MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz male otvore 1.zadatak. Rezervoar oblika obrtnog paraboloida napunjen je vodom vodom i prazni se kroz tri jednaka otvora. Odrediti vreme pražnjenja rezervoara (integralnu reprezentaciju), ako su dati podaci: h, b, d i µ.
Rešenje: Kada se pražnjenje vrši kroz sva tri otvora, jednač jedna čina isticanja glasi:
( 2Q1 + Q2 ) dt = − A (z)dz , gde su: A (z) = r 2 π , a iz jednač jednačine paraboloida imamo: Q1
r2 b 2
=
z
⇒ r2 =
h
b2 h
z
⇒ A(z)=
b2 h
πz .
h d2π , = µa 2g z − ; Q 2 = µa 2gz ; a= 3 4
pa se zamenom dobija:
h h b2 b2 2g 2 z − + z dt 2µa 2g z − + µa 2gz dt=- πzdz ⇒ µa 2g 3 dt=- h πzdz h 3 2 2 b π z 4b z dt = − dz ⇒ dt = − 2 dz µah 2g h µd h 2g h 2 z− + z 2 z − + z 3 3 t1 = −
h/3
4b 2
z
∫
µd 2h 2g
h
2
z − h + z 3
dz .
Posle ovog vremena (t 1) pražnjenje se obavlja samo kroz otvor na dnu sa protokom Q 2, pa imamo da je: t2
=−
4b 2
0
µd 2 h 2g h∫/ 3
zdz =
4b 2
2h
µd 2h 2g 3 3
Ukupno pražnjenje rezervoara je: t = t1 + t 2
3/ 2
3/ 2
h = . 3µd 2h 2g 3 8b 2
2.zadatak. Sud koji se sastoji od cilindra i kupe prazni se kroz prikazani prosti cevovod. Za vreme pražnjenja u sudu iznad vode deluje konstantan natpritisak pm. Odrediti vreme pražnjenja rezervoara, ako su poznati podaci: D, d, h, H1, H2, L, ρ, ξu, ξk , ξv i λ. Rešenje: Bernulijeva jednačina za preseke 0-0 i 1-1 ima oblik: p m
+ gz =
ρ
ξ + 2ξ + ξ + λ L + 1 u k v 2 d 2
v
⇒
p 2g m
+ z ρ . v2 = L ξ u + 2ξk + ξv + λ + 1 d
Onda je: Q1 = µ
d2π
2g z +
4
1 , gde je µ = . ρg L ξu + 2ξk + ξv + λ + 1
p m
d
Pražnjenje cilindričnog dela suda je određeno jednačinom: D2π D2 − dz = Q1 dt ⇒ dt = − 2 4 µd 2g
dz z+
.
pm
ρg
Integracijom se dobija da je: t1
=−
H2 + h
D2
µd 2
2g
dz
∫
z+
H1 + H 2 + h
pm
=
D2
µd 2
ρg
2g
H1 + H 2 + h +
p m
ρg
−
H2 + h +
Posle ovog vremena (t 1) obavlja se pražnjenje dela rezervoara oblika kupe: dt 2 gde iz sličnosti trouglova imamo da je: dt 2
=−
D2 π 4H 2 2
(y − h)
r D/2
y−H
=
H2
dy
2
µ t2
d2π 4
=−
p 2g y + m ρg D2
=−
h
⇒ r=
D 2H 2
=−
r 2 π Q2
(y − h) . 2
D2 H 2 2µd 2 2g
(y − h)
. ρg pm
(y − h) dy pm y + ρg
2
µH 2 2d 2 2g H ∫+ h p m y + ρg
dy .
2
5/ 2 5/ 2 3/ 2 2 p m 4 p m pm t2 = − H 2 + h + − h + − H 2 + h + − ρg ρg µH 22d 2 2g 5 ρg 3 3/ 2 pm pm pm p p − h + h + + 2 h + H 2 + h + m − h + m ρg ρg ρg ρg ρg
D2
Ukupno vreme pražnjenje rezervoara je: t = t1 + t 2 .
dy ,
3.zadatak. U cilindričnom sudu mase m, može da se kre će klip bez trenja. Odrediti vreme za koje će se sud isprazniti kroz pet malih otvora oštrih ivica. Dati su podaci: D, d, D o, H, ρ i µ.
Rešenje: Na početku treba odrediti visinu h do koje je sud napunjen te čnošću. Iz jednačine ravnoteže suda imamo da je: π 4m . mg = ρgh ( D 2 − d 2 ) ⇒ h= 4 ρπ ( D 2 − d 2 ) Prvo se prazni širi deo suda, pri čemu je, zbog dinamičke ravnoteže suda, visina h=const. Diferencijalna jednačina pražnjenja šireg dela suda glasi: 5µ
t1
=−
d o2 π
2g ( h + z )dt 1
4 0
D2 5µd 2o 2g
dz
∫
h+z
H
=
=−
D2π 4
2D 2 5µd o2 2g
(
dz
)
h+H− h .
Za pražnjenje užeg dela suda imamo jednačinu: 5µ
t2
=−
d o2 π 4
2gy ⋅ dt 2
d2 5µd 2o 2g
0
∫
H
dz y
=−
=
Ukupno vreme pražnjenje rezervoara je: t = t1 + t 2 .
d2π 4
dy
2d 2 5µd o2 2g
h.
4.zadatak. Cilindrični sud napunjen tečnišću gustine ρ, zatvoren je klipom sa gornje strane. Masa klipa je m. Odrediti vreme za koje se sud isprazni kroz tri jednak otvora prikazana na slici. Dati su podaci: D1, D2, H, h, d i µ. (Dati integralnu preprezentaciju.)
Rešenje: Vreme pražnjenja suda sastoji se od dva vremena, vremena pražnjenja kroz sva tri otvora i vremena pražnjenja kroz donji otvor. Kada se sud prazni kroz sva tri otvora, tada klip na te čnost deluje konstantnim natpritiskom p m
4mg
=
D12 π
.
Onda je diferencijalna jednačina pražnjenja suda: 5µ
pm pm D12 π 2g 2 ρg + z − h + ρ g + z dt 1 = − 4 dz
d 2π 4 t1
=−
h
D12 5µd 2 2g
1
∫
H+ h
2
pm
ρg
pm
+z−h +
ρg
dz .
+z
Posle vremena t1 pražnjenje je samo kroz donji otvor. Ako se zanemari isticanje kroz gornje otvore, kada je tečnost neposredno pri površi klipa, dobija se jednačina:
µ t2
=−
d2π 4
2gy ⋅ dt 2 0
D 22
µd 2
2g
∫ h
1 y
=−
dy =
Ukupno vreme pražnjenje rezervoara je: t = t1 + t 2 .
D 22 π 4
dy
2D 22
µd 2
2g
h .
5.zadatak. Hidraulički akumulator napunjen uljem gustine ρ, sastoji se od cilindra, klipa mase m i opruge krutosti c. Opruga hidrauli čkog akumulatora prethodno je sabijena za vrednost b>H. Odrediti vreme pražnjenja hidrauli čkog akumulatora. Dati su podaci: D, d, H, L, b, ρ, m, µ i c.
Rešenje: Radi jednostavnijeg pisanja uvodimo oznake: A=
D2π 4
i
a
=
d 2π 4
.
Klip deluje na tečnost konstantnim natpritiskom: p m
=
4mg D
2
π
=
mg A
.
Sila u opruzi zavisi od trenutnog položaja klipa, pa je pritisak od opruge: pc
=
Fc A
=
c
c
c
b − ( H − z ) = ( b − H ) + z . A A A
Onda je diferencijalna jednačina pražnjenja suda:
µa t
=−
A
µa
p c p m + + z dt = − Adz ρg ρg
2g 0
∫ 2g H
dz
c mg c + + 1 z ( b − H ) + ρgA ρgA ρgA
