ECUACIONES DIFERENCIALES TRABAJO COLABORATIVO FASE 3
JHON ALBER CALDON 1081398799 LAURA NATALY MELO GUERRERO 1057893292 LINA XIMENA SALINAS ARIAS 1058058800 LUIS CARLOS CALDERÓN RAMIRO ANDRES COLMENARES 1057466165
TUTORA: ADRIANA GRANADOS COMBA 100412_137
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS Y PECUARIAS DEL MEDIO AMBIENTE OCTUBRE/2017
INTRODUCCIÓN
A través de distintos tipos de aprendizajes, el grupo de estudiantes realiza el desarrollo de un número de ejercicios tipo Saber Pro, los cuales realizados de una manera adecuada, permiten que cada uno de los estudiantes obtenga una compresión adecuada de los temas tratados en la unidad, la realización de los mismos, es de vital importancia para seguir con las temáticas propuestas en el desarrollo del curso, ya que son temas que van en línea continua de aprendizaje. Con la realización de los ejercicios del la fase 3 unidad 2 nosotros los los estudiantes ponemos en práctica lo estudiado durante este unidad. Permitiéndonos comprender la temática del curso. Adicional el desarrollo de esta actividad permite que el estudiante realice el reconocimiento, análisis y apropiación del diseño construcción para resolver problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior.
OBJETIVOS
INTRODUCCIÓN
A través de distintos tipos de aprendizajes, el grupo de estudiantes realiza el desarrollo de un número de ejercicios tipo Saber Pro, los cuales realizados de una manera adecuada, permiten que cada uno de los estudiantes obtenga una compresión adecuada de los temas tratados en la unidad, la realización de los mismos, es de vital importancia para seguir con las temáticas propuestas en el desarrollo del curso, ya que son temas que van en línea continua de aprendizaje. Con la realización de los ejercicios del la fase 3 unidad 2 nosotros los los estudiantes ponemos en práctica lo estudiado durante este unidad. Permitiéndonos comprender la temática del curso. Adicional el desarrollo de esta actividad permite que el estudiante realice el reconocimiento, análisis y apropiación del diseño construcción para resolver problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior.
OBJETIVOS
GENERAL: Aplicar conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de primer orden, con el fin de dar solución solu ción a problemas relacionados con la ingeniera y situaciones cotidianas.
ESPECIFICOS:
Resolver Ecuaciones lineales de segundo orden Comprender Ecuaciones de orden n. Aplicaciones de las ecuaciones de orden superior .
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA
A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta.
PREGUNTA 1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma ´´+ 1( ) ´+ 2( ) = ( ) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. ( )=0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial ´´−2 ´+3 =0 son:
A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da =( 1
√2 + 2
√3 )
B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da =( 1 √2 + 2 √2 )
C. Soluciones iguales y reales cuya solución da = 1 √2 + 2 √2
D. Soluciones distintas y reales cuya solución da = 1 √2 + 2 √2
DESARROLLO:
2 3 = 0
= 0 = () 2 ()3 = 0 2 3 = 0 2 3 = 0
EDO Homogénea, lineal de segundo orden de la forma: Se adopta una solución de la forma:
Se simplifica:
()2 ()3 = 0 () = () = = ∗ = = = = = = ∗ = ∗ = = 1 = ∗1
Se aplica la regla de la cadena:
Se aplicar la regla de derivación:
Debe sacarse la constante:
Se aplica la regla de derivación:
= = = = = = ∗ = ∗ = = ∗ = = = = = = ∗ = ∗
Se sustituye en la ecuación:
Se saca la constante:
Se aplica la regla de la cadena:
Se aplica la regla de derivación:
Se saca la constante:
= = 1 = ∗1 = = ∗ = = + ∗ = = + = = () = () = ∗ = = = = = =
Se aplica la regla de derivación:
Se sustituye en la ecuación:
Se aplica la ley de los exponentes:
Se aplica la regla de la cadena:
Se aplica la regla de derivación:
∗ = ∗ = = 1 = ∗1 = = ∗ = = 2 3 = 0 2 3 = 0 2 3 = 0 2 3 = 0 ≠ 0 2 3 = 02 3 = 0 = 0 , −±√ − 2± 2 = 1, = 2, = 3 , = 2∗1 4∗1∗3 = 2 2∗12 4∗1∗3 : 1√ 2 2 2∗12 4∗1∗3 2 22∗1 4∗1∗3 Se saca la constante:
Se aplica la regla de derivación:
Se sustituye en la ecuación:
Se factoriza:
Se resuelve:
Ya que
, resolver ecuación cuadrática
En una ecuación de segundo grado de la forma son:
es equivalente a resolver la las soluciones
2 22 4∗1∗3 2 2 4∗1∗3 = 2√ 8 2 2 4∗1∗3 2 4∗1∗3 = √ 8 2 4∗1∗3 2 = 4 2 = 2 = 2 =2 =4 4∗1∗4 = 12 = √ 4 12 = √ 8 √ = √ 1√ = √ 1√ 8 = √ 8 = 2√ 8 = 2 2√ 8 √ 8 = 2√ 2 √ 8 8 = 2
Se aplica la ley de exponentes:
si es par
Se aplica la ley de los exponentes:
Debe descomponer el número en factores primos:
= 2 + = = 2 ∗ 2 √ = √ √ = √ 2 2 √ = 2 = 2 = 2√ 2 222√ 2
Se aplica la ley de los exponentes:
Se aplica la ley de los exponentes:
Se aplica la ley de los exponentes:
Se factoriza el término común 2
= 1√ 2 = 2 2∗12 4∗1∗3 = 2 22∗1 4∗1∗3 = 2 22 4∗1∗3 2 2 4∗1∗3 = 2√ 8 2 4∗1∗3 = √ 8 2 = 4 = = 2 =4 4∗1∗3 = 12
Se aplica la ley de los exponentes:
si n es par
= √ 4 12 = √ 8 √ = √ 1√ = √ 1√ 8 = √ 8 = 2√ 8 = 2 √ 2 8 √ 8 = 2√ 2 √ 8 8 = 2 = 2 + = = 2 ∗ 2 √ = √ √ = √ 2 2 √ = 2 = 2 = 2√ 2 222√ 2
Se aplica la ley de los exponentes:
Se descompone el número en factores primos:
Se aplica la ley de los exponentes:
Se aplica la ley de los exponentes:
Se aplica la ley de los exponentes:
Se factoriza el término común 2
= 21√ 2 2
= 1√ 2 = 1√ 2, = 1√ 2 = cos sin = ( cos(√ 2) sin(√ 2)) ⋯ ⋯ = ⋯ = ⋯ − 8´ ´ 16= 0 = ´´ 43 54==00 Para la ecuación las soluciones finales son:
Y su solución general toma la forma:
PREGUNTA 2.
En general, para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de orden: n
(n) +
n-1
(n-1) +
+
2
´´ +
1
´ +
0
= 0
Donde los coeficientes i, = 0, 1, 2, … , son constantes reales y se debe resolver una ecuación polinomial de - ésimo grado: n
n +
n-1
n-1 +
+
2
2 +
1
+
0 =
-ésimo
≠ 0. Primero
0
Esta ecuación puede presentar una solución general de acuer do a sus raíces. Caso 1: Soluciones reales y distintas ( ). Para los casos 2 y 3, las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Cuando 1 es una raíz de multiplicidad de una ecuación auxiliar de -ésimo grado (es decir, raíces son iguales a 1) y la solución general debe contener la combinación lineal . Teniendo en cuenta lo anterior la ecuación diferencial de orden superior que tiene raíces como las descritas en el caso 1 es:
A) B) C) D)
Solución
= ()6 ()8′3 = 0
Se supone que una solución proporcional es la forma Sustituye
en la ecuación diferencial,
para algún constante .
() = () = () = 6 8 3 = 0 ≠ 0 6 8 3 = 0 3 3 1 = 0 = 3 = 32 √ 213 = 32 √ 213 = − = −−√ = −+√
Se sustituye siguiente polinomio,
Donde
,
y
obteniendo el
para cualquier finito,
Factorizando obtenemos
Dando solución obtenemos los valores de ,
Como la multiplicidad de es 3 tenemos tres soluciones para la ecuación diferencial
La solución general de la ecuación es,
= = − −−√ −+√ = ⋯−
Por tanto segun las indicaciones del ejercicio la ecuación diferencial que tiene soluciones de la forma d
PREGUNTA 3. Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma: an ( x)
dny dx
n
dn 1y
an 1 ( x)
dx
n 1
a1 ( x)
dy dx
a0 ( x) y g ( x)
cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular y y y . se determina haciendo para c
p
= 0
convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular . Dicha solución depende de la forma de la función . De acuerdo a lo mencionado anteriormente la solución de la ecuación diferencial no homogénea es: A. B. C. D.
4′ ′ 36 = csc3 = cos3sin3 3 cos3 |sen3| = cos3sin3 3 cos3 |sen3| = cos3sin3 3 sen3 |sen3| = cos3sin3 3 sen3 |sen3|
Solución
4′ ′ 36 = csc3 4′′ 36 = 0 4 36 = 0
Para resolver la ecuación diferencial , primero resolvemos la ecuación diferencial homogénea . Las soluciones de la ecuación se determinan a partir de las raíces de la ecuación característica
4′′ 36 = 0
Simplificando entre 4 se tiene
9 = 0 Aplicando la fórmula cuadrática
0± 0 = 21 419 Resolviendo productos se tiene
= ±√ 236 Aplicando la definición de raíces cuadradas negativas
= ±26 Simplificando entre 2
= ±3 De donde se obtiene que las soluciones de la ecuación característica
4 36 =
0 = 3 = 3 4′′ 36 = csc3 = cos3 sen3 3 3 cos3 3 cos3 33 3 = cos3 sen3 = 33 son
diferencial
y
. Por tanto, la solución asociada
de la ecuación
es
Calculando el Wronskiano de las funciones
y
, tenemos
Realizando el determinante tenemos
= 3cos33sen3 cossen = 1
Aplicando la propiedad trigonométrica
, se tiene que
Para la ecuación diferencial
= 3 4′′ 36 = csc3 ′′ 9 = csc3
, dividimos entre 4 en ambos
lados de la ecuación y obtenemos que
= csc3
. Luego tomamos
y por variación de parámetros tomamos la solución particular
como
= 3 3 en donde
3 = ∫ 3 = ∫ Reemplazando tenemos que
1 1 csc33 = ∫ 4 3 = ∫ 4 csc33 3 Realizando operaciones
= 121 ∫csc33 = 121 ∫csc33 csc3 = 121 ∫ 13 3 = 121 ∫ 13 3 Reemplazando
Operando tenemos
3 = 121 ∫ = 121 ∫ 3 Realizando las integrales se encuentra que
= 121 = 361 ln |3| Esto significa que la solución particular de la ecuación diferencial es
= 121 3 361 3ln |3| Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es
= cos3 sen3 121 3 361 3ln |3| PREGUNTA 4. Una ecuación diferencial de segundo orden homogéneo tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser reales repetidas y su solución general es de la forma . Teniendo en cuenta la información anterior la solución general de la ecuación diferencial corresponde a:
= ´ 14´ 49 = 0 1. = − − 2. = 3. = 4. = − − SOLUCIÓN
Para una ecuación
∗
´ 14´ 49 = 0 ´ 14´ 49 = 0
adoptar una solución de la forma
=
=
Se escribirá la ecuación de nuevo colocando los términos
(.)14 (.)49 . = 0 Simplificamos (.)14 (.)49. = 0 . 14.49 = 0 14 49 = 0
= ∗
=7 = =
Para la raíz real de la solución general toma la forma
RETROALIMENTACION DE LA PREGUNTA 4. Es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Por tanto se debe reescribir de la forma
= . ´ 14´ 49 = 0 14 49 = 0 . 14 . 49. = 0
Para ello debemos reescribir la ecuación inicial:
De la siguiente manera:
Al tenerla de esta forma, procedemos a reescribirla como:
Aplicando la derivada para cada caso nos queda:
∗ . 14∗∗.49. = 0
Teniéndola de esta forma procedemos a factorizar la expresión sacando factor común, por tanto nos queda:
. 14 49 = 0
Teniéndola de esta forma procedemos a resolver la expresión: Teniendo en cuenta que:
. ≠ 0 14 49 = 0 = ±√2 4 =1 = 14 = 49
Podemos resolver la ecuación cuadrática:
Para ello aplicamos la ecuación general de segundo grado:
Ahora, los valores de cada letra serán:
Reescribimos la ecuación para la variable que estamos trabajando y reemplazamos los valores de cada una de las letras:
= 14± 1421 4∗1∗49 = 14±√ 1296196 √ 196196 = √ 0 = 0 = 124
Puesto que la raíz se elimina ya que su resultado es cero:
Procedemos a considerar solo la primera parte de la expresión:
Por tanto:
=7 . . = = 7 = =
Ahora bien, para una raíz real , la solución general toma la forma:
Al reemplazar el valor de por
nos queda:
Por tanto la respuesta correcta será: C.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique.
PREGUNTA 5. Una ecuación diferencial de orden superior es de la forma
− ⋯ ´= ´ = 2sin 3
y puede ser solucionada por diferentes
métodos. La ecuación diferencial: , puede ser solucionada por los siguientes métodos y tiene como solución general:
1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. 2.
= − √ √ √ √ cos3 sin3 = cos3 sin3
3. 4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados. La respuesta seria C .
= 23
La ecuación puede ser solucionada por los siguientes métodos Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados.
Debemos conocer la ecuación característica:
1 = 0 ó 1 = 0 ±√ = 2 4 = 1 ± 12 411 = 1 ±2√ 3 = 1 2√ 3 = 1 √ 2 3 ó∝áí ó C .. . : = cosβxC senβx d onde βx = 3x de l a E. D . ó ∶ = = ∝CcosβxCsenβx ó . ..á ∶ = = ∝CcosβxCsenβx ó í = 1 2√ 3 :
= 12 √ 23 = 1 2√ 3 = 12 √ 23 = ∞ ∞ = 12 = √2 3 ∶ = cos √ 23 sin √ 23 , : = Acos3 3 = 3 33 = 93 93 , . .. : = 23 93 93 33 33 3 3 = 23 93 93 33 33 3 3 = 23 93 3 93 3 33 33 = 23 83 83 33 33 = 23 833 3 83 = 23 833 3 83 = 03 23 : 8 3 = 0 ① 3 8 = 0 ② ó : 8 = 3
= 83 3 ó 3, 2,: 338 8 = 2 98 8 = 2 9 864 = 2 738 = 2 → = 1736 = 1736 ℎ : 3 38 1673 = 58448 = 29224 = 14612 = 736 = 736 = 736 3 1673 3 ó ... = = C cos √ 23 Csen √ 23 x73 6 cos3x 1673 sen3x RETROALIMENTACION DE LA PREGUNTA 5. La respuesta seria C .
= 23
La ecuación puede ser solucionada por los siguientes métodos Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados.
Debemos conocer la ecuación característica:
1 = 0 ó 1 = 0 ±√ = 2 4 1 ± 1 = 2 411 = 1 ±√ 2 3 = 1 2√ 3 = 1 2√ 3 ó∝áí ó .. . : = C cosβxC senβx d onde βx = 3x de l a E. D . ó ∶ = = ∝CcosβxCsenβx ó . ..á ∶ = = ∝CcosβxCsenβx ó í = 1 √ 2 3 = 12 √ 23 = 1 2√ 3 = 12 √ 23 = ∞ ∞ = 12 = √2 3 ∶ :
= cos √ 23 sin √ 23 , : = Acos3 3 = 3 33 = 93 93 , . .. : = 23 93 93 33 33 3 3 = 23 93 93 33 33 3 3 = 23 93 3 93 3 33 33 = 23 83 83 33 33 = 23 833 3 83 = 23 833 3 83 = 03 23 : 8 3 = 0 ① 3 8 = 0 ② ó : 8 = 3 = 83 3 ó 3, 2,: 338 8 = 2 98 8 = 2 9 864 = 2
738 = 2 → = 1736 = 1736 ℎ : 3 38 1673 = 58448 = 29224 = 14612 = 736 = 736 = 736 3 1673 3 ó .. . = = C cos √ 23 Csen √ 23 x73 6 cos3x 1673 sen3x PREGUNTA 6. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria y después se calcula el wronskiano . Posteriormente se determina , para poder encontrar y , y poder hallar la solución particular mediante la integración de ,
( =, , ) ´ ´ ´ = = = 0 0 = = 0 = 0 = 00 = = y
, donde: ,
Una solución particular es ecuación diferencial es entonces
,
y la solución general de la . Con base en lo anterior, los valores
2′ = = 2− − = 2− = = − 13 = 14 − = 2− − = 2 = 2− 1 2 = 24−− − = −2 − = 4 4 = 14 ∫2 = 24 ∫ 14 ∫ 2 2 1 2 = 4 4 4 = 4 = 42−− = 12 = 12 ∫ = 12 = 4− = 4 = 14 ∫ = 121 1 4 = 2 4 2 12 = 12 = 3 = = − 3
para , y y la solución general de la ecuación respectivamente: ,
,
SOLUCIÓN
son
y
y
Por lo cual se puede concluir que la respuesta es la A si 1 y 2 son correctas.
PREGUNTA 7. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial , , , la solución particular y la solución al problema corresponden a:
4 10sin = 0 ′ = 2 = =9cos 7si n 4 5cos cos cos = =9si n 7si cos si n n 4 5sin = 4 10sin 1 = 0 = 1 = cos sin = cos cos ′′ = 2sin 2cos = 4 10sin = 4, = 0, 2 = 10, 2 = 0 = 4, = 0, = 5, = 0 = 4 5cos = = cos 4 5cos = cos sin 4 5cos = = 9, cos = 1 sin = 0 = 9sin cos 45sin 5cos = 9sin cos 45sin 5cos = 2 = 7 = 9cos 7sin 4 5cos 1. 2. 3. 4.
Solución
=
RETROALIMENTACION DE LA PREGUNTA 7. Reescribimos operación
= 4 10sin ´ ´ = = 0 = () = 0 =
Ecuación diferencial no homogénea de segundo orden lineal.
Hallar
resolviendo esta ecuación
Se reescribe con
Se simplifica
Se aplica la regla de cadena y obtenemos
Aplicamos la derivación
Sacamos constante
De nuevo aplicamos regla de la derivación y simplificamos
Sustituimos la ecuación de
y nos queda
Aplicamos la ley de exponentes y nos queda
Realizamos factorización.
= 0 1 = 0
Resolvemos mediante la ecuación cuadrática
Resolvemos formula general de ecuaciones de segundo grado, y aplicamos regla de
0 = 0
Multiplicamos y simplificamos
1 = 0 = 0√ 0 21∗1∗4
Seguimos multiplicando y aplicamos leyes de exponentes y nos queda
√ 0 4∗1∗1 = √ 4
Aplicamos propiedades de los números imaginarios, por lo tanto nos queda lo siguiente
Factorizamos
Aplicamos propiedad de radicales
Dividimos y queda
Multiplicamos y simplificamos
√ 1√ 4 √ 24
2 = 2 22
= 0 √ 0 21∗1∗4 √ 24
Factorizamos
Aplicamos propiedad de radicales
Dividimos y queda
Encontramos
2 = 2 22 = 4 = cos sin
que satisfaga a
Simplificamos y nos da como resultado
Simplificamos
( ) = 4
0 = 4 +
Agrupamos términos y solucionamos
Por ende nos da como resultado
= 4 = 4, = 0 = 10sin = 4
Ahora encontramos una ecuación que satisfaga
Simplificamos
() = 10sin () = (2cos )2sin 2 2 sin = 10sin = 0∗5 = = 4 5 = = cos sin 4 5 04 5 = 9 = 9cos sin4 5
Simplificamos y nos queda
Encontramos solución para los coeficientes y sustituimos
Simplificamos y nos queda que
Sabiendo que
nos queda
Por ende la solución general nos queda
Aplicamos condiciones iniciales y despejamos
Simplificamos y dividimos ambos lados y nos queda
Multiplicamos por
Ahora hallamos
y nos queda
nos queda
Aplicamos regla de suma diferencia
= 9cos sin 4 5
Sacamos constante y aplicamos regla de derivación
sin 4 5 5 () 51∗cossin 5cos5 9 cos 45cos 5sin 9 cos45cos5sin = 2 5cos44sin 540 9 = 2 = 7
Simplificamos y nos queda 4 entonces
Sacamos constante
Aplicamos regla de producto y nos queda
Simplificamos
Por lo tanto nos queda lo siguiente
Ahora intercambiamos y colocamos la condición
Despejamos
Nos queda
Resolvemos y queda
Restamos 9 en ambos lados
Dividimos ambos lados en -1
Ahora multiplicamos
y nos queda lo siguiente
= 7 = 9cos7sin4 5
De acuerdo al anterior procedimiento la respuesta correcta es la b
PREGUNTA 8. Una ecuación diferencial de n-ésimo orden se puede escribir como:
−− ⋯ = , = , ==0,1,2,…,. −− ⋯ 3 = 8 4sin 3 1 3 = 0 = cos sin 1 3 3 = 0 = cos sin "3= 8 4 3 = 0 3 = 0
Donde se escribe como lineal de n-ésimo orden
Cuando se cumple la ecuación anterior también , donde denota el operador diferencial o polinomial,
La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la solución particular . Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un operador diferen cial lineal adecuado que anula a . Por lo anterior de la ecuación diferencial , se puede afirmar que: 1. El operador diferencial que anula a 2. La solución particular
que se propone debe ser
3. El operador diferencial que anula a
La solución particular
es
que se propone debe ser
es
8 4
= =
Obtenemos la solución homogénea
Teniendo en cuenta lo siguiente
Por lo tanto
Entonces:
38= 0 2 =0 =1 = 1 2∗ ∗ 14 = 0 14 = 0 3 18 4 "3 = 8 4 = 3 = 8 4 = 3 1 3 = 3 18 4 =0
3 = 1 3 = 0 3 1 3 = 0 = 0 = = 3 = = =1 = 0 = + cos = = Luego,
Respuesta D si 3 y 4 son correctas
=
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN
Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:
Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.
PREGUNTA 9. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser iguales y reales y su solución general es de la forma . La ecuación diferencial tiene como solución general PORQUE las soluciones de la ecuación auxiliar son
= ´ 10´ 25 = 0 Solución:
= = = − = = 5
Para la E.D.O dada la ecuación característica es:
10 25 = 0 ±√ 4 10± 10 4∗1∗25 10±√ 1 00100 , = 2 10 = = 2∗1 2 = 2 = 5 = = = 5 = = ó Que se resuelve así:
Así que
La solución general es de la forma
La afirmación es una razón falsa, pero la razón es una proposición verdadera luego la opción correcta es: Opción D.
PREGUNTA 10.
− 2sin 3 2 9 823= 23 = 0 92sin3 = 0 Un operador anulador para la función es y .
´ 6´ 2 = 0
de la ecuación diferencial PORQUE
,
Solución:
Se calcular los operadores anuladores de cada función del lado derecho de la ecuación.
2 + = + ⋯ = + = − 3 = =≫ ( 2) = 2 2si n 3 = , 2sin 3 = 3 =≫ 9 2 = 0 2 = 2 = 0. 23 = 6 6 = 12 2 3− 3
Hallamos el anulador para
Seguimos la regla
Así que el operador anuador es
Hallamos el anulador para
Seguimos la regla
Así que el operador anulador es
Hallamos el anulador para
Seguimos la regla
Así que el operador para El operador anulador de individuales.
es el mínimo común múltiplo de los operadores
Por lo que la proposición es verdadera.
Comprobación de la razón:
Es incorrecto porque
es anulador de
no de
. Por lo anterior:
C la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD GRUPAL PRIMERA ACTIVIDAD Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
= = 350 9.8 = = 70 ∗ = 686.7 = " 350 686.7 = 75∗ 75 350 = 686.7 35075 = 686.757 4.6 = 9.156 DESARROLLO. DATOS: m= 70 kg k=350 N/m X(0)= 8 mts X´(0)= 30 mts/s
RAZON O EXPLICACIÓN Llamare y(t) a la función por ser un movimiento vertical. Ecuación de Fuerza estática
Ecuación de la gravedad
Queda la aceleración derivada segunda de y. Despejamos formula
Utilizamos la siguiente ecuación para hallar la posición de la masa en cualquier instante de tiempo (t) para un movimiento armónico simple:
=
Donde la aceleración y la velocidad están dadas por
= = y
Resolvemos la ecuación y reescribimos como una ecuación diferencial de segundo orden lineal homogéneo:
Se hace
= ===> = = 0 ===> = 0 ′′ = 0 = 0 = 0
para convertir la ecuación a una homogénea:
Se escribe la ecuación característica y se resuelve:
Solucionándola por diferencia de cuadrados se tienen las siguientes soluciones:
= 0 1 = ,2 =
Cuando las raíces son complejas conjugadas, la solución general se escribe como:
= cos sin = cos sin
Reemplazamos los valores iniciales k= 350 N/s y m=70 kg del problema prop uestos en las diferentes fórmulas.
= 0 ´´ 35070 = 0 ´´ 5 = 0 ===> 5 = 0 1 = √ 5 ,2 = √ 5
Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:
Haciendo
= ( cos√ 5 sin √ 5 ) ´ = (√ 5 sin √ 5 √ 5 cos√ 5) =0 0 = ( cos√ 5 sin √ 5 ) 0 = ( cos√ 5 0 sin √ 5 0)
Cuando x se encuentra en t=0 es igual a X(0)= 8 mts
8 = ( cos√ 5 0 sin √ 5 0) 8 = 10 = 8
=0 ´ = (√ 5 sin √ 50√ 5 cos√ 50)
Derivando la expresión y haciendo
´
Cuando x se encuentra en t=0 es igual a X(0)= 30 mts/s
30 = (√ 5 sin √ 50√ 5 cos√ 50) 30 = 0√ 51 30 = √ 5 = 3√ 05 ===> = √ 5 ∗6 = (8cos√ 5 √ 5 ∗6sin√ 5 ) = 8cos√ 5 √ sin √ 5 Por lo tanto la ecuación de movimiento es:
O también la podemos expresar como:
SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o r espuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o error es encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
Se suelta desde el reposo a unidades debajo de la posición de equilibrio. La
y la constante elástica es = 2 . El movimiento es amortiguado ( = 1,2 y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa = , comenzando en = 0. Dicha fuerza está definida como = 5cos4. Para esta masa es de
situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento
En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:
∑ =
De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior:
= = = = 15 1,2 2 = 5cos4 0 = 12 ´0 = 0 4 5 = 25cos4 6 10 = 25cos4
Donde la aceleración y la velocidad están dadas por Transponiendo términos en la ecuación:
Y reemplazando los valores dados en esta se tiene:
Equivalente a:
Al multiplicar toda la ecuación por 5 se tiene que:
y
Se hace
= 0
para convertir la ecuación a una homogénea:
4 5 = 0 6 10 = 0 4 5 = 0 6 10 = 0 ±√ , = 2 4 , = 6±√ 23640 , = 6±√ 2 4 , = 6±2 2 = 3 = 3
Se escribe la ecuación característica y se resuelve:
Se sabe que a=1, b=6, c=10
Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones:
= 2 = 2 ,
Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:
= −− cos −sin = cos sin
Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:
= cos4 sin 4 ´ = 4sin 4 4cos4
´ = 16cos4 16sin 4 4 5 = 0 6 10 = 254 16cos4 16si n 4 4 4si n 4 4cos4 5 cos4 si n 4 = 25cos4 16cos4 16si n 4 64si n 4 4cos4 10 cos4 si n 4 = 25cos4 16cos4 16si n 4 24si n 4 24cos4 10cos4 10si n 4 = 25cos4 6cos4 6sin4 24sin4 24cos4 = 25cos4 cos424 6sin46 24 = 25cos4 24 6 = 25 6 24 = 0 = 4 2446 = 25 96 6 = 25 = 2905 = 185 = 4∗ 185 = 190
Sustituyendo en la ED
Operando:
16cos4 16si n 4 16si n 4 16cos4 5cos4 5si n 4 = 25cos4
Reuniendo términos semejantes:
11cos4 11sin 4 16sin 4 16cos4 = 25cos4 1116 cos4 1611 sin4 = 25cos4 : 11 16 = 25 16 11 =0 = = = cos4 sin 4 = 10225 cos4 5051 sin4 = 185 cos4 109 sin4 = = − cos sin 10225 cos4 5051 sin4 = − cos −sin 185 cos4 109 sin4 =0 0 = 12 = − cos −sin0 185 cos40 109 sin40 12 = 185
Factorizando:
El sistema de ecuaciones resultante
Se cumple que: Reescribiendo:
La solución sería:
Haciendo
CONDICION INICIAL
= 185 12 = 29 0 = −[ cos0 sin0] 10225 cos40 5051 sin40 12 = −[ cos0 sin0] 10225 cos40 5051 sin40 = 12 10225 = 3518 ′0 = 0 = − cos −sin 185 cos4 109 sin4 = 3− cos40 − sen 3 −sin −cos 109 sin4 9 cos4 − sen03 −sin0 −cos0 0 = 3− cos0 109 sin40 409 cos40 0 = 3 409 = 29 0 = 3∗ 29 409
Como parte del reposo y la velocidad inicial es cero, y se sabe que la velocidad es la derivada de la posición, entonces se tiene que:
Como:
Se reemplaza en la ecuación y se tiene:
= 349 =0 = 8651 = − 3851 8651 10225 4 5051 4 = 29 − cos 349 −sin 185 cos4 109 sin4
Derivando la expresión y haciendo
Por lo tanto la ecuación de movimiento es: