ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD 2: FASE 3: DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN 100412_35
PRESENTADO POR: CAVIEDES CEDEÑO EDNA KARINA CORTEZ LOSADA JOSELINE GALVIS VALENCIA JHEYSON EDUARDO LÓPEZ JENKINS EDUARDO RÍOS MAIRA ALEJANDRA
CODIGO: 1075297613 CODIGO: 1077870520 CODIGO: 1109297181 CODIGO: 12263485 CODIGO: 1079182842
PRESENTADO A ANGELO ALBANO REYES TUTOR VIRTUAL
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD PROGRAMA INGENIERIA AMBIENTAL CEAD NEIVA 2017-1
INTRODUCCIÓN El presente trabajo se realiza con el fin de aprender acerca de las Ecuaciones diferenciales de orden superior: Ecuaciones lineales de segundo orden de coeficientes constantes o variables, ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior homogéneas y no homogéneas, aplicando métodos de solución como el cambio de variables, coeficientes indeterminados, entre otros; abordando y llevando a cabo las soluciones de este, donde consta de 10 problemas y/o ejercicios resolviéndolos de manera diferentes, de acuerdo al material de apoyo presentado en el Entorno de conocimiento para la Unidad 2. Donde se resuelve individual 2 ejercicios cada uno de los cinco integrantes para subirlo al Foro de Trabajo Colaborativo y luego en grupo se realiza las dos actividades grupales con situaciones de aplicación de las Ecuaciones de Orden Superior y se retroalimentaba para dar una mejor solución del trabajo colaborativo. OBJETIVOS
Aplicar conocimientos básicos en la clasificación y solución de Ecuaciones Diferenciales de orden superior Retroalimentar los problemas y/o ejercicios resueltos por cada estudiante Identificar el método de solución de Ecuaciones Diferenciales de orden superior
DESARROLLO DE LA PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
1. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.
Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación estudiante propone:
, Un
A. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da
=
B. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da
=
C. Hacer las sustituciones ecuación homogénea asociada, cuya solución da D. Hacer las sustituciones ecuación homogénea asociada, cuya solución da
Respuesta:
Realizada por: Maira Alejandra Ríos
+
+
y resolver la
=
+
y resolver la
=
+
2. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.
En la intención de resolver la ecuación diferencial propone hacer las sustituciones resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da
=
, un estudiante y + .
El proceso anterior es: A. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación cuyas soluciones son
B. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación quien tiene una única solución real que es
C. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es que tiene una única solución real que es y por lo tanto su solución da = +
D. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es que tiene una única solución real que es y por lo tanto su solución da = +
Respuesta:
Se trata de una ecuación lineal completa o no homogénea de 2º orden. Para resolverla el primer paso es resolver la solución general de la homogénea asociada ; siendo su solución la siguiente: Ecuación Característica Caso II: como
, la solución es:
Teniendo como resultado de la solución general de la ecuación homogénea asociada:
Realizada por: Edna Karina Caviedes Cedeño
3. Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es:
( )
.
Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación x2 y’’ + xy’ +y=2x es: A. B. C. D.
.
Respuesta:
Reemplazo los respectivos valores
Tenemos
Factorizamos a
√
Resolvemos la ecuación cuadrática
Se obtienen 2 raíces imaginarias
Según el tipo de solución
( ) ( ) ( ) ( )
.
Remplazamos
Realizada por: Jenkins Eduardo López 4. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma
∫ ∫ | | | | Es
En donde
Para ello, los Wronskianos
,
Con base en lo anterior, la solución de la ecuación A. B. C. D. E.
,
es:
Respuesta:
Ecuación auxiliar
Factorizando e identificando a
Solución general de la ecuación homogénea asociada
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Realizada por: Jheyson Eduardo Galvis Valencia
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
5. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma
| | | |
Se procede sustituir Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma
Luego, con la ayuda de los wronskianos ,
,
Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x2 y’’ + xy’ = x son: 1) 2) 3) 4)
Respuesta:
Solución de la ecuación homogénea asociada
La solución con raíces iguales de la ecuación homogénea asociada seria
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Realizada por: Joselinne Cortez Losada
6. Una ecuación lineal de orden n es de la forma
Esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión
Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma
Por lo anterior, de la ecuación diferencial 1) 2) 3) 4)
se puede afirmar que:
Es lineal de segundo orden con coeficientes variables El operador diferencial que anula a g(x) es El operador diferencial que anula a g(x) es Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes
Respuesta: Los anuladores:
El anulador de la función Quedando así;
Es una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes y el anulador correspondiente a
Realizada por: Joselinne Cortez Losada
7. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma se procede sustituir Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma
| | | | Y luego, con la ayuda de los wronskianos
,
,
Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, los Wronskianos w1 y w2 de la ecuación ecuación diferencial: Son:
1) 2) 3) 4)
w1=2x w1=-x3 w2=1 w2=x
Respuesta:
Reemplazamos en la ecuación
Igualamos las ecuaciones al valor del exponente de x Factorizamos
Encontramos las raíces de la ecuación
Reemplazamos en la formula
Obtenemos
Los wrosquianos a realizar se conforman así:
| | | | ,
Realizada por: Jenkins Eduardo López
,
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y seleccionar su respuesta de acuerdo con la siguiente información
Seleccione A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.
Recuerde que seleccionada la respuesta debe especificar el procedimiento que la justifique
8. La solución particular de la ecuación
√
√ es
PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias.
Respuesta:
√ √ √ √ Se resuelve la ecuación característica
Teniendo como solución particular
√ √ Seleccione C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA
Realizada por: Maira Alejandra Ríos
9. Un operador anulador para la función PORQUE la función f(x) es no lineal.
es
Respuesta:
) (()
Cualquier termino no homogéneo de la forma Cualquier término no homogéneo de la forma siendo
satisface que satisface que
Para el primer termino Verificando
Para el segundo termino Verificando
Reemplazando
Operador anulador:
Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA
Realizada por: Jheyson Eduardo Galvis Valencia
10. La solución del problema de valor inicial es PORQUE la solución particular de la ecuación es
Respuesta:
Se trata de una ecuación lineal homogénea; siendo su solución la siguiente:
Ecuación Característica
CASO I: como
, la solución es:
Teniendo como resultado de la solución general de la ecuación homogénea asociada:
Derivando la solución general: Reemplazando los valores iniciales
Con las ecuaciones -
Se despeja
-
Se sustituye
y
en
en
se halla
y
-
Se sustituye
en
Reemplazando las constantes C1 y C2 la solución particular de la ecuación es.
Seleccione A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación
Realizada por: Edna Karina Caviedes Cedeño
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD GRUPAL PRIMER ACTIVIDAD GRUPAL: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. PROBLEMA: Una persona de de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de , Halle la función que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de
Solución: CONDICIONES INICIALES
Vo Masa t Constante de elasticidad Función de movimiento libre
Conociendo que el modelo matemático para el sistema masa – resorte es:
Reemplazamos los valores iniciales de y
Se resuelve la ecuación diferencial homogénea, teniendo en cuenta la ecuación característica
√ √ √ (√ )(√ )
La solución de la ecuación diferencial seria;
√ [(√ )(√ )] (√ )(√ ) √ [(√ )(√ )] √ √ √
Reemplazando en t
Sabiendo que Vo
Con los valores de los coeficientes quedaría la función de movimiento libre
√ (√ )(√ )
así
SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: SITUACIÓN Y SOLUCIÓN PLANTEADA: Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
Se suelta desde el reposo a 1/2 unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de
y la constante elástica es . El movimiento es amortiguado y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa , comenzando en . Dicha fuerza está definida como . Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento
En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:
∑
De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior:
Donde la aceleración y la velocidad están dadas por Transponiendo términos en la ecuación:
y
Y reemplazando los valores dados en esta se tiene:
Equivalente a:
Se hace
para convertir la ecuación a una homogénea:
Se escribe la ecuación característica y se resuelve:
Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones:
,
,
Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:
Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:
Sustituyendo en la ED
Operando:
Reuniendo términos semejantes:
Factorizando:
El sistema de ecuaciones resultante
(1)
(2)
Solución: Método de reducción Multiplicar
La solución de la ecuación diferencial seria
Derivando
Reemplazando valores iniciales
La solución de la ecuación diferencial seria
CONCLUSIONES Durante el desarrollo de la actividad se pudieron afianzar de una mejor manera los conocimientos básicos en donde se clasificaban y solucionaban las Ecuaciones Diferenciales de orden superior, permitiendo a los estudiantes tener mayor claridad de los conceptos aprendidos durante dicha actividad. Con la finalidad de retroalimentar los problemas y/o ejercicios resueltos por cada estudiante, se tuvo una mejor comunicación y colaboración por parte de los integrantes del grupo. Finalmente cada persona pudo identificar el método de solución de Ecuaciones Diferenciales de orden superior la cual aplicaba a los ejercicios planteados que se solucionaban.
BIBLIOGRAFÍA Alvarado, E. (2014). Operador http://hdl.handle.net/10596/7215
anulador.
Unad. [Videos].
Disponible en:
Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales método coeficientes indeterminados. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7214 Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales por variación de parámetros. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-112). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.58-135). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 54-107). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7220
