INTRODUCCIÓN En el ámbito de la logística, un problema básico y muy común es la planificación de los flujos transporte de que satisfagan la demanda en los destinos y respetando las limitaciones presentes en el sistema de producción/distribución. El uso de modelos de optimización (de programación lineal en concreto) puede reducir el costo total de distribución de manera notable y por ello son ampliamente utilizados. También es muy habitual encontrar problemas con nodos de trasbordo, en los que la distribución de productos se realice en varios niveles, por ejemplo, es frecuente encontrar distribución a dos niveles: desde las fábricas a unos almacenes intermedios y de éstos a los clientes finales.
u2
u1 FABRICAS
ui
um
X ij ij C ij ij
CLIENTES
v 1
v 2
v 3
v j
v n
O a tres niveles (fábricas, almacenes, clientes)
(20)
500
(10)
400 p1: 1000 700 (5) F1 p2: 700 (8) 300 (15) 800 p1: 1300 F2 900 (9) p2: 1000 900 (24)
p1: 1000
250 (8) A1 200 300 (12) (12)
Z1
p2: 300
600 (20) A2 500 (14) 900 A3
p1: 1000 Z2
p2: 700
(15)
p1: 0 Z3
600 (16)
p2: 500
FABRICAS
ALMACENES
CLIENTES
1
Aprovisionamiento - Producción – distribución distribución Si en el sistema hay fábricas, el enfoque mas completo es contemplar conjuntamente el problema de planificar la producción y la distribución. Si los aprovisionamientos de materia prima a las fábricas son pagados por el fabricante y éste puede decidir entre varios orígenes para cada fábrica, entonces el problema puede incluir inclui r también el aprovisionamiento. aprovisionami ento. Es obvio que el problema no es trivial si existen opciones de aprovisionamiento, producción y/o distribución. No existe problema propiamente dicho si solo hay una fábrica que recibe sus acopios de un origen único y desde la que se suministra directamente a sus clientes; a una empresa de este tipo solo le interesarían los problemas de planificar sus medios de transporte: número, capacidad, horarios, etc. En definitiva, resolver el problema de planificar producción y distribución (e incluso los aprovisionamientos) significa responder óptimamente varias preguntas: ¿Cuánto producir en cada fabrica de cada producto y en cada periodo (días, semanas, meses,…)? , ¿Desde donde abastecer cada almacén y cada cliente final?, ¿Qué existencias mantener en cada periodo y cada almacén de cada producto?, etc. Y las decisiones a tomar deben ser tales que minimicen el costo conjunto de producir, almacenar y distribuir.
Las magnitudes del problema suelen ser grandes por lo que su resolución práctica para casos realistas sólo puede ser alcanzada con modelos complejos de programación matemática y software de modelado profesional (XPRESS, GAMS, AMPL, etc.)
Formulación del modelo básico El problema más sencillo de los problemas de distribución es denominado simplemente como el problema de transporte, en éste se proporciona un nodo de recursos para cada origen (fábrica, planta, etc.) y un nodo de demanda para cada destino (agencia, almacén, cliente, etc.). Todos los arcos son dirigidos, desde un nodo de recursos hasta un nodo de demanda, en donde se conoce el costo de distribuir una unidad de producto desde cada origen a cada destino. Para poder resolver este problema se debe elaborar un “modelo”, en este caso se plantea de la siguiente manera: Un cierto producto está disponible en determinadas cantidades u1, . . . , um, en cada uno de m orígenes o depósitos, y debe recibirse en cantidades v1, . . . , vn, en cada uno de n destinos o puntos de demanda. El costo de envío de una unidad de producto desde el origen i al destino j representado con cij es conocido. El problema consiste en determinar las cantidades xij, que deben enviarse desde el origen i al destino j, para satisfacer la demanda y minimizando el costo total del envío.
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Identificando objetivos, limitaciones, restricciones, se obtiene el modelo matemático que permite resolver este problema, el mismo que se puede plantear como: m
n
min Z cij xij i 1 j 1 n
s.t.
xij ui ; i 1,..., m j 1 m
xij v j ;
j 1,..., n
i 1
xij 0
Complejidad del problema Los problemas de transporte no pueden ser resueltos “por la experiencia” o usando “el sentido común”, observemos el siguiente pequeño ejemplo con solo 6 variables en el cual se aprecia la utilidad de la programación matemática para resolver estos problemas.
Existen tres distribuidoras de diesel, cuya capacidad semanal es: DISTRIBUIDORA A B C
CAPACIDAD (GALONES) 40.000 40.000 20.000
En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen: CENTRAL CONSUMO (GALONES) I 40.000 II 60.000 Los costos de transporte por galón son (en centavos de dólar): C ij (ctvs./galón) A B C
I II 2 11 12 24 13 18
Si preguntáramos a una persona que no conoce la complejidad de estos problemas, cómo organizar el transporte, con certeza, la gran mayoría opinaría que debemos aprovechar el precio ofrecido por el transportista que va de "A" a "I", porque es mucho más conveniente que los otros, y enviar todo lo disponible en A a I. Luego habría que satisfacer la demanda de la central II a partir de C y luego desde B (ya que el costo de C a II es inferior al costo de trasportar de B a II).
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En este caso, el costo total del transporte seria: Transportar 40,000 galones de "A" a "I" = 800 $ Transportar 20,000 galones de "C" a "II" = 3,600 $ Transporte de 40,000 galones de "B" a "II" = 9,600 $ Total: 14,000 $ / semana o lo que es lo mismo 728,000 $/año Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal tendríamos el siguiente esquema óptimo de distribución: Transportar 40,000 galones de "A" a "II" = 4,400 $ Transportar 40,000 galones de "B" a "I" = 4,800 $ Transporte de 20,000 galones de "C" a "II" = 3,600 $ Total: 12,800 $ / semana o lo que es lo mismo 665,600 $/año
Magnitud del problema Suponga una empresa que dispone de 20 fábricas desde las que se envían 4 productos, a 50 clientes durante un año en periodos mensuales. Este problema supone decidir fundamentalmente: a) Cuánto hay que enviar desde cada fábrica a cada cliente de cada producto y en cada uno de los meses: esto supone decidir el valor de 20 50 4 12 = 48.000 variables de transporte, b) Cuánto hay que producir de cada producto en cada fábrica y en cada mes, es decir 4 20 12 = 960 variables de producción. Si se consideran los límites de producción de cada fábrica, las capacidades de almacenamiento, la demanda de los clientes, etc., se tiene que resolver un problema de encontrar el valor de unas 50.000 variables de decisión, de forma que se minimice el costo y respetando un número de restricciones del orden de unas 5.000.
Costo Siguiendo con el ejemplo (recuérdese: 5.000 ecuaciones, 50.000 variables), es necesario disponer de un experto que convierta a forma matemática el problema, lo resuelva en un computador (lo suficientemente rápido para que el tiempo de repuesta sea aceptable) y luego interprete los resultados del modelo matemático para que una persona no experta en el modelo comprenda la solución del problema. El problema del que estamos hablando es un tipo de los múltiples modelos posibles de programación lineal (LP).
PROGRAMACIÓN LINEAL (LP por sus siglas en inglés) Un modelo de programación lineal (linear programming) consta de tres elementos: 1. Variables de decisión (o actividades). Son cantidades desconocidas que se desean calcular. En el caso que nos ocupa son las respuestas a las preguntas
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de ¿Cuánto, donde y qué producto fabricar?, ¿desde donde abastecer a un cliente?, ¿Cuánto de cada producto debo mantener en cada almacén?,… 2. Restricciones: límites de producción, demanda de los clientes, capacidad de almacenamiento, mano de obra disponible, capacidad de la maquinaria,… 3. Evaluación económica de los valores de las variables. Matemáticamente se conoce como función objetivo. Se puede desear que sea del máximo valor posible (en caso de utilidad o beneficio) o del mínimo valor posible (en el caso de costo de producir, transportar, almacenar, etc.<) Por ello, el proceso que se sigue para construir un modelo LP suele comenzar eligiendo las variables y dándoles un nombre simbólico: matemáticamente es útil usar una letra y un subíndice, del tipo x1, x2, …, xn, pero esta representación pronto se muestra poco práctica cuando se tiene cientos o miles de variables. En este caso suele usarse un nombre mnemotécnico: PROD001AAi podría significar la producción en la fábrica 001 del producto AA en el mes i. El segundo paso para obtener un modelo LP es pensar las restricciones, que obligatoriamente, han de ser ecuaciones o inecuaciones lineales, esto es: en la parte izquierda de cada ecuación o inecuación las variables pueden aparecer sumadas o restadas, tras ser multiplicadas cada una por un coeficiente, y en su parte derecha han de tener generalmente un número, por ejemplo: 2 x1 3 x3 12 3 x1 2 x4 20
Por último se ha de determinar la función objetivo, que cuantifica las implicaciones económicas de las decisiones. Tras concluir esta tarea, habrá que resolver el modelo matemático planteado e interpretar los resultados para traducirlos en decisiones. Es obvio que este proceso es imposible hacerlo manualmente cuando el problema presenta siquiera unas pocas de variables y/o ecuaciones. Se ha de recurrir a una computadora, y por supuesto a un software (solver).
EL PAPEL DEL SOLVER Es conocida la espectacular reducción del costo de la potencia de cálculo que han supuesto las generaciones actuales de computadoras: el problema enunciado (5.000 50.000) se resuelve en unos 2 minutos o en un computador con procesador dualcore. Problemas de 1.000 ecuaciones y 14.000 variables resuelven en menos de un minuto. Pero, ¿quién hace el modelo matemático? En general, la contestación a esta pregunta viene ligada a la intervención de un experto sea capaz de traspasar los requisitos del problema real a un modelo LP y al diseño de unas tablas para introducir los datos necesarios. Los MODELADORES (GAMS, AIMMS, XPRESS, etc.) son programas que permiten modelar el problema en la forma en que el SOLVER (C-PLEX, MINOS, etc.) puede actuar y determinar los resultados.
5
Modelos de Transporte La logística del transporte, entendida en su forma mas amplia, es el estudio de cómo las personas, los objetos e incluso la información han de transportarse para satisfacer unas necesidades o demandas y todo esto al menor costo posible. En general los elementos que intervienen en los problemas de transporte son: unos vehículos (la flota), unas instalaciones fijas (orígenes, fábricas o depósitos ), unos objetos o personas (el producto), que deben ser distribuidos o entregados a determinados sitios (destinos o clientes), y unos costos de transportación (los costos) asociados a esta distribución. Desde el punto de vista de la modelización nos interesa como plantear el problema con cierto nivel de abstracción, y determinar las técnicas que permitan resolverlo. Los ejemplos CLASIC, CLASIC1, CLASIC2 y CLASIC3 se han preparado para lograr varios objetivos: 1. Plantear y modelizar problemas típicos de transporte; 2. Explicar la utilidad de la programación lineal para resolverlos; 3. Ser sencillos. La modificación o ampliación de estos modelos, que se observan en los casos RED, MPER, MPER1, MPER2, MPER3, MPROD, MPERPROD y MULTIPRODUCTO, conduce a modelos o variantes mas complejas, que ilustran situaciones reales que se suelen presentar en la vida real y que reflejan la gran utilidad de la programación matemática. Dado que los modelos se discutirán, codificarán y resolverán en Excel o GAMS, en un principio de simplifica al presentar las hipótesis y resultados de cada uno de los modelos y variantes.
MODELO CLASIC Este primer ejemplo es el problema de transporte más sencillo posible: desde unas fábricas (orígenes o depósitos) en las que se dispone de un producto se ha de atender la demanda de varios clientes. Se trata de determinar cuánto hay que enviar desde cada uno de los depósitos en los que se tiene el producto hasta cada uno de los destinos a los que hay que hacer llegar el producto, al menor costo posible. En el caso básico la suma de ofertas en los orígenes coincide exactamente con la suma de demandas en los destinos (problema equilibrado). Por tanto, las cantidades que se buscan han de respetar dos tipos de condiciones: cada origen ha de suministrar exactamente su oferta de producto y cada destino ha de recibir exactamente lo que necesita. El objetivo a cumplir es encontrar la solución que hace mínimo el costo total de transporte. En la literatura de programación lineal se conoce éste como «el problema del transporte» (TP es su acrónimo inglés: transportation problem). Para ilustrar este tipo de modelos simples estudiemos el caso con 4 orígenes que pueden representar fábricas o almacenes y 10 destinos que en este caso se resumen como ciudades del Ecuador. Los orígenes y destinos se han representado en la figura 1 en la que se usa un símbolo cuadrado para representar las fábricas (Macará, Quevedo, Guayaquil y Lago Agrio) y los clientes (representados con círculos).
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Figura 1: nodos del modelo CLASIC, los círculos son clientes, los rectángulos depósitos
Esmeraldas Tulcá n
Lago
Ibarra
Agrio
Otavalo
Sto .Domingo
Quito Baeza
Manta
Quevedo Ambato Riobamba
Puyo
Babahoyo
Guayaquil Macas
Cuenca
Machala
Fábricas
Loja
Destinos
Macará
Los datos empleados en el ejemplo son:
Orígenes-fábricas: (entre paréntesis la disponibilidad o producción en toneladas): Macará (200), Quevedo (300), Guayaquil (350) y Lago Agrio (150). Suman 1.000 unidades disponibles.
Destinos: (entre paréntesis la demanda en toneladas): Quito (10), Machala (20), Cuenca (40), Esmeraldas (70), Loja (100), Sto. Domingo (200), Riobamba (300), Macas (60), Tulcán (80), Puyo (120). Al igual que los orígenes las demandas suman 1.000 u.
Los Costos de transporte (expresados en $/tonelada) son: ORIGEN (DEPOSITO)
DESTINO
Macará
Quevedo
Guayaquil
Lago Agrio
Quito
8
2,43
5,36
5,83
Machala Cuenca Loja Esmeraldas Sto. Domingo Riobamba Macas Tulcán Puyo
4,84
6,18
3,42
4,07
2,56
3,18
12,84 8,11
1,66 11,72
5,34
4,38
8,68
5,38
7,72
11,18
8,96
2,55
4,96
7,84
5,63
1,15
4,01
2,19
5,16
6,75
6,21 5,9
9,7 4,6
4,37
7,55
4,37
4,67
7,16
3,49
7
SOLUCION: Al resolver con GAMS se presenta la siguiente solución: • Costo total del plan óptimo de distribución: 3.264,70 $. • Y la forma óptima de realizar la distribución es: Nodo
Destino
Cantidad a enviar
Macará
Loja
100,00
Macas Puyo Quito Riobamba Tulcán Machala Cuenca Esmeraldas Sto. Domingo
60,00 40,00 10,00
Riobamba
20,00
Tulcán
70,00
Puyo
80,00
Quevedo
Guayaquil
Lago Agrio
280,00 10,00
20,00 40,00 70,00 200,00
Total
1.000,00
La figura 2 recoge los arcos óptimos de transporte en la solución obtenida:
Figura 2: Arcos en la solución óptima del modelo CLASIC Esmeraldas Tulcá n
Lago
Ibarra
Agrio
Otavalo
Sto . Domingo
Quito Baeza
Manta
Quevedo Ambato Riobamba
Puyo
Babahoyo
Guayaquil Macas
Cuenca
Machala
Loja Macará
8
Variantes del modelo CLASIC 1) CLASIC1 Una ampliación al modelo anterior es intentar mejorar la solución sin obligar a unas producciones predeterminadas. Es decir, esperar a que sea la optimización la que nos indique cómo debería ser la producción de cada fábrica para que se minimice el costo de transporte. Aunque esto talvez no se pueda implementar si es que no se respetan las capacidades de producción actuales de las fábricas, los resultados que se obtengan podrían ser utilizados por la alta dirección de la empresa para tomar decisiones como cerrar una planta con poca producción o ampliar la capacidad de ciertas plantas si es que fuera necesario. Para ello, se mantiene la obligación de atender las demandas ya indicadas pero no se obliga a ninguna cifra de producción en las fábricas. La solución con GAMS es: • Costo de la solución 2.492,5 $, es decir un ahorro del 24% sobre la solución con producciones fijas del modelo anterior. • Las producciones obtenidas, que son las óptimas, se comparan con las del modelo CLASIC original:
Producción óptima CLASIC 1 Macar 160
Producción original CLASIC 200
Queve
700
300
Guaya
20
350
Lago
120
150
Es decir baja la producción de la planta de Guayaquil (es muy costoso distribuir desde allí?). La distribución cambia como se observa en el cuadro y figura 3 siguiente: Origen
Destino
Transporte óptimo
Macará
Loja
100,00
Macas Quevedo Quito Cuenca Esmeraldas Sto. Domingo Riobamba Tulcán Guayaquil Machala Lago Agrio Puyo
60,00
10,00 40,00 70,00 200,00 300,00 80,00 20,00
120,00
9
Figura 3: Solución del modelo CLASIC 1 Esmeraldas Tulcá n
Lago
Ibarra
Agrio
Otavalo
Sto . Domingo
Quito Baeza
Manta
Quevedo Ambato Riobamba
Puyo
Babahoyo
Guayaquil Macas
Cuenca
Machala
Loja Macará
Ante esta solución se puede estudiar qué sucede si se cierra la fábrica de Guayaquil que sólo debería fabricar 20 t en la solución óptima; y, para suplir su producción se amplía la fábrica de Quevedo (desde donde es mas barato transportar) a 650 t, sin llegar a las 700 t. que daba como solución el modelo CLASIC1. Claro que hay que tomar en cuenta que no se han evaluado los costos de producción, los cuales podrían influir en la solución, por ejemplo si bien es cierto que es costoso distribuir desde Guayaquil, pero podría ser más barato producir.
2) CL ASI C2 Entonces volvamos al problema CLASIC y cambiemos la producción de Quevedo de 300 a 650, y la de Guayaquil a 0 (en lugar de las 350 toneladas originales). Las fábricas de Macará y Lago Agrio producen exactamente igual que en el modelo original: 200 y 150 t, respectivamente. La nueva solución tiene las siguientes características:
Costo 2.543,10 $. Un poco mayor que CLASIC 1, pero sigue inferior al caso base en un 22 %, y el trasporte se efectúan así : Nodo
Destino
Cantidad a Transportar
Macará
Machala
20,00
Quevedo
Loja 100,00 Macas 60,00 Puyo 20,00 Quito 10,00 Cuenca 40,00 Esmeraldas 70,00 Sto. Domingo 200,00
10
Riobamba Tulcán Lago Agrio Tulcán
300,00 30,00 50,00
Puyo
100,00
Figura 4: Solución del modelo CLASIC 2
Esmeraldas Tulcá n
Lago
Ibarra
Agrio
Otavalo
Sto . Domingo
Quito Baeza
Manta
Quevedo Ambato Riobamba
Puyo
Babahoyo
Guayaquil Macas
Cuenca
Machala
Figura 4: Solución del modelo CLASIC 2 Loja Macará
Es decir, al cambiar el esquema productivo se obtiene un ahorro de un 22 % en costos de transporte. Como se indicó antes, hasta ahora sólo se ha considerado el costo de transporte mientras que en muchas ocasiones ha de contemplarse también el costo de producción; es decir, surge la conveniencia de un modelo combinado producción + transporte. Veamos si las conclusiones siguen siendo las mismas en el Modelo CLASIC3.
3) CLASI C3 Para introducir el valor de los costos de producción supóngase que cada fábrica tiene un costo de producción distinto; concretamente se suponen costos unitarios de: 1 $/t para Macará, 1,5 para Quevedo, 0,7 para Guayaquil y 2 para Lago Agrio. También introducimos la posibilidad de almacenamiento o inventario. En este caso se conoce que se va a contar con una existencia inicial de 10 t en Macará, 20 t en Guayaquil y 5 t en Lago Agrio. Una vez resuelto el modelo CLASIC3, la solución arroja estos datos:
La optimización obtiene una solución con un costo total de 3.915,30 $: 2.517,3 $ de costos de transporte y 1.398 $ de costos de producción.
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Es decir no se logra la solución de CLASIC1 (recuerde que era aquélla sin límites de producción). La diferencia con aquélla es que ahora, y en aras de un mejor costo total, es interesante sacrificar un costo de transporte superior. El análisis detallado de la solución nos muestra que en la fábrica de Guayaquil se debe aumentar un poco su producción; es decir, se compensa su mala ubicación (para la distribución de demanda con la que se trabaja los costos de transportación son muy altos) con unos menores costos de producción:
Producción óptima Producción original
Macará
150
200
Quevedo
660
300
Guayaquil 40
350
Lago Agrio 115
150
Como antes, los arcos óptimos de transporte están representados en la figura 5.
Figura 5: Solución del modelo CLASIC 3
Esmeraldas Tulcá n
Lago
Ibarra
Agrio
Otavalo
Sto . Domingo
Quito Baeza
Manta
Quevedo Ambato Riobamba
Puyo
Babahoyo
Guayaquil Macas
Cuenca
Machala
Loja Macará
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Resumen Los problemas de transporte vienen en la realidad combinados con la producción y almacenamiento para optimizar la suma de costos. En los ejemplos se ha podido apreciar cómo la solución óptima tiene en cuenta el problema global y no sólo el costo de producción.
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MODELO RED Partiendo de las fábricas y los clientes de CLASIC ahora se obliga a almacenes intermedios: Ibarra, Ambato, Manta. Se supone que desde las fábricas se envía a los almacenes y desde éstos a los clientes. Es decir no es posible el envío directo fábrica-cliente (¡¿). Los demás datos del modelo RED son los mismos que CLASIC3: se parte de producción ilimitada en las fábricas y unos costos de producción diferenciados. Los costos de transporte figuran en la tabla siguiente:
Origen Destino
Macará Guayaquil
Lago Agrio
Quevedo Ibarra
Quito
-
-
-
-
4,88
6,59
1,58
Machala Cuenca Loja Esmeraldas Sto. Domingo Riobamba Macas Tulcán Puyo Ibarra Ambato Manta
-
-
-
6,17 2,07 3,63
6,88 3,78 3,53
10,58
8,6
10,31
5,84
5,98
7,55 4,22 0,75 6,73
3,69 2,94 9,58
5,25 6,96 6,94
5,4
1,91 -
1,66 -
5,15
3,66 5,37
6,2
4,01
2,51 1,5
Ambato Manta
5,85 8,29 6,44 3,59 3,95 7,96 1,59 6,33
-
La solución es, obviamente, muy cara: 7.289 $ (recuerde que CLASIC3 daba un costo total de 3.915,30 $. ¡Casi el doble!). Esto se debe a las «vueltas» que le damos al producto: de la fábrica al almacén y de éste al cliente, y a la pésima ubicación relativa de las fábricas y los almacenes ante la demanda. Es claro que este ejemplo se ha incluido para poner de manifiesto dos aspectos: • Las complicaciones de modelos con transbordo (en general modelos de red de transporte) combinados con posibilidades de almacenamiento y producción, y • La importancia de la optimización en la cifra de costos totales.
Bastaría, para aliviar limitaciones, permitir que las fábricas envíen a los clientes finales si ello es interesante. Es decir se deben dejar abiertas opciones, en ese caso se elegirán las soluciones más convenientes.
Variante al modelo RED: Modelo RED1 Con el fin de dotar de flexibilidad al modelo RED, se va a crear un nuevo modelo (RED1) en el que se permiten los transportes fábrica-almacén, fábrica-cliente y almacén-cliente. Por tanto, los costos de transporte son:
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Origen Destino
Macará
Guayaq Lago
Queve Ibarra
Ambato Manta
Quito
8
5,36
5,83
2,43
4,88
6,59
1,58
Machala Cuenca Loja Esmeraldas Sto. Domingo Riobamba Macas Tulcán Puyo Ibarra Ambato Manta
4,84 4,07 1,66 11,72 8,96 5,63 2,19 9,7 4,6 3,69 2,94 9,58
3,42 3,18 4,38 7,72 4,96 4,01 6,75 7,55 7,16 5,25 6,96 6,94
12,84 6,18 8,11 2,56 8,68 5,34 11,18 5,38 7,84 2,55 1,15 6,21 5,9 5,16 4,37 4,37 3,49 4,67 5,4 3,66 5,15 5,37 6,2 4,01
6,17 2,07 3,63 8,6 5,84 2,51 1,5 5,98 1,91 -
6,88 3,78 3,53 10,31 7,55 4,22 0,75 6,73 1,66 -
10,58 5,85 8,29 6,44 3,59 3,95 7,96 1,59 6,33 -
Es de esperar que este modelo evite en lo posible el paso por almacenes. Efectivamente, una vez resuelto el modelo, en la solución óptima sólo se hace uso de las existencias que había en los almacenes: 20 en Ibarra, 10 en Ambato y 40 en Manta. El resto de las demandas se envían directamente desde las fábricas. Lógicamente, el costo baja espectacularmente: 3.668,20 $.
MODELO MPER Un aspecto no considerado hasta ahora es la estacionalidad: de la disponibilidad de materias primas, de la demanda, etc. La no consideración de esta estacionalidad puede conducir a conclusiones completamente erróneas. Cuando hay estacionalidad la solución más adecuada es usar modelos multiperiodo. Antes de discutir el porqué de esa aseveración se va a construir un modelo multiperiodo. En estos modelos cada periodo tiene su conjunto de decisiones (cuánto producir, transportar, almacenar, en cada uno de los periodos) y se liga a otros periodos por medio de las existencias que son finales para un periodo y son iniciales para el siguiente. El modelo que se va a desarrollar será denominado MPER . En él se sigue con las 4 fábricas, 3 almacenes y 10 clientes ya empleados antes. Se permiten envíos fábrica-almacén, fábrica-cliente y almacén-cliente. Se desea planificar el primer trimestre del año y se parte de que en los almacenes hay unas existencias iniciales (al comenzar el trimestre): Fábrica/ Almacén Existencias iniciales Existencia mínima Existencia máxima Ibarra
20
0
200
Ambato
10
0
200
Manta
40
0
200
Macará
10
0
20
Quevedo
0
0
30
Guayaquil
20
0
20
Lago Agrio
5
0
10
15
En cuanto a la producción, se mantienen los costos relativos, pero las posibilidades de producción se ven afectadas por la disponibilidad de materia prima y por ello las producciones máximas son:
Fábrica
Producción máxima en Enero
Producción máxima en Febrero
Producción máxima en Marzo
Macará
200 300
0 200
0 0
100 200
0 0
0 0
Quevedo Guayaquil Lago Agrio
Por su parte, las demandas también muestran una acusada estacionalidad: eman a marzo
Nodo
Demanda en enero
Demanda febrero
Quito
5
5
0
Machala Cuenca Esmeraldas Loja Sto. Domingo Riobamba Macas Tulcán Puyo
10 20 0 0 50 100 20 20 0
5 10 20 0 50 0 20 40 60
5 10 50 100 100 200 20 20 60
en
en
Al igual que en modelos anteriores la demanda total es de 1.000. De nuevo, abusando de la fe del lector, el modelo se representa y resuelve en GAMS individualizando los periodos. En la solución óptima se observa: • El costo de producción + transporte es de 5.986,40 $. • Se agotan los límites de producción excepto en Lago Agrio (enero) en la que se producen 130. Es decir, se producen 930 u. Las 70 u restantes se obtienen de los almacenes. • Durante el mes de enero se abastecen los almacenes ya que las fábricas no pueden almacenar suficiente. Con la cantidad que se almacena se podrá atender la demanda de marzo, mes en el que no se produce. • En resumen, se transportan 1.440 u para una demanda de 1.000 u debido a la estacionalidad. En concreto se mueven las siguientes cantidades en enero: De:
A:
Cantidad
Macará Quevedo Ambato Quevedo Ibarra Manta Guayaquil Ibarra Ibarra Lago Agrio
160,00 30,00 100,00 50,00 100,00
Total
440,00
16
En los meses siguientes, principalmente en marzo, se envían desde los almacenes a los destinos finales (510 t, suma de lo recibido en enero y las existencias que ya disponían) para completar los envíos realizados directamente desde las fábricas. Los transportes efectuados son los siguientes:
Origen
Destino
Enero
Febrero
Marzo
Total
Ibarra
Cuenca
0,00
0,00
10,00
10,00
Riobamba
0,00
0,00
190,00
190,00
Loja
0,00
0,00
80,00
80,00
Macas Puyo
0,00 0,00
20,00 0,00
20,00 50,00
40,00 50,00
Esmeraldas
0,00
0,00
20,00
20,00
Sto. Domingo Tulcán
0,00
0,00
100,00
100,00
0,00
0,00
20,00
20,00
Ambato
Manta
Variantes Los resultados obtenidos con el modelo MPER se pueden mejorar ampliando la capacidad de almacenamiento en las fábricas para evitar los costos de transporte.
1) M PER1 El modelo MPER1 permitirá estudiar si es rentable ampliar la capacidad de almacenamiento con el fin de ahorrar costos de transporte. La idea fundamental es observar el ahorro de costos de transporte que se lograría si se ampliase el almacén en las fábricas. La posterior comparación del ahorro con el costo de la inversión necesaria conducirá a la conclusión buscada. La novedad que se incorpora es, por tanto, permitir almacenamiento ilimitado en las fábricas. Una vez resuelto el modelo con GAMS se observa que: • La nueva solución óptima baja el costo a 3.856,00 (recuerde, en MPER era de 5.986,40). • Al observar la solución final se puede constatar la existencia máxima a la que llega cada fábrica:
Almacén necesario
Almacén existente
Ampliación
Macará
150
20
130
Quevedo Guayaquil
300 90
30 20
270 70
Lago Agrio
130
10
120
Total
670
80
590
17
Con esta información se puede evaluar si la ampliación de 590 u de capacidad de almacenamiento es rentable ya que se consigue un menor costo global de un 36 por 100 (5.986,40 - 3.856,00 = 2.130).
2) M PER2 ¿Por qué es necesario un modelo multiperiodo? Los modelos MPER y MPER1 son multiperiodo. Se adujo que así debía ser para representar la estacionalidad de la producción y la demanda. El modelo MPER2 demostrará de manera inequívoca la necesidad del modelo multiperiodo. En lugar de considerar los meses individualmente, vamos a sumar los datos del trimestre y buscaremos las soluciones óptimas. En concreto, habrá que hallar la suma de producciones y demandas:
Fábrica
Demanda en periodo enero-marzo sumado
Macará
200
Quevedo Guayaquil
500 100
Lago Agrio
130
Nodo Quito Machala Cuenca Esmeraldas Loja Sto. Domingo Riobamba Macas Tulcán Puyo
Demanda de periodo enero-marzo sumado 10 20 40 70 100 200 300 60 80 120
Una vez resuelto se puede resumir lo más importante de la solución como sigue: • El costo óptimo es de 3.857,1 $, claramente inferior a la solución de MPER (5.986,40 $), pero este buen resultado se logra gracias a una planificación inviable al desarrollarla mes a mes, ya que no se hace uso de los almacenes intermedios cuando sabemos que es imposible almacenar de enero a marzo en las fábricas porque éstas no disponen de capacidad. • Es más, una conclusión apresurada obtenida a partir de la solución aportada por MPER2 puede incluso poner en duda el papel, imprescindible, de los almacenes.
18
MODELO MPROD Hasta ahora se han tratado situaciones en las que se desea planificar el transporte (y/o la producción) de un producto a lo largo de uno o varios periodos en un sistema de varias fábricas /almacenes y clientes. Pero lo normal en la vida real es que no se trate un solo producto; la situación más habitual es aquélla con varios productos que se producen y distribuyen. Si los diferentes productos no compiten por recursos (capacidad de producción, de almacenamiento o de transporte) los óptimos para cada producto son independientes y, por tanto, se podrían estudiar por separado. Y, aunque no compartan recursos, puede ser interesante resolver conjuntamente el problema por comodidad de tenerlos juntos. Para ilustrar los modelos multiperiodo se va a mostrar el modelo MPROD en el que se comparte capacidad de producción en fábricas entre dos productos. El modelo MPROD sigue en el escenario de los ejemplos anteriores, es decir, 4 fábricas, 3 almacenes y 10 clientes, pero con las siguientes novedades:
Dos fábricas, Macará y Quevedo, pueden fabricar dos productos, que denominaremos A y B, pero con un límite de producción total. La fábrica de Guayaquil sólo fabrica el producto A. La fábrica de Lago Agrio sólo produce el producto B. En una primera etapa partimos de un solo periodo (más adelante se combinará la capacidad multiperiodo con la multiproducto). La red de transporte sigue permitiendo envíos fábrica-almacén, fábrica-cliente y almacén-cliente. Ahora bien, cada producto puede presentar un costo distinto. En el ejemplo se supone que los costos de los dos coinciden.
Los tres almacenes disponen de 20 (Ibarra), 10 (Ambato) y 40 (Manta) unidades de existencias iniciales en inventario. En cuanto a producción, se tienen los siguientes datos: Modelo MPROD.
Fábrica
Macará
Producto
A + B A B
Producción.
Costo unitario
Límites de la fábrica Por producto Conjuntos 200
1 1
no no
A + B A B
1,5 1,5
no no
Guayaquil
A
0,7
100
Lago Agrio
B
2
130
Quevedo
500
Las demandas hay que identificarlas por cada cliente y cada producto, como se observa en la siguiente tabla:
19
Modelo MPROD.
Tabla de demandas
Cliente
Producto A
Producto B
Total
Quito Machala Cuenca
4 0 40
6 20 0
10
Esmeraldas
50
20
70
Loja
10
90
100
Sto. Domingo
20
180
200
Riobamba
100
200
300
Macas
60
0
60
Tulcán
0
80
80
Puyo
20
100
120
304
696
1.000
20 40
Si se observa, la suma de existencias finales y producción máxima coincide con la demanda total de los dos productos. Ahora bien, del producto A hay una demanda de 304 t y del B, 696 t. Dado que la fábrica de Guayaquil hace 100 del producto A, las restantes toneladas han de salir de la producción realizada en Macará y Quevedo. De igual modo la demanda del producto B (696 t) se atenderá de las 120 t que se realizarán en Lago Agrio y el resto habrá de obtenerse de Macará y Quevedo. Una vez resuelto el modelo se obtiene la siguiente solución: • Costo total de 4.001,28 $. Esta cifra es suma de un costo de producción de 1.280 $ y un costo de transporte de 2.718 $. • Se usa todo el producto que existía al comienzo del trimestre en los almacenes. • Las producciones óptimas son: Modelo MPROD.
Producciones óptimas.
Fábrica
Producto A
Producto B
Total
Macará
60
140
200
Quevedo
74
426
500
Guayaquil
100
Lago Agrio
100 130
130
Observe que en este caso se ha resuelto la combinación óptima de producción de dos productos además de determinar el esquema óptimo de transporte para cada destino final.
Variantes Ya se ha señalado antes que en situaciones reales se combina la necesidad de optimizar con varios productos y varios periodos. Para ilustrar este tipo de casos se ha preparado el modelo 20
MPRODPER , que combina la visión multiproducto que se acaba de tratar en el modelo MPROD con las posibilidades multiperiodo ya presentadas en el modeloMPER. MPRODPER es, pues, un modelo que contiene los dos productos de MPROD (recuerde, productos A y B) con los tres periodos (los tres primeros meses) que se usaron en el modelo MPER. El nuevo modelo tendrá las siguientes características: •
Almacenamiento máximo
Mod elo MPRODPER.
Límites de almacenamiento
ro uc o
ro uc o
Fábricas
macenam en o conjunto
Macará
no
no
20
Quevedo
no
30
Guayaquil
No no
no
20
Lago Agrio
No
no
10
Ibarra
no
no
200
Ambato
no
no
200
Manta
no
no
200
Almacenes
Producción Mod elo MPRODPER.
Producción Fábrica
Prod.
Macará
A+B A B
Quevedo
Producción
Limites de producción Enero Febrero
Marzo
os o or or Conjuntos Por A+B A+B unitario producto producto producto 200
0
0
300
0
0
1 1
A+B A B
1,5 1,5
Guayaquil
A
0,7
100
0
0
0
0
0
Lago Agrio
B
2
0
200
0
0
0
0
Es decir, se admite producir sólo en enero y con idéntica distribución entre fábricas: Macará y Quevedo producen los dos productos; Guayaquil sólo el A y Lago Agrio sólo el B.
La demanda se desglosa ahora por producto y periodo:
21
M odelo M PRODPER. Tabla de demandas Enero
Cliente
A
Quito Machala Cuenca Esmeraldas Loja Sto. Domingo Riobamba Macas Tulcán Puyo Total
4
B
Febrero
Marzo
A
A
B
6 20
40
50
20 90
10 180 30
10 60 124
B
20
60 20 300
20 260 20 10 30
320
90 206
Para poder atender la demanda en los meses indicados es preciso almacenar producto fabricado en enero para ser entregado a los clientes finales en febrero y marzo. La mayor capacidad de almacenamiento está en los almacenes de Ibarra, Ambato y Manta. Ello obligará a enviar producto a estos almacenes durante el mes de enero, para desde ellos suministrar a los clientes en los meses siguientes. Efectivamente, la solución obtenida supone un costo total de 6.118,76. (Recuerde que el modelo MPROD arrojaba un costo óptimo de 4.001,28. (Luego la solución del nuevo planteamiento es un 53 por 100 más costosa. Si se tiene en cuenta que los costos de producción no han variado se puede concluir la enorme diferencia de costo en la que se incurre. La solución obtenida confirma las previsiones del gran costo en el que incurre por la obligación de enviar a los almacenes por carecer de capacidad de almacenamiento en las fábricas. Es claro que esta conclusión daría pie a un estudio para analizar la rentabilidad de ampliar las capacidades de almacenamiento de las fábricas. Para que el lector observe los movimientos exactos que se producen, estos se han detallado en el siguiente cuadro. Los transportes fábricas-almacenes suman un total de 506 t para una demanda de 1.000 t. Esos movimientos van señalados en la zona sombreada del cuadro de la página siguiente.
22
Cantidades transportadas Destino Producto
Periodo
Ibarra
ProdA
Enero
Ambato
ProdA ProdB ProdA
Enero Enero
Manta
ProdB
Quito
ProdA ProdB
Machala
ProdB
Cuenca
ProdA ProdA
Loja
ProdB
ProdA
Esmeraldas
ProdB
Sto. Domingo
ProdA
Riobamba
ProdA
Macas Tulcán
ProdA ProdA ProdB
Puyo
ProdA ProdB
Total
Macará
Origen Guayaquil
Quevedo 100
90 16
Enero Marzo Enero Marzo Febrero Marzo Enero Marzo Febrero Marzo Enero Febrero Marzo Enero Febrero Febrero Febrero Febrero Marzo 200
4
Ibarra
Ambato
Manta
80
30 70
Enero Enero
Lago Agrio
90
30 160
30
90 46
20
10
20
10 70
50 170 10 30 30
190
60
20 10 100 176
O
180
20
500
Total
130
200
90 200
4 6 20 40 10 90 50 20 180 20 10 30 260 60 60 20 20 10 90 1.506
23
Resumen Se pueden desarrollar modelos multiproducto respetando limitaciones que afectan a todos los productos conjuntamente, también es posible combinarlos con las posibilidades multiperiodo.
MODÉLO TRANS El ejemplo que sigue — en línea con los anteriores — contempla productos, pero uno de ellos se obtiene a partir del otro. Es decir, se analiza una posibilidad no tratada: la transformación de un producto otro. Concretamente, suponga que los dos productos sólo se diferencian en su formato comercial, es decir, el producto en sí se puede vender a leí o envasado. Los «productos» serán, por tanto, dos: granel y envasado. Es claro que el segundo se obtiene a partir del primero. En principio, supóngase un rendimiento de valor 1. Esto significa que no pierde nada al envasar (¿¡). No se tendrá en cuenta costo alguno en operación y sí se hará uso del hecho de que, en un periodo de tiempo sólo se puede transformar una cierta cantidad (máximo) del producto original («granel» en el ejemplo). Siguiendo la terminología empleada en los modelos anteriores lo se produce es «granel» y hay que decidir cuánto y dónde envasarlo (transformarlo en «envasado»). Para ilustrar el uso de transformaciones se empleará un modelo pequeño con dos fábricas, Lago Agrio y Baeza, que producen a producto a granel; en ambas se puede envasar pero con más capacidad en la primera fábrica que en la segunda. La producción se envía a tres almacenes: Otavalo, Babahoyo e Ibarra desde los que se suministra a 15 clientes. Es decir, se permiten envíos desde las fábricas a los almacenes y de éstos a los clientes. Las tablas que siguen recogen las posibilidades de producción y formación, los costos de transporte (recuerde que sólo se permiten envíos desde las fábricas a los almacenes y de éstos a los clientes) y las
P T IM IZ A C IÓ N
E
T
R
O
P
S
N
A
R
T
L
E
D
Resumen Se pueden desarrollar modelos multiproducto respetando limitaciones que afectan a todos los productos conjuntamente, también es posible combinarlos con las posibilidades multiperiodo.
MODÉLO TRANS El ejemplo que sigue — en línea con los anteriores — contempla productos, pero uno de ellos se obtiene a partir del otro. Es decir, se analiza una posibilidad no tratada: la transformación de un producto otro. Concretamente, suponga que los dos productos sólo se diferencian en su formato comercial, es decir, el producto en sí se puede vender a leí o envasado. Los «productos» serán, por tanto, dos: granel y envasado. Es claro que el segundo se obtiene a partir del primero. En principio, supóngase un rendimiento de valor 1. Esto significa que no pierde nada al envasar (¿¡). No se tendrá en cuenta costo alguno en operación y sí se hará uso del hecho de que, en un periodo de tiempo sólo se puede transformar una cierta cantidad (máximo) del producto original («granel» en el ejemplo). Siguiendo la terminología empleada en los modelos anteriores lo se produce es «granel» y hay que decidir cuánto y dónde envasarlo (transformarlo en «envasado»). Para ilustrar el uso de transformaciones se empleará un modelo pequeño con dos fábricas, Lago Agrio y Baeza, que producen a producto a granel; en ambas se puede envasar pero con más capacidad en la primera fábrica que en la segunda. La producción se envía a tres almacenes: Otavalo, Babahoyo e Ibarra desde los que se suministra a 15 clientes. Es decir, se permiten envíos desde las fábricas a los almacenes y de éstos a los clientes. Las tablas que siguen recogen las posibilidades de producción y formación, los costos de transporte (recuerde que sólo se permiten envíos desde las fábricas a los almacenes y de éstos a los clientes) y las demandas de los clientes. M odelo TRANS. Producción y transformación Fábrica
Baeza
Granel Producción máxima 1.000
Envasado Transformación máxima 300
Lago Agrio
1.500
500
Total
2.500
800
M odelo TRANS. Demanda Cliente
Granel
Envasado
Total
01
93
3
96
02
10
1
11
03
10
3
13
04
76
6
82
05
26
16
42
06
5
5
10
07
74
24
98
08
69
19
88
09
21
11
32
10
22
12
34
24
11
46
16
62
12
11
6
17
13
48
4
52
14
4
40
44
15
10
30
40
Total
525
196
721
M odelo TRANS. Costos de transporte.
Origen Destino
Producto
Lago Agrio
Baeza
Ibarra
Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado
8 84 70 26 29 34 -
63 28 91 67 61 31 -
Babaho o
Otavalo CLI01
CLI02 CLI03 CLI04 CLI05 CLI06 CLI07 CLI08 CLI09 CLI10 CLI11
CLI12
CLI13 CLI14 CLI 15
-
Ibarra -
6 22 22 98 92 12 36 31 90 49 58 89 69 82 75 18 67 54 88 19 67 72 6 75 98 5 54 13 62 2
Babahoyo
Otavalo
52 94 58 11 59 65 89 13 95 53 61 8 2 88 21 62 57 89 37 82 27 18 59 17 41 42 14 97 94 34
90 42 98 10 81 16 62 86 71 12 98 33 91 96 39 58 99 51 68 18 6 95 58 0 31 32 35 31 75 15
25
La solución obtenida consiste en fabricar 168 t en Baeza y envasar toda la producción de esa fábrica. Una vez envasadas se envían 135 toneladas al almacén de Ibarra y 33 t al de Otavalo. La producción de Lago Agrio (553 t) se dedica a atender la demanda de producto a granel (553-28 = 525 t) y sólo se envasan 28 t que son enviadas al almacén de Babahoyo. La producción no envasada se envía a los almacenes: 288 t a Ibarra, 163 t a Otavalo y 74 t a Babahoyo. Otros detalles de la solución se pueden apreciar en la tabla de la página siguiente. M odelo TRANS. Cantidades óptimas de transporte.
Origen Destino
Producto
Ibarra
Ibarra
Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado Granel Envasado envíos
93 3 10 10 3 76 26 5 24 19 21 22 12 11 4 4 40 10 30 423
Babahoyo
Otavalo CLI01
CLI02 CLI03 CLI04 CLI05 CLI06 CLI07 CLI08 CLI09 CLI10
CLI11 CLI12 CLI13 CLI14 CLI15
Total de
Lago Agrio 288 74 28 163 553
Baeza
Babahoyo
135 33 -
1 6 5 74 16 102
168
16 69 11 46 6 48 196
26
MODELO COMPETI Este ejemplo ilustra un uso de la optimización diferente del propósito normal de optimizar las operaciones de una empresa. En este caso se intenta analizar un mercado en competencia poniéndose en la piel de los competidores. Tres empresas, que llamaremos A, B y C, venden su producto en varias provincias. El producto que venden es idéntico y por tanto un cliente no puede distinguir si el producto lo ha fabricado la empresa A, la B o la C. Concretamente, la empresa A tiene sus fábricas en Macará y Quevedo, la empresa B en Guayaquil y Lago Agrio y la C en Ambato y Manta. Las tres empresas tienen ventas en las siguientes provincias: Quito, Machala, Cuenca, Esmeraldas, Loja, Sto. Domingo, Riobamba, Macas, Tulcán y Puyo. Para hacer llegar a los clientes el producto tiene dos opciones: a) Optimizar el envío desde sus propias fábricas, o, dado que el producto es idéntico, b) Intercambiar producto con las demás empresas de forma que todas mejoren sus costos de transporte; es decir, en el caso de que interese enviar producto a un cliente de la empresa A desde una fábrica de la empresa B, la primera le compra el producto a la segunda que es la que hace el envío físico del producto desde su fábrica.
Para analizar las diversas opciones se analiza por separado el problema de cada empresa y después se examina el óptimo conjunto. Por tanto, se resuelven cuatro problemas. En el primer caso se está analizando desde la óptica de cada empresa, en el segundo se está haciendo una planificación de todo el sector. De la comparación entre los óptimos individuales y el conjunto se podrán deducir las acciones más beneficiosas para todos. Los datos más importantes del problema son los siguientes: • Orígenes-fábricas (entre paréntesis la disponibilidad o producción en toneladas): Macará (200), Quevedo (300), Guayaquil (350) y Lago Agrio (150), Ambato (150) y Manta (150). • Destinos con la demanda de cada empresa: M odelo COM PETI . Tabla de demandas
Cliente
Empresa A
Empresa B
Empresa C
Quito Machala Cuenca Esmeraldas Loja Sto. Domingo Riobamba Macas Tulcán Puyo
3 10 20 30 30 50 170 20 10 40
5 8 13 35 70 100 50 5 40 50
2 2 7 5 0 50 80 35 30 30
Total
383
376
241
La tabla siguiente recoge las posibilidades de transporte y su costo unitario:
27
Origen Destino
Macará
Quevedo Guayaquil Lago Agrio
Ambato
Manta
Quito
8
2,43
5,36
5,83
6,59
1,58
Machala Cuenca Esmeraldas Loja Sto. Domingo Riobamba Macas Tulcán Puyo
4,84 4,07 11,72 1,66 8,96 5,63 2,19 9,7 4,6
6,18 2,56 5,38 5,34 2,55 1,15 5,16 4,37 4,67
3,42 3,18 7,72 4,38 4,96 4,01 6,75 7,55 7,16
12,84 8,11 11,18 8,68 7,84 6,21 5,9 4,37 3,49
6,88 3,78 10,31 3,53 7,55 4,22 0,75 6,73 1,66
10,58 5,85 6,44 8,29 3,59 3,95 7,96 1,59 6,33
Solución En la solución individual cada empresa abastece a sus clientes: la empresa A incurre en un costo de transporte de 913 um, la empresa B a de gastar en el transporte a sus clientes un total de 1.748 um y la empresa C para los envíos a sus clientes emplea 699 um. Es decir, entre las tres suman un costo de transporte de 3.360 um. Si se hace la optimización conjunta cada una de las empresas abastece a los clientes, propios o ajenos, que hacen mínimo el costo total. Efectivamente, este costo total baja a 2.588 um con un sustancial ahorro de un 23 por 100 sobre la suma de óptimos individuales. Ahora bien, los costos de cada empresa con la solución conjunta no son menores para cada una de ellas. Observando el cuadro siguiente se puede apreciar que mientras que las empresas B y C ahorrarían con el óptimo conjunto 574 um y 226 um respectivamente, la empresa A ve ligeramente encarecidos sus costos de distribución. ¿¡No le interesa la solución conjunta!? No le interesa, ¡salvo que las dos empresas B y C compartan con ella sus ahorros!:
Empresa A con 941
Empresa B 1.147
Costos totales intercambio Costos totales sin 913 1.748 intercambio Ahorro absoluto (28) 574 Ahorro relativo (%) -3,07% 32,84% Beneficio conjunto (suma de ahorros de las empresas)
Empresa C 473
Total 2.588
699
3.360
226 32,33%
772 22,98% 772
Ahorro por empresa (reparto lineal ) Pagos (+) o cobros (-)
(285) 257 28% 656
257 317 257 15% 1.491
(31) 257 37% 442
Sumando los ahorros de las empresas B y C con el desahorro de la A se obtiene un ahorro conjunto de 772 um. Tras constatar estas cifras las empresas deciden repartir a partes iguales los ahorros (¡el lector puede pensar en otras técnicas de reparto!); es decir, se ha de lograr que cada empresa rebaje sus costos en 257 um. Este acuerdo está recogido en la parte inferior del cuadro anterior. La solución 28
final es un ahorro de costos de transporte del 28 por 100 para la empresa A, 15 por 100 para la B y 37 por 100 para la C. Lógicamente, es posible pensar en otras soluciones al reparto del ahorro: en función de actividad relativa, en función de clientes atendidos. Nótese, por otra parte, que no se ha analizado el precio al que se transfiere el producto. En este sentido téngase en cuenta que las fábricas de Macará, Quevedo y Ambato fabrican más producto con intercambio que sin él, mientras que las demás fábricas han de producir menos o nada, como la de Guayaquil. Estos detalles se podrían modelizar en modelos más complejos que incluyan los costos de producción de cada empresa. Resumen
Los modelos de optimización se pueden emplear para otras funciones además de la planificación de la distribución de una empresa. EL modelo COMPETI ha permitido disponer de herramientas para negociaciones estratégicas.
MODELO REAL Para concluir el abanico de problemas se va a comentar un modelo complejo y realista. El modelo consta de 1.500 nodos numerados del 1 al 1.500, codificados desde «00001» al «01500». El modelo REAL contempla la planificación del transporte de cinco productos en un único periodo (puede representar una semana, un mes, un trimestre, un año,...). De los 1.500 nodos se supone que los ocho primeros son fábricas, los 35 siguientes son almacenes intermedios y los 1.457 restantes son puntos de venta que se deben suministrar desde los almacenes. La idea inicial que se puede plantear es tener en cuenta todas las posibilidades. Esto conduce a (8 x 35 + 35 x 1.457) x 5 = 256.375 variables de transporte. Entre ellas hay muchas absurdas: no parece razonable que resulte óptimo en un situación normal tener que suministrar un punto de venta desde un almacén alejado teniendo otros dos, tres o cuatro más cercanos. En situaciones normales se puede emplear una estrategia de reducción del tamaño como la que se explica a continuación: 1. Para cada punto de venta encontrar los N almacenes más cercanos. 2. Permitir que cada punto de venta pueda ser servido solamente por esos N almacenes. Obviamente N debe ser mayor a 1.
(8*35+1.457*N)*5 N 2 3 4 5 6 7
Num. de variables 15.970 23.255 30.540 37.825 45.110 52.395
Un valor más alto da más opciones al modelo y un posible mejor óptimo a costa de mayor tiempo de cálculo. La decisión dependerá del problema concreto de que se trate y de la velocidad y memoria disponible en el computador. En el modelo REAL se ha elegido N = 3, es decir cada punto de venta se puede suministrar desde los tres almacenes más próximos. Una vez establecidos los nodos, productos, periodos y arcos de transporte posibles, basta con indicar: • Producciones mínima y máxima de cada fábrica. • Demandas en los puntos de venta (desde el nodo 44 al 1.500).
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