2º Eso Matematicas M Fotocopiable Santillana Sin Soluciones

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NÚMEROS ENTEROS

EVALUACIÓN INICIAL 1

Aplica los criterios de divisibilidad y comprueba cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2, 3, 5 y 11. Números

2

3

5

11

16.760 12.852 112.574 48.762

2

Calcula todos los divisores de los números 72 y 150.

D (72) = D (150) = 3

Descompón los números 84 y 120 en factores primos y escribe sus divisores comunes. 84

120

Divisores comunes de 84 y 120 → 4

Calcula múltiplos comunes de los números 12 y 18.

5

Desde la planta cuarta de un edificio hemos subido tres plantas en ascensor y luego hemos bajado ocho. ¿En qué planta nos encontramos?

6

Representa en la siguiente recta los números enteros: A → −4, B → +3, C → −1, D → +1.

0 7

Escribe el símbolo < o >, según corresponda. a) −5

420

+4

b) +3

+5

c) +3

−4

d) −5

−4

쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

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NÚMEROS ENTEROS contenidos

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

Redondeo y truncamiento de operaciones, dando cuenta del error cometido.

Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de dos números.

Cálculo del valor absoluto de un número entero.

Ordenación de un conjunto de números enteros.

1

Haz una estimación de las siguientes operaciones, redondeando o truncando cada número al valor indicado, y calcula el error cometido. a) Redondeo a las centenas: 1.210 + 3.076 + 4.249 → b) Redondeo a las decenas: 237 ⋅ 308 → c) Truncamiento a los millares: 87.321 : 7.892 →

2

Calcula la división de 60 entre 13, redondeando el resultado de dos maneras: a las centésimas y a las milésimas.

3

Encuentra el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números: 42 y 315. Comprueba que el producto de ambos números es igual que el producto del m.c.d. por el m.c.m.

4

Dos ciclistas dan vueltas en un velódromo. El primero da una vuelta cada 108 segundos, y el segundo, cada 72 segundos. Si mantienen el mismo ritmo, calcula al cabo de cuánto tiempo vuelven a coincidir y cuántas vueltas ha dado cada uno en ese momento.

5

Completa la siguiente tabla.

6

a

b

c

−2

4

3

−4

−3

6

⏐a⏐

a ⋅ ⏐b + c⏐

⏐a⏐⋅ ⏐b + c⏐

Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros y represéntalos sobre la recta: −2, 3, −1, 2, 0 y −3. 0

CAPACIDADES PREFERENTES

422

PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos .......................................................................................................

6

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................

5, 9

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ....................................................

6

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................

3

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ...........................................................................................

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11


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Realización de operaciones combinadas de sumas y restas de números enteros con y sin paréntesis.

7

Cálculo de productos y cocientes exactos de números enteros, aplicando la regla de los signos.

8

Haz las siguientes operaciones. a) 3 − 15 − 6 + 12 − 5 − 4 = b) −2 − (−5) + (3 − 2) − (2 − 4) = c) 8 − (5 − 3 − 6) + (4 + 3) = Realiza los cálculos. a) b) c) d)

9

Resolución de problemas en los que aparecen números enteros.

Página 423

(+5) ⋅ (−3) = (+3) ⋅ (−2) ⋅ (−5) = (−1.001) : 13 ⋅ (−2) : 7 : (−11) ⋅ 3 = 18 ⋅ 4 − (10 − 3) : 7 − (5 ⋅ 2) =

Completa la siguiente tabla.

a

b

8

2

12

−4

−15

−5

a⋅b

Signo (a ⋅ b)

a:b

Signo (a : b)

⏐a ⋅ b⏐

10 Completa los datos que faltan en el extracto bancario.

Fecha

Concepto

Pagos

Ingresos

Saldo

7 enero

Saldo

−

−

+53.500

7 enero

Recibo de teléfono

+2.300

−

9 enero

Transferencia

−

+5.000

12 enero

Ingreso

−

+60.000

11 Un barco pesquero ha capturado una gran cantidad de calamares y se dispone

a congelarlos. En el interior de su cámara frigorífica, la temperatura desciende 2 ºC cada diez minutos. Si al principio la cámara se encontraba a 4 ºC: a) ¿Qué temperatura habrá después de una hora y media de funcionamiento? b) ¿Cuánto tiempo tardará en encontrarse a −30 ºC?

PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios................................................................................................. • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................

3, 9, 10

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................


423

PROPUESTAS DE EVALUACIÓN


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2

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FRACCIONES


Indica la fracción que representa la parte sombreada de la forma más simplificada posible.

2

Observa las siguientes fracciones y señala las que sean equivalentes a 6 21

9 21

12 28

3

Ordena las siguientes fracciones, de mayor a menor:

4

Representa las fracciones

5

18 41

21 49

4 3 6 5 , , , . 12 10 15 18

2

1

Al comprar se emplean medidas intermedias del gramo o del kilogramo. Si el siguiente rectángulo representa un kilo de carne, representa en cada caso la fracción correspondiente. 1 kg 2

1 kg 4

2 kg 3

36 50 42 , , . 70 84 105

6

Reduce a común denominador las fracciones:

7

Haz las operaciones entre fracciones y simplifica los resultados. a)

8

24 65

3 4 3 , y en la recta. 10 5 2

0

426

15 35

3 . 7

2 ⎛⎜ 8 3⎞ +⎜ : ⎟⎟⎟ = ⎜ 5 ⎝ 12 5 ⎟⎠

b)

16 3 : = 3 5

c)

1 1 : = 7 8

De los goles conseguidos por un equipo de fútbol, Pedro ha marcado la mitad, Juan ha marcado un tercio y el resto lo han marcado los otros delanteros. ¿Qué fracción de goles han marcado estos últimos?


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FRACCIONES

contenidos


Interpretación de fracciones según su significado y aplicación en varios contextos.

1

Representa mediante una fracción las siguientes expresiones. a) Tres cuartos de hora. b) De los 30 alumnos de la clase, los dos quintos son niños.

2

Dibuja un cuadrado de 2 centímetros de lado y construye los tres quintos de este cuadrado.

Determinación de si dos fracciones son equivalentes y búsqueda de fracciones equivalentes a una fracción dada.

3

Señala las fracciones equivalentes a la fracción

Amplificación y simplificación de fracciones y obtención de la fracción irreducible de una fracción dada.

4

6 21

11 30

15 45

18 55

20 60

23 65

Calcula la fracción irreducible de las siguientes fracciones. 90 → 60

5

7 21

5 . 15

264 → 1.001

Encuentra la fracción irreducible de estas fracciones, dividiéndolas sucesivamente entre sus divisores comunes. 105 → 360 168 → 126

Reducción de fracciones a común denominador.

6

Reduce las fracciones a común denominador. 3 5 y 8 12 2 7 y b) 22 39 a)


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ........................................................... • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .................................................. 1, 2, 3, 6, 7, 12, 13 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................... 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

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Comparación de dos fracciones cualesquiera.

Operaciones con fracciones y resolución de operaciones combinadas.

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7

8

Página 429

Señala cuál es la fracción mayor. a)

5 7 y 9 10

b)

22 10 y 7 3

c)

8 11 y 15 22

Calcula. 11 3 2 4 + − − = 15 4 5 15

9

Efectúa las operaciones. ⎛3 2⎞ 2 − ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 4 5 ⎟⎠

10 Calcula.

4 3

⎛4 2⎞ ⋅ ⎜⎜ : ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 5 3 ⎟⎠

11 Calcula y simplifica.

⎛3 1⎞ ⎛ 2⎞ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ − ⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎜ ⎟ 6⎠ ⎝ 7 ⎟⎠

Trabajo con fracciones negativas y representación de una fracción entera cualquiera.

12 Escribe los inversos de los siguientes números.

Representación en la recta de fracciones y de sus números decimales asociados.

13 Representa las fracciones

4 → 5

−

−1

3 → 2

−

5 → 7

−7 3 7 , y en la recta. 10 −2 5 0


1

2

PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios .............................................................................................. 4, 5, 6 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ........................................................................................... • Combinar, componer datos, resumir, etc. ......................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ....................................................................................


429


4 5

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3

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Página 432

NÚMEROS DECIMALES


Ordena los siguientes números, de mayor a menor. 2,01 20,1

2

>

20,01

2,101

>

0,2001 >

>

Haz estas operaciones con números decimales. 406,535 − 251,273

Efectúa la siguiente división, redondeando el resultado a las milésimas. 12,4587

432

20,1

>

123,055 + 306,112

3

0,0201

32,45

4

Divide los números del 1 al 6 con la calculadora y observa cuáles son las cifras que aparecen. ¿Sucede esto siempre que efectuamos una división?

5

Para elaborar la sopa, el cocinero del colegio necesita 0,25 litros de agua por alumno. Si 132 alumnos se quedan a comer, ¿qué cantidad de agua necesita para hacer la sopa?


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Página 434

NÚMEROS DECIMALES

contenidos


Ordenación de un conjunto de números decimales.

1

Reconocimiento y cálculo de los tipos de expresión decimal de una fracción (exacta o periódica).

2

Ordena los siguientes números decimales, de menor a mayor. a) 3 décimas

b) 31 centésimas

c) 307 milésimas

d) 0,305 unidades

Indica el tipo de número decimal que resulta de estas fracciones y, con la ayuda de la calculadora, expresa en forma decimal las fracciones. Fracción

Tipo de número decimal

Expresión decimal

4 25 17 6 65 8 43 40 89 30

Suma y resta de números decimales.

3

Pedro compra 1,125 kg de peras, 2,05 kg de naranjas y 1,872 kg de melocotones. Por último, compra un melón de 3 kg y medio. ¿Cuál es el peso total de la fruta?

Redondeo y truncamiento de números decimales hasta un nivel de aproximación determinado.

4

Completa la siguiente tabla, transformando las fracciones en números decimales, y redondea a las centésimas.

Fracción

7 6

74 13

11 3

35 2

Decimal


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................

2, 10

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .....................................................................

1, 2

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ...................................................................................................................

434


3, 4, 5, 6, 7, 8

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Estimación del resultado de operaciones con decimales mediante el redondeo en las unidades.

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5

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Calcula y trunca el resultado con tres decimales. 7 ⋅3 9 23 5 : b) 10 7 7 c) 0,16 ⋅ 3 a)

6

Halla el resultado de las siguientes sumas y restas. a) 324,654 + 126,057 + 32,005

b) 54,904 − 13,047 + 98,218

Luego aproxima cada cifra a las centésimas mediante truncamiento y redondeo, realiza de nuevo las operaciones y calcula el error cometido. 7

Estima estos productos y cocientes redondeando a las unidades, y halla el error cometido. a) 32,87 ⋅ 10,2

b) 130,24 : 8,945

Calcula estas raíces cuadradas con dos decimales. a)

83

b)

4.325


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ..............................................................................................................

5, 6, 7

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ...........................................................................................................

2

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................


435


8

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4

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Página 438

SISTEMA SEXAGESIMAL


Completa las siguientes tablas. Grados (°)

15

25

60

100

125

278

360

Minutos (’) Segundos (’’) Horas (h)

7

10

12

24

48

Minutos (min) Segundos (s)

2

¿Cuántas horas son 72.000 segundos?

3

Expresa en grados, en minutos y en segundos la medida de estos ángulos. a) Un ángulo llano (180°). b) Un ángulo completo (360°).

4

Expresa las siguientes medidas de tiempo en las unidades que se indican. a) 46.080 min en meses de 30 días. b) 8 días y medio en segundos. c) 3 años y 2 meses en minutos. d) 47.304.000 s en años.

5

438

Trabajando 8 horas diarias, de lunes a viernes, ¿cuántos segundos son?


72

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Página 440

SISTEMA SEXAGESIMAL

contenidos


Expresión y transformación, en el sistema sexagesimal, de amplitudes de ángulos y tiempos.

1

Completa la siguiente tabla. Horas (h)

Minutos (min)

Segundos (s)

30 10.800 600 43.200

2

Completa la siguiente tabla. Grados (°)

Minutos (’)

Segundos (’’) 32.400

600 3.600 300

3

Expresa estas medidas de tiempo en segundos. a) 3 h 19 min 26 s b) 1 h 42 min 33 s

4

Sumas y restas de amplitudes de ángulos y tiempos en el sistema sexagesimal.

5

Expresa de forma compleja. a) 2.300 s

c) 17,5 min

b) 4.042 s

d) 4,25 h

Efectúa las siguientes operaciones. a) 15° 22’ 30’’ + 8° 27’ 41’’

d) 4° 11’ 17’’ − 1° 16’ 32’’

b) 1° 44’ 11’’ + 5° 16’ 9’’

e) 50’ 43’’ − 3’ 50’’

c) 50° 43’’ + 13° 10’’

f) 11° 44’ 11’’ − 5° 16’ 39’’


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ....................................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 1, 2, 3, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 9

440


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Multiplicaciones y divisiones por un número cualquiera.

Resolución de problemas de la vida real que impliquen operar con ángulos y tiempos.

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6

7

Página 441

Calcula el resultado de: a) (14° 21’ 7’’) ⋅ 5

c) (44° 21’ 37’’) : 5

b) (50° 43’’) ⋅ 6

d) (39° 3’ 40’’) : 3

Un ciclista ha empleado, en las dos etapas de contrarreloj, los siguientes tiempos. 1.ª contrarreloj: 2 h 41 min 44 s 2.ª contrarreloj: 1 h 20 min 18 s a) ¿Cuánto tiempo ha empleado en total? b) ¿Cuánto tiempo ha tardado más en la primera etapa?

8

Elena habla por teléfono 25 minutos y 30 segundos cada día. ¿Cuánto tiempo habla por teléfono de lunes a viernes?

9

Luisa ha utilizado el ordenador un total de 8 h 37 min durante 5 días. Si cada día lo ha mantenido encendido el mismo tiempo, ¿cuánto ha estado funcionando a diario?

PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................ • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................................................. 5, 6, 7, 8 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................................... 1, 2 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................


441



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Página 444

EXPRESIONES ALGEBRAICAS


2

Relaciona las siguientes expresiones con los enunciados de la otra columna. Expresión

Enunciado

2(a + 7)

A un número le sumamos siete y multiplicamos el resultado por dos.

2a + 7

A la mitad de un número le restamos siete.

a −7 2

A siete le restamos el doble de un número.

7 − 2a

Multiplicamos un número por dos y le sumamos siete.

Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico: a) La edad que tenía hace 5 años → b) La edad que tendrá dentro de 7 años → c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años → d) Los años que tendrá cuando tenga el doble de los años que tiene ahora →

3

Averigua la expresión algebraica para los siguientes enunciados. a) El área de un triángulo de base b y altura h → b) El perímetro de un hexágono regular de lado x cm → c) El coste de z bolsas de chicles que cuestan 30 céntimos cada una → d) El área de un rectángulo de base b y altura 3 cm más que la base → e) El resto de la división entre 18 y 5 si el cociente es x →

4

Calcula el valor de las siguientes expresiones, según el valor de x.

e (x) = 4x + 3, si x = 3 → e (3) = f (x) = −3x + 3x 2, si x = 2 → f (2) = g (x) = (x 2 − 4 )2, si x = −2 → g (−2) = 5

444

Si la expresión algebraica del área de un rectángulo de base x es A = x (x − 2) y sabemos que el área mide 24 m2, ¿cuánto mide la base del rectángulo? ¿Y su altura?


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ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO


Andrés tiene varias monedas de 20 céntimos, que hacen un total de 3,40 €. ¿Qué pregunta le plantearías a Andrés, cuánto vale cada moneda o cuántas monedas tiene? En cualquier caso, ¿cuál sería la respuesta?

2

Unos amigos preparan una fiesta y quieren confeccionar banderolas de 20 × 25 cm. Cada palo de la banderola cuesta 20 céntimos y cada metro cuadrado del tejido para hacer las banderolas cuesta 9 €. Si entre todos tienen 22,75 €, ¿cuántas banderolas pueden fabricar? Resuelve el problema ayudándote de un diagrama o un esquema, y explícalo.

3

Si un coche consume 8 litros de gasolina cada 100 kilómetros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer con 1 litro? Efectúa varias pruebas hasta obtener el resultado.

4

Un amigo plantea a Enrique la siguiente cuestión: «Mi madre tiene el triple de edad que yo, mi padre tiene 3 años más que mi madre, y entre los tres tenemos 101 años». ¿Cuál de las siguientes expresiones dará como resultado la edad del amigo? a) x + (x + 3) + [(x + 3) + 3] = 101 b) x + (x ⋅ 3) + [(x ⋅ 3) ⋅ 3] = 101 c) x + (x ⋅ 3) + [(x ⋅ 3) + 3] = 101

5

En estas ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas de forma mental o por el método de ensayo y error. Ecuación

6

Incógnita

Solución

Ecuación

x+4=7

y =2 5

2x = 8

3z − 2 = 10

Incógnita

Resuelve las siguientes ecuaciones de forma algebraica. ⎯⎯→ x = a) 2x + 4 = 3x − 8 ⎯⎯⎯⎯⎯ b) 3(3x + 4) = 5(x − 1) ⎯⎯⎯⎯ ⎯→ x = c)

450

x −1 x −2 3−x = − ⎯⎯⎯ → x= 2 3 4 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿

Solución

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ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

contenidos


Distinción de si una igualdad es una identidad o una ecuación.

1

Identificación de los elementos del lenguaje algebraico: miembros, términos, coeficientes, grado, incógnitas y soluciones.

2

Comprobación de si un número es o no solución de una ecuación.

3

Comprueba si la siguiente expresión es una identidad. 7(4 − 2x) − 4(5 − 3x) = 2(5 − x) − 2

Di si las afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de que sean falsas, indica por qué. a) b) c) d)

Una ecuación siempre tiene dos términos. La ecuación 2x 3 + 3x − 2 = 0 es una ecuación de segundo grado. La ecuación 2x + 3y = 0 es una ecuación de segundo grado. La incógnita de la ecuación 2x = −8 es 2.

Relaciona las ecuaciones de la izquierda con las soluciones de la derecha (puede ocurrir que algún valor sea solución de más de una ecuación). Ecuación

Solución

x+2=0

−2

2x − 8 = 6

2

x −4=0

4

x 2

7

2

2(x − 3) =

Obtención de ecuaciones equivalentes a una ecuación dada.

4

En estas columnas hay ecuaciones que son equivalentes. Relaciona cada ecuación de la columna izquierda con su ecuación equivalente de la derecha. Ecuación (1)

Ecuación (2)

a) 2(2 −x) = 8 + 2x

1) 6 − 3 = 3x − 2x

b) 4(2x + 2) = 14 − (2 − 6x)

2) 8x − 6x = 12 − 8

c) 2(x + 3) = 3 + 3x x −2 d) =x−3 2

3) x − 2 = 2x − 6 4) 4x = −4


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 2 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 3, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 5, 6, 7, 8, 9, 10

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Página 453

Resolución de ecuaciones de primer grado por el método de ensayo y error, comenzando por el final y por transposición de términos.

5

Resuelve la ecuación 2x + 8 = 18 mediante los métodos de ensayo y error, por transposición de términos y comenzando por el final.

Resolución de problemas reales, planteando y resolviendo ecuaciones de primer grado con una incógnita.

6

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método general. a)

x −1 12 − 2x x −2 − = 4 5 5

b) 4(x − 2) +

Resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por métodos intuitivos.

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

x +7 = 8(1 − x) 2

7

Encuentra dos números consecutivos cuya suma sea 77.

8

Tenemos 50 € en monedas de 20 y 50 céntimos y hay el triple de monedas de 20 céntimos que de 50. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?

9

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 4x 2 + 9 = 25 b) 2x 2 − 32x = 0

10 Encuentra dos números naturales cuyo producto sea 90 y su diferencia 9.

PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 7, 8, 10 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


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PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

EVALUACIÓN INICIAL 3 35 y forman proporción. 8 96

1

Averigua si las razones

2

Averigua qué números faltan para completar las siguientes proporciones. a) Medio proporcional:

8 2 = 16 3

b) Cuarto proporcional:

3

=

6 = 8 4

12

Completa con el número apropiado en cada caso. a) El

% de 45 es 36.

b) El 25 % de

es 225.

c) El 37 % de 65 es

.

4

En rebajas se hace el 15 % de descuento. ¿Cuál era el precio de venta de un artículo por el que se han pagado 24,65 €?

5

En la tabla se muestra la receta de un pastel para 8 personas. Calcula los ingredientes necesarios para hacer el pastel para 10 personas. Bizcocho

6

8 personas

10 personas

Crema Leche

8 personas 375 cm3

Huevos

4

Harina

125 g

Yemas de huevo

Azúcar

150 g

Azúcar

200 g

Levadura

10 g

Fécula

30 g

3

Durante un partido de baloncesto, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. a) De 20 intentos ha realizado 13 canastas de 2 puntos → b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 3 → c) De 11 tiros libres ha encestado 9 → d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18 → Calcula y escribe los porcentajes de cada resultado.

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10 personas

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PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

contenidos


Determinación de si dos razones forman proporción.

1

En un examen, Enrique ha contestado correctamente 6 de 10 preguntas y, en otro, de 25 preguntas ha respondido bien a 14. ¿Obtendrá en ambos exámenes la misma calificación?

Distinción de si dos magnitudes son directamente proporcionales.

2

Silvia observa en un periódico americano las temperaturas en la escala centígrada y en la escala Farenheit. Un día ve que 10 ºC coincide con 50 ºF y otro día observa que 15 ºC equivalen a 59 ºF. ¿Son las escalas proporcionales? Si la equivalencia de las escalas es: 0 ºC = 32 ºF y 100 ºC = 212 ºF, ¿qué se podría hacer para que fueran proporcionales? Si tenemos una temperatura de 20 ºC, ¿a qué temperatura en la escala Farenheit equivale?

Resolución de problemas reales que impliquen el uso de la regla de tres simple.

3

Si por 3 kilos de manzanas he pagado 4,32 €, ¿cuánto me costarán 8 kilos?

Resolución de problemas reales utilizando la regla de tres simple y el método de reducción a la unidad.

4

En un tarro de yogur de 125 gramos hay los siguientes componentes: proteínas: 3,5 gramos; hidratos de carbono: 16,25 gramos; grasas: 2,25 gramos, y calcio: 140 miligramos. Si el tarro pesara 1 gramo, ¿qué cantidades de cada componente habría? ¿Y si fuera de 100 gramos?


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 4, 5, 6, 8, 9

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Determinación de si dos magnitudes son inversamente proporcionales.

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5

Si una caja con 22 rosquillas cuesta 12,50 €, ¿cuánto costará una caja de 12 rosquillas?

6

Si como 3 yogures diarios, en 8 días habré acabado todos los que tengo. ¿Para cuántos días tengo yogures si como 4 yogures diarios?

7

Indica si existe o no proporcionalidad entre estos pares de magnitudes. En caso afirmativo, señala si son directa o inversamente proporcionales. a) El lado de un cuadrado y su área → b) El número de obreros de una empresa de construcción y el número de edificios que pueden realizar en un año → c) La edad de una persona y la de su padre →

8

La velocidad que lleva un coche y el tiempo que tarda en hacer un determinado recorrido son magnitudes inversamente proporcionales. Completa la tabla. ¿Qué espacio recorre el coche en cada caso? Velocidad (km/h)

60

Tiempo (h)

5

Espacio (

9

100

120

150

)

Laura ha empezado a leer una novela de 600 páginas y cada día lee 10 páginas. ¿Cuántos días tardará en acabarla? Y si leyera 15 páginas cada día, ¿cuántos días tardaría en acabarla?


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 7 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 8 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 8 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


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Utilización de la regla de tres inversa para resolver problemas de la vida cotidiana.

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PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

EVALUACIÓN INICIAL 6 12 y forman proporción. 5 8

1

Averigua si las dos razones

2

Averigua qué números faltan para completar estas proporciones. a) Medio proporcional:

b) Cuarto proporcional:

3

9 18 = 16 4

=

5 = 6 24

25

Observa los siguientes pares de segmentos y calcula la razón entre ellos. ¿Forman proporción? a)

6 cm

4 cm

b)

8 cm

4

8 cm

c)

12 cm

6 cm

Determina si las magnitudes son o no directamente proporcionales. a) b) c) d)

El lado de un cuadrado y su perímetro → El lado de un cuadrado y su área → La longitud de una circunferencia y su radio → La longitud de un arco de circunferencia y la amplitud del ángulo →

5

Tenemos una fotografía que mide 15 cm de largo por 10 cm de ancho. Deseamos hacer una ampliación de esta fotografía, de manera que el ancho sea 24 cm. ¿Cuánto tiene que medir de largo?

6

En la siguiente figura, traza con la regla y la escuadra una recta paralela a BC, que pase por el punto D, y traza la altura desde el punto A al lado BC. A

D

B

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C


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Resolución de problemas geométricos y reales que impliquen el uso de la razón de semejanza.

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6

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Los polígonos de la figura son semejantes y la razón de semejanza es

4 . Si el área del hexágono menor 7 2

es 12,5 cm , calcula el área del hexágono mayor.

C B D

C' B'

D'

A F'

E'

E

F

7

Silvia mide 1,68 m y produce una sombra de 1,45 m. ¿Cuánto mide la sombra de Miguel en ese mismo instante, si su altura es 1,72 m?

Trabajo con planos y mapas a escala y cálculo de distancias a partir de distancias reales, y viceversa.

8

El plano de la figura representa el salón de una casa. La escala a la que está representado es 1 : 150. ¿Cuáles son las dimensiones reales?

Interpretación de escalas gráficas y obtención de la escala gráfica equivalente a una escala numérica dada.

9

Ayudándote de la escala gráfica del siguiente mapa, calcula la distancia en línea recta entre los puntos señalados: B-Z, B-BI, B-V.

BI

Z

B

V

150


300

450 km

PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 4 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 3, 8, 9 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


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0

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FIGURAS PLANAS. ÁREAS


Tenemos una caja rectangular de 1,1 m de largo y 0,8 m de ancho, así como un bastón que tiene una longitud de 1 m y 40 cm. ¿Es posible introducir el bastón en el fondo de la caja?

2

Calcula la altura del triángulo isósceles de la figura.

13 cm

10 cm

474

3

Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus respectivas longitudes. Si el radio de la segunda circunferencia es el doble que el de la primera, ¿cómo son entre sí las longitudes de ambas circunferencias?

4

Dibuja un cuadrado de 6 cm de perímetro y halla su área.

5

Se ha delimitado una parcela de forma rectangular mediante un alambre de 600 m de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, di cuál es su área.

6

Calcula el área de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 4 cm y 5 cm.

7

Determina el área de un octágono regular, si su lado mide 4 m y su apotema 4,83 m.


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FIGURAS PLANAS. ÁREAS

contenidos


Conocimiento del teorema de Pitágoras y aplicación en la resolución de problemas reales.

1

Completa la siguiente tabla, sabiendo que son los valores de los lados de varios triángulos rectángulos. Cateto (1)

3

Cateto (2)

4

Hipotenusa

5

6

5 12

10

15 17

2

Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles inscrito en una circunferencia de radio 3 cm, y calcula cuánto miden sus catetos.

3

Dibuja un hexágono regular de 3 cm de lado, y halla su apotema y su área.

Distinción de los conceptos de área y superficie.

4

Con cinco cuadrados de 1 cm de lado, dibuja dos superficies diferentes que tengan 5 cm2 de área y midan 10 cm y 12 cm de perímetro.

Búsqueda del área de rectángulos, cuadrados, rombos, romboides, triángulos y trapecios.

5

Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado es 4 cm.

Cálculo de la longitud de segmentos desconocidos en contextos matemáticos.

C

h A D 4 cm

B


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 1 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 5, 6, 7, 8, 9

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Cálculo del área de polígonos irregulares descomponiéndolos en otros más sencillos.

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6

Dibuja un rombo cuyas semidiagonales midan 3 cm y 4 cm, y calcula su área y su perímetro.

7

Determina el área de la siguiente figura. 4 cm

(1)

(2)

(5)

(3)

(6)

3,6 cm

(4) 1,8 cm

4 cm

Determinación de la longitud de una circunferencia y de un arco de circunferencia.

8

Halla la longitud del arco ABCD, sabiendo que el lado del cuadrado mide 16 cm. C

B

D

Búsqueda del área de círculos y coronas circulares.

9

l = 16 cm

A

Obtén el área sombreada si los radios de las circunferencias son R = 8 cm y R' = 6 cm. S' 45°

S

PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 7, 8 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


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CUERPOS GEOMÉTRICOS


Sabiendo que el número de aristas de un poliedro es 20 y que tiene 12 caras, ¿cuántos vértices tiene el poliedro?

2

Clasifica el prisma según el tipo de base y la relación entre las aristas laterales y básicas. Señala con letras los siguientes elementos: base inferior y cara anterior. B

A

C

F

Tipo de prisma (según la relación entre las aristas)

F

Base inferior

F

Cara anterior

F

D

E

G F

H

I

J

3

Tipo de prisma (según la base)

Averigua el polígono de la base de una pirámide en los siguientes casos, y dibújalo. a) 8 aristas y 5 vértices.

b) 6 caras triangulares y 7 vértices.

4

Dibuja un cono y señala su vértice, generatriz y altura.

5

Calcula el valor del lado del triángulo rectángulo isósceles de la figura.

c) 4 caras triangulares.

4 cm

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CUERPOS GEOMÉTRICOS contenidos


Distinción de los elementos principales de poliedros regulares, prismas, pirámides y cuerpos de revolución.

1

¿Cuál es el polígono de la base de una pirámide con 12 aristas? Dibújala. ¿Cuántas caras tiene? ¿Y vértices?

2

Observa el prisma de la figura y responde. D'

C'

B'

A'

C A

3

B

a) b) c) d)

¿Qué tipo de polígono hay en la base? ¿Qué polígonos forman las caras laterales? ¿Cuál es el vértice opuesto a A? ¿Cuál es la arista opuesta a CD ?

Indica si son verdaderas o falsas (V o F) las siguientes afirmaciones. a) b) c) d) e) f)

La suma de las caras y los vértices del octaedro es 16. El menor número de caras de un poliedro es 4. El dodecaedro tiene 12 caras, que son triángulos equiláteros. En un poliedro regular, todas las caras son iguales. El número de aristas del cubo y del octaedro es el mismo. En un icosaedro se cumple que: C + V = A + 2 → 20 + 12 = 30 + 2.

4

Rodea las figuras que sean el desarrollo de un cilindro.

5

Señala con qué desarrollo es posible construir un tetraedro. a)

b)

c)


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2, 3 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 4, 5 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 7, 8

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Resolución de problemas, empleando el teorema de Pitágoras en el espacio.

6

Juan quiere guardar una caña de pescar de 1,8 m en una caja en forma de ortoedro de dimensiones 1 × 1,5 × 0,5 m. ¿Es posible hacerlo?

Cálculo del área de prismas, pirámides, cilindros y conos, y aplicación en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana.

7

El radio y la altura de un cilindro miden 4 cm y 7 cm. Calcula el área del cilindro y el área de un cono con las mismas medidas. Dibújalos.

8

La pirámide de Keops tiene la base cuadrada, 233 m de lado y 148 m de altura. Determina el área lateral y el área total de esta pirámide.


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 4, 5 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5, 6 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


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Cálculo del volumen de ortoedros, cubos, prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, planteando y resolviendo problemas reales.

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7

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Calcula el volumen del siguiente prisma. 5 cm

5 cm 10 cm

5 cm

8

Obtén el volumen de una pirámide hexagonal que tiene 5 cm de arista de la base y 12 cm de altura.

9

Determina el volumen de la siguiente figura.

4 cm 10 cm

3 cm 3 cm

10 cm

10 Esta pieza industrial está formada por

dos cilindros. El cilindro mayor tiene un radio de 8 cm y 10 cm de altura, mientras que el menor tiene 2 cm de radio y una altura de 4 cm. Calcula su volumen total.

11 Halla el volumen de una semiesfera de 4 cm de radio, y dibújala.

PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................. 3 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................ • Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................. 10 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ........................................................................................


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FUNCIONES


Escribe las coordenadas del pentágono de la figura. Y B

4

C

2

A −4

−2

2

4

X

−2

D

−4

E

2

En unos ejes de coordenadas, dibuja un hexágono cuyos vértices sean los puntos A (2, 3), B (5, −1) y C (1, −5) y que sea simétrico respecto del eje Y.

3

Escribe algebraicamente las siguientes afirmaciones, y calcula su valor. a) El doble de 15 menos 3 → b) El triple de la diferencia de 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3 → c) La tercera parte de la suma de los números 5 y 4, más la cuarta parte de la suma del doble de 6, 7 y 5 →

4

Escribe una expresión algebraica que represente estos enunciados. a) El precio de la camisa A es el triple del precio de la camisa B → b) Juan tiene tres años más que Enrique → c) El área del triángulo es la mitad de la base por la altura →

5

Indica si existe o no proporcionalidad entre los pares de magnitudes. En caso afirmativo, señala si son directa o inversamente proporcionales. a) El lado de un rombo y su área → b) El número de pintores de una cuadrilla y el tiempo que tardan en pintar una casa → c) La edad de dos hermanos →

6

492

Esta tabla relaciona directamente el peso (en kg) de melocotones y su precio (en €). Determina los valores que faltan. Peso (kg)

1,5

Precio (€)

3

2,8

12 4,20


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FUNCIONES

contenidos


Localización de puntos y representación en el plano, utilizando las coordenadas cartesianas.

1

Dibuja un sistema de coordenadas y representa los puntos A (4, 0), B (3, 3), C (0, 5), D (−3, 3), E (−4, 0), F (−4, −4) y G (4, −4), y únelos entre sí en orden alfabético. ¿Qué figura se obtiene?

Determinación de las coordenadas de los puntos simétricos de un punto dado respecto de los ejes y respecto del origen.

2

Escribe las coordenadas de los puntos del gráfico y responde.

3

(1) Un cuadrado de 1 cm de lado. (2) Un círculo de 1 cm de radio. (3) Un triángulo equilátero de 1 cm de lado. (4) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales. (5) Un hexágono de 1 cm de lado.

4

4

A

2

E −4

−2

2

4

C

B

−4

Y A B

3 2 1 0

D E

C

1 2 3 4 5 6

X

Perímetro

Disponemos de 60 cm de alambre y queremos construir un rectángulo de diferentes dimensiones, sabiendo que si es muy largo tendrá que ser muy estrecho, y viceversa. Haz una tabla en la que se indique la base, la altura y el perímetro en cada caso, y representa estos datos en un gráfico.


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 4 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3

494

X

−2

En el gráfico se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras.

Señala a qué figura corresponde cada punto. Trabajo con la expresión algebraica, la tabla y la gráfica de una función, y paso de unas a otras.

Y D

Área

Interpretación de gráficos de puntos y líneas, analizando la información que contienen.

a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante? b) ¿Cuál es el punto simétrico de A respecto del eje X ? c) ¿Cuál es el punto simétrico de C respecto del origen? d) ¿Y el punto simétrico de D respecto del eje Y ?


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En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas a lo largo de un día. Se representan en el siguiente gráfico. 6 °C

Temperatura

Reconocimiento de los tramos crecientes y decrecientes y de los máximos y mínimos de una gráfica.

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4 °C 2 °C 3

6

9

12

−2 °C

15

18

21

24

Horas

−4 °C

a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura por debajo de 0 ºC? b) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál es esa temperatura? c) ¿En qué tramo decrece la temperatura? Comparación de gráficas representadas sobre los mismos ejes y contraste de su información.

6

En la siguiente tabla se reproduce la temperatura (en °C) de un enfermo a lo largo de la mañana de dos días consecutivos. Horas

6

7

8

9

10

11

12

Día 1

37,6

37,8

38,5

38,8

38,9

39,5

38,4

Día 2

37,5

37,8

38,6

38,4

38,3

38

37,6

a) Haz un gráfico que recoja las temperaturas de ambos días. b) ¿Cuál es el máximo de cada día? → c) ¿En qué momento mantiene la misma temperatura? → 7

El precio de un billete de tren desde la estación A hasta la estación B es de 3 € por persona. Si consideramos las variables x = número de personas e y = coste de los billetes, haz un gráfico de esta función y escribe su expresión algebraica.


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 4, 5 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 6, 7 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... 7


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Representación, reconocimiento y trabajo con funciones de proporcionalidad.

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ESTADÍSTICA


Jorge celebra una fiesta a la que asisten 35 amigos. Se les pregunta por su edad (en años), y se anotan los siguientes datos. 13 15 12 16 12 15 12 16 12 12 13 13 15 13 16 16 13 12 14 15 12 14 15 12 14 16 17 16 16 15 14 16 15 12 13 a) Haz un recuento de los datos y recógelos en una tabla donde se incluyan sus frecuencias absolutas y relativas. b) Dibuja un gráfico de sectores con estos datos. c) Haz un gráfico de barras con los datos.

2

Con los datos del ejercicio anterior, calcula. a) La media aritmética. b) La mediana de este conjunto de datos. c) La moda del conjunto de datos.

3

El profesor de Matemáticas ha puesto una prueba a sus alumnos y las calificaciones que estos han obtenido han sido: 5

6

7

6

4

5

7

8

9

2

4

5

6

7

8

9

7

5

4

5

5

a) Elabora una tabla con las calificaciones y sus frecuencias. b) Calcula la media aritmética. c) Determina la moda.

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4

4

6

8

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ESTADÍSTICA

contenidos


Realización de encuestas sencillas.

1

Queremos encargar varias encuestas y necesitamos conocer cuál es la población y si es necesario escoger una muestra o no. a) La asignatura preferida por los alumnos de la clase de 2.º A. b) La canción preferida por los jóvenes de 13 años de Cataluña. c) El tipo de fruta que prefieren los alumnos de 2.º ESO de toda la población (hay 5 centros y 310 alumnos). d) Las marcas de los coches más vendidos en Asturias.

Interpretación y elaboración de tablas de frecuencias. Elaboración de gráficos estadísticos (diagrama de barras, pictograma y diagrama de sectores) para representar un conjunto de datos. Distinción entre frecuencia absoluta y relativa, y expresión de esta última en forma decimal y como porcentaje.

2

Un profesor pregunta a 30 alumnos sobre el mes de su nacimiento, y obtiene estos resultados. Ene Jul Jun Jun Ago

Jun May May May Sep

Mar Sep Sep Feb Mar

Abr Oct Oct Feb May

May Nov Jul May May

Feb Dic Dic Feb Jun

a) ¿Sobre qué población se ha hecho el estudio?

b) ¿Cuál es la variable estudiada?

c) Elabora el recuento y una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de esta variable.

d) Dibuja un gráfico de barras con estos datos.


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2, 3 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 4

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Según los datos de un organismo internacional, la población mundial en el año 2007 (en millones de personas) es: Continente

África

América

Asia

Europa

Oceanía

Población

728

775

3.458

727

28

Total

a) ¿Qué porcentaje de la población corresponde a Europa? b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de la población de Asia? c) Elabora un diagrama de sectores.

Comprensión del significado y cálculo de la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos.

4

El profesor de Matemáticas da a los alumnos los resultados del último examen. Datos (calif.)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frec. (alumnos)

1

3

5

5

7

4

3

0

1

1

a) Calcula qué porcentaje de alumnos ha aprobado.

b) Halla la media aritmética, la mediana y la moda de este conjunto de datos.

PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 3, 4 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 2 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


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