CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
CAPITULO UNO
Incremento de esfuerzos en una masa de suelo Todas las obras de ingeniería civil imparten cargas en el suelo donde son emplazadas, tales cargas producen compresión, corte, y en algunos casos esfuerzos de tracción. Por ejemplo, cuando se construye un tanque de almacenamiento de petróleo, éste impone una carga uniforme y circular sobre la superficie; la cual produce deformaciones y en algunas ocasiones planos de falla al corte. sta presión disminuye a medida que aumenta la profundidad. !as fundaciones producen asentamientos debido a un cambio en la forma de la masa de suelo, debido a de unesfuerzos cambio enenellavolumen. ste cambio de volumen o asentamiento se debeesa decir, un incremento masa de suelo. !a forma del perfil de suelo deformado depende de dos factores fundamentales" structura del suelo #co$esivo o granular% !a rigidez de la fundación &e define como presión de contacto a la intensidad de carga transmitida por la cara inferior de la fundación al suelo. !a 'igura (.( muestra las diferentes posibilidades de respuesta del suelo cuando se imponen cargas sobre la superficie a través de fundaciones rígidas o fle)ibles. &uelo co$esivo
&uelo granular s s Presión de contacto
Presión de contacto (a)
&uelo granular strec$a
s 'orma cóncava descendente
&uelo co$esivo
*nc$a
'orma cóncava ascendente
+(b) Figura 11 . istribución del perfil de asentamiento y la presión de contacto debido a la aplicación de cargas (a) Para fundaciones rígidas (b) Para fundaciones fle)ibles #-oltz, ((%
(
Mecánica de Suelos
* partir de la 'igura (.( desarrollada por -oltz #((%, se puede ver que en el caso de fundaciones rígidas, 'ig. (.(#a%, los asentamientos producidos son uniformes mientras que la distribución de la presión de contacto debajo de la fundación no es uniforme. /uando se tiene una fundación rígida emplazada sobre un suelo co$esivo perfectamente el0stico, el esfuerzo producido en los bordes e)teriores se considera infinito; aunque en realidad éste se $alla limitado por la resistencia cortante del suelo. n el caso de fundaciones rígidas emplazadas en suelos granulares, debido a que el confinamiento es menor en los bordes e)teriores, el esfuerzo en tales bordes es también menor. 'inalmente, para el caso de fundaciones muy anc$as #por ejemplo" losa rígida de fundación%, tanto el asentamiento como la presión de contacto son medianamente uniformes. !a 'igura (.(#b% muestra que mientras la distribución de la presión de contacto debajo el 0rea de una fundación fle)ible cargada es uniforme, los perfiles de asentamiento son bastante diferentes, en función a si el suelo es co$esivo o granular. n el caso de suelos co$esivos, la superficie se deforma en forma cóncava ascendente; mientras que en suelos granulares, la forma del perfil de asentamiento es e)actamente la opuesta, cóncava descendente, debido a que el esfuerzo de confinamiento es mayor en el centro que en los bordes. *l estar la arena confinada en el centro, tiene un módulo m0s alto que en los bordes, lo que implica que e)iste menor asentamiento en el centro que en los bordes. Por otro lado, si el 0rea cargada fle)ible es muy grande, los asentamientos cerca del centro son relativamente uniformes y menores que en los bordes. Para el dise1o estructural de fundaciones, se asume a menudo una distribución lineal de la presión de contacto; a pesar que desde el punto de vista de la mec0nica de suelos esta $ipótesis es obviamente incorrecta. 2na adecuada selección del tipo de fundación debe ser $ec$a en función a la magnitud y a la dirección de las cargas estructurales, adem0s de las condiciones de la superficie de emplazamiento, el subsuelo y de otros factores. !os dos tipos de fundaciones m0s importantes son" Fundaciones superficiales. &on aquellas en las que las cargas estructurales son transmitidas al suelo de fundación que se encuentra cercano a la superficie. &eg3n 4ud$u #5666% una fundación es considerada superficial cuando la relación entre el nivel de fundación, D f y el anc$o de la fundación, B ; D f B 5.7 ; por otro lado 4o8les #(99% indica que una fundación es superficial cuando D f B ( , pudiendo aceptarse en algunos casos un valor mayor. )isten dos tipos de fundaciones superficiales, 'ig. (.5" : apatas aisladas. &on una ampliación de la sección inferior de la columna, éstas act3an como un muro portante que e)pande la carga estructural sobre una determinada 0rea de suelo. n su mayoría son fabricadas de concreto reforzado, dependiendo el tama1o requerido, de la magnitud de la carga y de las propiedades geotécnicas del suelo donde son emplazadas. : !osas de fundación. &on fundaciones aisladas grandes cuyo tama1o abarca a toda o gran parte de la estructura. ebido a su tama1o, éstas reparten el peso de la estructura en un 0rea grande, disminuyéndose así tanto los esfuerzos inducidos como los consiguientes asentamientos en el suelo de fundación. &on aconsejables para estructuras que resultan muy pesadas para el uso de fundaciones aisladas pero que no son lo suficientemente pesadas para el uso de fundaciones profundas.
5
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
P5 P
P(
P< P=
P> P7
apatas aisladas !osa de fundación Figura 1!. 'undaciones superficiales #/oduto, (9%.
Fundaciones profundas. &on aquellas que transmiten una o todas las cargas de la
estructura a suelos profundos o a rocas #'ig. (.=%. stas fundaciones son usadas cuando se trabaja con estructuras grandes o cuando el suelo de fundación es débil. &e dividen en tres tipos principales" : Pilotes. &on postes prefabricados $ec$os de acero, madera o concreto; los cuales son manipulados en el terreno. - Pilas perforadas. &on construidas perforando agujeros cilíndricos en el terreno, insertando luego el refuerzo de acero y rellenando posteriormente el agujero con concreto. :técnicas. ?tros tipos. /uya construcción incluye varios métodos $íbridos adem0s de otras P
&uelo blando
&uelo duro
Figura1".'undaciones profundas #/oduto, (9%.
=
Mecánica de Suelos
2no de los objetivos fundamentales de la ingeniería geotécnica es el de determinar los esfuerzos y deformaciones que se producen en el suelo. Para evaluar los esfuerzos en un punto del suelo se necesita conocer la localización, la magnitud y la dirección de las fuerzas que los causan. !os esfuerzos producidos en el suelo pueden ser de dos tipos, dependiendo la manera en que se producen" #sfuerzos geoest$ticos.: &on aquellos que ocurren debido al peso del suelo que se encuentra sobre el punto que est0 siendo evaluado. !os esfuerzos geoest0ticos se presentan naturalmente en el suelo; sin embargo estos esfuerzos pueden también ser causados; debido a actividades $umanas, tales como el emplazamiento de terraplenes o la realización de e)cavaciones. #sfuerzos inducidos .: &on aquellos causados por cargas e)ternas, tales como fundaciones de estructuras, presas, muros de contención, etc. !os esfuerzos inducidos pueden ser tanto verticales #debido a cargas transmitidas por fundaciones% como $orizontales o laterales #es el caso de muros de contención%. n este capítulo se desarrollan íntegramente las maneras de determinación de los valores de esfuerzos inducidos, los cuales se deben adicionar a los esfuerzos ya e)istentes debidos al peso del propio suelo #geoest0ticos%; por tanto el c0lculo de esfuerzos inducidos se considera como el c0lculo del incremento de esfuerzos en la masa de suelo. @ediante e)periencias realizadas se $a mostrado que al aplicar una carga a la superficie del terreno sobre un 0rea bien definida, los incrementos de esfuerzos a una cierta profundidad no se limitan a la proyección del 0rea cargada.; ya que en los alrededores de ésta ocurre también un aumento de esfuerzos. /omo la sumatoria de incrementos de los esfuerzos verticales en planos $orizontales es siempre constante a cualquier profundidad, el incremento de esfuerzos inmediatamente debajo del 0rea cargada disminuye a medida que aumenta la profundidad, debido a que el 0rea comprendida aumenta también con la profundidad. !a 'igura (.< indica cualitativamente como se da la distribución de incremento de esfuerzos en planos $orizontales a diferentes profundidades y la 'igura (.7 representa la variación del incremento de esfuerzos verticales, v , a lo largo de una línea vertical que pasa por el eje de simetría del 0rea cargada. q v
v
v
) ) )
Figura 1% istribución del incremento de
esfuerzos en planos $orizontales.
<
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Para la determinación del incremento de esfuerzos #verticales y $orizontales% e)isten una serie de métodos desarrollados, bas0ndose todos ellos en la teoría de la elasticidad, y a pesar de que el suelo no es un material que cumple cabalmente con esta teoría, e &ousa Pinto #(% afirma que la aplicación de esta teoría es justificable cuando se trabaja en el an0lisis de incremento de esfuerzos, debido que $asta un cierto nivel de esfuerzos e)iste cierta proporcionalidad entre los esfuerzos y las deformaciones; sin embargo la mayor justificación para la utilización de esta teoría es la de no disponer de una mejor alternativa y también debido a que el uso de ésta tiende a presentar una evaluación satisfactoria de los esfuerzos actuantes en el suelo, que es deducida a partir del an0lisis del comportamiento de obras. q v
z Figura 1& istribución del incremento de esfuerzos en un plano vertical.
otro lado e)isten métodos apro)imados de muc$a utilidad cuandopara se requiere una Por solución r0pida o cuando no se dispone deque unason computadora o calculadora la determinación del incremento de esfuerzos. entro de estos métodos el método usado m0s com3nmente es el conocido con el nombre de @étodo 5"(. ste permite $allar el incremento de esfuerzos verticales a una cierta profundidad situada debajo el centro de un 0rea uniformemente cargada. ste método consiste en dibujar superficies inclinadas descendentes a partir del borde del 0rea cargada, como se muestra en la 'igura (.>. Tales superficies tienen una pendiente de ( $orizontal a 5 vertical. Para calcular el incremento de esfuerzos v a una profundidad z debajo el 0rea cargada, simplemente basta con dibujar una superficie $orizontal plana a esa profundidad y calcular el 0rea del plano ubicado dentro de estas superficies inclinadas, dividiendo luego la carga total aplicada P P q B L por el 0rea calculada. /uando el 0rea uniformemente cargada es un 0rea rectangular de dimensiones B x L; 'ig. (.>, el método 5"( presenta la siguiente ecuación para el c0lculo del incremento de esfuerzo vertical a una profundidad z" BL v q B z L z
A(.(B
7
Mecánica de Suelos
onde" v C Dncremento de
esfuerzo vertical
q C /arga aplicada por unidad de 0rea B C *nc$o del 0rea rectangular L C !argo del 0rea rectangular q
4 5
5
(
(
z
4Ez
q
! z 4
v q
4! # 4Ez%#!Ez%
!Ez
4Ez Figura 1'. @étodo 5"( para
el c0lculo de incremento de esfuerzos.
!a distribución de esfuerzos puede también ser obtenida de gr0ficas adimensionales como las mostradas en las 'iguras (.F#a% y (.F#b%. l valor de x y de z para estas 'iguras es obtenido del mismo modo que en la 'igura (.<. !as curvas de estas gr0ficas se denominan bulbos de presión o bulbos de esfuerzos y son el resultado de la unión de los puntos que presentan igual incremento de esfuerzos, el cual es e)presado en función de la carga q aplicada uniformemente sobre el 0rea cargada v G q . stas gr0ficas son f0ciles de usar y ayudan a identificar en forma visual la manera en que los esfuerzos se distribuyen al interior de la masa de suelo. &in embargo, estas gr0ficas no cuentan con la apro)imación proporcionada mediante el uso de métodos numéricos.
>
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
l método 5"( considera que la carga es aplicada sobre una fundación fle)ible, mientras que las gr0ficas de los bulbos de presión no son m0s que una representación gr0fica del método de 4oussinesq. Tanto el método de 4oussinesq como sus respectivas $ipótesis son desarrollados en el apartado siguiente. i0metro C 4 *rea circular cargada (.6
6.7
4
6.7
6
(.6
)G4
6.
6.7
6.9 6 .F > 6. .7 6 .< 6 .= 6
(.6
.5 6
(.7
Gq
C
.( 6
v
5.6 zG4 Figura 1(a) 4ulbo de presión para una
fundación circular #/oduto, (9%.
1 *todo de +oussines, 11 -eneral
)isten varios tipos de superficies cargadas que se aplican sobre el suelo. Para saber de que manera se distribuyen los esfuerzos aplicados en la superficie al interior de la masa de suelo se debe aplicar la solución del matem0tico francés Hosep$ 4oussinesq #(99=% quién desarrolló un método para el c0lculo de incremento de esfuerzos #esfuerzos inducidos% en cualquier punto situado al interior de una masa de suelo. !a solución de 4oussinesq determina el incremento de esfuerzos como resultado de la aplicación de una carga .untual sobre la superficie de un semi:espacio infinitamente grande; considerando que el punto en el que se desea $allar los esfuerzos se encuentra en un medio $omogéneo, el0stico e isotrópico. * continuación se detalla el significado de las $ipótesis
F
Mecánica de Suelos
realizadas por 4oussinesq. stas definiciones son realizadas para el conte)to específico de incremento de esfuerzos.
Semiespacio infinitamente grande. &ignifica que la masa de suelo est0 limitada en
uno de sus lados mientras que se e)tiende infinitamente en las otras direcciones. Para el caso de suelos, la superficie $orizontal es el lado limitante. *nc$o C 4 *rea cuadrada cargada 4 (.6
6.7
6
6.7
(.6)G4
6.9
6.
6.7
F
> 6. 7 6. < 6. .= 6
(.6 5 6.
(.7 C
6
.(
v Gq
5.6 zG4 Figura 1(b) 4ulbo de presión para
una fundación cuadrada #/oduto, (9%.
Material homogneo. 2n material se considera $omogéneo cuando presenta las
mismas propiedades a lo largo de todos sus ejes o direcciones. /uando se trabaja con suelos, esta $ipótesis se refiere solamente a que el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson deben ser constantes; lo que implica la no e)istencia de lugares duros y lugares blandos que afecten considerablemente la distribución de esfuerzos. &in embargo, es posible admitir la variación del peso unitario de un lugar a otro. ebido a que el suelo no es un material completamente $omogéneo, el tomar en cuenta esta $ipótesis introduce siempre alg3n porcentaje de error. Material isotr!pico. &ignifica que tanto el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson son los mismos en todas las direcciones. !a mayoría de los suelos cumplen con este criterio, pero e)isten materiales, tales como los lec$os rocosos sedimentarios que no lo cumplen. 9
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Material con propiedades lineales el"sticas de esfuerzo-deformaci!n. &ignifica que a
cada incremento de esfuerzos est0 asociado un incremento correspondiente de deformación. sta $ipótesis implica que la curva esfuerzo:deformación es una línea recta que no $a alcanzado el punto de fluencia. !a solución srcinal de 4oussinesq #(997% para la determinación del incremento de esfuerzos en el punto # de la 'igura (.9, debido a una carga puntual P aplicada en la superficie; fue realizada inicialmente para el sistema de coordenadas polares r , , z . Para este sistema, el incremento de esfuerzos en el punto # es" =Pz = z v 5$ 7
r
A(.5B
= zr 5 $ ( 5 I = $ z 5$ $ P
A(.=B
5
P 5$ 5
5 I(
z $ $ $
A(.
z
onde" % C /oeficiente de Poisson referido a esfuerzos efectivos.
P
J
z
v
r
*
r
z Figura 1/. &olución de 4oussinesq para el
sistema de coordenadas polares.
Posteriormente, estas ecuaciones fueron transformadas al sistema de coordenadas rectangulares, 'ig. (., donde el valor de z es medido en forma descendente y es igual a la profundidad del plano $orizontal que contiene al punto donde se calculan los esfuerzos, siendo x y & las dimensiones laterales. !as ecuaciones presentadas por 4oussinesq para el c0lculo de esfuerzos se presentan a continuación"
Mecánica de Suelos
x
x5 &5 P # =x 5 z & 5 z = 5 " 7 ( 5 $ I 5 5 ! L Lr L z L r
A(.7B
&
&5 x5 P #5 & 5 z x 5 z = 5 " 7 ( 5 $ I 5 5 ! L Lr L z L r
A(.>B
z v
onde"
=Pz
= 7
5L
z=
=P 5
r
5
z5
A(.FB
7 5
r
x5 &5
L
x5 &5 z5
/oeficiente de Poisson referido a esfuerzos efectivos.
I
r5 z5
P
)
r
y
) y !
v
z
) y
z
Figura 10. &olución de 4oussinesq para el
*
sistema de coordenadas rectangulares.
!as ecuaciones A(.7B y A(.>B sirven para determinar el incremento de esfuerzos normales $orizontales #esfuerzos laterales% y dependen del coeficiente de Poisson del medio; mientras que la ecuación A(.FB dada para el incremento de esfuerzo normal vertical v es independiente de tal coeficiente. !a ecuación A(.FB puede rescribirse de la siguiente forma"
#
z v
( P'= " z 5 ' 5 r z 5 ( 7 !
%
&
5
P ' 5 '( ' z
A(.FaB
(6
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
onde" '(
= 5
(
% r
5
&
z (
A(.9B
7 5
!a variación de '( para varios valores de r)z est0 dada en la Tabla (.(. !a Tabla (.5 muestra valores típicos para el coeficiente de Poisson de varios tipos de suelo. Tabla 11. Kariación de ' (
para varios valores de
Tabla 1!. Kalores del coeficiente de Ti.o de suelo
r z
.
Poisson para diferentes tipos de suelo
Coeficiente de Poisson
*rcilasaturada *rcillanosaturada *rcillaarenosa !imo *rena, arena gravosa Joca !oess -ielo /oncreto a Kalor com3nmente usado 6,=:6,< b s dependiente del tipo de roca
6,<:6,7 6,(:6,= 6,5:6,= 6,=:6,=7 6,(:(,6a 6,(:6, 6.(7
1! Incremento de esfuerzos debido a una carga lineal
/onsecuentemente a la solución desarrollada por 4oussinesq, muc$as otras ecuaciones para diferentes tipos de carga $an sido determinadas a partir de ésta. !a e)tensión m0s simple de la ecuación de 4oussinesq es la desarrollada para una carga lineal que est0 verticalmente distribuida a lo largo de una línea $orizontal. sta es una carga de longitud infinita, que no tiene anc$ura y que tiene una intensidad q por longitud unitaria, aplicada sobre la superficie de una masa de suelo semi:infinita, 'ig. (.(6.
((
Mecánica de Suelos
!uego, el incremento de esfuerzos en el punto # es" x
x5 z
5q
x
5
z v
z5
A(.B
5
z=
5q
x
5
z5
A(.(6B
5
q
)
z v )
*
z
)
Figura 112 Dncremento de esfuerzos debido a una
carga lineal.
!a ecuación A(.(6B puede reescribirse de tal forma que se convierta en una relación adimensional"
v
q z
5
%
5
&
x z (
5
A(.((B
!a variación de v(q)z* con x)z se presenta en la Tabla (.=. 1" Incremento de esfuerzos debido a una carga continua (anc3o finito 4 longitud infinita)
2na carga continua es la carga transmitida por una estructura de anc$o finito y largo infinito a la superficie del suelo. l criterio para considerar a una carga continua varia seg3n los autores, por ejemplo @c /arron #((% dice que una carga es continua cuando la relación L B ) 7 ; mientras que -oltz #((% afirma que esta relación debe ser mayor a (6 L B * (6 .
(5
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
)isten dos tipos de cargas continuas" el primer tipo es el que transmite al suelo un esfuerzo uniforme, y el segundo tipo es el debido a una carga inducida por una distribución de esfuerzos triangulares sobre un 0rea de anc$o B. !a ecuación para el c0lculo del incremento de esfuerzos causado por la a.licaci5n de una carga continua ,ue transmite un esfuerzo uniforme es deducida a partir de la ecuación A(.(6B y de acuerdo a la 'igura (.((, considerando que q es la carga unitaria por unidad de 0rea. Tabla 1". Kariación de (q)z* con x)z.
)
4
dr q )
r
+
v z
)
* z
Figura 111 Dncremento de esfuerzos debido a una
carga continua.
&e considera una franja elemental de anc$o dr, siendo la carga por longitud unitaria de esta franja igual a q dr. sta franja elemental es tratada como una carga lineal !a ecuación A(.(5B repres enta el incremento de esfuerzo vertic al dv causado por la franja elemental en el punto #. Para calcular este incremento se debe sustituir en la ecuación A(.(6B q dr por q y +x-r* por x. !uego" =
d v
%
5 qdr z x r 5 z5
&
5
A(.(5B
(=
Mecánica de Suelos
l incremento total en el esfuerzo vertical, v, causado por la carga continua completa de anc$o B que se produce en el punto # se obtiene integrando la ecuación A(.(5B con límites de r de B) a /B), entonces se tiene" B 5 ' z= 5q #' v , d , " dr 5 5 5 ' % x r z & ' B 5 !
z Bz% x 5 z 5 B 5 < & z ' ( tan( "tan A(.(=B 5 5 5 5 5 5 x B x B '! 5 5 % x z B < & B z ' q# '
&implificando la ecuación A(.(=B z v
q
% sen cos 5+ &
A(.(
l esfuerzo $orizontal #esfuerzo lateral% producido por una carga continua que transmite un esfuerzo uniforme se obtiene mediante la siguiente ecuación" x
q
% sen cos 5+ &
A(.(7B
!os 0ngulos y + est0n definidos en la 'igura (.((. n las ecuaciones A(.(
de 6 $asta m0)imo; seA(.(
J5 J(
+
v
)
) * Figura 11! . Dncremento
de esfuerzos debido a una carga que varía linealmente #4ud$u,
5666% el incremento en elecuación" esfuerzo vertical, v, que se produce en el punto #, 'ig. (.(5,!uego, se obtiene de la siguiente z v
qx
(
B
5
sen5+
A(.(>B
(<
CAPITULO 1Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Tabla %( a). Kariación de v(q
para distintos valores dez)B y x)B.
(7
Mecánica de Suelos
l incremento de esfuerzo $orizontal #esfuerzo lateral% para este caso es" qx z $5 ( x ln (5 sen 5 + A(.(FB B B $5 5 !a Tabla (.<#b% presenta los valores dev(q para distintos valores de z)B y x)B. Tabla 1%(b). Kariación de v(q para distintos valores de z)B y x)B #as, (9%.
1% Incremento de esfuerzos debido a un $rea circular uniformemente cargada
2na superficie circular uniformemente cargada que transmite esfuerzos a la masa de suelo es, por ejemplo, la fundación circular de un tanque de almacenamiento de petróleo. Para el caso del incremento de esfuerzo vertical debajo el centro de un 0rea circular fle)ible de radio $ uniformemente cargada con carga q, 'ig. (.(=#a%; la carga que se produce en un diferencial de 0rea es" d v qrddr
ntonces, $aciendo de el la 0rea ecuación b0sica propuesta por 4oussinesq A(.5B para carga puntual e integrando éstauso sobre circular se tiene" 5 $
z v
,, 6 6
qrddr = 5 z5
( ( r G z 5
7 5
!uego, el incremento total de esfuerzo vertical en el punto # situado debajo el centro del 0rea circular cargada es" # ( ' z v q "( 5 ( $ G z ' !
=G 5
' '
A(.(9B
l incremento de esfuerzo radial #$orizontal% es" r
q
5( I ( ( 5 I 5 (G 5 5 5 $ z $ ( G ( G z
%
&
%
&
=G 5
A(.(B
!a Tabla (.7#a% muestra la variación v)q con z)$.
(>
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
r d dr
d
q
)
? r J
dr
z
v
z
*
r
Figura 11" (a). Dncremento de esfuerzos debajo el centro de un 0rea circular uniformemente cargada. Tabla 1&(a). Kariación de v)q con z)$.
&in embargo, si se desea calcular el incremento de esfuerzos en cualquier punto situado debajo de una superficie circular uniformemente cargada, puede utilizarse la tabla dada por *lvin y 2lery #(>5%. sta tabla proporciona los valores de #% y B% que una vez determinados deben ser reemplazados en la siguiente ecuación" z v q # I B I A(.(9aB !a Tabla (.7 #b% es la tabla propuesta por *lvin y 2lery. n esta tabla los valores de #% y B% se encuentran en función de los valores de z)$ y r)$; donde z y r son la profundidad y la distancia del punto al centro del 0rea circular cargada, 'ig. (.(=#b%.
(F
Mecánica de Suelos
Tabla &(a)Kariación de # I
con
z $
y
r $
#as, (9%
(9
CAPITULO 1Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Tabla &(b)Kariación de B I
con
z $
y
r $
#as,(9%.
(
Mecánica de Suelos
q
)
? r J
z
r
v
*
z
Figura 11"(b) Dncremento de esfuerzos debajo de cualquier punto de una superficie circular uniformemente cargada.
1& Incremento de esfuerzos debido a un $rea rectangular uniformemente cargada
ste es el caso que se presenta m0s a menudo cuando se calcula incremento de esfuerzos, debido a que la mayoría de las fundaciones tienen forma rectangular o una forma muy parecida a ésta. !a solución de 4oussinesq es también utilizada para este caso, en el que se considera un 0rea fle)ible rectangular de anc$o B y de largo L en la que la carga q es uniformemente distribuida por 0rea unitaria. Para determinar el incremento de esfuerzos v en el punto # situado a una profundidad z debajo de la esquina del 0rea rectangular; se considera una peque1a 0rea elemental del rect0ngulo dxd&, 'ig. (.(<. !a carga sobre esta 0rea diferencial es" dq qdxd&
l incremento de esfuerzos en el punto # causado por dq se determina mediante el uso de la ecuación A(.5B, entonces se tiene" d v
=qdxd&z = 5 x & 5 z 5 5
A(.56B
7G 5
l incremento total de esfuerzo vertical se obtiene integrando la ecuación A(.56B sobre el 0rea rectangular uniformemente cargada" z v , d
B
L
, , & 6 x 6
=qz = dxd& 5 x 5 & 5 z 5
7G5
z v q' 5
56
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
q 4
!
)
d) dy
y
! 4 v
y
)
* z
Figura 11%
Dncremento de esfuerzos debido a un 0rea rectangular uniformemente
cargada. onde, el factor de influencia, ' 5 , seg3n Le8marM #(=7%, es" '5
( 5mn m 5 n 5 ( m 5 n 5 5
5mn m 5 n 5 ( tan ( 5 m n 5 m 5 n 5 ( A(.5(B
< m 5 n 5 m 5 n 5 ( m 5 n 5 (
Para" m
B z
;n
L . z
012#.:&e debe tener muc$o cuidado cuando se calcula el valor del 3ltimo término tan-(+ * . Primero se debe verificar que m/n/(3 mn, en caso de que la condición anterior
no se cumpla, es decir cuando el valor del denominador sea negativo; se debe sumar una cantidad igual a todo el término que se encuentra entre paréntesis. &e debe aclarar que las unidades del término entre paréntesis son radianes, por tanto, una vez que se $a realizado la verificación y la respectiva suma en caso de ser necesario, se debe transformar el valor obtenido del paréntesis a grados se)agesimales . y luego proceder recién a calcular tan-(. l valor del factor influencia ' se $alla tabulado en función de los valores de m y n . !a Tabla (.> presenta la variación de ' con m y n . Por otro lado, el valor de ' puede también ser obtenido a través de la gr0fica realizada pory 'adum #(<9%, m n, 'ig. (.(7 #a%.quien graficó un conjunto de curvas que muestran la variación de ' con
5(
Mecánica de Suelos
Tabla 'Kariación de ' 5
con m y n .
55
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo 4Gz 6.5> 4
6.5< 6.55
z
6.56 6.(9
D5 a i c n e u l f n i e d r o t c a '
v C
qD5
6.(> 6.(< 6.(5 6.< 6.(6 6.= 6.69 6.5
6.6> 6.6<
!Gz C6.(
6.65 6
6 6.(
(
(6
Figura 11& (a) Nbaco de 'adum #(<9%.
l 0baco de 'adum #(<9% es utilizado para la determinación del valor del factor de influencia ', con el objeto de determinar el incremento de esfuerzos debajo de una de las esquinas de una superficie rectangular cargada. n caso de que se quiera determinar el incremento de esfuerzos en un punto situado debajo el centro de un 0rea rectangular cargada, el valor del factor de influencia ' debe ser obtenido a partir de la 'igura (.(7 #b%. sta figura proporciona también el valor de ' para fundaciones circulares. /uando el objetivo consiste en determinar el incremento de esfuerzos en un punto cualquiera situado a una cierta profundidad debajo de la superficie cargada #no necesariamente debajo el centro o una de las esquinas%, tal como el punto P del caso #a% de la 'igura (.(>; el incremento de esfuerzos calculado ser0 el causado por la acción de la carga del 0rea #B4D sobre el punto P. ste incremento es la suma de los incrementos producidos por las cargas de los rect0ngulos #5PM, B6P5, DLP6, 4MPL, que deben ser calculados separadamente en el punto P que es la esquina com3n de los cuatro rect0ngulos. Por otro lado si el objetivo es determinar el incremento de esfuerzos en un punto e)terno, tal como el punto P del caso #b% de la 'igura (.(>, se debe considerar la acción de la carga
5=
Mecánica de Suelos
sobre el punto P causada por el rect0ngulo P6DM, rest0ndose los incrementos producidos por la carga de los rect0ngulos P6BL y P54M y sumando el incremento producido por el 0rea cargada P5#L, debido a que este 0rea fue restada dos veces en el c0lculo de los incrementos realizado a partir de las 0reas de los rect0ngulos anteriores. 6.7
Gq
v
6.7 !C 54 !C 74
/ircular /uadrada #!C4%
!C (64 !C
6 6.(
6.5
6.7
(
5
Figura 11& (b) .
zG4
7
(6
/ 56
=6
eterminación del incremento de esfuerzo vertical debajo de una superficie rectangular fle)ible uniformemente cargada #Hanbu, 4jerrum y Ojaernsli, (7>%. H *
H
4
@
/
!
*
@
/
O 4
O !
,
,
(a) (b) Figura 11' Dncremento de esfuerzos en un 0rea rectangular. (a) en un punto dentro el 0rea (b) en un punto fuera del 0rea
'inalmente, para saber el valor del incremento de los esfuerzos $orizontales +x y &% que se producen en el punto #, 'ig. (.(<, se tienen las siguientes ecuaciones" q ( LB LBz x A(.55B tan 5 z$= $(5 $= q ( LB LBz & A(.5=B tan z$= $55 $= 5 onde" 5
5 (G 5
$( L z ( G 5 $5 B 5 z 5 $= L5 B 5 z 5
(G 5
5<
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
1' Incremento de esfuerz o 6ertical debido a un $rea uniformem ente cargada de cual,uier forma
Le8marM #(<5% desarrolló una carta de influencia #gr0fica% para determinar el incremento de esfuerzo vertical en cualquier punto situado debajo de un 0rea uniformemente cargada de cualquier forma. !a gr0fica observada en la 'igura (.(F est0 compuesta de círculos concéntricos divididos por líneas radiales. sta fue dibujada a partir de la ecuación A(.(9B que fue rescrita de la siguiente forma" v ( z q
$
5 G =
(
A(.5
n la ecuación A(.5
!uego, los radios de los círculos de la gr0fica de la 'igura (.(F son iguales a. valores de
$)z correspondientes a v)q78,8.89,8.(,8.(9,8.,::..,(. /uando v)q7(, $ G z / ,
razón por la cual se muestran solamente nueve círculos. !a longitud unitaria para dibujar los círculos es #B . !os círculos est0n divididos por varias líneas radiales igualmente espaciadas. l valor de influencia de la carta est0 dado por ()0, donde 0 es igual al n3mero de elementos de la carta. n la 'igura (.(F $ay 566 elementos, por consiguiente el valor de influencia es de 6.667. l procedimiento para determinar el incremento de esfuerzo vertical en cualquier punto debajo un 0rea cargada es el siguiente" (. eterminar la profundidad z debajo del 0rea uniformemente cargada en la que se requiere el incremento de esfuerzo. 5. ibujar la planta del 0rea cargada con una escala de z igual a la longitud unitaria de la carta #B . =. /olocar la planta dibujada sobre la carta de influencia de manera que el punto en el cual el esfuerzo ser0 determinado este localizado en el centro de la carta. <. /ontar el n3mero de elementos M de la carta encerrados por el 0rea cargada. !uego, el incremento de esfuerzo vertical en el punto deseado est0 dado por" v # '; % qM A(.57B
57
Mecánica de Suelos
onde" ';C Kalor de influencia q C Presión sobre el 0rea cargada M C L3mero de elementos de la carta encerrados por el 0rea cargada.
*
4
LC566 valor de influencia C 6.667
/arta de influencia de Le8marM para $allar el incremento de esfuerzos a una cierta profundidad. Figura 11
1 Casos es.eciales de carga .ara la soluci5n de +oussines,
@uc$os casos especiales de superficies cargadas pueden ser resueltos mediante la integración de la ecuación de 4oussinesq sobre el 0rea cargada. n este apartado se presentan dos casos de superficies cargadas con distribución de esfuerzos triangulares. n el caso #a%, 'ig. (.(9, se presenta una distribución de esfuerzos triangulares verticales que aumenta desde 8 $asta su valor m0)imo q; mientras que para el caso #b% de la misma 'igura, se tiene una distribución de esfuerzos triangulares verticales y laterales a la vez que aumenta vertical mente desde 8 $asta su valor m0)imo q% y aumenta lateralmente desde q% $asta su valor m0)imo q.
5>
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
q
i at
va
5 =
*
qI
5
G5 !
n er lt *
q
PC 4!q
/(
4
/5
!
/
4 /entro
/(
) C 4G5 y C !G5
Jesultante
/5
) C 5= 4 de */ y C !G5
)
!
/( /5 qI
z
#a% Kariación de carga lineal en una dirección
/
y
q
P C 4!q
4
*
/entro
/(
) C 4G5
Jesultante
/5
y C !G5 F 4 de * ) C (5 F ! de * y C (5
#b% Kariación de carga lineal en dos direcciones intensidad C q< q% 7 q)
intensidad C q Figura 11/ /asos especiales de carga para la solución de 4oussinesq. B y L siempre se
orientan como se muestra. B puede ser mayor o menor a L. !as ecuaciones para determinar el incremento de esfuerzo vertical debajo de una esquina #punto #% y debajo de la esquina en la que se presenta la intensidad de carga m0)ima #punto 4% del 0rea cargada fueron desarrolladas por Kitone y KalsangMar #(9>% a partir de una integración cuidadosa de la ecuación A(.5B y se presentan a continuación" Para el caso #a%, 'ig. (.(9, el incremento de esfuerzos" n el punto # es"
z v
qL z z= 5 5B $ L $B $ D
A(.5>B
n el punto 4 es"
z v
qL # ' z$D
' z B BL ( A(.5FB " 5 sen 5 5 5 5 (G 5 5B ' $L $L L B L $D z ' !
Para el caso #b% de la 'igura (.(9, el incremento de esfuerzos" n el punto # es"
z v
qI # 'L z
z= B z z = ' " 5 5 < ' ! B $L $D $B L $B $D $L '
A(.59B
n el punto 4 es"
v
qI # ' L z$D
' z B z$D z BL ( A(.5B " 5 5 5sen 5 5 (G 5 5 5 ' < ' B $L $ L L $B $B B L $ z D !
5F
Mecánica de Suelos
onde" $B5 B 5 z 5
$L5 L5 z 5 $D5 B 5 L5 z 5
!as Tablas (.9 #a% a (.9 #d% presentan la variación de respectivamente, para distintos valores de z G L y B G L .
v G q
y v G q I
! *todos .r obabil7sticas a.ro 8imados
-arr #(FF% $aciendo uso de la teoría de probabilidades, desarrolló procedimientos para el c0lculo apro)imado de la distribución de esfuerzos con la profundidad en un cierto punto que se $alla sometido a cargas distribuidas aplicadas en la superficie del suelo. Para este método se asume que el medio es $omogéneo, que las cargas son fle)ibles, y que la distribución de esfuerzos normales verticales en un punto depende sólo de la porosidad del medio y del esfuerzo vertical normal esperado en el punto. !1 Carga Puntual
!a ecuación determinada por -arr para la determinación del valor esperado del incremento de esfuerzo vertical v debido a la aplicación de una carga puntual P que act3a en el srcen del sistema de coordenadas, 'ig. (.(#a%; es" P
x5 & 5 5 6z 5
5z 5 e z
onde"
P
r5 5 6z 5
5z 5 e
v
A(.=6B
6 /oeficiente de presión lateral del terreno.
!a 'ig. (.(#b% muestra la variación de
6z 5 v para un rango de valores de 6 y P
P
rGz.
)
r y
v #r,z%
z
Figura 10(a) eterminación del incremento de esfuerzos debido a una carga puntual aplicada en el srcen del sistema de coordenadas #-arr, (FF%.
59
CAPITULO 1Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Tabla 1/(a)Kariación de v G q
con z G L y B G L para el punto # ; /aso (.9#a%, a partir de la ecuación de Kitone y KalsangMar #(9>%.
Tabla 1/(b)Kariación de v G q
con z G L y B G L para el punto 4 ; /aso (.9 #a%, a partir de la ecuación de Kitone y KalsangMar #(9>%.
5
Mecánica de Suelos
Tabla 1/(c)Kariación de v G q
I
con z G L y B G L para el punto # ; /aso (.9#b% a partir de la ecuación de Kitone y KalsangMar #(9>%.
Tabla 1/(d)Kariación de v G q
con z G L y B G L para el punto 4 ; /aso (.9#b%, a partir de la ecuación de Kitone y KalsangMar #(9>%.
=6
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
6.(9 6.(> 6.(<
Oz 5 ( e 5 P
r5 5O z5
6.(5 6.(6 6.69 v
5
6.6>
z P 6.6< O
6.65 6
O
( 7
rGz C 6.>F
6.( 6.5 6.= 6.< 6.7 6.> 6.F 6.9 6. (.6 (.( (.5 (.= (.< ( .5 (. ( (. 6
6.
6.(
6.5
6.=
6.<
6.7
Figura 110 (b) &olución de la ecuación A(.=6B
6.>
(
6.9
OC (=
rGz
OC (<
rGz rGz rGz rGz
OC (7 OC >( OC (F OC (9
#-arr, (FF%.
* partir de la 'igura (.(#b% se obtiene el valor de para un valor dado de 6
6.F
rGz
6z 5 v . Por ejemplo, 'ig. (.(#b% P
y r G z 6.>F ; buscar el eje $orizontal correspondiente al
7
valor de 6. * continuación ubicar el valor de r G z dado sobre ese eje. 'inalmente trazar una vertical $asta intersectar a la curva. !a ordenada correspondiente al punto de intersección es 6z 5 v el valor de buscado. P
!! Carga Line al
-arr también determinó ecuaciones para el c0lculo del valor esperado del incremento de esfuerzo vertical debido a una carga lineal de intensidad q por unidad de longitud que act3a perpendicular a la superficie en el srcen de coordenadas. !a ecuación determinada por -arr es" z v
q z 5 6
x5 5 6z 5
e
A(.=(B
onde" 6 /oeficiente de presión lateral del terreno
=(
Mecánica de Suelos
!" Carga continua
Para una carga uniforme normal q por unidad de 0rea actuando en una franja de anc$o B y largo infinito, el valor esperado del incremento de esfuerzo normal vertical debajo del centro de gravedad de la franja #x78*, es" B z v 5q0 z 6
A(.=5B
n general, este valor es" xB x B z v q 0 0 z 6
onde"
A(.==B
z 6
6 /oeficiente de presión lateral del terreno
!os valores de la función 0 se presentan en la Tabla (.; que corresponde a valores tabulados de una curva de distribución normal estandarizada para una variable aleatoria distribuida normalmente. !% Carga 6ertical uniforme sobre un $rea rectangular
l valor esperado del incre mento de esfuerzo vertical debajo una esquina de un 0rea rectangular cargada con una intensidad q por unidad de 0rea y de dimensiones B x L es" B L z v q0 0 z 6 z 6
A(.=
onde" 6
/oeficiente de presión lateral del terreno n la ecuación A(.=
l valor esperado del incremento de esfuerzo vertical debajo el centro de un 0rea circular cargada con una intensidad q por unidad de 0rea y de radio $ es" 5 $ 5 5 6z z v q ( e
A(.=7B
onde" 6 /oeficiente de presión lateral del terreno
n las ecuaciones anteriores, desarrolladas por -arr, se utiliza el par0metro 6 en todas; constituyéndose éste en un indicador importante de las características del suelo durante la transmisión de los esfuerzos aplicados en la superficie, a la masa de suelo.
=5
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
/uando se trabaja con fundaciones, el valor del par0metro 6 a ser usado, debe ser elegido apropiadamente en función de un adecuado coeficiente de presión lateral del terreno. -oltz #((% recomienda que cuando se trabaja con suelos granulares este par0metro es muy pró)imo al coeficiente de presión lateral del terreno en reposo 6 o . &in embargo, bajo ciertas circunstancias es posible que el mismo adopte valores pró)imos a los del coeficiente de presión lateral activa o pasiva. Por ejemplo, si el suelo del sitio de estudio es un suelo altamente sobreconsolidado entonces el valor de 6 adoptado debe ser mayor a (. !a determinación de los coeficientes de presión lateral del terreno es desarrollada en el /apítulo 7. &in embargo, el valor del coeficiente de presión lateral del terreno en reposo puede ser determinado por medio de ensayos in situ tales como el dilatómetro de @arc$etti #@arc$etti, (96; &c$mertmann, (9>%, siendo este un método relativamente reciente. l equipo a utilizarse consiste de una placa plana de dimensiones estandarizadas. sta placa cuenta con una membrana de acero, plana, delgada, circular, y e)pansible de >6 mm de di0metro localizada al ras sobre el centro de uno de los lados de la placa. * continuación, el dilatómetro debe ser insertado en el terreno usando el mismo equipo utilizado en la prueba de penetración de cono #nsayo /PT%. @ayores detalles a cerca de ambos ensayos pueden ser encontrados en el /apítulo 9. 'inalmente, -arr #(FF%, a través de una serie de e)perimentos realizados tanto en depósitos de arena como en depósitos de arcilla, demuestra que su método se apro)ima m0s a la realidad que el método tradicional de 4oussinesq. !os resultados obtenidos a partir de los e)perimentos, muestran que a través de su método se presentan esfuerzos picos m0s altos que los predecidos por la teoría de la elasticidad, siendo estos esfuerzos disipados m0s r0pidamente de lo que tal teoría indica. * continuación, a fin de ilustrar la variación de los resultados obtenidos a partir de estos dos métodos, se presenta la determinación del incremento de esfuerzos debajo una de las esquinas de un rectangular * partir de 0rea la 'igura (.(<, seuniformemente tiene B ( mcargada. , L 5.7 m y q 56 60 G m . l 0ngulo de fricción del suelo es de 1 <. .l coeficiente de presión lateral del terreno 6 o 6.57 . l incremento de esfuerzos v ser0 determinado a (, , = y > m. de profundidad. !a Tabla #a% observada a continuación ilustra los resultados obtenidos mediante estos dos métodos. !a 'igura (.56 presenta de manera gr0fica la distribución de esfuerzos $allada a partir de ambos métodos. 5
Tabla (a) /omparación entre los resultados obtenidos a partir del método de 4oussinesq
y el método probabilística.
==
Mecánica de Suelos Tabla 10. Kalores
de la función2 z #-arr, (FF% #2% 25
z 3 e 5 d2 2 #z% C 4 ( ( 3 4 Para z 5.5 ; 2 #z% C e 5 5 #5
*rea C 2 #z% 5
z 5
6
z
2
=<
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo (5
6
=
<
v
AOLGm5B
( -arr
5 = 4oussinesq
< z AmB
Figura 1!2 /omparación entre la distribución de esfuerzos obtenida mediante el método de 4oussinesq y la obtenida mediante el método de -arr.
&e puede observar que el método probabilístico presenta esfuerzos picos m0s altos que el método de 4oussinesq #<.56 <.6<9% y que a su vez, los esfuerzos determinados por el método probabilístico son disipados m0s r0pidamente de lo que la teoría de elasticidad indica. "
*todo de 9estergaard
Qestergaard #(=9% resolvió el mismo problema desarrollado por 4oussinesq para el caso de carga puntual, pero asumiendo $ipótesis ligeramente diferentes. n lugar de considerar un material perfectamente el0stico; asumió uno que contiene varios estratos que se encuentran alternados con refuerzos $orizontales rígidos de espesor infinitesimal, 'ig. (.5(; de tal modo que la deformación sea cero m0s en todos puntos. suelos l modelo asumido por Qestergaard resulta ser$orizontal una representación precisalos de algunos estratificados. Por su parte, Terzag$i #(<=% presentó la siguiente ecuación para v en el punto #, 'ig. (., debido a una carga vertical puntual P, bas0ndose en el método de Qestergaard" v z
P4
( 5 5z 4 5 r G z
=G 5
5
A(.=>B
onde" 4
( 5 I
A(.=FB I /oeficiente de Poisson del suelo que se encuentra entre los refuerzos rígidos. 5 ( I
!a ecuación A(.=>B puede ser rescrita de la siguiente forma" z v
P z5
A(.=9B
'=
onde" = G 5
'=
r 5 ( 5 4 4z (
5
A(.=B
=7
Mecánica de Suelos
P
P
)
r Jefuerzos rígidos delgados
y z v
* z
Figura 1!1
&olución de Qestergaard para el incremento de esfuerzo vertical debido a
una carga puntual. !a solución de Qestergaard produce valores de v iguales o menores que los valores dados por la ecuación de 4oussinesq; y a medida que I incrementa, el incremento de esfuerzo calculado disminuye y eventualmente llega a ser cero cuando I 6.7 . l método de 4oussinesq es m0s conservador que el método de Qestergaard y probablemente para muc$os problemas sea el método m0s apropiado. % Incremento de esfuerzos en medios estratificados
* menudo, se $ace necesario determinar los esfuerzos producidos en un estrato de suelo compresible que se encuentra descansando sobre uno o m0s estratos de diferentes propiedades mec0nicas. ste problema $a sido analizado considerando un sistema estratificado, estratopor presenta !as soluciones este problemadonde fueroncada discutidas Poulosdistintas y avispropiedades #(F<%, y porel0sticas. Perloff #(F7%, siendo laa ingeniería de pavimentos la rama de la ingeniería en la que esta teoría encuentra su mayor aplicación. s así que, si se considera el caso de la 'igura (.55, donde se observa un estrato de suelo rígido descansando sobre un estrato de suelo blando, el efecto de la rigidez del estrato superior ocasiona una reducción en la concentración de esfuerzos del estrato inferior. 4urmister #(<=% trabajó en este problema introduciendo sistemas fle)ibles de dos y tres estratos. Posteriormente, 'o) #(<9%, 4urmister #(79%, Hones #(>5% y Peattie #(>5% desarrollaron soluciones tomando en cuenta estos sistemas. l efecto de la reducción de la concentración de esfuerzos debido a la presencia de un estrato superior rígido es observado en la 'igura (.55 #b%. sta 'igura presenta un 0rea fle)ible circular de radio $ sujeta a una carga de q por unidad de 0rea que se $alla descansando en la superficie de un sistema de dos estratos, siendo ?( y ? 5 los módulos de elasticidad del estrato superior e inferior respectivamente, con la condición de que ?( * ?5 . Para , h $ , la solución el0stica para el esfuerzo vertical z a distintas profundidades debajo del 0rea cargada puede ser obtenida a partir de la 'igura (.55 #b%. !a curva de v G q vs. z G $ para ?( G ? 5 ( representa a los esfuerzos determinados a partir de la ecuación de 4oussinesq. &in embargo, a partir de las dem0s curvas se observa que para
=>
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
?( G ? 5 * ( , el valor de v G q para un valor de z G $ dado disminuye a medida que el valor de ?( G ? 5 incrementa. R v Gq
6 Jadio C J /arga C q
6
6.< v G q
6.5
(66 76
6.>
6.9
(.6
56 (6
( $
(
= z J
( 5
5
5
C(
5
z
Figura 1!! (a) donde ?( * ?5 . (b)
=
Nrea circular uniformemente cargada en un sistema de dos estratos sfuerzo vertical debajo del centro de un 0rea circular uniformemente
cargada. * continuación, en apartados posteriores se presentan las maneras de determinación del incremento de esfuerzos que se produce en sistemas estratificados sometidos a diferentes tipos de carga. Primeramente, el incremento de esfuerzos es determinado considerando un estrato rígido que se $alla descansando sobre un estrato blando. !uego, la determinación del incremento de esfuerzos es realizada considerando un estrato de suelo el0stico e isotrópico que se $alla descansando sobre una base rígida. l 3ltimo caso es considerado como un caso de incremento de esfuerzos en medio finito. %1 Incremento de esfuerzos debido a una carga de fran:a continua
/uando se aplica la teoría convencional de distribución de esfuerzos que considera un semi: espacio $omogéneo, el0stico, e isotrópico para un sistema estratificado, los valores de incrementos obtenidos son muy altos. s debido a estas limitaciones que @ilovic bas0ndose en las soluciones el0sticas para sistemas estratificados desarrolladas por 4urmister #(<=%, realizó un gran n3mero de an0lisis; siendo el principal objetivo de éstos, el demostrar analíticamente la influencia en la disminución del incremento de esfuerzos que tiene un estrato rígido que se $alla descansando sobre un estrato blando. !os an0lisis realizados adoptaron un conjunto de valores distintos de propiedades del suelo, a fin de evaluar la influencia de estos par0metros en los cambios de esfuerzos producidos.
=F
Mecánica de Suelos
!a determinación del incremento de esfuerzos fue calculada para un punto que puede encontrarse dentro o fuera del 0rea ocupada por una carga fle)ible de franja de anc$o B ( m , siendo el espesor del estrato superior @ ( igual a 6.7 B , (.6 B , (.7 B , 5 .6 B y 5.7 B .!as razones de ?( G ? 5 fueron de (, 7 , (6 y 57 ; siendo ?( y ? 5 los módulos de elasticidad del estrato superior e inferior respectivamente # ?( G ? 5 ( es el caso de medio $omogéneo %. !a geometría de este problema es mostrada en la 'ig.(.5=
4 -
q /
?
(
-
) ( 5
z Figura 1!" Seometría del problema.
l incremento de esfuerzo vertical v para medios estratificados se determina mediante la siguiente e)presión" z v q' < A(.<6B onde"
q /arga aplicada ' < /oeficiente adimensional
!os valores para el coeficiente ' < son obtenidos de las 'iguras (.5< a (.59, para el caso en que el punto donde se requiera $allar el incremento de esfuerzos se encuentre a una cierta profundidad sobre el eje que pasa por el centro de la franja. !as 'iguras (.5 a (.== pres entan el valor de ' < , para cuando el incremento de esfuerzos es $allado en un punto que se encuentra en uno de los bordes de la franja, representado en las figuras por el punto 4. 'inalmente, de las 'iguras (.=< a (.=F, se determina el valor de ' < para cuando el incremento de esfuerzos es $allado en un punto que se encuentra fuera del 0rea ocupada por la carga de franja.
=9
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
4C(m )C6 6.5 6.< 6.> 6.9 (.6
Dz
-( C 6.7 4
? -( (
( ( ( (
5 =
5 C ( 5 C 7 5 C (6 5 C 57
< 7 >
4C(m -( C 6.74
F
)
(
6
9
-C(6m 5
z (6 4
z
Figura !% /oeficiente '>
para @(78.9B #Punto 1*.
4C(m )C6 6.5 6.< 6.> 6.9 (.6
D<
-( C (.6 4
? -( ( 5 =
( ( ( (
5 C ( 5 C 7 5 C (6 5 C 57
< 7 > F
4C(m -( C (.64
6
9 z (6 4 Figura !&.
(
)
-C(6m 5 z /oeficiente '> para @(7(.8B #Punto 1%.
=
Mecánica de Suelos
4C(m )C6 6.56 .< 6.> 6.9 (.6
-( C (.7 4
D<
? -( (
( ( ( (
5 = < 7 > F
4C(m ) (
6
-( C (.74
9
-C(6m 5
z (6 4 Figura !'.
5C ( 5C 7 5C (6 5C 57
z /oeficiente '> para @(7(.9B #Punto 1%.
4C(m )C6 6.5 6.< 6.> 6.9 (.6
-( C 54
D<
? -( (
( ( ( (
5 = < 7 > F
4C(m -( C 54
6
(
)
-C(6m
9
5
z (6 4 Figura !.
5C ( 5C 7 5C (6 5C 57
z
/oeficiente '> para @(7.8B #Punto 1%.
<6
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
4C(m )C6 6.5 6.< 6.> 6.9 (.6
-( C 5.7 4
D<
? -( (
( ( ( (
5 = < 7 > F
5 C ( 5 C 7 5 C (6 5 C 57
4C(m
6 (
-( C 5.74
9
)
-C(6m
z (6 4
5 z
Figura !/.
/oeficiente '> para @(7.9B #Punto 1%.
) C 6.7 4 6.( 6.5 6.= 6.< 6.7 D<
-( C 6.7 4
4C(m
/
-(
( 5
( ( ( (
= < 7 > F
4C(m
) C 6.74) / (
-(
9
-C(6m
z (6 4
Figura !0.
5 C ( 5 C 7 5 C (6 5 C 57
5 z /oeficiente '> para @(78.9B #Punto 4%.
<(
Mecánica de Suelos
) C 6.7 4 6.( 6.5 6.= 6.< 6.7 D<
4C(m
-( C (.6 4
/
-(
(
( ( ( (
5 =
5 C ( 5 C 7 5 C (6 5 C 57
< 7 4C(m
> F
) C 6.74 ) / (
-( C (.64
9
-C(6m
5
z (6 4
Figura "2.
z
/oeficiente '> para @(7(.8B #Punto 4%. ) C 6.7 4 6.( 6.5 6.= 6.< 6.7 D<
4C(m
-( C (.7 4
/
-(
( ( ( (
( 5 =
5 C ( 5 C 7 5 C (6 5 C 57
< 7
4C(m
) C 6.74 ) /
> F
-( C (.74
(
9
-C(6m
z (6 4 Figura "1.
5 z
/oeficiente '> para @(7(.9B #Punto /%.
<5
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
) C 6.7 4 6.( 6.5 6.= 6.< 6.7 D<
4C(m
/
-( C 5.6 4
-( (
5 C ( 5 C 7 5C (6 5C 57
( ( ( (
5 = < 7 > F
)4C(m C 6.74 ) /
-( C 5.64
(
9
-C(6m
z (6 4
5 z
Figura "!.
/oeficiente '> para @(7.8B #Punto 4%.
) C 6.7 4 6.( 6.5 6.= 6.< 6.7 Dz
4C(m
/
-( C 5.74
( -(
( ( ( (
5 = < 7 > F
5 5 C C (7 5 C (6 5 C 57
4C(m
) C 6.74 ) / (
-( C 5.74
9
-C(6m
z (6 4 Figura "".
5 z /oeficiente '> para @(7.9B #Punto 4%.
<=
Mecánica de Suelos
) C (4
4 C (m 6.(
6.5
-( C 4
D<
6.=
6 ( 5C7
(
( 5C(6
5
( 5C57
= <
-( C 4
7
?
)
5 - C (6m
>
z 4
4 C(m ) C (4 / (
F
Figura "%.
z
/oeficiente '> para @(7B,x7B. ) C 54
4 C (m
6.(
6.5
6.=
D<
-( C 4
6
( 5 C 7
(
( 5C (6
5
( 5 C 57
= 4 C(m
<
) C 54 -( C (4
?
/
(
)
7 5 - C (6m
>
z F 4 Figura "&.
z
/oeficiente '> para @(7B,x7B.
<<
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
) C (4
4 C (m
6.(
6.5
6.=
- (C (.74
D<
6
( 5 C 7
(
( 5C (6
5
( 5C 57
=
4 C(m
<
-( C (.74
?
7
) C (4
/
)
(
5 - C (6m
> z
z F 4 Figura "'.
/oeficiente '> para @(7(.9B,x7(B ) C 54 4 C (m 6.(
6.5
6.=
D<
- (C (.74
6
( 5 C 7
(
( 5 C (6
5
( 5 C 57
=
4 C(m
<
-( C (.74
?
) C 54 ) (
5 - C (6m
7 >
/
z
z F 4 Figura ".
/oeficiente '> para @(7(.9B,x7B
Por otra parte, @ilovic también desarrolló una solución para el caso de sistemas estratificados que se $allan limitados por una base rígida $aciendo uso del método de elementos finitos. !a geometría de este problema corresponde a la presentada en la 'igura (.=9.
<7
Mecánica de Suelos
4 (.6 ?
-(
/
5.6
)G4
(
-
5
4ase rígida
z
Figura 1"/ Seometría del problema #@ilovic, (5%.
n la 'igura (.=9 se tiene una carga de franja fle)ible de anc$o B y de intensidad q ; @ es el espesor del estrato compresible, @ ( es el espesor del estrato superior, ?( es el módulo de elasticidad del estrato superior y ? 5 es el módulo de elasticidad del estrato inferior. l incremento de esfuerzo vertical v tiene la siguiente e)presión" z v q' 7 A(.<(B !as Tablas (.(6 y (.(( presentan los valores de ' 7 para el c0lculo de v en el punto 1 de la 'igura (.=9 mientras que las Tablas (.(5 y (.(= son utilizadas para el c0lculo de v en el punto 4 de la 'igura (.=9. %! Incremento de esfuerzos debido a una su.erficie cargada en forma circular
4urmister #(<=% realizó el mismo an0lisis pero considerando un 0rea fle)ible circular de radio $ con una carga q uniformemente aplicada en la superficie de un estrato rígido que descansa sobre un estrato blando, como muestra la 'igura (.=. , q $
(
(
5
5
z Figura 1"0 .
Nrea circular uniformemente cargada en un medio estratificado donde
?(3?.
<>
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Para este caso el incremento de esfuerzos, v , en un punto situado a una cierta profundidad por debajo del centro del círculo es" z v q' > A(.<5B !os valores de ' > son obtenidos a partir de las 'iguras (.<6 a (.<5 para h igual a y para distintos valores de ?( G ? 5 .!as 'iguras (.<( y (.<5 son e)tensiones realizadas por @ilovic #(5%. 6 .7 D , (D , 5 D
C 5J 6.7
(.6
6
$C J
D>
6.7 (G 5 C ( (G 5 C 7 ( G 5 C (6 (G 5 C 7 # 4urmister,(7>%
(.6 (.7 5.6 5.7 zG Figura 1%2.
/oeficientes 'A para h)$7(
C 5J 6 $ C 5J
6.7
D>
(.6
6.7 (.6 (.7 5.6
(G 5 C ( (G 5 C 7 ( G 5 C (6 ( G 5 C 57
5.7 zG Figura 1%1.
/oeficientes 'A para h)$7
Mecánica de Suelos
Tabla 12. Kalores de ' 7
en el punto 1 ; para
@ B
(
y
@ B
5.
<9
CAPITULO 1Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Tabla 11Kalores de ' 7
en el punto 1 ; para
@ B
=
y
@ B
7.
<
Mecánica de Suelos
Tabla 1!Kalores de ' 7
en el punto 1 ; para
@ B
(
y
@ B
5.
76
CAPITULO 1Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Tabla 1"Kalores de ' 7
en el punto 4 ; para
@ B
=
y
@ B
7.
7(
Mecánica de Suelos
C 5J
D>
6.7 6
(.6
6.7 $C
(G 5 C ( (G 5 C 7
(.6 (.7 5.6 5.7 zG
Figura 1%!.
/oeficientes 'A para h)$7>
& Incremento de esfuerzos en medios finitos
&1 Incremento de esfuerzos debido a una carga de fran:a continua
/on el objeto de estudiar el problema de incremento de esfuerzos de una manera m0s completa, @ilovic desarrolló el caso en el que se aplica una carga uniformemente distribuida a un estrato de suelo el0stico e isotrópico que se $alla descansando sobre una base rígida. ste caso es observado en la 'igura (.<=, donde se tiene una carga de franja fle)ible uniformemente aplicada de anc$o B , siendo q la carga uniforme y @ y L el espesor y el largo del estrato compresible, respectivamente.
z
4 zC*
q / -
zC6
) 4ase rígida !)
Figura 1%" Nrea fle)ible cargada sobre un medio finito #@ilovic, (5%
Para la determinación del incremento de esfuerzos debido a esta condición de carga se pueden tener dos posibles situaciones" 4ase rígida lisa, es decir que el contacto entre el estrato compresible y la base rígida sea perfectamente liso. Para este caso, el incremento de esfuerzos verticales v en el punto * de la 'igura (.<= es" z v q' F A(.<=B
75
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
e la 'igura (.<< se obtienen los valores de ' F para varios valores de @ G B y z G B 6.5
6.6.
6.<
6.>
6.9
DF
(.6
6.7
- C 6.7 4
(.6
- C (.6 4
4oussinesq (.7 4 C(.7
5.6
- C 5.6 4
5.7
-
- C 5.7 4
=.6 z 4
q
z 4ase rígida
- C =.6 4
Figura 1%%.
4 z
/oeficientes ' para c0lculo de v en el punto #. #4ase lisa%
4ase rígida rugosa, es decir que el contacto entre el estrato compresible y la base rígida sea perfectamente rugoso. Para este caso, el incremento de esfuerzos verticales v es" z v q' 9 A(.<
6.6
6.<
6.>
6.9
$ 6.<7 $ 6.667
6.7 (.6 (.7
D9
(.6
- (.6 4 4oussinesq
5.6
$ 6.667 $ 6.<7
5.7
- 5.6 4 $ 6.667 $ 6.<7
=.6 z 4
- =.6 4
Figura 1%&.
- 6.7 4 $ 6.667 $ 6.<7
4 *
-
q /
4ase rígida z
/oeficientes 'C para c0lculo de v en el punto #. #4ase rugosa%
7=
Mecánica de Suelos
e la 'igura (.<7 se obtienen los valores de ' 9 para determinar v en el punto # de la 'igura. Para determinar v en el punto 4 los valores de ' 9 son obtenidos a partir de la Tabla (.(< para diversos valores de @ G B y z G B . &! Incremento de esfuerzos debido a una su.erficie cargada de forma circular
n el caso de la 'igura (.<> se tiene un 0rea fle)ible circular uniformemente cargada sobre la superficie de un estrato compresible $omogéneo e isotrópico que se $alla descansando sobre una base rígida; la cual proporciona un plano de contacto perfectamente rugoso con el estrato compresible. , q /
? J
z
-
4ase rígida
Figura 1%' Nrea fle)ible circular cargada sobre un medio finito
l incremento de esfuerzos verticales v para la condición de carga dada en la 'igura (.<> es" q' z v A(.<7B 1 de la !a Tabla (.(7 presenta los valores de ' para el c0lculo de v en el punto @ D = 'igura (.<> para G 6.7 , ( , 5 y .!a Tabla (.(> presenta los valores de ' para el c0lculo de v en el punto 4 de la 'igura (.<>.
&" Incremento de esfuerzos debido a una su.erficie cargada de forma rectangular
'inalmente, para el caso de la 'igura (.B !a Tabla (.(F presenta los valores de ' (6 para el c0lculo de v en el punto 1 de la 'igura (.
7<
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo z
m ! 4
4
q ? /
zC-
-
zC6
/
4
y !
!) 4
)
?
!
)
y z
!y
) 4ase rígida Figura 1% Nrea fle)ible rectangular cargada sobre un medio finito
' ;eterminaci5n del incremento de esfuerzos en medios estratificados del m*todo .robabil7stico
a tra6*s
-arr #(FF% $aciendo uso del método probabilístico considera un espacio multiestratificado sometido a una carga lineal de intensidad q por unidad de longitud. l espacio est0 constituido por estratos de espesor hi presentando cada uno valores diferentes del coeficiente de presión lateral del terreno 6 , 'ig. (.<9. !uego el espesor equivalente de los 0-( estratos superiores es" @ 0 h 6 G 6 0 h 6 G 6 0 ........ h0 6 0 G 6 0 A(.
(
(
5
5
(
q
z v @
0 (
z
( 0
56
e
x5 5 56 @ 0 0 ( z 0
(
A(.<9B
0
q
) $(
(
$5
5
$=
=
v
C # ),$ ( %
z5 z= z
Figura 1%/ /arga lineal aplicada a
un suelo multiestratificado.
Para los dem0s tipos de carga observados en el apartado 5, el incremento de esfuerzo vertical es determinado, reemplazando z por @ 0 ( z 0 en la ecuación correspondiente.
77
Mecánica de Suelos Incremento de esfuerzos debido a una carga r7gida
Todos los métodos para la determinación del incremento de esfuerzos desarrollados anteriormente, tiene como una de sus principales $ipótesis el considerar la aplicación de una carga fle)ible, no $abiéndose considerado en ning3n caso la aplicación de una carga rígida. &in embargo, para el caso de fundaciones rígidas, es posible determinar el incremento de esfuerzos o esfuerzo medio que debe ser usado posteriormente para la determinación de asentamientos. l incremento de esfuerzos v para una fundación rígida es" z v q'(( A(.<B l factor de influencia ' , se determina a través de la gr0fica propuesta por Tomlinson (( #(>%, 'ig. (.<. sta gr0fica permite la determinación del factor de influencia para 0reas rectangulares, variando estas desde superficies cuadradas a superficies continuas para distintas profundidades debajo el nivel de fundación. vGq 6 6.( 6.5 6.= 6.< 6.7 6.> 6.F 6.9 6. (.6
6.( 6.5 6.= 6.< 6.7 6.> 6.F 6.9 6. (.6 (.( G4 z (.5 (.= (.< (.7 (.>
( (.7 5= 7 Kalores de !G4
(.F (.9 (. 5.6 5.( 5.5 5.= 5.< 5.7 Figura 1%0. 'actor de influencia ' (( para el c0lculo del incremento de esfuerzos debajo el centro de un 0rea rectangular rígida B 5 L , uniformemente cargada #Tomlinson, (>%.
7>
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo Tabla 11% Kalores de ' 9
en función de @ G B y z G B .
7F
Mecánica de Suelos Tabla 11&. Kalores de '
para el punto 1 en función de @ G D y r G $ .
79
CAPITULO 1 Incremento de esfuerzos en una masa de suelo Tabla 11'. Kalores de '
para el punto 4 en función de @ G D y r G $ .
7
Mecánica de Suelos
Tabla 1Kalores de ' (6
en el punto 1 ; para
L B
(
y para distintos valores de @
B
y zGB.
>6
CAPITULO 1Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Tabla 1 (Continuaci5n) Kalores de ' (6
en el punto 1 ; para
L B
5
y para distintos valores de @
B
y zGB.
>(
Mecánica de Suelos
Tabla 1 (Continuaci5n) Kalores de ' (6
en el punto 1 ; para
L B
7
y para distintos valores de @
B
y zGB.
>5
CAPITULO 1Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Tabla 1/Kalores de ' (6
en el punto 4 ; para
L B
(
y para distintos valores de @
B
y zGB.
>=
Mecánica de Suelos
Tabla 1/ (Continuaci5n) Kalores de ' (6
en el punto 4 ; para
L B
5
y para distintos valores de
@ B
y zGB.
><
CAPITULO 1Incremento de esfuerzos en una masa de suelo
Tabla 1/ (Continuaci5n) Kalores de ' (6
en el punto 4 ; para
L B
7
y para distintos valores de @
B
y zGB.
>7
Mecánica de Suelos
/ Ti.os de c argas im.artidas en el t erreno
/uando la carga no es aplicada en la superficie del terreno, se $ace necesario el realizar las siguientes definiciones" 0ivel de fundaci!n, Df" es la profundidad a la cual es emplazada la fundación. 4arga inicial total o sorecarga qo es la presión e)istente antes de la construcción que se
debe al peso del suelo sobre el nivel de fundación. &eg3n la 'igura (.76, esta carga es determinada en la primera etapa, donde la sobrecarga es igual a 7D f , 'ig. (.76 #a%. &i se considera, que para esta etapa el nivel fre0tico se encuentra en la superficie; entonces uo 7 E D f . 4arga ruta q es la presión total impartida al terreno despus de la construcción que incluye" l peso de la fundación, F l peso del suelo sobre el nivel de fundación. ste peso es igual al peso de la porción de suelo ac$urada en la 'igura (.76 #b%. !a carga impartida por la columna a la fundación, P . Todas las cargas anteriores son determinadas después de la construcción, es decir, en la segunda etapa, 'ig. (.76 #b%. &i se considera para esta etapa que el nivel fre0tico $a descendido $asta una altura @ por encima del nivel de fundación; entonces el valor final de la presión de poros es" u f 7 E @ . 4arga neta qn es el incremento neto en esfuerzos efectivos al nivel de fundación, es decir, es la diferencia entre las presiones efectivas antes y despus de la construcción. q n q I q Io A(.76B e la ecuación A(.76B se puede observar que tanto q I como q oI se refieren a esfuerzos efectivos, siendo estos, de acuerdo al principio de esfuerzos efectivos iguales a" q I q uo A(.7(B q oI q o u f A(.75B e aquí en adelante, debe recordarse que la carga neta q n ,es la presión que produce los asentamientos. P
Primera tapa
&egunda tapa q o 7D f
uo 7 E D f Livel de fundación propuesto
f
Q -
q C 6*'
f
Livel de fundación propuesto u f 7 E@
(a ) Figura 1&2 Tipos de cargas impartidas en el
terreno.
(b)
>>
