Universidad Tecnológica Tecnológica de Chile SEDE CALAMA
Esfuerzos Normales APUNTES Y EJERCICIOS
Guía de Apuntes Apuntes y Ejercicios
CONCEPTOS BÁSICOS Esfuerzo Normal: Esfuerzo que es perpendicular al plano sobre el que se aplica la fuerza de tracción o compresión, que es distribuido de manera uniforme por toda su superficie. También llamado esfuerzo axial. El esfuerzo normal se define como
en una componente estructural, donde A
representa la sección transversal que estaría expuesta expues ta a una fuerza perpendicular.
Los esfuerzos normales están mostrados como positivos y representan tensión o tracción. Cuando actúan en sentido negativo, los esfuerzos normales representan compresión. Esfuerzo en un plano inclinado: En inclinado: En una estructura bajo carga axial las fuerzas axiales pueden producir esfuerzos, tanto normales como cortantes, en planos que no son perpendiculares al eje del elemento. Por ejemplo, en la figura observamos un elemento bajo carga axial y un plano oblicuo que lo cruza. Para este caso, la fuerza P puede ser descompuesta en sus componentes normal (N) y cortante (Q) como: y , donde es el ángulo formado entre el plano y la
sección transversal del elemento. Con esta formulación podemos describir al Esfuerzo Normales
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esfuerzo normal y al esfuerzo cortante en el plano:
y , donde es la
sección oblicua dentro del elemento, la cual se relaciona con la sección transversal como: , lo que nos permite definir los esfuerzos, en función del área
transversal como:
y .
Con base en estos cálculos podemos describir el estado de esfuerzos y notar la convención de dirección positiva del esfuerzo normal y cortante en la sección oblicua. El cálculo de los esfuerzos cortantes y normales en secciones oblicuas es útil cuando se analizan empalmes de piezas que son sometidas a carga axial. Esfuerzo Último: Es Último: Es el esfuerzo obtenido cuando se incrementa la magnitud de la fuerza a una probeta hasta que ésta rompa. Esta carga máxima es la carga última de la probeta y se denota por . Como la carga aplicada es axial, puede dividirse la
carga última por el área original de la sección media de la barra para obtener el esfuerzo normal último del material en cuestión. Este esfuerzo, conocido también
como la resistencia última o esfuerzo de rotura del material es:
.
Esfuerzo Admisible: Admisible: Un elemento estructural o componente de máquina debe diseñarse de modo que su carga última sea bastante mayor que la carga que el elemento o componente llevará en condiciones normales de uso. Esta carga menor es la carga admisible , también llamada carga de trabajo o de diseño. diseño. Así sólo se utiliza una fracción de la carga última del elemento cuando se aplica la carga admisible. Como la carga aplicada es axial, puede dividirse la carga admisible por el área original de la sección media de la barra para obtener el esfuerzo admisible del material en cuestión. Este esfuerzo conocido también como la esfuerzo de trabajo del material es:
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Factor de Seguridad: Seguridad: Es la razón entre la carga ultima o de rotura y la carga admisible. En muchas aplicaciones existe una relación lineal entre la carga y el esfuerzo generado por ella. Cuando tal es el caso, el factor de seguridad puede expresarse como: . La determinación del factor de seguridad que deba usarse en las diferentes aplicaciones es una de las más importantes tareas de los
ingenieros. Por una parte, si se le escoge muy pequeño la posibilidad de falla se torna inaceptablemente grande; y si se le escoge muy grande el resultado es un diseño caro y no funcional. Deformación: Se Deformación: Se define como el cambio de forma de un cuerpo, el cual se debe al esfuerzo, al cambio térmico, al cambio de humedad o a otras causas. En conjunción con el esfuerzo directo, la deformación se supone como un cambio lineal y se mide en unidades de longitud. Cuando la deformación se define como el cambio por unidad de longitud en una dimensión lineal de un cuerpo, se denomina deformación unitaria ( ) Se puede expresar mediante la siguiente expresión:
, donde es la variación de longitud y es la longitud inicial del elemento.
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Ley de Hooke o Ley de elasticidad de Hooke , originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional al esfuerzo aplicado: , donde E es el módulo de elasticidad o módulo de Young. A partir de la Ley
de Hooke puede calcularse la deformación total que sufrirá un elemento sometido a fuerza axial. Según la Ley de Hooke:
. Con esta expresión puede calcularse la deformación conociendo la carga P, la longitud de la barra L, la sección transversal A y el módulo de elasticidad E. Deformación por temperatura: Al presentarse un cambio de temperatura en un elemento, éste experimentará una deformación axial, denominada deformación térmica. térmica. Si la deformación es controlada, entonces no se presenta la deformación, pero si un esfuerzo, llamado esfuerzo térmico. Un esfuerzo térmico es un esfuerzo asociado al efecto indirecto de una dilatación térmica. Es decir, la longitud que tendrá un elemento estructural a diferentes temperaturas por efecto de la dilatación o contracción térmica, el efecto de esta deformación debe ser asumido por los elementos en contacto con el elemento dilatado, por lo que se producirán fuerzas adicionales en esos elementos por el efecto térmico. Para una estructura lineal los esfuerzos inducidos pueden calcularse como:
, donde es el coeficiente de dilatación térmica y la variación de
temperatura.
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Por otra parte, si se tiene una barra AB y está restringida por soportes fijos, se desarrollan esfuerzos en la barra al variar la temperatura, debido a las reacciones en dichos soportes.
Entonces el diagrama de deformación se debe considerar como lo muestra la siguiente figura. Con una dilatación por temperatura y un acortamiento producido por la reacción del muro.
Ejemplo 1: 1: Dos varillas cilíndricas sólidas AB y BC están soldadas en B y cargadas como
se
muestra.
Sabiendo
que
d1=30mm y d=50mm, calcule el esfuerzo normal promedio en la sección central de la varilla AB y la varilla BC. Solución: Para el tramo AB: Primero se debe realizar un corte en tramo para determinar la fuerza interna que se genera en dicha sección como se muestra en la figura. Efectuando la sumatoria de fuerzas en la varilla se obtiene lo siguiente:
Luego se calcula el área de la sección transversal del elemento con la medida del diámetro en metros:
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Entonces el esfuerzo normal promedio se calcula de la siguiente manera:
La varilla AB tiene un esfuerzo normal de 85 MPa a tracción. Para el tramo BC: Al igual que el tramo anterior, primero se debe realizar un corte en tramo para determinar la fuerza interna que se genera en dicha sección como se muestra en la figura. Efectuando la sumatoria de fuerzas en la varilla se obtiene lo siguiente:
Luego se calcula el área de la sección transversal del elemento con la medida del diámetro en metros:
Entonces el esfuerzo normal promedio se calcula de la siguiente manera:
La varilla BC tiene un esfuerzo normal de 91 MPa a compresión.
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Ejemplo 2: 2: Si se sabe que la carga última para el cable BD es de 100 [KN] y que se requiere un factor de seguridad de 3,2 respecto a la falla del cable. Calcular la magnitud de la máxima fuerza que puede aplicarse con seguridad el elemento ABC que se muestra en la figura. Solución: Se sabe que la fuerza en el cable es: tanto
.
y , por lo
Luego el diagrama de cuerpo libre queda como muestra mues tra la figura. Recordar que para las ecuaciones de equilibrio se deben descomponer las fuerzas para sumarlas.
La fuerza máxima que puede aplicarse en el elemento ABC es de 17,17 KN.
Ejemplo 3: Dos varillas cilíndricas están unidas en B y son sometidas a la carga que muestra la figura. La varilla AB está hecha de acero (E=200GPa) y la varilla BC de latón (E=105GPa). Calcular la deformación total de la varilla ABC t la deflexión del punto B.
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Solución: Primeramente se debe calcular la deformación en la sección AB y luego en la sección BC por separado, por el método de cortes para el diagrama de cuerpo libre. Tramo AB:
Entonces:
Tramo BC:
Entonces:
Luego la deformación total se calcula como la suma d elas deformaciones de los tramas,
es
decir:
.
Entonces la barra ABC se contrae 0,153x10 -3 m.
El desplazamiento del punto B se define como:
.
Entonces la
barra BC se contrae 0,10x10 -3 m. Ejemplo 4: Una 4: Una barra de cobre tiene sección uniforme y está unida rígidamente a los muros, como se ve en la figura. La longitud es de 150 cm y la sección de 15 cm2. A la temperatura de 25 °C la varilla no tiene tensiones. Determinar las tensiones que existen en ella cuando descienda la temperatura a 10°C, suponiendo que los apoyos no ceden. Para el cobre, E = 1,1 x 10 6 [kg/cm2] y α = 16 x 10 -6 [1/°C]. Solución: Para solucionar este problema se debe separar en dos diagramas de deformación, uno con la deformación térmica y otro con la deformación por fuerza, la suma de las deformaciones es igual a cero: Esfuerzo Normales
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Deformación Térmica: La variación de la Temperatura nos indicara si la deformación es una dilatación o una contracción, para este caso es: . Es decir, la barra sufre una
contracción. Entonces:
Deformación por Fuerza: Como la barra se está contrayendo, entonces aparecen las reacciones en los muros que imiden este desplazamiento, en el sentido contrario, por lo tanto se generan fuerzas de tracción. Entonces: Luego tenemos:
Por lo tanto, el esfuerzo en la barra es
.
Entonces el
esfuerzo de la barra es de aproximadamente a proximadamente 264 Kg/cm 2 a tracción.
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EJERCICIOS Problemas: Tracción y Compresión Sistemas Hiperestáticos 1. La barra representada en la figura es de sección constante y está sujeta rígidamente entre los muros. Si se aplica una carga a la distancia
del extremo izquierdo, determinar las reacciones de los muros sobre la barra.
2. Considerar un tubo de acero que rodea a un cilindro macizo de aluminio, comprimido todo el conjunto entre placas infinitamente rígidas, por fuerzas aplicadas centralmente, como se ve en la figura. El cilindro de aluminio tiene de diámetro interior
y el diámetro exterior del tubo de acero es de
.
, hallar el esfuerzo en el acero y en el aluminio. Para el acero, y para el aluminio . Si
3. La barra
es absolutamente rígida y está soportada por tres varillas, como se
ve en la figura. Las dos varillas extremas son de acero y tienen una sección de
. La central es de cobre de sección . Para el acero, , y para el cobre, . Todas las varillas tienen y están igualmente separadas entre sí, estando aplicadas las cargas de en el
punto medio entre ellas. Despreciando el peso de la barra , determinar la
fuerza en cada una de las barras verticales. permanece horizontal
después de aplicar las cargas.
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4. Considerar un pilar cuadrado de hormigón armado de
de sección y
de altura. El hormigón está armado con ocho barras verticales de acero, cuadradas, de de lado, colocadas simétricamente respecto al eje vertical del pilar. Se ha aplicado una fuerza de compresión axial de a través de
la placa absolutamente rígida en la parte superior del hormigón. Considerar, , y para el hormigón . para el acero
Determinar el esfuerzo en el hormigón y en el acero.
e interior , está lleno de hormigón. Si el límite elástico aparente del acero es de ,
5. Un tubo de acero, vertical de diámetro exterior
se admite un coeficiente de seguridad 2,25 y la resistencia a la rotura del hormigón es de
y su coeficiente de seguridad . ¿Qué carga
axial total de compresión puede soportar? Suponer que los dos extremos del tubo están cubiertos por placas infinitamente rígidas, y se desprecian los efectos de la expansión lateral de los dos materiales. Considerar para el acero
y para el hormigón . 6. La barra
, inicialmente recta, tiene una sección uniforme y está amordazada
en los apoyos extremos, como se ve en la figura, sin que exista ninguna tensión inicial. Se aplican las cargas simétricamente colocadas a las ménsulas (cuyo efecto se desprecia) y se desea hallar la fuerza de tracción o compresión
resultante
sobre
cada sección transversal cada una de las zonas ,
. Longitudes en .
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en y
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de la figura absolutamente rígida y horizontal antes de aplicar la carga de , articulada en y soportada por la varilla de acero y la de cobre . La longitud de es de y la de de . Si la sección de es de y la de de ,
7. Considerar la barra
determinar el esfuerzo en cada varilla vertical y el alargamiento de la varilla de acero. Despreciar el peso propio de
.
, y para el cobre, .
Para el acero,
8. Una barra de cobre tiene sección uniforme y está unida rígidamente a los . muros, como se ve en la figura. La longitud es de y la sección de A la temperatura de
la varilla no tiene
tensiones. Determinar las tensiones que existen en ella cuando descienda la temperatura a ,
suponiendo que los apoyos no ceden. Para el cobre,
y .
9. La barra compuesta de la figura está rígidamente sujeta a dos apoyos. La parte de la izquierda es de cobre, con sección uniforme de
y longitud
, mientras que la derecha es de aluminio, con sección uniforme de y longitud . A la temperatura de , el conjunto está sin tensiones. La temperatura de la estructura desciende, y durante este proceso el soporte derecho cede en el sentido de la contracción del metal. Determinar la temperatura mínima a que puede someterse el conjunto para que la tensión en el aluminio no exceda de
. Para el cobre, y , y para el aluminio, y . Esfuerzo Normales
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10.Un cilindro hueco de acero rodea a otro macizo de cobre y el conjunto está sometido a una carga axial de como
se muestra en la figura. La sección del acero es de , mientras que la del cobre es de . Ambos cilindros tienen la misma longitud de antes de aplicar la carga. Determinar el aumento de temperatura del sistema necesario para colocar toda la carga en el cilindro de cobre. La placa de cubierta de la parte superior del conjunto es rígida. Considerar para el cobre, y , mientras que para el acero
y .
está articulada en , y unida a las y como se ve en la figura.
11.La barra rígida
Todo el sistema está al principio sin tensiones te nsiones y son despreciables los pesos de las barras. La temperatura de la barra desciende
y la de la barra aumenta los mismos . despreciando toda posibilidad de pandeo lateral, calcular los esfuerzos normales en las barras y . Para , que es de bronce, suponer
y , y para , que es de acero, tomar y . la sección de es de y la de de .
12.Considerar la armadura articulada de la figura. Antes de aplicar la carga , todo el sistema está
libre de tensiones. Calcular la fuerza axial producida en cada barra por la fuerza vertical . Las dos barras
, mientras que la sección intermedia es . Si , . Todas las barras tienen el mismo módulo de elasticidad . Determinar la tensión normal en cada barra y la deformación vertical en el punto . exteriores son idénticas y tienen sección
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13.Dos barras inicialmente rectas están unidas entre sí y sujetas a apoyos, como se ve en la figura. La barra de la izquierda es de bronce para la cual y , y la barra
de la derecha es de aluminio para la cual
y . Las secciones de las barras de bronce y de aluminio miden, respectivamente, y . Se supone que el sistema está inicialmente libre de tensiones y que la temperatura desciende . La longitud de las barras se encuentra en . a) Si los apoyos no ceden, calcular la tensión normal en cada barra. b) Si el apoyo derecho cede, , calcular la tensión normal en cada
barra, suponiendo su peso despreciable.
14.Un corto tubo de fundición, de sección cuadrada, está lleno de hormigón. La dimensión exterior de la fundición es de y
. El conjunto está comprimido por una fuerza axial de aplicada a placas de tapa el espesor de la pared de
infinitamente rígidas, como se muestra en la figura. Determinar la tensión en cada material y el acortamiento del y elemento. Para el hormigón, tomar
para la fundición
.
15.Un tubo de acero de
y
de diámetros exterior e interior,
respectivamente, rodea a un cilindro macizo de bronce de
de diámetro,
unidos ambos a una placa de cubierta rígida, en cada extremo. El conjunto está exento de tensiones a la temperatura de . Si la temperatura aumenta hasta
, calcular las tensiones en cada material. Para el acero y , y para el bronce y .
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16.Una barra está constituida por una tira de cobre entre dos placas de acero laminado en frío. Los extremos del conjunto están cubiertos por placas infinitamente rígidas, se aplica a la barra una carga , por medio de una fuerza que actúa en
cada una de las placas rígidas, como se ve en la figura. El ancho de todas las barras es de , las placas de acero tienen un espesor de de cada una
y el de la de cobre es de . Determinar la carga máxima que se puede aplicar. La tensión de rotura del acero es y la del cobre . Es admisible un coeficiente de seguridad de , basado en la carga de rotura de cada material. Para el acero y para el cobre .
17.Un cilindro recto circular de aluminio rodea a otro de acero, como se ve en la figura. Se aplica la carga axial de compresión de a través de las placas de cubierta infinitamente rígidas.
Si el cilindro de aluminio es de
más largo que el de acero
antes de aplicar la carga. Hallar la tensión normal en cada uno de ellos cuando la temperatura haya descendido y esté
actuando toda la carga. Tomar, para el acero y , y para el aluminio y . 18.La barra horizontal rígida
está soportada
por tres cables verticales, como se ve en la figura, soporta una carga de . El peso de
es
despreciable y el sistema
está exento de tensiones antes de aplicar la carga. Después de aplicados, la temperatura de los tres cables aumenta . hallar la tensión en cada cable y la
posición de la carga aplicada para que permanezca horizontal. Tomar para el cable de acero y , para el cable de bronce y y el de cobre y . Las longitudes están en y las secciones en . Esfuerzo Normales
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es totalmente rígida, está articulada en y unida a las barras y como se ve en la figura. El peso de es de y el de las otras dos barras es despreciable. Si la temperatura de las barras y aumenta ,
19.La barra
hallar las tensiones producidas en esas
es de cobre, y y la sección , mientras que la barra es de acero, y y la sección es . barras.
20.Considerar tres barras idénticas conectadas con pasador, dispuesta como se indica en la figura, y que soportan la carga . Las barras forman
entre sí ángulos de
. Hallar la fuerza axial en
cada una y el desplazamiento vertical del punto de aplicación de la carga.
21.Las tres barras representadas en la figura soportan la carga vertical de
.
Las barras están libres de tensión y unidas por un pasador en antes de aplicar la carga. Si se coloca ésta gradualmente y simultáneamente decrece la temperatura de las tres barras . Calcular la tensión en cada una de las
, la barra central de acero y sección . Para el acero y , y para el bronce y . barras. Las dos extremas son de bronce y sección de
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