Cuaderno de Aprendizaje – 2012
CUADERNO DE APRENDIZAJE
FUNDAMENTOS DE FÍSICA
Elaborado por: ALEJANDRO OLIVOS GÓMEZ
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.
Mucho Éxito.-
Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP
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UNIDAD 1: Conceptos básicos de física APRENDIZAJE ESPERADO 1. Resuelven problemas de transformación de unidades relacionadas con longitud, masa, tiempo y fuerza.
Criterio 1.1. Reconoce patrones de medida en el S.I.
El material fundamental que constituye la física lo forman las cantidades físicas, en función de las cuáles se expresan las leyes de ésta ciencia. La longitud, fuerza, tiempo, velocidad, potencia, son ejemplos de cantidades físicas. Una cantidad física queda definida cuando se estipulan los procedimientos para medir esa cantidad. Esta manera de definir las cantidades físicas se llama punto de vista operacional, debido a que la definición de una cantidad física es una serie de operaciones de laboratorio que conducen a un número con una unidad de medida. Dicho número con su unidad de medida recibe el nombre de MAGNITUD de la cantidad física en cuestión. El Sistema internacional de Unidades: Considera como cantidades físicas fundamentales para el estudio de la Mecánica: la Longitud ( L); la masa ( M); El tiempo ( T) asociándoles las unidades de medida: Metro ( m); Kilogramo ( kg. ); Segundo (s ) respectivamente. TABLA DE MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y SUS UNIDADES EN EL S.I. MAGNITUD
UNIDAD
SÍMBOLO
Longitud
Metro
m
Masa
Kilogramo
Kg
Tiempo
Segundo
s
Temperatura termodinámica
Kelvin
K
Intensidad de corriente eléctrica
Ampere
A
Cantidad de sustancia
Mol
mol
Intensidad luminosa
Candela
Cd
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Longitud: Metro (m). Otras Unidades de longitud que no corresponden al S.I.: 1 milla terrestre
= 1609m
1milla marina
= 1852m
1 Kilómetro
= 1000m
1 pie
= 30,48cm
1 yarda
= 91,44cm
1 pulgada
= 2,54cm
Masa: Kilogramo (Kg). Otras Unidades de masa que no corresponden al S.I. son: 1 libra
= 454g
1 onza
= 28,35g
1 slug
= 14,59Kg
1 Tonelada
= 1000Kg
Tiempo: Segundo ( s). 1 minuto
= 60s
1 hora
= 3600s
1 día
= 86400s
LAS CANTIDADES FÍSICAS SE PUEDEN COMBINAR Y SE OBTIENEN OTRAS SUPERFICIE (LONGITUD · LONGITUD) = L² VOLUMEN (LONG · LONG · LONG) = L³ RAPIDEZ v = L / T, luego su unidad de medida en SI es: v = m / s. ACELERACIÓN a = v / t = (L / T) / T = L / T², su unidad de medida en SI es: a = m / s² DENSIDAD DE UNA SUSTANCIA (ρ)= M / V = M/ L³, siendo su unidad de medida en el SI ρ = Kg / m³.
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Para una serie de propósitos, las Unidades básicas del S.I. y las derivadas del S.I. resultan ser muy grandes o muy pequeñas.
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Criterio 1.2. Transforma unidades de medida desde un sistema a otro. Criterio 1.3. Resuelve problemas de transformación de unidades de longitud, masa, tiempo y fuerza.
1. Transforme: a) 20 in/s a m/s Solución:
nota: in = pulgada
1 in
25,4 mm
20 in
x mm
donde
x mm = 20 in ∙ 25,4 mm 1 in x mm = 508mm ÷ 100 = 0,508m
Por lo tanto. Respuesta: 0,508m/s
b) 3 yd/hr a mm/s Solución:
nota: yd = yarda
1 yd
0,914m
3 yd
xm
donde x m = 3 yd ∙ 0,914m 1 yd donde x m = 2,742m ∙ 1000 = 2742mm además 1hr = 3600s
Por lo tanto
2742mm ≈ 0,7617mm/s 3600s
Respuesta: 0,7617mm/s
2. Exprese: a) Un área de 2 km ² en m ² Solución:
2 km ² ≈ 1,414Km ∙ 1000 ≈ 1414,214 m
(1414,214m)2 = 2000000m2 = 2 ∙ 106m2
Respuesta: Área = 2 ∙ 106 m2 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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b) Una masa de 8 gr en kg Solución: 8gr ÷ 1000 = 0,008Kg Respuesta: 0,008Kg = 8 ∙ 10 – 3 Kg
3. Una pequeña piscina tiene 20 pies de largo, 10 pies de ancho y 5 pies de profundidad. Su volumen es el producto de estas longitudes, es decir: (20 pie) · (10 pie) · (5 pie) =1000 pie ³. ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos ( m ³ ) sabiendo que 1 pie = 0,3048 m.? a) 28,32m3 b) 26,32m3 c) 18,32 m3 d) 100m3 *El problema se puede resolver de dos formas, llegando al mismo resultado* Solución 1:
3
1000pie3 = 10pie
1pie
0,3048m
10pie
xm
x = 3,048m
(3,048m)3 ≈ 28,32m3
Respuesta: Volumen ≈ 28,32m3
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Solución 2: 1pie
0,3048m
20pie
xm
x = 6,096m 1pie
0,3048m
10pie
xm
Por lo tanto V = 6,096m ∙ 3,048m ∙ 1,524m ≈ 28,32m3
x = 3,048m 1pie 5pie
0,3048m xm
x = 1,524m Respuesta: Volumen ≈ 28,32m3
, entonces la alternativa correcta es la letra a.
4. Para construir una nueva carretera, se trabajará en tres tramos: AB, BC y CD los cuáles serán construidos por tres empresas diferentes. La empresa encargada del tramo AB determina que lo que se debe construir corresponde a 600 Hectómetros, la empresa encargada del tramo BC debe realizar 8000 Decámetros y la empresa encargada del tramo CD 120000 metros. La longitud total de esta nueva carretera expresada en Kilómetros es de: a) 1520 km b) 9800Km c) 260Km d) 152Km Solución: Tramo AB = 600 Hectómetros ÷ 10 = 60Km Tramo BC = 8000 Decámetros ÷ 100 = 80Km
+
Tramo CD = 120000 metros ÷ 1000 = 120Km Respuesta: Longitud total
260Km
Por lo tanto es la alternativa c
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APRENDIZAJE ESPERADO 2. Resuelven problemas contextualizados operando con adición y sustracción de vectores por métodos algebraicos y geométricos.
Criterio.1.5. Distingue una magnitud escalar de una vectorial. Cantidades físicas escalares: quedan definidas completamente cuando se proporciona su magnitud (el valor numérico y la unidad de medida usada en la medición). Por ejemplo: el volumen de un tanque de agua es de 1000 litros. -El área del terreno de una casa es 300 m2. -La temperatura de una persona con fiebre es 39 °C. Sabemos que las cantidades escalares se suman conforme a las reglas del álgebra. Por ejemplo: Si un tanque contiene: 2 m³ de agua, al aumentarle 5 m³ quedará con un total de: 2 m³ + 5 m³ = 7 m³ de agua. Cantidades físicas vectoriales: quedan totalmente definidas sólo cuando se conoce su magnitud, su dirección y su sentido. Por ejemplo: desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza. Ejemplo: Si un estudiante se encuentra situado en la intersección de las calles Freire con Membrillar (A) y desea trasladarse hasta Cuevas con Zañartu (B) puede hacerlo por distintos caminos. En la figura se muestra un trayecto. A Membrillar
Freire Germán Riesco AIEP
Cuevas
Zañartu
B
El estudiante realiza un cambio de posición (salió desde A y se dirigió a B). Este cambio de posición está definido por el segmento AB y se llama desplazamiento.
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Características de un Vector: -La longitud de la flecha representa el módulo o magnitud del vector. -La línea sobre la que se encuentra es la dirección del vector. -El sentido es el indicado por la flecha.
sentido
dirección
Módulo o magnitud
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Criterio.1.6. Opera la adición y sustracción de vectores por métodos algebraico y geométrico. Criterio.1.7. Realiza adición y sustracción de vectores por método geométrico. Criterio1.8. Resuelve problemas contextualizados relacionados con adición y sustracción de vectores. 1. Un topógrafo en un terreno rectangular realiza los siguientes desplazamientos al realizar mediciones: Desde el extremo SUR-ESTE camina 100m en dirección 30 grados NOR-ESTE, luego desde ese punto camina 150m hacia el NORTE, desde ese punto se desplaza 400m Oeste, y desde ese último punto se desplaza 120m 60 grados SUR DEL OESTE. Calcule el desplazamiento resultante y su gráfica. Solución: Gráfica
N
400m = C 60° 150m = B 120m= D O
E
dR A = 100m θ
30°
S
*Para resolver este tipo de problemas se puede ocupar el Método de la Tabla de las Componentes* VECTOR Σ desplazamientos en eje x Σ desplazamientos en eje y A Cos30° ∙ 100m Sen30°∙ 100m B 0m 150m C - 400 m 0m D - Cos60° ∙ 120m - Sen60° ∙ 120m Σ resultante en x ≈ - 373,4m 2
dR =
( -373,4m) + ( 96,1m) -1
θ = Tan
2
Σ resultante en y ≈ 96,1m
= 385,6m
96,1m = 14,43° -373,4m
Por lo tanto.
Respuesta 1: dR = 385,6m; 14,43° Nor-Oeste. Respuesta 2: dR = 385,6m; 165,57°. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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2. Calcule la fuerza resultante en el siguiente sistema de fuerzas. y F2=800N
F1=700N
70⁰
35⁰
x
68⁰
F3=80N
Solución: *Para resolver este ejercicio, debemos convenir en el signo de las componentes vectoriales de cada vector Fuerza*. Ejemplo: sí la componente horizontal de una fuerza va hacia la derecha en 90° con el eje Y, diremos que su signo es positivo. Entonces: (+) Ejemplo: sí la componente vertical de una fuerza va hacia arriba en 90° con el eje X, diremos que su signo es positivo. Entonces: (+)
Por lo tanto. Σ Fx = Cos35° ∙ 700N – Cos70° ∙ 800N + Cos68° ∙ 80N = 329,8N. Σ Fy = Sen35° ∙ 700N + Sen70° ∙ 800N – Sen68° ∙ 80N = 1079,1N.
FR = (329,8N)2 + (1079,1N)2
= 1128,37N y
1079,1N
FR
θ 329,8N
x
θ = Tan – 1 1079,1N = 73° 329,8 N Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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Por lo tanto. Respuesta: FR = 1128,37N; 73°
3. Dados los vectores del plano cartesiano: A(-3,4) , B(5, -4) y C(4,2). El vector resultante de la operación A + B – 2C es: a) (6,2) b) (8,4) c) (10,4) d) (-6,-4) Solución: -3+5 – 8 = -6 -3+5 -4 (-3,4) + (5,-4) – 2 · (4,2) = (-6,-4) -8
4 + -4 4 + -4 – 4= -4 Por lo tanto. Respuesta: El vector resultante es (-6,-4)
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4. Se tiene un sistema de tensores: Tensor T1 y T2, si suponemos que el sistema está en equilibrio, sabiendo que W= 2500N, y sin considerar las características del material de cada tensor (tipo de material y sección). ¿Cuál es la fuerza ejercida por cada uno de ellos? Observe el diagrama. Nota: para resolver este ejercicio debemos entender que si suponemos que el sistema está en equilibrio, significa que la sumatoria de las fuerzas en los dos ejes X e Y, deben ser igualadas a 0.
T1
T2 40 °
60°
W = 2500N
Solución:
T1
T2 40°
60°
W = 2500N
∑ Fx = 0
- Sen40° · T1 + Sen60° · T2 = 0 T2 = Sen40° · T1 Sen60°
∑Fy = 0
Cos40° · T1 + Cos60° · T2 - 2500N = 0 Cos40° · T1 + Cos60° · Sen40° · T1 = 2500N Sen60°
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T1 · Cos40° + Cos60° · Sen40°
= 2500N
Sen60°
T1 =
2500N Cos40° + Cos60° · Sen40° Sen60°
T1 = 2198,46N Por lo tanto T2 = Sen40° · 2198,46N = 1631,76N Sen60° Respuesta: T1 = 2198,46N T2 = 1631,76N
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APRENDIZAJE ESPERADO 3. Operan con conceptos básicos de la cinemática demostrando capacidad para representar situaciones en forma vectorial y para resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades.
Criterio 1.10. Reconoce e identifica los conceptos básicos de la cinemática en la resolución de problemas. Criterio 1.11. Grafica e interpreta gráficos de un MRU. Criterio 1.12. Grafica en interpreta gráficos de un movimiento parabólico. Criterio 1.13. Identifica el comportamiento de un MRU. La Mecánica básicamente comprende el estudio de los cuerpos materiales. El movimiento de los cuerpos, las causas de este movimiento, la energía de ellos, su momentum, entre otros son temas que aborda la mecánica. Cinemática, es una parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo provocan. *El concepto de movimiento es relativo* : Un cuerpo se encuentra en movimiento si al transcurrir el tiempo, su posición cambia respecto a otro cuerpo considerado arbitrariamente como fijo (sistema de referencia). Ejemplo:
Una persona sentada en una moto en movimiento se puede encontrar en reposo respecto a éste, pero en movimiento respecto a la superficie terrestre. Al contrario un árbol y una casa está en reposo respecto a la Tierra, pero en movimiento respecto a la moto.
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Rapidez Media: v = distancia total recorrida / tiempo transcurrido
v =x/t
Se puede usar cualquier combinación de unidades de distancia y tiempo para expresar una rapidez, por ejemplo: millas /h, km /h, cm /día, m /s. Ejemplo: 1. Un camión Mixer debe transportar una carga de Hormigón Normal (sin aditivos); la distancia a recorrer desde la salida de la planta hasta la llegada a obra es de 50Km, el tiempo máximo de transporte solicitado es de 50´( minutos). Si lo hace a una rapidez media (v) de 60Km/h cumple con el tiempo solicitado por la empresa. Por razones externas, recorre la mitad del camino a 50Km/h. ¿Con qué rapidez media debe recorrer la otra mitad del camino para cumplir con el tiempo estipulado? Solución:
A
B
Planta
C Obra
XAC = 50Km VAC= 60Km/h
TAC = x / v = 50/60 = 5/6h = 0,83h = 50 minutos.
XAB = 25Km VAB= 50Km/h
TAB = x / v = 25/50 = 1/2h = 0,5h = 30minutos.
XCB= 25Km TCB= TAC – TAB = 5/6h – 1/2h = 1/3h = 0,3h = 20 minutos. Por lo tanto
TCB= 1/3h = x / v
1/3h = 25Km / v
V = 25Km ∙ 3/h = 75 Km/h Respuesta: V = 75 Km/h, es la rapidez con la que debe realizar la otra mitad del trayecto. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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2. El gráfico describe el movimiento de un punto material en el intervalo 0, 5 Calcule:
(h).
a) Distancia total recorrida. b) Desplazamiento total. c) Rapidez media. d) Velocidad media. Solución: X(Km) 200 100 50 0 1
3
4
5
t(h)
Respuesta: a) Xt = 300Km. b) Δx = x(5) – x(0) = 100 – 0 = 100Km. c) v = x / t = 300/5 = 60Km/h. d) v = Δx / Δt = 100/5 = 20Km/h.
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3. Un camión que transporta una considerable carga de sacos de cemento, debe recorrer una distancia de 90 Km, entre el lugar de despacho y la obra, la rapidez media es de 18m/s. ¿Cuántas horas requiere para completar el trayecto?
Despacho
Obra 90Km
Solución: Para resolver este problema, primero debemos reconocer cuáles son los datos conocidos: Por ejemplo: se nos entrega la información sobre la cantidad de camino recorrido, que consideramos como X en la fórmula de la rapidez. También se nos entrega la rapidez media, que la consideramos como V en la fórmula. Por lo tanto: X= 90Km. y V= 18m/s. Ahora sí, debemos recordar que todas las magnitudes deben estar en la misma escala para poder operar con ellas, y como la pregunta del problema nos está pidiendo la respuesta en Horas, habrá que transformar la V= m/s a Km/Hrs. V=x/t V= 18m/s 18m : 1000 = 0,018Km = 18 · 10 – 3 Km 1(s) : 3600 ≈ 2,78 · 10 – 4 Hrs. Entonces, V = 18 · 10 – 3 Km / 2,78 · 10 – 4 Hrs V ≈ 64,75 Km / Hrs Por lo tanto: 64,75 Km / Hrs = 90Km / t t = 90Km / 64,75 Km / Hrs t ≈ 1,39 Hrs Respuesta: t ≈ 1,39 Hrs = 1hora con 23minutos y 23,86 segundos
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Velocidad Desde el punto de vista físico, la velocidad es la rapidez en una dirección y sentido determinado. Cuando viaja a 60 km/h, estamos indicando su rapidez. Pero si decimos que este auto viaja a 60 km/h hacia el norte, estamos especificando su velocidad. Por ejemplo: El instrumento en un camión que viaja al norte marca en un instante 65 km/h. El camión pasa frente a otro que viaja hacia el sur a 65 km/h. En este caso ellos tienen la misma rapidez (65 km/h), pero distinta velocidad, ya que se mueven en sentidos opuestos.
Velocidad: 65Km/hr, hacia el Norte
Velocidad: 65Km/hr, hacia el Norte
Distinta velocidad, pero la misma rapidez Nota: Si la rapidez o la dirección (o ambas) cambian, la velocidad cambia. Por ejemplo, al dejar caer verticalmente un cuerpo, su dirección no cambia (pero aumenta la rapidez, entonces cambia su velocidad). Si un cuerpo se mueve con rapidez constante a lo largo de una trayectoria curva, su velocidad no es constante porque su dirección está cambiando en cada instante.
Rapidez: si el objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo. Rapidez media: distancia recorrida / tiempo transcurrido. V= x / t ( donde x = distancia recorrida y t = tiempo). RECORDAR: Rapidez ≠ Velocidad. Velocidad media: desplazamiento / tiempo transcurrido.
Aceleración Se entiende como aceleración a una magnitud vectorial que indica la variación de la velocidad de un móvil en el tiempo, esta variación puede ser en magnitud, dirección y/o sentido.
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Aceleración Media Es el cociente entre la variación del vector velocidad y el tiempo que el móvil emplea en ello. Equivalentemente corresponde al cambio de velocidad experimentado por unidad de tiempo. a media = Vf – Vi Δt a) Si la rapidez está aumentando uniformemente con el tiempo, es decir vf > vi, la aceleración es positiva y el movimiento se llama acelerado. b) Si la rapidez disminuye uniformemente a través del tiempo, de modo que vf < vi, la aceleración es negativa y el movimiento se llama retardado. c) Si la rapidez se mantiene constante en magnitud y en dirección, es decir vf = vi, la aceleración es cero y el movimiento se llama rectilíneo uniforme (velocidad constante).
4. Suponga que un camión mixer moviéndose en un trayecto recto lleva en un instante una rapidez de 36 km/hr, y luego de 10 (s) su rapidez resulta ser 72 km/h. Calcular la aceleración. Solución: Suponemos que al ser la aceleración constante, en lugar de hablar de aceleración media simplemente hablamos de aceleración. Para calcular la aceleración, debemos expresar la rapidez siempre en m/s. Para transformar de km/h a m/s, basta dividir por el factor 3,6; por lo tanto: vi = 36 km/h : 3,6 = 10 m/s vf = 72 km/h : 3,6 = 20 m/s Δv = 20 m/s - 10 m/s = 10 m/s Considere que el intervalo de tiempo en el cuál se produce esta variación es: Δt = 10 seg
Respuesta: a = Δv / Δt = 10 m/s / 10 seg = 1 m/s2 Esto significa que la rapidez del auto aumenta 1 m/s en cada segundo.
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Tabla de fórmulas
am = variación de rapidez = ( vf - vi) = Δv intervalo de tiempo
( tf- ti )
= vf - vi
Δt
t
V = x / t (donde x = distancia recorrida y t = tiempo)
Velocidad media: desplazamiento / tiempo transcurrido: V = D / t
V f = vi + at
V = vf + vi 2
X = vf + vi
· t
2
X = VT = vf + vi
·t
2
X=
(vi + at ) + vi · t 2
X= vi t + 1/2 · at ²
X= vf t - 1/2 · at ²
2ax = vf ² - vi ² Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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5. Supongamos que el siguiente camión viaja a 15m/s y frena hasta llegar al reposo en una distancia de 10 metros. Determinemos la aceleración y el tiempo necesario para detenerlo. Supongamos que el movimiento es a lo largo del eje X y que la aceleración es constante.
Razonamiento: Pregunta: ¿Qué información tengo? , ¿Cómo debo interpretar las palabras? Respuesta: 1. Viaja a 15m/s; 2. Llega al reposo;
significa vi = 15m/s indica vf = 0m/s
3. En una distancia de 10m; quiere decir que el cambio de velocidad (con aceleración constante) se lleva a cabo en una distancia de 10m. Pregunta: ¿Qué debo encontrar? Respuesta: La aceleración a y el tiempo t necesario para detener el camión. Pregunta: ¿Cómo puedo calcular t? Respuesta: No tenemos ninguna fórmula para este valor. Pero tenemos relaciones entre las distintas cantidades empleadas para describir el movimiento. Algunas de estas relaciones comprenden t. Podemos ocupar la siguiente ecuación: x = v · t, despejando t = x / v Pregunta: ¿Cómo determinamos v a partir de lo que tenemos? Respuesta: Con la siguiente ecuación: V = vf + vi 2
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Solución: v = vf + vi
= 0m/s + 15m/s
2
= 7,5m/s.
2
Entonces el tiempo necesario para que el camión se detenga es: t = x / v = 10(m) / 7,5(m/s) ≈ 1,33s Como ya conocemos el valor de t, podemos calcular la aceleración a: a=
vf - vi
= 0m/s – 15m/s
t
= - 11,28m/s2
1,33s
Respuesta: t = 1,33s a = -11,28m/s2
6. Una camioneta se mueve a 60Km/hr cuando comienza a frenar con desaceleración de 1,5m/s2. ¿Cuánto tardará en viajar 70m a partir del momento en que comienza a frenar? Solución: Primero debemos transformar los 60Km/hr a m/s. 60 : 3,6 = 16,7m/s. Ahora debemos hallar vf: vf ² = vi ² + 2ax = (16,7m/s)2 + 2( -1,5m/s2)( 70m) vf ² = 69m2/s2 / · √ vf = ± 8,3m/s Nos interesa el movimiento hacia la derecha, así que se elige vf = 8,3m/s. t = (vf – vi) / a =( 8,3m/s – (+16,7m/s)) / (-1,5m/s2) t = 5,6s. Respuesta: t = 5,6s.
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Cuerpos en Caída Libre y Lanzamiento de Proyectiles La magnitud de la aceleración, cuando un cuerpo cae libremente es g = 9,8 m/s², su dirección es vertical y su sentido hacia el centro de la tierra. Por eso en forma vectorial se expresa como: g = - 9,8 m/s² Este valor significa que cuando un cuerpo cae libremente, su velocidad aumenta 9,8 m/s en cada segundo, es decir: A los 1 seg de caída, su velocidad es 9,8 m/s (35 km/h); A los 2 seg de caída su velocidad es 19,6 m/s (71 km/h); A los 3 seg de caída su velocidad es 29,4 m/ s (105 km/h); Si el cuerpo es lanzado en dirección vertical hacia arriba, su velocidad disminuye 9,8 m/s en cada lapso de 1 seg. Por lo tanto: Al lanzar un cuerpo hacia arriba, en ausencia del roce con el aire, el tiempo empleado en subir al punto más alto es el mismo tiempo empleado en bajar al punto de lanzamiento. Para estudiar el movimiento de caída libre, haremos uso de las mismas ecuaciones anteriores porque este es un movimiento con aceleración constante. Lo único, es que se desarrolla en la dirección vertical, luego debemos cambiar x por y, teniendo presenta que la aceleración es a = - g. Tabla de fórmulas
y=
vf + vi
∙t
x = vi · xt
2 vf = vi + gt
vx = vi · x
y = vi · t + ½ gt ²
x = vi · t
y = vf · t – 1/2gt ²
x = vi · xt
2gy = vf ² - vi ²
ax = 0
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La figura que se muestra representa la trayectoria de un proyectil que es una línea curva. Escogemos como origen de nuestras coordenadas de referencia al punto en que el proyectil comienza su movimiento; por ejemplo es el punto donde la pelota abandona la mano de quién la lanza. Su velocidad inicial es v₀ que forma un ángulo α con la horizontal. NOTA: Vo = Vi
Las componentes de la velocidad son: Horizontal: vx = v₀ cos α Vertical: vy = v₀ sen α Posición: x = x₀ + vx ∙ t Para la velocidad: vy = v₀ sen α – gt Para la posición: y = y₀ + v₀ sen α ∙ t – 1/2 gt² La magnitud de la resultante en cualquier instante en función de sus componentes es: V=
(vx) ² + (vy)
El ángulo θ que forma la velocidad v con la dirección x en cualquier instante y en función de los módulos de las velocidades componentes, está dado por la relación trigonométrica: tg θ = vy / vx Para obtener la ecuación de la trayectoria de un proyectil, vale decir la altura Y en función de la distancia horizontal X, se relacionan las ecuaciones: X = x₀ + vx ∙t y = (tanθo) · x –
con
y = y₀ + v₀y ∙t - ½∙gt² g
· x2
2v2o cos2 θo
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7. Se dispara una flecha con velocidad de 30m/s a un ángulo de 37º sobre la horizontal. La flecha parte de un punto a 2m sobre el suelo y a 15m de una pared. 1) ¿A qué altura sobre el suelo hace contacto la flecha con la pared? 2) ¿Viaja aún hacia arriba cuando la golpea o ya desciende? Ignoremos la fricción con el aire.
18m/s
30m/s
37° 24m/s 2m 15m
Razonamiento: Pregunta: ¿Cómo se traduce la pregunta 1 a los términos usados en las ecuaciones de movimiento? Respuesta: La pregunta es, *¿cuál es el valor de y (a qué altura) cuando x= 15m (donde está la pared)*? Pregunta: ¿Es aplicable la ecuación de trayectoria? Respuesta: No. Esta ecuación se ocupa cuando el punto de impacto está en el mismo nivel que el punto inicial del movimiento. Pregunta: ¿Qué nivel debo usar para y = 0? Respuesta: La elección es arbitraria y podría usar el suelo o el nivel del punto de lanzamiento. Pregunta: ¿Cuáles son las cantidades conocidas? Respuesta: V0= 30m/s; g = -9,8m/s2; θ0 = 37°; y0 = 0; suponiendo que eligió el punto de lanzamiento como nivel de referencia. Pregunta: ¿Cómo puedo relacionar y con x sin la ecuación de trayectoria? Respuesta: Por medio de la variable de tiempo. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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Pregunta: ¿Qué condición determina el tiempo que tarda la flecha en golpear la pared? Respuesta: Usando la ecuación que relaciona x con t; x = (v0· cos37°) · t, para hallar t cuando x = 15m. El valor de y en ese instante será la altura a la cual golpea la flecha. Pregunta: ¿Cuál es la relación entre t e y en este caso? Respuesta:
y = (v0· sen37°) · t – (4,9m/s2) · t2
Pregunta: ¿Qué nos indica si la flecha va hacia arriba o hacia abajo en ese instante? Respuesta: El signo de vy en ese instante. Si vy es positivo, la flecha va hacia arriba; si vy es negativo, va hacia abajo. Pregunta: ¿Qué relaciona vy con el tiempo? Respuesta:
vy = v0· sen37° - (9,8m/s2) · t
Solución y análisis: 1. El tiempo que transcurre antes del impacto con la pared es: t =
x v0· cos37°
=
15m
= 0,625s = t
30m/s · 0,8
2. El valor de y en este instante es: y = (30m/s)(0,6)(0,625s) – (4,9m/s2)(0,625s)2 y = 9,3m 3. La componente vertical de la velocidad en este instante es: vy = (30m/s)(0,6) – (9,8m/s2)(0.625s) vy = 11,9m/s
Respuestas al problema: 1) ¿A qué altura sobre el suelo hace contacto la flecha con la pared? R: A 9,3m por encima del punto de lanzamiento. 2)¿Viaja aún hacia arriba cuando la golpea o ya desciende?. Ignoremos la fricción con el aire. R: Dado el resultado vy = 11,9m/s; La flecha golpea la pared cuando aún va hacia arriba, antes de llegar al punto más alto de su vuelo. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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APRENDIZAJE ESPERADO 4. Operan con conceptos básicos de la dinámica, demostrando capacidad para representar situaciones en forma vectorial y para resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades.
Criterio 1.15. Identifica el concepto de Fuerza y lo reconocen en el contexto de la vida cotidiana. Criterio 1.16. Identifica situaciones de equilibrio de fuerzas y analizan los efectos que ellas producen. Criterio 1.17. Utiliza los principios de Newton para resolver problemas sencillos asociados a las fuerzas de movimiento. Criterio 1.18. Identifica en una situación dinámica las fuerzas Mecánicas (peso, normal, tensión, roce) y las representan vectorialmente. Criterio 1.19. Reconoce que el peso y la masa son dos conceptos diferentes.
En la vida diaria se utiliza muchas veces, términos que desde el punto de vista físico, no tiene el mismo significado. Uno de ellos es el término “fuerza“, que aunque resulta claro para físicos e ingenieros, no tiene igual significado para la mayoría de la gente. Aunque tomamos conciencia de que, hay fuerzas que actúan sobre nuestro cuerpo al ser impactado por un objeto, desconocemos la importancia que juegan las fuerzas, por ejemplo en la estabilidad de nuestro cuerpo, en la circulación de la sangre, en la respiración, o aún más sutilmente en la permanencia de un átomo o una molécula en un lugar determinado de nuestro cuerpo. En rigor desde el punto de vista físico, se debería definir operacionalmente una fuerza describiendo las operaciones que se requieren para medirla. Dado que procedimientos de este tipo podrían oscurecer más que aclarar, a este nivel, las características relevantes del concepto “fuerza”, partiremos considerándolo como un concepto primario resaltando algunas de sus características. Al empujar un objeto cualquiera, por ejemplo un auto, o al levantar un mueble manteniéndolo en el aire, se dice que se está ejerciendo una fuerza. Podemos observar que siempre que hay presencia de fuerzas, intervienen dos objetos materiales: uno que la ejerce y el otro que la recibe.
Más que una acción es una interacción Por ejemplo: el Análisis estructural es la parte de la Mecánica que estudia las estructuras, consistiendo este estudio en la determinación de los esfuerzos y deformaciones a que quedan sometidas, *por la acción de agentes externos*, (fuerzas gravitatorias, fuerzas sísmicas, fuerzas de viento, entre otras).
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Una estructura debe entenderse como un cuerpo estático (o un grupo de cuerpos estáticos interactuantes) pensado fundamentalmente como un objeto transmisor de fuerzas. Ejemplo: La cercha para cubierta de una vivienda.
Es una estructura diseñada para trabajar a la Flexión.
Ejemplo: Los Arcos
Es una estructura diseñada para trabajar a la compresión.
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Ejemplo: Estructuras a base de barras articuladas * Armaduras*(Vigas de celosía o reticulada).
Planta industrial, cultivos marinos. Chiloé, Chile. En la foto se puede apreciar un pequeño esquema de la distribución de fuerzas (representado a través de vectores), en el sistema de montaje de la viga de celosía; el sistema en sí se mantiene en un equilibrio, (todas las partes incluidos los trabajadores en sus andamios). Podemos establecer que si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, el objeto B ejerce simultáneamente una fuerza sobre el cuerpo A. Este hecho es conocido como la tercera ley de Newton. El concepto fuerza se representa como una cantidad física vectorial. La fuerza no es propiedad de un cuerpo, es decir nada ni nadie posee fuerza, sólo se puede ejercer o aplicar.
Fuerza Gravitatoria. Toda partícula material, del universo ejerce una fuerza de atracción gravitacional sobre cualquier otra partícula material. Su magnitud, depende de la masa de ambas partículas, de la distancia de separación entre ellas y su dirección está a lo largo de la recta que une sus centros.
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Primera Ley de Movimiento de Newton Un objeto en reposo permanecerá en reposo si actúa sobre él una fuerza resultante igual a cero. Un objeto en movimiento seguirá moviéndose a velocidad constante si la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre el objeto es cero. F neta =1N
a=1m/s²
1kg
INERCIA
Y
MASA
concepto cuantitativo de la inercia (resistencia del objeto)
Es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a seguir en movimiento La Segunda Ley del Movimiento. La segunda ley del movimiento de newton describe cómo la masa de un objeto determina la forma en que reacciona el objeto cuando la fuerza neta que actúa sobre él es distinta a cero.
F₀
a =a₀
2F₀
a =2a₀
3F₀ a =3a₀ F es proporcional a a si la masa es constante.
F₀
2F₀
a =a₀
a =a₀
3F₀ a=a₀ F es proporcional la masa si a es constante
Una fuerza neta de un newton es la fuerza que da, a una masa de un kilógramo una aceleración de un metro por segundo cada segundo. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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Tabla de conversión:
1N = 1Kg · 1m/s²= 1Kg·m/s² 1 dina = 10 ¯⁵ N. 1libra = 4,4482 N.
1. Un Montacargas Toyota FG35 de 7000 lb, debe acelerar del reposo a 10m/s en 8s, a lo largo de un camino recto.¿ cuál es la fuerza que se requiere para hacerlo?.
Solución: Primero debemos calcular la masa en Kg. 1 Lb
0,454Kg
7000Lb
xKg
X = 3178 Kg. Ahora sabiendo que vi = 0m/s y que vf = 10m/s, y que el tiempo en lograr esa velocidad es de t = 8s Calculamos la aceleración del montacargas: a = vf – vi ∆t
= 10m/s – 0m/s
= 1,25m/s2
8s
Por lo tanto, ahora podemos calcular la fuerza que requiere para lograrlo: F=m∙a F = 3178 Kg ∙ 1,25m/s2 = 3972,5Kg∙ m/s2 Respuesta: F= 3972,5N
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2. Suponga que una persona tira del carro con una fuerza de 25N, como se ve en la figura, como resultado de esta acción, el carro se acelera horizontalmente. La masa del carro es de 10,4 Kg y la fuerza descendente, que la gravedad ejerce sobre el carro, o sea su peso, es de 102N. Suponga que no hay fricción que se oponga al movimiento del carro. Calcule la aceleración del carro y la fuerza de compresión ascendente P (fuerza normal), que el suelo ejerce sobre el carro en estas condiciones.
Razonamiento: Pregunta: Las fuerzas sobre el carro se identifican en el diagrama de cuerpo libre ¿Cómo sé que hay una fuerza de compresión P? Respuesta: Si el movimiento del carro sólo es horizontal, ay debe ser cero y las fuerzas verticales deben sumar cero. Es fácil ver que la componente ascendente de la fuerza ejercida por la persona no es suficiente para oponerse al peso de 102N, por ende, el suelo debe suministrar la fuerza adicional necesaria, pues de lo contrario el carro se aceleraría verticalmente. Pregunta: ¿Cuál es la ecuación que relaciona las componentes de la fuerza vertical? Respuesta: P + (25N)(sen37°) – 102N = 0 Pregunta: ¿Qué determina la aceleración horizontal? Respuesta: La fuerza horizontal neta, que es (25N)(cos37°) = 20N
Solución y análisis: La aceleración es: ax = (Fneta)x = m
20N
= 1,92m/s2
10,4Kg
La fuerza de comprensión ascendente es: P = 102N – (25N)( sen37°) = 87N
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La Tercera Ley de Newton Principio de acción y reacción Si un objeto a ejerce una fuerza F sobre un objeto B, entonces el objeto B ejerce una fuerza -F sobre el objeto A, de igual magnitud y dirección que F pero en sentido opuesto.
En la estructura la suma de la carga vertical descendente (acción) es igual a la reacción que se produce en el apoyo (empotrado), lo cual deriva en un equilibrio. EL PESO ( w ) = el peso de un objeto es la fuerza que la gravedad ejerce sobre el objeto. F=w=m∙g Donde el peso es proporcional a la masa. Es muy importante ver que, aunque la masa y el peso de un objeto están relacionados, son propiedades físicas diferentes. El peso es una fuerza, mientras que la masa es una de las dimensiones fundamentales.
3. ¿Cuál es el peso de una masa de 5,25 Kg?, ¿Cuál es la masa de un objeto que pesa 14,6N?; supongamos que g= 9,8m/s² en ambos casos. Razonamiento: Puesto que W = m ∙ g, el peso de una masa de 5,25Kg es: W = (5,25Kg)(9,8m/s2) = 51,5N. Podemos acomodar la ecuación W = m ∙ g al peso de 14,6N es: m = 14,6N
m = W/g; así la masa correspondiente
= 1,49Kg.
9,8m/s2 Respuesta: W = 51,5N y m = 1,49Kg. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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4. Un perfil I 18 -18 de acero estructural, cuya masa es de 5,41kg por cada metro lineal, su longitud total es de 5 metros; está simplemente apoyada en sus extremos y se somete a una carga concentrada de masa = 15Kg, en la mitad de su longitud. Calcule el valor de las reacciones en los apoyos, considerando el peso total de la viga. m = 15Kg
Ray
5m
Rby
Solución: Primero vamos a calcular la masa total concentrada del perfil de acero, que se ubicará en el centro de gravedad del mismo (en la mitad de su longitud). Masa TOTAL PERFIL = 5,41Kg/m ∙ 5m Masa TOTAL PERFIL = 27,05Kg Ahora calculamos el valor del peso total del perfil: WPERFIL = 27,05Kg ∙ 9,8m/s2 WPERFIL = 265,09N A continuación vamos a calcular el W de la carga concentrada, cuya masa= 15 Kg. WCARGA = 15Kg ∙ 9,8m/s2 WCARGA = 147N Como se consideran ambos W en la mitad de la longitud del perfil, podemos entablar la siguiente relación: Ray = Rby = R Por lo tanto: Escribimos una ecuación de equilibrio para el eje Y. Donde: ∑ Fy = 0
2R – 265,09N – 147N = 0 2R = 412,09N R = 412,09N 2 R = 206,045N
Respuesta: Ray = 206,045N y
Rby = 206,045N
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Fuerzas de fricción Cuando un cuerpo está en movimiento sobre una superficie áspera, o cuando un objeto se mueve a través de un medio viscoso como el aire o agua, existe una resistencia al movimiento debido a la interacción del objeto con el medio que lo rodea. A esta resistencia se le conoce como fuerza de fricción o de rozamiento. Su dirección y sentido es tal que siempre se opone al sentido del movimiento del objeto. Los experimentos indican que esta fuerza proviene de la aspereza de las dos superficies, de tal modo que el contacto se realiza sólo en unos cuántos puntos de las superficies. A B Dos superficies A y B por suave que parezcan al tacto, tienen irregularidades que pueden ser vistas mediante un microscopio
Supongamos un bloque en reposo sobre la superficie de la mesa. Las fuerzas que actúan sobre él son: FC
W W: la acción de la Tierra sobre el cuerpo FC: acción ejercida por la superficie de la mesa sobre el bloque.
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Al tratar de deslizar el bloque, aplicando una fuerza T, la fuerza FC ejercida por la superficie sobre el bloque se inclina hacia la izquierda dando origen a dos componentes rectangulares: F
N
f
T
W Una componente paralela a la superficie, “f” llamada fuerza de roce, y una perpendicular a la superficie llamada normal N. Si se aumenta gradualmente el valor de T, mientras su valor no sea grande el bloque permanece en reposo y se habla de fuerza de roce estático (fc). Si T se incrementa y alcanza un valor mayor de fc, el bloque comienza a moverse y se habla de fuerza de roce cinético (fk). Para dos superficies dadas su valor es proporcional a la fuerza normal N, es decir: fc (max) = cte · FN Es independiente del área de la superficie de contacto, esto es, si se divide un bloque por la mitad y se coloca una pieza sobre la otra, el valor fc (max) sigue siendo el mismo. La constante de proporcionalidad entre fc (max) y FN, recibe el nombre de coeficiente de roce estático (us), y su valor depende de la naturaleza de las superficies de contacto, su limpieza, humedad, lisura, etc. Entonces la expresión para la fuerza de roce estático es: fc≤ us · FN La igualdad ( fc= us ·FN ) se establece cuando el objeto está a punto de moverse.
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5. Un albañil empuja una caja de herramientas que pesa 500N, con una fuerza F dirigida 30° debajo de la horizontal.
30°
F
a) ¿Cuál debe ser el valor de F para que la caja comience a deslizarse? b) Si mantiene esa fuerza una vez que comience el deslizamiento de la caja, ¿cuál será la aceleración? Supongamos que la caja y el piso son de madera donde: µs = 0,7(coef.de roce estático) y µk = 0,4(coef.de roce cinético). Razonamiento parte a): Pregunta: ¿En qué condición comenzará a deslizarse la caja? Respuesta: Cuando se aplique una fuerza horizontal igual a la fuerza crítica de la fricción estática, fc. Pregunta: ¿Qué debo conocer para calcular fc? Respuesta: fc = µsFN ; µs = 0,7 Pregunta: ¿Qué principio determina FN? Respuesta: La componente vertical de la aceleración es cero, así que, por la segunda ley de Newton, se requiere que ∑Fy = 0. Tenemos que observar que hay dos fuerzas descendentes y que FN ascendente. Esta ecuación nos permitirá calcular FN. Pregunta: ¿Cuál es la apariencia del diagrama de cuerpo libre? Respuesta: f = fc cuando la caja empieza a deslizarse. Fcos30° 30° Fsen30° F W = 500N f FN
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Pregunta: ¿Cuál es la condición de las fuerzas horizontales para que la caja se deslice? Respuesta: Fcos 30° ≥ fc = (0,7)·FN Solución y análisis: Tenemos dos ecuaciones simultáneas con las incógnitas F y FN . Primero despejamos FN en función de F: FN = W + F sen30° Observemos que el piso tiene que soportar más que el peso. De acuerdo con la Tercera Ley de Newton, esta cantidad de fuerza es la que se ejerce contra el piso. Al sustituir la expresión de FN en la ecuación de fuerza horizontal obtenemos: Fcos30° = (0,7)(Fsen30° + 500N) Agrupando términos: F( Cos30° - 0,7(sen30°)) = 0,7(500N) F(0,866 – 0,35) = 350N F = 350N
= 678N
0,516N Entonces ahora podemos calcular FN: FN = F sen30° + W = (678N)(0,5) + 500N FN = 839N Podemos verificar la igualdad de las fuerzas horizontales: Fcos30° = (678N)(0,866) = 587N fc = µs FN = 0,7(839N) = 587N Razonamiento parte b): Pregunta: ¿Por qué se acelera la caja? Respuesta: Por qué, una vez que la caja comience a moverse, la fricción se reduce a fk = µk FN. Si el albañil sigue aplicando la fuerza que acabamos de calcular, existirá una fuerza horizontal neta. Pregunta: ¿Cambiará FN? Respuesta: FN = Fsen30° + W. No cambia. Pregunta: ¿Cuál será la fuerza horizontal neta? Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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Respuesta: 587N – (0,4)(839N) = 587N – 336N = 251N Pregunta: ¿Qué principio determina la aceleración? Respuesta: La Segunda Ley de Newton. a = Fneta / m, donde m es la masa de la caja. Pregunta: ¿Cuál es el de m? Respuesta: La masa se relaciona con el peso a través de la expresión W = mg, o m = W/g. En este caso, m = (500N) / (9,8m/s2) = 51Kg
Solución y análisis: Al sustituir los valores numéricos se obtiene a = (251N) / (51Kg) = 4,92m/s2 a = 4,92m/s2
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APRENDIZAJE ESPERADO 5. Operan con conceptos básicos de la energía mecánica, demostrando capacidad para representar situaciones en forma vectorial y para resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades. Criterio 1.20. Identifica con ejemplos cotidianos, cuando se realiza un trabajo mecánico. Criterio 1.21. Resuelve problemas de aplicación relativo a Ec y Ep. Criterio 1.22. Identifica cómo se manifiesta la energía mecánica en diferentes situaciones de la vida diaria aplicando el principio de Conservación de la Energía Mecánica. Trabajo Mecánico Considere un cuerpo que es arrastrado sobre una mesa horizontal, sometido a la acción de una fuerza F. Suponga que la magnitud de F es constante y que el cuerpo tenga un desplazamiento d. Siendo θ el ángulo entre la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento, se define el trabajo realizado por la fuerza como: T = F · d = F · d · cosθ F θ d La unidad de medida nace de la definición, es el producto entre una unidad de fuerza y una unidad de longitud, en el S.I. se tiene: 1 N · 1 m = 1 Joule = 1 J Entonces, al levantar una naranja que pesa aproximadamente 1 N hasta una altura h de 1 m, con velocidad constante, la fuerza aplicada sobre la manzana realiza un trabajo de 1Joule. a) En la ecuación que determina el trabajo, F es la magnitud de la fuerza y d es la magnitud del desplazamiento, por lo tanto el trabajo es una cantidad física escalar. b) Observemos que si una fuerza se aplica a un cuerpo y éste no sufre desplazamiento (d = 0), el trabajo de esta fuerza es nulo. Entonces, cuando una persona sostiene un objeto sin desplazarlo, no está realizando trabajo desde el punto de vista físico (trabajo mecánico).
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Trabajo de la Fuerza Resultante El trabajo total (T) realizado por la resultante de un sistema de fuerzas F1, F2, F3, etc, que actúan sobre un cuerpo es igual a la suma algebraica de los trabajos T1, T2, T3, efectuados por cada una de las fuerzas, es decir: T = T1 + T2 + T3
1. Sobre el bloque que se mueve horizontalmente a la derecha (desde A hasta B) actúan las fuerzas que se indican: F2 F4
F1
A
B F3
F1 = 2 · 10 - 4 N en la dirección del desplazamiento del bloque (θ = 0o). F2 = 4 · 10 - 4 N formando un ángulo θ = 30° con el desplazamiento. F3 = 2 · 10 - 4 N perpendicular al desplazamiento θ = 90°. F4 = 5 · 10 - 4 N en sentido contrario al desplazamiento θ = 180°. Si el bloque fue arrastrado una distancia d = 2m, desde A hasta B, se pide: a) Calcular el trabajo total realizado por cada una de las fuerzas: Solución: T1 = 2 · 10 - 4 N · 2m · cos0° = 4 · 10 - 4 J T2 = 4 · 10 - 4 N · 2m · cos30°= 6,9 · 10 - 4 J T3 = 2 · 10 - 4 N · 2m · cos90°= 0 J T4 = 5 · 10 - 4 N · 2m · cos180°= - 1 · 10 - 4 J b) Determine el trabajo total realizado por las fuerzas sobre el bloque: Solución: T = 4 · 10 - 4 J + 6,9 · 10 - 4 J + 0 J + - 1 · 10 - 4 J Respuesta: T = 0,9 · 10 - 4 J
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Potencia (Rapidez de trabajo) Entre dos máquinas que realizan el mismo trabajo con la misma perfección , siempre preferimos la más rápida. La Potencia mide la rapidez con la que se realiza un trabajo. Su ecuación es:
Potencia =
Trabajo realizado Tiempo necesario para efectuar el trabajo
P=W/t 1 Watt = 1 Joule s 2. Una persona sube con velocidad constante un cuerpo de 20 kg hasta una altura de 3,0 m empleando un tiempo de 10s en efectuar esta operación. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza F que la persona debe efectuar para que el cuerpo suba con velocidad constante? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza que ejerce la persona?
Solución: a) Si el movimiento de subida se efectúa con velocidad constante la resultante de las fuerzas sobre el cuerpo debe ser cero, por lo tanto: Consideraremos g = 10m/s2 La fuerza F ejercida por la persona debe ser igual y opuesta al peso P del cuerpo: F = mg = 20Kg · 10m/s2 = 200 N Respuesta: F = 200 N Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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b) Ya sabemos que T = F · d · cosθ, en este caso F es la fuerza ejercida por la persona que se transmite a través de la cuerda hasta el cuerpo, actuando sobre él en dirección vertical hacia arriba. Por lo tanto: T = F · d · cos θ = 200N · 3m · cos 0° = 600 J Respuesta: T = 600 J ¿Cuál será la Potencia desarrollada? Solución: P=W/t P = 600J / 10s = 60W Respuesta: P = 60W
Energía En la Física el concepto suele introducirse diciendo que “la energía representa la capacidad de realizar trabajo”. Un cuerpo o sistema de cuerpos puede intercambiar energía con otro u otros cuerpos, y el mecanismo por el cual se realiza este intercambio es el trabajo. Como la energía se puede relacionar con el trabajo, también es una cantidad física escalar y se mide con las mismas unidades de medida que el trabajo. Por lo tanto, en el sistema S.I., la energía se mide en Joule (J). Energía Cinética Cualquier cuerpo en movimiento tiene capacidad de intercambiar energía a través del trabajo. Por lo tanto un cuerpo en movimiento posee energía, que se llama energía cinética.(Ec) Una pelota en movimiento puede romper una ventana, un martillo que cae puede clavar un clavo, una piedra lanzada hacia arriba puede elevarse contra la fuerza de la gravitación, son algunos ejemplos de objetos que tienen la capacidad para realizar trabajo. Ec = ½ ·mv2 En consecuencia, Ec depende directamente del cuadrado de la velocidad. Por ejemplo, si la velocidad del cuerpo aumenta el doble, entonces Ec aumentará cuatro veces. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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3. El bloque tiene una masa de 4 kg y lleva una rapidez de 2m/s: a) ¿Cuál es la energía cinética que posee? b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el bloque al chocar contra el resorte hasta detenerse? m
v
V =0
a) Solución: Ec = ½ ·mv2 Ec = ½ · 4Kg · (2m/s)2 = 8Joule Respuesta: Ec = 8J b) Solución: Aún cuando no se conozca la fuerza que el bloque ejerce sobre el resorte ni la distancia que recorre hasta detenerse, podemos calcular el trabajo que realiza, pues dicho trabajo es igual a la energía cinética que posee el bloque antes de chocar. Respuesta: Luego, el trabajo efectuado por el cuerpo al comprimir el resorte hasta detenerse es 8J.
Energía Potencial Gravitacional Ya hemos visto que algunos objetos pueden realizar trabajo gracias a su movimiento; tienen energía cinética. Otros objetos pueden realizar trabajo por su posición o su configuración y se dice que estos objetos tienen energía potencial. Energía Potencial Gravitacional (EPG) = mgh *La energía potencial gravitacional no se define en términos absolutos; más bien, depende de la posición vertical que se use como referencia*.
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4. Supongamos que usted está en una habitación que mide 3m de piso a cielo. La superficie de una mesa está 1,10m sobre el piso y sobre la mesa hay un saco de harina de 2,27Kg. 1) ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del saco con respecto a?: a. El piso. b. La superficie de la mesa. c. El cielo. Razonamiento: El peso del saco es mg = 22,2N en todos los casos. Las posiciones verticales relativas a los niveles de referencia son: ha = 1,10m
hb = 0m
hc = -1,90m
Los valores de la EPG son: a. mgha = (22,2N)(1,10m) = 24,4J b. mghb= 0 c. mghc= (22,2N)(-1,90m) = - 42,2J 2) Si movemos el saco de harina de la mesa al piso, ¿cuál es el cambio en su EPG con respecto a los tres niveles de referencia de la parte 1? Razonamiento: En términos generales, puesto que mg es constante, ΔEPG = Δ(mgh) = mg Δh Δh = - 1,10m en los tres casos. Entonces, ΔEPG = (22,2N)(-1,10m) = -24,4 J Los cambios específicos en cada caso son: a. ΔEPG = 0 – (+24,4J) = - 24,4J b. ΔEPG = -24,4J – 0 = - 24,4J c. ΔEPG = -66,6J – (- 42,2J) = - 24,4J Respuesta: Por lo tanto, el cambio en la EPG no depende del nivel de referencia que se escoja. Son estos cambios los que tienen relevancia física.
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UNIDAD 2: Estática de los cuerpos APRENDIZAJE ESPERADO 6. Operan con conceptos básicos de estática de los cuerpos, demostrando capacidad para plantear y resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades. Criterio 2.1. Identifica el torque y cómo se relaciona con el equilibrio. Criterio 2.2. Identifica el centro de gravedad de diferentes cuerpos, regulares e irregulares. Criterio 2.3. Identifica la primera condición de equilibrio. Criterio 2.4. Identifica el estado de equilibrio estático de un cuerpo rígido. Criterio 2.5. Resuelve problemas sencillos relacionados con estática de los cuerpos, aplicando correctamente magnitudes y unidades Un área importante de la física tiene que ver con los objetos y los sistemas en reposo. Esta rama de la física, llamada Estática, es fundamental para aquellos que diseñan, calculan, y construyen puentes, edificios y otras estructuras de cuya estabilidad dependemos. Vamos a entender que es necesario satisfacer dos condiciones básicas para que un objeto permanezca en reposo.
Puente de Forth Road (1964). Escocia
Puente de Brooklyn (1883) Nueva York. EEUU.
*Un puente suspendido depende de que todas las fuerzas que actúan sobre él estén en Equilibrio Estático*. Se dice que un objeto está en Equilibrio Estático cuando está en reposo y permanece en reposo. Hay dos condiciones para el equilibrio, la primera de las cuales podemos derivar de la Segunda Ley de Newton. Un objeto en reposo es una caso específico de la velocidad constante, cero, para ser precisos. Por lo tanto, un objeto en reposo no tiene aceleración y tanto la Primera como la Segunda Ley de Newton nos indican que la fuerza neta que actúa sobre el objeto debe ser cero. Ésta es la Primera Condición de Equilibrio: Primera Condición de Equilibrio: Para que un objeto esté en equilibrio, la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero. Ésta Primera Condición de Equilibrio, se conoce como Equilibrio Traslacional. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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Existe una Segunda Condición que debe cumplirse para que un objeto esté en Equilibrio estático. Pero para ello primero debemos entender el concepto de Torque, o Momento de una Fuerza. Torque (M): Es el efecto de rotación respecto a un eje, y se define como sigue: *El torque producido por una fuerza con respecto a un eje es igual al producto de la fuerza y su brazo de palanca con respecto al eje.* M: brazo de palanca · Fuerza Se mide en: (N·m)
o (lb · ft)
Brazo de palanca: de una Fuerza es la distancia perpendicular entre un eje específico y la línea sobre la cual actúa la Fuerza. Por convención: Si el Torque produce una rotación contraria al sentido de las manecillas del reloj, tiene signo positivo.
+M
Si el Torque produce una rotación en el sentido de las manecillas del reloj, tiene signo negativo.
-M
Supongamos los siguientes casos de aplicación de una Fuerza en un elemento del cual vamos a despreciar su peso, para poder visualizar el signo del Torque.
F(Fuerza aplicada) Brazo de Palanca
Eje de rotación
-M +M
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F Brazo de Palanca Fy 90°
Fy
Brazo de Palanca
90°
+M
-M
F En los dos últimos casos hemos tenido que componer el Brazo de palanca, otra solución es calcular la componente de la Fuerza que mantiene la perpendicularidad con el eje de rotación. La Segunda Condición de Equilibrio Para que un objeto esté en equilibrio estático, la suma algebraica de los momentos de las fuerzas (Torques) que actúan sobre él y tienden a girarlo tanto en el sentido de las manecillas del reloj como en sentido contrario debe ser cero. Ésta Segunda Condición de Equilibrio, se conoce como Equilibrio Rotacional. Ya conocemos todos los requisitos para que un cuerpo esté en equilibrio, en dos dimensiones.
1. Calculemos el Momento que se produce respecto a cada uno de los ejes de rotación. a)
F = 100N 90° -M 20cm
Solución: M = - 100N · 0,2m Respuesta: M = - 20Nm
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d = Brazo de Palanca
b) d Fy
+M
40°
F= 100N 20cm 90° d
40°
0,2m Solución 1: El ejercicio lo vamos a resolver componiendo el Brazo de Palanca (d): Sen40° = d / 0,2m d = Sen40° · 0,2m d ≈ 0,13m Por lo tanto: M = 100N · 0,13m Respuesta1: M = 13Nm Solución 2: Ahora vamos a resolver, calculando la componente vertical de la Fuerza F aplicada. F= 100N Fy 40°
Fy = Sen40° · 100N = 64,28N Fy = 64,28N
Por lo tanto: M = 64,28N · 0,2m Respuesta 2: M ≈ 13Nm Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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Entonces: El cuerpo se encuentra en equilibrio cuando las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, forman un sistema equivalente nulo. Entonces las condiciones necesarias y suficientes pueden obtenerse haciendo RF (Reacciones) y MR (Momento) sean iguales a cero en las relaciones: ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣM =0
Recordemos que estas relaciones, se denominan *Condiciones de Equilibrio*: ΣFx = 0
ΣFy = 0 (Equilibrio Traslacional).
ΣM =0 (Equilibrio Rotacional).
2. Un perfil I 18 -18 de acero estructural, cuyo Peso es de W PERFIL = 265,09N en la mitad de su longitud, tiene un largo total de 6 metros; está simplemente apoyada en sus extremos y se somete a cargas concentradas q1 = 150N; q2 = 170N Y q3 = 130N. Calcule el valor de las reacciones en los apoyos, considerando el peso de la viga. 150N
170N
130N
RAX RAY 1,5m
RBY 1,5m
1,5m
1,5m
Nota: Para resolver este tipo de problemas de Estática, se realiza un esquema, denominado Diagrama de Cuerpo Libre (modelo analítico de un cuerpo) que consiste en: El cuerpo es rígido en consideración aislado que se representa por su geometría. Las magnitudes y direcciones de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Los puntos de apoyo, en donde las fuerzas de reacción actúan para oponerse a un posible movimiento del cuerpo. Las dimensiones del cuerpo y puntos de aplicación de las fuerzas externas.
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D.C.L (Diagrama de Cuerpo Libre):
150N
170N
130N
RAX
265,09N RAY
RBY
1,5m
1,5m
1,5m
1,5m
Solución: Debemos entender que se ha planteado la estructura en Equilibrio, y para ello debe cumplir las dos Condiciones ya vistas. ΣFx = 0
ΣFy = 0 (Equilibrio Traslacional).
ΣM =0 (Equilibrio Rotacional). Entonces comenzamos a calcular el valor de las reacciones ocupando, por ejemplo: La primera Condición de Equilibrio:
+ ΣFx = 0
RAX = 0N
+ ΣFy = 0
RAY + RBY – 150N – 170N - 265,09N – 130N = 0 RAY + RBY – 715,09N = 0 RAY + RBY = 715,09N
Esta ecuación aún no la podemos resolver, por lo tanto vamos a aplicar la Segunda Condición de Equilibrio, para determinar el valor de alguna de los dos Reacciones Verticales. Razonamiento: Debemos elegir en forma estratégica el punto donde vamos a plantear el Torque, lo ideal es escoger donde se encuentran las Reacciones desconocidas, pues así, inmediatamente esa incógnita en la elaboración de la ecuación se hace cero. (RAY 0m = 0Nm)
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Entonces, comenzamos a calcular el valor de una de las reacciones ocupando La Segunda Condición de Equilibrio: Escogemos el apoyo A, Usted puede después realizar el mismo ejercicio, en el otro apoyo (B):
+ ΣMA = 0
-150N ∙ 1,5m - 170N ∙ 3m - 265,09N ∙ 3m – 130N ∙ 4,5m + RBY ∙ 6m = 0 RBY ∙ 6m – 2115,27Nm = 0 RBY ∙ 6m = 2115,27Nm RBY = 2115,27Nm 6m RBY = 352,545N
Por lo tanto: Reemplazando en la Ecuación que escribimos en relación a la Primera Condición de Equilibrio, nos queda:
RAY + RBY = 715,09N RAY + 352,545N = 715,09N RAY = 715,09N - 352,545N RAY = 362,545N Respuesta: RAX = 0N RAY = 362,545N RBY = 352,545N
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3. Un perfil de acero estructural HN 50 × 462Kgf/m, tiene un largo total de 6 metros; está simplemente apoyada en uno de sus extremos, mientras que el otro extremo queda al aire, se somete a dos cargas concentradas: q1 = 900Kgf; q2 = 600Kgf, y a una carga oblicua q3=1000Kgf que mantiene un ángulo de 60° respecto a la horizontal. Calcule el valor de las reacciones en los apoyos, considerando el peso de la viga. 462Kgf/m · 6m = 2772Kgf
q3 = 1500Kgf
q2 = 600Kgf
q1 = 900Kgf
60° RBX 2772Kgf RAY 2m
RBY 2m
2m
Solución: D.C.L 1500Kgf
600Kgf
900Kgf
3m 60° RBX RAY
2772Kgf
RBY
Para comenzar, vamos a plantear la sumatoria de fuerzas en el eje horizontal:
+ ΣFx = 0
Cos60° · 1500 Kgf + RBX = 0 RBX = - Cos60° · 1500 Kgf RBX = - 750 Kgf
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Seguimos ahora con la sumatoria de fuerzas en el eje Y: + ΣFy = 0
- Sen60° · 1500 Kgf + RAY + RBY - 2772Kgf - 600Kgf - 900Kgf = 0 RAY + RBY – 5571,04Kgf = 0 RAY + RBY = 5571,04Kgf
A continuación, planteamos la Sumatoria de Momento respecto al apoyo B.
+ ΣMB = 0
600Kgf · 2m + 2772Kgf · 3m – RAY · 4m + Sen60° · 1500 Kgf · 6m = 0 RAY · 4m = 17310,23 Kgf · m RAY = 17310,23 Kgf · m 4m RAY = 4327,56 Kgf
Por lo tanto: RAY + RBY = 5571,04Kgf 4327,56 Kgf + RBY = 5571,04Kgf RBY = 5571,04Kgf - 4327,56 Kgf RBY = 1243,48 Kgf Respuesta: RBX = - 750 Kgf RBY = 1243,48 Kgf RAY = 4327,56 Kgf
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4. Un marco rígido construido con perfil de acero estructural HN 50 × 462Kgf/m, es sometido a un sistema de cargas tal como se muestra en el esquema, calcule el valor de la reacciones en los apoyos para que la estructura esté en equilibrio Estático. 462Kgf/m ∙ 5m = 2310Kgf.
5m 1000Kgf
900Kgf 2,5m
3m θ
2310Kgf
θ 4m
1100Kgf 1000Kgf 2310Kgf
2310Kgf
5m 2,5m
RBX
RAY
RBY
8m Solución: Para resolver este problema de estática, primero vamos a calcular el ángulo θ, pues con este dato podemos calcular las componentes verticales y horizontales de las fuerzas que están actuando en los perfiles en diagonal, primero se calculó el valor concentrado del peso propio del perfil (este peso se graficó en la mitad de la distancia del perfil 462Kgf/m ∙ 5m = 2310Kgf), que es el mismo en ambos.
θ = Tan- 1(3m÷4m)= 36,87° FY = 2310Kgf ∙ Cos36,87° = 1848Kgf Fx
Fx = 2310Kgf ∙ Sen36,87° = 1386Kgf
1,5m 2310Kgf 2m
FY
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A continuación, vamos a calcular el valor de las componentes de la carga externa de 1000Kgf:
FY = 1000 Kgf ∙ Cos36,87° = 800Kgf FX = 1000 Kgf ∙ Sen36,87° = 600 Kgf FX
1,5m
FY
1000Kgf
2m
El cálculo de las componentes de la otra diagonal, siendo θ = 36,87°, sería:
FY = 2310Kgf ∙ Cos36,87° = 1848Kgf FX = 2310Kgf ∙ Sen36,87° = 1386Kgf
900Kgf
Fx = 900 Kgf ∙ Sen36,87° = 540Kgf FY = 900 Kgf ∙ Cos36,87°= 720Kgf
Entonces, ahora podemos elaborar las ecuaciones de equilibrio con mayor facilidad, comencemos con la sumatoria en el eje X, luego con el eje Y, y finalmente con la sumatoria de Momentos respecto al apoyo A: Para efectos de una resolución más rápida, en el desarrollo de las ecuaciones no vamos a incluir las unidades de medida, sólo lo haremos en el resultado, tenemos que ser cautelosos, para saber en qué unidad vamos a derivar. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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+ ΣFx = 0
1100 + 1386 + 600 – 1386 + 540 + 1000 + RBX = 0 RBX + 3240Kgf = 0 RBX = - 3240Kgf
+ ΣFy = 0
RAY + RBY – 2310 – 1848 – 800 – 1848 + 720 – 2310 = 0 RAY + RBY – 8396Kgf = 0 RAY + RBY = 8396Kgf
+ ΣMA = 0
- 1100·2,5 – 1848·2 – 1386·6,5 – 800·2 – 600·6,5 + 1386·6,5 – 1848·6 + 720 · 6 – 540 · 6,5 – 1000 · 2,5 – 2310 · 8 + RBY · 8 = 0 RBY · 8m – 43204Kgf · m = 0 RBY · 8m = 43204Kgf · m RBY = 43204Kgf · m 8m RBY = 5400,5Kgf
Por lo tanto, RAY + RBY = 8396Kgf RAY + 5400,5Kgf = 8396Kgf RAY = 8396Kgf - 5400,5Kgf RAY = 2995,5Kgf Respuesta: RBX = - 3240Kgf RBY = 5400,5Kgf RAY = 2995,5Kgf
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UNIDAD 3: Fluidos APREDIZAJE ESPERADO 7. Operan con conceptos básicos de hidrostática, demostrando capacidad para plantear y resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades. Criterio 3.1. Describe las propiedades generales de la materia en sus estados sólido, líquido y gaseoso. Criterio 3.2. Calcula las densidades de diferentes cuerpos, tanto líquidos como sólidos. Criterio 3.3. Resuelve problemas sencillos aplicando correctamente magnitudes y unidades. Concepto de densidad Suponga un cuerpo de masa m y cuyo volumen es V. La densidad del cuerpo se representa por la letra griega ρ (rho) y se define como el cociente entre la masa y su volumen: ρ = m / V. 1. Sea un bloque de aluminio (Al) cuyo volumen es V = 10 cm³. Midiendo la masa se encuentra m = 27 gr, entonces la densidad del aluminio es: Solución: ρ = 27 gr / 10 cm³ = 2,7 gr / cm³
Respuesta: ρ = 2,7 gr / cm³
Si tomamos un trozo de aluminio de cualquier tamaño y calculamos el cociente entre la masa y su volumen respectivo, se encuentra el mismo valor anterior. Esto es válido a la misma temperatura y presión, es decir en las mismas condiciones. Luego, la densidad es una característica propia de la sustancia. Por ejemplo 1 cm³ de agua tiene la misma densidad que 10 litros de agua De acuerdo a la definición, la densidad de una sustancia se mide dividiendo una unidad de masa con una unidad de volumen, por ejemplo: gr / cm3; kg / m³; etc. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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En el sistema SI de unidades se mide en kg / m³ y se observa la relación: 1 gr / cm³= 1000 kg / m³. Así la densidad del aluminio es 2,7 gr /cm³, o bien 2,7 x 10³ kg / m³, es decir un bloque de aluminio de volumen 1 m³ tiene una masa de 2700 kg es decir 2,7 toneladas. Densidades, a 0 o C y a la presión de 1 atm (en gr / cm³):
Hidrógeno…..........0,000090
Aire…..........0,0013
Gasolina….............0,70
Agua…........1,00
Fierro….................7,6
Plata….......10,5
2. Un bloque de madera cuyo volumen es de 600cm3 tiene una masa igual a 400gr. ¿Qué densidad tiene esa madera en gr/cm3 y en Kg/m3? Solución: ρ=m/V ρ = 400gr / 600cm3 ρ = 0,667 gr/cm3 · 1000 ρ = 667,67Kg/cm3 Respuesta: ρ = 0,667gr/cm3 ρ = 667,67Kg/cm3
3. Un trozo de esta madera tiene un volumen de 2,25m3. ¿Cuál es su masa? Solución: ρ·v=m m = 667,67Kg/cm3 · 2,25m3
Respuesta: m = 1500Kg
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4. Se tiene un bloque de plomo, cuyo volumen es de 0,4m3. Si la densidad del plomo es 11,3gr/cm3. Exprese este valor en Kg/m3. Solución: 11,3gr/cm3 · 1000 Respuesta: 11300Kg/m3
5. Calcule en Kg la masa del bloque de plomo del ejercicio anterior. Solución: 11300Kg/m3 = m / 0,4m3 m = 11300Kg/m3 · 0,4m3 Respuesta: m = 4520Kg
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APRENDIZAJE ESPERADO 8. Operan con conceptos básicos de presión hidrostática, demostrando capacidad para plantear y resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades.
Criterio 3.5. Calcula la presión que ejercen distintos cuerpos sobre el suelo al estar de pie. Discuten la distinción entre peso y presión. Criterio 3.6. En base al concepto de presión, explica el funcionamiento de utensilios corrientes como cuchillos, alfileres, etc. Criterio 3.7. Reconocen el efecto de la presión que un líquido ejerce en distintos sectores de las paredes del recipiente que lo contiene y en objetos sumergidos. Criterio 3.8. Reconoce la presión hidrostática en variadas situaciones; por ejemplo, la que produce el agua en el fondo del vaso que la contiene, las que ejercen columnas de igual altura pero de aceite y mercurio.
El término Hidrostática, se refiere al estudio de los fluidos en reposo. Un fluido es una sustancia que puede escurrir fácilmente y que puede cambiar de forma debido a la acción de pequeñas fuerzas. Por tanto, el término fluido incluye a los líquidos y los gases. Los fluidos que existen en la naturaleza siempre presentan una especie de fricción (roce) interno o viscosidad que complica un poco el estudio de su movimiento. Sustancias como el agua y el aire presentan muy poca viscosidad (escurren fácilmente), mientras que la miel y la glicerina tienen una viscosidad elevada. Para el estudio de este capítulo es necesario analizar dos conceptos muy importantes: la presión y la densidad. Concepto de presión P=F/A En el sistema Internacional de Unidades (SI), la fuerza se mide en Newton (N) y el área en metros cuadrados (m²), por lo tanto la presión se mide en: P
N / m² = Pascal = Pa.
EQUIVALENCIAS DEL PASCAL 1 pascal (Pa) = 1 newton/metro2 (N/m2) = 1,45 x 10-4 libra/pulgada2 (lb/in2) 1 pascal (Pa) = 1 newton/metro2 (N/m2) = 10 dinas/centímetro2 (din/cm2) 1 pascal (Pa) = 1 newton/metro2 (N/m2) = 9,869 x 10-6 atmósferas (atm) 1 pascal (Pa) = 7,501 x 10-3 milímetros de mercurio=torr (mm Hg) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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1. Se sabe que una caldera puede resistir una presión de hasta 22 atm. ¿Cuál es el valor en unidades SI de esta presión? Solución: 1N/m2
9,869 · 10 - 6 atm
x N/m2
22atm
Respuesta: x N/m2 = 2229202,553 N/m2
2. Un neumático fue llenado de aire a una presión de 25 lb/in ². ¿Cuál es el valor de esa presión en atmósferas? Solución: 1N/m2
1,45 · 10 - 4 lb/in ²
x N/m2
25 lb/in ²
x N/m2 = 172413,8 N/m2 172413,8 N/m2 1N/m2
xatm 9,869 · 10 – 6 atm
Respuesta: xatm = 1,701atm
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3. En la figura, la presión Pg que actúa en la rama izquierda del tubo, logra equilibrar el desnivel de la columna de mercurio en las dos partes y la presión atmosférica que actúa en el extremo abierto de la rama de la derecha. Por tanto, ¿El valor de Pg es? :
Solución: Pg = pa + desnivel del Hg (Suponga que en el lugar pa = 68 cm Hg) Pg = 68 cm Hg + (21,0 - 3,0 ) cm Hg Respuesta: Pg =86 cm Hg
4. Una piscina de 10 m de profundidad se encuentra totalmente llena de agua.
10m
a) ¿Cuál es la presión en el fondo debido únicamente al peso del agua? Solución: p=h·ρ·g p = 10 · 1000 · 10 = 1 · 10 5 Pa Respuesta: P = 1 · 10 5 Pa
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b) Si sabemos que la presión atmosférica local es Pa = 76 cm Hg, ¿cuál es la presión total en el fondo de la piscina? Solución: La presión total en el fondo de la piscina es la suma de la presión en la superficie del líquido (atmosférica) y la presión debido a la columna líquida. La presión atmosférica debemos expresarla en el sistema SI, es decir en Pascal, por lo tanto: 76 cm Hg = 1,0 · 105 Pa, entonces la presión total en el fondo es: Ptotal = 1 · 105 + 1 · 105 = 2,0 · 105 Pa. Respuesta: Ptotal = 2 · 10 5 Pa
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5. Un gran depósito contiene dos líquidos A y B cuyas densidades son ρA = 0,9 gr/cm³ y ρB = 1,5 gr/cm³. La presión atmosférica local es igual a 1,0 atm. Considerar g = 10. a) ¿Cuál es en N/m² la presión en el punto (1)? b) Calcule la presión en el punto (2) de la figura. c) ¿Qué valor tiene la presión ejercida en el punto (3)? 1
hA = 10m
2 hB= 8m
3 Solución a: P1 = Pa = 1 atm = 1,01 · 10 5 N/m2
Solución b: P2 = 1,01 · 10 5 N/m2 + 900 · 10 · 10 = 191000 N/m2
Solución c: P3 = 191000 N/m2 + 1800 ·10 · 8 = 335000 N/m2
Respuestas: a) P1 = 1,01 · 10 5 N/m2 b) P2 = 191000 N/m2 c) P3 = 335000 N/m2
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APRENDIZAJE ESPERADO 9. Operan con el principio de Pascal, demostrando capacidad para plantear y resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades.
Criterio 3.10. Calcula la fuerza que debe actuar sobre el pistón A de una máquina hidráulica para equilibrar la fuerza producida en el pistón B, si las áreas de los pistones son tales que la del pistón B es 150 veces mayor que la del A. Criterio 3.11. Describe y explican el funcionamiento de los frenos hidráulicos. Criterio 3.12. Resuelve problemas contextualizados utilizando el Principio de Pascal.
Considere un líquido en equilibrio en el interior de un recipiente como muestra la figura.
En los puntos (1) y (2) las presiones son p1 y p2 respectivamente. Si por un proceso cualquier, aumentamos en Δp1 la presión en (1) (por ejemplo, ejerciendo una fuerza en el pistón colocado sobre el líquido), la presión en (2) sufrirá un aumento Δ p2. Por la relación p2 = p1 +ρg h, podemos escribir fácilmente que: Δ p2 = Δ p1 Es decir, el aumento de la presión en un punto (2) es igual al aumento de la presión provocada en el punto (1). Este hecho fue descubierto por Blas Pascal y lo enunció así. “el incremento de presión en un punto de un líquido en equilibrio, se transmite íntegramente a todos los puntos de dicho líquido”
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1..
f
F Como Δ p1 = Δ p2, se tiene: F / A = f / a, de donde F = ( f / a ) · A Por lo tanto si el área A es mucho mayor que a, entonces F será mucho mayor que f. Por ejemplo en base al esquema que se muestra al inicio de la página, si a = 1 cm², A = 100 cm² y f = 10 kgf, se obtiene: F = 10 kgf · 100 cm² / 1 cm²
F = 1000 kgf
Es decir, una fuerza de sólo 10 kgf puede equilibrar el peso de un cuerpo 1 tonelada.
2. En la figura se muestra un recipiente constituido por la unión de 2 tubos cilíndricos coaxiales y de ejes horizontales. El recipiente contiene un líquido incompresible aprisionado por los émbolos 1 y 2 de área respectivas iguales a 0,32 m² y 0,6 m². Empujando el émbolo 1 para la derecha con una fuerza F1 de valor 120 kgf se produce en ese émbolo un desplazamiento de 90 cm. Despreciando cualquier efecto de roce, determine: a) La fuerza F2 con que el líquido empuja el émbolo 2. b) El desplazamiento del émbolo 2.
F2 F1
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Solución: a) P1 = P2 f/a=F/A F= f·A a F = 120 · 0,6 0,32 Respuesta: F = 225Kgf
b) a1 · d1 = A2 · D2 0,32m2 · 0,9m = 0,6m2 · xm xm = 0,32m2 · 0,9m 0,6m2 Respuesta: xm = 0,48m
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APRENDIZAJE ESPERADO 10. Identifican y ejemplifican el principio de Arquímedes. Criterio 3.14. Identifica las condiciones que permiten predecir cuándo un cuerpo se hundirá, flotará o emergerá de un fluido. Criterio 3.15. Ejemplifica el principio de Arquímedes. “El valor del empuje ascendente sobre un cuerpo sumergido en un líquido, es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo”. La expresión que permite calcular el empuje que actúa sobre un cuerpo sumergido en un líquido está definida por: E = ρ fluido · g · V desplazado
1. Un cilindro metálico cuya área en la base es A = 10 cm² y cuya altura es H = 8,0 cm flota en mercurio como muestra la figura. La parte del cilindro sumergida en el líquido tiene una altura h = 6,0 cm.
H h
a) ¿Qué valor tiene el empuje hidrostático ascendente sobre el cilindro (use g = 10 N/kg)? Sabemos que el empuje está dado por: E = ρ fluido · g · V desplazado La densidad del mercurio es ρ Hg = 13600 kg / m³, por lo tanto el empuje es: E = 13600 · 10 · 60 · 10 - 6 = 8,16 N
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b) ¿Cuál es el valor del peso del cilindro metálico? Como el cilindro flota en reposo, su peso está siendo equilibrado por el empuje recibido del mercurio, por lo tanto: E = Peso = 8,16 N c) ¿Cuál es el valor de la densidad del cilindro? La densidad ρc del cilindro está dada por ρc = mc / Vc, donde mc es su masa y Vc es su volumen. La masa del cilindro se obtiene dividiendo el peso del cilindro y la gravedad, es decir: mc = 8,16 / 10 = 0,816 kg ; el volumen del cilindro es Vc = 80 x 10 densidad del cilindro es :
-6
m³ por lo tanto la
ρc = 0,816 / 80 x 10 - 6 = 10200 kg / m³
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2. ¿Qué fracción del volumen total de un iceberg queda expuesta? Considere densidad del iceberg (di = 917 kg/m³), densidad del agua (da= 1024 kg/m³) EMPUJE
PESO ICEBERG Solución: Como el iceberg flota en la superficie del agua, se cumple: Empuje (del agua) = Peso del iceberg ρ fluido · g · V desplazado = ρ Iceberg · g · V Iceberg V desplazado =
ρ Iceberg · g · V Iceberg ρ fluido
V desplazado =
917 · V Iceberg = 89,5 % V Iceberg 1024
Respuesta: Luego, cerca de un 10% del volumen de un iceberg queda expuesto a la superficie.
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APRENDIZAJE ESPERADO 11. Operan con conceptos básicos de hidrodinámica, demostrando capacidad para resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades. Criterio 3.17. Reconoce el principio y la ecuación de Bernoulli en distintas situaciones de la vida cotidiana. Criterio 3.18. Observa que cuando un fluido se desplaza por el interior de un tubo cuya sección cambia, su velocidad disminuye en razón inversa al área de dicha sección. Criterio 3.19. Mide la rapidez con que sale agua por una abertura situada en la parte baja en un gran tanque. 1. Supongamos que fluye agua por el sistema de tuberías del esquema. Puesto que cada segundo debe pasar la misma cantidad de agua por los puntos A, B y C, la velocidad del agua en el tubo delgado de B debe ser mayor que la velocidad en A y C. Compare la presión en B con la que existe en A, suponiendo que la velocidad de flujo en A y en C es de 0,2m/s y que en B es de 2m/s. A
C B
Solución: Razonamiento: Aplicando la ecuación de Bernoulli y observando que la energía potencial gravitacional media es la misma en los tres puntos, tenemos: PA + ½ ρvA2 = PB + ½ ρvB2 Al sustituir vA = 0,2m/s, vB = 2m/s y ρ = 1000kg/m3, se obtiene PA - PB = 1980 Pa. Por lo tanto: La presión del fluido en la angostura (sección transversal pequeña) es mucho menor que en los grandes tubos (de gran sección transversal) a cada lado. Esto, quizás se oponga a lo que pensamos en un principio, sin embargo, es cierto y se aplica en gran cantidad de situaciones. Se puede ver en forma cualitativa que la presión en A debe ser mayor que en B. Puesto que, cada pequeño volumen de fluido se acelera al pasar de A a B y debe actuar sobre este volumen una fuerza no equilibrada desde la derecha. Para suministrar esta fuerza no equilibrada es necesario que la presión disminuya al pasar de A a B.
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2. ¿Cuál será aproximadamente, el volumen de agua por segundo que puede fluir por un tubo de 2cm de diámetro antes que ocurra el flujo turbulento? Solución: Razonamiento: Pregunta: ¿Qué condición indica la ocurrencia de la turbulencia? Respuesta: La turbulencia ocurrirá cuando el número de Reynolds exceda el valor crítico de 2000 a 3000. Podemos elegir NR = 2000 para este caso. Pregunta: ¿Qué relación existe entre NR y el volumen de flujo por segundo? Respuesta: El valor crítico de NR nos indicará la magnitud de la velocidad máxima de flujo(v). La variación del volumen con respecto al tiempo del flujo (gasto) es: ΔV/Δt = Va Solución y análisis: Al colocar NR = 2000 en la ecuación NR = ρvd/η junto con el valor de viscosidad del agua a 30⁰C, se obtiene la magnitud de la velocidad máxima de flujo laminar: Vmáx =
(2000)(0,801 · 10 – 3 PI) 3
3
(1 · 10 kg/m )(2 · 10
–2
= 0,0801m/s = 8,01cm/s
m)
El área del tubo es A = πd2 / 4 = 3,14 · 10 – 4 m2 = 3,14cm2, por lo tanto, la máxima variación de volumen con respecto al tiempo del flujo laminar es: ΔV/Δt = (8,01cm/s)(3,14cm2) = 25,2cm3/s. 3. A través de una tubería de acero fundido (є = 0,25mm) de 300mm de diámetro exterior (espesor = 30mm), fluye agua a 20⁰C, con una pérdida de 7,5m en 350m. Determinar el caudal Q. Solución 1: Diámetro interno:
di = 300mm – 60mm di = 240mm
Rugosidad relativa: є / D = 0,25mm / 240mm є / D = 0,00104
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Tomamos un valor de prueba
f = 0,02
hf = f · L · v2 = 7,5m = 0,02 · 350m · (vm/s)2 D 2g 0,24m 2(9,806m/s2) 7,5m · 0,24m · 2 · 9,806 m/s2 = vm/s= 2,25m/s 0,02 · 350m La viscosidad la obtenemos por tabla: џ = 1,007 · 10 – 6 m2/s vm/s=
R = Vd
=
Џ
2,25m/s · 0,24m 1,007 · 10
–6
= 536246,28
2
m /s
R = 5,4 · 105 Del diagrama de Moody: f = 0,0205 Por lo tanto: Q = Av = π(0,12)2 ·
7,5m · 0,24m · 2 · 9,806 m/s2 0,0205 · 350m
Respuesta: Q = 0,10035m3/s
Solución 2:
Q2
hf = f · L · D
2g( π/4 · d2)2
7,5 = 0,0205 · 350 · Q2 0,24 2 · 9,806(π/4 · d2)2 Respuesta: Q = 0,10035m3/s
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Solución 3: Fórmula: Q = - 0,965·d2 · g · d · hf/L
· Ln є/d + 3,7
d·
1,784 · џ g·d·hf/L
Datos: d = 0,24m g = 9,806m/s2 hf/L = 7,5 / 350 = 0,021428571 є/d = 0,25 / 240 = 0,001041666 џ = 1,007 · 10 – 6 m2/s a 20⁰C Reemplazando:
Q = - 0,965·0,242 9,806 · 0,24 · 0,021428571·Ln 0,001041666 + 3,7
1,784 · 1,007·10– 6
0,24· 9,806·0,24·0,021428571
Respuesta: Q = 0,10035m3/s
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UNIDAD 4: Electricidad APRENDIZAJES ESPERADOS 12. Operan con conceptos básicos de corriente eléctrica, demostrando capacidad para plantear y resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades. Criterio 4.1. Define y relaciona los conceptos de tensión e intensidad, y el uso correcto de sus respectivas unidades de medidas. Criterio 4.2. Distingue entre CA y CC. Criterio 4.3. Identifica concepto de circuito eléctrico y simbología de la representación de elementos eléctricos fundamentales. Criterio 4.4. Dibuja e interpreta esquemas sencillos con generadores, resistencias, lámparas interruptores y fusibles, distinguiendo las partes que están en serie y en paralelo, y cuidando que los símbolos sean los normalizados. La Electricidad estudia el comportamiento de las cargas eléctricas, las leyes físicas que las rigen y la forma cómo se relacionan con el resto de la Física. 1. Un niño encumbrando un volantín roza los cables del tendido eléctrico durante 0,32s. Si en esta situación circulan 20 · 10 15 electrones hacia la mano del niño. ¿Qué corriente circuló por el hilo curado del volantín? Solución: carga del electrón: 1,6 · 10 – 19 C 20 · 10 15 electrones equivalen a una carga de 0,003C. Por definición de corriente eléctrica se tiene: i = Q / Δt = 0,003 / 0,3 i = 0,01A = 10mA. Respuesta: i = 10Ma 2. A una persona se le aplica una diferencia de potencial de 220v, entre cada mano. Si su resistencia eléctrica es de 5000Ω, ¿Cuál es la corriente que circula por su corazón? Solución: De la Ley de Ohm se obtiene directamente: i = 220 / 5000 (A) = 44ma Respuesta: i = 44ma. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
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APRENDIZAJES ESPERADOS 13. Operan con conceptos básicos de resistencia equivalente demostrando capacidad para plantear y resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades.
Criterio 4.5. Calcula la resistencia equivalente para circuitos eléctricos sencillos de resistencias conectadas en serie. Criterio 4.6. Calcula la resistencia equivalente para circuitos eléctricos sencillos de resistencias conectadas en paralelo. Criterio 4.7. Resuelve problemas sencillos, usando correctamente magnitudes y unidades.
1. Se tiene un recipiente lleno de agua con sal. El recipiente es un paralelepípedo de dimensiones: Largo: 50cm Ancho: 20cm Alto: 10cm Si la conductividad de la solución es de 0,0002( I / Ω · m), calculemos la resistencia que experimenta la corriente a lo largo del recipiente. Solución: Si la corriente circula a lo largo del recipiente, entonces el área que se opone a su avance es: A = 200cm2 = 0,02m2 Como el largo del recipiente es de 50cm = 0,5m, entonces reemplazamos directamente en la fórmula: R=
L σ · A
=
0,5
(Ω)
0,0002 · 0,02
Respuesta: R = 125000(Ω) = 125KΩ
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2. Si un alambre tiene una resistencia R, ¿Qué resistencia tendrá otro alambre de igual longitud y naturaleza, pero de doble diámetro? Solución: A=π·r2
R = (ρ · L) / A
A1π(2r)2 = 4π r 2
R / R 1 = (ρ · L) / A (ρ · L) / 4A
R 1 = (ρ · L) / 4A
=
4 I
R/4=R1 Respuesta: Por lo tanto La Resistencia disminuye a la cuarta parte.
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APRENDIZAJES ESPERADOS 14. Operan con circuitos en corriente continua, demostrando capacidad para plantear y resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades. Criterio 4.9. Identifica la ley de Ohm y el ámbito de su aplicación. Criterio 4.10. Calcula V, i y R en circuitos de CC con resistencias conectadas en serie, aplicando la ley de Ohm. Criterio 4.11. Calcula V, i y R en circuitos de CC con resistencias conectadas en paralelo, aplicando la ley de Ohm. 1. Determine la resistencia equivalente del circuito: R1
R2 R1= 2Ω
A
B
R2 = 4Ω R3 = 6Ω
R3 Solución: R1 y R2
están en serie
Por lo tanto R1-2 = R1 + R2 R1-2 = 6Ω Por otro lado R1-2
R3
Por lo tanto: 1 = RT
1 + R1-2
1 R3
1 =
1 +
1
RT
6
6
=
2 6
Respuesta: Por lo tanto, la resistencia Total o equivalente del circuito es: 3Ω
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2. ¿Cuál es la resistencia eléctrica de estufa de cuarzo de 1200Watts que se conectará a 220v? Solución: Se pide encontrar la resistencia necesaria para que la estufa disipe 1200W cuando se conecte a 220v. De la definición de potencia eléctrica se tiene: P = ΔV 2 / R Y en este caso: P = 1200W
ΔV = 220v
R = 220 2 / 1200 = 40,3Ω Respuesta: R = 40,3Ω
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APRENDIZAJES ESPERADOS 15. Operan con potencia eléctrica, demostrando capacidad para plantear y resolver problemas sencillos, aplicando correctamente magnitudes y unidades. Criterio 4.11. Calcula potencia eléctrica en circuitos resistivos básicos con corriente continua. Criterio 4.12. Identifica y describen el efecto Joule. Criterio 4.13. Interpreta el efecto Joule: por ejemplo los fusibles. 1. En una casa se mantienen encendidas durante 2 horas y media, una estufa de 750W, una lámpara por la que circula ½ (ampere) cuando se conecta a 110v y una radio a pila de 3v y resistencia equivalente de 100W. Calcular la energía consumida en la casa durante ese lapso. Solución: Debemos calcular la potencia consumida por cada artefacto y el total multiplicarlo por el tiempo que se usaron: 1. Estufa: Pe = 750W 2. Lámpara: Pl = 0,5 · 110 = 55W 3. Radio: Pr =
32
= 0,09W
100 Potencia Total consumida: PT = Pe + Pl + Pr = 805,09W
La energía consumida en Wh vale: ET = PT · 2,5 = 2012,73Wh ET = 2,01KW h
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2. Para elevar la temperatura del agua en 1⁰ C, se necesitan 4,2 J por cada gramo. Se trata de determinar, aplicando la Ley de Joule, el valor de la resistencia eléctrica que debe tener un calentador eléctrico para que conectado a un enchufe de 220v, sea capaz de elevar la temperatura de un litro de agua de 15⁰C a 80⁰C en cinco minutos. Entonces: ¿Cuál será la energía necesaria para elevar la temperatura de lagua de 15⁰C a 80⁰C? Solución: Q = 1000 · (80 – 15) · 4,2 = 2,73 · 10 5 J Respuesta: Q = 2,73 · 10 5 J Pues un litro de agua corresponde a un kilogramo de masa y 4,2 representa el calor en joules por gramo y grado centígrado (calor específico).
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