcntr Tomemos, sin embargo, una tautología de las más notorias dt· 1 • lógica bivalente, el nrodus tollendo rollens [(p -+ q) " -. q] -+ -. p. Hag.1m.' su tabla de verdad en lógica trivalente:

(p--. p) .... -.

1'352

Como puede verse, todas estas expresiones que pierden su carúctc1 tautológico al ser evaluadas en Jógic-d trivalente pertenecen al grupo

...

.u a Con una excepci6n : seg6n ..t:ukasicwicz, cuando el antoc:cdente tiene c:l .,..alor t t •1 coMCcucntc el valor O. e:l.condíc:ional Yll!e ~ (y DO 0). Se puede discutir. aunque 1'~~~~'., razonable c:l criterio de.t.utas.iewict. Si el amettdeate valiera l. d t:oodicional \ahtn•h• u d consecuente- nidria O. Si el antcc:edcnte ,.....l~ra 0, d condicional Y;lkln"' 1 H•• atarlamos m el cuo ().()).. PeTo valimdo el an1ecedctlte l. parec::c rn<'nabk rtll'''.. t que no podtmos indinunos ni por b 'crd;~¡d 01 por b falsedad dd cond•u•m.-1 ~ 1 form:ado.

(p - q) " -. iJ

o 1 o t o o

Sigamos con nuestro ejemplo de lógica trivalente. ¿Hay tam h•~" en ella, como en el cálculo bivalente de enunciados, tautologías'/ l'n1 supuesto que si. Una e~ presión como 1\

-. fJ

1{

t 1 t t t o

Las lógicas trivalentes constituyen -ya lo hemos dicho, y, aden"" es o bvio el nivel más elemental de la lógica polivalente. No es diOul imaginar una lógica en la que se ad mitieran cuatro valores de verd:ul En ella los enunciados podrán ser: 1) Verdaderos; 2) Mas bien verdadc1u que fa lsos: 3) Más bien fa lsos que verdaderos; 4) Falsos. O cinc~> En una l6gic.1 que operara con cinco valores de verdad habría, o pod1111 haber : l) Enunciados verdaderos; 2) Enunciados mas bien verdaderos '1"' fa lsos; 3) Enunciados indeterminados; 4) Enunciados más bien falsos q1tt verdaderos; 5) Enunciados falsos. Etcétern.

(p

P""'l

{J

Su tabla de verdad: p

1

.,,

'

11

1

1

11

'

r-:,.

(p - -. PI -., p

' '

1

Más aMA de esto librO 307

308 lnlro
de leyes llamadas «de reduccO<>n ul ;~!>;urdo». Es lógico que "" por cuanto la reducción al absurdo sólo opera oomo tal en una Mtu.l\ 1"" «binaria>>, es decir, en un contexto en el que 'p v -, p' es una ~taohlluJJI·•

Ahora bien: 'p v -, p' es el principio de tercio excluso. A nadie fllll'lh sorprender que la lógica trivalente - y, a forriorl, toda lógica 11uc 111"'" con más de 1res valores- no se a tenga a ese principioJ". p,,.,ll" es que las lógicas polivalentes se construyen precisamente transgr<"11 lente lo son también en lógica bivalente. La inversa. sin cmb•uroo

no es \'erdadera. Aunque no falten precedentes en el siglo XIX, suelen consic.lc1.11 oomo textos fundacionales de la lógica polivalente los de -l:.ulli\I
Un csludio histórico y sistemá tico muy oomplcto de las lógica' 1'"" valen tes. acompañado de una bibliografia sobre el tema hash• el ano I'IM puede encontrarse en: N. RESCII I!It: Mtmy-Vtrlu#d Logic.

Nueva York, MncGraw· Hill, l969.

Ahora bien: has lA el mo mento hemos venido hablando de 1:1\ l11~1· 1 polivalentes en abstracto, por así decir. Las hemos presentado "'""" o fueran sobre todo un fruto de la imaginación lógico-formal pun1 , ''"" si la introducción de otros valores de verdad además de los dns ,,11"" clásicos constituyera el resu ltado de un s imple afán experimcntathu 1'"1

así a veces- oomo un intento de explotar las posibilidades baslr:tu." de la lógica: han menudo han nacido para hacer frente a las nece,,i
El actual rey de Francia '"'calvo

l)resupone el enunciado

parle de los lógicos, que quisieran ver lo que sucede cuando so Hunu·u11

el numero de los valores de verdad admitidos. Y lo cieno e• ' 1"' l,o lógicas polivnlenlcs no han surgido sólo - aunque sí hayan 11111~11 1 11

Existe actualmente un rey de Proncia.

~n efecto: pa ra que el primero de esos dos enunciados sea lwt·tlwlmo

o falso so necesita que el segundo sea verdadero. Para <1ue el cuunci.odP J:>:>

Su tabla de

verd;;~.d.

en lógica tnvalcntc:. scrl• : p V-, p

p

,,. Como recumt-n denso y perfecto dd rstado de tos estudÍOI$ 14>twe l.1 fWc:'\UI"lot'""'"'" \fase la .ntrodlh.,t<'n dt> V \,n\che1 dt bn-alt& a la Parte: pnmera dd \olumcn "'"JUfto(k' d4' '"

1

o

~nmptlacKm .~M.If'Uj¡ 1 t

1

1

lclrtld,

()

11176, lll.,.. ' ..... ( fr . 1' t' 1l 1 L

'"''"" ,., 1,, lll'li/'dftiNI tmn~ftH'rnHtorlo

¡iCt 1 '

ur1

~bdml. 1\lutl/d 1 d1

'"''" lll ll:•)'il · 1-..m~ M••uMn 1- ( u 1'1 J.l 1'·•.- :U

Md• olld do es1e libro 3011

308 Introducción o 18/ógoeb lorn•ol

'1;;1 autor de la musica de la opco.1 1 t~l.\lajj murió en 1901' ;ca vcrd.ulro o fa lso hace falla que la descr1pción 'El autor de la música d~ lo ópera Falsuif!' no sea una descripción vacia. Hace ralla. dicho de <>11 manera, que sea verdadero el enunciado ' Existió un autor de la mu•l• 1 de la ópera Falsraff'. Así pues, el pnmer caso paradigmático de presuposición está reprc ,." lado por los cnuncoados singulares: un enunciado con un sujeto 111011 vidual designado por un hombre o bien por una descripción- pre>U!'
Pasemos al segundo caso, al que ya nos hemos referido en el capitul" 111 de esta o brn bajo el epígrafe «l..a lógica y el mundo». Un enunciado """' TodM

los que tnkn1an hacer compatible el cristianis-mo con el mar:u ..mu

n

en el fondo «tshanos

presupone el enunciado f!lu:Ucn pcnonas que mtcnt:an hacet compatible d cristianjsmo con el nl.lr\1'"

Es decir: un enunciado universal presupone que su univcrs<> oh 1 discurso no es vado. Un enunciado como 'Todos los poemas de Jn)" son inrcriorcs a su obra natraliva' (enunciado esquematizablc c•u"" A x A y [(Px " N y} - 1xy]J 356 presupone el enunciado 'Existen poemu\111 Joyce'. Un enunciado como 'Todas las declarnciones derechistas de llurv1 son olvidablcs' presupone que Borges ha hecho declaraciones derech" ' " 12n :sumu: un enu nciado universa l, esquematizable siempre couw un enunciado en el que se dice que todos los que poseen una determ111111 l11 propiedad poseen por ende también tal otra propiedad, presupone la \'C111.111 del enunciado que afirma que existen individuos de los que es verd;odr~<• el predicado que representa la primera de dichas propiedades. El !creer caso paradigmático de presuposición no se refiere '" ·1 términos singu la res nombres o descripciones- ni al cuantificador 1.tn1 " 1 sal. sino a cierto tipo de verbos. Verbos como lamentar, olvidar. scn111 . ofendido, darse cuenta. arrepentirse, etc., En efecto: un enunciado ''""" Oomln¡uu ¡e d.a cuenta de que no todos los filósofos an.alhioot son rt.t· "' nanos

presupone la verdad del enunciado 'No todos los filósofos analitot~" '"" reaccionarios'. De modo parecido, el enunciado 'Lord Byrun l.onwntu haber admirado a Napoleón' presupone el enunciado ·Lord Byron admu 4 ,, Ea decir· 'Par. lodo ' y potr
a Napoleón'. El primero de estos enunciados no seria ni verdadero)

01

falso a menos que el segundo fuera verdadero. Confiamos en que los ejemplos que hemos puesto sirva n para. de una parte, haoer entender cabalmente en qué consiste la relación de como relación lógica (semántica), y, de otra parte, parn poner de manifiesto su importancia. La relación de presuposición rio pucdt· confundirse con la relación de implicación (a la que. sin embargo, se h:oll.1 próxima). En efecto: decimos que un enunciado implica otro cuandll 1. Si el primero es verdadero, el segundo es verdadero. 2. Si el segundo es falso. el primero es falso.

La relación de implicación se despliega, por tanto, a tr.H és del ~ru>tlll\

punendo poneru y del mod11> rollendo tollens. Como puede verse. la relac1im de presuposición y la relación de implicación tienen algo en comu n cuando un enunciado implica otro, si el primero es verdadero tamtlocu lo es el segundo. Lo mismo ocurre en el caso de la presupos1cmu Pero, por otra parte, a mbas relaciones difieren en un aspecto cruc1.11 mientras que en el C'dSO de la implicación se cumple - diríamos incl1"" 4ue por definición el modus wllendo tollens (esto es: la ley según la cu.11 la falsedad del enunciado implicado conlleva la falsedad del enuncoad11 4ue lo implica). en el caso de la presuposición no puede decirs~ •,ltou tnnto. Cuando un enunciado presupone o tro, la falsedad de este uh111111 no huoo que el primero sea falso : lo que hace es que el primero no "'•1 ni verdadero ni f:o lso. Así pues. la de presupos ición es, po r una parte, una relación pccllillll entre enunciados, una relación entre enunciados irreductible a cualqtllt'r otra de las conocidas. Y es, por otra parte, una relación que es impo>s1hlt• no tener en cuenta s i se quiere que la lógica formal conserve su .1 nuestro juicio, indispensable- contacto con el lenguaje de la vida. t'u 1.1 explicación de esa esencial actividad humana consiste en hablar descmrw•l 1 papel fu ndamental el entendimiento del fenómeno lla mado ' presupos"""l S:1lvo que se defienda una concepción de la lógica que baga de é-1,, "" a la postre cómodo lenguaje de laboratorio, parece inexcusable :ululllll en ella. con todas las consecuencias, el hecho de la presuJll"'""" Y admit ir ese hecho conlleva el reconocimiento de la posibilidad de que"" presuposiciones rallen. Admitir, en un cálculo lógico, la relación de posición es admitir la eventualidad de que sean falsos los enunc1.t
f"""'

h.tya

CllUO\.t.HIII

plt upur •11' 1 \.J\IC

son ralsos. admitir

CSIO

último

C\ .t \11

Más allá de esto libro 311

vet. admnir lu cxistcncm t.lc cnuncmdos que no son ni \Crd.u.lch,, ''* falsos. Que no son ni verdaderos ni fa lsos porque para poder ser In 11111 o lo otro sería preciso que rucm verdadero un enunciado

prcsupur ''"

por ellos- que no lo es. Enunciados como 'El rey de Núp<>k' • dipsómano', que no es ni verdadero ni falso porque Nilpolcs no e\ Jo, un reino.

¿Qué hacer. entonces? O bien excluir, por procedimientos m.• menos refinados. la molesta existencia de presuposiciones•. h.,.,.,.,, de ellas una enfadosa particularidad del «lenguaje de la vida»
Sobre la presuposición en general: O. f"k6Cil!• .,Obcr Sinn und Bcdeutung>). Zeitscllrifr.for Philosophie lmd tJMio~n¡l/•1 •-.

l-LinguLftic Pa¡wr... 1 urt•l• Mcthucn, 1971, p6gs. 15 y ss. H. LWI'ARD. •The Logic of Existcncc,., Philosophical Swdies, 7 ( 1 956~ p:,~, •l't 1 u

Un segundo ejemplo de esas lógicas que. como la prC>uJl<"" 1 •tt 1 no son polivalentes por principio sino por necesidad nos lo P"'l'"'" n• • En este punto quedó mterrumpido d manuscrito de Alfredo ()e:ti\o 1 •• ~~ • hasta d linal de-l Clpil\lto IV. h.a sido reconscruido a panu de notas suchas y C'kfll'" •utnto tobrc kmllt afines Aunque por ese cam1no rquha imposible fo-rnur un.• C''l"' sute.mlttc:a y cohet'C'ntc de lu icku mis reoente.s ck A. Deaño, al nK"nc., ~ Jttl~ .1 • 6d puo. dando al c:aphuJo un aspecto c:omp&cto. (Tocbs bs notas qut>. tn In ''"' se 1nchqu.eo por mcdH• de asr«iSO.l pr~n de k\S editores.)

l.t llamada <>"'· El tema de In vaguedad - que los conjuntos tienen bordes nítidamente trazados (no en vano se lo' presenta habitualmente mediante un circulo), de tal modo que cabria en cada caso decidir con toda rotundidad si un determinado individun es o no miembro de ello . Lofti Zadeb ba comenzado a elaborar una teoría de los conjuntos vagos o borrosos, por respecto a los cuales cabro.1 hablar de grados o matices de pertenencia. Así. frente a la teoría «nornmh• de conjuntos. que presupone que Jos conjuntos tienen bordes nítido,, bte~ perfilados. se alzaría la exigencia de bacer la teoria de aquell<" con¡untos -que son. evidentemente. la mayoría- cuyos bordes ""'·"' ~~~usos. co~ s! los viéramos a través de un cristal empailado. El conccptn numero prrmo no es un concepto borroso. y por ello no es un con¡untn borroso el de los números primos. Pero, ¿qué decir de conceptos tales 00111 , 1 el de '.perso.na al~a· (¡,cu:\ nto hay que medir para ser alto?), el de 'libtn volummoso, o, St se prefiere un ejemplo menos trivial, ' filosolia critica"' S,Obre esta linea retoma George Lakoff el estudio de lo que Jm lrngulstas llaman «cercas semánticas (semamic ltetlges). Como dice Vicw 1 S
m{ts ... que o tra cosa estrictamente

en un cierto sentido uproximadamente

en sentido técnico en términos generales considerablemente etc.

Se trata, según Lakoff, de palabras cuyo significado conlleva implicit.o mente borrosidad, palabras cuya función es hacer las cosas más o meno' Hl No parftllt oportuno adoptar 1.1na craducción literal y habbr de •Jó&ica '111p ,. hmrosa.». Lo "•'Ji, no es la ltorb, d objeto que CSh«lia.. ~ otro modo. serA amk• uphcar tarumudt":li'Kin un• trrmb 10bre las causas de la tartamudez_ u,... •lJnklult \•ttHtrkunnh ylim1tn de la ling\lislic:a transform:uoria•. En R.-r 1H,1 1 lfYAtal.l 4.,. 1 lty1l 'lA 1 1 te""ntht JUnto. 1975). páp. 45-86; J'al- 64i, n 11

••n.o

312

/f}troducclón a la lóglcnlt.mt~o~l

borrosas. Desde el punto de Vl\t,, hnguistico se trata de un temo~ -*' absoluto intrascendente o de puro detalle. Piénsese. por ejemph>. rn 1 cerea semántica 'una especie de' y supóngase que alguien dice ' lit era una especie de lechuza'. Se repararA entonces en lo siguiente : ,ti tlt u de alguien que es «Una especie de lechuza», estamos, por medio d•· t cerea semántica, af1tmando las connotaciones del predicado 'let hn 1 al tiempo que presuponemos la negación del significado literal. Es evut1 ut que Hegel no era, literalmtnU, una lechuza, aunque pueda decirse Y 1"" matiz meliorativo- que posee a lgunos de los rasgos de ese 11111111•11 (aquellos, por ejemplo, que permitian ha blar al pro pio Hegel d1 1• <>, una teoria lógica pecu lia r. Volviendo a nuestro tema. tl11l11111• que aquellos razonam_ientos en los que figuran enunciados hl•ltu ' requieren, a lo que parece, un tratam iento lógico especifico. una •cfu::1 ¡,.,,1, Por otro lado, psicólogos como Eleanor Heider han realizad<' «(1• 11 1 cias de las que parece desprenderse que esos conjuntos lx11 """ " escasean, y que lo normal es que la pertenencia de un indiv•duu u u¡ conjunto sea una cuestión de grado. Si la mayoría de los conceptos del lenguaje ordinario son V•l~" '' rallarAn en el lenguaje ordinario los enunciados vagos, como tallll~" ·• 1 vagos razo namientos. No sólo no raltarán, sino que serán 1<~ """"" Ni la lógica ni mucho menos la lingli istica pueden permanecer a ¡cn11• 1 • t hecho. ¿Por q ué no adopta r, ento nces, una lógica que asuma 111 v.1~111 o1 • J reinante en el lenguaje, una lógica construida sobre la idea dt• '1'" 1 verdad y la falsedad son valores limites de los enunciados, y '1'"' 11111 esos dos extremos caben múltiples posibilidades'/ Dicho así cabrla pensar que nos hnllamos ante un:t 1/l¡¡icn P•IIIV11I1111 más. Ello sólo es :•si en cierto sentido. En lógica polivulontr <•11llt11 11

Más allá de este tllxo 313

huy valores intermedios - uno, o infinitos- , pero esos valores c~titn bien precisados, y a cada enunciado se le asigna uno y uno sólo de ellos. Sin embargo, en ésta que podrlamos llamar <> no 1eria una verdad formal, y una expresión como «p y no·p>> no sel'ia una contradicción.

Sobre la lógica de los en u ncittdos vagos puede verse : 1.. ZADEH, «Fuzzy Sets». ltiformatlon and Control. 8 (t965), págs. 33ll y ss. J A. ÜOGUEN, «The logic of lnexact Concepts>>, Synthese, 19 ( t969), págs. 325 y~' ta Syntlrese: Número monogrifioo dedicado a «Tbe Logic Semantics of V.o gueness•. Vol. 30, núm.. 3-4 (1975).

Sobre la lógica polivalente en general puede verse, aparte de Jo, mapas sobre el conjunto de las 16giats no clásicas de N. RESC HER, «Des.arrollos yoricnwciones recientes en lógica)>. Teorema, 2 (junio 1~n 1), págs. 51 y SS. N HA.t\CK, Deoiant Logic. Cambridge, Cambl'idge University Press. 1974.

l11> siguientes obras: J 8. ROSSER· A. R. T VRQVt.Trtl. Ma>1y-Val11•d Logic<. Amsterdam, North llull.u111 Publishing Company, t95l. A A. ZINOV'EV. Philosophical Problems of Mlln)•Valu•d Loglc. V. inglesa de G . lo. u u~ y D. O. Comey. Oordm:ln (H olanda~ D. Reidel Pubtishing Company. tillo 1

1" Mgica m odal Otra característica de la lógica clitsica es que se trata de una lógica p u· .lltlltlelnteasertórica. Q uiere decirse: no es sólo que los valores de verdad c11 considerados sean (mica monte dos. Es, además, que los enunciados - las idades de las que se predica la verdad y la ralsedad- son o bien vcrda · a sec..1s o hi~1l fu l~u~ a ~CCII \, sin matices. D icho de otro modo: en la tJUC hcmu"' \ll'fl lllo \o lrndo uu huy mús que dos altcrn:1tivas: o se ufil·

MM llflá d6 este libro 315

314 lntro
ma una proposició n como vcrdadcru :.m más. o se afirma una propo\:nlntl

como ralsa s in más. Por lo tanto, no hay, en primer luga •·. vn lu11 intermed ios -cuya admisión. como acabamos de ver. conducirla ·' l 1 lógicas polivalentes-, ni tampoco hay, en segundo lugar, matices. Ouu" decirse: no se admiten modalidades de esa verdad o de esa rah•••li" l Pues bien. In lógica que se ocupa de esos matices se conoce como « l u~l • modal». La lógica modal cabe entenderla en dos sentidos: en sentido restrm-hl• y en sentido amplio. El sentido restringido de la lógica modal es el "'""'1' clásico. En la lógica modal así entendida sólo se estudiarían "" "" llamadas «modalidades alécica3» o modalidades de verdad. Mod:~ l ul.uh de verdad serian «necesario», «posible», «imposible>> y «eontmt~"'' La lógica modal alética -organizada, como cualquier otra lógico• '"""''' en un cálculo de enunciados y un cálculo de predicados de dl\lllll• órdenes- es1udiaría las relaciones de inferencia entre enunciados :1fctl,,,1,

por algunos de esos operadores modales. Comencemos con la lógic;• """1•1 en sentido clllsico. En el discurso ordinario no nos limitamos muchas veces a dccu , 1" '' ejemplo, que p (o que no-p) sin más. sino que matizamos. Y de• in" la mbién, por ejemplo:

es necesario que p es posible que p es imposible que p no es posible que n o-p no es imposible que p es imposible que uo-p etc.

Una expresión romo:

o-, P ae leer;\: 'Es necesario que no-p'. O, lo que es lo mismo: ' Es impos ible que p'. Por su parte. la rórmula

-,o-,p querrá decir : 'No es ne=ario que no-p'. Dicho de otro modo: 'Es posible que p'. Tomemos ahora corno primitiva la noción de posibilidad Representaremos 'u posible que...' con el slmbolo 'O'. Tendremos entonces :

Op oOp -,0-, p

A estas chl usulas - ·es necesario que.. :, "es posible que .. .', ·es lm¡tmiM

,,,¡,,, •

En un sistema moda l, por L1nto, podria introducirse 'O' como slmbolo primilivo, y definir 'O' como •-, O -,'. O introducir '\/ como primitivo, y definir 'O' co mo .._,O-,·. Enunciemos algunas leyes de la lógica modal proposicional. Po •· e¡emplo: (2) 0 11 - p (3) (11 ... q) - (0 p .... q) (4) -, <) (p v q) ... (o O p " (5) (p V Q) ._.. (<)p V <) q) (6) (0 p V rJ q) _, 0 (¡1 V q) (7) (p " q) .... (0 p q)

o <> <>

Etcétera.

,·

o

-,0 q)

"o

De una pa rte, pues, la lógica modal puede entenderse como un sislc'"" lt\gico específico en el que se esludian las relaciones de inferencia ""''e proposiciones nrectadas po r operadores modales. Así Jo hizo Aris tóteles en su s istema de silogística modal. Así lo hicieron los lógicos de la !laja Edad Media rorrnulando - al nivel de la lógica de enunciados, y en la r.,rma de reglas de inferencia- con.sequentíae modales (por ejemplo: ,,h opportere (111 esse ualec con.sequentia Ho. o ab esse ad pasee oolec emrsequentla) u~. Hl

'lu~·

'No es posible que p' = 'Es imposible que p' 'No es posible que no-p' = 'Es necesario que p'

(1) p .... <) p

q..e...' - se las lla ma operadores modales. La lógica modal nace con Aristóteles. Fue él, en erecto. el en comprender que las nociones modales desempeñan un papel •k•l•l en la validez de ciertos tipos de inferencia. No vam os~ sin c1ufMIJ por razones obvias. a seguir aquí todas las peripecias habidas en la hl•l»to del análisis lógico de las modalidades, sino que nos limitaremos " "'" 111 mostrar cuál es el sentido radical de este apanado de la lógic;•. Con ayuda de In negación, todas las nociones modales pueden u·•l"' " a una. Y esa una puede ser, o bien la noción de necesidad. " h11" 1 noción de posibilidad. Convengamos en simbolizar la cláusula 'es necest1rit' que. f"" Una rórrnula como:

se lcerj. entonces.. ·t:.' nc:c.;c,,um

'Es posible que p'

JU

t2•

Re&Ja c1u..- naut"~le • la ley amba expuesta. Rq.la 41U(' f"'lllltUif" • 1·• lf)' fl) 11rnbl expue:su.

Mds alfó
316 Introducción o lo !Ogieo l ormtd

Pero hay otro modo de entender la lógica modal. Entendida de ese modo queda patente toda su importancia y, aún más. toda su radicalid:od dentro de la teorla de la validez formal de la inferencia, dentro de In lógica formal. La lógica modal puede entenderse como el estudio de In noción de necesidad lógica. En efecto: ¿Cómo define Aristóteles el silogismo, o la inferenciu v~lida en general? Como aquel discurso eo el que, puestas ciertas cosas. por el hecho de haberlas puesto se sigue necesariamenu algo distint<> de ellas. Hemos dicho repetidas veces que un razonamiento es formalmente válido cuando, si sus premisas son verdaderas, necesariamente lo es también su conclusión. O, dicho de otro modo, cuando es imposible que su' premisas sean verdaderas y su conclusión falsa. Obsérvese: no es que en una inferencia válida la conclusión se.o verdadera con verdad necesaria. No. Es que es necesario que sea verdadcr.o si lo son las premisas. La necesidad no se refiere ni a las premisas ni a lu conclusión, sino al n~xo ~nrr~ unos y orras. Es decir, no se trata de que ,¡ es verdad que p .... q y es verdad que p entonces O q. Se trata de '1"'

0 l[(p -+ q)

A

p) -+ q }

Donde el operador O afecta directamente al condicional que represcntoo el paso de las premisas a la conclusión. Nos encontramos entonces con que el «objeto formal>> - para hHhl101 en los términos trndiciona les- de la lógica no puede ser definido ~'" recursos a nociones modales. Es esencial a este respecto la obra de C. l. Lewis 360 . Según Lcwi~, la noción bilsica de la lógica -que es la relación de deducibilid1ool ('Y es deducible de X', o lo que es lo mismo, 'Y se sigue formalmcool o de X ')- es algo demasiado serio como para representarlo medianlc ooo; condicional, símbolo de una relación excesivamente débil. Frente a la ' implicación material' - que es, como sabemos, oolooo nombre del condiciona l- Lewis fo rja la ' implicación estricta'. Su prop(""" es el de ''Onstruir un ci;lculo en el que 'p implica q' sea sinóninw olo 'q es deducible de p'. Recuérdese que 'p -+ q' s ignifica, s implemcntr 'no es el caso que f1 sea verdadero y q falso'. Recuérdese que la ion¡>loo o cióo asi entend ida - como implicación material - conduce a par:O
Es decir: si un enunciado es falso, todo condicional que lo tenga como antecedente será verdadero. Y si un enunciado es verdadero. será verdadero todo condicional en el que ese enunciado figure comn consecuente. Unese a esto el hecho de q ue en el cálculo de la implicación rnatcri:ol no es posible trazar la distinción -cuya importancia no hace fallu encarecer- entre proposiciones simplemente verdaderas y proposicinnr• lógicamente necesarias, y entre proposiciones meramente falsas y propos o ciones auto~ontradictorias o absurdas. Por si fuera poco, hay algo más que impide que la implicacil>n material. p - q, tenga las propiedades de la relación 'q es deducihk de p', y es que, en términos de implicación material, no hay dos prn posiciones que puedan ser a un tiempo consistentes e independiente' Una proposición es consistente con otra cuando de la verdad de la primco .o no se sigue la falsedad de la segunda, y una proposición es independicnlr de otra cuando de la verdad de la primera no se sigue la verdad de l.o segunda. Si representamos la relación· Y se s igue de X' mediante un condicional - 'X -+ Y'- es o bvio que dos enunciados no pueden ser a la vet consistentes e independ ientes. En efecto: dos enunciados, p y q, scriooo consistentes si

Aho m bien : de eso se sigue

Y eso es la negación de que ¡> y q sea n independientes. Porquo r> y q son independientes si se cumple -,(p .... q) En suma : en la lógica «normal>> -la que nos ha ocupado a hotl" lo largo de este libro- ocurre que, dados dos enunciados, o bien r1 primero es condición del segundo o bien es condición de la ne¡;acoooo de éste. Con o tras palabras: el esquema (p

-+

q)

V

(p -+ -, q)

.... Cfr. C. l. Lcwis y C. H. L:angt',ud, Sl-mbolic Logk'. Publicada en 19\1 ..,, h t.ada en l9S9 por Oovtr Pubficomnn¡, Nucv• York. Para '-,) qlle stttuor. \'('.Ul• • r

es una tautologla. Asl, pues. viene a decir Lewis, si la lógica aspira a presentarse como un canon de la inferencia deductiva, tiene que definir de maner.o m6s estrict:o es;¡ relación de deducibilidad que constituye el núcleo de ""

dalmente ICH capitulo' \fl y VIII

rreOCUp;tCU\Ilf'ill

Más allá de este libro 319

318 Introducción 8 la lógico IOtmfl(

y Lewis defme la implicación

c;~ricta. Su símbolo es

X ~Y = Df•--, <) (X"--, Y)

Lo esencial es la presencia, en la definición, de la noción de

1"'

sibilidad. 1 ·~ Por supuesto que si un enunciado implica estrictamente otro wn~ lt " lo implica materialmente (es decir, también es verdadero el cond•cullllll formado por ellos). Así, pues, si se cumple

p-sq se cumple también

Ni que decir tiene que la inversa no es cierta. . Esperarnos que con las consideraciones hechas hasta."~'" ' ' "' •h -esa es nuestra única intención- suscitado el tema de la logsc:1 11H11 I11I Ya sabemos que podemos no limitarnos a decir «p>) o «q». didt••ul~t también <>, «es imposible que q», etc. He aquí algunas referencias a textos sobre lógica modal: Meoning and NeGes.sizy (A Study in Semantics and Mod.:ll 1 11 tfl• 1 Chicago y Londres, Thc University or Chicago Press. 1947; 2.' ed. am~>lm(lu. I•J ,¡, G. E. H UGHJ;s-M . J. CKESSWELL., An Jn rroduclion lo Modal Lf'I(Jif, 1 t~wtt_. Methuen and Co., 1968. V. cast. de E. Guisan : Introducción a la 16aku mo~.l.• l Madrid, Tecnos. 1973. R.

CARNAP.

Ahora bien: las modalidades de que hemos hablado no son 1:" ' " "' • Todavía nos quedan más posibilidades, de las que hacemos uso temente. Decimos, por ejemplo,

C"'"' "'

es o bligatorio que p está permitido que p está prohibido que p

El estudio de la lógica modal a lética se remon ta, como es bien sabido, a Aristóteles. Sin embargo, desde hace aproximadamente veinticinco ailos -desde los trabajos de Von Wright de 1951-, la denominación <> se emplea también, como deciamos al .comienzo de esta sección, en una acepción más amplia. Además de las modalidades a lética~. existirían modalidades episrémicas - verificado, no decidido y falsado u refutad()-, existenciales - universal, existente, vaci()- y modalidades deonticas -como las mencionadas en el párrafo anterior- . De especial interés son estas últimas, cuyo estudio es objeto de la lógica tlel1111im. La lógica deóntica -a la que es razonable considerar como una rama o desarrollo peculiar de la lógica modal- , se ocuparía de las relaciones de inferencia entre normas, es decir, entre proposiciones prc, criptivas. Cierto que las normas no tienen, a Jo que parece, valores do verdad. Ello no impide, si.n embargo, que entre ellas puedan en tablur;c relaciones lógicas. As~ por ejemplo, de que algo sea obligato r io pucdt• seguirse que alguna o tra cosa está prohibida. Entre las obras sobre lógica deóntica hacemos referencia en prinw• lugar al espléndido trabajo de M . SANC I•I J;Z

MAZAS, Cálculo de las Normas. Baroelono, Ariel. 1970.

Hay q ue señalar el importante s ignificado que para la lógica encicl'ra t•l nacimiento y presente acelerado desarrollo de esta disciplina entre {llllll!l Durante siglos - y con sólo algunas excepciones aisladas-, la ló((IC:O "'' habla ocupado exclusivamente de lo que desde Aristóteles se "" " '" l
Este tipo de m odalidad - <>, respectivamente}- recsben el nombre dades deónticas>>. A las modalidades que nos han o~u~ado se las denomina <>. "AiéticaS>>, de ••a.!l¡(h:sa>>, "Vl'1•'"'1

de'''""''"'' h'"'" '''1"'

36 1 Es decir. (p...gq)-9(P- q), VétlSC: A. R. Anderwn y N. De: lkhlllf', h , •· 1 h• 1 11 Cakulus or Ent 11itmeno•. 'fl1r Jmmwl
R. HILPlNEN, Deontic Logic (Introductory and Systematic Reading). Dord•·c\.IH (Holanda), D. Reídel Publishíng Company, 1971. G. K ALJNOWSKJ. La togique des normes. París, PUf, 1972. Lógica del di.'llt'ur:.·o normativo. V. e. de J. R. Capclla. Madrid, Tccnos, 1975. A. Ross. Directi,..s tmd Norms. Ro utledge and Kegan Paul, 1968. V. cast de J. Hierro : LOgict1 de las normas. Mad.rid, Editorial Tecnos, 1971. G. H. v. WRIOIIT, «O<.'Qntic Logic». Mind. vol. LX ( 1951 ~ págs. 1-15. O. H. v. WRI(III ' · Notm ami Attlon (A Logical Enquiry). Londres. Rourlcdge and KcA:w l'uul, l•)(d, V cnst. de P. G. Ferrcro: Norma y m·ción (Uilll iovcstig.tu.:•<•n lt•~h ~•) Ml••l•ltl, h luorial 1"ecnos, 1970.

Más allá de este líbro 32 1

~ lnlroducción o loléglca '""'"''

0.

H . w, WRIV Wf, ~ A N..:w

S)'\ICIU

PI l)cnut u; Logk ». Rccogidt) en R, l l1l

pinen (ed.), cit., p¡lgs. 105-120.

En linea de esta extensión del análisis formal a discursos no apofun ticos tenemos asimismo las tres disciplinas siguientes : 1..6gica tle los mandatos. a la que cabría caracterilar como lógica de lu' enunciados 1mperauvos. Vtase. por ejemplo: N. RESCHER, The Loglc of Cllfftmanlh. Londres, Routledge and Kegan P:lut (N '

Dover Publicauoru), 1966. Li1 16gica tle la preferencia y la elección, a cuyo cargo correría .-1 estudio de las relaciones de inferencia entre enunciados llamados estimcuu" Vtase. por ejemplo: G. H. v. WRIOIIT, The Loglc of Prt[a, 1967.

La lógica erotétlca, es decir, la lógica de los enunciados intcrwp.• tivos, o, si se prefiere, de las relaciones entre preguntas y respuc''·' (o también entre las preguntas y sus presuposiciones): D.

liARRA H, Comtrnmlrllllon: A Logica/ MO
TI1c M

1 1

Mencionemos una Ílltima disciplina : La lógica cronológica. Est"''"" mente lignda a la lógica modal, cstól <>, como tt1111hi1 n se la ha lla m:ldo, surge del reconocimiento tanto de la cxislcncl11 ,¡, esquemas de inferencia e-~pccificamente temporales, como de la imiJ
GARI)IES, Lo loglque du ~emps.

J>aris, I'UF, 1975.

Es preciso señalar que, pese a lo que pudiera inducir a pcrho~r hecho de que las hayamos ido mencionando por separado, mucha,
en erecto, se us¡rn a menudo expresiones q uc responden al esquema «la lógic" de ...». En muchos casos, s in embargo, ello no designa sino la aplicaciórr de los instrumentos de aná lisis formal a un determinado campo. En es1c sentido, y puesto que, como hemos dicho ya, las reglas de la lógica son universalmente aplicables, aplicables con mayor o menor intcnsidod a todo razonamiento, es obvio que podría haber una <>. En el primer caso, estamos rcf• n~ndonos a la aplic.1ción peculiar de la lógica a un determinado ámboln En el segundo, estamos aludiendo a una teorh lógica, a un desarrolln del corpus de esta disciplina. Ahora bien: si es preciso guardarse de confundir los distintos cálculn, lógicos con las di\·ersas aplicaciones de la lógica, es también necesan" l'e<>• ;eparados: la aplicación del aná lisis formal a una determinada m"tc11u puede revelar - y de hecho ha revelado en multitud de ocasiones. y sil>'"' revelando- insuficiencias de la lógica en su actual estado, y ha ""'" tituido, por tanto, un estímulo para su despliegue - para su ampliaciun pa11t su ulinamicnto- en una u otra dirección.

l'or ejemplo, eomo es bien sabido, la filosofía inruicionista de la rnull• rnática constituyó una re.~puesta a la crisis de fundamentos de t> crr d sentido de una sistematización a posteriori de las reglas del razomun i1.1 n1u ofecti vamentc empleadas por el matemático en sus cons trucciones. Scdu , pues, unu ló(Jict• de la nwtemátit a, un registl'o de las reglas admili,l" ' como válidas en esta ciencia. Ahora bien: en la medida en que el in 1rr ¡,¡., nismo supone uml contracción astringente de la matemática, la lli¡d•" intuiciouista scri' asimismo una lógica más restrictiva que la lógica clfl"'ll,l Asi, por ejemplo, como el imu icionismo oo admite que en malcm:•tl.,, todo enunciado haya de ser o bien verdadero o bieo falso (sin 1'"' ello, dicho sea de paso, admitir la posjbilidad de valo res interrncdHI\1. la lógica intuicionista no ad mitirá el principio de bivalencia. O tras 1><'< " liaridades de esta lógica se refieren a sus concepciones de la nc¡;ac11'>u y de la ex istencia (es decir, del cuantificador existencial). Asi pues, en resumidas cuentas, la lógica intu icionista es una restricción de la lóg~
322 lllffOduCcJón (i "-t JógJCll ftHrHIII Mds alld d8 BSIB Ybro 3;23

l)e hecho, hoy en día la conccpcollll ontuocooooosla de la lógica dcscm peña. en cualquier caso y como minimo, un papel de sobre-exi¡;co>bre lógica intuicionista véase, por ejemplo: A H•YTn
1,)gim <> y lógica «de.uiada»

En otro lugar 362 hem<>s señalado la impropiedad del calificati\oo «no-clásicas» aplicado a es1as lógicas que divcrgcn, en uno o más rasgo•. de la lógica que nos ha tenido ocup:odos a lo largo de todo este libru Para empezar, el término se resiente de la vaguedad que aqueja siempre 11 los términos negalivos. Si a eso se añ:ode que el propio Jérminu positivo, «(16gica)clásicm>, carece por compleJo de precisión, nos hallaremos nnlc una suma de confusiones.

No es fácil, sin embargo. encontrur una denominación que suslituy• "ésta. La de «lógicas divergentes» no parece inadecuada. Tal vez tampocu fuera malo llamarlas <>. Cieno que el lérmino «desviado» tiene casi siempre connotaciones peyorativas, pero no bay por qué neo Nut.:umbir al encanto de hl heterodoxia. Y, además, llamarles «desviadatm J>ermite hablar, por con traste. de «lógica oromwh>. y es éste un términn IJUC, en virlud de razones a las que alud iremos. quiu\ resulte en este con tc, a l hablar de lógica polivalente, de lógica modal (.olétical. de lógica deóntie
1 -as nociones «C<>nslituyen, por así deci rlo, una prelógica cuyo análisis "" es en modo alguno trivial>>363• La lógica no es, pues, sólo la lógica hovalenlc apofántica, a la que nos hemos cnlrcgado durante toda esta obra. ha lógica es, hoy, la lógica «normal>>, ndjelivo que, a ruen:a de ser usado wn matiz positivo, ha acabado por adquirir connolaciones desfavorables. Quisiéramos, para terminar, a ludir a un problema que nos parece el fundamental _ , fundamental problema lmerno- que la lógica tiene hoy planleado. Formulada muy en general, la cuestión quedaría encerrada en la siguiente pregunta: ¿Cuñl es la relación de esas lógicas no clásicas con la lógica clásica? Evidentemenle, esa relación no es la misn13 en todos los casos. No es la misma la relación que con la lógica clásiC'..o mantienen, por e¡emplo, la lógica intuicionista y la lógiee flfiJpOoren como rivale• y lógicas t.lue se proponen como suplementarias. Es dccil·, que su clasificación está pensada para agrupar las lógicas no cliosicas e11 [u11ció11 de los ¡/Topósitos t¡ue guían a quienes las COIIS!mye11, y no - o no wmbién- en función de la

relación que realmente parecen guardar con la lógica clásica. A veces la dislinción es irrelevante. La lógica crotética. pongamos por caso, se presenla como una lógica suplementaria. Y eso es lo que es: un desarrollo de la lógiCJo destinado a proporcionar un análisis formal s. Con respecto a la lógica modal alélica, en cambio, no podríamos ser igualmente rotundos: se la entiende usualmente como una lógica suplementaria, pero habida cuenta, por una parte, de que no han laltado quienes han querido considerar los conceptos 'verdadero' y 'falso' como conceptos modales, y, por otra parte, de lo antes dicho acerca de la necesidad lógica, no seria imposible entenderla como una lógica UJ O'r. 1-1 D. Curry y R Feys: CtnrthlMtM)' Logit'. Ams1c.rcbm. North-Holland Publishing Com¡»n), ~''~" Vrn•on ('aJtellana de: M. Saaisbo. Madrid. Editorial Temos. 1967. pilg.. 19. Un •mt~ru d• 1.. l••t•"·' ..C1uJI puede tnconln.ne en d artic:uto de N. Resc:ber. •Des.1rroUos y nntnl"• io•M u .. tllh ~n lntu•. Vmtón c:a.stellana en T~or-rntD .n.• 2 (1971~ póp SI-M J•• !kr""'' ,,..,,, e l111tbt 1•• e •nti•H•I,. IJtmC'nll)' p,65.. 197•

n.

111/r()(Ju(;(;j(Jf¡ S 111 /6glciJ lo"lllll

m .ol en 'cntodo glo bal. Y. ¿que decir de las lógica~ pohva lcnte>'l A 1'" mera vista, parecen lógicas rivales, enmendantes de la totalidad de la 1611'" "-" •ca. y en muchas ocasiones han sido propuestas como lógicas SU\tltu t""" de ésta. a la que englobarian como caso límite (de modo somilur • como . en tcorla política, el bipardismo sería el caso limite del pluralismo) l'cro he aquí que ciertos sistemas trivalentes--<:Omo, por ejemplo. el primero• de los que -t.ukasiewicz diseñó- resultan, a la postre, subsistemas dd c~1lculo bivalente ordinario; o bien que, por poner otro caso, se ha podid" de mostrar la posibilidad de reducir la lógica de Jos enunciados vagos " 1•>~-rosos a una lógica bivalente de ciertas caracteristicas. La dil'ícult11d estriba en que no sólo no está clara la posible solución de la cue-stión, sino ni siquiera el modo adecuado de planteamiento de ést:o. Cuund" cslo ocurre, dicho sea de puso, suele decirse que estamos ante uu pro hlcma filosófico. Todo ello plantea de nuevo una cuestión que pudiera parecer puramcntr \erbal, pero que no lo es (en tre otras razones porque apenas existen • ,, la lingüística). Se trata de lo siguiente: ¿cómo llamar a la lógica cl&sica ' 1J.o~ta ahora mismo hemos venido llamando la así. pero es obvio que ha; un problema de denominación que no constituye sino la o tra cara del prnblema que acabamos de mentar. Dicho con otras palabras : la cuestión del staws de lllS lógicas no clásicas respecto a la lógica clllsica plante~ orciprocamente, la cuestión de la naturaleza de ésta, y, subsiguieotementr, •·1 de su mejor cal ificación. Por relación a las lógicas suplementaria• 1111vc1. no seria malo llama rla <>, de la que esas lógicas serian desarrollos laterales complementarios. En otros casos bas taría con denomr· r1111l11 ((l ógica del discurso aporan Lic
~J,ob;ol ;e a¡xtrccerian, entonces, como intentos de absorber a la lógica r el hecho obvio de que haya sido en su seno donde haya tenido lug•lf la gestación de esas otras lógicas, s ino, sobre todo. porque ellas tccogen su herencia - sus pretensiones analiticns- p:utl hacer con ellas mios y mejores cosas. En el fondo, el problema es - como lo son todos los problemas oc.,Jmente impo rtantes- un problema de opciones. es dccit·, un pi'Oblema filosófico: el problema del carácter trllscem/enra/ - en el sentido kamlliM
no son, como hemos visto, sino extensiones del

llfllllisis rorma l a o tros discursos. l·n cualquier caso, hay dos denominaciones que, a la vista del prescntr • •t.odn de la cuestión, no nos parecen inapropi;1das: <1

\ ·cl,,,,n l mmri:». 1 ,, conveniencia de llamarla <> seria resultado de un,o h l.opt.wión - un tanto libre. sin duda- , al caso de la lógica, de la• '"" ole '·" ciencias a lo largo de su historia•. Lógica normal querria decor •ll( UI lógica aceptada como paradigma, como ejemplo de instrument" do análisis formal del que habría que partir bien sea para refinar!<>. hocn para desbordarlo asumiéndolo como manifestación no totalmentr hl¡;rada del desarrollo de dicho análisis. Las lógicas rivales en scntidn •

Mlls BIIA chJ OSI9 libro 325

Un 11nMis:i" de In nplicabilidad du 1"~ 1dt1ts dt Kuhn al
Lógica, liogü istica y psicología

4.

En esa primera revolución, que, a través de ;tu tores como Boolc o Frege, izó la lógica basta la categoría de ciencia estricta haciéndole, por ende, cobrar conciencia del sentido de su historia milenaria. tu,·o mucho que ver la mntcmática: en Boole, como ejemplo : en Frege, como problema. Quizá la lingUistica y la psicologia estén, hoy. cumpliendo con respecto a la lógica el papel que la matemática tuvo un día. Oc una parte, el surgimiento de una Jingliistica cientlfica -lccci(m !le CIIS1>S por la formulación de hipótesis, la labor

l)e.IIÍ'IO, (•C'icnci ••-. (,u .. wiN y lt' V\•IuuniiCII cic n1 tncu~ ! c:l C..'\ 1 '1<~ de 1!1 en V.u Íél'i, Flltl'lflflu tle lu ~ (f'lldlll' m• tm/,/,._,¡,, ( ,,ulr""" 1\c omlm /t•t•v ¡/1• 11tformui'lml

t'luedc verse en A. l i•¡pC.IIi,

(~tmll'rt 1r1l g\ flrUioiH ,

1 4, IY71, ,,,, 4b 11

• t ll

V~llt.c totllhlf C'lllt pu111" '\

prcnN.t

• ••

,¡,,,, ''"

tlllltf'l'''lllflt'"

c/t• lu M¡lfc•tt, M:•dl'id. T(turus...

J2e

Mlls 111~1 do este libro 327

lntt0duccl6n D 111 lógica formal

del tuxonomista por la del teórico ,,.,.. . y de otra parLe. el progn.''" de una psicología del razonamiento consciente de la necesidad de d111 preferencia al estudio de los procesos de razonamiento sobre el de luo resultados: resuelta a abandonar el estudio sesudamente tosco del compur tamiento de las ratas - propagadorJS de unto suerte de peste psicológic:o para concentrarse en la descripción y explicación científica de ese d" tonguido tipo de conducta humana que consiste en razonar; convencod• de que hacer ciencia no es hacer positivismo de pacotilla, sino arriesg¡orw. "'" la imaginación y -eso sí- someter luego a contrastación - goheo n.od" por la lógica formal- los frutos de esa creatividad. Todo ellu, dccionos, puede hacer que entre la lógica, por una parte, y, por otrn J.o Jingü ístíca y la psicología, se entable un ciclo de alimentación qu< ,¡,Jo redunde en beneficio de esas tres ciencias. Ese ciclo -<:Omo ense~• '" etimología- es un circulo. Aplicando la lógica -que es lo qut. entre otras cosas, hace toda ciencia que merezca tal nombre-, l• longoiística y la psicología están procediendo a poner lúcidamente d• rcheve las presentes insuficiencias de esa ciencia que utilizan comu tn,rrumento. l'or lo que respecta a las relaciones de la lógica y la psicologi.o, to.odocionalmente se ha consídcnodo nuestra ciencia como la teoría de 1... kyes del pensamiento. Constituye esto una in terpretación psicologista mu """ veces criticada y hoy totalmen te abandonada. Pero que no se pucdu 'e' psicologista en lógica no quiere decir que la lógica no guarde relaci6n 11l¡~u n:o con la psicología: hay una relación estrecha entre a mbas ciencinN, y tic ella se benefician una y otra. Tal vez sea Jean Piaget quien con muyor profundidad y ex tensión lo11 ela borado la conexión entre estas dos disciplinas. Salvaguardando In; \l•lcrcndas que ex isten entre una cicncin formal como la lógica y una IICnci:o empírica como la psicología, cuidando en todo instante de man1<'"~'· separadas las cuestiones de va lidez de las cuestiones de hecho, en esa.• oouod iciones - o con esas precauciones- cabe abonar la colaboración oh' lúgica y psicología. A la psicología - y, señaladamente, a la llamad.o " Jhoculogia cognitiva». aunque sin olvidar otros apartudos de esta discí ¡>lort.o le es útil la lógica no sólo como instrumento de formalización. """ •cobre todo como provisorn de, como dice Piaget, «modelos ab;lo .,.tos de las operaciones reales de pensamiento», modelos que forjaría ""·' disciplina -intermedia entre la lógica pura y la psicología al modo """o la fisica matemática es intermedia entre la matemática pura y J.o n"ea experimental- que Píagct llama «lógica operatoria>> 166• ModelO\ ....,.. En el sentido. por

s:u~to.

que hoy

JC

da

11

e"c rérmino en metodolo¡.g ck

l.a (lCOCia,

,.. Cfr_ ~ ~ uiomiticl o pura. la IÓJ"-"' oprr;atona o piioológk::l y Lh r-~~"ftlt-..gW. Madnd, ·\hanr.a.

ruhd.J.da a las que corresponden•. en J JliAJ<"I. 1 •._ ., t tn

pr~n.sa .

ol>.
rnuntiencn la independencia en tre una ciencia y otra (o. en rigor, entre l.o aplicación de una ciencia - pues la lógica operatoria es lógica apli· cuela- y la ciencia a la que se aplica). No se trata de que la lógica domine la psicología. de que el pensamiento empíric-.1mente considerado ,ca -o haya de ser- «el espejo de la lógica». Se tratu de que la ¡,;g;ca - elaborada, a fin de cuentas, por seres humanos que, en dicha elaboración, echan mano de lo que Juego llamaremos su propia «COtn· petencia lógica»- puede muy bien servir de orientación de la itouesrigacwto psicológica sobre el razonamiento de los sujetos - y no como orientación de la conducta racíocinante de los sujetos mismos. La lógica puede forjar para el psicólogo modelos, estructuras ideales que sirvan de marco para la organización de la recogida de datos experimentales. La psicología de Piaget ofrece abundantes ejemplos de este uso de la lógica que no constituye ni una recaída en el psicologismo, como han pensado algunos críticos de este autor, ni tampoco -como han creído la mayoría de ellos- una nueva forma de logícísmo. Lógica y psicología se mantienen separadas, pero próximas y en colaboración. Por otra parte, también lu lógica - y es aquí esto lo que sobre todo nos interesa- se beneficia del contacto con la psicología. De la psicología obtiene la lógica información sobre su implantación en el psiquismo; sobre los mecanismos psíquicos que hacen posible la compren· sión y el uso de la lógica, y sobre los estadios de desarrollo de las nociones lógicas en el sujeto. Natura lmente. no se trata de utilizar la psicología para probar o pano refulllr leyes lógicas: asi, por el hecho de que buen número de sujetos incurran en la falacia de afirmación de consecuente, no pasarlo ést:o u ser una verdad de la lógica; y por muy poco «naturales» que les parC?.can a los sujetos ciertas verdades lógicas, ese no será motivo suficiente pum excluirlas de nuestra ciencia. E!l papel de la psicología por respecto a lu lógica no es ni confirmatorio ni refututorio: su papel es, como hemos dicho antes, esclarecedor: esclarecedor de las circunstancias que acoonpañnn a la lógica en el psiquismo; y tumbién estimulante, en la medida en que las investigaciones sobre lo que Piaget ha llamado «la lógica del sujeto» es decir, el sistema de reglas a las que el sujeto, a juzgar por los datos de las pruebas psicológicas, se atiene- pueden sugerir la posibilidad o la necesidad de elaborar sistemas lógicos «no-clásicoS>> en los que esa lógica natural quede recons· truida con mayor fidelidad. Así. se ha sugerido por algún autor que el sujeto razona muchas veces de acuerdo con lo que parece ser una lógica polivalente modal. lo cual parece ser un buen motivo para ensayar cálculos lógicos de ese tipo "•'. _,.., Cfr.. l.. Af)U'ld •AIJunu. r•n~lcmn aobR tas relaciones ~ntre la psioo¡.énesis y Jas fó¡taJ no di&J~l\* t " J U.luiiC ""'lt l. lm "''''il•.tdmvs J.fJbrf' 16gica )' pskologia. M:tdrid, Ah:ann 1-d. 1q77 M' '1 lid

328

Mas allá de este libro 329

JotrQCiucci(m o 10 lógico IOtOIIII

Cicrt:.w1ente. un lógjco puede s1cmprc ~,lcsdc•1nr las investigaciorw' r" icológicas sobre el origen (sobre la ontogénesis y sobre la filogénes~
Pi:ogct también ha escrito una lógica desde la perspectiva del sujeto tJ"u:olbgico: I'MW 1. J.: Traitt de LogitJUt. Essai d~ logistlque o¡~rtttoíre. Paris, A. Col in. 1949 N\tcvt~ cd. a cargo de J . B. Grite con el thulo: E."'w'l de log•'qut opéraroire. P.uís, Dunod, 1972.

Sobre el desarrollo de las nociones lógicas en el nono, los trabajos m.« importantes de este autor. escritos en colaboración con · Barbel lnhclder, son: 8. y P IAGET. J.: LA 9*nis~ dts sttucturts loglqut.s llbntntaires. Cla.ssi· ficatiQIU et sviatlotrs. Nc:uc:b.llel. Dclacbaux & Nicstl~. 1959. V. c:asL de M. R iam Lo gt'n~i.J J' la.f tJ.tn•tturaJ 16gicaJ tltnwnraltt 8ueno1 Aucs., Guadalupc,. 1967 IMIElDER. 8. y PIAGET. J.: De la loglqur dt• fl'l1/mtl u Id lc•qi~ur dt f(ldolt.St'tlll Pari$, P. U. F.. 19SS. V. at$t. de M 1 C C'\.l\u' f), /,, lumn1 dtl 11iño a ¡, laq1c-c• dl"l e~~lt>le•.fc't'lllt'. Uuends A m~"· P.ud., , 1'1 1 INIIflOER.

Dovcros <.'Sludios sobre las relaciones de la lógica y la psicología y la ·•t>llcación de la lógica al estudio del razonamiento se recogen en: 1ll o VAL, J. (Comp.): 111otstigoc/611 sobr
Investigaciones psicológicas sobre el ratona miento y diversos problemas log1cos se encuentran en:

1 AlMAGN~ R. J. (ed.): Rtawnlng: RtprtstiiWti.on and pt'OC~SS itt chlldrett and adull$. llillsdalc, N. J. Lawrencc Erlbaum Associares, 1975. WASUN~ P. C. yJOHNSON·LAI RO, P.

N.: Psf('ltolog)10frtasonillfJ. Stmcturttand contt>nl. Londres, Bats.ford, 197l V. casL de J. Oelval, Madrid. Debate. en prensa.

Acaso esos lógicos acendrados se muestren menos adustos si, en vez de proponerles la utilización en lógica de ciertos resultados o de ciertas onspiraciooes de la psicologia, se les sugiere la posibilidad de adaptar .o la lógica ciertas nociones lomadas de la lingüística generativo-transformatoria. Evidentemente, no podemos - ni tenemos por qué dar aquí cuenta detallada de las relaciones actua les entre lógica y lingiiistica. A la ••ista del océano bibliográfico en que, para hacerlo, habriarnos de sum~rgirnos, In sola idea de emprender una taren semejante produce vértigo. Al hablar, hace un instante, de las relaciones entre lógica y psicología, organizábamos nuestra exposición dividiéndola en dos partes fundamentales: utilidad de la lógic:l pnra In psicologin, y utilidad de la psicología para la lógica. Y dábamos a esta últi ma parte, por razones obvias, una mayor imporlancia. Otro lanto haremos en c.~lc c:•so, si bien este C:lsO es nota blemente más complejo. Por ello, y con objeto de no ex tendernos demasiado, estableceremos la comparación en términos muy generales, sin descender a la consideración de cuestiones de detalle. ¿Utilidad de la ling\iislica para la lógica '/ l'odría mos empezar intentando adaptar a nuestra ciencia una de las nociones rundamenlales - si no la fundamcntul, pese a lo disculida que está s iendo- de la «filosofía» de la lingüística generativo-transformntoria, uno de los presupuestos básicos de esta ciencia. Se tnlla de la noción de «competencia lingüistica>> (contrapuesta a la de actuación). La lingüistica, lill como Cbomsky la concibe, opera con «una distinción fundamental <:ntre competencia (el conocimiento que el hablante-oyente tiene de su lengua) y acwaci6n (el uso real de la lengua en situaciones concretas)>> 368 . ¿No es ésta una distinción que clama por que se la adapte a la lógica? Dice Chomsky : «Unn gramática de una lengua pretende ser una l•• A.J,WCf.J ,, 1M 1~,.~, ,.¡ \utlol\ Cllmbridge~ Ma.ss.. The M. l. T. Press. 1965. Asprtetos dr la ,,.,~;, Jt l.t ~.,~''"u \1 u'e dt (' P Otero. f\iadrid. Aguilar. 1910. p
Mlls 111111 de ostelibro 331

330 lllllodUCCiótliJ la lógielJ fomu.J/

dcscripcióo de la competencia intrínseca del hablante-oyente idcul>• '"" Di<-e también : «La gramática de uoa lengua concreta debe ser suplemcnwtl"

por una gramática unversal que explique el aspecto creativo del ""•' lingli ístico y exprese las profundas regularidades que, por ser univcr~.tlr no aparecen en la gramática propiamente dicha>>"0 . Y dice, finalmcnl• ((Para evitar lo que hasta ahora ha sido una tergiversación contuun•

quizá merezca la pena reiterar que una gramática generativa no es un m"tlelo del hablante o del oyente, sino que intenta caracteriZAr en In términos más neutrales posibles el conocimtento de la lengua por un hablante-oyente» 3" . ¿Acaso no resulta peñectamente natural intentnt •mplantar nociones paralelas a ~tasen la lógica? lntentémoslo. Y al intentarlo, lo primero con lo que nos encontramos es con que e • unplantacióo no tendría propiamente su lugar en la lógica formal, en l• teoría lógica como tal, sino mAs bien en el terreno de la <
,licen los psicólogos~ en ciertas situaciones experimentales, es decir, cuandu el sujeto se enfrenta con ciertas pruebas); actuació11 lógica sería el "'" efectivo que el sujeto hace de la lógica en situaciones concretas. Ninguu• de las dos nociones perteneccrla, pues, a la lógica pura. sino a 1• tc.•ría del conocimiento que el sujeto tiene de las reglas de la lógi,,l En este sentido, pueden establecerse comparaciones entre el tipo de con1> cimiento que se tiene de las reglas del lenguaje y el tipo de cono cimiento que se tiene de las reglas de la lógica. Así, por ejernph>, nos dice José Hiet·ro que «en todo comportamiento sujeto a re¡;hu huy un conocimiento de que (un saber-que) ciertos objetos (situacionc>, ucdones, personas, cosas, etc.) satisfacen la valoración que ese sistema dr , cgllL< comporta, y de que otros no la satisfacen. Dicho conocimientu '" manifiesta en el propio comportamiento valoralivo, que en el CJIN\1 ,Jcl lenguaje consistirl! en aceptar unas oraciones y en l'echazar otra• Y esto oo exige ni poder form ular las reglas que se aplican ni $(1 conscientes de su aplicación>>. Hierro piensa que con las regúu de 111 li>yict~ ocurre algo semejante: «Hacer rnzonnmientos vfilidos y distiogu irl<" ,le los razonamientos inválidos es algo que no requiere la capacidatl par.1 formular las reglas lógicas pertinentes [... ]. Ello no requiere un conocimiento reflexivo o explícito de dichas regJaSJ> 371 . ¿No sería, entonces, incurrir en psicologismo decir que la lógica pretende \cr una descripción de la competencia intrínseca del sujeto razonan!< •de-.11 3 "? ¿No sería mejor decir que esa tarea corresponderla a una ,... Op. cit... p3a- 6. ,,. Op. dl.. pá¡. 8. n• Op. cit_ pág. 10. .tu J. Haerro. LA t~orfu 4< l~n rJ.,...,, ,,,.,,... ,.,. ( "~'"""' lbrtelona. Labor, 1976. pla. )l ,,. H emos parafrasado un• !'(nnllliun •1 l t"'"'' .. Y en np. cu.. PJ&- 6

o•pccic de lógica aplicada, -, en este instante la cosa nos parece bastante menos clara. Entendida la afirmación en sentido literal, resulta cuando menos exce-

sivamente osada. Entendida como una metáfora, parece encerrar un claro ··iesgo de psicologismo. ¿Qué decir, por otra parle, de una comparación que nosotros en ;dguna ocasión hemos establccido 3 '• entre lógica y lingUistica permi-

tiéndonos caracterizar a la primera como teorifl generativo-rransformtuorill tlel razonwm'ento? Ciertamente, nosotros nos limitábamos a presentar esa comparación como un modo aproxim:tdo de dnr una idea del funcionamiento -más que de la naturulon a- de la lógica. Con todo, quizít convenga detenerse un momento en 111 consideración de la pertinencia de esa imagen. Como nos ha hecho ver Víctor Sitnchez de Zavala 37 ', la comparación habría en todo caso que invertirla, en el sentido de dcc.i r que la lingi.iística es una formalización del lenguaje. Dicho más claramente: s iendo la lingi.i ística gencratívo-trnnsformatoria deudora de la lógica - por estar aplicando al estudio del lenguaje natural procedimientos e ideas que la lógiC'.l ha creado para los lenguajes formalizados-, siendo la aplicación de la lógica a la lingliisuca lo que hace que ésta pueda ser una lingi.iística generativo-transformatoria, no deja de ser una ironía n.. A. Ocaño, ar1i,.-ulo t~lóp:a formal• tn M. A. Quintanllla (td.). D&ecrol'tario d~ 1 d Slaucme. 191~ pi¡;s. 261 "1 ss.. plg. 261.

ft#osoflll COitt~Mpon.iltt'fl_ SJiam~mlt , .J")

ComunK:aC"tt'on pcr ,.,..,,

332 Introducción o~, lógico fomwl;;;;.::::.., _ _ _ _ __ _ _ __

el mtcnto de regalar a la lógica lo que siempre ha sido suyo. Por supu••tu que la lógica es una teoría generativo-transformatoria del razonarnicntu tanto que, grac;ias a la lógica, los lingiiistas han podido emprende• lo tarea de elaborar una tcoria generativo-transformatoria del lenguaje 1 n pocas palabras: hemos invertido el orden en que la comparación debla ser hecha. Así pues, la caracterización de la lógica como tcorla generatt>u tr:msformatoria del razonamiento es, en un sentido -y si se perduno esa chu.s ca inversión del orden q ue nosotros cometimos al hacerlu , J>erfectamentc obvia. Lo malo es que no parece ser de extremada utilidad A lo su mo podría tener un valor pedagógico: como antes apuntába mo• J>oa llevamos dicho acerca de las relaciones entre lógica y lingUistica. Por ti momento, nos hemos limitado a ensayar la aplicación a la lógica de cico t•• nociones -generalisimas, como no podía ser menos- de la liogiihh•• (c>. por mejor decir, de la metalingüístíca, e incluso, en algún caso. de la filosofia de la lingliistica). El resultado ha sido m.~s bien triste: en un "'so· veíamsicología- es uno de los campos donde la aplicación de la ló~l'" resulta más notoria . Y resulta que nosotros hemos estado intentandtt explicar la natura leza de la lógica pura utilizando conceptos que silltt tienen senlido si se presupone que la lógica ha sido op/icada. Aplica muo l:o lógica a la lingüls tica -o a la psicología- , lo cua l supone que dispono mos de una lógica pura que poder aplicar, y luego pretendemos utili7111 nociones q ue resultan de esa a plicación -nociones, por ejemplo, derivatlu del estudio del conocimiento q ue los sujetos tienen de esa lógica qu1 :oplican, o nociones que pertenecen a la lógica aplicada precisamcnll porque hemos aplicado la lógica pura- en el esclarecimiento de aquello que hace esa aplicación posible. No es de extrañar que de ese proC<"•tt 'ólo salgan modos de hablar útiles -si se los utiliza con precaución para dar una idea del funcionamiento de la lógica, pero nunca instrumente" para explicar la naturaleza de ésta. Por lo demás, ya se ha visto que nn >ólo hemos mantenido la comparación entre una y otra ciencia en un plunn sumamente general, sino que además hemos utili:wdo únicamente rcferen cias a la lingUistica generativo·transformatoria «clásica>>, a la lingfolstic1 de hace una d6cada, siendo asl que, al ritmo que va, para la Jingllhtic1 una década es un siglo. No cabe, sin embargo, tco·minar el tratamiento de las relaciones cntrt lógica y lingii isrica de una muucm tnu
_ _ _ _ _ _;;. M;;;Bs;;,;;;8I;;IA;.;de = esto libro 333

Jll c\Cntc estado y del sentido que parece tener su evolución- cabe extraer uttlisomas enseñanus pard la lógica misma. para la comprensión de la u.otur.olc1,1 de la lógica y de lo lógico en cuanto tales. Al menos durante un tiempo, ha sido un lugar común entre los hlowfos del lenguaje ordinario la contraposición entre la simplicidad y el ll~<>r del lenguaje artilicial de la lógica, y la complejidad, la vaguedad, l.o" '"exactitud>> del lenguaje cotidiano. Una cosa es el lenguaje formalizado ole la lógica, gobernado por reglas explícitas y precisas, y otra muy cll\tinta el «lenguaje de la vida>>. En eso, en esa contraposición, todos los lógicos formales estarían t <>mplctamentc de acuerdo : no sabemos de oingm10 que baya defendido iu idea de que la lógica sea o pueda llegar a ser una reproducción lod. punto por punto, del lenguaje ordinario (a lo más, alguno ha querido ver en ella la esencia de éste). En lo que ya pocos lógicos estarían de ,,.·ncrdo es en las oonsecuencias que algunos filósofos del lenguaje ord inario lwn querido extruer de esa contraposición entre la nitidez y exactitud del knguaje lógico y lo proceloso del lenguaje ordinario. Strawson, por ejemplo, cree que la idea fundamental que hay que ~t·tener, al cabo del examen comparati"o de la lógica formal y la lógica old lenguaje ordinario que constituye el nudo de su lntroductwn to l.n(¡ical Theory. es la de que cdas simples relaciones deductivas uo son rl único tipo de relaciones que hemos de tomar en consideración si •tucremos entender las funciones lógicas del lenguaje». Las funciones del lenguaje que interesan a la lógic-a fo rmal son tan sólo un grupo muy 1cc:lucido de las incontables que aquel puede desempeñar. Por o tra parte, '"" instrumentos de análisis del lenguaje que la lógica formal nos proporciona no son ni mucho menos los únicos aperos ana liticos de que olisr>onemos. En los resultados de nuestro estud io del lenguaje ordinario ..., encontraremos ciertamente «ese carácter de elega ncia y sistema que '" tcnta.n las construcciones de la lógica formal. Ta mbién es cierto que la lc•&ica del lenguaje ordinario aporta un campo de estudio intelectual no ' " l>erado en riqueza, complejidad y poder de atracción>> 176• Ahora bien, la tesis de Slrawson podría entenderse y así se ha C'l>tcndido, como consecuencia de ciertas lecturas apresuradas- como si "¡milicara el defmitivo divorcio, el divorcio por principio entre la lógica lnrmal y el anáhsis lógico cabal del lenguaje ordinario, como si la primera ""pudiera ni debiera intentar la reconstrucción cada vez más liel y detallada
Mis alta de este 6bro 335

(<;hur las manos por alto en se~al de desesperación cuando nos enfrentamos ""' los problemas de la vaguedad y la borrosidad. La borrosidad se puede estudiar seriameme denlro de la semántica formaJ>> >19 • No hay que d,or al lenguaje natural por impos ible para la lógica fo rmal; o, visto por el u1ro lado, no hay que pensar que el lenguaje natural puede escapar a la lugica. Más bien hay que \'Cr en el lenguaje natural - y los lingüistas, es ,lccir, los estudiosos profesionales de ese lenguaje, nos dan ejemplo- una lucntc de estímulos y de exigencias para la lógica: de exigencias de construcción de cálculos más adaplados a las complejidades del lenguaje, y de ,.,.limulos e indicaciones para dicha conslrucción. Lejos quedan -o deberoan quedar- los tiempos en que podía con1raponerse el «COoslructhroblema de la relación entre lógica, lenguaje y filosofia. Las ideas fundamentales acerca de la leoría de la lingüística genera¡,vo-transformatoria bao sido expueslas en:

mcnlc, la proliferación de las lógicas llamadas <.a reconociendo que «los concep1os del lenguaje natural 1ienr11 llnulcs vagos y bordes borrosos», de 1al forma que las oraciones dol k nguaje natural no serán, con mucha frecuencia, ni verdaderas. ni faluo, ' " carentes de sentido, sino más bien «verdaderas en cierta medid11 y luiMls en cierta medida, verdaderas en ciertos respec1os y falsas en o1rco1 ocspectos» 318 • Ahora bien: ¿lleva esto a Lakorr a la forma de desespcr• nún consistente en decir que la lógica formal debe dejar el lengur111 illdinario por imposible, por no susceptible de formalización'/ En absolu lu Lo que Lakolf hace es buscar un sis1cma lógico en el que pueda Jlevar01 u c:obo esa formalización s in 1mieionnr esos rasgos del lenguaje ordinanu Y lo encuentra en una adaptación de la .fr•zzy set theory de Lo fti Zadeh, 1 hase de la cual elabora uuajuzzy logic, un sistema lógico capaz de ana li11or lus relaciones de inferencia entre enunciados borrosos. Y así Lakorr nu• dk-c cosas como las siguientes: t>. Afirmaciones como c
STRAWSON, P. F.: "On Refernnp. Mlnd LIX. 19~. págs. 32() y ss. •Sobre el referin>. V. casi. en T. M. Simpson (ed.~ Semántica filoJáfica. Buenos Aires, Siglo XX~ páp. 57-86. WARNOCK. G. J.: «Mctapby>ics in LogJOO. En E=ys in Conaptual Analysis (A. Flew, ed.~ Londres, MacMiiJan, 19S6, págs. 75 y ss.

ln Cfr.. como lonu C'la.s.sk'IIM. cHcd¡c:s· A Scud)' in Meanina: Cn1ena and lhc Lc,,W or Fuzzy Coocepcs», ea erHre otros luJln~ O IICK'dne:r '' aL (tds.\, Co"tC'mpc1roJtp RtS-t,~rd• m Pldlcnoplucal Logk uNJ ''"flllhtlf' .\,.,..,uiiiN Oordrcc:ht. Uolland, O. ReMict Publl$hin¡ Company, JCJ7S, ~p 221 y" , . Op rit , p;\g.. 221.

, , Op. cu.. P'}¡s. 231, 2:W u• Cfr~ como IC"\h'' , ,1,114.v•. P 1 SID-.on. •Camap's Vk-tt.--s on Constructed Systems \'Ct'SUS Natural t...n¡ua.n "' An~th IK_.I Ptutu.ph)•• en P. A. Schllpp (ed..) T M Plrilosoplty tf Ru4ólf Canwp. 1• \,dlt~ 111 t •1• u t uuu l'ubhsh•na Company, 1963, p;p. 503 y $$. V R Call\llp. . r 1· \tr•"'~'" ••n IIIIJUI''" ~"~ ·•luuh•m~t, lbul pi p. 9)} y s:s

CIIOMSKY, N.: Synractic Structur... La Haya, Mouto n, 1957. V. casr. de C. P. Orero: Estructuras sintáctic= México, Siglo XX l. 1974. CuoMSKY, N. : Asp«ts of the Theory of S¡•nrax. Cambridge, MlT Press, 1965. V. cast. de C. P. Otero: Aspecto..v dt ''' teorfa de In slncnxfs. Madrid. Agui-

Jar, 1970.

La obra de P. F. Strawson cilada en el 1cx1o es: S i.ltAWSON, P. F . : lntrodllctloll ro toglcal Tl~eory. Londres, Mclhuen, 1952. (La

presunta versjón castellana de cstu obra no merece ser reseñudn aquf.)

Entre los texlos que ejemplifican la tesis de S1rawson a la que se alude en este apartado podemos cil:tr: el c:•pitulo VIII del libro de: KYLE, G.: Diltmm<~s. O•mbridgc, Cnmbridge Universiry Press. 1954, pl¡gs, 111 y

ss.

C'omo estudios de delalle cfr.:

Más a/18 d8 """' Hbro 337

338 ltlfrodtiCC'ón ll la lógico lotn'k11

Oc lus diferencias entre el lenguaje lógico y el lenguaje ordinnn" nos hemos ocupado también en: Do AR
Para las aplicaciones lingüísticas de la [uzzy logic puede verse, adcmlo• del a rtículo d e G. Lako ff citado en el texto :

En Papersfrom •loe N lntlo Regional Metting(C. Corum, T. Smith y A. Wtisel'(ed•.ll Ch icago: Chicago l,ingui$tic Society, 1973, págs. 271·291. ttoss, J.: «The cntcgory squi.sh: Endstation Hauptwort». En Papersfrom the eloloo Xqgio11al Mtetflog. Chicugo, Chicago Linguistic So
Apl icando la lógica formal se adquiere la conciencia de su actu,ol orl\ulicieocia práctica, de su presente iocompleción de hecho 310 . Peno y esto es preciso subrayarlo- esa consciencia sólo se adquiere a•l ll
Y ya que tan tas veces nos hemos repelido a lo largo de esUI o bru s iempre en honor de quien pudiera leernos- , nos repetiremos unoo vc1. oo1ios. Volvamos a decir aqui lo que en otro lugur dijimos : Vi¡¡fw· lu lúyica es poseerla. Apéndice: Lógica formal y filosofía•

Con el fin de mitigar la desazón que me produce el ocuparme de tcno:os tao abstractos en medio de problemas tan concretos como los que el JMis - y. por ende, la fllosofia que en él se haga- tiene plantead01o. ) ll A d1stiuauir. ocioso es ad\'errirlo, de la inoomplecióo que aqueja 1 la IÓSI<'• .. normal» oomo uo 1odo Rfeutrdese el Teore-ma de Gódel de 19JI. .. Este apartado recoge la intec'lf:nción del autor en la «Scman:t de 1•ilosofia C{ln lcmponi nea», c:cklbr11da en la Univt.rSidad de La Laguoa en enero dt· 1976. Se publica 11q11l con la a utorizncu~n del DcpArlttmcnto de Filosofia de dicha Unive.rs1dad. que cditrm\ In• acw s de la semana bnjo el ti1Uio dt VnritJ filn:m/ia ( 6ncueutm11 de Pilm·tif/rr thr l~tr Lflg wm J

nu

Se reproduce ~~qul est1' confcrenciu p
m d cst•lo ni cltmt"miento

hu hte~on .ljUI•,

1''" ml'"'l''"

1\u,tin. el cual, al thmino de las lecciones que luego compondrían su uhra Cómo hacer cosa.r con palabras (título e•cclente, sobre todo para una lolosofia más politizada que la suya), cree conveniente advertir: «En estas , onfcrcncias he estado haciendo dos cosas que realmente no me gustan. Hl:os son: 1. Presentar un progra ma, esto es, decir qué es lo que hay que hacer, en lugar de hacerlo; 2.

1.,\ KCJfll;-, G.: (
~

"""coo1,aré llamando en mi auxilio a un filósofo archiacadémico, John

Dar conferencias)> 1 .

Por lo q ue hace a esto íoltimo, mis gustos coinciden enteramente con los de Austin. Y ello sobre todo - ya que no parece momento tic entrar en una d isquisición acerca de las ventajas del lenguaje escrito para la exposición de ciertos temas- por razones personales, derivadas de la escasa brillantez con que me produzco en este tipo de tra nces. En cualquier caso, sin embargo, la posibilidad de tomar contacto con vosotros que esta cha rla me ofrece compensa ampliamente el esfuerzo l"lquico que desde hace unos instantes estoy realizando. En lo que se refiere a la presentación de programas, estoy ampliamente disculpado, y3 que entre los ftlósofos españoles contemporáneos parece cJ
dc G. R. Cutfl(• v 11 A K t,h••~tlll llufm•• AlrC"II, Ett. P<~idós, 197 1, Ph· 212.

338 tmrodtKXión a lo 16gíca tormul

sofar. me dispongo a describir mi programa, un mo desto y re<'"'''''' programa de investigación mosófiea. Lo hart brevemente, y, por l:IIIIP, c~qucmáticamente.

Pero no sin antes puntualizar un ex tremo, en la forma de gln•• :o un pasaje del Teatro Critico Universa/ 1 de Benito Jerónimo Feijóu Dice éste : «Más oportuno es, para ganar créditos, delirar con valentía (!uf discurrir con perplejidad; porque la estimación que se debía a discrctu• dudas se ha hecho tributo de temerarias resoluciones». No es a mí a quocn corresponde caracterizar mí intervención desde este punto de vi,llo. pero quiero señalar ya ahora que, si lo que aqui presento es un programn. no lo es en el sentido de que en ti se establezca qué es lo que se debe hacer, sino en el de que incluye algunas de las cosas que, entre otrno muchas y mAs urgentes, podrlan hacerse en filosofia. Y ello con el "lluúfero grado de perplejidad y discreta duda que constituye no sólo ti principio del quehacer mosófico, sino también probablemente su fin

/...o." términos de la

r~lación

El título de esta charla es «Filosofia y lógica formal>>. Al elegir esl c lema be creído estar siguiendo pmllua lmente las indicaciones de Javiro Muguerza, el cual espera que estas intervenciones s irva n de base «pa111 w o blematizar las relaciones de la filosona contempor~nea con una serie de lt mbitos culturales variopintos como las ciencias, artes, letras, etc.». Ion efecto: nuestro propósito es el de presenta r, ya lo hemos dicho. un mapa, o, por mejor decir - dado el carficter esquemhtico, ya enunciadu t:unbién, de esta exposición- , un croquis de las relaciones entre, de unu t):t l'lc, la actividad (ilosófoca y, de otra parte, la lógica formal. Precisamos - ya que, aun pudiendo parecer ocioso, no lo es- el 'cntido en el que vamos a emplear a mbos nombres. Vamos a hablar, por una parte, de lñgicfl formal: de la lógica formal c11 su actual estado de desarrollo. Qu iere ello decir al menos tres cosas 1." Que no vamos a tomar en cuenta eso que para algunos e< h•da vía hoy la lógica formal: la lógica de <,, No es que pensemos - ni mucho menos- que todas las reformas edu· ,,,tivas realizadas en nuestro país en los últimos tiempos hayan supuesto """mejora en la enseñanza, pero si cabe decir que del carActer trasnochado de esa pretendida «lógica formal>> da idea el hecho de que ya no se c>tudia ni siquiera en nuestra Enseñanza Media, donde hasta ahora había tenido su reducto principal. Su desaparición como tema de estudit> \tStcmático ba de ser objeto de agtadecimiento no sólo por pan e de quienc' conocen la historia de la lógica formal hasta el momento presente, 1

Tomo 11, Disc. VIII.

Más sná e1e ests libro 339

""o· mios aún, por parte de aquellos que, conociendo esa historia, ""'ocen también y defienden la de la filosona escolástica. 2." Que no es nuestra intención dar importancia -ni siquiera (contra t11ocstra enfadosa costumbre) como motivo de sarcasmo- a lo que algunos ll.unan <> o «<ógica simbólica>•). estada destinada a •ustituirla en las mentes progresistas. Lo menos que puedo decir es que la [>ro puesta de semejante sustitución me parece propia de mentes regresistas. Y esto no es -o no es solamente- uo juego de palabras : la frecuencia wn que los postulantes de esa supuesta lógica del futuro acaban en una reproducción -ampliamente adornada, eso sí, de palabrerla al usode la lógica más tenebrosamente vieja, merecería ser caracterizada como una «ironía de la razón>> de no ser porque la razón es esencialmente

trónica. 3.• Que tampoco va mos a referimos y no precisamente porque la despreciemos- a lo que algunos han llamado <>. Quizás haya quien piense que. al constituir esta <> lo que históricamente ha venido llamándose «>, o, en algú n caso, «gnoseologia>> -o incluso, en algún caso eminente, «teología>• , sería mejor reservarle alguno de esos nombres (o quizás el nombre, bellamente clásico, de «d ialéctica», a secas). Pero nadie menos inclinado que yo a poner barreras al uso del lenguaje. y nadie mús dispuesto que quien os habla a recordar constantemente que 'lot¡os' es una palabra simplemente inmensa. Así pues, llámesele a eso 'lógica' si se quiere. Pero no se olvide que, como dijo alguien, «No es nuestro oficio establecer prohibiciones, s ino llegar a convenciones>>. Dicho de otro modo - y a busando de Carnap-: en filosona está prohibido prohibir, pero es obligatorio dis tinguir. Convengamos, pues, al menos mien tras dure esta disertación, en llamar 'lógica' sólo a la lógica forma l tal y como hoy nos llega; despidamos, no sin nosta lgia, a la dialéctica, que tendrá en este ciclo de conferencias defensores más entusiastas que yo; y ded iquemos un recuerdo compasivo a quienes confunden una cosa con otra.

El otro término de esa relación cuyo esquema nos disponemos ha pergeñar es la fllosofla . Innecesario es advertir q ue no voy a responder fron talmente a la pregunta 11¿Qué es rílosofia '/)>. He leído demasiada filosofía como para tener el descaro de caracterizarla en una pocas frases. Me limitaré -fia sea algo condenado a desaparecer :mtcs de que tl~·'·'l'lt" 11 1 ti ¡:l'ntrtl humnno. Aunque, como es bien

340 llllroducci&l a In 16{¡/Co formnl

:-..t hidn, lu cslupidez humana C1-1rcce de límilcs, opino que de momcnlu habdn que conceder la pa lma en este sentido a la rrase que re;w «1 11 filosofía ha muerto>>. Aunque, bien mirado, señalar la estupidez de "'" rrasc ha pasado a convertirse ya en un rasgo de vulgaridad. No creo que la filosofía se reduzca o pueda reducirse a algún o tru producto cultural que no tenga históricamente ese nombre. La lilosoll• lli fue oj es ni será una ciencia, ni un art~ ni un culto a nada "' u nadie, ni una rorma determinada de acción politica, ni un juego algun día disculpable. Es llamativo el tono vergonzante con que muchos de los que figur•n en los censos de la filosofía española ejercen -<:S decir, no ejercen '" tarea de fílósoros. Se trata de graduados en filosofía. que trabnJ•" en Departamentos de Filosofía y que pretenden vivir de la fílosofiu Pero eso s!: lo suyo es otra cosa: la historia pura y simple, la socu> lugía, la psicología, la lógica, etc. Y no se trata -porque eso me pare <:cría excelente, hasta el punto de que es lo que yo intent<>- de que •tuieran hacer filosofía partiendo de alguna de esas disciplinas. No. ll que ellos quieren ser «científicos». Ellos no son como esos filósofos dtl '"""'do - Platón, Guillermo de Occam, Espirtosa, Kant, etc.- entrampad<" <:n problemas pueriles que a ningún adulto sensato inquietan hoy. 1,,, 'uya es una filosofia <os sienten- de justificar, ante el alumno eo particular o ante 111 •ocrcdad eo genera l, la presencia de la filosofia en los planes de estudi11 " · lo que es la mis mo, en los presupuestos generales del Estado lhwa a veces a la presentación de la filosofia como un sa ber de gran l'crcs particulares. La filosofía no se limita, como la ciencia, a resolver tlr<>blemas de menor cua ntía. No. La filosofía resuelve sólo las cuestione• de gran envergadura. He aqul lo que podriamos llamar la concepción de la lilosofi.r romo libro de cocina. Como libro de cocina en el que se contienen recetas para todos los grandes platos. ¡,El problema de la libertad (o el dr la razón, o el de la muerte)? Veamo< : se toma una oUa, se llena dr Jgua y se pone a calen ta r a fuego lento> C'unndu rompe a hervir se echan en ella unas matas de to mllltl ) un.,, hut••\ de laurel junto con ¡01 ,

Más allá de este li/)(0 341

pirginas n a " .¡ 1~ de las Obras Complews de a (siendo a un parámetro que se puede ejeplificar con el nombre de cualquier pensador). Transcurrido un tiempo prudencial, se.escurre y se sirve bien calien te, rociado de agua hcndita o de salsa roja, según los gustos del cliente. La función del filósofo no es la del cocinero de grandes problemas, " cuyas soluciones sabe dar un infal ible toque digestivo. Tampoco puede d filósofo convertirse en una especie de dama de compañia q ue revolotea, deshecha en oficiosidades, en tomo al cientifico. Ni creo que el papel del filósofo sea simplemente el del extravagante bohemio que vive en el .rtico y da un toque de color al inmueble. Y bien: nadie dejará de reconocer que be cumplido mi promesa -hecha, por lo demás, hace tiempo, y no referida sólo a esta charla~ de no decir qué es para mi In filosofía. Con todo, espero que de lo dicho se desprenda una cierta idea de la filosofía, no tan vaga como para impedimos pasar a bosquejar algunas de las conexiones posibles entre ella y la ciencia de la lógica rormal. Articularemos nuestro esquema de las relaciones entre ambas en dos apartados fundamenta les. La distinción entre ellos es sobre todo una estrategi(t exposítiva, ya que, como se vero, uno y otro plano se .;ruzan con frecuencia.

l.a fi/osofia como fuerr te de prolJiemtrs 16glcos Nadie - ni siquiera quienes piensen que es tarea de iluminadosnegará que, al menos en pa rte, la filosofln es una actividad argumentativa. Aunque pueda ser el fru to de una inspiración, el díscu1·so filosófico -de otro modo, no sería un discurso- muestra una ilación, se expresa en una trama de enunciados algunos de los cuales presuponen o tros, 0 bien se siguen de otros, o bien son contradicto rios con otros. etc. En este sentido - y dado que nociones tales como la de presuposición, o la de implicación, o la de contradicción, so o nociones lógico-formales-, existe una obvia conexión ent re lógica y filosofia, o, por mejor decir, una evidente posibilidad de aplicación de la primera a la segunda. Se trataria de analizar formalmente una argumentación filosófica para ver s~ por ejemplo, hay efectivamente u na conexión necesaria entre el o los enunciados que figuran como premisas y el enunciado propuesto como conclusión. Es posible, por poner :tlgún ejemplo, esquematizar en lógica de enunciados ciertas argumentiletntenidns en el Parménides de Platón ; o analizar en términos de fu 111~rr.r M<'IICr ,rl de predicados el argumento que, con el nombre de 4cunhllú¡~lu''

lll\'lrntlc demostrar la existencia de un Dios;

Más allll de BStetibro 343

u c~aminar forma lmente, como hace Carnap>4, la inferencia carc~mn• del "YO pienso» ul «yo existo>>. l'ero no es este plano -el plano del anMisis de la argumentocoo•ll r.los6r.c:1 como ejercicio de lógica- el más interesante aquí. En efcxh• la función de este' análisis lógico es, prácticamente siempre, r~ttlrlo" (dicho sea en el mal sentido que el uso común ha dado a este voc:ablt•l Retórica, si, por cuanto, ¿cuál sería la efectividad r.Josór.ca del resultudu de ese a nálisis? Si el análisis revela que la argumentación es lógicamcnlf v!a lida, los seguidores de la filosofia en cuestión hallarán en ello 11114 t:unfirrnación adicionnJ, pero no sustancia], de sus concepciones, en lu nln que los enemigos se refugiarán en el expediente de impugnar la verdnal de las premisas. Si, por el contrario, el veredicto de la lógica es d~• favorable, los partidarios de esa filosor.a aducirá n acaso que el análl~lo fol'lna l no lo es todo, y, por su parte, los detractores habrian de conli •o onarse con haber ganado una batalla - mostrando la escasa pulcritud :trgumenta tiva del au tor de que se trate, y fustigándolo con su desdén ,;, por ello haber ganado la guerra -sin por ello haber demostraal" "ontundememente que no hay un grano de verdad en lo que el tal autur llooc. Pero al lado de este análisis lógico en sentido estricto, fuerte, escohu habría un análisis lógico en sentido débil, en sentido amplio. Hcm<" en efecto, der.nido la lógica como aquella ciencia que se constituye nsumicndo por tarea el análisis formal del razonamiento. Ahora bien c-. preciso entender esa definición en su sentido entero, es mencstrr .tprchcnderla en todos sus supuestos e implic-aciones. Porque, ¿qué es un ramnamien to? Desde el punto de vista de la psicologia, es el proceo11 med iante el cual inferimos cierta a firmación a partir de otra u otl'll• 11 ltronaciones. Desde el punto de vista lógico, un mzonamiento es ~1 ll'sullado de ese proceso: un conjunto de enunciados, uno de los cu¡dc• N<' fundamenta en los restantes. Y, ¿qué es un enunciado'/ He aqul, 1"" ejemplo, un tema del que la lógica ha de ocuparse antes de procedro " ,.,tudiar las relaciones de inferencia entre enunciados. Por otra paotr y ¡>or poner un segundo ejemplo-, hay casos en los que la infercnc•• '"' un enunciado a partir de otro sólo es posible en virtud de h10 tMrllcularidades de la estructura interna de dichos enunciados. Paren• rMonable e•igir que la lógica dé cuenta de esa estructura interna en ...¡ucllos aspectos - identificación de nombres, de descripciones, de predi <:
•iÜberwindung dcr Mctuphysik durch logi~chc Analyl'é der Sprtu;:hc),, Erlrf''"'''/1 11 ( ll)J2), neilnpr. c:n inglés Cll A. J. A)'Cf (ctl.), l .o(lll'fll l'mitillitmr. Glcnuuc, 111., lh;

Free l>rts.ll, 19W. 111 tJt~dthrh ma I'JM, rr>. (,(,.87, pp. NO.. l.

lfi¡litw,

V

t.'a~~¡l

d" 1

Ahhuu.a

t'l 411., Méjic.~1.

'''"'"amiento y, por descontado, el estudio de todo aquello que, desde mismo punto de vista formal, venga presupuesto por dicho análisis. Y estamos empleando el término 'presuposición' en su sentido clásico ,·,tricto. Que el enunciado E' presupone el enunciado E quiere decir como ya sabía Frege- que el enunciado E' no es ni verdadero ni l.ol"> - no tiene sentido en 16gica clásica, por tanto-- a menos que E sea •crdadero. Un ejemplo: antes hemos hablado del análisis a que Carnap -..•mete la inferencia 'cogito, ergo somo'. Pues bien : no es sólo que la inferencia > sólo se sigue «existe algo que piensa>>), " "" que hay un error previo: la e•presión '.ntm' -es decir, ' yo soy o existo'- está mal construida, ya q ue, como señala Carnup, > . Hoy, cua renta y cinco años después de la publicación del articulo de Cnrnap, oo se podría ser tan tajante como este aunque 'úlo sea por la existencia de lUla lógica no-clásica llamada «lógica libre>>-, pero el ejemplo que hemos puesto mantieneenteramente su valor ilustrativo. El anhlisis lógico presupone un anhlisis - lógico- del lenguaje. Y puesto que el lenguaje es esencialmente un marco conceptua~ un ·•i>Mato de aprehensión del mundo, el análisis lógico eo este sentido ,unplio será, sobre todo, uo análisis de aparatos conceptuales. No es lo mismo esquematizar, como ejercicio en un curso de Lógica, las argumen· 1.1ciones de Platón en el Parménides que perseguir los sentidos con que !'latón utiliza el verbo 'ser' en El Sofista; no es lo mismo ejercitarse en la lé<-'ll ica codificada de análisis lógico formalizado una argumentación ~'ón· tenida en El Capital de Marx que estudiar la legitimidad del paso de un sistema de va lores a un sistema de precios en esa misma obra. En o tro lugar hemos hablado de <>. D icha lógica profana - algo ast como una tcoria de teorías- vend ria constituida por el intento de catcgorizar y entramar los .:.mceptos ionplicitos en expresiones como «la lógica de la investigación óentífica», «la lógica de la Fenomenología del Esplritom, «la 16glt:a de la o;ociedad capitalista>>, o en la presencia del sur.jo '·lógico' o '·logia' eo palabras como <>, «paraxeologla>>, etc. Se trJtarla de un uso 4ue pudiéramos llamar «conceptual» del análisis lógico; un uso que, llevado al extremo, explicaría por qué algtoien como Kant ha hablado de <é

H 'l , ,

Op. l'lt., lor. í'lt

Más alá de este lllxo 345

l""'

hl()t.lf:o una eterna luz. Y no. La lóg•ca puede presumir de mucha' y. entre ellas, de hallarse perpetuamente ioacabada. La lógica no e• un t••bunal definilivamente conslituído ante el que comparece - temblo ••"" agud izado su prn y que, por consiguiente, exigen, entre otras, una consideración form~~ que sólo la ciencia de la lógica puede prestarles. Es, en efecto, la ló~1demos suscribir su afirmac•~n , i dejamos a un lado el contexto, psicologistu, que en su obra la rodcu t 1uc «la ex tensión de la Lógica como Ciencia estA determinada por "'" new~idades como Ane» 6 . Si convenimos en decir que las necesidnd•• de l:t Lógica como Arte no son otra cosa que las exigencias de •u aplicación, podremos decir asimismo que la ciencia de la Lógica •• dCí>arrolla al ritmo y con las particolaridades que le dicta la urgencia "''" que los múltiples campos del discurso humano la reclaman punrualmento Esta reclamación, que le ha venido a veces de la Matemática, a vetoo de la Psicología, a veces de la Fisica, le ha venido también, en ocasionrl, d e lu Filosofla . Seria exces ivamente largo en tiempo reseilar las variedndol tic lógica no·dásica nacidas por estímulo ftlosófico, surgidas de la necesidnd de "portar un análisis lógico de ciertos problemas de filosofta. De en tre h>l thvcrsos ejemplos posibles 7 elegiremos uno bastante reciente. Desde hnt• c•ncc ailos, Lofti Zadch viene elaborando lo que él llama ccfu::y "' rlwory>>, o «teoría de los conjuntos borrosos» 1 , sobre la que retoma gido en 1, M. Copi y J. A. Gould (
Unullfi(IJ

, " ,,.,,;,· l.edges)•, esto es, de palabra cuyo sigrulicado coolle\oa impllcita-

""'"IC borrosidad, palabras cuya función es hacer las cosas roás o

menos '"'"'osas ''. Desde el punto de vista lingi'lístico se trata de un tema en ,,hs<>luto intrascendente o de puro detalle. Piénsese, por ejemplo, en la .,., "'' semán tica 'una especie de' y supóngase que alguien dice: ' Hegel .,,, una especie de lechuza'. Se reparará entonces en lo s iguiente: al decir '"' alguien que es «Una especie de lechuza», estamos, por medio de esa "''"'' semántica, afirmando las connotaciones del predicado 'lechuza' .•!tiempo que presuponemos la negación del significado literal. Es eviden te 'l"~ llegel no era, /Ueralmente, una lechuza, aunque pueda decirse - y con ,.,,, liz meliorativo- que posee algunos de los rasgos de ese uni mal (l>t1ucllos, por ejemplo, q ue permitían hablar al pro pio Hegel de <notaciones de las palabras fo rman parte de la pragmática, y que los "'pectos pragmáticos del significado no entran en juego a la hora de la '"ignación de valores de verdad, interviniendo en ello exclusivamente el Nlpnificado litera l. Habrla . así, una fro ntera entre la pragmútica y la

tr.cmántica. Pero he aquí que, en frases como éstas en que aparece el giro 'una especie de'. nos encontramos con que el valor de 1•erdad no depende ,·,tnct3men te del significado literal de las expresiones que en ella figurdn, ' "'" que está en función ta mbi~n de sus connotaciones. Ello indica, c•n o pinión de LakoiT, que In semántica y la pragmática, lejos de poder n •nsiderarse independientes, se hallan inextrie.>ra poder ser objeto de iiUn tratamiento serio dentro de la semántica rurmah>, una teoria lógJca peculiar. Volviendo a nuestro tema, diríamos •tuc aquellos razonamientos en los que figuran enunciados borrosos •cquieren,a lo que parece, un tratamiento lógico específico, una ccfuzzy logío>. Pudiera, sin embargo, hacerse en este instante esta pregunta: ¿Qu6 tit:uc esto que ver con la filosofla? Pues bien : bustante. Y no s implemente porque el discu rso ftlosófico esté expresado en el lenguaje ordinario, que lri.:rve de términos borrosos, s ino sobre todo porque la ftlosofia buce de • Vtase mb arriba. tu plp. l03·l06. • O . Lakoff: -.Hcdgcs: A Study in Meaning Critcna and thc Logre of FuU)' Con· lt'I)IS... en Peranteau t'l al. (ed-..). Paper-s from tht Elfhl RtQk>nol Mttling, Cltfcauo 1 Jm1111'ftlc Suciely. Chicag,\ J()72, 1~r UU-228. Reimpr. coo modificaciones en O. Hockney, W. 1f¡•rpcr y ll. Frc1.1d (c,l~ ), ( ·mlll'lllttm.,,.)' R •··~'tlrth In Philo.tapllical l.Agic ond Ungttlsrlc ,\',•mmttit'.-.. Ool'drechl, D. Mtlltlt~l l'ui•U,.Iun.,. ('(\lllp ltn)'. t
~

llliiOduac/()n o 1/1 /Ó{¡ÍCD /()(11•11

Más allá do esto libro 347

e1
/.a lógica como fuente de problemas filosóficos

Es evidente que este apartado podría haber llevado igualmente •1 totuln de «Filosofía de la Lógica». En ese sentido, cabria quizá distin~ull uwtro planos de reflexión mosófica en torno a la lógica formal. Un primer plano, el más bajo. seria aquel caracterizado por qut en él la renexión filosófica se realiza dtlltro de un determinado cálculo lósico, sin poner ~stc en cuestión - y, por ende. sin poner en cuest"'n l.o lógica como tal en su presente estado. Cuando se discuta, por ejempln so el cuantificador uni versal de la lógica clásica de predicados tiene o nn omrlicaciones ontológicas; o cuando se examine la conveniencia de ínter prctar el tercer valo r - al lado de los de verdad y falsedad- admiudn en una lógica trivalente como un valor de posibilidad o rn6s bien C<>mo un va lor de indeterminación; cuando se hace algo semcjanto, decimos, se está haciendo filosona de la lógica en esta primera acepcit\n, en este primer plano que hemos discernido. C uando la renexíón se ejercer en 10mo a - y, por tanto, desde fuera de un determinado cálculo (con frecuencia para ponerlo en rel"c"'n otro sistema formal), estamos haciendo fílosona de la lógica en un 'C¡tundo sentido. Aquí. en este segundo plano de consideración lóg"" folnsófica. tendrían lugar planteamientos tales como el de si una ló~O
«"'

11

(Nntn aftudidu. posteriormente] El concepto de ·conjunlo borroso' lk:g6 :• h:tctlr"'

c~tmnrd in urhl m enl<:

pupulnr -da es

J~

J>."lfabr:l-

:, lo fnrgo de la Sonmna. siendu

f•'«uente su empleo, con dlstmtos fines, en conre•·cnciM, !lc •n ina~iUII, )' c.hurhul tic !lóbtOrtiC'UI y JNisillu. 1le qu<:•ido Vt l' e n e llo un:. prunct.• )' <'llfk'''""'ulut.t t.~lllfirnu¡clll n de su fccun didtad filo¡¡/llicn.

> 11·n el sent ido, claro es, de cambiar de cálculo lógico), de reemplazar

J,, li>gic:1 clásica por alguna lógica divergente. J>cro cabria ir más lejos todavia en este viaje ftlosólico a trav~ •k la lógica. Cabria Ír tanto, seria posible cuestionar la lógica en su forma actual, en su presen tación formalizada. ¿Es el razonamiento reductible a cúlculo? ¿Existe t11 posibilidad de diseñar un algoritmo de formali;wcíón, es decir, un 111i:todo au tomá tico de traducción del lenguaje natural al lenguaje formali'"'do de la lógica? He ahí dos preguntas - de signo contra rio que pcrlenecen, a l igual que sus respuestas, a un plano lógico-filosófico dist into de los an teriores; a un tercer plano, por tanto. Y no es el último. Porque junto a la posibilidad de hacer filosolia .le la lógica encerrándose en un cálcu lo, y a la de hacer filosofia de la lúgica a horcajadas entre un cá l~ulo y otro, y a la de hacer filosoOa bjetivo, globalmente, de consideración filosófica. Y si alguien me dice •rue es imposible salirse de la lógica formal, sólo puedo recomendarle que le pregunte al autor del Tractcotus Loglco-Philosoplolcoos cómo se IM arregló él. Aunque no sea posible. literalmente - las cerc:ts semánticas, una vez más- , salirse de la lógica formal, si es posiblc hacerlo filo.wíjicamerote, es deci r, idealmente, del mismo modo que Kant se situaba idealmente por encimu de las formas a priori del conocimiento para poder Juego reconocerlas, o Hegel, que se sabía objeto de la historia, trazaba l:o teoría de ésta para dejar que ésta lo engullera. Este cuarto y supremo plano de la filosofia de la lógica es, pues, el de la filosofia de la lógica en sentido envolvente: la lógica concebida como una galax ia - todavia inexplorada en su totalidad, por otra parte-, y el filósofo erigido en inmenso astrónomo aficionado. Ya hemos visto cómo hay desafios a la lógica -por parte de la argumentación filosófica, del razonamiento científico o, sin ir más lejos, de la vida cotidiana en general- que no hacen más que dar pábulo a su desarrollo. Dicho de otro modo: hay problemas que no hacen sino afiliar la hoja del análisis lógico. Pero también hay problemas - viejos y resistentes problemas filosóficos- que parecen oncll arla . Hay problenms cuya consideración lleva a la conciencia de In ra oci:olidad del aná lisis lógico-forma l, a la lucidez que ilumina la gru n vt.'ldad t ll' ~ruc 1:• recionalidad formal no lo es todo. Y ese con volh:lmi~•,H u \'"'· unn vc1. que se ha asumido cabu lmente, t:slimulo pnrn ~:JIHIH '·' t.,, 1111a H'llt•,u\n "''hrc la nalu nlle7u de kt lógica

Más 8/ftl d6 este Ht¡ro 349

346 lntrO
formal en si misma, para hacer que lu lógica formal compareZC(.l t~ ntc el lo{JQS

entero.

.

. .

Porque es que la lógica es una ciencia muy cunosa .. La 1_og1ca ~ espero que, aun en su extrema brevedad. lo que a cont1nuac1Ón voy 11 decir sirva para paliar la perplejidad que pudiera producir mi afrrroadón es una ciencia jilosl>jica. Los enunciados de la lógica, las «verdades lógicaS» - y no me parece .;,te el momento de hacer una teo ría de todas las trorías al respecto. previa su exposición- no son registros _de o~crvaciones empírica~; 111 h>rmulación de conjeturas contrastables, no recop1lac1ón de reglas hngutsll '·"· ni revestimiento verbal de experiencias quasi-inefables. sino expresión '"' l:os condiciones formales de todo discur.so posible sobre el mundo, ""'figuración del ámbito dentro del cual - y sólo dentro del cual , "'"' el pensamiento. La lógica es una ciencia previa, la ciencia de loa '"'l"i~itos más remotos - no, desde luego, en sentido temporal- dr tml.1 actividad teórica: una ciencia que viene conslituida por el regre'" "'tcmálico a aquellos esquemas son los que es imposible la inteligjbilidJd de cualquier discurso. La lógica es, muy en general, la teoría de 1• 1/m·üill. Ese es precisamente el mo tivo de que la lógica, aunque en OIH• ,enlodo y por o tros motivos pueda resultar abstrusa ~s decir, abstract.o <'" ¡;mdo sumo-, se aparezca en ocasiones oomo algo de ::ajón, comoo ooooa sistematica tecnilicación de perogrulladas. No me extranana que al ~uicn. por ejemplo, leyendo que, segú n la lógica, es verdad que <nccs p>> (donde '¡¡' es una letra esqueon/uica que puede sustitumc por cualquier enunciado), se sintiera casi como - y lo de 'casi' lo digo• purque sin duda se sentirá mlts t1·iste que- el lector de las lt~srr·uccw· "''-' ¡mo·a subir uow escalera. admiruble rela to de Julio Cortázar. El efe~tll cslctico de este texto proviene de que en él se solemntza lo ob,•1o, de que en él se instruye ul lectOI' en la realización de algo que el lector sabe realizar perfectamente sin necesidad de un método. El homb1·c aprende a subir escaleras a una edad a /a que no lee manuales, y, " partir de ese momento, cuando asciende por una escalera lo hace para llegar a un lugar donde hacer cosus más interesantes. La grac1a del escrito de Cortázar consiste en que. en él, el acto de subir escaleras se 4.. \mvierte en un fm en sí mismo, en algo que, siendo de suyo irreflexívt),

upurece como objeto de meticulosa rcOexión. • Así también a veces con la lógica, cuyas verdades, como ha señalado Quine, son «potencialmente obvias,, evidentes en principio. Parece, en _erec· to - y ello produce en quienes la estudian (y, por supuesto, en qu1ene' la enseñan) un sentimiento de impaciencia- como si en lógica se estuvter~ enseñando a hacer con andadores y sesudamente algo que sabemos hacer y sin pararnos a pensar; como si la lógica nos obligara a conta r con algo que dábamos ya por descontado. Y c<>O se del><:. ¡u lo he~os dicho, a que la lógica tiene por objeto el c>tudln dt• h" c"¡:enc1as formales de m1cligibilidad de todo discun,o. lu' \''quc·nt.t·¡ '" •l.u:1un que se dan por

' "puestos en todo ejercicio de la conciencia, y entre ellos hay algunos hastante elemeolaJes.

La lógica es ciencia constitutivamente renexiva. La lógica es ciencia ,le si misma. Si tiene por objeto todo discurso, objeto suyo será también y eminentemente. el propio discurso de la lógica formal. De ninguna otra disciplina -salvo. precisamente, de lo jilo.!o{ra- puede decirse algo semetante. La lógica, sin duda por eso. es ciencia autocrítica: es una ciencia que, además de saber romper constantemente sus límites histórioos - ahi está la proliferación de lógicas no-clásicas- . ha sabido reconocer sus límites de principio. Aunque sólo fuera por eso, la lógica sería ya una ciencia irónica, una ciencia que. como las mejores filosofias 11 es capaz, e11 su interior. de mostrar implacablemente las limitaciones del pro¡ecto que la constituye. En otro lugar hemos dicho que la lógica es a la ''cz «capacidad de análisis y posibilidad de ironhiJI. Y eso no es exacta mente cierto. Cuando está en m•ooos de alguien parn quien hacer filosofia constituye una forma de vida, la lógica es necesidad de ironia. Y ello precisamente en el sentido a ludido: en el sentido de que hacer lógica con consciencia de lo que se está haciendo presupone la comprensión de que no se esta haciendo todo, ni tampooo todo lo importante. Saber lógica formal es saber que hay que pensar, a travt\s de ella, mf1s aiiA de ella. Hasta más a llá de ella, si. Pero a tr:ovés de ella. Porque es que alguien. en efecto, podria decir que para ese viaje no hacen ralla alforjas, y que para a lcanza r la consciencia de que la lógica fo rmal no basta es innecesario sumergirse en ella. A esos «Su peradores» -
(es decir, cuando se haga historiu de la lógica entendiéndola como lógica del descubrimiento en lógica}- ironía en el sentido de los románticos : ella misma escenifica en su propio seno la tensión entre lo puramente formal y lo que no lo es. entre lo que su análisis captura y aquello que por principio se le escapa. Ella misma traza sus limites nítidamente. u Quiero recotdOlt aqul. a lhulo de CJémplo. el espllndido 1n1ilisis que Vidál Peña ha hecbo dd nudo de lll fi~ de Espin01o,, Asi, por CJcmpJo. ~n la ln1roducción a su e
,.,lf

l'llu mis ma dibuja su contorno como con bisturi. Así su menestcrosidu•l ocsullu rnils elegante. Asl - permhasele a un profesor de Lógica esh· juego con el lenguaje-- se sombra queda clara. Termina mos ya. El padre Feijóo, en el texto que al principio henodo que gracias por ello y por todo.

Apéndice EJERCICIOS DE DEDUCCION

En este Apéndice presentamos un conjunto de ejercicios de deducción resueltos que abarcan todo lo estudiado a lo largo del libro. En atención a una serie de peticiones y sugerencias, hemos introducido un número muy considera ble de ejercicios nuevos, manteniendo al propio tiempo la casi totalidad de los que aparecían en las ediciones anteriores. Ni que decir tiene que estos ejercicios están destinados excluisvamente al principiante. Ello hace que, por una parte, se trate de ejercicios rela· tivamente raciles en su mnyoria, incluso trcmedamente fáciles en algunos casos. Ello explica, por otra parte, que, aun a riesgo de resultar tediosos, hayamos presentado ejercicios a veces muy semejantes entre sí. Además, y por la misma razón. hemos procurado no ahorrar ningún paso en las deducciones, por trivia l que fuera.

t.

Problemas EJERCICIO l.

Demostrar la IJQ/idez del siguiente esquema de inferencko : (p " q)-+ r

p q~r

E.IEJtCICtO 2

Demostrar la oolidt!Z del siguiente esque171ll de ltoftrenckJ : p-+q

r

V S

...., S--. , q -,p

éjelr:icios de deducción 353 EJflK< 'I CIO 3.- Demostrar la validez tlel e.w]twmo anterior por el mé/u¡/d de l'educdótl al absurdo.

EJI!RCtClO 9.-EsquemMizar el rtuomm•iento contenido en el siguiente tnto de Wittgenstein (Tracta tus Logico-Philosophicas. 5.5521) y demostrar

EJERCICIO 4. Esquematizar la argrmrmtación -que presemaml),; mur .\implific(UÚI- contenida en el siguiente texto de P/aúm (Parménides, IJM/1 '1 )' tlemostrar su validez:

' " vt11idez:

Si lo Uno está en movimiento, éste habrá de ser, o de muv1 miento sin cambio en el estado, o de allemción. No puede tratarse de un movimiento de alteración, porque en tooces lo Uno dejarla de ser Uno. Si se tratara de lo primero, tendría que ser, o bien rotación ti• lo Uno sobre sí mismo en el propio lugar en que se encuenlu o bien cambio de un lugar a otro. Ninguna de las dos cosas ocurtt sin embargo. Luego lo Uno no está sujeto a ningún tipo de movimiento. EJERCICIO 3.

Demostrar la validez del slgrllente esquema de inferem fu

, .....

pvq

-, (o 11 - s)

«... Si pudiera haber una lógica incluw aunque no hubiera mundo, ¿cómo puede haber una lógica. dado que hay un mundo?» EJERCICIO 10.

(p A q) .... r o(p v r )-s p-q

EJERCICIO 11. En el poema Le Sylphe, de Paul Valéry, hay un verso que diu «Hasard o u génie ?». Jorge Gulllén trad!4ce: <<¿Genio s i no azar 1>> ¿Sería válido el texto de Gulllén no ya sólo como traducción de Valéry, .'lino como conclusión obtttr~ible a partir de ésre tomado como premisa. una ~~ez supr;mido su carácter btterrogmori()? EJERCICIO 12.

EJERCICIO 6.

Demostrar la oolldez del siguiente esquema de inferencia:

Demostrar la validez del siguiente esquema de i1![erencia:

Demostrar la oolidez del slgu/eme esquema de inferendll

S ... l

! V

S-+ 1

,. ...... -, 1

w

,

'

-; (s A -, r) t VS éJ V

l'.mRCICIO 7.

ti

W

p EJERCICIO L3. Demostrar la oolltlez del esquemtr amerior por el mé· todo de reducción al absurdo.

Demostrar la validez del slguieme est¡uenra de itiferencia. P .... (q .... r)

EJERCICIO 14.

q

A q)- r (rAS)-+1

(pAqAS)-+!

8. Demostrar la oollde: dtl siguiente esquema de ínf.rencitl p-(q v r) p-s (/

Demo.strar la validez del siguieme esquema de i1!{erencia:

(p

p -+r EJERCICIO

/1

p -+ q ...... /)

EJERCICIO 15.

Demostrar la validez del siguieme esquema de itiferencía: p- (q- r)

r¡

• (p • r)

l:Jt RCtC'tO 16. Al comienzo del capítulo JI/ de este libro hemm ,.,¡,¡,. " rolari6n un {JliSDje de una n<>oela de JoiiiJlhan Prínceford llruludu Nn m!os alifo del otro lado de los mares. Presentamos ahora. eomo "u11rro1 ¡/e ejrrdcio 16gíco-formal, un ux.to perlenuiente a otra no.,..la del .,,,.., mttor - La pluma fuen~. Se trata j1utan~nte de los últimos mómrnlo• tft•l relato, aqlftllos en que se nos narra el desenlace. Lo que se phlt• n tJIII! 1'1 lector esquematice las argumemackmes - pues son varias- Cfmtf nitlas en el pasaje y deduzca en cada caso las conclusiones v
,,,,._.. tle empezar a deducir: W texto de Jonatlllln Princeford es el siguieme:

Diminuto y petulante, el Doctor Asquith paseó su mirada por el salón y contempló los rostros mitad tensos y mitad cansados de todos -pues nadie faltaba- los alll reunidos. - Veamos -comenzó. Presten oído a mi argumentación, porque ocasión les va a dar ella inmediata mente de comprobar el poder demo· ledor de mi raciocionio. Permitan me que vuelva al principio. co mo si todos ustedes ignoraran cuanto ha suced ido entre nosotros en estos últi· mos días. Lady C razybird, dueña de esta man· sión en que nos encontramos, ha s ido víctima de un asesinato en In noche del pasado viernes. La casa de Lady Crazybird, en Jo alto de esta montaña. está, desde hace once días. aislada por la nieve. Así. pues. sólo diecisiete personas - doce invitados y cinco sirvientes- han podi· do perpetrar el crimen. Tengo razones. sin embargo, para descartar a quince de ellos y concentr.lr mi renexión en dos de sustedes. A mi modo de ver. el asesino es una de estas dos per· sonas: Lester y Bargley. Haciendo caso omiso de la commoción que en su auditorio produjo este último enunciado, el Doctor Asuith prosiguió : - Les invito ahora a considerar conmigo la primera de estas dos posibilidades. Supongamos, pues. que es Lester el asesino. Conociendo a Lcster su gusto por lo espectacular, su es· cusu ponderación-

yo me inclinaría a pensar

que cualquier asesinato del que él fuera au tor habría de redundar en un llamativo derramamient~ de sangre. No ha sido así, empero. y ~ resosto a creeer que Lester haya cometido el cnmen en un rapto de templanza. Prosigamos, _sin embargo. Si Lester ha perpetrado el asestnato, entonces ha tenido que

...,,

tener, por una p;1rte, un motjvo, y, por otrd p .... (s A e) parte, una ocasión para hacerlo. Motivos no le faltan: ciertamente. Lo que no comprendo, en camb1o, es cómo ha podido ejecutarlo. Magdn Cruzybird fue muerta entre las doce de la no· che Y In una de la madrugada. Y desde las once hasta las dos de ese mismo día Lester estu vo • t conmigo en la biblioteca trasegando ginger ale y cantando las excelencias de la poesía escandi· nava medieval. Pero veamos ahora lo que ocurre con Bar· q gley. Bargley es hombre circunspecto y afable. no exento de sensibilidad. De el sí que esperarla q--, r yo un crimen delicado como éste'Tuvo Bargley, además, ocasión de hacerlo: q- (s' A 1') nadie lo vi6 entre las once y media y la una y t' c~a rto ... Nad1e, salvo tal vez la víctima. Ahora b1en: ¿qué motivo podia tener Bargley para matnr a Magda? En un cierto sentido, lo que a Bargley mterc.1aba ern justamente lo contrario: que Magda viviera. En efecto: en un cajón del tocador de Magda he ha llado su testamento En é_l se dispone _que se le pase a Ba rgley un; ~nstón de c1en hbras semanales mientras ella ~tvn, Y que se le suspenda esa asignación a partir del momento en que eUa muera. PienS?· por otra. parte, que si Bargley bub1e. ra comeudo el asesmato, no hubiera dejado de q-u procurnrse una coartada. Y el becbo es que no la tiene... . llay, señores, sin embargo, una consideracoón cuya fuerzn se me impone sobre la de todas siguiente: si Lester, seglln -, m -p las demás. Y. es todas las apanencoas, no pudo cometer el crimen

·'

...,,

Esquemarizacióro p v q

...,,

!a

p

. ' Et1 d cnphulu IV dr ¡,, no"cln rtlsuicn asesina a Magdd Cra1;ybird por el proéedim~cnlo de lllii'QdUdr nlUt''l ht•l!-clol'l en $U COndUCtO rcspirlliOriO hílSta impedir a é.fCe prmk'ih) .su norm.d (u nto:lttn~unirnltt l" (Jn.\lrncruc 111 functonamiento en precs.,to.

3&e lntr0ducc.l6n lt ID lógica fom111/

entonces es que fue él quien lo cometió. Precisamente porque parece imposible. Eso es lo que enseñan las ciencias ocultas. El es el asesino. Se oyó, en ese mismo instante, un ruido al fondo de la habitación. Lester babia abierto de golpe la ventana y, al verse descubierto, había huido por ella. La policla, que lo esperaba, lo apresó en el jardín. junto al macizo - nevad()de rododendros.»

-, m

- De modo que en ambos casos lo uno resultaría ser muchos y no uno. -Cierto. - Pero necesariamente lo uno no es mu chos sino uno. -As! es. - Luego si lo uno es uno, ni es un lodo ni tiene pattes 1 .

p

EJERCICIO 17. Demostrar qut la expresión [(p "q)-+r]+-+[(p" or) •

-•q] es rautol6gica. EJERCICIO 18.

Demostrar la oollde: del siguiente esquema de inferencl"

r -+ q

p ... (• r " -, s)

EJERCICIO 21. Deriuar '(r v s) ... r' a parrir de 'r ... p', •-, q ~ .., r', 's -+ q', '(p " q) - r' y '-, s v p', direcrameme y por el método de red1.UÍÓn ttl absurdo: EJERCICIO 22

Demosrrar la oolidez del sigu~nte esquema de inferencitJ:

v...,

(q s) _, • q-r ,_-, $

p-q EJERCICIO 19.

r- s

Demostrar la tJalidez del slguienre esquema de infnencl" ElERCICIO 23. Demostrar la validez del esquema anterior por el método de reducción al absurdo.

Jl

EJERCICIO 24.

(p v q) - (r " s) -, (o p v -, r) -, t -> -, (p " s)

ResoiVl!r la siguiente argumentación: sencillo razonamiento que aparece en el Parméuidc• dt• f'fatón. 137 c4-c/3. Lo reproduciremos e iremos formalizándolo al marg~n.) 1;;:; Parménides quie11 COIIllllce el diálogo y Aristóteles quien respmulo•: EJERCICIO 20. (.~e trata de un

-<
Demostrar la validez del siguiente esquema :

EJERCICIO 25. Demostrar la 1)(1/fdez tlel siguiente esquemll de inferencia :

p

-+ -,

q s->q

(p ..... (q -+ r)] - [p - (s ... r)]

-, q -+ ( • r " -, sl EJERCICIO 26.

Derivar 'q' a partir de 'p

1\ - ,

p'.

EJERCICIO 27. Analizar formalmeme la.! argumentaciones contenidas en el s4Juiente texto de Uwi.! Carroll':

(r v s) ... r

l A ekctos de fori'IWiu.ci6D hciDOI dado por diéntk!M ti muociado 'lo uno existe [como tal unoJ y el enunciado 'lo uno ca uno", esquemadzado ambos por·,·. ., Esta espeac de enJa)'(l de lógica novelada fue publicado, con e! titulo de cA LogicaJ Paradou, en la re'lista MíttJ N. S.. núm. ll (iulio, 1894). Hay versión castellana - y de cJJa tl()$ hcmot '"''"'dn en 1 Carroll. El )utgt~ 4~ la 16IIC4 y orros escritO$

Madrid. Alian7a Edttuhal, 11111 1"'"' I.Cl-149

388 lrlfrorlttreujn fl

//J

ló(pclt /()rmotl

<<~,Cómo? ¿No tienes nada que hacer'/ -> «El cachorro~ era yo, como quizá haya adivinado el lector 1"1 si mismo. He cumplido quince años hace más de tres meses, pero '• inútil mencionarle eso a tío Joe. Se limitarla a decirme <> o cua lquier otro retru~no igualmente <'ulll Ayer me pidió que le pusiera un ejemplo de propOsición c11 A Y yo le dije: «Todos los tíos hacen retruécanos ruines». Píen'" que no le gustó. En todo caso, la cuestión no es ésa. Yo estah.1 contento de acompañ¡¡rlos. Me encanta oír a mis tlos «despeda1m la lógica», co mo ellos dicen; y puedo aseguarles pOr expericnc< 1 que su habilidad para eso es terrible. cII nosotros al menor!» -
azar».

«jPruébaio ltlgicamenre! -se burlo tío Ji m- . ¡Al ataque, pue• 1 ¡Te desafio a que lo hagas!» <. «Eso, de.~de luego - gruñó tío Jin>-. ¡No he visto nunc:1 un razonamiento desarrollado ¡>Or ti que no terminara en una ubsurdidad !» «Sin dcj:u·mc desmora lizar por tus vituperios dijo tío Jo~ con

tono altivo- voy a proceder a la deducción. Si Carr no está, admitirás que, si Allen tampoco está, Brown debe estar. ¿no?» «¿Y que tiene de bueno el que esté? -dijo !lo Jim- . Yo no quie.ro que me afeite Brown. Es demasiado torpe». «La paciencia es una de esas cualidades ínesomables...~ -<>m· pez6 do Joe : pero tío Jim le cortó. «¡Razona! -> «Claro que tiene que estar -> - d ijo tlo Ji m. «Me admitir!ts también que la verdad de una proposición hipot!tica quiero decir : su validez como infertncilt lógica no depende en absoluto de que su prótasis sea de hecho rerda1lera, ni siquiera de que sea posible. La proposición hipotética 'si tu llegaras de aquí a Londres en cinco minutos, la gente se sorprenderla' sigue siendo verdadera en cuanto inferencia. tanto si puedes como si no puedes llegar a Londres en ese tiempo». «No puedo hacerlo» -> <> --. ¿Cómo puede una y la misma pr6wsi!J probar dos apódosis contradictorias'/ Supongo que me aceptnrits que las dos apódosis, 'Brown está' y 'Brown no está' s)

«Si, admite rMm

dijo tlo Jim.

«EntOilCC"i, ll',..IIIHn m• •~

dijo lío Joc

. Si Cnrr no está estas

360

IOitO~.ICCi6n l t 18 lógiCO fOttHIII

dos proposiciones hipotéll~as •on vc,·dadcms a un tiempo. Y sa be mos que 110 puede11 ser verdaderas a la vez. Lo cual es absurdll Por tanto. Carr 110 p11~de estar ausente. ¡He aquí una exqui.,tu Reductio ad Ab.surdum para usted!» < ' Brown no está- son incompatibles. Pero ¿por qué no podemo> presentarlo de otra manera? Por ejemplo, así : Si AUen no está, Brown no está. Si Carr y Allcn no están ninguno. Brown está. Lo cual e• absurdo. Por lo tanto. Carr y Allen no pueden estar ausentes ambo>. Pero, puesto que Allen está, no veo que es lo que impide que Carr no esté». «Mi querido pero sumamente ilógico hermano - cuenta de que estás dividiendo equh•ocadamente la prótasis y la apódosis de esa proposición hipotética? Su prótasis es simplemente 'Carr no está', y su apódosis es una especie de proposición sub· hipotética, 'Si Allen no está, Brown está'. Apódosis absurda. puesto q ue es fatalmente incompatible con esa Otra proposición hipotética de la que sabemos que es siempre verdadera. ' Si Allen no estA, Brown no está'. la causa de este absurdo es simplemente la hipótesis deque'Carr no está'. De modo que sólo hay una conclusión posible: ¡Carr está b> Igno ro cuánto tiempo hubiera podido durar esta discusión. Croo que cualquiera de ellos era capaz de argumentar durante seis hor-~s de un tirón. Pero justo en este momento llcgabamos a la barbería, y al entrar nos encontramos ...

E.IEK('ICIO 3l.

{ [•r .... o(p" q)) "(s ... p)l .... [(s "q) -+ r]

'·' w1a ley lógiro. E JERCICIO 32.

Demostrar la oolidez del siguieme esquema de inferencia: p .... (q " 1 " u)

'P

r- -. q

IT-+l 1 11 -+

r

r

V S

EJERCICIO 33. Demostrar la validez del sfgultnte esquema de inferencia :

p-q q-r S-+1 S V

p

r v 1 EJERCICIO 34. Demostrar la Mlidez de la expresión a nterior por reduc-

ción al absurdo. E JERCICIO 35. Demostrar que la expresión

[(p

-+

r) " (q .... s)] .... [(p " q) .... (r " s)]

es una ley lógica. EJERCICIO 36.

Demostrar la VlJIIdez del siguienu esquema de inferencin:

(p v q)-+ r

EJERCICIO 28. Demostrar, por el método de retluccúln al absurdo. la ,. \¡Jresión '(p .... (q .... r)] - [(p " q) - · r ]'. EJERCICIO 29.

Demo..rrw· r¡ue la expresión

(p .... r) v (q

-+

Demostrar la validez del slguieme esqutma de inferencin EJERCICIO 37.

Demostrar la oolidt: dtl siguiente esquema de inferetu:ia:

p - ((q - r) - s] pvq

(q - r) - (p - s)

-,¡-,p- •) •p-q

EJERCICIO 30.

r)

Demostrar la

tfe r~d11crián al ab.\rtrtlo.

•~•luir:

tlrl r
,

1\ , ,

362 lntrO
3M. DemO.'itrur In l>ítlidt•: tlt'l ·''fJUh•nh! esquema de Ú!fel'ellfill

EJERCICIO 45.

Demo.•trar /11 rxllitlez del siguiente esquema de inferencia:

(p- q) " r

pvq

s-1 r-s q

r _, -.p

s-r I

V 1

C _.S

, .... -,q

EJERCICO 39. Óemo.
(p

-o(-oq v r) pvs

r

Demostrar la 1)(1/li/ez del siguiente esquenw de inferencill p ... (/

¡1 ... (1¡

1\

A

-.q

r)

A

_,S

A r) - u P- (u ... -.w) w

(s

(p " r)

-+

lJ

EJERCICIO 47. Dcnwstrar la 1)(1/idez del esq1umw trmerior por el método de reducción al absurdo.

r v -op

EJERCICIO 42.

Demosrrar la validez del siguiente esquema de i•iferenda:

-.p .... q

S V 1

1' J llRCICIO 41.

EJERCJao 46.

r)

EJERCICIO 48. Esqutmatlzar el slguiettte razonamiemo (de San llgustín, en La Ciudad do Dios) y demostrar su validez:

Demostrllr la rxrlldez
11

q) ... r

<
r -.s q

1\ ....,.

-.p Demostrar la oalide: de la expresión anterior por el mr'tado de reducción al absurdo. EJERCICIO 43.

EJERCICIO 44.

Demos!rar la 1>alldez del siguiente esquema de inferencia . (p -o(r t

1\

q) ... (r v s)

1\

-.p)

t-q

-,,- ,\

EJERCICIO 49. Dem
1\x(Px- -.Qx) 1\ x(Rx- Px) 1\ x (Rx- -.Qx) EJERCCIO SO. Demostrar la mlidtz del siguiente esq11enw de inferencia (que corresponde a un silogismo e11 FERiO) :

1\x(Qx- -.Px) V .Y (Rx 1\ Qx) \ (lh

A

-,p,l

38<1

/nlroCI
EJE'RCICIO 51.

Demos1rar la Vt.lli(/e: fiel M!JIIi(mte esqrlenw infi~re,c'l•l

(que corre.
A x(Px-+ -. Qx) Ax (Rx .... Qx)

V x (Px " -. Qx) i\ x(Px .... Rx )

A x(Rx- -.Px)

V x (Rx

Demostrar lo oolidez del slguiellle esquema de inferenrln ( que corresponde a un silogismo e11 CA M EST RES) : EJERCICO 52.

i\ x(Px .... Qx) i\ x(Rx - -. Qx) A x (Rx -+ ..., P.<) El ERCCIO 53. Demostrar la oolldez del siguiente esquema de inferettdot {t¡ue corresporule o

1111

EJERCICIO 57. l>t•,wMrar la l•ulu/,•: riel ~iguieme esq1,emu (/e inferenda (que corresponde a un silogismo en /JO CARDO) :

silogismo en FESTI NO) :

A x(Px .... -. Qx) V x(Rx" Qx)

" -. Qx)

EJERCICIO 58. Demostrar lo valide: del siguiente esquema de inferencia ( que corresponde a un silogismo en FP.RISON ):

A x (Px .... -. Qx) V x (Px " Rx) V

x (Rx " -. Qx)

EJERCICIO 59. Demostrltr la validez del siguiente esquemt1 de inferencia ( que corresponde a un silogismo ett CA LEM ES ) : A x (Px-+ Qx) A x (Qx - - , Rx )

A x( Rx .... -. Px)

V x(Rx " -. Px) Demoslrar la validez del siguiente esquema de inferertcltl (que corresponde " un s ilo{¡lsma en BA ROCO) : EJERCICIO 54.

i\x(Px.., Qx) Vx(Rx " -. Qx)

EJERCICIO 60. Demosrrar la validez del siguie11te esquema de iriferencit• (que corresponde a un silogismo en DIMATIS) :

V x(Px" Qx) A x (Qx -+ Rx) V x (Rx

V x (Rx"

A

Px)

-. Pxl

EJERCICIO 55. Demostrar lo validez del siguiertte esquema de inferencia

(que corresponde a un silogismo en DISAMIS) : V x(Px "Qx) A x(Px -+ Rxl

EJERCICIO 61. Demostrar la valitlez tlel siguiellle esquema de iriferellcitl (que corresponde a wt silogismo en FR ESISON) : A x (Px - -.Qxl V x(Qx" Rx )

V x (Rx

A - , l'x )

Vx(Rx" Qxl Demostrar la oo/idez del siguiente esquema de inferencU. (que corresponde a un silogismo en DA TI SI ) : EJERCCIO 56.

A x(Px .... Qx) V x(Px "Rx) V \(R\

" Qx)

EJERCICIO 62. Se trata de un ejercicio múltiple. En efecto: hasra ahora hemos presentado como ejercicios las demostraciones de la oolidez de los siguientes modos silogisticos :

I:k la pnmera figura : Celarent y Feria. De la segunda figura : Cesare. Camestru. Ftstino y Baraco. I:k la tercera figura · m.<11mh. Darisl. Bucardo y Ferisa11. De la cuarra lilCuht C'u/,.,w,, Dimuwr, Fresr.son.

366 lntt(){locción n llt ldglca lorm.11

Habida cuenta de que las derivaciones de los esqucm..,s de tul rcncia correspondientes a los modos Barbara y Daríl, de la pru•or11 figura. habían sido ya utilizados con anterioridad a titulo de •h"''"

ció o. sólo quedarían los modos siguientes: Darapti y Felapton, de la tercera figura. Baralipton y Ftsapo, de la cuarta figura.

E..n·KCtOO 66. Esquenuuizar la siguieme inferencur (cuyo autor es t .,•wis C<~rroll) y demostrar srr validez :

Todos Jos colibríes tienen vivos colores Ningún pájaro de gran tamaño se alimenta de miel Los pájaros que no se alimentan de miel tienen colores apagados Todos Jos colibríes son de poqueño tamaño

t""'

Su a usencia se debe a que Jos esquemas correspondientes 11 modos no son deriva bies como tales en una lógica en la que '" ~e acepte -y en la lógica clásica actual no se accpl!l
Ningún á nade ba ila el vals Ningún oficial declina nunca una invitación a bailar el vals Todas mis aves de corral son ánades M is aves de corral no son oficiales EJERCICIO 64 . Demostrar la validez del siguiente e.~quema :

/1 x (Px-+ Qx) ...... 11 x (•Qx- •Px) EJERCICIO 65. F.squemlltizar la siguiellle inferencia (obra dt Lt•l Carro//) y derivar su canc/usiOn :

Todos los miembros de la Cámara de los Comunes tienen perfc.h• dominio de si mismos Ningún parlamentario q ue use corona de nobleza participaría en una ca rrera de bu rros Todos los miembros de la Cá mara de los Lores usan corona ''' nobleza Nin~ü n miembro del Pa rla mento pa rticiparia en unu cu •·rcra d• bu1·rus ti menos que 1uvic1';1 un JWif~c.:tc) dominio de si mi!\mo

EJERCICIO 67. & quenwtizar la siguiente inferencia (obra de Lewis Carroll) y derivar su conclusión:

Sola mente las personas bien educadas están suscritns ni Times Ningún puercocspín sabe leer La~ personas bien educadas sa ben leer Ningún puercoespln está suscrito al Times EJERCICIO 68.

Dice Srephen Kórner en su libro sobre Kanr • :

«El argumento de Hume y de los positivistas lógicos contra la metafisica se apoya en dos enunciados: uno de ellos expresa una distinción lógica, y el otro, una definición. La distinción consiste en decir que las proposiciones metafisicas no son ni proposiciones emplricas ni proposiciones analiticas .. La definición proporciona el significado del t~rmlno ' proposición con sentido': proposición con sentido es aquella q ue es o emplri· ca o analllica. Si estamos de acuerdo en la distinción y aceptamos la definición, hemos de concluir que las proposiciones metafisicas carecen de sentido.>> EJERCICIO 69.

Denumror la validez del si(Jiriellte esquema:

Vx( Px v Qx)-(VxP.< v VxQx) EJERCICIO 70. &quemnrizar la siguiente inferencia (obra de Lewis Carroll) y derioor la conclusiOn:

Ningún poema ioteresa01e es mal recibido entre gentes de buen gusto Ningún poema moderno está libre de afectación Todos sus poemas de usted versan acerca de pompas de jabón Ningún poema afectado goza de aceptación entre gen tes de buen gusto Ningun poema antiguo versa acerca de pompas de jabón Todos sus poemHs carecen de interés • S . Kiirncr, Kmu, IIIHIII.utd~wc•rlh, Pcnguin Hooks. IY55. pfig. 17. V. l. 7..Jtplltn. Madrtd, All(llltl' 1 tlllt1d .1l, 11)1'1

C. dt

Ejorclclos de deducción 369

EJERCICIO 7 1. Esquemwl:ur /u .
i!JEK('ICIO 74 . Esquemaliurr la slguieme i•!J'erencia (obra de Lewis ( ·.,rroll) y derivar su conclusió11 :

Los anima les se irrilan siempre mortalmenle si no les presto atención Los únicos anima les que me pertenecen a mí están en ese prado Ningún animal puede adivina r un acertijo a menos que hay sido adecuadamente instruido en un colegio con internado Ningún animal de los que están en este prado es un tejón Cuando un animal está mortalmente irritado corre de un lado para otro salvajemente y gruñe Nunca presto atención a un animal. a no ser que me pertenezca Ningún animal que baya sido adecuadamente instruido en u o colegio con internado corTe de un lado para otro salvajemente y gruñe

Todos los animales que no cocean son flemáticos Los asnos no tienen cuernos Un búfalo puede s iempre lanza rlo a uno contra una puerta Ningún animal que cocea es fácil de engull ir Ningún animal sin cuernos pued~ lanzarlo a uno contra una puorl• Todos los animales son excitables. excepto los búralos Los asnos no son f1lciles de engullir

EJERCICIO 72

Esquematizar la siguiente inferencia' y demosrrar ••

Ningún tejón puede adivinar un acertijo

'ulldez:

En el siglo XIX un demócrata podía ser ta nto liberal comu socialista. Los liberales acepta ban la revolución industrial y ddru dían la institución de la propiedad privada de los medios de 1'"' ducción, el establecimiento de una economía de mercado aut" rregulada y la conversión del trabajo en mercancia. Los sociali>ll" aceptaban también la revolución industria l, pero rechazaban es<" tres puntos de la ideologia liberal. Los conservadores, por su partr, recbaUtban la revolución industrial. De ello se desprende que ni luo liberales ni los socialistas eran conservadores, que ningún libeml era socialista y que ningun conservador era demócrata.

EJERCICIO 73. E:;quemarizar la siguiente iriferencia (obra de uw/,, ('(lrroll) y derivar su conclusión :

EJERCICIO 75. Demostrar la valide: de la in(uencia conrcrrida en el .
«Yavé habló a Moisés y lirón diciendo: «Hablad a los hijos de Israel y decidles : He aquí los animales que comeréis d e entre las bestias de la tierra. Todo animal de casco partido y pezuña hendida y que rumie lo comeréis: pero no comeréis los que sólo rumian o sólo tienen partida la pezuña. El camello, que rumia, pero no tiene partida la pezuña, será inmundo para vosotros; el conejo, que rumia y no tiene partida la pezuña. es inmundo; la liebre, que rumia y no tiene parlida lo pezuña, es inmunda; el cerdo, que tiene la pezuña hendida y no rumia, es inmundo para vosotros.» EJERCICIO 76.

Demostrar que la siguiente expresiórr es '"' esquema

valido: Ningún tiburón duda nunca de su buena preparación Un pez que no sea capaz de bailar un minuto es despreciable Ningún pez está seguro de su buena preparación a menos que ten~• tres filas de dientes Todos los peces, excepto los tiburones, son a mables con los ni~uo Ningún pez obeso puede bailar un minulo Un pez con tres filas de dientes no es despreciable

V

x /1 y Pxy-+ /1 y V x Pxy

EJERCICIO 77. Err el test de Burt se pregunta o los mnos: <> Hallar la solución por métodos fornrales.

Todos los peces obesos son amnbles con los niños

EJERCICIO 78.

Denws1rar la ualidtz del esquema V
> inspirada en un tuto del libro de O 1 eduhe•m. Btffrt Alst
•

y Pxy- V y V x Pxy

Lttitlt(), 1 c:n:cra parte:. 11. 1-1 Sc~uunos en linea.s J<=nt-n.fes la n-rstbn de

Nác:[email protected].

370 lnttoducclón o lo IOgK;tJ lt#1t11tl ~..JI'.K(.'Il'IO

79. DctmoMrar In

t't1ll1h'Z dt'

lil ,\lfJHÍt'lfle injereuciu 1 :

-

El hombre puro ama todo lo que es puro

Ejerclc/<>S de deduCCión 371

E.tFKnCtO 85. Est¡ueuwrizar la slgulellle ínferencill (obra de Lewis Carro//) e11 rérmiJws de puros predíe
El hombre puro se ama a sí mismo EJERCICIO 80.

Todos los escritores que comprenden In naturaleza humana son inteligentes Nadie es verdadero poeta a menos que pueda mover los corazones de los hombres Sbakespeare escribió 1/amlet Ningún escritor que no comprenda In naturaleza humana puede mover los corazones de los hombres Nadie sino un verdadero poeta podía haber escrito Hamler

Demostrar la oolidez del sigt•ieme esquema de inferenri<•

llx (Px- Qxl •Qa b =a

oPb EJERCICIO 81.

Demostrar la mlide: de la siguienre inferencia:

Lanoelot ama a la Reina Ginebra Laooelot oo ama a ninguno de sus amigos El Rey Arturo es amigo de Lanoelot Los amigos de Lancelot odian a aquellos a quienes Lanoelot ama

Sbakespeare era inteligente

2.

Soluciones

El Rey Arturo odia a la Reina Ginebra 11.JilRCICIO 82.

/1 x /1 y /1 z 1((.< EJIORCICIO 83.

Al ejercicio l.

Demos trar que

= y A (y -

z)) - (x

e

z)) 8

Demos tración: p p

Demostrar la oolidez de la siguiente Inferencia:

Todos los filósofos se hun preguntado que es la filosolla Todos los que se han preguntado qué es filosol1a han dado en lu locura Nietzsche es un filósofo El Padre Ceballos no acabó loco

6.

q-+ r

Rl A,2,J RE -+,4,1 Rl -+,3,5

N ietzSche y el Padre Ceballos no son la misma persona Al ejercicio 2. EJERCICIO 84.

Demostrar la validez de la siguiente inferencif¡:

El autor de La Tempesw di M are era veneciano El autor de 11 Garde/llno es Vivaldi El autor de La Tempesra di M are es el autor de JI Gardelli11o Vivaldi era veneciano " La premisa es dd Maestro Ed:har1. La condusiOn, de Carien. (iarf:tnd • Se rra1a. como es obvio, de demos1rar que 11 rdación de tdencidild es lransnh"B

Demostración: l.

2.

3.

p-+q r V S S

_-,q

...,,

4. 5. S 6. •q 7.

. ., ,

p

p p p RIA., 2, 4 RE-,3,5 MT, I,6

372

Ejercicios de dBducción 373

Introducción a la 16g/c1.r Iom mi

Al ejercicio 5.

A 1 ejercicio 3.

Demostradán: L. 2. 3. 4.

Demostración:

p .... q

p

r

p

V S

S- -, q --, r

- 5. --,--, p 6. p

RE -,, 5

7.

q 8. q-+ o

9. o 10. S 11.

p p

S

S

SAo$

RE-+,1,6 RContr. -.3

RE ..... 8, 7 RIA 1 ,2,4

Rl A, l0,9

12. -,-,-, p

RJ -,, 5

13.

RE-,, 12

-, p

l.

T ~S

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

p V q

q o

p .... s) A

o

S

S

-, r q A-, r

Rl A,6,8

Deriooción (directa)

p .... q

p

2. r .... p

p

t./osario

3. -, r ~-, r 4. --, (s A - , r )

1' = ~ro lf = 'lo

5. 6.

1

7.

t

Uno está en movimiento' Uno s ufre un mo vimiento sin ca mbio en el eswdo' ,. • 'lo Uno s ufre un movimiento de nhern ción' s = 'lo U no rota sobro sí mismo' 1 = 'lo U no cambia de un lugar a o tro'

li.w¡ueuwt izad órJ p-+ (q v r)

9. p JO. q 11. Q V

14.

-, (s v 1)

RContr -+, 3 RE -+,6, 7

r

RE .... , 2,8 RE - ,1,9 Rl v, lO

U

ROf. A ,4

RE .... , 12, 13

r

p p p

4.

-, (s v 1)

p

5. 6. 7. 8.

-, q oQAo r -, (q v r) -, p

MT.3. 4 RJ A. 5. 2

RDf A. 6 MT. l. 7

RTr ..... 2, 1 RTr -+, 2, 1


q

V U

Rl

18. q

V U

RE v. 5,6- 11 ,12· 17

17.

Deriuación

p

p p

S

15. r -+ 16. q

'P p..., (q v r) 2. -, r 3. q .... (s v t)

~

13. s -+ r

q -+ (s v t)

l.

1V S

8. r

12.

-, ,

p

RDf....., 3 RE A,4 RIA , 2, 5 RE A,4 MT, l, 7

Al ejercicio 6.

l. \ 1 •Jncicio 4.

-, (• o p --, p

p p

Otra fo rma de dt rivaci6n directa

l. p .... q 2. , .... p 3. -, r 4. --, (.<

5.

1 V '

A

p p t

t 1

r)

p p p

V .

!6

314 lntroduccl6n o l.:r lóglcn lottw1/

6.

1

-+,.

7.

1 .... p

8. 9.

1 ....

JO.

S-+

s- r

11. S-+ 12. 1 13. q [ 14. q V 15.

16. [ 17.

'1

p q

RContr -+, 3 RTr ... ,6,2 RTr ->, 7, 1 RDf A,4 RTr ... ,9,2 RTr ... , 10, 1 R E-+, 8, 12

U

Rl v, 13

3. IJ

p

5. 'P 6. .., (q v r)

MT,2,4 RE4 +-+, 1, 5 RDf v,6 RE A, 7 Rl A, 3,8

.., ,

7.

l

ql\lf

8. •q 9. q A.., q 10.

..,..,.

11.

S

Rl ..,, 4-9 RE..,, JO

S

RE ... , 11,15

q q

V U

Rl

V,

18. q

V U

RE

V

16

,5, 12- 14, 15-17

Al ejercicio 9.

Parece que podría dársele a la argumentación de Wittgenstein la siguiente forma: «Si de la inexistencia del mundo no se siguiera la inexistencia de_ la l?gica. ento nces la inexistencia de ésta se seguiría de la

\ 1 ••jercicio 7.

ex1stencm de aquel.)>

/)C'mostracitm: l.

-

Ejercicios de dedvccl6n 375

p-+ (q -+ r)

p

Glosario

p

2. q

n:

q-+r r

R E -+,1,3 RE -+,4,2

6.

p ~ r

Rl

p

-+, 3-5

p = 'hay un mundo' q • 'hay una lógica'

Esquemat izaciáu .., (• p ..... .., e¡)

Al ejercicio 8.

(p ... .., q)

Deri!}(ICilm (directa)

l.

p- (q v r)

2. p-+ S 3. q 4. (q v r) ... p 5. (q

V

6. q v 7.

r) -+S r

S

p p p RD -,1 RTr -+, 4, 2 Rl v,3

RE -+,5, 6

Deriración

l. .., (• p .... .., q) 2. .., (p .... .., q) 3. .., p A lj 4. p A q 5. .., p

p ROf. -+,1 RDf. -,2

6. p

RE A,3 RE A,4

7.

RI A,5,6

p A-, p

Deri!}(lción (por reducción al absurdo)

p p

8. --,..,(p ....... 1/) 9. (p ....... q)

Rl •.2-7 RE -., 8

378 Introducción 11 llt lógiCit lurmttl Ejercicios c1e deducción

Al ejcrddu 10. Y la derivación sería sencillamente ésta:

Oeriwtció11 (d irecta) l.

4. 5.

p p

(pAq)-+r

2. < (p V r) 3. p -+q

S

p RDf V. J

p

-, S

pv r 6. p 7. q 8. p 9. r

MT,2,4 RE - .3,6 RJ A,6,7 RE-, 1,8

q

A

IO. r _ 11. r

Í

RRII -. 10

12. r

RE

13. --, s- r

R1 -. 4-1 2

V.

5, 6-9, 10-11

1\1 ejercicio 12.

Demostración : l. 2

S +-+/

1 V p 3. S - - , W 4. w 5. w~ -, s

6. o S 7. -,¡ 8. p

p p p p RContr. - . 3 RE -+,4,5 RE 4 +-+, 1,6 RIA ., 2, 7

Ot•rivación por reducción al absurdo l.

(p

p p

q) -+ r V r)-+ S p-+ q A

2. < (p

3. -4. --. (--. S

5. -, s 6.

...,

1\ - ,

p

r)

r

RDf - ,4 RE "· 5 RE A,5

--, S

7. -, r

8. -, (p 9. 10. JI. 12. 13. 14.

A

t¡)

MT,I,7 MT, 2,6

o q

RDfA , 8 Rdf v, IO RJA 2 , 7, 9

p V r

< p

V

p --, q p

o p p

1\ --,

p

15. --. --.(os-+ r) 16. (os-+ r)

Al ejercicio 13. Demostración:

l. 2. 3.

p

So-o /

1 V

p

s~-.

w 5. -, 6. 1

w

4.

p p p

p

RIA,, 2, 5

RE3 +-+, 1,6

S

IT,3,11 Rl A, 12, 13

7. 8. 9. JO.

S A -,S

RE -, 4,8 RI "· 7,9

Rlo , 4-14 RE --. ,15

11.

..,o

RI o , 5-10

12. p

\\1

__. -,S

--,S

p

RContr. -+, 3

RE--.,11

Al ejercido 11. Si. La inferencia que hemos fingido tendría -suponiendo que ·p· s ignifica 'es un awr' y 'q', 'es un genio'- el siguiente esquema: p v q

Al ejercicio 14.

Demostración: l. (p

2.

1\

q)-

(r " .\)

• 1

p p

3n

Ejercicios de deducCión

378 lntroducc;()n a la /Ogica fotnml

3.

p AqAS

4.

p q

5.

6. p !' q 7. r 8. S 9. T A S 10.

111. l.

RE A,3 RE A,3 RI A, 4, 5 RE -+,1,6

RE A,3

2.

RE--+,2,9

9

p

p

p RI A,2,3 MT,l,4

V. p p MT,I,2

q--+u

....,.,

2. 3. •q

p

2. q

VI.

p

1.

q-+ r 5. r 4.

6. p--+r

p p

r

5. •q

Demollración :

e·

1

l. q -+ (s' A t') 2. 1' 3. ..., s' 4. ..., s' At'

l.

-

...., ,.

IV.

RJ A.7,8

Al ejercicio IS.

p .... (q --+ r)

q-+

3.

RJ .... 3- 10

l.

379

p p RE-+, 1, 2 20

•m~p

2. •m 3. fl Rl ... , 3-5

Al ejercicio 17. 7.

q--+ (p-+ r)

Rl --+, 2-6

Demostración : Al ejercicio 16.

l.

La argumentación del docto r Asquith no es una argumentadllll Son. por lo menos, seis argumentaciones. Las presentaremos succm• men te extrayendo en cada caso la conclusión que, para mayor emo~;u'tn el doctor Asquith se abstiene de formular:

r_, ...,,. 3.

4.

l. p V q 2. p--+r 3.

p p

4. ' P 5. q

MT,2.3 RIA" 1, 4

l.

p ... (s A 1)

p

2. 3.

S ...., 1

.., ,

11.

4. .SAit 5. ' P

RE ", 2 MT, I,3

..., (p " q)

Df. A,4 RE "• 2 RIA 1 ,5,6

5. • p v •
l.

p

(p " q) ... r p A-, P'

~: 8.

p -¡

'1

(p

A ....,

r)

--+ ....,

q

RI --+,2-7

p

p p Rl A,2,3 MT, 1.4

~ Nada 5C concluye rormlllmc:ntc. Conduir ·q' sería incurrir en la ralacia de aftrmacióo de oonsec:ueotc. Podrlamo5. cvkkntemcnte, conduir 'q v -, q',lo cual es tanlo, sin embargo. tomo ao coadu.ir nada. 10 La consideración cooju.nta de lO$ raultados de las SCI5 ar¡umentaciones no conduce a nada concreto. la pvebil atA en que d hito obltnido por el Jlroc1or Asquitb -la identifi"'cióo y captura del culpablo- no ha Jido un (ruto d.e la aplicación de la Jósiea

formal. sino de la debdtdad dcl Jttlema nervioso de l...estc:r- unida a los c:séUOoS tone). cimientos que i:ste.. a lo qu~ l"trctt, poseb acera de la tcoria de la wlidez formal de la infercncaa- . así como df la uporlunHJ.ld y prateta con que ac::waron la$ fuerzas dd orden

380 lnrr
9. l


A -.

r ) - -. qJ

(p " q)-+r 18. ((p A -, r)-+ < q]-+ [(p A q)-+ r] 19. [(p A q)-+ r] <-+ [ (p A -, r) -+ -, q]

17.

Rl -. 1-8

p

REA, II M T, 10, 12 or. -. 13 RE "• 11 RE ..... , 14, IS Rl -+, 11 -1 6 Rl -+,10-17 Rl ... , 9, 18

Al ejercicio 18. Demosrrncl6n:

l.

p

p- (p- q)

- 2. p 3. p-q

l.

p--,q

2. -. q .... (-,rA-,s) p

n:

-,q

q

S. P-+ q

Rl -+, 2-4

6. p ..... (o r " -. s)

Rl, ...... 3-5

P odríamos ttunbién utilizar las reglas derivadas no pa ra abrevia r, sino para da r un rodeo y hacer prácticas : l. p--. q 2. o q - (..., r 3. (r v s)...., q 4. q - • p

A -.

s)

6.

7.

s) ..... ..., p p ..... -, (r v s) p - (-, r A -. s)

l. p-+oq

p

l. -, p ... p

~

RB-,1,2 RI A,3,2

S. o-, p

6.

Rl -,,2,4

RE-,, S

p

Deriooci6t1: l.

p

p-+-,q

2. -. q ..... (o r " -, s) 3. (r v s) -+ r 4. 1 - q S. p -+ (..., r A o s) u Como el leclor h11bth podido

ob~ct lflll . ~Hb w n , p 11t1i

p p p

RTr - •, 1, 2 '' o b1encr el cmuu,:i11d0 buM.•tulu,

p

2. o q ..... (o r A -. s)

p

3. (r v s) -+ r 4. 1 -+ q S. o [ p ... (-. r A -. s)] 6. p A o (o r A -. s) 7. p A (r v s) 8. (p A r) v (p A s)

p p

10.

pAr p

11. -,q 12. r 13. r V S

A1 ejerdcio 20.

p p RContr -. 2 RContr -. 1 RTr-,3, 4 RConlr-,5 or. v,6

Jntentémoslo ta mbién, pa ra mayor complej idad, por el método de reducción al absurdo:

Al ejercido 19. Demostración :

p p

RE .... , 1,3 RE- . 2, 4

lri\IS

S. (r v RE-,1,2 RE - , 3.2

4.

Puesto que asi ba resultado todo· demasiado fácil, compliquemos ligeramente la derivación evitando el reeurso a reglas auxilia res:

14. 1 15. q 16. qA-,q

or.-,s or ", 6 RDsl r " por v, 7 REA,9 RE-, 1,10 RE ", 9 Rl v, l 2 RE-.,3, 13 RE -+ , 4, 14 Rl A, I1 , 1S

luíi prcmi:u1~ 3 )' 4. No KOn ~~1.1 \1, en efecto, sino glosa.<~ de IR prc:miSil 2. 'Su valor no es doduccivo, sino pe•·sul'tstvo: lnll inltüduc.-e P11rménides con vistas a peuundir a Arislótd es de que ooepte t.:8n prcmi11.1 2.

Ejercidos de deducción 383

382 lntrOdvccióiJ ala lógk;a lormnl

p

3. s- q - 17. J' A S 18. p 19. •q 20. S 21. r V S 22. ( 23. q 24. qAoq 25.

REA,I 7 RE->, 1, 18 REA,I7 RI v, 20 RE - , 3, 21 RE -t,4,22 RI A, I9,23

qA o q

RE

26. -,-, [p ... (• r " o s)] 27. p -+ (• r " o s)

V • 8, 9-16,

Rl•, 5-2S RE -, .26

A1 ejercido 21.

Oemostraciim directa: l.

2. 3. 4. 5. - 6. - 7. 8. 9. 10.

r~p

p

-. q~ • r

p

s-+q (p 1\ q) .... t

o S V p r V S r p

JI.

r-q q p A q

12.

(

13.

S

RE-,1,7 RContr -, 2 RE-+, 7,9 Rl "• 8, !O RE-+, 4, 11

18.

A

q

(

17·1·1

(p " q) -> t -,S V p -, [(r v s) ... t] (r v s) A o ! (r A -, t) V (S A 9. (r A -, t) 10. r 11. o/

12. p 13. q 14. p 1\ q 15. ! 16. t. A 1 t S

25.

t A 1

26.

(r v s) _,e

l.

r~p

2.

l

f(-t l

9.

p

RE "• 9 RE A, 9 RE .... 1,10 MT, 2, 10 RI A,l2,13 RE-., 4, 14 Rl A, ll,l5

1

RE v, 8, 9-16, 17-24

q p p A q (

A 1

RI -,, 6-25

DemostracióTJ:

RI .... , 6-18

p f

Df -., 6 RDstr A por v, 7

Al ejercicio 22.

RE v,6- 17

Demoscratióll por red..ccióll al absurdo:

t)

t

-,¡

(q v -, s) -+ t

•q-r p-•s t

-4

p

p p p

.5

p

10. 11.

oq r

RE-+,3,5 MT,4,6 MT,1,7 Rdf V , 8 RE A , 9 RE .... ,2, 10

12.

p~ r

RI .... , 5-ll

o S -,¡

8. o (q v -, s)

19. (r v s) -+ e

-,

REA,17 REA , I7 RE-+,3, 18 RIA¡,5,18 RI A, 20,21 RE .... , 4, 22 RI A, 19,23

S

J_

p p

A -, t

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

l. 2. 3. 4. ¡56. 7.

RE-+, 3, 13 RIA.,5,13 RI A, 14, 15 RE -+, 4,16

14. q 15. p 16. p 17. (

p p p

-

4. 5. 6. 7. 8.

-¡

q

A 1 1

S

384 Introducción tJ llt ldgK:a fom1L1I

Al cjcrcicio 23.

Ó.

Rl v.S RE-, 1, 6 RE"· 7 RJ A,5,8 RContr..... , 3 RE -,9, 10

p V q

r A s 8. • 9. p J\ • 10. (p " s) .... 11. r 7.

Oemo.straci6n: p

l. (q V o !) .... 1 2. l q-+r 3. p- -, 3 4. t ... $ 5. -,(p .... r)

p p p

Al ejerckio 15.

6. P" -, ' 7. p 8.

Ror ...,s RE ", 6 RE A,6 RE-., 3, 7 Rl v,9 RB ... , 1, 10 MT,4,9 RI A, II , I2

..., ,

9. -,s 10. qv-,.f 11. 1 12. 13.

t

..., ,

tAi l

14. -,-,(p .... r) 15. p-r

Rt -,, 5-13 RE-,, 14

Denwsrrnclón : l.

S-+

p

q

..-- - 2. ¡1 ... (q ... r) 3. p 4. S 5. q - r 6. q r

RE -,2,3 RE -,1 ,4 RE-.5,6

8. s- r

Rl -. 4-7

7.

Otra posibilidad de reducción al absurdo discurriría del modo siguiente: 1 ·' derivación seria idéntica a la anterior basta el paso 9. continuendo lu"¡¡o asl:

1O. [p ... (q -+ r)]

lO.

13. -, q 14. -,-, q 15. q 16. qA-,q

MT, 4,9 MT, I, IO RDf v, l l REA , 12 MT,2.8 RE •, 14 Rl A, 15,13

17. -,-, (p .... r) 18. p-r

Rl -,, 5-16 RE -,, 17

' '

11. -, (q v-, s) 12.

' lJ"..,..,s

Al ejercicio 24.

(p v q) .... (r

A

s)

2. -, (o p v -, r) 3. 4.

-, t .... ..., (p p 1\ r

5. fl

-+

(p -+ (s .... r)]

Rl .... , 2-9

Al ejercicio 26.

Derivación' 2 : l.

P"-,P

2. p 3. -,p 4. p V q S. q

p

RE A,l RE " , 1 Rl v, 2 RIA 1 ,3,4

Al ejercicio 27.

Demostración: l.

Rl ... , 3-8

A

s)

p

p p ROl' v, 2 RE A,4

Dos son las argumentaciones que cabe distinguir en esta historia. La principal es la que efectúa Tío Joe. Si esquematizáramos el enunciado 'Carr esta' por 'p', el enunciado 'Allen esta' _por 'q' y el enunciado 11 8sU1dtrivuci6n no •lc:nó illtdu de inQOOnle. Anlcs bien. cst.a dcrlvftción muestra que de una concmdicción se "K\H., cu ttlt,u u~r t'(l!t" (~
dect:.n lo11 lógicos mediCYI\ICt).

300 lntrOdvcclórl 61 la ldgicn ftHtUIII

· uwwn t.:stú' por ·r , diríamos t.¡uc Cl\~1 .u guml.lnlu ciún tiene la sigu•cuh lul'ma:

l.

'

p-

2. 3.

'

p -+ (< q -+

(< q

-+

p

r) --.

p RI -,, 1,2

r)

p

y

-, xu t'cro es el caso que esas dos expresiones no son contradictorias, comu ¡ounlc comprobar fllcilmente el lector comparando sus tablas de verdad Ntt ,., correcto, por tanto, aplicar en este contexto la Regla de Introduc • '"" de la Negación. No ha habido reducción de '--¡ p' al absu rdu. 1 ' •" l!ume11tación de T'io Joe es falaz. Nu así, en cambio, la argumentación de Tío Jim, a pesar de l.t • ' ' ""' convicción que despliega a l formu larla . Su razonamiento tiene, ~ n ~.-fccl o, esta estructura :

-.q--.r

p p

2. (o p 1\ - , q) -+ r 3. p V q t•

p

V

q

MT,2. 6 Df. " • 7

9.

p

V

q

RE

t.

1\ - ,

q)

V'

3, 4-5, 6-8

p

• q~ -, ,

2. (o p 3. --¡ (p -, p

4.

9.

y <
l.

-, (--¡ p

o q) .... q)

1\ V

1\ - ,

5. T 6. -, q 7. -, r 8. T A.I

X --¡

7. 8.

Por el método de reducción al absurdo :

Ahora bien: la argumentación de Tío Joe sólo será 11álida en el ca"' ue que .__, q - r' y .__, q - ' r' sean expresiones contradictorias. Si n•l fuera, podríamos aplicar la regla

¡-;;-"

6. -, r

V

q

V

p Df. v,3 RE .... , 2,4 RE "• 4 RE-+, 1,6 R1 A,5, 7

T

-,-, (p

10. p

T

q)

RI -, , 3-8 RE-,,9

q

Y, ¿qué hay de la argumentación de Tío Joe, presentada por su autor con tono tan terminante? Yn hemos visto que de sus premisas oo era posible deducir válidamente 'p'. De esas premisas, sin embargo, se sigue 'p v q', es decir, precisamente la conclusión extraída por T'io Jim. Veamos cómo: l. -, p .... (• q .... r) 2. -, p -+ ( • q -+ -, r) 3. (--¡ p 1\ o q) -+ T 4. (< p 1\ - , q) .... -, r 5. -, (--¡ p 1\ . , q) 6. p V q

p p Rlmp,l Rlmp, 2 Rl -'o, 3, 4 Df, v,5

Y es válido:

2. (• p " -, q) .... r 3. qvor q

[~: 1 -'

AJ ejercicio 28.

p p

t. -,q...,.-,r

Demostración:

Df-+, 1

l. (p " q)-+ r 2. -, (p -+ (q -+ r)) 3. p A --¡ (q -+ r) 4. p 1\ q " --. r

RI v, 4

pvq

5. p 6. q 7. o

O, l'ormulada de otra maoera.

X-Y

X _ _, y

16

dice Tio Jim t~eC'arr y Afien no pueden estar ausentes o IQ o ndl Carr. o est.a Allcn o ndm 11mbu

•Por lo

1 t. dtctr,

QUt'

tan1o•

8. p 9. r

10. rtt.Jt

T

1\

q

T 1\ - , T

p

Df.-+,2 Df. -+,3 RE A,4 RE A, 4 RE A, 4

RI ", 5, 6 RE-+ , 1,8 Rl ", 7, 9

:lOO

~• [

-

lflttoclucJcidrl JJ JlJ Jó{l'clt form111

RE v , 8,9· 10, 11 1 1 Rl V' 14

Ejercicios dtt d6
1 12

' 13.

-, u

16. r 17. 18. r 19.

V

S

T V S

V'

RE-,2,11 RJ-,12,7

'" ' '

14. ...,..., (r v 1) 15. r V 1

RE-,5,16 RJ V, 17 RE

,

7, 8-15, 16-IH

Rl-,, 5-13 RE -, ,14

Al ejercicio 35.

Demos1racl611 : A 1 ejercicio 33.

l. (p _, r) A (q .., s) 2. p-.r 3. q-+s

Demostracl611: 1. 2 3. 4.

['

p-+q

q ... r S-+1 svp S

6. 1 7. r v 1

p p

pAq

5. p

p p RE-, 3,5 RJ v,6

10. (p " q) -+ (r A s)

9. q 10. r 11. r v 1

RE ... , 1,8 RE-+ , 2,9 Rl V. 10

12

RE

V. 4,5-7,

A1 ejercicio 36. 8-1 1

Demostración: l. 2. 3. 4.

Demostracilm :

p-q q-r S-+1 svp

7.

..., ,

8. ..., 1 9. • s 10. fl ll. q

(p v q)-+ r -, [(p ... r) v (q .., r)) ..., (p ... r) A ..., (q -+ r) (p A ..., r) A (q A ..., r)

5. P " ' ' " q " ' ' 6. p 7. pvq 8. r

p p p p

9.

-, (r v 1)

6. ' ' " ' 1

Rl ... , 4-9

11. [(p ... r) " (q -+ s)] -+ [(p " q) ... (r " s)] Rl -+, 1-10

A 1 ejl'I'CicÍO 34.

l. 2. 3. 4. 5.

RE ", 4 RE " , 4 RE - , 2,5 RE-,3,6 Rl ", 7, 8

6. q 7. r 8. S 9. r A s

8. p

rv 1

RE "• 1 RE A, l

...,,

10. r

RDf. v,5 RE A,Ó RE A,6 MT,3,8

A 1

r

11. ...,..., [(p-+ r) v (q -+ r))

12. (p .... r) v (q

-+

r)

p ROf. v, 2 ROf. -+,3

..

RE " , 5 RJ v , 6 RE .... , 1, 7 RE "• S RI A,8,9 RI-,, 2-10 RE-,, 11

RIA .,4,9 RE -, 1,10

"

l){ldO que ltt conit•mat\n ¡)ll~t"" 1. tlrl)l)lcdad asocaativa. hemos c:h1"Íní1dO 1()11 p~tréntesis.

E/6fc/cl09 de deducción 393

:1112 lntrcxJuccl6fl a ID lógica fomtJ'I

6. 7.

A1 cjcr~icio 37. Dcmosrraci6n:

l.

r-s

2.

pvq

p p p p

3. o (o P ... s) 4. op-q 5. opA oS 6. op 7.

RDf...., 3' 6 RB A,5 RE -+, 4, 6 RE A,5 MT, 1, 8 RIA ,7.9

q

8. os 9. or JO. q A-. r

o IJ ol

8. oS 9. r 10. .t 11.

Sl\1$

12. oo (q V 1) 13. q V 1

RE A, S RE A. S MT,2, 7 RE ", 1 RE -.3,9 Rl A,l0,8 Ri o, 4-11 RE o, l2

O bico: 10. o ,. 11. rl\ !

r

MT, 3,8 Rl A, 9, 10

Etc. Al cje.-ciclo 38. Al ejercicio 40.

Demostracl6n:

p

Demos1raci6n :

3. r -s

p p

l. -.p ... q

4. r 5. S 6. 1 7. q

RE A, 1 RB-+,3, 4 RE -,2,5 Rl v,6

l. 2.

(p-+ q) A r $-+1

V

1

2. o (""1 q v r) 3. p V S 4. o o q A r

S.

oo q

6. q 7. ..,

fJ

8. S 9. S V 1

Al ejercicio 39.

p p p

RDf. v,2 RE A, 4 RE-,, S REs ...., 1, 6 RIA 1 , 3, 7. RI v,8

Demostración: p p p

l. (p-+ q) A r 2. s-+1 3. r-+s

1 4. -a (q V 1) S. oqAol

••

RDf. v, 4

En efecto: puesto que (X - Y) = -, (X" .., Y).

et o bvio que

.., (X - Y) = X

A ..,

y

Al ejercicio 41. Demosrraci611 :

l.

p-+q

2. r v o p 3. p 4. q

S.

..,.., p

6.

r

7. lJ

A

r

p p

RE -+ ,1,3 Rl o""1, 3 RIA 2 , 2, 5 Rl ", 4, 6

Por tanlo. ' ( < p - s) - (.....,. p " -. .s)

8.

p ... (q A r)

Rl .... , 3-7

é}8fCick>s de deducción 396

394 lntroducciótl a la lógica fomt11/

--,,

5. 6. t - p 7. p 8. q

A 1 ej ercicio 42.

Demostración: l. (p " q) ..... r

2. r-s

3. qi\..,$ 4.

q

5. • s 6.

(p

1\

7. .., (p

q) .... $ 1\ q)

opv • q 9. --,--,q 10. 'P 8.

p p p RE ". 3 RE "· 3 RTr. -,1, 2 MT,6,5 RDC. "· 7 Rl • •.4 RIA 2, 8, 9

9. p 10. r 11. S

12.

J\

RDf. "· 2 RE --.,6,3 RE 1 +-+, 4,'3

Rl

q

1

1\.

7, 8

RE-+, 1, 9 RIA 1 , JO, 5

V S

7-+$

RI -.,5- 11

Repárese en que la derivació n también podia haberse Uevado a cabo sin necesidad de introducir ..., r' como premisa auxiliar. Bastaría con haber obtenido, a base únicamente de las premisas iniciales, la expresión 'r v s' ~sa que, como se ba visto, es posible-, transformándola luego, en Ylrtud de la RDf. v, co ·-, r - s'.

Al ejercicio 43.

Al ejercicio 45.

D~mosrración:

l. (p " q)-> r

•-s

2. 3. qi\o S --,--,p

5.

p

6. lJ 7. pAq

8. 9.

r S

10. os 11. SI\ I S 12. --,..,..,p 13. 'P

p p p

Demostración: l. p V q p 2. 3. s-. r 4. 1 1 -tS ,~ ..,

RE..,,4 RE ", 3 Rl ", 5, 6 RE -.1, 7 RE --.,2,8 RE ", 3 Rl ", 9, 10

5.

r~•q

6.

-, l

7. p 8. p

9.

~

~-,

--, ,

,.

r

10. ! r -tot Rl•,4-ll RE --,

11.

1

12. q 13. r-•q 14. q _, .., r

Al ejercicio 44.

1. (p " q) ... (r v s) 2. --, (1 1\ .., p)

p p

3. 1 4. t-q

p

p p p p RTr.-+, 4,3

RContr. -, 2 RE -+,8, 7 RContr. -.,6 RE-+, 10,9

18. 1

RD-.5 RContr. -. 13 RE ... , 14,12 RTr. -o ,4,3 RCootr. -o,l6 RE-., 17, 15

19.

RE

15. '""1 16. ..,

Demostración:

p

r 1 _,

r

17. .., , ...

1

p 1

V

.1, 7- t 1, 12-18

)98

Ejoreic/o$ de ded
lntrod!JcciOfl a /8 /ó¡¡icJt fom,.l

13. u .-.l w 14. w .-.-, u I S. -, u 16. -, (s " 1) 17. I $ V I 18. • s 19. S I\-,S

Al ti q " r) -+ s

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1

(s " 1) -+u p -+ (11 -+ -, w) w P" r p r

p p

p p p

18. 19. 20. 21. q

RE A,6 RE", 6 RE ..,, 4, 7 RContr. -+, 9 RE-+, 10,5 MT, 3, 11 ROf. A, 12 RIA ,, 13, 2 MT, 1, 14 RDr. "· 15 RDr. v ,16 RDr. v, 17 RE -+, 18,7 RContr. .... , 19 RE-+, 20, 8

22. (p " r) .... q

Rl -+ , 6-21

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

u ... ..., w W-+ 1

11

-,u -, (s " r) 1

$VI l

oS -, (p " -, q " r) -, p V - , - , q V o r p .... (•..., q v ..., r) p -+ (> q - -,rl -, q -+J r r- q

t

20. -,-, [(p " r) .... q] 21. (p " r) .... q

RE -+ , 4, 10 RContr. -+, 13 RE-+, 14, 5 MT,3, 15 ROr. "• 16 RIA 2, 17,2 Rl " • 9, 18 Rl >, 6-19 RE > . 20

Al ejercicio 48. Glosarlo

E • exjstir G • engaftarse a

- yo

&quematización

A x(• Ex-+ -, Gx) Ga Ea D~rlvaclón

(d irecta) ·1

l. !\ x (> Ex -+ -, Gx) 2. Ga 3. -,Ea-+ -, Ga 4. Ga -+ Ea S. Ea

Al ejerck1o 47. Demostración : l. (p " ' q " r)-s

2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.

(

(s " 1) .... u p -+(u .... -, w)

w -, [(p " r) -+ q]

P"'" ' q P/\ -, (/ 1\T

9. S 10. p 11. -,q 12. r

p p p p p RDr. - ,6 IT, 7 RB .... , l,ft RB ", 8 RE ", 8 RE " , 8

)>

p

RE A , 1 RContr .... , 3 RE -.2, 4

Derivación por reducckln al absurdo l.

2. 3.

5. 6.

Ax (..., Ex .... -, Gx) Ga • Ea-+ o Ga -, Ea -. Ga Ga A-, Ga

7. -,-, &

8. Ea

p p RE A, 1 RE .... . 2, 4 RIA , 2,5 R1 > , 4-6 RE -,, 7

404

lr1110dueei6tlll ID l6gfca formol

4. l'a .... .., Qa

RE 1\, 1 RE 1\,2

5. Qa-Ra 6. Qa

7. Qa .... .., Pa 8 . .., Pa 9. Ra 10. Ra 1\-, Pa 11. V x(Rx 1\-, P.<)

RContr. -, 4 RE-.7,6 RE-,5,6 RI A,9,8 RI V, 10

Y x(Rx 1\.., Px)

RE V,3,6-ll

12.

Al ej ercicio 63.

Glosarlo A = ser un ánade

8 = bailar el vals [no declinar nunca una invitación a hacerlo) () - ser un oficial C - ser una de mis aves de corral

1•"'tmwratizacfón

Al ejercicio 65.

1\ X (Ax ..., -, Bx)

1\x(Ox .... Bx ) 1\x(Cx-+ Ax)

Glosari
1\x(Cx...,.., Ox)

Dl'rioocllm (directa)

l.

1\x(Ax .... -, Bx)

p

2. 1\ x (Ox -+ Bx) 3. 1\x(Cx- Ax)

p

Aa...,.., Ba Oa..., Ba 6. Ca .... Aa 7. Ca-+.., Ba

RE 1\. 1 RE 1\. 2

4. 5.

8. .., Ba ...,-. Oa 9. Ca - • -. Oa 10. 1\ <(C'x - · .., Ox)

C • ser miembro de la Cámara de Jos Comunes ('-, C equivaldrá a : ser miembro de la Cámara de los Lores, ya q ue entre ambas agotan el universo del discurso, formado por los parlamentarios ingleses) D = tener u o perfecto dominio de sí mismo U • usar corona (ducal, de marqués, etc.) 8 • participar en una carrera de burros

p

RE 1\. 3 RTr -> , 6, 4 RContr - ·,S

RTr ..... 7, 8 Rl l\,9

Esquematizaci(m 1\ x(Cx .... Dx) 1\x(Ux ...,.., Bx) 1\ x (-. Cx - Ux)

/;J6rCICios d/) doducción 407

40G Introducción s la lógico lonnnl

O tra fo rma de derivación directa

DrnwstracWn: l.

2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

9. 10.

1\x(Cx -+ Dx) 1\ x(Ux-+'""lBx) 1\x(o Cx-+ Ux) Ca-+ Da U a ... ..., Ba ..., Ca-+ U a -, Da""' -, Ca -, Dn-> U a -, Da ... ..., Ba 1\x(-, Dx _, -, Bx)

p p p RE 1\, 1 RE 1\,2 RE 1\.3 RContr. -., 4 RTr .... , 7, 6 RT r -+,8,5 R1 1\,9

1\x(Cx -+ Lx) 1\x(Tx-+ ..., Mx) 3. 1\ x ('""l M x -+-, L1:) 4. Ca- La 5. Ta .... -, Ma 6. -, M a -+ -, út 7. Ca l. 2.

&.

10. -, Ta

I J. 12.

A1 ejercicio 66.

La

9. M a Ca->-, Ta 1\x(Cx ""' -, Tx)

p p p RE 1\, 1 RE 1\,2 RE 1\, 3 RE -+, 4, 7 MT , 6,8 MT,5,9

Rl -. 7-10 Rl /\,11

Al ejercicio 67.

G/osarw

Glosario

C - ser un colibrí L • tener 'vivos colores T • ser de gran tamaño M alimentarse de miel

T • estar suscrito al Times 8 • ser persona bien educada P • ser un puercoespín S • saber leer

=

¡.;lt¡uemn t lznclón Esquemtlllzacl6n: Ax(Cx-+ Lx) A x (Tx -> -, Mx} A x ('""l Mx->-, L x)

1\ x (Tx .... IJx) Ax (Px ... -, Sx) 1\ x (Bx -+ Sx)

1\x(Cx .... -, Tx)

A x (Px .... -, Tx)

1

Derivación (directa) l. 1\ x (Cx .... Lx) 2. 1\x (Tx .... -, Mx) 3. 1\ x ('"1 Mx-. -, Lx) 4. Ca ... La S. Ta .... -, M a 6. -, M a .... -, La 7. La-> Ma &. Ca-. MtJ 9. M a -+..., Tn 10. Ca-+ ..., Ta 11. 1\ .< (Cx .... ..., Tx)

Dt mostracwn :

p p p RE 1\, 1 RE 1\ . 2 RE 1\ , 3 RContr ~. 6 RTr -+ ,4, 7 RContr ... ,5 RTr ->,K, 9 Rl A, lO

l.

2. 3. 4.

5.

6. 7. 8.

9. 10. 11 .

1\ x (Tx-+ Bx) A x (Px-+ -, Sx) 1\ x (Bx- Sx) Ta -. Ba Pa -+-, Sa Ba ... Sa -, Sa -. ..., Ba Pa ... ..., &t -, Ba ... ..., Ta Pa ... -, T a Ax (Px • ..., 7"")

p p p RE 1\, l RE A,2 RE 1\, 3 RCootr. -., 6 RTr -., S. 7 RContr.... ,4 RTr -., 8, 9 Rl A, !O

Ej<)rclcloo 116 deduCCión 409

.406 Jnl10dtJcaó1t n 111 lógk;lt 10tfw•l

Al ejercicio 69.

Al ej;:rcicio 68.

Demosrracllm :

Glosario

l. V x(Px v Qx) 2. Pa v Qa

111 = ser una proposición metafiSica E = ser una proposición empírica A

= ser una proposición analítica

S = ser una proposición con sentido Est¡uemati:aciótt Ax [Mx-+-, (Ex v Ax)J Ax [Sx .... (Ex v Ax)]

2. A ;e [Sx ... (Ec v Ax) 3. M a ... o (Ea v Aa) 4. Sa -+(Ea v Aa} 5. Ma 6. -,(Ea v Aa) 7.

-, Sa

8. Ma -+o Sa 9.

A x (M x ... -, Sx)

p p REA, l RE A, 2 RE-+,3,5 MT, 4,6 RJ -+,5-7 RJ A, S

Derivaciótt por redJ1cción al absurdo l. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Ax [Mx .... -, (Ex v Ax)] A x [Sx ... (Ex v Ax)) M a .... o (Ea v Aa) Sa -+(Ea v Aa) -, (Ma-+-, Sa) Ma 11 Sa Ma Sa -, (Ea v Aa) Ea v Aa o (Ea V Aa) 11 (Ea v Aa) -,-, a - • Sa) (Ma .... -, Sa) A<(M.< -+o Sx)

~ ~:

Qo VxQx Vx Px v Vx Qx

Rl V,6 Rl v, 7

10.

l)erivacúln (directa) A x [Mx .... -,(Ex v Ax)]

Rl V, 3 Rl v,4

9. V x Px.

Ax(Mx ... -, Sx)

l.

1~:

Pa Vx Px V xPx v Vx Qx

p p RE A, l RE A,2 RDf -+,5 RE 11, 6 RE "• 6 RE -+,3, 7 RE -+, 4,8 Rl 11,9, 10 Rl o , 5-11 RBo Rl A, l3

V

V x.Qx.

V x. Px. v V xQx.

11. Vx(Px v Qx)-+(Vx Px v V xQx) .--12. V x Px v V :< Qx . - - 13. V x Px ,-14. Pa 15. Pa v Qa 16. V X (Px v Qx) 17.

V x(Px v Qx)

,---18. V x.Qx - 19. Qa 20. P<1 v Qa 21. V x (Px. v Qx) 22.

V x(Px v Qx.)

23.

V x (Px. v Qx)

24. (V x Px v V x Qx)-+ V x (Px v Qx) 25. V x (Px v Qx.) - (V x Px v V x Qx)

RE

V.

2, 3-5, 6-8

RE V, l, 2-9 Rl ... , 1-10

Rl v, 14 Rl V, JS RE V, 13, 14-16

Rl v , 19 Rl V ,20 R E V, 18, 19-21 RE

V.

12, 13-17, 18-22

RJ -, 12-23 Rl -,11, 24

Al ejen:iclo 70. Glosarlo 1 • ser un poema interesante R • gozar de aceptación entre gentes de buen gusto M - ser un poema moderno

tntroducclóf¡ n/8 16gk:o tomutl

4 tO

JJ = ser un búfa lo

A • ser afectado

= ser un animal que puede lanzarlo u uoo contra una puerta E = ser un animal fllcil de engu llir

C = ser un poema escrito por usted t> = versar acerca de pompas de jabón

L

Esquemarizacwn

Esquematizacwn Ax(• Cx --+ Fx) Ax(Ax--, Nx) Ax(Bx --+ Lx) A x (Cx --+ oEx) A x (-; Nx--+ -; L..') Ax(-; Bx--+-; Fx)

llx(lx- Rx) 16 ll x(Mx--+ Ax) 17 ll x (Ex --+ Px) ll x(Ax--+ ..., Rx) llx(.., M x--+..., Px)

11 x (E.' - ..., l x) Derioaci6n l. 11 x (1x

A x(Ax--+ -; Ex) p

Derioac:ión

p p

l. 2.

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Rx) ll x(Mx-Ax) A x (E-' - Px) A x (Ax --+ - ; Rx) llx(• Mx --+-; Px) la- Ra M a--+ Aa Ea-+ Pa Aa--+-; Ra -, Ma--+ -; Pa Ea Pa Ma Aa -; Ra -,la

17. 18.

Ea-• la 1\x(Ex .... -; Jx)

R1 --+, 11-16 R1 A, 17

2. 3. 4. 5.

6. 7.

--+

p p RE RE RE RE RE

3.

4. 11, 1 11, 2 1\, 3

5.

A, 4

8.

11, 5

RE--+ , 8, 11 MT, 10, 12 RE .... , 7, 13 RE --+, 9,14 MT,6,15

6. 7.

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

llx(-; Cx--+ Fx) llx (Ax--+ -; Nx) 11 x(Bx .... Lx) llx (Cx--+-; Ex) llx(-, Nx--+-, Lx) llx (• Bx--+-; Fx) -,Ca --+ Fa Ao--+-; Na Ba --+ La ca .... -; Ea -; Na--+-, l.a -, 8" _. -, Fo Aa -;Na -, l.o ..., Bo -, Fa Ca -,Ea

p p

p p p p

RE 11, 1 RE 11.,2 RE A, 3 RE A, 4 RE 11,5 RE 11, 6 RE--+,8, 13 RE --+, 11, 14 MT, 9, 15 RE--+, 12, 16 MT, 7,17 RE --+, 10,18

A 1 ejercicio 71.

Glosario

e= cocear

20. Aa -+ o Ea 21.

Ax(Ax--+ -; Ex)

F = ser Oemá tico A

= ser un asno

Al ejercicio 72.

N = tener cuernos Glosarla •• Es decir "Todo poc:ms int~raante a btc:n acrp1ado o reab.c:lo entre genlt'J de buen susto". 1 "'

F..s decir. "Todo pOema moderno o .. rc:
D = ser un dem6crat.l L ser liberal

=

Rl -+, 13-19 Rl A, 20

EjerclckJs "" deducción 413

lntro
412

20. (La v Sa) .... -, Ca 21. 1\ X ((Lx V Sx) _, -, Cx] .2. La 23. Ra A Pa A Ma A Ta 24. Po 25. -, So

S - ser socialista C • ser conservador R - aceptar la revolución iodusttial /> • defender la propiedad privada de los medios de producción M - defender el establecimiento de una economia de mercado autorregulada T = defender la con versión del trabajo en mereancia

26. lA .... -, So 27. 1\x(Lx-+oSx) r--28. Ca

E.w¡rlemat izacilm 1\ x [Dx .... (Lx v Sx)) 1\x [Lx .... (Rx A Px A Mx A T x)] 1\ x [Sx .... (Rx " -, Px " -, M x A 1\x(Cx .... -, Rx)

29. -,

Tx)]

31. -, Sa

32. -, La A-, Sa 33. -, (La v Sa) 34. -,Da

[ 1\x(Lx v Sx) .... • Cx]" 1\ x(Lx -->•Sx)" 1\x(Cx .... -, Dx)

f)aivaci6n

X. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

1\ x [Dx .... {Lx v Sx)] 1\ x [Lx .... {Rx A Px A Mx A Tx)] 1\ x [Sx .... {Rx A -, Px A -, M x A -, Tx)] 1\ x(Cx-+ -, Rx) Da .... (La v Sa) La .... (Ra A Pa " M a A Ta) Sa .... (Ra A -, Pa A-, M a A -, Ta) Ct• .... -, Ra lA v Sa La v Sa La Ra A Pa A M a A Ta Ra -,Ca

15. 16. 17. 18.

Sa Ra A -, Pa A -, Ma A -, Ta Ro -,Ca

l.

2. 3.

4. 5. 6. 7.

l [

19. -,Ca

35. C<• .... -, Da 36. 1\ x(Cx .... -, Dx) 37. 1\ x [(Lx v Sx) .... -, Cx] A A A x(Lx .... -, Sx) 38. 1\ x [(Lx v Sx) .... -, Cx) A A 1\x (Lx-+•Sx)" 1\x (Cx .... -, Dx)

p p p

p

RE 1\, 1 RE 11,2 RE 1\,3 RE 11 , 4

••

..

RE ..... 8,28 MT,6, 29 22 MT. 7, 29" RI ", 30, 31 RDf A, 32 MT,5, 33 R.l -. 28-34 Rl 11, 35 Rl A, 21, 27 RI A, 37,36

T - ser un tiburón D = dudar de su bueoa preparación e = ser capaz de bailar un mioueto P • ser despreciable F • tener tres filas de dientes A • ser amable coo los niños O • ser obeso

RE-, 7.15 RE A. 16 MT.8,17 v

Rl -. 22-25 Rl 1\, 26

Glosarlo

RE-+,6, 11 RE A, 12 MT,8, 13

RE

RE -,6,22 RE A,23 MT, 7,24 10

Al ejercicio 73.

RRfl ..... 9

, 10, 11-14, 15·1K 11

An ccocdente del segundo de los enunciados que componen la conclusión perseguida. En efecto: recuérdese que para que una conjunción soa fuho b1Utt1 con que lo sea uno de sus m~mbros . 11 Arucc:cdcllle d el tercero y \·rllimo de los enunciados que componen la conclusión. '

111

' Vnmc)S a J)rocodcr " derivar el prímero de los cnuncrados q ue COilli>Onou l11 c.:ouclul)ión bu~cadt,, Ondo que ese enunciado tiene fo rma de oondrciont'll, to nuunOll t.-.Hnu ¡ncmist\ twxiliur ol anle<:edenle (previa eliminación del cuantificac.l or unh•or:f.ul en ht rt,r111ula).

l

-, Ra

30. o lA

.

RI -.9- 19 Rl ll, 20

10

u

...__l

C'fr. ICI nocn 20.

4t4

Ejercicios de d6diJCCión 415

lllllodCJCC'órl lt k116glctt formal

M - ser un ammal que me pertene.:e

f~~tJllt!IJUII i:uclóu

e-

ser un animal adecuadamente instruido A • ser un animal capaz de adivinar un acertijo T • ser un tejón S - ser un animal que corre salvajemente y gruñe

i\ x(Tx ... -, Dx) i\ x(• Cx.., Px) i\x(o Dx.., Fx) i\ x (o T.< ... Ax) i\ x (Ox ... ..., Cx) 11 x (Fx ... -, Px)

Esquema litación

11 x (0.< .,. Ax) Dcmost•·aci6n :

l. 11 x (Tx ... -, 2. 11 x (o Cx -+ 3. 11 x (o Dx -+ 4. llx(o Tx-+ 5. 11 x (Ox -+ -, 6. i\ x (Fx-+ -, 7. Ta ... .., Da 8. -,Ca ... Pa 9. -, Da- Fa 10. -, Ta.., Aa IL Oa ... -, Ca 12. Fa-+ -, Pa 13. Oa 14. -, Cll 15. Pa 16. Pa- -, f"t; 17. -, Fa 18. ..., Fa-+ Do 19. Da 20. Da--,Ta 21. -, Ta 22. Aa 23. 24.

Dx) Px) Fx) Ax) Cx) Px)

Oa ... Aa 11 x (Ox ... Ax)

Al ejercicio 74. Glosario

P = ser un anima l que recibe mi atención 1 = ser un nni mu l que se irrila mortalmente E:

ser un unimtl l que cw\ en este prado

p p p

1\x(o Px -+lx) 1\x(M x- Ex) llx(• Cx ... ..., Ax.) llx (ex .... ..., Tx) llx (l x-+ Sx) 11 X (o M X _, -, Px) 11 x (C.<-+..., Sx)

p

p

11 X (Tx _, -, Ax)

p

RE /\, 1 RE 11, 2 RE 11, 3 RE 11, 4 RE 11, 5 RE 11,6 RE ...,11, 13 RE ... ,8, 14 RCootr. -+, 12 RE -+, 16, 15 RContr. -+, 9 RE .... 18, 17 RContr..... 7 RE -,20,19 RE ... , 10.21

R1 -. 13·22

Rl /1 .23

Derivación l. 2.

3. 4.

5. 6. 7.

8.

9. JO. lL

12. 13. 14. 15.

16.

11 x(o Px.., lx) 1\x(Mx-+Ex) llx(• Cx-• Ax) llx(Ex ..,.., Tx) 11 x(l x.., Sx) 11 x(• Mx..,-, Px) 11 x (Cx-+..., Sx) ..., Pa ... la M a-+ Ea ..., Ca..,..., A a ea ... -, Ta la -+ Sa -, Ma ... .., Pa Ca-•Sa Ta -+o Ea Ma Ta ... .., Ma Ta ... .., Pa Ta-la Ta-+Sa Sa-•Ca Ta ... .., Ca

-, ea ... ..,

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Tú--, ArJ 24. 1\x(T x _,..., Ax)

p p

p p p p

p RE 11, 1 RE/1 ,2 RE 11,3 RE 1\,4 RE 11,5 RE 11,6

RE /\,7 RContr -+, 11 RContT ..,, 9 RTr .... 15,16 RTr .... , 17, 13 RTr ... , 18,8 RTr ... , 19, 12 RContr -+, 14 RTr -. 20,21 RTr .... 22,10 Rl 1\ , 23

41 G

1\l

'"''odt•cc/6n a la lógico formol

Ejercicios de

ejercicio 75.

La inferencia - que eo el texto original tiene más bien la formn de una ejemplificación- vendrla a ser, en resumidas cuentas, la sigu iente: Sólo pueden comerse aquellos animales que tengan el casco partido y la pezuña hendida y que rumien El camello rumia, pero oo tiene partida la pezuña El conejo rumia, pero no tiene partida la pezuña La liebre rumia. pero no tiene partida la pezuña El cerdo no rumia, aunque tiene partida la pezuña No pueden comerse ni lO$ camellos, ni los conejos. ni las liebres ni los cerdos

10. Da ... (o Ra " Ha) 11. Ma v Ja v La v Oa 12 Ma v Ja v La v Da ~13. M a 14. Ra " -, 1/a 15. -, 1/a 16. -,Ca

RE ... ,7, 13 RE A, 14 RE 4 +-+, 6,15

,---17. Ja 18. Ra 1\-, Ha 19. -, Ha 20. -,Ca

RE-,8,17 RE "• 18 RE 4 ...., 6,19

~21.

22 23. 24.

Glosario

e = ser un animal que se puede comer f' = tener el casco partido 11 = tener la pezuña hendida

R = rumiar M - ser un camello J • ser un conejo l. - ser una liebre /) - ser un cerdo

hw¡uemat-ización A x [(Px A Hx A Rx) .... Cx]

A x [Mx-+ (Rx 1\ - , IJx)] 1\x [Jx-+ (Rx A-, Hx)] A x [Lx-+ (Rx 1\ - , Hx)] A x [Dx-+ (• Rx 1\ Hx)]

RRO -+, 11 23

La Ra " -, H a -, Ha -,Ca

RE-+,9,21 RE A,22 RE...... ,6,23

...-25. Da 26. --, Ra " Ha 27. -, Ra 28. -,Ca

RE"· 26 RE4 +-+, 6, 27

29.

--,Ca

30. 31.

(Ma v Ja v La v Da) -+o Ca A x [(Mx v Jx v L.~ v Dx)-+ -, Cx]

RE -+, 10, 25

RE v, 12, 13-16, 1720, 21-24, 25-28 Rl ..... 11-29 Rl A, 30

Demostración :

V x !\ y Pxy 1\ y Pay 3. Pab 4. Vx Pxb 5. Ay Vx Pxy l. 2.

Derivación

1\ x [(Px " H x 1\ Rx) .... Cx] 1\ x [Mx-+ (Rx 1\ - , 1'/x)] 3. 1\ x [Jx-+ (Rx 1\ - , Hx)] 4. A x [Lx-+ (Rx 1\ - , Hx)] 5. A x [Dx-+ (• Rx A Hx)] 6. (Pa " Ha 1\ Ra) - Ca 7. M a .... (Ra A -, Ha) 8. Ja -+ (Ra 1\ - , Ha) 9. La -+ (Ra 1\ - , 11a)

RE A,5

Al ejercicio 76.

1\ x [(Mx v Jx v Lx v Dx) -+-, Cx]

l. 2.

deduCCión 4t7

p

p p

p p RE A, 1 RE A,2 RE A,3 RE 1\, 4

RE A,2 Rl V,3 Rl A, 4

6.

Ay V xPxy

RE V, 1, 2-5

7.

V x A y Pxy .... A y V x Pxy

RI -+, 1-6

23 Repetimos aqul la prcmi~a auxiliar porque de e-lla vamos a bacer un doble uso: por una parte, oon.stilu)-c el antecedente de la condus:Jón buscada. y la introducitnO$ con .,.1s1as a aprovechar la RJ ... . por Olr& parle. ioe trata de una cbsyunoón. y nos inleresa e:mplearta oomo prcmu;l dr la Rl v

E~ lkl de
lnlrO
Glo.,.c~ritl

M = ser más morena [menos rubia que]

b

Suzanne

= Edith

e- Lilí

ri

13.

Pab Vy Pay Vx Vy Pxy

Rl V, 11 R1 V, 12

14.

Vx Vy Pxy

RE V, l0, 11-13

15.

Vx Vy Pxy

RE V,9, 10-14

Esquema tizttcióll

16. V .V V x Pxy _. V x V y Pxy

aMb 2 • bMc

Glosario

=

D~rivación

aMb 2. bMc 3. AxAyAz [(xMyAyMz) -+ xMz] 4. (a Mb" bMc)- aMe l.

5. aMb "bMc 6. lt M C

p

p p RE A,3 RI A,I,2 RE -,4,5

3. 4.

V x Vy Px y Vy Pay Pab

A X [(lfx

4.

S.

V y V xPxy

Rl V,3 Rl V, 4

6.

V y V xPxy

RE v, 2, 3-5

V

EM¡uematización A x ((1/x A Px) _. f1 y(Py .... Axy)]

x P.~b

V y V x Pxy

REV, 1. 2-6

z• Es d w:ir : 'Suzannc es más mo rena que Editb'. Que cqu,ivale a la premi11:1 ori&int~l, 'Ed uh ~ má11 ru b•~t que Suz..'lnne', ;u H :ty (IUC al\adir como prt.misa el enun-ciado del carácter tronsittvo d e la rc:l¡¡(;itln '!!él' rn:'1s moreno que'.

En erecto: si demostramos que Suzanne es mf'ls morena que Lili 1 hl,brcmcn dcmu11 tmdu que t3 In mf•11 morelli\ de l11s tre.'i, pues por la. primen• prcmlsn &!lbcmoll uunluCn
Px) _. Axx]

Ay(P y-+ Aay)

S. Pa- Aaa 6. Ptt 7. Aaa

8.

9. 7.

A

l. A x [(Hx " Px)-. A y(Py -> Ax.y)] 2. (Ha " J'a) - fl y (Py-> Aay) r-3. lla " Pa

Demostración:

e-

H ser hombre P • ser puro A • amar

Deriooción

A1 ejen:iclo 78.

~2.

Rl ->, 9-15 RJ ...,., 8, 16 17

Al ejercicio 79.

aMc'6

L

V x V y Pxy ,_, V y V x Pxy

17.

A x Ay A z [(xMy " yMz) .... (xMz)] 25

-

R1 -, 1-7

9. V y VxPxy r - 10. Vx Pxb

La respuesta correcta es «Suzanne».

" =

V x VyPxy-+ V y V xPxy

~.

Al ejercido Ú.

(H a " Pa)-+ Aaa A x [(Hx " Px) -+ Axx]

p RE A, l

,.

RE RE RE RE

.... . 2,3 A,4" ", 3 -.,5, 6

Rl -,3-7 Rl A,8

n Obs~rvese que e:n est~ deducc:ión. 3parce de fas dos ¡.randcl a:ubderi\'aciones que se abren con \IÜlat a aplicar la Rl ....... hay en c::ada tt11mo -y aqul reside JU Unic:a dificultaddos subdcrivacio nca, una de ellas incrustada en la otra. que constiiUyt:n apltcaciones de la RE V. n A_ntcccdentc d o la conclusión buscada, previa dimimtC16n en 611ta del cuantificador

universal. t'~

No hoy. en la RE A. ninguna restricción que nos impidn dal' este p:lso. e.~ usu$1,

cuando liC eliminan vnrios cuantifteadores universales. sustituir coda vnrirtble por un simbolo d istinto Cy 11111, l'>
Ejercicios d8 deducción 421

420 llllroducclón n 18 tógJco torm()l

Al ejercicio 82.

Al •i•rcicio 80.

Demostración:

Demostración :

1. 1\ x (Px -+ Qx) 2. --, Qa 3. b =a 4.

Pa -+ Qa

5. --, Pa 6. 1\ x [(x = a) -+--, Px] 7. (b = a) -+ --, Pb

8. --, Pb

p p p RE /\ , 1 MT,4,2 RI = ,5 RE 1\,6 RE - ,7,3

l. (a = b) " (b = e)

JO

2. b =e 3. 1\ x (x = b) -+ (x = e) 4. (a = b) -+ (a = e)

RE A, 1 RI = ,2 31 RE /\ , 3 RE", 1 RE -+, 4,5

5.

a= b

6. a= e 7. [(a = b) " (b = e)] -+ (a = e) 8. 1\ X 1\ y 1\ z {[(x = y) " {y = z)] -+ (x

Al ejercicio 81.

Al ejercicio 83.

Glosario

Glolillrio

b = la reina Ginebra

e

z)}

RI -+, 1-7 RI 1\ , 7

F = ser un filósofo P = haberse preguntado qu~ es la filosofía L = haber ido a dar en la locura a = Nietzsche b = el padre Ceballos

a= Lancelot A

=

= el rey Arturo = amar, no odiar

G =ser amigo

Esquematización

l~squematización

1\x(Fx -+ Px) 1\x(Px -+ Lx)

Aah

Fa

1\ x(Gxa -+ --, Aax) Gca 1\ x [Gxa -+ 1\ y (Aay -+ --, Axy)]

--, Lb

•Acb Derivación

Derivaciót1 l.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

Aab 1\ x (Gxa -+ --, Aax) Gca 1\ x [Gxa-+ 1\ y(Aay-+--, Axy)] Gca -+ --, Aac Gca -+ 1\ y (A ay -+ --, Acy) Gca -+ (Aab -+ --, Acb) Aab .... --, Acb -, Acb

p p p p RE 1\, 2 RE/\ , 4 RE /\, 6 RE -+, 3,7 RE-+ , 1,8

3.

1\x(Fx-+ Px) 1\x(Px-+ Lx) Fa

p p p

4.

--,Lb

p

l. 2.

5. Fa-+ Pa

RE/\, 1

30 Puesto que la fórmula a demostrar es un oondicional, tomamos como. premisa

eJ anlecedente (previa d iminación d el cuantlftcador universal). 31 Recuérdese: la Regla de lntroducctón de la Identidad dice que si un individuo hace verdadero un cierto enunciado a bierto, todos los individuos idénticos a el lo harán tambjén. En este éáSO el enunciado abietto ser't.a 'x es idéntico a b'.

Ejoroicios de dftduccl6r> 423

422 lntr0tlucc/6n a In lógica fomu~

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

l'b .... Pb Pa - LA Pb .... Lb Fa..., La Fb-Lb -, Fb 1\x[(x =a).-.h] (b = a)-+ Fb (b #e a)

RE A, 1 RE A,2 RE A,2 RTr .-., 5, 7 RTr .-.,6,8 MT,4, lO Rl =,3 RE 1\, 12 MT,I3, 11

Al ejercicio 85. Resolución en términos de predicados monódicos Glosario N = ser un escritor que oomprcndc la naiUralcza humana 1 • ser un escritor inteligente P ser un verdadero poeta M ~ ser un escritor capaz de movet' los corazones de los hombres S ~ ser Shakespeare H a haber escrito Hamlet

=

A 1 ejercicio 84. &qu~malización

1\x{Nx .-.Jx) 1\ x {o Mx .-.o Px) 1\ x {Sx _. Hx)H 1\ x(• Nx-• Mx) 1\ x (Hx .-. Px)"

Glosario

a= Vivaldi h = LA Tempesla di M are e = JI Gardellino N = ser veneciano 1 = ser autor de

1\ x (Sx .-. /x) 36 Derivaci!m

l ~'.w¡uematizaci6n

l. N (1x Axb) 1x Axc =a 1x Axb = IX Axc

2.

3. 4.

5. 6. 7. 8.

Na l)erivllCÍÓn

l.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

N (Lx Axb) L' Axc =a IX Axb = IX Axc IX Axb ~a 1\ y [(y =IX Axb)..., N y] (a = IX Axb) ..., Na a= Axb Na

L'

p p p RTr =.3.2" Rl =, 1 RE 1\, 5 l)

RE -+,6, 7

u AplicaOlO$ aqui. trans(ormindola en resJa. la ley de u·anJittvidad de la idenudad que hemos ckrnc.nuado en ti ejercicto 82. u Damos por dern
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Ax(Nx.-.Jx) A x (o Mx - o Px) Ax(Sx-.Hx) Ax(•Nx-•Mx) Ax(Hx-Px) Na -+la ..., M a .... ..., Pa Sa...., Ha -,Na...., ..., M a Ha-Pa Sa -.Po Pa...., Ma Sa-Ma Ma-Na Sa-Na Sa ..,.fa 1\x(Sx -Jx)

p p p p

p REA, 1 RE 1\,2 RE A,3 RE 1\,4 RE A,5 RTr -,8, 10 RContr ... , 7 RTr ..... 11,12 RContr -+,9 RTr -, 13,14 RTr .... , 15,6 R1 A, 16

l.& Es decir: 'Para todo x. ai x a Shalccspca~ mtonccs x escribió H~t'. NótC$t lo artifKioso de la formulación. Vtau b aq.und.a soluaón del ejercicio. " Es decir : ,; x esaibiO llomltl es que x era un •~rdadero po
414

lntroducc/OtJ Rt·~olllcu)n

o In lógica formal

en térmi11os dt pre,Jrcwlo.-.

(~
Como acabamos de ver, este ejercicio, al igual que todos los dcm.o~ 1wopucstos por Carro U en su Symbolíc Logic, admite una solución a bn~c de s imples predicados monádícos. Sin embargo, como también acalxunos do ver, ello re.~ulta, en este caso al menos, un ta nto insa tisfaclo 1·io. Exige, en efeclo, esquematiza r el enunciado 'Shakespea re escribió H11mli'l' como ' 1\x (Sx ... Hx)'. Es evidente que dicho enunciado quedaría mejor unalizado en términos de descripciones: 'a = IX Exb' {donde 'a' e' 'Shakcspeare·, 'E',' ... escribió ...', y 'b', 'Hamlet'). El razonamiento en cuestión quedaría, pues, mejor esquematizado de la '~8U ieote

manera:

1\x(Nx ... Ix) 1\x(-, M x- -, Px) 11 • IX Exb 1\ x ¡-, Nx --> -, Mx) 1\ X [(x e IX Exb) -> Px]

la /)rríiNJci6n l.

2.

1\ x (Nx- /x) 1\ x (-¡ Mx ... -, Px)

3. a • r.xExb 4.

5. 6.

1\ x (-¡ Nx--> -, M x) 1\ X [(x IX Exb)--> Px) Na--> la

=

7. -, Ma .... .., Pa

8. -, Na-+-, M a 9. (a = IX Exb) - Pa 10. 11. 12.

Pa Pa-+ Ma

Ma

13. Ma-+Na. 14. Na 15. la

p

p p p p RE /\, 1 RE /\, 2 RE /\, 4 RE /\, 5 RE -,3,9 RContr -. 7 RE-+, 10, 11

RContr -,8 RE .... , 12, 13 R E -,6, 14

11. ~I 'Ht. \IA Uf lt tiG I.AS Uk' INFf!lti.N(.'I,\

"'·'• • ........ \,.(1t\¡

, ,)

IU ' \

{

... 'h:-IIIPfr J ~"'--!l>W :10 , _ - . , M ~f!Ut'.IO• •• q V '•· t. tpt1 , ...,_, •• e• \:, .. ca *"CJJa:a

LOCICA DF. ENUNCIADOS

l'ftflll"'.l -.nlli.W ...... •~~:oda.

"···

....... .. . J

1. AI. Cl.f'rro.,\5 Ul.'IIU

-.-.,-p !

IS

...... OI>Hr,'~JI ., ... .. - ,.

n

l...._n*~..,...

.. ll'-·)-1-., ... -.,.. ..

U'

('f!OOI',..,._·.~-~~

r. f) - ff

••...,.,...-.J.

lt•

,,, ..... .,, ... ,.....

I.I'Y ¡,. (1()11:'1 '110f,fw•IPi tk f,¡ flil I"Nrl!vll ,)

¡..,., ~· (llfllftldiiJfl 'lhl Jrll.u.~..,~~r~"""'"' 1\, ,,)

k ¡¡....,,luiWJof.,J 4r r,, ~t•11/w.uo h11 l(,. v'ql \' r)- lp \'(~ Vrl) J..c·1 tlr "-*'•Milntl Jc '" J.ol

'1

d'f'"'""'''*

l(p••ql ..., r]-" h••.. (Qo-•rl )

11

I .T rl~ " "'.otlo:ll lr.l¡l¡orl old ft.'r•.wJid""'" 11• ,•, lq V tll •I(JI , ~) V (J• t. •JI 1,- 1 1k of/~lllfKII/J I<Ñil /J¡• /oJ
1

11'

llf

1<,

••

..

....,

...

•lh

il

·••1

tl}-lU• V t,~)l\ IJI V oJI

l • ¡ ok Jr.!'l,.lll"!dolH'N•O!

t•-

[1# V 41~ A 11'-. f1 A •t]- (r •/ ~~ \tflóll"' M 11'1!,_ ......_,¡,.,cfl!"'

~

[l,r• "lfl "I,. ... ~A 1~ • lrfll•olrw!oodr•m•<'"'"

ll

1 , , ......., ..... " ,..,, dt ( ''"'''"

12

.,(f/1,

RDI

I•- tl]-1-s , ·l-.s)

• • (-¡¡t'y -,ql

,,.., ,,,, twu,,,.,.,

l.\ -. tp Vql •t-.p"' -..q¡

111

1

.

[Y\owt · r)-(, •lt-rl) "'~'""' ~"" [Y' Y ~Ay ..... t1.\(4'-~l)-•

111

lfV
.. u,. ,. fl ... r) ..... r.r ,.. .,

«1 .....'-tl

l..r~.MII~o·•"''"~''*' "'

·'>1')

t eyh.,...,..,..r..ntol..ltk •• '''""'*~"' ••

w

1• lY·• .. "· W· ·rll-1'-'-ñl J k ,.........ÑJ ..,,.,..,..._,

1' •!JI V 4)

,...,.•

(4-.rfl"""*l'-'-m t...,.........,

(f.,. ... et

"'t'il'Wihillf,..,•41o•D•• M"'·ilil"

u

lfr v

lf

[11' V

«

IJ) "· "~ 1'1 ..... IA'I' ¡(,• '''"''"'' ' " " ¡(,•In ,,(¡;·on¡ilffu lj) A

--.r;l ... /1

~·~¡111...... ,,., .~••

l'''" ffl ('ml/flltll<¡,.

¡,,;.,,'"''"k .., llll <'l'-lfiiVI

1\

11• • l•r '' rl) - • 1(•• -• y) i\ U• • r)l J ' 1 ,(• •H~rtf(+¡¡rleiii•;J tlo>l (~ol'l'dlo•lo+lfVIl 1'>" (,. , ••'t/NI.o('M"

2•·· ttp • f(l f, 1') ..... <1

11

IJ• •f•1 V ti) - • [lp · ~· V IP ·•U J , 1 ,(,• J¡>Jtifl¡u/t/,/,;J 11;1 t o.w./!dollló/1 J'"lr lo+

:?. (fp -

-.A ... " " · .... - , (o;p~ , . .... x.t

M r..J!I YI'flfl>'ll•if i /.V- • (/1 11 ., _,) ..... ., l' ..., ,.,.,. , l+•lkfflfl• l;t/lou

ofl•~ll"+'iof¡t

., .,. ·"'•· .......... r.,. . , .......,:, 11

..,fSrt; /1-tA AX 1 0~1A'I'I (.'0

V'( , • • '•

RTI 1, 1.11 .,. rJ -p l . •t • (p V q l l . IJ• '1 tii- (Q V''

1. (¡rV 14 \1 rJJ- (4V lP 'V 1)1 1. 1<1 • r l - • (!JI V IJJ -!JI V r1.

S1 .\·

v•

~

..,

l~:t-lol

1kl •lttenw. 1111 1~ q- :~op¡ar«eft dzuin1u litriablts

p,, ltt, .... "·e Y,, Y1, , r. wn ct.C)rC:SII)Rc• bien f;;~rmlld¡u; del aUall.-., lA ~~~pru,Qn NillhoUI(C' lk fll~lllult Cfl ."( ¡, por Y,. P! por Y.., .•.,p.,. por t~ wl\1 ""hfiiJ- una WU!IM ..,h;: fl\.1 lt U. $ 1 •); ' co 111'1• "\111 dd ~ltb:IN ) 1U c.. l>ombicn la C\j!Rt~O 'l( ... f' fOIIMICin

't'

t:t 111'1• I M ,

dtf ..1~111ot.

I'IH 1, ... \.1

'" "'"''·•· ,..,...,¡u.,,.

l'll"' lt"O\ IA IU t!HJ I A'l 111

1~11 lil ~·"

NI V

..

(1

x.r

o

111~11

C1 z

1 .y

•• •

....

\

r

,.,

··G

....

X

r

Y•X

I.OGICA DE I'REOICADOS

r

··-

.,.. '•' • . ,, v.i••

<-r

1

X

,_,

..

.,,

,

fl,..x..,y

.

x.r

\

•'

•' •

X

•t.,...,,,. '"frel.l "'"•~'~~•"

.•>

J<•

11:1. . . 11

11\r;;II A Pfli V

X

Xv.X

XA t YvZ)

X

X

(X" Ytv(X AZI

ltrttl .....

tth •

IJ'"" "'

/

oc..•

,t -<': - /.1 •• •

· 7)

(X"

l'l , z

X

' "r 1

,\' - y

AX

R6-.1

RQ....... :J

.'

x-Y

,\' .... y

y

\ •• l

•.

., ·'

x-r

-,x

1'

11

tX

V

Yi " IX

Z)

V

·~

\ , •·L

...,, X

-,-,x

o'-itn

f'•l

(hl•

••••

,¡,., fl•l•• oll't "'"" 0•1•• '-''" _..,,,,.,f'loc•• ,¡, '_,,.,.,p,l 1

1 1({'

(hl

..• '"

,, 1

" , ti'• v

+

-.xv-, Y l.-.X

z-

ll,

X ' y -. .\'

l'

y

,z

ROC 1

ftt)l)¡

RIA 1

XvY

x-z

Xv Y

y -"'

-. x v-. r z-x w-Y

lvW

--.zv-. w

x-r r-x

y.

y

,,.,,.,_ \l tQ•!- v.re,.•-Q•) ~K~· .....-r.... ~-- ,..., ~~ """''""-' fW rl

~.,.,.,

('1..-.(,..t.- Q%1"' "·XlQ\ -lf..·•l Lrl' k rHIIIJJflrlofCNI llcl rr.W...-w>ourJ

r"-•(Q• . •R"I"

1 t1

''\

1

, ,,,,

· (hiAI>ill-(J
ilrl (lhllfl l/fr•"(,.,.. 11111"'''"''1''"' . ~

.'·\ ll' ••·(/~) ... l fot•fl, ..., ,., (,hl leA'/' ;lt ,!,.ll!fl¡ot+ol!t tlrl f'II+IIIII/IIV.kll' llllfn'n'f l

,¡,,,_.;,..,

r•..,.•""

1 "· tll'•- (hJ "...., QB)- -o P¡¡ \f,>dtf• ''~''''"" (p(kfot•

'.f

of>!Wiolf...,.,fl

14

'(V fl'v: "Q•I) • '<~•fP•"' ·o f( t~

tt....,.., , ......., .....

o\ oO't • (/'1 •(A .d 'v • 1\ •(hl

(,o•v ,;,. dhr.,I~N~Itl!l

!S. ( Ax¡,O..,·vQXl A-, Pq] • {_~ L tT J,• Jllkr.•llo' ÍII ,(,• f¡¡ +lfltU.ti'•IJ+v•

u.

lo " ''• - · ,..,

1.~ 1 1/o• n_~~ifioVI'~ÍII

,. p,·

21.

Pu ~, V Lo f ''"' poTrll
,y

X

1

S. (A'tiiJ'{I'v.J-Q,n·•.-.A .\"A} IQ\J'

Ln ol
II''V-· Ih¡ l

(Ato\Jll'fl'-(l:lJIAI'ol~l-0+~~

Ln Jr

·" ' "J ifn-o,~•IHf>J'J!IIO:f•••

x-Y

..,Xv-. Y

.., XvY

4

1."'

fo

" '"' I,.,,.,..,Q..-vl

, . , , . , . . , , , . " , . . , ,....

tNAt~~tJuk.IJ

""'(XvY)

(1• • ll.rPq')- l'.rb

LO'\

.k,.,,..

~;:_,,-..,"

"-IMX "..,Y!

-,x,.-. r

x.r .., .. _y

x.r -fX--. f)

,.• ...Avll)I',.J-·'f•\•1"•1 .... ,.,,_

x-Y

,.,.(r~,

10. ~X A - .

YJ

,¡,.r l'<~~~J/df}NJf

1.<1+> J.> l"jfo'o f{'I$>W'i1Íoo 1. f',rb •V\Vf i' Vy

&.rt J.t n.N!!Wifo< to•l,.

x•r

"••'•-QüJ- "-••,.·- •K•>

"'"''" "'''ltl>'h0:41 <> ( rJ IQ•

f'flfiNIII'fo +!lf+•t llllfl• o·,,,¡ ~~·• 1,.

tlo• ... vril+l¡¡ 11!11

oJht

M oo1,J.o "''''&iQoM o.('o·J..o"'""" \l(h •RX)Io 'A(P\ 1\{h')) • Vt(P("' f( t ·) "'"'~' •.ilo">tiRico.v.D.Ir;¡"

1

,,~,

• A .. (f>\

1

Pt)

"{"''""'" if,·(

,....

o.Mif'lfiii>Á

19

'1

15, p\ \ Pt V lo \ Q11 o l. V(f'y V (Í' tl Lf'l +lo• I<.Wifoll f.l/"¡ JrJ noYmltft
'""~(X" Y)

"'"• ~

ti

:oj)

"'' l'q

(W. •.JI!Y ,,IOiotlllf•• f''ll'tW•

-.(-IX"..,

"""""Q.o··l"'d~tv ~--ou Ln_ ¡.,.~,.,...__.., ~--,......,..... A_, _

~"·

•

•l· llfld.J
, •• r.,.

11

'"'11-~...

ftiA 1

X

x-r

x-r

tlOO,

ltdM f• 11!1 mkflllr.kiO.. 41• In «
RO-

4

.. . ,, ..... . .. ,. , ...... \ \

J.

~•(1•-

.,¡...,

•

O'o

"'•C1\""'\II••

,....,........

1 1 dt ft'I4W+ f'\1 fo+>o>

z

, • y tU ~·,

~o

r

- J...... _

fo. , A 1 Pq· • • -, V ~ Y y.., /''t1

y

,y

X

\'-

'y

Yv X

Rt; ..•. l

1 . 1

x ... z

y ~- ""1

x-r

1(1 ·· 1

XvY -·

MT

Y

V

""""

-. r ... -..v

MC0111• v

Mlo•oo m A

tU)('1

r

11 •(h A (ht-f V oP•" v•Q•I IJJ .,_~ ~~.--,_,__ ,_..,

16

f +'t f}o to•IIIM..I!li 1·•11

•/

Rl•p

r

,.,.,.AM"~ft

r. r • r.

\' •<"<,roc,- to.,'ioc ,..n Lnn .N,.w-..w .Mh..-~n.

•X