FÍSICA
VECTORES UNITARIOS UNITARIOS DESARROLLO DEL TEMA VECTORES CARTESIANOS I.
SIST SISTEM EMAS AS DE COORDE COORDENA NADA DAS S A DE DERERE-
II. COMPON COMPONEN ENTES TES RECT RECTAN ANGUL GULARE ARES S DE
CHAS
UN VECTOR
Un sistema de coordenadas a derechas se utiliza para desarrollar la teoría que se sigue en el algebra vectoria l.
Un vector puede tener uno, dos, o tres componentes rectangulares, dependiendo de cómo se orienta el vector relativo al sistema de ejes coordenados x , y , y z.
Un sistema de coordenadas es a derechas cuando colocando el pulgar dirigido en la dirección del eje z positivo los demás dedos de la mano derecha se cierran del eje x positivo positivo al eje y positivo, positivo, Fig. 1. Además, según esta regla, el eje z en en la Fig. 2 se dirige hacia fuera, perpendicular a la página.
Por ejemplo:
–
–
z
Si A se dirige a lo largo del eje de x, Fig. 2a, entonces A A x , Si A se encuentra en el plano x-y, entonces las dos componentes A x y A y , serán determinadas
usando la ley del paralelogramo, Fig. 2b, donde A A x A y –
x
Si A se dirige dentro de un octante en el marco de x, y , y z, Fig. 2c, A es representado por la
suma de sus tres componentes rectangulares, A A x A y A z ……………..……………………… (1) y
III. VECTORES VECTORES UNIT UNITARIOS ARIOS
Fig 1
U n vector unitario es un vector libre cuyo módulo es la unidad. Si A es un vector cuyo módulo A 0 , entonces un vector unitario teniendo la misma dirección del A e s representado por: u A A ......................... (2) A LIBRO UNI
1
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VECTORES UNITARIOS
Exigimos más!
Si A se encuentra en el plano x - y se expresara como sigue A A ˆi A ˆj
Reescribiendo esta expresión tenemos A Au A ....................... (3)
x
y
Si A se dirige dentro de un octante del marco x, y y z, se expresara como sigue ˆ ……………… (4) A A x ˆi A y ˆj A z k
También es po sible representarlo así: A (Ax , A y , Az ) IV. MAGNITUD MAGNITUD DE UN VECTOR VECTOR CARTE-
Donde el vector A es una magnitud vectorial cualquiera, por ejemplo: un vector fuerza. Todo vector
SIANO
Siempre es posible obtener la magnitud de un vector cuando esta expresado en términos de sus componentes rectangulares. rectangulares. Por ejemplo:
posee pues un módulo, representado por la cantidad escalar A y una dirección determinada por el vector adimensional u A , Fig. 3.
Si: A
III. VECTORES UNITARIOS UNITARIOS RECTANGURECTANGU-
A x ˆi A y ˆj (A x , A y )
LARES
La manera de simplificar las operaciones en el algebra vectorial, se hace uso de los vectores unitarios rectangulares (versores rectangulares) ˆi , ˆj y kˆ , los
Su módulo será: A A x 2 A y 2 Si: A A x ˆi A y ˆj A z ˆk (A x , A y , Az )
cuales serán usados para definir las direcciones positivas de los ejes x, y y z.
Su módulo será: A A x 2 A y 2 A z2
z
i
k
A los ángulos que forman el vector con cada uno de los ejes rectángulares se les denomina ángulos directores, y a los cosenos correspondientes cosenos directores para los cuales se cumple:
y j
Z Az
x Fig 4
A
y Ay
Ax
x
Por ejemplo:
Cos
Si A esta dirigido a lo largo del eje x positivo se expresara como sigue A A x ˆi LIBRO UNI
Haciendo uso de la ecuación (3), las componentes del A en la Fig. 2 se pueden expresar en función de los Vectores Unitarios Rectangulares.
A y A x A Co s Cos z A A A
Cos2 Cos 2 Cos 2 1 2
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VECTORES UNITARIOS
Exigimos más! Luego el vector se puede expresar como:
A A x
i
A y
j
(a) El producto vectorial entre dos vectores es un vector perpendicular a ambos vectores en la dirección dada por la regla de la mano derecha (b). Si se cambia el orden de los vectores en el producto vectorial, se invierte el sentido del vector.
A zk (A x ; A y ; Az )
A A(Cos i Cos j Cos k)
A x B V.
PRODUC PRODUCTO TO ESCAL ESCALAR AR DE VECT VECTORE ORES S
El producto escalar (punto) de dos vectores a y b (no nulos) se define por: b
A
a
Sentido Positivo de A a B
B
a . b | a | b | Co Cos (Escalar)
(a)
Propiedades del producto escalar.
1. a . b b . a
2. a . b b . a
3. a . (b c) a . b a . c
4. a . a | a |2 a2x a2y az2
A
5. Si: a b : a . b 0
Expresión en componentes rectangulares: 1.
i .i
j . j
k . k 1;
i. i. j i . k
j . k ˆ
B
0
B x A = –A x B (b)
2. a a xi a y j azk a . b a xb x a yb y azb z b b xi b y j b zk
Propiedades del producto vectorial:
1.
A B –B A
2.
A B C A B A C
Para dos vectores A y B (no nulos) su producto
3.
A B (A B)
v ec ec to to ri ri al al ( as as pa pa ) e s o tr tr o v ec ec to to r N A B con las siguientes características:
4.
Si: A // B : A B 0
VI. PRODUCTO VECTORIA VECTORIAL L DE DE VECTORES VECTORES
N | | A B | | A || B | Sen Módulo: | N|
1.
i
3.
Direc Di ón: Perpen Perpendi dicul cular ar al plano plano defi definid nido o por reccci cción: A y B
j i –k k j –i i kˆ –j
2.
Sentid Sentido: o: Deter Determin minado ado por la la regla regla de la la mano mano derecha. LIBRO UNI
i j j k k 0 i j k j k i k i j
2.
Expresión en componentes rectangulares:
1.
A Axi Ayj Azk B Bxi Byj Bzk
A B –A B ) A B i AyBz – AzBy j(AzBx – AxBz) k(A k( x y y x
3
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VECTORES UNITARIOS
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problemas
Problema 1
resueltos
4
Dado los vectores A y B tales que:
| R | (5) 5)2 (1) 2 26
4
A B i j y A B 2 i j 2
9 1 1
Respuesta: C)
Respuesta: A) 1
2
26
Hallar A B
Problema 2
A ) 1 C) 3 E) 5
B) 2 D) 4
Determine el módulo del vector resultante si:
Determine el vactor resultante del sistema de fuerzas mostrado.
A 8 i 5 j
Resolución: Como:
Problema 3
B 4 i 6 j
C 9 2 j
A B i j A B 2i j 2A 3 i A 3 i y 2 B1 i j 2
A) A )
13
B)
21
C)
26
D)
29
E)
30
2 2 A 2 B 2 3 1 1 2 2 2
LIBRO UNI
2
F3 6 i
B) 6 i D) 8 i
Resolución: Sabemos:
R AB C
R F1 F2 F3
F2 4 i
A) A ) 5 i C) 7 i E) 9 i
Resolución: Se sabe
piden: A 2 – B2
F1 5 i
(8 i 5 j) ( 4 6 j) ( 9 i 2 j) R (5 i 1 j) ( 5; 1)
4
(5 i ) (4 i ) (6 i ) 7i
Respuesta: C) 7 i
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CINEMÁ CINEMÁTICA TICA I DESARROLLO DEL TEMA
I. CONCEPTO
II. ELEMEN ELEMENTOS TOS DEL DEL MOVIMI MOVIMIEN ENTO TO MECÁMECÁNICO
Podemos decir que la CINEMÁTICA, es parte de la mecánica que estudia el movimiento mecánico de los cuerpos, sin considerar las causas que lo originan o la modifican, es decir estudia las características geométricas del movimiento mecánico. • ¿Qué es el movimiento mecánico? Es el cambio continuo de posición de un cuerpo con respecto a otro. Por ejemplo observemos el movimiento del balón mostrado en la figura, este realiza movimiento mecánico, por que cambia de posición respecto al jugador "A".
El movimiento mecánico posee los siguientes elementos:
A. Vector posición ( r )
Nos indica la posición del móvil en un instante de tiempo. •
• r A : Vec Vector tor pos posici ición ón en (A). (A).
¿Por qué decimos que el movimiento mecánico es relativo?
• rB : Vecto Vectorr posici posición ón en (B). (B).
Porque depende del observador o cuerpo de referencia. Por ejemplo en el gráfico vemos que para el observador "A" el foco realiza movimiento mecánico pero para el observador "B" no, porque no cambia de posición respecto a él.
B. Vector Vector despla desplazam zamient iento o ( (r )
Es aquel vector que nos indica el cambio de posición del móvil.
V (B) (A)
r rB r A
foco
UnidadS.I UnidadS.I.(metros :m) C. Espa Espaci cio o (e) (e) Es la longitud de la trayectoria entre 2 puntos cualquiera. Esun escalar que se expresa en cualquier unidad de longitud.
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/ =/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/= /=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
El foco cambia de posición
(A)
El foco no cambia de posición
V (B)
D. Dista Distanci ncia a (D) (D) Es la longitud o módulo del vector desplazamiento.
foco
d | r | =/=/=/=/=/= =/=/= /=/=/=/=/=/=/=/=/=/ /=/=/=/=/=/= =/=/=/=/=/ /=/=/=/=/= =/=/=/=/=/= /=/=/=/=/= /=/=/=/=/ /=/=/
LIBRO UNI
5
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CINEMÁTICA I
Exigimos más!
III. MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
Rapidez media (R. M) Cantidad escalar que se relaciona con la distancia recorrida por el móvil durante un intervalo de tiempo, se determina por:
Velocidad ( V )
Es una magnitud física vectorial que nos expresa mediante su valor la rapidez con que un cuerpo cambia de posición y además nos indica en qué dirección se mueve el cuerpo. Además la velocidad se puede medir en un intervalo de tiempo (velocidad media) o en un instante
R.M.
Dist ancia Re corrida Tiempoempleado
La rapidez media mas representa el valor de la velocidad con la cual debería moverse el móvil para recorrer con movimiento uniforme y en el mismo tiempo la distancia que ha recorrido con movimiento variado.
(velocidad instantánea). Velocidad media ( VM)
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Es aquel movimiento rectilíneo en el que el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, es decir su velocidad permanece constante.
Se define: VM r rB r A UnidadS.I.m /s t t El módulo de la velocidad media se calcula: d | r | VM d UnidadS. I.m/s t
Se cumple:
donde: d: distancia (m – km) v: velocidad (módulo) (m/s – km/h) t: tiempo (s – h)
d: distancia (metros: m) t: tiempo (segundos: s) También se define la rapidez media (m) como:
d vt
e UnidadS.I.m/s t
•
Tiempo de encuentro (te) te
V A
e : espacio (metros: m) t : tiempo (segundos: s)
VB
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
d
Velocidad instantánea ( V ) Determinada para cada instante de tiempo. Se representa por un verctor tangente a la trayectoria en el punto considerado, indicando su módulo la distancia que recorrería el móvil en la unidad de tiempo.
te •
d V A VB
Unidad (s)
Tiempo de alcance (t a) ta Va
V A
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
d
ta
Distancia Recorrida V Unidadde tiempo
LIBRO UNI
6
d Unidad(s) V A VB
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FÍSICA
CINEMÁTICA II DESARROLLO DEL TEMA
I. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
dn v 0 1 a(2n 1) 2
Es aquel movimiento rectilíneo con aceleración constante, es decir el móvil varía su velocidad en la misma proporción en intervalos de tiempos iguales. Por ejemplo, si un cuerpo acelera con 3 m/s 2, decimos que cada segundo su velocidad varía en 3 m/s.
• • •
n : enésimo segundo a : aceleración (m/s 2) v0: velocidad inicial (m/s)
II. MOVIMIENTO VERTICALDE CAÍDA LIBRE Es aquel movimiento con aceleración constant e de trayectoria vertical, donde la única fuerza que actúa es la fuerza de la gravedad (Es decir no se considera la resistencia del aire) • Elementos y Ecuaciones del MVCL (A)
a = 3m/s 2 A. Elementos del MRUV
h
v0 : Velocidad inicial (m/ s) vF : Velocidad final (m/s) a : aceleración (m/s 2) t : t iempo (s) d : distancia (m)
1. h = v0t +
g t
(B)
• • • • •
v0
vF
2. h = v 0 vF t 2 2 2 4. vF = v0 + 2gh
1 gt 2 2
3. vF = v0 + gt Donde:
• • • • •
B. Ecuaciones
1. d v0t 1 at2 2 v0 vF Cada cantidad viene con su 2. d t 2 respectivo signo el cual depende 3. vF v0 at del sentido tomado como positivo 4. v2F v 02 2ad
v0 vF g h t
: : : : :
Velocidad inicial (m/s) Velocidad final (m/s) aceleración de la gravedad (m/s 2) altura (m) tiempo (s)
Análisis del MVCL
P vM
Desplazamiento en el enésimo segundo (dn)
M
vN
N
g
HMAX
v0 (A)
LIBRO UNI
7
(B)
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CINEMÁTICA II
Exigimos más! •
Se cumple: i) tSUB = tBAJ =
v0=0 m/s
v 0 g
t VUELO = tSUB + tBAJ = ii) H MAX =
v 0
g
A
v
15m
2g
B
10 m s
2
iii) v A = vB y vM = vN (A alturas iguales rapideces iguales) iv) v
1s
5m
2 v 0
y
v
M
20 m s
25m
1s
g=10m/s2
1s
v N
(A alturas iguales las velocidades no son iguales) v) vp = 0m/s (En el punto más alto la rapidez es nula)
30 m s
35m
Los números de Galileo Considerando g = 10 m/s2, se cumple:
1s
40 m s
Nota: Para el movimiento rectilínio las diferentes cantidades vectoriales se convierten en cantidades algebraicas cuyo signo depende de como se oriente el eje elegido. Para el caso de un M.R.U.V. se tiene por ejemplo:
Movimiento Acelerado
V(–)
a(–)
V aumentado Movimiento Desacelerado
V disminuye
LIBRO UNI
8
X
(+)
X
a(+)
(–) a(+)
V(+)
a(–)
FÍSICA
FÍSICA
CINEMÁTICA III DESARROLLO DEL TEMA GRÁFICAS DEL MRU - MRUV
B. Variación Lineal
y
I.
GRÁFICAS EN CINEMÁTICA En el estudio de las magnitudes cinemáticas es común encontrar una relación entre dos o más magnitudes, de tal manera que si aumenta el valor de una de ellas, entonces ca mbia el valor de la otra (aumentando o disminuyendo); por lo tanto se afirma que entre ellas existe una proporción (directa o inversa) a una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc, en general se dice que una de ellas está en función de la otra. Cuando una magnitud es función de otra, entonces se puede construir una gráfica que relacione a dichas magnitudes y para ello se emplean los ejes rectangulares x – y, en cinemática encontramos que la velocidad, la aceleración y la posición de móviles se pueden expresar en función del tiempo, por lo tanto se pueden construir los gráficos correspondientes. Relaciones básicas
V0
x x
O
y kx y 0 C. Variación Cuadrática
y y
Semiparábola
x x
O
y k(Constante) x2
y kx 2
A. Proporción Directa
II. EN EL MRUV
y Magnitud Dependiente
O
A. Gráfica V - t
En este caso la gráfica es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, esta se debe a que la velocidad es constante y no depende del tiempo transcurrido. V
x x Magnitud Independiente
V
y x
k(Cons tante)
y kx k Tg(pendiente)
LIBRO UNI
O 9
t
t
FÍSICA
CINEMÁTICA III
Exigimos más!
2. La sumatoria algebráica de las áreas considerando signos positivos para los ubicados encima del eje positivo y signo negativo para los ubicados por debajo, nos da el desplazamiento efectuado.
Propiedad:
d Área
Observación:
(a) Primer cuadrante Desplazamiento
debajo d S arriba del eje t – Sdel eje t
área (+)
hacia la derecha
(b) Cuarto cuadrante
área
Otro ejemplo:
(–)
x1
Desplazamiento hacia la izquierda
y
t2
Nota 1.
t1
O
Así por ejemplo
t
x2
V k V +V1
d(+) t
t2
t1
O
t
O –V2
d Movimiento hacia la derecha (d = 0)
V1
V2 x2
V
x1
O
2. Gráfica x – t
O
En este caso la gráfica es una línea recta inclinada la cual no necesariamente pasa por el origen de coordenadas, esto se debe a que el móvil va cambiando de posición durante el transcurso del tiempo.
t
d(–) k V
x x
d Movimiento hacia la izquierda (d = 0)
x0
0
t
Propiedades
1. El área comprendida entre la recta representativa y el eje temporal nos da la distancia recorrida.
Propiedad.
V Tg
d = Área LIBRO UNI
10
FÍSICA
t
CINEMÁTICA III
Exigimos más! Importante: (a) Desplazamiento hacia la derecha.
a a
x
x0
0
VF
V x
0 x0 V
t
Propiedad:
t
0
t
– V0 área
2. Gráfica V – t
En este caso la gráfica es una línea recta inclinada cuya pendiente puede ser positiva o negativa, esto se debe a que la velocidad del móvil va cambiando continuamente ya sea aumenta o disminuyendo asó como tambien cambiando su dirección.
tg (positivo)
(b) Desplazamiento hacia la izquierda.
x0
V Vt
Vi
t
0
0
t
t
V x
x0 . . .
0
Propiedad:
V Tg T g
a Tg d área
(c) Cuerpo en reposo. Observaciones:
x
Si el móvil parte del reposo la gráfica es:
x0
O
t
V V1
0
t
0
1. Gráfica a – t
En este caso la gráfica es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, esto se debe a que la aceleración es constante y no depende del tiempo transcurrido.
LIBRO UNI
t
t
Si el móvil desacelera la gráfica e s:
11
FÍSICA
CINEMÁTICA III
Exigimos más! Para recordar:
V V1
(a) Área debajo de la gráfica (MRU). a = Tg
V(m/s)
0
60 50 40 30 20 10
t
t
Pero:
Área = (6 – 2)(40) = 160 d = 160 m
Área 1 2 3 4 5 6
Tg Tg a Tg
t(s)
(b) Área debajo de la gráfica (MRUV). 3. Gráfica x – t.
En este caso la gráfica es un arco de parábola cuyo eje es vertical paralelo al eje de coordenadas (x), si el móvil parte del reposo la gráfica es una semiparábola, cumpliéndose que en cada punto de la gráfica la pendiente nos da la velocidad instantánea del móvil. x
x
a(m/s 2) 30 25 20 15 10 5 0
Arco de parábola
Área
Área = (8 – 2)(25) = 150 d = 150 m/s t(s)
2 4 6 8 10
Para recordar:
(a) Área de triángulo
x0 t
O
t
Propiedad:
b
V Tg b
Área b .h 2
LIBRO UNI
12
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CINEMÁTICA III
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
Una partícula se muestra a lo largo del eje x de acuerdo a la gráfica posición (x) - tiempo (t). Hállese su velocidad media entre. t1 = 5s y t 2 = 15s.
indica la gráfica v-t. Si en el instante en que sus velocidades se igualan, el desplazamiento de A es el triple del desplazamiento de B, obtener la aceleración de B (en m/s2). V(m/s)
O
15
10 (t –10) 2
10 t 2
t 15s
a 10 a 2 t–10
t Respuesta: A) 2
25(s)
5
Luego la aceleración de B:
B A
10
10 8
(1) en (2): 3
x(m) 20
3A 10t .................(2) 2
O
–10
t(s)
10
Problema 3
A) B) C) D) E)
A) B) C) D) E)
3 m/s – 1,5 m/s –3 m/s 2 m/s 1,5 m/s
Un móvil de mueve a lo largo del eje x, y su velocidad varía con el tiempo de acuerdo a la gráfica que se muestra. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
Resolución:
Resolución:
Recordemos que la velocidad media se determina por: Vm x t
x 2 – x1 t 2 – t1
De la gráfica: t1 5s x1 20 m y t 2 15s x 2 10 m . Vm
2 4 0,2 0,4 5
Recordemos que en la gráfica v-t el desplazamiento (distancia) está indicada por el área que encierran la gráfica con el eje de los tiempos. Las velocidades se igualan cuando las gráficas se cortan, luego hallando el instante cuando se igualan.
LIBRO UNI
( ) La longitud total recorrida durante los 15 s es 1250 m
B A
10
0
5
–100
2A O
A
10
t
Problema 2
Dos móviles A y B recorren la misma recta, variándo sus velocidades según
( ) La velocidad media durante los primeros 10 s es 25 m/s.
50
(–10) – (20) V –3 m m (15) – (5) s Respuesta: C) –3 m/s
( ) El desplazamiento durante los primeros 15 es –750m.
A 10(t – 10) ..........(1) 2 13
t
A) B) C) D) E)
VVV FFF VFV FFV VFF FÍSICA
15t(s)
CINEMÁTICA III
Exigimos más!
x A1 – A 2 – A 3 A1 x 50(5) –100(10)
V
x
50 A1 0
Vm = –25 m/s
(V) Desplazamiento (x)
Resolución:
5
15
10 A2
t
– (A 2 A 3)
–750m
LIBRO UNI
L1
A1
A 2 A 3 L 50 (5) 100 (10)
L 1250 m
(F) velocidad media (0; 10 s):
VFV
A3
A – A 2 5(50) – 5(100) Vm 1 10 10
–100
(V) Longitud recorrida:
14
Respuesta: C) VFV
FÍSICA
FÍSICA
CINEMÁTICA IV DESARROLLO DEL TEMA
I. MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTE En este movimiento se tiene que la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, es decir no interesa el intervalo de tiempo en el cual se determina.
t
2 Vy2 Voy 2ay y
2 2ax x Vx2 Vox
Considerando t 0 0 tenemos que la velocidad se puede expresar como:
Vy Voy y y o 2
V Vox x x o x t 2
V 2 Vx2 Vy2 Vo2 2axx 2ay y
V V aT Ecuación vectorial la cual expresada en componentes cartesianas nos da:
Luego el vector posición se determina por:
Vx V0x ax T Vy V0y ay T Ecuaciones escalares
r Xˆi yjˆ ro Vot 1 at 2 2
Y (+)
V
y
a=const.
en forma analoga tenemos que:
x
V 2 Vo2 2a. r
r x2 yjˆ
x x x o
y y y o
Estas últimas ecuaciones nos sugiere que este moviminto se puede considerar como la combinación de dos movimientos rectilineos con aceleración constante a lo largo de cada uno de los ejes. Luego las ecuaciones para cada una de los movimientos tenemos: EJE X a x c te : M.R.U.V. Vx Vox ax t
x x o Voxt 1 axt 2 2
LIBRO UNI
ro Xoˆi y oˆj Vo Voxˆi Voyˆj ao axˆi ayˆj X (+)
0
Nota: (1) Cada una de las cantidades que intervienen en las diferentes ecuaciones escalares tienen un signo que depende de su orientación con respecto a los ejes coordenados
EJE Y ay cte :M.R.U.V.
(2) En general la trayectoria recorrida por el móvil es una parabola. En el caso particular que la velocidad inicial sea paralela a la aceleración, la trayectoria sera una línea recta.
Vy Voy a yt y y o Voy t 1 ayt 2 2
15
FÍSICA
CINEMÁTICA IV
II. MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAIDA LIBRE (MPCL)
Eje x: x = V x . t Eje y: y V0 t 1 gt 2 2
A. Concepto Es aquel movimiento con aceleración constante, cuya trayectoria es una línea curva denominada parábola. También podemos decir que este es un movimiento compuesto porque está formado por: Eje x: MRU si : g // ejeY Eje y: MVCL
y
(V0 VF )t 2
Fy
V0 gt
2
VF y
y
Vo2 2gy y
D. Propiedades
B. Elementos
1.
Donde: • : ángulo de elevación • L: alcance horizontal • tv: tiempo de vuelo • HMax: altura máxima
Tan
4HMAX L
2.
Análisis del movimiento VP =Vx y
Vy
V Vx
V0y V (A) Vx
Vx H MAX Vy
Vx
agy g
90
x
V0y V
Se cumple: 1.
V
3. Alcance horizontal máximo: (L MAX):
Vx : permanece constante Vy : varía debido a la aceleració n de la gravedad
2. t v tSUB tBAJ 3. HMAX
2Voy g
Voy2
2 L MAX V cuando 45 2g
2g
4. V Vx2 V2y 5. VM = VN (a alturas iguales rapideces iguales). 6. VP = Vx (no es cero). 4.
C. Fórmulas del MPCL Para resolver un problema de MPCL, no hay fórmulas, se utilizan las ya conocidas del MRU (en el eje x) y las del MVCL (en el eje y), teniendo en cuenta que el tiempo es común en ambos ejes.
LIBRO UNI
Tan h h a b
16
FÍSICA
CINEMÁTICA IV
problemas
resueltos
Resolución:
Problema 1 El gráfico muestra la velocidad versus la posición x de una partícula que parte
Resolución:
Del gráfico:
Aplicamos: h Vi t 1 gt2 2
del origen de coordenadas en el instante t = 0 s con una aceleración
180 (0)t
t 6s
constante. Dadas las siguientes proposiciones:
I.
La aceleración de la partícula es de
Vf 2 Vo2 2ad 36 = 4 + 2a(4)
8 m/s2.
a = 4 m/s 2
II. La partícula pasa por x = 4,0 m en el instante t = 1,0 s. III. La velocidad de la partícula en el instante t = 5,0 s es de 20,0 m/s.
Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
1 (10)t 2 2
Ahora: usamos VF = Vi + g t VF = 0 + (10)(6) VF = 60 m/s Respuesta: C) 60 m/s
Ecuación posición x = x o + Vot + x = 2t + 2t 2
1 2 at 2
V = 2 + 4t
I. Falso
a = 4m/s2
II. Verdadero
para t = 1s; x = 4m
III. Falso
en t = 5s; V = 22m/s
Problema 3 Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s, si el proyectil choca contra el techo con una rapidez de 10 m/s, calcular a que altura está el techo. (g = 10 m/s 2)
Respuesta: D) FVF
UNI 2009 - II
Problema 2 Un cuerpo es soltado desde una altura de 180 m. Hallar la rapidez final cuando este llega al suelo. (g = 10 m/s 2)
A) 20 m C) 5 m E) 30 m
B) 10 m D) 15 m
Vi =O
Resolución: t
180m
g
Aplicaciones VF2 Vi2 2gh Reemplazando valores: (10)2 =(20)2 – 2(10)H
A) FFF C) VFV
B) FFV D) FVF
E) VVV
LIBRO UNI
A) 50 m/s C) 60 m/s E) 10 m/s
B) 20 m/s D) 30 m/s
17
H = 15 m Respuesta: D) 15 m
FÍSICA
FÍSICA
MCU DESARROLLO DEL TEMA
I.
D. Velocidad angular ()
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
Determina la rapidez con la cual varía la posición angular. Se representa por un vector perpendicular al plano de la t rayectoria cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
En este movimiento el móvil recorre una circunferencia o un arco de cincunferencia con una rapidez constante. En este movimiento se tiene los siguientes elementos:
Ángulo barrido Unidad de tiempo Unidad rad/s
A. Desplazamiento angular ( )
Ángulo que barre el radio cuando el móvil pasa de una posición a otra, se expresa en radian.
R V
V WR
E. Aceleración centrípeta (ac )
B. Desplazamiento lineal (S)
Determina el cambio en dirección del vector velocidad. Se representa por un vector perpendicular al vector velocidad y siempre indica hacia el centro de la trayectoria:
Arco recorrido por el móvil al pasar de una posición a otra, se expresa en metro. Se cumple la relación:
ac V
S AB R
V 2 ac 2 R R
C. Velocidad Tangencial (V)
Determina la rapidez con la cual el móvil recorre su trayectoria: V
ArcoRecorrido Unidad de tiempo unidad: m/s; km/h; ....
Una propiedad del MCU es la de ser un m ovimiento períodico, es decir, se repite a intervalos regulares de tiempo. Debido a esto se tienen las siguientes cantidades: LIBRO UNI
18
FÍSICA
MCU
a. Periodo (T,P)
b. Frecuencia (f)
Tiempo mínimo al cabo del cual se repite el movimiento
Rapidez con la cual se repite el movimiento.
Cumpliéndose: T 1
f
Nota: (1) Recordar que
el ángulo se puede expresar en grado sexagesimales, radian o vueltas cumpliendose la relación: 1 vuelta 360 2rad. (2) En el caso que
el ángulo se exprese en vueltas o revoluciones la rapidez angular y la frecuencia son numericamente iguales.
LIBRO UNI
19
FÍSICA
FÍSICA
MCUV DESARROLLO DEL TEMA I.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V)
2. Aceleración angular ( ) Si un cuerpo se desplaza por una curva y su velocidad angular cambia, entonces aparece la aceleración angular cuya dirección es perpendicular al plano de rotación y su sentido coincidirá con el de la velocidad angular si el movimiento es acelerado y será de sentido opuesto a ella si el movimiento es desacelerado.
A. Conceptos previos
1. Aceleración tangencial o lineal (aT ) Si un cuerpo se desplaza por una curva y el valor o módulo de su velocidad tangencial cambia, entonces aparece la aceleración tangencial cuya dirección será tangente a la circunferencia y su sentido coincidirá con el de la velocidad tangencial si el movimiento es acelerado y será de sentido opuesto a ella, si el movimiento es desacelerado.
F o t
cte
Unidades:
VF Vo cte Unidades: m ; cm ; etc a T t 2 2 s s
rad ; rad ; rev ; rev ; etc s 2 min2 s 2 min2
V
a
R
Movimiento acelerado
Movimiento acelerado
V
a
R
Movimiento desacelerado
Movimiento desacelerado
LIBRO UNI
20
FÍSICA
MCUV
Este gráfico es de un M.C.U.V. __________.
3. Aceleración ( a ) Se denomina así a la resultante de la aceleración
• Vf V1 a T t
tangencial con la aceleración centrípeta, también se le denomina aceleración instantánea.
a T
• Vf2 V12 2aT S •
1 S V1t aT t2 2
•
Sn V1 1 a T (2n 1) 2
V
Sn = arco recorrido en el número de segundo "n" (n-ésimo segundo)
a cp a
Vf Además: S 1 t 2
Movimiento acelerado
2. Angulares a T
i
V
f a
cp
f
R t
a
R
Movimiento desacelerado
Este gráfico es de un M.C.U.V. _________.
Por el teorema de Pitágoras
a aT ac
a a2T a2cp
aT ac
B. Características del M.C.U
1.
•
f i t
•
2f i2 2
•
it 1 t2
•
n i 1 (2n 1)
aT = constante; a T constante
2. = constante; = constante 3.
i
2
2 n: ángulo descrito en el número de segundo "n".
acp constante; acp constante
4. En tiempos iguales la rapidez tangencial "V"
f Además: i t 2
cambia cantidades iguales. 5. En tiempos iguales la rapidez angular " " cambia
3. Relación entre la aceleración tangencial "a T" y la aceleración angular "a"
cantidades iguales. 6. En tiempos iguales recorre arcos diferentes realiza desplazamiento angulares diferentes.
V Vo fR iR f i aT f R t t t
C. Fórmulas 1. Tangenciales
aT R t D. Movimiento de rodamiento
V1 aT
LIBRO UNI
aT
S R
Cuando una rueda se mueve con rozamiento por el piso se observa que su movimiento es el
R
resultado de un movimiento de traslación del centro de la rueda y un movimiento de rotación con respecto al centro de la rueda.
V1 21
FÍSICA
MCUV
Exigimos más! V1 ci R V1 ci R 1 V R V1 R 1 donde: ci: es la velocidad angular con respecto al centro instantáneo. En un movimiento curvilíneo:
VResultante V Traslación VRotación
V
Velocidad resultante de cualquier punto de la rueda Importante Método práctico para determinar la velocidad resultante V de un punto de la rueda:
aN
V
La aceleración normal es perpendicular a la velocidad (V): V1
aN
: Radio de curvatura
C.I. (Centro instantáneo)
problemas
2
resueltos
Luego la aceleración angular:
Problema 1 Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 4 m de radio de tal manera que cada 4 segundos su rapidez aumenta en 20 m/s. Si la partícula partio del reposo, calcular el desplazamiento angular (en rad) después de 8 s de recorrido.
a 5 a T R T .rad/s 2 R 4
Entonces el desplazamiento angular: 2 Wot t 5 8 40rad
2
4
2
Problema 2
B) 40
Resolución:
Usando la gráfica w- t. w
2
Respuesta: B) 40
A) 30
D) 50 E) 60
2h
h 60
Al encender un motor eléctrico su eje
C) 50 D) 60 E) 70 Resolución:
Aceleración tangencial: aT
v 5m/s 2 t
UNI 2014 - III
x=?
desarrolla un MCUV. Si durante el segundo segundo logra girar 60
0
vueltas, determinese el número de vueltas que logró durante el primer segundo.
x
h(1) .........(1) 2
x 60
2h(2) .......(2) 2
A) 20 B) 30 C) 40 22
1
FÍSICA
2
t
MCUV
(1) en (2): x + 60 = 4 . (x)
x 20 Respuesta: A) 20
A) 1 y
B) 2 C) 3 D)
2
Problema 3
E)
Una partícula desarrolla un movimiento circular. Si al pasar por el punto P tiene
Resolución:
una aceleración
2 a (–4i 3j)m/s
m 4
O
P
3
x
Notemos que la aceleración centrípeta tiene valor de:
calcule su rapidez angular (en rad/s) en el punto P.
at 4m/s 2 w 2R w 1rad/s
LIBRO UNI
23
Respuesta: A) 1
FÍSICA
FÍSICA
ESTÁTICA I DESARROLLO DEL TEMA B. Algunos casos particulares 1. Peso Es la fuerza de gravedad que ejerce la Tierra sobre cualquier objeto cercano a su superficie.
Siempre que elevas, empujas, jalas, golpeas o das un puntapié estás aplicando una fuerza sobre algún objeto. Sin embargo, para nuestra sorpresa, no es necesario tocar un cuerpo para ejercer una fuerza sobre él, por ejemplo, cualquier objeto, desde un botón hasta un avión es atraído hacia el centro de la Tierra po r la gravedad sin importar que esté en contacto o no con la superficie. Se puede reconocer la acción de una fuerza sobre un cuerpo porque éste causa un movimiento (si el cuerpo estaba en reposo) o causa un cambio de su velocidad (si el cuerpo estaba ya en movimiento), sin embargo cuando son varias fuerzas las que actúan es posible que en conjunto, el resultado sea distinto, el cuerpo puede permanecer en equilibrio; en este capítulo nos concentraremos en éste aspecto de las fuerzas, el equilibrio de los cuerpos.
PESO
Peso mg
NOTA: En el próximo capítulo veremos que el peso es proporcional a la masa es decir. 2. Tensión Cuando jalas un cuerpo con una cuerda muy liviana, la cuerda transmite tu fuerza hacia el cuerpo; esta fuerza ejercida por las cuerdas sobre los cuerpos se llama tensión.
I. FUERZA Llamaremos así a la magnitud vectorial que representa en qué medida dos cuerpos interactúan y que es capaz de cambiar el estado de movimiento de los cuerpos o producir deformaciones en ellos. En el Sistema Internacional de unidades se expresa en newton (N).
F
T F
A. Las fuerzas de acuerdo a su naturaleza
T
1. Fuerza gravitatoria Es la fuerza de atracción entre 2 cuerpos cualquiera debido a la presencia de materia.
3. Compresión Cuando una fuerza externa actúa sobre una barra tratando de comprimirla, ésta transmite dicha fuerza al cuerpo con el que está en contacto. A la fuerza ejercida por la barra se le llama compresión.
2. Fuerza electromagnética Ap ar ec e en in teraccio nes en tr e 2 cu er po s cargados eléctricamente. 3. Fuerza nuclear Es el responsable de la estabilidad del núcleo atómico (nuclear fuerte) y los procesos de desintegración radiactiva (nuclear débil).
F
C F C
LIBRO UNI
24
FÍSICA
ESTÁTICA I
III. TERCERA LEY DE NEWTON (LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN)
4. Reacción o contacto Al poner en contacto un cuerpo con otro, las moléculas reaccionan produciendo entre ellas una fuerza de reacción; en general, ésta es oblicua y tiene 2 componentes: la componente normal y la componente de rozamiento, como se muestra en la figura. F
f
N
R
Cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud, igual dirección, pero de sentido contrario; a éste par de fuerzas se les denomina acción y reacción . Ejemplo:
N: Reacción normal o normal f: Fuerza de Rozamiento R: Reacción total Se cumple: R = N2 + f 2
5. La fuerza elástica Si una fuerza exterior actúa sobre un cuerpo elástico (por ejemplo un resorte) produce una deformación x; en respuesta, el resorte produce una fuerza contraria proporcional a la deformación sufrida, a ésta fuerza se le denomina fuerza elástica.
Puedes comprobarlo fácilmente, para salt ar empujas al piso y la reacción te dá el impulso, para nadar e mpujas el agua hacia atrás, la reacción te impulsa hacia adelante.
x Fe
FExt
Nota: Fe
La acción y la reacción no se cancelan (a pesar de ser opuestas) porque actúan sobre cuerpos
FExt
diferentes. Nunca te olvides que las fuerzas aparecen en parejas.
x
IV. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.)
Dentro de ciertos límites se cumple:
Para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (en movimiento o en reposo) es útil realizar un diagrama que represente gráficamente las diversas fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sobre un sistema. Se recomienda: 1. Seleccionar el o los cuerpos que se van a estudiar. 2. Aislar el cuerpo y elegir un sistema de coordenadas, preferentemente con uno de sus ejes orientados en la dirección del movimiento. 3. Graficar las fuerzas externas sobre el cuerpo.
F Kx
II. PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LA INERCIA) Basado en las observaciones de Galileo, Newton formuló lo que se conoce como la primera Ley de movimiento. "Un objeto en reposo o en movimiento con velocidad constante permanecerá indefinidamente en ese estado si ninguna fuerza actúa sobre el o si la resultante de todas las fuerzas que actúan es nula". Es decir sólo es posible cambiar la velocidad de un objeto si una fuerza resultante actúa sobre él. Se denomina inercia a la propiedad de los cuerpos de oponerse a cualquier variación en su velocidad; el efecto de la inercia es diferente en los cuerpos con diferente masa. Es decir la masa es la cantidad de materia y está asociado directamente a la inercia que los cuerpos tienen.
LIBRO UNI
Nota: Las fuerzas internas y las que ejerce el cuerpo sobre otros cuerpos no se grafican.
V. EQUILIBRIO DE PARTÍCULAS Partícula es todo cuerpo (pequeño o no) en el cual podemos ignorar su movimiento de rotación.
25
FÍSICA
ESTÁTICA I
Exigimos más! De la primera Ley de Newton podemos deducir que si Nota:
una partícula está en equilibrio sólo permanece así si la
1. Si sobre un cuerpo F 0 se cumple:
resultante de las fuerzas es nula. Equilibrio es el estado de reposo o de movimiento con
F() = F() F() = F()
velocidad constante; físicamente son indistinguibles. Es decir: matemáticamente.
2. Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas y la F 0 dichas fuerzas pueden formar una poligonal cerrada.
F1
F2
F1 + F2 + F3 = 0
F
3. Si sobre un cuerpo actúan tres fuerzas y este presenta equilibrio de t raslación sin rotar, entonces dichas fuerzas deben ser no paralelas y concurrentes.
F3
4. Ley de Lamy: En un cuerpo en equilibrio, sometido a la acción de 3 fuerzas coplanares y concurrentes, el módulo de cada fuerza es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone. Formando un triángulo se tiene:
=0
Analíticamente podemos descomponer las fuerzas en los ejes coordenados, entonces.
F1 F F = 2 = 3 Sen Sen Sen
FX = 0
F Y = 0
UNI 2014 - III
26
FÍSICA
FÍSICA
ESTÁTICA II DESARROLLO DEL TEMA
I.
MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE ( M )
El momento de una fuerza M , es una magnitud física vectorial que mide el efecto de giro que produce una fuerza al actuar en un cuerpo. Se debe tener presente que una fuerza al actuar sobre un cuerpo puede causar una serie de efectos como la deformación de un cuerpo cuando se estira o comprime un resorte. También puede causar efectos de rotación, esto lo percibimos cuando una puerta se abre o se cierra debido a una fuerza aplicada o el movimiento del timón del automóvil debido a las fuerzas aplicadas por las manos de un conductor. La primera condición de equilibrio asegura equilibrio de traslación de un cuerpo; sin embargo, no asegura que el cuerpo no rote.
Siendo F1 = F 2 la fuerza resultante sobre la barra sigue siendo nula, entonces la b arra se mantiene en equilibrio de traslación. Sin embargo a causa de dichas fuerzas la barra rota, entonces llegamos a la conclusión de que la primera condición requiere de una segunda condición y dicha condición estará ligada con los efectos de rotación que pueden causar las fuerzas que actuan sobre un cuerpo y esto lo podemos caracterizar con una magnitud física vectorial a la cual llamaremos (momento de fuerza).
ROTACIÓN
F2 F1
F
El momento de una fuerza es una magnitud física vectorial que mide el efecto de rotación de una fuerza sobre un cuerpo en torno a un punto llamado centro de rotación, pero ¿de que dependerá el efecto de rotación? ¿De qué depende el momento de una fuerza? Para ello veamos un ejemplo de una puerta que puede rotar en torno a sus bisagras. Si aplicamos una fuerza lejos de las bisagras, la puerta con facilidad se abre, eso es lo que h acemos diariamente; pero que sucede si aplicamos la misma fuerza pero en el medio de la puerta esta también rotará, pero con menos facilidad.
F
F
Por ejemplo: si tenemos una barra homogénea suspendida en su punto medio por una cuerda atada al techo. Encontrándose en reposo se cumple: T = Fg, si ahora aplicamos a los extremos de la barra, fuerzas verticales y opuestas tal como se demuestra:
F
F
FG LIBRO UNI
27
FÍSICA
ESTÁTICA II
Exigimos más!
Y si aplicamos la misma fuerza cerca de las bisagras la puerta gira pero con mucha dificultad. De ahí notamos que la capacidad de una fuerza para produ cir rotación no solamente depende de su modulo, sino también de como y donde esta aplicada esta fuerza, es decir. Dependerá también de una distancia denominada (brazo de palanca) tal que a mayor brazo de palanca mayor será el efecto de rotación de la fuerza, es decir mayor será su movimiento, pero cuando aplicamos una fuerza en el eje de rotación esta fuerza no producirá efecto de rotación en otras palabras, basta que la línea de acción de la fuerza pase por dicho eje para que no produzca rotación. Por ello, es necesario que la línea de acción de la fuerza no pase por el centro de rotación para que se produzca un efecto de rotación tal como se muestra.
P
M
línea de acción de furza
• Se recomienda tomar como positivos los momentos que tienen un efecto de rotación en sentido antihorario, y negativo los que tienen efecto de rotación en sentido horario. MFO (-)
ROTACIÓN ANTIHORARIA
ROTACIÓN HORARIA
II. TEOREMA DE VARIGNON Si la resultante de un sistema de fuerzas coplanares es difernte de cero, el torque que la resultante respecto a cualquier punto situado sobre el plano de acción de la fuerza es igual a la suma algebraica de los torques de las fuerzas componontes respecto del mismo punto:
F
Si FR F1 F2 F 3 0
L
d
F1
Centro de momentos (c.m.)
brazo de fuerza
A
F2
O
F3
MF A MF A MF A MF A R
1
2
3
III. POR FUERZAS O CULPA
En este caso, el brazo de la fuerza (d) es la distancia más corta desde el centro de momentos hasta la línea de acción de la fuerza, resultando que son mutuamente perpendiculares d F , en consecuencia, el módulo del momento de una fuerza se evalúa así:
MFO (+)
Sistema formado por dos fuerzas paralelas, de igual módulo y dirigidas en s entidos contrarios.
MFO = F .d
F F
Unidad: N . m
La notación MF0 se lee: modulo del momento de la fuerza F respecto al punto O. Donde "O" es el centro de momentos.
Este sistema presenta las siguientes características: 1) Su resultante ses nula por lo qu eno puede producir un movimiento de treslación. 2) Se caracterisa por un torque, independiente del centro de momentos dado por:
Propiedades
• Si d = 0, la línea de acción de la fuerza pasa por el centro de momentos y no se produce ningún efecto de rotación en ese caso.
M Fb 3) Produce un movimiento de rotación. 4) Una cupla solo puede ser equilibrada por otra cupla de igual torque pero de sentido cotrario.
F
MF = 0
IV. TEOREMA DE VARIGNON Para que un cuerpo se encuetre en equilibrio es necesario qu ela suma d elos torques producidos por cada una de las fuerzas que actúan sobre el, son respecto a cualquier punto sea igual a cero:
O
• El momento será máximo cuando el brazo sea máximo (d ma x ), esto ocurre cuando F es perpendicular a la llave.
A
F dmáx
MF
0
A : Punto arbitrario
Nota: 1)
MF = F dmax
Las condiciones del equilibrio son independientes entre si. 2) Solo en el equilibrio se deben cumplir tanto la primera como la segunda condición del equilibrio
O
UNI 2014 - III
28
FÍSICA
FÍSICA
DINÁMICA DESARROLLO DEL TEMA Establece la leyes generales que rigen los movimientos de los cuerpos. I.
B. Fuerza de gravedad (P)
Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra (planeta) sobre un cuerpo que se encuentra en sus cercanías.
INERCIA
La comparación de los resultados de la acción de una misma fuerza sobre cuerpos diferentes conduce a la noción de la inercia de los cuerpos. La inercia caracteriza la propiedad de los cuerpos materiales de cam-
Su dirección es vertical y hacia abajo ( señala hacia el centro de la Tierra). Su punto de aplicación es el centro de gravedad del cuerpo. P mg
biar más rápido o más lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas. La masa del cuerpo (m) es una magnitud física escalar que es la medida cuantitativa de la inercia del cuerpo. En mecánica se considera que la masa es constante
Nota: Si un cuerpo está en caída libre, la única fuerza que actúa sobre él es su peso.
para cada cuerpo dado, osea no depende de la velocidad del cuerpo cuando es pequeña comparada con la
C. Aplicación de la Segunda ley de Newton
1. Movimiento rectilíneo
velocidad de la luz.
Para este caso la aceleración es paralela a la trayectoria rectilínea y en éste caso se recomienda descomponer las fuerzas en una componente paralela y perpendicular a la trayectoria rectilínea.
A. 2.a ley de Newton
Toda fuerza resultante no nula que actúa sobre un cuerpo de masa constante le comunica una aceleración resultante, que tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante, siendo su valor directamente proporcional al valor de la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. y F4
Luego:
Fx max ; Fy may Ejemplos:
F1
m
x F3
FR m
Fx max
a
F2
F1Cos F2 ma
FR = F
•
F1Sen N P
Luego: FR m a
LIBRO UNI
Fy may 0
29
FÍSICA
DINÁMICA
Exigimos más! 2. Movimiento circular La fuerza resultante se descompone en componentes radial (fuerza centrípeta) y tangencial (fuerza tangencial). Las fuerzas sobre el cuerpo también se descompone en componentes radiales y tangentes.
Fx max 0 Fy may
•
F P ma
Fx max mgSen ma a gSen Fy 0
•
N mgCos
Para sistemas de cuerpos que tienen la misma aceleración en valor se puede aplicar:
•
Eje radial (y) Fcp
a
F(favor de a) F(contra de a) masas
Fradiales macp
2 Fcp mV mW2R R
Donde: Ejemplos:
Fcp •
vanhacia
Eje tangencial (x) FRTangencial
•
alejan del centro
F el centro F
Ftangencial ma T
Para el M.C.U.
aT 0 FRTangencial
F Tangencial 0
FR Fcp módulo constante a
P2 P1 (m m1 ) g 2 m1 m2 m1 m2
Observación: La fuerza centrípeta (F cp) es la componente radial de la fuerza resultante. Su papel es desviar continuamente al cuerpo del camino rectilíneo que recorrería por inercia en ausencia de la fuerza actuante. La fuerza centrípeta es la suma de las fuerzas radiales y genera a la aceleración centrípeta y por lo tanto cambia la dirección de la velocidad tangencial para que el cuerpo pueda girar. La componente tangencial (FR Tangencial) de la fuerza resultante es la suma de las fuerzas tangenciales y produce a la ac eleración tangencial y por lo tanto modifica el
•
a
LIBRO UNI
m2 g m1 m2
30
FÍSICA
DINÁMICA
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1 En el sistema mostrado en la figura, la polea tiene peso despreciable. Si la fuerza de rozamiento en la superficie
ma = F – f
Por la 2.da ley de Newton
a = F – 2f
N – mg = m.a
2
FR = m.a
2m
horizontal es f, determine la aceleración del bloque de masa m, en función de
760 – 588 = 60 .a F – 2f Respuesta: A) 2m
F, f y m.
La dirección es hacia arriba pues F N > Fg.
UNI Nivel fácil
a = 2,866 m/s2
Problema 2 Respuesta: A) la aceleración es hacia arriba.
Un ascensorista cuya masa es de 60 kg esta sobre una balanza en un ascensor en movimiento, está le indica que pesa 760 N. Asumiendo g = 9,8 m/s 2, la magnitud y dirección de su aceleración será: A)
F – 2f 2m
B)
F+ 2f 2m
UNI
Si R A y R B son las reacciones entre los bloques m y M para los casos A y B respectivamente, calcule la relación R A /R B . No tome en cuenta el rozamiento (M > m)
Nivel intermedio
A) la aceleración es hacia arriba.
2(F+ f) C) 2m
Caso A:
B) la aceleración es hacia abajo.
F – 2f D) 2m E)
Problema 3
C) la aceleración es hacia la derecha
2F – f 2m
D) la aceleración es hacia la izquierda. E) No hay aceleración.
Resolución
Caso B:
Resolución:
Asumiremo s que la cuerda unida al bloque se rompe D.C.L.:
Debemos comparar el valor de la fuerza con el de la reacción normal. Fg = m .g UNI
Fg = (60)(9,8) = 588 N
Nivel difícil
N = 760 N A) La 2.da ley de Newton determinará la relación:
FN > F g B) C)
F – f F a a= a= 2 m m
D) E)
LIBRO UNI
31
M m m M m M 2m M
m M FÍSICA
DINÁMICA
Exigimos más! Resolución:
B:
(1)
Al ser la misma fuerza y conjunto de masas hallaremos las aceleraciones en
(2)
R A m a A = R B M aB
ambos casos, siendo estas iguales.
A:
Por lo tanto R A m = RB M
FR = m.a FR = m.a R A = m .a A ... (1)
LIBRO UNI
R B = M.aB ... (2)
32
Respuesta: A) m/M
FÍSICA
FÍSICA
ROZAMIENTO DESARROLLO DEL TEMA I.
ROZAMIENTO La resistencia que se opone al resbalamiento, o a su tendencia a resbalar, de un cuerpo sobre otro es una fuerza tangente a la superficie de contacto, que recibe el nombre de rozamiento. Las superficies en realidad no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobre otro no es normal a dicha superficie de contacto. Si se descompone la reacción (F) en dos componentes, una perpendicular (N) y otra tangente a la superficie de contacto, la componente tangencial (f) a dicha superficie se denomina fuerza de fricción o rozamiento. En consecuencia, los diagramas del cuerpo libre para problemas donde interviene el rozamiento s on los mismos que para aquellos en que intervienen superficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza de rozamiento tangente a la superficie de contacto.
•
Rozamiento cinético (f k ): Se genera cuando los cuerpos en contacto se encuentran en movimiento relativo. La fuerza de rozamiento es constante y prácticamente independiente del valor de la velocidad o aceleración relativa.
A. Coeficiente de rozamiento Constante experimental que permite comparar las propiedades de rozamiento de pares distintos o iguales de materiales en diferentes condiciones de sus superficies en contacto, y con objeto de calcular la fuerza de rozamiento máxima correspondiente a una fuerza normal cualquiera.
El coeficiente de rozamiento estático de 2 superficies cualesquiera se define como la razón del rozamiento máximo o límite a la fuerza normal correspondiente:
F f N
f N 2
s 2
F f N
Rozamiento estático (f s): Cuando no hay movimiento relativo entre los cuerpos en contacto; es decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se desplazan como si fueran uno solo, oponiéndose a cualquier intento de movimiento relativo (deslizamiento). En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada es exactamente suficiente para mantener el reposo relativo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Esto implica que la fuerza de rozamiento estático es una fuerza regulable o variable alcanzando un valor máximo o límite, el cual depende de la normal y de la aspereza de la superficies en contacto. Por lo tanto la fuerza de rozamiento estático cumple con:
0 fs f s
LIBRO UNI
límite
)
Fuerza normal(N)
Donde el rozamiento límite es el rozamiento que existe cuando las superficies están a punto de empezar a moverse la una con respecto a la otra (estado de movimiento inminente). En general, cuando las superficies en contacto se mueven una respecto a la otra, el rozamiento disminuye. En este caso, la razón de la fuerza de rozamiento a la fuerza normal se define como coeficiente de rozamiento cinético.
Se suele hablar de dos tipos de rozamiento: •
Rozamiento Límite (fs
k
RozamientoCinético (fk ) Fuerzanormal(N)
El valor del coeficiente de rozamiento tiene que determinarse experimentalmente, y es una constante para dos materiales cualesquiera determinados, cuando las superficies de contacto están en una condición fijada. No obstante, varía mucho para diferentes condiciones de las superficies y con la naturaleza de los cuerpos en contacto.
límite
33
FÍSICA
ROZAMIENTO
Exigimos más! 2.
B. Leyes de rozamiento Los resultados de un gran número de experiencias sobre el rozamiento en superficies secas, publicadas por C.A. de Coulomb en 1781, proporcionaron las primeras informaciones sobre las leyes del rozamiento, obteniéndose las siguientes leyes: 1. La fuerza máxima de rozamiento que puede producirse es proporcional a la fuerza normal entre las superficies en contacto.
problemas
3.
4. 5.
Esta fuerza máxima es independiente del tamaño de la superficie de contacto. La fuerza límite de rozamiento estático es mayor que la fuerza de rozamiento cinético, siempre que actúe la misma fuerza normal. El coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático. La fuerza de rozamiento cinético es independiente de la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.
resueltos
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Si F1 = 100 N y F2 = 40 N, y además m A = 7 kg y mB = 3 kg y no existe rozamiento, halla la reacción entre los bloques A y B.
Un bloque pequeño de 500 g gira en un plano horizontal, tal como se muestra. Si la cuerda mide 20 cm y la velocidad angular es 6 rad/s, halla la tensión en la cuerda.
Una piedra de 2 kg gira en un plano vertical mediante una cuerda de 1 m de longitud. Si la velocidad en la posición mostrada es 10 m/s, halla la tensión de la cuerda en dicha posición.
(g = 10 m/s2).
W
F1
(g = 10 m/s 2).
F2 B
A
UNI Nivel fácil
A) 78 N
B) 12 N
D) 48 N
E) 56 N
C) 58 N
UNI Nivel fácil
Resolución:
Al igual que en el caso anterior, un análisis de las fuerzas nos permite afirmar que el sistema acelera hacia la derecha. Hagamos el D. C. L.:
A) 7,8 N
B) 2,6 N
D) 3,6 N
E) 4,6 N
C) 5,8 N UNI Nivel fácil
A) 148 N
Resolución:
D) 260 N
Hagamos un D. C. L.
Resolución:
NB R R
T
40
Hacemos un D. C. L.: mg
70
T
FR
30
1) Para (A) 100 – R = 7a..........(1)
1)
60 = 10a 6m/s2 = a R – 40 = 3(6) R = 58N Respuesta: C) 58 N LIBRO UNI
En dirección vertical:
Fy 0 ,
2) Para (B) R – 40 = 3a ..........(2) De (1) y (2)
E) 36 N
N
a N A 100
B) 220 N C) 108 N
2)
N m.g.
m.aC
V mg
T
m.g.
m
v2 R
En dirección horizontal: FR m.a. T T T
m cos 2 R
m.aC 0,5 6
2
1 5
T – 2 10 T
3, 6N Respuesta: D) 3,6 N 34
2 10 1
2
220 N
Respuesta: B) 220 N FÍSICA
FÍSICA
TRABAJO DESARROLLO DEL TEMA I.
TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE ( W F ) Sea una fuerza constante y paralela al desplazamiento, el trabajo que esta fuerza desarrolla sobre el bloque al desplazarlo una distancia "d" viene dado por:
W AFB = F d
Donde: F : fuerza que realiza el trabajo (en N). d : desplazamiento (en m). W F : Trabajo de la fuerza "F". El trabajo se calcula como el producto escalar de F y d . II. UNIDAD DEL TRABAJO La unidad del trabajo que utilizamos con mayor frecuencia es el "Joule" que es el trabajo desarrollado por una fuerza de un newton al mover su punto de aplicación un metro en su propia dirección, esto es: Joule = Newton x metro; 1 J = 1 N x m El nombre de Joule se adoptó en honor del físico inglés James Prescott Joule (1818-1869), cervecero de profesión, pero a quien su acomodada posición económica, permitió hacer notables investigaciones en la física.
Al calcular el trabajo obtenemos: WxF1 x 2 = F x 2 – x1
desplazamiento
Al calcular el área bajo la gráfica o btenemos: Área: F x 2 – x1 . ¡El área bajo la gráfica "F vs X" es numéricamente igual al trabajo! WxF1 x 2 Áreabajo lagráfica F x A. Y ¿qué sucede si la fuerza no es constante?, ¿sigue siendo el área bajo la gráfica igual al trabajo?
Si la fuerza es de módulo variable pero de dirección constante, entonces, el área bajo la gráfica "F vs X" sigue siendo igual al trabajo, aunque en este caso puede que el área no sea de una región conocida. Los detalles de su demostración tienen que ver con una rama de la matemática llamada cálculo diferencial e integral , que no son motivo de nuestro estudio. En este caso el módulo de la fuerza toma distintos valores para cada posición, sin embargo, el área bajo la curva "F vs X" sigue siendo igual al trabajo.
Al ubicar un eje de coordenadas (eje x) en la dirección del movimiento, se puede observar como varía "F" en relación a su posición "x" para luego graficar "F" vs "X". En nuestro caso, F es constante y presenta el mismo valor en cualquier posición, siendo su gráfico (F vs X) el siguiente:
WxFvariable x = Área 1
LIBRO UNI
35
3
FÍSICA
TRABAJO
Exigimos más!
III. TRABAJO TOTAL O NETO (Wneto) El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cual actúan varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizados por cada fuerza independientemente de las demás:
Para el caso de una dependencia lineal de "F" respecto de "X" se puede utilizar el concepto de fuerza media.
F1 + F2 x - x 1 2 2
Área =
Área = Fmedia .
F1 F2 F3 W ANETO B WA B WA B WA B ...
d
Nótese que esta suma es escalar, los sumandos pueden ser positivos, negativos o cero, lo mismo ocurre con el resultado.
También se puede hallar el trabajo neto como el trabajo de la fuerza resultante, así, si: FR = F1 + F2 + F3 +... Nótese que es una suma vectorial, para obtener FR hay que tener bastante cuidado con las direcciones y los módulos de cada fuerza.
B. Y ¿qué sucede si varía su dirección?
Respuesta : Si la fuerza es variable en dirección, el
problema es muy complejo y aún mayor si lo es también en módulo, el análisis de este tipo de problemas requiere del ya mencionado cálculo dife- rencial e integral para su solución. Pero no temas tigre dentro de muy poco ingresarás a la universidad y aprenderás a usar estas herramientas. Sin embargo hay un caso más, el cual es muy sencillo, se trata del trabajo que d esarrolla una fuerza constante en módulo, dirección variable, pero tangente a la trayectoria (colineal con la velocidad). En el gráfico, F es siempre tangente a la trayectoria, varía en dirección pero su módulo siempre es el mismo.
F
R W ANETO B W A B
W ANETO B FR d Cos
• Si FR 0 (cuerpo en equilibrio) W NETO = 0 • Si el movimiento del bloque es uniforme (movimiento a rapidez constante). FR
=
V W NETO = 0 90º
Reflexión
Cuando se trata de hallar el trabajo hay que especificar muy bien quién es el que realiza el trabajo y sobre quién se realiza. Así por ejemplo, si un joven empuja un cajón sobre una superficie horizontal aplicándole una fuerza de 10 N y desplazándolo 3 m se puede evaluar fácilmente el trabajo que éste desarrolla joven
sobre el bloque W sobreel bloque 30 J , sin embargo por la tercera ley de Newton, durante el proceso, el cajón El trabajo que desarrolló F al trasladar su punto de aplicación de A hacia B se halla así:
F Const.
LIBRO UNI
F W AFvariable B
ejerce una fuerza sobre el joven que tiene la misma magnitud y de sentido opuesto a la que ejerce el joven, tal es así que si hallamos el trabajo que realiza el cajón joven
AB
sobre el joven sería W sobreel bloque 30 J . 36
FÍSICA
TRABAJO
Exigimos más! Eficiencia de una máquina (
)
Toda máquina necesita de un suministro de potencia para realizar algún tipo de trabajo, esto es, para desarrollar una potencia útil. Así se define la eficiencia de una máquina como la razón entre las potencias útiles a la entregada a la máquina.
FCajón
FCajón
Note que la eficiencia es un número adimensional y que < 1 pues:
d
FJoven = –FCajón
Pútil Pentregada
W
Joven sobre cajón
=
Pentregada Pútil
Cajón –W sobre joven
En general cuando un cuerpo "A" realiza un trabajo "W" sobre un cuerpo "B"; el cuerpo "B" realiza sobre el cuerpo "A" un trabajo "W" de signo contrario (por la fuerza de reacción, que tiene un sentido opuesto a la de acción). IV. POTENCIA La definición de trabajo no mencionó el tiempo empleado, por ejemplo, si se quiere desplazar un bloque una distancia horizontal de 5 m mediante una fuerza horizontal de 10 N el trabajo que se tiene que desarrollar sería: W F = F d=10 N (5 m) =50 J independientemente de cuanto tiempo nos tardemos, pues podría ser 1 s, 1 día, 1 año, etc. Pero muchas veces necesitamos conocer la rapidez con la cual se efectúa un traba jo, esto se describe en términos de potencia que es el trabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:
Esto es, toda la potencia que se entrega a una máquina no es aprovechada íntegramente por esta para realizar trabajo, pues hay pérdidas por rozamiento que normalmente se presencia en forma de calor (la máquina se calienta). Por ejemplo, cuando conectas u na licuadora al toma-corriente (suministro de potencia), se entrega potencia a la licuadora y esta realiza trabajo al mover sus cuchillas, sin embargo notarás q ue el motor se calienta advirtiendo que hay pérdidas de potencia. Sin embargo se cumple:
Potenciamedia= Trabajo F d F Vm Tiempo t Pentregada Pútil Pperdida
En general la potencia se puede expresar: P F ... (**) Observación
m P Pm
La eficiencia se suele e xpresar también en términos de tanto por ciento esto es:
instantánea P Pinstantánea
Si se tiene un mecanismo cuya potencia es determinada, la ecuación (**) muestra que cuanto menor sea mayor será la fuerza ejercida. LIBRO UNI
37
Pútil
Pentregada
100%
FÍSICA
TRABAJO
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Un arandele puede deslizar por un eje sin fricción; hallar el trabajo realizado por F desde A hasta B. (AB = 10 m)
Hallar el trabajo del peso cuando la masa m = 5 kg se dirige de "A" a "B" por la trayectoria mostrada. (g = 10 m/s2)
Si solo el 20% de la potencia de un motor fuera aprovechable, dicho motor eleva el bloque (m = 100 kg) con velocidad constante de 0,5 m/s. ¿Cuál es la potencia nominal que indica la etiqueta del motor?
y (m) y1=10
Nivel intermedio
A) 1 090 W C) 2 300 J E) 1 800 J
y2=4 x1=1
x 2=6
Nivel intermedio
A) 140 J D) 170 J
B) 150 J E) 180 J
C) 160 J
Resolución :
x
Nivel intermedio
A) 190 J D) 300 J
B) 250 J E) 180 J
C) 230 J
Resolución:
De la definición
Siendo la gravedad constante; el desplazamiento en la dirección del peso es 10 – 4 = 6 m.
WF = F.AB Cos WF = 20 10 4 = 160 J 5 Respuesta: C) 160 J
Observa que la solución es equivalente a descomponer la fuerza o el desplazamiento con tal que F // r .
LIBRO UNI
Wmg = mg y1 – y 2 = 5 10 6 Wmg = +300 J Este resultado es general e independiente de la trayectoria. Wmg = mg y1 – mg y 2 Respuesta: D) 300 J
38
B) 2 500 W D) 3 000 W
Resolución: • Sea P. Entregada = 100 K
•
Como sólo se aprovecha el 20% P. Útil = 20 k y P. Perdida = 80 k Sabemos: P.útil = F . V 20 k = F . 1 2
F = 40 k; pero 1 000 N = F = mg 1 000 N = 40k k = 25 P.Nominal = P.Entrega = 100k = 100(4) P.Nominal = 2 500 w Respuesta: B) 2500 W
FÍSICA
FÍSICA
ENERGÍA DESARROLLO DEL TEMA Capacidad que posee un cuerpo o sistema de efectuar trabajo bajo ciertas condiciones.
I.
•
Energía potencial gravitatoria (Epg) Si dicha posición es una altura respecto a la tierra o a cualquier nivel de referencia,
ENERGÍA MECÁNICA
donde se asume dicha energía como nula.
A. Concepto
Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, esto es transmitir movimiento mecánico.
g = cte
Epg = mgh h
B. Tipos de energía mecánica Epg = 0
1. Energía cinética (EK )
N.R.
Es la energía asociada al movimiento de los cuerpos. Donde: m: masa del cuerpo (en kg) h: altura (en m) g: aceleración de la gravedad (en m/s 2)
EK 1 mV2 2
Epg: energía potencial gravitatoria (en J)
Donde: m : masa del cuerpo (en kg)
Observación:
V : rapidez del cuerpo (en m/s)
La "Epg" es relativa; pues depende del nivel de referencia que se tome como cero.
EK : energía cinética (en J) 2. Energía potencial (Ep) •
Es la energía que tienen los cuerpos y que está asociada a la interacción con otros cuerpos, esto es, depende de su ubicación o posición frente a otros cuerpos. Estudiaremos las siguientes clases de energía potencial.
LIBRO UNI
Energía potencial elástica (Epe) Si dicha posición es una desviación respecto a una posición de equilibrio, la presentan co-múnmente los cuerpos elásticos cuando son deformados.
39
FÍSICA
ENERGÍA
Exigimos más!
La " f k " realiza sobre el bloque trabajo (–) reduciendo su energía cinética.
Sea en el ejemplo anterior: WJoven = 100 J y f k = –30 J.
La "EK " que adquiere el bloque al final será E Kf = 70 J,
esto es: Ek = WJoven + Wf x
La K f
EK
0
= WJoven + Wf x
Ep 1 Kx 2 2 Generalizando: Teorema de la energía cinética:
Donde: x: deformación del resorte (en m).
WNeto = Δ EK WNeto = EKf – EK 0
K: constante de fuerza del resorte en (N/m). Epe: energía portencia elástica (en J).
1. Fuerzas conservativas Son aquellas fuerzas cuyo trabajo está asocia do
En conclusión
a una función potencial, esto es, su trabajo
La energía mide las diversas formas de movimiento e interacción de las partículas que conforman un sistema.
puede expresarse como una diferencia de energías potenciales en sus puntos final e inicial independientemente del trayecto seguido. Las fuerzas conservativas más comunes son:
C. Relación entre el trabajo y la energía
•
Fuerza de gravedad
•
Fuerza elástica
asociada a la E pe.
WF.conserv
WF.conserv
El joven realizó trabajo (+) sobre el bloque y este adquirió energía cinética.
LIBRO UNI
40
asociada a la E pg.
Ep
Epo
Epf
FÍSICA
ENERGÍA
Exigimos más! Observación:
Caso especial
A la suma de las energías cinética y potencial en un sistema se denomina energía mecánica total del sistema.
EM
EK
Esfera
De la conservación de la energía mecánica:
Ahora, si sobre un cuerpo realizan trabajo fuerzas conservativas y no conservativas tenemos:
Esfera Resorte Epg Epe
2. Casos en que se conserva "EM"
F. conserv F. no conserv W W
Si EM = cte solo deben realizar trabajo las fuerzas conservativas.
Ep
WF.N.conserv
EK Ep
EK Ep
EM
EM
A
problemas
EM
B
EM
C
EK
WF.N.conserv
EM
D
EM
f
EMo
EM
resueltos
Problema 1 Si la esfera es soltada en el punt o "A", ¿con qué velocidad pasará por el punto "B"? No considere rozamiento.
A) B) C) D) E)
VB = 14 VB = 12 VB = 20 VB = 24 VB = 10
m/s m/s m/s m/s m/s
mg(25) +
mVB2 m(0)2 = mg(15) + 2 2
mg(25) = mg(15) +
mVB2 2
A
Resolución: Como no actúan fuerzas conservativas se cumple:
B 25 m
15 m Nivel de referencia
UNI
EPG(A) + EC(A) = E PG(B) + E C(B) mgh A +
mV A2 mVB2 = mghB + 2 2
Nivel intermedio
LIBRO UNI
41
no
10g =
2 B
2
VB = 2.10.9,8
Respuesta: A) V B = 14 m/s FÍSICA
ENERGÍA
Exigimos más! Problema 2
Problema 3
Determine la energía cinética del cuerpo mostrado de 2 kg.
Hallar la mínima velocidad que se le debe imponer al bloque para que llegue a la parte superior del plano inclinado liso de altura 5 m.
4 m/s
Resolución:
(g = 10 m/s2)
Vemos que no está presente la energía potencial elástica (¿por qué?) y como no hay rozamiento ni otra fuerza no conservativa, entonces la energía mecánica se conserva.
UNI
EC + EPG = EC + EPG 1
Nivel fácil
A) 14 J
B) 16 J
D) 10 J
C) 12 J
E) 8 J
m
UNI Nivel intermedio
A) 4 m/s C) 10 m/s
Respuesta: B) 16 J
LIBRO UNI
2
2
5m V0
Resolución: EC = 1 mv 2 = 1 .2,4 2 = 16 J 2 2
1
B) 9 m/s
v 02 + 0 = 0 + mgh 2
M v = 2 gh 0 v 0 = 2 10 5 = 10 m s
D) 6 m/s
E ) 8 m/s
Respuesta: C) 10 m/s
42
FÍSICA
FÍSICA
IMPULSO DESARROLLO DEL TEMA
I. CANTIDAD DE MOVIMIENTO
¿Qué sucederá?
Llamada también momentum lineal, es una magnitud vectorial que nos caracteriza el movimiento de traslación una partícula, esto es, la cantidad de movimiento, es la medi-da vectorial del movimiento de una partícula y se define como el producto de su masa por su velocidad. m
Se observa que el joven es fácilmente detenido, sin embargo, el trailer continuará su avance... ¿Continuará con la misma rapidez?
v
P mv P
Donde: m: masa de la partícula (en kg) V : velocidad de la partícula (en m/ s) P : cantidad de movimiento de dicha partícula (en kg m/s) La velocidad y la cantidad de movimiento tienen la misma dirección
¿Cuál es el significado físico de la cantidad de movimiento?
Para averiguarlo veamos el siguiente caso: Un ciclista y un trailer avanzan con distintas velocidades hacia un poste. De lo d icho anteriormente, se observa que el trailer tiene una mayor cantidad de movimiento que el ciclista, pues tiene una mayor velocidad y masa.
Esto es: fue más difícil detener al trailer. ¿Por qué? Porque tenía mayor cantidad de movimiento Exactamente, la cantidad de movimiento es una medida de la dificultad de llevar a una partícula, que se está moviendo, hasta el reposo. P Medida de la inercia Observación
Tal vez estás pensando que este concepto parece mucho al de inercia y estás en lo cierto, pues la cantidad de movimiento depende de la masa (esto es de su inercia), sin embargo, no confundas, todo cuerpo que posee masa tiene inercia, pues es una propiedad inherente de la materia, pero la cantidad de movimiento sólo la poseen los cuerpos que tienen velocidad; así, si el trailer estuviese detenido y el ciclista moviéndose, el ciclista tendría mayor cantidad de movimiento que el trailer, pues su velocidad es nula:
P mv m(o) 0
LIBRO UNI
43
FÍSICA
IMPULSO
Exigimos más!
A pesar de que el trailer tiene mayor inercia por poseer mayor masa. La resistencia que ofrece un cuerpo, en movimiento, a ser detenido, esto es, la tendencia que posee a conservar dicho movimiento depende tanto de su masa como de su velocidad o mejor dicho de su cantidad de movimiento.
P sistema Mtotaldesistema CM
Sabemos que la aceleración del centro de masa (CM) solo se ve afectada por las fuerzas externas al sistema. De ello tenemos: Si la
¡No olvides!
F externas 0 a CM M Fexternas
totalalsistema
La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial.
Esto es:
CM
0
Cte n
Psistema Mtotaldelsistema VCM mi vi constante •
P A 20i kg m / s
•
PB 16i 12j kg m / s
•
PC 20j kg m / s
i1
Ley de conservación de la cantidad de movimiento
"Si la fuerza externa resultante ejercida sobre un sistema es igual a cero, la velocidad del centro de masas del sistema es constante (se conserva)".
Observamos: P A PB P C
Observación:
Se aplica a c ualquier sistema aislado de sus alrededores que por tanto está libre de fuerzas exteriores. Es más aplicable que la ley de conservación de la energía mecánica debido a que las fuerzas internas ejercidas por una partícula del sistema sobre otra, son frecuentemente de naturaleza no conservativas. Así pues, pueden hacer variar la energía mecánica total del sistema, pero como estas no afectan al CM, la cantidad de movimiento del sistema se conserva.
Aunque tengan igual módulo: P A PB PC 20kg m / s
II. CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Sea el siguiente sistema de partículas.
Si la Fexternas 0 a CM •
P1 m1 V1
•
P2 m2 V2
•
P3 m3 V3
Fexternas
MTotaldelsistema
0
P Sistema P1 P 2 P3
Generalizando para "n" partículas: n
Esto es: VCM Cte
i1
P sistema Cte
PSistema Pi P 1 P2 P3 .... Pn n
III. IMPULSO ( I )
PSistema mi Vi m1 V1 m2 V 2 m3 V 3 .... mn Vn i1
Ya hemos visto anteriormente que es posible transmitirle movimiento mecánico a un cuerpo mediante una fuerza, la cual se mide en términos del trabajo realizado.
Recuerda: V CM m1 V1 m2 V 2 .... mn Vn m1 m2 m3 .... mn LIBRO UNI
44
FÍSICA
IMPULSO
Exigimos más!
Pero también es posible dicha transmisión en términos del impulso (I); una magnitud vectorial que nos mide la transmisión temporal del movimiento. Así por ejemplo, al golpear la bola blanca con el taco, en un juego de billar, ejercemos una fuerza durante un intervalo de tiempo, relativamente corto; el movimiento que podemos transmitirle dependerá tanto de la magnitud y dirección en que apliquemos la fuerza, así como del tiempo que dure el contacto taco-bola.
Esto significa que es posible expresar una magnitud en función de la otra. ¡Existe una relación entre P e I ! Si graficamos F vs t obtenemos: • Se observa que F es constante a través del tiempo. • Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos: F t f t o esto es, ÁREA = F t . ¡El módulo del impulso es numéricamente igual al área bajo su gráfica!
Aunque esta relación la hallamos para F Cte es, en general, válida si F varía en módulo, pero no en dirección. Para una fuerza de módulo variable pero de dirección constante, se tiene: Veamos el caso de una fuerza constante que actúa sobre un cuerpo durante cierto intervalo de tipo "t". El impulso se define como: I F t . El impulso tiene la dirección de F .
Área = |Impulso|
Nota: Una fuerza media (Fm) es una fuerza constante
que genera en igual tiempo un impulso equivalente a una fuerza variable.
Donde:
F : fuerza constante (en N) t : intervalo de tiempo (en s)
I : impulso de la fuerza F (en N.s) Observación
El impulso tiene la capacidad de generarle variación en la cantidad de movimiento de un cuerpo. A. Relación entre I y P
La partícula cambia su velocidad y por tanto su cantidad de movimiento debido a la fuerza resultante FR . Esto es, si hay una P es debido a un impulso. P I
Luego: FR ma Esto es:
Observación:
El impulso tiene las mismas unidades que las de la cantidad de movimiento:
FR t m Vf m Vo
N x s kg x m2 x s = kg x m/s s LIBRO UNI
FR m V f V o t
I
Pf
Po
Esto es: el impulso resultante sobre una partícula es igual al cambio en su cantidad de movimiento. 45
FÍSICA
IMPULSO
Exigimos más!
IV. TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Esto significa que si en un accidente de tránsito el choque es más prolongado (dura más tiempo) la fuerza media que reciben los afectados es menor; es más, es por esta razón que se instalan sistemas de bolsas de aire y se usan los cinturones de seguridad en los automóviles.
Luego: FR t I R P Observa: FR P t
Ahora razona y responde
Si en el caso anterior solo tuvieras la opción de ir con tra el muro, en qué caso te podría ir mejor si estás en un auto FORD año 50 (con chasis de acero) o en un TICO año 2003 (con chasis de lata) ...
Esto es equivalente a la 2.a Ley de Newton, pero es más general. O también:
¿Ahora entiendes porque en los autos modernos, al ser diseñado, se desea que la parte delantera sea lo más blanda posible?
m x V f m x Vo FR x t
mVf mVo I R Esto tiene algunas implicancias muy interesantes. Veamos; si estuvieses en un au to al cual se le malograron los frenos y al tratar de detenerte sólo tiene dos opciones: colisionar contra un muro de concreto o contra una montaña de paja, ¿cuál caso escogerías?, ¿en cuál de ellos la fuerza media que recibirías sería menor?
Reflexión
Hasta ahora hemos medido el movimiento de dos formas:
Hemos medido la transmisión del movimiento mecánico de dos maneras.
En cualquiera de los dos casos la variación de la cantidad de movimiento sería: P P 0 P f y P mV 0 O sea, el impulso que recibirá en cualquiera de los ca sos sería el mismo. Esto es: I muro I paja.... Pero nota que la interacción del auto al chocar con la paja es más prolongado, luego: tpaja tmuro por ello Fmuro f paja
Además observa
La transmisión de movimiento se puede expresar como una variación de movimiento.
Observa el gráfico y la ecuación ( ): Fmuro t muro f paja t paja tmuro tpaja
Fmuro f paja LIBRO UNI
46
FÍSICA
IMPULSO
Exigimos más!
V. CHOQUES O COLISIONES
de tiempo muy pequeños, denominadas fuerzas impulsivas. c) Ley de Newton para los choques: Para un choque dierecto y central (unidimensional) la velocidad relativa de separación después del choque, es proporcional a la velocidad relativa de acercamiento, antes del choque:
Interacción entre dos o mas cuerpos de muy de muy corta duración, durante la cual se da un intercambio de energia y cantidad de movimiento: A
V o A
B
V A
V o
A
B
A
V B
A
Características de los choques: e a) Tomando como sistema los cuerpos que chocan, las fuerzas entre ellos son fuerzas internas y por lo tanto no modifican la cantidad de movimiento del sistema:
P P Const.
A.C
D.C
b) Entre los cuerpos que colisionan se ejercen fuerzas que alcanzan valores muy altos du rante intervalos
LIBRO UNI
47
V o
B
V F
A
A
V F
B
A
VFB VFA Const. Vo A VoB
Coeficiente de restitución (0 < e < 1) El coeficiente de restitución depende de la naturaleza de los cuerpos que chocan, teniendose los sigueintes casos: e = 1 C. perfectamente elástico e = 0 C. perfectamente inelástico o plástico
VFB VFA
FÍSICA
IMPULSO
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
Una bola de 50 g de masa moviéndose con una rapidez de 10 m/s en la dirección +x, choca frontalmente con una bola de 200 g en reposo, siendo el choque inelástico. Si el coeficiente de restitución es 0,5. Calcule las velocidades, en m/s, de la bola incidente y la de la bola que estaba en reposo, después del choque.
desde el reposo a partir de la posición horizontal A. Las dos masas chocan en la posición B de manera completamente inelástica, quedando en reposo. Considerando que toda la energía en el choque se ha transformado en calor, ¿cuál es la temperatura de las masas (en °C) después del choque? La temperatura inicial de cada masa es 20 °C.
D) i;3i
C) 2i;3i B) 2i;2i
E)
i;3i
UNI 2008 - II
A) 3
B) 4
D) 6
E) 7
C) 5
Resolución:
Ubicación de incógnita
Resolución:
Operación del problema
UNI 2009 - I
A) 18,15
B) 19,15
C) 20,15
D) 21,15
E) 22,15 e
Para detener un carro de 2000 kg de masa, que se mueve en línea recta a 25 m/s, se le aplica una fuerza constante durante 2 segundos, quedando el carro en reposo. Calcule la magnitud del impulso que recibe el carro, en 104 N.s, durante los 2 segundos.
(1 cal = 4,18 J, g = 9,81 m/s 2)
UNI 2010 - I A) 2i;i
Problema 3
Vrelat DCH v 1 relat ACH 2 10
v 5 m/s ............
ahora: P inicial P final
Realizamos un gráfico que nos ayude a la solución del problema y designamos por I el impulso que recibe el carro.
Análisis de los datos o gráfic os
Resolución:
Cambiando las unidades del Ce: Ce 3.102. 4,186J Ce 30 4,186 J kgºC 103
50 10 200 50v 10 4 v ............
Relacionando y
3 m/s
=3im/s
v 2 m/s
v =-2 i m/s
Como las masas adquieren cantidades de movimiento de igual valor pero sentidos opuestos, las masas quedan en reposo. Toda la energía potencial se convierte en calor:
Operación del problema
Del teorema del impulso y la cantidad de movimiento tenemos:
Ep Q 2 m gh Ce 2m T
| I | m | Vo | 2000 kg 25 m/s
Respuesta: C) 2i;3i
T Problema 2
Dos masas de plomo idénticas: C 0, 03 cal e g C
que están sujetas por hilos de 2 m de longitud de cada uno, se las deja caer LIBRO UNI
gh 9, 81 2 C e 30 4,186
TF – 20 °C = 0,15 °C TF= 20,15 ºC Respuesta: C) 20,15 ºC 48
| I | 5 104 kg m/s Nota:
El dato del tiempo no era necesario ser usado. Respuesta: C) 5 10 4 kg m/s FÍSICA
FÍSICA
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE DESARROLLO DEL TEMA
I. IMPORTANCIA
El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.
IV. DEFINICIÓN A. Movimiento periódico
Movimiento que se repite a intervalos regulares de tiempo.
B. Movimiento oscilatorio
II. OBJETIVOS
• Analizar elM.A.S. como unmovimientoperiódico y oscilatorio. • Analizar los valores de la energía cinética, potencial y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuando la partícula pasa por el origen y por las posiciones de máximo desplazamiento. • Definir e identificar las principales magnitudes físicas que intervienen en un M.A.S.
Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve hacia uno y otro lado respecto a una posición de equilibrio, o decir efectúa un movimiento de vaivén.
III. HISTORIA
Sabemos que una de las propiedades más importantes de la materia es el "movimiento" y en la naturaleza, este se presenta en distintas formas; en algunos casos, bastante sencillas de analizar como por ejemplo: el movimiento de un auto o en otros casos más complejos de analizar como por ejemplo el movimiento de las moléculas que forman la sustancias. Con respecto a este último caso, el movimiento de las moléculas de una sustancia sólida es un caso de mucha complejidad, pero esa complejidad disminuye considerablemente cuando hacemos uso de un modelo que se asemeje mucho a lo que en realidad está ocurriendo y en ese sentido el movimiento armónico simple (M.A.S.) es de gran utilidad. Los resultados teóricos que se obtienen al asumir que las moléculas en un sólido desarrollan un M.A.S. son muy próximos a los resultados que se obtienen en forma experimental. Y en física, la validez y por ende la aceptación de un modelo, está en función de cuanto se asemeje a lo que realmente ocurre y eso lo determinan los resultados. Con esto podemos comprender la gran importancia del estudio de este movimiento. Pero el M.A.S. no sólo sirve como modelo para explicar algunos movimientosmicroscópicossinotambiénalgu-nosmacroscópicos, como los movimientos sísmicos y en general los movimientos ondulatorios. Así por ejemplo: las ondas mecánicas como el sonido y las ondas que se generan al sacudir una cuerda, son estudiados y descritos mediante el M.A.S. pero también las ondas electromagnéticas, como las ondas de radio y televisión son descritos mediante este modelo. Por lo expuesto, el M.A.S. es de suma importancia ya que permite comprender algunos de los movimientos oscilatorios más complejos que se presentan en la naturaleza. LIBRO UNI
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C. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Es aquel movimiento rectilíneo, oscilatorio y periódico donde su aceleración siempre señala hacia la posición de equilibrio. x(-) V=0
a
X(+)
Vmáx
a
Q
V=0 P
(-)A
P.E.
A(+)
P, Q: Extremos P. E: Posición de equilibrio o punto medio, de PQ. 1. Oscilación simple
Es el movimiento que realiza un cuerpo al ir de una posición extrema hasta la otra (ABCD).
2. Oscilación doble o completa
Es el movimiento que realiza un cuerpo en ir de una posición extrema a la otra y luego regresar a la primera (ABCDCBA).
3. Período (T)
Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizar una oscilación completa.
4. Frecuencia (f)
Es el número de oscilaciones completas que realiza un cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T). FÍSICA
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Exigimos más! 5. Elogación (x)
B. Velocidad (v)
Es la distancia existente entre la posición de equ ilibrio y el cuerpo en un instante cualquiera.
v(+) = vmáxCos (wt + ) vmáx = wA
6. Amplitud (A)
C. Aceleración (a)
Es la distancia existente entre la posición de equ ilibrio y cualquiera de las posiciones extremas.
a(+) = amáxSen (wt + ) amáx = w2 A
Propiedad
Donde: • (wt + ): fase, es el argumento de la función armónica (en radianes). • : fase inicial, es un ángulo que nos indica el punto (x) donde se e mpieza a medir el tiempo (t 0 = 0).
T: periodo w = 2f 2 T w: Frecuencia angular del M.A.S, w es constante.
Propiedades 2 1. x2 + v A2 w 2. Vmáx = wA (en la P.E. x = 0) Vmin = 0 (en los externos, x = 3. amáx = w2 A (en los externos) amin = 0 (En la P.E., x = 0)
V. ECUACIONES CINEMÁTICAS DE UNA PARTÍCULA EN M.A.S SOBRE EL EJE X A. Posición (x)
x(+) = x máxSen (wt + ) xmáx = A
problemas
resueltos
Problema 1
Una partícula tiene un movimiento armónico simple. Si su rapidez máxima es de 10 cm/s y su aceleración máxima es de 25 cm/s2, calcule aproximadamente el producto de su amplitud por el período del movimiento en (cm. s). UNI 2012 - II
A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
C) 8
Resolución:
Sabemos que en el M.A.S. la velocidad máxima y aceleración máxima se dan en diferentes posiciones del movimiento oscilatorio. • VMÁX .A 10 A • aMÁX 2.A 25 2.A Tomando las ecuaciones anteriores y dividiendolas: 10 1 25 2.5
4)
rad A 4 cm.... s
2 Pero: T T 2 2 ................... 2.5 LIBRO UNI
Nos piden el producto de el periodo con la amplitud, entonces las ecuaciones y serán multiplicadas: 2 A.T 4. A.T. 10, 048 2,5
Nos piden:
Respuesta: E) 10
0,75 1,5
Problema 2
Un péndulo simple tiene un período de 1,5 s sobre la superficie de la Tierra. Cuando se le pone a oscilar en la superficie de otro planeta, el período resulta ser de 0,75 s. Si la masa de este planeta es 100 veces la masa de la Tierra, el cociente entre el radio del planeta y el radio de la Tierra, (R p /R T), es: A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
L Tp 2R P GMp TT 2R T L GMT
R P R T
L G(100MT ) 2R T L GM T
2R P
5 Respuesta: C) 5
Problema 3
Un sistema masa-recorte oscila de manera que la posición de la masa está dada por 0, 5sen(2t), donde t se expresa en x UNI 2011 - I segundos y x en metros. Halle la rapidez, en m/s, de la masa cuando x = –0,3 m. Resolución: A) B) 0, 4 C) 0, 6 0, 2 R P /R T D) E) 0, 8 Análisis de los datos o gráfic os UNI 2010 - I En la Tierra: En el planeta P: Resolución: TT = 1,5s Tp = 0,75 Ecuación de la posición: x = ASen (wt) x = 0,5 Sen(2 t) Usando: T 2R L ...(I) Sabemos: GM 2 2 Siendo: R: Radio del planeta A 2 x 2 V 2 0,5 (0,3) G: Constante universal V 2 0, 4 V = 0,8 m/s M: Masa del planeta L: Longitud del péndulo Respuesta: D) 0,8 m/s T: Período 50
FÍSICA
FÍSICA
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA DESARROLLO DEL TEMA Cuando disfrutamos de las olas en una playa, estamos experimentando un movimiento ondulatorio. Los rizos en un estanque, los sonidos musicales que escuchamos, otros sonidos que no podemos oír, los movimientos de un resorte largo y flojo estirado sobre el piso: todos éstos son fenómenos ondulatorios. Pueden ocurrir ondas siempre que un sistema es perturbado de su posición de equilibrio y cuan do es perturbado puede viajar o propagarse de una región del sistema a otra. El soni do, la luz, las olas del mar, la transmisión de radio y televisión, y los terremotos, son fenómenos ondulatorios. Las ondas son importantes en to das las ramas de la física y la biología; de hecho, el concepto de onda es uno de los hilos unificadores más importantes que corren por toda la tela de las ciencias naturales. En este tema se tratan las ondas mecánicas, ondas que viajan dentro de algún material llamado medio. No todas las ondas son mecánicas. Otra clase muy amplia es la de las ondas electromagnéticas, que incluyen la luz, las ondas de radio, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos x, los rayos gamma. Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio; pueden viajar por el espacio vacio. Otra clase más de fenómenos ondulatorios es el comportamiento tipo onda de las partículas atómicas y subatómicas. Este comportamiento forma parte de los cimientos de la mecánica cuántica, la teoría básica que se usa para analizar la estructura atómica y molecular. Volveremos a las ondas electromagnéticas en clases posteriores. Mientras tanto, podemos aprender el lenguaje esencial de las ondas en el contexto de las ondas mecánicas.
Al incidir la piedra en la superficie del agua, vemos que ésta experimenta una perturbación, la cual se propaga en toda la superficie del agua. Por lo tanto decimos que se ha generado una ¡Onda! Una onda mecánica es una perturbación que viaja por un material o sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las partículas que forman el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda.
II. TIPOS DE ONDA La Fig. 1 muestra variedades de ondas mecánicas. En la Fig. 1a el medio es un hilo o cuerda tensado. Si imprimimos al extremo izquierdo una pequeña sacudida hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo del hilo. Secciones sucesivas del hilo repiten el movimiento que dimos al extremo, pero en instantes posteriores sucesivos. Dado que los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la dirección en que la onda viaja por el medio, decimos que se trata de una onda transversal.
I. ONDAS MECÁNICAS Observemos una pequeña piedra que cae desde cierta altura hacia la superficie de un lago con agua tranquila.
Fig. 1 (a) La mano mueve la cuerda hacia arriba y regresa, produciendo una onda transversal. (b) El pistón comprime el líquido o gas y regresa, produciendo una onda longitudinal. (c) La tabla empuja a la derecha y regresa, produciendo una suma de ondas longitudinal transversal. LIBRO UNI
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FÍSICA
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA
Velocidad de pr opagación
En los 3 casos la onda solitaria se propaga a l a derecha. En la Fig. 1b el medio es un líquido o gas de un tubo con un pared rígida en el extremo derecho y un pistón móvil en el izquierdo. Si damos al pistón un solo movimiento hacia adelante y hacia atrás, el desplazamiento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largo del medio. Esta vez los movimientos de las partículas del medio son en la misma línea en que viaja la onda y decimos que se trata de una onda longitudinal. En la Fig.1c el medio es agua en un canal, como una zanja de irrigación. Si movemos la tabla plana de la izquierda hacia delante y hacia atrás una vez, una alteración ondular viajará a lo largo del canal. En este caso los desplazamientos del agua tienen componentes tanto longitudinal como transversal. Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equilibrio. Para la cuerda estirada, es el estado en que el sistema está en reposo, tendido en línea recta. Para el fluido en un tubo, es un estado en que el fluido está en reposo con presión uniforme, y para el agua en una zanja es una superficie lisa y plana de agua. En cada caso el movimiento ondulatorio es una alteración del estado de equilibrio que viaja de una región del medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a restablecer el sistema a su posición de equilibrio cuando se le desplaza, al igual que la gravedad tiende a llevar un péndulo hacia su posición de equilibrio cuando se le desplaza. Estos ejemplos tienen tres cosas en común. Primera, la perturbación siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez definida llamada rapidez de propagación o simplemente rapidez de la onda, determinada en cada caso por las propiedades mecánicas del medio. Usaremos el símbolo "V" para esta rapidez. (La rapidez de la onda no es la rapidez con que se mueven las partículas cuando con movidas por la onda). Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; sus partículas individuales realizan movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es la configuración global de la perturbación ondulatoria. Tercera, para poner en movimiento cualquiera de estos sistemas, debemos aportar energía realizando trabajo mecánico sobre el sistema. La onda transporta esta energía de una región del medio a la otra. Las ondas transportan energía, pero no materia, de una región a otra.
V f T
IV. ECUACIÓN DE UNA ONDA Si las partículas del medio tienen movimiento armónico, entonces la onda se rige por la siguiente ecuación: t x Y Asen2 T
Y Asen (wt kx)
(–) Si la onda se propaga a la derecha. (+) Si la onda se propaga a la izquierda. Cuando una onda choca con la frontera de su medio, se reflejan parcial o totalmente. Si gritamos hacia la pared de un edificio o un alcantarillado que ésta a cierta distancia, la onda sonora se refleja la superficie rígida, y regresa un eco. Si sacudimos el extremo de una cuerda cuyo otro extremo está atado a un soporte rígido, un pulso viaja a lo largo de la cuerda y se refleja hacia nosotros. En ambos casos la onda inicial y reflejada se solapan en la misma región del medio. Este solapamiento de ondas puede producir una interferencia. Si hay dos puntos o superficies de frontera, como en una cuerda de guitarra que ésta sujeta por ambos extremos, obtenemos reflexiones repetidas. En tales situaciones observamos que solo pueden ocurrir ondas seniodales para ciertas frecuencias especiales determinadas por las propiedades y dimensiones del medio. Estas frecuencias especiales y las correspondientes configuraciones de ondas se denominan modos normales. Los tonos de la mayor parte de los instrumentos musicales están determinados por las frecuencias de los modos normales también explica por qué sentimos que cantamos mejor en la ducha y por qué la voz amplificada de un cantante profesional puede romper una copa de cristal si canta la nota correcta.
V. INTERFERENCIAS DE ONDAS Es un fenómeno que consiste en el reforzamiento o destrucción de las ondas cuando se superponen. Dos trenes de ondas distintos procedentes de diferentes centros de vibración que concurren simultáneamente en cierta región, se superponen propagándose como si no hubieran superpuestos (principio de superposición).
III. ELEMENTOS DE UNA ONDA
y
P V
A
x
x
LIBRO UNI
Y: Desplazamiento A: Amplitud ( Y max) : Longitud de onda T : Periodo f : Frecuencia T: s f : hertz f 1 T 52
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ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA
VII.ENERGÍA DE ONDAS A. Velocidad de las ondas La velocidad de propagación de las ondas mecánicas depende de las propiedades del medio en el cual se propaga la onda. En el caso de una onda que viaja en una cuerda tensada, el valor de su velocidad depende de la tensión (F) y de su masa por unidad de longitud ( ).
Superposición de los dos pulsos. El desplazamiento del pulso combinado es la suma de los desplazamientos individuales.
V
F ; masa longitud
Cuando una onda viaja a través de un medio, transporta energía capaz de realizar un trabajo. La potencia transmitida por una onda está dada por la siguiente ecuación: Potencia 1 2 A2v 2 La superposición de dos pulsos iguales y opuestos.
B. Superposición de ondas Es un hecho experimental que, en muchas clases de ondas dos o más de ellas pueden propagarse en un mismo medio en forma independiente, es decir, ninguna onda afecta a la otra. El hecho que las ondas actúen independientemente quiere decir que todo punto que sea alcanzado simultáneamente por dos o más ondas sufrirá un desplazamiento igual a la suma vectorial de los desplazamientos individuales que las ondas proporcionan. Este proceso de adición vectorial de los desplazamientos de una partícula se llama superposición.
(A) antes de la anulación completa. (B) anulación completa.
VI. VELOCIDAD DE LAS ONDAS EN UNA CUERDA Para el caso de las ondas lineales, la velocidad de las ondas mecánicas solo depende de las propiedades del medio por el que se propaga la perturbación. Nosotros enfocaremos la atención en la determinación de la rapidez de un pulso que viaja sobre una cuerda estirada. Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de longitud es la rapidez V de la onda está dada por: T
V
C. Interferencia La palabra interferencia se refiere a los efectos físicos que resultan al superponer dos o mas trenes de onda. Para que se dé una interferencia que no varíe con el tiempo (estacionaria) se requieren las siguientes condiciones: 1. Las ondas deben ser la misma naturaleza. 2. Las ondas deben poseer la misma frecuencia (velocidad).
M
L
M L
V
T
T : Tensión (N) : Densidad Lineal (kg/m) ¡No olvidemos! Una onda es una perturbación, del equilibrio que viaja, o sea propaga, de una región del espacio a otra. La rapidez de propagación se denomina rapidez de la onda. Las ondas pueden ser transversales, longitudinales o una combinación de ambas. En una onda periódica, la perturbación en cada punto es una función periódica del tiempo, y la configuración de la perturbación es una función periódica de la distancia. Una onda periódica tiene una frecuencia y longitud de ondas definidas. En las ondas periódicas senoidales cada partícula del medio oscila en movimiento armónico simple. La función de onda sitúa cada punto en el medio en que se propaga la onda en cualquier instante. LIBRO UNI
F1 F2
d1
P
d2
Consideremos dos ondas de la misma amplitud "A" y frecuencia "f" al cabo de un cierto tiempo recorriendo la misma distancia. La suma de las elongaciones Y = y + y' en la figura muestra que se obtiene una onda sinusoidal de la misma frecuencia, pero de amplitud "2A". Esto implica que la intensidad de la onda resultante es el cuádruple de una cualquiera de las ondas que se superponen. 53
FÍSICA
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA
A y
A y
d1
d1
A y'
A y'
d2
d2
d=(2+1) /2 Y 2A
Y
d1
d1
d2
d2
Si las amplitudes de las ondas son diferentes, se obtiene una onda de igual frecuencia pero de amplitud igual a la diferencia de las amplitudes de las ondas.
Notemos que se obtiene el mismo resultado si las dos ondas tienen entre sí una diferencia de camino d, igual a un número entero de longitud de onda
: d N N = 0, 1, 2, 3, ... En este caso se dice que las ondas llegan en fase al punto "P" y que se produce una interferencia cons- tructiva . A y d1
1. No todos los puntos vibran, existen puntos cuyo
d2
movimiento es nulo. Denominados nodos. 2. La distancia entre dos nodos consecutivos es una
Y
semi-longitud de onda ( / 2).
d1
3. Todos los puntos vibran con la misma frecuencia y fase pero con diferentes amplitudes. La amplitud
d2
de la partícula correspondiente depende de su posición, llamándose antinodos a los puntos de máxima amplitud.
Si las 2 ondas tienen entre sí una diferencia de caminos iguales a / 2, la suma de las elongaciones es siempre cero. Luego la intensidad de la onda resultante es nula. Observemos que el mismo efecto se obtiene si la diferencia de camino es un número impar de / 2, es decir: d (2N 1) / 2. (N = 1, 2, 3, ...)
4. Las ondas estacionarias se establecen para ciertas frecuencias, las cuales dependen de las características del sistema oscilante. Para el caso de una cuerda vibrante de longitud "L" cuyos extremos se encuentran fijos los posibles valores de la longitud de onda estan dados por:
A y d1
= 2L
A y'
/2
Estas ondas se obtienen mediante la superposición de 2 ondas de igual frecuencia y amplitud que se propagan en direcciones opuestas. Las ondas estacionarias presentan las siguientes características:
A y'
2A
VIII. ONDAS ESTACIONARIAS
N
d2
Por lo que las correspondientes frecuencias son:
Y d1
f =N
d2
2Lv
donde: N = 1, 2, 3, ... En este caso se dice que las ondas llegan al punto "P" en oposición de fase y que se produce una interferencia destructiva . LIBRO UNI
Cuando N = 1, se obtiene la frecuencia conocida como, frecuencia fundamental (f 1). 54
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