UNIDAD 1: FASE 1 TRABAJO COLABORATIVO
PRESENTADO POR: KARIME MALKUN HERRERA COD.1065807818 LUZ MERYS CORONADO MARTINEZ COD. 106 5581623 HEINER MADERA DUARTE KEINER DAVID PUELLO TUTOR WILLIAM SALAZAR
GRUPO: 100401_5 METODOS NUMERICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA (ECBTI)
2018
INTRODUCCION El presente trabajo se pretende describir y entender el concepto de error y la importancia que este tiene dentro de los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, los cuales tienen como objetivo encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos, en el desarrollo de estos cálculos existe un alejamiento del valor verdadero al cual denotamos como error, es importante entender y manejar este concepto para mantener estos errores dentro de los limites aceptados y eso eficaz que tan precisos y exactos son los resultados obtenidos.
Los métodos numéricos también constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.
Desarrollo del Trabajo No. 1 1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos. Ejemplo 1: Error absoluto
En un laboratorio de metrología se desea calibrar 1 balanza digital de marca X , para verificar el valor real de la medida se disponen de una balanza digital con acreditación ONAC ISO/IEC 17025 marca Y. Al pesar el mismo objeto de nombre A en las dos balanzas digitales se obtienen los siguientes resultados. Marca X Y
Peso del objeto A en Kg 4.52346 4.57641
Calcular el error absoluto que tiene la medida de la balanza de marca X
= Error absoluto. Valor real = Valor medido 4.57641 = 4.52346 = | | = |4.523464.57641| = 0.05295 Ejemplo 1: Error relativo
1.1.1. Calcular el error relativo que tiene la medida de la balanza de marca X
Valor real ∆ Cociente de error absoluto = −=|∆| =. . =. Ejemplo 1: error relativo aproximado 1.1.2. Calcular error relativo aproximado
= − ∗100
= 0.0115∗100
= 1.15% Ejemplo 1: Error por truncamiento Este procedimiento se realizar al reducir los números que se encuentran a la derecha de la coma decimal en el cual se descartan los menos significativos. Ejemplo: 5.2345984256 9.21546894 65.235694568 Para truncar esta cifra solo se tendrán en cuenta los cuatro dígitos que se encuentran a la derecha de la coma decimal dando como resultado las siguientes cifras 5.2345 9.2154 65.2356
Redondeo
Mediante el redondeo se obtiene un valor aproximado mediante la eliminación de las cifras significativas de un número decimal sumándole uno a la última cifra que tiene ene l saco de que la cifra que obviemos sea mayor o igual a 5. Ejemplo 1: 5.23498… para redondear 5.23
Ejemplo 2: 1.6949 para redondear 1.69
Ejemplo 2: Error absoluto
: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9.999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10.000 y 10 cm. Error de medición del puente es:
10.0009.999 1 Y para el remache es de:
10 9 1 Ejemplo 2: Error relativo porcentual El error relativo porcentual para el puente:
1 ∗ 100 0.01% 10.000 Y para el remache es:
1 ∗100 10% : 10 Usar el Método de Punto Fijo para aproximar la raíz de () = 2 − 5 − , comenzando con xo=0, con 5 Iteraciones Solución: Igualamos la función a cero y despejamos X
Se iguala la función
5 0
Despeje
5 5 5 5 El ejercicio nos dice que
0
Entonces se tiene
0 5 15 0.2 −. 0 5 0.1637 −. 0 5 0.1697 −. 0 5 0.1687 −. 0 5 0.1689 Raíz de la función: ≅ 0.1689
3. Determine la raíz de la función = − −, usando el Método de Newton-Raphson con xo= -2. Realice 3 iteraciones. Calcule el error relativo porcentual en la última iteración, con base en el hecho de que la raíz es
0,70346742250 Solución:
− 0 += ′ Sea:
− − ′ 2
Primera iteración:
2 2 −− 4 3.389 ′ 22 −− 4 3.389
−. 2 . )= -2-(-1)=-2+1=-1
Segunda iteración:
1 1 −− 1 1.7183 ′ 21 −− 2 0.7183 −. 1 . )=-1-(-2.3922)=-1+ (2.3922)=1.3922
Tercera iteración:
1.3922 1.3922 −. 1.6897 ′ 21.3922 −. 3.0329 . 1.3 922 . )==1.3922-(0.5571)=0.8351 Aplicamos redondeo a: 0,70346742250.
0.7035 0.8351 − Error ∗100 Error=
,− , ∗ 100 , ∗ 100 .1871∗ 100 18.71% , ,
4. Aproxime con 10-4 de precisión la raíz de la ecuación − , − , () = en el intervalo [0,1/2ϖ] utilizando el método de la secante solución: Sustituimos los valores de x en la función: f( (0)-0.8-0.2sen(0)=-0.8-0.2*(0)=-0.8 Hallamos X1 : X1=½*pi=1.5708
Primera iteración: X1 =1.5708 f( (0)-0.8-0.2sen(0)=-0.8-0.2*(0)=-0.8 f( =(1.5708)-0.8-0.2*(sen(1.5708))=(1.5708)-0.8-0.2(1)=0.5708
− −
1.5708 0.570801.5708 0.80.5708 1.5708 0.6541 1.57080.6541 0.9167 Error=| | |0.91671.5708| 0.6541 Segunda iteración X1 =1.5708
0.9167
f( =(1.5708)-0.8-0.2*(sen(1.5708))=(1.5708)-0.80.2(1)=0.5708 0.042
f( =( 0.9167)-0.8-0.2*(sen(0.9167))=( 0.9167)-0.8-0.2(0.7936)= -
− −
0.9167 0.0420.91671.5708 0.0420.5708 0.9167 0.0448 0.9615 Error=
| | |0.96150.9167| 0.0448
Tercera iteración:
0.9615 0.9167 0.042
f( =( 0.9167)-0.8-0.2*(sen(0.9167))=( 0.9167)-0.8-0.2(0.7936)=-
f( =( 0.9615)-0.8-0.2*(sen(0.9615)) =-0.0025
0.9615 0.00250.96150.9167 (0.025 0.042) 0.9681 Error=|
| |0.96810.9615| 0.96810.9615 0.0066
Cuarta iteración:
0.9615 0.9681 f( =( 0.9615)-0.8-0.2*(sen(0.9615)) =-0.0025 f( =( 0.9681)-0.8-0.2*(sen(0.9681)) =0.0033
0.9681 0.0330.96810.9615 0.00330.0025 0.9305 | | |0.93050.9681| 0.0376
Quinta iteración:
0.9681 0.9305 f( =( 0.9681)-0.8-0.2*(sen(0.9681)) =0.0033 f( =( 0.9305)-0.8-0.2*(sen(0.9305)) =-0.029883751532
0.9305 0.02990.93050.9681 0.2990.0033 0.9342 Error=|
| |0.93420.9305| 0.0037
Sexta iteración:
0.9305 0.9342 f( =( 0.9305)-0.8-0.2*(sen(0.9305)) =-0.029883751532 f( =( 0.9342)-0.8-0.2*(sen(0.9342)) =-0.02662
0.9342 0.026620.93420.9305 0.026620.0299 0.9642 | | |0.96420.9342| 0.03 Septima iteración
0.9342 0.9642 f( =( 0.9342)-0.8-0.2*(sen(0.9342)) =-0.02662
f( 0.9642)-0.8-0.2*(sen(0.9642))= -0.0001186239804
0.9642 0.000120.96420.9342 0.000120.02662 0.9642 0.0001 0.9643 | | |0.96430.9642| 0.0001 10− Podemos ver que la raíz aproximada de la ecuación n( ) = es
−
,
−
,
10− 5. Determine las raíces reales de ( ) = − + , − + , - + , usando el Método de la 0.9643 con una precisión
+/-
Regla Falsa aproximar en el intervalo [0.5 , 1] con ξa
= 0,1%
Solución:
26 82,3 88 45,4 9 0,65 En el intervalo [0.5,1] 0.5 26 82,30.5 880.5 45,40.5 90.5 0,650.5 1,71 1 26 82,31 881 45,41 91 0,651 5.35 Formula de iteración
11.71 0.62 0.55.35 5.351.71 0.62 26 82,30.62 880.62 45,40.62 90.62 0,6 50.62 0.74 ∗ 0.62 ∗ 0.74 0.4588 como ∗ > 0 error relativo:
|0.741| 0.74 ∗ 100 35.13% Iteración 2
10.7485 0.5581 0.625.35 5.350.7485 0.5581 26 82,30.5581 880.5581 45,40.5581 90.5581 0,650.5581 0.4240 ∗ 0.5581 ∗ 0.4240 0.2366 como ∗ > 0 error relativo:
|0.55810.62| 0.5581 ∗ 100 11.09% Iteración 3
0.58040.7485 0.5804 0.620.4240 0.42400.7485 0.5804 26 82,30.5804 880.5804 45,40.5804 90.5804 0,650.5804 0.020 ∗ 0.5804∗0.020 0.0116 como ∗ > 0 error relativo:
|0.58040.5581| ∗ 100 3.84% 0.5804 La raíz de la función usando el método de la regla falsa es de 0.5804
6. Demostrar que f(x) = x3 + 2x2 – 6 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10-4. Solución:
2 6 1 ( ) 2 Se verifica que f(a) y f(b) tengan signos opuestos:
1 1 21 6 3 2 2 22 6 10 La función es continua en [1, 2]
Primera iteración
=1.5 1.5 21.5 6 1.875
Segunda iteración
El nuevo intervalo es [1, 1.5] f(1) -3 -
f(1.5) 1.875 +
F(2) 10 +
.=1.25 f(1.25)=1.25 21.25 6 0.9218 |1.251.5| 0.25 Tercera iteración f(1) -3 -
f(1.25)
0.9218
-
f(1.5) 1.875 +
El nuevo intervalo es [1.25 , 1.5]
.. 1.375 F(1.375)=1.375 21.375 6 0.3808
|1.3751.5| 0.235 Cuarta iteración f(1.25)
f(1.375) f(1.5)
-3 -
0.3808 +
1.875 +
El nuevo intervalo es [1.25 , 1.375]
1.25+1.375 + 2 2 1.3125 f(1.3125)= 1.3125 21.325 6 0.2278 |1.31251.375| 0.0625 Quinta iteración f(1.25) -3 -
f(1.3125 f(1.375) 0.2278 0.3808 +
El nuevo intervalo es [1.3125 , 1.375]
1.3125+1.375 + 1.34375 2 2 f(1.34375)=1.34375 21.34375 6 0.0377 |1.343751.375| 0.03125 Sexta
iteración
1.34375 0.2278 0.0377
f(1.3125 -
+
f(1.375) 0.3808 +
El nuevo intervalo es [1.3125 , 1.34375]
1.3125+1.34375 + 1.3281 2 2 f(1.3281)=1.3281 21.3281 6 0.1297 |1.32811.34375| 0.01565
Septima iteración
f(1.3125
0.2278
-
f(1.3281
0.1297 -
1.34375 0.0377
+
El nuevo intervalo es [1.3281 , 1.34375]
1.3281+1.34375 + 1.3359 2 2 f(1.3359)=1.3359 21.3359 6 0.0466 E |1.33591.34375| 0.00785 Octava iteración F(1.3281) f(1.3359 0.0466 -0.2278 -
1.34375 0.0377
+
El nuevo intervalo es [1.3359 , 1.34375]
.. =1.3398 f(1.3398)=1.3398 21.3398 6 0.0048
E |1.33981.34375| 0.00395 Novena iteración f(1.3359
0.0466 -
1.3398 1.34375 0.0377 -0.0048 -
+
El nuevo intervalo es [1.3398 , 1.34375]
..=1.3418 f(1.3418)=1.3418 21.3418 6 0.0167
|1.34181.34375| 0.00195 Decima iteración
.
f(1.3418)
-0.0048
0.0167
-
+
. . +
El nuevo intervalo es [1.3398 , 1.3419]
.. =1.3408 f(1.3408)= 1.3408 21.3408 6 0.0059
|1.34081.3419| 0.0011 Onceava iteración
1.3398
-0.0048 -
f(1.3408) 0.0059 +
f(1.3419) 0.01677 +
El nuevo intervalo es [1.3398 , 1.3408]
.. =1.3403 f(1.3403)=1.3403 21.3403 6 0.0005
|1.34031.3408| 0.0005 Doceava iteración
1.3398
f(1.3403)
f(1.3408) 0.0059 +
0.0005
-0.0048 -
+
El nuevo intervalo es [1.3398 , 1.3403]
..=1.34 f(1.34)=1.34 21.34 6 0.0027
|1.341.3403| 0.0003
treceava iteración
1.3398
-0.0048 -
f(1.34)
0.0027 -
f(1.3403) 0.0059 +
El nuevo intervalo es [1.34 , 1.3403]
.. =1.3402 f(1.3402)=1.3402 21.3402 6 0.0005
|1.34021.3403| 0.0001
CONCLUCIONES
Para la realización del presente trabajo colaborativo se realizo el reconocimiento de las temáticas con el fin de profundizar y fortalecer los conocimientos adquiridos. Mediante la interacción de los participantes y el tutor del curso se logra la construcción del trabajo. Mediante la solución de los ejercicios planteado se busca que el estudiante desarrolle habilidades y de esta manera aplicar los conocimiento en su campo de trabajo.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Mesa, F., & Bravo, J. E. (2012). Elementos de cálculo numérico. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader
.action?docID=10584232&p00=m%C3%A9todo+newton+raphson&ppg=9 Nieves, H. A. (2014). Métodos numéricos: aplicados a la ingeniería: aplicados a la ingeniería. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Pág. 57 – 60. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.ac
tion?docID=11013582&p00=m%C3%A9todos+num%C3%A9ric os+tipos+error
