142821608 Teoria y Diseno de Antenas Dr Cruz Pol

I n t r o d u c c i ó n a l a In Teoría y Diseño de Ann t e n a s A

Dra. Sandra Cruz-Pol, Catedrática Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computadoras Recinto Universitario de Mayagüez Mayagüez, Puerto Rico

© Copyright 1994, 2000, 2002, 2005, 2007, 2009, 2010 Sandra L. Cruz Pol © Copyright 1994, 2000, 2002, 2005, 2007, 2009, 2010 Sandra L. Cruz Pol Todos los derechos reservados. Uso educativo exclusivamente, no comercial.los derechos reservados..

. On

the cover: Photo of the CASA UPRM OTG X-band single-pol radar and comparable plots from CSU-CHILL S-band Doppler Polarimetric weather radar. [Pablos, 2010]

Tabla de Contenido TABLA DE CONTENIDO ................................................................................................................... II TABLA DE FIGURAS ........................................................................................................................... V 1

CONCEPTOS NECESARIOS DE LA TEORIA DE ANTENAS ............................................... 1 1.1 ¿QUÉ ES UNA ANTENA? ....................................................................................................... 1 1.2 PATRÓN DE IRRADIACIÓN .................................................................................................. 1 ! ," ,# ) ) .................................................................................. 2 1.3 COORDENADAS ESFÉRICAS , ( ! 1.4 ANCHO DEL HAZ ("BEAMWIDTH") .................................................................................... 4 1.4.1 HPBW- "Half Power Powe r beamwidth" beamwidth " ............................ .............. ............................ ............................ ............................ ............................ .................. 4 1.4.2 "Null-to null Beamwidth", NNBW ...................................................................................... 4 1.5 ZONAS DE CAMPO ................................................................................................................. 4 1.5.1 "Near field" (zona de Fresnel) ........................................................................................... 4 1.5.2 "Far field" (zona de Fraunhofer) ....................................................................................... 4 1.6 ANGULO SÓLIDO: .................................................................................................................. 5 1.7 ANTENA ISOTRÓPICA (ANTENA PUNTO) ........................................................................ 6 1.8 BEAM AREA (ÁREA DE HAZ)- $ A ...................................................................................... 6 ! ," ) [W/SR ] .................................................................... 7 1.9 INTENSIDAD DE RADIACIÓN , RADIACIÓN , U( ! 1.9.1 "Beam efficiency" % M (Eficiencia de la iluminación) ........................................................ 8 1.9.2 Potencia Total To tal Irradiada Irrad iada por la antena es ....................... ......... ............................ ............................. ............................. .................... ...... 8 1.10 DIRECTIVIDAD , D( D(!,") Y D D .................................................................................................... 8 1.11 GANANCIA G [DB] ............................................................................................................. 10 1.12 IMPEDANCIA ...................................................................................................................... 10 1.13 RESISTENCIA DE RADIACIÓN , RADIACIÓN , R R R .................................................................................. 10 2 1.14 ÁREA EFECTIVA, A EFECTIVA, A E [M ] ................................................................................................... 11 1.15 RELACIÓN ENTRE R ENTRE R R Y ! A .............................................................................................. 13 1.16 "FRIIS TRANSMISSION FORMULA" ............................................................................... 14 1.17 ECUACIÓN DEL RADAR ("RADAR RADAR ("RADAR RANGE RANGE ECUACIÓN") .......................................... 15

2

POLARIZACION .......................................................................................................................... 19 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

3

APLICACIONES .................................................................................................................... POLARIZACIÓN .................................................................................................................... POLARIZACIÓN LINEAL (LP) ............................................................................................ POLARIZACIÓN CIRCULAR (CP) CIRCULAR (CP) ...................................................................................... CASO GENERAL- (ELIPSE) ................................................................................................. PARÁMEROS DE LA ELIPSE .............................................................................................. "POLARIZATION LOSS FACTOR" .....................................................................................

19 20 20 21 22 23 24

ANTENA DIPOLO ....................................................................................................................... 28 3.1 LAS ECUACIONES DE MAXWELL Y LA ECUACIÓN DE O NDA .......................................... 28 3.2 VECTOR POYNTING ............................................................................................................... 30 3.3 DIPOLO INFINITESIMAL .................................................................................................... 32 3.3.1 Campos en el "Far field" ................................................................................................. 37 3.3.2 Vector Poynting para un dipolo infinitesimal.................... .............................. .................... ..................... ..................... ............... ..... 37 3.4 DIPOLO LARGO .................................................................................................................... 39 3.4.1 Casos Especiales: ............................................................................................................ 42 3.5 EFECTO DE LA TIERRA O PLANO REFLECTOR .................................................................... 44 3.5.1 Teoría de imágenes .......................................................................................................... 44

4

ANTENA LAZO ............................................................................................................................ 47 4.2 4.3 4.4

LAZO DE TAMAÑO ARBITRARIO ..................................................................................... 50 MÉTODO GRÁFICO (ANTENA DE LAZO CIRCULAR) ................................................... 52 ANTENA LAZO ..................................................................................................................... 53

4.4.1 Resistencia de radiación: ................................................................................................. 53 4.4.2 Directividad ..................................................................................................................... 54

5

ANTENAS DE ALAMBRE INDEPENDIENTES DE FRECUENCIA ................................... 55 5.1 ANTENA YAGI-UDA ............................................................................................................ 55 5.1.1 Teoría ............................................................................................................................... 55 5.2 BANDA ASIGNADA EN FRECUENCIA PARA LOS CANALES DE TELEVISIÓN ....... 57 5.3 ANTENA LOG-PERIÓDICA ................................................................................................. 57 5.3.1 Teoría ............................................................................................................................... 58 5.4 BALUNS ................................................................................................................................... 61 5.5 APAREANDO IMPEDANCIAS ................................................................................................. 63

6

ARREGLOS DE ANTENAS ........................................................................................................ 64 6.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 64 6.2 TEORÍA ................................................................................................................................... 64 6.3 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN DE PATRONES ......................................................... 67 6.4 ARREGLOS LINEALES ........................................................................................................ 67 6.5 ARREGLO LINEAL U NIFORME CON FASE INCREMENTAL ................................................. 68 6.5.1 Método Gráfico Para Arreglos Lineales ......................................................................... 71 6.5.2 Arreglos "Broadside" y Endfire" ..................................................................................... 74 6.6 ARREGLOS LINEALES NO UNIFORMES.......................................................................... 75 6.7 BINOMIAL ............................................................................................................................. 76 6.8 DOLPH-TSCHEBYSCHEFF .................................................................................................. 76 6.8.1 Número par de elementos ................................................................................................ 77 6.8.2 Número impar de elementos ............................................................................................ 78 6.8.3 Polinomios de Tschebyscheff ........................................................................................... 79 6.8.4 Pasos para el diseño de un Arreglo Dolph- Tschebyscheff ............................................. 81 (Dado R, d, y el número de antenas, N)........................................................................................ 81 6.9 ARREGLOS PLANOS ............................................................................................................... 83

7

ANTENA ESPIRAL O HÉLICE ................................................................................................. 86 7.1 7.2

8

ANTENAS REFLECTORAS ....................................................................................................... 91 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

9

MODO NORMAL ................................................................................................................... 87 MODO AXIAL ........................................................................................................................ 88 PARÁBOLA ............................................................................................................................ 92 DERRAME (“SPILLOVER”) ................................................................................................ 95 ANTENA ALIMENTADORA ................................................................................................ 96 CASSEGRAIN FEED ............................................................................................................. 97 BLOQUEO .............................................................................................................................. 98 GREGORIANO ....................................................................................................................... 99 OTROS TIPOS DE REFFLECTORES ................................................................................. 100 "CROSS-POLARIZATION" ................................................................................................. 101

ANTENAS DE ABERTURA ...................................................................................................... 102 9.1 INTRODUCCION ................................................................................................................. 102 9.2 METODO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER........................................................ 102 9.2.1 Propiedades de Fourier ................................................................................................. 103 9.3 RADIACION DE UNA ABERTURA RECTANGULAR ............................................................. 104 9.4 RADIACION DE UNA ABERTURA CIRCULAR ..................................................................... 106 9.5 A NTENAS TIPO CUERNO - “HORN” ..................................................................................... 106 9.5.1 Antena Plano-H ............................................................................................................. 107 9.5.2 Antena Plano-E .............................................................................................................. 109 9.5.3 Antena Piramidal ........................................................................................................... 110

10

ANTENAS DE MICROCINTAS ............................................................................................. 111 10.1 10.2

A NTENAS DE PARCHO ....................................................................................................... 111 PROCESO DE DISEÑO ......................................................................................................... 113

iii

10.2.1 Permitividad Efectiva ................................................................................................... 113 10.2.2 Efectos de los Bordes ( Fringing Effects) .................................................................... 114 10.2.3 Procedimiento .............................................................................................................. 114

11

TEMPERATURA DE LA ANTENA ....................................................................................... 116 11.1 11.2 11.3 11.4

RUIDO TERMAL ("THERMAL NOISE") ........................................................................ 116 TEMPERATURA DEL SISTEMA, TSYS ......................................................................... 119 "SIGNAL TO NOISE RATIO" (S/N Ó SNR) ..................................................................... 121 FIGURA DE RUIDO ........................................................................................................... 122

REFERENCIAS ................................................................................................................................. 123 DATOS BIOGRÁFICOS ................................................................................................................... 124

iv

Tabla de Figuras Figura 1.1 Antena Transmitiendo (izquierda) y antena recibiendo (derecha) .............. 1 Figura 1.2 Patrón de irradiación de una antena mostrando las partes típicas (Figura derecha Balanis) .................................................. .................................................. 2 Figura 1.3 Patrón en 3D de una antena ................................................... ...................... 2 Figura 1.4 Patrón en trazo Rectangular (linear y en decibeles) .................................... 3 Figure 1.5 Angulo Sólido.............................................................................................. 5 Figura 1.6 Diagrama que muestra el concepto de ángulo sólido de una antena ........... 7 Figura 1.7 Antena isotrópica versus antena práctica .................................................... 9 Figura 1.8 Esquema de una antena receptora conectada al circuito receptor. ............ 11 Figura 1.9 Circuito Equivalente para una antena (derecha) y su receptor ["receiver"], (izquierda). ................................................. ......................................................... 12 Figura 1.10 Sistema de comunicación básico................................................. ........... 14 Figura 1.11 Concepto más general de un sistema de comunicación........................... 15 Figura 1.12 Ejemplo de un sistema de radar bistático ................................................ 16 Figura 1.13 Concepto del cambio en frecuencia percibida conocido como efecto Doppler. .............................................................................................................. 17 Figura 2.1 Polarización Lineal Vertical .................................................. .................... 21 Figura 2.2 Elipse mostrando el trazo onda polarizada elípticamente ......................... 23 Figura 3.1 Onda Plana................................................. ................................................ 31 Figura 3.2 Dipolo Infinitesimal................................................................................... 32 Figura 3.3 Diagrama que muestra r x z ................................................... .................... 35 Figura 3.4 Geometría para análisis del Dipolo largo .................................................. 39 Figura 3.5 Variación del campo del dipolo de acuerdo al largo en términos de lambda (largo de onda de la antena). .................................................. ............................. 41 Figura 3.6 Patrón del Dipolo de media onda .............................................................. 42 Figura 3.7 Patrón del Dipolo de media onda .............................................................. 43 Figura 3.8 Patrón del dipolo de tres lambda medios (right from Krauss and Marhefka, 2002) ................................................................................................................... 43 Figure 3.9 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones desde un plano conductor.................................................... ......................................................... 44 Figure 3.10 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones de un dipolo horizontal sobre un plano conductor................................................................... 45 Figure 3.11 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones de un dipolo vertical sobre un plano conductor. .................................................. .................... 45 Figura 4.1 Geometría para análisis del lazo circular ................................................. .. 47 Figura 4.2 Punto P en plano xz ................................................................................... 48 Figura 4.3 Funciones Bessel de Primer Tipo de orden 0 a 3. ..................................... 51 Figura 4.4 Método gráfico de hallar el patrón de antena lazo. Los primeros dos nulos ocurren en el eje horizontal en 3.84 y 7.01. ........................................................ 53 Figura 5.1 Antena Yagi-Uda de 7 elementos y patrón de una Yagi-Uda de 4 elementos. ........................................................................................................... 55 Figura 5.2 Antena Log-periódica ................................................... ............................. 58 Figure 5.3 Gráfica de diseño mostrando la directividad y el diseño óptimo (R.L. Carrel, "Analysis and Design of the Log-Periodic Dipole Antenna") ............... 60 Figure 5.4 Variations of Log-Periodic Dipole Antenna" ............................................ 60

Figure 5.5 Ejemplos de Baluns y su efecto en la distribución de corriente de la antena dipolo. ................................................................................................................. 61 Figure 5.6 Un balun de 75- a 300 ohmios.................................................................. 62 Figure 5.7 Algunos estilos de Baluns ......................................................................... 62 Figura 6.1 Arreglo de N antenas iguales................................................. .................... 64 Figura 6.2 Arreglo de N antenas iguales mostrando las distancias en el "far field" ... 65 Figura 6.3 Detalle de la diferencia en paso recorrido ................................................. 66 Figura 6.4 Diagrama mostrando el concepto de Multiplicación de patrones ............ 67 Figura 6.5 Arreglo Lineal de N antenas equidistantes ................................................ 68 Figura 6.6 Factor de Arreglo para de 5 elementos lineales con iluminación uniforme y fase incremental ............................................................................................... 70 Figura 6.7Factor de Arreglo para de 3, 7, y 17 elementos con iluminación uniforme y fase incremental, respectivamente. ..................................................................... 71 Figura 6.8 Arreglo tipo "broadside"............................................................................ 74 Figura 6.9 Arreglo Tipo “Endfire” de 5 antenas......................................................... 74 Figura 6.10 Factor de Arreglo para distintos tipos de iluminación: Uniforme, Binomial y D-T ................................................... ................................................ 75 Figura 6.11 Arreglo lineal con número par de elementos........................................... 77 Figura 6.12 Arreglo lineal con número impar de elementos ...................................... 78 Figura 6.13 Polinomios de Tschebyscheff .................................................................. 80 Figura 6.14 Trazos de la Magnitud de los primeros 3 polinomios de Tschebyscheff 80 Figura 6.15 Trazo de la Magnitud de T 4(x) ................................................................. 81 Figura 7.1 Antena hélice o espiral ............................................................................. 86 Figura 7.2 Detalle del alambre cerca de la alimentación ............................................ 87 Figura 7.3 Antena hélice - Modo Normal (perpendicular) de Operación ................... 87 Figura 7.4 Antena Hélice - Modo Axial ..................................................................... 88 Figura 8.1 Comparación entre antenas de reflector parabólico y esférico.................. 91 Figura 8.2 Diagrama mostrando parámetros de la antena parabólica ......................... 92 Figura 8.3 Detalle del ángulo de abertura ................................................................... 93 Figura 8.4 Gráfica de J 1(x) /x ............................................... ....................................... 93 Figuras 8.5 Diagrama mostrando el derrame de señal que puede ocurrir en antena reflectora ............................................................................................................. 95 Figura 8.6 Problemas comunes con antenas que usan platos reflectores.................... 96 Figura 8.7 Distintos tipos de antenas alimentadoras................................................. .. 96 Figura 8.8 Antenas alimentadoras para frecuencias altas (microondas, ondas milimétricas). ...................................................................................................... 97 Figura 8.9 Antena Cassegrain ..................................................................................... 97 Figura 8.10 Efectos del bloqueo ................................................................................. 98 Figura 8.11 Alimentadora Desplazada (“Offset feed”)............................................... 99 Figura 8.12 Reflectores del Observatorio de Arecibo. Observe que los rayos del reflector primario salen paralelos.................................................... .................. 100 Figura 8.13 Detalle de los platos secundario y terciario del Observatorio de Arecibo. ................................................. .......................................................................... 100 Figura 8.14 Otros tipos de reflectores....................................................................... 101

Figure 9.1 Antena de abertura rectangular con iluminación uniforme y su patrón de radiación ............................................................................................................ 105

i

Figure 9.2 Antena de abertura circular con iluminación uniforme y su patrón de radiación ............................................................................................................ 106 Figure 9.3 Antena piramidal ..................................................................................... 107 Figure 9.4 Antena Horn plano-H .............................................................................. 108 Figura 10.1 Esquemático lateral y vista superior de una antena de microcintas tipo parcho. ............................................................................................................... 111 Figura 10.2 Esquemático en tres dimensiones de una antena de microcintas de parcho rectangular y su patrón de irradiación............................................................... 112 Figura 10.3 Arreglo planal de antenas de microcinta alimentadas para transmitir dos polarizaciones. .................................................................................................. 113 Figura 10.4 Tipos de alimentación para antena de parcho....................................... 113 Figura 11.1 Representación del ruido termal producido por el movimiento de electrones. ......................................................................................................... 116 Figure 11.2 Dentro de una cámara anecóica a temperatura T ................................... 116 Figure 11.3 Mirando al cielo (solamente) a temperatura T ...................................... 117 Figura 11.4 potencia radiométrica recibida por una antena ...................................... 117 Figura 11.5 Potencia de ruido recibida si el rayo es menor que el ángulo sólido ocupado por la fuente................................................... ..................................... 118 Figura 11.6 Potencia de ruido recibida si el rayo es mayor que el ángulo sólido ocupado por la fuente................................................... ..................................... 119 Figura 11.7 Sistema receptor en un radar o radiómetro............................................ 120

ii

“The vanity of some men, who imagine that they know everything, and are bent on explaining everything in their own way, will give rise to opposing opinions; but all who have in view the grand principle of Jesus will be united in the same love of goodness, and in a bond of brotherhood that will embrace the entire world. Putting aside all vain disputes about words, they will devote their energies to matters of practical importance, in regard to which, whatever their doctrinal belief, the convictions of all who receive the communications of the higher spirits will be the same.” "Remember that angels only give their aid to those who serve God with humility and disinterestedness; they disown all who use heavenly things as a stepping-stone to earthly advancement, and withdraw from the proud and the ambitious. Pride and ambition are a barrier between man and God; for they blind man to the splendors of celestial existence, and God cannot employ the blind to make known the light." Allan Kardec, 1857 (translated from French),

“Mi patria es el mundo, sin fronteras”, SLCP

iii

1

CAPÍTULO 1 CONCEPTOS NECESARIOS DE LA TEORIA DE ANTENAS

1.1 ¿QUÉ ES UNA ANTENA? Una antena es una estructura pasiva de transición entre una línea de transmisión y el espacio, usada para irradiar o recibir ondas electromagnéticas. Una misma antena puede usarse para transmitir y recibir. Fuente Circuito Receptor (Rx) Antena

Antena

Figura 1.1 Antena Transmitiendo (izquierda) y antena recibiendo (derecha)

1.2 PATRÓN DE IRRADIACIÓN El patrón de una antena se refiere a la variación de la amplitud de la irradiación como función de la dirección. Se representa como una gráfica de 2 ó 3 dimensiones donde se muestra la magnitud del campo eléctrico normalizado o la potencia normalizada como función de ( !, " ). Cuando que se habla de patrones, normalmente nos referimos a que estamos a una distancia bastante lejos de la antena conocida por "far field". "Field pattern"-se grafica | E | normalizado E n( !, " ) = E ( !, " )/ E max "Power pattern"- se grafica la potencia o | E |2 normalizado. F n( !, " ) = S ( !, " )/ S ( !, " )max = U (! , " )/ U( !, " )max Ecuación 1.1

donde S es el vector Poynting y U la intensidad de radiación definidos adelante.

CONCEPTOS NECESARIOS DE LA TEORIA DE ANTENAS

|Pn| 1

Lóbulo principal ("Mainlobe")

HPBW .5 NNBW

} Lóbulos menores PATRON TIPIC O (Coordenadas polares esféricas, 2 dimensiones) Figura 1.2 Patrón de irradiación de una antena mostrando las partes típicas (Figura derecha Balanis) 1.3

COORDENADAS ESFÉRICAS, ( !, " ,# )

Las coordenadas esféricas se utilizan comúnmente cuando hablamos de patrones de irradiación debido a que son adecuadas para la geometría del problema. Por ejemplo, el siguiente es el patrón de una antena omnidireccional como lo es, por ejemplo, la antena dipolar consistente en dos alambres alimentados por el centro. Patrón en coordenadas polares y 3 dimensiones.

z or Antena omnidireccional y ø

x

Sección cortada del patrón de irradiación Figura 1.3 Patrón en 3D de una antena

Al ángulo ! se le conoce comúnmente como ángulo de elevación, y al ángulo ø se le conoce como ángulo azimut (se mueve en el plano horizontal). La dirección que mira a 2


=0 se conoce como el cenit. También se utilizan coordenadas rectangulares, aunque ! =0 menos frecuentemente. |En|

Patrón normalizado

_1

|

- 0 dB

-.7

-3dB

-.25

-10dB

| HPBW

ø

|

Patrón de Campo (Escala linea line al)

| HPBW

Patrón de campo o de pote pot encia (Escala logarí l ogarítmica) tmica)

COORDENADAS COORDENADAS R EC TANGULARES TANGULARES Figura 1.4 Patrón en trazo Rectangular (linear y en decibeles)

Los dos patrones de arriba son equivalentes pero en distintas escalas; en uno la abscisa es lineal y en el otro es logarítmica (decibeles, dB). Nótese que el punto de media potencia (o sea de 70.7% de campo) equivale a -3dB. # dB = 10 log |F n| = 10 log |E n|2 = 20 log E |E n| Ecuación 1.2

Es importante notar que dB es un cambio de escala para cubrir una gamma mayor de valores en un mismo eje. No es una unidad de potencia ni de campo, sino que se refiere a ganancia, ya que F n y E n son normalizadas, y por lo tanto, tampoco tienen unidades. Cuando queremos medir potencia en forma logarítmica utilizamos dBW o dBm, los cuales están definidos en términos de Vatios (W) o mili vatios (milliwatts).

3


1.4 ANCHO DEL HAZ ("BEAMWIDTH") 1.4.1 HPBW- "Half Power beamwidth" Es la “distancia” en radianes o grados entre las direcciones en el patrón donde se irradia la mitad de la potencia que se irradia en la dirección de máxima potencia. La mitad de la potencia equivale a un 70.7% del campo. En decibeles ambos corresponden a -3dB. 10 log 0.5 = -3 dB 20 log 0.707 = -3 dB. En general, un patrón tiene un "beamwidth" distinto en el plano yz plano yz y y el plano xz plano xz.. A veces yz se le llama el plano-E, si es el plano donde se encuentra el vector del la plano xz o yz campo eléctrico, E eléctrico, E . Una forma aproximada de obtener este valor para patrones de forma “pencil beam” es HPBW HPBW

"

70

o

! D

Ecuación 1.3

1.4.2 "Null-to null Beamwidth", NNBW Es otra forma de especificar el ancho del haz. Se mide desde un nulo (cero radiación) a otro alrededor del lóbulo principal ("main beam"). En la práctica, cuando hablamos de "beamwidth" nos referimos al HPBW al HPBW a a menos que se especifique lo contrario.

1.5 ZONAS DE CAMPO 1.5.1 "Near field" (zona de Fresnel) Se refiere a la región cercana a la antena. En esta zona los campos electromagnéticos tienen componentes en la dirección de propagación (componente radial, E r r ) en esta región, además de los componentes transversales. Por lo tanto, el patrón depende de la & .. Casi todas las distancia hasta la antena. Se le define como la distancia r <2D2 / & aplicaciones trabajan fuera de esta zona. 1.5.2 "Far field" (zona de Fraunhofer) En esta zona ya los campos electromagnéticos son transversales, o sea sólo tienen componentes perpendiculares a la dirección de propagación (i.e. sólo E " " y E ! ! ). La forma del patrón de irradiación es independiente de la distancia r en en esta zona. r ff

2 D =

!

donde,

4

2

Ecuación 1.4


D = D = es la dimensión física mayor de la antena # = largo de onda de operación r = = distancia desde la antena hasta el punto de observación. Casi todas las aplicaciones operan en el “far field”, o sea lejos de la antena y los campos entonces se toman como transversales pues son básicamente ondas planas.

1.6 ANGULO SÓLIDO: El ángulo sólido es un concepto utilizado utilizado cuando se habla de patrones de antenas. Para entender mejor este concepto, veamos la comparación entre el ángulo plano (que es el que ya conocemos), y el ángulo sólido (el cual tiene tres, en lugar de dos, dimensiones).

Figure 1.5 Ángulo Sólido

s = s = ! r r = = arco

! = = ángulo plano

• El El arco total en un círculo: = 2' r • Ángulo Ángulo total: = 2' [radianes] [radianes]

! s1 = r d ! s2 = r sin ! dø dø dA = s1 s2 " d ! ! dA = r 2 sin ! d d " $ = r 2 d $ $ = d $ = elemento de ángulo sólido • El área total en una esfera: = 4' r 2

• Angulo Angulo sólido total: =4' [rad [rad2]=4' [sr] [sr] 1 steradian (sr) = (1 radian)2

5


1.7 ANTENA ISOTRÓPICA (ANTENA PUNTO) Es una antena hipotética, o sea, que no existe en la práctica. Es una fuente punto que ocupa un espacio despreciable. Exhibe simetría esférica, no tiene preferencia direccional, por lo cual, su patrón es simplemente una esfera. La antena isotrópica emite ondas esféricas (como esferas concéntricas en donde la fase es constante). Cuando se está lejos de la antena, la curvatura de una pequeña sección de la onda esférica es tan poca que la onda se puede aproximar a una onda plana (como planos paralelos donde el campo tiene fase constante). La potencia que lleva una onda esférica está distribuida uniformemente sobre toda la superficie esférica. S

2

=

P t / 4! r

[W/m2] , note que disminuye con 1/r 2.

S es la densidad de potencia por unidad de área a una distancia r de la antena, también conocida como la magnitud del vector Poynting, S P / 4! r 2 r ˆ . !

=

1.8

t

BEAM AREA (ÁREA DE HAZ)- A

Es el espacio total equivalente que ocupa el patrón en el espacio si estuviese concentrado en forma de punta de lápiz (Pencil Beam). ! A

"" F ($ # )d !

=

n

,

(sr)

Ecuación 1.5

Se halla integrando la potencia normalizada en toda la esfera (del espacio). A pesar de que se llama "área" de iluminación, no es en sí un área sino un ángulo sólido. Se mide en steradians (sr).

6


z !A

Patrón |Pn| y x Figura 1.6 Diagrama que muestra el concepto de ángulo sólido de una antena ________________________________________________________________________

Ejercicio: Demuestre que la antena isotrópica tiene un A de 4$.

1.9 INTENSIDAD DE RADIACIÓN , U( ) [W/sr] Es la potencia que irradia la antena por unidad de ángulo sólido. Es un parámetro de la zona lejos de la antena y se define como: 2

[W/sr]

U = r S r

Ecuación 1.6

donde S r es la densidad de potencia de radiación y se define como la magnitud del vector Poynting radial ,

S

=

ˆS r r

1 =

2

{

!

!

Re E ! H

*

}

[W/m2]

La potencia normalizada también se puede hallar como; P n( !, " ) = S ( !, " )/ S ( !, " )m ax = U ( !, " )/U( !, " )max Recuerde que U no depende de la distancia desde la antena. 7

Ecuación 1.7


1.9.1 "Beam efficiency" % M ( Eficiencia de la iluminación) El área total del haz consiste de contribuciones entre el lóbulo principal y los menores ("minor lobes include side and back lobes”) $ A = $ M + $ m

la eficiencia depende de la contribución de $ M . M =

M / A =

! M ! M

+

!m

.

Ecuación 1.8

La eficiencia de iluminación es proporcional a la directividad. 1.9.2 Potencia Total Irradiada por la antena es

P rad

!! U (% $ )d # !! S (% $ ) " dA

=

,

=

,

=

Ecuación 1.9

donde, d $ = sin! d ! dø (elemento de ángulo sólido) d = r 2 sin! d ! dø r (elemento de área)

1.10 DIRECTIVIDAD, D(

) y D

La directividad se define como D( !, " )= U ( !, " ) / U ave. Una antena isotrópica emite ondas de radio uniformemente en todas direcciones. Pero una antena práctica tiene direcciones "preferidas" donde la potencia detectada es mayor que en otras direcciones. Si comparamos la antena práctica con una isotrópica que esté transmitiendo la misma cantidad de potencia, podemos decir que la potencia de la antena práctica en cierta dirección es tantas veces mayor que la de la isotrópica en esa misma dirección. A esto se le llama directividad.

8


Patrón de una antena

Antena isotrópica

Isotrópica

Patrón isotrópico

Comparación de un patrón con el de la antena isotrópica.

Figura 1.7 Antena isotrópica versus antena práctica D(" , ! )

=

S / S AVE

4# r 2 S (" ,! )

S =

1

=

$$

P rad

S dA

A

Ecuación 1.10

Esto no quiere decir que una antena amplifique, pues una antena es una estructura pasiva, además la directividad puede ser menor que 1. Simplemente, es que la potencia está dirigida más en una dirección que en otra. Algo que causa a veces confusión es que también se llama directividad, D, a la directividad máxima. Ambas se expresan en decibeles. (10 log _ = # dB). D

=

Dmax (# , " )

=

S max S ave

=

4! r 2 S max P rad

=

U max U ave

=

4! U max P rad

Ecuación 1.11

donde, U ave

1 =

!! Ud "

4#

Por lo tanto, también podemos expresar la directividad como, D

=

U max 1 Ud ! 4# ""

=

4# U (% , $ )

"" U

! isotrópica

4# =

d !

! A

=

! A

Ecuación 1.12

max

Note que mientras más angosto es % A, más alta es la ganancia o directividad de la antena. _______________________________________________________________________

Ejercicio: Demostrar que D y D( !, " ) para una antena isotrópica = 1.

9


1.11 GANANCIA G [dB] La directividad sólo toma en cuenta el patrón de la antena, no las pérdidas. La ganancia, en cambio, toma en cuenta las pérdidas en el conductor y en el dieléctrico de la antena. No toda la potencia que entra a los terminales de la antena transmisora se irradia al espacio, pues parte se disipa en la estructura de la antena en forma de calor. Por esto, para calcular la ganancia de potencia se utiliza la potencia que entra a los terminales de la antena transmisora, P in y no la potencia irradiada. Usualmente, cuando se habla de ganancia de una antena, se implica que es en la dirección de máxima irradiación. Entonces, G

4" U max =

P in

=

Ecuación 1.13

! D

donde ) es la eficiencia de radiación de la antena y se define por la relación P rad = ) P in

Ecuación 1.14

1.12 IMPEDANCIA Una antena es "vista" por el generador como una carga de impedancia Z A , conectada a la línea. La ve como un elemento de dos terminales. La parte real (si no hay pérdidas) es la resistencia de radiación. Z A = (Rr + R L ) + j(X m + X s ) % = R A + jX A Ecuación 1.15

donde,

Rr = resistencia de radiación = Rrad R L = resistencia de pérdidas X m = inductancia mutua X s = auto inductancia (self-inductance) La potencia máxima se puede transferir de un generador de energía a una antena si se aparea con el conjugado, o sea, Z g = Z A*.

1.13 RESISTENCIA DE RADIACIÓN , Rr Es la resistencia equivalente que disiparía la misma cantidad de potencia que la potencia irradiada por la antena cuando la corriente en esa resistencia es la misma que la corriente

10


en los terminales de la antena. La potencia promedio disipada por una antena, (sin pérdidas) es P in = P r + P L = ! Rr |I in|2 + ! R L |I in|2 Ecuación 1.16 2

P r =

V g & 2

Rr

$ $% ( Rr + R L + R g )

2

+

( X

A +

X g

)

2

# ! "!

de manera que Rr = 2 P r / |I in|2 Ecuación 1.17

Ejercicio: Demuestre que la eficiencia de radiación se puede expresar como ) = Rr /(Rr + R L )

1.14 ÁREA EFECTIVA, Ae [m2] El área o abertura efectiva se define más fácilmente para antenas recibidoras. La antena recibe potencia de ondas electromagnéticas. La razón de cuánta densidad de potencia incide en la antena a la potencia que es recibida por la misma es el área efectiva. Ae = P / S inc

[m2]

(1) Ecuación 1.18

Se puede hallar una abertura equivalente para cada antena. El área equivalente puede ser similar al área física de la abertura de la antena para algunos tipos de antenas como la antena piramidal. Sin embargo, para el dipolo, el área efectiva es mucho mayor que el área seccional física del alambre. En el siguiente esquema, todo el circuito recibidor conectado a la antena se ha sustituido por una impedancia equivalente, Z T = RT + jX T .

Circuito Receptor

Z

T

P

Ae

Onda Incidente

Figura 1.8 Esquema de una antena receptora conectada al circuito receptor.

11


La antena está supliendo energía recibida al resto del circuito ("receiver"), por lo que puede a su vez ser sustituida por su equivalente de Thévenin. I V Za

R t + j Xt

Figura 1.9 Circuito Equivalente para una antena (derecha) y su receptor ["receiver"], (izquierda).

donde, V = voltaje "rms" y Z A es la impedancia de la antena. La potencia que llega al receptor es (2) P

=

2

I Rt

donde, I =

V

( R

A

+ R

t

)

2

+

( X

A

+

X t

(3)

)

2

Combinando las ecuaciones (1) a (3), queda, Ae

=

V 2 Rt S inc [ (R A

+

Rt )2

+

(X A

+

X t )2 ]

Para antenas con impedancia apareada al receptor ("receiver"), Z A = Z t *; Ae = V 2 R A / S inc (2 R A )2 donde, R A = Rrad + R L Entonces, Ae = V 2 /4S inc R A = & 2 G / 4" Ecuación 1.19

Donde introducimos una nueva igualdad, Ae = & 2 G / 4" , la cual está derivada en varios textos de antenas y no se derivará aquí. Para antenas sin pérdidas, Ae = V 2 /4S inc Rr = & 2 D/4" Ecuación 1.20

12


La abertura efectiva de una antena no es necesariamente igual a su abertura o área seccional cruzada física.

1.15 RELACIÓN ENTRE Rr y ! A El patrón de la antena normalizado ocupa un ángulo sólido total de "A rad2. La potencia total irradiada por la antena se puede expresar como, P r = S A = S r 2 ! A Ecuación 1.21

donde, S = Poynting vector radial, (densidad de potencia por área) A = área total equivalente por donde se irradia la potencia Pero, recordemos que la resistencia de radiación se definió a partir de la potencia irradiada de forma que; P r = 1/2 I o 2 Rr = I rms 2 Rr donde I o = la corriente en los terminales de la antena. Combinando las ecuaciones de arriba de esta sección se obtiene, Rr = S r 2 ! A / I rms 2 Si también usamos la relación entre densidad de potencia y el campo eléctrico para una onda plana a una distancia r de la antena, S = 1/2 |E|2 / ) = E rms 2 / ) Sustituyendo S en la ecuación de Rr , se obtiene, 2 2 Rr = 1 / ) ( E rms I / rms ) r ! A Ecuación 1.22

donde, I rms = corriente efectiva (rms) en los terminales de la antena. E rms = campo eléctrico efectivo a una distancia r de la antena. ________________________________________________________________________ Ejercicio: El patrón de campo de una antena varía con ángulo cenit (elevación) ! como sigue, E n = 1.0 0° < ! <30° =0 30°
13


NOTE: La cartelera de Smith [Smith Chart] se usa para trazar el comportamiento de una antena con frecuencia. Se grafica su SWR dentro de su banda de operación. Lo ideal es que permanezca cerca del centro del Smith Chart.

1.16 "FRIIS TRANSMISSION FORMULA" La ecuación de transmisión de Friis nos dice cuánto será la potencia recibida desde una antena a otra (presumiendo que están alineadas y apareadas en polarización). Esta ecuación se aplica a cualquier sistema de comunicación, ya sea una antena de satélite transmitiendo imágenes de televisión a una antena terrestre, un teléfono inalámbrico comunicándose con su base, una transmisión entre un teléfono celular y la célula central, o cualquier otro sistema.

Pt r

Transmisor

Receptor

Figura 1.10 Sistema de comunicación básico

La densidad de potencia por área que llega a la antena receptora es, S r = Gt P t / 4" r 2 La potencia total que es captada por la antena es, P r = S r A r y usando Aet = #2 Gt / 4# para la antena que transmite, resulta en: 2 2 P r = P t A t Ar / r & o usando Aer = #2 Gr / 4# para la antena receptora, tenemos:

14


2 2 [Watts] P r = P t G t Gr & / (4" r)

Pr

=

P t

Gt G r ! 2 2

( 4" r)

Ecuación 1.23

La ecuación anterior se conoce como la ecuación de Friis o de transmisión. La misma debe ser modificada en caso de que las antenas no estén alineadas, en cuyo caso se sustituye Gr por G( ! ,ø r ) r y Gt por G( ! ,ø t ). t

_ ,ø ) (0 r r

Pt (0- t,ø t )

Receptor Transmisor Figura 1.11 Concepto más general de un sistema de comunicación.

Si tampoco están apareadas en polarización; se multiplica la expresión por el "polarization loss factor", (PLF), el cual estudiaremos en el próximo capítulo. Además, si las antenas no están apareadas a la línea de transmisión, ocurren reflexiones que se toman en cuenta con el factor de reflexión en la carga (antena). Entonces la expresión general de la ecuación de Friis queda de forma, Pr

=

# PLF %%1 $

!"

2&# r

( %1 (% '$

!"

2& t

( ( P t '

Gt ( ) t ,* t )Gr() r ,* r )+ 2 2

(4 , r)

Ecuación 1.24

1.17 ECUACIÓN DEL RADAR ("RADAR RANGE ECUACIÓN") (RADAR – “RAdio Detection And Ranging”). Esta ecuación se utiliza cuando la potencia transmitida incide en un objeto (target) y luego parte de ella es reflejada por el objeto y luego recibida por una antena receptora. Los radares se utilizan para estudiar objetos naturales (e. g. huracanes, corales, nubes, vegetación, planetas, ionosfera, tumores, etc.) y objetos hechos por los humanos (e. g. aviones, carros, edificios, objetos enterrados, etc.)

15


Transmisor r 1

r2

Receptor

Figura 1.12 Ejemplo de un sistema de radar bistático

La densidad de potencia que incide en el blanco, ("target") es, S inc

=

Gt

Pt 2

4 ! r1

Ecuación 1.25

La habilidad del objeto o "target" de reflejar energía de vuelta hacia el radar se describe en términos de * (sigma). El * se conoce como el "target’s radar backscattering cross section". Es una propiedad del objeto ("target") y depende del área seccional del mismo y de otros factores como el material y la frecuencia de operación. Se define como el área que intercepta una cantidad de potencia tal que si se irradia isotrópicamente produce en el receptor una densidad igual a la que refleja el verdadero objeto. Entonces, la potencia incidente en el objeto es de P inc = * S inc La densidad de potencia reflejada ("scattered") a una distancia r del objeto está dada por, S scat

P inc =

2

4! r 2

" S

inc

=

2

4! r 2

La potencia recibida es P r = S scat Aer Para un radar que utiliza una misma antena para transmitir y recibir (i.e. un radar monostático), la ecuación del radar se reduce a

16


Pr

Pt Gt G r ! 2 " =

3 2 2 r1 r2

(4 # )

(para un radar monostático Gt = G ,r r 1 = r 2) Ecuación 1.26

Si tomamos en cuenta la el efecto de no aparear las impedancias de las antenas a las líneas de transmisión del recibidor y el transmisor, entonces quedaría, Pr =

Pt Gt Gr ! 2 " 3 2 2 r1 r2

(4 #)

(1

$ %r

2

)(1

$ % t

2

Ecuación 1.27

La ecuación del radar, por lo tanto nos dice cuánto es la magnitud de la potencia que rebota de un blanco que está siendo observado y/o estudiado por el radar. La onda que regresa trae información acerca del "target". Esta onda varía como función de frecuencia de operación, de la polarización de las antenas de Rx y Tx, de la geometría de objeto y del ángulo de incidencia. En adición a esto, la respuesta depende de si el objeto está o no en movimiento relativo con respecto al radar. En este caso la frecuencia de la onda que se recibe es distinta a la frecuencia transmitida. La relación entre ambas se conoce como el efecto Doppler y su aplicación más común es en los radares de policías. f rec

=

& %

f $1 !

# ! c "

2v r

Ecuación 1.28

La ecuación anterior muestra la frecuencia recibida, f rec , como función de la frecuencia transmitida, f , la velocidad radial del objeto, v, y la velocidad de la luz, c. Cuando el blanco se está alejando (acercando) con respecto al radar se usa el signo negativo (positivo).

Frentes de la onda de sonido = esferas de fase constante

Figura 1.13 Concepto del cambio en frecuencia percibida conocido como efecto Doppler.

17


EJERCICIOS: 1. Dos satélites están separados por 5000 km. Ambos se comunican con microondas de 2GHz usando antenas con ganancias de 22dB. Halle la potencia de transmisión requerida para el satélite transmisor, si el satélite receptor requiere una potencia mínima de 15dB por encima de 1 pW. Respuesta: P r = 31.6 pW, P t = 220.7 W. 2. Halle la potencia máxima recibida en un sistema de antenas separadas por 2 km operando a 3GHz, donde la antena transmisora tiene una entrada de 200 W con una ganancia de 18 dB y la ganancia de la antena receptora es 25 dB. Respuesta: P r = -12 dBm. 3. Medir el patrón de la antena del Observatorio de Arecibo puede ser un gran problema. Supongamos que para medirlo, usted vuela sobre el rayo (beam) a 30,000 m en un avión al cual se le ha incorporado una antena receptora pequeña en su plataforma inferior. ¿A qué frecuencia deberá operarse el radar para obtener resultados precisos? El radar de Arecibo opera entre frecuencias de 25MHz a 2.5GHz y el plato de su antena primaria tiene un diámetro de 305m. [ Respuesta: f =48MHz] 4. La Tierra recibe del Sol una densidad de potencia de 1539 W/m2. Si consideramos al Sol como una fuente isotrópica, cuánto es su potencia de transmisión. La distancia del Sol a la Tierra es de 1.49 x 1011 m. tiene un diámetro de 305m. Discuta qué problemas enfrentará. Respuesta: P = 4.29 x 1026 W. 5. Calcule la directividad de una antena cuya intensidad de radiación, U , es, (a) cos ! 0
2

CAPITULO 2 POLARIZACION

La polarización de una antena se define según la polarización de la onda electromagnética que transmite (o recibe) en dirección de máxima radiación. Es decir, si la antena emite ondas polarizadas horizontalmente, se dice que la antena es de polarización lineal horizontal. Los tipos básicos de polarización son lineal (LP), circular (CP) y elíptica (EP). Variaciones a éstos son lineal a 45°, elíptica vertical de distintos anchos, y, en general, un número infinito de posibilidades. En la práctica, la polarización varía alrededor del patrón, o sea que puede que en la dirección del lóbulo principal sea LP y en otra dirección , ( ! , ø), sea elíptica. Algunos ejemplos de antenas y sus respectivas polarizaciones son, Antena piramidal rectangular - sólo produce o recibe LP. !Antena piramidal circular - puede teóricamente producir y recibir ondas con cualquier tipo de polarización. !

2.1 APLICACIONES • Calibración de radares polarimétricos. Se utiliza un blanco u objeto ("target") con una respuesta conocida. • Evitar distorsión debido a la lluvia o "rain clutter" para detectar aviones y otros objetos a través de la lluvia. Esto es posible debido a que las gotas de lluvia por su geometría cuasi-esférica reflejan las ondas polarizadas de manera muy distinta a una superficie metálica plana. Por ejemplo si transmitimos ondas circulares derechas (RCP), las ondas reflejadas por el avión serán también RCP, mientras que las gotas reflejarán ondas circulares izquierdas, LCP. • Provee más información acerca del blanco, (e.g., de su simetría). Esto se conoce como "polarization discrimination". Este principio se usa para desarrollar mapas aéreos ("aerial mapping") y percepción remota. • Aumenta el número de canales de comunicación vía satélite disponibles en la órbita geoestacionaria, debido al uso de polarizaciones ortogonales (e.g. vertical - horizontal) para transmitir y recibir información en antenas adyacentes.

POLARIZACION

2.2 POLARIZACIÓN Se define como el rastro trazado por el vector del campo eléctrico, E , a lo largo del tiempo, en un sitio fijo, visto desde atrás (IEEE). [Nota: La definición usada en Física es opuesta a la definición de la IEEE, es decir, que una onda RCP según la IEEE, es LCP según la definición usada en física y astronomía). Una antena espiral (“helix”) enrollada de forma “clockwise” (levógira), transmite y recibe ondas polarizadas RCP según la definición de la IEEE.] La luz natural en su estado natural no está polarizada, o sea, su vector E , varía de forma aleatoria en todas direcciones. Sin embargo, si se pasa un rayo de sol a través de un lente polarizador vertical, se filtran todos los componentes de su campo eléctrico, dejando pasar sólo el componente vertical. En este caso, queda la luz completamente polarizada con polarización vertical, VP . A continuación se presenta la teoría de ondas electromagnéticas polarizadas completamente. En general, para una onda plana completamente polarizada viajando en el eje de z , el campo eléctrico es de forma; E = E x x + E y y V/m Ecuación 2.1

donde, E x

=

E 1 cos(# t $ " z )

E y

=

E 2 cos(# t $ " z + ! )

y + = ángulo de desfasamiento. Ecuación 2.2

En general, una onda completamente polarizada es elíptica. Las polarizaciones lineales, circular derecha, etc. se derivan como casos especiales de ésta. Examinemos algunos casos.

2.3 POLARIZACIÓN LINEAL (LP) • Vertical (VP) E x

=

E y

=

0 E 2 cos(" t # ! z )

=> en forma fasorial:

20

E x

=

E y

=

0

E 2 e

" j ! z

POLARIZACION

Ecuación 2.3 y

y E2

E2

x

z

-E 2

VISTA FRONTAL

VISTA L ATERAL

Polarización Lineal Vertical

•

Figura 2.1 Polarización Lineal Vertical

Horizontal (HP) E x

=

E y

=

E 1 cos(# t ! " z )

=> En forma de fasor:

0

E x

=

E y

=

E 1e

! j" z

0

Ecuación 2.4

• Lineal a 45° ( + = 0 , E 1 = E 2 ) E x E y

=

=

E 1 cos(" t # ! z ) E 2 cos(" t # ! z )

=

=

"

!

Re{ E 1e j t e # j z } Re{ E 1e

j" t # j ! z

}

e

=> En fasores:

" j ! z

E x

=

E 1e

E y

=

E 2 e

" j ! z

Ecuación 2.5

2.4 POLARIZACIÓN CIRCULAR (CP) (E 1 = E 2 y

+ = ±90°)

• Circular derecha (RCP, "right hand circular"), ' = -90° E x E y

=

=

E o cos(# t ! " z )

=

Re{ E o e j# t e ! j " z } o

E o cos(# t ! " z ! 90 )

E x

=

E y

=

=

Re{ E o e

E o e

j# t

e

! j " z ! j 90 o

e

}

=> En fasores:

" j ! z

" jE o e " j ! z

So E RHC = E x xˆ + E y yˆ = E o e ! j " z xˆ ! j yˆ E o e ! j " z

=

E o e ! j" z ( xˆ ! jyˆ ) Ecuación 2.6

21

POLARIZACION

Vista desde atrás, gira en dirección de las manecillas del reloj (levógiramente o "clockwise", CW). Se puede demostrar que el campo eléctrico de una onda RCP en forma fasorial Una onda polarizada LCP siempre tiene el factor x -j y. • Circular izquierda (LCP, "left hand circular"), + = +90° j" t

j ! z

E x

=

E o cos(" t # ! z ) = Re{ E o e

E y

=

o j t j z j E o cos(" t # ! z + 90 ) = Re{ E o e e # e

e#

}

"

!

90

o

}

En forma de fasor, E RHC =

=

E o e

E x xˆ + E y yˆ

! j " z

! xˆ + j yˆ E o e j " z

=

E o e

! j" z

( xˆ + j yˆ ) Ecuación 2.7

Una onda polarizada LCP siempre tiene el factor x +j y.

2.5 CASO GENERAL- (ELIPSE) Tenemos una elipse (EP) si, • ' ( 0 y E1 ( E , (no es lineal) ó • ' ( ±90° ó 0° y E1 = E2 (no es circular) Entonces, o E x E e # j" e # j! z o E y E 2 e $ j # z e $ j" / 2 e j! /2

E x

=

E 1 sin(" t # ! z )

E y

=

E 2 sin(# t $ " z + ! )

=

1

=

y E = E x x + E y y, es el campo total instantáneo. Ecuación 2.8 Sin restar generalidad, examinaremos el campo en z=0. En este caso, E = x E 1 sin( ,t ) + y E 2 sin( , t + + )

Tomando cada componente aparte, E y

=

E x

E 2 sin(" t + ! ) = E 2 (sin " t cos ! + cos " t sin ! )

=

Ecuación 2.9

E 1 sin(! t ) E x =

E 1

Ecuación 2.10

sin(! t )

Usando la identidad trigonométrica, cos()t) = obtiene que, 22

1 ! sin2 " t ,

y la ecuación anterior, se

POLARIZACION

cos! t

2

1 " sin

=

! t

=

1"

2

E x

( )

Ecuación 2.11

E 1

Sustituyendo (2.10) y (2.11) en (2.9); se halla, E y E 2

=

E x E 1

cos! + 1 "

E x

2

( E ) sin ! 1

Re-arreglando se obtiene, E y E 2

E x

!

E 1

cos"

=

1!

E x

2

( E ) sin " 1

y cuadrando, queda; E x

2

( E ) !

2 E x E y cos "

1

E 1 E 2

+

E y

( E )

2 =

sin 2 "

Ecuación 2.12

2

La ecuación anterior es la ecuación general de una elipse, aE x2 ! b E x E y +cE y2 = 1, lo cual comprueba que en el caso general, la polarización de una onda completamente polarizada traza la forma de una elipse. En nuestro caso, 1

a

=

b

=

c

2

2 E 1 sin !

2cos! 2 E 1 E 2 sin !

y E 2

1 =

A

2

2 E 2 sin !

%

2.6 PARÁMEROS DE LA ELIPSE

-

La siguiente figura muestra una elipse la cual se suele describir con los siguientes parámetros, • "Axial ratio" o proporción axial - Se define como la división entre el eje más largo y el más corto. AR = OA / OB

O

E 1 B

Figura 2.2 Elipse mostrando el trazo onda polarizada elípticamente

Su valor fluctúa entre uno ( AR = 1 para CP) e infinito ( AR = * para LP). • Angulo de orientación, - define la orientación desde el eje x, (la horizontal). 23

x

POLARIZACION

Ej. + = 90° para orientación vertical • Angulo de elipticidad, - define cuán abierta o cerrada es la elipse. Por ejemplo, % = o° para lineal, % = +45° para LCP,y % = -45° para RCP. Los ángulos que definen la relación entre los componentes x y y de E son: • - fase entre E x y E y • = tan-1 ( E 2 / E 1) El estado de polarización de una onda completamente polarizada se puede describir completamente por cualquiera de los dos pares de ángulos que siguen, (% , - ) o (. , + ). Ambos pares se relacionan por las siguientes ecuaciones, tan 2- = tan 2. cos+ sin 2% = sin 2. sin + cot |% | = AR Una antena que transmite CP es una antena CP. Un ejemplo lo es la antena espiral o "helix" en modo axial enrollada hacia la derecha (levógira). La misma transmite y recibe ondas de polarización circular derecha, RHC, según la definición de la IEEE. La antena hélice se verá con más detalle en el capítulo 5.

2.7 "POLARIZATION LOSS FACTOR" Cuando ondas de polarización lineal vertical, VP, llegan a una antena VP sin pérdidas, la antena puede recibir la señal en su totalidad. En cambio, si la onda que llega es de polarización HP, la antena no recibirá nada debido a que ambas polarizaciones son ortogonales entre sí. En general, si la polarización de la onda incidente no es ni HP ni VP, la antena recibirá sólo una parte de la señal. Para determinar qué fracción de la onda se recibe tenemos que comparar la polarización de la antena y la de la señal incidente. Pero antes debemos definir el vector de polarización normalizado de una onda y/o de una antena, # . Este se define como el fasor que describe el campo eléctrico normalizado a su magnitud, o sea, 24

POLARIZACION

= E / |E| Ecuación 2.13

Entonces, el factor de pérdidas por polarización, PLF, se obtiene de, PLF

=

*

2

! t " ! r

Ecuación 2.14

donde, = el vector de polarización de la onda incidente (transmitida) r = el vector de polarización de la antena receptora t

La figura arriba muestra posibles estados de polarización según varían los parámetros de la elipse. ________________________________________________________________ Ejemplo:

Una onda electromagnética con polarización lineal a 45° incide en una antena espiral derecha. Determine las pérdidas en recepción debido a la diferencia en polarización ("polarization mismatch"). 25

POLARIZACION

Solución:

Los vectores de polarización normalizados para la onda incidente y para la antena son, ! i

y

" A

x+y

=

para LP45°

2 =

x ! jy

para RCP

2

Entonces, el "polarization loss factor" es, x+y

PLF =

PLF = x + y x •

2

"

+

2 jy

(x

2

2

=

!

jy ) *

2 2 1 + j 2

=

=

x + jy

x+y "

2

2

2

=

2

2

1

=

1

!

j

2

2

=

2

2

=

2

1 2

2

Esto quiere decir que en este caso se recibe un 50% de la onda incidente, lo cual es bastante bajo. ______________________________________________ Ejercicio: Demuestre

que una antena de polarización RCP no puede recibir una onda con polarización LCP debido a que son transversales entre sí. Solución: Los vectores de polarización normalizados para la onda incidente y para la antena son, ! i

y

" A

x + jy

para onda LCP

=

2 =

x ! jy

para antena RCP

2

Entonces, el factor de pérdidas de polarización es,

PLF =

(x jy ) *

x + jy

"

!

2

2

=

x + jy

x + jy !

2

2

=

1 + j 2 2

2 =

0 2

2 =

0

Lo cual demuestra que una antena RCP no recibe energía de una antena LCP.

EJERCICIOS: 1. Una señal electromagnética enviada desde el espacio con vector de polarización de 3 x + 4 y debe ser captada en la Tierra. ¿Cuál de las siguientes antenas estará mejor acoplada en 26

POLARIZACION

polarización con la señal; una antena hélice derecha ( #r = ( x - j y)/($2) ) o una antena parabólica con alimentador de guía de onda ( #r = x )? Halle el factor de pérdidas polarización (PLF) para cada caso. Respuesta: PLF helix= 0.5, PLF parabola = 0.36, por lo tanto, debe usar la antena hélice. 2. Halle el área efectiva máxima de una antena con directividad de 500 que opera a 1.5 GHz. Si la antena tiene una ganancia de 26 dB, ¿cuánto debe ser la potencia que llega a sus terminales, para que irradie una potencia de 100 vatios? Respuesta: Aem = 1.59 m2, P in = 126.0 %. 3.

Si la potencia recibida en una antena es -12dBm sin tomar en cuenta la polarización de las antenas, pero las antenas receptora y transmisora tienen las siguientes polarizaciones, halle la verdadera potencia recibida. (a) horizontal, vertical (b) horizontal, circular derecha (c) vertical, vertical (d) vertical, elíptica con '=30° y , = 15° (e) horizontal, elíptica con '=30° y ,= 15° (f) trace la elipse de la polarización transmisora en la parte (d) y (e). Respuesta (a) PLF =0 , P r = 0W, (b) PLF = 0.5, P r = -15 dBm, (c) PLF = 1.0, P r = -12 dBm, (d) a= y , i = elip= 0.97 x + 0.26 e j30° y, PLF = 0.07 , P r = -24 dBm, (e) a= x , PLF = 0.94 (-0.26dB), P r = -12.26 dBm, (f) - = 13.28° y % = 8.39°, es una elipse bien delgada y orientada casi paralela con el eje horizontal, por lo tanto se espera que la antena horizontal reciba mucho más que la vertical..

4. Dos antenas lineales transmiten ondas a una tercera antena receptora localizada en el “far field” de las primeras dos. Las ondas transmitidas producen los siguientes campos eléctricos al frente de la antena receptora, vistos desde atrás. E x = 0.15 sin ()t - 32°) E y = 0.05 sin ()t + 43°) Para la onda resultante, (a) Halle los ángulos de elipticidad y orientación (b) Halle el "axial ratio" (c) Determine el sentido de orientación; derecha, o izquierda. Respuesta: (a) - = 5.5°, % = +17.7°, (b) AR = 3.1, (c) izquierda, LHEP. 5. Una onda viajando hacia adentro de la página, es la resultante entre dos ondas circulares, E r1 = 7 e j t y E r2 = 3 e-j( t-90°) V/m. Halle (a) AR, (b) los ángulos de elipticidad y (c) de orientación y (d) el sentido de rotación resultante. Respuestas: (a) AR=2.5, (b) -= + 21.8°, (c) - = 45°, (d) CCW, LHEP. )

)

27

3

CAPITULO 3 ANTENA DIPOLO

3.1 LAS ECUACIONES DE MAXWELL Y LA ECUACIÓN DE ONDA Las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo son, # D

! " H =

! " E

=

+

# t t

#

J

B $ B t $ t

! " B

=

! " D

(Ampére)

Ecuación 3.1

(Faraday)

Ecuación 3.2

0

(Gauss)

Ecuación 3.3

#

(Gauss)

Ecuación 3.4

=

Las relaciones de continuidad son, D B

=

=

! E

Ecuación 3.5

µ H

Ecuación 3.6

! " J

J

=

=

#

$%

Ecuación 3.7

$ t

& 1 # & V # $% 'm !" $% m !"

E (

=

& A # $% m 2 !"

densidad de corriente por área Ecuación 3.8

El potencial magnético vectorial, A, se define con el rotacional de B. A es un potencial auxiliar, se introduce meramente como herramienta matemática para que sea más simple el hallar E y H de de la fuente ( J ). Para definirlo completamente, tengo que establecer su J ). divergencia. Esto lo lo haremos más adelante. B

=

! " A

=

Ecuación 3.9

µ H

Usando Ecuación (3.2), ! " E = #

$ $ t

%

# ! " (! " A) = #! &

ó !"

$ # A & E + % # t '

=

0

$ $ t

' (

A

ANTENA DIPOLO

Aplico la identidad vectorial, ! " !# 0, (el rotacional de la divergencia de un escalar es igual a cero), y defino . como el potencial escalar eléctrico. Entonces, =

E +

A ! A =

! t t

Ecuación 3.10

"#$

Por otro lado, usando (3.1) y las relaciones de continuidad, se obtiene, !"

B =

#

µ

E $ E

J

+

$ t

En la ecuación anterior se pueden utilizar las expresiones halladas para B y E en en términos de A de las ecuaciones (3.9) y (3.10), y se halla, !"

(! " A)

=

J + #

µ

' $ A %!& % ) t ( $ t $ t * $

Si ahora uso otra identidad vectorial, [ ! " ! " A = !(! # A ) $ !2 A], se obtiene, 1

[!(! " A ) # ! A]= J # $ 2

µ

% !&

2

# $

% t

% A 2

% t

Multiplico por µ y rearreglo,

(

! ! " A

) + µ # !

$ %

t $ t

2

=!

2

A & µ # #

$ A 2

$ t

+ µ J

Ecuación 3.11

Hasta el momento A está sólo medianamente definido. Ahora digo además cuál es su divergencia, y así queda definido completamente. Esto es análogo a decir que A es perpendicular a B, o sea que es un vector en cualquier dirección en un plano perpendicular a B. Necesito además decir que es paralelo a algo algo para definir en una posición única en el espacio. Para simplificar (3.11), se escoge: escog e:

(! " A) = #µ $ $

% &

(Condición de Lorentz de Lorentz))

% t

Usando esta condición, la ecuación (3.11) se reduce a la Ecuación de Onda; 2

! A " µ # #

2

$ A $ t

2

=

" µ J

( J corriente de una fuente de corriente.) J es la densidad de corriente de

29

ANTENA DIPOLO

Lo cual comprueba que las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de ondas. Toda onda electromagnética deberá satisfacer estas cuatro ecuaciones. Si despejamos para . en lugar de A, de la ecuación (3.4) se halla, ! " E

# =

$

Usando de nuevo la ecuación (3.10), & % A * A !" #!$# ( ' % t t ) + =

2

!" # !

$ (" % A ) $ t t

=

& '

Usando la condición de Lorentz, 2

!" # +

$ & $ t t '

µ % %

$ # ( $ t t )

=

* %

y rearreglando, 2

$ ! " # µ $

% 2 " 2

=

% t t

#

& $

(Ecuación de Onda)

Ecuación 3.12

Para campos armónicos, se puede simplificar las operaciones matemáticas utilizando fasores, en cuyo caso la dependencia en tiempo,

! ! t

, se transforma en j en j, . Entonces, las

ecuaciones de onda lucirían de forma; 2

2

Ecuación 3.13

! A + k A = " µ J

donde

k

2

=

"

2

µ ! .

3.2 VECTOR POYNTING El vector Poynting, S , indica la densidad de potencia por unidad de área en una onda electromagnética. El vector Poynting complejo se define como, x H * S = 1/2 E 1/2 E x y el vector Poynting promedio es, x H *) S ave E x ave= 1/2 Re( Ecuación 3.14 30

ANTENA DIPOLO

Para una onda plana (en el plano xy), completamente polarizada y propagándose en dirección de +z, en general los componentes del campo eléctrico serán, E = x E x + y E y donde, E x = E 1e

j (! t " # z)

E y = E 2e

j (! t " # z +$ )

E

Onda plana

Vector Poynting S= ExH*

H

La dirección del vector Poynting apunta a la direccó de propagación de la onda plana. Figura 3.1 Onda Plana

y el campo magnético correspondiente será, H = x H x + y H y H * = x H x*+ y H y* donde, H x = ! H 2 e

j (" t ! # z +$ ! % )

j (" t ! # z !% )

H y = H 1 e

donde ! es el ángulo de desfase entre el campo eléctrico y el magnético y es igual al !

ángulo de la impedancia intrínseca del medio" " e j . =

Entonces, el "Poynting vector" promedio se puede obtener como, S ave= 1/2 Re[( x E x + y E y) x ( x H x*+ y H y*)] de esta expresión sobrevive sólo el componente en z, S ave= 1/2 Re[(E x H y*-E y H x* )] z Sustituyendo los componentes, se obtiene, S ave= 1/2 z (E 1 H 1 +E 2 H 2 )cos /

W/m2

31

ANTENA DIPOLO

Observe que no depende del ángulo de desfasamiento + entre los componentes del campo eléctrico. En medios sin pérdidas, / =0, y entonces E ! H y E ! H . Entonces, 1

=

o

1

2

=

o

2

la densidad de potencia promedio es S ave

2 2 1 = zÙ E 1 + E 2 / Z o 2

(

)

2

ó

S ave

1 E =

2 Z o

Ecuación 3.15

z 2

[W/m ]

donde, E

=

E 1

2

+

E 2

2

.

E es el módulo del campo eléctrico promedio medido en V/m. El vector Poynting promedio nos indica cuánta potencia por área lleva la onda.

3.3 DIPOLO INFINITESIMAL Estudiaremos el caso de un dipolo infinitesimal, conocido también como elemento de dipolo o dipolo Hertziano, con distribución uniforme de corriente. Podemos imaginarnos que este elemento de dipolo está haciendo las veces de una antena infinitesimal alimentada con una corriente uniforme a través de todo su largo, la cual, por consiguiente, irradia ondas electromagnéticas al espacio. Queremos determinar cuánto será el campo irradiado por un elemento así, a una distancia r del mismo, y en toda dirección ( ! , ø) alrededor de él. En este caso, J = J z z .

Figura 3.2 Dipolo Infinitesimal

La ecuación de onda para este caso, queda, "

2

A z + k 2 A z

=

! µ o J z ( x, y, z )

32

ANTENA DIPOLO

ó

#

2

A z + k 2 A z

=

Ecuación 3.16

" µ o I o ! ( x )! ( y )

Al resolver por A z , se presume la solución más simple, A z = A z(r). Usando las siguientes relaciones vectoriales, en coordenadas esféricas, $A

ˆ = r

2

! A

#r

+

1 #

% $ F

y

#A

=

=

2

#r

r

(

" ˆ

1 #A r

#"

(r F ) 2

z

! " ! A

+

! ˆ

1

sin " #!

1 +

#A

#

r sin " #"

( F " sin " )

1 +

# F !

r sin " #!

)

se puede demostrar que, 2

2

! A z (r ) =

1 d

r dr

2

(rA z )

Sustituyendo en la ecuación (3.16), fuera de la fuente (dipolo), se obtiene, 2

1 d

r dr

(rA z ) + k A z 2

2

=

0

2

d

ó

dr

(rA z ) + k (rA z ) = 0 2

2

Ecuación 3.17

La ecuación diferencial anterior tiene una solución general conocida, la cual es de forma, r A z(r) = c e jkr + c e-jkr 1

2

Ahora aplicamos ciertas condiciones conocidas acerca del problema en cuestión, para hallar las constantes c y c . Para comenzar, observamos que si la onda viaja hacia afuera de la fuente, esto implica que c1 debe ser igual a cero. Entonces se obtiene, 1

2

r A z (r )

=

c2 e ! jkr Ecuación 3.18

Para determinar cuánto es c2, examinemos qué pasa cerca de la fuente. En este caso k tiende a cero ( k 0 ), y la Ecuación 3.18 se simplifica a, !

A z (r) =c2 / r

Ecuación 3.19

y la ecuación de onda es entonces, 2

!

A z = " µ J z (x, y, z)

33

ANTENA DIPOLO

ó

A z = ! "! A z = # µ I o$ (x )$ (y)

2

!

Si integramos el volumen en el espacio alrededor del dipolo;

## ! "! A dv = $ I ### (x) µ o

z

%

%

(y )dxdydz

y utilizando el teorema de la divergencia en el lado izquierdo de la igualdad,

" ! A # dS z

=

$ µ I o % z

donde, d S = r 2 sin ! d ! dø = elemento de área de superficie. Integrando se halla; dA z

## dr

2

r sin & d & d %

dA z

2

=

4$ r =

dr

Ecuación 3.20

" µ o I o ! z

Despejando en la ecuación anterior por la derivada de A z, se obtiene dA z dr

=

µ o I o " z

#

2

4! r

y si comparamos con la derivada de la ecuación (3.19), obtenemos, dA z dr

=

!c2 r

2

Comparando ambas, hallamos el valor de c2, c2

µ I o ! z =

4 "

Entonces, A z (r )

=

µ o I o " z

4# r

e ! jkr

Ya tenemos el potencial vectorial magnético, ahora podemos determinar H y E a cualquier distancia r del dipolo. Y si conocemos H y E podemos determinar el patrón de irradiación del dipolo infinitesimal. Para hacerlo usamos las ecuaciones de Maxwell. Comenzamos con,

34

ANTENA DIPOLO

H

1

! " A

=

µ

1 =

ˆ ! " A z z

µ

Usando la siguiente identidad vectorial, ! " fG = ! f " G + f (! " G); tenemos,

(! " A z ) ˆ

z

=

(

! A z " z + A z ! " z

=

ˆ

)

ˆ

! A z " z

ˆ

Entonces, H

1 =

z

µ

De las tablas,

Ù Ù

ˆ ! z ˆ r r ! z

=

"

(! A " z ˆ )

=

1$ #

&

µ % #r

' (

ˆ ) A z (r ) ˆ r " z

Ecuación 3.21

# sin$

Figura 3.3 Diagrama que muestra r x z

Sustituyendo, H = !

& 1 " A z (r ) Ù 1 # " A (r ) # sin $ = H # # H ! % z ! sin" ( H ! ! ' µ " r µ $ "r =

=

donde, luego de operar se halla,

H ! =

I ol ! jk

#

4" "

r

$ ' jkr & e sin# r % 1

+

Ecuación 3.22

2

Como se observa de la expresión anterior, la intensidad del campo magnético, H , no es isotrópica, sino que depende de ! . Además disminuye a medida que r aumenta. Note que sólo existe componente en ø para el campo magnético. Ahora tenemos que hallar la intensidad del campo eléctrico, E , en un punto r desde la fuente, a partir de H . Veamos la ecuación de la ley de Ampére lejos de la fuente (J =0). 35

ANTENA DIPOLO

# " H

!$ =

E

!t

Para campos armónicos, se puede reescribir como; j !" E

=

# $ H

Lo primero que debemos hacer es buscar el rotacional en coordenadas esféricas y sustituir H r = 0 y H = 0. Usando la siguiente relación vectorial cambiamos la ley de Ampére a coordenadas esféricas, ') $ $ A# * # ') 1 $ Ar $ $ Ar * 1 ' $ * + A% sin # )& & (rA% ) + % Ù rA# ) & ( ( + $% + r ( sin # $% $ r $# + r sin # ( $# r ( $ r

! " A = rÙ

1

obtenemos, j !" E =

rÙ

$ # $ H % sin # & rH % r sin # $# r $ r

(

)

( )

Ecuación 3.23

Ù = j !" E r rÙ+ E # #

(

)

Resolviendo cada componente del campo eléctrico aparte; • Componente radial , E r ; j !" E r =

ó

j !" E r

1

$

r sin # $# 1

=

( H sin# %

I ol & jk

r sin # 4$ ' r

%

1

(e % jkr 2sin # c os# r ) 2

lo cual resulta en, E r

=

I o l +

µ / #

) 2 2$ ) r *

( % jkr &e cos! j"# r 3 '& 1

+

Nótese que este componente es pequeño para valores grandes de r . • Componente azimut, E q; j#$ E "

=

&

1 %

r %r

36

(rH ) !

Ecuación 3.24

ANTENA DIPOLO

de donde se obtiene, jI ol & 2 jk 1 ( % jkr E ! k % % 2 e sin ! r r ) 4 "#$ r ' =

pero como k 2 E !

=

=

!

2

µ " ,

I o l + jµ " 4$

) ) r

µ / # +

2

r

( % jkr e sin ! 3 & j"# r & 1

+

Ecuación 3 .25

En resumen, ya conocemos los componentes del campo electromagnético producido por el elemento de dipolo a una distancia r. Vemos que sólo existen los componentes, H ø , E r y E q dados por las ecuaciones (3.22), (24) y (25). De estas ecuaciones debemos notar que; • Estas soluciones son exactas, no son los primeros términos de una serie. • E r decae más rápidamente que E ! y H ø , según se alejan de la fuente. 3.3.1 Campos en el "Far field" ¿Cómo son los campos irradiados por un dipolo Hertziano a una distancia bastante grande de la fuente? Para r grande, se pueden despreciar los términos con r -2 y r -3. En este caso las ecs. (22), (24) y (25), se simplifican a, E r

!

E " !

0

I ol 4 #

j $µ

e

%

jkr

r

I ol e jkr H & ! jk r 4 #

sin "

%

sin "

Ecuación 3.26

Nótese que esto es similar a ondas planas en forma esférica. En el "far field", E ! = ) H ø donde ! µ / " es la impedancia intrínseca del medio. Además, se observa =

que el patrón de un dipolo infinitesimal es proporcional a sin! (patrón de campo) o sin2! (patrón de potencia).

3.3.2 Vector Poynting para un dipolo infinitesimal El vector Poynting, o de potencia compleja se define como, 37

ANTENA DIPOLO

S

1 =

2

*

E ! H

1# * * ˆ% E ! H " ˆ r " E r H " ! $ & 2

=

La potencia total irradiada por la antena (dipolo Hertziano) es; !

P

1

!

!! S " d A

=

=

2% % *

2

! ! E H r 2 $

#

sin $ d $ d #

0 0

!! S dA

=

r

donde, Sr es el componente radial de S , y para este caso es; 1

S r

=

2

I o l

=

E * H , *

2

32+

2

sin

2

& ' jk 1 # & j( µ + + $ 2 ! r r r % "

%$* $

µ / )

r 2

# ! j() r 3 !" 1

+

Ecuación 3.27

lo cual, luego de varias manipulaciones, se reduce a, I o l j & 1 ) S r " '1 * $ sin ! r ( (kr ) % 8# Integramos para obtener la potencia total, 2

2

=

2#

P

2

2

3

#

$ $

2

d ! S r r sin " d"

=

0

0

y se obtiene, 2

P

=

* ) I o l &

j #

( %

(kr ) "

3

$1 '

3

!

Ecuación 3.28

parte de la cual es real y parte es almacenada. Comparamos con, P

1 =

2

2

I o Z

para hallar la impedancia de la antena; 2* l & j # Z ) 1 ' $ ! 3 ( % (kr ) " 2

=

3

% Ecuación 3.29

La resistencia de radiación se halla de, 38

ANTENA DIPOLO

Rrad

ó

Rrad

=

Re(Z ) =

2

=

80 !

2 ! 3

#l% $ " &

$l " & % # '

2

2

en el vacío. Ecuación 3.30

3.4 DIPOLO LARGO El dipolo largo sí tiene aplicaciones prácticas como antena. Para analizarla y poder determinar su patrón, éste se considera como una suma de elementos del dipolo infinitesimal antes visto.

Punto de observación

l/2

R

dz' -

*Para el dipolo infinitesimal teníamos µ I o " z ! jkr Az e 4# r

r

z'

=

DIPOLO LARGO -l/2

Figura 3.4 Geometría para análisis del Dipolo largo

En este caso tenemos, ! jkR µ I ( z' ) dz' e dA z =

R 4 "

donde, R = distancia desde la fuente al punto de observación I(z') = distribución de la corriente en el dipolo. (ya no es uniforme) ( ! , ø, r ) = coordenadas desde el origen al punto de observación ( ! ', ø', r' ) = coordenadas desde el origen a la fuente. Usando la ley de cosenos; R =

r

2

! 2rz' cos " + z'

2

=

r 1!

2 z'

r

cos " +

y con la aproximación de Taylor, (1 + x )1/ 2 = 1 + 39

z' r

1 2

2 2

1 x !

2

x

2 4 "

1 3 "

+

3

x

2 4 6 "

"

..., se obtiene,

!

ANTENA DIPOLO

R

"

r ! z ' cos# +

z '

2 2

2r

Ecuación 3.31

sin # ! …

Para ignorar los términos de 1/r en adelante imponemos una condición, la cual consiste en que el error en fase que contribuye ese tercer término en R sea menor de ' /8, (22.5°). Evaluando el caso peor, o sea cuando sin ! =1 y para z' = z' max = & /2, se obtiene, ! 8

#% z' 2 & = " k $ 2r '

2

2! (l / 2 )

(

2r

=

! l

2

4 ( r

de donde se halla el valor mínimo de r (r ff ) para reducir el error en la fase, r ff

!

2l

2

"

donde l es la dimensión más grande de la antena. De aquí sale la definición de la distancia del "far field" que se había presentado sin demostración anteriormente. Ahora que sabemos la condición para despreciar el tercer término de la ec. (18), podemos aproximar a Para efectos de la • fase: R r z ' cos! • magnitud: R r

Sustituyendo,

#

l/2

A z =

I (z' )e

µ

4 !

$

" jk( r " z' cos# )

r " z' cos#

"l / 2

"

!

dz'

lo cual en el "far field" se puede aproximar a, l /2

A z =

µ

e

4 ! r

" jkr

$ I (z )e '

+ jkz' cos#

dz'

"l / 2

Ecuación 3.32

o sea A z =

µ

4 ! r

e

" jkr

( ) con,

# $

l /2

!(" ) =

$ I (z' )e

+ jkz 'cos"

dz'

# l / 2

(Nótese que I( !) es la transformada de Fourier de I(z') ). Anteriormente, habíamos obtenido que; H !

= "

1

#

µ

# r

A z (r ) sin $

y en el "far field" quedaba; 40

ANTENA DIPOLO

H !

=

jk A z sin "

"

I (! ) sin !

µ

El campo eléctrico en el "far field" era a su vez; E !

=

" H #

z sin! j $ A

=

"

I (! ) sin !

Por lo tanto para hallar H ø y E q , sólo necesito conocer A z, el cual depende de la distribución de corriente, I(z'). La distribución de corriente en el dipolo depende de la frecuencia de operación f (ó & ) con respecto al largo de la antena. Las siguientes figuras muestran simplificaciones de distribuciones observadas en la práctica para tres largos de antenas. La corriente en los dos extremos del dipolo es cero, mientras que el máximo o máximos ocurren en distintos sitios de acuerdo al largo (o frecuencia de operación). Está distribución afecta a su vez la forma del patrón de irradiación de la antena, de manera, que una antena del mismo largo tendrá un patrón distinto cuando se opera a distintas frecuencias. z'

z'

z'

l/2

l/2

l/2

I(z')

-l/2

I(z')

-l/2

l = # /2

l = #

I(z')

-l/2

l = 3 # / 2

Figura 3.5 Variación del campo del dipolo de acuerdo al largo en términos de lambda (largo de onda de la antena).

Si I(z') = I m sin[k(l/2 -|z'|)], entonces, evaluando el integral, l /2

!(" ) =

) %l , jkz' cos" z' ' . e dz' # (* &2

$

I m sin +k

# l / 2

Separando en dos integrales y combinando, l /2

.

!(" ) = 2 I m

( $l # ) %2

sin *k

0

z'

& + cos( k z' cos" )dz' ' -,

lo cual resulta en,

41

ANTENA DIPOLO

'

- kl * - kl *$ cos! ( . cos+ (" ,2 ) , 2 )#

2 I m %cos+ I (! )

&

=

2

k sin !

E q y H ø son proporcionales a sin! I( ! ); por lo tanto el patrón de potencia (sin normalizar) del dipolo de largo arbitrario es;

P (. )

=

& , kl ) , kl ) # $ cos* 2 cos. ' - cos* 2 ' ! ( + (! $ + sin . $ ! $ ! % "

2

Ecuación 3.33

3.4.1 Casos Especiales: • Dipolo de media onda ( l

P n (- )

=

=

! / 2 )

& , . )# - cos cos * '! $ 2 + (! $ sin - $ ! $ ! % "

2

Máximo ocurre en ! = 90° Puntos de media potencia en ! = 51° Nulos en ! = 0° y 180° Patrón:

D

=

Rr =

2 P rad

I o

2

=

73 +

1.64

z 51°

HPBW = 78°

Figura 3.6 Patrón del Dipolo de media onda

42

j 42.5!

ANTENA DIPOLO

• Dipolo de onda completa ( l

=

! )

& cos(( cos' ) + 1# P (' ) = $% !" 2 sin '

2

n

Ecuación 3.34

Máximo en ! = 90° Rr ~ 2000% Puntos de media potencia en ! = 66.5° Patrón:

47°

Figura 3.7 Patrón del Dipolo de media onda

• Dipolo de tres lambda medios ( l

P n (- )

=

3! =

2

)

& , 3. )# $ cos* 2 cos- ' ! (! $ + sin - $ ! $ ! % "

2

Ecuación 3.35

Rr = 106% Se obtienes lóbulos laterales que le dan forma de doble cono. Patrón: 0°

90°

Figura 3.8 Patrón del dipolo de tres lambda medios (Fuente: Krauss and Marhefka , 2002)

43

ANTENA DIPOLO

3.5 EFECTO DE LA TIERRA O PLANO REFLECTOR Hasta ahora hemos considerado que las antenas se encuentran en un medio sin fronteras infinito. En la realidad las antenas se colocan cerca de la tierra, la cual no es un dieléctrico ideal sino que tiene pérdidas. De hecho mientras más húmedo sea el terreno más pérdidas tiene la antena y por lo tanto baja la eficiencia de la antena. Tampoco es un plano sino que la tierra es curveada. Sin embargo si el ángulo de observación es mayor a 3º, se puede aproximar que la tierra es plana. 3.5.1 Teoría de imágenes La teoría de imágenes se usa para analizar el comportamiento de las antenas cuando están cerca de un plano infinito conductor. También se usa para explicar el comportamiento de un monopolo, el cual es la antena usada comúnmente en los automóviles. El efecto de la tierra puede variar la ganancia, la eficiencia, el patrón, entre otras, de una antena. Cualquier energía que se irradia hacia la tierra, se refleja dependiendo de la geometría. Para analizar lo que sucede cuando una antena se coloca sobre un plano conductor infinito a una altura h, se introducen fuentes (antenas) virtuales llamadas imágenes para tomar encuentra las reflexiones. Estas imágenes se colocan de manera que el campo eléctrico tangencial a la interface tierra-aire sea cero. El campo total en un punto P a una distancia de la antena es la suma de los campos que llegan directos de la antena y los campos reflejados en el plano, (provenientes de la imagen). Esto aplica a todo tipo de antena, pero se usa a veces para dipolos y para lazos, los cuales a menudo se colocan sobre platos reflectores para modificar sus propiedades eléctricas.

+q

+

Plano a tierra

+q

h

Se substituye por

++

2h -q

-

Pero sólo se usa la solución encima del plano a tierra.

Figure 3.9 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones desde un plano conductor.

Condiciones de contorno: Para cancelar los campos tangenciales del campo eléctrico en la interface donde los campos deben ser cero. Veamos el dipolo horizontal sobre un plano conductor infinito.

44

Se usa la solución encima del plano a tierra. Irradia la mitad de la

ANTENA DIPOLO

I

I

h=& / 4

+

2h=& / 2

Se substituye por

Plano a tierra

I (imagen)

Figure 3.10 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones de un dipolo horizontal sobre un plano conductor.

Los campos están fuera de fase por 180 grados debido a la dirección de las corrientes, esto hace que el campo tangencial eléctrico sea cero en el centro (en el plano a tierra). Pero los campos irradiados por la imagen tienen que viajar #/2 hasta llegar a la antena real, por lo tanto están en fase. e (Ida y vuela)

! j * r

180

o

=

e

' 2( $ ' ) $ ! j % "% " & ) # & 2 #

+ 180

o

=

=

360

o

e

! j(

=

180

=

o

en fase.

3.5.1.1 Dipolo Vertical Examinemos el caso de un dipolo vertical cerca de un plano conductor infinito según se muestra en la figura 3.11 a la izquierda. +

h

Se substituye por

Plano a tierra

2h

Se puede verificar que el componente horizontal del campo eléctrico E ! total en la interfase se cancela.

Figure 3.11 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones de un dipolo vertical sobre un plano conductor.

La antena y su imagen son tratados como un arreglo de dos elementos. Si ambos elementos son dipolos de media-onda, & & ) ## $ cos$ cos ( 1 ! ! jkr I o e I o e ' 2 % " $ ! E ( = j* ! + j* 2) r 2) r 1 $ sin ( 1 2 $ ! % " ' jkr 1

2

& & ) ## $ cos$ cos ( 2 ! ! "! $ %2 $ ! sin ( 2 $ ! % "

Esto será estudiado más tarde en el capítulo de arreglos de antenas.

45

ANTENA DIPOLO

EJERCICIOS: 1. Halle la directividad de un dipolo corto. Respuesta: El patrón de un dipolo corto es de forma, P n(! ) = sin2! (ver campos en la sección 3.3.1 del manual), por lo tanto, D = 4$ / % donde. " !! P d " Resolviendo se halla que D=1.5. =

/

n

2. Halle el patrón de un monopolo corto sobre un plano infinito (altura h = 0). Respuesta: Usando teoría de imágenes, el patrón será igual al de un dipolo corto del doble del largo (pero corto aún), pero definido sólo para el hemisferio norte y cero abajo. De manera que el problema se reduce al mismo problema anterior con diferentes límites de integración. Entonces, resolviendo queda que D= 3. 3. Halle la ganancia de un monopolo vertical de media onda ( D=1.64) localizado sobre un plano imperfecto como la tierra(a una altura de h=0) el cual causa pérdidas equivalentes a 3%. Respuesta: Rrad = 73/2 = 36%, ) = 36 / (36 +3) = 0.923, G = .923 (1.64) = 1.514 4. Determine la resistencia de radiación de un monopolo de media onda sobre un plano conductor infinito si la de un dipolo de onda completa en el vacío es de 2000 -j1400 %. Respuesta: Z = 1000 -j700 % 5. Halle el patrón de un dipolo de largo igual a un octavo de onda. Respuesta: P (. )

=

& - / / # * $ cos+ 8 cos. ( ' cos 8 ! ) $ , ! sin . $ ! $ ! % "

Máximos: ocurren en ! = ± 4.53°, ±175.5° Nulos en: ! = 0, ±n$

46

2

CAPITULO 4 4 ANTENA LAZO La antena lazo es una de las más antiguas junto con la antena dipolo, y tiene como aplicación común servir de antena receptora para los canales UHF de televisión. Para ver como luce su patrón, vamos a analizar el campo irradiado por un lazo de material conductor con una distribución uniforme de corriente (ver figura abajo). Podemos imaginarnos que el lazo consiste en cierto número de elementos de dipolo infinitesimal arreglados en forma de círculo. Entonces, integramos y obtenemos el campo total del grupo a una distancia r del origen del lazo. z P

! r R r' a dl

I

x

y

Figura 4.1 Geometría para análisis del lazo circular

Para comenzar necesitamos hallar R, I y dl' de la expresión siguiente, A(x , y , z) =

µ

I(x' , y' , z' ) # jkR e dl ' R

"

4!

Las coordenadas con primas, x’, y’, r’ , se refieren a la distancia del origen a la fuente (lazo). Las coordenadas sin prima, se refieren a las distancias entre el origen y el punto de observación. En este caso, la corriente varía con x' y y', solamente. Tenemos que trabajar en coordenadas cartesianas (x, y, z) y esféricas (r, ! , " ). Para simplificar el trabajo, nos aprovechamos de la simetría del lazo y resolvemos por los campos en el plano xz solamente. (Debido a que A y = Aø en este plano). En este plano, !

R

=

ˆ ! r ˆ' r

donde, de la figura se obtiene que,

Ecuación 4.1

ANTENA LAZO

(note que r 2 = x2 + z2)

r = x x + z z

y

r'

'

'

= x x + y y

Figura 4.2 Punto P en plano xz

Sustituyendo en (4.1), !

R

=

ˆ) ! ( x xˆ + yyˆ ) ( x xˆ + z z

Utilizando el conocimiento de que, a sin ! ' x' a cos ! ' , y ' =

x

=

=

r sin !

, y

z

=

r cos !

se obtiene, !

R

R

=

=

R

r

=

(r sin ( ' a cos ) ')

2

+

(a sin ) ')

2

+

(r cos ( )

2

2 & 2a a # $1 ' r cos ) ' sin ( + r 2 ! % "

lo cual simplifica con la serie de Taylor a; R ! r

"

a sin # cos $ '

Ecuación 4.2

Para hallar la expresión de la corriente, notamos que ésta va en dirección de ø, por consiguiente, I = I o!

= I o (" xÙsin ! ' + yÙcos! ' )

Ecuación 4.3

y para el elemento de largo, tenemos, dl'

=

Ecuación 4.4

a d ! '

Sustituyendo las ecuaciones (4.2) al (4.4) en (4.1), queda,

48

ANTENA LAZO

2"

µ I o

a d ! ' $ jkr jka sin # cos! ' ($ xˆ sin ! '+ yˆ cos! ') e e r

% 4"

A =

0

Ecuación 4.5

Nótese que A tiene dos componentes, A x y A y. Una vez resolvamos (4.5), podemos encontrar fácilmente los componentes del campo eléctrico y magnético irradiados por el lazo a una distancia r de su origen. Examinaremos dos casos; a • Lazo pequeño (con respecto a #), ó sea

!

,

<< 1

• Lazo de tamaño arbitrario. Ambos casos se examinarán en el "far field".

4.1 LAZO PEQUEÑO

a

!

<1

Como en este caso, ka<<1, y 2

x

e

x

=

1+

x +

!

1+

x

2!

3

x

+ ... 3! para x <<1 +

entonces podemos decir que, jka sin! cos" '

e

#

1 + jka sin! cos " '

Aplicando esto a la ecuación (5), queda, 2" µ I ad #' $ jkr A ! o e [1 + jka sin % cos # ' ]($ xÙsin # ' + yÙcos # ' ) r 4 "

& 0

Resolviendo la integral, obtenemos que A x

=

0

Ecuación 4.6

2

A y

=

A!

=

Ahora podemos hallar H, H =

1

1

jka µ I o # jkr sin " e 4r

1

1

$

1 $

# Ù ! " A = rÙ A% sin # & µ µ r sin # $# µ r

49

$ r

(rA ) %

ANTENA LAZO

Sustituyendo (6) en la expresión de arriba, se halla que el primer término es proporcional a 1/r 2 y por lo tanto desaparece para r grande. En el "far field", sólo queda el componente en azimut, H ! =

" jka2 4r

I o sin !

#

e" ) ( # r jkr

Por lo tanto, para el lazo pequeño en el "far field", tenemos, " I o (ka )2 " jkr H ! =

y

E !

=

e

4r

sin !

"# H $

4.2 LAZO DE TAMAÑO ARBITRARIO Para un lazo de tamaño arbitrario no podemos hacer la aproximación que hicimos para el lazo pequeño. Tenemos que trabajar directamente con la ecuación (5), o sea, µ I o a

A =

4" r

2"

e

$ jkr

% e

jka

sin # cos! '

($ xˆ sin ! '

yˆ cos! ') d !

+

0

• Veamos Ax, 2 %

&

A x ! " e

jkasin # cos $ '

sin $ ' d $ '

0

haciendo un cambio de variables u

=

jkasin! cos " '

se obtiene que, A x !

jka sin "

1

jka sin"

#

u

e du

=

0

jka sin "

• De nuevo sólo queda Ay, A y

A y

=

=

A!

A!

=

=

µ I o a

4 " r µ I o a

4 " r

2 "

% e

e # jkr

jkasin $ cos ! '

cos ! ' d ! '

0

e # jkr &

donde hemos separado la integral, 50

ANTENA LAZO

$

!

=

% e

$ jka sin " cos # '

% e

c os# ' d # # ' &

0

& jka sin " cos # '

c os# ' d # # '

0

para usar la identidad; !

$

n

! j J n (z) "

e

jz cos # '

cos n# ' d # # '

0

donde, J n = es la función Bessel de primer tipo de orden n Para nuestro caso, ! = " jJ 1

(ka sin# ) $ " jJ 1($ka sin# ) J o(x) J 1(x) J 2(x) J 3(x)

Figura 4.3 Funciones Bessel de Primer Tipo de orden 0 a 3.

y dado que J 1(z) es una función impar, [i.e., - J J 1(-z) = J 1(z)], (z)], la integral se puede simplificar a,

(

)

! = 2" jJ 1 ka sin#

Por lo tanto, A! =

j µ µ I oa 2r

e

" jkr

J 1 (ka sin # )

Esto también se puede expresar como, A"

=

( jka 2 µ I o sin ! ) jkr % 2 J 1 (ka sin ! ) e # & 4 r ' $ ka sin !

Ecuación 4.7

El primer corchete es idéntico al del lazo pequeño y el segundo es una función de forma, 51

ANTENA LAZO

2 J 1 ( x ) x

,

la cual tiende a uno para x

!

0.

De manera que se puede demostrar que el lazo pequeño, ecuación (4.6), se deriva como un caso especial de la ecuación (4.7) para ka << ka << 1. El campo eléctrico y magnético de la antena lazo es en general proporcional a la función Bessel de primer orden. El patrón de campo se puede obtener gráficamente de la función Bessel. En resumen, usando las ecuaciones de Maxwell, se puede obtener que en el "far field",

E # H !

E r

60" kaI o e

=

r

=

=

$ jkr

kaI o e

E "

$ jkr

2r

=

H r

J 1 (ka sin ! ) Ecuación 4.8

J 1 (ka sin ! ) =

=

H !

=

E "

#

!

0

La expresión dentro de la función Bessel ha sido sustituida por Kraus como C & & , o sea la circunferencia del lazo entre el largo de onda, ya que, ka = ka = 2#a/# = #d /# = C /# = C #

4.3 MÉTODO GRÁFICO (ANTENA DE LAZO CIRCULAR) Debido a que el patrón de irradiación del lazo circular es proporcional a la función Bessel de primer orden, necesitamos una gráfica de esta función para trazar su patrón gráficamente. Qué porción de la gráfica utilizaremos depende del tamaño del lazo, básicamente de C & & = " d d/ #. La coordenada horizontal, x=C horizontal, x=C & & sin , tiene un valor máximo ! , tiene de C & & , y éste ocurre en !=900 (cuando sin!=1). Otro punto conocido es cuando ! =0 =00, entonces x=0 x=0 (en el origen). Quiere decir que el patrón del lazo de tamaño C & & estará entre los puntos x=0 y x=C & & de la gráfica. Entre estos dos puntos el patrón no corresponde linealmente a la gráfica de J(x), J(x), sino que es proporcional a sin ! . Es útil conocer que J que J 1(x)=0 (x)=0 en x en x= = 0, 3.84, 7.01, 10.19. Procedimiento: 1. Trazamos líneas verticales desde J(x) desde J(x) hasta hasta un arco de radio C & &, 52

ANTENA LAZO

2. Se coloca un punto radialmente desde el origen hasta este arco a una distancia proporcional al valor de J(x) de J(x) en en ese punto x=C & & formando así un patrón 3. Se repite esto para varios puntos entre x entre x=0 =0 y x= polar del lazo (no normalizado). | J 1 (C " sin ! )

90 60

0

o

30

o

C " sin s in!

o

o

Figura 4.4 Método gráfico de hallar el patrón de antena lazo. lazo. Los primeros dos nulos ocurren en el eje horizontal en 3.84 y 7.01.

4.4 ANTENA LAZO 4.4.1

Resistencia de radiación: 1. Lazo pequeño: (C# < 1/3) Rrad

=

( )

4

"# / 6 ka

!

Para aumentar la resistencia se pueden poner varios lazos, entonces la resistencia de radiación es el valor de arriba multiplicado por N por N 2. 2. Lazo mediano (1/3 < C# < 5) 2

[

2 C "

Rrad = 60 ! C " $

0

]

J o (y )dy # 2 J 1(2C " )

3. Lazo grande (C# > 3) Rrad

2

=

60# C "

!

53

%

ANTENA LAZO

4.4.2 Directividad 1. Lazo pequeño ( C ! < 1/3) D = 1.5

(I ual al di olo e ueño o hertziano.)

2. Lazo mediano (1/3 < D =

C ! <1.84)

2C !

[J (C sin" )] 2

!

1

2 C !

# 0

max

J 2 (y ) dy

3. Lazo grande ( C ! > 1.84) D= 0.68 C ! EJERCICIOS: 1. Diseñe una antena lazo con distribución uniforme de corriente para un televisor que tenga ganancia de 6.78 dB (presuma que no tiene pérdidas). ¿Cómo debe ser la impedancia intrínseca de una línea coaxial para que no ocurran reflexiones? Dibuje su patrón de irradiación. ¿Qué problemas presenta?.Si la frecuencia de centro de operación es de 150 MHz, ¿cuán grande debe ser la circunferencia del lazo? Respuesta: C ! = 7, R = 4,145 %, diámetro = 4.45 metros! Obviamente la antena es físicamente muy grande y su patrón no es ovni-direccional como debe ser para poder captar señales de diferentes puntos geográficos.

Problema 1.

2. Si una antena lazo sin pérdidas con diámetro de 15 pulgadas (0.38 m) se usa para la recepción de canales UHF, ¿cuánto será su ganancia y su patrón? Tome f o = 680 MHz. Respuesta: C ! = 2.7, G = 1.84 (2.7dB) Problema 2.

54

5

CAPITULO 5 ANTENAS DE ALAMBRE INDEPENDIENTES DE FRECUENCIA

5.1 ANTENA YAGI-UDA Aplicaciones: para frecuencias HF (3-30MHz), VHF (30-300MHz) y UHF (300MHz3GHz). 5.1.1 Teoría La antena Yagi- Uda fue inventada por el profesor asistente, Shintaro Uda, de la Universidad de Tokio, Japón, en el 1926 y presentada en los Estados Unidos por el profesor Hidetsugu Yagi dos años más tarde. De aquí su nombre. Es una antena liviana, barata y fácil de construir.

Figura 5.1 Antena Yagi-Uda de 7 elementos y patrón de una Yagi-Uda de 4 elementos.

Consiste de varios dipolos en un arreglo lineal. Sólo a uno de los elementos se le suple energía (elemento guiado o "driven"), los otros irradian debido a corrientes parasíticas que se inducen en ellos por acoplamiento mutuo (elementos parasíticos). Hay dos tipos de elementos parasíticos; reflectores y directores. •

Los reflectores son elementos que tienen un largo un poco mayor de #/2 (largo óptimo es aproximadamente 5% mayor) y esto les hace funcionar como reflectores en el sentido de que colocados al lado de un dipolo de media onda excitado hacen que el patrón se incremente hacia el lado del elemento guiado. Se ha encontrado que tener más de un reflector no hace gran diferencia en las propiedades de irradiación de la

ANTENAS DE ALAMBRE INDEPENDIENTES DE FRECUENCIA

antena, por esto se suele utilizar sólo un reflector en la mayoría, sino en todas, las aplicaciones. •

Los directores son más cortos (aproximadamente 5% menor es óptimo) que el elemento guiado y esto produce un patrón dirigido hacia el elemento director. Se encontró que la directividad del arreglo aumentaba según se le añadían directores al arreglo. Pero llega un momento que el seguir agregando directores no contribuye más a la directividad.

Diseños óptimos de antenas Yagi-Uda se solían hacer experimentalmente debido a la complejidad del análisis teórico (impedancias mutuas) y la infinidad de posibilidades (variar tamaño y grueso de cada director, número de directores, espaciamiento, tamaño del reflector, etc.). Ahora, se hacen utilizando técnicas de computadoras para obtener valores óptimos de diseño. La antena Yagi-Uda es de banda angosta ("narrowband") debido a que sus dimensiones juegan un papel muy crítico en su operación. A continuación se citan valores típicos: Dimensiones, Número de elementos Largo del "drive" Largo del directores Largo del reflector Separación entre directores (Usualmente sR < sd) Radio de director

6 - 12 0.45 < lf /# < 0.49 0.4 < ld /# < 0.45 lr /# > 0.5 0.25 < sd/# < 0.4 r d< 0.024#

Especificaciones, SLL óptimo Ganancia Impedancia de entrada Ancho de banda Largo axial total

-5.2 dB 12 - 17 dB baja angosto ~6#

Al aumentar la ganancia de esta antena estamos sacrificando el ancho de banda, lo cual significa que vamos a poder utilizarla para recibir un número menor de canales de frecuencia. A menudo se usa un dipolo plegado ("folded dipole") como elemento guiado. 56


El dipolo plegado tiene una impedancia de entrada 4 veces mayor al dipolo de media onda (=292 ohmios), lo cual lo hace ideal para alimentarse con una línea de transmisión de dos alambres paralelos (“twin wire”) la cual posee impedancia característica de 300 ohmios. Si reemplazamos el dipolo reflector por un reflector angular ("corner reflector"), se aumenta sustancialmente la ganancia y mejora el ancho de banda a la misma vez. Este arreglo se conoce como "Square-corner-Yagi-Uda Hybrid". Existen tablas de largos que producen ganancias óptimas, las cuales se utilizan en el diseño de las antenas.

5.2 BANDA ASIGNADA EN FRECUENCIA PARA LOS CANALES DE TELEVISIÓN Canal

Frecuencia (MHz)

Banda

Frecuencia (GHz) IEEE Standard 521-1984)

2

54-60

3

VHF

L

1-2

60-66

S

2-4

4

66-72

C

4-8

5

76-82

X

8-12

6

82-88

Ku

12-18

7

174-180

K

18-27

8

180-186

Ka

27-40

V

40 - 75

9

186-192

W

75-100

10

192-198

mm

40-300

11

198-204

12

204-210

13

210-216

14

470-476

15

476-482

83

884-890

UHF

5.3 ANTENA LOG-PERIÓDICA Aplicaciones: Para televisión en la banda VHF y para radio en la banda FM (87.5 to 108 MHz) 57


5.3.1 Teoría Consiste en un arreglo de dipolos cuyos tamaños aumentan periódicamente en su logaritmo. No tiene ningún elemento parasítico. Es de banda ancha y polarizada linealmente en el eje de la antena. Provee directividades de entre 7 a 12 dB. R

2

R1

2

sn

Punto de all ime ntación

Figura 5.2 Antena Log-periódica

donde, l1 = largo del dipolo menor d1 = diámetro del dipolo menor s1 = espaciamiento entre el "air gap" del dipolo menor R 1 = distancia al origen desde el dipolo menor 0 = ángulo de origen La antena log-periódica se define matemáticamente con tres parámetros; +,1 y 0. • Razón geométrica, ! = l n

/ l n

Ecuación 5.1

+1

Si se obtiene el logaritmo en ambos lados de la ecuación se haya, log l n - log l n+1 = log - Ecuación 5.2

También, Valores Típicos:

- = l n /l n+1 = sn /sn+1 = d n /d n+1 = Rn /Rn+1

10o < 0 < 45o 0.70 < - < 0.95 Si 0 es alta, - baja y vise-versa 58


• Factor de espaciamiento, . * = (Rn+1 - Rn )/2l n+1 • Ángulo de origen, 0 = tan-1( ( 1- - )/ 4 * ) Ecuación 5.3

Nota: Usualmente se usan todos los diámetros y los espaciamientos ("gaps") del mismo tamaño y no afecta mucho la operación de la antena. La antena Log-periódica se conecta en cruzado ("crisscross") para que el patrón apunte hacia los elementos cortos. Las frecuencias de corte (extremos del ancho de banda de operación) se determinan por los largos eléctricos del elemento más largo y el más corto, de forma que, f L = c/

L

l n

L /

2

Ecuación 5.4

f H = c/

H

l 1

u /

2

Ecuación 5.5

Hay una región de la antena a la cual se le conoce como región activa, y es alrededor de los elementos cuyos largos sean ~#/2, según sea la frecuencia de operación que se esté recibiendo o transmitiendo. En este sentido la antena log-periódica actúa similar a la YagiUda, debido a que en la región activa el elemento cerca de #/2 actúa como el "driven", el anterior actúa como reflector y los menores adyacentes como directores. Por esta razón al diseñar una log-periódica, se debe añadir elementos adicionales en los extremos del arreglo para mejorar el funcionamiento en las frecuencias altas (dos o más elementos en el extremo inferior) y en las frecuencias o canales bajos (al menos un elemento adicional mayor). Se pueden conseguir impedancias de entrada de ~ 50 - 90 %. Para el diseño de antenas log-periódicas se utiliza una gráfica, la cual muestra curvas de directividad constantes para diversos valores de - y * . Se muestra una línea de diseño óptimo. Una vez obtenidos estos dos parámetros, se puede hallar el ángulo de origen.

59


Figure 5.3 Gráfica de diseño mostrando la directividad y el diseño óptimo (R.L. Carrel, "Analysis and Design of the Log-Periodic Dipole Antenna")

El tamaño del elemento mayor se determina con la frecuencia de operación más baja ("lower frequency, f L"). De ahí se siguen hallando los demás con la proporción logarítmica hasta llegar a uno o dos dipolos menores al dipolo de media onda que corresponde a la frecuencia mayor ("upper frequency, f H "). La antena log-periódica también se construye usando dipolos tipo V, (llamados así debido a su forma), para aumentar la directividad. A la izquierda se muestra una foto de una antena combinación Yagi-Uda y Log-periódica comúnmente usada para canales VHF y UHF.

Figure 5.4 Variations of Log-Periodic Dipole Antenna"

60


5.4 BALUNS [BALanced to UNbalanced Converters] Para alimentar una antena dipolar se podría usar una línea coaxial. El problema es que las líneas coaxiales no están balanceadas. Por lo tanto producen una distribución corriente asimétrica a lo largo del dipolo, en lugar de la distribución cuasi-senoidal deseada. Para convertir un sistema desbalanceado a uno balanceado se usa un balun. Un balun puede consistir en un transformador RF, un segmento de lambda cuarto u otras configuraciones. Ver configuraciones comunes en la fig. 9.24 del texto. BalUn: Un dispositivo electrónico pasivo que convierte las señales eléctricas entre balanceadas y desbalanceadas, como por ejemplo entre un cable coaxial y una antena dipolar. Se usan en algunos radares, transmisores, satélites, en todas las redes telefónicas, y probablemente en la mayoría de las redes inalámbricas [modem/routers] usadas en los hogares. Distribución de corriente

Carga balanceada

Coaxial Line (unbalanced)

Current leak

Línea de transmisión de alambre paralelo (balanceada)

Un Balun es un transformador de impedancias diseñado para acoplar un circuito balanceado a uno desbalanceado.

Balun Linea coaxial (desbalanceada)

Algunas antennas, como el monopolo o la piramidal, son cargas desbalanceadas, pero se puede usar lineas coaxiales para alimentarlas.

Figure 5.5 Ejemplos de Baluns y su efecto en la distribución de corriente de la antena dipolo.

61


Figure 5.6 Un balun de 75- a 300 ohmios

Fuentes Balanceadas: Una fuente es balanceada si el voltaje en un terminal es igualmente sobre tierra que el otro voltaje es bajo tierra en todo momento. Ejemplo: Fuente con +50V y -50V es balanceada, +30V y +12V, o +20V y 0V NO son balanceadas. #/4 coaxial

Bazuka

} Cortocircuitado al conductor exterior del coaxial.

2leak =0 #/4 más

#/4 más

Corto circuito hacia el conductor externo del coaxial

arriba luce como un circuito abierto, por lo tanto no hay pérdida de corriente

arriba luce como un circuito abierto, por lo tanto no hay pérdida de corriente

Centro de Ferrite

coaxial de #/2

toroidal

Figure 5.7 Algunos estilos de Baluns

62


Aumenta el ancho de banda pero no necesariamente se comporta bien a altas frecuencias. Hay pérdidas en el centro de hierro. Puede diseñarse para 1:1 para transformar impedancias como este de 4:1 Para transformar la impedancia en 4:1 o 4:1

5.5 APAREANDO IMPEDANCIAS [Sección 9.8.1 Balanis]

Ya vimos el caso de aparear una antena lazo a una línea de transmisión usando un capacitor o un inductor en paralelo. Para un dipolo se puede hacer de la misma manera, conectando un elemento reactivo o un segmento de línea sencilla (“single stub”). En el caso de un arreglo de antenas es un poco más complicado, pues usualmente se usa una sola fuente para alimentar todas las antenas. • Ej. Corporate feed (CST.com)

63

6

CAPITULO 6 ARREGLOS DE ANTENAS

6.1 INTRODUCCIÓN Un arreglo de antenas consiste en dos o más antenas utilizadas simultáneamente con el propósito de que las propiedades de irradiación del conjunto se puedan mejorar y/o controlar según lo requieran las especificaciones de un diseño dado. Entre las ventajas de los arreglos se encuentran, • Aumento en la directividad (y ganancia) • Control de los lóbulos laterales ("sidelobes") • Rastreo electrónico (usando la fase de alimentación)

6.2 TEORÍA Caso General: Consideremos un arreglo de N antenas iguales con la misma orientación y el mismo patrón, f( ! ,ø), pero excitadas con amplitudes y fases distintas, C i y 0 i , respectivamente.

Figura 6.1 Arreglo de N antenas iguales

Estamos interesados en hallar el campo eléctrico producido por el conjunto de elementos (antenas) en el punto P a una distancia r del origen del arreglo. Si sólo hubiese un elemento colocado en el origen, su campo tendría la forma general de; E( r )

=

f (! , " )

e# jkr 4 $ r

Ecuación 6.1

ARREGLOS DE ANTENAS

A una distancia suficientemente grande del arreglo, (en el campo lejos o "far field"), las líneas de R i se pueden aproximar como si estuviesen paralelas.

Figura 6.2 Arreglo de N antenas iguales mostrando las distancias en el "far field"

(De aquí surge la explicación del por qué la Luna parece seguirnos cuando viajamos en un automóvil. Estamos a una distancia tan lejos de la Luna, que una línea imaginaria trazada desde Mayagüez hasta ella es prácticamente paralela a una línea entre San Juan y la Luna.) El campo eléctrico total en el punto P, sería la suma de la contribución de todos los elementos, o sea, Ecuación 6.2

E = E TOT = E 1 + E 2 + ...+ E i + ... + E N

E( r ) = C 1

f (! , " ) 4 # R1

e

$ jkR1 j % 1

e

+

C 2

f (! , " ) 4 # R2

e

$ jkR2 j % 2

e

. ..

+

entonces, E( r )

f (! , " ) =

4 #

N

& C i

i 1 =

e

$ jkR

i

e

j % i

Ecuación 6.3

Ri

donde, Ri

=

r

!

ri r

ˆ "

65

ARREGLOS DE ANTENAS

r r R i r

i Antena

Figura 6.3 Detalle de la diferencia en paso recorrido

En la ecuación (3) vemos el factor R i dos veces; primero en el exponente (donde afecta la fase total), y también en denominador (donde sólo afecta la magnitud del campo). Para una distancia en el "far field", la diferencia entre R i y r es muy poca. Por ejemplo, puede ser el equivalente a diferenciar 1 km de 1.0001 km. El efecto que esta diferencia en distancia tiene en la magnitud del campo es obviamente muy poca y puede aproximarse a r. Pero esto no es así cuando estamos hablando de la fase. En este caso, una diferencia de .0001 km puede equivaler a varias veces el largo de onda, #, de operación y, por lo tanto, no se puede hacer la misma aproximación. Por ésta razón, Ri

=

Ri

!

r

!

ri r

ˆ "

para la fase

y para la magnitud

r

Aplicando la anterior aproximación, se obtiene, % f (! , " ) $ jkr ( % N j + i jkr i , ˆr ( E( r) e ' * ' - C i e e * =

& 4 # r

)&i

=

1

)

= [Tipo de antena][Número de antenas][alimentación][geometría del arreglo]

Si observamos detenidamente, podemos notar que éste consiste en la multiplicación de dos factores. El factor encerrado en el primer corchete coincide exactamente con el patrón de una sola de las antenas en el origen. Mientras que el segundo factor, depende de las amplitudes y las fases que alimentan cada antena, independientemente del tipo de antena que sea. A éste último factor se le conoce como el factor del arreglo (abreviado como AF del inglés "Array factor"), pues depende, entre otras cosas, de la geometría, y alimentación del conjunto. 66

ARREGLOS DE ANTENAS

6.3 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN DE PATRONES Para el arreglo de N elementos, alimentados con I i E ( r )

=

=

C i !" i ,

obtuvimos,

&Patrón # &Factor # $antena ! $del ! $ !$ ! $%individual!" $%Arreglo!"

El principio de multiplicación de patrones establece que el patrón de radiación de un arreglo de N antenas idénticas, es el producto de la función de patrón de la antena individual con la función del patrón del arreglo, AF. El factor de arreglo depende de; • Número de antenas, N • Amplitud y fase de las corrientes que alimentan las antenas • Geometría de la posición del conjunto de antenas Este principio nos permite olvidarnos por el momento del tipo de antena y concentrarnos en la geometría y alimentación del conjunto de antenas para determinar el "array factor" en cada caso. Una vez tengamos el factor del arreglo, podemos multiplicarlo por el patrón de la antena en cuestión para hallar el patrón resultante del grupo de antenas. Esto equivale a imaginarnos que tenemos un arreglo de antenas isotrópicas, cuyo patrón es 1. O sea, E (r )

=

&Patrón # &Factor # $antena ! $del ! $ !$ ! $%isotrópica!" $%Arreglo!"

=

[ 1 ][AF]

=

AF

Figura 6.4 Diagrama mostrando el concepto de Multiplicación de patrones

6.4 ARREGLOS LINEALES

67

ARREGLOS DE ANTENAS

Un arreglo lineal de antenas consiste en un arreglo en el cual todas las antenas se colocan en fila y equidistantes. Examinaremos tres tipos de arreglos lineales a saber, • Uniformes • No-uniformes (Binomial y Dolph-Tschebyscheff)

6.5 ARREGLO LINEAL UNIFORME CON FASE INCREMENTAL Supongamos que tenemos N elementos isotrópicos a lo largo del eje x separados por una distancia d . Uniforme se refiere a la amplitud de la corriente que alimenta cada antena o elemento. En este caso cada antena se alimenta por una corriente de la misma amplitud (constante) C=I o, pero con cambio de fase progresiva, + n=n0 . z

Arreglo lineal de N antenas equidistantes

| d

| d

N-1

x

2

3

i

! O

|

r

r

y

0

1 ø "

Figura 6.5 Arreglo Lineal de N antenas equidistantes

En este caso tenemos, r r ! r1 ˆ

y,

ˆ r ! r2 ˆ r ! r3

=

=

=

d cos "

n

=

ˆ nd x

2 d cos " 3d cos "

o, en general, ˆ r ! rn

=

nd cos "

y por lo tanto, el patrón resultante (en este caso es igual al AF porque estamos tratando con antenas isotrópicas), será, AF = I o

+

j ! jkd cos "

I oe e

+

I oe

j 2 ! j 2 kd cos "

e

68

+

I oe

j 3! j 3kd cos "

e

+ .. .

ARREGLOS DE ANTENAS

AF = I o

+

I oe

j !

+

I oe

j 2 !

+

I o e

N #1

ó

AF I o =

$e n

=

j 3!

+ ...

N # 1

jn! jnkd cos "

e

=

I o

$e

jn %

n

0

=

0

donde, ! = kd cos " + #

Usando la siguiente serie geométrica, N ! 1

" n

=

N

1!w

n

w

=

0

1!w

el AF se puede simplificar, AF I o =

ó

1! e

jN "

1!e

AF

=

=

j "

I o

e

j

e

e

, N -1 ) '. + 2 (

j *

N 2

j

(

( 2

& ' j N ( j N ( # 'e $e ! ( ( $ ' j ! j 'e $% e !" 2

2

2

2

& N # $ sin 2 . ! $ . ! $ sin ! % 2 "

Ecuación 6.4

El primer factor de la expresión (4) se debe a que escogimos el eje z a un extremo del arreglo. Si lo hubiéramos colocado en el centro este, factor no hubiese aparecido. Además, como usualmente lo que se grafica en el patrón es la magnitud del campo normalizada, se puede decir que para los efectos, AF N

=

& N ' # $ sin 2 ! $ ! $ N sin ' ! $% " 2 !

Ecuación 6.5

donde, ! = " d cos # + $ , para un arreglo lineal uniforme de N antenas isotrópicas en el espacio. Esta función se comporta bien parecida a sinc( x) = (sin x)/ x, excepto que es periódica. Veamos cómo se grafica. 69

ARREGLOS DE ANTENAS

• Máximos en

! / 2

=

0, ±n"

" = 0, ± 2! , ± 4! , ...

• Nulos en N ! N / 2 = ±n" , para n # 0, ! Null

= ±

n

#

mN

2 " n

N

Por ejemplo para N =5,

Figura 6.6 Factor de Arreglo para de 5 elementos lineales con iluminación uniforme y fase incremental

Esta gráfica siempre será así para 5 elementos. ¿De qué depende el patrón entonces? De d , y 0 como veremos más adelante. En resumen, se observa que; • Según aumenta N , el lóbulo principal es más estrecho. • Según aumenta N , hay mayor número de lóbulos laterales ( N -2) es un periodo (2" ). Hay N-1 nulos en 1 periodo. • Los lóbulos laterales son de ancho 2" /N en la variable 3, y los lóbulos mayores son el doble. • Los lóbulos laterales tienen un nivel menor (en relación al máximo) a medida que aumenta N . Ejemplo;

70

ARREGLOS DE ANTENAS

Figura 6.7Factor de Arreglo para de 3, 7, y 17 elementos con iluminación uniforme y fase incremental, respectivamente.

• |AF N| es simétrica en " . 6.5.1 Método Gráfico Para Arreglos Lineales El método gráfico para hallar el patrón de un arreglo lineal se delinea a continuación. Como vimos anteriormente, la gráfica (rectangular) de la magnitud de AF es infinitamente periódica para cualquier N . Esto no implica que el patrón del arreglo (polar) tenga infinito número de lóbulos ya que no toda la gráfica de AF será "visible" en el patrón. El patrón se traza en coordenadas esféricas y debido a la simetría del arreglo, es suficiente trazar la mitad del mismo (de ø = 0° a ø = 180°) ya que la otra mitad es igual. A esta mitad le llamamos la región visible. La gráfica de AF está dada como función de 3, la cual es a su vez función de ø. Pero de todo el eje de 3, sólo la parte visible aparecerá en el patrón del arreglo. La región visible en términos de 2 ( ! = " d cos # + $ ), la podemos hallar de, 0

o

<

! < "

#1 > cos ! > 1

(Región visible)

$ # % d < & < $ + % d

La última ecuación describe un círculo de radio 3 d y centro en 0 . Veamos varios ejemplos. Considere un arreglo de 6 elementos con, (a) 0 = " , d = & /2; 71

ARREGLOS DE ANTENAS

(b) 0 = 0°, d = & /2; El patrón se obtiene con el método gráfico como se muestra a continuación.

0 = ! , d = & /2

0 = 0, d = & /2

Note que la única diferencia entre la parte (a) y (b) es el incremento de fase, 0. Al variar la fase controlamos la dirección del lóbulo principal. Esto tiene como aplicación radares de seguimiento (“tracking radars”), y en arreglos de dos dimensiones se puede controlar el "main beam" en ambos planos. Además, algunas antenas son diseñadas con una 72

ARREGLOS DE ANTENAS

inclinación de patrón fija para no tener que inclinarlas mecánicamente, lo cual puede causar inestabilidad mecánica. Este tipo de antena se usa por ejemplo para repetidoras de teléfonos celulares. Siguiendo con el ejemplo anterior de 6 antenas isotrópicas, intenta hacer estos 2 casos: (c) 0 = #, d = #; (d) 0 = 0, d = # /4;

0 = ! , d = &

0 = 0, d = & /4

Observe que mientras más cerca están los elementos (d pequeño), menos lóbulos laterales aparecen. Así que podemos controlar el número de lóbulos laterales que aparecerán en el patrón por medio del espaciamiento entre los elementos.

73

ARREGLOS DE ANTENAS

6.5.2 Arreglos "Broadside" y Endfire" Los arreglos también se clasifican en; • "Broadside", (0 = 0) Sus máximos están en ø = 0. Se llama así porque su patrón es ancho. 0°

-90°

90°

Figura 6.8 Arreglo tipo "broadside"

• "Endfire", (0 = 4d) Sus máximos están en ø = 90° y -90°. Su patrón es como sigue, 0°

-90°

90°

Arreglo "endfire" de cinco antenas

180°

Figura 6.9 Arreglo Tipo “Endfire” de 5 antenas

74

ARREGLOS DE ANTENAS

6.6 ARREGLOS LINEALES NO UNIFORMES Hasta ahora vimos arreglos de antenas alimentadas por una corriente, cuya amplitud era igual (uniforme) para todas las antenas, pero la fase aumentaba gradualmente ( + n = n 0 ). Ahora, dejaremos la fase intacta (0 = 0). Pero las amplitudes serán distintas en cada fuente de corriente de cada antena. Estos arreglos se llaman "arreglos de amplitud no uniforme. Estudiaremos dos casos, • Binomial • Dolph- Tschebyscheff En cada uno de estos casos las amplitudes variarán según los coeficientes de la serie binomial y según los coeficientes de los polinomios de Tschebyscheff, respectivamente. Como sólo trataremos el caso en que la fase es cero, los arreglos serán tipo "broadside". En comparación con el arreglo lineal uniforme (con 0 = 0), los arreglos no-uniformes tienen menor directividad, o sea mayor "beamwidth", para un N dado. Sin embargo ambos proveen menores lóbulos laterales. Por ejemplo para N =5; |AF|

|AF| |AF|

Uniforme

Binomial

Dolph-Tchbyscheff

Figura 6.10 Factor de Arreglo para distintos tipos de iluminación: Uniforme, Binomial y D-T

Las amplitudes necesarias serían; 1 1 1 1 1

1 4 6 4 1

75

1 1.6 1.9 1.6 1

D

=

1.77

N

HPBW ( d

=

" / 2)

.75

1.06

=

L / "

ARREGLOS DE ANTENAS N ! 1

6.7 BINOMIAL Los coeficientes del arreglo binomial se determinan de la serie binomial o triángulo de Pascal , en el cual cualquier número de adentro es igual a la suma de los dos números adyacentes de arriba n 1 1 2 1 1 3 1 2 1 4 1 3 3 1 5 1 4 6 4 1 6 1 5 10 10 5 1 Esta distribución de amplitudes resulta en un patrón sin "sidelobes", pero es físicamente difícil de implementar debido a que la razón entre las amplitudes de los elementos en el centro y los extremos es muy alta. Esto la hace bien ineficiente. La directividad y ancho de rayo de estos arreglos están dadas por las ecuaciones mostradas en el recuadro.

6.8 DOLPH-TSCHEBYSCHEFF En este arreglo, desarrollado por C.L. Dolph en 1946, tenemos la libertad de escoger el nivel de los lóbulos laterales con respecto al "mainlobe", y de ahí resultará un ancho de rayo o haz ("beamwidth"). Mientras más bajos los lóbulos laterales, más ancho será el ancho de rayo. Hay que hacer un compromiso. La amplitud de las corrientes alimentando cada elemento (antena) está dada según los coeficientes de los polinomios de Tschebyscheff. A continuación consideramos dos casos, cuando el arreglo tiene un número par o impar de antenas.

76

= ARREGLOS DE ANTENAS

d /2 sin! 6.8.1 Número par de elementos A3

A2

A1

A0

A0

A1

A2

En este caso, siguiendo la geometría de la figura,

A3

O=0°

r

d/2 sin0 d

| A

A

A

A

A

A

| A |

A

| d/2 |

Figura 6.11 Arreglo lineal con número par de elementos

, N e, de antenas se obtiene el patrón de campo resultante debido a un número par isotrópicas cuya distribución de amplitudes de corriente es simétrica alrededor del centro. N e "1

AF N e

=

! Ai e

ˆ#r ˆi ) j ($ i + k r

N e "1 =

0

AF N e

=

E N e

=

Aoe

! Ai e

ˆ#r ˆi jk r

0

kd ! j sin " 2

+

Aoe

3

kd j sin " 2

3

! j kd sin "

+

A1e

2

+

A1e

5

j kd sin " 2

+

A2e

5

! j kd sin " 2

+

A2e

donde cada par de términos se combina en un coseno, y se tiene, =

& '

" kd sin ! $ ) & " 3kd sin ! $ ) & " 5kd sin ! $ ) + A 2cos + A 2cos # 2 % +* 1 (' # % +* 2 (' # % +* +... 2 2

Ao ( 2cos

De manera que, E N

e

=

" ! $ "3 $ "5 $ " N e & 1 $ ! + 2 A2 cos ! +... +2 A N cos ! + 2 A cos 1 # 2% #2 % #2 % # 2 %

2 Ao cos

lo cual se puede escribir en forma de serie, N

E N

e

=

!

2

# 2i + 1 % $ 2 " &

Ai cos

Ecuación 6.6

i =0

donde, hemos definido, ! N

=

kd sin " N e

=

2

#1

77

j kd sin " 2

+. ..

ARREGLOS DE ANTENAS

!=0 ! = 690

5

!

o

6.8.2 Número impar de elementos

! =90

5

Ahora consideramos un arreglo lineal con un número impar de elementos, N o. De nuevo, la distribución de amplitudes es simétrica con el centro y, en este caso, la del centro es 2Ao. O=0° r

0

0=-90°

d

| A

A

A

2A

A

0=90°

|

A

A

Figura 6.12 Arreglo lineal con número impar de elementos

En este caso, el campo total en un punto r desde el centro es, E N o

=

j ( 0 )

2 Ao e

+

jkd sin !

A1e

+

A1e

" jkd sin !

+

A2e

j 2 kd sin !

+

A2e

" j 2 kd sin !

+. ..

lo cual se puede rescribir de forma, E N

=

o

2 Ao

+

2 A1 cos ! + 2 A2 cos2! +.. . +2 A N cos

# N o " 1 % $ 2 ! &

y, expresado en forma de serie, sería, N

E N

=

o

!

2

i

=

# $

Ai cos 2i

" % 2

Ecuación 6.7

&

0

donde, ! N

=

kd sin " N o

=

Ecuación 6.8

#1

2

Se observa que tanto la ecuación (6) como la (7) son series de forma,

"

cos m

m= 0

! 2

=

" m

=

cos mu

0

donde, u

=

Ecuación 6.9

! / 2

78

ARREGLOS DE ANTENAS

Tomando cada coeficiente a la vez, y utilizando la siguiente identidad, cos mu

jmu

=

Re

e

=

Re

(e )

ju m

=

(

Re cos u + j sin u

)m

se puede demostrar que, m=0 cos mu = 1 m=1 cos mu = cos u m=2 cos mu = cos 2u = 2 cos2 u -1 m=3 cos mu = cos 3u = 4 cos3 u -3 cos u m=4 cos mu = cos 4u = 8 cos4 u -8 cos2 u + 1 m=5 cos mu = cos 5u = 16 cos5 u -20 cos3 u + 5 cos u Las ecuaciones anteriores se pueden rescribir como, m=0 cos mu = 1 m=1 cos mu = x m=2 cos mu = 2 x2 -1 m=3 cos mu = 4 x3 -3 x m=4 cos mu = 8 x4 -8 x2 + 1 m=5 cos mu = 16 x5 -20 x3 +5 x m=6 cos 6 u = 32 x6 -48 x4 + 18 x2 - 1 las cuales resultan ser los polinomios de Tschebyscheff de orden m, T m(x), cuya fórmula para recurrir es, T m (cos u)

ó

( )

T m x

=

=

cos( mu)

2 xT m! 1( x ) ! T m! 2 ( x )

6.8.3 Polinomios de Tschebyscheff Los polinomios se pueden igualmente describir mediante las siguientes dos ecuaciones. cos( m cos! 1( x )) ........ ... para x 1 T m ( x ) =

<

( ) cosh(m cosh !1 ( x )) ....... para

T m x

=

x

>

1

Los primeros polinomios de Tschebyscheff se grafican en la siguiente figura, 79

ARREGLOS DE ANTENAS

Figura 6.13 Polinomios de Tschebyscheff

Note que todas pasan por el origen y por la coordenada (1,1). Examinando por encima las gráficas, notamos que T(x) está limitado a valores entre -1 y 1, para valores de x entre -1 y +1. En general, si tenemos N elementos (par o impar), necesitaremos un polinomio de T m(x) de orden m = N-1. El patrón será proporcional a la magnitud del campo, por lo tanto necesitamos ver cómo lucen los trazos de la magnitud de T(x). De la siguiente figura, es evidente que los "sidelobes" se obtienen mayormente de los valores de ! correspondientes a |x|< 1. Observe que siempre hay m-1 lomas en el intervalo de |x|<1.

Figura 6.14 Trazos de la Magnitud de los primeros 3 polinomios de Tschebyscheff

80

ARREGLOS DE ANTENAS

6.8.4 Pasos para el diseño de un Arreglo Dolph- Tschebyscheff (Dado R, d , y el número de antenas, N ) 1. Seleccionar (6) o (7) de acuerdo a si es par o impar. Se usará el polinomio T m(x) donde m= N-1 es el orden. 2. Expandir E N y sustituir cada cos(mu) por su serie de expansión apropiada. Ej : cos 4u = 8cos4 u ! 8cos2 u + 1 3. Hallar el punto xo donde T N-1(xo ) = R. Donde R es la proporción del nivel del lóbulo principal con respecto al nivel de los lóbulos menores en el patrón de campo. En una gráfica normalizada (por ejemplo, vea la figura inferior), el "mainlobe" tiene nivel de 0 dB y los menores tienen nivel de SLL = - 7 dB. (SLL = "side lobe level"). Cambiando a escala lineal, el R se halla de, 20 log R

=

!

Por ejemplo, si se requieren lóbulos de -20 dB, R sería igual a 10, equivale a decir que el lóbulo principal será 10 veces mayor al lóbulo lateral. |T4 (x)| -R

1

-1

0

1x

x °

Figura 6.15 Trazo de la Magnitud de T 4(x)

4. Sustituir cos( ! / 2 )

x

Ecuación 6.10

=

x

o

y agrupar todos los términos del mismo orden en x. Ej.; x 7 ( ) + x 5 ( )+. .. 5. Igualar E Ne o E No al polinomio de orden T Ne-1 o T No-1 , respectivamente, e igualar los coeficientes para así hallar Ao , A1 , A2, etc.

81

ARREGLOS DE ANTENAS

Para trazar el patrón, (e.g. |E 7 |=|T 6 (x)| ) es conveniente combinar las ecuaciones (8), (9), y (10) para obtener una expresión que relaciona x con el ángulo de elevación. x

=

" kd sin ! $ # 2 %

Ecuación 6.11

xo cos

Se utiliza un método gráfico en el cual se traza la magnitud del polinomio de Tschebyscheff y luego se determina la región visible de éste, la cual depende de xo y d en la ecuación (11). ________________________________________________________________ Ejemplo: Diseñe un arreglo lineal en "broadside" de 8 elementos isotrópicos espaciados a medio largo de onda con un SLL de 26 dB bajo el máximo. Halla la distribución de amplitudes necesarias. Trace su patrón. Solución: A3 = 1.266965, A2 = 2.069007, A1 = 3.03436, A0 = 3.52407 La directividad de un arreglo Dolph-Tschebyscheff tipo “broadside” se halla de 2

2 Ro

Do = 1+

( R

2

o

- 1) f

&2 f = 1 + 0.636% $ Ro

/

Nd

cosh

, *+

(cosh - R )

2

1

o

# - . 2 )' " (!

2

Donde f es el factor de ensanchamiento de haz o “beam broadening factor”. directividad está relacionada al ancho de rayo por la siguiente ecuación. Do

101.5 =

! d

La

donde 8d es el ancho de rayo de 3 dB en grados.

La distancia de espaciamiento entre los elementos afecta la directividad del AF resultante. Si están muy pegadas la directividad baja. Si están demasiado separadas, surgen lóbulos “grating” los cuales son indeseables pues son del mismo tamaño que el lóbulo principal pero en otra dirección. La distancia máxima que se puede usar sin crear “grating lobes:” se halla de la ecuación (11). Se halla igualando x = -1 para llegar en la gráfica de T(x) justo al borde donde su magnitud es igual o menor a los otros lóbulos laterales. & ' 1 # ) ) ' & ' 1 # d ( cos ' $$ !! cos $ $ x !! x * 180 % " % " 1

1

=

max

o

82

o

o

ARREGLOS DE ANTENAS

6.9 ARREGLOS PLANOS Para mejorar la directividad y otras características del arreglo plano se puede construir un arreglo lineal donde cada elemento consiste de otro arreglo lineal. Este es el principio de un arreglo plano. Esto permite hacer rastreo a cualquier ángulo ! ," , no sólo a ángulos ! como es el caso del arreglo lineal. En el caso de un arreglo M x N con corrientes uniformes, el factor de arreglo es M

AF = I o ! e

j ( m"1)( kd x sin % cos $ + # x )

m=1

N

!e

j ( n"1)( kd y sin % sin $ + # y )

n=1

El cual en forma normalizada el AF de un arreglo plano uniforme se expresa

& , M ) # & , N ) # $ 1 sin* 2 - x ' ! $ 1 sin* 2 - y ' ! + ( !$ + (! AF n (/ , . ) $ , - y ) ! $ M sin,* - x )' ! $ N ** '' ! sin $ $% + 2 ( !" % + 2 ( " =

donde

$ x

=

kd x

sin # cos " + !

$ y

=

kd y

sin # sin " + !

x

y

De las ecuaciones anteriores se puede determinar la fases incrementales necesarias, 3 x , 3 y , para que el lóbulo principal apunte a la dirección ( !o , " o), las cuales resueltas simultáneamente quedan como tan )

o

' y d x =

' x d y

2

sin

( o

=

& ' $ x $ kd % x

# ! ! "

2 +

& ' $ y $ kd % y

# ! ! "

2

La directividad resultante para un arreglo plano casi “broadside” es de Do

=

D x D y

! cos

83

ARREGLOS DE ANTENAS

”Phased array system for air defense radar. SPY-1D is a computer-controlled air, surface three-dimensional radar that can see up to 256nm. It also provides two-way communication link for midcourse flight control of standard missiles. (www.milius.navy.mil)

www.comsat-history.com

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ARREGLOS DE ANTENAS

www.kyes.com EJERCICIOS: 1. (a) Determine la distribución Dolph-Tchebyscheff "broadside" de las amplitudes de un arreglo de 3 antenas isotrópicas si el nivel de los lóbulos laterales debe ser de 40dB por debajo del principal. (b) Trace el patrón. (c) Calcule el HPBW del AF. (d) Trace el patrón resultante si usamos antenas dipolares horizontales de media onda en lugar de isotrópicas. (i.e. multiplique los patrones gráficamente) (e) Verifique todo usando el programa Nec Win. Use la distancia óptima entre antenas. 2. Demuestre que para un arreglo uniforme lineal "broadside" de N antenas isotrópicas, la distancia máxima entre antenas para evitar que haya más de un lóbulo principal debe ser: ( N " 1)! d #

N

3. Un arreglo de 5 elementos con SLL= -20 dB , d = # / 2. Halla (a) los coeficientes de distribución Dolph-Tchebyscheff. (b) HPBW Respuesta: xo = 1.2933, Coeficientes (normalizados) A2 = 0.518, A1 = 0.833, 2 A0 = 1.0, HPBW = 23.7°. Patrón tiene 3 lóbulos menores entre 0° y 180°. (sin normalizar: A2 1.3988, A1 = 2.25, 2 A0 = 2.70245) 4. Halle número mínimo de antenas isotrópicas para un arreglo DolphTschebyscheff. El nivel de los lóbulos laterales debe ser 9-10dB y el HPBW 930°. El espaciamiento entre los elementos debe ser optimizado de forma que se obtenga máxima directividad para un número dado de antenas, pero ningún "grating lobe" entre -90 y 90 grados. La frecuencia de operación es de10GHz

85

7

CAPITULO 7 Ns ANTENA ESPIRAL o Hélice

La antena espiral o hélice (en inglés, "helix") tiene varias aplicaciones, como por ejemplo, en la telemetría (transmisión y recepción automática de información) de satélites ! y en cápsulas espaciales, entre otros. Esta consiste en un alambre enrollado espiralmente alimentado por la base (ver figura). La antena hélice fue inventada por J. D. Kraus. D

Ground Plane: diameter>3#/4

s

Coaxial feed

Figura 7.1 Antena hélice o espiral

donde, S = espaciamiento entre las vueltas N = número de vueltas 0 = ángulo de salida ("pitch angle") C = circunferencia de cada vuelta = ' D D = diámetro Si estiramos una de las vueltas, podemos formar un triángulo,

….Dipolo pequeño de largo S ANTENA ESPIRAL o Hélice ….Lazo pequeño del radio D /2

" L S

L = s

C= D

2

+ C

2

Ecuación 7.1

Figura 7.2 Detalle del alambre cerca de la alimentación

Existen dos modos de operación que dependen del tamaño del espiral (de su circunferencia versus largo de onda). • Normal • Axial

7.1 MODO NORMAL Su patrón parece el de un dipolo ( NL<< & ), donde NL es el largo total del alambre.

Figura 7.3 Antena hélice - Modo Normal (perpendicular) de Operación j " kI oSe E ! = 4# r

- r

2

E $ =

sin ! (dipolo) 2

" k ( D / 2 ) I o e

4r

- jkr

sin ! (lazo)

(i) Si |E ! | = |E " | tenemos polarización circular. (ii) En general la polarización será elíptica.

87

ANTENA ESPIRAL o Hélice

(iii) Tiene un ancho de banda angosto debido a la dependencia en sus dimensiones geométricas. Alimentada con un cable coaxial.

7.2 MODO AXIAL Plato reflector de Su diámetro #/2 ó 3#/4.

patrón es más dirigido. Aquí es que se encuentran la mayoría de las aplicaciones para la antena hélice. Para obtener polarización circular en el lóbulo principal, la circunferencia de las vueltas debe ser de tamaño, 3/4 # < C < 4/3 #

Antena espiral o hélice

Modo Axial

Figura 7.4 Antena Hélice - Modo Axial

Los dimensiones que rinden patrón óptimo son; C = # S % # /4 (valores típicos son 12° < 0 < 18°) 0 = 14° El patrón de campo normalizado para este modo de operación es similar al de un arreglo de N lazos;

E

=

& , N ) # $ sin * 2 - ' ! / (! [cos. ]$ + sin 2 N $ sin ,* - )' ! $% + 2 ( !"

donde, en este caso, 88

Ecuación 7.2


& S (1 $ cos % ) + 1 ( ' # 2 N )

! = 2"

Ventaja: Tiene mayor ancho de banda. El patrón es más dirigido. Se encuentra que a mayor número de vueltas, se obtiene mayor ganancia. La impedancia de entrada de la espiral en este modo es casi toda real. (Valores típicos entre 100 y 200 %). A continuación se presentan unas fórmulas empíricas, R

!

140

C

12

"

3

3/ 2

52 "

o

HPBW

!

C

NS

para

2

Do

15 NC S !

4

o

! # ! 18

" < C " <

o

4

"

3

N > 3

3

"

Ecuación 7.3

Para aparear la R, se puede aplastar el alambre a medida que se acerca al plano a tierra y se separa de este mediante un material dieléctrico._______________________________ Ejemplo: Diseñe una antena espiral con 5 vueltas que opere en el modo axial a 300 MHz y tenga polarización circular en el lóbulo principal. Halle: a) b) c) d) e)

circunferencia cerca de la óptima espaciamiento impedancia de entrada HPBW Directividad

Problema: 1. Diseñe una antena hélice con HPBW960° y directividad :16dB. La antena deberá estar apareada en impedancia con una línea coaxial de 120 %. Determine el número de vueltas requerido, N, la circunferencia de cada vuelta, C, el ángulo de salida ("pitch angle"), 0 y el espaciamiento entre ellas, S, para operarla a f =300 MHz. 2. See example at http://helix.remco.tk/ 3. and http://www.qsl.net/pa0hoo/helix_wfi/index_eng.htm 4. See http://www.professionalwireless.com/helical/index.htm 10.26 (Balanis) Design an end-fire right-hand circularly polarized helix having a half power beamwidth of 45o , pitch angle of 13o , and a circumference of 60 cm at a frequency of 500 MHz. Determine a. turns needed b. directivity c. axial ration 89


d. lower and upper frequencies of the bandwidth over which the required parameters remain relatively constant e. input impedance at the center frequency and the edges of the band from part d) Answer : N =6, D=20.8 (13 dB), AR = 1.083, 375-667MHz, 140, 105, 187 ohm 10.27 Design a helical antenna with a directivity of 15 dB that is operating in the axial mode and whose polarization is nearly circular. The spacing between the runs is # / 10. Determine the a. number of turns b. axial ratio, both as a dimensionless quantity and in dB c. Directivity according to Krauss equation (in DB) Answer : N =21, AR =1.02, HPBW= 36.8o D= 14.5dB or 15dB 10.28 Design a 10 turn helical antenna so that at the center frequency of 10 GHz, the circumference of each turn is 0.95#. Assuming a pitch angle of 14o, determine the a. mode in which the antenna operates b. half-power beamwidth (degrees) c. directivity in dB. Answer : Axial mode, HPBW=36o , D=15dB 10.29 A lossless 10-turn helical antenna with a circumference of one-wavelength is connected to a 78-ohm coaxial line, and it is used as a transmitting antenna in a 500 MHz spacecraft communication system. The spacing between turns is # / 10. The power in the coaxial line from the transmitter is 5 watts. Assuming the antenna is lossless: a. what is radiated power? b. If the antenna were isotropic, what would the power density (W/m2) be at a distance of 10 km? c. What is the power density at the same distance when the transmitting antenna is a the 10-turn helix and the observation are made along the maximum of the major lobe? d. If at 10km along the maximum of the major lobe an identical 10-turn helix was placed as a receiving antenna, which was polarization-matched to the incoming wave, what is the maximum power (in watts) that can be received? Answer : R= 140 ohm, P rad =4.595W, S iso=3.656nW/m2, D=15, Shelix =54.8nW/m2, Ae=0.6m2, P rec=26.6nW

10.26 N =21, AR =1.02, HPBW= 36.8o D= 14.5dB or 15dB, 10.27 Axial mode, HPBW=36o , D=15dB 10.28 R= 140 ohm, P rad =4.595W, S iso=3.656nW/m2, D=15, S helix =54.8nW/m2, P rec=23.6nW

90

8

CAPITULO 8 ANTENAS REFLECTORAS

Parabólicas

Esféricas

Foco Onda plana

Figura 8.1 Comparación entre antenas de reflector parabólico y esférico

Es ideal para enfocar todo en un punto pues Las ondas viajan distintas distancias. En recorren iguales distancias (usando caso de una antena receptora, cuando aproximación de rayos- óptica geométrica, entran, no convergen en un punto focal Ley de Snell) Esto dificulta el rastreo angular

Si transmite, no produce una onda plana (aberración esférica)

Posibilidades; Se puede mover el "feed". Es ideal para • rotando la estructura (viable si no es muy rastreo a grandes ángulos debido a su pesada) configuración de geometría simétrica • mover la antena alimentadora perfecta. no se puede ya que produce astigmatismo (visión borrosa debido a que la córnea no es esférica) Tiene punto focal. Tiene foco de línea.

ANTENAS REFLECTORAS

Parabolic

Reflector Antennas

Spherical

!

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -6

-4

-2

0

2

4

6

Parabólica y x 2 / 4 f =

Esférica y f ! f ! x =

2

2

8.1 PARÁBOLA

La antena paraboloidal (comúnmente conocida como parabólica) consiste en un reflector (plato) y una antena alimentadora (feed). El plato se forma rotando la ecuación de la parábola alrededor de un mismo eje.

R

d

f

0

d

F f

1 =

4

& ' o # ! %2"

cot$

(foco)

reflector

Figura 8.2 Diagrama mostrando parámetros de la antena parabólica 92

f/d 0.25

2 o ANTENAS REFLECTORAS 180° °

La proporción entre la distancia al punto focal, f y 0.35 el diámetro140 del plato, d , determina el 0.50 106° ángulo de abertura. 0.75

74°

1.00

56°

Figura 8.3 Detalle del ángulo de abertura

El ángulo de abertura, 2! o , disminuye a medida que la razón f/d aumenta. El patrón de campo normalizado de cualquier abertura circular está dado por;

E (! )

2" =

# d

) # d & sin ! $ ( " %

J 1 '

sin !

Se puede observar que la variación del patrón es de forma J 1(x)/x.

Figura 8.4 Gráfica de J 1(x) /x

93

Ecuación 8.1

ANTENAS REFLECTORAS

De la gráfica se puede observar que el valor máximo es 0.5 y este ocurre en x=0. El ángulo de media potencia, ø1/2, se halla donde la gráfica a disminuido en un 70% (ya que es un trazo de campo y no de potencia). Esto ocurre cuando

( )

J 1 x x

.5

=

2

Ecuación 8.2

= 0.35

Evaluación de la función para valores pequeños de x. x

x

J(x)/x

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.50000 0.49938 0.49750 0.49440 0.49007 0.48454 0.47783 0.46999 0.46105 0.45105 0.44005

J(x)/x

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1

0.42809 0.41524 0.40156 0.38710 0.37196 0.35618 0.33986 0.32306 0.30587 0.28836 0.27061

El valor de x correspondiente a este punto, x1/2, es de 1.6 (de la tabla anterior). Es decir, x1 / 2

# d =

sin

"

(! ) 1/ 2

=

1.6

Y el ángulo correspondiente es entonces, # 1 / 2

=

sin

$1

(1.6! / " d )

=

sin

$1

(0.5! / d )

Para platos con diámetro d grande, ø1/2 es pequeño y se puede usar la aproximación, " 1 / 2

#

0.5

! d

[rad ]

29 =

o

!

d

Entonces, el ancho de ángulo de media potencia es, HPBW

=

2" 1 / 2

=

58

o

! / d

La directividad de una antena reflectora circular se calcula presumiendo que la abertura efectiva máxima es igual al área física seccional del plato. D

4" / ! A p

(" d / ! )

2

2

=

=

94

*Alimentador mirandoANTENAS hacia REFLECTORAS abajo puede recibir Ecuación 8.3 emisiones de la Tierra.

La diferencia entre la directividad y la ganancia de la antena es tomada en cuenta dentro del factor de eficiencia de abertura, % AP . Se utiliza la eficiencia de la abertura para tomar en cuenta factores como; pérdidas óhmicas, "amplitude taper", bloqueo, error en la superficie del plato, astigmatismo, "squint" (la antena alimentadora está exactamente en el foco), y otros. G = % AP D La ganancia también se puede aproximar si conocemos el ancho de haz (HPBW) en ambos planos del patrón. G

26,000 !

o

Ecuación 8.4

o

HPBW E HPBW H

8.2 DERRAME (“SPILLOVER”) Si el HPBW de la antena alimentadora es mayor que el ángulo de abertura, una parte de la radiación que emite no intercepta al reflector. Este derrame ("spillover") causa disminución en la ganancia ya que esta potencia se pierde, no llega al lóbulo principal.

derrame

Plato reflector

Antena alimentadora

derrame Pérdida de potenc ia debido a derrame. Figuras 8.5 Diagrama mostrando el derrame de señal que puede ocurrir en antena reflectora

95

ANTENAS REFLECTORAS

Este es un problema que se debe tomar en cuenta al escoger una antena alimentadora apropiada para un sistema reflector.

8.3 ANTENA ALIMENTADORA Para un ángulo de abertura, ! 0, dado, existe un patrón óptimo de la antena alimentadora que rinde ganancia máxima. Como, usualmente, la ganancia de la antena alimentadora es mayor para el centro del plato que para los extremos, se observa que la amplitud del campo va decreciendo gradualmente según se aleja del "main lobe" del "feed". A esto se le conoce como "amplitude taper".

Reflector

Reflector Patrón primario

Patrón del feed ideal, ilumina uniformemente el reflector

"feed"

"feed"

"Amplitude taper"

El plato se ilumina uniformemente.

Figura 8.6 Problemas comunes con antenas que usan platos reflectores

Existen distintos tipos de alimentadoras ("feeds") de acuerdo a la frecuencia y a la polarización a usarse.

LP

CP

CP

Frequencias bajas (VHF, UHF) Figura 8.7 Distintos tipos de antenas alimentadoras

96

ANTENAS REFLECTORAS

Línea de Transmisión

CP, LP, EP

LP

Antenas alimentadoras para f requencias altas (micro ondas, on das milimétricas) Figura 8.8 Antenas alimentadoras para frecuencias altas (microondas, ondas milimétricas).

Si la antena se va a rotar, como por ejemplo para aplicaciones de seguimiento del blanco ("target tracking"), el alimentador debe ser liviano y estar atado al reflector.

8.4 CASSEGRAIN FEED La línea de transmisión alimentadora (la que provee potencia a la alimentadora) a veces puede ser bastante larga. En un sistema receptor de bajo-ruido, este largo en la línea introduce ruido no deseado que se puede confundir con señales recibidas muy pequeñas. En este caso se puede usar el alimentador Cassegrain. Este consiste en colocar la antena alimentadora en un pequeño agujero en el centro del reflector en vez del punto focal, apuntando a un subreflector de forma hiperbólica. De esta manera los "rayos" reflejados de éste parecen originarse del foco de la parábola.

Parábola Reflector Hiperbólico

Anten a Cassegrain Figura 8.9 Antena Cassegrain 97

ANTENAS REFLECTORAS

Ventajas: • No tiene líneas largas • La antena transmisora y receptora están más accesibles para reparaciones y pueden ser pesadas. • En sistemas de recepción en Tierra, el "feed" apunta al cielo el cual es una fuente de bajo ruido. Esto reduce la interferencia. Desventajas: • El subreflector bloquea parte de la radiación del alimentador.

8.5 BLOQUEO Tanto el subreflector del Cassegrain, como las estructuras de soporte del alimentador producen bloqueo. Si la antena está recibiendo, es fácil de visualizar que habrá una reducción en la abertura efectiva de la antena. Lo mismo ocurre en la transmisión. Además, si la antena transmite, habrá ondas que choquen y viajen en dirección contraria causando onda estacionaria (que tendría que ser corregida con circuitos de apareamiento) y degradación en el transmisor. Vista superior

Cassegrain

Alimentadora en el foco

Figura 8.10 Efectos del bloqueo

Una solución a este problema ha sido la antena reflectora con alimentador desplazado ("offset-feed reflector antenna"). Esta consiste en utilizar una sección de la parábola con una alimentadora desplazada de manera que no ocurra bloqueo en el patrón de irradiación.

98

ANTENAS REFLECTORAS

Ventajas: “No feedhorn blockage. Low inclination angle (no rain or snow collection) Feed looks at sky (no Earth signal contamination)”

Figura 8.11 Alimentadora Desplazada (“Offset feed”)

Desventajas: • Difícil de rotar • habrá mayor componente de polarización transversal ("cross-polarization") • Difícil hallar una alimentadora con patrón normalizado a su superficie.

8.6 GREGORIANO Es un sistema de doble reflector parecido al Cassegrain, pero el reflector secundario se coloca cóncavo en vez de convexo, similar a los telescopios Gregorianos. Ahora el foco se encuentra entre los dos reflectores. El Observatorio de Arecibo utiliza una alimentadora tipo Gregoriano pero desplazado (Offset-Gregorian), o sea que en total tiene tres reflectores; el primario, de 305 metros, y el secundario y terciario junto con un "horn" sirviendo de antena alimentadora.

99

ANTENAS REFLECTORAS

Figura 8.12 Reflectores del Observatorio de Arecibo. Observe que los rayos del reflector primario salen paralelos.

Las formas de los Gregorianos fueron sintetizadas para corregir la aberración esférica del primario.

Figura 8.13 Detalle de los platos secundario y terciario del Observatorio de Arecibo.

8.7 OTROS TIPOS DE REFFLECTORES

"line feed"

Cilindr o Parabó lico "Parabolic Tor us"

100

ANTENAS REFLECTORAS

Figura 8.14 Otros tipos de reflectores

8.8 "CROSS-POLARIZATION" Ocurre cuando el reflector altera la polarización que llega del "feed" de manera que introduce o aumenta el componente de polarización transversal que se supone sea cero. Para la mayoría de las aplicaciones, se desea que la "cross-polarization" del sistema sea bajo. Un ejemplo de aplicación son los satélites localizados en la órbita estacionaria, la cual se encuentra a 36,000 kilómetros sobre el ecuador. En esta orbita sólo cabe un número limitado de satélites, actualmente con separación de 20 entre ellos. Para la óptima utilización de esta órbita se necesitan antenas de lóbulos laterales bien bajos (=-35dB) y también "x-pol levels" bajos (=-35dB) para evitar interferencias. [NASA Jason-1 Satellite to study the topography of the ocean using a microwave altimeter and radiometers to correct for the water vapor path delay.]

EJERCICIOS: 1. (a) Una antena de la telefónica consiste en una alimentadora con patrón de potencia de cos6! con un reflector paraboloide. Determine el "half power beamwidth", HPBW, de la alimentadora.(en grados) (b) Se requiere una ganancia de 50 dB a 12 GHz. Para minimizar los efectos de derrame ("spillover") y de iluminación se escogió un ángulo de apertura de 2 !o=90°. Halle el diámetro y la distancia focal requerida para lograr este propósito. La eficiencia de apertura de la antena a este ángulo es de 0.83.

101

CAPITULO 9 ANTENAS DE ABERTURA

9

9.1 INTRODUCCION Anteriormente analizamos la antena de dipolo a base de la distribución de corriente en el alambre y vimos que el campo en el "far field" era proporcional a la transformada de Fourier del "near field". De la Sec.3.4, l /2

A z =

µ

4 ! r

e

" jkr

$

I (z' )e

+ jkz' cos#

dz'

"l / 2

donde I (!) se definió como la transformada de Fourier, o sea, l /2

!(" ) =

$ I (z' )e

+ jkz 'cos"

dz'

# l / 2

En este capítulo estudiaremos el tipo de antenas conocido como de abertura. Se demuestra que el patrón en el "far field" de una abertura es proporcional en este caso a la transformada de Fourier del campo en la abertura. En este tipo de antena, el tamaño de la abertura ( LxW ) tiene que ser varias veces el largo de onda para lograr una ganancia alta. Por esta razón, son utilizadas para largos de onda pequeños, (altas frecuencias) como las microondas.

9.2 METODO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Si la transformada de w(x) es W(k x ), entonces; W (k x )

"

!

=

#"

w( x)e

jk x x

dx

y

w( x)

1 =

2

"

#

$ ! "

W (k x )e

! jk x x

dk x Ecuación 9.1

donde k x es semejante a la variable de tiempo t , y x es semejante a la frecuencia. Para una función de dos variables, u(x,y), el par de Fourier se define como sigue;

A N T E N A S D E A B E R T U R A

" "

(

)

jk x x + jk y y

U k x , k y = # # u ( x, y )e

y

dx dy

u ( x, y )

! " !"

"

1 =

2

4$

"

! ! #"

#"

U (k x , k y )e

# jk x x # jk y y

dk x dk y

Ecuación 9.2

9.2.1 Propiedades de Fourier Utilizaremos la siguiente propiedad de la transformada de Fourier; ds (t )

j# F t s (t ) dt "u ( x, y ) ! jk x F F x x u ( x, y ) " x F t

=

=

F x

F yx

"u

2

( x, y )

" x "u

2

=

2

(! jk x )2 F x u ( x, y )

( x, y )

" x

=

2

2

! k x F yx u ( x, y )

Ecuación 9.3

O sea la derivada con respecto a tiempo de una función es igual a j) veces la transformada de Fourier de la función. Aplicando esto a la ecuación de ondas a una distancia de la antena de apertura 2

2

" E + k o E "!E

=

=

0

0

Las cuales se expanden en & '2 '2 '2 # $$ 2 + 2 + 2 !!E + k o2 E = 0 ' y ' z " % ' x & ' E x ( x, y, z ) ' E y ( x, y, z ) ' E z ( x, y, z ) # 2 $$ !! + k o E = 0 + + x y z ' ' ' % " Ecuación 9.4

Obteniendo las transformadas de Fourier de las dos ecuaciones de arriba, queda '2 2 2 2 E( k x , k y , z ) + ( k o ( k x ( k y )E( k x , k y , z ) = 0 2 ' z ' E (k , k , z ) # & $$ k x E x (k x , k y , z ) + k y E y (k x , k y , z ) + j z x y !! = 0 ' z % "

103

Ecuación 9.5


donde E(k x , k y ,z) es una la transformada de Fourier de E( x,y,z) en x y y (son dos funciones completamente distintas). Entonces si definimos k z k o ! k x ! k y 2

2

=

2

2

la Ecuación 9.5 queda como 2

! E( k x , k y , z ) 2

! z

+

k z 2E(k x , k y , z ) = 0

cuya solución tiene forma de e ! jk z , de manera que E(k x , k y , z ) f (k x , k y )e! jk z Substituyendo esto en la Ecuación 9.5 b) obtenemos k x f x + k y f y + k z f z = 0 ó k ! f z

z

=

=

0

Usando la transformada de Fourier inversa, la solución para el campo eléctrico sería E( x, y , z )

"

1 =

2

4%

"

! ! #"

#"

f (k x , k y )e

# jk $r

dk x dk y Ecuación 9.6

Si dejamos que z=0, nuestra solución para el campo eléctrico debe ser igual al campo en la abertura. Entonces, E a ( x, y )

=

E tan ( x, y,0)

1

=

"

"

! #" 4$ 2 ! #"

f ( k x , k y )e

# jk x x # jk y y

dk x dk y Ecuación 9.7

Esto se conoce como la transformada de Fourier de dos-dimensiones, y de la Ecuación 9.2a,

!! E ( x, y)e

f t (k x , k y )

=

jk x x + jk y y

a

dxdy

S a

Ecuación 9.8

Se puede demostrar que el campo en el far field está dado por E( r )

%

jk o cos " 2# r

e

$

jk o r

f t

(k o a cos" cos ! , k o b sin " sin ! ) Ecuación 9.9

9.3 RADIACION DE UNA ABERTURA RECTANGULAR Una abertura rectangular de dimensiones 2a a lo largo de el eje de x, y 2b a lo largo de y localizada en el origen ( z=0) con campo uniforme en la abertura. E a ( x, y )

=

=

E o x para |x| ! a

0

|y| ! b

en el resto del espacio

104


Entonces podemos conseguir el campo en el “far field” usando los resultados de la sección anterior (Ecuación 9.8). a b

f t

=

E o x "

" e

jk x x + jk y y

dxdy

! a!b

=

4abE o x

=

4abE o x

=

4abE o x

sin k x a sin k y b

k x a sin

k y b

(k o a sin " cos ! ) sin (k ob sin " sin ! )

k o a sin " cos !

k ob sin " sin !

sin u sin v

u

v Ecuación 9.10

Entonces el campo eléctrico sería E( r )

=

jk o 4abE o 2# r

e

$ jk o r

(

)

sin u sin v ˆ ˆ cos " cos ! " sin " $ ! u v

Este campo se tiene la forma de sinx, la cual luce según muestra la figura.

Figure 9.1 Antena de abertura rectangular con iluminación uniforme y su patrón de radiación (de Collin R. E. “Antennas and Radiowave Propagation” McGraw Hill. 1985).

105


9.4 RADIACION DE UNA ABERTURA CIRCULAR En este caso hay que cambiar las coordenadas a coordenadas cilíndricas. a 2$

f t

=

E o x &

& e

jk o sin # cos(" %" ' )

! d " ' d !

0 0 2

=

2" a E o x

(

J 1 k o a sin !

)

k o a sin !

Ecuación 9.11

Siempre que tenemos geometría circular, los campos resultantes tienen forma expresable en términos de funciones Bessel en lugar de senos y cosenos.

Figure 9.2 Antena de abertura circular con iluminación uniforme y su patrón de radiación (de Collin R. E. “Antenas and Radiowave Propagation”McGraw Hill. 1985).

9.5 ANTENAS TIPO CUERNO- “HORN” Las antenas piramidales fueron inventadas a finales del siglo 1800, se estudiaron intensamente en los años 1930. Son las más usadas en microondas en radio astronomía, 106


rastreo de satélites y en comunicaciones.. Se usan también como elemento alimentador para otras antenas o reflectores. Son el estándar para medidas de ganancia de antena y para calibración de otras antenas. Los tipos principales son plano-H, plano-E, piramidal y Cónica.

Figure 9.3 Antena piramidal

Las de tipo plano-H son como una guía de onda que se ha estirado en el plano donde está el campo magnético, H. Similarmente, las de tipo plano-E son un guía de onda que se ha estirado en el plano donde está el campo eléctrico, E. Las piramidales es un guía donde se han estirado ambos lados. Y las cónicas es un guía circular expandido cónicamente.

9.5.1 Antena Plano-H Para diseñar este tipo de antenas se usan unas gráficas de diseño como las que se muestran a continuación. Su directividad se puede calcular de : D H

=

4$ U max P rad

=

4$ b # 2 a1"

{[C (u) ! C (v)]

2

+

[S (u) ! S (v)]2 }

Ecuación 9.12

donde C(u) y S(u) son las integrales de Fresnel. Una forma simplificada es: D H

b =

!

G H 50

" h / !

107

Ecuación 9.13


donde G H se halla gráficamente de las fig.13.16 &17 de Balanis, una vez calculamos A

a1 =

50

! " h / !

Figure 9.4 Antena Horn plano-H

108


9.5.2 Antena Plano-E En la figuras abajo se muestra la antena corneta plano-E. Para la misma se puede calcular su directividad a base de: D E

=

40 U max

P rad

=

'! &C 0 b / ! %

64 a . 1 1

2

+ + ,

* ( + S 2/ . ( ) b1

2

1

+ + ,

*$! (# 2/ . (! )" b1

Ecuación 9.14

1

o aproximarse a partir de: D E

a

G E

=

!

50

Ecuación 9.15

" e / !

usando B

b1 =

50

para calcular G E de una figura.

! " e / !

tan 2" e

109

b1 / 2 =

! 1


9.5.3 Antena Piramidal La antena piramidal se extiende en ambos planos. Su directividad se calcula a partir de 2

D p

D p

=

32 / #

50

=

32ab

50

D p

(' =

32ab

Ecuación 9.16

D E D H

2

G E G H

1

!"

D E D H

(

=

& D0e #& D0h # $ !$ ! 32 % a / ' "% b / ' "

Ecuación 9.17

" h / ! " e / !

El diseño óptimo de una antena piramidal se consigue con las condiciones l e

" l o

! =

4

l h

" l o

3! =

8

y

, ambos de los cuales tienen que ser iguales para que se pueda construir

físicamente.

110

CAPITULO 10 10 ANTENAS DE MICROCINTAS

10.1 ANTENAS DE PARCHO Inicialmente propuesta por G.A. Deschamps en 1953, no fueron prácticas hasta los años 1970 cuando se desarrollaron usando materiales de sustrato de bajas pérdidas.

Figura 10.1 Esquemático lateral y vista superior de una antena de microcintas tipo parcho.

Las antenas de parcho se pueden imprimir directamente en un tablero de circuitos, usando varios métodos disponibles. Se usan para frecuencias altas, incluyendo en teléfonos celulares. Son de bajo costo y fáciles de manufacturar. Las desventajas son que sólo aceptan potencia relativamente baja, tienen polarización impura y anchos de banda angostos (usualmente 1 a 5%). El ancho W de la antena controla la impedancia de entrada, usualmente se diseñan de medio largo de onda. Para un parcho rectangular alimentado como se muestra arriba, la impedancia de entrada es alrededor de 300 %. Al aumentar el ancho, la impedancia se reduce. Sin embargo, para reducirla a 50 ohmios quedaría demasiado ancho. La ganancia es entre ~ 5-7 dB

ANTENAS DE ABERTURA

Figura 10.2 Esquemático en tres dimensiones de una antena de microcintas de parcho rectangular y su patrón de irradiación.

f c

c

c

"

Ecuación 10.1

=

2 L

!

r

2 L

! !

o

r µ o

( kW sin " sin ! % # 2 ' $ cos( kL sin " cos! % cos ! & # kW sin " sin ! ' 2 $

sin& E "

=

Ecuación 10.2

2

( kW sin " sin ! % # 2 ' $ cos( kL sin " cos ! % cos" sin ! & # kW sin " sin ! ' 2 $

sin& E !

=

)

Ecuación 10.3

2

f (" , ! ) = E " 2

+

E ! 2

Ecuación 10.4

Las antenas de microcinta se pueden diseñar para tener polarización-dual (por ejemplo H,V) para ser rastreadas electrónicamente usando cambios de fase o frecuencia.

112

ANTENAS DE ABERTURA

Figura 10.3 Arreglo planal de antenas de microcinta alimentadas para transmitir dos polarizaciones.

Hay varias maneras de alimentar una antena tipo parcho, por ejemplo usando una línea coaxial o usando otra línea de microcinta.

Figura 10.4 Tipos de alimentación para antena de parcho.

10.2 PROCESO DE DISEÑO 10.2.1 Permitividad Efectiva La permitividad relativa efectiva del sustrato tiene un valor entre la permitividad del aire (1) y la del sustrato puro debido a que parte del campo se transmite a través del aire. reff =

(

( r + 1

2

& ( r ' 1# & + $% 2 !" $ %

1 + 12

h #

'1

!

W "

for W / h > 1 113

Ecuación 10.5

ANTENAS DE ABERTURA

10.2.2 Efectos de los Bordes ( Fringing Effects) Debido a que los campos se doblan cerca de los bordes. Se toman en cuenta haciendo L más largo de lo que es físicamente. Lreff = L + 2( L

# %h " ( L = 0.412h () eff ' 0.258)&$ W + 0.8 #! %h "

(

)&$ W

eff + 0.3

)

q

=

f rc 010 f r 010

donde f r

010

c

y f rc

=

2 L

!

+

0.264 !

Ecuación 10.6

c 010

=

2 Leff

r

!

reff

Según aumenta h, la q también aumenta y esto implica separaciones mayores entre los bordes que irradian y frecuencia de resonancia menores. 10.2.3 Procedimiento 1. Calcule W Ecuación 10.7

2. Calcule la permitividad efectiva r + 1

(

reff =

(

2

( +

3. Halle DL

h$ !1 ' 1 + 12 % W "# 2 &

# %h " ( L = 0.412h () eff ' 0.258)&$ W + 0.8 #! %h "

(

) eff +

4. Halle el largo real, L

!1 / 2

r

L

La impedancia característica se puede hallar de

114

)& W

0.3 $

+

c 2 f r

0.264 !

" 2! L

=

#

reff

Ecuación 10.8

Ecuación 10.9

Ecuación 10.10

ANTENAS DE ABERTURA

$ ! ! ! Z c = # ! ! ! "

60 2

eff

0 8h . W / o

ln.

+

W o -

W o

++ 4h ,

h W o

1203

*W o 2 eff ( )h

0 W o + 1.393 + .667 ln. / h

-' + 1.444 + % ,&

115

h

11

>1

Ecuación 10.11

CAPITULO 11 11 TEMPERATURA DE LA ANTENA

11.1 RUIDO TERMAL ("THERMAL NOISE") El movimiento aleatorio de electrones en un resistor R a temperatura absoluta T produce un voltaje de ruido aleatorio a través de los terminales del resistor. Si es ruido blanco ("white noise"), i.e., que es independiente de la frecuencia, entonces,

R

T

Figura 11.1 Representación del ruido termal producido por el movimiento de electrones.

P = kTDf (Nyquist) Ecuación 11.1

donde, P = potencia total de ruido, W k = constante de Boltzmann = 1.38 x 10 -23 J K -1 T = temperatura absoluta en Kelvin (K) 4 f = ancho de banda, Hz Note que la potencia de ruido depende directamente de la temperatura. Si en lugar de una resistencia, tenemos una antena sin pérdidas con resistencia de radiación, Rrad = R,

R

Figure 11.2 Dentro de una cámara anecóica a temperatura T

TEMPERATURA DE LA ANTENA

S [W/m2Hz]

R

Cielo aT

Figure 11.3 Mirando al cielo (solamente) a temperatura T

entonces también la potencia total de ruido está dada por, P = kT 4 f Ecuación 11.2

Si la antena tiene área efectiva Ae (m2), y está dirigida a una fuente de radiación (sol, estrella, etc.) que produce una densidad de potencia por ancho de banda, S [W/m2Hz], en la antena, entonces la potencia recibida por la antena será,

fuente

Ae

S[W/mHz] P

Figura 11.4 potencia radiométrica recibida por una antena

P = S Ae 4 f (W) Igualando se obtiene, 4T a = S Ae /k [K] Ecuación 11.3

donde ;T a es la temperatura incremental debido a la fuente. Se mide como la diferencia en temperatura de antena con la antena apuntando lejos de la fuente de radiación y directamente a la fuente de radiación. Hasta ahora se ha presumido que la antena está apareada en impedancia con la línea de transmisión y el recibidor, de manera que 4T a = T s. ("source temperature"). Pero si G= ) D, con ) ! 1, entonces, 117


T a =

T s + (1

Ecuación 11.4

T p

donde, T p = temperatura física de la antena T s = temperatura de la fuente en el "background" a donde mira la antena, también se conoce como la temperatura de brillo de una fuente. Una fuente puede ser una estrella, el cielo o lo que esté mirando la antena. Si la antena no tiene pérdidas y está apareada ) = 1 y la temperatura de la antena no tiene nada que ver con la temperatura física de la antena, 4T a = T s. Examinemos tres casos con ) = 1:

1- Si la antena no tiene "sidelobes" o "backlobes" y su rayo es más angosto que la fuente, 4T a = T s , todo lo que recibe la antena proviene de la fuente pues es lo único que entra en su región de observación. Fuente

Antena

Area de rayo Figura 11.5 Potencia de ruido recibida si el rayo es menor que el ángulo sólido ocupado por la fuente.

Entonces la antena y recibidor actúan como un aparato de sensor remoto pasivo (no transmite). Radiómetro- Se usa para medir las temperaturas (de brillo) de zonas cercanas o lejanas dentro del haz de la antena. Ej. La tierra: glaciares, vegetación, huracanes, nubes, nieve, océano, etc. y, el espacio: aplicaciones de radioastronomía, galaxias, cuasares, estrellas, pulsares, etc.

2- Si el "antenna beam" es más ancho que la región de la fuente, sólo parte del "antenna beam" intercepta a la fuente. Entonces, T s = $ a T a / $ s Fuente

Antena

Area de rayo 118


Figura 11.6 Potencia de ruido recibida si el rayo es mayor que el ángulo sólido ocupado por la fuente.

3- Caso general- la temperatura total de la antena no sólo es la contribución de una fuente en particular sino de varias. Tenemos que ver hacia dónde mira cada parte del patrón de la antena. Entonces la temperatura de la antena sería,

T a

=

1

!a

" 2"

# #

T s

($ , % )Pn ($ , % )d !

$ = 0 0

Ecuación 11.5

donde, d !

=

sin" d" d#

________________________________________________________________ Ejemplo: Antena reflector circular con Ae = 400 m2 y & = 25 cm, está mirando a zenith. ¿cuánto será la temperatura de la antena, T a, si la temperatura del cielo es uniforme y es de T sky = 8K y la temperatura de la tierra es de 300K? Presuma que la mitad del área del haz de los "minor lobes" está mirando hacia la tierra ("backlobe"). La eficiencia del haz = 0.75= $ M / $ a = "beam efficiency". ________________________________________________________________ T sky es la temperatura de brillo del cielo. Se debe a la reminiscencia de lo que fue la Gran Explosión (“the Big Bang”) que creó el universo. Esta temperatura varía con frecuencia debido a radiación a bajas frecuencias (< 1.0 GHz) desde nuestra galaxia, de la atmósfera dependiendo el ángulo de observación, y debido a la temperatura de ruido cuántico (a frecuencias >30GHz). Sin estas interferencias la temperatura de ruido de la gran explosión es 2.7 K.

11.2 TEMPERATURA DEL SISTEMA, TSYS Para detectar cuánto es la potencia mínima detectable por un radar o radiómetro, se necesita conocer cuánto es la potencia de ruido total producida ya sea por T sky o por la temperatura T de componentes dentro del radar (recibidor).

119

TEMPERATURA DE LA ANTENA m

RF

IF Para saber ala potencia total de ruido contribuida por el recibidor se calcula una m RF IF del sistema. LT del sistema conocida temperatura equivalente como T sys o sea temperatura

Circuito Receptor T

T

T

G

T

T

G

G

RF Amp

IF Amp Mixer

Antenna Línea de Transmisión

L.O. "Background" Figura 11.7 Sistema receptor en un radar o radiómetro

La temperatura del sistema depende de la temperatura de ruido del cielo, de la tierra y del ambiente, además del patrón de la antena (todo lo anterior es tomado en cuenta dentro de T a), y de los otros componentes del receptor. T sys

= "

T

l a +

(1 ! " l )T ap

+

(1 ! L LT )T LT

+

LT Re c Ecuación 11.6

donde, T a = temperatura de ruido de la antena T AP = temperatura física de la antena ) l = eficiencia termal de la antena T LT = temperatura física de la línea de transmisión o guía de onda L LT = pérdidas de la línea o guía de onda T Rec = temperatura de ruido del receptor La temperatura del receptor se puede hallar con, T R = T RF + T m /G RF + T IF / G RF Gm + ... Ecuación 11.7

donde, Gi = ganancia de potencia de los componentes internos del receptor 120


T i = temperatura de ruido de los componentes internos del receptor

11.3 "SIGNAL TO NOISE RATIO" (S/N Ó SNR) La temperatura de ruido mínima detectable, #T min, en un sistema de recepción está dada por, ! T min

k ' T sys =

! f t

Ecuación 11.8 ’

donde, k' = constante del sistema # f = ancho de banda de pre-detección en el recibidor t = constante de tiempo de post-detección = tiempo de integración del filtro pasa bajas del recibidor. Esta temperatura mínima detectable es una medida de la sensitividad del sistema receptor. Una fuente es detectable por un sistema sólo si , !T a " !T min

La proporción de señal-a-ruido ("signal-to-noise ratio"), S/N , en términos de temperatura, se define como, S/N = !T / !T min a

La densidad de potencia (por unidad de ancho de banda) mínima detectable es; !S 2k !T / Ae . min

=

min

Si se toman muchas muestras y se hace un promedio (ej. en radar de pulsos), entonces, !S min

=

2k !T min / Ae

n

donde, n = # de muestras El S/N también se suele definir en términos de potencia, como, S / N

potencia en la señal que llega a la antena =

potencia de ruido

donde, 121

Ecuación 11.9


S

y

=

Pr

=

N Pn =

2

Pt GrGt !

Pt Aer Aet 2

=

2

r !

=

4 " r

2

..........(ec. de Friis)

kT sys! f r

Sustituyendo, se obtiene, S / N

=

=

Pt Aer Aet r

2

2

!

kT sys" f r

Ecuación 11.10

Pt Gr Gt ! 2 4# r

2

kT sys" f r

11.4 FIGURA DE RUIDO La figura de ruido (abreviada NF del inglés "Noise Figure") es un parámetro que se utiliza para cuantificar la cantidad de ruido introducida por un componente dado. Se relaciona a la temperatura de ruido del componente ce la siguiente forma, F =

ó

T

T + T o T o

= T o ( F ! 1)

Ecuación 11.11

donde, T o= 290 K T = temperatura de ruido Este parámetro se expresa usualmente en decibeles, NF = 10 log F Ecuación 11.12

122

REFERENCIAS Balanis, C. A.: Antenna Theory: Analysis and Design, Harper and Row, New York, 1997. Barrow, W. L. and F. D. Lewis, "Theory of the Electromagnetic Horn," Proc. IRE, 27, 51-64, January 1939. Collin, R. E., Antennas and Radiowave Propagation, McGraw-Hill, New York, 1985. DuHamel, R. H. and D. E. Isbell, " Broadband Logarithmically Periodic Antenna Structures," IRE Natl. Conv. Rec., pt. 1, 119-128, 1957. Kidal, Per-Simon, “Analysis of cluster feed for Arecibo tri-reflector system using forward ray tracing and aperture integration.”, IEEE Trans. On Ant. & Prop., Aug, 1993, 1013-1025. Kraus, J. D., Antennas, McGraw-Hill, New York, 1995. Pablos, Gianni, “Off The Grid X-Band Radar Node Development For Weather Applications ”, Thesis, UPR-Mayaguez, PR 2010 Pozar, D. M., " An update on Microstrip Antenna Theory and Design Including Some Novel Feeding Techniques," IEEE Ants. Prop. Soc. Newsletter, 28, 5-9, October 1986. Sadiku, M. N. O., Elements of Electromagnetics, Saunders College Publishing, New York, 1989. Stutzman, W. L. and G. A. Thiele, Antenna Theory and Design, John Wiley &Sons, New York, 1981. Ulaby, F. T., R. K. Moore and A. K. Fung: Microwave Remote Sensing, Active and Passive, Addison-Wesley, 1981.

123

142821608 Teoria y Diseno de Antenas Dr Cruz Pol

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