ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO
FASE 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Presentado a: YADER BLANDON Tutor
Entregado por: EDWIN LEANDRO MORENO Código: 1.121.937.879 SIGNEY STIVEN LOPEZ Código: 1.122.650.677 VICTOR MANUEL MAYORGA Código: 17.420.858 JUAN SEBASTIAN JIMENEZ Código: 1.129.515.159 JIMMY ALEXANDER POVEDA Código: 17.422.123
Grupo: 100412_234
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA SEPTIEMBRE DEL 2017
INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones diferenciales son herramientas de análisis, siendo un área de suma importancia en una carrera de ingeniería, teniendo un extenso campo teórico como practico en el perfeccionamiento del estudiante para el buen desempeño de su vida como profesional. Se aplicarán los conceptos básicos de las ecuaciones ecuacione s diferenciales de primer orden para poder llegar a obtener una construcción de manera autónoma y dar solución al siguiente trabajo en el cual se describen una serie de preguntas tipo (SABER PRO), donde se dará la respuesta indicada teniendo en cuenta el desarrollo adecuado adecuad o del procedimiento y así poder determinar su resultado.
En los ejercicios desarrollados se emplean las diferentes bases teóricas y técnicas adecuadas proporcionadas con base a la fase 1 del curso; para el pleno y buen desarrollo de los mismos, identificando el procedimiento correcto a realizar según el tipo y clasificación de las ecuaciones diferenciales debido a que no todas se pueden realizar por un método; de igual forma se lograron identificar las diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales diferenciales en nuestra área laboral ya que es muy mu y importante saber aplicarlas en múltiples circunstancias de trabajo.
OBJETIVOS
Conocer los tipos y clasificación de las ecuaciones diferenciales.
Identificar el procedimiento correcto a desarrollar en cada una de las ecuaciones diferenciales propuestas.
Interpretar de manera correcta los ejercicios propuestos y desarrollarlos de forma adecuada.
Dar solución a las preguntas planteadas SABER PRO
Analizar y evaluar los problemas que aquí se plantean dando solución.
PLAN DE TRABAJO
Preguntas seleccionadas a desarrollar actividad individual
Preguntas seleccionadas para revisar o realimentar
Nombre: Jimmy Alexander Poveda Ávila CEAD/Acacias
Pregunta 7 y 10
Pregunta 2y8
Identificación: 1.121.937.879 Nombre: Edwin Leandro Moreno CEAD/
Pregunta
Estudiante
Rol
Identificación: 17.422.123
Identificación: 17.420.858
3y9
Pregunta
Nombre: Víctor Manuel Mayorga CEAD/
1y4
Identificación: 1.122.650.677 Nombre: Signey Rodríguez CEAD/
Stivent
López Pregunta 2y8
PREGUNTAS TIPO SABER PRO - INDIVIDUAL
1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad. 2
De acuerdo a la ecuación diferencial d y dx
2
dy dx
y
ex
xe x , cuál de las siguientes
funciones es una solución: A.
y
xe
B.
y
xe
C.
y
xe
D.
y
e
x
x
x
x
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera:
I.
Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).
II.
Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.
III.
Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación
diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable x.
2. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a.
2 3y = 0 B. x 7x 6x 7y = 0 C. x y = senxy δ δ δ D. δ δ δ = e 1 A.
ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES
= gxhy, se pueden resolver a través de la
Las ecuaciones diferenciales de la forma:
técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir:
= 3. De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial
xy = 0 se puede indicar como: A. y = C√ x 2 B. y = C√x 2
x 2
y = ln√ 2 x2lnC D. y = lnC√x 2 C.
4. Cuando en una ecuación diferencial de la forma M( x, y )dx N( x, y )dy 0 , sucede que: M y
N x
, se dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación diferencial no es
exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de través de la fórmula: ( y ) e
Nx My M
dy
y
a
.
Por lo tanto, el factor integrante de la ecuación diferencial
2x
2
y )dx ( 4x 3 1)dy 0 , viene
dado por: A. ( y ) B. ( y )
2
y 5 1
y3
C. ( y ) y D. ( y ) y
5
5
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de
dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.
7. Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variables separables y se expresan de la forma
MxdxM
Nydy = 0, en donde todos los términos en x se pueden asociar con dx y todos los términos en y con dy, cuyo despeje se puede expresar como:
= Tomando como referencia la información, el problema de valor inicial
X 16 xy =
0,con y0 = 1, tiene como solución general y solución particular, respectivamente a: 1. y = √ + 2. y = + 3. y = √ + 4. y = + ∂ = ∂ ∂
8. Una ecuación diferencial de la forma M(x,y)dx N(x,y)dy 0, es exacta cuando: ∂Y , es decir, sus derivadas parciales son iguales. De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas “No” son exactas:
1.
2y xdx 14xy 1dy = 0
2. 3. 4.
xy ydx xy xdy = 0 4yx 2ydx 2xy2xdy = 0 3xy ydx 2xy xdy = 0
Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.
9. Una ecuación diferencial de la forma
Mx,ydxNx,ydy = 0 que no es exacta, es decir
∂ ≠ ∂ se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado, ∂ ∂
μx,y llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de “y” a través de la ∫ fórmula: μy = e El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial 3xydx 3x dy = 0 viene dado por:
μy = B. μy = y C. y = Cx D. y = C√ x A.
El
Factor integrante es “y”
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.
10. Cuando se plantea la ecuación diferencial (x 3)
3y, es posible dx asegurar que la
solución particular generada para y(4) 2 es y 2(x 3)3, PORQUE al resolverla la solución general de la ecuación diferencial viene dada por y C(x 3)3
DESARROLLO PREGUNTAS SABER PRO - INDIVIDUAL
SOLUCIÓN EJERCICIO #1 Debemos determinar el factor integrante utilizando la formula
d dy y = 0 dy dx y´´ y´- y=0 m m 1 = 0 Raíces de polinomios
5 m = 1 √ 5 m = 1 √ 2 2 Ecuación auxiliar
y = ce 12 √ 5 x ce 12 √ 5 x y´´ y´- y=-xe e y = Ae y = AxBe yp = AxBe y´´p y´p y y´p = Ae eAxB y´´p = Ae Ae eAxB = 2Ae eAxB y´´p y´p y = 2Ae eAxB Ae eAxB AxBe = 3Ae eAxB = eAx 3AB
Igualación
1xe = eAx3AB x 1 = Ax 3A B = 1 {3A A B =1 A = 1 B = 4 yp = x4e = xe 4e y = y yp y = ce 1 2 √ 5 x ce 1 2 √ 5 xxe 4e SOLUCIÓN EJERCICIO #2 Sabemos que una ecuación diferencial ordinaria lineal tendría la siguiente forma:
y −y d d ax dx a−x dx− ⋯ax dydx axy = fx Basándonos en esto observamos que la primera ecuación cumple con la regla de linealidad, pero no con lo requerido, que sea una ecuación diferencial de tercer orden no lineal así que descartamos esta opción, la segunda ecuación es de tercer orden y se apega a la ecuación original de linealidad, vemos que el primer término es una variable independiente , el segundo termino de igual forma
ax
a−x , los dos últimos términos también,
ax axy, pero en la tercera ecuación la cosa es distinta ya que aunque cumple con el aspecto de ser de tercer orden vemos que y = senx y, no se cumple que ax axy = fx, además la función en la igualdad debe ser en función de X y no dé Y.
Respuesta correcta. Para concluir observamos que la ecuación del inciso (C) no es lineal, es ordinaria y de tercer orden.
x y = senx y no es Lineal
c)
SOLUCIÓN EJERCICIO #3 Separación de Variables
1 dy = x dx y x 2 Integración de Variables
1y dy = x x 2 dx Regla de Integración
= lny = lny C Integración Por Sustitución
= 2u1 du Sacar Constante
= 12 1u du
Regla de Integración
= 12 lnu Sustitución
= 12 lnx 2 = 12 lnx 2 C lny C = 12 lnx 2 C lny = 12 lnx 2 C Despejar y Propiedades de Logaritmos
lny = lne x 2 y = e x 2 y = C x 2 SOLUCIÓN EJERCICIO #4 Debemos determinar el factor integrante utilizando la formula ( y )
( y )
e
e
N x M y
N x M y M
dy
e ∫ − dy 10 x e 2x dy M
dy
=
e 5y dy e 1y dy e lny Usando
las
propiedades
de
los
logaritmos,
μ y = ey ( y )
y
5
SOLUCIÓN EJERCICIO #7
{X 16 ∂∂ = xy = 0}
Multiplicamos todo por dx.
X 16 dy + xydx = 0 X 16 dy Separamos Variables dx = -∫ ∂ Integramos ∫ +
xydx = -
Sustituimos u =
X 16 ∫ . ∂ = -∫ ∂ ∫ = -∫ ∂
entonces,
ln ⃓ ⃓y C ⃓ u⃓ = ln
Reemplazamos u =
X 16
e|X 161/2 | = e| y− | + C Aplicamos e y = √ x 16 =
y = √ +
Solución General
0 = 1 1 = 0C 16 1 = √ 0 C 16 1 = √ 16 1 = 4 PVI y
C=4
= √ 4 16 Solución: 1 y 3 son correctas.
SOLUCIÓN EJERCICIO #8 1.
2 1 4 1 = 0 2 1 = 4 4 1 = 4 ≠ No es exacta
2.
= 0 = 2 1 = 2 1 ≠ No es exacta
3.
4 2 2 2 = 0 4 2 = 8 2 2 2 = 8 2
= Si es exacta
4.
3 2 = 0 3 = 6 1 2 = 6 1 = Si es exacta
SOLUCIÓN EJERCICIO #9
3 3 = 0 Criterio de Exactitud
= 3 = 6 3 ≠ 6 Calculo de Factor Integrante
= ℎ 6 3 = 3 = 1 , 3 3 || ∫ = = Aplicación de Factor Integrante
3 3 = 0 3 3 = 0
Criterio de Exactitud
= 6 = 6 6 = 6 Resolver por Variables Separables
3 3 = 0 1 = 1 1 = 1 Integrar
1 = 1 Regla de Integración
= = Regla de Integración
= = = = Propiedades de Logaritmos
= = = SOLUCIÓN EJERCICIO #10
[ 3 = 3] ∗ 3 = 3 = 3 3 ⃓ ⃓ ⃓ = ⃓ 3 ⃓ /⃓ = ⃓+ /⃓+ / = 3 = 3 4 = 2 2 = 4 3 2 = 7 =
Multiplicamos * dx Separamos variables e integramos
Propiedades de logaritmos y aplicamos
Solución general
PVI
= 3
Reemplazamos en la ecuación general
Solución particular al PVI
4 = 2
PROBLEMAS – COLABORATIVO
PROBLEMA #1 Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera. La ecuación diferencial asociada es la siguiente ecuación diferencial lineal, que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x (t) en un instante de tiempo t.
= SOLUCIÓN Sustitución de datos en la ecuación
10 = 8 ∙5 500 810 Simplificación
5 = 40 250 Despejo de dx/dt
= 40 5 250 Sustitución
5 = 40 250 5 = 40 250 Determinar Factor Integrante
−|−| ∫ ∫ − = = = = 250 − Multiplicación por Factor Integrante
250− 5250− = 40250− Dado que
250− 5250− = ⌊250−⌋ Sustituimos
⌊250−⌋ = 40250− Integración
⌊250−⌋ = 40250− Al ser ambas integrales inmediatas
⌊250−⌋ = 250− − 250 − ⌊250 ⌋ = 4 Sustitución de resultados en ecuación anterior
250− = 8250−
Para determinar el valor de la constante “k” de integración se utiliza la condición inicial
= x, esto es, = y = se sustituye en la ecuación 250− 20 = 8250− = 250−208250− = 250−(208250) = 250−202000 = 250−1980 Sustituir “k” en la ecuación
250− = 8250−250−1980 Multiplicando por 250 = 8250 1980 250 De esta manera se representa la ley de variación de la cantidad de sal en el depósito en cualquier momento t. Por último para lograr determinar la concentración de sal en el depósito en un momento t cualquiera, se necesario acordarse de que la concentración C (t) es el cociente entre la cantidad de sal y el volumen de líquido en el tanque, en un instante t cualquiera, es decir.
= En la cual
= = 500 2 = 2250 Sustitución
250 8250 1980 250 250 = = 5 740 250 2250 La ecuación aquí representada es la ley de variación de la concentración de sal en el depósito en cualquier momento t.
PROBLEMA #2 En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C.
=
Según la Ley de enfriamiento de Newton, la ecuación viene dada como:
SOLUCIÓN
= 20 = 20 20 = In (T-20)=k (t)+C e In
(T-20) e kt +C
Propiedad eInx =xy(x)m (x)n=xm+n
T 20 = e˳ e Tt = e−C120
eC=C1
T(0)=90
90=ek(0) C1+20 90 =C1+20 C1=20-90 C1=70
T (t)=70 ek(t) + 20 75=70 e4k +20
55 = e 70 = In e4k In = 4kIne K= In ( = 0,06029 In
In (e) =1
T (t)=70e-0,06029 T (t)=70e-0,06029 t +20
55=70e-0,06029 t +20
35 = e 0,06029 t 70
T (t) = 55
= In e 0,06029 t
In (
= 0,06029 t
In (
In ( = t , t = 11.5 min
REFERENCIAS
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 266).
Recuperado
de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467
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(pp.
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Recuperado
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http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022
Caicedo, A., García, J., Ospina, L. (2010). Métodos para resolución de ecuaciones diferenciales
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Ediciones
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Recuperado
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http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10565809
Amaya, J. (2015). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7384
