La criptoaritmética es un arte que desempeñó un importante papel en el desenvolvimiento de la Historia. La criptoaritmética no es más que un juego. No se sabe en qué época se inventó; pero los aficionados aficionados a las variedades comenzaron a interesarse por ellas en el Primer Congreso Internacional de Recreaciones Matemáticas que se reunió en Bruselas en 1935. PLATÓN
Cripto viene del griego "criptus" que quiere decir oculto, escondido. La criptoaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras en la transcripción de una operación de aritmética clásica, de una ecuación. El problema consiste en hallar las cifras que están "bajo las letras". Para complicar las cosas, en ciertos sitios se puede marcar simplemente el lugar de una cifra con un punto o un asterisco. En el caso extremo, sólo quedan asteriscos.
Nació : 427 AC en Atenas, Atenas, Grecia Falleció : 347 AC en Atenas, Grecia Platón se veía como un hombre joven que ha sido puesto en una carrera política. Los excesos de una vida política del ateniense parecen haberlo persuadido a rendirse a las ambiciones políticas. En particular la ejecución de Sócrates en el año 399
Es fácil ver que la criptoaritmética es un procedimiento de cifrar por sustitución y que la clave es una regla matemática. Los enunciados criptoaritméticos son, a veces, seductores. Sus soluciones no presentan dificultades matemáticas; pero en cambio exigen numerosísimas hipótesis y, en consecuencia, cálculos largos y trabajosos que implican grandes riesgos de confusión.
AC
tuvo
un
profundo
efecto
muy
en
él.
Platón
estudió
primeramente
filosofía
con
gran
Sócrates.
su
maestro
Después
matemáticas
con
estudió
Arquitas
de
Tarento y con con Teodoro de Cirene. Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático
Por eso, se aconseja que se dediquen a este género de problemas sólo los lectores pacientes y minuciosos como ustedes, alumnos de Trilce.
Eudoxio. Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo
El objetivo de la criptoaritmética criptoaritmética es redescubrir las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación, división, radicación y potenciación. potenciación. En los problemas a tratar en este capítulo, se cumple que a letras iguales le corresponde cifras iguales y a letras diferentes, cifras diferentes. Cada letra, cada cada asterisco (*), representa una cifra. Además, la suma de dos dígitos como máximo es 18, siempre y cuando los dígitos sean iguales (9 + 9) y 17 si es que los dígitos son diferentes (9 + 8).
de las matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo colocar,
a
la
entrada
de
la
Academia, su célebre y significativa frase: “no entres aquí si no eres geometra ”.
Primeramente se de ben
a él
algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la Geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aún en
Para que este tema sea más entendible, lo dividiremos de la siguiente manera:
nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando
usaban
otros
instrumentos que no fueran los mencionados.
Hallar OMAR y dar como respuesta la suma de sus cifras.
ADICIÓN
Resolución:
Debemos recordar las siguientes reglas: MULTIPLICACIÓN
Debemos tener en cuenta las siguientes reglas: PAR + PAR = PAR PAR x PAR = PAR
PAR + IMPAR = IMPAR
PAR x IMPAR = PAR IMPAR x IMPAR = IMPAR
IMPAR + IMPAR = PAR
4.
1.
Después de reconstruir la siguiente suma : SAL + MAS = ALLA dar el valor de la suma de las cifras del resultado de : MAS+ ALLA
Hallar la suma de las cifras del producto:
3 * X
Resolución: Resolución:
*
2.
* *
Si : (a+b)2 =169 Calcular: 2abab5 + 5baba2
Resolución: Resolución:
*
* 5
3.
Si : ROMA+ AMOR = MMARM
*
* 1 * x
* * *8
3 * 2 * 3 * 2 *
Resolución:
3
* 2 * 5 1 * 8 * 3 0
X
Multiplicado
3 *
Resolución:
Multiplicador 6. Las letras representan las cifras de un número,
que al multiplicarle por 4, resulta de invertir el orden de las cifras en el primitivo. ROMPE x 4 = EPMOR Hallar: P+E+R+0 Resolución:
Productos Parciales 5 8
Producto Final
5.
Dada la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos en los productos parciales.
DIVISIÓN
3 7. En la siguiente división, hallar la suma de las
cifras del dividendo : 2
Cociente 3
8
8 5
5
Resolución:
Resto o residuo Dividendo 8. Hallar la suma de las cifras del cociente.
7 Divisor 2 2 3
8
Resolución:
9. Hallar la suma de las cifras del cociente en :
RADICACIÓN 3 Reconstruir la siguiente operación y dar corno respuesta la suma de las cifras del radicando.
10.
9
9
2
4
9
2 1 4
Resolución:
2 4
Dar como respuesta la suma de las cifras del radicando.
11.
Resolución:
Signo radical: Operador mate-
2
4
mático convencional que identifica la sexta operación aritmética Radicando Raíz cuadrada
6
1
2
2 1 4 6
Resolución:
2 4
2 4
P O T E N C I A C I Ó N
12. Reconstruir la siguiente operación y dar como Respuesta la suma de las cifras de: Z+A+P+A+T+O 2 ZOO = TOPAZ
Resolución:
1301. Sabiendo que a letras iguales le corresponden cifras iguales y además: NE + EN = SOS
7
Hallar: N+0+S+E a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
6
1 1302. Si: a) 12 d) 10 1 a b c d e x
b) 13 e) 14
c) 11
1304. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras de la raíz.
5
5
3
7 a b c d e 1 Halar: c + e + b + a + d + a a) 28 d) 31
b) 29 e) 32
c) 30
1303. Reconstruir la división mostrada y dar como respuesta la suma de las cifras de cociente.
a) 8 d) 9
b) 13 e) 12
c) 10
1305. Sabiendo que: SIN +SIN = NADA Hallar: N+D+S+A
2
6 3
3 a) 20 d) 14
b) 16 e) 15
c) 17
1306. 'Si: TRILCE x 99 =….291403 además a
letras iguales iguales.
les
corresponden
cifras 2
Calcular: L + E + T + I a) 22 d) 18
b) 17 e) 21
c) 20
1
4 2
1307. Reconstruir la división adjunta y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo, si el divisor es el menor posible. 3
a) 5 d) 8
2
b) 6 e) 10
c) 7
4 1309. Si se cumple que: APT + MAT = STOP 8 Además STOP toma su máximo valor y O = cero. Hallar: M + O + T + A + S 8 a) 20 d) 23 8
a) 21
b) 21 e) 24
c) 22
1310. Hallar la suma de las cifras del primer producto parcial.
b) 22 2
x
c) 20 d) 23
4
e) 24
1308. Después de reconstruir la siguiente operación dar como respuesta la suma de las cifras de la raíz.
3 3
a) 10 d) 14 8 9
b) 12 e) 18
5 0
c) 13
1311. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras del radicando.
5
R A D A R x 5 2
C R A A C 1 0 3
a) 24
b) 25
d) 27
c) 26 e) 28
9
Hallar la suma de las cifras de DRACA
9
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
1314. Reconstruir la división mostrada y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente.
1312. Sabiendo que a letras iguales le corresponden cifras iguales y además: O L I P I
M+
2
A
2
D A R I
E M A
Donde: M=3 y L>P Hallar: R + O + M + M + E + L a) 20 d) 26
b) 24 e) 30
1313. Sabiendo que:
c) 28
5 1
1
1
2 1 a) 8 d) 12
b) 9 e) 11
c) 10 1
1315. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras del radicando.
3
9
a) 15 d) 18
c) 17
1317. Si: TRES + DOS = CINCO Además: N=5 y R >D y que a letras iguales le corresponden cifras iguales. Hallar: R + E + T + O + S a) 30 d) 28
7
b) 16 e) 19
2
b) 29 e) 32
c) 31
1318. Hallar el resultado final, si el multiplicador tiene 3 cifras iguales.
3 7
a) 25 d) 32
b) 27 e) 21
c) 30
x
1316. Reconstruir la división mostrada y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente.
3
6
a
a
0 2
6
4
9 3
4
8
a
a) 361840 c) 326350 e) 316240
b) 426140 d) 326340
1319. De la siguiente operación, dar la suma de cifras del dividendo:
a) 22 d) 26
b) 24 e) 27
c) 25
1321. Hallar: a + b + c + d Si: abcd x bd = 43904 bc x bd =1184 5
Donde letras iguales son dígitos iguales. 8
3
a) 13 d) 16
3
b) 14 e) 17
c) 15
1322. En la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del producto, si cada representa una cifra.
3 6 2
7
x 2
a) 20 d) 21
b) 25 e) 19
c) 22
6 8
1320. En la siguiente operación de números naturales, las cifras están escondidas por letras:
E L I T +
1
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
0
c) 12
M I A B A S I N T A
Si las letras iguales son cifras iguales y letras diferentes son cifras diferentes. Además: L = 6 y M = 8 Hallar el valor de: I + S + A + B + E + L
1323. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente, si es el máximo posible.
5
6
a) 10 d) 12
0
b) 11 e) 14
c) 11
1326. Hallar la suma de las cifras de la raíz en:
3
a) 10 d) 13
b) 9 e) 13
c) 12
1324. Hallar la suma de cifras del producto.
5 x a) 10 d) 12
3
a) 18 d) 19
b) 21 e) 20
4
c) 11
e) 13
1327. En este criptograma, todas las letras representan números primos, excepto P que vale 1.
4 1
b) 9
6
1
c) 24
1325. Después de reconstruir la división mostrada, dé como respuesta la suma de las cifras del cociente en su parte decimal.
Hallar: P+E+R+0+M a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 14
1328. Si cada letra representa un dígito en la división y además a letras iguales les corresponden dígitos iguales. Hallar: 2p + 3q + 5r En:
representadas por asteriscos en: * * * *x999
a) 1152 d) 3200
b) 1528 e) 548
....4156
c) 364
1333. Después de reconstruir la siguiente división, dar como respuesta la suma de las cifras del cociente, si el divisor es el menor posible. a) 38 d) 43
b) 30 e) 49
c) 47
1329. Si: SAM
=5xSxAxM
Además: ...ASM
M 1
...TEM
Calcular: a) 20 d) 23
M+A+T+E+S b) 21 c) 22 e) 30
a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
1334. Sabiendo que: 1330. ¿Cuál es la suma de cifras del dividendo y el cociente en la siguiente división?
CHINE ASIE JAPON
Además: AS es
un cubo perfecto.
y JAP son cuadrados perfectos. Hallar: J + E + S + I + C + A JA
a) 25 d) 28 a) 26 d) 36
b) 27 e) 41
c) 31
1331. Si: ( TOC )2 = ENTRE Además: Además: O = cero Calcular: T + R +E + N a) 17 d) 18
b) 12 e) 15
c) 13
1332. Hallar el producto de las cifras
b) 26 e) 29
c) 27
1335. Reconstruir la operación y dar como respuesta la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos (*) en el radicando.
a) 16 d) 19
b) 17 e) 15
c) 18
1336. Calcular la suma de cifras del cociente, en la siguiente división. a) 384941 c) 357041 e) 426041
b) 295041 d) 455041
1340. Hallar la suma de las cifras del cociente.
a) 20 d) 30
b) 21 e) 32
1337. Sabiendo que
SEIS
c) 26
es divisible por 6.
SEIS DE ENERO
REYES
Calcular: REY DE REYES
a) 21609 c) 21608 e) 21508
b) 22607 d) 21704
a) 13 d) 14
b) 11 e) 15
c) 12
1341. Hallar la suma de las cifras del producto total, de la siguiente multiplicación.
1338. Reconstruir:
Hallar: B+A+B+A a) 14 d) 54
b) 34 e) 64
c) 44
1339. En la multiplicación, el producto total es:
a) 27 d) 36
b) 24 e) 30
c) 29
1342. En la siguiente operación de radicación cuadrada, hallar la suma de las cifras del radicando, sabiendo que: x-y=4
a) 25 d) 27
b) 24 e) 26
c) 23
1346. Mi amigo Luis escribe la siguiente suma : A + DD ARR a) 27 d) 30
b) 28 e) 31
c) 29 ¿Qué número representa
1343. Después de reconstruir la división dar como respuesta la suma de todas las cifras que no sean 8.
a) 9202
?
b) 8101 c) 8202
d) 7202
e) 9101
1347. Sabiendo que las cifras de la raíz son pares. Dar como respuesta la suma de cifras de la raíz.
a) 78 d) 81
b) 80 e) 82
c) 79
1344. Sabiendo que: Mx3
142xy
Mx9
ab867
Hallar: x +y +a +b a) 20 d) 23
b) 21 e) 24
c) 22
1345. En la siguiente división, hallar la suma de las cifras del dividendo :
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
1348. Sabiendo que a letras iguales le corresponde cifras iguales y además: S = cero. Hallar la suma de las cifras de BESAME en: PAPA MAMA
BEBES
Nota BEBES toma su máximo valor y además: P>M a) 23 d) 26 1349. Si:
b) 24 e) 27
c) 25
A
MARI
A
a) 11 d) 16
3
Hallar: M+A+R+I a) 9 d) 8
b) 6 e) 7
b) 13 e) 14
c) 15
1353. Sabiendo que:
c) 11
A B A
A B
1350. Sabiendo que: LE LE LE
B LE LE
OLE
A
Además, el cero y el uno no intervienen H a l l a r : 0 + L + E + L +E a) 24 d) 27
b) 25 e) 28
c) 26
1351. Dada la siguiente división entera donde cada punto representa una cifra, la suma de cifras del divisor es igual a la suma de cifras del cociente e igual al residuo de la división. Halle la suma de cifras del dividendo.
3 5
Hallar: AB + BA a) 5 d) 7
b) 3 e) 9
c) 6
1354. Si se sabe que: RRE RER
ARMA
Además: E = M Hallar el valor de: R +E+M +A a) 13 d) 16 1355. Si:
b) 14 e) 17
PRE PREP
c) 15
43 3U
Hallar el producto de las cifras de a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
1352. Hallar: a + b + c + m, si:
a) 270 d) 342
b) 324 e) 304
PREU
c) 756
1356. Si: BATA BATA MANTO (O cero) Hallar: B+0+N+T+M a) 25 d) 28
b) 26 e) 29
c) 27
1357. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo.
a) 24 d) 27
b) 25 e) 28
c) 26
b) 21 e) 24
c) 25
1362. Si: DIEZ TRES TRECE Se sabe además que DIEZ es par y
1358. Si: O = cero
Calcular: M=A+N+I+T+E+P a) 20 d) 27
a) 22 d) 23
b) 24 e) 28
c) 35
que TRES es impar. Calcular: S + I + E +T+ E a) 28 d) 24
b) 25 e) 26
c) 27
1363. Sustituya los asteriscos por los números que faltan en la siguiente multiplicación.
1359. Si:
Y además: AE = A x B Calcular: B+E+B+E a) 22 d) 26
b) 20
2
1360. Si: xyz6
Dé como respuesta la suma de todos los asteriscos. c) 24 e) 12
a) 63 d) 96
b) 54 e) 57
c) 59
....xyz6
Calcular: x + y + z a) 17 d) 18
b) 21 e) 20
c) 19
1364. Si: C U A T R O x
1361. Reconstruir la siguiente operación e indicar la suma de cifras del resultado. Cada asterisco representa un dígito cualquiera.
5 V I
Calcular "m + n + p" en:
E
N TE
C CE CEC CECE ... ...mnp
C2
2E sumandos
a) 9 d) 12
b) 11 e) 18
c) 15
1365. En la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del producto.
a) 18 d) 21
b) 19 e) 22
c) 20
1370. ¿Qué cifra no interviene en el siguiente criptograma alfabético? (Las letras representan dígitos) a) 16 d) 19
b) 17 e) 20
c) 18
1366. Si: AMIGA IM1M G1G62 Hallar el valor de A+M+I +G +A (Letras diferentes representa dígitos Diferentes) a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 34 1367. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo.
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
1371. Sabiendo que: ABC = C4 BCA = D4 Y que a letras iguales, cifras iguales. Calcular el valor de: A+ B + C + D a) 15 d) 17
b) 14 e) 18
c) 16
1372. Si:
a) 17 d) 15 1368. Si :
b) 12
c) 14 e) 16
TEN TEN FORTY
Donde GA es un cuadrado perfecto y además: R= 7 y D=L Hallar el valor de: C +R+E+M +A
SIXTY
Calcular:F+R+I+T+0 a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 1369. Calcular la suma de las cifras del dividendo en :
a) 27 d) 26
b) 30 e) 23
c) 28
1373. Reconstruir la siguiente multiplicación y dar como respuesta la suma de las cifras del producto.
a) 10 d) 21
b) 27 e) 24
c) 25 a) 16 d) 12
b) 9 e) 14
c) 10
1374. Hallar: x . y . z 1377. Calcular: a +b +c+ d Sabiendo que:
Si cada letra es un dígito y además a letras iguales dígitos iguales. a) 90 b) 100 c) 72 d) 36 e) 120 1375. Reconstruir la división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente.
a) 27 d) 29
b) 28 e) 30
c) 31
1378. Si:
Calcular: A2 + A +1 a) 30 d) 39
b) 24 e) 38
c) 43
1379. Sabiendo que: a) 7 d) 6
b) 9 e) 12
c) 8
1376. Reconstruir la multiplicación y dar como respuesta la suma de las cifras de tercer producto parcial.
Hallar: J+E+S +I a) 18 d) 17
b) 19 e) 21
c) 20
d) 17
e) 21
1380. Hallar la suma de las cifras de la raíz: 1384. Calcular: C+A+Q+U+ I, si:
a) 10 d) 13
b)11 e) 14
c) 12
HORA
b) 21 e) 24
c) 22
1385. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente.
1381. Sabiendo que: DIA
a) 20 d) 23
CITAS
Hallar: S +A+R+I+T+A a) 20 d) 28
b) 24
c) 27 e) 25 a) 10 d) 8
b) 11 e) 9
c) 12
1382. Sabiendo que: ASES REYES POKER
1386. Hallar la suma de las cifras del producto:
Hallar: P+R+E+S+Y+0 Sabiendo además que: K = 8 y que el cero no interviene. a) 21 d) 24
b) 22 e) 25
c) 23 a) 23 d) 21
b) 24 e) 18
c) 20
1383. Si: 1387. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo.
Calcular: M+A+R+C+0 a) 19
b) 15
c) 18
a) 28
b) 29
c) 30
d) 32
e) 27 1391. Si:
1388. Sabiendo que: 2
ABC
AC * BC
Con la diferencia de que ABC es un número primo. Calcular: AB CB a) 56 b) 70 d) 48 e) 37
c) 60
1389. De viaje, lejos de su oficina, un comerciante inglés advierte que necesitará más dinero para cumplir con su proyectada gira. Escribe por tanto a su socio un escueto mensaje que dice: "Send More Money" (manda más dinero). Pero como no desea que nadie se entere de la cantidad que solicita, dispone su texto según el código que sólo su socio conoce: S E N D + M O R E M O N E Y
ROMCHIx6
CHIROM
(O cero)
Calcular:
a) 5 d) 1
b) 4 e) 6
c) 3
1392. En la siguiente multiplicación, todas las cifras desaparecidas son primos. (Cada * es una cifra). Hallar la suma de las cifras del producto.
a) 24 d) 25
b) 23 e) 22
c) 20
1393. Completar la división mostrada y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente.
Se trata de sustituir cada letra por una determinada cifra. ¿Qué cantidad de dinero ha solicitado? a) 10265 c) 13547 10652 e)
b) 12678 d) 10562
1390. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta el resultado de: A
2
3A
a) 17 d) 20
b) 18 e) 21
c) 19
4
1394. En francés: "¿Qui trouve ceci?" significa: "¿Quién soluciona esto?" ¿Es usted capaz?. Dar como respuesta la suma de:
T+R+O+U+V+E
a) 58 d) 112
b) 74 e) 106
c) 92
1397. Reconstruir la siguiente multiplicación y dar como respuesta la suma de las cifras del producto.
A letras iguales, cifras iguales. a) 28 d) 31
b) 29 e) 32
c) 30
1395. En la siguiente división, cada cifra sustituye a otras diferentes, tratándose de reconstruir las cifras originales.
Dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo. a) 26 d) 29
b) 27 e) 30
a) 13 d) 16
b) 14 e) 17
c) 15
1398. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras del radicando.
a) 16 d) 19
b) 17 e) 20
c) 18
c) 28 1399. Si: ( EAU )2 =
OCEAN
Calcular el valor de: 1396. Sustituir los * por los dígitos precisos para que realizando las 2 multiplicaciones obtengamos el resultado anunciado.
UN OCEANO
a) 424789
b) 412133 c) 516768 e) 728632
Dar como respuesta la suma de cifras del primer multiplicando. a) 73 d) 93
b) 91 e) 94
c) 82
d) 325436
1400. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente.
a) 30 d) 33
b) 31 e) 34
c) 32
130 6
a
133 1
e
135 6
c
1381
c
130 7
c
133 2
a
135 7
c
1382
e
130 8
c
133 3
c
135 8
c
1383
e
130 9
c
133 4
c
135 9
c
1384
c
130 1
E
132 6
c
135 1
c
1376
c
131 0
c
133 5
c
136 0
c
1385
a
130 2
c
132 7
c
135 2
e
1377
d
131 1
c
133 6
c
136 1
c
1386
a
130 3
a
132 8
c
135 3
b
1378
c
131 2
c
133 7
c
136 2
e
1387
c
130 4
e
132 9
b
135 4
b
1379
a
131 3
d
133 8
b
136 3
c
1388
b
130
c
133
b
135
c
1380
c
131 4
c
133 9
e
136 d 4
1389
e
131
b
134
a
136
c
1390
5
0
5
D
131 6
d
134 1
e
136 6
a
1391
B
131 7
a
134 2
c
136 7
a
1392
a
131 8
d
134 d 3
136 d 8
1393
b
131 9
a
134 d 4
136 9
b
1394
c
132 0
c
134 5
e
137 0
c
1395
d
a
134 6
e
137 d 1
1396
a
132 2
a
134 7
a
137 2
e
1397
e
132 3
d
134 8
c
137 3
b
1398
d
132 4
b
134 9
e
137 4
a
1399
b
132 5
c
135 d 0
137 5
b
1400
d
132 1
