1
RАVANSKE REŠETKE
Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sa činjen od lakih krutih štapova me đusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su optere ćene koncentrisanim silama koje leže u ravni rešetke i dejstvuju u njenim čvorovima. Osnovni element svake ravanske rešetkaste kontrukcije je trougao. Između broja čvorova n i broja štapova s statički određene ravanske rešetke postoji veza s=2n-3. Ukoliko je s>2n-3 postoji unutrašnja statička neodređenost rešetke , a ako je s<2n-3 radi se o mehanizmu Rešetka može biti vezana za podlogu pokretnim zglobom, nepokretnim zglo bom, užetom ili lakim štapom. Laki štap koji povezuje rešetku sa osloncima nije sastavni deo ravanske rešetke, već njena spoljašnja veza. Proračun rešetke se svodi na odre đivanje reakcija spoljašnjih veza i sila u šta povima rešetke. Zbog uvedenih pretpostavki sile u lakim štapovima se poklapaju s pravcima lakih štapova, te oni mogu mogu biti opterećeni na zatezanje ili pritisak. 1.1
Algoritam rešavanja zadataka Proračun rešetke se može izvršiti na osnovu sledećih koraka: 1. Osloboditi se spoljašnjih veza i uvesti odgovarajuće reakcije veza (otpore oslonaca). 2. Za rešetku kao celinu pisati jednačine ravnoteže i odrediti reakcije veza.
Naime, kako na rešetku dejstvuje ravanski sistem sila njena ravnoteža će biti ostvarena ako su glavni vektor sistema i glavni moment za proizvoljno izabranu tačku A
jednaki nuli: F g = 0, M g A = 0.
(1.1)
Prvi, vektorski uslov se projektovanjem na ose koordinatnog sistema xy svodi na dve skalarne jednačine, a prethodni uslovi ravnoteže transformišu u slede ći sistem jednačina ravnoteže1: +
, 3
1
,
(1.2)
U daljem tekstu će se tokom rešavanja primera izostavljati oznaka za promenu p romenu indeksa i=1,..., n sume projekcija svih sila, ali će se podrazumevati da se ta suma odnosi na sve sile koje dejstvuju na uočeni sistem. Indeks sumiranja će +
i u momentnim jednačinama, pri rešavanju primera, biti izostavljan. Na taj način, oznaka ∑ M A će podrazumevati k
∑ j =1
n
M j
+ ∑ M Ai (sumu spegova i momenata sila za izabranu ta čku) za naznačen F
i =1
pozitivan smer momenta.
8
RAVANSKE RAV ANSKE REŠETK REŠETKE E
koji podrazumeva da je suma projekcija p rojekcija svih sila na ose koordinatnog sistema jednaka nuli, i da je suma momenata m omenata svih sila i spregova za proizvoljnu tačku u ravni nula. Osim jednačina ravnoteže (1.2), mogu se pisati i alternativni oblici jedna čina ravnoteže ([1], str. 52). Jedan od njih se ogleda u pisanju tri momentne jedna čine za tačke A, B i C: +
+
+
, 3
(1.3)
pri čemu su A, B i C nekolinearne ta čke. 3. Nakon određivanja otpora oslonaca, vrši se izračunavanje sila u šta povima, što se može izvršiti na dva načina: metodom izdvajanja čvorova i metodom izdvajanja dela rešetke (metod preseka, Riterov metod). vorova,, polazi se od čvora u Ukoliko se primenjuje metod izdvajanja čvorova kome se sučeljavaju samo dva štapa. Sile u lakim štapovima, štapov ima, kao unutrašnje sile, pretpostavljaju se kao zatezne. Osim toga, sile reakcije veze istog lakog štapa koje dejstvuju na različite čvorove se postavljaju po principu akcije i reakcije. Pisanjem jednačina ravnoteže za sučeljan sistem sila u ravni: n
n
i =1
i =1
1. ∑ F xi = 0, 2. ∑ F yi = 0.
(1.4)
određuju se sile u štapovima. Sukcesivno, prelazi se sa čvora na čvor, ima jući u vidu da broj nepoznatih sila koje dejstvuju u čvoru bude najviše dva. Dobijeni predznak minus uz intenzitet sile u lakom štapu ukazuje da je taj štap pritisnut, dok predznak plus ukazuje da je štap zategnut. Pri primeni metoda izdvajanja dela rešetke vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima je potrebno odrediti sile, tako da broj presečenih štapova ne bude veći od tri. Zatim se zamenjuje uticaj presečenih štapova silama koje su im kolinearne i zatezne. Pošto je rešetka na ovaj način podeljena na dva dela, a svaki od njih mora biti u ravnoteži, bira se deo rešetke za koji će se pisati jednačine ravnoteže. Preporučljivo je posmatrati onaj deo rešetke na koji dejstvuje manje sila. Takođe, preporučuje se pisanje tri momentne jednačine za tri nekolinearne tačke (1.3), iako je moguće pisati i druge oblike jednačina ravnoteže, na pr pr.. (1.2).
Ravanske rešetke
9
Primer 1.1 Za rešetku2 prikazanu na Slici 1.1, opterećenu silama intenziteta 2kN , odrediti reakcije u osloncima i sile u štapovima metodom izdvajanja čvorova. Sile u štapovima presečenim sa R-R odrediti primenom Riterovog metoda.
Slika 1.1
Pre oslobađanja od spoljašnjih veza, numerisaće se štapovi i čvorovi. Ukupan broj štapova u ovoj rešetki je 13, a čvorova osam. Štapovi su numerisani arapskim, a čvorovi rimskim brojevima ( Slika 1.2). Na osnovu jednakosti broja štapova i vrednosti koju daje relacija s=2·8-3=13, zaključuje se da ova rešetka poseduje osobinu unutrašnje statičke određenosti. Ova rešetka je u tački A oslonjena na nepokretni, a u tački B na pokretni oslonac. Dejstvo ovih veza je zamenjeno silama X A i Y A u tački A i silom Y B u tački B. Jednačine ravnoteže rešetke su: Rešenje:
1.∑ F xi = 0 :
X A − F 4 = 0,
2.∑ F yi = 0 : YA − F1 − F2 − F3 + Y B = 0, +
3. ∑ M A = 0 :
− 2 F 1 − 4 F2 − 6 F3 + 4 F4 + 8Y B = 0,
pa su vrednosti reakcija oslonaca: X A = 2kN , YA = 4kN , Y B = 2kN .
Sile u štapovima će se najpre odrediti metodom izdvajanja čvorova. Ova metoda, kao što je već rečeno, podrazumeva analizu ravnoteže svakog čvora pojedinačno. Polazi se od čvora u kom se sučeljavaju najviše dva štapa. U ovom slu čaju krenuće se 2
U primerima u kojima nije naznačena jedinica za dužinu, smatra se da je dužina izražena u metrima.
RAVANSKE REŠETKE
10
F 4
VII
13
10
F 1 R 6
III
y
VIII
Y B
F 3
7
B
8
2
4 II
2
Y A
VI 12
V
3
I
X A
9
2 1
A
11
F 2
5
2
2
R
x
IV 2
2
Slika 1.2
od čvora A (numerisanog rimskim I). U ovom čvoru dejstvuju komponente reakcije nepokretnog zgloba X A i Y A i sile u štapovima 1 i 2 nepoznatih intenziteta i smerova, u pravcu štapova. Pogodno je pretpostaviti da su štapovi optere ćeni na zatezanje, a priori. To znači da pri analizi ravnoteže čvora smer sila u štapovima ide od posmatranog čvora ka štapu. Na sledećim slikama prikazani su sistemi sila koji dejstvuju na čvorove, a pored slike su ispisane jednačine ravnoteže 3:
Čvor I:
S 2 A I
X A Y A
4.∑ F xi = 0 : S 1
X A + S1 + S 2
5.∑ F yi = 0 : YA + S 2
2 2
2 2
= 0,
= 0.
Rešavanjem ovih jednačina dobija se da su sile u štapovima S1 = 2kN , S2 = −4 2kN , odakle se zaključuje da je štap 1 zategnut, jer je dobijena vrednost za silu u štapu 1 pozitivna. S obzirom da je predznak ispred vrednosti sile u štapu 2 negativan, sledi da je štap 2 opterećen na pritisak. Sada se prelazi na čvor II, u kome su vezani štapovi 1, 3 i 4. Nepoznate u jednačinama ravnoteže za ovaj čvor biće sile u štapovima 3 i 4, dok je zbog principa akcije i reakcije sila u štapu 1 poznatog intenziteta4. Kako u ovom primeru svi kosi štapovi rešetke zaklapaju sa horizontalnim i vertikalnim pravcem uglove od 45°, vrednosti tih uglova neće biti posebno naznačeni na slikama. 4 Pri reš v nju primer vektori svih sila e se postavlj ti jedan u odnosu na drugi po principu akcije i reakcije, а а а ć а tе obeležavati istom slovnom oznakom uz dodatak oznake prim ’ (na pr. S1 i S 1 ), pri čemu će se u jednačinama uvek koristiti jednakost intenziteta tih sila označeno bez prima ( S1 S 1 ). 3
=
’
’
Ravanske rešetke
11
Čvor II: S 3 , S 1
II
S 4
6.∑ F xi = 0 :
− S1 + S 4 = 0,
7.∑ F yi = 0 :
S 3 = 0.
Odavde sledi da je štap 3 neoptere ćen, a sila u štapu 4 je S4 = 2kN , što znači da je ovaj štap zategnut. Čvor III: F 1
S 6
, III S 2
S 5
, S 3
8.∑ F xi = 0 :
− S2
2 2
+ S5
2 2
+ S 6 = 0,
9.∑ F yi = 0 :
− S2
2 2
− S5
2 2
− S3 − F 1 = 0.
Na osnovu napisanih jednačina je S6 = −6kN , S5 = 2 2kN . Analogno ovoj proceduri izvršiće se analiza ravnoteže preostalih čvorova. , S 5
Čvor IV:
S 7 S 8
, S 4
10.∑ F xi = 0 : 11.∑ F yi = 0 :
IV
− S 4 − S5
S5
2 2
S 6
F 2 V
S 9
S 10 S 11
= 0.
= −6kN .
,
12.∑ F xi = 0 :
S10
13.∑ F yi = 0 :
− F2 − S7 + S 10
Intenziteti sila u štapu 9 i 10 su S9 VII
2 2
= 0,
Čvor V:
S 10
S 7
,
2 2
+ S 8
+ S7 + S 8
Dakle, intenzitet sile u štapu 8 je S8 = 4 2kN , dok je S7 ,
2 2
F 4 S 13
2 2
+ S9 − S 6 = 0, 2 2
= 0.
= −2kN , S10 = −4 2kN .
Čvor VII:
14.∑ F xi = 0 :
− S10
2 2
+ S13
2 2
− F 4 = 0,
15.∑ F yi = 0 :
− S10
2 2
− S13
2 2
− S 11 = 0.
12
RAVANSKE REŠETKE
Rešenja ove dve jednačine su S13 = −2 2kN , S11 = 6kN . Određivanje sile u štapu 12 mogu će je izvršiti samo pisanjem jedna čine ravnoteže po horizontalnom pravcu bilo za čvor VI ili VIII. Ovde će to biti ura đeno analizom ravnoteže čvora VIII. Čvor VIII:
,
,
S 13
S 12 VIII
16.∑ F xi = 0 :
− S13
2 2
− S 12 = 0,
B
Y B
te je S12 = 2kN . Brojne vrednosti sila u štapovima, kao i odgovaraju ći karakter opterećenja dati su u sledećim tablicama: Broj štapa i
1
sila S i (+) [kN ]
2
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
2
3 4
5
6 7
0 2 2 2 6 6
4 2
8
9
10
11 12 6
4 2
2 4 2
13
2 2 2
Na Slici 1.3 prikazano je opterećenje rešetke, gde su sa crvenom bojom obojeni štapovi opterećeni na pritisak, crnom oni koji su zategnuti (obi čno se zategnuti šta povi boje plavo, što F 4 ovde zbog tehničkih VII razloga nije moguće). 10 13 Neopterećen štap je 11 F 2 F 1 nacrtan isprekidanom VIII 12 6 9 VI linijom. Ovakvo predIII B V 5 stavljanje rešetke daje 2 F 3 kompletnu sliku opte7 3 8 rećenja njenih štapoI 1 4 A va usled dejstva aktivIV II Slika 1.3 nih sila.
Ravanske rešetke
13
Da bi se odredile vrednosti sila u štapovima 4, 5 i 6 Riterovom metodom, vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima se žele odrediti sile ( Slika 1.4). Zatim se posmatra ravnoteža jednog od delova rešetke. Pogodno je analizirati onaj deo rešetke koji je opterećen F 1 manjim brojem sila. U ovom primeru S 6 III posmatraće se levi deo rešetke. Uticaj desnog dela rešetke ulazi preko prese čeS 5 nih štapova, tj. preko sila u prese čenim 2 štapovima za koje je pogodno pretposS 4 A taviti da su zategnuti. Na taj na čin levi IV I II 2 2 deo rešetke se tretira kao plo ča na koju X A dejstvuju komponente reakcije oslonca Y A A, sila F 1 i sile S4 , S5 i S 6 . Slika 1.4
Dalja analiza podrazumeva pisanje jedna čina ravnoteže za ravanski sistem proizvoljnih sila, za koji se, kao što je poznato, mogu napisati tri jedna čine ravnoteže. Nepoznate vrednosti sila odredi će se pisanjem tri momentne jedna čine kao alternativnog oblika jednačina ravnoteže. Momentne jednačine glase: +
17. ∑ M IV = 0 :
2 F1 − 4YA − 2 S6 = 0,
+
18. ∑ M III = 0 :
2 X A − 2YA + 2 S4 = 0,
+
19. ∑ M I = 0 :
− 2 F1 − 2 S6 − 2 2 S5 = 0 ,
a njihovim rešavanjem sledi S6 = −6kN , S4 rešenja dobijena analitički. Rešetkasti krovni nosač opterećen je vertikalnim silama kako je prikazano na Slici 1.5. Odrediti otpore oslonaca i sile u svim štapovima. Rešetka je u ta čki A oslonjena na nepokretni oslonac, a u tački B je horizontalnom zategom vezana za podlogu. Intenziteti sila su
= 2kN , S5 = 2 2kN , čime
se potvr đuju
Primer 1.2
F1=F4 =10kN , F2 =F3=20kN .
F 1 2
B
F 2 F 3
2
F 4
2 A 4
4
4
Slika 1.5
RAVANSKE REŠETKE
14
je rešetka sa numerisanim štapovima i čvorovima, kao i reakcijama oslonaca. Reakcija zatege S je u pravcu zatege i usmerena je ka njenoj unutrašnjosti. Određivanje reakcija oslonaca izvrši će se pisanjem uslova ravnoteže za celu rešetku. U tu svrhu uvedene su koordinatne ose, a momentna jednačina pisaće se za tačku A. Jednačine ravnoteže za ovu rešetku glase: Rešenje: Na Slici 1.6 prikazana
1.∑ F xi = 0 :
X A − S = 0,
2.∑ F yi = 0 :
YA − F1 − F2 − F3 − F 4 = 0,
+
3. ∑ M A = 0 :
6 S − 4 F 2 − 8 F3 − 12 F 4 = 0,
odakle se dobija da su otpori oslonaca X A = YA = S = 60kN . Sile u štapovima biće određene metodom izdvajanja čvorova. U daljem tekstu prikazani su pojedinačni čvorovi sa silama koje dejstvuju na njih. Pored svakog čvora napisane su y jednačine ravnoteže. F 1 Najpre je analiziran S II čvor I, budući da se 4 F 2 B u njemu sučeljavaju 2 IV dva štapa, pa će broj 3 8 F 3 mogućih jednačina 2 VI 5 7 2 za sučeljan ravanski 11 F 4 9 2 sistem sila biti dovo1 I A III 6 V 10 VII ljan da se odrede dve x X A nepoznate sile u šta4 4 4 Y povima 1 i 2. A Slika 1.6
S 2 X A
I A
Y A
Čvor I: S 1
4.∑ F xi = 0 : X A + S 1 = 0, 5.∑ F yi = 0 : YA + S 2 = 0.
Iz ovih jednačina sledi da je S1 = − 60kN i S2 = −60kN, odakle se zaključuje da su oba štapa pritisnuta.
Ravanske rešetke
15
Prelazi se na čvor II, sada sa poznatom silom u štapu 2. Njen smer se, pri analizi čvora II nanosi od ovog čvora ka štapu, kao da je štap zategnut, ali se u jedna čine ravnoteže unosi sa negativnim predznakom. Čvor II:
6.∑ F xi = 0 : − S + S3 sin β + S 4 cos α = 0, 7.∑ F yi = 0 : − F1 − S 2 − S3 cos β − S 4 sin α = 0.
Na osnovu geometrije rešetke vrednosti uglova α i β su: sin α = 55 , cos α = 2 5 5 sin β = 2 1313 i cosβ = 3 131 Intenziteti sila u štapovima 3 i 4 iznose S3 = 10 13kN i S4 = 20 5kN . Zatim se vrši analiza ravnoteže čvora III. Čvor III:
8.∑ F xi = 0 : − S1 − S3 sin β + S 6 = 0 9.∑ F yi = 0 :
S3 cos β + S 5 = 0,
odakle se dobija da je S5 = −30kN i S6 = −40kN. Zna či, ova dva štapa su pritisnuta. Sada će se preći na čvor VII. Čvor VII:
10.∑ F xi = 0 : − S10 − S 11 cos α = 0 , 11.∑ F yi = 0 :
S11 sin α − F 4 = 0,
Rešavanje ovog sistema daje: S10 = −20kN i S11 = 10 5. Sledeći će se analizirati čvor VI. Čvor VI:
12.∑ F xi = 0 : − S8 cos α + S 11 cos α = 0, 13.∑ F yi = 0 : − S9 + S8 sin α − S11 sin α − F 3 = 0.
Iz ovog sistema jednačina dobijaju se intenziteti sila u štapovima 8 i 9 i oni su: S8 = 10 5kN i S9 = −20kN .
16
RAVANSKE REŠETKE
Konačno, piše se jedna jednačina ravnoteže čvora V. Čvor V:
14.∑ F xi = 0 :
o
− S6 − S7 cos 45 + S 10 = 0,
odakle se dobija da je sila u štapu 7 intenziteta S7 = 20 2kN . Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima dat je u slede ćoj tabeli. Broj štapa i
1 2
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
3
4
5 6
10 13 20 5
60 60
7
8
9 10
20 2 10 5
30 40
11 10 5
20 20 F 6
F 5 F 4
Slika 1.7
Slika 1.8
Opterećenje konstrukcije predstavljeno je na Slici 1.7 . Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.8 odrediti otpore oslonaca, a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima prese čenim sa R-R. Usvojiti da su intenziteti F1 = F2 = F3 = F6 = 1kN , F4 = F5 = 10kN . Primer 1.3
Ravanske rešetke
17
ove rešetke potrebno je uo čiti štap koji je vezan za oslonac A. U uvodu ove sekcije je rečeno da će se ovakav štap koji povezuje rešetku sa osloncima tretirati kao njena spoljašnja veza, a ne kao sastavni deo rešetke. Na taj način poznat je pravac reakcije nepokretnog zgloba A, tj. reakcija leži na pravcu ovog štapa. Na Slici 1.9 prikazana je ova rešetka sa ucrtanim reakcijama veza, kao i sa numerisanim čvorovima i štapovima. Otpori oslonaca će se odrediti na osnovu dve momentne jedna čine i na osnovu sume projekcija svih sila po horizontali. Momentne jedna čine pisaće se za tačke oslanjanja rešetke za podlogu, tj. za tačke A i B i one glase: Rešenje: Kod
+
1. ∑ M A = 0 :
4YB − 2 F1 − 4 F2 − 6 F3 − 8 F6 − 2, 5 F4 − 1, 5 F5 = 0,
+
2. ∑ M B = 0 :
− hA RA − 2 F1 − 4 F2 − 6 F3 − 8 F6 + 1, 5 F4 + 2, 5 F 5 = 0,
gde je hA krak sile RA za tačku B. Na osnovu Slike 1.9 sledi da je tan α = 4 , odnosno hA = AB sin α = 161717 . Na osnovu jednačina ravnoteže dobija se da su da se odredi i komponenta reakcije oslonca B u YB = 15kN i RA = 5 417 kN. Ostaje horizontalnom pravcu. Suma svih sila po horizontali glasi:
∑ F
3.
xi
=0 :
RA cos α + F1 + F2 + F3 + F6 − X B = 0,
odakle je X B = 214 kN . pri čemu je (Slika 1.9)
F 4
2
β 2
α
α 0,5
Slika 1.9
1
0,5 Slika 1.10
18
RAVANSKE REŠETKE
Riterovom metodom treba odrediti sile u štapovima 8, 9 i 10. Zamišljenim presekom po ovim štapovima rešetka će se podeliti na dva dela ( Slika 1.10). Posmatraće se ravnoteža gornjeg dela rešetke. Uticaj donjeg dela je izražen silama u prese čenim štapovima za koje je pretpostavljeno da su opterećeni na zatezanje. Momentne jednačine pisaće se za čvorove V, VI i VII i one glase: +
4. ∑ M V = 0 :
0, 5F4 + 1, 5F5 − 4 F6 − 2 F3 + h8 S8 = 0,
+
5. ∑ M VI = 0 :
− 2 F6 − 1F4 − h10 S 10 = 0,
+
6. ∑ M VII = 0 :
1F5 − 2 F6 + H 8 S8 + h9 S9 = 0,
pri čemu su: h8 - krak sile S 8 za čvor V ( h8 = 2 sin α = m) , h9 - krak sile S 9 za čvor VII ( h9 =1sin β = 45 m) H 8 - krak sile S 8 za čvor VII, h10 - krak sile S 10 za čvor VI ( h10 = H 8 = 1sin α = 417 m ). Rešavanjem prethodnih jednačina ravnoteže, sledi da sile u štapovima iznose: S8= − 7 417 kN , S9 = − 54 kN i S10 =−3 17 kN. Zaklju čuje se da su sva tri štapa opte rećena na pritisak.
8 17
Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.11 odrediti otpore oslonaca, a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima. Usvojiti da je Primer 1.4
F1 =F2 =F3 =10kN .
Slika 1.11
uvođenja odgovarajućih otpora oslonaca, pri čemu je laki horizontalan štap koji spaja zglob B sa rešetkom tretiran kao spoljašnja veza, a njegova reakcija obeležena sa X B (Slika 1.12), jednačine ravnoteže su: Rešenje: Nakon
+
1. ∑ M I = 0 :
2 X B − 2 F1 − 4 F2 − 6 F3 = 0,
2.∑ F xi = 0 :
− X A + X B = 0,
3.∑ F yi = 0 :
Y A − F F 1 − F2 − F 3 = 0.
Ravanske rešetke
19
Rešavanjem ovog sistema se dobija X B = X A = 60kN, YA = 30kN . S obzirom da sve sile u štapovima, numerisanim kako je to prikazano na Slici 1.12, treba da se odrede primenom Riterovog metoda, postavljaju se preseci tako da nakon razdvajanja rešetke na dva dela, te uvođenja reakcija u presečenim štapovima, na posmatrani deo R 2 R 1 rešetke ne dejstvuje R 3 više od tri nepoznate sile. Prvi presek R 4 - R će se postaviti R 4 tako da seče štapove R 4 2, 3 i 4 ( Slika 1.12). R 1 R 2 Jednačine ravnoteže R 3 za levi deo presečene rešetke glase: Slika 1.12
+
4. ∑ M III = 0 :
− 2YA + 2 X B + 2 S4 = 0 ,
+
5. ∑ M II = 0 :
, − 2YA + 2 X A − 2 S2 = 0
+
6. ∑ M MI = 0 :
2 X B + 2 S3 + 2S4 − 2F1 = 0,
odakle sledi da je S4 = −30kN , S2 =30kN i S3 = −20kN . Sledeći presek je moguće postaviti tako da preseca štapove 4, 5 i 6. Na taj na čin se, nakon pisanja dve momentne jedna čine, za desni deo rešetke mogu odrediti intenziteti sila u štapovima 5 i 6. Pogodno napisane jedna čine su: +
7.∑ M IV = 0 :
− 2 F3 + 2 S 6 = 0,
+
8.∑ M V = 0 :
te je S6 =10kN , a S5 =20 2kN .
− 2 F3 − 2 S 4 − 2 S5 = 0 ,
20
RAVANSKE REŠETKE
Jednačine ravnoteže za desni deo rešetke dobijen presecanjem štapova 8, 9 i 10 glase: +
9.∑ M IV = 0 :
2 S10 − 2 F 3 = 0,
+
10.∑ M VII = 0 :
2 S 9 = 0,
+
11.∑ M VI = 0 :
− 1S 8 − 1 F 3 = 0,
a njihovo rešavanje daje S10 =10 2kN , S9 = 0 i S8 = − 10kN . Razmatranjem ravnoteže donjeg dela rešetke dobijene postavljanjem preseka R 4 - R 4 (čija slika neće posebno biti prikazana), te pisanjem jednačina ravnoteže: +
12.∑ M V = 0 : − 2 F3 + 2 S9 − 2 S5 + 2 F1 − 2 S3 − 2 2 S1 + 2 X B = 0, +
13.∑ M IV = 0 :
2 S 11 − 2 F3 + 2 F1 − 2 S3 − 2 S 1 = 0,
+
14.∑ M II = 0 : 2 2 S11 − 4 F3 − 2 F2 + 2 S9 + 2 S7 + 2 S5 = 0,
sledi vrednosti za intenzitete sila u štapovima 1, 7 i 11. Tablični prikaz karak tera opterećenja štapova i intenziteta sila u njima je dat niže, a gra fički prikaz opterećenja je predstavljen na Slici 1.13. Slika 1.13
Broj štapa i sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
1
2 3 4
30 2 30
5
6 7 8 9
20 2 10
20 30
10
11
0 10 2 10 2 10 10
Ovaj tip rešetke se koristi u konstrukcijama za znatnim prepustima, kod nekih tipova mostova, kranova i krovnih konstrukcija. Osnovna karakteristika ovakvog tipa rešetke je da su gornji elementi optere ćeni na zatezanje a donji na pritisak.
Ravanske rešetke
21
rešetku sa zglobom u ta čki C prikazanu na Slici 1.14 odrediti otpore oslonaca i sile u štapovima. Intenziteti sila su F1 = 2kN , F2 = F3 =10kN . Primer 1.5 Za
Slika 1.14 Rešenje:
Slika 1.15
Ova rešetkasta konstrukcija predstavlja sistem od dve rešetke, sa spoljašnjim zglobnim vezama u tačkama A i B. Jedna čine ravnoteže za sistem kao celinu ( Slika 1.15) se mogu napisati u formi: +
1. ∑ M B = 0 :
− 20 F1 + 32 F2 + 16 F3 − 48YA = 0,
+
2. ∑ M A = 0 :
Y B = 0. − 20 F1 −16 F2 − 32 F3 + 48
22
RAVANSKE REŠETKE
Da bi se odredile sve četiri spoljašnje reakcije veza, izvršiće se dekompozicija sistema. Ravnoteža leve rešetke ( Slika 1.16 ) će se ostvariti ukoliko budu zadovoljene jednačine ravnoteže: 3.∑ F yi = 0 : YA − F2 + Y C = 0, +
4. ∑ M A = 0 : − 20 F1 − 16 F2 + 24YC + 12 X C = 0, +
5. ∑ M M C = 0 : − 8 F1 + 8 F2 − 24YA + 12 X A = 0.
Rešavanjem prethodno napisanih sistema jednačina dobija se YA
=
55 6
kN, YB =
65 6
kN,
YC = 65 kN, X C = 15kN, X A = 13kN.
Posmatrajući rešetku kao celinu, a na osnovu ravnoteže svih sila u horizontalnom pravcu, sledi da je X B = 15kN . Da bi se odredile sile u šta povima, potrebno je posmatrati svaku rešetku ponaosob i jednom od metoda odrediti tražene veličine, što se prepušta čitaocu kao vežba. Intenziteti i karakter opterećenja štapova za obe rešetke su prikazani u sledećim tabelama. Broj štapa i
1
Broj štapa i
18,38 8
3
4
5
6
3,61 2,86
9
10
sila S i (-)[kN ]
0,83
Broj štapa i
15
sila S i (+) [kN ]
19,88
7 1,96
11
3,95
17,39
12
13
0,83
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
2 3,83
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
Slika 1.16
14
1,18 14,16
16
17
2,75
0,83
1,18 18
15,83 19
20
0,83 21
3,94 4,72
22 4,17
3,11 21,21
Ravanske rešetke
23
Za rešetke sa Slike 1.17 odrediti i diskutovati karakter optere ćenja štapova. Usvojiti da je F1 = ... = F7 = 2kN, P1 = P2 = P3 = 50kN, Q1 = Q2 = 25kN , Primer 1.6
1
= ... = G11 = 1kN .
-
1
Slika 1.17 Rešenje: Prikazane rešetke predstavljaju neke od osnovnih tipova konstrukcionih
rešenja koja se primenjuju u praksi. Na Slici 1.17a prikazana je tzv. Pratt-ova rešetka, kao jedna od najzastupljenijih. Projektovali su je Thomas i Caleb Pratt, 1844. godine u SAD. Zbog karakteristika koje poseduje izveden je čitav niz njenih varijacija.
24
RAVANSKE REŠETKE
Konstrukcija ima pored vertikalnih, i dijagonalne elemente koji padaju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Svi dijagonalni štapovi, osim onih na krajevima, su optere ćeni na zatezanje (Slika 1.18). Zahvaljujući postavljanju vertikalnih štapova, dijagonalni štapovi su rasterećeniji, samim tim su mogli biti tanji, čime je ostvaren ekonomičniji dizajn rešetke. Na taj način, izvršen je uspešan prelaz sa drvenih na metalne konstrukcije. Za prikazano opterećenje, intenziteti i karakteri sila u štapovima su izračunati i predstavljeni u sledećoj tabeli. Preporučuje se čitaocu da, jednom od prethodno opisanih metoda, potvrdi navedene razulSlika 1.18 tate. Broj štapa i sila S i (+) [kN ]
1 3,57
8
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
4
2
10
11
1,23
5,71
0
6,43 15 1
5
6
3,69
3,57
5,71
9
7 1
12
13
14
1,23
5,71
20
21
6,43 16
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
3
6,14
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
2
5,71
17
18
19
3,69
3,57
2
3,57 6,41
Rešetku tipa Howe (Slika 1.17b) patentirao je 1840. godine američki pronalazač William Howe. Ona je sli čna Pratt-ovoj, ali se dijagonalni elementi penju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Vertikalni elementi su optere ćeni na zatezanje, dok su dijagonale pritisnute (Slika 1.19). Stoga je konstrukcija neekonomi čna za čelične mostove i u praksi se danas ređe sreće, mada je u prošlosti bila u širokoj upotrebi pri konstrukciji železničkih mostova. Kod tih mostova obi čno su vertikale izrađivane od čelika, a dijagonale od drveta. Upravo zbog takvog karaktera optere ćenja i ma-
Ravanske rešetke
25
terijala koji je koriš ćen za dijagonalne elemente, ove konstrukcija su bile vrlo nepouzdane. One su smatrane uzročnikom velikog broja rušenja mostova, te železničkih nesreća. Sledi tabelarni prikaz opterećenja štapova ove rešetke. Slika 1.19
Broj štapa i sila S i (+) [kN ]
1 3,57
8
9
5,71
1,23
Broj štapa i
15
16
sila S i (+) [kN ]
3
sila S i (-)[kN ]
4
5
5
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
3
6,14
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
2
3,57
3,57
3,69
10
11
12
6,43
2
17 3,69
6
7
5,71
3
13
14 6,43
5,71
1,23
18
19
20
5,71
5
21 3,57
6,14
Rešetku tipa Warren (Slika 1.17c), patentirali su 1848. godine James Warren i Willoughby Monzoni u Velikoj Britaniji. Ona je jedna od najjednostavnijih tipova rešetki, prepoznatljiva po osnovnim elementima oblika jednakostrani čnog trougla. Ovaj oblik se koristi za premoš ćenje manjih raspona 50-100m. U praksi se sreću i varijacije osnovnog oblika sa dodatkom vertikala u cilju ostvarenja ve ćih raspona. Opadajuće dijagonale (Slika 1.20) su opterećene na zatezanje (kao kod Pratt-ove rešetke), a rastuće na pritisak (kao kod rešetke tipa Howe). Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima ove rešetke je dat u narednim tabelama.
26
RAVANSKE REŠETKE
Slika 1.20
Broj štapa i
1
2
4,04
sila S i (+) [kN ]
4
8,08
Broj štapa i
8
9
6,93 10
11
1,15
sila S i (+) [kN ]
5
5,77
sila S i (-)[kN ]
sila S i (-)[kN ]
3
12
3,46
7
1,15
8,66
3,46
8,66
9,24
6
13
14
15
5,77
4,04
6,93
8,08
Na Slici 1.17d prikazana rešetka sa tzv. K-is punom. Ona se primenju je kod visokih rešetkastih konstrukcija, jer podupiruće dijagonale smanjuju moguće deformacije vertikalnih štapova. Nekadašnji Varadinski most u Novom Sadu posedovao je rešetkastu konstrukciju Slika 1.21 ovakvog tipa. Za zadato opterećenje ove rešetke, šematski prikaz optere ćenja štapova je prikazan na Slici 1.21, a tabelarni prikaz je dat niže. Broj štapa i
1
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
130,17
2
3
4
83,33
25
100
5
6
7 72,89
83,33 72,89
Ravanske rešetke
Broj štapa i sila S i (+) [kN ]
8
9
10
83,33
12,5
37,5
12
13
14
15
24,3 145,83
25
145,83 24,3
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
16
17
18
19
20
21
24,3 145,83 12,5
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
11
27
145,83
24,3
23
24
Broj štapa i
37,5 83,33
25
72,89 83,33
sila S i (+) [kN ]
26
27
25
100
28
29 83,33
72,89
sila S i (-)[kN ]
22
130,17
Baltimorova rešetka 12 24 18 6 (Slika 1.17e) je varijacija Prattove. Osnovna modifi22 7 2 13 28 33 kacija se ogleda u postoja23 17 29 5 11 nju štapova ispune. Na ovaj način postignuto je skraće4 8 10 14 16 19 21 25 27 30 32 1 3 nje štapova donjeg pojasa i 31 15 20 26 9 B A dijagonala, što je od zna čaja C D kod mostovskih konstrukcija. Karakter opterećenja G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 štapova je prikazan na Slici 1.22, odnosno u slede ćoj taSlika 1.22 beli. Svi horizontalni štapovi donjeg pojasa su zategnuti, pri čemu intenziteti u štapovima od ta čke A do C i D do B iznose 5,5kN . Intenziteti sila u štapovima od ta čke C do D su 8,5kN . Broj štapa i
1
2
3
Broj štapa i sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
5
1
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
4
7,78
7,07
10
11
6
2
3,54
13
8 14
1,41 1
9
8
4,24
0,71 12
7
0,71
9 1
0,71 15
16
17
1
0,71
0
28
RAVANSKE REŠETKE
Broj štapa i
18
sila S i (+) [kN ] sila S i (-)[kN ]
9
Broj štapa i
26
sila S i (+) [kN ]
1
sila S i (-)[kN ]
19
20
0,71
1
21
22
0,71
24
1,41 0,71
27
23
28
29
4,24
2
30
25 3,54
1
8
31
32
33
7,78
7,07
1 0,71
