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MÓDULO III
PARTE 21
MATEMÁTICA MATEMÁTICA
–
Geometria analítica 3
CÔNICAS (Parte II)
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Definiremos b como sendo a medida do cateto do triângulo retângulo cujo o outro cateto é a e a hipotenusa é c. Daí temos a relação:
2) HIPÉRBOLE
c2 = a2 + b2
Dados dois pontos distintos F 1 e F 2 , pertencentes a um a distância entre eles. plano α, seja 2c a HIPÉRBOLE é o conjunto dos pontos de α cuja diferença (em valor absoluto) das distâncias a F a F 1 e F 2 é a constante 2a (sendo 0< 2a < 2c).
PF 1 PF 2 2a ( x c) ( y 0) ( x c) ( y 0) 2a 2
2
2
2
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) y ( x c) y 4a ( x c) y 4a 2
2
2
2
2
2
2
x 2 2cx c 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 4a ( x c) 2 y 2 4a 2 4cx 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 cx a a ( x c) y 2
2
2
(cx a ) a ( x c) a y 2
2
2
2
2
2
c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2
x 2
Hipérbole = P / PF 1 PF 2 2a
a
Focos: Focos: F1 = (c,0) e F 2 = ( – –c,0)
A1A2 (eixo real)
B1B2 (eixo imaginário)
2a = medida do eixo real
2b = medida do eixo imag.
2c = distância focal
c = e (excentricidade) a
2
y 2 b
2
1
{Equação reduzida da hipérbole de centro (0,0)}
Elementos: Tomemos uma hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo das abscissas. Teremos: Centro: Centro: O = (0,0)
(a 2 b 2 )
y 2 a2
x 2 b2
1
x x0 2 y y0 2 a2
b2
y y0 2 x x0 2 a
1
2
b
2
1
1
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y2 = 2px
3) PARÁBOLA Dados um ponto F e uma reta d , pertencentes a um plano α, com F d , seja p a distância entre F e d . PARÁBOLA é o conjunto de pontos de α que estão à mesma distância de F e de d .
V=(0,0) F ϵ Ox
p>0
p<0
x2 = 2py V=(0,0) F ϵ Oy
p>0
p<0
Parábola = P / PF Pd Elementos: Tomemos uma parábola com vértice na origem e foco sobre o eixo das abscissas. Teremos: Foco: F = ( p ,0)
Vértice: V = (0,0)
2
VF (eixo de simetria)
d (diretriz)
(y y0)2 = 2p(x x0)
p (parâmetro)
V=(x0 , y0) VF // Ox
(x x0)2 = 2p(y y0) PF Pd
V=(x0 , y0) VF // Ox
PF PP ´ 2
2
p p 2 2 x y 0 x y y 2 2 2
p p 2 x y x 2 2 2 x px
p
2
2
4
y 2 x 2 px 2
p
2
4
y = 2px {Equação reduzida da parábola com V=(0,0) e F ϵ Ox }
2
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VETORES
xOy = R2
Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número: 20 dm2 de área, 89 m de comprimento, 3 kg de massa, 4,8ºC de temperatura. Outras, no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma força ou uma velocidade, precisamos
AB B A ( x B x A , y B y A , z B z A )
A = (xA , yA , zA) e B = (xB , yB , zB) AB u (a, b, c)
saber qual a direção, qual a intensidade (“módulo”) e qual o
sentido.
Para melhor trabalharmos com vetores, é importante que eles tenham mesma origem, como veremos a seguir, logo o que apresentamos acima será de muita utilidade. Observe que tanto em duas quanto em três dimensões os vetores AB e u
Tais grandezas são chamadas vetoriais. Nos exemplos acima as “flechas” nos dão idéia exata das grandezas
mencionadas. No entanto, vamos adotar o seguinte ponto de vista: duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção, (isto é, paralelas) e mesmo sentido definem mesma grandeza vetorial.
representam o mesmo vetor, onde u representa uma translação de AB com partida na origem tanto do R2 quanto do R3. I) Operações com Vetores: 1) Soma de Vetores (Regra do paralelogramo) No R 2 u (a, b) v ( p, q)
u v (a p, b q)
No R 3 u (a, b, c) v ( p, q, r )
u v (a p, b q, c r )
AB CD u
Na representação acima temos apenas um único vetor pois ambos tem: - o mesmo comprimento AB CD u ; - a mesma direção, pois as retas AB // CD são paralelas; 2) Multiplicação por escalar
- o mesmo sentido.
No R 2 u (a, b) k u (ka, kb)
Pelo que vimos podemos representar vetores usando apenas dois pontos. Devido ao objetivo deste material nos deteremos apenas em estudas vetores gerados por pontos do R2 ou do R3. Assim sendo:
No R 3 u (a, b, c) k u (ka, kb, kc)
k>1
0 < k´< 1
xOy = R2 A = (xA , yA) e B = (x B , yB)
AB B A ( x B x A , y B y A ) AB u (a, b)
3
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v ( p, q)
No R 3 u (a, b, c)
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3) Diferença entre vetores No R 2 u (a, b)
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II) Paralelismo e Perpendicularismo u v (a p, b q)
v ( p, q, r )
u // v k R * / u k v
u v (a p, b q, c r )
De fato, se u // v então eles têm mesma direção, com isso podemos transladar um para a reta suporte do outro, logo eles serão múltiplos. Por outro lado se existe um k real diferente de zero que multiplicado por v geramos u, temos que que u e v têm mesma direção logo são paralelos.
u v u, v 0 Genericamente, sendo ABCD um paralelogramo, temos: De fato, pelo teorema de Pitágoras temos:
4) Produto Interno ou Produto escalar u v
Chamamos de produto interno “” ou produto escalar “ u v ” de u por v, o número real tal que: No R 2 u (a, b) No R
3
v ( p, q)
2
2
u v sendo u
(a, b)
v ( p, q)
Temos:
u, v u v a p b q
u (a, b, c) v ( p, q, r )
2
2
2 2 a p b q
u, v a p b q c r
a 2 b2
p 2
2
q2
2
a p 2 b q2 a 2 b 2 p 2 q 2
5) Módulo de um vetor
a 2 2ap p 2 b 2 2bq q 2 a 2 b 2 p 2 q 2 2ap 2bq 0
No R 2 u (a, b) u a 2 b 2
ap bq 0
u, v 0 3
Obs: a demonstração no R é análoga. III) Ângulo entre dois vetores Pela lei dos cossenos, teremos: u v
2
2
2
u v 2 u v cos
u v u v u u v v 2 u v cos
No R 3 u (a, b, c) u a 2 b 2 c 2
u u 2 u v v v u u v v 2 u v cos
2 u v 2 u v cos u v u v cos
cos
Obs: u u, u u u
4
u v u v
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IV) Produto Vetorial
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Propriedades Gerais
Chamamos de base canônica do R3 os vetores:
1) O produto misto representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w ;
i (1,0,0) j (0,1,0) k (0,0,1) Dados os vetores u ( x1, y1 , z 1 ) e v ( x2 , y2 , z 2 ) , denominamos produto vetorial de u por v ( u v ), o vetor obtido desenvolvendo-se o determinante:
i
j
k
u v x1
y1
z 1
x2
y2
z 2
2) u, v e w são coplanares
u, v, w 0
VI) Equação do Plano Dados os pontos P(x p,yP,zP) ; Q(xQ ,yQ ,zQ ) e R(xR,yR,zR) do R3,
Propriedades: 1)
uv u e uv v
2)
u // v u v 0
3)
u v u v sen
sendo u PR e v PQ .
V) Produto Misto Dados três vetores u, v e w , do R3, notemos que:
Vemos que n é perpendicular ao plano α, logo n u 0 , desenvolvendo o produto escalar obteremos:
- v w é um novo vetor do R3 perpendicular a u ;
ax + by + cz + d = 0
- u v w é um nº real (produto escalar).
(equação do plano no R3)
Chamamos de produto misto dos vetores u, v e w ,
VII) Equação da Esfera Consideremos a superfície esférica (que chamaremos também de esfera) de centro C= (x 0 ,y 0 ,z0 ) e raio R, como o conjunto de pontos do R 3 que tenham distância R de C . Fazendo d P , C R teremos:
número real u v w que será denotado por:
u, v, w u v w que facilmente notaremos que poderemos calculá-lo da seguinte maneira:
x1
y1
z 1
2
y2
z 2
x3
y3
z 3
u, v, w x Onde u
(xx0)2+ (yy0)2 + (zz0)2 = R2
Obs: C=(0,0,0)
( x1 , y1, z 1 ) , v ( x2 , y2 , z 2 ) e w ( x3 , y3 , z 3 )
5
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EXERCÍCIOS
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08) (FGV-2009) No plano cartesiano, a figura dada pelas equações paramétricas x = 2 cos t e y = 2 sen t em que t ϵ R é:
01) A distäncia focal (c) da hipérbole de equação 9x 2 – y2 – 36x – 8y + 11 = 0 é:
(A) uma elipse com excentricidade igual a 1 . 2
(A) 7
(B) 3 3
(C) 2 10
(D) 4 5
(B) uma elipse com excentricidade igual a 0,2. (C) uma hipérbole equilátera. 1 1 (D) uma circunferência que passa pelo ponto , .
(E) 12
02) Dë o centro, a excentricidade e os focos da elipse 4x 2 + 9y2 -16x -54y +61 = 0.
2 2
03) (AFA –98) O valor da excentricidade da cônica
( x 5) 2
4
( y 2)2 9
(A) 2 2
13 2
(C)
5
(D) 3
2
2, 2 .
09) (FGV-2010) Sejam as matrizes X x y , A 4 0 , 0 25 B 100 e X´ a matriz transposta de X. A representação gráfica do conjunto de pontos de coordenadas (x,y) que satisfazem a equação matricial X . A . X´ = B é:
1 é
(B)
(E) uma circunferência que passa pelo ponto
(A) uma hipérbole com excentricidade igual a 5 .
2
04) A equação x + y = 2xy + 4 representa, no sistema cartesiano xOy, (A) uma circunferência (C) uma elipse (E) duas retas paralelas
4
(B) uma elipse com distância focal igual 2 21 . (C) uma hipérbole com excentricidade igual a 7 .
(B) uma parábola (D) uma reta
5
(D) uma elipse com distância focal igual 2 10 . (E) uma parábola com eixo de simetria vertical.
05) (UNICAMP) Assinale a única alternativa que corresponde à equação da parábola que tem por foco o ponto F(3,0) e por diretriz a reta x + 3 = 0 2
(A) y – 12x = 0 2
(D) y – 9x = 0
2
(B) y – 12x = 0
10) (AMAN-2005) A área de um triângulo eqüilátero com um vértice no ponto ( 0, 0 ) e os outros dois sobre a parábola
y 3 x 2 é:
2
(C) y – 9x = 0
(A)
2
(E) y + 12x = 0
06) (MACK) Uma hipérbole de excentricidade 2 tem centro na origem e passa pelo ponto 5 ,1 ; uma reta s tangente à hipérbole e paralela à reta y = 2x pode ser:
4 3 9
(B) y = 2x 3
2 3
(C)
3
(D)
3
3 9
3
(E)
6
11) A metade da área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole
(A) y = 2x + 2 3
3
(B)
x 2
(C) y = 2x + 3 3
4
y2 9
1 e a reta 9 x 2 y 24 0 é
igual a: (D) y = 2x + 2
(E) y = 2x + 3
(A) 12 unidades de área (B) 10 unidades de área (C) 8 unidades de área (D) 6 unidades de área (E) 4 unidades de área 12) (AMAN-2005) A área do triângulo cujos vértices são as coordenadas do centro da circunferência
07) (PUC-2011) Considerando a parábola y = x 2 + mx + 1 e a reta y = x , diga: a) se a reta intercepta a parábola para m = 0;
x 2 y 2 x 2 y
b) se a reta intercepta a parábola para m = 5;
11 4
0,
y 6 y 4 x 13 0 2
c) para quais valores do parâmetro m, a reta tangencia a parábola.
x 2 4
(A) 1 6
y 12 12
do e
do
foco centro
da
parábola da
elipse
1 , é:
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5 2011
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13) (UFRJ-99-PE) Considere os pontos P1 ( 0, 0 ) , P2 ( 1, 1 ) e P3 ( 2, 6 ).
23) Dados os vetores é:
u (2,0,1) e v (4,5,0) ,
a) Determine a equação da parábola que passa por P1, P2 e P3 e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas;
(A) 15
(C) -8
(B) 11
(D) 0
o valor de
(E) 1
24) Dados u=(-3,0) , v=(1,-2) , w=(-3,-3) e z=(0,0), o valor de + + é:
b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P1, P2 e P3.
(A) –3
14)(UNICAMP - 2000) sejam A e B os pontos da interseção da 2 parábola y = x com a circunferência de centro na origem e raio
(B) 3
(C) 0
(D) 4
(E) - 6
25) O valor de k para que os vetores u = (k,2) e v = (-3, -9) sejam ortogonais é:
2.
AB-
Quais as coordenadas dos pontos A e B ? Se P é um ponto da circunferência diferente de a e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos A P B . Vetores
(A) –6
(B) –2
(C) 0
(D) 1
(E) 2
ˆ
26) A equação do plano que passa pelo ponto A(1,2,0) e é perpendicular ao vetor n = (2,-1,-1), é:
15) Dados os vértices de um triângulo ABC, onde A = (1,2); B=(5,-4) e C = (-3,6). Sabe-se que G é o baricentro deste triângulo e que M é o ponto médio do segmento AB. Calcule o módulo do vetor GM .
(A) x + y + z + 5 = 0 (C) 2x - y + z + 5 = 0 (E) x - y - z - 5 = 0
(B) 2x + y + 3z = 0 (D) 2x - y - z = 0
27) A esfera de equação (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 9, possui:
16) Para que valores de m os vetores u=(1,m) e v=(-2,2) são ortogonais ?
(A) raio = 3 e centro (0,0,0) (C) raio = 3 e centro (1,1,1) (E) raio = 3 e centro (1,2,-4)
17) Para que valores de m os vetores u=(2,5) e v=(8,m) são paralelos ?
(B) raio = 1 e centro (3,5,-2) (D) raio = 1 e centro (-3,-5,0)
18) Obter x para que o triângulo ABC seja triângulo retângulo em B. Dados A=(5,4) , B=(x,2) e C=(3,-2).
28) Dados A(1,1,1) , B(1,2,0) e C(2,0,1), a equação do plano que
19) Dado o triângulo de vértices A=(0,2), B = ( 3 ,5) e C = (0,6) , calcular a medida do ângulo interno Â.
(A) x + y + z = 3 (C) x + 2y + z = 4 (E) n.r.a.
20) (UFF-2000-2f)-Considere os vetores u = (0, –2) e v = ( –1, 0). Determine um vetor unitário w tal que os vetores ( u + w ) e ( v + w ) sejam perpendiculares.
29) (UFF-99) -Os vetores u (2,1,0) , v (0,1,2) e w ( x, y, z )
contém A e é perpendicular ao vetor BC é:
(A) 150°
(B) 120°
(C) 90°
22) (Uni-rio) Se u v
(D) 60°
(A) x + y + z = 0 (C) x – 2y + z = 0 (E) x – 2y – z = 0
3 ,3) e v (E) 30°
. A relação entre x, y e
(B) 2x – 2y + z =0 (D) x + 2y – 2z =0
b) a equação cartesiana do plano que contém os pontos A, B e C.
(A) 8
a) as coordenadas de um vetor não nulo, do R 3 , perpendicular ao plano que contém os pontos A, B e C;
u.v é:
30) (UERJ-93-2ªf) Considere os pontos A=(0,0,0); B=(1,2,3) ; C=(3,2,1) do R3, Utilizando esses pontos, determine:
7 e u v 5, o valor do produto
são tais que u v é perpendicular a z é:
21) (UNIRIO-2000-1F) Dados dois vetores u (a, b) e v (c, d), define-se o produto escalar u . v de duas formas diferentes, mas com igual resultado: ac + bd ou |u | .|v|.cos , onde |u | e |v| são os módulos e é o ângulo formado pelos vetores . Assim sendo, o ângulo formado pelos vetores u = (3 (0, -2) mede:
(B) x - 2y + z = 0 (D) x + z = 2
(B) 7
(C) 6
(D) 5
(E) 4 7
2011
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31) (UFF-98) Considere o paralelepípedo retângulo de dimensões 1m, 4m e 3m e os vetores
,
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35) (uff-01-2p) Os pontos O, M, N e P são vértices de um tetraedro, conforme indica a figura.
e
z
representados na figura.
.
N
.
O
y
P
.
M
x
Considerando-se os conceitos de soma e produto escalar de vetores, conclui-se que:
É incorreto afirmar que: (A) O produto escalar entre
é zero.
(B) O produto vetorial entre
tem nor-ma 3.
(C) O módulo do produto misto entre (D) A norma de ( (E)
A norma de (
e
(B) OM OP ON 0
(C) OP PN MN
(D) OM OP NM NO
(E) MP MN NP
vale 12.
36) (UFRJ-97-PE) - Três cidades A, B e C estão representadas no mapa a seguir. Escolhendo uma cidade como origem, é possível localizar as outras duas usando um sistema de coordenadas (d, ) em que d é a distância, em quilômetros, entre a cidade considerada origem e o ângulo, em graus, que a semi-reta que une a origem à cidade considerada faz com o vetor norte N; é medido a partir do vetor N no sentido horário.
) é igual a 5. ) é igual à norma de
(A) MP PN NM
.
32)(UERJ-98-2ªf) A figura do R3 abaixo representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as coordenadas são A (0, 0, 0), B (4, 2, 4) e C (0, 6, 6), e o vértice V é eqüidistante dos demais.
N
. .B
.C
A partir da análise dos dados fornecidos, determine:
Usando A como origem, as coordenadas de B nesse sistema são (50,120) e as coordenadas de C são (120,210).
a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base;
a) Determine a distância entre as cidades B e C. b) Determine as coordenadas da cidade B, se escolhermos C como origem.
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72.
37) (UNIRIO-2003-1F) Considere os vetores u (1, 2, 3) e
33) (UFRJ-99-PE) - Sejam A (1,0) e B (5, 4 3 ) dois vértices de um triângulo equilátero ABC. O vértice C está no 2º quadrante.
v ( x, y, 6) . Determine o valor de
x y ,de modo que
esses vetores sejam colineares.
34)(uff-01-2ªf) Considere os pontos P(2,3,2), Q(1,2,4) e R(2,1, – 1). Determine as coordenadas de um ponto S tal que PR e QS sejam as diagonais do paralelogramo PQRS.
(A) –2
8
(B) -1
(C) 0
(D) 2
(E) 6 2011
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os
vetores
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41) Dados os vetores u = (2 , -1 , 5), v = (-1 , 3 , 0) e w = (3 , 1 , -1), utilizando os conceitos de adição e subtração de vetores ( a b
dados
u , v e w
MATEMÁTICA
Geometria analítica 3
38) (UFRJ-2001-PE) – Considere um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H (como mostra a figura) e
PARTE 21
–
e a b ), norma ( a ), produto escalar ( a b ) e produto vetorial
por
( axb ), podemos afirmar que:
u AB , v AE , w AD
(A) u v 0 (C) (u v ) (v w) 5 (E) uxv 5w
(B) u w v (D) | u || v | | w |
42) (UFRJ-2000-PE) O sólido representado na figura é formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular cuja base coincide com a face superior do cubo. O vértice O do cubo é a origem do sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxyz. Os vértices P, R e O. pertencem respectivamente aos semi-eixos positivos Ox, Oy e Oz. O vértice S tem coordenadas (2,2,8). Sejam P o ponto médio do segmento AG e Q o ponto do
segmento DB tal que QB 2 DQ . Determine os números a, b e c tais que PQ au bv c w . 39) (UERJ-96/2ªF) - São dadas as coordenadas de três pontos no R3: A(1,0,0); B(-1,2,0) e C(2,0,-1). Baseado nessas informações: a) prove que esses três pontos não pertencem à mesma linha reta.
Considere o plano z = k que divide o sólido em duas partes de volumes iguais. Determine o valor de k.
b) escreva a equação cartesiana do plano que contém esses pontos.
43) (UFF – 2000) Em um retângulo ABCD, M e N são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB e CD .
40) (uerj-2005-2f)
Tem-se que
3, 1 e
2 3,2 .
Determine o perímetro do retângulo. 44) (URFJ – 2011) Um ponto P desloca-se sobre uma reta numerada, e sua posição (em metros) em relação à origem é dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t ) = 2(1− t ) + 8t . Os planos secantes e acima podem representar em IR3 as equações: 2 x y 4 z 1 x y z 4 A interseção desses planos é uma reta r que passa por um ponto P (x, y, z). Determine:
a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t = 0). b) Determine a medida do segmento de reta correspondente ao conjunto dos pontos obtidos pela variação de t no intervalo [0,3/2]
a) as coordenadas de P, considerando z = 0; b) um vetor unitário paralelo à reta r. 9
2011
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–
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Geometria analítica 3
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Desafios 32) a) 6
45) (IME-2010) Considere as hipérboles que passam pelos pontos (4,2) e (1, 1) e apresentam diretriz na reta y = 4. Determine a equação do lugar geométrico formado pelos focos dessas hipérboles, associados a esta diretriz, e represente o mesmo no plano cartesiano.
b) H (2, 7, -1) ou H (-2, -1, 7)
34) S (3, 2, – 3).
33) C 3,4 3
35) B
36) a) 130 km
b) (130, 30 + arcsen(5/13))
46) (IME-2011) Uma reta, com coeficiente angular a 1, passa pelo ponto (0,1). Uma outra reta, com coeficiente angular a2, passa pelo ponto (0,1). Sabe-se que a12 a22 2 . O lugar geométrico percorrido pelo ponto de interseção das duas retas é uma:
37) A
38)
(A) hipérbole de centro (a 1,a2) e retas diretrizes y 2
41) E
42) k = 8/3
43) 8 4 3
44) 9
45) Resolução abaixo
46) C
39) a) dem
b) x + y + z = 1
1 40) a) (1,3,0) b) ; 6
1 6 6
2
,
2
(B) circunferência de centro (0,0) e raio
a12 a22
(C) hipérbole de centro (0,0) e retas diretrizes y 2 2
47) e
(D) elipse de centro (0,0) e retas diretrizes y 2
5 2
2
Algumas questões resolvidas
(E) elipse de centro (a 1,a2) e retas diretrizes y 2 2
Questão 7) a) Pra m = 0, a reta NÃO intercepta a parábola, pois, a equação x2 + 1 = x não admite raiz real ( ∆ = 3 < 0)
47) (IME-2011) Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação x 2 10 3 xy 11y 2 16 0
b) Para m = 5 a reta intercepta a parábola em dois pontos, pois a equação x2 + 5x + 1 = x, admite duas raízes reais distintas GABARITO
(∆ = 12 > 0)
01) C
02) C = (2,3) e= 5 / 3
04) E
05) B
2
c) A reta tangencia a parábola se e somente se a equação x + mx + 1 =x admite uma única raiz. A equação pode ser escrita como x2 + (m1)x + 1 = 0 com discriminate (∆ = (m 1)2 – 4 .
03) B
06) A
07) a) Não b) Sim c) m= 3 e m = 1
08) E
Assim a reta tangencia a pará bola se e somente se ∆ = 0, ou seja, m2 – 2m – 3 = 0, logo m = 3 ou m= –1.
09) B
12) A
Questão 8) Resposta E
10) B
13) a) a = 2 , b = 1 e c = 0 14)a) (1;1) e (-1;1) 16) m = 1
11) D b) a=
2
, b = 17 e c = 0
15
b) 45º ou 135º
17) m= 20
20) w = 3 , 4 ou w = (1,0) 5 5
15
15) 5/3
18) 7 e 1
19) Â=30º
21) B
22) C Portanto as equações representam uma circunferência que
23) C
24) C
25) A
27) E
28) B
29) A
30) a) (1, 2,1) b) x 2y + z = 0
26) D
passa pelo ponto
pois
Questão 9)
31) E 10
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Questão 13) a) y = ax2 + bx + c , passando por (0,0), (1,1) e (2, 6). Então: 0=a.0+b.0+c 1=a.1+b.1+c 6 = a . 4 + b . 2 + c, a = 2 , b = -1 e c = 0
Questão 32)
b) x = ay2 + by + c, passando por (0,0), (1,1) e (2, 6). Então: 0=a.0+b.0+c 1=a.1+b.1+c 2 = a .36+ b . 6 + c, a=
2
, b = 17 e c = 0
15
15
Questão 14) A- Uma equação da circunferência de centro na origem e raio 2
2
2
2
2
2 é (x-0) + (y-0) = ( 2 ) x + y = 2. Os pontos A e
B, interseções desta circunferência com a parábola y = x 2, são as soluções do sistema x 2 y 2 2 2 y x
y 2 y 2 0 2 y x
Questão 33)
( x 1 e y 1)
ou (x - 1 e y 1)
B-
Logo os pontos A e B são (1;1) e (-1;1). temos que AB = 1 –(-1) = 2. Assim, como o raio R da circunferência circunscrita ao triângulo APB é dos senos,
AB sen A P B
2 , pela lei
= 2R
ˆ
2
2 2 sen A P B
2
ˆ
sen A P B ˆ
2
m( A P B) 45º ou m(APB) 135º. ˆ
ˆ
Questão 20)
11
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Questão 34)
Questão 40)
Seja S(x, y, z) o ponto procurado
a) z 0 2x y 1 xy 4
3x 3 x 1 y 3 P(1,3,0)
b) Fazendo x = 0 y 4z 1 y z 4
3z 3 z 1 y 5 Q (0, 5, 1)
PQ SR (1, 1, 2) (2 x, 1 y, 1 z )
vetor PQ 1,2,1
u
2 x 1 x 3 1 y 1 y 2 1 z 2 z 3
PQ 6
1 2 1 ; , PQ 6 6 6 PQ
Questão 42) Logo, S (3, 2, – 3).
Seja T = (2, 2, 0) a projeção ortogonal de S sobre o plano xy. Como a pirâmide é quadrangular regular, T coincide com o ponto de interseção dos segmentos PR e OQ. Portanto, a aresta do cubo mede 4. Como o segmento ST mede 8, concluímos que a altura da pirâmide mede 4.
Questão 36)
O plano z = k, que é um plano paralelo ao plano xy , divide o sólido em duas partes, cujos volumes denotaremos por V1 (parte inferior) e V2 (parte superior). Se V1 = V2 temos necessariamente 0 < k < 4 . Portanto, a) Â = 210o - 120o = 90o -> ABC é retângulo em A. BC2 = AB2 + AC2 = 1202 + 502 = 16.900 = 1302 BC = 130. Resposta: 130 Km. b) a = 180o - (360o - 210o) = 30o sen b = 50/130 = 5/13 -> b = arcsen 5/13 graus Portanto as coordenadas de B, se a origem for o ponto C, são: d = 130 e q = 30 + arcsen(5/13) Resposta: (130, 30 + arcsen(5/13))
Questão 43)
Questão 38)
12
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Questão 44)
Desafio 45) Resolução
13
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Desafio 46) Gab C
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Desafio 47)
14
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