128853880 2400 Exercices Corriges Ds

Bibliothèque d'exercices version 4, octobre 2003

recueil réalisé par Arnaud Bodin

Introduction An de faciliter le travail de tous, voici la quatrième version de ce recueil d'exercices. L'esprit n'a pas changé : simplier le concoctage des feuilles d'exercices par un simple copier-coller. Je n'ai pas saisi tous les exercices, loin de là, je remercie vivement les gros contributeurs : - Éliane Cousquer ; - François Gourio ; - Pierre-Yves Legall ; - Pascal Ortiz ; - Franz Ridde. Sans oublier tous ceux qui m'ont fourni leurs feuilles d'exercices : Jean-François Barraud, Cécile Drouet, Cornélia Drutu, Olivier Gineste, Vincent Guirardel, Jean-Marc Hécart, Arnaud Hilion, Jean-Marie Lescure, Isabelle Liousse, Sylvain Maillot, Nicolas Marco, Bertrand Monthubert, Nadja Rebinguet, Sandrine Roussel, Marie-Helène Vignal. Qu'ils et elles en soient tous remerciés. La bibliothèque s'agrandie encore : environ

2000

exercices. Les chiers sources sont dispo-

AT X, et récupérables à l'adresse suivante : nibles en L E

http ://www-gat.univ-lille1.fr/ ∼bodin/ Sur ce site, une page permet de récupérer les exercices qui vous intéressent en saisissant leur numéro. Certains exercices sont corrigés (environ

15%),

cependant an des sauver quelques

arbres les corrections ne sont pas incluses dans cette version papier. Bien sûr lorsque vous récupérez des exercices pour faire une feuille de

td les corrections existantes sont automatiquement

ajoutées en n de feuille. Vous pouvez contribuer à ce recueil en m'envoyant vos chiers :

[email protected] Donc n'hésitez pas à taper vos feuilles et corrections, ce sera fait une fois pour toutes et pour tous !

Arnaud Bodin

Sommaire I ALGÈBRE 1

1

1 Nombres complexes

1

2 Logique, ensembles, raisonnements

13

3 Injection, surjection, bijection

22

4 Relation d'équivalence, relation d'ordre

25

5 Dénombrement

26

6 Arithmétique dans

Z

30

7 Polynômes

42

8 Fractions rationnelles

50

II ANALYSE 1

52

9 Propriétés de

R

52

10 Suites

58

11 Limites de fonctions

70

12 Continuité et étude de fonctions

76

13 Dérivabilité

82

14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

87

15 Calculs d'intégrales

90

16 Équations diérentielles

III ALGÈBRE 2

102

107

17 Espaces vectoriels

107

18 Applications linéaires

112

19 Espaces vectoriels de dimension nie

120

20 Matrices

127

21 Déterminants, systèmes linéaires

137

IV ANALYSE 2

153

22 Suites : compléments

153

23 Continuité et comparaison de fonctions

155

24 Dérivabilité : compléments

157

25 Développements limités

159

26 Intégrales (compléments), intégrales impropres

165

V ALGÈBRE 3

170

27 Groupes : généralités

170

28 Anneaux et corps

176

29 Groupes nis

180

30 Groupes quotients

187

31 Espaces euclidiens

190

32 Endomorphismes particuliers

199

33 Polynômes d'endomorphismes

210

34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation

212

35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions

227

VI ANALYSE 3

238

36 Fonctions convexes

238

37 Notions de topologie

239

38 Fonctions de deux variables

245

39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés

257

40 Suites dans

265

Rn

41 Intégrales multiples

266

42 Séries numériques, séries de Fourier

268

VII GÉOMÉTRIE

274

43 Géométrie ane

274

44 Isométries vectorielles

277

45 Géométrie ane euclidienne

278

46 Courbes paramétrées

289

47 Propriétés métriques des courbes planes

290

48 Coniques

291

49 Analyse vectorielle

291

VIII CORRECTIONS

293

IX QCM et FORMULAIRES

371

1 Nombres complexes

1

Première partie

ALGÈBRE 1 1 Nombres complexes

Exercice 1

1.1 Forme cartésienne, forme polaire Mettre sous la forme

3 + 6i 3 − 4i

a + ib (a, b ∈ R)

;

1+i 2−i

2

+

les nombres :

3 + 6i 3 − 4i

2 + 5i 2 − 5i + . 1−i 1+i

;

[Exercice corrigé]

Exercice 2

Exercice 3

Écrire les nombres complexes suivants sous la forme

5 + 2i 1 − 2i Écrire sous la forme

; a + ib

√ !3 1 3 − +i 2 2

;

a + ib (a, b ∈ R)

:

(1 + i)9 . (1 − i)7

les nombres complexes suivants :

1. Nombre de module

2

et d'argument

π/3.

2. Nombre de module

3

et d'argument

−π/8.

[Exercice corrigé]

Exercice 4 Exercice 5

Placer dans le plan cartésien, les points d'axes suivantes :

Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme

b ∈ R.

1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

3 + 3i, z2 = −1 − √

2. Calculer

1.

a + ib, a ∈ R

et

−2 1 1 + 2i 2 + 5i 2 − 5i √ , , , + . 1+i 1 − i 3 (1 + 2i)(3 − i) 1 − 2i 1 − i


z1 = i, z2 = 1 + i, z3 = −2 +

√

4 3i, z3 = − i, z4 = −2, z5 = eiθ + e2iθ . 3

z1 =

( 1+i2 3 )2000 .

Eectuer les calculs suivants :

(3 + 2i)(1 − 3i).

2. Produit du nombre complexe de module module

3

et d'argument

2

et d'argument

π/3

par le nombre complexe de

−5π/6.

3+2i 3. . 1−3i 4. Quotient du nombre complexe de module de module

3

et d'argument

2

et d'argument

π/3

par le nombre complexe

−5π/6.

[Exercice corrigé]

Exercice 8

Calculer le module et l'argument des nombres complexes suivants, ainsi que de

leurs conjugués : 1. 2.

√ 1 + i(1 + 2). p √ √ 10 + 2 5 + i(1 − 5).

1 Nombres complexes 3.

tan ϕ−i où tan ϕ+i

ϕ

2

est un angle donné.

[Exercice corrigé]

Exercice 9

Représenter sous forme trigonométrique les nombres :

√

1+i ;

1+i 3 ;

Exercice 10

Établir les égalités suivantes : √ 1−i 3 1. (cos(π/7) + i sin(π/7))( )(1 + i) = 2 2. 3.

√

√ 1+i 3 √ . 3−i

3+i ;

√

2(cos(5π/84) + i sin(5π/84)), √ √ (1 − i)(cos(π/5) + i sin(π/5))( 3 − i) = 2 2(cos(13π/60) + i sin(13π/60)), √

2(cos(π/12)+i sin(π/12)) 1+i

[Exercice corrigé]

√

=

3−i . 2

Exercice 11

√

Calculer le module et l'argument de u module et l'argument de w = . v

u =

√ 6−i 2 et 2

v = 1 − i.

En déduire le

[Exercice corrigé]

Exercice 12

Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-

argument le nombre complexe :

Exercice 13

!2 √ 1 + i − 3(1 − i) . 1+i Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : iα

ee

eiθ + e2iθ .

et

[Exercice corrigé]

Exercice 14 [Exercice corrigé] Exercice 15 Exercice 16 Exercice 17 Exercice 18

1+i . Calculer 1−i

Déterminer le module et l'argument de

√ Z = (1 + i 3)2000 . √ √ (1 + i 3)5 + (1 − i 3)5

Calculer Calculer

et

Calculer le module et l'argument de

n-ièmes

Calculer les puissances

Exercice 19 Exercice 20 Calculer

(z +

√ √ (1 + i 3)5 − (1 − i 3)5 . z=

1 . 1+i tan α

des nombres complexes :

√

z1 =

1+i 3 1+i

;

( 1+i )32 . 1−i

z2 = 1 + j

Comment choisir l'entier naturel

;

z3 =

1 + i tan θ . 1 − i tan θ

√ n pour que ( 3+i)n soit un réel ? un imaginaire ?

Soit z un nombre complexe de module ρ, d'argument z)(z 2 + z 2 ) . . . (z n + z n ) en fonction de ρ et θ.

θ,

et soit

z

son conjugué.

[Exercice corrigé]

Exercice 21 (partiel novembre 88) iα

iβ

complexe z = e +e α−β v = 2 ). En déduire la valeur de

p=0

[Exercice corrigé]

α

et

β

deux nombres réels. Mettre le nombre α+β iγ sous forme trigonométrique z = ρe (indication : poser u = , 2

n X

Soient

Cnp cos[pα + (n − p)β].

1 Nombres complexes


3

(1 + cos φ + i sin φ) (1 + cos φ + i sin φ)n .

Écrire l'expression

l'expression de

sous forme trigonométrique. En déduire

1 + eiθ

Mettre sous forme trigonométrique

où

θ ∈] − π, π[.

Donner une interpré-

tation géométrique.

[Exercice corrigé]

Exercice 24 Exercice 25 |1 + z | > 1 Exercice 26

|z| 6 k < 1

Montrer que si

alors

1 − k 6 |1 + z| 6 1 + k .

Faire un dessin et

montrer qu'il peut y avoir égalité.

2

|z| = 1

Montrer algébriquement et géométriquement que si

.

Résoudre l'équation

√

exp(z) =

alors

|1 + z| > 1

ou

3 + 3i.

1.2 Racines carrées, équation du second degré

Exercice 27 [Exercice corrigé] Exercice 28 [Exercice corrigé] Exercice 29

Calculer les racines carrées de

1, i, 3 + 4i, 8 − 6i,

Trouver les racines carrées de

3 − 4i

1. Calculer les racines carrées de

et de

et

7 + 24i.

24 − 10i.

1+i √ . En déduire les valeurs de 2

cos(π/8)

et

sin(π/8).

cos(π/12)

2. Calculer les valeurs de

[Exercice corrigé]

Exercice 30

et

sin(π/12).

Montrer que les solutions de

az 2 + bz + c = 0

avec

a, b , c

réels, sont réelles ou

conjuguées.

[Exercice corrigé]

Exercice 31

Résoudre dans

C

z2 + z + 1 = 0 ;

les équations suivantes :

z 2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 ;

z2 −

√

3z − i = 0 ;

z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 ; z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 ; 4z 2 − 2z + 1 = 0 ; z 4 + 10z 2 + 169 = 0 ;

z 4 + 2z 2 + 4 = 0.

[Exercice corrigé]

Exercice 32

Trouver les racines complexes de l'équation suivante :

x4 − 30x2 + 289 = 0.

Exercice 33

Pour

z ∈ C \ {2i},

on pose

f (z) =

2z − i . z − 2i

1. Résoudre l'équation

z 2 = i, z ∈ C.


f (z) = z, z ∈ C \ {2i}.

Exercice 34 1. Mettre

On note

j

et

2. Vérier que

j2

2π

j=e3.

sous forme algébrique.

1 + j + j 2 = 0.

1 Nombres complexes

4

z 3 − 8i.

3. Factoriser le polynôme

Exercice 35

1 + i, 7 + 24i, i, 5 + 12i,

1. Calculer les racines carrées de

√ 1+i √ 3. 3+i

2. Résoudre les équations suivantes : (a)

z2 + z + 1 = 0

(b)

z2 + z − 2 = 0

(c)

z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0

(d)

z 2 + 4z + 5 = 0

(e)

z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0

(f )

z 4 − (1 − i)z 2 − i = 0

(g)

z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z − 15 = 0

Exercice 36

Résoudre dans

C


1.

z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0.

2.

z 3 + 3z − 2i = 0.

[Exercice corrigé]

Exercice 37

On considère dans

(E)

l'équation

C

suivante :

z 2 − (1 + a) (1 + i) z + 1 + a2 i = 0, où

a

est un paramètre réel.

1. Calculer en fonction de

a ∈ R

z1 et z2 de (E) −2i(1 − a)2 ).

les solutions

déterminer les racines carées complexes de

(indication : on pourra

Z1 (resp. Z2 ) les points du plan complexe d'axe z1 (resp. z2 ) et par M le [Z1 , Z2 ]. Tracer la courbe du plan complexe décrite par M lorsque a varie dans

2. On désigne par milieu de

R.

Exercice 38

1. Pour

α ∈ R,

résoudre dans

C

l'équation

z 2 − 2 cos(α)z + 1 = 0.

En déduire

la forme trigonométrique des solutions de l'équation :

z 2n − 2 cos(α)z n + 1 = 0,

où

n

est un entier naturel non nul.

Pα (z) = z 2n − 2 cos(α)z n + 1. (a) Justier la factorisation suivante de

Pα

:

α 2π α 2(n − 1)π 2 2 + 1 z − 2 cos + + 1 . . . z − 2 cos + Pα (z) = z − 2 cos n n n n n

2

α

(b) Prouver, à l'aide des nombres complexes par exemple, la formule suivante :

θ 1 − cos θ = 2 sin , 2 2

(c) Calculer

Pα (1).

θ ∈ R.

En déduire

2 α α α sin π α (n − 1)π 2 sin2 sin2 + . . . sin2 + = . 2n 2n n 2n n 4n−1

1 Nombres complexes 2. Pour tout

α

5

appartenant à

]0, π[,

et pour tout entier naturel

n > 2,

on pose :

α α α π 2π (n − 1)π Hn (α) = sin + sin + . . . sin + . 2n 2n 2n n 2n n (a) Montrer que, pour tout

α

non nul, on a :

2n−1 Hn (α) = (b) Quelle est la limite de

Hn (α)

lorsque

α

sin

n

sin

2π n

0?

tend vers

(c) En déduire que, pour tout entier naturel

π

sin(α/2) . sin(α/2n)

n

. . . sin

supérieur ou égal à

(n − 1)π n

=

2,

n 2n−1

on a

.

1.3 Racine n-ième

Exercice 39

1. Pour quelles valeurs de z ∈ C a-t-on |1 + iz| = |1 − iz|. 1+iz n On considère dans C l'équation = 1+ia , où a ∈ R. Montrer, sans les calculer, que 1−iz 1−ia les solutions de cette équation sont √ réelles. Trouver alors les solutions. 3+i Calculer les racines cubiques de √ . 3−i

Exercice 40

Pour tout nombre complexe

1. Factoriser

P (Z)

Z,

on pose

et en déduire les solutions dans

P (Z) = Z 4 − 1. C

de l'équation

z

2. Déduire de 1. les solutions de l'équation d'inconnue


P (Z) = 0.

:

((2z + 1)/(z − 1))4 = 1 Résoudre dans

C

l'équation suivante :

Résoudre dans

C

l'équation

√ z 4 = (1 − i) / 1 + i 3 .

z 3 = 14 (−1 + i)

et montrer qu'une seule de ses solu-

tions a une puissance quatrième réelle.

[Exercice corrigé]

Exercice 43 [Exercice corrigé] Exercice 44

Trouver les racines cubiques de

Calculer

π π 5π sin 12 , tan , tan . 12 12

[Exercice corrigé]

√ 1+i 3 2 √ 2(1+i) 2

2 − 2i

et de

11 + 2i.

algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire

Résoudre dans

C


l'équation

Trouver les racines quatrièmes de

1. Montrer que, pour tout

z 24 = 1.

81

n ∈ N∗

et de

−81.

et tout nombre

z ∈ C,

(z − 1) 1 + z + z 2 + ... + z n−1 = z n − 1, et en déduire que, si

z 6= 1,

on a :

1 + z + z 2 + ... + z n−1 =

zn − 1 . z−1

on a :

π , cos 12

1 Nombres complexes

6

2. Vérier que pour tout 3. Soit

n∈N

∗

x∈R

exp(ix) − 1 = 2i exp x ∈ R la somme :

, on a

. Calculer pour tout

ix 2

sin

x 2

.

Zn = 1 + exp(ix) + exp(2ix) + ... + exp((n − 1)ix), et en déduire les valeurs de

Xn = 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos((n − 1)x) Yn = sin(x) + sin(2x) + ... + sin((n − 1)x).

[Exercice corrigé]


Calculer la somme

1. Résoudre

1+j+

Sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n .

z3 = 1

et montrer que les racines s'écrivent 2 j et en déduire les racines de 1 + z + z 2 = 0.

1, j , j 2 .

Calculer

z n = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1, ε, . . . , εn−1 . En déduire les racines 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = 0. Calculer, pour p ∈ N, 1 + εp + ε2p + · · · + ε(n−1)p .

2. Résoudre de

[Exercice corrigé]

Exercice 49 1. 2. 3. 4.

z5 z5 z3 z5

Résoudre dans

C

:

= 1. = 1 − i. = −2 + 2i. = z¯.

Exercice 50

1. Calculer les racines

n-ièmes

de

−i

et de

1 + i.

z 2 − z + 1 − i = 0. 2n déduire les racines de z − z n + 1 − i = 0.

2. Résoudre 3. En

Exercice 51 Exercice 52 Exercice 53 Exercice 54

Soit

ε

une racine

n-ième

de l'unité ; calculer

S = 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 . Résoudre, dans

C,

l'équation

(z + 1)n = (z − 1)n .

Résoudre, dans

C,

l'équation

zn = z

où

n > 1.

Résoudre les équations suivantes :

√ 1 + i 3 √ z6 = 1−i 3

Exercice 55 z + 27 = 0 z ∈ C Exercice 56 (partiel novembre 91) Résoudre

6

. (

;

z4 =

1−i √ . 1+i 3

)

1. Soient

z1 , z2 , z3 trois nombres complexes distincts

ayant le même cube. Exprimer

z2

et

z3

en fonction de

z1 .

2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans

C

de :

z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0. (Indication : poser

[Exercice corrigé]

Z = z3 ;

calculer

(9 + i)2 )

1 Nombres complexes

Exercice 57 Exercice 58 Exercice 59

7

Résoudre dans

27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0.

l'équation

C

Déterminer les racines quatrièmes de Soit

β∈C

tel que

β7 = 1

et

β 6= 1.

−7 − 24i.

Montrer

β β2 β3 + + = −2 1 + β2 1 + β4 1 + β6

Exercice 60 1.

2.

1.4 Géométrie Déterminer l'ensemble des nombres complexes

z

tels que :

z − 3 z − 5 = 1, √ z − 3 = 2. z − 5 2

[Exercice corrigé]

Exercice 61

1. Résoudre dans

C l'équation (1) (z − 2)/(z − 1) = i. On donnera la solution

sous forme algébrique.

M, A, et B les points d'axes respectives z, 1, 2. On suppose que M 6= A et que M 6= B . Interpréter géométriquement le module et un argument de (z − 2)/(z − 1) et

2. Soit

retrouver la solution de l'équation (1).

Exercice 62

Le plan

P

est rapporté à un repère orthonormé et identié à l'ensemble

C

des

nombres complexes par

M (x, y) 7→ x + iy = z, z z = où 0

est appelé l'axe de z−i . z+i

M.

Soit

1. Sur quel sous ensemble de 2. Calculer

0

|z |

pour

z

f : P rg P

P, f

qui à tout point

M

d'axe

z

associe

M0

d'axe

est-elle dénie ?

M

axe d'un point

situé dans le demi plan ouvert

H := {M (x, y) ∈ P | y > 0.}? 3. En déduire l'image par

Exercice 63

Le plan

nombres complexes

C

P

f

de

H.

est rapporté à un repère orthonormé et on identie

P

à l'ensemble des

par

M (x, y) 7→ x + iy = z, est appelé l'axe de M. Soit 1−z 0 d'axe z = . 1+z 0 ¯0 pour |z| = 1. 1. Calculer z + z où

z

g : P rg P

2. En déduire l'image du cercle de rayon par l'application

Exercice 64

orthonormé.

Soit

C

qui à tout point

M

d'xe

z 6= −1

associe

g(M )

1 de centre 0 privé du point de coordonnées (−1, 0)

g.

la courbe d'équation

x2 − xy + y 2 = 0 dans le plan P

rapporté à un repère

1 Nombres complexes 1. La courbe

C

8

a-t-elle des points d'intersection avec le rectangle ouvert

R dont les sommets

sont :

A B C D

2. Même question pour le rectangle fermé

= = = =

R0

A0 B0 C0 D0

Exercice 65

z−3 z−5 = 1.

(−3, 2) (4, 2) (4, −1) (−3, −1).

de sommets :

= = = =

(−1, 4) (2, 4) (2, 1) (−1, 1).

Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes

Généraliser pour

[Exercice corrigé]

Exercice 66

z

tels que

z

tels que

z−a z−b = 1.

Déterminer par le calcul et géométriquement z−3 = k. z−5 = k (k > 0, k 6= 1). Généraliser pour z−a z−b

les nombres complexes

[Exercice corrigé]

Exercice 67 ment (j et

1. Soit A, B , C trois points du plan complexe dont les axes sont respectivea, b, c. On suppose que a+jb+j 2 c = 0 ; montrer que ABC est un triangle équilatéral √ 3 j 2 sont les racines cubiques complexes de 1 plus précisément j = −1+i ). Réci2

proque ? 2.

ABC

étant un triangle équilatéral direct du plan complexe, on construit les triangles

équilatéraux directs

BOD

et

OCE ,

OBC , DBA

[Exercice corrigé]

Exercice 68

Soit

le cercle de centre

et

D et E (O est l'origine ADOE ? Comparer les triangles

ce qui détermine les points

du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilatère

EAC .

H une hyperbole M qui passe par

équilatère de centre le symétrique de

M

O,

et

M

un point de

par rapport à

O

H.

Montrer que

recoupe

H

en trois

points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral.

Indications :

a une équation du type xy = 1, autrement 2 au plan complexe, z − z ¯2 = 4i. En notant a l'axe de M , le

en choisissant un repère adéquat,

H |z − a|2 = 4a¯ a.

dit en identiant le plan de

H

Z = z − a et on élimine Z¯ entre les équations du cercle et de l'hyperbole. En divisant par Z + 2a pour éliminer la solution déjà connue du 3 symétrique de M , on obtient une équation du type Z − A = 0.

cercle a pour équation


Montrer que pour

Soient

z, z 0 ∈ C

On pose

u, v ∈ C,

on a

tels que Arg (z)

|u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ).

− Arg(z 0 ) =

1. Montrer que

zz 0 + zz 0 = 0.

2. Montrer que

|z + z 0 |2 = |z − z 0 |2 = |z|2 + |z 0 |2 .

π . 2

1 Nombres complexes

Exercice 71

9

1. Déterminer l'ensemble des points

M

z

du plan complexe, d'axe

tels que :

z(z − 1) = z 2 (z − 1).

2. Déterminer l'ensemble des points 1, z , 1 + z 2 soient alignées.

Exercice 72

Soit

M

du plan complexe, d'axe

2. Déterminer l'ensemble des images des nombres complexes

points

un point du plan d'axe α = a 2 du plan dont l'axe z vérie |z| = α¯ z+α ¯ z. 1. Soit

M

tels que les images de

s = (1 − z)(1 − iz).

1. Déterminer l'ensemble des images des nombres complexes

Exercice 73

z

A

2. Quelles conditions doivent vérier les points

M1

et

M2

z z

tel que tel que

+ ib.

s

soit réel.

s soit imaginaire pur.

Déterminer l'ensemble des

d'axes

z1

et

z2

z1 soit z2

pour que

réel ?

z

3. Déterminer les nombres complexes

i

tels que les points du plan complexe d'axes

z, iz,

forment un triangle équilatéral.

4. Soit

z = a + ib,

points du plan complexe d'axe

Exercice 74 Exercice 75 (1 − z) Exercice 76

z−1 sous forme A + iB , . Déterminer l'ensemble des z+1 z−1 π telle que l'argument de soit . z+1 2

mettre l'expression

z

Déterminer les nombres complexes z tels que le triangle ayant pour sommets les 2 3 points d'axes z, z , z soit rectangle au point d'axe z . Déterminer les nombres complexes

z ∈ C∗

tels que les points d'axes

z, z1

et

soient sur un même cercle de centre O. Résoudre dans

C

le système :

|z − 1| 6 1, |z + 1| 6 1.

Exercice 77 (Comment construire un pentagone régulier?) pentagone régulier. On note

−−→ − → u = OA0 ,

O

(A0 , A1 , A2 , A3 , A4 ) un → → (O, − u ,− v ) avec nombres complexes C.

qui nous permet d'identier le plan avec l'ensemble des

ω0 , . . . , ω4 des points A0 , . . . , A4 . Montrer {0, 1, 2, 3, 4}. Montrer que 1 + ω1 + ω12 + ω13 + ω14 = 0.

1. Donner les axes

cos( 2π ) 5 cos( 2π ) . 5

2. En déduire que la valeur de

Soit

son centre et on choisit un repère orthonorm'e

est l'une des solutions de l'équation

que

ωk = ω1 k

4z 2 + 2z − 1 = 0.

pour

k ∈

En déduire

π d'axe −1. Calculer la longueur BA2 en fonction de sin puis 10 π 2π de 5 (on remarquera que sin 10 = cos 5 ). i 1 , le cercle C de centre I de rayon et enn le point 4. On considère le point I d'axe 2 2 J d'intersection de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur 3. On considère le point

√

B

BJ . 5.

Application :

[Exercice corrigé]

Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.

1 Nombres complexes

Exercice 78

10

1.5 Trigonométrie On rappelle la formule ( θ

∈ R)

:

eiθ = cos θ + i sin θ. 1. Etablir les formules d'Euler ( θ

cos θ =

∈ R)

:

eiθ + e−iθ 2

et

sin θ =

eiθ − e−iθ . 2i

2. En utilisant les formules d'Euler, linéariser (ou transformer de produit en somme) (

R)

2 cos a cos b ;

5.

2 sin a sin b ;

cos2 a ;

eix eiy = ei(x+y) (x, y ∈ R),

3. A l'aide de la formule :

4.

a, b ∈

:

sin2 a.

retrouver celles pour

sin(x + y),

cos(x + y) et tan(x + y) en fonction de sinus, cosinus et tangente de x ou de y ; en déduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x) et tan(2x) (x, y ∈ R). x Calculer cos x et sin x en fonction de tan (x 6= π + 2kπ , k ∈ Z). 2 Etablir la formule de Moivre ( θ ∈ R) : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).

6. En utilisant la formule de Moivre, calculer

Exercice 79

cos(3x) et sin(3x) en fonction de sin x et cos x.

1. Calculer cos 5θ , cos 8θ , sin 6θ , sin 9θ , en fonction des lignes trigonométriques θ. 3 4 5 6 Calculer sin θ , sin θ , cos θ , cos θ , à l'aide des lignes trigonométriques des multiples entiers de θ . de l'angle

2.

Exercice 80

et

cos 5θ

en fonction de

cos θ

A l'aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de

cos θ

En utilisant les nombres complexes, calculer

et

sin 5θ

sin θ.

[Exercice corrigé]

Exercice 81 et de (a) (b)

1. Soit

sin θ

θ ∈ R.

:

cos(2θ) et sin(2θ). cos(3θ) et sin(3θ). En déduire π lution cos( ) et la résoudre. 3

une équation du troisième degré admettant pour so-

2. Linéariser les polynomes trigonométriques suivants :

Exercice 82 (cos 5x)(sin 3x) Exercice 83 x P S = sin x + sin 2x + . . . + sin nx = Exercice 84 R Exprimer Soit

et

en fonction de

1 + cos2 x, cos3 x + 2 sin2 x.

sin x

et

cos x.

un nombre réel. On note C = 1+cos x+cos 2x+. . .+cos nx n k=0 sin kx. Calculer C et S .

Résoudre dans

=

Pn

k=0

cos kx,

les équations :

sin x =

1 1 , cos x = − , tan x = −1, 2 2

et placer sur le cercle trigonométrique les images des solutions ; résoudre dans

cos(5x) = cos

2π −x . 3

R

l'équation

1 Nombres complexes

Exercice 85 Exercice 86 2>0 Exercice 87 Exercice 88 Exercice 89

Calculer

11

sin(25π/3), cos(19π/4), tan(37π/6). 2 sin2 x−3 sin x−2 = 0, puis l'inéquation : 2 sin2 x−3 sin x−

Résoudre l'équation :

.

partenant à 1. 2. 3.

f (x) = cos 3x + cos 5x. √ x ∈ [−π, π], l'expression 1 + cos x + | sin x/2|.

Etudier le signe de la fonction donnée par Simplier, suivant la valeur de Résoudre dans

]−π, π]

R

les équations suivantes : (donner les valeurs des solutions ap-

et les placer sur le cercle trigonométrique).

sin (5x) = sin 2π +x , 3 sin 2x − π3 = cos x3 , cos (3x) = sin (x).

[Exercice corrigé]

Exercice 90

solution réelle ? Résoudre cette équation

[Exercice corrigé]

Exercice 91

√

m l'équation √ pour m = 2.

A quelle condition sur le réel

Résoudre dans

R

3 cos(x) + sin(x) = m

a-t-elle une

les inéquations suivantes :

cos(5x) + cos(3x) 6 cos(x) 2 cos2 (x) − 9 cos(x) + 4 > 0.

[Exercice corrigé]

Exercice 92

Résoudre dans

R


1.

cos2 (x) − sin2 (x) = sin(3x).

2.

cos4 (x) − sin4 (x) = 1.

[Exercice corrigé]

Exercice 93 Exercice 94 Exercice 95 la forme

1.6 Divers

Montrer que tout nombre complexe 1+ir , où r ∈ R. 1−ir

z

non réel de module

Soit u, v des nombres complexes non réels tels que u+v Montrer que est réel. 1+uv

peut se mettre sous

|u| = |v| = 1

et

uv 6= −1.

Calculer les sommes suivantes :

n X

n X

cos(kx) ;

k=0

Exercice 96 (Entiers de Gauss) 1. Montrer que si

α

et

β

avec

Cnk cos(kx).

k=0

Soit

sont dans

Z[i] = {a + ib ; a, b ∈ Z}.

Z[i]

2. Trouver les élements inversibles de

β ∈ Z[i]

1

alors

Z[i],

α+β

et

αβ

le sont aussi.

c'est-à-dire les éléments

α ∈ Z[i]

αβ = 1.

3. Vérier que quel que soit

ω∈C

il existe

z ∈ Z[i]

tel que

|ω − z| < 1.

tels qu'il existe

1 Nombres complexes

12

4. Montrer qu'il existe sur et

β

dans

Z[i]

il existe

q

Z[i] une division euclidienne, et r dans Z[i] vériant : α = βq + r

α ) β

[Exercice corrigé] Montrer que

∀z ∈ C

α

|r| < |β|.

avec

(Indication : on pourra considérer le complexe

Exercice 97

c'est-à-dire que, quels que soient

|<(z)| + |=(z)| √ 6 |z| 6 |<(z)| + |=(z)|. 2

Étudier les cas

d'égalité.

Exercice 98 =(

Soit

(a, b, c, d) ∈ R4

tel que

ad − bc = 1

et

c 6= 0.

Montrer que si

z 6= −

az + b =(z) . )= cz + d |(cz + d)|2


Que dire de trois complexes 1. Étudier la suite

l'application de

C

a, b , c

(zn )n∈N

non nuls tels que

dénie par :

d c

alors

|a + b + c| = |a| + |b| + |c|.

z0 = 4, zn+1 = f (zn )

où

f

est

sur lui-même dénie par :

√ 1 ∀z ∈ C, f (z) = i + (1 − i 3)z. 4

Indication α

tel que

: on commencera par rechercher les coordonnées cartésiennes de l'unique point

f (α) = α,

puis on s'intéressera à la suite

(xn )n∈N

dénie par :

∀n ∈ N, xn = zn − α. 2. On pose

∀n ∈ N, ln = |zn+1 − zn |.

Calculer

lim

n→∞

n X

lk

k=0

et interpréter géométriquement.

Exercice 101 (Examen octobre 1999)

On dénit une fonction

f

de

C − {i}

dans

C − {1}

en posant

z+i . z−i On suppose z réel. Quel est le module de f (z) ? Trouver les nombres complexes z tels que f (z) = z . f (z) =

1. 2.

Exercice 102 (Examen novembre 2001)

Soit

f

la fonction de

C dans C dénie par f (z) =

1+z . 1−z

1. Calculer les points xes de la fonction

f,

c'est à dire les nombres complexes

z

tels que

f (z) = z . 2. Déterminer les nombres complexes

Exercice 103

1. Montrer que si

z sont solutions de l'équation a = b = 0 et c = −8.

z

pour lesquels

f (z)

x + y + z = a, yz + zx + xy = b, xyz = c, alors x, y et Z 3 − aZ 2 + bZ − c = 0. Trouver x, y et z si on suppose

2. Résoudre le système

 

[Exercice corrigé]

est réel.

x+y+z = 4 x + y2 + z2 = 4  3 x + y3 + z3 = 1 2


13

2 Logique, ensembles, raisonnements 2.1 Logique

Exercice 104 Exercice 105 [Exercice corrigé] Exercice 106

Soient

R

et

S

des relations. Donner la négation de

Démontrer que

R ⇒ S.

(1 = 2) ⇒ (2 = 3).

Soient les quatre assertions suivantes :

(a) ∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0 ;

(b) ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y > 0 ;

(c) ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0 ; 1. Les assertions

a, b , c , d

(d) ∃x ∈ R ∀y ∈ R y 2 > x.

sont-elles vraies ou fausses ?

2. Donner leur négation.

[Exercice corrigé]

Exercice 107

Soit

f

une application de

R dans R. Nier, de la manière la plus précise possible,

les énoncés qui suivent : 1. Pour tout

x ∈ R f (x) 6 1.

2. L'application

f

est croissante.

3. L'application

f

est croissante et positive.

4. Il existe

x ∈ R+

tel que

f (x) 6 0.

On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d'écrire le contraire d'un énoncé.

[Exercice corrigé]

Exercice 108

Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose :

⇔, ⇐, ⇒ .

2

1.

x ∈ R x = 4 ...... x = 2;

2.

z ∈ C z = z ...... z ∈ R;

3.

x ∈ R x = π . . . . . . e2ix = 1.

[Exercice corrigé]

Exercice 109

Dans

2

R , xy > 1, x > 0}.

R2 ,

on dénit les ensembles

F1 = {(x, y) ∈ R2 , y 6 0}

et

F2 = {(x, y) ∈

Évaluer les propositions suivantes :

1.

∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2

2.

∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2

3.

∃ε ∈]0, +∞[ / ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2

4.

∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2

/

/ ∀ε ∈]0, +∞[ ∃ε ∈]0, +∞[ /

−−−→ ||M1 M2 || < ε −−−→ ||M1 M2 || < ε −−−→ ||M1 M2 || < ε −−−→ ||M1 M2 || < ε

Quand elles sont fausses, donner leur négation.

[Exercice corrigé]

Exercice 110

Nier la proposition : tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux

bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans.

[Exercice corrigé]

Exercice 111 1.

P ⇒ Q,

2.

P

et non

Écrire la négation des assertions suivantes où

Q,

P, Q, R, S

sont des propositions.

2 Logique, ensembles, raisonnements 3.

P

et ( Q et

4.

P

ou (Q et

5. (P et

14

R), R),

Q) ⇒ (R ⇒ S).

[Exercice corrigé]

Exercice 112

Nier les assertions suivantes :

1. tout triangle rectangle possède un angle droit ; 2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ; 3. pour tout entier

x,

implique le relation 4.

il existe un entier

y

tel que, pour tout entier

z,

la relation

z < x

z < x + 1;

∀ε > 0 ∃α > 0 / |x − 7/5| < α ⇒ |5x − 7| < ε.

[Exercice corrigé]

Exercice 113 (Le missionnaire et les cannibales)

Les cannibales d'une tribu se préparent

à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (d'après Cervantès)


La proposition

On suppose que la proposition

1.

(¬Q) ∧ P V ¬S .

2.

S V (¬P ) ∨ Q.

3.

P V R ∨ S.

4.

S ∧ Q V ¬P .

5.

R ∧ ¬(S ∨ Q) V T .

6.

R V (¬P ) ∨ (¬Q).

La proposition

Exercice 116

P ∧ Q V (¬P ) ∨ Q

T

P

est-elle vraie ?

est vraie ainsi que les propositions suivantes :

est-elle vraie ?

Ecrire la négation des phrases suivantes :

1.

(∀x)(∃n)/(x 6 n).

2.

(∃M )/(∀n)(|un | 6 M ).

3.

(∀x)(∀y)(xy = yx).

4.

(∀x)(∃y)/(yxy −1 = x).

5.

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)/(∀n > N )(|un | < ε).

6.

(∀x ∈ R)(∀ε > 0)(∃α > 0)/(∀f ∈ F)(∀y ∈ R)(|x − y| < α V |f (x) − f (y)| < ε).

Exercice 117

Comparer les diérentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont

celles qui impliquent les autres...) 1.

(∀x)(∃y)/(x 6 y).

2.

(∀x)(∀y)(x 6 y).

3.

(∃x)(∃y)/(x 6 y).

4.

(∃x)/(∀y)(x 6 y).

5.

(∃x)/(∀y)(y < x).

2 Logique, ensembles, raisonnements 6.

(∃x)(∃y)/(y < x).

7.

(∀x)(∃y)/(x = y).

Exercice 118 P (x) P Exercice 119 [Exercice corrigé] Exercice 120 f, g Si

15

x ∈ X , on note P = {x ∈ X/P (x) ¬P , P ∧ Q, P ∨ Q, P V Q, P ⇔ Q.

est une proposition dépendant de

Exprimer en fonction de

et

Montrer que

Soit

Q

les ensembles

∀ε > 0 ∃N ∈ N

deux fonctions de

R

tel que

dans

2n+1 n+2

(n > N V 2 − ε <

R.

est vraie }.

< 2 + ε).

Traduire en termes de quanticateurs les

expressions suivantes : 1.

f

est majorée ;

2.

f

est bornée ;

3.

f

est paire ;

4.

f

est impaire ;

5.

f

ne s'annule jamais ;

6.

f

est périodique ;

7.

f

est croissante ;

8.

f

est strictement décroissante ;

9.

f

n'est pas la fonction nulle ;

10.

f

n'a jamais les mêmes valeurs en deux points distcincts ;

11.

f

atteint toutes les valeurs de

12.

f

est inférieure à

13.

f

n'est pas inférieure à

N;

g; g.

[Exercice corrigé]


2.2 Ensembles Montrer que

∅ ⊂ X,

pour tout ensemble

X.

Montrer par contraposition les assertions suivantes,

1.

∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B ,

2.

∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ C

et

E

étant un ensemble :

A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C .

[Exercice corrigé]


Soit

A, B

deux ensembles, montrer

{(A ∪ B) = {A ∩ {B

E et F deux ensembles, f : E → F . ∀A, B ∈ P(E) (A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B)), ∀A, B ∈ P(E) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B), ∀A, B ∈ P(E) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B), ∀A, B ∈ P(F ) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B), ∀A ∈ P(F ) f −1 (F \ A) = E \ f −1 (A). Soient

et

{(A ∩ B) = {A ∪ {B .

Démontrer que :

[Exercice corrigé]

Exercice 125 A

et

B

étant des parties d'un ensemble

{A ∪ {B = {(A ∩ B)

et

E,

démontrer les lois de Morgan :

{A ∩ {B = {(A ∪ B).


Exercice 126

16

Démontrer les relations suivantes :

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Exercice 127

Montrer que si

F

et

G

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

et

sont des sous-ensembles de

(F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = G)

E

:

et

(F ⊂ G ⇐⇒ {F ∪ G = E).

et

(F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ {G = ∅).

En déduire que :

(F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = F )

Exercice 128 E F A⊂E B⊂F Exercice 129 A = {a , a , a , a } B = {b , b , b , b , b } A×B A×B Exercice 130 E n E Exercice 131 x y z Soit

et

Soit

des ensembles. Si

1

2

3

et

et

4

1

. Quel est le nombre de parties de Soit

un ensemble à p est le nombre de parties de ? ,

,

2

montrer que

3

4

A × B ⊂ E × F.

5 . Écrire le produit cartésien

?

éléments. Quel est le nombre d'éléments de

Ep ?

Quel

étant des nombres réels, résoudre le système :

(x − 1)(y − 2)z = 0 (x − 2)(y − 3) = 0

Représenter graphiquement l'ensemble des solutions.

Exercice 132

de

E

Soit

dans

A une partie de E , on appelle fonction caractéristique de A l'application f l'ensemble à deux éléments {0, 1}, telle que : ( 0 si x ∈ /A f (x) = 1 si x ∈ A

A et B

Soit

deux parties de

E, f

et

g

leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions

suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on déterminera : 1.

1 − f.

2.

f g.

3.

f + g − f g.

Exercice 133

Soit un ensemble E et deux parties A et B de E . On désigne par A4B l'ensemble (A ∪ B) \ (A ∩ B). Dans les questions ci-après il pourra être commode d'utiliser la notion de

fonction caractéristique. 1. Démontrer que

A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).

2. Démontrer que pour toutes les parties

A, B , C

3. Démontrer qu'il existe une unique partie

X

de

de

E

E

on a

(A 4 B) 4 C = A4(B4C).

telle que pour toute partie

A

de

E,

A4X = X4A = A. 4. Démontrer que pour toute partie 0 0 que A4A = A 4A = X .

Exercice 134 vantes :

x 7→

2. Simplier

A

de

E,

il existe une partie

A0

de

E

et une seule telle

1. Écrire l'ensemble de dénition de chacune des fonctions numériques sui√ √ 1 1 x, x 7→ x−1 , x 7→ x + x−1 .

[1, 3] ∩ [2, 4]

et

[1, 3] ∪ [2, 4].

2 Logique, ensembles, raisonnements 3. Pour tout

Z}.

17

n ∈ N, on note nZ l'ensemble des entiers relatifs multiples de n : nZ = {np | p ∈ 2Z ∩ 3Z.

Simplier

Exercice 135

On dénit les cinq ensembles suivants :

A1 A2 A3 A4 A5

= = = = =

(x, y) ∈ R2 , (x, y) ∈ R2 , (x, y) ∈ R2 , (x, y) ∈ R2 , (x, y) ∈ R2 ,

x+y <1 |x + y| < 1 |x| + |y| < 1 x + y > −1 |x − y| < 1

1. Représenter ces cinq ensembles. 2. En déduire une démonstration géométrique de

Exercice 136

(|x + y| < 1

|x − y| < 1) ⇔ |x| + |y| < 1.

et

Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement

vide ou réduit à un point

+∞ \

1 I1 = 3, 3 + 2 n n=1

et

+∞ \

1 2 I2 = −2 − , 4 + n . n n=1

[Exercice corrigé]

Exercice 137

Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement

vide ou réduit à un point

+∞ \

1 1 I1 = − ,2 + n n n=1

et

+∞ [

1 I2 = 1 + ,n . n n=1

[Exercice corrigé]

Exercice 138 E A, B, C E A∪B = A∪C A∩B =A∩C B=C Exercice 139 E A, B, C E (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) Exercice 140 A, B, C ⊂ E A ∪ B = B ∩ C Exercice 141 P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) Exercice 142 A ∩ B = A ∩ C ⇔ A ∩ {B = A ∩ {C Exercice 143 P(P({1, 2})) Exercice 144 A, B ⊂ E X⊂E Soient

et

un ensemble et

. Montrer que

Soient

trois parties de

telles que

.

un ensemble et

trois parties de

.

Montrer que

.

Donner les positions relatives de

si

Est-il vrai que

? Et

Montrer que

1. 2.

?

.

Donner la liste des éléments de Soient

.

.

. Résoudre les équations à l'inconnue

A ∪ X = B. A ∩ X = B.

[Exercice corrigé]

Exercice 145 E, F, G Exercice 146 E, F, G, H (E ∩ G) × (F ∩ H) Exercice 147 E Soient

trois ensembles. Montrer que

Soient

et

(E × G) ∪ (F × G) = (E ∪ F ) × G.

quatre ensembles. Comparer les ensembles

(E × F ) ∩ (G × H)

.

Soit

l'ensemble des fonctions de

Ai = {f ∈ E/f (0) = i}.

Montrer que les

Ai

N

dans

{1, 2, 3}.

forment une partition de

Pour

E.

i = 1, 2, 3

on pose


18

2.3 Absurde et contraposée


Montrer que

√

2∈ / Q.

Soit X un ensemble et f une application de X dans l'ensemble P(X) des parties X . On note A l'ensemble des x ∈ X vériant x ∈ / f (x). Démontrer qu'il n'existe aucun x ∈ X tel que A = f (x).

de

Exercice 150

(fn )n∈N une suite d'applications de l'ensemble N dans lui-même. On dénit f de N dans N en posant f (n) = fn (n) + 1. Démontrer qu'il n'existe aucun f = fp . Soit

une application

p∈N

tel que

[Exercice corrigé]

Exercice 151 1

1. Soit

p1 , p2 , . . . , pr r nombres premiers. Montrer que l'entier N = p1 p2 . . . pr + pi .

n'est divisible par aucun des entiers

2. Utiliser la question précédente pour montrer par l'absurde qu'il existe une innité de nombres premiers.

[Exercice corrigé]

Exercice 152 111 Exercice 153 X par

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que

quel que soit

n

k=

1.

2.

2.4 Récurrence

k=1 n X

n ∈ N.

k=1

1000 = 9 × 111 + 1

est divisible

).

Montrer :

n(n + 1) 2

k2 =

(Indication :

106n+2 + 103n+1 + 1

∀n ∈ N∗ .

n(n + 1)(2n + 1) 6

∀n ∈ N∗ .

[Exercice corrigé]

Exercice 154 En quoi le raisonnement suivant est-il faux?

P(n) : n crayons de couleurs sont tous de la même couleur. P(1) est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même. Supposons P(n). Soit n + 1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont

Soit

de la même

couleur par hypothèse de récurrence. Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les

n

nouveaux crayons sont à nouveau de la

même couleur. Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que les La proposition est donc vraie au rang

n

autres.

n + 1.

On a donc démontré que tous les crayons en nombre inni dénombrable sont de la même couleur.

Exercice 155

Soit la suite

(xn )n∈N

dénie par

x0 = 4

1. Montrer que :

∀n ∈ N xn > 3.

2. Montrer que :

∀n ∈ N xn+1 − 3 > 32 (xn − 3). n ∀n ∈ N xn > 23 + 3.

3. Montrer que : 4. La suite

(xn )n∈N

[Exercice corrigé]

Exercice 156

est-elle convergente ?

et

xn+1 =

2x2n − 3 . xn + 2


19

1. Dans le plan, on considère trois droites

∆1 , ∆2 , ∆3

formant un vrai triangle : elles ne

sont pas concourantes, et il n'y en a pas deux parallèles. Donner le nombre

R3

de régions

(zones blanches) découpées par ces trois droites. 2. On considère quatre droites

∆1 , . . . , ∆4 , telles qu'il n'en existe pas trois concourantes, R4 de régions découpées par ces quatre droites.

ni

deux parallèles. Donner le nombre

n droites ∆1 , . . . , ∆n , telles qu'il n'en existe pas trois concourantes, ni deux Rn le nombre de régions délimitées par ∆1 . . . ∆n , et Rn−1 le nombre de délimitées par ∆1 . . . ∆n−1 . Montrer que Rn = Rn−1 + n.

3. On considère

parallèles. Soit régions

4. Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées par

n droites en position générale,

c'est-à-dire telles qu'il n'en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.

[Exercice corrigé]

Exercice 157

pour

n∈Nf

X un ensemble. = fn ◦ f.

Soit n+1

1. Montrer que

Pour

f ∈ F(X, X),

on dénit

f 0 = id

et par récurrence

∀n ∈ N f n+1 = f ◦ f n . f

2. Montrer que si

est bijective alors

∀n ∈ N (f −1 )n = (f n )−1 .

[Exercice corrigé]


Montrer que

∀n > 2, n! 6 Pour tout entier naturel

n,

n+1 2

n

.

on pose

Sn = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1) · n Démontrer que l'on a

Exercice 160

1 Sn = n(n − 1)(n + 1) 3 Pour

n∈N

on considère la propriété suivante :

2n > n2

Pn : 1. Pour quelles valeurs de

n

l'implication

2. Pour quelles valeurs de

n

la propriété

Exercice 161

1. Pour tout

Pn =⇒ Pn+1

Pn

est-elle vraie ?

est-elle vraie ?

Que pensez-vous de la démonstration suivante ?

n > 2,

on considère la propriété :

P (n) : 2. Initialisation :

P (2)

n

points distincts du plan sont toujours alignés

est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.

P (n) est vraie et on va démontrer P (n + 1). Soit donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 des points distincts. D'après l'hypothèse de récurrence, A1 , A2 , . . . , An sont alignés sur une droite d, et A2 , . . . , An , An+1 sont alignés sur une 0 0 droite d . Les deux droites d et d ayant n−1 points communs A2 , . . . , An sont confondues. Donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 sont alignés, ce qui montre l'hérédité de la propriété.

3. Hérédité : On suppose que

4. Conclusion : la propriété

Exercice 162

P (n)

est vraie pour tout

n > 2.

1. Démontrer que pour tout entier naturel

n, 9

divise

10n − 1.

2 Logique, ensembles, raisonnements 2. Soit

n, k

20

k un entier strictement positif. Étudier la propriété suivante : pour tout entier naturel n divise (k + 1) + 2.


Démontrer que pour

n > 1, le produit de n entiers impairs est un entier impair.

On considère une suite

u0 = 0

et

(un )n∈N

u1 = 1

telle que

:

∀n > 1, un+1 = un + 2un−1

et

Démontrer que : 1.

∀n ∈ N, un ∈ N,

2.

∀n ∈ N, un = 31 (2n − (−1)n ).

Exercice 165

n∈N

et des

b > 2 un entier xé. Démontrer que pour tout N ∈ N∗ , entiers a0 , a1 , . . . , an appartenant à { 0, 1, . . . , b − 1 } tels que ; Soit

N = a0 + a1 b + · · · + an bn N,

Démontrer que pour chaque

et

an 6= 0

(n, a0 , a1 , . . . , an )

le système

il existe un entier

est déterminé par la propriété

ci-dessus. On dit que

a0 , a1 , . . . , an

Exercice 166

sont les chires de l'écriture du nombre

Démontrer par récurrence que pour tout

N

suivant la base

b.

k ∈ N, k! divise le produit de k

entiers

consécutifs :

Exercice 167

∀n ∈ N, k! | n(n + 1) · · · (n − k + 1) Les propriétés

Pn : 3 | 4n − 1 , ∀n ∈ N,

et

Qn : 3 | 4n + 1 , ∀n ∈ N, sont-elles vraies ou fausses ?

Exercice 168

1. Calculer les restes de la division euclidienne de

1, 4, 42 , 43

par

3.

2. Formuler, pour tout n ∈ N, une hypothèse P(n) concernant le reste de la division euclin dienne de 4 par 3. Démontrer que P(n) est vériée pour tout n ∈ N. 3. Pour tout

n ∈ N,

Exercice 169 n∈N Exercice 170

le nombre

16n + 4n + 3

est-il divisible par

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que

quel que soit

32n+2 − 2n+1

.

1. Démontrer par récurrence :

n X

k=

k=0

n(n + 1) 2

2. Calculer de deux manières diérentes :

n+1 X k=1

3. En déduire :

n X

3

k −

n X

3.

(k + 1)3 .

k=0

1 k 2 = (2n3 + 3n2 + 3n). 6 k=0

est divisible par

7



21

Montrer que pour tout entier

n>1

:

1 1 1 n + + ... + = . 1.2 2.3 n.(n + 1) n+1 Démontrer, en le déterminant qu'il existe un entier

n0

tel que

∀n > n0 , 2n > (n + 2)2 . Démontrer par récurrence sur

n

que pour tout

n>2

l'implication

[x > −1, x 6= 0] ⇒ [(1 + x)n > 1 + nx] est vraie.

Exercice 174

1. Soit

n ∈ N;

montrer que pour tout entier

k>1

on a

nk + knk−1 6 (n + 1)k . 2. Soit

b

un réel positif ou nul. Montrer par récurrence, que pour tout

Exercice 175

(1 + b)n 6 1 +

on a

(nb)n nb (nb)2 + + ... + . 1! 2! n!

Montrer par récurrence que pour tout entier

(a + b)n =

n>1

n X

n ∈ N,

Cnk ak bn−k ,

k=0

pour tout réel

Exercice 176

a

et

b. (Fn )

On dénit une suite

de la façon suivante :

Fn+1 = Fn + Fn−1 ; 1. Calculer

Fn

pour

1 < n < 10.

2. Montrer que l'équation

x2 = x+1 admet une unique solution positive a que l'on calculera.

3. Montrer que, pour tout


F0 = 1, F1 = 1 .

n > 2,

on a

an−2 < Fn < an−1 . Montrer que :

π cos n = 2 Pour

n ∈ N, n > 2,

r

2+

q

2 + ...

√

2.

trouver une loi simpliant le produit :

1 1 (1 − )...(1 − ). 4 n Pour

n ∈ N, soient a0 , . . . , an

des nombres réels de même signe tel que

montrer que :

(1 + a0 )...(1 + an ) > 1 + a0 + . . . + an .

ai > −1,



22

2.5 Divers Quels sont les entiers

n

4n 6 n! ?

tels que

Montrer que :

∀n > 2, un =

Indication

n X 1 k=1

k

∈ / N.

: montrer que

Exercice 182

2pn + 1 . 2qn

∀n > 2, ∃(pn , qn ) ∈ (N∗ )2 , un = Soit

f : N ∗ → N∗

une application vériant :

∀n ∈ N∗ , f (n + 1) > f (f (n)). f = IdN∗ . Indications : que dire de k ∈ N tel que f (k) = inf{f (n)|n ∈ N} ? En ∀n > 0, f (n) > f (0). Montrer ensuite que ∀n ∈ N, on a : ∀m > n, f (m) > f (n) et ∀m 6 n, f (m) > m (on pourra introduire k tel que f (k) soit le plus petit entier de la forme f (m) avec m > n). En déduire que f est strictement croissante et qu'il n'existe qu'une seule

Montrer que déduire que

solution au problème. Laquelle ?

Exercice 183

p ∈ {1, 2, 3}

Pour

on note

Sp =

n P

kp.

k=0

1. A l'aide du changement d'indice

i=n−k

S2 . Que se passe-t-il ? Faire de même avec S3 pour l'exprimer en En utilisant l'exercice 153, calculer S3 .

dans

S1 ,

calculer

S1 .

2. Faire de même avec 3.

Exercice 184 4.

fonction de

n

et

S2 .

Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la

zone du plan couverte par ces indices et à sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer : 1.

P

ij .

P

i(j − 1).

P

(i − 1)j .

P

(n − i)(n − j).

P

(p + q)2

16i6j6n 2.

16i
16i
16i6j6n 5.

(on posera

k = p + q ).

16p,q6n


Exercice 185

3.1 Application Soient

f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1. A-t-on

f ◦g =g◦f?

[Exercice corrigé]

Exercice 186

Soit l'application de

R

1. Déterminer les ensembles suivants :

[−2, 1]).

R, f : x 7→ x2 . f ([−3, −1]), f ([−2, 1]), f ([−3, −1]∪[−2, 1]) et f ([−3, −1]∩

dans

Les comparer.

2. Mêmes questions avec les ensembles −1 et f (]−∞, 2] ∩ [1, +∞[).

f −1 (]−∞, 2]), f −1 ([1, +∞[), f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[)


Exercice 187 Exercice 188 f Exercice 189

23

3.2 Injection, surjection Donner des exemples d'applications de

R

dans

R

(puis de

R2

dans

R)

injective

et non surjective, puis surjective et non injective. Soit

f (x) = x3 − x. −1 Déterminer f ([−1, 1]) et f (R+ ).

f :R→R

dénie par

est-elle injective ? surjective ?

Exercice(190 1.

2.

3.

4.

f:

f : Z → Z, n 7→ 2n ;

f : Z → Z, n 7→ −n

f : R → R, x 7→ x2

f : R → R+ , x 7→ x2

;

f : C → C, z 7→ z 2 . Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?

N→N n 7→ n + 1

( Z→Z g: n 7→ n + 1 ( R2 → R2 h: (x, y) 7→ (x + y, x − y) ( R − {1} → R k: x+1 x 7→ x−1

Exercice 191 1.

Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?

f

Soit

f :R→R

dénie par

f (x) = 2x/(1 + x2 ).


2. Montrer que

f (R) = [−1, 1].

3. Montrer que la restriction

g : [−1, 1] → [−1, 1] g(x) = f (x)

est une bijection.

f.

4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de

[Exercice corrigé]

Exercice 192

L'application

f : C \ {0} → C, z 7→ z + 1/z


bijective ?

Donner l'image par

f

du cercle de centre

Donner l'image réciproque par

Exercice 193

f

0

et de rayon

de la droite

A, B, C

On considère quatre ensembles

g : B → C , h : C → D.

1.

iR. et

D

et des applications

Montrer que :

g◦f g◦f

injective

⇒f

injective,

surjective

⇒g

surjective.

Montrer que :

g◦f

[Exercice corrigé]

et

h◦g

sont bijectives

⇔ f, g

et

h

sont bijectives

.

f : A → B,


Exercice 194

f :X →Y.

Soit

−1

24

Montrer que

1.

∀B ⊂ Y f (f

2.

f

est surjective ssi

3.

f

est injective ssi

∀A ⊂ X f −1 (f (A)) = A.

4.

f

est bijective ssi

∀A ⊂ X f ({A) = {f (A).

Exercice 195 f

i.

Soit

(B)) = B ∩ f (X). ∀B ⊂ Y f (f −1 (B)) = B .

f : X → Y . Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :

est injective.

∀A, B ⊂ X f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).

ii.

∀A, B ⊂ X A ∩ B = ∅ V f (A) ∩ f (B) = ∅. ( P(X) → P(Y ) Soit f : X → Y .On note fˆ : A 7→ f (A)

iii.

Exercice 196

et

( P(Y ) → P(X) f˜ : B 7→ f −1 (B)

.

Montrer que :

fˆ est injective. ssi f˜ est injective.

1.

f

est injective ssi

2.

f

est surjective

Exercice 197 (Exponentielle complexe) 1. Déterminer le module et l'argument de 2. Calculer

0

ez+z , ez , e−z , (ez )n

3. L'application

Si

z = x + iy , (x, y) ∈ R2 ,

on pose

ez = ex × eiy .

ez .

n ∈ Z.

pour

z

exp : C → C, z 7→ e

, est-elle injective ?, surjective ?

[Exercice corrigé]

Exercice 198 que

fa,b

3.3 Bijection Soient

a, b ∈ R avec a 6= 0, et fa,b : R → R telle que fa,b (x) = ax+b. Démontrer

est une permutation et déterminer sa réciproque.

[Exercice corrigé]

Exercice 199

Soit

f : [0, 1] → [0, 1]

telle que

( x f (x) = 1−x Démontrer que

si

x ∈ [0, 1] ∩ Q,

sinon.

f ◦ f = id.

[Exercice corrigé]

Exercice 200

Soit

f : R → C t 7→ eit .

Montrer que

f

est une bijection sur un ensemble à

préciser.

[Exercice corrigé]

Exercice 201

demi-plan de Poincaré l'ensemble P des nombres complexes z tels que Im z > 0, et disque unité l'ensemble D des nombres complexes z tels que |z| < 1. Démontrer que

z 7→

On appelle

z−i est une bijection de z+i


Soit

h

sur

D.

f : [1, +∞[→ [0, +∞[

Soient

et

P

f

g

h

A− →B − →C − → D.

le sont également.

telle que

f (x) = x2 − 1. f

Montrer que si

g◦f

et

est-elle bijective ?

h◦g

sont bijectives alors

f, g

4 Relation d'équivalence, relation d'ordre

Exercice 204 f ◦h◦g Exercice 205

h

X un ensemble. Si A ⊂ X P(X) → F(X, {0, 1}) est A 7→ χA

Soit (

Φ:

Exercice 206

g

A− →B − →C − → A. Montrer alors f, g et h sont bijectives.

Soient

surjective

Montrer que

f

25 que si

on note

h◦g◦f

χA

et

g◦f ◦h

sont injectives et

la fonction caractéristique associée.

bijective.

E un ensemble non vide. On se donne deux parties A et B de E et on c dénit l'application f : ℘(E) → ℘(E), X 7→ (A ∩ X) ∪ (B ∩ X ). Discuter et résoudre l'équation f (X) = ∅. En déduire une condition nécessaire pour que f soit bijective. c On suppose maintenant B = A . Exprimer f à l'aide de la diérence symétrique ∆. Montrer que f est bijective, préciser f −1 . f est-elle involutive (i.e. f 2 = id) ? Quelle propriété en déduit-on ? Soit

4 Relation d'équivalence, relation d'ordre 4.1 Relation d'équivalence

Exercice 207 que

R

E = N×N, on dénit R par : (a, b)R(a0 , b0 ) ⇔ a+b0 = b+a0 . Montrer relation d'équivalence. Identier E/R.

1. Soit

est une

2. Mêmes questions avec

Exercice 208

Dans

R2

E = Z × N∗

et

(p, q)R(p0 , q 0 ) ⇔ pq 0 = p0 q .

on dénit la relation

R

par :

(x, y)R(x0 , y 0 ) ⇔ y = y 0 . 1. Montrer que

R

est une relation d'équivalence.

2. Déterminer la classe d'équivalence de

Exercice 209

Dans

C

(x, y) ∈ R2 .

on dénit la relation

R

par :

zRz 0 ⇔ |z| = |z 0 |. 1. Montrer que

R

est une relation d'équivalence.

2. Déterminer la classe d'équivalence de

z ∈ C.

[Exercice corrigé]

Exercice 210

Soit

R

une relation binaire sur un ensemble

E,

symétrique et transitive. Que

penser du raisonnement suivant ?

⇒ yRx car R est symétrique, (xRy et yRx) ⇒ xRx car R est transitive, donc R est réexive. xRy

or

[Exercice corrigé]

Exercice 211

Étudier la relation

<

dénie sur

RR

(l'ensemble des applications de

R

dans

R)

par :

Exercice 212

f 0, ∀x ∈ R, |x| > A ⇒ f (x) = g(x). Montrer que la relation

<

dénie sur

R

par :

x
x

modulo

<.

x

xé dans

R,

le nombre d'éléments de la classe

5 Dénombrement

26

4.2 Relation d'ordre


La relation divise est-elle une relation d'ordre sur

N?

sur

Z?

Si oui, est-ce

une relation d'ordre total ? Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d'une relation d'équi-

valence, préciser les classes ; dans le cas d'une relation d'ordre, préciser si elle est totale, si l'ensemble admet un plus petit ou plus grand élément. 1. Dans

P(E) : AR1 B ⇔ A ⊂ B

2. Dans

Z : aR3 b ⇔ a et b ont la même parité est divisible par 3.

a−b

Exercice 215

AR2 B ⇔ A ∩ B = ∅.

;

aR4 b ⇔ ∃n ∈ N a−b = 3n ;

;

aR5 b ⇔

(X, 6) et (Y, 6) deux ensembles ordonnés (on note abusivement les deux 0 0 0 0 ordres de la même façon). On dénit sur X ×Y la relation (x, y) 6 (x , y ) ssi (x < x ) ou (x = x 0 et y 6 y ). Montrer que c'est un ordre et qu'il est total ssi X et Y sont totalement ordonnés. Soient

Exercice 216

Un ensemble est dit bien ordonné si toute partie non vide admet un plus petit

élément.

1. Donner un exemple d'ensemble bien ordonné et un exemple d'ensemble qui ne l'est pas. 2. Montrer que bien ordonné implique totalement ordonné. 3. La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 217

XRY

ssi

(E, 6) un ensemble ordonné. On dénit sur P(E) \ {∅} la relation R (X = Y ou ∀x ∈ X ∀y ∈ Y x 6 y). Vérier que c'est une relation d'ordre. Soit

Exercice 218

a∗b =

Montrer que

a+b 1 + ab

est une l.c.i sur

par

] − 1, 1[ et déterminer ses propriétés.

5 Dénombrement 5.1 Binôme de Newton et


Démontrer que si

p

est un nombre premier,

En utilisant la fonction

n X

Cnk

;

x 7→ (1 + x)n , n X

kCnk

;

k=1

k=0

p

Cnp

divise

Cpk

pour

1 6 k 6 p − 1.

calculer :

n X k=1

1 Cnk . k+1

[Exercice corrigé]

Exercice 221

Démontrer que

p−k Cnk Cn−k = Cpk Cnp n X

2n + 1

2.

2n+1

3

0 6 k 6 p 6 n).

p−k Cnk Cn−k = 2p Cnp .

k=0

Exercice 222 1.

(pour

En utilisant la formule du binôme, démontrer que :

est divisible par

4n+2

+2

3

si et seulement si

est divisible par

n

est impair ;

7.

[Exercice corrigé]

Exercice 223

Démontrer que

p−1 p Cnp = Cn−1 + Cn−1

pour

1 6 p 6 n − 1.

En déduire que

5 Dénombrement

Exercice 224

27

Montrer que, pour

p

et

n

entiers naturels non nuls tels que

1 6 p 6 n,

on a :

p−1 pCnp = nCn−1 .

Exercice 225

1. Montrer que :

p X

p−k Cnk Cn−k = 2p Cnp ,

k=0

où

p

et

n

0 6 p 6 n.

sont des entiers naturels avec

2. Avec les mêmes notations, montrer que

p X

p−k = 0. (−1)k Cnk Cn−k

k=0

Exercice 226

n, p

1. Soient

p 2. Montrer que l'on a Cn

=

q

et

des entiers naturels tels que

Cnq si et seulement si


Exercice 227 m +n Exercice 228 2p+1

2p+1

p=q

ou

0 6 p, q 6 n.

p + q = n.

2

3n−1 n −2n+3 C2n+4 = C2n+4 .

m, n ∈ N∗ et p ∈ N. divisible par m + n.

Soient est

En utilisant la formule du binôme, démontrer que

En utilisant la formule du binôme montrer :

(a)

n X

k

(−1)

Cnk

=0

(b)

n X

k 2 Cnk = n(n − 1)2n−2 + n2n−1 .

k=0

k=0

[Exercice corrigé]

Exercice 229

Calculer le module et l'argument de

(1 + i)n .

En déduire les valeurs de

S1 = 1 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + · · · S2 = Cn1 − Cn3 + Cn5 − · · ·

[Exercice corrigé]

Exercice 230 1.

Démontrer les formules suivantes :

n−m Cnm = Cm

m 2. Cn m 3. Cn

= =

m Cn−1 m Cn−2

(on pourra utiliser le fait que

+ +

m−1 Cn−1 , m−1 2Cn−2

P(E) −→ P(E)A 7→ Ac

est une bijection.)

m−2 + Cn−2 .

[Exercice corrigé]

Exercice 231

Soient

E

un ensemble non vide et

X, Y

une partition de

1. Montrer que l'application suivante est une bijection :

P(E) −→ P(X) × P(Y ) A 7→ (A ∩ X, A ∩ Y ) 2. Montrer que pour

p, q, r ∈ N

r 6 p + q on a : X r Cpi Cqj = Cp+q .

tel que

i+j=r

E.

5 Dénombrement

28

3. En déduire que :

n X

n (Cnk )2 = C2n .

k=0

Exercice 232

Soit

1. Montrer que

E

f

un ensemble,

et

est une bijection.

(E) = n. On pose P0 (E) l'ensemble des P1 (E) l'ensemble des parties de E de cardinal impair. Montrer que Card (P0 (E)) = Card (P1 (E)). n P Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de (−1)k Cnk .

2. On suppose désormais que parties de

3.

a∈E

  P(E) → P(E) f : X 7→ X ∪ {a} si a ∈ /X   X 7→ X − {a} si a ∈ X

Exercice 233

E

est ni et Card

k=0

En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que

n P

(−1)k Cnk = 0. En

k=0

P

déduire la valeur de

Exercice 234

E

de cardinal pair et

Cn2k .

062k6n Soient

0 6 p 6 n.

1. Montrer par récurrence sur

n

que

n P

p+1 Ckp = Cn+1 .

k=p 2. Écrire ces égalités pour

p=2

et

p = 3.

3. En déduire les sommes

S20 = 1.2 + 2.3 + . . . + (n − 1).n

S2 = 12 + 22 + . . . + n2

S30 = 12 .2 + 22 .3 + . . . + (n − 1)2 .n


S3 = 13 + 23 + . . . + n3

5.2 Cardinal Montrer que

Z

est dénombrable en utilisant l'application :

( n 7→ 2n − 1 φ:N→Z n 7→ −2n Pour

A, B

deux ensembles de

E

n > 0; sinon. si

on note

A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Pour

E

un

ensemble ni, montrer : Card A∆B

= Card A + Card B − 2Card A ∩ B.

[Exercice corrigé]

Exercice 237

Soit

E

un ensemble à

Quel est le nombre de parties de

[Exercice corrigé]

Exercice 238

E

n

éléments, et

A ⊂ E

un sous-ensemble à

qui contiennent un et un seul élément de

p

éléments.

A?

Déterminer le nombre de mots distincts que l'on peut former avec

6

voyelles et

20 consonnes, chaque mot étant composé de 3 consonnes et 2 voyelles, en excluant les mots qui renferment 3 consonnes consécutives.

5 Dénombrement

Exercice 239

29

On considère les mains de

5

cartes que l'on peut extraire d'un jeu de

32

cartes.

1. Combien y a-t-il de mains diérentes ? 2. Combien y a-t-il de mains comprenant un as ? 3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ? 4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?

Exercice 240

A, A0 , B, B 0

Soient

Card (A)

quatre ensembles tels que :

= Card (A0 ) = a

et Card

A×B

1. Déterminer le nombre de bijections de

(B) = Card (B 0 ) = b.

sur

A0 × B 0 .

{A, B}, {A0 , B 0 } forment deux partitions de E , un ensemble. 0 0 bijections f : E −→ E telles que f (A) = A et f (B) = B .

2. Supposons maintenant que Déterminer le nombre de

Exercice 241

A

Soient

et

1. Montrer que : Card

B

deux sous ensembles nis d'un ensemble

(A ∪ B) = Card (A) + Card (B) − Card (A ∩ B).

2. Montrer par récurrence que si

(Fi )16i6n Card (

n [

est une famille de sous-ensembles nis de E alors :

Fi ) 6

i=1 avec égalité si les

Exercice 242

Fi

n X

Card (Fi )

i=1

sont deux à deux disjoints.

1 6 k 6 n.

Soient

E.

Déterminer le nombre de

k -uplets (i1 , . . . , ik )

tels que

16

i1 < . . . < ik 6 n.

5.3 Divers

Exercice 243 et

f

1. (

principe des bergers )

une surjection de

E

sur

F

Soient

E, F

F

ensemble ni,

vériant :

∀y ∈ F,

Card (f

−1

Montrer que E est alors un ensemble ni et Card 2. (

deux ensembles avec

(y)) = p (E) = pCard (F ).

principe des tiroirs ) Soient α1 , α2 , . . . , αp , p élements distincts d'un ensemble E , répartis

entre une famille de

n

sous-ensembles de

E.

Si

n
montrer qu'il existe au moins un

ensemble de la famille contenant au moins deux éléments parmi les

αi .(on pourra raisonner

par l'absurde)

Exercice 244 P P

Montrer par récurrence sur

n

(−1)k+1

Exercice 245

k=1

Card (Ai1

n que si A1 , . . . , An ⊂ E

alors Card

(A1 ∪. . .∪An ) =

∩ . . . ∩ Aik ).

16i1 <...
alors que :

Soit

pn (k) le nombre de permutations de {1, ..., n} ayant k n X k=0

Interpréter.

kpn (k) = n!.

points xes, montrer


Exercice 246

30

Z

Soit

E

un ensemble de cardinal

E

en

n

des partitions de

parties à

m

nm ∈ N∗ ,

Indication

(n, m) ∈ (N∗ )2 ,

et

Pn,m l'ensemble

éléments chacune. Montrer que :

Nn,m = card(Pn,m ) = (

où

(nm)! . n!(m!)n

: on peut procéder par récurrence.)

Exercice 247

L'histoire :

n personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire

au sort un cadeau dans le tas formé par tous les présents apportés. Quelle est la probabilité qu'au moins une personne reparte avec son cadeau ? Que devient cette probabilité quand le nombre de personnes devient très grand, i.e. :

n → ∞?

(On remarquera que l'intuition met en

évidence deux eets contradictoires : plus de personnes c'est plus de proba qu'une personne ait son cadeau car... il y a plus de personnes, mais c'est aussi plus de cadeaux, donc une proportion plus élevée de cadeaux acceptables). Soit

Sn = σ({1, . . . , n}). On dit Ai = {σ ∈ Sn /σ(i) = i}

On note

1. Calculer Card 2. Exprimer

(Ai ).

Sn − Dn

3. En déduire Card

Ai .

en fonction des

(Dn )

(on pourra utiliser l'exercice 244).

4. Déterminer la limite de

Exercice 248

σ ∈ Sn est un dérangement si ∀i ∈ {1, . . . , n} σ(i) 6= i. Dn l'ensemble des dérangements.

que et

Card Dn Card Sn

. (on rappelle que

xn ) n!

lim (1 + x + . . . +

n→+∞

= ex ).

un ensemble de cardinal n, < une relation d'équivalence sur 2 2 classes d'équivalences et r couples (x, y) ∈ E tels que x
E

6 Arithmétique dans Combien

15!

Z

13

du nombre

1001000 .

96842 = 256 × 375 + 842, déterminer, sans 96842 par chacun des nombres 256 et 375.

Sachant que l'on a

le reste de la division du nombre

[Exercice corrigé]

Soient

1.

n − 1|nm − 1 ;

2.

(n − 1)2 |nm − 1

généralement,

Soit 2n

m>1

et

n>2

si et seulement si

n − 1|m.

a un entier relatif quelconque, − 1) est divisible par 6.

pair, donner le reste de sa division par

[Exercice corrigé]

Exercice 255

7n + 1 8.

démontrer que le nombre

est divisible par

Quel est le plus petit entier naturel qui, divisé par

tivement pour reste

7, 14, 17

et

23 ?

faire la division,

des entiers ; montrer que :

Démontrer que le nombre

n

k

admet-il de diviseurs ?

Trouver le reste de la division par

Exercice 253 a(a Exercice 254

avec

6.1 Divisibilité, division euclidienne

Exercice 249 [Exercice corrigé] Exercice 250 [Exercice corrigé] Exercice 251 Exercice 252

E,

8

si

n

a(a2 − 1)

et, plus

est impair ; dans le cas

8, 15, 18 et 24, donne respec-


Exercice 256 y Exercice 257 divise

31

Z

Montrer que si

x

y

et

sont des entiers naturels tels que

√

. Application : démontrer, par l'absurde, que Montrer que

∀n ∈ N

2

x2

divise

y2,

alors

x

n'est pas rationnel.

:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

est divisible par

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

24, 120.

est divisible par

[Exercice corrigé]

Exercice 258 Exercice 259 quelconque et

Trouver tous les entiers relatifs On considère le nombre

p

tels que

m = 2n p,

n2 + n + 7

dans lequel

n

soit divisible par

m

et

p,

S

la somme

Le diviseur d'une division est égal à

13.

désigne un entier naturel

un nombre premier. Dresser la liste des diviseurs de

lui-même, et calculer, en fonction de


n

m,

y compris

1

et

m

de tous ces diviseurs.

45 ; le reste est le carré du quotient. Calculer

le dividende entier naturel.

n

Trouver le plus petit entier naturel

telle que le développement décimal de

1/n admette une plus petite période de longueur 5, c'est-à-dire 1/n = 0, abcde abcde ab . . . a, b, . . . , e ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}.

Exercice 262

a, b , c , d

Les nombres

étant des éléments non nuls de

Z,

avec

dire si les propriétés

suivantes sont vraies ou fausses, en justiant la réponse. 1. Si

a

divise

2. S'il existe

b

et

c,

u

et

v

a

est premier avec

4. Si

a

divise

5. Si

19

6. Si

a

est multiple de

7. Si

4

ne divise pas

8. Si

a

divise

9. Si 10. Si

5

divise

12

ab,

divise

b b

et

2

b2 , 2

11. Si

12

divise

b

12. Si

91

divise

ab,

Exercice 263

19

alors

b

b

bc,

a

alors

b − c,

et

a

divise

divise

a

ou

et

est multiple de

alors

b

ou

c

c, 2

4

divise

b.

a

divise

c

b

alors

19

b

et si

divise

, alors

E1 ∩ E2

Exercice 264

= |d|.

.

c.

b. alors

a+c

est multiple de

b + d.

est impair. alors

a

ne divise pas

c.

.

36

divise

b2 .

91

divise

a

ou

91

divise

b.

On dénit les trois ensembles suivants :

1 6 i, j 6 3,

2. Ecrire

b

3

divise

d,

E1 = {7n , n ∈ N} E2 = {n ∈ N tel que n E3 = {28n , n ∈ N} 1. Pour

alors pgcd (a, b)

est premier avec

25

alors

au + bv = d

alors

ne divise pas

, alors

divise

b,

a.

est multiple de

entiers tels que

3. Si

b+c

c2 − 2b

alors

est multiple de

déterminer si on a l'inclusion

sous la forme

Montrer que si

r

d'entiers alors il en est de même

4}

Ei ⊂ Ej .

E = {n ∈ N , P(n)}.

Montrer que

E1 ∩ E2 = E3 .

s sont deux nombres entiers naturels somme de deux carrés pour le produit rs.

et


Exercice 265 n −4 Exercice 266 n −p Exercice 267 2

divise

2

2

Soit

n

32

Z

un entier relatif. Montrer que soit

divise

n2 ,

soit

8

divise

n2 − 1,

soit

8

.

Étant donnés deux nombres relatifs

est divisible par

Montrer que si

n

ou

3,

1. Soit

montrer que

n

par

4

n,

n5 − n

l'entier

tout

est divisible par

5.

n.(n + 1), n.(n + 2)

et

(n +

3.

(x, y) montrer, par récurrence, que pour

1. Pour tout couple de nombres réels

n∈N

est pair, soit

3.

Montrer que parmi les trois entiers

, il y en a exactement deux qui sont divisibles par

∗

np

n un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut n2 + 1 est divisible par 5.

n ∈ N∗ .

Soit

montrer que soit

n'est jamais égal à

2. Montrer que pour tout entier naturel

Exercice 269 1).(n + 2) Exercice 270

p

et

est un entier naturel somme de deux carrés d'entiers alors le

[Exercice corrigé]

Exercice 268

n

8.

reste de la division euclidienne de

2

8

on a la relation

n

n

(∗) x − y = (x − y).

n−1 X

xk y n−1−k .

k=0

Indication : on pourra écrire de deux manières diérentes la quantité

y(xn −y n )+(x−y)xn .

(a, b, p) des entiers éléments de N. En utilisant la formule (∗), montrer que s'il existe ∗ un entier l ∈ N tel que b = a + pl, alors pour tout n ∈ N , il existe un entier m ∈ N tel n n que b = a + pm.

2. Soit

a, b, p des entiers éléments de N, en utilisant la question 2, montrer que si a − b est divisible par p, p−1 X ak bp−k−1

3. Soient

k=0

est aussi divisible par

a−b

est divisible par n+1 divisible par p .

p. En déduire, à l'aide de la question 2 et de la formule (∗), que si pn i.e. il existe un entier l ∈ N tel que a − b = l.pn , alors ap − bp est

[Exercice corrigé]

Exercice 271 Exercice 272 11 Exercice 273

Calculer Soit

reste modulo

de

20002000

a, b ∈ Z2 a2 − b 2 .

modulo

11

2500

et

7

divise

3. trouver un critère de divisibilité par

1.

7

divise

2.

11

3.

6

divise

divise

Montrer que pour tout

3

2

n+2

+2

6n+3

+ 32n+1

5n3 + n

sont

divise 105

8

10

510

+ 10

5

2n+1

11

3. 7

22225555 + 55552222 ;

105

Exercice 274

modulo

dont les restes modulo

1. Montrer que

2. montrer que que

7

puis par

n>0

:

6.

510

5

;

et

2

respectivement. Donner le

6 Arithmétique dans 4.

8

divise

33

Z

5n + 2.3n−1 + 1

Exercice 275

.

1. Déterminer la somme des chires de la somme des chires de la somme 3500 .

des chires de

2. On se donne

51

nombres compris entre

1

100.

et

Montrer que parmi ces nombres il y

en a nécessairement au moins deux tels que l'un divise l'autre. Montrer que l'on peut toujours trouver un ensemble de

50 nombres compris

entre entre

1 et 100 ne

vériant pas

la propriété de divisibilité ci-dessus.

Exercice 276 Exercice 277 Exercice 278 Exercice 279 Exercice 280 Exercice 281

Trouver les entiers positifs Montrer que pour chaque

n

tels que

n ∈ N, 4

n−1

ne divise pas

Montrer que pour chaque entier positif Trouver tous les entiers positifs Quel est le chire des unités de

a

divise

n, 49

tels que

19971997

n2 + 1.

divise

a10 + 1

10

n2 + 1. 23n+3 − 7n − 8.

est divisible par

10.

?

Montrer que :

3k − 1,

alors

5k + 1 est aussi de cette forme. Le carré d'un entier est de la forme 3k ou 3k + 1, mais jamais de la forme 3k + 2. Le carré d'un entier est de la forme 4k ou 4k + 1, mais jamais de la forme 4k + 2 ni forme 4k + 3. Le cube de tout entier est de la forme 9k , 9k + 1 ou 9k + 8.

de la

1. Si un entier est de la forme

6k + 5,

alors il est nécessairement de la forme

que la réciproque est fausse. 2. Le carré d'un entier de la forme 3. 4.

5.

6. Si un entier est à la fois un carré et un cube, alors c'est une puissance sixième, et il est de la forme

Exercice 282 1. 2. 3.

7k

ou

7k + 1.

Déterminer les entiers

n∈N

tels que :

n|n + 8. n − 1|n + 11. n − 3|n3 − 3.


Soit

k ∈ Z.

Déterminer les entiers

n ∈ N∗

tels que

(n|2k + 1

et

n|9k + 4).

∀(a, b) ∈ N × N∗ il existe un unique r(a) ∈ {0, . . . , b − 1} tel qu'il existe q ∈ N avec a = bq + r(a). 2 1. En utilisant ceci pour b = 13, déterminer les entiers n ∈ N tels que 13|n + n + 7. 2 2 2. Si a ∈ N et b = 7, déterminer les valeurs possibles de r(a ) (on rappelle que r(a ) doit appartenir à {0, . . . , b − 1}). 2 2 2 Montrer alors que ∀(x, y) ∈ N (7|x + y ) ssi (7|x et 7|y). 3. Montrer qu'un entier positif de la forme 8k + 7 ne peut pas être la somme de trois carrés Montrer que

d'entiers.

Exercice 285

1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout

nombre impair est 1.

x2 = 4[8]. 2 2 2 Soient a, b, c trois entiers impairs. Déterminer le reste modulo 8 de a + b + c et celui de 2(ab + bc + ca). En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis que ab + bc + ca non plus.

2. Montrer de même que tout nombre pair vérie 3.

4.

[Exercice corrigé]

x2 = 0[8]

ou


Exercice 286 Exercice 287 de

Z.

34

Z

6.2 Sous-groupe de Montrer qu'il est équivalent dans

Z

de dire

Z m

divise

n,

ou

1. Montrer que l'intersection de deux sous-groupes de

Caractériser le sous-groupe

aZ ∩ bZ.

2Z ∩ 3Z ;

nZ ⊂ mZ.

Z

est un sous-groupe

Caractériser les sous-groupes suivants :

5Z ∩ 13Z ;

2. Montrer que toute intersection de sous-groupes de

5Z ∩ 25Z. Z est un sous-groupe de Z. Caractériser

l'intersection d'une famille nie de sous-groupes. Caractériser les sous-groupes suivants :

17 \

2n Z ;

4Z ∩ 6Z ∩ 8Z ∩ 19Z ∩ 35Z.

n=1

Exercice 288

2Z ∪ 3Z. Est-ce un sous-groupe de Z ? S n 7Z ∪ 49Z ; 5Z ∪ 45Z ; 28 n=1 2 Z. Ces ensembles sont-ils

1. Déterminer

2. Déterminer :

Z?

des sous-groupes de

3. Trouver une condition nécessaire et susante pour qu'une réunion de deux sous-groupes de

Z

soit un sous-groupe de

Exercice 289

1. Soit

A

contenant

A

Z.

une partie non vide de

n'est pas vide. Soit

H

Z;

montrer que la famille des sous-groupes

une partie contenant

A.

Montrer l'équivalence des

conditions suivantes : i)

H

est l'intersection des sous-groupes de

ii)

H

est le plus petit sous-groupe de

iii)

H

est l'ensemble des sommes nies d'éléments de

dans

qui contiennent

qui contient

Z

A,

A, A

ou d'éléments dont l'opposé est

A.

Si ces conditions sont vériées on dit que 2. Soient

Z

mZ

et

nZ

deux sous-groupes de

H

Z.

est le sous-groupe engendré par

A.

Montrer que

mZ + nZ = {mu + nv | u, v ∈ Z} a) est un sous-groupe de b) contient

mZ

et

Z,

nZ,

c) est contenu dans tout sous-groupe de d) Si

mZ + nZ = dZ,

Z

que peut-on dire de

3. Déterminer les sous-groupes engendrés par :

qui contient

mZ

et

nZ.

d? 14Z ∪ 35Z ; 4Z ∪ 8Z ∪ 6Z ∪ 64Z ; 2Z ∪ 3Z ;

4Z ∪ 21Z ; 5Z ∪ 25Z ∪ 7Z ; {70, 4}.

Exercice 290

6.3 Pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide Calculer le pgcd des nombres suivants :

1. 126, 230. 2. 390, 720, 450. 3. 180, 606, 750.

[Exercice corrigé]


Exercice 291

35

Z

1. Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50.

a > 1 et b > 1 b est da0 b0 .

2. Montrer que si ppcm de

a

et

3. Montrer que si

Exercice 292

a, b, c

sont des entiers de pgcd

1,

sont des entiers supérieurs à ppcm(a, b, c)

d

et, si on pose

a = da0 ; b = db0 ,

le

on a :

= ppcm(ppcm(a, b), c).

Déterminer les couples d'entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même

avec pgcd 18 et produit 6480.

[Exercice corrigé]

Exercice 293

Si

a, b, c, d

sont des entiers supérieurs à

1,

montrer que l'on a :

(a, b, c, d) = ((a, b), (c, d)) où ( , ) désigne le pgcd .

Exercice 294

1. Soient

a, b, c

des entiers relatifs tels que

(a, b) 6= (0, 0),

montrer que pour

que l'équation

ax + by = c ait une solution divise

(x, y)

en entiers relatifs

x

et

y,

il faut et il sut que le pgcd de

a

et

b

c.

2. Résoudre en entiers relatifs les équations suivantes :

7x − 9y = 1, 7x − 9y = 6,

Exercice 295

11x + 17y = 5. Soient

1. Montrer que

et

pgcd (a

b

deux entiers tels que

+ b, a − b) = 1

ou

a>b>1

= 1,

montrer que pgcd (a

+ b, ab) = 1,

3. Si pgcd (a, b)

= 1,

montrer que pgcd (a

+ b, a2 + b2 ) = 1

Calculer par l'algorithme d'Euclide :

comme combinaison linéaire de

[Exercice corrigé]


18480

Déterminer le pgcd de

et

et pgcd (a, b)

ou

2.

18480 ∧ 9828.

En déduire une écriture de

9828.

99 099 et 43 928. Déterminer le pgcd de 153 527 et 245 479.

Déterminer l'ensemble de tous les couples

(m, n)

tels que

955m + 183n = 1.

[Exercice corrigé]

Exercice 299

Calculer, en précisant la méthode suivie,

a = pgcd(720, 252) ainsi que deux entiers

u

et

v

tels que

= 1.

2,

2. Si pgcd (a, b)

Exercice 296 84

a

b = ppcm(720, 252)

720u + 252v = a.


Exercice 300

36

Z

Démontrer :

a ∧ (b1 b2 ) = 1 ⇔ (a ∧ b1 = 1

et

a ∧ b2 = 1),

puis par récurence :

a ∧ (b1 . . . bn ) = 1 ⇔ ∀i = 1, . . . , n a ∧ bi = 1.

Exercice 301

Démontrer pour

m, n ∈ N∗

:

am ∧ bn = 1 ⇒ a ∧ b = 1.


Déteminer deux entiers naturels connaissant leur somme,

a = 1 111 111 111

Notons

et

b = 123 456 789.

1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de 2. Calculer

p=

1008, et leur pgcd, 24.

a

par

b.

pgcd(a, b).

3. Déterminer deux entiers relatifs

u

v

et

au + bv = p.

tels que

[Exercice corrigé]

Exercice 304

deux entiers (m > n > 0) et a > 2 un entier. Montrer que le m n r reste de la division euclidienne de a − 1 par a − 1 est a − 1 où r est le reste de la division m n d euclidienne de m par n, et que le pgcd de a − 1 et a − 1 est a − 1, où d est le pgcd de m et Soient

m

et

n

n.


Résoudre dans

Z : 1665x + 1035y = 45.

Montrer qu'il n'existe pas d'entiers

Exercice 307

m + n = 101 m

Soit

1. Si pgcd (m, 4)

et

=2

n

et

et pgcd (n, 4)

= 2,

3. Montrer que pour chaque entier

n, 30

et

n

n

tels que

pgcd (m, n)

=3

montrer que pgcd (m

n, 6

m

et

deux entiers positifs.

2. Montrer que pour chaque entier

4. Montrer que si

m

divise

+ n, 4) = 4.

3

n − n.

divise

n5 − n.

sont des entiers impairs,

m2 + n2

est pair mais non divisible par

5. Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est divisible par

4.

24.

6. Montrer que si pgcd (a, b)

= 1, alors + b, a − b) ∈ {1, 2}, pgcd (2a + b, a + 2b) ∈ {1, 3}, 2 2 pgcd (a + b , a + b) ∈ {1, 2}, 2 2 pgcd (a + b, a − 3ab + b ) ∈ {1, 5}.

pgcd (a


Trouver une CNS pour que

(u0 , v0 ) ∈ Z2

ax + b ≡ 0 mod n

ait une solution.

1. Calculer pgcd (18, 385) par l'algorithme d'Euclide, en déduire un couple 2 solution de l'équation 18u + 385v = 1, avec (u, v) ∈ Z .

2. Fournir enn l'ensemble des solutions entières de

18u + 385v = 1;

18u + 385v = 3;

54u + 1155v = 3;

54u + 1155v = 5.


Exercice 310

Trouver

37

Z a

b

et

entiers naturels tels que

1.

a + b = 2070

2.

a2 + b2 = 5409 et ppcm(a, b) = 360 (on pourra commencer divise pgcd (5409, 360) et considérer ensuite diérents cas).


et ppcm (a, b)

= 9180 ;

35x ≡ 7 mod 4; 22x ≡ 33 mod 5

Résoudre dans

Z

les équations :

Résoudre dans

Z

le système suivant :

S:

par montrer que pgcd (a, b)

x ≡ 4 mod 6 x ≡ 7 mod 9

On recherchera d'abord une solution particulière.


1. Résoudre dans

2. Résoudre dans

Z2

divise

Z2

Résoudre dans

c)

a

Exercice 318

y 2 + 4xy − 2 = 0.


divise

b) d)

42n + 37

et

. Quelles sont les valeurs possibles pour

Exercice 317

x3 ≡ 3 mod 9.

5x2 + 2xy − 3 = 0 ;

17x + 6y = 1 118x + 35y = 1

Montrer que si

x2 ≡ 2 mod 6;

les équations :


a)

Exercice 315 a 13 Exercice 316

Z

27x + 25y = 1 39x + 26y = 1

7n + 4, n?

pour une valeur de

Trouver pgcd (−357, 629) et trouver des entiers

et

y

tels que

et trouver des entiers

x

et

pgcd(−357, 629) Trouver pgcd (2183, 6313)

=d

x

n

donnée, alors

= −357x + 629y y

tels que

d = 2183x + 6313y Supposons pgcd (a, b)

=d

et soit

x0

et

y0

des entiers tels que

d = ax0 + by0 .

Montrer que :

1. pgcd (x0 , y0 ) 2.

x0

et

y0

= 1,

ne sont pas uniques.

Exercice 319

Soit

a, b , c

des entiers.

1. Montrer que pgcd (ca, cb) 2. Montrer que pgcd (a

2

, b ) = (pgcd(a, b))2 .

3. Montrer que si pgcd (a, b) 4. Montrer que pgcd (a, bc)

6. Montrer que pgcd (a, b)

=1

et si

= 1 ⇐⇒

5. Montrer que si pgcd (b, c)

Exercice 320

= |c| pgcd(a, b).

2

=1

c

divise

pgcd(a, b)

12,

alors pgcd (c, b)

= 1.

= pgcd(a, c) = 1.

alors pgcd (a, bc)

= pgcd(a, b)pgcd(a, c).

= pgcd(a + b, ppcm(a, b)).

En divisant un nombre par

même nombre par

a,

il a obtenu

3

8,

un élève a obtenu

4

pour reste ; en divisant ce

pour reste. Qu'en pensez-vous ?

Le fort en calcul de la classe, qui ne fait jamais d'erreur, a divisé le millésime de l'année par

29,

il a trouvé

25

pour reste ; il a divisé le même millésime par

quelle année cela se passait-il ?

69,

il a trouvé

7

pour reste. En



38

Z

Trouver deux nombres sachant que leur somme est

leur PPCM par leur pgcd est

581

et que le quotient de

240.

Trouver les solutions entières de l'équation :

102x − 18018y = 18. Combien y a-t-il de solutions telles que


x

y

et

soient compris entre entre

0

et

4000 ?

12 ; les quotients successifs obtenus 8, 2 et 7. Trouver ces deux nombres.

Le pgcd de deux nombres est

de ce pgcd par l'algorithme d'Euclide sont

Trouver les couples de nombres

a

et

b,

divisibles par

3,

dans le calcul

vériant les propriétés

7560, et si on augmente chacun de ces nombres d'un tiers de sa valeur, nombres obtenus est 84.

suivantes : leur ppcm est le pgcd des deux

Exercice 325

Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètres a et b sont des nombres 3024 m2 . Calculer son périmètre sachant que le pgcd de a et b est 6. Combien

entiers, a pour aire

y a-t-il de solutions possibles ?

Exercice 326

1. Dans

variant de

2. Dans

0

Z/nZ,

à

n−1

Z/nZ,

x¯, classe Z/5Z, Z/6Z, Z/8Z.

écrire l'ensemble des multiples de

dans chacun des cas suivants :

de

x,

pour

x

montrer l'équivalence des trois propositions :

x¯ est inversible ; x et n sont premiers entre eux ; iii) x ¯ engendre Z/nZ, c'est à dire que

i)

ii)

3. La classe de

18

est-elle inversible dans

l'ensemble des multiples de

Z/49Z ?

x¯

est

Z/nZ.

Si oui, quel est son inverse ? (On pourra

utiliser le théorème de Bézout).

Exercice 327

Résoudre dans

1.

91x − 65y = 156.

2.

135x − 54y = 63.

3.

72x + 35y = 13.

Exercice 328

Résoudre dans

1.

31x − 13y = 1.

2.

31x − 13y = −1.

Application :

Z


N


Au bord d'une piscine pleine d'eau, on dispose d'une cuve xe de 31 litres munie

à sa base d'un robinet de vidange, et d'un seau de 13 litres. Expliquer comment opérer pour obtenir exactement 1 litre dans le seau.


Résoudre dans

N

l'équation

77x + 105y = 2401.

Dans un pays nommé ASU, dont l'unité monétaire est le rallod, la banque

nationale émet seulement des billets de 95 rallods et des pièces de 14 rallods. 1. Montrer qu'il est possible de payer n'importe quelle somme entière (à condition bien sûr que les deux parties disposent chacune d'assez de pièces et de billets). 2. On suppose que vous devez payer une somme

S,

que vous avez une quantité illimitée de

pièces et de billets, mais que votre créancier ne puisse pas rendre la monnaie. Ainsi, il est

S = 14, mais pas si S = 13 ou si S = 15. . . Montrer qu'il est toujours possible de payer si S est assez grande. Quelle est la plus grande valeur de S telle qu'il soit impossible de payer S ? possible de payer si


Exercice 331 15z = 1997 Exercice 332

39

Z

Trouver tous les points à coordonnées entières du plan d'équation N3 ?

6x + 10y +

. Combien y a-t-il de solutions dans

2.

Trouver tous les points à coordonnées entières de la droite de l'espace

4x − 2y − z − 5 = 0 d'équations . x + 3y − 4z − 7 = 0 x + 3y − 5z − 5 = 0 Même question avec la droite 4x − 2y + z + 13 = 0

Exercice 333 Exercice 334 1

1.

Résoudre dans

N

et dans

Z

.

l'équation

1 1 1 + = x y 15 Un coq coûte

pièce. Quelqu'un a acheté

5 pièces d'argent, une poule 3 pièces, et un lot de quatre poussins 100 volailles pour 100 pièces ; combien en a-t-il acheté de chaque

sorte ?

Exercice 335 les suites

an

et

a et b deux nombres entiers relatifs. On note d bn n ∈ N, à valeurs dans Zde la manière suivante : Soient

leur pgcd. Construisons

a0 = a b0 = b

et pour tout de

an

par

n ∈ N,

on pose

an+1 = bn

et

bn+1 = r

où

r

est le reste de la division euclidienne

bn .

1. Montrer que si

dn

est le pgcd de

an

et

bn

2. Déduire de la questionh précédente que

alors

d

dn

est également le pgcd de

est le pgcd des nombres

an

et

an+1 bn

et

bn+1 .

pour tout

n ∈ N. 3. Montrer que la suite

bn

est strictement décroissante. Que peut-on en déduire ?

4. Déduire de ce qui précède que pour tout couple d'entiers relatifs d'entier relatifs

(u, v)

(a, b)

il existe un couple

tel que :

d = au + bv.

6.4 Nombres premiers, nombres premiers entre eux

Exercice 336

a, b

Soient

des entiers supérieurs ou égaux à

1.

(2a − 1)|(2ab − 1) ;

2.

(2a − 1) ∧ (2b − 1) = (2a∧b − 1) ;

3.

(2a − 1

premier

) ⇒ (a

premier

1.

Montrer :

).

[Exercice corrigé]

Exercice 337

des entiers

Démontrer que, si

a+b

et

[Exercice corrigé]

Exercice 338

a

et

b

sont des entiers premiers entre eux, il en est de même

ab. 29x − 11y = 1 dans Z. l'équation 29x − 11y = 5. Déduire


On considère maintenant

de ce qui précède une solution

particulière de cette équation, puis en donner la solution générale.


Exercice 339

Soit

1. Montrer que

p

40

Z

un nombre premier.

∀i ∈ N, 0 < i < p

on a :

Cpi

p.

est divisible par

2. Montrer par récurence que :

∀p

∈ N∗ ,

premier , ∀a

on a

ap − a

p.

est divisible par

[Exercice corrigé]

Exercice 340

(x, y, z) ∈ N3

1. Soit

. Montrer que :

x2 + y 2 = z 2 ⇔ ∃(x0 , y 0 , z 0 ) ∈ N3 , ∃n ∈ N tq 0 0 0 pgcd(x , y , z ) = 1 2 2 2 x0 + y 0 = z 0 x = nx0 et y = ny 0 et z = nz 0 . 2. Soit (x, y, z)

∈ N3

x2 + y 2 = z 2 .

tels que

x

(a) Montrer que

x

(b) On suppose

y

et

On suppose que pgcd (x, y, z)

=1

ne sont pas de mêmes parité.

y

pair et

impair. On pose :

x = 2u, z − y = 2v, z + y = 2w avec

(u, v) ∈ N∗ .

Montrer que

v

w

et

sont premiers entre eux.

(c) Montrer que

x = 2mn, y = m2 − n2 , z = m2 + n2 avec

m

et

n

entiers naturels de parité diérentes.

(d) Montrer que si

x = 2mn, y = m2 − n2 , z = m2 + n2 alors

Exercice 341 (Nombres de Fermat)

x2 + y 2 = z 2 . 1. Montrer par récurence que

a :

2n+k

2

2n

−1= 2

∀n ∈ N, ∀k > 1

on

Y n+i k−1 −1 × (22 + 1). i=0

2. On pose

2n

Fn = 2

+ 1.

Montrer que pour

m 6= n, Fn

et

Fm


3. En déduire qu'il y a une innité de nombres premiers.

[Exercice corrigé]

Exercice 342

a, b , c , d

Les nombres

étant des éléments non nuls de

Z,

suivantes sont vraies ou fausses, en justiant la réponse. 1. Si

a

divise

b

et

b

divise

2. Si

a

divise

b

et

c,

alors

u

et

v

3. S'il existe 4. Si

7a − 9b = 1

c, a

alors divise

a

a

et

b

c.

2b + 3c.

entiers tels que

alors

divise

au + bv = 4

alors pgcd (a, b)


= 4.

dire si les propriétés

6 Arithmétique dans 5. Si

a

a

6.

divise

et

b

b

et

a

divise

c

8. Si

9

divise

ab

9. Si

a

divise

b

a

c

divise

et

et

b a

ou

d,

divise

et si

b

divise

a,

divise

9

ne divise pas

divise

c,

alors

|a| = |b|.

alors

divise

12. Si

a

n'est pas premier avec

b,

alors

a

1. Soit

p

a

divise

a,

divise

alors

p

9

p∈Z

alors

a

divise

b.

bc.

= |b| .

n'est pas premier avec

b,

= |ab| .

cd.

alors

équivaut à ppcm (a, b)

a

Exercice 343

ab

alors

11. Si

modulo

c

premiers entre eux équivaut à ppcm (a, b)

7. Si

10.

b

41

Z

divise

b. b

b

ou

divise

a.

un nombre premier. Montrer que si

ne divise pas

a

et donc pgcd (a, p)

a∈Z

n'est pas congru à

0

= 1.

a ∈ Z non congru à 0 modulo p avec p premier. Montrer en utilisant le a) qu'il existe u ∈ Z non congru à 0 modulo p vériant au ≡ 1[p]. (Remarquer que cela donne un inverse de a modulo p).

2. Soit

p

3. Montrer que si que

n'est pas premier, il existe des éléments

a, u ∈ Z

non nuls modulo

p

tels

au ≡ 0[p].

Exercice 344

1. Montrer que deux entiers non nuls consécutifs sont toujours premiers entre

eux.

2. Montrer que pour tout entier naturel

Exercice 345 √ p Exercice 346 (Théorème de Wilson) 1)! + 1 Exercice 347

n,

pgcd((n

Prouver que pour vérier qu'un entier

pas de diviseurs inférieurs ou égaux à

+ 1)2 , n + 2) = 1.

p est premier, il sut de vérier qu'il n'a

. Démontrer que tout nombre premier

p

divise

(p −

.

Montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers :

4

2

1.

n − 20n + 4

2.

1 (n3 4 4

3.

pour

+ (n + 2)3 )

a + 4b

4

Exercice 348

pour Soit

1. Montrer que

n ∈ N.

pour

n > 2.

a, b > 2. X

X

l'ensemble des nombres premiers de la forme

4k + 3

avec

k ∈ N.

est non vide.

2. Montrer que le produit de nombres de la forme

X est ni et on l'écrit Soit a = 4p1 p2 . . . pn − 1. Montrer par forme 4k + 3.

3. On suppose que

4k + 1

est encore de cette forme.

X = {p1 , . . . , pn }. l'absurde que a admet un

alors

4. Montrer que ceci est impossible et donc que

X

diviseur premier de la

est inni.

[Exercice corrigé]

Exercice 349

de la conjecture :

[Exercice corrigé]


a ∈ N tel que an + 1 soit premier, n ∀n ∈ N, 22 + 1 est premier ?

Soit

Soit

n

Soient

un nombre premier et

a

et

b

montrer que

p ∈ {1, ..., n − 1},

∃k ∈ N, n = 2k .

montrer que

Que penser

ndivise Cnp .

deux entiers supérieurs à 2 premiers entre eux, montrer que :

∃N0 ∈ N, ∀n > N0 , n ∈ ax + by|(x, y) ∈ N2 .

7 Polynômes


42

6.5 Divers Résoudre en nombres entiers naturels l'équation :

(x + 1)(y + 2) = 2xy. Montrer que

(0, 0, 0)

est le seul triplet

(x, y, z)

d'entiers naturels tels que l'on

ait :


x2 + y 2 = 3z 2 . Déterminer les solutions des équations :

x2 − 5x − 11 ≡ 0 mod 17; cos((n2 − 8n + 2)π/7) = 1 Un groupe de

N >2

personnes se réunit. Montrer qu'au moins deux personnes

ont serré le meme nombre de mains. On pourra séparer les deux cas suivants : soit tout le monde a serré au moins une main, soit il existe quelqu'un qui n'a serré aucune main.

7 Polynômes 7.1 Division euclidienne

Exercice 356 Q = X −1 Exercice 357

Eectuer la division euclidienne du polynôme 4 . Même exercice lorsque P = X − 2X cos(2ϕ)

2

par

Soit

P

P = X 5 − X 4 + 2X 3 + X 2 + 4 + 1 et Q = X 2 − 2X cos(ϕ) + 1.

un polynôme. Sachant que le reste de la division euclidienne de

P

par

X − a est 1 et celui de la division de P par X − b est −1, (a 6= b), quel est le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) ?

Exercice 358 (X − 1) Exercice 359 Q=X +X +1 Exercice 360 Exercice 361 a, b ∈ Z (X − 1) Exercice 362 P (X) − 1 Exercice 363

Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme 2 .

polynôme

Pour quelles valeurs de 2 par le polynôme ?

m

Montrer que le polynôme

le polynôme

P (X) − X

Xn + X + 1

P = (X + 1)m − X m − 1

divise le polynôme

par le

est-il divisible

P (P (X)) − X .

n+1 Déterminer de façon à ce que le polynôme aX −bX n +1 soit divisible 2 par le polynôme . Calculer alors le quotient des deux polynômes. Existe-t-il un polynôme

divise

P

de degré 7 tel que

(X −1)4 divise P (X)+1 et (X +1)4

?

Eectuer les divisions par puissances croissantes de :

Q = 1 − X,

1.

P =1

2.

P =1+X

3.

par

P =X−

Exercice 364

par

X3 6

+

à l'ordre

Q = 1 + X2 X5 12

par

n,

à l'ordre

5,

Q = 1 − 2X 2 + X 4

à l'ordre 5.

Eectuer les divisions euclidiennes de

3X 5 + 4X 2 + 1 par X 2 + 2X + 3, 3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1 par X 3 + X + 2, X 4 − X 3 + X − 2 par X 2 − 2X + 4.

[Exercice corrigé]

7 Polynômes

43

Exercice 365

Dans C[X], eectuer les X 2 − 3iX − 5(1 + i) par X − 1 + i, 4X 3 + X 2 par X + 1 + i.

Exercice 366

divisions euclidiennes de

Eectuer la division selon les puissances croissantes de :

X 4 + X 3 − 2X + 1

par

X2 + X + 1

à l'ordre

2.

[Exercice corrigé]

Exercice 367

Soit

a

et

b

deux nombres complexes distincts, m et n deux entiers naturels. (X − a)m et (X − b)n divisent un polynôme P , alors le polynôme

Montrer que si les polynômes (X − a)m (X − b)n divise P .

Exercice 368 Exercice 369 X −X +1 Exercice 370 2

Pour

n ∈ N,

Pour

n ∈ N,

quel est le reste de la division de montrer que le polynôme

. Trouver le quotient si

4

(X + 1)

Xn + X + b

(X − a)2 ?

par

(X − 1)n+2 + X 2n+1

est divisible par

n = 2.

Trouver les polynômes

P

tels que

P + 1 soit divisible par (X − 1)4

et

P − 1 par

:

1. en utilisant la relation de Bézout, 2. en considérant le polynôme dérivé Combien y a-t-il de solutions de degré

[Exercice corrigé]

Exercice 371

Eectuer la division de

P 0.

6 7? A = X 6 − 2X 4 + X 3 + 1

par

B = X3 + X2 + 1

:

1. Suivant les puissances décroissantes. 2. À l'ordre

4

(c'est-à-dire tel que le reste soit divisible par

X 5)

suivant les puissances

croissantes.

[Exercice corrigé]

Exercice 372 a b Exercice 373 Exercice 374 P X +5 3 Exercice 375 [Exercice corrigé] Exercice 376 n > 1 1)X + 1 (X − 1) Exercice 377 P, Q ∈ K[X] P (1) = Q(1) = 0 Exercice 378 Déterminer

et

dans

R

tels que

X2 + 2

divise

Déterminer le reste de la division euclidienne de

X 4 + X 3 + aX 2 + bX + 2. (sin aX + cos a)n

un polynôme dont le reste de la division euclidienne par X − 2 . Quel est le reste de la division euclidienne de P par X + 4X − 5 ? Soit

par

est

Eectuer la division euclidienne de

Soit

n

par

est

7

et

X 2 − 5X + 4.

nX n+1 − (n +

.

Soient

tels que

X2 + X + 1

divise

P (X 3 ) + XQ(X 3 ).

. Réciproque ?

Quels sont les polynômes

[Exercice corrigé]

par

. Déterminer le reste de la division euclidienne de

2

par

X 5 − 7X 4 − X 2 − 9X + 9

1

X 2 + 1.

P ∈ C[X]

tels que

P0

divise

P?

Montrer que

7 Polynômes

44

7.2 Pgcd

Exercice 379

Calculer pgcd (P, Q) lorsque :

1.

P = X3 − X2 − X − 2

2.

P = X 4 + X 3 − 2X + 1

et

Q = X 5 − 2X 4 + X 2 − X − 2,

et

Q = X 3 + X + 1.

[Exercice corrigé]

Exercice 380 5

X + X4 + X5 +

Déterminer le pgcd des polynômes suivants : 3 3X + X + X 2 + 3X + 1 et X 4 + 2X 3 + X + 2, X 3 − 3X 2 − 4X − 1 et X 3 + X 2 − X − 1, 5X 4 + 9X 3 + 7X 2 + 5X + 3 et X 4 + 2X 3 + 2X 2 + X +

4

[Exercice corrigé]

Exercice 381 Exercice 382 Déterminer

A, B ∈ R[X]

Déterminer

tels que

1.

(X 3 + 1)A + (X 2 + X + 1)B = 1. U, V , vériant : (?) (X −1)n U +X n V = 1. à n, satisfaisant cette égalité. En déduire

Montrer qu'il existe deux polynômes :

U1

et

V1 de U, V

degré strictement inférieur

tous les polynômes

Exercice 383

vériant

P, Q

Soient

P

1. Montrer qu'alors

n

Exercice 384

Soit

n

deux polynômes premiers entre eux.

et

2. Montrer de même que

(?).

Qm

sont premiers entre eux où

P +Q

et

PQ

n, m

sont deux entiers positifs.


un entier positif.

1. Déterminer le pgcd des polynômes

(X n − 1)

n = 3 démontrer qu'il existe un (X − 1)3 V = X − 1. En donner un.

2. Pour

Exercice 385 Exercice 386 A B A=X Exercice 387

Montrer que les éléments

et

(X − 1)n .

couple de polynômes

(U, V )

tel que

(X 3 − 1)U +

X 2 + X , X 2 − X , X 2 − 1 de R[X] sont premiers entre

eux, mais ne sont pas premiers entre eux deux à deux.

de

et

avec

U et V de R[X] tels que AU + BV soit un − 2X − 2X + 10X − 7 et B = X 4 − 2X 3 − 3X 2 + 13X − 10.

Trouver tous les polynômes 4 3 2

D des polynômes A D = AU + BV .

Calculer le pgcd

nômes

U

et

V

tels que

1.

A = X 5 + 3X 4 + 2X 3 − X 2 − 3X − 2

2.

A = X 6 − 2X 5 + 2X 4 − 3X 3 + 3X 2 − 2X

et

et

B

dénis ci-dessous. Trouver des poly-

B = X 4 + 2X 3 + 2X 2 + 7X + 6. et

B = X 4 − 2X 3 + X 2 − X + 1.

[Exercice corrigé]


Trouver le pgcd des trois polynômes :

A = X 5 + 4X 4 + 6X 3 + 6X 2 + 5X + 2 B = X 2 + 3X + 2 C = X 3 + 2X 2 + X + 2. Soit les polynômes de

R[X]

pgcd

:

A = (X + 3)2 (X + 1)(X 2 + 1)3 B = (X + 3)2 (X + 2)2 (X 2 + 1) C = (X + 3)(X + 2)(X 2 + 1)2 .

7 Polynômes 1. Combien

45

A

possède-t-il de diviseurs normalisés ? et

2. Écrire le pgcd et le ppcm de

A

et

1. Trouver le pgcd de

et

C?

B. A, B

3. Écrire le pgcd et le ppcm des trois polynômes

Exercice 390

B?

X 24 − 1

et

et

C.

X 15 − 1 ;

le pgcd de

X 280 − 1

et

X 60 − 1.

b bq 2. Montrer que quels que soient les entiers positifs b et q , X − 1 divise X − 1. En déduire a b r que le reste de la division de X − 1 par X − 1 est X − 1 où r est le reste de la division a b dans N de a par b. Quel est alors le pgcd de X − 1 et X − 1 ? Application : trouver le 5400 pgcd de X − 1 et X 1920 − 1.

3.

P

étant un polynôme quelconque de C[X], et a et b deux entiers naturels, quel est le pgcd a b de P − 1 et P − 1 ? Indication : utiliser le théorème de Bézout dans Z et dans C[X].

Exercice 391

Soit

A ∈ C[X]

et

B ∈ C[X].

1. A-t-on pgcd (A, B)

= 1 ⇐⇒

2. A-t-on pgcd (A, B)

= pgcd(A + B, AB) ?

Exercice 392

Soit

n

pgcd(A

+ B, AB) = 1 ?

un entier strictement positif.

1. Démontrer qu'il existe un unique couple de polynômes n n inférieurs à n tels que (1 − X) P (X) + X Q(X) = 1. 2. Démontrer que

P (1 − X) = Q(X)

et

3. Démontrer qu'il existe une constante

P

et

Q

de degrés strictement

Q(1 − X) = P (X). a

telle que

(1 − X)P 0 (X) − nP (X) = aX n−1 . En déduire les coecients de Réponse :

et la valeur de

a.

n−1 a = −(2n − 1)C2n−2 .

Exercice 393 2

P

2

P + Q = (X

2

Déterminer les polynômes P ∈ R[X] et Q ∈ + 1)2 . En déduire que l'équation x2 + y 2 =

proportionnelles) dans

Exercice 394 déduire

d=

R[X], premiers entre eux, tels que z 2 a une innité de solutions (non

Z.

1. Montrer que les polynômes X − 1 et X − 2 sont premiers entre eux et en 2 3 pgcd((X − 1) , (X − 2) ) et des U et V polynômes tels que

U (X − 1)2 + V (X − 2)3 = d. 2. Déterminer le polynôme P , de degré minimal, tel que le reste de la division euclidienne 2 3 de P par (X − 1) est 2X et le reste de la division euclidienne de P par (X − 2) est 3X .

Exercice 395

Montrer que les polynômes complexes

P = X 1998 + X + 1

et

Q = X5 + X + 1


7.3 Racines, décomposition en facteurs irréductibles

Exercice 396

1. Montrer que le polynôme

P (X) = X 5 − X 2 + 1

admet une unique racine

réelle et que celle-ci est irationnelle.

2. Montrer que le polynôme

Q(X) = 2X 3 − X 2 − X − 3

a une racine rationnelle (qu'on

calculera). En déduire sa décomposition en produit de facteurs irréductibles dans

C[X].

7 Polynômes

Exercice 397

46

P (X) = an X n + · · · + a0

Soit

un polynôme à coecients entiers premiers entre

eux (c'est à dire tels que les seuls diviseurs communs à tous les

p si r = avec p q divise an .

Exercice 398

q

et

P

1. Montrer que si 2. Soit

λ

λ∈C

un polynôme de degré

est irréductible dans

P,

une racine de

−1

1). Montrer que P alors p divise a0 et q

soient

premiers entre eux est une racine rationnelle de

P ∈ Q[X]

Soit

ai

et

n.

alors il n'a que des racines simples dans

Q

de multiplicité strictement plus grande que

est rationnel.


C.

n .Montrer 2

que

nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n admet une racine 5 4 racines du polynôme 3X − 5X + 5X − 3.


multiple. Application : déterminer les

P = (X 2 − X + 1)2 + 1.

Soit

1. Vérier que

i

P.

est racine de

2. En déduire alors la décomposition en produit de facteurs irréductibles de

P

sur

R[X]

3. Factoriser sur

C[X] et sur R[X] les polynômes suivants en produit de polynômes irréP = X 4 + X 2 + 1, Q = X 2n + 1, R = X 6 − X 5 + X 4 − X 3 + X 2 − X + 1, S = X − 13X 4 + 67X 3 − 171X 2 + 216X − 108 (on cherchera les racines doubles de S ). ductibles : 5

Exercice 401

Décomposer dans

R[X],

sans déterminer ses racines, le polynôme

P = X 4 + 1,

en produit de facteurs irréductibles.

[Exercice corrigé]


Pour tout

a∈R

Décomposer

et tout

X 12 − 1

démontrer que

X −a

divise

X n − an .

en produit de facteurs irréductibles dans

R[X].

A, où : A=X +X + X et B = X + X + 1, A = (X + 1)2n − X 2n − 2X − 1 et B = X(X + 1)(2X + 1), A = nX n+1 − (n + 1)X n + 1 et B = (X − 1)2 . 3n+2

Exercice 405

Prouver que 3m+1 3p

B

n ∈ N∗ ,

divise

2

Soit

P ∈ Z[X]

et

n ∈ Z;

1. Montrer que :

∀k ∈ Z, m

divise

notons

Exercice 406

(deg( P )

> 1).

P (n + km).

2. Montrer qu'il n'existe pas de polynôme

n ∈ Z, P (n)

m = P (n) ;

P

dans

Z[X],

non constant, tel que pour tout

soit premier.

Soit

Montrer qu'il existe

Indications :

P un polynôme de R[X] tel que P (x) > 0 pour tout x ∈ R. S, T ∈ R[X] tels que P = S 2 + T 2 (on utilisera la factorisation dans C[X]).

a, b ∈ R, déterminer c, d ∈ R tels que : ab = c2 − d2 , vérier que (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (bc − ad)2 .

1. Soient

2. Résoudre le problème pour

P

de degré 2.

3. Conclure.

Exercice 407 P C sin kθ X Exercice 408 n k=1

k n

Soit θ ∈ R ; on suppose sin nθ 6= 0. Déterminer les racines du polynôme k . Vérier que ces racines sont toutes réelles.

a ∈ C, P ∈ C[X] et Q ∈ C[X], premiers entre P + Q2 . Montrer que a est racine de P 0 2 + Q0 2 .

Soit 2

racine double de

eux. On suppose que

P = a

est

7 Polynômes

Exercice 409

47

n ∈ N∗ ,

Pour

quel est l'ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme

nX n+2 − (4n + 1)X n+1 + 4(n + 1)X n − 4X n−1

[Exercice corrigé]

Exercice 410

a

Pour quelles valeurs de

le polynôme

(X + 1)7 − X 7 − a

admet-il une racine

multiple réelle ?

[Exercice corrigé]

Exercice 411 R[X] Exercice 412

X3 + 2


lynôme dans

et dans

Dans

est irréductible dans

Q[X].

Factoriser ce po-

C[X]. et dans

R[X]

C[X],

décomposer les polynômes suivants en facteurs irré-

ductibles. 1.

X 3 − 3.

2.

X 12 − 1.

[Exercice corrigé]

Exercice 413 R[X] Exercice 414 Dans

Quelle est la décomposition de

X6 + 1

en facteurs irréductibles dans

C[X] ?

?

Soit

P

le polynôme

X 4 + 2X 2 + 1.

Déterminer les multiplicités des racines

−i, de deux façons diérentes : soit en décomposant P dérivé de P .

Exercice 415

Soit le polynôme

1. Montrer que

j

Exercice 416

P

et

C[X], soit en utilisant le polynôme

P = X 8 + 2X 6 + 3X 4 + 2X 2 + 1.

est racine de ce polynôme. Déterminer son ordre de multiplicité.

2. Quelle conséquence peut-on tirer de la parité de 3. Décomposer

dans

i

en facteurs irréductibles dans

P?

C[X]

et dans

R[X].

E le polynôme du troisième degré : aX 3 + bX 2 + cX + d avec a, b, c, d ∈ R et a 6= 0, et soit x1 , x2 , x3 ses trois racines dans C. Trouver un polynôme ayant pour racines x1 x2 , x2 x3 et x3 x1 .

Exercice 417 Exercice 418 n Exercice 419 Exercice 420 degré

1. 2.

Soit

Soient Soit

x 1 , x2 , x3

n ∈ N

les racines de

X 3 − 2X 2 + X + 3.

Calculer

x31 + x32 + x33 .

xé. Montrer qu'il y a un nombre ni de polynômes unitaires de

à coecients entiers ayant toutes leurs racines de module inférieur ou égal à Soit

n>2

et

Pn (X) =

k=0

2

où

Soit

où

a-t-il une racine double ?

P ∈ R[X]

P ∈ C[X].

scindé sur

1. Montrer qu'il en est de même de 2. Montrer que le polynôme Soit

n ∈ N∗

1. Quel est le degré de 2. Factoriser

Pn

P ∈ R[X].

2

P (X ) = (X + 1)P (X)

Exercice 422

1 X k. k!

Résoudre les équations :

P 0 P 00 = 18P

Exercice 421

n P

P

dans

et

P?

C[X].

P2 + 1

R

à racines simples.

P 0. n'a que des racines simples dans

P (X) = (X + 1)n − (X − 1)n .

C.

1.

7 Polynômes

48

3. Montrer que

Exercice 423

∀p ∈ N∗

p Q

cotan (

k=1 Factoriser dans

R[X]

kπ 1 )= √ . 2p + 1 2p + 1

:

6

1.

X + 1.

2.

X 9 + X 6 + X 3 + 1.

[Exercice corrigé]

Exercice 424

7.4 Divers Montrer que pour tout

n ∈ N∗

il existe un polynôme

Pn

et un seul tel que

∀θ ∈ R, Pn (2 cos θ) = 2 cos nθ. Montrer que que

cos rπ

Pn

I(P )

r

rationnels tels

soit rationnel.

Exercice 425 avec

est unitaire et que ses coecients sont entiers. En déduire les

Déterminer, s'il en existe, tous les idéaux

idéal engendré par

Exercice 426

P

J

de

R[X] tels que : I(P ) ⊂ J ⊂ R[X],

dans les cas suivants :

P = X 2 + X + 1,

P = X 2 + 2X + 1,

Trouver un polynôme

P (1) = −2

P

de degré

62

P (−2) = 3

et

P = X 3 + 3X − 4.

tel que et

P (0) = −1

[Exercice corrigé]

Exercice 427

Trouver un polynôme

P (0) = 1

et

P

de degré minimum tel que

P (1) = 0

et

P (−1) = −2

et

P (2) = 4

[Exercice corrigé]


Trouver les polynômes Rx pourra utiliser le polynôme Q(x) = 0

k.

Soit

P de R[X] P (t)dt).

tels que

∀k ∈ Z

R k+1 k

P (t)dt = k + 1

(on

(P0 , P1 , . . . , Pn ) une famille de polynômes de K[X] telle que ∀k ∈ {0, . . . , n}

Montrer à l'aide d'une récurrence soigneuse que cette famille est libre.

Exercice 430

Soit

n ∈ N∗

∆ est a∆(P ) + b∆(Q).

1. Montrer que

xé et

( Rn [X] → Rn [X] ∆: P (X) 7→ P (X + 1) − P (X)

linéaire, i.e. que

∀(a, b) ∈ R2

et

.

(P, Q) ∈ Rn [X] ∆(aP + bQ) =

ker(∆) = {P ∈ Rn [X]/∆(P ) = 0}. 1 X(X − 1) . . . (X − k + 1). Calculer ∆(Hk ). Soient H0 = 1 et pour k ∈ {1, . . . , n} Hk = k! Soit Q ∈ Rn−1 [X]. Comment trouver P ∈ Rn [X] tel que ∆(P ) = Q.

2. Déterminer 3. 4.

5. Déterminer

P

pour

Q = X2

6. En déduire la somme

Exercice 431

tel que

P (1) = 0.

12 + 22 + . . . + n2 .

Résoudre l'équation d'inconnue

P ∈ C[X] : P (X + 1)P (X) = −P (X 2 ).

degPk

=

7 Polynômes

Exercice 432 A |x | . Exercice 433 n+1

49

(P, Q) ∈ Rn [X]2 de P et Q ?

Soit

Que dire

Wn = (X 2 − 1)n , Ln =

Soient

1. Donner le degré de 2. Démontrer :

tels que

∃(a, A) ∈ (R+∗ )2 , ∀x ∈] − a, a[, |P (x) − Q(x)| 6 (n) 1 Wn . 2n n!

Ln , son coecient dominant, sa parité, calculer Ln (1). Donner L0 , L1 , L2 . 0

∀n > 1, (X 2 − 1)Wn = 2nXWn ,

en déduire :

00

0

∀n ∈ N, (X 2 − 1)Ln + 2XLn − n(n + 1)Ln = 0. 3. Montrer ensuite :

0

∀n > 1, L0n = XLn−1 + nLn−1 ,

4. Montrer enn que les polynômes

Exercice 434 (i.e.

xyz 6= 0)

Indication par

z,

Ln

puis

0

0

nLn = XLn − Ln−1 .

peuvent être dénis par la récurrence :

(n + 1)Ln+1 = (2n + 1)XLn − nLn−1 . Montrer que si

dans

n > 3,

l'équation

xn + y n = z n

n'a pas de solution non triviale

C[X]. x, y, z,

: on peut supposer

sans facteurs communs. Dériver la relation, la multiplier

étudier le degré.

Exercice 435

Soit

n ∈ N∗ , P ∈ C[X]

de degré

n,

|z|=1 2ikπ

Exercice 436

n P

montrer :

1 . n

sup |P (z)| > 1 +

Indication : wk = e n+1 , montrer

P (0) = 1, P (1) = 0,

avec

P (wk ) = (n + 1)a0.

k=0 1. Lemme : Soit

P ∈ C[X]

non constant,

z0 ∈ C,

montrer que

∀ε > 0, ∃z ∈ D(z0 , ε) = {z ∈ C| |z − z0 | 6 ε}, |P (z)| > |P (z0 )| .

Indications

P (z0 + h) = P (z0 ) + (i) tel que P (z0 ) 6= 0.

: Ecrire

strictement positif

hm (m) (z0 )où m=k m! P

Pdeg P

k

est le plus petit entier

On se propose de démontrer le théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant à coecients complexes admet une racine complexe. 2. Expliquer pourquoi le minimum de la fonction en

0,

mettons

D(0, R),

z → |P (z)| est atteint sur un disque centré

et expliquer pourquoi :

∃z0 ∈ C, |P (z0 )| = inf |P (z)| . z∈C

3. Montrer avec le lemme que

Exercice 437 n ∈ N , C[X]. Exercice 438 P ∈ R[X] φ = (P ) − P P Exercice 439 K ⊆ C ∗

Soit

et

P (z0 ) = 0. P (X) = (X + 1)n − (X − 1)n .

Quel est le degré de

P?

Le

factoriser dans

Soit

que

0 2

00

Soit

un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer

n'a pas de zéro réel. un corps pour les lois usuelles sur

1. Montrer que si α est racine de 0 polynôme P avec la multiplicité

C

et

P ∈ K[X]

P de multiplicité m ∈ [1, +∞[ m − 1.

alors

non constant.

α

est racine du

8 Fractions rationnelles 2. On suppose

K =R

50

et

P

scindé sur

R.

Montrer que

P0

est scindé sur

R

(on utilisera le

théorème de Rolle).

Exercice 440

m, n ∈ [1, +∞[, d =

Soient

pgcd(m, n) et

P = X m − 1, Q = X n − 1, D =

d

X − 1 ∈ C[X]. 1.

(a) Montrer que si

x∈C

y ∈ C est racine de D de d).

Q

et

alors

x

est racine de

A, B ∈ C[X] tels que toute racine de A est racine de B. Peut-on A divise B ? Même question si les racines de A sont simples.

en déduire

alors

y

est racine commune de

(a) Soient

(b) Montrer que les racines de

Exercice 441

D

et

C

et sur

2. Montrer que

P1

est irréductible sur

3. Montrer que

P2

est réductible sur

4. Montrer que

P3

est irréductible sur

complexes de

P

Exercice 443

P

Soit

Q

R.

(on utilisera que

√ 3

2∈ / Q).

Z. Z. Déterminer toutes les racines

sachant que deux d'entre elles ont 6 pour produit.

8 Fractions rationnelles Décomposer les fractions rationnelles suivantes :

3 X3 + 1

sur

C

X3 X3 − 1

puis sur

sur

sur

C

sur

2. Décomposer

R

en remarquant que

X7 + 1 (X 2 + 1)(X 2 + X + 1)

Exercice 444

R

R

X2 + X + 1 (X − 1)2 (X + 1)2 1 (X 3 − 1)2

sur

F (jX) = F (X)

R

3X 5 + 2X 4 + X 2 + 3X + 2 sur R X4 + 1 1 sur C puis sur R 2n X +1 X3 + X sur R (X 2 + X + 1)2 1. Décomposer

2X 3 +X 2 −X+1 X 2 −3X+2

= D.

P1 = X 3 −2, P2 = X 4 +4 et P3 = X 4 +4X 3 +8.

P = X 4 − 5X 3 + 9X 2 − 15X + 18 ∈ C[X].

F (X) =

P

sont simples et en déduire que pgcd (P, Q)

Soient les polynômes complexes

1. Étudier leur irréductibilité sur

Exercice 442

(on

Q (utiliser

la dénition

que

D

Z). et

(b) Montrer que si

2.

P

est racine commune de

pourra utiliser l'égalité de Bézout dans

X 3 −3X 2 +X−4 en éléments simples sur X−1

en éléments simples sur

R.

R.

8 Fractions rationnelles

51

7. Décomposer

2X 3 +X 2 −X+1 en éléments simples sur R. X 2 −2X+1 4 2 X +2X +1 en éléments simples sur R. X 2 −1 X en éléments simples sur R. X 2 −4 5 4 X +X +1 en éléments simples sur R. X 3 −X 5 4 X +X +1 en éléments simples sur R. X(X−1)4

8. Décomposer

X 5 +X 4 +1 en éléments simples sur (X−1)3 (X+1)2

3. Décomposer 4. Décomposer 5. Décomposer 6. Décomposer

R.

X 7 +3

9. Décomposer

en éléments simples sur R. (X 2 +X+2)3 (3−2i)X−5+3i 10. Décomposer en éléments simples sur C. X 2 +iX+2 X+i 11. Décomposer en éléments simples sur C. X 2 +i X 12. Décomposer en éléments simples sur C. (X+i)2 13. Décomposer 14. Décomposer 15. Décomposer 16. Décomposer 17. Décomposer 18. Décomposer 19. Décomposer 20. Décomposer

[Exercice corrigé]

Exercice 445

X 2 +1 en éléments simples sur R et sur C. X 4 +1 X en éléments simples sur R et sur C. X 4 +1 2 X +X+1 en éléments simples sur R et sur C. X 4 +1 5 X +X+1 en éléments simples sur R et sur C. X 4 −1 5 X +X+1 en éléments simples sur R et sur C. X 6 −1 3 X −2 en éléments simples sur R et sur X 4 (X 2 +X+1)2 X en éléments simples sur R et sur (X 2 +1)(X 2 +4) X 2 −3

(X 2 +1)(X 2 +4)

en éléments simples sur

Décomposition en éléments simples

Φ=

[Exercice corrigé]

Exercice 446


[Exercice corrigé]

Exercice 447

[Exercice corrigé]


Soient

formule de Taylor en

a

a

et

b

pour

et sur

C. C.

2x4 + x3 + 3x2 − 6x + 1 . 2x3 − x2

2x5 − 8x3 + 8x2 − 4x + 1 Φ= . x3 (x − 1)2 Φ=


R

C.

4x6 − 2x5 + 11x4 − x3 + 11x2 + 2x + 3 . x(x2 + 1)3

1 . (X − a)n (X − b)n f (X) = (X − a)n F (X), décomposer F sur R.

deux réels distincts et

Donner une CNS sur

f ∈ C(X)

F (X) =

pour qu'il existe

On appelle valuation une application

g ∈ C(X)

En utilisant la

tel que

f = g0.

v : C(X) → Z ∪ {∞} telle que : λ ∈ C∗ V

v(λ) = 0, v(0) = ∞, ∃a ∈ C(X) : v(a) = 1 ∀(f, g) ∈ C(X)2 , v(f g) = v(f ) + v(g) ∀(f, g) ∈ C(X)2 , v(f + g) > min(v(f ), v(g)) (avec les convention évidentes les valuations de

C(X)

k + ∞ = ∞, ∀k > 1 : k∞ = ∞, 0∞ = 0,

etc.) Déterminer toutes

et montrer la formule (la somme portant sur toutes les valuations) :

∀f ∈ C(X) − {0},

X v

v(f ) = 0.

9 Propriétés de

52

R

Deuxième partie

ANALYSE 1

Exercice 451

9 Propriétés de

R

9.1 Les rationnels

Q

r∈Q

1. Démontrer que si

2. Montrer que

√

et

x 6∈ Q

alors

r + x 6∈ Q

et si

r 6= 0 r.x 6∈ Q.

2 6∈ Q,

3. En déduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra utiliser la propriété : pour tout réel

[Exercice corrigé]

a > 0,

il existe un entier

n

tel que

n > a.)

Exercice 452

Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ? √ a = 1/3, b = 1/15, c = 1/25, d = 1/125, e, f = 0, 333 · · · 3 · · · , g = 2, h = 0,123 456 789 123 456 789 123 · · · , i = 0,123 456 789 101 112 131 4 · · · , j = π , k = 13/7, l = 27/17. √ 2 Dans le plan xOy , on porte sur Ox une suite de points a1 , a2 , . . . , an , . . . et sur Oy une suite de points b1 , b2 , . . . , bn , . . . ,

Exercice 453 (Un procédé géométrique d'approximation de ) (i) a = 2 b = 1 (ii) a = (iii) a b = 2

construites de la manière suivante : et 1 , an−1 +bn−1 , 2

1

n

(le rectangle de côtés

n n

an

et

bn

a pour aire 2).

an et bn . Démontrez successivement que : ∀n, bn < an ; (an )n∈N décroissante ; (bn )n∈N croissante. Calculez an − bn en fonction de an−1 − bn−1 et an . Montrez que l'on a l'inégalité :

1. Représentez cette suite de rectangles de côtés 2. 3.

(an−1 − bn−1 )2 . an − b n < 4 a1 , a2 , . . . , a6 . Combien de décimales exactes de 2 obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l'inégalité précédente pour montrer que le nombre

4. Calculez les premiers termes de la suite

√

de décimales exactes obtenues double

Exercice 454 Exercice 455 √ juste avant

grosso modo

1 − 13 − 13 − 13 . Expliquer le résultat. √ On considère les nombres rationnels inférieurs à 2. Y a-t-il √ un nombre rationnel 2, plus grand que tous les nombres rationnels inférieurs à 2 ? Calculer avec une calculette :

1 3

+ 13 + 13

à chaque pas.

et

Une suite de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ? Une suite de nombres décimaux a-t-elle pour limite un nombre décimal ?

Exercice 456√ √ a b a+ b Exercice 457 p(x) = P Soient

Montrer que

et

deux rationnels positifs tels que

√

a

et

√

b

soient irrationnels.

est irrationnel.

n i=0

Soit

1. Montrer que si

p

ai x i .

α a une racine rationnelle alors β

2. On considère le nombre

√

2+

√

ai sont des entiers. α divise a0 et β divise an .

On suppose que tous les

3.

En calculant son carré, montrer que ce carré est racine

d'un polynôme de degré 2. En déduire, à l'aide du résultat précédent qu'il n'est pas rationnel.

9 Propriétés de

53

R

[Exercice corrigé]

Exercice 458

Trouver sous la forme

périodiques sont donnés par : _ _

3, 14 14 ... ;

Exercice 459

0, 99 9 ... ; 1. Soit

p des rationnels q

x

dont les dévelopements décimaux

_

3, 149 9 ... Nn = 0, 1997 1997 . . . 1997 (n

fois). Mettre

Nn

sous la forme

p, q ∈ N∗ .

2. Soit

M = 0, 1997 1997 1997 . . . . . .

Donner le rationnel dont l'écriture décimale est

p avec q

M.

P = 0, 11111 . . .+0, 22222 . . .+0, 33333 . . .+0, 44444 . . .+0, 55555 . . .+ 0, 66666 . . . + 0, 77777 . . . + 0, 88888 . . . + 0, 99999 . . .

3. Même question avec :

[Exercice corrigé]


Montrer que l'ensemble Montrer que

Soit

a ∈ R,

{r3 ; r ∈ Q}

de

R.

ln 3 est irrationnel. ln 2

montrer :

∃(p, q) ∈ Z × N ; a − ∗

Indication

est dense dans

: considérer les parties fractionnaires de

p 1 6 2. q q

0, a, 2a, ..., qa et la partition [0, 1q [, [ 1q , 2q [, ...[ q−1 , 1[ q

[0, 1[.

Exercice 463

Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques :

na o , (a, k) ∈ Z × N 2k est dense dans

Exercice 464

R.

9.2 Maximum, minimum, borne supérieure... Le maximum de 2 nombres

x, y

(c'est-à-dire le plus grand des 2) est noté

max(x, y). De même on notera min (x, y) le plus petit des 2 nombres

max(x, y)

=

x + y + |x − y| 2

et

min(x, y)

=

x, y .

Démontrer que :

x + y − |x − y| . 2

Trouver une formule pour max (x, y, z).

[Exercice corrigé]

Exercice 465 {un , n ∈ N}

Déterminer la borne supérieure et inférieure (éventuellement innies) de : n −n en posant un = 2 si n est pair et un = 2 sinon.

A=

[Exercice corrigé]

Exercice 466

Déterminer (s'ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure,

la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants :

1 n ∗ [0, 1] ∩ Q , ]0, 1[∩Q , N , (−1) + , n ∈ N . n

[Exercice corrigé]

9 Propriétés de

Exercice 467

54

R

Soit

1. Montrer que

1 I = x∈R |−2
I

est la réunion de deux intervalles.

2. Déterminer (s'ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément de

Exercice 468

Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une

borne inférieure, un plus petit élément, dans 1.

[0, 3[,

2.

{0} ∪ ]1, 2],

3.

D ∩ [0, 1/3],

4.

{x | ∃n ∈ N, x = 1/n},

5.

{x ∈ Q | x2 < 2}.

Exercice 469

I.

D,

dans

Q,

dans

R,

On considère l'ensemble des nombres de la forme

(si la question se pose) ?

1+ n1 , où n décrit l'ensemble des

entiers strictement positifs. Cet ensemble est-il majoré ? Minoré ? A-t-il un plus petit élément ? Un plus grand élément ? Justier vos réponses.

Exercice 470

Étant donné un ensemble

A ⊂ R,

écrire avec des quanticateurs les propriétés

suivantes : 1.

10

est un majorant de

A,

2.

m

est un minorant de

A,

3.

P

n'est pas un majorant de

4.

A

est majoré,

5.

A

n'est pas minoré,

6.

A

est borné,

7.

A

n'est pas borné.

A,

Exercice 471 E Exercice 472 E = { cos n | n ∈ N } Exercice 473 A B y B x6y sup A Exercice 474 a

n−1/n ∗ avec n ∈ N . L'ensemble E admet-il n+1/n une borne inférieure, une borne supérieure, un plus grand élément, un plus petit élément ? Soit

l'ensemble des réels de la forme

Soient

de

on ait

∗

1 n

Soit

et

i

Soit

et

inf B

R

et

sup E . x de A sup A 6 inf B .

telles que pour tout

existent et que

et tout

ij (i,j)∈I×J une famille non vide et bornée de réels ; comparer :

inf (sup aij )

Exercice 475

inf E

deux parties non vides de

. Démontrer que

Soit

; calculer

A

avec

sup(inf aij ).

j

j

une partie majorée de

R

i

d'au moins deux éléments et

x

un élément de

A.

sup(A \ {x}) = sup A.

1. Montrer que si

x < sup A,

2. Montrer que si

sup(A \ {x}) < sup A,

Exercice 476

Soient

alors

alors

x = sup A.

A et B deux parties bornées de R. On note A+B = {a+b | (a, b) ∈ A×B}.

1. Montrer que

sup A + sup B

2. Montrer que

sup(A + B) = sup A + sup B .

est un majorant de

A + B.

9 Propriétés de

55

R

[Exercice corrigé]

Exercice 477

Soit

A

et

B

deux parties bornées de

1.

A ⊂ B ⇒ sup A 6 sup B ,

2.

B ⊂ A ⇒ inf A 6 inf B ,

3.

sup A ∪ B = max(sup A, sup B),

4.

sup(A + B) < sup A + sup B ,

5.

sup(−A) = − inf A,

6.

sup A + inf B 6 sup(A + B).

R.

Vrai faux ou

?

[Exercice corrigé]

Exercice 478

Donner la borne supérieure et la borne inférieure (si elles existent) de l'en-

semble :

D=

n − n1 ∗ |n ∈ N . n + n1

Cet ensemble admet-il un maximum, un minimum ?

Exercice 479

Soient

n ∈ N∗

et

a1 6 a2 6 ... 6 an , n inf

x∈R

n X

|x − ai | .

k=1

Exercice 480 f : R → R f (x) = x − 3x f = (f, 0), f = (f, 0) Exercice 481 a = sup A a Exercice 482 A = Q ∩ ]0, 1[ a, b ∈ R Soit

où :

max

+

3

,

min

−

Si

nombres réels. Calculer :

. Tracer les graphes des fonctions

f, |f |, f+ , f−

.

, montrer qu'il existe une suite d'éléments de

A

qui converge vers

. Réciproque.

Soit

dans

R+

et

+ . On considère les applications suivantes de

A

:

q−p p 7→ ; q q+p

f:

g:

p aq + bp 7→ q p+q

Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de

Exercice 483

entiers vériant

A l'ensemble 0 < p < q.

Soit

1. Montrer que 2. Déterminer

Exercice 484

Montrer que bornée. Soit

A

et

sup A

−3

et majorée par

g(A). x=

2p2 −3q pour p2 +q

un =

n+2 n+1

On pose

Ap = supn>p un (Bp )p∈N est

bornée et que

cos nπ , 3

calculer

p

L

et

et

Bp = inf n>p un .

une suite croissante

l.

∀ε > 0, ∃p ∈ N, ∀n > p, un > l − ε ∀ε > 0, ∀p ∈ N, ∃n > p, un < l + ε 3. Interpréter ces propriétés. Énoncer des propriétés analogues pour

(un )

si

L = l?

q

q = p + 1).

2. Montrer que :

4. Que peut-on dire de

et

2.

(pour la borne supérieure on pourra prendre

Soit (un )n∈N une suite bornée. (Ap )p∈N est une suite décroissante L = limp→∞ Ap et l = limp→∞ Bp .

1. Dans le cas particulier où

et de

des nombres réels qui peuvent s'écrire

est minorée par

inf A

f (A)

L.

Démontrez-les.

9 Propriétés de

Exercice 485

56

R x

Soient

et

y

deux réels strictement positifs. On pose

x+y a= 2 Montrer que

a, g, h, q

Exercice 486

xy

A

et

A∪B

B

r

q=

x

deux parties non vides bornées de

est bornée et que

2. Enoncer un résultat analogue pour

1 2 (x + y 2 ) 2 et

y.

R.

sup(A ∪ B) = max(sup(A), sup(B)).

inf(A ∪ B).

A∩B?

3. Qu'en est-il pour

Exercice 487

2xy h= x+y

sont rangés dans un ordre indépendant de

Soient

1. Montrer que

g=

√

9.3 Divers n

Démontrer par récurrence sur

que pour tout

n>2

l'implication

[x > −1, x 6= 0] ⇒ [(1 + x)n > 1 + nx] est vraie.

Exercice 488 P

Soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R, les ai n'étant pas tous nuls. Soit p(x) = n 2 (a + xb ) i . Montrer que le discriminant de cette équation du second degré est 6 0. En i=1 i déduire que : n !1/2 !1/2 n n X X X ai bi 6 a2i b2i , i=1 i=1 i=1 et que


n X

(ai + bi )2

!1/2

6

i=1

n X

a2i

!1/2

+

i=1

n X

b2i

!1/2

.

i=1

Deux entiers naturels distincts peuvent-ils vérier la relation Résoudre l'équation Si

a

b

et

√ 4

41 + x +

√ 4

41 − x = 4, x

ab = b a ?

étant un réel positif.

> 0, montrer que : √ √ √ a + b 6 2 a + b.

sont des réels

[Exercice corrigé]

Exercice 492

Soient

x = (x1 , . . . , xn )

et

y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .

On note

kxk∞ = max16i6n |xi |.

kxk1 =

Pn

i=1

|xi |

et

Montrer que dans les deux cas on a :

Exercice 493

kx + yk 6 kxk + kyk. Pout tout

x∈R

on note

1. Tracer les graphes des fonctions

E(x)

sa partie entière et

x 7→ E(x)

et

{x}

sa partie décimale.

x 7→ {x}.

E(x) + E(y) 6 E(x + y), E(x + n) = E(x) + n pour tout ∗ tout n ∈ N .

2. Montrer les relations suivantes :

n ∈ Z, E

E(nx) n

3. Déterminer

= E(x)

pour

lim E(x) et lim{x} lorsque x → −1+ x → −1 ?

limites lorsque

et

x → −1− . Ces fonctions ont-elles une

9 Propriétés de


57

R

Pour tout

x, y ∈ R

montrer que :

x2 + λy 2 . λ

a et b a/b.

Soit deux nombres réels

On note

1. Montrer que

a−b

E(x)

et de

vériant :

la partie entière d'un réel

−1 < a < 4

et

− 3 < b < −1.

x.

∀(x, y) ∈ R2 E(x) + E(y) 6 E(x + y) 6 E(x) + E(y) + 1.

E(x) + E(−x)

pour

x ∈ R.

E(nx) ). n 2 Soit f : R → R croissante telle que ∀(x, y) ∈ R f (x+y) = f (x)+f (y). Montrer

3. Montrer que

Exercice 497

λ>0

2xy 6

Donner un encadrement de

2. Calculer

et

∀n ∈ N∗

et

∀x ∈ R E(x) = E(

que

1.

∀n ∈ N

f (n) = nf (1).

2.

∀n ∈ Z

f (n) = nf (1).

3.

∀q ∈ Q

f (q) = qf (1).

4.

∀x ∈ R

f (x) = xf (1)

(on pourra utiliser la densité de

des rationnels de plus en plus proches de

Q

dans

R

pour encadrer

x

par

x).

[Exercice corrigé]


Soient

n ∈ N∗ ,

et

(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn

tels que

n P

xi =

i=1

n P

x2i = n.

Montrer que

i=1

∀i ∈ {1, ..., n}, xi = 1. Soient

n ∈ N∗ ,

et

(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ [0, 1]n ,

montrer que :

n n Y X (1 − xi ) > 1 − xi . i=1

Soit

A

une partie de

R

i=1

vériant :

A 6= ∅, ∀x ∈ A, ∃εx > 0, ]x − εx , x + εx [⊂ A, ∀x ∈ R : (∀ε > 0, ]x − ε, x + ε[∩A 6= ∅) ⇒ x ∈ A. Montrer que

A = R.

Exercice 501

Montrer :

∀n > 1, ∀x ∈ R,


n−1 X

E(x +

k=0

Soient

A

et

B

deux parties denses de

k ) = E(nx). n

R, AB

et

A+B

de la réciproque. Démontrer que :

√ √ √ ∀n ∈ N∗ , E( n + n + 1) = E( 4n + 2).

sont-elles denses ? Étude

10 Suites

58

10 Suites 10.1 Découverte

Exercice 504

1. Dessiner les suites suivantes :

n2 − 25 = 2 2n + 1 = (−1)n 1 = cos n n = cos n

(a)

un

(b)

un

(c)

un

(d)

un

(e)

u1 = 1 ; u2 = 2 ; u3 = 3 ; u4 = −1 ; un = 2 pour n > 5. (−1)n (prendre 10 cm comme unité sur Oy ) un = 2 n +1 nπ un = cos 6 1 un = sin √ (prendre 1 cm comme unité sur Oy ) n un = n 2 + 1 1 √ (pour n > 2) un = n + (−1)n n

(f ) (g) (h) (i) (j)

(prendre 2 cm comme unité sur

vn =

1 | cos n| n

Oy )

(n en radians)

2. Classer les dessins par paquets en précisant vos critères. 3. Pour chaque suite, pouvez-vous trouver

l

et

n

tels que

|un − l| <

1 1 ou ? Mettre en 10 100

relation avec le classement précédent. 4. Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? (a) Une suite à termes positifs qui tend vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang. (b) Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs à partir d'un certain rang. Réciproque ?

Exercice 505 • • •

Si

Si Si

10.2 Convergence Soit

(un )n∈N

une suite de

R. Que pensez-vous des propositions (un )n converge vers un réel l alors (u2n )n et (u2n+1 )n convergent vers l. (u2n )n et (u2n+1 )n sont convergentes, il en est de même de (un )n . (u2n )n et (u2n+1 )n sont convergentes, de même limite l, il en est de même

[Exercice corrigé]


Montrer que toute suite convergente est bornée.

Montrer que la suite

(un )n∈N

dénie par

un = (−1)n +

1 n

n'est pas convergente.

[Exercice corrigé]

Exercice 508

Étudier la suite

un =

an −bn , an +bn

a

et

b

étant donnés dans

R∗+ .

suivantes :

de

(un )n .

10 Suites

59

Exercice 509

Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?

1. Si une suite positive est non majorée, elle tend vers

+∞.

2. Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire. 3. Si une suite a un nombre ni de valeurs, elle converge si et seulement si elle est stationnaire. 4. Une suite est convergente si et seulement si elle est bornée. 5. Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.

Exercice 510

Soit

l

un nombre réel. Peut-on dire qu'une suite qui vérie

∀ε ∈ ]0, 1[, ∃N ∈ N, ∀n > N, |un − l| < ε converge vers

l?


Construire une suite

au moins des suites

(vn )

et

(wn )

un = vn wn

vn + wn )

(resp.

convergente et telle que l'une

diverge.

Vrai ou faux : il existe une suite

(un )

telle que

(un+1 − un )

tend vers

0

et qui

diverge.

Encadrer la suite

(un )

un =

dénie par

Pn

1 k=1 n2 +k2 . Que peut-on en déduire ?

1. Que peut-on dire d'une suite qui vérie

limn→∞ nun = 0 ?


limn→∞ nun = 1 ?


limn→∞ nun = +∞ ?

Exercice 515 k Application Exercice 516 D Exercice 517 ?

points de

: Étudier

Montrer qu'une partie

D

est dense dans

un+1 un

=

R ssi tout réel est limite d'une suite de

.

Soit

1. Montrer que vers

k ∈ R+ , que peut-on dire d'une suite (un ) qui vérie limn→∞ 1·2···n . un = 1·4···(3n−2)

Étant donné

A

une partie bornée de

x = sup(A)

R

ssi ( x majore

A

et

x

un réel.

et il existe une suite

(xn )n∈N

de A qui converge

x).

2. Énoncer un résultat analogue pour

Exercice 518 √ √

inf(A).

Étudier la convergence des suites :

n2 + n + 1 −

n sin(n) n2 + 1

n

[Exercice corrigé]

Exercice 519

1 + (−1)n n

n

2n+1 P k=1

1 2 n +k

P 1 n−1 1 cos( √ ) n k=0 n+k

Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire à partir d'un certain

rang.

[Exercice corrigé]

Exercice 520

Soit

Hn = 1 +

1 1 + ... + . 2 n

1. En utilisant une intégrale, montrer que 2. En déduire que

5. Conclusion ?

1 1 6 ln(n + 1) − ln(n) 6 . n+1 n

ln(n + 1) 6 Hn 6 ln(n) + 1.

3. Déterminer la limite de 4. Montrer que

∀n > 0

Hn .

un = Hn − ln(n)

est décroissante et positive.

10 Suites

60

[Exercice corrigé]


Montrer qu'une suite monotone dont une suite extraite converge est convergente. Montrer que

(un )

converge ssi

(u2n ), (u2n+1 ), (u3n )

convergent (leurs limites

n'étant pas nécessairement égales). Etudier la convergence de la suite

Soit

1. montrer que 2. Calculer

unq

q

un entier au moins égal à

un+q = un , ∀n ∈ N. et unq+1 . En déduire

un = (−1)n

2.

Pour tout

que la suite

un

n+1 . n

n ∈ N,

on pose

un = cos

2nπ . q

n'a pas de limite.

[Exercice corrigé]

Exercice 525 (u ) Exercice 526 Exercice 527

Soit

(un )n∈N

une suite réelle prenant toute les valeurs rationnelles. Montrer que

n n∈N n'admet pas de limite. Soit

(un )n∈N

une suite réelle telle que

lim u2n = λ.

n→∞

Que dire de

(un )n∈N ?

1. Donner un exemple de suite bornée divergente, puis de suite divergente

telle que

∀k ∈ N, lim xn+k − xn = 0. n→∞

2. Donner un exemple de suite divergente qui a une seule valeur d'adhérence (i.e. telle qu'il existe une seule extraction

φ

3. Donner un exemple de suite


telle que

(xn )n∈N

xφ(n)

converge).

divergente telle que

Que peut-on dire des nombres réels

∀n ∈ N∗ , a −

et

b

converge.

si

1 1 6b6a+ ? n n

(un ) dénie par ( 0 un = 67 + 1/n

Étudier la suite

a

∀k > 2, (xnk )n∈N

: si n est premier sinon

.

Si cette suite converge, montrer que sa limite est inférieure à

72.

Étudier la convergence de

cette suite.

Exercice 530

En étudiant les suites

Exercice 531 2.

(un ) dénie par : √ p u1 = 2 et un = 2 − un−1 .

On donne la suite

(u2n )

et

(u2n+1 ),

montrer que la suite

(un )

est convergente.

1. Soit (un ), (vn ), (wn ) trois suites telles que pour n assez grand on ait vn 6 un 6 wn . On suppose que (vn ) et (wn ) sont convergentes, et on note v = lim vn et w = lim wn . Montrer que pour tout ε positif, on a v − ε 6 un 6 w + ε pour n assez grand (théorème d'encadrement ). Que peut-on en déduire si v = w ? Soit (un ) une suite convergente de limite l . Montrer que la suite

u 1 + u2 + · · · + u n n l. Pour cela, encadrer un

vn = est convergente et a pour limite en déduire un encadrement de

vn .

à

ε

près pour

n

assez grand, et

10 Suites

61

Exercice 532 N∗

telles que

Soit α un α = limn→∞

nombre irrationnel positif et pn . Montrer que qn

(pn )

et

(qn )

deux suites d'éléments de

lim qn = lim pn = +∞.

n→∞


Étudier la suite

n→∞

un = ln(1 + ln(2 + ln(3 + · · · + ln(n − 1 + ln n) · · · ))). n > 1, l'équation xn + xn−1 + x2 + x − un . Étudier la suite (un ).

Montrer que pour

unique racine positive ; on la note

n+1 n

=0

admet une

Un ivrogne part à un instant donné d'un point donné. À chaque seconde, il fait

un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arbitraire à chaque pas). Comme il se fatigue, ses pas sont de plus en plus courts. Peut-on prévoir qu'au bout d'un certain temps il restera à moins d'un mètre d'une certaine position si on admet que la longueur de son

n-ième

1.

1/n

2.

1/n2

pas est :

mètre ? mètre ?

10.3 Suites dénies par une relation de récurrence

Exercice 536 √ 1 + un

si

n∈

Soit N∗ .

(un )

la suite réelle dénie par récurrence en posant

1. Montrer que

(un )

2. Montrer que

(un ) converge vers le nombre réel positif l

u0 = 1

et

un+1 =

est croissante et majorée. qui vérie

l2 − l − 1 = 0 et calculer

l.


Etudier la suite

(un )

dénie par

1 un+1 = un (u2n − 3un + 4) ∀n > 0. 2 Étudier les suites :

√

1.

u0 = 0

et

un+1 =

un + 2.

2.

u0 ∈ R

et

un+1 = un − u2n .

Exercice 539 (Examen 2000)

On considère la fonction

f : R −→ R

dénie par

x3 2x 1 + + f (x) = 9 3 9 et on dénit la suite

(xn )n>0


en posant

x0 = 0

x3 − 3x + 1 = 0

et

xn+1 = f (xn )

pour

possède une solution unique

α

est l'unique

3. Montrer que suite

(xn )

α ∈]0, 1/2[.

3

f (x) = x est équivalente à l'équation x − 3x + 1 = 0 et en déduire solution de l'équation f (x) = x dans l'intervalle [0, 1/2].

2. Montrer que l'équation que

n ∈ N.

f (R+ ) ⊂ R+

et que la fonction

f

et en déduire que

0 6 xn < 1/2

est croissante sur

R+ .

En déduire que la

est croissante.

4. Montrer que

f (1/2) < 1/2

5. Montrer que la suite

[Exercice corrigé]

(xn )n>0

converge vers

α.

pour tout

n > 0.

10 Suites

62

Exercice 540

Soit

a ∈ R. On considère la suite (un ) dénie par u0 = a et un+1 = eun − 2 pour

n > 0.

1. Étudier cette suite si

a = 0.


a = −10.


a = 3. a.

4. Généraliser en discutant selon la valeur de

Exercice 541 1.

u0 = −4.

2.

u0 = −2.

3.

u0 = 2.

4.

u0 = 3.

Étudier la suite dénie par

Exercice 542 Exercice 543 Exercice 544 Exercice 545 10 Exercice 546 Exercice 547 Exercice 548 Exercice 549 Exercice 550 Exercice 551

Étudier la suite

dénie par

u0 = 0

un+1 = e−un


un+1 = cos un


un+1 =

un+1 =

et


−8

approchée à

(un )

u3n dans les cas suivants : 10

un+1 = 1 +

et

u0 = 0. u0 = −8.

et

2u3n +7 3(u2n +1)

près de la racine réelle du polynôme

(un −3)2 . 4

u0 = 2. X + 3X − 7. et

En déduire une valeur

3

−u2n −un +24 pour n > 0. 6 3 2 − 13 un − 19 un + 3 pour − 15 u2n − 16 un + 33 pour 10


u0 = 0

et

un+1 =


u0 = 0

et

un+1 =


u0 = 0

et

un+1 =


u0 = 0

et

un+1 = ln(e − 1 + un ).

Discuter suivant les valeurs de Soient

a

et

b

u0

la nature de la suite

1. Montrer qu'il existe une valeur de 2. Montrer que si

u0

u0

n > 0.

un+1 = eun − 2.

deux réels strictement positifs ; on dénit une suite

u0 > 0 et un+1 =

n > 0.

(un )

par :

p

aun + b

pour laquelle cette suite est stationnaire.

est distinct de cette valeur,

(un )

est monotone et bornée. Trouver

limn→∞ un .

Exercice 552

Étudier suivant les valeurs données à

u0

appartenant à

C

les suites :

un − 2 un + 4 un + 2 = un + 1 −1 = un + 1

un+1 = un+1 un+1

Exercice 553

et

∀n ∈ N, un+1 1. Si

f

2. Si

(un )

f : [0, 1] → [0, 1]. On considère a ∈ [0, 1] et la suite (un )n∈N = f (un ). Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses :

Soit

est croissante, alors

(un )

est croissante.

f

est croissante.

est croissante, alors

vériant

u0 = a

10 Suites

63

3. Si

(un )

est croissante et

4. Si

(un )

converge vers une limite

5. Si

f

est dérivable, alors

f

6. Si le graphe de 7. Si

(un )

f

(un )

l,

f.

est point xe de

est au dessus de la droite d'équation

l

de

f,

alors

f

f (x) = −x3 + x2 − x + 1

et

y = x,

a ∈ [0, 1].

(un )

alors

est continue en

un+1 = (1 − un )2

Étudier la suite dénie par Soit

l

alors

est croissante.

est bornée.

converge vers un point xe

Exercice 554 Exercice 555 u = f (u ) Exercice 556 Exercice 557

f

monotone, alors

est croissante.

l.

(discuter suivant les valeurs de

u0 ).

u0 = a


et

n .

n+1

u0 = 0


un+1 = 21 (1 + un + E(un ))

et

où

E

désigne la

fonction partie entière .

u0 = a

1. Étudier la suite dénie par récurrence par

et

un+1 = cos un ,

où

a

est un nombre réel donné.

n>1

2. Étudier la suite dénie pour

Exercice 558 suivant

par

un = cos(cos(cos(· · · (cos n) · · · ))). {z } | n fois cos

1. Étudier dans

C

une suite

(un )

telle que

∀n ∈ N∗ , un+1 = u2n .

Discuter

u0 .

2. On considère dans

C

une suite

(vn )

telle que

∀n, vn+1 =

1 2

vn +

A vn

où

A

est un nombre

complexe non nul donné. Étudier l'existence et la convergence de cette suite suivant les v −a valeurs de v0 . On pourra noter a une des racines carrées de A et poser wn = n . vn +a

Exercice 559

A > 0, B > 0, u0 > 0 ; A = + Bun . n+1

1. On donne

de récurrence

un+1

2. Étudier la suite dénie par

u0 = 0

4n n+1

− un 2 + un

un+1 =

et

étudier la suite dénie par la relation

(on pourra utiliser la question

précédente pour terminer).

Exercice 560

On considère la suite réelle dénie par :

x0 = 1 1. Montrer que

xn

2. Montrer que si

xn+1 =

et

est supérieur ou égal à

(xn )

converge, sa limite

l

2xn + 1.

1

pour tout

l

vérie

l= 3.

√

√

n.

2l + 1.

étant dénie par l'égalité de 2), est-il possible de trouver

k ∈ ]0, 1[

tel que

|xn − l| 6 k|xn−1 − l|. Si oui en déduire que

Exercice 561

|xn − l| 6 k n |x0 − l|.

Conclure.

En utilisant les méthodes de l'exercice précédent, étudier les suites dénies par :

4 + 3yn , 3 + 2yn 1 =1+ . zn

y0 = 3 ;

yn+1 =

z0 = 1 ;

zn+1

10 Suites

64

Exercice 562

Soit une suite qui vérie une relation de récurrence

aun−1 + b cun−1 + d

un =

(1)

ax+b a deux points xes cx+d −α un −α distincts, α et β , on peut écrire la relation (1) sous la forme : = k uun−1 . Calculer un −β n−1 −β u1 −α un −α en fonction de . un −β u1 −β

1. Montrer que si la transformation homographique :

x 7→ y =

2. Montrer que si la transformation homographique a un seul point xe γ , on peut mettre 1 la relation (1) sous la forme : = un−11 −γ + k . Calculer un1−γ en fonction de u1 . un −γ 3. Utiliser la méthode précédente pour étudier les suites

4un + 2 , un + 3 5un − 3 c) un+1 = , un + 1 les valeurs de u1 ; préciser a)

Discuter suivant

un+1 =

(un )

dénies par :

−3un − 1 , un − 3 2un − 1 = . un + 4

b)

un+1 =

d)

un+1

pour quelles valeurs de

u1

chaque suite est

dénie.

Exercice 563

10.4 Limites Posons

u2 = 1 −

1 et pour tout entier 22

un = (1 − Calculer

un .

En déduire que l'on a

1 1 1 )(1 − 2 ) · · · (1 − 2 ). 2 2 3 n

lim un =

[Exercice corrigé]

Exercice√564 un = n −

un =

n

1 . 2

Calculer, lorsqu'elles convergent, les limites des suites dénies par : 2 p

n2 − n

Exercice 565 n+1

n > 3,

un =

n(n + a) − n

Montrer que les suites dénies pour

un =

n n+1

un =

n2

n nπ sin 2 2 n > 1 par :

un =

1 +1

un =

un =

sin n − cos n3 . n

n n2 +1

admettent toutes des limites que l'on calculera.

Exercice 566 √

(un )n∈N la suite de nombres réels dénie en posant u0 = 0 et ∀n > 1, un+1 = 6 + un . Montrer que la suite (un )n∈N est convergente et déterminer sa limite. √ 2n ) ; bn = n 3 − sin n2 ; cn = Etudier la limite des suites suivantes : an = cos ( n! n3 + 2n n2 + (−1)n (−1)n √ ; en = (cos n) sin √ . ; dn = 3n n2 + n n Soit

Exercice 567

Exercice 568

Déterminer les limites lorsque

n

tend vers l'inni des suites ci-dessous ; pour

chacune, essayer de préciser en quelques mots la méthode employée.

2.

1 1 (−1)n−1 ; ... 1 ; − ; ; ... ; 2 3 n 2/1 ; 4/3 ; 6/5 ; . . . ; 2n/(2n − 1) ; . . .

3.

0,23 ; 0,233 ; . . . ; 0,233 · · · 3 ; . . .

1.

10 Suites 4.

5.

6.

7.

8.

9. 10. 11. 12.

65

2 n−1 1 + 2 + ··· + 2 n n n2 (n + 1)(n + 2)(n + 3) n3 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) 2n + 1 − n+1 2 n n + (−1) n − (−1)n 2n+1 + 3n+1 2n + 3n √ 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · + 1/2n puis 2; 1 1 1 (−1)n 1− + − + ··· + 3 9 27 3n √ √ n+1− n

q

√ 2 2;

r q √ 2 2 2 ; ...

n sin(n!) n2 + 1

13. Démontrer la formule

1+22 +32 +· · ·+n2 = 16 n(n+1)(2n+1) ; en déduire limn→∞

1+22 +32 +···+n2 . n3

[Exercice corrigé]

Exercice 569 (Méthode d'Héron)

vériant

u0 > 0

Soit

a > 0.

On dénit la suite

(un )n>0

par

u0

un réel

et par la relation

1 = 2

un+1 On se propose de montrer que

(un )

tend vers

a un + un √ a.

.

1. Montrer que

un+1 2 − a = 2. Montrer que si

n>1

alors

3. En déduire que la suite 4. En utilisant la relation

un+1 − 5. Si

√

un >

(un )

√

puis que la suite

converge vers

2

√

un+1 −√ a = (un+1 − de un − a.

a en fonction √ u1 − a 6 k et pour n > 1

√

10

a. √

(un )n>1

a)(un+1 +

√

√ a62 a

k √ 2 a

2n−1

a)

donner une majoration de

.

avec une précision de 8 chires après la virgule, en prenant

u0 = 3.

[Exercice corrigé]

Exercice 570

√

est décroissante.

montrer que

un − 6. Application : Calculer

a

(un 2 − a)2 . 4un 2

On considère les deux suites :

un = 1 +

1 1 + ... + ; n ∈ N, 1! n!

10 Suites

66

vn = un + Montrer que

(un )n et (vn )n R\Q.

1 ; n ∈ N. n!

convergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est

un élément de

[Exercice corrigé]

Exercice 571

Soient

a

b

et

deux réels,

a < b.


supposée continue et monotone, et une suite récurrente

(un )n

f : [a, b] −→ [a, b],

dénie par :

u0 ∈ [a, b] et ∀n ∈ N, un+1 = f (un ). f

1. On suppose que

(un )n f (x) = x.

est croissante. Montrer que

gence vers une solution de l'équation

est monotone et en déduire sa conver-

2. Application :

u0 = 4 et ∀n ∈ N, un+1 = 3. On suppose que

f

4un + 5 . un + 3

est décroissante. Montrer que les suites

(u2n )n

et

(u2n+1 )n

sont mono-

tones et convergentes. 4. Application :

u0 = Calculer les limites des suites

1 et ∀n ∈ N, un+1 = (1 − un )2 . 2 (u2n )n et (u2n+1 )n .

[Exercice corrigé]

Exercice 572

1. Soient

a, b > 0.

2. Montrer les inégalités suivantes ( b

a6 3. Soient

(vn )

u0

et

v0

√

Montrer que

> a > 0)

a+b 6b 2

ab 6

a+b . 2

:

a6

et

des réels strictement positifs avec

√

ab 6 b.

u0 < v0 .

On dénit deux suites

(un )

et


un+1 =

√

un v n

et

vn+1 =

un + vn . 2

n ∈ N.

(a) Montrer que

un 6 v n

(b) Montrer que

(vn )

est une suite décroissante.

(c) Montrer que

(un )

est croissante En déduire que les suites

quel que soit

(un )

et

(vn )

gentes et quelles ont même limite.

[Exercice corrigé]

Exercice 573

Soit

x

un réel.

1. Déterminer la limite de 2. En déduire que

Exercice 574

Soit

Q

E(x) + E(2x) + . . . + E(nx) . n2 dans R.

un =

est dense

n > 1.


n P

xk = 1

admet une unique solution

k=1 2. Montrer que

(an )n∈N

est décroissante minorée par

1 . 2

an

dans

[0, 1].

sont conver-

10 Suites

67

3. Montrer que

(an )

converge vers

1 . 2

[Exercice corrigé]

Exercice 575

Calculer suivant les valeurs de

lim

Exercice 5762a + b par

an+1 =

x

:

i lim [cos(n!πx)]2m .

n→∞ m→∞

Soient

n

h

n

3

a0

et

b0

et

bn+1

deux réels xés. On dénit par récurrence les suites

(an )

et

(bn )

an + 2bn = . 3

1. Montrer que ces deux suites sont adjacentes. 2. En calculant

Exercice 577 converge vers

0

Exercice 578 Exercice 579 Montrer que

an + bn ,

Soit

(un )

ε

(un )n∈N

On

Montrer que

puis séparer la somme en deux et enn choisir

Déterminer les limites de

nln(n) lnn (n)

√ n

et

N ...

(xn )

).

n2 .

une suite réelle dont tous les termes sont non nuls et telle que :

un+1 = 0. lim n→∞ un

lim un = 0.

Exercice 580

0.

une suite qui tend vers

( on pourra xer

Soit

a0 + b 0 . 2 P 1 n−1 uk . pose xn = n k=0

montrer qu'elles convergent vers

n→∞

Exercice 581

Étudier la suite dénie par récurrence :

u0 = a > 0, un+1 =

∀n ∈ N∗ , un =

on suppose que

n Y

(1 +

k=1

(un )n∈N∗

dénie

(un )n∈N

dénie

k ). n2

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite

par :


1 + un .


par :

Exercice 582

√

n X 1 . ∀n ∈ N, un = Cnk k=0 Soit

φ:N→N

bijective, telle que

Soit

φ:N→N

injective ; montrer que

lim

n→∞

φ(n) n

= `.

Calculer

`.

lim φ(n) = +∞.

n→∞

(un )n∈N une suite bornée. On pose vn = un+1 − un et wn = vn+1 − vn , (wn )n∈N converge. Montrer que lim wn = 0, puis que lim vn = 0.

Soit

n→∞

Soit

(un )n∈N

n→∞

` et φ une bijection lim uφ(n) = `.

une suite réelle convergeant vers

(pas nécessairement strictement croissante !). Montrer que

et

n→∞

de

N

sur

N.

10 Suites

68

Exercice 587

Soient

(un )n∈N

et

(vn )n∈N

deux suites réelles telles que :

lim un + vn = lim un vn = 0.

n→∞

n→∞

Montrer que

lim vn = lim un = 0.

Exercice 588

n→∞ Soient

(un )n∈N

et

n→∞

(vn )n∈N

deux suites réelles telles que :

lim un = lim vn = +∞, lim un+1 − un = 0.

n→∞

n→∞

n→∞

Montrer que

E = {un − vm |(n, m) ∈ N2 } est dense dans

Exercice 589

R. Soient

(un )n∈N

et

(vn )n∈N

deux suites à valeurs dans

[0, 1]

telles que :

lim un vn = 1.

n→∞ Montrer que :

Exercice 590

Étudier la suite

lim un = lim vn = 1.

n→∞ Soient

(un )n∈N

(wn )n∈N

et

(vn )n∈N

n→∞

deux suites convergeant respectivement vers

dénie par :

n

Exercice 591

1X uk vn−k . ∀n ∈ N, wn = n k=0 Soit

(un )n∈N

une suite bornée telle que :

lim (un +

n→∞ Que dire de

u2n ) = 1. 2

(un )n∈N ?

Exercice 592

Soit

f :C→C

dénie par :

∀z ∈ C, f (z) =

z + |z| . 2

Étudier la suite dénie par :

z0 ∈ C, ∀n ∈ N, zn+1 = f (zn ).

Indication

: on écrira

zn = ρn eiφn ,où (ρn , φn ) ∈ R+∗ ×] − π, π[ n φ Y φ sin φ = 2 sin n cos i . 2 i=1 2 n

et on utilisera :

`

et

L.

10 Suites

69

10.5 Équivalents


(un ) ∼ (vn ) alors (eun ) ∼ (evn ). Donner

Que penser-vous de l'énoncé suivant : si

un énoncé correct.

2. Soit

a

∀n ∈ N un 6= 0 et a n ) . limite de (1 + n

1. Montrer que si

un réel. Déterminer la

Exercice 595

si

(un ) → 0

alors

ln(1 + un ) ∼ un .

Comparer les suites suivantes :

Exercice 596 Exercice 597 u Exercice 598

an = nn , Soient

bn = nln(n) ,

(un )n∈N

Montrer qu'il existe une suite

qu'on n'ait ni

= o(vn ),

Étude de

ni

dn = (ln n)n ln n

et (vn )n∈N deux suites réelles de limite +∞ telles que un = o(vn ). (wn )n∈N de limite +∞ telle que un = o(wn ) et wn = o(vn ).

Donner un exemple de suites

n

2

cn = en ,

(un )n∈N

et

(vn )n∈N

telles que

un = O(vn )

mais

vn = O(un ).

(un )n∈N

dénie par :

u0 ∈ [0, 1], un+1 = u2n . Donner un équivalent de

Exercice 599

un

quand

n → ∞.

Montrer la réciproque du théorème de Césaro (i.e.

1. dans le cas où

lim vn = l

n→∞

lim un = l)

n→∞

:

et

1 un+1 − un = O( ), n 2. dans le cas où

Exercice 600 utilisant

vn =

(un )n∈N

est croissante.

Étudier la suite

(un )n∈N

dénie par

u2n , donner un équivalent de 4

on en déduira un équivalent de

Exercice 601

Soit

(un )n∈N

vn

puis de

u0 = 1

un . Indication un .

et

∀n ∈ N un+1 = un +

: on montrera que

2 . En un

lim vn+1 − vn = 1,

n→∞

un+1 = un + u2n . L'étudier et, en utilisant u0 ∈] − 1; 0]. Que dire dans le cas u0 ∈]0; ∞[ ?

la suite dénie par

1 , en donner un équivalent dans le cas un ln(un ) (On étudiera vn = .) 2n

vn =

Exercice 602

Soient f et g deux formes linéaires sur un espace vectoriel E telles que f g = 0. xn f = 0 ou g = 0. Étudier la suite (xn )n∈N dénie par x0 = 1, xn+1 = 1+nx 2 . En n 1 1 yn = xn+1 − xn , en donner un équivalent.

Montrer que

étudiant

Exercice 603

Étudier la suite

(un )n∈N

dénie par :

π u0 ∈]0, [, un+1 = sin un . 2 Donner

limx→0

Exercice 604

équivalent de 1 de . n

1 sin2 x

−

1 1 ,(réponse : ) en déduire un équivalent de x2 3

Montrer que

xn

∀n ∈ N∗ , ∃!xn ∈ [n, n + 1[

donc de

un .

x − E(x) = x12 . Donner un xn − n à l'ordre 5 en fonction

solution de

puis faire un développement asymptotique de

u−2 n


Exercice 605

70


(un )n∈N∗

dénie

par :

∀n ∈ N∗ , un = 1 +

1 1 1 1 + ... + − − ... − 2 . 2 n n+1 n

On montrera préalablement que :

1+ quand

1 1 + ... + = ln n + γ + o(1) 2 n

n → ∞.


Exercice 606

11.1 Théorie Écrire les dénitions des limites suivantes :

limx→−∞ f (x) = l, l ∈ R ; limx→−∞ f (x) =

+∞ ; limx→x0 f (x) = −∞, x0 ∈ R. (On précisera sur quel type d'intervalle la fonction

Exercice 607

Soit

f

|f |

doit être dénie.)

une fonction dénie sur un intervalle

On suppose que limx→x0 u alors |f (x)| > . 2

Exercice 608

f

f (x) = u > 0.

I

Démontrer qu'il existe

Montrer que si une fonction

f

dénie sur

contenant

t>0

E ⊂ R

3.

0 < |x − x0 | < t

est continue en

est, elle aussi, continue en

Exercice 609 2.

dans son intérieur.

tel que si

x0 . Montrer que la réciproque est √ √ 1+x− 1−x 1. Démontrer que lim = 1. x→0 x√ √ 1 + xm − 1 − xm Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim . x→0 xn 1 √ 1 Démontrer que lim ( 1 + x + x2 − 1) = . x→0 x 2

fonction

x0

x0

alors la

fausse.

[Exercice corrigé]

Exercice 610

(x) f une fonction de variable réelle telle que f|x| → ∞ quand x → ∞. Montrer que pour tout réel α il existe Xα tel que f (x) − |αx| > |x| si |x| > Xα . En déduire que pour tout α réel f (x) − αx → ∞ quand x → ∞.

Exercice 611

Soit

Soient

f

et

g

deux fonctions dénies sur

∀x ∈ R+ g(x) > 0

et

R+

telles que

f (x) = L 6= 0. x→∞ g(x) lim

1. Montrer que

lim f (x) = 0 ⇔ lim g(x) = 0.

x→∞ 2. Montrer que si

Exercice 612

x→∞

L > 0, lim f (x) = ∞ ⇔ lim g(x) = ∞.

x→∞

x→∞

1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n'admet pas de limite en 2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite nie en

[Exercice corrigé]

+∞.

+∞.


Exercice 613

Soit

I

71

une limite à gauche en en

x0

R et x0 ∈ I. Soient f et g deux fonctions de la variable I˙ := I − {x0 }. Montrer que si f admet une limite à droite et de plus ces deux limites coïncident, alors f admet une limite

un intervalle de

réelle à valeurs réelles dénies sur

x0

et que

dont la valeur est la valeur commune des limites à droite et à gauche.

Exercice 614

Soient

P

et

Q

deux polynômes à coecients réels de degré respectif 0 Etudier suivant les valeurs de d et d , et éventuellement de certains des coecients de

d P

et et

d0 . Q,

lim P (x)/Q(x).

Exercice 615

x→+∞ Soit

f (x) = 0. x→+∞ x lim

f : R+ → R+

croissante telle que

(on pourra utiliser des

ε,

lim f (x + 1) − f (x) = 0.

x→+∞

Montrer que

sommer des inégalités et utiliser la monotonie de

f

pour montrer qu'elle est bornée sur un segment). Comment généraliser ce résultat ?

Exercice 616

11.2 Calculs Calculer lorsqu'elles existent les limites suivantes

a) limx→0

x2 +2 |x| x

b) limx→−∞

d) limx→Π

sin2 x 1+cos x

e) limx→0

g) limx→0

√ 3

1+x2 −1 x2

√

h) limx→1

x2 +2 |x| x

c) limx→2

√ 1+x− 1+x2 x

x2 −4 x2 −3 x+2

f ) limx→+∞

√

x+5−

√

x−3

x−1 xn −1

[Exercice corrigé]

Exercice 617

0<ε<1

1. Montrer que pour tout

|x − 1| <

et pour

x ∈ R,

on a :

ε ⇒ |x2 + x − 2| < ε. 4

2. En déduire :

Exercice 618 (x, y)

lim x2 + x − 1

x→1

et

lim (x2 + x − 2) cos x.

x→1

a ∈ R+∗ , et [a, ∞[, on a :


appartenant à

] − ∞, −a]

ou à

pour tout couple de nombres réels

1 1 1 | − | 6 2 |x − y|. x y a 2. En déduire que pour tout

x 0 ∈ R∗

et pour tout

ε>0

il existe

α>0

tel que :

1 1 |x − x0 | < α ⇒ | − | < ε. x x0 3. En déduire que la fonction

Exercice 619

1. Pour tout

x 7→

1 est continue en tout point de x

R∗ .

n entier naturel et tout couple de réels (x, y), établir la formule : n

n

x − y = (x − y).

n−1 X k=0

xk y n−1−k .


72

2. Déduire de la question précédente que pour tout entier et tout couple de réels

(x, y)

tel que

|x| 6 a

et

n

tout réel strictement positif

a

|y| 6 a,

|xn − y n | 6 nan−1 |x − y|. x0 ∈ R,

3. Déduire de ce qui précède que pour tout

ε > 0,

et pour tout

il existe

α>0

tel

que :

|x − x0 | < α ⇒ |xn − xn0 | < ε. Conclure.

D

4. Sur quel sous ensemble

de

R,

la fonction de la variable réelle

f

Exercice 620

donnée par

1 − xn 1−x

f (x) := est-elle dénie ? Calculer les limites de

f

aux bornes de

D.

ε>0

1. Rappeler que pour tout nombre réels

il existe un entier

n

tel que :

1 < ε 2nπ 1 < ε. (2n + 1)π 2. Montrer que pour tout nombre réel

l,

et pour tout

| sin x 7→ sin x1

3. En déduire que la fonction

4. Montrer que la fonction dénie par sur

ε > 0,

il existe

x ∈] − ε, ε[

1 1 − l| > . x 2

n'a pas de limite lorsque

f (x) = x sin( x1 )

pour

x

x 6= 0

tend vers et

Déterminer les limites suivantes : a)

lim

√

x→+∞

1 2 − 2 x→1 x − 1 x −1 √ 2x + 1 − 3 √ d) lim √ x→4 x−2− 2 √ f) lim x( 1 + x2 − x)

x2 + 1 − x

b)

r

Exercice 622

e)

r 1 1 c) lim+ 1 + − x→0 x x √ √ lim x2 + 1 − x2 − 1 x→+∞

On rappelle les limites :

limx→0

lim

x→−∞

sin x x

=1

et

limx→0

1−cos x x2

Calculer les limites suivantes : a)

c)

Exercice 623

e)

lim+

x→0

√

1 x. sin √ x

x sin x x→0 1 − cos x tan x lim x 2 x→0 cos x − 1 lim

b)

d)

f)

sin 2x x→0 sin 3x lim

sin x − sin 2x x→0 x2 tan x − sin x lim x→0 sin3 ( x2 ) lim

Déterminer les limites suivantes, en justiant vos calculs.

0.

f (0) = 0

R.

Exercice 621

tel que :

= 12 .

est continue

11 Limites de fonctions 1. 2.

3.

4.

5.

6.

7. 8.

73

x+2 x→0 x2 ln x √ lim+ 2x ln(x + x) lim+

x→0

x3 − 2x2 + 3 x→+∞ x ln x √ x+1 e lim x→+∞ x + 2 ln(3x + 1) lim+ x→0 2x x x −1 lim+ x→0 ln(x + 1) x3 + 4 2 lim ln x→−∞ x + 1 1 − x2 lim + (x2 − 1) ln(7x3 + 4x2 + 3) lim

x→(−1)

9.

10. 11.

lim (x − 2)2 ln(x3 − 8)

x→2+

x(xx − 1) x→0 ln(x + 1) lim (x ln x − x ln(x + 2)) lim+

x→+∞

2

12. 13.

14.

15.

16. 17.

ex − ex lim x→+∞ x2 − x lim (1 + x)ln x x→0+ x + 1 x lim x→+∞ x − 3 x3 + 5 x+1 x2 +1 lim 2 x→+∞ x + 2 1 ex + 1 x+1 lim x→+∞ x+2 1 lim+ ln(1 + x) ln x x→0

x−1

18.

19.

20.

x(x ) x x→+∞ x(x ) (x + 1)x lim x→+∞ xx+1 p x ln(x2 + 1) lim x→+∞ 1 + ex−3 lim

[Exercice corrigé]

Exercice 624

Soient

a, b

des réels positifs.

x b b lim+ E( ) = x→0 a x a

E(x) ;

désigne la partie entière de

b x lim+ E( ) = 0. x→0 x a

x.

Montrer que :


Exercice 625

74

Calculer les limites suivantes :

x−1 x m − am (x + h)n − xn ∗ ; lim (a > 0, m, p ∈ N ); lim (x ∈ R, n ∈ N∗ ) x→1 xn − 1 x→a xp − ap h→0 h r r √ 1 cos x + sin x x−x 1 . +1− − 1); limπ ; lim+ √ lim+ ( x→− 4 x→0 x→0 x x 4x + π x+x lim

Exercice 626

En utilisant la dénition d'une limite, montrer que :

a) lim2 (3x + 2) sin

Exercice 627

x→− 3

1 3x + 2

=0;

b) lim+ x→0

2 1

1 + e− x

d) lim

x→+∞

p

1 b) lim xE( ) ; x→+∞ x

√ √ x+ x+ x √ ; x+1

c) lim+

√

x→0

1 xE( ) ; x

√ √ e) lim ( x + 5 − x − 3). x→+∞

Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes :

xn+1 − αn+1 , x→α xn − α n lim

tan x − sin x , sin x(cos 2x − cos x) r q √ √ lim x + x + x − x, lim

x→0

x→+∞

√ √ x− α− x−α √ , x2 − α 2 1 lim xE , x→0 x

√ lim

x→α+

ex − e2 , x→2 x2 + x − 6 lim

x4 , x→+∞ 1 + xα sin2 x lim

en fonction de

α ∈ R.

[Exercice corrigé]

Exercice 629

= 2.


1 a) lim+ xE( ) ; x→0 x

Exercice 628

Déterminer les limites suivantes :

x 2 + sin( x1 )

en

x3 − 3x2 + 5x − 3 4x4 + x2 + x − 6 √ √ 1 + sin x − 1 − sin x x

0

en

1 en

0


75

tan x +4+x−2 1 − cos x x2 1 − sin x + cos x sin x + cos x − 1 tan(x + π4 ) − 1 √ 3 − 2 cos(x + π6 ) √


en

x2

1

f (x) = e x

Étudier les asymptotes de

0

0

en

en

π 2 0

en

p

x(x + 2).

Montrer que

2 ln(x) < α x αxα/2

où

α > 0.

En déduire que

Exercice 632

ln(x) = 0, α > 0. x→+∞ xα lim


lim

a)

x→0

d)

g)

lim

lim

x→0

b)

1 − cos x x2

ax − b x a, b > 0 x

Exercice 633 x→0

x2 + 2|x| x

x→1

lim

e)

h)

x7 − 1 x6 − 1

lim

x→0

lim

x→0

c)

x sin x 1 − cos x

lim

x→1

f)

e−ax − e−bx x

i)

xn − 1 n, m ∈ N∗ xm − 1 ln(1 + x3 ) x→0 x √ √ √ x− α+ x−α √ lim . x→α+ x2 − α 2 lim

Calculer : 1

1 x , lim+ x ln(ex −1) . 1 x→0 2 + sin x→0 x

lim ln(1 + e−x ) x , lim

Exercice 634

x→∞ Calculer :

lim

x→0+

1 1 − (sin x)2 (sinh x)2

.

[Exercice corrigé]

Exercice 635

Calculer :

x , x→0 2 + sin 1 x

1

lim (ln(1 + e−x )) x , lim

x→∞

[Exercice corrigé]

Exercice 636

Trouver :

[Exercice corrigé]

Exercice 637

Trouver pour

x

xx ln x lim+ x x→0 x − 1 (a, b) ∈ (R+∗ )2 lim

x→∞

[Exercice corrigé]

:

ax + b x 2

x1

.

1

lim+ x ln(ex −1) .

x→0


Exercice 638

76

(a, b) ∈ (R+∗ )2

Trouver pour

lim

x→0+

:

ax + b x 2

x1

.

[Exercice corrigé]

12 Continuité et étude de fonctions 12.1 Continuité : théorie

Exercice 639 (Partiel Novembre 96) 1. Soit

Soit

I

un intervalle ouvert de

R, f

et

g deux fonctions

I.

dénies sur

a ∈ I.

Donner une raison pour laquelle :

lim f (x) = f (a) ⇒ lim |f (x)| = |f (a)| .

x→a

x→a

f et g sont continues sur I . En utilisant l'implication démontrée ci-dessus, Sup(f, g) = 21 (f +g +|f −g|), et les propriétés des fonctions continues, montrer fonction Sup (f, g) est continue sur I .

2. On suppose que la relation que la

[Exercice corrigé]

Exercice 640 [a, b]

on ait :

f une fonction de [a, b] |f (x) − f (x0 )| < |x − x0 |. Soit

1. Montrer que

f

est continue sur

2. Montrer que l'équation introduire la fonction :

Exercice 641

dans

[a, b]

telle que pour tout

x

et

x0 (x 6= x0 )

[a, b].

f (x) = x admet une et x 7→ g(x) = f (x) − x).

une seule solution dans

[a, b].

(On pourra

f une fonction continue sur ]a, b[ telle que f (]a, b[) ⊂ [a, b]. de φ(x) = f (x) − x, qu'il existe c dans [a, b] tel que f (c) = c.

1. Soit

par considération

de

2. Soit f une fonction continue sur [0, 12 ] tel que f (c) = f (c + 12 ).

[0, 1]

telle que

f (0) = f (1).

3. Un mobile parcours, à vitesse continue, une distance

d

Montrer,

Montrer qu'il existe

c

dans

en une unité de temps. Montrer

qu'il existe un intervalle d'une demi-unité de temps pendant lequel il parcourt une distance d . 2

Exercice 642 la fonction

f : [a, b] −→ R une fonction continue telle que f (a) = f (b). ) − f (t) s'annule en au moins un point de [a, a+b ]. g(t) = f (t + b−a 2 2 Soit

Montrer que

Application : une personne parcourt 4 km en 1 heure. Montrer qu'il existe un intervalle de 30 mn pendant lequel elle parcourt exactement 2 km.

[Exercice corrigé]

Exercice 643

Soit

f :R→R

continue telle que

lim f = −∞

−∞ s'annule. Appliquer ceci aux polynômes de degré impair.

et

lim f = +∞. +∞

Montrer que

[Exercice corrigé]

Exercice 644

Soit

f : R → R+

1. Montrer qu'il existe 2. Montrer que

f

a>0

continue telle que tel que si

|x| > a

f (0) = 1, lim f = 0

alors

−∞

f (x) 6

est bornée et possède un maximum.

1 . 2

et

lim f = 0. +∞

f


Exercice 645 Montrer que

I un intervalle f = 1 ou f = −1. Soient

de

77

R

et

f :I→R

continue telle que

∀x ∈ I, f (x)2 = 1.

[Exercice corrigé]

Exercice 646

Soit

f : R+ → R

continue admettant une limite nie en

+∞.

Montrer que

f

est bornée. Atteint-elle ses bornes ?

[Exercice corrigé]

Exercice 647 m>0 Exercice 648 f Exercice 649 Exercice 650 Exercice 651

Soient

qu'il existe

Soit

que

f

f

g continues sur [0, 1] telles ∀x ∈ [0, 1] f (x) + m < g(x).

et

tel que

[a, b]

croissante sur

∀x ∈ [0, 1] f (x) < g(x).

que

et prenant toute valeur entre

f (a)

et

f (b).

Montrer

Montrer

est continue. Soit

f :R→R

Soit

f

continue en

0

telle que

∀x ∈ R, f (x) = f (2x).

Montrer que

f

est constante.

périodique croissante. Que dire de

f?

Donner un exemple de fonction continue sur

[0, 1]

non lipschitzienne, puis de

fonction continue en un seul point, puis de fonction discontinue sur les rationnels et continue

f (x) ∈ R \ Q si x ∈ R \ Q ou si x = 0, ∀x ∈ R, lim f (x + h) − f (x − h) = 0 est-elle

sur les irrationnels, enn de fonction continue telle que et

f (x) ∈ Q

continue sur

si

x ∈ Q \ {0}.

R?


Une fonction telle que

h→0

[0, 1] sur [0, 1] discontinue en tout point. √ 1 et 2 pour périodes. Que dire de f ?

Donner un exemple de bijection de

Soit

f

Soit

f : [0, 1] → [0, 1]

continue sur

admettant

R

croissante, montrer qu'elle a un point xe.

Indication

:

étudier

E = {x ∈ [0, 1]|∀t ∈ [0, x], f (t) > t}.

[Exercice corrigé]

Exercice 654 f Exercice 655

f : R+∗ → R R+∗ .

Soit

est continue sur

Soit

f : R+∗ → R

croissante telle que

x→

f (x) soit décroissante ; montrer que x

une fonction vériant :

∀x ∈ R+∗ , f (x)ef (x) = x. Donner les variations de


Soit

f

puis comparer

f : R+ → R

f

et

ln

au voisinage de

croissante. Construire

Donner un exemple d'application

+∞.

g : R+ → R

f :R→R

continue telle que

f 6 g.

non constante telle que :

∀x ∈ R, f (x) = f (x2 ). On suppose

f

Exercice 658

continue en Soit

0

et en

1,

f : [0, 1] → [0, 1]

montrer que

f

est constante.

continue. Montrer que :

∀n ∈ N∗ , ∃an ∈ [0, 1], f (an ) = ann . On suppose

f

Exercice 659

strictement décroissante. Montrer que

an

Existe-t-il une bijection continue de

[0, 1[

est unique et étudier la suite sur

R?

(an )n∈N∗ .


Exercice 660

78

f : [0, 1] → [0, 1] continue telle que f 2 = f (∗). [0, 1]|f (x) = x}. Montrer que Ef 6= ∅ puis que c'est un intervalle de R. Trouver toutes les solutions de (∗). Soit

On note

Ef = {x ∈

[Exercice corrigé]


Soit

f : [0, 1] → R

continue, évaluer :

n X

k lim (−1) f . n→∞ n k=1 k

Une fonction qui vérie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessai-

rement continue ?

[Exercice corrigé]

Exercice 663 f n → ∞. lim f (x) = 0. Exercice 664 f ∈ C(R , R) R . Exercice 665 f [a, b] Soit

uniformément continue sur

vers 0 quand

Montrer

Soit

Soit

Exercice 666

telle que

∀x > 0, la suite (f (xn))n∈N

tend

x→∞

+

uniformément continue sur

R+

admettant une limite nie en

+∞,

montrer qu'alors

f

est

+

continue sur

, montrer :

∀ε > 0, ∃k ∈ R, ∀(x, y) ∈ [a, b]2 , |f (x) − f (y)| 6 k |x − y| + ε. Soit

(f, g) ∈ C([0, 1], [0, 1])2 ,

tel que :

f g = gf.

On veut montrer que

f −g

s'annulle par deux méthodes :

(f − g)([0, 1]) est un segment ne contenant pas 0. f − g > 0 par exemple, min{x ∈ [0, 1]|f (x) = x}. remplace [0, 1] par R ?

par l'absurde, utiliser le fait que par l'absurde, en examinant, si Le résultat subsiste-t-il si l'on

Exercice 667


Soit

f : [0, 1] → R

Soit

f

f (0) = f (1). Montrer 1 1 ∗ ∀n ∈ N , ∃xn ∈ 0, 1 − , f xn + = f (xn ) . n n continue, telle que

continue de

R

dans

R,

montrer que :

que :

lim |f (x)| = +∞ ⇔

|x|→∞

l'image

réciproque de toute partie bornée est bornée. Soit

f : [a, b] → R

une fonction continue. On veut démontrer que

sup f (x) = sup f (x). a
a6x6b

1. Montrer que

sup f (x) 6 sup f (x). a
a6x6b

supa6x6b f (x) est un majorant de f sur ]a, b[. Soit x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) = supa6x6b f (x). Montrer que f (x0 ) = supa
2.

3.

Montrer que

sup g(x) 6= sup g(x).

0
06x61

Quelle hypothèse est essentielle dans la propriété démontrée auparavant ?

[Exercice corrigé]


Exercice 670 Pour tout

79

12.2 Continuité : pratique

f : R \ {1/3} → R telle que f (x) = 23 x+3 . x−1 ε > 0 déterminer α tel que, ( x 6= 1/3 et |x| 6 α) ⇒ |f (x) + 3| 6 ε. Soit

Que peut-on en conclure ?

Exercice 671

Soit

f

la fonction réelle à valeurs réelles, strictement croissante dénie par

  x x2 f (x) =  √ 8 x 1. Tracer le graphe de 2.

f

si si si

x<1 16x64 x>4

f.

est elle continue ?

3. Donner la formule dénissant

Exercice 672 (sin x)/x

si

f −1 .

Etudier la continuité de

x 6= 0

[Exercice corrigé]

Exercice 673

et

f (x) =

f (0) = 1.

f

f (x) = 1 R.

si

x∈Q

et

f (x) = 0

sinon.

n'admet pas de limite en tout point de

2. Soit la fonction réelle dénie par

Rf

la fonction réelle à valeurs réelles dénie par

1. Soit la fonction réelle dénie par

Montrer que

de

f

f (x) = x si x ∈ Q et f (x) = 1 − x sinon. En quels points

est elle continue ?

Exercice 674

On admet que pour tout

1. Montrer que

x 7→ sin x

2. En déduire que

Exercice 675

6= 0,

f1 (x) =

2.

f2 (x) =

3.

f3 (x) = xE(x) ;

4.

f4 (x) = E(x) sin(πx).

Exercice 676

Exercice 677

et

x 6= 0,

R

et

R.

f2 (0) = 0 ;

f :R→R

y ∈ ] − 1, 1[

x est strictement 1 + |x| x ∈ R tel que f (x) = y .

dénie par

il existe un unique

f (x) =

Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur

c) f (x) =

[Exercice corrigé] Étudier la continuité sur

1.

f (x) = E(x) sin(x),

2.

g(x) = E(x) sin(πx).

Exercice 679

tout entier.

des fonctions suivantes :

1 a) f (x) = sin x sin( ) ; x

Exercice 678

R

f1 (0) = 0 ;

Montrer que l'application

croissante puis que pour tout

puis sur

est continue sur

Etudier la continuité sur

1.

0

est continue en

x 7→ cos x

x2 cos x1 si x sin x sin x1 si

x ∈ R, | sin x| 6 |x|.

Etudier la continuité de

R

b) f (x) =

1 ex + e−x ln ; x 2

1 2 − . 1 − x 1 − x2 des fonctions suivantes :

R?

12 Continuité et étude de fonctions 1. 2.

80

p x − E(x). p g(x) = E(x) + x − E(x).

f (x) = x +

Exercice 680

Soit

f :R→R

continue en

0

telle que

∀x ∈ R f (x) = f (2x).

Montrer que

f

est constante.

[Exercice corrigé]


1 est-elle lipschitzienne sur ]0, +∞[ ? sur [1, +∞[ ? x Soit f : [0, 1] −→ R dénie par f (0) = 0, f (x) = 1/2 − x si x ∈]0, 1/2[, f (1/2) = 1/2, f (x) = 3/2 − x si x ∈]1/2, 1[ et f (1) = 1. 1. Tracer le graphe de f . Étudier sa continuité. 2. Démontrer que f est une bijection de [0, 1] sur [0, 1]. 1 3. Démontrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a f (x) = − x + 12 E(2x) − 12 E(1 − 2x). 2

Exercice 683 1. 2. 3. 4.

La fonction

Étudier la continuité des fonctions suivantes :

f1 (x) = x cos x1 si x 6= 0 f1 (0) = 0 ; 1 f2 (x) = sin x sin x si x 6= 0 f2 (0) = 0 ; f3 (x) = xE(x) sur R ; f4 (x) = [x − E(x)]2 et f5 (x) = E(x) + f4 (x).

Exercice 684 10 Exercice 685

2

u0 ∈ R et un+1 = cos(un ), déterminer une valeur approchée à près de l'unique réel solution de cos(x) = x. p x − E(x), où E désigne la partie entière. Soit f dénie par f (x) = E(x) + Donner le domaine de dénition de f, puis une relation entre f (x + 1) et f (x). f est-elle monotone ? f est-elle k−lipschitzienne sur [a, 1](a > 0) ? Et sur [0, 1] ? Étudier la continuité de f sur [0, 1] en utilisant la dénition. Déduisez en la continuité sur R. En étudiant la suite

−5

Exercice 686

12.3 Étude de fonctions Déterminer les domaines de dénition des fonctions suivantes

f (x) =

r

[Exercice corrigé]


2 + 3x ; 5 − 2x

g(x) =

√

x2 − 2 x − 5 ;

h(x) = ln (4 x + 3)

x7 − 3 x2 + 4 x − 1 = 0 admet au moins une 29 question pour l'équation x + 14 x17 − 7 x5 + 2 = 0.

Montrer que l'équation

dans l'intervalle

] − 1, 1[.

Soient

Même

n ∈ N∗

intermédiaires que le polynôme

d ∈ R+ . Démontrer en P (X) = X n − d a au moins et

solution

utilisant le théorème des valeurs une racine dans

R. 1

En étudiant les variations de la fonction f dénie sur ]0, +∞[ par f (x) = x x , ∗ trouver le plus grand élément de l'ensemble f (N ). √ √ ∗ n En déduire que quels soient m et n appartenant à N , l'un des nombres m, m n est inférieur ou égal à

√ 3

3.

Exercice 690 (Partiel Novembre 96)

Soit

f : x ∈ R 7→ f (x) = f est majorée Sup x∈R f (x).

Montrer que Déterminer

[Exercice corrigé]

sur

R,

minorée sur

R.

cos x . 1 + x2


Exercice 691 f

que

81

f : [−1, +∞[→ R,

1. Soit la fonction

dénie par

f (x) =

√

1 . Montrer x2 +2x+2

admet une réciproque que l'on explicitera.

2. Trouver un intervalle de

R

sur lequel la fonction

g(x) = tan(x3 )

admette une fonction

réciproque (on précisera alors le domaine de dénition de cette réciproque et son image).

Exercice 692

Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes :

x → ex , x → ln x, x →

√

x2 + 1, x → cos x.

12.4 Fonctions continues par morceaux

Exercice 693

Soit

g : [a, b] → R

une fonction telle que :

∀ε > 0, ∃φ ∈ CM ([a, b], R) , ∀x ∈ [a, b], |g(x) − φ(x)| < ε. φ ∈ E ([a, b], R),

Montrer que l'on peut choisir

ie :

∀ε > 0, ∃φ ∈ E ([a, b], R) , ∀x ∈ [a, b], |g(x) − φ(x)| < ε. NB : CM pour continue par morceaux et E pour escalier.


ε

Donner un exemple de fonction qu'on ne puisse approcher à

près par des

fonctions en escaliers. On dit qu'un ensemble

est dense dans un ensemble

B

A

de fonctions dénies sur un intervalle

I = [a, b]

de

R

si :

∀f ∈ B, ∀ε > 0, ∃g ∈ A, ∀x ∈ I, |f (x) − g(x)| < ε. Le cours dit par exemple que l'ensemble des fonctions en escaliers est dense dans l'ensemble des fonctions continues par morceaux si

I = [a, b].

Montrer que l'ensemble des fonctions continues

anes par morceaux est dense dans l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle

I =

[a, b].

Exercice 696

mément vers

On dit qu'une suite

f

(fn )n∈N

de fonctions dénies sur

I = [a, b]

converge unifor-

si :

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, ∀x ∈ I, |fn (x) − f (x)| < ε. On suppose que

fn

(fn )n∈N

converge uniformément vers

sont continues. Montrer que

limite. Montrer que

f

la suite

de rapport

k;

la suite

est bornée et continue.

On ne suppose plus que

[a, b],

∀x ∈ [a, b],

f sur l'intervalle [a, b], et que toutes les (fn (x))n∈N est convergente, et donner sa

(fn )n

(fn (x))n∈N

converge uniformément mais seulement point par point (ie,

est convergente vers

montrer que

f

Exercice 697 f : [a, b] → R

f (x)) ;

de plus toutes les

est lipschitzienne de rapport

k

fn

∀x ∈

sont lipschitziennes

et qu'il y a converge uniforme.

est à variation bornée si et seulement si :

+

∃µ ∈ R , ∀d = {a = x0 , x1 , ..., xn = b}

subdivision de

[a, b],

n X

|f (xi ) − f (xi−1 )| = σ(d) 6 µ.

i=1

On appelle alors

V (a, x).

V (a, b) =

sup

d subdivision

σ(d)

et on dénit une fonction de

[a, b]

dans

R+ : x →

x → V (a, x) est croissante x → V (a, x) − f (x). En déduire que toute fonction à variation bornée est la diérence

Montrer que toute fonction monotone est à variation bornée puis que ainsi que

de deux fonctions croissantes (d'où la nature de ses discontinuités). Une fonction continue, une fonction lipschitzienne sont-elles à variation bornée ?

13 Dérivabilité

82

13 Dérivabilité

Exercice 698

13.1 Calculs Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :

f1 (x) = x2 cos

1 x

f2 (x) = sin x sin

si

f1 (0) = 0;

x 6= 0 si

f2 (0) = 0;

x 6= 1

f3 (1) = 1.

a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f dénie √ f (x) = x si 0 6 x 6 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 sinon

Déterminer

soit dérivable sur

[Exercice corrigé]

Exercice 700

1 x

√ |x| x2 − 2x + 1 f3 (x) = x−1

[Exercice corrigé]

Exercice 699

x 6= 0

si

sur

R+

par :

R∗+ .

Soit

f : R∗ −→ R

f (x) = x2 sin

dénie par

1 . x

Montrer que

par continuité en 0 ; on note encore f la fonction prolongée. Montrer que 0 mais que f n'est pas continue en 0.

f

f

est prolongeable

est dérivable sur

R

[Exercice corrigé]

Exercice 701

Calculer la fonction dérivée d'ordre

n

g(x) = sin2 x ;

f (x) = sin x ;

des fonctions

f, g, h

dénies par :

h(x) = sin3 x + cos3 x.

[Exercice corrigé]

Exercice 702

f (x) =

sur l'intervalle

I,

des fonctions :

2x − 5 + 1)(x − 3)

g(x) = ln(1 + x).

2)2 (x

(x −

Exercice 703 (Formule de Leibnitz) n

n

Calculer les dérivées d'ordre

montrer par récurrence que la

intervalle est :

(n)

(uv)

u et v des fonctions dérivables à l'ordre dérivée d'ordre n du produit uv sur cet

Étant données

=

n X

Cnk u(k) v (n−k) .

k=0

En déduire les dérivées successives des fonctions :

x 7→ x2 ex

Exercice 704

;

x 7→ x2 (1 + x)n

Etudier la dérivabilité sur

f : x 7→ x|x|,

Exercice 705

R

;

x 7→

x2 + 1 (x + 1)2

;

x 7→ xn−1 ln x.

des applications suivantes :

g : x 7→

x , 1 + |x|

Calculer les dérivées des fonctions :

h :7→

1 . 1 + |x|

13 Dérivabilité √

83

1 + x2 sin2 x,

1.

x 7→

2.

x 7→ log( 1+sin(x) ), 1−sin(x)

Exercice 706

Soit

f

x 7→

x 7→ (x(x − 2))1/3 .

une fonction dérivable sur

2

x 7→ sin(f (x) )

1. Calculer la dérivée de 2. On suppose

Exercice 707√ 1.

exp(1/x)+1 . exp(1/x)−1

f (x) 6= 0

pour tout

et de

x ∈ R.

x 7→ sin(f (x2 )).

Calculer la dérivée de

0

Prolonger par continuité en

R. x 7→ log(|f (x)|).

et étudier la dérivabilté de

f (x) =

x ln x. e −1 g(x) = √ . x x

2.

  R → R Soit f : x 7→ ex si x < 0   x 7→ ax2 + bx + c sinon a, b, c pour que f soit C 2 (et C 3 ?).

Exercice 708 Déterminer

Exercice 709 ∀n ∈ N f

(n)

Soit

f (x) = exp(− x12 )

si

x 6= 0

et

f (0) = 0.

Montrer que

f

est

C∞

et que

(0) = 0.

[Exercice corrigé]

Exercice 710 P n

Soient

a

b

et

f (x) = (x − a)n (x − b)n .

deux réels et

Calculer

f (n)

et en déduire

(Cnk )2 .

Exercice 711 k=0

Soit

f :R→R

dénie par : 1

∀x 6= 0, f (x) = e− x2 , f (0) = 0. Montrer que

f ∈ C ∞ (R, R)


et calculer ses dérivées en 0. 2

x → ln cos(π + xx2 −1 ). +1 √ x → cos x est-elle dérivable en 0 ?

Calculer la dérivée de La fonction

En quels points la fonction

f :R→R

dénie par :

∀x ∈ Q, f (x) = x2 , ∀x ∈ R − Q, f (x) = 0, est-elle dérivable ?

Exercice 715

13.2 Théorème de Rolle et accroissements nis Montrer que le polynôme

Pn

Pn (t) = est un polynôme de degré

[Exercice corrigé]

Exercice 716 5

n

1 − t2

n (n)

dont les racines sont réelles, simples et appartiennent à

Etudier la fonction

x − 5x + 1 = 0

déni par

f : x 7→ x5 − 5x + 1

a trois solutions réelles.

sur

R

[−1, 1].

et en déduire que l'équation

13 Dérivabilité

Exercice 717

84

X n + aX + b (a et b réels) admet au plus trois racines


réelles.

[Exercice corrigé]

Exercice 718

Montrer que si

Soit (n)

f

[Exercice corrigé]

Exercice 719 x +y Exercice 720 f (a) Exercice 721 n

n

f

une fonction

est continue,il

n fois dérivable sur ]a, b[ s'annulant en n + 1 points de ]a, b[. (n) existe un point x0 de ]a, b[ tel que f (x0 ) = 0.

y un réel positif et n un entier naturel pair, montrer que (x +y)n = x = 0. Cas n impair ?

Étant donné

si et seulement si Soit

f

[a, +∞[ et telle que limx→∞ f (x) = 0 que f (c) = 0.

une fonction continue et dérivable sur

. Montrer qu'il existe un élément

c

dans

]a, +∞[

tel

Dans l'application du théorème des accroissements nis à la fonction

f (x) = ax2 + bx + c sur l'intervalle

[α, β]

Exercice 722

θ

préciser le nombre

[Exercice corrigé]

de

]α, β[.

Interprétation géométrique ?

Appliquer la formule des accroissements nis à la fonction

f (x) = a + bx + ceαx (où

a, b, c, α

sont réels, et

c

et

α

sont non nuls) sur l'intervalle

1. Calculer θ en fonction de

[0, X].

X.

2. En déduire que

1 e2x − 1 x 7→ ln αx αx est bornée sur

Exercice 723

Soit

R. f

une fonction deux fois dérivable sur

[a, a + 2h].

Par introduction de la

fonction

g(t) = f (a + t + h) − f (a + t) montrer qu'il existe

Exercice 724

α

dans

]0, 2[

tel que

f (a) − 2f (a + h) + f (a + 2h) = h2 f 00 (a + αh). Soient

x

et

y

réels avec

0 < x < y.

1. Montrer que

x< 2. On considère la fonction

f

dénie sur

y−x < y. ln y − ln x [0, 1]

par

α 7→ f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y. De l'étude de

f

déduire que pour tout

α

de

]0, 1[

α ln x + (1 − α) ln y < ln(αx + (1 − α)y). Interprétation géométrique ?

[Exercice corrigé]

13 Dérivabilité

Exercice 725

85

Par application du théorème des accroissements nis à

montrer que

Sn =

n X 1 k=1

tend vers l'inni quand

[Exercice corrigé]

Exercice 726

n

f (x) = ln x sur [n, n + 1]

k

tend vers l'inni.

Étant donné

α

dans

]0, 1[,

montrer que pour tout entier naturel

n

α α > (n + 1)α − nα > 1−α . 1−α (n + 1) n En déduire la limite

Exercice 727

n X 1 lim . α n→∞ p p=1

Montrer que

[Exercice corrigé]

Exercice 728

Soit

[Exercice corrigé]

f : R −→ R dénie par f (x) = (1 − k)3 x2 + (1 + k)x3 valeurs de k pour lesquelles l'origine est un extremum

lim

k

est un nombre

f.

1 1 − 2 2 sin x x

,

lim (1 − cos x)cotan x.

x→0 Calculer

lim

x→0

cos(x4 ) − 1 ; x4 ex

lim

x→0

Exercice 731

où

local de

Appliquer la règle de l'Hôpital aux calculs des limites suivantes :

x→0

Exercice 730

x2 |x| e . 2

13.3 Divers

réel. Déterminer les

Exercice 729

∀x ∈ R |ex − 1 − x| 6

lim x

x→0

f ∈ C 2 (R) ∀x ∈ R f (x)f (x) 6 f 0 (x)2 . Soit

Soit

telle que

00


2

f : R+ → R

ln cos ax ; ln cos bx

1 1 exp − exp x x+1

.

∀(x, y) ∈ R2 f (x + y)f (x − y) 6 f (x)2 .

dérivable telle que

Déterminer les extremums de

lim f 0 = l. +∞

4

3

Montrer qu'alors

f (x) = x − x + 1

sur

Montrer que

lim +∞

f (x) = l. x

R.

Quel est le lieu des points d'inexion (puis des extrémums relatifs) de

λ

décrit

R,

où :

fλ : x → λex + x2 .

[Exercice corrigé]

fλ

quand

13 Dérivabilité


86

Trouver les fonctions

f :R→R

dérivables en

0

telles que :

∃λ ∈ R+ − {1}, ∀x ∈ R, f (λx) = λf (x).

f (ω) = ω. On dénit une suite (xn )n∈N par 0 la donnée de x0 et la récurrence xn+1 = f (xn ). Montrer que si |f (ω)| < 1, ∃ε > 0, ∀x0 ∈ 0 ]ω − ε, ω + ε[, (xn )n∈N converge vers w, et que si |f (ω)| > 1 la suite (xn )n∈N converge vers w si et seulement si elle est stationnaire (i.e. xn = ω à partir d'un certain rang). Que dire dans le 0 cas |f (ω)| = 1 ?

Exercice 737

Soit

f

Soit

f ∈ C 1 ([0; 1], R),telle

dérivable sur

telle que

R

que

lim

n→∞


f (0) = 0.

n X

f(

k=1

Soit

1. Montrer que

g(x) 6= g(a)

k ). n2

Enoncer le théorème de Rolle pour une fonction

f, g : [a, b] −→ R deux fonctions continues 0 suppose que g (x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[. R.

Calculer :

sur

x ∈]a, b[.

pour tout

[a, b] (a < b)

h : [a, b] −→ ]a, b[. On

et dérivables sur

(Raisonner par l'absurde et appliquer le

théorème de Rolle.)

f (b)−f (a) et considérons la fonction h(x) = f (x) − pg(x) pour x ∈ [a, b]. g(b)−g(a) Montrer que h vérie les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu'il existe un

2. Posons

p =

nombre réel

c ∈]a, b[

3. On suppose que

tel que

limx→b−

f (a) − f (b) f 0 (c) = 0 . g(a) − g(b) g (c)

f 0 (x) g 0 (x)

= `,

où

`

lim−

x→b

est un nombre réel. Montrer que

f (x) − f (b) = `. g(x) − g(b)

4. Application : Calculer la limite suivante :

Arccosx . lim− √ x→1 1 − x2

[Exercice corrigé]


Soit

n > 2

un entier xé et

f : R+ = [0, +∞[−→ R

la

fonction dénie par la formule suivante :

f (x) = 1.

(a) Montrer que

f

est dérivable sur

(b) En étudiant le signe de

1 + xn , x > 0. (1 + x)n R+

et calculer

f 0 (x)

f 0 (x) sur R+ , montrer que f

pour

x > 0.

atteint un minimum sur

l'on déterminera. 2.

(a) En déduire l'inégalité suivante :

(1 + x)n 6 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ .

R+

que

14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses (b) Montrer que si

x ∈ R+

et

y ∈ R+

87

alors on a

(x + y)n 6 2n−1 (xn + y n ).

[Exercice corrigé]

Exercice 740

f : R → R dénie ( e1/t si t < 0 f (t) = 0 si t > 0


1. Démontrer que

f

est dérivable sur

2. Etudier l'existence de

R,

en particulier en

f (0). t < 0,

f

la dérivée n-ième de

f (n) (t) = Pn

t = 0.

00

3. On veut montrer que pour

où

par

s'écrit

Pn (t) 1/t e t2n

est un polynôme.

(a) Trouver

P1

et

P2 .

(b) Trouver une relation de récurrence entre 4. Montrer que

f

est de classe

Pn+1 , Pn

et

Pn0

pour

n ∈ N∗ .

C ∞.

[Exercice corrigé]

14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 14.1 Fonctions circulaires inverses

Exercice 741 arcsin(sin α) arccos(cos α) Exercice 742

m π avec m ∈ Z, n n et arctan(tan α) dans les cas :

Écrire sous la forme

,

∈ N∗ , |m| et n premiers entre α = 59 π ; α = 84 π ; α = 76 π. 5 5 5

eux,

Résoudre les équations suivantes :

1. 2.

arctan(2x) + arctan x = π4 . √ arcsin(2x) − arcsin(x 3) = arcsin(x).

Exercice 743

Exercice 744

Résoudre dans

R

√ 7π arctan(x) + arctan( 3x) = . 12 Soient les fonctions

1. Simplier les expressions de 2. Construire les graphes de

Exercice 745

l'équation :

f

f : x 7→ arcsin(sin x)

f (x) et

et

et

g : x 7→ arctan

q

1−cos x . 1+cos x

g(x).

g.

Une statue de hauteur

s

est placée sur un piédestal de hauteur

p.

À quelle

distance doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maximal ?


Exercice 746

88

Démontrer les inégalités suivantes :

a si 0 < a < 1; 1 − a2 a Arctan a > si a > 0. 1 + a2

Arcsin a > √

[Exercice corrigé]

Exercice 747

Écrire sous forme d'expression algébrique

sin(Arccos x),

cos(Arcsin x),

sin(3 Arctan x).

[Exercice corrigé]


Tracer les courbes représentatives des fonctions

x 7→ f (x) = sin(Arcsin x), Résoudre les équation suivantes :

3 Arccos x = 2 Arccos , 4 1 Arctan x = 2 Arctan . 2

Arcsin x = Arcsin

[Exercice corrigé]


x 7→ f (x) = Arcsin(sin x).

3 2 + Arcsin , 5 5

Calculer

Arctan

1 1 1 + Arctan + Arctan . 2 5 8

Simplier les expressions suivantes :

r

1 − cos x Arctan 1 + cos x √ 1 − x2 Arctan . x

π 3π Arctan(tan x) (− < x < ), 2 2

Exercice 752

Vérier

Arcsin x + Arccos x =

[Exercice corrigé]

Exercice 753 π 8

et

Montrer que

0 6 arctan(

Exercice 754

1 π ) 6 ). 239 2

π , 2

Arctan x + Arctan

Étudier la suite

(un )n∈N

dénie par :

n X

arctan

k=1

`) et on arctan a − arctan b ?

On montrera qu'elle converge (vers

Exercice 755

: que vaut

Exercice 756

1 π = sgn(x) . x 2

π 1 1 1 = 4 arctan( ) − arctan( ) (on montrera que 0 6 arctan( ) 6 4 5 239 5

∀n ∈ N, un =

Indication

(0 < x < 2π),

évaluera

1 . k2 − k + 1 limn→∞ n(un − `).

Étudier la fonction :

2x 1 − x2 + arccos . 1 + x2 1 + x2 R l'équation d'inconnue x :

φ : x → arcsin Résoudre dans

arctan(x − 1) + arctan(x) + arctan(x + 1) =

π . 2


89

14.2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses

Exercice 757

Soit

f : R 2 → R2

dénie par :

∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = (cos x + ch y, cos x ch y). p∈R

Discuter et déterminer selon

l'image réciproque de

(4, p).

On exprimera

logarithme. Déterminer numériquement cette image réciproque si

Exercice 758

1. Montrer qu'il n'existe pas de fonction

y

à l'aide d'un

p = −2.

f : [1; +∞[→ R

vériant :

∀x ∈ R, f (ch x) = ex . 2. Déterminer toutes les fonctions

f : R+∗ → R

telles que :

∀x ∈ R, f (ex ) = ch x. Préciser le nombre de solutions. 3. Déterminer toutes les fonctions

f : R+ → R

telles que :

∀x ∈ R, f (ex ) = ch x. Préciser le nombre de solutions ; y a t-il des solutions continues sur

[Exercice corrigé]

Exercice 759

R+ ?

Calculer :

lim ex (ch3 x − sh3 x)

lim (x − ln(ch x)).

et

x→∞

x→∞

[Exercice corrigé]

Exercice 760

Donner un expression plus simple de :

y = argch

Exercice 761

r

1 + ch x ; 2

√ x2 − 1 y = argsh(2x 1 + x2 ); y = argth 2 . x +1

(n, a, b) ∈ N∗ × R2

Calculer pour

n−1 X

ch(a + bk),

k=0


Soit

(a, b) ∈ R

Montrer que : Les réels

x

et

2

:

n−1 X

sh(a + bk).

k=0

, résoudre le système

chx + shy = a shx + chy = b

argthx + argthy + argthz = argthu y

.

et déterminer

u.

étant liés par

y π x = ln tan + , 2 4 calculer

ch x, sh x

[Exercice corrigé]

Exercice 765

sh x.

Calculer

et

th x

en fonction de

Montrer que

ch 3x

et

sh 3x

ch nx

et

y.

sh nx

en fonctions de

peuvent s'exprimer comme polynômes en

ch x

et

sh x.

En déduire

th 3x

en fonction

ch x et de th x.


Exercice 766 ch x sh x Exercice 767 5

5

et

Exprimer

90

chn x

shn x

et

au moyen de

Exercice 768

Argth

de de

x2 − 1 . x2 + 1

Vérier les égalités

Argsh(3x + 4x3 ) = 3 Argsh x.

2 Argth tan x = Argth sin 2x,

Exercice 770 Exercice 771 Exercicex 772 −e

1 + sh x + sh 2x + · · · + sh nx.

et

Simplier

Exercice 769

de

Expliciter

Calculer les sommes

1 + ch x + ch 2x + · · · + ch nx

2

{sh px, ch px ; 1 6 p 6 n}.

.

Expliciter au moyen de la fonction logarithme Résoudre

x xy = a2

√

x

=

√

et

Argsh x1 .

x

x ;

ln2 x + lny =

et

Argch x1

5 2 ln a. 2

Préciser les comportements

x

quand x → e, px − e √ x 7→ ln(1 + x) − ln x quand x → +∞, ax − b x quand x → 0. x 7→ x

x 7→

Exercice 773

Démontrer les inégalités :

x−

x2 < ln(1 + x) 2

x>0

pour

1 + x 6 ex

et

pour tout

x

réel.

[Exercice corrigé]

Exercice 774 Exercice 775 0 Exercice 776 [Exercice corrigé] Exercice 777

Déterminer

lim(x − ln(chx)). +∞

Montrer que

en

∀x ∈ R

ch(2x)

= 1 + 2sh2 x.

En déduire un équivalent de ch x

−1

.



xy = y x

où

x

et

y

sont des entiers positifs non nuls.

tan(3 arcsin x) = 1.

On exprimera les trois solutions au

moyen de radicaux.



15.1 Théorie Déterminer les fonctions

Soient

f ∈ C 1 ([a, b], R)

f

et

de

[a, b] dans R telles que

In =

Rb a

f (t) sin(nt)dt.

1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que

In → 0.

Rb a

f (t)dt = (b − a) sup |f |. [a,b]


91

2. Montrer que ceci est encore vrai si

f

est en escalier.

f continue par morceaux. R b dx b−a Soient 0 < a 6 b. Montrer que 6√ . a x ab R1 0 Soit f ∈ C ([0, 1], R) telle que f (t)dt = 12 . Montrer qu'il 0

3. En déduire que le résultat subsiste pour

Exercice 780 Exercice 781 que

f (a) = a.

Exercice 782

f ∈ C 0 (R).

Soit

1. Montrer que

g

Soit

On dénit

se prolonge par continuité en

2. Montrer que si

Exercice 783

( R∗ → R Rx g: x 7→ x1 0 f (t)dt

f

g

est périodique,

existe

a ∈]0, 1[

telle

.

0.

admet une limite en

+∞.

R, n ∈ N tels que : Z 1 ∀k ∈ {0, ..., n}, f (u)uk du = 0.

f

[0, 1]

continue de

dans

0 Montrer que

f

Exercice 784

n+1

admet au moins Soit

f : [0, 1] → R

zéros distincts dans

]0, 1[.

une application continue strictement croissante telle que :

f (0) = 0, f (1) = 1. Calculer :

Exercice 785 zéros sur

[0, 1],

lim

n→∞ Soit

1

f n (t)dt.

0

f : [0, 1] → R une application continue, n'admettant f (0) = 0, f (1) = 1. Montrer que : Z 1 nt lim e f (t)dt = +∞.

qu'un nombre ni de

et telle que

n→∞

Exercice 786 (Irrationnalité de π) nôme

Z

Pn =

X n (bX−a)n n!

0

et ses dérivées

2. Montrer que :

In =

Z

(a, b) ∈ (N∗ )2 , n ∈ N∗ , montrer que le polya successives prennent, en 0 et , des valeurs entières. b 1. Soit

π

Pn (t) sin(t)dt → 0

quand

n → ∞.

0 3. Montrer par l'absurde que

Exercice 787 f Exercice 788 montrer que

Soit

f

π ∈ R \ Q.

continue sur

[0, π]

telle que

s'annulle au moins deux fois sur Soit

f ∈ C([0, 1], R)

Rπ 0

f (u) cos(u)du =

]0, π[.

Rπ 0

f (u) sin(u)du = 0,

telle que :

∀g ∈ E ([0, 1], R) ,

1

Z

f g = 0.

0 Montrer que

f = 0.

Exercice 789

Soit

f

une fonction

C 1 sur [a, b] à valeurs dans R. On suppose f (a) = 0. Montrer

que :

Z a

b

(b − a)2 f (u)du 6 2 2

Z a

b

f 02 (u)du.


Exercice 790

R1 0

f (t)dt = 0.

Exercice 791

f

Soit

92 à valeurs dans

a < 0 < b

[a, b]

Montrer que

et

f 2 (t)dt 6 −ab.

0 Soit

(a, b) ∈ R

2

(a

< b),

f

et

continue positive de

dans

R.

n1 f (t)dt = sup |f (t)| .

b

Z

n→∞

n

t∈[a,b]

a

a
Calculer sans utiliser de primitive, pour

:

b

et dt.

a Soit

f

ni de valeurs quand

[0, 1]

continue de

n

Soient

f

décrit et

g

N.

de

R1 R telle que 0 f n (u)du ne prenne que f = −1 ou f = 0 ou f = 1.

dans

Montrer

R+

dans

+

∀x ∈ R ,

Z

R

croissantes. Montrer que :

x

Z

f

0

Indication

On suppose

1

Z

Z


[a, b].

Montrer que :

lim

Exercice 792

[0, 1]

continue sur

x

g

6x

Z

0

qu'un nombre

x

f g.

0

a1 6 a2 6 ... 6 an et b1 6 b2 6 ... 6 bn , ! ! n n n 1X 1X 1X ai bi 6 ai b i . n i=1 n i=1 n i=1

: on établira d'abord que, si

alors :

Remarquer que :

Exercice 795

X

(ai− aj )(bi− bj ) > 0.

16i6j6n Calculer :

lim

n→∞

Z

1

et dt. 1 + tn

1

e−nx dx. 1+x

0

1 Éventuellemment, en donner un DL en . n

Exercice 796

Calculer :

lim

n→∞ Soit

f : [0, 1] → R

n→∞

Z

1

nxn f (x)dx.

0

f : [0, 1] → R une application continue (gn )n∈N de fonctions en escaliers telle que : Z 1 lim f (t)gn (t)dt = f (0).

Soit

trouver une suite

Exercice 798

0

une application continue ; calculer :

lim

Exercice 797

Z

n→∞

par morceaux, continue en

0

Dire (avec justication) si les armations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Toute fonction intégrable sur

[a, b]

est continue.

0,

15 Calculs d'intégrales f

2. Si

93

est intégrable sur

d dx

[a, b],

sur 4. Si

f

5. Si

|f |

est intégrable sur

[a, b],

f et g [a, b].

alors

[a, b],

est intégrable sur

6. Si

f (t) dt = f (x)

pour tout

x

de

[a, b].

|f |

est intégrable sur

[a, b].

f

est intégrable sur

[a, b].

alors

sont des fonctions intégrables sur

[a, b],

alors la fonction

f et g sont des fonctions continues sur [a, b], alors la fonction f g Rb Rb Rb f (t)g(t) dt = a f (t) dt · a g(t) dt. a

7. Si et

8. Soit

f

la fonction dénie sur

[0, 1]

( f ≡ λn f (0) = µ où

fg

f

bornée sur

est continue sur

[a, b],

par

sur

1 ] 21n , 2n−1 ]

pour tout entier

n>1

continue sauf au point

1/3 ;

f

alors

est intégrable.

est intégrable sur

[0, 1].

R1

[0, 1], avec f (1/2) > 0, et telle que 0 f (t) dt = 0. Rb Soit f intégrable sur [a, b]. Si f (t) dt > 0 alors f > 0 sur [a, b]. a Rx Si f est croissante sur [a, b], elle est intégrable sur [a, b] et de plus F (x) = f (t) dt a

10. Il existe

f >0

[0, 1],

intégrable

est intégrable sur

(λn ) est une suite bornée de nombres réels, et µ un nombre réel. Alors f

9. Soit

12.

a

f une fonction sur [a, b] vériant la propriété : pour tout ε > 0, il existe gε [a, b] telle que ∀x ∈ [a, b], |f (x) − gε (x)| 6 ε ; alors f est intégrable.

3. Soit

11.

Rx

continue sur

est

croissante.

f 60

13. Si

f est continue H 0 (x) = f (x2 ).

14. Si

Exercice 799

Soit

ϕ

sur

ϕ

a une primitive sur

2.

ϕ

est intégrable sur

3.

ϕ

est continue sur

4.

ϕ

est dérivable sur

Exercice 800 g

Soit

f

sur

[a, b]

et que

g

une fonction continue et strictement croissante de

g

et

f.

f (x) dx +

Z

[α, β].

On

g(x) dx = bβ − aα

α

[a, b].

Montrer qu'il

b

f (t)g(t) dt = f (a)

Z

[a, b]. On suppose que f existe c ∈ [a, b] tel que

c

g(t) dt + f (b)

a

a

a

sur

β

deux fonctions intégrables sur

Rx

[a, b]

Montrer que

b

est positive sur

ϕ(x) = f (a)

:

[a, b].

Z (considérer

1

[a, b].

a

f

comparer les assertions suivantes

[a, b].

Z Soit

[a, b] ;

[a, b].

la fonction réciproque de

Exercice 801

alors

une fonction bornée sur

1.

note

Rb G(x) = x f (t) dt est croissante sur [a, b]. R x2 [0, 1], H(x) = 0 f (t) dt est dérivable sur [0, 1], et ∀x ∈ [0, 1], [a, b],

est continue sur

g(t) dt + f (b)

Rb x

Z

est monotone

b

g(t) dt

c

g(t) dt).

L'une des implications à étudier est très dicile ; on pourra admettre après avoir traité toutes les autres que celle qui reste est fausse. 1


Exercice 802 i) ii) iii)

f

Soit

94

une fonction dérivable sur

[0, 1],

vériant :

0

0 6 f 6 2; f0

est décroissante ;

f (0) = 0

et

le plus RTrouver 1 f (t) dt 6 M . 0

Exercice 803 R

f (1) = 1.

grand nombre

m

et le plus petit nombre

M

tels qu'on soit sûr d'avoir

m 6

Peut-il y avoir égalité ?

Soit f dénie et continue sur [0, +∞[, vériant limx→+∞ f (x) = l . Montrer que x limx→+∞ x1 0 f (t) dt = l (étant donné ε R> 0, choisir A assez grand pour que sur [A, +∞[ on 1 x ait l − ε 6 f (t) 6 l + ε ; puis encadrer f (t) dt, pour x > A ; estimer l'erreur. . . et faire un x A dessin !).

x > 0, x → +∞. Pour

on pose

F (x) =

Rxq 0

1+

sin2 t 1+t2

dt.

Étudier la branche innie du graphe de

Exercice 804 (Méthode des trapèzes) 00

|f | 6 M

sur

[a, b].

1. Soit

f

deux fois dérivable sur

[a, b],

F

quand

vériant

Soit

ϕ(t) = f (t) − f (a) − (t − a)

f (b) − f (a) − A(b − t)(t − a) b−a

x ∈ ]a, b[ ; on choisit A = A(x) pour que ϕ(x) = 0 (dessiner !). Montrer qu'il existe c1 , c2 ∈ [a, b] tels que c1 < c2 et ϕ0 (c1 ) = ϕ0 (c2 ) = 0, puis qu'il existe c ∈ [a, b] tel 00 que ϕ (c) = 0. En déduire une majoration de |A| pour x ∈ [a, b]. On convient de poser A(a) = A(b) = 0. Rb On note E l'erreur commise en remplaçant f (x) dx par l'aire du trapèze déni par l'axe a des x, les droites x = a et x = b et la corde du graphe joignant les points (a, f (a)) et Rb (b, f (b)) (dessiner !). Montrer que E = a A(x)(b − x)(x − a) dx, et vérier que l'intégrale M (b−a)3 a un sens. En déduire que |E| 6 (utiliser 1)). 12 h i f (b) b−a f (a) b−a Pour n > 1 on pose In = + f (x ) + f (x ) + · · · + f (x ) + où xp = a + p 1 2 n−1 n 2 2 n pour p = 1, 2, . . . , n − 1. Montrer que In est la somme des aires des trapèzes construits sur les points d'abscisses a, x1 , x2 , . . . , xn−1 , b et les cordes correspondantes du graphe de f (dessiner !). Montrer que Z b M (b − a)3 6 f (x) dx − In 12n2 a Soit

2.

3.

4. On prend

[a, b] = [0, 1]

et

2

f (x) = e−x . Calculer M = sup[0,1] |f 00 |. Déterminer n pour que R 1 −x2 avec n intervalles donne un nombre qui approche e dx à 0

la méthode des trapèzes −2 moins de 10 près. En déduire un encadrement de cette intégrale.

15.2 Longueurs, aires, volumes

Exercice 805

Construire la courbe paramétrée

[0, 1[. l'aire S limitée

partenant à Calculer

par

C de R 2πdeux dtfaçons

En se ramenant au calcul de

:

2.

0 (1+λ cos t) En reconnaissant la nature géométrique de

C.

C

(

x= y=

cos t 1+λ cos t sin t 1+λ cos t

où

λ

est un paramètre ap-


95

[Exercice corrigé]

Exercice 806 longueur

L

Représenter la courbe dénie par son équation polaire

et les aires

[Exercice corrigé]

Exercice 807

A1

A2

et

tore

On appelle

du tore, et son volume

[Exercice corrigé]

Exercice 808

θ . Calculer sa 3

limitées par les deux boucles qu'elle forme.

r

la gure obtenue par révolution d'un cercle de rayon

R

d'une droite de son plan passant à distance

A

ρ = a sin3

de son centre (on suppose

autour

r < R). Calculer l'aire

V.

On appelle

cycloïde

la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon

R, lié à ce

cercle, quand celui-ci roule sans glisser sur une droite en restant dans plan xe. Montrer que dans

x = R(t − sin t) y = R(1 − cos t) Représenter la cycloïde et calculer : la longueur L d'une arche, l'aire A de la surface S comprise entre cette arche et la droite xe (Ox), les volumes V1 et V2 obtenus par révolution de S autour de Ox et Oy respectivement, les aires A1 et A2 obtenues par révolution d'une arche de la cycloïde autour de Ox et Oy respectivement. un repère bien choisi, la cycloïde admet la représentation paramétrique :

[Exercice corrigé]

Exercice 809

On appelle

épicycloïde

la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon

lié à ce cercle, quand celui-ci roule sans glisser sur un cercle de rayon extérieurement à ce dernier, et dans son plan. On pose

n = R/r .

R

r,

en restant tangent

Montrer que dans un repère

que l'on précisera, l'épicycloïde admet la représentation paramétrique :

x = r (n + 1) cos t − cos(n + 1)t y = r (n + 1) sin t − sin(n + 1)t

Représenter la courbe pour courbe et l'aire

A

n = 1, 2, 3.

n entier, calculer la longueur L de la n = 1 (cardioïde ), calculer de plus l'aire S

En supposant

limitée par celle-ci. Dans le cas

de la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe autour de son axe de symétrie, ainsi que le volume

[Exercice corrigé]

Exercice 810

Soit

V

limitée par cette surface.

C

un cercle xe de rayon

R. Un cercle C 0

de même rayon roule sans glisser

en restant dans un plan (variable) perpendiculaire à celui de C . Un point M lié au 0 cercle C décrit une courbe Γ. Montrer que suivant un repère convenablement choisi, Γ admet  2

sur

C

la représentation paramétrique : Représenter les projections de

[Exercice corrigé]

Γ

 x = R(cos t + sin t) y = R sin t(1 − cos t)  z = R(1 − cos t)

. En déduire la longueur

sur chacun des trois plans de coordonnées.

15.3 Intégration à l'aide d'une fonction auxiliaire

Exercice 811

Z

dx 2 x +5

;

Z

1 dx ; tan3 x

Z

2x + 3 dx, m ∈ N ; 2 (x + 3x + 7)m

Z Z

Calculer les primitives suivantes :

dx √ x2 − 5

;

x

x

e sin(e )dx ; Z

Z

tan3 xdx ;

ln x dx ; x

Z

ch x dx . sh5 x

L

de

Γ.


Exercice 812

96

15.4 Changement de variables Considérons l'intégrale

I=

Z

ln 2

√

ex − 1 dx

0 Eectuer le changement de variables

Résultat : I = 2 − π/2.

Exercice 813

f

I2

t = f (u) f

et

f −1 ,

√

(t =

√ 6

2 + x) ;


Z

e cos xdx ; Soit

In =

ln x dx n ∈ N ; xn

R1 0

Z

xArctan xdx ;

Z

(x2 + x + 1)ex dx.

(1 − t2 )n dt. In

et

In+1 .

In .

3. En déduire

2.

et interpréter ce résultat géométriquement.

1 √ dx, 2+x+ 32+x

1. Établir une relation de récurrence entre

1.

I2 .

15.5 Intégration par parties

x

Exercice 817

dans l'intégrale

1 x−1 dx, ( = th u ou coth u) ; 2 2 ((x − 1) − 4) 2 Z Z √ 2 (arcsin x) dx ; x2 1 + x3 dx.

Z

2. Calculer

f −1 .


Z

Exercice 816

I.

I1 .

en fonction de

4. Faire un dessin faisant apparaître

Z

et calculer

admet une fonction réciproque

2. Faire le changement de variable

Exercice 815

ex − 1

f : [a, b] → R une fonction strictement croissante et continûment dérivable. R f (b) −1 Rb deux intégrales I1 = f (t) dt et I2 = f (t) dt. a f (a)

1. Rappeler pourquoi

Exercice 814

√

Soit

On considère les

3. Calculer

u=

n P

k=0

(−1)k k C . 2k+1 n

f ∈ C 2 ([a, b], R). Rb R b−a 1 b 00 (f (a) + f (b)) + f (x)(a − x)(b − x)dx. Montrer que f (t)dt = 2 2 a a Rb En déduire un encadrement de f (t)dt si ∀x ∈ [a, b] m 6 f 00 (x) 6 M . a Rπ 2 Soit In = sinn tdt. 0 Soit

Exercice 818 (Intégrales de Wallis)

1. Établir une relation de récurrence entre 2. En déduire

I2p

3. Montrer que

et

et

In+2 .

I2p+1 .

(In )n∈N

4. En déduire que

In

est décroissante et strictement positive.

In ∼ In+1 .

15 Calculs d'intégrales 5. Calculer

97

nIn In+1 . In .

6. Donner alors un équivalent simple de

Exercice 819

In =

Soit

R1

xn

0 1+x

dx.

1. En majorant la fonction intégrée, montrer que

In + In+1 . n P Déterminer lim (

(In )n∈N → 0.

2. Calculer 3.

Exercice 820

n→+∞ k=1

(−1)k+1 ). k

Calculer par récurrence :

In =

Exercice 821

Z 0

π 4

du . cosn u

Calculer par récurrence :

Jn =

Z

e

log(u)n du.

1

Exercice 822 Z

15.6 Polynôme en sin, cos, ou en ch, sh Calculer les primitives suivantes :

Z

(cos x cos 2x + sin x sin 3x)dx ; Z

Exercice 823

Z

3

sin x cos xdx ; 2

2

ch x sh xdx ;

Z Z

4

cos x sin xdx ;

4

sin xdx ; 3

Z

sh x ch xdx ;

Z

cos6 xdx ;

sin3 x cos2 xdx ; Z

ch x sh3 xdx.

Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions :

x cos2 x cos(2x) cos2 x

Exercice 824 1. 2.

3.

4.

5.

6.

a2

15.7 Fractions rationnelles Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.

1 . + x2

1 . (1+x2 )2 3

x . −4 4x . (x − 2)2 1 . 2 x +x+1 1 . (t2 + 2t − 1)2 x2

15 Calculs d'intégrales 7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

98

3t + 1 . − 2t + 10)2 3t + 1 . 2 t − 2t + 10 1 . 3 t +1 x3 + 2 . (x + 1)2 x+1 . x(x − 2)2 (x2 − 1)(x3 + 3) . 2x + 2x2 x2 . (x2 + 3)3 (x + 1) x7 + x3 − 4x − 1 . x(x2 + 1)2 3x4 − 9x3 + 12x2 − 11x + 7 . (x − 1)3 (x2 + 1) (t2

[Exercice corrigé]

Exercice 825 Z 1

1.

2.

3.

Z

4.

Z

5.

Z

6.

Z

7.

Z

dx . +2

x2

0

Z

1/2

−1/2 3

2

0 3

0 0

−2 1 −1 3

9.

10.

11.

dx . 1 − x2

2x + 1 dx. +x−3 x dx . 4 x + 16 x4 + 6x3 − 5x2 + 3x − 7 dx. (x − 4)3 x2

2

8.

Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.

dx . x3 − 7x + 6 2x4 + 3x3 + 5x2 + 17x + 30 dx. x3 + 8

4x2 dx. 4 2 x −1 Z 0 3 x + 2x + 1 dx. 3 −1 x − 3x + 2 Z 2 8 2x + 5x6 − 12x5 + 30x4 + 36x2 + 24 dx. x4 (x2 + 2)3 1 Z a −2x2 + 6x + 7 dx pour a ∈ R. Y a-t-il une x4 + 5x2 + 4 0 Z

limite quand

a → +∞ ?

15 Calculs d'intégrales 12.

Z 0

2

99

dx . x4 + 1

[Exercice corrigé]

Exercice 826 Z


x4 + 1 dx ; x(x − 1)3

Exercice 827

Z

dx 4 (x + 1)2

Z

;

xdx 4 x + x2 + 1

;

Z

(x −

dx . − 2x − 2)2

1)(x2


1 (x + + 2x + 5) 2x (1 − x + x2 )2 x2 (x − 1)2 (x2 + 4) 1 (1 + x3 )3 2)(x2

15.8 Fractions rationnelles en sin, cos ou en sh, ch

ExerciceZ 828


cos3 x dx ; sin5 x

Exercice 829


Z

sin3 x dx ; 1 + cos x

Z

Z cos x dx ; dx ; 4 4 1 + sin 2x cos x + sin x Z Z tan x − tan a sh x ch x dx. dx ; tan x + tan a sh4 x + ch4 x


cos3 x sin x 1 1 + tan x 1 th2 x

15.9 Intégrales abéliennes Calculer les primitives suivantes :

Z

Z Z dx dx x √ √ √ ; ; dx ; 2 x+ x−1 x x +x+1 9 + 4x4 √ Z √ Z 3 x+1− x+1 x+1 √ dx ; dx. x+2 −4x2 + 4x + 1


√

8x − 3 12x − 4x2 − 5 √ x2 − 1 √ x x x2 − 5x + 4


Exercice 832 Z 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

esin

2

100

15.10 Primitives diverses Calculer les primitives suivantes.

x

sin 2x dx. Z Z Z Z 3 5 4 cos t dt ; cosh t dt ; cos t dt ; sinh4 t dt. Z x3 ex dx. Z Z Z ln x dx ; x ln x dx ; arcsin x dx. Z cosh t sin t dt. Z dx . sin x Z √ a2 − x2 dx. Z e2x √ dx. ex + 1 Z Z ax e cos bx dx ; eax sin bx dx. Z r x dx pour 0 < x < 1. (1 − x)3 Z x2 √ dx. 1 − x2 Z dx . cos x + 2 sin x + 3 Z √ x dx √ avec 0 < x < a. a3 − x 3 Z cosh x dx. cosh x + sinh x

[Exercice corrigé]

Exercice 833


Z

Exercice 834

dx √ ch x ch 2x Z

;

Z

x dx ; cos2 x

sin ax + cos bx dx ; ex

Z

Z

1 + cos 2x dx ; 1 − tan2 x

x(2 + cos x) dx. sin2 x

Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions : chx sin(2x)

√

1 2 + tan2 x

(x2 + 2x + 2) cos(2x)


101

x2 cos x


Calculer

Calculer Soient

2. En déduire

Exercice 839

et

Exercice 841 lim

Soit

(un )n∈N∗

I=

I + J.

complexes

ln(1 + x2 ). n P

n 2 2 ). n→+∞ k=0 n +k

lim (

Rπ 0

x cos2 xdx

J=

et

Rπ 0

x sin2 xdx.

J.

Soit

an =

2. Etudier la suite

Exercice 840

x2 sin x en utilisant les 1 1 et 2 3 2 (x − 1) (x − 1)2 √ 1+x √ x 1−x

1 lim ( (2n)!n ) n . n→+∞ n!n

a0 , . . . , a 4 .

1. Calculer

n→∞

0

Déterminer

I

1. Calculer

R1

et

R1 0

tn et dt.

(an )n∈N .

15.11 Sommes de Riemann Calculer :

n n X X (−1)k (−1)k lim , lim . n→∞ n→∞ 2k + 1 k k=1 k=1

Calculer :

n Y

k=1

k2 1+ 2 n

n1

; lim n n→∞

n n−1 X X n+k 1 √ . ; lim ; lim 2 2 n→∞ n→∞ n +k n − k2 k=1 k=1

n n X e− k

k2

k=1

la suite réelle dénie par :

∗

∀n ∈ N , un =

n X k=1

n2

n . + k2

Calculer :

` = lim un n→∞

et donner un équivalent de

Exercice 842

Soient

f

et

un − `. g

continues de

[0, 1]

n−1

Exercice 843

1X lim f n→∞ n k=0 Calculer :

dans

R.

k k+1 g . n n 2

lim

n→∞

Calculer :

n X k=0

n2

n . + k2


Exercice 844 √

102


1.

2.

lim

1+

2+

n→∞

lim

n→∞

n X

n . + p2

n2

p=1

√ √ 3 + ··· + n √ . n n

n

3.

1 X (3n + 6p − 4)(n + 2p)2 lim ln . n→∞ n 3n3 p=1


Exercice 845

16.1 Premier ordre Résoudre les équations diérentielles suivantes :

1.

y0 = y + x

2.

y 0 = cos x + y ,

3.

y 0 + 2y = (x − 2)2 .

Exercice 846

avec

y(0) = 1,

Pour chacune des équations diérentielles qui suit : écrire la solution passant

par le point M(.,.) et tracer sommairement le graphe de la solution. 1.

y 0 + 2xy = 0,

2.

y 0 + y tan x = sin x cos x M = ( π4 , 0),

3.

x(x2 − 1)y 0 + 2y = x2 ,

M = (0, 1), On déterminera

a, b, c ∈ R

Exercice 847 (Partiel de Novembre 1994) grand possible contenu dans

]0, ∞[

a ∈]0, ∞[

1 x(x2 −1)

=

a x

+

b x−1

l'équation diérentielle :

y(x) − y(x)2 = −9x2 . x y(x) = ax soit une solution particulière y0

tel que

y(x) =

de

(E).

1 y0 (x)− z(x) transforme l'équation

(E) en l'équation diérentielle

(E1) (E1)

sur

1 z 0 (x) + (6x + )z(x) = 1. x

]0, ∞[.

4. Donner toutes les solutions de

(E)

dénies sur

]0, ∞[.

[Exercice corrigé]

Exercice 848 1. 2. 3.

1.

Trouver les solutions réelles des équations diérentielles suivantes :

y 0 (t) + 2y(t) = 0 ; dx − x = 0; dt y 0 (x) + 2y(x) = 0 avec (y − y 0 )(0) = 0.

Exercice 849

Trouver les solutions réelles des équations diérentielles suivantes :

(1 + x2 )y 0 − xy = 0 ;

c . x+1

On se propose d'intégrer sur l'intervalle le plus

2. Montrer que le changement de fonction inconnue :

3. Intégrer

+

y 0 (x) −

(E) 1. Déterminer

tels que

16 Équations diérentielles 2.

y 0 + y tan x = 0,


pour

x

103

dans

] π2 , 3π [. 2

Trouver les solutions réelles sur l'intervalle maximal de l'équation diérentielle :

t2 y 0 + y = 1. Soit l'équation diérentielle

y 0 + 2xy = x.

(E) 1. Résoudre l'équation homogène asociée. 2. Calculer la solution de

(E)

vériant

y(0) = 1.

[Exercice corrigé]

Exercice 852

Résoudre et raccorder éventuellement :

0

1.

xy − 2y = x4 .

2.

x(1 + x2 )y 0 = y .

3.

(x2 + 1)y 0 + (x − 1)2 y = x3 − x2 + x + 1.

4.

(ex − 1)y 0 + (ex + 1)y = 3 + 2ex .


Résoudre le système diérentiel :

( x(t) ˙ = x(t) + y(t) y(t) ˙ = 3x(t) − y(t)

Résoudre l'équation diérentielle de Ricatti 1 une solution particulière y0 et en posant z = . y−y0

Soit

H

(E)

x2 y 0 = x2 y 2 + xy + 1

.

en trouvant

Soit l'équation diérentielle :

dy(x) + y(x) = x2 + 2x dx

(E) : Intégrer

et

( x(0) = 2 y(0) = −2

et montrer que par un point donné il passe une et une seule courbe intégrale.

l'ensemble des points

horizontale en ce point, et

I

M

M a une tangente M tels que la courbe intégrale passant par ce H, I et la courbe intégrale passant par O(0, 0).

tels que la courbe intégrale passant par


point a un point d'inexion en ce point. Tracer

En déduire un tracé géométrique des courbes intégrales.

Exercice 856

Résoudre le système diérentiel :

dx(t) = x(t) + y(t), dt

Exercice 857

dy(t) = 3x(t) − y(t), dt x(0) = 2, y(0) = −2. Soit

f ∈ C 1 (R, C), α ∈ R+∗ .

Montrer que si :

lim (f 0 (x) + αf (x)) = 0

x→∞ alors :

Exercice 858

lim f 0 (x) = lim f (x) = 0.

x→∞ Soit

1

f ∈ C (R, R)

telle que

x→∞

f (0) = 1

et

f 6 f 0 6 2f.Encadrer f (−1)

et

f (1).


Exercice 859

16.2 Second ordre Résoudre les équations diérentielles du second ordre suivantes :

1.

y 00 + 4y 0 + 3y = 0,

2.

y 00 − 6y 0 + 9y = 0,

3.

y 00 − 2y 0 + 2y = 0.

Exercice 860

104

Résoudre les équations diérentielles du second ordre suivantes :

1.

y 00 − y = x3 + x2 ,

2.

y 00 − 2y 0 + y = ex ,

3.

y 00 − 2y 0 + y = cos(mx)

4.

y 00 − 2y 0 + y = x3 ex + 2 cos x + (x3 + 3)

Exercice 861

où

m ∈ R, (utiliser le principe de superposition).

(E) ay 00 + by 0 + cy = 0, avec a 6= 0. Donner des conditions necessaires et susantes liant les coecients a, b et c dans les deux cas suivants : (i) toutes les solutions de (E) tendent vers 0 lorsque x tend vers l'inni ; On considère l'équation homogène

(ii) toutes les solutions sont périodiques.

Exercice 862

Résoudre l'équation :

y 00 + k 2 y = cos mx, On discutera suivant les valeurs de

Exercice 863

k

et

k, m ∈ R.

m.

Résoudre l'équation suivante :

y 00 − 3y 0 + 2y = ex .

[Exercice corrigé]

Exercice 864


y 00 − y = −6 cos x + 2x sin x.

[Exercice corrigé]

Exercice 865


4y 00 + 4y 0 + 5y = sin xe−x/2 .

[Exercice corrigé]

Exercice 866

On considère l'équation :

y 00 + 2y 0 + 4y = xex

(E)

1. Résoudre l'équation diérentielle homogène associée à 2. Trouver une solution particulière de semble de toutes les solutions de 3. Déterminer l'unique solution 4. Soit

f :]0, ∞[−→ R

h

(E)

(E).

(expliquer votre démarche), puis donner l'en-

(E).

de

(E)

vériant

h(0) = 1

une fonction deux fois dérivable sur

et

h(1) = 0.

]0, ∞[

t2 f 00 (t) + 3tf 0 (t) + 4f (t) = t log t.

et qui vérie :

16 Équations diérentielles (a) On pose

105

g(x) = f (ex ),

vérier que

(b) En déduire une expression de

g

est solution de

(E).

f.

[Exercice corrigé]

Exercice 867

Soit

m ∈ R.

Déterminer la solution de l'équation :

y 00 − 2y 0 + (1 + m2 )y = (1 + 4m2 ) cos mx

(Em ) qui vérie

y(0) = 1

Exercice 868

et

y 0 (0) = 0

(Indication : On traitera séparement les cas

m=0

et

m 6= 0).

On considère l'équation diérentielle :

y 00 + 6y 0 + 9y = d(x) (E) 1. Résoudre l'équation diérentielle homogène associée à 2. Trouver une solution particulière de

(E)

lorque, respectivement, on pose :

d(x) = (x2 + 1)e−3x 3. Donner la forme générale des solutions de

Exercice 869

(E).

et

(E)

d(x) = cos x.

lorsque :

d(x) = 2(x2 + 1)e−3x + 50 cos x. Déterminer une équation diérentielle vériée par la famille de fonctions

y(x) = C1 e2x + C2 e−x


C1 , C2 ∈ R.

Déterminer une équation diérentielle admettant x 3 2x caractéristique et e + (x /6)e comme solution particulière.

(r − 2)2 = 0

Déterminer l'ensemble des solutions réelles des équations : 3x 00 0 x a) y + y − 6y = e , b) y + y − 6y = e (2x + 1), 00 0 00 0 −2x c) y − 4y + 13y = cos x, d) y + 3y + 2y = e (x + 1) avec y(0) =

00

comme équation

0

Exercice 872 (Partiel Novembre 96)

1, y(1) = 0.

On considère l'équation diérentielle suivante :

(E.D.) y 00 − 4y 0 + 4y = d(x), où

d

est une fonction qui sera précisée plus loin.

1. Résoudre l'équation diérentielle homogène (ou sans second membre) associée à 2. Trouver une solution particulière de

(E.D.)

lorsque

d(x) = e

respectivement. 3. Donner la forme générale des solutions de

d(x) =

[Exercice corrigé]

Exercice 873

Résoudre sur

R

:

1.

y 00 − 4y = 4e−2x .

2.

y 00 − 3y 0 + 2y = (x2 + 1)ex .

3.

y 00 − 2y 0 + y = ex sin x.

(E.D)

lorsque

e−2x + e2x . 4

−2x

et lorsque

(E.D.).

d(x) = e2x

16 Équations diérentielles 4.

106

y 00 + y = e−|x| .


f : R → R deux fois dérivables telles que ∀x ∈ R f 00 (x)+f (−x) = x. √ 00 0 3 sur ]0, +∞[ xy − y − x y = 0 en posant z(t) = y( t).

Trouver les Résoudre

Résoudre en posant

z(t) = y(et )

ou

y(−et )

suivant le signe de

x,

les équations

diérentielles (d'Euler) suivantes : 1.

x2 y 00 − 2y = x.

2.

x2 y 00 + xy 0 + y = x ln |x|.

Exercice 877 y Exercice 878 que

Résoudre l'équation diérentielle de Bernouilli 1 ne s'annule pas et en posant z = . y Résoudre sur

R

x2 y 2 − xy 0 − 3y = 0 en supposant

:

dy(x) − 2y(x) = x4 , dx y”(x) − 4y(x) = 4e−2x , y”(x) − 2y 0 (x) + y(x) = ex sin x. x

Exercice 879

En posant

z =

1 et en supposant que y

y

ne s'annulle pas, résoudre l'équation

(de Bernoulli) :

d2 y(x) dy(x) − x − 3y(x) = 0. dx2 dx y 00 (x) + 2y 0 (x) + y(x) = 2x cos x cosh x. x2


Résoudre :

Déterminer les

f ∈ C 2 (R, R)

telles que :

∀x ∈ R, f 00 (x) + f (−x) = x cos x.

[Exercice corrigé]

Exercice 882 p(x)y(x) = 0 Exercice 883 Exercice 884

Soit

p

continue positive non nulle ; montrer que toute solution de

s'annule au moins une fois sur

R.

Montrer que toute solution de En posant

t = arctan x, y 00 (x) +

y 00 (x) +

2

y 00 (x)e−x + y(x) = 0

est bornée sur

R.

résoudre :

2x 0 y(x) y (x) + = 0. 2 1+x (1 + x2 )2

[Exercice corrigé]

Exercice 885

Résoudre par le changement de fonction

2

z=

y l'équation diérentielle : x

x00 (x) − 2xy 0 (x) + (2 − x2 )y(x) = 0.

[Exercice corrigé]


107

Troisième partie

ALGÈBRE 2 17 Espaces vectoriels

Exercice 886

17.1 Dénition, sous-espaces Déterminer lesquels des ensembles

E1 , E2 , E3

et

E4

sont des sous-espaces vec-

R3 . Calculer leurs dimensions. = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = x + y + z = 0}. = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 − z 2 = 0}. = {(x, y, z) ∈ R3 ; ex ey = 0}. = {(x, y, z) ∈ R3 ; z(x2 + y 2 ) = 0}.

toriels de

E1 E2 E3 E4

[Exercice corrigé]

Exercice 887 externe

⊗

Soit

telle que

R∗+ muni de la loi interne ⊕ dénie par a ⊕ b = ab, ∀a, b ∈ R∗+ et de la loi λ ⊗ a = aλ , ∀a ∈ R∗+ , ∀λ ∈ R. Montrer que E = (R∗+ , ⊕, ⊗) est un R-espace

vectoriel.

Exercice 888

Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vecto-

riels.

E1 = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + a = 0, et x + 3az = 0 E2 = {f ∈ F(R, R); f (1) = 0} , E3 = {f ∈ F(R, R); f (0) = 1} 0 E4 = {P ∈ Rn [X]; P = 3} , E5 = (x, y) ∈ R2 ; x + αy + 1 > 0 .

[Exercice corrigé]

Exercice 889

Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vecto-

riels :

E1 E2 E3 E4

= {(x, y, z) ∈ R3 /x + y = 0}; = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x = 0, y = z}; = {(x, y) ∈ R2 /x2 + xy > 0}; = {f ∈ RR /f (1) = 0};

Exercice 890 un

Déterminer si

R2 ,

E10 = {(x, y, z) ∈ R3 /xy = 0}. E20 = {(x, y, z) ∈ R3 /x = 1}. E30 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + xy + y 2 > 0}. E40 = {f ∈ RR /f (0) = 1}; E4 ” = {f ∈ RR /f est croissante }.

muni des lois internes et externes suivantes, est ou n'est pas

R-espace vectoriel : 1. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (a, λb), λ ∈ R. 2 2 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (λ a, λ b), λ ∈ R. 3. (a, b) + (c, d) = (c, d); λ(a, b) = (λa, λb), λ ∈ R.

Exercice 891

Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :

1. L'ensemble des fonctions réelles sur

[0, 1],

continues, positives ou nulles, pour l'addition

et le produit par un réel. 2. L'ensemble des fonctions réelles sur

R

vériant

limx→+∞ f (x) = 0

pour les mêmes opé-

rations. 3. L'ensemble des solutions

(x1 , x2 , x3 )

du système :

  2x1 − x2 + x3 = 0 x1 − 4x2 + 7x3 = 0  x1 + 3x2 − 6x3 = 0.


108

[0, 1]

4. L'ensemble des fonctions continues sur

∗ 5. L'ensemble R+ pour les opérations

x ⊕ y = xy

6. L'ensemble des fonctions impaires sur 7. L'ensemble des fonctions sur

[a, b]

8. L'ensemble des fonctions sur

R

vériant

f (1/2) = 0.

λ · x = xλ , (λ ∈ R).

et

R. f (a) = 7f (b) +

continues, vériant

qui sont nulle en

1

ou nulle en

9. L'ensemble des fonctions sur en

1

et d'une fonction nulle

R qui peuvent s'écrire comme en 4. Identier cet ensemble. C2

12. L'ensemble des fonctions sur

R

vériant

telles que

13. L'ensemble des primitives de la fonction

15. L'ensemble des points

(x, y)

de

R

(x, y, z)

16. L'ensemble des vecteurs

xex

, vériant

de

R3

17. L'ensemble des fonctions continues sur

somme d'une fonction nulle

f 00 + ω 2 f = 0.

sur

R.

π/4 + kπ , (k ∈ Z).

sin(x + y) = 0.

orthogonaux au vecteur

[0, 1]

vériant

R1 0

(−1, 3, −2).

sin xf (x) dx = 0. 7.

18. L'ensemble des polynômes ne comportant pas de terme de degré 19. L'ensemble des fonctions paires sur

Exercice 892 ϕ)} R Exercice 893 est un

1. Soient

Montrer que l'ensemble

F

Soit et

H

Exercice 894 R Exercice 895 R Exercice 896 un

R.

E = {f ∈ RR /(∃(a, ϕ) ∈ R2 )(∀x ∈ R)f (x) = a cos(x −

-espace vectoriel.

G

E

un

C-espace

vectoriel.

deux sous-espaces de

F ∪G 2. Soient

t3 f (t) dt.

f (3) = 7.

14. L'ensemble des nombres complexes d'argument

2

a

n.

10. L'ensemble des polynômes de degré exactement 11. L'ensemble des fonctions de classe

4.

Rb

E.

Montrer que

est un sous-espace vectoriel de

un troisième sous-espace vectoriel de

E.

E ⇐⇒ F ⊂ G

ou

G ⊂ F.

Prouver que

G ⊂ F =⇒ F ∩ (G + H) = G + (F ∩ H). On munit

R2

de l'addition usuelle et de la loi externe

λ(x, y) = (λx, y).

Est-ce

-espace vectoriel ?

vectoriel de

3

Montrer que

{(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0

et

2x − y + 3z = 0} est un sous-espace

. Montrer que

F = {f ∈ C(R, R)|∃(A, φ) ∈ R2 , ∀x ∈ R, f (x) = A cos(x + φ)} est un espace vectoriel.


Exercice 897

109

17.2 Systèmes de vecteurs Soient dans

1. Montrer que

v~1

et

v~2

R3

les vecteurs

v~1 (1, 1, 0), v~2 (4, 1, 4)

et

v~3 (2, −1, 4).

ne sont pas colinéaires. Faire de même avec

v~1

et

v~3 ,

puis avec

v~2

et

v~3 . 2. La famille

Exercice 898

(v~1 , v~2 , v~3 )

est-elle libre ?

Les familles suivantes sont-elles libres ?

1.

v~1 (1, 0, 1), v~2 (0, 2, 2)

et

v~3 (3, 7, 1)

dans

R3 .

2.

v~1 (1, 0, 0), v~2 (0, 1, 1)

et

v~3 (1, 1, 1)

dans

R3 .

3.

v~1 (1, 2, 1, 2, 1), v~2 (2, 1, 2, 1, 2), v~3 (1, 0, 1, 1, 0)

4.

v~1 (2, 4, 3, −1, −2, 1), v~2 (1, 1, 2, 1, 3, 1)

5.

v~1 (2, 1, 3, −1, 4, −1), v~2 (−1, 1, −2, 2, −3, 3)

Exercice 899

(e~1 , e~2 , e~3 , e~4 ).

On considère dans

Rn

v~3 (0, −1, 0, 3, 6, 2) et

dans

dans

v~3 (1, 5, 0, 4, −1, 7)

une famille de

4

R5 .

R6 . dans

R6 .

vecteurs linéairement indépendants :

Les familles suivantes sont-elles libres ?

1.

(e~1 , 2e~2 , e~3 ).

2.

(e~1 , e~3 ).

3.

(e~1 , 2e~1 + e~4 , e~4 ).

4.

(3e~1 + e~3 , e~3 , e~2 + e~3 ).

5.

(2e~1 + e~2 , e~1 − 3e~2 , e~4 , e~2 − e~1 ).

Exercice 900 x y Exercice 901 et

et

v~4 (0, 1, 0, 0, 1)

et

pour que

R4 les vecteurs e~1 (1, 2, 3, 4) et e~2 (1, −2, 3, −4). Peut-on (x, 1, y, 1) ∈ V ect{e~1 , e~2 } ? Et pour que (x, 1, 1, y) ∈ V ect{e~1 , e~2 } ?

Soient dans

Dans

x2 + x3 + x4 = 0.

R4

on considère l'ensemble

L'ensemble

E

E

des vecteurs

déterminer

(x1 , x2 , x3 , x4 ) vériant x1 + R4 ? Si oui, en donner une

est-il un sous espace vectoriel de

base.

Exercice 902

R4 , on se donne cinq vecteurs : V1 = (1, 1, 1, 1), V2 = (1, 2, 3, 4), V3 = (3, 1, 4, 2), V4 = (10, 4, 13, 7), V5 = (1, 7, 8, 14). Chercher les relations de dépendance Dans l'espace

linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace.

Exercice 903

R4 , on se donne cinq vecteurs : V1 = (1, 1, 1, 1), V2 = (1, 2, 3, 4), V3 = (3, 1, 4, 2), V4 = (10, 4, 13, 7), V5 = (1, 7, 8, 14). À quelle(s) condition(s) un vecteur B = (b1 , b2 , b3 , b4 ) appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs V1 , V2 , V3 , V4 , V5 ? Dénir Dans l'espace

ce sous-espace par une ou des équations.

Exercice 904 x y Exercice 905 et

pour que

e1 = (1, 2, 3, 4), e2 = (1, −2, 3, −4) de R4 . Peut-on déterminer (x, 1, y, 1) ∈ Vect{e1 , e2 } ? pour que (x, 1, 1, y) ∈ Vect{e1 , e2 } ?

Soient les vecteurs

Soit

E

un espace vectoriel sur

les familles suivantes sont-elles libres ? 1.

x, 2y, z .

2.

x, z .

3.

x, 2x + t, t.

4.

3x + z, z, y + z .

5.

2x + y, x − 3y, t, y − x.

R

et

x, y, z, t

une famille libre d'éléments de

E,



Dans

110

R4 ,

comparer les sous-espaces

F

et

G

suivants :

Vect{(1, 0, 1, 1), (−1, −2, 3, −1), (−5, −3, 1, −5)}

F = G =

Vect{(−1, −1, 1, −1), (4, 1, 2, 4)}

v 1 , v2 , v3 , . . . , v n

On suppose que

sont des vecteurs indépendants de

Rn .

1. Les vecteurs

v 1 − v 2 , v2 − v 3 , v3 − v 4 , . . . , v n − v 1

sont-ils linéairement indépendants ?

2. Les vecteurs

v 1 + v 2 , v2 + v 3 , v 3 + v 4 , . . . , v n + v 1

sont-ils linéairement indépendants ?

3. Les vecteurs

v 1 , v1 + v 2 , v 1 + v 2 + v 3 , v 1 + v 2 + v 3 + v 4 , . . . , v 1 + v 2 + · · · + v n

sont-ils

linéairement indépendants ?

Exercice 908 2  E 1 F Soient

les vecteurs

et

{ 3  , −1} −1 −2

et

[Exercice corrigé]


    3 5    { 7 , 0 }. 0 −7

Montrer que

engendrés respectivement par

E

et

Q-espace

√ S1 = (1; 2)

vectoriel.

R2 , les vecteurs u1 = (3 + (u1 , u2 ) est Q-libre et R-lié.

2. Soient, dans le système

3. Soient les vecteurs

v1 = (1 − i, i)

(a) Montrer que le système

et

et

√

√ √ S2 = (1; 2; 3)

√ 5, 2 + 3 5)

v2 = (2, −1 + i)

(v1 , v2 )

est

R-libre

et

et

sont libres dans

√ u2 = (4, 7 5 − 9).

dans

et donner les

Exercice 911

sin t.cht, f4 : t 7→ sin t.sht. F(R, R),

Montrer que

base de l'e.v.

C2

sur

cette base.

f1 : t 7→ cos t.cht, f2 : t 7→ cos t.sht, f3 : t 7→ (f1 , f2 , f3 , f4 ) est libre dans RR .

Montrer que le système

2. Même question pour la famille Dans

considéré

C-lié.

S = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} est une composantes des vecteurs v1 , v2 par rapport à

1. On dénit les fonctions suivantes :

R

C2 .

(b) Vérier que le système


sont égaux.

R3 , les vecteurs u1 = (2, 3, −1) et u2 = (1, −1, −2) engendrent v1 = (3, 7, 0) et v2 = (5, 0, −7).

1. Montrer que les systèmes :

R,

F

Prouver que dans

le même s.e.v. que les vecteurs

comme

R3

les sous-espaces vectoriels de

F = {fλ : t 7→ eλt , λ ∈ R}. x 7→ sin x, x 7→ sin 2x, x 7→ sin 3x,

les trois fonctions

sont-elles

linéairement indépendantes ? Généraliser. Soit

E

un

C-espace

vectoriel et

S1 = (e1 , e2 , ..., en )

un système libre dans

E,

n > 2.

S2 = (e01 , e02 , ..., e0n )

1. On considère le système

déni par :

e0j =

libre ?

S3 = (ε1 , ε2 , ..., εn )


εn = en + e1 .

Montrer les résultats suivants :

⇒ S1

(a)

S3

(b)

n

impair :

(c)

n

pair :

libre

S3

S3

libre. libre

lié.

⇔ S1

libre.

déni par :

Pj

k=1 ek , 1

6 j 6 n . S2

est-il

εj = ej + ej+1 , 1 6 j 6 n − 1

et


Exercice 914

111

Peut-on déterminer des réels x, y pour que le vecteur v = (−2, x, y, 3) apR4 par le système (e1 , e2 ) où e1 = (1, −1, 1, 2) et e2 =

partienne au s.e.v. engendré dans

(−1, 2, 3, 1) ?

[Exercice corrigé]

Exercice 915

Soient

f (x) = cos(x), g(x) = cos(x) cos(2x)

et

h(x) = sin(x) sin(2x).

Détermi-

ner vect (f, g, h).

Exercice 916

Soit

α∈R

et

( R→R fα : x 7→ 1 si x = α , 0

et

( R→R gα : x 7→ eαx

(fα )α∈R

. Montrer que la famille

sinon

est libre.

[Exercice corrigé]

Exercice 917 Exercice 918 N

∗

Soit

α∈R

. Montrer que la famille

Montrer que les familles suivantes sont libres dans

(gα )α∈R

RR ,

est libre.

et ce quelque soit

N ∈

:

(x → |x − a|)a=1,3,5,...,2N +1 ; (x → cos nx)n=1,2,...,N ; (x → eax )a=1,...,N

Exercice 919 vecteurs de

R

4

17.3 Somme directe Soient

e~1 (0, 1, −2, 1), e~2 (1, 0, 2, −1), e~3 (3, 2, 2, −1), e~4 (0, 0, 1, 0) et e~5 (0, 0, 0, 1) des

. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justier votre réponse.

1.

V ect{e~1 , e~2 , e~3 } = V ect{(1, 1, 0, 0), (−1, 1, −4, 2)}.

2.

(1, 1, 0, 0) ∈ V ect{e~1 , e~2 } ∩ V ect{e~2 , e~3 , e~4 }.

3.

dim(V ect{e~1 , e~2 } ∩ V ect{e~2 , e~3 , e~4 }) = 1.

4.

V ect{e~1 , e~2 } + V ect{e~2 , e~3 , e~4 } = R4 .

5.

V ect{e~4 , e~5 }

Exercice 920 v4 =

est un sous-espace vectoriel de supplémentaire

On considère les vecteurs (0, 0, 0, 1), v5 = (0, 1, 0, 1) dans R4 .

V ect{e~1 , e~2 , e~3 }

dans

R4 .

v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (0, 1, 0, 0),

1. Vect {v1 , v2 } et Vect {v3 } sont-ils supplémentaires dans

R4 ?

2. Même question pour Vect {v1 , v3 , v4 } et Vect {v2 , v5 }.


Si

L, M, N

sont trois sous-espaces vectoriels de

E,

a-t-on :

L ∩ (M + N ) = L ∩ M + L ∩ N ? Soit

E = Rn [X]

l'espace vectoriel des polynômes de degré

6 n.

On dénit

Ea = {P ∈ E; (X − a)/P } a ∈ R. Montrer que si a 6= b il existe un couple de réels (c, d) tels que 1 = c(X−a)+d(X−b). déduire que E = Ea + Eb , la somme est-elle directe ?

pour En

Exercice 923 sous-espace

E = ∆1 (R, R) et F = {f ∈ E/f (0) = f 0 (0) = 0}. Montrer vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E . Soit

que

F

est un

[Exercice corrigé]

Exercice 924

F et G E = F ⊕ G.

dit que

Soient sont

E

un espace vectoriel,

supplémentaires

dans

E

F

et

G

lorsque

deux sous-espaces vectoriels de

F ∩ G = {0}

et

E = F + G.

E.

On

On note


1.

112

          1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 Soient e1 =   , e2 =   , e3 =   , e4 =   et e5 =   des vecteurs de 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 4 0 R . Posons F = Vect {e1 , e2 }, G = Vect {e3 , e4 }, G = Vect {e3 , e4 , e5 }. Montrer que E = F ⊕ G et E 6= F ⊕ G0 .

2. Supposons que

E

est de dimension nie

(a) Calculer dim

de

G.

avec

y∈F

et

F = {f1 , · · · , fk }

(c) Soient

que dim

x de E z ∈ G.

et

E = F ⊕ G.

se décompose d'une manière

F

une famille libre de

Montrer que la famille

F ∪G

et

unique en une somme

G = {g1 , · · · , gl }

ϕ

Rq , q ∈ N. Construire deux applications ∀y ∈ F : ψ 0 (y) = 0, ∀z ∈ G : ψ(z) = 0 et

Exercice 925 (Caractérisation de la somme directe de trois s.e.v.) s.e.v. d'un e.v.

E,

vériant

1. Démontrer que 2. Montrer que

Exercice 926

une famille libre

est libre.

une application linéaire de E dans 0 q linéaires ψ et ψ de E dans R telles que : ∀x ∈ E : ϕ(x) = ψ(x) + ψ 0 (x).

(d) Soit

(F ) = p

(G).

(b) Montrer que tout élément

x=y+z

n,

Soient

U, V, W

des

(I) : U ∩ V = {0} = (U + V ) ∩ W .

V ∩ W = {0} = U ∩ (V + W ).

(I)

équivaut à

(II) : (∀x ∈ U + V + W )(∃!(u, v, w) ∈ U × V × W )(x = u + v + w). Soit

E = {(un )n∈N ∈ RN | (un )n

converge

}.

Montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites convergeant vers 0 sont des sous-espaces supplémentaires de

E.


Exercice 927 Notations :

18.1 Dénition

C : ensemble des fonctions numériques continues sur [0, 1]. Cd : ensemble des fonctions numériques ayant une dérivée continue sur [0, 1]. C(R) et C 1 (R) : dénis de façon analogue pour les fonctions dénies sur R. P : ensemble des polynômes sur R. Pn : ensemble des polynômes sur R, de degré 6 n. Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires : 1.

R → R : x 7→ 2x2 .

2. 3.

R → R : x 7→ 4x − 3. √ R → R : x 7→ x2 .

4.

R2 → R2 : (x, y) 7→ (y, x).

5.

C → C : f 7→ {t 7→

6.

C → R : f 7→ f (3/4).

f (t) }. 1+t2


113

R1

7.

C → R : f 7→ f (1/4) −

8.

12.

R2 R2 R2 R2 R2

13.

R2 → R : (x, y) 7→

14. 15.

C → Cd : f 7→ {x P → Pn : A 7→ quotient xés, avec B(0) 6= 0).

16.

R2 → R2 : M 7→ M 0

9. 10. 11.

17. 18. 19. 20. 21.

22.

23.

24. 25. 26. 27. 28. 29.

1/2

f (t) dt.

→ R : (x, y) 7→ 3x + 5y . p → R : (x, y) 7→ 3x2 + 5y 2 . → R : (x, y) 7→ sin(3x + 5y). → R2 : (x, y) 7→ (−x, y). → R : (x, y) 7→ xy . x2 y si x2 +y 2 R 1 7→ e−x 0

x2 + y 2 6= 0

f (t) dt}. de A par B

déni par :

et0 sinon.

à l'ordre

−→ −−→0 −

OM = OM −−→ OM

n

selon les puissances croissantes ( B et

si

−−→ − → OM 6= 0

−−→ − → − → R3 → R : M 7→ OM · V où V = (4, −1, 1/2). √ R → R3 : x 7→ (2x, x/π, x 2). C → R : f 7→ maxt∈[0,1] f (t). C → R : f 7→ maxt∈[0,1] f (t) − mint∈[0,1] f (t). R2 → R2 : (x, y) 7→ la solution du système d'équations 3u − v = x 6u + 2v = y.

en

et

0

(u, v)

n

sinon.

:

R2 → R2 : (x, y) 7→ le symétrique de (x, y) par rapport à la droite d'équation x+y −a = 0 (discuter selon les valeurs de a). R3 → R3 : (x, y, z) 7→ la projection de (x, y, z) sur le plan x + y + z − a = 0 parallèlement à Oz (discuter selon les valeurs de a). Cd → C : f 7→ f 0 . R3 → R2 : (x, y, z) 7→ (2x − 3y + z, x − y + z/3). R → Cd : λ 7→ la solution de l'équation diérentielle y 0 − x2y+1 = 0 valant λ en x0 = 1. R1 C → R : f 7→ 0 ln(1 + |f (t)|) dt. R → R : x 7→ la 17-ième décimale de x (en écriture décimale). R1 Cd → R : f 7→ f 0 (1/2) + 0 f (t) dt. √

30. 31. 32.

R → R : x 7→ ln(3x 2 ). R × C(R) → C(R) : (λ, f ) 7→ la primitive de f qui C 1 (R) → C(R) : f 7→ {x 7→ f 0 (x) + f (x) · sin x}.

Exercice 928 Montrer que

f

Soient et

g

f

et

g,

applications de

sont linéaires sur

C

C

vaut

λ

en

x0 = π .

C, dénies par f (z) = z¯ et g(z) = <(z). R-e.v., et non linéaires sur C en tant que

dans

en tant que

C-e.v.

Exercice 929

Déterminer si les applications

fi

suivantes (de

Ei

dans

Fi )

sont linéaires :

f1 : (x, y) ∈ R2 7→ (2x + y, x − y) ∈ R2 , f2 : (x, y, z) ∈ R3 7→ (xy, x, y) ∈ R3 f3 : (x, y, z) ∈ R3 7→ (2x + y + z, y − z, x + y) ∈ R3 f4 : P ∈ R[X] 7→ P 0 ∈ R[X], f5 : P ∈ R3 [X] 7→ P 0 ∈ R3 [X] f6 : P ∈ R3 [X] 7→ (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R3 , f7 : P ∈ R[X] 7→ P − (X − 2)P 0 ∈ R[X].


114

Exercice 930

Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E n n−1 dans lui-même telle que ϕ = 0 et ϕ 6= 0. Soit x ∈ E tel que ϕn−1 (x) 6= 0. Montrer que la n−1 famille {x, . . . , ϕ (x)} est une base de E .

[Exercice corrigé]

Exercice 931 F ×G→R

n

18.2 Image et noyau F et G deux sous-espaces f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .

Soient

par

Rn ,

vectoriels de

on dénit l'application

f :

1. Montrer que f est linéaire. 2. Déterminer le noyau et l'image de

Exercice 932 (3)

Soit

f

f.

une application linéaire de

Rn

dans

Rn = Im(f )

M

(1)

à

Ker(f )

(2)

Im(f ) = Im(f 2 )

(3)

Ker(f ) = Ker(f 2 )

Exercice 933 de

Montrer que les propriétés

sont équivalentes.

(1)

de

Rn .

E E

dans

dans

G trois sous espaces vectoriels de RN , f une application linéaire F et g une application linéaire de F dans G. On rappelle que g ◦ f est l'application G dénie par g ◦ f (v) = g(f (v)), pour tout vecteur v de E . E, F

Soient :

1. Montrer que

g◦f

2. Montrer que

f

Exercice 934 E E,

est une application linéaire.

Ker(g

1 et

vectoriel

et

E2

◦ f ) = Kerg ∩ Imf .

étant deux sous-espaces vectoriels de dimensions nies d'un espace

on dénit l'application

1. Montrer que

f

f : E1 × E2 → E

par

f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .

est linéaire.

2. Déterminer le noyau et l'image de

f.

3. Appliquer le théorème du rang.

Exercice 935

l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Pour p on note ep le polynôme x 7→ x . Soit f l'application dénie sur E par f (P ) = Q avec Soit

E

p6n Q(x) = P (x + 1) + P (x − 1) − 2P (x). 1. Montrer que 2. Calculer

f

est une application linéaire de

f (ep ) ;

quel est son degré ? En déduire

Q un polynôme de Im f ; f (P ) = Q et P (0) = P 0 (0) = 0.

3. Soit

Exercice 936

Soit

E

dans

E.

ker f ,

Im

f

et le rang de

f.

montrer qu'il existe un polynôme unique

E , F , G trois espaces vectoriels, f

et

P

tel que :

f

g

g deux applications linéaires E → F → G ;

montrer que :

Exercice 937

toriels de linéaire

f

ker(g ◦ f ) = f −1 (ker g ∩ Im f ) = f −1 (ker g). Soit

E

un espace vectoriel de dimension nie,

E ; donner une condition nécessaire et susante E dans E vériant : f (E) = F et ker f = N .

de

F

et

N

deux sous-espaces vec-

pour qu'il existe une application


Exercice 938

115

E , F , G trois espaces vectoriels de dimensions respectives n, p, q , f et g f g deux applications linéaires E → F → G telles que g ◦ f = 0. Quelle relation existe-t-il entre le rang de f et celui de g ?

Exercice 939 dans (1)

E;

E

Soit

f

un espace vectoriel de dimension nie,


E

montrer que les propriétés (1) à (3) sont équivalentes :

E = Im f ⊕ ker f ,

(2) Im (3)

Soit

f = Im f 2 ,

ker f = ker f 2 .

Exercice 940

E

Soit

un espace vectoriel, et

u


E

dans

E.

Dire si

les propriétés suivantes sont vraies ou fausses : 1. Si

e1 , e2 , . . . , ep

2. Si

u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep )

3. Si

e1 , e2 , . . . , ep

4. Si

u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep )

est génératrice, il en est de même de

5. Si

u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep )

est une base de

est libre, il en est de même de

est libre, il en est de même de

est génératrice, il en est de même de

espace vectoriel supplémentaire de

Exercice 941

u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ).

=u,

alors

e1 , e2 , . . . , ep .

u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ). e1 , e2 , . . . , ep .

e1 , e2 , . . . , ep

est une base d'un sous-

Ker u.

E un espace vectoriel et ϕ une application linéaire de E dans E . On (ϕ) ∩ Im (ϕ) = {0}. Montrer que, si x 6∈ Ker (ϕ) alors, pour tout n ∈ N :

Soient

suppose que Ker ϕn (x) 6= 0.

[Exercice corrigé]

Exercice 942

Pour des applications linéaires

f : E → F , g : F → G,

établir l'équivalence

g ◦ f = 0 ⇐⇒ Imf ⊂ Kerg. f un endomorphisme d'un e.v. E , vériant l'identité f 2 + f − 2iE = 0. Etablir Im (f − iE ) ⊂ Ker (f + 2iE ) ; Im(f + 2iE ) ⊂ Ker (f − iE ) ; E = Ker (f − iE ) ⊕ Ker (f + 2iE ). Soit

Exercice 943

E

Soient

un espace vectoriel de dimension

n

et

f


E

dans lui-même. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes : 1. Ker (f ) 2.

f2 = 0

= im(f ). n=2

et

rg(f ).

[Exercice corrigé]

Exercice 944

nie. Soit

f

Soient

un espace vectoriel et

1. Montrer que, si

F ⊂ f (F )

2. Montrer que, si

f

Exercice 945 ker(f ) ⊂ ker(g ◦ f ) Exercice 946

Soient

alors

E

F

un sous-espace vectoriel de

E

de dimension

dans lui-même.

f (F ) = F .

est injective et

f (F ) ⊂ F

alors

f : E → F et g : F → G ◦ f ) ⊂ Im(f ).

f (F ) = F .

deux applications linéaires. Montrer que

et Im(g

un espace vectoriel de dimension nie et ϕ une application linéaire de n n dans lui-même. Posons Kn = Ker (ϕ ) et In = Im (ϕ ). Montrer qu'il existe n0 ∈ N tel que Soit

E

E


pour tout

n > n0

Exercice 947 ker(f )

E

on ait

Soient

f

Kn = Kn0 . Déduiser en que pour tout n > n0 et

g

deux endomorphismes de

et Im(f ) sont stables par

g.

E

tels que

on a également

f ◦ g = g ◦ f.

In = In0 .

Montrer que


116

Exercice 948 f ∈ L(E) f ◦ (f − f − id) = 0 Exercice 949 f ∈ L(E) [Exercice corrigé] Exercice 950 U Soit

telle que

2

remarquera que

f3 = f2 + f.

Montrer que

E = ker(f ) ⊕ Im(f )

(on

).

ker(f ) ∩ Im(f ) = f (ker(f ◦ f )).

Soit

. Montrer que

Soit


E

espace vectoriel, et

A = {f ∈ L(E)|U ⊂ Ker(f )}. A

Montrer que

Exercice 951

Donner des exemples d'applications linéaires de

1.

Ker(f ) = Im(f ).

2.

Ker(f )

3.

Im(f )

inclus strictement dans Soit

R2

dans

R2

vériant :

Im(f ).

inclus strictement dans

Exercice 952

L(E).


Ker(f ).

(u, v) ∈ (L(E))2 ,

tels que

u2 = u

et

vu = 0.

Montrer que

Im(u + v) = Im(u) + Im(v).

Exercice 953

18.3 Injectivité, surjectivité, isomorphie Soit

(e~1 , e~2 , e~3 )

de

dénit une application linéaire de Comment choisir

Exercice 954

λ

Soit

pour que

E

φ

R3 ,

et λ un nombre   φ(e~1 ) = e~1 + e~2 φ(e~2 ) = e~1 − e~2  φ(e~3 ) = e~1 + λe~3

une base de

R3

dans

réel. Démontrer que la donnée

R3 . Ecrire l'image du vecteur ~v = a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3 .

soit injective ? surjective ?


3, {e1 , e2 , e3 }

une base de

E,

et

λ

un

paramètre réel.

  ϕ(e1 ) = e1 + e2 ϕ(e2 ) = e1 − e2 Démontrer que la donnée de dénit une application linéaire ϕ de E  ϕ(e3 ) = e1 + λe3 dans E . Écrire le transformé du vecteur x = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 . Comment choisir λ pour que ϕ soit injective ? surjective ?

Exercice 955 E

de de

étant un espace vectoriel de dimension

E dans E , construire dans les trois E dans E telles que f = u − v . f est bijective. Ker f + Im f = E . f est quelconque.

Exercice 956

n

sur

R, f

une application linéaire

cas suivants deux applications linéaires bijectives

u

et

v


117

1. Dire si les applications

fi , 1 6 i 6 6,

sont linéaires

f1 : (x, y) ∈ R2 7→ (2x + y, ax − y) ∈ R2 , f2 : (x, y, z) ∈ R3 7→ (xy, ax, y) ∈ R3 , f3 : P ∈ R[X] 7→ aP 0 + P ∈ R[X], f4 : P ∈ R3 [X] 7→ P 0 ∈ R2 [X], f5 : P ∈ R3 [X] 7→ (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R3 , f6 : P ∈ R[X] 7→ P − (X − 2)P 0 ∈ R[X].

2. Pour les applications linéaires trouvées ci-dessus, déterminer si

fi

ker(fi ) et Im (fi ), en déduire

est injective, surjective, bijective.

Exercice 957

Soit f ∈ L(E) non nul ; montrer que f est injective si et seulement si pour tout (E1 , E2 ) de sous-espaces supplémentaires de E , la somme f (E1 ) + f (E2 ) est directe (i.e. f (E1 ) et f (E2 ) sont supplémentaires).

couple

Exercice 958

Soit

f ∈ L(E)

E

où

est un

K−espace

vectoriel. On suppose :

∀x ∈ E, ∃λ ∈ K, f (x) = λx. Montrer :

Exercice 959

∃µ ∈ K, f = µid. Soient

E = Cn [X]

(n +1). On considère l'application f euclidienne de AP par B . f

1. Montrer que

A

et

et

B

deux polynômes à coecients complexes de degré

qui à tout polynôme

est un endomorphisme de

P

de

E , associe les reste de la division

E.

2. Montrer l'équivalence


f

⇐⇒ A

et

B

sont premiers entre eux .

Soit

f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + id. Montrer que f

Soit

E

un

Cespace

vectoriel et

f ∈ L(E)

1. Montrer que

f

2. Montrer que

E = ker(f − Id) ⊕ ker(f − 2Id).

∀i, f (εi ) = λi εi

Exercice 962 R Exercice 963 linéaire de

E

toute base de

avec

E est de dimension λi = 1 ou λi = 2.

q
Soient

dans

E

F.

E

nie

n,

il existe une base

β = (εi )16i6n ,

telle que

et

F

p
deux espaces vectoriels de dimension nie et

Montrer que

est une base de

[Exercice corrigé]

f 2 − 3f + 2Id = 0L(E) .

p il n'existe pas d'application linéaire surjective de R dans p q il n'existe pas non plus d'application linéaire injective de R dans R .

Montrer que si

. Montrer que si

tel que

est un automorphisme.


3. Déduire de 2. que si

q

est bijective

ϕ

ϕ

une application

est un isomorphisme si et seulement si l'image par

ϕ

de

F.

Exercice 964 1. Soient

F.

E

et

F

deux espaces vectoriels et ϕ une application linéaire bijective de E dans ϕ−1 est linéaire. Une telle application est dite un

Montrer que la bijection réciproque

isomorphisme d'espaces vectoriels.

18 Applications linéaires 2. Soient

E

et

F

118

deux espaces vectoriels de dimension nie. Montrer qu'il existe un isomor-

phisme d'espaces vectoriels de

Exercice 965 E

de

Soit

E

V. Le graphe f (x)}.

de

F

à valeurs dans

si et seulement si dim (E)

= dim(F ).

ϕ et ψ deux applications ψ ◦ ϕ = idE .

un espace vectoriel de dimension nie

dans lui-même telles que

Exercice 966

E

ϕ ◦ ψ = idE .

Montrer que

linéaires

18.4 Morphismes particuliers Soient

f

U

et

V

deux ensembles non vides et

est le sous-ensemble de

U

1. On suppose maintenant que

et

la structure d'espace vectoriel de 2. Montrer qu'une partie

H

de

U ×V

V sont U × V.

U ×V

f

déni par

U à valeurs dans Gf = {(x, y) ∈ U × V tels que y =

une application de

des espaces vectoriels. Rappeler la dénition de

est le graphe d'une application linéaire de

U

dans

V

si et seulement si les trois conditions qui suivent sont satisfaites :

i) La projection canonique H → U dénie par (x, y) 7→ x est surjective. ii) H est un sous-espace vectoriel de U × V. iii) H ∩ ({0U }) × V ) = {0U ×V }. (0U et 0U ×V sont les éléments neutres respectifs de U

et

U × V.) 3. On identie

R4

à

R2 × R2

4. Montrer que

E

(x, y, z, t) 7→ ((x, y), (z, t)) .

par l'isomorphisme

conditions nécéssaires et susantes pour que 2 de R dans lui-même.

E

Enoncer des

soit le graphe d'une application linéaire

ϕ de R2 dans lui-même. Déterminer

est le graphe d'une application linéaire

sa matrice dans une base que l'on dénira au préalabe.

Exercice 967 (Projecteur et involution) E E u E projecteur Soit

sur

. Un endomorphisme

de

est un

un espace vectoriel ; on note si

iE

l'identité

u ◦ u = u.

u est un projecteur alors iE − u est un projecteur. = {x ∈ E; u(x) = x} et que E = Keru ⊕ Imu. endomorphisme u de E est appelé involutif si u ◦ u = iE .

1. Montrer que si

Vérier aussi que

Imu Un

u est involutif alors u est bijectif et E = Im(iE + u) ⊕ Im(iE − u). E = F ⊕ G et soit x ∈ E qui s'écrit donc de façon unique x = f + g , f ∈ F , g ∈G. u : E 3 x 7→ f − g ∈ E .

2. Montrer que si Soit Soit

3. Montrer que

u

est involutif,

4. Montrer que si

u

F = {x ∈ E; u(x) = x}

est un projecteur,

2u − iE

et

G = {x ∈ E; u(x) = −x}.

est involutif et que tout endomorphisme

involutif peut se mettre sous cette forme.

Exercice 968

Soient

0, x − y − z = 0}.

On

P = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + y − z = 0} et D = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x − 2y + z = 3 désigne par ε la base canonique de R .

1. Donner une base {e1 , e2 } de P et {e3 } une base de ε0 = {e1 , e2 , e3 } est une base de R3 .

p la projection de R3 sur P 2 Mat (p, ε, ε). Vérier A = A.

2. Soit

parallélement à

D. D.

Montrer que

R3 = P ⊕ D

Déterminer Mat (p, ε

0

, ε0 )

puis que

puis

A=

s la symétrie de R3 par rapport à P parallélement à D. Déterminer Mat (s, ε0 , ε0 ) puis B = Mat(s, ε, ε). Vérier B 2 = I, AB = A et BA = A.

3. Soit

Exercice 969

18 Applications linéaires 1. Soit

E

119


de dimension

n − 1.

n. Un hyperplan

de

E

est un sous-espace vectoriel

Montrer que l'intersection de deux hyperplans de

n − 2.

supérieure ou égale à

p 6 n,

Montrer que, pour tout

a une dimension supérieure ou égale à

E

a une dimension

l'intersection de

p

hyperplans

n − p.

n ∈ N et pour tout y ∈ R, l'application ey de Rn [X] à valeurs en posant ey (P (X)) = P (y) ( i.e. l'application ey est l'évaluation en y ) est

2. Montrer que, pour tout dans

R

dénie

linéaire. Calculer la dimension de son noyau.

0 3. Même question avec l'application ey de Rn [X] à valeurs dans 0 0 P (y) (en désignant par P le polynôme dérivé de P ). 4. Démontrer, à l'aide de ces deux résultats, qu'il existe dans et ayant les propriétés suivantes :

Exercice 970

Soit

P (0) = P (1) = P (2) = 0

( R2 → R2 f : (x, y) 7→ 13 (−x + 2y, −2x + 4y)

R dénie en posant e0y (P (X)) =

R6 [X] un polynôme P non nul 0 0 0 et P (4) = P (5) = P (6) = 0.

. Montrer que

f

est la bîîîîp par

rapport à bîîîîp parallèlement à bîîîîp.

ExerciceL 971 E

R−espace vectoriel, F et G deux sous-espaces supplémentaires de E : E=F G. On Lpose s(u) = uF − uG où u = uF + uG est la décomposition (unique) obtenue grâce à E = F G. s est la symétrie par-rapport à F de direction G. 1. Montrer que s ∈ L(E), que u ∈ F ⇔ s(u) = u, u ∈ G ⇔ s(u) = −u, donner Ker(s) et 2 calculer s . 2 E . Calculer f (u) en 2. Réciproquement si f ∈ L(E) vérie f = idE . On pose p = f +id 2 fonction de p(u) et u. Vérier que p est un projecteur, calculer son noyau et son image. Montrer que f est la symétrie par rapport à F = {u ∈ E|f (u) = u} de direction G = {u ∈ E|f (u) = −u}.

Exercice 972

est un

Soient

p

et

commutent). Montrer que

q deux projecteurs de E , espace vectoriel, tels que pq = qp (p pq et (p + q − pq) sont deux projecteurs de E , et que :

et

q

Im(pq) = Im p ∩ Im q,

Exercice 973

Im(p + q − pq) = Im p + Im q. Soient

p

et

q

deux projecteurs de

nécessaire et susante pour que

p+q

E,

espace vectoriel ; donner une condition

soit un projecteur de

E;

donner alors

Im(p + q)

et

Ker(p + q).

Indication

: on montrera que

Exercice 974

Im(p + q) = Im p

L

Im q

et que

Ker(p + q) = Ker(p) ∩ Ker(q).

E l'espace vectoriel des applications de R dans R, P le sous-espace des L fonctions paires et I le sous-espace des fonctions impaires. Monter que E = P I. Donner l'expression du projecteur sur P de direction I.

Exercice 975

Soit

Soit

E = R[X]

l'espace vectoriel des polynômes, et

∀P ∈ E, f (P )(X) = Montrer que

f ∈ L(E), que E = Im f

illustre t-il ?

Exercice 976

Soit

E = Rn [X]

L

Ker(f ) mais que f 2 = −f. Quel théorème cet exemple

l'espace vectoriel des polynômes de degré 0

f (P ) = P + (1 − X)P . f ∈ L(E),

dénie par :

P (−X) − P (X) . 2

dénie par :

Montrer que

f :E→E

donner une base de

Im f

et de

Ker(f ).

6 n,

et

f :E→E


Exercice 977

E = C(R+ , R)

Soit

et

U :E→E

120 dénie par

1 ∀x ∈ R , U (f )(x) = x +∗

et

U (f )(0) = f (0).

Exercice 978

Montrer que

x

Z

déterminer

telle que :

f (t)dt.

0

Ker(U )

et

Im(U ).

Pq l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré Oq l'espace vectoriel des polynômes d'ordre supérieur ou égal à q , q divisibles par x . P étant un polynôme, on note T (P ) le polynôme déni par : Z x 1 5 (4) T (P )(x) = xP (0) − x P (0) + t2 [P (t + 1) − P (t) − P 0 (t)] dt. 20 0 On désigne par

q,

inférieur ou égal à c'est-à-dire

U ∈ L(E),

f 7→ U (f )

et

T (ei ) où e0 = 1, e1 = x, e2 = x2 , e3 = x3 , e4 = x4 , et vérier que T (P4 ) ⊂ P4 . Désormais, on considère T comme application linéaire de P4 dans P4 . Écrire sa matrice par rapport à la base (e0 , e1 , e2 , e3 , e4 ). T

1. Montrer que

est linéaire. Déterminer

2. Déterminer soigneusement les espaces

T0

3. La restriction 0 de T .

de

T

à

P4 ∩ O2

T (P4 ∩ O3 )

=T = (O1 ∩ P1 ) ⊕ (O3 ∩ P4 ).

5. Montrer que

Ker T

T (u) = λu.

(O1 ∩ P1 ) ⊕ V

T? ; expliciter un sous-espace

Ker T ∩ =T .

6. On cherche un vecteur non nul que

Quel est le rang de

peut s'écrire sous la forme

possible. Déterminer

T (P4 ∩ O2 ).

est-elle injective ? Sinon déterminer une base du noyau

4. Montrer que

V

et

u = ae3 + be4

de

O3 ∩ P4 , et un nombre a, b, λ. Montrer qu'il

Écrire les équations que doivent vérier

λ, λ1 et λ2 , telles 0 < λ1 < λ2 ; les calculer. Trouver u4 de O3 ∩ P4 tels que T (u3 ) = λ1 u3 et T (u4 ) = λ2 u4 .

valeurs possibles de

u3

non nuls

et

u0 = e1 , u1 = e2 − 4e3 + 3e4 , u2 = e0 . Montrer P4 . Écrire la matrice de T dans cette base.

7. On pose base de

que

réel

λ,

tels

existe deux

deux vecteurs

{u0 , u1 , u2 , u3 , u4 }

est une

19 Espaces vectoriels de dimension nie 19.1 Base

Exercice 979 culer les

      1 −1 1      Montrer que les vecteurs { 1 , 1 , 0 } forment une base de R3 . Cal1  0   −1   1 1 0      0 , 0 , 0 dans cette base. coordonnées respectives des vecteurs 0 1 1

[Exercice corrigé]

Exercice 980

v~1 (1, 2, 3, 4), v~2 (2, 2, 2, 6), v~3 (0, 2, 4, 4), v~4 (1, 0, −1, 2), v~5 (2, 3, 0, 1) dans R4 . Soient F = V ect{v ~1 , v~2 , v~3 } et G = V ect{v~4 , v~5 }. Déterminer une base des sous-espaces F ∩ G, F, G et F + G.

Exercice 981

Soient

1. Montrer que les vecteurs x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 1) et x3 R3 . Trouver dans cette base les composantes du vecteur x

forment une base de

2. Donner, dans 3. Donner, dans

R3 , R

3

un exemple de famille libre, qui n'est pas génératrice.

, un exemple de famille génératrice, mais qui n'est pas libre.

= (1, 1, 0) = (1, 1, 1).


Exercice 982

121

R4 , F = lin{a, b, c} et G = lin{d, e}, avec a = (1, 2, 3, 4), b = (2, 2, 2, 6), c = (0, 2, 4, 4), d = (1, 0, −1, 2) et e = (2, 3, 0, 1). Déterminer des bases des sous-espaces F ∩ G, F , G, F + G.

Exercice 983 E1 E2 E3 E4 E5

= {P = {P = {P = {P = {P

∈ P5 ∈ P5 ∈ P5 ∈ P5 ∈ P5

On considère dans

Dans l'espace

P5

des polynômes de degré

| P (0) = 0} | P 0 (1) = 0} | x2 + 1 divise P } | x 7→ P (x) est une fonction | ∀x, P (x) = xP 0 (x)}.

6 5,

on dénit les sous-ensembles :

paire }

1. Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels

E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E1 ∩ E2 , E1 ∩ E3 ,

E1 ∩ E2 ∩ E3 , E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4 . 2. Déterminer dans

Exercice 984

P5

des sous-espaces supplémentaires de

E4

et de

E1 ∩ E3 .

R4 on considère l'ensemble E des vecteurs (x1 , x2 , x3 , x4 ) vériant l'équa4 tion x1 + x2 + x3 + x4 = 0. L'ensemble E est-il un sous-espace vectoriel de R ? Si oui, en donner Dans

une base.

Exercice 985

Vrai ou faux ? On désigne par

1. Si les vecteurs 2. Soit

x, y, z

x 1 , x2 , . . . , x p

E

un

R-espace

vectoriel de dimension nie.

sont deux à deux non colinéaires, alors la famille

x, y, z

est libre.

une famille de vecteurs. Si aucun n'est une combinaison linéaire des

autres, la famille est libre.

Exercice 986

Étudier l'indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à

chaque fois une base du sous-espace engendré. 1.

(1, 0, 1), (0, 2, 2), (3, 7, 1)

dans

R3 .

2.

(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)

dans

R3 .

3.

(1, 2, 1, 2, 1), (2, 1, 2, 1, 2), (1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 1)

4.

(2, 4, 3, −1, −2, 1), (1, 1, 2, 1, 3, 1), (0, −1, 0, 3, 6, 2)

5.

(2, 1, 3, −1, 4, −1), (−1, 1, −2, 2, −3, 3), (1, 5, 0, 4, −1, 7)

Exercice 987

Dans

dans

dans

R5 .

R6 . dans

R6 .

R3 , les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace

qu'ils engendrent. 1.

v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 0, −1), v3 = (−1, 1, −1).

2.

v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 0, −1), v3 = (1, 8, 13).

3.

v1 = (1, 2, −3), v2 = (1, 0, −1), v3 = (1, 10, −11).

Exercice 988 R F = {(2, 3, −1), (1, −1, −2)} Exercice 989 R Dans

3

lin

Dans

4

F et G suivants G = lin{(3, 7, 0), (5, 0, −7)}.

, comparer les sous-espaces et

:

, on considère les familles de vecteurs suivantes

v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (1, 0, −2, 3), v4 = (2, 1, 0, −1), v5 = (4, 3, 2, 1). v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (3, 4, 5, 16). v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (2, 1, 0, 11), v4 = (3, 4, 5, 14). Ces vecteurs forment-ils : 1. Une famille libre ? Si oui, la compléter pour obtenir une base de

R4 .

Si non donner des

relations de dépendance entre eux et extraire de cette famille au moins une famille libre. 2. Une famille génératrice ? Si oui, en extraire au moins une base de l'espace. Si non, donner la dimension du sous-espace qu'ils engendrent.


Exercice 990 E F ∪G Exercice 991 Si

montrer que

122

est un espace vectoriel de dimension nie,

F

On désigne par

E

un

R-espace

G deux sous-espaces de E , F ⊂ G ou G ⊂ F .

et

est un sous-espace vectoriel si et seulement si

vectoriel de dimension nie. Les propriétés sui-

vantes sont-elles vraies ou fausses ?

D1 , D2 , D3 des droites vectorielles de R3 distinctes deux à deux. Alors R3 est somme D1 , D2 , D3 .

1. Soient de

2. Soient

F

3. Soient

P1

4. Soient

F

5. Soit

et et et

G

des hyperplans vectoriels de

P2 G

des plans vectoriels de

E

E.

tels que

3

des sous-espaces de dimension

(e1 , e2 , e3 , e4 )

la base canonique de

F

supplémentaire de

Exercice 992

contient

Alors

R

4

et

E 6= F ∪ G.

P1 ∩ P2 = {0}.

de

F =

R5 .

Alors

Alors

dim E > 4.

F ∩ G 6= {0}.

lin{e1 , e3 }. Tout sous-espace vectoriel

e2 .

2 3 1. Montrer qu'on peut écrire le polynôme F = 3X − X + 8X sous la forme F = a + b(1 − X) + c(X − X 2 ) + d(X 2 − X 3 ) (calculer a, b, c, d réels), et aussi sous la 2 2 3 forme F = α + β(1 + X) + γ(1 + X + X ) + δ(1 + X + X + X ) (calculer α, β, γ, δ réels).

2. Soit

P3

l'espace vectoriel des polynômes de degré P3 : B1 = {1, X, X 2 , X 3 }, B2 X, 1 + X + X 2 , 1 + X + X 2 + X 3 }.

sont des bases de

{1, 1 +

Exercice 993

6 3. Vérier que les ensembles suivants = {1, 1 − X, X − X 2 , X 2 − X 3 }, B3 =

P2 des polynômes de degré 6 2, on considère les po2 2 2 2 2 lynômes P1 = X + X(1 − X) + (1 − X) , P2 = X + (1 − X) , P3 = X + 1 + (1 − X) , P4 = X(1 − X). Peut-on extraire de {P1 , P2 , P3 , P4 } des bases de P2 ? Si oui, les trouver toutes.

Exercice 994

Dans l'espace vectoriel 2

Soit

E

l'ensemble des fractions rationnelles

F =

P (X −

1)3 (X 2

+ 1)2

,

P

F

qui peuvent s'écrire

polynôme de degré

6 6.

1 1 1 1 X 1 X , , , , , , forment-elles une base de (X−1) (X−1)2 (X−1)3 X 2 +1 X 2 +1 (X 2 +1)2 (X 2 +1)2 Que se passe-t-il si on suppose que P décrit l'ensemble des polynômes de degré 6 9 ? Les fractions

E?

Exercice 995

Problème de l'interpolation : soit les cinq points (x1 , y1 ) = (−2, 3), (x2 , y2 ) = (0, −2), (x3 , y3 ) = (1, 5), (x4 , y4 ) = (5, 1), (x5 , y5 ) = (6, 7) de R2 , et P4 l'espace vectoriel des polynômes de degré 6 4. On veut trouver un polynôme F dans P4 tel que pour i = 1, . . . , 5 on ait F (xi ) = yi . 1. Sans eectuer les calculs, indiquer comment on pourrait calculer a, b, c, d, e exprimant F = a + bX + cX 2 + dX 3 + eX 4 selon la base {1, X, X 2 , X 3 , X 4 } de P4 . 2. Montrer que de de

{1, X + 2, (X + 2)X, (X + 2)X(X − 1), (X + 2)X(X − 1)(X − 5)} est une base

P4 . Calculer directement (indépendamment de la question précédente) les coordonnées F dans cette base.

X(X −1)(X −5)(X −6), (X +2)(X −1)(X −5)(X − 6), (X + 2)X(X − 5)(X − 6), (X + 2)X(X − 1)(X − 6), (X + 2)X(X − 1)(X − 5) forment une base de P4 . Calculer directement (indépendamment des questions précédentes) les coordonnées de F dans cette base.

3. Montrer que l'ensemble des polynômes

4. Dans laquelle des diverses bases ci-dessus le calcul de

Exercice 996

Déterminer pour quelles valeurs de

forment une base de

R3 .

t ∈ R

F

vous paraît-il le plus simple ?

les vecteurs

      1 1 t 0 , 1 , 0 t t 1


Exercice 997

Soit

(Σ)

123

le système d'équations linéaires :

  x + 3y + 2z = 0 x+y+z+t=0  x−t=0 Montrer que l'ensemble des solutions de la dimension et une base de

Exercice 998

Soit

P ∈ Rn [X].

On pose, pour tout

p ∈ N : Ap (X) = (X − a)p

est une base de

Montrer que

P (X) =

n X k=0

E

l'ensemble de

Rn [X]

Exercice 999

de

R4 . Déterminer

F.

ε = {A0 , . . . , An }

1. Montrer que 2. Soit

a ∈ R.

(Σ) forme un sous-espace vectoriel F

des élément de

et

Bp (X) = X p .

Rn [X].

1 (k) P (a)Ak (X). k!

(On pourra montrer que

Rn [X] qui satisfont à cette égalité est un sous-espace vectoriel

et contient une base.)

E = R∗+ ×R de la loi interne addition + : (a, b)+(a0 , b0 ) = (aa0 , b+b0 ), λ coecients réels : (∀λ ∈ R)∀(a, b) ∈ Eλ.(a, b) = (a , λb).

On munit

et de la loi externe . à 1. Vérier que

(E, +, .)

est un

R-e.v.

2. Les systèmes suivants sont-ils libres ou liés : ((1,0),(1,1)) ? ((2,1),(8,3)) ? ((2,1),(6,3)) ?

b = ((2, 0), (2, 1)) est une base de E v = (x, y) ∈ E par rapport à la base b.

3. Vérier que le système du vecteur

Exercice 1000

Pour

k = 2, 3, 4

montrer que

Vk

est un s.e.v. de

et déterminer les composantes

Ck ,

et en donner une base :

V2 = {(a, b) ∈ C2 /a + ib = 0}, V3 = {(a, b, c) ∈ C3 /a + 2b + 3c = 0},

Exercice 1001 de degré

V4 = {(a, b, c, d) ∈ C4 /a + ib = b + ic = c + id}. Soit

n ∈ N et E = Rn [X], l'espace

vectoriel des polynômes à coecients réels,

6 n.

1. Soit

β = (P0 , P1 , ..., Pn ) un système de (n + 1) = k . Montrer que β est une base de E .

polynômes tels que,

∀k , 0 6 k 6 n,

deg Pk 2. Soit

P

n. Montrer que : γ = (P, P 0 , . . . , P (n) ) est une base de E et du polynôme Q déni par : Q(X) = P (X + a), (a réel xé),

un polynôme de degré

déterminer les composantes dans la base

γ.

3. Démontrer que le système pour tout

Exercice 1002

S = (X k (1 − X)n−k )06k6n

p ∈ {0, 1, . . . , n},

est une base de E , et déterminer, X p dans la base S .

les composantes du polynôme

v1 = (1, 0, 0, −1), v2 = (2, 1, 0, 1), v3 = (1, −1, 1, −1), v4 = (7, 2, 0, −1) et v5 = (−2, −3, 1, 0). Donner une base du sous-espace vectoriel F =< v1 , v2 , v3 , v4 , v5 >. 4 Déterminer un supplémentaire de G dans F dans R .

Exercice 1003

Soient

v1 = (1, 2, 3, 0), v2 = (−1, 1, 2, 1), v3 = (1, 5, 8, 1) et le triplet w1 = (0, 3, 5, 1), w2 = (1, −1, 1, 0), w3 = (0, 0, 3, 1). On considère les sous-espaces vectoriels F =< v1 , v2 , v3 > et G =< w1 , w2 , w3 >. Donner une base des sous-espaces suivants F, G, F ∩G et F + G.

Exercice 1004

Soient le triplet

Soit

E = fα,A ∈ F(R, R); (α, A) ∈ R2 , Montrer que

E


fα,A (x) = A cos(x + α) .

F(R, R)

et en donner une base.


Exercice 1005

E = R3 .

Soit

124

On dénit le système

S = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 = (1, 2, 3)} 1. Montrer que

S

est une base de

2. Calculer les coordonnées de

Exercice 1006

1. Montrer que les vecteurs 3 de C .

v = (5, 7, 12)

w = (1 + i, 1 − i, i)

√ s1 = (1, 2) vectoriel sur Q.

1. Montrer que le système comme un espace

R2 , les vecteurs u1 = (3 + (u1 , u2 ) est Qlibre et Rlié.

2. Soient dans système

dans cette base.

w1 = (1, −1, i), w2 = (−1, i, 1), w3 = (i, 1, −1) forment une base

2. Calculer les composantes de

Exercice 1007

E.

et

√

dans cette base.

s2 = (1,

√ √ 2, 3)

√ 5, 2 + 3 5)

et

sont libres dans

√ u2 = (4, 7 5 − 9).

R

considéré

Montrer que le

C2 , les vecteurs r1 = (1 + i, 1 − 2i) et r2 = (3i − 1, 5). Montrer que le système Rlibre et Clié.

3. Soient dans

(r1 , r2 )

est

Exercice 1008 t + 1) Exercice 1009 2

Déterminer pour quelles valeurs de

forment une base de

R2 [X].

Etudier la liberté des familles

1.

(1, 1), (1, 2).

2.

(2, 3), (−6, 9).

3.

(1, 3, 1), (1, 3, 0), (0, 3, 1).

4.

(1, 3), (−1, −2), (0, 1).

Exercice 1010

Les familles suivantes sont-elles génératrices ?

1.

(1, 1), (3, 1)

2.

(1, 0, 2), (1, 2, 1)

dans

R2 .

dans

Exercice 1011 R =Π⊕D Exercice 1012 Exercice 1013

R3 .

On considère dans

Montrer que

t ∈ R les polynômes X 2 +t/2 , X −t , (X +

3

R3 , Π = vect {(1, 1, 1), (1, 1, −1)}

et

D = vect {(0, 1, −1)}.

.

Déterminer une base de

{(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0}.


D = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y = 0, x − y + z = 0}.

19.2 Dimension

Exercice 1014 R V = (0, 1, 2, 3) V = (1, 2, 3, 4) V = (2, 3, 4, 5) Exercice 1015 E F E dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G) Exercice 1016 Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de

1

,

2

Si

, montrer que :

et

3

4

engendré par les vecteurs

.

est un espace vectoriel de dimension nie,

et

G

deux sous-espaces de

.

Montrer que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie

est de dimension nie.


Exercice 1017

P0 , P 1 , P2

Soient

P0 (X) =

et

125

P3 ∈ R2 [X]

dénis par

(X − 1)(X − 2) X(X − 1) , P1 (X) = , 2 2

(X − 1)(X − 3) . 3 2 Exprimer 1, X, X en fonction de P0 , P1 et P2 . On note F = V ect{P0 , P1 } et G = V ect{P2 , P3 }. Calculer dim F , dim G, dim(F + G) et dim(F ∩ G). Vérier que P2 (X) = 2X(X − 2), P3 (X) =

dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G).

Exercice 1018 2

sin x, f2 (x) =

F

Donner la dimension du sous-espace cos2 x, f3 (x) = sin 2x et f4 (x) = cos 2x.

Exercice 1019

On considère, dans

R4 ,

les vecteurs :

   2 −1 0 3   , e5 =  . 0 −1 1 2 Soient E l'espace vectoriel engendré par e1 , e2 , e3 dimensions respectives de E , F , E ∩ F , E + F .

de

F(R, R)

engendré par

f1 (x) =

      1 2 1 1 2 1      e1 =  3 , e2 = 1 , e3 = 1 , e4 = 1 4 3



et

F

celui engendré par

e4 , e5 .

Calculer les

[Exercice corrigé]

Exercice 1020

E = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x + y + z + t = 0} et F = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x + y = z + t} dim E, dim F, dim(E + F ), dim(E ∩ F ). ( R3 → R3 Montrer que f : est un automorphisme. (x, y, z) 7→ (z, x − y, y + z)

Déterminer


Soient

Soit

E

un

Q-espace n

vectoriel de dimension

est pair

Exercice 1023 f (−2, 1) = 5 Exercice 1024 (1, x, −1), e = (x, 1, x), e = (−1, x, 1) Exercice 1025 E

n.

⇔ ∃f ∈ L(E)/Imf = ker f

Montrer qu'il existe une unique forme linéaire

et

. Déterminer le noyau et l'image de Déterminer suivant la valeur de

2

3

Soit

3

f = 0.

Soit

Montrer que

f

sur

R2

f.

x∈R

le rang de la famille de vecteurs

e1 =

.


3

et

f ∈ L(E)

telle que

f 2 6= 0

et

x0 ∈ E/f (x0 ) 6= 0.

(x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ))

est une base.

2. Montrer que l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec 2 vectoriel de L(E) de base (id, f, f ).

Exercice 1026

Soit

priétés :

ker f = ker f 2 .

(ii) Im f

f (1, 2) = 2

2

1. Montrer que

(i)

telle que

= Imf 2 .

E

de dimension nie et

f ∈ L(E).

f

est un sous-espace

Montrer l'équivalence des trois pro-

19 Espaces vectoriels de dimension nie (iii)

126

E = ker f ⊕ Imf .

Exercice 1027

E

Soient

1. Montrer que rg (u 2. En déduire que

Exercice 1028

Soit

et

F

de dimensions nies et

u, v ∈ L(E, F ).

+ v) 6 rg(u) + rg(v).

|rg(u) − rg(v)| 6 rg(u + v). (f, g) ∈ (L(E))2

où

E

est un

K -espace

vectoriel de dimension nie

n,

montrer les inégalités :

rg(f ) + rg(g) − n 6 rg(f ◦ g) 6 inf(rg(f ), rg(g)) (on pourra utiliser

Exercice 1029 que :

(f + g)

est

Exercice 1030

g| ker(f ◦g) = h

dont on déterminera le noyau)

(f, g) ∈ (L(E))2 où E est un K -espace inversible et f g = 0. Montrer que :

Soit


n,

tel

rg(f ) + rg(g) = n. Soit

U


E

espace vectoriel, et

A = {f ∈ L(E)|U ⊂ Ker(f )}. Montrer que dimension de

A est A?

Exercice 1031


L(E).

Si

E

est de dimension nie, quelle est la

E0 , E1 , ..., En n + 1 espaces vectoriels sur un même corps commutatif respectives α0 , α1 , ..., αn . On suppose qu'il existe n applications linéaires

Soient

K , de dimensions f0 , f1 , ..., fn−1 telles

que :

∀k ∈ {0, ..., n − 1}, fk ∈ L(Ek , Ek+1 ). et de plus :

f0 est injective ; ∀j ∈ {1, ..., n − 1}, Im fj−1 = Ker(fj ); fn−1 est surjective.

Montrer que

Exercice 1032

n X

(−1)j αj = 0.

j=0

Soient

H1

et

H2

deux hyperplans de

E, espace vectoriel de dimension n. Mon-

trer que :

dim(H1 ∩ H2 ) > n − 2. Généraliser.


Donner un exemple d'endomorphisme d'un espace vectoriel injectif et non

surjectif, puis d'un endomorphisme surjectif et non injectif. Soit

E

un espace vectoriel de dimension nie et

f ∈ L(E),

lence :

E = Ker(f ) ⊕ Im(f ) ⇔ Im f = Im f 2 . Donner un contre-exemple quand

dim E = +∞.

montrer l'équiva-

20 Matrices

127

Exercice 1035

(f, g) ∈ L(E, F )2

Soit

avec

E, F

de dimension nie. On suppose

rg(f + g) = rg(f ) + rg(g). Montrer que :

E = Ker(f ) + Im f ;

Exercice 1036 E Im f + Im g = Ker(f ) + Ker(g). Exercice 1037 E Soit

un espace vectoriel de dimension nie, et

Soit

E.

Im f ∩ Im g = {0}. (f, g) ∈ L(E)2

avec

E =

Montrer que ces sommes sont directes.

(f1 , ..., fk )


des projecteurs de

Montrer l'équivalence :

k X 2 ∀(i, j) ∈ {1, ..., k} , i 6= j ⇒ fi fj = 0 ⇔ fi

Exercice 1038

est un projecteur .

i=1

f ∈ L(E)

Soit

où

E

est un

K -espace


n,

tel que :

f 2 = −Id. 1. Montrer que 2. Soit

x 6= 0,

f

est inversible et que la dimension de

3. Montrer qu'il existe p L

Ei .

Exercice 1039

est paire, donc

n = 2p.

x et f (x) sont linéairement indépendants, et qu'ils engendrent un E. p sous-espaces de dimension deux stables par f , E1 ...Ep tels que :

monter que

sous-espace stable de

E=

E

En déduire une bonne formule de calcul de

f.

i=1

tente. On note

E

Soit

q∈N

∗

un

K

espace vectoriel de dimension nie

l'indice de nilpotence de

f,

n > 1.

Soit

f ∈ L(E)

nilpo-

i.e. :

q = inf{j ∈ N∗ |f j = 0}. ∃x0 ∈ E tel que {x0 , f (x0 ), ..., f q−1 (xo )} r = dim Ker(f ). Montrer que r > 0 et que n 6 q 6 n + 1 − r. r

1. Montrer que : 2. Soit

soit libre. En déduire

q 6 n.

20 Matrices

Exercice 1040

2 1 3 2

×

20.1 Découverte Eectuer le produit des matrices :

1 −1 1 1

Exercice 1041

1 2 0 3 1 4



 −1 −1 0 4 −1  × 1 2 1 2

On considère la matrice suivante :



0  0 M =  0 0 Calculer

M 2, M 3, M 4, M 5.

a 0 0 0

b d 0 0

 c e   f  0



   a b c 1 a c  c b a × 1 b b  1 1 1 1 c a

20 Matrices

128

Exercice 1042

On considère les trois matrices suivantes :





2 −3 1 0 1 3  A= 5 4 6 −2 −1 7 1. Calculer 2. Calculer

AB BC



7  −5 B=  3 6

 2 2   1  0

et

C=

−1 2 6 3 5 7

(AB)C . puid A(BC).

puis

3. Que remarque-t-on ?

Exercice 1043

On considère les deux matrices suivantes :



2  5 A=  3 2 1. Calculer 2. Calculer

 3 −4 1 2 1 0  , 1 −6 7  4 0 1



 3 −1 −3 7  4 0 2 1   B=  2 3 0 −5  1 6 6 1

AB . BA.

3. Que remarque-t-on ?

Exercice 1044 A=

a b 0 a

Trouver les matrices qui commutent avec

matrice identité

Exercice 1046



B2, B3

Exercice 1047 (a)

où

I3

est la

en déduire une formule de récurrence que l'on démontrera pour

n. n Développer (B + I3 ) par la formule du binome et simplier. n En déduire A Pour tout entier n.   1 1 1 1  0 1 1 1  n  A=  0 0 1 1  . Pour tout entier n, calculer A en utilisant A − I4 . 0 0 0 1   1 0 0 1. On considère la matrice A =  0 1 1  . 3 1 1     1 1 1 1 1 1 2 1  Soient B =  0 1 0  et C =  1 1 0 0 0 −1 −1 Montrer que AB = AC , a-t-on A = C ? A peut-elle être inversible ? pour tout entier

2. Soit

De même avec

 0 1 1 2 2 Soit A =  1 0 1  . Calculer A et vérier que A = A + 2I3 , 1 1 0 3 × 3. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.   1 1 0 1. Soit A =  0 1 1  et soit B = A − I3 . 0 0 1

(a) Calculer

(c)

 1 0 0 A =  0 1 1 . 3 1 2

.

Exercice 1045

(b)



Bn,

20 Matrices

129

F

(b) Déterminer toutes les matrices

telles que

A × F = O (O

étant la matrice dont

tous les coecients sont nuls).

2.

3.



 1 2 4 . Déterminer toutes les matrices B telles que BA = I2 . Soit A =  3 −1 4 Soient A et B deux matrices carrées n × n telles que AB = A + In . Montrer que A est inversible et déterminer son inverse (en fonction de B ).

Exercice 1048      

1 2 1 2 1

1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

Exercice 1049 linéaire de

A

et

Calculer le rang des matrices suivantes.

1 1 2 1 1

 

1 1 1 1 2

  ,  

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

 

1 0 0 0 1

  ,  

A une matrice carrée A2 = αA + βIn .

In

:

An

β est A et In .

3. Application 1 : soit

n > 1.

    

1 1 0 2 1 1 2 1 1 −1

d'ordre

n;

1 1 1 1 1

1 1 2 1 1

3 2 2 3 0

non nul, alors

A

    ,  

est inversible et que

A = Jn − In , où Jn est la matrice A2 = (n − 2) A + (n − 1) In ; en

Montrer que

A

1 1 0 2 1 1 2 1 1 −1

    

A2

on suppose que

est également une combinaison linéaire de

2. Montrer que si

avec

0 1 0 0 0

Soit

1. Montrer que

linéaire de

    

1 1 1 1 1

In

et

A−1

1 1 1 1 1

1 1 2 1 1

2 2 2 3 0

     

est une combinaison

pour tout

n ∈ N∗ .

est encore combinaison

Attila (envahie par les uns...), déduire que

A

est inversible, et

déterminer son inverse.

n = 2, A2 est toujours une combinaison linéaire de A I2 , et retrouver la formule donnant A−1 en utilisant 2.   −1 1 1 −1 1  Soit A =  1 1 1 −1 2 2 −1 Calculer A et montrer que A = 2I − A, en déduire que A est inversible et calculer A . 4. Application 2 : montrer que si

et

Exercice 1050

Exercice 1051

Mn (R).

20.2 Généralités Rappeler la structure d'espace vectoriel de

Mn (R).


Donner sa dimension.

Exercice 1052 déterminer

Soit



 1 0 2 A = 0 −1 1 . Calculer A3 − A. En déduire que A est inversible puis 1 −2 0

A−1 .

[Exercice corrigé]

Exercice 1053

Déterminer deux éléments

[Exercice corrigé]

Exercice 1054 o R .

A

et

B

de

M2 (R)

tels que :

AB = 0

et

BA 6= 0.

  a 0 c n Soit E le sous ensemble de M3 (R) déni par E = M (a, b, c) = 0 b 0 a, b, c ∈ c 0 a

20 Matrices

130

1. Montrer que

E

M3 (R)


matrices. Calculer dim

stable pour la multiplication des

(E).

M (a, b, c) un élément de E. Déterminer, suivant les valeurs des paramètres a, b et c ∈ R son rang. Calculer (lorsque cela est possible) l'inverse M (a, b, c)−1 de M (a, b, c).

2. Soit

3. Donner une base de rang

E

formée de matrices inversibles et une autre formée de matrices de

1.

Exercice 1055

B ∈ M2 (R)

A ∈ M2 (R). que AB = BA.

Soit

telles

1. Montrer que

C(A)

C(A)

et on note

l'ensemble des

k ∈ N, Ak ∈ C(A).

M (R) dénis par :  3  a+b 0 c a+b+d a c b+c 0  a, b, c ∈ R} G = { 0 b+d 0  a, b, c, d ∈ R}. F = { 0 c+a 0 a+b a+c+d 0 a+c Montrer que ce sont des sous espaces vectoriels de M3 (R) dont on déterminera des bases. Soit

F

A

M2 (R).

et un sous espace vectoriel de


Exercice 1056 

On nomme commutant de

G les 

et

sous-ensembles de

[Exercice corrigé]

Exercice 1057 M2 (R).

Montrer que

F = {M ∈ M2 (R); tr(M ) = 0} F et la compléter en une base


[Exercice corrigé]

Exercice 1058

Soient

A

et

B ∈ Mn (K)

ϕ un ϕ(F ) ⊂ F.

M2 (R).

deux matrices triangulaires supérieures.

1. Montrer (en calculant les coecients) que 2. Soit

est un sous-espace vectoriel de de

endomorphisme bijectif de −1 Montrer que que ϕ (F ) ⊂

n

K F.

AB et

est triangulaire supérieure.

F


3. En déduire une nouvelle démonstration de 1. Montrer que si

A

Kn

est inversible,

tel que

A−1

est

triangulaire supérieure.

Exercice 1059 commute avec où

A

Soit

N,

N ∈ Mn (C)

une matrice nilpotente. Calculer det (I

montrer que det (A

+ N ) = det(A).

Exercice 1061 Exercice 1062 1. Calculer

A ∈ Mn (C)

(on pourra commencer par étudier le cas

Soit

Soit

Soit

 x    2 0 0  G =  0 1 x , x ∈ R . Montrer que G est un groupe multiplicatif.   0 0 1 cos θ − sin θ n A(θ) = pour θ ∈ R. Calculer A (θ) pour n ∈ Z. sin θ cos θ   0 0 0 A = −2 1 −1. 2 0 2

A3 − 3A2 + 2A.

2. Quel est le reste de la division euclidienne de 3. Calculer

A

An

pour

Xn

par

X 3 − 3X 2 + 2X ?

n ∈ N.

est-elle inversible ?

Exercice 1063 que

Si

est inversible.)

Exercice 1060

4.

+ N ).

A = B.

Soient

A

et

B ∈ Mn (Q)

telles que

∀X ∈ Mn (Q)

tr(AX)

=

tr(BX). Montrer

20 Matrices

131


Que peut-on dire d'une matrice

Discuter suivant les valeurs de

Calculer l'inverse de

λ∈R



Soit

n

t qui vérie tr (A A)

le rang de la matrice



= 0?

1

1

2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 . 4



λ



1 2 1 1 2 −1. −2 −2 −1

Déterminer l'ensemble des matrices

Exercice 1068 M ∈ M (R) M Exercice 1069 M = (a ) Montrer que

A ∈ Mn (R)

M ∈ Mn (R)

telles que :

∀H ∈ Mn (R), M H = HM. telle que

M − In

soit nilpotente (ie

∃k ∈ N, (M − In )k = 0).

est inversible.

i,j (i,j)∈{1,...,n}2

∈ Mn (R)

telle que :

X

∀i ∈ {1, ..., n}, |ai,i | >

|ai,j | .

j6=i

Montrer que

M


est inversible. Montrer que si Soit

(A, B) ∈ Mn (R)

et

AB = A + B

M = (ai,j )(i,j)∈{1,...,n}2 ∈ Mn (R),

alors

AB = BA.

montrer :

min max ai,j > max min ai,j .

Exercice 1072

j

Soit

J ∈ Mn (R)

i

i

j

une matrice telle que :

J2 = I

et

E = {A ∈ Mn (R)|∃(a, b) ∈ R2 ; A = aI + bJ}. E

1. Montrer que

est un espace vectoriel stable par multiplication (Est-ce une algèbre ?).

En déduire que :

∀A ∈ E, ∀n ∈ N, ∃(an , bn ) ∈ R2 ; An = an I + bn J et calculer les coecients an et bn . n P Ak 2. Soit Sn = . Calculer (un , vn ) tel que k! k=0 Calculer les limites de

v = lim vn . n→∞

Calculer

(un )n∈N

e−A

et de

Sn = u n I + v n J

(vn )n∈N .

et le produit

On pose

en fonction de

eA = uI + vJ

où

a

et de

b.

u = lim un , n→∞

e−A eA .

3. Application :

J= Calculer

0 1 1 0

,A =

a b b a

.

eA .

Exercice 1073 B = 0. Exercice 1074

Soit

(A, B) ∈ (Mn (C))2

tel que

∀X ∈ Mn (C), AXB = 0.

Montrer que

A=0

ou

(

Indication

(A, B) ∈ (Mn (C))2 tel que AB = I + A + A2 . d'abord que A est inversible).

Soit

: voir

Montrer que

AB = BA

20 Matrices

Exercice 1075

132 Soit

A ∈ Mn (R)une

matrice triangulaire à éléments diagonaux nuls, montrer

que :

Exercice 1076

An = 0. Calculer les puissances de :

Exercice 1077

Soit

  1 1 1 a b a b , ,  0 1 1 . 0 a b a 0 0 1

A ∈ Mn (R)

nilpotente, on dénit :

exp A =

X Ai i>0

i!

,

i tel que Ai = 0. Montrer exp(A + B) = exp(A) exp(B). En déduire

la somme étant nie et s'arrêtant par exemple au premier indice

que

A et B sont nilpotentes et commutent, alors exp(A) est toujours inversible et calculer son inverse.

que

si


Calculer l'inverse de :



1  0   ... 0

... 1 0 ...

... ... 1 0

  1 1 2   ...   0 1 , ...   ... 0 1 0 ...

... 2 1 0

 n ...  . 2  1

Calculer l'inverse de :



Exercice 1080 (Examen)

1  0   ... 0 Soient

a 1 0 ...

(xn )n∈N

... a 1 0 et

 a ...   , a ∈ R. a  1 (yn )n∈N

deux suites réelles, vériant la relation

de récurrence linéaire suivante :

n x n+1 = −9xn −18yn yn+1 = 6xn +12yn avec

x0 = −137

et

y0 = 18.

On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de

ces deux suites. 1. Montrer qu'il existe une matrice

A ∈ M2 (R)

ci-dessus soit équivalente à la relation

3. 4.

5.

6. 7.

Un+1 = AUn ,

où

Un =

xn yn

.

A et de U0 . Trouver le noyau de A, et en donner une base B1 . Calculer le rang de A. 2 Montrer que l'ensemble des vecteurs X ∈ R tels que AX = 3X est un sous-espace 2 vectoriel de R . Quelle est sa dimension ? En donner une base, qu'on notera B2 . 2 Montrer que la réunion B1 ∪ B2 forme une base B de R . Soit P la matrice formée des 2 composantes des vecteurs de B relativement à la base canonique de R . Montrer que P −1 est inversible, et que le produit P AP est une matrice diagonale D qu'on calculera. n n −1 n n Montrer que A = P D P . Calculer D , et en déduire A , pour tout n ∈ N. Donner les termes généraux xn et yn .

2. Trouver une expression de

[Exercice corrigé]

Un

telle que la relation de récurrence linéaire

en fonction de

20 Matrices

133

20.3 Matrice provenant d'un endomorphisme

Exercice 1081 (e1 , e2 , e3 )

et

h

Soit

(f1 , f2 )

1. On prend dans

A=

par la matrice

R3

2 R3 dans R 2 −1 1 . 3 2 −3

l'homomorphisme de

la nouvelle base :

e01 = e2 + e3 , Quelle est la nouvelle matrice 2. On choisit pour base de

R

2

A1

e02 = e3 + e1 ,

de

en conservant la base

dans

F,

espace

e03 = e1 + e2 .

h?

les vecteurs :

1 f10 = (f1 + f2 ), 2

Exercice 1082

déni par rapport à deux bases

(e01 , e02 , e03 )

de

R3 .

1 f20 = (f1 − f2 ) 2

Quelle est la nouvelle matrice

A2

de

h?

h une application linéaire de rang r, de E , espace vectoriel de dimension n, vectoriel de dimension m. Soit

(ei )ni=1 de E , et h(ek ) = 0 pour k > r.

1. Préciser comment obtenir une base

h(ek ) = fk

pour

k = 1, . . . , r

et

une base

(fj )m j=1

de

F,

Quelle est la matrice de

telles que

h

dans un

tel couple de bases ? 2. Déterminer un tel couple de bases pour l'homomorphisme de

R4

dans

R3

déni dans les

bases canoniques par :

h(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (y1 , y2 , y3 )

3. Même question pour l'application

Exercice 1083 On désigne par

f

de

avec

R3

  y1 = 2x1 − x2 + x3 − x4 y2 = x2 + x3 − 2x4  y3 = x1 + 2x2 + x3 + x4

dans lui-même dénie par :

f (x, y, z) = (2x + y + z, −y + z, x + y). On désigne par

(e0 , e1 , e2 )

P2

l'espace des polynômes sur

la base canonique de

p0 = e0 ,

P2

1 p1 = e1 − e0 , 2

1. Montrer que tout polynôme de

P2

R de degré inférieur ou égal à 2.

et on pose

1 p2 = e2 − e1 + e0 . 2

peut s'écrire de façon unique sous la forme

p = b0 p 0 +

b1 p 1 + b2 p 2 . 2. Écrire sous cette forme les polynômes : 3. Montrer que l'application

p00 , p01 , p02 , p0 , Xp0 , p00 .

ϕ : P2 → P2

dénie par

ϕ(p) = Xp0 − 21 p0 + 14 p00

est une

application linéaire. Préciser le noyau et l'image de cette application. Écrire les matrices

(ei ) et par rapport à la base (pi ). (pi ) ; quelle relation lie cette matrice

de cette application par rapport à la base canonique Écrire la matrice de passage de la base

(ei ) à la base

aux deux précédentes ?

Exercice 1084

Soit

vectoriel et on xe la 1. Montrer que 2. Calculer

f

f : C → C l'application z 7→ eiθ z¯. base ε = {1, i}. est

R-linéaire.

A = Mat(f, ε, ε).

On considère

C

comme un

R-espace

20 Matrices

134

x

3. Existent-ils un tel

x

et

y ∈ C − {0} y.

tels que

f (x) = x

z 7→ eiρ z¯.

Calculer

et

f (y) = −y?

Si c'est le cas déterminer

et un tel

4. Décrire géométriquement

g:C→C quement g ◦ f.

5. Soit

Exercice 1085

Soit

f.

l'application

f ∈ L(R3 )

1. Montrer que Ker (f )

telle que

f 3 = −f

∩ Ker(f 2 + I) = {0},

et

x un élément distinct de 0 de Ker(f 2 + I). f (x) = αx. En déduire que {x, f (x)} est libre.

ε

4. Déterminer une base

Exercice 1086

Soient

x

dans lui-même et

E

de

R3

2

Mat (g

◦ f, ε, ε)

et décrire géométri-

f 6= 0.

Ker (f )

2. Soit

3. Calculer dim (Ker (f )) et dim(Ker (f

A=

6= {0}

et Ker (f

2

+ I) 6= {0}.

telle que :

1. Montrer que la famille

E

tel que

+ I)). 

 0 0 0 Mat (f, ε) = 0 0 −1 . 0 1 0 n, f une application f (x), ..., f n (x) soit libre.


un élément de

α∈R

Montrer qu'il n'existe pas

tel que la famille

x, f (x), . . . , f n−1 (x)

est une base de

E.

linéaire de

Déduiser-en que

f

E est

bijective.

f n (x) = x. Déterminer la matrice de f dans la base x, f (x), . . . , f n−1 (x 2 Déterminer la matrice de la projection de R sur R~ i parallèlement à R(~i + ~j) ~ ~ ~ ~ ~ (i + j, j) puis (i, j).

2. On suppose maintenant que

Exercice 1087 Exercice 1088 dans la base

1. Soit

Soit

n ∈ N.

R[X]

l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels.

Montrer que

Rn [X],

ensemble des polynômes à coecients réels et de de-

gré inférieur ou égal à n, est un sous-espace vectoriel de 1, X, . . . , X n est une base de Rn [X]. 2. Soient

f, g

et

h

les applications de

R[X] dans lui-même f (P (X)) = XP (X), g(P (X)) = P 0 (X), h(P (X)) = (P (X))2 .

Montrer que les applications

f

et

g

R[X].

Montrer que la famille

dénies par :

sont linéaires, mais que

h ne l'est pas. f

et

g

sont-elles

injectives ? Surjectives ? Déterminer la dimension de leurs noyaux respectifs. Déterminer l'image de

f.

fn et gn les restrictions de f et de g à Rn [X]. Montrer que l'image de gn est incluse dans Rn [X] et celle de fn est incluse dans Rn+1 [X]. Déterminer la matrice de gn dans la base 1, X, ..., X n de Rn [X]. Déterminer la matrice de fn de la base 1, X, ..., X n n+1 dans la base 1, X, ..., X . Calculer les dimensions respectives des images de fn et de gn . −1 2 Soient A = et f l'application de M2 (R) dans lui-même M 7→ AM. 1 0 Montrer que f est linéaire. Déterminer sa matrice dans la base canonique de M2 (R). 3. On désigne par

Exercice 1089

Exercice 1090

Soit

ϕ une application linéaire de R2

dans lui-même telle que

ϕ 6= 0 et ϕ2 = 0.

1. Construire des exemples de telles applications.

x ∈ R2 tel que ϕ(x) 6= 0. matrice de ϕ dans cette base.

2. Soit

Montrer que

{x, ϕ(x)}

est une base de

R2 .

Déterminer la

20 Matrices

135

Exercice 1091

E

Soit


ϕ ∈ L(E).

2

1. On suppose que Ker (ϕ) = Ker (ϕ ). Soit p > 1 et x ∈ Ker (ϕ p En déduire que Ker (ϕ ) = Ker (ϕ) pour tout p > 1. 2. Montrer de même que si Ker (ϕ

2

) = Ker(ϕ3 )

alors Ker (ϕ

p

p

). Montrer que x ∈ Ker(ϕp−1 ).

) = Ker(ϕ2 )

pour tout

p > 2.

3

3. On suppose désormais que ϕ est une application linéaire de R dans lui-même telle que ϕ2 6= 0. Soit x ∈ R3 tel que ϕ2 (x) 6= 0. Montrer que {x, ϕ(x), ϕ2 (x)} est une base de R3 . Déterminer la matrice de

Exercice 1092 E

dans

E

e1 ∈ E

E un espace vectoriel de dimension 3 ϕ = 0 et ϕ 6= 0. Posons r = rg(ϕ). (ϕ) ⊂ Ker (ϕ).

ϕ

r 6 3 − r.

Déduiser-en que

Soient

E

ϕ

dans la base


Calculer

ϕ(e1 ) 6= 0. Posons e2 = ϕ(e1 ). Montrer {e2 , e3 } soit libre. Montrer que {e1 , e2 , e3 } est

3. Déterminer la matrice de

telle que

et

tel que

que la famille

Exercice 1093

dans cette base.

Soient 2

telle que

1. Montrer que Im 2. Soit

ϕ

r.

qu'il existe une base de

e3 ∈ E.

Ker

(ϕ)

tel

{e1 , e2 , e3 }.


ϕ une application linéaire de E

dans lui-même

2

ϕ = ϕ.

1. Montrer que

E = Ker (ϕ) ⊕ Im (ϕ).

E est de dimension nie n. Posons q = dim (Ker (ϕ)). Montrer qu'il existe une base B = {e1 , . . . , en } de E telle que : ϕ(e1 ) = . . . = ϕ(eq ) = 0 et, pour tout r > q , ϕ(er ) = er . Déterminer la matrice de ϕ dans la base B .

2. Supposons que

Exercice 1094

f l'application de Rn [X] dans R[X], dénie en posant, pour tout P (X) ∈ Rn [X] : f (P (X)) = P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X). Soit

1. Montrer que

f

2. Dans le cas où

est linéaire et que son image est incluse dans

n = 3,

donner la matrice de

n

ensuite, pour une valeur de

f.

Q

f.

un élément de l'image de

1, X, X 2 , X 3 . Déterminer f dans la base 1, X, . . . , X n .

dans la base

quelconque, la matrice de

3. Déterminer le noyau et l'image de 4. Soit

f

Rn [X].

Calculer leurs dimensions respectives. Montrer (en utilisant en particulier les résultats

de la deuxième question) qu'il existe un unique P (0) = P 0 (0) = 0.

P ∈ Rn [X]

tel que :

f (P ) = Q

et

20.4 Endomorphisme provenant d'une matrice

Exercice 1095

Soit

(e1 , e2 , e3 )

E

une base de l'espace

E.

désigne l'application identique de

à trois dimensions sur un corps

On considère l'application linéaire

f

de

E

dans

K . IE E telle

que :

f (e1 ) = 2e2 + 3e3 ,

f (e2 ) = 2e1 − 5e2 − 8e3 ,

1. Étudier le sous-espace

ker(f − IE )

2. Étudier le sous-espace

2

f (e3 ) = −e1 + 4e2 + 6e3 .

: dimension, base.

ker(f + IE )

: dimension, base.

3. Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de 2 matrice de f dans cette nouvelle base ? et celle de f ?

Exercice 1096

Soit

E

un espace à

1. Montrer que la condition alors le rang de

f?

2

n

f =0

dimensions et

f

un endomorphisme de

⊂ ker f . Quelle 2 l'exercice que f = 0.

est équivalente à Im f

On suppose dans le reste de

E.

Quelle est la

E. condition vérie

20 Matrices

ker f dans E et soit (e1 , e2 , . . . , er ) une base de E1 . Mon(e1 , e2 , . . . , er , f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (er )) est libre. Montrer comment on peut la compléter, si nécessaire, par des vecteurs de ker f de façon à obtenir une base de E . Quelle est la matrice de f dans cette base ?

2. Soit

E1

136

un supplémentaire de

trer que la famille des vecteurs

3. Sous quelle condition nécessaire et susante a-t-on Im

f = ker f ?

3 f l'endomorphisme de R dont la matrice dans la base canonique est  1 0 1  2 0 2 . Montrer que f 2 = 0. Déterminer une nouvelle base dans laquelle M (f ) = −1 0 −1 la matrice de f a la forme indiquée dans la question 2).

4. Exemple : Soit



Exercice 1097

e1 , e2 , e3 formant une base de R3 . On note T T (e1 ) = T (e3 ) = e3 , T (e2 ) = −e1 + e2 + e3 .

Soit trois vecteurs

tion linéaire dénie par

1. Déterminer le noyau de cette application. Écrire la matrice

A de T

dans la base

f1 = e1 − e3 , f2 = e1 − e2 , f3 = −e1 + e2 + e3 . Calculer e1 , e2 , e3 f1 , f2 , f3 . Les vecteurs f1 , f2 , f3 forment-ils une base de R3 ?

2. On pose

la transforma-

(e1 , e2 , e3 ).

en fonction de

T (f1 ), T (f2 ), T (f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 . Écrire la matrice B de T dans la base (f1 , f2 , f3 ) et trouver la nature de l'application T .   1 1 −1 −1 1 . Vérier que P est inversible et calculer P −1 . Quelle 4. On pose P =  0 −1 0 1 −1 relation lie A, B , P et P ?   1 3 α β −1 2 1  ∈ M3,4 (R). Déterminer pour Soit Mα,β la matrice : Mα,β =  2 −1 1 2 0 quelles valeurs de α et de β l'application linéaire qui lui est associée est surjective. 3. Calculer

Exercice 1098

[Exercice corrigé]

Exercice 1099

E un espace vectoriel et {e1 , . . . ep } une famille génératrice de E . Montrer l'égalité Im (ϕ) = Vect {ϕ(e1 ), . . . , ϕ(ep )}.     1 2 1 2 2 −1 3 4 1 4 3 −1    Soient A =  5 6 1 , B = 0 −1 2 . Calculer rg (A) et rg(B). Déterminer une 7 8 1 3 3 −2 base des noyaux et une base des images respectifs de fA et de fB .

1. Soit

2.

Exercice 1100 dans

E.

fait que

Soit

E


Montrer qu'il existe un polynôme

L(E)

est isomorphe à

[Exercice corrigé]

Exercice 1101



P ∈ R[X]

n

ϕ une application linéaire de E P (f ) = 0. (On pourra utiliser le

et

tel que

Mn (R).) 0 ...

 .. . Soit A =  0 1 0 n n p L(Q , Q ), calculer A pour p ∈ Z.

0

...

 1  0 . . . . 0

En utilisant l'application linéaire associée de


137

 0  .. . A = .  ..

 0 . .. .. . . . . Même chose avec . .. . 1 0 ... ... 0   3 −1 1 3 2 0 dans la base canonique. Déterminer Soit f ∈ L(R ) de matrice 0 1 −1 3 la matrice de f dans la base (1, 0, −1), (0, 1, 1), (1, 0, 1). 2 2 2 3 Soit f l'endomorphisme de R de matrice dans la base canonique. − 52 − 23 Soient e1 = (−2, 3) et e2 = (−2, 5).

Exercice 1102

1

...


(e1 , e2 )

1. Montrer que 2. Calculer

3.

A

n

pour

est une base de

R2

et déterminer mat (f, e).

n ∈ N.

  xn+1 = 2xn + 2 yn 3 Déterminer l'ensemble des suites réelles qui vérient ∀n ∈ N 5 2  yn+1 = − xn − yn 2 3 2 Soit E = vect (AB − BA, (A, B) ∈ Mn (Q) ).

.

Exercice 1105

1. Montrer que

E = ker tr

(pour l'inclusion non triviale, on trouvera une base de

formée de matrices de la forme

ker tr

AB − BA).

f ∈ Mn (Q)∗ telle que ∀(A, B) ∈ Mn (Q)2 f (AB) = f (BA). Montrer α ∈ R tel que f = αtr. ( M2 (R) → M2 (R) 1 1 Soient A = et Φ : . Montrer que Φ 0 1 M 7→ AM − M A déterminer sa matrice dans la base canonique et calculer ker Φ et ImΦ. 2. Soit

Exercice 1106

qu'il existe

est linéaire,


Exercice 1107 le corps

K.

21.1 Formes multilinéaires Mn (K) des matrices carrées n × n à coecients dans trace tr(A) d'une matrice A ∈ Mn (K) est la somme de ses

On considère l'espace

On rappelle que la

coecients diagonaux. Pour une matrice

M

donnée, on note

αM

l'application dénie par

∀X ∈ Mn (K), 1. Vérier que On note

φ

∀M ∈ Mn (K),

αM (X) = tr(M X).

αM ∈ (Mn (K))∗ .

l'application suivante :

φ:

Mn (K) → (Mn (K))∗ 7→

M 2. Etudier l'injectivité et la surjectivité de

φ.

αM


138

α ∈ (Mn (K))∗ , il existe une matrice A ∈ Mn (K)

3. En déduire que pour toute forme linéaire telle que :

∀X ∈ Mn (K),

α ∈ (Mn (K))∗

4. Déterminer toute les formes linéaires

Exercice 1108

α(X) = tr(AX).

∀(X, Y ) ∈ (Mn (K))2 ,

telles que

α(XY ) = α(Y X).

Rn [X] l'espace vectoriel des n. i ∈ {0, . . . , n}, on note αi l'application On note

polynômes à coecients réels de degré

inférieur ou égal à Pour chaque

αi : 1. Vérier que chaque

αi

Rn [X] →

R

7→ P (xi )

P

est une forme linéaire sur

G l'espace engendré par α1 , . . . , αn . (α0 , . . . , αn ) est une base de (Rn [X])∗ .

2. On note

3. Montrer que la famille

(α0 , . . . , αn )

4. Montrer qu'il existe des réels

Rn [X]

Déterminer

est une base de

λ 0 , . . . , λn

1

P (t)dt =

0

(Rn [X])∗ . n X

∀(i, j) ∈ {0, . . . , n}2

si

n,

qui interpole

Exercice 1109 R,

f

(P0 , . . . , Pn )

de

Rn [X]

telle que

j=i

sinon

6. En déduire que pour toute fonction continue degré

λi P (xi )

i=0

5. Montrer qu'il existe une unique famille de polynômes

( 1 Pi (xj ) = 0

En déduire que la famille

tels que

Z

∀P ∈ Rn [X]

G◦ .

en chaque point

xi ,

f

de

R

dans

R,

il existe un polynôme

P

de

c'est à dire qui satisfait :

∀i ∈ {!, ..., n} P (xi ) = f (xi ). Dans chacun des cas ci-dessous, dire si l'application

φ

de

est multilinéaire.

x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2 = x1 + y2 + z3 y3 z3 x3 x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2 = x1 y3 + y2 z1 + z3 x2 φ y3 z3 x3 x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2 = x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 φ y3 z3 x3 x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2 = x1 x2 x3 + y1 y2 y3 + z1 z2 z3 φ y3 z3 x3 x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2 = x1 y1 z1 + x2 y2 z2 + x3 y3 z3 φ y3 z3 x3 x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2 = (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 )(z1 + z3 ) φ y3 z3 x3 x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2 = (x1 + 2x2 )(z1 + z3 ) φ y3 z3 x3 φ

R3 × R3 × R3

dans


Exercice 1110 Exercice 1111 m Exercice 1112

139

Montrer que l'espace des formes bi-linéaires sur

R2

est un espace vectoriel. En

donner une base.

R2 . Plus généralement, que n lorsque m > n ?

Donner toutes les formes tri-linéaires alternées sur

dire des formes

-linéaires alternées sur un espace de dimension

A ∈ Mn,n (R).

Soit

ΦA :

On considère l'application

ΦA

suivante :

(Rn )n → R M = (C1 , ..., Cn ) 7→ det(AM )

Φ n-linéaire. A 0est 1 0 1 0 . En déduire que ΦA (e2 , e1 , e3 ...en ) = −ΦA (e1 , e2 , e3 ...en ). Calculer A × 0 idn−2 Plus généralement, montrer que ΦA est alternée. Montrer que ΦA (M ) = det(A) det(M ). Montrer que

En déduire que :

Exercice 1113

∀(A, B) ∈ Mn,n (R), Dans

R3

det(AB) = det(BA) = det(A) det(B)

muni de sa base canonique, on considère les applications

ω

et

α

suivantes :

3 R3  → R  R× x y ω :  1  1 x2 , y2 7→ x1 y2 − x2 y1 x3 y3 1. Montrer que A l'aide de

ω

ω

est antisymétrique et bilinéaire.

et

ω∧α :

et

3 R  → R x α :  1 x2 7→ x3 x3

α,

on dénit une nouvelle application, notée

ω ∧ α,


R3 × R 3 × R3 → R (X, Y, Z) 7→ ω(X, Y )α(Z) + ω(Y, Z)α(X) + ω(Z, X)α(Y )

ω ∧ α est alternée. Montrer que ω ∧ α est trilinéaire. 3 3 Calculer ω ∧α(e1 , e2 , e3 ). En déduire que ∀(X, Y, Z) ∈ (R ) ω ∧α(X, Y, Z) = det(X, Y, Z)

2. Montrer que 3. 4.

21.2 Calcul 

 c b c a b a c c b c  a c b c c c a c b a   1 0 a a2 0 1 b b 2    1 0 c c 2  0 1 d d2   1 t 1 Mt =  t 1 1 et Nt 1 t 1

a c c a Calculer les déterminants des matrices suivantes :  c b b c     2 a x y z 1+a b a b a a a b+c+d 2 b x y z   b   1+a b a      a b b 2 c + d + a 0 0 0 c x y z   a b 1+a b  a c c d + a + b  0 0 0 d x y z b a b 1+a a d d2 a + b + c

Exercice 1114

Exercice 1115 

 1 1 t 1 t 1 . t 1 1

Calculer, pour tout

t ∈ R

le rang des matrices

 c b  a c

=



A ∈ Mp (R)

et

minant de la matrice

B ∈M Calculer (en fonction de det (A) q (R). A 0 M = ∈ Mp+q (R). (On pourra pour 0 B

140

et det (B)) le détercela décomposer

M

comme produit de deux matrices de déterminant évident et utiliser la multiplicativité du déterminant.)

A ∈ M p (R), B ∈ Mq (R) et C ∈ Mp,q (R). Calculer le déterminant A C M= ∈ Mp+q (R). (On pourra généraliser la méthode de 1.) 0 B 2 0 4 Sans calcul, montrer que 5 2 7 est divisible par 17. 2 5 5

2. Soient


de la matrice

∆(x) = det(ai,j (x)) de taille n = 2 ou 3 avec ai,j des fonctions dérivables. 1. Montrer que ∆ (x) est la somme des n déterminants obtenus en remplaçant successivement dans ∆(x) chaque colonne par sa dérivée. x + a1 1 + x x x 1 1 x + a2 x et 1 1+x 1 . 2. Calculer x x x x + a3 1 1 1 + x 1 1 1 Calculer x 2 y2 z2 et déterminer la condition d'inversibilité de la matrice. x y z La famille (2, 1, 0), (1, 3, 1), (5, 2, 1) est-elle libre ? a b c Calculer c a b . b c a 1 sin x cos x Calculer 1 sin y cos y 1 sin z cos z n Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans R . On note ei le n vecteur de R dont la i-ième composante est égale à 1 et toutes les autres sont nulles. Écrire la matrice n × n dont les vecteurs colonnes Ci sont donnés par Ci = ei + en pour 1 6 i 6 n − 1 et Cn = e1 + e2 + en . Calculer alors son déterminant. On note a, b, c des réels. Calculer les déterminants suivants. 1 0 3 0 0 1 0 0 1 a+b+c b b b 0 1 0 3 0 0 1 0 0 c a+b+c b b , D2 = , D3 = a 0 a 0 3 D1 = c c a+b+c b 1 0 1 1 b a 0 a 0 2 3 1 1 c c c a+b+c 0 b 0 0 a Soit

0



Exercice 1124

D2 à un déterminant n × n du même type. On note a1 , · · · , an des réels. Calculer les déterminants n × n suivants. a1 a2 a3 · · · an 1 1 · · · 1 a2 a2 a3 · · · an a1 a2 · · · an 2 2 a3 a3 a3 · · · an a2 · · · a a D1 = 1 n , D2 = 2 .. .. . . . . . . . . n−1 n−1 n−1 a1 a2 · · · an an an an · · · an

Exercice 1125

Généraliser le calcul de


Exercice 1126

141

Montrer que

cos a cos b cos c sin a sin b sin c = sin (c − b) + sin (b − a) + sin (a − c) = 4 sin c − b sin b − a sin a − c 2 2 2 1 1 1

Exercice 1127

Exercice 1128

Soient

a, b

deux réels distincts. Calculer le déterminant suivant.

D1 =

b b b b . . . . . . b b · · · a b b b ··· b a

a b ··· b a ···

Calculer le déterminant de la matrice suivante :

 m 0 1 2m  1 m 0 0     0 2m + 2 m 1  . m 0 0 m 

m,

Calculer alors, suivant la valeur du paramètre

Exercice 1129

Calculer le déterminant

3 0 ∆n = −4 0 en fonction de

n.

Exercice 1130

(vérier que

Montrer que de

n, a, x

et

−1

1

0

3

1

..

.

0

3

..

.

..

..

..

.

.

.

4

est racine de

0 0 1 3

0

X 3 − 3X 2 + 4)

Calculer les déterminants suivants :

1 2 ∆1 = 3 4

Exercice 1131

le rang de cette matrice.

Soit

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

a a ∆2 = c 0

(a, x, y) ∈ R3 .

a a 0 c

b 0 a a

0 b a a

a1 a2 · · · an . .. . . . a1 a1 ∆3 = . . .. .. .. . a 2 a · · · a a 1 1 1

n ∈ N, n > 2, on a x · · · x y a 0 An = .. . 0 ... y a

Pour

note

An

le déterminant suivant :

∀n ∈ N, n > 3, An = aAn−1 −xyan−2 . En déduire une expression de An en fonction y.


Exercice 1132

Soit

(a, b) ∈ R2

suivant :

Montrer que

142

a 6= b. Pour n ∈ N, n > 2, a + b a 0 .. .. . . b Bn = . . .. .. a 0 b a + b avec

∀n ∈ N, n > 4, Bn = (a + b)Bn−1 − abBn−2

Exercice 1133

on note

Montrer que

(un )n∈N satisfaisant la relation √ = 2un+1 − un (?)

On s'intéresse aux suites réelles

un+2

1. Déterminer toutes les suites complexes satisfaisant la relation 2. Déterminer toutes les suites réelles satisfaisant la relation On considère maintenant le déterminant d'ordre

√ 2 1 ∆n = ∆n+2

en fonction de

En déduire la valeur de

Exercice 1135

∆n

∆n

(?).

(?).

suivant :

..

.

..

.

..

.

..

.

1 √ 2

0

1

pour

en fonction de

2 3 −1 4

n∈N

(on pose

∆0 = 1).

n.

1 0 2 3 4 5 5 6 7

1 0 6 3 4 15 5 6 21


1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b

1 1 1 1

a1 a2 a3 a4

1 0 0 2 3 5 4 1 3

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

1 a a2 . . . an−1 1 1 1 1 a a2 . . . an−1 2 2 2 .. .. . . . . . . . . 2 n−1 1 an an . . . an

Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le

développer que le déterminant

Exercice 1137

et

de récurrence


−4 1 1 1 1 1 −4 1 1 1 1 1 −4 1 1 1 1 1 −4 1 1 1 1 1 −4

Exercice 1136

∆n+1

n

1

0

Exercice 1134

le déterminant

an+1 − bn+1 ∀n ∈ N, n > 2, Bn = . a−b

∀n ∈ N

3. Calculer

Bn

1 1 9 1 5 3 2 8 9

est divisible par 17.


a c ∆1 = c b

c a b c

c b a c

b c − c a

c a ∆2 = b c

a c c b

b c c a

c b a c

a 0 ∆3 = c 0

0 a 0 c

b 0 d 0

0 b 0 d


Exercice 1138

143

(a0 , . . . , an−1) ∈ Rn , on note A(a0 ...an ) la matrice 0 0 · · · 0 a 0 . . .. . . . 1 0 . . . . A(a0 ...an−1 ) = 0 1 . . . 0 . . . .. . . . . . 0 an−2 0 · · · 0 1 an−1 − λ

Pour

λ ∈ R, on associe ∆(a0 ...an−1 ) (λ) = det(A(a0 ,...,an−1 ) −λid). Calculer ∆(a0 ...an−1 ) (λ) en fonction ∆(a1 ...an−1 ) (λ) et a0 . En déduire ∆(a0 ...an−1 ) (λ).

et à de

Exercice 1139

Calculer les déterminants suivant :

a11 a12 · · · a1n . . . . 0 a22 . . . . . .. .. .. an−1,n 0 ··· 0 ann

Exercice 1140

Soit

p 1 0

0 .. . .. . q 1 p

q p ..

.

B ∈ Mn,m (R)

et

1 1 0

1 0 1

0 1 ..

C ∈ Mm,m (R).

.

..

.

..

.

1

a + b a ··· a . . . . a + b .. a . .. .. .. . . a a ··· a a + b

On considère l'application

φ

suivante :

Mn,n (R) → φ :

Etudier la multi-linéarité de

φ

A

par rapport aux colonnes de

A B det 0 C

Soit



 M =

A1 · · · ..

0

Exercice 1141

.

. . .

Ak

R A B 7→ det 0 C

A.

Calculer

φ(id).

En déduire que

= det(A) det(C)



  une matrice triangulaire par blocs. Montrer que det(M ) = det(A1 ) · · · det(Ak )

Calculer le déterminant suivant :

0 a12 a13 a14 −a21 0 a a24 23 0 a34 ∆ = −a31 −a32 −a41 −a42 −a43 0 −a51 −a52 −a53 −a54

a15 a25 a35 a45 0

Comment généraliser ce résultat en dimension plus grande ?

Exercice 1142


1 1 1 1 cos x cos y cos z cos t cos 2x cos 2y cos 2z cos 2t cos 3x cos 3y cos 3z cos 3t

1 2 3 · · · n −1 0 3 n −1 −2 0 n .. . . . . . . . . . . −1 −2 −3 · · · 0

0 1 1 0 2 1 . . .. .. n − 1 · · ·

2 1 ..

.

..

.

2

· · · n − 1 .. . ··· .. . 2 0 1 1 0


Exercice 1143

Exercice 1144

Soit

(a0 , ..., an−1 ) ∈ Cn , x ∈ C. Calculer −x 0 a0 . .. .. . . . . 1 ∆n (a0 , ..., an , x) = .. . −x an−2 0 1 an−1 − x

Soit

(a1 , a2 , a3 ) ∈  a1  A = a3 a2

suivantes :

Calculer le produit

Exercice 1145

144

AV ,

Soit

a

puis

(K)3 .

On note

 a2 a3 a1 a2  a3 a1

det(AV )

j =e

et

∆n

 1 1 1 V = 1 j j 2  1 j2 j

∆n

en fonction de

Exercice 1146

Soit

a

Dn

Exercice 1147

Dn−1

a, b, c

et

det(A).

∆n = an−2 a2 −

0

···

a

..

.

..

.

..

.

..

.

0

. . . 0 a 1 + a2 0

1 + a2 a

Dn−2 . Monter que Dn =

Exercice 1148

1−a2n+2 . Combien vaut 1−a2

∆n le déterminant a b 0 .. .. ∆n = c . . . . . . 0 . c . ab

trois réels et

∀n ∈ N, ∆n = (n + 1) Calculer le déterminant suivant :

1 1 ∆ = 1 1

2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125

Pn−1 2 i=1 i

on note

de taille

n

suivant :

∆0 = 1, ∆1 = a. Montrer que ∀n ∈ N, ∆n+2 = a∆n+1 − bc∆n . 2 suppose que a = 4bc. Montrer par récurrence que :

1. On pose 2. On

Soient

0 n − 1 . . . . . . 0 2 a 1 1 a

n ∈ N, n > 2,

un réel diérent de 1. Pour

en foncion de

et en déduire

∆n−1 . Démontrer que : ∀n ∈ N, n > 2

1 + a2 a a 1 + a2 Dn = 0 a . .. .. . 0 ··· Calculer

det(V ),

le déterminant suivant :

a 0 ··· .. . a 0 . .. .. ∆n = .. . . 0 ··· 0 n − 1 · · · 2 Calculer

, et on considère les deux matrices



en fonction de

un réel. On note

2iπ 3

an 2n

Dn

si

a = 1?


Exercice 1149

Soit

1. Montrer que 2. Montrer par

Exercice 1150 det u.

∆n

le déterminant de taille

3 1 2 3 ∆n = 0 2 . . .. . . 0 · · ·

n

suivant :

0

· · · 0 . .. . . . .. . 0 .. . 1 2 3

1 3 ..

.

0

∀n ∈ N∗ , ∆n+2 = 3∆n+1 − 2∆n (avec la ∗ n+1 récurrence que ∀n ∈ N , ∆n = 2 −1

Soit

u

Rn [X] dans Rn [X] u(P ) = XP 0 + P (1).

l'application de

Même question lorsque

Exercice 1151

145

convention

∆0 = 1, ∆1 = 3).

dénie par

u(P ) = P + P 0 .

Calculer

21.3 Applications Soit

E

n

un espace vectoriel réel de dimension nie

et

ϕ ∈ L(E)

telle que

2

ϕ = −idE .

1. Donner des exemples de telles applications dans le cas

n=2

ou

n

2. Montrer que de telles applications existent si et seulement si

4.

est pair.

[Exercice corrigé]

Exercice 1152

Inverser les matrices

   1 −1 0 0 1 2 1 0 0 0    0 0 1 2 et 1 0 0 2 1 0

 0 1 0 1 0 1  ainsi que leurs pro0 −1 0  1 0 −1

duits.


Montrer que

21.4 Divers

1+a a a b 1 + b b c c 1+c

A = (aij )i,j∈{1,... ,n} ∈ Mn (R) i > j : aij = 0.

Une matrice carrée

rieure lorsque pour tout

=1+a+b+c

sans le développer.

est dite triangulaire supé-

1. Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.

= a11 · · · ann . Soit E un espace vectoriel, ε = {e1 , . . . , en } une base de E et ϕ ∈ L(E). On note Ei l'espace vectoriel engendré par {e1 , . . . , ei }, pour tout 1 6 i 6 n. Montrer que Mat (ϕ, ε) est triangulaire supérieure si et seulement si ϕ(Ei ) ⊂ Ei pour tout 1 6 i 6 n.

2. Démontrer que det (A) 3.

4. Démontrer que l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure.

Exercice 1155

On considère les matrices :



1 0 I= 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0  0 1



0 0 N = 0 0

3 0 0 0

 1 3 0 1  0 −1 0 0

A = I + N.

21 Déterminants, systèmes linéaires 1. Pour tout 2. Calculer

n ∈ N∗

N

3. Pour tout

2

et

calculer det (A

n

146

).

3

N .

n ∈ N∗

donner le rang de

Nn

4. En utilisant 1., donner, en fonction de

et celui de

n ∈ N∗ ,

An .

l'expression de la matrice

n ∈ N∗ , justier la formule (An )−1 = M (−n). A = M (n) pour tout n ∈ Z.

5. Pour n

Exercice 1156

Soit

1. Calculer det

S

(S).

5×5

la matrice

M (n) = An .

Expliquer et justier l'écriture :

 0 1  S= 0 0 0

à coecients réels :

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

 0 0  0 . 1 0

S −1 .

Déterminer (de préférence sans calcul)

5 2. Montrer qu'il existe deux sous espaces vectoriels E1 et E2 de R de dimension respective 5 2 et 3 tels que : R = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 et S(E1 ) ⊂ E1 S(E2 ) ⊂ E2 . 3. Montrer qu'il existe

x ∈ E2

tels que

Sx = x. En déduire que la décomposition qui précéde

n'est pas unique.

Exercice 1157

pour

Soit

A ∈ M3 (R)

anti-symétrique. Calculer

det(A).

Ce résultat vaut-il encore

A ∈ M2 (R) ?

[Exercice corrigé]

Exercice 1158

Soient


que

Soit

ou

3

et

A ∈ Mn (Q).

∀X ∈ Mn (Q) det(A + X) = det(X)

B ∈ Mn (Q)

Exercice 1159 3 n. Exercice 1160

n=2

telle que

alors

A = 0.

∀X ∈ Mn (Q) det(A + X) = det(B + X).

(A, B) ∈ Mn (R)2

tel que

A2 + B 2 = AB

et

AB − BA

divise

Exercice 1161

Montrer que si

n ∈ N − {0, 1}, A ∈ Mn (R),

on a :

det(Com(A)) = det(A)n−1 . Montrer que si

n ∈ N∗ , A ∈ Mn (R)

:

rg(A) = n ⇒ rg(Com(A)) = n; rg(A) = n − 1 ⇒ rg(Com(A)) = 1;

Exercice 1162

rg(A) 6 n − 2 ⇒ rg(Com(A)) = 0. Soit

A = (ai,j )(i,j)∈{1,...,n}2 ∈ Mn (R) ∀i ∈ {1, ..., n},

telle que :

n X

ai,j 6 1,

j=1

∀(i, j) ∈ {1, ..., n}2 , ai,j ∈ [0, 1[. Montrer que

|det(A)| < 1.

Montrer que

A = B.

inversible. Montrer



147

21.5 Systèmes linéaires Résoudre les systèmes suivants

  3x − y +2z = a −x +2y −3z = b  x +2y + z = c

  x +y +2z = 5 x −y − z = 1  x + z = 3

Sans chercher à résoudre les systêmes suivants, discuter la nature de leurs

ensembles de solution :

  x +y −z = 0 x −y = 0  x +y +z = 0

Exercice 1165

Soient

  x +3y +2z = 1 2x −2y = 2  x + y + z = 2

x0 ,x1 ,...,xn , n + 1

  x +3y +2z = 1 2x −2y = 2  x + y + z = 3 y0 ,y1 ,...,yn , n + 1

réels distincts, et

réels (distincts ou

non).

Montrer qu'il existe un unique polynôme

Exercice 1166 (S1 )

P

tel que :

∀i ∈ {0, ..., n} P (xi ) = yi Résoudre, suivant les valeurs de

x + (m + 1)y = m + 2 mx + (m + 4)y = 3

m

:

(S2 )

mx + (m − 1)y = m + 2 (m + 1)x − my = 5m + 3

[Exercice corrigé]

Exercice 1167

Écrire les conditions, portant sur les réels

a, b, c, pour que les systèmes suivants

admettent des solutions non nulles ; expliciter ces solutions.

 

x+y+z = 0 (b + c)x + (c + a)y + (a + b)z = 0 (S1 )  bcx + acy + abz = 0

[Exercice corrigé]

Exercice 1168 

  x − a(y + z) = 0 y − b(x + z) = 0 (S2 )  z − c(x + y) = 0

b1 , b2 , b3 et b4 :  x + 3y + 5z + 3t = b1    x + 4y + 7z + 3t = b2 (S2 ) y + 2z = b3    x + 2y + 3z + 2t = b4  x + 2y + z + 2t = b1    −2x − 4y − 2z − 4t = b2 (S4 ) −x − 2y − z − 2t = b3    3x + 6y + 3z + 6t = b4

Résoudre et discuter suivant les valeurs de

x + 3y + 4z + 7t    x + 3y + 4z + 5t (S1 ) x + 3y + 3z + 2t    x+y+z+t  x + y + 2z − t    −x + 3y + t (S3 ) 2x − 2y + 2z − 2t    2y + z

[Exercice corrigé]

Exercice 1169

= = = = = = = =

b1 b2 b3 b4 b1 b2 b3 b4

Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels

[Exercice corrigé]

 (1 + λ)x + y + z + t    x + (1 + λ)y + z + t (S) x + y + (1 + λ)z + t    x + y + z + (1 + λ)t

= = = =

a b c d

λ , a, b , c , d

:


Exercice 1170

Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels

(S)

[Exercice corrigé]

Exercice 1171  1.

2.

3.

4.

5.

148

          

3x + 2y − z + t 2x + y − z 5x + 4y − 2z (λ + 2)x + (λ + 2)y − z 3x − z + 3t

= = = = =

λ

et

a

:

λ λ−1 2λ 3λ + a −λ2

Mettre sous forme matricielle et résoudre les systèmes suivants.

2x + y + z = 3    3x − y − 2z = 0 x + y − z = −2    x + 2y + z = 1  x+y+z+t = 1     x − y + 2z − 3t = 2  2x + 4z + 4t = 3   2x + 2y + 3z + 8t = 2    5x + 3y + 9z + 19t = 6  2x + y + z + t = 1    x + 2y + 3z + 4t = 2 3x − y − 3z + 2t = 5    5y + 9z − t = −6  x−y+z+t = 5  2x + 3y + 4z + 5t = 8  3x + y − z + t = 7   x + 2y + 3z = 0 2x + 3y − z = 0  3x + y + 2z = 0

Exercice 1172 1 3 2 D1 = 1 3 3 1 2 1

Exercice 1173

Calculer les déterminants suivants.

1 1 1 5 −3 13 1 , D2 = 3 3 2 , D3 = 0 −1 −16 D4 = 0 2 3 1 0 0 0 2

associe l'élément

3 2 1 2

0 1 − √2 3 2

0 0 1 D5 = 1 0 0 0 1 0

Résoudre et discuter le système linéaire suivant :

   

Exercice 1174

0

√

x1 + x2 + 3x3 + 10x4 + x5 x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 7x5 (S) x  1 + 3x2 + 4x3 + 13x4 + 8x5   x1 + 4x2 + 2x3 + 7x4 + 14x5 On considère l'application

f

de

= = = =

b1 b2 b3 b4

R5 dans R4 qui à un élément X = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )

Y = (y1 , y2 , y3 , y4 ), déni par :  x1 + x2 + 3x3 + 10x4 + x5    x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 7x5 (S) x  1 + 3x2 + 4x3 + 13x4 + 8x5   x1 + 4x2 + 2x3 + 7x4 + 14x5

= = = =

y1 y2 y3 y4

21 Déterminants, systèmes linéaires f

1. Montrer que 2. On considère

149

est linéaire.

A

l'ensemble des solutions de

(SH ).

   

x1 + x2 + 3x3 + 10x4 + x5 x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 7x5 (SH ) x  1 + 3x2 + 4x3 + 13x4 + 8x5   x1 + 4x2 + 2x3 + 7x4 + 14x5

= = = =

0 0 0 0

A ? Que représente A pour l'application f ? Donner une base de A ; dimension de A ? Donner un système minimal d'équations qui dénissent A.

Quelle est la nature de quelle est la

R4 , on considère les cinq vecteurs : V1 = (1, 1, 1, 1), V2 = (1, 2, 3, 4), V3 = (3, 1, 4, 2), V4 = (10, 4, 13, 7), V5 = (1, 7, 8, 14). Que représentent ces vecteurs pour l'application f ? Trouver une base de Im f .

3. Dans l'espace

(S) où les inconnues sont les xi , et où les yj


sont des paramètres.

Comment interpréter les conditions de possibilité de ce système du point de vue de

f?

5. Donner une interprétation du théorème du rang relativement à ce système. Quel est le lien entre le rang de

Exercice 1175

f

Pour tout

et le rang du système ?

a

réel, on considère la matrice

A

et le système linéaire

(S)

dénis

par :



a 1 A= 1 1 aux inconnues réelles

1 a 1 1

 1 1  1 a

1 1 a 1

x, y, z, t.

1. Discuter le rang de

A

 ax    x (S) x    x

suivant les valeurs de


a

le système

(S)

+ y + z + t + ay + z + t + y + az + t + y + z + at

= = = =

1 1 1 1

a.

est-il de Cramer ? Compatible ? Incompatible ?

(S) avec un minimum d'opérations (on pourra montrer nécessairement x = y = z = t.).

3. Lorsqu'il est de Cramer, résoudre d'abord que l'on a

4. Retrouver 3. par application des formules de Cramer.

Exercice 1176 Exercice 1177 que

Déterminer le noyau de la matrice



  1 −1 1 0 1 1 2 3 7

 2 2 0 3 Soit A = 1 2 1. Déterminer les λ ∈ R tels que ∃X ∈ R − {(0, 0, 0)} 0 2 2 AX = λX . Pour chaque λ déterminer Eλ = {X ∈ R3 /AX = λX}.   3x + 2z = 0  3y + z + 3t = 0 Donner une base de l'ensemble des solutions de .  x+y+z+t=0    2x − y + z − t = 0  2  x + ay + a z = 0 Résoudre suivant les valeurs de a ∈ R a2 x + y + az = 0 .   ax + a2 y + z = 0

Exercice 1178

Exercice 1179

tel


Exercice 1180 Exercice 1181 Exercice 1182 Exercice 1183 Exercice 1184

150

 ax + y + z + t = 1    x + ay + z + t = µ Résoudre suivant les valeurs de a et µ ∈ R  x + y + az + t = µ2    x + y + z + at = µ3   1 1 1 Inverser en utilisant un système linéaire la matrice 2 1 1. 1 2 1   x + y + z = 1 Résoudre . ax + by + cz = d   2 2 2 2 a x+b y+c z =d   −cy + bz = α Résoudre . cx − az = β   −bx + ay = γ Soit

F

le sous-espace vectoriel de

R4

des éléments

(x, y, z, t)

.

qui satisfont :

  x + y + z + 3t = 0 2x + 3y + 4t = 0  2x + 5y − 4z = 0 Donner une base de

Exercice 1185

F

et sa dimension.

On considère le système

 =0  x+y+z+t x − y − 2z + 2t = 0 (S) :  2x + y + z =0 1. Résoudre le système

(S)

puis indiquer son rang.

2. Montrer que l'ensemble des solutions de

(S)


R4 ,

indiquer

sa dimension et en donner une base.

Exercice 1186

L'objectif de ce problème est de résoudre l'énigme du berger :

Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la propriété suivante : pour chaque mouton, il peut trouver une façon de scinder le troupeau des 100 autres moutons en deux troupeaux de 50 moutons et de même poids total. Il en déduit que tous les moutons ont le même poids. Comment a-t-il fait ? On montre, dans un premier temps, un résultat utile pour la démonstration nale. 1.

(a) Montrer par récurrence que le déterminant de toute matrice carrée, dont les éléments diagonaux sont des nombres impairs, et dont tous les autres sont des nombres pairs, est un nombre impair. (b) En déduire qu'une matrice de cette forme est inversible.

2. L'objectif de cette question est de résoudre l'énigme du berger. On note

B

la matrice

carrée de taille 101 construite de la manière suivante : On numérote les moutons de 1 à 101. Quand le berger retire le ième mouton du troupeau, il sépare alors le reste du troupeau en deux troupeaux égaux ( troupeau A, troupeau B)

21 Déterminants, systèmes linéaires et de même poids. On note alors

151

Bi,j

les coecients de la ième ligne de la matrice

B

obtenu de la façon suivante

Bi,j On note

X

  1 0 =  2

si

j=i

si le j-ième mouton se trouve dans le troupeau A si le j-ième mouton se trouve dans le troupeau B

la matrice de taille

101 × 1 

constituée des poids des moutons

poids du monton 1

   X=   On note

M

.

poids du mouton 2 . . .

poids du mouton 100 poids du mouton 101



   .  

le poids total du troupeau.

(a) Calculer



 1  1      B ×  ...  .    1  1 (b) Calculer

BX. B est inversible. X et résoudre l'énigme

(c) Montrer que (d) En déduire

Exercice 1187

du berger.

21.6 Rang Pour quelles valeurs de

a

la matrice

  1 1 1 A = 1 2 4 1 3 a est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.

Exercice 1188

Soient

a

et

b

deux réels, et

A

la matrice



 a 2 −1 b A = 3 0 1 −4 5 4 −1 2 Montrer que

rg(A) > 2.

Exercice 1189

Soient

a et b a-t-on rg(A) = 2 ?  0 a v2 =  b0  deux vecteurs indépendants c0


  a v1 =  b  c

et

de

sous forme d'équation, une condition nécessaire et susante pour qu'un vecteur appartienne à l'espace vectoriel engendré par

v1

et

v2 .

Même question pour un plan engendré par deux vecteurs de

R4 .

R3 .

Donner,

  x w = y  z


Exercice 1190

152

u un endomorphisme de E , et B une base de E . Discuter dans chacun des u.     a 1 −1 − λ 2 1 12 − λ −6 1 b     4 1 − λ −2 −9 −5 −λ M (u) = M (u) = B B a 1 0 0 3−λ −12 −8 9− 1 b

Soit

cas ci-dessous la dimension du noyau de



2 −1 MB (u) =  0 0

Exercice 1191 y

1 1 0 0

Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels

x

et

:



Exercice 1192 en fonction de

1 0 A= 1 1

2 x 0 2

 y 1  2 1

Sans chercher à le résoudre, discuter la nature des solutions du système suivant,

α, a, b

et

c

:

  x − y − αz = a x + 2y + z = b  x+ y − z =c

22 Suites : compléments

153

Quatrième partie

ANALYSE 2 22 Suites : compléments

Exercice 1193

22.1 Limites Soient

(un )n>2

dénie par

un =

n Y

cos(

k=2

π ) 2k

et

vn = un sin(

π ). 2n

1. Montrer que

(un )n>2

est convergente.

2. Montrer que

(vn )n>2

est une suite géométrique. En déduire la limite de


Soit

(un )n∈N

(un )n>2 .

lim (un+1 − un ) = 0.

une suite bornée de nombres réels telle que

n→∞ Montrer que les valeurs d'adhèrence de la suite (un )n∈N forment un intervalle de On dénit par récurrence les suites

u0 = 1, v0 = 2, un+1 =

et

(vn )n∈N

par :

(un )2 (vn )2 , vn+1 = . un + vn un + v n

un > 0

1. Montrer par récurrence que l'on a

(un )n∈N

R.

et

vn > 0.

2. Montrer que les suites (un )n∈N et (vn )n∈N décroissent. En déduire qu'elles convergent vers ` et `0 respectivement. Montrer que l'on a ``0 = 0. 3. Montrer que la suite

Exercice √1196

et

un v n

1. Soit

(un )n∈N

et

(un )n∈N

`0 .

(un )n∈N

1 ( )n∈N un

`

diérente

converge vers

`

diérente

1 . `

une suite de nombres réels positifs convergeant vers une limite

Exercice 1198

√ ( un )n∈N

converge vers

√

`.

une suite de nombres réels telle que les suites extraites

convergent vers une même limite 2. En déduire que la suite

Exercice 1199

et

une suite de nombres réels non nuls convergeant vers une limite

de zéro. Montrer que la suite

1. Soit

`

(un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de nombres réels telles que 0 < u1 < v1 un + v n vn+1 = . Montrer qu'elles convergent vers la même limite. 2

de zéro. Montrer que la suite 2. Soit

est constante. En déduire

Soient

un+1 =

Exercice 1197

(vn − un )n∈N

(un )n∈N

`.

(u2n )n∈N

(un )n∈N converge également n X (−1)k général un = converge. (2k)! k=0

Montrer que

de terme

Soit

(un )n∈N

une suite de nombres réels et

1. Montrer que si

(un )n>1

converge vers

`,

alors

(vn )n>1

(u2n+1 )n∈N vers `.

et

u1 + u2 + · · · + un ∗ où n ∈ N . n converge vers `. La réciproque est

vn =

elle vraie ? 2. Calculer

3. Soit

n X k+1 . lim n→+∞ 2nk + k k=1

(an )n>0

une suite telle que

lim (an+1 − an ) = `.

n→+∞

Prouver que

an = `. n→+∞ n lim

22 Suites : compléments 4. Soit

(un )n>1

154

une suite strictement positive telle que

lim (un )1/n = `.

un+1 = `. n→+∞ un

Démontrer que

1 . n!n

On rapelle que

lim

n→+∞

Exercice 1200

n ∈ N∗

Pour tout

on note

un =

n X 1 k! k=1

et

v n = un +

e = lim un . n→∞

1. Montrer que les suites de

e

à

2. Démontrer que

Exercice 1201 tel que, si

(un )n>1 et (vn )n>1 sont adjacentes. En déduire une valeur approchée

1 . 1000 e

est irrationnel.

Une suite

m, n > N

alors

(un )n∈N est dite |un − um | < ε.

de Cauchy lorsque, pour tout

ε>0

il existe

N ∈N

1. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. Montrer que toute suite de Cauchy est bornée. 2. Soit

un = 1 +

(un )n∈N

1 1 + ... + . 2 n


p ∈ N, u2p >

p+2 . 2

En déduire que

tend vers l'inni.

(un )n∈N satisfait au critère C 0 lorsque, pour tout ε > 0 il existe N ∈ N tel que, n > N alors |un − un+1 | < ε. Une suite satisfaisant au critère C 0 est-elle de Cauchy ?

3. Une suite si

4. Montrer que les trois assertions qui suivent sont équivalentes : (a) Toute partie majorée de

R

R

admet une borne supérieure et toute partie minorée de

admet une borne inférieure.

(b) Toute suite de Cauchy est convergente. (c) Deux suites adjacentes sont convergentes.

Exercice 1202

22.2 Suites récurrentes linéaires Soit

(un )

n > 1.

1. Montrer que

4.

un+1 ) un

u0

et

u1

strictement positifs et

un+1 = un + un−1

pour

existe et la déterminer. Que remarquez-vous ?

un+1 . Exprimer an+1 en fonction de an . un Montrer que a2n et a2n+1 sont adjacentes. √ 1+ 5 Déterminer un rationnel r tel que r − < 10−3 . 2

2. Soit 3.

lim(

dénie par

an =

[Exercice corrigé]

Exercice 1203

Déterminer

(un )

telle que

1.

u0 = 1, u1 = 3, un+2 = 4un+1 − 4un .

2.

u0 = 1, u1 = i, un+2 = 4un+1 − 5un .

Exercice 1204 [Exercice corrigé] Exercice 1205 Exercice 1206

Déterminer les suites bornées qui vérient

un+2 = 3un+1 − 2un . 2un+2 = 7un+1 − 3un . √ = un+1 un est bien dénie

Déterminer les suites convergentes qui vérient Montrer que la suite

déterminer.

u 0 = 1, u 1 = 2

et

un+2

et la



Déterminer les suites

155

( u0 = 2 (un ) et (vn ) qui vérient v0 = −2

( un+1 = un + vn et vn+1 = 3un − vn

22.3 Suites de Cauchy sin n est de Cauchy et que la suite 2n n∈N


ne l'est pas.

(−1)n +

1 n n∈N

Montrer que la suite dénie par

un = 1 +

cos n cos 1 cos 2 + + ··· + 1! 2! n!

est une suite de Cauchy. En déduire sa convergence.

Exercice 1210

Montrer que toute sous-suite extraite d'une suite de Cauchy est aussi une suite

de Cauchy.

Montrer que si

(un )

est une suite de Cauchy, on peut trouver une sous-suite

(unk )

de

(un )

telle

que :

Exercice 1211

∀p ∈ N, ∀q > p, |unp − unq | 6

1 . 2p

(xn ) est dénie par une relation de récurrence xn+1 = a sin xn + b où a est un nombre réel de ]0, 1[ et b un nombre réel quelconque. Montrer que pour tout p ∈ N, |xp+1 − xp | 6 ap |x1 − x0 |. En déduire que la suite (xn ) est une suite de Cauchy. −10 Combien de termes faut-il calculer pour obtenir une valeur approchée de lim xn à 10 près si on suppose a = 1/2, b = 5, x0 = 1 ? Une suite


Exercice 1212 tout couple 1. Soit

23.1 Continuité Soit

(x, y)

de

f une fonction continue de [0, 1] dans lui-même telle que f (0) = 0 et pour [0, 1] × [0, 1] on ait |f (x) − f (y)| > |x − y|.

x un élément de [0, 1]. On pose x0 = x et xn+1 = f (xn ). Montrer que la suite (xn )n∈N

est convergente. 2. En déduire que

f (x) = x

pour tout

x ∈ [0, 1].

3. Le résultat reste-t-il vrai sans l'hypothèse

Exercice 1213 Exercice 1214 f a Exercice 1215 Exercice 1216 [Exercice corrigé] Exercice 1217

23.2 Comparaison de fonctions

À quelle condition sur

Soient

que si

admet en

f (0) = 0?

f

et

g

et

g

a-t-on

ef ∼ eg ? a

équivalentes au voisinage de

une limite dans

Montrer que si

Étudier en

f

f

+∞

¯ R

diérente de

tend vers

et

−∞

Calculer les limites de

0

en

a

la fonction

1

alors

a et strictement ln f ∼ ln g .

positives. Montrer

a

ln(1 + f ) ∼ f et ef − 1 ∼ f . a a √ √ 3 3 2 f (x) = x + 1 + x + x + 1.

alors

23 Continuité et comparaison de fonctions 1.

2. 3. 4.

156

sin x ln(1 + x2 ) en 0. x tan x ln(1 + sin x) en 0. tan(6x) 1

(ln(e + x)) x

en

(ln(1 + e−x ))

1 x

0.

en

+ ∞.

[Exercice corrigé]


Trouver un équivalent simple en

Limite en

+∞

de

+∞

Équivalent en

de

Limite en 0 de

Limite en

π 4

de

π 4

Limite en

π 4

de

de

x3 + x2 −

q

x2 +

√

(

ln(1 + x) x ) − 1. ln x

√ 3

x3 − x2

√ x4 + 1 − x 2

tan(ax) − sin(ax) tan(bx) − sin(bx) π π x− tan(x + ) 4 4

de

cos(x) − sin(x) (4 x − π) tan(x)

tan(x − x cos(x)) sin(x) + cos(x) − 1 π π 2 tan(2 x) + tan(x + ) cos(x + ) 4 4

Équivalent en

Équivalent en

√ 3

+∞

0

de

1

Limite en 0 de

Limite en

1 2

de

2 x2 − 3 x + 1 tan(π x)

Limite en 0 de

Équivalent en

x 1+2 ln(x)

(sin(x))sin(x) − 1

(tan(x))tan(x) − 1 √ 1 + x2 x ) + ∞ de ln( 1 x+1 sin( x )

[Exercice corrigé]

Exercice 1220 que

Soit (fn )n∈N une suite de fonctions réelles. Montrer qu'il existe f : R → R telle ∀n ∈ N, fn (t) = o(f (t)) si t → ∞.


157



24.1 Dérivées Montrer que pour tout

x ∈]1, +∞[ on pose f (x) = x ln(x) − x. Montrer ] − 1, +∞[. On pose g = f −1 l'application réciproque

Pour tout

bijection de ]1, +∞[ sur g(0) et g 0 (0).

Exercice 1223

x ∈ R+ , sin(x) 6 x. f est une f. Calculer

que de

Étudier la continuité, la dérivabilité, la continuité de la dérivée pour les appli-

cations suivantes :

1 f : x 7→ sin ( ) si x 6= 0 et f (0) = 0. x 1 2. g : x 7→ xsin ( ) si x 6= 0 et f (0) = 0. x 1 2 3. h : x 7→ x sin ( ) si x 6= 0 et f (0) = 0. x Soit g une fonction 2 fois dérivable sur [a, b] telle que g(a) = g(b) = 0 g 00 (x) 6 0 pour tout x ∈]a, b[. Montrer que pour tout x ∈]a, b[, g(x) > 0. 1.


Soit

f : R → R

une fonction deux fois dérivable telle que

f (x) . f (x) > 0, f 0 (x) > 0 et f 00 (x) > 0. Étudier lim f (x) et lim x→∞ x→∞ x Soit f une application continue de [a, b] à valeurs 0 Montrer que si lim f (x) existe, f est dérivable en a.


dans

R

∀x ∈ R

et

on ait

dérivable sur

]a, b].

x→a

α>0 1.

2.

f : R+ → R∗+ une fonction bornée 00 tout x ∈ R+ , on ait αf (x) 6 f (x).

Soit

tel que, pour

(a) Montrer que

f0

(b) Montrer que

f

(a) Soit

a une limite en

+∞.

Quelle est la valeur de cette limite ?

est décroissante et que

0

2

2

g : x 7→ αf (x) − (f (x)) .

deux fois dérivable et telle qu'il existe

lim f (x) = 0. +∞

Montrer que

g

est croissante et a pour limite

0

en

∞.

√ f (x) = h(x) exp(− αx), √ f (0) exp(− αx).

(b) En posant

Exercice 1228 on note

gn

x ∈ R+ : f (x) 6


la fonction

1. On suppose

f

une fonction continue de

[0, 1]

à valeurs dans

R.

Pour chaque

1 x 7→ f (x + ) − f (x). n

gn (x) > 0

pour tout

2. On suppose désormais que s'annule en au moins

Exercice 1229

montrer que, pour tout

Pour tout

x ∈ [0, 1 −

f (0) = f (1).

1 [. n

Montrer que

f (1) > f (0).

Montrer que, pour chaque

1 un point de l'intervalle [0, 1 − ]. n n entier supérieur où égal à 2, on considère

à coecients réels :

Pn (X) = X n + X n−1 + X 2 + X − 1

n ∈ N,

n ∈ N,

la fonction

le polynôme de degré

gn

n

24 Dérivabilité : compléments n > 2. Montrer que Pn

1. Soit

a une unique racine réelle positive que l'on nommera

notera

λn . (On

X 7→ Pn (X).)

pourra étudier l'application 2. Montrer que la suite

158

(λn )n>2

est croissante puis qu'elle converge vers une limite que l'on

`. `

3. Montrer que

est racine du polynôme

X 2 + X − 1.

En déduire sa valeur.

[Exercice corrigé]

Exercice 1230

Soit

f

une fonction d'un intervalle

I

à valeurs dans

R dérivable sur I. Montrer

que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. 2.

f f

est strictement croissante sur

0

est positive ou nulle sur

Exercice 1231

f une application ε de R dans lui-même

1. Soit

de

I

R

et

I. {x ∈ I; f 0 (x) > 0}

est dense dans

I.

R dérivable en 0. Montrer qu'il existe ∀x ∈ R : f (x) = f (0) + xf 0 (0) + xε(x)

dans

telle que

une application et

lim ε(x) = 0.

x→0

Donner une interprtation géométrique de ce résultat.

(un )n>1 et (vn )n>1 dénies en posant, pour tout n ∈ N∗ : 1 α 1 un = (n3 + 1) 3 − n et vn = (1 + ) n . n Construire un exemple de suite (wn )n>1 avec, un < 1 pour tout n > 1 et telle que lim wn = 1. (On pourra s'inpirer de l'exemple de (vn )n>1 ci-dessus.)

2. En déduire les limites des suites

3.

n→∞

Exercice 1232

2. En déduire que pour tout entier 3. Posons

un = 1 +

convergente.

Exercice 1233

dérivable en

dans

R

telle

1 1 < log(x + 1) − log(x) < . x+1 x 1 1 n > 1 : log(n + 1) < 1 + + · · · + < 1 + log(n). 2 n


1 1 + · · · + − log(n) 2 n

1. Soit

f

x>0

on a :


(un )n∈N

une application continue d'un intervalle

]a, b[

est décroisante et

à valeurs dans

c ∈]a, b[. Montrer qu'il existe une (unique) application continue ε que f (c) = 0 et, pour tout x ∈]a, b[ distinct de c, on ait :

de

R, ]a, b[

f (x) = f (c) + (x − c)f 0 (c) + (x − c)ε(x) 2. Montrer que la suite

(Sn )n>1

de terme général :

n

Sn =

X 1 1 1 1 + + ··· + = n n+1 2n k=0 n + k

est décroissante et qu'elle converge vers une limite que l'on nommera 3. Pourquoi peut on dire, 4. Soit que

a priori , que

S.

1 6 S 6 1? 2

f :]−1, 1[→ R une application continue, dérivable en 0 et telle que f (0) = 0. Montrer la suite (σn (f ))n>1 de terme général : 1 1 1 σn (f ) = f +f + ··· + f n n+1 2n

converge vers

f 0 (0)S

(utiliser 1.).

25 Développements limités σn (f ) =

5. Montrer que valeur de

log

159

(2)

lorsque

f

(σn )n>1


est l'application

x 7→

log

(1 + x)

et en déduire la

S.

6. Calculer la limite de la suite

σn = sin

1 1 1 + sin + · · · + sin . n n+1 2n p ∈ N∗

7. Plus généralement, quelle est la valeur pour

(σn (p))n>1

donné, de la limite

Sp

de la suite


σn (p) =

pn X k=0

1 ? n+k

[Exercice corrigé]

Exercice 1234

Soit

f

une fonction dérivable et

a un réel. Soit h > 0 un nombre réel strictement

positif xé.

1. Montrer qu'il existe

θ ∈]0, 1[

tel que

f (a + h) − 2f (a) + f (a − h) = f 0 (a + θh) − f 0 (a − θh). h 2. Pour tout

h 6= 0

existe, alors

Exercice 1235 On pose

on note :

ϕ(h) =

lim ϕ(h) = f 00 (a).

f (a + h) − 2f (a) + f (a − h) . h2

Montrer que si

f 00 (a)

h→0

Soit I un intervalle ouvert contenant 0 et 1 et f : I → R une fonction dérivable. p = f (1) − f (0).

1. Soit

g : [0, 1] → R u

Montrer que si 0

la fonction dénie par

est un réel compris entre

g(0) = f 0 (0) f 0 (0)

et

p

et

f (x) − f (0) sinon. x existe a ∈ [0, 1] tel que

g(x) =

alors il

u = f (a). 2. Soit

h : [0, 1] → R v

Montrer que si 0


est un réel compris entre

h(1) = f 0 (1) f 0 (1)

et

p

et

f (x) − f (1) sinon. x−1 existe b ∈ [0, 1] tel que

h(x) =

alors il

v = f (b).

3. Soit

w un réel compris entre f 0 (0) et f 0 (1). Montrer qu'il existe c ∈ [0, 1] tel que w = f 0 (c).

Exercice 1236

distinctes. Montrer de

P (X) un polynôme à coecients complexes de degré 3 ayant trois racines 0 que les racines de P sont dans le triangle ayant pour sommet les racines

Soit

P


Exercice 1237

25.1 Calculs de développements limités Donner le développement limité en

1.

x 7→ ln(cos(x))

2.

x 7→ tan(x)

3.

x 7→ sin(tan(x))

4.

x 7→ (ln(1 + x))2

(à l'ordre

(à l'ordre

6).

7).

(à l'ordre (à l'ordre

7). 4).

0

des fonctions :

25 Développements limités 5.

x 7→ exp(sin(x))

6.

6

x 7→ sin (x)

(à l'ordre

(à l'ordre

160

3).

9.)

[Exercice corrigé]

Exercice 1238

−1 f : R → R la fonction dénie par f (x) = 0 si x 6 0 et f (x) = exp ( ) x pour tout n ∈ N, le développement limité de f en 0. Quelles conclusions

1. Soit

sinon. Calculer, en tirer ?

g:R→R

2. Soit que

g


g(0) = 0 2

a un développement limité d'ordre


Déterminer la limite en

0

de

en

0

et, si

1 x 6= 0 : g(x) = x3 sin( ). x

mais n'a pas de dérivée seconde (en

2. 3. 4. 5. 6. 7.

0).

arctan x − sin x . tan x − arcsin x

Faire un développement limité ou asymptotique en

1.

Montrer

a

à l'ordre

n

de :

ln cos x n = 6 a = 0. arctan x − x n = 2 a = 0. sin x − x ln tan( x2 + π4 ) n = 3 a = 0. ln sin x n = 3 a = π4 . √ √ 3 x3 + x − 3 x3 − x n = 4 a = +∞. 1

(1 + x) x n = 3 a = 0. p √ √ x( x2 + x4 + 1 − x 2) n = 2 a = +∞.

[Exercice corrigé]

Exercice 1241 1. 2. 3. 4. 5.

Développements limités

en

0

de :

cos x. ln(1 + x) à l'ordre 4. 1 à l'ordre 4. cos x arcsin (ln(1 + x2 )) à l'ordre 6. sinh x − x à l'ordre 4. x3 1 (1 + x) 1+x à l'ordre 3.

Exercice 1242

Pour chacune des fonctions suivantes, donner les conditions sur

ε(x)

pour que

ces fonctions soient des développements limités au voisinage d'un point et à un ordre que vous préciserez.

5.

x3 + x2 ε(x) 3 2 1 1 f2 (x) = 1 − 2 + 3 + 3 ε(x) x x x (x − 2)2 + (x − 2)3 ε(x) f3 (x) = (x − 2) + 5 1 1 f4 (x) = x2 − x + 1 + + ε(x) x x f5 (x) = x3 + 3x− x + 1 + (x − 1)2 ε(x)

6.

f6 (x) = (x − 2)2 + (x − 2) − 2 + (x − 2)ε(x)

1. 2.

3. 4.

f1 (x) = x −

25 Développements limités 7.

f7 (x) = {2x + x2 + 1 + x2 ε(x)}{−x + 3 + x2 − x3 ε(x)}

Exercice 1243

1. Développements limités en

2. Développement limité loppement limité

Exercice 1244 0 +∞ −∞ Exercice 1245 Z ,

161

et

en

à l'ordre

π . 2

3

en

1à

x0 ∈]0; π[

3 de f (x) =

l'ordre

de

h(x) = ln(sin x).

√

x

et de

√

g(x) = e

x

En déduire un déve-

√

Donner un développement limité

2

à l'ordre

de

f (x) =

1 + x2 √ x + 1 + 1 + x2

en

.

Donner un développements limité

en

0

à l'ordre

10

de :

x

1.

x 7−→

cos t2 dt.

0 2.

x 7−→

Z

x2

Exercice 1246 x

1 dt = F (x2 ) − F (x) où F est une 1 + t4 Donner le DL2 en +∞ de : r x x − 2 x−1 e . x→ x+1

√

primitive de

t 7−→ √

1 . 1 + t4

25.2 Applications des développements limités

Exercice 1247

Calculer les limites suivantes 2

ex − cos x lim x→0 x2

Exercice 1248 [Exercice corrigé] Exercice 1249 0 Exercice 1250 Exercice 1251

√ cos x − 1 − x2 lim x→0 x4

ln(1 + x) − sin x lim x→0 x


ex − (cos(x) + x) x3 arctan(x) − x4 , lim . x→0 x→0 x2 cos(x2 ) − 1 lim

Étudier la position du graphe de l'application

à sa tangente en

et

x 7→ ln(1 + x + x2 )

1.

Montrer que pour tout Établir pour tout

ex = +∞. x→+∞ xn

n ∈ N, lim

x ∈ R∗+

l'inégalité :

3√ 3 3√ 3 x+ √ < (x + 1)3/2 − x3/2 < x+ √ . 2 2 8 x 8 x+1


Montrer que pour tout Soit

1. Montrer que

f

1

f (x) = (cos x) x

x ∈ R+ ,

pour

x ∈] − π2 , π2 [− {0}.

est prolongeable par continuité en

2. Déterminer un DL de

f

en

0

à l'ordre

1. 2.

f.

Étudier les branches innies des fonctions :

1 f (x) = x arctan( 1+x 2 ). q x−1 g(x) = x 3x+1 . 2

0.

2.

3. Etudier la dérivabilité du prolongement de

Exercice 1254

x2 x2 6 ex − x − 1 6 ex . 2 2

par rapport


Exercice 1255

Soit

(1)

162


n ∈ N∗

2. Déterminer un équivalent de

xn − n

3. Faire un DAS de

Exercice 1256

x − E(x) =

l'équation

il existe un unique

en fonction de

a ∈ R+∗

Calculer pour

xn ∈ [n, n + 1[

solution de

(1).

xn .

+∞

en

1 . x2

1 à l'ordre n

5.

:

1 1 x a − ax , lim (3(2) n − 2(3) n )n x a x→a x − a n→∞

lim

Exercice 1257

Calculer :

` = lim

x→∞

Exercice 1258

Soit

x ∈ R+ ,

∀n ∈ N, un+1 (x) =

ln x + 1 ln x

ln x+1 x ln x quand ln x

`−

et donner un équivalent de

on dénit

(un (x))n

x ln x

x → ∞. et

(vn (x))n

par :

p un (x) + vn (x) , vn+1 (x) = un (x)vn (x), u0 (x) = 1, v0 (x) = x. 2

1. Montrer que ces deux suites convergent vers une même limite

`x .

f : R+ → R dénie par : f (x) = `x . Calculer f (1), f (0), donner f ( x1 ) en fonction de f (x) si x > 0. Montrer que f est croissante, en déduire le sens de variations de x → f (x) . x √ 1+x Montrer que f est dérivable en 1 (on utilisera x 6 f (x) 6 2 ) puis que limx→∞ f (x) = +∞.

2. Soit

3.

4. Montrer que

f

est continue sur

f,

5. Donner l'allure du graphe de asymptotique en

Exercice 1259

Soit

R+∗ ,

f

est continue en

préciser la tangente en

0

0.

ainsi que le comportement

+∞.

n ∈ N∗ , x 6= 0,

on dénit :

un (x) = Déterminer

puis que

1x + 2x + ... + nx n

x1

.

`n = lim un (x).


x→0

Déterminer :

2 tan x − sh 2x . x→0 (1 − cos 3x) arctan x lim

Soient

u, v, f

dénies par : 1

u(x) = (x3 − 2x2 + 1) 3 , v(x) = 1. Donner un équivalent de 2. Déteminer

3. Même étude en Soit

−∞

x2 + x + 1, f (x) = u(x) − v(x).

au voisinage de

lim u(x) − x, lim v(x) + x.

x→−∞ au graphe de f en

Exercice 1262

f

√

x→−∞ et positionner

f

−∞,

la fonction

1. Donner le domaine de dénition

−∞

par-rapport à cette asymptote.

arctan x 1 − 2. 3 (sin x) x de g .

x 7→

lim f.

En déduire l'équation d'une droite asymptote

+∞. g

en déduire


163

2. Montrer qu'elle se prolonge par continuité en 3. Déterminer la tangente en

0

0

en une fonction dérivable.

au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par

rapport à celle-ci.

[Exercice corrigé]

Exercice 1263

x3 + 2 Soient f : x 7→ x2 − 1

et

g : x 7→ (x+1) exp(

1 ) deux fonctions. Déterminer x−1

si leurs graphes respectifs ont des asymptotes puis la position de ces graphes par rapport à celles-ci.

Exercice 1264


Exercice 1265 √

x

réel vériant

|x| 6 1

:

x + sin 2x x9 + x2 − 3 6 2.

Déterminer :

1.

(a)

(b)

lim

x→+∞

lim

x→−∞

√

x2 + 3x + 2 + x. x2 + 3x + 2 + x. 1

2.

lim+ (Arctan x) x2 .

x→0

1

3.

(1 + 3x) 3 − 1 − sin x lim . x→0 1 − cos x 1. Soit g la fonction

Exercice 1266

dénie par :

g(x) =

x+1 + Arctan x. 1 + x2

(a) Quel est le domaine de dénition de

g?

(b) Etudier ses variations. (c) Montrer que et

0

g

s'annule une et une seule fois sur

(on ne demande pas de préciser la valeur de

(d) Dessiner le graphe de 2. Soit

f

R en α).

un point

α

compris entre

−1

g.


R

par :

f (x) = (x + 1) Arctan x. (a) Calculer la dérivée de (b) Le graphe de

f

f

et établir son tableau de variation.

a-t-il des points d'inexion ? Si oui, donner les coordonnées de ce (ou

ces) point(s). 3. Donner l'équation de la tangente au point d'abcisse

x=0

au graphe de

de ce graphe par rapport à cette tangente (au voisinage de ce point). 4. En utilisant les résultats de l'exercice (a)

(b)

f (x) = (1 + x f (x) = (1 + x

???

, montrer que :

1 π 1 )( − Arctan ) si x > 0. x 2 x 1 π 1 )(− − Arctan ) si x < 0. x 2 x

f

et la position


164

ε

5. En déduire l'existence d'une fonction ait :

f (x) = Etablir un résultat analogue pour

telle que

1 lim ε( ) = 0 x→+∞ x

x > 0,

et, pour tout

on

π π 1 1 1 x + ( − 1) − + ε( ). 2 2 x x x x < 0.

6. Quelles sont les asymptotes au graphe de

f ? Préciser la position de ce graphe par rapport

à ces asymptotes. 7. Dessiner le graphe de

Exercice 1267 n ∈ N. Exercice 1268

f.

25.3 Formules de Taylor Soit

f

l'application de

R

dans

R

dénie par

f (x) =

x3 . 1 + x6

Calculer

f (n) (0)

pour tout

dans

R.

Soit

On suppose

a un nombre réel et f une application de classe C 2 de ]a, +∞[ f 0 et f 00 bornées ; on pose M0 = sup |f (x)| et M2 = sup |f 00 (x)|. x>a

x et x + 2h, 1 h > 0, on a : |f 0 (x + h)| 6 hM2 + M0 . h 0 En déduire que f est bornée sur ]a, +∞[.

1. En appliquant la formule de Taylor en

2.

x>a

montrer que, pour tout

g :]0, +∞[→ R une application lim g(x) = 0. Alors lim g 0 (x) = 0.

3. Établir le résultat suivant : soit seconde bornée et telle que

Exercice 1269

Soient

x→∞

a, b, c ∈ Z

x>a

de classe

n∈N

tels que :

il existe

C2

et tout

à dérivée

x→∞

ae2 + be + c = 0.

[0, 1] à l'application ϕ : x 7→ aex + ce−x θn ∈]0, 1[ tel que :

1. En appliquant la formule de Taylor sur que, pour tout

à valeurs

démontrer

n

aeθn + (−1)n ce−θn X a + (−1)k c −b = + . (n + 1)! k! k=0 2. En déduire que pour ∞ X rappelle que

e=

Exercice 1270 sup f (n) (x) =

grand

aeθn + (−1)n ce−θn = 0

puis que

a = b = c = 0.

(On

∞ (n) Soit f ∈ C (R, R) telle que ∀n ∈ N, f (0) = 0 et f (n) est bornée sur R avec n! o( an ), a constante xée. Montrer que ∀x ∈ [−a, a], f (x) = 0, puis que f = 0.

Exercice 1271 Q > 0. Exercice 1272 x∈R

n=1

n assez 1 .) n!

Soit

P ∈ Rn [X]

tel que

P > 0.

On pose

Q = P + P 0 + ... + P (n) .

Montrer que

a et b deux réels tels que a < b et f ∈ C 3 ([a, b], R). Montrer qu'il existe (b − a)3 000 a+b c ∈]a, b[ tel que f (b) = f (a) + (b − a)f 0 ( )+ f (c) (on pourra utiliser Taylor2 24 a+b Lagrange entre a, , b). 2 Soient


165

26 Intégrales (compléments), intégrales impropres 26.1 Intégration sur un compact


1

f : [0, 1] → R une fonction de classe C . Montrer que lim

Soit

n→∞

f : [0, 1] → R

Soit

une fonction continue telle que

lim

n→∞ Généraliser au cas où

Exercice 1275

Soit

f

1. Montrer que

f (0)

f (0) = 0.

Z

1 cos(nt)f (t)dt

0

Montrer que

1

Z

f (tn )dt = 0.

0

est quelconque.

f : [a, b] → R

une fonction intégrable.

est bornée. On pose

M = sup |f (x)|. x∈[a,b]

2. Soient

x

F : x 7→

et

Z

y ∈ [a, b]

|

Montrer que

y

Z

f (t)dt| 6 M |x − y|.

En déduire que l'application

x

x

f (t)dt

est continue sur

[a, b].

a 3. Soit

x0 ∈ [a, b].

Exercice 1276

Soit

Montrer que si

f : [0, 1] → R

f

alors

F

est dérivable en

x0 .

une fonction continue. Montrer que

lim

n→∞

Z

1 n

n

nt f (t )dt =

0

1

Z

f (t)dt.

0

u = tn ).

(On pourra faire le changement de variable

Exercice 1277

x0

est continue en

f : [a, b] → R une fonction de classe C 1 telle que f (a) = f (b) = 0. Posons Z b (b − a)2 0 . (Indication : faire des dévelopM = supx∈[a,b] |f (x)|. Montrer que | f (t)dt| 6 M 4 a Z x Z b pements limités de x 7→ f (t)dt et x 7→ f (t)dt).

Exercice 1278

Soit

a Soit

f

x

continue sur

[0, 1] avec f (1) 6= 0, montrer Z 1 f (1) xn f (t)dt ∼ . n 0

En déduire :

lim

n→∞ On posera

u=1−

Exercice 1279

1 puis n

Z

n −2t

e

0

t 1− n

n

dt

v = ue2(u−1) .

Donner un développement :

Z 0

1

et b 1 dt = a + + o( ). n 1+t n n

:

= 0.


Exercice 1280

166

26.2 Intégrales impropres Donner la nature des intégrales suivantes :

∞ −x

Z

e √ dx. x

0

∞

Z

xx dx.

1

√ ∞

Z

x sin( x1 ) dx. ln(1 + x)

0 Nature et calcul des intégrales suivantes :

2

Z

√

1 ∞

Z 0

1 x2

dx.

x5 dx. x12 + 1

∞

Z

−1

e−

√

x

dx.

0

Z

∞

1 d(bile). sh(bile)

1

[Exercice corrigé]

Exercice 1281 2. Soit

n∈N .

Montrer que

3. En déduire que Z √n 2 n

0

∀x > −1 ln(1 + x) 6 x. ∀x ∈ [0, n] (1 − nx )n 6 e−x 6 (1 + nx )−n .

1. Montrer que

∗

t 1− n

Z

dt 6

√

n

−t2

e

dt 6

√

Z

0

n

1 2 n dt. 1 + tn

0

Rappel (intégrales de Wallis) :

In =

π 2

Z

n

(cos(θ)) dθ ∼

r

0 4. Montrer que

Z

∞

0 5. Montrer que

Exercice 1282

Z

∞

1 du (1 + u2 )n 2

e−x dx

Exercice 1284

I2n−2 .

√ existe et vaut

0

π . 2

Étude de :

Donner un équivalent de

Exercice 1283

existe et vaut

π . 2n

Soit

f

f

en 0 et en

f :R→R Z x t e dt. x 7→ 1 t +∞.

une application

C2

de

R

dans

R

telle que

00

f + f > 0.

Montrer que :

∀x ∈ R, f (x) + f (x + π) > 0. Soit

f

R+ dans R et F Z 1 x +∗ f (t)dt. ∀x ∈ R , F (x) = x 0

une application continue de

de

R+∗

dans

R dénie par :

26 Intégrales (compléments), intégrales impropres 1. Montrer que si

f

2. Donner un exemple où 3. Montrer que si

Exercice 1285

+∞,

alors

F

n'a pas de limite en

+∞

mais où

admet une limite

f →∞

f

quand

`

167

en

x → ∞,

alors

F →∞

a aussi la limite

F

quand

`

tend vers

en

+∞.

0.

x → ∞.

Étudier la fonction :

h:x→

Z

x2

x

dt . log t

Domaine de dénition, continuité et dérivabilité, variations, limites aux bornes de ce domaine, h(x) et lim , lim h(x) , éventuellement convexité. x→∞ x x→0 x

Exercice 1286

Donner un exemple d'une fonction continue positive telle que :

∞

Z

f (u)du

0 existe mais telle qu'on n'ait pas :

lim f (x) = 0.

x→∞

Donner un exemple de fonction continue positive telle que :

∞

Z

f (u)du

0 existe mais telle que :

∞

Z

f 2 (u)du

0 n'existe pas.

Exercice 1287

Soit

f

une fonction positive décroissante de

R+

dans

R,

telle que

Montrer que :

R∞ 0

f

existe.

1 f (x) = o( ) x quand

x → ∞.

Exercice 1288

+ une application continue par morceaux de R dans R possédant une R∞ limite ` en +∞, telle que f existe ; montrer que ` = 0. 0 R∞ + Soit f une application uniformément continue de R dans R telle que f existe. Montrer 0 que :

Exercice 1289 que quand

Soit

f

lim f (x) = 0.

x→∞ Soit

f


x→∞:

Exercice 1290

Z

x

0 Étudier la nature de

0

α ∈ R.

dans

√ f (t)dt = o( x).

Z selon

R+

∞

sin t dt tα

R

telle que

R∞ 0

f2

existe. Montrer


Exercice 1291

168

Convergence et calcul de :

1

ln(1 + t2 )dt , t2 0 Z ∞ 1 ln 1 + 2 dt, t 0 Z ∞ ln t dt. tn 1 Z

[Exercice corrigé]

Exercice 1292

Soit

f : [1, ∞[→ R+

continue telle que

∞

Z

f (t)dt

1 converge. Montrer que

Exercice 1293

Z

1 lim x→∞ x Soit

f ∈ C([1, ∞[, R+ ) xn =

x

tf (t)dt = 0.

1

décroissante, on pose :

n X

f (k) −

(xn )n∈N converge. P Sn = nk=1 f (k) a


f (t)dt.

1

k=1


n

Z

n→∞

une limite quand

si et seulement si

converge, et que dans ce cas :

Z

∞

f 6 lim

m→∞

n+1 3. Montrer que si

Exercice 1294

Soit

R∞ 1

f

diverge on a :

f :]0; 1] → R

Sn v

m X

Rn 1

f.

n → ∞.

quand

continue et monotone, telle que

1X f lim n→∞ n k=1 Montrer que si

f

∞

n

k=n+1

n

Exercice 1295

f (k) 6

Z

R1 0

f

existe. Calculer

k . n

f : R+ → R est uniformément Z ∞ exp(if (t))dt

continue, alors

0 n'existe pas.

ExerciceZ 1296 ∞

1 sin t sin dt, t

ExerciceZ 1297 0

∞

0

Nature de :

∞

Z 0

esin t dt, t

∞

Z 2

sin t √ dt, t + sin t

Z

1

cos ln tdt,

0

Z

∞

cos exp tdt.

0

Nature et calcul de :

a2 ln t ln 1 + 2 t

dt, a > 0 ;

Z 0

∞

exp −t

1 n

∗

dt, n ∈ N ;

Z 0

1

1 1 − E( ) dt. t t

R∞ 1

f


Exercice 1298

Convergence et calcul de :

Z

Exercice 1299 R en

+∞,

et

∞ 0

f

∞

0 Soient

f

et

g

dx , 1 + cosh2 x

∞

1

dx , sinh x R+

Z

∞

−∞

dans

R

dt . cosh t telles que

f > 0, g > 0, g = o(f )

n'existe pas. Montrer alors :

x

g(u)du = o

0

Z

x

f (u)du

0

x → ∞.

Exercice 1300

Soit

f : R+ → R

continue, tendant vers

lim

Exercice 1301

n→∞

Z 0

∞

`

en

+∞,

montrer alors :

π f (t)n dt = `. 2 2 n +t 2

Calculer :

Z 1 n tan t x − x2n lim dt , lim dx. n→∞ 0 a→0+ a t2 1−x R∞ R∞ Soit f ∈ C(R, R) telle que f existe, montrer que F (x) = −∞ f (t) cos txdt −∞ uniformément continue sur R. Z

Exercice 1302

est

Z

deux fonctions de

Z quand

169

3a


170

Cinquième partie

ALGÈBRE 3 27 Groupes : généralités

Exercice 1303

27.1 Groupes, sous-groupes ABC

Soit

un triangle équilatéral du plan.

1. Déterminer l'ensemble des rotations qui laissent invariant

{A, B, C}.

◦.

2. Montrer que c'est un groupe pour la loi 3. Faire de même avec un carré.

Exercice 1304 (Entiers modulo n)

entier relatif noté

p

modulo

n

l'ensemble

Étant donné un entier naturel

p = {p + kn | k ∈ Z}.

n, on appelle classe d'un n est

L'ensemble des classes modulo

Zn .

1. Écrire la liste des éléments distincts de 2. Montrer que si 3. En posant

x∈p

et

y ∈ q,

p+q = p+q Zn .

et

alors

Z2 , Z3 , Z4

x+y ∈p+q

p · q = pq ,

et et

Z5 . xy ∈ pq .

on dénit deux lois de composition, addition et

multiplication sur

Écrire la table d'addition et de multiplication de Même question pour

Exercice 1305

Z2 , Z3 ,

et

Z4 .

Z5 .

1. Montrer que les transformations géométriques qui conservent globale-

ment un rectangle forment un groupe. Faire l'étude de ce groupe.

2. Étudier le groupe

Z/4Z.

3. Montrer qu'il n'existe que deux sortes de groupes à quatre éléments.

Exercice 1306

1. Étudier le groupe des isométries du carré.

2. Écrire la liste des éléments du groupe

S4

des permutations de quatre lettres. Trouver des

sous-groupes de ce groupe isomorphes aux groupes du rectangle, du triangle équilatéral, du carré.

Exercice 1307 (Permutations d'un ensemble de n éléments) l'ensemble de

n

éléments

{1, 2, . . . , n}

est une bijection de cet ensemble dans lui-même.

Il est commode de désigner une telle permutation

s=

1 2 ··· n s(1) s(2) · · · s(n)

2. Écrire les éléments de

S2

. On note

et de

1. Une permutation de

s

par le tableau de valeurs suivant :

Sn l'ensemble de ces permutations pour n donné.

S3 .

3. Établir les tables de composition de ces deux ensembles. 4. De la table de

S3

on peut extraire des parties

stables

ne faisant intervenir que certains

éléments ; lesquelles ? Peut-on les trouver toutes. 5. Voyez-vous des analogies (totales ou partielles) entre ces tables et des situations rencontrées plus haut ? 6. On peut obtenir tous les éléments de lesquels ?

S3 à partir de la composition de certains d'entre-eux ;


171

7. Combien d'éléments possède

S4 , S5 , . . .

Exercice 1308

vrai pour

1 x

f2 (x) =

G = {f1 , f2 , f3 , f4 }

Exercice 1309 4 Exercice 1310 Exercice 1311

R∗

Soient les quatre fonctions de

f1 (x) = x Montre que

Sn ? Combien de cases contient la table S4 et S5 à partir de ces tables ?

de composition de

? Pourrait-on étudier

dans

R∗

f3 (x) = −x

est un groupe pour la loi

f4 (x) = −

1 x

◦.

Montrer qu'il existe une seule table possible pour un groupe d'ordre

3.

Est-ce

?

Montrer que si

X

contient au moins trois éléments alors

σ(X) n'est pas abélien.

Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ?

1.

] − 1, 1[

2.

{z ∈ C : |z| = 2}

3.

R+

4.

{x ∈ R 7→ ax + b : a ∈ R \ {0} , b ∈ R}

muni de la loi dénie par

x?y =

x+y ; 1+xy

pour la multiplication usuelle ;

pour la multiplication usuelle ; pour la loi de composition des applications.

[Exercice corrigé]

Exercice 1312

Soit

K = {Id, f1 , f2 , f3 } où f1 , f2 , et f3 sont les permutations de E = {1, 2, 3, 4}

dénies par

f1 = ( 12 21 34 43 ) , f2 = ( 13 24 31 42 ) , f3 = ( 14 23 32 41 ) . Montrer que

K

Exercice 1313

est un sous-groupe de

S4 .

Soit l'ensemble

J =

x x x x

∈ M2 (R) : x ∈ R \ {0} .

Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices,

Exercice 1314

J

est un groupe abélien.

Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants

sont-ils des groupes : GL(2, R)

∩ M2 (Z),

{M ∈ M2 (Z) : det M = 1}

?

[Exercice corrigé]

Exercice 1315

G un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, admettant un élément neutre à droite et tel que chaque élément de G admette un symétrique à droite. Montrer que G est un groupe.

Exercice 1316

Soit

Soient

(G, .)

un groupe et

a, b ∈ G.

(1) : ab2 = b3 a 1. Montrer, en utilisant seulement (1), que 2. En déduire, en utilisant (2), que

Exercice 1317

1. L'ensemble

est-il un groupe ?

et

On suppose que

(2) : ba2 = a3 b.

a2 b8 a−2 = b18

a3 b8 a−3 = b18

puis que

et enn que

a3 b8 a−3 = b27 .

a = b = 1.

R\{−1} muni de la loi ? dénie par ∀a, b ∈ R, a?b = a+b+ab


172

E = {−1, 1, i, −i} ⊆ C

2. L'ensemble

muni de la loi usuelle de multiplication dans

C

est-il

un groupe ? 3. L'ensemble de

M2 (R)

4. L'ensemble

E = {( a0 00 ) : a ∈ R \ {0}} muni de la loi de multiplication usuelle des matrices est-il un groupe ?

S2 (R)

des matrices symétriques réelles d'ordre 2 muni de la loi de multiplica-

tion usuelle des matrices de

Exercice 1318

M2 (R)

(G, ?) et (H, 4) (x, y)♥(x , y ) = (x ? x , y4y 0 ). 0

0

Soient 0

1. Montrer que 2. Si

G

(G × H, ♥)

est-il un groupe ? deux groupes. On dénit sur

G×H

la loi

♥

par

est un groupe.

est de cardinal 2, dresser la table de

G×G

et la reconnaître parmi les exemples des

exercices précédents.

Exercice 1319 G Exercice 1320 groupe de

Si G est {x ∈ G/∀y ∈ G, xy = yx}. 1. Montrer que

Z(G)

2. Montrer que

G

3. Calculer

H et K H ∪K?

Montrer que si

. Est-ce vrai pour

sont des sous-groupes de

un groupe, on appelle centre de


est commutatif ssi

G

G

alors

H ∩K

et on note

est un sous-

Z(G)

l'ensemble

G.

Z(G) = G.

Z(σ3 ).

Exercice 1321

On nomme

Mn (Z) l'ensemble des matrices de taille n × n à coecients entiers

relatifs.

M ∈ Mn (Z). Montrer que pour que M admette un inverse élément de Mn (Z) il faut et il sut que det(M ) ∈ {−1, 1}. - Démontrer que Gln (Z) = {M ∈ Mn (Z) ; det(M ) ∈ {−1, 1}} est un sous-groupe de Gln (R). a c 1. L'ensemble des matrices avec a, b, c, d ∈ R tels que ad − bc 6= 0 b d 2 2 2 2 et a − b − c − d 6 1 est il un sous-groupe de Gl2 (R) ? a b ∗ 2. L'ensemble des matrices avec a ∈ R et b ∈ R est-il un sous groupe de Gl2 (R) ? 0 a−1 a c 3. Existe-t-il une valeur M ∈ R telle que l'ensemble des matrices avec a, b, c, d ∈ R b d tels que ad − bc 6= 0 et a 6 M forme un sous-groupe de Gl2 (R) ?

- Soit

Exercice 1322

[Exercice corrigé]

Exercice 1323

Soit

un sous-groupe de

[Exercice corrigé]


G

G

un groupe,

H

si et seulement si

K deux sous-groupes H ⊂ K ou K ⊂ H.

et

Déterminer le sous-groupe de

Les questions sont indépendantes. Soit

C

Z(G)

G

un groupe engendré par

désigne le centre de

[Exercice corrigé]

G.

a

et

le nombre complexe

engendré par

2. Déterminer le sous-goupe du groupe multiplicatif Soit

j

b.

C∗

i

et

e

2iπ 3

est

−54. .

j.

engendré par

Montrer que

H ∪K

Montrer que

engendré par les entiers 24, 36 et

Z

1. Déterminer le sous-goupe du groupe additif

Exercice 1326

G.

de

i

et

j.

< a > ∩ < b >⊆ Z(G)

où


Exercice 1327

G

Soit

173

+∗

α = inf(G ∩ R ).

1. Montrer l'existence de 2. Si

α>0

montrer que

G = αZ.

3. Si

α=0

montrer que

G

Exercice 1328

G

Soit

(R, +).

un sous-groupe de

est dense dans

R.

un groupe. Montrer que l'ensemble

est un groupe pour la loi de composition. Soit dénie par :

π(x) = {f (x)|f ∈ H}.

Exercice 1329

G π : G → ℘(G)

des automorphismes de

H un sous-groupe de Aut(G), et π(G) est une partition de G.

Montrer que

E un ensemble muni d'une loi interne ?. On appelle translation à droite a ∈ E , l'application da (resp. ga ) de E dans E dénie par da (x) = a ? x

Soit

(resp. à gauche) par (resp.

Aut(G)

ga (x) = x ? a).

1. Montrer que dans un groupe les translations à droite et à gauche sont des bijections.

? de E

2. Réciproquement, si la loi

est associative, et que les translations à droite et à gauche

sont des bijections, on va montrer que

(E, ?)

x ∈ E , il existe x ? fx = x).

(a) Montrer que pour tout que (b) Si

ex ? x = x

(resp.

x, y ∈ E , montrer que ex = ey

(c) Montrer que

e=f

(noté

e

x¯ ? x = e

(e) Montrer que

(resp.

un unique élément

ex ∈ E

e dorénavant) et fx = fy

(resp.

(noté

f

fx ∈ E )

tel

dorénavant).

dorénavant).

x ∈ E, ¯ = e). x?x

(d) Montrer que pour tout que

(noté

est un groupe.

il existe un unique élément

x¯ ∈ E

(resp.

¯ ∈ E) x

tel

K

est

¯. x¯ = x

(f ) Conclure.


Si

un sous-groupe de

i)

G

K G.


1. Soit

(G, .)

H

et

H

un sous-groupe de

G,

montrer que

un groupe. Montrer l'équivalence de :

est abélien.

a, b ∈ G,

ii) Pour tout iii) Pour tout

a, b ∈ G,

iv) L'application

f

de

on a : on a :

G

dans

2. En déduire que si pour tout

Exercice 1332

(ab)2 = a2 b2 . (ab)−1 = a−1 b−1 . G

dénie par

2

x ∈ G, x = e,

1. Les ensembles

f (x) = x−1

alors

G


est abélien.

N, Z, R, R+ , R∗+ , C, C∗

munis des lois

+

ou

×

sont-ils des

groupes ? Quand c'est le cas, chercher des sous-groupes non triviaux.

2.

{x ∈ R 7→ ax + b : a ∈ R \ {0} , b ∈ R} muni de la loi de composition des applications estil un groupe ?


Quel est le plus petit sous-groupe de

(R, +)

(resp. de

(R∗ , ×))

contenant 1 ?

Contenant 2 ?

de

(C, ×).

Soit

semblent les courbes

exp(iλt) ?

λ ∈ C

xé. Montrer que


Sλ ?

λ

Sλ = {exp(iλt) : t ∈ R}

est un sous-groupe

retrouve-t-on des sous-groupes bien connus ? A quoi res-

Que peut-on dire, en terme de morphisme, de l'application

t 7→


Exercice 1335 engendré dans

174

27.2 Ordre d'un élément On appelle

G

ordre d'un élément

d'un groupe ni

(G, ∗)

par cet élément.

x

1. Montrer que si

p, p

est d'ordre

I

xp = e.

est le plus petit entier tel que

2. Déterminer les ordres des éléments des groupes rencontrés au

(G, ∗)

l'ordre du sous-groupe

.

a un élément de G, H un sous-groupe d'ordre p {a ∗ y | y ∈ H}. a) Montrer que pour tout a ∈ G, aH a p éléments. b) Montrer que si a ∈ G et b ∈ G, (aH = bH) ou (aH ∩ bH = ∅). c) En déduire que l'ordre de H divise l'ordre de G.

3. Soit

aH

un groupe ni,

G

4. Montrer que si

est un groupe ni d'ordre

G

5,

est un groupe d'ordre

n,

on note

les ordres de tous ses éléments divisent

n∈N

H

Soit

tel que la

éléments d'ordre ni de

[Exercice corrigé]

Exercice 1337 n

Soit k et g

n ∈ N si g = e n quelconque.

5.

Que peut-on dire de deux

5 ? Mêmes questions pour les groupes d'ordre 23. Généraliser.

groupes quelconques d'ordre

Exercice 1336

n.

que peut-on dire de l'ordre de ses éléments ? En déduire

les tables de composition possibles pour un groupe d'ordre

existe

G;

Z2 , Z3 , Z4 , Z5 , Z6 , S2 , S3 .

5. Trouver des sous-groupes de 6. Si

de

l'ensemble

x ∈ H est dit d'ordre ni lorsque il somme x + ... + x (n-fois) soit égale à 0. Montrer que l'ensemble des H est un sous-groupe abélien de H . un groupe abélien. Un élément

G un groupe, e son élément neutre. Un élément g 6= e pour tout entier k < n. g est dit d'ordre ni si

de

G

est dit

il est d'ordre

d'ordre n

pour

un

1. Montrer que

Gl2 (R) contient des éléments d'ordre 2 et des éléments qui ne sont pas d'ordre

ni. 2. Soit

ϕ un homomorphisme de G à valeurs dans H

et

g un élément de G d'ordre n. Montrer

que : -

ϕ(g) est d'ordre ni inférieur ou égal à n. Si ϕ est injectif, l'ordre de ϕ(g) est égal à n.

3. Montrer que si

G

n'a qu'un nombre ni d'éléments, tous ses éléments ont un ordre ni.

[Exercice corrigé]

Exercice 1338

Soit le groupe

G = Z/12Z.

1. Déterminer le sous-groupe

H

de

2. Caractériser les générateurs de 3. Quel est l'ordre de l'élément

Exercice 1339

Soient

E

r

et

s

(a) Montrer que

6

et

8

et déterminer son ordre.

G.

9?

E

s

s(e1 ) = e1 ,

s(e2 ) = −e2 ,

r(e1 ) = e2 ,

r(e2 ) = −e1 .

et l'ordre de

sr = −rs.

(e1 , e2 )

dénis par

sont des automorphismes du

2. Déterminer l'ordre de 3.

engendré par

un espace vectoriel réel de dimension 2 et

considère les endomorphismes de

1. Montrer que

G

r.

R-espace

vectoriel

E.

une base de

E.

On

27 Groupes : généralités G := {IdE , s, r, sr, −IdE , −s, −r, −s}

(b) En déduire que linéaire de

175 est un sous-groupe du groupe

E.

(c) Montrer que

G

est le sous-groupe du groupe linéaire GL (E) engendré par

Soient

G

un groupe et


1. Soient

G

x∈G

un groupe et

un élément d'ordre

x, y ∈ G

m et n premiers entre eux. Montrer que xy m et n premiers entre eux est indispensable.

2. Montrer que que

AB

A := ( 01 −1 0 )

et

0 1 B := ( −1 −1 )

et

Quel est l'ordre de

t.

x2 ?

des éléments qui commutent et d'ordres

respectifs pothèse

n.

s

est d'ordre

mn.

Montrer que l'hy-

sont des éléments de GL (2, R) d'ordres nis et

n'est pas d'ordre ni.

[Exercice corrigé]

Exercice 1342

Le groupe

[Exercice corrigé]

(Q, +)

est-il monogène ?

27.3 Morphismes

Exercice 1343

Décrire tous les homomorphismes de groupes de

Z

dans

Z.

Déterminer ceux

qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs.

[Exercice corrigé]

Exercice 1344 {Ma,b : (a, b) ∈

2 Pour tout couple (a, b) de R , on pose la matrice Ma,b = R2 \ {(0, 0)}}. Soit l'application f : S → R, Ma,b 7→ a2 + b2 .

1. Montrer que

S

2. Montrer que

f

Exercice 1345 f

.

Soit

S =

est un groupe pour la loi usuelle de multiplication des matrices carrées. est un morphisme du groupe

Soit

f : R → C∗

(S, ×) dans le groupe multiplicatif R\{(0, 0)}.

l'application qui à tout

x∈R

associe

est un homomorphisme de groupes. Calculer son noyau et son image.

[Exercice corrigé]

Exercice 1346

a −b b a

eix ∈ C∗ . f est-elle

Montrer que injective ?

Traduire en termes d'homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles

suivantes : 1.

ln(xy) = ln x + ln y ;

2.

det(M M 0 ) = det(M ) det(M 0 ) ;

3.

|zz 0 | = |z||z 0 | ;

4.

(xy) 2 = x 2 y 2

1

1

z+z 0

z0

= ez e

;

5.

e

6.

z + z0 = z + z0.

Exercice 1347 et

1

;

S ∗ = S \ {M0,0 } . 1.

Soit

(a) Montrer que (b) Montrer que

2. Montrer que 3.

(a, b) de R2 , on pose Ma,b = ab −b , S = {Ma,b : (a, b) ∈ R2 } a l'application f : S → C, Ma,b 7→ a + ib.

Pour tout couple

f

S S

est un sous-groupe du groupe additif usuel

∗

est un sous-groupe multiplicatif de

est un isomorphisme du groupe

(a) Montrer que ∗ catif C .

f

(S, +)

M2 (R).

GL 2 (R).

sur le groupe additif

dénit un homomorphisme du groupe

(S ∗ , ×)

(b) Déterminer le noyau et l'image de cet homomorphisme.

C.

sur le groupe multipli-

28 Anneaux et corps 4. Montrer que multiplicatif

Exercice 1348 seulement si

G

176

Ω = {Ma,b : (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1} est un sous-groupe distingué du groupe S ∗. G

Soit

un groupe. Montrer que l'application

est commutatif. On suppose

seul point xe est

e,

G

ni ; soit

φ

x → x−1

est un morphisme si et

un morphisme involutif de

G

dont le

montrer que :

∀z ∈ G, ∃t ∈ G, z = t(φ(t))−1 . En déduire

φ

puis que

Exercice 1349 Exercice 1350 U Exercice 1351 est

G

est commutatif.

27.4 Isomorphisme Montrer que les groupes

U2 × U3

Montrer que

(R, +)

et

G

sont isomorphes.

U6 . Est-ce que U2 × U2 est isomorphe Un × Um est isomorphe à Unm ?

est isomorphe à

4 ? Pouvez-vous conjecturer à quelle condition Soit

(R∗+ , ×)

un groupe.

1. Montrer que l'ensemble des automorphismes de

G muni (G).

de la loi de composition des

applications est un groupe. Ce groupe est noté Aut

2. Vérier que l'application φ : G → Aut (G) qui associe à g ∈ G l'application φg G, x 7→ gxg −1 est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau Z(G), dit

:G→

centre

de

fa

de

G. 3. Déterminer Aut

Exercice 1352 G

dans

G

Soit

dénie par

1. Montrer que

fa

(Q)

et Aut (Z).

(G, .) un groupe. fa (x) = a.x.a−1 .

Γ = {fa : a ∈ G}.

3. Soit

Φ : G → Γ, a 7→ fa .

Montrer que

G

(Q, +)

et

Φ

est un groupe.

est un morphisme. Est-il injectif ? (indication :

(Q, +)

(Q \ {0} , ×)

et

(Z, +)

sont-ils isomorphes ?


Montrer que les groupes multiplicatifs

[Exercice corrigé]

l'application

est abélien).

1. Les sous-groupes

2. Les sous-groupes

(Γ, ◦)

Vérier que

préciser ce morphisme lorsque

a ∈ G,

G.

est un automorphisme de

2. Soit


On appelle conjugaison par

R\{0} et C\{0} ne sont pas isomorphes.

28 Anneaux et corps

Exercice 1355

28.1 Anneaux Soient

1. ...du groupe

C?

2. ...de l'anneau 3. ...du

a, b ∈ C. L'application f : C → C, z 7→ iz−z est-elle un (endo)morphisme...

R-espace

C? vectoriel

C?

28 Anneaux et corps

Exercice 1356 L=

177

Soient les ensembles

x 0 0 0

∈ M2 (R) : x ∈ R

Étudier si, munis des lois usuelles,

Exercice 1357 l'anneau

et

M

et

M=

x x −x −x

E = {f ∈ R[X] : f (0) = f (0) = 0}. Montrer que D l'anneau R[X] et que c'est un idéal de l'anneau R[X] dont On dénit sur

Montrer que

G

Montrer que

n'est pas un idéal de

n'est pas un sous-anneau de on donnera un générateur.

R les deux lois ⊕ et ⊗ par x⊕y = x+y −1 et x⊗y = x+y −xy .

un groupe commutatif. On note End (G) l'ensemble des endomor-

sur lequel on dénit la loi

(End(G), +, ◦)

Exercice 1360

tel que

D

est un corps.

Soit

phismes de

R[X].

0

Exercice 1358 (R, ⊕, ⊗) Exercice 1359 (G, +)

∈ M2 (R) : x ∈ R

Montrer que

et que c'est un sous-anneau de l'anneau

2. Soit

sont des anneaux, des corps.

D = {f ∈ R[X] : f 0 (0) = 0} .

1. Soit

R[X]

L

par

.

est un anneau.

(A, +, ×)

Soit

+

( G→G f +g : x 7→ f (x) + g(x)

un anneau. On dit que

x∈A

est nilpotent ssi il existe

n∈N

xn = 0.

1. Montrer que si

x

est nilpotent alors

2. Montrer que si

x

et

y

1−x

est inversible.

sont nilpotents et commutent, alors

xy

et

x+y

sont nilpotents.

3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ?

Exercice 1361

(A, +, ×) un anneau. On appelle centre de A l'ensemble C = {x ∈ A/∀y ∈ A, xy = yx}. Montrer que C est un sous-anneau de A.

Exercice 1362

Soit

Soient

A

et

B

deux anneaux. On dénit sur

A×B

les lois

(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) (x, y)(x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 ) 1. Montrer que 2. Si

A

et

B


A×B

est alors un anneau.

sont des corps, en est-il de même pour Montrer que si

un sous-anneau de

A

alors

A1 ∩ . . . ∩ A n

est

Z[i] = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 }.

Z[i]

est un anneau commutatif pour les lois usuelles de

2. Déterminer les inversibles de

Exercice 1365

sont des sous-anneaux de

A.

Soit

1. Montrer que

A1 , . . . , A n

A×B?

C.

Z[i].

A un anneau commutatif. On dit que a ∈ A est nilpotent s'il existe n ∈ N∗ n tel que a = 0. On pose N (A) = {a ∈ A : a est nilpotent } . 1. Dans cette question, A = Z/72Z. Montrer que 6 ∈ N (A) puis que N (A) = λ6 : λ ∈ Z . Soit

2. Que peut-on dire de 3. Montrer que

N (A)

N (A)

si

A

est intègre ?

est un idéal de

A

28 Anneaux et corps

178

Exercice 1366 (Extrait de l'examen de juin 1994)

Sur l'ensemble

R2 ,

on dénit la loi

?

par

(x1 , x2 ) ? (y1 , y2 ) = (x1 y1 , x1 y2 + x2 y1 ). 1.

(a) Montrer que

(R2 , +, ?)

A.

est un anneau commutatif noté

0

(b) Chercher les diviseurs de

A.

de l'anneau

2. On considère l'application

f : R[X] → A, P 7→ (P (0), P 0 (0)). (a) Montrer que (b)

f

f

est un homomorphisme d'anneaux.

est-il surjectif ?

f.

(c) Déterminer le noyau de

Exercice 1367 (Extrait de l'examen de janvier 1994)

où

j=

A est un sous-anneau de C. On désigne par U(A) 2 de A et enn, on pose, pour tout z ∈ C, N (z) = |z| .

1. Montrer que inversibles 2.

(a) Montrer que si (b) Soit

z ∈ A. a

(c) Soient

et

4. Soit

z∈A

alors

b

si et seulement si

a, b ∈ {−1, 0, 1} .

alors

et en déterminer les éléments d'ordre 3.

Φ : Q[X] → C, P 7→ P (j).

(a) Montrer que

Φ

est un homomorphisme d'anneaux.

(b) Déterminer le noyau de (c) Montrer que Im

Exercice 1368

Φ

(on pourra remarquer que

Φ = {a + jb : a, b ∈ Q}

J = {(α, α) : α ∈ Z} est-il un idéal de 0 J = P ∈ R [X] : P (0) = 0 est-il un idéal de R [X] ? Z/nZ

si et seulement si les entiers

2. On pose

n = 10

et soit

G

k

Exercice 1370 (Bac 1978)

n

1. Montrer que

3? G

Exercice 1371

Soit

A

k est inversible dans l'anneau Z/nZ.

est-il cyclique ?

A = Z/91Z. A.

2

x + 2x − 3 = 0.

J = {P ∈ Z [X] : P (0) ∈ 2Z} .

(a) Montrer que

J

est un idéal de

(b) Montrer que

J

est engendré par les polynômes

2. En remarquant que

2 ∈ J,

Z [X] . 2

Montrer que

et

X.

montrer que l'hypothèse J est un idéal principal de

est absurde.

Exercice 1372

Z2 ?

G.

Soit l'anneau

l'équation

C.


1. Déterminer les diviseurs de zéro de l'anneau 2. Résoudre dans

l'anneau

le groupe des éléments inversibles de

(a) Donner la liste des éléments de (b) Quel est l'ordre de

et

j 2 + j + 1 = 0).

et que c'est un sous-corps de

1.

Exercice 1369 (D'après examen juin 94)

1.

N (z) = 1.

N (a + jb) = 1

des entiers. Montrer que si

U(A)

le groupe des éléments

N (z) ∈ Z.

z ∈ U(A)

Montrer que

3. Décrire le groupe

2.

A = {a + jb : a, b ∈ Z}

On dénit

exp( 2iπ ). 3

Z/nZ

est un anneau principal.

Z[X]

28 Anneaux et corps


Soit

A

179 un anneau ni commutatif intègre (i.e.

xy = 0 ⇒ x = 0

ou

y = 0).

Montrer que c'est un corps, i.e. que tout élément non nul est inversible. Soit

A

un anneau, on dit que

1. Montrer que si

x

est nilpotent alors

2. Montrer que si

x

et

y

x∈A

(1 − x)

∃n ∈ N

est nilpotent si

tel que

xn = 0.

est inversible.

sont nilpotents et commutent alors

xy

x+y

et

sont nilpotents.

3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ?

Exercice 1375

Soit

I

et seulement si :

(A, +, ×)

1. Quels sont les idéaux de 2. On appelle radical de

I,

√

p√

I=

√

I

et

J

I

et

J sont

Acontenant I .

deux idéaux de A,

2. Montrer que tout idéal de

Soit

J.

Z

est de la forme

est de la forme

est nommé idéal de

A

aZ,

où

a ∈ Z.

x tels que il existe k ∈ N aD où a ∈ D.

tel que

x10k ∈ Z.

Montrer

σ

σ

un automorphisme de

x>0

alors

Q.

R.

σ(x) > 0.

est croissante.

σ. Soient

1. Montrer que

C

A = ( 10 11 )

et

C = {M ∈ M2 (R) : M A = AM } .


2. Montrer que, pour les lois usuelles,

Exercice 1380

√

déduire

K.

Déterminer les automorphismes du corps

2. Montrer que

Exercice 1379

D

si

28.2 Algèbre, Corps

1. Montrer que si

3. Déterminer

I∩

l'ensemble des rationnels

que tout idéal de


√

I ∩J =

A un anneau commutatif. Un sous anneau J de A x ∈ J et tout a ∈ A le produit ax appartient à J .

1. Trouver tous les idéaux d'un corps

D

√

A = Z. √ √ I ⊂ J , alors I ⊂ J.En

Soit

lorsque pour tout

A

Étudier le cas

sont deux idéaux de A tels que

I.

Exercice 1376

de

I = {x ∈ A|∃n ∈ N, xn ∈ I}.

est un idéal de

4. Montrer que si

3. On note

et de plus :

l'ensemble :

I

3. Montrer que si

(A, +)

Z? √

Montrer que

I ⊂ A est un idéal ∀a ∈ A, ∀x ∈ I, ax ∈ I.

un anneau commutatif, on dit que


Soient

E

un

R-espace

C

est une

vectoriel et

M2 (R)

et en déterminer une base.

R-algèbre. u ∈ L(E)

tel que

u2 = u.

On dénit

R[u] := {P (u) : P ∈ R[X]} . 1. Montrer que, muni des lois usuelles sur

L(E),

c'est une

R-algèbre.

2. Montrer que cette algèbre est de dimension nie et discuter de sa dimension en fonction de

u.

3. L'anneau

R[u]

est-il un corps ?

29 Groupes nis

Exercice 1381

Soit

J2

1. Calculer

180

M = {aI2 + bJ ∈ M2 (R) : a, b ∈ R}

et montrer que si

a, b ∈ R

et

aI2 + bJ = O M2 (R), M

2. Montrer que, muni des lois usuelles sur

I2 =

où

1 0 0 1

,J =

0 2 1 0

.

a = b = 0.

alors

est un anneau. Cet anneau est-il

commutatif, intègre ? 3.

M

est-il un corps, une

Exercice 1382 L'application

R-algèbre ?


S → R, u 7→ lim u

S

des suites réelles convergentes est une

est-elle un morphisme de

R-algèbres ?

L'anneau

R-algèbre. S est-il in-

tègre ?

Exercice 1383

Soient

E

un

R-ev

et

u ∈ L(E)

tel que

u2 = u.

On dénit

R[u] = {aIdE + bu : a, b ∈ R} . Montrer que, muni des lois usuelles sur

L(E),

c'est une

R-algèbre.

L'anneau

R[u]

est-il un

corps ?

Exercice 1384

Un automorphisme d'un corps

lui-même telle que

ϕ(1) = 1, ϕ(0) = 0

ϕ de K dans ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) et

est une application bijective

K

a, b ∈ K,

et, pour tout

on ait

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). 1. Soit

ϕ

un automorphisme de

R.

Montrer que l'application

déduire que l'identité est le seul automorphisme de 2. Soit

ψ

x 7→ ϕ(x)

est croissante. En

R.

continu de C. Montrer ψ(x) = x, pour tout x ∈ R. En déduire continus de C.

un automorphisme

tous les automorphismes

29 Groupes nis 29.1 Cadre général

Exercice 1385

0 est un isomorphisme de (G, ∗) sur (G , ). Si e est 0 l'élément neutre de G, que peut-on dire de ϕ(e) ? Si x est l'inverse de x dans G, que 0 0 peut-on dire de ϕ(x ) ? Si G est d'ordre n, que peut-on dire de l'ordre de G ? 1. On suppose que

ϕ

2. Pouvez-vous citer des exemples de groupes ? de groupes isomorphes ? 3. Si

(G, ∗)

est un groupe ni et si on établit la table de la loi

∗,

peut-on rencontrer deux

fois le même élément dans la même ligne, dans la même colonne ? Établir les tables

2, 3, 4

de composition possibles pour des groupes à

éléments. Pouvez-vous donner des

exemples de groupes correspondant à ces tables. Retrouver éventuellement des groupes isomorphes.

Exercice 1386

Soient

p

un nombre premier et

cyclique et donner la liste des générateurs de

[Exercice corrigé]

Exercice 1387

Soit

G

un groupe d'ordre

1. On considère deux sous-groupes 0

H

pn et

G

un groupe d'ordre

p.

Montrer que

est

G. avec

H

0

p

de

premier.

G

d'ordre

p

avec

H 6= H 0 .

Montrer que

H ∩ H = {e}.

2. En déduire que le nombre d'éléments d'ordre

[Exercice corrigé]

G

p

dans

G

est un multiple de

p − 1.

29 Groupes nis


est d'ordre

2. Soit

G

181

Déterminer (à isomorphisme près) tous les groupes d'ordre

G un groupe dans lequel tout élément (distinct de l'élément neutre) 2. Montrer que G est commutatif. 1. Soit

un groupe d'ordre pair. Montrer que

[Exercice corrigé]

Exercice 1390 Exercice 1391 Exercice 1392 H

G

contient au moins un élément d'ordre

G un groupe et H une partie nie non vide G. Montrer H est un sous-groupe de G.

Soit

G

Soit

un groupe ni de cardinal

2.

Q dans un groupe ni G est trivial.

Montrer que tout morphisme de groupes de

stable pour la loi de

0

4.

2n (n > 2),

de

G.

On suppose que

possédant 2 sous-groupe

H H

est

et

tels que :

= Card (H 0 ) = n

Card (H) et

H ∩ H 0 = {e}. 1. Montrer que 2. Soit

G = {a, e, h, h0 },

Exercice 1393 Exercice 1394 G

est un singleton, noté

{a}.

h ∈ H − {e}, montrer que hH 0 ⊂ {h, a}, en déduire que hH 0 = {h, a} puis que n = 2.

3. On écrit

1. Soit

G − (H ∪ H 0 )

H

G

donner la table de

(puis un exemple d'un tel groupe).

29.2 Groupes Donner la liste des générateurs de Soit le groupe

G

(additif )

le sous-groupe de

G

engendré par

engendré par

4

(Z/nZ, +).

Z/40Z. 12

20.

et

Montrer que

H

est le sous-groupe de

et trouver son ordre.

2. Caractériser les générateurs de 3. Déterminer l'ordre de

Exercice 1395

Z/nZ

G.

Combien en compte-t-on ?

15.

1. Montrer qu'il n'existe aucun élément d'ordre 3 dans le groupe

Z/2Z ×

Z/4Z.

2. En déduire les morphismes de groupes de

Exercice 1396

Soit

1. Montrer que

f

f

un morphisme de groupes de

est caractérisé par

dans

Z/3Z

Z/15Z

G

le groupe-produit

1. Donner la liste des éléments de

Z/18Z.

f (1).

3. En déduire la liste des morphismes de groupes de Soit

dans

f (1).

2. Déterminer les ordres possibles de

Exercice 1397

Z/2Z × Z/4Z.

G

Z/15Z

dans

Z/18Z.

(Z/2Z) × (Z/4Z) .

et déterminer l'ordre de chacun d'entre eux.

cyclique ? 2. Donner la liste des sous-groupes de

Exercice 1398

1. Soit

(a) Montrer que

f

G

et en constuire le treillis.

f : Z → Z/3Z × Z/5Z

dénie par

est un morphisme de groupes.

(b) Déterminer le noyau de 2. En déduire que les groupes

f (n) = (n, n e).

f.

(Z/3Z) × (Z/5Z)

et

Z/15Z

sont isomorphes.

G

est-il

29 Groupes nis

Exercice 1399 Exercice 1400 rapport à l'axe

182

Les groupes On note

Rn

Z/8Z, (Z/2Z) × (Z/4Z)

et

(Z/2Z)3

la rotation du plan de centre

O,


d'angle

la symétrie par

Rn

(ie le plus petit

(Ox). S 2 = id, (Rn )n = id

1. Montrer que

et

Rn S = SRn−1 .

2. Montrer que le sous-groupe des isométries du plan engendré par sous-groupe des isométries du plan qui contient

Dn

2π/n, S

Dn

et

S)

préserve un polygone régulier à

n

côtés, centré en

Exercice 1401 H

Soit

H=

z w −w¯ z¯

privé de la matrice nulle. On note

S

2n.

On le note

O.

4. En vous aidant de ce qui précède, construire un isomorphisme entre

et

est de cardinal

2n.

: c'est le groupe dihédral d'ordre

3. Montrer que

Rn

D3

et

S3 .

: (z, w) ∈ C2 l'ensemble des quaternions. H∗ désigne 1 0 i 0 0 1 0 i 1= , i = , j = , k = . 0 1 0 i −1 0 −i 0

1. Montrer que

H∗

2. Montrer que

i2 = j2 = k2 = 1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj == i, ik = −j.

GLn (C).


3. En déduire que le sous-groupe de 4. Ecrire la table de

H∗

engendré par

et

D4

S3

H8 .

H8 , Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z, Z/2Z × Z/4Z,

1. Déterminer card (S3 ) et écrire tous les éléments de

2. On considère

T

un triangle équilatéral du plan, de sommets

que l'on note

G

forment un groupe pour la loi

induit une permutation de l'ensemble

construit ainsi une application

φ

T

A, B, C .

G.

(b) Montrer qu'un élément de

(c) Montrer que

S3 , puis écrire la table

S3 .

(a) Montrer que les isométries du plan qui préservent

Exercice 1403

est d'ordre 8. On le note

29.3 Groupes de permutations

et en déduire tous les sous-groupes de

◦,

k

sont 2 à 2 non isomorphes.

Exercice 1402 de

et

H8 .

5. Vérier que les groupes (tous de cardinal 8)

Z/8Z

i, j

φ

de

G

dans

{A, B, C}.

On

S3 .

est un isomorphisme.

On considère le groupe symétrique

Sn .

1. Déterminer card (Sn ).

(34)(45)(23)(12)(56)(23)(45)(34)(23). a1 a2 . . . a k Rappel : la permutation σ = est un cycle de longueur k , que l'on note a2 a3 . . . a1 (a1 a2 . . . ak ). −1 Si τ ∈ Sn , montrer que τ στ = (τ (a1 ) τ (a2 ) . . . τ (ak )).

2. Calculer 3.

4. Rappel : toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints, et cette décomposition est unique à l'ordre près. Décomposer les permutations suivantes en produits de cycles à supports disjoints :

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 , 7 6 1 2 3 4 5 6 2 5 7 8 1 3 4

1 2 3 4 5 3 4 5 1 2

29 Groupes nis

183

Sn dans ({−1, 1}, ×) non trivial, appelé siε(τ ) (où τ ∈ Sn ) consiste à décomposer τ en p produit de p transpositions (ie cycles de longueur 2) : alors ε(τ ) = (−1) . k−1 Montrer que la signature d'un cycle de longueur k vaut (−1) . En déduire comment se

5. Rappel : il existe un unique morphisme de

ε.

gnature, et noté

Une manière de calculer

calcule la signature d'une permutation à partir de sa décomposition en produit de cycles disjoints.

Exercice 1404

Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chires à

chaque étape ? Y a-t-il plusieurs façons d'y parvenir ? Même question pour 1234 et 4312. Peut-on obtenir n'importe quelle permutation des chires 1234 par ce procédé ?

Exercice 1405

Représenter graphiquement les permutations suivantes. Les décomposer en

produit de cycles à supports disjoints, puis en produits de transpositions.

σ1 =

1234567 1425376

σ2 =

1234567 2471635

σ3 =

1234567 3261547

Calculer la signature des permutations ci-dessus. Calculer le produit

σ4 =

σ1 σ2 σ3

1234567 7146253 et sa signature.

Comparer ce résultat aux précédents.

Exercice 1406

En déduire que

a, b, c trois éléments distincts de {1, ..., n}. Calculer le produit (ab)(bc)(ab). Sn est engendré par les permutations {(1, i)}26,i6n , c'est à dire que toute

Soient

permutation s'écrit comme produit de transpositions de cette forme.

Sn

Montrer que

Exercice 1407

applications

est engendré par

et

(123...n). (Sn , ◦) → ({+1, −1}, ·),

Décrire tous les morphismes de groupe de

φ : Sn → {+1, −1}

Indication Exercice 1408

(12)

c'est les

satisfaisant :

∀(σ, σ 0 ) ∈ Sn2 ,

φ(σσ 0 ) = φ(σ)φ(σ 0 )

: Commencer par montrer que toutes les transpositions ont même image.

σ ∈ Sn ,

Dans

Rn ,

on désigne par

uσ

on associe l'endomorphisme

de

(e1 , ..., en ) la Rn suivant :

Rn → Rn ! x1 xσ(1) : . . . . 7→ . .

uσ

xσ(n)

xn

1. Soit que

τ = (ij) une transposition. det(uτ ) = −1.

2. Montrer que

Soit

dans

Écrire la matrice de

uτ

dans la base canonique. Montrer

∀σ, σ 0 ∈ Sn , uσ ◦ uσ0 = uσ◦σ0 .

3. En déduire que

Exercice 1409

base canonique. A une permutation

∀σ ∈ Sn , det uσ = ε(σ)

On note

Sn

où

ε

désigne la signature.

le groupe symétrique des permutations sur

ρ un morphisme de groupes {−1, 1} satisfaisant

de

(Sn , ◦)

dans

({−1, 1}, ·),

n

éléments.

Sn

c'est à dire une application de

∀(σ, τ ) ∈ Sn ρ(στ ) = ρ(σ)ρ(τ ) ρ(id). Pour ρ(γ) = 1.

1. Calculer impair,

tout cycle

γ

de longueur

2. On suppose que pour toute transposition

p,

calculer

τ , ρ(τ ) = 1.

3. On suppose maintenant qu'il existe une transposition

γ p.

En déduire que lorsque

Montrer que

p

est

∀σ ∈ Sn , ρ(σ) = 1

τ0 = (a, b) pour laquelle ρ(τ0 ) = −1.

29 Groupes nis

184

c ∈ {1, . . . , n} \ {a, b}, calculer (a, b)(a, c). En déduire que ρ(a, c) =

(a) Pour un élément

−1. (b) Pour deux éléments distincts duire que

c

et

d

{1, . . . , n},

de

σ ∈ Sn , ρ(σ)

permutation

τ , ρ(τ ) = −1 signature de σ .

est la

4. Quels sont tous les morphismes de groupes de

ϕ

5. On considère l'application

(Sn , ◦)

Sn → σ

7→

i=1

i−j

∀(σ, τ ) ∈ Sn , ϕ(στ ) = ϕ(σ)ϕ(τ ). ∀σ ∈ Sn , ε(σ) =

n Y σ(i) − σ(j)

i−j

i=1

désigne la signature de

Exercice 1410

Soit

d'indice deux dans

({−1, 1}, ·) ?

{−1, 1} Qn σ(i)−σ(j)

En déduire que

ε(σ)

dans

puis montrer que pour toute

suivante :

ϕ:

où

En dé-

ρ(c, d) = −1.

(c) En déduire que pour toute transposition

Montrer que

(a, c)(a, d)(a, c).

calculer

,

σ.

G un groupe d'ordre 2n et H

un sous-groupe de

G d'ordre n (H

est donc

G).

1. Montrer que si

g∈G

et

g 6∈ H,

on a

H ∩ gH = ∅

puis que

G = H ∪ gH.

2

g ∈ G, g ∈ H.

2. En déduire que pour tout

G = A4 le groupe des permutations paires de l'ensemble {1, 2, 3, 4}. Soit σ = (a, b, c) un 3-cycle. Montrer que σ peut s'écrire comme le carré d'une permutation 2 paire c'est à dire qu'il existe ϕ ∈ A4 telle que ϕ = σ. En déduire que A4 ne possède pas de sous-groupe d'ordre 6.

3. On suppose désormais


Déterminer tous les éléments

|S3 |.

1. Rappeler

2. Montrer que

S3

groupes d'ordre

σ ∈ Sn S3

Montrer que

tels que

σ2 = σ.

ne contient pas d'élément d'ordre

contient un unique sous-groupe d'ordre

2

de

3.

6.

Déterminer tous les sous-

S3 .

3. Déduire de ce qui précède tous les sous-groupes de

[Exercice corrigé]

S3 .

Exercice 1413 (examen juin 1999) c÷cients réels.

Soit GL2 (R) l'ensemble des matrices inversibles 2 × 2 à GL2 (R) est naturellement muni d'une structure de groupe par la multiplication

usuelle des matrices. Soit

A= 1. Montrer que

A

et

B

(a)

1 0 0 −1

appartiennent à

2. Quels sont les ordres de 3. Montrer que

A

AB = −BA

et

B=

et

0 −1 . 1 0

GL2 (R).

B?

et en déduire que :

G = I, A, B, AB, −I, −A, −B, −AB matrices ; I esl la matrice identité) ;

est un groupe (pour la loi multiplicative des

29 Groupes nis (b)

G

185

est le sous-groupe de

4. On munit

R

2

GL2 (R)

(b) Déterminer (c) Déterminer

G

O2 (R) (le groupe orthogonal). l'intersection de G et de SO2 (R) (le groupe spécial la nature géométrique des 8 éléments de G. est inclus dans

Exercice 1414 (examen juin 1999) (G, ·)

{A, B}.

de sa structure euclidienne orientée canonique.

(a) Montrer que

Soit

engendré par

orthogonal).

I

un groupe. On dénit le centre

Z(G)

de

G

par :

Z(G) = x ∈ G / ∀a ∈ G ax = xa . Montrer que

Z(G)


Z(G)

Que peut-on dire de

si

G

G.

est abélien ? II

On désigne par

An

le groupe alterné d'ordre

des permutations de

En = {1, 2, . . . , n}

2. On suppose désormais de

n > 4.

(rappel : c'est le sous-groupe de

(Sn , ◦)

formé

+1.) n > 3.

de signature

On se propose de déterminer le centre de 1. Donner la liste des éléments de

n

A3

An

pour

et de

Z(A3 ).

Dans cette question on xe

i, j, k

trois éléments distincts

En . 3-cycle (i, j, k) est dans An . Soit s ∈ Sn , montrer que s ◦ (i, j, k) = (s(i), s(j), s(k)) ◦ s. En déduire que si s ∈ Z(An ) alors l'image de {i, j, k} par s

(a) Vérier que le (b) (c)

est

{i, j, k}.

n = 4, on note E4 = {i, j, k, `}. Si s ∈ Z(A4 ) montrer que s(`) = `. En déduire Z(A4 ) = {id}. Pour n > 5, soit s ∈ Z(An ), soit i, j, k, `, m cinq éléments distincts de En . En considérant les ensembles {i, j, k} et {i, `, m} montrer que s = id et déterminer Z(An )

3. Pour

4.


Quel est l'ordre maximal d'un élément de On désigne par

K

le sous-ensemble

S4 ?

De

S5 ?

De

A5 ?

{id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}

de

S4 .

S4 et de A4 . Pour quelle raison K est-il isomorphe à Z/2Z × Z/2Z? Calculer le quotient A4 /K. Montrer que le quotient S4 /K est isomorphe à S3 . Donner un exemple de sous groupe distingué de K et non de S4 . Quelle conclusion peut-on

1. Montrer que 2. 3. 4.

K

est un sous-groupe distingué de

en tirer ?


Calculer

Z(Sn )


n ∈ N.

Trouver la décomposition en produit de cycles à supports disjoints, la signa-

ture, l'ordre et une décomposition en produit de transpositions des permutations suivantes de

S10 : σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 7 1 4 2 6 9 8 5 10

,

ϕ = (10, 3, 4, 1) (8, 7) (4, 7) (5, 6) (2, 6) (2, 9) . Calculer

σ 1998

et

ϕ1998 .

[Exercice corrigé]

29 Groupes nis

186

Exercice 1419 A

E = {1, 2, 3, 4} .

4 désigne le groupe des permutations paires sur l'ensemble

1. Quels sont les ordres des éléments de

A4 ?

En déduire la liste de ces éléments sous forme

décomposée en produit de cycles à supports disjoints.

s = (1 2)(3 4)

2. Montrer que les permutations

A4

3. Montrer que

et

r = (1 2 3) H

admet un unique sous-groupe

engendrent

A4 .

d'ordre 4 (on examinera d'abord les

ordres des éléments d'un tel sous-groupe) et que ce sous-groupe est un sous-groupe distingué de


A4 . Le groupe

G = S3 × S3

est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de

G

d'ordre 4.

Quel est le nombre de

G

Soit

k -cycles

un sous-groupe de

dans

Sk

Sn

puis dans

où

k 6 n?

Sn .

1. Montrer que si

G

est d'ordre impair alors

G

2. Montrer que si

G

contient au moins une permutation impaire, alors

ne contient aucune permutation impaire.

G

contient autant de

permutations paires que de permutations impaires.

Exercice 1423 V = {a, b, c, Id} 1.

a = (1, 2)(3, 4), b = (1, 3)(2, 4), c = (1, 4)(2, 3) ∈ A4 , X = {a, b, c} , Φ : S4 → S(X), g ∈ G 7→ Φg = [x 7→ gxg −1 ] .

Soient et

(a) Montrer que élements de (b) Montrer que distingué de

2. Montrer que 3.

(a) Calculer

Φ

V est A4 ). A4 .


Φ(g)

pour

S4 /V

Φ

g = (1, 2)

2.

puis

est isomorphe à

(a) Montrer qu'un groupe

A4

et n'est pas un sous-groupe

S3 .

suivant les classes modulo

G1 × G2

(b) Montrer que les groupes

Sn

et

1. Montrer que dans

2. Montrer que les permutations positions engendrent

Exercice 1426

V

g = (1, 2, 3).

1. Déterminer le centre du groupe

Exercice 1425

(on pourra étudier l'ordre des

est surjectif.

5. Ecrire la décomposition de

Exercice 1424

A4

est un homomorphisme de groupes.

(b) En déduire que 4. Montrer que

un sous-groupe distingué de

V.

Sn .

contient un sous-groupe distingué isomorphe à

Z/2Z × An Sn

(1, ..., n)

on a et

ne sont pas isomorphes si

f ◦ (a, b) ◦ f −1 = (f (a), f (b)).

(1, 2)

engendrent

Sn

Sn

(on rappelle que les trans-

est isomorphe à un sous-groupe de

2. Montrer que

S4

n'est pas isomorphe à un sous-groupe de

A5 .

3. Montrer que

S5

n'est pas isomorphe à un sous-groupe de

A6 .

Exercice 1427

n > 3.

Sn ).

1. Montrer que

[Exercice corrigé]

G1 .

An+2 .

Montrer que tout groupe ni est isomorphe à un sous-groupe de

symétrique) pour un certain

n.

Sn

(groupe


187


Exercice 1428

30.1 Sous-groupes distingués Soit

G un groupe, H

et

K

deux sous-groupes d'ordre ni de

G tels que H ∩K =

{eG }.

HK

1. Montrer que le cardinal de

|G| = pq

2. En déduire que si d'ordre

p.

où

est égal

p

|H||K|.

est premier et

p>q

alors

G

a au plus un sous-groupe

Montrer que si ce sous-groupe existe il est distingué dans

G.

[Exercice corrigé]

Exercice 1429

G un groupe, A une partie non vide de G. On note N (A) = {g ∈ G; gAg = A} et C(A) = {g ∈ G; ∀a ∈ A; gag −1 = a}. Montrer que N (A) et C(A) sont des sous-groupes de G et que C(A) est un sous-groupe distingué de N (A). Soit

−1

Exercice 1430

Soit

G

un groupe,

H

et

K


G.

On note

HK = {hk; h ∈

H, k ∈ K}.

1. Montrer que si

H

HK


est distingué dans

G

alors

HK

G

HK = KH. G.

si et seulement si


En déduire que

∀h ∈ H, k ∈ K : hk = kh. Montrer que l'application f : ∀h ∈ H, k ∈ K : f (h, k) = hk est un homomorphisme de groupes.

2. On suppose désormais que

H × K → G dénie par

3. Calculer le noyau et l'image de

f

f.

Donner une condition nécéssaire et susante pour que

soit un isomorphisme de groupes.

Exercice 1431 G

1. Soit

un groupe,

H

un sous-groupe de

G.

Montrer que les propriétés suivantes sont

équivalentes :

i) ∀g ∈ G : gHg −1 ⊂ H. ii) ∀g ∈ G : gHg −1 = H. iii) ∀g ∈ G : gH = Hg. 2. En déduire que tout sous-groupe d'indice

Exercice 1432

Soient

2

est distingué.

T = {( a0 cb ) : a, c ∈ R \ {0} , b ∈ R}

1. Montrer que

T

est un sous-groupe de GL 2 (R).

2. Montrer que

U


Exercice 1433

Soit

1. Un sous-groupe que

H

G H

et

U = {( 10 1b ) : b ∈ R} .

T.

un groupe. de

G

est distingué si :

est le noyau d'un morphisme de

G

∀x ∈ G, xH = Hx,

ce qui est équivalent à dire

dans un groupe. Rappeler la démonstration de

cette équivalence. 2. Si

H

est un sous-groupe d'indice 2 de

3. Si

G

est abélien, montrer que tout sous-groupe de

4. Le centre de

G

est l'ensemble

un sous-groupe distingué.

G,

montrer que

G

H

est distingué.

est distingué.

Z(G) = {z ∈ G : ∀x ∈ G, xz = zx}.

Montrer que

Z(G)

est


Exercice 1434 maximal

188

30.2 Groupes quotients G

Soit

M de G est dit M lui-même. Les

un groupe non réduit à un élément. Un sous-groupe

G,

si le seul sous-groupe de

distinct de

G

M,

et contenant

est

questions sont indépendantes. 1.

(a) Montrer que

6Z

n'est pas un sous-groupe maximal de

(b) Montrer que

5Z

est un sous-groupe maximal de

2. On pose

G

G := Z/8Z. 2.

Soit

H1

le sous-groupe de

G

Z.

Z.

engendré par

4

et

H2

le sous-groupe de

engendré par

(a) Expliciter les éléments de

H1

(b) Montrer que

H2 .

et

n'est pas un sous-groupe maximal de

Déterminer tous les sous-groupes de

Montrer que le groupe-quotient

G

Soit

1. Montrer que cl ( 2. Montrer que si

le groupe

35 ) 6

= cl( 56 )

x∈G

G

et que

H2

est un sous-

G.

groupe maximal de


H1

Q/Z.

Si

Z/8Z.

C/R

q ∈ Q,

est isomorphe à

on note cl (q) la classe de

et déterminer l'ordre de cl (

il existe un unique

3. Montrer que tout élément de

G

R. q

modulo

Z.

35 ). 6

α ∈ Q ∩ [0, 1[

tel que

x = cl(α).

est d'ordre ni et qu'il existe des éléments d'ordre arbi-

traire.


Décrire le groupe-quotient

R∗ /R∗+

et montrer qu'il est isomorphe à

Z/2Z.

Montrer que tout quotient d'un groupe monogène est monogène. Soient

dré par

(3, 2).

groupe-quotient

Exercice 1441

G/H. Soit

1. Montrer que

G

un groupe

Z(G)

2. Montrer que si

Exercice 1442 forme

G le groupe-produit (Z/4Z) × (Z/4Z) et H le sous-groupe de G engenG suivant les classes à gauche modulo H. Décrire le

Écrire la décomposition de

Z(G) = {h ∈ G; ∀g ∈ g, gh = hg}.


G/Z(G)

Soit G un ghg −1 h−1 ; g, h ∈ G.

G

est monogène

groupe ; on note

G.

est cyclique.

D(G)

le groupe engendré par les éléments de la

1. Montrer que

D(G)

2. Montrer que

G/D(G) est commutatif ; plus généralement montrer qu'un sous-groupe disG contient D(G) si et seulement si G/H est commutatif.

tingué

H

de

est distingué dans

G.

[Exercice corrigé]

Exercice 1443

G un groupe ; on note, Int (G) = {ϕg ; g ∈ G}.

Soit

dans lui-même et

pour tout

g ∈ G ϕg

l'application

x 7→ gxg −1

de

G

1. Montrer que Int (G) est un sous-groupe distingué de Aut (G). 2. Soit

f : G →

Int(G) l'application

g 7→ ϕg .

Montrer que

groupe. Calculer Ker (f ). 3. En déduire que

G/Z(G)

est isomorphe à Int (G).

f

est un homomorphisme de


Exercice 1444 H, k ∈ K}.

Soit

G

189

un groupe,

On suppose que

K

H

et

K

HK = KH

2. Montrer que

H et K sont des sous-groupes de KH H et que K est distingué dans KH.

distingué de

HK

On note

HK = {hk; h ∈

G.

1. Montrer que

et que

G.


est distingué dans


G.

et que

K∩H

est un sous-groupe

ϕ : H → (HK)/K la restriction à H de l'application quotient. Calculer le noyau l'image de ϕ. En déduire que les groupes H/(K ∩ H) et (HK)/K sont isomorphes.

3. Soit

Exercice 1445

Soit

1. Montrer que

G

un groupe,

K/H

Soit

et

B=

K

et

deux sous-groupes distingués de

(G/H)/(K/H)

G

avec

H ⊂ K.

G/H.


2. Montrer que le quotient

Exercice 1446

H

et

G/K.

est isomorphe à

G le sous-groupe de Gl(2, R) engendré par les matrices

1 A= √ 2

−1 1 1 1

−1 0 . 0 1

1. Soit

H

le sous-groupe de

2. Montrer que

H

G

engendré par

est distingué dans

G.

AB.

Calculer

|H|

Calculer le quotient

G/H;

en déduire

|G|.

[Exercice corrigé]

Exercice 1447 1.

Les questions sont indépendantes.

(a) Montrer que l'application (b) Déterminer le noyau

f : Z2 → Z, (x, y) 7→ 3x+6y est un morphisme de groupes.

ker f

de

f

et montrer qu'il n'existe pas

(p, q) ∈ Z2

tel que

ker f = pZ × qZ. (c) Montrer que le groupe-quotient

2

Z2 /Z(−2, 1)

G le sous-groupe de Z engendré Z /G est isomorphe à Z/2Z × Z/2Z.

2. Soit 2

par

(2, 0)

est isomorphe au groupe

et

(0, 2).

3Z.

Montrer que le groupe-quotient

[Exercice corrigé]

Exercice 1448

1. Montrer que les sous-groupes de

Z

sont de la forme

nZ

où

n ∈ N.

(indi-

cation : utiliser la division euclidienne).

2. Rappeler pourquoi ces sous-groupes sont distingués. On peut donc considérer les groupes quotients

Z/nZ. nième

3. Montrer que

Z/nZ

est isomorphe au groupe des racines

de l'unité.

4. Montrer que

Z/nZ

est isomorphe au groupe engendré par un cycle de longueur

n

dans

SN (N > n). 5. Plus généralement, montrer qu'il existe, à isomorphisme près, un seul groupe monogène (ie engendré par un seul élément) d'ordre

Exercice 1449

n,

appelé groupe cyclique d'ordre

n.

A est un anneau (en particulier, si A est un corps), on note GLn (A) l'ensemble des matrices carrées de dimension n à coecient dans A, qui sont inversibles. GLn (A) forme un groupe pour la loi × de multiplication des matrices, appelé groupe linéaire. Une matrice carrée de dimension n est dans GLn (A) ssi son déterminant est un inversible de l'anneau A (ce qui revient à dire, lorsque A est un corps, que son déterminant est non nul). Pour simplier, on suppose dans l'exercice que A est un corps, noté K. Rappel : si

1. Montrer que

det : GLn (K) → K∗

est un morphisme de groupes.

31 Espaces euclidiens 2. On note

GLn (K)

190

SLn (K) = ker(det). Dire pourquoi SLn (K) GLn (K)/SLn (K) ∼ = K∗ .


et montrer que

3. Reconnaître

GL1 (K)

et

SL1 (K).

4. Montrer que les matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures) de

GLn (K)

forment

un sous-groupe. Sont-ils distingués ? 5. Montrer que

Z(GLn (K))

est le sous-groupe formé par les homothéties.


Exercice 1450

31.1 Produit scalaire, norme A deux polynômes

P = a0 + a1 X + a2 X 2

et

Q = b0 + b1 X + b2 X 2

de

R2 [X],

on associe

< P, Q >= (a0 + a1 )b0 + (a0 + 3a1 )b1 + 3a2 b2 Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.

Exercice 1451

Pour quelles valeurs de R3 ?

λ

les formes bilinéaires ci-dessous dénissent-elles un

produit scalaire sur 1.

f (x, y) = x1 y1 + 6x2 y2 + 3x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3λx1 y3 + 3λx3 y1

2.

g(x, y) = x1 y1 + 10x2 y2 + 6x1 y2 + λx3 y3 − x2 y3 − x3 y2

3.

h(x, y) = 2x1 y1 + 7x1 y2 + 7x2 y1 + 8x2 y2 − 3x3 y3 + λx2 y3 + λx3 y2

4.

i(x, y) = (x1 +x2 )(y1 +y2 )+(x1 +x3 )(y1 +y3 )+(x2 +x3 )(y2 +y3 )−λ(x1 +x2 +x3 )(y1 +y2 +y3 )

Exercice 1452

φ : R3 × R3 → R

Vérier que l'application

dénie ci-dessous est une forme

bilinéaire symétrique et déterminer la forme quadratique qui lui est associée :

φ (x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 ) = xx0 + 2yy 0 + 2yz 0 + 2y 0 z + zz 0 . S'agit-il d'un produit scalaire ? Vérier que l'application

q : R3 → R dénie ci-dessous est une forme quadratique et déterminer

la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée :

q (x, y, z) = x2 + 3(x + y − z)2 + (z − y)2 . S'agit-il d'une norme euclidienne ?

Exercice 1453

Sur

R3 [X]

on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont

des produits scalaire.

1

φ(P, Q) =

Z

φ(P, Q) =

−1 Z 1

φ(P, Q) =

Z

P (t)Q(t)dt P 0 (t)Q(t) + P 0 (t)Q(t)dt

−1 1

Exercice 1454

P 0 (t)Q0 (t)dt + P (0)Q(0)

−1

Pour quelles valeurs de 3 produit scalaire sur R ?

λ

les formes bilinéaires ci-dessous dénissent-elles un

31 Espaces euclidiens 1. 2. 3. 4.

191

f (x, y) = x1 y1 + 6x2 y2 + 3x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3λx1 y3 + 3λx3 y1 g(x, y) = x1 y1 + 10x2 y2 + 6x1 y2 + λx3 y3 − x2 y3 − x3 y2 h(x, y) = 2x1 y1 + 7x1 y2 + 7x2 y1 + 8x2 y2 − 3x3 y3 + λx2 y3 + λx3 y2 i(x, y) = (x1 +x2 )(y1 +y2 )+(x1 +x3 )(y1 +y3 )+(x2 +x3 )(y2 +y3 )−λ(x1 +x2 +x3 )(y1 +y2 +y3 )

Exercice 1455

x = (x1 , x2 ) et y = (y1 , y2 ) appartenant à R2 . Pour quelles valeurs de a, b, c, d ∈ R l'application f (x, y) = ax1 y1 + bx1 y2 + cx2 y1 + dx2 y2 est-elle un produit scalaire 2 sur R ? Soient

Exercice 1456

2 2 2 Soient x, y et z trois réels tels que x + 2y + 3z 6 1. Montrer l'inégalité : 11 (x + y + z) 6 6 . (On pourra par exemple appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à certains 3 vecteurs de R pour un produit scalaire bien choisi.) 2

Exercice 1457 14. Exercice 1458

Soient

x, y et z trois réels tels que x2 +y 2 +z 2 6 1. Montrer que (x+2y+3z)2 6

R-espace vectoriel non nul, ϕ un produit scalaire sur E , (a, b, c) ∈ R . ψ : E × E → R l'application dénie par ψ(x, y) = aϕ(x, x) + bϕ(x, y) + cϕ(y, y). Trouver une condition nécessaire et susante sur (a, b, c) pour que ψ soit un produit scalaire sur E . Soient

E

un

3

Exercice 1459

n ∈ N∗ ,

un espace euclidien et k.k la norme associée ; n n X X 2 Montrer l'inégalité : k vi k 6 n kvi k2 .

1. Soient

(E, h, i)

i=1

2. Soient

et

v1 , . . . , vn ∈ E.

i=1

∗

n X

R∗+ tels que

n ∈ N , x1 , . . . , x n ∈

xi = 1.

Montrer que

i=1

n X 1 > n2 . x i=1 i

cas d'égalité.

Exercice 1460

Montrer que

∀(x1 , ..., xn ) ∈ Rn ,

n X

√

xi 6

n X

n

i=1

x2i

! 12

.

i=1

Etudier le cas d'égalité. Soit

f

et

g

deux applications continues de

∀(f, g) ∈ C 0 ([0, 1], R)

[0, 1]

dans

R. Montrer que : Z 1 2 Z 1 Z 2 f (t)g(t)dt 6 f (t)dt 0

0

1

g 2 (t)dt.

0

Etudier le cas d'égalité. Soit

f

une application continue d'un intervalle

0

∀f ∈ C ([a, b], R)

Z

b

[a, b]

dans

R.

Montrer que :

2 Z b f (t)dt 6 (b − a) f 2 (t)dt.

a

a

Etudier le cas d'égalité.

Exercice 1461

Rappeler l'énoncé de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Montrer que pour toute fonction continue d'un segment

Z a

b

[a, b]

dans

2 Z b 2 f (t)dt 6 (b − a) f (t) dt

Pour quelles fonctions a-t-on l'égalité ?

a

R,

on a

Etudier le


192

Exercice 1462 E = {f : R → R 2π } E P P (k)Q(k) Exercice 1463 E = R [X] hP |Qi = E Exercice 1464 E f g E ∀(x, y) ∈ E hf (x)|yi = hx|g(y)i f g Exercice 1465P a ,... ,a ,b ,... ,b ,c ,... ,c P P Soit

continue

est un produit scalaire sur

-périodique . Montrer que

hf |gi =

.

R 2π 0

f (t)g(t)dt

n

Soit

est un produit scalaire

. Montrer que

n

k=0

sur

.

Soit

un espace euclidien et

et

deux fonctions de

. Montrer que

et

sont linéaires.

2

Soient

n

Montrer que

Exercice 1466 i 6= j Exercice 1467

n

ak b k c k 6

k=1

que si

1

n

a2k ck

k=1

1 n

n

dans

E

qui vérient :

n des réels positifs.

1

b2k ck .

k=1

E un espace euclidien de dimension n et x1 , . . . , xp des vecteurs de E hxi |xj i < 0. Montrer par récurrence sur n que p 6 n + 1.

Soit

alors

Soit

E

un espace euclidien, et

(e1 , ..., en )

∀x ∈ E, kxk2 =

n X

tels

des vecteurs unitaires vériant :

hx, ei i2 .

i=1

Montrer que

(e1 , ..., en )

est une base orthonormale (i.e. une base qui est aussi une famille

orthonormale). (NB : on ne suppose pas que la dimension de l'espace est

Exercice 1468

1. Montrer que sur

Mn (R)

n.)

l'application :

(A, B) → tr(t AB) est un produit scalaire. 2. Soit

N

la norme associée, montrer que :

∀(A, B) ∈ Mn (R), N (AB) 6 N (A)N (B). 3. Montrer que :

Exercice 1469

∀A ∈ Mn (R), |tr(A)| 6 Soit

E


f

et

g

√

nN (A).

deux fonctions de

E

dans

∀(x, y) ∈ E 2 , hf (x), yi = hx, g(y)i . Montrer que

f

et


g

sont linéaires.

Soit

E

un espace euclidien, montrer que :

∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk2 + 1 6 2 1 + kxk2 Soit

E


f :E→E

1 + kyk2 .

tel que

f (0) = 0

∀(x, y) ∈ E 2 , kf (x) − f (y)k = kx − yk . Montrer que

f

est linéaire.

Exercice 1472

On munit

R[X]

du produit scalaire :

(P, Q) →

Z

1

P (t)Q(t)dt.

0 Existe t-il

A ∈ R[X]

tel que :

∀P ∈ R[X], (P |A) = P (0) ?

et :

E

telles que :


Exercice 1473

Soit

E

193


f

un endomorphisme de

E,

tel que :

∀(x, y) ∈ E 2 , (x|y) = 0 ⇒ (f (x)|f (y)) = 0. Montrer :

∃α ∈ R+ , ∀(x, y) ∈ E 2 , (f (x)|f (y)) = α(x|y).

Exercice 1474

Soit (E, h, i) un espace euclidien et f ∈ L(E) un endomorphisme tel que ∀x, y ∈ E tels que hx, yi = 0, on ait hf (x), f (y)i = 0. Montrer qu'il existe k ∈ R+ tel que, pour tout x ∈ E : kf (x)k = kkxk.

Exercice 1475

31.2 Espace orthogonal Montrer que l'application

(A, B) 7→ tr(tAB) de M2 (R) × M2 (R) à valeurs dans

R est un produit scalaire. Calculer l'orthogonal de l'ensemble des matrices diagonales puis celui des matrices symétriques.

Exercice 1476

Soit

(E, h, i)

un espace euclidien,

F

et

G

deux sous-espaces vectoriels de

E.

Montrer que : 1. Si

F ⊂G

alors

G⊥ ⊂ F ⊥ .

2.

(F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ .

3.

(F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .

4. Si dim(E) est nie, alors

Exercice 1477

(F ⊥ )⊥ = F.

31.3 Projection, symétrie Déterminer la matrice dans la base canonique de

nale sur le plan d'équation

R3

de la projection orthogo-

x + 2y − 3z = 0.

En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan. Dans un espace euclidien de dimension

(f1 , ..., fr )

on considére un sous-espace

F

de dimension

r

et

pF la projection orthogonale sur F , ⊥ décomposition E = F ⊕ F . Montrer que :

une base de orthonormée de cet espace. On not

c'est à dire la projection sur

∀v ∈ F,

Exercice 1478

F

associée à la

pF (v) =< v, f1 > f1 + < v, f2 > f2 + · · · + < v, fr > fr

Dans

R3

muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection

orthogonale sur le plan d'équation

(x, y, z)

n,

x+y+z = 0

de

(1, 0, 0),

et plus généralement d'un vecteur

quelconque.

Donner la matrice de cette projection ainsi que celle de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan. Dans un espace euclidien de dimension

(f1 , ..., fr )

n,

on considère un sous-espace

une base de orthonormée de cet espace. On not

c'est à dire la projection sur

∀v ∈ F,


Soit

F

associée à la décomposition

F

de dimension

r

et

pF la projection orthogonale sur F , E = F ⊕ F ⊥ . Montrer que :

pF (v) =< v, f1 > f1 + < v, f2 > f2 + · · · + < v, fr > fr (E, h, i) un espace euclidien et p ∈ L(E) un projecteur. Montrer que p est ⊥ Im(p)) si et seulement si : ∀x ∈ E : kp(x)k 6 kxk.

orthogonal (c'est-à-dire Ker (p)

(E, h, i) un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. On note p la projection orthogonale sur F et on pose, pour tout x ∈ E : d(x, F ) = inf kx − yk. Soit z ∈ F. Soit

y∈F


194

x ∈ F,

1. Montrer que pour tout (i) (ii)

les trois conditions sont équivalentes :

d(x, F ) = kx − zk. z = p(x).

∀y ∈ F, y ⊥ (x − z). Z 1 déduire inf (x2 − ax − b)2 dx.

(iii) 2. En

Exercice 1481

x

et

y ∈ E.

1. Si

a,b∈R

Soit

0

(E, h, i)

un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à

2.

Soient

Montrer que :

kxk = kyk,

H

alors il existe un hyperplan

orthogonale par rapport à

hx, yi = kyk , alors il existe un hyperplan H orthogonale sur H.

Exercice 1482

Dans

R3

E

tel que

y = s(x)

E

tel que

y = p(x) où p est la projection

où

s

est la symétrie

H.

2

2. Si

de

de

muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la

projection orthogonale sur le plan d'équation

x + 2y − 3z = 0. Donner la matrice de la symétrie

orthogonale par rapport à ce même plan.

Exercice 1483

(E, h, i) un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel muni d'une base orthonormale (e1 , . . . , em ). Soit p la projection orthogonale sur F. m X 1. Montrer que ∀x ∈ E, p(x) = hx, ei iei . Soit

i=1

2. Donner de même l'expression de la symétrie orthogonale par rapport à ⊥ orthogonale sur F .

Exercice 1484  −2 6 −3 1 7

6 3 −3 2

R3

Quelle est la transformation de

et la projection

dont la matrice dans la base canonique est

2 ? 6

Exercice 1485 Vect(v , v ) Exercice 1486

Déterminer la matrice dans la base canonique de

nale sur

1

2

où

Soient

v1 = (1, −1, 0, 0) E

projection orthogonale sur

et

un espace euclidien,

H

et

s

u

un vecteur non nul et

2. Montrer que

∀x ∈ E

s(x) = x − 2 hx|ui u. kuk2 le plan

(Π : x − y + z = 0).

canonique de la symétrie orthogonale par rapport à

Exercice 1487

Soit

1. Soient

F

2. Soient

B = (e1 , ..., en )

et

G

(E, | )

des sous-espace vectoriels de

d'équation

(a) Déterminer l'orthogonale de

la

Π.

E.

n.

Montrer que

(F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .

n E et 1 , ..., an ) ∈ R \ {(0, ..., 0)} P(a n cartésienne k=1 ak xk = 0 dans B.

une base orthonormale de

E

p

Soient

Déterminer la matrice dans la base



H.

(b) Déterminer la distance du vecteur

P

H = u⊥ . H.

hx|ui u. kuk2

p(x) = x −

R3

de la projection orthogo-

la symétrie orthogonale par rapport à

∀x ∈ E

3. On considère dans

R4

v2 = (0, 1, 0, 1).

1. Montrer que

3. Soit

F

x=

Pn

k=1

xk ek

le sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel

R

4

de

E

et

au sous-espace vectoriel

déni par

u = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ P ⇔ x1 + x2 + x3 + x4 = x2 + 2x3 + 3x4 = 0.

H

H.


195

P⊥

(a) Déterminer une base de

P ⊥.

puis une base orthonormale de

R4

(b) En déduire une expression analytique de la projection orthogonale de

Exercice 1488

Soient

supplémentaires de

E

E p

le projecteur de

E

1. On suppose que

F ⊥ G.

2. On suppose que

∀x ∈ E, kp(x)k 6 kxk.

a∈F

(a) Soient

F

un espace vectoriel euclidien,

et

Montrer que

b ∈ G.

et

d'axe

F

et

G

sur

P.

deux sous-espace vectoriels

et de direction

G.

∀x ∈ E, kp(x)k 6 kxk. ka + bk > kak.

Montrer que

F ⊥ G. nR o 1 2 2 α = inf −1 (ax + bx + c − |x| ) dx : a, b, c ∈ R .

(b) En déduire que

Exercice 1489

Soit

1. Déterminer un espace vectoriel euclidien 2 tel que α = d(v, F ) .

p∈F

2. Déterminer

Exercice 1490 E Exercice 1491 Exercice 1492 vectoriels de

Soit

E

α = d(v, p)2

tel que

Déterminer

inf

(a,b)∈R2

R1 0

Calculer :


de

E

et

v∈E

α.

un espace euclidien (de dimension nie), F et (F + G)⊥ et (F ∩ G)⊥ en fonction de F ⊥ et

(a,b)∈R2

F

et

. Déterminer

inf

1. Soit

(E, | ), un sous-espace vectoriel F

G deux G⊥ .

sous-espaces

(ex − (ax + b))2 dx.

Z

1

x2 |ln x − ax − b|2 dx.

0

31.4 Orthonormalisation Résoudre l'équation

(1 − x)2 + (x − y)2 + (y − z)2 + z 2 =

1 pour 4

(x, y, z) ∈ R3 .

R5 engendré par u = (1, 2, 3, −1, 2) et v = (2, 4, 7, 2, −1). Trouver ⊥ l'orthogonal F de F .

le sous-espace de

une base de

2. Trouver une base orthonormale du sous-espace

E

de

C3

engendré par

v1 = (1, i, 0)

et

v2 = (1, 2, 1 − i).

Exercice 1495 F Exercice 1496

Soit

orthonormale de

1. Soit

F

un sous-espace d'un espace euclidien

E.

Montrer qu'il existe une base

qui est inclue dans une base orthonormale de

 2 1 1 A =  1 1 1 . 1 1 2

Montrer que

une base orthonormale pour

A

E.

dénit un produit scalaire

ϕ

sur

R3 .

Construire

ϕ.

2. Considérons une base {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (0, 0, 1)} de l'espace euclidien R3 . Utiliser le procédé d'orthogonalisation de Schmidt pour transformer {vi } en une base orthonormale.

Exercice 1497

Soient

E = Rn [X], In =

1. Montrer que l'intégrale Soit

ϕ:E×E →R

2. Montrer que

ϕ

In

√1 2π

R +∞ −∞

tn e

−t2 2

dt.

est convergente. Que vaut

dénie par

ϕ(P, Q) =

est un produit scalaire.

√1 2π

R +∞ −∞

I2p+1 ?

P (t)Q(t)e

−t2 2

dt.

31 Espaces euclidiens n = 2.

3. On suppose

base orthonormale (1, X, X 2 ).

Exercice 1498

196

ϕ

Ecrire la matrice associée à

(P0 , P1 , P2 )

dans la base

Réduire en somme de carrés indépendants les formes suivantes :

9x2 − 6y 2 − 8z 2 + 6xy − 14xz + 18xw + 8yz + 12yw − 4zw

2.

x21 + x22 + x23 − 2x24 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x1 x4 + 2x2 x3 − 4x2 x4

Exercice 1499 R e1 =

Construire une

par le procédé d'orthogonalisation de Schmidt appliqué à

1.

les vecteurs

(1, X, X 2 ).

3

est muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien. Vérier que (1, 0, 1), e2 = (1, 0, 2) et e3 = (1, 1, 1) forment une base de R3 et en déterminer

l'orthonormalisée de Gram-Schmidt.

Exercice 1500 R e1 = (1, 0, 1, 0)

et

4

est muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien. Soient

e1 = (1, −1, 1, −1)

F = vect(e1 , e2 ).

et

1. Déterminer une base orthonormale de

F. R4

2. Déterminer la matrice dans la base canonique de 3. Déterminer la distance du vecteur

Exercice 1501

(1, 1, 1, 1)

du projecteur orthogonal sur

R-espace

F.

au sous-espace vectoriel

R2 [X] du produit scalaire Z 1 φ : R2 [X] → R2 [X], (P, Q) 7→ P (t)Q(t)dt.

On munit le

vectoriel

F.

déni par

−1

R2 [X].

1. Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de 2. Déterminer la distance du polynôme P = X 0 formé des polynômes f tels que f (0) = 0.

Exercice 1502 0

0

0

0

u = (x , y , z )

Soit

f : R3 × R3 → R

2

+ X + 1 au sous-espace vectoriel F

dénie de la manière suivante : si

de

R2 [X]

u = (x, y, z)

et

alors

f (u, u0 ) = 2xx0 + yy 0 + 2zz 0 + xy 0 + yx0 + xz 0 + zx0 + yz 0 + zy 0 . 1. Montrer que 2. Soit

P

f

est un produit scalaire sur l'espace vectoriel canonique


R3

d'équation cartésienne

(a) Déterminer l'orthogonal du sous-espace vectoriel (b) Déterminer un sous-espace vectoriel de

R

3

R3 .

2x − y + z = 0.

P.

dont l'orthogonal est

P.

3. Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de duit scalaire

Exercice 1503 (5, −3, 7) Exercice 1504 R P (t)Q(t)dt Exercice 1505

R3

pour le pro-

f. R3

la famille

x1 = (1, −2, 2), x2 = (−1, 0, −1), x3 =

Déterminer une base orthonormée de

R2 [X] muni du produit scalaire hP |Qi =

Orthonormaliser dans

.

1 0

.

On considère la forme bilinéaire

b

de

R4

dénie par :

b(x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 4x3 y3 + 18x4 y4 + x1 y3 + x3 y1 + 2x2 y4 + 2x4 y2 + 6x3 y4 + 6x4 y3 où

x 1 , x2 , x3

et

y 1 , y2 , y3

sont les coordonnées de

x

et

1. Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire. 2. Ecrire la matrice de

b

dans la base canonique.

y

dans la base canonique.


197

3. Trouver une base orthonormée pour

Exercice 1506 Théorème de Pythagore :

b. (E, <>).

On considère un espace euclidien

1.

Soient

u

et

v

deux vecteurs orthogonaux de

E.

Calculer

||u + v||2 .

Illustrer le résultat

Projection orthogonale et distance à un sous-espace : obtenu à l'aide d'un dessin.

2.

E = F ⊕ F ⊥ , et donc que tout vecteur x de E se décompose de manière unique en une somme x = x1 +2 avec x1 ∈ F et x2 ∈ F ⊥ . Le vecteur x1 s'appelle alors la projection orthogonale de x sur F . (a) Montrer que l'application p qui à un vecteur asocie sa projection orthogonale sur E est une application linéaire. Vérier que : ∀y ∈ F, < x − p(x), y >= 0. (b) On considère maintenant un vecteur x de E . On appelle distance de x à F le nombre dist(x, F ) = inf y∈F kx − yk. Pour y ∈ F , vérier que x − p(x) et y − p(x) sont orthogonaux. Utiliser alors la 2 2 question 1 pour montrer que ||x − y|| > ||x − p(x)|| . Illustrer sur un dessin. En déduire que dist(x, F ) = ||x − p(x)||. Pr (c) Soit (e1 , . . . , er ) une base orthonormée de F . Montrer que p(x) = i=1 < x, ei > ei . Soit

3.

F

un sous-espace de

E.

On rappelle que

Espace de polynômes : Sur l'espace

E = R3 [X],

on considère la forme bilinéaire dénie par :

1 < P, Q >= 2

Z

1

P (t)Q(t)dt.

−1

[−1, 1] d'une sur [−1, 1])

(a) Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire (on admet que l'intégrale sur

f

fonction

(b) A l'aide du procédé de Schmidt appliqué à la base orthonormée de

R2 [X]

Exercice 1507

vectoriel de

π(x)

E.

P0 = X 3 .

Calculer la projection orthogonale de

X3

sur

En déduire que pour ce produit scalaire, on a :

2 dist(X 3 , R2 [X]) = √ . 5 7 (E, <, >) un espace euclidien, x0 un point de E et F un sous espace note π la projection orthogonale de E sur F . On rappelle que pour x ∈ E ,

Soit

On

est caractérisé par les relations :

π(x) ∈ F

et

x − π(x) ∈ F ⊥

Le but de cette partie est de montrer que la projection orthogonale de

F

une base

pour ce produit scalaire.

(c) On considère le polynôme

R2 [X].

f est nulle (1, X, X 2 ), construire

continue et positive est nulle si et seulement si

le plus proche de

x0

x0 .

1. En utilisant que

x0 − y = (x0 − π(x0 )) + (π(x0 ) − y),

montrer que

kx0 − yk2 = kx0 − π(x0 )k2 + ky − π(x0 )k2 . 2. En déduire que

inf kx0 − yk2 = kx0 − π(x0 )k2 ,

y∈F

c'est à dire que :

∀y ∈ F, kx0 − yk2 > kx0 − π(x0 )k2 A quelle condition a-t-on égalité dans la relation ci-dessus ?

sur

F

est le point de

31 Espaces euclidiens 3. Soit

(e1 , . . . , ek )

198

F.

une base orthonormée de

Montrer que

π(x0 ) =

4. Déduire des deux questions précédentes que

k X

2

inf kx0 − yk = kx0 −

y∈F

2

2

< ei , x0 > ei k = kx0 k −

i=1

k X

Pk

i=1

< e i , x0 > e i

< ei , x0 >2

i=1

Application : Le but est maintenant de déterminer

1

Z

α = inf 2 a,b∈R

(et − at − b)2 dt.

−1

F = R1 [X], comme sous espace de E = F ⊕ Rf0 où f0 t est la fonction dénie par f0 (t) = e . On admettra sans démonstration que < f, g >= R1 f (t)g(t)dt est un produit scalaire sur E . −1 On considère à cet eet l'espace

5. Donner une base orthonormée 6. Calculer

(P1 , P2 )

< f0 , P1 >, < f0 , P2 >,

kf0 k

et

2

R1 [X]

pour ce produit scalaire.

. En déduire que

e − e−1 2 e2 − e−2 −1 2 α= − (2e ) − . 2 2 R1 t 0 calcul de α = inf (e − at2 − bt − c)2 dt. 2 −1

7. Même question avec le

a,b∈R

A deux polynômes

P

φ(P, Q) =

: commencer par

R2 [X] pour le même produit scalaire, et en déduire α0 .

chercher une base orthonormée de

Exercice 1508

de

Q

et

Rn [X],

de

on associe le nombre

1

Z

P 0 (t)Q0 (t)dt + P (0)Q(0)

0 1. Montrer que 2. Lorsque

n = 2,

Exercice 1509 et

q

φ

est un produit scalaire sur

donner une base orthonormée pour ce produit scalaire.

31.5 Formes quadratiques Soient

E

q

K -espace sur E .

un

une forme quadratique

1.

Rn [X].

vectoriel (où

K

est

R

ou

C)

de dimension nie

n>0

peut-elle être injective ?

2. Trouver une condition nécessaire et susante sur

Exercice 1510 (examen juin 1999) nie sur

R

3

Soit

a

q

pour qu'elle soit surjective.

un nombre réel. Soit

q

la forme quadratique dé-

par

q(v) = x2 + (1 + a)y 2 + (1 + a + a2 )z 2 + 2xy − 2ayz pour

v = (x, y, z).

Soit

f

la forme bilinéaire symétrique associée à

1. Déterminer une décomposition de

q

en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires

indépendantes. 2. Donner le rang et la signature de 3. Pour quelles valeurs de

a, f

q

q.


a.

dénit-elle un produit scalaire ?


Exercice 1511 nique

q

Soit

B = (e1 , e2 , e3 )

199

q

3. Trouver le rang et la signature de

1.

(a) Montrer que

q

(c) La forme

q

3. Déterminer le rang de

et

q

f.

et donner la matrice de

dans

q

dans

R dénie par q(P ) = P (0)P (1).

E. E.

dans la base canonique de

q

Déterminer

V⊥

et

V ⊥⊥ .

puis son noyau.

C(q)

de

q

et constuire une base de

(P0 , P1 , P2 ) de E

telle que

E

formée de vecteurs

E?

est-il un sous-espace vectoriel de

5. Déterminer une base

q(a0 P0 + a1 P1 + a2 P2 ) = a20 − a21

et donner

q.

la signature de

dénie (

dans la base cano-

q.

V =vect( P ).

4. Déterminer le cône isotrope

Exercice 1513

est-elle positive, négative ?

P := X + X + 1

C(q)

2 1 1 1 1 1 1 1 2

et expliciter sa forme polaire

est une forme quadratique sur

2

isotropes.

B

E = R2 [X] et q l'application de E

(b) Déterminer la matrice de

2. Soit

dans

B = (e1 , − 12 e1 + e2 , −e2 + e3 ) est une base R3 Expliciter q dans cette base.

Soient

A=

0

2. Vérier que

Exercice 1512

de matrice

R3 .

de

1. Donner l'expression analytique de

cette base.

R3

la forme quadratique de

Soit

q

une forme quadratique sur un

R-espace

vectoriel

E,

que l'on suppose

i.e. son cône isotrope est {0}). Montrer que q garde un signe constant sur E (on pourra

q(a + tb) où a et b sont des vecteurs bien choisis et t ∈ R). 11 −5 5 A = −5 3 −3 .

raisonner par l'absurde et considérer


q

1. Diagonaliser

5 −3 3

la forme quadratique de

R

3

de matrice

A

q -orthogonale,

ser la question précédente pour trouver une base de

q

et une décomposition de

q


R3 .

Utili-

déterminer la signature

en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires

indépendantes.

Exercice 1515

Déterminer la signature de la forme quadratique

q : (x, y, z) ∈ R3 7→ (2x + y − z)2 − (3x − y + 2z)2 + (5y − 7z)2 .

Exercice 1516

Soit la forme quadratique

q

dénie par

q : (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ C4 7→ x1 x2 + x2 x4 − x3 x4 − 2x1 x4 − 2x2 x3 − x1 x3 . 1. Montrer, sans réduire

q,

qu'il existe une base

q -orthonormale

de

C4 .

2. En expliciter une.


Exercice 1517 morphisme de

A=

32.1 Endomorphismes du plan Dessiner l'allure du Shadock ci dessous après qu'il ait subi l'action de l'endo-

R2

1/2 0 0 2

dont la matrice dans la base canonique est

B=

1 1/2 0 1

C=

0 1 1 0

D=

√ 3/2 1/2 − √ 3/2 1/2

E=

1 −1 −1/2 3/2


200

Ecrire la matrice de la dernière transformation dans la base

Exercice 1518

((2, 1), (−1, 1)).

Retrouver la matrice (dans la base indiquée sur le premier dessin) de la trans-

formation subie par chacun des Shadocks ci-dessous.

Exercice 1519

32.2 Dualit'e On considère l'application suivante :

α :

Rn [X] → R [X] R1 n P 7→ 0 P (t)dt

α est une forme linéaire sur Rn [X]. i ∈ {0, ..., n}, on note αi l'application

Montrer que Pour

αi : αi est Rn [X]∗ .

Montrer que base de

Rn [X] → Rn [X] P 7→ P (i/n)

une forme linéaire sur

Rn [X],

et montrer que la famille

(α0 , ..., αn )

est une

En déduire que :

∃(λ0 , ..., λn ) ∈ R

Exercice 1520

n+1

, ∀P ∈ Rn [X]

t

u(α)

1

P (t)dt =

0 On considère l'application

u : Calculer

Z

u

n X

λi P (i/n)

i=0

suivante :

Rn [X] → Rn [X] P 7→ P0

lorsque :

α : P 7→ P (0)

Exercice 1521

α : P 7→

Z

1

P (t)dt

0 On appelle

trace d'une matrice A, et on note tr (A), la somme de ses coecients

diagonaux.

1. Montrer que l'application 2. Montrer que :

Mn (K) → K A 7→ tr(A) est une forme linéaire sur

∀(A, B) ∈ (Mn (K))2 ,

tr(AB)

=

Mn (K).

tr(BA). En déduire que deux matrices

semblables ont même trace. 3. Existe-t-il deux matrices

Exercice 1522

A

et

B

de

Mn (K)

telles que

AB − BA = I ?

Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ). Montrer que (Im f )⊥ = Ker t f . t En déduire que f est surjective si et seulement si f est injective. t Lorsque E et F sont de dimension nies, montrer que rg(f ) = rg( f ). En déduire que pour t toute matrice A ∈ Mm,n (K) on a rg(A) = rg( ( A)).


Exercice 1523

Soit

201 ∗

f ∈ End(R3 ) tel que f 2 = 0. Montrer qu'il existe α ∈ (R3 )

et

v ∈ R3

tels

que

∀x ∈ R3 f (x) = α(x) v. (Indication : commencer par montrer que

Exercice 1524 endomorphisme

rg(f ) 6 1)

On considère un espace euclidien

u

(E, <>).

On rappelle que l'adjoint

u∗

d'un

est l'endomorphisme caractérisé par :

∀(x, y) ∈ E 2 , < u(x), y >=< x, u∗ (y) > On dit qu'un endomorphisme

u de E

est une similitude de

E

si et seulement si

u est la composée

d'une homotétie et d'une isométrie, c'est à dire si et seulement si :

∃α ∈ R \ {0}, ∃v ∈ O(E) / u = αv. 1. Redémontrer l'équivalence entre les trois caractérisations suivantes des isométries :

v

est une isométrie

⇔ ∀x ∈ E kv(x)k = kxk ⇔ ∀(x, y) ∈ E 2 < v(x), v(y) >=< x, y > ⇔ v ∗ v = id

On veut montrer l'équivalence des assertions suivantes :

(i) u est une similitude (ii) il existe un réel λ > 0 tel que

u∗ u = λid

(iii) u conserve l'orthogonalité, c'est à dire : ∀(x, y) ∈ E 2 , < x, y >= 0 ⇔< u(x), u(y) >= 0

2. Montrer que

(i) ⇒ (ii),

3. Montrer que

(i) ⇒ (iii).

4. On suppose (a) Soit

puis que

(ii) ⇒ (i).

(iii).

x ∈ E , x 6= 0.Montrer

que

x⊥y ⇔ u∗ u(x)⊥y

∀y ∈ E

∗ (b) En déduire que u u(x) appartient à la droite engendrée par ∗ que u u(x) = λx x. (c) Montrer que :

On note

λx

le réel tel

∀t ∈ R, λtx = λx

(d) Montrer que, pour tout couple on a :

x.

(x, y)

de vecteurs linéairement indépendants de

λx = λy .

(e) En déduire que l'application

x 7→ λx

est constante. Conclure.

E,


Exercice 1525 Exercice 1526 orthogonal si et

de

202

32.3 Endomorphismes auto-adjoints (E, h, i) un espace euclidien et p ∈ L(E) un projecteur. Montrer que p est ∗ seulement si p = p . Soit

(E, h, i)

Soit


ϕ ∈ L(E).

Soit

F

un sous-espace vectoriel

E.

1. Soit ⊥

F


2. Soit

F

un espace propre de

E.

Montrer que si

ϕ = ϕ∗

et

ϕ(F ) ⊂ F

alors

ϕ(F ⊥ ) ⊂

F .

Exercice 1527

A

Soient

et

B

ϕ.

Montrer que si

2. Si

A =B

k

alors

1. 2.

Ak

est vecteur propre de

k ∈ N∗ .

A.

A

et

B

symétriques positives ?

(E, h, i) un espace euclidien et ϕ ∈ L(E). ∗ Montrer que ϕ ◦ ϕ est symétrique et que Sp (ϕ ◦ ϕ) ⊂ R+ . On note respectivement λ et µ la plus grande et la plus petite Montrer, pour tout x ∈ E, l'inégalité :

Exercice 1529

ϕ(F ⊥ ) ⊂ F ⊥ .

A = B.

3. Que se passe-t-il sans l'hypothèse

Exercice 1528

alors

deux matrices symétriques positives. Soit

1. Montrer que tout vecteur propre de

k

ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ

Soit

∗

valeur propre de

ϕ∗ ◦ ϕ.

µkxk2 6 kϕ(x)k2 6 λkxk2 . Soit

1. Montrer que si

(E, h, i) un espace euclidien et ϕ ∈ L(E). ϕ = ϕ∗ et ∀x ∈ E : hx, ϕ(x)i = 0 alors ϕ = 0.

2. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ. ii) ∀x, y ∈ E : hϕ(x), ϕ(x)i = hϕ∗ (x), ϕ∗ (x)i. iii) ∀x ∈ E : kϕ(x)k = kϕ∗ (x)k. ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ϕ alorsla matrice de ϕ dans une base orthonormée est a −b soit symétrique, soit de la forme avec b 6= 0. b a ∗ ∗ On suppose désormais que dim (E) = 3 et que ϕ ◦ ϕ = ϕ ◦ ϕ. (a) Montrer que ϕ a au moins une valeur propre réelle qu'on notera λ. Montrer que Eλ ⊥ ∗ et Eλ sont laissés stables par ϕ et ϕ . (b) Montrer que si ϕ n'est pas symétrique, il existe une base orthonormée ε de E et deux   a −b 0 a 0 . réels a et b (avec b 6= 0) tels que Mat (ϕ, ε) =  b 0 0 λ

3. Si dim(E)

4.

Exercice 1530

=2

et si

Soit

E

un espace euclidien de dimension

{e1 , e2 , e3 } une base orthonormée de E. Soient et y = y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 deux vecteurs de E. Calculer hx, yi en fonction des coecients xi et yi (pour i ∈ {1, 2, 3}). On considère u ∈ L(E) un endomorphisme auto-adjoint. On note λ sa plus petite valeur 0 propre et λ sa plus grande valeur propre. Montrer que l'on a, pour tout x appartenant à E, les inégalités : λkxk2 6 hu(x), xi 6 λ0 kxk2 .

1. Soit

2.

3. x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3

(On utilisera une base orthonormée convenable.)

32 Endomorphismes particuliers 3. Soit

v ∈ L(E)

adjoint. Soient

un endomorphisme quelconque. Montrer que

µ

v, λ

une valeur propre de

plus grande valeur propre de


203

u.

Montrer que

M (R)

A = (aij ) ∈

1 u = (v + v ∗ ) 2

la plus petite valeur propre de 0

est auto-

u

λ0

et

la

λ6µ6λ.

S = tA · A

. Montrer que

est une matrice symétrique dont tous Pn P 2 les valeurs propres λ1 , . . . , λn sont positives. Démontrer l'égalité : i=1 λi = 16i,j6n aij .

n

M

M

S ∈ n (R) une matrice symétrique. Existe-t-il une matrice A ∈ n (R) telle que S = tA · A ? Donnerune condition nécessaire et susante sur S pour que A soit inversible. 2 1 Application à S = . 1 2

2. Soit

Exercice 1532 d'éléments de

Soit

E

(E, <, >) un espace euclidien de dimension p. A chaque n-uple (x1 , . . . , xn )

on associe le nombre (déterminant de Gram)

G(x1 , . . . , xn ) = dét(< xi , xj >)i,j=1,...,n . 1. Montrer que

x1 , . . . , x n

x1 , . . . , x n

G(x1 , . . . , xn ) = 0 ;

sont liés si et seulement si

sont indépendants, on a

montrer que si

G(x1 , . . . , xn ) > 0.

σ de {1, . . . , n}, on a G(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = G(x1 , . . . , xn ), G(x1 , . . . , xn ) n'est pas modiée si l'on rajoute à un des vecteurs, soit xi , linéaire des autres vecteurs xj (j 6= i). Calculer G(αx1 , . . . , xn ) (α ∈ R).

2. Montrer que, pour toute permutation et que la valeur de une combinaison 3. On suppose l'hyperplan

Exercice 1533

x1 , . . . , x n

indépendants. Soit

H = Vect(x1 , . . . , xn ).

x ∈ E,

Montrer que

d(x, H) la distance G(x, x1 , . . . , xn ) . d(x, H)2 = G(x1 , . . . , xn ) et soit

de

x

à

Diagonaliser très rapidement la matrice

M=

Exercice 1534

0 1 1 1 0 1 1 1 0

∈ M3 (R).

Montrer que l'endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien canonique 3 matrice dans la base canonique de R

C=−

R3

de

1 4 1 −8 7 4 4 9 4 −8 1

est un automorphisme orthogonal.

Exercice 1535

Soient

E

un espace vectoriel euclidien et

f

un endomorphisme de

E

tel que

∀x ∈ E, kf (x)k 6 kxk. 1.

(a) Soit

x∈E

tel que

(b) En déduire que 2. Soit

h

f ∗ (x) = x.

kf (x) − xk2 = kf (x)k2 − kxk2 .

Montrer que

ker(f ∗ − Id) ⊆ ker(f − Id).

un endomorphisme de

E.

Montrer que

3. En déduire que les sous-espace vectoriels

(Im h)⊥ ⊆ ker h∗ .

ker(f − Id)

et Im (f

− Id)

sont supplémentaires

et orthogonaux.

Exercice 1536

Soit

E


(e1 , e2 , e3 ) une base orthonormée y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 deux vecteurs de E . yi (pour i ∈ {1, 2, 3} ).

1. Soit

de

E.

3.

Soient

Calculer

hx, yi

x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3

et

en fonction des coecients

y = xi et

32 Endomorphismes particuliers 2. On considère propre et à

E

λ2

u ∈ L(E)

204

un endomorphisme auto-adjoint. On note

λ1

sa plus petite valeur

sa plus grande valeur propre. Montrer que l'on a, pour tout

x

appartenant

les inégalités :

λ1 kxk2 6 hu(x), xi 6 λ2 kxk2 . (On utilisera une base orthonormée convenable.) 3. Soit

v ∈ L(E)

adjoint. Soient

λ

v , λ1

la plus petite

Montrer que

λ1 6 λ 6 λ 2 .

une valeur propre de

plus grande valeur propre de

Exercice 1537

1 u = (v + v ∗ ) est auto2 valeur propre de u et λ2 la

un endomorphisme quelconque. Montrer que

1. Soient

E

u.

f ∈ L(E) (f (x)|x) > 0.

un espace vectoriel euclidien,

symétrique positif. Montrer que si

x∈E

alors

un endomorphisme

M = (mi,j )i,j ∈ Mn (R) symétrique positive. Montrer que pour tout i = 1, .., n, mii > 0 et tr (M ) > 0 Soient A, B ∈ Mn (R) symétriques positives. (a) Montrer qu'il existe D ∈ Mn (R) diagonale et M ∈ Mn (R) symétrique positive telle que tr (AB) =tr(DM ). (b) En déduire que tr (AB) 6tr(A)tr(B).

2. Soit

3.

Exercice 1538

Soit

(E, h, i)


f ∈ L(E)

un endomorphisme autoadjoint.

Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : 1. 2. 3.

∀x ∈ E, hf (x), xi > 0. ∗ Il existe g ∈ L(E) tel que f = g g. ∗ 2 Il existe h ∈ L(E) tel que h = h et f = h .

Exercice 1539 kf k = kf k Exercice 1540 ∗

Soit

(E, h, i) un espace euclidien et f ∈ L(E) un endomorphisme. Montrer que

Soit

(E, h, i)

.

et seulement si toutes les valeurs

Exercice 1541

f ∈ L(E) un endoX = {x ∈ E; hf (x), xi 6 1}. Montrer que X est compacte si propres de f sont strictement positives.

un espace euclidien (de dimension nie) et

morphisme autoadjoint. On note

32.4 Autres endomorphismes normaux

(E, h, i) un espace euclidien. Un endomorphisme ϕ ∈ L(E) est dit antisymétrique lorsque ϕ = −ϕ. 1. Montrer que ϕ est antisymétrique si et seulement si ∀x ∈ E, hϕ(x), xi = 0. (on pourra ∗ remarquer que ϕ + ϕ est autoadjoint.) ⊥ 2. Montrer que si ϕ est antisymétrique alors (Ker (ϕ)) = Im(ϕ) puis que rg (ϕ) est pair.

Exercice 1542

Soit ∗

(E, h, i) un espace euclidien. Soit ϕ ∈ L(E) un endomorphisme antisyméϕ∗ = −ϕ. ⊥ Montrer que si λ ∈ Sp(ϕ) alors λ = 0. Montrer que (Ker (ϕ)) est stable par ϕ. 2 (a) Montrer que ϕ est symétrique. 2 (b) Montrer que si x est un vecteur propre associé à une valeur propre µ de ϕ alors ⊥ Ex = vect{x, ϕ(x)} et Ex sont laissés stables par ϕ. (c) Montrer que µ > 0. Déterminer une base {e1 , e2 } de Ex telle que la matrice de la √ 0 − µ √ . restriction de ϕ Ex dans {e1 , e2 } soit µ 0 Montrer que E est somme directe orthogonale de Ker (ϕ) et de plans stables. Soit

trique c'est-à-dire tel que 1. 2.

3.


Exercice 1543

205

32.5 Endomorphismes orthogonaux Soit

f

une transformation orthogonal d'un espace euclidien

E.

Montrer que

Ker(f − id) = Im(f − id)⊥ En déduire que si

Exercice 1544

(f − id)2 = 0,

alors

f = id.

Déterminer la nature des transformations de

R3

dont les matrices dans la base

canonique sont les suivantes :



 1 −2 −2 1 A = −2 1 −2 3 2 2 −1

Exercice 1545 de

R

3



 2 2 −1 1 2 B = −1 2 3 2 −1 2



 0 1 0 C =  0 0 −1 −1 0 0

Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique

) la matrice suivante :



 5 −1 2 A = −1 5 2 2 2 2 Interpréter géométriquement la transformation de

Exercice 1546



4 i −i  A = −i 4 1  i 1 4

propres

Soit

√





0√ 1√ i 2  B = −i 2 √ 1 −i 2 0 i 2 1

A = (aij ) 16i6n



 −1 0 −3i 0 0 1 0 3i  C=  3i 0 −1 0  0 −3i 0 1

une matrice symétrique réelle. Montrer que ses valeurs

16j6n

λ 1 , . . . , λn

Exercice 1548

représentée par cette matrice.

Diagonaliser les matrices suivantes dans des bases orthonormées :



Exercice 1547

R3

vérient

n X

λi =

i=1

Soit

qu'un endomorphisme

n X

a2i,j

i=1

B = (e1 , . . . , en ) une base orthogonal d'un espace euclidien E . On dit f de E conserve l'orthogonalité de B si et seulement si (f (e1 ), . . . , f (en ))

est une famille orthogonale. Montrer que f conserve l'orthogonalité de t propres de f f . Montrer que pour tout endomorphisme

f

de

B

si et seulement si

E,

B

est une base de vecteurs

il existe une base orthogonale dont

f

conserve

l'orthogonalité.

Exercice 1549 (Décomposition polaire)

1. Soit

r

un endomorphisme symétrique d'un

E . On dit que r est positif, si toutes ses valeurs propres sont positives. Montrer que si r est déni positif, il existe un et un seul endomorphisme symétrique s 2 positif tel que s = r . On appelle s racine carrée positive de r . On dit que r est déni positif si et seulement si toutes ses racines sont strictement positives. Montrer que si r est déni positif, alors sa racine positive aussi. espace euclidien

t un endomorphisme de E . Montrer que f t si en plus f est bijective, f f est déni positif.

2. Soit

f

f

est symétrique et positif. Montrer que


206

t 3. On suppose maintenant que f est une bijection. Soit s la racine carrée positive de f f . −1 Montrer que u = f ◦ s est une transformation orthogonale. En déduire que tout endo-

E

morphisme bijectif de

peut s mettre sous la forme :

f =u◦s où

u

et une transformation orthogonale, et

s

est symétrique déni positif.

Montrer que cette décomposition, appelée décomposition polaire de 4. Que se passe-t-il si

Exercice 1550

f

f

R4 muni de son produit scalaire canonique, on considère

dont la matrice dans la base canonique est :



 −1 −4 4 −4 1 −4 5 2 −2  A=  2 5 2 7 4 −4 −2 2 5 1. Sans calculs, dire pourquoi 2. Montrer que

est unique.

n'est pas bijective ?

Dans l'espace vectoriel

l'endomorphisme

f

f

f

(

attention au 17 ...)

est diagonalisable dans une base orthonormée.

est orthogonal. En déduire les seules valeurs propres possibles pour

3. Sans calculer le polynôme caractéristique de multiplicité des valeurs propres de 4. Déterminer l'espace propre

E1

f.

f,

f.

déterminer à l'aide de la trace l'ordre de

En déduire le polynôme caractéristique de

f.

associé à la valeur propre 1. En donner une base, puis lui

E1 . ⊥ Montrer que l'espace propre E−1 associé à la valeur propre -1 satisfait E−1 = (E1 ) . En utilisant l'équation caractérisant E1 , en déduire un vecteur générateur de E−1 . Donner une base orthonormée dans laquelle la matrice de f est diagonale. Donner une interprétation géométrique de f . appliquer le procédé de Schmidt pour obtenir une base orthonormée de

5.

6.

Exercice 1551 A

Soit

E


nalisables qui commutent (c'est à dire qui satisfont

E1 ...Ek les espaces propres associés. Montrer que v(Ei ) ⊂ Ei . On note vi = v|E la restriction de v à Ei . Soit P ∈ C[X], montrer que P (vi ) = P (v)|E . i i En déduire que vi est diagonalisable. Soit Bi une base de Ei formée de vecteurs propres de vi . k S Montrer que B = Bi est une base de E formée de vecteurs propres à la fois pour u et i=1 pour v . En déduire que u et v sont diagonalisables dans une même base. Montrer que u − v est

propres de 1. 2. 3.

4.

u

u et v deux endomorphismes de E diagou ◦ v = v ◦ u). On note λ1 ...λk les valeurs

et

diagonalisable.

B Application : l'endomorphisme

On considère maintenant une matrice

wA ∈ End(Mn,n (R)) w:

A ∈ Mn,n (R),

et on lui associe

suivant :

Mn,n (R) → Mn,n (R) M 7→ AM − M A

Le but de l'exercice est de montrer que si

A

est diagonalisable,

wA

l'est aussi.

On note

uA :

Mn,n (R) → Mn,n (R) M 7→ AM

et

vA :

Mn,n (R) → Mn,n (R) M 7→ MA


207

∀k ∈ N, (uA )k = uAk . En déduire que ∀P ∈ C[X], P (uA ) = uP (A) , polynôme annulateur de A est un polynôme annulateur de uA .

1. Montrer que tout

puis que

2. Montrer que

A

diagonalisable

⇒ uA

diagonalisable

On admet sans démonstration que le même résultat est vrai pour

A 3. Montrer que

diagonalisable

⇒ vA

diagonalisable

⇒ wA

diagonalisable

vA

:

uA ◦ v A = v A ◦ uA .

4. En déduire que

Exercice 1552 scalaire

λ

A

diagonalisable

Dans un espace euclidien

(E, < ·, · >),

on considère un vecteur

v

non nul, un

et l'endomorphisme :

u: 1. Pour

x ∈ E,

calculer

E → E x 7→ x + λ < x, v > v

ku(x)k2 .

2. Donner une condition nécessaire et susante sur

λ et v pour que u soit une transformation

orthogonale. 3. Lorsque

u

est orthogonale, dire a priori quelles sont les valeurs propres possibles de

u,

puis dire si elles sont eectivement valeur propre en étudiant les espaces propres associés. 4. Lorsque

u

Exercice 1553 E

est orthogonale, donner une interprétation géométrique de On considère un espace euclidien

est une similitude de

E

(E, <>).

u.

On dit qu'un endomorphisme

si et seulement si il existe un réel

λ>0

u

de

tel que

u∗ u = λid Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :

(i) u est une similitude (ii) u est colinéaire à une transformation orthogonale, c'est à dire ∃α ∈ R \ {0}, ∃v ∈ O(E) / u = αv

(iii) u conserve l'orthogonalité, c'est à dire : ∀(x, y) ∈ E 2 , < x, y >= 0 ⇒< u(x), u(y) >= 0

Pour (i) ⇔(ii), on pourra commencer par montrer que (ii) ⇒(i). Pour (i) ⇒(iii), on commencera par montrer que x et u∗ u(x) sont toujours colinéaires, c'est à dire que ∀x ∈ E∃λx /u∗ u(x) = λx x

puis on montrera que λx est indépendant de x.

Exercice 1554 k 6= −1

Dans un espace euclidien

on associe l'endomorphisme

uk

de

E , on considère E déni par :

uk (x) = k < x, a > a + x

un vecteur unitaire

a,

et à un réel

32 Endomorphismes particuliers 1. Montrer que

uk

< uk (x), a >)

208

est un isomorphisme. Déterminer

u−1 k . (on pourra commencer par calculer

2. Rappeler la caractérisation de l'adjoint d'un endomorphisme, et montrer que

u

est auto

adjoint.

k u


est-il orthogonal ? Interpréter alors géométriquement cette

transformation.

uk .

4. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de

[Exercice corrigé]

Exercice 1555 2.

1. Soient E un espace vectoriel euclidien, f un endomorphisme de E et A = (aij )16i,j6n ∈ Mn (R) la matrice de f dans une base orthonormale donnée B = (e1 , ..., en ) de E . Pour i, j ∈ {1, ..., n}, exprimer aij en fonction de f et des vecteurs ei et ej . P Soient A = (aij ) 16i,j6n aij . 16i,j6n ∈ On (R) et S = (a) Montrer qu'il existe

(b) En déduire que

Exercice 1556 det A > 0 Exercice 1557 si et

u∈E

tel que

S = (u|f (u)).

|S| 6 n.

A = (aij )16i,j6n ∈ On (R) et Aij le seulement si aij et Aij sont de même signe. Soient

cofacteur

(i, j)

de

A.

Montrer que

Que peut-on dire d'une matrice carrée réelle à la fois symétrique et ortho-

gonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques −2 6 −3 de l'endomorphisme de l'espace 1 3 3 6 3 2 dans la base canonique de R . vectoriel euclidien canonique R de matrice A = 7 −3 2 6


Quelles sont les isométries vectorielles d'un espace vectoriel euclidien qui sont

diagonalisables.

Soient

E

un espace vectoriel euclidien et

f

un endomorphisme de

E

tel que

∀x ∈ E, kf (x)k 6 kxk. 1.

(a) Soit

x∈E

tel que

(b) En déduire que 2. Soit

h

f ∗ (x) = x.

Montrer que

kf (x) − xk2 = kf (x)k2 − kxk2 .

ker(f ∗ − Id) ⊆ ker(f − Id).

un endomorphisme de

E.

Montrer que

3. En déduire que les sous-espace vectoriels

(Im h)⊥ ⊆ ker h∗ .

ker(f − Id)

et Im (f

− Id)

sont supplémentaires

et orthogonaux.

Exercice 1560 U ∈ O2 (R)

Déterminer une matrice diagonale 1 1 −1 telles que U DU = 1 12 . 2

Exercice 1561

Soit

(E, h, i)

D ∈ M2 (R)

et une matrice orthogonale

u ∈ L(E).

Montrer que les propriétés


suivantes sont équivalentes :

i) u∗ = u−1 . ii) ∀x ∈ E, ku(x)k = kxk. iii) ∀x, y ∈ E, hu(x), u(y)i = hx, yi. iv) L'image par u d'une base orthonormée de E est une base orthonormée de E. v) L'image par u de toute base orthonormée de E est une base orthonormée de E.

Exercice 1562 de

E.

Soit

Montrer que si

(E, h, i) un espace euclidien et ϕ ∈ O(E). Soit F ϕ(F ) ⊂ F alors ϕ(F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . A-t-on égalité ?

un sous-espace vectoriel


Exercice 1563

(E, h, i)

Soit

209

3


et

u ∈ O− (E).

On pose

F = Ker(u + id). F 6= {0}.

1. Montrer que dim(F )

Montrer que

F

et

f⊥

u.

sont stables par

Pour quelle raison

6= 2?

2. On suppose

E 6= F.

Montrer que la restriction de

3. En déduire qu'il existe

θ∈R

et une base

ε

de

E

u

à

F⊥

est une rotation.

tels que :



Exercice 1564

 cos(θ) sin(θ) 0 0 . Mat (u, ε) = − sin(θ) cos(θ) 0 0 −1

4√et ε = {e1 , · · · , e4 } une √  0 −2 2 2 2 0 √ √ 1 2 √2 1 1 −√ 6   et u ∈ L(E) orthonormée de E. Soit A la matrice A =  1 6 4 −2 2 √1 √ 0 6 6 2 domorphisme déterminé par Mat (u, ε) = A. Soit

(E, h, i)


base



1. Montrer que

u ∈ O+ (E). F

2. Montrer que l'espace vectoriel

u

la restriction de 3. Montrer que

l'en-

F⊥

à

F

engendré par

e1

et

u(e1 )

est stable par

u.

Montrer que

est une rotation.

est stable par

u et est engendré par e4

et

u(e4 ). La restriction de u à F ⊥

est-elle une rotation ?

Exercice 1565 X

A = (ai,j ) ∈ O(n, R).

Soit

n

a2i,j = 1.

En déduire que si

Exercice 1566

A

Montrer pour tout

j ∈ {1, · · · , n}

l'égalité :

est triangulaire supérieure elle est diagonale.

i=1

Soit

(E, h, i)

1. Montrer que Ker (v)


u ∈ O(E).

On pose

v = id − u.

= Im(v)⊥ . n−1

2. Montrer que

Exercice 1567

1X p u (x) n→∞ n p=0 lim

Soit

1. Montrer que

(E, h, i)

est la projeté orthogonal de


s ∈ L(E)

x

sur Ker (v).

telle que

s2 = id.

E = Ker(s − Id) ⊕ Ker(s + Id).

2. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) s ∈ O(E). ii) Ker(s − Id) ⊥ Ker(s + Id). iii) s = s∗ . sF l'unique symétrie s ∈ O(E) u ∈ O(E) on a : usF u−1 = su(F ) .

3. On note désormais que pour tout 4. Montrer que si

f

est une application de

vectorielles (c'est à dire que pour tout

telle que

F =

Ker (s

+ Id).

Montrer

E dans lui-même laissant stables toutes les droites x ∈ E il existe λx ∈ R tel que f (x) = λx x) alors f

est linéaire.

+ 5. En déduire que Z(O(E)) = {id, −id} et que si n > 3 alors Z(O (E)) = {id, −id} O+ (E). (on pourra appliquer 3.) dans le cas où F est une droite ou un plan.)

∩

33 Polynômes d'endomorphismes n=1

6. Que se passe-t-il lorsque

Exercice 1568

Soit

u(x) 6= x. r(y) = x. tel que

E

210

et

n = 2?


On pose

y = u(x).

u ∈ O(E)

telle que

ker(u − id) 6= E .

Alors on sait qu'il existe une unique réexion

1. Montrer que

ker(u − id) ⊂ ker(r − id).

2. Montrer que

dim ker(r ◦ u − id) > dim ker(u − id).

Soit

r

x∈E

telle que

3. Montrer par récurrence que toute isométrie vectorielle est la composée de réexions.


Soit

A = (ai,j ) ∈ On (R).

Soit

E

euclidien,

Montrer que

∀(i, j) |ai,j | 6 1

n ∈ N∗ , (x1 , ..., xn , y1 , ..., yn ) ∈ E 2n

et que

P i,j ai,j 6 n.

tels que :

∀(i, j) ∈ {1, ..., n}2 , (xi |xj ) = (yi |yj ) . Montrer qu'il existe un endomorphisme orthogonal

f

de

E

tel que :

∀i ∈ {1, ..., n}, f (xi ) = yi.



33.1 Idéaux K[X]

Montrer qu'un idéal de

est distinct de

K[X]

si et seulement s'il ne

contient aucun polynôme constant non nul. Soient les polynômes

P = X 4 + X 3 − 2X + 1

Déterminer pgcd (P, Q) puis la somme et l'intersection des

Q = X 2 + X + 1 de R[X]. idéaux principaux (P ) et (Q) de et

R[X].

Exercice 1573

I = {P ∈ R[X] : P 0 (0) = 0} et J = {P ∈ R[X] : P (0) = P 0 (0) = 0} R[X] ? Dans l'armative, en donner un générateur.

Les parties

sont-elles des idéaux de

33.2 Polynômes annulateurs

Exercice 1574 En déduire

Soit

A−1 , A3

Exercice 1575

A ∈ M3 (R)

et

la matrice

  0 1 1 1 0 1 . 0 0 1

Calculer le polynôme minimal de

A5 .

P ∈ C[X] tel que P (0) = 0 et P 0 (0) 6= 0. Soit E dimension nie et f ∈ L(E) telle que P (f ) = 0. 2 Montrer que Ker (f ) = Ker (f ); en déduire E = Ker (f ) ⊕ Im(f ).

Exercice 1576 id) = 1.

On note

1. Soit

E

Soit

E un K-espace H = Ker(f − id).

Soit

{e1 , · · · , en−1 }


une base de

H

et

et donner l'allure de la matrice de

2. Montrer que le polynôme et susante pour que

Exercice 1577

Soit

A.

E

f

et

C-espace

f ∈ L(E)

en ∈ / H. Montrer que {e1 , . . . , en } f dans cette base.

vectoriel de

tel que rg (f

−

est une base de

(X − 1)(X − det(f )) annule f. Donner une condition nécéssaire

soit diagonalisable.

un espace vectoriel de dimension ∃m ∈ N, um = 0. Montrer que

nilpotent, c'est à dire tel que

n

un

n, et u un = 0

un endomorphisme de

E


Exercice 1578

211

A

Déterminer toutes les matrices

M2,2 (R)

de

telles que

A2 − 3A + 2id = 0 Même question pour

Exercice 1579

A3 − 8A2 + 21A − 18id = 0 Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton. Le démontrer dans le cas particulier

où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

[Exercice corrigé]

Exercice 1580

1. Réduire la matrice



 2 0 0 A = 3 −4 3 3 −6 5 2. Donner un polynôme annulateur de

A

3. En déduire qu'il existe des coecients fonction de


de degré 2.

an

et

bn

tels que

An = a n A + b n

et les calculer en

n. Soit A ∈ M2 (C) de trace non nulle. Montrer que toute matrice M ∈ A2 commute aussi avec A. ( utiliser Cayley-Hamilton.)

Indication :

qui commute avec

M2 (C)

Que peut-on dire d'un endomorphisme d'un K -espace vectoriel de dimension 3 2 nie annulé par les polynômes P = 1 − X et Q = X − 2X + 1 ? Soient

E

un

que le polynôme minimal de

K -espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E). f est P = (X − 2)(X − 1)2 . Quel est le polynôme

On suppose minimal de

f + IdE ?


Soit

déduire le polynôme

M ∈ Mn (K) une minimal de M.

matrice diagonale. Si

P ∈ K[X],

calculer

P (M )

et en

En appliquant la méthode utilisée en cours pour démontrer l'existence d'un

polynôme annulateur d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension nie, déterminer 2 1 le polynôme minimal de la matrice B = ( −1 1 ).

Exercice 1586 Exercice 1587 E Exercice 1588 n Exercice 1589

Quel est le polynôme minimal d'un endomorphisme d'une droite vectorielle ? Soient

E


de rang 1. Montrer que le polynôme minimal de

f

n>2

et

est de la forme

Déterminer les endomorphismes d'un

K -espace

f un endomorphisme X(X − λ).

vectoriel

E

de

de dimension nie

dont le polynôme minimal est de degré 1.

matrice

A=

2 Montrer que P = (X − 1) (X − 2) est un polynôme annulateur de la 1 0 0 0 1 0 et en déduire le polynôme minimal de la matrice A. 0 0 2

1.

B ∈ M2 (C). Calculer explicitement B 2 − tr(B) B +det(B)I2 . En déduire le polynôme 3 1 minimal de la matrice B = ( −1 1 ).

2. Soit


Soient

E

un

nôme minimal. Montrer que

que

f

Soit

f

f

K -espace

f ∈ L(E) P (0) 6= 0.

vectoriel de dimension nie,

est bijective si et seulement si

un endomorphisme d'un

R-espace

vectoriel

E

et

P

son poly-

de dimension 3. Montrer

admet un plan stable (on discutera en fonction du caractère trigonalisable de

f ).


Exercice 1592

Soit

f

212

K -espace


vectoriel

E

de dimension nie tel

que

f 4 = f 2 + f. 1. Montrer que 2.

ker(f 3 − f − Id) ⊕ ker f = E.

(a) Montrer que Im

f ⊆ ker(f 3 − f − Id). f = ker(f 3 − f − Id).

(b) En déduire que Im

Exercice 1593 Exercice 1594 1. Calculer

Déterminer le polynôme minimal de la matrice Soient

M2

et

J = ( 11 11 )

M3

A=

7 3 −4 −6 −2 5 4 2 −1

.

et la matrice par blocs à coecients réels suivante

M=

et en déduire que

M

1 J 2

O 1 J 2

O

.

est diagonalisable.

2. Déterminer le polynôme caract eristique et le polynôme minimal de

Exercice 1595

M.

On considére la matrice



 3 −2 −1 1 . A =  2 −1 6 3 −2 Calculer son polynôme caractéristique, calculer Cayley-Hamilton l'inverse de

Exercice 1596 désigne par

j

et déduire de ces calculs et du théorème de

A. E = C 4 muni de sa base canonique b = (e1 , e2 , e3 , e4 ). de E dont la matrice dans b est la matrice suivante   0 1 0 0  0 0 1 0   J =  0 0 0 1  ∈ M4 (C). 1 0 0 0

On se place dans

l'endomorphisme

1. Déterminer l'image de 2. En déduire

A2

J 2, J 3

et

b

par

j, j 2 , j 3 ,

et

j 4.

J 4.

3. Déterminer un polynôme annulateur non nul de 4. Montrer que si

P ∈ C[X]

avec

deg(P ) 6 3

5. En déduire le polynôme minimal de 6. Montrer que

J

J.

vérie

P (J) = 0

alors

P = 0.

J.

est diagonalisable.

7. Déterminer les valeurs propres de

J.

34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation 34.1 Valeurs propres, vecteurs propres

Exercice 1597

Soit

m∈R

et

Am ∈ M3 (R)

la matrice



 m 1 1 1 m 1. 1 1 m

On

34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation 1. Calculer les valeurs propres de

Am

2. Déterminer suivant les valeurs de A−1 m . 3. Lorsque

Am

213

et une base de vecteurs propres.

m

le rang de

Am .

Déterminer lorsque cela est possible

n'est pas inversible déterminer le noyau et l'image de

Exercice 1598

Am .

Soit A ∈ On (R). Montrer que si −1 n'est pas valeur propre de A, alors il existe Q antisymétrique (i.e. t Q = −Q) telle que A = (I +Q)−1 (I −Q) = (I −Q)(I +Q)−1 A ∈ SOn (R). Réciproque ?

une matrice et qu'on a

Exercice 1599 si

et

λ est valeur λ 6= 0).

propre

Exercice 1600 n sur K=R

E un K-espace vectoriel de dimension nie et f, g ∈ L(E). Montrer que de g ◦ f alors λ est valeur propre de f ◦ g (on distinguera les cas λ = 0

Soient

1. Soient

ou

C,

f

et

g deux endomorphisme s d'un espace vectoriel E de dimension

ayant chacun

n

valeurs propres

f ◦ g = g ◦ f ⇐⇒ f 2. Supposons maintenant que qu'un espace vectoriel de

f

est

F

et

g

distinctes dans

K.

Montrer que

ont les mêmes valeurs propres .

K = C et que f ◦ g = g ◦ f . Si u est un endomorphisme on dit u−stable si u(F ) ⊂ F . Montrer que tout sous-espace propre

est

g−stable.

Remarque

: On peut montrer par récurrence sur

f et g .

à 3. Considérons

f

et

g

n qu'il existe un vecteur propre commun

On admettra ce résultat.


R3

dont les matrices dans la base canonique

sont respectivement



 1 0 0 M =  0 0 −1  0 1 2 Vérier que Déterminer

Exercice 1601 matrice

 0 1 1 N =  −1 1 −1  1 1 3

f ◦ g = g ◦ f et déterminer les sous-espaces propres de M et N . 3 une base de R dans laquelle les matrices de f et g sont diagonales.

Soient

A ∈ M4 (R)

et

B ∈ M3 (R).

Soit

f

l'endomorphisme

associé à la

A.



 5 3 −1 3  0 −1 1 2   A=  0 2 1 2  0 0 0 1 1.

et



Uniquement propre de

A,

Exercice 1603

 5 3 −1 B =  0 −1 1  0 2 1

A, trouver f −stables.

en examinant la matrice puis deux sous-espaces

2. Que représente la matrice

Exercice 1602



Soit

On note

a0 = det(u)

mêmes valeurs propres.

u

et

v

et un vecteur

B?

u ∈ End(E).

Soient

deux valeurs propres

χu = (−1)n X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 .

et

Montrer que

an−1 = (−1)n−1 tr(u)


E.

Montrer que

u◦v

et

v◦u

ont les


214

Exercice 1604

Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent, c'est à dire tels que u ◦ v = v ◦ u. On suppose que v admet n valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une base de E , formée de vecteurs propres communs à u et à v . n En déduire qu'il existe (a0 , . . . , an−1 ) ∈ K tel que u = a0 id + a1 v + · · · + an−1 v n−1

Exercice 1605

On considère les matrices suivantes :

 1 0 0 −1 −1 −1 0 1   A= −2 0 0 2  0 −1 0 0



 1 0 0 −1 −1 −1 0 1  B= −1 −1 1 3 −1 0 −1 −1



 0 −1 0 0 0 0 0 0  C= 1 1 1 1 −1 0 −1 −1

En eectuant le moins de calculs possible, 1. montrer que et déterminer les

{0} ⊂ Ker A ⊂ Ker A2 ⊂ Ker A3 = R4 2 dimensions respectives de Ker A et Ker A ,

2. déterminer un vecteur

e1

R4 = Ker A2 ⊕ Vect(e1 ),

tel que

3. montrer que

(e1 , Ae1 , A2 e1 )

est une famille libre,

4. montrer que

Ae1 ∈ Ker A2 ,

et que

5. montrer que

A2 e1 ∈ Ker A

Ker A2 = Ker A ⊕ Vect(Ae1 ),

et déterminer un vecteur

e2

tel que

Ker A = Vect(A2 e1 ) ⊕

Vect(e2 ), 6. montrer que 7. Soit −1

P

P la AP .

(e1 , Ae1 , A2 e1 , e2 )

R4 .

matrice de passage de la base canonique à la base

Adapter ce travail à l'étude de

Exercice 1606

est une base de

Soit

J

B

(A2 e1 , Ae1 , e1 , e2 ).

C

et

la matrice

  1 ··· 1  . . J =  ... . 1 ··· 1 . 1. Trouver une relation entre

J

J 2.

et

2. En déduire les valeurs propres de

J

et calculer leurs multiplicités.

3. Donner le polynôme caractéristique de

Exercice 1607

Soient

A

et

B

J.

deux matrices de

Mn (R)

telles que

AB − BA = A Le but de cet exercice est de montrer que

A

est nilpotente, c'est à dire

∃k ∈ N, Ak = 0. On note

E

l'espace vectoriel

Mn (R)

et on considère l'application :

ψ 1. Montrer que

ψ

est linéaire de

2. Montrer par récurrence que :

E

E → E M 7→ M B − BM dans

E.

∀k ∈ N ψ(Ak ) = kAk .

Caluler

34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation ∀k ∈ N, Ak 6= 0.

3. On suppose que

Montrer que

ψ

215

a une innité de valeurs propres.

4. Conclure.

Exercice 1608 ractéristique de

Exercice 1609 non nuls de

E

M

Soit

M.



 1 1 0 M = −1 0 0 . 2 0 −1

la matrice suivante :

En déduire

Calculer le polynôme ca-

M −1 .

f un endomorphisme de E = Cn . Soit π1 , ..., πN des endomorphismes tous λ1 , ..., λN N nombres complexes distincts. On suppose que :

Soit

et

∀m ∈ N f

m

=

N X

λm k πk .

k=1

P P (f ) = N k=1 P (λk )πk Q Q = 16k6N (X − λk ) et

∀P ∈ C[X],

1. Montrer que

On considère le polynôme nômes suivants :

Y

Qp =

(X − λk )

pour chaque

˜p = Q

et

16k6N k6=p 2. Calculer

Q(f ).

Qu'en déduit-on pour

3. Montrer que

Sp(f ) ⊂ {λ1 , ..., λN }

4. Montrer que

˜ p (f ) = πp . Q

5. Calculer On note

f ◦ πp . Ep

q 6= p

Im πp ⊂ Ep .

πp ◦ πq =

7. En déduire que

1 Qp Qp (λp )

0 si p 6= q πp si p = q

Sp(f ) = {λ1 , ..., λN }. λp .

x ∈ Ep ,

Réciproquement, pour

(on calculera par exemple

En déduire que

Exercice 1610

l'espace propre associé à la valeur propre

6. Montrer que

les poly-

f?

Vérier alors que

En déduire que

p ∈ {1, ..., N }

πq ◦ f (x)

x ∈ Ker πq pour puis que x = πp (x).

montrer que

de deux façons diérentes)

Ep ⊂ Im πp . Im πp = Ep

et que

Ker πp =

L

q6=p

Eq .

Décrire géométriquement

πp .

On considère l'application suivante :

Rn [X] → Rn [X] P 7→ (X 2 − 1)P 0 − 2(nX + a)P

f:

Vérier que cette application est bien dénie. Déterminer ses valeurs propres, et les espaces propres associés.

Exercice 1611 n

Soit

E


valeurs propres distinctes

2.

(a) Soit

v

u

Com = {v ∈ L(E, E)/uv = vu}

des endomorphismes de

E

qui

est un espace vectoriel.

un élément de

à dire que si

ayant

{λ1 , ..., λn }.

1. Montrer que l'ensemble commutent avec

n et u un endomorphisme de E

Eλ

Com.

Montrer que

est un espace propre de

v u

u

(c'est

on a

∀x ∈

préserve les espaces propres de associé à la valeur propre

λ,

Eλ , v(x) ∈ Eλ ). (b) Donner la dimension des espaces propres de propre de

u

u

et montrer que si

alors c'est aussi un vecteur propre de

v.

x

est un vecteur


216

(c) A l'aide d'une base convenablement choisie, décrire tous les éléments de montrer que 3. Montrer que

Com

est de dimension

Com,

et

n.

Vect(id, u, u2 , ..., un−1 ) ⊂ Com.

4. On veut maintenant étudier l'indépendance linéaire de la famille Pn i cela, on considère n réels α0 , ..., αn−1 tels que i=0 αi u = 0.

{id, u, u2 , ..., un−1 }. Pour

(αi ) sont solution du système :   α0 + α1 λ1 + α2 λ21 + ... + αn−1 λn−1 = 0 1    α0 + α1 λ2 + α2 λ2 + ... + αn−1 λn−1 = 0 2 2 (∗) . . . . . . . . . .  . . . . .    α + α λ + α λ2 + ... + α λn−1 = 0 0 1 n 2 n n−1 n

(a) Montrer que les

(b)

1 λ1 λ2 ... λn−1 1 1 1 λ2 λ2 ... λn−1 Q 2 2 On rappel que : . (λj − λi ). En déduire l'ensemble des . . . = . . .. .. . . 16i
5. Montrer que

Com = Vect(id, u, u2 , ..., un−1 ).

[Exercice corrigé]

Exercice 1612

34.2 Diagonalisation e1 , e2 , e3 formant une base de R3 . On note T T (e1 ) = T (e3 ) = e3 et T (e2 ) = −e1 + e2 + e3 .

Soient trois vecteurs

linéaire dénie par

1. Déterminer le noyau de cette application linéaire. Donner la matrice

A

de

T

l'application

dans la base

donnée.

f1 = e1 − e3 , f2 = e1 − e2 , f3 = −e1 + e2 + e3 . Calculer e1 , e2 , e3 f1 , f2 , f3 . Les vecteurs f1 , f2 , f3 forment-ils une base de R3 ?

2. On pose

3. Calculer

T (f1 ), T (f2 ), T (f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 . Écrire la matrice B

en fonction de

de

T

dans cette

nouvelle base.

4.



 1 1 −1 0 −1 1  . On pose P =  −1 0 1 −1 relation relie A, B, P et P ?

Vérier que

P

est inversible et calculer

P −1 .

Quelle

Exercice 1613

Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et de base (e1 , e2 , e3 ). On désigne IE l'application identité de E . Soit f une application linéaire de E dans E telle que f (e1 ) = 2e2 + 3e3 , f (e2 ) = 2e1 − 5e2 − 8e3 , f (e3 ) = −e1 + 4e2 + 6e3 .

par

1. Donner la matrice de

f

dans la base

(e1 , e2 , e3 ).

2. Donner la dimension et une base de

Ker(f − IE ).

3. Donner la dimension et une base de

Ker(f 2 + IE ).

4. Montrer que la reunion des bases précédentes constitue une base de E. Quelle est la 2 matrice de f dans cette nouvelle base ? Et celle de f ?

Exercice 1614 dans

E.

Soit

E


n

et

f


E

34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation f2 = 0

217

Imf ⊂ Kerf . Quelle condition vérie f 2 = 0. 2. Soit F un supplémentaire de Kerf dans E et soit (e1 , . . . , er ) une base de F . Montrer que la famille des vecteurs (e1 , . . . , er , f (e1 ), . . . , f (er )) est libre. Montrer comment la compléter si nécessaire par des vecteurs de Kerf pour obtenir une base de E . Quelle est la matrice de f dans cette base ? 3. Sous quelle condition nécessaire et susante a-t-on Imf = Kerf ? 3 3 4. Exemple. Soit f une application linéaire de R dans R de matrice dans la base canonique   1 0 1 M (f ) =  2 0 2 . Montrer que f 2 = 0. Déterminer une nouvelle base dans −1 0 −1 laquelle la matrice de f a la forme indiquée dans la question 2). 1 4 Soit A = . Trouver les valeurs propres de A et les sous-espaces 2 3 −1 propres correspondant. En déduire une matrice inversible P telle que P AP soit diagonale.   4 1 −1  2 5 −2  . Diagonaliser A. Soit A = 1 1 2   1 1 1 Soit A =  1 1 1  . Trouver, sans calculer le polynôme caractéristique, 1 1 1 les valeurs propres de A. Cette matrice est-elle diagonalisable ? 1. Montrer que la condition alors le rang de

f?

est équivalente à

On suppose dans la suite que

Exercice 1615

Exercice 1616

Exercice 1617

Exercice 1618

On considère les matrices suivantes



     3 1 1 1 2 2 1 1 0 A =  2 4 2  B =  1 2 −1  C =  0 1 0  1 1 3 −1 1 4 0 0 1

Ces matrices sont-elles diagonalisables ? Si oui, les réduire.

Exercice 1619

Soit n un entier strictement supérieur à 1. Soit A une matrice n × n telle An = 0 et An−1 6= 0. Soit x0 un vecteur de Rn tel que An−1 x0 6= 0. Montrer que n (x0 , Ax0 , A2 x0 , · · · , An−1 x0 ) est  une base de R. Comment s'écrit la matrice A dans cette base ? 2 1 2  −1 −1 −1  . Calculer A3 et donner une base de R3 dans Application : on pose A = −1 0 −1 laquelle A a une forme simple. que

Exercice 1620

On considère la matrice



 3 2 1 M =  −1 0 −1  −1 −1 1

Est-elle diagonalisable ? Justier. Écrire alors

Exercice 1621 base canonique

T l'application (e1 , e2 , e3 ) de R3 : Soit

M

linéaire de



sous une forme plus simple.

R3

dans

 1 2 0 A = 1 3 −1. 1 −1 3

R3

dénie par sa matrice

A

dans la

34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation 1. Donner un base de Ker 2.

T

et ImT .

(a) Calculer le polynôme caractéristique de

T

(b) Justier, sans calcul, que blable à

A

T,

soit diagonalisable et écrire une matrice diagonale sem-

R3

formée de vecteurs propres de

f1 = −2e1 + e2 + e3 , f2 = e1 + e2 + e3

et

(f1 , f2 , f3 ) est une base (e1 , e2 , e3 ) à la base (f1 , f2 , f3 ).

R3

(a) Justier que base

(b) Calculer

4. Quelle relation relie



f3 = 2e1 + 3e2 − e3

D

de

T

A3 , D 3 , P

dans la base et

P −1 ?

et écrire la matrice

(f1 , f2 , f3 )

En déduire

  3 −3 −4 −1 0 2 0 −1   2 −4 −3 0  0 2 0 −1

2 −1 1 1 0 −1 2 −2 1


Soit

u

u

.



1 0 0 1 1 −1  2 −1 1 3 −1 −1

(a, b, c) ∈ C2

 0 1  1 3

la matrice



3 4  0 0  1 0 A = 0 0

−1 −1 0 0 a 1 0 0

 7 −14 7 −15  3 −4  2 −3  1 0 b 2  est-elle 2 c 0 2

A.

R2 [X] → R2 [X] P 7→ (2X + 1)P − (X 2 − 1)P 0

est bien dénie et linéaire. Déterminer les valeurs propres de

possible, diagonaliser

Exercice 1625 ¯

de passage de la


u: Montrer que

P

R3 .

A3 .

diagonalisable ? On ne cherchera pas à réduire explicitement

Exercice 1624

trois vecteurs de

Lorsque c'est possible, diagonaliser les matrices suivantes :



Exercice 1623

de

T.

P −1 .

(c) Ecrire la matrice

Exercice 1622

puis ses valeurs propres.

.

(c) Calculer une base de 3. Soient

218

u,

et, si c'est

u.

A ∈ Mn (R). Montrer que si λ est une valeur propre complexe de A, alors λ est aussi une valeur propre de A. De même, montrer que si x est un vecteur propre complexe de A, alors x ¯ (où x¯ désigne le vecteur dont les composantes sont les conjuguées des composantes de x) est aussi un vecteur propre complexe de A.   −1 1 0 −1 1 . Diagonaliser A =  0 1 0 −1   t 1 ··· 1 . ..  . . . 1 t Soit At la matrice At =  . Sans calculer le polynôme carac. . . ..  .. . . 1 1 ··· 1 t téristique de At , montrer que (t − 1) est valeur propre. Déterminer l'espace propre associé. Que dire de la multiplicité de la valeur propre (t − 1) ? En déduire le spectre de At . At est-elle

Exercice 1626 diagonalisable ?

Soit


Exercice 1627


sables ?

a, b

et

c

les matrices suivantes sont-elles diagonali-



 1 a 1 0 1 b  0 0 c

Exercice 1628

à dire tels que (resp. de

v ),

et



 0 0 a 0 0 b  a b c

Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables de E , qui commutent (c'est u ◦ v = v ◦ u). On note λ1 , . . . , λp (resp. µ1 , . . . , µq ) les valeurs propres de u F1 , . . . , Fp les espaces propres associés (resp. G1 , . . . , Gq ).

1. Montrer que chaque

Gj

(resp.

Hij = Fi ∩ Gj . (Hij )16j6q .

2. On pose espaces

219

Soit

Fi ) est stable par u (resp. v ) (c'est à dire que u(Gj ) ⊂ Gj ). i ∈ {1, . . . , p}.

Montrer que

Fi

est la somme directe des

3. En déduire l'énoncé suivant : Lorsque deux endomorphismes diagonalisables mutent, il existe une base formée de vecteurs propres communs à termes,

u

Exercice 1629

v

et

u

et à

v

u

et

v

com-

(en d'autres

sont diagonalisables simultanément dans la même base).

Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les

réduire.



 3 −1 1 A1 = 2 0 1 1 −1 2


f

Soit

f:

 3 2 −2 A2 = −1 0 1  1 1 0

P (f )

 13 −5 −2 A3 = −2 7 −8 −5 4 7

P0

E

et

P

un

est diagonalisable.

un polynôme de

Rn [X],

et

f


Rn [X] → Rn [X] P 7→ R =

reste de la division euclidienne de

A l'aide d'un polynôme annulateur de

Exercice 1632



un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel

polynôme. Montrer que Soit



Soit

α

et

β

f,

montrer que

deux réels, et

A

f

P

par

P0

est diagonalisable.

la matrice suivante :



 1 −α −α 1 1 − β α α − 1 −β   A=  β −α 1 − α 1 + β  0 α α 0 α et β , A est-elle diagonalisable ? β = 0. Vérier que A(A − I) = 0. En

A quelle condition sur On suppose

α=0

Exercice 1633

sur

et

déduire

An

et

(A + I)−1

.

Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur

C?

Lorsqu'elles sont diagonalisables, donner une matrice diagonale semblable.

 3 1 A= 2 1

 2 −1 −2 3 −1 −1  2 0 −2 2 −1 0

Réduire explicitement

A

et

C.



 1 2 −1 1 1 1 1 −1  B= 3 −4 5 −3 0 0 0 2



 −1 0 1 C =  1 −1 0 −4 2 2

R

et


Exercice 1634 nie

n,

tel que

On considère un endomorphisme

f2

f

1. On suppose que et

d'un

espace vectoriel

C

E

de dimension

est diagonalisable. Le but de cet exercice est de démontrer que :

f A,

f

220

E1 , ..., Er

⇔ Ker f = Ker f 2

est diagonalisable

est diagonalisable. On note

α1 , ..., αr

les valeurs propres (distinctes) de

les espaces propres associés.

(a) Montrer que si

Ker f = {0}

alors

Ker f 2 = {0}.

Ker f 6= {0}. On note αα1 , ..., ααr les autres valeurs f , et E0 , ..., Er ses espaces propres. En utilisant que E = E0 ⊕E1 ⊕...⊕Er , 2 2 que si f (x) = 0 alors f (x) = 0. En déduire que Ker f = Ker f .

(b) On suppose maintenant que propres de montrer

2. On suppose que

Ker f = Ker f 2 .

(a) Montrer que si i. Soit

µ

est une valeur propre de

f,

alors

µ2


f 2.

λ une valeur propre non nulle de f 2 , et µ et −µ ses deux racines complexes.

Montrer que

Ker(f − µid) ⊂ Ker(f 2 − λid)

et que

Ker(f + µid) ⊂ Ker(f 2 − λid).

ii. Montrer que

Ker(f 2 − λid) = Ker(f − µid) ⊕ Ker(f + µid) (remarquer que

∀y ∈ Ker f 2 y =

(b) Montrer (avec soin) que

Exercice 1635

f

1 ((f 2µ

+ µid)(y) − (f − µid)(y))).

est diagonalisable.

La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Eectuer expli-

citement la réduction.



 3 2 4 A = −1 3 −1 −2 −1 −3

[Exercice corrigé]

Exercice 1636

Soit

J =

polynôme annulateur de

A,

1

1 2 2 1 1 2 2

et

A =

montrer que

A

0 J

J 0

. Calculer

A,

A,

φA : φA

A l'aide d'un

puis donner les valeurs valeurs propres elles mêmes ainsi que

On considère une matrice

1. Montrer que

A3 .

donner un ensemble ni contenant

leurs multiplicités. En déduire le polynôme caractéristique de

Exercice 1637

puis

est diagonalisable.

Sans chercher à calculer le polynôme caractéristique de toutes les valeurs propres de

A2 ,

A ∈ Mnn (C)

A. [Exercice corrigé]

et l'application

φA

dénie par :

Mnn (C) → Mnn (C) B 7→ AB

est linéaire.

Le but de l'exercice est de montrer que

φA

est diagonalisable si et seulement si

A

est

diagonalisable.

φ2A (B), P (φA ) = φP (A) .

2. Calculer

φkA (B)

pour

k ∈ N.

En déduire que si

P

est un polynôme, alors

P est un polynôme annulateur de A si et seulement si P φA .

3. En déduire que annulateur de

puis

est un polynôme

34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation φA

4. Montrer que

Exercice  1638

n

A


221

A

(a1 , ..., an ) ∈ Cn

nombres complexes



l'est.

avec

a2 6= 0,

on associe la matrice

a1 a2 · · · an  a2    An =  . . . .  an

0

An .

1. Quel est le rang de

Qu'en déduit-on pour le polynôme caractéristique

2. Calculer

χ2 , χ3 .

3. On pose

bn = a22 + · · · + a2n .

4. Si

bn = 0, An

5. Si

bn 6= 0,

Exercice 1639

Par récurrence, montrer que

χn

de

An ?

χn = (−X)n−2 (X 2 − a1 X − bn ).

est-elle diagonalisable ?

à quelle condition

Soit

A

An

la matrice




 1 −1 −1 A = −1 1 −1. −1 −1 1

Calculer

t

A.

La matrice

A

est-elle

diagonalisable ? Trouver une matrice

Exercice 1640 que

up = 0

Soit

orthogonale telle que

E


p. Quelles n que u = 0.

pour un certain entier

est-il diagonalisable ? Montrer

Exercice 1641

P −1 AP

P

soit diagonale.

u un endomorphisme de E tel u. A quelle condition u

sont les valeurs propres de

Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonali-

sables, triangularisables ?



 3 0 0 A = 2 2 0 1 1 1 B,

A l'aide du polynôme caractéristique de

[Exercice corrigé]

Exercice 1642 1. Calculer

Soit

t

A.

A

la matrice

La matrice

2. Diagonaliser

A.

3. Diagonaliser

A

A



 2 −2 1 B =  3 −3 1 −1 2 0 calculer

B −1 .



 1 −1 −1 A = −1 1 −1. −1 −1 1


dans une base orthonormée (pour le produit scalaire usuel de

R3 ).

[Exercice corrigé]

Exercice 1643

Dans l'espace vectoriel

u : 1. Ecrire la matrice 2.

R3 [X],

on considère l'application linéaire suivante :

R3 [X] → R3 [X] P 7→ P (0)X 3 + P 0 (0)X 2 + 12 P 00 (0)X + 16 P 000 (0) A

de

u

dans la base canonique. Calculer

A2 .

u est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de R3 [X] formée de vecteurs propres de u.


Exercice 1644

et l'application

Tα

suivante :

R[X] → R[X] P 7→ X(X − 1)P 00 + (1 + αX)P 0

Tα :

n > 0, la restriction de Tα

1. Montrer que pour tout entier de

α

On considère un réel

222

à

Rn [X] déni un endomorphisme

Rn [X].

n = 3. 2 3 (a) Ecrire la matrice de Tα dans la base (1, X, X , x ). (b) Déterminer les valeurs propores de Tα . On les note λ0 , λ1 , λ2 , λ3 . (c) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles Tα a des valeurs propres multiples. (d) Donner un vecteur propre de Tα pour chaque valeur propre, lorsque α = −1, puis α = −4. L'endomorphisme T−4 est-il diagonalisable ? On suppose maintenant n > 3. 2 n (a) Ecrire la matrice de Tα dans la base (1, X, X , ..., X ). (b) Déterminer les valeurs propores de Tα . On les note λ0 , λ1 , ..., λn . (c) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles Tα a des valeurs propres multiples. Dans

2. On suppose pour cette question que

3.

chaque cas, donner la liste des valeurs propres avec leurs multiplicités

Ker Tα et de Im Tα lorsque α ∈ / {1 − n, ..., −1, 0}. α = −1, puis α = 0. L'endomorphisme T0 est-il diagonali-

(d) Déterminer la dimension de

Ker Tα

(e) Déterminer

pour

sable ?

α = p − 1 avec p ∈ {1, ..., n}, donner un polynôme P de degré inférieur ou tel que Tα (P ) = 0. En déduire Ker Tα . Préciser sa dimension. λk une valeur propre simple de Tα . Donner un vecteur propre de Tα associé à

(f ) Lorsque

n

égal à (g) Soit

λk .

Exercice 1645 f Exercice 1646 ment si

Soient

Rn

f∈

euclidien,

est une symétrie orthogonale.

n

. Montrer que

f

est diagonalisable si et seule-

Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes :



0

0

a1

 .. . .  . A= .  0 ... a1 . . .

. . .

. . .

0

an−1 an

Peut-on déterminer

a, b

an−1

tels que

Montrer que si Soit

f

B





...


O (R)

a

    b  , ai ∈ R; B =   

b ..

.

..

.

..

.

..

.

b



   , a, b ∈ R. b  a

soit la matrice d'un produit scalaire ?

A est une matrice symétrique réelle, alors A + iI

un endomorphisme de

C

3

est inversible.

dont la matrice par rapport à la base cano-

nique est :



 2 −1 1 M =  −1 k 1  , 1 1 2

où

k ∈ C.

(a) Déterminer, suivant les valeurs de k, la dimension du noyau de f . (b) Montrer que M admet une valeur propre réelle entière indépendante de k, et calculer toutes les valeurs propres de

(c)

M.

Indiquer toutes les valeurs de

Pour quelles valeurs de ces

k

k

pour lesquelles on obtient des valeurs propres multiples.

la matrice

M

est-elle semblable à une matrice diagonale ?


Exercice 1649

1. Montrer que 2. Calculer sur

A ∈ Mn (R)

Soit

n

est pair,

223

A2 = −I.

telle que

n = 2p.

SpR (A) et montrer SpC (A) = {i, −i}. Pour quelle raison A est elle diagonalisable

C? {y1 , . . . yk } est une base de Ei , alors {y1 , . . . yk } est une base de E−i . Quelle valeur de k ?

3. Montrer que si est donc la

A

4. Démontrer que

chacun des blocs diagonaux est

Exercice 1650

M n (R)) à une 0 −1 . (on pourra 1 0

est semblable (dans

M

Soient

N ∈ Mn (K).

et

On note

matrice diagonale par blocs dont utiliser la question 3.)

ϕM ∈ L(Mn (K))

l'application

N 7→

M N − N M. 1. Soient

A=

3 −4 2 −3

et

B=

1 2 . 0 1

Diagonaliser

A

et montrer que

B

n'est pas diago-

nalisable.

N

est un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle λ de ϕM k k k est nilpotente. (on pourra établir que pour tout k ∈ N : M N − N M = kλN .)

2. Montrer que si alors

N

3. Montrer que l'identité n'appartient pas à l'image de 4. Soit

6. Etablir la réciproque lorsque

Exercice 1651 lorsque

ϕM .

(utiliser la trace.)

1 0 . Diagonaliser ϕD puis ϕA . Montrer que ϕB 0 −1 que si M est diagonalisable, ϕM est diagonalisable.

D=

5. Montrer

Soit

M

n'est pas diagonalisable.

a au moins une valeur propre.

E un K-espace vectoriel. Une application p ∈ L(E) est nommée projecteur

p2 = p.

1. Montrer que si

p est un projecteur 1−p est un projecteur. Montrer que Im (p)⊕Ker(p) = E. K = R.

2. On suppose que

Soient

p

et

q

deux projecteurs tels que

p+q

soit aussi un

projecteur. Montrer que : (a)

pq = qp = 0.

(b) Im (p

+ q) = Im(p) + Im(q).

(c) Ker (p

+ q) = Ker(p) ∩ Ker(q).

On suppose désormais

E

de dimension nie et

K = R.

3. Montrer que tout projecteur est diagonalisable et que deux projecteurs sont semblables si et seulement si ils ont même trace. 4. Montrer que toute matrice diagonalisable est combinaison linéaire de projecteurs.

Exercice 1652 note

E un K-espace vectoriel de dimension nie, P ∈ K[X] et u ∈ L(E). On P (Sp(u)) = {P (λ); λ ∈ Sp(u)}. Soient

1. On suppose que

u

est diagonalisable. Montrer que

2. Montrer, dans le cas général, 3. Lorsque

P (Sp(u)) = Sp(P (u)).

P (Sp(u)) ⊂ Sp(P (u)).

K = C montrer que Sp(P (u)) ⊂ P (Sp(u)). Ce résultat est-il vrai lorsque K = R ?

Exercice 1653

Soit

E

diagonalisable. Montrer

K-espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E) telle que f 2 2 que f est diagonalisable si et seulement si Ker (f ) = Ker (f ). un

soit


Exercice 1654 {e1 , e2 , e3 }

de

Soit

f ∈ L(R3 )

224

déterminée par sa matrice



 1 1 1 M =  1 1 1 −1 1 1

dans une base

R3 .

1. Montrer que

M

est diagonalisable.

f

2. Montrer que la restriction de

a tout sous-espace stable est diagonalisable.

R3

3. En déduire tous les sous-espaces de

Exercice 1655 ϕ Exercice 1656

Soit

M ∈ Mn (K)

et

M est diagonalisable si et seulement Soit

E

un

K-espace

f.

stables par

ϕM ∈ L(Mn (K)) l'application N 7→ M N . Montrer que si M est diagonalisable. (utiliser le polynôme minimal.) f ∈ L(E)

vectoriel de dimension nie et

diagonalisable.

Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

{id, f, f 2 , . . . , f n−1 } est libre. 2 n−1 (ii) Il existe x ∈ E : {x, f (x), f (x), . . . , f (x)} (iii) Les valeurs propres de f sont simples. (i) La famille

Exercice 1657

Soit

ρ

l'application de

reste de la division euclidienne de 1. Montrer que

ρ

2. Montrer que

ρ2 = ρ.

P

engendre

R4 [X] dans (X 2 − 1).

E.

lui-même qui à un polynôme

En déduire que

Soit

f

ρ

est diagonalisable.

ρ.

R3 , dont la matrice dans la base canonique {e1 , e2 , e3 }   3 2 −2 A =  −1 0 1  1 1 0

l'endomorphisme de

est

1. Calculer les valeurs propores de 2. Calculer

associe le

est linéaire.

3. Déterminer (de préférence sans calcul) une base de vecteurs propres pour

Exercice 1658

P

par

(A − I)2 .

En déduire

A.

An ,

L'endomorphisme

f

est-il diagonalisable ?

en utilisant la formule du binôme de Newton.

2

P (X) = (X − 1) et Q ∈ R[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de Q 0 0 par P en fonction de Q(1) et Q (1), où Q est le polynôme dérivé de Q. En remarquant que P (A) = 0 (on dit alors que P est un polynôme annulateur de A) et n en utilisant le résultat précédent avec un choix judicieux du polynôme Q, retrouver A .

3. Soient

R3 par l'endomorphisme (A−I) est un sous-espace de dimension 1, dont on désignera une base par ε2 . Déterminer ensuite un vecteur ε3 tel que f (ε3 ) = ε2 +ε3 . ˜, la matrice de f dans Soit enn ε1 , un vecteur propre de f , non colinéaire à ε2 . Ecrire A −1 n la base {ε1 , ε2 , ε3 }, ainsi que la matrice de passage P et son inverse P . Retrouver A .

4. Montrer que l'image de

Exercice 1659 f Exercice 1660 trer que

Soit

f

un automorphisme d'un


2

n, B = (e1 , ..., en )

E

vectoriel

K

désigne

ou

R

est une base xée de

E. 1. Quels sont les valeurs propres de l'endomorphisme nul de 2. On suppose que la matrice de (a) 2 est-il valeur propre de

f f?

dans

B

est

de dimension nie. Mon-

est diagonalisable.


vectoriel de dimension nie de

f

C-espace

M=

E?

3 2 4 −1 3 −1 −2 −1 −3

.

E

C, E est un K -espace f un endomorphisme

et


225

2e1 + e2 + e3 est-il un vecteur propre de f ? vecteur de E ne peut-il être vecteur propre relativement

(b) Le vecteur 3. Pourquoi un

à deux valeurs

propres distinctes ? 4.

(a) Est-il vrai que si de

f

alors

λ

λ


est racine de

λ est une racine d'un valeur propre de f ? 2 Montrer que si f − 2f + IdE = 0 alors 1 est

P

est un polynôme annulateur

polynôme annulateur de

alors

λ

est une

de

E

α

tel que

est bijectif.

n = 2 tel que la somme de deux vecteurs propres de f n'est pas un vecteur propre de f . On suppose que E = E1 ⊕ E2 et que si x ∈ E s'écrit x1 + x2 avec x1 ∈ E1 et x2 ∈ E2 alors f (x) = 2x1 − 3x2 .

7. Donner un exemple d'endomorphisme

f

f. f − αIdE

f

valeur propre de

6. Montrer qu'il existe toujours au moins un scalaire

8.

et si

P?

(b) Est-il vrai que si

5.

f

avec

(a) Quel résultat assure l'existence d'un tel endomorphisme ?

f

(b) Montrer que 9. La matrice

est diagonalisable.

1 0 1 0 1 0 0 0 1

M=

10. Si l' endomorphisme

f


admet 0 pour valeur propre et est diagonalisable, que peut-on dire

de la dimension du noyau de

Exercice 1661

f?

Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes et le cas échéant, les

diagonaliser : 1.

A=

2.

B=

3.

C=

−2 1

1 8 1 −5 ∈ M3 (R), 4 3 −3 ! 1 −1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 −1 2 0 1 ∈ M5 (R), 0 0 0 1 −2 2 −3 0 0 0 0 1 0 0 1 k 1 1 ∈ M4 (C), k ∈ C. 0 1 0 0 0 1 0 0

Exercice 1662

Soient

A ∈ Mn (K)

telle que tr (A)

6= 0

et

f : Mn (K) → Mn (K), M 7→ tr(A)M − tr(M )A. 1. Montrer que 2. Montrer que de

f est un endomorphisme de Mn (K). T = {M ∈ Mn (K) : tr(M ) = 0} et vect (A)

3. En déduire que

Exercice 1663 Exercice 1664 

f

est diagonalisable et écrire la matrice réduite de

2.

f.

Montrer que si le polynôme minimal d'un endomorphisme

vectoriel de dimension nie admet une racine

1.

sont des sous-espaces propres

f.

λ∈K

alors

λ

d'un

est valeur propre de

Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes

 3 2 4 A =  −1 3 −1  ∈ M3 (R), −2 −1 −3   0 ... 0 1  .. . .  . .   . . B= .  ∈ Mn (R), n > 2,  0 ... 0 1  1 ... 1 0

f

f.

K -espace


Exercice 1665 de rang

E

Soient

un

K -espace

226

n


f

et

E

un endomorphisme de

1.

1. Montrer que si

f

est diagonalisable alors tr (f )

2. Montrer qu'il existe

λ∈K

6= 0.

tel que le polynôme cararactéristique de

f

s'écrive

χf = (−1)n X n−1 (X − λ). 3.

f

(a) Montrer que

est diagonalisable si et seulement si tr (f )

A=

(b) Réduire sans calcul la matrice

1 1 −1 −2 −2 2 1 1 −1

6= 0.

∈ M3 (R)

et donner sans calcul les

sous-espaces vectoriels propres.


Soient les matrices

Y ∈ M3 (R)

Y

(b) En déduire que 2.

A

(a) Montrer que


E

Soient

f

D

Y

est diagonale puis déterminer

un

X ∈ M3 (R)

C-espace

1. Calculer

de l'équation

2

ker(f − µ

f 2

2

n

et

f

un endomorphisme de

est diagonalisable et rg (f )

IdE )

E.

2

= rg(f ).

= ker(f − µIdE ) ⊕ ker(f + µIdE ).

ker(f ) = ker(f 2 ). f2

est diagonalisable. Montrer que

est diagonalisable.

A=

O −In In 0

La matrice

A


On considère la matrice par blocs

f

A.

E

On désigne par

∈ M2n (C).

l'espace vectoriel des polynôme s à coecients réels, et par

le sous-espace des polynôme s de degré au plus

1. Montrer que pour tout linéaire de

E

dans

2. On considère

∆2 .

X 2 = A.

A2 .

Exercice 1669 de

∈ M3 (R).

Y.


2. Rechercher les éléments propres de

En ,

= rg(f 2 ).

(b) On suppose en outre que

Exercice 1668

4 0 0 0 3 0 0 0 1

est diagonalisable.

Montrer que

3. On suppose rg (f ) (a) Montrer que

commutent.

est diagonalisable alors

µ ∈ C \ {0}.

∈ M3 (R), D =

et

(b) En déduire les solutions

Exercice 1667

4 0 0 2 3 0 −1 0 1

Y 2 = D.

telle que

(a) Montrer que

A=

∆2 ,

E.

x

R, ∆P (x) = (x + 1)P 0 (x) + 2P (x) dénit une est le degré de ∆P lorsque P appartient à En ?

dans

Quel

∆

la restriction de

L'endomorphisme

n.

∆2

au sous-espace

E2 .

application

Déterminer les valeurs propres

est-il diagonalisable ? Est-ce que

∆2

est un isomorphisme ?

3. En utilisant la dénition des valeurs propres, calculer les valeurs propres et les polynôme s propres de

Exercice 1670 u A = (αi,j )

phisme

de

où

∆. a = (a1 , a2 , . . . , an ) de Rn , on considère l'endomorbase canonique {eij , i, j = 1, 2, . . . , n} est la matrice

Pour tout élément non nul

n

R dont la matrice αi,j = ai aj .

dans la

1. Déterminer le noyau et l'image de

u.

2. En déduire les sous-espaces propres de morphisme

u

u.

est-il diagonalisable ?

3. Quel est le polynôme caractéristique de

u?

Déterminer les valeurs propres de

u.

L'endo-


Exercice 1671

Soit

B

une matrice diagonalisable

de

227

Mn (R).

On dénit son rayon spectral

par

ρ(B) = max {|λ| 1. Montrer que

λ

avec

est une valeur propre

limk−→+∞ B k = 0.

2. En déduire que

I −B

est inversible et que

+∞ X

(I − B)−1 =

Exercice 1672 (Endomorphisme diagonalisable de R ) E = R2

dont la matrice représentative

A = [a]ee

Bk.

k=0

2

de

B} .

de

a .

On considère l'endomorphisme

e

dans la base canonique

Calculer la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique et le spectre de

f = (f~1 , f~2 )

est

7 −10 5 −8

a. Quel théorème Choisir ensuite f

du cours garantit l'existence d'une base de vecteurs propres ? e f ~1 et f~2 , en prenant des unités telle que [idE ]f et [idE ]e soient à coecients entiers. Dessiner f d'axes assez petites. Dessiner quelques vecteurs ~ x et leurs images a(~x) à l'aide de f . Trouver deux matrices P et A = P DP −1 . Calculer [a50 ]ff ,

[Exercice corrigé]

D carrées d'ordre 2 telles que D soit 1 2n [a50 ]ee et A50 . Calculer limn∞ 32n a .

Exercice 1673 (Endomorphisme d'un espace de matrices)

diagonale,

Soit

K

P

inversible et

un corps commutatif

F = Mn (K) l'espace vectoriel sur K des matrices carrées d'ordre n à Si i et j sont des entiers compris entre 1 et n, on note par Fij l'élément de F dont le coecient (i, j) est 1 et dont les autres coecients sont nuls. Montrer que les Fij forment une base de F . Dimension de F ? Soit D dans F et diagonale. Soient α et β dans K et soit l'endomorphisme Φ de F qui à la matrice X fait correspondre la matrice Φ(X) = αXD + βDX. Calculer Φ(Fij ). Φ est il un endomorphisme diagonalisable ? Donner son polynôme caractéristique en fonction des coecients de D et de α et β .

quelconque, et soit coecients dans

K.

[Exercice corrigé]

Exercice 1674 

   A=   

0 1 0 ··· 0 0

Soit

1 0 1 ··· 0 0

0 1 0 ··· 0 0

θ ∈]0, π[. ··· ··· ··· ··· ··· ···

0 0 0 ··· 0 1

Si

PA

det B

0 0 0 ··· 1 0



      ,B =       

A.

2 cos θ 1 0 ··· 0 0

1 2 cos θ 1 ··· 0 0

0 1 2 cos θ ··· 0 0

:

··· ··· ··· ··· ··· ···

0 0 0 ··· 2 cos θ 1

0 0 0 ··· 1 2 cos θ

       

det B =

est le polynôme caractéristique de

les valeurs propres de



n

sin(n+1)θ (Méthode : développer par rapport à la dernière sin θ s'annule pour n valeurs distinctes de θ de ]0, π[, et les déterminer.

Montrer par récurrence que ligne). Montrer que

On considère les deux matrices d'ordre

A,

calculer

PA (−2 cos θ)

et déduire de ce qui précède

Montrer que les valeurs propres des matrices

2In + A

et

2In − A

sont

strictement positives.

[Exercice corrigé]


Exercice 1675 1 1 0 −1 2 1 1 0 1

35.1 Sous-espaces stables f de R3 y + z = 0 est-il

Soit l'endomorphisme

. Le plan

P

d'équation

M = vect {(1, 1, 1)} est-

canoniquement associé à la matrice stable par

f?

La droite

35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions f?

elle stable par

Exercice 1676

f ∈ LR (E) soit F = Im f .

Soit

dimension nie et 1.

f3 + f2 + f = 0

telle que

(a) Montrer que

F

(b) Montrer que

ker f ∩ Im f = {0}. λ ∈ SpR (f )

(a) Montrer que si

(b) En déduire que le rang de

g

de

alors

f

f

F

à

Soient

f ∈ L(E)

dim(E) = n

3. Soit l'endomorphisme

M3 (R).

f

de

est un

R-espace

vectoriel de

f.

est un automorphisme de

F.

est pair (raisonner par l'absurde et étudier les racines

g ).

a ∈ E.

et

E

1. Montrer que le plus petit sous-espace vectoriel de Fa = vect f k (a) : k ∈ N . 2. Montrer que si

E

λ = 0.

réelles du polynôme caractéristique de

Exercice 1677

où

est un sous-espace vectoriel stable par

(c) En déduire que la restriction 2.

228

alors

R3

contenant

a

et stable par

Fa = vect f k (a) : k = 0, ..., n − 1 . a ∈ R3

Fa = R3 .

tel que

est

1 1 −1 −2 −2 2 ∈ 1 1 −1 Généraliser à un endomor-

canoniquement associé à la matrice

Montrer qu'il n'existe pas

f

A =

phisme diagonalisable.

Exercice 1678

phisme de

G

f ∈ L(E), F par f .

Soient

induit

1. Montrer que si

P ∈ K[X]

2. En déduire que si

f


vérie

P (f ) = 0

g

stable par

f

et

g

l'endomor-

P (g) = 0.

alors

est diagonalisable alors

E

est diagonalisable.

3. Application : trouver tous les sous-espaces vectoriels par l'endomorphisme 1 1 −1stables 3 R canoniquement associé à la matrice A = −2 −2 2 ∈ M3 (R). 1 1 −1

Exercice 1679

A A=

diagonalisable ? Réduire 2. Même question pour

Exercice 1680 Exercice 1681 (A ) p∈N Exercice 1682

3 −1 −2 et déterminer

1. Montrer que

A =

2 −1 2 5 −3 3 −1 0 −2

2 4 3 −1 ∈ M3 (R) est trigonalisable. −1 −3 son polynôme minimal.

A

f

de

est-elle

∈ M3 (R).

Quel est le polynôme caractéristique d'un endomorphisme nilpotent d'un

C-

espace vectoriel de dimension nie ?

tr

p

où

Soit

A ∈ Mn (R) et soient λ1 , ..., λn λj , j = 1, ..., n.

ses valeurs propres complexes. Exprimer

en fonction des Soient

et

g


n ∈ N et f (x) = g(x) Dans toute la suite, on suppose g nilpotent.

1. Soit

2.

x ∈ E.

f

Montrer que si

(a) Déduire de 1. que si

f

(b) Déduire de (a) que si 3.

(a) Soit

h ∈ L(E)

(b) Montrer que

est inversible alors

f +g

E

alors

f +g

est inversible alors

nilpotent. Montrer que

det(f + g) = det(f )

tels que

f g = gf .

f n (x) = g n (x).

est inversible.

f

est inversible.

det(h + IdE ) = 1.

(on distinguera selon que

f

est inversible ou non

et on utilisera les questions précédentes.

Exercice 1683

f ◦g =g◦f

et

K -espace vectoriel, f polynôme de K[X].

Soient

P

un

E

un

et

g

des endomorphismes de

E

tels que

35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions 1. Montrer que

P (g)

f

et

229

commutent.

2. Montrer que le noyau et l'image de l'endomorphisme

P (g) sont stables par f . Donner des

cas particuliers de cette situation.

Exercice 1684

E

K -espace vectoriel de dimension nie, f un endomorphisme de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par f. On désigne par g l'endomorphisme de F induit par f sur F . Soient

1. Montrer que Sp (g) 2. Montrer que si celui de

un

⊆ Sp(f ).

P (f ) = 0 alors P (g) = 0. En déduire que le polynôme minimal de g

f.

Exercice 1685

Montrer que si

E

Soient

f

R-espace vectoriel de dimension nie, f

un

Exercice 1686 A=

2.

B=

−2 8 4 3 −1 1

1 1 3 2 0 1

Exercice 1687

Trigonaliser les matrices réelles suivantes :

1 −5 , −3 −2 1 . 0

Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes :

 4 2 −2  1 5 −1  ; 1 3 1



 0 2 2 1  1 3 −1  . 2 −1 3 3

Soient les matrices à coecients réels suivantes

−2 −3

2 2 −2 4 −3

1 2

1. Trigonaliser les matrices

,

A, B

Soit

f

dans la base canonique

1 0 0 0 0

B= et

A, B

B

est

et

1 0 1 −2 −3

!

C=

0 −3 0 −1

1 0 1 0

0 4 0 1

2 0 3 0

.

C.

1 1 −1 −1 3 −3 −2 2 −2

B0

de

R3

.

0 1 0 0 0 0 0 0 2

R3

dont la matrice

telle que mat (f, B

g ∈ L(R3 )

endomorphisme

ayant pour

0 1 0 1 2

R3 = ker f 2 ⊕ ker(f − 2Id).

2. Trouver une base

Exercice 1690

1 1 2 0 0

l'endomorphisme de l'espace vectoriel canonique

A= 1. Montrer que

−1 0 −1 0 0

C.

2. Déterminer le polynôme minimal de

3. Soit

E.

alors il admet une

35.2 Trigonalisation

A=

Exercice 1689

p>2

f.



Exercice 1688

un endomorphisme de

admet un sous-espace vectoriel propre de dimension

innité de sous-espaces vectoriels stables par

1.

divise

tel que

g

g2 = f .

0

)=

Montrer que

ker f 2

.

est stable par

g.

En déduire qu'un tel

ne peut exister.



 1 1 0 3/2 −1/2 ∈ M3 (R) et f Soit A =  1/2 −1/2 1/2 3/2 3 matrice A dans la base canonique ε de R .

l'endomorphisme linéaire de

R3

35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions 1. Calculer le polynôme caractéristique de

2. Trouver une base

ε0 = {e1 , e2 , e3 }

de

R3

230

A. telle que



 2 0 0 0 Mat (f, ε ) = 0 1 1 . 0 0 1

g ∈ L(R3 ) un endomorphisme tel que f ◦ g = g ◦ f. Montrer que 2 Ker (f − Id) sont laissés stables par g. En déduire que la matrice de   λ 0 0 a b 1 1 1 1 a 0   0 a b avec la forme Mat (g, ε ) = = c d 0 1 0 1 c 0 c d valeurs possibles de a, b, c et d.

3. Soit

4. Soit

F = {B ∈ M3 (R); AB = BA}. Montrer que F

− 2Id) et g dans ε0 est de b . Préciser les d

Ker (f


M3 (R).

Calculer sa dimension (on pourra utiliser la question 3.).

Exercice 1691


vectoriel de dimension nie de

n, B = (e1 , ..., en )

K

désigne

R

est une base xée de

C, E est un K -espace E et f . un endomorphisme ou

E. 1. Donner un exemple de matrice de

M2 (K)

non trigonalisable.

2. Donner un exemple de matrice de

Mn (K)

à la fois non diagonalisable et trigonalisable.

f

3. Déterminer sans calculs les valeurs propres complexes de 1 0 1 M = 010 . 1 0 1

s i sa matrice dans

n = 3 et que la matrice de f dans la base B est M = d'équation x + 2z = 0 est stable par f.

4. On suppose que que le plan

5. Que peut-on dire d'un vecteur générateur d'une droite stable par 6. Montrer que si l'endomorphisme espace vectoriel stable par

Exercice 1692

f

f

et de dimension

Soit

E

k ∈ [0, n]

un espace vectoriel réel de dimension

la matrice d'un endomorphisme

u

de

E

. Montrer

f?

xée.

0 4 1 2

4.

Soit :

 0 0 1 −2   2 −1  1 0


1. Calculer le polynôme caractéristique de

u.

E.

Déterminer les sous-espaces propres

E1

et

E2 .

est-il non diagonalisable ? Est-il triangularisable ?

2. Déterminer les sous-espaces caractéristiques nilpotent

35.3 Réduction de Jordan 1  −1 U =  2 1

u

3 2 4 −1 3 −1 −2 −1 −3

est

est trigonalisable alors il admet au moins un sous-



Pourquoi

B

F1

et

F2 . Pour k = 1, 2, donner l'ordre βk

du

(u − λk .idE )|Fk (λ1 = 1, λ2 = 2).

v ∈ F2 et v ∈ / ker(u − 2.idE )β2 −1 , montrer que f1 = (u − 2.idE )β2 −1 (v), f1 = (u − 2.idE )β2 −2 (v), . . ., fβ2 = v forment une base de F2 .

3. Si

f = {f1 , . . . , f4 } la complétée de la base précédente par une base de F1 . Vérier T = [u]ff est triangulaire. Décomposer T sous la forme D + N , où D est diagonale, N est nilpotente, et DN = N D. Calculer T 5 .

4. On note que


Exercice 1693 Exercice 1694 16n64 Exercice 1695 ρ

231

Quel est le polynôme caractéristique d'un endomorphisme nilpotent d'un

C-

espace vectoriel de dimension nie ?

Mn (C)

Donner toutes les réduites de Jordan de

tents pour

des endomorphismes nilpo-

.

Soit

R4 [X] dans P par (X 2 − 1).

l'application de

reste de la division euclidienne de 1. Montrer que 2. Montrer que

ρ

lui-même qui à un polynôme

associe le

est linéaire.

2

ρ = ρ.

ρ

En déduire que

est diagonalisable.

ρ.

3. Déterminer (de préférence sans calcul) une base de vecteurs propres pour

Exercice 1696

P

Les matrices

 0 0  0 0

0 0 0 0

 0 1  0 0

1 0 0 0

 et

0 0  0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

 0 0  ∈ M4 (C) 1 0

ont-elles une racine

carrée ?

Exercice 1697

Réduire sous la forme de Jordan les matrices suivantes :



4 0  0 0



 −1 1 0 1 1 2 , 1 −1 0

Exercice 1698

Soit

E

0 0 0 1 1 2 1 −1

 0 0 , 2 1



 3 −1 1 −7 9 −3 −7 −1  . 0 0 4 −8 0 0 2 −4

C-espace vectoriel de dimension nie n. Soit f ∈ L(E) un endomorN (le plus petit entier p tel que f p = 0). Montrer que

un

phisme nilpotent d'indice

N = n ⇔ rangf = n − 1.

Exercice 1699

35.4 Autres réductions Soit

u ∈ L(R4 )

de matrice dans la base canonique :



 1 −1 2 −2  0 0 1 −1   A=  1 −1 1 0  . 1 −1 1 0 de

u.

Trouver les valeurs propres et les sous-

2. Donner une base suivant laquelle la matrice de

u

se décompose en deux blocs diagonaux.

1. Déterminer le polynôme caractéristique espaces caractéristiques

3. Donner les projections

Exercice 1700  

Soit

Pu

Fi .

pi

de

A ∈ M3 (R)

R

4

sur

Fi .

telle que

A3 = −A

et

A 6= 0.

Montrer que

A

est semblable à

0 0 0 0 0 −1 . 0 1 0

Exercice 1701

Soient

n ∈ N \ {0}

et

f

l'endomorphisme de l'espace vectoriel R I I ∈ M2n (R) . matrice dans la base canonique est la matrice par blocs M = On On n n 1. Déterminer le polynôme caractéristique de

M.

2n

dont la

35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions 2.

f.

(a) Déterminer le noyau de (b) Montrer que

Exercice 1702

Soit

E

f

232

est diagonalisable.

un

R-espace


n,

et

u

un endomorphisme de

E.

x0 ∈ E \ {0}. On note xk = uk (x0 ) et F le sous espace vectoriel engendré par la famille {xk , k ∈ N}, c'est à dire l'ensemble des combinaisons linéaires nies de vecteurs de xk , k ∈ N : ( ) N X F = x ∈ E / ∃N ∈ N, ∃(α0 . . . αN ) ∈ RN +1 , x = αi xi Soit

i=0

u, c'est à dire que ∀x ∈ F, u(x) ∈ F . Montrer qu'il existe un entier k 6 n tel que (x0 , x1 , . . . , xk ) soit libre et (x0 , x1 , . . . , xk+1 ) soit liée. Montrer alors qu'il existe des scalaires (a0 , a1 , . . . , ak ) tels que

1. Montrer que 2.

3. 4. 5.

6. 7.

8.

F

est stable par

xk+1 = a0 x0 + a1 x1 + · · · + ak xk P k+1 En déduire que le polynôme P0 = X − ki=0 ai X i satisgfait P0 (u) (x0 ) = 0. Montrer que pour tout x de F , il existe un polynôme P ∈ R[X] tel que x = P (u) (x0 ). A l'aide des questions (3) et (4), montrer que ∀x ∈ F, ∃R ∈ Rk [X], x = R(u) (x0 ). (on pourra eectuer la division eulidienne de P par P0 ) En déduire que (x0 . . . xk ) est une base de F . Ecrire la matrice de la restriction u|F de u à F dans cette base. Quel est le polynôme caractéristique de u ˜? Montrer qu'il existe une base B de E dans la quelle   C1 0 · · · 0 .   . .   0 C2 MatB (u) =  .  . ..  .. 0 0 · · · 0 Cr où les matrices

Ci

sont des matrices Compagnon.

[Exercice corrigé]

Exercice 1703


A ∈ M3 (R)

la matrice

  0 1 1 A = 1 0 1 0 0 1 Donner un polynôme annulateur de 5 et A .

Exercice 1704       

A

de degré aussi petit que possible. En déduire

Résoudre les systèmes diérentiels suivants

dx dt

=

dy dt

= −3x − 5y

dz dt

4x

+ 6y

= −3x − 6y − 5z

      

dx dt

=

2x

+

dy dt

=

3x

+ 3y + 4z

dz dt

= −3x −

y

y

+

z

− 2z

A−1 , A3 ,


Exercice 1705

233

(un ) telles que : ( ∀n ∈ N un+3 + un+2 + un+1 + un = 0 u0 = 1, u1 = 2, u2 = 0

Déterminer toutes les suites

Résoudre l'équation diérentielle :

Exercice 1706

( f 000 + f 00 + f 0 + f = 0 f (0) = 1, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 0 Résoudre le système diérentiel suivant :

  

dx dt dy dt dz dt

= 2x(t) + 2y(t) + 2z(t) = x(t) + 3y(t) + 2z(t) = −x(t) − y(t) − z(t)

Donner toutes les solutions qui satisfont

Exercice 1707

x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = −1.

Réduire la matrice



 0 1 1 A = 1 1 0 1 −3 4

(c'est à dire étudier la diagonalisabilité ou la triangularisabilité de A, et donner une matrice P telle que P −1 AP soit aussi simple que possible) Application : Déterminer toutes les fonctions dérivables x, y, z de R dans R satisfaisant les conditions :

 0  x = y + z y0 = x + y   z 0 = x − 3y + 4z

et

(on rappelle qu'il n'est pas utile de calculer P −1 ... )

Exercice 1708

Déterminer toutes les suites

(un )n∈N

   x(0) = 1 y(0) = 0   z(0) = 0 à valeur complexes telles que :

∀n ∈ N, un+3 + 2un+2 + 2un+1 + un = 0. Montrer que les suites réelles satisfaisant cette relation sont les suites de la forme :

un = A(−1)n + B cos( où

A, B

et

φ

2nπ + φ) 3

sont des réels.

Exercice 1709

Etant donnés quatre nombres réels (u0 , v0 , w0 , x0 ), on dénit quatre nouveaux 2u0 +v0 +w0 +x0 u +2v0 +w0 +x0 nombres (u1 , v1 , w1 , x1 ) en calculant les moyennes suivantes : u1 = , v1 = 0 , 5 5 u0 +v0 +2w0 +x0 u0 +v0 +w0 +2x0 w1 = , et x1 = . En itérant ce procédé, on dénit quatre suites (un ), 5 5 (vn ), (wn ), et (xn ) telles que pour tout n ∈ N on ait :

 un+1 = 15 (2un + vn + wn + xn )       vn+1 = 1 (un + 2vn + wn + xn ) 5  wn+1 = 15 (un + vn + 2wn + xn )      xn+1 = 15 (un + vn + wn + 2xn )

35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions 1. Ecrire la matrice

A

234

B = 5A.

associée à cette relation de récurrence, et la matrice

dire de la diagonalisabilité de

2. Sans calculer le polynôme caractéristique de

B,

montrer que

1

est valeur propre de

Quelle est la dimension de l'espace propre associé ? Que dire de la multiplicité de valeur propre de

B,

déterminer toutes les valeurs propres de

4. Donner un polynôme annulateur de

B

de degré 2.

5. En déduire l'existence de deux réels

an

et

an n→∞ 5n lim

B.

1 comme

B?

3. En utilisant la trace de

6. Calculer

Que

B?

et

et donner sa limite.

bn . n→∞ 5n lim

B.

bn , que l'on calculera, tels que B n = an B + bn I . (An )n∈N

En déduire que la suite de matrices

est convergente

(On rappelle qu'une suite de matrices Mn est dite convergente si chaque suite de coecient est convergente. On pourra utiliser sans démonstration la continuité des opérations élémentaires sur les matrices pour cette notion de limite, c'est à dire que : - si (λn ) est une suite convergente alors pour toute matrice M , la suite (λn M ) est convergente et lim (λn M ) = ( lim λn )M n→∞ n→∞ - si (Mn ) est une suite de matrices convergente alors pour tout vecteur X , la suite de vecteurs (Mn X) est convergente et lim (Mn X) = ( lim Mn )X .) n→∞

7. En déduire que les suites

n→∞

(un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N ,

et

(xn )n∈N

sont convergentes, et

donner leur limite.

Exercice 1710

(xn ), (yn ) et (zn ) telles   xn+1 = xn + yn yn+1 = yn + zn ∀n ∈ N,  zn+1 = zn + xn

Donner toutes les suites

Parmi les solutions de ce système, donner celle qui satisfait

[Exercice corrigé]

Exercice 1711

Écrire la matrice

Dn−1

et

Soit

An

a

que :

x0 = 2

et

n équations   a x1 − x 2 = 0 −xp−1 + a xp − xp+1 = 0 (2 6 p 6 n − 1)  −xn−1 + a xn = 0

un réel. On considère le système à

associée à ce système. On note

Dn = det An .

(on notera ω = e 3 ) iπ

y0 = z0 = 1. et

n

inconnues suivant :

Calculer

Dn

en fonction de

Dn−2

Exercice 1712 1. Calculer



On considère la matrice

A t A.

Que vaut

det A

 a −b −c −d b a d −c  , A=  c −d a b  d c −b a

avec

(b, c, d) 6= (0, 0, 0).

au signe près ?

4 2. En étudiant le signe du terme en a dans le déterminant de A, montrer que det A = 2 2 2 2 2 (a +b +c +d ) . Sans calcul supplémentaire, en déduire que le polynôme caractéristique 2 2 2 2 2 de A est χA = ((a − X) + b + c + d ) . 3.

A

est-elle diagonalisable sur

R?

(justier)


235

√ a = 1, b = c = d = −1. Vérier que (i 3, 1, 1, 1) propres de A, puis diagonaliser A sur C.

4. On se place maintenant dans le cas où et

√ (−1, i 3, −1, 1)

sont des vecteurs

5. Application : résoudre le système récurent suivant (il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse de la matrice de passage de la question précédente). On notera eiπ/3 .  

un+1    vn+1 w  n+1   hn+1

[Exercice corrigé]

Exercice 1713

= un + vn + wn + hn = −un + vn − wn + hn = −un + vn + wn − hn = −un − vn + wn + hn

u0    v0 w  0   h0

X 0 = AX où A   3 2 4 A = −1 3 −1 ∈ M3 (R). −2 −1 −3 3 2 4 −1 3 −1 Soit la matrice A = ∈ M3 (R). −2 −1 −3 n méthodes, calculer A , pour n ∈ N. Montrer que Résoudre le système diérentiel

= = = =

√ ω = 1/2+i 3/2 =

1 0 0 0

est la matrice :

Exercice 1714 Par diérentes pour

n∈Z

Exercice 1715 R

3

la formule obtenue a un sens

et donner plusieurs méthodes pour établir sa validité dans ce cas. Soit l'endomorphisme

est :

f ∈ L(R3 ) dont −2 1 1 M = 8 1 −5 .

la matrice dans la base canonique de

4 3 −3

1. Déterminer toutes les droites vectorielles de 2. Déterminer toutes les plans vectoriels

P

de

R3 R3

stables par

stables par

le polynôme caractéristique de la restriction de

f

à



Exercice 1717

R3

 4 1 0 B = 0 4 1 , 0 0 4 Soit

E

(on commencera par étudier

stables par

M Calculer les puissances et l'exponentielle ( e

vantes :

f

P ).

3. Donner la liste de tous les sous-espaces vectoriels de

Exercice 1716

f.

=

Mk k=0 k! ) des matrices sui-



 3 2 4 A = −1 3 −1 . −2 −1 −3

un espace vectoriel réel de dimension nie

n.

sable. Donner une condition nécessaire et susante pour qu'il existe 2 Dans le cas d'existence de g , donner le nombre exact de g tel que g

Application

f.

P+∞

Soit f ∈ L(E) diagonalig ∈ L(E) tel que g 2 = f . = f.

Soit :



 5 1 −1 M =  2 4 −2  . 1 −1 3 Montrer qu'il existe

Exercice 1718

Indication

N ∈ M3 (R)

Soit

telle que

M ∈ Mn (C).

N2 = M.

Montrer que

M

Déterminer une et

t

M

N.

sont semblables.

: le montrer d'abord pour des blocs de Jordan n'ayant que des

1

au-dessus de la

diagonale.

Exercice 1719

que

M

et

2M

Soit

M ∈ Mn (C).

soient semblables.

Donner une condition nécessaire et susante sur

M

pour


Exercice 1720 ayant

n

Soit

a ∈ L(E)

236

K -espace



n

valeurs propres distinctes. On pose

C = {u ∈ L(E) : au = ua} . 1. Soit

u ∈ C. a

(a) Montrer que tout sous-espace vectoriel propre de

u

(b) En déduire que 2.

C

(a) Montrer que


n−1

(IdE , a, ..., a

)

et que

dim C = n. L(E)

(raisonner par

a.)

C = {P (u) : P ∈ K[X]}.

(c) En déduire que

1. Soit

L(E)

est une famille libre de

l'absurde et utiliser le polynôme minimal de

est une base de

u.

est diagonalisable.

(b) Montrer que la famille

Exercice 1721

est stable par

f ∈ L(E) un endomorphisme et a ∈ E tels que la famille (a, f (a), ..., f n−1 (a))

Soient

E.

P ∈ K[X] \ {0}

un polynôme annulateur de

f.

Montrer que

deg(P ) > n

(raisonner

par l'absurde). 2. En déduire que le polynôme minimal de de

f

est (au signe près) le polynôme caractéristique

f.

Exercice 1722

Donner un exemple de deux matrices de

M4 (R)

ayant même polynôme ca-

ractéristique et même polynôme minimal et pourtant non semblables. Qu'en est-il pour deux matrices de

M2 (R) ?

Exercice 1723

Soit le

R-espace

vectoriel

S = (un )n∈N ∈ RN : ∀n > 3, un = 3un−1 − 3un−2 + un−3 . 1. Montrer que l'application

f : S → R3 , u = (un )n∈N 7→ (u0 , u1 , u2 ) est un isomorphisme de

R-espace vectoriels. 0 1 0 0 1 A = 01 −3 ∈ M3 (R), σ ∈ L(R3 ) 3

2. Soient la matrice associé à

A

et, pour

déduire une base de

Exercice 1724

Soient

relations de récurrence

Calculer les valeurs de


Soit

xn , y n

et

zn

en fonction de

. Montrer que

σ(Un−1 ) = Un

x0 , y 0

et

et en

z0 .

K-espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E) telle que f 2 = f. t ∈ R l'endomorphisme ft = id + tf est inversible ? Calculer ft−1 . un

Etudier les solutions (suivant Soit

l'endomorphisme canoniquement

(xn )n∈N , (yn )n∈N et (zn )n∈N trois suites de nombres réels satisfaisant aux :  xn+1 = yn − xn + zn yn+1 = xn − yn + zn  zn+1 = xn + yn − zn

E


n > 2, Un = (un−2 , un−1 , un ) ∈ R S.

3

A ∈ Mn (K).

On note

A)

dans

M2 (C)

de l'équation

X 2 = A.

C(A) = {B ∈ Mn (K); AB = BA}.

35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions 1. On suppose que

A

237

a des valeurs propres simples. Montrer que les propriétés suivantes

sont équivalentes : i)

B ∈ C(A).

ii)

B

a une base de vecteurs propres en commun avec

iii) Il existe

P ∈ Kn−1 [X]

iv) Il existe

P ∈ K[X]

tel que

tel que

A.

B = P (A).

B = P (A).

n = 3 (pour simplier) et que A est diagonalisable avec une valeur propre Déterminer C(A).

2. On suppose que double.

Exercice 1728 Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.



 a+1 1−a a−1 3 2a − 3 ∈ M3 (R) une matrice dépendant d'un paramètre réel a Soient Ma =  −1 a − 2 2 − a 3a − 2 3 3 et fa l'endomorphisme linéaire de R ayant pour matrice Ma dans la base canonique de R . On nomme racine carrée d'une matrice M ∈ Mn (R) toute matrice N ∈ Mn (R) telle que N 2 = M. 3 On désigne par I la matrice identité et, pour toute base ε de R , on note Mat (fa , ε) la matrice représentant l'endomorphisme fa dans la base ε.

I

1. Calculer les valeurs propres de

Ma

en fonction de

a.

Pour quelle raison la matrice

Ma

est-elle triangularisable ? 2. Pour quelles valeurs du paramètre

a

la matrice

II

Ma


On pose maintenant (questions 3 et 4) a = 2. 3. Diagonaliser 4.

(a) Soit

M2 .

Déterminer une racine carrée

g ∈ L(R3 )

telle que

g 2 = f2 .

déterminer le polynôme minimal de sont laissés stables par

A

de

M2 .

Montrer que

f2 ).

g

est diagonalisable (on pourra

Montrer que les sous-espaces propres de

f2

g.

(b) Démontrer que la matrice

4 0 0 4

a une innité de racines carrées. En déduire

l'existence d'une innité de racines carrées de

III

M2 .

Montrer que M1 = 2I n déduire la valeur de (M1 ) , pour tout

+ N avec N nilpotente (telle que N 2 = 0). En n ∈ N. Déterminer deux réels α et β tels que

αI + βN

IV

5. On pose

a = 1.

soit une racine carrée de

M1 .

On pose désormais (questions 6 et 7) a = 0. R =Ker(f02 ) ⊕ Ker(f0 − 2I). 0 1 0 Mat (f0 , ε) = 0 0 0 . 0 0 2

6. Montrer que ait :

7. Soit par

3

Déterminer une base

g ∈ L(R3 ) un endomorphisme tel que g 2 = f0 . g. En déduire que f0 n'a pas de racine carrée.

ε

de

R3

telle que l'on

2 Montrer que Ker (f0 ) est laissé stable

36 Fonctions convexes

238

Sixième partie

ANALYSE 3

Exercice 1729

36 Fonctions convexes Soient

n ∈ N∗

x1 , . . . , xn ∈]0, +∞[.

et

log,

1. En utilisant la concavité du 2. Montrer que

1

Exercice 1730 lim f = Exercice 1731 que

1

(x1 . . . xn ) n >

3. En déduire que Soit

montrer que

1 +...+ x1 x1 n

1

(x1 . . . xn ) n 6

.

n! 6 ( n+1 )n . 2 f

une fonction

C2

sur

convexe croissante et non constante. Montrer

R

tûûûûûût.

+∞

Soient

1. Montrer que 2. Soient

p

et

q ∈]0, +∞[

∀x, y > 0 xy 6

xp p

+

x 1 , . . . , x n , y1 , . . . , y n > 0

tels que

yq q

1 p

+

1 q

= 1.

.

tels que

n P

xpi =

i=1 3. Soient

x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn > 0. n X i=1

4. Soit

p > 1.

En écrivant

Minkowski :

5. Soit

(an )

n P

yiq = 1.

i=1

i=1

i=1

(xi + yi )p = xi (xi + yi )p−1 + yi (xi + yi )p−1 ,

i=1

un =

(vn )

n P

i=1

a2k

et

vn =

Soit

f

0

f ∈ C 2 (R)

¯ R

Montrer que

g

est

Exercice 1734 Exercice 1735 alors

(vn )n

+∞. +∞ (on

pourra utiliser des

1 un intervalle de R, J = x; ∈I x +∗ est un intervalle de R , puis que si (x, y) ∈

aussi.

. I 2,

I,

et

Soit

f :R→R

et une formule de

alors :

Soit

(an )n∈N ∈ (R+∗ ) , un =

dénie sur

convexe majorée. Que dire de

N

ε

1 1 1 = µ + (1 − µ) . λx + (1 − λ)y x y

g dénie sur J par g(x) = f ( x1 ), h convexe ⇔ h est convexe.

continue sur

(un )

en

+∗

∀λ ∈ [0, 1], ∃µ ∈ [0, 1], f

k=1

ak . Montrer que si k

convexe.

admet une limite dans

Exercice 1733 I ⊂ R

n P

aussi.

f (x) admet une limite en 2. En déduire que x Taylor à l'ordre 1).

J

montrer l'inégalité de

n n n X X X 1 p p1 p p1 ( (xi + yi ) ) 6 ( xi ) + ( yip ) p

converge alors

Montrer que

xi yi 6 1.

i=1

k=1

1. Montrer que

n P

n n X X 1 p p1 xi yi 6 ( xi ) ( yiq ) q

une suite strictement positive,

Exercice 1732

Montrer que

Montrer l'inégalité de Hölder :

i=1

Soit

x1 +...+xn . n

n P

k=1

a2k , vn =

n P

k=1

f?

Et si

I

par

h(x) = xf (x).

f : R+ → R ?

ak . Montrer que si k

(un )n

converge


Exercice 1736

239

Montrer que :

∀n ∈ N∗ , ∀(x1 , ..., xn ) ∈ R

Exercice 1737

Soit

f :R→R

+∗ n

∀(x, y) ∈ R , f f

et telle que

0

,1 +

xk

! n1

1+

6

k=1

n Y

xk

! n1

.

k=1

continue telle que :

2

Montrer que

n Y

x+y 2

6

f (x) + f (y) . 2

est convexe.

Exercice 1738 f : I → R f (x ) = 0. Exercice 1739 g ∈ C(R, R) Soit

I

convexe ou

Montrer que

0

x0

est un intervalle ouvert de

minimise

f

sur

dérivable en

x0 ∈ I

I.

g est convexe si et seulement Z 1 Z 1 ∀h ∈ CM ([0, 1], R), g h 6 g(h).

Soit

, montrer que

0

Exercice 1740

R,

si :

0

37 Notions de topologie Soit

x = (x1 , · · · xn ) ∈ Rn . kxk1 =

n X

On pose

|xi | ;

kxk2 =

i=1

n X

|xi |2

!1/2

i=1

et

kxk∞ = sup{|xi | : 1 6 i 6 n}. 1. Démontrer que

k · k1

est une norme sur

Rn .

2. Démontrer que

kxk∞ 6 kxk2 6 kxk1 6 nkxk∞ et

kxk2 6 pour tout

x ∈ Rn .

3. Représenter dans

Discuter le cas

R

2

√

nkxk∞ ,

n = 1.

la boule unité fermée

Bk·k = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; kxk 6 1} pour chacune des normes

Exercice 1741

k · k1 , k · k2

et

k · k∞ .

Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des

ouverts.

A = {(x, y) ∈ R2 | 0 < |x − 1| < 1} ; B = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x 6 1} ; C = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1, |y| 6 1} ; D = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ Q, y ∈ Q} ; E = {(x, y) ∈ R2 | x 6∈ Q, y 6∈ Q} ; F = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 4} .

Exercice 1742

Montrer que toute reunion et toute intersection nie d'ensembles ouverts est

un ensemble ouvert. Que peut-on dire des intersections innies d'ensembles ouverts ?


240

Exercice 1743 (partiel 1999)

On dénit un sous-ensemble

A

de

R2

en posant

A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 6 2} \ {(x, y) ∈ R2 | (x − 1)2 + y 2 < 1}. A.

Déterminer l'intérieur, l'adhérence et la frontière de


f : Rn → R

Soit

L'ensemble

A

est-il connexe ?

une application continue. Montrer que les

trois conditions suivantes sont équivalentes : (1)

∀M > 0, ∃R > 0

(2) Pour toute partie (3) Pour toute partie

Exercice 1745

kxk > R ⇒ |f (x)| > M . −1 bornée B de R, f (B) est une partie bornée de Rn . −1 compacte K de R, f (K) est une partie compacte de Rn .

tel que

1. Dans

R2

ou

R3

euclidien muni d'une b.o.n., représenter les ensembles

suivants :

A = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 > 1 et x2 + y 2 < 4} 2 B = {(x, y) ∈ R2 | (x − 1)2 − y 2 > 1 et x2 + y4 < 4} 3 C = {(x,  y, z) ∈ R | 1 < x + y + z < 3 et x > 0et y > 0 et z > 0} x+y+z <1   3 x−y+z <1 D= (x, y, z) ∈ R et  et −x − y + z < 1  E = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 − z 2 < 0 et 2 < z < 4} F = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 < 1 et x2 + y 2 < z 2 et z > 0} G = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 4 et z = x − 1}.

2. Déterminer les projections de

E

et

G

sur le plan

Exercice 1746 (Images directes et réciproques) ceaux, de

R

dans

R,

(xOy). 1. Soit

f

l'application ane par mor-

dénie par :

   

0 1+x f (x) = x    1

si si si si

x 6 −2 −2 < x < 0 06x61 x > 1.

A = [−1, 0[ et B = [0, 2[. Déterminer f (A), f −1 (B), f (R\A), f −1 (f (A)), f (f −1 (B)), f (A ∩ B), et f (A) ∩ f (B). Soient

E et F , et f : E → F une application. Comparer les ensembles f (A ∩ B) et f (A) ∩ f (B), f −1 (f (A)) et A, f (f −1 (B)) et B , f (E \ A) et F \ f (A). ! G : R2 −→ R2 √ . On note D l'ensemble Soit l'application v(v+2u) u , u+v ) (u, v) 7−→ ( u+v dénition de G. Déterminer G(D).

2. Soient deux ensembles

Exercice 1747 de

Exercice 1748

Soient les applications

f

et

g

√ x+y 3 f (x, y) = ( , y) 2 2

Soient les ensembles

et

f (D1 )

et

g −1 (D2 ).

R2

et

dans

R2

dénies par :

y g(x, y) = (2x, √ ). 2

x2 xy + y2 + = 1}, 4 2 x2 D2 = {(x, y) ∈ R2 | + 2y 2 = 1}. 4

D1 = {(x, y) ∈ R2 |

Déterminer

de


Exercice 1749

Simplier l'écriture des ensembles suivants :

I=

Exercice 1750

241

Soient

[ 1 1 [ ,1 − ] n n n>1

et

J=

1 1 ] − , 1 + [. i j i>0,j>0 \

A et B deux parties non vides et majorées de R. Montrer les implications

suivants :

∃M ∈ R ∀x ∈ A, x < M ⇒ sup A 6 M A ⊂ B ⇒ sup A 6 sup B .

Exercice 1751

Soient

A

et

B

deux parties non vides et majorées de

R.

On dénit :

A + B = {c ∈ R | ∃a ∈ A, ∃b ∈ B, c = a + B}. 1. Montrer que

A+B

admet une borne supérieure, puis que

sup(A + B) = sup A + sup B .

2. Montrer l'implication :


∃M ∈ R ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x + y < M ⇒ sup A + sup B 6 M. Soit

ε ∈ R+

Soit

A

tel que

∀x ∈ R∗+ , x > ε.

ε = 0.

Montrer que

une partie non vide et bornée de

R.

Montrer que :

sup{|x − y| : (x, y) ∈ A2 } = sup A − inf A. Les sous-ensembles de

R2

suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ?

A = {(x, y) ∈ R2 | x2 − sin(y) 6 4} B = {(x, y) ∈ R2 | x3 − 4ey > 4} C = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] | cos(x) > 0} On se propose de montrer que tout ouvert de

ouverts disjoints. On considère donc un ouvert

U ⊂R

est une réunion d'intervalles

R

et pour tout

x∈U

on pose

C(x) = {y ∈ [x, +∞[ | [x, y] ⊂ U } ∪ {y ∈] − ∞, x[ | [y, x] ⊂ U }. 1. Montrer que 2. Pour tous

C(x) est un intervalle ouvert pour tout x. (Considérer inf y∈C(x) y et supy∈C(x) y .)

x, y

dans

U,

montrer qu'on a

C(x) = C(y)

ou

C(x) ∩ C(y) = ∅.

3. Conclure.

Exercice 1756 1. 2.

3.

Soit

E

un espace vectoriel normé. Soient

A

et

B

deux parties de

E.

Montrer :

◦

C ◦ = CA , CA¯ =CA A

¯ A ∪ B = A¯ ∪ B ◦ z }| { ◦ ◦ En A ∩ B=A ∩ B . ¯ A ∩ B ⊂ A¯ ∩ B

déduire

déduire Exercice 1757 En

◦

◦

◦

z }| { A ∪ B ⊂A ∪ B .

Donner un exemple pour lequel l'inclusion réciproque n'est pas réalisée.

A une partie d'un espace vectoriel ◦ ¯ A. Montrer que : Fr(A) = A−

Soit

de

A

est l'ensemble

normé

E.

On rappelle que la frontière


242

1.

Fr(A) = {x ∈ E | ∀ε > 0, B(x, ε) ∩ A 6= ∅

2.

Fr(A) = Fr(CA )

3.

A

est fermé si et seulement si

4.

A

est ouvert si et seulement si

Exercice 1758

Soit

A¯

1. Montrer que

A

est inclus dans

A.

Fr(A) ∩ A = ∅. E.

est l'ensemble des limites de suites convergentes d'éléments de

sup A ∈ A¯.


B(x, ε) ∩ CA 6= ∅}

une partie d'un espace vectoriel normé

2. On suppose maintenant que alors

Fr(A)

et

A.

E = R. Déduire de la question précédente que si A est bornée,

(Construire une suite de points appropriée.)

Montrer que l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée de même

centre et même rayon. Soit E un espace vectoriel normé. Soient A et B deux parties de E . On pose A + B = {z ∈ E | ∃x ∈ A, ∃y ∈ B, z = x + y}. Montrer que si A est ouvert, A + B est ouvert. (Commencer par le cas où B est un singleton.)


Soit

E

un espace vectoriel normé de dimension nie.

E

Montrer que tout sous-espace vectoriel de

est fermé.

Soit E un espace vectoriel normé. Soit A une partie diam(A) = sup{ky − xk, x, y ∈ A}. ¯ et Fr(A) sont bornés. Montrer que si A est bornée, alors A

non vide et bornée de

E.

On dénit 1.

◦

3.

(a)

◦

¯ lorsque A diam(A), diam(A) et diam(A) Montrer que diam(Fr(A)) 6 diam(A).

2. Comparer

x et u des éléments de A avec u 6= 0. x + tu ∈ A}. Montrer que sup X existe.

(b) Soit

est non vide.

On considère l'ensemble

(c) En déduire que toute demi-droite issue d'un point (d) En déduire que

Exercice 1763

A= B= C= E

de

A

coupe

Fr(A).

diam(Fr(A)) = diam(A).

2 Dans R euclidien, les ensembles suivants sont-ils compacts ? 2 1 {(x, y) ∈ R | 2 6 k(x, y)k 6 2 et xy = 1}. {(x, y) ∈ R2 | 12 < k(x, y)k 6 2 et xy = 1}. {(x, cos n) ∈ R2 | 0 6 x 6 18 et n ∈ N}.

Exercice 1764 de

x

X = {t > 0 |

E = Rd muni d'une norme k · k. On A de E , notée d(x0 , A), par la formule

Soit

à une partie

dénit la

distance

d'un élément

x0

d(x0 , A) = inf kx − x0 k. x∈A

1. Supposons

A

compact. Montrer que pour tout

x0 ∈ E

il existe

y∈A

tel que

d(x0 , A) =

ky − x0 k. 2. Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que remarquera que pour toute partie 3. Montrer que l'application qui à pothèse sur

B

x0

de

A

associe

on a

A

est fermé. (On

d(x0 , B) > d(x0 , A).)

d(x0 , A)

est continue sur

E

(sans aucune hy-

A).


A

est un fermé de

disjoints, alors il existe une constante

E et B un compact δ > 0 telle que

ka − bk > δ

∀(a, b) ∈ A × B.

de

E

tels que

A

et

B

sont


243

5. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que

B

A

et

sont deux fermés disjoints.

Exercice 1765 +∞ Exercice 1766

Soit

. Montrer que

f

f : Rd → R une fonction continue telle que limx→−∞ f (x) = limx→+∞ f (x) =

admet un minimum.

Soit

(E, k · k)

un espace vectoriel normé. Pour toutes parties

A

et

B

de

E

on

note

A + B = {z ∈ E | ∃(x, y) ∈ A × B, z = x + y}. Montrer que si

A

Exercice 1767 x Exercice 1768 et

est compact et

Soit

(E, k · k)

B

fermé, alors

est fermé.

(xn )

un espace vectoriel normé. Soit

{x} ∪ {xn , n ∈ N}

sa limite. Montrer que l'ensemble

On suppose que

A+B

une suite convergente de

E

est compact.

Soit

(E, k · k)

(xn )

est de Cauchy. Montrer qu'elle converge si et seulement si elle admet une

un espace vectoriel normé et

(xn )n∈N

une suite d'éléments de

E.

sous-suite convergente.


Soit

X

une partie de

toute partie fermée bornée Soient

K, K ∩ X

k ∈ R+∗ , (

ωn =

R2 ;

montrer qu'elle est fermée si et seulement si pour

est fermée bornée.

1 (x, y) ∈ R2 | x − n

et

2

[

Ω=

1 + y− n

2

k2 6 2 n

)

,

ωn .

n∈N∗

Ω

est-il ouvert ? fermé ? ...

Exercice 1771 N, Kn+1 ⊂ Kn ,

(Kn )n∈N∗ Kn 6= ∅.

Soit

et

une suite d'ensembles fermés bornés de

R2

telle que

∀n ∈

Montrer que :

Exercice 1772

\

Kn 6= ∅.

n∈N∗ Montrer que l'intersection de deux ensembles ouvert est ouvert, que l'union de

deux ensembles fermés est fermée, que cela reste vrai pour un nombre ni d'ensembles, mais que cela peut devenir faux si l'on considère des suites innies.

Exercice 1773

Soit

E ⊂ R2

un ensemble ; on pose

Int(E) =c c E. Montrer que

Int(E)

Exercice 1774

est le plus grand ouvert contenu dans

Soit

A


R2 ,

E.

montrer que

A

est aussi bornée et que

sup kxk = sup kxk .


x∈A Soit

C

une partie convexe de

x∈A

R2 ,

montrer que

Classer (pour l'inclusion) les parties :

C

est aussi convexe.

A ∩ B, A ∩ B

et

A ∪ B, A ∪ B.


Exercice 1777

244

Dans l'espace vectoriel normé

R,

chacune des parties suivantes est-elle ou-

verte ? fermée ?

N, Z, Q, R, [0, 1[, [0, +∞[, ]0, 1[∪{2}, {1/n, n ∈ N∗ },

Exercice 1778

E

Soit

T

◦ _

E\A =E\A

1. Montrer que

V

2. Montrer que si

Exercice 1780

E

Soit

− 1/n, 1/n[.

un evn (espace vectoriel normé). Soit

l'égalité

Exercice 1779

n>1 ]

un evn,

V

et

V 6= ∅

alors

une partie de

E.

Montrer

◦

E\ A= E\A



◦

A

E.

E.

V = E.

Représenter graphiquement les parties suivantes de

R2

et dire pour chacune

d'elle si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre. Déterminer leurs adhérences et intérieurs. 1.

{(x, y) ∈ R2 , |x| = 6 1

et

|y| = 6 1}

{(x, y) ∈ R2 , |x| = 1

et

|y| = 6 1}

{(x, y) ∈ R2 , |x| = 6 1

ou

|y| = 6 1}

2.

3.

4.

{(x, y) ∈ R2 , 1 − xy > 0} 5.

{(x, y) ∈ R2 , 3x + 4y = 2} 6.

{(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 = 1} 7.

{(x, y) ∈ R2 , xy = 1} 8.

Exercice 1781

[

{1/n} × [0, 1]

n∈N∗ Déterminer l'adhérence de chacune des parties de

1.

N, Z, Q

2.

{1/n, n ∈ N∗ }

3.

(−1) , n ∈ N∗ } { 1+1/n

R

suivantes :

n

Exercice 1782

Soient

A

et

B,

deux parties d'un evn

E.

O est un ouvert de E , alors A+O est ouvert. (Indication : Prendre d'abord A quelconque .... )

1. Montrer que si

A = {a}

puis

2. Etablir que

A∪B = A∪B

et que

A ∩ B ⊂ A ∩ B.

(Trouver un exemple où l'inclusion

est stricte)

Exercice 1783

∀n > 1, on pose An = T{up / p > n}. Démontrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (un )n>1 est V = n>1 An , et qu'ainsi V est fermé. En déduire que si la suite est bornée, alors l'ensemble V est un compact non vide. Soit

(un )n>1

une suite réelle.


245


Exercice 1784 1.

38.1 Limites Etudier l'existence des limites suivantes :

lim(x,y)→(0,0)

x2 y ; x+y

xyz+z 3 . 2x3 +yz 2 |x|+|y| 3. lim(x,y)→(0,0) 2 x +y 2 2.

lim(x,y,z)→(0,0,0)

4.

lim(x,y)→(0,0)

5.

lim(x,y,z)→(0,0,0)

Exercice 1785

x4 y x2 −y 2 xy+yz x2 +2y 2 +3z 2

Soit

f : R2 \ {(0, 0)} → R,

f (x, y) =

x2 y 2 . x2 y 2 + (x − y)2

Démontrer que

lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0

x→0 y→0 et que

lim(x,y)→(0,0) f (x, y)

Exercice 1786

y→0 x→0

n'existe pas.

Soit

2

f : R → R,

f (x, y) =

(x + y) sin x1 sin y1 0

si si

xy = 6 0 xy = 0

Démontrer que les deux limites itérées

lim lim f (x, y)

x→0 y→0

et

lim lim f (x, y)

y→0 x→0

n'existent pas, et que

lim

f (x, y)

(x,y)→(0,0) existe et est égale à

Exercice 1787

0.

Déterminer les limites

x ; x2 +y 2

1.

lim(x,y)→(0,0)

2.

lim(x,y)→(0,0)

3.

lim(x,y)→(1,0) √

4.

lim(x,y)→(0,0)

x4 +y 3 −xy ; x4 +y 2

5.

lim(x,y)→(0,0)

x3 y ; x4 +y 4

(x+2y)3 ; x2 +y 2 y log(x+e ) x2 +y 2

;

(x2 +y 2 )2 ; x2 −y 2 1−cos xy 7. lim(x,y)→(0,0) ; y2 sin x 8. lim(x,y)→(0,0) cos y−cosh x 6.

lim(x,y)→(0,0)

Exercice 1788

Etudier l'existence d'une limite en

1.

f (x, y, z) =

2.

f (x, y, z) =

xyz ; x+y+z x+y . x2 −y 2 +z 2

(0, 0, 0)

pour les fonctions

f

suivantes :


Exercice 1789

246

38.2 Continuité Étudier la continuité des fonctions dénies sur

xy x2 + y 2 f1 (0, 0) = 0. x3 + y 3 f2 (x, y) = 2 x + y2 f2 (0, 0) = 0. f1 (x, y) =


si

si

R2

par

(x, y) 6= (0, 0),

(x, y) 6= (0, 0),

1. Étudier la continuité de la fonction

f1 : R2 → R

dénie

par

f1 (x, y) =

2. Soit

a>0

( (sin x) (sin y) √ √ |x|+

|y|

0

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0).

xé. Étudier la continuité de la fonction

f2 (x, y) =

|x|a |y|a x2 +y 2

si

0

si

(

f3 : R2 → R ( y − x2 f3 (x, y) = 0

3. Étudier la continuité de la fonction

4. On dénit une fonction continue de l'ouvert

f2 : R2 → R

dénie par

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0). dénie par si si

y > x2 y 6 x2 .

U = {(x, y, z) ∈ R3 | xyz 6= 0}

dans

R

en

posant

f4 (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 ) sin Étudier la possibilité de prolonger


f4

qu'il existe une suite

R3 . ( (R2 )∗ → R g: (x, y) 7→ xy ln(x2 + y 2 )

en une fonction continue sur

Prolonger par continuité la fonction

Soit

1 1 1 sin cos . x y z

f : R2 → R telle que ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, .) et f (., y) sont continues. Montrer (gn )n∈N d'applications continues sur R2 telles que : ∀(x, y) ∈ R2 , lim gn (x, y) = f (x, y).


.

n→∞

Trouver les fonctions

f

continues sur

R2

telles que :

∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = f (x + y, x − y). Etudier la continuité sur

1.

f (x, y) =

R2

(

de la fonction suivante :

x2 y 2 x2 +y 2

0

si

(x, y) 6= (0, 0) sinon.


247

2.

f (x, y) =

(

f (x, y) =

(

f (x, y) =

(

3.

4.

x2 y x2 +y 2

Exercice 1795

On dénit la fonction

f

Exercice 1796

f

0

sinon.

y 2 sin xy 0

f (x, y) = 2.

f (x, y) =

si

R2 \ {(x, x) ; x ∈ R}

R2 ?

des fonctions suivantes :

(x+y)4 x4 +y 4

(x, y) 6= (0, 0)

si

sinon.

|x|3 |y|5 (x2 +y 2 )2

f (x, y) =

par

sin x − sin y . x−y

(x, y) 6= (0, 0)

si

0

3.

x 6= 0

sinon.

1

(

y 6= 0

sinon.

xearctan x 0

(0, 0) (

si

y

sur

Etudier la continuité en

(x, y) 6= (0, 0)

si

en une fonction continue sur

1.

Exercice 1797

sinon.

xy 4 x4 +y 6

f (x, y) = Peut-on prolonger

(x, y) 6= (0, 0)

si

0

f (x, y) =

f (x, y) =

sinon.

x4 y x4 +y 6

5.

6.

(x, y) 6= (0, 0)

si

0

sinon.

exy −1 x2 +y 2

si

(x, y) 6= (0, 0)

0

sinon.

Etudier la continuité des fonctions suivantes :

1.

f (x, y) =

(

f (x, y) =

(

2.

(x+2y)3 y 3 x4 +y 4

si

(x, y) 6= (0, 0)

0

sinon.

x6 +x2 y 2 x2 +y 2

si

0

si

3.

f (x, y) =

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

x

ey 0

si

y 6= 0

sinon.


248

4.

f (x, y) = 5.

f (x, y) = dénie sur

(

sin xy y

si

x

y 6= 0

sinon.

ln(1+x)−ln(1+y) x−y 1 1+x

si

x 6= y

sinon.

D = {(x, y) | x > 0, y > 0}.

38.3 Diérentiabilité  2 R →R    (x, y) 7→ x si |x| > |y| Soit f : . (x, y) 7→ y si |x| < |y|    (x, y) 7→ 0 si |x| = |y| la continuité de f , l'existence des dérivées partielles et leur continuité.  2  R → R . Soit f : (x, y) 7→ sin(xy) si (x, y) 6= (0, 0) |x|+|y|   (0, 0) 7→ 0 1 la continuité de f et l'existence des dérivées partielles. f est-elle C ?   R2 → R    x2 − y 2 Soit f : . si (x, y) 6= (0, 0) (x, y) 7→ xy 2  x + y2   (0, 0) 7→ 0 1 la continuité de f . Montrer que f est C . Calculer les dérivées partielles

Exercice 1798 Étudier



(0, 0).

secondes en

Que remarque-t-on ?

Exercice 1801

Soit

f :R→R

dérivable. Calculer les dérivées partielles de :

g(x, y) = f (x + y) h(x, y) = f (x2 + y 2 ) k(x, y) = f (xy)  2  R → R 5 Soit f : (x, y) 7→ (y−xx2 )2 +x6 si (x, y) 6= (0, 0) .   (0, 0) 7→ 0 Montrer que f admet une dérivée en (0, 0) suivant tout vecteur mais n'admet pas pement limité à l'ordre 1 en (0, 0).

Exercice 1802

Exercice 1803

de dévelop-

Étudier la continuité, l'existence de dérivées partielles et le caractère 2 applications de R dans R :

(x, y) → x

si

|x| > |y| , (x, y) → y

si

(x, y) → (x2 + y 2 ) sin

|y| > |x| , (x, y) → 0 x2

1 , (0, 0) → 0; + y2

(x, y) → sin |xy| ; (x, y) →

y2 x

si

x 6= 0, y

si

x = 0.

si

|x| = |y| ;

C1

des



Soit

a ∈ R2

249

x → hx, ai de R2

xé ; l'application

usuel dans

R est-elle continue,

admet-elle des dérivées partielles, celles-ci sont elles continues ?

f la fonction dénie sur R2 par : 2 si |x| 6 y, f (x, y) = x . 2 f (x, y) = y sinon. Étudier la continuité de f et l'existence de dérivées partielles.


Soit

N

Montrer qu'une norme

α>0  

et

R2

f : R2 → R

dénie par

|x|α y x2 + y 4  f (0, 0) = 0

1.

f (x, y) =

si

(x, y) 6= (0, 0)

(a) Montrer que

(b) Calculer

lim y→0 y 6= 0

|f (x, y)| 6 x2 + y 4

∀(x, y) 6= (0, 0) 2 f (y , y) .

(c) Étudier la continuité de 2.

ne peut avoir des dérivées partielles qui

0.

existent et qui soient continues en Soient

sur

f

2α−3 4

.

en (0,0).

(a) Montrer que

|f (x, y)| p 6 |x|α−2 . 2 2 x +y

∀(x, y) 6= (0, 0) (b) Calculer

lim x→0 x 6= 0

|f (x, x)| √ . 2|x| f

(c) Étudier la diérentiabilité de

Exercice 1808

en (0,0).

1. Calculer la dérivée de la fonction

F (x, y) = ex

2 +y 2

au point

P (1, 0)

sui-

vant la bissectrice du premier quadrant.

F (x, y, z) = x2 − 3yz + 5


au point

P (1, 2, 1)

dans une

direction formant des angles égaux avec les trois axes de coordonnées.

F (x, y, z) = xy + yz + zx N (5, 5, 15).


au point

M (2, 1, 3)

dans la

direction joignant ce point au point

Exercice 1809

Etudier la continuité, ainsi que l'existence et la continuité des dérivées par-

tielles premières, des fonctions suivantes : 1.

f (x, y) =

(

√x|y|

si

x2 +y 2

(x, y) 6= (0, 0)

0 2.

sinon.

f (x, y) =

x sin y−y sin x x2 +y 2

f (x, y) =

ex ln(x +y 1

3.

si

0 2

(x, y) 6= (0, 0) sinon.

2)

si

(x, y) 6= (0, 0) sinon.


Exercice 1810

250


f (x, y) =

(

x3 −y 3 x2 +y 2

si

(x, y) 6= (0, 0)

0

sinon.

∂f (x, y) et ∂f (x, y) existent en tout point de ∂x ∂y diérentiable en (0, 0). Montrer que

Exercice 1811

Soit

f :]0, 1[×]0, 1[→ R, x(1 − y) f (x, y) = y(1 − x)

Etudier la continuité et la diérentiabilité de

Exercice 1812

Soit

f

et que

f

est continue mais pas

x6y x>y

si si

f.

f : R2 → R, f (x, y) =

Montrer que

R2

(0, 0)

est continue en

(

x2 y+xy 2 x2 +y 2

si

0

si

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

et admet des dérivées partielles dans toutes les directions,

mais n'y est pas diérentiable.

Exercice 1813

Soit

f : R2 → R, f (x, y) =

Montrer que la fonction

x2 y 2 sin x1 0

si si

x 6= 0 x=0.

f

est diérentiable en tout point de 2 pas continues en certains points de R .

Exercice 1814

f (x, y) =

1 (x2 + y 2 )3/2 sin x2 +y 2 0

Etudier la diérentiabilité en

1.

f (x, y) =

(

f (x, y) =

(

2.

Exercice 1816

mais que

∂1 f

et

∂2 f

ne sont

Etudier la diérentiabilité et la continuité des dérivées partielles de la fonction

f : R 2 → R,

Exercice 1815

R2

(0, 0)

x3 y x4 +y 2

0

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0) .

des fonctions dénies par

si

0 xy 3 x4 +y 2

si si

(x, y) 6= (0, 0) sinon.

si

(x, y) 6= (0, 0) sinon.

Calculer les dérivées partielles (d'ordre un) des fonctions suivantes en un point

arbitraire du domaine de dénition. 1. 2. 3.

f (x, y) = x2 exy ;

√ g(x, y, z) = x2 y 3 z ; p h(x, y) = ln(x + x2 + y 2 ).

Exercice 1817 en

(2, 1).

Calculer les dérivées partielles (d'ordre un) de la fonction

f (x, y) =

q

xy +

x y


Exercice 1818

251


f (x, y) = Montrer que en

xy x2 +y 2

si

(x, y) 6= (0, 0)

0

sinon.

∂ ∂ f (x, y) et ∂y f (x, y) existent en tout point de ∂x

R2

bien que

f

ne soit pas continue

(0, 0).

Exercice 1819


dans une direction formant avec l'axe

Ox

F (x, y) = x2 −xy −2y 2 au point P (1, 2)

un angle de

π . 3

F (x, y) = x3 − 2x2 y + xy 2 + 1 au point P (1, 2) dans la direction joignant ce point au point M (4, 6). p Calculer la dérivée de la fonction F (x, y) = ln x2 + y 2 au point P (1, 1) suivant la bis-


3.

sectrice du premier quadrant.

Exercice 1820

Calculer les diérentielles des fonctions suivantes en un point arbitraire du

domaine de dénition : 1. 2.

f (x, y) = sin2 x + cos2 y ; f (x, y) = ln 1 + xy .


Calculer

df (1, 1),

si

f (x, y) =

38.4 Extremums Soit

f


le seul point critique de de

f

f,

vantes au point

R2

par

(0, 0)

Montrer que

(0, 0)

est

admet en ce point un minimum local.

Ecriver la formule de Taylor de second ordre pour chacune des fonctions sui-

(x0 , y0 )

donné.

1.

f (x, y) = sin(x + 2y), (x0 , y0 ) = (0, 0) ;

2.

f (x, y) =

3.

f (x, y) = e−x

4.

f (x, y) = sin(xy) + cos(xy), (x0 , y0 ) = (0, 0) ;

5.

f (x, y) = e(x−1) cos y, (x0 , y0 ) = (1, 0).

1 , x2 +y 2 +1 2 −y 2

(x0 , y0 ) = (0, 0) ;

cos xy, (x0 , y0 ) = (0, 0) ;

2

Exercice 1825

Pour chacune des fonctions suivantes etudiez la nature du point critique donné :

1.

f (x, y) = x − xy + y 2

2.

f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 + 6

3.

2

4.

f (x, y) = x2 − xy 2 .

qu'il n'est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction

à toute droite passant par

Exercice 1824

F (x, y, z) = ln (ex + ey + ez ) à l'origine dans coordonnées x, y, z les angles α, β, γ .

Calculer la dérivée de la fonction

une direction formant avec les axes de

Exercice 1823

x . y2

2

2

au point critique

au point critique

2

f (x, y, z) = x + y + 2z + xyz 3

2

4

(0, 0) ; (0, 0) ;

au point critique

2

2

f (x, y) = x + 2xy − y + x + 3xy + y + 10

Exercice 1826

(0, 0, 0) ;

au point critique

(0, 0).

Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et déterminez si ce sont

des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle. 1.

f (x, y) = x3 + 6x2 + 3y 2 − 12xy + 9x ;

2.

f (x, y) = sin x + y 2 − 2y + 1 ;


252

3.

f (x, y, z) = cos 2x · sin y + z 2 ;

4.

f (x, y, z) = (x + y + z)2 .

Exercice 1827

Soit

f : R2 → R


f.

1. Étudier les extremums locaux de

2

2

2

D = {(x, y) ∈ R | x + y 6 1}. m sur D.

2. Soit

3. Soit

(x, y) ∈ D.

Montrer que si

4. Étudier la fonction


f (x, y) = x3 − 3x(1 + y 2 ).

f (x, y) = M

t 7→ f (cos t, sin t).

Trouver le point du plan

f

Montrer que

ou

a un maximum

f (x, y) = m,

alors


(2x − y + z = 16)

Déterminer les extremums de

M

et un minimum

x2 + y 2 = 1.

M

et

m.

le plus proche de l'origine.

f (x, y) = xy(1 − x2 − y2)

sur

[0, 1]2 .

f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y . Montrer que f admet au plus un f (x, y) + 9 comme la somme de deux carrés et en déduire que f admet −9

Soit

extremum. Ecrire

comme valeur minimale.


Déterminer un triangle d'aire maximale inscrit dans un cercle donné.

f (x, y) = (x2 − y)(3x2 − y). 2 Montrer que f admet un minimum local en 0 suivant tout vecteur de R mais n'admet pas de minimum local en (0, 0). ( R2 → R Soit f : . (x, y) 7→ xey + yex Montrer que (−1, −1) est le seul extremum possible. A l'aide d'un développement limité de ϕ(h) = f (−1 + h, −1 + h) et de ψ(h) = f (−1 + h, −1 − h), montrer que f n'a pas d'extremum. Soit

Exercice 1833


Déterminer les extrémums de Déterminer Si

f

max |sin z| . |z|61

f

admet un maximum local en

Exercice 1837 On supposera que

f

A

Soit

A ⊂ R2 ,

sin z =

U ⊂ R2

eiz −e−iz . 2i

et si :

∂f ∂f (a) = (a) = 0, ∂x1 ∂x2

a. R

(A) comme l'ensemble {x ∈ A|∃ρ > 0, B(x, ρ) ⊂ A}. (A) 6= ∅. On suppose que f est une fonction C 1 sur A telle A \ Int(A). Montrer qu'il existe z ∈ Int(A) tel que : on dénit

fermée bornée et

est constante sur

Exercice 1838

On rappelle que :

est concave sur un ouvert convexe

∃a ∈ U, alors

f : (x, y, z) → x2 + y 2 + z 2 + 2xyz.

R

∂f ∂f (z) = (z) = 0. ∂x1 ∂x2 Chercher les extrémums sur

R2

des applications :

(x, y) → x4 + y 4 − 4xy; (x, y) → (x − y)exy ; (x, y) → xey + yex ; (x, y) → ex sin y ; (x, y) → x3 + y 3 .


Exercice 1839

Soit

f

253

f

1. Rappeler une condition nécessaire pour que Dans la suite de l'exercice,

critique

f.

de

C2

une fonction réelle de classe

a = (x0 , y0 )

sur un ouvert

R2 .

présente un extremum local en

(x0 , y0 ).

vérie cette condition, c'est-à-dire est un

∂2f (a), ∂x2

B=

∂2f (a), ∂x∂y

Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy 2 , R(t) = At2 + 2Bt + C, ∆<0

et

point

C=

∂2f (a), ∂y 2

∆ = B 2 − AC,

S(t) = Ct2 + 2Bt + A.

A(ou C) > 0.

∀t ∈ R, R(t) > δ

S(t) > δ pour un certain δ > 0. p On pose x = r cos θ , y = r sin θ , avec r = x2 + y 2 , et on suppose que sin θ. cos θ = 6 0.

(a) Montrer que (b)

de

On pose

A=

2. On suppose

Ω

et

Montrer successivement :

Q(x, y) > r2 δ sin2 θ, Q(x, y) > r2 δ cos2 θ, 2 Q(x, y) > r2 δ.

En déduire que

∀(x, y) Q(x, y) > (c) Montrer que

a

est un point de minimum

f

formule de Taylor-Young pour

∆ < 0 et A(ou C) < 0. que (x0 , y0 ) est un point de

r2 Inf(δ, 2A, 2C). 2 local strict de f .

On écrira pour cela la

en ce point.

3. On suppose Montrer

4. On suppose maintenant

θ1 , θ2 ∈ R

t1 , t2 ∈ R

tels que

tels que tan θ1

= t1

S(t1 ) > 0

et tan θ2

g(t) := f (x0 + t cos θ1 , y0 + t sin θ1 ), pour

t∈R

f.

∆ > 0.

(a) Montrer qu'il existe (b) Soient

maximum local strict de

assez petit, montrer que

point de minimum local de 5. Dessiner l'allure du graphe de

f

a

et

= t2 .

S(t2 ) < 0. En examinant les fonctions

h(t) := f (x0 + t cos θ2 , y0 + t sin θ2 )

n'est ni un point de maximum local, ni un

f. au voisinage du point

(a, f (a))

dans les trois cas étudiés

ci-dessus (questions 1, 3 et 4). 6. Que peut-on dire en général quand

∆ = 0?

Pour répondre à cette question, on pourra

s'appuyer sur l'étude des deux cas suivant au voisinage de


f1 (x, y) = x2 + x4 + y 4

et

Existe-t-il un triangle d'aire maximale inscrit dans un cercle donné ? Le déter-

Soit

f : R2 → R

continue telle que :

lim |f (x)| = +∞.

kxk→∞

f

:

f2 (x, y) = x2 − y 4 .

miner par une méthode géométrique.

Montrer que

(0, 0)

est minorée et atteint sa borne inférieure.


Exercice 1842

f : R2 → R

Soit

254

l'application

(x, y) 7→ 6xy + (y − x)3 .

On note

∆ = {(x, y) ∈

2

R , −1 6 x 6 y 6 1}. 1. Dessiner

∆.

f

Montrer que

2. Calculer les extrema de

f

Exercice 1843 D

dans

R

sur le bord de

f

3. En déduire les bornes de

est bornée et atteint ses bornes sur

sur

∆

D = {z ∈ C; |z| 6 1} f (z) = | sin z|. f

1. Pour quelle raison

puis dans l'intérieur de

∆.

∆.

On note

dénie par

∆.

est-elle bornée sur

et

S = {z ∈ C; |z| = 1}.

Soit

f

D ? On note M = sup f (z) et m = inf f (z). Est-ce z∈D

z∈D que

M

et

m

sont atteints ? Donner la valeur de

m.

z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R. Montrer que | sin z|2 = 21 (ch 2y − cos 2x). i(x+iy) −e−i(x+iy) ey −e−y sin z = e et ch y = .) 2i 2

2. Soit

3. En déduire que 4. Montrer que

Exercice 1844 Soit

f : R2 → R

M

l'application de

est atteint en un point de

(On rappelle que

S.

e2 − 1 . 2e 2 pose Ω = R \ {(0, 0)}.

M=

On


( 2 2 xy xx2 −y +y 2 f (x, y) = 0 1. Montrer que

f

est diérentiable sur

2. Montrer que

f

est diérentiable en

Ω

si si

(x, y) ∈ Ω (x, y) = (0, 0).

et calculer sa diérentielle.

(0, 0)

et que sa diérentielle est nulle.

∂2f ∂2f et et calculer ∂x∂y ∂y∂x la valeur de ces dérivées en (0, 0). Que peut-on en déduire pour la continuité de ces dérivées

3. Montrer que

partielles en

Exercice 1845

f

admet en tout point des dérivées partielles secondes

(0, 0) ?

38.5 Équations aux dérivées partielles Résoudre à l'aide des coordonnées polaires l'équation aux dérivées partielles :

x

Exercice 1846 de variables

u=

Exercice 1847

p ∂f ∂f (x, y) + y (x, y) = x2 + y 2 ∂x ∂y

Résoudre l'équation des cordes vibrantes :

x+y et 2

v=

x−y (on suppose que 2

f

est

∂2f ∂2f = ∂x2 ∂y 2

à l'aide du changement

C 2 ).

Résoudre l'équation aux dérivées partielles :

x

∂f ∂f −y =f ∂y ∂x

en passant en coordonnées polaires.

Exercice 1848

Résoudre en utilisant le changement de variable

dérivées partielles suivante :

x2

2 ∂2f ∂2f 2∂ f + 2xy + y = 0. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

x = u, y = uv

l'équation aux


Exercice 1849

Soit

f : R2 → R

255

une application

C1

homogène de degré

s > 0,

i.e. telle que :

∀λ ∈ R+∗ , ∀x ∈ R2 , f (λx) = λs f (x). f

Montrer que les dérivées partielles de

sont homogènes de degré

sf (x) = x1

Exercice 1850 + Exercice 1851 4(g) Exercice 1852 ∂F Calculer ∂x

Calculer

Soit f : ∂F + ∂F . ∂y ∂z

R3 → R

f : R2 → R une fonction de 4(f ).

en

fonction

C 2.

∂f ∂f (u, v) + 2u (u, v) = 0 ∂u ∂v Soit

φ : R2 → R2

F (x, y, z) = f (x − y, y − z, z − x).

On pose

f : R2 → R

On cherche les fonctions

pour tout

une fonction de classe

(a) Montrer que (b) Montrer que 3. Soit

2

f : R → R

g f

est de classe

φ

(2)

C 1.

Posons

est bijective. Vérier que

φ

et

φ−1

g = f ◦ φ.

.

∂g ∂x

= 0. fonction de classe C . Montrer que f vérie (2) si et seulement h : R → R de classe C 1 telle que f (u, v) = h(v − u2 ) pour tout

est solution de (2) si et seulement si

1

une

s'il existe une fonction (x, y) ∈ R2 .

Exercice 1853

C

1

(u, v) ∈ R2 .

φ(x, y) = (x, y + x2 ).

l'application dénie par

f : R2 → R

g(x, y) = f (x2 − y 2 , 2xy).

telles que :

1. En calculant l'application réciproque, montrer que 1 sont de classe C . 2. Soit

et :

∂f ∂f (x) + x2 (x). ∂x1 ∂x2

dérivable. On pose

Soit

s−1

: R2 → R

diérentiable et g : R → R dénie par g(x) = f ex sin x, ln(1 Montrer que g est dérivable sur R et calculer sa dérivée en fonction des dérivées partielles de f . Soient + x2 ) .

Exercice 1854

Soient

f

U = {(x, y) ∈ R2 , x > 0}

fonction

Ψ :

2.

U

V =]0, +∞[×] − π2 , π2 [.

On dénit la

V → R2 (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ)

V sont des ouverts de R2 et −1 sur U . Déterminer Ψ . 1 Soit f : U → R de classe C sur U . On pose

1. Montrer que

et

et

que

Ψ

est de classe

C1

et bijective de

V

F (r, θ) = f ◦ Ψ(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ). C1

(a) Montrer que

f

est de classe

(b) Montrer que

f

vérie l'équation

(E)

sur

U

et calculer

∂f ∂f ∂F ∂F et en fonction de et . ∂r ∂θ ∂x ∂y

√ ∂f ∂f a (a, b) + b (a, b) = a2 + b2 arctan ∂x ∂y

si et seulement si

F

b a

vérie l'équation

(E 0 )

∂F (r0 , θ0 ) = θ0 ∂r

∀(r0 , θ0 ) ∈ V.

∀(a, b) ∈ U


256

(c) Déterminer toutes les fonctions

f : U → R de classe C 1 sur U

qui vérient l'équation

(E).

Exercice 1855

D = {(x, y) ∈ R2 , x > 0}.

Soit

vérient

(E) ϕ(x, y) = y/x

1. Vérier que 2. Soit

g ∈ C 1 (R, R).

3. Soit

f

x

qui

∂f ∂f +y = 0 ∀(x, y) ∈ D. ∂x ∂y

(E).

g◦ϕ

est solution de

Montrer que

4. Donner l'ensemble des solutions de

Exercice 1856

f ∈ C 1 (D, R)

est solution de (E).

Montrer que

une solution de

On cherche les fonctions

Déterminer les fonctions

f (u, uv)

(E).

ne dépend que de

v.

(E). f ∈ C 1 (R2 , R)

vériant

∂f ∂f − = 0 ∀(x, y) ∈ R2 . ∂x ∂y u = x + y, v = x − y .

On pourra eectuer le changement de variables

Exercice 1857

Soient

f : Rn → R

des propriétés de la diérentielle,

Exercice 1858

g : Rn → R deux fonctions diérentiables. montrer que ∇(f g) = f · ∇g + g · ∇f . et

38.6 Fonctions implicites Soit

f : R2 → R


f (x, y) = ((x − 2)2 + y 2 − 4)((x − 1)2 + 1. Tracer rapidement la courbe

C la y = φ(x) ?

2. En quels points de de la forme

Exercice 1859

C

d'équation

relation

permet-elle de dénir une fonction implicite

x+y−1

f (x, y) = 2e

(a, b)

y = φ(x).

f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy − 1 = 0

Exercice 1860

f (x, y) = 0.

f (x, y) = 0

Donner un développement limité à l'ordre 3 de

2.

y2 − 1). 4

Montrer que les relations proposées dénissent au voisinage du couple

indiqué une fonction implicite

1.

En utilisant

φ

en

a.

(a, b) = (0, 1).

+ ln(x − y) − 2x + y

3

(a, b) = (1, 0).

Montrer que la relation

f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 − 2z(x + y) − 2x + y − 2z − 1 = 0 dénit au voisinage de limité de

φ

à l'ordre 2

Exercice 1861

(0, 0, −1) en (0, 0).

une fonction implicite

z = φ(x, y).

38.7 Divers Soit

f : R2 → R

admettant des dérivées partielles continues en

∀a ∈ R2 − {0}, ∀t > 0, f (ta) = tf (a). Montrer que

f

Donner un développement

est linéaire.

0

et telle que :


Exercice 1862

Soit

f : R2 → R

∀a ∈ O, Montrer que

f

est constante sur

Exercice 1863

M, ∀x ∈ R

n

Soit

C1

une application

257

sur un ouvert convexe

O

telle que :

∂f ∂f (a) = (a) = 0. ∂x1 ∂x2

O.

f : Rn → R

une application diérentiable. Montrez que si

k∇f (x)k 6

, alors

|f (x) − f (y)| 6 M kx − yk, ∀x, y ∈ Rn .


Exercice 1864 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

1. Montrer que : ∀x1 , x2 , · · · , xn ∈ R (x1 + 2 2 x2 + · · · + xn ) 6 + x2 + · · · + xn ) Pn Pn 2. Déterminer : m = Inf{( x )( i i=1 i=1 1/xi ) tels que x1 , x2 , · · · , xn > 0} 4 2 2 2 2 3. Déterminer : M = Sup {|x + 2y + 3z + 4t| tels que (x, y, z, t) ∈ R , x + y + z + t 6 1}

2

n(x21

Exercice 1865 (Normes sur R ) p 2

y|)

et

Pour tout

x2 /9 + y 2 /4.

N2 (x, y) =

1. Montrer que

N1

et

N2

p (x, y) ∈ R2 , on pose N1 (x, y) = Max( x2 + y 2 , |x−

sont des normes sur

R2

et représenter les boules unités fermées

associées à ces normes. 2. Montrer que

N2 6 k.k∞ 6 k.k2 6 N1 6 k.k1 6 4N2 .

3. Déterminer le plus petit réel

Exercice 1866

Soient

(ai )16i6n

étudiant le signe du trinôme

Exercice 1867

k > 0,

tel que

k.k1 6 kN2 .

(bi )16i6n deux familles de n nombres ! 21 n n n X X X (ai + λbi )2 que ai b i 6 a2i λ −→ et

i=1

Soit

(E, d)

(utiliser Cauchy-Schwarz)

i=1

i=1

réels. Montrer, en

n X

b2i

! 12

.

i=1

un espace métrique.

p d0 (x, y) = d(x, y) est une distance sur E . Enoncer des conditions susantes sur une fonction f , dénie de R+ dans R+ pour que (x, y) −→ f (d(x, y)) soit une distance sur E . d(x, y) 00 00 Montrer que l'application d dénie sur E × E par d (x, y) = est une distance 1 + d(x, y) u sur E . Indication : On utilisera la croissance de la fonction u −→ . 1+u 00 Comparer les distances d et d .

1. Montrer que

2.

3.

E est l'ensemble des nombres Bd00 (0, a) où a est un réel.

4. Dans le cas où construire

Exercice 1868

d

est la distance valeur absolue,

(E, d) un espace métrique complet, et f une application de E dans E k ∈ R, 0 < k < 1 tel que d(f (x), f (y)) 6 k d(x, y) ∀x ∈ E, ∀y ∈ E .

qu'il existe

Soit

1. Montrer que

f

x0 ∈ E (E, d).

2. Soient dans

réels et où

est continue sur et pour

(E, d).

n > 0, xn+1 = f (xn ).


3. Montrer que cette suite converge vers un point xe de

f (l) = l.

telle

Montrer que ce point xe est unique.

f,

(xn )n>0

est de Cauchy

c'est-à-dire une solution de

39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés 4. Application : montrer que le système unique

(x1 , x2 ) ∈ R2 .

Exercice 1869

258

x1 = 15 (2 sin x1 + cos x2 ) x2 = 15 (cos x1 + 3 sin x2 )

On considère les trois normes dénies sur

kXk1 = |x1 | + |x2 | , kXk2 = (x21 + x22 )

1 2

R2

admet une solution

par :

, kXk∞ = max{|x1 |, |x2 |}.

Représenter graphiquement les boules unités de chacune d'entre elles. Peut-on comparer" ces trois normes ? Ecriver les dénitions des distances

Exercice 1870

Soit

d1 ,d2

et

d∞

associées à chacune d'entre elles.

E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs dans R, dénies et

nues sur [-1,1 ].

1. Montrer que les trois applications suivantes sont des normes sur

f −→ kf k1 =

Z

+1

|f (x)|dx,

f −→ kf k2 = (

Z

−1

E

:

+1

1

f 2 (x)dx) 2

−1

f −→ kf k∞ =

sup {|f (x)|} x∈[−1,+1]

2. On considère la suite

La suite

fn

Exercice 1871 dérivables sur

(fn )n∈N ∗

est-elle de Cauchy Soit

[0,1]

E

 −1 si x ∈ [−1, − n1 ]    nx si x ∈] − n1 , n1 ] de fonctions dénies par fn (x) =    1 1 si x ∈] , 1] n dans (E, k.k1 ), (E, k.k2 ) et dans (E, k.k∞ ) ? Conclusions ?

l'espace vectoriel des fonctions à valeurs dans

et vériant

f (0) = 0.

(E, N1 )

N1 (f ) 6 N2 (f ).

N

N2 (f ) = kf 0 k∞ .

En déduire que l'application identique de

(E, N2 )

vers

xn , montrer que l'application identique de n

(E, N1 )

vers

fn (x) =

n'est pas continue.

Exercice 1872 cation

et

est continue.

2. A l'aide de la fonction

(E, N2 )

dénies, continues et

On dénit sur cet espace les deux normes suivantes :

N1 (f ) = kf k∞ 1. Montrer que

R,

Lorsqu'un espace vectoriel

N : E→R

E

est en outre muni d'une multiplication, l'appli-

est dite norme multiplicative si :

est une norme,

A et B dans E , N (A.B) 6 N (A).N (B). Soit E = Mn (R), l'espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes. A ∈ E A = (ai,j )16i,j6n n X 1. Montrer que N∞ (A) = max { |ai,j | } dénit une norme multiplicative sur E . pour tous

16i6n

2. Montrer que

3. Soit

N∞ (A) =

A ∈ Mn (R)

j=1

max n

{X∈R , kXk∞ =1}

telle que

se note

{ kA.Xk∞ }.

∀ 1 6 i 6 n, |ai,i | >

n X

|ai,j |

et

D

la matrice diagonale

j=1,j6=i formée avec les éléments diagonaux de A. Soit aussi (p) suite des X ∈ Rn dénie pour p > 0 par :

F

un vecteur de

X (0) = X0 ∈ Rn X (p+1) = (I − D−1 A)X (p) + D−1 F

Montrer qu'elle est convergente et calculer sa limite.

pour p

Rn .

>0

On considère la


Exercice 1873 (partiel 1999) et

A

(E, k · k)

Soit

259

un espace vectoriel normé,

x

un élément de

E

E.

un compact de

1. Montrer que l'application de 2. Montrer que l'application de 3. Montrer que la distance de

E E

dans

à

A

x

dans

R R

y y

qui à qui à

est atteinte,

kyk est continue. associe ky − xk est continue. c'est-à-dire qu'il existe a ∈ A tel associe

que

inf ky − xk = ka − xk.

Exercice 1874

y∈A

(E, k · kE ) E dans F .

Soient

application linéaire de 1. Montrer que

L

(F, k · kF )

et

est continue en

0

deux espaces vectoriels normés. Soit

si et seulement si elle est continue en tout point de

K>0

2. On suppose qu'il existe une constante

L

une

E.

telle que

kL(x)kF 6 KkxkE Montrer que

L

∀x ∈ E.

est continue.

3. Dans la suite, on suppose que

L

est continue et on pose

K = sup kL(x)kF . kxkE =1

K = +∞. Montrer qu'alors il existe une suite (xn ) dans E telle que n et telle que kL(xn )kF tend vers +∞. En déduire qu'il existe une suite yn tendant vers 0 et telle que kL(yn )kF = 1. En déduire que K ∈ R+ et que pour tout x ∈ E on a

(a) Supposons que

kxn k = 1

(b)

Exercice 1875

pour tout

kL(x)kF 6 KkxkE . Soit

E

l'espace vectoriel des fonctions continues de

muni de la norme

kf k1 =

[−1, 1]

à valeurs dans

R

1

Z

|f (x)| dx.

0 On considère l'application 1. Montrer que

L

L:E→R

On suppose que

L(f ) = f (1).

est une application linéaire.

2. En considérant les fonctions

Exercice 1876

dénie par

fn : x 7→

√

nxn ,

montrer que

L

n'est pas continue.

Soit

(E, k · k)

(xn )

est de Cauchy. Montrer qu'elle converge si et seulement si elle admet une

un espace vectoriel normé et

(xn )n∈N

une suite d'éléments de

E.

sous-suite convergente.

Exercice 1877

Soit

E

l'espace vectoriel des fonctions continues de

On dénit une norme sur

E

[−1, 1]

à valeurs dans

R.

en posant

kf k1 =

Z

1

|f (t)| dt.

−1 On va montrer que

(fn )n∈N∗

E

muni de cette norme n'est pas complet. Pour cela, on dénit une suite

par

  −1 fn (t) = nt   1

si si si

− 1 6 t 6 − n1 − n1 6 t 6 n1 1 6 t 6 1. n

39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés fn ∈ E

1. Vérier que

pour tout

260

n > 1.

2. Montrer que

2 2 kfn − fp k 6 sup( , ) n p (fn )

et en déduire que

est de Cauchy.

3. Supposons qu'il existe une fonction

f ∈E

(fn )

converge vers

n→+∞

lim

Z

lim

Z

telle que

f

dans

(E, k · k1 ).

Montrer qu'alors on a

lim

n→+∞

−α

Z

|fn (t) − f (t)| dt = 0

et

−1

1

|fn (t) − f (t)| dt = 0

α

0 < α < 1.

pour tout

4. Montrer qu'on a

lim

n→+∞

Z

−α

|fn (t) + 1| dt = 0

0 < α < 1.

pour tout

et

−1

n→+∞

1

|fn (t) − 1| dt = 0

α

En déduire que

f (t) = −1 f (t) = 1

∀t ∈ [−1, 0[ ∀t ∈]0, 1].

Conclure.

Exercice 1878 g

de

E

dans

E

Soit

E = Rd

est dite

k · k. On rappelle K ∈]0, 1[ tel que

muni d'une norme

contractante

s'il existe

kg(x) − g(y)k 6 Kkx − yk

qu'une application continue

∀x, y ∈ E.

On rappelle aussi que toute application contractante admet un unique point xe. Soit

f


E

dans n contractante. On note x0 le point xe de f . 1. Montrer que tout point xe de 2. Montrer que si 3. En déduire que

Exercice 1879

de

E

x

f

f n,

est l'unique point xe de

tel que

fn

soit

f n.

il en est de même pour

f (x).

f.

E = Rd muni d'une norme k · k. On A de E , notée d(x0 , A), par la formule

Soit

à une partie

n

telle qu'il existe un entier

est un point xe de

est un point xe de

x0

E

dénit la

distance

d'un élément

x0

d(x0 , A) = inf kx − x0 k. x∈A

1. Supposons

A

compact. Montrer que pour tout

x0 ∈ E

il existe

y∈A

tel que

d(x0 , A) =

ky − x0 k. 2. Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que remarquera que pour toute partie 3. Montrer que l'application qui à pothèse sur

B

x0

de

A

associe

on a

A

est fermé. (On

d(x0 , B) > d(x0 , A).)

d(x0 , A)

est continue sur

E

(sans aucune hy-

A).


A

est un fermé de

disjoints, alors il existe une constante

E et B un compact δ > 0 telle que

ka − bk > δ

∀(a, b) ∈ A × B.

de

E

tels que

A

et

B

sont


261

A

et

Np : Rn −→ R P 1 x 7−→ ( nk=1 |xi |p ) p

5. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que

B

sont deux fermés disjoints.

Exercice 1880 N : (x, y) 7−→ |5x + 3y| Exercice 1881 ∀p > 1

est-elle une norme de

1. Montrer que

, l'application

est une norme (on utilisera la convexité de

x ∈ Rn

2. Pour

xp ).

R2 ?

norme innie

limp→+∞ Np (x) = max(xi , 1 6 i 6 n), , et notée N∞ .

xé, montrer que

une norme, appelée

et que cela dénit

3. Établir les inégalités suivantes :

∀x ∈ Rn , N∞ (x) 6 N1 (x) 6

√

nN2 (x) 6 nN∞ (x).

Que peut-on en déduire ? 4. Dessiner les boules unités des normes 1,2, et

Exercice 1882 Exercice 1883 A

Soit

∞

dans

N : Rn −→ R Pn Pk x 7−→ k=1 | i=1 xi |

convexe

est dit

R2 .

. Montrer que

N

est une norme.

s'il contient tout segment reliant deux quelconques de ses

points :

∀(x, y) ∈ A2 , [x, y] = {x + t(y − x), t ∈ [0, 1]} ⊂ A. Soit

E

un espace vectoriel muni d'une norme

N.

Montrer que toute boule fermée (ou ouverte)

est convexe et symétrique par rapport à son centre.

Exercice 1884

Soit

(E, N )

un espace vectoriel normé. Montrer :

1 ∀(x, y) ∈ (E \ {0}) , N (x − y) > sup(N (x), N (y)) · N 2 2

Exercice 1885

Soit

E

un espace vectoriel normé, et

1.

B(a, r) = {a} + B(0, r)

2.

B(a, r) = B(a0 , r0 ) ⇔ a = a0

3.

B(a + a0 , r + r0 ) = B(a, r) + B(a0 , r0 )

4.

B(a, r) ∩ B(a0 , r0 ) 6= ∅ ⇔ ka0 − ak < r + r0 .

Exercice 1886

Soit

(E, N )

A⊂E

et

R-espace

x y − N (x) N (y)

(a, a0 ) ∈ E 2 , (r, r0 ) ∈ (R∗+ )2 .

.

Montrer :

r = r0

une espace vectoriel. Montrer les équivalences :

est borné

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∃(a, r) ∈ E × R+ : A ⊂ B(a, r) ∃R > 0 : A ⊂ B(0, R) ∃R > 0 : A ⊂ Bf (0, R) A est inclus dans une boule de E.

Exercice 1887 (Topologie du R-espace vectoriel R) sur le

vectoriel

1. Quelles sont toutes les normes

R?

On se place désormais dans

(R, | . |).

2. Quelles sont les boules ouvertes ? fermées ? 3. Ouverts et fermés de (a) soit

(Ia )a∈A

R

:

une famille d'intervalles ouverts non vides de

Montrer que A est au plus dénombrable.

R,

deux à deux disjoints.


262

O un ouvert de R, et a ∈ O. On pose A = {x ∈ R | x 6∈ O B = {x ∈ R | x 6∈ O et x < a}. Etudier l'existence de inf A et sup B .

(b) soit

et

x > a}

et

(c) en déduire que : tout ouvert de

R

est réunion d'une famille au plus dénombrable d'intervalles ou-

verts tout fermé de

Exercice 1888

Soit

R est réunion d'une famille au plus dénombrable d'intervalles fermés.

E l'espace vectoriel des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] telles que f (0) = 0. f ∈ E , N (f ) = kf k∞

1. On pose pour tout

et

N 0 (f ) = kf 0 k∞ .

Montrer que

N

et

N0

sont

des normes. 2. Montrer que

Exercice 1889

N

Soit

N0

et

E l'espace vectoriel des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] telles que f (0) = 0. f ∈ E , N (f ) = kf k∞ + kf 0 k∞ .

1. On pose pour tout 2. Montrer que, si

ne sont pas équivalentes.

f ∈E

alors, pour tout

N

Montrer que

x ∈ [0, 1] : f (x) = e−x

est une norme sur

E

x

Z

et (f (t) + f 0 (t))dt.

0 3. On pose, pour tout

Montrer que

N0

une partie de

E

est une norme sur

E,

N.

équivalente à

Exercice 1890

f ∈ E , N 0 (f ) = kf + f 0 k∞ .

Soit

E

un espace vectoriel normé,

A

et

x

un élément de

E.

Comparer les deux assertions :

i) Pour tout ε > 0 l'ensemble A ∩ B(x, ε) est inni. ii) Pour tout ε > 0 il existe un élément y distinct de x dans A ∩ B(x, ε).

Exercice 1891 tout

Soit

A

l'ensemble des fonctions continues sur

[0, 1]

telles que

f (x) > 0

pour

x ∈ [0, 1].

1. On munit

C[0, 1]

de la norme

kf k∞ = sup |f (x)|.

Montrer que

A

est fermé et calculer

x∈[0,1] son intérieur. 2. On munit et que

A

C[0, 1]

de la norme

kf k1 =

1

Z

|f (x)|dx.

Montrer que l'intérieur de

A

est vide

0 est fermé.

Exercice 1892

Soit

(E, k k)

un espace vectoriel normé sur

R.

On pose

kx + yk2 + kx − yk2 µ(E) = sup . 2(kxk2 + kyk2 ) x,y∈E−(0,0) 1. Montrer que

1 6 µ(E) 6 2.

µ(R2 ) lorsque R2 max{|x|, |y|}.

2. Calculer

Exercice 1893

Soit

k k

est muni de la norme euclidienne puis de la norme

une norme sur

Rn

kAk =

et

sup x∈Rn ;kxk=1

1. Montrer qu'on dénit ainsi une norme sur 2. On munit

R

n

de la norme

k k1 .

A = (ai,j )i,j∈1,···n ∈ Mn (R).

On pose :

kAxk.

Mn (R).

Montrer que

n X kAk1 = max ( |ai,j |). 16j6n

j=1

k(x, y)k∞ =


Exercice 1894

1. Montrer que l'application

263 1

Z

(f, g) 7→ hf, gi =

f (t)g(t)dt est un produit

0 scalaire euclidien sur C[0, 1], l'espace vectoriel des fonctions continues sur

[0, 1]

à valeurs

réelles. 2. On note

C = {f ∈ C[0, 1];

1

Z

f (t)dt = 1.

Montrer que

0

inf

f ∈C

Z

1

f 2 (t)dt = 1

et que cette

0

borne inférieure est atteinte.

Exercice 1895

C[0, 1], l'espace = sup |f (x)|.

On munit

réelles de la norme

kf k∞

vectoriel des fonctions continues sur

[0, 1]

à valeurs

x∈[0,1] 1. Soit

ϕ : C[0, 1] → R

une application linéaire. On pose

N (ϕ) =

|ϕ(f )|.

sup f ∈C[0,1];kf k∞ =1

Montrer que 2. Calculer

ϕ

N (ϕ)

est continue si et seulement si

N (ψ)

lorsque

ψ(f ) =

est ni.

1

Z

f (t)dt.

0

f ∈ C[0, 1]

3. Posons, pour toute fonction

:

ϕ(f ) =

1 2

Z

f (t)dt −

Z

0

1

f (t)dt.

Montrer que

1 2

N (ϕ) = 1.

Exercice 1896

f (0) = 0

telles que

E , l'espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles norme kf k∞ = sup |f (x)|.

On munit de la

x∈[0,1] 1. Soit

ϕ:E→R


N (ϕ) =

|ϕ(f )|.

sup

Montrer que

f ∈E;kf k∞ =1

ϕ est continue

l'espace vectoriel des formes 2. Calculer Z 1

N (ϕ) est ni. Montrer que ϕ 7→ N (ϕ) est une norme sur linéaires continues sur E .

si et seulement si

µ = N (ψ)

lorsque

ψ

est dénie en posant, pour toute fonction

f ∈E

:

ψ(f ) =

f (t)dt.

0 3. Peut-on trouver une fonction


On munit

f ∈E

E = C 1 [0, 1]

telle que

et

|ψ(f )| = µ

F = C[0, 1]

et

kf k∞ = 1 ?

de la norme

kf k∞ = sup |f (x)|. x∈[0,1]

ϕ:E→F


N (ϕ) =

|ϕ(f )|.

sup

Montrer que

f ∈E;kf k∞ =1

ϕ


2. Montrer que l'application


Soit

x, y ∈ E

2. Les normes

Exercice 1899

inversibles

2. Soit

(E, h, i) et

k k1

I

f 7→ f 0

est ni.

n'est pas continue.


le segment

et

N (ϕ)

k k∞

de

[x, y]. R

n

Calculer

S = {x ∈ E; kxk = 1}. S ∩ I.

sont-elles euclidiennes ?

A ∈ Mn (C). Montrer quil existe une suite convergeant vers A (en un sens que l'on précisera). 1. Soit

N ∈ Mn (C) + N ) = 1.

une matrice nilpotente. Calculer les valeurs propres de

A ∈ Mn (C)

telle que

det(I 3. Soit

de matrices

Exercice 1900

AN = N A.

Calculer det (A

I Préliminaires

+ N ).

N.

(An )n∈N

Montrer que

39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés 1. Soit que 2. Soit

P l'espace vectoriel des fonctions P est de dimension innie. X


R.

264

polynomiales de

Montrer que

[0, 1]

à valeurs dans

R.

Montrer

¯ sup(X) = sup X.

II L

lipschitziennes

[0, 1] à valeurs dans R, c'est à dire telles 1 qu'il existe k ∈ R+ tel que, pour tout x, y ∈ [0, 1], |f (x) − f (y)| 6 k|x − y|. On note C 1 l'ensemble des fonctions de [0, 1] à valeurs dans R de classe C , c'est à dire dérivables à dérivée

On note

l'ensemble des fonctions

de

continue. 1. Montrer que valeurs dans

L est un sous espace R, que L contient C1

vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de

[0, 1]

à

et est de dimension innie.

f ∈L:

2. On pose, pour tout

N1 (f ) = |f (0)| +

|f (x) − f (y)| |x − y| (x,y)∈[0,1]2 ,x6=y sup

|f (x) − f (0)| |x| x∈]0,1]

N2 (f ) = |f (0)| + sup

kf k∞ = sup |f (x)| x∈[0,1]

λ(f ) = kf k∞ + N1 , N2 , k k ∞

(a) Montrer que

(b) En considérant la suite

et

λ

|f (x) − f (y)| . |x − y| (x,y)∈[0,1]2 ,x6=y sup

sont des normes sur

fn (x) = sin(2πnx),

L.

montrer que

N2

n'est pas équivalente à

k k∞ . N1

(c) Montrer que

n'est équivalente ni à

(gn )n∈N

(d) Construire une suite pas pour

N2 .


et

N1

(b) Montrer que

ν1 (f ) = N1 (f ),

4. Soit

(E, k k)

Cauchy que

et

est

que

ν

ν1

sont des normes sur pour tout

il existe

x 7→ |x|

k k∞ k k∞ .

pour

mais

et

ν(f ) = kf k∞ + kf 0 k∞ .

C1 .

f ∈ C1 . (xn )n∈N m, n > N

N

tel que, si

E est dite de alors kxn − xm k 6 ε. On dit convergente. On rappelle que R d'éléments de

est complet.

0

C l'espace vectoriel des (C 0 , k k∞ ) est complet. (fn )n∈N

0

n'est pas équivalente à

si toute suite de Cauchy y est

(b) L'espace vectoriel normé (c) Soit

qui converge vers

sont-elles équivalentes ?

ε > 0,

complet

muni de la norme (a) Soit

et

N2 .

un espace vectoriel normé. Une suite

si, pour tout

(E, k k)

L N2

f ∈ C1 : ν1 (f ) = |f (0)| + kf 0 k∞

ν1

ν

ni à

sont équivalentes.

(a) Montrer que

(c) Les normes

d'éléments de

En déduire (de nouveau) que

λ

(e) Montrer que

k k∞ ,

fonctions continues de

(C1 , ν)

[0, 1]

à valeurs dans

est-il complet ? Qu'en est-il de

une suite de Cauchy dans

mément vers une fonction continue

f.

(L, λ).

Montrer que

R.

Montrer

(C1 , ν1 ) ?

(fn )n∈N

converge unifor-

40 Suites dans

265

Rn n assez grand f − fn (L, λ) est complet.

(d) Démontrer que pour (e) En déduire que

est lipschitzienne.

III C1

On munit

ϕ : C1 → C 0

1. Soit

C0

k k∞ .

On note


N (ϕ) =

d'une norme 0 à valeurs dans C .

N

et et

de la norme

d

l'application

f 7→ f 0

sup kϕ(f )k∞ .

de

C1

Démontrer

f ;N (f )61 que

ϕ

N (ϕ)


est ni. Vérier que N est une norme sur C1 à valeurs dans C0 .

l'espace vectoriel des applications linéaires continues de

d n'est pas continue si N = k k∞ . norme ν. Montrer que d est continue et calculer N (d).

2. Montrer que l'application 3. On munit

C

1

de la

[Exercice corrigé]

Exercice 1901 x Exercice 1902

40 Suites dans Soit

xn

une suite de

Rd .

xn

A


A

n est fermé. Indication : prouver que le complément de Soit

Rn

une suite bornée de

Rd .

des valeurs d'adhérence de

est ouvert.

Montrer que

xn

converge si et seulement si A Rd a

est un singleton. Indication : pour prouver la convergence, utiliser qu'une suite bornée de au moins une valeur d'adhérence.

Exercice 1903

Soit

f : Rd → Rd

continue. Soit

x 0 ∈ Rd .

Soit

xn

la suite dénie par

xn+1 = f (xn ). Supposons que

||xn − xn+1 || → 0.

Montrer que si

a ∈ A alors f (a) = a. f en a en termes de

Indication : appliquer la dénition de la continuité de

Exercice 1904

l'ensemble

A

Soit

xn

une suite bornée de

limites.

Rd . Supposons que ||xn − xn+1 || → 0. Montrer que

est non-vide, compact, connexe.

Indication : pour la connexité, supposer que

A = A1 ∪ A2

avec

A1

et

A2

non-vides, disjoints,

fermés. Si

d=1

conclure que

Exercice 1905

Soit

A = [a, b] f :R→R

avec

a 6 b.

continue. Soit

x 0 ∈ R.

Soit

xn

la suite dénie par

xn+1 = f (xn ). Supposons que

xn

est bornée. Montrer que

xn

converge si et seulement si

||xn − xn+1 || → 0. Indication. Montrer qu'il sut de prouver que

a=b

dans

[a, b] = A.

Si

a
montrer que la

suite est stationnaire.

Exercice 1906 f :R→R

Soit

sn = Σnk=1 1/k

et

xn = cos(sn ).

Montrer qu'il n'existe pas d'application

continue telle que

xn+1 = f (xn ). Indication : montrer que

||xn − xn+1 || → 0

mais que

xn

ne converge pas.


Exercice 1907RR

41 Intégrales multiples Calculer

I2 =

Calculer

I3 =

Calculer

I4 =

Calculer

I5 =

D RRR

I5 =

RR

D RR


D où

xy dxdy où 1+x2 +y 2

zdxdydz

xydxdy

où

D = {(x, y) ∈ R2 /x, y > 0, x + y 6 1}.

D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x, x2 + y 2 > y}.

D = {(x, y) ∈ [0, 1]2 /x2 + y 2 > 1}.

1 dxdy où y cos(x)+1

D = [0, π2 ] × [0, 12 ].

D = {(x, y, z) ∈ (R+ )3 /y 2 + z 6 1, x2 + z 6 1}. o n 2 2 D = (x, y) ∈ R2 /x, y > 0, xa2 + yb2 6 1 avec a, b > 0.

où

D

Calculer

(x + y)e−x e−y dxdy

RR

I1 =

(x2 + y 2 )dxdy

Calculer

D RR

266

où

D

Représenter et calculer le volume de

{(x, y, z) ∈ R3 / − 1 6 z 6 1, x2 + y 2 6 z 2 + 1}.

Déterminer le centre de gravité du culbuto (homogène),

(x, y, z) ∈ R3 /z ∈ [0, 1], x2 + y 2 6 z 2

i.e.

le cône

auquel on adjoint sur sa base une demi-boule.

Exercice 1910

Soit

D = [0, 1]2 .

Calculer :

ZZ

Exercice 1911

D Soit

D

le disque de centre

ZZ


dx dy . (x + y + 1)2 (0, 1)

et de rayon

1

du plan. Calculer :

(x2 + y 2 ) dx dy. D

Soit

D = {x > 0, y > 0, x2 + y 2 − 2y > 0, x2 + y 2 − 1 6 0}. ZZ p x2 + y 2 dx dy.

Calculer :

D

Soit

D = {(x2 + y 2 )2 6 xy}. Calculer : ZZ √ xy dx dy. D

Soient

2

2

a, b > 0. Calculer l'aire de l'ellipse E = { xa2 + yb2 6 1} par deux méthodes

diérentes.

(On rappelle que l'aire d'un domaine

Exercice 1915 a(1 + cos θ) Exercice 1916

Soit

a > 0

. Calculer l'aire de

l'aire de

Soient

D D.

et

D

vaut

RR

D

dx dy .)

le domaine délimité par la courbe d'équation polaire

0 < a 6 b, 0 < c 6 d,

et

D = {ax2 6 y 6 bx2 , xc 6 y 6 xd }.

D.

(Indication : poser

Exercice 1917

u=

Soit

y et x2

p>0

v = xy .)

et

D = {y 2 − 2px 6 0, x2 − 2py 6 0}. ZZ x3 +y 3 e xy dx dy. D

(Indication : poser

x = u2 v

et

y = uv 2 .)

Calculer :

ρ =

Calculer


Exercice 1918

267

R > 0, DR = {x2 + y 2 6 R2 , x > 0, y > 0} ZZ ZZ −(x2 +y 2 ) −(x2 +y 2 ) e dx dy 6 e dx dy 6

Soit

ZZ DR

et

KR = [0, R]2 . e−(x

2 +y 2 )

Montrer que :

dx dy.

D2R

KR

En déduire l'existence et la valeur de

lim

Exercice 1919

rayon

R.

R→+∞ Soient

a, R > 0.

En tournant autour de l'axe

Exercice 1922 (Oy) Exercice 1923 2.

(Oz),

2

e−t dt. (yOz),

soit

le disque

D

D

le disque de centre

engendre un domaine

(c'est-à-dire l'intégrale triple

Soit

D = {x2 + y 2 6 1, 0 6 z 6 1 − x2 + y 2 }.

Soit

D = {x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z 6 1}. ZZZ dx dy dz . 3 D (1 + x + y + z)

RRR

T

(0, a, 0) et de T (appelé un

dx dy dz ).

Calculer le volume de

D.

Calculer :

Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes

et de même rayon

1.

T

R

0

Dans le plan

tore plein). Calculer le volume de


Z

En utilisant un changement de variables, calculer l'intégrale de

2

2

2

2

f

sur

avec

D = {(x, y) ∈ R | π < x + y 6 4π } ; f (x, y) = sin x2 + y 2 ; n o 2 2 D = (x, y) ∈ R2 | xa2 + yb2 6 1 avec a , b > 0 ; f (x, y) = x2 + y 2 ;

4.

D = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x2 6 y 6 2x2 , 1/x 6 y 6 2/x} ; f (x, y) = x + y 2 variable u = y/x , v = xy ) ;

5.

D = {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 6 1} ; f (x, y, z) = xyz ;

6.

D = {(x, y, z) ∈ R3 | 1 6 x2 + y 2 + z 2 6 4} ; f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )α .

(changement de

Exercice 1924

Identier les ensembles suivants et calculer leur aire s'ils sont dans 3 volume s'ils sont dans R .

o n y2 2 x2 D = (x, y) ∈ R | a2 + b2 6 1 avec a, b > 0 ; n o 2 2 2 D = (x, y, z) ∈ R3 | xa2 + yb2 + zc2 6 1 avec a, b, c > 0 ; culier où

3.

D

p

2

D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6 1 , 0 6 z 6 h} avec h > 0 ; f (x, y, z) = z ;

2.

et

R > 0?

3.

1.

(Ox)

D

est la boule unité de

R2 ,

qu'obtient-on dans le cas parti-

R3 ?

D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6 R , 0 6 z 6 h}

avec

R, h > 0 ;

3

4.

D = {(x, y, z) ∈ R | x > 0 , y > 0 , z > 0 , x + y + z 6 1} ;

5.

D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6 z 2 /h2 , 0 6 z 6 h}

Exercice 1925 n

avec

h > 0.

Calculer les coordonnées du centre d'inertie (de gravité) du domaine

x2 a2

y2

o 6 1, x > 0, y > 0

1.

D = (x, y) ∈ R2 |

2.

D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 6 1 , x > 0 , |y| 6 ax} ;

3.

D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 6 9 , (x − 1)2 + y 2 > 1}.

+

b2

leur

(le quart d'ellipse) ;

D

:


Exercice 1926

268

Théorème de Guldin

1. Soit D0 un domaine tracé dans le demi-plan {(x, 0, z) ∈ R3 | x > 0}. Si l'on fait tourner D0 autour de l'axe Oz , on obtient un domaine D de R3 . En utilisant les coordonnées cylindriques. montrer que

V ol (D) = 2πAire (D0 ) · xG , où

(xG , zG )

sont les coordonnées du centre d'inertie du domaine

D0 .

2. Calculer les volumes des domaines suivants : (a) le tore obtenu en faisant tourner autour de

z2 b2

6 1},

où

le domaine

D0 = {(x, 0, z) |

(x−c)2 a2

+

a < c;

D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 6 4R2 , x2 + y 2 6 R2 }, où R > 0. Z ZZ −(x2 +y 2 ) −t2 On pose I = e 2 dt et J = e 2 dxdy. Calculer J et

(b)

Exercice 1927 valeur de

Oz

en déduire la

R2

R

I.

Exercice 1928

On note

D

le domaine délimité par les droites

ZZ

I=

1. Calculer (directement)

x = 0, y = x + 2

et

y = −x.

(x − y)dxdy.

D 2. Calculer

I

Exercice 1929

v = x − y. ZZ 2 2 D = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y 6 1}. Calculer (4 − x2 − y 2 )dxdy.

au moyen du changement de variable Soit

u=x+y

et

D


Exercice 1930

42.1 Séries numériques Soient, pour

n!en

n > 0, un =

1. Etudier la serie de terme général

1

nn+ 2

wn

et

vn = ln un .

où, pour

n > 2, wn = vn − vn−1

et

w1 = v1 .

2. En déduire, en utilisant la convergence de la suite des sommes partielles de suite

un

converge vers

3. Déterminer

λ

équivalent de

Indication

wn ,

que la

λ > 0.

en utilisant la formule de Wallis :

√ 22n (n!)2 limn→+∞ √ = π. n(2n)!

En déduire un

n!.

: Exprimer

n!

(respectivement

(2n)!)

en fonction de

un

(resp. de

u2n )

et

remplacer-les dans la formule de Wallis.

Exercice 1931

Soit

S=

∞ X (−1)n−1

n3

. Donner une valeur approchée de

S

en garantissant une

n=1 −3 erreur inférieure ou égale à 10 .

Exercice 1932

Etudier la série de terme général

√

an 2 n un = √n 2 + bn

où

a > 0, b > 0.

Indication : Chercher un équivalent suivant les valeurs de b.

Exercice 1933 (Utilisation des règles de Cauchy et d'Alembert) termes généraux

Etudier les séries de

42 Séries numériques, séries de Fourier 1.

un =

√

269

x x n! sin x sin √ · · · sin √ n 2

2.

2

vn = ean (1 −

avec

x > 0.

a n3 ) n

Exercice 1934 (Comparaison à des séries de Riemann et équivalent)

Etudier les sé-

ries de termes généraux 1.

un = cos(

πn2 ) 2n2 + an + 1

2.

vn = e− 3.

wn = (1 −

Exercice 1935

Soit

√

avec

a>0

n

1 n ) n2

(un ) une suite de réels strictement positifs, on suppose que lim(

et que

On pose

v n = n α un .

un+1 α 1 = 1 − + O( β ) , où α > 0 β > 1. un n n vn+1 Etudier et montrer que (vn ) a une limite nie. vn

la série de terme général

Exercice 1936√ 1.

2.

un =

√

1 1 n! sin 1 sin √ · · · sin √ . n 2

Déterminer la nature de la série de terme général :

Etudier, suivant les valeurs de

un =

Exercice 1938 P 2.

3.

Application : Etudier

n! , (ch ln n)−2 , n−(1+(1/n)) nn √ 1 1 ln n lnn − n √ ln(1 + √ ) , , n e ln(en − 1) n n

Exercice 1937 1.

un+1 )=1 un

p ∈ N,

la nature de la série de terme général :

1! + 2! + · · · + n! . (n + p)!

Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :

+ 1)3−n X n 4 n + n2 + 1 n>0 X 2n − 1 n>0 (n

n>3

n3 − 4n

Exercice 1939 P ( un )

et

Soit

X un ). ( Sn

(un ) une suite réelle positive et Sn =

Exercice 1940 (Séries à termes quelconques)

n X

up . Comparer la nature des séries

p=0

Etudier les séries de termes généraux


270

1.

(−1)n (ln n)(n1/n )

un = 2.

(−1)n

vn = p

nα + (−1)n

3.

(−1)n ) nα

wn = ln(1 +

où

α>0

où

α>0

Indication : Des calculs de D.L. peuvent etre fructueux ...

Exercice 1941 (Utilisation d'une série) Z

∞

gence de l'intégrale généralisée suivante

Le but de cet exercice est de montrer la conver-

dx . 1 + x4 sin2 x

0 Pour cela, on considère la série de terme général

un =

(n+1)π

Z

nπ

un

Par un changement de variable, transformer

un =

π

Z 0

Encadrer ensuite

un

Z

π

Exercice 1942

Soit

un

vn

vn

où

dx 1 + (nπ)4 sin2 x

0 Calculer explicitement l'intégrale

en

dx 1 + (nπ + x)4 sin2 x

par les termes de la suite

vn =

dx . 1 + x4 sin2 x

et en déduire un équivalent de

un .

Conclure.

une suite décroissante à termes positifs. On suppose

Montrer que

P ( un )

converge.

lim (nun ) = 0.

n→∞ Indication : Encadrer epsilons.

Exercice 1943 P

suppose que

Pn

p+1

uk

pour

P

n > p.

P

n>0 un , n>0 n>0 vn converge, et que Soient

vn

deux séries à termes réels strictement positifs. On

∀n ∈ N, Montrer que

P

un

un+2 vn+2 6 . un vn

converge.

Exercice 1944 (Examen 2000) n>2

Puis revenir aux dénitions des limites avec les

En justiant votre réponse, classer les dix séries

vantes en 4 catégories

GD : celles telles que

un

ne tend pas vers 0 ;

ZD : celles qui divergent et telles que

lim un = 0;

AC : celles qui convergent absolument ; SC : celles qui convergent, mais non absolument.

P

un

sui-


271

(Attention : pour pouvoir répondre, certaines séries demandent deux démonstrations : par

P

exemple pour montrer que diverge.

∞ X (−1)n

1 + 2 n

n

n=1

un

P

est SC, il faut montrer que

un

converge

et

que

P

|un |

X ∞ ∞ √ √ X √ 2 1 √ √ ; n+1− n ; n+1− n ; n n=1 n=1

X ∞ ∞ n! X 1 1 n − log(1 + ) ; ; 1 − (1 − ) ; n n nn n=1 n n=1

∞ X 1 n=1

∞ ∞ ∞ n ∞ X 2n + 1000 X π X π X X 1 1 ; (1 − cos ); sin(πn) sin( ); 3n + 1 n n=1 n n=0 k=0 2k 3n−k n=1 n=1


∞ X (−1)n n=1

Montrer la convergence des deux séries

n P∞

= − log 2.

k=1

1 2k−1

−

1 2k

leur somme à l'aide du rappel ci dessus.

2. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle

P∞

k=1

1 2k+1

−

1 2k

et calculer

1 . 4x3 −x

1 k=1 4k3 −k et calculer sa somme à l'aide de ce qui

précède.

dx converge t-elle ? Si oui, la calculer. 4x3 −x

Exercice 1946 (Examen 2000) 1

et

P∞

3. Montrer la convergence de la série

R∞

.

1. On rappelle que la série harmonique alternée converge

et a pour somme

4. L'intégrale impropre

!

a > 0 xé. Pour n entier positif ou nul on dnit Pn (a) par P0 (a) = 1, P1 (a) = a, P2 (a) = a(a + 1) et, plus généralement Pn+1 (a) = (n + a)Pn (a). Soit

Montrer que

L(a) = lim n∞

Pn (a) n!na−1

existe et est un nombre strictement positif. Méthode : considérer la série de terme général pour

n > 0 : un = log(n + a) − a log(n + 1) + (a − 1) log n, comparer sa somme partielle d'ordre n − 1 Pn (a) avec log , et, ... l'aide d'un développement limité en 1/n d'ordre convenable, montrer que, n!na−1 P ∞ u converge. n=1 n

Exercice 1947

α et β deux nombres réels ou complexes tels que αβ = −1 et |α| > 1 > |β|. 1 Pour n dans l'ensemble Z des entiers positifs ou négatifs on pose Fn = (αn − β n ) et α−β Ln = αn + β n (si α + β = 1 ces nombres sont appelés entiers de Fibonacci (1225) et de Lucas Soit

(1891)). 1. Montrer par le critère de D'Alembert que la série limite de

Qn = Ln /Fn

si

n → +∞.

.

P∞

1 n=1 F2n+1 +1 converge et calculer la

2. On admet (identité de Backstrom (1981)) que pour tous

1 F4n−2k−1 + F2k+1 En faisant

k =0

1 (Q2n+1 − Q1 ). En 2L1 expression simple du si

t

1 F4n+2k+1 + F2k+1

=

1 2L2k+1

et

k

de

Z

on a

(Q2n+2k+1 − Q2n−2k−1 ) .

2n de la série n que s2n = déduire la somme de la série en termes de α et β. Donner une terme général de la série et de sa somme si α = exp t et β =

dans cette identité, calculer la somme partielle d'ordre P2n 1 s2n = j=1 F2j+1 +1 en montrant par récurrence sur

initiale, c'est à dire

− exp(−t)

+

n

est réel.

42 Séries numériques, séries de Fourier 3. Montrer que la série

272

P∞

1 n=1 F2n+1 +F3 converge et calculer sa somme.

Exercice 1948 (Permutation dans la série harmonique alternée : Pringsheim (1883)) n > 0,

Pour tout entier

u(n) = (−1)n /n

soit

. Soit

σ

une permutation des entiers

>0

et soit

τ

la permutation réciproque. On suppose de plus que

p > 0 on a τ (2p − 1) < τ (2p + 1) et τ (2p) < τ (2p + 2). (2) Notant par p(n) le nombre d'entiers k tels que 1 6 k 6 n et σ(k) est limn∞ p(n)/n existe et est dans ]0, 1[. (1) pour tout entier

σ

1. Dans le cas particulier où

pair, alors

α =

est dénie par

σ(3p) = 2p, σ(3p + 1) = 4p + 1, σ(3p + 2) = 4p + 3 pour tout entier calculant

p(n)

p > 0,

calculer explicitement

n

pour tout

ainsi que

τ,

et vérier que

σ

satisfait (1) et (2), en

α.

Pn

k=1 1/k − log n, et on rappelle le fait, vu en cours, que limn∞ f (n) = γ existe (Constante d'Euler). On revient au cas général pour σ , on considère la série de

2. On note

f (n) =

terme général

vn = u(σ(n))

3. Montrer par récurrence que

En

sn = v 1 + · · · + v n . Pp(n) 1 Pn−p(n) 1 sn = k=1 2k − k=1 2k−1 et

et on note

que

1 1 1 p(n) sn = f (p(n)) + f (n − p(n)) − f (2n − 2p(n)) + log − log 2. 2 2 2 n − p(n) P∞ déduire que n=1 vn converge et calculer sa somme en fonction de α.

Exercice 1949

0 < a < b et (un )n>0 déni par u0 = 1 et uun+1 = n+a n+b n b−a que la limite de la suite Sn = log(n u ) existe et est nie. En déduire n P∞ telles que la série j=0 uj converge. Calculer alors sa somme : pour cela partielle sn , en montrant d'abord que pour tout n on a Soit

n X

[(j + 1) + b − 1]uj+1 =

j=0

n X

Soit

expliciter sa somme

[j + a]uj .

j=0

f

une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période

∞ X

a0 + (ak cos(kx) + bk sin(kx)) 2 k=1 n a0 X n ∈ N : Sn (x) = + (ak cos(kx) + bk sin(kx)). 2 k=1 On désigne par :

θ ∈ R − 2πZ.

2. Etablir que

3. En déduire

Z 0

1 Sn (x) = π

sin(n + sin 2θ

π

Z

1 Sn (x) = 2π π

sin(n + 12 )θ 1 X + cos(kθ) = . 2 k=1 2 sin 2θ

Montrer

sin(n + 12 )(x − t)

−π

Z

1 )θ 2

2 sin (x−t) 2

π

−π

dθ.

f (x + θ)

2π .

sa série de Fourier et on pose, pour tout

n

4. Calculer

les

42.2 Séries de Fourier

Exercice 1950

1. Soit

n > 0. Montrer valeurs de a et b

pour

f (t)dt.

sin(n + 12 )θ dθ. sin 2θ


Exercice 1951

Soit

f

la fonction

2π -périodique

2. Calculer

sur

∞ X

π 2

|x| dx.


−π

3. Calculer

∞ X p=1

4. Montrer que

R

telle que

f (x) = |x|

si

|x| 6 π.

f.

1. Déterminer la série de Fourier de

Z

273

p=0

1 . (2p + 1)4

1 . n4 ∞ 4 X cos(2p + 1)x π − . 2 π p=0 (2p + 1)2

|x| =

∞ X


p=0

1 (2p + 1)2

puis

∞ X 1 . n2 p=1

Exercice 1952

Soit

f

la fonction

2π -périodique

2. Calculer


−π

3. Montrer que

Exercice 1953 c0

En déduire

puis calculer

une fonction

3. Montrer qu'il existe Soit

c00n

en fonction de

c0

ϕ ∈ [0, 2π] et ρ ∈ R+

f :R→C

On note respectivement 1. Calculer

si

|x| 6 π.

Z

2π

∞ X 1 . n2 p=1

2π -périodique, C

2

(cn )n∈Z

(c0n )n∈Z

2. En déduire que que

2π

|f (t)|2 dt 6

pour

|n| > 2.

f (t) = ρ cos(t+ϕ) pour tout t ∈ [0, 2π]. Z 2π 1 2π -périodique, C et telle que f (t)dt = 0.

0 les coecients de Fourier (complexes) de

puis donner une relation entre

Z

cn = 0

tels que

une fonction

et

et telle que

cn .

2. A l'aide du théorème de Parseval, en déduire que

Exercice 1954

f (x) = x2

f (t)dt = 0 et, 0 > |f 00 (t)|.On note respectivement (cn )n∈Z et (c00n )n∈Z les coecients de Fourier 00 et f .

Soit

∀t ∈ [0, 2π], |f (t)| (complexes) de f 1. Calculer

∞ X π2 (−1)n cos nx x = +4 . 3 n2 n=1 2

f :R→R

telle que

∞ X 1 . 4 n p=1

π

x4 dx.

R

f.

1. Déterminer la série de Fourier de

Z

sur

et

et

f 0.

c0n .

2π

Z

0

cn

f

|f 0 (t)|2 dt.

0

3. Dans quel cas l'égalité a-t-elle lieu ?

Exercice 1955

Soit

1. Montrer que

f :R→R

l'application

+∞

0

Z ∀x ∈ R : xf (x) = 2

+∞

0

f f (x) = f (x).

2. Montrer que 00

x 7→

Z

est de classe

3. Donner une expression de

f

C

2

sur

cos tx dt. 1 + t2

t sin tx dt. (1 + t2 )2

puis, en dérivant l'expression ci-dessus, que

R∗+

puis sur

R.

∀x ∈ R∗+ :

43 Géométrie ane

274

Septième partie

GÉOMÉTRIE 43 Géométrie ane

Exercice 1956

43.1 Droites, triangles,... P

Soit

un plan muni d'un repère

exprimés par leurs ccordonnées dans

R(O,~i, ~j),

les points et les vecteurs sont

R.

1. Donner un vecteur directeur, la pente et des représentations cartésiennes et paramétriques

(AB)

des droites (a)

A(2, 3)

(b)

A(−7, −2)

(c)

A(3, 3)

et

et

suivantes :

B(−1, 4) et

B(−2, −5)

B(3, 6). A

2. Donner des représentations cartésiennes et paramétriques des droites passant par dirigées par

~u

et

avec :

(a)

A(2, 1)

et

~u(−3, −1)

(b)

A(0, 1)

et

~u(1, 2)

(c)

A(−1, 1)

et

~u(1, 0).

3. Donner des représentations paramétriques et cartésiennes (que l'on pourra déduire des paramétriques) des droites dénies comme suit : (a) passant par le point

(0, 4)

(b) passant par le point

(2, −3)

et parallèle à l'axe des

x,

(c) passant par le point

(−2, 5)

et parallèle à la droite

D : 8x + 4y = 3,

(d) passant par le point

(1, 0)

Exercice 1957

et de pente

3,

et parallèle à la droite

1. Les trois points

A, B

et

C

de

P

D : x − y + 5 = 0.

sont-ils alignés ? Si oui donner une

équation cartésienne de la droite qui les contient. (a)

A(−3, 3), B(5, 2)

et

C(2, 1),

(b)

A(1, 1), B(−2, 2)

et

C(2, 1),

(c)

A(4, −3), B(0, −1)

et

C(2, −2),

(d)

A(2, −1), B(1, −2)

et

C(−3, 4).

2. Dans les cas suivant, donner un vecteur directeur de partient ou non à (a) (b)

et déterminer si le point

C

ap-

D

(D) : 3x + 5y + 1 = 0, x=3+t (D) : , y =2−t

Exercice 1958

D

C(3, −2). C(5, 3).

Dans l'exercice suivant, on considère des couples de deux droites

D1

et

D2

on doit déterminer si elles sont sécantes, parallèles ou confondues. Si elles sont sécantes, on déterminera les coordonnées du point d'intersection, et si elles sont parallèles ou confondues on déterminera un vecteur directeur.

:

43 Géométrie ane

275

1.

(D1 ) : 3x + 5y − 2 = 0

2.

(D1 ) : 2x − 4y + 1 = 0 et (D2 ) : −5x + 10y + 3 = 0 x = 3 + 4t x=5−s et (D2 ) : (D1 ) : y =2−t y = 2 + 3s x = 1 + 2t x = 3 − 4s et (D2 ) : (D1 ) : y = 2 − 3t y = −1 + 6s x=2+t (D1 ) : x − 2y + 3 = 0 et D2 : y = 3 − 2t x = 1 − 4t (D1 ) : 3x − 2y + 1 = 0 et (D2 ) : y = 2 − 6t

3.

4.

5.

6.

Exercice 1959

et

(D2 ) : x − 2y + 3 = 0

D : 2x−3y +4 = 0 et D0 : x+3y +1 = 0. On considère le point A, intersection des deux droites et le point B de coordonnées (3, 8). Donner On considère les deux droites du plan

une équation de (AB).

Exercice 1960

On considère le triangle

ABC dont les côtés ont pour équations (AB) : x+2y =

3, (AC) : x + y = 2, (BC) : 2x + 3y = 4. 1. Donner les coordonnées des points

A, B, C .

2. Donner les coordonnées des milieux

A0 , B 0 , C 0

de

(BC), (AC)

et

(AB)

respectivement.

3. Donner une équation de chaque médiane et vérier qu'elles sont concourantes.

Exercice 1961 (Médianes)

On considère dans

1. Déterminer dans le repère

P

trois points

A, B

et

C.

~ AC) ~ des équations pour les médianes du triangle ABC. (A, AB,

2. En déduire que les médianes d'un triangle sont concourantes.

Exercice 1962 (Théorème de Menelaüs)

Dans le triangle

ABC ,

on considère trois points

P, Q, R, sur les côtés (BC), (AC) et (AB) respectivement, ces points n'étant pas les points A, B ou C . Montrer que P, Q et R sont alignés si et seulement si PB QC RA = = =1 PC QA RB

Exercice 1963 (Théorème de Pappus)

de trois points alignés. Montrer que les points

(A1 , A2 , A3 ) et (B1 , B2 , B3 ) deux systèmes C1 , C2 et C3 , intersections des droites (A2 B3 ) et

(A3 B2 ), (A3 B1 )

(que l'on suppose exister) sont alignés.

et

(A1 B3 ), (A1 B2 )

et

Soient

(A2 B1 )

Exercice 1964 (Théorème de Ceva)

Dans le triangle

ABC , on considère trois points P, Q, R, points n'étant pas les points A, B ou

(BC), (AC) et (AB) respectivement, ces C . Montrer que les droites (AP ), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si et seulement sur les droites si

P B QC RA . . = −1 P C QA RB

Exercice 1965 pour l'union ?

43.2 Convexes Montrer que l'intersection de deux parties convexes est convexe. Est-ce vrai

43 Géométrie ane

Exercice 1966

Soient

276

C

C0

et

deux ensembles convexes d'un espace ane, montrer que

D=

M + M0 | (M, M 0 ) ∈ C × C 0 2

est convexe.

Exercice 1967

co(A)

d'une partie non vide

A

d'un espace

A ; c'est le plus petit ensemble convexe A. Montrer que c'est aussi l'ensemble des barycentres à coecients positifs de points A. Que sont co({A, B}), co({A, B, C}) ?

ane

E

On appelle enveloppe convexe

l'intersection des ensembles convexes contenant

contenant de

Exercice 1968

Un cône d'un espace vectoriel est une partie

K

telle que :

∀x ∈ K, ∀t > 0, tx ∈ K. Montrer qu'un cône est convexe si et seulement si il est stable par addition.


Trouver les parties

C

convexes de

R2 telles que le complémentaire c C

soit aussi

convexe.

Soit

E

un espace ane de dimension

considère une combinaison convexe de points de

x=

m X

ti xi

avec

A,

sous

n,

(x1 , ..., xn ) ensemble de E : et

∀i ∈ {1, ..., m} : ti > 0

et

i=1

m X

des points de

E.On

tj = 1.

j=1

Montrer qu'on peut écrire :

x=

n+1 X

gk xk

avec

∀k ∈ {1, ..., n + 1} : gk > 0

et

k=1

Ainsi il sut de

n+1

n+1 X

gk = 1.

k=1

points dans un espace de dimension

n

pour écrire une combinaison

convexe.


43.3 Divers Une bimédiane d'un tétraèdre est une droite qui passe par les milieux de deux

arêtes opposées. Montrer que les trois bimédianes sont concourantes. Soient

A, B, C

trois points non alignés d'un plan ane. Déterminer l'ensemble

des points ayant mêmes coordonnées dans les repères

−→ −→ (A, AB, AC)

et

−→ −→ (B, BA, BC).

0

R1 = (0, e1 , e2 , e3 ) un repère cartésien d'un espace ane. Soient O = 0 0 0 0 0 0 (1, 0, 0), e1 = e1 + e2 , e2 = e1 − e2 , e3 = e3 et R2 = (0 , e1 , e2 , e3 ). Déterminer les coordonnées d'un point dans R2 en fonction de ses coordonnées dans R1 . Soit

0

Exercice 1974

Soient

(Di )i=1...4

quatre droites du plan ane sécantes deux à deux en six

points distincts. Si deux d'entre elles se coupent en

A

et les deux autres en

B,

on dit que

[AB]

est une diagonale. Montrer que les milieux des trois diagonales sont alignés (on étudiera le problème analytiquement en choisissant un bon repère).

Exercice 1975

(Di : ui x + vi y + hi = 0)i=1...3 trois droites du plan ane. Montrer u1 v1 h1 ou concourantes ssi u2 v2 h2 = 0. u3 v3 h3

1. Soient

qu'elles sont parallèles

44 Isométries vectorielles 2. Soient

277

(D1 : x + 2y = 1), (D2 : x + y = 2), (D3 : 2x + y = 3), (D4 : 3x + 2y = 1). D qui passe par D1 ∩ D2 et D3 ∩ D4 sans calculer

Déterminer une équation de la droite ces points d'intersection.

Exercice 1976

f une f = id.

1. Soit

2. Soient

f

Soient

A, B, C

trois points non alignés d'un plan ane.

f (A) = A, f (B) = B

application ane telle que

g

et

anes telles que

f (A) = g(A), f (B) = g(B)

et

f (C) = C .

Montrer que

f (C) = g(C).

Que peut-on

et

dire ? 3. Soit

f

ane telle que

Exercice 1977

E

Soit

1. Montrer que

f

f (A) = B , f (B) = C

f (C) = A.

Que peut-on dire ?

un espace ane et f une application ane de

est une translation ssi

2. Montrer que si

et

f~ = λid

où

λ 6= 1

E

dans

E.

f~ = id.

alors

f

est une homothétie (on montrera que

f

admet

un point xe). 3. On note

T

l'ensemble des translations. Montrer que

T

est un sous-groupe du groupe

ane. 4. On note

H

l'ensemble des homothéties bijectives. Montrer que

T ∪H

est un sous-groupe

du groupe ane.

Exercice 1978 ~

g deux applications anes de E dans E telles que f~ = ~g . Montrer qu'il existe u ∈ E tel que f = tu ◦ g où tu est la translation de vecteur u. Que peut-on dire si de plus il existe M ∈ E tel que f (M ) = g(M ) ? Soient

Exercice 1979

f

et

    x −x + 2y − 2z − 2 y  7→  −3y + 2z + 6  z −4y + 3z + 6

Exercice 1980

R3 suivantes :     y z 2 − + x 2 2 3 y  7→ −x + 3y − z + 2  2 2 3 z −x + y2 + z2 + 23

Reconnaître les application anes de

Soit

E

un espace ane,

f

et

une application ane de

E

dans

E

et

F = {M ∈ E/f (M ) = M } . F 6= ∅. ~ = ker(f~ − id). que F

On suppose que 1. Montrer

2. On suppose que que

f~◦ f~ = f~. Soit s la projection ane sur F

parallèlement à

ker(f~). Montrer

f = s.

3. Faire la même chose si

Exercice 1981

Soit

E

f~ ◦ f~ = id.

un espace ane et

1. Montrer que si

f ◦f =f

2. Montrer que si

f ◦ f = id


alors alors

f f

f

une application ane de

E

dans

E.

est une projection ane. est une symétrie ane.

44 Isométries vectorielles Compléter

x1 = (1, 2, 1) en base orthogonale directe de R3 euclidien canonique.

Montrer que

∀(x, y, z) ∈ (R3 )3 x ∧ (y ∧ z) + y ∧ (z ∧ x) + z ∧ (x ∧ y) = 0.


Exercice( 1984 Soit

Soit

E→E x 7→ x ∧ a

f:

E .

278

euclidien orienté de dimension 3 et

f

a ∈ E.

est-elle linéaire, bijective ? Comparer

f3

et

f.

Exercice 1985 a b R Exercice 1986 R θ k ∀x ∈ R R(x) = (cos θ)x + (sin θ)k ∧ x + 2(x|k) sin ( )k Exercice 1987 R R(1, 2, 1) Exercice 1988 Soient Soit

et

3

deux vecteurs de

. Discuter et résoudre l'équation

le rotation vectorielle d'angle

3

. Montrer que

a ∧ x = b.

et d'axe orienté par le vecteur unitaire 2 θ . 2

3

Determiner la matrice dans la base canonique de

du retournement d'axe

.

Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives R3 sont :


√  3 1 √6 1  1 √ √3 − 6 3 − 6 6 2 

Exercice 1989

  −2 2 1 1 2 1 2 3 −1 −2 2

3 Soit R une rotation de R d'axe Ru et d'angle θ et r une rotation quelconque. −1 Déterminer rRr . En déduire que le centre de SO3 (R) est bîîîîîîp (le centre est l'ensemble des rotations qui commutent avec toutes les autres).

Exercice 1990

R3

et

p = [a, b, c]

On considère l'espace vectoriel euclidien canonique et orienté le produit mixte de

1.

s = [a + b, b + c, c + a],

2.

t = [a ∧ b, b ∧ c, c ∧ a] .

a, b

et

c.

Exprimer à l'aide de

p

R3 . Soient a, b, c ∈

les quantités suivantes


Exercice 1991

45.1 Géométrie dans le plan On considère les droites

l'intersection des deux droites et

B

D : x + 2y = 5

le point de coordonnées

1. Donner une équation cartésienne de la droite

D0 : 3x − y = 1 (5, 2).

et

3. Donner une équation cartésienne de la parallèle à

∆

C

le point de coordonnées

du segment

Exercice 1992

[B, C]. ∆

A

(AB).

2. Donner une équation cartésienne de la perpendiculaire à

4. Soit

et on note

D

0

D

passant par

passant par

B.

B.

(2, −7)). Donner une équation cartésienne de la médiatrice D ? Et à D0 ?

est-elle parallèle à

1. On considère la famille des droites

Dλ : x + λy + 1 = 0,

(a) Vérier que ces droites passent toutes par un même point

A

où

λ ∈ R.

dont on donnera les

coordonnées. (b) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est verticale ? Si oui donner une équation de cette droite. (c) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est horizontale ? Si oui donner une équation de cette droite. (d) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il qui sont parallèles, confondues ou perpendiculaires à la droite droites.

∆

d'équation

2x − 3y + 1 = 0 ?

Si oui donner des équations de ces


279

Dm : (2m − 1)x + (3 − m)y + m + 1 = 0, m ∈ R. a-t-il une perpendiculaire à (∆) : x + y − 1 = 0 ? Si

2. On considère la famille de droites Parmi toutes ces droites y en

oui,

laquelle ?

Exercice 1993

On considère les trois points de

1. Dessiner le triangle

ABC

G

3. Vérier que

Exercice 1994

:

A(2, −3), B(0, −1)

H, Ω

et

G

2. Calculer la distance du point

A(1, 1)

(b)

A(2, −1)

(c)

A(3, 3)

−→ 1 −→ ΩG = 3 ΩH .

sont alignés et qu'en particulier

1. Calculer les angles : √ → √ → (a) entre les vecteurs u 1 ( 3, 2) et v 1 (1, 3 3), √ √ → → √ (b) entre les vecteurs u 2 (1, 2) et v 2 ( 2 − 2, 2 √ 3 1 (c) du triangle de sommets A(−1, 0), B( , ) et 2 2

(a)

C(−2, −5).

H , du centre du cercle circonscrit Ω et du centre

ABC .

de

et

puis calculer son aire.

2. Calculer les coordonnées de l'orthocentre de gravité

P

A

à la droite

D

+ 2), C( 12 , −

√

3 ). 2

:

D : 2x + y − 1 = 0

et

et

D : 3x − 2y + 4 = 0

D : −x + 3y + 2 = 0.

et

3. Trouver les bissectrices de : (a) (b)

D : 5x − 12y + 7 = 0

et

D0 : 3x + 4y − 7 = 0,

D : x − 3y + 5 = 0 etD0 : 3x − y − 1 = 0. Soit (0,~ i, ~j) un repère du plan. Déterminer la réexion d'axe x + y = 1.

Exercice 1995 Exercice 1996 G G Exercice 1997 (D : 3x + y = 5) (D : x − 2y + 3 = 0) Exercice 1998 C I = (x , y ) R (D : ax+by+c = 0) D D C i.e. D ∩ C d(I, D) = R Exercice 1999 −−A→ −−B→ α M M A.M B = α Exercice 2000 A, B, C 1 M MA + MB + MC = 2 Exercice 2001 A B k repère de

Soit

l'expression analytique dans ce

un sous-groupe ni de l'ensemble des isométries du plan. Montrer que

ne peut pas contenir de translation non triviale.

On considère dans le plan les deux droites

0

Soit

paramétrant

un cercle de centre

, montrer que Soient

points

et

. Quel est l'angle entre ces deux droites ?

est tangente à

et


Soient



M

0 et de rayon

(

et

. En

est un singleton) ssi

deux points du plan et

qui vérient

Soient

0

.

un réel. Déterminer l'ensemble des

.

les sommets d'un triangle équilatéral de coté 2 2 2 qui vérient . et

deux points du plan et

. Déterminer

un réel strictement positif. Déterminer

M A = kM B .  2 → R2  R ! l'application f : x  7→ 15  y

qui vérient

Quelle est

! −3x − 4y −4x + 3y − 2

?

X = {A, B, C, D} les sommets d'un carré du plan et G = {f ∈ I2 /f (X) = X}. Montrer que G est un sous-groupe de I2 . Montrer que si f ∈ G alors f (O) = O où O est l'isobarycentre de A, B, C, D . En déduire les éléments de G.

Exercice 2004

Soit

Déterminer les

z∈C

tels que

z, z 2 , z 4

soient alignés.



Si

280

a et b sont les axes de deux sommets opposés d'un carré, calculer les axes

des deux autres. Soit

le cercle de diamètre

O, A, B un triangle rectangle en O. A toute droite D issue de O on associe 0 0 0 0 A B où A et B sont les projetés orthogonaux de A et B sur D. Montrer

que tous les cercles passent par un même point xe (on pourra utiliser une similitude... ).

Exercice 2007

c−a . c−b Soient z1 , z2 , z3 , z4 quatre nombres complexes distincts. Montrer que les images de ces nombres V (z1 ,z2 ,z3 ) complexes sont alignées ou cocycliques ssi ∈ R. V (z1 ,z2 ,z4 )

a, b, c

Pour

trois nombres complexes tels que

b 6= c,

on note

V (a, b, c) =

Exercice 2008

Soit ABCD un carré direct et M un point de la droite (DC). La perpendicu(AM ) passant par A coupe (BC) en N . On note I le milieu de [M N ]. Déterminer le lieu des points I lorsque M décrit la droite (DC). −→ −→ Soient A, B, C, D quatre points distincts du plan tels que AB 6= CD . Montrer que le centre de la similitude transformant A en C et B en D est aussi le centre de celle transformant A en B et C en D . laire à

Exercice 2009

Exercice 2010

45.2 Géométrie analytique dans l'espace Les quatre points

A, B , C

et

D de l'espace sont-ils coplanaires ? Si oui, donner

une équation cartésienne du plan qui les contient : 1.

A(1, 2, 2), B(−1, −2, −1), C(3, 4, 4)

2.

A(0, 1, 3), B(1, 2, −1), C(1, 1, −1)

et

D(1, 2, 2).

3.

A(−1, 2, 4), B(3, −3, 0), C(1, 3, 4)

et

D(5, 1, −6).

4.

A(2, −1, 0), B(0, −4, 5), C(4, −13, 13)

Exercice 2011 (a)

A, B

D(−4, 5, −3).

1. Trouver une équation du plan et

C

sont des points de

C(0, 1, 0).

ii.

A(1, 1, 1), B(2, 0, 1)

et

C(−1, 2, 4).

A

A(5, 0, −1), B(1, 3, −2)

est un point de

A

(P ), ~u

A(1, 2, 1), ~u(4, 0, 3)

et

et

A(1, 0, 2), ~u(2, −1, 3)

et

~v

ii.

D

sont des vecteurs directeurs de

D0

et

~v (−1, 4, 5).

(D) :

x+y−z+3=0 x−y−2=0

et

dans

(P )

(P ) 3x − y − z + 5 = 0 0 (D ) : x+y−z+1=0

sont des droites contenues dans

(P )

~v (1, 3, −1).

(P ), D est une droite contenue x+y−z+3=0 A(4, 1, −3) et (D) : 4x − y + 2z = 0   x=t y = −1 + 2t A(1, 1, 0) et (D) :  z = 1 − 3t

et

i.

déni par les éléments suivants.

C(−2, 4, 5).

est un point de

i.

(P )

(P )

et

ii.

(d)

et

A(0, 0, 1), B(1, 0, 0)

i.

(c)

D(−2, 3, 1).

i.

iii. (b)

et

45 Géométrie ane euclidienne ii.

(D) :

281

x + 2y − z + 1 = 0 x + 3y + z − 4 = 0

et

0

(D ) :

2x + y − 3z + 7 = 0 3x + 2y + z − 1 = 0

2. Montrer que les représentations paramétriques suivantes dénissent le même plan :

  x = 2 + s + 2t y = 2 + 2s + t  z =1−s−t

et

Exercice 2012

  x = 1 + 3u − v y = 3 + 3u + v  z = 1 − 2u

Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants ? Dans ce dernier cas, donner 0 un vecteur directeur de la droite (D) = (P ) ∩ (P ).

(P 0 ) : z = 3.

1.

(P ) : 5x − y − 1 = 0

2.

(P ) : x + y + z + 1 = 0

et

3.

(P ) : 2x − z + 1 = 0

(P 0 ) : 4x − 3y + 2z + 5 = 0.

4.

(P ) : 4x − 6y + 8z − 1 = 0

Exercice 2013

et

et

(P 0 ) : 2x − y + 3z + 2 = 0. (P 0 ) : −6x + 12y − 9z + 11 = 0.

et

Quelle est la nature de l'intersection des trois plans suivants ? Si c'est un point

en donner les coordonnées, si c'est une droite en donner un vecteur directeur. 1.

(P ) : z = 1, (P 0 ) : x − y − 2 = 0

et

(P ”) : 4x − 2y + z + 2 = 0.

0

2.

(P ) : 4x − 2y + 3z + 5 = 0, (P ) : 3x + y − z + 2 = 0

3.

(P ) : 4x − 2y + 10z − 4 = 0, (P 0 ) : −10x + 5y − 25z + 13 = 0 0

et

(P ”) : x − y + z + 1 = 0. et

(P ”) : x + y − z + 1 = 0.

4.

(P ) : 3x − y + 2z − 5 = 0, (P ) : x − y + 3z − 7 = 0

5.

(P ) : x − y + 2z − 1 = 0, (P 0 ) : 2x + y + z + 3 = 0

et

(P ”) : x − 4y + 5z − 6 = 0.

6.

(P ) : x − y + 2z − 1 = 0, (P 0 ) : 2x + y − z + 1 = 0

et

(P ”) : x + 5y − 8z + 2 = 0.

Exercice 2014

et

(P ”) : 4x + 2y − z + 1 = 0.

Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Si elles

sont sécantes donner leur point d'intersection et si elles sont parallèles donner un vecteur directeur. 1.

2.

(D) :

x+y−z+2=0 x+y+z+1=0

  x = 1 − 2t y =t+2 (D) :  z = 3t + 1

Exercice 2015

et

3x − y + 2z − 7 = 0 (D ) : x−y =0   x = 3t − 1 0 y = −t + 2 (D ) :  z = 2t 0

et

Dans chacun des cas suivants dire si la droite

(D) et le plan (P ) sont parallèles

ou sécants. Donner alors leur point d'intersection. 1.

2.

(D) :

5x − 3y + 2z − 5 = 0 2x − y − z − 1 = 0

  x = 3 + 2t y = 5 − 3t (D) :  z = 2 − 2t

Exercice 2016

D(1, 0, 4)

et

et

et

(P ) : 4x − 3y + 7z − 7 = 0.

(P ) : −3x + 2y + 3z − 5 = 0.

On considère les cinq points suivants :

A(1, 2, −1), B(3, 2, 0), C(2, 1, −1),

E(−1, 1, 1).

1. Ces quatre points sont-ils coplanaires ? 2. Déterminer la nature du triangle équation catésienne du plan

P

ABC . A, B

3. Déterminer les coordonnées du barycentre 4. Montrer que

O, D

et

G

et

C

sont-ils alignés, si non donner une

qui les contient.

G

des points

sont alignés et que la droite

A, B , C

OD

et

D.

est perpendiculaire à

P.


Exercice 2017

Soient

D1 , D2

et

282

D3

Ω

trois droites concourrantes en

et soient

P, P0

et

P 00

trois plans tels que aucun ne contient aucune des 3 droites ci dessus. On peut alors dénir les 0 0 0 0 9 points d'intersections : P coupe D1 , D2 , D3 en A, B , C ; P coupe D1 , D2 , D3 en A , B , C ; P 0 coupe D1 D2 , D3 en A00 , B 00 , C 00 ; 0 0 0 0 On considère aussi les intersections suivantes : I = (AB ) ∩ (A B) , J = (AC ) ∩ (A C) ,K = (BC 0 ) ∩ (B 0 C). 00 00 00 Montrer que les droites (A K), B J) et (C I) sont parallèlles ou concourrantes. (

Indication :

utiliser un bon repère ane ).

Exercice 2018 D(0, 0, 4) Exercice 2019

On considère les quatre points suivants :

. Déterminer un vecteur directeur de la droite

√ √ A(2, 0, 0), B(−1, 3, 0), C(−1, − 3, 0), (ABC) ∩ (ADE).

m pour que les trois plans suivants se coupent sur 0 une même droite. (P ) : x + my − z + 1 = 0, (P ) : (m + 1)x + 3y + 4z − 2 = 0 et (P ”) : y + (2m + 4)z − (2m + 2) = 0.

Exercice 2020

Donner une condition sur

(Pm )m∈R dénis par les équations cartésiennes :

On considère la famille de plans

m2 x + (2m − 1)y + mz = 3 1. Déterminer les plans

Pm

dans chacun des cas suivants :

(a)

A(1, 1, 1) ∈ Pm

(b)

B(−1, −2, 6) ∈ Pm

(c)

C(−1, 0, 1) ∈ Pm

(d)

~v (1, 1, 1)

est un vecteur directeur de

(e)

~n(0, 1, 0)

est normal à

P.

2. Montrer qu'il existe un unique point

Exercice 2021

P

R

appartenant à tous les plans

1. Déterminer la distance du point

(a)

A(1, 1, 1)

et

(P ) : x + y + z − 1 = 0

(b)

A(1, 0, 2)

et

(P ) : 2x + y + z + 4 = 0.

(c)

A(3, 2, 1)

et

(P ) : −x + 5y − 4z + 2 = 0.

(d)

A(4, 5, 2)

et

(P ) : 2x − y + z = 0.

A

au plan

Pm .

(P )

x+y+z =1 x − y + z = −1 y−z =3 −x + 3z = 1 On considère les deux droites (D) : et (∆) : . −x − y + 2 = 0 −x − 3y = 2 un vecteur directeur de D et de ∆.

2. Calculer la distance du point

A(1, 1, 1)

à la droite

(D) :

Exercice 2022 1. Donner

2. Donner une équation paramétrique de 3. On xe un point

Mα

de

∆

∆.

dépendant du paramètre

Donner une équation du plan

Pα

passant par

Mα

α

où

α

et contenant

4. Parmi tous ces plans, y en a-t-il un qui est perpendiculaire à de

α

On se donne

2 droites D1

et

D2

Mα .

D. ∆?

Pour quelle valeur

est il obtenu ? Donner une équation de ce plan. Donner les coordonnées de

Exercice 2023

et

est l'abscisse de point

ayant comme vecteurs directeurs respectifs

u~2 .

1. Perpendiculaire commune à ces deux droites.

α0

Mα0 . u~1

45 Géométrie ane euclidienne (a) On suppose que

u~1

et

u~2

i. Montrer que le plan et le plan

P2

coupe

D1

et

iii. Montrer que

~n := u~1 ∧ u~2 .

ne sont pas colinéaires et on note

P1

contenant

en une droite ii. Montrer que

283

contenant

D2

D1

~n

et admettant

et admettant

~n

comme vecteur directeur

comme vecteur directeur se coupent

∆.

∆ est une perpendiculaire commune D2 , et est orthogonale à D1 et à D2 ). ∆

à

D1

est la seule perpendiculaire commune à

(b) Comment construire

∆

dans le cas où

D1

et

D2

et

D1

D2 et

(c'est à dire

∆

D2 .

sont parallèlles ?

2. Distance entre ces deux droites. Soit

H1 := D1 ∩ ∆

Montrer que pour

d(H1 , H2 )

H2 := D2 ∩ ∆. tout A1 ∈ D1 et tout A2 ∈ D2 , et

est appelée

d(A1 , A2 ) > d(H1 , H2 ). distance entre les deux droites D1 et D2 .

3. Donner des équations cartésiennes pour

D1

et

(a)

(b)

(c)

(d)

D2

∆

on a

et calculer la distance entre les deux droites

dans le cas suivant :

−x + 2y + z + 2 = 0 (D2 ) : −2x + 4y − z + 1 = 0 x+y−z+2=0 3x − y + 2z − 7 = 0 (D1 ) : et (D2 ) : x+y+z+1=0 x−y =0    x = 1 − 2t  x = 3t − 1 y = t + 2 et (D2 ) : y = −t + 2 (D1 ) :   z = 3t + 1 z = 2t x−y−z−2=0 x + y + 2z − 1 = 0 (D1 ) : et (D2 ) : x − 2y − 3z + 1 = 0 2x + y + z + 2 = 0

(D1 ) :

Exercice 2024

x−y−z+4=0 −x − 2y − 3z + 9 = 0

et

1. Déterminer les plans bissecteurs de :

P : x + y + z + 3 = 0 et P 0 : 2x + y + 2z = 1 Q : 5x + 3y − 4z = 8 et Q0 : 4x − 5y − 3z = 2.

2. Déterminer l'ensemble des points de l'espace équidistants des trois axes de coordonnées.

3.

  x = 3t − 1 y=1 On considère la droite D d'équation paramétrique  z = −t − 1 0 Donner une équation des deux plans P et P contenant D à une distance de 1 de l'origine (point O de coordonnées (0, 0, 0)).


Déterminer l'expression analytique de la réexion

Quelle est l'image par

s

du plan

Déterminer la distance du point

Soit deux plans

de plan

x + 2y − 3z + 1 = 0 ?

( x + y − 2z = 1 D 2x − y + z + 1 = 0

Exercice 2027

s

M = (1, 2, 3) aux droites   x = 1 + 2t et ∆ y =2−t   z = 2 + 2t

π: ux + vy + wz + h = 0 π 0 : u0 x + v 0 y + w0 z + h0 = 0

.

x + y − z = 1.

45 Géométrie ane euclidienne 1. Montrer que si

π

et

π0

284

sont sécants, tout plan passant par leur droite d'intersection

D

a

une équation du type

λ(ux + vy + wz + h) + µ(u0 x + v 0 y + w0 z + h0 ) = 0 et réciproquement, tout plan ayant une équation de ce type, (pour un couple passe par 2. Si

π

et

π0

(λ, µ) donné)

D. sont parallèles, que représente l'ensemble des plans d'équation :

λ(ux + vy + wz + h) + µ(u0 x + v 0 y + w0 z + h0 ) = 0

Exercice 2028

Écrire l'équation du plan passant par la droite

parallèle à la droite

Exercice 2029 sur le plan

3x + 2y + 5z + 6 = 0 x + 4y + 3z + 4 = 0

et

x−1 y−5 z+1 = = . 3 2 −3

Soit la droite d'équations

3x − 2y − z + 4 = 0 x − 4y − 3z − 2 = 0

. Trouver sa projection

5x + 2y + 2z − 7 = 0.

Exercice 2030

(D)

Soit les droites

D

et

D0

non coplanaires :

x−y+z+1 = 0 2x + y − z = 0

et

0

(D )

x + 2y + z = 0 2x − 2y − 2z − 1 = 0

Trouver des équations de leur perpendiculaire commune.

45.3 Changements de repères, applications anes, isométries

Exercice 2031

On considère les 4 points

A, B , C , D

donnés.

~ AC, ~ AD) ~ (A, AB,

dénit-il bien

un nouveau repère ? Dans ce cas, trouver les formules de changements de repère exprimant les ~ AC, ~ AD) ~ . coordonnées (x, y, z) dans (O,~ i, ~j, ~k) en fonction de celles (x0 , y 0 , z 0 ) dans (A, AB, 1.

A(2, −1, 0), B(7, −1, −1), C(−3, 0, −2), D(3, −6, −3)

2.

A(4, 1, 4), B(7, 3, 1), C(9, 0, 0), D(5, 2, 3)

3.

A(0, −1, 3), B(5, −6, 4), C(−4, 1, −2), D(−3, 3, 6)

4.

A(1, 1, 0), B(1, 5, 2), C(0, −1, 1), D(3, 4, −1)

5.

A(2, −1, 4), B(0, 0, 1), C(3, 2, −1), D(1, 3, 4)

6.

A(4, 4, 2), B(5, 3, 2), C(4, 3, 3), D(3, 5, 2)

7.

A(1, 3, 1) ,B(1, 2, 2) ,C(2, −1, −4), D(0, 8, 6).

Exercice 2032

Les formules suivantes dénissent-elles bien un changement de repère ? Dans

ce cas, donner le changement de repère inverse.

1.

2.

 0  x =y−z+1 y 0 = −x − 4y + 5z + 2  0 z = x − 5y + 5z + 1  0  x = 5x + 4y + 3z − 2 y 0 = 2x + 3y + z + 2  0 z = 4x − y + 3z + 2

45 Géométrie ane euclidienne 3.

4.

5.

6.

285

 0  x = −2x − 4y + 2z − 2 y 0 = x + y − 5z + 1  0 z = −3x − 4y + 4z − 2  0  x = 3x − 5y + z + 2 y 0 = 2x − y + z − 1  0 z = −3x − 4y − z − 5  0  x = 2x − z + 1 y 0 = −2x + 2y + 2z − 2  0 z = −2x + y − z  0  x = x − 2y − 3z + 5 y 0 = −3x + 4y + z − 2  0 z = 2x − y + 6z + 3

Exercice 2033

On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données → → → → → → dans le repère (O, i , j , k ). Donner leurs équations dans le nouveau repère (A, AB, AC, AD), sa→ → → chant que dans (O, i , j , k ) les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(4, −1, 2),

B(2, −5, 4), C(5, 0, −3), D(1, −5, 6). 1.

P :x+y =1

2.

P : 2x − 3y + 4z − 1 = 0

3.

P :x−y+z+3=0   x = 2t + 3s + 1 y =t−s+2 P :  z = 4t − 2s − 3 x+y+z =1 (D) : 2x − y + 4z = 3 3x − y − z = −1 (D) : 4x − 3y − z = −2

4.

5.

6.

Exercice 2034

On considère la droite

(D) :

y−z =3 −x − y + 2 = 0

.

→ → → 1. On considère le point A(−2, 4, 1), les vecteurs u(1, 1, 1), v (2, 2, −4), w(3, −1, , 1) et le → → → 0 0 0 repère (A, u, v , w). On note x , y et z les coordonnées dans ce repère. Donner les formules 0 0 0 analytiques du changement de repère exprimant x, y, z en fonction de x , y , z . → → → 2. Utiliser ce changement de repère pour donner dans le repère (A, u, v , w) une équation de

D

.

3. Donner les formules analytiques du changement de repère inverse.

Exercice 2035 (Transformations anes et Isométries) → →

(O, i , j )

Soit

P


quelconque.

1. On considère

D

une droite d'équation cartésienne

2x − y + 3 = 0

A(4, 2). Donner une équation paramétrique de DA → 0 direction u. En déduire les coordonnées de A = DA ∩ D → u.

(a) Soit

et

→

u(3, −2).

droite passant par projeté de

(b) Dénir plus généralement analytiquement la projection sur D selon 0 0 0 les coordonnées x , y de M projeté de M (x, y) en fonction de x et

A

→

sur

u en y.

D

A

de

selon

exprimant


286

2. Dénir analytiquement les projections sur (a)

∆

d'équation

x − 2y + 1 = 0.

(b)

∆

d'équation

3x + 2y + 2 = 0.

(c)

∆

d'équation

x + y − 1 = 0.

(d)

∆

d'équation

2x − 2y + 4 = 0.

Exercice 2036

Soit

P

D

selon

∆

dans les cas suivants :

→ →


(O, i , j )

quelconque.

1. Donner l'expression analytique de la translation

t1

de vecteur

(1, 2).

2. Donner l'expression analytique de la translation

t2

de vecteur

(−1, 2).

h1 de centre l'origine A(2, −1) de rapport 3.

3. Donner l'expression analytique de l'homothétie rapport 2 et de l'homothétie

h2

de centre

4. Donner l'expression analytique de 5. Soit

M (x, y)

Exercice 2037

P . Donner y = ax + b.

1. On considère

tions suivant : √ x0 = 23 x + 21 y

S1

− 1, y 0 = − 12 x +

2. De même avec la transformation 3. On compose

t1 ◦ h1 , t2 ◦ h2 , h1 ◦ t1 , h2 ◦ t2 .

un point de

la droite d'équation

S1

avec

S2 .

du repère et de

les coordonnées du symétrique de

M

par rapport à

la transformation du plan dénie par le système d'équa-

√

3 y 2

+ 2.

S2

dénie par

Reconnaître cette transformation.

√ √ √ √ x0 = 5 2x + 5 2y, y 0 = −5 2x + 5 2y.

Donner l'expression de

S1 ◦ S2 ,

et trouver la nature de cette

transformation.

Exercice 2038

1. Soit

f

la transformation de l'espace dénie analytiquement par

 0  x = −3x + 2y − 2z + 4 y 0 = −8x + 5y − 4z + 8  0 z = −4x + 2y − z + 4 (a) Déterminer l'ensemble (b) Montrer que pour

M

P

des points invariants par

d'image

f.

0

M , le milieu de [M M 0 ] est dans P, (MM') est parallèle

à une direction xe. (c) En déduire une description simple de 2. Soit

f

f.

la transformation de l'espace dénie analytiquement par

 0 1  x = 3 ( 2x − y − z + 1) y 0 = 1 ( −x + 2y − z + 1)  0 13 z = 3 ( −x − y + 2z + 1) (a) Déterminer l'ensemble (b) Montrer que pour

M

P

des points invariants par

d'image

M

0

le vecteur

(c) En déduire une description simple de

Exercice 2039

M~M 0

f. est colinéaire à un vecteur xe.

f.

1. Dénir analytiquement les projections orthogonales suivantes :

(a) sur le plan d'équation

2x − 3y + z = 6. x+y+z =1 d'équation . 2x − z = 2

(b) sur le plan d'équation (c) sur la droite

2x + 2y − z = 1.


287

2. Donner l'expression analytique de la projection sur le plan (P ) contenant le point C(2, −1, 1) et ayant pour vecteurs directeurs ~ u(0, −1, 1) et u~0 (−2, 0, 1), selon la droite AB , où A(1, −1, 0) et

B(0, −1, 3).


f

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct

~ OJ) ~ . (O, OI,

la transformation du plan dénie analytiquement par

(

x0 = y0 =

√1 (x + 2y − 1) 5 √1 (−2x + y + 2) 5

O0 , I 0 , J 0 (O0 , O~0 I 0 , O~0 J 0 )

f

O, I , J .

(a) Calculer les coordonnées de

les images par

(b) Montrer que le repère

est orthonormé, est-il direct ?

(c) En déduire que

f

des points

est une isométrie, est-elle directe ?

f

(d) Déterminer l'ensemble des points invariants par

et reconnaitre

(e) Donner l'expression analytique de la transformation inverse de (f ) Calculer l'image par

f

la droite d'équation

0

f.

2x − y − 1 = 0. A(1, 1)

2. Donner l'expression analytique de la rotation de centre l'image de

f.

et d'angle

π , calculer 3

par cette transformation.

3. Même question pour la symétrie d'axe la droite d'équation

x+y+1=0

4. Donner l'expression analytique de la composée des deux applications précédentes.

Exercice 2041

Dans le plan cartésien identié à

C,

un point

M

est représenté par son axe

z.

1. Dessiner les ensembles suivants puis les exprimer en fonction de (i)

z+z =1

(ii)

z−z =i

(x, y) ((z = x + iy)) : (iii) iz − iz = 1

2. Donner l'expression analytique en complexe des transformations suivantes, puis calculer l'image de

i

par ces transformations :

(a) la rotation de centre

1+i

et d'angle

(b) la symétrie d'axe la droite d'équation

π , 3

iz − iz = 1,

(c) la composée des deux applications précédentes. 3. Soit

f

la transformation du plan dénie analytiquement par

z 0 = (1 + i)z + 1.

f.

(a) Déterminer l'ensemble des points invariants par

(b) Donner l'expression analytique de la transformation inverse de (c) Calculer l'image par (d) Ecrire

Exercice 2042

f

f

de l'ensemble

Tout ce problème se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un

→ − → − → − R = (0, i , j , k ).

1. On considère les deux droites suivant : (a)

z + z = 1.

comme la composée d'une homothétie et d'une isométrie.

repère orthonormé direct

d

f.

x + y − 3z = 0 y+z =0

d

et

D et

données par les systèmes d'équations cartésiennes

D

i. Donner un point et un vecteur directeur de directeur de

D.

d.

x−1 =0 y−z−1 =0 Donner un point et un vecteur

45 Géométrie ane euclidienne d

ii. Dire si les droites

288

D

et

sont parallèles, sécantes ou non coplanaires.

iii. Justier l'existence de deux plans parallèles (en donnant pour chacun de ces deux plans un point et deux vecteurs directeurs) tels que

d

est contenue dans

D est contenue dans l'autre. − → − → Soient u le vecteur de coordonnées (4, −1, 1) dans R, v le vecteur de coordonnées (0, 1, 1) dans R et Ω le point de coordonnées (1, 1, 0) dans R. − → − → Déterminer une équation cartésienne pour le plan P de repère cartésien (O, u , v ), − → − → en déduire une équation cartésienne pour le plan Q de repère cartésien (Ω, u , v ). l'un et

(b)

i.

ii. Donner des équations paramétriques pour la droite

O.

Déterminer les deux points

∆∩P

et

∆∩Q

∆

normale à

P

passant par

puis calculer la distance entre

eux. Interpréter cette distance.

− → − → → a = ( 31 , 23 , − 23 ), b = ( 23 , 13 , 23 ), − c = ( −2 , 2 , 1 ). 3 3 3

2. On considère les vecteurs de l'espace (a) Montrer que

− → → → (0, − a , b ,− c)

est un repère orthonormé. Est-il direct ?

(b) Ecrire les formules de changement de repères de

R

à

− → → → (0, − a , b ,− c ).

− → → → (0, − a , b ,− c ) du plan d'équation x+2y −2z = 0 plan d'équation x + 2y − 2z = 3 dans R.

(c) Quelle est l'équation dans le repère dans

Exercice 2043

R?

Même question avec le

Tout ce problème se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un

→ − → − → − R = (O, i , j , k ). C = (4, 0, 0).

repère orthonormé direct

√ B = (3, − 6, 3) 1.

et

(a) Montrer que les points sienne du plan

P

(b) Calculer les distances (c) Les points

O, A, B

et

et B ne sont O, A et B .

OA, OB C

et

AB .

En déduire la nature du triangle

le barycentre des points

(a) Montrer que la droite

(GC)

G

dans

dire, par dénition l'unique point

R.

est perpendiculaire au plan

P.

(b) Calculer les coordonnées du point d'intersection de la droite

(GC)

4. Montrer que la transformation de l'espace dénie par les formules :

z) est une isométrie. Quels sont ses points xes ? O, A, B, C par cette isométrie. Que remarque-t-on ?

Exercice 2044

(0,~ı, ~, ~k).

C : (3, 1, 2) ;

D : (1, 1, 1)

et le plan

Π : 2x − 3y + 4z = 0. 1. Montrer que les points

A, B, C

2. Montrer que les points

A, B, C, D

ne sont pas alignés. ne sont pas coplanaires.

3. Donner une équation cartésienne du plan

P

P.

(x0 = x, y 0 = −y, z 0 =

points

B : (2, 3, 1) ;

avec le plan

Déterminer les images des points

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct

A : (1, 2, 3) ;

OAB .

sont-ils coplanaires ?

(b) En déduire les coordonnées de 3.

√ A = (3, 6, 3),

pas alignés et donner une équation carté-

O, A, B et C , c'est à −→ −→ −→ −→ − → G de l'espace tel que : GO + GA + GB + GC = 0 . −→ 1 −→ −→ −→ (a) Montrer que OG = (OA + OB + OC). 4

2. Soit

G

O, A

contenant

On dénit les trois points :

passant par

A, B, C .

On dénit les


289

4. Calculer la distance de

Exercice 2045

D

au plan

P.

5. Donner une représentation paramétrique de la droite

mensionnel pas à 1.

2.

E.

Soient

On note

d = P ∩ Π.

A, B et C trois points distincts et non alignés de l'espace ane tridiP le plan qui contient A, B et C . Soit O un point de E n'appartenant

P.

−→ −→ −→ R = (O, OA, OB, OC) est un repère cartésien de E . (b) Dans ce repère R, écrire les coordonnées des points O , A, B et C , et déterminer une équation cartésienne du plan P . −−→0 −→ 0 0 Soit A le point de la droite (OA) tel que OA = 2OA. On note P le plan parallèle à P 0 0 0 0 passant par A . P coupe (OB) en B et (OC) en C . 0 0 0 Dans R, écrire les coordonnées des points A , B et C et déterminer des équations para0 0 métriques pour les droites (BC ) et (B C), en déduire des équations cartésiennes de ces (a) Expliquer rapidement pourquoi

droites. Calculer les coordonnées des points (AB 0 ) ∩ (A0 B).

I = (BC 0 ) ∩ (B 0 C), J = (AC 0 ) ∩ (A0 C)

−−→00 2 −→ le point de la droite (OA) tel que OA = − OA. On note 3 P passant par A00 . P 00 coupe (OB) en B 00 et (OC) en C 00 . 00 00 00 Montrer que les droites (IA ), (JB ), (KC ) sont parallèles.

3. Soit

A00

P 00

et

K =

le plan parallèle à


Exercice 2046

Exercice 2047 Exercice 2048 t∈R Exercice 2049

46.1 Coordonnées cartésiennes Tracer les courbes paramétrées suivantes

x(t) = cos2 (t) y(t) = cos3 (t) sin(t) t t3 x(t) = y(t) = 1 + t4 1 + t4 2 1 y(t) = t + x(t) = t2 + t t 2 1−t 1 − t2 x(t) = y(t) = t 1 + t2 1 + t2 1 x(t) = tan(t) + sin(t) y(t) = cos(t) x(t) = sin(2t) y(t) = sin(3t) On fait rouler sans glissement un cercle de rayon

1 sur l'axe (Ox). Déterminer

et tracer la courbe décrite par un point du cercle.

où

Tracer la courbe d'équation

x3 + y 3 = 3xy

en la coupant par les droites

.

Exercice 2050

Tracer la courbe paramétrée dénie par :

x(t) =

Z

t

cos(2u) sin(u)du,

y(t) =

0

Z

t

sin(2u) cos(u)du.

0

Tracer la courbe paramétrée dénie par :

x(t) = t2 + 2t, y(t) =

1 + 2t . t2

y = tx


Exercice 2051

290

46.2 Coordonnées polaires Tracer les courbes en polaires suivantes

ρ(θ) = sin(2θ) sin(θ) θ θ−1 ρ(θ) = θ+1 ρ(θ) = cos(θ) − cos(2θ) ρ(θ) =

ρ(θ) =

Exercice 2052 C Exerciceπ2053 −−→ OM 4 Exercice 2054 2xy(x + y ) = x − y Exercice 2055 Soit

cos(θ) 1 + sin(θ)

un cercle du plan de centre

le lieu des projetés orthogonaux de

O

(1, 0)

sur les tangentes de

et de rayon

a.

Déterminer et tracer

C.

Déterminer et tracer les courbes dont la tangente en tout point

angle de

relation

avec

2

M

fait un

.

Grâce aux coordonnées polaires, tracer la courbe dénie implicitement par la 2 2 2 .

Tracer la courbe d'équation polaire :

Exercice 2056

r = 1 + cos θ. Tracer les courbes d'équations polaires :

tan θ 1 ; r2 = . cos θ sin(2θ)

r=


46.3 Divers Soit

f : [0, 1] → [0, 1]2

Soit

γ : [0, 1] → C

de classe

continue, et

C 1,

montrer que

z∈C

f

ne peut être bijective.

quelconque. Montrer :

∀ε > 0, ∃γ 0 ∈ C([0, 1], C) tel que : 1 : ∀t ∈ [0, 1], |γ(t) − γ 0 (t)| < ε, 2 : ∀t ∈ [0, 1], γ(t) 6= z.


Exercice 2059 Exercice 2060 Exercice 2061 Exercice 2062 Exercice 2063 tion cartésienne

Déterminer la longueur de la courbe

y=

√

x x(1 − ) 3

pour

0 6 x 6 3.

Déterminer une abscisse curviligne, la longueur et la développée de l'astroïde. Calculer le rayon de courbure de

θ ρ(θ) = cos( ) 3

y 2 = x. Déterminer de Γ la développée de P . Tracer Γ. p Soit Γ la courbe ρ(θ) = sin(2θ). Soit

P

la parabole

en fonction de

ρ.

une équation paramétrée et une équa-


291

1. Tracer cette courbe. 2. Calculer le rayon de courbure. 3. Soient

−−→ M H.

I

le centre de courbure en

M

et

H

4. En déduire une construction géométrique de la développée de

Exercice 2064 M (s)

(OM ). Déterminer

Γ.

M (s) un arc C 2 birégulier paramétré par une abscisse curviligne. Soit R (M (0), ~t(0), ~n(0)). On note (X(s), Y (s)) les coordonnées dans ce repère d'un

de la courbe.

R0

1. Montrer que si

est le rayon de courbure en

Exercice 2065

M (0)

θ=0

2. En déduire le rayon de courbure au point

le point de

Soit

E

(F M ) ∩ C

tel que

0

1. Montrer que

(M M )

2. Que devient

J

si

M0

Soit

P

projeté orthogonal sur

M ∈ [F I]

et

J

X 2 (s) . s→0 2Y (s)

R0 = lim

de la courbe

tend vers

E

M

en

ρ(θ) = 1 + 2 cos( 2θ ).

E et M 0 un point qui M F 0 et M 0 F 0 . Soient 0 d'intersection de C et C .

un point xé de 0 et M de rayons

F 0M J .

(on ne demande pas de preuve) ?

M

est bissectrice extérieure de l'angle

une parabole de foyer

D.

M M

le deuxième point

est bissectrice de l'angle

3. Montrer que la tangente à

Exercice 2066

alors

48 Coniques

0 une ellipse de foyers F et F , 0 se promène sur E . Soient C et C les cercles de centres

I

sur

Soit

le repère de Frénet point

I

le projeté orthogonal de

F,

de directrice

Montrer que la tangente à

P

en

M

D, M

F M F 0.

un point de

P

est la médiatrice de

et H son [F H]. En

déduire un procédé de construction d'une parabole.

Exercice 2067 Exercice 2068 E = R(E) Exercice 2069

Déterminer l'ensemble des points d'où l'on peut mener deux tangentes ortho-

gonales à une parabole.

π et 4

0

.

Tracer les courbes suivantes :

2

1.

13x − 32xy + 37y 2 − 2x + 14y − 5 = 0

2.

xy + 3x + 5y − 4 = 0

3.

(2x + 3y)2 + 4x + 6y − 5 = 0

Exercice 2070

et

E = M (z)/2 |z|2 − 2i (z 2 − z¯2 ) = 1 , R la rotation de centre O et d'angle 0 Déterminer une équation cartésienne de E et en déduire le tracé de E . Soit

Déterminer astucieusement le sommet et l'axe de la parabole

x(t) = t2 + t + 1

2

y(t) = t − 2t + 2.

Exercice 2071

Montrer que la courbe paramétrée

x(t) =

t2

1 +t+1

et

y(t) =

une ellipse et la tracer.

Exercice 2072

49 Analyse vectorielle On considère le champ de vecteurs

P (x, y) = (2xex

2 −2y

P : R2 → R 2

; −2ex

2 −2y

).

déni par

t2

t +t+1

est


292

1. Vérier que la forme diérentielle associée à 2. En déduire que

P

P

le long du chemin

γ : [0, 1] → R2 ; Soient

est fermée.

est un champ de gradients et en déterminer un potentiel.

3. Calculer la circulation de

Exercice 2073

P

a, b

t 7→ (ln(1 + t); et + 1).

des nombres tels que

0
et soit

D = {(x, y) ∈ (R+ )2 | a 6 xy 6 b, y > x, y 2 − x2 6 1}. u = xy, v = y 2 − x2 ,

En eectuant le changement de variable

I=

ZZ

calculer

(y 2 − x2 )(x2 + y 2 ) dx dy. D

Exercice 2074 circulation de

V~

Exercice 2075

Soit le champ de vecteurs le long de la parabole

( R 2 → R2 V~ : (x, y) 7→ (2xy + ey , x2 + xey )

x = y2

(0, 0) et (1, 1). ( R3 → R3 ~ V~ : . V (x, y, z) 7→ (xy, −z, xz)

Soit le champ de vecteurs

de gradient ? Calculer la circulation de

V~

. Calculer la

entre les points

le long de l'hélice

est-il un champ

x = cos t , y = sin t , z = t

pour

t ∈ [0, 2π].

Exercice 2076

Montrer que

diérentielle exacte sur

Exercice 2077

Sur

R2

2. Montrer qu'alors

tielle

C

1

sur un

ω

(1 − x2 + y 2 )y (1 + x2 − y 2 )x dx + dy (1 + x2 + y 2 )2 (1 + x2 + y 2 )2

ϕ

on dénit

pour que

ω

ω(x, y) = (

ϕ(y) x + ln(x2 + xy))dx + dy . x+y x+y

soit fermée.

est exacte et l'intégrer.

ω(x, y, z) = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz 3 ouvert étoilé U de R . Soit

1. A quelle condition

ω

λω

une forme diéren-

est-elle exacte ?

2. On suppose qu'elle n'est pas exacte et on cherche alors que

est une forme

et l'intégrer.

D =]0, +∞[2

1. Trouver une CNS sur

Exercice 2078

ω(x, y) =

soit exacte. On dit alors que

λ

λ : R3 → R ∗

de classe

est un facteur intégrant. En éliminant

λ

condition trouvée à la question précédente, trouver une condition nécessaire sur

C1

telle

dans la

P, Q, R

pour qu'il existe un facteur intégrant.

Exercice 2079

Soit

U = {(x, y, z) ∈ R3 /z > 0}

et

ω(x, y, z) = 2xzdx − 2yzdy − (x2 − y 2 )dz .

1. En utilisant l'exercice précédent (exercice 2078), montrer que

ω

admet un facteur inté-

grant. 2. Chercher un facteur intégrant ne dépendant que de

z.

3. On suppose qu'un mouvement dans U vérie l'équation diérentielle 2x(t)z(t)x(t) ˙ 2 2 2y(t)z(t)y(t) ˙ − (x (t) − y (t))z(t) ˙ . Trouver une intégrale première du mouvement.

Exercice 2080

Calculer l'aire d'une astroïde.

−

293

Huitième partie

CORRECTIONS Correction 1

Remarquons d'abord que pour

z ∈ C, zz = |z|2

est un nombre réel.

3 + 6i (3 + 6i)(3 + 4i) 9 − 24 + 12i + 18i −15 + 30i 3 6 = = = = − + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 9 + 16 25 5 5 Calculons

1+i (1 + i)(2 + i) 1 + 3i = = , 2−i 3 3

et

1+i 2−1

Donc

1+i 2−1

2

2

+

=

1 + 3i 3

2

=

3 + 6i 8 6 3 6 67 84 = − + − + i = − + i. 3 − 4i 9 9 5 5 45 45

z = 2+5i . Calculons z + z , nous savons déjà 1−i 3 7 z = − 2 + 2 i et donc z + z = −3. √ Correction 3 1. 1 + i 3. √ √ √ √ 3 2+ 2 3i 2− 2 π π 2. 3 cos − 3i sin 8 = − . 8 2 2 Soit

Correction 7 9 − 7i ;

−6i ; p √ Correction 8 ρ = 4 + 2 2, θ =

Correction 10

−8 + 6i 8 6 = − + i. 9 9 9

que c'est un nombre réel, plus précisément :

−0,3 + 1,1i ; 3π ; 8

−

√

3 3

−

i . 3

π ρ = 4, θ = − 10 ;

ρ = 1, θ = 2ϕ + π .

Il s'agit juste d'appliquer la formule de Moivre :

eiθ = cos θ + i sin θ; ainsi que les formules sur les produits de puissances :

eia eib = ei(a+b)

Correction 11

et

eia /eib = ei(a−b) .

Nous avons

√ u=

6− 2

√

2i

=

√

√ 2

3 i − 2 2

!

√ π π √ iπ = 2 cos + i sin = 2e 6 . 6 6

puis

v =1−i=

√

π

2e−i 4 .

Il ne reste plus qu'à calculer le quotient :

√ iπ π π π u 2e 6 = √ −i π = ei 6 −i 4 = ei 12 . v 2e 4

294

Correction 13

eiα

D'après la formule de Moivre pour

nous avons :

iα

ee = ecos α+i sin α = ecos α ei sin α . Or

ecos α > 0

donc l'écriture précédente est bien de la forme module-argument.

eiu + eiv

De façon générale pour calculer un somme du type u+v ei 2 . En eet

il est souvent utile de factoriser par

v

u

u

v

ei( 2 − 2 ) + e−i( 2 − 2 ) u v u+v = ei 2 2 cos − u v2 2u+v = 2 cos − ei 2 . 2 2

eiu + eiv = ei

u+v 2

Ce qui est proche de l'écriture en coordonées polaires. Pour le cas qui nous concerne :

iθ

2iθ

z =e +e

=e

3iθ 2

h

− iθ 2

e

+e

iθ 2

i

= 2 cos θe

3iθ 2

.

Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si

cos θ/2 > 3θ est son

0 (i.e. θ ∈ [−π + 4kπ, +π + 4kπ] avec k ∈ Z) alors 2 cos θ est le module de z et cos θ/2 < 0 le module est 2| cos θ| et l'argument 3θ +π (le +π compense iπ le changement de signe car e = −1).

argument ; par contre si

Correction 14

On remarque

√ iπ/4 1+i 2e =√ = eiπ/2 = i. −iπ/4 1−i 2e

1 = i0 = i4 = i8 = · · · = i32 .

Correction 20

Écrivons

z = ρeiθ ,

alors

P = = = =

z = ρe−iθ .

n Y

k=1 n Y k=1 n Y k=1 n Y

zk + zk

Donc

ρk (eiθ )k + (e−iθ )k

ρk eikθ + e−ikθ ) 2ρk cos kθ

k=1

= 2n .ρ.ρ2 . . . . .ρn

n Y

cos kθ

k=1

= 2n ρ

n(n+1) 2

n Y

k=1

cos kθ.

295

Correction 21 v=

α−β . Alors, 2

(α, β) ∈ R2 et z le nombre α = u + v et β = u − v et : Soit

complexe

z = eiα + eiβ .

Soit

u =

α+β et 2

z = eiα + eiβ = eiu+iv + eiu−iv = eiu (eiv + e−iv ) = 2 cos(v)eiu α − β i α+β = 2 cos( )e 2 2 On en déduit la forme trigonométrique de

|z| = 2| cos(

α−β )| 2 (

z

:

et, lorsque

α+β [2π] 2 π + α+β [2π] 2

Arg(z) =

cos α−β < 0, z = 2 cos veiu 2 n ∈ N. Calculons z n de deux façons

cos(

si si

α−β ) 6= 0 2

:

cos α−β >0 2 α−β cos 2 < 0

(Attention, si

n'est pas la forme trigonométrique de

Soit

diérentes : d'une part

n

iα

iβ n

z = (e + e ) =

n X

z !).

Cnp eipα ei(n−p)β ,

p=0

et d'autre part, en utilisant la forme obtenue plus haut :

z n = 2n cosn v einu .

En comparant les

parties réelles des expressions obtenues on obtient :

n X

Cnp cos[pα + (n − p)β] = 2n cosn

p=0

α−β α+β cos(n ). 2 2

Correction 23

iθ iθ iθ θ iθ 1 + eiθ = e 2 (e− 2 + e 2 ) = 2 cos e 2 . 2 θ > 0 et l'argument est 2θ . Géométriquement, on Comme θ ∈] − π, +π[ alors le module est 2 cos 2 θ iθ trace le cercle de centre 1 et de rayon 1. L'angle en 0 du triangle (0, 1, 1 + e ) est et donc est 2 iθ le double de l'angle en 0 du triangle (1, 2, 1 + e ) qui vaut θ .

C'est le résulat géométrique (théorème de l'angle au centre) qui arme que pour un cercle l'angle au centre est le double de l'angle inscrit.

Correction 27

Racines carrées.

cherchons les complexes

ω ∈ C

z = a + ib un nombre complexe avec a, b ∈ R ; nous 2 que ω = z . Écrivons ω = α + iβ . Nous raisonnons par

Soit

tels

équivalence :

ω 2 = z ⇔ (α + iβ)2 = a + ib ⇔ α2 − β 2 + 2iαβ = a + ib Soit en identiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :

( α2 − β 2 = a ⇔ 2αβ = b

296 Sans changer l'équivalence nous rajoutons la condition

|ω|2 = |z|.

 √ 2 2 2 2  α + β = a + b ⇔ α2 − β 2 = a   2αβ = b √  a+ a2 +b2 2  α = 2 √ 2 2 ⇔ β 2 = α2 − a = −a+ 2a +b   2αβ = b q √  a+ a2 +b2  α = ±   q 2√ ⇔ β 2 = ± −a+ a2 +b2  2   αβ est du même signe que b Cela donne deux couples

(α, β)

En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pour

ω 2 = z ⇔ (α + iβ)2 = 8 − 6i ⇔ α2 − β 2 + 2iαβ = 8 − 6i ( α2 − β 2 = 8 ⇔ 2αβ = −6  p 2 2 2 2  α + β = 8 + (−6) = 10 ⇔ α2 − β 2 = 8   2αβ = −6  2  2α = 18 ⇔ β 2 = 10 − α2 = 1   2αβ = −6  √  α = ± 9 = ±3 ⇔ β = ±1   α et β de signes opposés   α = 3 et β = −1  ⇔ ou   α = −3 et β = +1 Les racines de

z = 8 − 6i

sont donc

ω =3−i

Correction 28 2 − i et −2 + i ; Correction 29

ω = α + iβ z = 8 − 6i,

de solution et donc deux racines carrées

5−i

et

et

le module de

ω=

s√

z.

z

−ω = −3 + i.

−5 + i.

Par la méthode usuelle nous calculons les racines carrées

nous obtenons

de

2+1 √ +i 2 2

s√

2−1 √ . 2 2

ω, −ω

de

z =

1+i √ , 2

297

z

mais nous remarquons que

s'écrit également π

z = ei 4 et

π

ei 8

vérie

π

ei 8

2

=e

2iπ 8

π

= ei 4 .

π iπ iπ Cela signie que e 8 est une racine carrée de z , donc e 8 = cos + i sin π8 est égal à ω ou −ω . 8 π π Comme cos > 0 alors ei 8 = ω et donc par identication des parties réelles et imaginaires : 8

cos

Correction 30 seul le cas où

π = 8

s√

2+1 √ 2 2

sin

et

π = 8

s√

2−1 √ . 2 2

Soit

P (z) = az 2 + bz + c, et ∆ = b2 − 4ac, si ∆ > 0 alors les racines sont réelles,

∆<0

nous intéresse. Première méthode : il sut de regarder les deux solutions

et de vérier qu'elles sont conjuguées... Seconde méthode : si

z

est une racine de

P i.e. P (z) = 0,

alors

P (z) = az 2 + bz + c = az 2 + bz + c = P (z) = 0. Donc

z

est aussi une racine de

Sachant que le polynôme conjuguées.

Correction 31

P

P.

Or

de degré

z 2

∆ <0) sont z et z

n'est pas un nombre réel (car a exactement

2

racines, ce

donc

z 6= z .

et elles sont

Équations du second degré.

La méthode génerale pour résoudre les équa2 tions du second degré az +bz+c = 0 (avec a, b, c ∈ C et a 6= 0) est la suivante : soit ∆ = b −4ac 2 le discriminant complexe et δ une racine carrée de ∆ (δ = ∆) alors les solutions sont :

2

z1 =

−b + δ 2a

et

z2 =

−b − δ . 2a

Dans le cas où les coecients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail dans le cas complexe est de calculer une racine δ de ∆. √ 2 Exemple : pour z − 3z − i = 0, ∆ = 3 + 4i, dont une racine carrée est sont donc :

√ z1 =

Correction 36

∆ = −2i dont z2 = 6 − 3i.

1.

z1 = 5 − 2i

et

3+2+i 2

z1 = i, d'où la z2 = i et z3 = −2i.

z − i.

On trouve

Correction 42 seul

z1

et

3−2−i . 2 carrées sont 1 − i

z2 =

et

−1 + i,

d'où les racines

résolution complète en eectuant la division par

Les solutions sont les complexes

zk = 2−1/2 ei(−π/12+2kπ/3)

a une puissance quatrième réelle.

Correction 43

solutions

√

les racines

2. Une racine évidente

δ = 2 + i, les

pour

0 6 k 6 2.

Et

√

2, et leurs arguments sont −π/12, 7π/12 et 5π/4. Des valeurs approchées sont 1,36603−0,36603i, −0,36603+1,36603i et −1 − i.

2.

1. Les trois racines cubiques ont même module

−1 − 2i, (−1 − 2i)j

Correction 44 cos 12π = 24 Les racines de z = π π cos 12 + i sin 12 , etc.

1

et

(−1 − 2i)j 2

√ 1+√ 3 ; 2 2

π = sin 12

où

j=

√ √ π = 2 − 3 ; tan 5π = 2 + 3. tan 12 12 zk = e2kiπ/24 pour k = 0, 1, . . . , 23. Ce sont

√ −1+ √ 3; 2 2

sont données par

√ −1+i 3 (racine cubique de 1). 2

donc

1,

298

Correction 45 √ 3 2 (1 2. 2

+

1. 3, 3i, −3 et −3i. √ √ 3 2 i), 2 (−1 + i), 3 2 2 (−1 −

Correction 46 Pour 3. Pour

i)

et

√ 3 2 (1 2

− i).

Pour 2. Utiliser la formule d'Euler pour

sin (x/2).

x 6= 2kπ , k ∈ Z, sin Zn = sin

nx 2 x 2

x exp i (n − 1) , 2

x = 2kπ , k ∈ Z, Zn = n. Remarquer que Zn = Xn + iYn pour en déduire que (n−1)x (n−1)x nx sin 2 sin cos sin 2 2 Xn = et Yn = sin x2 sin x2 et pour

Correction 47

Sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n =

n X

nx 2

.

zk .

k=0

1−z n+1 d'une suite géométrique dans le cas Nous devons retrouver le résultat sur la somme Sn = 1−z où z 6= 1 est un réel. Soit maintenant z 6= 1 un nombre complexe. Calculons Sn (1 − z).

Sn (1 − z) = (1 + z + z 2 + · · · + z n )(1 − z) développons = 1 + z + z 2 + · · · + z n − z − z 2 − · · · − z n+1 = 1 − z n+1 . Donc

Sn =

Correction 48 |z| = 1.

1 − z n+1 , 1−z

Calcul de racine n-ième.

Écrivons

iθ

z=e

Soit

pour

les termes intermédiaires s'annulent

z 6= 1.

z∈C

tel que

Les solution sont donc

ε = e

2iπ n

|z|n = 1

et donc

2kπ , k ∈ Z. n

o n 2ikπ n S= e , k∈Z .

zn − 1

sentants :

De plus si

déjà

. L'équation devient

einθ = e0 = 1 ⇔ nθ = 0 + 2kπ, k ∈ Z ⇔ θ =

Comme le polynôme

z n = 1,

alors

est de degré

n

il a au plus

n

racines. Nous choisissons pour repré-

n 2ikπ o S = e n , k = 0, . . . , n − 1 . S = εk , k = 0, . . . , n − 1 . Ces racines

sont les sommets d'un

polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité. Pn−1 k 1−z n Soit P (z) = k=0 z = 1−z pour z 6= 1. Donc quelque soit z ∈ S \ {1} P (z) = 0, nous avons ainsi trouver n − 1 racines pour P de degré n − 1, donc l'ensemble des racines de P est

S \ {1}. Pn−1 kp Pour conclure soit Qp (z) = k=0 ε . Si p = 0 + `n, ` ∈ Z alors Qp (z) = p. Sinon Qp (z) est la somme d'une suite exactement

géométrique de raison

εp

:

1 − (εn )p 1−1 1 − (εp )n = = = 0. Qp (z) = p p 1−ε 1−ε 1 − εp

299

Correction 56

Soient

z1 , z2 , z3

trois nombres complexes

distincts

ayant le même cube.

z 3 z 3 1. z1 6= 0 car sinon on aurait z1 = z2 = z3 = 0. Ainsi ( 2 ) = ( 3 ) = 1. Comme les trois z1 z1 z z nombres 1, ( 2 ) et ( 3 ) sont distincts on en déduit que ce sont les trois racines cubiques z1 z1 2iπ − 2iπ 2 de 1. Ces racines sont 1, j = e 3 et j = e 3 . A une permutation près des indices 2 et 3 on a donc :

z2 = jz1 2. Soit

z ∈ C.

z3 = j 2 z1 .

et

On a les équivalences suivantes :

z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0 ⇔ z 3

est solution de

Z 2 + (7 − i)Z − 8 − 8i = 0

Z 2 +(7−i)Z −8−8i = 0. ∆ = (7−i)2 +4(8+8i) = 80+18i = (9+i)2 . donc −8 et 1 + i. Nous pouvons reprendre notre suite d'équivalences :

Etudions l'équation Les solutions sont

z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0 ⇔ z 3 ∈ {−8, 1 + i} ⇔ z 3 = (−2)3

√ π 6 z 3 = ( 2ei 12 )3

ou

√ 2iπ π √ 9π √ 17π 6 6 6 , −2e− 3 } ou z ∈ { 2ei 12 , 2ei 12 , 2ei 12 } iπ iπ √ π √ 3π √ 17π 6 6 6 ⇔ z ∈ {−2, 2e 3 , 2e− 3 , 2ei 12 , 2ei 4 , 2ei 12 }.

⇔ z ∈ {−2, −2e

2iπ 3

L'ensemble des solutions est donc : iπ

iπ

{−2, 2e 3 , 2e− 3 ,

Correction 60

Nous identions

C

√ 6

π

2ei 12 ,

au plan ane et

√ 6

3π

2ei 4 ,

√ 6

z = x + iy

17π

2ei 12 }. à

(x, y) ∈ R × R.

z = 5 n'est pas solution, z − 3 z − 5 = 1 ⇔ |z − 3| = |z − 5|.

Remarquons que pour les deux ensembles

z

Ce qui signie présiment que que les points d'axe

A, B

d'axes respectives

segment

3 = (3, 0)

et

5 = (5, 0).

donc

sont situés à égale distance des points

L'ensemble solution est la médiatrice du

[A, B].

Ensuite pour

√ z − 3 2 1 2 2 z − 5 = 2 ⇔ |z − 3| = 2 |z − 5| 1 ⇔ (z − 3)(z − 3) = (z − 5)(z − 5) 2 ⇔ zz − (z + z) = 7 ⇔ |z − 1|2 = 8 √ ⇔ |z − 1| = 2 2

L'ensemble solution est donc le cercle de centre le point d'axe

Correction 65

1 = (1, 0)

et de rayon

√ 2 2.

iθ En exprimant qu'un nombre complexe de module 1 peut s'écrire e , on trouve z = 1−eiθ . On peut encore écrire z = A + B cot 2θ , où A et B sont indépendants de θ, ce qui montre que le point d'axe z décrit une droite. Géométriquement, cette droite est bien entendu a−beiθ

la médiatrice du segment qui joint les points d'axes

a

et

b.

300

Correction 66

vérier que le point d'axe

θ=0

et à

a−bkeiθ . On peut 1−keiθ décrit le cercle dont un diamètre joint les points correspondant à

z =

Méthode analogue à celle de l'exercice 65. On trouve

θ=π

z

z0

(vérier en cherchant le milieu

Correction 67

1. Réciproque :

de ce segment et en étudiant

a + jb + j 2 c = 0

|z − z0 |).

a + j 2 b + jc = 0

(cela dépend de

OBC , DBA et EAC

sont directement

ou

l'orientation du triangle). 2.

ADOE

est un parallélogramme. Les trois triangles

isométriques, ce qui d'ailleurs se vérie immédiatement à l'aide de rotations.

Correction 69 |u + v|2 + |u − v|2 = (u + v)(¯ u + v¯) + (u − v)(¯ u − v¯) = 2u¯ u + 2v¯ v = 2|u|2 + 2|v|2 . 0, u, v, u + v |u + v|, |u − v| sont les

Géométriquement il s'agit de l'identité du parallélogramme. Les points d'axes forment un parallélogramme.

|u|

et

|v|

sont les longueurs des cotés, et

longueurs des diagonales. Il n'est pas évident de montrer ceci sans les nombres complexes ! !

Correction 77

(A0 , . . . , A4 ) est un pentagone régulier, on a OA0 = OA1 = −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ OA2 = OA3 = OA4 = 1 et (OA0 , OA1 ) = 2π [2π], (OA0 , OA2 ) = 4π [2π], (OA0 , OA3 ) = 5 5 4iπ 2iπ −−→ −−→ − 4π [2π], (OA0 , OA4 ) = − 2π [2π],. On en déduit : ω0 = 1, ω1 = e 5 , ω2 = e 5 , ω3 = 5 5 4iπ 6iπ 2iπ 8iπ e− 5 = e 5 , ω4 = e− 5 = e 5 ,. On a bien ωi = ω1i . Enn, comme ω1 6= 0, 1 + ω1 + . . . + 5 1−ω 1−1 ω14 = 1−ω11 = 1−ω = 0. 1 1. Comme

2.

Re(1 + ω1 + . . . + ω14 ) = 1 + 2 cos( 2π ) + 2 cos( 4π ). Comme cos( 4π ) = 2 cos2 ( 2π ) − 1 on en 5 5 5 5 2π 2π 2 2π déduit : 4 cos ( ) + 2 cos( ) − 1 = 0 . cos( ) est donc bien une solution de l'équation 5 5 5 √ −1− 5 2 2 4z + 2z − 1 = 0 . Etudions cette équation : ∆ = 20 = 2 .5. Les solutions sont donc 4 √ √ −1+ 5 5−1 2π 2π et . Comme cos( ) > 0 , on en déduit que cos( ) = . 4 5 5 4

3.

BA22 = |ω2 +1|√2 = | cos( 4π )+i sin( 4π )+1|2 = 1+2 cos( 4π )+cos2 ( 4π )+sin2 ( 4π ) = 4 cos2 ( 2π ). 5 5 5 5 5 5 5−1 . Donc BA2 = 2

4.

BI = |i/2 + 1| =

√

5 . 2

BJ = BI − 1/2 =

√

5−1 . 2

5. Pour tracer un pentagone régulier, on commence par tracer un cercle

C1 et deux diamètres

orthogonaux, qui jouent le rôle du cercle passant par les sommets et des axes de coordonnées. On trace ensuite le milieu d'un des rayons : on obtient le point I de la question 4. On trace le cercle de centre

I

passant par le centre de

BI pour obtenir son point J B passant par J : il coupe C1

C1

le segment

d'intersection avec

de centre

en

A2

et

A3 ,

une fois depuis

A3 .

(en fait le cercle de centre

diamétralement opposé à

J,

coupe

C1

en

A1

et

A4 ,

B

C.

C.

On trace

On trace enn le cercle

deux sommets du pentagone. Il

sut pour obtenir tous les sommets de reporter la distance

A2 ,

: c'est le cercle

A 2 A3

C1 , une fois depuis 0 par J , le point de C

sur

et passant

mais nous ne l'avons pas justié par

le calcul : c'est un exercice !)

Correction 80

D'après la formule de Moivre,

cos 5θ = cos5 θ − 10 cos3 θ sin2 θ + 5 cos θ sin4 θ sin 5θ = 5 cos4 θ sin θ − 10 cos2 θ sin3 θ + sin5 θ cos2 θ+sin2 θ = 1, on peut continuer les calculs et exprimer cos 5θ en fonction de cos θ , et sin 5θ en fonction de sin θ . 2π Correction 89 1. sin (5x) = sin + x ssi x = π/6 + kπ/2 ou x = π/18 + kπ/3, avec 3 k ∈ Z. Grâce à la formule

301 2.

sin 2x −

π 3

= cos

x 3

ssi

x = 5π/14 + 6kπ/7

ou

x = π/2 + 6kπ/5,

k ∈ Z.

avec

x = π/8 + kπ/2 ou x = −π/4 + kπ , avec k ∈ Z. √ 3 cos(x) − sin(x) = m a des solutions ssi m ∈ [−2, 2] Correction 90 L'équation √ m = 2, les solutions sont x = π/12 + 2kπ ou x = −5π/12 + 2kπ , k ∈ Z. 3.

cos (3x) = sin (x)

ssi

et pour

Correction 91 cos(5x)+cos(3x) 6 cos x ssi 2 cos(4x) cos(x) 6 cos x et 2 cos2 (x)−9 cos(x)+4 > 0

ssi

cos x > 1/2

ssi

Correction 92 avec 2.

x ∈ ]−π/6 + 2kπ, π/6 + 2kπ[, k ∈ Z.

1.

cos2 (x) − sin2 (x) = sin(3x)

ssi

x = π/2 + 2kπ

ou

x = −π/10 + 2kπ/5,

k ∈ Z.

cos4 (x) − sin4 (x) = 1

Correction 96

ssi

x = kπ ,

avec

k ∈ Z.

α, β ∈ Z[i]. Notons α = a + ib et β = c + id avec a, b, c, d ∈ Z. Alors α + β = (a + c) + i(b + d) et a + c ∈ Z, b + d ∈ Z donc α + β ∈ Z[i]. De même, αβ = (ac − bd) + i(ad + bc) et ac − bd ∈ Z, ad + bc ∈ Z donc αβ ∈ Z[i]. 1. Soit

β ∈ Z[i] tel que αβ = 1. Ainsi, α 6= 0 et α1 ∈ Z[i]. Remarquons que tout élément non nul de Z[i] est de module supérieur ou égal à 1 : en eet ∀z ∈ C, |z| > sup(| Re(z)|, | Im(z)|) et si z ∈ Z[i] \ {0}, sup(| Re(z)|, | Im(z)|) > 1. Si |α| = 6 1 alors |α| > 1 et |1/α| < 1. On en déduit 1/α = 0 ce qui est impossible. Ainsi |α| = 1, ce qui implique α ∈ {1, −1, i, −i}. −1 Réciproquement, 1 = 1 ∈ Z[i], (−1)−1 = −1 ∈ Z[i], i−1 = −i ∈ Z[i], (−i)−1 = i ∈ Z[i]. Les éléments inversibles de Z[i] sont donc 1, −1, i et −i.

2. Soit

α ∈ Z[i]

x, y ∈ R. soit E(x) la partie entière de x, i.e. le plus grand entier inférieur ou égal à x : E(x) 6 x < E(x) + 1. Si x 6 E(x) + 1/2, notons nx = E(x), et si x > E(x) + 1/2, notons nx = E(x) + 1. nx est le, ou l'un des s'il y en a deux, nombre entier le plus proche de x : |x − nx | 6 1/2. Notons ny l'entier associé de la 2 2 2 même manière à y . Soit alors z = nx + iny . z ∈ Z[i] et |ω − z| = (x − nx ) + (y − ny ) 6 1/4 + 1/4 = 1/2. Donc |ω − z| < 1.

3. Soit

ω ∈ C.

inversible. Il existe donc

Notons

ω = x + iy

avec

α, β ∈ Z[i], avec β 6= 0. Soit alors q ∈ Z[i] tel que | αβ − q| < 1. Soit r = α − βq . r α Comme α ∈ Z[i] et βq ∈ Z[i], r ∈ Z[i]. De plus | | = | − q| < 1 donc |r| < |β|. β β

4. Soit

Correction 103

1. À permutation près, x √ −1+i 3 cubique de l'unité ). 2 √ 3+i 3 2. À permutation près, x = 1, y = et 2

Correction 105 A ⇒ B est une (nonA) est vraie

= −2, y = −2j z=

et

z = −2j 2 (j

désigne la racine

√ 3−i 3 . 2

Il ne faut pas se laisser impressionner par l'allure de cette assertion. En eet

B ou (nonA) ; ici A (la (nonA) l'est également. Donc la proposition B .

écriture pour

B

et

ou

est fausse et quelque soit

Correction 106

(1 = 2)) est fausse, donc A ⇒ B est vraie, quand A

proposition l'assertion

∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y 6 0 est x ∈ R il existe toujours un y ∈ R tel que x + y 6 0, par exemple on y = −(x + 1) et alors x + y = x − x − 1 = −1 6 0. 1. (a) est fausse. Car sa négation qui est

vraie. Étant donné peut prendre

2. (b) est vraie, pour un

x + y = 1 > 0.

x

donné, on peut prendre (par exemple)

La négation de (b) est

∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0 ∃x ∈ R ∃y ∈ R x + y 6 0.

3. (c) :

4. (d) est vraie, on peut prendre

Correction 107

y = −x + 1

et alors

∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y 6 0.

est fausse, par exemple

x = −1.

La négation est :

x = −1, y = 0.

La négation est

∀x ∈ R ∃y ∈ R y 2 6 x.

Dans ce corrigé, nous donnons une justication, ce qui n'était pas demandé.

302 1. Cette assertion se décompose de la manière suivante : ( Pour tout négation de ( Pour tout

f (x) > 1.

x ∈ R)"

est Il existe

x ∈ R"

x ∈ R) (f (x) 6 1). La 6 1)" est x ∈ R, f (x) > 1.

et la négation de ( f (x)

Donc la négation de l'assertion complète est : Il existe

f est croissante" : pour tout x1 6 x2 alors f (x1 ) 6 f (x2 ). Cela se décompose en : (pour tout couple de et x2 ) (x1 6 x2 implique f (x1 ) 6 f (x2 ))". La négation de la première partie est : (il existe un couple de réels (x1 , x2 ))" et la négation de la deuxième partie est : ( x1 6 x2 et f (x1 ) > f (x2 ))". Donc la négation de l'assertion complète est : Il existe x1 ∈ R et x2 ∈ R tels que x1 6 x2 et f (x1 ) > x2 ".

2. Rappelons comment se traduit l'assertion L'application couple de réels

(x1 , x2 ), réels x1

si

3. La négation est : l'application

f

n'est pas croissante ou n'est pas positive. On a déjà traduit

f n'est pas croissante", traduisons l'application f n'est pas positive" : il existe x ∈ R, f (x) < 0". Donc la négation de l'assertion complète est : Il existe x1 ∈ R et x2 ∈ R tels que x1 < x2 et f (x1 ) > x2 , ou il existe x ∈ R, f (x) < 0".

l'application

+ 4. Cette assertion se décompose de la manière suivante : (Il existe x ∈ R ) (f (x) 6 0)". + La négation de la première partie est : (pour tout x ∈ R ), et celle de la seconde + est :( f (x) > 0)". Donc la négation de l'assertion complète est : Pour tout x ∈ R ,

f (x) > 0". ∃x ∈ R)(∀y ∈ R)(x < y ⇒ f (x) > f (y))". La négation de la première partie est ( ∀x ∈ R), celle de la seconde est ( ∃y ∈ R), et celle de la troisième est ( x < y et f (x) 6 f (y)). Donc la négation de l'assertion complète est : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x < y et f (x) 6 f (y)".

5. Cette assertion se décompose de la manière suivante : (

Correction 108 2.

⇔

3.

⇒

1.

⇐

Correction 109

2 1. Cette proposition est vraie. En eet soit ε > 0, dénissons M1 = ( , 0) ∈ ε F1 et M2 = ( 2ε , 2ε ) ∈ F2 , alors M1 M2 = 2ε < ε. Ceci étant vrai quelque soit ε > 0 la proposition est donc démontrée.

2. Soit deux points xés

M1 , M2

d = M1 M2 est aussi ensembles F1 et F2 sont

vériant cette proposition la distance

M1 = M2 ;

petite que l'on veut donc elle est nulle, donc

or les

disjoints. Donc la proposition est fausse. La négation de cette proposition est :

∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2 et cela exprime le fait que les ensembles

∃ε ∈]0, +∞[ / M1 M2 > ε F1

et

F2

sont disjoints.

ε corresponM1 M2 > ε + 1 ce qui

3. Celle ci est également fausse, en eet supposons qu'elle soit vraie, soit alors dant à cette proposition. Soit

M1 = (ε + 2, 0)

et

M2 = (1, 1),

on a

est absurde. La négation est :

∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2

/ M1 M2 > ε

C'est-à-dire que l'on peut trouver deux points aussi éloignés l'un de l'autre que l'on veut. 4. Cette proposition est vraie il sut de choisir

ε = M1 M2 + 1.

Elle signie que la distance

entre deux points donnés est un nombre ni !

Correction 110

Il existe un habitant de la rue du Havre qui a les yeux bleus, qui ne gagnera

pas au loto ou qui prendra sa retraite après 50 ans.

Correction 111

1.

P

et non

Q;

303

Q"

2. non P ou 3. (non 4. non 5.

P

et

P)

P

ce qui la même chose que P

et (non

Q

Q)

ou ((non

et

R

Q

ou

et non

Correction 112

ou (non

R)

R))

⇒ Q" ;

(on peut supprimer les parenthèses) ;

(ici les parenthèses sont importantes) ;

S;

1. Un triangle dont aucun angle n'est droit n'est pas rectangle.

2. Il existe une écurie dans laquelle il y a (au moins) un cheval dont la couleur n'est pas noire. 3. Sachant que la proposition en langage mathématique s'écrit

∀x ∈ Z ∃y ∈ Z ∀z ∈ Z (z < x ⇔ z < x + 1), la négation est

∃x ∈ Z ∀y ∈ Z ∃z ∈ Z (z < x 4.

∃ε > 0 ∀α > 0 (|x − 7/5| < α

Correction 119 donné

ε > 0,

et

et

z > x + 1).

|5x − 7| > ε).

Remarquons d'abord que pour

n ∈ N,

2n+1 n+2

62

car

2n + 1 6 2(n + 2).

Étant

nous avons donc

2n + 1 <2+ε n+2 sur n pour que l'inégalité

∀n ∈ N Maintenant nous cherchons une condition

2−ε<

2n + 1 n+2

soit vraie.

2−ε<

2n + 1 ⇔ (2 − ε)(n + 2) < 2n + 1 n+2 ⇔ 3 < ε(n + 2) 3 ⇔n> −2 ε

3 − 2, alors pour tout n > N nous nous est donné, nous prenons un N ∈ N tel que N > ε 3 2n+1 avons n > N > − 2 et par conséquent : 2 − ε < . Conclusion : étant donné ε > 0, nous ε n+2 2n+1 2n+1 avons trouvé un N ∈ N tel que pour tout n > N on ait 2 − ε < et < 2 + ε. n+2 n+2 En fait nous venons de prouver que la limite de la suite de terme (2n + 1)/(n + 2) tend vers 2 Ici

ε

quand

n

tend vers

Correction 120

+∞. 1.

∃M ∈ R ∀x ∈ R f (x) 6 x ;

2.

∃M ∈ R ∃m ∈ R ∀x ∈ R m 6 f (x) 6 x ;

3.

∀x ∈ R f (x) = f (−x) ;

4.

∀x ∈ R f (x) = −f (−x) ;

5.

∀x ∈ R f (x) 6= 0 ;

6.

∃a ∈ R∗ ∀x ∈ Rf (x + a) = f (x) ;

7.

∀(x, y) ∈ R2 (x 6 y ⇒ f (x) 6 f (y)) ;

8.

∀(x, y) ∈ R2 (x 6 y ⇒ f (x) > f (y)) ;

9.

∃x ∈ R f (x) 6= 0 ;

304 10.

∀(x, y) ∈ R2 (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) ;

11.

∀n ∈ N ∃x ∈ R f (x) = n ;

12.

∀x ∈ R f (x) 6 g(x) ;

13.

∃x ∈ R f (x) > g(x).

Correction 122

Nous allons démontrer l'assertion

1.

de deux manières diérentes.

A et B sont telles que A∩B = A∪B . A = B. Pour cela étant donné x ∈ A montrons qu'il est aussi dans B . Comme x ∈ A alors x ∈ A ∪ B donc x ∈ A ∩ B (car A ∪ B = A ∩ B ). Ainsi x ∈ B . Maintenant nous prenons x ∈ B et le même raisonnement implique x ∈ A. Donc tout élément de A est dans B et tout élément de B est dans A. Cela veut dire A = B .

1. Tout d'abord de façon directe". Nous supposons que Nous devons montrer que

2. Ensuite, comme demandé, nous le montrons par contraposition. Nous supposons que

A 6= B et Si A 6= B

A ∩ B 6= A ∪ B . cela veut dire qu'il existe un élément x ∈ A \ B ou alors un élément x ∈ B \ A. Quitte à échanger A et B , nous supposons qu'il existe x ∈ A \ B . Alors x ∈ A ∪ B mais x∈ / A ∩ B . Donc A ∩ B 6= A ∪ B . non devons monter que

Correction 123 x ∈ {(A ∪ B) ⇔ x ∈ / A∪B ⇔x∈ / A et x ∈ /B ⇔ x ∈ {A et x ∈ {B ⇔ x ∈ {A ∩ {B.

x ∈ {(A ∩ B) ⇔ x ∈ / A∩B ⇔x∈ / A ou x ∈ /B ⇔ x ∈ {A ou x ∈ { ⇔ x ∈ {A ∪ {B.

Correction 124

Montrons quelques assertions.

f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). Si y ∈ f (A ∩ B), il existe x ∈ A ∩ B tel que y = f (x), or x ∈ A donc y = f (x) ∈ f (A) et de même x ∈ B donc y ∈ f (B). D'où y ∈ f (A) ∩ f (B). Tout élément de f (A ∩ B) est un élément de f (A) ∩ f (B) donc f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). Remarque : l'inclusion réciproque est fausse. Exercice : trouver un contre-exemple.

f −1 (F \ A) = E \ f −1 (A). x ∈ f −1 (F \ A) ⇔ f (x) ∈ F \ F \ A ⇔ f (x) ∈ /A ⇔x∈ / f −1 (A) car f −1 = {x ∈ E / f (x) ∈ A} ⇔ x ∈ E \ f −1 (A)

305

Correction 136 I1 = 3 et I2 = [−2, 5] . Correction 137 I1 = [0, 2] et I2 = ]1, +∞[ . Correction 144 1. B \ A ⊂ X ⊂ B . 2.

B ⊂ X ⊂ B ∪ ∪{A.

Correction 150

p ∈ N tel que f = fp . Deux applications

Par l'absurde, supposons qu'il existe

sont égales si et seulement si elles prennent les mêmes valeurs.

∀n ∈ N f (n) = fp (n). En particulier pour

fp (p) + 1.

n = p, f (p) = fp (p).

D'autre part la dénition de

Nous obtenons une contradiction car

En conclusion, quelque soit

Correction 151 N = kpi

nous donne

f (p) =

ne peut prendre deux valeurs distinctes.

p ∈ N f 6= fp .

1. Montrons en fait la contraposée.

i

S'il existe

f (p)

f

tel que

pi

divise

N = p1 p2 . . . pr + 1 ( i

est xé) alors il existe

k∈Z

tel que

donc

pi (k − p1 p2 . . . pi−1 pi+1 . . . pr ) = 1 pi q = 1 (avec q = k − p1 p2 . . . pi−1 pi+1 . . . pr un nombre entier) Donc pi ∈ Z 1/pi = q ∈ Z, alors pi vaut 1 ou −1. Et donc pi n'est pas un nombre premier. Conclusion : par contraposition il est vrai que N n'est divisible par aucun des pi soit

2. Raisonnons par l'absurde : s'il n'existe qu'un nombre ni alors

N = p1 p2 . . . pr + 1

et

r de nombres premiers p1 , . . . , pr

est un nombre premier car divisible par aucun nombre premier

autre que lui même (c'est le 1.). Mais

N

premier

est strictement supérieur à tous les

N

diérent des

pi ,

pi .

Conclusion on a construit un nombre

il y a donc au moins

r+1

nombres premiers, ce qui est

absurde.

Correction 153

Rédigeons la deuxième égalité. Soit

n X

(An )

k=1

A0

l'assertion suivante :

n(n + 1)(2n + 1) . 6

est vraie ( 1

Étant donné

= 1). n ∈ N∗ supposons

=

A n , n ∈ N∗

n+1 X

que

=

k=1

An

n X

soit vraie. Alors

+(n + 1)2

k=1

n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6 n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2 = 6 (n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1)) = 6 (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) = 6 =

Ce qui prouve

An+1 .

306 Par le principe de récurrence nous venons de montrer que

Correction 155

1. Montrons par récurrence

An

est vraie pour tout

∀n ∈ N xn > 3.

n ∈ N∗ .

Soit l'hypothèse de récur-

rence :

(Hn ) : • •

H0

La proposition Soit

n > 0,

est vraie car

supposons

Hn

x0 = 4 > 3.

vraie et montrons que

Par hypothèse de récurrence 2 étude de la fonction x 7→ 2x

Hn+1

est alors vraie.

2xn 2 − 3 2xn 2 − 3xn − 9 −3= . xn + 2 xn + 2

xn+1 − 3 =

•

xn > 3.

xn > 3, donc xn + 2 > 0 et 2xn 2 − 3xn − 9 > 0 (ceci par − 3x − 9 pour x > 3). Donc xn+1 − 3 et Hn+1 est vraie.

Nous avons montrer

∀n ∈ N Hn ⇒ Hn+1 et comme

H0

est vraie alors

Hn

est vraie quelque soit

n.

Ce qui termine la démonstra-

tion. 2. Montrons que

xn+1 − 3 − 32 (xn − 3)

est positif.

3 2xn 2 − 3 3 1 xn 2 + 3xn + 12 xn+1 − 3 − (xn − 3) = − (xn − 3) = 2 xn + 2 2 2 xn + 2 Ce dernier terme est positif car 3. Montrons par récurrence

xn > 3. + 3. Soit n 3 (Hn ) xn > + 3. 2

récurrence :

• •

•

n > 0,

est vraie.

supposons que

est vraie, et

4. La suite

(xn )

Correction 156

• •

notre nouvelle l'hypothèse de

vraie et montrons que Hn+1 est vériée. 3 D'après la question précédente xn+1 − 3 > (xn − 3) et par hypothèse de récurrence 2 n n+1 n xn > 23 +3 ; en réunissant ces deux inégalités nous avons xn+1 −3 > 32 ( 32 ) = 32 . Nous concluons en résumant la situation : Soit

H0

Hn :

H0

La proposition

3 n 2

∀n ∈ N xn >

n

Hn

Hn ⇒ Hn+1

tend vers

+∞

quelque soit

n.

Donc

Hn

est toujours vraie.

et n'est donc pas convergente.

Montrons par récurrence sur

n>1

la proposition suivante :

droites en position générale découpent le plan en

Rn =

n(n + 1) +1 2

régions.

n = 1 alors une droite divise le plan en deux régions. H1 est vraie. Soit n > 2 et supposons que Hn−1 soit vraie, et montrons Hn . Soient ∆1 , . . . , ∆n n droites en position générale, la droite ∆n rencontre les droites ∆1 , . . . , ∆n−1 en n − 1 points, donc ∆n traverse (et découpe en deux) n régions du découpage ∆1 , . . . , ∆n−1 . Le découpage par ∆n donne donc la relation Rn = Rn−1 + n. (n−1)n + 1 donc Or par hypothèse de récurrence Hn−1 : Rn−1 = 2 pour

Rn = Rn−1 + n = Hn est vraie. ∗ Ainsi ∀n ∈ N Hn−1 ⇒ Hn . Et

(n − 1)n n(n + 1) +1+n= +1 2 2

307

•

Conclusion : par récurrence on a montré que

Correction 157

Hn

est vraie quelque soit

n > 1.

1. Montrons la proposition demandée par récurrence : soit

f n+1 = f ◦ f n .

Cette assertion est vraie pour

n = 0.

Pour

n∈N

An

supposons

l'assertion

An

vraie.

Alors

f n+2 = f n+1 ◦ f = (f ◦ f n ) ◦ f = f ◦ (f n ◦ f ) = f ◦ f n+1 . Nous avons utiliser la denition de

f

composition, puis la dénition de

f n+2 , n+1

puis la proposition

. Donc

An+1

An ,

puis l'associativité de la

est vraie. Par le principe de récurrence

∀ ∈ N f n ◦ f = f ◦ f n. An l'assertion (f −1 )n = (f n )−1 . Cette assertion n ∈ N supposons An vraie. Alors

2. On procède de même par récurrence : soit est vraie pour

n = 0.

Pour

(f −1 )n+1 = (f −1 )n ◦ f −1 = (f n )−1 ◦ f −1 = (f ◦ f n )−1 = (f n ◦ f )−1 = (f n+1 )−1 . Donc

An+1

est vraie. Par le principe de récurrence

∀ ∈ N (f −1 )n = (f n )−1 .

Correction 185

Si

f ◦g =g◦f

alors

∀x ∈ R f ◦ g(x) = g ◦ f (x). x = 0. Alors f ◦ g 6= g ◦ f

Nous allons montrer que c'est faux, en exhibant un contre-exemple. Prenons

f ◦ g(0) = f (−1) = −2,

Correction 191

1.

y = 2 n'a pas x2 − x + 1 = 0 2.

et

f

g ◦ f (0) = g(1) = 0

donc

f ◦ g(0) 6= g ◦ f (0).

Ainsi

f (2) = 54 = f ( 12 ). f n'est pas surjective car 2 l'équation f (x) = 2 devient 2x = 2(1 + x ) soit

n'est pas injective car

d'antécédent : en eet

qui n'a pas de solutions réelles.

2 est équivalent à l'équation yx − 2x + y = 0. Cette équation a des solutions x 2 si et seulement si ∆ = 4 − 4y > 0 donc il y a des solutions si et seulement si y ∈ [−1, 1].

f (x) = y

Nous venons de montrer que

f (R)

est exactement

[−1, 1]. 1−

√

1−y 2

y ∈ [−1, 1] alors les solutions x possibles de l'équation g(x) = y sont x = √ √ √ y 1+ 1−y 2 1− 1−y 2 1− 1−y 2 ou x = . La seule solution x ∈ [−1, 1] est x = en eet x = = y y y √y ∈ [−1, 1]. Donc pour g : [−1, 1] −→ [−1, 1] nous avons trouvé un inverse h : 1+ 1−y 2 √ 1− 1−y 2 . Donc g est une bijection. [−1, 1] −→ [−1, 1] déni par h(y) = y

3. Soit

4.

2

0 , donc f est strictement positive sur ]−1, 1[ donc f est strictement croissante f 0 (x) = 2−2x 1+x2 sur [−1, 1] avec f (−1) = −1 et f (1) = 1. Donc la restriction de f , g : [−1, 1] −→ [−1, 1], est une bijection.

Correction 193 avec

f (a) =

0 1. Supposons g ◦f injective, et montrons que f est injective : soit a, a ∈ A f (a0 ) donc g ◦ f (a) = g ◦ f (a0 ) or g ◦ f est injective donc a = a0 . Conclusion

on a montré :

∀a, a0 ∈ A f (a) = f (a0 ) ⇒ a = a0 c'est la dénition de 2. Supposons

g◦f

f

injective.

g est surjective : soit c ∈ C comme g ◦ f g ◦ f (a) = c ; posons b = f (a), alors g(b) = c, ce c ∈ C donc g est surjective.

surjective, et montrons que

est surjective il existe

a∈A

tel que

raisonnement est valide quelque soit

308 3. Un sens est simple

(⇐)

si

f

et

g

sont bijectives alors

g◦f

l'est également. De même avec

h ◦ g. (⇒) : si g ◦ f est bijective alors en particulier elle est surjective g est surjective. est en particulier injective, donc g est injective (c'est le 1.). Par

Pour l'implication directe

et donc d'après le deuxième point Si

h◦g

est bijective, elle

g est à la fois injective et surjective donc bijective. −1 Pour nir f = g ◦ (g ◦ f ) est bijective comme composée d'applications même pour h. conséquent

Correction 197 est

1. Pour

z = x + iy , le module de ez = ex+iy = ex eiy

est

ex

bijectives, de

et son argument

y.

2. Les résultats :

exp

Correction 198

0

exp

3. La fonction fonction

ez+z = ez ez , ez = ez , e−z = (ez )−1 , (ez )n = enz . 0

n'est pas surjective car

n'est pas non plus injective

L'inverse de

fa,b

est

ga,b

|ez | = ex > 0 et donc ez ne z z+2iπ car pour z ∈ C, e = e .

avec

ga,b (y) = a1 y −

vaut jamais

b . Autrement dit a

0.

La

−1 fa,b = ga,b =

f 1 ,− b . a

a

Correction 199

Soit x ∈ [0, 1] ∩ Q alors f (x) = x donc f ◦ f (x) = f (x) = x. Soit x ∈ / [0, 1] ∩ Q f (x) = 1 − x donc f ◦ f (x) = f (1 − x), mais 1 − x ∈ / [0, 1] ∩ Q (vériez-le !) donc f ◦ f (x) = f (1 − x) = 1 − (1 − x) = x. Donc pour tout x ∈ [0, 1] on a f ◦ f (x) = x. Et donc f ◦ f = id. alors

Correction 200

f , φ : [0, 2π[−→ U, t 7→ eit est bijective. Où U est le cercle unité de C donné par l'équation (|z| = 1). • φ est surjective car tout nombre complexe de U s'écrit sous la forme polaire eiθ , et l'on peut choisir θ ∈ [0, 2π[. • φ est injective : Montrons que la restriction de

0

φ(t) = φ(t0 ) ⇔ eit = eit ⇔ t = t0 + 2kπ avec k ∈ Z ⇔ t = t0 car t, t0 ∈ [0, 2π[ et

En conclusion

φ

donc

k = 0.

est injective et surjective donc bijective.

Correction 202 • f

est injective :

f (x) = f (y) ⇒ x2 − 1 = y 2 − 1 ⇒ x = ±y où x, y ∈ [1, +∞[ ⇒ x = y.

donc

x, y

sont de même signe

• f est surjective : soit √ y ∈ [0, +∞[. Nous cherchons un élément x ∈ [1, +∞[ tel que y = f (x) = x2 − 1 . Le réel x = y + 1 convient !

Correction 209

z, z 0 , z 00 des complexes quelconques. • Reexivité : zRz car |z| = |z|. • Symétrie : zRz 0 ⇒ z 0 Rz car |z| = |z 0 | et donc |z 0 | = |z|. • Transitivité : zRz 0 et z 0 Rz 00 alors |z| = |z 0 | = |z 00 | donc zRz 00 . En fait, nous avons juste retranscrit que l'égalité = est une relation 1. Soit

d'équivalence.

309

z ∈ C est l'ensemble des complexes qui sont en relation |z|. Géométriquement la cerlce C de centre 0 et de rayon |z|.

2. La classe d'équivalence d'un point avec

z , i.e.

l'ensemble des complexes dont le module est égal à

z

classe d'équivalence de

est le

C = {|z|eiθ / θ ∈ R}.

Correction 210

Le raisonnement est faux.

L'erreur est due au manque de quantication. En eet, rien ne prouve que pout tout

y

existe. Il peut exister un élément

Correction 220

Soit

f : R −→ R

x

x

un tel

qui n'est en relation avec personne (même pas avec lui).

la fonction

f (x) = (1 + x)n .

Newton nous savons que

n

f (x) = (1 + x) =

n X

Par la formule du binôme de

Cnk xk .

k=1

1. En calculant

f (1)

Pn

k k=1 Cn . n−1

2 = f (x) = n(1 + x)

nous avons

2. Maintenant calculons Pn k k=1 kCn .

n

0

3. Il s'agit ici de calculer une primitive Pn 1 1 n+1 k En F (1) = 2 = k=1 k+1 Cn . n+1

Correction 222

L'astuce consiste à écrire

F

=

de

f

:

Pn

k=1

kCnk xk−1 .

F (x) =

2=3−1

1 (1 n+1

Évaluons

+ x)n+1 =

f 0 (1) = n2n−1 = Pn

1 k k+1 . k=1 k+1 Cn x

( !)

2n = (3 − 1)n = 3 × p + (−1)n Pn k k n−k n Où 3 × p (p ∈ Z) représente les n premiers termes de et (−1) est le dernier k=0 Cn 3 (−1) n n n n terme. Donc 2 − (−1) = 3p. Si n est impair l'égalité s'écrit 2 + 1 = 3p et donc 2 + 1 est n n divisible par 3. Si n est pair 2 − 1 = 3p donc 2 + 1 = 3p + 2 qui n'est pas divisible par 3. Pour l'autre assertion regarder 3 = 7 − 4.

Correction 228

Il s'agit de comparer les deux écritures de la fonction

n

f (x) = (1 + x) =

n X

Cnk xk .

k=0

x = 1 et x = −1 nous obtenons respectivement les assertions (a) et (b). 0 fonction f et en calculant f (1), nous obtenons (b). Pour (d) il faut dériver une Pour

Correction 229

En dérivant la nouvelle fois.

A = (1+i) a pour module 2 et pour argument n π4 (et B est son conjugué). On en tire grâce à la formule du binôme, et en séparant partie réelle et partie imaginaire : B−A et S2 = i. S1 = 2n/2 cos n π4 et et S2 = 2n/2 sin n π4 . On a aussi S1 = A+B 2 2

Correction 230 Supposons que

E

n

n/2

Φ

L'application

est une bijection : son inverse est

soit un ensemble ni. Notre bijection

Φ

Φ

elle-même.

envoie un ensemble

Q ⊂ P(E)

sur

un ensemble de même cardinal. Choisissons

E

un ensemble à

n

éléments, et soit

Q = {F ⊂ E, Nous savons que Card

Q = Cnp

p 6 n. Card F

(c'est la dénition de

Soit

Q ⊂ P(E)

:

= p} .

Cnp ).

De plus

Φ(Q) = {Φ(F ), F ⊂ E, Card F = p} = {F, F ⊂ E, Card F = p = {G ⊂ E, Card G = n − p} . Donc Card Cnp .

Φ(Q) = Cnn−p .

Et comme

Φ

est une bijection, Card

Φ(Q) = Card (Q),

donc

Cnn−p =

310

Correction 236 Card P

Tout d'abord si deux ensembles nis

+ Card Q.

A∆B

L'idée est donc d'écrire

P

et

Q sont disjoints alors Card P ∪ Q =

comme union de deux ensembles disjoints.

A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ (A ∩ B)) ∪ (B \ (A ∩ B)). A \ (A ∩ B) et B \ (A ∩ B) sont disjoints. Card S \ R = Card S − Card R, nous obtenons :

Ces deux ensembles nous avons

Card A∆B

En utilisant que pour

R⊂S

= Card A \ (A ∩ B) + Card B \ (A ∩ B) = Card A + Card B − 2Card (A ∩ B).

Correction 237

k Cn−p ensembles à de A est donc

A ; dans E \ A (de cardinal n − p), nous pouvons choisir ( k = 0, 1, . . . , n). Le nombre d'ensembles dans le complémentaire

Fixons un élément de

k

éléments

n−p X

k Cn−p = 2n−p .

k=0

Pour le choix d'un élément de

A

p

nous avons

choix, donc le nombre total d'ensembles qui

vérie la condition est :

p2n−p .

Correction 249

15! = 1.2.3.4 . . . 15 en facteurs premiers. 15! = 2 .3 .5 .7 .11.13. Un diviseur de 15! s'écrit d = 2α .3β .5γ .7δ .11ε .13η avec 0 6 α 6 11, 0 6 β 6 6, 0 6 γ 6 3, 0 6 δ 6 2, 0 6 ε 6 1, 0 6 η 6 1. De plus tout nombre d de cette forme est un diviseur de 15!. Le nombre de diviseurs est donc (11+1)(6+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4032. 11

6

3

Écrivons la décomposition de

2

Correction 250

1000 1000 Il sagit de calculer 100 modulo 13. Tout d'abord 100 ≡ 9[13] donc 100 91000 [13]. Or 92 ≡ 81 ≡ 3[13], 93 ≡ 92 .9 ≡ 3.9 ≡ 1[13], Or 94 ≡ 93 .9 ≡ 9[13], 95 ≡ 94 .9 ≡ 9.9 3[13]. Donc 1001000 ≡ 91000 ≡ 93.333+1 ≡ (93 )333 .9 ≡ 1333 .9 ≡ 9[13].

Correction 251

La seule chose à voir est que pour une division euclidienne le reste doit être

plus petit que le quotient. Donc les divisions euclidiennes s'écrivent : et

≡ ≡

96842 = 256 × 378 + 74

96842 = 258 × 375 + 92.

Correction 254

Raisonnons modulo

8

:

7 ≡ −1( mod 8). Donc

7n + 1 ≡ (−1)n + 1( mod 8). n n Le reste de la division euclidienne de 7 + 1 par 8 est donc (−1) + 1 donc Si n n 7 + 1 est divisible par 8. Et si n est pair 7 + 1 n'est pas divisible par 8.

Correction 257 diviseur de

2,

consécutifs est divisible par Ecrire

3, un diviseur de 2 × 3 × 4 = 24.

n = p2 + q 2

3

)

2

)

Si

p

divise

b−a

p

alors

et

p

divise aussi

On utilise le résultat de la question précédente avec ap−k−1 modulo p dans p−1 X k p−k−1

a b

k=0

n

en

bn − an d'après la formule (∗). n = p − k − 1 pour écrire bp−k−1

en

par

q.

fonction de

On peut alors conclure.

4

et étudier le reste de la division euclidienne de

distinguant les diérents cas de parité de

Correction 270

4 nombres consécutifs il y a nécessairement : un 4 (tous distincts). Donc le produit de 4 nombres

Il sut de constater que pour

un diviseur de

Correction 267

n est impair alors

.

311

Correction 285 tenant

1. Soit n un nombre impair, alors il s'écrit n = 2p + 1 avec p ∈ N. n2 = (2p + 1)2 = 4p2 + 4p + 1 = 4p(p + 1) + 1. Donc n2 ≡ 1[8].

Main-

n est pair alors il existe p ∈ N tel que n = 2p. Et n2 = 4p2 . Si p est pair alors p2 est pair 2 2 2 2 et donc n = 4p est divisible par 8, donc n ≡ 0[8]. Si p est impair alors p est impair et 2 2 2 donc n = 4p est divisible par 4 mais pas par 8, donc n ≡ 4[8].

2. Si

a est impair alors d'après la première question a2 ≡ 1[8], et de même c2 ≡ 1[8], c ≡ 1[8]. Donc a2 + b2 + c2 ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 3[8]. Pour l'autre reste, écrivons a = 2p + 1 et b = 2q + 1, c = 2r + 1, alors 2ab = 2(2p + 1)(2q + 1) = 8pq + 4(p + q) + 2. Alors 2(ab + bc + ca) = 8pq + 8qr + 8pr + 8(p + q + r) + 6, donc 2(ab + bc + ca) ≡ 6[8].

3. Comme 2

2 2 2 4. Montrons par l'absurde que le nombre a + b + c n'est pas le carré d'un nombre entier. 2 2 2 2 2 2 2 Supposons qu'il existe n ∈ N tel que a + b + c = n . Nous savons que a + b + c ≡ 3[8]. 2 2 2 Si n est impair alors n ≡ 1[8] et si n est pair alors n ≡ 0[8] ou n ≡ 4[8]. Dans tous les 2 cas n n'est pas congru à 3 modulo 8. Donc il y a une contradiction. La conclusion est 2 2 2 que l'hypothèse de départ est fausse donc a + b + c n'est pas un carré. Le même type de raisonnement est valide pour

2(ab + bc + ca).

ab + bc + ca il faut raner un peut l'argument. Si ab + bc + ca = n2 alors selon la 2 parité de n nous avons 2(ab + bc + ca) ≡ 2n ≡ 2[8] ou à 0[8]. Nous remarquons enn que ab, bc, ca sont trois nombres impairs, et donc leur somme est impaire. Par conséquent n 2 2 est impair (sinon n serait pair), donc ab + bc + ca =≡ n ≡ 1[8]. Ce qui aboutit à une contradiction. Nous avons montrer que ab + bc + ca n'est pas un carré.

Pour

Correction 290 1. 2.

Il s'agit ici d'utiliser la décomposition des nombres en facteurs premiers.

126 = 2.32 .7

230 = 2.5.23

et

4

126

donc le pgcd de

2

2

2

390 = 2.3.5.13, 720 = 2 .3 .5, 450 = 2.3 .5 2.3.5 = 30.

3. pgcd (180, 606, 750)

et

230

est

2.

et donc le pgcd de ces trois nombres est

= 6.

Correction 292

0 0 0 Soient a, b deux entiers de pgcd 18 et de somme 360. Soit a , b tel que a = 18a 0 0 et b = 18b . Alors a et b sont premiers entre eux, et leur somme est 360/18 = 20. 0 0 0 0 Nous pouvons facilement énumérer tous les couples d'entiers naturels (a , b ) (a 6 b ) qui 0

vérient cette condition, ce sont les couples :

(1, 20), (3, 17), (6, 14), (7, 13), (8, 12), (9, 11). Pour obtenir les couples par

18

(a, b)

recherchés ( a

6 b),

il sut de multiplier les couples précédents

:

(18, 360), (54, 306), (108, 252), (126, 234), (144, 216), (162, 198).

Correction 296 2.

1. pgcd (18480, 9828)

= 84 ;

25 × 18480 + (−47) × 9828 = 84.

Correction 298

955 et 183 est 1, donc d'après le théorème de Bézout cette équation a des solutions. Par exemple une solution particulière est (m0 , n0 ) = (−32, 167). Les solutions sont exactement les couples (m, n) = (m0 − 83k, n0 + 37k), pour k ∈ Z.

Correction 303

Comme le pgcd de

1.

a = 9b + 10.

2. Calculons le pgcd par l'algorithme d'Euclide.

10 = 1 × 9 + 1.

Donc le pgcd vaut

1;

a = 9b + 10, b = 12345678 × 10 + 9,

312

1 = 10 − 9, puis nous 9 grâce à la deuxième équation de l'algorithme d'Euclide : 1 = 10 − (b − 12345678 × 10) = −b + 1234679 × 10. Maintenant nous remplaçons 10 grâce à la première équation : 1 = −b + 12345679(a − 9b) = 1234579a − 111111112b.

3. Nous reprenons les équations précédentes en partant de la n : remplaçons

Correction 305

45 nous obtenons l'équation équivalente : 37x + 83y = 1. 37 et 83 est 1, donc d'après le théorème de Bézout cette équation a des solutions. Par exemple une solution particulière est (x0 , y0 ) = (9, −4). Les solutions sont exactement les couples (x, y) = (x0 − 83k, y0 + 37k), pour k ∈ Z. En divisant par

Comme le pgcd de

Correction 336 trons que

p

2 −1

Montrons plutôt la contraposée. Soit

p = ab

un entier avec

a, b ∈ N∗ .

Mon-

n'est pas premier.

Nous savons que

xb − 1 = (x − 1)(xb−1 + · · · + x + 1), pour

x = 2a

nous obtenons :

2p − 1 = 2ab − 1 = (2a )b − 1 = (2a − 1) 2a(b−1) + · · · + 2a + 1 . 2a − 1 n'est ni 1 ni 2ab donc nous avons décomposer 2p − 1 en produit d'entier diérents p de 1. Donc 2 − 1 n'est pas premier. p Par contraposition nous obtenons que si 2 − 1 est premier alors p est premier. De plus

Correction 337

a et b des entiers premiers entre eux. Raisonnons par l'absurde et supposons que ab et a + b ne sont pas premiers entre eux. Il existe alors δ un nombre premier divisant ab et a + b. L'entier δ ne peut diviser a et b car a et b sont premiers entre eux. Par exemple supposons que δ ne divise pas b cela implique que δ et b sont premiers entre eux. D'après le théorème de Gauss, comme δ divise ab et δ premier avec b alors δ divise a. Maintenant δ divise a et divise a + b alors δ divise a + b − a = b. δ est un facteur premier de a et de b ce qui est absurde. Soit

Correction 339

1. Étant donné

Cpi = Cpi

0 < i < p,

nous avons

p(p − 1)(p − 2) . . . (p − (i + 1)) p! = i!(p − i)! i!

p(p − 1) . . . (p − (i + 1)). Mais i! et p sont premiers 0 < i < p). Donc d'après le théorème de Gauss : i! divise (p − 1) . . . (p − (i + 1)), autrement dit il existe k ∈ Z tel que ki! = (p − 1) . . . (p − (i + 1)). i i Maintenant nous avons Cp = pk donc p divise Cp . Comme

est un entier alors

i!

divise

entre eux (en utilisant l'hypothèse

2. Il s'agit de montrer le petit théorème de Fermat : pour Fixons

p.

p premier et a ∈ N∗ , alors ap ≡ a[p].

Soit l'assertion

(Ha ) ap ≡ a[p]. Pour

a=1

cette assertion est vraie ! Étant donné

Alors

p

(a + 1) =

p X

a61

supposons que

Ha

soit vraie.

Cpi ai .

i=0

Mais d'après la question précédente pour

0 < i < p, p

divise

nous obtenons :

(a + 1)p ≡ Cp0 a0 + Cpp ap ≡ 1 + ap [p].

Cpi .

En termes de modulo

313 Par l'hypothèse de récurrence nous savons que

ap ≡ a[p],

donc

(a + 1)p ≡ a + 1[p]. Nous venons de prouver que ∗ soit a ∈ N nous avons :

Correction 341 k = 0.

n

est vraie. Par le principe de récurrence alors quelque

ap ≡ a[p].

n et montrons la récurrence sur k ∈ N. La formule est vraie pour formule vraie au rang k . Alors

1. Fixons

Supposons la

(22 − 1) ×

Ha+1

k Y

(22

n+i

n

+ 1) = (22 − 1) ×

i=0

k−1 Y

(22

n+i

+ 1) × (22

n+k

+ 1)

i=0

2n+k

= (2

− 1) × (22

n+k

+ 1) = (22

n+k

)2 − 1 = 22

n+k+1

− 1.

Nous avons utiliser l'hypothèse de récurrence dans ces égalités. Nous avons ainsi montrer la formule au rang 2. Écrivons

k + 1.

m = n + k,

Et donc par le principe de récurrence elle est vraie.

alors l'égalité précédente devient :

n

Fm + 2 = (22 − 1) ×

m−1 Y

Fi .

i=n

Soit encore :

2n

Fn × (2

− 1) ×

m−1 Y

Fi

− Fm = 2.

i=n+1 Si

d

est un diviseur de

Fn

de Bézout). En conséquent montrer que tous diviseurs

Fm alors d divise 2 (ou alors on peut utiliser le théorème d = 1 ou d = 2. Mais Fn est impair donc d = 1. Nous avons de Fn et Fm est 1, cela signie que Fn et Fm sont premiers

et

entre eux.

{p1 , . . . , pN }. N + 1 nombres de la famille Fi , par exemple {F1 , . . . , FN +1 }. Chaque Fi , i = 1, . . . , N + 1 est divisible par (au moins) un facteur premier pj , j = 1, . . . , N . Nous avons N + 1 nombres Fi et seulement N facteurs premiers pj . Donc par le principe des 0 tiroirs il existe deux nombres distincts Fk et Fk0 (avec 1 6 k, k 6 N + 1) qui ont un facteur premier en commun. En conséquent Fk et Fk0 ne sont pas premiers entre eux. Ce

3. Supposons qu'il y a un nombre ni de nombres premiers. Nous les notons alors Prenons alors

qui contredit la question précédente. Il existe donc une innité de nombres premiers.

Correction 348 2.

1.

X

est non vide car, par exemple pour

k = 2, 4k + 3 = 11

est premier.

(4k+1)(4`+1) = 16k`+4(k+`)+1 = 4(4k`+k+`)+1. Si l'on note l'entier k 0 = 4k`+k+` 0 alors (4k + 1)(4` + 1) = 4k + 1, ce qui est bien de la forme voulue.

3. Remarquons que

2

est le seul nombre premier pair, les autres sont de la forme

4k + 1

ou

4k + 3. Ici a n'est pas divisible par 2, supposons par l'absurde que a n'a pas de diviseur de la forme 4k + 3, alors tous les diviseurs de a sont de la forme 4k + 1. C'est-à-dire que a s'écrit comme produit de nombre de la forme 4k + 1, et par la question précédente a peut 0 s'écrire a = 4k + 1. Donc a ≡ 1[4]. Mais comme a = 4p1 p2 . . . pn − 1, a ≡ −1 ≡ 3[4]. Nous obtenons une contradiction. Donc a admet une diviseur premier p de la forme p = 4` + 3.

314

X = {p1 , . . . , pn } il y a tous les nombres premiers de la formes 4k + 3. p est premier et s'écrit p = 4` + 3 donc p est un élément de X , donc il existe i ∈ {1, . . . , n} tel que p = pi . Raisonnons modulo p = pi : a ≡ 0[p] car p divise a. D'autre part a = 4p1 . . . pn − 1 donc a ≡ −1[p]. (car pi divise p1 . . . pn ). Nous obtenons une contradiction donc X est inni : il existe une innité de nombre premier de la forme 4k + 3. Petite remarque, tous les nombres de la forme 4k + 3 ne sont pas des nombres premiers, par exemple pour k = 3, 4k + 3 = 15 n'est pas premier.

4. Dans l'ensemble Le nombre

Correction 349

1. Supposons que

Supposons que premier

>2

et

an + 1

est premier. Nous allons montrer la contraposée.

n n'est pas de la forme 2k , c'est-à-dire q ∈ N. Nous utilisons la formule

que

n = p×q

avec

p

un nombre

xp + 1 = (x + 1)(1 − x + x2 − x3 + . . . + xp−1 ) x = aq

avec

:

an + 1 = apq + 1 = (aq )p + 1 = (aq + 1)(1 − aq + (aq )2 . . . + (aq )p−1 ). Ces deux derniers facteurs sont > n k si a + 1 est premier alor n = 2 .

1. Et donc an + 1 n'esp pas premier. Par contraposition

2. Cette conjecture est fausse, mais pas facile à vérier sans une bonne calculette ! En eet pour

n=5

nous obtenons : 5

22 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417.

Correction 364

A = 3X 5 + 4X 2 + 1, B = X 2 + 2X + 3, 3X 3 − 6X 2 + 3X + 16 et le reste −47 − 41X . 1.

le quotient de

2.

A = 3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1, B = X 3 + X + 2 2 le reste est 7 − 9X − X .

3.

A = X 4 − X 3 − X − 2, B = X 2 − 2X + 4, le quotient de A par B 6 − 9X .

le quotient de

A

par

B est

est

A

par

B

est

3X 2 + 2X − 3

et

X 2 + X − 2 de reste

Correction 366 X 4 + X 3 − 2X + 1 = (X 2 + X + 1)(2X 2 − 3X + 1) + X 3 (2 − X). Correction 370

Les solutions sont les polynômes de la forme

P = où

A

6 7.

est un polynôme quelconque ; une seule solution de degré

Correction 371 2. Quotient

B

est

Q = X 3 − X 2 − X + 1,

1. Quotient

2

Q=1−X −X

Correction 375 par

1 (5X 7 − 21X 5 + 35X 3 − 35X) + A(X − 1)4 (X + 1)4 16

4

, reste

5

reste

R = X.

2

R = X (1 + 2X + X ).

A = X 5 − 7X 4 − X 2 − 9X + 9, B = X 2 − 5X + 4, X − 2 X − 14 X − 63, le reste étant 261 − 268 X . 3

Correction 378 Correction 379 2. pgcd (X

4

4

Ce sont les polynômes de la forme 1. pgcd (X

3

le quotient de

λ(X − a)k , k ∈ N, λ, a ∈ C.

− X 2 − X − 2, X 5 − 2X 4 + X 2 − X − 2) = X − 2.

+ X 3 − 2X + 1, X 3 + X + 1) = 1.

Correction 380 2. pgcd (X

Soient 2

1. pgcd (X

5

+ 3X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 1, X 4 + 2X 3 + X + 2) = X 3 + 1.

+ X 3 − 3X 2 − 4X − 1, X 3 + X 2 − X − 1) = X + 1

A

315 3. pgcd (X

5

+ 5X 4 + 9X 3 + 7X 2 + 5X + 1, X 4 + 2X 3 + 2X 2 + X + 1) = 1.

Correction 387 2.

1.

1 1 X − 16 ) + B(− 18 X 2 + 19 X + D = X 2 + 3X + 2 = A( 18

5 ). 18

D = 1 = A(−X 3 ) + B(X 5 + X 3 + X + 1).

Correction 401

√

x2 +

√ 2x + 1 x2 − 2x + 1

Correction 409

L'ordre de multiplicité est 2.

Correction 410

Pour

Correction 412

1.

1 1 a = 64 ; la racine multiple est − . 2 ( √ √ √ X 3 − 3 = (X − 3 3)(X 2 + √3 3 X √+ √3 9) √ 3 3 = (X − 3 3)(X + 23 − i 32 3 )(X +

√ 3

3 2

+i

√ √ 333 ). 2

  X 12 − 1 = (X − 1)(X √ + 1)(X 2 + 1)(X 2 √ − X + 1)(X 2 + X + 1) ×     (X 2 − 3 X + 1)(X 2 + 3 X + 1)  = (X − 1)(X + √ 1)(X − i)(X√+ i) × 2. √ √  1+i 3 3  X −√−1−i × X − √ 2 3 X −√1−i2 3 X − √−1+i   2 2   3+i 3−i − 3+i − 3−i X− 2 X− 2 X− 2 X− 2 . √ √ 6 2 2 Correction 423 1. X + 1 = − (X + 1) X + X 3 + 1 −X 2 + X 3 − 1 . √ √ 9 6 3 2 2 2 2. X +X +X +1 = − (X + 1) (X − X + 1) X + X 3 + 1 −X 2 + X 3 − 1 (X + 1).

Correction 426

Utiliser la formule d'interpolation de Lagrange !

P = 31 (X 2 − 4X − 3).

Correction 427

Utiliser la formule d'interpolation de Lagrange !

P = 12 (3X 3 − 4X 2 − X + 2).

Correction 444

1.

X 3 −3X 2 +X−4 X−1

= X 2 − 2X − 1 −

2.

2X 3 +X 2 −X+1 X 2 −3X+2

= 2X + 7 −

3 X−1

3.

2X 3 +X 2 −X+1 X 2 −2X+1

= 2X + 5 +

3 (X−1)2

X 4 +2X 2 +1 = X 2 −1 1/2 X 5. = X+2 X 2 −4 4.

2 X−1

X2 + 3 +

X 5 +X 4 +1 X 3 −X

= X2 + X + 1 −

7.

X 5 +X 4 +1 X(X−1)4

=1+

8.

X 5 +X 4 +1 (X−1)3 (X+1)2

9.

X 7 +3 (X 2 +X+2)3

X+i 11. X 2 +i 12.

=

X (X+i)2

1 X

=1+

=

2+i X−i

√ √ − 2+2 + 42 i 4√ √ X− 2−2 2i

=

+

3/4 (X−1)3

1 X+i

−

+

+

1 X

3 (X−1)4

=X −3+

(3−2i)X−5+3i X 2 +iX+2

19 . X−2

+

7 . X−1

2 . X+1

1/2 . X−2

+

6.

10.

−

+

+

+

1/2 X+1

+

3/2 . X−1

6 (X−1)3

+

10 (X−1)2

+

3/2 (X−1)2

7X+13 (X 2 +X+2)3

−

+

37/16 X−1

−

7X+21 (X 2 +X+2)2

+

4 . X−1

1/8 (X+1)2

+

=

X X 4 +1

=

14.

15.

X 2 +X+1 X 4 +1

−

5/16 . X+1

14 . X 2 +X+2

1−3i . X+2i

√ √ 2+2 − 2i 4 √ 4√ 2i X− − 2+ 2

.

i . (X+i)2 √

X 2 +1 13. X 4 +1

5 . X−1

√

√

√

2 2 − 42 i i i − 42 i 1/2 1/2 √ √ √4 √ √4 √ √ √ . √ √ + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 X + 2X+1 X − 2X+1 X− 2 − 2 i X− 2 + 2 i X+ 2 + 2 i X+ 22 − 22 i √ √ 1 1 −1i i −1i i 2/4 √4 √ . √ 4 √ √4 √ √ 4 √ √ − X 2 +√2/4 + = + + + 2 2X+1 X − 2X+1 X− 2 − 2 i X− 2 + 2 i X+ 2 + 2 i X+ 2 − 2 i 2

=

√ (2− 2)/4 √ X 2 + 2X+1

+

√ (2+ 2)/4 √ X 2 − 2X+1

=

2 √ 1+ 2 − 4 i √ √ X− 22 − 22 i

+

2 2 √ 1+ 2 i √4 √ X− 22 + 22 i

2

+

2 √ 1− 2 − 4 i √ √ X+ 22 + 22 i

+

2 2 √ 1− 2 i √4 √ . X+ 22 − 22 i

316 16.

X 5 +X+1 X 4 −1

=X+

3/4 X−1

+

1/4 X+1

−

X+ 12 X 2 +1

=X+

3/4 X−1

+

1/4 X+1

+

− 12 + 14 i X−i

+

− 12 − 14 i . X+i

1 1 1 2 X− 23 j j 1/6 1/2 1/6 3 3 + X32 −X+1 = X−1 + X+1 − X+j − X+j 2 , où on a posé de façon X+1 √ 3 1 standard j = − + i. 2 2 X 3 −2 2 3X+5 18. = − X 4 + X43 − X22 − X3 + (X 2X+1 2 + X 2 +X+1 = X 4 (X 2 +X+1)2 +X+1) √ √ 1 2 1 3 3 j j − 2318 3 i + 2318 3 i 3 3 2 2 − X24 + X43 − X22 − X3 + (X−j) + + + , où on a posé de façon standard 2 (X−j 2 )2 X−j X−j 2 √ j = − 12 + 23 i. 1 1 X X 1/6 1/6 1/6 1/6 X 3 3 19. = − = X−i + X+i − X−2i − X+2i . 2 2 2 (X +1)(X +4) X +1 X 2 +4

17.

20.

X 5 +X+1 X 6 −1

=

1/2 X−1

X 2 −3

+

= − X4/3 2 +1 +

(X 2 +1)(X 2 +4)

7/3 X 2 +4

=

2 i 3

X−i

+

− 23 i X+i

+

7 − 12 i X−2i

+

7 i 12

X+2i

.

Correction 445

Commencer bien sûr par la division suivant les puissances décroissantes (la 4x2 −6x+1 faire faire par les étudiants) : Φ = x + 1 + Φ1 avec Φ1 = . 2x3 −x2 Puis factoriser le dénominateur et faire donner le type de décomposition de Φ1 :

Φ1 =

A B C + + . 2 x x x − 12

(3)

A en multipliant les deux membres de (3) par x2 et en passant à 1 la limite quand x tend vers 0 ( A = −1). On obtient de même C par multiplication par x − 2 1 et calcul de la limite quand x tend vers (C = −2). Enn on trouve B en identiant pour une 2 valeur particulière non encore utilisée, par exemple x = 1, ou mieux en multipliant les deux membres de (3) par x et en passant à la limite pour x → ∞ (B = 4). Faire remarquer que pour Expliquer qu'on obtient alors

un cas aussi simple, les calculs peuvent se faire

A, B , C

de tête

en écrivant simplement les coecients

au fur et à mesure qu'on les obtient.

2x4 + x3 + 3x2 − 6x + 1 1 4 2 = x + 1 − + − . 2x3 − x2 x2 x x − 12

Correction 446 donne :

La

Φ = 2 + Φ1 Φ1 =

division

suivant

les

puissances

décroissantes

avec

4x4 − 10x3 + 8x2 − 4x + 1 A B C D E = 3+ 2+ + + . 3 2 2 x (x − 1) x x x (x − 1) x−1

Faire remarquer que la méthode de l'exercice précédent permettrait d'obtenir facilement A et D 3 2 par multiplication par x et par (x − 1) , mais qu'il resterait encore 3 coecients à déterminer. Il y a ici une méthode plus ecace : eectuer la division suivant les puissances croissantes, à 2 3 4 2 l'ordre 3 (qui est l'exposant du facteur x) du numérateur 1 − 4x + 8x − 10x + 4x par (x − 1) , 2 ou plutôt par 1 − 2x + x :

1 − 4x + 8x2 − 10x3 + 4x4 = (1 − 2x + x2 ) × (1 − 2x + 3x2 ) + (−2x3 + x4 ). En divisant les deux membres de (4) par

Φ1 =

x3 (x − 1)2 ,

on obtient

A, B

et

C

(4)

d'un seul coup :

1 2 3 x−2 − + + . x3 x2 x (x − 1)2

x−2 : méthode de l'exercice (x−1)2 précédent, ou division suivant les puissances décroissantes de x−2 par x−1 : x−2 = (x−1)−1. Le calcul de

D

et

E

est alors immédiat par décomposition de

2x5 − 8x3 + 8x2 − 4x + 1 1 2 3 1 1 =2+ 3 − 2 + − + . 3 2 2 x (x − 1) x x x (x − 1) x−1

317 Remarque : cette méthode est ecace pour un exposant assez grand (en gros à partir de 3). P (x) Elle peut être utilisée pour une fraction du type , mais il faut commencer par le (x−a)n Q(x) changement de variable u = x − a avant de faire la division, puis bien entendu revenir ensuite à la variable

x.

Correction 447

Pas de division préliminaire dans ce cas. . . Forme de la décomposition :

Φ=

Bx + C Dx + E Fx + G A + 2 + 2 + 2 . 3 2 x (x + 1) (x + 1) x +1

La méthode du premier exercice permet d'obtenir A, puis B et 2 plication des deux membres de (5) par x + 1, puis limite quand

(5)

C (pour ces derniers : multix tend vers i ou vers −i, avec

séparation des parties réelle et imaginaire), mais c'est bien insusant pour conclure : il faut Bx+C 2 encore soustraire , simplier par x + 1, calculer D et E . . . (le faire faire quand même à (x2 +1)3 titre d'entraînement).

A . Faire faire x le calcul aux étudiants ; leur faire remarquer que, sauf erreur de calcul, la fraction Φ1 se

On va ici se contenter de trouver simplier par

x.

A (A = 3),

puis faire la soustraction

Φ1 = Φ −

doit

On trouve :

Φ=

3 x5 − 2x4 + 2x3 − x2 + 2x + 2 + . x (x2 + 1)3

La n de la décomposition se fait par divisions successives suivant les puissances décroissantes : 5 4 3 2 2 division du numérateur x − 2x + 2x − x + 2x + 2 par x + 1, puis du quotient obtenu par x2 + 1.

4x6 − 2x5 + 11x4 − x3 + 11x2 + 2x + 3 3 x+1 3 x−2 = + 2 + 2 + 2 . 2 3 3 2 x(x + 1) x (x + 1) (x + 1) x +1 Remarque : cette méthode des divisions successives est très pratique quand la fraction à décomn poser a un dénominateur , c'est à dire comportant un dénominateur du type Q où Q

simple

est du premier degré, ou du second degré sans racine réelle. Faire remarquer aussi comment on

simple

peut simplier petit à petit en éliminant du dénominateur un dénominateur (méthode A utilisée dans l'exercice 3 par le calcul de Φ − ). x p ∈ Q et x ∈ / Q. Par l'absurde supposons que r + x ∈ Q alors 1. Soit r = q 0 0 p0 p0 p 0 0 il existe deux entiers p , q tels que r + x = 0 . Donc x = 0 − = qp qq−pq ∈ Q ce qui est 0 q q q absurde car x ∈ / Q. p0 q p0 De la même façon si rx ∈ Q alors rx = 0 Et donc x = 0 . Ce qui est absurde. q q p √ √ 2. Supposons que 2 ∈ Q alors il existe deux entiers p, q tels que 2 = pq . De plus nous pouvons supposer que la fraction est irréductible ( p et q sont premiers entre eux). En 2 2 2 élevant l'égalité au carré nous obtenons q × 2 = p . Donc p est un nombre pair, cela

Correction 451

p est un nombre pair (si vous n'êtes pas convaincu écrivez la contraposée 2 0 0 2 02 p impair ⇒ p impair). Donc p = 2 × p avec p ∈ N, d'où p = 4 × p . Nous obtenons q 2 = 2 × p0 2 . Nous en déduisons maintenant que q 2 est pair et comme ci-dessus que q est pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car p et q étant tous les deux pairs la fraction √ p n'est pas irréductible et aurait pu être simplier. Donc 2∈ / Q. q √ 0 0 0 Soient r, r deux rationnels avec r < r . Notons a = 2(r − r). Choisissons n ∈ N tel que √ n > 2. Et posons a x=r+ . n √ r0 −r 0 D'une part x ∈]r, r [ et d'après les deux premières questions 2 n ∈ / Q. Et donc x est 0 un nombre irrationnel compris entre r et r . implique que

3.

318

Correction 457

α 1. Soit β

Après multiplication par

1. Pour p( αβ )

∈ Q avec α ∧ β = β n nous obtenons l'égalité

= 0,

alors

suivante :

Pn

i=1

ai

i α β

= 0.

an αn + an−1 αn−1 β + · · · + a1 αβ n−1 + a0 β n . n En factorisant les derniers termes de cette somme par β , nous écrivons an α +βq = n n entraîne que β divise an α , mais comme β et α sont premier entre eux (car α ∧ alors par le théorème de Gauss

α

la somme ci-dessus par

α

divise

nous

β

0. Ceci β = 1)

an . De même en factorisant les premiers termes de 0 n obtenons αq + a0 β = 0 et par un raisonnement similaire divise

a0 .

√ √ √ √ 2 γ = 2 + 3. Alors γ 2 = 5 + 2 2 3 Et donc (γ 2 − 5) = 4 × 2 × 3, Nous 2 5 4 2 choisissons p(x) = (x − 5) − 24, qui s'écrit aussi p(x) = x − 10x + 1. Vu notre choix de p, nous avons p(γ) = 0. Si nous supposons que γ est rationnel, alors γ = αβ et d'après la première question α divise le terme constant de p, c'est-à-dire 1. Donc α = ±1. De même β divise le coecient du terme de plus au degré de p, donc β divise 1, soit β = 1. Ainsi γ = ±1, ce qui est évidemment absurde !

2. Notons

Correction 459 Nn =

1. Soit

p = 2001 2001 . . . 2001

et

q = 10000 0000 . . . 0000 = 104n .

Alors

p . q

10 000 × M = 2001, 2001 2001 . . . 2001 9999 × M = 2001 d'où M = 9999 .

2. Remarquons que

0, 111 . . . =

0, 222 . . . =

2 , etc. D'où 9

10 000 × M − M = 2001 ;

donc

1 + 29 + · · · + 99 = 1+2+···+9 = 45 = 5. 9 9 9 p ln 3 est un rationnel. Il s'écrit avec p, q des Par l'absurde supposons que ln 2 q entiers (positif ) premiers entre eux. On obtient q ln 3 = p ln 2. En prenant l'exponentielle : exp(q ln 3) = exp(p ln 2) soit q 3 = p2 . Donc q divise p2 . Comme p et q sont premiers entre eux, ln 3 alors par le théorème de Gauss q divise p. Donc q = 1. Et alors p = 1. Donc = 1, ce qui est ln 2 ln 3 faux (car par exemple ln 3 > ln 2). Donc est irrationnel. ln 2 3.

1 , 9

Alors

P =

Correction 461

Correction 464

Explicitons la formule pour max(x, y). Si x > y , alors |x − y| = x − y donc 1 (x + y + |x − y|) = 12 (x + y + x − y) = x. De même si x 6 y , alors |x − y| = −x + y donc 2 1 (x + y + |x − y|) = 12 (x + y − x + y) = y . 2 Pour 3 élément, nous avons max(x, y, z) = max max(x, y), z , donc d'après les formules pour

2

éléments :

max(x, y) + z + | max(x, y) − z| 2 1 1 (x + y + |x − y|) − z (x + y + |x − y|) + z + 2 . = 2 2

max(x, y, z) =

Correction 465 (u2k )k

+∞ et donc le seul majorant de A est +∞ et donc sup A = +∞. D'autre part toutes les valeurs de (un ) sont positives et (u2k+1 )k tend vers 0, donc inf A = 0.

Correction 466 supérieure : 2.

]0, 1[∩Q.

1.

1.

[0, 1] ∩ Q.

Les majorants :

La borne inférieure :

Les majorants :

borne inférieure : 3.

tend vers

0.

[1, +∞[.

0.

[1, +∞[.

Les minorants :

Le plus grand élément :

Les minorants :

] − ∞, 0].

1.

] − ∞, 0].

La borne

Le plus petit élément

La borne supérieure :

1.

0. La

Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément.

N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand ] − ∞, 0]. La borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0.

élément. Les minorants :

319 4.

n (−1)n +

o

1 , n ∈ N∗ . Les majorants : [ 54 , +∞[. Les minorants : ] − ∞, −1]. La borne n2 5 5 supérieure : . La borne inférieure : −1. Le plus grand élément : . Pas de plus petit 4 4 élément.

Correction 476

1. Soient A et B deux parties bornées de R. On sait que Sup A est un A, c'est à dire, ∀a ∈ A, a 6 Sup A. De même, ∀b ∈ B, b 6 Sup B . On veut montrer que Sup A + Sup B est un majorant de A + B . Soit donc x ∈ A + B . Cela signie que x est de la forme a + b pour un a ∈ A et un b ∈ B . Or a 6 Sup A, et b 6 Sup B , donc x = a + b 6 Sup A + Sup B . Comme ce raisonnement est valide pour tout x ∈ A + B cela signie que Sup A + Sup B est un majorant de A + B . majorant de

2. On veut montrer que, quel que soit

ε > 0, Sup A + Sup B − ε

n'est pas un majorant de

Sup A + Sup B − ε ne majore pas A + B . On s'interdit donc dans la suite de modier ε. Comme Sup A est le plus petit des majorants de A, Sup A − ε/2 n'est pas un majorant de A. Cela signie qu'il existe un élément a de A tel que a > Sup A − ε/2. Attention : Sup A − ε n'est pas forcément dans A. Sup A non plus. Et il n'est pas non plus vrai que ∀a ∈ A a > Sup A − ε/2. On ne choisit donc pas ce a. De la même manière, il existe b ∈ B tel que b > Sup B − ε/2. Or l'élément x déni par x = a + b est un élément de A + B , et il vérie x > (Sup A − ε/2) + (Sup B − ε/2) = Sup A + Sup B − ε. Ceci implique que Sup A + Sup B − ε n'est pas un majorant de A + B . A + B.

3.

On prend donc un

Sup A + Sup B

ε>0

quelconque, et on veut montrer que

A + B d'après la partie 1. Mais, d'après la partie 2., dès ε > 0, SupA+SupB−ε n'est pas un majorant de A+B . Donc SupA+SupB plus petit des majorants de A + B , i.e. Sup (A + B) = Sup A + Sup B . est un majorant de

qu'on prend un est bien le

Correction 477

1. Vrai.

2. Vrai. 3. Vrai. 4. Faux. L'égalité peut ne pas être stricte. 5. Vrai. 6. Vrai.

Correction 491 √ √ a+ b62 a+b √ √ ⇔ ( a + b)2 6 2(a + b)

√

car les termes sont positifs, et la fonction

x 7→ x2

est croissante sur

R+ .

√ √ ⇔ a + b + 2 a b 6 2(a + b) √ √ ⇔a+b−2 a b>0 √ √ ⇔ ( a − b)2 > 2. La denière proposition est toujours vraie, et donc par équivalence, nous obtenons l'inégalité recherchée.

Correction 497

Montrons le résultat demandé

1 × f (1).

Si

f (0). f (1) = f (1 + 0) = f (1) + f (0) Donc f (0) = 0. par récurrence : pour n = 1, nous avons bien f (1) = f (n + 1) = f (n) + f (1) = nf (1) + f (1) = (n + 1)f (1).

1. Calculons d'abord

f (n) = nf (1)

alors

320 2.

0 = f (0) = f (−1 + 1) = f (−1) + f (1). f (−n) = nf (−1) = −nf (1).

Donc

f (−1) = −f (1).

Puis comme ci-dessus

q = ab . Alors f (a) = f ( ab + ab + · · · ab ) = f ( ab ) + · · · + f ( ab ) (b termes dans cette somme). a a a a Donc f (a) = bf ( ). Soit af (1) = bf ( ). Ce qui s'écrit aussi f ( ) = f (1). b b b b

3. Soit

4. Soit

x∈R

Soit

(αi )

une suite croissante de rationnels qui tend vers

décroissante de rationnels qui tend vers

x

x.

Soit

(βi )

une suite

:

α1 6 α2 6 α3 6 . . . 6 x 6 · · · 6 β2 6 β1 . Alors comme

αi 6 x 6 βi

f

et que

D'après la question précédent cette inéquation devient :

(αi ) la

f (αi ) 6 f (x) 6 f (βi ). αi f (1) 6 f (x) 6 βi f (1). Comme

est croissante nous avons

(βi ) tendent vers x. Par le théorème des gendarmes limite : xf (1) 6 f (x) 6 xf (1). Soit f (x) = xf (1). et

Correction 505

nous obtenons en passant à

1. Vraie. Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente et admet

la même limite.

(un )n

2. Faux. Un contre-exemple est la suite

1,

suite constante (donc convergente) de valeur Cependant la suite

(un )n

(un )n

∀ε > 0 ∃N ∈ N ε > 0.

et

n'est pas convergente.

3. Vraie. La convergence de la suite

Fixons

un = (−1)n . Alors (u2n )n est la (u2n+1 )n est constante de valeur −1.

dénie par

`,

vers

que nous souhaitons démontrer, s'écrit :

(n > N ⇒ |un − `| < ε.

tel que

Comme, par hypothèse, la suite

(u2p )p

converge vers

`

alors il existe

N1

tel

2p > N1 ⇒ |u2p − `| < ε. Et de même, pour la suite

(u2p+1 )p

il existe

N2

tel que

2p + 1 > N1 ⇒ |u2p+1 − `| < ε. Soit

N = max(N1 , N2 ),

alors

n > N ⇒ |un − `| < ε. Ce qui prouve la convergence de

Correction 506

Soit

(un )

(un )n

vers

`.

une suite convergeant vers

` ∈ R.

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N

|un − `| < ε.

Par dénition

ε = 1, nous obtenons le N correspondant. Alors pour n > N , nous avons |un −`| < 1, 0 soit ` − 1 < un < ` + 1. Notons M = maxn=1,... ,N {un } et puis M = max(M, ` + 1). Alors pour 0 0 tout n ∈ N un 6 M . De même en posant m = minn=1,... ,N {un } et m = min(m, ` − 1) nous 0 obtenons pour tout n ∈ N, un > m . Choisissons

Correction 507

Beaucoup d'entre vous ont compris que

un

n'avait pas de limite, mais peu

sont arrivé à en donner une démonstration formelle. En eet, dès lors qu'on ne sait pas qu'une suite

(un )

converge, on ne peut pas écrire

lim un ,

c'est un nombre qui n'est pas déni. Par

exemple l'égalité

lim (−1)n + 1/n = lim (−1)n

n→∞

n→∞

321

Comme la suite 1/n tend vers 0 quand n → ∞, la suite un est convergente si et seulement si la suite (−1)n l'est. De plus, dans le cas n'a pas de sens. Par contre voilà ce qu'on peut dire :

où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite.

Théorème

Cette armation provient

tout simplement du théorème suivant : Soient

wn = un + vn

un

et

vn

l0 . Alors lim wn = l + l0 .

deux suites convergeant vers deux limites

est convergente (on peut donc parler de sa limite) et

l

et

la suite

De plus, il n'est pas vrai que toute suite convergente doitforcément être croissante et majorée n ou décroissante et minorée. Par exemple, (−1) /n est une suite qui converge vers 0 mais qui n'est ni croissante, ni décroissante. A ce propos d'ailleurs, on ne dit pas d'une suite qu'elle est

croissante pour n pair et décroissante pour n impair même si je comprends ce que cela signie. On dit qu'une telle suite n'est ni croissante ni décroissante (et c'est tout).

un n'est l = limn→∞ un .

Voici maintenant un exemple de rédaction de l'exercice. On veut montrer que la suite pas convergente. Supposons donc par l'absurde qu'elle soit convergente et notons

Rappel 1.

(Cette expression a un sens puisqu'on suppose que forme

φ

Une

vn = uφ(n)

sous-suite

où

φ

de

un

(on dit aussi

un

converge).

suite extraite

un ) de N

de

est une application strictement croissante

est une suite dans

N.

vn

de la

Cette fonction

correspond au choix des indices qu'on veut garder dans notre sous-suite. Par exemple, si

on ne veut garder dans la suite

φ(n) = 3n,

pourra poser

un

que les termes pour lesquels

c'est à dire

n

est un multiple de trois, on

vn = u3n .

vn = u2n et wn = u2n+1 de (un ). On a que vn = wn = −1 + 1/(2n + 1) → −1. Or on a le théorème suivant sur les

Considérons maintenant les sous-suites

1 + 1/2n → 1

Théorème

et que

sous-suites d'une suite convergente :

un une suite convergeant vers la limite l (le théorème est encore vrai si l = +∞ ou l = −∞). Alors, toute sous suite vn de un a pour limite l. Par conséquent, ici, on a que lim vn = l et lim wn = l donc l = 1 et l = −1 ce qui est une contradiction. L'hypothèse disant que (un ) était convergente est donc fausse. Donc un ne : Soit

converge pas. Montrons que

un

est bornée. On a que

−1 6 (−1)n 6 1 0 6 1/n 6 1 donc

−1 6 un 6 2 donc

un

est bornée.

Rappel 2.

Le théorème de Bolzano-Weïerstrass dit ceci : Soit

Alors, il existe une sous-suite de

(un )

Ici, on nous demande d'exhiber une sous-suite de

Remarque que

vn = u2n → 1. vn = u2n

Correction 518

une suite de réels bornée.

un

qui soit convergente. Mais on a déjà vu

est donc une suite extraite convergente.

: Il y a d'autres sous-suites convergentes :

sous-suites convergentes de

(un )

qui est convergente. (C'est un théorème très puissant).

(u4n ) (u2n ), (un! )

et

(u3n )

sont des

un .

1. Suite non convergente car non bornée.

2. Suite convergente vers

0.

que la sous-suite

u2p+1 = −1 +

1 u2p = 1 + 2p

est toujours plus grande que 1 est toujours plus petite que 0. 2p+1

3. Suite non convergente car la sous-suite

1.

Alors

322

Correction 519

Soit (un )n une suite d'entiers qui converge vers ` ∈ R. I =]` − 21 , ` + 12 [ de longueur 1, il existe au plus un élément est soit vide soit un singleton {a}. La convergence de (un )n s'écrit : Dans l'intervalle

∀ε > 0 ∃N ∈ N 1 , nous obtenons le 2 un entier, donc Fixons

ε=

N

tel que

de

N.

Donc

I ∩N

(n > N ⇒ |un − `| < ε.

correspondant. Et pour

n > N , un ∈ I .

Mais de plus

un

est

n > N ⇒ un ∈ I ∩ N. En conséquent,

I ∩N

n'est pas vide (par exemple

uN

en est un élément) donc

I ∩ N = {a}.

L'implication précédente s'écrit maintenant :

n > N ⇒ un = a. Donc la suite

(un )n est stationnaire (au moins) à partir de N . En prime, elle est bien évidemment ` = a ∈ N.

convergente vers

Correction 520

1. La fonction

t 7→

1 est décroissante sur t

1 6 n+1

Z n

n+1

[n, n + 1]

dt 1 6 t n

(C'est un encadrement de l'aire de l'ensemble des points

[n, n + 1]

et

0 6 y 6 1/x

donc

(x, y)

du plan tels que

x ∈

par l'aire de deux rectangles.) Nous obtenons l'inégalité :

1 1 6 ln(n + 1) − ln(n) 6 . n+1 n 2.

1 1 + n−1 n 1 l'inégalité 6 k

+ · · · + 12 + 1, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant ln(k) − ln(k − 1) obtenue précédemment : nous obtenons Hn 6 ln(n) − ln(n − 1) + ln(n − 1) − ln(n − 2) + · · · + ln 2 − ln 1 + 1. Cette somme est télescopique (la plupart des termes s'éliminent et en plus ln 1 = 0) et donne Hn 6 ln n + 1. 1 L'autre inégalité s'obtient de la façon similaire en utilisant l'inégalité ln(k + 1)− ln(k) 6 k Hn =

.

Hn > ln(n + 1) et que ln(n + 1) → +∞ quand n → +∞ alors Hn → +∞ quand n → +∞. 1 un+1 − un = Hn+1 − Hn − ln(n + 1) + ln(n) = n+1 − (ln n + 1 − ln n) 6 0 d'après la première 1 question. Donc un+1 − un = f ( ) 6 0. Donc un+1 6 un et la suite (un ) est décroissante. n+1 Enn comme Hn > ln(n + 1) alors Hn > ln n et donc un > 0. La suite (un ) est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge vers un réel γ . Ce réel γ est la constante d'Euler (Leonhard Euler, 1707-1783, mathématicien d'origine suisse). Cette constante vaut environ 0, 5772156649 . . . mais on ne sait pas si γ est rationnel ou

3. Comme

4.

5.

irrationnel.

Correction 524 2.

1.

un+q = cos 2(n+q)π = cos 2(n)π + 2π = cos 2(n+q)π = un . q q q

= cos 2nπ = 1 = u0 et unq+1 = cos 2(nq+1)π = cos 2π = u1 . Supposons, unq = cos 2(nq)π q q q par l'absurde que (un ) converge vers `. Alors la sous-suite (unq )n converge vers ` comme unq = u0 = 1 pout tout n alors ` = 1. D'autre part la sous-suite (unq+1 )n converge aussi 2π 2π vers `, mais unq+1 = u1 = cos , donc ` = cos . Nous obtenons une contradiction car q q 2π pour q > 2, nous avons cos 6= 1. Donc la suite (un ) ne converge pas. q

323

Correction 539 sur

R

3 1. La fonction polynomiale P (x) := x − 3x + 1 est continue et dérivable 0 2 et sa dérivée est P (x) = 3x − 3, qui est strictement négative sur ] − 1, +1[. Par

P est strictement décroissante sur ] − 1, +1[. Comme P (0) = 1 > 0 et P (1/ 2) = −3/8 < 0 il en résulte grâce au théorème des valeurs intermédiaires qu'il existe un réel unique α ∈]0, 1/2[ tel que P (α) = 0.

conséquent

f (x) − x = (x3 − 3x + 1)/9 f (x) = x dans ]0, 1/2[.

2. Comme

il en résulte que

α

est l'unique solution de l'équation

f 0 (x) = (x2 + 2)/3 > 0 pour tout x ∈ R, on en déduit que f est strictement + croissante sur R. Comme f (0) = 1/9 et limx→+∞ f (x) = +∞, on en déduit que f (R ) = [1/9, +∞[. Comme x1 = f (x0 ) = 1/9 > 0 = x0 , et que f est strictement croissante sur R+ , on en déduit par récurrence que xn+1 > xn pour tout n ∈ N ce qui prouve que la suite (xn ) est croissante.

3. Comme

f (1/2) < 1/2. Comme 0 = x0 < 1/2 que xn < 1/2 pour tout n ∈ N.

4. Un calcul simple montre que on en déduit par récurrence

5. D'après les questions précédentes, la suite

(xn )

et que

f

est croissante

est croissante et majorée elle converge

l ∈]0, 1/2]. De plus comme xn+1 = f (xn ) pour tout n ∈ N, on en déduit par continuité de f que ` = f (`). Comme f (1/2) < 1/2, On en déduit que ` ∈]0, 1/2[ et vérie l'équation f (`) = `. D'après la question 2, on en déduit que ` = α et donc (xn ) converge vers α. donc vers un nombre réel

Correction 563

1−k2 = (k−1)(k+1) . En écrivant les fractions k2 k.k de un sous la cette forme, l'écriture va se simplier radicalement :

un =

Remarquons d'abord que

1 − k12 =

(2 − 1)(2 + 1) (3 − 1)(3 + 1) (k − 1)(k + 1) (k)(k + 2) (n − 1)(n + 1) ··· ··· 2.2 3.3 k.k (k + 1).(k + 1) n.n

Tous les termes des numérateurs se retrouvent au dénominateur (et vice-versa), sauf aux extrémités. D'où :

1n+1 . 2 n +∞.

un = Donc

(un )

tends vers

Correction 568 2.

1.

3.

7/30.

4.

1/2.

5.

1.

6.

−3/2.

7.

1.

8.

3.

9.

1 ; 2.

10.

3/4.

11.

0.

12.

0.

13.

1/3.

1 lorsque 2

1.

0.

n

tend vers

324

Correction 569

1.

u2n+1

1 −a= 4

u2n + a un

2

−a

1 (u4 − 2au2n + a2 ) 4u2n n 1 (u2n − a)2 = 4 u2n =

2. Il est clair que pour et comme

un+1

n>0

on a

est positif alors

un > 0. √ D'après un+1 > a.

l'égalité précédente pour

n > 0, u2n+1 − a

un+1 Soit n > 1. Calculons le quotient de un+1 par un : = 12 1 + ua2 or ua2 6 1 car un n n √ un > a. Donc uun+1 6 1 et donc un+1 6 un . La suite (un )n>1 est donc décroissante. n 3. La suite

` > 0.

(un )n>1

est décroissante et minorée par

a

donc elle converge vers une limite

D'après la relation

un+1 quand

√

n → +∞

alors

un → `

La seule solution positive est

1 = 2

a un + un

un+1 → `. À la limite nous obtenons la relation 1 a `= `+ . 2 ` √ √ ` = a. Conclusion (un ) converge vers a. et

4. La relation

u2n+1 − a =

(u2n − a)2 4u2n

s'écrit aussi

(un+1 − a)(un+1 + a) = Donc

(un − a)2 (un + a)2 . 4u2n

√ 2 1 un + a √ un+1 − a = (un − a) un 4(un+1 + a) √ 2 a 1 √ 1+ 6 (un − a)2 un 4(2 a) 1 6 (un − a)2 √ 2 a 2

5. Par récurrence pour

n = 1, u1 −

√

a 6 1.

Si la proposition est vraie rang

1 un+1 − a 6 √ (un − a)2 2 a 2n−1 !2 √ 2 1 k √ 6 √ (2 a) 2 a 2 a 2n √ k 62 a √ 2 a

n,

alors

325

√ √ u0 = 3, alors u1 = 12 (3 + 10 ) = 3, 166 . . . . Comme 3 6 10 6 u donc u1 − 10 6 1 3 √ 0.166 . . . . Nous pouvons choisir k = 0, 17. Pour que l'erreur un − a soit inférieure à 10−8 il sut de calculer le terme u4 car alors l'erreur (calculée par la formule de la question −10 précédente) est inférieure à 1, 53 × 10 . Nous obtenons u4 = 3, 16227766 . . .

6. Soit

Correction 570 La suite

1. La suite

(vn )

(un ) est strictement croissante, en eet un+1 − un =

1 (n+1)!

> 0.

est strictement décroissante :

vn+1 − vn = un+1 − un + Donc pour à partir de

n > 2,

1 1 1 1 1 1 2 − = + − = ( − 1). (n + 1)! n! (n + 1)! (n + 1)! n! n! n la suite

(vn )

est strictement décroissante.

un 6 vn 6 v2 , alors (un ) est une suite croissante et majorée. Donc elle converge ` ∈ R. De même vn > un 6 u0 , donc (vn ) est une suite décroissante et minorée. Donc 1 0 elle converge vers ` ∈ R. De plus vn − un = . Et donc (vn − un ) tend vers 0 ce qui n! 0 prouve que ` = ` .

2. Comme vers

3. Supposons que

` ∈ Q, nous écrivons alors ` = un 6

p, q ∈ N. Nous obtenons pour n > 2 :

p 6 vn . q

q! : q!uq 6 q! pq 6 q!vq . 1 Dans cette double inégalité toutes les termes sont des entiers ! De plus vq = uq + donc : q! Ecrivons cette égalité pour

n = q : uq 6

p q

p avec q

6 vq

et multiplions par

p q!uq 6 q! 6 q!uq + 1. q q!uq + 1 = q!vq . Nous obtenons que ` = pq est égal à uq ou à vq . Supposons par exemple que ` = uq , comme la suite (un ) est strictement croissante alors uq < uq+1 < · · · < `, ce qui aboutit à une contradiction. Le même raisonnement s'applique en supposant ` = vq car la suite (vn ) est strictement décroissante. Pour conclure nous avons montrer que ` n'est pas un nombre rationnel. fait ` est le nombre e = exp(1). Donc l'entier

En

q! pq

est égal à l'entier

q!uq

ou à

Correction 571

1. Si u0 6 u1 alors comme f est croissante f (u0 ) 6 f (u1 ) donc u1 6 u2 , f (u1 ) 6 f (u2 ) soit u2 6 u3 ... Par récurrence on montre que (un ) est décroissante. Comme elle est minorée par a alors elle converge. Si u0 6 u1 alors la suite (un ) est croissante et majorée par b donc converge. Notons ` la limite de (un )n . Comme f est continue alors (f (un )) tend vers f (`). De plus la limite de (un+1 )n est aussi `. En passant à la limite dans l'expression un+1 = f (un ) nous obtenons l'égalité ` = f (`).

ensuite

[0, 4] et f ([0, 4]) ⊂ [0, 4]. La fonction u0 = 4 et u1 = 3 alors (un ) est décroissante. Calculons la valeur de sa limite `. ` est solution de l'équation f (x) = x soit 4x +5 = x(x + 3). Comme√ un > 0 pour tout n alors ` > 0. La seule solution positive de 4x + 5 = x(x + 3) 1+ 21 = 2, 7912 . . . est ` = 2

2. La fonction

f

f

est continue et dérivable sur l'intervalle

est croissante (calculez sa dérivée). Comme

f est décroissante alors f ◦ f est croissante (car x 6 y ⇒ f (x) > f (y) ⇒ f ◦ f (x) 6 ◦f ◦ f (y)). Nous appliquons la première question avec la fonction f ◦ f . La suite (u0 , u2 = f ◦ f (u0 ), u4 = f ◦ f (u2 ), . . . ) est monotone et convergente. De même pour la suite (u1 , u3 = f ◦ f (u1 ), u5 = f ◦ f (u3 ), . . . ).

3. Si

326

f (x) = (1 − x)2

[0, 1] dans [0, 1]. Elle est décrois9 u2 = 16 , u3 = 0, 19 . . . ,... Donc la suite (u2n ) est croissante, nous savons qu'elle converge et notons `p sa limite. La suite (u2n+1 ) et décroissante, notons ì sa limite. Les limites `p et ì sont des solutions de l'équa2 2 2 tion f ◦ f (x) = x. Cette équation s'écrit (1 − f (x)) = x, ou encore (1 − (1 − x) ) = x 2 2 soit x (2 − x) = x. Il y a deux solutions évidentes 0 et 1. Nous factorisons le polynôme 2 2 x (2 − x) − x en x(x − 1)(x − λ)(x √ − µ) avec λ et µ les solutions de l'équation x2 − 3x + 1 : √ λ = 3−2 5 = 0, 3819 . . . et µ = 3+2 5 > 1. Les solutions de l'équation f ◦ f (x) = x sont 1 donc {0, 1, λ, µ}. Comme (u2n ) est croissante et que u0 = alors (u2n ) converge vers 2 1 `p = 1 qui est le seule point xe de [0, 1] supérieur à 2 . Comme (u2n+1 ) est décroissante et 1 que u1 = alors (u2n+1 ) converge vers ì = 0 qui est le seule point xe de [0, 1] inférieur 4

4. La fonction

est continue et dérivable de u0 = 12 , u1 = 14 ,

sante sur cette intervalle. Nous avons

à

1 . 4

Correction 572

√

a+b . Comme les deux 2 a+b 2 membres de cette inégalité sont positifs, cette inégalité est équivalente à ab 6 ( ) . De 2 plus, 2 a+b 2 1. Soient

a, b > 0.

ab 6

On veut démontrer que

ab 6

⇔ 4ab 6 a + 2ab + b

2

⇔ 0 6 a2 − 2ab + b2 ce qui est toujours vrai car

a2 − 2ab + b2

est un carré parfait. On a donc bien l'inégalité

voulue. 2. Quitte à échanger et qui préserve le

a et b (ce qui ne change pas les moyennes arithmétique et géométrique, fait d'être compris entre a et b), on peut supposer que a 6 b. Alors en

ajoutant les deux inégalités

a/2 6 a/2 6 b/2 a/2 6 b/2 6 b/2, on obtient

a6

a+b 6 b. 2

De même, comme tout est positif, en multipliant les deux inégalités

√ √ a6 a6 b √ √ √ a6 b6 b

√

on obtient

a6 3. Il faut avant tout remarquer que

∀n, un

√

et

ab 6 b.

vn

sont strictement positifs, ce qui permet de

dire que les deux suites sont bien dénies. On le démontre par récurrence : c'est clair pour

u0

et

v0 ,

et si

un

et

vn

sont strictement positifs alors leurs moyennes géométrique (

un+1 )

et arithmétique ( vn+1 ) sont strictement positives.

∀n un 6 vn . L'inégalité est claire hypothèses faites sur u0 et v0 . Si maintenant n est plus moyenne géométrique de un−1 et vn−1 et vn est la moyenne vn−1 , donc, par 1., un 6 vn .

(a) On veut montrer que

(b) On sait d'après 2. que

n = 0

grand que 1, arithmétique

grâce aux

un est de un−1

la et

un 6 un+1 6 vn . En particulier, un 6 un+1 i.e. (un ) est un 6 vn+1 6 vn . En particulier, vn+1 6 vn i.e. (vn )

croissante. De même, d'après 2., est décroissante.

pour

327

n,

(c) Pour tout

on a

u0 6 un 6 vn 6 v0 . (un )

est donc croissante et majorée, donc

converge vers une limite l . Et (vn ) est décroissante et minorée et donc converge vers √ 0 0 n une limite l . De plus comme un+1 = un vn et puisque vn+1 = un +v , l et l doivent 2 vérier √ l + l0 0 0

l=

d'où

Dénition

ll et l =

2

0

l=l.

Il y a une autre méthode un peu plus longue mais toute aussi valable.

1. 2. 3.

Deux suites

un

un 6 v n , un est croissante et vn lim(un − vn ) = 0.

Théorème

vn

et

sont dites

adjacentes

si

est décroissante,

Alors, on a le théorème suivant : : Si

un

et

vn

sont deux suites adjacentes, elles sont toutes les deux convergentes et

ont la même limite.

un et vn vérient les points 1 et 2 de la lim(un − vn ) = 0. On a d'abord que vn − un > 0. Or,

Pour appliquer ce théorème, vu qu'on sait déjà que dénition, il sut de démontrer que d'après (a)

v n − un . 2 Donc, si on note wn = vn − un , on a que 0 6 wn+1 6 wn /2. Donc, on peut démontrer (par w récurrence) que 0 6 wn 6 n0 , ce qui implique que limn→∞ wn = 0. Donc vn − un tend vers 0, 2 et ceci termine de démontrer que les deux suites un et vn sont convergentes et ont même limite vn+1 − un+1 6vn+1 − un =

en utilisant le théorème sur les suites adjacentes.

Correction 574

Notons

fn : [0, 1] −→ R

la fonction dénie par :

fn (x) =

n X

xk − 1.

i=1

1. La fonction

fn

est continue sur

[0, 1].

fn (0) = −1 < 0 et fn (1) = n − 1 > 0. fn , admet un zéro dans l'intervalle [0, 1]. dérivée) sur [0, 1] donc ce zéro est unique.

De plus

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, De plus elle strictement croissante (calculez sa 2. Calculons

fn (an−1 ). fn (an−1 ) =

n X

akn−1 − 1

i=1

=

ann−1

= =

ann−1 ann−1

+

n−1 X

akn−1 − 1

i=1

+ fn−1 (an−1 ) (car fn−1 (an−1 ) = 0

par dénition de

Nous obtenons l'inégalité

0 = fn (an ) < fn (an−1 ) = ann−1 . Or

fn

est strictement croissante, l'inégalité ci-dessus implique donc

an < an−1 .

an−1 ).

328 Nous venons de démontrer que la suite Remarquons avant d'aller plus loin que

(an )n est décroissante. fn (x) est la somme d'une 1 − xn+1 − 2. 1−x

fn (x) = Évaluons maintenant

fn ( 12 ),

à l'aide de l'expression précédente

1 − 12 1 fn ( ) = 2 1− Donc

fn ( 21 ) < fn (an ) = 0

entraîne

1 2

n+1

(an )n

1 < 0. 2n

< an . (an )n est strictement décroissante et minorée

est décroissante et minorée par

limite :

Appliquons

−2=−

1 2

Pour résumé, nous avons montrer que la suite 1 par . 2 3. Comme

suite géométrique :

1 alors elle converge, nous notons 2

`

sa

1 6 ` < an . 2 fn

(qui est strictement croissante) à cette inégalité :

1 fn ( ) 6 fn (`) < fn (an ), 2 qui s'écrit aussi :

1 6 f (`) < 0, 2n (fn (`))n converge −

et ceci quelque soit

n > 1.

La suite

donc vers

0

(théorème des gendar-

mes). Mais nous savons aussi que

fn (`) = donc

(fn (`))n

converge vers

1 1−`

−2

car

1 − `n+1 − 2; 1−`

(`n )n

1 − 2 = 0, 1−`

Correction 609

converge vers

d'où

0.

Donc

1 `= . 2

Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines

carrées, il est utile de faire intervenir l'expression conjuguées" :

√

a−

√

√ √ √ √ ( a − b)( a + b) a−b √ √ . b= =√ √ a+ b a+ b

Les racines au numérateur ont disparu" en utilisant l'identité

(x − y)(x + y) = x2 − y 2 .

329 Appliquons ceci sur un exemple :

√

f (x) = = = = =

√ 1 + xm − 1 − xm xn √ √ √ √ ( 1 + xm − 1 − xm )(( 1 + xm + 1 − xm )) √ √ xn ( 1 + xm + 1 − xm ) 1 + xm − (1 − xm ) √ √ xn ( 1 + xm + 1 − xm ) 2xm √ √ xn ( 1 + xm + 1 − xm ) 2xm−n √ √ 1 + xm + 1 − xm

Et nous avons

lim √

x→0 Donc l'étude de la limite de

f

en

0

1+

xm

2 √ = 1. + 1 − xm

est la même que celle de la fonction

x 7→ xm−n .

Distinguons plusieurs pour la limite de f en 0. m−n Si m > n alors x et donc f (x) tend vers 0. m−n Si m = n alors x et f (x) vers 1. 1 m−n Si m < n alors x = xn−m = x1k avec k = n − m un exposant positif. Si k est pair alors les 1 limites à droite et à gauche de k sont +∞. Pour k impair la limite à droite vaut +∞ et la x limite à gauche vaut −∞. Conclusion pour k = n − m > 0 pair, la limite de f en 0 vaut +∞ et pour

k = n−m > 0

impair

f n'a pas de limite en 0

car les limites à droite et à gauche ne

sont pas égales.

Correction 612

1. Soit

p > 0

la période : pour tout

x ∈ R, f (x + p) = f (x).

Par une

récurrence facile on montre :

∀n ∈ N

∀x ∈ R

f (x + np) = f (x).

f n'est pas constante il existe a, b ∈ R tels que f (a) 6= f (b). Notons xn = a+np et yn = b + np. Supposons que f a une limite ` en +∞. Comme xn → +∞ alors f (xn ) → `. Mais f (xn ) = f (a + np) = f (a), donc ` = f (a). De même avec la suite (yn ) : yn → +∞ donc f (yn ) → ` et f (yn ) = f (b + np) = f (b), donc ` = f (b). Comme f (a) 6= f (b) nous Comme

obtenons une contradiction. 2. Soit

f : R −→ R

une fonction croissante et majorée par

M ∈ R.

Notons

f = f (R) = {f (x) | x ∈ R}. R, notons ` = sup F . Comme M ∈ R est un majorant F , alors ` < +∞. Soit ε > 0, par les propriétés du sup il existe y0 ∈ F tel que ` − ε 6 y0 6 `. Comme y0 ∈ F , il existe x0 ∈ R tel que f (x0 ) = y0 . Comme f est

F

est un ensemble (non vide) de

de

croissante alors :

∀x > x0 De plus par la dénition de

`

f (x) > f (x0 ) = y0 > ` − ε.

:

∀x ∈ R f (x) 6 `.

330 Les deux propriétés précédentes s'écrivent :

∀x > x0 Ce qui exprime bien que la limite de

Correction 616

` − ε 6 f (x) 6 `. f

en

1. La limite à droite vaut

+∞

+2,

est

`.

la limite à gauche

−2

donc il n'y a pas de

limite. 2.

−∞

3.

4

4.

2

5.

1 2

6.

0

1 en utilisant que 3 1 8. n 7.

Correction 623 2.

0

3.

+∞

4.

+∞

5.

3 2

6.

−∞

7.

0

8.

0

9.

0

10.

0

11.

−2

12.

−∞

13.

1

14.

e4

15.

1

16.

e

17.

e

18.

0

19.

0

20.

0

Correction 628

1.

a3 − 1 = (a − 1)(1 + a + a2 )

pour

a=

√ 3

1 + x2 .

−∞

1. Montrons d'abord que la limite de

f (x) =

xk − α x−α

kαk−1 . Un calcul montre que f (x) = xk−1 + αxk−2 + α2 xk−3 + · · · + αk−1 , et donc k−1 la limite en x = α est kα . Une autre méthode consiste à dire que f (x) est la taux k d'accroissement de la fonction x , et donc la limite de f en α est exactement la valeur en

α

est

331

xk

de la dérivée de

α,

en

soit

kαk−1 .

Ayant fait ceci revenons à la limite de l'exercice :

comme

xn+1 − αn+1 xn+1 − αn+1 x−α = × n . n n x −α x−α x − αn n Le premier terme du produit tend vers (n + 1)α et le second terme, étant n−1 taux d'accroissement, tend vers 1/(nα ). Donc la limite cherchée est

l'inverse d'un

n+1 (n + 1)αn = α. n−1 nα n 2. La fonction s'écrit aussi

f (x) =

1−cos x . Or cos x(cos 2x−cos x)

alors

1 1−u = u(2u2 − u − 1) u(−1 − 2u)

f (x) = Lorsque

x

tend vers

cos 2x = 2 cos2 x − 1. Posons u = cos x,

0, u = cos x

tend vers

1,

et donc

f (x)

tend vers

− 13 .

3.

r

x+

q q p p √ √ √ √ ( x + x + x − x)( x + x + x − x) √ √ q x+ x− x= p √ √ x+ x+ x+ x p √ x+ x =q p √ √ x+ x+ x x q 1 + √1x =q √ √ x+ x 1+ +1 x

q

√ Quand

x → +∞

1 alors √ x

→0

4. La fonction s'écrit

√ f (x) =

Notons

g(x) =

et

√ x+ x x

→ 0,

√

√

1 donc la limite recherchée est √ . 2

x− α− x−α √ √ = x−α x+α

√ √ x− α √ x−α

√

−1

x+α

.

√ √ x− α √ alors à l'aide de l'expression conjuguée x−α

√ x−α x−α √ . g(x) = √ √ √ =√ x+ α ( x − α)( x + α) Donc

g(x)

0

tend vers

5. Pour tout réel

y

quand

Et maintenant

nous avons la double inégalité

On en déduit que lorsque et en faisant tendre 6.

x → α+ .

x

y

tend vers

f (x) =

y − 1 6 E(y) 6 y ,

+∞ (ou −∞) alors

1 vers 0, alors xE( ) x

=

g(x)−1 1 √ tend vers √ . 2 α x+α

E(y) tend y

E(y) tend vers y

donc

y−1 y

6

E(y) y

6 1.

1. En posant y = 1/x,

1.

ex − e2 ex − e2 x−2 ex − e2 1 = × = × . 2 2 x +x−6 x−2 x +x−6 x−2 x+3 La limite de voulue est

e2 5

ex −e2 en x−2 .

2

vaut

e2

(c'est la taux d'accroissement de la fonction

ex ),

la limite

332 7. En calculant les valeurs de

+∞

pour

α 6 4.

f

2kπ α < 4.

en

Reste le cas

2kπ + π2 on prouve que f existe β tel que α < β < 4.

et en Il

x4 = 1 + xα sin2 x

f (x) =

1 xβ

x4−β . + xα sin2 x xβ α

+∞ car 4 − β > 0. x1β tend vers 0 ainsi que xxβ sin2 x (car β > α et 1). Donc le dénominateur tend vers 0 (par valeur positive). La limite +∞/0+ (qui n'est pas indéterminée !) et vaut donc +∞.

Le numérateur tend sin2 x est bornée par est donc de type

Correction 634

Réponse :

Correction 635

Réponses :

Correction 636

Réponse : 1.

Correction 637

Réponse :

Correction 638

Réponse :

Correction 639

n'a pas de limite en

2 3 1 , 0, e. e

sup(a, b). √ ab.

1. On a pour tout

x, y ∈ R |x − y| > | |x| − |y| | (c'est la deuxième x ∈ I :| |f (x)| − |f (a)| | 6

formulation de l'inégalité triangulaire). Donc pour tout

|f (x) − f (a)|. L'implication annoncée l'assertion limx→a f (x) = f (a). 2. Si

f, g

sont continues alors

αf + βg

résulte alors immédiatement de la dénition de

est continue sur

I,

pour tout

α, β ∈ R.

Donc les

f +g et f −g sont continues sur I . L'implication de 1. prouve alors que |f −g| est I , et nalement en réutilisant l'argument donné ci dessus, on peut conclure : 1 fonction sup(f, g) = (f + g + |f − g|) est continue sur I . 2

fonctions

continue sur La

Correction 642

g(a) = f ( a+b ) − f (a) et g( a+b ) = f (b) − f ( a+b ). Comme f (a) = f (b) 2 2 2 a+b a+b alors f (a) = −g( ). Donc g(a) 6 0 et g( 2 ) > 0 ou bien g(a) > 0 et g( a+b ) 6 0. 2 2 a+b D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f s'annule en c pour un c entre a et . 2

2.

1.

t dénote le temps (en heure). d(t) dénote la distance parcourue (en km) entre les instants 0 et t, nous supposons que la fonction t 7→ d(t) est continue. Soit f (t) = d(t) − 4t. f (0) = 0 et par hypothèse f (1) = 0. Appliquons la question précédente avec a = 0, b = 1. 1 1 1 Il existe c ∈ [0, ] tel que g(c) = 0, c'est-à-dire f (c + ) = f (c). Donc d(c + ) − d(c) = 2 2 2 1 1 4(c + 2 ) − 4c = 2. Donc entre c et c + 2 , (soit 1/2 heure), la parcourt est de 2 km.

Correction 643

Il existe

x < 0 tel que f (x) < 0 et y > 0 tel que f (y) > 0, d'après le théorème z ∈]x, y[ tel que f (z) = 0. Donc f s'annule. Les polynômes

des valeurs intermédiaires, il existe

de degré impair vérient les propriétés des limites, donc s'annulent. Ceci est faux, en général, 2 pour les polynômes de degré pair, par exemple regardez f (x) = x + 1.

Correction 645

Comme

Correction 646

Notons

f (x)2 = 1 alors f (x) = ±1. (Atttention ! Cela ne veut pas dire que la fonction est constante égale à 1 ou −1.) Suposons, par exemple, qu'il existe x tel que f (x) = +1. Montrons que f est constante égale à +1. S'il existe y 6= x tel que f (y) = −1 alors f est positive en x, négative en y et continue sur I . Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe z entre x et y tel que f (z) = 0, ce qui contredit f (z)2 = 1. Donc f est constante égale à +1. `

la limite de

f

en

+∞

:

∀ε > 0 ∃A ∈ R x > A ⇒ ` − ε 6 f (x) 6 ` + ε. Fixons

ε = +1,

nous obtenons un

venons de montrer que

f

A

correspondant tel que pour

est bornée à l'inni. La fonction

f

x > A, f (x) 6 ` + 1.

Nous

est continue sur l'intervalle fermé

333

[0, A], donc f est bornée sur cet intervalle : il existe M tel que pour tout x ∈ [0, A], f (x) 6 M . En prenant M 0 = max(M, ` + 1), nous avons que pour tout x ∈ R, f (x) 6 M 0 . Donc f est bornée sur R. 1 La fonction n'atteint pas nécessairement ses bornes : regardez f (x) = . 1+x

borné

Correction 653 nul. Donc

1. Soit

f (0) > 0

et

f (0) = 0 et c'est ni, on a trouver le point xe ! Soit f (0) n'est pas 0 ∈ E . Donc E n'est pas vide.

E est un partie de [0, 1] non vide donc sup E sup E ∈ [0, 1]. Nous allons montrer que c est un point xe.

2. Maintenant

3. Soit

(xn )

f (xn ) 6 f (c). c 6 f (c). 4. Soit

(yn )

car sinon

telle que

Donc pour

une suite telle que

`

c=

xn → c et xn 6 c. Une telle suite existe d'après les Comme xn ∈ E alors xn < f (xn ). Et comme f est croissante tout n, xn < f (c) ; comme xn → c alors à la limite nous avons

E c = sup E .

une suite de

propriétés de

existe et est ni. Notons

yn → c, yn 6 c et telle que f (yn ) 6 yn . Une telle suite sup E . Nous avons f (c) 6 f (yn ) 6 yn et donc à la

ne serait pas égal à

existe limite

f (c) 6 c. c 6 f (c) 6 c,

Nous concluons donc que

Correction 660 Donc

1. Soit

Ef 6= ∅.

x ∈ [0, 1]

Nous venons de

donc

f (c) = c

et

c

est un point xe de

f.

y = f (x) ∈ [0, 1]. Alors f (y) = y car f (f (x)) = f (x). montrer que I = f ([0, 1]) est inclus dans Ef . et

Ef est inclus dans I . Soit x ∈ [0, 1] tel que f (x) = x alors x = f (x) !). Ainsi Ef = f ([0, 1]). Mais l'image de l'intervalle [0, 1] continue f est un intervalle donc Ef est un intervalle.

2. Montrons réciproquement

x ∈ I = f ([0, 1]) par la fonction

(car

3. Les fonctions continues qui vérient ( ∗) sont les fonctions qui vérient

Correction 662

f : R −→ R. Avec f (x) = sin x1 pour x 6= 0 et f (0) = 0. f pour tout a, b et pour tout y ∈ [f (a), f (b)] il existe x ∈ [a, b] tel

Non, par exemple

n'est pas continue (en que

Ef = f ([0, 1]).

0),

mais

y = f (x).

Correction 669

x ∈ [a, b] donc f (x) 6 supa6x6b f (x). Par conséquent supa6x6b f (x) est un majorant de f sur l'intervalle ]a, b[, donc il est plus grand que le plus petit des majorants : supa
2.

f

x ∈]a, b[,

on a

est continue sur un intervalle fermé et borné, donc elle est bornée et elle atteint ses

= supa6x6b f (x). 1 on a an ∈ [a, b], donc on peut si x0 = a, considérons la suite an = a + 1/n. Pour n > b−a considérer la suite (f (an ))n> 1 . Or an tend vers a quand n tend vers +∞, et comme b−a f est continue, ceci implique que f (an ) tend vers f (a) quand n tend vers +∞. Donc ∀ε > 0, ∃n ∈ N, f (x0 ) − ε 6 f (an ) 6 f (x0 ), ce qui implique que f (x0 ) = supa
bornes. Soit

1. Pour tout

x0

le réel où le maximum est atteint : f (x0 )

f (x0 ) 6 sup f (x) 6 sup f (x) = f (x0 ) a
f (x0 ) = supa
3. Avec la fonction car

a6x6b

g(0) = 0

et

notre cas, car la

g , on a sup0
334

Correction 672

x0 6= 0,

Soit

alors la fonction

f

est continue en

x0 ,

car elle s'exprime sous la

forme d'un quotient de fonctions continues où le dénominateur ne s'annule pas en étudier la continuité en

0.

Mais

x0 .

Reste à

sin x = 1 = f (0) x→0 x lim

donc

f

0.

est continue en

Correction 677

1. La fonction en dénie sur

R∗ .

Et elle est continue sur

miner un éventuel prolongement par continuité en limite en

x = 0,

R∗ .

Il faut déter-

c'est-à-dire savoir si

f

a une

0. |f (x)| = | sin x|| sin 1/x| 6 | sin x|.

f a une limite en 0 qui vaut 0. Donc en posant f (0) = 0, nous obtenons une fonction f : R −→ R qui est continue.

Donc

R∗ . Etudions la situation en 0. f est la taux ex +e−x d'accroissement en 0 de la fonction g(x) = ln . Donc si les objets suivants existent : 2 0 0 ∗ la limie de f en 0 est égale à la valeur de g en 0. Calculons g sur R :

2. La fonction

f

est dénie et continue sur

ex + e−x 0 = g (x) = ln 2 0

ex −e−x 2 ex +e−x 2

=

ex − e−x . ex + e−x

0 alors le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers 2, donc g (x) tend 0 vers 0. Donc g est dérivable en 0 et g (0) = 0. En posant f (0) = 0 nous obtenons une

x→0

Quand

fonction 3.

f

f

dénie et continue sur

est dénie et continue sur

f (x) = Donc

f

R.

R \ {−1, 1}.

1 2 1+x−2 −1 + x −1 − = = == . 2 1−x 1−x (1 − x)(1 + x) (1 − x)(1 + x) (1 + x)

a pour limite

− 21

quand

x

dénissons une fonction continue sur continuement, car en

Correction 680 f (x).

Soit

Puis en prenant

−1, f

tend vers

1.

Et donc en posant

R\{−1}. En −1 la fonction f

f (1) = − 12 ,

nous

ne peut être prolongée

n'admet de limite nie.

x ∈ R, comme f (y) = f (2y) en prenant y = x/2 nous obtenons f ( 12 x) = y = 14 x, nous obtenons f ( 14 x) = f ( 12 x) = f (x). Par une récurrence facile

nous avons

1 x) = f (x). 2n 1 Notons (un ) la suite dénie par un = n x alors un → 0 quand n → +∞. Par la continuité de f 2 1 en 0 nous savons alors que : f (un ) → f (0) quand n → +∞. Mais f (un ) = f ( n x) = f (x), donc 2 (f (un ))n est une suite constante égale à f (x), et donc la limite de cette suite est f (x) ! Donc f (x) = f (0). Comme ce raisonnement est valable pour tout x ∈ R nous venons de montrer que f est une fonction constante. ∀n ∈ N

Correction 686

f(

x 6= 52 . En plus il faut (2 + 3x) × (5 − 2x) > 0, soit

1. Il faut que le dénominateur ne s'annule pas donc

que le terme sous la racine soit positif ou nul, c'est-à-dire x ∈ [− 23 , 52 ]. L'ensemble de dénition est donc [− 23 , 52 [. 2. Il faut

x2 − 2 x − 5 > 0,

3. Il faut

4x + 3 > 0

soit

soit

x ∈] − ∞, 1 −

x > − 43 ,

√

6] ∪ [1 +

√

6, +∞[.

l'ensemble de dénition étant

] − 34 , +∞[.

335

Correction 690

Pour tout

x∈R

on a :

0 6 |f (x)| =

| cos x| 1 6 6 1. 2 1+x 1 + x2

x ∈ R, f (x) ∈ [−1, 1] donc f est minorée ( −1 est un minorant), majorant) et supx∈R f (x) 6 1. Comme f (0) = 1 on a nécessairement

Par conséquent, pour tout majorée ( 1 est un

supx∈R f (x) > 1.

Conclusion :

sup f (x) = 1. x∈R

Correction 698

1. La fonction

0

dérivable en

f1

est dérivable en dehors de

x = 0.

Pour savoir si

f1

est

regardons le taux d'accroissement :

f1 (x) − f1 (0) 1 = x cos . x−0 x Mais

x cos(1/x) tend vers 0 (si x → 0) car | cos 1/x| 6 1. 0. Donc f1 est dérivable en 0 et f10 (0) = 0.

Donc le taux d'accroissement

tend vers

2. Encore une fois

f2

est dérivable en dehors de

0.

Le taux d'accroissement en

x=0

est :

f2 (x) − f2 (0) sin x 1 = sin x−0 x x sin x → 1 et que sin 1/x n'a pas de limite quand x d'accroissement n'a pas de limite, donc f2 n'est pas dérivable en 0. Nous savons que

3. La fonction

f3

Donc le taux

s'écrit :

f3 (x) = Donc pour

x → 0.

x61

on a

f3 (x) = x,

pour

|x||x − 1| . x−1 06x<1

on

f3 (x) = −x.

Pour

x<0

on a

f3 (x) = x. La fonction La fonction

−1.

f3 f3

1,

en eet

Donc la fonction n'est pas dérivable en

La fonction

f3

R \ {0, 1}. limx→1+ f3 (x) = +1

est dénie, continue et dérivable sur n'est pas continue en est continue en

0.

et

limx→1− f3 (x) =

1.

Le taux d'accroissement pour

x>0

est

f3 (x) − f3 (0) −x = = −1 x−0 x et pour

x < 0,

f3 (x) − f3 (0) x = = +1. x−0 x Donc le taux d'accroissement n'a pas de limite en 0 et donc f3

Correction √ 699 limx→1−

x=

Il faut d'abord que la fonction soit continue en x = +1 et à droite limx→1− ax2 + bx + 1 = a + b + 1. Donc

n'est pas dérivable en

1.

0.

La limite à gauche est

a + b + 1 = 1. Il faut maintenant que les dérivées à droites et à gauches soient égales :

limx→1+ 2ax + b = 2a + b.

Le seul couple

(a, b)

Donc

solution des deux

1 2a + b = . 2 1 1 équations est (a = , b = − ). 2 2

limx→1+

1 √ 2 x

=

1 et 2

336

Correction 700 f

est

C∞

sur

R∗ .

| sin 1/x| 6 1 alors f fonction f est continue sur R.

1. Comme

2. Le taux d'accroissement est

Comme ci-dessus il y a une f 0 (0) = 0.

∗ 0 3. Sur R , f (x) = 2x sin(1/x) 0 f n'est pas continue en 0.

Correction 701

1. Selon que

tend vers

0

quand

x → 0.

1 f (x) − f (0) = x sin . x−0 x limite (qui vaut 0) en x = 0.

− cos(1/x),

Donc

f 0 (x)

Donc en posant

Donc

f

f (0) = 0.

la

0

et

est dérivable en

n'a pas de limite quand

x → 0.

Donc

n ≡ 0[4], 1[4], 2[4], 3[4] alors f (n) (x) vaut respectivement sin x,

cos x, − sin x, − cos x. sin2 x est 2 sin x cos x = sin 2x. Et donc les dérivées suivantes seront : 2 cos 2x, −4 cos 2x, 8 sin 2x, 16 cos 2x,... Et selon que n ≡ 1[4], 2[4], 3[4], 0[4], alors g (n) (x) n−1 vaut respectivement 2 sin 2x, 2n−1 cos 2x, −2n−1 sin 2x, −2n−1 cos 2x.

2. La dérivée de

3.

sin(x)3 + cos(x)3 = − 14 sin(3x) + 34 sin(x) + 14 cos(3x) + 34 cos(x)

Correction 709

et on dérive...

f en 0 est 0, donc f est continue en 0. De même le taux d'ac0 croissement de f en 0 est f (x)/x qui tend vers 0. Donc f est dérivable en 0 et f (0) = 0. En −2 0 −x dehors de 0, on a f (x) = 2e x−3 donc f 0 est continue en 0. (n) On continue de la même façon en remarquant que si f (x) = P (1/x) exp(−1/x2 ) où P est (n) (n) un polynôme et f (0) = 0. Donc f (x) tend vers 0 si x tend vers 0. Donc f (n) est continue. (n) 2 De plus f est dérivable en 0 car son taux d'accroissement vaut 1/xP (1/x) exp(−1/x ) qui (n+1) tend vers 0, donc f (0) = 0. En dehors de 0 on f (n+1) (x) = Q(1/x) exp(−1/x2 ) où Q est un La limite de

polynôme. Et on recommence...

Correction 715 Qn (t) = (1 − t2 )n est un polynôme de degré 2n, on le dérive n fois, on obtient

0 un polynôme de degré n. −1 et +1 sont des racines d'ordre n de Qn , donc Qn (1) = Qn (1) = (n−1) . . . = Qn (1) = 0, même chose en −1. Q(−1) = 0 = Q(+1) donc d'après le théorème de 0 0 0 0 Rolle il existe c ∈] − 1, 1[ telle que Qn (c) = 0. Donc Qn (−1) = 0, Qn (c) = 0, Qn (−1) = 0. En appliquant le théorème de Rolle deux fois (sur [−1, c] et sur [c, +1]), on obtient l'existence de 00 racines d1 , d2 pour Qn , auxquelles il faut rajouter −1 et +1. On continue ainsi par récurrence. (n−1) On obtient pour Qn , n + 1 racines : −1, e1 , . . . , en−1 , +1. Nous appliquons le théorème de (n) Rolle n fois. Nous obtenons n racines pour Pn = Qn . Par constructions ces racines sont réelles distinctes (donc simples). Comme un polynôme de degré

n

a au plus

n

racines, nous avons

obtenu toutes les racines.

Correction 717

1. Par l'absurde on suppose qu'il y a (au moins) quatre racine distinctes n pour Pn (X) = X + aX + b. Notons les x1 < x2 < x3 < x4 . Par le théorème de Rolle 0 0 0 appliqué trois fois (entre x1 et x2 , entre x2 et x3 ,...) il existe x1 < x2 < x3 des racines de Pn0 . On applique deux fois Rolle entre x01 et x02 et entre x02 et x03 . On obtient deux racines 00 00 n−2 ne peut avoir que 0 comme racines. Donc nous distinctes pour Pn . Or Pn = n(n − 1)X avons obtenu une contradiction.

2. Autre méthode : Le résultat est évident si n 6 3. On suppose donc n > 3. Soit Pn n 0 n−1 l'application X 7→ X + aX + b de R dans lui-même. Alors Pn (X) = nX + a s'annulle en au plus deux valeurs. Donc

Pn

est successivement croissante-décroissante-croissante ou

bien décroissante-croissante-décroissante. Et donc

Pn

s'annule au plus trois fois.

337

Correction 718 f

0

Comme

f0

est dérivable, elle est continue. Comme

change de signe (au moins)

n+1

fois donc s'annulle (au moins)

n

f

s'annulle

n+1

fois,

fois. On peut bien sûr

recommencer, le résultat en découle.

Correction 721 f (β) − f (α) = f 0 (c)(β − α). Donc a(β 2 − α2 ) + b(β − α) = (2ac + b)(β − α). α+β . 2 Géométriquement, cela signie que la droite qui passe par α+β à la tangente qui passe en ( , f ( α+β )). 2 2

Donc

c=

Correction 724

(α, f (α))

et

(β, f (β)),

est parallèle

g(t) = ln t. Appliquons le théorème des accroissement nis sur [x, y]. Il existe c ∈]x, y[, g(y) − g(x) = g 0 (c)(y − x). Soit ln y − ln x = 1c (y − x). Donc ln y−ln x = 1c . Or x < c < y donc y1 < 1c f rac1x. Ce qui donne les inégalités recherchées. y−x

2.

f 0 (α) =

1. Soit

x−y αx+(1−α)y

− ln x + ln y .

2

Et

(x−y) f 00 (α) = − (αx+(1−α)y) 2.

Comme

f 00

est négative alors

f0

x−y−y(ln x−ln y) 0 est décroissante sur [0, 1]. Or f (0) = > 0 d'après la première question et y 0 de même f (1) < 0. par le théorème des valeurs intermédiaires il existe c ∈ [x, y] tel que f 0 (c) = 0. Maintenant f 0 est positive sur [0, c] et négative sur [c, 1]. Donc f est croissante

[0, c] et décroissante sur [c, 1]. Or f (0) = 0 f (x) > 0. Cela prouve l'inégalité demandée. sur

et

f (1) = 0

3. Géométriquement nous avons prouver que la fonction corde (le segment qui va de

(x, f (x))

à

(y, f (y))

cn ∈

Le théorème des accroissement nis donne : [n, n + 1]. Or cn > n donc n1 > c1n . Donc :

Sn =

ln(n+1)−ln(n) =

y = f (x).

1 (n+1−n) cn

=

n X 1 k=1

n n X X 1 > = ln(k + 1) − ln(k) = ln(n + 1). k ck k=1 k=1

La dernière égalité s'obtient car la somme est téléscopique. Donc

Correction 727

x ∈ [0, 1],

est concave, c'est-à-dire que la

est sous la courbe d'équation

Correction 725 1 , avec cn

ln

donc pour tout

Pour simplier nous supposons

Sn > ln(n+1), donc Sn → +∞.

x > 0.

1. Appliquer le théorème des accroissements nis ne va pas être susant. En eet, soit f (x) = ex − 1 − x. Alors il existe c ∈]0, x[ tel que f (x) − f (0) = f 0 (c)(x − 0). Soit f (x) = (ec − 1)x. Soit maintenant g(x) = ex − 1 alors, par le théorème des accroissements 0 c d nis sur [0, c] il existe d ∈]0, c[ tel que g(c) − g(0) = g (d)(c − 0), soit e − 1 = e c. Donc x c d x x 2 e − 1 − x = f (x) = (e − 1)x = e cx. Comme d 6 c 6 x, alors e − 1 − x 6 e x . Cela donne une inégalité, mais il manque un facteur

1/2.

2. Nous allons obtenir l'inégalité par application du théorème de Rolle. Soit maintenant 2 f (t) = et − 1 − t − k t2 . Nous avons f (0) = 0, x > 0 étant xé, nous choisisons k tel x 2 que f (x) = 0, (un tel k existe car e − 1 − x > 0 et x > 0). Comme f (0) = 0 = f (x) 0 0 t alors par Rolle il existe c ∈]0, x[ tel que f (c) = 0. Mais f (t) = e − t − kt, donc 0 0 0 f (0) = 0. Maintenant f (0) = 0 = f (c) donc il existe (par Rolle toujours !) d ∈]0, c[ tel 00 00 t 00 d que f (d) = 0. Or f (t) = e − k , donc f (d) = 0 donne k = e . Ainsi f (x) = 0 devient x x x2 x d x2 e − 1 − x = e 2 . Comme d 6 x alors e − 1 − x 6 e 2 . f 0 (x) = 2(1 − k)3 x + 3(1 + k)x2 , f 00 (x) = 2(1 − k)2 + 6(1 + k)x. Nous avons f 0 (0) = 0 et f 00 (0) = 2(1 − k)3 . Donc si k 6= 1 alors 0 est un extremum local. Si k = 1 alors f (x) = 2x3 et 0 n'est pas un extremum local.

Correction 728

Correction 733 f 0 (x) = 4x3 − 3x2 = x2 (4x − 3) donc les extremums sont dans {0, 34 }. Comme f 00 (x) = 12x2 − 6x = 6x(2x − 1). Alors f 00 ne s'annule pas en 34 donc 34 donne un extremum 00 000 (minimum absolu). Par contre f (0) = 0 et f (0) 6= 0 donc 0 est un point d'inexion qui n'est 3 pas un extremum (même pas relatif, pensez à x ).

338

Correction 734

0 x 00 x 1. fλ (x) = λ + 2x, fλ (x) = λe + 2. Les points d'inexions sont les 00 racines de fλ , donc si λ > 0 il n'y a pas de point d'inexion, si λ < 0 alors il y a un point d'inexion en xλ = ln(−2/λ). 00 0 2. Si λ > 0 alors fλ est toujours strictement positive, donc fλ est strictement croissante, 0 0 en −∞ fλ est négative, en +∞ fλ est positive donc il existe un unique réel yλ tel que 0 fλ (yλ ) = 0. fλ est décroissante sur ] − ∞, yλ ] et croissante sur [yλ , +∞[. Et en yλ nous avons un extremum absolu.

λ < 0. Alors fλ00 s'annule seulement en xλ . fλ0 est croissante sur ] − ∞, xλ ] 0 0 et décroissante sur [xλ , +∞[. Donc fλ est des racines si et seulement si f (xλ ) > 0. Or 0 f (xλ ) = −2 + 2xλ . 0 00 000 (a) Si λ = −2/e alors fλ (xλ ) = 0. comme fλ (xλ ) = 0. et fλ ne s'annule pas. Alors xλ

3. Nous supposons

n'est pas un extremum local. (b) Si

λ > −2/e

alors

fλ0 (xλ ) < 0

fλ0

donc

est négative donc

f

est strictement décrois-

sante. Il n'y a pas d'extremum local.

−2/e < λ < 0 alors fλ0 (xλ ) > 0. Donc fλ0 s'annule en deux points, une fois sur ]−∞, xλ [ et une sur ]xλ , +∞[. Ce sont des extremums locaux (minimum et maximum

(c) Si

respectivement).

Correction 738

1. Le théorème de Rolle dit que si

sur l'intervalle férmé 0

[a, b]

h : [a, b] −→ R est une fonction continue ]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que

et dérivable sur l'ouvert

h (c) = 0.

2.

(b)

x0 ∈]a, b]

g(x0 ) = g(a). Alors en appliquant le théorème de Rolle à la restriction de g à l'intervalle [a, x0 ] (les hypothèses 0 étant clairement vériées), on en déduit qu'il existe c ∈]a, x0 [ tel que g (c) = 0, ce qui contredit les hypothèses faites sur g. Par conséquent on a démontré que g(x) 6= g(a) pour tout x ∈]a, b]. D'après la question précédente, on a en particulier g(b) 6= g(a) et donc p est un nombre réel bien déni et h = f − p · g est alors une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Un calcul simple montre que h(a) = h(b). D'après le théorème de 0 Rolle il en résulte qu'il existe c ∈]a, b[ tel que h (c) = 0. Ce qui implique la relation

(a) Supposons par l'absurde, qu'il existe

tel que

requise.

x ∈]a, b[, on peut appliquer la question 2.b aux restrictions de f et g à [x, b], on en déduit qu'il existe un point c(x) ∈]x, b[, dépendant de x tel

(c) Pour chaque l'intervalle que

f 0 (c(x)) f (x) − f (a) = 0 . g(x) − g(a) g (c(x))

(∗) Alors, comme limite dans

(∗)

limx→b−

f 0 (t) g 0 (t)

= `

et

limx→b− c(x) = b,

lim−

f (x) − f (a) = `. g(x) − g(a)

on en déduit en passant à la

que

x→b

Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de l'Hôpital".

√ f (x) = Arccos x et g(x) = x2 − 1 pour x ∈ [0, 1]. Il est 0 clair que ces fonctions sont continues sur [0, 1] et dérivables sur ]0, 1[ et que f (x) = −1/ √ √ 0 2 2 x − 1 et que g (x) = −x/ x − 1 6= 0 pour tout x ∈]0, 1[. En appliquant les résultats

3. Considérons les deux fonctions

de la question 2, on en déduit que

Arccos x = 1. lim− √ x→1 x2 − 1

339

Correction 739

1.

(a) Il est clair que la fonction

f

R+

est dérivable sur

puisque c'est une

fonction rationnelle sans pôle dans cet intervalle. De plus d'après la formule de la dérivée d'un quotient, on obtient

f 0 (x) =

n(xn − 1) , x > 0. (1 + x)n+1

0 n+1 (b) Il résulte clairement de l'expression précédente que f (x) est du signe de x −1 + 0 0 sur R . Par conséquent on obtient : f (x) 6 0 pour 0 6 x 6 1 et f (x) > 0 pour

x > 1. Il en résulte que f est décroissante sur [0, 1] et croissante sur [1, +∞[ et par + 1−n suite f atteint son minimum sur R au point 1 et ce minimum vaut f (1) = 2 . 2.

(a) Il résulte de la question 1.b que

f (x) > f (1)

pour tout

x ∈ R+

et donc

(1 + x)n 6 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ . (b) En appliquant l'inégalité précédente avec

x = b/a,

on en déduit immédiatement

l'inégalité requise.

Correction 740

∗ 1. f est dérivable sur R+ en tant que composée de fonctions dérivables, et ∗ sur R− car elle est nulle sur cet intervalle ; étudions donc la dérivabilité en 0. On a

f (t) − f (0) = t or

e1/t /t

tend vers 0 quand

t

( e1/t /t 0

si t < 0 si t > 0

tend vers 0 par valeurs négatives. Donc

gauche et à droite en 0 et ces dérivées sont identiques, donc 2. On a

( −e1/t /t2 f 0 (t) = 0

donc le taux d'accroissement de

f0

t

est dérivable à 0 est dérivable et f (0) = 0.

si t < 0 si t > 0

au voisinage de 0 est

f 0 (t) − f 0 (0) = t et il tend vers 0 quand

f

f

( −e1/t /t3 0

si t < 0 si t > 0

tend vers 0 par valeurs supérieures comme inférieures. Donc f 00 (0) = 0.

f

admet une dérivée seconde en 0, et 3.

f 0 (t) = −e1/t /t2 , donc f 0 (t) = P1 (t)/t2 e1/t si on pose P1 (t) = 1. 00 1/t 4 Par ailleurs, f (t) = e /t + e1/t (−2/t3 ) = 1−2t e1/t donc la formule est vraie pour t4 n = 2 en posant P2 (t) = 1 − 2t.

(a) On a déjà trouvé que

(b) Supposons que la formule est vraie au rang

n.

Alors

f (n) (t) =

Pn (t) 1/t e d'où t2n

Pn0 (t)t2n − Pn (t)(2n)t2n−1 1/t Pn (t) 1/t e + 2n e (−1/t2 ) t4n t Pn0 (t)t2 − (2nt + 1)Pn (t) 1/t = e t2(n+1)

f (n+1) (t) =

donc la formule est vraie au rang

n+1

avec

Pn+1 (t) = Pn0 (t)t2 − (2nt + 1)Pn (t).

340 4. Sur

R∗−

et sur

R∗+ f

est indéniment dérivable, donc il sut d'étudier ce qui se passe en

0. Montrons par récurrence que

f

∀n ∈ N, f (n) = 0. (n) dérivable, et que f = 0.

est indéniment dérivable en 0, et que

f

On sait que c'est vrai au rang 1. Supposons que (n) Alors le taux d'accroissement de f en 0 est :

f (n) (t) − f (n) (0) = t

est

n-fois

( Pn (t)e1/t /t2n 0

si t < 0 si t > 0

et sa limite est 0 quand t tend vers 0 par valeurs supérieures comme inférieures. Donc f (n) est dérivable en 0, et f (n+1) (0) = 0. Donc l'hypothèse de récurrence est vériée au rang

n + 1.

Par conséquent,

Correction 746 f

f

est de classe

C ∞.

a 0 f (a) = Arcsin a − √1−a 2 sur ]0, 1[, f (a) > 0 (faite le croissante et f (0) = 0 donc f (a) > 0 pout tout a ∈]0, 1[.

1. Soit

est strictement

2

calcul !) donc

2

a 1 1+a 2a 0 g(a) = Arctan a − 1+a 2 alors g (a) = 1+a2 − (1+a2 )2 = (1+a2 )2 > 0 Donc g est strictement croissante et g(0) = 0 donc g est strictement positive sur ]0, +∞[. p 2 2 Correction 1. sin y = 1 − cos y donc sin y = ± 1 − cos2 y . Donc sin arccos x = √ 747 √ √ 2 2 ± 1 − cos arccos x = ± 1 − x et comme arccos x > 0 on a sin arccos x = + 1 − x2 . √ 2. De la même manière cos arcsin x = + 1 − x2 . 2.

1 + tan2 x = cos12 x = calcule tan 3y en utilisant

3. On utilise

2 1 1 ce qui permet d'avoir sin x = 1 − . Ensuite 1+tan2 x 1−sin2 x deux fois la formule de tan(a + b) on trouve tan 3y =

on 3 tan y−(tan y)3 . Cela permet d'avoir 1−3(tan y)2

sin(3 arctan x) = 4

x (1 +

x2 )3/2

−√

x . 1 + x2

Correction 749

2 1. En prenant le sinus de l'équation Arcsin x = Arcsin + Arcsin 35 on 5 2 3 2 obtient x = sin(Arcsin + Arcsin ), donc x = cos Arcsin 35 + 35 cos Arcsin 25 . En utilisant 5 5 5 q √ √ 3 21 24 3 21 8 2 la formule cos arcsin x = + 1 − x . On obtient x = + = + . 55 5 25 25 25

2. En prenant le cosinus de l'équation 2 on utilise la formule cos 2u = 2 cos

Arccos x = 2 Arccos 43 on obtient x = cos(2 Arccos 34 ) u − 1 et on arrive à : x = 2( 43 )2 − 1 = 18 .

3. En prenant la tangente et à l'aide de

tan(a + b) = · · ·

on obtient :

x = tan 2 Arctan 21 =

4 . 3

Correction 752

1. Soit f la fonction sur [−1, 1] dénie par f (x) = Arcsin x+Arccos x alors f 0 (x) = 0 pour x ∈] − 1, 1[ donc f est une fonction constante sur [−1, 1] (car continue aux π π extrémités). Or f (0) = donc pour tout x ∈ [−1, 1],f (x) = . 2 2

1 2. Soit g(x) = Arctan x + Arctan , la fonction est dénie sur ] − ∞, 0[ et sur ]0, +∞[. On x 0 a g (x) = 0 donc g est constante sur chacun des ses intervalle de dénition. g(x) = c1 π sur ] − ∞, 0[ et g(x) = c2 sur ]0, +∞[. En calculant g(1) et g(−1) on obtient c1 = − et 2 π c2 = + 2 .

Correction 758

1. Si f existe alors pour x = 1 on a f (ch 1) = e et pour x = −1 on f (ch −1) = f (ch 1) = 1/e. Une fonction ne peut prendre deux valeurs diérentes au même point (ici t = ch 1).

341 2. Notons

X = ex ,

l'équation devient

ex + e−x 1 1 f (X) = = (X + ). 2 2 X Comme la fonction exponentielle est une bijection de R sur ]0, +∞[, alors l'unique façon 1 1 de dénir f sur ]0, +∞[ est par la formule f (t) = (t + ). 2 t x 3. Comme e est toujours non nul, alors f peut prendre n'importe quelle valeur en 0. f (0) = c ∈ R et f (t) = 12 (t + 1t ) pour t > 0. Il y a une innité de solutions. Mais aucune de ces solutions n'est continue car la limite de f (t) quand t > 0 et t → 0 est +∞.

Correction 759 1.

+∞ ;

2.

ln 2.

Réponses :

Correction 764

Soit

y 2

x = ln tan

+

1.

e + ch x = 2 2. De même 3.

y 2

tan

1 ex

x

+

=

π 4

+

π 4

.

1 tan( y2 + π4 )

2

=

2 sin

y 2

+

π 4

1

cos

y 2

+

π 4

=

1 1 . π = sin(y + 2 ) cos(y)

sh x = tan y .

th x = sin y .

Correction 773 Donc pour

2

1 x f (x) = ln(1 + x) − x + x2 /2 alors f 0 (x) = 1+x − 1 + x = 1+x > 0. strictement croissante sur [0, +∞[ et comme f (0) = 0 alors f (x) > f (0) = 0 1. Soit

f est x > 0.

Ce qui donne l'inégalité recherchée.

g(x) = ex − x − 1, g 0 (x) = ex − 1. Sur [0, +∞[ g 0 (x) > 0 et g est croissante 0 sur ] − ∞, 0], g (x) 6 0 et g est décroissante. Comme g(0) = 0 alors pour tout x ∈ R g(x) > 0.

2. De même avec

Correction 776 xy = y x ⇔ ey ln x = ex ln y ⇔ y ln x = x ln y ⇔ (la fonction exponentielle est bijective). Etudions la fonction

f 0 (x) =

ln x ln y = x y

f (x) =

ln x sur x

[1, +∞[.

1 − ln x > 0, x2

[e, +∞[. Donc pour z ∈]0, f (e) = 1/e[, l'équation f (x) = z a exactement deux solutions, une dans ]1, e[ et une dans ]e, +∞[. y x Revenons à l'équation x = y équivalente à f (x) = f (y). Prenons y un entier, si y = 1 alors f (y) = z = 0 on doit donc résoude f (x) = 0 alors x = 1 ; si y = 2 alors il faut résoudre ln 2 l'équation f (x) = ∈]0, 1/e[. Alors d'après l'étude précédente, il existe deux solutions une 2 ln 4 sur ]0, e[ qui est x = 2 ( !) et une sur ]e, +∞[ qui est 4, en eet = ln22 . Soit 22 = 22 et 4 24 = 42 . Si y > 3 alors y > e donc il y a une solution x de l'équation g(y) = g(y) dans ]e, +∞ qui x = y , et une solution dans l'intervalle ]1, e[. Mais comme x est un entier alors x = 2, cas que nous donc

f

est croissante sur

[1, e]

et décroissante sur

avons déjà étudié. Conclusion les couples d'entiers qui vérient l'équation les couples

(2, 4)

et

(4, 2).

xy = y x

sont les couples

(x, y = x)

et

342

Correction 805 S =

π . (1 − λ2 )3/2

√ 3πa 5π − 9 3 2 Correction 806 L = , A1 = a, 2 32 Correction 807 A = 4π 2 Rr, V = 2π 2 Rr 2 .

Correction 808 L = 8R,

A = 3πR2 ,

√ 5π + 18 3 2 A2 = a. 32

V1 = 5π 2 R3 ,

V2 = 6π 3 R3 ,

A1 =

16π 2 R2 .

Correction 809 L = 8(n+1)r = 8 128πR2 , 5

64πR3 . 3

V =

Correction 810 L = 4R Correction 824

√

n+1 R, n

2 + ln(1 +

A = π(n+1)(n+2)r2 = π

x3 2 2 x2 = x + x−2 + x+2 . Primitives : + ln(x2 − 4)2 x2 −4 2 4x 4 8 8 4. = x−2 + (x−2) 2 . Primitives : 4 ln |x − 2| − x−2 (x−2)2

+ k.

(2x+1) 1 2 est un élément simple. Primitives : √ arctan √ + x2 +x+1 3 3 √ √ − 2√ 2√ 1 1 1 √ 2 + √ 2 + . 6. + = 16(t+1− 2) 16(t+1+ 2) (t2 +2t−1)2 8(t+1− 2) 8(t+1+ 2) √ √ t+1 √2 + k . Primitives : − + 162 ln t+1+ 4(t2 +2t−1) t+1− 2 3t+1 est un élément simple. (t2 −2t+10)2 3 Primitives : − + 9(t22(t−1) 2(t2 −2t+10) −2t+10)

+

2 27

+ k.

+ k.

5.

k.

arctan( t−1 ) + k. 3

3t+1 3 est un élément simple. Primitives : ln(t2 − 2t + 10) + 34 t2 −2t+10 2 1 1 1 9. 3 = 3(t+1) − 3(t2t−2 . Primitives : ln |t + 1| − 16 ln(t2 − t + 1) t +1 −t+1) 3 8.

x3 +2 (x+1)2

11.

x+1 x(x−2)2

1 4x

(x2 −1)(x3 +3) 2x+2x2

−

arctan( t−1 ) + k. 3 +

√1 3

√ ) + k. arctan( 2t−1 3

3 x+1

+

1 x2 2 . Primitives : 2 (x+1)

− 2x + 3 ln |x + 1| −

1 x+1

1 4(x−2)

+

1 3 . Primitives : 4 2(x−2)2

ln |x| − 14 ln |x − 2| −

3 2(x−2)

=x−2+ =

+ k. + k.

3 3 x4 . Primitives : − x6 + 3x − 32 ln |x| + k . 2x 8 2 3(1−x) 1 1−x 1−x x2 = 43 (x+1) + 43 (x − 4(x 13. 2 +3) + 2 2 2 +3)3 . (x2 +3)3 (x+1) 4 (x +3)2 x+3 1 2 √1 Primitives : − 2 2 − 3.22x−3 arctan( √x3 ) + 413 ln |x 5 (x2 +3) − 27 ln(x + 3) − 3 3 26 4 (x +3)2

12.

14.

x7 +x3 −4x−1 x(x2 +1)2

= 12 (x3 − x2 + 3) −

= x2 − 2 −

Primitives : 15.

S=

Résultats valables sur chaque intervalle du domaine de dénition.

3.

10.

(n + 1)(n + 2) 2 R , n2

A2 =

√ 2) .

1 1 1. est un élément simple. Primitives : arctan( xa ) + k . x2 +a2 a 1 1 x 2. est un élément simple. Primitives : arctan x + 2(1+x 2) 2 (1+x2 )2

7.

64πR2 , 3

x3 3

− 2x −

1 x

x+4 + (xx−6 2 +1)2 . x2 +1 ln |x| + 12 ln(1 + x2 )

+

3x4 −9x3 +12x2 −11x+7 1 = (x−1) 3 (x−1)3 (x2 +1) 1/2 2 Primitives : − + x−1 (x−1)2

−

2 (x−1)2

+

3 x−1

+ arctan x −

−

6x+1 2(x2 +1)

+ k.

1 . x2 +1

+ 3 ln |x − 1| − arctan x + k . R 1 dx 1 Correction 825 1. est un élément simple. = √12 arctan √12 . x2 +2 0 x2 +2 R 1/2 dx 1/2 1/2 1 2. Décomposition : = x+1 − x−1 . Intégrale : = ln 3. 1−x2 −1/2 1−x2

+ 1| + k .

343

2x + 1

3. Pas besoin de décomposer la fraction rationnelle, car R 3 2x+1 dx = ln 3. 2 x2 +x−3

est la dérivée de

x2 + x − 3 !

x 4. On peut évidemment décomposer la fraction rationnelle en éléments simples : = x4 +16 √ √ 2/8 2/8 √ − x2 +2x√2+4 , mais il est bien plus simple de faire le changement de variables x2 −2x 2+4 R4 R 2 dx π x2 = u. Alors 0 xx4 +16 = 12 0 u2du = 32 . +16 x4 +6x3 −5x2 +3x−7 est (x−4)3

163 507 565 x + 18 + x−4 + (x−4) 2 + (x−4)3 ; les primitives sont R 3 −5x2 +3x−7 3 4 x2 + 18x − 1014x−3491 + 163 ln |x − 4| + C . Enn, 0 x +6x(x−4) dx = 5565 − 326 ln 2. 3 2 2(x−4)2 32 (x−2)4 (x+3) 1 1 1 1 1 Décomposition : 3 = 20(x+3) − 4(x−1) + 5(x−2) . Primitives : 20 ln (x−1)5 + C , d'où x −7x+6 R0 dx 1 = 10 ln(27/4). −2 x3 −7x+6

5. La décomposition de

6.

2x4 +3x3 +5x2 +17x+30 x3 +8 3 2 2 ln(x + 2) + 2 ln(x − 2x + 4) + √23 ln 7 6 + 7 ln 3−3 + √23 arctan √23 . 2

2 2 = 2x+3+ x+2 + x23x−1 . Les primitives sont : x +3x+ −2x+4 R 1 2x4 +3x3 +5x2 +17x+30 √ + C . Intégrale : arctan x−1 dx = x3 +8 −1 3

7. Décomposition :

8. Décomposition :

R3

4x2

2 x4 −1

9. La

4x2 x4 −1

dx = ln 32 +

2 x2 +1 2 arctan 17 .

décomposition

R0

x3 +2x+1 −1 x3 −3x+2

dx =

5 3

=

−

1 x+1

x3 +2x+1 x3 −3x+2

est

22 9

−

+

=

1 . Primitives : x−1

4/3 (x−1)2

1 +

+

ln x−1 + 2 arctan x + C , x+1

11/9 x−1

−

11/9 . x+2

On

trouve

d'où

alors

ln 2.

2x8 +5x6 −12x5 +30x4 +36x2 +24 3 2 6 12x−16 est 4 + 2 − (x2 +2) 2 − (x2 +2)3 ; les prix4 (x2 +2)3 x x +2 √ R 8 6 5 +30x4 +36x2 +24 2 1 2x+3 mitives sont − 3 + + 2 arctan √x2 + C . Enn 1 2x +5x −12x dx = x√ (x2 +2)2 x4 (x2 +2)3 √ 37 + 2 2 arctan 2 − √π2 . 72

10. La décomposition de

x2 +1 2x+5 = 2x+3 − . Primitives : ln + 2 2 x2 +4 x +1 x +4 R 2 +6x+7 2 a 3 arctan x− 52 arctan x2 +C . Alors 0 −2x dx = ln aa2 +1 +3 arctan a− 52 arctan a2 +2 ln 2. x4 +5x2 +4 +4 R a −2x2 +6x+7 Enn lima→+∞ dx = π4 + 2 ln 2. 0 x4 +5x2 +4 −2x2 +6x+7 x4 +5x2 +4

11. Décomposition de la fraction rationnelle :

4 4 12. Pour factoriser le dénominateur, penser à faire x + 1 = x √ √ 1 √ √ alors 4 = x(x2 +x2+2)/4 − x(x2 −x2−2)/4 . Les primitives s'écrivent x +1 2+1 2+1 1 √

4 2

ce qui donne

Correction 832

R2

ln

√ x2 +x√2+1 2 x −x 2+1

dx 0 x4 +1

=

4

1 √

+

1 √

2 2

+ 2x2 + 1 − 2x2 ;

√

on trouve

√

arctan(x 2 + 1) + arctan(x 2 − 1) + C

ln 33+20 17 2

√

2

+

1 √

2 2

1. Changement de variable

√

π − arctan 2 3 2

u = sin2 x

.

(ou d'abord

u = sin x) ; esin

2

x

+ C.

2. Deux méthodes : changement de variable u = sin t (ou u = sinh t), ou linéarisation. 1 1 5 (15 sin t − 10 sin3 t + 3 sin5 t) + C ou 80 sin 5t + 48 sin 3t + 58 sin t + C ; 15 3 1 sinh t + 13 sinh t + C ou 12 sinh 3t + 34 sinh t + C ; 1 1 (sin 4t + 8 sin 2t + 12t) + C ; 32 (sinh 4t − 8 sinh 2t + 12t) + C . 32 3 2 x 3. Intégrations par parties : (x − 3x + 6x − 6)e + C . 4. Intégration par parties :

x ln x − x + C ;

x2 2

ln x −

x2 4

+ C ; x arcsin x +

√

1 − x2 + C .

1 (sinh t sin t − cosh t cos t) + C . 2 x x 6. Changement de variable t = tan ; ln tan + C sur chaque intervalle. . . 2 2

5. Intégrations par parties :

344 7. Changement de variable 8. Changement de variable

√ 2 x = a sin u ; a2 arcsin xa + x2 a2 − x2 + C . √ u = ex ; 32 ex + 1(ex − 2) + C .

1 ax 9. Intégrations par parties : 2 2 e (a cos bx + b sin bx) + C ; a +b 1 eax (−b cos bx + a sin bx) + C . a2 +b2 p x p x p x 10. Changement de variable t = ; 2 − 2 arctan 1−x 1−x 1−x 11. Changement de variable

√

+ C.

t = arcsin x ; 12 (arcsin x − x 1 − x2 ) + C .

u = tan x2 , t = 1+u ; arctan(tan x2 +1)+C sur chaque intervalle. . . Mais, au fait, ne cherchait-on pas une primitive sur R ? q 3 3 2 2 Changement de variable x = u ; arcsin xa3 + C . 3

12. Changements de variable

13.

14. Multiplier et diviser par

x 2

−

e−2x 4

cosh x − sinh x,

ou passer en

ex ;

x 2

+

sinh 2x 4

−

cosh 2x 4

+C

ou

+ C.

Correction 847 x ∈]0, ∞[.

1. On cherche une solution particulière de (E), de la forme Alors en injectant

y(x)

dans (E) on a

a− a2 = 9. ]0, ∞[. donc

On prend donc

y(x) = ax pour

ax − a2 x2 = −9x2 x

y0 (x) = 3x

comme solution particulière de (E) dénie sur

1 y(x) = y0 (x) − z(x) où z est une 1 y0 (x) = 3x donc y(x) = 3x − z(x) . On calcule les

2. On fait le changement de fonction inconnue suivant : fonction dénie sur dérivées et le carré

]0, ∞[ à trouver. Ici de y(x) pour l'injecter y 0 (x) = 3 +

z 0 (x) z 2 (x)

et

dans (E) : On a

y 2 (x) = 9x2 −

6x 1 + 2 , z(x) z (x)

donc en injectant dans (E) on a

3+

1 6x 1 z 0 (x) −3+ − 9x2 + − 2 = 9x2 , 2 z (x) xz(x) z(x) z (x)

d'où en simpliant et en arrangeant on a :

(E1)

Correction 851

z 0 (x) + 6x +

Les primitives de la fonction

1 z(x) = 1. x

a(x) = 2x sont les fonctions A(x) = x2 /2 + k

où

k ∈ R est une constante réelle quelconque. Donc les solutions de l'équation homogène associée −x2 à E sont toutes les fonctions dénies sur R du type : y(x) = ce où c ∈ R est une constante −x2 arbitraire. On cherche maintenant une solution particulière de E sous la forme yp (x) = c(x)e (méthode de la variation de la constante). On a : 2 yp0 (x) + 2xyp (x) = c0 (x)e−x . Donc yp est solution de

2

c0 (x) = xex pour x2 tout x ∈ R. On choisit la fonction c parmi les primitives de la fonction xe , par exemple : 2 2 2 c(x) = 1/2ex . Donc la fonction yp telle que yp (x) = 1/2ex e−x = 1/2 est solution de E . Par conséquent les solutions de E sont toutes les fonctions de la forme : 2

y(x) = ce−x + Pour

y

solution de

E1 ,

la condition

y(0) = 1

E

si et seulement si :

1 c ∈ R. 2

équivaut à :

c = 1/2.

345

Correction 863 y 00 − 3y 0 + 2y = ex . Le polynôme caractéristique est f (r) = (r − 1)(r − 2) et les solutions de l'équation homogène sont donc toutes les fonctions :

y(x) = c1 ex + c2 e2x

avec

c1 , c2 ∈ R.

x On cherche une solution particulière de la forme yp (x) = P (x)e , on est dans la situation (ıı) 00 0 la condition (∗) sur P est : P − P = 1, et P (x) = −x convient. Les solutions de l'équation sont donc les fonctions :

y(x) = (c1 − x)ex + c2 e2x

avec

c1 , c2 ∈ R.

Correction 864 y 00 − y = −6 cos x + 2x sin x. Ici f (r) = (r − 1)(r + 1) et l'équation homogène a pour solutions :

y(x) = c1 ex + c2 e−x

avec

c1 , c2 ∈ R.

00 vérie l'équation : y − y = −6 cos x, il nous reste donc 00 à chercher une solution y1 de l'équation y − y = 2x sin x, car yp (x) = 3 cos x + y1 (x) sera ix une solution de l'équation consid¯ée. Pour cela, on remarque que 2x sin x = Im(2xe ) et on 00 ix utilise la méthode décrite plus haut pour trouver une solution z1 de l'équation : y − y = 2xe . ix On cherche z1 sous la forme P (x)e où P est un polynôme de degré 1 car f (i) = −2 6= 0. 0 0 On a f (i) = 2i, la condition (∗) sur P est donc : 2iP (x) − 2P (x) = 2x ce qui donne après ix identication P (x) = −x − i. Alors y1 (x) = Im((−x + i)e ) = −x sin x − cos x. Les solutions On remarque que la fonction

3 cos x

sont par conséquent les fonctions :

y(x) = c1 ex + c2 e−x + 2 cos x − x sin x Autre méthode pour trouver une solution de

y1 (x) = A(x) sin x + B(x) cos x

où

A, B

avec

c1 , c2 ∈ R.

y 00 − y = 2x sin x

: On la cherche de la forme

i n'est pas racine Q(x) sin(βx)eαx la

sont des polynômes de degré 1 car

de l'équation caractéristique ( danger : pour un second membre du type 00 0 discussion porte sur α + iβ et non sur α ou β ...). On calcule y1 , y1 et on applique l'équation étudiée à y1 . . .on obtient la condition :

(A00 − A − 2B 0 ) sin x + (B 00 − B − 2A0 ) = 2x sin x A00 − A − 2B 0 = 2x . B 00 − B − 2A0 = 0 On écrit : A(x) = ax + b et B(x) = cx + d, b = c = 0, ce qui détermine y1 . qui sera réalisée si :

après identication on obtient :

a = d = −1,

Correction 865 4y 00 + 4y 0 + 5y = sin xe−x/2 . L'équation caractéristique a 2 racines complexes r1 = −1/2 + i

et

r2 = r1

et les solutions de l'équation homogène sont :

y(x) = e−x/2 (c1 cos x + c2 sin x) On a

avec

c 1 , c2 ∈ R

sin xe−x/2 = Im(e(−1/2+i)x ),

on commence donc par chercher une solution zp de l'équation e(−1/2+i)x .Comme −1/2 + i est racine de l'équation caractériszp (x) = P (x)e(−1/2+i)x avec P de degré 1. Par conséquent la condition (∗)

avec le nouveau second membre tique, on cherchera sur

P

:

4P 00 + f 0 (−1/2 + i)P 0 + f (−1/2 + i)P = 1 8iP 0 = 1 ( P 00 = 0, f (−1/2 + i) = 0 et f 0 (−1/2 + i) = 8i), on peut donc (−1/2+i)x prendre P (x) = −i/8x et zp (x) = −i/8xe , par conséquent sa partie imaginaire yp (x) = (−1/2+i)x −x/2 Im(−i/8xe ) = 1/8x sin xe est une solution de notre équation. Les solutions sont s'écrit ici :

donc toutes les fonctions de la forme :

y(x) = e−x/2 (c1 cos x + (c2 + 1/8x) sin x)

avec

c1 , c2 ∈ R.

346

Correction 866

1. Le polynôme caractéristique associé à

discriminant est

√

−1 − i 3.

∆ = −12

E

est :

et il a pour racines les 2 nombres

p(x) = x2 + 2x + 4√; son complexes −1 + i 3 et

Les solutions de l'équation homogène sont donc toutes fonctions :

√ √ y(x) = e−x (a cos 3x + b sin 3x)

obtenues lorsque

a, b

décrivent

R.

eλx Q(x) avec λ = 1 et Q(x) = x. On cherchera une x solution de l'équation sous la forme : yp (x) = R(x)e avec R polynôme de degré égal à celui de Q puisque p(1) 6= 0. On pose donc R(x) = ax + b. On a

2. Le second membre est de la forme

yp00 (x) + 2yp0 (x) + 4yp (x) = (7ax + 7b + 4a)ex . Donc

yp

est solution si et seulement si

des coecients :

a= La fonction de

E

3. Soit

4.

est :

h

yp (x) = 17 (x − 47 )ex

1 7

7ax + 7a + 4b = x. b=

et

est donc solution de

−4 . 49 E et

On trouve après identication

la forme générale des solutions

√ √ 1 4 y(x) = e−x (a cos 3x + b sin 3x) + (x − )ex ; a, b ∈ R. 7 7 solution de E . Les conditions h(0) = 1, h(1) = 0 sont réalisées ssi √ 53 53 cos 3 + 3e2 √ a= et b=− . 49 49 sin 3

une

(a) On a :

g 0 (x) = ex f 0 (ex )

et

g 00 (x) = ex f 0 (ex ) + e2x f 00 (ex )

d'où pour tout

x∈R

:

g 00 (x) + 2g 0 (x) + 4g(x) = e2x f 00 (ex ) + 2ex f 0 (ex ) + 4f (ex ) = ex log ex = xex donc

g

est solution de

(b) Réciproquement pour

E. f (t) = g(log t) où g

est une solution de

E

on montre que

2 fois dérivable et vérie l'équation donnée en 4. Donc les fonctions

f

f

est

recherchées

sont de la forme :

√ √ t 4 1 (a cos ( 3 log t) + b sin ( 3 log t)) + (log t − ) ; a, b ∈ R. t 7 7

Correction 872

1. L'équation caractéristique

r2 − 4r + 4 = 0

a une racine (double)

r=2

donc les solutions de l'équation homogène sont les fonctions :

y(x) = (c1 x + c2 )e2x

où

c1 , c2 ∈ R.

d(x) = e−2x on peut chercher une solution particulière de la forme : y1 (x) = ae−2x car −2 n'est pas racine de l'équation caractéristique. On a y10 (x) = −2e−2x et y100 (x) = 4ae−2x . Par conséquent y1 est solution si et seulement si :

2. Pour

∀x ∈ R (4a − 4(−2a) + 4a)e−2x = e−2x 1 donc si et seulement si a = . 16 2x 2 2x Pour d(x) = e on cherche une solution de la forme y2 (x) = ax e , car 2 est racine 0 2 2x 00 double de l'équation caractéristique. On a y2 (x) = (2ax + 2ax )e et y2 (x) = (2a + 4ax + 4ax + 4ax2 )e2x = (4ax2 + 8ax + 2a)e2x . Alors y2 est solution si et seulement si

∀x ∈ R (4ax2 + 8ax + 2a − 4(2ax + 2ax2 ) + 4ax2 )e2x = e2x donc si et seulement si

a=

1 . 2

347 3. On déduit du principe de superposition que la fonction

1 1 1 yp (x) = (y1 (x) + y2 (x)) = e−2x + x2 e2x 4 64 8 est solution de l'équation pour le second membre donné dans cette question, et la forme générale des solutions est alors :

y(x) = (c1 x + c2 )e2x +

1 −2x 1 2 2x e + xe 64 8

où

c1 , c2 ∈ R.

Correction 880

Réponse :

Correction 881

Réponse :

1 2

Correction 884

Réponse :

x→

Correction 885

Réponse :

x → λx sinh x + µx cosh x, (λ, µ) ∈ R2 .

Correction 886 (a) (b)

(c)

1.

E1

x

(λx + µ) e−x + e25 [(3x − 4) cos x − (4x − 2) sin x]+(sin x − x cos x) e−x . (−x cos x + sin x) + λ cos x + µ sinh x. λx+µ √ , (λ, µ) 1+x2

∈ R2 .


R3 .

En eet :

0 0 0 ∈ E1 . 0 y 0 z 0 deux éléments de E1 . On a donc x+y−z = x+y+z = Soient x y z et x 0 et x0 + y 0 − z 0 = x0 + y 0 + z 0 = 0. Donc (x + x0 ) + (y + y 0 ) − (z + z 0 ) = (x + x0 ) + (y + y 0 ) + (z + z 0 ) = 0 et x y z + x0 y 0 z 0 = (x + x0 ) (y + y 0 ) (z + z 0 ) appartient à E1 . Soient λ ∈ R et x y z ∈ E1 . Alors la relation x + y − z = x + y + z = 0 implique que λx+λy−λz = λx+λy+λz = 0 donc que λ x y z = λx λy λz appartient à E1 .

F1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+y+z = 0}. F1 est un plan passant par l'origine donc F1 est 3 3 un sous-espace vectoriel de R . On a les inclusions strictes : {0} ⊂ E1 et E1 ⊂ F1 ⊂ R . Par la première on obtient 0 < dim (E1 ), par la seconde dim (F1 ) < 3 puis dim (E1 ) < 2 c'est à dire dim (E1 ) = 1. Posons

2.

3. 4.

3 E2 = {(x, y, z) ∈ R3; x2 − z 2 = 0} c'est à dire E2 = {(x, y, z) ∈ R ; x = z ou x = −z}. Donc 1 0 −1 et 1 0 1 appartiennent à E1 mais 1 0 −1 + 1 0 1 = 2 0 0 n'appartient pas à E1 qui n'est en conséquence pas un sous-espace vectoriel de R3 . 0 0 0 ∈ / E3 donc E3 n'est pas un sous-espace vectoriel de R3 . Les vecteurs 1 0 0 et 0 0 1 appartiennent à E4 mais leur somme 1 0 0 + 0 0 1 = 1 0 1 ne lui appartient pas donc E4 n'est pas un sous-espace vectoriel 3 de R .

Correction 888

E1 : non si a 6= 0 car alors 0 ∈ / E1 ; oui, si a = 0 car alors E1 est l'intersection 3 3 des sous-espaces vectoriels {(x, y, z) ∈ R ; x + y = 0} et {(x, y, z) ∈ R ; x = 0}. E2 est un sous-espace vectoriel de F(R, R). E3 : non, car la fonction nulle n'appartient pas à E3 . E4 : non car le polynôme nul n'appartient pas à E4 . E5 : non, en fait E5 n'est même pas un sous-groupe de (R2 , +) car (2, 0) ∈ E5 mais −(2, 0) = (−2, 0) ∈ / E5 .

Correction 908 et

Y ⊂ X .Dans

Pour que deux ensembles

X

et

Y

soient égaux, il faut et il sut que

X⊂Y

le cas des espaces vectoriels de dimension nie, la situation est un peu plus

simple : pour que

E=F

il faut et il sut que

F ⊂E

et dim

(E) =

dim

(F ).

Appliquons ce

348

critère :

E

est engendré par deux vecteurs donc dim

(E) 6 2. Les deux vecteurs



   2 1  3  , −1 −1 −2

(E) > 2 c'est  à dire dim  (E)  =2. Un  raisonnement   3 2 1 5 les égalités 7 = 2  3  − −1 et  0  = 0 −1 −2 −7

sont linéairement indépendants donc dim identique montre dim



   2 1  3  + 3 −1 −1 −2

(F ) = 2.

Enn,

montrent que

Correction 914 v ∈

F ⊂E

c'est à dire

Vect(e1 , e2 ) est équivalent à l'existence de deux réels

λe1 + µe2 . Alors (−2, x, y, 3) = λ(1, −1, 1, 2) + µ(−1, 2, 3, 1)  −2    x  y    3

=λ−µ = −λ + 2µ = λ + 3µ = 2λ + µ

Le couple qui convient est donc

Correction 916

E = F. tels que

v =

est équivalent à

 λ    µ  x    y

⇔

= 1/3 = 7/3 . = 13/3 = 22/3

(x, y) = (13/3, 22/3).

À partir de la famille

ne correspond qu'à un nombre

λ, µ

ni

(fα )α∈R

nous considérons une combinaison linéaire (qui

de termes).

α1 , . . . , αn des réels distincts, considérons La famille (nie) : (fαi )i=1,... ,n . Supposons qu'il Pn existe des réels λ1 , . . . , λn tels que λ f = 0. Cela signie que, quelque soit x ∈ R, alors i=1 i αi Pn i=1 λi fαi (x) = 0 ; en particulier pour x = αj l'égalité devient λj = 0 car fαi (αj ) vaut 0 si i 6= j et 1 si i = j . En appliquant le raisonnement ci-dessus pour j = 1 jusqu'à j = n on obtient :

Soit

λj = 0, j = 1, . . . , n.

Correction 923

ou

Donc la famille

est une famille libre.

F sont Les fonctions h qui vérient h(0) 6= 0 h (0) 6= 0. Par exemple les fonctions constantes x 7→ b, (b ∈ R), ou les homothéties x 7→ ax, (a ∈ R) n'appartiennent pas à F . Les fonctions de

E

(fα )α

qui ne sont pas dans

0

Posons

G = x 7→ ax + b; (a, b) ∈ R2 . G est un supplémentaire de F dans E . f ∈ F ∩ G alors f (x) = ax + b (car f ∈ G) et f (0) = b et f 0 (0) = a ; mais f ∈ F donc f (0) = 0 donc b = 0 et f 0 (0) = 0 donc a = 0. Maintenant f est la fonction nulle : F ∩ G = {0}. 0 Soit h ∈ E , alors remarquons que pour f (x) = h(x)−h(0)−h (0)x la fonction f vérie f (0) = 0 0 et f (0) = 0 donc f ∈ F . Si nous écrivons l'égalité diéremment nous obtenons

Montrons que Soit

h(x) = f (x) + h(0) + h0 (0)x. Posons

g(x) = h(0) + h0 (0)x,

alors la fonction

g∈G

et

h = f + g, ce qui prouve que toute fonction de fonction de

E

s'écrit comme somme d'une fonction de

G : E = F + G.

En conclusion nous avons montrer que

E = F ⊕ G.

F

et d'une

349

Correction 930

n−1 Montrons que la famille {x, . . . , ϕ (x)} est libre. Soient λ0 , . . . , λn−1 ∈ R n−1 n−1 tels que λ0 x + · · · + λn−1 ϕ (x) = 0. Alors : ϕ (λ0 x + · · · + λn−1 ϕn−1 (x)) = 0. Mais comme n n−1 de plus ϕ = 0, on a l'égalité ϕ (λ0 x + · · · + λn−1 ϕn−1 (x)) = ϕn−1 (λ0 x) + ϕn (λ1 x + · · · + λn−1 ϕn−2 (x)) = λ0 ϕn−1 (x). Comme ϕn−1 (x) 6= 0 on obtient λ0 = 0. n−2 En calculant ensuite ϕ (λ1 ϕ(x) + · · · + λn−1 ϕn−1 (x)) on obtient λ1 = 0 puis, de proche en n−1 proche, λn−1 = · · · = λ0 = 0. La famille {x, . . . , ϕ (x)} est donc libre. Elle compte n vecteurs.

(E) = n

Comme dim

elle est libre maximale et forme donc une base de

E.

Correction 941

Montrons ceci par récurence : Pour n = 1, l'assertion est triviale : x ∈ / ker ϕ ⇒ Supposons que si x ∈ / ker ϕ alors ϕn−1 (x) 6= 0, (n > 2). Fixons x ∈ / ker ϕ, Alors par n−1 hypothèses de récurrence ϕ (x) 6= 0, mais ϕn−1 (x) = ϕ(ϕn−2 (x)) ∈ Im ϕ donc ϕn−1 (x) ∈ / ker ϕ n−1 grâce à l'hypothèse sur ϕ. Ainsi ϕ(ϕ (x)) 6= 0, soit ϕn (x) 6= 0. Ce qui termine la récurrence.

ϕ(x) 6= 0.

Correction 943

(i) ⇒ (ii) Supposons ker f = Im f . Soit x ∈ E , alors f (x) ∈ Im f donc f (x) ∈ ker f , cela entraine f (f (x)) = 0 ; donc f 2 = 0. De plus d'après la formule du rang dim ker f + rg f = n, mais dim ker f = dim Im f = rg f , ainsi 2 rg f = n. 2 (ii) ⇒ (i) Si f = 0 alors Im f ⊂ ker f car pour y ∈ Im f il existe x tel que y = f (x) et 2 f (y) = f (x) = 0. De plus si 2 rg f = n alors par la formule Du rang dim ker f = rg f c'est-à-dire dim ker f = dim Im f . Nous savons donc que Im f est inclus dans ker f mais ces espaces sont de même de dimension donc sont égaux : ker f = Im f .

Correction 949

Pour montrer l'égalité

ker f ∩ Im f = f (ker f 2 ),

nous montrons la double

inclusion.

y ∈ ker f ∩ Im f , alors f (y) = 0 et il existe x tel que y = f (x). De plus f 2 (x) = f (f (x)) = f (y) = 0 donc x ∈ ker f 2 . Comme y = f (x) alors y ∈ f (ker f 2 ). Donc ker f ∩ Im f ⊂ f (ker f 2 ). 2 2 Pour l'autre inclusion, nous avons déjà que f (ker f ) ⊂ f (E) = Im f . De plus f (ker f ) ⊂ ker f , 2 2 2 car si y ∈ f (ker f ) il existe x ∈ ker f tel que y = f (x), et f (x) = 0 implique f (y) = 0 donc y ∈ ker f . Par conséquent f (ker f 2 ) ⊂ ker f ∩ Im f .

Soit

Correction 963

ϕ est un isomorphisme, l'image de toute base de E B = {e1 , . . . , en } une base de E et nommons B 0 la famille

1. Montrons que si

F {ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )}.

est une base de

: soit

(a)

B0

(b)

B 0 est génératrice. Soit y ∈ F . Comme ϕ est surjective, il existe x ∈ E tel que y = ϕ(x). Comme B est génératrice, on peut choisir λ1 , · · · , λn ∈ R tels que x = λ1 e1 + · · · + λn en . Alors y = λ1 ϕ(e1 ) + · · · + λn ϕ(en ).

λ1 , . . . , λn ∈ R tels que λ1 ϕ(e1 ) + · · · + λn ϕ(en ) = 0. Alors ϕ(λ1 e1 + · · · + λn en ) = 0 donc, comme ϕ est injective, λ1 e1 + · · · + λn en = 0 puis, comme B est libre, λ1 = · · · = λn = 0. est libre. Soient en eet

2. Supposons que l'image par ϕ de toute base de E soit une base 0 une base de E et B la base {ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )}. (a) Im

(ϕ)

contient

(b) Soit maintenant

B0

qui est une partie génératrice de

F.

F . Soient B = {e1 , . . . , en }

Donc

ϕ

est surjective.

x ∈ E tel que ϕ(x) = 0. Comme B est une base, il existe λ1 , . . . , λn ∈ + λn en . Alors ϕ(x) = 0 = λ1 ϕ(e1 ) + · · · + λn ϕ(en ) donc · · · = λn = 0. En conséquence si ϕ(x) = 0 alors x = 0 : ϕ

tels que x = λ1 e1 + · · · 0 puisque B est libre : λ1 =

R

est injective.

Correction 979 une base de

R3 .

det



       1 −1 1 1 −1 1 1 1 0  = 3 6= 0 donc la famille B = {1 ,  1  ,  0 } est 1 0 −1 1 0 −1

350

        1 1 −1 1 0 = 1 1 − 1  1  + 1  0 . Ses coordonnées dans B sont donc (1/3, −1/3, 1/3). 3 3 3 0 1 0       −1 0 1 −1 1 0 = 1 1 − 1  1  − 2  0 . Ses coordonnées dans B sont donc (1/3, −1/3, −2/3). 3 3 3 1 1 0 −1       1 1 0 0 = 0 + 0. Donc ses coordonnées dans B sont (2/3, −2/3, −1/3). 1 0 1

Correction 1019 E est engendré par trois vecteurs et F (E) 6 3

est engendré par deux vecteurs. Donc

(F ) 6 2.Clairement  e4 et e5 ne sont pas liés donc dim (F ) > 2 c'est à 1 1 2 dire dim (F ) = 2. Enn, det 2 1 1 = −1 6= 0. La famille {e1 , e2 , e3 } est donc libre, soit 3 1 1 dim (E) > 3 i.e. dim (E) = 3. E ∩ F ⊂ F donc dim (E ∩ F ) 6 2. De plus : dim (E + F ) = dim (E) + dim (F ) − dim (E ∩ F ). 5 Comme E + F ⊂ R , on a dim (E + F ) 6 5 d'où on tire l'inégalité 1 > dim (E ∩ F ). Donc soit dim (E ∩ F ) = 1 soit dim (E ∩ F ) = 2. Supposons que dim (E ∩ F ) soit égale à 2. Comme E ∩ F ⊂ F on aurait dans ce cas E ∩ F = F . En particulier il existerait α, β, γ ∈ R tels que e4 = αe1 + βe2 + γe3 . On vérie aisément que ce n'est pas le cas, donc que dim (E ∩ F ) n'est pas égale à 2. On peut donc conclure : dim (E ∩ F ) = 1 puis dim (E + F ) = 4.

dim

et dim

Correction 1052

A3 − A = 4I . Donc A × 41 (A2 − I) = I , ainsi A est inversible   2 −4 2 1 1 = (A2 − I) = 1 −2 −1 . 4 4 1 2 −1

Un calcul donne

et

A−1

Correction 1053 A=

0 1 , 0 0

B=

1 0 . 0 0 

 a 0 c Correction 1056 Montrons que E est un sous-espace vectoriel de Mn (R). Soient M = 0 b 0  0   c 0 a 0 0 0 a 0 c a+a 0 c+c 0 0 0  deux éléments de E . Alors M + M 0 =  0 b + b0 0  ∈ E. et M =  0 b 0 0 0 c 0 a c+c 0 a + a0   λa 0 λc λb 0  appartient à E , tout comme la matrice 0. Donc E est Pour tout λ ∈ R λM =  0 λc 0 λa un sous-espace vectoriel de Mn (R).         a 0 c 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Soit M = 0 b 0 un élément de E . Alors M = a 0 0 0 +b 0 1 0 +c 0 0 0. c  0 a 0 0 0 1 0 0    0 0 1  1 0 0 0 0 0 0 0 1      0 0 0 , M2 = 0 1 0 , M3 = 0 0 0. Les matrices M1 , M2 et M3 Posons M1 = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 appartiennent à E et la relation qui précéde montre que elles engendrent E . D'autre part, si

351



   α 0 γ 0 0 0 αM1 + βM2 + γM3 = 0, alors  0 β 0  = 0 0 0 donc α = β = γ = 0. γ 0 α 0 0 0 {M1 , M2 , M3 } est libre et engendre E . C'est une base de E .

Correction 1057 F

La famille

M2 (R) donc dim , 4}. Comme (F )∈ {0, . . . 0 0 0 1 (F ) 6= 4. D'autre part les matrices M1 = , M2 = , M3 = 0 0 1 0

est un sous espace vectoriel de

F = 6 M2 (R) on a aussi dim 1 0 appartiennent à F et sont linéairement indépendantes. En eet, si αM1 +βM2 +γM3 = 0 −1 γ α 0 0 0 alors = c'est à dire α = β = γ = 0. Donc dim (F ) > 3 c'est à dire β −γ 0 0 dim (F ) = 3. Enn {M1 , M2 , M3 } est une famille libre de trois vecteurs dans F qui est un espace de dimension 3. C'est donc une base de F . −9 −18 Correction 1080 1. A = 6 12 n 2. Un = A U0 −2 3. C'est la droite engendrée par . Le rang est 1. 1 −3 4. C'est la droite engendrée par . 2 5. Ce sont deux vecteurs non colinéaires. On a

P

6. On a

A = P DP

−1

donc

n

−1

AP = D =

n

−1

A = PD P

=

3 0 0 0

−3n+1 −2 · 3n+1 2 · 3n 4 · 3n

7. Donc

n x = −137 · 3n+1 − 36 · 3n+1 n yn = 274(3n ) + 72 · 3n         1 3 α β        Correction 1098 Posons : e1 = 2 , e2 = −1 , e3,α = 2 , e4,β = 1 . Notons ϕα,β −1 1 2 0 l'application linéaire associée à Mα,β et F = Vect {e1 , e2 }. Par dénition de la matrice associée à une application linéaire, Im (ϕα,β ) = Vect {e1 , e2 , e3,α , e4,β }. En particulier, F ⊂ Im (ϕα,β ). Comme e1 et e2 sont linéairement indépendants, rg (ϕα,β ) > 2. Ainsi ϕα,β est surjective si et seulement si l'un des deux vecteurs e3,α ou e4,β n'appartient pas à F . En ce cas en eet, 3 0 0 rg(ϕα,β ) = 3 = dim R . Or e3,α et e4,β appartiennent à F si et seulement si il existe λ, λ , µ, µ ∈ R tels que : e3,α = λe1 + µe2 et e4,β = λ0 e1 + µ0 e2 . Un petit calcul montre donc que ϕα,β n'est pas surjective si et seulement si α = 22 et β = 4. Donc ϕα,β est surjective si et seulement si α 6= 22 ou β 6= 4.

Correction 1100 L(E)

2 est isomorphe à Mn (R) donc est de dimension nie n . La famille {idE , ϕ, . . . , ϕ } compte n2 + 1 vecteurs donc est liée c'est à dire : il existe λ0 , . . . , λn2 dans 2 R, non tous nuls et tels que λ0 idE + λ1 ϕ + · · · + λn2 ϕn = 0. Le polynôme P (X) = λ0 + λ1 X + 2 · · · + λn2 X n répond donc à la question. n2

352

Correction 1151

n = 2, n = 4 les matrice suivantes 0 −1 J (0) 0 J= , J = . 1 0 (0) J

1. Dans le cas

conviennent :

2. Supposons qu'un tel morphisme existe. Soit J sa matrice pour une base xée. Alors J 2 = −In où In est la matrice identité de taille n. En termes de déterminant nous avons : det(J 2 ) = det In , ce qui s'écrit (det J)2 = (−1)n . Donc n est pair car (det J)2 est positif.

Correction 1157

Soit



 0 a b A = −a 0 c  , −b −c 0 Alors

det A = 0,

det B = a2

mais

est non nul si

B=

0 a . −a 0

a 6= 0.

Correction 1166 (S1 ) : solution unique si m 6= 4, impossible sinon. (S2 ) : solution unique si 2

m2 6= 1/2,

innité sinon.

Correction 1167 (S1 ) : a = b ou b = c ou c = a. (S2 ) : 2abc + bc + ca + ab = 1.

Correction 1168 (S1 ) : solution unique quels que soient b1 , b2 , b3 , b4 . (S2 ) (S3 ) (S4 )

b2 = b1 + b3 . b1 + b2 − 2b4 = 0 et 2b1 − b3 − 2b4 = 0. b2 = −2b1 et b3 = −b1 et b4 = 3b1 .

: solutions si : solutions si : solutions si

Correction 1169 Si Si

Solution unique si λ 6= 0 et λ 6= −4. λ = −4, pas de solution si a + b + c + d 6= 0, innité sinon. λ = 0, pas de solution si a 6= b ou a 6= c ou a 6= d, innité sinon.

Correction 1170 solution si

a + 1 6= 0,

Correction 1202

λ2 + λ − 2 6= 0 (λ 6= 1 et λ 6= −2). solutions sinon. Si λ = −2, solution unique.

Pas de solution si innité de

Si

λ = 1,

pas de

L'équation caractéristique est :

r2 − r − 1 = 0

√

dont les solution sont

λ=

1− 5 et 2

µ=

√ 1+ 5 . Donc 2 un = αλn +

un

est de la forme

βµn

0 0 α, β des réels que nous allons calculer grâce à u0 et u1 . En 0 = 1 = αλ + βµ donc √ eet u√ 1− 5 1+ 5 1 1 α + β = 1. Et comme u1 = 1 = αλ + βµ nous obtenons α + β√ 2 = 1. En résolvant ces 2 √ 5−1 1 1 1 = √5 (−λ) et β = √5 1+2 5 = √15 (µ). Nous écrivons deux équations nous obtenons α = √ 5 2

pour

donc pour nir :

Correction 1204

1 un = √ µn+1 − λn+1 . 5 L'équation caractéristique est :

r2 − 3r + 2 = 0 dont les solutions sont

λ=2

et

µ = 1.

Donc

un

est de la forme

un = α2n + β1n = α2n + β (2n )n

α = 0. Donc (un )n est la suite constante égale à β . Réciproquement toute suite constante qui vérie un = β pour n ∈ N vérie bien la relation de récurrence un+2 = 3un+1 − 2un . Donc les suites cherchées sont les suites Or la suite

constantes.

tend vers

+∞.

Donc si

(un )n

est bornée alors

353

Correction 1216 lim

√ 3

x→∞

Correction 1217

1.

√

x2 + x + 1 = −1/2.

sin(x) ln(1 + x2 ) = 0. x→0 x tan(x) lim

2.

ln(1 + sin(x)) = 1/6. x→0 tan(6 x)

3.

lim (ln(e + x))x

4.

x3 + 1 −

lim

−1

x→0

−1

= ee

.

x−1 lim ln(1 + e−x ) = e−1 .

x→∞

Correction 1219

1.

√

2 3

2 8 x3 a3 3. 3 b

2.

4.

−1

√

2 4 1 2 6. x 2 3 7. − − π4 2

5.

8.

−

√

9.

1 π

10.

1

11.

x

+x

e

Correction 1229

n > 2 on a : Pn (0) = −1 et Pn (1) = 3. Comme l'application X 7→ Pn (X) est continue, elle s'annulle en (au moins) un point de l'intervalle ]0, 1[. Comme 0 n−1 par ailleurs, pour tout X positif, Pn (X) = nX + (n − 1)X n−2 + 2X + 1 est strictement positif, l'application X 7→ Pn (X) est strictement croissante sur R+ et s'annule en au plus un point de R+ . En conséquence Pn a une unique racine positive λn qui de plus satisfait à l'inégalité 0 < λn < 1. 1. Pour tout

X ∈]0, 1[, Pn (X)−Pn−1 (X) = X n −X n−2 < 0. En particulier Pn (λn−1 ) < 0 donc λn > λn−1 . La suite (λn )n>2 est donc croissante et majorée (cf 1.) : elle est convergente. 3 3 2 3 n n−1 2 Pour tout n > 2 on a : λn + λn = −λn − λn + 1. Or Pn > + − 1 > 0 donc la 4 4 4 n 3 3 n+1 n n−1 n n−1 suite (λn + λn )n∈N satisfait aux inégalités 0 < λn + λn < + et converge 4 4 2 vers 0. Il en va de même de la suite (−λn − λn + 1)n>2 . En passant à la limite, on obtient √ −1 + 5 2 l'égalité : ` + ` − 1 = 0. La seule solution positive de cette équation étant , on 2 √ −1 + 5 . a l'égalité : ` = 2

2. Pour tout

3.

Remarques

1. L'inégalité

0 < λn < 1

Par exemple la suite

(pour tout

(vn )n>1

dénie par

appliquer le 1. du problème à log

(λnn )n>2 converge 1 1 vn = (1 − )n converge vers . (Pour le n e

n > 2)

(vn ).)

n'implique pas que

vers

0.

vérier

354

2.

1 1 = 0 n'implique La propriété lim ε n→∞ n + k n+k n X 1 Par exemple... lim = log (2). n→∞ n+k k=0

lim

n→∞

k=0

1 1 = 0. ε n+k n+k

f (x) − f (c) − f 0 (c). Comme f est continue, ε est continue x−c continuité en c de ε équivaut à la dérivabilité de f en c. L'unicité

Correction 1233 ]a, b[−{c}

pas que

n X

1.

et la

ε(x) =

sur est

évidente.

1 1 1 1 n > 1, Sn+1 − Sn = + − < 0 (par exemple parce que < 2n + 2 2n + 1 n 2n + 2 1 1 1 1 1 1 et < donc + < 2× ) donc la suite (Sn )n>1 est décroissante. 2n 2n + 1 2n 2n + 2 2n + 1 2n Elle est minorée (par 0) donc elle converge. 1 1 1 1 1 Pour tout 0 6 k 6 n, 6 6 donc (n + 1) × 6 Sn 6 (n + 1) × d'où, en 2n n+k n 2n n 1 passant à la limite, l'inégalité 6 S 6 1. 2 0 Soit ε l'application de ] − 1, 1[ à valeurs dans R telle que f (x) = f (0)x + ε(x). Pour tous n, k ∈ N, n > 0, on a l'égalité : 1 1 1 1 = f 0 (0) + ε f n+k n+k n+k n+k

2. Pour tout

3.

4.

donc

0

σn (f ) − f (0)Sn =

n X

k=0 on en déduit les inégalités :

1 1 ε . n+k n+k

Comme, pour tout

k > 0,

on a

1 1 6 , n+k n

n 1 1 X 1 n + 1 max ε |σn (f ) − f (0)Sn | 6 ε 6 . n k=0 n+k n 06k6n n + k 1 Comme max ε 6 sup |ε(x)|, cette quantité converge vers 0 lorsque n tend 06k6n 1 n+k x∈[0, n ] vers l'inni (puisque ε est continue et s'annulle en 0). n + k + 1 1 Des égalités log 1+ = log = log (n + k + 1) − log (n + k) on dén+k n+k 0

5.

duit que :

σn (f ) = log (2n + 1) − log (n) = log Comme la fonction logarithme est continue, tend vers l'inni. Ainsi

2n + 1 n

(σn (f ))n>1

1 = log 2 + . n

converge vers log

(2)

lorsque

n

S = log (2).

6. Par les deux questions qui précédent il est immédiat que

lim σn = log (2).

n→∞

f :] − 1, 1[→ R une application continue, dérivable en 0 et telle que f (0) = 0. 0 l'application de ] − 1, 1[ à valeurs dans R telle que f (x) = f (0)x + ε(x). On pose, pour tous n, k ∈ N, n > 0 :

7. Soit

pn X

1 σn (p, f ) = f n+k k=0

et

Sn,p =

pn X k=0

1 . n+k

Soit

ε

355

n, k ∈ N, n > 0

Pour tous

on a l'égalité :

1 1 1 1 0 = f f (0) + ε n+k n+k n+k n+k

pn

1 1 X 1 pn + 1 |σn (p, f ) − f (0)Sn,p | 6 sup ε ε 6 n k=0 n+k n x∈[0, 1 ] n + k 0

n

0 lorsque n tend vers l'inni. la fonction x 7→ log(1 + x), on obtient (comme précédemment) 1 σn (p, f ) = log ((p + 1)n + 1) − log (n) = log 1 + p + n

donc cette diérence converge vers Lorsque

puis que

f

est

lim σn (p, f ) = log (p + 1)

n→∞

3. 4. 5. 6.

Sp = log (p + 1).

1 1 1 ln(cos x) = − x2 − x4 − x6 + o x6 . 2 12 45 1 3 2 5 17 7 tan x = x + x + x + x + o x7 . 3 15 315 1 55 7 1 sin(tan x) = x + x3 − x5 − x + o x7 . 6 40 1008 11 (ln(1 + x))2 = x2 − x3 + x4 + o x4 . 12 1 2 exp(sin x) = 1 + x + x + o x3 . 2 6 6 6 sin x = x + o x .

Correction 1237 2.

c'est à dire

Correction 1239

1.

arctan(x) − sin(x) = −1. x→0 tan(x) − arcsin(x) lim

Correction 1240 1.

2.

3.

4.

5. 6.

7.

1 1 1 ln cos x = − x2 − x4 − x6 + o x7 . 2 12 45 11 2 arctan(x) − x = 2 − x + o x3 . sin(x) − x 10 1 ln(tan(1/2 x + 1/4 π)) = x + x3 + o x4 . 6 √ π π 2 2 π 3 π 3 ln sin x = ln(1/2 2) + x − − x − + x− +o x− . 4 4 3 4 4 √ √ 1 1 3 3 x3 + x − x3 − x = 2/3 + o( 4 ). x x ln(1+x) 1 11 2 7 (1 + x) x = e x = e − 1/2 ex + ex − ex3 + o x3 . 24 16 √ q √ √ 2 x x2 + x4 + 1 − x 2 = 1/8 2 + o(x−5 ). x

Correction 1248

ex − cos(x) − x = 1. x→0 x2 lim

x3 arctan(x) − x4 = 0. x→0 cos(x2 ) − 1 lim

que :

d'où

356

Correction 1262

g est dénie en x sauf si sin(x) = 0 ou x = 0. Son domaine R − {kπ, k ∈ Z}.

1. La fonction

de dénition est donc 2. On peut prolonger

g

en une fonction continue en

0

si et seulement si elle y admet une

limite. Elle est dérivable en ce point si et seulement si elle y admet un développement limité à l'ordre

1.

Toutefois, comme l'énoncé demande la position du graphe de

0,

rapport à sa tangente en l'ordre

2

de

g

en

sin x = x −

par

nous allons calculer directement le développement limité à

0.

Le développement limité en Or

g

0

à l'ordre

x3 x5 + + x5 ε2 (x). 3! 5!

5

Donc

x3 x5 + + x5 ε1 (x). 3 5 x5 13x7 1 sin3 x = x3 − + + x7 ε3 (x) et = 2 120 sin3 x

de

arctan x = x −

1 x2 9x4 (1 + + + x4 ε4 (x)). On en déduit que : x3 2 40 arctan x 1 1 x3 31x5 1 1 31x2 5 − = (x + + + x ε (x)) − = + + x2 ε5 (x). 5 3 2 3 2 (sin x) x x 6 120 x 6 120 1 Ainsi on peut prolonger g en une fonction continue en 0 en posant g(0) = . La fonction 6 obtenue est dérivable en 0 et sa dérivée est nulle. La tangente en 0 à son graphe est la 1 droite d'équation y = . Enn le graphe de g est au-dessus de cette droite au voisinage 6 de 0. Z ∞ −x √ e √ dx est convergente (en fait elle vaut π ). Correction 1280 1. x 0 Z ∞ 2. xx dx est divergente. 1 Z ∞√ x sin(x−1 ) 3. dx est divergente. ln(1 + x) 0 Z 2 √ 1 √ 4. dx = ln(2 + 3). x2 − 1 1 Z ∞ x5 5. dx = 1/12 π . 12 0 x +1 Z ∞ √ 6. e− x dx = 2. Z0 ∞ 1 7. dx = − ln th(1/2). 1 sinh(x)

Correction 1291 Correction 1311

Réponses :

π 2

1 − ln 2, π, (n−1) 2.

1. Oui.

2. Non. Le seul élément qui peut être l'élément neutre est 3. Non.

0

1 qui n'appartient pas à l'ensemble.

n'a pas d'inverse.

4. Oui.

Correction 1314

Le premier ensemble n'est pas un groupe car, par exemple, la matrice 1 2 0 0 2 ne peut avoir pour inverse que qui n'appartient pas à l'ensemble. 0 2 0 12 Notons G = {M ∈ M2 (Z) : det M = 1} et montrons que G est un sous-groupe de Gl(2, R).

la matrice identité appartient à

G.

357

A, B ∈G alors = 1, et donc AB ∈ G. AB ∈ M2 (Z) et det AB = det A ×det B= 1 × 1 a b d −b d −b 1 Si A = (a, b, c, d ∈ Z) alors = appartient à G et est det A c d −c a −c a l'inverse de A. a c Correction 1322 1. L'ensemble G des matrices avec a, b, c, d ∈ R tels que ad−bc 6= b d 0 et a2 −b2 −c2 − d2 6 1 n'est pas un sous-groupe de Gl2 (R) . En eetles deux matrices 1 1 1 0 2 1/2 et appartiennent à G et leur produit n'appartient pas 0 1/2 1 1/2 1/2 1/4 à G. a b ∗ 2. L'ensemble H des matrices avec a ∈ R et b ∈ R est un sous groupe de Gl2 (R). 0 a−1 si

En eet,

Gl (R) appartient à H . 2 a b c d ac ad + bc−1 0 0 - Soient M = et M = deux éléments de H alors M M = 0 a−1 0 c−1 0 (ac)−1 donc le produit de deux éléments de H appartient à H . −1 a b a −b −1 - Soit M = . Alors M = appartient à H . 0 a−1 0 a a c Soit KM l'ensemble des matrices avec a, b, c, d ∈ R tels que ad − bc 6= 0 et a 6 M . b d Nous allons montrer, en raisonnant par l'absurde, qu'il n'existe pas de valeur M ∈ R telle que KM forme un sous-groupe de Gl2 (R). Soit M ∈ R tel que KM forme un sous-groupe de Gl2 (R). Alors I2 appartient à KM donc 1 1 1 1 M > 1. Ainsi, les matrices A = et, pour tout n ∈ N, An = appartiennent n 1 0 1 1+n 0 à Kn donc le produit AAn = appartient à Kn . En conséquence, pour tout 0 1 n ∈ N, on a : 1 + n 6 M , ce qui est absurde. -

I2

élément neutre de

3.

Correction 1323 •

Si

H⊂K

alors

H ∪ K = K,

qui est un sous-groupe de H. Même chose si

K ⊂ H. •

H ∪ K est un sous-groupe de G. Par l'absurde supposons que H 6⊂ K et K 6⊂ H . Alors il existe x ∈ H \ K et y ∈ K \ H . Comme x, y ∈ H ∪ K et que H ∪ K est un groupe alors x.y ∈ H ∪ K . Donc x.y ∈ H ou x.y ∈ K . Par exemple supposons x.y ∈ H alors comme x ∈ H , x−1 ∈ H et donc comme H est un groupe x−1 .x.y ∈ H et donc y ∈ H . Ce qui est en contradiction avec l'hypothèse y ∈ K \ H . En conclusion, parmi les sous-groupes H, K l'un est inclus dans l'autre. Réciproquement, supposons que

Correction 1326

Soit

Correction 1336

Notons

G = ha, bi, tout élément g de G S'écrit g = aα1 bβ1 aα2 bβ2 . . . aαn bβn avec αi , βi ∈ Z. Si h ∈ hai ∩ hbi, alors en particulier h ∈ hai et h = aµ avec µ ∈ Z, donc h commute α α µ α +µ avec a i pour tout αi dans Z (en eet a i a = a i = aµ aαi . De même h ∈ hbi donc h s'écrit β α β ν β α également h = b (ν ∈ Z) et h commute avec b i . Donc hg = (ha 1 )b 1 . . . = (a 1 h)b 1 . . . = aα1 (hbβ1 ) . . . = aα1 (bβ1 h) . . . = · · · Finalement hg = aα1 bβ1 . . . aαn bβn h = gh. Ainsi h commute avec tout élément de G et appartient ainsi au centre de G. G l'ensemble des éléments d'ordre ni de H . Montrons que G est un

H. G ⊂ H et 0 ∈ G. Si x ∈ G alors (−x) + (−x) + · · · + (−x) = −(x + x + · · · + x) = 0.

sous-groupe de

Donc

−x ∈ G.

358

x, y ∈ G x + y ∈ G.

Si

alors

(x + y) + · · · + (x + y) = (x + · · · + x) + (y + · · · + y) = 0 + 0 = 0.

Nous venons de montrer que alors

G

G


H.

De plus comme

H

Donc

est commutatif

l'est aussi !

0 1 1 0 Correction 1337 1. La matrice est d'ordre 2. La matrice n'est pas d'ordre 1 0 0 2 n 1 0 1 0 1 0 ni puisque, pour tout n ∈ N : = 6= . 0 2 0 2n 0 1 2. Notons eG et eH les éléments neutres respectifs de G et de H . Soit g un élément de G d'ordre n. n n - Alors ϕ(g) = ϕ(g ) = ϕ(eG ) = eH . Donc ϕ(g) est d'ordre inférieur ou égal à n, ordre de g . - Supposons ϕ injectif et ϕ(g) d'ordre strictement inférieur à n, c'est à dire qu'il existe p < n tel que : ϕ(g)p = eH . Alors ϕ(g p ) = eH donc, puisque ϕ est injectif et ϕ(eG ) = eH , p on a aussi : g = eG , ce qui est impossible puisque l'ordre de g est n. G un groupe ni. Supposons qu'il existe dans G un élément k n'étant pas d'ordre ni. Comme G est un groupe, on peut considérer X = {g k ∈ N}. i j i j j−i Or, pour i 6= j : g 6= g . En eet, supposons i < j . Si g = g alors g = eG et g est

3. Raisonnons par l'absurde : Soit

g

d'ordre inférieur ou égal à inni.

G

j − i,

donc ni, ce qui est impossible.

X

est donc un ensemble

contient un ensemble inni donc est inni, ce qui est absurde, donc

g

ne peut

être que d'ordre ni.

Correction 1340

Rappelons d'abord que pour

x

un élément d'ordre

n,

alors

xq = e =⇒ n|q. n 2 p 2 2 n est pair alors ord(x ) = n/2 : en eet (x ) 2 = x = e et pour p > 1 tel que (x ) = e 2p alors x = e et n|2p donc p > n2 . Donc n/2 est le plus petit des entiers q (non nul) tel que q x = e et par conséquent n/2 est l'ordre de x. 2 n n 2 2 p Si n est impair alors ord(x) = n. Tout d'abord (x ) = (x ) = e et pour p tel que (x ) = e Si

n

alors

n|2p

particulier

2 et n p > n.

mais

Correction 1341

2.

sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss,

n|p

et en

(xy)mn = xmn y mn = (xm )n (y n )m = e.e = e. Soit p tel que (xy)p = e, alors e = (xy)mp = xmp y mp = y mp , et donc mp est divisible par l'ordre de y , c'est-à-dire n. Comme m et n sont premiers entre eux alors d'après le théorème de Gauss n divise p. Un raisonnement semblable à partir de (xy)np = e conduit à : m divise p. Finalement m|p et n|p donc mn|p car m et n sont premiers entre eux. Voici un contre exemple dans le cas où m et n ne sont pas premiers entre eux : dans le groupe Z/12Z : ¯ 2 est d'ordre 6, ¯4 est d'ordre 3, mais ¯2 + ¯4 = ¯6 est d'ordre 2 6= 3 × 6. 1 n n A est d'ordre 4, B est d'ordre 3, (AB) = n'est jamais la matrice identité pout 0 1 n > 1.

Correction 1342

1. Déjà

(Q, +) est engendré par un seul élément pq (p p p et q premiers entre eux) alors tout élément de Q s'écrit n avec n ∈ Z. Il s'ensuit que (qui q 2q p appartient à Q) doit s'écrire n , mais alors 2n = 1 avec n ∈ Z ce qui est impossible. Conclusion q (Q, +) n'est pas monogène. Par l'absurde supposons que

359

Correction 1343 f

vérie

f (0) = 0.

Soit

f : (Z, +) −→ (Z, +) un morphisme de groupe. Comme tout morphisme a = f (1). Alors

Notons

f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = a + a = 2.a. De même, pour

n>0

:

f (n) = f (1 + · · · + 1) = f (1) + · · · + f (1) = n.f (1) = n.a. Enn comme

0 = f (0) = f (1 + (−1)) = f (1) + f (−1) = a + f (−1), alors

f (−1) = −a

et pour tout

n∈Z

:

f (n) = n.a. Donc tous les morphisme sont de la forme Un morphisme

n 7→ n.a

n 7→ n.a,

avec

est injectif si et seulement si

a ∈ Z.

a 6= 0,

et surjectif si et seulement si

n = ±1.

Correction 1345 f : (R, +) −→ (C∗ , ×) x 7→ eix

Vérions que

f

est un morphisme de groupe. Soit

x, y ∈ R,

alors

f (x + y) = ei(x+y) = eix eiy = f (x) × f (y), et

f (x−1 ) = ei(−x) = Donc

f

est un morphisme de groupe.

Montrons que Ker f

1 = f (x)−1 . eix

f

n'est pas injective en prouvant que le noyau n'est pas réduit à

= {x ∈ R

tels que

f (x) = 1} = x ∈ R

tels que

0

:

eix = 1 = {x = 0 + 2kπ, k ∈ Z} .

Enn Im f est l'ensemble des complexes de module

Correction 1354

Soit

Correction 1386

Soit

= y ∈ C∗ , y = eix 1,

c'est-à-dire le cercle de centre

0

et de rayon

1.

φ : C∗ −→ R∗ un morphisme entre les deux groupes multiplicatifs C∗ et R . Notons a = φ(i) ∈ R∗ . Alors φ(−1) = φ(i2 ) = φ(i)2 = a2 , de même 1 = φ(1) = φ((−1)2 ) = φ(−1)2 = a4 ; donc a4 = 1 et nécessairement a2 = 1. Le morphisme φ n'est pas injectif car φ(1) = φ(−1) = 1, a fortiori φ n'est pas un isomorphisme. ∗

x 6= e un élément de G, soit H = {e, x, x2 , . . . } le sous-groupe engendré par x. H est un sous-groupe de G donc Card H divise Card G = p qui un nombre premier. En conséquent Card H = 1 ou p mais H 6= {e} donc Card H = p et H = G. Nous venons de montrer que G est engendré par x donc G est cyclique, de plus le raisonnement est valide quelque soit x 6= e alors tout élément de G \ {e} est un générateur de G.

360

Correction 1387

0 est un sous-groupe de H donc Card H ∩ H divise Card H = p. 0 0 0 Or p est premier donc Card H ∩ H = 1 ou p. Mais H ∩ H 6= H donc Card H ∩ H 6= p 0 et donc H ∩ H = {e}. 1.

H ∩ H0

E l'ensemble des éléments d'ordre p que l'on suppose non vide. Notons que pour x ∈ E le sous-groupe Hx engendré par x est d'ordre p et de plus tout z ∈ Hx \ {e} est d'ordre p car Hx est cyclique et p est premier. Donc Hx contient p − 1 élément d'ordre p. Si E ne contient qu'un seule élément x alors E = Hx \ {e} et donc E contienet p − 1

2. Soit

éléments. Sinon, soit

E

x, y ∈ E

avec

x 6= y .

se décompose en une union disjointe de

Hx \ {e}.

Correction 1389 G

Donc

G x2 = e et donc x−1 = x. Soit mainte= (xy)−1 et par suite xy = y −1 x−1 = yx éléments quelconques de G commute donc

1. Notons d'abord que pour x ∈ G. Alors xy ∈ G et (xy)2 = e donc xy

x, y ∈ x et y sont

nant car

Hx ∩ Hy = {e}. Donc Card E est multiple de p − 1.

Alors d'après la première question

d'ordre

2.

Le produit de deux

est commutatif.

2. Notons

E

l'ensemble des éléments d'ordre

E = {x ∈ G / x2 = e

et

2.

x 6= e} = {x ∈ G / x = x−1

et

x 6= e}.

Par l'absurde supposons que H est l'ensemble vide. Alors quelque soit x 6= e dans G x 6= x−1 . Donc nous pouvons décomposer G\{e} en deux ensembles disjoints F = {x1 , . . . , xn } 0 −1 et F = {x1 , . . . , xn −1 } qui sont de même cardinal n. Donc le cardinal de G est 2n + 1 (le

+1

provient de l'élément neutre). Ce qui contredit l'hypothèse

Correction 1412

2.

G

d'orde pair .

|Sn | = n! donc |S3 | = 3! = 6. Montrons plus généralement qu'il n'existe pas d'élément d'ordre n! dans Sn (n > 3). Par l'absurde soit α un tel élément. Alors par hypothèse Sn est engendré par α et donc Sn est un groupe commutatif. Mais (1, 2)(2, 3) 6= (2, 3)(1, 2) ce qui est absurde. En conclusion il n'existe pas d'éléments d'ordre 6. Explicitons S3 : S3 = id; τ1 = (1, 2); τ2 = (2, 3); τ3 = (1, 3); σ1 = (1, 2, 3); σ2 = σ1−1 = (3, 2, 1) . 1.

Remarquons

2 sont de la forme {id; τ } avec τ 2 = id. Les seuls éléments d'ordre 2 sont les transpositions et donc se sont les groupes {id; (1, 2)},{ id ; (1,3) }, {id; (2, 3)}. 2 2 −1 Les sous-groupes d'ordre trois sont de la forme {id, σ, σ } avec σ = σ . Et donc le seul sous-groupe d'ordre 3 est {id; (1, 2, 3); (3, 2, 1)}. Les sous-groupes de S3 ont un ordre qui divise |S3 | = 6. Donc un sous-groupe peutêtre d'ordre 1, 2, 3 ou 6. L'unique sous-groupe d'ordre 1 est {id}, et l'unique sous-groupe d'ordre 6 est S3 . Les sous-groupes d'ordre 2 et 3 ont étés donnés à la question précédente. Les sous-groupes d'ordre

3.

Correction 1418

2.

σ = (1, 3)(2, 7, 9, 5) = (2, 7, 9, 5)(1, 3) et σ k = (1, 3)k (2, 7, 9, 5)k . Les k k transpositions sont d'ordre 2 donc (1, 3) = id si k ≡ 0( mod 2) et (1, 3) = (1, 3) si k k ≡ 1( mod 2). Le cycle (2, 7, 9, 5) est d'ordre 4, et (2, 7, 9, 5) est respectivement égale à id, (2, 7, 9, 5), (2, 9)(7, 5), (5, 9, 7, 2) si k est respectivement congru à 0, 1, 2, 3 modulo 4. k Le calcul de σ donne donc id , (1, 3)(2, 7, 9, 5), (2, 9)(7, 5) ou (1, 3)(5, 9, 7, 2) selon que k est congru à 0, 1, 2 ou 3 modulo 4. L'écriture de ϕ = (10, 3, 4, 1)(8, 7)(4, 7)(5, 6)(2, 6)(2, 9) est une décomposition en produit de cycles mais ils ne sont pas à supports disjoints. Écrivons ϕ sous la forme : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 φ= 10 9 4 8 6 2 1 7 5 3 1.

361

ϕ = (1, 10, 3, 4, 8, 7)(2, 9, 5, 6) = (2, 9, 5, 6)(1, 10, 3, 4, 8, 7). Le calcul ϕ = (1, 10, 3, 4, 8, 7)k (2, 9, 5, 6)k est similaire au calcul précédent (selon k( mod 12) )

Ce qui se décompose k

de

Correction 1426 Sn+2 Sn+2

notons

1.

τ

SN

{1, 2, . . . , N }. Dans application φ : Sn −→

est l'ensemble des permutations de l'ensemble

la permutation

(n + 1, n + 2).

Nous dénissons une

par les relations

φ(σ) = σ

si

φ(σ) = σ ◦ τ

ε(σ) = +1 ;

sinon ;

ε désigne la signature. Alors φ est un morphisme de groupe, de plus quelque soit σ ∈ Sn ε(φ(σ)) = +1 (si ε(σ) = +1 c'est clair, sinon ε(φ(σ)) = ε(σ) × ε(τ ) = (−1) × (−1) = +1). Donc φ(Sn ) est un sous-groupe de An+2 . Enn φ est injective : en eet soit σ tel que φ(σ) = id. Soit ε(σ) = +1 et alors φ(σ) = σ = id ; soit ε(σ) = −1 et alors φ(σ) = σ ◦ τ , pour j ∈ {1, 2, . . . , n} j = φ(σ)(j) = σ ◦ τ (j) = σ(j), et donc quelque soit j ∈ {1, 2, . . . , n} σ(j) = j et donc σ = id. On vient

où

alors

de démontrer que la composée de deux permutations à supports disjoint est l'identité si et seulement si les permutations sont déjà l'identité !

φ : Sn −→ φ(Sn ) le morphisme induit par φ. Il est injectif et surjectif, donc isomorphe φ(Sn ) qui est un sous-groupe de An+2 .

Notons encore

2.

Sn

est

A5

est de cardinal

5!/2 = 60, 24.

et comme

24 =

Card S4 ne divise pas

60

alors

A5

n'a pas

de sous-groupe d'ordre

3. C'est un peu plus délicat car Card

S5 = 5! = 120

divise Card

A6 = 6!/2 = 360

l'argument ci-dessus n'est pas valide. Cependant s'il existe un isomorphisme entre un sous-groupe de

σ ∈ A6

alors un cycle d'ordre

5

de

S5

et

est envoyé sur une permutation

d'ordre

Décomposons cycles

5. σ en

A6

donc

S5

σi

produit de cycles à supports disjoints,

σ = σ1 ◦ σ2 ◦ · · · . Comme les > 2) dans la

sont à supports disjoints, il y a au plus trois cycles (de longueur

décomposition (car dans

A6

on peut permuter au plus

6

éléments).

σ = σ1 n'est pas possible car alors σ1 serait un cycle d'ordre 5 et donc de −1 dans A6 . Si σ = σ1 ◦ σ2 alors les longueurs de σ1 et σ2 sont (4, 2) ou (2, 2), et l'ordre de leur composée σ1 ◦ σ2 est donc 4 ou 2 mais pas 5. Si σ = σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 alors les σi sont des transpositions, et la signature de σ est alors −1 ce qui contredit σ ∈ A6 .

Le cas

signature

Correction 1428 HK = {hk /h ∈ H, k ∈ K}. φ : H × K → HK

φ(h, k) = hk . Montrons que φ est bijective : φ 0 0 0 0 est surjective par dénition de HK et si φ(h, k) = φ(h , k ) alors hk = h k et donc 0 0 −1 0 −1 0 −1 h h = k k or H ∩ K = {eG } et donc h h = eG et donc h = h , de même k = k 0 et donc φ est injective. Comme φ est bijective Card H × K = Card HK et donc Card HK = Card H.Card K .

1. Soit

dénie par

H et K distincts et d'ordre p. Montrons d'abord H ∩ K = {eG }. En eet H ∩ K est un sous-groupe de H et donc le cardinal de H ∩ K divise Card H = p avec p premier. Or comme H 6= K alors H ∩ K 6= H et donc Card H ∩ K = 1, c'est ce que nous voulions démontrer. 2 Maintenant d'après la première question HK est un sous-groupe de cardinal p dans le 2 groupe G de cardinal pq < p . Donc il ne peut exister deux sous-groupe d'ordre p. Supposons maintenant que H soit un sous-groupe d'ordre p, c'est donc l'unique sousgroupe d'ordre p d'après ce que nous venons de démontrer. Pour g ∈ G le sous-groupe

2. Supposons qu'il existe deux sous-groupes que

362

gHg −1 est du même ordre que H (car pour g xé le morphisme θg de G dans G, θg (h) = ghg −1 est un automorphisme et en particulier un biction donc Card θg (H) = Card H ). −1 Par conséquent gHg = H et donc H est un sous-groupe distingué.

Correction 1435 Card G

G

Soit

∈ {1, 2, 4, 8}.

sous-groupe de

De plus si

le sous-groupe engendré par

n ¯

G

Z/8Z,

alors Card

contient la classe

qui est

n ¯

car alors

Z/8Z

G

d'un nombre

n

et

8

Z/8Z = 8. Donc impair, alors G contient

divise Card

sont premiers entre eux, donc

G = Z/8Z. Étude des cas. Si Card

G=8

alors

G = Z/8Z.

Si Card G

=4

alors

G

ne peut contenir que des

4 classes ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ d'entiers pairs alors G = {0, 2, 4, 6}. Si Card G = 2 alors G = {0, x} et x est un élément d'ordre 2, le seul élément d'ordre 2 de Z/8Z est ¯4. Donc G = {¯0, ¯4}. Enn si Card G = 1 alors G = {¯0}. classes d'entiers pairs d'après la remarque précédente, mais comme il y a exactement

Correction 1438

La relation d'équivalence associée au quotient

R∗ /R∗+

est :

x ∼ y ⇔ xy −1 > 0. x > 0 alors x ∼ +1 car x(1)−1 > 0 (en fait x est équivalent à n'importe quel réel strictement −1 positif ) ; si x < 0 alors x ∼ −1 car x(−1) > 0, enn −1 et +1 ne sont pas équivalents. Il y a ∗ ∗ donc deux classes d'équivalence : R /R+ = {+1, −1}. ∗ ∗ L'application φ : R /R+ −→ Z/2Z dénie par φ(+1) = ˜ 0 et φ(−1) = ˜1 est un isomorphisme Si

entre les deux groupes.

Correction 1442

x ∈ G et y ∈ D(G), xyx−1 ∈ D(G). Comy un générateur de D(G). Si y = ghg −1 h−1 avec g, h ∈ G.

1. Il faut montrer que pour

mençons par montrer ceci pour Nous remarquons que :

xyx−1 = xghx−1 (gh)−1 qui est un produit d'éléments de Soit maintenant

y

D(G).

ghg −1 h−1

hgx(hg)−1 x−1

xyx−1 est un élément de D(G). de D(G), alors il s'écrit comme produit

Donc

un élément quelconque

de

générateurs :

y = y1 y2 . . . yn ,

avec

yi = gi hi gi−1 h−1 i .

xyx−1 = (xy1 x−1 )(xy2 x−1 ) . . . (xyn x−1 ). Chaque xyi x−1 xyx−1 . Donc D(G) est un sous-groupe distingué de G.

Écrivons donc

2. Soit α, β −1 −1

aba b

αβα−1 β −1 = ε,

−1

Et

que

= αβα−1 β −1 .

αβ = βα. Et ceci quelque soit α H est un sous-groupe distingué.

autrement dit

est commutatif. Généralisation : si

•

D(G).

∈ G/D(G), alors il existe a, b ∈ G tels que a = α et b = β . Nous savons ∈ D(G) et donc aba−1 b−1 = ε où ε est l'élément neutre de G/D(G). Mais aba−1 b−1 = aba−1 b−1 = aba−1 b

Donc

appartient à

et

β,

donc

G/D(G)

D(G) ⊂ H alors G/D(G) est un sous-groupe de G/H donc G/H est commutatif car G/D(G) l'est. • Si G/H est commutatif alors pour g, h ∈ G la classe de ghg −1 h−1 dans G/H vérie : Si

ghg −1 h−1 = ghg −1 h−1 = gg −1 hh−1 = ε. Mais les éléments dont la classe dans G/H est l'élément neutre sont exactement les −1 −1 éléments de H . Donc ghg h appartient à H . Ainsi tous les générateurs de D(G) sont dans

H

et donc

D(G) ⊂ H .

363

Correction 1446

Notons

C8 = I

1. Un calcul donne

8.

est d'ordre

C = AB =

√1 2

1 1 . −1 1

1 6 k 6 7, C k 6= I . Donc le groupe H engendré par C 2 2 2 si A = I et B = I on a (AB) 6= I car AB 6= BA.

et pour

Attention ! même

−1 −1 2. Pour montrer que H est distingué il sut de montrer que ACA et BCB sont dans −1 −1 −1 H . Mais ACA = ACA = AABA = BA = (AB) ∈ H . De même BCB = (AB)−1 . Donc

H

est distingué dans

M

Un élément

de

G

H.

s'écrit

M = Aa1 B b1 Aa2 . . . Aan B bn

ai , bi ∈ Z. 2

mais

3

2

3

G/H tout terme AB ou BA vaut I Donc G/H = {I, A, A , A , . . . , B, B , B , . . . } 2 2 comme A = B = I et AB ∈ H alors G/H s'écrit simplement : G/H = I, A .

Mais dans

Enn, par la formule

Correction 1447

|G| = |H| × |G/H|

nous obtenons

|G| = 8 × 2 = 16.

f ((x, y) + (x0 , y 0 )) = f (x + x0 , y + y 0 ) = 3(x + x0 ) + 6(y + y 0 ) = 3x + 6y + 3x + 6y = f (x, y) + f (x0 , y 0 ).

(b)

1. 0

(a)

0

Ker f = {(x, y); f (x, y) = 0} = {(x, y); 3x + 6y = 0} = {(x, y); x = −2y} = {(−2k, k); k ∈ Z}. Si Ker f = pZ × qZ alors f (p, 0) = 0 donc 3p = 0 soit p = 0. De même f (0, q) = 0 implique q = 0 et alors Ker f = {(0, 0)}, ceci contredit le fait que f (−2, 1) = 0. f : Z2 −→ 3Z dénit par passage au quotient 2 par le noyau un morphisme injectif f¯ : Z / Ker f −→ 3Z (c'est le théorème de factorisation). De plus comme f est surjectif alors f¯ l'est aussi. Ainsi f¯ est un 2 2 isomorphisme entre Z / Ker f = Z /(−2, 1)Z et 3Z.

(c) On a

f (Z2 ) = 3Z,

le morphisme

g : Z2 −→ Z/2Z × Z/2Z par g(x, y) = (¯ x, y¯) où n ¯ désigne Z/2Z. Le noyau de g est 2Z × 2Z = h(2, 0); (0, 2)i = G. Le passage noyau dénit l'isomorphisme g ¯ cherché.

2. Dénissons

Correction 1554 x=

−k k+1

la classe de

n

dans

au quotient par le

< uk (x), a >= k < x, a >< a, a > + < x, a >= (k + 1) < x, a > donc < uk (x), a > a + uk (x). On en déduit que uk est inversible, et que u−1 k = u −k . 1.

k+1

2. L'adjoint d'un endomorphisme u est l'unique endomorphisme v qui satisfait : ∀(x, y) ∈ E 2 , < u(x), y >=< x, u(y) >. Or < uk (x), y >= k < x, a >< y, a > + < x, y >=<

x, uk (y) >.

Donc

uk

est égal à son adjoint.

uk est orthogonal, on doit avoir kuk (a)k = kak = 1, soit |k + 1| = 1. Ainsi k = 0 ou k = −2. −1 t Pour k = 0, uk = id est bien orthogonal. Pour k = −2, u−2 = u −2 = u−2 = u−2 . Donc −2+1 u−2 est bien orthogonal. Il s'agit de la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan {a}⊥

3. Si

k = 0, 1 est la seule valeur propre et E1 = E ⊥ Si k 6= 1, ∀x ∈ {a} , uk (x) = x donc 1 est valeur propre de multiplicité au moins n − 1. De plus uk (a) = (k + 1)a donc (k + 1) est valeur propre. Finalement, 1 est valeur propre ⊥ de multiplicité exactement n − 1, avec pour espace propre {a} , et k + 1 est valeur propre simple avec espace propre Ra.

4. Si

364

Correction 1579

Soit

u

un endomorphisme d'un espace vectoriel

le polynôme caractéristiaque de Preuve si

χu

u

est scindé à racines  simples :

λ1

B

dans laquelle

 M atB (u) = 

∀i ∈ {1, . . . , n}

Et comme

Correction 1611

on a

E

de dimension nie, alors

est aussi un polynôme annulateur de

..

.

λn χu (λi ) = 0,

u est   .

u.

alors diagonalisable et  il existe donc une base

Alors

χu (λ1 )  M atB (χu (u)) = 

on en déduit que

..

.

 . χu (λn )

χu (u) = 0.

(v, w) ∈ Com, (λ, µ) ∈ R2 . u(λv + µw) = λuv + µuw = λvu + µwu = (λv + µw)u. Donc Com est un sous espace vectoriel de L(E, E).

2. Soit

1. Soit

x ∈ Eλ . u(v(x)) = uv(x) = vu(x) = v(λx) = λv(x)

donc

v(x) ∈ Eλ .

3. Chaque valeur propre est de multiplicité 1 donc chaque espace propre est de dimension 1. Ainsi, si

x ∈ Eλ \ {0}, Eλ = Rx. v.

Comme

v(x) ∈ Eλ , ∃α ∈ R, v(x) = αx.

Donc

x

est un

vecteur propre de

(e1 , ..., en ) une base de vecteurs propres de u. C'est aussi une base de vecteurs propres Com. Tout élément de Com est donc représenté par une matrice diagonale dans (e1 , ..., en ). Réciproquement, tout endomorphisme représenté dans cette base par une matrice diagonale commute avec u. Donc   α1   .. Com = {v ∈ L(E, E), ∃(α1 , ..., αn ) ∈ Rn , Mv/(e1 ,...,en ) =  } . αn

4. Soit

pour tout élément de

On en déduit que 5.

6.

Com

est de dimension

n.

u ui = u(u · · · u) = (u · · · u)u = ui u. Donc ∀i ∈ {0, ..., n−1}, ui ∈ Com. Ainsi Vect(id, u, ..., un−1 ) ⊂ Com. P P P i i i i Soit xk ∈ Eλk \ {0}. u (x) = λk x. Donc ( α u )x = α u (x) = ( αi λik )x = 0. Donc i i P ∀k ∈ {1, ..., n}, αi λik = 0. (∗) est non nul. Il s'agit donc d'un système de Cramer : il n'a α0 = ... = αn−1 = 0. La famille (id, u, ..., un−1 ) est donc libre.

7. Le déterminent du système qu'une solution, 8. On a

dim Vect(id, u, ..., un−1 ) = n = dim Com et Vect(id, u, ..., un−1 ) ⊂ Com donc Vect(id, u, ..., un−

Com

Correction 1635 χA = (−1 − X)(2 − X)2 . Donc A est diagonalisable ssi dim ker(A − 2I) = 2. rg(A − 2I) = 2, donc dim ker(A − 2I) = 1 donc A n'est pas diagonalisable. est scindé sur R donc A est triangularisable sur R. x n 4x+2y+4z=0 1 x+z=0 y −x+4y−z=0 ⇔ 0 ∈ ker(A + I) ⇔ donc ker(A + I) = R y=0 z −1 Or

Cependant,

χA

−2x−y−2z=0

De même, x y ∈ ker(A z

x+2y+4z=0 −x+y−z=0 −2x−y−5z=0

2 1 ker(A + I) = R −1 2 2 1 On sait que ker((A − 2I) ) est de dimension 2, et que ∈ ker(A − 2I) ⊂ ker((A − 2I)2 ). −1 2 2 1 On cherche donc un deuxième vecteur dans ker((A − 2I) ), linéairement indépendant de . −9 0 −18 2 2 −1 0 0 0 3 1 1 (A − 2I)2 = 0 0 0 donc convient. De plus : A 1 = −1 = −1 +2 1 . 0 0 0 9 0 18 −1 0 0 1 2 0 −1 0 1 1 , on obtient P Donc en posant P = AP = 0 2 1 . −1 −1 0 − 2I) ⇔

n

⇔

x=2y

z=−y donc

0 0 2

365

Correction 1636

P = X 3 − X = (X − 1)(X + 1)X est un polynôme annulateur de A. Il s'agit d'un poynôme scindé à racine simples donc A est diagonalisable. Les valeurs propres de A sont des racines de P donc Sp(A) ⊂ {0, 1, −1}. On a rg A = 2 donc 0 est valeur propre de multiplicité 2. La résolution de système (A + I)X = 0 montre que 1 1 ker(A + I) = R −1 , donc −1 est valeur propre de multiplicité 1 donc 1 est nécessairement On a

A3 = A ,

donc

−1 valeur propre de multiplicité 1 : on en déduit que

Correction 1641 2.

A est triangulaire inférieure donc ses valeurs sont ses coecients diagonaux : 1, 2 et 3. A a trois valeurs propres distinctes donc A est diagonalisable.   3 −2 1 χB = −(X − 1)(X + 1)2 . B + I =  3 −2 1, donc rg(B + I) = 2, dim(ker B + I) = −1 2 1 1 < 2 donc B n'est pas diagonalisable.   −2 2 1 χB (B) = 0 donc B(B 2 + B − I) = I , soit B −1 = B 2 + B − I = −1 1 1. 3 −2 0 1.

Correction 1642 2.

3.

χA = X 2 (X − 1)(X + 1).

t A = A donc A est diagonalisable dans une base orthonormée.     1 1 1 −1 0 0 0 , P −1 AP =  0 2 0. Par exemple : P = 1 −1 1 0 −1 0 0 2 √ √   √   1/√3 1/ √2 1/√6 −1 0 0 Q = 1/√3 −1/ 2 1/ √6 , Q−1 AQ =  0 2 0 et t Q = Q−1 0 0 2 1/ 3 0 −2/ 6

Correction 1672

1.

tra

= trA = −1, det a = det A = −6

Pa (X) = X 2 − trX + det a = X 2 + X − 6 = (X − 2)(X + 3). Donc le spectre est cours,

a

{2, −3},

il est de taille 2 comme l'espace est de dimension 2. D'après le

est diagonalisable et les espaces propres de dimension 1. L'espace propre associé à la

valeur propre 2 est l'ensemble des

f~1 = (2, 1)

tels que

7x − 10y = 2x

ou

x = 2y.

On peut prendre

pour base de cet espace propre. L'espace propre associé à la valeur propre

f~2 = (1, 1)

−3

7x − 10y = −3x ou x = y. On peut prendre pour ~ ~ espace propre. Alors si f = (f1 , f2 ) on a 2 1 1 −1 2 0 f e −1 f , P = [idE ]e = , D = [a]f = . P = [idE ]f = −1 2 0 −3 1 1

l'ensemble des de cet

(x, y)

(x, y)

base

250 0 2.250 − (−3)50 −2.250 + 2.(−3)50 50 50 e 50 −1 D = = , A = [a ]e = P D P = 0 (−3)50 250 − (−3)50 −250 + 2.(−3)50 0 0 −1 2 1 1 2n f 2n e −1 . Donc limn∞ 2n [a ]f = L = , et limn∞ 32n [a ]e = P LP = 3 0 1 −1 2 P Correction 1673 Si X = (xij )16i,j6n ∈ F, il est clair que X = 16i,j6n xij Fij . C'est donc P une famille génératrice. Elle est indépendante, car si 16i,j6n xij Fij est la matrice nulle, cela 2 implique que xij = 0 pour tous i et j. C'est donc une base de F . Elle est de taille n , donc F 2 est de dimension n . Ensuite, si D = diag(d1 , . . . , dn ) et si X = (xij )16i,j6n alors le coecient (i, j) de la matrice Φ(X) = αXD + βDX est (αdj + βdi )xij . Donc Φ(Fij ) = (αdj + βdi )Fij , 50

[a50 ]ff

tels que

est

366

Fij

Φ pour la valeur propre αdj + βdi . L'espace Φ. D'après le cours, cela entraîne que Φ est diagonalisable. Si on le représente dans la base de vecteurs propres, le déterminant de Φ est Qn Qn donc le produit des éléments diagonaux, c'est à dire det Φ = i=1 j=1 (αdj + βdi ). Plus Qn Qn généralement det(Φ − λidF ) = (αd + βd − λ). j i i=1 j=1 ce qui est dire que

F

Correction 1674 Si

est un vecteur propre de

admet donc une base de vecteurs propres de

n >

sin 2θ sin 3θ 2 et D2 = 4 cos θ − 1 = . sin θ sin θ 2, développons Dn par rapport à la dernière ligne, en recommencant encore une fois Notons

Dn = det B.

Alors

D1 = 2 cos θ =

n − 1 obtenus. On obtient Dn = 2 cos θDn−1 − Dn−2 . Faisons sin(k+1)θ l'hypothèse de récurrence que Dk = pour k < n. On a vu que c'est vrai pour k = 1 sin θ 2 cos θ sin nθ et 2. Alors par des identités trigonométriques classiques Dn = − sin(n−1)θ = sin(n+1)θ , sin θ sin θ sin θ et la récurrence est étendue. Puisque sin x = 0 ⇔ il existe un entier relatif k tel que x = kπ kπ alors Dn = 0 si et seulement si il existe k = 1, 2, . . . , n tel que θ = les autres valeurs de n+1 k étant exclues car 0 < θ < π. Par dénition de PA on a PA (−2 cos θ) = Dn = sin(n+1)θ qui sin θ kπ s'annule pour les n nombres distincts −2 cos , k = 1, 2, . . . , n qui sont nécessairement toutes n+1 kπ kπ les valeurs propres de A. Les valeurs propres de 2In +A sont donc 2−2 cos = 4 sin2 2n+2 > 0. n+1 Le spectre de 2In − A est le même. PN PN PN i Correction 1702 1. u i=1 αi xi = i=1 αi u(u (x0 )) = i=1 αi xi+1 . Donc ∀x ∈ F, u(x) ∈ F. Pk 2. Si à un rang k , xk+1 est une combinaison linéaire des xi pour i 6 k : xk+1 = i=0 ai xi . On Pk en déduit que xk+2 = i=0 ai xi+1 , et donc que xk+2 ∈ V ect(x1 , . . . , xk+1 ) ⊂ V ect(x0 , . . . , xk ), et par récurrence, on obtient nalement que ∀p > k, xp ∈ V ect(x0 , . . . , xk ). On en déduit que le rang de la famille {x0 , . . . , xm }, est strictement croissant avec m puis éventuellement constant à partir d'un certain rang. Comme E est de dimension nie n, on en déduit que ce rang est constant à partir d'un rang k 6 n : la famille (x0 , . . . , xk ) est alors libre, et xk+1 est une combinaison linéaire de (x0 , . . . , xk ). Pk P k+1 3. xk+1 − (x0 ) − ki=0 ai ui (x0 ) = 0 donc P0 (u)(x0 ) = 0. i=0 ai xi = u PN PN i i 4. Si x ∈ F alors x = i=0 αi u (x0 ). En posant P = i=0 αi X , on a x = P (u)(x0 ). avec un des déterminants d'ordre

P = QPP 0 + R la division euclidienne de P par P0 , alors deg(R) < deg(P0 ) = k + 1. k i Notons R = i=0 ri X . On a x = P (u)(x0 ) = Q(u)P0 (u)(x0 ) + R(u)(x0 ) = R(u)(x0 )

5. Soit

6. La famille

(x0 , . . . , xk )

7. La matrice de

u |F

est donc libre et génératrice dans

F

: c'est une base.

dans cette base est la matrice compagnon associée au polynôme

P0 ,

et

χu|F = P0 . 8. On choisit un vecteur

y ∈ E \ F,

et on recommence le même travail avec ce vecteur, et

on continue ainsi jusqu'à avoir obtenu une base de tout l'espace. La matrice de

u

dans la

base nale est alors du type demandé.

Correction 1710

Soit

A=

1 1 0 0 1 1 1 0 1

.

χA = (2 − X)(ω − X)(¯ ω − X)

sur

donc

A

est diagonalisable

C. 1 ker(A − 2I) = C 1 1 x n (1−ω)x+y=0 1 y=(ω−1)x y=ω2 x y (1−ω)y+z=0 ⇔ ω2 ∈ ker(A − ωI) ⇔ ⇔ donc ker(A − ωI) = C 2 z=(ω−1) x z=ω 4 x z ω4 (1−ω)z+x=0 1 On en déduit que ker(A − ω ¯ I) = C ω¯ 24 ω ¯ 1 1 1 1 0 0 −1 2 2 1 ω ω ¯ 0 ω 0 Ainsi en posant P = on obtient P AP = 4 4 1 ω ω ¯

0 0 ω ¯

367 On en déduit que les solutions sont les suites de la forme

n xn = a+b

ωn

ω ¯n

+c yn = a+b ω n+2 +c ω ¯ n+2 où n+4 zn = a+b ω +c ω ¯ n+4

a, b, c sont n a+b+c

xn yn zn

= P

1

0 0 0 ωn 0 0 0 ω ¯n

a b c

soit :

trois complexes.

=2 a+bω 2 +c¯ ω 2 =1 on obtient la solution particulière cherchée : c'est la 4 4 a+bω +c¯ ω =1 4/3, b = c = 1/3.

En résolvant le système

a=  x = 4/3 + 2/3 cos(nπ/3)  n yn = 4/3 + 2/3 cos((n + 2)π/3)  zn = 4/3 + 2/3 cos((n + 4)π/3) solution associée à

Correction 1712

A t A = (a2 + b2 + c2 + d2 )id. Ainsi det A ∗ det t A = (det A)2 = (a2 + b + c + d ) et donc det A = ±(a2 + b2 + c2 + d2 )2 . P Dans l'expression det A = σ∈S4 ε(σ)α1σ(1) ...α4σ(4) où les coecients de A sont notés 4 αij , le seul terme en a est obtenu pour σ = id, soit ε(σ) = +1. On en déduit que det A = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 . Pour obtenir le polynôme caractéristique de A, on remplace a 2 2 2 2 2 par a − X dans A, et on calcule le déterminant. On a donc χA = ((a − X) + b + c + d ) 2

2.

3.

2

1.

2 4

∀λ ∈ R, χA (λ) > 0

car

(b, c, d) 6= (0, 0, 0).

4.

√ √ √ A(i 3, 1, 1, 1) = (1 − i 3(i 3, 1, 1, 1))

A R.

Donc

n'est ni diagonalisable ni triangularisable sur

n'a pas de valeur propre réelle, donc

A

√ √ √ A(−1, i 3, −1,√1) = (1 − i 3(−1, i 3, −1, 1)). Pour la seconde valeur propre, qui est le conjugué de 1−i 3, on utilise les vecteurs conju√ √    i 3 −1 2¯ ω 0 0 0 √ −i 3 −1 √  1 i 3  ω 0 0 1 −i 3   on a P −1 AP =  0 2¯ gués. Ainsi, en posant P =   1  0 0 2ω 0  = −1 1 −1  0 0 0 2ω 1 1 1 1 D. et

∀n ∈ N, Xn+1 ∈ N, Xn √ = An X0 . Or  √ n , d'oùn ∀n  n= nAX n 2 ω ¯ i 3 −2 ω ¯√n −2n ω n i 3 −2n ω√ n n n n n n n n  2 ω ¯ 2 ω ¯ i 3 2 ω −2 ω i 3 . An X0 = P Dn P −1 X0 . On en déduit que Xn =  n n n n n  2n ω ¯ −2 ω ¯ 2 ω −2n ω n  2n ω ¯n 2n ω ¯n 2n ω n 2n ω n √ √ −1 Posons Y0 = P X0 . En résolvant le système P X0 = Y0 , on obtient Y0 = (1/2i 3, 0, −1/2i 3, 0),

5. Soit

Xn = (un , vn , wn , hn ).

On a

et nalement :

√    cos nπ 2n (¯ ω n + ω n )i 3 3 nπ  √  2n (¯  ωn − ωn)  3   = 2n − sin nπ Xn = 1/2i 3  n n n  2 (¯ − sin  ω −ω )  3 − sin nπ 2n (¯ ωn − ωn) 3 

Correction 1900

I

l'espace vectoriel des fonctions polynomiales. Supposons P de dimension nie n. k Notons fk la fonction x 7→ x . Alors la famille {f0 , · · · , fn } qui compte n + 1 éléments

1. Soit

P

a0 , · · · , an des scalaires non tous nuls tels que, pour tout x ∈ R a0 + a1 x + · · · an xn = 0. Il en résulte que le polynôme non nul à coecients réels a0 + a1 X + · · · an X n a une innité de racines, ce qui est absurde. ¯ On doit vérier que, i) pour tout x ∈ X, x 6 M et ii) pour tout Posons M = sup(X). ¯ et, pour tout x ∈ X, ¯ x 6 M la ε > 0 il existe x ∈ X tel que M − ε 6 x. Comme X ⊂ X est liée, donc il existe on ait

2.

368 propriété Comme

i) est vériée par M. Soit maintenant ε > 0. Il existe x ∈ X¯

¯ x ∈ X,

ii). Remarque :

il existe aussi

y∈X

tel que

|x − y| <

ε . 2

Donc

tel que

M −ε
et

M− M

ε < x. 2

satisfait

à

¯ . En eet, pour tout n ∈ N, choisissons sup(X) ∈ X 1 un élément xn ∈ X tel que xn > sup(x) − . Alors la suite (xn )n∈N constituée d'éléments n ¯ On peut bien sûr en déduire de X converge dans R vers sup(X) qui appartient donc à X. la propriété ii) de M . on note également que

II L est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] à R. Soit f ∈ C1 et x, y ∈ [0, 1], avec x < y . Par le théoréme des accroissements 0 0 nis, il existe cx ∈]x, y[ tel que f (y)−f (x) = f (cx )(y −x). Or f est continue, donc bornée 0 sur [0, 1]. Soit M = sup |f (t)|. On a l'inégalité |f (y) − f (x)| 6 M |y − x| qui montre que

1. Il est clair

valeurs dans

t∈[0,1]

f ∈ L. 2.

Il en résulte que

L

contient

P

donc est de dimension innie.

N1 (f ) = 0 et N2 (g) = 0, alors f = g = 0, les autres propriétés étant claires. Or si N1 (f ) = 0, alors f est constante et f (0) = 0, donc f = 0. Il en va de même pour N2 . |fn (x) − fn (0)| Pour tout n ∈ N, kfn k∞ = 1. Posons Xn = { , x 6= 0}. Comme fn (0) = |x| |fn (x) − fn (0)| 0, on voit que N1 (fn ) = sup(Xn ). Or |fn0 (0)| = lim , appartient à x→0 |x| X¯n donc, en appliquant I 2) on constate que |fn0 (0)| 6 sup(X¯n ) = sup(Xn ). Enn fn0 (0) = 2πn donc N2 (fn ) > 2πn. Il n'exite donc pas K > 0 tel que, pour tout n ∈ N, N2 (fn ) < Kkfn k∞ soit N2 et k k∞ ne sont pas équivalentes.

(a) Il sut de vérier que si

(b)

Remarques :

a) on peut obtenir ce résultat (et le préciser) en remarquant que la

sin(2πnx) dénie sur ]0, 1] se prolonge en une fonction continue x en 0 en posant fn (0) = 2πn. Puis noter (en fait c'est un cas particulier de I 2)) que sup |fn | = sup |fn | et montrer (par une étude classique de fonction) que cette fonction

fn : x 7→

]0,1]

[0,1]

dernière quantité est

2πn.

b) Ce qui fait l'intérêt pour ce problème des fonctions

(fn )n∈N ,

c'est qu'elles sont

1 mais que leur pente en l'origine peut-être rendue arbitrairement grande (kn )n∈N dénie par 1 kn (x) = nx si x 6 et 1 sinon, pour laquelle un calcul direct donne N1 (kn ) = n et n kkn k∞ = 1. bornées par avec

n.

On peut donc obtenir le même résultat avec la suite

f ∈ L, N1 (f ) > N2 (f ), on déduit de ce qui précéde que N1 n n'est pas équivalente ni à k k∞ . Posons gn (x) = x , pour n > 1. Pour tout n > 1, N2 (gn ) = 1. De plus gn0 (1) = n, donc, par un raisonnement identique à celui qui précéde, N1 (gn ) > n ce qui montre que N1 n'est pas équivalente à N2 .

(c) Comme, pour tout

Remarque : ce qui fait l'intérêt pour ce problème des fonctions (gn )n∈N , c'est qu'elles sont bornées par

1

mais que leur pente en

1

peut-être rendue arbitrairement grande

369 avec

n.

On peut donc obtenir le même résultat avec la suite

ln (x) = 0

si

1 x61− n

et

nx − (n − 1)

gn (x) = x

si

x 6

et

1 n

dénie par

sinon.

1 et n 0 ∗ N2 (gn ) = 1. Il n'existe donc pas de constante K ∈ R+ telle que, pour tout n ∈ N, kgn k∞ > K 0 N2 (gn ) donc N2 n'est pas équivalente à k k∞ . Enn N2 (gn ) = N1 (gn ), ce qui établit le même résultat pour N1 .

(d) On pose

1 n

(ln )n∈N

sinon. Il est clair que

gn ∈ L, kgn k∞ =

f ∈ L, que λ(f ) > N1 (f ). Soit x ∈]0, 1]. De l'identité f (x) − f (0) f (x) − f (0) on déduit que |f (x)| 6 |f (0)| + | | (car f (x) = f (0) + x x x |x| 6 1) soit |f (x)k 6 N1 (f ). L'application x 7→ f (x) étant continue sur [0, 1] (ou en appliquant I 2)) on en déduit que, pour tout x ∈ [0, 1] on a également |f (x)k 6 N1 (f ). En d'autre termes kf |∞ 6 N1 (f ) et λ(f ) 6 2N1 (f ). Les normes λ et N1 sont donc

(e) Il est clair que pour tout

équivalentes.

f ∈ C1 : ν1 (f ) = |f (0)| + kf 0 k∞


ν1 (f ) = 0,

(a) On constate aisément que si

alors

et

f

ν(f ) = kf k∞ + kf 0 k∞ . est constante et, comme de plus

f (0) = 0,

elle est nulle. Les autre propriétés sont immédiates, donc 1 normes sur C .

ν

et

ν1

sont des

|f (x) − f (y)| ; (x, y) ∈ [0, 1]2 , x 6= y}. Pour montrer que |x − y| ν1 (f ) = N1 (f ), il sut de vérier que sup(X) = kf 0 k∞ . Soient x, y ∈ [0, 1], x 6= y. Par le théorème des accroissements nis, il existe c compris entre x et y tel que |f (x) − f (y)| = f 0 (c) 6 kf 0 k∞ , donc sup(X) 6 kf 0 k∞ . Comme f 0 est continue, il |x − y| f (x) − f (x0 ) 0 0 0 existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = kf k∞ . Alors f (x0 ) = lim appartient x→x0 x − x0 ¯ donc, en appliquant I 2), kf 0 k∞ 6 sup(X) ¯ = sup(X). à X,

(b) Soit

f ∈ C1 ,

Remarque :

notons

X ={

on peut formuler ce raisonnement de la manière suivante : soit

0

{f (x); x ∈ [0, 1]}.

X ⊂ Y. On a ¯ sup(X) 6 sup(Y ) 6 sup(X),

Par le théorème des accroissements nis,

par dénition de la dérivée,

¯ Y ⊂ X.

Donc

Y =

ensuite, puis on

applique I 2). (c) Les normes ν et ν1 sont équivalentes. En eet, il est clair que ν1 (f ) 6 ν(f ) pour tout f ∈ C1 . Soit t0 ∈ [0, 1] tel que kf k∞ = |f (t0 )|. Si t0 = 0 alors ν1 (f ) 6 ν(f ). Sinon, par 0 le théorème des accroissements nis, il existe c ∈]0, t0 [ tel que f (t0 ) = f (0) + f (c)t0 ce dont on déduit que 4.

(a) Soit

x ∈ [0, 1].

kf k∞ 6 ν1 (f ),

puis que

ν(f ) 6 2ν1 (f ).

(fn (x))n∈N étant de Cauchy, elle est converf (x) = lim fn (x). Soit ε > 0. La suite (fn ) étant de Cauchy, il existe

La suite de nombres réel

gente. On pose

n→∞

N tel que, si m, n > N alors kfn − fm k∞ 6 ε. Soient x ∈ [0, 1] et m, n > N. On a |fn (x) − fm (x)| 6 ε et, ceci étant vrai pour tout m ∈ N, on en déduit, par passage à la limite suivant m, que |fn (x) − f (x)| 6 ε, soit kfn − f k∞ 6 ε. Ainsi f est la limite, pour la convergence uniforme, d'une suite de fonctions continues donc est continue. est de Cauchy pour k k∞ , 0 donc (uniformément) convergente par la question qui précéde. De même (fn )n∈N est

(b) Par dénition de de Cauchy pour en résulte que converge vers

ν,

une suite

k k∞ ,

(fn )n∈N

de Cauchy pour

ν

g . Il (fn )n∈N

donc converge uniformèment vers une fonction continue

f est dérivable et a pour dérivée la fonction continue g . Enn f pour ν donc (C1 , ν) est complet.

370

(gn )n∈N une suite de Cauchy dans (C1 , ν1 ). Comme ν1 est équivalente 1 à ν, elle est de Cauchy pour ν donc convergente. Il existe donc h ∈ C telle que lim ν(h − gn ) = 0. Mais puisque ν1 est équivalente à ν, on a aussi lim ν1 (h − gn ) = 0

Soit maintenant

n→∞ donc

n→∞

(C1 , ν1 )

est complet.

(fn )n∈N une suite de Cauchy dans (L, λ). Comme λ(fn ) > kfn k∞ , la suite (fn )n∈N 0 0 est également de Cauchy dans (C , k k∞ ). Comme (C , k k∞ ) est complet, (fn )n∈N converge uniformément vers une fonction continue qu'on notera f.

(c) Soit

ε > 0. Comme (fn )n∈N est une suite de Cauchy, il existe N tel m, n > N on ait, pour tout x, y et z ∈ [0, 1], avec x 6= y : (fn (x) − fm (x)) − (fn (y) − fm (y)) < ε. |fn (z) − fm (z)| + x−y

(d) Soit

En faisant tendre

m

que, pour

vers l'inni, on en déduit :

(fn (x) − f (x)) − (fn (y) − f (y)) < ε, |fn (z) − f (z)| + x−y donc

sup |fn (z) − f (z)| + z∈[0,1]

sup x,y∈[0,1],x6=y

f pour la norme λ. Par ailleurs, on déduit de la seconde inégalité que, pour tout x, y ∈ [0, 1], avec x 6= y : |(fn −f )(x)−(fn −f )(y)| < ε|x − y|, donc que pour n assez grand f − fn appartient à L. Or L est un espace vectoriel et fn ∈ L donc f appartient à L.

Ainsi la suite

(fn )n∈N

(fn (x) − f (x)) − (fn (y) − f (y)) 6 ε. x−y

converge vers

(e) Toute suite de Cauchy de

L

admet une limite dans

L

qui est donc complet.

371

Neuvième partie

QCM et FORMULAIRES QCM de révisions Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies (et seulement celles-ci).

Question 1 Soit l'équation E : x 1. 2. 3. 4. 5.

Logique n

= 27.

E a une unique solution réelle quel que soit n > 1.

E a au moins une solution réelle quel que soit n > 1. E a n solutions réelles quel que soit n > 1.

E a au moins n solutions complexes quel que soit n > 1.

E a exactement n solutions complexes quel que soit n > 1.

Question 2 Soit f : R → R, x 7→ x + 1. 2

1. 2. 3. 4. 5.

f est injective.

f n'est pas injective. f est surjective.

f n'est pas surjective.

La restriction de f , f| : [1, 2] → [2, 5] est bijective.

Question 3 Soit f : C → C, z 7→ z + 1. 2

1. 2. 3. 4. 5.

f est injective.

f n'est pas injective. f est surjective.

f n'est pas surjective.

La restriction de f , f| : [1, 2] → [2, 5] est bijective.

Question 4 Pour x, y ∈ R et z = x + iy, on pose e

z

1. 2. 3. 4. 5.

|ez | = ex . p |ez | = x2 + y 2 .

= ex × eiy = ex+iy .

Arg ez = y .

Arg ez = x + y .

La fonction f : C → C, z 7→ ez est injective.

Question 5 Par quoi doit on complèter les pointillés pour que les

soient vraies :

z ∈ C z = z......z ∈ R ;

1. ⇒ et ⇐. 2. ⇔ et ⇔.

deux assertions suivantes

z ∈ C z 3 = −1 . . . . . . z = −1

372

3. ⇐ et ⇔. 4. ⇒ et ⇒. 5. ⇔ et ⇐. n . Soit la suite (xn )n∈N∗ dénie par xn = (−1) n 1. ∃N > 0 ∀n (n > N ⇒ xn > 0). 2. ∃ε > 0 ∀n ∈ N∗ xn 6 ε. 3. ∀N ∈ N∗ ∃n > N / xn < 0. 4. ∃n ∈ N∗ xn = 0. 5. ∀ε > 0 ∃N ∈ N∗ ∀n ∈ N∗ (n > N ⇒ |xn | 6 ε). Soit E un ensemble, A, B ⊂ E , soit A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Les assertions suivantes sont elles vraies quels que soient A et B inclus dans E ? 1. A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A). 2. A∆B = {A ∩ {B . 3. Si B ⊂ A alors A∆B = A. 4. Si E est un ensemble ni, Card (A∆B) 6 Card A + Card B . 5. Si E est un ensemble ni, Card (A∆B) < Card A + Card B . . Soit la suite (xn )n∈N dénie par x0 = 1 puis pour n > 1 xn = xn−1 n 1. ∀n ∈ N xn > 0. 2. ∀n ∈ N xn+1 6 xn . 3. ∃N ∈ N ∃c ∈ R ∀n ∈ N (n > N ⇒ xn = c). 4. ∀n ∈ N xn > 12 n!1 . 5. ∀n ∈ N xn 6 21 n!1 . On lance de façon aléatoire deux dés identiques à 6 faces (numérotées de 1 à 6). On ne tient pas compte de l'ordre, par exemple le tirage 1 puis 5 est le même que 5 puis 1, mais les tirages 3 puis 3, et 3 puis 4 sont distincts. 1. Il y a 36 tirages distincts possibles. 2. Il y a 30 tirages distincts possibles. 3. Il y a 21 tirages distincts possibles. 4. La somme des deux chires a plus de chances d'être 7 que 2. 5. La somme des deux chires a strictement plus de chances d'être > 11 que 6 3. Soit E un ensemble ni de cardinal n, soit A ⊂ E un ensemble à p éléments, et B ⊂ E un ensemble à q éléments. On note S = {(a, b) ∈ A×B / a 6= b} et T = {(I, b) avec I ⊂ A; Card I = r; b ∈ B}. 1. Si A ∩ B = ∅ alors Card S = p + q . 2. Si A ∩ B = ∅ alors Card S = pq . 3. Si A ⊂ B alors S = ∅. 4. Card T = Cnp × r. 5. Card T = Cpr × q .

Question 6

Question 7

Question 8

Question 9

Question 10

373

Arithmétique

Question 11 Les propositions suivantes sont-elles vraies quels que soient

des nombres premiers > 2. 1. p1 p2 . . . pl est un nombre premier. 2. le carré de p1 est un nombre premier. 3. p1 p2 . . . pl + 1 est un nombre premier. Q 4. li=1 pi est un nombre impair. P 5. li=1 pi est un nombre impair.

l > 2 et p1 , . . . , pl

Question 12 1. 2. 3. 4. 5.

Soit n ∈ N un entier, alors (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 24.

1. 2. 3. 4. 5.

Le pgcd de 924, 441 et 504 est 21.

Soit n > 4 un entier pair alors

est impair. La somme et le produit de deux nombres pairs est un nombre pair. a|b et a0 |b0 ⇒ aa0 |bb0 . a|b et a0 |b0 ⇒ a + a0 |b + b0 . n 2

Question 13

627 et 308 sont premiers entre eux.

Si p > 3 est premier, alors p! est premier.

Soit n > 2 alors n et n + 1 sont premiers entre eux.

Soit n > 2 un entier, le pgcd de {ini pour i = 1, . . . , 100} est n.

Question 14 1. 2. 3. 4. 5.

ab = pgcd (a, b) × ppcm (a, b).

abc = pgcd (a, b, c) × ppcm (a, b, c).

ppcm (a, b, c) est divisible par c.

ppcm (1932, 345) = 19320.

ppcm (5, 10, 15) = 15.

Question 15 1. 2. 3. 4. 5.

Si a|bc et a ne divise pas b alors a|c.

Sachant que 7 divise 86419746 × 111 alors 7 divise 86419746.

Si a = bq + r est la division euclidienne de a par b alors pgcd (a, b) = pgcd (b, r).

Il existe u, v ∈ Z tels que 195u + 2380v = 5.

Sachant qu'il existe u, v tels que 2431u + 65520v = 39 alors pgcd (2431, 65520) = 39.

Question 16 1. 2. 3. 4. 5.

∃P ∈ Z[X] tel que ∀x ∈ R P (x) > 0.

∀P ∈ Z[X] ∃x ∈ R P (x) > 0.

∀P ∈ Q[X] x ∈ Q ⇒ P (x) ∈ Q.

∀P ∈ C[X] de degré > 1 ∃z ∈ C | P (z) = 0.

Tout polynôme de degré 2 est positif.

374

Question 17 Soit P, Q ∈ C[X] des polynômes non nuls P = P

n i=0

0}, soit val (P ) = min IP .

1. 2. 3. 4. 5.

ai X i , soit IP = {i ∈ N | ai 6=

val(−X 7 + X 3 + 7X 2 ) = 2.

val(P + Q) > min(val(P ), val(Q)).

val(P × Q) = val(P ) + val(Q).

val(k.P ) = k.val(P ) où k ∈ N∗ .

Si Q|P alors val (P/Q) = val(P ) − val(Q).

Question 18 1. 2. 3. 4. 5.

X 4 + X 3 − X 2 − X est divisible par X(X − 1).

Le reste la division euclidienne de X 3 + X 2 + 3 par X − 1 est X + 4.

Le quotient de X 5 + 2X 3 + X 2 + 2X + 1 par X 2 + 1 est X 3 + X + 1.

X − 1 divise X n − 1 pour n > 1 X + 1 divise X n + 1 pour n > 1

Question 19 1. 2. 3. 4. 5.

Soit P ∈ C[X]. X − a divise P ssi P (a) = 0.

Soit P ∈ R[X] de degré impair. Il existe x ∈ R tel que P (x) = 0. Soit P ∈ R[X], les racines de P 2 sont d'ordre au moins 2. Soit P ∈ R[X], x est racine simple ssi P (x) = 0.

Un polynôme P ∈ C[X] de degré n a n racines réelles.

Question 20 1. 2. 3. 4. 5.

X 4 + 1 est irréductible dans R[X].

X 2 + 7 est irréductible dans Q[X]. X 2 + 7 est irréductible dans C[X].

Dans Z[X], pgcd (X(X − 1)2 (X 2 + 1), X 2 (X − 1)(X 2 − 1)) = X(X − 1). Dans Z[X], pgcd (X 4 + X 3 + X 2 + X, X 3 − X2 − X + 1) = X + 1.

Question 21 Réel et rationnels 1. 2. 3. 4. 5.

Réels

(x ∈ Q, y ∈ Q) ⇒ x + y ∈ Q (x ∈ R \ Q, y ∈ R \ Q) ⇒ x + y ∈ R \ Q (∀x ∈ R \ Q) (∀y ∈ R \ Q) x < y ⇒ (∃z ∈ Q | x < z < y) (∀x ∈ R \ Q) (∀y ∈ R \ Q) x < y ⇒ (∃z ∈ R \ Q | x < z < y) √ Pour n > 3, n impair ⇒ n ∈ R \ Q

Question 22 Soient A, B, C des parties de R 1. 2. 3. 4.

Si sup A existe alors max A existe.

Si max A existe alors sup A existe.

Pour A, B majorées et C ⊂ A ∩ B alors sup C 6 sup A et sup C 6 sup B . n o (−1)n ∗ + 1 | n ∈ N alors inf A = 0 et sup A = 1. Si A = n

375

5. Si B =

n

E(x) x

o |x > 0 alors inf B = 0 et sup B = 1.

Question 23 Limites de suites 1. 2. 3. 4. 5.

Si un = n sin( n1 ) alors (un ) tend vers 1.

Si un = ln(ln(n)) alors (un ) a une limite nie.

alors (un ) tend vers +∞. un = 1 + 12 + 14 + 18 + · · · + 21n alors (un ) diverge. un = sin(n), il existe une sous-suite de (un ) convergente. Suites dénies par récurrence. Soit f (x) = 2x(1 − x) et la suite dénie par u0 ∈ [0, 1] et un+1 = f (un ). 1. ∀n ∈ N un ∈ [0, 1] 2. Quelque soit u0 dans [0, 1], (un ) est monotone. 3. Si (un ) converge vers ` alors ` = 0 ou ` = 1. 4. Si (un ) converge vers ` alors ` = 0 ou ` = 12 . 5. Si u0 ∈]0, 1[ alors (un ) ne converge pas vers 0. Fonctions continues 1. La somme, le produit et le quotient de deux fonctions continues est continue. p√ 2. La fonction x ln x est prolongeable par continuité en 0. 3. Il existe a, b > 0 tels que fonction dénie par f (x) = −ex si x < 0 et f (x) = ax2 + b si x > 0 soit continue. 4. Toute fonction impaire de R dans R est continue en 0. un =

(ln n)2 √ n

Question 24

Question 25

√

5. La fonction x est prolongeable par continuité en 0. Théorème des valeurs intermédiaires, fonctions bornées 1. La méthode de dichotomie est basée sur le théorème des valeurs intermédiaires. 2. Tout polynôme de degré > 3 a au moins une racine réelle. 3. La fonction f (x) = x3 (x12 +1) admet au moins une racine réelle sur ] − 1, +1[. 4. Pour f : R+ −→ R continue admettant une limite nie en +∞, f est bornée. 5. Pour f : R+ −→ R continue admettant une limite nie qui vaut f (0) en +∞ alors f est bornée et atteint ses bornes. Dérivation 1. La fonction f (x) = 1/x est décroissante sur R∗ . 2. La fonction f (x) = x sin x1 est continue et dérivable en 0. 3. La fonction dénie par x 7→ 0 si x ∈ Q et x 7→ x2 si x ∈/ Q est dérivable en 0. 4. Si f (x) = P (x)ex avec P un polynôme alors pour tout n ∈ N il existe un polynôme Qn tel que f (n) (x) = Qn (x)ex . √ 5. Si f (x) = x ln x si x ∈ R∗ et f (0) = 0 alors f est dérivable en 0. Théorème de Rolle et des accroissements nis 1. Si f est dérivable sur [a, b] avec f (a) = f (b) il existe un unique c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0.

Question 26

Question 27

Question 28

|x|

376

2. Si f fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et f 0 (x) tend vers ` quand x tend vers a alors f est dérivable en a et f 0 (a) = `. 3. Soit f (x) = ln x si x > 0 et f (0) = 0, pour x > 0 il existe c ∈]0, x[ tel que ln x = xc . 4. Si f est dérivable sur R et lim f (x) = +1 quand x → +∞ et lim f (x) = +1 quand x → −∞ alors il existe c ∈ R tel que f 0 (c) = 0. 5. ∀x > 0 ex 6 xex + 1 Fonctions usuelles x 1. ∀n ∈ N limx→+∞ xen = +∞ 2. ∀x ∈ R ch x > sh x x 3. ch tend vers 1 quand x tend vers +∞. sh x 4. ch 2x = 1 + 2 sh2 x th a+th b 5. th(a + b) = 1−th a th b Fonctions réciproques 1. Un fonction continue R −→ R strictement décroissante est bijective. 2. Si f est une fonction continue bijective croissante alors f −1 est croissante. 3. Si f est une fonction continue bijective ne s'annulant jamais alors ( f1 )−1 = f . 4. Arcsin(sin x) = x pour tout x ∈ [0, 2π[. 1 5. Si f (x) = Arctan(x2 ) alors f 0 (x) = 1+x 4.

Question 29

Question 30

377

Primitives usuelles C désigne une constante arbitraire. Les intervalles sont à préciser. Z eαt eαt dt = + C (α ∈ C∗ ) α

Z

tα+1 t dt = +C α+1 α

Z

Z

(α 6= −1)

Z

√

Z

dt = Arcsin t + C 1 − t2

dt 1 1 + t = ln +C 1 − t2 2 1 − t

Z

dt = Arctan t + C 1 + t2 Z

√

dt = ln |t| + C t

√ dt = ln t + t2 + α + C 2 t +α Z

ch

t dt = sh t + C

Z

sh

t dt = ch t + C

cos t dt = sin t + C

Z

sin t dt = − cos t + C Z Z

Z

Z

dt t π = ln tan + +C cos t 2 4

Z Z

ch2 t

dt = tan t + C cos2 t Z

dt = −cotan t + C sin2 t

Z

dt

Z

tan t dt = − ln |cos t| + C

cotan

t dt = ln |sin t| + C

Z

Z

sh2 t

dt ch

Z

dt t = ln tan + C sin t 2

dt

t

dt sh

th

= th t + C

= −coth t + C

= 2Arctan et + C

t = ln th + C t 2

t dt = ln (ch t) + C

coth

t dt = ln |sh t| + C

378

Développements limités usuels (au voisinage de 0)

ex = 1 +

x2 xn x + + ··· + + o(xn ) 1! 2! n! x2 x4 x2n + + ··· + + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)!

ch

x=1+

sh

x2n+1 x3 x5 x=x+ + + ··· + + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)!

th

x=x−

2 17 7 x3 + x5 − x + o(x8 ) 3 15 315

cos

x=1−

x2 x4 x2n + + · · · + (−1)n . + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)!

sin

x=x−

x2n+1 x3 x5 + + · · · + (−1)n . + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)!

tan

x=x+

x3 2 17 7 + x5 + x + o(x8 ) 3 15 315

(1 + x)α = 1 + αx +

α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n x + ··· + x + o(xn ) 2! n!

1 = 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + o(xn ) 1+x √

√

1+x=1+

x 1 2 1.1.3.5 . . . (2n − 3) n − x + · · · + (−1)n−1 . x + o(xn ) 2 8 2n n!

1.3.5 . . . (2n − 1) n 1 x 3 x + o(xn ) = 1 − + x2 + · · · + (−1)n . n 2 8 2 n! 1+x

ln (1

+ x) = x −

x2 x3 xn + + · · · + (−1)n−1 . + o(xn ) 2 3 n

argth

x=x+

x3 x5 x2n+1 + + ··· + + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1

arctan

x=x−

x3 x5 x2n+1 + + · · · + (−1)n . + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1

argsh

x=x−

1 x3 3 x5 1.3.5 . . . (2n − 1) x2n+1 + + · · · + (−1)n . + o(x2n+2 ) 2 3 8 5 2n n! 2n + 1

arcsin

1 x3 3 x5 1.3.5 . . . (2n − 1) x2n+1 + + ··· + + o(x2n+2 ) x=x+ n 2 3 8 5 2 n! 2n + 1

379

Fonctions circulaires et hyperboliques

Propriétés trigonométriques

: remplacer

cos

par

ch

et

sin

par

i. sh.

cos(a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b cos(a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b sin(a + b) = sin a. cos b + sin b. cos a sin(a − b) = sin a. cos b − sin b. cos a tan a + tan b tan(a + b) = 1 − tan a. tan b tan a − tan b tan(a − b) = 1 + tan a. tan b

ch(a + b) = ch a. ch b + sh a. sh b ch(a − b) = ch a. ch b − sh a. sh b sh(a + b) = sh a. ch b + sh b. ch a sh(a − b) = sh a. ch b − sh b. ch a th a + th b th(a + b) = 1 + th a. th b th a − th b th(a − b) = 1 − th a. th b

cos 2a = 2. cos2 a − 1 = 1 − 2. sin2 a = cos2 a − sin2 a sin 2a = 2. sin a. cos a 2 tan a tan 2a = 1 − tan2 a

ch 2a = 2. ch2 a − 1

1 [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1 sin a. sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 sin a. cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] 2

cos a. cos b =

p+q p−q . cos 2 2 p+q p−q . sin cos p − cos q = −2. sin 2 2 p+q p−q . cos sin p + sin q = 2. sin 2 2 p−q p+q . cos sin p − sin q = 2. sin 2 2 cos p + cos q = 2. cos

= 1 + 2. sh2 a = ch2 a + sh2 a sh 2a = 2. sh a. ch a 2 th a th 2a = 1 + th2 a

1 [ch(a + b) + ch(a − b)] 2 1 sh a. sh b = [ch(a + b) − ch(a − b)] 2 1 sh a. ch b = [sh(a + b) + sh(a − b)] 2

ch a. ch b =

p+q p−q . ch 2 2 p+q p−q ch p − ch q = 2. sh . sh 2 2 p+q p−q . ch sh p + sh q = 2. sh 2 2 p−q p+q . ch sh p − sh q = 2. sh 2 2 ch p + ch q = 2. ch

380

avec

 cos x = x t = tan sin x = 2  tan x =

Dérivées

1−t2 1+t2 2t 1+t2 2t 1−t2

: la multiplication par

cos0 x = − sin x sin0 x = cos x 1 cos2 x −1 0 2 cotan x = −1 − cotan x = sin2 x

−1 1 − x2 1 0 Arcsin x = √ 1 − x2 1 0 Arctan x = 1 + x2 −1 0 Arccotan x = 1 + x2 0

x= √

i

1+t2 1−t2 2t 1−t2 2t 1+t2

n'est plus valable

ch0 x = sh x sh0 x = ch x

tan0 x = 1 + tan2 x =

Arccos

avec

 ch x = x t = th sh x = 2  th x =

(|x| < 1) (|x| < 1)

1 ch2 x −1 0 2 coth x = 1 − coth x = sh2 x th0 x = 1 − th2 x =

0

x= √

1

(x > 1) x2 − 1 1 0 Argsh x = √ 2 x +1 1 0 Argth x = (|x| < 1) 1 − x2 1 0 (|x| > 1) Argcoth x = 1 − x2 Argch

128853880 2400 Exercices Corriges Ds

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