Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
KOMBINATORIAL
Kombinatorial merupakan cabang matematika yang mempelajari pengaturan objekobjek. Dengan analisis kombinatorial, memungkinkan kita dapat menentukan pengaturan objek-objek tanpa dihitung satu per satu (enumerasi).
A. TEKNIK PERHITUNGAN Dalam kombinatorial dikembangkan teknik-teknik menghitung jumlah kemungkinan munculnya suatu kejadian tertentu atau jumlah elemen dalam suatu himpunan. Contoh 1. Pada semester ini, mahasiswa semester IV jurusan PMT, memperoleh tawaran 4 mata kuliah bidang ilmu matematika yang berbeda, 3 mata kuliah bidang ilmu kependidikan yang berbeda, dan 2 mata kuliah bidang ilmu agama yang berbeda. Berapa banyak cara seorang mahasiswa semester IV tersebut jika: a) harus memilih satu mata kuliah dari setiap bidang ilmu yang ditawarkan ? b) hanya perlu memilih satu mata kuliah dari seluruh mata kuliah yang ditawarkan ? Jawab: Jawab:
a) Jumlah cara mahasiswa harus memilih satu mata kuliah dari setiap bidang ilmu yang ditawarkan adalah:
b) Jumlah cara mahasiswa hanya memilih satu mata kuliah dari seluruh mata kuliah yang ditawarkan adalah:
Seperti pada ilustrasi Contoh 1, 1, pada permasalahan perhitungan sesungguhnya terdapat dua prinsip dasar perhitungan, yaitu: 1. Prinsip Perkalian. 2. Prinsip Penjumlahan. Dua prinsip ini akan menjadi pondasi dari hampir seluruh teknik perhitungan dalam penyelesaian masalah perhitungan.
K o mb i
n a t o r i
a l
1
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
1. PRINSIP PERKALIAN
Pada langkah pertama terdapat cara dan pada langkah kedua terdapat cara, maka jika harus memilih satu pilihan dari langkah pertama dan langkah kedua, maka jumlah seluruh kemungkin akan terdapat cara.
Jika prinsip perkalian ini diperluas dengan sejumlah langkah, yaitu
cara, langkah 2, terdapat cara, langkah 3, terdapat cara, : langkah , terdapat cara, langkah 1, terdapat
Maka banyaknya aktivitas berbeda yang dilakukan secara bersamaan yang mungkin adalah cara.
Dalam masalah pada Contoh 1, perhitungan banyaknya cara mahasiswa memilih satu mata kuliah dari setiap bidang ilmu yang ditawarkan, dilakukan sebagai berikut:
langkah pertama adalah memilih satu mata kuliah dari bidang ilmu matematika yang terdapat pilihan, kemudian
langkah kedua adalah memilih satu mata kuliah dari bidang ilmu kependidikan yang terdapat pilihan, dan langkah ketiga adalah memilih satu mata kuliah dari bidang ilmu agama yang terdapat pilihan, Jadi dengan prinsip perkalian diperoleh cara. Interpretasi teori himpunan dalam prinsip perkalian ini, misalkan sebagai produk Kartesian dari himpunan-himpunan dan , serta notasi jumlah elemen pada himpunan , maka
Contoh 2. Suatu sistem komputer menetapkan password bagi pengguna terdiri dari 4 digit bilangan. Ada berapa banyak password yang mungkin ? Jawab: Untuk menempatkan 4 digit sebagai password maka dapat dilakukan:
langkah 1, mempunyai 10 cara (memilih satu bilangan dari 0, 1, 2, …, 9), langkah 2, mempunyai 10 cara,
K o mb i
n a t o r i
a l
2
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
langkah 3, mempunyai 10 cara,
langkah 4, mempunyai 10 cara,
Jadi akan diperoleh
password .
2. PRINSIP PENJUMLAHAN
Pada langkah pertama terdapat cara dan pada langkah kedua terdapat cara, maka jika harus memilih satu pilihan dari langkah pertama atau langkah kedua, maka jumlah seluruh kemungkin akan terdapat cara.
Jika prinsip penjumlahan ini diperluas dengan sejumlah langkah, yaitu
cara, langkah 2, terdapat cara, langkah 3, terdapat cara, : langkah , terdapat cara, langkah 1, terdapat
Maka banyaknya aktivitas berbeda namun tidak dapat dilakukan secara bersamaan adalah cara.
Dalam masalah pada Contoh 1, perhitungan banyaknya cara mahasiswa memilih satu mata kuliah dari seluruh mata kuliah yang ditawarkan, dilakukan sebagai berikut:
langkah pertama adalah memilih satu mata kuliah dari bidang ilmu matematika yang terdapat pilihan, atau
langkah kedua adalah memilih satu mata kuliah dari bidang ilmu kependidikan yang terdapat pilihan, atau langkah ketiga adalah memilih satu mata kuliah dari bidang ilmu agama yang terdapat pilihan, Jadi dengan prinsip penjumlahan diperoleh cara. Interpretasi teori himpunan dalam prinsip penjumlahan ini, misalkan adalah
himpunan-himpunan saling lepas, maka
Contoh 3. Di jurusan PMT pada suatu perguruan tinggi akan dilakukan pemilihan ketua himpunan mahasiswa. Data seluruh mahasiswanya diperoleh sebagai berikut. Pada semester 2 terdapat 99 mahasiswa, semester 4 terdapat 103 mahasiswa, semester 6 terdapat 112 K o mb i
n a t o r i
a l
3
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
mahasiswa, dan pada semester 8 terdapat 120 mahasiswa, Berapa banyak pilihan yang mungkin untuk pemilihan ketua himpunan mahasiswa tersebut, jika peraturan menetapkan bahwa hanya mahasiswa semester 4 dan 6 yang boleh dipilih ? Jawab: Untuk memilih satu ketua himpunan mahasiswa maka dapat dilakukan:
langkah 1, jika memilih mahasiswa dari semester 4, dimiliki 103 cara, atau
langkah 2, jika memilih mahasiswa dari semester 6, dimiliki 112 cara,
Jadi akan diperoleh
mahasiswa yang dapat dipilih.
B. DIAGRAM POHON Diagram pohon adalah alat bantu untuk menghitung semua kemungkinan yang dihasilkan oleh suatu barisan kejadian dalam sejumlah terhingga cara. Contoh 4. A B C dimana A = {1,2}, B = {a,b}, dan C = { x,y }. Maka diagram pohonnya diilustrasikan sebagai berikut.
C. PRINSIP SARANG MERPATI
Prinsip Sarang Merpati (Pigeon hole): Jika sarang merpati terisi oleh atau lebih merpati, maka paling tidak satu sarang terisi oleh lebih dari satu ekor merpati. Contoh 5. Dari 13 orang mahasiswa, maka akan ada minimal dua dari mahasiswa tersebut lahir pada bulan yang sama.
K o mb i
n a t o r i
a l
4
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
Prinsip Sarang Merpati secara Umum: Jika sarang merpati terisi oleh merpati, dimana bilangan bulat positif, maka paling tidak satu sarang merpati terisi oleh atau lebih merpati.
atau
Jika objek ditempatkan ke lokasi, maka terdapat paling sedikit satu lokasi yang memuat sedikitnya objek.
Contoh 6. Tentukan jumlah minimum mahasiswa di suatu kelas untuk memastikan bahwa 3 orang diantaranya lahir pada bulan yang sama. Jawab:
Di sini bulan sebagai sarang merpati. Memastikan minimal 3 orang lahir pada bulan yang sama maka Jadi jumlah minimum mahasiswa di dalam kelas itu adalah orang.
Latihan 1. 1. Suatu kelas terdiri dari 18 mahasiswa laki-laki dan 14 mahasiswa perempuan. Ada berapa cara memilih : a. 1 orang perwakilan kelas ? b. 2 orang perwakilan kelas sebagai ketua kelas dan wakilnya ? c. 2 orang perwakilan kelas dengan memperhatikan 1 orang laki-laki dan 1 orang perempuan ? 2. Sebuah sandi-lewat ( password ) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan sandi-lewat yang dapat dibuat ? 3. Berapa banyak plat nomor kendaraan di Jakarta dengan memuat satu huruf di depan, kemudian diikuti 4 digit angka, dan diakhiri dengan 2 digit hu ruf ? 4. Untuk nomor telepon dengan 7 digit, berapa banyak nomor telepon yang berbeda, jika tidak diperbolehkan angka 0 pada digit pertama ? 5. Berapa jumlah pengambilan minimum dari himpunan agar dua bilangan yang dipilih berjumlah 10 ? 6. Terdapat selusin kaus kaki warna coklat dan selusin kaus kaki warna hitam di dalam laci. Jika anda mengambil kaus kaki tanpa melihat, berapa kaus kaki yang harus anda ambil dari laci agar memastikan bahwa anda akan memperoleh sepasang kaus kaki sewarna ?
K o mb i
n a t o r i
a l
5
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
Sekilas Fungsi Faktorial Hasil kali semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n dinotasikan oleh n! (n faktorial)
Maka,
dan .
Didapat juga
Untuk besar, digunakan pendekatan Stirling:
Dalam perhitungan banyaknya cara pengaturan objek-objek, sering kali kita perlu memperhatikan dua hal yaitu pengaturan dengan urutan dan pengaturan tanpa memperhatikan urutan. Dua hal ini dikenal dengan Permutasi dan Kombinasi. Perhatikan contoh soal berikut. Contoh 7. Misalkan terdapat 4 objek huruf A, B, C, dan D. a. b.
Berapa banyak cara kita mengambil 3 huruf dari antara 4 huruf tersebut ? Berapa banyak cara kita menyusun 3 huruf (berbeda) dari antara 4 huruf tersebut ?
Jawab: a.
b.
Mengambil 3 huruf dari 4 huruf A, B, C, dan D dapat dilakukan sebagai berikut : ABC, ABD, ACD, dan BCD, jadi terdapat 4 cara. Langkah ini hanya meminta pengambilan dengan memperhatikan perbedaan hurufhuruf saja, tidak memperhatikan urutan penempatan huruf-huruf tersebut. Pada penulisan ABC misalnya, itu dianggap sama dengan ACB, BAC, BCA, CAB, maupun CBA karena semua terdiri dari huruf yang sama yaitu A, B, dan C. Menyusun 3 huruf (berbeda) dari 4 huruf A, B, C, dan D dengan cara enumerasi diperoleh hasil berikut:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (Ini penyusunan dari 3 huruf A, B, C)
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA (Ini penyusunan dari 3 huruf A, B, D)
ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA (Ini penyusunan dari 3 huruf A, C, D)
BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB (Ini penyusunan dari 3 huruf B, C, D)
Pada langkah ini, urutan huruf menjadi perhatian. Jadi semua terdapat 24 cara penyusunan.
K o mb i
n a t o r i
a l
6
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
Contoh 7 di atas memperlihatkan perbedaan cara pengaturan objek-objek yang memperhatikan pengurutan dan tanpa pengurutan. Pada Contoh 7a diperlihatkan contoh pengaturan objek huruf dengan aplikasi kombinasi, sedangkan pada Contoh 7b diperlihatkan contoh pengaturan objek huruf dengan aplikasi permutasi. Selanjutnya, Permutasi dan Kombinasi akan dibahas berikut.
D. PERMUTASI Permutasi dari suatu himpunan objek adalah pengaturan yang memperhatikan urutan dari objek-objek tersebut. Beberapa definisi tentang permutasi dinyatakan sebagai berikut. Definisi 1.1. Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
, adalah .
Definisi 1.2. Permutasi dari objek (berbeda), dinotasikan dengan jumlah kemungkinan urutan objek yang dipilih dari objek dengan
Jika mengulas pada Contoh 7b, kasus menyusun 3 huruf dari 4 huruf yang tersedia, maka perhitungan permutasinya dilakukan sebagai berikut:
Langkah 1, penempatan huruf pertama dapat memilih dari 4 huruf, Langkah 2, penempatan huruf kedua dapat memilih dari 3 huruf (karena 1 huruf sudah digunakan), Langkah 3, penempatan huruf ketiga dapat memilih dari 2 huruf tersisa.
Jadi permutasinya:
cara.
Penyelesaian tersebut menunjukkan permutasi merupakan aplikasi dari prinsip perkalian.
tanpa pengulangan objek adalah
Teorema 1.1 Banyaknya
Bukti. Langkah ke-1 didapat cara. Langkah ke-2 didapat cara. Langkah ke-3 didapat cara. : Langkah ke- didapat atau •
•
•
•
cara.
Dengan aturan perkalian diperoleh:
K o mb i
n a t o r i
a l
7
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
Contoh 8. Merujuk pada soal Contoh 7, a. b.
Berapa banyak cara kita menyusun 4 huruf (berbeda) dari 4 huruf tersebut ? Berapa banyak cara kita menyusun 3 huruf dari 4 huruf tersebut jika diperbolehkan ada huruf yang sama atau penggunaan huruf berulang ?
Jawab: a.
Penyusunan 4 huruf (berbeda) tersebut dengan cara enumerasi diperoleh hasil berikut: ABCD, ABDC, ACBD,ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA. Jumlah 24 cara. Jika menggunakan Teorema 1.1 maka permutasi dengan nilai dan maka
cara. b.
Penyusunan 3 huruf (boleh terdapat huruf yang sama) dari 4 huruf, dengan prinsip perkalian maka akan diperoleh:
Langkah 1, menempatkan huruf pertama dapat memilih 4 huruf,
Langkah 2, menempatkan huruf kedua dapat memilih 4 huruf,
Langkah 3, menempatkan huruf ketiga dapat memilih 4 huruf,
Jadi permutasinya:
cara.
Contoh penyusunan antara lain : AAA, AAB, ABA, BAA, … dan seterusnya. Pada Contoh 8 memperlihatkan bentuk lain dari permutasi. Pada kasus 8a, kita masih dapat menggunakan Teorema 1.1 dengan kasus khusus yaitu yang kemudian dinyatakan menjadi sebuah akibat berikut.
Akibat 1.1 Banyaknya
tanpa pengulangan objek adalah
Untuk kasus 8b, jika dibahas secara umum yaitu penyusunan objek dari objek, serta diperbolehkan adanya pengulangan objek yang dipilih, maka diperoleh teorema berikut. Teorema 1.2 Banyaknya
dengan pengulangan objek adalah
Bukti. Langkah ke-1 didapat cara. Langkah ke-2 didapat cara. Langkah ke-3 didapat cara.
•
•
•
K o mb i
n a t o r i
a l
8
Ma t e ma t i
•
k a
D i
s k r i
t
: Langkah ke- didapat cara.
Dengan aturan perkalian diperoleh:
. Permutasi dapat juga diaplikasikan pada bentuk melingkar. Contoh 9. Berapa banyak cara mengatur 6 orang untuk duduk pada kursi yang mengelilingi meja berbentuk lingkaran ? Jawab : Satu orang dapat duduk pada kursi mana saja. Lima orang lainnya dapat duduk dalam cara.
Jika menggunakan Akibat 1.1, maka perhitungan permutasi seharusnya . Namun demikian jika diperhatikan lebih seksama, jika orang pertama duduk di kursi nomor 1, 2, 3, …, atau 6, keterkaitan posisi duduk lima orang lainnya akan menghasilkan tetap sama. Dengan demikian, permutasi melingkar dinyatakan dengan akibat berikut. Akibat 1.2 Permutasi n objek yang mengelilingi bentuk melingkar (atau kurva tertutup sederhana) adalah
Bukti. Langkah ke-1 didapat cara (penempatan objek dimana saja pada lingkaran). Langkah ke-2 didapat cara. Langkah ke-3 didapat cara. : Langkah ke- didapat cara. •
•
•
•
Dengan aturan perkalian diperoleh:
E. KOMBINASI Kombinasi adalah bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan hasil pemilihan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan diabaikan.
, adalah .
Definisi 2.1. Kombinasi dari objek (berbeda), dinotasikan dengan jumlah pemilihan yang tidak terurut objek yang diambil dari objek dengan K o mb i
n a t o r i
a l
9
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
Pada Contoh 7a, misalnya pengambilan diperoleh ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, atau CBA itu akan dianggap sama dan dihitung hanya satu kali. Sedangkan pada permutasi, urutan tersebut diperhatikan dengan jumlah pengurutan cara. Sehingga
cara. perhitungan kombinasi pada kasus ini adalah Secara umum teorema kombinasi dinyatakan sebagai berikut.
adalah
Teorema 2.1 Banyaknya
Contoh 10. Berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk sarapan ? Jawab: Untuk menyusun agar nasi goreng ada dalam menu sarapan sebanyak tiga kali dalam seminggu pada masalah ini tidak mempersoalkan urutan harinya. Sehingga pengaturan dapat diperoleh dengan menghitung kombinasi 3 hari dari 7 hari dalam seminggu, yaitu sebanyak
cara.
Seperti juga pada permasalahan dalam permutasi, ada kalanya objek-objek yang sama atau adanya objek yang berulang merupakan permasalahan dalam kombinasi. Misalkan permasalahan memasukkan bola dengan semua berwarna sama ke dalam kotak.
(i) Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah (ii) Jika masing-masing kotak boleh lebih dari satu bola atau tidak ada pembatasan jumlah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah
adalah jumlah kombinasi yang membolehkan adanya pengulangan elemen, yaitu dari objek kita akan mengambil buah objek, dengan pengulangan diperbolehkan.
Teorema 2.2 Banyaknya kombinasi dengan pengulangan objek adalah
. Contoh 11.
, .
Misalkan sebuah persamaan Berapa jumlah kemungkinan solusinya ?
K o mb i
n a t o r i
a l
10
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
Jawab: Analogikan jumlah persamaan adalah 12 buah bola akan dimasukkan kedalam 4 kotak yaitu empat variabel . Dalam hal ini maka Bagilah keduabelas bola tersebut ke dalam tiap kotak. Sebuah kotak mungkin dapat diisi 1 bola, 2 bola, …., atau 12 bola, namun demikian dapat jug sebuah atau beberapa kotak tidak diisi bola sama sekali, yang penting jumlah seluruh bola pada seluruh kotak ada 12. Misalnya,
Kotak 2 diisi 5 bola ( Kotak 3 diisi 2 bola ( Kotak 4 diisi 2 bola ( . Kotak 1 diisi 3 bola (
Banyak sekali jumlah susunan yang mungkin, namun seluruhnya dapat diperoleh
kemungkinan solusi. Contoh 12.
Toko roti “Enak” menjual 8 jenis roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? Jawab:
= 50.338 cara. menggunakan Teorema 2.2, yaitu
Diketahui terdapat 8 jenis roti maka dan pengambilan 1 lusin = 12 roti maka . Sehingga jumlah cara pembagian 12 roti dari 8 jenis roti diperoleh dengan
F. PERMUTASI DAN KOMBINASI BENTUK UMUM
buah bola dengan warna ada yang berbeda dan ada juga yang bola warna 1 jumlahnya bola, bola warna 2 jumlahnya bola, : bola warna ke- terdapat bola, maka bola. Bila terdapat kotak dan kita diminta meletakkan masing-masing 1 bola didalamnya, berapa banyak cara pengaturan bola tersebut ? Dengan menggunakan permutasi dasar, akan diperoleh Namun demikian Jika kita mempunyai sama. Misalkan
karena warna bola tidak berbeda semuanya (ada yang berwarna sama), maka perlu memperhatikan bahwa untuk
K o mb i
n a t o r i
a l
11
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
cara, bola warna 2 terdapat cara, : bola warna ke- terdapat cara, maka permutasinya
bola warna 1 terdapat
Masih pada kasus yang sama, dapat juga diselesaikan dengan konsep kombinasi. Untuk menempatkan bola warna 1 ke dalam kotak berarti kita dapat memilih dari bola, maka kita peroleh cara. Setelah bola warna 1 ditempatkan pada kotak, sekarang menempatkan bola pada kotak untuk bola warna 2, maka kini kita peroleh cara. Masih dengan cara yang sama, kini kita tempatkan bola warna 3 sehingga diperoleh cara. Demikian seterusnya, sehingga akhirnya didapat cara untuk menempatkan bola warna .
Jumlah cara pengaturan seluruh bola dalam kotak adalah:
Penyelesaian cara permutasi dan kombinasi seperti kasus di atas disebut permutasi dan kombinasi bentuk umum.
Teorema 3.1. Apabila merupakan himpunan ganda dengan objek yang didalamnya terdiri atas objek berbeda dan tiap objek memiliki jumlah (jumlah objek seluruhnya ), maka jumlah cara menyusun seluruh objek tersebut adalah:
Contoh 13. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata MISSISSIPPI ? Jawab:
, , , ,
Untuk huruf M, banyaknya Untuk huruf I, banyaknya Untuk huruf S, banyaknya Untuk huruf P, banyaknya
K o mb i
n a t o r i
a l
12
Ma t e ma t i
Jumlah
k a
D i
s k r i
t
Penyelesaian perhitungan banyaknya string yang dapat dibentuk dapat dalam 2 cara:
string. Dengan kombinasi: string.
1. Dengan permutasi umum: 2.
Pada tabel berikut, dimuat ringkasan formula permutasi dan kombinasi : Tabel 2.1 Pengaturan
objek dari suatu himpunan beranggota objek. Dengan urutan
Tanpa pengulangan
Dengan pengulangan
Bentuk umum
Tanpa urutan
LATIHAN 2. 1. a. 2. 3. 4.
5.
6.
b. d. c. Ada berapa banyak pengurutan A, B, C, D, E, F, G, H, jika pengurutan terdiri dari : a. 7 huruf ? b. 5 huruf dengan pengulangan ? Dari kata PERMUTASI, berapa banyak string yang dapat dibentuk jika harus memuat a. string ASI ? b. string ASI dan ER ? Suatu laci berisi 8 kaos kaki biru dan 6 kaos kaki merah. Tentukan jumlah cara dua kaos kaki dapat diambil dari laci tersebut jika: a. warnanya boleh sebarang ! b. warnanya harus sama sepasang ! Di dalam sebuah keranjang terdapat 5 buah apel dan 6 buah jeruk. Buah-buahan tersebut akan diambil 6 buah. Berapa cara pemilihan buah tersebut jika komposisi ditentukan sebaga berikut: a. Terdiri dari 2 apel dan 4 jeruk ? b. Minimal ada 4 apel ? Berapa cara menyusun huruf-huruf dari kata MATEMATIKA ?
K o mb i
n a t o r i
a l
13
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
KOEFISIEN BINOMIAL
Menyatakan kombinasi dari objek, selain dinotasikan dengan lain juga yang umum digunakan untuk menyatakannya, yaitu
.
terdapat notasi
adalah bilangan bulat non-negatif dengan Bukti.
Akibat 2.1 Misalkan
Namun demikian, bilangan
ini lebih sering disebut koefisien binomial, karena
bilangan tersebut merupakan koefisien-koefisien dari ekspansi ekspresi binomial yaitu . Koefisien-koefisien binomial ini merupakan koefisien-koefisien yang menjadi bagian penting pada beberapa teorema antara lain Pascal, Vandermonde, dan (Teorema) Binomial. Berikut pembahasannya.
Teorema 4.1 (Teorema Pascal) Misalkan
adalah bilangan bulat non-negatif dengan
Bukti. Misalkan adalah sebuah himpunan yang memuat satu elemennya, serta terdapat himpunan
elemen dengan sebagai salah . Perlu diingat bahwa terdapat himpunan bagian dari yang memuat elemen. Sehingga pada suatu himpunan bagian dari dengan elemen, kemungkinan elemen-elemennya adalah elemen dari serta memuat atau memuat elemen dari tapi tidak memuat . Jadi jika terdapat himpunan bagian dengan elemen dari , terdapat himpunan bagian dengan elemen dari termasuk sebagai elemennya. Maka terdapat himpunan bagian dengan elemen dari tanpa , jika terdapat himpunan bagian dengan elemen dari Akibatnya Teorema Pascal merupakan dasar untuk koefisien-koefisien binomial dari suatu pengaturan geometri dalam segitiga pascal seperti dapat dilihat pada Gambar 3.1. Pada
baris ke- dalam segitiga memuat koefisien-koefisien binomial
K o mb i
n a t o r i
a l
14
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
Segitiga ini dikenal sebagai Segitiga Pascal. Teorema Pascal menunjukkan bahwa ketika dua koefisien binomial yang bertetangga dalam segitiga dijumlahkan, koefisien binomial pada baris berikutnya antara dua koefisien binomial tersebut adalah hasil penjumlahannnya.
Gambar 3.1 Segitiga Pascal
Teorema 4.2 Misalkan
adalah bilangan bulat non-negatif, maka
Bukti. Suatu himpunan dengan elemen mempunyai jumlah total himpunan bagian yang berbeda. Masing-masing himpunan bagian ada yang mempunyai nol elemen, satu
himpunan bagian dengan nol elemen, himpunan bagian dengan satu elemen, himpunan bagian dengan dua elemen, …, dan himpunan bagian dengan elemen. Sehingga jumlah seluruh himpunan bagian dari himpunan dengan elemen adalah .
elemen, dua elemen, …, atau elemen. Maka terdapat
Teorema 4.3 (Teorema Vandermonde) Misalkan
adalah bilangan bulat non-negatif, dengan maka
Bukti.
dan elemen. Jumlah cara untuk mengambil elemen dari gabungan dua himpunan tersebut adalah Misalkan terdapat dua himpunan yang masing-masing memiliki
K o mb i
n a t o r i
a l
15
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
, maka diperoleh menggunakan aturan perkalian. Sehingga jumlah cara mengambil elemen dari gabungan dua himpunan adalah
Cara lain untuk mengambil elemen dari gabungan adalah mengambil elemen dari himpunan pertama dan mengambil elemen dari himpunan kedua, dimana
Teorema Binomial menunjukkan koefisien-koefisien sebagai ekspansi dari kekuatan ekspresi binomial. Ekspresi binomial sederhananya adalah penjumlahan dua suku yaitu (Suku bisa merupakan hasil kali dari konstanta dan variabel, namun pada pembahasan ini tidak memperhatikan hal itu). Contoh berikut memberi ilustrasi bagaimana teorema tersebut akan digunakan.
Contoh 14. Tentukan ekspansi dari
!
Jawab: Ekspansi dapat diperoleh dengan melakukan perkalian suku sebanyak tiga kali.
. Teorema Binomial memberikan cara untuk menjabarkan bentuk perpangkatan dengan adalah bilangan bulat non-negatif, sebagai berikut.
1. Suku pertama adalah , sedangkan suku terakhir adalah . 2. Pada setiap suku berikutnya, pangkat berkurang satu sedangkan pangkat bertambah satu. Untuk setiap suku, jumlah pangkat dan adalah .
3.
Koefisien untuk , yaitu suku ke-( ), adalah
Dari aturan tersebut maka diperoleh:
Teorema 4.4 (Teorema Binomial)
adalah variabel, dan adalah bilangan bulat non-negatif, maka
Misalkan
K o mb i
n a t o r i
a l
16
Ma t e ma t i
k a
D i
s k r i
t
Aplikasi Teorema Binomial ini, dapat digunakan sebagai alternatif bagi penggunaan segitiga Pascal, contohnya yaitu:
Contoh 15. Tentukan suku ke-4 dari penjabaran perpangkatan Jawab: Suku ke-4 maka :
!
, karena maka .
Contoh 16. Jabarkan
.
Jawab:
Untuk Penjabaran:
LATIHAN 3. 1. Pada konsep Segitiga Pascal, tentukan barisan bilangan pada: a. Baris ke-8 b. Baris ke-9 2. Gunakan Teorema Binomial untuk ekspansi : a. b. 3. Tentukan koefisien : a. pada ekspansi b. pada ekspansi 4. Tentukan koefisien : a. pada ekspansi b. pada ekspansi
K o mb i
n a t o r i
a l
17
