18 PROBLEMES resolts d'optimització - Curs 2009-10

IES “La Plana” – Castelló Francesc Beltran Castell



PROBLEMES RESOLTS D’OPTIMITZACIÓ.

1. La concentració (en mil·ligram ) d’una substància durant les tres hores en les quals ha actuat un reactiu 0 ≤ t ≤ 3, vé donada per la funció C (t) ( t) = - 2t3 + 9t2 – 11t + 8 . Troba els instants que s’aconsegueix el valor màxim i mínim de concentració. Solució: Sabem que el valor màxim i mínim de la funció continua en l’interval [0, 3] es buscarà entre els punts següents: 1) Punts C’(t) = 0 ; 2) Punts no existeix derivada ; 3) x = 0 ; x = 3 (extrems de l’interval) Procedirem, però, estudiant el gràfic de C(t) a partir de la taula de monotonia ja que així podrem deduir el valor màxim i mínim de la funció. Considerarem els punts C ‘ (t) = 0 ⇒ -6t2 + 18 t – 11 = 0 ⇒ t = 0.85 ; t = 2. 15 0 0< t < 0.85 0.85 0.85 < x < 2.15 2.15 2.15
La forma del gràfic obliga a estudiar el que passa en t = 0 i en t = 3. Substituint obtenim que C(0) = 8; C(0.85) = 3.92 ; C(2.15) = 6.08; C(3) = 2 , per tant, el valor màxim s’aconsegueix quan t =0 i el valor mínim quan t = 3 (observem que no són els extrems relatius, cosa que com veurem en els exercicis successius no és lo habitual)

2. Un pastor aprofitant una paret existent de 60 metres que li servirà com a tot o una part d’un dels costats vol construir una tanca rectangular per al seu ramat. Si disposa de 100 metres de tanca i es designa x la mesura de cadascuna de les parets laterals i 100 – 2 x la mesura de la paret frontal: a) expressa l’àrea de la tanca en funció de x b) quin és el domini d’aquesta funció c) com aconseguirà la tanca d’àrea més més gran ? d) Quant val aquesta àrea? Solució: a)

Funció a maximitzar: AREA = x·y (depén de 2 variables) Relació entre les variables (restriccions): 2x + y = 100 → y = 100 – 2x

Substituint, resulta Àrea = x · (100 – 2x) ⇒ f (x) = 100 x – 2 x

2

x

y

x

b) Evidentment x >0, ja que és un problema real. - Si agafem tota la paret y = 60; llavors 2x + 60 = 100 ; 2x = 40 ; x = 20 - També y >0; 100 – 2x >0 ; per tant x < 50 ( també es pot treure de lògica). Per tant

c) FUNCIÓ A OPTIMITZAR f (x) = x · (100 –2x) ⇒ f (x) = 100x – 2 x2 , Es tracta d’una paràbola (cap avall). El valor màxim estarà en el vèrtex. Càlcul del vèrtex:

xv

=

b −100 = = 25 ; 2a −4

−

⇒ y = 50 m.

Dom(f) = [20, 50)

Domini:

20 ≤ x < 50

Nota: També es pot resoldre a partir de la derivada: buscar els punts on f ‘(x) = 0 i fer l’estudi dels màxims i mínims.

Per tant l’àrea màxima s’aconsegueix quan el rectangle de 50 x 25.

d) ÀREA màxima = 50 ·25 = 1250 m 2

o també f(25) = 100 ·25 – 2 · 252 = 1250 m2

3. Es desitja construir un celler amb forma de paral·lelepíped rectangular de 100 m 3 de volum de manera que el llarg de la seua base siga 4/3 de l'amplària l'a mplària x de la seua base. Se sap que els preus d'un d' un metre quadrat de 2 2 2 sòl, sostre i de paret lateral són, respectivament, 225 €/m , 300 €/m i 256 €/m . Determinar raonadament: a) El valor x de l'amplària de la base que minimitza el cost. b) El cost mínim. Sol: a) Si x és l’amplària de la base, el llarg de la base serà 4x/3 i si l’altura del celler la denotem . El cost del sòl, 4 4  4  sostre i de paret lateral vindrà donat per la funció C = 225· x2 + 300· x2 + 256  2· x + 2x  y 3 3  3  2 Com el volum del paral·lelepíped vé donat per V = x · 4x/3 · y = 4x y / 3 i es vol construir-ne un de 100 m 3, substituint 100 = 4x2 y / 3 i aillant obtenim y = 75/x2 89600 Substituint i operant en la funció cost resulta C(x) = 700x 2 + (funció racional); Domini = (0, +∞  ∞ ) x 89600 Estudi de la funció: busquem busquem el mínim: Monotonia Punts a considerar: C'(x)=1400x- 2 = 0 ⇒ x = 4  x 0< x < 4 4 x>4 Per tant, en x = 4 tenim el mínim absolut del cost (també és mínim relatiu) Signe C’ 0 + C Minim b) Substituint C(4) = 33 600 € 1

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.






A

4. Volem anar del punt A al punt pu nt B atravesant nadant el canal de la figura adjunta. Si nadem a una velocitat de 1m/s 1 m/s i caminem a una velocitat de 2m/s, quin ha de ser el punt C per arribar a B en el menor temps possible ? I en el major temps?

40 m x

100 - x

Mesures: PC= x ; CB= 100 – x = Funció a minimitzar: Temps ; 

t =

1600 + x 2 1

+

100 − x ; 2

B

C 100 m

P

Domini 0 ≤ x ≤ 100

Estudi de la funció: busquem el temps mínim.

Considerem els punts t ‘ (x) = 0 0 Signe t ’ t

→

t ‘(x) =

2x

1 =0 2 1600 + x2 2

0 < x < 40 3 -

40

→

3

x = 40 3 40

0 Min

3 < x < 100

100

+

- La forma del gràfic de la funció en l’interval, ens indica clarament que en x = 40 3 hi ha un míxim relatiu, que també és el mínim absolut de la funció. I el valor màxim? màxim? Observant la forma de la funció funció i calculant els valors en x = 0 i x = 100, que donen f (0) = 90 s ; f (100) = 107,70 s. , concluim que en x = 100 m, es a dir si nada tota l’estona des de A fins a B fa com era de preveure, s’inverteix el major temps possible

5. Troba les dimensions del cilindre de volum màxim que es pot inscriure en un con de radi 25 cm. i altura 50 cm. Quin és el volum màxim? Dimensions del cilindre: x (radi de la base) , y (altura) Funció a maximitzar: maximitzar: VOLUM = π x2 y ( depén dues variables) Relació entre les variables : Semblança de triangles 

50 25

y

=

25 − x

FUNCIÓ A MAXIMITZAR f (x) = π x2 ( 50 – 2x ) ,

; y = 50 – 2x ;

Domini: 0 < x < 25

50 y

( observem que x = 0 ; x = 25 no són realment cilindres) 

Estudi de la funció: busquem el valor màxim.

Monotonia: Punts f ‘(x) =0

Signe f ’ f

→

0< x < 50/3 +

π

x

(100x – 6x 2) =0

50/3 0 Max

→

x> 50/3 -

x = 0;

x

=

50 3

25

La forma de la funció ens indica que en x = 50/3 s’aconsegueix el valor màxim de la funció (també és màxim relatiu)

. Si x = 50/3 (radi) , llavors y = 50/3 (altura). Aquest és el radi i l’altura del cilindre de volum màxim. Substituint, resulta V max = f (50/3) =

125000 π 3 cm 27

6. En una determinat camp quan es planten 25 arbres per hectàrea el rendiment mitjà de cada arbre és de 370 fruits. D’altra banda, s’ha comprovat sobre el terreny que quan es planten més de 25 arbres per hectàrea comença a produir-se “saturació” i disminueix el rendiment de cada arbre en 10 fruits per arbre addicional addicional plantat. Quin és el nombre òptim d'arbres que cal plantar per hectàrea per a obtenir la màxima producció?





IES “La Plana” – Castelló Francesc Beltran Castell 

Estudi de la funció: busquem el valor màxim. (en l’interval tancat [0, 37] ) (*)

Taula de monotonia de la funció. Punts a considerar f ‘(x) = 0 0

0< x < 6 +

Signe f ’ f

→

120–20x = 0

6 0 MAX

9250

→

6< x <37 -

x=6 x=37 0

La forma del gràfic de la funció en l’interval, ens indica clarament que el valor màxim de la funció s’aconsegueix en x = 6: és el màxim absolut de la funció i també relatiu. Per tant, el nombre òptim d’arbres per aconseguir la màxima producció serà 25 + 6 = 31 arbres. La mínima producció s’aconseguiria quan x =37, es a dir 25 + 37 = 62 arbres. (*) NOTA: També en tractar-se de l’estudi d’una funció en un interval tancat podríem procedir com es fa habitualment per a calcular els extrems absoluts: localitzats els punts x=0 ; x = 6; x = 37 s’obtenen els valors f (0) = 9250 ; f (6) = 9610; f (37)=0, observant-se clarament que en x = 6 hi ha el màxim i en x = 37 hi ha el valor mínim

7. Troba un punt de la paràbola y = 4 - x2 , en el que la tangent a la paràbola en aquest punt, i en el primer quadrant, determina un triangle d'àrea mínima amb els eixos. Solució: Designem P (a , 4- a 2) , el punt de la paràbola. La recta tangent a f en P, tindrà per equació y – (4 – a 2 ) = -2·a (x – a) Aquesta recta talla els eixos en els punts M, i N talls amb l’eix d’abscisses i ordenades respectivament.

4−a2 4+ a2 +a = 2a 2a Punt N x = 0; substituint, queda y = 4 – a 2 +2 a2 = 4 + a 2 Punt M





→ →

4+a2 ,0) 2a N ( 0, 4 +a 2 )

M(

FUNCIÓ A MINIMITZAR: àrea del triangle rectangle de vèrtexs OMN

base · alt Substituint, ÀREA = 2 

y = 0 ; substituint x =

=

4 + a2 ·( 4 + a 2 ) (4 + a 2 ) 2 2a = 2 4a

⇒

16 + 4a 2 + a 4 f (a) = 4a

, Domini : 0 ≤ a ≤ 2

Estudi de la funció: busquem el mínim.

3a 4 + 8a 2 − 16 Monotonia. Punts a considerar: 1) f ‘ (a) = =0 4a 2 0

0< a < 2 -

Signe f ’ f

3

⇒

a = ± 2 i ;

a = ± 2

3

2 3

2 3
0 Min

-

Per tant el valor del triangle d’àrea mínima s’aconsegueix agafant el punt P ( 2

; 2) a = 0

3 , 8/3). (és també mínim realtiu)

8. Es vol tancar un camp rectangular que hi ha a la vora del camí. Si la tanca que dóna al camí, ca mí, que no volem de longitud inferior a 150m ni superior a 200 m, costa a 8 €/m i la dels altres costats a 1 €/m, troba l'àrea màxima de camp que es pot tancar amb 2 880 €. I quina és l’àrea mínima? mínima? Solució: a)

Funció a maximitzar: ÀREA = x · y

(depén de dos variables) 2880 − 9x






La funció és f (x) = -4,5 x 2 + 1440x ⇒ paràbola (cap avall) : el valor màxim està en el vèrtex ⇒ x v = - Àrea màxima: El valor màxim de la funció s’aconsegueix en x =160 : és el màxim absolut de la funció i també relatiu. Si x = 160 m ⇒ y = 720 m. Per tant, el recinte d’àrea màxima serà de 160 x 720 m. - Àrea mínima: Hi haurà que calcular f (150)= 11 4750 ; f(200) = 108 000 per tant, el camp d’àrea mínima tindrà dimensions de 200 x 540 m

b 2a

−

=

14 40 = 160 −9

−

Nota: També es pot resoldre a partir de la derivada: buscar els punts on f ‘(x) = 0 i fer l’estudi dels màxims i mínims.

(*) NOTA: En tractar-se de l’estudi d’una funció en un interval tancat podríem procedir així: 1) possibles extrems absoluts: x=160 (punt f’(x) = 0) i x = 150; x =200 ( extrems de l’interval) ; 2) es calculen f (160) (160) = 115200; f (150)= 11 4750 ; f(200) = 108 000 i s’observa que en x = 160 hi ha el màxim i en x = 200 el mínim

9. Un full de paper ha de contenir 18 cm2 de text imprès. Els marges superior i inferior han de tenir 2 cm d’altura cadascun i els laterals 1 cm. Troba les dimensions del full perquè la despesa de paper siga mínima? Funció a minimitzar: A= x · y ; sent x , y són les dimensions del full Relació entre les variables: 18 4x + 10 (x – 2 ) (y – 4 ) = 18 ; aïllant “y” “y” resulta → y = . y= + 4; x−2 x−2 Altres restriccions: observar que x >2 ; y > 4 4x 2 + 10x , x−2



FUNCIÓ A MINIMITZAR. Substituint , obtenim f (x) =



Busquem el valor mínim de la funció: Estudi de la funció. Monotonia Punts a considerar f ‘ (x) = 0; f ‘(x) =

(8x + 10)(x − 2) − (4x 2

−

10)

=

(x − 2)2

2
5

x>5

-

0

+

Signe f ’

Domini:

y 2
x 4(x 2

4x − 5) =0 (x − 2)2 −

→

x = 5 ; x = -1

min

f

La forma del gràfic de la funció en l’interval ens indica que en x = 5 tenim el valor mínim. Si x = 5, llavors y = 10 cm. Aquestes són les dimensions del paper.

10. De tots els cilindres inscrits en una esfera esfera de radi 1 metre troba el volum del que el tinga màxim. Solució: Siga r el radi del cilindre inscrit, h la seua altura i V el volum. - Funció a maximitzar: Hi ha que maximitzar la funció V = π r2 h, que en principi depén de les variables r, h. - Condició que compleixen les variables: Observem de la figura que es compleix 12 = r2 + Aïllant r2 = 1 -

h2 4

h2 4 − h2 = 4 4

r



Funció a maximitzar: Substituint en la funció, resulta V =



Valor màxim de la funció. Estudi de la funció. Monotonia Punts a considerar V’ =

π

4

π

4

( 4h − h3 )

( 4 − 3h 2 ) = 0 ⇒ 4 – 3 h2 = 0 ⇒ h = ±

;

0
h/2

1

2 = ± 1.15 3

La forma de la funció ens indica que si la






11. Trobeu les dimensions del cartell d’àrea màxima amb forma de rectangle que té dos vèrtexs subjectes a una estructura rígida parabòlica d’equació y =12   -  x2 , i els altres dos vèrtexs estan situats sobre l’eix OX . Solució: La figura ens ajuda al plantejament del problema - Vèrtexs del rectangle sobre la paràbola (x, 12-x2) ; (-x , 12 – x2) FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Rectangle de base 2x i altura 12 – x2 Area = 2x ·(12 – x2) ; 0
Signe A ’

0< x < 2

2

2
+

0

-

La forma de la funció mostra que quan x = 2 tenim àrea màxima. Si x = 2 ; y = 12 – 2 2 = 8. Les dimensions del cartell seran 4 x 8

MAX

Àrea

40-5x tones d’acer d’alta qualitat. La 10-x producció màxima diària d’acer de baixa qualitat és de 8 tones. Si el preu d’una tona to na d’acer de baixa qualitat és de 100 euros i el preu d’una tona d’acer d’alta qualitat és de 250 euros, demostreu que s’han de produir 5 tones per dia d’acer de baixa qualitat qualit at per a que el valor de venda de la producció diària siga màxim 40-x FUNCIÓ A MAXIMITZAR: substituint resulta f (x) = 100x+250 , Domini: 0 ≤ x ≤ 8 10-x

12. Uns alts forns produeixen al dia x tones d’acer de baixa qualitat i

 

Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia) en el seu domini 2500 Punts a considerar: f ‘(x) = 100 = 0 → → x = 15 (no vàlida) ; x = 5 (10 - x)2 0 Signe f ’ f

0< x <5 +

5 0 Max

5
8

La forma del gràfic indica que si x =5 s’obté el valor de venda màxim ( x = 0 i x = 8 són candidats a valor mínim)

13. Un triangle isòsceles que té 10 cm de perímetre gira al voltant de la seua altura engendrant un con. Troba les mesures dels costats del triangle per a que el volum engendrat siga màxim.

y

y h

Dimensions del con: x (radi de la base) , h (altura) Funció a maximitzar: Volum del con ⇒ En aquest cas V = π x2 h / 3 Relació entre les variables 2x + 2 y = 10 ; x2 + h2 = y2 Operant y = 5 – x ; x2 + h2 = ( 5 – x )2; x2 + h2 = 25 – 10 x + x 2 ⇒ h2 = 25 – 10 x ⇒

h

=

25 − 10x

Restriccions: Queda clar que h existeix quan 25 – 10x > 0 ; és a dir quan x < 2,5 x π

x 2 25 - 10 x , 3



FUNCIÓ A MAXIMITZAR: substituint resulta f (x) =



Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia) 100 x 3 - 50 5 0x 4 Punts a considerar: f ‘(x) = π = 0 → 100x3 - 50x4 = 0 4 5 6 25x - 10x 0< x <2

2

2 < x < 2,5

Domini: 0 < x < 2,5

3 → x (100

-50x) = 0

→

x =0 ; x =2






14. A un terreny rectangular se’l vol tancar exteriorment i també dividir-lo amb tres rectangles iguals mitjançant dues tanques divisòries paral·leles als costats més xicotets del terreny. Si única ment disposem de 80 metres de tanca, quines dimensions del terreny maximitzen l’àrea? Quant val aquesta àrea? Solució: La figura ens ajuda al plantejament del problema - FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Area = 3x y ( depèn de dues variables) - Condició que compleixen les variables 6x + 4 y = 80

x y

80 − 6 x  3 2 Substituint, resulta A(x) = 3 x   = (80 x − 6x ) 4



La funció és una paràbola cap avall

x

y

x

y

y x

x

4



A(x) = - 4.5 x 2 + 60 x

El valor màxim està en el vèrtex⇒ x v =

x

b 2a

−

Domini = (0, 40/3 )

60 2 0 20 .⇒ Si x = ; y = 10 = 3 3 −9

−

=

→

ÀREA MÀXIMA = 200 m2

15. Una finestra té la forma de semicercle muntada sobre un rectangle. El rectangle és de cristall transparent, mentre que el semicercle és de cristall d’un color que transmet la meitat de llum per unitat d’àrea transparent. Si el perímetre total de la finestra f inestra és de 100 m, com s’ha de construir la finestra per a conseguir la major quantitat de llum? Solució: Funció Funció a maximitzar: Quantitat llum⇒ Àrea total = Àrea rectangle + Àrea semicercle semicercle Àrea total = x · y +

1 · 2

π

2

( x 2) = x ·y + 2

π

16

x2

Relació entre les variables: Les variables x, y compleixen la següent equació Operant i aïllant y, resulta 2y = 100 – x -

x 2

π

y

⇒ Area total = x ·y + 0,19625 x2 (depen dos variables)

→

y = 50 −

x πx − 2 4

=

x + 2y +

2 π ( x 2) = 100 2

x

50 − 0, 5x − 0,785x → y = 50 - 1, 28 285 x

Substituint en la funció, resulta f (x) = x· ( 50 − 1, 28 285x ) + 0,19625x 2 ⇒ f (x) = 50x - 1,08875 x 2 És tracta d’una paràbola. El valor màxim està en evidentment el vèrtex(*) x =

b 50 −50 = 22,96 = = 2a 2(−1, 08877) 2,1775

−

Per tant, les mesures que permeten la major quantitat de llum són x = 22, 96 m ; Substituint y = 50 – 1.285 1 .285 x = 20,4964 m

(*) NOTA: El valor màxim també es podria buscar utilitzant derivades

16. Considerem el triangle rectangle de vèrtexs O(0, 0), A (x, 0) i B(x, y), x >0, y >0 estant el vèrtex (x, y) sobre l’el·lipse d’equació x2 + 2y2 = 2 tal com indica la figura. Troba les coordenades del vèrtex B per a que el triangle rectangle tinga àrea màxima. Solució:

Funció a maximitzar: maximitzar: Àrea = x · y /2 ; x , y base i altura triangle triangle rectangle Relació entre les variables : x2 + 2y2 = 2 ;x2 = 2 - 2y2 ;



±

2 − 2 y 2

O

A

1 2

FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Àrea = x y , que en principi depèn de dues variables. 1 2

Substituint f (y) = y 2 − 2 y 2 = 

x=

B

2 y 1 − y2 2

⇒

f(y) = 0' 0'71 y2 - y4

Domini = (0, 1]

Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia) f ‘ (y) = 0'71

2 y − 4 y3 2 y2 − y4

; Punts f ‘ (y ) = 0 ⇒ 2y – 4y3 = 0

⇒

y =0

;

y=

±

2 2 = ± 0 ' 71








17. Amb una corda de 6 m de longitud quin és el triangle isòsceles d’àrea màxima que podem construir? Solució: Dimensions del triangle : 2x (base) , y (costats iguals) 2x·h Funció a maximitzar: AREA = = xh , sent h l’altura del triangle y y 2 Restriccions: 2x + 2y = 6 y=3–x → 2 2 2 y =h +x → h2 = y2 – x2 = 9 – 6x → h = 9 − 6x 6x 2x x >0 ; y> 0 ; h >0 → 0 < x < 3/2 

FUNCIÓ a optimitzar



Busquem el valor màxim. Estudi de la funció (monotonia) 18x − 18x 2 ; f ‘(x) = f ( x ) = 9 x 2 − 6x3 2 9x 2 − 6 x 3 18x − 18x 2 Punts a considerar f ‘(x) = =0 → x = 0 ( no vàlid) ; x = 1 2 9x 2 − 6 x3 Taula de monotonia de la funció Signe f ’

f(x) = x· 9 - 6 x ,

Domini:

0 < x < 3/2

0< x < 1

1

1 < x < 3/2

+

0

-

f

MAX

La forma del gràfic indica que el valor màxim de la funció s’aconsegueix en x = 1 (és també màxim relatiu) Si x = 1 m, llavors y = 2 m. Per tant, el triangle d’àrea màxima té base 2x = 2 m i costats iguals y = 2 m, o siga un triangle equilàter.

18. Provar que el volum de qualsevol con recte inscrit en una esfera es menor que el 30% del volum de la mateixa. (Selectivitat Juny 2005 A) Si el con de volum màxim que podem inscriure en una esfera té un volum menor que el 30% del volum de l’esfera, estarà comprovat l’enunciat. Es tracta, per tant, bàsicament d’un problema d’optimització. Funció a maximitzar: VOLUM DEL CON = π r2 h / 3 ⇒ V = π x2 (R + y) / 3 R

Relació entre les variables (restriccions): R2 = x2 + y2 ⇒ x2 = R2 - y2

y

Substituint, queda V = π (R2 – y2) (R + y) / 3 que és una una funció de “y”

R x

Funció a maximitzar f (y) = Busquem el valor màxim:

π

π

R 2 − y2 ) (R ( R + y) ( 3

f '( y) = (0 + R 2 − 2Ry − 3y 2 ) 3

⇒

f ( y) =

π

R 3 + R 2 y − Ry2 − y3 ) ( 3

18 PROBLEMES resolts d'optimització - Curs 2009-10

Recommend Documents