ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONENTES DESARROLLO DEL TEMA I.
NOTACIÓN UTILIZADA
III. TEOREMAS
A. Para potencia: exponente
1. am an am n
n
a = potencia
base
2.
am amn; a 0 an
3.
a
4.
a b n an bn
B. Para radicación: índice n
a = raíz
radicando
n
m
amn
n
an a 5. b n ;b 0 b
II. DEFINICIONES
6. m n a mn a 1.
a R
a0 1
7.
2.
a R
a1 a
8.
n
ab n a nb
n
a na ;b 0 b nb
IV. PROPIEDADES
3. a R n N / n 2 a n a a a........ " n " fac tore s
anb p c 1. m x a n x b p x c mnp a 4. a R 0 n R a 1
2.
1 n
m
LIBRO UNI
n
x x... x
nm
a
nm 1 n 1
3. n x n x... n 1 x
m
am n R / 3a n R
an n a
n
" m" radicales
a
5
n
4. n x n x ... n1 x
m
1
ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONENTES
Exigimos más!
V. ECUACIÓN EXPONENCIAL
V. ECUACIÓN EXPONENCIAL
A. Diversos ejemplos: 2 x 4;3x 4 x 5 x ; 3
4x
812
A. si :x x aa x1 a
x 1
B. Teorema: x b B. si : x b x1 b
si :a x ay x y; a 1
C. Propiedad: x
x
y
y
C. si :x c y c x y
si :a a x 0;a,b 1
problemas resueltos Problema 1 3 x k
Reducir: 1 1 1 E 4 2 27 3 36 2
x
Resolución:
4
1
3 27
1
36
x
k
1
44
30
x 22
E 21 31 6 1
E
2x 2 3x 3 3 2 4x 4 9x 9 5x 13
1 1 1 E 4 2 27 3 36 2
E
Por teorema:
90
x
x15 x11
Problema 4
k x4
1 1 1 3 2 1 6 2 3 6 6 6
Determine un valor de x en: Problema 3
E 1
13 5
3
xx 3 4
Determine x en:
Resolución: 3
Problema 2 Simplificar: 3
4
x 1
8
Resolución:
3
3
X.
X.
X ...90 factores
3 22
x 1
2 3
x 1
3
Resolución: Sea "k" la expresión simplificada, luego
LIBRO UNI
3 3 x3 3 x 4
x 4 x 2 3
3
x. x. x...44 factores Siendo x >1
x 1
2
2x 2
2
3x 3
x3 x3
2
Por comparación: x3 2
2x 2 2 3
3x 3 2 2
x 32
2
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
EL POLINOMIO DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN
*
Es la expresión algebraica que se caracteriza por presentar a todas sus variables en el mumerador, estando cada una de es tas afectada solo por exponentes natural. Son ejemplos de polinomios:
C. Polinimio completo:
P x 2x 3 7x 4 Q x; y 5x 4 3x 2y 5xy 2
R x
Q x x 5 2x 3 x 1
*
P x 2 x x2
*
Q x 5x x 3 x 2 10
Obsevación: En todo polinomio completo respecto a la variable x se cumple que:
7 2 x 3x 4
N° de términos = GR(x) +1
Obsevación: Todo númerador real es un polinomio en forma muy especial el cero, al cual llamaremos polinomio identicametne nulo.
IV. EUCLIDEANO A. Forma general
II. GRADO
P x a0 xn a1x n1 a2x n 2 ... an
A. Grado absoluto (GA) B. Grado relativo (GR) *
*
P x;y 5x2y7
Donde:
GR x 2;GR y 7;GA 2 7 9
x = variable o ideterminada a0 , a1, a2 ,... an son coeficientes
Q x; y 2x 3 5x 2y 2 4y
a0x n = término dominante, aquí a 0 y n 0
GR x 3;GR y 2;GA 2 2 4
a0 = coeficiente principal
Obsevación:
an = término independiente de x
Todo número real diferente de cero tiene grado cero el cero carece de grado.
Obsevación: Un polinomio se dice literal si su grado mayor o igual que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es constante.
III. POLINOMIOS ESPECIALES A. Polinomio homogéneo: *
P x; y x 4 3xy 3 5x 2y 2
B. Propiedades del polinomio literal P(x)
B. Polinomio ordenado: *
* *
P x x 2 5x10 4x17
LIBRO UNI
3
P(1) = suma de coeficientes P(0) = términos independientes de x ÁLGEBRA
EL POLINOMIO
Exigimos más! III. POLINOMIOS MÓNICO: Es un plinomio literal que se encuentra en función de una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y el princiapl es uno. Son polinomios mónicos: P x x 5 2x 2 x 10 Q x x 2 7x 4
problemas resueltos Problema 1 ¿Cuántos polinomios de la forma P x; y xn 7 nx ny y10 n existen?
Resolución: Según la definición n 7 ,n 10 n deben ser números naturales, luego: n 7 0 10 n 0 n 7 n 10 7 n 10
Como n tenemos: n = 7; 8; 9 y 10 existen cuatro polinomios Problema 2 Si P 2x 7 6x 1 . Determinar el polinomio P(7x + 2)
Resolución: Según el polinomio dato.
P 2x 7 6x 1 De acuerdo con en cambio de variable
LIBRO UNI
m 2 4 n 1 m 6n 3 mn 18
2x 7 u 2x u 7 u7 2 u7 P u 6 1 2 P u 3 u 7 1 x
Problema 4 Dado el siguiente polinomio mónico lineal: P x a 2 x 2 a b 1 x 2a b
P u 3u 22
Determine su término independiente. Finalmente el polinomio buscado es: P 7x 2 3 7x 2 22
Resolución:
P 7x 2 21x 6 22
Por ser un polinimio lineal se cumple
P 7x 2 21x 28
que: a2 0 a2
Problema 3 Calcular mn si el polinomio: P x, y x
m 2
3
5xy mny
ahora tenemos: n1
es homogéneo.
P x 3 b x 4 b Por se un polinomio mónico se cumple que: 3 b 1 b2
Resolución: Por condición el polinomio dado es homogéno., luego se cumple:
4
con lo cual tenemos: término independiente de x = 2
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ÁLGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES DESARROLLO DEL TEMA I.
5.
CONCEPTO
Producto de multiplicar binomios con término común
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que tienen forma determinada, se pueden recordar fácilmente sin necesidad de efectuar la operación.
• (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab • (x + a)(x + b)=x3 + (a+b+c)x2 + (ab+bc+ac)x + abc
II. TEOREMAS 1.
6.
Trinomio cuadrado perfecto 2
2
• (a + b) a + 2ab + b
Desarrollo de un trinomio al cuadrado • (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
2
• (a – b)2 a2 – 2ab + b2
7.
Desarrollo de un trinomio al cubo • (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b+c)(a+c)
Nota:
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c)
(a - b)2n (b - a)2n
(ab+bc+ac)–3abc Corolario: Identidad de Lengendre
8.
• (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
• (a2m+ambn+b2n)(a2m–ambn+b2n) = a4m+a2mb2n+b4n
• (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Caso particular:
• (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
2.
(x 2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Diferencia de cuadrados
9.
• (a + b)(a – b) = a2 – b2
3.
3
2
Identidades de Lagrange • (a2+b2)(x2+y2) (ax+by)2+(ay–bx)2 • (a 2+b2+c 2)(x 2+y2+z2) (ax+by+cz) 2 + (ay–bx) 2 +
Desarrollo de un binomio al cubo 3
Identidad de Argan’d
2
(az–(cx) 2+(bz–cy) 2
3
• (a + b) = a + 3a b + 3ab + b .... forma desarrollada • (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) .... forma abreviada
10. Identidades condicionales
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .... forma desarrollada.
Si: a+b+c=0, se verifica:
3
3
3
• (a – b) = a – b – 3ab(a – b) ... forma abreviada
• a2+b2+c2=–2(ab+bc+ac) • a3+b3+c3=3abc
4.
Suma y diferencia de cubos
III. PROPIEDAD
• (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Si a2+b2+c 2=ab+ac+bc; a,b c
• (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
LIBRO UNI
5
ÁLGEBRA
a=b=c
PRODUCTOS NOTABLES
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problemas resueltos Problema 1
Calcular:
Calcular:
Si x x 1 5 . Calcular: x 3 x 3
x 3 y 3 z3 xyz
Resolución: En la condición de plantea:
x x 5 x x 3 x.x x x 125 3
1
3
Resolución: Fácilmente podemos reconocer que: x + y +z = 0
3
1
1
x 3 x 3 3 1 5 125 x 3 x 3 15 125 x 3 x 3 140
Problema 2 Sabiendo que:
x 12 7;y 7 10 z 10 12
LIBRO UNI
Luego se cumple que:
x3 y3 z3 3xyz Finalmente tenemos: E
x 3 y 3 z3 xyz
E
3xyz xyz
E 3
k
x 4 y 4 z 4 2x 2yz x 2 y 2 x 2z2 y 2z2
Resolución: De la condición tenemos: x2 y2 z2 xy xz yz 3 xy xz yz x2 y2 z2 xy xz yz Por propiedad tenemos: x=y=z Finalmente en "k" tenemos:
k k
x 4 y 4 z 4 2x 2yz x 2 y 2 x 2z2 y 2z2 x 4 x 4 x 4 2x 4 x 4 x 4 x4
Problema 3 Si x, y, z ; tal que
x y z
2
3 xy xz yz
6
k
5x
4
x4 K 5
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
división algebraica DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN
B. Clases de cocientes
Dados dos polinomios llamados dividendo y divisor, es posible encontrar otros dos polinomio llamados cocientes y residuo, tal que verifiquen la siguiente identidad.
Hay dos clases de cocientes. 1. Cociente Entero. Es el cociente propiamente dicho de la división.
D x d x Q x R x
2. Cociente Completo. Es u na expre sión fraccionaria que está compuesto por el cociente entero, por el residuo y por el divisor
Donde: D x : es el dividendo
Se sabe que: D x d x Q x R x
d x : es el divisor
Dividiendo entre d x :
Q x : es el cociente
D x
R x :es el resto o residuo
d x
R x Q x d x
cociente entero
A. Propiedades:
Cociente Completo
1. El grado del dividendo deberá ser mayor o igual que el grado del divisor.
C. Teorema
D d
Si al dividendo y al divisor de una división se les multiplica por una misma expresión distinta de cero, entonces el resto o residuo también quedará multiplicado por dicha expresión.
2. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. Q D d
Sabemos que: D x d x Q x R x
3. El grado del resto o residuo, con respecto a la variable con la cual se efectúa la división, es menor que el grado del divisor. Por lo cual se deduce que, el máximo valor que puede tomar el grado del resto o residuo es igual al grado del divisor disminuido en uno.
Multiplicando ambos miembros por A x :
A D A d Q A R x
x
x
x
x
x
x
Observación: Para efectuar la división entre polinomios se recomienda utilizar el método de Horner o para cierto caso especial la regla de Ruffini.
R d R d 1 max
LIBRO UNI
7
ÁLGEBRA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más!
II. TEOREMA DEL RESTO
xn yn ;n / n 2 xy
A. Definición: Es una regla práctica que permite encontrar en forma directa el residuo de cierta división, consta de dos pasos.
B. Cociente notable (C--N): Es el cociente de una división exacta. Ejemplo: La división: xn yn ;n / n 2 xy
1. Se iguala el divisor a cero y se despeja por transposición de términos la parte variable. 2. Se reemplaza el valor numérico de la parte variable en el polinomio dividendo, obtenido así el residuo de la división.
¿Origina un cociente notable? Por el teorema del resto x - y = 0 x=0 sea el dividendo:
Ejemplo: Determinar el residuo de dividir D x xn yn
x 4 2x 7 x 1
R x yn yn R x 0
a. x 1 0 x 1 b. D x x4 2x 7
xn yn Si origina C Nn / n 2 xy
B. Propiedad:
4
R x 1 2 1 7 1 2 7
Si la división:
R x 10
xm yr x a yb
Observación: El teorema del resto o teorema de Descartes en sus inicios solo se aplicaba cuando el divisor era un binimio de primer grado, hoy en día el divisor podrá ser un polinomio literal de grado arbitrario.
origina un C - N se cumple: 1. El número de términos del C - N "n" verifica: n
III. DIVISIONES NOTALES A. Definición:
m r a b
2. En el C - N los exponentes de x disminuyen de "a" en "a", mientras que los de y aumentan en "b" en "b"
Es una división entre binomios que presenta la siguiente forma.
problemas resueltos Problema 1 Calcular ab si la división es exacta 2x 4 5x 3 x 2 ax b x2 x 1
En las columnas del residuo: a 7 10 10 b 10 0 a 17 b 10 ab 170 Problema 2 Si Q(x) es el cociente de dividir:
Resolución: Dada la ecuación:
5
1 2 -1 2 1
-5 -2
2
-7
1 a b 2 7 -7 - 10 10 10 0 0
LIBRO UNI
x 2x 7 x 1
Resolución: Según la regla de Ruffini tenemos:
8
1 0 0 0 -2 x = -1
-1 1 -1
7
1
1
1 -1 1 -1 -1
8
Q x x 4 x3 x2 x 1 Q 1 1 1 1 1 1 Q 1 3
Problema 3 Dertermine el resto de dividir:
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DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más! x 7 2x 5 x 3 x 1 x2 1
R x x 2x x 1 R x x 1
Resolución: x2 1 0 x2 1
En el dividendo tenemos: 3
Resolución: Según propiedad se cumple que :
Según el teorema del resto:
representa "n"
2
x n2 y 33
D x x2 x 2 x2 x x2 x x 1 Reemplazando x2 por 1
LIBRO UNI
Problema 4 Si la división:
x5 y 3
Origina un cociente notable. Calcular la suma de cifras del número que
9
n 2 33 5 3 n2 11 5 n 2 55 n 57 de cifras 12
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ÁLGEBRA
factorización en DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN
Ejemplo:
Es el proceso mediante el cual un polinomio de coeficiente s enteros se transfo rma como la multiplicación de dos o más polinomios, también de coeficientes enteros.
Factorizar: f(x;y) 4x3y4 + 5x2y5 + 7x4y7 Se observa: x2y4 como factor común. Luego factorizando tenemos:
II. FACTOR PRIMO Es aquel polinomio literale que no se puede expresar
f(x; y) x 2y4 (4x – 5y + 7x2y3)
como una multiplicación de otros polinomios literales.
B. Identidades
Ejemplo: *
Es la aplicación inmediata de algunos productos
f(x) x 2 – 4 no es primo, por que se puede expre-
notables como:
sar como (x – 2)(x + 2). *
f(x) x – 2 es primo, por que no se puede
– Diferencia de cuadrados:
factorizar. *
A2 – B2 = (A + B) (A – B)
f(x) 3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2)
Ejemplo:
percatese que 3 es de grado cero.
Factorizar
Se dice que la factorización se realiza en cuando los
: P(x) 9x2 –16
Reconocemos : P(x) (3x)2 – (4)2
factores primos obtenidos presentan únicamente coefi-
: P(x) (3x + 4) (3x – 4)
Luego
cientes enteros; mientras no se indique alguna aclaración la factorización solo se realiza en .
– Diferencia de cubos A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2)
Observación: *
Ejemplo:
Al factor primo también se le llama
Factorizar
polinomio irreductible.
: P(x) 27x3 – 8
Reconocemos : P(x) (3x)3 – (2)3 Luego
: P(x) (3x – 2)(9x 2 + 6x + 4)
III. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN – Suma de cubos
A. Factor común
A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)
Se denomina así al factor repetido en varios términos, para lo cual se eligen las bases comunes afec-
Ejemplo: Factorizar
tadas del menor exponente. LIBRO UNI
10
: f(x) 8x6 + 1
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FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! Reconocemos : f(x) (2x2)3 + (1)3
Ejemplo:
: f(x) (2x2 + 1) (4x4 –2x2 + 1)
Luego
– Trinomio cuadrado perfecto A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
Luego los factores se forman: Horizontalmente: (x – 3) (x – 4)
Ejemplo Factorizar : f(x) 9x4 + 6x2 + 1 Notese
2
: f(x) (3x + 1)
Luego
E.
: f(x) (3x2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2
Aspa doble Se usa en forma particular para polinomios de la forma: P(x;y) ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f
2
Proceso:
C. Agrupación de términos Consiste en seleccionar convenientemente los términos de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad.
*
Traza dos aspas simples
*
Verificación final con los extremos, veamos en un ejemplo:
Factorizar: Ejemplo:
P(x;y) 15x2 – xy – 6y2 + 34x + 28y – 16
Factorizar:
como se encuentra ordenado. f(x;y) x
10
2 8
8 2
–xy +xy –y
10
1.er Aspa Nos percatamos que no existe factor común en todos los términos, pero si agrupamos de dos en dos obtenemos: f(x;y) x 2 (x8 – y8) + y2 (x8 – y8) 2.O Aspa
Factor Repetido: (x8 – y8)
Luego: f(x;y) (x8 – y8) (x2 + y2)
Continuamos:
Verificación final
f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2) (x + y) (x – y) (x2 + y2)
(Los términos estan descompuestos)
Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados: f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2)2 (x + y) (x – y)
D. Aspa simple Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios de la forma: P(x) ax2n + bxn + c ó que se amolden a dicha forma.
Luego, en un esquema se tiene:
Proceso *
Descomponer los extremos.
*
Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central.
LIBRO UNI
P(x;y) = (5x + 3y –2) (3x – 2y + 8)
11
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! F.
Aspa doble especial Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos con la forma: P(x) Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + F Proceso: *
Se descomponen los términos extremos en 2 factores cada uno.
*
Luego:
Se hace el balanceo
f(x) = (x – a) q (x) Al valor de "a” se denomina cero del polinomio.
Ejemplo: Factorizar:
Por ejemplo: P(x) = x3 – x2 – 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:
P(x) (x 2 5x 1)(x 2 x 1)
G.
Luego: x3 – x2 – 4 se puede expresar como:
Divisores binomicos (evaluación)
P(x)= (x – 2) (x2 + x + 2)
Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3. Proceso:
(Nótese que esta factorizada)
Consiste en evaluar usando la regla de Ruffini.
problemas resueltos
Problema 1 Factorizar:
Agrupando los términos indicados y factorizando parcialmente = 5p2(rp2–5q)–r(rp2–5q)
5r(p4+q)–p2(r2+25q)
D) (5x+7y)(3x+3y) E) (4x+7y)(2x+3y)
= (rp2–5q)(5p2–r)
Resolución: 10x2+29xy+21y2
A) (rp2–5q)(5p2–r) B) (rp–5q)(5p 4–r)
Respuesta: A) (rp2–5q)(5p2–r)
C) (rp4–5q)(5p3–r)
Problema 2
D) (rp3–5q)(5p2–r)
Factorizar:
E) (rp2–5q)(5p4–r)
5x 2x
7y 3y
14xy + 15xy 29xy
10x2+21y2+29xy Finalmente:
Resolución:
A) (6x+7y)(2x+3y)
(5x+7y)(2x+3y)
B) (5x+7y)(2x+4y) C) (5x+7y)(2x+3y)
LIBRO UNI
12
Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y)
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! Problema 3
Resolución:
Por diferencia de cuadrados tenemos:
Factorizar e indicar la suma de sus
De acuerdo con el criterio del factor común tenemos:
P(x) (x 1) (x 1) (x 1)
factores primos. 12a2–59b–63–7ab–10b2+15a
Aquí reconocemos que los factores primos son: (x + 1) y (x – 1)
2 P(x; y) x 5 y (x 2xy y2)
A) 7a–3b+4 B) 7a–3b+3
Dando uso de los productos notables tenemos:
C) 7a–4b+2
P(x) (x 1)2 (x 1)
de f .p 2x
Respuesta E) 2x
D) 7a–5b+2 5
P(x; y) x y (x y)
E) 7a–3b+2
2
Finalmente los factores primos son: x, y (x y)
UNI
Ordenando y aplicando el criterio de aspa doble 2
2
–5b 2b
A) x2 – x – 1 B) x2 – x + 1
N de factores primos 3
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 63 4a 3a
Reconocer un factor de: P(x) x 5 x 1
Resolución:
Problema 6
Respuesta C) 3
–7 9
D) x3 – x2 + 1 E) x3 + x2 + 1
Problema 5
Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9)
Determine la suma de los factores pri-
Resolución:
mos del polinomio: luego factores primos: 7a–
P(x) x 3 x 2 x 1
3b+2
Con la finalidad de formar una diferencia
UNI Respuesta: E) 7a–3b+2
Problema 4 ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio: 7
6 2
UNI B) 2
C) 3
D) 4
B) 3x + 2 D) 3x + 1
LIBRO UNI
5 P(x) x x2 x 2 x 1
Resolución:
2 2 P(x) x2(x 1) (x x 1) (x x 1)
Por agrupación de términos tenemos:
Por el criterio del factor común:
2
P(x) x 2(x 1) (x 1)
P(x) (x 2 x 1) x 2 (x 1) 1 P(x) (x 2 x 1)(x 3 x 2 1)
Por el criterio del factor común: P(x) (x 1) (x21)
E) 5
de cubos sumamos y restamos x2.
P(x) x 2(x 3 1) x 2 x 1
P(x) x x (x 1)
P(x; y) x y 2x y x y ?
A) 1
A) 2x + 1 C) 3x – 1 E) 2x
3
5 3
C) x3 – x – 1
13
Respuesta D) x3 – x2 + 1
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO DESARROLLO DEL TEMA I.
FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+
Luego: x – 4 0 x – 1 1
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos de manera consecutiva desde la unidad hasta el número indicado.
x4
x5
3. Si: a! = b! a = b * a; b 0; 1 Ejemplo: (x – 5)! = 6 (x – 5)! = 3! x–5=3 x=8
Notación: n! ó n Se lee: Factorial de "n". Así: 2 ! 1 2 2 3! 1 2 3 6
4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro factorial menor.
4 ! 1 2 3 4 24 5 ! 1 2 3 4 5 120
(n2) ! n! n (n 1) (n 2)...3 2 1
6 ! 1 2 3 4 5 6 720
(n 1)!
En general:
n! = n(n – 1)! n! = n(n – 1) (n – 2)!
n! 1 2 3...(n – 2)(n – 1)n
II. NÚMERO COMBINATORIO
o también: n! n(n – 1)(n – 2)...3 2 1
Representa el número de combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k".
Observaciones: 1. (a b) ! a! b !
Notación: Cnk n Ck n Ck
2. (ab)! (a!) (b !)
n! ;nk k !(n k)!
3. a ! a! b! b
Definición: Cnk
Propiedades
Donde: n k o
1. n! existe n zo
Ejemplo:
Luego: • (–5)! No existe • –5! Si existe • (2/3)! No existe • 7! Si existe
C52
Regla práctica:
2. Por definición 1! = 1. Por acuerdo 0! = 1. Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1 LIBRO UNI
5! 120 10 2 !(5 2)! 2 6
Cnk
n! k !(n – k) !
" k " factores n(n – 1)(n – 2)...(n – k 1) (n – k) !
1 2 3...k (n – k) ! " k " factores
14
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más! Propiedades
5. Reglas de degradación
1. Cnk Existe n z k
Cnk n Cnk 11 k
•
zo
k n
10 9 Ejemplo: C10 C 3 3 2
2. Propiedad complementaria
Cnk n – k 1 Cnk –1 k
•
Cnk Cnn–k
Ejemplo: C58 8 5 1 C 84 C58 4 C 84 5 5 Ejemplo: 50 C50 48 C2
Cnk
•
50 49 1 225 2 1
n Cn–1 n–k k 9 C8 9–4 4 9 C 94 C 84 5
Ejemplo: C 94
3. Propiedad de igualdad Cnp Cnq 1. a Posibilidad: p = q
III. BINOMIO DE NEWTON
2. a Posiblidad: p + q = n
(Para exponente entero y positivo) Ejemplo:
n
Definición: (x a)n Cnk x n–k ak
Hallar la suma de valores de "n" en:
k 0
10 C10 n C6 .
Donde: x; a 0 n
1. a Posibilidad: n1 = 6.
Así: (x + a)2 = x2 + 2 x a + a2
2. a Posibilidad: n + 6 = 10 n2 = 4.
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 Luego n1 + n2 = 10.
(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 (x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
4. Suma de combinatorios Cnk Cnk 1 Cnk 11
Nos damos cuenta: (x a)5 c50 x 5 c15 x 4a c52 x 3a2 c53x 2a3 c54 xa4 c55a5
Ejemplo: Hallar: S C04 C15 C26 C37
Luego:
(x a)n cn0 x n c1nx n 1a cn2x n 2a2 cn3x n 3a3 ... Cnnan
Luego: S C50 C15 C62 C73
Desarrollo o expansión del binomio
S C16 C26 C37
Propiedades
S C72 C73
1.
N. de términos Exponente " n " 1 de (x a)n
S C 83 S
87 6 3 2 1
LIBRO UNI
Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y)7.
56
N.º de términos = 7 + 1 = 8.
15
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más! 2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficientes:
90 30 60 T61 c60 3 x 260 y180 90 30 T61 c60 3 260 x 60 y180
cn0 c1n cn2 c3n ... cnn 2n
c50 c15 c52 c53 c54 c55 25 32
4. Término central ("n" exponente del binomio) Si "n" par existe un solo término central:
n–2 cn–2 c1n–2 cn–2 ... cn–2 0 2 n–2 2
Tc Tn
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de: (5x2 + y4)40
2
5. Suma de exponentes
Luego: x = y = 1 (5(1)2 + (1)4)60 6 60
Siendo B(x,a) = (xp + aq)n
3. Término de lugar general: Siendo: (x + a)n. En su desarrollo:
1
Exponentes
Tk 1 ckn x n–k ak
(p q)n(n 1) 2
Ejemplo: Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:
Donde: "k + 1" es el lugar.
Ejemplo: Hallar el T61 en el desarrollo de:
3
39
x 4
Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.
B(x; y) = (3x2 + 2y3)90 1 1 39(39 1) 3 2 exponentes Exp 650 2
90 T61 c60 (3x 2 )30 (2y 3 )60
problemas resueltos
Problema 1
Resolución:
Problema 2
Si "x" es un número real tal que el término central en el desarrollo de:
Sabemos que:
Hallar el valor de "n" de modo que:
2 – 3x 3 2
12
TK 1 Ckn x n–k ak TC T12 2
1
n n (2r 1) 2n 4 r 0 r
T7
Nivel difícil
12–6 T7 C12 (–3x 2)6 924 6 (2 3)
Es 924, hallar el valor de: 1 + x 2 + x4 + x6
6
6 6
12.11.10.9.8.7 2 3 x 6.5.4.3.2.1 36 26
924
x=1
Nivel intermedio
A) 18 B) 16 C) 17 D) 15 E) 20
A) 4
Resolución:
Entonces:
B) 8
1 + 12 + 14 + 16 = 4
C) 6 D) 16
Respuesta: A) 4
E) 2
LIBRO UNI
16
Sabemos: n n 2n r 0 r
n n r n 2n–1 r 0 r
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más! Entonces:
Determinar el valor de:
n n n n 2r 2n–4 r 0 r r 0 r
2 n 2n1 2n 2n 4 (n 1) 2n 2n 24 n = 15
Respuesta: D) 15
K
n2 3n 7 Nivel intermedio
A)
47
B)
17
(n! – 24 )(n! + 3) = 0 n! = 24 ;
n! = -3
n=4 Entonces:
C) 3 3 D)
35
E)
61
K
42 4 3 7
K 35
Problema 3
Resolución: Tenemos:
Si: n! (n! 3) 18. n! 4
(n!)2 – 3(n!) = 18(n!) + 18 4
LIBRO UNI
(n!)2 – 21(n!) – 72 = 0
17
Respuesta: D)
ÁLGEBRA
35
ÁLGEBRA
racionalización DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN:
n
Es el proceso mediante el cual una expresión irracional se transforma en otra parcialmente racional. Frecuentemente se racionalizan denominadores con el auxilio del factor racionalmente (R:F) según la relación.
A;n A Q
Veamos algunos ejemplos:
5 4
3
23 3 3 24
Veamos algunos ejemplos: (Exp. Irracional).(FR) = Exp. Racional
C. Radical doble: Se denomina asi a todo número irracional que se puede expresar según la forma:
A. Factor racionalizante (F.R) Es el menor número irracional positivo que multiplica a otro número irracional y lo transforma en racional. Ejempo:
m
¿Cuál es el factor racionalizante de
2?
A n B ;m n , A B Q
Veamos algunos ejemplos:
Resolución: observar lo siguiente
4 12
2 2 4 2
2 3
3
10 108
II. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLE A SIMPLES
2 8 16 4 2 18 36 6
A. 1° caso
2 32 64 8
A B . Se transforma según la fórmula:
A B
Existen varios números irracionales que multiplican a
AC 2
AC 2
2 y lo transforman en racional pero entre todos
ellos
2
Donde "C" se calcula Así: C A 2 B !racional!
es el menor FR 2
B. 2° caso B. Radical simple:
A B . Se transforma en
Se denomina así a todo número irracional que se
Donde: x.y N x y M
puede experesar segúnla foma:
LIBRO UNI
M2 N x y
18
ÁLGEBRA
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más!
II. CASOS DE RACIONALIZACIÓN 1
•
n m A FR A; A # primo
4
4
Donde: FR A
n m
2
2
, veamos algunos ejemplos.
5 1
5 1 5 1 FR 5 1 FR 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 1 5 1
4
5 1
4
A. Denominador monomio n
4
FR
4
2
2
4
•
•
1
1. 31
3
3 3
3.FR
4
4
5 1
C. Denominador binomio con índice potencia de tres:
3 5 5. 21 53 2 3 2 4 3 22 .FR
Expresión •
13 5
120
3
5
13
5 3
13 22.34.54
5 3
2 .3.5 13FR 13FR 2.3.5 30
3
2 .3.5.FR
A 3B
3
A 3B
3
FR
•
Resultado
A B
A B
A-B
A B
A B
A-B
1
7 2 1
3 3
7 2
7 2 72
3 3
5 2
5
11 3 5
11 3
2
7 2
11 3 FR
5
11 3 11 3
•
11 3 5
•
13 3
2FR 2
13
3
3
3
3
25 10 4 7
1 3
11 3 5
11 5 FR 3
3 3
2
3
3
1 3
5 FR
3
3
3
121 55 25 3
3
3
11 5
11 5
2
3
11 5
3
3
3
3
121 55 25 11 5
3
121 55 25 6
D. Denominador con índice susperior a tres:
8
n
2FR 13 9 2
n
A nB
FR A B
Donde:
2
2FR FR 4 2 13 3
LIBRO UNI
3
3 2 3 3 3 2 1. 11 11. 5 5
11 3
1. 2
3
3
25 10 4 52
2
7. 2 5
11 3
3
3
7 2
3
5
A B
3
25 10 4 3
1
•
A B
3
5 2
5 2 1
A 3 A.3 B 3 B
1 3
7 2 FR
7 2
2
3
1
2
A 3 A.3 B 3 B
3 2 3 3 3 2 1. 5 5. 2 2 1 3 3 3 3 5 2 5 2 FR
veamos algunos ejemplos:
•
Resultado 2
veamos los siguientes ejemplos
B. Denominador binomio con índice potencia de dos: Expresión
FR 2
FR n A
19
n 1
nA
n 2 n
B ... n B
ÁLGEBRA
n1
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más! 2. n / n número impar
n
A nB
3. n / n número par
FR A B
Donde:
n
A nB
FR A B
Donde:
FR n A
n 1
nA
n 2 n
B ... n B
n1
FR n A
n 1
nA
n 2 n
B ... n B
n1
problemas resueltos Donde se debe cumplir que:
Problema 1
a b a b x ab y
Transformar a radicales simples la siguiente expresión:
Como:
E 6 2 5 11 2 30 1
Problema 2
E 8 60
Transformar a radicales simples la siguiente expresión:
Ahora en la expresión "E" se tendría: E
Resolución: Reconociendo: A = 8 B = 60
5 1
6 5 1
52 6 Reduciendo:
Resolución:
E 6
Hallemos "C": 52 6 C 82 60 4 C 2
3 2 2
32
52 6 3 2
Luego:
Problema 4 Racionalizar el denominador de la expresión:
E
82 2
82 2
Problema 3 E
El equivalente de: Finalmente:
7 7
5 73
E 6 2 5 11 2 30 1.Es : E 8 60 5 3
Método práctico: Debemos observar que el radical doble presenta la siguiente forma:
Resolución: Resolución:
Observamos que 7 5 7 3 corresponde
Utilizemos el método práctico para
a la relación (2) visto anteriormente,
transformar a los radicales dobles en
con lo cual tenemos.
simples.
E
x2 y
Luego podemos afirmar que: x 2 y a b
LIBRO UNI
*
6 2 5 5 1 5 1
*
11 2 30 6 5
20
7FR
7
E
5 7 3 FR
7FR 53
7FR 8
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
ECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA I.
ECUACIÓN
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta x = y + z.
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.
•
Si se restan miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a ambos miembros con lo que se obtiene x = 2.
•
Si se multiplican miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad.
Notación: A(x; y;...z) Primer miembro
B(x; y;...z) Segundo miembro
Donde: x; y; ...; z: incógnita Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miembros de la igualdad: 1 y 5x 2 . 3 Se obtiene: y = 15x2
Por ejemplo: • x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación condicional. • x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los valores de x; es una identidad.
Análogamente, si los dos miembros de: 9 C k – 492 5 se multiplican por:
Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =.
Se obtiene: C 5 (k – 492) 9
A. Soluciones de una ecuación
•
Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. Por ejemplo: x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
B. Operaciones aplicadas en la transformación de ecuaciones •
Si se dividen miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad siempre que no se divida por cero. Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2. Análogamente, en la igualdad F = ma se puede dividir los dos miembros por m(m 0) obteniéndose: a F m Fórmula: La fórmula es una ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio.
Si se suman miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. LIBRO UNI
5 9
21
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Forma General:
1. Si: 0 , la ecuación tiene raíces reales y diferentes. 2. Si: 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales (raíces dobles). 3. Si: 0, la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.
ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b
son constantes arbitrarias. Como primer paso para la resolución de esta ecuación transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose así la ecuación equivalente.
IV. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍCES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
ax = b Después dividimos ambos miembros entre “a”, obteniéndose otra ecuación equivalente que es la solución
Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x"
de la ecuación dada:
Se cumple:
ax 2 + bx + c = 0
x–b a
b • Suma: s x1 x 2 – a
Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 obtendremos la identidad:
• Producto: p x1 . x 2
c a
b2 4ac ; a 0 a Para determinar la diferencia de raíces se recomienda utilizar la equivalencia de Legendre, veamos: (x 1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4(x1 x 2)
b a – b 0 a
• Diferencia: | x1 x 2 |
–b + b = 0
Teorema: La ecuación lineal con una incógnita ax + b = 0, a 0
A. Casos particulares Dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0
Tiene solución única:
De raíces x1 ; x2, si estas son:
x–b a
1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0. 2. Recíprocas, se cumple: x . x = 1. 1
III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICA)
V. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN "X"
A. Forma general
Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación:
ax 2 bx c 0
donde: x incógnita, asume dos valores a;b ; c /a 0
x 2 – sx p 0
B. Fórmula de Carnot
VI. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVALENTES
Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación: ax 2 + bx + c = 0; a 0 Estas se obtienen a partir de la relación:
A. Ecuaciones cuadráticas equivalentes Siendo:
2 x1;2 –b b – 4ac 2a
1. Discriminante dada la ecuación cuadrática en "x": ax 2 + bx + c = 0; a 0 se define como:
Se cumple:
ax 2 + bx + c = 0 a1 x 2 + b1 x + c 1 = 0 a b c a1 b1 c1
B. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común
b2 – 4ac
ax 2 + bx + c = 0
Sean:
a 1 x 2 + b1 + c 1 = 0
2. Propiedad del discriminante El discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta, es decir: LIBRO UNI
2
Se cumple:
(ab1 – a1b)(bc1 – b1c) (ac1 – a1c)2 22
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
VII.POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR
Propiedad Un polinomio con coeficientes reales puede escri-
A. Definición
birse como el producto de un número real, multiplicado por factores cuadráticos irreductibles con coeficientes reales y factores lineales con coeficientes reales.
Dado un número entero n 3, un polinomio en variable x con coeficientes en k de grado n, es una función de la forma: P(x) anxn + an–1xn–1 + ........ + a1x + a0, con an 0 A la cual llamaremos polinomio de grado superior, donde: • x = es la variable independiente. • a i K, son los coeficientes de las x y son constantes que pueden ser cualesquiera números. • K es un conjunto. • an= coeficiente principal • ao= término constante • n = [P]° es el grado del polinomio P(x)
B. Teorema (paridad de raíces irracionales) Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene como raíz a b , donde
b es irracional, a y b son
racionales; entonces a b también es raíz de P(x). Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales. Si ( a b) es raíz del polinomio P(x), donde
a,
b, ab son irracionales, entonces a b ;, a b, a b también son raíces de P(x).
Si la raíz ( a b) es de multiplicidad K, las otras
Observación: El estudio de todo polinomio: P(x) anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 con an 0, a0 0 radica en el tratamiento de sus coeficientes a i K y en particular de an y a0.
raíces también son de multiplicidad K.
IX. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES
B. El Teorema fundamental del Álgebra
Dado el polinomio de grado n > 0:
Todo polin omio P(x) de grado n > 0 con coeficientes complejos en general, tiene al menos una raíz gene-ralmente compleja.
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ....... + a0 an 0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyas n raíces son r1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas tantas veces como se repiten las raíces múltiples), entonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x)
Colorario: Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exactamente "n" raíces. Por ejemplo P(x) = x 5 + x – 1 tiene en total 5 raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos decir que F(x) x 4 tiene en total 4 raíces (cada una es igual a cero).
y las raíces ri. Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo: •
VIII. POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES
anxn an 1xn1 ... a0 0 xn
an1 n1 an2 n2 a x x ... 0 0 an 0 an an an
(1*)
A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias)
• Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces el polinomio P(x) se puede escribir como:
Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene como raíz el número imaginario Z, entonces Z también es raíz de P(x).
P(x) = an(x – r1) (x – r2) .... (x – rn) Como P(x) = 0 an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0, an 0 (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0
Observaciones
(2*) •
•
La paridad de raíces imaginarias, refiere lo siguiente, si Z = a + bi, con b 0 es raíz de un polinomio P(x) entonces Z = a – bi también es raíz de P(x). Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces (x – Z) (x – Z ) será un factor de P(x). LIBRO UNI
• Pero son idénticos (1*) y (2*): xn
an1 x 1 an2 n 2 a x x ... 0 an an an
(x r1)(x r2)...(x rn ) x n r1 r2 ... rn x n1 n
r1r2 r1r3 ... xn1 ... 1 r1r2r3...rn 23
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1 Sea la ecuación 4x2 – 2x + 3 = 0, cuyas raíces son a y b. Halle otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2a – 1) y (2b – 1) UNI 2008 - I Nivel fácil 2 A) y – y + 1 = 0 B) y2 – y – 2 = 0 C) y2 + y + 3 = 0 D) y2 1 y 2 0 2 1 2 E) y y 3 0 4
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3
Resolución: Dada la ecuación: 4x 2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b} 1. Si cambiamos: "x" por " y " 2 2 y y entonces: 4 2 + 3 = 0 2 2
A) 10
tenemos: y2 – y + 3 = 0 de raíces {2a; 2b} 2. Si cambiamos: "y" por "y+1" Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0 Tenemos: y2 + y + 3 = 0 de raíces {2a – 1, 2b – 1}
Respuesta: C) y2 + y + 3 = 0
Respuesta: B) Solo x = 3 Problema 3 Una ecuación cuadrática tienen como raíces a 4 y 2. Halle la suma de las cifras del producto de estas raíces, siendo el discriminante de la ecuación.
UNI 2006 - II Nivel difícil B) 11 D) 13
C) 12
Las raíces de la ecuación x x 2 4 son:
A) solo x = 6
0 1 x 0
Luego la ecuación será: x 2 (2 2)x 2 2 8 0
Luego calculando el discriminante: 2
(2 2) 4(2 2 8) 36
Luego:
cifras 10 Respuesta: A) 10
UNI 2008-I Nivel fácil A) –4
B) –2
C) 2
D) 4
E) 0
x x 2 4
x 2 4 x
Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que x–2 0 4–x 0 tenemos x2 – 9x + 18 = 0 LIBRO UNI
Eliminando los valores absolutos: x
3–x –1 3 x – 1 3 2 Reduciendo: 3–x–1 = 3 Tenemos: –x – 1 = 1 De donde:
x –2
C.S. {–2;0} Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2
E) No existen soluciones
Resolución:
Si: x < –1
Problema 4
entonces la suma de x1 y x2 es:
D) x 6 , x = 3
Reduciendo: 3x+1 = 3
Suma de Raíces S 2 2
3 x 1 3x 1 3x 2
C) x = 3, x = 6
Eliminando los valores absolutos: 3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
De donde: x = 0
Producto Raíces P 2 2 8
Resolución: Si: 3
x 1
x0
Si: – 1 x 0
Resolución:
Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
B) solo x = 3
3x = 1
Tenemos: x + 1 = 1
UNI 2007 - II Nivel intermedio
Reduciendo: 3x . 3 –2 . 3 x – 1 = 0 Tenemos:
E) 14
Producto de Raíces = (40)(34) = 1360
Problema 2
Eliminando los valores absolutos: 3x+1 – (3x – 1) = 3x + 2
– 3x – 1 3x 2
Problema 5 Las raíces de la ecuación x x 2 4 son: UNI 2008-I Nivel intermedio A) Solo x = 6 B) Solo x = 3 C) x = 3, x = 6 D) x 6 , x = 3 E) No existen soluciones
Resolución: x x 2 4
Si: x 0 24
ÁLGEBRA
x 2 4 x
ECUACIONES
Exigimos más! Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que:
1 5 1 17 x 2 2
x
x 2 04 x 0
como x > 0: Tenemos: x2 – 9x + 18 = 0
1 5 1 17 x2 2 2
x1 (x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3.
x1 x 2 2 5 17 2
Respuesta: B) x = 3, x = 6
Respuesta: B)
Problema 6 La suma de todas las soluciones positivas de la ecuación:
Problema 7 La función polinomial:
10 6 x x2 1 x x2
es:
UNI 2009-II Nivel difícil A)
B)
C)
2 5 17 2 2 5 17 2
2 5 17 2
2
F(x, y, z) (x y)(y z 3) [(Z y)(y x 3)]4 (x y z 3)2
tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es igual a: UNI 2008 - I Nivel fácil A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución: 2 4 (x y)(y z 3) (z y)(y x 3)
2 5 17 2
0
0 2
(x y z 3) 0 0
D)
3 5 17 2
Se genera un sistema de ecuaciones:
E)
3 5 17 2
x y 0 y z 3 0 z y 0 y x 3 0 x y z 3 0
Resolución: Piden: x > 0
Problema 8 Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales 2 3 y 3 2. Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. UNI 2007 - II Nivel intermedio A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
Resolución: Por el teorema de la paridad de raíces irracionales: Si una raíz es 3 2 la otra será (3 2) la cual origina el polinomio cuadrático x2 + 6x + 7. Análogamente: Si la otra raíz es 2 3 la otra será 2 3 que origina el polinomio: (x2 + 4x + 1). Por lo tanto el polinomio mónico será: P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1) Nos piden: P(x) (14)(6) 84 Respuesta: E) 84 Problema 9 Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y término independiente uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1. Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma de raíces de Q(x). UNI 2004 - II Nivel intermedio A) 0 B) 8/3 C) 10/3 D) 4 E) 5
De donde:
1
Llamemos a: x2 + x + 1 = m; m > 0 Del dato: 10 7 (1 x x 2 ) 1 x x2
Reemplazando :
2
10 7m m
Reemplazando: x2 x 1 2 x 2 x 1 5 x2 x 1 0 x 2 x 4 0
Resolución: De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1 Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1
C.S. (1,1,1)
Pero:
x y 0 y x 3 0 x y z 3 0 C.S.
Q(2) 7;(1)(4a 2b 1) 7 7 4a 2b 1......(1) P(1) 2 ; a b 1 2 a b 1...(2)
de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2
2
m 7m 10 0 (m 2)(m 5) 0 m 2m 5
x y 0 z y 0 x y z 3 0
3
4
y z 3 0 C.S. z y 0 x y z 3 0 y z 3 0 y x 3 0 C.S. (2; 1,2) x y z 3 0
De donde: Q(x) 3 x 3 4x 2 3 x 2 2 se pide: x1 x 2 x 3
N es igual a 2
Utilizando la fórmula general: LIBRO UNI
Respuesta: C) 2 25
4 8 3 / 2 3
Respuesta: B) 8/3 ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES
(M4) a : !1 / a 1 1 a a (Existencia y unicidad del elemento neutro)
El sistema de los números reales, es un conjunto provisto de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y una relación de orden y otra de igualdad.
(M5) a – {0} : !a 1 / a a–1 a–1 a 1 (Existencia y unidad del elemento inverso)
Notación Denotamos por al conjunto de los números reales.
C. Axioma distributiva Distributividad de la multiplicación respecto de la adición.
A. Axiomas de adición
(D1) a, b, c : a(b c) ab ac
(A1) a, b : a b
(D2) a, b, c : (b c)a ba ca
(Clausura o cerradura)
D. Relación de orden
(A2) a, b : a b b a
Es una comparación que se establece entre 2 elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales, el campo real es un campo ordenado.
(Conmutatividad) (A3) a, b, c : a (b c) (a b) c (Asociatividad)
Símbolos de la relación de orden:
(A4) a : !0 / a 0 0 a a
> : "mayor que"
: "menor o igual que"
< : "menor que"
: "mayor o igual que"
(Existencia y unidad del elemento neutro)
II. DESIGUALDAD (A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor.
(Existencia y unidad del elemento inverso)
Existen dos tipos de desigualdades.
B. Axiomas de multiplicación (M1) a, b : ab
6>1
(Desigualdad verdadera)
5 < –2
(Desigualdad falsa)
(Clausura)
A. Axioma de tricotomia (M2) a, b : ab ba
Si a b , entonces una y solamente una
(Conmutatividad)
de las siguientes relaciones se cumple:
(M3) a, b, c : a(bc) (ab)c (Asociatividad) LIBRO UNI
26
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
Exigimos más! B. Axioma de transitividad
•
Si: a x b ab 0 entonces:
Si: (a b) (b c) (a c); a, b, c
0 x 2 Max(a2 , b2 )
C. Otros axiomas y teoremas de la desigualdad a, b, c, d , se cumple:
•
•
•
Si: 0 a b entonces a a b b 2
•
Si: 0 a b entonces a ab b
ab ac bc
abc d ac bd
D. Propiedades de desigualdades entre medias •
Si: x1; x2; ... xn son números positivos, se define:
Si: a b c 0 ac bc
• •
a b Si: a b c 0 c c
•
Si: a b –a –b
Media aritmética de x1; x2; ... ; xn n MA (x1; x2; ...; xn) = 1 x i n i1
•
Media geométrica de x1; x2; ...; xn n
•
Si: 0 a b 0 c d 0 ac bd
•
a ; a2 0
MG (x1; x2; ...; xn) = n xi i1
•
Media armónica de x1; x2; ...; xn n
MH (x1; x2; ... xn) = •
ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
•
ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
n
1
x
i1
•
i
Media potencial de x1; x2; ...; xn n
MP (x1; x2; ...; xn) = •
a y 1 tienen el mismo signo a – {0} a
•
Si a y b tienen el mismo signo y a b 1 1 a b
•
Si: ab 0 a x b 1 1 1 a x b
k
xki i1
n
Entonces: MP MA MG MH
Para dos números: a b, K
k
•
a b a2n–1 b2n–1 , n
•
0 a b a2n b2n , n
•
a b 0 a2n b2n; n
ak bk ab 2 ab 2 2 1 1 a b
E. Recta numérica real
LIBRO UNI
Es la recta geométrica donde se puede ubicar los números reales, es decir, existe una correspondencia biunivoca entre el conjunto de los números reales y esta recta.
27
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
Exigimos más!
, – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones.
problemas resueltos UNI 2008 - II
Problema 1
Luego:
Sean a, b, c y d cuatro números reales positivos tal que a – b = c – d y a < c. Decir la verdad o falsedad de las si-
1 1 (c d) (a b) c a
a c , si a b b d
II.
c a , si c d d b
III.
c a b d
n
1 d 1 b c a
guientes afirmaciones: I.
Nivel fácil
A)
bd, ac a c b d
a1n
(V)
ai i1
n n
ai B)
a1
i1
C)
a1
ai an
n
II. Si c < d a < b
UNI 2004 - I Nivel fácil
(F)
b
i1
a c
III.
D)
bd
B) FVV
ca b d
C) FVF
na 1
n
ai n an i1
ab cd
A) FFV
an
n
ca d
ann
(F)
E)
n a1 a ai n n i1 n
D) VFV
Respuesta: E) VFF
E) VFF
Resolución: Para un grupo de datos no todos iguales:
Resolución:
Problema 2
I.
Sean los números racionales a1, a2, ...,
Si a < c
1 1 ; si a b a b 0 c a LIBRO UNI
an tales que a1< a2 < ... < an–1 < an. Entonces se cumple que: 28
a1
a1 a2 a3 ... an an n
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
Exigimos más! n
•
ai a1
i1
n
an
a, b números enteros,
es un número racional. • n
Si k y k2 es par, entonces k es par.
ai Respuesta: B) a1
i1
n
an
Nivel difícil B) FFV
Problema 3
C) VFV
D) VFF
Clasifique como verdadero (V) o falso
E) FFF
b) Solución del problema •
Es falso, cuando b = 0.
•
Es verdadero, porque en:
Es verdadero: o
2 K 2. K Z o
ciones:
Resolución:
•
a) Aplicación de teorema Recordar:
a, b números enteros, a/b es un
a b (1 a2 0) ; 1 a2
•
(F) cada una de las siguientes afirma-
LIBRO UNI
Número A / A Z B Z 0 racional B
UNI 2009 - I A) FVV
número racional.
ab 1 a2
K 2
29
Respuesta: A) FVV
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
INECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA I.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
2. Aplicar uno de las teoremas siguientes: I. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) III. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
Son aquellas inecuaciones de la forma: I. ax 2 + bx + c > 0 II. ax 2 + bx + c > 0 III. ax 2 + bx + c < 0 IV. ax 2 + bx + c 0 Donde: a 0 ;b, c
D. Método de los puntos de corte Sea: ax 2 + bx +c 0
A. Método de resolución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita
P(x)
Consideraciones previas • En la resolución de una inecuación cuadrática se transpone, si es necesario, todos los términos a un sólo miembro de la desigualdad. 1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible; si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática. 2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando a cero el factor o los factores. 3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real. 4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los puntos de corte colocando los signos intercalados empezando por la derecha con signo positivo. 5. I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (abiertos). II. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (cerrados). II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el intervalo negativo (abierto). IV. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es el intervalo negativo (cerrado).
I. Método de completar cuadrados. II. Método de la ley de signos de la multiplicación. III. Método de los puntos de corte.
B. Método de completar cuadrados Sea: ax2 + bx + c 0 1. El coeficiente de x2 debe ser 1, si no lo fuese entonces se divide a ambos miembros entre a. x 2 bx c 0 a a 2. El término independiente se pasa al segundo miembro. b c x2 x a a 3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado. 2
x 2 2(x) b b c b a 2a 2a 2a
2
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio al cuadrado y reduciendo el segundo miembro. 2
5. Finalmente:
x b b2 4ac 2a 4a2
Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 4ac 0 b Se verifica para todo x diferente de 2a C.S. : x b 2a Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 4ac 0 No se verifica para ningún valor real "x".
Teorema
x2 m x m x m;m 0
x2 m x m x m;m 0
C. Método de la regla de signos de multiplicación Sea: ax 2 + bx + c 0 1. Se factoriza el trinomio (factor común, diferencia de cuadrados, aspa simple) LIBRO UNI
C.S. : x 30
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 Se verifica para todo valor real “x”. C.S. : x
Ejemplo: (1) Resolver:
B. Caso II 2n P(x) 2n Q(x)
Es equivalente a resolver un sistema constituido a partir de: 0 2n P(x) 2n Q(x)
II. INECUACIONES POLINOMIALES Son aquellas que presentan la siguiente forma general: P(x) a0 xn a1xn-1 a2 xn-2 ... an-1x an 0
Así:
x Variable a0; a1; a2; ... an Coeficientes
n Z n 2 • Reducir el polinomio mediante factorizaciones obteniendo la forma equivalente siguiente:
III. INECUACIONES FRACCIONARIAS Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple expresión asume la siguiente forma general: P(x) 0 Q(x) Donde: P(x) Q(x) son polinomios no nulos con coeficientes reales.
P(x) Q(x)
... (3)
Luego: C.S. = S1 S2 S3 C.S.: [–2; 2>
Resolución:
C. Caso III
P(x) 0 Q(x) Multiplicamos a ambos miembros por:
Se tiene:
P(x) Q(x)
2
P(x) Q (x) 0 Q(x)
Se resuelve el sistema construido a partir de: P(x) 0 ... (1) Q(x) > 0 ... (2) P(x) < Q2(x) ... (3)
Expresión reducida: P(x) Q(x) > 0; no olvidando: Q(x) 0 Para luego utilizar el método de los puntos de corte.
finalmente: C.S. S1 S2 S3
IV. INECUACIONES IRRACIONALES
Ejemplo: Resolver: x 2 3
Se denomina así a aquellas inecuaciones donde la incógnita se encuentra bajo signo radical, los casos más usuales son:
Resolución: 1° x – 2 0 x 2 ... (1) 2° 3 > 0 x R ... (2) 3° x – 2< 32 x < 11 ... (3)
A. Caso I Q(x)
Donde P(x), Q(x) son polinomios; n N se resuelve: P(x) Q(x)2n+1
LIBRO UNI
... (1) ... (2)
Ejemplo: (1) Resolver: x 2 6 x Resolución: 1° x + 2 0 x –2 ... (1) 2° 6–x 0 –x –6 x 6 ... (2) 3° x + 2 < 6 –x 2x < 4 x<2 ... (3)
donde todos los a i son diferentes entre sí, para luego aplicar: el método de los puntos de corte.
2n 1 P(x)
P(x) 0 Q(x) 0
finalmente: C.S. S1 S2 S 3
x a2 ... x an 0
Q2 (x)
x 2 1
Resolución: Se obtiene: x – 2 > 1 x>3
Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”. C.S. : x
x a1
3
31
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! Luego: C.S. S1 S2 S3
–
Generalizando: |abc... n| = |a||b||c|...|n|
–
Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten hacer lo siguiente: – |3(x – 4)| = 3|x – 4|
C.S. = [2; 11>
D. Caso IV P(x) Q(x)
Se resuelve:
–
2|x + 2| = |2x + 4|
–
–2|x + 2| = –|2x + 4|
P(x) 0
S1 P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x) S2 P(x) 0 Q(x) 0
–
x +1 x +1 = 3 3
–
x+2 x +2 = – –3 3
Finalmente: C.S. S1 S2
Comentario Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el trabajo de una ecuación e inecuación con un valor absoluto.
V. VALOR ABOLUTO (V.A) a. Definición Sea a , el valor absoluto se denota por |a|, el cual se define por:
7. Desigualdad triangular: |a + b| |a| + |b|
a;a 0 a = – a;a 0
En particular si: |a + b| = |a| + |b| ab 0
Ejemplos: 1. |4 – 2| =|2| = 2 2. |3 – 5| =|–2| = –(–2) = 2
Nota: – Generalizando si n o:
B. Propiedades
a2n = |a|2n
1. El valor absoluto de todo número real siempre es un número no negativo. a 0 2. El valor absoluto de todo número real siempre es igual al valor absoluto de su opuesto. a = –a 3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números reales es igual a la multiplicación de los valores absolutos de los números en mención.|ab| = |a||b|
a2n+1 = |a|2n.a –
¡Tenga cuidado! Teoría de exponentes x2 = x x0
4. El valor absoluto de la división de dos números reales (divisor es diferente de cero) es igual a la división de los valores absolutos.
Números Reales x2 = x
a a = ;b0 b b
x
5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto de la base elevado al cuadrado. a2 = |a|2 6. La raíz cuadrada de todo número elevado al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del número.
VI. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A. Caso 1 |x| = 0 x = 0 Ejemplo: • |x – 3|=0 x – 3 = 0 x = 3
a2 = a
B. Caso 2 Nota: – Hagamos la siguiente generalización:
–
|x| = a (a 0) (x = a a = –a) Ejemplo: • |x – 3| = 5 Si 5 0 x – 3 = 5 x – 3 = –5 x=8 x = –2
x – a; x – a 0 x–a = – x + a; x – a<0 Generalizando: |a + b| = |–a –b| ; |a – b| = |b – a| LIBRO UNI
32
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! B. Caso 2
|x – 3| = –4 Si –4 0 (Falso)
|x| a: x a x –a Ejemplo: |x – 2| 3: x – 2 3 x – 2 –3 x 5 x –1
C.S. =
C. Caso 3 |x| = |a| x = a x = –a Ejemplo: |x – 3| = |2x + 2| x – 3 = 2x + 2 x – 3 = –2x –2 –5 = x 3x = 1 x = -5
x=
C. Caso 3 |x| |y| (x – y)(x + y) 0 Ejemplo: |x – 2| |2x – 3| (–x + 1)(3x – 5) 0 (x – 1)(3x – 5) 0 Aplicando puntos de corte:
1 3
VII. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A. Caso 1 |x| a: a 0 (–a x a) Ejemplo: |x – 3| 5: 5 0 (–5 x – 3 5) –2 x 8
5 x – ;1 ; + 3
problemas resueltos Problema 1 Halle el valor de a , para que la inecuación (a2 14) x 2 4x 4a 0, tenga como solución el conjunto [–2; 4]. UNI 2010-II A) –6 B) –4 C) –2 D) –1 E) –1/2
De donde: 2 x x 2 x x 0; x 0
Resolución: (a 2 – 14)x2 – 4x + 4a 0 Se debe cumplir que: 4 4a 2 –8 2 2 a – 14 a –14
De donde: 3x log3 x 3x log3 x 0; x 0
a 4 a –4
7 a a –4 2
Por tanto: a = –4
Resolución: Analizando: x 2 2bx c 0
Resolviendo: (2x–x)(3x–log3x)(x+3)(x–3)(3x–9) > 0 C.V.A. = Si: log3x R x > 0 x x 2 -x x 3 (x 3)(3x 9) 0 3 -log3x
Respuesta: B) –4 Problema 2 Si el conjunto solución de la inecuación: (2x – x) (3x – Log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0 es de la forma: S a; b c; . Halle a + b + c. UNI 2009-I A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
Resolución: (2 x – x)(3x – log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0 Resolviendo:
Luego: C. S.: C. V. A S1 S = 0; 2 3 ; +
a b a+b+c=5
x 3;5
Operando: a) Aplicación de fórmula o teorema • •
b Suma de raíces: x1 + x2 = a c Producto de raíces: x1x 2 a
Reduciendo: (x – 3)(3x – 9) > 0 (x 3 0 3x 9) (x 3 0 3x 9) (x 3 x 2) (x 3 0 3x 9) x > 3 x < 2..... S1
c
Respuesta: E) 5
33
b) Solución del problema –3 5 serán raíces de la ecuación: x2 – 2bx – c = 0 Entonces: x1 x 2 2 b 1 2b
x1 x 2 15 c 15 c
Problema 3 La inecuación x2 – 2bx – c < 0 tiene como conjunto solución 3;5 . Halle b + c. LIBRO UNI
UNI 2008 - II B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
A) 16
Conclusión b + c = 16
Respuesta: A) 16 ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! Problema 4
–14 4x
2x 6
Resolver: 7 x –10 – x 2
|2x + 6| = |x + 8| Nivel fácil
Resolución:
x 3
7 x –10 – x 3 2
x=2
3x = –14 x =–
14 3
14 Respuesta: C.S.= – ;2 3
–
E)
0;
B x A /
–7 2
–10
1 , 0 2
Resolver: |3x + 5| = 2x – 3 Nivel intermedio
Resolución: Aplicando el teorema: |x| = a a 0 (x = a x = –a)
3
+
x – x –1 1
Operando: I. Calculando el conjunto A (de la inecuación). i) x 0 : 0 1
7 Respuesta: x – ; 3 2
C.S.i 0; ii) x 0 : x - (-x) 1
2x 1
Problema 7 Sea la igualdad:
1 2x 1
x a b x a b .....(*)
Problema 5
1 D) 2 ; 0
A x/ x– x 1
|a|=|b| a = b a = –b 2x + 6 = x + 8 2x + 6 = –x–8
C)
Resolución
Intersectando:
Aplicando el teorema:
1 1 B) , 2 2
A)
entonces la proposición verdadera es: UNI 2009 - I Nivel fácil A) (*) si y solo si x 0 a2 b2 B) (*) si y solo si x = a = b C) (*) si y solo si x 0 a b D) (*) si y solo si x 0 a b E) (*) si y solo si x = a = –b
1 1 x pero x 0 2 2
II. Calculando el conjunto B (de la inecuación) 1 Como x A ; 2 i)
1 x 0 : 2x 1 1 2 1 2x 1 1
Entonces: 2x–3 0 (3x+5=2x–3 3x+5=–2x+3) 3 (x = –8 5x = –2) x 2 2 x= – 5
Resolución: a) Aplicación de fórmula o teorema
x y x y x y
b) Solución del problema 2b 2a
2x 0
1 x 0 2
C.S.i
(x a b) x a b x a b (x a b)
Como: 3 –8 (F) 2
0 x 1 , pero
ii) x 0 : 1 1 11
– 2 3 (F) 5 2
Respuesta: C.S. = Problema 6 Resolver: |3x + 4| x + 10
Nivel intermedio
Resolución: Aplicando el teorema:
Conclusiones ab x0 Otra solución Tenemos: x ab x ab (2x) (2b – 2a) = 0
C.S. C.S.i C.S.ii 0; B 0;
Calculando A–B
x=0 a=b Recuerda: x y (x y)(x y) 0 Problema 8 Sean los conjuntos: A x / x x 1 y
|x| a (a 0) (–a x a)
B x A / x x 1 1
Entonces: x+10 0 (–x –10 3x + 4 x + 10) x –10 (–x–10 3x+4 3x+4 x+10)
Entonces podemos decir que A\B es: UNI 2009-II Nivel intermedio
LIBRO UNI
C.S.ii 0;
34
A B 1 ;0 2
Respuesta: D) 1 ; 0 2
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! Problema 9 Dada la siguiente relación: y y x x
diga cuál de las siguientes gráficas es la que le corresponde: UNI 2010 - I Nivel difícil
A)
B)
Resolución: Ubicación de incógnita Encontrar la gráfica de la relación.
Si: x 0 y 0 y x y x 2x 0 y x
Análisis de los datos o gráficos y y x x yx y x
Operación del problema Si: x 0 y 0 y x y x
Si: x 0 y 0 y x y x xy y
x
y
C)
D)
Si: x 0 y 0 y x y x 2y 0 y 0
Luego:
x
y
y
E) x
LIBRO UNI
35
Respuesta: D)
ÁLGEBRA
x
ÁLGEBRA
FUNCIONES DESARROLLO DEL TEMA La palabra función se escuchará muy a menudo en la misma vida diaria por ejemplo en las siguientes frases:
Por el diagrama del árbol A B AxB
1. 2.
m
Los precios están en función a la oferta y la demanda. El volumen de una esfera está en función del radio de la misma.
Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una regla o ley".
n
El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una definición formal, pero antes daremos algunos conceptos previos.
I.
p
(m,p)
q
(m,q)
r
(m,r)
p
(n,p)
p
(n,p)
q
(n,q)
r
(n,r)
Por el diagrama sagital o de Ven
PAR ORDENADO
A
B
m
p q
Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b) Donde: a: se llama 1.a componente. b: se llama 2.a componente. Que formalmente se define así: (a,b) = {{a}, {a, b}}
r
n
A B m,p , m, q , m,r , n,p , n, q , n,r Por el diagrama cartesiano
Teorema:
(a,b) = (m,n) a = m b = n
II. PRODUCTO CARTESIANO Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto cartesiano de A y B denotado por A x B se define: A xB
A B
a, b / a A b B
Ejemplo: Sean A = m, n , B p, q, r A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)} B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)}
m, p , m, q , m,r , n, p , n, q , n,r
III. RELACIONES Dados 2 conjuntos no vacíos, A y B se llama relación R de A en B a todo subconjunto de A x B. Ejemplo: Sea A = {m, n}, B = {p, q,r}
Vemos que:
A xB B x A A B LIBRO UNI
AxB
36
m,p , m, q , m,r , n,p , n, q , n,r ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! Ejemplo:
Se citan las relaciones:
m,p , n,p , n, r R 2 m, q , n, p , n, q R 3 m, q R1
f
A
IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función f es una correspondencia entre 2 conjuntos A y B tales que a cada elemento a A le co-
m
1
n
2
p
3
q
7
Df = A m, n, p, q , Rf 1, 3
rresponde un único elemento de B.
Observación:
Se llama función f al conjunto de pares ordenados (a,b) que: Para cada a A, !b B / a, b f asimismo:
a, b f (a, c) f b =
B
Si: x,y f función de A en B se denota, y = f(x), se dice:
c
y: es imagen de x bajo f. Ejemplo
x: es la preimagen de x bajo f. x: variable independiente. y: variable dependiente.
C. Cálculo del dominio y el rango El dominio se halla ubicando los posibles valores que f
puede asumir la variable independiente. El rango,
3, a , 4, a , 5,b
dependiendo del dominio considera los valores de
Cumple la definición, por tanto f es una función.
la variable dependiente.
Ejemplo:
Ejemplo:
A
f
f
B
3
m
7
n
9
p
Halle el dominio y el rango en: f x
3,m , 3,n , 7,p , 9,n
–
No se cumple la condición de unicidad.
–
No es función.
I)
25 x 2 x2 7
Df = x R / 25 x 2 0 x 2 7 0
2 = x R / x 5 x 5 0 x 7 0 x 5,5 x , 7
"No deben existir 2 o más pares ordenados con el
x 5 , 7
mismo primer elemento".
7;
Df = x 5 , 7
A. Dominio de una función
7,
7 ,5
Se llama así al conjunto de todas las primeras compoII)
nentes que coinciden con los elementos del conjunto de partida denotado por Df (dominio de f). Df = { x A / !b B a,b f}}
Rf = R+0
D. Gráfica de una función Se define como el conjunto de los pares (x,y)
B. Rango de una función
x, y R x R / x Df Rf
Es el conjunto de todas las segundas componentes de todos los pares ordenados de f, denotado por
Así:
Rf (Rango de f). Rf b B / a A a, b f
Sea: f 3,5 , 2, 2 , 1, 2 , 4, 3 , 5, 4
LIBRO UNI
37
A
B
C
D
ÁLGEBRA
E
FUNCIONES
Exigimos más!
D. Función escalón unitario
Observación: •
•
0, x a U x 1, x a
Si tanto la variable independiente "x" y la variable dependiente "y" son reales se llama función real en variable real. Si los pares son continuos la gráfica obtenida es una línea.
E. Propiedad de las funciones reales f es una función real de variable real si y solo si cada recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica.
E. Función signo (sig.x)
Ejemplo:
1 x 0 y Sig x 0 x 0 1 x < 0
V. FUNCIONES ESPECIALES A. Función identidad
F. Función máximo entero f x x n n x n 1,n Z
2 2 x 1 1 1 x 0 f x x 0 0 x 1 1 1 x 2 2 2 x 3
B. Función constante
y 2 1 -2
-1 O
C. Función valor absoluto
1 -1 -2
x x 0 f x x 0 x 0 x x < 0
LIBRO UNI
38
2
3
Df=R Rf=z
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! G. Función inverso multiplicativo f x 1 x
I. Función potencial f x xn / n N
/ x 0 ; f x 1/ x; x 0
VI. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
H. Función polinomial
En esta sección veremos una forma rápida de construir 1. Función lineal
las gráficas de algunas funciones definidas a partir de otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sentido, dada la gráfica de una función de base y = f(x)
f x ax b ; a 0
veremos primero la forma de construir rápidamente las gráficas de las funciones siguientes: 1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k 2. g(x) = -f(x);
g(x) = f(-x);
g(x) = -f(-x)
3. g(x) = af(x);
g(x) = f(ax);
( a 0)
4. g(x) = |f(x)|;
y
5. g(x) = f(x) [Todas en base a la gráfica y = f(x)] 2. Función cuadrática a 0
(1a) La gráfica de g x f x k se obtiene despla-
f x ax 2 bx c; de raíces x1, x2
zando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades:
Discriminante: = b2 – 4ac
i) Hacia arriba, si k > 0 ii) Hacia abajo, si k < 0 y g(x) = f(x)+2 y = f(x)
2
h(x) = f(x)-2 O
x
-2
(1b) La gráfica de g x f x h se obtiene despla-
3. Función cúbica
zando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en h uni-
f x ax 3 bx 2 cx d
dades: i) Hacia la derecha, si h > 0
Reemplazando x por x b se transforma en: 3a
k x 3 px q
ii) Hacia la izquierda, si h < 0
pues si f(x) = x2, entonces: f(x – 4) = (x – 4)2 = g(x) f(x + 3) = (x + 3)2 = j(x)
f1 x x 3 px q , de raíces x1, x 2 , x 3 llama-
mos discriminante: 2
q p 2 3
3
Donde en el caso de: j(x) = (x + 3)2 [x – (–3)]2 se tiene que: h = –3 (<0). Tenemos la gráfica correspondiente a continuación:
LIBRO UNI
39
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! Ejemplo: Como ilustración de los resultados anteriores. Hallaremos la gráfica de: y = g(x) = –(x – 2)2 + 1
Resolución: Sean f(x) = (x + 2)2 – 1, entonces: f(–x) = [(–x) + 2]2 – 1 = (x – 2)2 – 1 –f(–x) = –x(x – 2)2 + 1
Luego y = g(x) = –f(–x): (1c) La gráfica de g x f x h k se obtiene com-
y
binando (1a) y (1b) en cualquier orden.
3
y
2
y=f(-x+2)-1
2
f(x)=(x+2)-1 -2 -4 -3
y=(x-7)2 y=f(x)=x 2
2
1 -1
0 1
=(x-2)-1 1
2 3
7
2
x
O
x
4
g(x)=-(x-2)+1=-f(-x)
-3 2
g(x) = (x-7)-3
2
Note que pudimos haber graficado esta parábola di-
y=x -3 -3
rectamente, claro.
(7;-3)
(2a) La gráfica g x f x se obtiene por reflexión
(3a) La gráfica de y a f x . a 0 , se obtiene:
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje x. Considerando a
i) Estirando la gráfica de y = f(x) verticalmente en un factor a, si a > 1, con base en el eje X.
este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa. y
(3b) La gráfica de y f ax , a > 0, se obtiene:
-f
y=-f(x)
i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x) en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y.
x
O f
(2b) La gráfica
ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x) verticalmente en un factor a.
ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
y=f(x)
un factor a, si 0 < a < 1.
y f x se obtiene por reflexión
Gráfica de: y = |f(x)|
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a
Desde que:
este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa.
f x , si f x 0 y f x f x 0 f(x), si f x 0
y y=f(x)
f(x)=f(-x)
y=-f(x)
Entonces la gráfica de: y f(x) se encontrará completamente en el semiplano superior y 0 y se obtiene a
-x
O
x
partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando
x
hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x)
(2c) La gráfica de
que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo
y f x se obtiene combinado
eje x (es decir, en la zona y 0).
(2a) y (2b). LIBRO UNI
40
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
VII. FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIÓ-DICAS
si existe un número real T 0 , tal que: i)
x Domf x T Dom f ii) f (x + T) = f(x) . x Dom f
A. Función par Una función f se llama función par si: i) x Domf x Dom f
Tal número T es llamado un periodo de T. y
ii) f (–x) = f(x) En este caso la regla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza x por –x. Geométricamente, la gráfica es simétrica respecto al eje y.
f(x)
0
x
x+T T
x+2T x+3T
x
Note que f(x+T) = f(x)
Toda función periódica con periodo T tiene su gráfica de modo tal que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T se repite horizontal y periódicamente en el siguiente intervalo consecutivo de longitud T. Así tenemos que las funciones f(x) = x2, f(x) = Cosx,
Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T... también son periodos de f.
f(x) = x4, son funciones pares.
Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2 : Sen(x + 2 ) = Senx . Cos(x + 2 ) = Cosx; x R
B. Función impar Una función f se llama función impar, si:
También vemos que: 2 . 4 .6 ...2k
i) x Domf x Dom f ii) f (–x) = –f(x)
con k entero 0, son periodos de seno y coseno, siendo 2 el menor periodo positivo.
Aquí la regla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza simultáneamente tanto x por – x como y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica res-pecto al origen.
Definición Se llama periodo mínimo de una función periódica al menor de sus periodos positivos.
y f
VIII. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
f(x) -x 0
A. Igualdad de funciones
x
x
Dos funciones f y g son iguales si:
f(-x)=-f(x)
i) Dom f = Dom g
Son funciones impares: a) f(x) = x3 b) f(x) = sen x c) (x) = 1/x
ii) f(x) = g (x), x Dom f
En tal caso se denota f = g. Una función que es a la vez par e impar es, por ejemplo: f(x) = 0, x 5 , 2 2 ,5 .
Así tenemos que las funciones: f(x) = x2 –x, x 0, 4 ; g(x) x 2 x, x 0, 5
y
No son iguales, pues aunque tienen la misma regla -5
-2
0
2
5
de correspondencia, sus dominios no coinciden.
x
B. Adición de funciones
C. Funciones periódicas
Recordemos que una función está completamente
Una función f, en R, se denomina función periódica LIBRO UNI
41
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! definida cuando se especifica su dominio y su regla
Asimismo:
de correspondencia.
c.f
x, c f x / x Dom f
para cualquier constante real c. Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g, se define una nueva función llamada.
C. División de funciones Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g,
Función Suma
se define la nueva función "cociente" denotada por
"f + g", tal que:
"f/g", tal que:
i) Dom f g Dom f Dom g
i) Dom (f/g) = Dom f x Dom g / g(x) 0
ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
= Dom f Dom g x Dom g / g(x) 0
C. Sustracción y multiplicación de funciones Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen
ii)
las funciones:
f x
f / g x g
x
, x Dom (f / g)
La condición (i) exige que el dominio de f/g no 1. Diferencia "f – g"
debe contener los valores de x que hagan que
i)
Dom f g Dom f Dom g
g(x) = 0.
ii)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
Es así, que: f x f / g x, / x Dom f / g g x
2. Multiplicación "f . g" i)
Dom (fg) = Dom f Dom g
IX. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas 2 funciones f y g la función composición deno-
(f . g)(x) = f(x) g(x)
ii)
tado por fog se define así:
f g x f x g x / x Dom f Dom g
•
fog = {(x;y)|y = f(g(x))}
•
Dfog = x Dg g(x) Df
Esquematizando con el diagrama sagital:
f g x, f x g x / x Dom f Dom g
Notación La multiplicación de una función por sí misma:
f 2 f : f : f n f.f...f (n veces), n
Donde: Dom(fn) Domf Domf ... Domf Domf Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia entera positiva de f tiene el mismo dominio de la función f.
Ejemplo:
Así:
f = {(3;5), (4;3), (5;2)} 2
f
LIBRO UNI
x, f x .f x / x Dom f
g = {(5;3), (3;5), (7;2)}
42
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
X. FUNCIÓN INVERSA Definiciones previas.
A. Función inyectiva Llamada también univalente o uno a uno, se dice inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único valor del dominio. Formalmente: f es inyectiva si para:
x1; x2 Df x1 x 2 f(x1) f(x 2 )
Equivalentemente: f(x1) f(x 2 ) x1 x 2
fog = {(5;5), (3;2)} Ejemplo:
Ejemplo: Ver f(x) x 1 es inyectiva. x 1
f(x) 4x 3 , x 15, 22 g(x) 3x 1, x 7,14
Resolución:
•
(fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1
Sean x1 ; x 2 Df
•
Dfog x 7,14 3x 1 5, 22
Si: f(x1) = f(x2)
x
x1 1 x 2 1 x1 1 x 2 1
16 23 , 3 3
x 7,
23 3
x1 x 2
f es inyectiva.
fog(x) 12x 1 / x 7, 23 3
Teorema f es inyectiva si todo vector horizontal corta su gráfica a lo más en 1 punto.
Propiedades de la composición de funciones
Ejemplo:
Dadas las funciones f, g, h, I (identidad) 1.
(fog)oh = fo(goh) [asociativa]
2.
Si I es la función identidad: función f: foI = f Iof = f
3.
(f + g)oh = (foh) + (goh)
4.
(fg)oh = (foh) . (goh)
5.
fog goh, en general
6.
InoIm = Inm; n,m, Z+
7.
Ino(f + g) = (f + g)n, n Z+
8.
I n oIn | I |, para n par Z+
9.
I n o In In o I n I , n Z+, impar
1
1
1
LIBRO UNI
43
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! B. Función suryectiva (epiyectiva) x
Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjun-
f x 1 f x 1
f x x
f x x 1 x 1
to de llegada queda cubierto por el rango de ese modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada. Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1}
XII. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función identidad, así:
C. Función biyectiva Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez.
XI. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA Dada una función f
x, y / y f x
inyectiva se
Propiedades:
define la función inversa denotado por f* como lo que:
x, y / y f x , x Df y f x f* y, x / y f x , x Df x f * y f
f*
y; x / y f(x) x Df
y f x
De donde:
f * y x
x DF
Df* = Rf, Rf* = Df I. f * f x x; x Df Ejemplo: Halle la inversa de f(x) x 1 si existe. x 1 Resolución:
II.
Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva.
III. (fog)* = g* o f*
f f * y y; x Df* Rf
IV. (f*)* = f
su inversa
Para hallar la inversa se despeja "x".
LIBRO UNI
44
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
problemas resueltos Nivel difícil
Problema 1 Sean A y B conjuntos no vacíos, señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I.
Respuesta: C) VFF Problema 2
(1, 1)}
(x, y);(x,z) f {(x,y) /x A, yB} AxB
implica que y = z, entonces po-
g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5);
h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)}
II. Toda función sobreyectiva f: A B es inyectiva.
B)
0 ;1
C)
1;1
D)
0 ;
E)
(2, 1)}
demos decir que f es una función de A en B.
1 ;2
Dadas las funciones: f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4);
Si:
A)
;
Resolución: y K
1 ; x K x K
x K
1 1 x K ; y K y K y K
Determine la función compuesta f o g
III. Toda función inyectiva f: A B es
o h.
sobreyectiva.
UNI 2010-I Nivel intermedio
A) VVV
f * (x) K
1 ; x K x K
B) VFV
A) {(1, 0); (5, 1)}
C) VFF
B) {(3, –3); (5, –4)}
D) FFV
C) {(1, 1); (7, 1)}
Lo cual se cumple para cualquier valor
E) FFF
D) {(1, 1); (2, –3)}
real de K, es decir: K ; .
UNI 2010-I
f(x) f * (x)
E) {(3, –1); (7, 1)}
Respuesta: E) ;
Nivel fácil Resolución:
Resolución:
I.
Verdadero
f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
De acuerdo a la condición de unici-
g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)}
dad esta proposición es perfecta-
h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)}
Problema 4 El rango de la función f : 0 definida por: f(x) x 1 es: x
mente válida.
UNI 2007 - II
Calculando goh: goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)} II. Falso No necesariamente, por ejemplo: F : 1;2 0; 4
y F(x) x
f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
B)
2, 2
fo(goh) = {(1;1), (7;1)}
C)
1, 1
2
Es una función sobreyectiva, pero
A) 2, 2
Respuesta: C) {(1;1), (7;1)}
D) 1, 1 E)
0
no es inyectiva. Problema 3
Resolución:
Dada la función: III. Falso
f(x) K
No necesariamente, por ejemplo: F : 1;3 2; 4
1 ; x K xK
Halle todos los valores que puede y F(x) 2x 1
Es una función inyectiva, pero no
tomar K para que la gráfica de la función f y de su inversa sea la misma.
es sobreyectiva.
LIBRO UNI
UNI 2010-I
45
Sabemos: x1 2; x0 x x 1 2 ; x 0 x
f(x) 2 f(x) 2
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! Ranf = ; 2 2 ; 2; 2
Por 5:
II. Como tienen vértices iguales entonces:
13 7 x2 5 5
– b – n a b 2a 2m m n
Respuesta: A) 2, 2
x 2 7 13 5 f(x)
Problema 5
que g. Siendo:
Luego:
Dada la función: 5x 2 7x 8 f(x) x3/5
definida sobre
xb b3 4abc b2 4ac
7 f(x) 13
xn n2 4mp n3 4mnp
Rg f 7;13
De la segunda proposición se de-
3 3 , . 5 5
duce:
Respuesta: D) 7;13
Halle el rango de f .
UNI 2008 - I A)
B) C)
amb n b3 n3 es decir abc mnp
Problema 6
13 7 ; 5 5
En la figura adjunta se muestra las grá-
13 7 5 ; 5
ficas de las funciones f y g definidas
7 13 5 ; 5
f(x) = ax2 + bx + c
Solo I y II son verdaderas.
Respuesta: D) I y II
por:
g(x) = mx2 + nx + p
D) [7;13 E)
III. a > m, ya que f es más cerrada
7;13]
Resolución:
Problema 7 Sea P(x) = x3 – 3ax2 – a2x + 3a3, donde a > 0 y Q(x) = –P(x – a). Diga cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: UNI 2009 - II Nivel fácil Q(x) P(x); x 0 A) B) Q(x) P(x); x 0; a
Piden: Rango de
f .
C) P(x) Q(x); x a; 2a De las siguientes relaciones:
Siendo: f(x)
5x 2 7x 6 3 x 5
I.
n2 4mp
II.
a b m n
D) Q(x) P(x); x 2a;3a E) P(x) Q(x); x 3a
Resolución: Graficando la función P(x):
III. abc mnp
Tenemos:
¿Cuáles son verdaderas? f(x)
5(5x 3)(x 2) 5x 3
A) Solo I
P(x) (x2 a2 )(x 3a)
B) Solo II
Reduciendo:
P(x) (x a)(x a)(x 3a)
C) Solo III
f(x) 5(x 2) 3 3 Si: x ; , entonces: 5 5
3 x 3 5 5 Restando 2:
D) I y II E) II y III
Resolución: Del gráfico: f y g tienen raíces reales e
Graficando la función: Q(x) = –P(x – a)
iguales.
3 2 x 2 3 2 5 5
LIBRO UNI
I.
0 para g n2 – 4mp = 0 n2 4mp
46
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! Esbozando ambas gráficas:
Respuesta: A) 0; Problema 3 Indique la gráfica que mejor representa a:
g(x)
x2 4 3 , x
UNI 2008 - II Nivel difícil Respuesta: D)
Para x 2a; 3a la gráfica de la función Q(x) está en la parte superior del P(x). Q(x) P(x); x 2a;3a
A) Problema 10
Respuesta:
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es ver-
D) Q(x) P(x); x 2a; 3a
dadera (V) o falsa (F):
B)
Problema 8
I.
Sea f una función tal que:
con una función impar es una fun-
f x 2 x 2 x 4 x ; x 4 entonces Dom(f) Ran(F) es igual a:
Nivel 2009 - II
ción par. II. El producto de dos funciones imC)
pares es una función impar. III. La suma de dos funciones pares
Nivel intermedio
es una función par.
A) [0; B)
La composición de una función par
[1;
UNI 2011 - I
D)
0;
A) VFV
D) [4;
B) VVV
E)
C) FVV
C)
1;
D) FFV E)
Resolución:
E) VFF
Esbozando la gráfica de: x 2 x
Resolución:
(por álgebra de funciones)
Resolución:
Ubicación de incógnita
Tenemos:
Valor de verdad Operación del problema I.
F par :F(x) F(x) G impar : G(x) – G (x)
La expresión:
(FoG)(x) F(G(x))
x 2 x es inyectiva. Dom(f) = 0;
Ahora:
De donde:
(FoG)(x) F(G(x))
Analógicamente la expresión:
(FoG)(x) F(G(x))
2x 4 x
(FoG)(x) (FoG)(x)
es inyectiva:
F o G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (V)
2 x 4 x 4; Ran(f) = 4;
Dom(f)nRan(f) = 0;
LIBRO UNI
II. F impar: F(–x) = –F(x)
Luego:
G impar: G(–x) = –G(x) 47
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! (F.G)(x) F(x) G(x) (F.G)(x) F(x) G(x) (F.G)(x) – F(x) – G(x) (F.G)(x) F(x) G(x)
2 7 x 1 4 , x 2 D) x 12 1 , x 2 4
(F.G)(x) (F.G)(x) F . G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (F)
E) III. F par: F(–x) = F(x) G par: G(–x) = –G(x) (F G)(x) F(x) G(x) (F G)(x) F(x) G( x)
4;
E)
1;
Resolución: Ubicación de incógnita
2 1 1 x , x 2 2 4 2 1 7 x 2 4 , x 2
Dom(f); Ran(f) Análisis de los datos o gráficos
Resolución:
x f x 2 x 2 4 ; x 4 Rango Do min io
Ubicación de incógnita Determinar f + g
(F G)(x) F(x) G(x)
Análisis de los datos o gráficos (F G)(x) (F G)(x) F G es par _ _ _ _ _ _ _ (V)
D)
f : y f(x) x 2 2
Operación del problema Esbozando la gráfica de: x 2 x (por álgebra de funciones)
x; x 2 y f(x) x 4 ; x 2
Respuesta: A) VFV
g y g(x) x 2 2 Operación del problema
Problema 11 Dadas las funciones f, g: , de-
2 y f(x) g(x) x x 2 ; x 2 2 x x 2 : x 2
finidas por:
La expresión:
f(x) x 2 2 y g(x) = –(x2 + 2) Determine f + g.
UNI 2010 - II 2 1 7 x , x 2 2 4 A) 2 1 9 x 2 4 , x 2
B)
2 1 x 2 2 1 x 2
1 ,x 2 4
1 2 x 2 y f(x) g(x) 1 2 x 2
7 ; x 2 4 9 ; x 2 4
2 1 7 x ;x 2 2 4 Respuesta: A) 2 1 9 x 2 4 ; x 2
C)
f(x 2 x ) 2(x 4 x ), x 4
2
2
1 7 ,x 2 2 4
LIBRO UNI
Dom(f) = 0;
Analógicamente la expresión: 2 x 4 x , es inyectiva: 2 x 4 x 4;
5 ,x 2 4
1 9 ,x 2 2 4
es inyectiva.
Problema 12 Sea f una función tal que:
entonces Dom(f) Ran(f) es igual a: x x
x 2 x
UNI 2009 - II B)
0; 1;
C)
0;
A)
Ran(f) = 4;
Dom(f)nRan(f) = 0;
Respuesta: A) 0;
48
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
LOGARITMOS EN DESARROLLO DEL TEMA I.
TEOREMA DE EXISTENCIA DEL LOGARITMO Para todo par de números reales "a" y "b" tales que a 0; a 1 y b 0 , existe un único número real x, que cumple ax = b.
II. DEFINICIÓN DE LOGARITMO Sean los números reales "a" y "b", si a 0, a 1 y b 0, el número real x se denomina logaritmo del número b en base a y se denota por Logab si y solo si a x b . De la definición se tiene: x Logab a x b
1 2
IV. TEOREMAS SOBRE LOGARITMOS Sea la base real a, tal que a 0 a 1 1. Sea A y B reales, tal que: AB > 0: LogaAB Loga A Logb B
2. Sea A y B reales, tal que: A 0 B A Loga Loga A Logb B B
Loga n A 1 Loga A n 5. Sea A real, tal que: A 0, m n
x
2. Log 1 729 x 729 1 36 3x x 6 3
Log n Am m Loga A ; n 0 a n
3
Luego: Log 1 729 6
Colorario Si se eleva a un exponente "m" y se extrae raíz n-ésima a la base y número del logaritmo el valor de logaritmo no se altera.
3
3. Calcular el valor de "x" si cumple la igualdad: Log1/2 1024 3 x 3 x
4. Sea A real, tal que n N, n 2.Si A 0
1. Log2 64 x 64 2x 26 2x x 6
12
3 2
2 2
Loga A n nLoga A
Ejemplos:
1024
3
3. Sea A real, tal que n N An 0 .
Donde: a: base del logaritmo b: número del logaritmo c: logaritmo de b en la base a
Luego: Log2 64 6
•
Log
210 2 x 3 10 x 3
Loga A Log
an
x 13
A n Logn
n a
A ; A0
6. Si: A 0 B 0
III. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DEL LOGARITMO Si a 0; a 1 b 0 se cumple: aLogab b Ejemplos: • •
7. Cambio de base: Sea la base "c" donde c 0 c 1.
2LOg23 3 Logm 410
(m 4)
LIBRO UNI
Loga A LogaB A B
Logab
10, m 4 m 5 49
Logcb Logc a
ÁLGEBRA
LOGARITMOS EN
Exigimos más! Demostración: Por identidad: clogc b b (1)
1. Sistema decimal o de Briggs Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base es 10.
loga b
Por identidad: a b (2) Además: clogc a a (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
c
logc a
loga b
loga b
c
logc b
Notación: Log10N LogN
logc a loga b logc b
Se lee: Logaritmo de "N". En general:
logc b ; Logba Logab 1 logc a
Parte
LogN
Parte
;
entera
(característica)
A. Propiedad Logba ( Logba) 1
decimal (mantisa)
Teorema Sea todo N > 1 el número de cifras es igual a la característica más uno. Es decir:
1 loga b
# de cifras
B. Regla de la cadena
N característica 1
Si: a 0; a 1; b 0; b 1; c 0; c 1 d 0 se cumple: 2. Sistema hiperbólico o Neperiano Es aquel sistema cuya base es el número trascendental:
loga b logb c logc d loga d
C. Sistemas de logaritmos
1 1 1 1 ... 0 ! 1! 2 ! 3! e 2, 7182.... e
Cada base de logaritmos determina un sistema de logaritmos, en consecuencia existen infinitos sistemas de logaritmos para una base positiva y diferentes de 1; los sistemas más importantes son:
Notación: LogeN LnN
problemas resueltos Problema 1 Calcular el logaritmo de 8 en base 4. A) 1/2
B) 2
C) 3/4
D) 3/2
A) {1}
B)
34
E)
25
D)
C)
12
E) 5/2
Resolución: Según teorema tenemos:
Resolución:
A)
B) 10
10
C) 100
D)
1000
E) 10 2
Resolución: Según propiedad tenemos: LogxLog(x) Log(x) 2
x 1 1 x 2x 2 x 1
[Log(x)] Log(x) 2 0
4 8
Pero según definición de base x > 0;
Con el auxilio del aspa simple conse-
22 23 2 3 3 2
x 1.
guimos:
CS
[Log(x) – 2] [Log(x) + 1] = 0
Sea " " el logaritmo pedido, luego: Log4 8 = Según la definición:
2
Log(x) = 2 log(x) = –1
Respuesta: C) Respuesta: D) 3/2
Problema 2 Resolver: xLogx (x 1) 1 x
LIBRO UNI
Problema 3 Determine el mayor valor de x en: LogxLog(x) = Log(x) + 2 UNI 2007 - I Nivel difícil
50
x = 102 x = 10–1 1 x = 100 x = 10 Mayor valor de x = 100
Respuesta: C) 100
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS DESARROLLO DEL TEMA I.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA y
x y=Log 2 x
A. Definición
+1/4 1/2 1 2 4 8
Dado un número real b (b 0; b 1) llamamos función logarítmica de base b a la función de f de R+ en R que asocia a cada x el número de Logbx. En símbolos: F : | y f(x) logb (x)
4 3 2 1
-2 +1 0 1 2 3
-1 -2 -3 -4
(5,Log25)
(8,Log28)
Log25 Log28 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
Ejemplos: Nótese que: 5 < 8 y Log25 < Log28 En general si b > 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
B) g(x) Log 1 x
A) f(x) = Log2x
2
C) h(x) = Logx
D) p(x) = Ln x
Observaciones y=Log x
a) y Logbx x b y De donde concluimos que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de la otra.
b
Log r Logbs
b) Para la función y f x Logb x
1
Log m b
Dominio Df 0, x 0 Rango Rf R y Logb x R
r
s
Propiedades 1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado (1,0) pertenece a la función. 2. Si: r < s entonces Logbr < Logbs. 3. Si: r > 1 entonces Logbr > 0. 4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
B. Gráfico de la función logaritmo 1. Caso I Si b > 1. Ejemplos: A) f(x) = Log2x
2. Caso II Si 0 < b < 1.
B) g(x) = Logx
Ejemplos:
C) h(x) = Log4x D) p(x) Log x 2
A) f(x) Log 1 x
B) g(x) Log
1
2
Graficaremos:
C) h(x) Log 3 x
y f x Log2 x LIBRO UNI
b
m
es una función creciente
D) p(x) Log 1 (2x)
4
51
x
3
5
ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Exigimos más! •
El dominio de esta función es todos los reales, es decir: Df , R .
•
Por propiedad: si x R y a 0 . entonces: a x > 0, por tanto el rango es:
Graficaremos: y f x Log 1 x 2
Rf 0,
B. Gráfico de la función exponencial x y=Log 2 x 8 4 2 1 1/2 1/4
1. Caso I Si a > 1.
-3 -2 -1 0 1 2
Ejemplos: A) f(x) 2x
B) g(x) 3x
C) h(x) ( 3) x
D) p(x) 10 x
E) q(x) 3 2
En general: si 0 < b < 1, la gráfica tiene la forma siguiente: y
x
F) r(x) 5 4
x
Graficaremos: y = f (x) = 2x y x -3 -2 -1 0 1 2 3
Logbm r m 1
s
Log r b
x
Log s b
y= Logbx
y=2
y=2
x
8 7 6 5 4 3 2 1
x
1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
es una función decreciente
x
En general Si a > 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
Propiedades 1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado (1,0) pertenece a la función.
x
y=a (a1)
y
2. Si: r < s entonces Logbr > Logbs.
Es una función creciente
3. Si: r > 1 entonces Logbr < 0. 4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
II. FUNCIÓN EXPONENCIAL A. Definición m am
Dado un número real a, tal que 0 a 1; se llama función exponencial de base a la función que asocia a cada x real el número ax . y = f(x) = ax.
B) g(x) 1 2
C) h(x) 3x
D) p(x) 10 x
E) q(x) ( 2)x
LIBRO UNI
x
F) r(x) 1 3
as
1
a
0
r s
x
Propiedades 1. f(0) = a° = 1, es decir el par ordenado (0, 1) pertenece a la función. 2. Si r < s entonces ar < as, ó si s > r entonces a s > a r. 3. Si r < 0 entonces ar < 1.
Ejemplos: A) f(x) 2x
r
4. Si m < 0 entonces am < 1. x
2. Caso II Si 0 < a < 1. 52
ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Exigimos más! Ejemplos: A) f(x) 1 2
x
B) g(x) 1 10
1 C) h(x) 3
Propiedades 1. f(0) = a0 = 1, es decir el par ordenado (0, 1) pertenece a la función. 2. Si r < s entonces ar > as, ó si s > r entonces a s < a r. 3. Si r < s entonces ar > 1. 4. Si m > s entonces am < 1.
x
x
D) p(x) (0, 8) x x
Graficaremos: y f(x) 1 2x 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3
1 y 2
x
1 y 2
x
y
C. La función exponenciaL de Base "e" y=2
•
x
8
•
8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
4
1 1 1 1 1 1! 2! 3! 4 ! n! El valor de "e" con siete decimales de aproximación es: e = 2,7182818... e 1
• 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
La gráfica de y = ex es:
En general Si 0 < a < 1 la gráfica tiene la forma siguiente: y
La función y = ex donde "e" es número irracional trascendente juega un rol muy importante en las matemáticas. Las aproximaciones del número "e" se pueden determinar con la expresión:
y
r
y=a ; 0 a 1
x y=e
Es una función creciente
a
r s
a
1
r s
0 m
x
4
-3 -2 -1 0 1 2 3
problemas resueltos Problema 1
También: g(x) = Log 3 x
Operando:
Sea S el conjunto solución de la ecuación, en R: x 3 7x 2 15x 9
1 3 logx 5
Halle la cantidad de elementos de S.
UNI 2010 - I Nivel fácil A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
C) 2
5
3 x 7x2 15x 9 Log 3 x f(x) 5
Cuya gráfica:
g(x) 3
2
Tenemos: f(x) = x – 7x + 15x – 9 Factorizando: f(x) = (x – 1)(x – 3)2 Cuya gráfica:
Luego:
Resolución: Analizando: x 3 7x 2 15x 9
1 ;x 0 x 1 3 logx 5
LIBRO UNI
53
x
8
x
-3 0,05 -2 0,14 -1 0,37 0 1 1 2,72 2 7,39 3 20,09
y=e
ÁLGEBRA
x
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Exigimos más! Número de soluciones de la ecuación se encuentra a partir del número de intersecciones de las gráficas de f(x) y g(x) no encontrándose intersecciones entre estas dos gráficas.
m2 m 1 0; m 0 m
Problema 2 Determine el conjunto solución de la inecuación: 4x – 4–x < 1. UNI 2008 - II Nivel intermedio A)
1 5 0;Log4 2
Resolución:
; 0
C)
;Log4 1 5 2
D)
E)
;
1 5 2
5 1 ;Log4 2
Resolución: Piden: 4x = m; m > 0
1 1 4x Reemplazando el cambio de variable:
m 1 1 m
LIBRO UNI
– 3x – 1 3x 2
Si: x 0 Eliminando los valores absolutos: 3x+1 – (3x – 1)= 3x + 2
Tenemos: 3x = 1 x 0
Entonces:
Si: –1 x 0 m 0 Eliminando los valores absolutos: 3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
1 5 2
0m
Reduciendo: 3x+1=3
Luego: x
4
1 5 log4 2 4
x log4 1 5 2
Tenemos: x + 1 = 1 de donde: x = 0 0 1 x 0 Si: x < –1 Eliminando los valores absolutos: x
3–x –1 3 x – 1 3 2 1 5 -; log4 2
4 x 4 x 1 4x
x 1
Reduciendo: 3x 3 2 3x 1 0
Respuesta: C)
Tenemos:
3
1 5 1 5 V.C. ; 2 2
1 5 1 5 m ; 2 2
B)
A) –4 D) 2
Reduciendo: m2 m 1 0
Respuesta: A) 0
UNI 2008 - I Nivel difícil B) –2 C) 0 E) 4
Efectuando:
Problema 3 Si {x1; x2} es el conjunto solución de: 3 x 1 3x 1 3x 2
entonces la suma de x1 y x2 es:
54
Reduciendo: 3–x–1 = 3 Tenemos: –x – 1 = 1 De donde:
x –2 \ C.S. {–2;0}
Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
CÁLCULO DE LÍMITES DESARROLLO DEL TEMA I.
II. DEFINICIÓN
NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITES
El número L se llama límite de la función real de una
Consideremos una función real de variable real:
variable real f en el punto x 0 (x 0 no pertenece x3 x f(x) ;x 0 x
necesariamente al Dom(f); si para cada 0 , es posible hallar un que depende de , tal que:
Se observa que el equivalente será:
0 ; 0 / x Domf 0 x x 0 f(x) L
f(x) x 2 1; x 0
Se dice que L es el límite de f(x), cuando x tiende a x0 y se escribe como:
¿Qué sucede si x asume valores muy cercanos a cero? f(x) asumirá valores muy cercanos a 1, dándole un enfoque geométrico: Y
lim f(x) L
x x0
f
III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y f L
f(x) L
1 0
(valores por la izquierda)
x
f(x) L
X
(valores por la derecha)
Se observa que, a medida que x se acerca a 0, ya sea por la derecha o por la izquierda, entonces f(x) se acerca a 1. Es decir: Si x tiende a 0, entonces f(x) tiende a 1. Simbolizando:
X0 X X0
X0
X
IV. TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE Sea A una función real de una variable real y x0 no
lim f(x) 1
x 0
pertenece necesariamente al Dom A.
o en forma equivalente: lim A(x) L1 lim A(x) L 2 L L 1 2 x x x x
lim (x 2 1) 1
0
0
x 0
A. Teoremas
Para obtener el valor de 1 se ha reemplazado en f(x) = x2 + 1 el valor x = 0, así:
Sean: f g dos funciones reales de variable real y además "a" un punt o que no pertenece
lim f(x) f(0) 02 1 1
x 0
LIBRO UNI
necesariamente a: Domf Domg =
55
ÁLGEBRA
CALCULO DE LÍMITES
Exigimos más! Si:
lim f(x) A
Teorema:
lim g(x) K
x a
x a
lim f(x) lim f(x) L lim f(x) M x a+ x a xa
Entonces: 1. 2. 3. 4.
lim (f g)(x) A + K
Es decir existe el límite de una función, sí y solo si
x a
existen los límites laterales y son iguales.
lim (f g)(x) A K
x a
VI. TEOREMA SOBRE LÍMITES INFINITOS
lim (f g)(x) A K
x a
lim
1 x
lim
1 x
Si c R lim cf (x) c A
1.
Si K 0:
2.
lim f (x) A K x a g
3. Si "n" es un entero positivo, entonces:
x 0
x a
5.
x 0
1 xn ; sin es impar 1 b) lim x 0 x n ; si n es par
V. LÍMITES LATERALES
a) lim x 0
A. Definición 1 Se dice que L es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia "a" por la derecha y se denota por:
4. Sean f y g dos funciones tales que:
lim f (x) L
x a+
Geométricamente:
lim f (x) lim g (x) x
x
entonces: A lim f(x) g(x)
lim f(x) g(x)
;
x
x
Generalmente, al calcular el Lim f(x) es necesario x a
calcular los límites laterales de f(x) cuando la función tiene diferentes reglas de correspondencia para x
B. Definición 2
< a y x > a. Es decir, usando los siguientes símbolos, podríamos resumir así: I. () () II. () () III. () ()
Se dice que "m" es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia "x" por la izquierda y se denota por lim f(x) M x a
Geométricamente:
Nota: Cuando se tienen funciones racionales, el análisis del comportamiento en . Se realiza dividiendo el numerador y el denominador por la mayor potencia de la función racional.
LIBRO UNI
56
IV.
() ()
V.
() ()
VI.
; n 0 (par) ()n ; n 0 (impar)
ÁLGEBRA
CALCULO DE LÍMITES
Exigimos más! ; K 0 VII. K() ; K 0
; si n m a L 0 ; si n m b0 0 ; si a n m
; K 0 VIII. K() ; K 0
VII.CÁLCULOS DE LOS LÍMITES
VIII.TEOREMA SOBRE LÍMITES AL INFINITO
A. Forma indeterminada 0 0
Si n es un entero positivo cualquiera, entonces: 1 1 0 lim 0 lim n x xn x x
Si se reee mplaza x por el va lor del x 0 correspondiente se obtiene la expresión 0/0, efectuaremos ciertas operaciones algebraicas para levantar la indeterminación.
Sea : f : R R definida por f(x) = 1+ 1 x
B. Forma indeterminada
x
1 entonces : lim 1+ e 2, 71828... x x
Sea: L lim
Para las formas indeterminadas ; 0 se trata de transformarlas a una de las dos formas:
a0 xn a1x n 1 a2 x n 2 ... an b0 x m b1x m1 b2 x m2 ... bm
0 0
Entonces de acuerdo al valor de los grados n y m de los polinomios se tiene:
ó
.
problemas resueltos Problema 1
Efectuando:
Calcular:
Evaluamos: x
Lim
x 0
3x 3 Lim x
6 2 0 1 1
x( 3 x 3)
Luego:
x 0
UNI Nivel fácil 1
A) C) E)
B)
2 3
1 3
D)
Lim
x 0
1
1
3x 3
3 3
1 2 3
1 3 2
Respuesta: A)
3
1 2 3
2 2 3
Resolución:
Problema 2 Calcular:
UNI
3x 3 Lim x
x 0
Evaluamos: 3 x 3 0 0 0
Lim
x 0
( 3 x 3) ( 3 x 3) . x ( 3 x 3)
LIBRO UNI
2(x 2)(x 1) Lim x 1 (x 1)(x 2 x 1)
2(x 2) 2(1 2) Lim 2 2 x 1 x 2 x 1 1 11
Nivel intermedio A) -2
B) –1
C) 2
D) 1
Respuesta: A) -2 Problema 3 Evaluar:
E) x
Resolución: Tenemos:
Luego:
Efectuando:
Simplificando:
6 2 Lim x 1 x 1 x 3 1
Tenemos:
6 2(x 2 x 1) Lim x 1 x 3 1 (x 1)(x 2 x 1)
Lim x 2 x 5 x
x
6 2 Lim x 1 x 1 x 3 1
57
UNI Nivel intermedio
ÁLGEBRA
CALCULO DE LÍMITES
Exigimos más! A) C)
7 2
B)
5 2
D)
2 4 3 2
2 E) 7
2 5
Reduciendo: Lim
Racionalizando:
x
x 2 x 5 x x 2 x 5 x Lím x x 2 x 5 x
10 ) x x 1 7 10 x x x2 x(7
7x 10
x2 7x 10 x
Simplificando: 10 ) 7 x 2 7 10 1 1 x x2 (7
Resolución: Tenemos: Lim x 2 x 5 x
x
Efectuando: Lim
x
Evaluamos:
LIBRO UNI
Lim
x
(x 2)(x 5) x 2 (x 2)(x 5) x
58
Respuesta: A) 7/2
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
DERIVADAS DESARROLLO DEL TEMA Dada la ecuación y = f(x), generalmente, si cambiamos el valor de x es lógico pensar que cambie el valor de y. Trataremos de hallar una relación que nos permita, de alguna manera, medir estos cambios. Esta idea será sumamente fructífera ya que muchos problemas reales (físico y/o geométricos) requieren analizar la relación entre las variaciones de dos magnitudes. Veamos algunas consideraciones elementales que nos van a permitir tener una visión más clara de esta idea. Consideremos una función "f" real de variable real continua en el intervalo a; b tal que y = f(x). Sea x 0 a; b , es decir a < x0 < b. Si al punto x0 le sumamos una cantidad pequeña x llamada incremento, encontramos el punto x x 0 x, supondremos que el punto x a; b . El incremento que experimenta la función al pasar del punto x0 a x x0 x, lo representaremos por y , siendo por tanto y f(x) f(x 0 ), tal como se observa en la figura adjunta:
De donde: Tan()
y f(x) f(x 0 ) x x x0
y f(x) mx b
y0 f(x 0 ) mx 0 b Entonces: Tan()
(mx b) (mx 0 b) m x x0
Luego:
tg m m Tan () se le llama "pendiente" de la recta
Se observa además que la pendiente de la recta Luego el cociente de los dos incrementos se llama "cociente incremental", entonces:
. :
y = mx + b es el coeficiente principal.
y f(x) f(x 0 ) x x x0
I.
DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN Se denomina derivada de la función f a la función denotada por f' cuya regla de correspondencia es:
Si trazamos una recta que pase por los puntos (x0, f(x0)) y (x, f(x)) cuya ecuación es: y = mx + b, se tiene:
LIBRO UNI
f '(x) Lim f(x h) f(x) h0 h
59
ÁLGEBRA
DERIVADAS
Exigimos más! Donde su dominio está formado por los valores de x del dominio de f, para los cuales el límite dado existe. En este caso decimos que f es derivable o diferenciable.
Y ahora haciendo que h 0, la pendiente de la recta (que ahora es tangente) es: f(x h) f(x) ms Lim h h0
Otras notaciones Además de la notación f(x) para la derivada de y = f(x) se utilizan: y' ;
Y es lo que hemos definido como la derivada de f. En conclusión:
dy df(x) ; ; D ,y dx dx
Se lee: “Derivada de f con respecto a x”.
II. REGLA GENERAL PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f(x h) f(x) f(x x) f(x) f(x) Lim Lim h x h0 x 0 • •
•
f'(x) representa geométricamente (en caso de existir) a la pendiente de la recta tangente (de la gráfica de f) en el punto (x, f(x)), con x Domf y donde Domf ' Domf .
Se suma a la variable x un incremento x 0 y se calcula f(x x). Se forma el incremento y de la función correspondiente al incremento x de la variable x, es decir, se calcula y f(x x) f(x). Se divide ambos miembros por el incremento x es decir:
IV. DERIVADAS LATERALES Dada la función f real de variable real definidos y denotamos:
y f(x x) f(x) x x
•
A. Derivada por la derecha de f en el punto x0 f(x 0 h) f(x 0 ) h
f' (x 0 ) Lim
y Se calcula f(x) lim x 0 x
h0
Si tal límite existe.
B. Derivada por la izquierda de f en el punto x0
III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
f' (x 0 ) Lim
Consideremos al gráfico de la función f, representada por la curva y = f(x), tomemos los puntos A y B, el punto B muy próximo al punto A cuyas coordenadas son (x, f(x)) como se muestran en la figura:
h 0
f(x 0 h) f(x 0 ) h
Si tal límite existe.
Observación Es consecuencia inmediata de la definición de límite que f(x) existe sí y solo sí las derivadas laterales existen y son iguales. f '(x )=f ' (x ) f ' (x ) 0
+
0
0
Por lo tanto f es diferenciable en x0. •
•
Teorema Si la función f es diferenciable en x0 entonces f es continua en x0.
En este caso hemos supuesto un h > 0. Observamos que B es un punto de la gráfica de F que se desliza a través de ella a medida que variamos h. Si hacemos que h se aproxime a cero, la recta AB ini-cialmente secante se convierte en tangente. Observamos que antes de hacer esta aproximación de h a cero, la pendiente de la recta AB era: ms
LIBRO UNI
Observaciones • •
f(x h) f(h) h
60
Si la función no es continua en x0, entonces f no es diferenciable en x0. Si f es continua en x0, no se puede afirmar que f sea diferenciable en x0.
ÁLGEBRA
DERIVADAS
Exigimos más! Corolario Si la función f es diferenciable sobre el intervalo I, entonces f es continua sobre I.
VIII. APLICACIONES DE LA DERIVADA A. Valores extremos
Observación
Se llaman valores extremos de una función a todos sus máximos y mínimos relativos. Si f'(x) existe y si f'(x 0 ) es un valor extremo entonces la recta tangente en este punto debe ser horizontal, esto equivale a que: f'(x0) = 0.
Sea f una función definida en [a; b]; a < b diremos que f es diferenciable en todo el intervalo [a; b] ' si lo es en a; b y además existen f' (a) y f (b).
Teorema Si una func ión f satisface las s iguientes 3 características: • f tiene un valor extremo en el punto x = a. • f esta definida en un entorno N(a) de a. • Existe f'(a).
V. DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES A. Teoremas 1. Sea "c" una constante. Si f(x) = c, entonces
B. Teorema de L' Hôspital
f '(x) 0; x .
2. Si f(x) = x, entonces f '(x) 1; x .
Si: Lim
3. Sea "n" . Si f(x) = xn, entonces f '(x) nx n1 ,
x a
f(x) L g(x)
x . sea de la forma:
VI. ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS
0 ó 0
Se puede considerar el límite pero con las correspondientes derivadas:
A. Teorema Sean f y g diferenciables en un intervalo I y c es
L Lim
una constante, luego.
x 0
1. f g es diferenciable en I y (f g) '(x) f '(x) g '(x); x I
f(x) f '(x) f ''(x) Lim Lim ..... L g(x) x 0 g '(x) x 0 g ''(x)
C. Criterio de la primera derivada
2. c f es diferenciable en I y
Si C un punto crítico de f si existe un intervalo [a; b] donde f es continua y C a; b , entonces:
(cf) '(x) c f '(x); x I
3. f g es diferenciable en I y (f g) '(x) f '(x) g(x) f(x) g '(x); x I
f '(x) 0; x a; c 1. y f '(x) 0; x c;b
f(c) es un máximo relativo de f
4. f/g es diferenciable en I, si g(x) 0 , x I y
f '(x) 0; x a; c 2. y f '(x) 0; x c;b
f(c) es un mínimo relativo de f
f '(x) g(x) f(x) g '(x) f ' g (x) 2 g(x)
D. Concavidad y puntos de inflexión Sea f una función continua sobre un intervalo a; b al cual pertenece x0 tal que f''(x0) = 0.
VII.DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
f ''(x) 0; x a; x 0 (x 0 ; f(x 0 )) f ''(x) 0; x x 0 ;b
1. Si f(x) = Senx, entonces f'(x) = Cosx; x
1.
2. Si f(x) = Cosx, entonces f'(x) = –Senx; x
Es un punto de inflexión
3. Si f(x) = Tanx, entonces f'(x) = Sec2x: x (2k 1) , k 2
2.
x 0 ; f(x 0 )
Es un punto de inflexión
4. Si f(x) = Cotx, entonces f'(x) = Csc2x; x k, k 5. Si f(x) = Secx, entonces: f '(x) Secx Tanx ; x (2k 1) , k 2 6. Si f(x) = Cscx, entonces:
E. Raíz de multiplicidad Dado un polinomio P(x) de grado no menor que dos. Si X0 es una raíz de P(x) cuya multiplicidad es k, se cumple:
f '(x) Cscx Cotx ; x k, k
LIBRO UNI
f ''(x) 0; x a; x 0 f ''(x) 0; x x 0 ;b
61
ÁLGEBRA
DERIVADAS
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1
de L'Hôpital y se tiene que: lim
Calcular: lim tgx 8 lim sec x 10 x
x
2
f(x) f '(x) lim g(x) x g '(x)
Resolución:
2
tgx 8 lim 1 sec x 10 x
2
Problema 2 Resolver aplicando el teorema de L'Hôpital:
tgx 8 sec x 10
lim
x 2
Da lugar a una indeterminación del tipo . Llamemos:
g(x) sec x 10
Entonces f y g son derivables en su domino de definición (en particular en y en un entorno suyo): 2 1
f '(x) sec x
g '(x)
1 2
y
cos2 x
senx
(senx)
cos 2 x
cos x De este modo: 1 2 f '(x) cos x lim lim g '(x) senx x x 2 2 cos 2 x
2
lim
x 2
lim x
2
cos x cos 2 x senx 4 1 senx
0 (L'Hôpital)= 0
lim
senx x cos x 0 (L'Hôpital)= senx 0
lim
cos x cos x (senx) x 2 2 cos x 1
x 0
x 0
Problema 4
Resolución: 1
x 0 Ln(1 x)
1 10 cos x
2
1 lim 1 x x 0 Ln(1 x)
lim
f(x) = tgx – 8 y
x senx
lim
x 0 1 cos x
2
Resolución:
x senx
x 0 1 cos x
1
lim
x0 Ln(1 x)
Si deseas cercar un jardín rectangular y si tienes 200 metros de cerca, ¿cuáles son las dimensiones del jardín más grande que puedes cercar?
1 x
x Ln(1 x) 0 1 lim x x0 x Ln(1 x) 0
1 1 1x
(L'Hôpital) lim
x 0 Ln(1
x) x
1 1x
C) 70
D) 80
1
1 x) (1 x) 1 1x 1 1 lim 2 x 0 Ln(1 x) 2
Resolución: Tenemos:
0 (L'Hôpital) 0
lim
B) 60
E) 200
x 1x lim x 0 (1 x)Ln(1 x) x 1x x lim x 0 (1 x)Ln(1 x) x
x 0 Ln(1
A) 50
Dato:
Al ser f y g son derivables en un entorno de podemos aplicar la regla 2
Problema 3 Resolver aplicando el teorema de L'Hôpital:
LIBRO UNI
62
2x + 2y = 200 x + y= 100 y = 100 – x
Maximizando el área: f(x) = xy Entonces: f(x) = x(100 – x) f(x) = 100x – x2 f'(x) = 100 – 2x = 0 ÁLGEBRA
DERIVADAS
Exigimos más! Resolución:
Luego:
Luego:
x = 50; y = 50
f''(0) = 6 > 0 entonces f(0) = 0 es un mínimo relativo.
Dimensiones: Largo: 50 m
f''(2) = –6 < 0 entonces f(2) = 4
Ancho: 50 m
es un máximo relativo.
Respuesta: A) 50 Problema 5 Hallar los valores extremos de: f(x) = 3x2 – x3
Problema 6 En un cono de altura 16 cm y radio 9 cm se inscribe un cilindro de radio r. Determine el radio y la altura del cilindro de mayor volumen si sabemos que tiene radio entero.
VO’B
Nivel difícil
Tenemos: f(x) = 3x2 – x3 f'(x) = 6x – 3x2 = 3x(2 – x) Puntos críticos:
x=2
f''(x) = 6 – 6x
LIBRO UNI
64 A) 4 , 9
80 B) 5 , 9
16 C) 6 , 3
32 D) 7 , 9
VOA
9 r H 16 16r 16 16 H 9
UNI
Resolución:
x=0
•
•
Vcilindro r2(16
16r ) Derivando 9
2 32r 48r 0 r 6 9 16 H 3
Respuesta: C) 6 , 16 3
E) 8 , 16 9
63
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
FUNCIÓN POLINOMIAL DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN
Propiedades
Una función polinomial es una expresión algebraica racional entera, cuya forma general es:
Sea y = F(x) una función polinomial de grado no menor que tres ([F]° 3) cuya gráfica aproximadamente es:
F(x) a0 xn a1xn1 a2 xn 2 ... an1x an ; n Donde: x = variable o indeterminada a0, a1, a2, ... y an son los coeficientes, todos ellos son números reales a0xn es el término dominante siempre que an 0 a0 = Coeficiente principal an = Término independiente de x, es un número real, también se le llama término constante.
1. Cada punto que corresponde a la gráfica de la función de modo que la gráfica de y = F(x) cruza al eje x indica la presencia de una raíz simple o de multiplicidad impar. De la gráfica: x1 y x2 pueden ser raíces simple o raíces de multiplicidad impar de la función. 2. Cada punto que corresponde a la gráfica de la función de modo que la gráfica de y = F(x) es tangente al eje x indica la presencia de una raíz de multiplicidad par. De la gráfica: x3 es una raíz de multiplicidad par de la función y = F(x).
Observación: Las funciones constante, lineal y cuadrática que se obtienen cuando n = 0; n = 1 y n = 2 respectivamente son casos particulares de una función polinomial.
II. CERO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL También llamado raíz, sea y = F(x) una función polinomial no constante, es decir [F]° 1, un cero de la función es el valor que asume su variable de modo que la función se anule. Matemáticamente: F(x 0 ) 0 x x 0 es un cero de F(x)
III. TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN DE RAÍCES
Teorema: Si x = x0 es un cero de F(x), entonces un factor de F(x) será el binomio (x – x0). Ejemplo: Dado el polinomio F(x) x 5 – 2x + 1 fácilmente podemos notar que F(1) = 0, luego afirmamos que x = 1 es un cero de F(x) y por tanto (x – 1) es un factor de F(x).
Sea y = F(x) una función polinomial de grado no menor que dos, luego para la ecuación F(x) = 0, tenemos: 1. F 1 = 0, es la ecuación que tiene por raíces a los x recíprocos de las raíces de F(x) = 0. 2. F(x + h) = 0, con h , es la ecuación que tiene como raíces a las raíces de F(x) = 0 disminuidas en "h". 3. F(x – h) = 0, con h , es la ecuación que tienen como raíces a las raíces de F(x) = 0 aumentadas en "h". 4. F(k . x) = 0, con k , es la ecuación que tiene como raíces de F(x) = 0 divididas por "k".
Observación El cero o raíz de una función polinomial F(x) de grado mayor o igual que dos, puede ser simple o múltiple. 1. Es simple si x = x0 solo determina al factor (x – x0) no se repite en F(x). 2. Es múltiple si x = x0 determina el factor (x – x0)m, con m N/m 2, es decir (x – x0) es un cero de multiplicidad "m". LIBRO UNI
64
ÁLGEBRA
FUNCIÓN POLINOMIAL
Exigimos más! B. Teorema de Gauss
5. F x = 0, con k , es la ecuación que tiene k como raíces de F(x) = 0 multiplicadas por "k".
Permite analizar la existencia de alguna raíz racional de la función F(x), cuyo grado es n 2 y término independiente distinto de cero. Sea la función polinomial: F(x) a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an Donde: a 0, a1, a2, ... an Si x0 es una raíz racional de F(x) = 0 ésta será de la
IV. TEOREMAS ADICIONALES A. Teorema de Descartes Frecuentemente llamado Regla de los signos de Descartes, esta referido a la cantidad de raíces positivas o negativas que puede tener una función polinomial F(x) de grado n 2 con coeficientes reales. 1. El número de raíces positivas de la ecuación F(x) = 0, será igual al número de variaciones de signos que presente los coeficientes de F(x), o, es menor que esta cantidad en un número par. 2. El número de raíces negativas de la ecuación F(x) = 0 será igual al número de variaciones de signos que presenten los coeficientes de F(–x), o, es menor que esta cantidad en un número par.
p , donde p y q son primos entre si, de q modo que p es un divisor del término independiente de x en F(x) y q es divisor del coeficiente principal en F(x). forma x0 =
C. Teorema de Bolzano Consideremos una función polinomial F(x) cuyo grado es n 2 y de coeficientes reales. Si a < b y F(a) • F(b) < 0, entonces existe al menos una raíz real de F(x) que pertenece al intervalo a;b (o en general un número impar de raíces reales). Ejemplo: Para: F(x) x 3 + 2x – 4 Se observa que: F(1) = –1 y F(2) = 8 Por lo que: F(1) • F(2) < 0 Luego por el teorema de Bolzano existe una raíz real x0 que pertenece al intervalo 1; 2 , es decir: 1 < x0 < 2
Observación: Llamaremos variación de signos de los coeficientes de un polinomio ordenado en forma decreciente al paso de un coeficiente positivo, a un coeficiente negativo o viceversa.
problemas resueltos Problema 1 La función polinomial: 2 F(x, y, z) (x y)(y z 3) [(Z y)(y x 3)]4 (x y z 3)2
tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es igual a: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución: 2 4 (x y)(y z 3) (z y)(y x 3) 0
2
0
(x y z 3) 0 0
Se genera un sistema de ecuaciones: x y 0 y z 3 0 z y 0 y x 3 0 x y z 3 0 De donde: x y 0 x y 0 z y 0 1. 2. y x 3 0 x y z 3 0 x y z 3 0 C.S. (1,1,1) C.S. y z 3 0 C.S. 3. z y 0 x y z 3 0
LIBRO UNI
y z 3 0 4. y x 3 0 C.S. (2; 1,2) x y z 3 0 N es igual a 2
Respuesta: C) 2 Problema 2 Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales 2 3 y 3 2. Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
Resolución: Por el teorema de la paridad de raíces irracionales: Si una raíz es 3 2 la otra será (3 2) la cual origina el polinomio cuadrático (x2 + 6x + 7). Análogamente: Si la otra raíz es 2 3 la otra será 2 3 que origina el polinomio: (x 2 + 4x + 1) Por lo tanto el polinomio mónico será: P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1) 65
Nos piden: P(x) (14)(6) 84
Respuesta: E) 84 Problema 3 Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y término independiente uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1. Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma de raíces de Q(x). A) 0 B) 8/3 C) 10/3 D) 4 E) 5
Resolución: De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1 Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1 Pero: Q(2) 7; (1)(4a 2b 1) 7 7 4a 2b 1......(1) P(1) 2 ; a b 1 2 a b 1...(2)
de (1) y (2) = a 3 / 2; b 5 / 2 de donde: Q(x) 3 x 3 4x 2 3 x 2 2 se pide: x1 x 2 x 3
4 8 3 / 2 3
Respuesta: B) 8/3 ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN DE SUCESIÓN
Lim Xn L 0, un entero n0 0, tal n que
Una sucesión es una función cuyo dominio es y rango un subconjunto de .
entero n no : xn L .
Observación:
Notación: x :
•
El entero n0 depende de 0.
•
Lim x n L ó Lim x n L.
n X(n)
También:
n
x n x n x n xn : x1; x 2,..., xn,...
Ejemplo:
x n es el elemento n-ésimo de
Si x n 2n 1 , calcular Lim xn. 3n 2
x n
Ejemplos: 1.
xn : 2, 4, 6,..., 2n,... ó xn 2n
2.
xn : 1, 3, 5,..., 2n – 1,... ó xn 2n – 1
3.
xn : 1,
4.
xn : 21! ,
5.
x n 2n 1 3n 2
2 1 2n 1 n Lim xn Lim Lim 3n 2 2 n 3 n
1 1 1 1 , ,..., ,... ó xn 2 3 n n 1
22 , 23 ,..., 2n ,... ó x 2n n 2! 3! n! n!
xn : 11 2 ,
Resolución:
2 3
A. Teorema Si r 1 Lim r n 0
1 1 1 , ,..., ,... 23 34 n n 1
n
n
Por ejemplo: Lim 0 4
II. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
B. Definiciones
Sea {xn} una sucesión y sea L , decimos que L es el límite de {xn} si los términos xn n n0 de la sucesión se aproximan a L. Es decir:
Sea {xn} una sucesión: 1. {xn} es acotada superiormente, si existe k1 , tal que n : x n k1. 2. {x n} es acotada inferiormente, si existe k 2 , tal que n : x n k 2. 3. {x n} es acotada si existe k > 0, tal que n : x n k.
LIBRO UNI
66
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
Exigimos más! 3. La sucesión {xn} = {(–1)n} no es convergente, en 1 ; n es par n efecto: Lim 1 1 ; n es impar el límite no es único, entonces Limxn no existe.
Ejemplo: 1. La sucesión {xn}, tal que x n
1 es acotada supen
riormente e inferiormente: 0 x n 1, luego es
Teoremas
acotada.
1. Toda sucesión monótona y acotada es convergente. 2. Toda sucesión convergente es acotada. Lo contrario
III. SUCESIONES MONÓTONAS
no necesariamente se cumple.
Sea {xn} una sucesión, diremos que {xn} es monótona
3. Toda sucesión monótona no acotada es divergente a ( o ).
si es uno de los 4 tipos de sucesiones siguientes: 1. Sucesión creciente
V. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Si: x n x n 1 ; n
A. Criterio de la razón
2. Sucesión decreciente Si: xn xn1 ; n
Sea {xn} una sucesión en , tal que si:
3. Sucesión no decreciente
Lim
Si: xn xn1 ; n
xn 1 1 lim xn 0 xn n
4. Sucesión no creciente la sucesión converge a cero.
Si: x n x n1 ; n
Ejemplos: Ejemplo:
n 1. Calcular: lim x n , siendo xn a y a 0 n! n
1 1. La sucesión x n es decreciente. n
Resolución:
En efecto, n : 1 1 n n 1
a 0; x n
2. La sucesión xn = n2 es creciente. En efecto, n : n2 (n 1)2
an an 1 ; xn 1 n! n 1 !
Apliquemos el criterio de la razón:
a x n1 a n 1 n! xn n 1! an n 1
IV. CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN La sucesión {x n} es convergente si existe un único L / Limx n L .
lim
n
a 0 1 lim x n 0 n 1
2. Analizar la convergencia de: x n n! nn
Observación:
Resolución: Si Limxn es ó , entonces de-cimos que {xn} es divergente.
xn
Ejemplos:
1. La sucesión x n 1 n En efecto: Lim
es convergente.
LIBRO UNI
1 1 1 n
n1 2. La sucesión x n 2 1 es convergente, en 3
n 1
x n1 n 1 ! nn nn xn n 1n1 n! n 1n
n :
1 0. n
efecto: Lim 2 1 n
n 1 ! n! x n1 n n n 1n1
lim xn lim
n
1 1 e
n! 0 nn
n
Lim 2 1 2 0 0 33 3
xn es convergente. 67
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
Exigimos más!
VI. TEOREMA DEL ENCAJE
Si r<0 P.A. decreciente
Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn},
Si r=0 P.A. trivial sucesión constante
tales que an bn cn para todo n .
D. Propiedades
Lim an Lim Cn L , entonces Lim bn L
n
n
Sea la P.A. a 1 • a2 • a3 •.............aK• ..........•an
n
1. Razón:
VII.TEOREMA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
y a2 – a1 a3 – a2 a9 – a8 ..... ak – ak –1
Sea la sucesión convergente {an }n1, 2. Término general
si: a a2 ... an Lim {an} a Lim 1 a; a n n n
ax ay (x – y)r En particular:
VIII.TEOREMA DE LA MEDIA GEOMÉTRICA
an a1 (n – 1)r
Sea la sucesión convergente {an }n 1;
3. Términos equidistantes de los extremos:
si: Sean ellos ap aq
n a1.a2.a3...an a; a n
Lim {an} a Lim
n
a1............ap ............ aq..........an "p " tér min os
IX. PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.)
ap aq a1 an
Es aquella sucesión que se caracteriza por ser cualquier término de ella, excepto el primero, igual al anterior aumentado en una misma cantidad constante llamada razón de la progresión por diferencia.
4. Término central Cuando "n" es impar
A. Representación:
ac
a 1 • a2 • a3 • ....... • an a 1 • a1 + r • a1 + 2r • a1 + 3r• ....... •a1 + (n – 1)r
Inicio de la P.A.
a1
Primer término
•
Separación de términos
an
Término enésimo
r
Razón de la P.A.
Sn
Suma de "n" primeros términos
ax
a x –1 a x 1 2
5. Suma de los "n" primeros términos Sn n
Sn
(a1 an ) 2
n 2a1 (n – 1)r 2
X. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.) Es aquella sucesión en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero y además un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una misma cantidad constante llamada razón de la progresión. También se denomina progresión por cociente
C. Clases de P.A. De acuerdo a la razón: Si r>0 P.A. creciente LIBRO UNI
a1 an 2
Corolario:
B. Elementos de la P.A.
"p " tér min os
68
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
Exigimos más! A. Representación SLim
:: t1 :t2 :t3 :t4 :..........:tn 2
Donde necesariamente –1 < q < 1.
n–1
3
t1 1–q
:: t1 :t1 q:t1 q :t1 q :..........:t1 q
4. Producto de los "n" primeros términos
B. Elementos de la P.G.
n
(Pn )2 t1tn
::
inicio de la P.G.
t1
primer término (t1 0)
:
separación de términos
q
razón (q 0)
tn
término enésimo
Sn
suma de "n" primeros términos
Sea {an} una sucesión en .
Pn
producto de "n" primeros términos
Entonces a la expresión: a1 a2 a2 .... an ...., se
5. Término Central (TC) Siendo "n" impar (t c )2 t1tn
XI. DEFINICIÓN DE SERIE a1 a2 a3.......an........ llama serie infinita de números reales. La sucesión:
C. Clses de P.G. * Si q>1,
P.G. Creciente
* Si 0
P.G. Decreciente
* Si q=1,
P.G. Trivial
* Si q<0,
P.G. Oscilante
Sn s1, s 2 ,....., sn,....
tal que:
s1 a1
Son sumas parciales de la serie n ak sn a1 a2 .... an k 1 s2 a1 a2 s3 a1 a2 a3
D. Propie dades
A la sucesión Sn n1, se denomina sucesión de sumas
Sea la P.G. :: t1 :t2 :t3 :..........:tk:..........:tn
parciales de la serie infinita 1. Razón:
ak siendo Sn la n-ésima k 1
suma parcial de la serie. q
t2 t t 3 ... k t1 t 2 tk –1
XII.DEFINICIÓN DE ADICIONALES
Consideremos una serie infinita
2. Término general
ak
y una sucesión
k 1
de sumas parciales Sn . n1
Tx Ty qx –y
A. Si el Lim Sn S existe, entonces diremos que:
En particular:
n
Tn T1 qn–1
La serie infinita
an es convergente y converge a S. n 1
3. Suma de los "n" primeros términos:
B. Si la serie infinita
an es convergente, se puede
n 1
qn – 1 Sn t1 q –1
es-cribir de la siguiente forma:
Sn = S an nlim
n 1
Al cual llamaremos suma de la serie infinita. Si la Observación: Si n (n tiende al infinito) se tendrá una suma límite (SLim) LIBRO UNI
serie infinita
ak es divergente, carece de suma. k 1
69
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
Exigimos más! B. Criterio de la comparación
XIII. TEOREMAS
Sean las series
n
an es convergente, entonces:
A. Si:
n 1
lim an 0
n
de términos no negati-
vos, tal que an bn; n mayor que un "k" entero positivo suficientemente grande, entonces:
n
B. Si: lim an 0 , entonces: la serie infinita
an , bn
an es
bn converge an converge. Si an diverge bn diverge.
1. Si
n 1
divergente.
2.
C. Criterio de la raíz
Observación
n
Si:
n
Si: L < 1, entonces n k 1 n
n
k 1
k 1
n
n
n
D. Criterio de comparación por límite
ak bk ak bk k 1
Sean las series:
k 1
n=1
an = k > 0 ambas series convergen bn o divergen.
1. Si: Lim
an 1 L n an
an y Lim
n 1
Si: L < 1, entonces Si: L > 1, entonces
n
an convergente. an divergente.
an = 0 y bn converge an es n bn n=1 n=1 convergente.
2. Si: Lim
Si: L = 1, entonces no podemos afirmar si la serie
an = + y bn es divergente La n bn n=1
converge o no. Ejemplo: Averiguar si la serie
n=1
de términos positivos, entonces:
A. Criterio de la razón
an y bn
XVI.CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Sea la serie
an converge. an diverge.
converge o no.
ak bk ak bk
k 1
k 1
L
Si: L = 1, entonces no podemos afirmar si la serie
n
3.
Si: L > 1, entonces
cak c ak k 1
2.
n a an y nLim n
n 2
k 1
n
1.
C . Entonces:
ak , bk y k 1
Sea la serie
3. Si: Lim
3
kk !
converge.
serie
k 1
an
es divergente.
n=1
problemas resueltos Problema 1 La suma de la siguiente serie: 27 + 9 + 3 + 1 + ... es: UNI 2009 - II A) 38,5 B) 39,5 C) 40,5 D) 41,5 E) 42,5 Resolución:
Aplicando suma límite: 27 81 S 40, 5 1 2 1 3
Respuesta: C) 40,5 LIBRO UNI
Problema 2 Sea la sucesión definida por: n
1 bn 1 bn , n 3
Resolución: Lim bn 1
n
Tenemos: b1 = –1/2
Donde:
n
b1 1 2 Entonces la sucesión converge al valor: A) –1/2 B) 0 C) 1/3 D) 1/2 E) 1
70
bn 1 bn 1 ;n 3 a) Aplicación de fórmula o teorema Teorema: Lim bn1 Lim bn L
n
n
Suma límite: S
t1 ; q 1 1q
ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
Exigimos más! b) Solución del problema Del dato:
Problema 4 Sea la sucesión: a1 0, a2 1, a3 1 , a4 3 , a5 5 , 2 4 8 11 21 43 a6 ,a ,a ,... 16 7 32 8 64
A) 10100
B) 294880
C) 323400
D) 333300
entonces la sucesión {an} converge a:
La sucesión:
7 12
A)
5 8
B)
D) 1
UNI 2010 - I 2 C) 3
E)
2
Luego : bn1
n
2
Tenemos : Lim bn1 1 1 1 ... 2 3 n 3 SUMA LÍMITE
Lim bn1
1
1
0
1 Lim bn21 2 2 n
n
1 3 1
1 3
Respuesta: B) 0 Problema 3 Determine el valor de: n
1
n 2n 1
B)
C)
n 1 2n 1
D)
E)
n 2n 1n
A)
1 2 2 k 1 2k 1 2k 1
Donde: S
Tres números positivos forman una pro-
x1 1 x 2 1 2
gresión aritmética y además su suma es 21. Si a esos números añadimos 2, 3 n
n
1
1 n 1 1 2 k 1 2k 1 2k 1
progresión geométrica. Hallar el produc-
UNI 2008 - III A) 231 D) 308
B) 264 E) 420
C) 273
Resolución: Sean los 3 términos de la P.A.: a – r, a,
n
a + r. Piden: (a – r) a(a + r) Dato: (a – r) + (a) + (a + r) = 21
Nos piden: convergencia {an}
a = 7
Calculamos:
Dato:
Lim an Lim 2 4 1 3 2 n n 3
n
23
2 La sucesión converge a 3
Propiedad telescópica:
y 9 respectivamente, obtenemos una to de esos números.
2k 1 2k 1 n
S
Problema 6
2x 1 x 1 0
Luego: an 2 4 1 3 3 2
k 1
Respuesta: E) 343400
2x 2 x 1 0
n 1 a1 0 2 n 2 a2 1 4
1
= 343400
De la sucesión recurrente: 2a n+2 – an+1 – an = 0 Tenemos:
Entonces: 4 2 3 3
n
Luego:
De donde: an2
n(n 1)(n 2) n(n 1) 3
a an n 1 ; n IN 2
Para
2n 2n 1
S100 12 23 34 ...
21 43 ;a 32 8 64
n 2n 2
t100
1 3 5 11 ;a ;a ;a ; 2 4 4 5 8 6 16
1 an 2
Resolución: Tenemos: S
a7
1 • 2; 2 • 3; 3 • 4; ... ; 100 • 101
n(n 1)(n 2) 12 23 34 ... n(n 1) 3
Llevamos a la sucesión correspondiente:
2k 1 2k 1
k 1
a1 0; a2 1; a3
Resolución:
Recordar:
Resolución: 1 1 1 b1 ... 3 3 3
E) 343400
(7 – r + 2); (7 + 3); (7 + r + 9) 9 – r; 10; 16 + r
P.G.
(9 r)(16 r) 102
b
f(k) f(k 1) f(a) f(b 1)
Respuesta: C) 2/3
k a
Entonces:
r=4
Problema 5
S 1 1 1 n 2 1 2n 1 2n 1
Respuesta: A)
LIBRO UNI
n 2n +1
Conclusiones
Dada la sucesión 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... determine la suma de los 100 primeros
los 3 términos son: 3; 7 y 11 el producto 3 7 11 231
términos de la sucesión anterior.
UNI 2009 - I 71
Respuesta: A) 231 ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN DE MATRIZ
Ejemplo:
Una matriz es el arreglo u ordenamiento rectangular de elementos que podrán ser números reales, números complejos, etc., en filas (horizontal) y columnas (vertical) encerrados entre corchetes o paréntesis.
La igualdad: x y 2z w 3 5 x y z w 1 4 es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones:
Representación: x y 3 x y 1 2z w 5 z w 4
La solución del sistema es: x = 2, y = 1, z = 3, w = –1
III. CLASES DE MATRICES Donde a ij representa el elemento de la fila "i" y la columna "j".
A. Matriz cuadrada Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. En este caso una matriz n n es de orden n y se le asigna el nombre de matriz n-cuadrada.
Notación:
Ejemplo: i = 1, ..., m ; j = 1 , ... , n Además: m n representa el tamaño, orden o dimensión de la matriz A. Ejemplo: Traz(A) = 9 + 8 + 0 = 17
Nota: Se debe destacar que una matriz es un arreglo y como tal no tiene un valor numérico.
1. Tipos de matrices cuadradas Las matrices cuadradas pueden ser:
II. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B son iguales, escrito A = B, si tiene la misma forma y sus elementos correspondientes coinciden. Así la igualdad de dos matrices m x n equivale a un sistema de m x n igualdades, una por cada par de componentes. LIBRO UNI
a. Matriz diagonal Es aquella matriz cuadrada en la cual al menos un elemento de la diagonal principal es no nulo, y los demás, si lo son. 72
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más! Ejemplos: 1 0 0 A 0 7 0 0 0 7
Ejemplo: A = [1 0 –3 2] ;
23 0 B 0 0
b. Matriz columna o vector columna Si la matriz presenta una sola columna. Ejemplo: 2 A5 1
b. Matriz escalar Es una matriz diagonal que presenta elementos no nulos e iguales en la diagonal principal. Ejemplos: 5 0 0 A 0 5 0 0 0 5
C. Matriz nula Es aquella matriz en la cual todos sus elementos son nulos. Ejemplos:
6 0 B 0 6
;
0 0 A 0 0
c. Matriz identidad Es una matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son no nulos e iguales a uno. 1 0 0 I3 0 1 0 0 0 1
;
0 0 0 B 0 0 0 0 0 0
;
IV. OPERACIONES CON MATRICES A. Adición de matrices
0 I 2 1 0 1
Sea A = (aij) y B = (bij) dos matrices mn, entonces la suma de A y B es la matriz m n, A + B dada por:
d. Matriz triangular Existen dos clases:
A B aij bij a11 a21 am1
• Superior: Es una matriz cuadrada en donde todos los elementos bajo la diagonal principal son iguales a cero, y del lado opuesto al menos un elemento no lo es.
b11
a12 b12
b21
a22 b22
bm1 am2 bm2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
Es decir, A + B es la matriz que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B.
• Inferior: Análogamente, es cuando los elementos sobre la diagonal principal son todos nulos y del lado opuesto al menos uno no lo es.
Advertencia: La suma de dos matrices está definida sólo cuando las matrices son del mismo tamaño. Ejemplo:
Ejemplos:
1 2 4 3 5 8 A ; B 0 2 8 1 7 2 1 3 2 5 4 8 4 7 12 AB 0 1 2 7 8 2 1 5 6
B. Multiplicación de matrices
B. Matriz rectangular
1. Multiplicación de un escalar por una matriz Si A = (aij) es una matriz de m n y si es un escalar, entonces la matriz m n, A está dada por:
Son aquellas matrices en donde el número de filas es distinto al número de columnas. Ejemplos: 3 2 A 1 0 5 9 32
;
a11 a A (aij ) 21 am1
9 5 B 17 0 4 2 23
1. Tipos de matrices rectangulares a. Matriz fila o vector fila Cuando una matriz está formada por una sola fila. LIBRO UNI
a12 a22 am2
a1n a2n a mn
en otras palabras A = ( aij) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por . 73
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más! Ejemplo: Sean las matrices:
Ejemplo: Multiplicar a la matriz: 3 5 7 por el escalar 2. 4 2 1
0 5 A 2 4 y B 4 3 1 22 1 3 2 23
2 3 5
7 4 2 1
3(2) 4(2)
La matriz C producto de A y B será de orden 2 3 de la siguiente manera.
5(2) 2(2)
7(2) 6 10 14 (1)2 8 4 2
C C12 C 11 C C 21 22
C13 C 23 23
Hallando cada uno de los elementos:
2. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna Al tomar este producto es necesario que las matrices tengan el mismo número de componentes. En este caso se tiene:
4 C11 2 4 2 4 4 1 C11 12 1 0 C12 2 4 2 0 4 3 C12 12 3 5 C13 2 4 2 5 4 2 C13 18 2 4 C21 3 1 3 4 1 1 C21 13 1 0 C22 3 1 3 0 1 3 C22 3 3 5 C23 3 1 3 5 1 2 C 23 17 2
n
Es decir: A B
Teoremas: Sean A, B y C matrices para las cuales están definidas las operaciones de adición y multiplicación i k y son escalares. a. K(A + B) = KA + KB b. (K + )A = KA + A c. K( A) = (K )A • A (BC) = (AB) C • A (B + C) = AB + BC • AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0 • AB = AC no implica que B = C
akbk k 1
Ejemplo:
A [1 9 7]
;
8 B 3 1
A .B (1 8 9 3 7 1) 42
3. Multiplicación de dos matrices Dados dos matrices A (aij )m n y B (bij )n p. Entonces el producto de A y B es una matriz: C (Cij)mp , en donde:
Definiciones: • Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son conmutables. • Si AB = –BA, se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables.
Cij = (fila i de A) . (columna j de B) es decir: Cij = ai1 b 1j + ai2 . b 2j + ... + bin . b nj Para ilustrar esto, se consideran las siguientes matrices: A, B y C.
4. Potenciación de matrices Sea A una matriz cuadrada y n | n 2 , se define: An A A A .... A " n " veces
V. TRAZA DE UNA MATRIZ Es la suma de elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada. LIBRO UNI
74
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más! D. Matriz idempotente
Teoremas sobre traza •
Traz (A ± B) = Traz(A) ± Traz(B)
•
Traz (KA) = KTraz(A)
•
Traz (A B) Traz(B A)
Una matriz cuadrada A es idempotente si y sólo si es igual a su cuadrado (A2 = A). Ejemplo: 1 ¿La matriz A 2 1 2
Donde A y B son matrices del mismo orden y K un escalar.
VI. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Sea A = (aij) una matriz de m n. Entonces la transpuesta de A, que se escribe AT, es la matriz de n m obtenida al intercambiar las filas por columnas de A, AT = (aji). Ejemplo: 5 6 8 A 3 2 1
1 A A A 2 1 2 2
5 3 A T 6 2 8 1
1 2 es idempotente? 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 A 1 2
como A2 = A, entonces la matriz A es idempotente.
E. Matriz nilpotente Se dice que una matriz A diferente de cero es nilpotente si existe un número entero positivo K tal que AK = 0. Así: K se llama índica de nilpotencia.
Teoremas T
T
T
•
(A ± B) = A ± B
•
(AB)T = BT AT
•
(A T)T = A
•
( A) T = AT; es un escalar
•
In = I; n Z+
Ejemplo: 1 3 4 ¿La matriz A 1 3 4 es nilpotente? 1 3 4
VII.OTROS TIPOS DE MATRICES A. Matriz simétrica
1 3 4 1 3 4 0 0 0 A2 A A 1 3 4 1 3 4 0 0 0 1 3 4 1 3 4 0 0 0
Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si cumple la siguiente condición: AT = A. Ejemplos: 4 0 7 3 4 A ; B 0 3 1 4 5 7 1 9
entonces, A es nilpotente.
F. Matriz hermitiana Dada una matriz cuadrada de componentes com-
B. Matriz antisimétrica
plejos será hermitiana si y solo si cumple lo siguiente:
Una matriz cuadrada será antisimétrica si y sólo si es igual al negativo de su transpuesta (A = –AT). Ejemplos:
A
T
A.
Ejemplo:
0 4 1 0 2 0 9 A ; B 4 2 0 1 9 0
3 3 2 i 4 1 2 i 4 1 T A 2 i 5 7 A 2 i 5 7 4 1 7 4 4 1 7 4
G. Matriz ortogonal
C. Matriz involutiva
Una matriz A se llama ortogonal, si verifica:
Una matriz es involutiva si y sólo si su cuadrado es igual a la matriz identidad (A2 = I). Ejemplo:
A . AT = AT . A = I
¿La matriz A 1 0 es involutiva? 0 1
Ejemplo: Cos Sen 0 A Sen Cos 0 0 0 1
A 2 A A 1 0 1 0 1 0 I 0 1 0 1 0 1 como A2 = I entonces A es involutiva. LIBRO UNI
75
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más! B. Matrices singulares y no singulares
VIII. DEFINICIÓN DE DETERMINANTE
Sea A = (aij) una matriz cuadrada. Si |A| = 0 decimos que A es una matriz singular, en caso contrario (|A| 0) decimos que A es una matriz no singular..
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada, el determinante de A es un operador (función) que aplicado a la matriz A, le hace corresponder un único valor numérico. Notación: |A| o det(A) o detA
1. Propiedades
Pero el criterio de asignación de ese valor (número real o complejo) a cada matriz cuadrada no es sencillo en el caso general. Vamos a definir el determinante para una matriz de orden 1; 2 y luego de orden 3.
(Sólo para matrices cuadradas) a. |AB| = |A| |B| b. I: matriz identidad |I| = 1 : matriz nula | | = 0
A. Cálculo de determinantes
c. |A| = |AT|
De orden 1
d. Si se intercambian 2 filas (o 2 columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo. e. Si una matriz tiene 2 filas (o 2 columnas) iguales su determinante es cero.
A (a11 ) A a11 a11
El determinante coincide con el valor del único elemento de la matriz.
3 7 • A | A | 0 3 7
De orden 2
a a a a A 11 12 | A | 11 12 a21 a22 a21 a22
a11a22 a21a12
Ejemplo: 3 2 3 2 A 3 4 1 2 10 | A | 1 4 1 4
f. Si una matriz tiene una fila nula (o columna nula) su determinante es cero. 1 2 1 • A 0 0 0 | A | 0 4 5 3
De orden 3 a11 a12 A a21 a22 a 31 a32
a13 a11 a12 a23 A a21 a22 a33 a31 a32
a13 a23
g. Si en una matriz, todos los elementos de una fila (o columna) son multiplicados por una es-calar , su determinante queda multiplicado por . a b a b • A ; B c d c d
a33
= a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21–a31a22a13–a21a33a12– a32a11a23 Para recordar fácilmente éste resultado vamos a recurrir a una regla práctica, llamada la regla de Sarrus que consiste en repetir las dos primeras filas (o columnas) debajo (o a la derecha) de todos los ele-mentos de la matriz, así: a11 a21 a31
a12 a22 a32
a11 a21
a12 a22
a13 a23 a11 a33 o a21 a13 a31 a23
|B| = ad – bc = (ad–bc) |B| = |A|
• a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21 a31
a12 a22 a32
2 2 2 2 3 1 1 A 1 1 0 A 1 2 1 2 1 2 2 1 1
1 1 2 A 9 3 12 | A | 16 0 2 5
Multiplicamos la segunda fila de A por 3, queda: 1 1 2 B 9 3 12 | B | 3 | A | 48 0 2 5
Ejemplo: 3 0
h. Si una matriz A de orden n es multiplicada por una escalar (es decir, todos los elementos de A son multiplicados por ), el determinante de A queda multiplicado por n. Es decir:
1 3 0
|A|= –2 + 6 + 0 – 3 – 0 – 2 = –1
LIBRO UNI
1 1 1 • B 3 5 7 | B | 0 (verifique) 1 1 1
A n A 76
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más! i. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz tienen elementos respectivamente proporcionales, su determinante vale cero.
y sea Mij la matriz cuadrada de orden (n–1) que resulta de eliminar la fila i y a columna j de A, entonces:
x y 2y A z u 2u 1 0 0
a. El determinante |Mij| se llama menor (menor complementario) del elemento aij de la matriz A. b. El cofactor del elemento aij, que se denota por Aij, se define por Aij=(–1)i+j|M ij|.
x y 2y x y y | A | z u 2u 2 z u u 2 0 0 1 0
0
1 0 0
Ejemplo:
j. Si una fila (o columna) de una matriz se le suma
Los menores complementarios y cofactores de
(o resta) un múltiplo o submúltiplo de otra fila
los elementos de la matriz.
(o columna, su determinante no se altera. 1 2 3 A 1 3 4 1 4 3
4 7 A | A | 15 3 9
1 de la segunda 3
A la primera fila le sumamos
Son los siguientes:
fila f1 1 f2 . 3 5 10 B | B | 15 3 9
• Menores complementarios: M11
k. El determinante de una matriz diagonal o trian-
M13
gular (inferior o superior), es igual al producto de multiplicar los elementos de su diagonal
M22
principal.
•
1 0 A 0 0
M31
0 0 0 2 0 0 | A | 4 ! 24 0 3 0 0 0 4
M33
6 4 0 • B 0 5 3 0 0 1 / 2
determinante
4 3 1 3 1 4 1 3 1 3 2 3 3 4 1 2 1 4
7
M12
1
M21
0
M23
1
M32
1 4
1
1 3 2 3 4 3
6
1 2
2
1 4 1 3 1 4
1
1
• Cofactores: A11 = (–1)1+1 M11 = 1(–7) = –7 A12 = (–1)1+2 M12 = (–1)(–1) = 1
| B | 4 5 1 10 2 • El
3 4
de
A13 = (–1)1+3 M13 = 1(1) = 1 una
A21 = (–1)2+1 M21 = (–1)(–6) = 6
matriz
antisimétrica de orden impar es cero.
A22 = (–1)2+2 M22 = 1(0) = 0 A23 = (–1)2+3 M23 = (–1)(2) = –2
2. Menor complementario y cofactor de un elemento de una matriz
A31 = (–1)3+1 M31 = 1(–1) = –1
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada:
A32 = (–1)3+2 M32 = (–1)(1) = –1
a11 a12 a21 a22 A a11 a12 an1 an2
LIBRO UNI
...
a1j
...
a2j
...
aij
...
anj Columna j
... a1n ... a2n ... ain ... ann
A33 = (–1)3+3 M33 = 1(1) = 1 Observación: El menor complementario |Mij| y el cofactor Aij de un elemento aij de la matriz A, sólo se diferencian en el signo.
Fila i
Como: Aij=(–1)i+j |M ij| A ij = |M ij| 77
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más! B. Determinante de Van Der Monde
IX. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR COFACTORES
•
A. Teorema
1 x
1 y
1 z z x z y y x
x2
y2
z2
1 x
1 y
1 z
1 w
x2
y2
z2
w2
x3
y3
z3
w3
El determinante de una matriz cuadrada A = (aij)n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores. Para aplicar este teorema es necesario elegir una fila (o una columna) y proceder a efectuar el desarrollo por dicha fila (o columna).
•
1. Si elegimos la fila i, el desarrollo de determinante (por filas) está dado por:
Ejemplos:
|A| = ai1Ai1ai2Ai2 +... + ainAin • 2. Si elegimos la columna j, el desarrollo del determinante (por columnas) está dado por:
1 3
1 4
w x w y w z
z x z y y x
1 5 5 3 5 4 4 3 2
9 16 25
|A| = a1jA1j + a2jA2j +... + ainAnj Ejemplo: Calcule el determinante de la matriz:
•
3 6 9 A 0 2 1 3 1 2
1 2
1 3
1 5
1 7
22
32 52
72
23
33 53
73
7 2 7 3 7 5 5 2
5 3 3 2 2
5 4 2 3 2 1 240
Resolución: Calculemos el determinante, realizando el desarrollo
X. MATRIZ INVERSA
por la segunda fila (a21= 0; a22 = 2; a23 = 1) luego:
Sea A = (aij)n una matriz no singular, diremos que A tiene inversa (o que es inversible) si existe otra matriz B = (bij)n del mismo orden, tal que AB = BA = In (In matriz identidad). B es llamada la matriz inversa de A, y se denota por A–1.
|A| = a21A21 + a22A22 + a23A23 como: A21 = (–1)2+1|M 21|=
6 9 3 1 2
A22 = (–1)2+2|M 22|=
3 9 33 3 2
A23 = (–1)2+3|M 23|=
3 6 21 3 1
Prueba A es inversible A–1 , luego A A 1 I (tomamos determinantes): A A 1 I A
Entonces: |A| = 0(–3) + 2(33) + 1(21) = 87 Ahora, calculemos el determinante realizando el desarrollo por la primera columna (a11 = 3; a21 = 0; a31 = 3). Luego: |A| = a11A11 + a21A21 + a31A31
De aquí ninguno de los determinantes es cero. Por tanto A 0. Así A es no singular.. Ejemplos: 2 3 • A es inversible, pues |A| = 1 0. 3 5
Como: A11=(–1)1+1 |M 11| =
2 1 5 1 2
A21=(–1)2+1 |M 21| =
6 9 3 1 2
A31=(–1)3+1 |M 31| =
6 9 24 2 1
LIBRO UNI
A 1 1
2 3 • B no es inversible, pues |B| = 0. 4 6 Ejercicio: 3 6 Halle la inversa de A 4 5
78
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más! Resolución:
Es decir:
x y 1 Sea A 1 inversa de A, luego A A I2 z w
O.E. fila I A 1 A I
es decir:
Ejemplo: 3 6 x y 1 0 4 5 z w 0 1
Halle la inversa de: 1 1 1 A 1 2 1 1 1 2
Entonces: 3x 6z 1 3y 6w 0 4x 5z 0 4y 5w 1
Resolución: Aplicamos el método de Gauss-Jordan:
Resolviendo el sistema:
x
1 1 1 A I 1 2 1 1 1 2
5 6 4 3 ; y ;z ; w 9 9 9 9
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Por tanto:
A 1
5 9 4 9
6 9 1 5 6 9 4 3 3 9
es la matriz inversa de A.
XI. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
1 1 1 f2 f1 0 1 0 f3 f1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 f1 f2 0 1 0 0 0 1
2 1 0 1 1 0 1 0 1
A. De orden 1 A a11 A
1
1 a 11
f1 f3 f3 f1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3 1 1 1 1 0 I A 1 1 0 1
B. De orden 2 3 1 1 A 1 1 1 0 1 0 1
a b 1 d b 1 A A | A| c d c a Ejemplo: 4 2 A ; | A | 4 10 6
A 1
3 2 2 6 1 4 10 4 5 2
Propiedades: Sean A y B matrices cuadradas no singulares. 1 2 1
1. (A 1 )
1
A
2. (AB)–1 = B–1A–1
C. De orden n 3
3. (A T)–1 = (A–1)T
Aquí aplicamos un procedimiento conocido como 1 4. |A–1| = | A |
el método de Gauss-Jordan, donde a partir de la matriz ampliada (A I) por medio de operaciones elementales fila, se puede obtener una nueva matriz
5.
ampliada (I B) y se concluye que B = A.
LIBRO UNI
79
A 1 1 A 1
( escalar)
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1 Si A y B son matrices 3 x 3 y r 0 un número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (f). I.
det(aB) = det(A) det(B)
II. det(A + B) = det(A) + det(B) III. det(rA) = rdet(A)
UNI 2008 - II
A) B) C) D) E)
(a (a (b (a (a
– b)(b – c)(c – a) – b)(c – b)(a + c) – a)(b + c)(a – c) + b)(b – c)(a – c) – b)(b – c)(a – c)
Resolución: Con los cambios: C1 C2 ; C 2 C3 ; C1 C2 en ese orden; tenemos: 1 a a2
Nivel fácil
1 c c2
por ser un determinante de Vander-monde: F = – (b – a) (c – a) (c – b) ó F = (a – b) (a – c) (b – c)
C) FVV D) VFF E) FFF
Respuesta: E) (a – b)(b – c)(a – c)
Resolución:
Problema 3 Considere la ecuación matricial:
Aplicación de fórmulas o teoremas
X 1 3 4 0 2 7 1 2
Tenemos: •
det (AB) = det (A) det (B)
•
det (rA) = rn det (A)
donde X es una matriz, calcule det(X) UNI 2010 - I Nivel intermedio A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 19
Operación del problema I.
(V)
II. det(A + B) det(A) + det(B)
(F)
3
(F)
III. det(rA) = r det(A)
Respuesta: D) VFF
a
1
b
1
c2
c
1
F b
es:
UNI 2004 - II
1 1 1 1
C)
1 1 2 1 1
1 1 D) 4 1 1 E)
1 1 14 1 1
Resolución: Piden:
Q(A)
Dato:
Q(x) = (1 + x) (1 – x)
Evaluando:
Q(A) = (1 + A)(1 – A)
Efectuando: Q(A) = I – A + A – A2 Tenemos:
Q(A) = I – A2 ...
1 2 Nos dan: A 2 1
1 2 5 4 Entonces: A 4 5 2 1
Operación del problema
A2
Reemplazamos: A2 en 1 0 5 4 Q(A) 0 1 4 5
Tomando determinante 4 4 1 1 Q(A) 4 4 4 1 1
| x | 1 3 4 0 2 7 1 2 | x |1 8 | x | 8
Nivel intermedio
LIBRO UNI
B)
Análisis de los datos o gráficos
El valor del determinante de:
2
1 0 A) 0 1
1 2 Si: A A A2 2 1
Problema 2
a
UNI 2008 - I Nivel fácil
Resolución: Ubicación de incógnita Det(x) = |x|
x. 1 3 4 0 2 7 1 2
2
1 2 siendo: A 2 1
F 1 b b2
A) VVV B) VVF
Problema 4 Calcule Q(A), si: Q(x) = (1 + x)(1 – x)
Respuesta: C) 8 80
1 1 Respuesta: D) 4 1 1 ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más! Problema 5
Por condición: x1 1 ; x2 = 0; x b , x 4 1 3 a a a2
Sea la matriz: a 0 b a
Respuesta: D) 1 , 0 , b , 1
donde a 0, b , entonces los valores x1, x2, x3, x4 tales que: a 0 x1 b a x 3
x 2 1 0 x 4 0 1
a
2 7 1 Q 1 1 1 , P = Q101 1 4 4
Nivel fácil
B) C)
Sabiendo que:
1 b 1 , , 0, a a a2 1 b 1 , ,0, a a2 a
D)
1 b 1 , 0, , a a2 a
E)
1 b 1 , 0, , a a2 a
donde es un cierto número real. En-
A)
8 3 , 0 5
B)
1 1 , 1 1
B
I
C)
0 0 ,1 1
Tenemos: AB = I; donde: B = A–1 x2 1 a 0 2 x 4 a b a
D)
8 3 , 1 5
E)
8 3 , 0 5
igualando:
x1 x3
Luego: 0 Pu 100
Q
Qu 100
como Q
m Qu ; u n p
que Pu u son:
a 0 x1 x 2 1 0 b a x 3 x 4 0 1
x1 x3
y además: pu u
tonces, el vector u y el número a tales
Resolución:
A
También: P = Q101
Si 0 la igualdad sería absurda.
8 8 Q 3 3 5 5
1 b 1 , , 0, a a2 a
0 8 0 3 0 0 5
Sean las matrices:
UNI 2007 - II
8 8 3 3 5 5
a2 a
Problema 6
son (en ese orden).
A)
2 7 1 1 1 1 1 4 4
1 x2 a x 4 b a2
LIBRO UNI
0 1 a
2 7 1 m 0 1 n 0 1 1 1 4 4 p 0
2m 7n p 0 m n p 0 m 4n 4p 0 Resolviendo: m = – 8
n=3
p=5
8 u 3 ; 0 5 8 Respuesta: E) 3 , 0 5
81
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA I.
CONCEPTO
C.S. (3,2) (3, 2) (2,3) (2, 3)
Es un conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican simultáneamente para un mismo conjunto de valores atribuidos a sus letras o incógnitas.
IV. CLASES DE SISTEMAS A. De acuerdo a su solución
3x y 7 Ejemplo: 5x 2y 8
1. Compatible Es aquel sistema que tiene solución que a su vez puede ser: • Compatible determinado: Cuando su conjunto solución tiene un número finito de soluciones.
Vemos que se verifica simultáneamente para = 2, y = 1. x 2 y 2 13 Ejemplo: xy 6 Estas ecuaciones se verifican cuando: (x = 3, y = 2) ó (x = –3, y = –2) ó (x = 2, y = 3) ó (x = –2, y = –3) es decir se verifican para 4 pares de valores de sus incógnitas.
x y z 5 x y z 3 x 2y z 0 Dicho sistema sólo se verifica si: x = 1, y = 1, z = 3. En tal caso: C.S. (1,1,3), por tener
x 2 y 2 2 Ejemplo en : x y 5
una solución se dirá compatible determinada.
No existe "x" e "y" alguno en que verifique simultáneamente.
• Compatible indeterminado: Cuando su conjunto solución tiene un número infinito de soluciones, así:
II. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
x 3y 6 (1) 2x 6y 12 (2)
Es el conjunto de todas las soluciones de un sistema.
III. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Estas 2 ecuaciones se simplifican a una sola ecuación de donde resulta: y
Consiste en hallar el conjunto solución. Ejemplo:
x 6 3
x 3y 9 Resolver x y 3
C.S. (0.2), (3,1), (6.0),....
Vemos que sólo se verifica para x = 0, y = 3.
Vemos que tendrá infinitas soluciones.
(0, 3)
C.S.:
2. Incompatible Son aquellos sistemas que no presentan solución, su conjunto solución es el vacío. Así:
Ejemplo: x 2 y 2 13 Resolver xy 6
3x 2y 7 6x 4y 1
Su conjunto solución está integrado por 4 pares ordenados, debido a que se tiene 4 soluciones, así: LIBRO UNI
82
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
Exigimos más! •
No existe x, y alguno que verifique simultáneamente a las ecuaciones. En tal caso se dirá que el sistema no tiene solución. Entonces: C.S.
ó C.S.
B. De acuerdo al grado de las ecuaciones 1. Sistemas lineales Son aquellos sistemas donde cada una de las ecuaciones son de primer grado, así:
Usando matrices El sistema: a11x1 a12 x 2 a13x 3 ........a1n xn b1 a21x1 a22 x 2 a23x 3 ........a2nxn b2 am1x1 am2 x2 am3x 3 ......amnxn bn es equivalente al sistema matricial: a11 a12 .... a1n x1 b1 a21 a22 .... a2n x 2 b2 am1 am2 ... amn x n bn
2x 3y 16.......(1) 8x 2y 36.......(2) Cuyo conjunto solución es: ((5,2))
X
A
2. Sistemas no lineales Son aquellos sistemas donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.
AX B Si m n A no es una matriz singular.. Se puede definir A–1 (matriz inversa de A), luego:
x 2 y2 25 .....(1) x y 7 ....... (2)
X A 1 B
cuyo conjunto solución es {(3; 4), (4; 3)} Ejemplo:
V. ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL
2x 5y 4 Resolver 3x 2y 13
En forma general: Consideramos un sistema lineal de "m" ecuaciones con "n" incógnitas.
Solución: Es equivalente al sistema matricial:
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 .......amxn b1 a21x1 a22x 2 a23x 3 .......a2nx n b2 am1x1 am2x 2 am3x 3 .......amnxn bm
2 5 x 4 3 2 y 13 Donde:
Donde los aii son coeficientes y x1 x 2 x3..... xn son las incógnitas. En tal caso el conjunto solución es:
2 5 1 2 5 1 A A 19 3 2 3 2 2 5 A 1 1 19 3 2
C.S. (x1 x 2 x3.......xn ) Para la resolución del sistema utilizaremos los siguientes métodos: •
4 como: X A 1 13
Método de Gauss Conocido como los métodos de eliminación, sustitución, igualación consiste en ir eliminando incógnitas hasta llegar a una ecuación de una sola incógnita. Así, resolver:
2 5 4 1 57 X 1 19 3 2 13 19 38 3 X 2 Luego: x = 3, y = –2
2x y 2z 10.....(1) 3x 2y 2z 1.....(2) 5x 4y 3z 4.....(3)
•
(2) – 2(1): –x + 6z = –19......... (1')
C.S. (3, 2)
Método de los determinantes Se utiliza cuando el sistema es determinado. Sea el sistema: a11x1 a12x 2 a1nx n b1 a21x1 a22x 2 a2nx n b2 ....(*) am1x1 am2x 2 amnx n bn
(3) – 4(1): –3x + 11z = –36........ (2') 2' – 3(1'): –7z = 21 z = 3 z 3
C.S. (1, 2 3) LIBRO UNI
B
83
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
Exigimos más! Llamaremos: – Determinantes del sistema a11 a12 a21 a22 a n1 an2
Dicho sistema siempre es compatible donde una de sus soluciones es la trivial {(0, 0, 0 … 0)}.
... ... a1n ... ... a2n ... ... amn
Así mismo puede tener otras soluciones las llamadas no triviales.
TEOREMA Un sistema homogéneo (**) tiene soluciones aparte a la trivial, si y sólo sí:
– Determinante con respecto a alguna incógnita Se conseguirá a partir del determinante anterior reemplazando los elementos de la columna de coeficientes de la incógnita en referencia por los términos independientes.
a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2n 0 an1 a12 ... bn ... amn
a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2n a n1 an2 ... bn ... amn
Ejemplo 1: Resolver 3x + 2y = 0 5x – y = 0 Solución: 3
5 1
REGLA DE CRAMER
3 10 13
implica que la solución seria única, la solución trivial (0,0).
La solución del sistema (*) puede determinarse hallando cada incógnita como sigue: x1
2
2x 5y 0 Ejemplo 2: Resolver 6x 15y 0
i , i 1...n
Ejemplo: Resolver: 2x 5y 4
Solución:
3x 2y 13
Como Solución: Calculando los determinantes:
2 5 30 30 0 6 15
La solución del sistema no sólo es la trivial (0,0); si
2 5 4 15 19 3 2
no que tendrá infinitas soluciones.
4 5 x 8 65 57 13 2
sola 2x – 5y = 0.
Veamos que ambas ecuaciones se reducen a una y 2x
5 Asi: Si x = 5t, y = 2t
2 4 y 26 12 38 3 13 De donde:
(x, y) (5, 2)t / t x x 57 x 3 19 y
y
VI. ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES
38 y 2 19
Sea el sistema:
C.S. (3, 2) •
a11x1 a12x1 ... a1n x1 b1 a21x1 a22x 2 ... a2nx n b2 an1x1 an2x 2 ... amnx n bn
Sistema homogéneo Es un sistema de ecuaciones lineales se llamará homogéneo si todos los términos independientes son nulos, así:
Sabemos que la solución viene dado por:
a11x1 a12x 2 ... a11x1 0 a21x1 a22x 2 ... a12x1 0 ...( ) an1x1 an2x 2 ... amnx n 0
LIBRO UNI
xi
84
i
determinante del sistema i determinante respecto a x
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
Exigimos más! Ejemplo 2:
Diremos que el sistema tendrá:
3x 4y 5 6x 6y 10
A. Solución única Esto sucede si y sólo si 0 .
Como: 3 4 5 6 8 10
B. Infinitas soluciones Si y sólo si 0 i 0, i 1, 2,...n
Entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
C. No tiene solución
Ejemplo 3:
Si y sólo si 0 1 0 para algún i. Ejemplo 1:
2x 5y 7 6x 15y 30
3x y 2 3 1 9 2 11 0 2x 3y 3 2 3 Como: El sistema tiene solución única.
2 5 7 el sistema no tiene solución. 6 15 30
problemas resueltos Problema 1 Al resolver el siguiente sistema: 3
x y 2 2x 3y 7 3
23 x y 2 3 2x 3y 7 14 se obtiene que el valor de (x + y) es: UNI 2008 - II Nivel fácil A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
Resolución: Ubicación de incógnita Piden: x + y Análisis de los datos o gráficos Llamemos: 3
Problema 2 Determinar k de manera que el sistema tenga solución no trivial, dar como respuesta la suma de los valores de K. (1 k)x y z 0 2x ky 2z 0 x y (1 k)z 0 UNI Nivel intermedio A) 4 B) 5 C) 0 D) 6 E) 1
Problema 3 Dado el sistema de ecuaciones:
Resolución: Tenemos: (1 k)x y z 0 2x ky 2z 0 x y (1 k)z 0
Resolución: Haciendo un cambio de variable: 1 1 a b x y 1 2x y 3
Dato: Sistema homogéneo con solución trivial se cumple:
x y 2 m 2x 3y 7 q
Operación del problema 3 x y 2 2x 3y 7 3 23 x y 2 3 2x 3y 7 14 Reemplazando el cambio de variable:
1k 2 1
1 k
1 2 0 (1 k)
+ 2(k – 1) = 0 Luego: k3 – 4k = 0
x y 2 1 x + y = –1
De donde: k1 0 k 2 2 k 3 2 k1 k 2 k 3 0
Respuesta: C) 0
Respuesta: B) –1 LIBRO UNI
4a 5b 5 ... () 2 7 3a b ... () 5 Sumando + 5
19 2 1 de donde: a b 1 2 10 x y 1 2 ...(I) Luego 2x y 3 10 ...(II) (1 – k)(– k)(– k –1) –2 + 2 – k + 2 (k + 1)
3
Reemplazando en cada ecuación:
Tenemos 19a
... I m q 3 2m 3q 14 ... II De: 3 + Tenemos: 5m = 5 De donde: m = 1 Reemplazando:
4 5 5 x y 1 2x y 3 2 3 1 7 x y 1 2x y 3 5 El valor de x + y es igual a: A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 UNI 2007 - II Nivel difícil
85
Sumando: I II 3x + 2 = 8 x = 2 y = –3 Piden x + y = –1
Respuesta: A) –1 ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
PROGRAMACIÓN LINEAL DESARROLLO DEL TEMA I.
RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
II. PROGRAMACIÓN LINEAL A. Concepto
Es un modelo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado por ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que llamaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Dado un sistema de inecuaciones lineales conformado por dos o más inecuaciones, la solución gráfica de dicho sistema es la región que se determina al intersectar todos los semiplanos originados por las inecuaciones que conforma el sistema. Ejemplo: Resolver: 2x y 4 ... (1) 3x y 6 ... (2) Resolución: Inicialmente graficamos los semiplanos que correspondan a cada inecuación del sistema: (1) 2x y 4 y 4 2x; semiplano ubicado por encima de la recta y = 4 – 2x, incluyendo a ésta.
B. Función objetivo Es una función lineal en dos variables que debemos maximizar o minimizar. La función objetivo presenta la siguiente forma:
y
F(x; y) ax by c donde a, b y c son constantes y x, y se llaman variables de decisión.
4 x
C. Conjunto de restricciones
2
Es el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas que expresan un conjunto de limitaciones que presenta el problema propuesto. Aquí también se consideran a las variables de decisión como valores no negativos, es decir x 0 y 0.
(2) 3x y 6 3x y 6 y 3x 6 semiplano ubicado por debajo de la recta y = 3x – 6, incluyendo a ésta. y
D. Soluciones factibles
x
2
Son cada una de las soluciones que verifican al conjunto de restricciones, cada solución factible se representa por un punto del plano cartesiano.
–6
E. Región factible Finalmente el conjunto solución del sistema viene dado por la intersección de los semiplanos hallados, veamos:
Se llama así al conjunto convexo formado por todos los puntos que representan a las soluciones factibles, en una región poligonal. La región factible puede, o no, ser acotada, la primera incluye los puntos de su frontera y la otra no.
y
(1)
CS
4
x
Observación: Sólo las regiones factibles acotadas presentan siempre solución, en las otras puede o no existir solución.
2 –6 (2)
LIBRO UNI
86
ÁLGEBRA
PROGRAMACIÓN LINEAL
Exigimos más! F. Solución óptima
III. MÉTODO ANALÍTICO O MÉTODO DE LOS VÉRTICES
Es el punto cuyas coordenadas hacen de la función objetivo un valor máximo o mínimo. La solución óptima, en caso de existir, se alcanza en un vértice de la región factible.
A. Descripción
Se determina la región factible calculando las coordenadas de todos sus vértices, luego cada punto que corresponde a un vértice se reemplaza en la función objetivo esperando obtener con alguno de ellos un valor máximo o mínimo según corresponda a la optimización.
y
B
C
B. Teorema
S
A
D
Si la función objetivo asume el mismo valor óptimo en dos vértices de la región factible, también asume el mismo valor en los puntos del segmento limitado por dichos vértices.
x
S = región factible A, B, C y D son posibles puntos de organización.
problemas resueltos Problema 1 Determine el valor mínimo que toma la función objetivo, P(x, y) = 10x + 20y sujeta a las restricciones:
Resolución: Ubicación de incógnita Valor de verdad
xy2 x 2y 2 yx
Resolución: Ubicación de incógnita Valor mínimo de la función objetivo P Análisis de los datos o gráficos x y 2 P(x; y) 10x 20y x 2y 2 yx
Operación del problema x=y
2 1
A(1;1)
ción objetiva y aún mantenerse la solución óptima. UNI 2010 - I
x - 2y = 2
-1 2 B(2;0) x + y = 2
Operación del problema I. FALSO Tal condición establece que las variables de recisión deberan ser mayores o iguales que cero, es decir: x 0 y 0 . II. FALSO En el caso de que el polígono sea no acotado los puntos extremos no se podrían determinar. III. VERDADERO De acuerdo con la Regla de Permutación esta proposición es perfectamente válida. Respuesta: FFV
Problema 2 En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas. II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito. III. En un programa lineal pueden variarse los coeficientes de la funLIBRO UNI
87
Para B (2;0) P = 10(2) + 20(0) = 20
Respuesta: 20
Ubicación de incógnita * n° de peces de la especie S1: x; peso promedio (S1) = 4 kg. * n° de peces de la especie S2: y; peso promedio (S2) = 2 kg. Análisis de los datos o gráficos Función objetivo: F(x; y) = 4x + 2y S1(x)
S2(y)
F1
1x
2y
F2
3x
1y
Operación del problema x 2y 500 3x y 900 x, y 0
Graficando: Problema 3 Un lago se llena de dos especies de peces S1 y S2. La especie S1 proporciona un peso promedio de 4 kg de carne y la especie S2 un peso promedio de 2 kg. Dos tipos de comida F1 y F2 están disponibles en el lago. El requerimiento promedio de la especie S1 es 1 unidad de F1 y 3 unidades de F2, mientras que el requerimiento de S2 en 2 unidades de F1 y 1 unidad de F2 cada día. Si se dispone diariamente de 500 unidades de F1 y 900 unidades de F2, determine el número total de peces en el lago que maximice el peso total de carne de pescado. UNI 2011 - I
Para A (1;1) P = 10(1) + 20(1) = 30
Resolución:
y 900
(0;250)
(260;120) 500
0
(300;0)
x
I. F(0,250) = 500 II. F(260;120) = 1280 (máximo) III. F(300,0) = 1200 El número de peces que maximiza es: 260 + 120 = 380
Respuesta: 380 ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS DESARROLLO DEL TEMA I.
B. Adición entre números complejos
DEFINICIÓN El sistema de los números complejos es el conjunto C de
Para hallar la suma entres dos números complejos, se
todos los pares ordenados, de componentes reales,
sumarán las partes reales y también las partes imagina-
z = (x,y) y dos operaciones llamadas adición y multipli-
rias.
cación tales que para cualesquiera dos elementos que
Así:
pertenezcan a C, como por ejemplo: z1 = (x1;y 1) y z2 =
(x1 y1i) (x 2 y 2i) (x1 x 2 ) (y1 y 2 )i
(x 2;y 2) se definen: –
z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2)
–
z1 z2 = (x1x2 – y1y2; x1y2 + x2y1) … (multiplicación)
… (adición)
C. Multiplicación entre números complejos Para hallar el producto de multiplicar 2 números
II. FORMA CARTESIANA O BINÓMICA DE UN COMPLEJO
complejos, para la parte real se multiplicaran las partes reales menos el producto de las partes ima-
Teorema Todo número complejo z de la forma z = (x;y) será
ginarias. Y para la parte imaginaria se multiplicará la
posible expresarlo como z = x + yi tal que i 1 se
mentando en el producto de multiplicar la primera
denominará unidad imaginaria.
parte imaginaria con la segunda parte real.
Es decir z (x; y) x yi ; i 1
Así:
parte real con la segunda parte imaginaria au-
(x1 y1i) (x 2 y2i) (x1x2 y1y2) (x1y 2 x2y1)i
Ejemplo: z (2; 3) 2 3i
III. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA (PLANO DE GAUSS)
w (0; 3) 0 3i 3i
Si: Re(z)....(Parte Real de z) z x yi I m(z)....(Parte Imaginaria de z)
En el plano cartesiano denominaremos al eje Y como eje imaginario y al eje x como eje real. Sea: z a bi / a 0 b 0
A continuación vamos a definir para los números com-
Entonces su representación en el plano de "Gauss"
plejos "x + yi" la relación de igualdad y las operaciones
será como sigue:
de adición y multiplicación del siguiente modo:
A. Igualdad de números complejos Dos complejos son iguales, si y sólo si sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales respectivamente. Así: x1 y1i x 2 y 2i x1 x 2 y1 y 2
LIBRO UNI
88
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más!
IV. CANTIDADES IMAGINARIAS
i8 i4 i4 1
Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número real negativo.
i9 i4 i i i10 i8 i2 1
Así por ejemplo: 1;
i11 i8 i3 i
2; 4 5; 2n 16
i12 i8 i4 1
Donde: n De todos estos el más importante es
Se observa que las potencias enteras de "i" se re-
1 ; al cual de-
piten cada cuatro veces y sólo toman uno de los
nominaremos unidad imaginaria, cuya notación univer-
cuatro valores i; –1; –i; 1; esto merece una espe-
sal es i 1 .
cial atención.
Aplicación:
Propiedades
16 16(1) 16 1 4i
Se observa principalmente que: i4 1 ; i8 1 ; i12 1 ; etc.
5 5(1) 5 1 5i
A. Unidad imaginaria
Esto implica que la unidad imaginaria elevado a un
El número complejo (0; 1) es la unidad imaginaria;
múltiplo de cuatro es igual a la unidad.
tiene la particular notación i = (0;1).
Por lo tanto i4 = 1
Teorema
o
En general
2
i 1; i (0;1)
i4 1
Luego deducimos que:
Prueba i2 (0;1)(0;1) (0 1; 0 0) (1; 0) 1
o
o
o
i4 1 i ; i4 2 1; i4 3 i
i2 1
Generalizando: Teorema
o
i4k ik ; k
y ; (0; y) yi
Luego se deduce:
Prueba
o
4 k i– – ik ; k
yi (y; 0)(0;1) (0 0; y 0) (0; y) (0; y) yi
Teorema ik (1)k ik ; k
B. Potencias enteras de la unidad imaginaria Estudiaremos el comportamiento del número in; Propiedades
n ; teniendo en cuenta la siguiente definición:
Sea i
i0 1 ; i1 i
1. i i2 i3 i4 0 2. i4k i4k 1 i4k 2 i4k 3 0 ; k
i1 i i2 1 3
1 la unidad imaginaria:
3. in in1 in2 in 3 0 ; n
2
i i i i
V. TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
i4 i2 i2 (1)(1) 1 i5 i4 i i
A. Complejo real o puramente real
i6 i4 i2 1
Es aquel número complejo que carece de la parte imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero.
i7 i4 i3 i
LIBRO UNI
89
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más! Notación:
z 8. 1 z1 ; z2 (0; 0) z2 z2
z x 0i x ; z
B. Complejo imaginario puro Es aquel número complejo que carece de la parte real; es decir su parte real es cero; además su parte
9.
z z
10.
z
n
n
n
n
; n
z ; n
imaginaria es diferente de cero.
VIII.DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Notación:
Sean los números z1, z2 z2 (0, 0) para efectuar la z1 habrá que multiplicar a z1 y z2 por z2 con lo z2 cual se obtiene:
z 0 yi yi ; y 0
C. Complejo nulo
z1 a bi; z2 c di
Es aquel número complejo que presenta la parte z1 a bi (a bi)(c di) z2 c di (c di)(c di)
real e imaginaria igual al número cero; es decir las dos componentes son nulas.
Notación:
z 0 0i 0
(ac bd) (bc ad)i c 2 d2
a bi ac bd bc ad c di c 2 d2 c 2 d2
VI. NÚMEROS COMPLEJOS ESPECIALES A. Definición •
Dado el complejo z = x + yi se define el complejo conjugado de z, denotado por z , como así z = x – yi y el opuesto de z, denotado por Zop = Z+, así Zop = –x – yi.
IX. MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN COMPLEJO Dado z = a + bi ; el módulo o valor absoluto de z es un número real no negativo denotado por
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE z = x + yi; ( x 0 y 0) DE SU CONJUGADO Y SU OPUESTO.
z ; tal que
z a2 b2 .
VII.TEOREMAS z; z1; z2 1. z z z es complejo real .
Observación
2. z z
a;b z a | z | | a | z bi | z | | b |
3. z z z* z es complejo imaginario . 4. z z 2 Re(z)
Propiedades
5. z z 2i Im(z)
De la definición de módulo se desprende las siguientes
6. z1 z2 z1 z2
propiedades; sean Z; Z1; Z2 entonces:
7. z1z2 z1z2
1.
LIBRO UNI
90
z 0 ; z 0 z (0;0) ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más! 2.
Se observa que puede tomar infinitos valores como:
z z z*
1 ; 2 2 ; 3 4 2
zz
3.
z
4.
(z) z ; Im(z) z
5.
z1z2 z1 z2
6.
z z1 1 ; z2 (0; 0) z2 z2
7.
zn z
8. 9.
n
n
XI. ARGUMENTO PRINCIPAL DE UN NÚMERO COMPLEJO De todos los valores de ; elegimos aquel que se encuentra en el intervalo 0;2 ; es decir 0 2 ; a dicho se le denomina argumento principal, cuya notación es:
; n
Arg(z) Conociendo el argumento principal de z denotado por Arg(z) podemos generar otros cuya notación es:
z n z ; n n 2
z1 z2 z1 z2
arg(z) Arg(z) 2k
K 0; 1; 2; 3; ...
10. z1 z2 z1 z2 A. Teorema
X. POTENCIACIÓN
Dados los números complejos no nulos: z z (Cos iSen) w w (Cos iSen)
La potenciación en forma binómica tiene muchas limitaciones; por ello se utiliza cuando las potencias son pequeñas.
Se verifican: 1. zw z
Resultados importantes (1 i)2 2i
2.
; (1 i)2 2i
(1 i)3 2i(1 i) ; (1 i)3 2i(1 i) (1 i) 4 4 1i i 1i
z z (Cos( ) iSen( )) w w
Observaciones: Para multiplicar complejos en la forma polar se multiplica los módulos y se suma los argumentos.
; (1 i) 4 4 ;
w (Cos( ) Sen( )
1i i 1i
arg(z w) arg(z) arg(w)
XI. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Para dividir complejo en la forma polar se dividen los módulos y se resta los argumentos.
Sea z = a + bi un número complejo diferente del nulo.
arg z arg(z) arg(w) w
Es decir z 0
B. Teorema (de De Moivre) Dados z z (Cos iSen); z (0; 0) n Se tiene zn z Corolario
n
(Cos iSen)
arg(zn ) n arg(z); n
XII.RAÍCES "n-ésimas" DE LA UNIDAD
De la figura x z Cos, y z Sen y Donde: Tan x Entonces: z x yi z Cos z Seni
Se pide hallar: x k n 1 z 1 Donde: z 1 oi 0
z z (Cos iSen)
Es la representación trigonométrica o polar de un complejo; donde el ángulo se le denomina el argumento de
2k Luego : x k Cis n k 0,1, 2,.........., n 1
z denotado por Arg(z); es decir: Arg(z) LIBRO UNI
91
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más! Donde: x 0 w0 1
Donde: e es el número de Euler e = 2,718281 argumento en radianes; i = (0; 1) Entonces tenemos una nueva representación para el complejo. z z (Cos iSen) z ei
x1 w x2 w2
z z e i
x n1 wn 1
Entonces: Las "n" raíces de la unidad serán:
XIV.RAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO
1, w, w , w ,....., w 2
3
n1
Una raíz n - ésima del número complejo z = x + yi es número complejo W, tal que wn = z. Es decir: n z w w n z
Teorema: Si w es una raíz enesima de la unidad y w 1 , Entonces: 1 + w + w2 + ......+ wn-1 = 0
2k 2k w k n z Cos iSen n 3
XIII. FORMA EXPONENCIAL DE UN COMPLEJO Teorema de Euler
Donde: k = 0, 1, 2, ......., n – 1 Son las raíces de z = x + yi
ei Cos iSen
problemas resueltos Problema 1 Dadas las siguientes proposiciones: I. Las raíces de ein – 1 = 0, pertenecen a un polígono regular de n lados, n . II. Si ei a bi y ; 3 , enton4 4
Asi mismo b
Pues b sen(). III. Verdadero cos() cos() 2k
UNI 2010 - I Indique cuáles son correctas: A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III
Resolución: I. Falso Las raíces n-ésimas de la unidad al ser llevadas al diagrama de Argan'd están generan un polígono regular si: n n 3. II. Falso
5 18 2 Cis a bi 3 Elevamos a la 18 a ambos miembros:
Entonces:
3
18
3 5 2 Cis 3
18 a bi
26 Cis(30 ) a bi
ei() 1
2 2 2 ; yb ;1 . ces a 2 2 2 III. Dados , 0;2 , tales que ,
si cos() cos(), entonces ei() 1.
2 1 ; 2
1
Respuesta: C) 1 Problema 2 La raíz cúbica del número complejo z = –2 de mayor argumento principal, es también raíz 18-ésima de otro complejo u = a + bi con a y b números reales. Determine a + b. UNI 2009 - II A) 25 ( 3 1) B) 26 C) 27 ( 3 1) D) 28 E) 29
Resolución: Determine: a + b, a partir de: V = a + bi Analizando: Z 2 Z 2Cis Calculando:
Luego: 36 + oi = a + bi
a 26 b 0
Respuesta: B) a + b = 26 Problema 3 Sabiendo que 1, W y W2 son las tres raíces cúbicas de la unidad real. Calcular: 2 3 50 R (.....((W W ) W ) W .....) W
A) W 2
B) 1
D) W
E) –W2
C) –W
Resolución: La expresión dada es: 2 3 50 R (W)W W W .... W 1 2 3 ... 50
3
2 2 ; De donde: a ; pues 2 2 a cos().
LIBRO UNI
Z
3
2k 2 Cis 3
donde: k = 0, 1, 2 Siendo el de mayor argumento, si: 3 5 K 2 Z 2 2 Cis 3 La cual también es una de las raíces de: 18
U 18 a bi
92
R (W) W
R (W)W
3K
W1
R W
Respuesta: D) W ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más! Problema 4
K 10 3
Calcular: x y y x
Reducir: i2 + i4 + i6 + .... + i102 A) i B) –i C) 1
A)
10 3
B)
10 3
D) –1 C)
E) 0
Resolución:
Problema 6
5 3
Calcular z siendo:
D)
5 3
E)
15 2
Recordemos que:
i4K 2 i4K 0; K
10 Respuesta: A) 3
z (2 i)(3 i)(1 i)
A) 2 10 B)
10
C) 10
Resolución:
En el problema: 2
4
6
98
100
102
E i i i ... i i i se anulan cada dos E 0 i102 i4K 2 i2
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad tenemos: 2
E) 2 5
2
5 – 3i = x – y + 2xyi
Resolución: Por igualdad de complejos:
Por propiedad se plantea:
x 2 y2 5 xy 3 2
E 1
Se pide calcular el valor de:
Si 5 3i x yi; x, y .
LIBRO UNI
z 2 i 3i 1i
z 5 10 2 100
Respuesta: D) –1 Problema 5
D) 10 2
2
y x y K x y x xy
93
z 10
2
Respuesta: C) 10
ÁLGEBRA
