12-4, 5.19, 7.2 WAGSNESS

Una esfera dielectrica de radio a esta polarizada uniformemente. Se le hace girar alrededor de sus diametros paralelo a P con una velocidad angula . Suponiendo que la rotacion no afecta a P, encontrar las corrientes. Gracar el resultado contra las coordenadas apropiadas. Encontrar la corriente total que pasa por un remicirculo de radio a jo en su espacio con su base sobre el eje de rotacion. 12.4

R/ − → → P = P0 zˆ, − ω = ω0 zˆ − → → → v =− ω χ− r = ω0 zˆχaˆ r = ω0 a · senθϕˆ − → → J = ρch − v − → ρb = −∇ P − →

− →

ya que P es una constante, J = 0 − → → K = σb − v   − → σb = P n ˆ →P0 zˆ · rˆ →P0 cosθˆ r − sinθθˆ rˆ = P0 cosθ − → → K = P0 cosθ− v =(P0 cosθ) (ω0 a · sinθϕ)=P ˆ ˆ 0 ω0 a · cosθ · sinθ ϕ

simplicando queda − → K=

P0 ω0 a 2

· sin2θ

la corriente total es ´π − → I = K ds = 0

P0 ω0 a 2

· sin2θdθ = 0

1

5.19

SeaV = 20x2 yz − 10z 2 en el espacio libre. a)Determinarla ecuaciones en las supercies

equipotenciales en las que V = 0v y V = 60v . b)Suponer que estas son supercies conductoras y encontras la densidad de carga de supercies en la supercies de V = 60v donde x = 2y z = 1. Se sabe que 0 ≤ V ≤ 60v es la region que contiene el campo. c) Proporcionar el vector unitaria en el punto que es normal a la supercie conductora y esta dirigia hacia la supercicie V = 0. R/ V = 20x2 yz10z2V en espacio libre

a) Determine las ecuaciones de la supercie equipotencial donde V = 0 and 60V Poniendo los potenciales dados en la funcion a 0 y 60 0 = 20x2 yz − 10z 2

→ 0 = 2x2 y − z

60 = 20x2 yz − 10z 2

→ 2x2 yz =

6 z

b) Suponer que estas son supercies conductoras y encontras la densidad de carga de supercies en la supercies de V = 60v donde x = 2y z = 1. Se sabe que 0 ≤ V ≤ 60v es la region que contiene el campo, tenemos que 2x2 yz6z = 0

→ 2(2)2y(1)16 = 0 → y =

7 8

ahora E = ∇V = 40xyzaz 20x2 zay [20xy20z]az ahora en tal punto D(2, 7/8, 1) = ε0 (2, 7/8, 1) = ε0 [70ax + 80ay + 50az ]C/m2 Como necesitamos el mas alto potencial de supercie, D tiene que estar dirigido afuera de alli, y asi la densidad de carga sera positiva entonces S =

√

D · D = 100

72 + 82 + 52 = 1.04nC/m2

c) Proporcionar el vector unitaria en el punto que es normal a la supercie conductora y esta dirigia hacia la supercicie V = 0 este esta en la direccion de E y D, asi como en la parte b, o an =

7ax +8ay +5az √ 72 +82 +52

= [0.60ax + 0.68ay + 0.43az ]

2

7.2

Dado el campo de potencial simetrico esfericamente en el espacio libre, V = V0 e−r/a , encontrar:

a) v en r = a; b) el campo electrico en r = a; c) la carga total. R/ Dado el campo de potencial simetrico esfericamente en el espacio libre, V = V0 e−r/a a) pv en r = a Usar Poisson ∇2 V = v/ε which in this case becomes − vε =

1 d r 2 dr

r2 dV dr






V0 d d = − ar r2 e−r/a = − Var0 dr 2 − ar e−r/a 2 dr

2−

r a




donde pv (r) =

ε0 V 0 ar

e−r/a →pv (a) =

ε0 V0 −1 C/m3 a2 e

b) el campo electrico en r = a E(r) = −∇V = − dV dr ar =

V0 −r/a ar a e

→E(a) =

V0 −1 ar V /m a e

c) la carga total tenermos que D = 0 E =

0 V0 −r/a ar a e

Φ(r) = Qcir (r) = 4πr2 D = 4πr2 0aV0 e−r/a C

si r tiende a innito entonces el valor tiende a cero, Qnet = 0.

3