100.- Teoria. is.completo.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

MATEMATICAS FINANCIERAS TEMA:

INTERES SIMPLE 1

Econ. Máximo Calero Briones .UNAC

Interés Simple

INDICE 1.

FORMULAS INTERES SIMPLE

03

2.

INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

05

3.

INTERES SIMPLE

19

4.

BIB BIBLIOGR OGRAFI AFIA



Matemática Financiera

28



. Matemáticas Financieras

38






48

Matemáticas Financieras

58

o

Matemática Financiera Financiera

59

o


64

o


69


o

76

“

”

2


Interés Simple

INDICE 1.

FORMULAS INTERES SIMPLE

03

2.

INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

05

3.

INTERES SIMPLE

19

4.

BIB BIBLIOGR OGRAFI AFIA




28




38






48


58

o


59

o


64

o


69


o

76

“

”

2

P 

I P i 

i.n I



i

Se utiliza para calcular al capital inicial cuando se conocen los otros elementos. En algunos casos se emplea la letra C Se emplea para calcular calcular la tasa de interés, conocidos los otros elementos

I

P n .

..

Sirve para calcular el tiempo, cuando se conocen los otros elementos P i Sirve para calcular el Capital Inicial o Valor P S  I Presente Se emplea para calcular el interés que cobra o I  S  P paga por el uso uso del dinero Fórmula que sirve para calcular el capital final n



I

.

S  P  I

S  P (1  in)

Sirve para calcular el Valor Presente o Capital Inicial

S



P

(1 

in

)

Interés con principal constante tasa nominal variable Interés con principal variable y tasa nominal constante Monto con principal constante constante y tasa nominal variables

I  P (i1 n1 )  (i2 n 2 )  (i3 n3 )  ....  (in n n ) I  i( P 1 n1 )  ( P 2 n2 )  ( P 3 n3 )  ...  ( P n nn ) S  P 1  (i1 n1  i1 n1  ...  in nn ) S  P (1  i1 n1 )  (i2 n2 )  ....  (in nn )

P 

(1  i1n1 )  (i 2 n 2 )  ...  (i n n n )

P



1  (i1 n1  i2 n 2  ...  in n n ) S

S i

1

;

n S

n



Principal con monto constante y tasa nominal variables

S

P 

i



 1

P i

;

n

Se emplea para calcular la tasa t asa de interés

S  P P .n

Se emplea para calcular el tiempo de la transacción

S  P P .i

I = Representa el interes que se paga o cobra por el uso de dinero P = Es el capital inicial que se presta o se invierte, también t ambién se le conoce como principal (Deuda, (Deuda, Valor Presente, etc.) i = Representa a la tasa de interés, que es el porcentaje que se paga por cada unidad monetaria y es anual salvo que se diga lo contrario n = Es el tiempo por el que se pacta la transacción, puede ser: años, meses, días, etc. S = Representa el Monto o Capital Final que se obtiene después de transcurrir un tiempo determinado (Capital Futuro). En algunos casos se emplea las letras M y F. Eco. Máximo Calero Briones

3

PROPIEDADES LOGARITMO DE UN PRODUCTO LOGARITMO DE UN COCIENTE

FORMULAS

DEFINICION

Log ( AxB )  Log ( A)  Log ( B )

El Logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números

El Logaritmo de un cociente de dos números A positivos es igual a logaritmo del dividendo Log ( )  Log ( A)  Log ( B ) (numerador) menos el logaritmo del divisor B (denominador)

LOGARITMO DE UNA POTENCIA LOGARITMO DE UNA RAIZ ANTILOGARITMO LOGARITMO VULGAR (LOGARITMO NEPERIANOS)

Log ( A) n

El Logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base

 nLog ( A)

Log n A



10

El Logaritmo de una raíz es igual a la división del logaritmo de un número entre la base

LogA n

Dado el logaritmo de L, de un número n, determinar n. Se escribe n= Antilog L cuando Log n = L Emplea como base un número irracional representado por la letra e, y cuyo valor aproximado a 12 cifras decimales es 2.718281828459…..

X

Ln

Eco. Máximo Calero Briones

4

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS 



Desde el punto de vista matemático, la base de las matemáticas financieras la encontramos en la relación resultante de recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y otra diferente (VF valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período. La diferencia entre VA y VF responde por el “valor” asignado por las personas al sacrificio de consumo actual y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso.

1.INTRODUCCIÓN  Nos

dice Michael Parkin, en su obra Macroeconomía: «El dinero, el fuego y la rueda, han estado con nosotros durante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo existe -el dinero-, ni de cuál es su origen».  En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el proceso de la transformación de la mercancía en dinero. Según la teoría del valor: el valor solo existe de forma objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como mercancía, en cualquier sistema social.  El sistema financiero esta esencialmente vinculado a las matemáticas financieras. Por el año 1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel moneda convertible, primero en China y luego en la Europa medieval, donde fue muy extendido por los orfebres y sus clientes.  Siendo el oro valioso, los orfebres lo mantenían a buen recaudo en cajas fuertes. Como estas cajas de seguridad eran amplias los orfebres alquilaban a los artesanos y a otros espacios para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo que daba derecho al depositante para reclamarlo a la vista.  Estos recibos comenzaron a circular como medio de pago para comprar propiedades u otras mercancías, cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte del orfebre.  En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro en custodia y le nace la brillante idea, de prestar a las personas “recibos de depósitos de oro”, cobrando por sus servicios un interés; el oro seguiría en custodia y solo entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando como previsión el no girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo.  Se dio cuenta de que intermediando entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro y los que lo necesitaban, podía ganar mucho dinero.  Así es la forma en que nació el actual mercado de capitales, sobre la base de un sistema financiero muy simple, de carácter intermediario.

5


Interés Simple

2. MATEMATICAS FINANCIERAS

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión.  Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado o público, que permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión; con el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios económicos; con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos de los gobiernos.  Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población; con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción; con la informática, que permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.  Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica, su estudio está íntimamente ligado a la resolución de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la vida cotidiana, en el mundo de los negocios. Dinero y finanzas son indesligables. 

3. TASAS DEL SISTEMA FINANCIERO 3.1. TASAS DEL SISTEMA FINANCIERO   

Cuando decimos "sistema financiero", nos referimos a las empresas que forman parte de él, de acuerdo con la Ley de Banca y Seguros. Según esta norma legal, son empresas del sistema financiero los Bancos, las Financieras, las Cajas de Ahorro Municipal, las Cajas Rurales, las Empresas de Apoyo a la Pequeña y Mediana Empresa (EDPYME), etc. Genéricamente y para hacer las explicaciones rápidamente, les llamamos simplemente “Bancos”

3.2. DE ACUERDO CON LOS CAPITALES QUE SON REMUNERADOS (QUE PRODUCEN INTERESES) 3.2.1.TASAS ACTIVAS  Son las tasas que cobran  

los bancos por los préstamos que otorgan bajo diversas modalidades (préstamos directos, descuento de documentos, sobregiros, tarjetas de crédito, etc.). Se llaman tasas activas porque para los bancos los préstamos otorgados son cuenta s por cobrar, son derechos. ¡Hablando en términos contables, son activos! Actualmente estas tasas activas son fijadas libremente por los bancos, en un marco de libre competencia.

6


Interés Simple

 Pero el Banco Central de Reserva del Perú (BCR) está facultado para, si en algún momento lo estima necesario, fijar topes.

3.2.2.TASAS PASIVAS  Son las tasas que pagan los bancos por los recursos que captan bajo diversas modalidades (cuentas de ahorros, depósitos a plazo, ce rtificados bancarios, etc.).  Se llaman tasas pasivas porque estas cuentas representan obligac iones para el banco, son cuentas por pagar. ¡Hablando en términos contables, son pasivos si Actualmente estas tasas pasivas son fijadas libremente por los bancos, en un marco de libre

competencia.  Pero el BCR está facultado para, si en algún momento lo estima necesario, fijar topes.

3.3. DE ACUERDO CON LA RAZON QUE ORIGINA LA APLICACIÓN DE LA TASA

3.3.1.TASA DE INTERES COMPENSATORIO  Es la tasa que sirve para calcular el interés que compensa al dinero ajeno. ¡Es la tasa que hemos aplicado siempre!  Esta tasa remunera capitales prestados y depositados. Representa el costo "normal" que se paga por los recursos ajenos. 3.3.2.TASA DE INTERES MORATORIO  Es la tasa que sirve para-calcular el interés que se cobra por el retraso en el pago de una obligación.  Sirve para indemnizar por la demora en el pago.  Se puede decir también que se aplica como una penalidad. ¡Un castigo!

3.4. PUBLICACIÓN DE LAS TASAS DEL SISTEMA FINANCIERO: ACTIVAS Y PASIVAS

 Hasta hace unos cuantos años, las tasas eran publicadas en términos nominales máximos

fijados por el BCR.  Los bancos hacían un festín con las frecuencias de capitalización. Algunos ofrecían capitalización mensual. Otros se desgañitaban ofreciendo capitalización diaria. Y publicaban su tasa efectiva anual, su tasa efectiva mensual, etc. Con ello buscaban atraer depositantes. Es que las tasas nominales tenían topes fijados por la autoridad (el BCR), lo repetimos. Para elevar la tasa efectiva, los bancos jugaban con la frecuencia de conversión o capitalización.  Actualmente el BCR no usa su facultad de fijar topes. Las tasas en el sistema financiero son fijadas por los bancos, en un marco de libre competencia. Pero en cuanto a la publicación de las tasas activas y pasivas, las cosas son ahora más sencillas. Desde 1995 las tasas son publicadas como tasas efectivas anuales (TEA). Y siempre considerando que el año bancario tiene 360 días. Si se publica una tasa para 365 días, tiene que mencionarse ese detalle expresamente.

7


Interés Simple

4. DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA

Cada persona o compañía tiene ingresos de dinero (rentas) y pagos de dinero (costos) que ocurren particularmente cada lapso o tiempo dado. Estos ingresos y pagos están dados en ciertos intervalos de tiempo y se denomina flujos de caja. Un flujo de caja positivo usualmente representa un ingreso y un flujo de caja negativa representa un pago o desembolso. En cualquier instante de tiempo, el flujo de caja podría representarse como: FLUJO DE CAJA NETO = ENTRADAS – DESEMBOLSOS. Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes intervalos de tiempo dentro de un período de interés, un supuesto para simplificar es el de que todos los flujos de caja ocurren al final de cada período de interés. Esto se conoce como convención fin de período. Así, cuando varios ingresos y desembolsos ocurren en un período dado, el flujo neto de caja se asume que ocurre al final de cada período de interés. Sin embargo, puede entenderse que aun cuando las cantidades de dinero de S o R son siempre consideradas que ocurren al fin de cada período de interés, esto no significa que el fin de cada período es diciembre 31. Un diagrama de flujo de caja es simplemente una representación gráfica de un flujo de caja en una escala de tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que es lo dado y lo que debe encontrarse. Es decir que, después de que el diagrama de flujo de caja es dibujado, el observador está en capacidad de resolverlo mirando solamente el diagrama. La dirección de las flechas en el flujo de caja es importante para la solución del problema. Sin embargo una flecha hacia arriba indica un flujo de caja positivo. Inversamente, una flecha hacia abajo indica un flujo de caja negativo. Es importante entender el significado y la construcción del diagrama del flujo de caja, en vista de que es una herramienta valiosa en la solución de problemas. 

Escala de tiempo típica para flujos de caja Figura Nº 01 Año 1

0



Año 1

1

2

3

4

5 Tiempo

1

2

3

4

5 Tiempo

Flujo de caja positivo y negativo Figura Nº 02 +

0 -



P = $ 2 000 se tomaban en préstamo y se calculaba S después de 5 años. Construya el diagrama de flujo de caja para este caso, suponiendo una tasa de interés de 12% anual

8


Interés Simple

Figura Nº 03 + 'P = 2 0 0 0 i = 12% 0

0

1

S=? 2

3

4 T ie m p o

-



Si se comienza ahora y se hacen 5 depósitos de $ 1 000 por año ( R ) en un cuenta que paga el 7% anual, ¿Cuánto se habrá acumulado inmediatamente después de que se haya hecho el último depósito? Construya el diagrama de flujo de caja. Figura Nº 04 S =? i = 17% A ñ o 0



1

2

3

4

1000

1000

1000

1000

Asuma que se desea depositar una suma P en una cuenta de ahorros dentro de dos años, de manera que le sea posible retirar $ 400 anuales durante 5 años consecutivos, empezando dentro de tres años a partir de este momento. Suponga que la tasa de interés es de 15 ½% anual. Construya el diagrama del flujo de caja Figura Nº 05 400

400

400

3

4

5

i = 151/2% 0

1

2

6

7

P = ?

5. GRADIENTES Un gradiente uniforme es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente. El valor G puede ser positivo o negativo. Si ignoramos el pago base, podríamos construir un diagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se muestra en la figura Gradiente





Ganancias

Gradiente

n 1



Ventas  Ingresos n 1

Serie gradiente uniforme ignorando la cantidad base F igura Nº 06 1

2

3

n-1 4 ……………

n

0 G 2G 3G 4G +(n-2)G +(n-1)G

9




Interés Simple

Diagrama de una serie gradiente uniforme con un gradiente de $ 50, cuando el costo total es de $ 900 Figura Nº 07 1

2

n-1 4 ……………

3

n

0 900 950 1000 1050 900 +(n-2)50

900 +(n-1)50

6. INTERPOLACIÓN Algunas veces es necesario localizar el valor de un factor para una tasa de interés i o un año n que no aparece en las tablas de interés. Cuando esto ocurre, el valor del factor deseado se puede obtener de una serie de las tres maneras siguientes: a. Usando las fórmulas que fueron deducidas b. Por interpolación entre los valores tabulados c. Usando una calculadora con los factores programados en ella. Es generalmente más fácil y más rápido usar las fórmulas en vez de interpolar para determinar el valor del factor que corresponde a un valor de i o n no listado. Sin embargo, al interpolación lineal es aceptable y se considera suficiente, siempre y cuando los valores de i o n no estén demasiado distantes el uno con el otro. El primer paso en la interpolación lineal es disponer los valores conocidos y los desconocidos. Se establece una ecuación proporcional y se resuelve para c, de la siguiente manera: a b



c d

o c

a b

d

Donde a, b, c y d representan las diferencias entre los números mostrados en las tablas de interés. El valor de c de la ecuación se suma o se resta del valor 1, dependiendo de si el factor aumenta o disminuye en valor, respectivamente.  Tabulado Valor 1   c a  b   Deseado No listado   d  Tabulado  Valor 2 X

a  d   e   ( f  e)   b  d 

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Interés Simple

EJEMPLOS 1. El señor Picapiedra deposita en una entidad financiera el 1º de enero de 2006 la suma de S/. 1 000 y después de 6 meses retira una cantidad de S/. 1 075. Construir el flujo de Caja. a. Punto de vista del prestamista 1075 01/01/2006

01/07/2006

1000

1) El momento en que el señor Picapiedra deposita el dinero se denomina el presente o momento cero 2) El valor del depósito inicial se conoce como valor presente o simplemente (P) 3) El segmento de recta representa el tiempo de la operación financiera ( n ) 4) El valor del dinero retirado después de los 6 meses se denomina valor futuro o simplemente (S) b. Punto de vista del prestatario 1000 01/01/2006

01/07/2006

1075

Es necesario anotar que en los sistemas de ahorro, en los cuales una persona deposita una cantidad de dinero en una entidad financiera que le reconoce una tasa de interés, la relación entre las partes se asimila a la relación prestatario-prestatario que utilizaremos. Para este caso, el ahorrador desempeña el papel de prestamista y la entidad financiera desempeña el papel de prestatario. 2. El señor Picapiedra compra una casa por S/. 10 000 y se compromete a pagarla de la siguiente manera: una cuota inicial de S/. 2 000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6 y 9 por valor de S/. 3 000 cada una. Construir el flujo de caja para el señor Picapiedra. 10000

0

2000

3

3000

6

3000

9 meses

3000

3. El Banco Continental le concede al señor Pérez un crédito por valor de S/. 10 000 con plazo de un año. La tasa de interés trimestral es del 9%. El banco le exige al señor Pérez la restitución del capital al final del año. Construir el flujo de Caja para el señor Pérez. I = Pin I = 10000x0.09x1 I = 900

11


Interés Simple

10000

0

1

2

900

900

3

900

4 Trimestre

10900

4. Consideremos el ejercicio anterior pero suponiendo que el banco le exige al señor Pérez la restitución del capital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses. Período 1 Trimestre

Deuda 10000

Amortizac. Interés 2500 900

Cuota 3400

2

Trimestre

7500

2500

675

3175

3

Trimestre

5000

2500

450

2950

4

Trimestre

2500

2500

225

2725

10000

0

1

3400

2

3175

12

3

2950

4 Trimestre

2725


Interés Simple

EJEMPLOS Autor: BLANK Leland/TARQUIN Anthony 1. Suponga que se planean hacer un depósito total de $ 5 000 en una cuenta que paga el 6% anual y que se planea retiros iguales anuales de $ 1 000 durante 5 años, empezando el próximo año. Al final de sexto año se desea cerrar la cuenta retirando el dinero que quede. Defina los símbolos que intervienen en el problema. P A = R F=S i n

= = = = =

5000 1000 ? 6% 5

por año durante 5 años Final del 6º año Anual años para A

2. La compañía Aire-Caliente, invirtió $ 2 500 en un nuevo compresor de aire hace 7 años. Los ingresos anuales que produce el compresor son de $ 750. Durante el primer año se gastaron $ 100 en mantenimiento, costo que ha venido aumentado anualmente en $ 25. La compañía piensa vender el compresor por un valor de salvamento de $ 150 a finales del próximo año. Prepare el diagrama de flujo de caja para este equipo Ingresos = VS =

750 150

Costos = Increm =

100 25

Fin de Año

Ingresos

Costos

Flujo Neto de Caja

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

0 750 750 750 750 750 750 750 900

2500 100 125 150 175 200 225 250 275

(2500) 650 625 600 575 550 525 500 625

650 625

625 600 575 550 525 500

-7

-6

-5

-4

-3

P = 2500

13

-2

-1

0

1

Año


Interés Simple

3. Suponga que se desea hacer un depósito en una cuenta ahora, de tal manera que se pueda retirar un cantidad igual anual A 1 = $ 200 por año durante los primeros 5 años, comenzando un año después de su depósito y una cantidad anual diferente A 2 = $ 300 por año los siguientes 3 años, ¿Cómo será el diagrama de flujo de caja si i =14 ½% anual?

0

200

200

200

200

200

300

300

300

1

2

3

4 i = 14 1/2%

5

6

7

8

Año

P= ?

4. Si usted compra un nuevo televisor en 2012 por $ 900, lo conserva durante tres años a un costo de mantenimiento de $ 50 por año, vendiéndolo al final por $ 200, diagrame sus flujos de caja y marque cada flecha como P, F, o A con su respectivo valor en dinero, de manera que le sea posible hallar una sola cantidad en 2011, equivalente a todos los flujos de caja mostrados. Suponga una tasa de interés de 12% anual P = ? F 2 = 150 i = 12% anual 2011

2012

2013

2014

A = 50

A = 50

2015

F 1 = 900 P = ? F 2 = 150 i = 12% anual 2011

2012

2013

2014

F 2 = 50

F 3 = 50

2015

F 1 = 900

5. La compañía Licores Libres espera obtener un ingreso de $ 47 500 para el próximo año en la venta de sus productos. Sin embargo, se espera que las ventas aumenten uniformemente con la introducción de un nuevo artículo a un nivel de $ 100 000 en 8 años. Determine el gradiente y construya el diagrama de flujo de caja G V entas Ingreso n

= = = =

? 100000 47500 8

Gradiente 

G

Ganancias n 1

Gradiente 

=

Ventas  Ingresos n 1

7500

100000 92500 85000 77500 70000 62500 55000 47500 0

1

2

3

4

14

5

6

7

8

Año


Interés Simple

6. Determinar el valor del factor A/P, si n es de 10 años, a.- Para una tasa de interés del 7.3%, es decir, (A/P, 7.3%, 10). b.- Interpolando valores A/P para tasas de interés 7% y 8% a

PMT = R VP = P i n

= = = =

? 1 7.30% 10

R  P . F R C ni

R  P

P( A / P, i, n ) Pago(i%, n, P, S, Tipo)

R

=

i(1  i) n

(1  i) n  1

Pago(i%, n, P ,0,0)

14.436%

b

PMT = R VP = P i n

= = = =

? 1 7.00% 10

R  P . F R C ni

P( A / P, i, n ) Pago(i%, n, P, S, Tipo)

R

PMT = R VP = P i n

= = = =

R  P

? 1 8.00% 10

=

R  P . F R C ni

=

7% 7.30% 8%

X a b d e f

= = = = = =

0.142

P( A / P, i , n )

R

? 7.30% 8% 7% 0.142 0.149

(1  i) n  1

Pago(i%, n, P ,0,0)

R  P

Pago(i %, n, P , S ,Tipo)

i(1  i) n

i(1  i) n

(1  i) n  1

Pago(i %, n, P ,0,0)

0.149

0.142 X 0.149

 a  d  ( f  e)   b d  

X  e  

X

0.142

+

=

0.14437

0.14437 es la distancia entre 0.142 y 0.149

7. Encontrar el valor del factor n a.- (P/F, 4%, 48) b.- Interpolación para los años 45 y 50 a

n VP = P VF = S i

= = = =

? 1 1 4.00%

47.89

= = = =

? 1 1 4.00%

45

S  P . F S C ni

P  S

P(P F /F P, i, n ) F

1

=

1 (1  i ) n

0.1529

b

n VP = P VF = S i

0.3

S  P . F S C ni

P  S

P(P F /F P, i, n ) F

1

15

=

1 (1  i ) n

0.1712

0.007

Econ. Máximo Calero Briones .UNAC n VP = P VF = S i

= = = =

? 1 1 4.00%

Interés Simple 50

P  S . F S A ni

P  S

F (P / F , i, n)

1

=

45 47.89 50

X a b d e f

= = = = = =

? 48 50 45 0.1712 0.1407

1 (1  i )

n

0.1407

0.1712 X 0.1407

 a  d  ( f  e)   b  d 

X  e  

X

16

0.171

+

=

0.15291

0.6

-0.030

EJERCICIOS Autor: BLANK Leland/TARQUIN Anthony 8. La Compañía HRP planea depositar $ 709.90 ahora al 6% anual y retirar $ 100 anuales durante los próximos 5 años y $ 200 anuales los siguientes 2 años, ¿Cuáles son los símbolos económicos y sus valores respectivos? 9. ¿Cuántos años serán necesarios para que $ 1 400 tripliquen su valor a una tasa de interés de 10% anual. Defina los símbolos económicos? 10. Supongamos que usted ha desarrollado el siguiente plan de inversión: invertir $ 500 ahora y así sucesivamente hasta el año 10, retirar $ 300 anualmente comenzando dentro de 5 años a partir de hoy y haciéndolo durante 8 años consecutivos. Dibuje los flujos netos de caja 11. Si se planea hacer un depósito ahora de tal manera que se tengan $ 3 000 en una cuenta dentro de 5 años, ¿Cuánto deberá depositarse si la tasa de interés es del 8% anual? Dibuje el diagrama de flujo de caja 12. Su tío ha acordado depositarle en una cuenta de ahorros $ 700 anuales empezando ahora. A la vez, usted ha acordado no retirar ningún dinero sino hasta el final del año 9, cuando retirará inicial. Dibuje los flujos de caja para su tío y para usted. 13. El presidente de una compañía desea hacer dos depósitos iguales, uno dentro de 2 años y el segundo dentro de 4, de tal manera que pueda hacer retiros anuales de $ 100 que empezarán cuando se haga el segundo depósito. Además, él quiere retirar $ 500 más un año después de que la serie de retiros termine. Dibuje su diagrama de flujo de caja 14. Usted desea invertir dinero al 8% anual de tal manera que dentro de 6 años pueda retirar una suma total F. El consultor de inversiones y el banco han desarrollado los dos planes siguientes para usted: (1) depositar $ 351.80 ahora y $ 351.80 tres años después. (2) depositar: $ 136.32 anualmente, empezando el próximo año y terminando en el 6º año. Dibuje los diagramas de flujo de caja de cada plan si se desea calcular F. 15. ¿Qué cantidad podría gastar usted ahora con el objeto de evitar un gasto de $ 580 dentro de 8 años si la tasa de interés es 6% anual? Dibuje el diagrama de flujo de caja 16. Si se depositan $ 100 anualmente durante 5 años, empezando dentro de un año, ¿Cuánto habrá en una cuenta dentro de 15 años si la tasa de interés es 10% anual? Dibuje el diagrama de flujo de caja. 17. ¿Cuál es el valor presente de un gasto de $ 1 200 dentro de 5 años y de una de $ 2 200 dentro de 8 si la tasa de interés es 10% anual Construya el diagrama de flujo de caja 18. Calcule el valor presente de un gasto anual de 4 85 durante 6 años que comenzarán dentro de 3 años si la tasa de interés es 20% anual. Construya el diagrama de flujo de caja 17


Interés Simple

19. Si usted invierte hoy $ 10 000 en un negocio de finca raíz, ¿En cuánto debe vender su propiedad dentro de 10 años si quiere obtener una tasa de retorno de 12% sobre su inversión? Defina los símbolos económicos y dibuje el diagrama de flujo de caja 20. Si usted invierte hoy $ 4 100 y recibe $ 7 500 dentro de 5 años, ¿Cuál es la tasa de retorno sobre su inversión? Defina los símbolos económicos y elabore un diagrama de flujo de caja 21. ¿Cuánto dinero se acumulará en 6 años si una persona deposita $ 500 hoy e incrementa este depósito en $ 50 anuales durante los próximos 6 años? Asuma que i es 16 anual y dibuje el diagrama de flujo de caja 22. ¿Qué pago uniforme durante 8 años comenzando un año a partir de la fecha sería equivalente a gastar hoy $ 4 500, $ 3 300 dentro de 3 años y $ 6 800 dentro de 5 años, si la tasa de interés es 8% anual? Defina los símbolos económicos y dibuje el diagrama de flujo de caja

18

INTERES SIMPLE 1. DEFINICION Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a l a tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.

2. PERIODO DE TIEMPO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS De acuerdo al sistema legal vigente, si una persona deposita y retira de su cuenta en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo día, no habrá ganado interés alguno. Lo contrario supondría percibir Interés por horas, minutos, segundos, etc. Situación que puede corresponder al cálculo del interés continuo y no contemplado en el sistema financiero. Para percibir interés es necesario que el dinero haya permanecido en la institución financiera como mínimo un día, transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la última se incluye, operación conocida como el “método de los días terminales”. Ejm: un depósito efectuado el 3 de abril y retirado el 4 del mismo mes habrá percibido interés correspondiente a un día, contando del 3 al 4. Excluido

incluido

¾ O

4/4 1 día

☻

En el cálculo del período de tiempo comprendido entre dos fechas, para excluir el primer día podemos efectuar lo siguiente: a.- Depósitos y retiros producidos en el propio mes: restar al día de retiro el día de depósito. Por ejemplo, para un depósito del 3 de abril, retirado el 26 del mismo mes, se contabilizará 23 días (26 – 3 = 23). 19


Interés Simple

b.- Depósitos y retiros producidos en períodos que incluyen más de un mes: restar al número de días del primer mes los días transcurridos desde que se efectuó el depósito(incluido ese día) y adicionar los días de los meses siguientes incluyendo el día de retiro. Por ejemplo para un depósito del 26 de mayo, retirado el 7 de junio, se contabilizaran 12 días (5 en mayo y 7 en junio). Ejm: ¿Cuántos días de Interés se habrán acumulado entre el 3 de junio y el 18 de setiembre del mismo año, fechas de depósito y cancelación de un importe ahorrado en un banco?

MES Junio Julio Agosto Setiembre

DIAS TRANSCURRIDOS EN EL MES 30-3 31 31 18

DÍAS 27 31 31 18 107 Días

3. AÑO BANCARIO SEGÚN BCRP De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Perú, el año bancario es un período de 360 días. ANO BANCARIO PERIODO TERMINO DE DIAS Año 360 Semestre 180 Cuatrimestre 120 Trimestre 90 Bimestre 60 Mes 30 Quincena 15 Día 1

UNIDADES DE TIEMPO UNIDAD NUMERO Año 1 Semestre 2 Cuatrimestre 3 Trimestre 4 Bimestre 6 Mes 12 Quincena 24 Día 360

Ejm: Si la tasa anual de interés simple es del 18% anual. ¿Cuál será la tasa para el período comprendido entre el 1 de enero de 2003 y el 1 de enero de 2004? Resp. Entre dos fechas referidas han transcurrido 365 días. 18% 360 días X 365 días

20

X = 18.25%


Interés Simple

Ejm: El interés simple de un capital inicial de S/. 1,000 colocado durante un año a una tasa de 24% anual puede calcularse alternativamente con diferentes tiempos y tasas proporcionales. Años Semestres Cuatrimestres Trimestres Bimestres Meses Quincenas Días

I = 1,000 x 0.24 x 1 = 240 I = 1,000 x 0.12 x 2 = 240 I = 1,000 x 0.08 x 3 = 240 I = 1,000 x 0.06 x 4 = 240 I = 1,000 x 0.04 x 6 = 240 I = 1,000 x 0.02 x12 = 240 I = 1,000 x 0.01 x24 = 240 I = 1,000 x 0.0006 x 360 = 240

Ejm: Si la tasa anual de Interés simple es del 18% anual. ¿Cuál será la tasa para el período comprendido entre el 1 de enero 2012 y el 1 de enero 2012? 18%_____________ 360 días X%______________ 365 días

X = 18.25%

4. REGLA DE LOS NUDILLOS Es una regla nemotécnica que consiste en cerrar el puño de la mano derecha y contar con un dedo de la mano izquierda. Los nudillos representarán a los meses de 31 días, y los espacios entre nudillos los meses de menos de 31 días. El primer nudillo representa a enero (y equivale a 31 días). El espacio próximo representa a febrero (y por ser un espacio entre nudillos tiene menos de 31 días, en este caso 29 o 28 días). El segundo nudillo representa a marzo (y equivale a 31 días) y así sucesivamente hasta llegar a julio, representado también por un nudillo (que equivale a 31 días). Luego se comienza de nuevo la cuenta con un nudillo extremo, que esta vez representará a agosto (y equivaldrá a 31 días). Se continúa la cuenta hasta llegar a diciembre, representado también por un nudillo (considerándosele de 31 días).

5. EL AÑO COMERCIAL Y EL AÑO COMUN EN LA DETERMINACIÓN DEL INTERES Cuando se calcula el interés por periodos menores de 1 año se presentan dos casos: a) Calcular el interés simple ordinario, que corresponde al año comercial de 360 días. b) Calcular el interés simple exacto, que corresponde al año natural o común de 365 días (366 en años bisiestos).

5.1.INTERES SIMPLE ORDINARIO(Comercial):

Es el único que se utiliza en la práctica mercantil y bancaria en nuestro país, debido a que simplifica los cálculos y toma como base el año comercial de 360 días. Este método aumenta el interés que debe pagar el deudor, beneficiando al acreedor que en esta forma gana o cobra más Intereses.

21


Interés Simple

Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año 360 días; pero para la duración del tiempo de préstamos a corto (menores que un año), cuentan los días efectivo calendario. Su fórmula como ya lo hemos tratado es la siguiente:



I

P

n

.i . 360

5.2.INTERES SIMPLE EXACTO(Real):

No se aplica en nuestro país. Utiliza como base el año común de 365 días. Su fórmula es la siguiente:

I



P

n

. i . 3 65

6. CALCULO EXACTO Y APROXIMADO DEL TIEMPO Conociendo las fechas, el número de días que ha de calcularse el Interés puede ser determinado de dos maneras: a) Cálculo exacto del tiempo : como su nombre lo indica, el número exacto de días tal como se encuentran en el calendario. Se acostumbra contar una de las dos fechas dadas. b) Cálculo aproximado del tiempo : se hace suponiendo que cada mes tiene 30 días.

7. PAGARE Un pagaré es un documento mediante el cual una persona se obliga a pagar a otra una cantidad determinada de dinero, con interés o sin él, en una fecha dada. La persona que hace la promesa de pagar es el deudor u otorgante y la persona que cobra el pagaré es el beneficiario o tenedor. En todo pagaré intervienen los siguientes conceptos: Fecha: es la fecha en la que se extiende el pagaré Fecha de vencimiento: es la fecha en la cual se debe pagar la deuda Plazo: es el tiempo que transcurre entre la fecha en que se extiende el pagaré y la fecha de vencimiento Valor Nominal es la cantidad marcada en el pagaré. Si el pagaré se indica que el valor nominal causará interés a determinada tasa, entonces el valor nominal les el capital obtenido en préstamo; en cambio, si el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a determinada tasa, el valor nominal es el monto a pagar en la fecha de vencimiento. 22


Interés Simple

Valor de Vencimiento : Es la cantidad que se debe pagar en la fecha de vencimiento. Esto es el capital obtenido en préstamo más el interés, si los hubiera. En algunos pagarés no se especifica la tasa de interés, esto da lugar a una de dos situaciones; o bien el pagaré no produce intereses o los intereses ya han sido añadidos al capital, de tal manera que el documento muestra la cantidad total (monto) a pagar en la fecha de vencimiento. Cuando una deuda no se liquida en la fecha de vencimiento, empieza a ganar intereses llamados Moratorios, los cuales se deben calcular sobre el capital original prestado y no sobre el monto, ya que los intereses moratorio son interés simple. Es usual que la tasa de interés moratorio sea 50% más de la tasa normal aplicada, aunque esta no es una regla general. Ejm: Determine el Valor al vencimiento del siguiente pagaré.

E ne ro F e br e ro M a rzo A br il M a yo J u nio

19 28 31 30 31 8 14 7

I S P i n

= = = = =

¿ ? I  P .i . n ¿ ? S  P  I 12 0 0 0 I 5% S 0. 40 8 3 3 ( 1 47 /3 6 0 )

S  P (1  i n ) I  S  P =

2 4 5 .0 0

S

=

1 2 2 4 5 .0 0

=

1 2 2 4 5 .0 0

I

=

2 4 5 .0 0

Ejm: Si en el caso anterior el deudor paga la deuda el 30 de junio, cuánto pagará por concepto de mora. La tasa de interés moratoria es de 10% I S P i n

= = = = =

¿ ? ¿ ? 12 0 0 0 1 0% 0. 06 1 1 1

 P .i. n S  P  I

S  P (1  i n )

I

I  S  P

I

=

7 3 .3 3

S

=

1 2 0 7 3 .3 3

S

=

1 2 0 7 3 .3 3

I

=

7 3 .3 3

23


Interés Simple

8. VARIACIONES EN EL PRINCIPAL (NUMERALES)

Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc. Cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el cálculo del interés simple se efectúa usando numerales. Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo sin movimiento. A una fecha determinada (fin de mes, trimestre, etc.) se obtiene el interés simple multiplicando la sumatoria de los numerales por la tasa diaria de interés. La siguiente ecuación muestra el movimiento de una cuenta de ahorros durante un período de tiempo: I = P1in1 + P2 in2 + P3 in 3+........+Pm inm Cada sumando de la expresión anterior representa una operación de interés simple, donde: p1, p2, p3,........ son los saldo del capital original n1, n2, n3,........ son los días de permanencia de los saldos p 1, p2, p3,........ I = i [ P1in1 + P2 in2 + P3 in 3+........+Pm inm ] Cada sumando de la expresión entre corchetes es un numeral m

I = i ∑

Pk nk

k=1

El procedimiento bancario del cálculo del interés simple a través de numerales: 

Registramos los depósitos o retiros de ahorros, abonando o cargando respectivamente en la columna Movimiento y establecemos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en que se hayan efectuado estos movimientos.



Contablemente el Debe es igual : Cargo, Ingreso o Activo. Haber es igual: Abono, Salida o Pasivo



Modelo I : Contable CALCULO DEL INTERES SIMPLE A TRAVES DE NUMERALES

DIAS

D/R

S/.

MOVIMIENTO Debe Haber

SALDO Deudor Acreedor

24

DIAS

TASA Numerale DIARIA INTERES

Econ. Máximo Calero Briones .UNAC 

Interés Simple

Modelo II: (Saldo débito se le coloca signo positivo y al saldo crédito, signo negativo. Los intereses serán de cargo o abono, según su signo positivo o negativo. CALCULO DEL INTERES SIMPLE A TRAVES DE NUMERALES

FECHA DETALLE

S/.


SALDO

DIAS

TASA Numerale DIARIA INTERES

Registramos los días de permanencia de la cuenta con el último movimiento. Por ejemplo, el saldo inicial acreedor de S/. 1 100.00 ha permanecido tres días con dicho importe, desde el 1 al 3 de junio inclusive, ya que a partir del día 4 la cuenta registra un nuevo saldo acreedor de S/. 950.00  Calculamos los numerales: multiplicando los saldo acreedores P k por los días n k que la cuenta ha permanecido con ese saldo, y obtenemos la sumatoria de las operaciones acumuladas durante el mes, incluyendo el último día del mes, esta cantidad así obtenida de S/. 32 810.00 viene a representar los numerales que servirán para el cálculo del interés.  Hallamos el interés del mes, multiplicando la tasa diaria por los numerales acreedores: Interés = (0.04/30)(32 810) = 43.75 El importe de S/. 43.75 es el interés ganado por el ahorrista durante el mes de junio y está disponible a partir del primer día útil del mes siguiente. Cuando la institución financiera abona los intereses del mes en la librera de ahorros como el desarrollo en el presente ejemplo, se está produciendo el proceso de capitalización, combinándose el interés simple con el Interés compuesto  Cuando existen variaciones de tasas, el cálculo del interés simple a través de numerales debe efectuarse por tramos durante los períodos de tiempo que la tasa tuvo vigencia (Numerales con variaciones de tasas). 

9. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE A INTERES SIMPLE Todas las decisiones financieras deben tener en cuenta la idea básica de que el dinero tiene valor por el tiempo. En una transacción financiera, cada pago debe tener una fecha anexa, la fecha en que se vence. En otras palabras, en las matemáticas financieras se maneja valores fechados. Dos o más importes de dinero ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentes cuando sus valores presentes calculados con una misma tasa de interés, son iguales. Si dichos importes coinciden cronológicamente y están expresados en la misma unidad monetaria, entonces, en ese punto del tiempo podrán sumarse o restarse. En el interés simple, si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en el presente, no necesariamente en otro momento, tal como ocurre con el interés compuesto.

25


Interés Simple

En las operaciones mercantiles, suelen presentarse situaciones en las cuales deudores y acreedores por convenir a sus intereses se ponen de acuerdo en cambiar las condiciones pactadas originalmente, generando nuevas relaciones contractuales, tal como sucede en:  Refinanciación de deudas  Sustitución de varias deudas que vencen en fechas diferentes, por un solo pago.  Pagos adelantados con relación a una o varias fechas de vencimiento.  Prórrogas de vencimientos de plazos pactados, etc. Para el cálculo de equivalencias de capitales a interés simple es necesario fijar una Fecha Focal (fecha de evaluación) y plantear una ecuación de equivalencia donde se pongan en igualdad las condiciones originales y las nuevas condiciones y luego despejar la incógnita planteada. Ecuación de valor o Ecuación de equivalencia son dos conjuntos de pagos equivalentes a determinada tasa de interés simple, si los valores fechados de los conjuntos, en cualquier fecha común, son iguales; a la fecha que se usa se llama FECHA FOCAL O FECHA DE COMPARACION. La fijación de la fecha focal debe ser cuidadosamente analizada, ya que debe corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en la determinación de las cantidades. En algunas ocasiones es conveniente para el deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro conjunto. Para efectuar esta operación el deudor como el acreedor deben estar de acuerdo con la tasa de interés que ha de utilizarse en la transacción y en la fecha en que se llevará a cabo (a menudo llamada fecha focal).En la solución de problemas se sugiere el procedimiento siguiente: 

  

Hacer un buen diagrama de tiempo que muestre los valores fechados de un conjunto de pagos en un lado de la línea de tiempo, y los valores fechados del segundo conjunto de pagos al otro lado Seleccionar una fecha focal, y pasar todos los valores fechados a esta fecha focal, usando la tasa de interés especificada Plantear una ecuación de valor en la fecha focal Resolver la ecuación de valor, usando los métodos algebraicos adecuados

10.TASAS 10.1.Tasas Extranjeras Primer Rate: Esta es de Estados Unidos. En las publicaciones mexicanas le llaman “Tasa prime”. Esta es la tasa preferencial que aplican en Estados Unidos a sus clientes privilegiados Libor: Es la tasa interbancaria de Londres

10.2.Tasas Mexicanas Costo Porcentual Promedio(CPP): Que es el promedio del costo de captación de recursos pagado por el sistema financiero en operaciones a corto y largo plazo Tasa Interbancaria Promedio(TIP): Que es la tasa que se cargan o acreditan los bancos nacionales Certificados de Tesorería(CETE). 26


Interés Simple

Esta no es una tasa promedio. Su fijación se debe referir a una semana específica de emisión, ya que, el miércoles de cada semana se efectúa la colocación primaria y se señalan con el progresivo de la semana y el año. Ejm: semana 40 del año 2012. Se denomina: subasta o emisión 40/10. En las operaciones financieras la tasa de referencia elegida se incrementa de X puntos o de X porcentaje. Este incremento llamado técnicamente “Spread”, da al prestamista un diferencia entre la tasa pagada y cobrada, mismo que cubre sus gastos de operación y le da un margen de utilidad. Cuando el incremento se expresa e punto se refiere a cada “punto” como un1% adicionable a la tasa. Ejm: Aplicar la tasa de CPP más 6 puntos. Si la tasa CPP es del 16.18%, la tasa aplicable será 16.8+6 puntos = 22.18% Ejm: Aplicar la tasa TIP más 20%. Si la tasa TIP es de 15.88%, el incremento será de 15.88x0.2= 3.176 por lo que la tasa aplicable será 15.88+3.176= 19.056%

11. SALDO INSOLUTO Es la renta interés calculado en una deuda sobre los saldos que quedan por pagar. Es evidente que en toda operación de crédito se tienen dos fichas: la de contratación (inicio del crédito) y la de liquidación (fin del crédito)

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EJEMPLOS AUTOR : Zima Petr/ Brown, Robert . Matemáticas Financieras Interés Simple 1. Calcular a.- El interés simple Ordinario (Resp. I = $ 36.35 ) b.- El interés simple exacto (Resp. I = $ 35.75) Sobre un préstamo de $ 1 500 a 141/2% y a 60 días. Se tiene P = 1500 y i = 0.145 2. ¿A qué tasa de interés simple se acumularán interés de $ 72 por $ 1 200 a 6 meses? Resp. i = 12%) 3. ¿Cuánto tiempo tardarán $ 500 para acumular cuando menos $ 560 a 13 ¼ % de interés simple ordinario (Resp. n = 327 días) 4. Para alentar al pronto pago de las facturas, los fabricantes y los mayoristas ofrecen descuentos en efectivo por pagos adelantados a la fecha de vencimiento. Los siguientes términos típicos pueden estar impresos en la factura de la venta: 3/10, n/30. Las mercancías cobradas con esta base están sujetas a un descuento en efectivo de 3% si se pagan en menos de 10 días. En caso contrario, se debe pagar toda la cantidad no después de 30 días a partir de la fecha de facturación. Supongamos que un comerciante recibe una factura por $ 2 800 con los términos arriba descritos a.- ¿Cuál es la tasa máxima de interés simple a la que puede obtener un préstamo para aprovechar el descuento en efectivo (Resp. i = 55.67% ) b.- ¿Qué utilidad puede lograr el comerciante si recibe dinero prestado a 18%, y paga la factura al décimo día de su fecha de expedición? (Resp. U = $ 56.84 ) a

i I P n

= = = =

¿ ? 84 2800*3% 2716 2800-84 0.0555556 20/360

I  P .i.n

= = = =

¿ ? 2716 18.00% 0.0555556

I  P .i.n

i

i



I P . n

=

b

I P i n

U = Descuen = I =

¿ ? 84 27.16

2800-84 20/360

I

=

U  Descuento Pr ontoPago  Interes

U

=

5. Determinar el valor descontado de $ 1 000 pagaderos en 3 meses, si la tasa es 11% (Resp. P = $ 973.24 ) 6. Una persona pide prestados $ 1 000 por 220 días a 12.17%,¿Qué cantidad debe pagar? (Resp. S = $ 1 074.37) 28


Interés Simple

7. Ochenta días después de pedir prestado, una persona paga exactamente $ 850, ¿Cuánto pidió prestado si los $ 850 incluyen el principal y el interés simple a 9 ¾% (Resp. P = $ 831.97 ) 8. Judy tiene una cuenta de ahorros que le paga un interés de 12% anual. El interés se calcula sobre el saldo mensual mínimo, y se paga en la cuenta el 31 de diciembre. Dada las siguientes transacciones en su cuenta, que abrió el 10 de enero, calcular los intereses ganados en el primer año. Fecha

Depósitos

10 de Enero 5 de Marzo 18 de Junio 12 deSetiembre 3 de Octubre

825 300

Retiros

Saldo

825 1125 925 825 1075

200 100 250

a.- Saldo mensual b.- Saldo Diario c.- Utilizar el método de los numerales para b.

(Resp. I = $ 104.75 ) (Resp. I = $ 118.41 )

a

825

825

1125 300

P= 0

Enero

Febrero

Marzo

1125

Abril

925

Mayo 200

925

Junio

925

Julio

925

Agosto

825

Setiembre

1075 250

Octubre 100

I i[( P 1n1)( P 2n2)( P 3n3)....( P nnn]

I i P1 n1 P2 n2 P3 n3 P4 n4 P5 n5 P6 n6

= = = = = = = = = = = = = =

¿ ? 12% 0 0.0833333 825 0.0833333 825 0.0833333 1125 0.0833333 1125 0.0833333 925 0.0833333

7

1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12

n7 P8 n8 P9 n9 P10 n10 P11 n11 P12 n12

= = = = = = = = = = = =

925 0.0833333 925 0.0833333 825 0.0833333 825 0.0833333 1075 0.0833333 1075 0.0833333

29

1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12

I

=


Interés Simple

b

P=

1125 300

825

925

54 d

825

105 d

10-ene

86 d

05-mar

18-jun 200

100

1075 250 21 d

89 d

12-sep

03-oct

I i P1 n1 P2 n2 3

n3 P4 n4 P5 n5

= = = = = = = = = = = =

¿ ? 12% 825 0.15 1125 0.2916667 925 0.2388889 825 0.0583333 1075 0.2472222

31-dic

I  i[( P 1n1 )  ( P 2 n2 )  ( P 3 n3 )  ....  ( P n nn ]

54/360

I  0.12[(825 x

54 105 86 21 89 ) (1125x ) (925 ) (825 ) (1075 ] 360 360 360 360 360

105/360 I

=

86/360 21/360 89/360

c

Datos I = i = n = Meses =

? 12% 12

I

i meses



I 

n

días 30 Mes

I

=

i nxmeses 0.0003333

c

Datos I = i = n = Meses =

? 12% 12

DIAS

D/R

S/.

10-ene 05-mar 18-jun 12-sep 03-oct 31-dic

D D R R D

825 300 200 100 250

I

i meses



I 

n

días 30 Mes MOVIMIENTO Debe Haber

I

Saldo Acreedor

30

=

DIAS

i nxmeses 0.0003333

TASA Numerale DIARIA

INTERES


Interés Simple

Tiempo Entre Fechas 9. Calcular a.- El tiempo exacto b.- El tiempo aproximado Del 18 de abril al 3 de noviembre del mismo año

(Resp. 199 días) (Resp. 195 Días)

a TIEMPO EXACTO

Abril Mayo Junio Julio Agosto

Van Setiembre Octubre Noviembre Días

b TIEMPO APROXIMADO Día

Mes

Año

03 de Noviembre 2011 18 de abril 2011 Son :

7 meses, -15 días Total

Días

10. Calcular el tiempo a.- Exacto b.- Aproximado Del 18 de mayo de 2010 al 8 de abril de 2011

(Resp. 325 Días) (Resp. 320 Días)

a TIEMPO EXACTO

Van Setiembre Octubre Noviembre Diciembre

Mayo Junio Julio Agosto

Van Enero Febrero Marzo Abril

b TIEMPO APROXIMADO Día

Mes

08 de abril 2012 18 de mayo 2011 Son :

1 año, -1 mes, -10 días Total

31

Días

Año


Interés Simple

11. Se han invertido $ 2 000 desde el 18 de mayo de 2010 hasta el 8 de abril de 2011, a 16% de interés simple. Calcular los intereses ganados, (utilice el tiempo exacto y aproximado del ejemplo Nº 10) a.- Tiempo Exacto e interés ordinario (regla del banquero) (Resp. I = $ 288.89) b.- Tiempo exacto y el interés exacto (Resp. I = $ 284.93) c.- Tiempo aproximado y el interés ordinario (Resp. I = $ 284.44) d.- Tiempo aproximado y el interés exacto (Resp. I = $ 280.55) 12. Aplicar la regla del Banquero para calcular el interés simple sobre $ 3 260 a 12 ¼% desde el 21 abril hasta el 24 de diciembre del mismo año. Utilice a.- El tiempo exacto (Resp. I = $ 274.00 ) b.- El Tiempo Aproximado (Resp. I = $ 269.76 ) 13. El 10 de enero el Sr. A pide prestado $ 1 000 a su banco. El interés se paga al final de cada trimestre (31 de marzo, 30 de junio, 30 de setiembre, 31 de diciembre) y en la fecha del último pago. El interés se calcula con la tasa de 12% sobre saldos insolutos. El Sr. A pagó el préstamo en la forma siguiente: 1 de marzo 17 de abril 12 de julio 20 de agosto 18 de octubre

100 300 200 100 300 1000

Calcular el interés pagado en cada pago, y el interés total pagado

(Resp. I = $ 59.07 )

Ecuaciones de Valor 14. Una deuda de $ 1500 se vence en 6 meses, con un interés de 11%. Con 15% de Interés Simple, calcular el valor de la obligación a.- Al final de 3 meses (Resp. P = $ 1 525.30 ) b.- Al Final de 12 meses (Resp. S = $ 1 701.19 ) P = 1500 0

S P i n

= = = =

¿ ? 1500 11.00% 0.50

3

6 Meses X

S  P (1  in ) 6/12

S

=

a

S = 1582.50 0

P S i n

= = = =

¿ ? 1582.50 15.00% 0.25

3

6 X

S  P (1 i.n) 3/12

P

32

P  =

12 Meses

S

(1  i.n )


Interés Simple

b

P = 1582.50 0

S P i n

= = = =

¿ ? 1582.5 15.00% 0.50

3

6 X

12 Meses

S  P (1  in ) 6/12

S

=

15. La Sra. Hill tiene una deuda de $ 500 que se vencen en 4 meses, y otra de $ 700 que vence en 9 meses,¿ Qué pago único liquidará esas obligaciones a.- Ahora (Resp. P = $ 1 128.97 ) b.- En 6 meses (Resp. X = $ 1 190.44 ) c.- En 1 año (Resp. S = $ 1 255.92 ) Si el Valor del dinero es de 11%? a

0 X

4 500

X 

S



S

9 700

X 

(1  in) (1  in)

50 0 4    1  0 . 11  12  

X X



12 Meses

70 0 9    1  0 . 11  12  

= =

482.32 1128.97

+

646.65

b

0

4 500

X  P (1  in) 

S

(1  in)

6 X  

X   1  0 . 11

9 Meses 700

2  70 0  3  12    1  0 . 11  12  

c

0

X  P (1  in)  P (1  in)

4 500

9 700

 

8   3    1  0.11  12   12 

X  5001  0.11

33

12 Meses X


Interés Simple

16. La Sra. Adams tiene dos opciones para pagar un préstamo: puede pagar $ 200 al final de 5 meses y $ 300 al final de 10 meses, o bien puede pagar $ X al final de 3 meses y $ 2X al final de 6 meses. Si las opciones son equivalentes y el dinero vale 12%, calcular X, usando como fecha focal a.- El final de 6 meses (Resp. X = $ 161.87 ) b.- El final de 3 meses (Resp. X = $ 161.96 ) a

200 0

3 X

X (1  in)  2 X (1  in)  P(1  in) 

S

(1  in)

 

X  1 

0 . 12

300

5

6 2X

10 m es es

3  1  30 0    2 X  20 0  1  0 . 12  12  12    1  0 . 12 4    12  

b

200 0

3 X

X 

300

5

6 2X

10 meses

2 X 200 300 S S 2 X   X    3   2    7  (1  in) (1  in) (1  in) 1  0.12   (1  0.12  1  0.12  12   12   12)  

17. Blake pidió prestados $ 5 000 el 1 de enero de 2011. Pago $ 2 000 el 30 de abril de 2011, y $ 2 000 el 31 de agosto de 2011. El pago final lo hizo el 15 de diciembre de 2011. Calcular la magnitud del pago final, si la tasa de interés fue de 7% y la fecha focal a.- El 15 de diciembre de 2011 (Resp. X = $ 1 208.05 ) b.- El 1 de enero de 2011 (Resp. X = $ 1 211.92 ) a

P= 5000 01/01/2011

30/04/2011 2000

Valor Fec hado de los Pagos

31/08/2011 2000 =

15/12/2011 X

Valor Fec hado de la Deuda

P (1  in)  P (1  in)  X  P (1  in) 2000 1 0.07 229   2000 1 0.07106   X  5000 1 0.07 348       

360 





360 



360 

b

P= 5000 01/01/2011 X

30/04/2011 2000

34

31/08/2011 2000

15/12/2011


Interés Simple

15/12/1995 al 01/01/1995

=

348

31/08/1995 al 01/01/1995

=

Agosto Julio Junio Mayo

Días 31 31 30 31 123

Van Abril Marzo Febrero Enero

123 30 31 28 30 242

30/04/1995 al 01/01/1995

=

Abril Marzo Febrero Enero

30 31 28 30 119

S



S



X

(1  in) (1  in) (1  in)

 P

            2000   2000   X    5000   119   242   348     1 0.07   1  0.07   1  0.07  360   360   360  

18. Gordon pidió prestado $ 1 000 el 15 de enero de 2011, a 16%. Pago $ 350 el 12 de abril de 2011, $ 20 el 10 de agosto de 2011 y $ 400 el 3 de octubre de 2011, a.- ¿Cuál es el saldo a pagar el 1 de diciembre de 2011, según la regla del comerciante? (Resp. Comerciante = $ 324.48 ) b.- Método focal al 1 de diciembre de 2011 (Resp. X = $ 324.48 ) c.- Regla de los Estados Unidos (Resp. $ 330.78 ) a

P= 10000 15/01/1995

S P i n

= = = =

¿ ? 1000 16.00% 0.89

12/04/1995 350

10/08/1995 20

03/10/1995 400

S  P (1  in ) 320/360

S

=

Comerciant e  S   Pago1  Pago 2  Pago3 

35

01/12/1995

Econ. Máximo Calero Briones .UNAC S P i n

= = = =

¿ ? 350 16.00% 0.65

S P i n

= = = =

¿ ? 20 16.00% 0.31

S P i n

= = = =

¿ ? 400 16.00% 0.16

Interés Simple

S  P (1  in ) 233/360

S

=

S  P (1  in ) 113/360

S

=

S  P (1  in ) 59/360

S

=

Comercia

=

Saldo pagadero el 1/12 es $ 324.48

b

P= 10000 15/01/2011

12/04/2011 350

10/08/2011 20

Valor Fec hado de los Pagos

=

03/10/2011 400

Valor Fec hado de la Deuda

P (1  in)  P (1  in)  P (1  in)  X  P (1  in)

 

3501  0.16

S P i n

= = = =

¿ ? 350 16.00% 0.65

S P i n

= = = =

¿ ? 20 16.00% 0.31

S P i n

= = = =

¿ ? 400 16.00% 0.16

233  113  59  320       201  0.16   4001  0.16   X  10001  0.16  360  360  360  360    

S  P (1  in ) 233/360

S

=

S  P (1  in ) 113/360

S

=

S  P (1  in ) 59/360

S

36

=

01/12/2011


Interés Simple

c

688.67

705.4

322.33

330.78

12/04/1995 350

10/08/1995 20

03/10/1995 400

01/12/1995

P= 10000 15/01/1995

S P i n Pago

= = = = =

¿ ? 1000 16.00% 0.24 350

S P i n Pago

= = = = =

¿ ? 688.67 16.00% 0.33 20

S P i n Pago

= = = = =

¿ ? 705.4 16.00% 0.15 400

S P i n Pago

= = = = =

¿ ? 322.33 16.00% 0.16 0

S  P (1  in)  Pago

87/360 S

=

S  P (1  in)  Pago

120/360 S

=

S  P (1  in)  Pago

54/360 S

=

S  P (1  in)  Pago

50/360 S

=

Saldo pagadero al 01/12 es de $ 330.78

37

EJEMPLOS AUTOR: ALIAGA VALDEZ, Carlos. Matemática Financiera.01 Interés 1. Calcule el Interés simple que ha producido un capital de S/. 10 000 colocado a una tasa anual del 48% durante el período comprendido entre el 3 de abril y 3 de junio del mismo año (Resp. I = S/. 813.33) 2. Con los datos del problema 1 calcule el interés simple aplicando una tasa mensual del 4%. a.- Interés trabajando en meses (Resp. I = S/. 813.33) b.- Interés trabajando en días (Resp. I = S/. 813.33) 3. Calcule el interés simple de un capital de S/. 5 000 colocado en una institución financiera desde el 3 de marzo al 15 de mayo del mismo año, a una tasa del 2% mensual (Resp. I = S/. 243.33) 4. Determinar el interés simple incluido en el monto de S/. 10 000, obtenido el 2 de junio sobre un capital colocado el 1 de mayo a una tasa anual del 36% (Resp. I = S/. 310.08)

Principal 5. ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 30% producirá un interés simple de S/. 1 000 en el período comprendido entre el 19 de abril y 30 de junio? (Resp. P= S/. 16 667.67) 6. ¿Qué capital colocado al 36% anual, ha producido S/. 500 de interés simple al término de 18 semanas? (Resp. P = S/. 3 968.25) 7. ¿Cuál será el capital que habrá producido un Interés simple de S/. 800 al 12% semestral en 7 Trimestres? (Resp. P = S/. 1 904.76) 8. Cierto capital y sus interés simples hacen un total de S/. 3 000, habiendo estado impuesto desde el 9 de marzo al 15 de abril a una tasa trimestral del 9%, ¿Cuál ha sido el interés y el capital que lo ha producido? (Resp. P = S/. 2 892.96) 9. Encontrar el capital que impuesto a una tasa de interés simple mensual del 3% durante 87 días, ha producido un monto de S/. 500 (Resp. P = S/. 459.98) 10. Dos letras de cambio de S/. 8 000 y S/. 9 000 c/u con vencimiento a 60 y 90 días respectivamente, son descontados a una tasa mensual del 3%, Calcule el valor presente de ambas letras a interés simple. (Resp. P = S/. 15 804.05) 11. Actualmente tengo una deuda de S/. 4 000 la cual vencerá dentro de 3 meses y acuerdo con mi acreedor cancelarla hoy, actualizando el monto con las siguientes tasas mensuales de interés simple: 2% para el primer mes y 2.5% para los dos últimos meses. Halle el importe a cancelar. (Resp. P = S/. 3 738.32 )

38


Interés Simple

12. En el proceso de adquisición de un torno la empresa Crayon SA recibe de sus proveedores las siguientes propuestas, ¿Cuál es la mejor oferta evaluando cada una a un valor presente y asumiendo que el costo del dinero es del 2% de interés simple mensual?

PROVEEDOR A B

CUOTAS MENSUALES 1er 2da 3 000 3 000 2 500 2 500

CUOTA INICIAL 6 500 7 500

(Resp. A = S/. 12 325.79, B = S/. 12 354.83) PROVEEDOR A:

P C.I. S1 i1 n1 S2 i2 n2

= = = = = =

=

=

¿ ? 6500 3000 2% 1 3000 2% 2

P  CI  P 1  P 2

 S 1 S 2     (1  i1n1 ) (1  i2 n2 ) 

P  CI  

P

6500 =

2941.18

2884.62

Valor Presente de un pagaré incluyendo gastos 13. ¿Por qué importe debe entenderse un pagaré en 45 días para obtener un efectivo de S/. 20 000 descontándolo racionalmente a una tasa anual de interés simple del 36%?. La empresa financiera además carga S/. 10.00 de gastos, S/. 5.00 de portes y efectúa una retención del 5% sobre el préstamo líquido. Efectúe la liquidación correspondiente. . (Resp. I = S/. 1 915 ; S = S/.21 915) I S P i n i' G

=

=

=

=

=

=

=

¿ ? ¿ ? 20000 36.00% 0.13 5.00% 15

S  P [1  (.i.n)  .i ' )]  G

I  S  P 45/360

I S

= =

10+5

Monto 14. ¿Qué monto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorro, del 4 al 16 de octubre a una tasa de interés simple del 3% mensual, si el depósito inicial fue de S/. 2 500? (Resp. S = S/. 2530) 15. El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 1 500. Efectué la liquidación de dicha cuenta al 30 de junio del mismo año, aplicando una tasa anual de interés simple del 24%. (Resp. I = S/. 5.00; S= S/. 1 505.00) 16. ¿Por qué importe se deberá aceptar un pagaré que vence el 4 de junio, si lo descontamos el 16 de abril pagando una tasa anual de interés simple del 24% y necesitamos disponer de S/. 7 500 en la fecha del descuento? (Resp. I = S/. 245 ; S= S/. 7 745). 17. Calcular el monto simple que habrá producido un capital de S/. 5 000 colocado durante 5 meses. La tasa mensual fue del 3% durante los dos primeros meses y del 3.5% durante los 3 meses restantes (Resp. S = S/. 5 825 ) 39


Interés Simple

Tasa 18. ¿Cuál es la tasa anual de Interés simple aplicada para que un capital de S/. 8 000 a 1 año, 3 meses y 18 días haya ganado S/. 6 000 de interés. (Resp. i = 57.69%) 19. Un capital de S/. 15 000 ha producido S/. 2 000 de interés del 3 de marzo al 19 de junio del mismo año. Determinar la tasa mensual de Interés simple. (Resp. i = 3.70%) 20. ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 45 días, sobre un artículo cuyo precio de contado es de S/. 2 000 y al crédito sin cuota inicial será de S/. 2 300 ? (Resp. i = 10% ) 21. Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado de S/. 2 000, pero puede adquirirse a crédito con una cuota inicial de S/. 1 000 y una letra de S/. 1 100 a 60 días, ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual cargada en este financiamiento? (Resp. i = 5%) 22. Una máquina cuyo precio de contado es de S/. 6 000 fue adquirida con una cuota inicial de S/. 2 000 y el saldo financiado con una letra a 45 días por el importe de S/. 4 500, ¿Cuál fue la tasa mensual de interés simple cargada? (Resp. i = 8.33%)

Tiempo 23. ¿En cuánto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés del 5% mensual? (Resp. n = 20 ) 24. Un capital de S/. 5 000 se ha incrementado en 15% por razón de interés simple al 30% anual. Halle el tiempo en días. (Resp. n = 180 días) 25. Un capital de S/. 6 000 ha producido S/. 500 de interés simple al 12.5% anual. Determine el tiempo de la operación. . (Resp. n = 240 días) 26. ¿Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/. 15 000 al 28% anual, si el Interés simple producido es de S/. 300. (Rp. n = 25.71 día, aprox. 26 días). 27. ¿En qué tiempo podré triplicar un capital a una tasa mensual de Interés simple del 5%? (Rp. n = 40 meses). 28. ¿En qué tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple percibiendo una tasa trimestral del 15%? (Rp. n = 26.66 trimestres, 80 meses). 29. ¿En qué tiempo un capital de S/. 1 000 se habrá convertido en un monto de S/. 1100 a una tasa mensual del 5% de interés simple? (Resp. n = 2 meses ) 30. ¿En qué tiempo se podrá se podrá triplicar un capital a una tasa anual de interés simple del 60%? (Resp. n = 3.33) 40


Interés Simple

a 36%

24%

06-jul

16-jul

= = = = = = = =

16-s ep

¿ ? 5000 36.00% 0.0277778 24.00% 0.1722222 21.00% 0.0388889

30-sep 14 d

62d

10d

IT P i1 n1 i2 n2 i3 n3

21%

I T  P [i1n1  i2 n2  i3 n3 ] 10/360 62/360 IT

=

14/360

b 10 d

31 d

15 d

06/7

16-jul

31-jul

14 d

31-ago

16 d

16-s ep

30-s ep

Julio

IT P i1 n1 2

n2

= = = = = =

¿ ? 5000 36.00% 0.0277778 24.00% 0.0416667

I T  P [i1n1  i2 n2 ]

S  P  I

10/360 15/360

I

=

S julio

=

Agosto

I P i n

= = = =

¿ ? 5100 24% 0.0861111

I  P .i.n I Sagosto

(31/360)

S  P I = =

Setiembre

IT P i1 n1 i2 n2

= = = = = =

¿ ? 5205.40 24.00% 0.0444444 21.00% 0.0388889

I T  P [i1n1  i2 n2 ]

S  P  I

16/360

I

14/360

setiembre

=

=

Interés Simple con variaciones de tasa 31. Calcul Calcular: ar: a.- El interés simple de un depósito depósito de ahorro de S/. 5 000 000 colocado en el el Banco Norte del 6 de julio al 30 de setiembre del mismo año ganando una tasa anual de interés simple del 36%. La tasa anual baja al 24% a partir del 16 de julio juli o y al 21% a partir del 16 de setiembre. (Resp. I = S/. 297.50) b.- Con la misma información calcule nuevamente el interés, considerando que el banco abona el inte interé réss en la libre librera ra de ahor ahorro ro cada cada fin fin de mes mes (ca (capit pital aliza izaci ción ón)) (Res (Resp. p. I= S/. S/. 303. 303.44 44)) 41


Interés Simple

32. Calcule el interés simple simple de una inversión de S/. S/. 5 000 colocada a 2 meses, meses, si en el primer mes la tasa anual fue fue del 12 12% y durante el se segundo mes mes fue fue del 10 10%. (Resp. I = S/. 91.67) 33. El 8 de abril cuando la tasa mensual era del 3% una empresa empresa invirtió un capital de S/. 2 000, el cual retiró el 4 de agosto del mismo año. Calcule el Interés simple si durante dicho período las tasas mensuales cambiaron cambiaron al 2.5% el 6 de mayo y al 2% el 16 de julio respectivamente. respectivamente. (Resp. I = S/. 199.67)

28

08/04

A = M=

22 6

M= J= J=

28

IT P i1 n1 i2 n2 3

n3

= = = = = = = =

71

06-may

¿ ? 2000 3% 0.9333333 2.50% 2.3666667 2% 0.6333333

19

16-jul

25 30 16 71

J= A=

04-ago

15 4 19

I T  P [i1n1  i2 n2  i3 n3 ] 28/30 71/30 =

T

19/30

Numerales 34. Una persona abre una libreta de ahorros el 1 de junio con con S/. 1 100 y efectúa a partir de esa fecha fecha durante todo el mes de junio las operaciones operaciones detalladas en el cuadro cuadro siguiente, ¿Qué interés habrá acumulado al 1 de julio, si la tasa mensual de interés simple fue del 4%? a.- Método Método Tradicional Tradicional b.- Método de los Numerales Numerales 01 06 10 23 26 28

DEPOSITOS Junio 1100 Junio 200 Junio 100 Junio 60 Junio 480 Junio 100

04 18 27

RETIROS Junio 150 Junio 300 Junio 630

a

950 P=

3d

01/06/2011

1150 200

1100 2d

04-jun 150

4 d

06-jun

42

1250 100

950 8d

10-jun

18-jun 300


Interés Simple

1010 60

1490 480

1d

23-jun

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

960 100

3d

5d

I i P1 n1 P2 n2 P3 n3 P4 n4 P5 n5 P6 n6 P7 n7 P8 n8 P9 n9

860

¿ ? 4% 1100 0.1 950 0.0666667 1150 0.1333333 1250 0.2666667 950 0.1666667 1010 0.1 1490 0.0333333 860 0.0333333 960 0.0666667

26-jun

2d

27-jun 630

28-jun

30-jun

I  i[( P 1n1)  ( P 2n2 )  ( P 3n3) ... ...  ( P nnn ] 3 2 4 8 )  (950 950 )  (1150 )  (1250 ) 30 30 30 30 5 3 1 1 2  (950 950 )  (1010 )(1490 )  (860 860 )  (960 ) ] 30 30 30 30 30

3/30

I  0.04[(1100

2/30 4/30 8/30 5/30 3/30

I

=

1/30 1/30 2/30

b DI AS

D/ R

S/ .

MOV IMI ENTO De be Ha be r

SALDO De udor Acre e dor

DIAS

Num e ra l e

TASA DI ARIA

I NTERES

01-jun 04-jun 06-jun 10-jun 18-jun 23-jun 26-jun 27-jun 28-jun 30-jun

35. El 1 de setiembre cuando la tasa mensual mensual era de 3%, una persona persona abrió una librera de ahorros con un importe de S/. 2 000 y partir de esa fecha efectuó los siguientes siguientes depósitos: depósitos: S/. 500, 300 y 400 el 6, 9 y 20 de setiembre; asimismo retiro: S/. 600 y 200 el 6 y 25 del mismo mes. Si la tasa bajó al 2% a partir del 16 de setiembre y la entidad financiera abona el interés simple en la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente, ¿Cuál es el importe disponible del cliente el 1 de octubre? a.- Método Método Tradiciona Tradicionall b.- Método de los Numerales Numerales a

P=

1900 500

2000 5d

01/09/2010

2200 300

2200 7d

3d

06-sep 600

09-s ep

i=3%

43

16-s ep


Interés Simple

2600 400 4d

2400 5d

20-sep

6d

25-sep 200

i=2% I i1 P1 n1 P2 n2 3

n3 i2 P4 n4 P5 n5 P6 n6

= = = = = = = = = = = = = = =

¿ ? 3% 2000 0.1666667 1900 0.1 2200 0.2333333 2% 2200 0.1333333 2600 0.1666667 2400 0.2

I  i1 [( P 1n1 )  ( P 2 n 2 )  ( P 3 n 3 )]

 i2 [( P 4 n 4 )  ( P 5 n 5 )  ( P 6 n 6 )] 5/30 3/30 I

=

7/30

4/30 5/30 6/30

b DIAS

D/R

S/.


SALDO Deudor Acreedor

DIAS

Numerale

TASA DIARIA

INTERES

01-sep 06-sep 06-sep 09-sep 16-sep 20-sep 25-sep 30-jun

36. Carlos, Eduardo y Antonio constituyeron una SRL el 11 de julio, con un capital suscrito de S/. 15 000 de los cuales se pago S/. 9 000 con la fecha de inicio de la sociedad. El saldo se cubrió con las siguientes fechas:

FECHA

CARLOS

EDUARDO

ANTONIO

TOTAL

11/07 23/08 15/09 TOTAL

3 000 1 000 2 000 6 000

2 000 2 000 1 000 5 000

4 000 0 0 4 000

9 000 3 000 3 000 15 000

La Minuta de Constitución establece que las utilidades serán distribuidas proporcionalmente a los capitales aportados. Al 31 de diciembre la sociedad arrojó una utilidad neta de S/. 3 000. ¿Cuánto le corresponderá a cada socio si se acuerda que la utilidad sea distribuida en función al tiempo de cada aportación? (Resp. Carlos = S/. 1 141.53 ; Eduardo = S/. 943.12; Antonio = S/. 915.34) 44


Interés Simple

NUMERALES DEL SOCIO CARLOS FECHA

CAPITAL

11-jul 23-ago 15-sep 31-dic

3000 1000 2000 6000

NUMERALES DEL SOCIO EDUARDO

DIAS

NUMERAL

173 130 107

519000 130000 214000 863000

FECHA


NUMERALES DEL SOCIO ANTONIO FECHA

CAPITAL

11-jul

4000

31-dic

4000

CAPITAL

2000 2000 1000 5000

DIAS

NUMERAL

173 130 107

346000 260000 107000 713000

NUMERALES DE LA SOCIEDAD

DIAS

NUMERAL

173

692000 0 0 692000

FECHA

CAPITAL


9000 3000 3000 15000

DIAS

NUMERAL

173 130 107

1557000 390000 321000 2268000

Considerando la utilidad del socio c omo un interes, la utilidad de la s ociedad como un capital y la relación Numeral Socio/Numeral Sociedad como una tasa tenemos: Ut. Soc io = Ut s ociedad x (Numeral Soc io/Numeral de Soc iedad) I = PxI I = 3000 x I Carlos Eduardo Antonio

= = =

3000x863000/2268000 3000x713000/2268000 3000x692000/2268000 Total

1141.53 943.12 915.34 3000.00

Monto con variaciones de tasa 37. Calcular el monto simple que habrá producido un capital del S/. 5 000 colocado durante 5 meses. La tasa mensual fue del 3% durante los dos primeros meses y del 3.5% durante los 3 meses restantes. (Resp. S = S/. 5 825) 38. Un préstamo de S/. 2 000 fue pactado para ser devuelto dentro de 4 meses conjuntamente con los interés simples generados por el capital original y calculados con la tasa de inflación mensual más un punto adicional. Al final del plazo la inflación fue del 2% y 2.5% para el primer y segundo mes y del 2.2% para los últimos dos meses. Calcule el monto de esa operación. (Resp. S = S/. 2 258 ) Ecuaciones de valor a Interés simple 39. Determinar si los importes de S/. 540 y S/. 570 al final de los meses 4 y 7 respectivamente son equivalentes en el presente. Utilice una tasa de interés simple anual del 24% S=540 P

0

1

S P i n

= = = =

¿ ? 540 2.00% (24/12)% 4

S P i n

= = = =

¿ ? 570 2.00% (24/12)% 7

2

3

4

5

S  P (1 i.n) P

P 

45

6

S

(1  i.n )

=

S  P (1 i.n) P

S=570

P  =

S

(1  i.n)

7


Interés Simple

40. El señor Silva tomo un préstamo S/. 5 000 para devolverlos dentro de 180 días pagando una tasa de interés simple mensual del 2.5%. Si durante dicho período paga S/. 2 000 el día 35 y S/. 1 000 el día 98,¿Cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda a.- Procesando los bonos el mismo día ( Resp. X = S/. 5 468.91) b.- Tomando como fecha focal el día 180? ( Resp. X = S/. 5 440.00) a

P=5000

35 d

63 d

82 d

35 d 2000

S P i n Pago

= = = = =

¿ ? 5000 2.50% 1.17 2000

98 d 1000

= = = = =

¿ ? 3145.83 2.50% 2.10 1000

180 días

S  P (1  in

)  Pago

35/30 S

S P i n Pago

X

=

S  P (1  in

)  Pago

63/30 S

=

X  P 1  P 2  P 3 (1  in )

X  2000  1000  2310. 99(1  0.025x

82 ) 30

b

180 días 180 d

P=5000 2000 35

1000 98

X 180 días 82 d

180 - 35 =145 días 180 - 98 =82 días

P (1 in)  P (1 in)  P (1  in)  X

5000(1  0.025 x

180 145 82 )  2000(1  0.025 x )  1000(1  0.025 x )  X 30 30 30

46


Interés Simple

41. En la fecha, la empresa el Sol SA, tiene deudas con el banco del Oriente por S/. 5 000, 8 000 y 9 000 las cuales vencen dentro de 20, 45 y 60 días respectivamente. Si el Sol negocia con su banco efectuar un pago único de S/. 22 000, ¿En qué fecha debe efectuarlo considerando una tasa anual de interés simple del 24%? 60-45= 15 días 60-20= 40 días 40 d

5000 20

0

8000

9000 60 días

45 15 d

P (1 in)  P (1  in)  P (1  in)  P (1  iX ) 5000 (1  0 .24 x

S P i n

= = = =

40 360

)  8000 (1  0 .24 x

¿ ? 50 00 2 4 .0 0 % 0 .1 1

15 360

)  9000 (1  0 .24 x 0 )

S

= = = =

¿ ? 8 0 00 2 4 .0 0% 0 .04

= = = =

=

S  P (1  i n ) 1 5/36 0

¿ ? 90 00 24 .0 0% 0 .00

=

S  P (1  in ) S

n S P i

= = = =

=

14.54 ¿ ? 2 20 00 0 .0 7 %

S

 P (1  i n )

(2 4/ 36 0)% S

5133.33

n S P i

= = = =

360

4 0/ 36 0

S

S P i n

0 .24

 P (1  i n ) S

S P i n

 22000 (1 

+ +

1 4.5 4 ¿ ? 2 20 00 0 .0 6 6 7 % ( 2 4 /3 6 0 ) %

=

8080.00 9000.00 22213.33

S



P ( 1

S



=

22000(1.0006667n)

=

22000(1.0006667n)

in

) =

=

Con el pago de S/. 22 000, la deuda total quedará cancelada 15 días antes del día 60.

47

n)

EJEMPLOS AUTOR: .VILLALOBOS, José Luis. Matemática Financiera Tasa de Interés Simple en un préstamo 1. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual, sí con $ 14 644 se liquida un préstamo de $ 14 000 en un plazo de 6 meses? (Resp. i = 9.20%) Monto acumulado en cuenta bancaria 2. ¿Cuánto acumula en 2 años en su cuenta bancaria el señor Morales, si invierte $ 28 000 ganando intereses del 7.3% simple anual? (Resp. S = $ 32 088) Plazo en que se duplica una inversión con Interés Simple 3. ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión con un tipo de interés del 13% simple anual? (Resp. 7 años, 8 meses, 9 días) Precio de un bien con Interés Simple, TIIE 4. ¿Cuál es el precio de un Televisor que se paga con un anticipo del 30% y un documento a tres meses con valor nominal de $ 3 600? Suponga que la tasa de interés es igual a la TIIE más 4 puntos porcentuales y que el día de la compra la TIIE fue de 9.8%. (Resp. P = $ 3 479.94; Precio = $ 4 971.34) Tasa de Interés Simple 5. ¿Con qué tasa de interés simple se realizó una operación crediticia que se liquidó con un pago a los 10 meses con $ 42 350, suponiendo que el crédito fue por $ 37 644.44?( Resp. i =15%) DIAGRAMA DE TIEMPO Inversión con Interés Simple para montos preestablecidos 6. ¿Cuánto deberá invertirse al 5.1% simple anual el 15 de febrero, para disponer de $ 7 000 el 9 de mayo, de $ 15 500 el 20 de junio, y de $ 10 000 el 23 de diciembre? (P = $ 31 726.95) Diagramas de Tiempo 7. El 11 de marzo Adriana depositó $ 10 000 en una cuenta que devenga intereses del 12.48% simple anual. El 15 de diciembre había depositado otros $ 15 000, pero el 28 de enero retiró $ 9 500. a.- ¿Cuánto podrá retirar el 9 de mayo? (Resp. S = $ 16 125. 90) b.- ¿Cuánto ganó por intereses? (Resp. I = $ 625.90) Inversión en cuenta de ahorros y adquiriendo Onzas-Oro 8. El 40% de su indemnización la depósito el señor González en una cuenta de ahorros que le bonifica el 13.2% simple anual y con el resto, $ 45 000, compra onzas-oro. Siete meses después retira su dinero del banco y adquiere más onzas-oro, a.- ¿Cuánto valen sus monedas un año y medio después de su retiro laboral, considerando que su valor se incrementa un 1.05% mensual en promedio? (Resp. S = $ 90 552.52) b.- ¿A cuánto ascienden las utilidades para el señor Gonzalez? (Resp. I = $ 15 552.52)

48


Interés Simple 18 m 7m

45 30

11m

S1 S3

S2

a Val or Futuro de l os Onza s-Oro

S1 P i n

= = = =

¿ ? 45000 1.05% 18

S  P (1  i ) n 1

=

Indemnización es el 60% del Capital, que destino a comprar Onzas-Oro

P1 P %

= = =

¿ ? 45000.00 0.60

P  % P 1 P1

P2 P1 X

= = =

¿ ? 75000 0.40

P 

P 1

%

=

P 2  % P 1 P2

=

7 meses con los intereses, crece:

I S2 P i n

= = = = =

¿ ? ¿ ? 30000 13.20% 0.58

S  P (1  i.n) 7/12

I S2

I  S  P

= =

Once meses después el valor de las Onzas-Oro que ahora se adquieren es:

S3 P i n

= = = =

¿ ? 32310 1.05% 11

S  P (1  i ) n 3

=

Valor de los Onzas-Oro

S S1 3

= = =

¿ ? 54308.30 36244.02

S  S 1  S 2

= = =

¿ ? 90552.32 75000

U  S  P

S

=

b

U S P

U

49

=


Interés Simple

Capital, Monto e Interés 9. El 15 de noviembre un comerciante compró mercancía que liquidó con un 35% de contado, un pago por $ 32 050, que corresponde al 40% el día 3 de marzo, y otro por el resto el día 22 de abril. Considerando cargo del 16.8% anual. Determinar: a.- El valor de la mercancía el día de la compra (Resp. P = $ 76 280.48) b.- El monto que se paga al 22 de abril (Resp. S = $ 20 476.22) c.- Los intereses o cargos por no pagar de contado (Resp. I = $ 2 943.91)

P

X

15 -Nov

N o vie m = D ic ie m = E n e ro = F e b re ro = M a rz o =

03-M ar 32050

15 31 31 28 3

N o vie m = D ic ie m = E n e ro = F e b re ro = M a rz o = A b ri l =

108

a I P1 S i n

= = = = =

¿ ? ¿ ? 32050 16.8% 0.3

P P1 %

= = =

¿ ? 30512.19 0.40

15 31 31 28 31 22 158

S  P (1 i.n)

P 

S

(1  i.n )

= =

1

108/360

22-A br

I

P  % P 1 P

P 

P 1

%

=

b

P2 P1 X

= = =

¿ ? 76280.48 0.25

P 2  % P =

2

I S P i n c I I1 I2

= = = = =

¿ ? ¿ ? 19070.12 16.80% 0.44

= = =

¿ ? 1406.1 1537.81

S  P (1  i.n ) 158/360

I S

I  S  P

= =

 I 1  I 2

I Total I

=

Metodo Nº 02

I Retiro S total Deposito %

= = = = =

¿ ? 32050 20476.22 76280.48 65.00%

I Total

 (R e tiro  S Total )  %( Dep 1 )

total

50

=


Interés Simple

INTERES SIMPLE EXACTO Y COMERCIAL Monto con Interés Simple Comercial y con tiempo aproximado y la TIIE 10. Utilizando un interés simple comercial con tiempo aproximado, obtenga el monto que se acumula al 15 de octubre, si el 25 de marzo anterior se depositan $ 15 000 en una cuenta que abona con la TIIE+2.4 puntos porcentuales. Suponga que la TIIE es de 7.5% anual. (Resp. S = $ 15 825) Monto con Interés Simple Exacto y con Tiempo Real 11. Resuelva el ejemplo Nº 09 con interés simple exacto con tiempo real

(Resp. S = $ 15 829.97)

AMORTIZACION CON INTERES SIMPLE Amortización de un crédito con pagos fijos 12. ¿Cuál es el abono mensual con el que se amortiza un préstamo de $ 90 000 en año y medio, si se cargan intereses del 1.5% simple, es decir, global mensual? a.- Interés (Resp. I = $ 1 350) b.- Amortizaciones (Resp. A = $ 5 000) c.- Cuadro de Amortizaciones en Interés, para determinar la cuota mensual(Resp. Cuota = $ 6 350) d.- Empleando la fórmula tradicional (Resp. S = $ 114 300) e.- Tasa de interés mensual (Resp. i = 27%) a

I P i

= = =

¿ ? 90000 1.50%

= = =

¿ ? 90000 18.00

I

 P .i I

=

1350

=

5000

b

A P n



A

P N º C u o t a s A

c

CUADRO DE AMORTIZACIONES E INTERES n P A I Cuota

1 2 3 4 : 18

9000 9000 9000 9000 : 9000

5000 5000 5000 5000 : 5000

1350 1350 1350 1350 : 1350

6350 6350 6350 6350 : 6350

90000

24300

114300

d

I S i n

= = = = =

¿ ? ¿ ? 90000 1.50% 18

= = =

¿ ? 1350 5000

S  P (1  i.n) I S

I  S  P

= =

24300.00 114300.00

=

27%

e

I I

i 

I P i

51


Interés Simple

Crédito que se amortiza con pagos semanales y fijos 13. ¿De qué tamaño es el crédito que se amortiza con 13 pagos semanales de $ 2 500 con interés global anual del 7.54%. (Resp. P = $ 31898.71) P S i P n

= = = = =

¿ ? 2500 7.54% 0.076923 0.019231

1   1 S  P (1  i. n ) 2500  P   7 .54 %  52   13

P P P

1/13P 1/52P

S  P  P .i.n.

2500 

1 1 P  7.54 % P 13 52

2500

=

0.0783731 P

P

=

31898.71

Amortización de un crédito con renta variable 14. Usted compra un Televisor de $ 6 500 con un paga inicial del 20%, y después 8 abonos mensuales con cargos del 12% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar los pagos y los intereses. (Resp. P = $ 5 200; A = $ 650; I = $ 52) P Compra C.I A P n

= = = = = =

¿ ? 6500 80% ¿ ? 5200 8

P  CompraxCI P

i

= = =

¿ ? 5200 1.00%

5200

=

650

=

52

P

A 

N º Cuotas A

I

=

I  P .i

(12/12)%

I

CUADRO DE AM ORTIZACI ONES E INTERES

1% n

P

A

I

Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8

5200 4550 3900 3250 2600 1950 1300 650

650 650 650 650 650 650 650 650

52.00 45.50 39.00 32.50 26.00 19.50 13.00 6.50

702.00 695.50 689.00 682.50 676.00 669.50 663.00 656.50

5200

234

5434

Crédito con Intereses sobre Saldo 15. El último de 15 abonos quincenales que amortizan un crédito es de $ 3 016.50, a.- ¿Por qué cantidad es el crédito, si se consideran intereses del 13.20% sobre saldos insolutos?, (Resp. P = $ 45 000) b.- ¿y de cuánto es cada pago? (Resp. I = $ 247.50; A = $ 3 000) a

I P i

= = =

¿ ? 0.06666667 P 1/15P 0.55% 13.2/(12*2)

I

 P .i I

52

=

0.000367 P

Econ. Máximo Calero Briones .UNAC P Cuota P I

= = = =

Interés Simple

¿ ? 3016.50 0.06666667 P 0.00036667 P



A

 I

3016 .50



1

Cuota

1/15P

15

P

P  0 .0366667 P =

45000

ültimo pago es de $ 45000

b

I P i

= = =

¿ ? 45000 0.55%

A P n

= = =

¿ ? 45000 15

I

 P .i

13.2/(12*2)

I

A 

=

247.50

=

3000

P N º Cuotas A

CUADRO DE AM ORTIZACI ONES E INTERES

0.55% n

P

A

I

Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

45000 42000 39000 36000 33000 30000 27000 24000 21000 18000 15000 12000 9000 6000 3000

3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00 3000.00

247.50 231.00 214.50 198.00 181.50 165.00 148.50 132.00 115.50 99.00 82.50 66.00 49.50 33.00 16.50

3247.50 3231.00 3214.50 3198.00 3181.50 3165.00 3148.50 3132.00 3115.50 3099.00 3082.50 3066.00 3049.50 3033.00 3016.50

45000

1980

46980

Fórmula General 16. Suponga que se compran computadoras con un crédito de $ 27 000, que se liquidan con 9 abonos mensuales con cargos del 12% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar el tamaño de cada abono, suponiendo que son iguales, y los intereses. (Resp. A= $ 3 000; I = $ 30) A P n

= = =

¿ ? 27000 9

A 

P N º Cuotas A

I P i

= = =

¿ ? 3000 1.00%

=

3000

=

30.00

I  P .i

(12/12)%

I

53


Interés Simple CUADRO DE AMORTIZACIONES E INTERES

1% n

P

A

I

Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9

27000 24000 21000 18000 15000 12000 9000 6000 3000

3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000

270.00 240.00 210.00 180.00 150.00 120.00 90.00 60.00 30.00

3270.00 3240.00 3210.00 3180.00 3150.00 3120.00 3090.00 3060.00 3030.00

27000

1350

28350

17. Compruebe el ejemplo Nº 15 S9 a1 d n

= = = =

¿ ? 30 1.00% 9

3000*1% (12/12)%

n      2a 1   n  1 a 1   2 

S 9

S S9

Cuota P i n

= = = =

¿ ? 27000 1.00% 9

=

4.5

=

1350

300

 P    n  1i  2  2 n 

Cuota  

(12/12)% Cuota

=

3150

Amortización de un crédito con intereses sobre saldos insolutos 18. Un crédito se amortiza con 20 abonos semanales fijos de $ 3 750 e intereses del 0.0325% simple diario. Determine: a.- El valor del crédito, es decir, el capital (Resp. Cuota = $ 73 250.24) b.- El total que se paga por intereses (Resp. I = $ 1 749.76) c.- Tasa de interés (Resp. i = 2.389%) a

i i n

= = =

¿ ? 0.0325% 7

P Cuota i n P

= = = = =

¿ ? 3750 0.2275% 20 0.025

 i Diario .n

i Semanal i

=

C uo ta

3750

P

1/(2*20)

0.2275%

P      n  1 i  2   2 n 

  0 .025 P   20  1 0 .2275 %  2 

3750

=

0.05119

Cuota

=

73250.24

b

I

= Cuota Total = Cuota Mens = n =

¿ ? 73250.24 3750 20

I  (Cuota Me nsua l . n )  Cuota Total I

54

=

1749.76

P


Interés Simple

c

i I P

= = =

¿ ? 1749.76 73250.24



i

I P

i

=

2.389%

19. En el ejemplo Nº 18, ¿Cuál es la tasa de interés global total? g i n

= = =

¿ ? 0.2275% 20

g  ( n  1)

i

2

g

=

2.389%

Comparación de tasas al comprar un automóvil 20. A Juan le ofrecen un automóvil a crédito con 30 mensualidades e interés global total del 15%, y en otra agencia se lo venden con el 12% de interés simple anual, ¿Qué le conviene más? (Resp.g = 15.50%) g i n

= = =

¿ ? 1% 30

(12/12)%

g  ( n

 1)

i 2

= 15.50% g Como este es mayor que el 15% de la primera opción, ahí com pra el autom ovil.

Saldo Insoluto, tasa de Interés Simple 21. La compañía Empaques del Norte, S.A., adquiere una póliza de seguro contra incendio a un precio de $ 79 800, pagaderos en 12 abonos quincenales vencidos de $ 7 000 cada uno, a.- ¿Con cuánto la liquidará al realizar el quinto pago?, (Resp. S =$ 53 550; I = $ 4 200) b.- y cuál es la tasa de interés simple anual? (Resp. 5.263%) c.- Tasa de Interés Global anual a

S P k n I

= = = = =

¿ ? 79800 5 12 7000

= CuotaTotal = CuotaMens = n =

¿ ? 79800 7000 12

I

P   S  (n  k )   I n 

S

=

46550

S

=

53550

I  (Cuota Mensual . n )  Cuota Total

I

=

4200

=

5.263%

b

i I P

= = =

¿ ? 4200 79800

i



I P

i

55

7000


Interés Simple

c

i g n

= = =

¿ ? 5.263% 12

g  ( n

 1)

i 2

i iAnual iQuincenal

n

= = =

¿ ? 0.80969% 24

i =

2 g (n  1)

0 .8 0969% Qui nce na l

i Anual  i Quincenal .n

i Anual

12*2

=

19.4326%

EJEMPLOS DE APLICACION Valor Futuro de Inversiones en Certificados de Inversión 22. ¿Cuál fue el monto acumulado al 19 de octubre de 2010, si el 18 de enero anterior se invirtieron $ 350 000 en ci (Certificados de Inversión) y el banco paga el 3.05% de intereses simple anual en este tipo de inversiones? Considere que el 18 de enero los ci se cotizaron en $ 3.5353, y el 19 de octubre en $ 3.5963. (Resp. ∆S=$ 36 4304.14)

13-E ne

19-Oc t E n e ro F e b re ro M a rz o A b r i l M ayo J u n io

?S

P i c i Octubre c i Enero n

= = = = = =

¿ ? 350000 3.05% 3.5963 3.5353 0.76

13 28 31 30 31 30 163

V ie n e n J u lio A g o s to S e t ie m b r O c tu b re

163 31 31 30 19 274

 S  P (1  i.n )(  ci )  S 

274/360

 P (1 



c in



c in 1

i . n )  (

?S

=

? S

=



) 



3 58 12 4. 86 1 .0 17 25 45

364304.14

Metodo Nº 02

?

I S P i n

= = = = =

¿ ? ¿ ? 350000 3.05% 0.76

ci

= = =

¿ ? 3 .5 9 6 3 3 .5 3 5 3

c iO c tu b r e c En er o

S  P (1  i .n ) I

2 7 4 /3 6 0

S ? c i

= = =

¿ ? 358124.86 1 .7 2 5 4 5 %

=

8124.86

=

358124.86

 c i n   c i    1  1 0 0  c i n  1  ? c

?S

I  S  P



S



? S

56

=

S ( 1

 

1 . 72 5 4 5 %

ci) =

364304.14


Interés Simple

Monto estimado en ci con Inflación 23. Con los datos del ejemplo Nº 22, determine el monto de la inversión al 19 de octubre de 2014, si se prevé que la inflación será del 0.54% en promedio por mes. (Resp. ∆S=$ 529 326.23) ?S

P i n π A c u m u la d

= = = = =

¿ ? 3 64 3 0 4 .17 3 .05 % 4 29 .4 9 9 0 %



S



P ( 1

 i. n ) (1 



A c u m u lad a

)

? S

=

4 0 8 7 4 9 .2 8

? S

=

5 2 9 3 2 6 .2 3

1.2 9 49 9 0 0

M e to d o N º 0 2 ?S

P i n π m e ns ua l

t

= = = = = =

¿ ? 3 6 4 30 4 .1 7 3.05% 4 0.54% 48

 S   P (1 

1 2 *4



i .n )  (1

?

=

? S

=



 m e n s u a l

)

t



4 0 8 74 9 . 2 8 1 .2 9 4 98 9 6

529326.07

Metodo Nº 03

I S P π

n π Acumula π Mensual

n ?S

S ?c

= = = = =

¿ ? ¿ ? 364304.14 3.05% 4

= = =

¿ ? 0.54% 48

= = =

¿ ? 408749.25 29.4990%

S  P (1  i.n) I S

 Acumulada

12*4

π Acumula

= =

44445.11 408749.25

 (1   Mensual ) n  1100 =

29.4990%

 S  S (1   Acumulado ) ?

57

=

529326.02

EJEMPLOS AUTOR : MORA ZAMBRANO, Armando. Matemáticas Financieras 1. Vamos a calcular el valor actual, al día de hoy, de un documento de a. $ 150 000 que vence en 210 días de plazo (Resp. P = $ 135 746.61) b. Consideremos el cálculo del valor actual, 90 días, antes de vencimiento (Resp. P = $ 143 540.67) Considerando una tasa de interés del 18% 2. El 15 de marzo se suscribió un documento de $ 1 800 con vencimiento en 180 días plazo al 1% mensual. Debemos calcular su valor actual al 12 de agosto del mismo año, considerando una tasa de interés del 18% anual (Resp P = $ 1879.80) 3. Una cooperativa de Ahorro y Crédito otorga un préstamo por $ 6 000 a 12 meses de plazo, al 1% mensual sobre saldos deudores. Calcular las cuotas mensuales que debe pagar el cliente a. Método Lagarto (Resp. S = $ 6 720; Cuota Fija = $ 560; Interés = $ 720) b. Método de Saldo Deudores (Valor de la primera cuota, Interés de la primera cuota y la cuota primera). Elaborar una tabla financiera (Resp. P = $ 500, I = $ 60, Cuota = 560) c. Utilizando progresión Aritmética, calcular la cuota total y la cuota fija mensual (Resp. CuotaTotal = $ 6 390;CFM = $ 532.50) d. Cuota Fija Mensual (Resp. = $ 532.50) e. Tasa de Interés Anual y Mensual (Resp. = 6.5%, 0.54%) f. Si se demora diez días en el pago y el interés 4%, mensual ¿Cuál es el Interés moratorio (Resp. = $ 7.10) 4. Una empresa comercial vende automóviles cuyo precio de lista es de $ 6 000, con una cuota inicial del 20%, y el saldo a 30 meses de plazo. Calcular la cuota fija mensual si se considera una tasa del 24% de intereses anual y elaborar una tabla financiera 5. Una cooperativa otorga préstamos por $ 12 000 a 36 meses de plazo con una tasa de interés del 1.7% mensual. Calculemos la cuota mensual que debe cobrar a sus clientes. 6. Una empresa solicita un préstamo a un banco por $ 10 000 a 12 meses de plazo con una tasa de interés del 8% anual, pudiendo hacer pagos trimestrales de capital e intereses. Si queremos conocer el valor de las cuotas o pagos al final de cada trimestre no es necesario calcular la cuota o pago fijo; por lo tanto, se procede a calcular cada cuota en particular 7. Un pagaré de $ 5 000, suscrito el 14 de marzo a 180 días de plazo con una tasa de interés del 21% anual desde la suscripción, es vendido el 13 de mayo del mismo año a una tasa de interés del 18% anual. Calcule: a. El valor al vencimiento o monto (Resp S = $ 5 225.00) b. El valor actual o precio del pagaré a la fecha de negociación (Resp. P = $ 5 212.26) 8. Una empresa vende automóviles a un precio de lista de $ 60 000, con el 25% de cuota inicial y el saldo a 16 meses de plazo y a una tasa de interés del 3% mensual. Calcular la cuota fina mensual que debe pagar el cliente a. Por el método de acumulación de intereses “Lagarto” (Resp. S =$ 93 600; Cuota fija= $ 2 600; I = $ 33 600) b. Por el método de saldos deudores (Resp. Cuota = $ 1 250; 1er.Cuota = $ 2 600; Última Cuota= $ 1 287.50; Cuota Fija = $ 1 943.75) 58

EJERCICIOS AUTOR : Zima Petr/ Brown, Robert . Matemáticas Financieras Interés Simple 1. Calcular el interés simple ordinario y el exacto en a.- Un préstamo de $ 500 a 90 días, a 8 1/2% b.- Un préstamo de $ 600 a 118 días, a 16%

(Resp. $ 10.63, $ 10.48) (Resp. $ 31.47, $ 31.04)

2. Calcular el valor al vencimiento de a.- Un préstamo de $ 2 500 por 18 meses a 12% de interés simple ( Resp. $ 2 950) b.- Un préstamo de $ 1200 durante 120 días a 8.5% de interés simple ordinario ( Resp. $ 1 234) c.- Un préstamo por $ 10 000 durante 64 días a 15% de interés simple exacto ( Resp. $ 10 263.01) 3. Un agiotista hizo un préstamo de $ 100 pagaderos con $ 120 dentro de un mes, ¿Cuál fue la tasa anual de interés? (Resp. 240% ) 4. ¿A qué tasa de interés simple a.- $ 1 000 aumentarán a $ 1 420 en 2 ½ años b.- El dinero aumentará al doble en 8 años? c.- $ 500 aumentarán con 1% de intereses en 2 meses?

( Resp. 16.8% ) ( Resp. 12.5% ) ( Resp. 12% )

5. ¿Cuánto tardarán $ 1 000 a.- En ganar $ 100 a 15% de interés simple b.- En aumentar cuando menos a $ 1 200 a 13 ½% de interés simple?

(Resp. 8 meses ) (Resp. 534 días)

6. Calcular el valor acumulado de (usando tanto el interés ordinario como el exacto) a.- $ 500 a 11% durante 60 días (Resp. $ 509.17; $ 509.04) b.- $ 1 000 durante a 15% durante 55 días (Resp. 1 022.92; $ 1 022.60) 7. Calcular el valor descontado de(usando tanto el interés ordinario como el exacto) a.- $ 500 pagaderos en 82 días a 9% (Resp. $ 489.96; $ 490.09) b.- $ 1 000 pagaderos en 55 días a 15% (Resp. $ 977.60; $ 977.90 ) 8. ¿Qué principal se acumulará a.- $ 5 100 en 6 meses, a 9% de interés simple b.- $ 580 en 120 días a 18% de interés simple exacto?

(Resp. $ 4 880 ) (Resp. $ 547.59)

9. Una pareja pide prestados $ 10 000. La tasa de interés anual es de 10 ½%, pagadero mensualmente, y el pago mensual es de $ 200, ¿Cuánto del primer pago es para intereses y cuánto para amortizar el principal? (Resp. $ 87.50; $ 112.50 ) 10. Un banco paga 10% anual en cuentas de ahorros. El interés se acredita trimestralmente el 31 de marzo, 30 de junio, 30 de setiembre y 31 de diciembre, con base en el saldo trimestral mínimo. Si una persona abre una cuenta con un depósito de $ 200 el 1 de enero y retira $ 100 el 8 de agosto, ¿Cuánto interés gana el primer año? (Resp. 15.70 )

59


Interés Simple

11. Un detallista recibe una factura por $ 8 000 por un embarque de muebles, con los términos 3/10, n/40 a.- ¿Cuál es la tasa más alta de interés simple con la que puede pedir prestado y aprovechar el descuento por pronto pago (Resp. 37.11% ) b.- Si el detallista puede pedir prestado a 21% de interés simple, calcular la ganancia que obtiene del descuento por pronto pago, cuando paga la factura en el 10º día (Resp. $ 104.20 ) 12. Se otorga un descuento de 4% por pronto pago si una deuda se paga 30 días antes de su fecha de vencimiento, ¿Cuál es la máxima tasa de interés simple que se puede pedir prestado para aprovechar la ventaja del pronto pago? (Resp. 50% )

Tiempo entre Fechas 13. Calcule los tiempos exactos y aproximados a.- Entre el 15 de marzo y el 3 de setiembre del mismo año b.- Del 2 de octubre de 2011 al 15 de junio de 2012

(Resp. 172 d; 168 d ) (Resp. 256 d; 283 d )

14. El 7 de abril de 2011 una mujer pidió prestado $ 1 000 a 8%. Pagó la deuda el 22 de noviembre de 2011.Calcular la cantidad de interés simple, usando los cuatro métodos (Resp. $ 50.89; $ 50.19; $ 50.00, $ 49.32) 15. Se invirtieron $ 5 000 entre el 3 de noviembre de 2011 y el 8 de febrero de , a 15% de interés simple. Calcular la cantidad del interés ganado, usando los cuatro métodos. (Resp. $ 202.08; $ 199.32; $ 197.92; $ 195.21) 16. Use la regla del banquero para calcular el interés simple a.- Sobre $ 1 800 desde el 2 de octubre de 2011 hasta el 15 de junio de 2012, a 9 ¾% (Resp. $ 124.80 ) b.- Sobre $ 80 000 del 21 de marzo de 2011 al 24 de julio del mismo año, a 14 ½% (Resp. $ 4 027.78) c.- Sobre $ 2 500 del 15 de agosto de 2011 al 1 de mayo de 2012, a 23.09% (Resp. $ 416.90 ) d.- Sobre $ 200 desde el 30 de setiembre de 2011 hasta el 17 de julio de 2013, a 18%. (Resp. $ 64.90 ) 17. El 10 de enero el Sr. A pide prestado $ 1 000 a su banco. El interés se paga al final de cada trimestre (31 de marzo, 30 de junio, 30 de setiembre, 31 de diciembre) y en la fecha del último pago. El interés se calcula con la tasa de 12% sobre saldos insolutos. El Sr. A pagó el préstamo en la forma siguiente: 1 de marzo 17 de abril 12 de julio 20 de agosto 18 de octubre

$ 100 $ 300 $ 200 $ 100 $ 300 $ 1 000

Calcular el interés total pagado, utilizando tiempo exacto e interés exacto

60


Interés Simple

18. Jessica obtuvo un préstamo de $ 1 500 de una unión de crédito. Su solicitud fue atendida el 16 de agosto. Los intereses por el préstamo, calculados sobre el saldo no pagado, se cargan a su cuenta el primer día de cada mes. Jessica hizo un pago de $ 300 el 17 de setiembre, uno de $ 500 el 17 de octubre, otro de $ 400 el 12 de noviembre y pagó el saldo el 15 de diciembre. La tasa de interés sobre el préstamo del 16 de agosto fue de 12% anual. La tasa cambió a 11.5% el 25 de setiembre y a 12.5% el 20 de noviembre. Calcular los pagos de interés requeridos, y el interés total pagado, usando tiempo exacto/interés exacto. (Resp. $ 7.89, $ 13.32, $ 7.78, $ 4.32, $ 1.44, Total = $ 34.75)

Ecuaciones de Valor 19. Calcular los pagos equivalentes para cada una de las deudas.

a

DEUDAS $ 1 200 a 80 días

PAGOS EQUIVALENTES Total

FECHA FOCAL Hoy

b

$ 200 a 3 meses, $ 800 a 9 Total Dentro de 6 meses meses c $ 600 hace 2 meses, $ 400 a 3 $ 500 hoy y el saldo 6 meses Hoy meses d $ 800 pagaderos hoy Dos pagos iguales que vencen en 4 y Dentro de 7 meses 7 meses e $ 2 000 hace 300 días Tres pagos iguales hoy, en 60 días y Hoy en 120 días ( Resp. a) $ 1 168.83; b) $ 988.31; c) $ 532.94; d) $ 421.67; e) $ 740.96

20. Si el dinero vale 13% de interés simple, calcular los valores de una deuda de $ 1 500 pagadera en 8 meses con interés de 14 ½% a.- Hoy (Resp. $ 1 513.80) b.- Dentro de 4 meses (Resp. $ 1 576.68) c.- Dentro de un año (Resp. $ 1 716.28) 21. Se va a liquidar una deuda de $ 500 que se venció hace 20 días, y otra por $ 400 que se vence dentro de 50 días, con un pago de $ 600 hoy y un pago final dentro de 90 días. Calcular el valor del pago final a la tasa de 11% de interés simple con fecha focal de hoy.(Resp. $ 305.21) 22. Paula debe $ 100 pagaderos en 6 meses y $ 150 a pagar en 1 año. Ella conviene en que puede liquidar hoy ambas deudas con una tasa de 16% de interés simple, poniendo el día actual como fecha focal, ¿Cuánto se deberá pagar hoy en efectivo? (Resp. $ 221.90) 23. Carlos debe $ 300 pagaderos en 3 meses y $ 500 a pagar en 8 meses, ¿Qué pago único a.- Hoy (Resp. $ 768.80 ) b.- Dentro de 6 meses (Resp. $ 799.42 ) c.- En 1 año (Resp. $ 831.33 ) Liquidará esas obligaciones, si el dinero vale 8% y la fecha focal es la del único pago? 24. Irma pide prestado $ 1 000 a 11%. Va a hacer tres pagos iguales a 3, 6 y 9 meses. Calcular la cantidad de los pagos si la fecha focal es: a.- Hoy (Resp. $ 351.51 ) b.- Al final de 9 meses (Resp. $ 351.18 ) 61


Interés Simple

25. A 12% de interés simple, calcular el valor actual del siguiente conjunto de obligaciones: $ 800 a saldar en 4 meses, con 15% de interés, $ 1 200 pagaderos en 6 meses con 10 ¼% de interés y $ 900 pagaderos en 1 año con 12% de interés. (Resp. $ 2 897.78) 26. Resolver el problema Nº 25 usando como fecha focal 1 año a partir de hoy (Resp. $ 2 093.92) 27. Pablo pide prestados $ 4 000 a 18% de interés simple. Debe pagar el préstamo mediante $ 1 000 al final de 3 meses y dos pagos iguales al final de 6 y 9 meses. Calcular el tamaño de los pagos iguales, usando como fecha focal a.- Al final de los 6 meses (Resp. $ 1 693.97 ) b.- Hoy (Resp. $ 1 692.01 ) 28. Anoche Mario ganó $ 5 000 en una lotería. Se le ofrecen dos opciones. Puede tomar los $ 5 000 hoy o tomar $ X cada seis meses (comenzando dentro de seis meses) durante 2 años. Si las opciones son equivalentes y la tasa de interés simple es 10%, calcular X usando una fecha focal de 2 años (Resp. $ 1 395.35) 29. Un préstamo de $ 2 500 hecho el 2 de abril requiere tres pagos iguales el 25 de mayo, el 20 de julio y el 10 de setiembre y uno al final de $ 500 el 15 de octubre. Si la fecha focal es el 15 de octubre, ¿A cuánto ascienden los pagos iguales a 9% de interés simple usando tiempo exacto/interés exacto? (Resp. $ 691.87) 30. Julio pide $ 2 000 a 14%. Va a pagar la deuda en 4 cuotas iguales, una al final de cada período de tres meses, durante un año. Calcular la magnitud de los pagos, dada como fecha focal a.- Hoy (Resp. $ 543.05) b.- Al final de 1 año (Resp. $ 541.57) 31. Amy pide $ 800 prestados a 16%. Conviene en pagar la deuda con pagos de magnitud $ X, $ 2X y $ 4X en 3, 6 y 9 meses, respectivamente. Calcular X usando la fecha focal a.- Hoy (Resp. $ 125.30) b.- Dentro de 3 meses (Resp. $ 125.55) c.- Dentro de 6 meses (Resp. $ 125.47) d.- Dentro de 9 meses )Resp. $ 125.14) 32. Un préstamo de $ 1 000 vence en un año, con 14 ½% de interés. El deudor paga $ 200 en 3 meses y $ 400 en 7 meses. Calcular el saldo pagadero en 1 año, con: a.- La regla del comerciante (Resp. $ 497.37 ) b.- La regla de Estados Unidos (Resp. $ 503.54 ) 33. Una deuda de $ 5 000 se vence en seis meses, con un interés de 10%. Se hacen pagos parciales de $ 3 000 y $ 1 000 a los 2 y 4 meses, respectivamente, ¿Cuál es el saldo pagadero en la fecha de la liquidación final: a.- De acuerdo con la regla del comerciante (Resp. $ 133.33 ) b.- De acuerdo con la regla de Estados Unidos (Resp. $ 1 136.68 ) 34. Un préstamo de $ 1 400 se vence en un año, con interés simple de 12%. Se hacen pagos parciales de $ 400 en 2 meses $ 30 en 6 meses y $ 600 en 8 meses. Calcular el saldo que se vence en un año, la regla de Estados Unidos. (Regla $ 478.07 )

62


Interés Simple

35. El 4 de febrero de 2011 Pedro pidió prestados $ 3 000 a 11%. Pago $ 1 000 el 21 de abril de 2011; $ 600 el 12 de mayo de 2011 y $ 700 el 11 de junio de 2011, ¿Cuál es el saldo pagadero el 15 de agosto de 2011: a.- De acuerdo con la regla del comerciante (Resp. $ 809.24 ) b.- De acuerdo con la regla de Estados Unidos (Resp. $ 812.36 ) 36. Una deuda de $ 1 200 se va a liquidar con pagos de $ 500 en 45 días, $ 300 en 100 días y un pago final de $ 436.92. La tasa de interés es r =11% y se usó la regla del comerciante para calcular el pago final, ¿En cuántos días debe hacer el pago final, usando tiempo exacto/interés exacto. (Resp. 175 días) 37. Melisa recibió $ 1 000 prestados el 8 de mayo a 18 ½% de interés simple. Paga $ 500 el 17 de julio y $ 400 el 29 de setiembre, ¿Cuál es su saldo el 31 de octubre? a.- Según la regla del comerciante (Resp. $ 156.62 ) b.- Según la regla de Estados Unidos (Resp. $ 158.92 ) 38. Rogelio pidió $ 4 500 a 9% de interés simple el 3 de julio de 2011. Pagó $ 1 250 el 27 de octubre de 2011 y $ 2 500 el 7 de enero de 2012. Calcular el saldo pagadero al 1 de mayo de 2012 usando tiempo exacto/interés exacto: a.- Con la regla del comerciante (Resp. $ 957.50 ) b.- Con la regla de Estados Unidos (Resp. $ 965.08 )

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EJERCICIOS AUTOR: ALIAGA VALDEZ, Carlos. Matemática Financiera01 Interés 42. Hallar el interés simple de S/. 4 000 colocados durante 6 días al 36% anual (Rp. I = S/. 24) 43. ¿ Qué interés simple podrá disponerse el 18 de mayo, si el 15 de abril se invirtió S/. 5 000 a una tasa anual de 24%. (Rp. I = S/. 110). 44. ¿Cuál es el interés simple de S/. 3 000 en 8 meses al 48% anual?

(Rp. I = S/. 960)

45. ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/. 10 000 en 1 año, 2 meses y 26 días al 24% anual de interés simple (Rp. I= S/. 2973.33 46. Calcular el interés simple de S/. 2 000 al 2.5% mensual desde el 12 de marzo al 15 de junio del mismo año. (Rp. I = S/. 158.33)

Principal 47. ¿Qué capital colocado al 24% anual, ha producido S/. 300 de interés simple al término de 18 semanas? (Rp. P = S/. 3 571.43). 48. ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/. 800 en 7 trimestres al 26% anual. (Rp. P = S/. 1 758.24). 49. Si deseo ganar un Interés simple de S/. 3 000 en el período comprendido entre el 4 de abril y 31 de mayo, ¿qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa mensual del 2%? (Rp. P = S/. 78 947.37).

Tasa 50. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un capital de S/. 8 000 colocado a 2 años y 6 meses haya ganado S/. 6 000? (Rp. i = 2.5% mensual). 51. Un capital de S/. 2 000 ha producido un Interés de S/. 60 durante 36 días. Calcule la tasa anual de interés simple. (Rp. i = 30% anual).

Tiempo 52. ¿En qué tiempo podré triplicar un capital a una tasa mensual de Interés simple del 5%? (Rp. n = 40 meses). 53. ¿En qué tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple percibiendo una tasa trimestral del 15%? (Rp. n = 26.66 trimestres, 80 meses). 54. ¿Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/. 15 000 al 28% anual, si el Interés simple producido es de S/. 300. (Rp. n = 25.71 día, aprox. 26 días). 55. Un capital de S/. 12 000 ha producido S/. 541.68 de Interés simple al 12.5% anual. Determinar el tiempo. (Rp. n = 130 días). 64


Interés Simple

56. ¿Por cuánto tiempo ha estado impuesto un capital de S/. 10 000 que a la tasa del 2% de Interés simple mensual ha producido un Interés de S/. 2 000? (Rp. n = 10 meses).

Interés Simple con variaciones de tasa 57. ¿Qué Interés simple habrá ganado una inversión de S/. 2 000 colocado del 3 de marzo al 28 de junio del mismo año a una tasa mensual del 3% la cual varió el 16 de abril al 2.8% y posteriormente al 2.6% el 16 de junio? ¿Cuál es la tasa acumulada? (Rp. I = 222.67; i =11.133%). 58. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 8 000 para pagarlo dentro de 12 meses con Interés simple, a una tasa del 36% anual y sujeta a las variaciones del mercado. Si al vencimiento de dicho contrato las tasas anuales fueron: 36% durante 2 meses, 34% durante 3 meses, 35% durante 4 meses y 34.5% durante 3 meses. ¿Qué interés deberá cancelarse al vencimiento del contrato? ¿Cuál es la tasa acumulada? (Rp. I = S/ 2 783.33; i = 34.79% anual). 59. Una deuda de S/. 2 000 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y pactada originalmente a una tasa anual de interés simple del 24%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas: día 12 de junio 2.5% mensual, día 24 de junio 9% trimestral, día 3 de julio 21% semestral. ¿Qué interés se pagará al vencimiento? (Rp. I = S/. 55).

Numerales 60. Una cuenta de ahorro abierta el 04 de abril con un deposito inicial de S/. 500 tuvo un ese mes el siguiente movimiento: día 08 depósitos de S/. 100, día 17 retiro de S/. 400, día 23 depósito de S/. 500, día 23 retiro de S/. 200, ¿Qué interés simple acumuló al 30 de abril percibiendo una tasa anual del 24%? 61. El 02 de junio se abre una cuenta de ahorros con S/. 2 000 y se efectúan depósitos de S/. 500 y S/. 300 los días 8 y 16 y un retiro de S/. 200 el día 26 de junio. La tasa anual pactada fue 28% la cual bajó al 26% a partir del 16 de junio. ¿Cuál fue el interés simple acumulado y cual es el saldo disponible al 1 de julio? 62. Una cuenta de ahorros abierta el 3 de marzo con S/. 1 500.00 ha tenido los siguientes movimientos: 03.03 05.03 09.03 25.03 29.03 06.04 12.04 15.04 19.04 27.04 29.04

Depósito Depósito Depósito Retiro Depósito Depósito Depósito Retiro Retiro Depósito Retiro

1,500 230 428 100 347 861 345 500 300 128 400

03.05 06.05 11.05 17.05 20.05 02.06 04.06 08.06 14.06 18.06 21.06

Retiro Retiro Depósito Depósito Retiro Depósito Depósito Depósito Retiro Retiro Retiro

400 100 615 385 500 140 123 614 200 50 200

Si la entidad financiera abona los interés simple en la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente, y la cuenta es cancelada el 1 de julio, calcule el importe disponible por el cliente a esa fecha: a.- Utilizando una tasa anual del 48% b.- Si la tasa bajo al 42% a partir del 16 de abril y a 36% a partir del 1 de junio.

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Interés Simple

Monto 63. Habiendo colocado en una cuenta de ahorro S/. 3 000 a una tasa anual de Interés simple de 24%, ¿cuánto se habrá acumulado: a.- Al cabo de 46 días (Rp. S = S/. 3 092) b.- Al cabo de 46 días abonando los intereses al principal cada 30 días (Rp. S = S/. 3 092.64) 64. Un señor debía S/. 1 000 conviniéndole retrazar la deuda por 14 días, aceptó pagar un interés simple del 0.25% diario. ¿Qué deberá cancelar transcurrido dicho plazo? (Rp. S/ = 1 035). 65. ¿Cuál es el monto simple que ha producido un capital de S/. 5 000 del 6 de abril al 26 de junio del mismo año a una tasa mensual del 2%. (Rp. S = S/. 5 270). 66. El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorro fue de S/. 5 000. Calcule su monto al 30 de setiembre aplicando una tasa mensual de Interés simple del 3%, considerando que la entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes. (Rp. S = S/. 5 501.62).

Monto con variaciones de tasa 67. Una inversión de S/. 8 000 colocada a interés simple rindió una tasa mensual del 3% durante los primeros cuatro meses, el quinto mes rindió 40% anual y la última quincena rindió una tasa del 12% trimestral. ¿Cuál fue el monto acumulado? (Rp. S = S/. 9 386.67). 68. Calcular el monto simple que habrá producido un capital del S/. 5 000 colocado durante 5 meses. La tasa mensual fue del 3% durante los dos primeros meses y del 3.5% durante los 3 meses restantes. (Resp. S = S/. 5 825) 69. Un artículo cuyo precio de contado es de S/. 2 000 se vende con una cuota inicial de S/. 800 y sobre el saldo cancelarle dentro de 60 día, se cobran las siguientes tasas: 24% anual durante 7 días, 0.1% diario durante 13 días, 14% semestral durante 15 días, 9% trimestral durante 25 días. ¿Qué monto simple deberá cancelarse al vencimiento del plazo? (Rp. S = S/. 1 265.20).

Tasa de Interés 70. Una maquina tiene un precio al contado de S/. 5 000. La empresa Ricky pacta con su proveedor adquirir la máquina pagando una cuota inicial de S/. 2 000 y el saldo dentro de 45 días recargando el 3% mensual de interés sobre el precio al contado. ¿Cuál fue la tasa mensual de Interés simple que pago Ricky. (Rp. i = 5%). 71. Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado de S/. 2 000 pero puede adquirirse con una cuota inicial de S/. 1 000 y una letra de S/. 1100 a 60 días. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual cargada en este financiamiento? (Resp. i = 5%) 72. Un paquete accionario es adquirido el 23 de mayo en S/. 24 000 y vendido el 18 de junio, recibiéndose en esa fecha un importe neto de S/. 26 800.Calcule la tasa mensual de Interés simple de la operación. (Rp. i = 13.46%). 73. ¿ A qué tasa mensual un capital de S/. 10 000 se habrá convertido en un monto de S/. 11 500 si dicho capital original fue colocado a interés simple durante 3 meses? (Rp. i = 5%).

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Interés Simple

74. Un artículo cuyo precio al contado es de S/. 120 es vendido con “Tarjeta de crédito para pagar S/. 127.20 dentro de 45 días. ¿Qué tasa mensual de Interés simple se cargó al crédito? (Rp. i = 4%). 75. ¿A qué tasa mensual se invirtió un capital de S/. 2 000 colocado a interés simple el 20 de abril cuyo monto al 18 de junio fue S/. 2 500? (Rp. i = 12.71%).

Tiempo 76. Un capital de S/. 5 000 se ha incrementado en un 15% por razón de interés simple al 24% anual, hallar el tiempo de la operación. (Rp. n = 0.625 años; 7.5 meses o 225 días). 77. ¿En cuánto días una inversión de S/ 7 000 se convertirá en un monto simple de S/. 7 933.34 percibiendo una tasa de rentabilidad anual del 24%. (Rp. n = 200 días). 78. ¿En cuántos días se triplicará un capital colocándolo a una tasa de interés simple anual de 24%. (Rp. n = 3 000 días). 79. La empresa Inka recibió S/. 5 000 el 24 de junio por el descuento de un pagaré con valor nominal de S/. 5 500, cuya tasa anual de Interés simple fue del 24%, ¿Cuál fue la fecha de vencimiento? (Rp. i = a los 150 días; el 21 de noviembre).

Valor Presente 80. ¿Qué importe debe ser invertido al 24% de Interés simple para capitalizar S/. 5 000 dentro de 45 días. (Rp. P = S/. 4 854.37). 81. Un departamento ubicado en la Av. Sucre de Pueblo Libre es vendido con las siguientes alternativas:  S/. 17 500 al contado  S/. 10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letras de S/. 7 700  S/. 8 000 al contado y el saldo con dos letras, una de S/. 6 000 a 30 días y otras de S/. 3 680 a 60 días.  S/. 6 000 al contado y el saldo con tres letras de S/. 4 000 con vencimientos a 30, 60 y 90 días respectivamente. Si el cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede percibir una tasa anual de Interés simple del 24% ¿Cuál es la oferta más conveniente? (Rp. P = S/. 17 420.81). 82. La suma de un capital y sus intereses simple, desde el 30 de junio al 31 de diciembre de un mismo año, al 2% mensual es de S/. 20 000. Determine el capital original. (Rp. P = S/. 17 814.73). 83. ¿Qué capital fue colocado al 20% de interés simple anual, el mismo que al cabo de 38 días se convirtió en S/. 5 000. (Rp. P = S/. 4 896.63). 84. Se ha colocado un capital que invertido al 4% de interés simple trimestral, habiéndose convertido a los 4 meses en S/. 2 500. ¿Cuál fue el importe de ese capital? (Rp. P = S/. 2 373.42). 85. Encuentre el capital que invertido al 4% bimestral durante 87 días ha producido un monto simple de S/. 500. (Rp. P = S/. 472.59). 67


Interés Simple

86. Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/. 2 000. Si la tasa aplicada ha sido del 4% cuatrimestral, habiendo estado colocado el capital inicial durante 6 meses, ¿Cuál ha sido el Interés simple y el capital que lo ha producido? (Rp. P = S/. 1 886.79). 87. Calcule el valor presente a interés simple, de una letras cuyo valor nominal es de S/. 10 000 con vencimiento a 90 días, utilizando una tasa anual del 48%. (Rp. P = S/. 8 928.57). 88. ¿Cuánto debe invertirse hoy, a Interés simple para acumular S/ 20 000 dentro 120 días en una institución de crédito que paga una tasa del 36% anual. (Rp. P = S/. 17 857.14).

Valor Presente de un pagaré incluyendo gastos 89. Calcule el valor presente de un pagaré con valor nominal de S/. 10 000 descontado racionalmente a Interés simple faltando 45 días para su vencimiento. La empresa financiera cobra una tasa anual del 36% y además carga S/. 10 de gastos, S/. 5 de portes y efectúa una retención del 5% sobre el préstamo neto. Efectúe la liquidación. (Rp. P = S/. 9 117.42; total descuentos = S/. 881.28).

Ecuaciones de valor a Interés simple 90. El día de hoy una empresa tiene una deuda de S/. 8 000 la misma que vencerá dentro de 36 días y otra deuda de S/. 12 000 con vencimiento dentro de 58 días. Propone a su acreedor cancelarlas con dos pagos iguales dentro de 45 y 90 días respectivamente. ¿Cuál sería el importe de cada pago si el acreedor requiere una tasa anual de Interés simple del 24% y la evaluación debe efectuarse tomando como fecha focal el día 90? (Rp. X = S/. 10 120.20). 91. Desarrolle el problema Nº 49 tomando como fecha focal el día 45.

(Rp. X = S/. 10 119.82).

92. El 26 de mayo la empresa Todo rico solicitó un préstamo de S/. 5 000 para cancelarlo dentro de 90 días al 24% anual de interés simple. El 16 de junio amortizó S/. 2 000 y el 11 de julio amortizaron S/. 1 500. ¿Cuál es la fecha de vencimiento y que importe deberá cancelar al vencimiento del plazo? (Rp. 24 de agosto: S/. 1 664.).

Problemas combinados 93. Calcule el interés incluido en un monto de S/. 4 000 obtenido de un capital colocado a una tasa anual del 24% de interés simple durante 90 días. (Rp. S/. 226.42). 94. Dos capitales iguales son colocados: el primero en el Banco del Norte al 24% anual durante 85 días; el segundo en el Banco del Sur durante 60 días al 28% anual. Por ambas operaciones se recibió un Interés simple de S/. 500. ¿Cuál fue el importe de cada capital?. (Rp. P = S/. 4 838.71).

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EJERCICIOS AUTOR: .VILLALOBOS, José Luis. Matemática Financiera 1. ¿Qué capital produce $ 3 500 por concepto de interés en 18 meses al 7.5% simple anual? (Resp. P = $ 31 111.11) 2.

¿En cuántos días un capital de $ 65 000 produce intereses de $ 7 000, si se invierte al 8.25% simple anual?

3. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si un capital de $ 17 500 genera $ 750 de intereses en 65 días? (Resp. i = 23.7362637%) 4. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital que se invierte con un tipo de interés de 11.8% simple anual? 5. ¿Con cuánto se cancela a los siete meses un préstamo por $ 8 250 si se cargan intereses del 17.5%? (Resp. S = $ 9 092.19) 6. ¿Qué produce más intereses: invertir al 9.76% simple anual o al 2.44% trimestral? 7. El 21 de junio se depositan $ 14 250 en un banco que abona el 7.3% simple anual. ¿Cuánto se acumula el 3 de noviembre siguiente? (Resp. S = 14 640.09) 8. ¿Cuál es el valor nominal de un documento que ampara un préstamo por $ 37 500 con intereses del 15% simple anual y 7 meses de plazo? 9. ¿En qué fecha se recibió un prestamos por US$ 7 200, si el pagaré correspondiente tiene un valor nominal de US$ 8 100, vence el 5 de marzo y los intereses son 11.3% simple anual? (Resp. n = 12 abril) 10. ¿Cuánto debe pagar cada mes un país para cubrir los intereses de su deuda externa, que asciende 750 millones de dólares a un interés del 4.5% simple anual? 11. El señor Gómez adquiere diversas prendas en una tienda departamental, por la cantidad de $ 25 550. Liquida su compra con un enganche del 30% y dos abonos iguales a 30 y 60 días. ¿De cuánto es cada uno de los tres pagos si se tienen cargos del 15.8% simple anual? (Resp.= $ 7 665; $ 9 118.73 y $ 9 118.73) 12. Lorena invierte ahora $ 15 300 en una institución que paga intereses del 8.7% simple anual. ¿Cuánto tendrá tres meses después en su inversión? ¿En cuánto días tendrá $ 16 700? 13. Un obrero recibe $ 25 000 de indemnización y los deposita en un banco que abona el 7.9% simple anual. ¿Cuánto recibe cada mes por concepto de intereses? (Resp. I = $ 164.58)

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Interés Simple

14. ¿Cuál de las siguientes opciones de gratificación conviene más a los intereses de un empleado? a) Recibir ahora $ 7 700. b) Recibir $ 4 000 ahora y otros $ 4 000 en dos meses. c) Recibir tres pagos de $ 2 800 cada uno a 30, 60 y 90 días. Suponga que al invertir el dinero se gana un interés del 11.4% simple anual. 15. Sabiendo que el dinero gana el 6.2% de interés simple anual, diga qué le conviene más a una persona que desea comprar un automóvil seminuevo. a) Pagar al contado con $ 76 000. b) Pagar un enganche de $ 35 000 y firmar un documento a tres meses por $ 43 000. c) No pagar enganche y efectuar 3 pagos al 1, 2 y 3 meses por $ 26 000 cada uno. (Resp. Pagarlo de Contado) 16. La exportadora Quirarte, S.A., realizó una importante operación de compra-venta por US$ 350 000, y le pagan en tres abonos iguales. El primero el día de la compra y los otros dos a 30 y 60 días. ¿De cuánto es cada uno si tienen cargos del 13.2% de interés simple anual? ¿A cuánto ascienden los intereses? 17. En la siguiente tabla se dan algunos datos. Obtenga los que falten.

1 2 3 4 5 6

CAPITAL 15,000 -----23,800 2,000 5,200 ------

MONTO -----1’000,000 25,000 3,200 6,000 5’000,000

PLAZO (n) 3 meses 2 años -----32 meses -----3 meses

TIPO DE INTERÉS 9% anual 11% trimestral 0. 12% diario -----6.5% semestral 13.6% anual

18. Calcule los intereses en el problema 17. (Resp. 1)$ 337.50; 2)$ 468.085; 3)$ 1 200; 4) $ 1 200; 5)$ 800; 6)$ 164 410.06) 19. Usted compra una computadora cuyo precio de contado es de $ 20 000, y se liquida con un anticipo y otro pago a los 2 meses por $ 12 000. ¿De cuánto es el anticipo, si se tienen cargos del 10.3% simple anual? (Resp. $ 8 202.52) 20. ¿Cuánto debe invertirse ahora en cuenta bancaria con intereses del 13.6% simple anual, para disponer de $ 10 300 dentro de 3 meses y de $ 7 800 dos meses después? Calcule los intereses. 21. Una persona invierte $ 20 000 y a los 3 meses retira $ 8 500. ¿Cuánto tiene en su cuenta dos meses después? Suponga intereses del 19.8% simple anual. (Resp.S = $ 12 869.50) 22. El 28 de enero Lupita depositó $ 23 500 en una cuenta bancaria que le abona el 5.3% de interés simple anual, el 8 de mayo retira el 50% de lo que tiene en su cuenta y el 3 de septiembre el resto. ¿Cuánto dinero le dieron por concepto de intereses? 23. ¿Cuánto recibe por intereses el arquitecto Rivera, si el 10 de abril le dan $ 20 312.20 por un capital que depositó en una cuenta con intereses del 14.4% el 23 de agosto anterior? (Resp. = $ 1 711.28) 24. En el problema 23, ¿Cuánto depositó el arquitecto el 23 de agosto?

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Interés Simple

25. La comercializadora López compra pinturas que liquida con un pago de $ 15 000 el día de la compra, y otros dos a 30 y 60 días cada uno. ¿De cuánto es cada pago considerando que a) Los dos son iguales. (Resp. S =$ 17 702.09 c/u) b) El último es un 15% menor que el anterior. (Resp. S = $ 19 131.48; S = $ 16 261.76) c) El último es igual al anticipo. (Resp. S = $ 20 383.46; S = $ 15 000.00) Suponga que le cargan el 9.25% de interés simple anual y el anticipo corresponde al 30% del precio de las pinturas 26. El 15 de junio una persona invierte $ 40 000 en una cuenta que le paga el 8.3% de interés simple anual con plazo de 6 meses, y $ 35 000 en otra que le da a ganar $ 4 350 por intereses hasta el 3 de marzo del año siguiente: Determine a) ¿Cuánto recibe en la primera cuenta? b) ¿Cuál le fue más conveniente y por qué? Seleccione la opción correcta, justificando su elección, en los problemas 27 a 41. 27. ¿En cuántos días un capital que se deposita al 9.6% simple anual crece un 15%? a) 563 b) 265 c) 695 d) 429 e) Otra (Resp. n = 563) 28. ¿Cuánto debe invertirse ahora para disponer de $ 9 600 en 20 semanas, si se devenga el 11.6% simple anual? a) $ 9 352.45 b) $ 9 189.99 c) $ 9 275.23 d) $ 9 205.43 e) Otra 29. ¿Cuánto se acumula en una cuenta que bonifica el 12.4% simple anual en 15 meses, si ahora se depositan $ 28 000? a) $ 32 112 b) $ 31 980 c) $ 32 340 d) $ 31 050 e) Otra (Resp. S = $ 32 340) 30. ¿Con qué tasa de interés simple anual se tendrán aproximadamente $ 24 650 el 5 de abril próximo, si ahora ,23 de diciembre, se invierten $ 24 078? a) 8.435% b) 9.017% c) 9.252% d) 8.305% e) Otra 31. ¿Qué conviene más a un inversionista, abrir una cuenta bancaria ganando el 14.4% simple anual, o comprar centenarios cuyo valor crece con una tasa de 0.28% por semana? Considere un plazo de 3 meses. a) Onzas-Oro b) Cuenta c) Es indiferente d) Prestar su e) Otra Bancaria dinero al 3.6% anual (Resp. Onzas-Oro) 32. Un crédito de $ 50 000 se amortiza con 3 pagos iguales a uno, tres y cinco meses de plazo con cargos del 13.8% simple anual. ¿De cuánto es cada uno? a) $ 17 235.98 b) $ 17 326.43 c) $ 16 897.23 d) $ 17 008.36 e) Otra 33. En el problema 32. ¿Por qué cantidad es el primer abono, si crecen 20% con respecto al anterior? a) $ 15 230.45 b) $ 14 291.30 c) $ 14 243.74 d) $ 15 020.35 e) Otra (Resp. P = $ 14 243.74) 34. En el problema 33. ¿Cuál es el costo por pagar a crédito? a) $ 1 830.43 b) $ 1 801.29 c) $ 1 847.22 71

d) $ 1 707.95

e) Otra


Interés Simple

35. En el mes de junio un profesor deposita su prima vacacional de $ 7 250 en una cuenta que le reditúa el 10.6%. ¿Cuánto podría retirar en el mes de diciembre? a) $ 7 695.25 b) $ 7 690.29 c) $ 7 702.45 d) $ 7 634.24 e) Otra (Resp. S = $ 7 634.24) 36. ¿Cuánto debe invertirse el 13 de marzo al 12.72% para disponer de $ 23 000 el 7 de septiembre, y de $ 36 000 el 23 de enero siguiente? a) $ 58 646.06 b) $ 58 126.35 c) $ 57 902.95 d) $ 58 595.34 e) Otra 37. ¿Qué día se depositaron $ 25 000 en una cuenta que bonifica el 15.6% de interés simple, si el 3 de noviembre se retiraron $ 26 350? Como en todos los problemas, debe suponerse que la cuenta quedó en ceros. a) 20 de julio b) 1 de julio c) 15 de julio d) 25 de junio e) Otra (Resp. 1 de julio) 38. El 8 de mayo se depositaron $ 19 300 y para el 3 de diciembre se ganaron $ 1 250 por concepto de intereses. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual? a) 11.029% b) 11.293% c) 10.958% d) 11.156% e) Otra 39. Por incumplimiento de contrato, un entrenador de futbol recibe $ 625 000. El 40% de su percepción lo deposita en una cuenta que paga intereses del 9.96% y el 45% lo invierte comprando onzas-oro, cuyo valor crece a razón del 0.18% por semana. ¿Qué monto tendrá 15 meses después en sus dos inversiones? a) $ 597 250.34 b) $ 529 276.42 c) $ 556 923.76 d) $ 582 724.60 e) Otra (Resp. S = $ 597 250.34) 40. En el problema 39. ¿Cuál de las dos inversiones le produjo más utilidades y de cuánto fue ésta? a) Inversión en b) onzas-oro, c) onzas-oro, d) Inversión en e) Otra cuenta $ $ $ cuenta, $ 36 250.53 10 495.05 10 209.63 35 000.34 41. En el problema 40, ¿Cuánto ganaría por intereses si el entrenador invierte el 85% de lo que percibió, en la cuenta? a) $ 603 201.45 b) $ 608 423.52 c) $ 597 390.63 d) $ 615 204.75 e) Otra (Resp. S = $ 615 204.75)

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EJERCICIOS AUTOR: .VILLALOBOS, José Luis. Matemática Financiera En los problemas haga un diagrama de tiempo ya que puede ayudarle. 1. Se compra un reproductor de DVD, con un enganche y 2 pagos a 2 y 3 meses de plazo por $ 3 750 y $ 2 000, respectivamente, con cargos del 17.4% simple anual. ¿Cuál es el precio del aparato electrónico si el enganche fue del 25%? (Resp. $ 7 414.59) 2. En el problema 1. ¿De qué cantidad sería cada pago y el enganche si los tres fuesen iguales? 3. En el mismo problema 1. ¿De cuánto es el anticipo y un pago único a los 4 meses, considerando que a) Son iguales (Resp. $ 3 811.78 b) El enganche es un 15% menor que el pago posterior? (Resp. 3 510.74, $ 4 130.28) 4. Para comprar un departamento, un profesor deposita en un banco $ 25 000 en julio, $ 35 000 en diciembre, y $ 75 000 en marzo del año siguiente. ¿Cuánto tendrá en su cuenta 2 años después del primer depósito, considerando intereses del 9.6% simple anual? 5. Con base en el problema 4. ¿Cuánto deberá depositar en agosto del mismo año en que realizó su tercer depósito, considerando intereses del 9.6% simple anual? (Resp. $ 22 0845.59) 6. Verónica compra un automóvil con un enganche del 40% y 3 abonos de $ 30 000, $ 35 000 y $ 45 000, respectivamente, a 2.5 y 8 meses de plazo con cargos del 18,72%.Dtermine: a) ¿Cuál es el precio de contado del automóvil? b) ¿Cuál es el costo por no pagarlo de contado, es decir, los intereses? 7. ¿Cuánto debe depositarse el 5 de enero, el 13 de febrero y el 25 de abril, en una cuenta que bonifica el 11.4% simple anual, para lograr un monto de $ 50 000 el 20 diciembre siguiente, suponiendo que: a) Los tres pagos son iguales. (Resp. $ 15 223.64) b) Cada uno es 15% mayor que el anterior. (Resp. $ 13 171.76, $ 15 147.53, $ 17 419.65) c) Cada uno es $500 menor que el siguiente. (Resp. $ 14 728.94, $ 15 228.94, $ 15 728.94) d) Los dos últimos son iguales entre sí y el primero es igual a la suma de los dos. (Resp. $ 22 753.73, $ 11 376.87, $ 11 376.87) 8. Se planea liquidar un préstamo con 3 abonos de $ 10 000 cada uno a 2,3 y 7 meses de plazo; pero poco antes de hacer el primero se conviene en pagarlos de la forma siguiente: $ 20 000 a los 4 meses de la fecha inicial, y otro 2 meses después. ¿De qué magnitud es este si se cargan intereses del 20.4% simple anual? 9.

Hace 7 meses se consiguió un prestamos con cargos del 16.8% simple anual. Se liquida con un pago de $ 14 350 el día de hoy y otro por $ 22 000, 45 días antes. ¿Cuánto se recibió en préstamo? (Resp. $ 33 496.33) 10. ¿Qué día se consiguió un crédito por $ 65 000 si se cancela con un abono de $ 30 000 el 15 de octubre y otro por $ 40 000 el 28 de diciembre siguiente? Suponga cargos del 21.2% simple anual. 73


Interés Simple

11. Una mueblería ofrece un refrigerador dúplex con enganche del 45% y 3 pagos mensuales de $ 2 300 cada uno con cargos del 19.7%. ¿Cuál es el precio de contado? (Resp. $ 12 148.69) 12. En el problema 11, un cliente no tiene para el anticipo y solicita que se le carguen en cuatro mensualidades. ¿De cuánto es cada una si a) Las 4 son iguales. b) ¿Cada una es un 10% mayor que la anterior? c) La primera es igual a la suma de las otras tres, que son iguales. 13. Al nacer su hijo, el arquitecto Javier invierte $ 15 000 y otros $ 28 500 tres años después, en una cuenta bancaria que le da a ganar el 11.9% simple anual en promedio. ¿Cuánto tiene el hijo al cumplir los 18 años? (Resp. $ 126 502.50) 14. En el problema 13, ¿Cuánto debió depositar al nacer su hijo el arquitecto Javier si a los 18 años requiere de $ 150 000 en la cuenta? 15. La profesora Laura necesitará $ 15 000 para remodelar el baño de su casa, ¿Cuánto debe invertir 3 meses antes al 10.8%, si un mes antes había depositado $ 5 300 en la misma cuenta? (Resp. $ 9 259.20) 16. ¿Con cuánto se cancela el día de hoy un crédito que se liquidaría con $ 53 000, si se supone que el plazo fue de 7 meses, hoy se cumplen 5 meses y la tasa de interés simple anual es del 18.6%? 17. El día de hoy Eduardo se entera de que tiene $ 18 350 en su cuenta de ahorros. ¿Cuándo depositó $ 25 000, si 25 días antes de ahora había retirado $ 7 250 de la misma cuenta, que le bonifica el 9.6% simple anual? Suponga que su cuenta estaba en ceros, claro. (Resp. 97 días antes) 18. El primer día de enero Lili deposita $ 5 000 en un banco, que le reditúa el 8% anual, el primero de febrero $ 8 000, y otros $ 7 000 el 1 de marzo. ¿Cuánto tendría en su cuenta el 1 de abril del año siguiente? 19. Para vacacionar en el mes de abril, el licenciado cortés invierte $ 5 000 7 meses antes, $ 4 000 tres meses después del primer depósito, y $ 6 000 un mes antes de vacacionar. ¿De cuánto dinero podrá disponer al salir de vacaciones si le paga intereses del 11.4%? (Resp. $ 15 541.50) 20. ¿Cuánto gana por concepto de intereses una persona que el 10 de marzo deposita $ 15 000 después otros $ 18 000, y el 23 de octubre siguiente tiene $ 36 000 en su cuenta, que le reditúa el 10.2% anual?¿Qué día hizo el segundo depósito a su cuenta? 21. ¿Cuánto tiene en sus tres cuentas bancarias el doctor Amezcua, si 3 meses antes tenía $ 6 500 en la primera, que le bonifica el 9.4% de interés simple anual, la segunda le genera intereses del 10.3% y hace 5 meses tenía $ 10 350, y 8 meses antes de ahora tenía $ 15 750 en otra que le da a ganar el 11.2% simple anual? (Resp. $ 34 372.94) En los problemas 22 a 28, seleccione la opción correcta justificando su elección. 22. ¿Cuál es el monto del que puede disponer una persona, si 5 meses antes depositó $ 10 000 en una cuenta que le produce intereses del 12.6% simple anual, y 45 días después del primero deposita otros $ 13 000 en la misma cuenta? a) $ 24 128.08 b) $ 23 968.36 c) $ 24 002.75 d) $ 24 622.63 e) Otra 74


Interés Simple

23. ¿Cuánto debe ahora el señor Pérez, si en agosto del año pasado obtuvo un crédito automotriz por $ 135 000, hizo un pago por $ 43 000 en diciembre y otro por $ 27 500 en marzo? Considere que le cargan intereses del 12% y ahora es el mes de septiembre. a) $ 62 975 b) $ 65 429 c) $ 68 972 d) $ 64 895 e) Otra (Resp. $ 24. El 7 de junio Marisela consigue un crédito por $ 45 000 para remodelar su sala de belleza, con cargos del 16.56%simple anual. Realiza un abono el 15 de agosto y otro por $ 15 750 el 20 de diciembre. ¿Por qué cantidad es el primer abono si el 15 de enero debe todavía $ 13 000? a) $ 19 352.48 b) $ 18 973.23 c) $ 20 005.42 d) $ 19 038.26 e) Otra 25. En el problema 24, ¿con cuánto liquidaría su deuda Marisela el 1 de octubre? a) $ 32 309.35 b) $33 297.23 c) $ 29 975 43 d) $ 32 987.43 (Resp.

e) Otra

26. Al momento de firmar contratos una constructora recibe un anticipo por $ 1’750 000 para ampliar un tramo de carretera. Siete semanas después le pagan otros $ 3’000 000, y el resto cuando entrega las obras 6 meses después de la firma. ¿Por qué cantidad es este pago, si el costo al comenzar os trabajos fue por $ 6’250 700? Considere que el dinero genere intereses del 18.2% simple anual y la ampliación se inició dos semanas después de la firma del contrato. a) $ 1423429.35 b) $ 1695876.70 c) $ 1703429 d) $ 1640373.28 e) Otra 27. Para regalar en navidad. Patricia hace un depósito por $ 5 350 tres meses antes de su compra, y un pago de $ 4 950 dos meses después del primero. ¿Qué cantidad de dinero pagó el día de la compra, si el total que gastó fue de $ 13 725.45 y a cuánto ascienden los intereses o cargos? Suponga intereses del 15.30%simple anual. a) $ 3 157.25 b) $ 3 329.52 c) $ 2 868.36 d) $ 3 565 e) Otra (Resp. $ 3 157.25) 28. ¿Cuánto gana por interés el contador Martínez al invertir $ 35 000 con plazo de 7 meses e intereses del 1.2% simple anual? a) $ 2 760 b) $ 2 940 c) $ 3 028 d) $ 2 670 e) Otra

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EJERCICIOS AUTOR : MORA ZAMBRANO, Armando. Matemáticas Financieras 1. Calcule el interés que gana un capital de $ 7 500 a una tasa de interés del 12% anual durante 100 días (Resp. I = $ 450) 2. Calcule el interés que gana un capital de $ 10 000 a una tasa de interés del 4.5% anual desde el 15 de junio hasta el 15 de diciembre del mismo año, según las siguientes opciones y luego comente los diferentes resultados: a. Con el tiempo aproximado y el año comercial (Resp. I = $ 225.00) b. Con el tiempo exacto y el año comercial (Resp. I = $ 228.75) c. Con el tiempo aproximado y el año calendario (Resp. I = $ 221.94) d. Con el tiempo exacto y el año calendario (Resp. I = $ 225.62) 3. Calcule el interés que gana un capital de $ 20 500, a una tasa de interés del 15% anual, desde el 1° de marzo al 1° de setiembre del mismo año, siguiendo los 4 métodos (Resp. a) I = $ 1 537.50; b) I= $ 1 571.67; c) I = $ 1 516.44; d) I = $ 1 550 14) 4. Calcule el interés simple y el monto con tiempo exacto y año comercial, en cada uno de los siguientes casos: a. $ 1 500 al 18% anual a 180 días plazo (Resp. S = $ 1 635, I = $ 135) b. $ 280 al 1.7% mensual a 120 días plazo (Resp. S = $ 299.04, I = $ 19.04) c. $ 50 al 9% anual del 15 de marzo al 31 de agosto del mismo año (Resp. S = $ 52.11, I = $ 2.11) d. $ 85 al 14.4% anual del 10 de agosto al 15 de diciembre del mismo año (Resp. S = $ 89.32, I = $ 4.32) e. $ 4 500 al 1.7% mensual del 10 de abril al 22 de octubre del mismo año a. (Resp.S = $ 4 997.25,I = $ 497.25) f. $ 2 500 al 1.5% mensual, del 12 de mayo al 15 de setiembre del mismo año a. (Resp. S = $ 2 657.50, I = 157.50) g. $ 3 000 al 0.15% diario del 15 de marzo al 14 de abril del mismo año (Resp. S = $ 3 135, I = $ 135) 5. ¿En qué tiempo se incrementará en $ 205 un capital de $ 50 000 colocado al 10 ¼% anual? (Resp. n= 240 días) 6. ¿En qué tiempo se convertirá en $ 54 500 un capital de $ 50 000, colocado a una tasa de interés del 1.5% mensual? (Resp. n= 180 días) 7. ¿A qué tasa de interés anual se colocó un capital de $ 4 000 para que se convierta en $ 4 315 en 210 días? (Resp. i = 13.50%, Anual) 8. ¿A qué tasa de interés mensual un capital de $ 1 850 se incrementará una cuarta parte más en 300 días? (Resp. i = 2.5% mensual) 9. ¿Cuál fue el capital que colocado a una tasa de interés del 9% anual, durante 180 días, produjo un interés de $ 1 125? (Resp. P = $ 25 000) 10. Calcule el valor actual de un pagaré de $ 540, con un vencimiento en 270 días y con una tasa de interés del 12% anual a. El día de hoy (Resp. = $ 495. 41) b. Dentro de 30 días (Resp.= $ 500.00) c. Dentro de 90 días (Resp. = $ 509.43) d. Dentro de 180 días (Resp. = $ 524.27) e. Antes de 60 días del vencimiento (Resp. = $ 529.41) 76

100.- Teoria. is.completo.

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