D.R. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO, 20060000 Instituto de Ingeniería, Ciudad Universitaria, CP 04510, México, DFizz ISBN 970-32-3 970-32-3250-7 250-7OMM00020OOOOOOOOOOBzzzO0000000000
D.R. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO, 20060000 Instituto de Ingeniería, Ciudad Universitaria, CP 04510, México, DFizz ISBN 970-32-3 970-32-3250-7 250-7OMM00020OOOOOOOOOOBzzzO0000000000
Evaluación de elementos de concreto reforzado sometidos a acciones sísmicas considerando el modo de falla de pandeo del acero de refuerzo longitudinal LUZ PIEDAD HOYOS MARIO E RODRÍGUEZ RODRÍGUEZ
*
**
* **
Becaria, Instituto de Ingeniería, UNAM Investigador, Instituto de Ingeniería, UNAM
RESUMEN
vii
ABSTRACT
viii
NOTACIÓN
ix
1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
1
2. EL PROBLEMA DEL PANDEO DEL REFUERZO LONGITUDINAL EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO
1
2.1 El problema de la inestabilidad de elementos estructurales 2.2 El problema del pandeo en barras de refuerzo de elementos de concreto reforzado 2.3 Variables involucradas en el pandeo del acero de refuerzo longitudinal
7 20
3. CRITERIOS DE DISEÑO SÍSMICO DE ALGUNOS REGLAMENTOS DE CONCRETO REFORZADO PARA EL REFUERZO TRANSVERSAL EN LA ZONA POTENCIAL DE PANDEO DE BARRAS DE REFUERZO EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES
25
3.1 3.2 3.3 3.4
Introducción Reglamento de Construcción para Concreto Estructural ACI 318-05 Reglamento de Diseño de Estructuras de Concreto NZS 3101:1995 Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto NTC-2004 3.5 Criterios de Diseño Sísmico del Departamento de Transportes de California ATC-32 3.6 Comentarios adicionales
4. BASE DE DATOS EXPERIMENTAL ESTUDIADA EN ESTA INVESTIGACIÓN
1
25 25 28 30 33 35
41
4.1 Descripción de la base de datos 4.2 Características del acero de refuerzo empleado en los especímenes 4.3 Requisitos de los reglamentos de diseño
41 42 47
5. EVALUACIÓN DEL MODO DE FALLA DE PANDEO DEL ACERO DE REFUERZO LONGITUDINAL EN LOS ESPECÍMENES ESTUDIADOS
53
5.1 5.2 5.3 5.4
Introducción Procedimiento de análisis de la base de datos Evaluación de algunos criterios de pandeo del refuerzo longitudinal Comentarios adicionales
v
53 55 60 69
6. PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN DEL MODO DE FALLA DE PANDEO DEL REFUERZO LONGITUDINAL APLICADO AL DISEÑO 71 6.2 Modelos propuestos para el pandeo del acero de refuerzo longitudinal 6.3 Procedimiento de diseño propuesto 6.4 Resultados del empleo del procedimiento propuesto
73 83 88
7. CONCLUSIONES
91
8. RECONOCIMIENTO
93
9. REFERENCIAS
95
APÉNDICES
99
A. DESCRIPCIÓN DE LA BASE DE DATOS
99
B. ANÁLISIS DE LA BASE DE DATOS
117
C. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL NÚMERO DE ESPACIAMIENTOS ENTRE ESTRIBOS INVOLUCRADOS EN EL PANDEO
163
Introducción Antecedentes Procedimiento propuesto
163 164 165
D. CRITERIO DE SELECCIÓN DEL FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA
171
E. MODELO PARA EVALUAR LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN EN BARRAS DE ACERO SOMETIDAS A CARGAS CÍCLICAS REVERSIBLES (MANDER ET AL, 1984) 175
vi
ABSTRACT A data base with results from 45 RC columns subjected in laboratory to lateral loading were analyzed in this study. The typical failure mode in these RC elements was buckling of longitudinal reinforcement. Results using different models for predicting onset of buckling of longitudinal reinforcement were compared with those from the data base. Based on a comparison of both measured and predicted results, the model that led to the best prediction of onset of buckling was selected in this study and was used as a basic tool in a proposed procedure for predicting onset of buckling of longitudinal reinforcement. It is suggested to use this procedure in modern seismic design approaches such as the so-called Performance-Based Seismic Design.
vii
RESUMEN En este trabajo se estudia una base de datos de 45 elementos de concreto reforzado que fueron ensayados ante cargas laterales, en laboratorios de diversos países, y en los cuales el modo de falla fue el de pandeo del acero de refuerzo longitudinal. Se emplea esta base de datos para analizar la bondad de diversos modelos analíticos propuestos para predecir el inicio del pandeo del acero de refuerzo en las secciones críticas de los elementos estructurales de esta base de datos. Se elige el modelo que da la mejor correlación entre los resultados calculados y los medidos y se emplea éste como herramienta principal en un procedimiento, propuesto en este estudio, el cual revisa si el refuerzo en una sección crítica de un elemento estructural es capaz de llegar a una deformación lateral antes de que se inicie el pandeo del acero de refuerzo. Se sugiere que este procedimiento sea empleado en enfoques modernos de diseño sísmico como el llamado diseño sísmico por desempeño .
viii
NOTACIÓN área de la sección transversal del elemento CV coeficiente de variación c profundidad del eje neutro D peralte efectivo de la sección d b diámetro de la barra E módulo de elasticidad del acero E t módulo de elasticidad tangencial E r módulo de elasticidad reducido E c módulo tangente inicial de elasticidad del concreto F forma de la sección transversal f’c esfuerzo máximo en compresión del concreto no confinado f’cc esfuerzo máximo en compresión del concreto confinado f cr esfuerzo de pandeo crítico f y esfuerzo de fluencia del refuerzo longitudinal f yt esfuerzo de fluencia del refuerzo transversal f su esfuerzo máximo en tensión del refuerzo longitudinal f sc esfuerzo en compresión del refuerzo longitudinal I momento de inercia de la sección circular K rigidez a flexión normalizada de la barra de acero longitudinal k factor de longitud efectiva Lcol longitud libre del elemento L p longitud de formación de la articulación plástica L py longitud de penetración de fluencia del acero de refuerzo longitudinal M/VD relación entre claro de cortante y peralte M momento actuante n número de espaciamientos entre estribos necesario para definir la longitud de la barra de acero longitudinal donde ocurre el pandeo nS h /d bl relación de esbeltez presentada experimentalmente Pcr carga crítica de pandeo Pt carga crítica dada por la teoría del módulo tangente P/Ag f’c relación de carga axial P parámetro que define la forma de la curva en la zona de endurecimiento por deformación r radio de giro S h longitud no soportada de la barra de acero longitudinal (separación entre estribos) S h /D relación de esbeltez Ag
ix
S h /d bl V X εc
ε cc ε co εp
ε y ε sh ε su ε sc ε spall *
ε p
+
ε o
ε sp
ε sp* ε spKOW εsp
PYP
ε ccr ε cp ε ’sp κ e
ρ ,l ρ s σ ∆sp θ sp φ sp φ sp*
µ φ KOW
relación entre esta separación y el diámetro de la barra longitudinal, de esbeltez de la barra de acero longitudinal cortante actuante media deformación en la fibra extrema a compresión deformación correspondiente al esfuerzo máximo del concreto confinado deformación correspondiente al esfuerzo máximo del concreto no confinado deformación de pandeo del acero de refuerzo longitudinal deformación de fluencia del acero de refuerzo longitudinal deformación al inicio del endurecimiento por deformación deformación correspondiente al esfuerzo máximo del acero de refuerzo longitudinal deformación en compresión del acero de refuerzo longitudinal deformación del concreto para el desprendimiento del recubrimiento parámetro para evaluar el estado de deformaciones relativo al pandeo para barras de acero sometidas a deformaciones cíclicas reversibles deformación para la cual ocurre el cambio de aplicación de carga de tensión a compresión en el ciclo donde se presenta el pandeo deformación máxima en tensión experimental en el ciclo de pandeo deformación máxima en tensión previa al pandeo, de acuerdo con el modelo de Rodríguez et al (1999) deformación máxima en tensión previa al pandeo, de acuerdo con el modelo de Moyer y Kowalsky (2003) deformación máxima en tensión previa al pandeo, de acuerdo con el modelo de Paulay y Priestley (1975) deformación máxima en compresión en el concreto deformación máxima en compresión en el concreto previa al pandeo del refuerzo longitudinal deformación máxima en tensión previa al pandeo coeficiente de confinamiento cuantía del refuerzo longitudinal cuantía del refuerzo transversal desviación estándar desplazamiento lateral máximo desplazamiento relativo asociado al pandeo del elemento curvatura última asociada al pandeo curvatura asociada al pandeo del refuerzo longitudinal de acuerdo al parámetro ε p* ductilidad de curvatura para el inicio del pandeo, de acuerdo con el modelo de Moyer y Kowalsky (2003) x
1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS El objetivo del diseño sísmico de estructuras es lograr que los elementos estructurales tengan la resistencia y capacidad de deformación adecuada, que les permita tener un comportamiento dúctil antes de fallar; esto se logra cuando se presenta un comportamiento predominante regido por flexión más que por cortante. En el comportamiento dúctil, el pandeo del refuerzo longitudinal tiene un papel relevante, pues tiene efectos significativos en el comportamiento cíclico del elemento, ya que deteriora su capacidad de carga y de disipación de energía. El pandeo del acero de refuerzo longitudinal genera la falla del elemento estructural y puede llevar al colapso de la estructura. Este tipo de falla es común en elementos de concreto reforzado sometidos a solicitaciones sísmicas. Se han realizado diversos estudios del pandeo del acero de refuerzo, especialmente de barras de acero aisladas y en algunos casos de columnas de concreto reforzado sometidas a cargas monotónicas. Sólo recientemente se ha enfocado el estudio del pandeo a los elementos de concreto reforzado sometidos a solicitaciones de tipo sísmico. Estos estudios han demostrado que el aumentar la cuantía de refuerzo transversal conduce principalmente a un aumento importante en la capacidad de deformación de un elemento estructural. Con base en este tipo de estudios, los requisitos de diseño en los reglamentos para estructuras de concreto se han enfocado en aumentar la capacidad de deformación de secciones críticas en elementos de concreto reforzado mediante el empleo de requisitos referentes a la cantidad y arreglo del refuerzo longitudinal y transversal, con el objeto de que estos elementos logren prevenir o al menos retardar el pandeo del refuerzo longitudinal. Recientemente en la bibliografía se han descrito avances significativos en el diseño sísmico de estructuras, que proponen procedimientos de diseño como el llamado diseño 1
En este criterio de diseño sísmico es necesario elegir alguno de los objetivos de comportamiento, que varían desde el estado de la estructura sin daño hasta el de colapso. Estos objetivos de comportamiento consideran diversos niveles de daño en los que el pandeo del acero de refuerzo longitudinal tiene un papel relevante. Sin embargo, a pesar de los avances mencionados, todavía no se cuenta con un procedimiento confiable y de aplicación sencilla que permita relacionar el pandeo del refuerzo con parámetros de respuesta del elemento estructural, como rotaciones de las secciones críticas, o desplazamientos laterales de los elementos estructurales. sísmico por desempeño.
En este estudio se evalúan resultados obtenidos por diversos investigadores en ensayes ante cargas laterales de 45 columnas de concreto reforzado, con el objeto de evaluar el modo de falla de pandeo del acero de refuerzo longitudinal observado en estos ensayes. Como resultado, se propone un procedimiento para evaluar el modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal en elementos de concreto reforzado sometidos a cargas cíclicas. Con este procedimiento, enfocado a métodos de diseño por desempeño, es posible relacionar de manera razonablemente aproximada el que ocurra el pandeo del refuerzo longitudinal y los parámetros de respuesta de las secciones transversales correspondientes en elementos de concreto reforzado. Los objetivos de esta investigación son los siguientes: 1. Evaluar el modo de falla por pandeo del acero de refuerzo longitudinal en elementos de concreto reforzado sometidos a acciones sísmicas, con el fin de conocer la importancia de los diversos factores que intervienen en el fenómeno del pandeo. 2. Evaluar algunos de los criterios propuestos por otros investigadores para estimar el inicio del pandeo del refuerzo longitudinal en elementos de concreto reforzado. 3. Proponer un procedimiento de predicción del fenómeno del pandeo de barras de refuerzo que permita al diseñador conocer la capacidad de deformación de elementos estructurales correspondientes al tipo de falla por pandeo del refuerzo longitudinal. Se intenta que este procedimiento pueda ser empleado en los métodos modernos de diseño sísmico.
2
2. EL PROBLEMA DEL PANDEO DEL REFUERZO LONGITUDINAL EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO 2.1 El problema de la inestabilidad de elementos estructurales
El problema de la inestabilidad de elementos estructurales se manifiesta con la pérdida repentina de la resistencia acompañada de grandes deformaciones. Ésta no depende de la magnitud de los esfuerzos sino de las condiciones que propician el equilibrio inestable. En 1744, Euler propuso una solución para evaluar la carga crítica de pandeo elástico en columnas aisladas, sujetas a esfuerzos de compresión menores que el límite de proporcionalidad del material. Sin embargo, esta solución no predecía completamente los resultados observados en los materiales que se empleaban en aquella época (p ej, mampostería, madera o hierro fundido), con los cuales se construían columnas muy robustas que presentaban tipos de falla diferentes. Como resultado, las soluciones planteadas por Euler fueron criticadas, y no fue sino hasta 100 años después cuando se empezó a emplear materiales para los cuales estas soluciones podían ser aplicables, como el hierro forjado y, alrededor de 1850, el acero estructural (Johnston, 1983). En elementos de concreto reforzado, el pandeo elástico del acero de refuerzo longitudinal puede ocurrir en secciones con estribos con espaciamientos grandes. El esfuerzo necesario para que se presente este tipo de pandeo puede ser calculado a partir de la expresión siguiente, conocida como formula de Euler: 2
Pcr =
π
(kS h )2
EI
(2.1)
donde Pcr es la carga crítica de pandeo, E el módulo de elasticidad del acero, I el momento de inercia de la sección circular, S h la longitud no soportada de la barra de acero
3
longitudinal, es decir, la separación entre estribos consecutivos, y k el factor de longitud efectiva, el cual se define como la distancia entre puntos de inflexión del eje deformado. El parámetro k vale 1 para extremos articulados de un elemento en comprensión; para elementos en doble curvatura donde ambos extremos pueden considerarse empotrados, k vale 0.5. El esfuerzo de pandeo crítico queda definido por la siguiente expresión: f cr =
4π 2 EI S h 2 Ag
(2.2)
donde Ag es el área transversal de la columna. El radio de giro se define como: I
r =
(2.3)
Ag
La ec 2.2 tiene otra forma si se expresa en términos de la relación de esbeltez, Sh r , con lo cual se obtiene: S h r
= 2π
E f cr
(2.4)
Para una sección circular de diámetro d b , el radio de giro es d b / 4 . Considerando este valor y la ec 2.4, se obtiene: S h db
= 1.5
E f cr
(2.5)
Si se emplea la ec 2.5 a fin de calcular el máximo espaciamiento entre estribos consecutivos para prevenir el pandeo elástico, considerando las propiedades del acero mexicano obtenidas por Rodríguez y Botero (1996), el módulo de elasticidad E es de 200 000 MPa y el esfuerzo de fluencia f y de 449 MPa. Resulta que para que una barra alcance la fluencia antes de llegar al pandeo la separación de los estribos debe ser menor de 32 d b. Para una separación mayor que la anterior, el pandeo elástico ocurrirá bajo un esfuerzo menor que el de fluencia. 4
En 1889, Engesser realizó una serie de 32 pruebas en columnas y observó que los esfuerzos en uno y otro lado de la columna se incrementaban y reducían de forma diferente (Johnston, 1983). Este autor estableció que los esfuerzos sobre el lado cóncavo de la columna se incrementaban, con lo que él llamó módulo de elasticidad tangencial, E t, y los esfuerzos sobre el lado convexo se reducían con el módulo de elasticidad lineal E (Johnston, 1983). Esto significa que es posible tener una columna con una relación de esbeltez tal que el esfuerzo crítico de pandeo sea mayor que el límite elástico y que ésta puede presentar una configuración deformada, para la cual la deformación es controlada por el módulo tangente E t. El valor de este parámetro es igual a la pendiente de la curva esfuerzo-deformación de compresión del material de la columna en el punto que corresponde al esfuerzo crítico. Engesser sugirió que la fórmula de Euler no era aplicable al pandeo inelástico y propuso que para evaluar la carga crítica E se sustituyera por E t en la fórmula de Euler; este procedimiento es conocido como la teoría del módulo tangencial. En el ejemplo anterior, cuando el espaciamiento de los estribos es suficientemente cercano para prevenir el pandeo elástico (S h < 32d b), el pandeo de la barra se iniciará en el momento en que se sobrepase el módulo tangente del material, E t , lo cual implica que las deformaciones en el acero han excedido también el límite de fluencia. En la fig 2.1 se ilustra este concepto. Por ejemplo, al considerar nuevamente las propiedades para el acero mexicano, es decir, un esfuerzo de fluencia f y igual a 449 MPa y un módulo de elasticidad tomado como el módulo tangente, E ,t igual a 9164 MPa, calculado para la pendiente inicial de la curva esfuerzo-deformación, en la región de endurecimiento por deformación, y empleando la ec 2.5, se tiene que el mayor espaciamiento S h , con el cual se evitaría el pandeo después de iniciada la fluencia es igual a 6.8 d b. En este ejemplo, E t ha sido calculado como la pendiente de la curva esfuerzo-deformación de tensión para el acero mexicano propuesta por Rodríguez y Botero (1996).
Fig 2.1 Teoría del módulo tangente para el pandeo inelástico de las barras de acero
5
De acuerdo con la teoría del módulo tangencial, la barra permanece recta hasta que se alcanza el esfuerzo crítico, con el que empieza a experimentar una pequeña deflexión lateral para la cual los esfuerzos de flexión resultantes se superponen con los esfuerzos de compresión axiales. Sin embargo, debido a que la barra comienza a flexionarse a partir de la posición recta, los esfuerzos de flexión representan inicialmente sólo un pequeño incremento del esfuerzo total. Por tanto, el módulo tangencial E t varía linealmente a través de la sección. Esta teoría se distingue por su sencillez y fácil aplicación; no obstante, es deficiente conceptualmente porque no define totalmente el comportamiento de la barra. Debido a que cuando una barra se aparta de la posición recta, las fibras correspondientes al lado cóncavo están sometidas a esfuerzos de compresión y las fibras correspondientes al lado convexo están sometidas a esfuerzos de tensión. Estos esfuerzos son afectados por los grandes esfuerzos de compresión prexistentes, y por tanto, no es factible evaluar para la barra un módulo de elasticidad uniforme. Por ello, la barra se comporta como si estuviera hecha de dos materiales, uno sobre el lado cóncavo, donde las deformaciones avanzan siguiendo el brazo de carga de la curva esfuerzo-deformación con un módulo de elasticidad E t y otro, sobre el lado convexo donde ocurren las reversiones de las deformaciones siguiendo el módulo de elasticidad E . Consecuentemente, puede ser más preciso emplear un módulo de elasticidad intermedio entre los valores de E y E t. Este módulo fue propuesto en 1895 por Considère (Johnston, 1983) y la teoría asociada a su empleo se conoce como la teoría del doble módulo o teoría del módulo reducido, E r , cuyo valor depende de las propiedades mecánicas del material y de la forma de su sección transversal (Johnston, 1983). La fig 2.2 ilustra este concepto.
Fig 2.2 Teoría del módulo reducido para el pandeo inelástico de las barras de acero
6
30000 ) a P ) M a ( P r M ( E r , E o l , u o l d u o d ó M m e e l l b b o o D D
26000 22000 E Es MPa = 200000 MPa s = 200000
18000 14000 10000 6000 2000 500
2000
3500
5000
6500
8000
9500
1100
E t (MPa) Módulo tangente, Modulo Tangente, Et (MPa)
Fig 2.3 Relación entre el módulo tangente y el módulo reducido para el pandeo inelástico de las barras de acero
El módulo reducido se determina empleando un promedio pesado de las áreas donde aumentan y disminuyen los esfuerzos debidos a la flexión. La relación entre E r y E t depende sólo de las características geométricas de la sección transversal de la barra de acero, y pueden obtenerse a través de un procedimiento iterativo; esta relación es presentada en la fig 2.3; esta figura fue calculada empleando las propiedades mecánicas en compresión obtenidas a partir de las de tensión de la curva esfuerzo deformación para el acero mexicano propuesta por Rodríguez y Botero (1996). De esta manera, aplicando la relación indicada en la fig 2.3, una barra con un esfuerzo de fluencia igual a 449 MPa y un módulo tangente E t igual a 9164 MPa, tendría un módulo reducido E r igual a 26200 MPa, y al emplear este valor para E en la ec 2.5, el máximo espaciamiento S h es 11.4 d b. La teoría del módulo reducido es en apariencia más precisa que la del módulo tangente, puesto que toma en cuenta la reducción de los esfuerzos en el lado convexo de la columna debida a la flexión; sin embargo, los resultados experimentales mostraron que las cargas de pandeo reales se encuentran entre las predichas por estas dos teorías, del módulo tangente y del módulo reducido, más cerca generalmente de la primera que de la segunda (Johnston, 1983). Esto indica que ni la teoría del módulo tangente ni la teoría del módulo reducido son adecuadas por sí mismas para explicar el fenómeno de pandeo inelástico.
7
Una teoría más completa y congruente fue desarrollada por Shanley (1947) y se denomina teoría de Shanley para pandeo inelástico. Esta teoría corrige las dificultades que enfrentan las teorías del módulo tangencial y del módulo reducido, reconociendo que no es posible que se presente el esfuerzo de pandeo calculado con la fórmula de Euler cuando la columna es inelástica. Shanley demostró en 1947 que una columna inicialmente recta empieza a flexionarse cuando la carga alcanza el valor crítico dado por la teoría del módulo tangente, Pt , y continua flexionándose a partir de ese instante con carga axial creciente. La flexión, que ocurre con el incremento en la carga, origina una disminución en la deformación sobre el lado convexo de la columna; por tanto, el módulo efectivo del material a través de la sección transversal se vuelve mayor que E t y el incremento en la carga es factible. Sin embargo, el módulo efectivo no es tan grande como E ,r debido a que E r está basado en una deformación completamente revertida sobre el lado convexo de la columna, es decir, en que la flexión ocasione que las deformaciones en el lado convexo lleguen a ser de tensión. Así la carga crítica, dada por la teoría del módulo reducido, Pr , sólo se presentaría si la columna se flexionara sin un cambio en la carga axial, pues una carga axial creciente provocaría que las deformaciones sobre el lado convexo nunca dejaran de ser compresivas. Lo anterior implica que la carga correspondiente al módulo tangente es un límite inferior de la resistencia máxima de la columna; al alcanzarla, una barra inicialmente recta empieza a flexionarse, pero puede soportar incrementos adicionales. La carga dada por la teoría del módulo reducido es el límite superior, puesto que es la fuerza axial máxima que la columna podría soportar si se mantuviera recta. La resistencia máxima de la columna se encuentra entre los límites predichos por las dos teorías. Este comportamiento se muestra en la fig 2.4, donde se observa que el pandeo empieza en la carga de módulo tangencial, luego la carga se incrementa pero no alcanza la carga del módulo reducido hasta que la deflexión resulta infinita. No obstante, según se incrementa la deflexión se vuelven importantes otros efectos, y en realidad la curva finalmente desciende como indica la línea punteada. Se infiere, por tanto, que el problema del pandeo inelástico se puede resolver empleando alguno de los dos enfoques anteriores (teoría del módulo tangencial o teoría del módulo reducido), pues aunque la teoría de Shanley constituye un punto de equilibrio entre ambas, algunos estudios experimentales (Mander et al, 1984) han demostrado que la teoría del módulo reducido proporciona mayor aproximación a los resultados encontrados que la del módulo tangencial.
8
Fig 2.4 Diagrama de carga-deflexión para comparar los resultados de las teorías del módulo tangente y del módulo reducido
Esto puede explicarse si se tiene en cuenta que estas teorías son conceptos basados en condiciones ideales y no tienen en cuenta factores adicionales como son los esfuerzos residuales en los materiales, debidos a los procesos de fabricación. Otros investigadores han preferido también la teoría del módulo reducido, principalmente porque la del módulo tangencial tiene la limitación de ser una extensión de los conceptos elásticos al intervalo inelástico, y a que han encontrado que con esta teoría es posible determinar con una aproximación razonable el estado de las deformaciones correspondiente al inicio del pandeo en barras sometidas a cargas monotónicas de compresión o cíclicas reversibles (Rodríguez et al, 1999). 2.2 El problema del pandeo en barras de refuerzo de elementos de concreto reforzado
2.2.1 Pandeo en elementos sometidos a cargas monotónicas Pantazopoulou (1998) propuso un procedimiento para analizar el problema del pandeo del acero de refuerzo longitudinal en una sección de elemento de concreto reforzado sometido a flexocompresión en el caso monotónico. Este procedimiento considera la compatibilidad de deformaciones entre el acero y el concreto, y propone la siguiente expresión para la deformación crítica del concreto en función de la relación de esbeltez de la barra longitudinal. cr ε c
S = 0.02 ⎛⎜ h ⎞⎟ ⎝ d b ⎠
9
−0.4
(2.6)
Propone además que el fenómeno del pandeo no es sólo función de la carga aplicada, sino que también se debe tomar en cuenta la redistribución de los esfuerzos del acero hacia el concreto que lo rodea. Indica que esta redistribución de esfuerzos es el mecanismo más probable por el cual la barra supera la meseta de fluencia sin pandeo en columnas bien detalladas y alcanza el intervalo de endurecimiento por deformación. El mecanismo de pandeo propuesto por Pantazopoulou (1998) plantea que después de que la barra alcanza condiciones críticas para cierto nivel de deformación axial, con un incremento posterior de la carga axial aplicada, las deformaciones promedio en la barra permanecen aproximadamente constantes. Sin embargo, la barra se doblará lateralmente para mantener la compatibilidad con el incremento en la deformación axial que soporta el núcleo de concreto. Para este estado, la transferencia de la carga ocurrirá desde la barra al núcleo de concreto permitiendo sobresfuerzos en éste. La falla del elemento ocurre por aplastamiento y abultamiento del núcleo, cuando la capacidad proporcionada por un arreglo específico de estribos se agota, y por acción simultánea de la flexión permanente de las barras longitudinales. Cerca de la falla, los estribos son doblemente esforzados por la presión expansiva del concreto deteriorado y por la flexión en las barras, y así, su efectividad como mecanismo de confinamiento se reduce. Aunque el procedimiento propuesto es adecuado para elementos de concreto reforzado bajo cargas de tipo monotónico, al extrapolarlo (como se hace en este trabajo) al comportamiento bajo cargas de tipo cíclico resulta contradictorio, pues bajo este tipo de acciones no puede asegurarse que el pandeo ocurra para deformaciones en compresión de la barra Suda et al (1996), y por tanto, para deformaciones en compresión del concreto que la rodea. Dhakal y Maekawa (2002a) desarrollaron un estudio paramétrico con el fin de verificar la influencia de algunas de las variables tradicionalmente consideradas que influyen en el fenómeno de pandeo. Estos autores llevaron a cabo análisis comparativos en los que mantienen constante el diámetro ( d b) para diferentes longitudes de la barra (S h), o conservan constante la longitud para diferentes diámetros. Observaron que independientemente del diámetro y de la longitud de la barra, la respuesta era similar para la misma relación de esbeltez (relación entre la longitud libre de la barra y su diámetro). Además, sugirieron que el pandeo se puede posponer en la medida en que disminuye la relación de esbeltez en las barras de refuerzo, como lo habían hecho también otros investigadores previamente (Mau, 1990; Monti y Nuti, 1992; Rodríguez et al, 1999).
10
Fig 2.5 Efecto de la longitud y el diámetro (Dhakal et al , 2002a)
Fig 2.6 Efecto de la resistencia de fluencia (Dhakal et al , 2002a)
En la fig 2.5 se presentan algunos resultados de los análisis realizados por Dhakal y Maekawa (2002a). En ella se presentan los casos para los que la relación de esbeltez (S h /d b) es la misma, pero la longitud y el diámetro son diferentes. Se observa que la respuesta es similar para la misma relación de esbeltez. Dichos autores consideraron que la resistencia de la barra de refuerzo también influye en el comportamiento promedio a compresión. Para explorar esta posibilidad, desarrollaron análisis comparativos en los que conservando la relación de esbeltez (S h /d b) constante incrementan la resistencia de la barra, manteniendo la relación (S h / d b) f y constante.
11
En la fig 2.6 se muestran los resultados de estos análisis, los cuales indican que la respuesta promedio normalizada en ambos casos es similar, y sugieren que existe interrelación entre el pandeo y el parámetro (S h /d b) f y . Dhakal y Maekawa (2002a) se basaron en los resultados de estudios paramétricos para proponer un modelo para la relación esfuerzo-deformación en el caso de compresión monotónica. Estos autores sugieren un punto intermedio (ε * , f *), a partir del cual definen una rigidez negativa de 2 % del módulo de elasticidad, hasta que el esfuerzo promedio llega ser de 20 % del esfuerzo de fluencia. Un esquema general del modelo propuesto se presenta en la fig 2.7. Dhakal y Maekawa (2002a) sugieren también que las coordenadas del punto intermedio * * (ε , f ) (fig 2.7), pueden ser calculadas por medio de las siguientes expresiones: ε
*
= 55 − 2.3
ε y
f * f y
= 1.1 − 0.016
f y L
100 D f y L
100 D
;
ε
*
≥7
(2.7)
ε y
; f * ≥ 0.2 f y
(2.8)
Este modelo también fue analizado por Dhakal y Maekawa (2002a), que consideran modelos para el comportamiento cíclico del acero propuestos anteriormente por otros autores, y los resultados de este análisis mostraron una buena correlación. Sin embargo, el intervalo de deformación en que fueron realizados los análisis no sobrepasó el valor 0.03 de deformación en el acero, y aunque para deformaciones en compresión es difícil alcanzar este valor, para deformaciones en tensión de elementos de concreto reforzado sometidos a solicitaciones sísmicas este valor puede ser excedido, por lo cual este modelo se debería verificar para solicitaciones sísmicas que puedan excitar a un elemento estructural. Posteriormente, los mismos autores (Dhakal y Maekawa 2002b) emplearon un procedimiento propuesto inicialmente por Bresler y Gilbert (1961) y luego utilizado por Scribner (1986). Con este procedimiento propusieron un método para la evaluación del número de estribos involucrados en el pandeo del refuerzo longitudinal. Este método se describe con detalle en el apéndice C.
12
Fig 2.7 Representación esquemática del modelo (Dhakal et al , 2002a)
El método consiste en evaluar la rigidez del estribo necesaria para mantener la barra longitudinal en su posición, relacionándola con la rigidez de la barra longitudinal a la que restringen y posteriormente comparándola con una rigidez equivalente calculada mediante principios energéticos para varios modos de pandeo. El modo de pandeo se refiere al número de intervalos de estribos involucrados en la longitud de pandeo. De acuerdo con estos autores, si la rigidez efectiva del estribo es menor que la rigidez requerida para el modo n-1, pero excede la requerida por el modo n, en el procedimiento propuesto los estribos laterales pueden sostener las barras de refuerzo en el modo n de pandeo, lo que quiere decir que n es el modo de pandeo estable. Multiplicando el valor de n por el espaciamiento entre estribos, S h, se obtendría la longitud de pandeo para cierta combinación del refuerzo longitudinal y transversal. Como se comenta en este trabajo, el valor de n estimado por este método tiene buena correlación con resultados observados experimentalmente en columnas ensayadas por otros investigadores. En este trabajo se utiliza este método como parte de un procedimiento propuesto para estimar el número de intervalos de estribos involucrados en el pandeo del refuerzo longitudinal. 2.2.2 Pandeo en elementos sometidos a cargas cíclicas El pandeo del refuerzo longitudinal en elementos de concreto reforzado sometidos a cargas cíclicas reversibles puede ocurrir de diferentes maneras, dependiendo principalmente de la historia de desplazamientos en el ensaye. De acuerdo con observaciones de barras de refuerzo sometidas a cargas cíclicas reversibles, una barra de acero longitudinal puede fluir en tensión durante el ciclo previo y llegar al pandeo durante la reversión de 13
la carga, dependiendo del nivel de incursión inelástica de las deformaciones en tensión y de si las grietas en el concreto están abiertas o cerradas. El comportamiento anterior se refiere a elementos diseñados con requisitos sísmicos, los cuales deben tener un tipo de falla en flexión. Cuando el cortante es relevante existen deformaciones adicionales por tensión en la sección transversal, las cuales podrían influir en el fenómeno de pandeo (Tastani y Pantazopoulou, 2001). Para evitar esta posibilidad, el diámetro del estribo debe ser al menos la mitad del diámetro del refuerzo longitudinal (Scribner et al, 1986), particularmente si la barra longitudinal está restringida solamente por la acción a flexión del estribo (una barra intermedia sin un gancho que la sujete directamente). Otros investigadores (Kunnath et al, 1997) han demostrado que la historia de desplazamientos en un espécimen tiene una mayor influencia en el pandeo del refuerzo longitudinal que el efecto del desprendimiento del recubrimiento. En muchos ensayes experimentales de elementos de concreto reforzado sometidos a cargas cíclicas reversibles, el colapso empieza generalmente por pandeo del refuerzo longitudinal. En este caso, una primera interpretación de este modo de falla podría ser que la deformación en compresión es un parámetro relevante en el fenómeno. Sin embargo, como se explica en detalle más adelante la máxima deformación en tensión previa resulta más importante, ya que debido al efecto Bauschinger el módulo tangente instantáneo e incluso el esfuerzo a compresión bajo carga cíclica son controlados por las incursiones previas en tensión. A partir de los resultados de un estudio experimental en columnas de concreto reforzado, Suda et al (1996) propusieron un criterio para determinar el inicio del pandeo en el refuerzo longitudinal, haciendo énfasis en tres variables: la resistencia a la tensión del concreto adyacente a las barras de refuerzo longitudinal, la rigidez a flexión del refuerzo transversal y la rigidez a flexión del refuerzo longitudinal. Estos autores emplearon la carga de pandeo de la barra de refuerzo longitudinal, aplicando la teoría elástica para el caso de una barra doblemente empotrada, utilizando el módulo secante y considerando un modo de pandeo semicircular, es decir, considerando que la configuración deformada de la barra en el pandeo es semicircular. Sin embargo, partieron de una hipótesis debatible, pues consideraron que el efecto del recubrimiento del concreto en el pandeo de la barra longitudinal es más relevante que el efecto de la rigidez a flexión del acero longitudinal y que la restricción que impone el refuerzo transversal. 14
Fig 2.8 Criterio para el inicio del pandeo propuesto por Suda et al (1996)
La fig 2.8 muestra de manera esquemática el criterio de pandeo propuesto por Suda et al (1996) . En este criterio, la fuerza de compresión F se aplica sobre una barra de refuerzo longitudinal con cierta curvatura debido a posibles deformaciones residuales, lo que genera una fuerza ∆Η sobre la barra longitudinal que trata de expulsar el recubrimiento del concreto. La fuerza ∆Η es proporcional al producto de los esfuerzos y a la curvatura del elemento φ , la cual según Suda et al (1996) tiene su valor máximo cuando se inicia el pandeo. Los resultados experimentales en la condición de carga cíclica reversible obtenidos por Suda et al (1996) muestran que el pandeo ocurre en la región de deformaciones de tensión antes de alcanzar las de compresión, y depende principalmente de la resistencia a la fractura del recubrimiento de concreto aun cuando éste sea muy pequeño. Esto lleva a que, según estos investigadores, el ancho de las grietas en el concreto de recubrimiento sea una variable para la determinación del inicio del pandeo. Sin embargo, un elemento de concreto reforzado diseñado con requisitos de diseño sísmico puede alcanzar deformaciones importantes antes de que el pandeo se presente, para las cuales el concreto de recubrimiento ya se ha perdido mucho antes. Además, el efecto cíclico de las cargas crea efectos de tensión (agrietamiento) y compresión (aplastamiento) que el concreto de recubrimiento no alcanza a resistir. A partir de ensayes experimentales sobre barras aisladas sometidas a cargas tanto monotónicas de compresión como cíclicas reversibles, Rodríguez et al (1999) propusieron un criterio de definición del inicio del pandeo. En sus ensayes, definen el inicio del pandeo
15
cuando la diferencia entre las deformaciones opuestas en la sección transversal de la barra es igual o mayor que el 20 % de la deformación medida en una de ellas. La expresión 2.9 permite definir la referida condición. La fig 2.9 muestra las variables involucradas en la expresión 2.8.
(ε1 − ε 2 ) ≥ 0.2 (ε m+1,2 − ε m−1,2 )
(2.9)
Según lo observado por Rodríguez et al (1999), el porcentaje mencionado resultó razonable, debido a que, para valores mayores que este límite, la diferencia entre los valores del esfuerzo y la deformación son insignificantes respecto a los asociados con el límite seleccionado. Para valores menores, debido principalmente a limitaciones en la precisión de los instrumentos utilizados para medir las deformaciones, las diferencias en las deformaciones opuestas presentaron variaciones altas, lo que impide evaluar de manera confiable el inicio del pandeo. Para el estudio del pandeo monotónico, Rodríguez et al (1999) utilizaron la teoría del módulo reducido, así como la curva esfuerzo-deformación de una barra de acero sometida a carga monotónica de compresión, obtenida analíticamente a partir de la de tensión, con el procedimiento propuesto por Dodd y Restrepo (1995) . Rodríguez et al (1999) encontraron que los resultados experimentales obtenidos para esta condición de carga correlacionaban bien con los analíticos. La fig 2.10 presenta estos resultados. Los resultados obtenidos de los ensayes cíclicos reversibles por Rodríguez et al (1999) mostraron que las barras de refuerzo pueden presentar modos de falla asociados con el pandeo, tanto en la condición de deformación en la barra en compresión, como en tensión. Estos resultados mostraron también que el estado de deformaciones asociadas con el pandeo depende del estado previo de deformaciones en tensión. Al igual que en el caso de carga monotónica en compresión, en estos ensayes se encontró que el pandeo ocurrió para relaciones de esbeltez de cuatro o mayores. *
Rodríguez et al (1999) también propusieron emplear el parámetro ε p para evaluar el estado de deformaciones relativo al pandeo de barras de acero sometidas a deformaciones cíclicas reversibles. Este parámetro se define como la diferencia entre la deformación +
ε o y la deformación de pandeo ε p (ec 2.10). ε p*
= ε o+ − ε p
16
(2.10)
Fig 2.9 Medición de las deformaciones en caras opuestas para la barra de acero
εp 0.12 ensayes monotónicos a compresión
0.08
0.04
K = 1.0
K = 0.75
K = 0.5
0.00 0
2
4
6
8
10
12
14
Sh /db
Fig 2.10 Curvas que relacionan la deformación de pandeo y la relación de esbeltez. Comparación con los resultados monotónicos experimentales (Rodríguez et al, 1999)
*
La fig 2.11 presenta en forma esquemática el significado de los parámetros ε p y ε p . A la deformación de la barra para la cual se presenta el cambio de aplicación de carga de +
tensión a compresión en el ciclo donde se presenta el pandeo se le denomina ε o . *
La fig 2.12 presenta las relaciones experimentales entre ε p y S h /D para las barras de acero sometidas a ensayes cíclicos reversibles; también se repiten en la fig 2.12 las curvas analíticas de la fig 2.10.
17
* Los valores del parámetro ε p en la fig 2.12 permiten su evaluación a partir de resultados
de pandeo monotónicos, calculados con el valor de 0.75 para el factor de longitud efectiva k . Sin embargo, es necesario resaltar que este parámetro fue definido a partir de ensayes de barras cortas de acero aisladas, por lo cual no representa totalmente las condiciones existentes en las barras de acero embebidas en elementos de concreto reforzado. Esto se debe a que en estas barras existen otros factores, como son el refuerzo transversal que restringe el pandeo del refuerzo longitudinal, y la expansión del concreto confinado en dirección perpendicular a la del refuerzo longitudinal, la que causa un empuje lateral desfavorable para el fenómeno de pandeo. Por tanto, resulta conveniente evaluar la bondad del empleo de este parámetro como criterio para definir el inicio del pandeo en elementos de concreto reforzado. Esta evaluación se lleva a cabo posteriormente en este trabajo. Moyer y Kowalsky (2003) proponen un procedimiento de evaluación del pandeo del refuerzo longitudinal relacionado con el ancho máximo de grietas y la deformación máxima en tensión a la que se ve sometida la barra de refuerzo longitudinal. De acuerdo con estos autores, para que una barra de refuerzo llegue al pandeo, la deformación previa en tensión efectiva de la barra ε ste, debe ser mayor que la deformación característica en compresión ε scc, para que las grietas no cierren y el concreto localizado alrededor de la barra de refuerzo longitudinal no alcance a colaborar en la estabilidad de la zona de compresión. Ellos consideran que las barras de refuerzo tienen una capacidad de deformación característica en compresión ε scc, que depende de la relación de esbeltez de la barra de refuerzo longitudinal. Como condición para el inicio del pandeo, Moyer y Kowalsky (2003) proponen el momento en que la deformación en tensión efectiva ε ste llega a ser igual que la deformación característica a compresión ε scc que puede soportar la barra de acero sin llegar a pandearse; esto lleva a: ε ste
= ε scc
(2.11)
La deformación en tensión efectiva tiene dos componentes, la deformación debida a la flexión ε sf l y la deformación residual presente en la barra de acero cuando la deflexión del elemento es nula ε sgr , de donde se establece la siguiente relación: ε sfl
= ε ste − ε sgr
18
(2.12)
Fig 2.11 Curva esfuerzo-deformación que define los parámetros de pandeo para una barra de refuerzo (Rodríguez et al, 1999)
p 0.12
ensayes cíclicos reversibles
0.08
0.04
K = 1.0
0.00
K = 0.75
K = 0.5
Sh /db 0
2
4
6
8
10
12
14
*
Fig 2.12 Curvas que relacionan el parámetro ε p y la relación de esbeltez. Comparación con los resultados cíclicos experimentales (Rodríguez et al, 1999)
Remplazando la ec 2.11 en la ec 2.12, se tiene: ε sfl
= ε scc − ε sgr
(2.13)
donde ε sgr se define como la deformación residual y ε sfl como la deformación debida a la flexión.
19
A partir de una modificación de la rigidez secante de la teoría del módulo reducido, Moyer y Kowalsky (2003) proponen la siguiente expresión para definir la deformación característica en compresión ε scc, en función de la relación de esbeltez:
⎛ kS ⎞ ε scc = 3 ⎜ h ⎟ ⎝ d b ⎠
−2.5
(2.14)
La expresión empleada para el módulo reducido se muestra a continuación: E d =
4 Es E i
(
Es
+
E i
)
2
(2.15)
En la ec 2.15, E i representa el módulo inicial y E s el módulo secante. El módulo reducido puede ser evaluado en función de la deformación, y el espaciamiento para el acero transversal requerido puede ser obtenido de la expresión 2.16, en la cual S h es la separación entre estribos, d b el diámetro de la barra longitudinal, k el factor de longitud efectiva y f máx el esfuerzo en el acero. Sh db
=
π
E d
4k
f má x
(2.16)
Los mismos autores (Moyer y Kowalsky, 2003) emplearon resultados de ensayes en barras de acero que fueron todas sometidas a una deformación inicial en tensión del 6 %, posteriormente revertida, con lo cual obtuvieron la ec 2.14, que representa la mejor aproximación a los datos experimentales. La fig 2.13 muestra los resultados de comparar la deformación característica a compresión ε scc propuesta por estos autores y el *
parámetro ε p propuesto por Rodríguez et al (1999) . Moyer y Kowalsky (2003) definen arbitrariamente que la deformación residual, ε sgr , es proporcional a la máxima deformación en tensión del refuerzo longitudinal en la sección de la columna (ε sgr = 0.5ε sf l), y proponen emplear una expresión desarrollada anteriormente por uno de los autores (Kowalsky, 2000) para calcular la máxima deformación a tensión del acero, ε sf l, en función de la ductilidad de curvatura para una relación de carga axial específica y una cuantía del refuerzo longitudinal: ε sfl
=
µ φ
⎛ 260 + 325 P ⎞ + ⎛ 20 − 25 P ⎞ ρ − 0.5 ) ⎜ ⎟ ⎜ Ag f 'c ⎠ ⎝ Ag f 'c ⎟⎠ ( ⎝
20
(2.17)
p* ,
Rodríguez et al. k=1 sc c
Rodríguez et al. k=0.75
0.12
Moyer y Kowalsky k=1 Moyer y Kowalsky k=0.75
0.08
0.04
0.00
Sh /db 0
2
4
6
8
10
12
14
Fig 2.13 Comparación de la deformación característica a compresión ε scc , y el parámetro ε p*
En la ec 2.17, P/Ag f ´c es la relación de carga axial, ρ la cuantía del acero longitudinal y µ φ la ductilidad de curvatura, definida como la relación entre la curvatura inelástica y la de fluencia. Moyer y Kowalsky (2003) proponen una expresión de la ductilidad de curvatura para el inicio del pandeo en función de la relación de carga axial, P/Ag f ´c; la cuantía del acero longitudinal,
; el espaciamiento del acero transversal, S h ; el factor de longitud
efectiva, k , y el diámetro de la barra longitudinal, d b .
⎛ kS ⎞ µ φ = 2 ⎜ h ⎟ ⎝ d b ⎠
2.5
Z
(2.18)
En la expresión anterior el parámetro Z se define como en Moyer y Kowalsky (2003).
⎛ ⎞ + ⎛ 20 − 25 P ⎞ ρ − 0.5 Z = ⎜ 260 + 325 P ) ⎟ ⎜ Ag f 'c ⎠ ⎝ Ag f 'c ⎟⎠ ( ⎝
(2.19)
Con el fin de verificar las hipótesis planteadas en el modelo, estos autores realizaron una serie de cuatro ensayes de columnas de concreto reforzado sometidas a carga axial constante y carga lateral cíclica, teniendo como única variable la historia de carga. Esta historia de carga para cada uno de los ensayes considerados se muestra en la fig 2.14.
21
10
12 TEST 1
8
10
µ4
6 ) n i ( t n e m e c a l p s i D
7
TEST 2
µ
6
µ3
4
µ1.5
µ1
2
5
) 8 n i ( t n e 6 m e c a 4 l p s i D
µ2
0 -2 -4
4 3 2 1.5 1
2
-6 0
-8 -10
-2 0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
10
20
30
Cycle 15.00
15 TEST 3
40
50
60
Cycle
9
TEST 4
7
10.00
10
) n i 5.00 ( t n e m e 0.00 c a l p s i -5.00 D
) n i 5 ( t n e m e 0 c a l p s i -5 D
-10.00
-10 7
-15.00
9
-15 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Cycle
0
10
20
30
40
50
Cycle
Fig 2.14 Historias de carga de los especímenes de Moyer y Kowalsky (2003)
Los resultados de estos ensayes mostraron que el pandeo de las barras de refuerzo está directamente relacionado con la máxima deformación en tensión aplicada, y que esta deformación puede ser acumulada a través de un extenso ciclaje para bajos niveles de respuesta (intervalo de deformaciones pequeño) o en un solo ciclo para altos niveles de respuesta (intervalo de deformaciones elevado). No obstante, estos autores no hacen una comparación directa entre los resultados del uso de las expresiones por ellos propuestas y los resultados de los ensayes que efectuaron. 2.3 Variables involucradas en el pandeo del acero de refuerzo longitudinal
El inicio del pandeo en la barra de refuerzo longitudinal ocurre para deformaciones mínimas, cuando la barra comienza a ejercer, sobre el recubrimiento, una fuerza que trata de expulsarlo. Esta fuerza produce en el recubrimiento esfuerzos de tensión que el concreto no puede resistir, de forma que se produce su agrietamiento paralelo a la barra longitudinal y posterior aplastamiento, producto de los elevados esfuerzos de compresión en la reversión de la carga. A partir de este momento, al no existir el recubrimiento, el núcleo se ve más solicitado y empieza su proceso de expansión, lo que obliga a los estribos a confinar el concreto y a la vez a tratar de impedir el pandeo de la barra longitudinal. Para incrementos de las acciones sísmicas, las deformaciones y esfuerzos
22
locales en la barra de refuerzo se incrementan hasta que éste empieza a fluir y posteriormente llega al pandeo. Lo anterior sugiere que el mecanismo de pandeo depende realmente de varias variables; sin embargo, de un examen cuidadoso de los resultados experimentales, se concluye que las posibles contribuciones al problema del pandeo son las que a continuación se describen. Efecto de la relación entre la longitud de pandeo y el diámetro de la barra de refuerzo longitudinal
Este parámetro está directamente relacionado con la anteriormente descrita relación de esbeltez. De acuerdo con estudios previos (Mau 1990, Monti y Nuti 1992, Dhakal y Maekawa 2000a, y Rodríguez et al, 1999), se ha encontrado que a mayor relación de esbeltez de las barras de refuerzo longitudinal, menor capacidad de deformación axial. Efecto del diámetro, separación y distribución de los estribos
Estas variables están relacionadas directamente con la longitud de pandeo, la cual puede involucrar más de un espaciamiento entre estribos, dependiendo de las propiedades geométricas y mecánicas de los estribos laterales y de las barras del refuerzo longitudinal a las cuales restrinja. La longitud de pandeo puede abarcar una sola separación entre estribos consecutivos si todas las barras longitudinales están restringidas por la acción directa de un estribo en tensión. Sin embargo, cuando más de una barra de refuerzo longitudinal se encuentra restringida por la acción de un estribo en flexión, el pandeo puede ocurrir abarcando varios intervalos de estribos. Efecto del recubrimiento
Algunos autores consideran que, en el fenómeno de pandeo, el efecto del recubrimiento es relevante e incluso lo relacionan directamente con el inicio del pandeo (Suda et al, 1996), y atribuyen al pandeo la razón por la cual el recubrimiento se desprende, lo que podría ser cierto para casos de pandeo monotónico. Sin embargo, en elementos sometidos a solicitaciones de tipo sísmico, el agrietamiento y posterior desprendimiento del recubrimiento se presenta principalmente por el efecto cíclico de estas solicitaciones. Efecto de la historia de desplazamientos
Esta variable está relacionada con la máxima deformación en tensión a la que se ve sometida la barra de refuerzo longitudinal, la cual ha sido identificada como importante
23
para determinar la estabilidad de las barras de refuerzo. Sin embargo, el pandeo ocurre en la reversión de la carga, cuando las barras de refuerzo se encuentran bajo esfuerzos en compresión. Moyer y Kowalsky (2003), y Rodríguez et al (1999) han confirmado lo anterior.
24
3. CRITERIOS DE DISEÑO SÍSMICO DE ALGUNOS REGLAMENTOS DE CONCRETO REFORZADO, PARA EL REFUERZO TRANSVERSAL EN LA ZONA POTENCIAL DE PANDEO DE BARRAS DE REFUERZO EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES 3.1 Introducción
Diversos reglamentos de diseño sísmico para estructuras de concreto reforzado especifican requisitos de diseño para el espaciamiento mínimo del refuerzo transversal en un elemento, no sólo para proporcionar resistencia al corte y confinar el núcleo de concreto, sino también de manera implícita para prevenir el pandeo prematuro del refuerzo longitudinal, el cual se define como aquel que ocurre antes de que la estructura llegue a la capacidad de deformación lateral objetivo. En estos requisitos se toman en cuenta la separación, resistencia y diámetro del refuerzo transversal. Sin embargo, aunque la idea básica de usar el refuerzo transversal con estos fines es similar en todos los reglamentos, hay diferencias entre los requisitos especificados por ellos para la cantidad y distribución del refuerzo transversal en los elementos estructurales. En este capítulo, se lleva a cabo una evaluación de los requisitos de reglamentos de diseño por sismo relativos al refuerzo transversal necesario, haciendo énfasis en los requisitos relacionados con el problema del pandeo del refuerzo longitudinal en la zona potencial de formación de articulaciones plásticas. Los requisitos para resistencia por cortante, así como para otras regiones de los elementos, no se comentan en este trabajo. 3.2 Reglamento de Construcción para Concreto Estructural ACI 318-05
Este reglamento especifica tres niveles de comportamiento sísmico o categorías para clasificar las estructuras diseñadas bajo sus especificaciones. El cap 21 del ACI-318 25
contiene los requisitos especiales para el diseño sísmico de estructuras, es decir los que rigen el diseño de estructuras clasificadas como de comportamiento sísmico intermedio o alto. Las estructuras clasificadas como de comportamiento sísmico bajo no tienen que cumplir los requisitos del cap 21 y su diseño se rige por los requisitos de capítulos anteriores al 21. La sección 21.12 del ACI-31 corresponde a estructuras clasificadas como de comportamiento sísmico intermedio o de marcos intermedios (por intermediate frames ), para las cuales este reglamento estipula algunos requisitos para prevenir falla por cortante durante eventos sísmicos. De acuerdo con esta sección, la resistencia mínima por cortante de los elementos se determina a partir del equilibrio de los momentos resistentes nominales en sus extremos o a partir de las combinaciones de carga que incluyen efectos sísmicos. Dentro de las recomendaciones relativas al confinamiento del elemento, la sección 21.12 del ACI-318 especifica, para ambos extremos del elemento, estribos espaciados a no más de la mitad de la menor dimensión de la columna o 30 cm. Además, establece una cuantía mínima de refuerzo transversal en columnas de núcleo circular reforzadas por medio de espirales, que intenta dar al elemento una capacidad de carga adicional cuando ocurra la pérdida del recubrimiento. Esta cuantía mínima de refuerzo transversal no debe ser menor que: ⎛ Ag ⎞ f c' − 1⎟ ρ sh = 0.45 ⎜ A ⎝ c ⎠ f yh
(3.1)
donde Ag es el área transversal de la columna, Ac el área transversal del núcleo hasta la circunferencia exterior de la hélice, f c' la resistencia del concreto a compresión y f yh el esfuerzo de fluencia del acero de la hélice o estribo. En cuanto a requisitos para prevenir el pandeo del acero longitudinal en este tipo de elementos, se establecen separaciones máximas de estribos iguales a 8 veces el diámetro de la barra longitudinal más delgada o 24 veces el diámetro de la barra del estribo. La sección 21.4 del ACI-318 corresponde a estructuras clasificadas como de comportamiento sísmico alto o de marcos especiales (por special frames), diseñadas para soportar grandes demandas de ductilidad, las cuales se consideran posibles en zonas de alta sismicidad. En el caso del DF estas demandas están asociadas a los factores de 26
comportamiento sísmico con valores de tres y cuatro que especifican las NTC-2004. Los requisitos relativos al refuerzo transversal en columnas pertenecientes a dichos marcos estipulan que la relación volumétrica del refuerzo transversal, s , formado por espirales o estribos circulares no debe ser menor que: '
ρ s = 0.12
f c
(3.2)
f yh
Así mismo, de acuerdo con la sección 21.4, para el refuerzo transversal formado por estribos rectangulares y grapas, el área de los estribos, Ash , en cada dirección de la sección de la columna no debe ser menor que ⎛ shc f c' ⎞ ⎡⎛ Ag ⎞ ⎤ − 1⎟⎥ Ash = 0.3 ⎜ ⎜ f yh ⎟⎟ ⎢⎢⎜⎝ Ac ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠⎣
(3.3)
ni tampoco debe ser menor que '
Ash = 0.09
shc f c f yh
(3.4)
donde s es el espaciamiento del refuerzo transversal y hc la dimensión del núcleo de la columna medida centro a centro del refuerzo de confinamiento. Además de los requisitos de cuantías mínimas, el ACI318-05 también requiere de separaciones mínimas de estribos. En particular, el requisito de que el espaciamiento no debe ser mayor de seis veces el diámetro de la barra de refuerzo longitudinal intenta restringir que ésta llegue al pandeo después del desprendimiento del recubrimiento, y el espaciamiento mínimo de 100 mm es para confinamiento (ACI 318-05). El cap 21 del ACI 318 tiene un requisito de diseño adicional para el espaciamiento máximo que se evalúa; éste es ( s x = 100 + [(350 − hx ) 3 ]) , donde s x es el espaciamiento longitudinal del refuerzo transversal, en milímetros, en la zona potencial de formación de articulación plástica y h x el espaciamiento horizontal máximo entre ramas del refuerzo transversal. Este espaciamiento puede aumentar hasta 150 mm, cuando el espaciamiento entre las ramas de estribos o ganchos es menor de 200 mm. 27
3.3 Reglamento de Diseño de Estructuras de Concreto NZS 3101:1995
Este reglamento de Nueva Zelanda especifica dos categorías para el diseño sísmico de estructuras, la primera para los elementos no regidos por acciones sísmicas, y la segunda para los elementos regidos por efectos sísmicos. La sección 8.4 de este reglamento especifica los requisitos para el diseño de elementos donde no rigen las acciones sísmicas, y la sección 8.5, los requisitos adicionales para elementos donde rigen los efectos sísmicos. La sección 8.4.3 del reglamento estipula que es necesario garantizar un comportamiento dúctil de la columna en caso de una sobrecarga o de un desplazamiento inesperado. Con este fin, para el caso del refuerzo transversal de columnas con espirales o estribos circulares, la relación volumétrica ρ s debe ser el mayor valor calculado con las ecs 3.5 o 3.6, que tienen como objetivo lograr confinamiento del concreto y restricción lateral de la barra longitudinal contra el pandeo prematuro, respectivamente: ρ s =
(1 − ρ t m ) Ag 2.4 ρ s =
'
f c
*
N '
Ac f yh φ fc Ag f y
Ast
− 0.0084
1
(3.5)
(3.6)
155d " f yh d b
donde t es la cuantía del refuerzo longitudinal, Ast el área total del refuerzo longitudinal, d " el diámetro del núcleo de concreto y m = f y 0.85 f c' . Para columnas con estribos rectangulares y ganchos, el área total efectiva en cada dirección principal Ash no debe ser menor que la dada por las ecs 3.7 o 3.8 para confinamiento del concreto y para restricción lateral de la barra longitudinal contra el pandeo prematuro, respectivamente:. Ash =
(1 − ρ t m ) sh h " Ag 3.3 Ate =
f c'
*
N
Ac f yt φ f c' Ag
∑ A
b
f y s
135 f yt d b
28
− 0.0065 sh h "
(3.7)
(3.8)
donde ∑ Ab es la suma de las áreas de las barras longitudinales encomendadas a la acción de un estribo y h " es la dimensión del núcleo de concreto de una sección rectangular medida perpendicularmente a la dirección de acción del estribo. El espaciamiento entre estribos a lo largo del elemento debe ser el menor de un tercio del diámetro de la columna o diez veces el diámetro de la barra longitudinal. La sección 8.5.4 de las normas NZS 3101 (1995), relativa a los requisitos para elementos dúctiles, especifica que en la región potencial de formación de articulaciones plásticas de columnas se proporcione el siguiente refuerzo para el confinamiento del concreto y contra el pandeo del refuerzo longitudinal, además de lo necesario por resistencia cortante. Para espirales o estribos circulares, la relación volumétrica ρ s debe exceder al mayor valor resultante de aplicar las ecs 3.9 o 3.10, que tienen el objetivo de lograr el confinamiento requerido del concreto y la restricción lateral de la barra longitudinal para evitar el pandeo prematuro, respectivamente.
ρ s =
(1.3 − ρ t m ) Ag
*
N
Ac f yt φ f c' Ag
2.4
ρ s =
f c'
Ast f y
− 0.0084
1
(3.9)
(3.10)
"
110d f yt d b
Para estribos rectangulares y ganchos, el área total efectiva en cada dirección principal Ash no debe exceder el valor mayor resultante de aplicar las ecs 3.11 o 3.12, que tienen como objetivos lograr el confinamiento del concreto y la restricción lateral de la barra longitudinal contra el pandeo prematuro, respectivamente.
As h =
(1.3 − ρ t m ) sh h " Ag 3.3
Ate =
'
f c
*
N '
Ac f yt φ f c Ag
∑ Ab f y s
96 f yt d b
29
− 0.006 sh h "
(3.11)
(3.12)
La separación de los estribos en la zona de formación de articulaciones plásticas en este tipo de estructuras no será menor que un cuarto de la mayor dimensión del miembro o seis veces el diámetro del refuerzo longitudinal que restringe. En las normas NZS 3101(1995) los requisitos mínimos para confinamiento del concreto están en función de la carga axial. Para niveles de carga axial bajos, el refuerzo transversal para confinamiento del concreto llega a ser menor que el necesario para prevenir el pandeo del refuerzo longitudinal y, por tanto, rige este último. La cantidad de refuerzo transversal requerida para prevenir el pandeo del refuerzo longitudinal es dada por la ec 3.10 para espirales o estribos circulares, y por la 3.12 para estribos rectangulares o ganchos suplementarios. El refuerzo transversal suministrado no debe ser menor que el mayor requerido para confinamiento de concreto o para restricción contra el pandeo. El requisito de las normas NZS 3101 (1995) para el espaciamiento vertical centro a centro para acero transversal de no más de un cuarto de la menor dimensión lateral o diámetro de la columna tiene como objeto lograr un adecuado confinamiento del concreto. Esto se debe a que al confinar el concreto se forman arcos entre la espiral o los estribos y, por tanto, si el espaciamiento vertical es demasiado grande, el concreto no confinado penetrará más dentro del núcleo entre las espirales o estribos, reduciendo así la sección de concreto efectivamente confinada. El requisito del espaciamiento vertical referente a que no debe exceder seis diámetros de la barra longitudinal tiene como objeto prevenir el pandeo del acero longitudinal en elementos sometidos a acciones sísmicas. Es conocido que durante acciones sísmicas los esfuerzos reversibles en el intervalo de la postfluencia causan una reducción en el módulo tangente del acero para esfuerzos relativamente bajos, debido al efecto Bauschinger, y consecuentemente, espaciamientos del refuerzo transversal más cercanos evitan el pandeo prematuro del refuerzo longitudinal. 3.4 Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto NTC-2004
Esta normativa considera dos categorías para el diseño y construcción de estructuras de concreto. La primera corresponde a requisitos complementarios para elementos estructurales comunes (cap 6 de las NTC), es decir, los pertenecientes a marcos de 30
concreto reforzado con ductilidad limitada, diseñados con factores de comportamiento sísmico Q menores o iguales a dos. La segunda corresponde a los requisitos para elementos pertenecientes a marcos dúctiles (cap 21 de las NTC), diseñados con factores de comportamiento sísmico Q de tres y cuatro. Para marcos de concreto diseñados con factores de comportamiento sísmico Q iguales o menores de dos, es decir, con capacidades moderadas de disipación de energía, en el caso de columnas confinadas por estribos rectangulares y ganchos, este reglamento controla el confinamiento del núcleo de concreto, por la separación del acero transversal s , dada únicamente en función de la dimensión transversal de la columna, bmín ( s < bmí n 4 ) , así como del diámetro del estribo, d tr (s<24d tr ). La restricción contra el pandeo del refuerzo longitudinal se considera en función del diámetro de la barra longitudinal, d b, de la siguiente forma s < ( 850db f y ) , para f y en kg/cm², o 269db f y , para f y en MPa. En el caso de columnas confinadas por medio de hélices o estribos circulares, estas normas establecen no solamente separaciones mínimas del acero transversal, sino también cuantías mínimas de refuerzo transversal. En la sección 6.2.4, estas normas determinan que el refuerzo transversal de una columna zunchada debe ser una hélice continua de paso constante o estribos circulares cuya separación sea igual al paso de la hélice. La cuantía volumétrica de refuerzo helicoidal o de estribos circulares es obtenida con expresiones similares a la 3.1 y 3.2 del ACI. La restricción contra el pandeo del refuerzo longitudinal es función del diámetro de la barra longitudinal y de la fuerza de fluencia que pueda desarrollar la barra de un estribo o anillo. Este reglamento estipula que esta fuerza no deberá ser menor de seis centésimas de la fuerza de fluencia que puede desarrollar la mayor barra de refuerzo longitudinal que se restringe. Si se considera que los esfuerzos de fluencia son similares para ambas barras, la longitudinal y la transversal ( f y = f yh), esta limitación lleva a que la relación de diámetros entre estas barras sea menor o igual de cuatro. Lo anterior implica que para estribos No 2, la mayor barra longitudinal que se podría usar es la No 8; para el caso de estribos No 3, correspondería como máximo una barra de diámetro No 12, y para el caso de estribos del No 4, correspondería como máximo una barra No 16. Sin embargo, algunos estudios experimentales sobre la influencia en el pandeo de la relación entre el tamaño de las barras longitudinales y el tamaño de los estribos (Scribner, 1986) sugieren que el valor de al menos un medio para la relación del diámetro 31
del estribo al diámetro de la barra longitudinal es adecuado para evitar el pandeo prematuro de esta barra. A fin de dar restricción lateral a barras que no sean de esquina, este reglamento recomienda el uso de grapas formadas por barras rectas, cuyos extremos terminen en un doblez a 135 grados alrededor de la barra o paquete restringido, seguido de un tramo recto con longitud no menor de seis diámetros de la barra de la grapa. En el caso de marcos dúctiles, las Normas NTC-2004 estipulan requisitos para el confinamiento a nivel de cuantías y separaciones mínimas del refuerzo transversal tanto en columnas con confinamiento formado por estribos rectangulares y ganchos, como en columnas con refuerzo helicoidal o estribos circulares. Los requisitos para estas estructuras, diseñadas con factores de comportamiento sísmico Q de tres y cuatro, establecen en su sección 7.3.4 que debe suministrarse refuerzo transversal mínimo en ambos extremos del miembro y a ambos lados de cualquier sección donde sea probable que fluya por flexión el refuerzo longitudinal ante desplazamientos laterales en el intervalo de comportamiento inelástico. La cuantía mínima de este refuerzo transversal, ρ s, no será menor que la calculada con las ecs 3.13 y 3.14, para columnas de núcleo circular. En columnas de núcleo rectangular, la suma de las áreas de estribos y grapas, Ash, en cada dirección de la sección de la columna se debe calcular con ecuaciones similares a las ecs 3.3 y 3.4 del ACI. El requerimiento para la separación mínima entre estribos, de no exceder de seis veces el diámetro de la barra longitudinal, es para prevenir el pandeo prematuro del refuerzo longitudinal. El requerimiento que estipula que el máximo espaciamiento entre estribos centro a centro no debe exceder de un cuarto de la menor dimensión transversal del elemento o 100 mm es para asegurar el confinamiento del concreto. A continuación se resumen algunos valores típicos para la relación de esbeltez de la barra de acero longitudinal respecto al espaciamiento entre estribos para columnas de concreto reforzado diseñadas de acuerdo con estas normas. Los espaciamientos mínimos son calculados para los diámetros del refuerzo longitudinal usualmente empleados en las columnas; y para los diámetros del refuerzo transversal más comunes, así como los mínimos permitidos. La resistencia de fluencia considerada para el acero fue de 4 200 kg/cm2. Se omitió el requisito para el cálculo del espaciamiento mínimo 32
que está en función de la menor dimensión transversal del miembro, ya que este criterio es poco común que rija en el diseño, dadas las dimensiones requeridas por elementos diseñados con especificaciones sísmicas. La tabla 3.1 muestra que los valores típicos de relaciones de esbeltez que pueden presentar elementos comunes diseñados con la NTC-2004 para el caso de elementos con ductilidad limitada oscilan entre 6 y 6.6. Para elementos dúctiles, el intervalo es más amplio, entre 3.1 y 5.2, dependiendo del diámetro de la barra longitudinal. Sin embargo, siempre rige el requerimiento de 100 mm sobre el de seis veces el diámetro del refuerzo transversal. TABLA 3.1 RELACIONES MÍNIMAS DE ESBELTEZ EN BARRAS DE REFUERZO LONGITUDINAL EN COLUMNAS, DE ACUERDO CON LAS NTC-2004 Núm
d bl
Núm
(mm) 10
31.75
4
2.5 25.4
4 3 2.5
6
19.05
d tr
(mm)
3
8
Q = 1, 2
4 3 2.5
s(mm)
425 dbl /
f y
24 d tl
Q = 3, 4 S mín / d bl
s(mm)
6 d bl/
100 mm
S mín / db l
12.7 9.5 7.9
208 208 208
305 229 190
6.6 6.6 6.0
191 191 191
100 100 100
3.1 3.1 3.1
12.7 9.5 7.9
167 167 167
305 229 190
6.6 6.6 6.6
152 152 152
100 100 100
3.9 3.9 3.9
12.7 9.5 7.9
125 125 125
305 229 190
6.6 6.6 6.6
114 114 114
100 100 100
5.2 5.2 5.2
3.5 Criterios de Diseño Sísmico del Departamento de Transportes de California ATC-32
El ATC-32 (1996) recomienda que en la región de formación de articulaciones plásticas de columnas dúctiles, el contenido volumétrico ρ s de acero transversal formado por espirales o estribos circulares no debe ser menor que: ρ s = 0.16
f
'ce ⎡
f yh
1.25 Pe ⎤ ⎢0.5 + ⎥ + 0.13 ( ρ l − 0.01) f A ' ce g ⎥ ⎣⎢ ⎦
33
(3.13)
ni que ρ s = 0.002nb
(3.14)
donde ρ l es la cuantía del refuerzo longitudinal, Ag, Pe es la carga axial de diseño, f’ce es 1.3 veces la resistencia del concreto simple y nb es el número de barras longitudinales contenidas en la sección que pueden estar sujetas a pandeo inelástico cuando el recubrimiento se desprenda. La ec 3.14 no necesita ser satisfecha para columnas con bajas relaciones de aspecto (M/VD < 4). Los niveles de refuerzo lateral para confinamiento requeridos por las ecs 3.13 y 3.14 han sido propuestos para asegurar que la sección alcance una ductilidad de curvatura de al menos trece (ATC-32). Los resultados dados por la ec 3.14 pueden redundar en mayores cantidades de refuerzo transversal para el caso de columnas con grandes cantidades de barras de acero longitudinal. Para columnas con estribos rectangulares y ganchos, el área total efectiva en cada dirección principal, Ash , no debe ser menor que la dada por la ec 3.15. Ash = 0.12 st hc
f 'ce ⎡ f yh
1.25P ⎤ ⎢0.50 + ⎥ + 0.13st hc ( ρ l − 0.01) f A ' ⎢⎣ ce g ⎥ ⎦
(3.15)
donde st es el espaciamiento del refuerzo transversal y hc la dimensión del núcleo de la columna medida centro a centro de refuerzo de confinamiento perpendicular a la dirección del estribo. Adicionalmente, el máximo espaciamiento del refuerzo transversal en la región plástica de miembros en compresión no deberá exceder alguna de las siguientes tres posibilidades: menor de un quinto de la menor dimensión transversal de la columna, seis veces el diámetro nominal del acero de refuerzo longitudinal u ocho pulgadas. En elementos donde los requisitos para el refuerzo transversal estén basados en análisis de momento-curvatura de la sección, y en una evaluación de la rotación plástica θ p requerida por el elemento, el ATC-32 recomienda que la cantidad de refuerzo transversal proporcionada en la región plástica no sea menor que: ρ s = 0.09(ε cu − 0.004)
34
f 'cc
1000
(3.16)
donde f 'cc es la resistencia a compresión del concreto confinado, calculada con el procedimiento propuesto por Mander (1984) , y ε cu es la deformación en compresión requerida, dada por ⎡θ p
⎤ + ψ y ⎥ ⎢⎣ l p ⎥⎦
ε cu = c ⎢
(3.17)
La ec 3.17 proviene de la interacción entre un análisis de curvatura a nivel sección y a nivel elemento, el termino ψ y es la curvatura de fluencia, mientras que θ p y Lp son la rotación plástica y la longitud de la articulación plástica, respectivamente. Las cantidades de refuerzo longitudinal dadas por este procedimiento son frecuentemente menores que las dadas por las expresiones 3.13 y 3.14. 3.6 Comentarios adicionales
Las columnas con un alto nivel de confinamiento pueden desarrollar deformaciones importantes en compresión en el concreto y es deseable que las barras longitudinales no lleguen al pandeo de manera prematura; con este fin, diversos reglamentos de concreto dan recomendaciones que tienden a regular el espaciamiento máximo de estribos en la zona potencial de formación de articulaciones plásticas. En esta zona, debido a los altos niveles de deformación que puede alcanzar el acero de refuerzo longitudinal, deben considerarse dos posibles modos de pandeo: el pandeo que involucra una sola separación entre estribos y el pandeo que involucra múltiples separaciones entre estribos, el cual implica a la vez, fluencia y fractura de una o más capas del refuerzo transversal. El espaciamiento entre capas del refuerzo transversal necesario para evitar el primer modo descrito de falla por pandeo depende del módulo de elasticidad del refuerzo longitudinal en el intervalo de endurecimiento por deformación, y de la máxima deformación en compresión esperada en el refuerzo longitudinal. Un requerimiento común en todos los reglamentos de diseño considerados en este estudio es que el espaciamiento entre capas del refuerzo transversal no debe exceder de seis veces el diámetro de la barra longitudinal (sh<6d b). Esta restricción se basa en considerar el módulo tangencial E t , así como el módulo efectivo en la zona de endurecimiento por deformación del acero de refuerzo longitudinal, y evaluar la ec 2.5. Este módulo
35
tangente, como se dijo anteriormente (cap 2), constituye el límite inferior para evaluar el esfuerzo crítico de pandeo. Sin embargo, aunque ha sido demostrado que este requerimiento de restricción contra el pandeo es adecuado para columnas reforzadas con aceros cuya resistencia última es aproximadamente 50 % mayor que la resistencia de fluencia, resulta inadecuado para soportar aceros cuyas relaciones fu/fy, son menores (Priestley et al, 1996). Aunque no se cuenta todavía con mucha información experimental disponible, estos autores sugieren que el máximo espaciamiento para soporte lateral del refuerzo longitudinal proporcionado por refuerzo transversal debe ser: ⎡
⎛ f u ⎞ ⎤ − 1 d ⎜ f y ⎟⎟ ⎥⎥ b ⎝ ⎠⎦
sh ≤ ⎢ 3 + 6 ⎜
⎢⎣
(3.18)
Para relaciones de f u /f y = 1.5, esta ecuación lleva a la relación anteriormente mencionada, sh < 6d b , pero se requieren espaciamientos de estribos menores para aceros con bajas relaciones de f u /f y. En el caso de los aceros mexicanos, considerando las propiedades mecánicas recomendadas por Rodríguez y Botero (1996) , la relación f u /f y tiene un valor de 1.6, por tanto, la restricción impuesta por los reglamentos parecería adecuada para evitar el pandeo. El requerimiento para evitar el pandeo que involucra múltiples separaciones entre estribos ha sido considerado de manera implícita por algunos de los reglamentos al requerir que la fuerza de fluencia que puede desarrollar la barra de un estribo o anillo debe ser mayor de 1/16 de la fuerza de fluencia que puede desarrollar la barra longitudinal restringida (NTC 2004). En los casos en que el refuerzo longitudinal y transversal tengan igual resistencia de fluencia nominal, se requiere que el diámetro del estribo sea al menos ¼ del diámetro de la barra longitudinal, previendo que cada barra longitudinal esté restringida por la acción de un gancho o estribo paralelo a la dirección potencial de pandeo. Este requerimiento ha sido relacionado también, con un espaciamiento de 100 mm entre el soporte lateral del refuerzo longitudinal (ACI 318-05, NTC 2004).
Priestley et al (1996), sugirieron relacionar este requerimiento con un espaciamiento de 6d b, lo cual implica que el área requerida de estribos Atr , en un espaciamiento S h, para restringir el área total de las barras longitudinales Σ Al contra el pandeo, sería: 36
Atr =
∑ A
l
S h f y
16 6db f yh
(3.19)
Esta expresión es la que se emplea para dar restricción contra pandeo del refuerzo longitudinal de acuerdo con el reglamento de Nueva Zelanda, para columnas de núcleo rectangular (ec 3.12). No obstante, el requerimiento de una fuerza restrictiva de 1/6 Al f y, para 6d bl es arbitrario y no está relacionado directamente con el mecanismo de pandeo. El adoptar el criterio anterior, de una fuerza equivalente de 1/6 Al f y, para un espaciamiento de 6d bl en columnas circulares, conduce a la siguiente expresión, similar a la anterior (ec 3.19) pero en términos de la relación volumétrica: ρ s =
0.0052 ρ l D f y d bl
f yh
(3.20)
Considerando que la restricción necesaria para evitar el pandeo de una barra longitudinal sobre una longitud crítica que involucra muchos estribos depende de las relaciones modulares entre las barras de refuerzo longitudinal y transversal, Priestley et al (1996) sugieren una modificación secante del modelo del módulo reducido. Así, aplicando este concepto a la ec 3.20, el nivel de refuerzo transversal requerido es (ATC-32): ρ s =
0.45 nb f p2 Er E s
(3.21)
donde E r es el módulo reducido del refuerzo longitudinal para f p, el esfuerzo de pandeo en la barra, y E s es el módulo de elasticidad del refuerzo transversal. Para refuerzo grado 60, tomando f p = 510 MPa, que corresponde a una deformación axial en compresión de 4 %, para el caso fy = 455 Mpa, y admitiendo que E s es igual a 200 000 MPa, la ecuación anterior se reduce a s
= 0.00013nb
(3.22)
que incrementada en 50 % es la presentada por el ATC-32 como requerimiento para prevenir el pandeo del refuerzo longitudinal en columnas circulares, y cuyo único parámetro significativo es el número de barras longitudinales, nb. Sin embargo, la ec 3.22 parte de consideraciones arbitrarias para el esfuerzo y la deformación de pandeo (4 % de la deformación en compresión axial del acero). Un enfoque más riguroso basado en 37
considerar la variabilidad de las relaciones esfuerzo-deformación para una barra en compresión con la relación de esbeltez ( S h /d bl) como las presentadas en la fig 2.10 (Rodríguez et al, 1999), llevaría a estimaciones más reales. Evaluar la ec 3.21 para una deformación de pandeo del 4 % implica, según la fig 2.10, considerar únicamente una relación de esbeltez cercana a 5.5, asociada con un esfuerzo de pandeo de 725 MPa. La fig 3.1 presenta resultados de la evaluación con la ec 3.21, considerando el esfuerzo y la deformación de pandeo, en función de la relación de esbeltez de la barra de refuerzo longitudinal, calculada a partir de la expresión de Euler (ec 2.5) y empleando la teoría del módulo reducido para evaluar el módulo efectivo en la zona de endurecimiento por deformación del acero. En ella se observa, que la cantidad de refuerzo transversal requerido cuando se tiene en cuenta el efecto del pandeo aumenta significativamente a medida que la relación de esbeltez del refuerzo longitudinal disminuye. Sin embargo, la ec 3.21 que da origen a la fig 3.1 no considera el efecto de la presión del concreto confinado que incrementa la tendencia de la barra longitudinal a pandearse; por tanto, en rigor, no se debería emplear para estimar simultáneamente el confinamiento del núcleo de concreto y la restricción del acero de refuerzo longitudinal contra pandeo. La fig 3.2 ilustra las diferencias entre los requisitos de refuerzo transversal para confinamiento del concreto y para soporte lateral de barras longitudinales en la zona potencial de formación de articulación plástica, de una columna de núcleo rectangular, según los reglamentos analizados en este capítulo. Los números que acompañan los nombres de los reglamentos provienen de la numeración que se le dio a cada ecuación en este capítulo. Las Normas Técnicas Complementarias NTC 2004 , cuyas especificaciones son similares a las del Reglamento ACI 318-05, son independientes del nivel de carga axial que soporta el elemento y, por tanto, su valor es constante. En las Normas Neozelandesas, NZS 3101 , las cantidades de refuerzo transversal requerido para confinamiento del concreto se reducen significativamente con la disminución de la carga axial de compresión, hasta que el refuerzo transversal requerido por la ecuación recomendada para restringir la barra longitudinal contra el pandeo llega a ser dominante, en el intervalo entre 0 y casi 0.3 de la relación de carga axial. El ATC-32 considera también la influencia de la carga axial en el nivel de confinamiento, pero para columnas de este tipo no tiene ningún requisito que controle el pandeo (excepto el que está en función de la relación de esbeltez del refuerzo longitudinal). No obstante, es la que más requiere refuerzo transversal. 38
En el caso de columnas circulares, las diferencias entre los requisitos para el refuerzo transversal de confinamiento y para el soporte el lateral de las barras longitudinales en la zona potencial de formación de articulación plástica son similares a los de una columna de núcleo rectangular. Los requisitos estipulados por la NTC-2004 y el ACI 318-05 no están en función de la carga axial; sin embargo, son conservadores respecto a las Normas Neozelandesas NZS 3101, que sí consideran el efecto de la relación de carga axial en el confinamiento. Además, estas normas (NTC-2004 y el ACI 318-05) establecen la relación de carga axial máxima como 0.5 ( P/Ag f’c < 0.5), valor cercano a donde se produce la divergencia con las Normas Neozelandesas. El ATC-32, que también considera la influencia de la carga axial en el nivel de confinamiento, es el más demandante en cuanto a contenido de refuerzo transversal. La expresión de este reglamento para evitar el pandeo longitudinal (ec 3.18) no domina en ninguno de los casos analizados, pues su valor siempre fue inferior al dado por la ec 3.17, que está en función de la relación de carga axial.
sh
s
5% 4% 3% 2% 1% S /d S h /d h bl bl
0% 0
1
2 nb = 8
3
4
5
nb = 12
6
7
8
nb = 20
Fig 3.1 Requerimientos de confinamiento y contra el pandeo del refuerzo longitudinal, en función de la relación de esbeltez de la barra de refuerzo longitudinal
39
sh
0.025 ACI 318-05, NTC-2004 ATC 3.17
NZS 3101
0.020
ATC-32
0.015
12 D 32 mm e D 12 @ 1 00 mm
ACI 3.1, NTC 3.13
0.010
f'c = 30 MPa f y = 420 MPa f yt = 420 MPa
NZS 3.9
0.005
D = 700 mm NZS 3.10
0.000 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
l
= 2.5%
t
= 2%
S h = 100 mm
P/Agf'c Fig 3.2 Requerimientos mínimos de confinamiento y para el control del pandeo del refuerzo longitudinal, según algunos reglamentos de diseño, para columnas de sección rectangular
Ash (mm2)
sh
1200
0.025 ACI 318-05, NTC-2004 NZS 3101
900
0.020
ATC-32
0.015
12 D 32 mm e D 12 @ 100 mm
0.010
f'c = 30 MPa
600
f y = 420 MPa
300
0.005
0
0.000 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
f yt = 420 MPa B = 700 mm l = 2% t
= 2%
S h = 100 mm
P/Agf'c Fig 3.3 Requerimientos mínimos de confinamiento y para el control del pandeo del refuerzo longitudinal, según algunos reglamentos de diseño, para columnas de sección circular
40
4. BASE DE DATOS EXPERIMENTAL ESTUDIADA EN ESTA INVESTIGACIÓN 4.1 Descripción de la base de datos
La base de datos empleada en esta investigación se obtuvo de ensayes en laboratorio realizados por diversos investigadores en columnas de concreto reforzado sometidas a carga lateral cíclica reversible. El tipo de falla observada en estas columnas fue a flexión con pandeo del refuerzo longitudinal en la zona de formación de articulación plástica. Los elementos con fallas de tipo frágil no fueron considerados en la base de datos empleada, la cual es amplia, en cuanto a formas de sección transversal, relaciones de carga axial, y cuantía de acero longitudinal y transversal. En general, las columnas fueron estudiadas experimentalmente por los diversos investigadores para evaluar su comportamiento, más que para evaluar de manera especifica la falla por pandeo del refuerzo longitudinal; sin embargo, muchas de ellas fallaron por pandeo del refuerzo longitudinal o por una combinación de otros tipos de falla acompañada de pandeo. La tabla 4.1 muestra algunas características de la base de datos utilizada en la presente investigación, integrada por 80 columnas. Los criterios considerados para seleccionar los elementos de la base de datos final para este estudio fueron: que el elemento hubiera presentado pandeo del refuerzo longitudinal, que el pandeo hubiera sido descrito de manera explicita e identificado en las gráficas carga-desplazamiento o momentocurvatura, y que éste hubiera sido documentado mediante ilustraciones o fotografías del espécimen ensayado. Para la base de datos, se obtuvo la información de las propiedades de los materiales empleados, así como de las historias de carga aplicadas. Las principales características de los especímenes considerados en la base de datos son la forma de la sección transversal, F , y la relación de carga axial, P/Agf’c, donde P es la
41
carga axial aplicada. La tabla 4.1 también muestra la relación claro de cortante a peralte, M/VD, medida como el cociente entre el momento actuante, M , y el producto del cortante actuante, V , y el peralte de la sección, D. Además, muestra los valores de f’c y del esfuerzo de fluencia del refuerzo longitudinal y transversal, f y y f yh, respectivamente, así como la cuantía del refuerzo longitudinal, ρ l. La misma tabla muestra los valores de la separación de estribos, S h, así como la relación entre esta separación y el diámetro de la barra longitudinal, S h /d bl. Los casos que no se tomaron en cuenta para formar la base de datos contenida en la tabla 4.1 fueron aquellos con condiciones especiales para las cuales el tipo de pandeo observado no correspondía al que quería evaluarse dentro de esta investigación, como por ejemplo, haber presentado fallas combinadas de flexión y cortante, o falla frágil por cortante, la cual es común en elementos con relaciones de aspecto pequeñas ( M/VD < 2.5). Otros casos no se tomaron en cuenta por tener relaciones de carga axial elevadas (P/Ag f’c > 0.4), las cuales se consideran poco realistas en columnas de edificaciones en zonas sísmicas. Igualmente se descartaron los casos donde se emplearon concretos de alta resistencia ( f’c > 60 MPa), cuyo comportamiento sale del patrón de análisis considerado en esta investigación. Como resultado, del total original de 80 columnas se seleccionaron 45 para formar la base de datos de este estudio. De ellas, 22 fueron circulares, 21 de sección cuadrada y dos rectangulares. Las 35 columnas que aparecen resaltadas en la tabla 4.1 fueron las que no se tomaron en cuenta por alguna de las razones antes mencionadas. Una descripción más detallada del tipo de columnas analizadas durante esta investigación puede encontrarse en el apéndice A, donde se muestran los nombres de los especímenes, los datos específicos de cada uno de los ensayes y los nombres de los investigadores que los realizaron. 4.2 Características del acero de refuerzo empleado en los especímenes
Es relevante conocer las propiedades mecánicas de la curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo de los especímenes considerados en la base de datos experimental. Para este fin, se clasificaron los aceros de refuerzo longitudinal de estos ejemplares en tres grupos, según sus propiedades.
42
TABLA 4.1 PARÁMETROS CONSIDERADOS EN LA BASE DE DATOS No
Espécimen
F
f´ c
P/Ag f´ c
M/VD
S h /d bl
f y (MPa)
1
KOWA 1 KOWA 2 KOWA 3 KOWA 4 SOES 1 SOES 2 SOES 3 SOES 4 ZAHN 1 ZAHN 2 ZAHN 3 ZAHN 4 ZAHN 5 ZAHN 6 ZAHN 7 ZAHN 8 WATS 5 WATS 6 WATS 7 WATS 8 WATS 9 WATS 10 WATS 11 TANA 1 TANA 2 TANA 3 TANA 4 TANA 5 TANA 6 TANA 7 TANA 8 TANA 9 TANA 10 TANA 11 TANA 12 MANDER A
{ { { {
30.9 30.9 30.9 30.9 46.5 44.0 44.0 40.0 36.2 28.8 32.3 27.0 32.3 27.0 28.3 40.1 41.0 40.0 42.0 39.0 40.0 40.0 39.0 25.6 25.6 25.6 25.6 32.0 32.0 32.1 32.1 26.9 21.2 29.7 24.6 30.0
0.05 0.05 0.05 0.05 0.10 0.30 0.30 0.30 0.23 0.43 0.23 0.42 0.13 0.58 0.22 0.39 0.50 0.50 0.70 0.70 0.70 0.50 0.70 0.20 0.20 0.20 0.20 0.10 0.10 0.30 0.30 0.10 0.10 0.30 0.50 0.10
5.33 5.33 5.33 5.33 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.50 4.50 4.50 4.50 3.00 3.00 3.00 3.00 2.97 2.97 2.97 2.97 4.27
4.00 4.00 4.00 4.00 5.31 4.88 5.69 5.88 5.25 4.06 4.50 3.44 8.44 4.69 7.31 5.75 5.06 6.00 6.00 4.81 3.25 5.25 3.56 4.00 4.00 4.00 4.00 5.50 5.50 4.50 4.50 3.33 4.00 5.00 3.75 6.00
570 570 570 570 446 446 446 446 423 423 423 423 337 337 440 440 474 474 474 474 474 474 474 474 474 474 474 511 511 511 511 432 485 485 485 335
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
f yh (MPa)
S (mm)
0.0210 0.0210 0.0210 0.0210 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0243 0.0243 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0151 0.0157 0.0157 0.0157 0.0157 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0188 0.0213 0.0213 0.0213 0.0156
432 432 432 432 364 360 364 255 318 318 318 318 466 466 466 466 372 388 308 372 308 372 338 333 333 333 333 325 325 325 325 305 308 308 308 320
ρ l
ρ s
Observación
76.2 76.2 76.2 76.2 85.0 78.0 91.0 94.0 84.0 65.0 72.0 55.0 135.0 75.0 117.0 92.0 81.0 96.0 96.0 77.0 52.0 84.0 57.0 80.0 80.0 80.0 80.0 110.0 110.0 90.0 90.0 80.0 80.0 100.0 75.0 60.0
0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.086 0.0122 0.0080 0.0057 0.0224 0.0289 0.0214 0.0280 0.0062 0.0112 0.0156 0.0199 0.0116 0.0055 0.0222 0.0122 0.0410 0.0063 0.0147 0.0275 0.0275 0.0092 0.0138 0.0180 0.0135 0.0219 0.0165 0.0229 0.0148 0.0118 0.0138 0.0208
analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado flexión biaxial flexión biaxial flexión biaxial flexión biaxial P/Agf´c > 0.4 analizado analizado P/Agf´c > 0.4 P/Agf´c > 0.4 P/Agf´c > 0.4 P/Agf´c > 0.4 P/Agf´c > 0.4 P/Agf´c > 0.4 P/Agf´c > 0.4 analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado P/Agf´c > 0.4 analizado
37
MANDER B
30.0
0.50
4.27
3.00
335
0.0156
320
30.0
0.0415
P/Agf´c > 0.4
38
MANDER D
29.0
0.30
4.27
6.00
335
0.0156
320
60.0
0.0208
analizado
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
LEHMAN 407 LEHMAN 415 LEHMAN 430 LEHMAN 815 LEHMAN 1015 LEHMAN 328 LEHMAN 1028 LEHMAN 415P LEHMAN 415S ANG 9 ANG 1M ANG 2M ANG 3M ANG 4M
30.0 30.0 32.0 34.0 34.0 34.0 34.0 37.0 37.0 29.0 26.0 28.5 23.6 25.0
0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.15 0.15 0.20 0.10 0.20 0.20 0.56 0.38 0.21
4.00 4.00 4.00 8.00 10.00 3.00 10.00 4.00 4.00 2.50 4.00 4.00 4.00 4.00
2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 1.32 1.32 2.00 4.00 1.88 2.50 3.44 6.25 5.63
497 497 497 497 497 448 448 462 462 448 308 308 427 427
0.00076 0.0152 0.0300 0.0152 0.0152 0.0275 0.0275 0.0151 0.0151 0.0320 0.0242 0.0242 0.0151 0.0151
607 607 607 607 607 607 607 607 607 372 308 280 320 280
32.0 32.0 32.0 32.0 32.0 25.0 25.0 32.0 64.0 30.0 40.0 55.0 100.0 90.0
0.0070 0.0070 0.0070 0.0070 0.0070 0.0090 0.0090 0.0070 0.0035 0.0104 0.0077 0.0153 0.0283 0.0222
analizado analizado barras en paquete analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado P/Agf´c > 0.4 analizado analizado
{ { { { { { { { { {
43
TABLA 4.1 (Continuación) No
Espécimen
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
PONT 1 PONT 4 PONT 4 PONT 5 GILL 1 GILL 2 GILL 3 GILL 4 KUNNATH 2 KUNNATH 4 KUNNATH 5 KUNNATH 6 KUNNATH 7 KUNNATH 8 KUNNATH 11 KUNNATH 12 SAAT U4 SAAT U6 BOUS 100 BOUS 130 BAYRAK 1HT BAYRAK 2HT BAYRAK 3HT BAYRAK 4HT BAYRAK 5HT BAYRAK 6HT BAYRAK 7HT BAYRAK 8HT
F
f´ c
P/Ag f´ c
M/VD
S h /d bl
f y (MPa)
{ { { { { { { {
28.4 26.6 32.9 32.5 23.1 41.4 21.4 23.5 29.0 35.5 35.5 35.5 32.8 32.8 27.0 27.0 32.0 37.3 24.7 24.7 72.1 71.7 71.8 71.9 101.8 101.9 102.0 102.2
0.24 0.54 0.39 0.35 0.26 0.21 0.42 0.60 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.10 0.10 0.15 0.13 0.33 0.33 0.50 0.36 0.50 0.50 0.45 0.46 0.45 0.47
2.00 2.00 2.00 2.00 2.18 2.18 2.18 2.18 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 2.86 2.86 6.40 6.40 6.04 6.04 6.04 6.04 6.04 6.04 6.04 6.04
3.13 2.08 2.92 2.29 3.33 3.13 3.13 3.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.60 6.25 8.13 4.86 4.61 4.61 5.12 4.61 3.89 4.81 3.58
303 303 303 307 375 375 375 375 448 448 448 448 448 448 448 448 438 437 514 514 454 454 454 454 454 454 454 454
ρ l
0.0243 0.0243 0.0243 0.0243 0.0179 0.0179 0.0179 0.0179 2.0374 2.0374 2.0374 2.0374 2.0374 2.0374 2.0374 2.0374 0.0321 0.0321 0.0129 0.0129 0.0258 0.0258 0.0258 0.0258 0.0258 0.0258 0.0258 0.0258
f yh (MPa)
S (mm)
300 300 423 280 297 316 297 294 434 434 434 434 434 434 434 434 470 425 542 542 463 542 542 463 463 463 542 463
75.0 50.0 70.0 55.0 80.0 75.0 75.0 72.0 19.0 19.0 19.0 19.0 19.0 19.0 19.0 19.0 50.0 65.0 100.0 130.0 95.0 90.0 90.0 100.0 90.0 76.0 94.0 70.0
ρ s
Observación
0.0075 0.0112 0.0080 0.0260 0.0150 0.0230 0.0200 0.0350 0.9448 0.9448 0.9448 0.9448 0.9448 0.9448 0.9448 0.9448 0.0254 0.0195 0.0165 0.0127 0.0315 0.0284 0.0284 0.0512 0.0402 0.0674 0.0272 0.0429
M/VD < 2.5 M/VD < 2.5 M/VD < 2.5 M/VD < 2.5 M/VD < 2.5 M/VD < 2.5 M/VD < 2.5 M/VD < 2.5 analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado analizado f´c > 55 Mpa f´c > 55 Mpa f´c > 55 Mpa f´c > 55 Mpa f´c > 55 Mpa f´c > 55 Mpa f ´c > 55 Mpa f´c > 55 Mpa
El primer grupo, al cual pertenece la mayor parte de los especímenes analizados, corresponde a aceros con resistencia de fluencia promedio de 456 MPa. El segundo grupo tiene una resistencia de fluencia promedio de 536 MPa, y el tercero es de los denominados aceros de baja resistencia, con valores de resistencia de fluencia promedio de 332 MPa. Para definir las propiedades de la curva esfuerzo-deformación de estos aceros, se empleó el modelo de curva monotónica propuesto por Mander et al (1984), el cual utiliza cinco parámetros para definir la zona de endurecimiento por deformación. Estos parámetros son: la resistencia de fluencia, f y; la deformación al inicio del endurecimiento por deformación, ε sh; el esfuerzo máximo, f su; así como su deformación correspondiente, ε su, y el parámetro p, el cual define la forma de la curva en la zona de endurecimiento por deformación.
44
Fig 4.1 Curva esfuerzo-deformación típica de barras de acero de refuerzo sometidas a cargas monotónicas
f s (MPa) 800
600
400 Promedio GRUPO 1 Promedio GRUPO 2
200
Promedio GRUPO 3
0 0.00
s
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
Fig 4.2 Curvas monotónicas experimentales promedio esfuerzodeformación de los grupos de acero de refuerzo considerados
La fig 4.1 ilustra los parámetros que definen la curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo propuesto por Mander et al (1984). Los valores de estos parámetros y los de la deformación de fluencia, ε y, para cada uno de los tres grupos de aceros de refuerzo descritos, se muestran en la tabla 4.2, así como los valores de la media, desviación estándar y coeficiente de variación, X , σ y CV , respectivamente. La fig 4.2 muestra las curvas monotónicas experimentales promedio para los tres grupos de acero de refuerzo descritos en esta sección.
45
TABLA 4.2 PARÁMETROS QUE DEFINEN LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN DE ACEROS DE REFUERZO LONGITUDINAL EN LOS ESPECÍMENES ESTUDIADOS
1 O P U R G
Número de especímenes según tabla 4.1
F y (MPa)
SOES 1, 2, 3, 4 ZAHN 7 y 8 TANA 1, 2, 3, y 4 TANA 9, 10 y 11 TANA 5, 6, 7 y 9 ANG ANG 3 y 4 LEH 407 -1015 LEH 328 y 1028 SAAY 4 y 6 KUNNATH 2-12
X
ε su
p
Referencias
702 674 721 675 588 693 670 662 634 714 723
0.098 0.160 0.120 0.130 0.140 0.123 0.160 0.130 0.140 0.123 0.111
2.97 5.31 3.57 4.82 4.41 3.21 4.14 3.00 3.55 3.34 3.24
Soesianawat, 1986 Zah, 1986 Tanaka, 1990 Tanaka, 1990 Tanaka, 1990 Ang, 1985 Ang, 1989 Lehman et al, 2004 Lehman et al, 2004 Saatciolglu y Ozcebe, 1989 Kunnath et al, 1997
0.013 0.004 0.344
678 40 0.06
0.130 0.019 0.145
3.78 0.78 0.21
0.0028 0.0025
0.015 0.015
693 659
0.115 0.120
3.60 3.20
CV
536 30 0.057
0.0027 0.0002 0.0900
0.015 0.000 0.000
676 24 0.04
0.118 0.004 0.030
3.40 0.28 0.08
ANG 1 y 2 MANDER A y B
308 335
0.0016 0.0016
0.020 0.030
465 460
0.200 0.200
4.24 4.76
X
322 19 0.059
0.0016 0.0000 0.0047
0.025 0.007 0.283
463 4 0.01
0.200 0.000 0.000
4.50 0.37 0.08
ε y
ε sh
446 440 474 511 432 448 427 497 448 438 448
0.0021 0.0020 0.0024 0.0026 0.0022 0.0022 0.0020 0.0024 0.0021 0.0022 0.0020
0.010 0.012 0.010 0.017 0.016 0.010 0.010 0.020 0.020 0.009 0.009
CV
456 27 0.059
0.0022 0.0002 0.0797
KOWA 1, 2, 3 y 4 POUSIAS 100 y 300
557 514
X
σ
2 O P U R G
3 O P U R G
σ
σ
CV X = media aritmética
σ = desviación estándar
F su (MPa)
Moyer y Kowasky, 2003 Kostantakopoulos y Bousias, 2004
Ang, 1989 Mander,1984
CV = coeficiente de variación
En el procedimiento propuesto por Dodd y Restrepo (1995), se establece una equivalencia entre los esfuerzos y deformaciones de barras de acero sometidas a cargas de tensión y los de compresión. Este modelo se basa en el empleo de la hipótesis de que no hay pérdida de volumen de la barra de acero ensayada, lo que implica que las dimensiones longitudinales y transversales varían según el efecto de Poisson. De acuerdo con Dodd y Restrepo (1995), las expresiones siguientes permiten obtener la curva que relaciona el esfuerzo en compresión, f sc, y la deformación en compresión, ε sc (el subíndice c se refiere al caso en compresión) de una barra de acero: f sc
= −
ε sc
f s (1 + ε s )
=
−ε s
1 + ε s
46
2
(4.1) (4.2)
4.3 Requisitos de los reglamentos de diseño
Después de seleccionar los especímenes para la base de datos de esta investigación, se revisó si éstos cumplían los requisitos de diseño sísmico reglamentarios del refuerzo transversal en la zona potencial de formación de articulación plástica. Con esta revisión se pretende conocer las características de diseño respecto a los requisitos de los reglamentos comentados en el cap 3 de este trabajo. En la tabla 4.3 se presentan los resultados de evaluar la base de datos empleando los reglamentos ACI 318-05 (2005) y NTC 2004 (2004). Con fines de comparación, inicialmente se comentan los resultados de emplear requisitos del ACI 318-05 para estructuras clasificadas como de comportamiento sísmico intermedio o de marcos intermedios y los requisitos de las NTC 2004 en su cap 6, relativos al diseño de elementos estructurales comunes. La primera y segunda columnas de la tabla 4.3 muestran los resultados de revisar el requisito referente a la relación entre la separación suministrada y la requerida, considerando que esta relación no debe ser mayor de la mitad de la menor dimensión transversal de la columna (NTC 6.2.3.2 y ACI 21.12.15), ni de (269/ √ f y) veces el diámetro de la barra longitudinal, o 24 veces el diámetro del estribo (NTC 6.2.3.2 y ACI 21.12.5), respectivamente. La tercera columna de esta tabla muestra los resultados de revisar el requisito de que la fuerza de fluencia que pueda desarrollar la barra del estribo o anillo debe ser mayor de seis centésimas de la fuerza de fluencia que puede desarrollar el refuerzo longitudinal (NTC 6.2.3.3). Los requisitos del reglamento ACI 318-05 en su cap 21 para estructuras clasificadas como de comportamiento dúctil o de marcos especiales son similares a los requisitos de las NTC 2004 en su cap 7 para marcos dúctiles. La cuarta columna de la tabla 4.3 presenta la relación entre la cuantía suministrada y la cuantía requerida (NTC 7.3.4.c y ACI 21.12.5), y la quinta columna, la relación entre la separación real y la requerida por estos reglamentos, que indican que ésta no debe ser mayor que la cuarta parte de la menor dimensión transversal de la columna (NTC 7.3.4.d y ACI 21.4.4.1). La sexta columna de esta tabla presenta la relación entre la separación real y la requerida por el reglamento, relativa a que ésta no debe ser mayor de seis veces el diámetro de la barra longitudinal más gruesa (NTC 7.3.4.d, ACI 21.4.4.1).
47
Los valores resaltados en la tabla 4.3 son aquellos que no cumplen los requisitos allí indicados. Como se puede apreciar en ella, en prácticamente todos los casos se cumplen los requisitos de los reglamentos para elementos estructurales comunes, es decir, elementos pertenecientes a marcos diseñados con coeficientes de comportamiento sísmico, Q, menores de 3, en el caso de las NTC 2004, o a marcos intermedios en el caso del ACI 318-05. Sin embargo, cerca de la cuarta parte de la población no cumple los requisitos de confinamiento del núcleo de concreto para marcos dúctiles. En particular, la separación mínima del refuerzo transversal para evitar el pandeo prematuro del refuerzo longitudinal sólo es excedida por el 10 % de la población estudiada. Lo anterior indica que la mayoría de los especímenes de la base de datos tiene un diseño adecuado según las recomendaciones de estos dos reglamentos, en especial en cuanto a los requisitos asociados con el pandeo del acero de refuerzo longitudinal. La tabla 4.4 presenta resultados del mismo tipo que la tabla 4.3 pero considerando el reglamento para estructuras de concreto de Nueva Zelanda (NZS 3101, 1995) . Como se comentó en el cap 3, este reglamento establece requisitos mínimos de la cuantía transversal no sólo para confinamiento del núcleo de concreto, sino también para prevenir el pandeo del refuerzo longitudinal. De la primera a la cuarta columnas de la tabla 4.4 se muestran los requisitos correspondientes a elementos diseñados para estructuras comunes (ductilidad limitada). La primera y segunda columnas de la tabla 4.4 muestran los resultados de la evaluación de los requisitos por confinamiento; la primera relaciona la cuantía suministrada y la cuantía requerida por este reglamento (NZS 8.4.7.1), y la segunda relaciona la separación real y la requerida, relativa a que ésta no debe ser mayor de un tercio de la menor dimensión transversal de la columna (NZS 8.7.4.2). La tercera y cuarta columnas contienen la evaluación de los requisitos para la restricción contra pandeo; la tercera relaciona la cuantía suministrada y la cuantía requerida por el reglamento (NZS 8.4.7.1), y la cuarta muestra la relación entre la separación real y la requerida por el reglamento, relativa a que ésta no debe ser mayor que diez veces el diámetro de la barra longitudinal (NZS 8.7.4.2). De la quinta a la octava columna aparece la evaluación de los mismos requisitos anteriores pero para el caso de marcos dúctiles.
48
TABLA 4.3 EVALUACIÓN DEL DEL DISEÑO DE LOS ESPECÍMENES ESPECÍMENES DE LA BASE DE DATOS CONSIDERANDO LAS NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS NTC-04 Y LOS REQUISITOS PARA CONSTRUCCIÓN DEL ACI 318-05 Unidad
Requisitos para elementos estructurales comunes NTC-2004, marcos intermedios ACI 318-05 Confinamiento
KOWA 1 KOWA 2 KOWA 3 KOWA 4 ANG 9 ANG 1M LEH 407 LEH 415 LEH 415S LEH 415P LEH 815 LEH 1015 LEH 328 LEH 1828 KUNNATH A2 KUNNATH A4 KUNNATH A5 KUNNATH A7 KUNNATH A8 KUNNATH A11 KUNNATH A12 SOES 1 SOES 2 SOES 3 SOES 4 ZAHN 7 ZAHN 8 TANA 1 TANA 2 TANA 4 TANA 5 TANA 6 TANA 7 TANA 8 TANA 9 TANA 11 MANDER A MANDER D ANG 3M ANG 4M SAAT 4 SAAT 6 BOUS 100 BOUS 130
Requisitos para elementos de marcos dúctiles NTC2004, marcos especiales ACI 318-05
Pandeo
Confinamiento
Pandeo
1
2
3
4
4
6
S hsum /S heq hsum heq ≤ 1
S hsum /S heq hsum heq ≤ 1
F yh /F y y ≥ 0.06 yh
ρ s sum / ρ s req ≥ 1 s sum
S h h /b ≤ 0.25
S h h /d b b ≤ 6
0.33 0.33 0.33 0.33 0.15 0.20 0.10 0.10 0.21 0.10 0.10 0.10 0.08 0.08 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.43 0.39 0.46 0.47 0.59 0.46 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.33 0.33 0.27 0.33 0.16 0.16 0.50 0.45 0.29 0.37 0.80
0.70 0.70 0.70 0.70 0.30 0.33 0.33 0.33 0.66 0.33 0.33 0.33 0.21 0.21 0.31 0.31 0.31 0.31 0.31 0.31 0.31 0.31 0.83 0.77 0.89 0.92 1.14 0.90 0.65 0.65 0.65 0.92 0.92 0.76 0.76 0.52 0.82 0.82 0.82 0.96 0.86 0.31 0.42 1.05
0.19 0.19 0.19 0.19 0.12 0.14 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.16 0.16 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.16 0.20 0.16 0.08 0.41 0.41 0.25 0.25 0.25 0.23 0.23 0.23 0.23 0.18 0.16 0.34 0.34 0.42 0.26 0.17 0.06 0.41
1.01 1.01 1.01 1.01 1.06 0.75 1.22 1.22 0.50 0.99 1.08 1.08 1.38 1.38 1.18 0.96 0.96 0.96 1.04 1.04 1.27 1.27 0.36 0.53 0.35 0.19 1.31 1.18 1.02 1.02 0.51 0.80 0.60 0.98 0.73 1.52 0.64 1.19 1.23 1.82 1.16 1.59 1.17 1.02
0.17 0.17 0.17 0.17 0.08 0.10 0.05 0.05 0.10 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.21 0.20 0.23 0.24 0.29 0.23 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.16 0.16 0.13 0.17 0.08 0.08 0.25 0.23 0.14 0.19 0.40
4.00 4.00 4.00 4.00 1.88 2.50 2.00 2.00 4.00 2.00 2.00 2.00 1.32 1.32 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 5.31 4.88 5.69 5.88 7.31 5.75 4.00 4.00 4.00 5.50 5.50 4.50 4.50 3.33 5.00 6.00 6.00 6.25 5.63 2.00 2.60 6.25
49
TABLA 4.4 EVALUACIÓN DEL DEL DISEÑO DE LOS ESPECÍMENES CONSIDERANDO EL REGLAMENTO DE DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO DE NUEVA ZELANDA, NZS 3101(1995) Principios generales y requisitos de diseño comunes Unidad
Confinamiento 1 ρ s sum / ρ s req s sum
KOWA 1 KOWA 2 KOWA 3 KOWA 4 ANG 9 ANG 1M LEH407 LEH 415 LEH415S LEH 415P LEH 815 LEH 1015 LEH 328 LEH 1828 KUNNATH A2 KUNNATH A4 KUNNATH A5 KUNNATH A6 KUNNATH A7 KUNNATH A8 KUNNATH A11 KUNNATH A12 SOES 1 SOES 2 SOES 3 SOES 4 ZAHN 7 ZAHN 8 TANA 1 TANA 2 TANA 4 TANA 5 TANA 6 TANA 7 TANA 8 TANA 9 TANA 11 MANDER A MANDER D ANG 3M ANG 4M SAAT 4 SAAT 6 BOUS 100 BOUS 130
-1.24. -1.24 -1.24 -1.24 -5.09 -6.33 -1.14 -1.14 -0.64 -2.22 -1.20 -1.20 -1.87 -1.87 -1.67 -1.92 -1.92 -1.92 -1.80 -1.80 -1.60 -1.60 -1.65 1.35 0.79 0.32 -2.25 4.26 -3.70 -3.70 -4.71 -2.31 -1.90 14.21 4.02 -0.70 2.81 -1.59 44.16 -6.19 -3.72 -2.69 -1.54 -3.48 -3.79
2 S h h /b ≤ 0.33
Contra pandeo 3 ρ s / ρ s req s sum
0.17 0.17 0.17 0.17 0.08 0.10 0.05 0.05 0.10 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.21 0.20 0.23 0.24 0.29 0.23 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.16 0.16 0.13 0.17 0.08 0.08 0.25 0.23 0.14 0.19
2.51 2.51 2.51 2.51 1.93 2.18 5.68 2.84 1.42 2.84 2.84 2.84 2.67 2.67 2.54 2.54 2.54 2.54 2.54 2.54 2.54 2.54
0.40
2.22 1.71
0.52
0.33 0.47 0.31 0.15 0.64 0.81
1.07 1.07 1.07 0.47 0.47 0.57 0.57 0.38 0.31 1.29 1.29 0.76 0.51
1.45 0.41
4 S h h /b ≤ 10 4.00 4.00 4.00 4.00 1.88 2.50 2.00 2.00 4.00 2.00 2.00 2.00 1.32 1.32 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 5.31 4.88 5.69 5.88 7.31 5.75 4.00 4.00 4.00 5.50 5.50 4.50 4.50 4.00 5.00 6.00 6.00 6.25 5.63 2.00 2.60 6.25 8.13
50
Requisitos de diseño adicionales para estructuras diseñadas para resistir efectos sísmicos Confinamiento
Contra pandeo
5
7
ρ s / ρ s req s sum
-1.34 -1.34 -1.34 -1.34 29.32 6.20 -1.28 -1.28 -0.75 -4.75 -1.38 -1.38 -2.46 -2.4.6 -2.02 -2.54 -2.54 -2.54 -2.29 -2.29 -1.90 -1.90 -6.13 0.68 0.42 0.20
-5.52 149 -14.78 -14.78 5.20 -4.23 -3.81 2.16 1.30 -0.91 0.64 -2.43 1.96
8.29 159.76 -4.91 -3.77 20.65 5.79
6 S h h /b ≤ 0.25
ρ s / ρ s req s sum
0.17 0.17 0.17 0.17 0.08 0.10 0.05 0.05 0.10 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.21 0.20 0.23 0.24 0.29 0.23 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.16 0.16 0.13 0.17 0.08 0.08 0.25 0.23 0.14 0.19
1.78 1.78 1.78 1.78 1.37 1.55 4.03 2.02 1.01 2.02 2.02 2.02 1.89 1.89 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80 1.80
0.40
1.58 1.22
0.52
8
S h h /d b b ≤ 6
0.11
4.00 4.00 4.00 4.00 1.88 2.50 2.00 2.00 4.00 2.00 2.00 2.00 1.32 1.32 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 5.31 4.88 5.69 5.88
0.45
7.31
0.58
0.92 0.92
5.75 4.00 4.00 4.00 5.50 5.50 4.50 4.50 4.00 5.00 6.00 6.00
0.54
6.25
0.36
5.63 2.00 2.60
0.24 0.33 0.22
0.76 0.76 0.76 0.33 0.33 0.41 0.41 0.27 0.22
1.03 0.29
6.25 8.13
La quinta columna de la tabla 4.4 muestra la relación entre la cuantía suministrada y la cuantía requerida por confinamiento (NZS 8.5.4.3). La sexta columna muestra la relación entre la separación real y la requerida por este código, relativa a que ésta no debe ser mayor de un cuarto de la menor dimensión transversal de la columna (NZS 8.5.4.3). La séptima columna indica la cuantía suministrada y la cuantía requerida para restringir el pandeo prematuro del refuerzo longitudinal (NZS 8.5.4.3.). Por último, la octava columna presenta la relación entre la separación real y la requerida por el reglamento, relativa a que ésta no debe ser mayor de seis veces el diámetro de la barra longitudinal (NZS 8.5.4.3). Como en el caso anterior, los valores que aparecen resaltados en la tabla 4.4 son los que no cumplen los requisitos respectivos. En esta tabla se observa que cerca de 40 % de los elementos presentan deficiencias en cuanto a restricción del refuerzo contra el pandeo; sin embargo, los requisitos para confinamiento del núcleo de concreto resultan ser adecuados en casi todos los elementos evaluados. Los requisitos de las recomendaciones ATC-32 se evalúan en la tabla 4.5. La primera columna muestra la relación entre la cuantía suministrada y la cuantía requerida por estas recomendaciones para el confinamiento del núcleo de concreto; la segunda muestra los resultados de evaluar el requisito de confinamiento que está en función del tamaño de la sección. La tercera y cuarta columnas incluyen los resultados de evaluar los requisitos que pretenden evitar el pandeo prematuro del acero de refuerzo longitudinal, uno de los cuales está en función del confinamiento y el otro en función de la separación máxima entre estribos, respectivamente. Como en los casos anteriores, los valores resaltados en la tabla, corresponden a elementos que no cumplen el requisito respectivo. Las recomendaciones del ATC-32 son las más exigentes de las analizadas; los requisitos de confinamiento no se cumplen en casi el 50 % de los elementos, mientras que el 80 % cumple los requisitos para evitar el pandeo prematuro del refuerzo longitudinal.
51
TABLA 4.5 EVALUACIÓN DEL DISEÑO DE LOS ESPECÍMENES DE LA BASE DE DATOS CONSIDERANDO LAS RECOMENDACIONES DE DISEÑO SÍSMICO DEL ATC-32 Requisitos de diseño común Unidad
KOWA 1 KOWA 2 KOWA 3 KOWA 4 ANG 9 ANG 1M LEH407 LEH 415 LEH415S LEH 415P LEH 815 LEH 1015 LEH 328 LEH 1828 KUNNATH A2 KUNNATH A4 KUNNATH A5 KUNNATH A6 KUNNATH A7 KUNNATH A8 KUNNATH A11 KUNNATH A12 SOES 1 SOES 2 SOES 3 SOES 4 ZAHN 7 ZAHN 8 TANA 1 TANA 2 TANA 4 TANA 5 TANA 6 TANA 7 TANA 8 TANA 9 TANA 11 MANDER A MANDER D ANG 3M ANG 4M SAAT 4 SAAT 6 BOUS 100 BOUS 130
Confinamiento
Contra pandeo
1
2
3
ρ s sum / ρ s req
S h /b ≤ 0.20
ρ s sum / ρ s req
0.98
3.61 3.61 3.61 3.61 2.55 2.36 3.30 1.65
1.13 1.13
0.17 0.17 0.17 0.17 0.08 0.10 0.05 0.05 0.11 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06
1.65 1.65 1.65 1.66 1.66 2.25 2.25 2.25 2.25 2.25 2.25 2.25 2.25
0.39
0.22
0.39
0.45
0.20
0.45
0.30
0.24
0.30
0-16
0.24
0.16
1.30 1.13 1.67 1.67 1.12 1.20
0.30
0.22
1.30 1.13 1.67 1.67 1.12 1.20
0.90
0.22
0.90
1.11
0.18 0.18 0.14 0.17 0.08 0.08
1.11
0.26
1.50 1.18 1.35 1.06 1.44 1.10
0.98 0.98 0.98 0.76 0.59
1.38 1.16 0.48 0.84
1.04 1.04 1.02 1.02 1.07 0.89 0.89 0.89 0.96 0.96
0.24 0.22 0.22 0.22
0.84
1.18 0.54
1.39 0.92
1.-50 1.18 1.35 1.06 1.44 1.10
0.23
0.15 0.20 0.44 0.58
52
0.82
0.84
1.18 0.54
1.39 0.92
4 S h /d b ≤ 6 4.00 4.00 4.00 4.00 1.88 2.50 2.00 2.00 4.00 2.00 2.00 2.00 1.32 1.32 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 5.31 4.88 5.69 5.88 7.31
5.75 4.00 4.00 4.00 5.50 5.50 4.50 4.50 4.00 5.00 6.00 6.00 6.25
5.63 2.00 2.60 6.25 8.13
5. EVALUACIÓN DEL MODO DE FALLA DE PANDEO DEL ACERO DE REFUERZO LONGITUDINAL EN LOS ESPECÍMENES ESTUDIADOS 5.1 Introducción
Para evaluar las relaciones momento-curvatura en secciones de concreto reforzado con flexión y carga axial, se admite que las secciones permanecen planas después de la flexión, y que las relaciones esfuerzo-deformación para el concreto y el acero son conocidas. La primera hipótesis implica que la deformación longitudinal en el concreto y el acero en los distintos puntos de una sección es proporcional a la distancia al eje neutro. Numerosos ensayos de laboratorio han demostrado que esta hipótesis es correcta siempre y cuando exista una buena adherencia entre el concreto y el acero, y para relaciones entre claro de cortante y peralte mayores de aproximadamente dos. La segunda hipótesis implica que las propiedades esfuerzo-deformación del acero están bien definidas, tanto de tensión como de compresión, y que igualmente el perfil de la curva esfuerzo-deformación para el concreto es conocido. Considerando estas hipótesis y los requisitos de compatibilidad de deformación y equilibrio de fuerzas, es posible obtener las curvaturas asociadas con un momento y nivel de carga axial. Los modelos que han sido empleados para definir las curvas esfuerzo-deformación para el concreto y el acero, dentro esta investigación, son los propuestos por Mander et al (1984, 1989). El apéndice E de este trabajo presenta las relaciones constitutivas del modelo para el acero considerado, las relaciones constitutivas del modelo esfuerzo-deformación cíclico para el concreto pueden encontrarse en la referencia mencionada. El modelo propuesto por Mander et al (1989) para el concreto confinado se basa en resultados experimentales de columnas de concreto reforzado, y en una expresión sugerida por Popovics (1973). Los criterios involucrados en este modelo esfuerzodeformación para el concreto se ilustran en la fig 5.1. 53
Fig 5.1 Modelo esfuerzo-deformación para el concreto (Mander et al, 1989)
El modelo propuesto se basa en considerar f’cc como el esfuerzo máximo a compresión del concreto confinado; ε cc es la deformación correspondiente al esfuerzo máximo del concreto confinado, y E c es el módulo tangente inicial de elasticidad del concreto. Para evaluar f’cc , es necesario calcular primero el esfuerzo de confinamiento efectivo, el cual se estima empleando el coeficiente de confinamiento efectivo κ e, parámetro que relaciona el área del núcleo de concreto efectivamente confinado con el área total del núcleo. Este modelo se distingue de otros modelos propuestos en la bibliografía por haber sido calibrado mediante ensayos de columnas de tamaño real. La fig 5.1 también muestra la curva esfuerzo-deformación del concreto no confinado, la cual es apropiada para modelar el comportamiento del recubrimiento de concreto de los elementos; en ella f’co es la resistencia del concreto no confinado, y ε co es la deformación correspondiente al esfuerzo máximo del concreto no confinado. Este modelo considera una línea recta en la región ε co<ε c <2ε co. El punto de esfuerzo nulo se alcanza para la deformación de desprendimiento del recubrimiento, ε spall (fig 5.1). Mander et al (1984) proponen para el acero de refuerzo un modelo que define completamente el comportamiento cíclico, el cual emplea parámetros definidos en el caso de las curvas monotónicas. Este modelo se describe con detalle en el apéndice E. Para el modelo monotónico del acero en tensión, estos autores dividen la curva esfuerzo-deformación en tres zonas: zona elástica lineal, zona de fluencia y zona de endurecimiento por deformación. La fig 4.1, presentada en el cap 4, ilustra los parámetros que definen esta curva. Este modelo ha sido ampliamente calibrado por dichos autores con ensayes de barras aisladas sometidas a cargas monotónicas y 54
cíclicas. Una calibración de este tipo fue llevada a cabo por Rodríguez y Botero (1996), para aceros de refuerzo producidos en México. Como se mencionó anteriormente, en esta investigación se consideró que el comportamiento del acero en compresión es diferente al comportamiento del acero en tensión. 5.2 Procedimiento de análisis de la base de datos
Con el objeto de proponer un criterio de evaluación del pandeo del refuerzo, se consideraron las características del modo de falla de pandeo del acero de refuerzo longitudinal de las 45 columnas de concreto reforzado descritas en el capítulo anterior. Con este fin, para cada elemento estructural, se obtuvieron de manera analítica las características de las curvas cíclicas momento-curvatura de la sección crítica, empleando los valores de la historia de carga lateral aplicada en los ensayes, así como los parámetros de geometría y propiedades del refuerzo correspondientes. Se utilizó el programa de computadora COLUMN, desarrollado por Mander et al (1984), para generar estas curvas. Este programa está diseñado para evaluar la respuesta teórica de la relación momento-curvatura y carga lateral-desplazamiento de columnas de concreto reforzado bajo acciones combinadas de carga axial y carga lateral cíclica. La descripción completa del programa se encuentra en la referencia mencionada. El programa COLUMN considera las relaciones de esfuerzo-deformación del concreto y del acero bajo cargas cíclicas. También evalúa la deformación por cortante de la columna y adicionalmente considera el efecto de la penetración de la fluencia del acero de refuerzo longitudinal. Las respuestas obtenidas con el programa COLUMN se expresan en forma de diagramas momento-curvatura y carga-desplazamiento cíclicos, que se comparan con las obtenidas experimentalmente para verificar su similitud. Con este procedimiento se pretende evaluar si la estimación que el programa hace de la respuesta experimental es aceptable. De las relaciones analíticas momento-curvatura se obtuvieron las curvas cíclicas esfuerzo-deformación de las barras de refuerzo longitudinal más críticas, siendo éstas las ubicadas en los extremos del elemento estructural en la dirección de carga. Con base en la información experimental y con el procedimiento descrito a continuación, se identificó el ciclo de carga lateral-desplazamiento experimental para el cual se observó el pandeo del refuerzo durante el ensaye del elemento estructural. Este ciclo de pandeo experimental se ubicó en las curvas analíticas carga lateral-desplazamiento e igualmente en las curvas momento-curvatura, y se trasladó a nivel sección transversal del elemento
55
empleando las curvas esfuerzo-deformación del acero, con el fin de identificar la barra de acero longitudinal más crítica del elemento estructural y ubicar el ciclo de la curva esfuerzodeformación de esta barra correspondiente al pandeo observado. El procedimiento seguido para identificar en el modelo analítico el ciclo de carga lateraldesplazamiento experimental en el cual se observó el pandeo del refuerzo se ilustra con el empleo de los resultados obtenidos con el programa COLUMN, los cuales aparecen en las figs 5.2 y 5.3, correspondientes a las relaciones carga-desplazamiento y momentocurvatura, respectivamente, para el caso de un espécimen ensayado por Soesianawati, (1986). Con fines de comparación, la fig 5.2 muestra con línea continua la gráfica de carga-desplazamiento analítica y con línea punteada la historia carga-desplazamiento experimental. Además, con línea gruesa muestra el ciclo experimental para el cual se observó el pandeo durante el ensaye. Esta información permitió a su vez identificar el ciclo crítico correspondiente carga-desplazamiento de los resultados analíticos y, por tanto, también se pudo identificar la gráfica momento-curvatura analítica de la barra más crítica incluyendo el ciclo momento-curvatura correspondiente al pandeo del refuerzo longitudinal del caso en estudio (fig 5.3). Con esta información se obtuvieron a su vez los resultados de la fig 5.4, la cual muestra la curva esfuerzo-deformación para la barra más crítica del espécimen; además, incluye el ciclo para el cual en el ensaye se observó el pandeo del acero de refuerzo, identificado con línea gruesa (fig 5.4). 450 300 ) N K ( l a r e t a l a g r a C-100
150 0 -80
-60
-40
0
-20
20
40
60
80
100
-150 -300
CICLOS EXPERIMENTALES CICLOS ANALÍTICOS CICLO DE PANDEO
-450 Desplazamiento (mm)
Fig 5.2 Gráfica de carga lateral-desplazamiento experimental y analítica para el elemento Soes 1 (Soesianawati, 1986)
56
400 300 200 ) m N K ( o t n e-0.00025 m o M
100 0 -0.00015
-0.00005 -100
0.00005
0.00015
0.00025
-200 CICLOS ANALÍT ICOS
-300
CICLO DE PANDEO
-400 Curvatura (Rad/mm)
Fig 5.3 Gráfica de momento-curvatura analítica para el elemento Soes 1 (Soesianawati, 1986)
800 600 400 ) a P M ( o z r e u-0.030 f s E
200 0 -0.015
0.000 -200
0.015
0.030
0.045
0.060
0.075
-400 ESF-DEF ANALÍTICO
-600
CICLO DE PANDEO
-800
Deformación
Fig 5.4 Curva esfuerzo-deformación analítica del acero de refuerzo longitudinal más crítico para el elemento Soes 1 (Soesianawati, 1986)
En las curvas esfuerzo-deformación de la barra más crítica del elemento estructural, se define el valor de la deformación máxima en tensión en el ciclo de pandeo, ε sp, la cual ocurre antes de la descarga en que se observó el pandeo durante el ensaye (fig 5.5)
57
Fig 5.5 Definición de la deformación máxima en tensión previa al pandeo, ε sp
El apéndice B presenta las gráficas obtenidas analíticamente con el programa COLUMN para las relaciones carga lateral-desplazamiento, momento-curvatura y esfuerzo-deformación para el concreto y el acero en el lado de la sección más crítica. Estos resultados corresponden a los 45 elementos de la base de datos elaborada para esta investigación. La fig 5.6 muestra los resultados de graficar para los especímenes estudiados el parámetro experimental, ε sp, en el eje de las ordenadas, y el parámetro ( Sh )exp d b , en el eje de las abscisas. El significado del parámetro ε sp se ilustra en la fig 5.5. Los valores de este parámetro mostrados en la fig 5.6 se han adimensionalizado con la media de la deformación en tensión ε su correspondiente a los aceros de refuerzo clasificados como grupo 1 (ε su = 0.130). La tendencia de estos resultados es semejante a la de los resultados mostrados en la fig 2.12, aunque con una dispersión mayor, producto principalmente del efecto del tipo de historia de carga, lo cual será comentado posteriormente. En esta evaluación, el parámetro ( S h )exp es la longitud de barra involucrada en el pandeo y se define como:
( Sh )exp = n S h
(5.1)
En la expresión anterior n es el número de espaciamientos entre estribos, de acuerdo con el modo de falla observado experimentalmente, y el valor de este parámetro es necesario para definir la longitud de la barra involucrada en el pandeo. El valor de n es uno cuando el pandeo ocurre entre un solo espaciamiento entre estribos, y es mayor de uno cuando el pandeo abarca más de un espaciamiento entre estribos (fig 5.7). 58
sp / su 1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00 2
3
4
5
6
7
8
(Sh)exp /db
9
Fig 5.6 Deformación de pandeo experimental adimensional relación de esbeltez experimental ( εsu = 0.130)
versus
Fig 5.7 Tipos de modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal observado en ensayes experimentales
La evaluación de resultados correspondientes a la base de datos experimental mostró que, en general, las columnas con refuerzo longitudinal que tenían relaciones de esbeltez menores o iguales a cuatro (S h /d b ≤ 4) llegaron al pandeo del refuerzo abarcando más de una separación entre estribos. En el apéndice C, se describe el procedimiento empleado para estimar el parámetro n. Este procedimiento está basado en una generalización de la fórmula de Euler desarrollada por Dhakal et al (2002b).
59
9 8 7 b
d / l
6
a c
)
h
S (
5 4 3 2 2
3
4
5
6
7
8
9
(Sh)exp /db
Fig 5.8 Comparación de las relaciones de esbeltez experimentales y calculadas según el procedimiento propuesto por Dhakal y Maekawa (2002b)
La fig 5.8 permite comparar los resultados de aplicar este procedimiento a los 45 especímenes estudiados en esta investigación. En esta figura, la variable ( Sh )exp d b se refiere a la relación de esbeltez estimada cuando se utiliza para su evaluación el parámetro ( S h )exp . La variable S h cal es la longitud de barra involucrada en el pandeo de ésta, calculada de acuerdo con el procedimiento propuesto por Dhakal et al (2002b) descrito en el apéndice C. Como se puede apreciar en la fig 5.8, la comparación entre los resultados analíticos y los observados tiene una correlación aceptable, por lo que se sugiere emplear este procedimiento como herramienta para la evaluación del problema del pandeo del refuerzo longitudinal. 5.3 Evaluación de algunos criterios de pandeo del refuerzo longitudinal
El problema del pandeo del refuerzo longitudinal ha sido estudiado por diversos investigadores, principalmente en el caso monotónico. En pocos casos se ha estudiado el problema del comportamiento cíclico de barras de refuerzo incluyendo pandeo (Monti y Nuti, 1992; Mander et al, 1994; Suda et al, 1996; Pantazopoulou, 1998; Rodríguez et al, 1999; Moyer y Kowalsky (2003); Berry y Eberhard, 2005). Muchos de estos investigadores, han empleado criterios que consideran la deformación en la barra de acero o en el concreto que la rodea para el inicio el pandeo; sin embargo, con fines de diseño es importante conocer la deformación máxima a tensión después de la cual en la descarga se inicia el pandeo, ya que, como se demuestra en este trabajo, esta deformación en
60
tensión se puede relacionar con desplazamientos máximos en un elemento sometido a acciones sísmicas. De las referencias estudiadas, sólo Rodríguez et al (1999), y Moyer y Kowalsky (2003) dan un procedimiento de evaluación que considera la importancia de la deformación máxima a tensión previa al pandeo. Sin embargo, a la fecha no existe un procedimiento confiable y de aplicación sencilla que permita relacionar la ocurrencia del pandeo del refuerzo con parámetros de respuesta del elemento estructural. A continuación, se evalúan algunos criterios propuestos en la bibliografía para conocer el inicio del pandeo del refuerzo longitudinal. Además, siguiendo el procedimiento anteriormente descrito, se evalúa el modo de falla de pandeo del acero de refuerzo longitudinal observado durante ensayes efectuados por diversos investigadores en 45 columnas de concreto reforzado que forman la base de datos analizada en esta investigación. Los resultados experimentales se comparan con los resultados de aplicar los criterios propuestos en la literatura sobre el tema para evaluar el pandeo del acero de refuerzo longitudinal. Entre los criterios considerados para evaluar la base de datos está el de Pantazopoulou (1998), el cual propone una deformación crítica en el concreto que rodea la barra longitudinal previa al pandeo de ésta. También se consideró el criterio de Rodríguez et al (1999), quienes proponen una deformación crítica del acero en compresión para cargas cíclicas reversibles, que ha sido calibrado con ensayes sobre barras de acero aisladas sometidas a cargas monotónicas y cíclicas. El último criterio considerado es el de Moyer y Kowalsky (2003), quienes definen una deformación máxima en tensión del acero previa al pandeo del acero de refuerzo, que ha sido calibrado con resultados experimentales de columnas de concreto reforzado sometidas a carga axial y a carga lateral cíclica reversible. En lo que sigue se evalúa la base de datos con los criterios mencionados. 5.3.1 Modelo de Rodríguez et al (1999) En esta parte del trabajo se evalúa la bondad del modelo de pandeo del refuerzo propuesto por Rodríguez et al (1999) y descrito en el cap 2. Con este fin, se comparan los resultados de aplicar este modelo con los resultados experimentales observados en las 45 columnas
61
analizadas que forman la base de datos de esta investigación. Para ilustrar la aplicación de este modelo, la fig 5.9 presenta esquemáticamente el ciclo analítico esfuerzo-deformación en el acero de refuerzo del elemento estructural en estudio, donde, de acuerdo con el modelo de estos autores descrito en el cap 2, ocurriría el pandeo de la barra. La fig 5.9 muestra que la deformación máxima en tensión de este ciclo es ε sp*. Según el modelo mencionado, para evaluar la deformación máxima en tensión ε sp* se emplea el parámetro ε p*, definido anteriormente (cap 2), el cual permite determinar las coordenadas de las curvas esfuerzo-deformación donde de acuerdo con el modelo ocurre el pandeo del refuerzo; estas coordenadas son (ε p, f p), como se muestra en la fig 5.9. A continuación, se comparan los resultados de aplicar este modelo con los resultados experimentales observados en las 45 columnas analizadas. Para este fin, siguiendo el procedimiento anteriormente descrito de evaluación de curvas esfuerzo-deformación de la barra más crítica en los especímenes de concreto reforzado estudiados, en la historia obtenida analíticamente de ciclos esfuerzo-deformación de la barra más crítica en cada espécimen analizado, se identificó el ciclo correspondiente al inicio del pandeo de refuerzo observado en los ensayes experimentales y se determinó la deformación máxima en tensión en este ciclo, ε sp (fig 5.5). También se evaluó la deformación máxima en tensión del ciclo donde de acuerdo con el modelo de Rodríguez et al (1999) se alcanzaría la deformación máxima en tensión correspondiente al ciclo esfuerzodeformación donde ocurre el pandeo en la barra más crítica, ε sp* (fig 5.9). Los resultados de la evaluación de este modelo para todas las columnas de la base de datos de esta investigación se presentan de manera detallada en el apéndice B. La fig 5.10 muestra los valores obtenidos de la información experimental, ε sp , y los calculados, ε sp*, obtenidos con el procedimiento anteriormente descrito. El parámetro ε p*, necesario para definir ε sp*, se calculó a partir de una figura similar a la 2.12, pero generada empleando las propiedades mecánicas medias de la curva esfuerzo-deformación en compresión de los aceros de refuerzo clasificados como grupo 1 (cap 4), y utilizando el valor de 0.75 para el factor de longitud efectiva, k , parámetro necesario para la aplicación del modelo en estudio. A fin de de emplear una curva del tipo de la fig 2.12 y encontrar el valor de ε p*correspondiente, el parámetro S h (separación de estribos) se consideró igual al parámetro (S h)exp (definido a partir de fotos correspondientes al inicio del pandeo para algunos de los especímenes, o de reportes o artículos para otros).
62
Fig 5.9 Curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo en el ciclo donde ocurre el pandeo del refuerzo, de acuerdo con el modelo de Rodríguez et al (1999)
sp*
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00 0.00
sp
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Fig 5.10 Comparación de deformaciones máximas en tensión experimentales , εsp,
y calculadas, εsp*
En el apéndice D se presenta el desarrollo analítico que apoya el empleo del valor 0.75 para el factor de longitud efectiva, k . No obstante, este valor también ha sido recomendado por algunos investigadores a partir de ensayes experimentales (Mander et al, 1984; Zahn, 1986). La fig 5.10 indica una buena correlación entre los resultados experimentales correspondientes al pandeo observado en los 45 especímenes estudiados y los calculados empleando 63
el modelo de Rodríguez et al (1999). Estos resultados sugieren que la aplicación del modelo lleva a predicciones razonables del modo de falla por pandeo del refuerzo en secciones críticas de elementos de concreto reforzado sometidos a cargas laterales cíclicas reversibles. Como se observa en la fig 5.10, para algunos casos se obtienen resultados conservadores, producto principalmente de que las observaciones del pandeo del refuerzo durante los ensayes experimentales son visuales, y no se basan en procedimientos rigurosos de medición del fenómeno en laboratorio. 5.3.2 Modelo de Moyer y Kowalsky (2003) Para evaluar la bondad de este modelo se emplean curvas analíticas momento-curvatura para el elemento estructural en estudio, generadas a partir de los resultados del programa COLUMN. En la fig 5.11 se ubica el punto para el que, de acuerdo con el modelo de Moyer y Kowalsky (2003) descrito en el cap 2, se presenta la ductilidad de curvatura (definida como la relación entre la curvatura inelástica y la curvatura de fluencia) correspondiente al inicio del pandeo, µ φ KOW , (ec 2.15). Este punto se correlaciona con los resultados de las curvas esfuerzo-deformación para la barra más crítica del elemento estructural, donde se ubica el ciclo de pandeo según este criterio. La deformación máxima en tensión para este ciclo se define como ε spKOW , parámetro que se ilustra en la fig 5.12. De acuerdo con el modelo de Moyer y Kowalsky (2003), en su aplicación se debe emplear un factor de longitud efectiva, k , igual a uno, así como el valor correspondiente de relación de esbeltez de la barra de refuerzo longitudinal Sh d b . Para esta variable se empleó la relación de esbeltez experimental ( Sh )exp d b , considerando la información experimental del número de estribos involucrados en el pandeo. Es de interés comparar los resultados de evaluar este modelo con los resultados experimentales observados en las 45 columnas analizadas. Para este fin, siguiendo el procedimiento anteriormente descrito de evaluación de curvas esfuerzo-deformación de la barra más crítica en los especímenes de concreto reforzado, se identificó el ciclo correspondiente a la iniciación del pandeo observado en los ensayes experimentales. Con esta información y empleando resultados de análisis momento-curvatura se evaluó la deformación máxima en tensión en este ciclo, ε sp (fig 5.5).
64
Fig 5.11 Curva momento-curvatura que muestra el ciclo donde ocurre el pandeo del refuerzo, de acuerdo con el modelo de Moyer y Kowalsky (2003)
Fig 5.12 Curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo en el ciclo donde ocurre el pandeo del refuerzo, de acuerdo con el modelo de Moyer y Kowalsky (2003)
También se evaluó la deformación máxima a tensión del ciclo donde de acuerdo con el modelo de Moyer y Kowalsky (2003) se alcanzaría el pandeo, ε spKOW (fig 5.12). Los resultados detallados de la evaluación de este modelo para todas las columnas que formaron la base de datos de esta investigación se presentan en el apéndice B. 65
KOW sp
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00 0.00
sp
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Fig 5.13 Comparación de deformaciones máximas en tensión experimentales, ε sp , y KOW calculadas, ε sp
La fig 5.13 muestra los valores de ε sp obtenidos empleando la confirmación experimental y los calculados ε spKOW obtenidos como se describió anteriormente. La comparación de estos valores indica que la aplicación del modelo propuesto por estos autores resulta conservador para muchos de los casos analizados. Un factor que influye en esta dispersión es que, de acuerdo con el modelo empleado, en el cálculo de la deformación máxima en tensión previa al pandeo del refuerzo se emplea el valor de uno para el factor de longitud efectiva k, valor sugerido por Moyer y Kowalsky (2003). 5.3.3 Criterio de Paulay y Priestley (1992) Paulay y Priestley (1992) proponen un criterio para la evaluación del pandeo del refuerzo longitudinal en función de la deformación última en tensión del acero, ε su, correspondiente al esfuerzo máximo que puede alcanzar la barra, f su, (fig 4.1). Este criterio se basa en suponer que el pandeo se presentará en la reversión de la carga, cuando la deformación previa en tensión del acero haya sido al menos 0.5 ε su. Al igual que en los casos de evaluación de los modelos anteriores, en las curvas esfuerzodeformación obtenidas de análisis momento-curvatura con el programa COLUMN para la barra más crítica de la sección, se identificó el punto en la curva correspondiente a la deformación de pandeo. Sin embargo, no en todos los casos analizados el acero alcanzó la referida de deformación de 0.5ε su antes de llegar al pandeo. Los resultados de la evaluación de este modelo para todas las columnas que formaron la base de datos de esta investigación se presentan en el apéndice B. 66
PAULAY sp
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00 0.00
sp
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Fig 5.14 Comparación de deformaciones máximas en tensión experimentales, PYP εsp, y calculadas, εsp La fig 5.14 muestra resultados de aplicar el criterio mencionado de Paulay y Priestley (1992) para los especímenes de la base de datos, los cuales se comparan con los resultados obtenidos empleando la deformación experimental como se ha descrito anteriormente. Para evaluar este criterio se utilizó el valor de ε su suministrado por los investigadores que ensayaron cada uno de los especímenes de este estudio. Como se observa en la fig 5.14, en general este criterio sobrestima los valores de la deformación en tensión que puede tener el refuerzo antes de llegar al pandeo. Estos resultados se pueden explicar considerando que el valor de la deformación máxima en tensión previa al pandeo propuesta por Paulay y Priestley (1992) es arbitraria y este procedimiento no toma en cuenta otras variables involucradas en el fenómeno de pandeo. 5.3.4 Modelo de Pantazopoulou (1998) Este criterio se basa en la consideración de que la falla por pandeo del refuerzo longitudinal ocurre debido principalmente al aplastamiento y expansión del núcleo de concreto, producto de la transmisión de esfuerzos del refuerzo longitudinal al núcleo de concreto confinado, lo cual es resultado de requerimientos de compatibilidad de deformaciones en la sección. Como se comentó en el cap 2, en este criterio se emplea una deformación crítica en compresión del concreto, ε ccr , en función de la relación de esbeltez de la barra longitudinal (ec 2.6) asociada al pandeo del acero.
67
Fig 5.15 Curva esfuerzo-deformación del concreto en el ciclo donde de acuerdo con el modelo de Pantazopoulou (1998) ocurre el pandeo del refuerzo.
La fig 5.15 ilustra el ciclo analítico esfuerzo-deformación del concreto en el lado más crítico del elemento estructural en estudio, con el que se evalúa la deformación crítica en compresión, εccr, propuesta por Pantazopoulou (1998). Para evaluar el parámetro ε ccr se requiere conocer la relación de esbeltez de la barra de acero longitudinal S h /d b, y para este parámetro se usó el valor experimental (S h)exp. A fin de evaluar este modelo de pandeo y comparar sus resultados con los resultados experimentales observados en las 45 columnas analizadas, se identifica el ciclo donde en el ensaye ocurrió el pandeo, en la historia experimental carga-desplazamiento, y con esta información en los ciclos esfuerzo-deformación del concreto en el lado más crítico de la sección se identifica el ciclo correspondiente al pandeo experimental (fig 5.16). En el ciclo identificado de esta manera, se determina cual fue la máxima deformación en compresión en el concreto, ε cp, previa al pandeo. También se evalúa la deformación máxima en compresión en el concreto, ε ccr , para la cual se alcanzaría el pandeo de acuerdo con el modelo de Pantazopoulou (1998) (fig 5.15). Los resultados de la evaluación de este modelo para las 45 columnas de la base de datos se muestran con detalle en el apéndice B. Los resultados de esta comparación aparecen en la fig 5.17, donde las deformaciones en el concreto calculadas con el criterio de Pantazopoulou (1998) en la vecindad de la barra de refuerzo que llega al pandeo son bastante conservadoras. Esto se debe a que con el referido criterio se supone el cierre completo de grietas previo al pandeo del acero, lo cual es posible en acciones de tipo monotónico, mas no bajo acciones de tipo cíclico
68
Fig 5.16 Definición de la deformación máxima en compresión previa al pandeo, ε cp
cr c
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0.00
cp
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Fig 5.17 Comparación de deformaciones máximas en compresión experimentales, ε cp , cr y calculadas, ε c
5.4 Comentarios adicionales
De acuerdo con la evaluación de los resultados experimentales de los 45 especímenes estudiados, la aplicación del modelo de Rodríguez et al (1999) lleva a resultados que tienen una correlación aceptable con los experimentales, lo que sugiere que el comportamiento del refuerzo longitudinal es fundamental en el mecanismo de pandeo, y que la estabilidad de la zona de compresión en una sección de concreto reforzado está gobernada por este
69
comportamiento. Sin embargo, debe ligarse el cálculo del ε p* con una deformación máxima a tensión del acero; además, este criterio debe extrapolarse al comportamiento de la sección y del elemento, ya que variables como esfuerzos y deformaciones en el acero de refuerzo longitudinal y concreto no son fácilmente calculables. En general, el modelo propuesto por Moyer y Kowalsky (2003), descrito en el cap 2, tiene una definición conceptual del mecanismo de pandeo bastante adecuada; sin embargo, existen incertidumbres en la definición de algunas variables que se emplean en el modelo. Para evaluar la deformación residual permanente en la barra de acero al inicio de cada ciclo, ε sgr , estos autores consideran para este parámetro un valor igual al 50 % de la deformación máxima a tensión para cada nivel de deformación, ε sfl. Por otro lado, el emplear un factor de longitud efectiva, k , igual a uno, puede llevar a resultados conservadores. Es importante, mencionar que Moyer y Kowalsky (2003) comentan que las expresiones propuestas para las variables que influyen en el pandeo deben ser calibradas en el futuro. El criterio propuesto por Paulay y Priestley (1992) es arbitrario, y está del lado de la inseguridad. El propuesto por Pantazopoulou (1998) es extremadamente conservador, producto de considerar una hipótesis debatible, pues en un elemento diseñado para resistir demandas sísmicas es de esperar que incursione en deformaciones inelásticas importantes, lo que implica grandes desplazamientos laterales y, por tanto, altas deformaciones a tensión en el acero. Como se ha mostrado, las incursiones cíclicas reversibles inelásticas importantes en tensión en el acero de refuerzo pueden llevar al pandeo de este refuerzo no sólo en condiciones de deformación en compresión, sino también en condición de deformaciones en tensión.
70
6. PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN DEL MODO DE FALLA DE PANDEO DEL REFUERZO LONGITUDINAL APLICADO AL DISEÑO 6.1 Introducción
Después de evaluar las características del modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal en 45 elementos de concreto reforzado sometidos en el laboratorio a acciones sísmicas, así como algunos de los criterios propuestos en la bibliografía sobre predicción del pandeo del refuerzo longitudinal (Pantazopoulou, 1998; Rodríguez et al, 1999; Moyer y Kowalsky, 2003, y Paulay y Priestley, 1992), se decidió emplear el modelo propuesto por Rodríguez et al (1999). Como se ha visto, para definir un procedimiento de predicción del pandeo de la barra de acero longitudinal en elementos sometidos a cargas cíclicas reversibles, los resultados de emplear este modelo tuvieron mejor correlación con la información experimental que los obtenidos con los otros modelos considerados en este estudio. Se comentó en el capítulo anterior que una variable significativa en el procedimiento propuesto por Rodríguez et al (1999) es la deformación máxima en tensión previa al pandeo. Este criterio, emplea una deformación característica a compresión, ε p*, en función de la relación de esbeltez, S h /d b. Este parámetro toma en cuenta las deformaciones en tensión de la barra anteriores al inicio del pandeo; sin embargo, dada la naturaleza de las acciones sísmicas, y a pesar de las bondades que hasta ahora ha demostrado tener el parámetro, éste no puede ser un parámetro único a partir del cual pueda establecerse un criterio de diseño, pues para un mismo valor de este parámetro se puede alcanzar el pandeo de la barra para ciclos esfuerzo-deformación con diferentes amplitudes máximas de deformación en tensión. Este problema se pone en evidencia con los resultados presentados en la fig 6.1, que ilustra las curvas cíclicas analíticas esfuerzo-deformación en la barra más crítica de dos 71
columnas idénticas sometidas en laboratorio a diferentes historias de carga (Kunnath, 1997). Estas curvas se obtuvieron con el procedimiento descrito en el cap 4, es decir, a partir de análisis momento-curvatura para la sección crítica del elemento estructural, para lo cual se emplearon como datos los valores de las cargas experimentales, considerando además las propiedades geométricas y de refuerzo del elemento estructural. De acuerdo con los resultados mostrados en la fig 6.1, antes de que ocurra el pandeo observado en los especímenes, en el caso del espécimen con ciclos asimétricos se observan incursiones relevantes de deformaciones máximas en tensión (fig 6.1b), las cuales son mayores que las deformaciones máximas en tensión en el espécimen con ciclos aproximadamente simétricos (fig 6.1a). Sin embargo, como se aprecia en la fig 6.1, el valor del ε p* es el mismo en ambos casos, de acuerdo con el modelo de Rodríguez et al (1999); para un tipo específico de acero este parámetro depende principalmente de la relación de esbeltez de la barra de refuerzo, que es la misma en ambos especímenes. Este problema conduce a la necesidad de buscar un criterio que lleve a uniformizar el parámetro ε p*, y que conduzca a un valor único de la deformación máxima en tensión previa al pandeo del refuerzo longitudinal, lo que se explora a continuación.
Fig 6.1 Curvas cíclicas carga-desplazamiento lateral y esfuerzo-deformación calculadas en la barra más crítica de secciones críticas en especímenes (Kunnath, 1997) idénticos sometidos a diferentes historias de carga
72
6.2 Modelos propuestos para el pandeo del acero de refuerzo longitudinal
En esta parte del trabajo se describen dos modelos que se proponen para evaluar el inicio del pandeo del refuerzo longitudinal en elementos de concreto reforzado. Con base en los resultados encontrados empleando estos dos modelos se plantea el empleo de uno de ellos como herramienta básica de un procedimiento de diseño que se describe posteriormente. 6.2.1 Modelo 1 El primer modelo propuesto para definir el estado límite de falla asociado al pandeo del acero de refuerzo longitudinal se basa en emplear los resultados de la base de datos seleccionada para este estudio, para la cual se evalúa la demanda de deformaciones en el refuerzo longitudinal de secciones críticas de columnas de concreto reforzado sometidas a acciones sísmicas. Esta demanda de deformaciones se evalúa empleando curvas cíclicas esfuerzo-deformación del refuerzo longitudinal calculadas con la ayuda de análisis momento-curvatura. En estas curvas se ubica el ciclo crítico donde ocurre el pandeo, para lo cual se emplea el parámetro ε p* y la hipótesis de que el pandeo del refuerzo ocurre en la descarga del ciclo crítico en tensión cuando la deformación en la barra es nula. Esta condición se ilustra en la fig 6.2, donde la línea punteada identifica el ciclo crítico en tensión de acuerdo con el modelo 1 propuesto y su correspondiente deformación máxima ε ’sp, así como el parámetro ε p* empleado para definir este ciclo. La línea continua de la fig 6.2 muestra, con fines de comparación con el modelo 1 propuesto, un ejemplo de un ciclo crítico de pandeo que es posible que ocurra en un elemento estructural bajo solicitaciones sísmicas. La figura muestra que el modelo 1 propuesto traslada la deformación en tensión antes del pandeo obtenida de la información experimental ε sp*, a un nuevo punto ε ’sp, calculado mediante el empleo del parámetro ε p*. El parámetro ε ’sp se define como: ε ’sp = ε p* + ε sy
(6.1)
El significado de ε sy se ilustra en la fig 6.2, a partir de un estudio de la base de datos experimental se estimó para ε sy el valor de 1.5ε y. El empleo de la ec 6.1 implica considerar que la barra de acero longitudinal tiene cierta deformación característica a compresión, ε p*, la cual, como se comentó anteriormente, ha sido calibrada con ensayes experimentales de barras de acero longitudinal aisladas sometidas a cargas monotónicas y cíclicas reversibles (Rodríguez et al, 1999), siendo similar en ambos casos, cuando en el caso cíclico es medida desde el punto donde se inician los esfuerzos de compresión (fig 6.2). 73
Fig 6.2 Ciclo crítico en tensión propuesto en el modelo 1 para definir el modo de falla de pandeo del refuerzo
Este modelo supone además que, para el pandeo, la barra de acero longitudinal constituye el único mecanismo para la estabilidad de la sección crítica. En un elemento estructural diseñado bajo especificaciones sísmicas, se esperan incursiones importantes en el intervalo inelástico, lo que implica un núcleo de concreto agrietado cuando la barra alcanza su máxima deformación en tensión y, muy seguramente, que las grietas en el concreto no estén totalmente cerradas cuando la barra alcanza su deformación característica a compresión, ε p*. Considerar que ε p* se presenta en el punto donde hay un cambio de signo en la deformación, implica que la deformación de pandeo ε p (fig 5.5) es nula, y aunque experimentalmente se ha observado que esta deformación asociada al momento del pandeo en algunos casos es mínima, ésta puede presentar valores negativos o positivos. La fig 6.3 presenta esquemáticamente el perfil de deformaciones que se considera existe en el elemento cuando se presenta la deformación máxima en tensión previa al pandeo ε ’sp (estado 1), y cuando ocurre el pandeo del refuerzo (estado 2). Esta condición de fijar el parámetro ε p* al punto de cero deformación tiene la ventaja que normaliza los resultados experimentales, definiendo el pandeo de la barra en este punto después de haber alcanzado una cierta deformación en tensión previa.
74
Fig 6.3 Perfil de deformaciones para el modelo 1 de pandeo considerado ,
sp/ su
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
(Sh)exp /db
0.0 2
4
6
8
10
Fig 6.4 Deformación de pandeo adimensional propuesta versus relación de esbeltez experimental ( εsu= 0.130)
En la fig 6.4 se presentan los resultados de evaluar el parámetro ε ’sp para los especímenes estudiados. Los resultados de la evaluación de este parámetro se presenta en el eje de las ordenadas y el parámetro (S h)exp /d b en el eje de las abscisas. El parámetro ε ’sp, en la fig 6.4 se ha dividido con la media de la deformación en tensión ε su correspondiente a los aceros de refuerzo clasificados como grupo 1 (ε su = 0.13, cap 4). La tendencia de estos resultados es semejante a la de los resultados mostrados en la fig 5.6, aunque con una dispersión mucho menor, producto principalmente de la normalización de la deformación ε ’sp. Más adelante se presentan los resultados de evaluar deformaciones laterales empleando el modelo propuesto y los resultados experimentales de las 45 columnas analizadas en la 75
base de datos. Para el cálculo de esta deformación lateral, se empleó la curvatura última asociada al pandeo, φ sp, que se puede calcular tomando en cuenta el perfil de deformaciones relativo a este estado (véase fig 6.3) y la siguiente expresión: φ sp =
, ε sp
(d − c)
(6.2)
En la ec 6.2 el parámetro d es el peralte efectivo de la sección. El parámetro c es la profundidad del eje neutro asociada a la deformación en tensión ε ’sp y estimada a partir de relaciones de equilibrio en la sección, empleando los datos experimentales. Para estimar la longitud de la articulación plástica, en esta investigación se empleó la ecuación propuesta por Priestley y Park (1987). L p = 0.08 Lcol + Lp y
(6.3)
En la expresión anterior, Lcol es la longitud libre de la columna y L py la longitud de penetración de fluencia del acero de refuerzo longitudinal, calculada como seis veces el diámetro de la barra de refuerzo longitudinal (6d bl). Esta expresión fue obtenida por Priestley y Park (1987) a partir de la evaluación de los resultados de ensayes ante cargas laterales de columnas de concreto reforzado. Los resultados de calcular las rotaciones en la base de 45 columnas correspondientes al inicio del pandeo, θ sp p , y las rotaciones medidas en ellas correspondientes al pandeo observado, θ sp e , se muestran en la fig 6.5. La rotación θ sp p se calculó como θ sp p = θ y + θ p
(6.4)
donde θ y es la rotación de fluencia calculada y θ p la rotación plástica calculada como: θ p = φ sp Lp
(6.5)
La dispersión entre los valores de rotaciones calculadas empleando el modelo 1 y medidas correspondientes al inicio del pandeo que se observa en la fig 6.5 es apreciable. Esta dispersión se debe principalmente a las hipótesis empleadas para evaluar la deformación máxima en tensión del acero previa al pandeo ε ’sp, así como para definir la longitud de la articulación plástica. Igualmente, la variabilidad de características de las columnas estudiadas, así como la variabilidad de la influencia de los diferentes parámetros considerados en el modelo propuesto, aumenta la dispersión. 76
p sp
15%
10%
nota 1
nota 2 nota 1
5%
e
0% 0%
5%
10%
sp
15%
Fig 6.5 Comparación de la deformación experimental y la deformación calculada mediante el modelo 1 (nota 1: M/VD = 10; nota 2: ciclo monotónico)
p e sp / sp
sp
p
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
P/Agf'c
0 0
0.1
0.2
0.3
(a)
0.4
0.5
/
e
p
sp
sp
0
M/VD 0
2
4
6
(b)
8
10
/
e sp
/
0 0
0.5
1
1.5
ATC
2
(c)
Fig 6.6 Relación de deformaciones relativas contra algunas relaciones fundamentales
La fig 6.5 muestra que algunos puntos con mayor variabilidad entre resultados calculados y medidos corresponden a casos especiales, como por ejemplo la relación alta de esbeltez del elemento o casos de carga lateral de tipo monotónico. La fig 6.6 ilustra de otra manera los resultados de la fig 6.5, con el objeto de evaluar la influencia de diversos parámetros en la relación θ sp p θ sp e . La fig 6.6a muestra la relación entre las deformaciones relativas calculadas y experimentales en función de la relación de carga axial, en este caso se observa que el modelo propuesto tiende a subestimar la 77
deformación relativa para relaciones de carga axial menores y a sobrestimarla para relaciones de carga axial mayores. Lo anterior se puede deber, principalmente, a que el modelo de pandeo propuesto no considera la deformación de pandeo ε p, la cual, según lo observado en esta investigación, puede presentar valores negativos o positivos directamente relacionados con la relación de carga axial del elemento. Igualmente, la fig 6.6b muestra que el modelo de pandeo propuesto (modelo 1) subestima las deformaciones para relaciones de aspecto grandes; sin embargo, de acuerdo con los resultados de la fig 6.6c no se aprecia una influencia clara de la cantidad de refuerzo transversal que tiene el elemento en los resultados del empleo del modelo 1. Como se comentó anteriormente, el criterio de obligar a que el pandeo se presente para el cambio de signo de la deformación de tensión a compresión no considera la deformación de pandeo ε p, lo que no necesariamente está del lado de la seguridad, pues ésta puede tener valores positivos o negativos según el pandeo se presente bajo deformaciones de tensión o de compresión. Un enfoque más riguroso debería considerar el valor aproximado de ε p , lo que se considera en el modelo que se describe a continuación. 6.2.2 Modelo 2 Al igual que el primer modelo propuesto, este modelo se basa en evaluar la demanda de deformaciones empleando curvas cíclicas esfuerzo-deformación del refuerzo longitudinal calculadas con la ayuda de análisis momento-curvatura. Sin embargo, este modelo al contrario del anterior, considera que existe una deformación en la barra ε p en el momento en que se presenta el pandeo del refuerzo longitudinal. Esta condición se ilustra en la fig 6.7, donde se identifica el ciclo crítico en tensión de acuerdo con el modelo 2 propuesto y su correspondiente deformación máxima ε ’sp, así como el parámetro ε p* empleado para definir este ciclo y la deformación en el momento en que se presenta el pandeo ε p. La fig 6.7 muestra que el modelo 2 trata de predecir la deformación de pandeo ε p para estimar la deformación máxima en tensión, antes del pandeo, obtenida de la información experimental. El parámetro ε ’sp se define en este caso como: ε’sp = ε p + ε p* + ε sy
78
(6.6)
Fig 6.7 Ciclo crítico en tensión propuesto para definir el inicio del pandeo del refuerzo empleando el modelo 2
p /( p*+ sy )
0.8 0.6 0.4 0.2
P/Agf'c
0.0 -0.2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.4 -0.6 -0.8
Fig 6.8 Variación de la deformación de pandeo ε p con la relación de carga axial (los círculos indican casos monotónicos)
Este modelo considera que en el inicio del pandeo, en la barra pueden existir deformaciones de tensión o de compresión. Para tal fin, a partir de la información
79
experimental se encontró una tendencia entre la deformación ε p y la relación de carga axial, como se muestra en la fig 6.8. A partir de esta tendencia se define la deformación de pandeo, ε p, en función de la relación de carga axial y de la suma del parámetro ε p* y la deformación ε sy. En la fig 6.8 se observa que algunos puntos con relaciones de carga axial pequeñas (P/Ag f’c 0.05) salen de la tendencia de manera relevante; estos puntos corresponden a ≈
elementos que fueron ensayados con cargas laterales de tipo monotónico, lo cual sale del patrón de excitaciones al que podría verse solicitado un elemento estructural durante sismos. La expresión que define la tendencia vista en la fig 6.8 (con línea punteada) se considera de tipo lineal y es la siguiente: ⎡ ⎛ ⎞⎤ * ε p = ⎢0.1 − 1.5 ⎜ P ε + ε sy ) Ag f 'c ⎟⎠ ⎥ ( p ⎝ ⎣ ⎦
(6.7)
Este modelo supone que el perfil de deformaciones que presenta la barra en el inicio del pandeo depende también de la relación de carga axial que tiene el elemento, ya que para relaciones de carga axial pequeñas la barra alcanza mayores deformaciones en tensión antes de llegar al pandeo y por tanto, el pandeo del refuerzo se presenta bajo deformaciones en tensión; sin embargo, a medida que la relación de carga axial aumenta para el elemento, la barra de refuerzo alcanza deformaciones en tensión menores antes de que se presente el pandeo en la reversión de la carga y, por tanto, es probable que el pandeo se presente bajo deformaciones en compresión en la barra de acero. En resumen, como se aprecia en la fig 6.9, este modelo considera que en la condición de pandeo, la barra de acero longitudinal tiene una cierta deformación característica a compresión, ε p*, a la cual le corresponden deformaciones de tensión o de compresión en la barra que dependen de la relación de carga axial que tenga el elemento. La fig 6.9 también presenta esquemáticamente el perfil de deformaciones que se considera existe en el elemento cuando se presenta la deformación máxima en tensión previa al pandeo ε ’sp
(estado 1), y cuando ocurre el pandeo del refuerzo con deformaciones en tensión o
compresión de la barra (estado 2). 80
Fig 6.9 Perfil de deformaciones para el modelo 2 de pandeo
81
p sp
15%
nota 1
10%
nota 2
nota 1
5%
e
0%
sp
0%
5%
10%
15%
Fig 6.10 Comparación de la deformación experimental y la deformación calculada mediante el modelo 2 (nota 1: M/VD=10; nota 2: ciclo monotónico)
La fig 6.10 presenta los resultados de evaluar deformaciones laterales aplicando el segundo modelo propuesto y los resultados experimentales de las 45 columnas analizadas en la base de datos. Para calcular esta deformación lateral, se emplea la curvatura última asociada al pandeo φ sp, que se puede calcular estableciendo relaciones en el perfil de deformaciones relativo a este estado (véase fig 6.9); la profundidad del eje neutro fue estimada a partir de análisis momento-curvatura empleando los datos experimentales y la deformación máxima en tensión previa al pandeo del refuerzo ε ’sp, calculada mediante la ec 6.6, utilizando para el cálculo de la deformación de pandeo ε p, la ec 6.7. Para estimar la longitud de la articulación plástica se empleó la ec 6.3. El coeficiente de correlación para este modelo es igual a 0.77, valor mayor que el coeficiente de correlación que presentó el modelo 1, que fue de 0.68. La mejor correlación entre valores calculados y medidos del modelo 2 respecto al modelo 1 se debe principalmente a la mejor estimación que se hace de la deformación de pandeo. La dispersión de resultados que presenta la fig 6.10 puede deberse al efecto de la historia de desplazamientos sobre la deformación máxima previa al pandeo que puede presentar un elemento.
82
p sp
/
p e sp / sp
e sp
p e sp / sp
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P/Agf'c
0
M/VD
0
2
(a)
4
6
8
10
(b)
0
/
0
0.5
1
1.5
ATC
2
(c)
Fig 6.11 Relación de deformaciones relativas contra algunas relaciones fundamentales
La fig 6.11 muestra nuevamente los resultados de la fig 6.10, pero en función de algunas propiedades estructurales del elemento. En esta figura se observa que ninguna de estas propiedades parece afectar marcadamente los resultados del empleo del modelo propuesto, es decir, la dispersión para cada una es aproximadamente constante en el intervalo considerado de estas variables, excepto para el caso de la relación de carga axial (fig 6.11a). En este caso, se observa la tendencia de tener predicciones del lado de la inseguridad para relaciones de carga axial mayores de aproximadamente 0.2. 6.3 Procedimiento de diseño propuesto
El procedimiento que se presenta a continuación emplea el modelo 2 presentado anteriormente para estimar el desplazamiento lateral máximo, ∆sp, que puede experimentar un elemento estructural en el inicio del pandeo del refuerzo longitudinal. Como aquí se ha mostrado, este modelo presenta una mejor predicción de los resultados experimentales con respecto a los obtenidos con el modelo 1. A partir del desplazamiento ∆sp, se puede estimar la deformación relativa lateral θ sp, correspondiente al inicio del pandeo del acero de refuerzo del elemento. La fig 6.12 presenta esquemáticamente estos conceptos; en ella Lcol representa la altura libre del elemento. El procedimiento emplea el parámetro ε ’sp, propuesto anteriormente en el modelo 2 y definido en la fig 6.7, el cual permite identificar la deformación en tensión en la barra de refuerzo longitudinal antes de llegar al pandeo en la reversión del ciclo.
83
sp
F
Lcol
θ sp =
∆ sp LCOL
Fig 6.12 Definición de variables para el procedimiento propuesto
Para calcular el desplazamiento relativo correspondiente al pandeo del refuerzo se requiere conocer la curvatura última asociada al pandeo, φ sp, y la longitud de formación de la articulación plástica, L p. Para calcular esta curvatura se emplea el perfil de deformaciones relativo a este estado y la siguiente expresión: φ sp =
, ε sp
(d − c)
(6.8)
El parámetro ε ’sp se calcula con la ec 6.6, para lo cual como ayuda de diseño se presenta la fig 6.13, en la que se ha graficado ε p* + ε sy. Estos valores de ε p* se han calculado empleando para k el valor 0.75, así como las propiedades medias de estos aceros, y los casos de la media más y menos una desviación estándar, para el caso de aceros de refuerzo clasificados como grupo 1 en este estudio. Para la aplicación del procedimiento propuesto es necesario calcular el parámetro n (número de espaciamientos entre estribos que definen la zona de pandeo). Una propuesta de procedimiento de cálculo de este parámetro se describe en el apéndice C, como se comentó anteriormente. Además, para calcular ε ’sp con la ec 6.6, faltaría conocer el parámetro ε p, correspondiente a la deformación de pandeo, el cual se calcula con la ec 6.7, que es función de la relación de carga axial y de ε p* + ε sy.
84
* p +
sy
PROMEDIO G1
0.12
PROM + DESV PROM - DESV
0.10 0.08
0.06 0.04
0.02
nSh /db
0.00 0
2
4
6
8
10
*
Fig 6.13 Curvas para el cálculo de la deformación ε p + ε sy
La deformación máxima en tensión previa al pandeo, ε ’sp (véase fig 6.7), se calcula mediante la combinación de resultados obtenidos a partir de la fig 6.13 y la ec 6.7. Conocido el valor de ε ’sp y considerando como dato el peralte de la sección, para poder estimar la respectiva curvatura máxima para fines de diseño, faltaría conocer la profundidad del eje neutro asociada a la deformación máxima en tensión previa al pandeo. Esta profundidad del eje neutro se obtuvo a partir de un estudio de la base de datos experimental analizada en esta investigación, como se describe a continuación. Con los análisis de momento-curvatura generados con el programa COLUMN para los especímenes estudiados, se identificó la deformación máxima en tensión previa al pandeo ε ’sp (fig 6.2) observada en los ensayes de los especímenes y la curvatura correspondiente a esta deformación φ sp. A partir del estado de deformaciones ilustrado en la fig 6.14, y conociendo el peralte efectivo de la sección, se puede determinar la profundidad del eje neutro asociada a la deformación en tensión previa al pandeo del refuerzo, para lo cual se despeja c de la ec 6.8: c = d −
85
ε 'sp φ sp
(6.9)
Los resultados de aplicar el procedimiento anterior para evaluar la relación c/d para la base de datos estudiada se presentan en la fig 6.15. Con base en estos resultados, se propone la siguiente expresión para la profundidad del eje neutro c: c = ⎡3
⎣ 4(
)
P / Ag f c' +
1 ⎤d 4⎦
(6.10)
El resultado de emplear la ec 6.10 se muestra con línea continua en la fig 6.15. Figura que también muestra, con fines de comparación, una expresión propuesta anteriormente por Presland (1999) para la condición de la fibra extrema a compresión εc, igual a 0.003, deformación que de acuerdo con el ACI-318 corresponde al desarrollo del momento nominal. Ambas expresiones, la propuesta en este trabajo y la de Presland (1999), dan resultados similares; sin embargo, han sido obtenidas por caminos diferentes y empleando hipótesis distintas. La expresión propuesta en esta investigación (ec 6.10) se obtuvo para la curvatura máxima que puede presentar la sección previa al pandeo, empleado el parámetro ε p* para el cálculo de esta curvatura, con lo cual se obtienen capacidades de curvatura que corresponderían al comportamiento experimental de especímenes ensayados por otros investigadores. La expresión de Presland (1999) proviene de un estudio paramétrico de columnas, considerando la deformación en la fibra extrema a compresión del concreto asociada al momento nominal resistente. Lo anterior significa que la variación en la profundidad del eje neutro entre el estado en que la sección alcanza su resistencia nominal y el estado en que se alcanza la máxima curvatura, correspondiente al inicio del pandeo del refuerzo longitudinal, no es muy significativa. En resumen, los pasos a seguir en el procedimiento de evaluación propuesto son: 1. Conocidos los detalles del refuerzo longitudinal y transversal, se evalúa la relación de esbeltez asociada al pandeo del refuerzo n(S h)/d b; donde n es el número de espaciamientos entre estribos involucrados en el pandeo, y puede calcularse con el procedimiento presentado en el apéndice C. 2. A partir de esta relación de esbeltez y mediante la fig 6.13, se calcula ε p* + ε sy, (dos últimos términos de la ec 6.6), y mediante la ec 6.7 se calcula ε p. De esta manera, empleando la ec 6.6 se obtiene la deformación máxima en tensión ε ’sp , que podría experimentar el acero de refuerzo antes de llegar al pandeo.
86
Fig 6.14 Perfil de deformaciones asociado a la deformación máxima en tensión calculada por medio del parámetro ε p*
c/d
Propuesta
1.0
Presland, 1999
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
P/Agf'c 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fig 6.15 Variación de c/d con la relación de carga axial
87
3. A partir de la relación de carga axial en el elemento y empleando la ec 6.10, se calcula la profundidad del eje neutro correspondiente a la deformación ε ’sp. 4. Se calcula la curvatura máxima previa al pandeo del refuerzo longitudinal mediante la siguiente expresión: φ sp =
ε , sp d −c
(6.11)
5. La deformación relativa máxima del elemento estructural previa al pandeo de la barra, θ sp , de manera aproximada se define como: θ sp = φ sp Lp
(6.12)
6.4 Resultados del empleo del procedimiento propuesto
La fig 6.16 presenta los resultados de evaluar deformaciones relativas laterales correspondientes al modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal aplicando el procedimiento de diseño propuesto, θ sp p , y los resultados experimentales de las 45 columnas analizadas en la base de datos, θ sp e . La predicción para estas deformaciones, p θ sp , resulta conservadora en algunos casos y del lado de la inseguridad para otros; sin embargo, el procedimiento propuesto es racional y su aplicación lleva a resultados razonables para la predicción de la deformación máxima que puede alcanzar un elemento estructural antes de presentar una falla por pandeo del acero de refuerzo longitudinal. El coeficiente de correlación entre resultados calculados y medidos mostrados en la fig 6.16 es igual a 0.61. Este valor es menor que los correspondientes a los modelos 1 y 2, lo que se debe a que se han empleado algunas hipótesis aproximadas para calcularlo; por ejemplo, para la definición de las variables que intervienen en la ec 6.6, así como para el cálculo de la profundidad del eje neutro correspondiente a la deformación máxima en tensión del acero previa al pandeo ε ’sp (ec 6.10). Otras fuentes de variabilidad son la misma dispersión en los resultados experimentales debido a que la definición del inicio del pandeo durante un ensaye es de tipo subjetivo, así como la variabilidad en el cálculo mencionado de la expresión empleada para definir la longitud de la articulación plástica, pues como se ha comentado en este trabajo, este valor se ve afectado, por ejemplo, por la relación de aspecto del elemento. 88
sp
15%
10%
nota 1
nota 2
5%
e
0%
sp
0%
5%
10%
15%
e
Fig 6.16 Comparación de la deformación experimental (θ sp ) y la deformación calculada ( θ sp ) mediante el procedimiento propuesto (nota 1: M/VD=10; nota 2: ciclo monotónico)
p e sp / sp
p e sp / sp
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
p sp
/
e sp
0 0
0.1
0.2
0.3
(a)
0.4
0.5
P/Agf'c
0
M/VD
0
2
4
6
(b)
8
10
0
/ 0
0.5
1
1.5
2
ATC
(c)
Fig 6.17 Relación de deformaciones relativas contra algunas relaciones fundamentales
La fig 6.17 presenta nuevamente los resultados de graficar la relación entre la deformación propuesta y la experimental en función de algunas características de los especímenes con el fin de evaluar si el modelo propuesto las considera adecuadamente. De acuerdo con los resultados de la fig 6.17, el procedimiento propuesto tiende a ser conservador para elementos con relaciones de carga axial pequeñas (menores de 0.2) y para elementos con relaciones de aspecto altas (de ocho o mayores). 89
e sp
p sp
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00 0.00
P/Agf'c 0.10
0.20
m = 0.06
σ
0.30 = 0.03
0.40
0.50
0.00 0.00
cv = 0.48
P/Agf'c 0.10
0.20
m = 0.05
e
σ
0.30 = 0.02
0.40
0.50
cv = 0.33
p
Fig 6.18 Deformaciones relativas experimentales (θ sp ) y calculadas ( θ sp ) en función de la relación de carga axial
La fig 6.18 presenta los resultados de graficar las deformaciones relativas laterales experimentales, θ sp e , y calculadas, θ sp p , en función de la relación de carga axial del elemento. Muestra además los estadísticos calculados de estos resultados. Se puede observar que el procedimiento propuesto lleva a resultados con un coeficiente de variación (cv) de 0.33, valor menor que el de los resultados experimentales, el cual fue de 0.48 (fig 6.18). Esto indica que el procedimiento propuesto puede ser una herramienta útil para evaluar el modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal en elementos de concreto reforzado.
90
7. CONCLUSIONES En este trabajo se evalúan las características del modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal en elementos de concreto reforzado sometidos a acciones sísmicas en laboratorio. Para esta evaluación, se emplearon resultados de ensayes ante cargas laterales de un grupo de 45 elementos de concreto reforzado en los que se observó el modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal. Los resultados de esta evaluación mostraron que la respuesta del acero de refuerzo longitudinal es fundamental en el fenómeno del pandeo de barras en elementos de concreto reforzado. Se encontró que las variables más significativas en este fenómeno son la relación de esbeltez de la barra S h / d bl, (donde S h es la separación entre estribos y d bl el diámetro de la barra), la historia de deformaciones en la barra, así como el arreglo y la distribución del refuerzo transversal y longitudinal. Se evaluaron diversos procedimientos propuestos en la literatura para definir el inicio del pandeo, para lo cual se empleó una base de datos experimental seleccionada para este estudio. Se encontró que el procedimiento propuesto por Rodríguez et al (1999), el cual fue inicialmente calibrado en probetas de acero sometidas a cargas monotónicas y cíclicas reversibles, resultó adecuado para evaluar el inicio del pandeo en barras de acero embebidas en elementos de concreto reforzado. Para esta evaluación, se recomienda utilizar un factor de longitud efectiva k igual a 0.75, así como la relación de esbeltez nS h / d bl apropiada, donde n es el número de espaciamientos entre estribos asociado a la configuración de pandeo de la barra. El valor de n depende de la relación entre las rigideces de los estribos y la rigidez de la barra longitudinal a la cual restringen, y para calcularlo se considera la distribución del refuerzo longitudinal y transversal. Con base en los resultados de evaluar la información experimental, se propone un procedimiento para determinar el inicio del pandeo del acero de refuerzo en elementos 91
de concreto reforzado sometidos a cargas cíclicas reversibles. Este procedimiento se basa en definir la deformación máxima en tensión que podría alcanzar una barra de refuerzo de un elemento de concreto reforzado antes de llegar al pandeo durante la reversión de la carga en su respuesta cíclica no lineal, independientemente de la manera como se llega a la referida deformación máxima en tensión. El procedimiento propuesto permite la evaluación del modo de falla por pandeo del acero de refuerzo longitudinal en elementos de concreto reforzado sometidos a acciones sísmicas. Se encontró que los resultados de aplicar el procedimiento propuesto y los experimentales estudiados tienen un coeficiente de correlación de 0.6. Se observó que para relaciones de esbeltez de la barra mayores de aproximadamente cuatro, el pandeo de la barra ocurre generalmente entre dos estribos consecutivos. Para relaciones de esbeltez menores de cuatro, el pandeo ocurre abarcando múltiples estribos. Esto indica que para relaciones de esbeltez pequeñas, la suposición de una configuración de pandeo de la barra entre dos estribos consecutivos no es conservadora, porque la barra llegaría al pandeo para deformaciones en compresión menores y abarcando más de un espaciamiento entre estribos. El procedimiento es aplicable en enfoques modernos de diseño sísmico como el llamado diseño sísmico por desempeño. Sin embargo, es necesario realizar estudios que describan la interacción entre el confinamiento y la restricción contra el pandeo, pues los enfoques tradicionales de diseño consideran independientemente los requisitos para el confinamiento del núcleo de concreto y para la estabilidad lateral al refuerzo longitudinal, lo que conduce a emplear la contribución simultánea de los estribos para restringir el acero longitudinal contra pandeo y para lograr el confinamiento del núcleo de concreto.
92
8. RECONOCIMIENTO Esta investigación fue parte de la tesis de maestría del primer autor, patrocinada por CONACYT (proyecto de investigación No 38593-U) y el programa UCMEXUS, de la Universidad de California y CONACYT (proyecto de investigación PS/CN03-31). Se agradece a estas instituciones su apoyo.
93
9. REFERENCIAS American Concrete Institute (2005), Building code requirements for structural concrete and commentary, ACI 318-05 Committee 318, Farmington Farming ton 318-05, American Concrete Institute Committee Hills, Michigan, EUA Ang, BG (1985), Dynamic Shear Strength of Concrete Piers, research report 85-5, Department of Civil Engineering, University of Canterbury, Christchurch, Nueva Zelanda Ang, BG (1989), Ductility of reinforced concrete bridge piers under seismic loading , research report 81-3, Department of Civil Engineering, University of Canterbury, Christchurch , Nueva Zelanda Applied Technology Council (1996), Improvement seismic design criteria for California bridges: Provisional recommendations, ATC-32, Applied Technology Council, Redwood City, California, EUA Bresler, B, y Gilbert, P H (1961), Tie requirements for reinforced concrete columns, Journal of the American America n Concrete Institute Institut e, 58(5), nov Berry, M, y Eberhard, M (2005), Practical performance model for bar buckling, Journal of Structural Engineering, ASCE, 131(7), jul, 1060-1070 Calderone, A, Lehman, D, y Moehle, J (2001), Behavior of reinforced concrete bridge columns having varying lengths of confinement , , PEER 2000/08, Pacific Earthquake Engineering Research Center, Universidad de California, Berkeley Dhakal, RP, y Maekawa, K (2002a), Reinforcement stability and fracture of cover concrete in reinforced concrete members, Journal Journal of Structural Structural Engineerin Engineering g, 128(9), sep, 1139-1147 Dhakal, RP, y Maekawa, K (2002b), Modelling for postyield buckling of reinforcement, Journal of Structural Structur al Engineering, 128(10), 1 oct, 1253-1262 Dodd, LL, y Restrepo Posada, JI (1995), Model for predicting cyclic behavior of reinforcing steel, Journal of the American Americ an Concrete Institute, Instit ute, nov, 555-569 Johnston, BG (1983), Column buckling theory: historic highlights, Journal of Structural Str uctural Engineering, 109(9), sep, 2096-2096 Kostantakopoulos, G, y Bousias, S (2004), Experimental study of the effect of reinforcement stability on the capacity of reinforced concrete columns, 13th World Conference on Earthquake Engineering, artículo núm 770,Vancouver, BC, Canadá Kowalsky, MJ (2000), Deformation limit states and implications on design of circular rc bridge columns, Journal of Structural Struct ural Engineering, ASCE, 126(8), dic, 869-878 95
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97
APÉNDICE A DESCRIPCIÓN DE LA BASE DE DATOS Este apéndice presenta información detallada de cada uno de los elementos analizados de la base de datos empleada en esta investigación. La tabla 4.1 del cap 4 presentó los datos correspondientes a las propiedades del material empleado ( f’c , f y , f yh), así como los parámetros adimensionales P/Ag f’c , M/VD, S h /d bl. Este apéndice presenta una tabla adicional que incluye detalles de la geometría del elemento en sección y en altura, además de datos adicionales de las propiedades y distribución del refuerzo longitudinal y transversal. Posteriormente, se presenta información detallada de los especimenes analizados clasificados por autores, la historia de desplazamientos a la cual fueron sometidos los elementos, los ciclos experimentales carga-desplazamiento y la foto del pandeo en los casos en que fue posible obtener esta información. Para los casos en que no hubo foto disponible, se contó con la información suministrada dentro del reporte o artículo para el número de estribos involucrados en el pandeo o la longitud de pandeo.
TABLA A.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS ELEMENTOS QUE FORMAN LA BASE DE DATOS No
Espécimen
1
Geometría
d
Refuerzo longitudinal
Lcol
B,D
bars
fyt
KOWA 1
2438
457
444.5 12.7
12#19 19.1 569.6
0.0210
9.5
432 0.0100
76
2
KOWA 2
2438
457
444.5 12.7
13#19 19.1 569.6
0.0210
9.5
432 0.0100
76
3
KOWA 3
2438
457
444.5 12.7
14#19 19.1 569.6
0.0210
9.5
432 0.0100
76
4
KOWA 4
2438
457
444.5 12.7
15#19 19.1 569.6
0.0210
9.5
432 0.0100
76
5
SOES 1
1600
400 387.0 12.7
12#16 16.0 446.0
0.0151
7
432 0.0084
85
6
SOES 2
1600
400 387.0 12.7
12#16 16.0 446.0
0.0151
8
432 0.0120
78
bars
99
fyl
Sh
pl
rec
dbl
Refuerzo transversal ρ t
TABLA A.1 (Continuación) Geometría Lcol B, D d
Refuerzo longitudinal bars dbl fyl pl
Refuerzo transversal bars fyt ρ t Sh
No
Espécimen
7
SOES 3
1600
400 387.0 12.7
12#16 16.0 446.0
0.0151
7
364 0.0080
91
8
SOES 4
1600
400 387.0 13.0
12#16 16.0 446.0
0.0151
6
255 0.0057
94
9
ZAHN 7
1600
400
387.0 13.0
12#16 16.0 440.0
0.0151
10
466 0.0156 117
10
ZAHN 8
1600
400 387.0 13.0
12#16 16.0 440.0
0.0151
10
466 0.0199
92
11
TANA 1
1800
400 360.0 40.0
8#20 20.0 474.0
0.0157
12
333 0.0275
80
12
TANA 2
1800
400 360.0 40.0
8#20 20.0 474.0
0.0157
12
333 0.0275
80
13
TANA 4
1800
400 360.0 40.0
8#20 20.0 474.0
0.0157
12
333 0.0138
80
14
TANA 5
1650
550
510.0 40.0
12#20 20.0 511.0
0.0125
12
325 0.0180 110
15
TANA 6
1650
550
510.0 40.0
12#20 20.0 511.0
0.0125
12
325 0.0135 110
16
TANA 7
1650
550
510.0 40.0
12#20 20.0 511.0
0.0125
12
325 0.0219
90
17
TANA 8
1650
550
510.0 40.0
12#20 20.0 511.0
0.0125
12
325 0.0165
90
18
TANA 10
1784
600
576.0 24.0
14#20 20.0 485.0
0.0213
10
308 0.0148
80
19
TANA 11
1784
600
576.0 24.0
14#20 20.0 485.0 0.02130
10
308 0.0118 100
20
MANDER A
3200
750 730.0 20.0
60#10 10.0 335.0
0.0156
6
320 0.0194
60
21
MANDER D
3200
750 730.0 20.0
60#10 10.0 335.0
0.0156
6
320 0.0194
60
22
ANG 9
1000
400
385.0 15.0
20 16 16.0 448.0
0.0320
6
372 0.0104
30
23
ANG 1M
1600
400 387.0 13.0
16#16 16.0 308.0
0.0242
6
308 0.0075
40
24
ANG 3M
1600
400
12#16 16.0 427.0
0.0151
12
320 0.0250 100
25
ANG 4M
1600
400 387.0 15.0
12#16 16.0
427.
0.0151
10
280 0.0192
90
26 LEHMAN 407
2364
350
591.0 19.1
11#16 16.0 471.0
0.0076
6.5
607 0.0070
32
27 LEHMAN 415
2364
350
591.0 19.1
22#16 16.0 471.0
0.0152
6.5
607 0.0070
32
28 LEHMAN 415S
2364
250
591.0 19.1
22#16 16.0 448.0
0.0151
6.5
607 0.0035
64
29 LEHMAN 415P
2364
250
591.0 19.1
22#16 16.0 448.0
0.0151
6.5
607 0.0070
32
30 LEHMAN 815
4728
610
591.0 19.1
22#16 16.0 438.0
0.0152
6.5
607 0.0070
32
31 LEHMAN 1015
5910
610
591.0 19.1
22#16 16.0 438.0
0.0152
6.5
607 0.0070
32
32 LEHMAN 328
1773
610
591.0 19.1
28#19 19.0 514.0
0.0275
6.5
607 0.0090
25
33 LEHMAN 1028
5910
610
591.0 19.1
28#19 19.0 514.0
0.0275
6.5
607 0.0090
25
34
SAAT U4
1000
610 327.5 22.5
8#25 25.0 448.0
0.0321
10
470 0.0213
50
35
SAAT U6
1000
610 327.5 22.5
8#25 25.0 448.0
0.0321
6.4
425 0.0198
65
36
BOUS 100
1600
610 225.0 25.0
4#16 16.0 448.0
0.0129
10
542 0.0165 100
37
BOUS 130
1600
610 225.0 25.0
4#16 16.0 448.0
0.0129
10
542 0.0127 130
38 KUNNATH 2
1372
305 292.5 12.5
21#9.5 9.5
448.0
0.0204
4
434 0.0096
19
39 KUNNATH 4
1372
305 292.5 12.5
22#9.5 9.5
448.0
0.0204
4
434 0.0096
19
40 KUNNATH 5
1372
305 292.5 12.5
23#9.5 9.5
448.0
0.0204
4
434 0.0096
19
41 KUNNATH 6
1372
305 292.5 12.5
24#9.5 9.5
448.0
0.0204
4
434 0.0096
19
42 KUNNATH 7
1372
305 292.5 12.5
25#9.5 9.5
448.0
0.0204
4
434 0.0096
19
43 KUNNATH 8
1372
305 292.5 12.5
26#9.5 9.5
448.0
0.0204
4
434 0.0096
19
44 KUNNATH 11
1372
305 292.5 12.5
27#9.5 9.5
448.0
0.0204
4
434 0.0096
19
45 KUNNATH 12
1372
305 292.5 12.5
28#9.5 9.5
448.0
0.0204
4
434 0.0096
19
rec
387.0 15.0
100
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN EXPERIMENTAL (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
200
1 A W O K
150
400
100
200
50
0 -200
-300
0 -100 -50 0
-200
100
200
300
-100
-400
-150 -200
P 2 A W O K
H 1 0 1
200
400
150
200
100
0
50
-200
0 -50 0
-100
-400
100
200
300
-100 -150
l o c L
D
250
3 A W O K
200
400
150
200
100 50
0
0
-200
-300
-200
-100
-50 0
100
200
300
-100
-400
-150
200
Moyer y Kowalsky (1986)
4 A W O K
400
150 100
200
50 0
0 -300
-200
-100 -50 0
-200
100
200
300
400
-100 -150
-400
-200
Fig A.1 Características de los especímenes de Moyer y Kowalsky (1986)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
1 S E O S
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
150
600
100
400
50
200
0 -50
0 -100
-50
-100
-200
0
50
100
-400
-150
-600
P
1 0 2
l o c L
600 150
B
2 S E O S
400
100
200
50 0
0 -100
-50
-50
-200
-100
-400
-150
-600
H
Soesianawati (1986)
50
100
600 150
l o c L
0
3 S E O S
4 S E O S
400
100
200
50 0
0 -100
-50
-50
-200
-100
-400
-150
-600
150
600
100
400
50
200
0 -50 -100 -150
0
50
100
0
50
100
0 -100
-50
-200 -400 -600
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
1 S E O S
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
150
600
100
400
50
200
0 -50
FOTO DE PANDEO
0 -100
-50
-100
-200
0
50
100
-400
-150
-600
P
1 0 2
l o c L
600 150
B
2 S E O S
400
100
200
50 0
0 -100
-50
-50
-200
-100
-400
-150
-600
H
0
50
100
600 150
3 S E O S
l o c L
Soesianawati (1986)
4 S E O S
400
100
200
50 0
0 -100
-50
-50
-200
-100
-400
-150
-600
150
600
100
400
50
200
0
0
50
100
0
50
100
0 -100
-50
-50
-100
-200 -400
-150
-600
Fig A.2 Características de los especímenes de Soesianawati (1986)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
600
150
7
N H A Z
P
400
100
200
50 0 -50
-120
-70
-100
l o c L
30
80
30
80
-400
-150
1 0 3
0 -20 -200
-600
B
H l o c L
600
150
8
N H A Z
200
50 0 -50 -100 -150
Zahn (1986)
400
100
-120
-70
0 -20 -200 -400 -600
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
E
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
600
150
7
N H A Z
P
400
100
200
50
0 -20 -200
0 -50
-120
-70
-100
l o c L
80
30
80
-400
-150
1 0 3
30
-600
B
H 600
l o c L
150
8
N H A Z
400
100
200
50
0 -20 -200
0 -50
-120
-70
-100
-400
-150
-600
Zahn (1986)
Fig A.3 Características de los especímenes de Zahn (1986)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm) 200
150
1 A N A T
100
100 50
0
0 -50
- 1 00
- 50
0
50
10 0
15 0
0
50
100
1 50
0
50
10 0
15 0
-100
-100 -150
-200
P
200 150
1 0 4
l o c L
B
2 A N A T
100
100 50
0
0 -50
-100
-5 0 -100
-100 -150
-200
H l o c L
200 150
4 A N A T
100
100 50
0
0 -50 -100
-100
-50 -100
-150
-200
Tanaka (1990)
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
200 150
1 A N A T
100
100 50
0
0
- 1 00
-50
- 50
0
50
10 0
15 0
0
50
100
1 50
0
50
10 0
15 0
-100
-100 -150
-200
P
200 150
1 0 4
l o c L
B
2 A N A T
100
100 50
0
0
-100
-50
-5 0 -100
-100 -150
-200
H l o c L
200 150
4 A N A T
100
100 50
0
0
-100
-50
-50 -100
-100 -150
-200
Tanaka (1990) Fig A.4 Características de los especímenes de Tanaka (1990
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
5 A N A T
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm) 400
150 100
200
50 0 -50
FOTO DE PANDEO
n=1
0 - 1 00
-5 0
0
50
10 0
150
-200
-100 -150
-400
600
6 A N A T
P H 1 0 5
l o c L
B 7 A N A T
150
400
100
200
50 0 -50
0 -1 0 0
-5 0
-200
-100
-400
-150
-600
0
50
600
150 100
400
50
200
0 -50
1 00
n=1
0 -10 0
-5 0
-100
-200
0
50
100
0
50
100
-400
-150 -600
Tanaka (1990)
8 A N A T
150
600
100
400
50
200
0 -50
0 -10 0
-5 0
-200
-100 -150
-400 -600
Fig A.5 Características de los especímenes de Tanaka (1990)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
5 A N A T
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
400
150 100
200
50 0
n=1
0 - 1 00
-50
-5 0
0
50
10 0
150
-200
-100 -150
-400
600
6 A N A T
P H 1 0 5
l o c L
B 7 A N A T
150
400
100
200
50
0
0
-1 0 0
-50
-5 0
-200
-100
-400
-150
-600
0
50
1 00
600
150 100
400
50
200
0
n=1
0 -10 0
-50
-5 0
-100
-200
0
50
100
0
50
100
-400
-150 -600
Tanaka (1990)
8 A N A T
150
600
100
400
50
200
0
0
-50
-10 0
-5 0
-200
-100 -400
-150
-600
Fig A.5 Características de los especímenes de Tanaka (1990)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
La historia de
0 desplazamientos consistió en 1
A N A T
P H 1 0 6
l o c L
un ciclo elástico hasta alcanzar 0.75µ∆ y después dos ciclos de ±2µ∆ ±4µ∆ ±8µ∆, etc ,
,
D La historia de
1 desplazamientos consistió en 1
A N A T
Tanaka (1990)
un ciclo elástico hasta alcanzar 0.75µ∆ y después dos ciclos de ±2µ∆ ±4µ∆ ±6µ∆, ±8µ∆, etc ,
,
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
La historia de
0 desplazamientos consistió en 1
A N A T
P H 1 0 6
l o c L
un ciclo elástico hasta alcanzar 0.75µ∆ y después dos ciclos de ±2µ∆ ±4µ∆ ±8µ∆, etc ,
,
D La historia de
1 desplazamientos consistió en 1
A N A T
Tanaka (1990)
un ciclo elástico hasta alcanzar 0.75µ∆ y después dos ciclos de ±2µ∆ ±4µ∆ ±6µ∆, ±8µ∆, etc ,
,
Fig A.6 Características de los especímenes de Tanaka (1990)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
ALa historia de desplazamientos R consistió en un ciclo elástico E hasta alcanzar 0.75µ∆ y D N después dos ciclos de ±2µ∆ A M ±4µ∆ ±6µ∆, ±8µ∆, etc
P
,
,
H 1 0 7
E
l o c L
B
DLa historia de desplazamientos R consistió en un ciclo elástico E hasta alcanzar 0.75µ∆ y D N después dos ciclos de 2µ∆ ± A M ±4µ∆ ±6µ∆, ±8µ∆, etc ,
Mander (1984)
,
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
ALa historia de desplazamientos R consistió en un ciclo elástico E hasta alcanzar 0.75µ∆ y D N después dos ciclos de ±2µ∆ A M ±4µ∆ ±6µ∆, ±8µ∆, etc
P
,
,
H 1 0 7
E
l o c L
B
DLa historia de desplazamientos R consistió en un ciclo elástico E hasta alcanzar 0.75µ∆ y D N después dos ciclos de 2µ∆ ± A M ±4µ∆ ±6µ∆, ±8µ∆, etc ,
Mander (1984)
,
Fig A.7 Características de los especímenes de Mander (1984)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
P H 400
1 0 8
100
l o c L
D
9 G N A
200
50 0
0 -80
-50
-60
-40
-20 -200
-100 -400
Ang (1985)
0
20
40
60
80
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
P H 400
1 0 8
100
l o c L
D
9 G N A
200
50 0
0 -80
-60
-40
-50
-20
0
20
40
60
80
-200
-100 -400
Ang (1985)
Fig A.8 Características de los especímenes de Ang (1985)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm) 200
100
M 1 G N A
P
100
50 0
0 -60
-40
-20
-50
0
20
40
60
0
20
40
60
0
20
40
60
-100
-100 -200
1 0 9
l o c L
B, D
200 100
M 3 G N A
H
100
50 0
0 -60
-40
-20
-50
-100
-100 -200
l o c L
200 100
M 4 G N A
Ang (1981)
100
50 0
0 -60
-50
-40
-20 -100
-100 -200
Fig A.9 Características de los especímenes de Ang (1981)
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
200
100
M 1 G N A
P
100
50 0
0 -60
-40
-20
-50
0
20
40
60
0
20
40
60
0
20
40
60
-100
-100 -200
1 0 9
l o c L
B, D
200 100
M 3 G N A
H
100
50 0
0 -60
-40
-20
-50
-100
-100 -200
l o c L
200 100
M 4 G N A
Ang (1981)
100
50 0
0 -60
-40
-20
-50
-100
-100 -200
Fig A.9 Características de los especímenes de Ang (1981)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm) 200
600
7 0 4 H E L
P
100
400 200 0 -200
0 -150
-100
-50
-400
0
50
100
150
-100
-600 -200
H
1 1 0
l o c L
400
D
5 1 4 H E L
600 200
400 200 0 -200
0 -200
-150
-100
-50
-400
0
50
100
150
-600 -400 200
5 1 8 H E L
600 100
400 200 0 -200
0 -450
-300
-150
-400
0
150
300
450
-100
-600 -200 120
Lehman y Moehle (2000)
200
-200
5 1 0 1 H E L
600
80
400 40
200 0 -200
0 -650 -500
-350 -200
-50 -40
-400 -600
-80 -120
100
250
400
550
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
200 600
7 0 4 H E L
P
100
400 200 0 -200
0 -150
-100
-50
-400
0
50
100
150
-100
-600 -200
H
1 1 0
400
l o c L
D
5 1 4 H E L
600 200
400 200 0 -200
0 -200
-150
-100
-50
-400
0
50
100
150
200
-200
-600 -400 200
5 1 8 H E L
600 100
400 200 0 -200
0 -450
-300
-150
-400
0
150
300
450
-100
-600 -200 120
Lehman y Moehle (2000)
5 1 0 1 H E L
600
80
400 40
200 0 -200
0 -650 -500
-350 -200
-50 -40
100
250
400
550
-400 -80
-600
-120
Fig A.10 Características de los especímenes de Lehman y Moehle (2000)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
300
S 5 1 4 H E L
P
200
200
100
100
0 -100
n =
0 -200
-150
-100
-200
-50 0 -100
50
100
150
200
50
100
150
200
2
-200
H
-300
1 1 1
l o c L
D
350
P 5 1 4 H E L
250
200
150
100
50 0 -100 -200
-200
-150
-100
-50
-50
0
-150 -250 -350
Lehman et al (2004) Fig A.11 Características de los especímenes de Lehman et al (2004)
n =
2
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
300
S 5 1 4 H E L
P
200
200
100
100
0 -100
n =
0 -200
-150
-100
-50 0 -100
-200
50
100
150
200
50
100
150
200
2
-200
H
-300
1 1 1
l o c L
D
350
P 5 1 4 H E L
250
200
150
100
50 0 -100
-200
-150
-100
-50
-50
0
n =
2
-150
-200
-250 -350
Lehman et al (2004) Fig A.11 Características de los especímenes de Lehman et al (2004)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
600 900
8 2 3 H E L
P
400
600 200
300 0 -300
0 -150
-100
-50
-200
0
50
100
150
0
300
600
900
-600 -400
-900
H
-600
1 1 2
l o c L
D
200
8 2 0 1 H E L
900 100
600 300 0 -300 -600
0 -900
-600
-300 -100
-900 -200
Calderone et al (2001) Fig A.12 Características de los especímenes de Calderone et al (2001)
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
E
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
600 900
8 2 3 H E L
P
400
600 200
300 0 -300
0 -150
-100
-50
-200
0
50
100
150
0
300
600
900
-600 -400
-900
H
-600
1 1 2
l o c L
D
200
8 2 0 1 H E L
900 100
600 300 0 -300
0 -900
-600
-600
-300 -100
-900 -200
Calderone et al (2001) Fig A.12 Características de los especímenes de Calderone et al (2001)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
400 150
4 T A A S
P
100
200
50 0 -50
0 -100
-50
0
50
100
0
50
100
-200
-100 -150
H
-400
1 1 3
l o c L
B 400 150
6 T A A S
Ozcebe y Saatcioglu (1987)
100
200
50 0 -50 -100
0 -100
-50 -200
-150 -400
Fig A.13 Características de los especímenes de Ozcebe y Saatcioglu (1987)
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
400 150
4 T A A S
P
100
200
50 0 -50
0 -100
-50
0
50
100
0
50
100
-200
-100 -150
H
-400
1 1 3
l o c L
B 400 150
6 T A A S
100
200
50 0 -50 -100
0 -100
-50 -200
-150
Ozcebe y Saatcioglu (1987)
-400
Fig A.13 Características de los especímenes de Ozcebe y Saatcioglu (1987)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
100
0 0 1 S U O B
P H 1 1 4
l o c L
50 0 -50 -100
B
0 3 1 S A I S U O B
100 50 0 -50 -100
Kostantakopoulos y Bousias (2004) Fig A.14 Características de los especímenes Kostantakopoulos y Bousias (2004)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
E
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
100
0 0 1 S U O B
P H 1 1 4
50 0 -50 -100
l o c L
B
0 3 1 S A I S U O B
100 50 0 -50 -100
Kostantakopoulos y Bousias (2004) Fig A.14 Características de los especímenes Kostantakopoulos y Bousias (2004)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E 2 A H T A N N U K
P H 1 1 5
l o c L
D
Kunnath (1997)
4 A H T A N N U K 5 A H T A N N U K 6 A H T A N N U K
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm) 100
100 50
50 0
0 -100
-50
-50
0
50
100
0
50
100
0
50
100
0
50
100
-50
-100 -100 100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
-50
-100 -100 100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
-50
-100 -100
100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50 -50
-100 -100
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E 2 A H T A N N U K
P H 1 1 5
l o c L
D
Kunnath (1997)
4 A H T A N N U K 5 A H T A N N U K 6 A H T A N N U K
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
0
50
100
0
50
100
0
50
100
0
50
100
-50
-100 -100 100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
-50
-100 -100 100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
-50
-100 -100
100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
-50
-100 -100
Fig A.15 Características de los especímenes de Kunnath (1997)
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E 7 A H T A N N U K 8 A H T A N N U K
P H 1 1 6
l o c L
D
Kunnath (1997)
1 1 A H T A N N U K 2 1 A H T A N N U K
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm) 100
100
50 50
0
-50
0 -100
-50
0
50
100
0
50
100
0
50
100
0
50
100
-50 -100
-100 100 100
50 50
0
0 -50
-100
-50 -50
-100
-100 100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
-50
-100 -100
100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50 -50
-100 -100
FOTO DE PANDEO
DETALLES EN SECCIÓN Y EN ALTURA
E 7 A H T A N N U K 8 A H T A N N U K
P H 1 1 6
l o c L
D
Kunnath (1997)
1 1 A H T A N N U K 2 1 A H T A N N U K
HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS (mm)
CARGA-DEFLEXIÓN ANALÍTICA (KN-mm)
FOTO DE PANDEO
100 100
50 50
0
-50
0 -100
-50
0
50
100
0
50
100
0
50
100
0
50
100
-50 -100
-100 100 100
50 50
0
0 -50
-100
-50 -50
-100
-100 100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
-50
-100 -100
100 100 50
50 0
0 -100
-50
-50
-50
-100 -100
Fig A.16 Características de los especímenes de Kunnath (1997)
APÉNDICE B ANÁLISIS DE LA BASE DE DATOS Este apéndice presenta las curvas analíticas generadas con el programa de computadora COLUMN Mander et al (1984), para cada uno de los elementos analizados que forman la base de datos recopilada en esta investigación. Las curvas presentadas son: carga lateral-desplazamiento, momento-curvatura y esfuerzo-deformación, tanto para el concreto como para el acero, en el lado de la sección más crítica. En estas curvas se
APÉNDICE B ANÁLISIS DE LA BASE DE DATOS Este apéndice presenta las curvas analíticas generadas con el programa de computadora COLUMN Mander et al (1984), para cada uno de los elementos analizados que forman la base de datos recopilada en esta investigación. Las curvas presentadas son: carga lateral-desplazamiento, momento-curvatura y esfuerzo-deformación, tanto para el concreto como para el acero, en el lado de la sección más crítica. En estas curvas se identifican los resultados de aplicar cada uno de los criterios de los modelos de pandeo que fueron evaluados en el cap 5. También se resalta con negro cada una de las curvas, el ciclo para el cual fue observado el pandeo durante el experimento o, en su caso, se marca con una X el pandeo observado para un punto específico de un ciclo.
117
200
450
150
350
100
250 150
50
50
0 -200
-150
-100
-50
-50
0
50
100
-100
150
200
-0.0003
-0.0002
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
0.0002
0.0003
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350 -450 Mom ento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
5
600 -0.04
400
-0.02
0 -50.00
0.02
0.04
0.06
0.08
-10
200
-15
0 -0.02 0.00 -200
-0.04
0.0001
-250
Carga lateral-desplazam iento (KN-mm )
1 1 8
-0.0001 -50 0 -150
0.02
0.04
0.06
-20
0.08
-25
-400
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600 -800
-30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-35 -40
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.1 Espécimen Kowa 1
200
450
150
350 250
100
150
50
50 0 -50
-50
0
50
100
150
200
250
300
-50
-0.0001
-100
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-150 -200
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-250 -350 -450
Carga lateral-desplazam iento (KN-mm)
Mom ento-curvatura (KN-m / Rad/m m) 5
800 1 1 9
0
-150
0
600 -0.02 400
0.00 -5
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
-10 200 -15 0 -0.02
0.00 -200
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
-20 -25
-400
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-600 -800
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-30 -35 -40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou Pandeo
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
200
450
150
350 250
100
150
50
50 0 -50
-50
0
50
100
150
200
250
300
-50
-0.0001
-100
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-150 -200
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-250 -350 -450
Carga lateral-desplazam iento (KN-mm)
Mom ento-curvatura (KN-m / Rad/m m) 5
800 1 1 9
0
-150
0
600 -0.02
0.00 -5
400
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
-10 200 -15 0 -0.02
0.00 -200
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
-20
0.12
-25
-400
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou Pandeo
-30 -35 -40
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.2 Espécimen Kowa 2
200
450
150
350 250
100
150
50
50 0 -300 -250 -200 -150 -100
-50 0 -50
50
100
150
200
250
300
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
-150
-100
kowalsky k=1 Rodriguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-150 -200
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-250 -350 -450
Carga lateral-desplazam iento (KN-mm)
Mom ento-curvatura (KN-m / Rad/m m)
800 1 2 0
-50
5 0
600 -0.06 400
-0.04
-0.02
0.00 -5
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
-10 200 -15 0 -0.06
-0.04
-0.02 0.00 -200
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
-25
-400 -600 -800
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-20
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pandeo
-30 -35 -40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Pantazopoulou Pandeo Rodríguez k=0.75
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
200
450
150
350 250
100
150
50
50 0 -300 -250 -200 -150 -100
-50 0 -50
50
100
150
200
250
300
-0.0004
0
0.0002
0.0004
-150
-100
kowalsky k=1 Rodriguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-150 -200
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-250 -350 -450
Carga lateral-desplazam iento (KN-mm)
Mom ento-curvatura (KN-m / Rad/m m)
800 1 2 0
-50
-0.0002
5 0
600 -0.06
-0.04
-0.02
0.00 -5
400
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
-10 200 -15 0 -0.06
-0.04
-0.02 0.00 -200
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
-20
0.12
-25
-400
-30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pandeo
-600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Pantazopoulou Pandeo Rodríguez k=0.75
-35 -40
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.3 Espécimen Kowa 3
200
450
150 300 100 150
50 0 -350
-250
-150
-50 -50
0 50
150
250
350
-0.0005
-0.0003
-0.0001
0.0001
0.0003
0.0005
-150 -100
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-150 -200
-450
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 2 1
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
900
5
700
0 -0.06 -0.04 -0.02
500
0.00 -5
300
-10
100
-15
-100 -0.06 -0.04 -0.02 0.00
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-300 -500 -700 -900
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-20 -25
Kowalsky k=1 Rodriguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pandeo
-30 -35 -40
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou Pandeo
200
450
150 300 100 150
50 0 -350
-250
-150
-50 -50
0 50
150
250
350
-0.0005
-0.0003
-0.0001
0.0001
0.0003
0.0005
-150 -100
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-150 -200
-450
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
900
1 2 1
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou Pandeo
-300
5
700
0 -0.06 -0.04 -0.02
500
0.00 -5
300
-10
100
-15
-100 -0.06 -0.04 -0.02 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-20
0.14
-300
-25
-500
-30
Kowalsky k=1 Rodriguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pandeo
-700 -900
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou Pandeo
-35 -40
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.4 Espécimen Kowa 4
-100
-80
-60
-40
400
400
300
300
200
200
100
100
0 -20 0 -100
20
40
60
-200
80
100
-0.00025
-0.00015
-400
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.02
400 200 -0.020
-400 -600 -800
ES
0.020
0.040
0.00025
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
800
0 0.000 -200
0.00015
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 2 2
0.00005
-200
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
0 -0.00005 -100
0.060
0.080
Kowalsky k=1 Rodriguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55
0.02
0.04
0.06
0.08
concreto nivel j Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
-100
-80
-60
-40
400
400
300
300
200
200
100
100
0 -20 0 -100
20
40
60
-200
80
100
-0.00025
-0.00015
-400
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.02
400 200 ES
0.020
0.040
0.060
-400
0.080
Kowalsky k=1 Rodriguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
0.00025
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
800
-0.020
0.00015
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
0 0.000 -200
0.00005
-200
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
1 2 2
0 -0.00005 -100
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.02
0.04
0.06
0.08
concreto nivel j Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.5 Espécimen Soes 1
600
450
450
350
300
250 150
150
50
0 -100
-80
-60
-40
-20 0 -150
20
40
60
-300
80
100
-0.0003
-0.0001 -50 0 -150
-0.0002
-250
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoluo CICLO DE PANDEO
-450 -600
-450
600
-0.04
400 200 -0.040
-0.020
0.020
0.040
0.060
-400 -600 -800
0.0003
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
0 0.000 -200
0.0002
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Pantazopoluo CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 2 3
0.0001
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-0.02
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazoupolou CICLO DE PANDEO
600
450
450
350
300
250 150
150
50
0 -100
-80
-60
-40
-20 0 -150
20
40
60
-300
80
100
-0.0003
-0.0001 -50 0 -150
-0.0002
-600
-450 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55
-0.02
400 200 -0.040
-0.020
0 0.000 -200
0.020
0.040
0.060
-400 Kowalsky k=1
-600
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75
-800
0.0003
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Pantazopoluo CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 2 3
0.0002
-250
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoluo CICLO DE PANDEO
-450
0.0001
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación par a el acero (MPa)
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazoupolou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación par a el concreto (MPa)
Fig B.6 Espécimen Soes 2
600
450
450
350
300
250 150
150
50
0 -60
-40
-20
-150
0
20
40
-300
60
-2E-04 -2E-04 -1E-04 -5E-05-50 0 -150 -250
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-450 -600
-450 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
400 200 0 -0.04
-0.02
-200
0
0.02
0.04
-400 -600 -800 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 2 4
5E-05 0.0001 0.0002 0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-0.02
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55
0.02
0.04
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulo CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
600
450
450
350
300
250 150
150
50
0 -60
-40
-20
-150
0
20
40
-300
60
-2E-04 -2E-04 -1E-04 -5E-05-50 0 -150 -250
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-450 -600
-450 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55
-0.02
400 200 0 -0.04
-0.02
-200
0
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 2 4
5E-05 0.0001 0.0002 0.0002
0.02
0.04
-400 Kowalsky k=1
-600
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75
-800
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.02
0.04
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulo CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.7 Espécimen Soes 3
600
450
450
350 250
300
150
150
50 0 -50
-30
-10 -150
10
30
50
-0.00 015
-0 .0 001
-0.00005
-600
-450
5 0
600 -0.04
-5 0
0.02
0.04
-15
200
-20
0
-25
0
0.02
0.04
-30 -35
-400
-40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 -800
-0.02
-10
400
-600
0.00 015
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
-200
0.00 01
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0.00005
-250
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-450
-0.04
0
-150
-300
1 2 5
-50
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-45 -50 -55
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
600
450
450
350 250
300
150
150
50 0 -50
-30
-10 -150
10
30
50
-0.00 015
-0 .0 001
-0.00005
-600
-450
0.00 015
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm) 5
800
0
600 -0.04
-0.02
-5 0
0.02
0.04
-10
400
-15
200
-20
0 -200
0.00 01
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0.00005
-250
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-450
-0.04
0
-150
-300
1 2 5
-50
-25
0
0.02
-30
0.04
-35
-400
-40
Kowalsky k=1 -600
-50
Rodríguez k=0.75 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-45
Rodríguez k=1
-55
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.8 Espécimen Soes 4
450
450 350
300
250 150
150
50
0 -80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-0.0002
-0.0001
-150 -300
Pantazopoulou
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
0 -0.02
400
0.02
0.04
-15
0 0
0.02
0.04
-20 -25
-400
-30 Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
-5 0 -10
200
-600
CICLO DE PANDEO
5
600
-200
Pantazopoulou
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
-0.02
Rodríguez k=0.75
-450
CICLO DE PANDEO
0.0002
kowalsky k=1
-350
Rodríguez k=0.75
1 2 6
0.0001
-250
kowalsky k=1
-450
-50 0 -150
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-35 -40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
450
450 350
300
250 150
150
50
0 -80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-0.0002
-0.0001
-150 -300
Pantazopoulou
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
CICLO DE PANDEO
5 0
600 -0.02
400
-5 0
0.02
0.04
-10
200
-15
0 -200
Pantazopoulou
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
-0.02
Rodríguez k=0.75
-450
CICLO DE PANDEO
0.0002
kowalsky k=1
-350
Rodríguez k=0.75
1 2 6
0.0001
-250
kowalsky k=1
-450
-50 0 -150
0
0.02
-20
0.04
-25
-400
-30 Kowalsky k=1
-600
Rodríguez k=0.75
-800
Kowalsky k=1
-35
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.9 Espécimen Zahn 7
600
450
450
350 250
300
150
150
50 0 -60
-40
-20
-150
0
20
40
60
-0.0002
-0.0001
-600
-450
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
5 0
600 -0.03
0.01
0.02
0.03
-25 0.010
0.020
0.030
-30 -35
-400
-40
Kowalsky k=1 Pandeo Botero K=1 Pandeo Botero K=0.75 -800
-5 0
-20
0
-600
-0.01
-15
200
0.000 -200
-0.02
-10
400
-0.010
0.0002
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.020
0.0001
-250
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-450
-0.030
5
0
-150
-300
1 2 7
-50
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-45 -50 -55
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
600
450
450
350 250
300
150
150
50 0 -60
-40
-20
-150
0
20
40
60
-0.0002
-50
-0.0001
-250
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-450 -600
-450
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
5 0
600 -0.03
-0.02
-5 0
-0.01
0.02
0.03
-15
200
-20
0 -0.010
0.01
-10
400
-0.020
0.0002
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.030
0.0001
-150
-300
1 2 7
5
0
-25
0.000 -200
0.010
0.020
-30
0.030
-35
-400
-40
Kowalsky k=1 -600
-50
Pandeo Botero K=0.75 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-45
Pandeo Botero K=1
-55
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.10 Espécimen Zahn 7
200
400
150
300
100
200
50
100 0
0 -100
-80
-60
-40
-20 0 -50
20
40
60
80
100
120
140
-0.00025
-0.00015
-0.00005 -100
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-100 -150 -200
0.00015
0.00025
-200
0.00035
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -400
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 2 8
0.00005
5 0
600 -0.03
-0.01
-5
0.01
0.03
0.05
400 -10 200
-15
0 -0.03
-0.01 -200
-20 0.01
0.03
0.05
-25 -30
-400 -600 -800
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-35 -40 -45
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
200
400
150
300
100
200
50
100 0
0 -100
-80
-60
-40
-20 0 -50
20
40
60
80
100
120
140
-0.00025
-0.00015
-0.00005 -100
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-100 -150 -200
0.00015
0.00025
-200
0.00035
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -400
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 2 8
0.00005
5 0
600 -0.03
-0.01
-5
0.01
0.03
0.05
400 -10 200
-15
0 -0.03
-20
-0.01 -200
0.01
0.03
0.05
-25 -30
-400
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-35 -40 -45
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.11 Espécimen Tana 1
-100 -80
-60
-40
200
400
150
300
100
200
50
100
0 -20 0 -50
20
40
60
80
100 120 140
0 -0.00025 -0.00015 -0.00005 0.00005 0.00015 -100
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-100 -150 -200
-200
-400 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
5
600
-0.03
400
0 -0.01 -200
0 -0.01 -5
0.01
0.03
0.05
-10
200 -0.03
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 2 9
0.00025 0.00035
-15 -20 0.01
0.03
-400 -600 -800 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.05
-25 -30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-35 -40 -45
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
-100 -80
-60
-40
200
400
150
300
100
200
50
100
0 -20 0 -50
20
40
60
80
100 120 140
0 -0.00025 -0.00015 -0.00005 0.00005 0.00015 -100
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-100 -150 -200
-200
-400 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
5
600
0 -0.01 -5
-0.03
400
0.01
0.03
0.05
-10
200
-15
0 -0.01 -200
-0.03
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 2 9
0.00025 0.00035
-20 0.01
0.03
0.05
-25 -30
-400 -600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-35
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-40 -45
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.12 Espécimen Tana 2
200
300
150 100
150
50 0 -90
-60
-30
-50
0
0
30
60
90
120
-0 .0 00 25
-100
-200
0 .0 00 15
0 .0 00 25
0 .0 00 35
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
5
600 -0.03
400
0 -0.01 -5
0.01
0.03
0.05
-10
200
-15
0 -0.01 -200
0 .0 00 05
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.03
- 0.0 00 05
-150
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150
1 3 0
-0 .0 00 15
0.01
0.03
0.05
-25
-400 -600
-30 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75
-800 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-20
CICLO DE PANDEO
-35 -40
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
200
300
150 100
150
50 0 -90
-60
-30
-50
0
0
30
60
90
120
-0 .0 00 25
-0 .0 00 15
- 0.0 00 05
-100
-200
0 .0 00 35
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
5 0 -0.01 -5
600 -0.03
400
0.01
0.03
0.05
-10
200
-15
0 -0.01 -200
0 .0 00 25
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.03
0 .0 00 15
-150
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150
1 3 0
0 .0 00 05
0.01
0.03
-20
0.05
-25
-400
-30
-600
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75
-800
Rodríguez k=1
-35
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.13 Espécimen Tana 4
400
750
300
600 450
200
300
100
150
0 -90
-60
-30
-100
0
30
-200
60
90
-0.0002
-0.0001
-400
-600 -750 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5
800 600
-0.02 400
0 -5 0
0.02
0.04
0.06
-10
200
-15 -20
0 -0.02
0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-450
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 3 1
0.0001
-300
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
0 -150 0
0
0.02
0.04
0.06
-200
-25 -30
-400
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-35 -40 -45
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
400
750
300
600 450
200
300
100
150
0 -90
-60
-30
-100
0
30
60
-200
90
-0.0002
-0.0001
-400
-600 -750 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5
800 600
-0.02 400
0 -5 0
0.02
0.04
0.06
-10
200
-15 -20
0 -0.02
0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-450
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 3 1
0.0001
-300
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
0 -150 0
0
0.02
0.04
0.06
-25
-200
-30
-400 -600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-35
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-40 -45
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.14 Espécimen Tana 5
400
750
300
600 450
200
300
100
150
0 -90
-60
-30
-100
0
30
60
90
120
-0.0003
-0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -400
-450 -750
600
-0.02
400 200 0 0
0.02
0.0003
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
-200
0.0002
0.04
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0.0001
-300
-200
1 3 2
0 -0.0001 -150 0
0.06
0.08
-400 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
400
750
300
600 450
200
300
100
150
0 -90
-60
-30
0
-100
30
60
90
120
-0.0003
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -400
-750 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.02
400 200 0 0
0.0003
0.02
0.04
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
800
-200
0.0002
-450
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0.0001
-300
-200
1 3 2
0 -0.0001 -150 0
-0.0002
0.06
0.08
-400 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.02
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.15 Espécimen Tana 6
600
900
500 400
600
300 300
200 100
0
0 -90
-60
-100 0
-30
30
60
90
-0.00 025
-0 .000 15
-0.0 0005
0.0 0005
-300
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400 -500 -600
0.0 0025
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
-900
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 3 3
0.0001 5
-300
-200
5 0
600 -0.04 400
-0.02
-5 0
0.02
0.04
0.06
-10 -15
200
-20 0 -0.04
-0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
-30 -35
-400
Kowalsky k=1 -600
-25
Rodríguez k=1
-40 -45
Rodríguez k=0.75 -800
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-50
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
600
900
500 400
600
300 300
200 100
0
0 -90
-60
-100 0
-30
30
60
90
-0.00 025
-0 .000 15
-0.0 0005
0.0 0005
-300
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400 -500 -600
0.0 0025
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
-900
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 3 3
0.0001 5
-300
-200
5 0
600 -0.04
-0.02
400
-5 0
0.02
0.04
0.06
-10 -15
200
-20 0 -0.04
-0.02
-200
0
0.02
0.04
-25
0.06
-30 -35
-400
Kowalsky k=1 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-40
Rodríguez k=1
-45
Rodríguez k=0.75 -800
-50
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.16 Espécimen Tana 7
600
1000
500
800
µ∆=4
400
600
300 400
200
200
100 0 -90
-60
0
-100 0
-30
30
60
90
-0.00015
-0.00005 -200
-200
0.00005
0.00015
0.00025
-400
-300 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400 -500 -600
-800 -1000
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 3 4
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
50 0
600 -0.04 400
-0.02
-50 0
0.02
0.04
0.06
-100 -150
200
-200 0 -0.04
-0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
-300 -350
-400
Kowalsky k=1 -600
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75
-800
-250
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-400 -450 -500
Kowalsky k=1 Rodriguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
600
1000
500
800
µ∆=4
400
600
300 400
200
200
100 0 -90
-60
0
-100 0
-30
30
60
90
-0.00015
-0.00005 -200
-200
0.00005
0.00015
0.00025
-400
-300 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodriguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400 -500 -600
-800 -1000
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 3 4
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
50 0
600 -0.04
-0.02
400
-50 0
0.02
0.04
0.06
-100 -150
200
-200 0 -0.04
-0.02
-200
0
0.02
0.04
-250
0.06
-300 -350
-400
Kowalsky k=1 -600
Rodríguez k=1
-450
Rodríguez k=0.75 -800
Kowalsky k=1 Rodriguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
-500
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.17 Espécimen Tana 8
450
450
300
300
150
150 0
0 -100
-70
-40
-10
20
50
80
110
-0.0002 -0.00015 -0.0001 -0.00005
0.00005 0.0001 0.00015 0.0002
-150
-150
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
-450
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -450
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 3 5
0
5 0
600 -0.02 400
-5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-10
200
-15 0 -0.02
-200 -400 -600 -800
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-20 -25
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1
-35
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
450
450
300
300
150
150 0
0 -100
-70
-40
-10
20
50
80
110
-0.0002 -0.00015 -0.0001 -0.00005
0.00005 0.0001 0.00015 0.0002
-150
-150
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300
-450
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -450
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 3 5
0
5 0
600 -0.02 400
-5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-10
200
-15 0 -0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
-20
0.08
-25
-400 -600 -800
Kowalsky k=1
-30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Rodríguez k=1 -35
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou
-40
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.18 Espécimen Tana 10
500
900
400
700
300
500
200
300
100 -100
-70
-40
0 -10 -100
100 20
50
80
110
-200 -300
-100 -2E-04 -2E-04 -1E-04 -5E-05 0 -300 -500
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400 -500
-900 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
400 200 0 -0.04
-0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
-400 -600 -800
Kowalsky k=1 Botero k=1 Botero k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-700
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 3 6
5E-05 0.0001 0.0002 0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-0.02
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
500
900
400
700
300
500
200
300
100 -100
-70
100
0 -10 -100
-40
20
50
80
-100 -2E-04 -2E-04 -1E-04 -5E-05 0 -300
110
-200 -300
-500
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400 -500
-900 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
400
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45
-0.02
200 0 -0.04
-0.02
-200
0
0.02
Kowalsky k=1 Botero k=1 Botero k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-700
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 3 6
5E-05 0.0001 0.0002 0.0002
0.04
0.06
-400 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-600 -800 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación par a el concreto (MPa)
Fig B.19 Espécimen Tana 11
300
800
200 400 100
0 -120 -100
-80
-60
-40
-20
0 0
20
40
60
80
100
120
-0.0001
-0.00005
0
0.00005
0.0001
-100 -400 -200
-300
kowalsky k=1
kowalsky k=1
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Rodríguez k=1
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 3 7
Rodríguez k=0.75
-800
CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
500
5
400
0 -0.01
300 200
-5
0.01
0.03
0.05
-10
100 -15
0 -0.01 -100
0.01
0.03
0.05
-25
-200 -300 -400
-20
-30
Kowalsky k =1 Rodríguez k=1
-35
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
"Rodríguez k=1" Rodríguez k=0.75
Rodríguez k=0.75 -500
"Kowalsky k=1"
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
300
800
200 400 100
0 -120 -100
-80
-60
-40
-20
0 0
20
40
60
80
100
120
-0.0001
-0.00005
0
0.00005
0.0001
-100 -400 -200
-300
kowalsky k=1
kowalsky k=1
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Rodríguez k=1
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
500
1 3 7
Rodríguez k=0.75
-800
5
400
0 -0.01
300 200
0.01
-5
0.03
0.05
-10
100 -15
0 -0.01 -100
0.01
0.03
-20
0.05
-25
-200
-30
-300
"Kowalsky k=1"
Kowalsky k =1 Rodríguez k=1
-400
"Rodríguez k=1"
-35
Rodríguez k=0.75
Rodríguez k=0.75 -500
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.20 Espécimen Mander A
400
1250
300
1000 750
200
500
100 -100
-80
-60
-40
0 -20 0 -100
250 0 20
40
60
80
100
-0.0001
-0.00005
-750
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -400
-1250 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
500
5
400
0 -0.04
300 200
-5 0
0.02
0.04
-15
0 -100 0
-0.02
-10
100 -0.02
0.0001
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-1000
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0.00005
-500
-200
1 3 8
-250 0
0.02
0.04
-25
-200 -300
Kowalsky k =1
-400
Rodríguez k=1
-500 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-20
Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-30 -35 -40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
400
1250
300
1000 750
200
500
100 -100
-80
-60
0 -20 0 -100
-40
250 0 20
40
60
80
100
-0.0001
-0.00005
-250 0 -750
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -400
-1250 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
500
5
400
0 -0.04
300
-0.02
-5 0
200
0.02
0.04
-10
100
-15
0 -0.02
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-1000
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0.0001
-500
-200
1 3 8
0.00005
-100 0
0.02
-20
0.04
-25
-200 -300
Kowalsky k =1
-400
Rodríguez k=1
-30 -35
Rodríguez k=0.75
-500
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.21 Espécimen Mander D
400
340
300
240
200
140
100 40
0 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 -100
10 20 30 40 50 60 70
-0
-0
-0
-0
-0-60 0
-0
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -400
0
0
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5
600
-0.04
400
-0.02
0 -5 0
0.02
0.04
0.06
-10
200
-15
0 -200
0
Rodríguez k=1
-360
800
-0.02
0
-260
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0
-160
-200
1 3 9
0
-20 0
0.02
0.04
0.06
-30
-400 -600 -800 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-25 -35
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-40 -45
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
400
340
300
240
200
140
100 40
0 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 -100
10 20 30 40 50 60 70
-0
-0
-0
-0
-0-60 0
-0
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-300 -400
0
0
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5
600
-0.04
400
0 -5 0
-0.02
0.02
0.04
0.06
-10
200
-15
0 -200
0
Rodríguez k=1
-360
800
-0.02
0
-260
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0
-160
-200
1 3 9
0
-20 0
0.02
0.04
0.06
-25 -30
-400
-35
-600
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75
-800
Rodríguez k=1
-40
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-45
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.22 Espécimen Ang 9
250
150
200
100
150 100
50
50 0 -60
-40
-20
0
20
40
60
-50
0 -0.00015 -0.0001 -0.00005 -50 0 -150
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150
CICLO DE PANDEO
5 0 -0.02
300 200
-5 0
0.02
0.04
-10
100
-15
0 0.02
0.04
-20 -25
-200
-30
-300 -500
Pantazopoulou
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
400
-400
Rodríguez k=0.75
-250
500
-100 0
0.00015
kowalsky k=1
-200
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0.0001
-100
-100
1 4 0
0.00005
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-35 -40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
250
150
200
100
150 100
50
50 0 -60
-40
-20
0
20
40
60
-50
0 -0.00015 -0.0001 -0.00005 -50 0 -150
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150
0.00015
kowalsky k=1
-200
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou
-250
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
500
5
400
0 -0.02
300
-5 0
200
0.02
0.04
-10
100
-15
0 -0.02
0.0001
-100
-100
1 4 0
0.00005
-100 0
0.02
-20
0.04
-25
-200
-30
-300 -400
Rodríguez k=0.75
-500
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-35
kowalsky k=1
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.23 Espécimen Ang 1 M
200
350
150
250
100
150
50
50
0 -60
-40
-20
-50
0
20
40
60
-0.00015 -0.0001 -0.00005 -50 0
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
-250
-0.02
-0.01
0.00015
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
600 500 400 300 200 100 0 -100 0 -200 -300 -400 -500 -600
0.0001
-150
-100
1 4 1
0.00005
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5 0 -0.02
-0.01
-5 0
0.01
0.02
0.03
-10 -15 0.01
0.02
0.03
-20 -25 -30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-35 -40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
200
350
150
250
100
150
50
50
0 -60
-40
-20
-50
0
20
40
60
-0.00015 -0.0001 -0.00005 -50 0
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
-250
-0.01
0.00015
600 500 400 300 200 100 0 -100 0 -200 -300 -400 -500 -600
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0.0001
-150
-100
1 4 1
0.00005
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5 0 -0.02
-0.01
-5 0
0.01
0.02
0.03
-10 -15 0.01
0.02
-20
0.03
-25 -30
Kowalsky k=1
-35
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.24 Espécimen Ang 3M
200
350
150
250
100
150
50
50
0 -60
-40
-20
-50
0
20
40
60
-0.00015 -0.0001 -0.00005 -50 0
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
0.00015
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-250 -350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
5 0
400
-0.02
200
-5 0
0.02
0.04
-10 -15
0 -0.02
0.0001
-150
-100
1 4 2
0.00005
0
0.02
0.04
-200
-20 -25
-400
Kowalsky k=1
-600
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-30 -35 -40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
200
350
150
250
100
150
50
50
0 -60
-40
-20
-50
0
20
40
60
-0.00015 -0.0001 -0.00005 -50 0
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
0.00015
kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-250 -350
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
5 0
400
-0.02
-5 0
200
0.02
0.04
-10 -15
0 -0.02
0.0001
-150
-100
1 4 2
0.00005
0
0.02
-20
0.04
-200
-25
-400
Kowalsky k=1
-600
Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-35 -40
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.25 Espécimen Ang 4M
200
500
150
400 300
100
200
50 0 -150 -125 -100 -75 -50 -25 0 -50
100 25
50
75 100 1 25 1 50
0 -2E-04 -2E-04 -1E-04 -5E-05 -100 0 -200
-100
-300
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
-500 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.02
400 200 0 -0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
-400 -600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 4 3
5E-05 0.0001 0.0002 0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
200
500
150
400 300
100
200
50
100
0 -150 -125 -100 -75 -50 -25 0 -50
25
50
75 100 1 25 1 50
0 -2E-04 -2E-04 -1E-04 -5E-05 -100 0 -200
-100
-300
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
-500 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.02
400 200 0 -0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
-400 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 4 3
5E-05 0.0001 0.0002 0.0002
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.26 Espécimen Leh 407
300
800 600
200
400 100
200
0 -200
-150
-100
-50
0 0
50
100
150
200
-0.0002
-0.0001
-100
-200
0
0.0001
-400 kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-200 -300
-800 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 4 4
600
-0.02
400 200 0 -0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-400 -600 -800
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
300
800 600
200
400 100
200
0 -200
-150
-100
-50
0 0
50
100
150
200
-0.0002
-0.0001
0
-200
-100
0.0001
-400 kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-200 -300
-800 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 4 4
600
-0.02
400 200 0 -0.02
-200
0
0.02
0.04
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
0.0002
0.06
0.08
-400 Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.27 Espécimen Leh 415
800
300 250
600
200
-200
-150
-100
-50
150
400
100 50
200
0 -50 0 -100
0
50
100
-150
150
200
-0.0002
-0.0001
-300
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.03
400 200 0 -0.01 -200
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
-400 -600 -800
0.0002
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-800
800
-0.03
0.0001
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 4 5
0
-400
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-200 -250
-200
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
5 0 -0.01-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
800
300 250
600
200
-200
-150
-100
-50
150
400
100 50
200 0
0 -50 0 -100
50
100
150
-150
200
-0.0002
-0.0001
-300
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.03
400 200 0 -0.01 -200
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
-400 kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
0.0002
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-800
800
-0.03
0.0001
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 4 5
0
-400
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-200 -250
-200
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -0.01-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación par a el concreto (MPa)
Fig B.28 Espécimen Leh 415S
350
1000 800
250
600
150
400
50
200 0
-150
-100
-50
-50 0
50
100
150
-0.0002
-0.0001
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-250 -350
-800 -1000 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
400 200 0 -0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
-400 -600 -800
0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0.0001
-400
-150
1 4 6
-200 0
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-0.02
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
350
1000 800
250
600
150
400
50
200 0
-150
-100
-50
-50 0
50
100
150
-0.0002
-0.0001
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-250 -350
-800 -1000 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
-0.02
400 200 0 -0.02
-200
0
0.0002
0.02
0.04
0.06
-400 Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0.0001
-400
-150
1 4 6
-200 0
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.29 Espécimen Leh 415P
200
800
150
600
100
400
50
200
0 -500 - 400 - 300 - 200 - 100 0 -50
0 100
200
300
400
500
-0.00015 -0.0001 -0.00005
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
-0.02
400 200 0 0.02
0.04
0.06
-400 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
0.00015
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
0
0.0001
Kowalsky k=1
-800
800
-200
0.00005
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0
-400
-100
1 4 7
-200
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
200
800
150
600
100
400
50
200
0 -500 - 400 - 300 - 200 - 100 0 -50
0 100
200
300
400
500
-0.00015 -0.0001 -0.00005
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
0.00015
-0.02
400 200 0 0.02
0.04
0.06
-400 Kowalsky k=1
-600
Rodríguez k=0.75
-800
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
0
0.0001
Kowalsky k=1
-800
800
-200
0.00005
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0
-400
-100
1 4 7
-200
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.30 Espécimen Leh 815
150
800 600
100
400 50
200
0 -750
-500
-250
0 0
250
500
750
-0.0002
-0.0001
-50
-150
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5
600
-0.03
400
0 -0.01 -5 -15
0
-20 0.01
0.03
0.05
0.07
-800
0.03
0.05
0.07
-25 -30
-400 -600
0.01
-10
200 -0.01 -200
0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-800
800
-0.03
0.0001
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 4 8
0
-400
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-100
-200
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-35
Kowalsky k=1
-40
Rodríguez k=0.75
-45
CICLO DE PANDEO
Pantazopoulou
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
150
800 600
100
400 50
200
0 -750
-500
-250
0 0
250
500
750
-0.0002
-0.0001
-200
-50
-150
-800 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5
800 600
-0.03
400
-0.03
0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-600
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 4 8
0.0001
-400
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-100
0
0 -0.01 -5
0.01
0.03
0.05
0.07
-10
200
-15
0
-20
-0.01 -200
0.01
0.03
0.05
0.07
-25 -30
-400
-35
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Kowalsky k=1
-40
Rodríguez k=0.75
-45
CICLO DE PANDEO
Pantazopoulou
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.31 Espécimen Leh 1015
600
1250 1000
400
750 500
200
250 0 -150
-100
-50
3
0
50
100
150
-0.00025
-0.00015
0 -0.00005 -250
-200
-600
-1000 -1250 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
400 200 0 -0.02
-200
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-400 -600 -800
0.00025
kowalsky K=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 "Paulay y Priestley" Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-750
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0.00015
-500 kowalsky K=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 "Paulay y Priestley" Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
1 4 9
0.00005
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-0.02
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
600
1250 1000
400
750 500
200
250 0 -150
-100
-50
3
0
50
100
150
-0.00025
-0.00015
0 -0.00005 -250
-200
-600
-1000 -1250 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.04
-0.02
400 200 0 -0.02
-200
0
0.00025
0.02
0.04
0.06
0.08
-400 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
kowalsky K=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 "Paulay y Priestley" Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-750
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0.00015
-500 kowalsky K=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 "Paulay y Priestley" Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
1 4 9
0.00005
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.32 Espécimen Leh 328
200
1200
150
800
100 400
50 0 -1000 -800 -600 -400 -200 0 -50
200
400
-100
600
800 1000
-0.00025
-200
-0.04
400 200 0
-400 -600 -800
0
0.02
0.00025
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-200
0.00015
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-1200
800
-0.02
0.00005
-800
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.04
0 -0.00005 -400
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150
1 5 0
-0.00015
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
50 0 -0.02 -50 0 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500
0.02
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
200
1200
150
800
100 400
50 0 -1000 -800 -600 -400 -200 0 -50
200
400
-100
600
800 1000
-0.00025
-0.00015
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-150 -200
-0.04
400 200 0 -200
0
0.02
0.04
-400
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
0.00025
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.02
0.00015
-1200
800
-0.04
0.00005
-800
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 5 0
0 -0.00005 -400
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
50 0 -0.02 -50 0 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500
0.02
0.04
0.06
0.08
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.33 Espécimen Leh 1028
350
400
250
300 200
150
100
50
0 -100
-80
-60
-40
-20 -50 0
20
40
60
80
100
-0.0004
-0.0002
-150
-350
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.03
400 200 0 -0.01 -200
0.01
0.03
0.05
0.07
-400 -600 -800
0.0004
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
800
-0.03
0.0002
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 5 1
0
-200
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-250
-100
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -0.01 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.01
0.03
0.05
0.07
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
350
400
250
300 200
150
100
50
0 -100
-80
-60
-40
-20 -50 0
20
40
60
80
100
-0.0004
-0.0002
-150
-350
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.03
400 200 0 -0.01 -200
0.01
0.03
0.05
0.07
-400 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-600 -800
0.0004
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-400
800
-0.03
0.0002
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 5 1
0
-200
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-250
-100
5 0 -0.01 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.01
0.03
0.05
0.07
Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.34 Espécimen Saat 4
350 350
400
250 250
300 200
150 150
100
50 50
0 -100 -100
-80 -80
-60 -60
-40 -40
-50 0 -20 -20 -50
20
40
-150 -150
60
80
100
-0.0004
-350 -350
-0.03
400 200
-400 -600 -800
0.03
0.0004
Kowalsky k=1 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Paulay y Priestley Pantazopoulou Pantazopoulou CICLO CICLO DEDE PANDEO PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
0.01
0.0002
-400
800
0 -0.01 -200
0
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.03
-100 -200
Kowalsky k=1 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Rodríguez k=0.75 PaulayyyPriestley Priestley Paulay Pantazopoulou Pantazopoulou CICLODE DEPANDEO PANDEO CICLO
-250 -250
1 5 2
-0.0002
0.05
0.07
Kowalsky k=1 Kowalsky k=1 Rodríguezk=1 k=1 Rodríguez Rodríguezk=0.75 k=0.75 Rodríguez PaulayyyPriestley Priestley Paulay CICLO CICLODE DEPANDEO PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 00 -0.01 -5 -5 -10 -10 -15 -15 -20 -20 -25 -30 -25 -35 -30 -40 -35 -45 -40 -50 -45 -55 -60 -50
0.01
0.03
0.05
0.07
Kowalsky k=1 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez Rodríguez k=0.75 k=0.75 Pantazopoulou Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
350 350
400
250 250
300 200
150 150
100
50 50
0 -100 -100
-80 -80
-60 -60
-40 -40
-50 0 -20 -20 -50
20
40
-150 -150
60
80
100
-0.0004
-0.0002
-350 -350
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-0.03
400 200 0 -0.01 -200
0.01
0.03
0.05
-400
0.07
Kowalsky k=1 Kowalsky k=1 Rodríguezk=1 k=1 Rodríguez Rodríguezk=0.75 k=0.75 Rodríguez PaulayyyPriestley Priestley Paulay CICLO CICLODE DEPANDEO PANDEO
-600 -800
0.0004
Kowalsky k=1 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Paulay y Priestley Pantazopoulou Pantazopoulou CICLO CICLO DEDE PANDEO PANDEO
-400
800
-0.03
0.0002
-300
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm) 1 5 2
0
-200
Kowalsky k=1 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=0.75 Rodríguez k=0.75 PaulayyyPriestley Priestley Paulay Pantazopoulou Pantazopoulou CICLODE DEPANDEO PANDEO CICLO
-250 -250
-100
5 00 -0.01 -5 -5 -10 -10 -15 -15 -20 -20 -25 -30 -25 -35 -30 -40 -35 -45 -40 -50 -45 -55 -60 -50
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.01
0.03
0.05
0.07
Kowalsky k=1 Kowalsky k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez k=1 Rodríguez Rodríguez k=0.75 k=0.75 Pantazopoulou Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.35 Espécimen Saat 6
50
80
40
60
30
40
20
20
10 -100
-80
-60
-40
0 -20 -10 0
20
40
60
80
100
-0.00025
-0.00015
-20 Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-40 -50
0.00025
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
5
400
-0.025
200
-0.015
0 -0.005 -5
0.005
0.015
-10 -15
0 -0.005 -200
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-80
600
-0.015
0.00015
-60
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.025
0.00005
-40
-30
1 5 3
0 -0.00005 -20
0.005
-400 -600 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.015
-20 -25 -30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-35 -40
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
50
80
40
60
30
40
20
20
10 -100
-80
-60
-40
0 -20 -10 0
20
40
60
80
100
-0.00025
-0.00015
-20
0 -0.00005 -20
0.00005
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-40 -50
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60 -80
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
5
400
-0.025
-0.015
0 -0.005 -5
200
-0.015
0.005
0.015
-10 -15
0 -0.025
0.00025
-40
-30
1 5 3
0.00015
-0.005 -200
0.005
-20
0.015
-25 -30
-400
Rodríguez k=0.75
-600
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-35
Kowalsky k=1
-40
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.36 Espécimen Bous 100
50
80
40
60
30
40
20
20
10 -75
-50
-25
0 -10 0
0 25
50
75
-0.0002
-0.0001
-20
-20
0
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-40 -50
-80 Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
5 0
400
-0.025
200
-0.015
0 -0.005 -200
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.025
0.0002
-40
-30
1 5 4
0.0001
-0.015
-0.005
-5
0.005
0.015
-10 -15 0.005
0.015
-20 -25
-400 -600 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
-30 -35
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
50
80
40
60
30
40
20
20
10 -75
-50
-25
0 -10 0
0 25
50
75
-0.0002
-0.0001
-20
-20
0
0.0001
-40
-30
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-40 -50
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60 -80
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
1 5 4
5 0
400
-0.025
-0.015
-0.005
200
-0.025
0.005
-5
0.015
-10
0 -0.005 -200
-0.015
0.0002
-15 0.005
0.015
-20 -25
-400
Rodríguez k=0.75
-600
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-30
Kowalsky k=1
-35
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.37 Espécimen Bous 130
80
150
60
100
40 50
20 0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
-0. 00025
-0.00015
-0.00005
0.00005
0. 00015
0. 00025
-50
-40
Kowalsky k=1 -60
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-100
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou
-80
-150
CICLO DE PANDEO
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 5 5
5 0
600 -0.015
-0.005 -5
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
400 -10 200
-15
0 -0.015
-0.005 -200
-20 0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
-25 -30
-400 -35 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-40 -45
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
80
150
60
100
40 50
20 0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
-0. 00025
-0.00015
-0.00005
0.00005
0. 00015
0. 00025
-50
-40
Kowalsky k=1 -60
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-100
Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou
-80
-150
CICLO DE PANDEO
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 5 5
5 0
600 -0.015
-0.005 -5
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
400 -10 200
-15
0 -0.015
-20
-0.005 -200
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
-25 -30
-400 -35
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Kowalsky k=1
-600
-40
Rodríguez k=0.75 -800
CICLO DE PANDEO
-45
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.38 Espécimen Kunnath A2
80
150
60
100
40 50
20 0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
0.0002
-50
-40 Kowalsky k=1
-60
Kowalsky k=1
-100
Rodríguez k=0.75
Rodríguez k=0.75
Pantazopoulou
-80 Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
600
-0.015
400 200 -0.015
0 -0.005 -200
0.005
0.015
0.025
0.035
-400 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 5 6
Pantazopoulou
-150
CICLO DE PANDEO
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -0.005-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.005
0.015
0.025
0.035
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
80
150
60
100
40 50
20 0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
0.0002
-50
-40 Kowalsky k=1
-60
Kowalsky k=1
-100
Rodríguez k=0.75
Rodríguez k=0.75
Pantazopoulou
-80 Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
600
-0.015
400 200 0 -0.005 -200
-0.015
0.005
0.015
0.025
0.035
-400 Kowalsky k=1
-600
Rodríguez k=0.75
-800
CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 5 6
Pantazopoulou
-150
CICLO DE PANDEO
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -0.005-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.005
0.015
0.025
0.035
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.39 Espécimen Kunnath A4
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40
-30
0
0.0001
-60
Pantazopoulou
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.015
400 200 0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
-400 -600 -800
Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-120
CICLO DE PANDEO
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
0 -0.005 -200
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75
-90
Rodríguez k=0.75
-80
-0.015
0.0003
-60 kowalsky K=1
1 5 7
0.0002
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -0.005 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
Kowalsky K=1 Pantazopoulou Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40
-30
0
0.0001
0.0002
-60 kowalsky K=1
-60
Pantazopoulou
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800 600
-0.015
400 200 0 -0.005 -200
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
-400 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-120
CICLO DE PANDEO
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.015
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75
-90
Rodríguez k=0.75
-80
1 5 7
0.0003
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -0.005 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
Kowalsky K=1 Pantazopoulou Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.40 Espécimen Kunnath A5
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -100
-80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
100
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40 Pantazopoulou
600
-0.02
400 200 0.02
0.0003
0.03
0.04
0.05
0.06
-400 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800 Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
0.01
0.0002
-120
CICLO DE PANDEO
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
0 -0.01 0 -200
0.0001
-90
Rodríguez k=0.75
-80
-0.02
0
-60 kowalsky K=1
-60
1 5 8
-30
CICLO DE PANDEO
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -100
-80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
100
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40 Pantazopoulou
0.0003
600
-0.02
400 200 0.02
0.03
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
0.01
0.0002
-120
CICLO DE PANDEO
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
0 -0.01 0 -200
0.0001
-90
Rodríguez k=0.75
-80
-0.02
0
-60 kowalsky K=1
-60
1 5 8
-30
0.04
0.05
0.06
-400 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.02
0.04
0.06
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.41 Espécimen Kunnath A6
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -100
-80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
100
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40
-80
-0.02
400 200 0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-400 -600 -800
0.0003
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
600
-200
0.0002
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-120
800
-0.01
0.0001
-90
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0
-60 kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60
1 5 9
-30
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
5 0 -0.01 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -100
-80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
100
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-30
-40
-80
-120
600
-0.02
400 200 0 -200
0
0.0003
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
-0.01
0.0002
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-400 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-90
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
-0.02
0.0001
-60 kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60
1 5 9
0
CICLO DE PANDEO
5 0 -0.01 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.42 Espécimen Kunnath A7
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -100
-80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
100
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40
0
0.0001
0.0002
0.0003
-60
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60 -80
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-90 -120
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 6 0
-30
5 0
600 -0.02 400
-0.01
-5 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-10 -15
200
-20 0 -0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-200
-25 -30 -35
-400
-40 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-45 -50
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -100
-80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
100
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40
0
0.0001
0.0002
0.0003
-60
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60 -80
kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-90 -120
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 6 0
-30
5 0
600 -0.02
-0.01
-5 0
400
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-10 -15
200
-20 0 -0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
-25
0.05
-200
-30 -35
-400
-40 -600
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-800
Kowalsky K=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-45 -50
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.43 Espécimen Kunnath A8
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
-40
80
100
-0.0003
-0.0002
-80
-30
0
0.0001
-60
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60
0.0002
0.0003
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-90 -120
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 6 1
-0.0001
5 0
600 -0.02
-0.01
-5 0
0.01
0.02
0.03
0.04
400 -10 200
-15
0 -0.02
-0.01
-200
-20 0
0.01
0.02
0.03
0.04
-25 -30
-400
Kowalsky k=1 -600 -800
Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-35 -40
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou
-45
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
-40
80
100
-0.0003
-0.0002
-80
-30
0
0.0001
0.0002
-60
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60
0.0003
kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-90 -120
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 6 1
-0.0001
5 0
600 -0.02
-0.01
-5 0
0.01
0.02
0.03
0.04
400 -10 200
-15
0 -0.02
-0.01
-200
-20 0
0.01
0.02
0.03
0.04
-25 -30
-400 -35
Kowalsky k=1 -600
Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
-800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75
-40
Pantazopoulou -45
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.44 Espécimen Kunnath A11
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
100
120
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40
-80
0.0001
0.0002
0.0003
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-90 -120
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 6 2
0
-60
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60
-30
5 0
600 -0.02
-0.01
-5 0
0.01
0.02
0.03
0.04
400 -10 200
-15 -20
0 -0.02
-0.01
-200
0
0.01
0.02
0.03
0.04
-25 -30
-400 -600 -800
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-35 -40 -45
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
80
120
60
90
40
60
20
30
0 -80
-60
-40
-20
-20
0 0
20
40
60
80
100
120
-0.0003
-0.0002
-0.0001
-40
-80
0.0001
0.0002
0.0003
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-90 -120
Carga lateral-desplazamiento (KN-mm)
Momento-curvatura (KN-m / Rad/mm)
800
1 6 2
0
-60
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
-60
-30
5 0
600 -0.02
-0.01
-5 0
0.01
0.02
0.03
0.04
400 -10 200
-15 -20
0 -0.02
-0.01
-200
0
0.01
0.02
0.03
0.04
-25 -30
-400 -600 -800
-35
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Paulay y Priestley CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el acero (MPa)
-40 -45
Kowalsky k=1 Rodríguez k=0.75 Pantazopoulou CICLO DE PANDEO
Esfuerzo-deformación para el concreto (MPa)
Fig B.45 Espécimen Kunnath A12
APÉNDICE C PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL NÚMERO DE ESPACIAMIENTOS ENTRE ESTRIBOS INVOLUCRADOS EN EL PANDEO Introducción
Los requisitos para espaciamiento mínimo del refuerzo transversal especificado en muchos de los reglamentos de diseño para prevenir el pandeo prematuro del refuerzo
APÉNDICE C PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL NÚMERO DE ESPACIAMIENTOS ENTRE ESTRIBOS INVOLUCRADOS EN EL PANDEO Introducción
Los requisitos para espaciamiento mínimo del refuerzo transversal especificado en muchos de los reglamentos de diseño para prevenir el pandeo prematuro del refuerzo longitudinal han sido determinados admitiendo que la restricción del refuerzo transversal es suficiente para asegurar que las barras longitudinales llegarán al pandeo en un solo espaciamiento de estribos. Esto significa considerar que cada barra longitudinal se comporta como una columna empotrada en ambos extremos, definidos éstos como dos estribos adyacentes. Sin embargo, cuando esta restricción contra el movimiento del refuerzo longitudinal provista por el refuerzo transversal es demasiado débil para generar tal modo de pandeo, el suponer un solo espaciamiento del refuerzo transversal para evitar el pandeo puede ser inadecuado. Sólo si el tamaño y el espaciamiento de los estribos están adecuadamente diseñados para proporcionar a la barra de acero longitudinal un soporte rígido, puede pensarse que el pandeo ocurrirá entre dos estribos consecutivos. Por tal motivo, con el fin de evaluar la longitud de pandeo en un elemento de concreto reforzado, para conocer así el número de espaciamientos entre estribos que estarían involucrados en el pandeo del refuerzo longitudinal, se consideró utilizar el procedimiento seguido por Dhakal y Maekawa (2002b) para evaluarla. Éste es una generalización del propuesto originalmente por Bresler y Gilbert (1961).
163
Antecedentes
Cuando en este trabajo se estaba analizando el espécimen Ang 9, el cual forma parte de la base de datos de esta investigación, se observó que el pandeo no ocurrió en un solo intervalo de estribos, sino que involucró varios intervalos. Esto implicaba que la relación de esbeltez, S h /d bl, que se estaba empleando como longitud de pandeo no era correcta. Sin embargo, se encontró que si se empleaba la evidencia experimental del número de estribos involucrados en el pandeo para estimar la relación de esbeltez, S h /d bl, los resultados calculados utilizando el parámetro ε p* eran congruentes con los resultados experimentales. De aquí surgió el concepto de relación de esbeltez experimental, la cual se define como ⎛ ( S h )exp ⎞ S = n ⎛⎜ h ⎞⎟ ⎜ ⎟ d bl ⎠ ⎝ d bl ⎠ ⎝
(C.1)
donde n es el número de espaciamientos entre estribos que, de acuerdo con el modo de falla observado experimentalmente, es necesario para definir la longitud de la barra donde ocurre el pandeo. El valor de n es uno cuando el pandeo ocurre en un solo espaciamiento entre estribos, y es mayor de uno cuando el pandeo abarca más de un espaciamiento entre estribos. No obstante, la validez de utilizar este concepto quedaba supeditada a la posibilidad de predecir acertadamente el intervalo de estribos que podían verse involucrados en el pandeo. Para el espécimen Ang 9 en particular, cuando se utiliza el modelo de Rodríguez et al (1999), empleando el parámetro ε p*, para la relación de esbeltez de diseño, S h /d bl, con un factor de longitud efectiva k = 0.75, la deformación para la cual se presentaba el pandeo era en un ciclo muy anterior al del pandeo experimental. Sin embargo, cuando se evaluaba el mismo parámetro considerando el valor experimental (S h)exp /d bl, así como k = 0.75, el pandeo se presentaba en el mismo ciclo o en un ciclo cercano al experimental observado en el ensaye. Esto mismo sucedió en otros casos en que el pandeo experimental había involucrado varios intervalos de estribos. Estas observaciones condujeron a querer tratar de estimar analíticamente cuantos estribos podían verse involucrados dentro del pandeo del acero longitudinal. Debe notarse que si la longitud de pandeo cambia de una a dos veces el espaciamiento entre estribos, la relación de esbeltez llega a duplicarse, y el esfuerzo en compresión de pandeo tendrá una reducción drástica. 164
Procedimiento propuesto
Dhakal y Maekawa (2002b) han empleado un procedimiento propuesto inicialmente por Bresler y Gilbert (1961), y posteriormente utilizado por Scribner (1986), para la evaluación del número de estribos involucrados en el pandeo del refuerzo. El método consiste en evaluar la rigidez del estribo necesaria para mantener la barra longitudinal en su posición. Estos autores, relacionan la rigidez de la barra transversal con la rigidez de la barra longitudinal a la que restringen, según la configuración del elemento en sección; comparando esta relación después con una rigidez equivalente calculada con principios energéticos para varios modos de pandeo. El modo de pandeo en este contexto se refiere al número de intervalos de estribos involucrados en la longitud de pandeo. Si la rigidez efectiva del estribo es menor que la rigidez requerida para el modo n-1 pero excede la requerida por el modo n, los estribos laterales pueden sostener las barras de refuerzo en el enésimo modo de pandeo. En otras palabras, el parámetro n está asociado al modo de pandeo estable y multiplicándolo por el espaciamiento entre estribos lleva a la longitud de pandeo para cierta combinación del refuerzo longitudinal y transversal. De acuerdo con el procedimiento de Dhakal y Maekawa (2002b), en este trabajo se propone la siguiente forma de evaluar el número de estribos n, que se verían involucrados en el pandeo según la configuración del elemento. Con el valor calculado para n de esta manera, puede estimarse la relación de esbeltez correspondiente a la barra de refuerzo longitudinal durante el pandeo. 1. Dado que la rigidez a flexión, EI , de la barra de acero longitudinal está relacionada con la resistencia de fluencia y que, a su vez, la rigidez en el intervalo de endurecimiento por deformación (donde se produce el pandeo) es indiscutiblemente menor que la rigidez elástica E S I , a partir de ensayos experimentales, Dhakal y Maekawa (2002b) calibraron una relación para representar el comportamiento real de la barra. Estos autores proponen la siguiente expresión para evaluar la rigidez a flexión, K , del refuerzo longitudinal considerando la influencia de la resistencia del material:
K = E s
I
f y
4
π
2 400 s 3
165
(C.2)
En la expresión anterior, E s es el módulo de elasticidad del acero de refuerzo longitudinal en MPa; I el momento de inercia del acero de refuerzo longitudinal en mm4, I = π d bl4 / 64 ; Fy el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo longitudinal en MPa, y s la separación entre estribos en milímetros. 2. Debido a que la resistencia proporcionada por los estribos contra el pandeo de la barra de refuerzo longitudinal está dada principalmente por la rigidez axial de sus ramas, y admitiendo que para columnas rectangulares la rigidez total de nl ramas de estribos a lo largo de la dirección de pandeo, contribuyen igualmente a nb barras longitudinales que están propensas a pandearse simultáneamente; la rigidez efectiva en tensión, k t , correspondiente al sistema de estribos contra el pandeo de cada barra longitudinal, se puede calcular mediante la siguiente ecuación (Dhakal y Maekawa, 2002b): k t =
Et At le
*
nl
(C.3)
nb
donde E t es el módulo de elasticidad del acero del estribo en MPa, At el área del estribo, le la longitud del estribo paralela a la dirección de pandeo, nl el número de ramas de estribos en la dirección que se está analizando, y nb el número de barras longitudinales restringidas por las nl ramas de estribos. La interpretación de los parámetros de nl y nb para algunos arreglos comunes del acero longitudinal y del refuerzo transversal se muestra en la fig C.1. Estos valores han sido deducidos considerando solamente el comportamiento a flexión, para la cual las barras de refuerzo en el lado a compresión de la sección son propensas a llegar al pandeo simultáneamente. Sin embargo, en el caso de compresión axial concéntrica, todas las barras tienen igual deformación y tienden a llegar al pandeo al mismo tiempo. Por tanto, los parámetros nb y nl a lo largo de cada eje se deben evaluar considerando las ramas de estribos paralelas al eje de la barra longitudinal en ambos lados de los estribos.
nb=2, nl=2
Fig C.1 Valores de 2002b)
nb=3, nl=2
nb=4, nl=4
nb=5, nl=4
nb y nl para arreglos comunes del refuerzo (Dhakal y Maekawa,
166
3. En el caso de columnas circulares confinadas por espirales a anillos, se considera que la rigidez total que aporta cada nivel de estribo restringe el total de las barras longitudinales para ese nivel, por tanto, la rigidez efectiva contenida por el sistema puede calcularse por medio de la siguiente expresión: k t =
4 Et At s2 + D2
(C.4)
donde E t es el módulo de elasticidad del acero del estribo en MPa; At el área del estribo en mm2; s el paso de la espiral o la separación entre los estribos circulares en milímetros; y D el diámetro de la columna en milímetros. 4. La relación entre la rigidez a flexión de la barra de acero longitudinal normalizada, K , y la rigidez efectiva en tensión del sistema de refuerzo transversal, k t, se compara con la rigidez equivalente k eq, la cual se define como la rigidez requerida para estabilizar la barra de refuerzo longitudinal en un determinado modo de pandeo, y su valor es presentado en la tabla C.1 para diferentes modos de pandeo. Esta rigidez equivalente ha sido calculada por Dhakal y Maekawa (2002b), a partir de un procedimiento energético que parte de la ecuación de la deformada para varios modos de pandeo. TABLA C.1 RIGIDEZ REQUERIDA PARA DIFERENTES MODOS DE PANDEO, DHAKAL Y MAEKAWA (2002B) Rigidez equivalente requerida, k eq 0.7500 0.1649 0.0976 0.0448 0.0084
Modo de pandeo, n 1 2 3 4 5
5. Con base en los resultados de los pasos anteriores, se calcula la relación nS h /d bl, donde n es el modo de pandeo estimado con el procedimiento anterior. Los resultados de realizar esta evaluación al ser comparados con los datos experimentales presentan una buena correlación, por lo que se adoptó este método como mecanismo para evaluar el intervalo de estribos involucrado en el pandeo del acero de refuerzo longitudinal. La tabla C.2 presenta los parámetros involucrados y el cálculo del modo de pandeo para la base de datos utilizada en esta investigación. La fig 5.7 ilustra una 167
comparación entre la relación de esbeltez experimental y la calculada con este procedimiento (Dhakal y Maekawa, 2002), en la que se aprecia una correlación aceptable entre resultados analíticos y experimentales. Ejemplo de aplicación 1
A continuación se presenta un ejemplo de aplicación del procedimiento descrito anteriormente para una columna circular correspondiente al espécimen ANG 9. Datos de la sección: D = 400 mm Núm barras long = 20
15 mm Ø 6 mm @ 30 mm 20 # 16 mm
Datos del refuerzo longitudinal: E s = 200 000 MPa f y = 448 MPa d bl = 16 mm Datos del refuerzo transversal: d tr = 6 mm 2 Atr = 28.3 mm S h = 30 mm
400 mm
Cálculo de la inercia de la barra longitudinal: I =
d b 2
π
64
= 3217 mm4
Cálculo de la rigidez a flexión de la barra de refuerzo longitudinal 4 π 3217 mm 4 448 MPa = 200000 MPa * = 1228272 MPa-mm K = E s 2 400 s3 2 400 MPa (30 mm) 3
I
f y
π
4
Cálculo de la rigidez del refuerzo transversal: 4*200000MPa*28.3mm2 = = 56390 Mpa-mm k t = 2 2 2 2 (30 mm) + (400 mm) s +D 4 Et Atr
Cálculo de la rigidez equivalente: k eq =
56390 = 0.046 K 1228272
K t
=
Según la tabla C.1, el modo de pandeo n es 3. 168
Ejemplo de aplicación 2
A continuación se presenta un ejemplo de aplicación del procedimiento descrito anteriormente para una columna cuadrada correspondiente al espécimen SOES1. 13mm
12 # 16mm
Datos de la sección: D = 400 mm nb = 4 nl = 4 m m 0 0 4
Datos del refuerzo longitudinal: E s = 200000 MPa f y = 446 MPa d bl = 16 mm Datos del refuerzo transversal: d tr = 7 mm 2 Atr = 38.5 mm S h = 85 mm
Ø 7 mm @ 85 mm
Cálculo de la inercia de la barra longitudinal: I =
d
π b
2
64
= 3217mm4
Cálculo de la rigidez a flexión de la barra de refuerzo longitudinal 3217 mm 4 446 MPa π 4 K = E s = 200000 MPa * = 53880 MPa-mm 2 400 s3 2 400 MPa (85 mm)3 I
f y
π
4
Cálculo de la rigidez del refuerzo transversal: k t =
200000 MPa *38.5mm 2 4 = = 20580 Mpa-mm 374 mm 4 nb
Et Atr nl le
Cálculo de la rigidez equivalente: k eq =
20580 = 0.382 K 53880
K t
=
De la tabla C.1, el modo de pandeo n es 1. 169
TABLA C.2 CÁLCULO DEL MODO DE PANDEO Y COMPARACIÓN CON LOS RESULTADOS OBSERVADOS EXPERIMENTALMENTE No
Espécimen
d bl mm
E s Mpa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
KOWA 1 KOWA 2 KOWA 3 KOWA 4 SOES 1 SOES 2 SOES 3 SOES 4 ZAHN 7 ZAHN 8 TANA 1 TANA 2 TANA 4 TANA 5 TANA 6 TANA 7 TANA 8 TANA 10 TANA 11 MANDER A MANDER D ANG 9 ANG 1M ANG 3M ANG 4M LEHMAN 407 LEHMAN 415 LEHMAN 415S LEHMAN 415P LEHMAN 815 LEHMAN 1015 LEHMAN 328 LEHMAN 1028 SAAT 4 SAAT 6 BOUS 100 BOUS 130 KUNNATH A2 KUNNATH A4 KUNNATH A5 KUNNATH A6 KUNNATH A7 KUNNATH A8 KUNNATH A11 KUNNATH A12
19.1 19.1 19.1 19.1 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 10.0 10.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 19.0 19.0 25.0 25.0 16.0 16.0 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5 9.5
200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000
F y B,D S h I Mpa mm mm mm4
E I K Dtr Atr Lest n b n l K tr K eq 4 2 Mpa-mm Mpa-mm mm mm mm Mpa-mm
n n cal exp
570 570 570 570 446 446 446 446 440 440 474 474 474 511 511 511 511 485 485 335 335 448 308 427 427 471 471 462 462 471 471 448 448 438 438 514 514 448 448 448 448 448 448 448 448
771444724 771444724 771444724 771444724 339693521 339693521 339693521 339693521 337400850 337400850 854966418 854966418 854966418 887708413 887708413 887708413 887708413 864830017 864830017 44922333 44922333 340454313 282289804 332379149 332379149 349084276 349084276 345732989 345732989 349084276 349084276 677007241 677007241 2006489969 2006489969 364671139 364671139 42312953 42312953 42312953 42312953 42312953 42312953 42312953 42312953
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3
457 457 457 457 400 400 400 400 400 400 400 400 400 550 550 550 550 600 600 750 750 400 400 400 400 610 610 610 610 610 610 610 610 350 250 250 305 305 305 305 305 305 305 305 305
76 76 76 76 85 78 91 94 117 92 80 80 80 110 110 90 90 80 100 60 60 30 40 100 90 32 32 64 32 32 32 25 25 50 65 100 130 19 19 19 19 19 19 19 19
6465 6465 6465 6465 3217 3217 3217 3217 3217 3217 7854 7854 7854 7854 7854 7854 7854 7854 7854 491 491 3217 3217 3217 3217 3217 3217 3217 3217 3217 3217 6397 6397 119175 119175 3217 3217 400 400 400 400 400 400 400 400
170
169840 169840 169840 169840 53880 69727 43910 39839 20521 42207 162659 162659 162659 64967 64967 118616 118616 164536 84242 20259 20259 1228272 429650 32377 44413 1037719 1037719 128470 1027757 1037719 1037719 4220586 4220586 1563603 711699 35522 16169 600914 600914 600914 600914 600914 600914 600914 600914
9.5 9.5 9.5 9.5 7.0 8.0 7.0 6.0 10.0 10.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 10.0 10.0 6.0 6.0 6.0 6.0 12.0 10.0 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 10.0 6.4 10.0 10.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0
71 71 71 71 38 50 38 28 79 79 113 113 113 113 113 113 113 79 79 28 28 28 28 113 79 33 33 33 33 33 33 33 33 79 32 79 79 13 13 13 13 13 13 13 13
432 432 432 432 374 374 374 374 374 374 320 320 320 470 470 470 470 552 552 710 710 370 374 374 374 572 572 572 572 572 572 572 572 305 305 200 200 280 280 280 280 280 280 280 280
12 12 12 12 4 4 4 4 4 4 3 3 3 4 4 4 4 3 3 10 10 20 16 4 4 11 22 22 22 22 22 28 28 8 8 4 4 21 21 21 21 21 21 21 21
1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 3 3 2 4 3 4 3 2 2 10 10 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
122986 122986 122986 122986 20580 26880 20580 15120 42000 42000 70686 70686 35343 48127 36095 48127 36095 18971 18971 7965 7965 56390 56268 60480 42000 43459 43459 43281 43459 43459 43459 43482 43482 12875 7911 39270 39270 32897 32897 32897 32897 32897 32897 32897 32897
0.724 0.724 0.724 0.724 0.382 0.386 0.469 0.380 2.047 0.995 0.435 0.435 0.217 0.741 0.556 0.406 0.304 0.115 0.225 0.393 0.393 0.046 0.131 1.868 0.946 0.042 0.042 0.337 0.042 0.042 0.042 0.010 0.010 0.008 0.011 1.106 2.429 0.055 0.055 0.055 0.055 0.055 0.055 0.055 0.055
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 2 3 3 3 3 4 2 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3
APÉNDICE D CRITERIO DE SELECCIÓN DEL FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA La fórmula de Euler ha sido deducida partiendo de la hipótesis de que los extremos de la columna están articulados, por lo cual esta fórmula sólo se puede emplear para calcular cargas críticas de columnas con estas condiciones de apoyo. Sin embargo, tales condiciones de apoyo no existen en estructuras reales, y menos en barras de acero embebidas en elementos de concreto reforzado. La carga o esfuerzo crítico para otras condiciones de apoyo se puede calcular a partir del caso fundamental (extremos articulados) pero empleando una longitud efectiva en lugar de la longitud real. Así, resulta conveniente escribir la ecuación de Euler de la siguiente manera: 2
Pcr =
π
EI
( kL )
2
(D.1)
donde kL es la longitud efectiva de una columna, es decir, la distancia entre puntos de inflexión del eje deformado; k vale 1 para extremos articulados y 0.5 para extremos empotrados, y tiene valores intermedios para restricciones elásticas comprendidas entre estos límites. La fig D.1 (Johnston, 1983) muestra los valores de k para estas condiciones de apoyo idealizadas, en las que se supone que las restricciones que impiden las rotaciones y traslaciones de los extremos son ciento por ciento efectivas o no existen.
171
Columna con extremos articulados
Columnas con extremos empotrados
Rotación libre - traslación impedida
Rotación impedida - traslación impedida
Fig D.1 Valores del coeficiente k para condiciones de apoyo idealizadas (Johnston, 1983)
Para elementos de concreto reforzado, ensayos conducidos por otros investigadores (Bresler y Gilbert, 1961; Mau, 1990; Monti y Nuti, 1992; Rodríguez et al, 1999; Dhakal y Maekawa, 2002) han demostrado que la deformación a compresión tolerada por la barra de refuerzo longitudinal antes de pandearse, está directamente relacionada con el espaciamiento de sus soportes laterales, esto es de los estribos, ganchos o espirales que la restringen. Si se asume que todos los estribos o espirales dentro de la región de articulación plástica tienen la misma rigidez y fluyen al mismo tiempo, y que la expansión lateral del núcleo de concreto no varía a lo largo del eje la columna, para una barra longitudinal embebida dentro del concreto como la presentada en la fig D.2, se puede emplear un modelo simplificado mediante una barra de longitud S h con rotaciones libres y traslaciones impedidas en ambos extremos (fig D.2 b). Sin embargo, al evaluar la evidencia experimental de las barras con modo de falla de pandeo en los elementos de concreto reforzado que formaron la base de datos estudiada en esta investigación, se observó que la condición de pandeo para el refuerzo longitudinal del acero longitudinal se presentó como un caso intermedio entre estos dos casos extremos anteriormente mencionados (fig D.2 c). Esta observación se confirma al evaluar el parámetro ε p* para valores extremos de k (1 y 0.5). Se encontró que, cuando se evalúa este parámetro con estos valores, las predicciones resultan o muy conservadoras o sobrestimadas, respectivamente. Sin embargo, al ser evaluado con un valor de k de 0.75, hay buena predicción de los resultados experimentales.
172
Modelos simplificados
Fig D.2 Modelo simplificado para el pandeo del acero de refuerzo longitudinal (Zahn, 1986)
Lo anterior, confirma que considerar un valor de 0.75 para k está más cerca de las condiciones reales de apoyo que tiene una barra de refuerzo longitudinal embebida en concreto reforzado. No obstante, se sabe que el pandeo que se presenta entre estribos consecutivos no es el único tipo de pandeo posible, y que bajo determinadas condiciones, el pandeo puede abarcar múltiples espaciamientos entre estribos. En algunos ensayes donde el espaciamiento entre estribos S h fue menor de cuatro veces el diámetro de la barra longitudinal (S h < 4d bl), se observó que las barras tendieron a pandearse abarcando una longitud mayor de 2S h, más que el pandeo en doble curvatura entre estribos adyacentes. Esto implica que para pequeñas relaciones de esbeltez de la barra longitudinal S h /d bl, la hipótesis de un empotramiento rotacional y lateral total para el nivel del estribo puede estar del lado de la inseguridad, porque la barra encuentra menos resistencia al empujar el estribo o espiral hacia el exterior del núcleo.
173
Fig D.3 Opciones para analizar tipos de pandeo
Para tratar de analizar estos casos, en los cuales se involucran múltiples espaciamientos de estribos, se plantean dos opciones. La primera es trabajar con nS h para la relación S h /d bl, donde S h es el espaciamiento entre estribos en la zona de articulación plástica y n es el número de intervalos de estribos involucrados en el pandeo, empleando factor de longitud efectiva k de 0.75, que equivale aproximadamente a evaluar la condición de una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro (fig D.2c). La segunda opción es trabajar con S h y acomodar el factor de longitud efectiva k . Sin embargo, la segunda opción sólo puede considerarse cuando el pandeo ocurre abarcando máximo tres estribos, pues si abarca más de tres, no aplicaría considerar el factor de longitud efectiva k igual a 2, pues las condiciones de los extremos serían distintas, además existirían otras restricciones intermedias. Se cree, por tanto, más conveniente aplicar la primera opción, la cual implica estimar inicialmente el número de intervalos de estribos que se verían involucrados en el pandeo. La fig D.3 explica más claramente estas dos opciones.
174
APÉNDICE E MODELO PARA EVALUAR LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN EN BARRAS DE ACERO SOMETIDAS A CARGAS CÍCLICAS REVERSIBLES (MANDER ET AL, 1984) Una revisión de la literatura sobre este tema indica que existen varios modelos para definir la curva esfuerzo-deformación de una barra de acero de refuerzo sometida a cargas cíclicas reversibles. En general, estos modelos corresponden a la adaptación de la expresión propuesta por Ramberg-Osgood (1943), y aunque tienen buena correlación entre los datos teóricos y los experimentales, presentan el problema de que sólo son válidos cuando la primera descarga ocurre en la zona de fluencia (Mander et al, 1984). Esto se debe a que el modelo de Ramberg-Osgood fue propuesto para metales que no presentaban plataforma de fluencia, lo cual no es aplicable en aceros de refuerzo. El modelo propuesto por Mander et al (1984), basado en la definición de las curvas monotónicas del acero, define completamente la curva esfuerzo-deformación de una barra corta de refuerzo sometida a carga cíclica reversible, sin importar la zona donde se encuentre localizada la deformación cuando se realiza la primera descarga. Para definir el comportamiento de una barra de acero sometida a cargas cíclicas reversibles, se definen dos zonas de aplicación de carga asociadas a los subíndices M y K . El subíndice M representa el efecto de la carga actual; el valor de M es 1 para el caso en que la diferencia entre f i y f i-1 es negativa y es 2 cuando la diferencia entre f i y f i-1 es positiva. El subíndice K indica el efecto de la carga anterior; esto implica que si M es igual a 1 entonces K es igual a 2 y si M es igual a 2 entonces K es igual a 1. Además, como convención, se definen los esfuerzos de tensión como positivos y los de compresión como negativos. 175
En este modelo la barra presentará comportamiento monotónico hasta que ocurra la primera descarga; la curva esqueleto forma una envolvente para las descargas, pero su origen tiene que ser ajustado para considerar la historia cíclica de carga. Para definir el comportamiento de una barra de acero sometida a cargas cíclicas reversibles, es importante definir varias zonas: Zona elástica lineal f s = E sM (ε s − ε moM ) Et = E sM
donde
ε
mo
es la deformación que define el origen de la curva monotónica.
Zona de fluencia f s = f yM ε ssM
= ε s − ε moM
E t = 0
donde ε ssM es la deformación total alcanzada por la curva monotónica en el ciclo anterior. Zona de endurecimiento por deformación f s = f suM
⎛ ε + ε moM − ε s ⎞ + ( f yM − f suM ) ⎜ suM ⎟ ⎝ ε suM − ε shM ⎠ ε ssM = ε s − ε moM
⎛ f − f s Et = E shM ⎜ suM ⎜ f suM − f yM ⎝
P M
1−1/ P M
⎞ ⎟⎟ ⎠
Hasta el momento, se ha descrito el comportamiento de la curva esfuerzo-deformación de la barra sometida a carga monotónica. En la primera descarga comienza la primera zona del modelo cíclico reversible de la curva esfuerzo-deformación. El valor de ( ε moM , 0) se define a continuación. Zona de descarga lineal partiendo de la curva monotónica La fig E5.1 muestra las coordenadas esfuerzo-deformación del modelo cuando la reversión toma lugar a partir de la curva esqueleto (monotónica). 176
Fig E.1 Curva esfuerzo-deformación típica de un ciclo reversible con descarga en la zona de fluencia (Mander et al , 1984)
Cuando cambia la dirección de la carga, la curva esfuerzo-deformación describe un comportamiento lineal hasta alcanzar la coordenada (ε moM , 0 ) , que define la nueva localización del origen de coordenadas de la curva monotónica, ubicada siempre sobre el eje horizontal ( f s = 0 ) . El valor de ε moM se calcula utilizando la siguiente expresión: ε moM
= ε oM −
f oM E sK
+ ε d
Las coordenadas ( ε oM , f oM ) definen el valor de la deformación y esfuerzo últimos, respectivamente, y la deformación última en el momento en el cual se realiza el cambio de dirección de la aplicación de la carga. A partir de la evidencia experimental, Mander et al (1984) encontraron que existe un desplazamiento sobre el eje horizontal del nuevo origen de la curva monotónica ε d , el cual vale cero cuando la descarga ocurre en la zona de fluencia, y se define con la siguiente expresión, cuando la descarga ocurre en la zona de endurecimiento por deformación:
177
2
ε d
=
ε ssK ε su
+2
2
f yM
E sM
s
donde s es una variable que toma el valor de 1 cuando se aplica una carga de tensión, y de -1 cuando se aplica una carga de compresión. El esfuerzo y el módulo tangente en esta zona quedan definidos respectivamente por: f s = EsM
(ε s − ε ooM ) +
f ooM
Et = E sM
Cuando se obtienen los nuevos valores de las coordenadas (ε oM , f oM ) , los valores anteriores de éstas se asocian a las coordenadas (ε ooM , f ooM ) . Una vez que la curva en estudio ha alcanzado el valor de (ε moM , 0 ) , ya no continua su trayecto en forma lineal, sino que adquiere un comportamiento no lineal debido al efecto Bauschinger, con lo que define una nueva zona que se describe a continuación. Zona suavizada por el efecto Bauschinger
Fig E.2 Curva esfuerzo-deformación típica de un ciclo reversible con descarga en la zona de endurecimiento por deformación (Mander et al, 1984)
178
En 1886, Johann Bauschinger puso en evidencia que cuando se realiza la primera descarga en cualquier punto luego de sobrepasar la zona elástica, ocurre una disminución del módulo de elasticidad. Esta disminución es conocida como el efecto de Bauschinger, y para estudiarlo, Mander et al (1984) emplea las expresiones propuestas por Menegotto y Pinto, que permiten calcular el modulo secante E sec , el esfuerzo f s , y el módulo tangente E t . Las expresiones utilizadas se describen a continuación:
Esec = EnM
⎡ ⎢ ⎢ 1 − Q M ⎢Q + 1 ⎢ M ⎡ R R ⎤ ⎛ ⎞ ε − ε ⎢ s oM ⎢1 + ⎜ E mM ⎟ ⎥ ⎢ f chM − f oM ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ ⎢⎣ ⎣ ⎦ M
M
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
f s = f oM + ( ε s − ε oM ) E sec Et = E sec −
Esec − Q M E mM
⎛ ⎞ ε − ε 1 + ⎜ E mM s oM ⎟ f chM − f oM ⎠ ⎝
− R M
donde E mM
el módulo de elasticidad modificado para la descarga ( EmM < 1.5 E sM )
f chM
un esfuerzo característico el cual toma valores entre f y y f b
Q M
la relación entre la pendiente de la línea tangente del punto final respecto al punto inicial.
R M
un parámetro de curvatura.
Las figs E.3 y E.4 ilustran la representación de estos valores (Mander et al, 1984). A continuación se define el punto donde la curva monotónica se interseca con la curva suavizada por el efecto Bauschinger, definido por (ε bM , f bM ) . Si la descarga ocurre en la zona de fluencia, ε
bM
fbM
= ε moM − ε ssK = f yM
Si la descarga ocurre en la zona de endurecimiento por deformación, 179
ε bM
= ε moM − ε ssK
fbM = f suM + ( f yM
⎛ ε + ε ssK ⎞ − f suM ) ⎜ suM ⎟ ⎝ ε suM − ε shM ⎠
P M
Para definir la zona en estudio es necesario determinar, mediante un proceso iterativo, los valores de EmM , QM y R M , como se describe a continuación.
Fig E.3 Curva que ilustra los parámetros Em, Fch y Qm para la zona suavizada debido al efecto de Bauschinger (Mander et al, 1984)
PASO 1. Determinación del modulo tangente E t * Se obtiene como la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto (ε bM , f bM ) . Por tanto, si la descarga ocurre en la zona de fluencia se tienen que definir las coordenadas del punto (ε j , f j ) . Este punto indica la intersección de la línea descendente cuya pendiente en E shM con la línea que define la zona elástica, tal como se puede apreciar en la fig 2.2. Con la definición anterior se tiene: ε
j
=
f yM − E shM ε shM EsM − E shM
f j = E sM ε j f bM − ε j E sM
*
E t =
ε
bM
− ε moM − ε j
180
Si la descarga ocurre en la zona de endurecimiento por deformación, se define: Et* = E shM
1− 1 P M
⎛ f suM − f bM ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ f f − yM ⎠ ⎝ suM
PASO 2. Evaluación del esfuerzo característico f chM f chM = f bM −
EsK ( ε bM − ε oM ) − ( fbM − f oM
)
EsK − E t
PASO 3. Estimación de Q M y E mM E Q M = 0.5 t E sK EmM = E sK
PASO 4. Evaluación de R M ⎛ Esec − E t ⎞ ⎟ Et − QM E mM ⎠ ⎝ R M = ⎛ − ε oM ⎞ ε Ln ⎜ E mM bM ⎟ f ch − f oM ⎠ ⎝ Ln ⎜
donde E sec =
fbM − f oM
− ε oM
ε
bM
PASO 5. Revaluación de Q M y Q M ' . ' = Q M
1
X
2 ( X − 1) ⎛
⎜ E mM ⎝
⎞ ⎟ −1 ⎠
− ε oM f chM − f oM ε
bM
R ⎛ ⎛ ⎞ − ε ε oM X = ⎜1 + ⎜ E mM bM ⎟ ⎜ ⎝ fchM − f oM ⎠ ⎝
M
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
+
Q M
2
1
R M
' PASO 6. Revaluación de E mM y E nM .
E sK
'
E mM =
Q M +
1 − Q M
R ⎡ ⎛ ⎞ ε − ε ⎢1 + ⎜ E mM s oM ⎟ f chM − f oM ⎠ ⎢⎣ ⎝
M
181
⎤ ⎥ ⎥⎦
1
R M
PASO 7. Verificación del error admisible. ' En los pasos 5 y 6 se calcularon los valores de Qm = QM ' y de EmM = E mM , los cuales se deben utilizar en la expresión 2.33 para calcular el valor de E t . El porcentaje de error se puede calcular como:
Error =
Et* − E t E t *
Si el error es menor de 0.5 %, los valores de E mM , Q M y R M se consideran válidos, de los contrario se debe regresar al paso 4 para revaluar los parámetros.
Fig E.4 Curva que ilustra la variación del parámetro R para la zona suavizada debido al efecto de Bauschinger, cuando Q es igual a cero y a 0.1, respecti-vamente (Mander et al, 1984)
Zona de descarga lineal partiendo de la curva suavizada por el efecto Bauschinger Cuando la curva esfuerzo-deformación ha pasado la zona de suavización debida al efecto de Bauschinger y la dirección de la carga se invierte, comienza una zona de descarga 182
lineal que parte de la curva suavizada. A continuación se presentan las expresiones que permiten calcular el punto de intersección entre la curva monotónica y la curva suavizada debido al efecto Bauschinger. ε bM
= ε m á x M + ε d
fbM = f má x M
Si la descarga ocurre en la zona de fluencia, tenemos: ε
d
= ε su 2 ( ε oM − ε bK )
Si la descarga ocurre en la zona de endurecimiento por deformación: ε
d
= ε su 2 (ε oM − ε bK ) − 0.5
f yM E sM
Con la última expresión, queda definido el modelo matemático para la curva de esfuerzo-deformación de una barra de refuerzo sometida a carga cíclica reversible, ya que las zonas descritas anteriormente (a excepción de las zonas presentadas antes de que ocurra la primera descarga) son repetitivas dependiendo del número de ciclos y del número de niveles de deformación utilizados en la historia de deformaciones.
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