Aritmetica Divisibilidad ITMPI2A3
Regular 3
Desarrollo del Tema DIVISIBILIDAD
Se dice que un número es divisible por otro cuando el cociente de su división resulta siempre un número entero.
Podemos notar lo siguiente: •
La lista de múltiplos de siete es infinita.
•
Todos los múltiplos de de siete tienen en común el factor 7.
Sean a, b y c números enteros: a b 0 c
→ "a es divisible entre b" "b es divisor de a"
En general, todo múltiplo de siete es de la forma:
a = b.c → "a es múltiplo de b"
o
7 = 7k con k ∈ Ejemplo: 40
8 0 5
→ "40 es divisible entre 8" "8 es divisor de 40"
Es decir decir,, que para cada valor de "K" hay un múltipl múltiplo o diferente.
40 = 8.5 → "40 es múltiplo de 8"
K
...
o
Observaciones: Sea "N" un número entero y positivo, entonces:
7
–2 – 2 – –1 1
0
1
2
3
...
... – –14 14 – –7 7
0
7
14
21
...
En general:
1ERO: N = 1(entero) N ⇒ Todo número entero y positivo es múltiplo y divisor de sí mismo.
o
n = nk donde: k ∈ o
o
Ejemplo: 12 = .........., 8 = .......... N = N(entero) 1 ⇒ El 1 es divisor de cualquier número.
2DO:
B. Números no divisibles
Ejemplos:
0 = 0(entero) n ⇒ El cero es múltiplo de cualquier número entero y positivo.
3RO:
o
1. Expresar 43 en función de 9.
Notación: o n → se lee múltiplo de n. Ejemplo:
Por Exceso
43 9 7 4
43 9 2 5
43 = 9 × 4 + 7
43 = 9 × 5 5 – – 7 7
43 =
o
o
9 + 7
43 = sobran 7
11: se lee múltiplo de 11. A. Representación general general de los múltiplos de un número
o
9 – – 2 2 faltan 2
o
2. Expresar 59 en función de 8.
o
Observemos los múltiplos de 7:
59 = ……………………… 59 = ………………………
o
7; …, – –14 14 , – –7 7, 0, 7 , 14 , 21 , … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ …, 7 × – –2, 2, 7 × – –1, 1, 7 × 0, 7 × 1, 7 × 2, 7 × 3, …
Aritmetica / REGULAR 3
Por Defecto
59 = ……………………… 59 = ………………………
1
Integral Turno Mañana 2016 - I
DIVISIBILIDAD Propiedad:
Ejemplo: 45 – 27 = 18 ↓ ↓ ↓ o
Si:
o
9
o
N = A + r o
residuos iguales
N =B + r o
o
3.
N =C + r
o
9
9
con k ∈
o
k.n =n
Ejemplo: 9 . 10 = 90 ↓ ↓ ↓
o
o
⇒ N = MCM(A. B. C) + r
4. Ejemplos: o
o
– Si: P = 4
o
P = 5
P = 60
o
o
o
5.
E = ..............................
o
E = 10 + 3
o
(4)k = 4
P = 6 o
5
(n )k = n con k ∈ +.
o
– Si: E = 8 + 3
o
5
Ejemplo: 83 = 512 ↓ ↓
P = MCM(4, 5, 6)
o
o
5
o
E = ..............................
o
o
o
o
(n + r1)(n + r2)(n + r3)..(n + r x)= n + r1r2r3...r x
o
E = 15 + 3 Ejemplo:
o
C. Operaciones con múltiplos o
n +n +n =n
1.
Casos prácticos:
Ejemplo:
o
o
CASO 1.
12 + 24 + 30 = 66 ↓ ↓ ↓ o
6 2.
o
Teorema de Arquímedes:
o
o
o
o
(7 + 2)(7 + 3) = 7 + 6
o
→ a = 9
o
6
o
o
Si: 5a = 9
6
o
CASO 2.
o
n – n = n
Simplica
18x = 45 o 2x = 5 o
→ x = 5
CRITERIOS DE DIV ISIBILIDAD
I.
B. Divisibilidad por 4
CONCEPTO
o
o
o
abcde = 4 ⇔ de = 4
Son las características que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiten determinar si es divisible o no a cierto módulo, y si no fuese divisible determinar cuál es el residuo de dividir el numeral entre el módulo sin necesidad de hallar el cociente. A. Divisibilidad por 2
o
ó también: 2d + e = 4 C. Divisibilidad por 8 o
o
abcde = 8 ⇔ cde = 8 o
ó también: 4c + 2d + e = 8
o
abcde = 2 ⇔ e = 2.
D. Divisibilidad por 3 o
es decir: e ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
ARITMÉTICA / REGULAR
3
o
abcde = 3 ⇔ a + b + c + d + e = 3
2
Integral Turno Mañana 2016 - I
DIVISIBILIDAD E. Divisibilidad por 9
J. Divisibilidad por 33 ó 99
o
o
abcde = 9 ⇔ a + b + c + d + e = 9
o
F. Divisibilidad por 5 o
o
o
abcde = 33 o 99 o
⇔ a + bc + de = 33 o 99
o
abcde = 5 ⇔ e = 5 K. Divisibilidad compuesta
es decir: e ∈ {0, 5}
G. Divisibilidad por 25 o
Ejemplos:
o
o
abcde = 25 ⇔ de = 25
Si: N = 36 ⇒
o
N = 9 o
de ∈ {00, 25, 50, 75}
N = 4
o
Si: N = 72 ⇒ H. Divisibilidad por 7
o
N = 9 o
N = 8
o
o
abcdefg = 7 ⇔ a – 2b – 3c – d + 2e + 3f + g = 7
o
o
Si: N = 30 ⇒
N = 5 o
I. Divisibilidad por 11 o
N = 3
o
abcdefg = 11 ⇔ a – b + c – d + e – f + g = 11
o
N = 2
Problemas Resueltos
Problemas 1 ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 9 pero no de 5?
Problemas 2 Calcula el valor de 2a – b si el numeral a1a8b4 es múltiplo de 72. (b > 2).
Nivel fácil
A) B) C) D) E)
80 100 60 115 120
Nivel intermedio
A) 2 B) 3 C) 4
Resolución: Planteamos un diagrama de conjuntos para una mejor interpretación. ) 0 0 o 1 9 (
D) 5 E) 6
o
x
20
o
Resolución:
5 ( 1 8 0 )
o
900#s a1a8ba
En el conjunto donde se ubican los múltiplos de 9 se observa:
8 o
9 •
x + 20 = 100 ⇒ x = 80
Aplicando el criterio por 8 tendríamos: o
8b4 = 8 ⇒ b = 6 b = 2 como b > 2 ⇒ b = 6
Respuesta: A. 80
3
o
o
45
ARITMÉTICA / REGULAR
o
Si es 72 entonces es 8 y 9 necesariamente entonces:
3
Integral Turno Mañana 2016 - I
DIVISIBILIDAD •
Aplicando el criterio por 9 tendríamos:
Problema 3 o
Si: abc = 11 y a + b + c = 12 Calcular "b".
o
a1a8b4 = 9 o
∑cifras: a + 1 + a + 8 + 6 + 4 = 9
Nivel intermedio
A) 2 D) 8
o
2a + 19 = 9 o
B) 4 E) 9
C) 6
o
2a + 9 + 1 = 9
Resolución o
o
a + c = 12 – b
abc = 11
2a = 9 – 1
+–+ o
o
2a = 9 + 8
a – b + c = 11
o
o
⇒ a = 9 + 4
12 – b – b = 11 o
6 – b = 11 ↓ 6
a = 4 ∴ 2a – b = 2(4) – 6 = 2
Respuesta: A.
2
Respuesta: C. 6
Ejercicios de Clase 5. Se tienen más de 20 niños en un aula. El profesor
NIVEL I
les ordena que formen grupos de 8 niños cada uno y en un grupo falta un niño. Luego, les ordena que formen grupos de 5 integrantes, pero sobran dos niños. ¿Cuántos niños hay en el aula, si es la menor cantidad posible? A) 39 B) 45 C) 47 D) 42 E) 87
1. De un grupo de turistas se sabe que los 2/5 son alemanes y los 2/3 son mujeres. ¿Cuántos turistas no son alemanes, si en total son más de 60 pero menos de 90? A) 45 D) 60
B) 30 E) 65
C) 75
6. Si a1aa = 23, determina cuánto le falta a 23(a + 1) para ser múltiplo de 10. A) 8 B) 2 C) 9 D) 5 E) 1
2. ¿Cuál es el menor valor por el que se debe multiplicar al número aaa para tener la certeza que sea múltiplo de 15? A) 2 D) 8
B) 3 E) 5
C) 6
7. Al dividir A entre 12, el residuo es 7 y al dividir B entre 8, el residuo es 3. Halla el residuo al dividir A x B entre 4. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 7
3. Si un número aumenta en los 3/5, es múltiplo de 99. Halla el menor valor que puede tomar dicho número. A) 990 D) 450
B) 495 E) 792
o 8. Si: x = 8 + 1
C) 3960
o 2x = 9 – 1
NIVEL II
o 10 3x = – 7
4. La cantidad de números de cuatro cifras que son
y además se sabe que x es un cuadrado perfecto, halla la suma de las cifras del menor valor que toma x. A) 5 B) 4 C) 10 D) 8 E) 13
múltiplos de 14 y que terminan en la cifra 2 es: A) 128 D) 64
B) 129 E) 143
ARITMÉTICA / REGULAR
C) 65
3
4
Integral Turno Mañana 2016 - I
DIVISIBILIDAD 9. Calcula "a" si el número o a9nm5m = 504 A) 4 D) 3
13. Halla la suma de todos los valores posibles de o (a + b), si: 54a4b = 36
B) 5 E) 2
A) 19 D) 20
C) 6
10. Encuentra el resto de dividir: 4 357 826 × 7 346 913 entre 9 A) 3 B) 6 D) 7 E) 4
o 14. Si ab7ab = 72; el residuo que se obtiene al dividir dicho número entre 13 será: A) 8 B) 11 C) 6 D) 9 E) 2
C) 5
15. Sabiendo que: o o abc = 11; cba = 8 y acb = 9
o 12. Halla la suma de todos los xy si x81y6 = 33 A) 136 B) 184 C) 162 D) 134 E) 135
3
C) 18
NIVEL III
o o 11. Si xyz = 8, zyx= 4 y si además xyz + zyx = a2a, halla el valor de "a" si x es menor que z. A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 8
ARITMÉTICA / REGULAR
B) 24 E) 12
encontrar el valor de a + b + c. A) 12 B) 14 D) 18 E) 9
5
C) 16
Integral Turno Mañana 2016 - I