ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Presentado a: William De Jesus Montoya Henao Tutor(a)
Entregado por: John Castro Medina Código: 1070969.375 Ruben Jose Maury Código: 1043872357 Yecid Díaz Código: 11445914 Janisberto Herrera Zuñiga Código: 9149043
Grupo: 100412_2
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES MARZO BOGOTÁ D.C. 2019
INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se van a entregar soluciones sobre ecuaciones diferenciales de orden superior, tratando ecuaciones homogéneas y no homogéneas, d e Cauchy Euler de segundo y tercer grado, también se entregarán resultados sobre cálculos de formulas de movimiento forzado amortiguado y calculo de resistores y capacitores determinando la carga y la corriente dadas las ecuaciones diferenciales, en cada uno de los ejercicios desarrollados se explica cada uno de los pasos a seguir para hallar la solución adecuada.
OBJETIVOS GENERAL Emplear métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior para la contextualización en soluciones problema.
ESPECIFICOS
Determinar el orden de ecuación diferencial según las fórmulas entregadas en el entorno de conocimiento. Conocer el uso de las ecuaciones diferenciales en la práctica cotidiana. Analizar situaciones que se puedan presentar y establecer soluciones con referencia a las Ecuaciones diferenciales.
PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL
Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante JANISBERTO HERRERA ZUÑIGA JOHN ALEXANDER CASTRO YECID DIAZ
RUBEN JOSE MAURY
Rol a desarrollar
Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1.
El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en COMPILADOR todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en ENTREGAS todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios Desarrollo el ejercicio e en todos los 3 ALERTA Tipo de ejercicios. EVALUADOR
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.
TIPO DE EJERCICIOS 1 – ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, d ebe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HANISBERTO HERRERA
a.
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA a.
´´ 3´ 88 0
3 88 0 4 ± √ 2
´´ 3´ 88 0 RAZÓN O EXPLICACIÓN La ecuación diferencial es de orden superior y homogénea, por lo tanto, su solución se encuentra armando el polinomio característico. Las sustituciones propuestas para armar el polinomio característico son Armando el polinomio característico se encuentra que Solucionando por la formula del estudiante
4188 3 ± 3 2 3 2±19 8 11 8 11 −
Reemplazando los valores Encontrando las raíces característico quedaría.
del
polinomio
Como las raíces son reales y distintas se tiene que la solución es de la forma Los valores de a y b son las raíces del polinomio característico La solución de la ecuación diferencial es la mostrada.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JHON CASTRO MEDINA
. ´´´ 4 ´´ 5 ´ 0 RAZÓN O EXPLICACIÓN
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA
. ´´´ 4 ´´ 5 ´ 0
Se determina que es una ecuación de grado 3, al tener mas de dos derivada concluimos que es de orden superior.
4 5 0
Se determina la ecuación característica de tipo
4 5 0
Se utiliza factorización para llegar a una ecuación lineal y se determina que el resultado es un trinomio cuadrado perfecto.
5 1 0 0, 5 0, 1 0 0, 5, 1 −
Encontramos dos números que multiplicados nos den el segundo numero y sumados nos den el primero, ahora igualamos todo a 0 y despejamos.
0
Ahora
pasamos a entonces,
≠ ℝ
concluir
que
si
le
ya
agregamos un variables y despejamos.
−
Al
que tiene tres
calcular,
encontramos que entonces encontrando el resultado general de la
0 ∗ 0 0 1 ecuación.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: YECID DIAZ
.3´´ 12´ 5 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA
3´´ 12´ 5 0 3 12 5 0 4 ± √ 2 12 ± √ 1644 60 2 ± √ 321 2 √ 2 √ 321
+√ −√
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Partimos sabiendo que esta es la solución general por definición. Reescribimos como función ya que la ecuación diferencial homogénea es de coeficientes constantes. Hallamos las raíces, haciendo uso de la formula. Reemplazamos. Operamos y simplificamos.
Hallamos las dos raíces de la función. Por definición la solución está dada porque las soluciones son reales y diferentes. Reemplazamos las soluciones.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: RUBEN JOSE MAURY THORRENS
. ´´ 10´ 25 0; 0 1, 1 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA
´´ 10´ 25 0 10 25 0 5 0 0 1, entonces 1 . Si 1 0 , entonces 0 , luego 1.
RAZÓN O EXPLICACIÓN Es una ecuación diferencial homogénea de orden 2. Polinomio característico asociado a la ecuación homogénea. Forma general de la solución de la ecuación diferencial homogénea puesto que tiene dos raíces reales iguales. Usamos las condiciones iniciales para determinar los valores de y .
Solución al problema de valor inicial.
EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HANISBERTO HERRERA
.y´´ 10y´ 25y 30x 3 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
y´´ 10y´ 25y 30x 3
La ecuación diferencial no es homogénea, entonces toca solucionar dos ecuaciones diferenciales la homogénea y luego la particular
ℎ
la solución de la ecuación diferencial está dividida en 2
y´´ 10y´ 25y 0 10 25 0
Para encontrar la solución a la homogénea
4 ± √ 2 4125 10 ± 10 2 10 ± √ 1200 100 102 5
Solucionando por la formula del estudiante
ℎ ℎ 0 10 25 30 3 10 25 25 30 3 25 25 10 30 3
Se arma el polinomio característico.
Encontrando las raíces del polinomio caracteristico
La solución a la particular son dos raíces reales e iguales
Cuando las raíces son reales e iguales se tiene que la solución es de la forma donde el valor de a es igual a 5 Solución de la ecuación diferencial homogénea. Ahora para encontrar la solución particular se supone una solución de la misma forma que la función,
Reemplazando en la ecuación diferencial Agrupando los términos correspondientes se obtiene Después de tener los factores agrupados, y encontrando los valores de A y B
25 30 65 25 1065 3 25 12 3 25 15 35 65 35 65 35
Solución particular de la ecuación diferencial. Solución de la ecuación diferencial
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JHON CASTRO MEDINA
. y´´ y secx PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
0
RAZÓN O EXPLICACIÓN Primero debemos realizar la ecuación diferencial para relacionada para hallar la solución después arrancar con la ecuación.
1 0
Reemplazamos los lugares de la y´´ con y la y con +1, que resultaría siendo una ecuación algebraica de segundo grado.
±√ 1
Ahora pasamos a despejar la r, pasando el 1 al otro lado de la ecuación con signo negativo y la r pasaría a raíz cuadrada pero se deben tener los dos signos en cuenta.
±
Ahora al calcular resulta que la raíz cuadrada de un numero negativo, no es un numero real, es complejo que se identifica con la letra i.
0
Ahora tomando solo los datos positivos del resultado de la ecuación pasamos a usar la formula que seria igual a pero no se cumple en su totalidad entonces agregamos el 0 para que tome el valor de la a.
Ahora se calcula donde 0 por x vale 0 y e elevado a 0 da 1 pero no se pone dentro de la ecuación por lo que ya llegamos a la solución general de la ecuación.
cos
Ahora pasamos a calcular los determinantes de la 11 22 cos cos ecuación donde 1 cos 2 , cos sin entonces al calcular las y’ dan como resultado cos sin 1 1 sen 2 cos, luego multiplicamos en cruz. 0 0 Ahora calculamos los determinantes de W1, donde ′ sec cos ponemos 0 en el primer cuadrante inmediatamente 1 debajo ponemos la f(x) que seria el sec x, en el otro 0 sin x∗ sec x lado ponemos la segunda Y y su primera derivada debajo.
0 cos 0 ′ sen sec 1 1 cos x∗ sec x 0 cos ∫ ∫ tan ∫ cos ∫ ln |cos| ∫ ∫1 ln |cos| ∗cos ∗ sin
Ahora calculamos los determinantes de W2, donde ponemos y1 en el primer cuadrante que es cos x inmediatamente debajo ponemos la y1’ que seria el -sen x, en el otro lado ponemos el 0 y la f(x) debajo que seria sec x. Ahora calculamos la integral de U1, donde integramos W1 que es -tan x sobre W que es 1, pero queda solo -tan x ya que al dividir por 1 queda el mismo número, ahora se pasa a la forma du que es -sin x dx y U que es cos x donde el resultado nos da ln | cos x |. Ahora pasamos a calcular U2 que es una integral mas sencilla es W2 sobre W que seria 1 y la integral de una constante es X. Ahora pasamos a completar la formula de la solución particular para iniciar la solución general de la ecuación.
cos sin cosln|cos|
Ahora pasamos a juntar la solución de la ecuación relacionada y la solución particular para tener la Solución General de la Ecuación diferencial.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yecid Díaz
.´´ 2 ´ 5 cos2 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
.´´ 2 ´ 5 cos2 2 5 0 4 ± √ 2 2 ± √ 24 20 1 ± √ 216 1 2 1 2 ℎ [2 cos2]
[2 cos2] [ 22 2 cos2]
RAZÓN O EXPLICACIÓN Hallamos la solución de la ecuación homogénea. Partimos sabiendo que esta es la solución general por definición. Reescribimos como función ya que la ecuación diferencial homogénea es de coeficientes constantes. Hallamos las raíces, haciendo uso de la formula. Reemplazamos. Operamos y simplificamos. Hallamos las dos raíces de la función. Reemplazamos las soluciones Planteamos la solución particular de esta forma ya que la solución homogénea y la solución particular tienen los mismos términos. Hallamos la primera Derivada
[3 2 4 42 4 3 4 2cos2] [3 2 4 42 4 3 4 2cos2] 2 [3 2 4 42 4 3 4 2 cos2] 5 [ 2 cos2] cos2 14 0 14 2 ℎ [2 cos2] 14 2
Hallamos la segunda Derivada
Reemplazamos en la ecuación diferencial
Operamos y hallamos los valores A y de B
Sustituimos Por definición sabemos que la solución general está dada por Reemplazamos
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: RUBEN JOSE MAURY THORRENS
.´´´ 3´´ 3 ´ 4 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
´´´ 3´´ 3´ 4 3 3 0
RAZÓN O EXPLICACIÓN Es una ecuación diferencial no homogénea de orden 3. Ecuación diferencial homogénea asociada a la EDO.
3 3 1 0 1 0 ℎ 4 3 2 6 4 2 12 4 15 10 5 24 8 24
Polinomio característico asociado a la ecuación diferencial homogénea. Forma general de la solución de la ecuación diferencial homogénea puesto que tiene tres raíces reales iguales.
Solución particular (y sus primeras tres derivadas) que se propone dada la forma del término no homogéneo de la EDO.
6 4 2 12 4 24 2 4 Entonces
1 0 23 0 3 23 ℎ 23 3
Se reemplaza la solución particular propuesta con sus derivadas en la EDO y se hallan los valores de y .
,,,,,
Solución particular de la ecuación.
Solución al problema de valor inicial.
EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones d e Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicand o la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HANISBERTO HERRERA
a.
xy´´ 5xy´ 4y 0
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
xy´´ 5xy´ 4y 0 y x y rx− y rr 1x− x rr 1x− 5− 4
Para solucionar la ecuación diferencial por el método de Cauchy Euler
∗ − − 1 5 4 0 [ 1 5 4] 0 [ 5 4] 0 [ 4 4] 0 4 4 0 2 0
Se supone la siguiente sustitución Derivando la sustitución 2 veces se obtiene
Reemplazando en la Ecuación diferencial, se obtiene Se aplica propiedades de las potencias Operando y factorizando el término x^r Luego de simplificar y factorizar lo máximo posible quedan dos opciones o x^r es igual a cero, o el otro término es igual a cero, el primero casi no tiene lógica, entonces
Factorizando este término queda
2 − −
La raíz es una raíz repetida La solución es de la forma Reescribiendo la solución se obtiene y seria la respuesta del ejercicio.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JHON CASTRO MEDINA
.xy´´´ 4x y´´ 2y 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
xy´´´ 4xy´´ 2y 0
RAZÓN O EXPLICACIÓN Primero empezamos definiendo que es una Ecuación diferencial de tercer grado y homogénea ya que el valor de los exponentes es igual al valor de la derivada.
2− 1− 1
y Ahora pasamos a utilizar la forma pasamos a calcular sus derivadas en el grado que las necesitamos.
2 1 − 4 1− 2 0 2 1 4 1 2 0
Ahora cambiamos las derivadas resueltas por su equivalente en la ecuación
3 2 4 4 2 0 3 2 4 4 2 0 2 2 0 2 0 20 2
Ahora calculamos los exponentes que apliquen cumpliendo la regla de que multiplicando la misma base se suman los exponentes. Ahora multiplicamos las r. Ahora factorizamos con xr , y lo pasamos a dividir donde 0/ xr = 0. Ahora calculamos los terminos semejantes Ahora factorizamos ya que la ecuación seria un binomio al cubo, ahora pasamos el número a restar y el exponente a raiz cubica al otro lado donde la
raiza cubica de 0 es 0, entonces nos queda de la forma r = -2
1 −− 2 − ln 3 ln
Ahora pasamos a buscar la solución general de la ecuación donde lo que hacemos es revisar la multiplicidad del resultado de la ecuación que es 3, entonces multiplicamos por ln x una segunda vez y para una tercera vez volvemos a multiplicar por ln x.
− − ln −
Ahora con los resultados de la solución particular armamos los que serian los resultados de la ecuación general.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yecid Díaz
.´´ 2 ´ 5 cos2 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
.´´ 2 ´ 5 cos2 2 5 0 4 ± √ 2 2 ± √ 24 20 1 ± √ 216 1 2 1 2
RAZÓN O EXPLICACIÓN Hallamos la solución de la ecuación homogénea. Partimos sabiendo que esta es la solución general por definición. Reescribimos como función ya que la ecuación diferencial homogénea es de coeficientes constantes. Hallamos las raíces, haciendo uso de la formula. Reemplazamos. Operamos y simplificamos. Hallamos las dos raíces de la función.
ℎ [2 cos2]
Reemplazamos las soluciones
[2 cos2]
Planteamos la solución particular de esta forma ya que la solución homogénea y la solución particular tienen los mismos términos.
[ 22 2 cos2] [3 2 4 42 4 3 4 2cos2] [3 2 4 42 4 3 4 2 cos2] 2 [3 2 4 42 4 3 4 2cos2] 5 [ 2 cos2] cos2 14 0 14 2 ℎ [2 cos2] 14 2
Hallamos la primera Derivada
Hallamos la segunda Derivada
Reemplazamos en la ecuación diferencial
Operamos y hallamos los valores A y de B
Sustituimos Por definición sabemos que la solución general está dada por Reemplazamos
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: RUBEN JOSE MAURY THORRENS
.xy´´ 3xy´ 13y 4 3x
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
xy´´ 3xy´ 13y 4 3x 3 13 0 − 1− 4 13 0 , 4 ± √ 12652 , 2± 3 ℎ sin() cos() ℎ sin(3) cos(3) ′ 0 3 13 4 3 3 13 13 43 Entonces
103 134 103 134
RAZÓN O EXPLICACIÓN Es una ecuación diferencial homogénea de orden 2 que tiene la forma de Cauchy-Euler. Ecuación diferencial homogénea asociada a la EDO.
Proponemos esta solución y calculamos sus primeras dos derivadas.
Reemplazamos en la EDO y factorizamos. Como se busca una solución que satisfaga la ecuación para todo , suponemos que lo que se hace cero es el factor .
4 13
Forma general de la solución de la ecuación diferencial homogénea puesto que las raíces del polinomio característico son imaginarias. corresponden a los valores reales e imaginarios de la raíz, respectivamente.
,
Solución de la ecuación diferencial homogénea. Solución particular (y sus primeras dos derivadas) que se propone dada la forma del término no homogéneo de la EDO.
Se reemplaza la solución particular propuesta con sus derivadas en la EDO y se hallan los valores de y .
Solución particular de la ecuación
sin3ln || cos3ln x|| 103 134
Solución de la ecuación diferencial no homogénea.
PASO 4 PRESENTACIÓN DE APORTES A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Un sistema vibratorio que consiste en una masa u nida a un resorte como se muestra en la figura
y la constante elástica es 2 . El movimiento es amortiguado ( 1,2 y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa , comenzando en 0. Dicha fuerza está definida como Se suelta desde el reposo a unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de
54. Para esta situación, la solución corresponde a: a. y e cost sint cos4t sin4t b. y e cost sint cos4t sin4t c. y e− cost sint cos4t sin4t d. . y e− cost sint cos4t sin4t Rta: entre el c y d esta el mismo resultado.
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
0 1 1,2 2 5cos4 5 6 10 25cos4 6 10 0 6 10 0 6 ± √ 236 40 3 3 ℎ −[ cos sin] cos4 sin 4 cos4 sin 4 4sin4 4cos4 16cos4 16sin4 16cos4 16sin4 6[4sin4 4cos4] 10[ cos4 sin4] 25cos4 11 16 25 16 11 25
Según el enunciado del ejercicio se entiende que la ecuación se debe realizar con la formula de movimiento forzado amortiguado, Se reemplazan los datos del enunciado en los datos de la ecuación que aplique Se cambia el 5 a multiplicar y se realiza la multiplicación con el numero que ya estaba en la ecuación Ahora se pasa a realizar la solución donde se determina que es una ecuación diferencial Homogénea y se procede a realizar Dentro de la solución se encuentra que es de la forma de función cuadrática. Se soluciona por medio de la formula de la ecuación cuadrática Se procede a realizar la ecuación determinando las dos soluciones. Ahora se procede a realizar la solución con raíces complejas Ahora procedemos a calcular la función no homogenea. Se realizar la derivación hasta encontrar su segunda derivada
Ahora se reemplazan los datos de la ecuación particular
Se realizan las operaciones básicas posibles
25 102 5051 50 sin4 25 cos4 102 51 ℎ − [ cos sin] 25 cos4 50 sin4 102 51 1 −[ cos sin] 25 cos40 2 102 50 51 sin40 1 25 2 102 38 51 − cos 38 − sin 3 38 52 3 −52 sin − cos 109 sin4 409 cos − cos 38 − sin0 3 38 52 52 − 3 sin − cos0 109 sin40 409 cos40 86 51 86 sin 25 cos4 − 38 cos 51 50 51 102 51 sin4
Se calculan las dos incógnitas
Ahora reemplazamos los datos calculados en la solución particular.
Ahora usando la formula donde se suma la solución particular a la solución general Obtenemos:
Ahora calculamos los datos de la ecuación que aplican, y el resultado queda nombrado como C1.
Según el enunciado la masa parte del reposo entonces y’= 0
Se reemplazan los datos de solución y queda la solución general La respuesta correcta es c y d.
PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Situación Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:
EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA Solución planteada: Se tiene que la carga se modela con la ED:
OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA Revision de la solución: Se tiene que la carga sobre el capacitor se sobre el capacitor modela con la ED:
⇒ 2 12 0.1 20
⇒ 2 12 0. 1 20
La solución general de esta ecuación se obtiene sumando las soluciones complementaria y La solución general de esta ecuación se particular: obtiene sumando las soluciones complementaria y particular:
6 5 10 ⇒ 6 5 2 0
6 5 10 ⇒ 6 5 2 0
La ecuación se debe transformar primero en una homogénea de coeficientes constantes y luego hacer el cambio de variable q = Q – 2; tenemos
que , Al
2
Haciendo cambio de variable ´ y ´´ ´´. Sustituyendo: derivando ´
6 5 0
La ecuación característica:
6 5 0 Factorizando se obtienen las siguientes soluciones:
5
1
Cuando las raíces son diferentes y reales, una función complementaria es:
− Pero 2 ⇒ 2 ⇒ 2 por lo que la carga es: 2 − Derivando se obtiene la corriente:
− 5
q´
= Q´ sustituir
y
q´
=
se
6 5 0
Q´´. obtiene:
La ecuación característica:
6 5 0 ⇒ 1 5 0 Entonces encontramos que las raíces son:
1 5 Entonces la solución general es:
− − – 2 2 2
Ahora cambiamos nuevamente la variable
: 2 − − Derivando se obtiene la corriente:
− −
Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales y , se obtiene el siguiente y , se obtiene el siguiente sistema: sistema:
0 0 0 0
2 0 5 0 52 , 12 Sustituyendo:
2 52 − 12
0 0 0 0
2 0 5 0 : =
Ahora con la segunda ecuación obtenemos
5, ahora lo usamos en el resultado de la primera ecuación: 5 2 ⇒ 4 ⇒ 2 ⇒ Entonces la carga sobre el capacitor es:
La corriente que circula sobre el circuito es:
52 − 52
2 52 − 12 −
La corriente que circula sobre el circuito es:
52 − 52 − .
PASO 8 TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante
Yecid Diaz Ruben maury Janisberto Herrera
Ejercicios sustentados
Enlace video explicativo
C1
https://youtu.be/yOqrpf_vUng
E-1
https://www.youtube.com/watch?v=CDZ0Rh5de8
A-1
https://youtu.be/xEyiFy1N-tI
CONCLUSIONES
Mediante las ecuaciones diferenciales podemos calcular de manera practica la carga y la corriente que pueda pasar por un circuito.
Las Ecuaciones diferenciales homogéneas son las que tienen los coeficientes del mismo grado.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ecuaciones lineales de segundo orden. Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 59-63). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022
Ecuaciones diferenciales de orden n. Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 71-79). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022
Aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior. García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 72-76). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=1101746 7
OVI - Unidad 2 - Ecuaciones diferenciales de orden superior En este recurso digital se brinda información a los estudiantes del contenido temático de la UNIDAD 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior, con el objetivo de facilitar el reconocimiento de los diferentes elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento de los objetivos cognitivos del curso. Granados, A. (2017). Presentación Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. [OVI]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11507
Recursos educativos adicionales para el curso. (Bibliografía complementaria)
Las referencias bibliográficas complementarias le ayudará para ampliar la información relacionada con las temáticas de la unidad 2 y puede ser consultada si requiere reforzar las temáticas y referencias requeridas López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas(2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.58-135). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-112). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=1101746 7