1°

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

“Robert Letourneau” Primer Año

INDICE        

Geometría

02 14 24

Área de un Triángulo ……………………… Área de un Cuadrilátero ……..…………… Área de Superficies Circulares …………. Operaciones con Áreas …………………..

39 Recta y Plano ………………………… ….... Área de Sólidos Sólidos ……………… ……………………… ……………. ……. Volumen Volumen de Sóli Sólidos dos …...…… …...…………… ……………. ……... Miscelá Miscelánea nea ……………… ……………………… ……………… …………. ….

50 59 66 74

1

“Robert Letourneau”


Primer Año

TEMA: ÁREA DE UN TRIÁNGULO Un triángulo es una figura geométrica que posee tres lados, que pueden ser rectas, curvos o mixtos. El área de un triángulo se obtiene dividiendo entre dos al p roducto de su base por su altura.

Demostración:

C

F

E ¿ AA B C

x

=

h A

D

b

B

Para realizar la demostración de la fórmula para hallar el área del triángulo haremos uso de una construcción auxiliar: por el vértice C, trazaremos una paralela al segmento AB y por el vértice B, trazaremos una línea paralela al segmento AC . El punto donde se cortan estas dos líneas (punto de intersección) lo llamaremos E. Entonces se formará el cuadrilátero ABEC. Asimismo, trazaremos las alturas CD y FB , perpendiculares a los segmentos AB y respectivamente. C E , respectivamente. El área del triángulo lo podremos hallar por una diferencia de áreas: AABC = AABEC – ABCE … (1) Ahora, si analizamos el cuadrilátero ABEC, notamos que, como todos sus lados son paralelos dos a dos, entonces el cuadrilátero ABEC es un paralelogramo. En consecuencia, si la longitud del segmento AB es “b”, por ser ABEC un paralelogramo, entonces la longitud del segmento C E también es “b”. Además, como sabemos que el área de un paralelogramo se obtiene multiplicando su base por su altura, entonces: AABEC = b x h … (2) Ahora, si analizamos los triángulos ABC y BCE, observamos que como los segmentos AB y D y B C E tienen la misma longitud “b”, y las alturas C F tienen la misma longitud “h”, entonces los triángulos ABC y BCE son figuras equivalentes; y, como son figuras equivalentes, por este motivo tendrán áreas iguales. ⇒ AABC = ABCE … (3)

Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1), obtendremos: o btendremos:

Geometría

2



Primer Año

= A ABC ABC

A ABEC − A BCE BCE 

A ABC ABC

b x h − A ABC

=

Pasando AABC al lado izquierdo de la igualdad AABC + AABC = b x h 2AABC = b x h Dividiendo cada término de la igualdad entre 2: AA B C

=

x

bÁ

2

r eh a

d e l

Por lo que queda demostrada la fórmula para hallar el área del triángulo. Esta fórmula del área del triángulo es aplicable a cualquier tipo de triángulo, el cual puede ser:

a) Triá Triáng ngul ulo o Esca Escallen eno o Aquel que no tiene lados iguales, es decir, la longitud de sus lados es diferente.

c

a

b) Triá Triáng ngul ulo o Isós Isósce cele less Tiene dos lados iguales, y al tercero se le considera como la base del triángulo.

a

a c) Triá Triáng ngul ulo o Equi Equilá láte tero ro:: Es aquel en el cual sus tres lados son iguales. 6 0 º

6 0 º

6 0 º

NOTA: El área del triángulo equilátero se puede hallar directamente si se conoce sólo la longitud de su lado ó sólo la longitud de su altura, haciendo uso de las siguientes fórmulas:

Geometría

3



Primer Año

A

= l

2

x

ó

h

A

2

=

x

h

La demostración la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer nociones básica de una rama de la Ciencia Matemática: la Trigonometría, curso que recién aprenderemos en Tercero de Secundaria. Por este motivo, consideraremos como válidas “a priori” estas dos fórmulas anteriores.

Conceptos Importantes 1. Te Teor orem emaa de de Pit Pitág ágor oraas Este teorema solamente solamente se aplica aplica a los triángulos triángulos rectángul rectángulos os (aquellos que poseen poseen un ángulo de 90º). En un triángulo rectángulo los lados que se interceptan en un ángulo de 90º se llaman CATETOS y al tercer lado se le conoce como HIPOTENUSA. HIPOTENUSA.

H

i p o t e hn u s a C

C

1

2

C

a t

El teorema de Pitágoras se enuncia así: “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Es decir:

2 C1

C2 2

+

h2

=

Teorema de Pitágoras

Ejm. Si tenemos el siguiente triángulo rectángulo

h

3 4

La longitud de la hipotenusa la podremos hallar haciendo uso del Teorema de Pitágoras. En efecto:

Geometría

4



h

2

h

2

h

2

h

2.

=

2

2

=

C1

=

4

=

16 + 9

2

25

+

C2

+

3

2

25

=

⇒

h

5

=

Semejanza de Triángulos ( ) Se dice que 2 triángulos son semejantes si cumplen con alguna de lo siguientes 3 criterios: a) Si al menos dos de sus 3 ángulos internos son iguales:

b

a c

d

a

c

b) Si dos lados del primer triángulo son proporcionales a dos lados del segundo, y los ángulos formados por dichos lados son iguales.

S

c

a

p

m

b c)

i: a m a m

n

Si los tres lados del primer triángulo son proporcionales a los tres lados del segundo.

S

c

a

b

p

m

i:

a b c = = m n p

n

3) Congruencia de Triángulos ( ) .-

Geometría

5



Se dice que dos triángulos son CONGRUENTES (iguales), si cumplen con alguno de estos 3 criterios. a) Si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes a él.

c

b

m

n

b

=

m

c

=

n

=

m

a

a

b) Si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

a

c

a

b c)

m

c

b

Si los tres lados de cada triángulo son congruentes entre ellos.

c

a

b

Geometría

c

a

b

6



PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. En

el

paralelogramo adjunto, AB = BC y EC = 6 m. Calcular el área del triángulo sombreado. A

F

B

B

D

E

C 1 6

Rpta.: 04. El perímetro de un triángulo isósceles es 16m, si AB = BC . Calcular el área del triángulo ABC si sabemos que BM = 4m .

1 0

m

.

G A

Rpta.:

M

C

Rpta.:

02. Si el segmento PQ tiene una longitud de 9 metros y la diferencia de las alturas h 1 – h2 = 8 m. Calcular el área de la región sombreada. P

Q

h2

05. Halar el área de un rectángulo ABCD, si se sabe que AC = 50 cm y AB = 40 cm

B

C

A

D

h1

R

Rpta.:

Rpta.: 03. Si O es el centro del cuadrado ABCD, el cual tiene un lado de longitud “q”, entonces el área de la región sombreada es B

A E

D

Geometría

O

q

F C

06. Hallar el área de un cuadrado si se sabe que su lado es equivalente al valor del área de un triángulo equilátero de 8 m. de lado. Rpta.: 07. En la figura, ABCD es un rectángulo dividido en cuatro rectángulos de igual área. Si mide 24 cm y AD trazamos D J . ¿Cuánto mide M F ?

7



J

A

B

M

h

D

F

C

Rpta.: 08. Si el área del cuadrado ABCD vale 40 m2. ¿Cuál será el área de la figura sombreada?. B

C

Rpta.: 11. La figura ABCD es un trapecio isósceles. Además, BCEF es un cuadrado. Hallar el área de la región sombreada. B

1 0

m

2 0

m

C

D

A

A

Rpta.: 09. La altura del rectángulo ABCD mide “h” y la base los 2/3 de la altura. Si DE = DC , el área de la región sombreada.

D

C

F

D

E

Rpta.: 12. En el siguiente triángulo rectángulo, se pide hallar la longitud del segmento P Q .

E

P A Rpta.:

Geometría

.

X

B

10. Se sabe que el siguiente triángulo equilátero tiene un área de 4 3 m2. Determinar en que relación se encuentra su base y su altura (en este mismo orden).

3 0

4 0

c m Q.

Rpta.: 13. Dado el siguiente trapecio ABCD, se pide determinar en que relación se encuentran las áreas de los triángulos ABD y BCD. El área del trapecio ABCD es 85 cm2.

8



B

A

1 4

c mC .

2 0

c m

medio de BC y N es punto medio de CN . Hallar el área de la región triangular MNC, si el área del paralelogramo es 100 m2.

B

D

.

C

M

Rpta.:

N

14. En el siguiente gráfico, las figuras ABCE y BCDE son paralelogramos. Si el área del triángulo BCE es 18 cm 2. Calcular el área del trapecio ABCD.

B

A

D

Rpta.:

C

Obs: Utilizar el teorema de los puntos medios de un triángulo.

A

D

E

Rpta.: 15. En el siguiente trapecio ABCD, M es punto medio de BC y N es punto medio de AD. Si la longitud del segmento AM es 10 cm. Calcular el área del triángulo ABM. Si además: BC AD

= A

17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, desde el pie de la altura BH se traza el segmento perpendicular a Si H S AB . BH + AH = 12 m y el área del triángulo rectángulo ABH es 16 m2, entonces el valor de segmento AB será: B

1

S

2

C

M

A

H

C

Rpta.: 6 B

N

D

Rpta.: 16. En el siguiente gráfico, la figura ABCD es un paralelogramo. SI M es punto

Geometría

18. En un triángulo rectángulo MNP, se conoce que su perímetro es 20 cm. y que el área de este triángulo es 5 cm 2. Hallar el valor de su hipotenusa. Rpta.: 19. Dado el siguiente rombo ABCD, donde M es punto medio del lado BC y N

9



es punto medio del lado CD . Si se sabe que el área total del rombo es 16 m2. Hallar el área sombreada.

20. Hallar el área del trapecio MNPQ si se sabe que el área del triángulo rectángulo MNH es 8 m2 y que:

A

PQ x M H

M B

=

24 m2 .

N

D

M

N

Q C

H

P

Rpta.:

Rpta.:

Geometría

10



PROBLEMAS PARA LA CASA 01. El área de la parte sombreada del rectángulo ABCD es: A

B

D

C

a) Menor que la mitad del área del rectángulo. b) La mitad del área del rectángulo. c) Mayor que la mitad del área del rectángulo. d) Un tercio del área del rectángulo. e) Menor que un tercio del área del rectángulo. 02. Calcular el área sombreada si: ABCD es un cuadrado cuyo lado tiene 10 cm de longitud. B

C

D

A

a) 100 cm2 c) 40 e) 75

b) 50 d) 25

04. En un triángulo rectángulo la suma de las longitudes de sus catetos es 7 cm. Calcular el área de la región de dicho rectángulo. C m c 5

B

Sugerencia: Usar la siguiente identidad algebraica: (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab a) 5 cm2 c) 8 cm2 e) N.A.

b) 6 cm2 d) 10 cm2

05. Dado el siguiente rombo MNPQ donde A es punto medio del lado M N yB es punto medio del lado M P . Se pide calcular el área de la sección sombreada, si el área del rombo MNPQ es 64 cm2.

B

A M

P

P Q

a) 40 cm2 c) 16 cm2 e) N.A.

Geometría

.

A

R

M

b) 216 d) 261

N

03. Calcular el área del la región sombreada si MNPQ es un cuadrado y MRQ es un triángulo equilátero. El lado del cuadrado MNPQ es 18 cm N

a) 126 cm2 c) 162 e) N.A.

b) 24 cm2 d) 10 cm2

Q

11



R

C

M

B

G

E A

a) 175 cm2 c) 600 cm 2 e) N.A.

H

b) 49 cm2 d) 260 cm2

07. En el siguiente gráfico, la figura MNPQ es un paralelogramo. Si A es punto medio de M N y B es punto medio del lado M Q . Calcular el área de la región sombreada, si el área del paralelogramo es 600 cm2.

P

N

S

X Q

a) 96 cm2 c) 44 cm2 e) N.A.

F D

P

N

06. En la figura, las regiones ABCD y CEFG son cuadrados EDFH es un rectángulo . Si se sabe que el área del rectángulo EDFH es 42 cm 2 y el área del cuadrado ABCD es 169 cm2 (GH > GF). Calcular el área del cuadrilátero ABGH.

b) 69 cm2 d) 60 cm2

09. En el siguiente paralelogramo ABCD, M es el punto medio del lado AB , O es el punto medio de la altura BH y N es el punto medio del lado CD . Si AH = 6 cm. Hallar el área del triángulo rectángulo MBO. B M A

C N

O H

1 0

.

D

(Sugerencia: usar semejanza de triángulos)

A M

B

a) 700 cm2 c) 80 cm2 e) 525 cm2

Q b) 75 cm2 d) 650 cm2

08. En la siguiente figura, MNPQ es un cuadrado, cuyo lado tiene una longitud de 16 cm. Calcular el área de la región sombreada, si X es el centro cuadrado y RS es paralelo a M Q y pasa por el punto X.

a) 10 cm2 c) 16 cm2 e) N.A.

10. En el siguiente gráfico, los 4 triángulos pequeños son equivalentes. Hallar el área del triángulo grande. 5

c m

4

a) 40 cm2 c) 30 cm2 e) 20 cm2

Geometría

b) 6 cm2 d) 12 cm2

c m

b) 25 cm2 d) 10 cm2

12



11. Hallar el área del triángulo sombreado si el área del triángulo ABC es 90 cm 2.

a) 8 cm2 c) 4 cm2 e) N.A.

b) 18 cm2 d) 16 cm2

14. Colocar V o F según corresponda.

1 0

a) Dos triángulos son congruentes si tienen 1 ángulo y 1 lado congruente.

1 0 a) 25 cm2 c) 15 cm2 e) N.A.

b) El área de un triángulo rectángulo es el semiproducto de sus catetos.

b) 20 cm2 d) 10 cm2

c)

12. Si el siguiente cuadrilátero está formado por 2 triángulos equiláteros de igual área. Hallar el área total del cuadrilátero.

8

El teorema de Pitágoras se aplica a cualquier tipo de triángulo.

a) VFV c) FFF e) FVF

b) VVF d) FFV

15. Calcular el área de la región sombreada, si la base media del trapecio mide 19 cm

m c

1 0 5

a) 64

3 cm

2

c) 32 cm2 e) N.A.

b) 32

3 cm

d) 64 cm2

P

Geometría

a) 12 cm2 c) 10 cm2 e) N.A.

b) 8 cm2 d) 6 cm2

B

8

O D

c m

2

13. Hallar el área del triángulo BOP si O es el centro del cuadrado y PO es paralelo a AD . A

c m

c

C

13



TEMA: ÁREA DE UN CUADRILÁTERO Una vez conocidos estos teoremas importantísimos, estamos en condiciones de definir (y también de demostrar) el área de las principales figuras geométricas. Empezaremos por los cuadriláteros. Los cuadriláteros son figuras geométricas que poseen cuatro lados. Los cuadriláteros pueden ser: * Rectángulo.

* Cuadrado

* Rombo

* Paralelogramo

* Trapecio

A continuación, pasaremos a detallar (y en algunos casos demostrar) el área de cada uno de estos cuadriláteros.

1.

Área del rectángulo Un rectángulo es una figura geométrica que posee 4 lados paralelos dos a dos, e interceptados bajo un ángulo de 90º. Los lados paralelos tienen igual longitud. El área de cualquier rectángulo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.

A R E C T Á N GX U L

H

Demostración: ¿AABCD = h x b? C

B

A

h

A

N H

D

b

M

P

A

1 B

Q

Para realizar la demostración de que el área del rectángulo ABCD es A = h x b, haremos una construcción auxiliar: dibujaremos un rectángulo MNPQ de altura “H” y base “B”, donde H = B = 1; es decir, tenemos un rectángulo de lado unitario. Este rectángulo será la unidad de área, es decir A 1 = 1. (Nótese que como la base y altura son iguales, este rectángulo recibe el nombre de “cuadrado”). Sabemos, por el Cuarto Teorema, que las áreas de 2 rectángulos son proporcionales al producto de su base por su altura respectiva. Entonces:

A A1

=

h xb HxB

…. (1)

Pero sabemos que A1 es uno, y que H = B = 1. Entonces reemplazando estos valores en la ecuación (1). A

h

=

x

b

: Área del rectángulo

Por lo que queda demostrada la fórmula para hallar el área del rectángulo. 2. Área del Cuadrado Un cuadrado es un tipo particular de rectángulo, donde la longitud del la base es igual a la longitud de la altura. El área del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de la base, o elevando al cuadrado la longitud de la altura. Es decir, multiplicando h x h ó b x b.

Geometría

14



D

L

Demostración: Puesto que conocemos que el área del rectángulo es: A=hxb Y como hemos dicho, en un cuadrado: h = b = L ⇒ Área del Cuadrado A

L

x L

2

L

= =

Obs. El área del cuadrado también puede obtenerse así: Donde D es la diagonal del cuadrado

3.

A

=

D2 2

Área del Paralelogramo Un paralelogramo es una figura de 4 lados, donde sus lados son paralelos dos a dos, pero donde el ángulo de intersección de los lados es distinto a 90º. El área de un paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura; es decir, igual que el área del rectángulo, puesto que el paralelogramo es un tipo de rectángulo al cual se le han inclinado dos lados.

Demostración:

B

A

ABCD

C

= b xh

h A

E

D

F

D y B C Primero, debemos notar que tanto los segmentos A tienen la misma longitud, así B y C D . Para demostrar que el área del paralelogramo es A = b x como los segmentos A h haremos una construcción auxiliar: prolongaremos el segmento AB y trazaremos las F y B E . Entonces se formarán los triángulos rectángulos ABE y CDF y el perpendiculares C cuadrilátero EBCF. Ahora, hallaremos el área del paralelogramo ABCD mediante el uso de suma y diferencia de áreas.

Entonces: AABCD = AEBCF + AABE – ACDF …(1) B y C F Ahora, analicemos el cuadrilátero EBCF: observamos que los segmentos E son C y A D paralelos y sabíamos que los segmentos B eran paralelos, y como el ángulo de intersección de los lados es 90º, entonces el cuadrilátero EBCF es un rectángulo. C x E B = b x h … (2) Entonces: AEBCF = B

Geometría

15



Ahora, analicemos los triángulos rectángulos ABE y CDF: como los segmentos AB y CD son iguales y los ángulos interiores de los triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son idénticos, (figuras equivalentes), por lo que tendrán la misma área. Entonces: AABE = ACDF … (3) Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1), obtendremos:

=

A ABCD

A EBCF

+ A ABE − A CDF

  

A ABC D ∴

A

=

AB CD

=

bxh

+ A ABE − A ABE

Área del Paralelogramo

b xh

Por lo que queda demostrada la fórmula para hallar el área del paralelogramo.

Notas: a. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º como ángulo interior. b. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PARALELOS si, por más que extendamos dichas rectas o segmentos, estas dos nunca, se cortarán. Un ejemplo de rectas paralelas son las líneas horizontales de un cuaderno cuadriculado. c. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PERPENDICULARES si dichas rectas o segmentos se cortan en un ángulo de 90º. Un ejemplo de rectas o segmentos se cortan en un ángulo de 90º. Un ejemplo de rectas perpendiculares sería el cruce de una línea horizontal de un cuaderno cuadriculado con una línea vertical del mismo, d. Cada vez que hablemos de la altura se considerará que la altura es perpendicular a la base de la figura analizada. 4.

Área del Rombo: Un rombo es una forma particular del paralelogramo, en donde las diagonales de éste paralelogramo se cortan perpendicularmente (en un ángulo de 90º). El área de un rombo se obtiene multiplicando las longitudes de sus diagonales y dividiendo el resultado entre dos. Es decir:

N A1

S i la d ia g o n la d ia g o n a l N A3

M

d P

A4

A2

E A

n t o n c e s x

=

D

Nota: A1 = A2 = A3 = A4 si el rombo es simétrico

5. Área del Trapecio

Geometría

16



Un trapecio es un cuadrilátero que posee dos lados paralelos conocidos como base mayor (el lado más grande) y base menor (el lado más pequeño) y dos lados no paralelos. El área de un trapecio se obtiene sumando la base mayor con la base menor dividiendo el resultado entre dos y, finalmente, multiplicando este resultado por la longitud de la altura del trapecio. b A T R A P E Cb I O+x 2

2 b m

D

o

b B b m H

2

n

d

e

: b : b : b : a

B=

:

a s a s a s lt u

e

e e r a

m m m

e

Nota: A esta semisuma (suma dividida entre 2) de la base mayor y la base menor se le conoce como BASE MEDIA. La base media viene a ser un segmento que se encuentra a la misma distancia de la base mayor y la base menor (H/2); es decir se encuentra en el “medio” de las 2 bases, además es paralela a ellas. bm

b =

+

B

2

Por lo que el área del trapecio también se puede formular así: ATRAPECIO = bm x H

Geometría

.

17



PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Se tiene un cuadrado de lado “L” y área “A”. Si se aumentan 2 metros al lado del cuadrado, entonces el área del mismo queda aumentada en 36 m2. Hallar el valor de L. 02. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que la figura exterior ABCD es un cuadrado, cuyo lado tiene una longitud de 6 cm 1

A

Observación: Se dice que un trapecio es isósceles si los dos lados no paralelos tienen la misma longitud. Entonces, en la figura AB = CD .

c m D 1

1

AD . Hallar el área total de las regiones sombreadas en función de “a”.

2 a

B

c

03. Si2 el área del cuadrado ABCD es 40 m . ¿Cuál será el área de la figura sombreada?. C

D

P

A

c m

B

C

06. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo es el área de la región sombreada?. Si se sabe que AM = MD = a y CP = DP = a / B

N

C P

04. En la siguiente figura el área del trapecio MNCD es de 16 2cm 2 y del triángulo NCP es de 54 cm . Hallar la relación de áreas de los trapecios ABNM y ABCD, sabiendo que M N es la base media del trapecio ABCD y N P es paralela a AD . A M

07. Si se sabe que M es la base N media del trapecio que aparece a continuación y que el área del mismo es 48m2.´¿Cuál es la longitud de su altura? 8

M

N

B N

08. Si un cuadrado aumenta en 10% la longitud de su lado. ¿En cuánto aumento su área?. 09. Hallar el área del siguiente rectángulo.

05. La siguiente figura es un trapecio isósceles, cuya base media es M N y su altura es “a”. P es el punto medio de la base mayor

Geometría

3 . 5

m

18

2


“Robert Letourneau” Primer Año B

10. El perímetro de una figura geométrica se representa por “2p” y es igual a sumar las longitudes de todos y cada uno de los lados de la figura geométrica. Si el siguiente rectángulo tiene un perímetro igual a 44 m. Hallar la longitud de su base y de su altura.

E

A

C

D

11. Alejandro Fernández posee un terreno rectangular. Él desea cercarlo para evitar posibles invasiones. Él sabe que su2 terreno tiene un área total de 1440 m . Además sabe que el largo del terreno es 10 veces el ancho del mismo. ¿Cuántos metros de madera de 2m. de alto debe comprar para cercarlo completamente?

A

1 24 4 0

=

C P m

Si se sabe que el área del triángulo ABE es 25m2. ¿Cuál será la longitud del lado (L) de un cuadrado que sea equivalente a este rombo?. 14. En el siguiente cuadrado L

e r c o e r im

D

L

L

El valor de D = valor de L? 12. La siguiente figura es un rombo. C

D

Si se sabe que la diagonal mayor C D y la diagonal menor A B se encuentran en la siguiente relación:

=

CD

15. En la siguiente figura: B

C

A

D

B

A

AB

1 5

. Si el área total del rombo

13. Dado el siguiente rombo simétrico.

E

Se sabe que el área del triángulo ABD 2 es 144m . ¿Cuál será el área del paralelogramo BCDE?. 16. Hallar el área de la región sombreada.

es 845 cm2. Hallar las longitudes de las diagonales AB y CD .

Geometría

8 m. ¿Cuál será el

C

B

A

G

D

19



Si se sabe que el área total de la región ACGF es 105 m 2 y además se sabe que GE = 10m., D = M = 5m y la base media del E F trapecio ABDE es 8m. CGFE es un paralelogramo. 17. Hallar el área del paralelogramo ABCD.

B

M

A

N

D

C

Si el área del rectángulo DMBN es 1445 m2, donde: MB MD

=

A M

Geometría

1 5

y además

= M C = 1m.

18. Hallar el área del siguiente rectángulo N

P D

M

Q

Si se sabe que el rectángulo MNPQ está formado por 3 cuadrados idénticos, que tienen una diagonal de longitud D = 4 2m. 19. Antiguamente, se conocía como “Lima Cuadrada” a un conjunto de manzanas (viviendas distribuidas en forma de cuadrado), distribuidas justamente en una forma cuadrada. Si la longitud de una manzana es 100 m. y la distancia de separación entre manzana y manzana es de 5 m. ¿Cuál era el área de “Lima Cuadrada”?. Si se sabe que en cada lado del gran cuadrado habían 10 manzanas. 20. Si la base de un rectángulo es el doble de su altura y su base es 288 m 2. Si tomamos sus dimensiones y con cada una formamos dos cuadrados. ¿Cuál será el área de cada uno de ellos?.

20



PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el área del siguiente cuadrado ABCD. A

B

M

N

D

C

A

Si el área del rectángulo MNDC es 96 cm2. Todos los cuadraditos son equivalentes. a) 288 cm2 d) 144

b) 244 e) N.A.

c) 828

02. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo es el área de la región sombreada?.

a) 25% d) 75%

b) 10% d) N.A.

c) 50%

03. Hallar el área de la región sombreada, si se sabe que FGHI es trapecio. C

B

D

H

I

1 0 A

c m

. F

G

E

Además se sabe que ABCG y CDEF son paralelogramos idénticos, donde A G = 5 cm. y G F = 10 cm. y H I = 5 cm. a) 25 cm2 d) 20

Geometría

04. Si en la siguiente figura:

b) 15 e) N.A.

c) 18

B M

N

Q

P C

D

Se sabe que las áreas de los dos cuadrados están en la siguiente relación. A ABCD A MNPQ

=

5 1

y que el área de la región sombreada es 196 m2. Hallar la diagonal del cuadrado MNPQ. a) 8

2 m b) 7

d) 2

8

2

c) 2

7

m e) N.A.

05. Juan Carlos decide ir en la semana de Fiestas Patrias a Ica. Para ello decide ir en su auto. Pero cuando le faltan “k” metros para llegar, descubre que están asfaltando la autopista, por lo que no puede avanzar. Si la autopista tiene 5m de ancho y faltan por asfaltar 4500 m 2 de pista. Hallar “K”. Considerar a la autopista como un rectángulo. a) 900 m d) 600

b) 800 e) 500

c) 700

06. El colegio Nuestra Señora de Guadalupe ha decidido pintar la fachada y todo el contorno del colegio. Si las 4 paredes tienen una base de 60 m y una altura de 20 m. ¿Cuánto le costará pintar todo?. Si se sabe que por cada 100 m2 se utiliza un galón de pintura que cuesta S/.25?.

21



a) S/. 1600 c) S/. 1200 e) S/. 2000

b) S/.1400 d) S/.1800

07. En el siguiente cuadrado:

D

L

A

3

L

08. En la siguiente figura:

E

C

ABCD es un rectángulo y ABCE es un paralelogramo. SI el área del paralelogramo es 105 m2 ¿Cuánto será el área del rectángulo? a) 210 m d) 105 m2

b) 115 m2 e) N.A.

c) 80 m2

09. Si el área del cuadrado ABCD es 1600 cm2. ¿Cuál será el área de la región sombreada?. Todos los cuadrados son idénticos. D

D

Geometría

c m

3

c m

B . c m

.

C

.

b) 32 e) 16

c) 18

11. Se tiene un cuadrado de diagonal “D” y área “A”. Si se aumenta 2 unidades a la diagonal, entonces el área aumenta en 30u2. ¿Cuál es el valor de “D”? ¿Cuál es el valor de “A”?. Dar como respuesta su semisuma (la mitad de su suma). a) 36 m2 b) 56 c) 112 d) 144 e) N.A. 12. El área de un rectángulo es 216 m 2 y su base es 6 metros mayor que su altura. Hallar sus dimensiones y dar como respuesta el cociente de ambas (menor entre mayor). a) 2/3 b) 4/3 c) 3/2 d) 3/4 e) N.A. 13. Hallar el área de la región sombreada:

C

A

A

.

2

a) 60 cm2 d) 44

B

D

c m

1

El valor de D = 8 2 m. ¿Cuál será el valor de L?. a) 8 m b) 2 c) 16 d) 32 e) 4 A

b) 200 d) 500

10. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que la figura exterior ABCD es un cuadrado, cuyo lado tiene una longitud de 6 cm.

L L

a) 100 cm2 c) 300 e) 400

B

C

F

E

D

B

22



Si ABCD es un trapecio isósceles y el área del cuadrado BCEF es 40 m2 y el área del triángulo CED es 10 m 2. a) 20 m c) 30 e) N.A.

2

b) 40 d) 50

14. Se tiene 2 cuadrados. El primero tiene un lado de 4m. de longitud y el segundo tiene una diagonal de 4 2 m. ¿Cuál es la relación de áreas entre el primero y el segundo (en ese orden)? a) 1/2 c) 4 e) 2

Geometría

b) 1/4 d) 3

15. Colocar V ó F: a)

En todo rombo, las 4 áreas que delimitan sus diagonales son iguales

b) Las áreas de un rectángulo y un paralelogramo se obtienen de la misma fórmula. c) El área de un triángulo delimitado por los extremos de un rectángulo y su diagonal es la mitad del área del rectángulo. a) VVF c) FFF e) FVV

b) FVF d) VVV

23



TEMA: ÁREA DE SUPERFICIES CIRCULARES A continuación detallaremos como obtener el área de superficies circulares. La base es el área del círculo, así que apréndete bien la fórmula para su área y las demás te serán fáciles.

1.

Área del Círculo Un círculo es una figura geométrica que tiene la particularidad de que la distancia que existe entre su centro (0) y sus extremos es siempre constante; a dicha distancia se le conoce con el nombre de RADIO (r). r

B

r O

r

F ig u A

Observaciones a) Hay que tener cuidado de no confundir círculo con circunferencia. La circunferencia es la línea que delimita el área circular, es decir, el borde del círculo; en cambio, el círculo abarca la circunferencia y todo el espacio (área) que ésta encierra. b) Cuando dos radios forman parte de una misma recta, es decir son colineales (como en el caso de los radios OA y OB ), al segmento que va desde un extremo a otro de la circunferencia pasando por su centro (segmento AB ) se le denomina DIÁMETRO (D). ∴ D = 2r c)

La longitud de la circunferencia (L) se puede obtener así: L = 2π r ó L = π D

El área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio del círculo. La constante de proporcionalidad es un número irracional que recibe la notación de la letra griega π (pi). π = 3.1415927… ⇒

π ≈3.14

Es decir, el área de un círculo se puede calcular así: A

r 2

= π

Área del Círculo

La demostración de ésta fórmula la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer conceptos de Matemática Superior, específicamente en el campo de Límites de funciones, tema que (generalmente) se aborda en cursos de Álgebra Universitaria. Por este motivo, consideraremos como válida “a priori” esta fórmula.

9. Área de una Corona Circular Una corona circular es una superficie delimitada por las circunferencias de dos círculos concéntricos (dos círculos son concéntricos si tienen el mismo centro).

Geometría

24



C

o r o n a

r R

El área de una corona circular se obtiene multiplicando por π a la diferencia de los cuadrados de los radios de cada círculo. Es decir: A =

π

x

R

2

− r 2

r F ig u r a

I I R

A

Demostración: Sea la corona circular de la figura II, cuyas longitudes de sus radios son r y R para el círculo menor y círculo mayor respectivamente. Consideraremos que el área del círculo de radio “r” es A 1 y el área del círculo del radio “R” es A 2. Entonces, podemos representar el área de la corona circular (A) de la siguiente manera: A = A2 – A1 … (1) Pero, como sabemos que el área de un círculo es igual a π por el radio elevado al cuadrado, el área del círculo de radio “r” lo podemos expresar así: A1 = π x r 2 … (2) Y el área del círculo de radio “R” lo podemos expresar así: A2 = π x R2 … (2) Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) obtenemos:

Geometría

25



A

A2

=

−

A1

  

A

= π

xR

2

− π

2

x r

Factorizando π de cada sumando, obtenemos: A

(

x R

= π

2

r

−

2

)

Área de una corona circular

Por lo que queda demostrada la fórmula para obtener el área de una corona circular.

10. Área Área de un Sect Sector or Circu Circular lar:: Un sector circular es una porción del círculo, que tiene la particularidad de estar limitado por 2 radios y por la circunferencia asociada al círculo.

El área de un sector circular se obtiene multiplicando la longitud del arco asociado al sector circular por el radio del círculo y dividiendo éste resultado entre dos.

NOTA: El arco de un sector circular viene a ser la porción de la circunferencia que limita al sector circular. La longitud del arco de un sector circular se denota por “ l” y es igual a: π. r . θ  = 180 º

Donde θ es la medida del ángulo que forman los 2 radios que delimitan al sector universal. La medida del ángulo θ debe darse en grados sexagesimales, los cuales se pueden obtener empleando cualquier transportador.

Demostración: P

r O r

Geometría

A

¿ AP O

Qb x

=

26



Lo primero que debemos saber, previo a la demostración de ésta fórmula, es que un círculo completo tiene 360º (¡Compruébalo con tu transportador”). Ahora, sabemos que el área de un círculo se obtienen así: A = π r 2 y que este círculo barre un ángulo de 360º. Si usamos una Regla de Tres Simple podremos hallar el área de un sector circular de “θ ” grados puesto que consideraremos al círculo como un sector circular de 360º

ÁNGULO

ÁREA

Si:

360º

π r 2

Si:

θ

A= ?? ⇒A=

θ x πx r 2 360 º

… (I)

Si arreglamos este resultado convenientemente, obtendremos:

A = 

Pero:

=

π x r x θ 180º

X x

2

r

... ( 1 )

r x θ … (2) 180 º

πx

Entonces, reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1), obtendremos:

A

=

l

x

2

r

Área de un Sector Circular

OBSERVACIONES: a. A pesa pesarr de que la ante anteri rior or fórmu fórmula la es la prese present ntac ació ión n form formal al de cómo cómo halla hallarr el área área del del sector circular, podemos hacer uso directamente de la fórmula (I), ya que es más directa. d irecta. b. Al sector sector circular circular también se le llama SECCIÓN SECCIÓN CIRCULAR CIRCULAR,, por ser una parte parte del círculo. círculo. c.

El área área de un secto sectorr circul circular ar es equiv equival alent ente e a la de un trián triángu gulo lo que teng tenga a por por base base la longitud del arco que limita al sector y que tenga por altura la longitud del radio de la circunferencia. En efecto:

Geometría

27



Primer Año O

O

r

r

r

r

A

A

B

l x

=

SECTOR CIRCULAR

B

A

2

r

A

≅

=

TRIÁNGULO

l x

r

2

Esto Esto se debe debe a que que el sect sector or circ circul ular ar es una una clas clase e part partic icul ular ar de triá triáng ngul ulo, o, llam llamad ado o TRIÁNGULO MIXTILÍNEO, MIXTILÍNEO, el cual está formado de líneas rectas y líneas curvas.

11. ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR Un trapecio circular viene a ser una sección (porción) de una corona circular. El área de un trapecio circular limitado por 2 arcos y por radios diferentes de dos círculos se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

A

=

R

π θ

2

r 2

−

360º

T r a p e c i o

C

ir c u la r

Demostración:

¿

R

M P

A L

M

N

N

A

=

π

x

θ

R 2 − r 2 3 6 0 º

x

=

Q P

Q

Consideremos que en el anterior gráfico el área del trapecio circular MNPQ es “A”. El círculo mayor tendrá un radio de longitud “R” y la longitud de su arco PQ será “L”. El círculo menor tendrá un radio de longitud “r” y la longitud de su arco MN será “ l”. El ángulo entre los radios O P y O Q será “θ ”. El área del trapecio circular se puede expresar como la diferencia del área del sector circular OPQ menos el área del sector circular OMN.

Geometría

28



Entonces: AMNPQ = AOPQ – AOMN … (1) l

Pero sabemos que el área de un sector circular es

•

AOPQ =

•

AOMN =

L

x

r

2

R

x

2 l

x

r

2

Pero, usando el concepto de longitud de arco, tenemos:

•

AOPQ =

 π x θ x R  x   180 º  

R

2 ⇒ AOPQ =

•

πx θ x R2 360 º

AOMN =

… (2)

 π x θ x r    x r  180 º  2

⇒ AOMN =

π x θ x r 2

…(3)

2

Esto se debe a que el ángulo para las dos secciones circulares es el mismo y es igual a “ θ ”. Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1), obtenemos:

A MNPQ = A OPQ

−

A OMN

    

A MNPQ =

Geometría

π

x

θxR

360 º



2

−

π

x

2

θ x r

360 º 29



Primer Año

Factorizando

 π x θ   de cada sumando, obtenemos: 360 º   =

A MNPQ

πx θx

(R

2

− r 2

Área del Trapecio Circular

360 º

Por lo que queda demostrada la fórmula para hallar el área de un trapecio circular.

Observaciones: a. La demostración de ésta fórmula también podría obtenerse mediante una regla de tres simple, haciendo una comparación entre el área de una corona circular (asociada a un ángulo de 360º) y el área de un trapecio circular (asociado a un ángulo θ ). b.

El área de un trapecio circular es equivalente a la de un trapecio rectilíneo que tenga por bases a los arcos rectificados que limitan al trapecio circular y por altura la diferencia de los radios. En efecto:

O

D

C

r

R

R

D

C R

A

-

A

r B

-

r B

L

L

π θ x

A T R A P E C=I O

R

x

2

−

2

r

3 6 º0

C IR C U L A R

π θ ( R + r ) ( R + r )

A T R A P E C =I O

C IR C U L A R

Geometría

x

x

3 6 0º 30



Primer Año

1π

x

θ

x

R

A T R A P E C=IO  º C I R C U L A R2  1 8 0 Pero:

πx

R

x

180 º

θ

=

L

1

⇒

[

y

πx θx R 180 º

] (

π θ r  ( R − r ) +  1 8 0º  x

x

x

=l

)

A T R A P E C= IO L + l x R − r = A T R A P E C IR C U L A 2 R

Geometría

31



Primer Año

12. Área del Segmento Circular Un segmento circular es una porción de un sector circular que se encuentra delimitada por el arco de la circunferencia asociado al sector circular y el segmento que une las intersecciones de los radios con la circunferencia.

S A

e g m

e n t

B

El área de un segmento circular se obtiene mediante la diferencia del área del sector AOB con el área del triángulo AOB.

ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR

A = A S E C T O R − A T R IÁ N G AU OL BO C I R C U LA AO RB

Esta formula no necesita mayor demostración.

Geometría

32



PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Si ABCD es un cuadrado de 4 cm. de longitud. Hallar el arco de la región sombreada. C

B 4

04. Si la figura ABC es un triángulo equilátero cuyo lado tiene una longitud de 10 cm Además P, M y N con los puntos medios de los lados AB , y AC respectivamente. B C Hallar el área de la región sombreada.

C 4 A

D

N 02. Hallar el área del siguiente círculo, si los puntos A, B, C y D del cuadrado pertenecen a la circunferencia y la diagonal del cuadrado mide 4 2m . B

C

A

D

M

A

05. En la siguiente figura, calcular el área de la región sombreada.

B

A 8

03. En el siguiente gráfico, ABCD es un rectángulo. Si los 2 círculos tienen igual área y su radio “r” es 4 cm. Calcular el área de la región sombreada.

A

B

P

m

06. Si ABCD es un cuadrado de 6 cm. de lado, el área sombreada en la figura mostrada es igual a:

D

B

C

C

A

D

r r B

Geometría

33



(sugerencia: usar traslación de áreas) 07. En la siguiente figura se observa al rombo ABCD cuyos lados son dos radios y dos cuerdas de una circunferencia de 16 cm. de radio. Los ángulos de OAB y OBC son de 60º. Hallar el área del rombo.

N

8

c m

B A

P

O

Q

M C

O

13. En la figura siguiente, “B” es punto medio de OC y “E” es medio de O D . Calcular el área de la región sombreada.

C 08. Hallar el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 90º y su radio es igual al lado de un cuadrado de 4 2 cm. de diagonal. 09. Si en una competencia automovilística que se realiza en un circuito circular se sabe que para ganar la competencia el corredor debe dar 40 vueltas. ¿Cuántos metros recorre el ganador en la competencia si el área del círculo es 16900π m. 10. Hallar el área de una corona circular cuyo radio interior y exterior tienen 13 y 12 metros, respectivamente. 11. Hallar el área de un círculo cuyo radio tiene una longitud igual al de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm. respectivamente. 12. En la siguiente figura MNPQ es un cuadrado. Si X es el centro del cuadrado. Hallar el área de la región sombreada.

Geometría

A

B D

1 2

c m 3

E 0 º 3 0 3

º 0

O

º

F

Rpta.: 14. Calcular el área de la región sombreada si el triángulo ABC es equilátero. Además, el radio de la circunferencia es 12 cm. “H” es punto medio del segmento H mide 6 cm. AB y O

C

O A

H

B

34



15. Calcular el área sombreada si MNPQ es un cuadrado de 10 cm. de lado y los 4 sectores circulares son equivalentes.

N

P

M

Q

16. Hallar el área de la región total sombreada, si el triángulo ABC es rectángulo y su hipotenusa tiene una longitud de 8 cm.

18. Calcular el área de la región sombreada si ABCO es un trapecio y OAC es un sector circular de radio r = 8 cm. y ángulo central de 60º. Además OM = MC .

O

A

B

M

C

19. Calcular el área de la siguiente corona circular, si el cuadrado tiene un área de 64 m2 y es tangente al círculo interior.

O

B 4 5 4º 5 º A

C

17. Calcular el área de la región sombreada M N mide 40 cm. Q es tangente a la circunferencia interior.

M O Q

20. Hallar el área del trapecio circular sombreado si R = 25 cm. y r = 24 cm.

r 6 0 ºO R

N Geometría

35



Geometría

36



PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Si ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado, calcular el área de la región sombreada.

d) 16248

04. Hallar el área de un trapecio circular si el radio mayor tiene 50 cm., el radio menor tiene 48 cm. y el ángulo central tiene 120º.

C

B

c) 16428 e) N.A.

a) 196/3 π cm2 c) 173/3 π cm2 e) N.A. A

b) 169/3 π cm2 d) Faltan datos

05. Hallar el área del siguiente sector circular, si su ángulo central es 120º

D

a) 16 (4-π ) cm2 b) 32(4-π ) cm2 c) 32(2-π ) cm2 d) 4(32-π ) cm2 e) 16(2-π ) cm2 02. Halla el área de la región sombreada si AB = 16 cm.

M Q

8

c m

4 O

c m 8 c m

N

 2 π − 3  cm 2  b) 3    2  32 π − 3  cm 2  3 

a) 16  A

B

a) 32(π -1) cm2 c) 64(π -1) cm2 e) 64(π -2) cm2

b) 16(2π -1) cm2 d) 32(π -2) cm2

 1 π−2 3 

c) 16 

03. Si ABCD es un cuadrado de 148 cm. de lado, el área de la figura sombreada es:

 4 π −  3

16 

 

3  cm 2

d)

 

3  cm 2

e) Faltan datos. 06. Hallar el área de la región sombreada si AB = BC y ABC es un triángulo rectángulo (recto en B).

O

a) 10124 cm2

Geometría

b) 7894

37



B

C

A 4 a) 4(2π -1) cm2 c) 4(π -3) cm2 e) 8(π -1) cm2

2 b) 8(π -2) cm2 d) 6(π -1) cm.

09. Calcular el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio y ACD es un sector circular, donde la medida de su ángulo central es 60º. Además de su ángulo central es 60º. Además AM = MD . C B

3 0 º 07. Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio y OBC es un

M

H

B

A 8

a) 3 3

  

D

O

3 )cm2 b) 8(π -

c) 16(2π -3 e) N.A.

3)

d) 16(2π -

3

)

− π100

cm 2

3) 3)



4

 3 

b)

π  −  100 3 

 3 3 π   100 − c)   

c m

a) 16(π -

1 0

(

C

D

A

triángulo equilátero. OH = 4 3cm

12

−

3

d)



π   100 12 

e) Faltan datos.

08. Hallar el área del siguiente trapecio circular si R = 13 cm. y r = 12 cm.

R

10. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es cuadrado cuyo lado mide 10 cm.

A

B

D

C

R 7 2 º

a) 5π cm2 b) 5π 2 c) 15π d) 10π e) Faltan datos.

Geometría

a) 25(2-π /2) cm2 c) 5(10-π ) cm2

b) 25(2-π ) cm2 d) 25(4-π /2) cm2

38



e) Faltan datos. c) 11. Hallar el área de la región sombreada, si R = 2r. Además r = 13 cm.

cm

2245

π cm2

2

2

e) Faltan datos

B

C

104 3

2

π cm2

b)

505 7

π

c)

507

2 e) N.A.

π

d)

169 2

π

D

3 0 º A H

(Sugerencia: usar traslación de áreas) 12. Hallar el área de la región sombreada, si MNPQ es un cuadrado, donde la longitud de su lado es 130 cm.

(Sugerencia: usar traslación de áreas) a)

4225 2

π cm2

b)

4252 2

π

cm

2

Geometría

π

13. En el siguiente grafico, ABCD es un paralelogramo. Si la longitud del lado es 8 cm. y la longitud del B C segmento BH es 4 cm. Calcular el área de la región sombreada.

O

a)

4225

d)

39

2



a) 32 (1-π /6) cm2 b) 32(1-π /3) cm2 c) 64(2-π /6) cm2 d) 32(1-π /9) cm2 e) Faltan datos.

c) 9π e) N.A.

15. Colocar V o F según corresponda:

14. Hallar el área de la región sombreada si AOD = DOC = BOC 





C

D

A

B

O 6

c m

a) 16π cm2

Geometría

d) 18π

i.

El área de un trapecio circular ( ) es análogo al área de un trapecio rectilíneo ii. El área de un sector circular se ( ) puede calcular por regla de tres simple iii. El número π es un número ( ) irracional a) VFV c) VFF e) N.A.

b) FVV d) VVV

b) 6π

40



CUADRO RESUMEN: ÁREAS DE POLÍGONOS FIGURA

ÁREA h

Rectángulo

A=bxh b

D

a

Cuadrado

D2

2

A=a óA=

2

a h

Triángulo

A=

b

h

x

2

b

Paralelogramo

h

A=hxb b

Trapecio

b

A

h B

B + b  = xh 2  

D

Rombo

A

d

=

D

x

d

2

r

Círculo

A = π r 2

R

Corona Circular

r

A = π (R2 – r 2) r

Sector Circular

r

r

Trapecio Circular

Geometría

A=

R A

Segmento Circular

A=

r 2 x 360 º

πx

πx θx

R2

α

− r 2

360 º B

A A S E C T O RA T R I Á =

−

CIRCULAR

41



Geometría

42



TEMA: OPERACIONES CON ÁREAS I. Introducción Nosotros conocemos diversas formas geométricas: conocemos el círculo, el cuadrado, el rectángulo, el rombo, el trapecio, el paralelogramo, el triángulo, … además de otras formas geométricas que no tienen denominación particular, pero que también se nos han presentado alguna vez. La forma que tiene cada una de éstas entidades geométricas se denomina SUPERFICIE. Por lo que no existen superficies cuadradas, circulares, rectangulares, etc. La medida de una superficie se denomina ÁREA. El área se refiere al tamaño. Para efectuar la medida de una superficies (es decir, calcular el área de la superficie) se toma como unidad un cuadrado que tenga por lado la unidad de longitud. Pero en la práctica, el cálculo del área de una figura geométrica se efectúa de manera indirecta es decir se efectúa la medición de la longitud de alguno de los elementos de la figura y se realiza ciertas operaciones específicas con dichas medidas. II. Suma de Áreas, Diferencia de Áreas: Las áreas tienen como una de sus propiedades, la propiedad de la aditividad. Esto quiere decir que el área de una superficie compleja se puede obtener sumando las respectivas áreas de las diversas figuras geométricas simples que la componen. De forma análoga, si queremos hallar el área de una superficie cualquiera, podemos obtenerla como la diferencia de otras dos á reas. Ejemplos: Si tenemos el siguiente trapecio:

D

C

A2 A1 B

A

1.

Para hallar el área A del trapecio, la podremos obtener SUMANDO el área A 1 y el área A2, es decir sumando las respectivas áreas de los triángulos ADC y ABC. Por lo tanto: Á r e a d e Al T r a p e c io

2.

=1

A2

+

Igualmente, si quisiéramos obtener el área del triángulo ABC, la podríamos hallar RESTANDO el área del trapecio ABCD menos el área del triángulo ADC. Por lo tanto: Á r e a d e Al T r i á n g u l o 1A

= A B C2

-

Nota: El área de una superficie geométrica se denota con una letra “a” mayúscula. Sin embargo, en varios libros el área de una superficie geométrica se denota con una letra “S” mayúscula. Si bien estas notaciones se pueden usar indistintamente, nosotros usaremos la primera de éstas ⇒ Área = A. III. Figuras Equivalentes Son aquellas que son iguales o pueden obtenerse como suma o diferencia de figuras iguales. Todas las figuras equivalentes tienen IGUAL ÁREA.

Geometría

43



Del mismo modo, si dos figuras geométricas tienen igual área, se dice equivalentes.

que son figuras

Es decir, dadas las siguientes figuras: B

C

P

N

A2

A1 A

Donde:

D

Q

M

A1 es el área del cuadrado ABCD y A 2 es el área del paralelogramo MNPQ, si A 1 = A2 entonces las dos son figuras equivalentes.

Las figuras equivalentes tienen algunas características:

1.

Identicidad A es equivalente a A.

2.

Reciprocidad Si A1 es equivalente a A2, entonces A2 es equivalente a A1.

3.

Transitividad Si A1 es equivalente a A2 y A2 es equivalente a A3 Entonces A1 es equivalente a A 3

*

Estas características las podremos notar mejor en el desarrollo del tema.

*

Antes de presentar las fórmulas para hallar el área de las principales figuras geométricas, con sus respectivas demostraciones, enunciaremos algunos teoremas imprescindibles, con el objeto de entender de una manera óptima las posteriores demostraciones. A. Primer Teorema “Si dos rectángulos tienen igual base e igual altura, entonces los dos rectángulos son iguales” B A

lt u r a

C ( h ) :

A

4

3

h D

Q

P = S

3 b

=

4 R

Como tanto la base como la altura de los rectángulos ABCD y PQRS son las mismas, entonces los rectángulos son iguales.

B. Segundo Teorema “Si dos rectángulos tienen iguales las bases, sus áreas son proporcionales a las alturas de cada uno de ellos”

Geometría

44



Primer Año C

B

P

N 5

A1

3

A2

M

4

Q

Como los dos rectángulos tienen igual base (b= 4), entonces sus áreas son D.P. a sus alturas. ⇒

A1 AB

A2

=

⇒

MN

A1 5

=

A2 3

C. Tercer Teorema: “Si dos rectángulos tienen las alturas iguales, sus áreas son proporcionales a las b ases”. D. Cuarto Teorema: “Las áreas de dos rectángulos son proporcionales a los productos de sus bases por sus alturas” C

B

P

N h

A

Demostración: ¿

A

A2

M

D

b

A1

A

H

1

=

H

2 B

Q

T

S

R

A

3 b

U

bxh ? BxH

Haremos primero una construcción auxiliar y formaremos un rectángulo RSTU con base “b” (igual a la del rectángulo ABCD) y con altura “H” (igual que la del rectángulo MNPQ). Sabemos, por el Segundo Teorema, que como los rectángulos ABCD y RSTU tienen la misma base (“b”), entonces sus áreas serán proporcionales a sus alturas. Entonces: A1

=

h

⇒

A3

A3 H

=

H h

A 1 … (1)

Además, por el Tercer Teorema, sabemos que como los rectángulos MNPQ y RSTU tienen la misma altura (“H”), entonces sus áreas son proporcionales a sus bases. Entonces:

Geometría

45



Primer Año

A2

=

B

⇒ A3 =

b B

A3 b

A 2 … (2)

Al observar las ecuaciones (2) y (3), notamos que estas ecuaciones son iguales, ya que indican a qué es igual el área A3. Por lo tanto:

A3 =

⇒

H h

A1 A2

A1 =

=

b B

A2

bxh HxB

Por lo que queda demostrado el Cuarto Teorema •

Relaciones Importantes entre Áreas: I.

Triángulos a.

A

1

A

A1 A2

2

b1

1

b

b2

b2

b. A2

H h

A1 A2

H

A1

II. Paralelogramos c.

Geometría

46



Primer Año

A1

A2

A1

2=

3A

=

4

4

A

A3 D

A4 d.

P

B

A

C

A1 D

1

A

o n d e

A

A= B

e s

e l á r

CA D

2

o n d e

P

e s

A1

2+

AA

c u a lq

i

D

e.

B

C

A1

P

A

III. Trapecios: f.

B

2

C

A2 D

C

B

A

A1

A= B

CA D

2

1 D

A g.

A1

A1

A3 A4

A 2

A1

2.

A A B C D3

2=

A3

A 4 =

=

. 2

4

A

h.

Geometría

47



Primer Año

B

C A1

A1 A2

2=

3A

=

A

3

A3 A

Nota :

D

Las unidades de las áreas son metro cuadrado (m 2), centímetro cuadrado (cm 2), etc.

Geometría

48



PROBLEMAS PARA LA CLASE A2 2= 4m2; A3 = 3m2; A4 = 2m2 y A5 = 6m . Hallar A.

01. Datos los siguientes gráficos. B

B A2

A1

C

A P

N

A1

A Hallar el valor del área “A” si se sabe A1 3 = que , y A 2 = 3 9 6 u2 ; A2 4 Además, se sabe que el triángulo ABC, y el trapecio MNPQ son figuras equivalentes.

A3 F A2

A4

A

A5

05. Si ABCD es un paralelogramo. Hallar el área de la región sombreada.

C

D

02.

A1

A2

r R

Si se sabe que: Hallar el área de la región sombreada si se sabe que2 el área del círculo de radio “r” es2 8u y el radio del círculo “R” es 14u . 03. Hallar la relación entre las áreas de los rectángulos ABCD y ABMN, si se sabe que sus alturas son 18 y 3 respectivamente. D

C

N

M

Geometría

5 =

y la A2 7 constante de proporcionalidad es 10. 06. Si en el siguiente gráfico.

A1

A2

c Se conoce que

04. Si se sabe que en el siguiente gráfico 2 B F =FC , y además que A 1 = 5m ,

A1

A1 A2

= 5. ¿A qué es

igual “b” en términos de “c”?

49



07. En el siguiente gráfico:

A ABCD

A1 =

2 Donde P es cualquier punto entre B y C. ABCD es un paralelogramo.

A

H h

11. En el siguiente trapecio:

1

A

A

2

A

Se sabe que H = 6 y h = 2. Calcular el área total si la constante de proporcionalidad es K. 08. En el siguiente paralelogramo

A A

A

A

¿Cuál es el valor de A 1 + A3 + A4 si el área total del paralelogramo es 248m2?

4

3

A

1

A

3

4

4

Se sabe que A 1 = 18 m2. Además que A3 1 = . Hallar el área total del 4 A4 trapecio. a

Q

A1

A1

A2

A2

O

Si se sabe que A 1 = 17 m2. ¿En que relación se encuentran los segmentos O P y P Q ? 10. Demostrar el siguiente teorema. P

B

A

Geometría

1

A3

A3

A4

2

13. Si en el siguiente trapecio.

09. En el siguiente paralelogramo

P

2

Se sabe que A 3 . A4 = 841 m2 ¿Cuál es el valor de A 1? 12. Si en el siguiente trapecio:

A

A

A

1

A

2

1

3

C

Se sabe que A1 es la mitad del área total del trapecio. ¿En qué relación se encuentra A2 y A 3, si se sabe que a = 4 y b = 16?. 14. De los siguientes 2 rectángulos. H h

¿Cuál es la relación de sus áreas, si se sabe que:

50



b B

=

3

y

5

h H

5

=

longitudes de los segmentos M Q y son 4 cm y 3 cm, QR respectivamente.

?

7


18. Hallar el área total del siguiente trapecio.

P

N

d

A3

A1

Q

A4 R

a

M

N

b

b

3

y

2

d

c

=

10

B

A

=

MR

1 4

.

19. En el siguiente gráfico B

.

17

16. Del siguiente gráfico:

Si se sabe que A 1 = 100 m2 y que PR

Si se sabe que el área del triángulo MNP es “A”. Hallar el área del triángulo PQR si se sabe que:

=

A2

R

c

a

P

C

A1

1

A2

A3

A4

Hallar el área del triángulo ABC si A 1 = 10 m2 y AM = 5m, M N = 4m y N P = 3m y PC = 2m . Hallar el valor del área A 1, si se sabe que el área total del trapecio es 354 m 2?

20. En el siguiente gráfico: B

17. Del siguiente gráfico P

N

A3

A1 A4

Q

A2

Si se sabe que MNPQ es un paralelogramo y PQR un triángulo. Hallar el área del triángulo PQR si se conoce que A1 = 10m2 y que las

Geometría

R

Hallar el área del triángulo BPQ, si el área del triángulo BPR es 5m2 y BR = C = 3m, P = 2m, P AR = 1m, A Q = 3m. Q C = 2m y B

51



PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Del siguiente gráfico:

04. En el siguiente trapecio:

A1

A3

A1

A2

A4 Hallar el área de la región sombreada, si se sabe que A 1 = 27 m2. a) 21 m2 b) 27 c) 64 d) 18 e) 9 02. En el siguiente gráfico:

Se sabe que el área del trapecio es 169 m2; si A 4 = 81 m2 ¿Cuál es el valor de A1? a) 63 m2 c) 35 e) 36

b) 38 d) 44

05. Hallar el área total del trapecio. P

A

A

1

A

2

A

A

3

4

A

A

5

1

3 N

A Hallar A5. Si el área total es de 100 m y A1 + A2 = A3 + A4 = 47 m2. a) 9 m2 c) 6 e) 8

2

A1

M

h

a) 400 m2 c) 200 e) N.A.

A2

b

B

b) 2/38 d) 1/38

b) 401 d) 201

06. En el siguiente triángulo. P

¿Cuál es la relación entre “b” y “B”, si A1 = 19 m2, A2 = 361 m2 y H = 2h?

Geometría

4

=

b

a) 1/19 c) 2/19 e) 38

2

Si se sabe que A2 = 36 m 2 y además (en metros). M N 9N P

b) 7 d) 5

03. De los 2 siguientes rectángulos:

H

A

A1

H a

h M

A2 N

52



B

Si A1 = 288 m2 y A2 = 36 m2. ¿A qué es Hxb igual P = ? hxa a) 8 c) 32 e) N.A.

b) 64 d) 16

C

A

E

D

Si ABCD es un paralelogramo y CDE es un triángulo. Hallar el área del

07. En el siguiente paralelogramo.

A A

paralelogramo ABCD, si

A A

3

4

Se sabe que A2 = 1024 m2. ¿Cuál es el área total del paralelogramo?. a) 36 c) 128 e) N.A.

=

1 4

AD

2

1

D E

y el área del triángulo CDE es numéricamente igual al área total del trapecio de la pregunta anterior. a) 215 m2 c) 324 e) 512

b) 256 d) 418

10. Dado el siguiente gráfico:

b) 62 d) 124

B

C

08. En el siguiente trapecio.

A A

F 2

1

A

A

3

A

a) 32 m c) 8 e) 128

E

4

Se sabe que A 4 = 36 m2 y A3 = 12 2 m ¿Cuál es el valor del área del trapecio? 2

D

b) 16 d) 4

09. Dado el siguiente gráfico:

Si se sabe que ABCD es un paralelogramo y que AD

=

DE

3 2

=

CF

y el área del

FE

triángulo DEF es 4m2. Calcular el área del trapecio ABCE. a) 40 m2 c) 24 m2 e) N.A.

b) 30 m2 d) 18 m2

11. Del siguiente gráfico.

Geometría

53



E

B

C

A

ii)

F

D

Si el área de un paralelogramo es “A”, entonces el área limitada por los extremos del paralelogramo y una de sus diagonales es “A/2”.

a) VVF d) VVV

b) FVV e) FFF

c) FVF

Hallar el área de la región sombreada si ABCD y DECF son paralelogramos y el área del triángulo ABE es 12 m 2 y el área del triángulo ECD es 24 m 2. a) 50 m2 c) 70 e) N.A.

b) 60 d) 80


A

A

1

a

b

2

A

3 c

Hallar el área total del triángulo (A 1 + A2 + A3) si se sabe que:

a 1

=

b 2

=

c 3

La constante de proporcionalidad de las razones es K. a) 5K d) 10K

b) 4K e) 9K

c) 6K

13. Colocar V ó F en: i)

Si 2 figuras son equivalentes entonces poseen la misma área.

ii)

Si 2 rectángulos tienen sus alturas iguales, sus áreas son proporcionales a sus bases.

Geometría

54



14. Hallar el área de la región sombreada. Hallar el área sombreada si el área del triángulo ABC es 400 m2.

A1

A2

Además:

AE EC

A1

Si se sabe que:

=

A2

9 13

y la

a) 40 m2 c) 70 e) N.A.

=

2 3

y

BD DC

=

1 5

b) 80 d) 60

constante de proporcionalidad es 5. a) 111 m2 c) 55 e) 110

b) 92 d) 108

15. Del siguiente gráfico B

D

A

Geometría

E

C

55



Primer Año

TEMA: RECTA Y PLANO I. Introducción.Hasta el momento todo el desarrollo del curso ha sido realizado en las dos dimensiones de nuestro cuaderno: a lo largo y ancho del mismo. Pero nuestro mundo tiene tres dimensiones; largo, ancho y alto. Todo lo que hemos desarrollado hasta el momento nos sirve para simplificar nuestro mundo tridimensional a una realidad más accesible, más fácil de manipular. Pero es momento de empezar a estudiar los fenómenos geométricos tridimensionales. En geometría bidimensional a las figuras que se nos presentaban las conocíamos como polígonos; en la geometría tridimensional (conocida como Geometría del Espacio) todos los entes que se nos presenten los conoceremos como sólidos. La Geometría del Espacio se basa en los PLANOS. Un plano es por ejemplo esta hoja, o el lado de un cubo; es decir, una superficie bidimensional que se puede mover en el espacio. Puesto que es la base en que se apoya esta sección, detallaremos algunas características de los planos. II.

Planos: Determinación, posiciones relativas de dos planos. Posiciones relativas de un plano con una recta. Teoremas. Distancias 1. Determinación de Planos Un plano viene determinado: a) Por dos rectas que se cortan. b) Por 3 puntos no situadas en línea recta (no colineales). c) Por una recta y un punto exterior a ella. d) Por 2 rectas paralelas. 2. Posiciones Relativas de dos planos Dos planos pueden ocupar las siguientes posiciones: a) Cortándose: En este caso tienen una recta común que se llama “intersección de los dos planos”. b) Ser Paralelos: Cuando no tienen ningún punto en común. 1 2 1 2

3.

Posiciones Relativas de un Plano con una recta Una recta y un plano pueden ocupar las siguientes posiciones: a) Estar la recta en el plano. b) Cortándose. En este caso tienen un punto A en común. c) Ser paralelas. En este caso no tienen algún punto en común.

4.

Posiciones Relativas de dos rectas en el espacio Dos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones: a) Cortándose. En este caso tienen un punto en común. b) Ser paralelas. En este caso están en un mismo plano y no tienen algún punto en común. c) Cruzándose. En este caso no están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. También se les llama RECTAS ALABEADAS. 5. Teoremas Importantes

Geometría

56



Primer Año

a) “Las intersecciones a y b de dos planos paralelos α y β con un tercer plano θ son rectas paralelas”.

a b

b) “Si dos rectas a y b son paralelas, todo plano α que pase por una de las dos rectas es paralelo a la otra recta”.

a b c)

“Si un plano α corta a una de 2 rectas a y b paralelas corta también a la otra”.

b

a

d)

“Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta también al otro”.

e) “Si se cortan dos rectas por un sistema de planos paralelos entonces, los segmentos correspondientes son proporcionales”. Imagen I C

N

D

E

n t o n c =

A

M

B

f)

“Si una recta es perpendicular a un plano α , cualquier plano β (y todos los planos paralelos a β ) que pase por la recta es perpendicular a α ”

•

Distancia entre 2 puntos Viene a ser la longitud del segmento que une dichos puntos.

Geometría

57



6.

Recta Perpendicular a un Plano Se dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por la intersección. Al punto de intersección se le llama Pie de la perpendicular (punto P).

P 7.

Distancia de un punto P a un plano : Es el segmento PM de perpendicular trazada del punto al plano; se llama así por ser MENOR que cualquier otro segmento PN que une el punto con cualquier otro punto del plano.

P

M 8.

Paralelismo y Perpendicularidad * Si de dos rectas paralelas a y b, una de ellas (a) es perpendicular a un plano, la otra (b) también es perpendicular al plano. * Recíprocamente, dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas. * Dados dos planos paralelos, si una recta es perpendicular a uno de ellos, entonces también es perpendicular al otro.

9.

Distancia entre dos plano y paralelos Es el segmento M N perpendicular comprendido entre los 2 planos. O también, es la distancia de un punto cualquiera M de uno de ellos al otro.

10. Proyección de un punto A sobre un plano La proyección de un punto A sobre un plano es el pie A ’ de la perpendicular trazada desde el punto al plano. A

A ’

Geometría

58



Primer Año

La proyección de una línea AB sobre un plano α es el conjunto proyecciones de todos los puntos de la línea.

A' B'

formado por las

A B

A ’

B

’

11. Distancia entre dos rectas que se cruzan Es el segmento perpendicular común comprendido entre ambas rectas. Para trazar esta distancia, sean a y b las dos rectas alabeadas. Por un punto M de una de ellas ( b) se traza la recta c paralela a la otra ( a), la cual determina con b el plano α . Se traza ahora al plano β , perpendicular al plano α , el cual corta a la recta a en el punto P. Trazando desde P la perpendicular PQ al plano α , tenemos que PQ es la distancia buscada entre las rectas a y b. a

P

b *

M

c

Q

Para desarrollar este capítulo de una manera óptima es necesario recordar el Teorema de Pitágoras:

c

b

c2

=2

a2

Esto nos ayudará mucho en el momento de hallar distancias.

Geometría

59



PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar la distancia del punto P a la recta L, si la distancia del punto P al punto M es 13 cm. (M pertenece a la recta L). P

M 5 c m

02. Hallar la distancia del punto P al plano α si PA =13 cm. y AB tiene una longitud igual al lado de un triángulo equilátero de 36 3 cm2 de área. AB ∈ α . P

planos (paralelos entre sí) que cortan a las rectas L1 y L2 AB = BC y NP = 4 cm .

M

N

A

B

P

L1

L

C

2

07. Hallar el área del cuadrilátero sombreado si α y β son planos paralelos y θ es un plano que intercepta a α y β . H = 4 cm.

B

A

H 03. En el siguiente gráfico, los triángulos ABC y MBC son congruentes. Hallar la distancia del punto B al plano α si C ∈α . A C y M

B

08. Un hombre se encuentra parado a 3 m. de un poste de luz de 5.8 m de alto. Si el hombre mide 1.8m de altura. ¿Cuál es la distancia entre la cabeza del hombre y la punta del poste?

5

A

4 C

M

04. En el problema anterior, hallar la distancia entre los puntos A y M si se sabe que el ángulo ACM es de 90º. 05. L1 es una recta que corta al plano α en el punto P. Si tomamos un punto Q de la recta, notamos que la proyección del segmento PQ mide 12 cm. Hallar la distancia del punto P al plano α , si P Q = 13 cm. 06. En el siguiente gráfico, determinar el valor de M N , si α ,β , γ son

Geometría

b

09. Un barco divisa el faro del puerto. Si el faro mide 100 metros de alto y está a 20 m.s.n.m. y la distancia entre el barco y la punta del faro es 200 m. ¿Cuántos metros separan al barco del puerto? 10. Si otro barco que llega de noche se encuentra a 288 m. del puerto. ¿Cuál será la longitud del haz de luz con el cual el faro ilumina al barco? 11. L1 y L2 son 2 rectas paralelas que son cortadas por un plano α en los puntos M y N, respectivamente. Si L 3 es una recta perpendicular a L1 y L2 y pasa por N y por Q (Q ∈ L1 y Q M ) y M Q = 7 cm. Hallar la distancia entre las rectas. M N = 25 cm.

60



12. Juan quiere saber cuánto mide una palmera. Si sabe que otra palmera que está a 6 m. de la primera tiene 20 m. de alto y la distancia entre las copas de ambas palmeras es 10m. ¿Cuánto mide la palmera más alta?

17. Hallar la máxima distancia entre dos planos paralelos si se sabe que el área del triángulo ABC es 6 cm 2.

13. Hallar la altura que se encuentra del suelo una cometa, si se ha extendido 30 metros de pabilo y la proyección del pabilo sobre el suelo mide 18 metros. 14. Suponiendo que una montaña tiene forma triangular y el camino que va a ella empieza en la ciudad. Hallar la altura de la montaña, si la distancia de la montaña a la ciudad es de 12 Km. y se tienen que recorrer 13 Km. para llegar a su cumbre. 15. Un futbolista dispara un penal, con tan mal suerte que la pelota pega en un vértice superior del arco. Si el punto del penal está a 4 metros del arco y el arco mide 6 metros de largo y 2m. de alto. ¿Qué distancia recorrió el balón? 16. Se desea colocar una rampa que una los puntos A y B para facilitar un trabajo. Hallar la longitud de la rampa si la distancia entre C y B es 8 metros.

A

5

c m

18. Hallar la longitud de la proyección de AB si el área del trapecio que se forma es 60 cm 2.

A

C B

7

5 ’

’

ii) ¿Cuál es la distancia de C al punto A’?. Rpta.: 20. Marca con V o F según corresponda.

m C B

i.

Si 2 rectas no se cortan entonces son paralelas

( )

ii.

Si una recta es perpendicular a 2 rectas, estas rectas son paralelas entre sí

(

)

La intersección de 3 planos es un punto

(

)

(

)

iii.

iv. Si una recta es perpendicular a 3 rectas dadas, éstas 3 deben ser paralelas.

Geometría

c m

19. De la pregunta anterior: i) ¿Cuál es la distancia de C al plano α? Rpta.:

A

6

C

B

61



PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar la distancia del punto P al plano β si PA = 130 cm. y AB tiene una longitud igual al lado de un cuadrado de 50 2 cm. de diagonal.

P A

04. Una tubería de 10 m de largo une 2 paredes paralelas. Si la diferencia de alturas entre ambos puntos de contacto con la pared es de 6 m. Hallar la separación entre las paredes. a) 6 m c) 7 e) N.A.

B

a) 120 cm. c) 130 e) N.A.

05. Hallar la distancia del punto C al segmento AB, si el triángulo ABC tiene un área de 10 m2.

b) 12 d) 13

C

02. Hallar la distancia del punto “P” a la recta L, si la distancia de P a A es 30 cm y AB = 16 cm

L A

B b) 14 cm e) N.A.

A

c) 15 cm

03. Un avión que va a aterrizar en una pista de un aeropuerto, inicialmente se encuentra a 1200 m de altura, si recorre 1500 m y finalmente aterriza, recorriendo sobre la pista 100 metros más. ¿Cuál es la longitud total de la pista?

m b) 2 d) 4

=

BC ; NP

M

N

A

B

b) 1400 d) 1200 a) 10 cm.

Geometría

B

06. En el siguiente gráfico, determinar el valor de M si α , β y γ son N planos paralelos entre sí, que cortan a las rectas L 1 y L2. AB

a) 1100 m c) 1500 e) 1000

1 0

a) 1 m c) 3 e) 5

P

a) 21 cm d) 12 cm

b) 8 d) 5

=

10 cm

P

C

L1

L

2

b) 8

62



c) 12 e) N.A.

d) 14

e) N.A.

07. En el siguiente gráfico, hallar la distancia de B a D, si AM = 10 y BC = 3 cm y A ACM = 20 cm2.

10. Hallar la longitud de la proyección de AB , si el área del trapecio que se forma es de 49 cm 2.

A

B

B 9

A

C D

08. ¿Cuál es la distancia que separa a 2 edificios, si un cable que va de la azotea de un edificio al otro mide 52 m. y uno tiene 12 pisos más que el otro (Considerar que cada piso tiene 4 m. de alto). b) 12 d) 18

B

O a) 26 cm c) 25

Geometría

M

C b) 24 d) 23

’

b) 8 d) 16

c) 75 e) Faltan Datos.

d)

75

12. Hallar la menor distancia del punto A al plano α .

2 4

2 5

c m

A P

H

c m

11. De la pregunta anterior, hallar la distancia de B a A’. a) 74 cm b) 74

09. Hallar la altura de la cara ABC de la siguiente pirámide, si H = 24 cm. y O H = 5 cm.

A

B

a) 7 cm c) 14 e) N.A.

b) 6 d) 7

a) 10 m c) 20 e) 5

5

A ’

M

a) 5 cm c) 4 e) N.A.

c m

la n o

m 1 0 c m c 1 5

a) 8 cm b) 9 c) 10 d) 7 e) 6 13. Un cañón dispara balas a un muro; si el cañonero quisiera que la bala pase por encima del muro (con la justa),

63



recorriendo sólo 50 m. ¿A qué distancia deberá colocar el cañón?. El muro tiene 30 m. de alto. a) 40 m c) 45 e) N.A.

15. Hallar la distancia entre L 1 y L2 si ambas son paralelas.

b) 35 d) 50

1 3 L1

14. Hallar la distancia de C a L1.

C

a) 12 cm. c) 10 e) N.A.

5

c

L2 b) 13 d) 8

L1

1 0 m 8 c

a) 10 cm. c) 6 e) N.A.

Geometría

b) 8 d) 12

64



TEMA: ÁREA DE SÓLIDOS Los sólidos (figuras de 3 dimensiones) poseen 2 magnitudes: área y volumen. El volumen lo veremos en el siguiente capítulo. El área se refiere a la superficie exterior del cuerpo, el área que abarca. A continuación, presentaremos algunos sólidos y pondremos a qué es equivalente su área:

a) Tetraedro Llamado así porque posee 4 caras. Se obtiene uniendo en el espacio 4 triángulos equiláteros iguales. D D A

B A

D

D

C

´ ´

B

´

C

Como los 4 triángulos equiláteros son iguales, entonces: Atetraedro = 4 Atriáng.equiláteros

 h 2  = 4 3

 l 2 3    = 4  4  ∴

A tetraedro

=

l

2

ó

3

3  



=

A tetraedro

4 3

3 h2

b) Hexaedro (Cubo) Llamado así porque posee 6 caras. Se obtiene uniendo en el espacio 6 cuadrados iguales. E E

´ ´D

F C

D F ´

E

´

C

E F

L H

´ ´A H

B

G

´

H

G

A

´ H

B

L

G

L

Como los 6 cuadrados son iguales: Acubo = 6 Acuadrado

Geometría

65



⇒ Acubo = 6L2

.

c) Octaedro Llamado así porque posee 8 caras. Está formado por 8 triángulos equiláteros iguales, que se unen de 4 en 4 formando una pirámide de base cuadrada y finalmente uniendo las bases de ambas pirámides. A

D E

C

A E

A B

B

B

R

P

P

P

C N

B P

C Q

D N

Q

Q

R

D

N

Como los 8 triángulos equiláteros son iguales, entonces:

A octaedro

l

=2

2

A octaedro

3

ó

=

8 3

3 h2

d) Paralelepípedo Está formado por 6 paralelogramos: 4iguales entre sí y 2 iguales entre sí:

D

e s a r r o llo

d e l P

P a r a le le p í a r a le le p í p e d o

Su área se obtiene sumando las áreas de cada paralelogramo. Una forma especial de paralelepípedo es el ortoedro, el cual tiene la particularidad de que está formando por rectángulos.

Geometría

66



D

e s a r r o llo

d e l O

O r t o e d r o r t o e d r o

Análogamente, su área se obtiene sumando las áreas de cada rectángulo.

e) Cilindro Recto Está formando por 2 círculos idénticos que se encuentran en planos paralelos, revestidos por una superficie convexa de forma rectangular.

r

r 2

r

r H

H

D

e s a r r o llo

r d e l C

i l i n d Cr o i l iR n ed cr ot

Su área se obtiene sumando las áreas de los círculos y el rectángulo. ∴ Acilindro = 2π r 2 + 2π r(H)

f)

Cono Formando por un círculo y una sección circular:

Geometría

67



Primer Año

r g

g

g A

A D Por Pitágoras:

B e s a r r o llo

B A

=

2

r c o

A

d e l C

r

H

r

B

o n oC

o n o

g 2 = H2 + r 2 .

g = generatriz h = altura del cono r = radio Su área se obtiene sumando las áreas del círculo y del sector circular.

Geometría

68



PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar el área de un tetraedro regular cuya arista mide 2 cm. 02. Si sabemos que el área total de un tetraedro regular es 16 3 cm2. Calcular la longitud de su arista. 03. Hallar el área total de un cubo si su arista tiene una longitud de 7 cm. 04. Hallar la diagonal de un cubo si su arista mide “a” metros. 05. Una hormiguita se encuentra en un vértice de un cubo de arista igual a 6 m. Si ella quiere llegar al vértice opuesto. Calcular el recorrido mínimo que debe hacer por las caras del hexaedro. 06. Si la diagonal de un cubo es 4 3 cm. ¿Cuál es el área del cubo?

12. Hallar el área total de una caja de zapatos que tiene las siguientes dimensiones: 12 cm. de alto, 30 cm. de largo y 20 cm. de ancho. 13. Hallar el área de un cilindro de radio igual a 4 cm. y 10 cm. de altura. 14. Si el área total de un cilindro es 48π cm2 y su altura es 10 veces la longitud del radio del círculo de su base. Hallar el radio. 15. Si el perímetro del círculo de la base de un cilindro es 4π cm. y su altura es 12 cm. Calcular el área del cilindro. Rpta.: 16. Hallar el área total de un cono cuya base tiene 5 cm. de radio , su generatriz mide 20 cm. y su ángulo central mide 90º.

07. Hallar el área de una cara de un octaedro regular cuya arista mide 12 cm.

17. Hallar el área total de un cono que tiene 5 cm. de radio y 12 cm. de altura.

08. Hallar el área total de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm.

18. Si la base de un cono tiene un área de 49π cm2 y su generatriz tiene una longitud de 25 cm. ¿Cuánto mide la altura del cono?

09. Hallar el área total de un octaedro regular si la altura de una de sus caras mide 3 cm. 10. Hallar el área total del siguiente paralelepípedo de 10 cm. de altura (la cara ABCD).

B A

C D

19. Hallar el desarrollo del siguiente poliedro (longitudes en centímetros). Todos los ángulos son rectos. Dar como respuesta el número de caras.

1 10

11. Hallar el área total del siguiente octaedro. 20. Hallar el área total del poliedro de la figura anterior.

5 3

Geometría

69



PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el área de un tetraedro si el área de una de sus caras es 8 cm 2. a) 32 cm2 c) 64 e) N.A.

b) 16 d) 8

02. Hallar el área total de un tetraedro regular cuya arista mide 2 cm a) 4

2

2 cm

c) 3 3 e) N.A.

b) 4

3

d) 2

3

03. Hallar el área total de un tetraedro cuyo perímetro es 36 cm. a) 33

2 3 cm

c) 36 3 e) N.A.

b) 9 d) 34

3 3

04. Hallar el área total de un cubo cuyo perímetro es 120 cm. a) 2400 cm2 c) 1400 cm2 e) N.A.

b) 1200 cm2 d) 600 cm2

05. Hallar el perímetro de un cubo de área igual a 96 cm 2. a) 80 cm c) 70 e) 40

b) 60 d) 90

a) 8 cm c) 6 cm e) 5 cm

b) 7 cm d) 4 cm

07. Hallar el área de una cara de un octaedro regular cuya arista mide 4 cm 2 3 cm

a) 4

c) 3 3 e) N.A.

b) 4

2

d) 5

3

08. Si sabemos que el área total de un octaedro regular es 18 3 cm2. Calcular la arista. a) 6 cm c) 5 cm e) N.A.

b) 4 cm d) 3 cm

09. Hallar el área total del siguiente ortoedro.

6 2

7 a) 163 cm2 c) 136 e) N.A.

b) 316 d) 400

06. Hallar la arista de un hexaedro si se sabe que su área total es 384 cm 2

Geometría

70



10) Hallar el área total de un cilindro de 6 cm. de radio y 10 cm. de altura. a) 192 cm2 c) 129 e) N.A.

b) 192π d) 129π

4

11. Hallar la altura de un cilindro si se sabe que su área total es 90 π cm2 y su altura es 4 veces su radio. a) 10 cm. c) 9 e) N.A.

14. Hallar el área total del siguiente poliedro (todos los ángulos son rectos).

2 4

2

b) 11 d) 12

2 12. Hallar el área total de un cono de y g = 10 cm. a) 75π cm2 c) 50 e) N.A.

r=5

Geometría

b) 27 cm2 d) 61 cm2

b) 75 d) 50π 15. ¿Cuántas caras tiene el poliedro de la pregunta anterior?

13. Hallar el área total de un cono si h = 6 cm. y r = 8 cm. a) 144 cm2 c) 124π e) N.A.

a) 72 cm2 c) 44 cm2 e) N.A.

2

a) 16 c) 12 e) 5

b) 10 d) 24

b) 124 d) 144π

71



Primer Año

TEMA: VOLÚMEN DE SÓLIDOS El volumen de un sólido se refiere al espacio que ocupa el sólido.

Teorema Fundamental “El volumen de un poliedro se obtiene multiplicando el área de su base por la altura del poliedro”. La unidad del volumen de un poliedro es el metro cúbico (m 3). Así:

VSÓLIDO = A

BASE X

ALTURA

H r

B

a s e

Volumen de los Principales Sólidos a) Volumen de un Tetraedro Regular:

V H

a

a

V

Tetraedro

=

A

H

ABC x

C

a

B

a

b) Volumen del Cubo (Hexaedro)

VCUBO

Geometría

=

a

3

72



Primer Año

c) Volumen de un Octaedro Regular:

a

h

V O c ta e d r o

D

2A ABCD x

=

C

A

h 3

B

a

a

d) Volumen de un Paralelepípedo

c H

h

a b

V = A

PARALELOGR AMO

X

O

V

H

=

r t o

a xb xc

e) Volumen de un Cilindro Recto:

R

O G

H O

f)

R ´

G G

:

G

V Cilindro

e n e r a tr iz ; e =

V C ilin d r o =

A

Círculo x x

R

2

x

H H

Volumen de una Pirámide Una pirámide es un sólido muy especial. Su base puede ser cualquier polígono y todas sus caras (excepto la base) se unen en un solo vértice, llamado CÚSPIDE. Su volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la tercera parte de su altura.

Geometría

73



C

V

ú s p i d e

V = A

a

BASE x

H 3

H a B a s e

a

Si observas cuidadosamente al octaedro, te darás cuenta que está formado por 2 pirámides de base cuadrada, motivo por el cual, en el cálculo de su volumen, su altura se encuentra dividida entre 3. Esta división de la altura es una particularidad de los sólidos de forma triangular.

g) Volumen del Cono Como un cono también tiene forma triangular, para calcular su volumen dividiremos su altura entre 3.

V

VCono = g

g

h

g : G

π x r 2

x

h 3

e n e r a t

r Como se observa, el volumen del cono resulta siendo la tercera parte del volumen del cilindro.

Geometría

74



PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar el volumen de un cubo cuya arista tiene una longitud de 2 2 m. Rpta.: 02. Hallar el volumen de una caja de zapatos que tiene las siguientes dimensiones: 10 cm de alto, 40 cm de largo y 20 cm de ancho.

Rpta.: 08. Si el volumen de un tetraedro regular es 18 2 cm3 y su arista mide 6 cm. ¿Cuánto mide su altura? Rpta.:

Rpta.: 03. Hallar el volumen de un paralelepípedo de 5 metros de altura, si su base es un paralelogramo que tiene las siguientes características.

09. Hallar el volumen del siguiente cilindro si se sabe que OA = 26 cm y R = 10 cm

O

5 5

Rpta.:

2

R Rpta.:

04. Hallar el área total de un cubo que tiene 16 2 cm3 de volumen. Rpta.: 05. Hallar el volumen de una pared que tiene 10 m. de largo, 10 m de alto y 1m. de ancho. Rpta.: 06. Hallar el volumen de un octaedro regular cuyo cuadrado asociado tiene 5 cm. de lado y su altura mide 9 cm. Rpta.: 07. Hallar el volumen de un tetraedro regular si se sabe que la arista mide 12 cm. y su altura, 4 6 cm.

Geometría

10. De la pregunta anterior, si la altura del cilindro fuera igual a la distancia entre los puntos O y A. ¿Cuál sería el volumen del cilindro? Rpta.: 11. Hallar el volumen de un cilindro si el área de su base es 4 veces el área de la base del cilindro de la pregunta 9 y su altura es el triple del radio. Rpta.: 12. La pirámide de Keops es una pirámide regular de base cuadrada de 100 metros de arista. ¿Cuál es el volumen de la pirámide? Si su altura mide 50 2 m.

75



17. Hallar el volumen del siguiente sólido. Todos los ángulos son rectos y las longitudes están en centímetros.

Rpta.: 13. Hallar el volumen de la siguiente pirámide; si su base es un triángulo equilátero.

9

4 2

c

4

2

Rpta.: 14. Hallar el volumen de un cono si el radio del círculo de la base es 12 cm. y la generatriz del cono mide 13 cm. Rpta.: 15. Hallar el volumen de un cono si su generatriz es el doble de su radio y su área total es 27 π cm2. Rpta.: 16. Hallar el volumen de un cono si su radio es a su altura como 5 es a 12 y su generatriz mide 50 cm. Rpta.:

Geometría

4

Rpta.:

4

4

18. Hallar el volumen aproximado de una lata de leche si su altura es 11 cm. y su radio es 4 cm. (π ≈ 3.14) Rpta.: 19. Hallar el volumen aproximado de un cono de helado, si su altura es 10 cm. y su radio es 3 cm. ( π ≈ 3.14) Rpta.: 20. Hallar el volumen de un estante de 1 m. de ancho, 2 metros de largo y 2 m. de altura. Rpta.:

76



PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el volumen de un cubo de 7 3 metros de arista. a) 1029

3 3 m

b) 1092

3

c) 1032 e) N.A.

3

d) 1029

2

02. Hallar el volumen de una habitación cúbica, cuya diagonal mayor mide 10 3 metros. a) 100 m3 c) 10000 e) N.A.

b) 1000 d) 10

06. Hallar el volumen de un ladrillo que tiene las siguientes dimensiones: 12 cm. de largo, 8 cm. de ancho y 4 cm. de alto. a) 224 cm3 c) 412 e) N.A.

07. Hallar el volumen de un cubo cuya diagonal mayor es el 2doble del lado de un cuadrado de 3 cm de área. a) 6 cm3 c) 8 d) 9 e) 10

b) 0.2 d) 0.4

a) 70π cm3 c) 70 cm3 e) N.A.

Geometría

2 cm3

b)

c) 2

2

d)

09.

4

2

2 3

4 3

3

2

3

Hallar el volumen de un paralelepípedo de 10 cm de altura, si su base es el siguiente paralelogramo.

b) 700 cm3 d) 700π cm3

1 0 4

05. Hallar el volumen de un cono cuya generatriz mide 50 cm y su altura mide 40 cm a) 12000 cm3 c) 36 cm3 e) 12000π cm3

a) 4

e)

04. Hallar el volumen de un cilindro recto cuya generatriz es un número primo de 1 cifra mayor que 5 y su radio es 10 cm

b) 7

08. Hallar el volumen de una pirámide regular de base cuadrangular si el lado del cuadrado es 2 m. y su altura mide 3 2 cm.

03. Hallar el volumen de una refrigeradora que tiene 1.5 m. de alto, 0.5 m. de largo y 0.8 m. de ancho. a) 0.3 m3 c) 0.6 e) 0.06

b) 384 d) 124

b) 36000 cm3 d) 36000π cm3

a) 200 3 cm3 b) 200 2 c) 100 3 d) 100 2 e) N.A. 10. Hallar el volumen del siguiente cilindro si O A mide 5 cms. y r = 4 cms.

77



13. Hallar el volumen de un cubo de 8 metros de arista. a) 215 m3 c) 511 e) 512

3

b) 216 d) 500

r

A a) 48 cm3 c) 24 e) N.A.

14. Hallar el volumen de un ortoedro si sus dimensiones son 5, 10 y 15 m.

b) 48π d) 24π

11. Hallar el volumen del siguiente sólido si su base es un triángulo equilátero.

a) 750 m3 c) 500 e) N.A.

b) 570 d) 600

15. Hallar el volumen del siguiente cilindro, si r = 8 cm.

3

c m 4

a) 10 cm3 c) 12 e) N.A.

c

2

b) 11 d) 13

12. Hallar el volumen del siguiente sólido (todos los ángulos son rectos).

4

a) 128π cm3 c) 124π e) N.A.

b) 128 d) 124

2 4

2

2 a) 32 cm3 c) 44 e) N.A.

Geometría

2 b) 16 d) 28

78



Prisma y Tronco de Prisma: Llamaremos PRISMA, al sólido limitado por la superficie prismática cerrada y 2 planos paralelos y secantes a dicha superficie. En este curso sólo nos interesaremos de los prismas RECTOS, es decir, aquellos cuyas caras laterales son rectángulos.

F

D E

V = A

h

ABC

A B e s

xh

C u n

N

M A

C B

Se llama TRONCO DE PRISMA al sólido determinado al cortar un prisma mediante un plano NO paralelo a sus bases. Del gráfico anterior, ABC-DMN es un tronco de prisma.

Casos de Troncos de Prismas:

i)

ii) a b

V = A

BASE

c

a

c

 a + b + c   3  

V = A

x 

BASE

 a + b    3 

x

iii) a

Geometría

V = A

BASE

 a   3  

x

79



MISCELÁNEA 1) Adolf tenia en su taberna barricas de forma cilindra circular recta, de modo tal que una de ellas contenía agua hasta unos ¾ del total de su volumen. Hallar la relación que se presenta entre las alturas del cilindro y la del contenido de agua en este, respectivamente, si la generatriz de la barrica tiene una longitud igual al doble del diámetro de la base.

correspondiente sombreada.

L

la

región

N

P K

M

Rpta.:

Rpta.: 2) En la siguiente figura:

L

a

4) En la figura:

M

Z

D

Y

G

1 6 E

K

P

Si KLMP es un cuadrado, hallar el área de la región sombreada. (KP = semicircunferencia)

O

F

Los puntos o ; y ; z son los centros de la semicircunferencias. Si el perímetro del rectángulo DEFG es de 24m, calcular el área de la región sombreada. Rpta.:

Rpta.:

3) Si la altura del rectángulo KMNL mide “a” metros y con la base esta en la relación de 21 a 13 y si LP = LN , hallar e, área

Geometría

5) Se solicita la construcción de una torre de agua de forma cilíndrica que pueda albergar un volumen equivalente a 320 cm 3, se tiene un radio de base equivalente a R, hallar el área total de la torre.

80



β

Rpta.: 6) Si “o” viene a ser el centro del cuadrado de lado “L”, hallar el área de la región sombreada mostrada:

δ

L M

T O

N

R

Rpta.: 9) Indicar el valor del verdad de cada una de las proposiciones siguientes: i)

P

Q

U

Rpta.: 7) En la siguiente figura:

Si una recta es paralela a un plano, entonces dicha recta es paralela a todas las rectas que están contenidas en dicho punto. ii) Tres rectas que son paralelas entre si son, además, coplanares. iii) Si una recta es tangente a una circunferencia, la recta y la circunferencia son coplanares. Rpta.:

10) L

Todos los triángulos son equiláteros, si la longitud de todos los triángulos pequeños es “k” metros, hallar el volumen del sólido que resulta de la rotación del triangulo sombreado alrededor del eje ”L” Rpta.:

Las aristas de un ángulo triedro tri rectángulo “o“son interceptadas, en los puntos A; B; C por un plano. Se traza OF de modo que sea perpendicular al plano A , B ; C de manera que las medidas angulares del AOF ; COF ; sean iguales si OF = 2 3 , hallar el área del triangulo ABC. 

Rpta.:

8) Al unir los puntos medios

α , β , γ ,

δ , ε , σ de las aristas del cubo de

la figura, la cual tiene 729m 3, se ha de obtener una región sombreada cuyo valor de su área será:

Geometría

11)

Tenemos un rombo ABCD, el cual forma un ángulo rectángulo ABE, el cual es recto en “B” sabemos, además, que las 81



ˆC y medidas de los ángulo AB los segmentos BE y EH son respectivamente. 60° ; BC 5 2 y 2 3 u. Hallar la distancia entre BE y C H ; donde “H” es la proyección de “c” sobre AD .

Rpta.: 12) Hallar el área absoluta de un tetraedro regular; si la distancia del punto medio de una arista al centro de su cara opuestas respectiva es “d” Rpta.:

13)

Hallar el área de la región correspondiente al paralelogramo ABCD si la bisectriz del ángulo BAD interfecta a la mediatriz de BC en F, de tal modo que la medida del ABF = 90° y se cumple, además que, AB = 7u y AD = 8u Rpta.:

14) Un cono circular recto es dividido en dos partes por medio de un plano que es paralelo a la base. Si las áreas del cono que resulta de la división del cono original (su área) están en la misma relación que los números 2 y 5; hallar la relación que existe entre las áreas laterales del cono que resulta de la división y el tronco de cono que se determina de esta.

15) En la presente figura: R

P W Q

S

QT = QR están en relación de 3 a 1 y ST = PS son proporcionales a

2 y 1; respectivamente; si el área de la región WQR es igual a 5u 2 ¿Cuál será el área de la región triangular PWS? Rpta.:

16)

Si el cubo tiene 12cm de arista, hallar el radio de la esfera que esta inscrita en el tetraedro K – LMN. R: Radio de la esfera E C L D

1 2 M K

B N

Rpta.:

17)

Si un tetraedro regular UNCH posee un volumen de Vm 3, calcular el volumen de la pirámide cuyo vértice es “U” y los vértices de las bases son puntos medios de las aristas CN ; NH ; UC y UH respectivamente. Rpta.:

Rpta.: Geometría

82



18)

Un prisma recto JUV – MAD se determina de modo tal que en la arista VD se toma un punto “o” de modo tal que el segmento OD es de doble longitud con respecto al segmento OV . Hallar la relación en la cual se encuentran los volúmenes del prisma antes mencionado del tetraedro O – DPQ si las prolongaciones de los U O y O J segmentos intersectan al plano de la base MAD en P y Q, respectivamente.

b) b2 ( 3 − π) c)

b2 2

(π +

3)

d) b 2 (3 3 + π) e) b2 (2π−3 3 ) 21) En la figura: B

A M

Rpta.:

19) Si

las

aristas A M ; A N ; A P de un tetraedro regular A – MNP están determinados de forma tal que los puntos WCD se ubican al centro, en orden, de las aristas mencionadas en ese orden. Calcular la razón que se establece entre el área de la superficie triangular WCD y la superficie del trapecio PDCN. a) 1/2 c) 4/7 e) 2/5

b) 1/4 d) 1/3

20) Se describe una circunferencia tomando para ellos la altura de un triangulo equilátero cuya medida lateral es de 4h. hallar la medida del área de la región común que encierran ambas figuras geométricas. a)

b2 2

( 2π + 3 3 )

Geometría

N D

C

ABCD es un cuadrado de lado “L”, si A y C son centros de los arco BD y BD; hallar el área de la región no sombreada. 2

a)

a (4

b)

a (8

c)

a (2

d)

a (4

e)

a (3

2

−

7) 4

−

7) 8

−

14 ) 2

−

21 ) 4

2

2

2

−

14 ) 3

22) Del grafico: ABCD y ADEF son respectivamente que pertenecen a planos perpendiculares: si AB = 6u ; AF = 10 u y AD = 12 u . Hallar la distancia del punto medio M de CF a AD .

83



C

B

WQ PS

M A

=6; = SW y

ST QT

D

= 5;

= TR . W

S E

F a) c) e)

P

26 34

23) Si A1 y A2 son rectas alabeadas y es la misma distancia que hay entre ellos, luego se cumple: CD

A

1

C

a) 37° c) 53° e) 90°

a) CD

A

2

⊥ A1 ⊥ A2

b) CD c) CD ; A1 y A2 so coplanares (respectivamente) d) CD ⊥ A 1 y CD ⊥ A 2 e) Ninguna alternativa es correcta

24) Los puntos P; Q ; R pertenecen al plano L. hallar la medida del ángulo que forman los segmentos PR y ST ; si PR = 8 ,

Geometría

b) 45° d) 75°

25) Una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base, de manera que el área que resulta tiene un área igual a los 3/7 del área de la base. Hallar la relación que existe entre los volúmenes de dichos sólidos. a)

D

R

T

Q

b) 4 d) 7

29 u

(3 49 )

21

b) (3 21 ) 49 −3 21 c) (3 21 ) 49 −7 21 d) (8 71 ) e) N.A.

21

26) Hallar el área de un círculo inscrito en un trapecio rectángulo cuyas base miden 2u y 3u. a) (36 25 )πu2

b)

( 25 36 )πu 2

c)

2

(16 9)π u

d)

(9 25 )πu

2

84



a) 5/4 c) 4/3 e) 3/2

e) (18 25 )πu 2 27) En la siguiente figura: B

C E

29) Un triangulo rectángulo esta determinado de modo tal que las longitudes de sus catetos han de sumar 7u (la hipotenusa mide 5u). hallar el área de la región de dicho triangulo.

F G

A

a) 10u2 c) 8 e) 5

D

AE

EF // BC ;

BE ED

=

2

EC

3

=

3 1

b) 9 d) 6

;

. Si el área de la

región triangular EFG es 5 metros, hallar el área de la región triangular AEG. a) 10m2 c) 20 e) 30

b) 6/5 d) 7/5

b) 15 d) 25

30) En un triedro O – MNP; la medida del ángulo MON = 90°; la medida del ángulo NOP = 60°. Si en la arista OP se ubica un punto “k” de modo tal que se trazan las perpendiculares KP y KQ a las

aristas

y

O M

respectivamente. Si

O N

OK

=

calcular PQ .

28) En un triangulo escaleno y acutángulo ABC se traza la altura M N , de modo que P es el punto medio de AC ; si O; G; K son el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de dicho triangulo, respectivamente. Hallar la razón que se da ente las áreas de las regiones triangulares OMG y NPK.

Geometría

a) 2 3

b)

d) 2 2

d) 3

e)

3

5

85

3

, ;

1°

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