CALCULO INTEGRAL TRABAJO COLABORATIVO FASE 3
TERESA DOMINGUEZ GOMEZ COD: 63391822 ERIK LOZANO QUITIAN
COD: 1121894539
JHON ALEXANDER RICO COD: 13745189 YULEIDI CASTELLANOS OJEDA COD: 1098220382 1098220382 JHON JAIRO PARRA BENAVIDES COD: 1140820921
GRUPO: 100411_153
TUTOR ROBILSON LEONEL VELASCO
UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD NOVIEMBRE 2015
INTRODUCCION
Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo integral en la geometría se reducen al cálculo de áreas entre curvas y el cálculo de volúmenes mediante sólidos de revolución. El uso de la integral para construir resultados basados en áreas y volúmenes determinan los bastos campos de la aplicación del cálculo integral
Con la presente actividad se pretende aprender y poner en práctica todos el contenido de la Tercera Unidad Tres mediante el desarrollo de aplicación del cálculo integral en volúmenes, áreas, definiciones de trabajo, velocidad, aceleración, longitudes, entre otros. De igual forma tener presente las técnicas de integración y métodos vistos en las dos unidades anteriores
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
= 6
1. Encuentre el área de la región comprendida entre l a curva y el eje X. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.
Igualamos las funciones para hallar los puntos de corte
6 0= 6 0= 0=0=3+2 ∧ 0= 6 0=3 ∧ 0=+2 0= ∧ 3= ∧ 2=
Luego hallamos el área integrando, hay una parte que está en el lado negativo de la gráfica, la integral será negativa, como no hay áreas negativas hay dos formas de hacerla positiva restando esta integral o cambiando las fronteras. Podemos fraccionar el área y luego sumamos
= − 60 =− 6 6 = − = − − −
= 0 =55..333315.15.7575 0 =5.=21.33+15.08 75 =2 =4 2 = +4=
e 2. Calcular el área de la región limitada por las curvas Sugerencia: Elabore la gráfica y despeje x en función de y en las curvas dadas.
2 =+4 28=0 =2+4 4+2=0 4=4 =0 ∧∧ =2 +2=0 Hallamos el área integrando la función de arriba menos la de abajo
=− +4 2 1 =− +4− 2 −
= 〈2 24 〉 + 〈4 24 〉 〈12 3 24 〉 4 2 1 4 2 =〈 2 2 〉+〈4442〉 〈2 3 3 〉 =〈6 〉+〈=1824〉〈 12〉
=√4
1,1
la cual gira alrededor del eje x, ¿cuál será el área de la 3. Dada la curva superficie de revolución, generada en el intervalo ? (La superficie es una porción de una esfera de radio 2)
El área de esa superficie está dada por:
′ =2 1 +( ) = 4 ′ = 2 4 1 ∗2 =2− 4 1 + 4 =2− 4 1 + 4 4 + =2− 4 4
4 =2− 4 4 2 =2− 4 4 =22− =4 11 =4 1 1 =8=42 ≅25.13 4. Determine la longitud de la curva
=|cos|
0,
en el intervalo
.
′ L= 1 +( ) sin fx=lncos entonces f ′x= cos si n L= 1 + cos sin L= 1 + cos L= cos c+sios n L= cos1 L= sec L=sec sec+t a n L=sec sec+t a n sec +sect a n L= sec+tan =sec+tan =sectan+sec =
La longitu de arco esta dada por :
= ln 30 = lnsec+tan 30 =lnsec 3 +tan 3 lnsec 0+tan0 =[ln2+√ 3] ln1+0 =[ln2+√ 3]0 ≅1.317 =2 =1 =1
5. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por ,y alrededor de la recta . Sugerencia: Utilice el método de los discos para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.
Igualamos las funciones para hallar los puntos de corte:
=1 2 21=
1= =±√ 1 =1 ∧ =1 = =−1 2 + =12 2 2 − =1 4 2 +44 + − = ∫− 1 4+2 +44 + = ∫− 12 + 2 = 3 + 5 11 2 1 1 2 1 1 =1 3 + 5 1 3 + 5 ={158 158 } ={158 + 158 } = 1615 ≅3.35 El volumen por método de discos está dado por:
=
=2
6. Halle el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje
=1
la región encerrada por la parábola , y la recta .Sugerencia: Utilice el método de las arandelas para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio
Hallamos los puntos de corte igualando las ecuaciones:
=2 2=0 2=0 =0=0 ∧ ∧2=0 =2
Por el método de arandela se define:
= =1+ ∧ =1+2 = 1+2 1+ = 1+4+41+2 +
= 1 +4+4 12 = +2 +4 2 = 5 + 3 +2 20 2 2 2 0 2 0 = 5 + 3 +22 5 + 3 +20
={11504 0} = 10415
+2.
7. Hallar el centroide
(, ) = = = 2=0=+2 2=2 +1 =1 dela región limitada pór la curva
∫− +2 ∫− +2 ∫− +2 +2+ ∫− +2 =
=
= 0.2
y la recta
= = 1.25 =
8. una varilla de longitud de 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir para R una constante, si la densidad en el extremo mas pesado es de 7200 g/cm halle su masa total y centro de masa = unidades de masa por unidades de longitud.
= 7200 =7200 = 7200 7200=5.18 10 ∫ 7200 . 7200 ∫ 7200 7200 ∫ ∫ = 45 = ∏ cos∏ = = + =
=
9. La aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una recta es
Si en el instante inicial (t=0), la posición de la partícula es (s=0) y la
velocidad es v=8 m/seg. Hallar s cuando t=1
Como sabemos la aceleración es la primera derivada de la velocidad y a su vez, la segunda de la posición.
Como conocemos v(0)=8 m/seg podemos encontrar el valor de la constante C
8=0+ =8 = +8
Luego la función de la velocidad respecto al tiempo queda:
La posición es la primera derivada de la velocidad respecto al tiempo
= = +8+ 0=0 +80+ =0 = +8 1=+81 1 =1 +8 =
Conociendo s(t=0)=0 Podemos igualar y conocer el valor de la constante C
Finalmente obtenemos la expresión para la posición en función del tiempo:
Sustituyendo para t=1 encontramos:
10. Una fuerza de 40 N se requiere para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 10cm a una longitud de 15cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18cm?
La definición de trabajo es la integral definida:
=
=, 40=0.05
Luego debemos determinar el valor de la constante.
Al aplicar 40 N, el resorte se estira 5cm (0.05 m entonces ley de Hooke:
Despejamos
=0.05
tonces, por la
=800
Ahora planteamos la función fuerza:
=800
para así hallar el trabajo.
Teniendo la función y los límites que propone el problema a=0.15 y b=0.18 metros
. =. 800 . =800 . . =800∗ 2 . =400 0.18 0.15 Desarrollando la integral:
Evaluando los límites:
Evaluando los límites:
=4001000099 ∗ = 9925 =3.96 ∗
∗ ∗ . ó: =. =.
Examinando las unidades tenemos Julios que representan
y sabemos que las unidades de trabajo son
Luego es otra forma de examinar nuestro resultado.
Finalmente
=52+2 =100 = 100 =52+2 Función demanda: =100
11. Hallar el Excedente del productor (EP), el Excedente del consumidor (EC) de y
y
Función oferta: =52+2 = 52+2 =100 +8+248=0 6 =0 =8 , =6 =6 ,=.ℎ ℎ , = ℎ = , = , = = 100 64 ∗64 =100 3 4096 64 =100∗64 3 4096 = = El punto de equilibrio es donde
Para calcular el excedente del consumidor, utilizamos la ecuación para E.C:
Reemplazando:
Desarrollando la integral:
Evaluamos los límites y simplificando:
Para calcular el excedente del productor, utilizamos la ecuación para E.P:
Reemplazando:
=64∗64 52+2 52| =4096 =4096 52∗64 64
=4096 768 =4864
CONCLUSIONES
Este trabajo permitió entender el uso de los diferentes métodos de integrales para la Realización de procesos que permiten hallar volúmenes, áreas límites, y demás, que son de gran importancia para resolver estas actividades.
Con la realización de este trabajo mejoramos nuestros conocimientos y entendimos que el calculó integral es un campo amplio que tiene diferentes tipos de aplicaciones para Diversos problemas y que mediante la constancia y dedicación podemos aplicarla Correctamente
Adquirimos los conocimientos sobre las técnicas de los métodos de Integración partiendo del análisis de gráficas y se entendió la importancia del manejo de este tipo de problemas y su posterior aplicación en nuestra vida profesional
BIBLIOGRAFIA
Ayala, J. (2013). Videos en Texto Unidad 3. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_3.pdf
Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral100411_version_AVA/Calculo_Infinitesimal.pdf
Educatina. (01 de febrero de 2012). Aplicación de integral: cálculo de áreas - análisis matemático. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=J0QhITKrK8E
