Representaciones físicas de los atributos de las ondas longitudinales. C. A. Parga Navarrete Ondas, Calor y Fluídos, ESFM-IPN, México D.F., México E-mail del autor:
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Resumen –– Las ondas longitudinales están presentes en una plétora de actividades cotidianas; desde el habla hasta la geoposición satelital. Sin embargo, no con frecuencia se detiene uno a pensar en las naturaleza de éstas. El presente papel tiene como objetivo el estudio y la ilustración de tres fenómenos con los cuales usualmente se encuentra uno. En la teoría músical, en la cocina, y en la práctica musical.
una onda como una sucesión de valles y crestas estamos, de hecho, observando el movimiento vibratorio en el medio de los osciladores individuales. En particular, a todos esos osciladores en un plano del medio que, en determinado momento, comparten la misma fase de vibración. Si todas las vibraciones están restringidas
Palabras Clave – Difracción, Interferencia, Onda estacionaria, Onda longitudinal, Sobretono
a un plano, la onda se dice ser de plano polarizado. Si tomamos un
Abstract –– Longitudinal waves are present in a plethora of mundane activities; ranging from speech all the way through global positioning systems. Unfortunately, it is unfrecuent for someone to ponder on the nature and significance of such phenomena. Thus, the present paper has a fixed objective, the study and illustration of waves in a musical and culinary context.
todos los osciladores dentro de ese plano tienen la misma fase,
Keywords –– Diffraction, Interference, Longitudinal Wave, Overtone, Stationary Wave
plano perpendicular a la dirección de propagación de la onda y entonces podremos ver como ese plano de fase común progresa en el medio. Sobre tal plano, todos los parámetros descriptivos del movimiento ondulatorio se mantienen constantes. Las crestas y los valles son planos de máxima amplitud de oscilación que se encuentran π rad fuera de fase; una cresta es un plano de amplitud máxima positiva, mientras que un valle es un plano de amplitud máxima negativa. Al formular tal movimiento ondulatorio en
I. INTRODUCCIÓN
términos matemáticos tendremos que relacionar la diferencia de
Una de las maneras más sencillas de ilustrar el comportamiento de
fases entre dos planos cualesquiera y su separación física en el
una onda es con una cuerda fija que, por uno de sus extremos, se
espacio.
mueve de arriba a abajo. A lo largo de esta, se crean crestas y valles. Si la cuerda fuese infinitamente larga, entonces la onda sería de naturaleza progresiva. Es decir, viajaría indefinidamente en un medio sin fronteras. De lo contrario, si el medio fuera limitado en extensión, las ondas se reflejarían y la vibración de la cuerda sería la combinación de estas moviéndose de un lado a otro. Bajo ciertas condiciones, se llega a formar una onda estacionaria. Las ondas que se generan en una cuerda son ondas de naturaleza transversal donde los desplazamientos u oscilaciones que se generan en el medio son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Las ondas sonoras son de naturaleza longitudinal; un fluido puede mantener, únicamente, ondas longitudinales porque es incapaz de soportar el esfuerzo de corte o cizalladura que es característico de las ondas transversales. En un sólido, pueden viajar ambos tipos de ondas. Cuando tomamos al movimiento de
Figura 1. Atributos físicos de una onda.
Los osciladores individuales que conforman al medio no progresan a través de éste siguiendo a las ondas. Su movimiento es armónico simple, limitado a oscilaciones, transversal o longitudinal, con respecto a sus posiciones de equilibrio. Es sus relaciones de fase lo que observamos como ondas, no su movimiento progresivo a través del medio. Existen tres velocidades en el movimiento ondulatorio. Cada una, aunque conectada matemáticamente con las otras, de distinta definición. Estas son,
1.
2.
La velocidad de la partícula. El movimiento armónico
La fuerza perpendicular sobre el elemento dx es Tsen(θ + dθ) -
simple de los osciladores con respecto a la posición de
Tsen(θ) en la dirección y positiva, que es igual al producto de ρdx
equilibrio. La velocidad de onda o fase. La velocidad con la cual
(masa) por δ2y/ δx2 (aceleración). Como θ es muy pequeño sen θ ≈ tan θ = δy/ δx. Tal que la fuerza está dada por
planos de fase, crestas, o valles, equivalentes progresan en el medio. 3. La velocidad de grupo. Consideremos el desplazamiento vertical y de una sección muy
Donde los subíndices se refieren al punto en el cual se evalúa la
pequeña de una cuerda uniforme. Esta sección es regida por
diferenciación parcial. La diferencia entre los dos términos dentro
movimientos
del corchete define al coeficiente diferencia de la derivada parcial
armónicos
simples;
es
un
oscilador.
El
desplazamiento y será, por supuesto, variable con respecto al
… (2)
δy/ δx por el intervalo espacial dx. La fuerza, entonces es
tiempo y también con respecto a x, la posición a lo largo de la cuerda en la cual escogemos observar la oscilación. La ecuación de
… (3)
onda relacionará, por lo tanto, el desplazamiento y de un solo
La ecuación del movimiento del pequeño elemento dx se torna,
oscilador a la distancia x y el tiempo t. Consideraremos sólo las
entonces
ondas presentes en el plano de éste papel (bidimensionales) para que así las ondas transversales sobre la cuerda sean de plano polarizado. La masa de una cuerda uniforme por unidad de
… (4) Dando
longitud o densidad lineal es ρ, y una tensión constante T existe a … (5)
lo largo de toda la cuerda –A pesar de ser un poco extensible. Para que lo anterior se útil ocupamos tomar en cuenta una longitud y
Donde T/ρ posee las dimensiones de la velocidad al cuadrado.
una oscilación tan pequeñas tal que a final de cuentas, podamos
Gracias a esto, se sigue que c, en la ecuación anterior, es la
linealizar la ecuación resultante. Ergo, el efecto de la gravedad se
velocidad. Esta, (5), es la ecuación de onda. Relaciona la
desprecia.
aceleración de un oscilador armónico simple en un medio a la segunda derivada de su desplazamiento con respecto a su posición x en ese mismo medio. La posición del término c 2 en la ecuación siempre se encuentra con un análisis dimensional.
II. METODOLOGÍA a. Ondas Estacionarias en una Cuerda. El comportamiento de las ondas sobre un par de cuerdas (blanca y Figura 2. Elemento de cuerda desplazo de longitud ds ≈ dx.
negra), asumidas uniformes, constituidas por distintos materiales.
Consecuentemente en la figura 2 las fuerzas que actúan en el
Si el lector no mal recuerda, fue con éste ejemplo que derivamos la
elemento curvo de longitud ds son T en un ángulo θ al eje, en un
ecuación de onda en la introducción de la actual narración.
extremo del elemento, y T en un ángulo θ + dθ en el otro extremo.
El experimento demanda,
La longitud del elemento curvo es
1.
Medir las constantes de la longitud de la cuerda, l, y la densidad lineal de la cuerda, µ, dada por el cociente de la
… (1) con las limitaciones impuestas, δy/ δx es tan pequeña que es propio
2. 3.
masa de la cuerda, m, entre la longitud de la cuerda, l. Atar el extremo de la cuerda a un vibrador mecánico. En el otro extremo colocar peso suficiente para generar la
4. 5. 6.
mínima tensión posible. Establecer una onda estacionaria. Contar el número de lóbulos. Hallar el valor de la longitud de onda.
ignorar su cuadrado y tomar ds = dx. La masa del elemento de cuerda es ρds = ρdx. Su ecuación de movimiento se encuentra en una de las leyes de Newton, fuerza es igual a masa por aceleración.
7.
Repetir los pasos cuatro a cinco aumentando cada vez el
Una vez completada la fase experimental del experimento, nos
peso hasta que ya no sea posible aumentarlo más.
compete hacer un análisis físico y estadístico de lo documentado. En primer lugar, se encuentran las tablas de cada una de las
b. Velocidad del Sonido. El sonido son ondas longitudinales y omnidireccionales que se propagan en todo material. Más precisamente, son ondas de compresión producidas por la vibración de un cuerpo. Como tal, es normal que posea un atributo común a todas las ondas, velocidad. Sin embargo, surge el problema de cómo obtener una cifra que la represente. ¿Existe un método directo? Desafortunadamente, no. Afortunadamente, el método indirecto que expondremos seguirá las líneas teóricas expuestas anteriormente. Antes de empezar introduciremos una fórmula que será clave para el desarrollo fructífero del experimento; la fórmula de la velocidad. … (6) donde
es la velocidad,
es la frecuencia, y
es la longitud de
cuerdas. T λ n l m (N) (-) (-) (m) (g) 0.49 0.334545 11 1.84 0.05 0.59 0.368 10 1.84 0.06 0.69 0.368 10 1.84 0.07 0.78 0.368 10 1.84 0.08 0.88 0.408889 9 1.84 0.09 0.98 0.408889 9 1.84 0.10 1.08 0.46 8 1.84 0.11 1.18 0.46 8 1.84 0.12 1.28 0.525714 7 1.84 0.13 1.37 0.525714 7 1.84 0.14 1.47 0.525714 7 1.84 0.15 1.57 0.525714 7 1.84 0.16 1.67 0.613333 6 1.84 0.17 1.77 0.613333 6 1.84 0.18 1.86 0.613333 6 1.84 0.19 1.96 0.613333 6 1.84 0.20 Tabla 1. Datos tomados del comportamiento de la cuerda negra.
actual experimento, cerraremos ambos extremos del tubo y lo
T λ n l m Fre (N) (-) (-) (m) (g) (Hz) 2.45 3.7600 1 1.88 0.05 07.000 2.45 1.8800 2 1.88 0.06 14.000 2.45 1.2533 3 1.88 0.07 21.000 2.45 0.9400 4 1.88 0.08 27.300 2.45 0.7520 5 1.88 0.09 34.100 2.45 0.6267 6 1.88 0.10 41.000 2.45 0.5371 7 1.88 0.11 48.000 2.45 0.4700 8 1.88 0.12 55.000 2.45 0.4178 9 1.88 0.13 62.100 2.45 0.3760 10 1.88 0.14 68.500 2.45 0.3418 11 1.88 0.15 75.200 2.45 0.3133 12 1.88 0.16 0.3133 Tabla 2. Datos tomados del comportamiento de la cuerda blanca.
llenaremos de un fluido combustible que reaccionará acorde a las
La densidad de las cuerdas está dada por 0.000436kg/m para la
propiedades de la onda estacionaria que se genere dentro del tubo.
negra y 0.004528kg/m para la blanca. Es decir, la cuerda blanca es
Grosso modo, sobre los nodos la presión del fluido será máxima y
mucho más densa que la negra por un factor cercano al diez. Ahora
en los antinodos, la presión mínima. Ahora, asumamos que el tubo
bien, la frecuencia del experimento con cuerda negra es
presenta pequeñas incisiones uniformes en la superficie de las
desconocida por lo que es necesario realizar un análisis de los datos
cuales el fluido contenido puede escapar; si se le prende fuego,
proporcionados.
onda. Cerremos un tubo por uno de sus extremos y llenémoslo de agua. Si controlamos el nivel, podemos crear una onda estacionaria en ciertos puntos de éste. Entonces, la superficie del agua se convierte en un nodo y el extremo abierto un anti-nodo.
c. Tubo en Llamas. En el experimento anterior se observó que es lo que pasa con las ondas dentro de un tubo con uno de los extremos cerrados. Para el
entonces éste actuará acorde a los anterior descrito. El procedimiento, 1. 2. 3.
Abrir el gas y encender la llama. Variar la frecuencia y encontrar una onda estacionaria. Medir la distancia, d, entre dos nodos sucesivos y
4.
calcular la longitud de onda, λ. Variar la frecuencia para encontrar el mayor número de
5.
ondas estacionarias posibles. Encontrar la longitud de onda para cada caso. Figura 3. Función ajustada cuando se grafica T vs λ.
III. RESULTADOS a. Ondas Estacionarias en una Cuerda.
Acorde a la función ajustada que se muestra en la figura 3, el valor de la frecuencia para la cuerda negra es de 4.592 ± 0.2487.
b. Velocidad del Sonido.
Los datos obtenidos después de terminar la sesión experimental
1050
0.13
0.26
Tabla 4. Datos experimentales del tubo en llamas.
son
Y su análisis correspondiente es l
λ
(Hz)
(m)
(m)
1024.00
0.176
0.35
512.00
0.335
0.67
480.00
0.357
0.71
426.70
0.405
0.81
384.00
0.450
0.90
341.00
0.498
1.00
Figura 5. Función cuando se grafica f vs λ para el tubo en llamas.
Donde la ecuación resultante es Tabla 3. Datos experimentales del sobre-tono per frecuencia.
Dado lo anterior, con un ajuste sencillo se obtiene el valor de la pendiente, pues, como lo muestra (6), la velocidad es equivalente a
Y = -1622*X + 1414 … (8) Que comparada con (7) arroja una diferencia entre pendientes de casi 600m/s, cantidad para nada despreciable.
la pendiente de la función ajustada. En la figura 4 se aprecia gráficamente el fenómeno del cual se habla en esta sección.
IV. DISCUSIÓN Se retoma la premisa de éste papel como discusión. Las ondas están presentes en todos lados. En la teoría músical (experimento dos) como el fundamento de la armonía como relaciones matemáticas entre frecuencia, en la cocina (experimento tres) como la válvula que regula la flama de la estufa, en la ejecución musical (experimento 1) como la vibración de la cuerda de cualquier instrumento. ¿Acaso estos ejemplos tan predominantes no son suficientes para alentar el estudio aunque sea frívolo de tal fenómeno?
V. CONCLUSIONES Figura 4. Función ajustada cuando se grafica f vs λ.
aquello que buscamos. En la literatura física, la velocidad de las
Aunque de resultado incorrecto, se ha visto que la velocidad del sonido es fácilmente calculable en base a las propiedades de onda estacionaria. Así mismo, la influencia que el nodo (y antinodo) tiene en la presión de un fluído y, finalmente, cómo es que inciden y se reflejan las ondas en el medio.
ondas sonoras en la atmósfera terrestre es de 343 m/s (a 20 °C de
REFERENCIAS
temperatura, con 50 % de humedad y a nivel del mar). Sin
H.J., Pain; P., Rankin. Introduction to Vibrations and Waves. 1° ed. Vol. 1. 1 vols. John Wiley & Sons, Ltd, 2015.
De la gráfica, inmediatamente notamos que la pendiente es negativa. Cosa en directa contradicción con la definición de
embargo, en nuestro ensayo, el resultado no es sólo negativo si no inverosímil en magnitud. Resultando en una ecuación de la siguiente forma, Y = -1053*X + 1307 … (7) Para concluir, acorde a la función del ajuste, la velocidad del sonido es de -1053m/s… es válido decir que el experimento ha sido un fracaso y es menester evaluar la causa.
c. Tubo en Llamas. Los datos arrojados son
(Hz) 460 600 920
l
λ
(m) 0.31 0.22 0.15
(m) 0.62 0.44 0.3
