ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD 3: FASE 5: DISCUSIÓN 100412_35
PRESENTADO POR:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
INTRODUCCIÓN El presente trabajo se realiza con el fin de aprender acerca del Estudio de series y funciones especiales, tales como: métodos de series de potencias de ecuaciones diferenciales, diferen ciales, series de Taylor y Maclaurin, teorema de Frobenius, entre otros; abordando y llevando a cabo las soluciones de este, donde consta de 9 problemas y/o ejercicios resolviéndolos de manera diferentes, de acuerdo al material de apoyo presentado en el Entorno de conocimiento para la Unidad 3. Donde se resuelve resu elve individual 2 ejercicios cada uno de los cinco integrantes para subirlo al Foro de Trabajo Colaborativo; luego en grupo se realiza las dos actividades grupales con situaciones de aplicación de las Ecuaciones diferenciales de primer orden y Ecuación diferencial con coeficientes no polinomiales utilizando la serie de Maclaurin, además se realiza retroalimentación para dar una un a mejor solución del trabajo colaborativo. OBJETIVOS
Aplicar todos los conocimientos para realizar el Estudio de series y funciones especiales Identificar las series de Taylor y Maclaurin Realizar ejercicio de acuerdo al teorema de Frobenius Retroalimentar los problemas y/o ejercicios resueltos por cada estudiante
DESARROLLO DE LA PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta. Responda las preguntas 1 y 2 con base a la siguiente información.
1. Un método alternativo para hallar soluciones con series de potencias de ecuaciones diferenciales como: , alrededor de un punto ordinario x = 0 es el método método de la ser serii e de de Taylor Taylor . Este método usa los valores de las derivadas evaluadas en el punto ordinario, los cuales se obtienen de la ecuación diferencial por diferenciación sucesiva. Cuando se encuentran las derivadas, usamos luego la expansión en serie de Taylor
̈ ̇ 0
̈ ⃛ ̇ 2! 3! ⋯
Dando la solución requerida. Considerando lo anterior, la solución para la ecuación es:
̇ 1 + ⋯ 1 + ! − ! − − − 1 +! +! ⋯ 1 −! −! ⋯ 1 ! ! ⋯ A.
B. C.
D.
Respuesta: Suponemos
0 0
Luego tomamos la función para empezar a derivar y a reemplazar
̇ 1 0011 ′′′1 0112 0 2 La aproximación de Taylor viene dado por
′′ 0 ′ ′ 0 0 ′0 2! 3! ⋯
Por lo tanto tenemos
2 2 1 2! 3! ⋯ 2. Al emplear el método de series de potencia, la solución del problema de valor inicial de la ecuación dada es: A. B. C. D.
̈ 2̇ 8 0; 0 3,̇ 0 0 4 312 4 312 3 312 312 3 Respuesta:
Sustituyendo
1 = Derivando “y” ˈ − 2 = ˈ 1 − 3 = Reemplazando en la ecuación diferencial
= 1− 2 = − 8 0 4 = Desarrollando (4) = 1− 2 2= −8 0 5 = = 1− 2 2 = 8 0 6 = Tomamos el primer término término de (6)
= 1−
7
Decimos que
2 2 →80 Sustituimos (8) en (7) 2 21 ++− = 2 1 + 9 = Ahora tomamos el segundo término de (6) asumiendo
=
, entonces
10
Tomamos el tercer término de (6), hacemos
=
→1
→0
11
Se sustituye (9) (10) y (11) en (6)
2 2 1 2 + 2 8 0 12 = = = Se evalúa el primer y el tercer término en 0 0 20 1+ = 32+ 2 8 8 0 = = 2 8 = 32+ 2 2 = 8 0 13 =
Se reagrupa la ecuación (13) 2 8 =( 32+ 2 8) 0
14
Se iguala a “0” los términos de (14)
228 8 0 ≠0 32 32+ 2 8 0 15 + 32+ 24 4 16 + 232 Sabemos que
Despejamos
de (15)
A partir de la ecuación (16) se determinan los demás términos Para
1
Para
2
Para
3
+ 1 23114 2 66 + 2 23224 2 412 13 13 ×4 43 43 + 3 23334 2
Para
Para
Para
220 101 101 101 4 + 4 23444 2 030 0 0 5 + 5 23554 2 242 211 101 2101 2101 6 + 6 23664 2 456 114× 0 0 ….. ++ ˈ 2 3 4 5 ⋯…….− 0 3 3 00 0 0 0 0 0 0 3 Sabiendo que la solución general es
Reemplazando
ˈ0 0 0 20 30 40 50 ⋯…….0− 0 ̇ 0 3, 0 0 3 0 Reemplazando
Se pide la solución con los valores iniciales
, entendiéndose como
y
Luego
30 4 4∗312 43 ..0 3 4 0→ ...0 Por tanto la solución de la ecuación es:
312 4 3. Utilizando el método de series de potencia, la solución para la ecuación de segundo orden es:
0 1 ... ∑= − A. ∑= . . . + 1 ... ∑= − B. ∑= ...+ 1 ... ∑= ... + C. ∑= 1 ... ∑= ... + D. ∑= Respuesta:
Considerando la solución
=
Sacando primera y segunda derivada
− = − 1 = Sustituyendo en la ecuación diferencial
1 − − 0 = = = 1 − 0 = = =
2 2 21 + 0 = = = 21 21 + 0 = = = 2 21 + 0 = = = 2 0 2 221+1+ 0 0 + 2 1 1, 2, 3, 4, ….
1 1.3 2 26 3 2 2. 3 43 12 4 4 8 3 3. 4 54 20 5 5 15 4 4. 5 65 30 6 6 48 5 5. 6 766 42 7 7 105 ⋯ … 2 3 8 15 48 105 ⋯ … 12 18 481 13 151 1051 + 1 1 2.4.6. 2 1.3.5. 21 Para
Para
Para
Para
Para
=
=
−0,0 ̇ 0 1 ̈ 0 1 ! ! ⋯ 1 ! ! ⋯ 1 ! ! ⋯ 1 ! ! ⋯
teniendo en cuenta la 4. La solución de la ecuación: condición iniciales y utilizando utilizando las series de Maclaurin es: A. B. C. D.
Respuesta:
"− 0 ;0 ;0 ′0 1 Considerando
= Derivamos
− = " 1 − = Sustituimos la ecuación diferencial
= 1 − − = 0
2 0 2
Luego
1
Sustituimos
= 2 1+ − = 0
Obtenemos
1+ − 0 = 2 1+ − 0 = 2 2 1+ − 0 − + 2 1 = ! 0 − 1
""′00 1 ′′00 00 0 1
Por ultimo al sustituir la fórmula de Maclaurin
1 2! 5! ⋯
̈ ̇ 0, ̈ ̇ 0
si se desea saber el comportamiento si 5. Para la ecuación diferencial de la solución en el infinito, se realiza un cambio de variables así: . Teniendo en cuenta el concepto anterior los puntos en el infinito para la ecuación diferencial de Euler, , son:
∞⇒→0 A. B. C. D.
, →
X en el infinito es un punto singular regular con exponente 1 y 2 X en el infinito es un punto singular irregular con exponente 1 y 2 X en el infinito es un punto singular regular con exponente 2 y 4 X en el infinito es un punto singular irregular con exponente 2 y 4
Respuesta: La ecuación diferencial de Euler es:
0
0<<∞ ∞<< 0 − 1 − 1− − 1 1
Se busca la solución general en el intervalo , sustituyendo
, las soluciones en el intervalo en la ecuación diferencial
Siendo esta
=
La solución general es
Siendo esto el punto regular singular 1 y 2
de Taylor que aproxima la solución en torno de 0 del problema: ̈ 3̇ ⁄, 0 10, ̇ 0 5 con valores iniciales es: A. 105 … B. 510 … C. 55 … D. 105 …
6. El polinomio
Respuesta:
"3′ ⁄"3′0 0⁄015 10 ′0 5 3 3"0⁄⁄0′45 4 3′′′0 0′′135 Formula del Polinomio de Taylor
0 0 = ! Reemplazamos
′′ ′0 ′ ′ 0 10 5 0"0 3! 4! 45 135 15 105 2 .1. 1 3 . 2. 1 4.3.2.1 Luego la respuesta:
15 45 15 105 2 2 8 …
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas Marque B si 1 y 3 son correctas Marque C si 2 y 4 son correctas Marque D si 3 y 4 son correctas
′ ′ ′
7. Se dice que x = a es un punto ordinario de la Ecuación Diferencial. , si y son analíticas en , es decir, si y
0
se pueden
expandir en serie de potencias de x − a con un radio de convergencia positivo. Si un punto
no es ordinario se dice que es singular. Teniendo en cuenta el concepto anterior, los puntos ordinarios y singulares de la ecuación diferencial son aproximadamente: 1. 2. 3. 4.
4̈ 2̇ 30 ≠ ±2±2 ≠ ±4±4 Puntos Singulares Puntos Ordinarios Puntos Ordinarios Puntos Singulares
Respuesta: Supongamos que la ecuación
0 0 ≠ 0 40 4 ±√ 4 ±2 Se puede escribir así: Donde
Luego tenemos
Por lo tanto tenemos
±2
Puntos singulares y
≠±2
8. Los puntos singulares de la ecuación diferencial: son: 1. 2. 3. 4.
0 12 21
puntos ordinarios
2 2̈ 1̇ 2
Respuesta:
2̈ 1̇ 20 1 20 → 2 1 {12 2 1 ̇ 2 2 0 2 ̈ 2 Se divide a (1) en
Factorizamos 2 2 1 3 Se sustituye (3) en (2)
̈ 21 1 ̇ 22 1 0 4 Desarrollando (4)
̈ 1 2 ̇ 1 1 0 4 1 2 2
Con
1 1 1 2 2 ;1 1 0 ; 2 0 1 ; 2 También
̈ ̇ 0
9. Sabiendo que el teorema de Frobenius dice: Si ecuación diferencial ordinaria una solución en serie de la forma:
es un punto singular regular de la , entonces existe al menos
+ = Donde r es una constante a determinar. Esta serie converge en un intervalo de la forma Considerando lo anterior, para la ecuación Frobenius son: 1. 2. 3. 4.
0< < 4̈ 2̇ 0
, las dos soluciones en serie de
12 √ √ 21 √ √ Respuesta: Suponiendo
0 + 1 = Derivando
ˈ +− 2 = ˈ 1 +− 3 =
Reemplazando
41 +− 2+− + 0 = = = Desarrollando
41 +− 2+− + 0 4 = = = =41 2+− = + 0 ( 444 2) +− + 0 = = ( 442 ) +− + 0 = =
0 0 4042+− =( 442)+− = + 0 442)+− = + 0 42 42− =( ( 442 442)− = 0 5 42 42− ( =( 442 Se evalúa el primer término en
Tomamos la primera sumatoria del segundo término de (5)
( 442 ) − = Decimos que
1 1 →70
6
Sustituimos (7) en (6) 1 4142 ++− = 1 442 + 8 = Tomamos la segunda sumatoria del segundo término de (6), hacemos →0 = 9 Se sustituye (8) y (9) en (5) y se reagrupan
42 42− =1 1442 442+ 0 10 Se iguala a “0” los términos de (12)
42 42 01 0 2 ≠ 0 1 1442 442+ 0 11 + 1442+ + 1442 + 142 + 0 140 2 Sabemos que
Despejamos
Para
Para
0
de (11)
Para
Para
Para
2 1 + 1 141 2 − 12 12 24 24 2 + 2 142 2 30 30 720 720 3 + 3 143 2 56 56 40320 40320 ..⋯ 2 24 720 40320 − 0402 =1 2 2cos(√ )) =1 2 2cos(√ ))
Para
Para
0
Para
1
Para
2
Para
3
+ 44 44
+ 0 0 404 404 16 + 1 1 414 414 − 20 20 120 120 + 2 2 424 424 42 42 5040 5040 + 3 3 434 434 144 144 725760 725760
725760 ].. 124122− [ 16 120 5040 725760 ].. 12 2 2− [ 16 120 5040 1 1 = 21 sin(√ ))
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD GRUPAL PRIMER ACTIVIDAD GRUPAL Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
PROBLEMA:
̈
Si tenemos en cuenta que la carga Q en el capacitor de un circuito RLC queda descrita des crita por: , donde L es la Inductancia, R la resistencia, C la capacitancia y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que .
̇
1 Ω 0,1 ℎ ℎ,, 2 ,, 0,,0 10 ̇ 0 0
Determine al menos los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en serie de potencias en torno a para la carga del capacitor.
0
SOLUCIÓN
̈ ̇ 1 0,1̈ 1 10 ̇ 12 0 Reemplazando los valores iniciales
110 ̈ 10 1 ̇ 10 2 0 ̈ 10 10̇ 5 5 0 Multiplicando la ecuación por 10
Sustituyendo
1 = Derivando “q” ˈ − 2 = ˈ 1 − 3 = Reemplazando en la ecuación diferencial
= 1− 10 = − 5 0 = Tomamos el primer término término de (4) = 1− 5 Decimos que
2 2 →60 Sustituimos (6) en (5) 2 2 21 21 ++− = 2 2 1 + 7 =
4
Ahora tomamos el segundo término de (4) asumiendo
=
, entonces
8
Tomamos el tercer término de (4), hacemos
=
→1 →0
9
Se sustituye (7) (8) y (9) en (4)
2 2 1 + 10 5 0 = = =
10
0 0 20 1+ = 32+ 10 = 5 5 0 = 2 5 = 32+ 10 = 5 0 11 = Se evalúa el primer y el tercer término en
Se reagrupa la ecuación (11) 2 5 =( 32+ 10 5) 0 Se iguala a “0” los términos de (12)
225 5 0 ≠0 32+ 10 5 0 Sabemos que
12
Teniendo 0 para la carga del capacitor 32 32+ 10 5 0 13 Despejamos + de (13) 32+ 521 21 14 + 5 32
A partir de la ecuación (14) se determinan los demás términos Para
1
Para
2
Para
3
Para
4
211 + 5 1 312 156 52 52 22 1 + 5 2 32 2 25 5 125 25 12 12 2 24 12524 23 1 + 5 3 33 2 35 5 175 35 20 20 2 40 17540 24 1 + 5 4 34 2
45 125 5625 45 30 30 24 720 12524 ….. ++ ˈ 2 3 4 5 ⋯…….− 0 10 10 00 0 0 0 0 0 0 10 ˈ0 0 0 20 30 40 50 ⋯…….0− 0 Sabiendo que la solución general es
Reemplazando
Reemplazando
Los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en serie de potencias son:
10 52 10 10 25 12524 10 62512 625 5625 10 10 720 8
SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando res altando en otro color la corrección y aportes extras extr as a la solución. Situación y solución planteada: ENUNCIADO Y SOLUCIÓN PLANTEADA: La solución de la Ecuación Diferencial con coeficientes no polinomiales dada así: Usando la serie de Maclaurin para
̈ 0
, Esta
, junto con la suposición usual
∑= − ̈ 1 1 2! 4! 6! ⋯ = − ̈ ∑= 1 ! ! ! ⋯ ∑= ̈ 2 612 20 ⋯ 3! 5! 7! ⋯ ⋯ ̈ 2 612 20 ⋯ ⋯ 3! ⋯ 5! ⋯ 7! ⋯ ̈ 2 6 12 20 3! 3! 3! 5! 3! 5! 5! 7! 5! 7! 7! 7! ⋯0 Tenemos que:
Forma correcta:
̈ 2 6 12 12 20 12 ⋯0 26 00 12 0 20 0 Escriba aquí la ecuación.
Se tiene que:
Resolviendo tenemos:
12 , 16 , 121 , 301 0, 16 , 121 , 1201 1 ⋯ ⋯
Agrupando los términos llegamos a la solución general
, donde
L a ecuación ecuación dif difer encial nci al no titi ene puntos puntos sing singular ulare es fi f i nito ni tos, s, amba ambass seri es de pote otencia nci a conve converr gen para |x|<∞.
CONCLUSIONES Durante el desarrollo de la actividad se pudieron afianzar de una mejor manera los conocimientos básicos en donde se clasificaban y solucionaban las Ecuaciones Diferenciales Dif erenciales de primer orden y Ecuación diferencial con coeficientes no polinomiales utilizando la serie de Maclaurin y el Estudio de series y funciones especiales, permitiendo a los estudiantes tener mayor claridad de los conceptos aprendidos durante dicha actividad. Con la finalidad de retroalimentar los problemas y/o ejercicios resueltos por cada estudiante, se tuvo una mejor comunicación y colaboración por parte de los integrantes del grupo. Finalmente cada persona pudo identificar el método de solución de series de potencias de ecuaciones diferenciales, series de Taylor y Maclaurin, teorema de Frobenius la cual aplicaba a los ejercicios planteados que se solucionaban.
BIBLIOGRAFÍA Alvarado, E. (2014). Solución de ecuaciones diferenciales por el método de Series de potencia. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213 CK-12, (2015). Absolute and Conditional Convergence. [OVA]. Disponible en: http://www.ck12.org/calculus/Absolute-and-Conditional-Convergence/ CK-12, (2015). Convergence and Divergence of Sequences. [OVA]. Disponible en: http://www.ck12.org/calculus/Convergence-and-Divergence-of-Sequences/ CK-12, (2015). Power Series and Convergence. http://www.ck12.org/calculus/Power-Series-and-Convergence/
[OVA].
Disponible
en:
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 113-154). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.58-135). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 193-217). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022
