Novena edición CAPÍTULO MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS:
19
DINÁMICA
Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston Johnston,, Jr. Notas: J. Walt Oler Texas Tech University Univers ity
Vibraciones mecánicas
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica Mecá nica vectori vectorial al para ingenier ingenieros: os: Diná Dinámica mica Contenido Introducción
Problema resuelto 19.4
Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple
Vibraciones forzadas
Péndulo simple (solución aproximada) Péndulo simple (solución exacta)
Problema resuelto 19.5 Vibraciones libres amortiguadas
Problema resuelto 19.1
Vibraciones forzadas amortiguadas
Vibraciones libres de cuerpos rígidos
Analogías eléctricas
Problema resuelto 19.2 Problema resuelto 19.3 Principio de la conservación de la energía
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica Mecá nica vectori vectorial al para ingenier ingenieros: os: Diná Dinámica mica Contenido Introducción
Problema resuelto 19.4
Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple
Vibraciones forzadas
Péndulo simple (solución aproximada) Péndulo simple (solución exacta)
Problema resuelto 19.5 Vibraciones libres amortiguadas
Problema resuelto 19.1
Vibraciones forzadas amortiguadas
Vibraciones libres de cuerpos rígidos
Analogías eléctricas
Problema resuelto 19.2 Problema resuelto 19.3 Principio de la conservación de la energía
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica Mecá nica vectori vectorial al para ingenier ingenieros: os: Diná Dinámica mica Introducción •
•
•
•
•
Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de d e las vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de energía. El intervalo de tiempo requerido para que un sistema realice un ciclo de movimiento completo se denomina periodo de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia frecuencia de las vibraciones. El desplazamiento máximo del sistema a partir de su posición de equilibrio se conoce como amplitud de la vibración. Cuando el movimiento se mantiene sólo por medio de fuerzas restauradoras, la fricción se describe como una vibración libre. Cuando se aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento se describe como una vibración forzada.
•
Cuando la disipación de la fricción es ignorada, se dice que el movimiento es no amortiguado. Actualmente todas las vibraciones son amortiguadas
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones libres de partículas. Movimiento harmónico simple •
Si una partícula se desplaza a una distancia xm desde su posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial, la partícula se someterá a un movimiento armónico simple, ma F W k δ st x kx m x kx 0
•
La solución general es la suma de dos soluciones particulares,
k k t C 2 cos t m m C 1senωnt C 2 cosωnt
x C 1sen
•
•
x es una función periódica y natural del movimiento.
n
es la frecuencia circular
C 1 y C 2 son determinadas por las condiciones iniciales:
x C 1senωn t C 2 cosωn t v x C 1ωn cosωnt C 2ωnsenωnt
C 2 x0 C 1 v0 ω n
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones libres de partículas. Movimiento harmónico simple v C 1 0 ωn C 2 x0
•
El desplazamiento es equivalente a la componente x de la suma de dos vectores C 1 C 2 que giran con velocidad angular constante ω n . x xmsen ωnt φ
v0 ω n 2 x02
xm
amplitud
φ tan 1 v0 x0ω n ángulo de fase n
2π ωn
f n
1 τ
periodo
ωn 2π
frecuencia natural
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones libres de partículas. Movimiento harmónico simple •
Las curvas velocidad-tiempo y aceleración-tiempo pueden representarse mediante curvas senoidales del mismo periodo que la curva desplazamiento-tiempo, pero con ángulos de fase diferentes. x xm sen ωnt φ v x
xmωn cosωnt φ xmωn sen ωnt φ π 2 a x
xmωn2 senωnt φ xmωn2 senωnt φ π
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Péndulo simple (solución aproximada) •
•
Los resultados obtenidos para el sistema resorte-masa se pueden aplicar siempre que la fuerza resultante sobre una partícula sea proporcional al desplazamiento y esté dirigida hacia la posición de equilibrio. Considere los componentes tangenciales de la aceleración y la fuerza de un péndulo simple, W senθ mlθ F t mat : θ
g l
senθ 0
para ángulos pequeños, θ
g
θ 0 l θ θ m sen ωnt φ τn
2π
2π
l
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Péndulo simple (solución exacta) Una solución exacta para θ g senθ 0 l
conduce a τ n 4
l g
π 2
0
d φ
1 sen 2 θ m 2sen 2φ
que requiere solución numérica. τn
2 K 2π π
l
g
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.1 SOLUCIÓN: •
•
Un bloque de 50 kg se mueve entre guías verticales como se muestra. El bloque es empujado 40 mm hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta. Para cada arreglo de resorte, determinar a) el periodo de la vibración, b) la máxima velocidad del bloque, y ) la
Para cada arreglo de resorte, determinar la constante del resorte para un solo resorte equivalente. Aplicar las relaciones aproximadas para el movimiento armónico de un sistema resorte-masa.
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.1 k 1 4 kN m
k 2 6 kN m
SOLUCIÓN: Resortes en paralelo: - determinar la constante del resorte para un resorte equivalente - aplicar las relaciones aproximadas para el movimiento armónico de un sistema resorte-masa •
ωn τn P k 1δ k 2δ k
P
δ
k 1 k 2
10 kN m 104 N m
k m
104 N/m 20 kg
14.14 rad s
2π
ωn
τ n 0.444 s
vm x m ω n
0.040 m14.14 rad s
vm 0.566 m s
am x m an2
0.040 m14.14 rad s 2
am 8.00 m s 2
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.1 k 1 4 kN m
k 2 6 kN m
•
Resortes en serie: - determinar la constante del resorte para un resorte equivalente - aplicar las relaciones aproximadas para el movimiento armónico de un sistema resorte-masa ωn τn
P k 1δ k 2δ k
P
δ
k 1 k 2
10 kN m 104 N m
k m
2400N/m 20 kg
6.93 rad s
2π
ωn
τ n 0.907 s
vm x m ω n
0.040 m 6.93 rad s
vm 0.277 m s
am x m an2
0.040 m 6.93 rad s 2
am 1.920 m s 2
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones libres de cuerpos rígidos •
•
•
Si una ecuación de movimiento toma la forma 2 2 x ω n x 0 o θ ω n θ 0 el movimiento correspondiente puede ser considerado como un movimiento armónico simple. Un análisis objetivo es determinar n. Considerar las oscilaciones de una placa cuadrada W b senθ mbθ I θ pero I 121 m 2b 2b 23 mb 2 , W mg 2
θ
3g 5b
senθ θ
entonces ωn •
2
3g 5b
3g 5b
θ 0
, τn
2π
ωn
2π
Para un péndulo simple equivalente,
5b 3g
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.2 SOLUCIÓN: •
k •
Un cilindro de peso W está suspendido como se muestra. Determinar el periodo y la frecuencia natural de las vibraciones del cilindro.
•
De la cinemática del sistema, referir el desplazamiento lineal y la aceleración a la rotación del cilindro. Con base en una ecuación del diagrama de cuerpo libre para la equivalencia de las fuerzas externas y eficaz, escribir la ecuación de movimiento. Sustituir las relaciones cinemáticas para llegar a una ecuación que involucra solamente el desplazamiento angular y la aceleración.
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.2 SOLUCIÓN: •
De la cinemática del sistema, referir el desplazamiento lineal y la aceleración a la rotación del cilindro. x r θ
δ 2 x 2r θ
α θ
a r α r θ
•
•
a r θ
Con base en una ecuación del diagrama de cuerpo libre para la equivalencia de las fuerzas externas y eficaz, escribir la ecuación de movimiento. M A M A eff : Wr T 2 2r ma r I α pero T 2 T 0 k δ 12 W k 2r θ Sustituir las relaciones cinemáticas para llegar a una ecuación que involucra solamente el desplazamiento angular y la aceleración. Wr 1 W 2kr θ 2r m r θ r 1 mr 2θ 2 2 θ 8k
8 k 3m
θ 0 2π
2
3m
f
ωn
1
8k
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.3 SOLUCIÓN: •
W 20 lb
τ n 1.13 s
τ n 1.93 s
El disco y el engrane ilustrados se someten a las vibraciones de torsión con los periodos indicados. Suponga que el momento ejercido por el alambre es proporcional al ángulo de giro. Determinar a) la constante de resorte torsional del alambre, b) el momento de inercia centroidal del engrane, y c) la velocidad angular máxima del engrane
•
•
•
Usando la ecuación del diagrama de cuerpo libre para la equivalencia de los momentos externo y efectivo, escribir la ecuación de movimiento para el disco / engrane y el alambre. Con la frecuencia natural y el momento de inercia conocida del disco, calcule la constante de torsión del resorte. Con la frecuencia natural y la constante conocida del resorte, calcular el momento de inercia del engrane. Aplicar las relaciones para el movimiento armónico simple para calcular la velocidad máxima del engrane.
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.3 SOLUCIÓN: •
W 20 lb n
1.13 s
Usando la ecuación del diagrama de cuerpo libre para la equivalencia de los momentos externo y efectivo, escribir la ecuación de movimiento para el disco / engrane y el alambre. K θ I θ M O M O ef :
τ n 1.93 s
θ ωn •
K
τn
I
2π
ωn
2π
K θ 0 I
I K
Con la frecuencia natural y el momento de inercia conocida del disco, calcule la constante de torsión del resorte. 2 I 1 mr 2 2
1 13
2
1 20 8 2 0.138 lb ft s 2 32.2 12
0.138
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.3 •
Con la frecuencia natural y la constante conocida del resorte, calcular el momento de inercia del engrane. 1.93 2π
•
W 20 lb n
1.13 s
τ n 1.93 s
I
I 0.403 lb ft s 2
4.27
Aplicar las relaciones para el movimiento armónico simple para calcular la velocidad máxima del engrane. θ θ m senωnt
ω θ mωn senωn t
ωm θ mω n
θ m 90 1.571 rad
ωn
K I
τn
2π
ωn
2π
K 4.27 lb ft rad
I K
2π 2π 1.571 rad 1 . 93 s τ n
ω m θ m
ω m 5.11rad s
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Principio de la conservación de la energía •
La fuerza resultante sobre una masa en movimiento armónico simple es conservativa; la energía total se conserva. T V constante
1 2
2 2 m x 12 kx constante
x 2 ωn2 x 2 •
Considerar el movimiento armónico simple de la placa cuadrada, T 1 0
2 V 1 Wb1 cos θ Wb 2 sen θ m 2
12 Wbθ m2 2 T 2 1 mvm2 1 I ω m 2 2 2
12 m bθm 12
V 2 0
23 mb2 ω m2
12 53 mb 2 θm2 T 1 V 1 T 2 V 2 2
2
2
2
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.4 SOLUCIÓN: •
•
Determine el periodo de pequeñas oscilaciones de un cilindro que rueda sin deslizarse dentro de una superficie curva.
Aplicar el principio de la conservación de la energía entre las posiciones de máxima y mínima energía potencial. Resolver la ecuación de energía para la frecuencia natural de las oscilaciones.
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.4 SOLUCIÓN: Aplicar el principio de la conservación de la energía entre las posiciones de máxima y mínima energía potencial. •
T 1 V 1 T 2 V 2 T 1 0
V 1 Wh W R r 1 cosθ
W R r θ m2 2
2 T 2 1 mvm2 1 I ω m 2 2
12 m R r θm2 12 34 m R r 2θm2
V 2 0
2
1 mr 2 R r θ 2 m 2 r
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.4 •
Resolver la ecuación de energía para la frecuencia natural de las oscilaciones. 2 T 1 0 2 V 1 W R r θ m V 2 0
2 2 T 2 3 m R r θm 4
T 1 V 1 T 2 V 2
0 W R r
mg R r
ω n2
2
2 θm
2 2 θm
2
34 m R r 2θm2 0 34 m R r 2 θ mω n 2m
g
3 R r
n
2π ωn
2π
3 R r 2
g
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones forzadas Vibraciones forzadas. Ocurren
cuando un sistema se sujeta a una fuerza periódica o un desplazamiento de un soporte. ω f frecuencia forzada
F ma : Pm senω f t W k δ st x mx
W k δ st x δ m senω f t mx
m x kx Pm senω f t
m x kx k δ m senω f t
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones forzadas x xcomplementaria xparticular
C 1 senωnt C 2 cos ωnt xm senω f t
Sustituyendo la solución particular en la ecuación que rige, mω f 2 xm senω f t kxm senω f t Pm senω f t xm
Pm k mω f 2
Pm k
1 ω f ω n
2
δm 1 ω f ω n
2
m x kx Pm senω f t m x kx k δ m senω f t
En f = n, la fuerza de entrada está en resonancia con el
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.5 SOLUCIÓN: •
•
Un motor de 350 lb se sostiene mediante cuatro resortes, cada uno con una constante de 750 lb/in. El desbalanceo del motor es equivalente a un peso de 1 oz ubicado a 6 in. del eje de rotación. Determine a) la velocidad en rpm a la cual ocurrirá la resonancia, y b) la amplitud de la vibración a 1200 rpm.
La frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia natural del sistema. Evaluar la magnitud de la fuerza periódica debida al desequilibrio del motor. Determinar la amplitud de la vibración de la relación de frecuencia a 1200 rpm.
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.5 SOLUCIÓN: La frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia natural del sistema. •
m
350 32.2
10.87 lb s 2 ft
k 4 750 3000 lb in W = 350 lb
36,000 lb ft
k = 4(350 lb/in)
ωn
k
36,000
m 10.87 57.5 rad/s 549 rpm
Velocidad de resonancia = 549 rpm
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 19.5 •
Evaluar la magnitud de la fuerza periódica debida al desequilibrio del motor. Determinar la amplitud de la vibración de la relación de frecuencia a 1200 rpm. ω f ω 1200 rpm 125.7 rad/s
1 1 lb 0.001941 lb s 2 ft 16 oz 32.2 ft s 2
m 1 oz
W = 350 lb k = 4(350 lb/in)
ω n 57.5 rad/s
Pm man mr ω 2 6 0.001941 12 125.72 15.33 lb
xm
Pm k
1 ω f ω n
2
15.33 3000 1 125.7 57.5
2
0.001352 in xm = 0.001352 in. (fuera de fase)
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones libres amortiguadas •
•
Todas las vibraciones son amortiguadas en cierta medida por las fuerzas debidas a fricción seca, a fricción fluida o a fricción interna. Con amortiguamiento viscoso debido a la fricción de fluidos, F ma : W k δ estática x c x m x m x c x kx 0
•
Sustituyendo x = e t y dividiendo por e t los rendimientos de la ecuación característica, 2
mλ cλ k 0 •
2
c k λ 2m 2m m c
Definir el coeficiente de amortiguamiento crítico de tal manera que 2
k cc 0 2
cc 2 m
k
2mω n
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones libres amortiguadas •
Ecuación característica, 2
c k λ 2m 2m m c
2
mλ cλ k 0
coeficiente de amortiguamiento crítico Amortiguamiento fuerte: c > cc cc 2mωn
•
- raíces negativas - movimiento no vibratorio Amortiguamiento crítico: c = cc ω t x C 1 C 2 t e n - raíces dobles - movimiento no vibratorio Amortiguamiento débil: c < cc c 2 m t x e C 1 senωd t C 2 cos ωd t x C 1e
λ1t
C 2e λ2t
•
•
2
ω d ω n
c 1 frecuencia amortiguada
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Vibraciones forzadas amortiguadas
m x c x kx Pm senω f t
xm Pm k
tan φ
xm
δ
1
1 ω f
2 c cc ω f ω n 1
ω
x xcomplementario xparticular
ω
2
ωn
2 c cc ω f
2 2
ωn
2
factor de amplificación
diferencia de fase entre forzamiento y respuesta
del estado estable
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Analogías eléctricas •
Considerar un circuito eléctrico compuesto por un inductor, un resistor y un capacitor con una fuente de voltaje alterno E msenω f t L Lq Rq
•
1 C
di dt
Ri
q C
0
q E msenω f t
Las oscilaciones del sistema eléctrico son análogas a las vibraciones forzadas amortiguadas de un sistema mecánico.
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Analogías eléctricas •
•
•
La analogía entre sistemas y circuitos eléctricos se aplica tanto para oscilaciones transitorias como para oscilaciones de estado estable. Con una carga q = q0 en el capacitor, el cierre del interruptor es equivalente a liberar la masa del sistema mecánico sin velocidad inicial desde x = x0. Si el circuito incluye una batería de voltaje constante E , el cierre del interruptor equivale a aplicar de manera repentina una fuerza de magnitud constante P a la masa del sistema mecánico.