DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS 1. Un método alternativo para hallar soluciones con series de potencias de ecuaciones
diferenciales como:
̈ ̇ 0, alrededor de un punto ordinario 0
es el método de la serie de Taylor. Este método usa los valores de las derivadas evaluadas en el punto ordinario, los cuales se obtienen de la ecuación diferencial por diferenciación sucesiva. Cuando se encuentran las derivadas, usamos luego la expansión en serie de Taylor .
⃛− ̇ ̈ − ! ! ⋯
Dando la solución requerida. Considerando lo anterior, la solución para la ecuación
es: + + ⋯ A. 1 ! ! − − − − ⋯ B. 1 ! ! + + + + ⋯ C. 1 ! ! − − ⋯ D. 1 ! ! 0 , , 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + ⋯ 1 + ! !
Las respuesta es A
̇
2. Al emplear el método de series de potencia, la solución del problema de valor inicial de la ecuación dada
̈ ̇ ; , ̇ es:
B. C. D. A.
∞
∞
∞
=
=
1− 2 − 8 ∞
∞
= ∞
= ∞
=
=
2 1− 2 8 0 ∞
∞
=
2 + 2 1 2 8 0 =
∞
∞
= ∞
= ∞
=
=
2 8 + 2 1 2 8 0 2 8[+ 2 1 28] =
+ 2 1 2 8] 0 + 228 1 3 0 8 2
24 12 8∗3 2 2 12 0 4 2428 ∗3 4 312 4 La respuesta es la B
3. Utilizando el método de series de potencia, la solución para la ecuación de segundo orden
0 es:
Ninguna de las opciones.
∑∞ − ∑∞=1 .... = ....+ ∑∞ − B. ∑∞ 1 = .... = ....+ ∑∞ C. ∑∞ 1 = .... = ....+ ∑∞ D. ∑∞ 1 = .... = ....+ A.
Solución. La solución está dada por:
∞
= ∞
− ∞
=
1 − ∞
=
∞
∞
1 − − 0
= ∞
= ∞
= ∞ 1 − 0 = = = ∞ ∞ ∞ 2 21+ 0 = = = ∞ ∞ ∞ 21+ 0 = = = ∞ ∞ ∞ 0201+ 21+ 0 = = =
∞
∞ ∞ 2 21+ 0 = = =
2 0; 2
∞
21 + 0
=
2 1+ 0 21 + 1 0 1 + 21
K 0
n = k+2 2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
∞
+ 2 3 14 ∗ 2 8 15 ∗ 3 15 16 ∗ 8 48 17 ∗ 15 105 18 ∗ 48 384
∞ 1−/ + / 1 2.4.6..2 1.3.5..21 = =
4. La solución de la ecuación:
̈ − 0 , 0 ̇0 1
teniendo en cuenta la
condición iniciales x=0 y utilizando las series de Maclaurin es:
1 ! ! ⋯ B. 1 ⋯ ! ! C. 1 ⋯ ! ! D. 1 ! ! ⋯ A.
Solución.
− 0 −1 1 − − 0 −1 1 1 0 − − − − 0 1 1 1 1 0 − − − − − − − − 0 111111101 0 0 0 0 0 0 1! 2! 3! 4! 5! ⋯ 0 1 2! 3! 4!0 1 5! ⋯ 1 2! 5! ⋯ :.
EJERCICIO 6
de Taylor que aproxima la solución en torno de x =0 del problema: ̈ 3̇ ⁄, 0 10, ̇ 0 5 con valores iniciales es: El polinomio
0
105 … … B. 510 C. 55 … … D. 105 A.
Como primer medida se evalúa la ecuación diferencial para x = 0 , así:
0 3 0 0 0 0 15 Ahora como
3
se cumple en cierto intervalo en torno a
podemos derivar ambos lados para deducir
3 73 Derivada del producto
Volvemos a derivar ambos lados,
3 289 143 Se prosigue con el proceso de derivación
3 … No existe
0 ,
Para esta etapa, no existe la quinta derivada porque el exponente que se obtuvo fue negativo, es decir, ya existen puntos singulares en los que no existe, de ahí que solo se pueda construir el polinomio de Taylor de grado 0 al 4. Ahora se puede volver a sustituir x = 0 en las derivadas obtenidas. Se obtiene lo siguiente:
0
7 0 3 0
3
0 0
0 30 289 0 0 143 0 0 0 0 Se usan las condiciones iniciales que se han obtenido hasta ahora, quedando:
0 45 0 135 Por consiguiente, se han obtenido los siguientes puntos:
0 10 0 5 0 15 0 45 0 135 El polinomio de Taylor para este caso sólo se puede extender hasta el cuarto grado, por lo que se usará la ecuación (2) y se reemplazarán los datos obtenidos para n = 4
10 5 152! 452! 135 4! Desarrollo de factoriales
10 5 152 152 458
Punto 7
′′ ′ 0, son analíticas en , es decir, si se pueden expandir en serie de potencias de con un radio de convergencia positivo. Si un punto no es ordinario Se dice que x = a es un punto ordinario de la Ecuación Diferencial.
se dice que es singular. Teniendo en cuenta el concepto anterior, los puntos ordinarios y singulares de la ecuación
4̈ 2̇ 3 0 son aproximadamente: 1. ±1 Puntos Singulares 2. ≠ ±1 Puntos Ordinarios 3. ±4 Puntos Ordinarios 4. ≠ ±4 Puntos Singulares
diferencial
Solución
4̈ 2̇ 3 0
̈ 2 4 ̇ 3 4 0 3 4 2 4 4 0 2 2 0 2 2 Por tanto ±2 son puntos singulares y ≠±2 son puntos ordinarios
Punto 8
Los puntos singulares de la ecuación diferencial:
2̈ 1̇ 2
0 son: 1 2 1 4. 2 1.
2. 3.
Solución
2̈ 1̇ 2 0 ̈ 1 2 ̇ 1 2 0 ̈ 21 1 ̇ 22 1 0 ̈ ̇ 2 1 0 2 1 Por tanto 2 , 1 son puntos singulares
PRIMER ACTIVIDAD GRUPAL:
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema:
Si tenemos en cuenta que la carga Q en el capacitor de un circuito RLC queda descrita por:
̈ ̇ , donde
L es
la Inductancia, R la resistencia, C la capacitancia y
E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que:
1 Ω. 0,1 ℎ, 2 , 0,0 10 ̇0 0
Determine al menos los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en serie de potencias en torno a t= 0 para la carga del capacitor. Ecuación: Sujeto a:
̈ ̇
1 Ω. 0,1 ℎ 2 0 10 ´ 0 Se procede a reemplazar en la ecuación se tiene que:
0,1´´ (1 10 )´ 12 0 0,1´´ 10,1´ 0,5 0 0,5 0 ´´ 10,1´ 0,1 0,1 ´´ 10´ 5 0 La forma de la solución general en términos de series de potencia viene dada por la expresión:
∞
! = Siendo el punto ordinario alrededor del que se evalúa la serie de potencia. En este caso se usará 0, por tanto se tiene que: ∞ !0 = NOTA: Se harán cálculos hasta un valor de 5 para analizar el comportamiento de la serie - Para el termino 0 Se debe calcular 0 010
Por tanto se obtiene el término
:
10 0 0! -
Para el termino
Se calcula
1
´0
´0 0 Se obtiene el término
:
0 ´0 1!
2 Se debe calcular ´´0. Para ello se utiliza la ecuación problema ´´ 10´ 5 0, evaluando la ecuación alrededor del punto ordinario 0, por tanto: ´´ 10´ 5 0 ´´0 100´0 50 0 ´´0 10´0 50 0 ´´0 10´0 50 ´´0 100 510 ´´0 50 Por tanto se obtiene el término : 50 ´´0 2! 2! - Para el termino 3 Se calcula ´´´0. Para ello se deriva la ecuación problema ´´ 10´ 5 0, evaluando la ecuación alrededor del punto ordinario 0, por tanto: -
Para el termino
[´´ 10´ 5 0] ´´´ 10´´ ´ 5´ 0 ´´´ 10´´ 6´ 0 ´´´0 100´´0 6´ 0 ´´´0 10´´0 6´0 0 ´´´0 10´´0 6´0 ´´´0 105060 ´´´0 500 Por tanto se obtiene el término : 500 ´´´0 3! 3! - Para el termino 4 Se calcula 0. Para ello se deriva la ecuación resultante en el inciso anterior ´´´ 10´´ 6´ 0, evaluando la ecuación alrededor del punto ordinario 0, por tanto:
[´´´ 10´´ 6´ 0] 10´´´ ´´ 6´´ 0 10´´´ 7´´ 0 0 100´´´0 7´´0 0 0 10´´´0 7´´0 0 0 10´´´0 7´´0 0 10500750 0 4650
: 0 4! 4650 4! 0 Se calcula 0. Para ello se deriva la ecuación resultante en el inciso anterior 10´´´ 7´´ 0, evaluando la ecuación alrededor del punto ordinario 0, por Se obtiene el término
tanto:
[ 10´´´ 7´´ 0] 10 ´´´ 7´´´ 0 10 8´´´ 0 0 1000 8´´´0 0 0 100 8´´´0 0 0 100 8´´´0 0 104650 8500 0 42500 Se obtiene el término : 0 5! 42500 5! Expresando la sumatoria en series de potencia se tiene que:
⋯ 4650 42500 ⋯ 100 502! 500 3! 4! 5! 1025 83,3̂ 193,75 354,16̂ ⋯
