01 MATEMATICAS - Aritmetica

MATEMÁTICAS Aritmética

Aritmética - Indice

1. Números Naturales. 1.1. El conjunto de los números naturales. 1.2. Suma de números naturales. Propiedades. 1.3. Diferencia de números naturales. Propiedades. 1.4. Producto de números naturales. Propiedades. 1.5. Cociente de números naturales. Propiedades. 1.6. Potencias de exponente natural. 1.7. Operaciones combinadas. Prioridad de las operaciones. 1.8. La Operación Raíz Cuadrada. 1.9. Cálculo de una raíz cuadrada paso a paso. 1.10. Resumen. 1.11. Ejercicios de números naturales. 1.12. Problemas de números naturales.

2. Divisibilidad. 2.1. Múltiplos. 2.2. Divisores. 2.3. Criterios de divisibilidad. 2.4. Cálculo de todos los divisores de un número. 2.5. Números primos. 2.6. Factorizar un número. 2.7. Máximo común divisor. 2.8. El Algoritmo de Euclides. 2.9. Mínimo común múltiplo. 2.10. Resumen. 2.11. Ejercicios de divisibilidad. 2.12. Problemas de divisibilidad.

3. Números enteros. 3.1. El conjunto de los números enteros. 3.2. Criterios para ordenar los números enteros. 3.3. Suma. 3.4. Diferencia. 3.5. Producto. 3.6. Cociente. 3.7. Potencias. 3.8. Potencias de exponente entero negativo. 3.9. Raíz cuadrada. 3.10. Operaciones combinadas. 3.11. Resumen. 3.12. Ejercicios. 3.13. Problemas.

4. Números Decimales. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.

Introducción. Tipos. Orden y representación de decimales. Suma y resta de decimales. Producto de decimales. División de decimales. Raíz cuadrada de decimales. Resumen.

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Aritmética - Indice 4.9. Ejercicios. 4.10. Problemas.

5. Fracciones y números racionales. 5.1. Fracciones. 5.2. Significado de la fracción. 5.3. Clasificación de las fracciones. 5.4. Reducción de fracciones a común denominador. 5.5. Ordenar fracciones. 5.6. Suma y resta de fracciones. 5.7. Multiplicación y división de fracciones. 5.8. Operaciones combinadas con fracciones. 5.9. Fracción generatriz. 5.10. Números racionales. 5.11. Suma y resta de números racionales. 5.12. Multiplicación y división de números racionales. 5.13. Potencias de números racionales. 5.14. Resumen. 5.15. Ejercicios 1. 5.16. Ejercicios 2.

6. Proporcionalidad. 6.1. Proporción. 6.2. Cuarto y medio proporcional. 6.3. Magnitudes directamente proporcionales. 6.4. Regla de tres simple y directa. 6.5. Repartos directamente proporcionales. 6.6. Porcentajes. 6.7. Magnitudes inversamente proporcionales. 6.8. Regla de tres simple inversa. 6.9. Repartos inversamente proporcionales. 6.10. Compuesta. 6.11. Interés. 6.12. Resumen. 6.13. Ejercicios 1 6.14. Ejercicios 2 6.15. Ejercicios de interés. 6.16. Ejercicios de porcentajes. 6.17. Ejercicios de regla de tres. 6.18. Ejercicios de repartos proporcionales.

7. Sistema Métrico Decimal. 7.1. Sistema métrico decimal. 7.2. Medidas complejas e incomplejas. 7.3. Medidas de longitud. 7.4. Medidas de masa. 7.5. Medidas de capacidad. 7.6. Medidas de superficie. 7.7. Medidas de volumen. 7.8. Medidas tradicionales. 7.9. Medidas sajonas. 7.10. Resumen. 7.11. Ejercicios 1 7.12. Ejercicios 2 3 de 362


8. Sistema sexagesimal. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

Sistema sexagesimal. Medidas de tiempo. Medidas de ángulos. Resumen. Ejercicios 1. Ejercicios 2.

9. Números reales. 9.1. Números irracionales. 9.2. Números reales. 9.3. Operaciones con números reales. 9.4. Intervalos. 9.5. Semirrectas. 9.6. Valor absoluto de un número real. 9.7. Entornos. 9.8. Potencias. 9.9. Radicales. 9.10. Reducción de radicales a índice común. 9.11. Extracción e introducción de factores en radical. 9.12. Suma de radicales. 9.13. Producto de radicales. 9.14. Cociente de radicales. 9.15. Potencia de radicales. 9.16. Raíz de un radical. 9.17. Racionalizar. 9.18. Resumen. 9.19. Ejercicios 1. 9.20. Ejercicios 2.

10.

Números complejos.

10.1. Números imaginarios. 10.2. Potencias de la unidad imaginaria. 10.3. Números complejos en forma binómico. 10.4. Representación gráfica de los números complejos. 10.5. Operaciones de números complejos en la forma binómica. 10.6. Números complejos en la forma polar. 10.7. Números complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos. 10.8. Producto y cociente de complejos en forma polar. 10.9. Potencia de complejos en forma polar. 10.10. Raíz enésima de complejos en forma polar. 10.11. Coordenadas cartesianas y polares. 10.12. Números complejos en forma trigonométrica. 10.13. Resumen. 10.14. Ejercicios. 10.15. Problemas.

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11.

Sucesiones y progresiones.

11.1. Sucesiones. 11.2. Operaciones con sucesiones. 11.3. Límite de una sucesión. 11.4. Tipos de sucesiones. 11.5. Progresiones aritméticas. 11.6. Progresiones geométricas. 11.7. Determinación del término general de una sucesión. 11.8. Ejercicios 1. 11.9. Ejercicios 2. 11.10. Ejercicios de sucesiones. 11.11. Ejercicios de progresiones aritméticas. 11.12. Ejercicios de Progresiones geométricas.

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Aritmética – 1.- Números Naturales

1. Números Naturales. 1.1. El conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales está formado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal ). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal ). Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales: 5 > 3;

5 es mayor que 3.

3 < 5;

3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. Representación de los números naturales Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

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1.2. Suma de números naturales. Propiedades. a + b = c Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma. Propiedades de la suma de números naturales El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural. a + b

1. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5 + 5 = 2 + 8 10 = 10

2. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a 2 + 5 = 5 + 2 7 = 7

3. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a 3 + 0 = 3

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1.3. Diferencia de números naturales. Propiedades. a - b = c Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. Propiedades de la resta de números naturales 1. No es una operación interna: El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural. 2 − 5 2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5

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1.4. Multiplicación de números naturales. Propiedades. Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor. a · b = c Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto . Propiedades de la multiplicación de números naturales 1. Interna: El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número natural. a · b 2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5) 6 · 5 = 2 · 15 30 = 30 3. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto. a · b = b · a 2 · 5 = 5 · 2 10 = 10 4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales, porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a · 1 = a 3 · 1 = 3 5. Distributiva: La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos. a · 2 · 2 · 16

(b + c) = a · b + a · c (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 8 = 6 + 10 = 16

6. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a · b + a · c = a · (b + c) 2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5) 6 + 10 = 2 · 8 16 = 16

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1.5. División de números naturales. Propiedades. D : d = c Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente. Tipos de divisiones 1. División exacta: Una división es exacta cuando el resto es cero. D = d · c

15 = 5 · 3 2. División entera: Una división es entera cuando el resto es distinto de cero. D = d · c + r

17 = 5 · 3 + 2 Propiedades de la división de números naturales 1. No es una operación interna : El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural. 2 : 6 2. No es Conmutativo: a : b ≠ b : a 6 : 2 ≠ 2 : 6 3. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 = 0 4. No se puede dividir por 0.

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1.6. Potencias de exponente natural. Propiedades. Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 5 · 5 · 5 · 5 = 54 Base La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5. Exponente El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4. Propiedades de la potencias de exponente natural 1. a 0 = 1 2. a 1 = a 3. Producto de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes . am · a

n

= am+n

25 · 22 = 25+2 = 27 4. División de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes . am : a

n

= am

25 : 22 = 25

- n

- 2

= 23

5. Potencia de una potencia : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (a m ) n = a m

· n

(2 5 ) 3 = 2 1 5 6. Producto de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. an · b

n

= (a · b)

n

23 · 43 = 83 7. Cociente de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a n : b n = (a : b) n 63 : 33 = 23

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Descomposición polinómica de un número Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10. El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo: 3 658 = 3 ·10 3 + 6 ·10 2 + 5 ·10 1 + 8

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1.7. Operaciones combinadas. Prioridad de las operaciones. Prioridad de las operaciones 1º. 2º. 3º. 4º.

Efectuar Calcular Efectuar Realizar

las las los las

operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. potencias y raíces. productos y cocientes. sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas 1. Operaciones combinadas sin paréntesis 1.1 Combinación de sumas y diferencias. 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = Comenzando por la izquierda, vamos efectuando operaciones según aparecen. = 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

las

1.2 Combinación de sumas, restas y productos. 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 = Realizamos primero la multiplicación prioridad. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = Efectuamos las sumas y restas. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

por

tener

mayor

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = Efectuamos las sumas y restas. = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10 1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias. 2 3 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 = Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 = Seguimos con los productos y cocientes . = 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 = Efectuamos las sumas y restas. = 26 2. Operaciones combinadas con paréntesis (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2 3 ) = Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )= Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18 3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes [15 − (2 3 − 10 : 2 )]·[5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis . = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

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Aritmética – 1.- Números Naturales Realizamos las sumas y restas de los paréntesis . = [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2 = En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente: = (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2= Operamos en los paréntesis. = 12 · 7 − 3 + 2 Multiplicamos. = 84 − 3 + 2= Restamos y sumamos. = 83

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1.8. La Operación Raíz Cuadrada. La radicación es la operación inversa a la potenciación . Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b 2 = a.

Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0. Radicando = (Raíz exacta) 2

Cuadrados perfectos Son los números que poseen raíces cuadradas exactas. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... Raíz cuadrada entera Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera. Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto

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1.9. Cálculo de una raíz cuadrada paso a paso. Cálculo de la raíz cuadrada

1 Si el radicando tiene más de dos cifras , separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda. ¿Qué número elevado al cuadrado da 8? 8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.

3 El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

El cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4. 4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492. 49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9. 5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del doble de la raíz, multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior.

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6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz .

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz.

8 Prueba de la raíz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir: Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto 89 225 = 298 2 + 421

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1.10.

Resumen.

Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto (número cardinal ). O para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto ( ordinal ). Propiedades de la suma 1. 2. 3. 4.

Interna: a + b Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a Elemento neutro: a + 0 = a Propiedades de la resta

1. No es una operación interna : 2 − 5 2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5 Propiedades de la multiplicación 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Interna: a · b Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) Conmutativa: a · b = b · a Elemento neutro: a · 1 = a Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) Propiedades de la división

1.División exacta: D = d · c 2. División entera : D = d · c + r 3. 4. 5. 6.

No es una operación interna : 2 : 6 No es Conmutativo: 6 : 2 ≠ 2 : 6 Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 =0 No se puede dividir por 0. Propiedades de las potencias

1.a 0 = 1 2. a 1 = a 3. Producto de potencias con la misma base : a m · a n = a m + n 4. Cociente de potencias con la misma base : a m : a n = a m - n 5. Potencia de una potencia : (a m ) n = a m · n 6. Producto de potencias con el mismo exponente : a n · b n = (a · b) n 7. Cociente de potencias con el mismo exponente : a n : b n = (a : b) n Propiedades de las raíces 1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz) 2 2. Raíz entera: Radicando= (Raíz) 2 + Resto Prioridades en las operaciones 1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, llaves. 2º.Calcular las potencias y raíces. 3º.Efectuar los productos y cocientes. 4º.Realizar las sumas y restas.

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corchetes

y


1.11.

Ejercicios de números naturales.

1. Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones: 1. 327 + ... = 1.208

(Sol.: sumando)

2. ... – 4.121 = 626

(Sol.: minuendo)

3. 321 · ....... = 32 100

(Sol.: factor)

4. 28.035 : ....... = 623

(Sol.: Divisor)

2. Busca el término desconocido en las siguientes operaciones: 1. 4 · (5 + ...) = 36

(Sol.: 4)

2. (30 – ...) : 5 + 4 = 8

(Sol.: 10)

3. 18 · ... + 4 · ... = 56

(Sol.: 2 y 5)

4. 30 – ... : 8 = 25

(Sol.: 40)

3. Calcular de dos modos distintos las siguientes operaciones: normal y sacando factor común

1. 17 · 38 + 17 · 12 = 2. 6 · 59 + 4 · 59 = 3.(6 + 12) : 3 4.Sacar factor común : 1. 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 =

(Sol.: 5 (7 − 3 + 16 − 4))

2. 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 =

(Sol.: 4 (6 − 3 + 9 − 5))

3.8 · 34 + 8 · 46 + 8 · 20 =

(Sol.: 8 · (34 + 46 + 20))

5.Expresa en forma de potencias: 1. 50.000

(Sol.: 5 · 10 4 )

2. 3.200

(Sol.: 32 · 10 2 )

3. 3.000.000

(Sol.: 5 · 10 6 )

6.Escribe en forma de una sola potencia : 1. 3 3 · 3 4 · 3 =

2. 5 7 : 5 3 =

3. (5 3 ) 4 =

4. (5 · 2 · 3) 4 =

5. (3 4 ) 4 =

6. [(5 3 ) 4 ] 2 =

7. (8 2 ) 3

8. (9 3 ) 2

9. 2 5 · 2 4 · 2 =

10. 2 7 : 2 6 =

11. (2 2 ) 4 =

12. (4 · 2 · 3) 4 =

13.(2 5 ) 4 =

14. [(2 3 ) 4 ] 0 =

15. (27 2 ) 5 =

16. (4 3 ) 2 =

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7.Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números: 1. 3.257 2. 10.256 3.125.368 8.Calcular las raíces : 1. 2. 3. 9.Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad: 1. 27 + 3 · 5 – 16 = 2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16 = 3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) = 4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 = 5. 2 + 5 · (2 · 3)³ = 6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 7. 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} = 8. 7 · 3 + [6 + 2 · (2 3 : 4 + 3 · 2) – 7 ·

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] + 9 : 3 =


1.12.

Problemas de números naturales.

1 Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y súmalos.

2 El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo?

3 El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto?

4 Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por cuánto lo vendió?

5 Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?

6 Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes cuestan 400 € y se desea ganar con la venta 1200€. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de boquerones?

7 ¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año tiene 365 días. 8 Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene Pedro.

9 En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?

10 En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día?

11 En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?

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Aritmética – 2.- Divisibilidad

2. Divisibilidad. 2. Divisibilidad. 2.1.Múltiplos. 2.2.Divisores. 2.3.criterios de divisibilidad. 2.4.Cálculo de todos los divisores de un número. 2.5.Números primos. 2.6.Factorizar un número. 2.7.Máximo común divisor. 2.8.El Algoritmo de Euclides. 2.9.Mínimo común múltiplo. 2.10. Resumen. 2.11. Ejercicios de divisibilidad. 2.12. Problemas de divisibilidad.

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Aritmética – 2.- Divisibilidad 2.1. Múltiplos. Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c. a = b · c 18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9. 18 = 2 · 9 Obtenemos un múltiplo natural al multiplicarlo por cualquier número natural. Múltiplos de 2 2 · 0 = 0

2 · 1 = 2

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8

2 · 5 = 10

2 · 6 = 12

2 · 7 = 14

2 · 8 = 16

2 · 9 = 18

Múltiplos de 3 3 · 0 = 0

3 · 1 = 3

3 · 2 = 6

3 · 3 = 9

3 · 4 = 12

3 · 5 = 15

3 · 6 = 18

3 · 7 = 21

3 · 8 = 24

3 · 9 = 27


4 · 1 = 4

4 · 2 = 8

4 · 3 = 12

4 · 4 = 16

4 · 5 = 20

4 · 6 = 24

4 · 7 = 28

4 · 8 = 32

4 · 9 = 36


5 · 1 = 5

5 · 2 = 10

5 · 3 = 15

5 · 4 = 20

5 · 5 = 25

5 · 6 = 30

5 · 7 = 35

5 · 8 = 40

5 · 9 = 45

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Propiedades de los múltiplos de un número 1Todo número a, distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. 2 El cero es múltiplo de todos los números. 3 Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos. 4 Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta. 5 La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 6 La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 7 Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero. 8 Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

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Aritmética – 2.- Divisibilidad 2.2. Divisores Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente. 4 es divisor de 12; 12 : 4 = 3. A los divisores también se les llama factores. Propiedades de los divisores de un número 1 Todo número, distinto de 0, es divisor de sí mismo. 2 El 1 es divisor de todos los números. 3 Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto el número de divisores es finito . 4 Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia. 5 Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero. 6 Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. Descomposición en factores primos Para descomponer un número en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

2 520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 Número de divisores de un número Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y multiplicando los resultados obtenidos: Número de divisores de: 2.520 = (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 48

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Formación de todos los divisores de un número Se escribe una primera fila formada por la unidad y todas potencias del primer factor , se traza una línea horizontal.

las

Formación de todos los divisores de 2 520 1 2 4 8 Se escribe una segunda fila, con los productos del segundo factor por la fila anterior. Si el segundo factor se ha elevado a exponentes superiores a la unidad, por cada unidad del exponente se escribe otra fila. Se traza otra línea horizontal. 1 3 9

2 6 18

4 12 36

8 24 72

Se escriben ahora otras filas con los productos del tercer factor (con las potencias correspondientes) por todos los números obtenidos hasta el momento. 1 3 9 5 15 45

2 6 18 10 30 90

4 12 36 20 60 180

8 24 72 40 120 360

Se continúa de igual modo con otros posibles factores. 1

2

4

8

3

6

12

24

9

18

36

72

5

10

20

40

15

30

60

120

45

90

180

360

7

14

28

56

21

42

84

168

63

126

252

504

35

70

140

280

105

210

420

840

315

630

1260

2520

El último divisor obtenido debe coincidir con el número.

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Aritmética – 2.- Divisibilidad 2.3. Criterios de divisibilidad Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. 24, 238, 1024.

Criterio de divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3. 564 5 + 6 + 4 = 15, es múltiplo de 3 2040 2 + 0 + 4 + 0 = 6, es múltiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco. 45, 515, 7525.

Criterio de divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7 . 343 34 - 2 · 3 = 28, es múltiplo de 7 105 10 - 5 · 2 = 0 2261 226 - 1 · 2 = 224 Volvemos a repetir el proceso con 224. 22 - 4 · 2 = 14, es múltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11. 121 (1 + 1) - 2 = 0 4224 (4 + 2) - (2 + 4) = 0

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Otros criterios de divisibilidad Criterio de divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. 36, 400, 1028.

Criterio de divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3. 72, 324, 1503

Criterio de divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. 4000, 1048, 1512.

Criterio de divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9. 81 8 + 1 = 9 3663 3 + 6 + 6 + 3 = 18, es múltiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0. 130, 1440, 10 230

Criterio de divisibilidad por 25 Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25. 500, 1025, 1875.

Criterio de divisibilidad por 125 Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125. 1000, 1 125, 4 250. Factorizar Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de números primos.

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Aritmética – 2.- Divisibilidad 1. Cálculo de todos los divisores de un número (Descomponer en factores primos) Para descomponer un número en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical , a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes .

2 520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7

2.

Números primos

Definición de número primo Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad . 5, 13, 59. El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él . Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor , se dice que el número es primo.

Por tanto 179 es primo.

Criba de Eratóstenes La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado. Partimos de una determinado número.

lista

de

números

que

van

de

2

hasta

un

Eliminamos de la lista los múltiplos de 2. Luego tomamos eliminado (el 3) y sucesivamente.

el primer número eliminamos de la

después del 2 que no lista sus múltiplos, y

fue así

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista. Los números que permanecen en la lista son los primos. Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que 40.

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1. Escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2 y 40. 2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2. Eliminamos los múltiplos de 2. 2 21

de 3. 2

3

5

7

9

11

13

15

17

19

23

25

27

29

31

33

35

37

39

3. El siguiente número es 3, como 3 2 < 40 eliminamos los múltiplos

3

5

7

23

25

11 29

13

31

17 35

19

37

4. El siguiente número es 5, como 5 2 < 40 eliminamos los múltiplos de 5. 2

3

5

7

11

23

29

13

17

31

19

37

5. El siguiente número es 7, como 7 2 > 40 el algoritmo termina y los números que nos quedan son primos. 2

3

5

7

11

23

29

13

17

31

19

37

Tabla de números primos 2

3

5

7

23 41

43

61

29

67

103

13

31

47

83

101

11

71

53

59

73

79 97

109

127

113 131

30 de 362

19

37

89

107

17

137

139


149 163

151

167

157 173

181

191

31 de 362

193

179 197

199

Aritmética – 2.- Divisibilidad 3.

Factorizar un número (Descomposición en factores primos)

Un número compuesto es él que posee más de dos divisores . Es decir se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números. 12, 72, 144. Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. 70 = 2 ·5 · 7

Factorizar un número Para factorizar un número o descomponerlo efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores obtener un uno como cociente .

en factores primos hasta

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical , a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes .

432 = 2 4 · 3 3

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Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.

1.

72 = 2 3 · 3 2 108 = 2 2 · 3 3 60 = 2 2 · 3 · 5

2. m. c. d. (72, 108, 60) = 2 2 · 3 = 12 12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60. Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d. El número 12 es divisor de 36. m. c. d. (12, 36) = 12

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Máximo común divisor

Un algoritmo es una secuencia de pasos para conseguir un resultado. El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números. Los pasos son:

1. Se divide el número mayor entre el menor. 2. Si: 1. La división es exacta, el divisor es el m.c.d. 2. La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto

obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d. m. c. d. (72, 16)

m. c. d. (72, 16) = 8

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Mínimo común múltiplo

Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números , excluido el cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Hallar el m. c. m. de: 72, 108 y 60. 72 = 2 3 · 3 2 108 = 2 2 · 3 3 60 = 2 2 · 3 · 5 m. c. m. (72, 108, 60) = 2 3 · 3 3 · 5 = 1 080 1 080 es el menor múltiplo común a: 72, 108 y 60 1 080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60. Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos. El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36) = 36

Relación entre el m. c. d. y m. c. m. m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b m. c. d. (12, 16) = 4 m. c. m. (12, 16) = 48 48 · 4 = 12 ·16 192 = 192

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Resumen

Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c. a = b · c

Consideraciones sobre los múltiplos de un número 1 Todo número a es múltiplo de sí mismo y de la unidad. 2 El cero es múltiplo de todos los números. 3 Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos. 4 Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta. Un número b es un D I V I S O R de otro a cuando lo exactamente . A los divisores también se les llama F A C TO RE S .

divide

Consideraciones sobre los divisores de un número 1 El 1 es divisor de todos los números. 2 Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo. 3 Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto el número de divisores es finito .

Criterios de divisibilidad Un número es divisible por : 2, si termina en cero o número par. 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3. 5, si termina en cero o cinco. 7, si la división es exacta (no aplicaremos ninguna regla, aunque la hay). 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es múltiplo de 11 .

Otros criterios de divisibilidad 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. 6, si es divisible por 2 y por 3. 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9. 10, si la cifra de las unidades es 0. 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25. 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

Número primo Un número es primo si sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

Número compuesto Es aquél que posee más de dos divisores.

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Factorizar Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de números primos. Para factorizar un número efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente .

Máximo común divisor El máximo común divisor, m.c.d. , de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del m.c.d 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Mínimo común múltiplo Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números , excluido en cero.

Cálculo del m.c.m 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

El algoritmo de Euclides El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m. c. d. de dos números. Los pasos son:

1. Se divide el número mayor entre menor. 2. Si: 1. La división es exacta, el divisor es el m. c. d. 2. La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m. c. d.

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1

Ejercicios de divisibilidad Calcular todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860. (Sol.: 816, 833, 850)

2

De los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cuáles son primos y cuáles compuestos. (Sol.: Primos: 179 y 311. Compuestos: 848, 3566 y 7287 )

3

Calcular, mediante una tabla, todos los números primos comprendidos entre 400 y 450. (Sol.: 401

409 419

421 431

4 Descomponer

5

433

439

443

449

en factores

1 216

(Sol.: 216 )

2 360

(Sol.: 360)

3 432

(Sol.: 432)

Factorizar 342 y calcular su número de divisores. (Sol.: 342) (Sol.: Nd 12)

6

7

Descomponer en factores

1 2250

(Sol.: 2250)

2 3500

(Sol.: 3500)

3 2520

(Sol.: 2.520)

Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

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8

1 428 y 376

(Sol.: 4 y 40 232)

2 148 y 156

(Sol.: 4 y 5772)

3 600 y 1 000

(Sol.: 200 y 3000)

Calcular el m. c. d. y m.c.m. de: (Sol.: 2

2 1048, 786 y 3930

(Sol.: 262 y 15.720)

3 3120, 6200 y 1864

9

2

1 72, 108 y 60

· 3 y 2160)

(Sol.: 8 y 112.678.800)

Calcular por el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de:

1 72 y 16

(Sol.: 8)

2 656 y 848

(Sol.: 16)

3 1278 y 842

(Sol.: 3)

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Problemas de divisibilidad

1.-

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. Sol.: 12 = 2 2 · 3 18 = 2· 3 2 60 = 2 2 · 3 · 5 m. c. m. (12 , 18, 60) = 2 2 · 3 2 · 5= 180 180 : 60 = 3 Sólo a las 6.33 h.

2.-

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? Sol.: 18 = 2 · 3 2 24 = 2 3 · 3 m. c. m. (18, 24) =2 3 · 3 2 = 72 Dentro de 72 días.

3.-

¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9? Sol.: m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 2 4 · 3 2 · 5 = 720 720 + 9 = 729

4.-

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. Sol.: m. c. d. (250, 360, 540) = 10 Capacidad de las garrafas = 10 l. Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36 Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54 Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

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5.-

El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

Sol.: 3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5 5 m = 50 dm 50 = 2 · 5 2 A = 30 · 50 = 1500 dm 2 m. c. d. (30, 50) = 2· 5= 10 dm de lado A b = 10 2 = 100 dm 2 1500 dm 2 : 100 dm 2 = 15 baldosas

6.-

Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. Sol.: m. c. d. (12 028, 12 772) = 124 124 naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104 Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97 Cajas necesarias = 104 + 97 = 201

7.-

¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan? Sol.: 8 m = 80 dm 80 = 2 4 · 5 6.4 m = 64 dm 64 = 2 6 m. c. d. (80, 64) = 2 4 = 16 dm de lado A

b

= 16 2 = 256 dm 2

A = 80 · 64 = 5120 dm 2 5120 dm 2 : 256 dm 2 = 20 baldosas

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Aritmética – 3.- Números enteros

3. Números enteros. 1.

El conjunto de los números enteros.

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo , pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un numero menor hay que restarle uno mayor. Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar , etc. Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros. El conjunto de los números enteros está formado por: = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros .

Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo . El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales . |−5| = 5 |5| = 5

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Representación de los números enteros 1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos : 1, 2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...

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Aritmética – 3.- Números enteros 2.

Criterios para ordenar los números enteros.

Orden en los números enteros Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor al que él está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0

2. Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 > −10

|−7| < |−10|

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7

|10| > |7|

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Suma

Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común. 3 + 5 = 8 (−3) + (−5) = −8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto. − 3 + 5 = 2 3 + (−5) = −2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna: El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero. a + b 3 + (−5)

2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)] 5 − 5 = 2 + (−2) 0 = 0

3. Conmutativa : El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a 2 + (−5) = (−5) + 2 −3 = −3

4. Elemento neutro : El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a (−5) + 0 = −5

5. Elemento opuesto Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. a + (-a) = 0 5 + (−5) = 0 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. −(−5) = 5

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Diferencia

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a − b = a + (−b) 7 − 5 = 2 7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1. Interna: La resta dos números enteros es otro número entero. a − b 10 − (−5)

2. No es Conmutativa : a − b ≠ b − a 5 − 2 ≠ 2 − 5

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5.

Producto

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero , que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos .

Regla de los signos

2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 2 · (−5) = −10 (−2) · 5 = −10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna: El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero. a · b 2 · (−5)

2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] 6 · (−5) = 2 · (−15) −30 = −30

3. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto. a · b = b · a 2 · (−5) = (−5) · 2 -10 = -10

4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación multiplicado por él da el mismo número.

porque

todo

número

a · 1 = a (−5) · 1 = (−5)

5. Distributiva : El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c (−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

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Aritmética – 3.- Números enteros (−2) · 8 = (−6) + (−10)  −16 = −16

6. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a · b + a · c = a · (b + c) (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

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6.

Cociente

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

10 : 5 = 2 (−10) : (−5) = 2 10 : (−5) = −2 (−10) : 5 = −2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna : El resultado de dividir dos números enteros número entero. (−2) : 6

2. No es Conmutativo : a : b ≠ b : a 6 : (−2) ≠ (−2) : 6

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no

siempre es

otro


7.

Potencias

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

1. a 0 = 1 2. a 1 = a 3. Producto de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes . am · a

n

= am+n

(−2) 5 · (−2) 2 = (−2) 5 + 2 = (−2) 7 = −128

4. División de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes . am : a

n

= am

— n

(−2) 5 : (−2) 2 = (−2) 5

— 2

= (−2) 3 = −8

5. Potencia de una potencia : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes . (a m ) n = a m

· n

[(−2) 3 ] 2 = (−2) 6 = 64

6. Producto de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el producto de las bases an · b

n

= (a · b)

mismo exponente

y cuya base es el

n

(−2) 3 · (3) 3 = (−6) 3 = −216

7. Cociente de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. an : b

n

= (a : b)

n

(−6) 3 : 3 3 = (−2) 3 = −8

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8.

Potencias de exponente negativo

Un número elevado a −1, es el inverso de dicho número.

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9.

Raíz cuadrada

Definición de raíz cuadrada La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado.

Calculo de una raíz cuadrada Calcular la raíz cuadrada de:

89.225

1 S i el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8? 8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.

3 El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492. 49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz, multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.

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Aritmética – 3.- Números enteros Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7... hasta encontrar un valor inferior.

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz .

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz

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8 Prueba. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir: Radicando= (Raíz entera) 2 + Resto 89 225 = 298 2 + 421

Ejercicios de raíces cuadradas Resolver la raíz cuadrada de:

Calcular la raíz cuadrada de:

Resolver la raíz cuadrada de:

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Raíz cuadrada de números decimales

1 Se separan grupos de dos cifras a partir de la coma hacia la izquierda (la parte entera) y hacia la derecha (la parte decimal).

2 Si el radicando tiene en su parte decimal un número impar de cifras, se añade un cero a la derecha.

3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadrada del número que resulta.

4 En la raíz, a partir de la derecha, colocamos un número de cifras

decimales igual al número de pares de cifras decimales que hubiere en el radicando. En el resto y también a partir de la derecha, se separan tantas cifras decimales como haya en el radicando.

Ejercicios de raíz cuadrada con decimales Calcular la raíz cuadrada

de:

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Resolver la raíz cuadrada

de:

Raíz cuadrada de un número entero Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.

Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.

Raíz cuadrada entera La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no sea un cuadrado perfecto.

La raíz entera de un número entero es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho número.

El resto es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz entera. Resto = 17 − 4 2 = 1

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Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces . 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Realizar las sumas y restas . Operaciones combinadas

1. Sin paréntesis 1.1 Sumas y diferencias. 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = Comenzando por según aparecen.

la

izquierda,

vamos

efectuando

las

operaciones

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Sumas, restas y productos. 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 = Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = Efectuamos las sumas y restas . = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Sumas, restas, productos y divisiones. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = Efectuamos las sumas y restas . = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Sumas, restas , productos , divisiones y potencias. 2 3 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 = Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 = Seguimos con los productos y cocientes . = 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 = Efectuamos las sumas y restas . = 26

2. Con paréntesis (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2 3 )= Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos . = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8)= Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

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3. Con paréntesis y corchetes [15 − (2 3 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) = Realizamos las sumas y restas de los paréntesis . = [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2= En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente: = (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2= Operamos en los paréntesis. = 12 · 7 − 3 + 2 Multiplicamos. = 84 − 3 + 2= Restamos y sumamos . = 83

4. Con fracciones

Primero operamos paréntesis.

con

los

productos

y

números

mixtos

de

los

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis .

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

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Aritmética – 3.- Números enteros Ejercicio de operaciones combinadas 14 − {7 + 4 · 3 - [(-2) 2 · 2 - 6)]}+ (2 2 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 2 3 : 2) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. 14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) = Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis. 14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) = Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis. 14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) = 14 − (17) + (-5) + 3 - (1) = La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que: Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga. Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga. 14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6

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11.

Resumen

Los números enteros son del tipo: = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Valor absoluto El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

Criterios para conocer el orden de los números enteros.

1. Todo número negativo es menor que cero. 2. Todo número positivo es mayor que cero. 3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. 4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

2. Si los comandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Propiedades

1. Interna: a + b

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa: a + b = b + a

4. Elemento neutro: a + 0 = a

5. Elemento opuesto a + (-a) = 0

Diferencia de números enteros La resta de los números enteros opuesto del sustraendo .

se obtiene

a - b = a + (-b)

Propiedades

1. Interna: a − b

2. No es Conmutativa:

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sumando a

minuendo el

Aritmética – 3.- Números enteros Multiplicación de números enteros El producto de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos .

Regla de los signos

Propiedades

1. Interna: a · b

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa: a · b = b · a

4. Elemento neutro: a ·1 = a

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. a · b + a · c = a · (b + c)

Cociente de números enteros El cociente de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos .

Propiedades

1. No es una operación interna 2. No es Conmutativo: Potencias con exponente natural La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

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Propiedades 1. a = 1 · 2. a 1 = a 3. Producto de potencias con la misma base: am · an = am+n

4. División de potencias con la misma base: am : a

n

= am

- n

5. Potencia de una potencia: (a m ) n =a m

· n

6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b

n

= (a · b)

n

7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : b

n

= (a : b)

n

Potencias de exponente entero negativo

La operación de raíz cuadrada La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado.

Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.

Raíz cuadrada entera La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.

Operaciones combinadas Prioridades 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Realizar las sumas y restas.

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12.

Ejercicios

1 Ordenar,

en sentido creciente, representar gráficamente, y opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

calcular

los

8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7

2 Representar

gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros: −4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

3 Sacar

factor común en las expresiones:

1 3 · 2 + 3 · (−5) = 2 (−2) · 12 + (−2) · (−6) = 3 8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) = 4 (−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4

Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] = 2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 = 3 9 : [6 : (− 2)] = 4 [(−2) 5 − (−3) 3 ] 2 = 5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 = 6 [(17 − 15) 3 + (7 − 12) 2 ] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

5

Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) = 2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]= 3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

6

Calcula, si existe:

1 2 3 4 5

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6

7

Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros :

1 (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = 2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) = 3 (−2) − 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = 4 2−2 · 2−3 · 24 = 5 22 : 23 = 6 2−2 : 23 = 7 22: 2−3 = 8 2−2 : 2−3 = 9 [(−2) − 2 ]

3

· (−2) 3 · (−2) 4 =

10 [(−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2) − 4 =

8

Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros :

1 (−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 = 2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0 = 3 (−3) 2 · (−3) 3 · (−3) − 4 = 4 3−2 3−4· 34= 5 52: 53= 6 5−2: 53= 7 52: 5−3= 8 5−2: 5−3= 9 (−3) 1 · [(−3) 3 ] 2 · (−3) − 4 = 10 [(−3) 6 : (−3) 3 ] 3 · (−3) 0 · (−3) − 4 =

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1 Un

emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió? (So l.: 7 7 años )

2 Una

bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? (So l.: 1 023 )

3 ¿Qué

diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? (So l.: 2 2 y -22 ºC )

4 La

temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ºC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC? (So l.: 2 700 m .)

5 En

un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? (So l.: 7 25 L.)

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Aritmética – 4.- Números decimales

4. Números decimales. 1.

Introducción.

Fracción decimal Una fracción decimal tiene por denominador la unidad seguida de ceros.

Número decimal Es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal. Consta de dos partes: entera y decimal.

Para expresar un número decimal como una fracción decimal, escribimos como numerador de la fracción el número dado sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga ese número .

Unidades decimales Son fracciones decimales que tienen por numerador uno y denominador una potencia de 10 .

Redondeo de decimales Para redondear números decimales tenemos que fijarnos en la unidad decimal posterior a la que queremos redondear. Si la unidad decimal es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad la unidad decimal anterior; en caso contrario, la dejamos como está Ejemplo 2.36105

2.4 Redondeo hasta las décimas.

2.36105

2.36 Redondeo hasta las centésimas.

2.36105

2.361 Redondeo hasta las milésimas .

2.36105

2.3611 Redondeo hasta las diezmilésimas.

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Aritmética – 4.- Números decimales Truncar decimales Para truncar un número decimal hasta un orden determinado se ponen las cifras anteriores a ese orden inclusive, eliminando las demás. Ejemplo 2.3647

2.3

Truncamiento hasta las décimas.

2.3647

2.36

Truncamiento hasta las centésimas.

2.3647

2.364

Truncamiento hasta las milésimas.

2.3647

2.3467 Truncamiento hasta las diezmilésimas.

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Aritmética – 4.- Números decimales 2.

Tipos.

La parte decimal de un número decimal exacto está compuesta por una cantidad finita de términos.

Periódico puro La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente.

Periódico mixto Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y una parte periódica o período.

No exactos y no periódicos

Dada una fracción podemos determinar qué tipo de número decimal será, para lo cual, tomamos el denominador y lo descomponemos en factores. Si aparece sólo el 2, o sólo el 5, o el 5 y el 2; la fracción es decimal exacta.

Si no aparece ningún 2 ó 5, la fracción es periódica pura.

Si aparecen otros factores además del 2 ó el 5, la fracción es periódica mixta.

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Orden y representación de decimales.

Dados dos números decimales es menor:

1. El que tenga menor la parte entera.

2. Si tienen la misma parte entera, el que tenga la menor parte decimal

Representación de números decimales Cada número decimal tiene su lugar en la recta numérica. Para representar las décimas dividimos la unidad en 10 partes.

· Para representar las centésimas dividimos cada décima en 10 partes.

Para representar las milésimas dividimos cada centésima en 10 partes , y así continuaríamos para las diez milésimas, cien milésimas, etc. No hay dos números decimales consecutivos , porque entre dos decimales siempre se puede encontrar otros decimales.

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Suma y Resta de decimales.

Para sumar o restar números decimales :

1 Se colocan en columna haciendo corresponder las comas. 2 Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas...

342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37 =

372.528 - 69.68452 =

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Producto de decimales.

Para multiplicar dos números decimales :

1 Se multiplican como si fueran números enteros. 2 El resultado final es un número decimal que tiene una cantidad de decimales igual a la suma del número de decimales de los dos factores. 46.562 · 38.6

Multiplicación por la unidad seguida de ceros Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

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División de decimales.

1. Sólo el dividendo es decimal Se efectúa la división de números decimales como si de números enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, ponemos una coma en el cociente y continuamos dividiendo. 526.6562 : 7 =

2. Sólo el divisor es decimal Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor. A continuación dividimos como si fueran números enteros. 5126 : 62.37 =

3. El dividendo y el divisor son decimales Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y el divisor, añadiendo a aquel que tuviere menos, tantos ceros como cifras decimales de diferencia hubiese. A continuación se prescinde de la coma, y dividimos como si fueran números enteros. 5627.64 : 67.5261

División por la unidad seguida de ceros Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

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Raíz cuadrada de decimales.

Para extraer la raíz cuadrada de un número decimal, debemos seguir los siguientes pasos:




4 En la raíz, a partir de la derecha, colocamos un número de cifras decimales igual al número de pares de cifras decimales que hubiere en el radicando. En el resto y también a partir de la derecha, se separan tantas cifras decimales como haya en el radicando.

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Resumen.

Suma y resta de número decimales

1 Se colocan en columna haciendo corresponder las comas. 2 Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas... Producto de decimales

1 Se multiplican como si fueran números enteros. 2 El resultado final es un número decimal que tiene una cantidad de decimales igual a la suma del número de decimales de los dos factores. Producto por la unidad seguida de ceros Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Cociente de números decimales

1. Sólo el dividendo es decimal Se efectúa la división como si de números enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, ponemos una coma en el cociente y continuamos dividiendo.

2.

Sólo el divisor es decimal Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor. A continuación dividimos como si fueran números enteros.

3.

El dividendo y el divisor son decimales Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y el divisor, añadiendo a aquel que tuviere menos, tantos ceros como cifras decimales de diferencia hubiese. A continuación se prescinde de la coma, y dividimos como si fueran números enteros. División por la unidad seguida de ceros Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Raíz cuadrada de un número decimal




4 En la raíz, a partir de la derecha, colocamos un número de cifras decimales igual al número de pares de cifras decimales que hubiere en el radicando. En el resto y también a partir de la derecha, se separan tantas cifras decimales como haya en el radicando.

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Aritmética – 4.- Números decimales

Fracción decimal Es aquella que tiene por denominador la unidad seguida de ceros. Número decimal Es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal. Consta de dos partes: entera y decimal. Para expresar un número decimal como una fracción decimal, se pone como numerador de la fracción el número dado sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga ese número. Unidades decimales Son fracciones decimales que tienen por numerador uno y denominador una potencia de 10. Decimal exacto Es aquel cuya parte decimal está compuesta por una cantidad finita de términos. Periódico puro La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente. Periódico mixto Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y una parte periódica o período. No exactos y no periódicos Dada una fracción podemos determinar que tipo de número decimal será, para lo cual, tomamos el denominador y lo descomponemos en factores. Si aparece sólo el 2, o sólo el 5, o el 5 y el 2; la fracción es decimal exacta. Si no aparece ningún 2 ó 5, la fracción es periódica pura. Si aparecen otros factores además del 2 ó el 5, la fracción es periódica mixta. Comparación de números decimales Dados dos números decimales es menor:

1. El que tenga menor la parte entera. 2. Si tienen la misma parte entera, el que tenga la menor parte decimal

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1

Ejercicios. Ordena de menor a mayor estos números decimales : 5.4, 5.004, 5.0004, 5.04, 4.4, 4.98, 5, 5.024 7.3, 7.003, 7.0003, 7.03, 6.5, 6.87, 7, 7.037

2

Clasificar, fracciones:

3

por el tipo, los

números decimales

correspondientes a las

Realizar las siguientes operaciones con números decimales: 3.6669 · 1000 = 3.6669 : 1000 = 0.036 · 10 = 0.036 : 10 = 0.000012 · 10 000 = 123.005 : 10 000 = 26.36 · 10 000 = 2.36 : 1000 = 0.261 · 100 = 5.036 : 10 =

4

Resuelve las siguientes divisiones de números decimales : 324 : 0.018 12.96 : 6

5 Calcula

la raíz cuadrada :

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Problemas.

1 Una

jarra vacía pesa 0.64 kg, y llena de agua 1.728 kg. ¿Cuánto pesa el agua? (So l.: 1 088 kg)

2

Un ciclista ha recorrido 145.8 km en una etapa, 136.65 km en otra etapa y 162.62 km en una tercera etapa. (So l.: 4 45,07 km y 554 ,93 km ) ¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer si la carrera es de 1000 km?

3

De un depósito con agua se sacan 184.5 l y después 128.75 l, finalmente se sacan 84.5 l. Al final quedan en el depósito 160 l. ¿Qué cantidad de agua había el depósito ? (So l.: 55 7.75 L )

4 Se

tienen 240 cajas con 25 bolsas de café cada una. Si cada bolsa pesa 0.62 kg, ¿cuál es el peso del café? (So l.: 37 20 kg de c afé )

5

Sabiendo que 2.077 m³ de aire pesan 2.7 kg, calcular lo que pesa 1 m³ de aire. (So l.:1 ,2 )

6 Eva

sigue un régimen de adelgazamiento y no puede pasar en cada comida de 600 calorías. (So l.: sí ) Ayer almorzó: 125 g de pan, 140 g de espárragos, 45 g de queso y una manzana de 130 g. (So l.: Si 1 g de pan da 3.3 calorías, 1 g de espárragos 0.32, 1 g de queso 1.2 y 1 g de manzana 0.52. (Sol .: ¿Respetó Eva su régimen?

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Aritmética – 5.- Fracciones y Números racionales

5. Fracciones y números racionales. 1.

Fracciones.

Unidad fraccionaria La unidad fraccionaria es cada una de las partes que se obtienen al dividir la unidad en n partes iguales.

Concepto de fracción Una fracción es el cociente de representamos de la siguiente forma:

dos

números

enteros

a

y

b,

que

b, denominador , indica el número de partes en que se ha dividido la unidad. a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas. Representación de fracciones

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2.

Significado de la fracción.

La fracción como partes de la unidad El todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo. Un depósito contiene 2/3 de gasolina.

El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en general sería una fracción con el mismo número en el numerador y el denominador. 2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina.

La fracción como cociente Repartir 4 € entre 5 amigos.

La fracción como operador Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador. Calcular los 2/3 de 60 €. 2 · 60= 120 120 : 3 = 40 €

La fracción como razón y proporción Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones. Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas. Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 (tanto por ciento), un número y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno). Luís compra una camisa por 35 €, le hacen un descuento del 10%. ¿Cuánto pagará por la camisa? 35 · 10 = 350 350 : 100 = 3.5 35 − 3.5 = 31.5 €

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3.

Clasificación de fracción.

Fracciones propias Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador denominador. Su valor comprendido entre cero y uno.

es menor que

el

Fracciones impropias Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.

Número mixto El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción impropia , se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador , del número mixto .

Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente es elentero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.

Fracciones decimales Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10 .

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios .

a y d son los extremos; b y c, los medios. Calcula si son equivalentes las fracciones:

4 · 12 = 6 · 8

48 = 48

Sí

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Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar.

Simplificar fracciones Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple. Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número . Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente. Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes. Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador . Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.

Fracciones irreducibles Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, .

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4.

Reducción de fracciones a común denominador

Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador . Para ello:

1º Se determina el denominador común , que será el mínimo común múltiplo de los denominadores .

2º Este denominador común , se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

12 = 2 2 · 3 9 = 32 m.c.m.(3. 12. 9) = 2 2 ·3 2 = 36

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5.

Ordenar fracciones

Fracciones con igual denominador

De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

Fracciones con igual numerador De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador .

Con numeradores y denominadores distintos

En primer lugar las tenemos que poner a común denominador .

Es menor la que tiene menor numerador.

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6.

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador , y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

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7.


Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores.

División de fracciones La división de dos fracciones es otra fracción que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios.

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8.


Prioridades

1º. Pasar a fracción los números mixtos y decimales . 2º. Calcular las potencias y raíces 3º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4º. Efectuar los productos y cocientes. 5º. Realizar las sumas y restas .

Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis .

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

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9.

Fracción generatriz

Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:

Pasar de decimal exacto a fracción Si la fracción es decimal exacta , la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Pasar de periódico puro a fracción generatriz Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período.

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz Si la fracción es periódica mixta , la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas , y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica .

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10. Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por .

Representación de números racionales Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.

Para representar con precisión los números racionales:

1 Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo. 2 Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.

3 Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro

segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

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En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos.

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11. Suma y resta de números racionales Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:

El resultado racional.

de

2. Asociativa:

sumar

dos

números

racionales

es

otro

número

a + b

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c)

3. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a

4. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a

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5. Elemento opuesto Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. a − b = a + (−b)

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12. Multiplicación y división de números racionales Multiplicación de números racionales El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores.

Propiedades de la multiplicación de números racionales

1. Interna: El resultado de multiplicar dos números racionales es otro número racional. a · b

2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. (a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto. a · b = b · a

4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a ·1 = a

5. Elemento inverso: Un número es inverso de otro resultado el elemento unidad.

si

al

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multiplicarlos

obtenemos

como


6. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a · b + a · c = a · (b + c)

División de números racionales La división de dos números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios.

También podemos definir la división de dos números racionales como producto del primero por el inverso del segundo.

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13. Potencias de números racionales Potencias de exponente entero y base racional

Propiedades

1.

2. 3. Producto de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

4. División de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

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5. Potencia de una potencia : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

6. Producto de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

7. Cociente de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

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14. Resumen Fracción Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b , que representamos de la siguiente forma:

b, D EN O M I N A D O R , indica el número de partes en que se ha dividido la unidad. a,

N UM ER A D O R ,

indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.

Tipos de fracciones Fracciones propias Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Fracciones impropias Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Número mixto Es el que está compuesto de parte entera y fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción , se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador , del número mixto. Para pasar una fracción impropia a número mixto , se divide el numerador por el denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo. Fracciones unitarias Son aquellas cuyo numerador es igual al denominador. Fracciones decimales Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

a y d son los extremos; b y c, los medios. Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero , distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar . Al segundo caso le llamamos simplificar . Fracciones irreducibles Son aquellas que no se pueden simplificar.

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Reducción de fracciones a común denominador Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello:

1º Se determina el denominador común , que será el mínimo común múltiplo de los denominadores .

2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose numerador correspondiente.

el

cociente

obtenido

por

el

Comparación de fracciones Fracciones con igual denominador De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor el que tiene menor numerador. Fracciones con igual numerador De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador. Con numeradores y denominadores distintos En primer lugar las tenemos que poner a común denominador . Es menor la que tiene menor numerador. Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero . Se representa por

.

Suma y diferencia de números racionales Con el mismo denominador Se suman los numeradores y se mantiene el denominador. Con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a denominador, y se suman o se restan los numeradores fracciones equivalentes obtenidas .

común de las

Propiedades

1. Interna: El resultado racional.

de

sumar

dos

números

racionales

a + b

2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa : El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a

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es

otro

número


4. Elemento neutro : El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a

5. Elemento opuesto Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. a + (-a) = 0 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo . a − b = a + (−b) Producto de números racionales El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los numeradores . Por denominador el producto de los denominadores . Propiedades

1. Interna: a · b

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa: a · b = b · a

4. Elemento neutro: a ·1 = a

5. Elemento inverso:

6. Distributiva : a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) Cociente de números racionales El cociente de números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos . Por denominador el producto de los medios .

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Potencia de fracciones

Propiedades

1.

2. 3. Producto de potencias con la misma base :

4. División de potencias con la misma base :

5. Potencia de una potencia :

6. Producto de potencias con el mismo exponente :

7. Cociente de potencias con el mismo exponente :

Operaciones combinadas

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces . 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Pasar a fracción los números mixtos y decimales . 5º. Realizar las sumas y restas .

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15. Ejercicios 1

1

Pasar a fracción:

2

Realiza las siguientes operaciones con potencias:

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3

Opera:

4

Efectúa

5

Calcula qué fracción de la unidad representa:

1 La mitad de la mitad. 2 La mitad de la tercera parte. 3 La tercera parte de la mitad. 4 La mitad de la cuarta parte.

6

Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad.¿Cuánto le

queda?

7

Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A

lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del

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mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?

8

Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad

actual. ¿Qué edad tiene Pedro?

9

En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron

para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:

1 El número de votos obtenidos por cada partido. 2 El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.

10

Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa

cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

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16. Ejercicios 2

1

Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza? De acuerdo con la fracción de enumeradas de menor a mayor.

2

ingresos

empleada,

ordena

las

partidas

Realizar las siguientes operaciones:

3 Opera:

4

Efectúa:

5

Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó 2/5 de esa cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?

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17.

Soluciones Ejercicios 1

1.-

2.-

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3.Opera:

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106 de 362


4.Efectúa

5.Calcula qué fracción de la unidad representa:

1 La mitad de la mitad.

2 La mitad de la tercera parte.

3 La tercera parte de la mitad.

4 La mitad de la cuarta parte.

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6.-

7.-

El segundo automóvil va primero.

8.-

9.-

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10.-

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18.

Soluciones Ejercicios 2

1.-

2.Realizar las siguientes operaciones:

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3.Opera:

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4.Efectúa:

5.-

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Aritmética – 6.- Proporcionalidad

6. Proporcionalidad. 6.1 Proporción 6.2 Cuarto y medio proporcional 6.3 Magnitudes directamente proporcionales 6.4 Regla de tres simple y directa 6.5 Repartos directamente proporcionales 6.6 Porcentajes 6.7 Magnitudes inversamente proporcionales 6.8 Regla de tres simple inversa 6.9

Repartos inversamente proporcionales

6.10 Regla de tres Compuesta 6.11 Interés Simple 6.12 Resumen Ejercicios 1 Ejercicios 2 Ejercicios de interés Ejercicios de porcentajes Ejercicios de regla de tres Ejercicios de repartos proporcionales

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6.1.- Proporción. Definición de proporción Proporción es una igualdad entre dos razones.

Constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporción proporción no varía.

cambian

entre

sí

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los

medios

o

extremos

la


6.2. Cuarto, medio y tercero proporcional.

Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales . Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Tercero proporcional En una proporción continua , se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

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6.3. Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, l a otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde más. A menos corresponde menos. Son magnitudes directamente proporcionales , el peso de un producto y su precio. Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50 céntimos. Es decir: A más kilógramos de tomate más euros. A menos kilógramos de tomate menos euros. También son directamente proporcionales : El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado. El volumen de un cuerpo y su peso. La longitud de los lados de un polígono y su área.

Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa Repartos directamente proporcionales Porcentajes

Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa Repartos directamente proporcionales Porcentajes

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6.4. Regla de tres simple y directa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales , calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

•

A más

•

A menos

más.

menos.

Ejemplos Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

240 km

3 h

x

2 h

km

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Aritmética – 6.- Proporcionalidad Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a más kilos, más euros. 2 kg

5

6.5.

kg

0.80 €

x €

Repartos directamente proporcionales

Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Ejemplo Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.

1º El reparto proporcional es:

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2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto recibirá:

6.6.

Porcentajes

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Ejemplos de porcentajes Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

5000 €

250 €

100 €

x €

El 5%. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

100 €

7.5 €

8800 €

x €

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8800 € − 660 € = 8140 €

También se puede calcular directamente del siguiente modo:

100 €

92.5 €

8800 €

x €

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

100 €

116 €

1200 €

x €

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6.7.

Magnitudes inversamente proporcionales.

Dos

ma g n i t ud e s

so n

i nv e r sa me nt e

pr o po r ci o n al e s

c ua nd o ,

al

mu l t i p l i c a r o d i vi d i r u na d e e l l as po r un n úm e r o c ual qu i e r a, l a o tr a q u e d a d i vi d i d a o mu l t i p l i c a d a po r e l m i s mo n úm e r o .

Se

e s t ab l e c e

una

re l ac i ó n

de

pr o po r ci o n al i da d

i n ve r s a

e n tr e

dos

m ag n i tu de s c u a n do :

A má s c o rr e s po n de m e n o s .

A me no s c o r re s p o n de má s .

Son

ma g n i t ud e s

i n ve r s am e n te

pr o po r c i o n al e s ,

la

ve l o c i da d

y

el

ti e m po :

A má s v e l o c i da d c o r re s p o n de me no s ti e m po .

A me no s ve l o c i d ad c o rr e s po n de m ás ti e m po .

U n ve h í c u l o t ar da e n re al i za r u n t ra ye c t o 6 ho ra s s i s u v e l o c i d ad e s de 60 km / h , pe r o s i do bl am o s l a ve l o c i da d e l ti e m po di s m i n ui r á a l a m i t ad . E s de c i r , s i l a ve l o c i da d e s de 1 20 km / h e l ti e m po de l tr ay e c to s e r á de 3 ho r as .

Aplicaciones de la proporcionalidad inversa

121 de 362


6.8.

Regla de tres simple inversa

Consiste

en

que

dadas

do s

cantidades

corr espo ndient es

a

magnitudes inver sa ment e proporc ionales, calcula r la cantida d de una de est as ma gnit udes corr espo ndient e a una ca ntida d dada de la otra ma gnit ud.

La r egla de tr es inver sa la aplicar emos cuando entre las magnitudes se establecen las relacio ne s:

A má s

meno s .

A m enos

má s.

Ejem plo

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tar da 14 hor as en lle nar un de pó sito . ¿C uánto tar daría si su caudal fuera de 7 l por minuto ?

So n magnitudes inversam ente pro porc io na les , ya que a m enos litr os por minuto tardar á má s e n llenar el depósito .

18 l/min

7 l/min

14 h

x h

122 de 362


3 obrer os construye n un muro en 12 hor as, ¿cuánto tardar án en co nstr uirlo 6 o brero s?

So n magnitude s inversam ente propo rcionales , ya que a má s obr eros tardar án meno s horas .

3 obrer os

6 obrer os

12 h

x h

123 de 362


6.9.

Repartos inversamente proporcionales

Da das unas ma gnit udes de un mismo tipo y una ma gnit ud total, debemo s hac er un r eparto directa ment e pro porc io na l a la s inver sa s de la s m agnitudes.

Ejem plo

Tres

her mano s

ayudan

al

mantenimiento

familiar

entr egando

anualmente 5900 €. Si sus edades so n de 20, 24 y 32 año s y las apor taciones so n inve rsamente pr oporcio nale s a la edad, ¿cuánto apor ta cada uno?

1º To mamo s los inver so s:

2º Ponemos a común denominador :

3º

Realiz amos

un

re parto

dir ectame nte

nume rado res: 24 , 20 y 15 .

124 de 362

proporcio nal

a

los


125 de 362


6.10.

Regla de tres Compuesta

La

regla

de

tres

com puesta

se

emplea

cuando

se

relacio nan tr es o más m agnitudes , de mo do que a partir de las relacio ne s

estable cidas

e ntre

las

magnitudes

co no cidas

se

de

obte ne mo s la de sconocida.

Una

r egla

de

tr es

com puesta

compo ne

var ias

reglas de tres sim ples aplicadas suce sivame nte.

Como e ntre las magnitudes se pueden establecer re laciones de proporc ionalidad direct a o inversa , po de mo s distinguir tres c asos de regla de tres compuest a :

Regla de tres compuesta directa

Ejem plo

Nue ve

gr ifos

abier to s

durante

10

horas

diar ias

han

co nsumido una cantidad de agua po r valor de 20 € . Ave riguar el pre cio del ver tido de 15 gr ifos abie rtos 12 horas dur ante lo s mismos días.

A má s grifo s, má s e uros

Dir ect a.

A má s horas, más euro s

Directa .

126 de 362


9 gr ifos

10 hor as

15 gr ifos

12 hor as

20 €

x €

Regla de tres compuesta inversa

Ejem plo

5

o brero s

trabajando ,

tr abajando

6

hor as

diar ias

co nstr uyen un muro en 2 días. ¿C uánto tar darán 4 o brero s tr abajando 7 hor as diarias?

A m enos obr eros, má s días

A má s horas, meno s días

5 obrer os

4 obrer os

6 ho ras

7 hor as

127 de 362

Inversa.

Inversa.

2 días

x días


Regla de tres compuesta mixta

Ejem plo

Si 8 obrero s realizan e n 9 días trabajando a razón de 6 hor as por día un muro de 30 m. ¿Cuánto s días nece sitarán 10 obr eros tr abajando 8 horas diarias para re aliz ar los 50 m de muro que faltan?

A má s o brero s, meno s días

Inversa.

A má s horas, meno s días

Inversa.

A má s metros, má s días

Dir ect a.

8 obrer os

10 obre ros

9 días

x días

128 de 362

6 ho ras

8 ho ras

30 m

50 m


6.11. Interés simple

Se llam a interés al beneficio que produc e el dinero prest ado.

Ese

beneficio

es

dir ectame nte

pro po rcio nal

a

la

cantidad pre stada y al tie mpo que dura el pré stamo.

Co nc epto

Nombre

Sím bolo

Cantida d prest ada

Ca pital

C

Tiempo del prést am o

Tiem po

t

Un benefic io por 100 € en un a ño

Rédito

r

Benefic io del prést amo

Int er és

I

Si é l es e l tiem po viene expre sado en meses :

Si e l tiem po viene expre sado en días:

Ejemplos

Hallar

el inte ré s pro ducido

dur ante

capital de 30 000 € , al 6%.

129 de 362

cinco

año s,

por

un


Calcular e n qué se convier te , e n se is me ses, un capital de 10.0 00 €, al 3.5% .

¿Durante cuánto tiempo ha de impo ne rse un capital de 25 000 € al 5% par a que se co nvie rta e n 30.000 €?

130 de 362


Resumen

Magnitud Una ma gnit ud es cualquier pro piedad que se puede medir numérica ment e.

Razón Razó n

es

el

coc ient e

ent re

dos

núm er os

o

dos

cantida des compara bles ent re sí, expresa do como frac ción.

Proporción Pro po rció n es una igualda d entr e dos razones.

En una propor ción del pro ducto de los medios es igual al producto de los ex tr emo s.

En una propor ción o en una ser ie de ra zones igua les, la sum a de los ant ec ed entes dividida ent re la suma de los consecuent es es igual a una c ua lquier a de las razo nes.

131 de 362


Si en una pro porc ió n cam bian entr e sí los m edio s o ex tremo s la pro porc ió n no var ía .

Cuarto proporcional Es uno c ua lquier a de los tér mino s de una pro porc ió n.

Para calcular lo se divide por el o puesto , e l pr oducto de lo s otros dos tér mino s.

Medio proporcional Una proporc ión es co nt inua si tiene los do s medios igua les . Par a calcular el me dio proporcio nal de una pro po rció n co ntinua

se

extr ae

la

raíz

cuadr ada

del

pro ducto

de

los

extre mo s.

Tercero proporcional En

una

pro po rció n

co ntinua,

se

denomina

te rcer o

pro po rcio nal a cada uno de los tér mino s desiguale s.

Un

ter cero

pro po rcio nal

es

igual

al

cuadrado

tér mino s iguale s, dividido por el término de sigual.

132 de 362

de

lo s


Magnitudes directamente proporcionales Dos

ma gnit udes

son

dir ec tam ente

pro porc io na les

cuando , al m ultiplic ar o dividir una de ella s por un número cualquier a,

la

otr a

queda

m ultiplic ada

o

dividida

por

el

mismo núme ro.

Regla de tres simple y directa Consiste en que dadas do s cantidade s correspo ndie ntes a magnitudes dir ectame nte pro po rcio nale s, calcular la cantidad de una de estas magnitude s co rrespo ndie nte a una cantidad dada de la otr a magnitud.

Repartos directamente proporcionales Co nsiste en dadas unas ma gnit udes de un mismo tipo y una ma gnit ud total, c alcular la parte corr espo ndient e a cada una de las magnitudes da da s.

133 de 362


Porcentajes Un porc enta je es un tipo de r egla de tr es dir ect a en el que una de las cantidades es 100.

Magnitudes inversamente proporcionales Do s

ma gnit udes

son

inversam ente

pr opor cionales

cuando , al multiplic ar o dividir una de ella s por un núm er o cualquiera , la otra queda dividida o multiplic ada por el mism o número .

Regla de tres simple inversa Consiste

en

corr espo ndient es proporc ionales,

que

da da s

a ca lc ular

do s

ma gnit udes la

ca nt idad

ca nt idades inver sa ment e

de

una

de

esta s

magnitudes corr espo ndient e a una cantida d dada de la otra ma gnit ud.

134 de 362


Repartos inversamente proporcionales Da das

una s

ma gnit udes

de

un

m ismo

tipo

y

una

magnitud tota l, debemo s hac er un repart o directa ment e proporc ional a la s inver sa s de las magnitudes.

Proporcionalidad compuesta Una

magnitud

se

relac io na

pro porc io na lm ente

con

otra s, ya sea de modo directo o inver so .

Regla de tres compuesta Se

emplea

pa ra

reso lver

pro blem as

de

proporc ionalidad compuest a.

Interés Se llam a interés al beneficio que produc e el dinero prest ado.

Ese

beneficio

es

dir ectame nte

pro po rcio nal

a

la

cantidad pre stada y al tie mpo que dura el pré stamo.

Concepto

Nom br e

Símbo lo

Ca nt idad pr esta da

Capita l

C

Tiem po del pr ésta mo

Tiempo

t

Un beneficio por 100 € en un año

Rédit o

r

135 de 362


Beneficio del pr ésta mo

I nterés

Si é l es e l tiem po viene expre sado en meses :

Si e l tiem po viene expre sado en días:

136 de 362

I


Ejercicios y problemas de proporcionalidad 1C alcular

el

tér mino

de sconocido

de

las

siguie ntes

pro po rcio ne s:

1

2

3

4

5

2Do s rue das e stán unidas por una corre a transmiso ra. La pr imer a tie ne un radio de 25 cm y la se gunda de 75 cm. Cuando la pr imer a ha dado 300 vue ltas, ¿cuántas vueltas habr á dado la segunda?

3Se is personas pue de n vivir e n un ho te l durante 12 días por 792 €. ¿C uánto costará el hotel de 15 personas durante o cho días?

4Con 12 bo te s conte niendo cada uno ½ kg de pintur a se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altur a. C alcular cuántos bo te s de 2 kg de pintura ser án necesarios para pintar una ve rja similar de 120 cm de altur a y 200 metros de longitud.

511 obre ros labran un campo rectangular de 220 m de largo

y

48

de

ancho

en

6

días.

137 de 362

¿C uántos

o brer os

ser án


ne cesar io s para labr ar otr o campo análo go de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

6 Seis grifo s, tar dan 10 hor as en lle nar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿C uántas

hor as tardar án cuatro

gr ifos en

llenar 2 de pó sito s de 500 m³ cada uno?

7De los 800 alumnos de un colegio , han ido de viaje 600 . ¿Qué por centaje de alumno s ha ido de viaje ? 8Al adquirir un ve hículo cuyo pre cio es de 8800 €, nos hace n un descuento de l 7 .5%. ¿C uánto hay que pagar po r el ve hículo ? 9El pre cio de un or de nado r es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por é l si e l IVA es de l 16%?

10Al compr ar un mo nito r que cuesta 450 € nos hace n un de scue nto del 8%. ¿C uánto te ne mos que pagar ?

11 Se vende un artículo con una ganancia del 15% so bre e l pre cio de co sto. Si se ha compr ado e n 80 €. Halla el precio de ve nta.

12 C uál ser á el pre cio que hemos de mar car en un ar tículo cuya co mpra ha asce ndido a 180 € para ganar al vender lo el 10%.

13 ¿Qué pre cio de venta hemos de po ner a un ar tículo co mpar ado a 280 €, para perder el 12% so br e e l precio de ve nta?

14Se ve nde un o bjeto per diendo e l 20% so bre e l pr ecio de co mpra. Hallar el precio de ve nta del citado artículo cuyo valo r de compr a fue de 150 €.

138 de 362


Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad

1 Calcular

el

término

desconocido

proporciones:

1

2

3

4

5

139 de 362

de

las

siguientes


2 Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? 25 cm

300 vueltas

75 cm

x vueltas

3 Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 6 personas 15 personas

12 días

792 €

8 días

x €

A más personas más precio. Directa. A más días más precio. Directa.

140 de 362


4 Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. ½ kg

90 · 0.8 m²

12 botes

2 kg

200 · 1.2 m²

x botes

A más kilos de pintura menos botes. Inversa. A más m² más botes. Directa

5 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 220 · 48 m²

6 días

11 obreros

300 · 56 m²

5 días

x obreros

A más superficie más obreros. Directa. A más días menos obreros. Inversa.

141 de 362


6 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400

m³

de

capacidad.

¿Cuántas

horas

tardarán

cuatro

grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 6 grifos

10 horas

1 depósito

400

m³ 4 grifos

x

horas

2 depósitos

500 m³ A más grifos menos horas. Inversa. A más depósitos más horas. Directa. A más m³ más horas. Directa.

7 De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 800 alumnos

600 alumnos

100 alumnos

x alumnos

142 de 362


8 Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 100 €

7.5 €

8800 €

x €

8800 € − 660 € = 8140 € También se puede calcular directamente del siguiente modo: 100 €

92.5 €

8800 €

x €

9 El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? 100 €

116 €

143 de 362


1200 €

x €

10 Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? 100 €

92 €

450 €

x €

11 Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta. 100 €

115 €

80 €

x €

12 Cuál

será

el

precio

que

hemos

de

marcar

en

un

artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

144 de 362


venta compra 100 € x €

90 € 180 €

13 ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta? venta compra 100 € x €

112 € 280 €

14 Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €. 100 €

80 €

150 €

x €

145 de 362


Ejercicios y problemas de proporcionalidad 1 Un

abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8,

12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

2

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y

9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad

corresponde

a

cada

uno

si

hacen

un

reparto

directamente proporcional a los capitales aportados?

3

Se

reparte

una

cantidad

de

dinero,

entre

tres

personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

4 Se

reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al

menor le corresponden 2500 €. ¿Cuánto corresponde a los otros dos?

5 Tres

hermanos

ayudan

al

mantenimiento

familiar

entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24

y

32

años

y

las

aportaciones

son

inversamente

proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

6 Repartir

420

€,

entre

tres

niños

en

partes

inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

7 ¿Durante

cuánto tiempo ha de imponerse un capital

de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?

8 Se

prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y

20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés. 146 de 362


9 Hallar

él tanto por ciento de interés simple al que

deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.

10 ¿En

cuánto tiempo se triplica un capital colocado al

6%?

147 de 362


Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad

1 Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y

16

años

de

edad;

proporcionalmente

a

sus

edades.

¿Cuánto corresponde a cada uno?

2 Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad

corresponde

a

cada

uno

si

hacen

un

directamente proporcional a los capitales aportados?

148 de 362

reparto


3 Se

reparte

una

cantidad

de

dinero,

entre

tres

personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

4 Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500 €. ¿Cuánto corresponde a los otros dos?

149 de 362


5 Tres

hermanos

ayudan

al

mantenimiento

familiar

entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24

y

32

años

y

las

aportaciones

son

inversamente

proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

6 Repartir

420

€,

entre

tres

niños

en

partes

inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

150 de 362


7 ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?

8 Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés. 360 + 120 + 20 = 500 días I = 52 500 − 45 000 = 7 500 €

151 de 362


9 Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado. I = C

10 ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%? I = 3 · C

152 de 362


Ejercicios y problemas interés 1 ¿Durante



2 Se

prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y

20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés.

3 Hallar

él tanto por ciento de interés simple al que

deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.

4 ¿En

cuánto tiempo se triplica un capital colocado al

6%?

5

Hallar el interés producido durante cinco años, por

un capital de 30 000 €, al 6%.

6 Calcular

en qué se convierte, en seis meses, un

capital de 10.000 €, al 3.5%.

7 ¿Durante




153 de 362


2 Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés. 360 + 120 + 20 = 500 días I = 52 500 − 45 000 = 7 500 €

3 Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado. I = C

4 ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%? I = 3 · C 154 de 362


5 Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.

6 Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.


155 de 362


Ejercicios y problemas de porcentajes 1 De

los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje

600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

2 Una

moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la

actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

3 Al

adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos

hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

4 Al

comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen

un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

5

Se vende un artículo con una ganancia del 15%

sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

6

Cuál será el precio que hemos de marcar en un

artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

7

¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo

comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?

8 Se

vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio

de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

156 de 362


Ejercicios y problemas de porcentajes

1 De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 800 alumnos

600 alumnos

100 alumnos

x alumnos

2 Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 100 €

7.5 €

8800 €

x €

8800 € − 660 € = 8140 € También se puede calcular directamente del siguiente modo: 100 €

92.5 €

8800 €

x €

157 de 362


3 El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? 100 €

116 €

1200 €

x €

4 Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? 100 €

92 €

450 €

x €

5 Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta. 100 €

115 €

158 de 362


80 €

x €

6 Cuál

será

el

precio

que

hemos

de

marcar

en

un

artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%. venta compra 100 € x €

90 € 180 €

7 ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta? venta compra 100 € x €

112 € 280 €

8 159 de 362


Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €. 100 €

80 €

150 €

x €

160 de 362


Ejercicios y problemas de regla de tres 1 Dos

ruedas están unidas por una correa transmisora.

La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

2 Seis

personas pueden vivir en un hotel durante 12

días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?

3 Con

12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura

se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

4 11

obreros labran un campo rectangular de 220 m de

largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

5 400

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de

m³

de

capacidad.

¿Cuántas

horas

tardarán

grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

161 de 362

cuatro


Ejercicios y problemas de regla de tres

1 Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? 25 cm

300 vueltas

75 cm

x vueltas

2 Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 6 personas 15 personas

12 días

792 €

8 días

x €

3 Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 162 de 362


½ kg

90 · 0.8 m²

12 botes

2 kg

200 · 1.2 m²

x botes

4 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 220 · 48 m²

6 días

11 obreros

300 · 56 m²

5 días

x obreros

5 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400

m³

de

capacidad.

¿Cuántas

horas

tardarán

grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 6 grifos

10 horas

1 depósito

400 m³ 4 grifos

x

horas

500 m³

163 de 362

2 depósitos

cuatro


164 de 362


7. Sistema métrico decimal 7.1

Sistema métrico decimal

7.2

Medidas complejas e incomplejas

7.3

Medidas de longitud

7.4

Medidas de masa

7.5

Medidas de capacidad

7.6

Medidas de Superficie

7.7

Medidas de volumen

7.8

Medidas tradicionales

7.9

Medidas sajonas

7.10

Resumen

Ejercicios 1 Ejercicios 2

165 de 362


7.1

Sistema métrico decimal Medida s y magnitudes

Una magnitud es cualquie r pro piedad que se pue de medir numérica ment e . Medir es co mpar ar una ma gnit ud con otra que llamamos unidad . La m edida es e l co ntie ne a la unidad.

núme ro

de

veces

que

la

ma gnit ud

Si que remos medir la lo ngitud de un pasillo en prime r lugar de be mo s ele gir la unidad, en e ste caso la más apro piada se ría e l me tro .

El sistema m étr ico dec im al En e l pasado cada país y en algunos caso s cada re gión seguían unidades de me didas dife re ntes, esta diver sidad dificultó las relacio ne s co mer ciales e ntre lo s pue blos. Para acabar co n esas dificultades en 1792 la Acade mia de Ciencias de París pro puso el Sistema Mét rico Decima l . Pro gr esivamente fue ado ptado por to do s los paíse s, a excepción de lo s de habla inglesa, que se rige n por e l Sist em a Inglés o Sist em a Im perial Britá nico . En España su e mple o es oficial de sde 1849, aunque so bre to do en e l ámbito agrar io ha coexistido con las m edidas tradic io na les . El Sist em a M étr ico Dec im al es un siste ma de unidade s en e l cual lo s múlt iplo s y subm últiplos de una unidad de medida están relacio nadas e ntre sí por múlt iplo s o subm últiplos de 10 . El Sistema M étr ico Decima l lo utilizamo s en la m edida de las siguiente s ma gnit udes : Lo ngit ud. Ma sa . Capac ida d. Super ficie. Volum en. Las unidades de tiem po no son del Sistema Mét rico Decima l , ya que están re lacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplo s de 60. El tie mpo e s una magnitud del Sistema Sexa gesima l .

166 de 362


7.2

Medidas complejas e incomplejas

Medida compleja Es aquella que expresa distintas clases de unidades: 3 kg 200 g, 5 km 120 m. Medida incompleja o simple Se expresa únicamente con una clase de unidades. 3.2 kg, 5.12 m. Paso de medidas complejas a incomplejas Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener como resultado final. Pasar a cm: 12 km 5 dam 42 cm.

Paso de medidas incomplejas a complejas Tenemos dos casos: 1º Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir. 5317 mm

2º Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar. 2.325 km − 2 km = 0.325 · 1000 = 325 2.325 km= 2 km 325 m

167 de 362


7.3

Medidas de Longitud

La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son: kilómetro km 1000 m hectómetro hm 100 m decámetro dam 10 m metro m 1 m decímetro dm 0.1 m centímetro cm 0.01 m milímetro mm 0.001 m Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior . Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Pasar 50 m a cm Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación . 50 · 100 = 5 000 cm

4385 mm m Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menora otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros , ya que hay tres lugares de separación. 4385 : 1000 = 4.385 m Ejemplos

Expresa en metros: 5 km 5 hm 7 dam 570 m

5 000 m + 500 m + 70 m = 5

168 de 362


m

3 m 2 cm 3 mm

3 m + 0.02 m + 0.003 m = 3.023

25.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m 53 600 mm + 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m 1.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m Otras medidas de longitud Para medir distancias muy grandes sobre todo en astronomía se utilizan: Unidad astronómica Es la distancia media Tierra-Sol . Se utiliza en la medición de órbitas y trayectorias dentro del Sistema Solar. 1 UA = 149 597 871 km El año-luz Es igual a la distancia recorrida por la luz en un año solar medio . Se emplea en astronomía para medir grandes distancias. El año-luz es aproximadamente igual a: 1 año-luz ≈ 9 461 000 000 000 km El pársec Unidad de medida astronómica correspondiente a la distancia que habría a una estrella que tuviera una paralaje de un segundo. El pársec es aproximadamente igual a: 1 pársec ≈ 30 857 000 000 000 km Para medidas microscópicas se utilizan: La micra o micrómetro Equivale a una millonésima parte de un metro . 1 μm = 0.000001 m El nanómetro Utilizado para medir la radiación ultravioleta, radiación infrarroja y la luz. Recientemente la unidad ha cobrado notoriedad en el estudio de la nanotecnología, área que estudia materiales que poseen dimensiones de unos pocos nanómetros. Equivale a una mil millonésima parte de un metro. 1nm = 0.000000001m El ángstrom Es la unidad empleada principalmente para expresar longitudes de onda, distancias moleculares y atómicas. Equivale a una diezmil millonésima parte de un metro. 1Å = 0.0000000001 m

169 de 362


7.4

Medidas de Masa La unida d pr incipa l par a me dir ma sa s es el gr amo . Existe n otr as unidade s para me dir cantidade s mayo res y me nore s, las más usuales so n: kilogr amo kg 1000 g hec togramo

hg

100 g

dec agr amo

dag

10 g

gr amo

g

1 g

dec igram o

dg

0.1 g

c entigra mo

cg

0.01 g

miligr amo mg 0.001 g Si que remos pasar de una unidad a otr a tene mo s que mult iplicar (si e s de una unidad mayor a otr a me no r) o dividir (si e s de una unidad menor a o tra mayor ) por la unidad seguida de tantos ceros como lugar es haya entr e ellas. Pasar 50 kg a dg. Tene mo s que m ultiplic ar , por que e l kilogr amo es ma yor que el decigr amo ; por la unidad seguida de c uat ro c ero s , ya que hay cuatro lugare s e ntre ambo s. 50 kg · 10 000 = 500 000 dg Pasar 408 mg a dg Tene mo s que dividir , por que el m iligram o es meno r que el decigr amo , por la unidad seguida de do s cero s , ya que hay dos lugare s e ntre ambo s. 408 : 100 = 4 .08 dg Ejem plos

Expr esa en gr amos: 5 kg 5 hm 7 dag 3 g 2 cg 3 mg

5 000 g + 500 g + 70 g = 5 570 g 3 g + 0 .02 g + 0 .003 g = 3.023 g

25.5 6 dag + 526.9 dg

255.6 g + 52 .69 g = 308.29 g

53 600 mg + 9 830 cg

53 .6 g + 98.3 g = 151.9 g

1 .83 hg + 9 .7 dag + 3 700 cg 317 g

183 g + 97 g + 37 g =

Otra s unida des de ma sa Tone lada m étr ic a Se utiliz a par a me dir masas muy gr ande s. 1 t = 1000 kg Quintal m étr ic o Utilizado e n la agr icultura. 1 q = 100 kg Ejem plo

170 de 362


7.5

Medidas de Capacidad La unidad pr incipal para medir capacidades es el litr o. También e xisten o tras unidade s par a me dir cantidades mayo res y me nore s: kilolitr o kl 1000 l hec to lit ro

hl

100 l

dec alitr o

da l

10 l

litr o

l

1 l

decilitro

dl

0.1 l

c entilitro

cl

0.01 l

m ililit ro ml 0.001 l Si que remos pasar de una unidad a otr a tene mo s que mult iplicar (si e s de una unidad mayor a otr a me no r) o dividir (si e s de una unidad menor a o tra mayor ) por la unidad seguida de tantos ceros como lugar es haya entr e ellas. Pasar 50 hl a cl Tene mo s que m ultiplic ar , po rque e l hec to lit ro es mayor que e l cent ilit ro ; por la unidad seguida de cuatro c ero s , ya que hay cuatro lugare s e ntre ambo s. 50 · 10 000 = 500 000 cl Pasar 2587 cl a l Tene mo s que dividir , po rque el cent ilit ro es meno r que e l litro , por la unidad seguida de do s cero s , ya que hay dos lugare s e ntre ambos. 2587 : 100 = 25 .87 l Ejem plos

Expr esa en litr os: 5 kl 5 hl 7 dal 3 l 2 cl 3 ml

l

5 000 l + 500 l + 70 l = 5 570 l 3 l + 0 .02 l + 0.003 l = 3.023 l

25.5 6 dal + 526.9 dl

255.6 l + 52 .69 l = 308.29 l

53 600 ml + 9 830 cl

53.6 l + 98 .3 l = 151.9 l

1.83 hl + 9 .7 dal + 3 700 cl

171 de 362

183 l + 97 l + 37 l = 317


7.6

Medidas de Superficie La unidad fundamental para medir superficie s es e l metro cuadr ado , que es la superfic ie de un c uadrado que t iene 1 metro de lado . Otras unidade s mayo res y me nore s so n: kilóm etr o cuadr ado km 2 1 000 000 m 2 hec tóm et ro cuadr ado

hm 2

10 000 m 2

dec ám etro cuadra do

dam 2

100 m 2

m etro cuadra do

m2

1 m2

decímetro c ua dra do

dm 2

0.01 m 2

c entímetro c ua dra do

cm 2

0.0001 m 2

2

m ilím et ro cuadr ado mm 0.000001 m 2 Obser vamo s que desde los submúltiplos, en la parte infe rior , hasta los múltiplo s, en la parte supe rior , ca da unida d va le 100 má s que la anterio r . Por lo tanto , el pr oble ma de conver tir unas unidade s e n otras se re duce a m ultiplic ar o dividir por la unidad seguida de tantos par es de c ero s com o luga res ha ya ent re ella s. Pasar 1 .5 hm 2 a m 2 Tene mo s que m ultiplic ar , por que e l hm 2 es mayor que el 2 m ; por l a unida d seguida de cuatro ceros , ya que hay dos lugare s e ntre ambos. 1.5 · 10 000 = 15 000 m 2 Pasar 15 000 mm 2 a m 2 Tene mo s que dividir , por que el mm 2 es menor que el m 2 , por la unidad seguida de seis ceros , ya que hay tres lugar es entre ambos. 15.0 00 : 1 000 000 = 0.015 m 2 Ejem plos

M edidas de superfic ie agr arias Para medir exte nsio ne s e n el campo se utiliz an las llamadas medida s a grar ia s : La hec tár ea que e quivale al he ctómetro cuadr ado. 1 Ha = 1 H m 2 = 10 000 m² El área e quivale al de cáme tr o cuadrado . 1 a = 1 da m 2 = 100 m² La c entiár ea e quivale al me tr o cuadrado . 1 ca = 1 m² Expr esar e n he ctáre as: 211 943 a 211 943 : 100 = 2 119.43 ha

172 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 356 500 m 2 356 500 : 10 000 = 35.65 hm 2 = 35.65 ha 0.42 5 km 2 0.42 5 · 100 = 42.5 hm 2 = 42.5 ha 8 km 2 31 hm 2 50 dam 2 8 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731 .5 hm 2 = 831.5 ha 91 m 2 33 dm 2 10 cm 2 = 91 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000= 0.00 913310 hm 2 = 0.00913310 ha 7.7

Medidas de Volumen La me dida fundamental para me dir vo lúme ne s es el metro cúbico. Otras unidade s de volúmenes so n: kiló metro c úbico km 3 1 000 000 000 m 3 hect ómetro c úbic o

hm 3

1 000 000m 3

decá metro c úbico

dam 3

1 000 m 3

3

1 m3

metro c úbico

m

dec ím et ro cúbico

dm 3

0.001 m 3

cent ím et ro cúbico

cm 3

0.000001 m 3

milímetro c úbic o mm 3 0.000000001 m 3 Obser vamo s que desde los submúltiplos, en la parte infe rior , hasta los múltiplo s, en la parte supe rior , ca da unida d va le 1000 má s que la a nt er ior . Por lo tanto , el pr oble ma de conver tir unas unidade s e n otras se re duce a m ultiplic ar o dividir por la unidad seguida de tantos trío s de c ero s co mo lugares ha ya ent re ella s . Pasar 1 .36 Hm 3 a m 3 Tene mo s que m ultiplic ar , po rque e l Hm 3 es mayor que e l 3 m ; po r la unida d seguida de seis c ero s , ya que hay dos lugare s e ntre ambos. 1.36 · 1 000 000 = 1 360 000 m 3 Pasar 15 000 mm 3 a cm 3 Tene mo s que dividir , por que el mm 3 es menor que el cm 3 , por la unidad seguida de tres cer os , ya que hay un lugar entre ambos. 15 000 : 1000 = 15 cm 3 Ejem plos

Rela ción entr e unidades de ca pa cidad, vo lumen y ma sa Existe una re lación muy dire cta entre e l vo lume n y capacidad. 1 l es la ca pac idad que contiene un recipie nte cúbico de 1 dm de ar ista; es de cir, la capacidad co nt enida en un vo lumen de 1 dm 3 . También existe una relació n entre e l volumen y la masa de agua. 1 g equivale a 1 cm ³ de agua pura a 4 °C .

173 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad Ca pa cidad

Volum en

Ma sa (de agua)

1 kl

1 m³

1 t

3

1 l

1 dm

1 ml

1 cm³

1 kg 1 g

Ejem plos Expr esa en litr os: 23.2 m 3 = = 23 200 dm 3 = 13 200 l 0.07 m 3 = = 70 dm 3 = 70 l 5.2 dm 3 = = 5.2 l 8 800 cm 3 = = 8.8 dm 3 = 8.8 l

7.8

Medidas de Volumen

Medida s de longitud La unidad fundamental er a la vara , su valor más usado er a el de 83 .6 cm. Otras me didas er an: Pulgada : apr oximadamente 2.3 cm Pa lm o = 9 pulgadas, apro ximadame nte un 20.9 cm. Pie = 12 pulgadas, apro ximadame nte 27 .9 cm. Va ra = 3 pies = 4 palmo s, apro ximadame nte 83 .6 cm. Pa so = 5 pie s, apro ximadame nte 1 .39 m. Milla = 1000 paso s, apro ximadame nte 1 .39 km. Legua = 4 millas, apro ximadame nte 5 .58 km. Medida s de ca pa cidad Pa ra líquido s Cá nt ara = 16 .13 l Pa ra sólidos Fa nega = 55.5 l Medida s de ma sa La unidad fundamental era la libra , su valor más usado era el de 460 g. Otras me didas er an: Onza = ¼ libra, apr oximadamente 115 g. Libra = 460 g Arroba = 25 libr as, apro ximadamente 11.5 kg. Medida s de super ficie Fa nega de tierr a = 65 áreas = 6 500 m².

174 de 362


7.9

Medidas Sajonas Medida s de longitud Pulgada = 2 .54 cm. Pie = 12 pulgadas = 30 .48 cm. Yarda = 3 pies = 91.44 cm. Bra za = do s yardas = 1 .829 m. Milla t errest re = 880 br azas = 1 .609 kilómetro s. Milla náut ic a = 1 852 m. Medida s de ca pa cidad Pint a (Gr an Bretaña) = 0.568 l. Pint a (EE.UU.) = 0.473 l. Bar ril = 159 l. Medida s de ma sa Onza = 28 .3 g. Libra = 454 g. Medida s de super ficie Acre = 4 047 m².

7.10

Resumen El Sist em a M étr ico Decima l es un sist em a de unida des en el c ua l los m últiplos y subm últiplos de una unida d de medida est án r elac ionadas ent re sí por múlt iplo s o subm últiplos de 10. Unida des de lo ngit ud La unidad pr incipal par a medir longitude s e s e l metro. Existe n otr as unidade s para me dir cantidade s mayo res y me nore s, las más usuales so n: kilóm etr o km 1000 m hec tóm et ro

hm

100 m

dec ám etro

dam

10 m

m etro

m

1 m

decímetro

dm

0.1 m

c entímetro

cm

0.01 m

m ilím et ro mm 0.001 m Obser vamo s que desde los submúltiplos, en la parte infe rior , hasta los múltiplo s, en la parte supe rior , ca da unida d va le 10 veces m ás que la a nt er ior . Po r lo tanto , el proble ma de conver tir unas unidades en o tr as se reduce a m ultiplic ar o dividir por la unida d seguida de ta ntos cero s com o luga res ha ya e ntre ellas. Unida des de ma sa La unidad pr incipal par a medir longitude s e s e l gra mo. Existe n otr as unidade s para me dir cantidade s mayo res y me nore s, las más usuales so n: kilogr amo kg 1000 g hec togramo

hg

100 g

dec agr amo

dag

10 g

gr amo

g

1 g

dec igram o

dg

0.1 g

c entigra mo

cg

0.01 g

miligr amo

mg

0.001 g

175 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad Otra s unida des de ma sa To nela da métrica 1 t = 1000 kg Quinta l m étr ico 1 q = 100 kg Unidades de c apa cida d La unidad pr incipal para medir capacidades es el litr o. hect ómetro 10 000 hm 2 cuadr ado m2 hect olitro

hl

100 l

deca litro

dal

10 l

litro

l

1 l

dec ilit ro

dl

0.1 l

c entilitro

cl

0.01 l

mililitro ml 0.001 l Unida des de super ficie La unidad fundamental para medir superficie s es e l metro cuadr ado , que es la superfic ie de un c uadrado que t iene 1 metro de lado . kilóm etr o cúbico km 3 1 000 000 000 m 3 hec tóm et ro cuadr ado

hm 2

10 000 m 2

dec ám etro cuadra do

dam 2

100 m 2

2

1 m2

m etro cuadra do

m

decímetro c ua dra do

dm 2

0.01 m 2

cent ím et ro cuadr ado

cm 2

0.0001 m 2

m ilím et ro cuadr ado mm 2 0.000001 m 2 Obser vamo s que desde los submúltiplos, en la parte infe rior , hasta los múltiplo s, en la parte supe rior , ca da unida d va le 100 má s que la a nt er ior . Po r lo tanto , el proble ma de co nvertir unas unidade s en otr as se re duce a m ultiplic ar o dividir por la unidad seguida de ta nta s par ejas de c ero s como lugar es haya entr e ellas. Ot ras medida s de super ficie La hec tár ea que e quivale al he ctómetro cuadr ado. 1 Ha = 1 Hm 2 = 10 000 m² El área e quivale al de cáme tr o cuadrado . 1 a = 1 dam 2 = 100 m² La c entiár ea e quivale al me tr o cuadrado . 1 ca = 1 m² Unida des de vo lumen La me dida fundamental para me dir vo lúme ne s es el metro cúbico. kiló metro c úbico km 3 1 000 000 000 m 3 hect ómetro c úbic o

hm 3

1 000 000m 3

decá metro c úbico

dam 3

1 000 m 3

3

1 m3

m etro

m

dec ím et ro cúbico

dm 3

0.001 m 3

cent ím et ro cúbico

cm 3

0.000001 m 3

milímetro c úbic o mm 3 0.000000001 m 3 Obser vamo s que desde los submúltiplos, en la parte infe rior , hasta los múltiplo s, en la parte supe rior , ca da unida d va le 1000 má s que la a nt er ior . Por lo tanto, el pro blema de

176 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad co nvertir unas unidade s en otr as se re duce a m ultiplic ar o dividir por la unidad seguida de ta ntos tr ío s de c ero s como luga res ha ya ent re ella s . Rela ción entr e unidades de ca pa cidad, vo lumen y ma sa Ca pa cidad Volum en Ma sa (de agua) 1 kl 1 l

1 m³ 1 dm

3

1 t 1 kg

1 ml 1 cm³ 1 g Medida co mpleja Es aquella que ex pr esa distint as cla ses de unida des. Medida inc om pleja o sim ple Se ex pr esa únic am ente co n una cla se de unida des. Pa so de medida s co mplejas a incom plejas Para pasar de me didas co mple jas a incomplejas hay que tr ansfor mar cada una de las unidade s que te nemos en la que quere mo s obte ner como resultado final. Pa so de medida s inc ompleja s a com plejas Tene mo s do s casos: 1º Si quere mo s pasar a unidades mayore s hay que dividir. 2º Si quere mo s pasar a unidades menores hay que multiplicar . EJERCICIOS 1 Ejer cicios del sist em a m étr ic o decima l 1Expre sa en me tr os: 13 km 5 hm 7 dam 27 m 4 cm 3 mm 325 .56 dam + 526 .9 dm 453 600 mm + 9 830 cm 51 .83 hm + 9 .7 dam + 3 700 cm 2Expre sa en litro s: 13 kl 5 hl 7 dal 27 l 4 cl 3 ml 325 .56 dal + 526 .9 dl 453 600 ml + 9 830 cl 51 .83 hl + 9 .7 dal + 3 700 cl 3Expre sa en gramo s: 15 kg 3 hg 4 g 24 hg 8 dag 2 g 5 dg 32 dag 3 g 8 dg 7 cg 435 dg 480 cg 2 600 mg 4Expre sa en ce ntilitro s: 1 3 dal 7l 5 dl 4 cl 5 ml 2 6 hl 8 l 2 ml 3 0.07 2 kl + 5.06 dal + 400 ml 4 0.00 0534 kl + 0 .47 l 5Expre sa en ce ntígramo s: 1 3 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg 2 6 hg 8 g 2 mg 3 0.07 2 kg + 5.0 6 dag + 400 mg 4 0.00 0534 kg + 0 .47 g 6Expre sa en me tr os: 15 km 3 hm 4 m 24 hm 8 dam 2 m 5 dm 32 dam 3 m 8 dm 7 cm 435 dm 480 cm 2 600 mm

177 de 362


Ejercicios resueltos del sistema métrico decimal

1 Expresa en metros:

1 3 km 5 hm 7 dam

3 000 m + 500 m + 70 m = 3

570 m

2 7 m 4 cm 3 mm

7 m + 0.04 m + 0.003 m =

7.043 m

3 25.56 dam + 526.9 dm

255.6 m + 52.69 m =

308.29 m

4 53 600 mm + 9 830 cm

53.6 m + 98.3 m =

151.9 m

5 1.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm

183 m + 97 m +

37 m = 317 m

2 Expresa en litros:

1 3 kl 5 hl 7 dal 2 7 l 4 cl 3 ml

3 000 l + 500 l + 70 l = 3 570 l 7 l + 0.04 l + 0.003 l = 7.043 l

3 25.56 dal + 526.9 dl

255.6 l + 52.69 l = 308.29

4 53 600 ml + 9 830 cl

53.6 l + 98.3 l = 151.9 l

l

178 de 362


5 1.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl

183 l + 97 l + 37 l =

317 l

3 Expresa en gramos:

1 5 kg 3 hg 4 g

5 000 g + 300 g + 4 g = 5 304 g

2 4 hg 8 dag 2 g 5 dg

400 g + 80 g + 2 g + 0.5 g

= 482.5 g

3 2 dag 3 g 8 dg 7 cg

20 g + 3 g + 0.8 g + 0.07 g

= 23.87 g

4 35 dg 480 cg 2 600 mg

3.5 g + 4.8 g + 2.6 g =

10.9 g

4 Expresa en centilitros:

1 3 dal 7l 5 dl 4 cl 5 ml 3 000 cl + 700 cl + 50 cl + 4 cl + 0.5 cl = 3 754.5 cl

2 6 hl 8 l 2 ml 60 000 cl + 800 cl + 0.2 cl= 60 800.2 cl

3 0.072 kl + 5.06 dal + 400 ml 7 200 cl + 5 060 cl + 40 cl = 12 300 cl

179 de 362


4 0.000534 kl + 0.47 l 53.4 cl + 47 cl = 100.4 cl

5 Expresa en centígramos:

1 3 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg 3 000 cg + 700 cg + 50 cg + 4 cg + 0.5 cg = 3 754.5 cg

2 6 hg 8 g 2 mg 60 000 cg + 800 cg + 0.2 cg = 60 800.2 cg

3 0.072 kg + 5.06 dag + 400 mg 7 200 cg + 5 060 cg + 40 cg = 12 300 cg

6 Expresa en metros:

1 5 km 3 hm 4 m

5 000 m + 300 m + 4 m = 5 304

m

2 4 hm 8 dam 2 m 5 dm

400 m + 80 m+ 2 m + 0.5

m = 482.5 m

3 2 dam 3 m 8 dm 7 cm 0.07 m = 23.87 m

180 de 362

20 m+ 3 m + 0.8 m +


4 35 dm 480 cm 2 600 mm = 10.9 m

181 de 362

3.5 m + 4.8 m + 2.6 m

Aritmética – 6.- Proporcionalidad EJERCICIOS 2

Ejercicios del Sistema Métrico Decimal 1 Pasa

a decímetros cuadrados:

1 0.027 dam 2 2 0.35 m 2 3 438 cm 2 4 90 000 mm 2

2 Expresa

en metros cuadrados:

1 5 hm 2 24 dam 2 60 dm 2 72 cm 2 2 0.00351 km 2 + 4700 cm 2 3 0.058 hm 2 − 3.321 m 2

3 Expresa

en hectáreas:

1 431 943 a 2 586 500 m 2 3 0.325 km 2 4 7 km 2 31 hm 2 50 dam 2 5 51 m 2 33 dm 2 70 cm 2

4 Calcula

y expresa el resultado en forma compleja:

182 de 362


1 0.03598 km 2 + 96.45 ha + 3 000 a 2 179.72 m 2 − 0.831 dam 2 3 52 dam 2 31 m 2 500 cm 2

5 Pasa

a centímetros cúbicos:

1 5.22 dm 3 2 6 500 mm 3 3 3.7 dl 4 25 cl

6 Expresa

en litros:

1 13.2 m 3 2 0.05 m 3 3 3.9 dm 3 4 7 700 cm 3

13 Calcula

y expresa el resultado en metros cúbicos:

1 7 200 dm 3 + (3.5 m 3 4 600 dm 3 ) 2 0.015 hm 3 − (570 m 3 5.3 dm 3 )

183 de 362


Ejercicios resueltos del sistema métrico decimal

1 Pasa a decímetros cuadrados:

1 0.027 dam 2 0.027 · 10 000 = 270 dm 2

2 0.35 m 2 0.35 · 100 = 35 dm 2

3 438 cm 2 438 : 100 = 4.38 dm 2

4 90 000 mm 2 90 000 : 10 000= 9 dm 2

2 Expresa en metros cuadrados:

1 5 hm 2 24 dam 2 60 dm 2 72 cm 2 = = 50 000 m 2 + 2 400 m 2 + 0.60 m 2 + 0.0072 m 2 = = 52400.6072 m 2

2 0.00351 km 2 + 4 700 cm 2 =

184 de 362


= 3 510 m 2 + 0.47 m 2 = 3510.47 m 2

3 0.058 hm 2 − 3.321 m 2 = = 580 m 2 − 3.321 m 2 = 576.679 m 2

3 Expresa en hectáreas:

1 431 943 a 431 943 : 100 = 4 319.43 ha

2 586 500 m 2 586 500 : 10 000 = 58.65 hm 2 = 58.65 ha

3 0.325 km 2 0.325 · 100 = 32.5 hm 2 = 32.5 ha

4 7 km 2 31 hm 2 50 dam 2 7 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm 2 = 731.5 ha

5 51 m 2 33 dm 2 10 cm 2 = 51 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000= 0.00513310 hm 2 = 0.00513310 ha

4 Calcula y expresa el resultado en forma compleja: 185 de 362


1 0.03598 km 2 + 96.45 ha + 5 000 a = = 3.5698 hm 2 + 96.45 hm 2 + 50 hm 2 = = 150.0198 hm 2 = 1 km 2 50 hm 2 1 dam 2 98 m 2

2 179.72 m 2 − 0.831 dam 2 = =176.72 m 2 − 83.1 m 2 = 93.62 m 2 = 93 m 2 62 dm 2

3 52 dam 2 31 m 2 500 cm 2 = = 5 200m 2 + 31 m 2 + 0.05 m 2 = 5 231.05 = = 52 dam 2 31 m 2 5 dm 2

5 Pasa a metros cúbicos:

1 0.000005 hm 3 0.000005 · 1 000 000 = 5 m 3

2 52 dam 3 52 · 1000 = 52 000 m 3

3 749 dm 3 749 : 1000 = 0.749 m 3

4 450 000 cm 3 450 000 : 1 000 000 = 0.45 m 3 186 de 362


6 Pasa a centímetros cúbicos:

1 5.22 dm 3 = 5.22 · 1000 = 5 22 0 cm 3

2 6 500 mm 3 6 500 : 1000 = 6.5 cm 3

3 3.7 dl = = 3.7 · l00 = 370 ml = 370 cm 3

4 25 cl = = 0.25 l = 0.25 dm 3 = 250 cm 3

7 Calcula y expresa el resultado en metros cúbicos:

1 7 200 dm 3 + (3.5 m 3 4 600 dm 3 ) = = 7.2 m 3 + 3.5 m 3 + 4.6 m 3 = 15.3 m 3

2 0.015 hm 3 − (570 m 3 5.3 dm 3 ) = = 15 000 m 3 − 570.0053 m 3 = 14 429.9947 m 3

187 de 362


8.

Sistema sexagesimal

8.1 Sistema sexagesimal 8.2 Medidas de tiempo 8.3 Medidas de ángulos 8.4 Resumen Ejercicios 1 Ejercicios 2 8.1.

Sistema Sexagesimal

El siste ma se xage simal e s un sistema de numera ción en el que cada unidad se divide en 60 unidades de or den inferior , e s decir , es su siste ma de nume ración en base 60 . Se aplica e n la actualidad a la m edida del tiempo y a la de la amplitud de lo s á ngulos . 1 h

60 min

60 s

1º

60' 60'' Operac io nes en el sist em a sex agesim al Sum a 1 e r paso Se colocan las hor as debajo de las hor as (o lo s gr ados de bajo de los grado s), los minutos debajo de lo s minuto s y lo s segundo s de bajo de lo s se gundos; y se suman.

2 o paso Si lo s segundo s suman más de 60 , se divide dicho núme ro entre 60; e l re sto serán lo s segundo s y e l cocie nte se añadirá a lo s minutos.

3 e r paso Se hace lo mismo para los minuto s.

Rest a 1 e r paso Se colocan las hor as debajo de las hor as (o lo s gr ados de bajo de los grado s), los minutos debajo de lo s minuto s y lo s segundo s de bajo de lo s se gundos.

188 de 362


2 o paso Se restan los se gundos. Caso de que no sea po sible, co nvertimos un minuto del minuendo e n 60 segundo s y se lo sumamo s a lo s segundo s del minue ndo. A continuación restamos lo s se gundos.

3 e r paso Hace mo s lo mismo con lo s minutos.

M ultiplic ación por un núm er o 1 e r paso Multiplicamo s los segundo s, minuto s y horas (o grado s) por el númer o.

2 o paso Si lo s segundo s sobrepasan lo s 60 , se divide dicho númer o entre 60 ; e l resto serán los segundo s y e l co ciente se añadir án a lo s minutos.

3 e r paso · Se hace lo mismo para los minuto s.

Divisió n por un núm er o Dividir 37º 48' 25'' entr e 5 1 e r paso Se divide n las hor as (o grado s) e ntre el núme ro.

2 o paso

189 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad El cocie nte so n lo s grado s y el resto , multiplicando por 60 , lo s minutos.

3 e r paso · Se añaden estos minutos a lo s que te nemos y se repite el mismo pro ceso co n los minutos.

4 o paso Se añaden estos se gundos a lo s que tenemos y se divide n lo s se gundos.

Medida co mpleja Es aquella que ex pr esa distint as cla ses de unida des: 3 h 5 min 7s 25° 32' 17' '. M edida inco mpleja o simple Se ex pr esa únic am ente co n una cla se de unida des . 3.2 h 5.12 º. Paso de m edidas compleja s a inc ompleja s Para pasar de me didas co mple jas a incomplejas hay que tr ansfor mar cada una de las unidade s que te nemos en la que quere mo s obte ner , como resultado final. Pasar a segundo s 3 h 36 min 42 s.

Paso de m edidas incom plejas a compleja s Tene mo s do s casos: 1 Si que remos pasar a unidades mayo res hay dividir. 7520''

190 de 362

que


2 Si que remos mult iplicar .

8.2.

pasar

a

unida des

m enores

hay

que

Medidas de Tiempo

La unidad fundam enta l para m edir el tiempo es el segundo (s). L as medidas de tie mpo más usuales so n: Segundo (s). Minuto (min) = 60 s. Hora (h) = 60 min = 3 600 s. Día = 24 h. Semana = 7 días. Q uincena = 15 días. Mes = 28 días, ó, 29 días, ó, 30 días, ó, 31 días. Tr imestr e = 3 mese s. Semestre = 6 mese s. Año = 365 días ó 366 días (año bisiesto ). B ienio = 2 años. Tr ie nio = 3 años. L ustr o o quinquenio = 5 años. Dé cada = 10 año s. Siglo = 100 años. Milenio = 1000 año s.

191 de 362


8.3.

Medidas de Angulo Grado sex agesim al es la amplitud del ángulo result ante de dividir la cir cunfer encia en 360 part es igua les. 1º = 60' = 3600'' 1' = 60'' Radián (r ad) es la m edida del ángulo c entr al de una cir cunfer encia c uya lo ngit ud de arco co incide co n la lo ngit ud de su radio.

8.4.

Resumen

El siste ma se xage simal e s un sistema de numera ción en el que cada unidad se divide en 60 unidades de or den inferior , e s decir , es su siste ma de nume ración en base 60 . Se aplica e n la actualidad a la m edida del tiempo y a la de la amplitud de lo s á ngulos . 1 h

60 min

60 s

1º

60' 60' ' Medida co mpleja Es aquella que ex pr esa distint as cla ses de unida des: Medida inc om pleja o sim ple Se ex pr esa únic am ente co n una cla se de unida des . Pa so de medida s co mplejas a incom plejas Para pasar de me didas co mple jas a incomplejas hay que tr ansfor mar cada una de las unidade s que te nemos en la que quere mo s obte ner , como resultado final. Pa so de medida s inc ompleja s a com plejas Tene mo s do s casos: 1º Si quere mo s pasar a unidades mayo res hay que dividir. 2º Si quere mo s pasar a unidades m enores hay que mult iplicar . Sum a de ca ntida des en fo rma co mpleja 1 e r paso Se colocan las hor as debajo de las hor as (o lo s gr ados de bajo de los grado s), los minutos debajo de lo s minuto s y lo s segundo s de bajo de lo s se gundos; y se suman. 2 o paso Si lo s segundo s suman más de 60 , se divide dicho núme ro entre 60 ; e l resto serán los segundo s y e l co ciente se añadir án a lo s minutos. 3 e r paso Se hace lo mismo para los minuto s.

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Aritmética – 6.- Proporcionalidad Diferenc ia de c ant idades en form a com pleja 1 e r paso Se colocan las hor as debajo de las hor as (o lo s gr ados de bajo de los grado s), los minutos debajo de lo s minuto s y lo s segundo s de bajo de lo s se gundos. 2 o paso Se restan los se gundos. Caso de que no sea po sible, co nvertimos un minuto del minuendo e n 60 segundo s y se lo sumamo s a lo s segundo s del minue ndo. A continuación restamos lo s se gundos 3 e r paso Hace mo s lo mismo con lo s minutos. Pro ducto de un número po r un número complejo 1 e r paso Multiplicamo s los segundo s, minuto s y horas (o grado s) por el númer o. 2 o paso Si lo s segundo s sobrepasan lo s 60 , se divide dicho númer o entre 60 ; e l resto serán los segundo s y e l co ciente se añadir án a lo s minutos. 3 e r paso · Se hace lo mismo para los minuto s. División de un núm er o com plejo por un núm er o 1 e r paso Se divide n las hor as (o grado s) e ntre el núme ro. 2 o paso El cocie nte so n lo s grado s y el resto , multiplicando por 60 , lo s minutos. 3 e r paso · Se añaden estos minutos a lo s que te nemos y se repite el mismo pro ceso co n los minutos. 4 o paso Se añaden estos se gundos a lo s que tenemos y se divide n lo s se gundos. M edidas de ángulo s Gra do sexa gesima l es la amplitud del ángulo result ante de dividir la cir cunfer encia en 360 part es igua les. 1º = 60' = 3600'' 1' = 60'' Ra dián (r ad) es la m edida del á ngulo c entra l de una cir cunfer encia c uya lo ngit ud de arco co incide co n la lo ngit ud de su radio.

193 de 362


Cla sifica ción de á ngulos según su m edida Agudo < 90°

Rect o = 90°

Obt uso> 90°

Convexo < 180°

L la no = 180°

Cónca vo > 270°

Nulo = 0º

Co mpleto = 360°

Negat ivo < 0º

Mayor de 360°

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Ejercicios del sistema sexagesimal 1 Realiza

las siguientes sumas:

1 68º 35' 42'' + 56º 46' 39'' 2 5 h 48min 50 s + 6 h 45 min 30 s + 7 h 58 min 13 s 3 6 h 13 min 45 s + 7 h 12 min 43 s + 6 h 33 min 50 s

2 Realiza

los productos:

1 (132° 26' 33'') × 5 2 (15 h 13 min 42 s) × 7 3 (128° 42' 36'') × 3

3 Efectúa

los cocientes:

1 (132° 26' 33'') : 3 2 (226° 40' 36'') : 6

4

Halla el ángulo complementario y el suplementario

de 38° 36' 43''

5 Halla

el ángulo complementario y el suplementario

de 25° 38' 40''

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Ejercicios resueltos del sistema sexagesimal

1 Realiza las siguientes sumas:

1 68º 35' 42'' + 56º 46' 39''

2 5 h 48min 50 s + 6 h 45 min 30 s + 7 h 58 min 13 s

3 6 h 13 min 45 s + 7 h 12 min 43 s + 6 h 33 min 50 s

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2 Realiza los productos:

1 (132° 26' 33'') × 5

2 (15 h 13 min 42 s) × 7

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3 (128° 42' 36'') × 3

3 Efectúa los cocientes:

1 (132° 26' 33'') : 3

2 (226° 40' 36'') : 6

4

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Halla el ángulo complementario y el suplementario de 38° 36' 43''

5 Halla el ángulo complementario y el suplementario de 25° 38' 40''

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Ejercicios de medidas de tiempo 1 Expresar

en horas, minutos y segundos:

1 12 413 segundos 2 8 179'' 3 7 950 segundos 4 7520'' 5 2.32 horas

2 Expresar

en segundos:

1 3h 26 min 53 s 2 12° 30' 42'' 3 2 h 48min 30 s 4 Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s.

3 Calcula

la siguiente diferencia:

6 h 13 min 24 s − 2 h 24 nin 36 s

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Ejercicios resueltos del sistema sexagesimal

1 Expresar en horas, minutos y segundos:

1 12 413 segundos

2 8 179''

3 7 950 segundos

4 7520''

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5 2.32 horas

2 Expresar en segundos.

1 3h 26 min 53 s

2 12° 30' 42''

3 2 h 48 min 30 s

202 de 362


4 3 h 36 min 42 s.

3 Calcula la siguiente diferencia: 6 h 13 min 24 s − 2 h 24 nin 36 s

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Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9. Números reales 9.1 Número s irracionales 9.2 Número s reale s 9.3 Operaciones con co n núme ro s reale s 9.4 Inter valo s 9.5 Semir rectas 9.6 Valor absoluto de un núme ro real 9.7 Entor no s 9.8 Potencias 9.9 Radicale s 9.10 Re ducció n de radicale s a índice co mún 9.11 Extracció n e intr oducción de facto re s en r adical 9.12 Suma de r adicales 9.13 Producto de radicale s 9.14 Co ciente de radicale s 9.15 Potencia de radicale s 9.16 Raíz de un radical 9.17 Racionaliz ar 9.18 Re sume n Ejer cicios 1 Ejer cicios 2

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Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.1 Números irracionales Los número s natura les Con los número s na turales co ntamos los e lemento s de un co njunto ( núm er o car dina l ). O bie n e xpresamos la po sición u orden que ocupa un ele mento en un conjunto ( or dina l ). El co njunto de los número s nat ura les está for mado por : N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

La s uma y el pro ducto de dos núm er os naturales es otro número nat ura l . La difer encia de do s núme ros naturale s no sie mpre es un núme ro natur al , só lo ocurre cuando el minuendo es mayo r que sustraendo . 5 − 3 3 − 5 El cocie nte de dos núme ros natur ales no siempr e es un núme ro natural , só lo o curre cuando la división es exacta. 6 : 2 2 : 6 Po de mo s utiliz ar po te ncias , ya que es la fo rma abreviada de e scr ibir un pro ducto for mado por var io s facto res iguale s. La r aíz de un núme ro natural no sie mpre es un número natural , só lo o curre cuando la r aíz es exacta. Lo s núm er os entero s Los número s e nteros so n de l tipo: = {...−5, − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos pe rmiten expre sar : el diner o ade udado, la te mperatura bajo cero , las profundidade s co n respe cto al nivel del mar, etc. La suma , la difer encia y el producto de do s núme ros entero s es o tro número e ntero. El cocie nte de dos núme ros e nteros no sie mpre es un núme ro entero , só lo o curre cuando la división es exacta. 6 : 2 2 : 6 Po de mo s o per ar con potencias , per o e l e xpone nte tiene que ser un númer o natural .

La ra íz de un núme ro entero no siempr e es un núme ro entero , sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando po sitivo .

205 de 362


Los número s ra cio na les Se llama núme ro r acio nal a to do núme ro que pue de represe ntar se como el co ciente de do s entero s , con denominador distinto de cero .

Los núme ros decimales (decimal exacto, per ió dico pur o y per ió dico mixto ) so n núme ros racionales ; per o lo s o tro s núme ros de cimale s ilimitados no . La suma , la dife re ncia , e l producto y el co ciente de dos número s ra cionales es otro número racional . Po de mo s o per ar con potencias , per o e l e xpone nte tiene que ser un númer o entero . La raíz de un núme ro r acio nal no siempr e es un número racional , sólo o curre cuando la raíz es exacta y si el índice es par e l radicando ha de ser po sitivo .

Lo s núm er os irr acionales Un núme ro es ir racional si posee infinitas cifras decimales no periódicas , por tanto no se pue de n e xpresar en forma de fr acción . El número ir racional más co no cido es , que se define co mo la re lación entr e la lo ngitud de la cir cunfer encia y su diámetro . = 3 .14159265 3589... Otros número s irr acio nale s son: El núme ro e apare ce e n pro ceso s de cre cimiento , en la de sintegración radiactiva, en la fór mula de la catenar ia, que es la curva que po de mo s apreciar e n lo s tendido s eléctr icos. e = 2 .71828182 8459... El núme ro áureo , , utiliz ado por ar tistas de todas las épo cas (Fidias, Leonar do da Vinci, Alber to Dur ero, Dalí,..) e n las pro po rcio ne s de sus o bras.

206 de 362


207 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.2 Números reales El co njunto formado por los númer os racionales e ir racionales es e l conjunto de lo s númer os reale s, se designa po r .

Con los número s reales podemos realizar todas las opera cio nes, ex cept o la ra dicac ió n de índic e par y radic ando negat ivo , y la divisió n por cero. La r ecta rea l A to do número r eal le corre sponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un núm er o r ea l .

Repr esenta ción de los número s r ea les Los número s reales pueden se r re pre sentado s e n la recta co n tanta apr oximació n co mo que ramo s, pe ro hay casos en los que podemo s re pre sentarlos de for ma exacta.

208 de 362


209 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.3. Operaciones con Números reales

Suma de números reales Propiedades 1. Interna : El

resultado

de

sum ar

do s

núm er os

r eales

es

número rea l .

a + b +

2. Asociativa : El modo de agr upar lo s sumando s no var ía e l resultado .

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa : El or den de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4. Elemento neutro :

210 de 362

otr o


El 0 es e l ele me nto neutr o de la suma por que todo número sumado co n é l da e l mismo núme ro.

a + 0 = a + 0 =

5. Elemento opuesto Do s número s so n opuest os si al suma rlo s obtenemo s como r esulta do el cero.

e − e = 0

El

o puesto

del

opuest o

de

un

número

es

igua l

al

mism o número .

−(−

) =

Diferencia de números reales

La diferenc ia de do s núme ros reale s se define co mo la suma del m inuendo más el opuest o del sust ra endo .

a − b = a + (−b)

Producto de números reales La re gla de lo s signos del pro ducto de los núme ros entero s y racionales se sigue mantenie ndo co n los núme ros reale s.

211 de 362


Propieda des

1.I nterna:

El r esulta do de m ultiplic ar dos núm er os r ea les es otro número rea l.

a · b

2.A soc iat iva:

El modo de agr upar lo s facto res no va ría el r esulta do. Si a, b y c son núme ros reales cualesquie ra, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e ·

) ·

= e · (

·

)

3.Conmutat iva:

El orden de lo s fact ores no varía el pro ducto .

a · b = b · a

4. Elem ento neutro :

El 1 es el elem ento neut ro de la m ultiplic ac ió n , por que to do núme ro multiplicado por é l da e l mismo núme ro. 212 de 362


a ·1 = a

· 1 =

5. Elem ento inver so :

Un núm er o es inverso del otro si a l multiplic ar los obtenemo s com o result ado el elem ento unida d.

6.Distr ibutiva :

El producto de un núm er o por una sum a es igua l a la suma de lo s product os de dic ho núm er o po r ca da uno de lo s sum ando s.

a · (b + c) = a · b + a · c

· (e +

) =

· e +

·

7.Saca r fa ctor co mún:

Es el pro ceso inve rso a la propie dad distr ibutiva.

Si var io s suma ndos t ienen un facto r co mún, podemo s transfor mar la sum a en producto ex tra yendo dicho factor .

a · b + a · c = a · (b + c)

· e +

·

=

· (e +

)

213 de 362


División de núm er os reales

La división de dos número s r ea les se define com o el produc to del dividendo por el inverso del divisor . 9.4. Intervalos

Definición de intervalo

Se

llama

intervalo

al

c onjunt o

co mprendido s entr e otros dos dado s:

de

número s

reales

a y b que se llaman

extre mo s del intervalo .

Intervalo abierto

Inte rvalo a bier to , (a, b), es e l co njunto de to dos lo s número s r ea les ma yores que a y meno res que b .

(a, b) = {x

/ a < x < b}

Intervalo cerrado

Inte rvalo cerra do , [a, b], e s e l co njunto de to dos los número s reales

ma yores o

igua les que

igua les que b .

[a, b] = {x

/ a ≤ x ≤ b}

214 de 362

a y meno res o


Intervalo semiabierto por la izquierda

Inte rvalo sem ia bier to por la izquier da , (a, b], e s el co njunto de to dos lo s núm er os reales ma yor es que a y meno res o iguales que b .

(a, b] = {x

/ a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Inte rvalo

semiabiert o

por

la

derecha ,

[a,

b),

es

el

co njunto de to dos lo s núm er os reales ma yor es o iguales que a y meno res que b .

[a, b) = {x

/ a ≤ x < b}

Cuando que remos no mbrar un co njunto de punto s for mado por dos o más de e stos inte rvalos, se utiliz a el signo entre e llos.

215 de 362

(unió n )

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.5. Semirrectas

Semirrectas

Las semir re ctas están determinadas por un número . En una semir re cta

se

encue ntran

todos

los

núme ro s

me nore s) que é l.

x > a (a, +∞) = {x

/ a < x < +∞}

x ≥ a [a, +∞) = {x

/ a ≤ x < +∞}

x < a (-∞, a) = {x

/ -∞ < x < a}

x ≤ a (-∞, a] = {x

/ -∞ < x ≤ a}

216 de 362

mayore s

(o

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.6. Valor absoluto de un número real Valor a bsoluto de un número re al a, se escr ibe |a |, e s el mismo número a cuando es positivo o cero, y opue sto de a, si a es ne gativo .

|5 | = 5

|-5 |= 5

|x| = 2

x = −2

|x|< 2

− 2 < x < 2

|0| = 0

x = 2

x

|x|> 2

x< 2 ó x>2

|x −2 |< 5

− 5 < x − 2 < 5

− 5 + 2 < x < 5 + 2

(−2 , 2 )

(− ∞, 2 )

(2 , + ∞)

− 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto 1 Lo s núme ros opuest os tienen igual valor abso luto . |a| = |− a|

|5 | = |−5| = 5

2 El valor abso luto de un produc to es igual al producto de lo s va lor es a bsoluto s de lo s facto res.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (− 2)| = |5| · |(−2)|

|− 10| = |5| · |2|

217 de 362


10 = 10

3 El valo r abso luto de una suma es meno r o igua l que la sum a de los va lor es abso lutos de lo s sum ando s .

|a + b| ≤ |a| + |b|

| 5 + ( − 2 ) | ≤ | 5 | + | ( −2 )|

| 3 | = | 5| + |2 |

3 ≤ 7

Distancia La distancia e ntre dos número s r eales a y b, que se escribe

d(a ,

b) ,

se

de fine

co mo

el

valor

abso luto

de

la

diferenc ia de a mbo s núm er os :

d(a, b) = |b − a|

La distancia e ntre −5 y 4 es:

d(−5 , 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 9.7. Entornos

Definición de entorno

Se llama entor no de centr o a y radio r , y se deno ta por E r (a) o E(a,r ) , al inte rvalo abier to (a- r, a +r).

E r (a) = (a-r, a+r)

218 de 362


Los e ntornos se expresan co n ayuda del valo r abso luto .

E r (0) = (-r , r) se expresa también |x|
E r (a) = (a -r, a+r ) se expresa también |x -a|< r, o bien, a a-r < x < a+ r .

Entornos laterales

Por la iz quie rda

E r (a - ) = (a-r, a)

Por la dere cha

E r (a + ) = (a, a+r)

Entorno reducido

Se

emplea

cuando

se

quie re

sabe r

qué

pasa

en

las

pro ximidades del punto , sin que intere se lo que ocurre en dicho punto.

219 de 362


E

r

*

(a) = { x

(a-r, a+r), x ≠ a}

9.8. Potencias Pot encias co n exponente ent er o

Co n exponente ra cio na l o frac cio na rio

Propieda des

1.a 0 = 1 ·

2.a 1 = a

3.Producto de potenc ia s con la m isma base : Es o tr a po te ncia con la m isma base y cuyo expo nente es la suma de lo s exponentes .

am · a

n

= am+n

(− 2) 5 ·(−2 ) 2 = (−2 ) 5 + 2 = (−2 ) 7 = −128

220 de 362


4.Divisió n de potenc ia s con la m isma base : Es o tr a po te ncia con la misma ba se y cuyo expo nente es la dife re ncia de lo s exponentes .

am : a

n

= am

- n

(− 2) 5 : (−2 ) 2 = (−2 ) 5

- 2

5.Potencia

potenc ia :

misma

ba se

de y

una

cuyo

= (−2 ) 3 = -8

expo nente

Es es

otra el

potencia

pro ducto

co n de

la lo s

ex po nent es .

(a m ) n =a m

· n

[(−2 ) 3 ] 2 = (−2 ) 6 = 64

6.Producto de potenc ia s con el mism o ex po nent e : Es otra

potencia

co n

el

mismo

ex po nent e

y

cuya

base

es

el

pro ducto de la s bases

an · b

n

= (a · b)

n

(− 2) 3 · (3) 3 = (− 6) 3 = −216

7. Co ciente de pot encias con el mism o exponente : Es otra po te ncia co n e l mismo expo ne nte y cuya base es e l cocie nte de las bases.

an : b

n

= (a : b)

n

(− 6) 3 : 3 3 = (− 2) 3 = −8

221 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.9. Radicales

Un ra dica l es una e xpresió n de la for ma y a

, e n la que n

; con tal que cuando a sea negativo, nha de ser

impar.

Potencias y radicales Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes Utilizando pro piedad

de

la las

notació n fr acciones

de

e xpone nte

que

dice

que

fraccio nario si

se

y

la

multiplica

nume rado r y de no minado r por un mismo núme ro la fr acción es equivale nte, obte ne mo s que:

222 de 362


Si se multiplican o dividen e l índice y el ex po nent e de un radic al por un mismo número nat ura l , se obtiene o tro radic al equiva lent e .

Simplificación de radicales Si existe un número nat ura l que divida al índice y al ex po nent e

(o

lo s

expo nente s)

del

radicando,

se

o btie ne

unra dica l simplifica do .

9.10. Reducción de radicales a índice común

1 Hallamo s e l mínimo com ún múlt iplo de los índices , que ser á el común índice

2 índices

Dividimos y

cada

el

co mún

resultado

índice

o btenido

ex po nent es correspo ndie ntes.

223 de 362

por se

cada

uno

m ultiplic a

de

los

por

sus

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.11. Extracción e Introducción de factores en radical

Extracción de factores fuera del signo radical Se desco mpone e l radicando en facto res . Si:

1

Un

expo nente

es

me nor

que

el

índice ,

el

facto r

corre spondiente se deja e n el r adicando .

2 Un e xpone nte es igual al índice , el facto r cor respo ndie nte sale fuer a del radicando .

3 Un e xpone nte es m ayo r que el índice , se divide dicho expo nente por el índice . El cocie nte obte nido es e l expo nente del fact or fuer a del radicando y e l re sto es e l expo nente del fa ctor dentro del radicando.

224 de 362


Introducción de factores dentro del signo radical Se intro duce n lo s factore s e levados al índice correspo ndie nte de l r adical .

9.12. Suma de radicales

So lame nte pue de n sumar se (o restarse ) dos r adicales cuando son radicale s se me jantes , es de cir, si so n radicale s con el mismo índice e igual ra dica ndo .

225 de 362


9.13. Producto de radicales

Radicales del mismo índice

Para

multiplicar

ra dica les

con

el

mism o

índice

se

mult iplica n lo s ra dica ndos y se deja el mismo índice .

Cuando te rminemos de re aliz ar una o peración e xtraeremos fa ctor es del radica l , si es posible .

Radicales de distinto índice

Pr imero

se

reducen

a

índice

mult iplica n.

226 de 362

co mún

y

luego

se


9.14. Cociente de radicales

Radicales del mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

227 de 362


9.15. Potencia de radicales

Para ele var un r adical a una potencia , se e leva a dicha po te ncia e l radicando y se deja el mismo índice .

228 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.16. Raíz de un radical La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

9.17. Racionalizar

La rac io na lizac ió n de ra dicales consist e en quitar lo s radic ales del deno mina dor , lo que pe rmite facilitar e l cálculo de o per acio ne s co mo la suma de fraccio ne s.

Po de mo s distinguir tres casos.

1 Racionalización del tipo Se multiplica el numerador y el denominador por .

229 de 362


2 Racionaliz ació n del tipo .

Se m ultiplic a num er ado r y deno mina do r por

3

Racio nalización de l tipo

, y e n ge ner al cuando

el denominador se a un binomio co n a l m enos un radic al.

Se

mult iplica

el

numera dor

y

deno mina dor

por

el

conjuga do del denom inador.

El co njugado de un binomio es igual al binomio con el signo centr al cambiado :

230 de 362


También tenemos que te ner e n cuenta que : " suma por diferenc ia es igua l a difer encia de cuadr ado s ".

231 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 9.18. Resumen

Los números irracionales Un númer o es irracional si po see infinitas cifr as decimales no per ió dicas, por tanto no se pue de n expre sar e n forma de fr acción.

Los números reales El

co njunto

formado

por

los

númer os

r acio nale s

e

ir racionales es e l co njunto de los númer os re ales, se de signa po r .

Con

los

núme ros

re ales

opera cio nes,

ex cept o

la

po de mo s

ra dicac ió n

re aliz ar de

to das

índic e

par

la s y

radic ando negat ivo y la divisió n por c ero .

Los inte rvalos están de ter minado s por dos núme ros que se llaman

e xtremos.

En

un

inter valo

se

e ncue ntran

todos

lo s

núme ros compr endido s entr e ambo s y tambié n pue de n estar los extre mo s.

Intervalos Intervalo abierto (a, b) = {x

/ a < x < b}

Intervalo cerrado [a, b] = {x

/ a ≤ x ≤ b}

232 de 362


Intervalo semiabierto por la izquierda (a, b] = {x

/ a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha [a, b) = {x

/ a ≤ x < b}

Semirrectas x > a (a, +∞) = {x

/ a < x < +∞}

x ≥ a [a, +∞) = {x

/ a ≤ x < +∞}

x < a (-∞, a) = {x

/ -∞ < x < a}

x ≤ a (-∞, a] = {x

/ -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto

Propiedades |a| = |−a|

233 de 362


|a · b| = |a| ·|b| |a + b| ≤ |a| + |b|

Distancia d(a, b) = |b − a|

Entornos Se llama entor no de c entro a y ra dio r , y se de no ta por E r (a) o E(a ,r ) , a l int er va lo abierto (a-r, a+r).

E r (a) = (a-r, a+r)

Entornos laterales:

Por la iz quie rda

E r (a - ) = (a-r, a)

Por la dere cha

E r (a + ) = (a, a+r)

Entorno reducido E

r

*

(a) = { x

(a-r, a+r), x ≠ a}

Potencias Con exponente entero

234 de 362


Con exponente racional

Propiedades 1. a 0 = 1 · 7. a n : b

n

= (a : b)

n

2. a 1 = a 3. a m · a

n

= am+n

4. a m : a

n

= am

5. (a m ) n =a m 6. a n · b

n

- n

· n

= (a · b)

n

Radicales Un radic al es una expresión de la fo rma n

y a

, en la que

; con ta l que cuando a se a nega tivo , nha de

ser impar.

Se puede ex presa r un radica l en form a de pot encia:

Radiales equivalentes

235 de 362


Simplificación de radicales Si ex iste un número na tur al que divida al índice y a l ex po nent e (o los ex po nent es) del ra dicando , se o btiene un radic al sim plific ado.

Reducción de radicales a índice común 1 Hallamo s e l mínimo com ún múlt iplo de los índices , que ser á el común índice

2 índices

Dividimos y

cada

el

co mún

resultado

índice

o btenido

por se

cada

uno

m ultiplic a

de

los

por

sus

ex po nent es correspo ndie ntes.

Extracción de factores fuera del signo radical Se desco mpone e l radicando en facto res . Si:

Un

e xpone nte

es

menor

que

el

índice,

el

factor

corre spondiente se deja e n el r adicando .

Un e xpone nte es igual al índice , e l facto r corre spondiente sa le fuera del ra dica ndo .

Un expo nente es ma yor que el índic e , se divide dicho expo nente por el índic e . El co ciente obte nido es e lexponente del fact or fuer a del radicando y e l resto es el exponente del fa ctor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical Se

int roduc en

los

fact ores

corr espo ndient e del radic al.

236 de 362

eleva do s

al

índic e


Operaciones con radicales Suma de radicales So lam ente pueden sum arse (o resta rse) dos ra dica les cuando

so n

radica les

sem ejantess,

es

decir,

si

so n

radic ales co n el m ismo índic e e igual radic ando.

Producto de radicales Radicales del mismo índice


Pr im er o

se

r educ en

a

índic e

com ún

y

luego

se

mult iplica n.

Cociente de radicales Radicales del mismo índice


Pr im er o se r educ en a índic e co mún y luego se dividen.

Potencia de radicales

Raíz de un radical

237 de 362


Racionalizar Co nsiste en quit ar lo s ra dica les del denom inador , lo que per mite facilitar el cálculo de ope raciones co mo la suma de fr acciones.

Po de mo s distinguir tres casos.

1 Del tipo Se mult iplica el numera dor y el deno mina do r por

.

2 Del tipo Se mult iplica numera dor y denom inador por

3De l tipo

.

, y e n gene ral cuando el de no minado r

sea un bino mio con al m enos un radic al.

Se

mult iplica

el

numera dor

conjuga do del denom inador.

238 de 362

y

deno mina dor

por

el


Números reales. Ejercicios 1

Clasifica los números:

2 Representa 3

Representa

en la recta: en

la

recta

real

los

números

verifican las siguientes relaciones: |x| < 1

4 Calcula

5

|x| ≤ 1

|x| > 1

|x| ≥ 1

los valores de las siguientes potencias:

Halla las sumas:

239 de 362

que


6

Realiza las operaciones:

7

Opera:

8 Efectúa:

9 Calcula:

10

Racionalizar

240 de 362


241 de 362


Números reales. Ejercicios resueltos

1 Clasifica los números:

2 Representa en la recta:

3 Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones: |x| < 1 |x| ≤ 1 |x| > 1|x| ≥ 1 |x| < 1 -1 < x < 1 x

|x|≤ 1 -1 ≤ x ≤1 x

( −1, 1)

[ −1, 1]

242 de 362


|x| > 1-1 > x > 1 x

( -∞, −1)

(1, +∞)

1 |x| ≥ 1-1 ≥ x ≥ 1 x

( -∞, −1]

[1, +∞)

4 Calcula los valores de las siguientes potencias:

243 de 362


5 Halla las sumas:

6 Realiza las operaciones:

244 de 362


7 Opera:

245 de 362


8 Efectúa:

9 Calcula:

246 de 362


10 Racionalizar

247 de 362


Números reales. Ejercicios 1 Representa 2

en la recta:

Representa

en

la

recta

real

los

números

que

verifican las siguientes relaciones: |x −2| < 1

|x −2| ≤ 1

1

3 Opera:

4

Calcula:

5

Racionalizar:

1 Representa en la recta:

248 de 362

|x −2| > 1

|x −2| ≥


2 Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones: |x −2| < 1|x −2| ≤ 1 |x −2| > 1 |x −2| ≥ 1 |x −2| < 1-1 < x −2 < 1 1 < x < 3 x

(1, 3)

|x −2| ≤ 1-1 ≤ x −2 ≤ 11 ≤x ≤ 3 x

[1, 3]

|x −2| > 1 -1 > x −2 > 1 1 > x > 3 x

(-∞ , 1)

(3, +∞)

249 de 362


|x −2| ≥ 1 -1 ≥ x −2 ≥ 11 ≥ x ≥ 3 x

(-∞ , 1]

[3, +∞)

3 Opera:

4 Calcula:

5 250 de 362


Racionalizar:

251 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10. Números reales 10.1 Números imaginarios 10.2 Potencias de la unidad imaginaria 10.3 Números complejos en forma binómica 10.4 Representación gráfica de los números complejos 10.5 Operaciones de números complejos en la forma binómica 10.6 Números complejos en forma polar 10.7 Números complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos 10.8 Producto y cociente de complejos en forma polar 10.9 Potencia de complejos en forma polar 10.10 Raíz enésima de complejos en forma polar 10.11 Coordenadas cartesianas y polares 10.12 Números complejos en forma trigonométrica 10.13 Resumen

252 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10.1 Números imaginarios Unida d imaginar ia

La unida d ima ginar ia es el número

y se designa por

la le tr a i.

Números im aginarios

Un número ima gina rio se deno ta por bi, donde :

b es un número real

i es la unidad imaginar ia

Con los núm er os ima gina rio s podemos calcular raíces co n índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

253 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10.2 Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i 2 = −1

i 3 = −i

i4 = 1

Los valore s se repiten de cuatro e n cuatro , por e so, para sabe r cuánto vale una de ter minada po te ncia de i, se divide el expo nente entre 4 , y e l resto es e l exponente de la potencia equivale nte a la dada.

i22

i 2 2 = (i 4 ) 5 · i 2 = − 1

i27 = −i

254 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10.3 Números complejos Números com plejos en form a binó mica

Al número a + b i le llamamo s núm er o com plejo e n for ma binó mica.

El número a se llama part e r ea l de l núm er o com plejo .

El

número b se

llama part e

ima gina ria de l núm er o

com plejo .

Si b

=

0 e l número

complejo se

re duce

a

un número

real ya que a + 0 i = a.

Si a = 0 el núm er o complejo se reduce a bi, y se dice que es un núm er o imaginar io puro .

El por

conjunto

de

to do s núm er os

co mplejo s se

designa

.

Los núm er os

co mplejo s a

+

b i y −a

−

bi se

llaman opuesto s .

Los núm er os

co mplejo s z

=

a

+

bi y z =

a

−

b i se

llaman conjuga do s .

Do s número s mism a

com plejos so n igua les cuando

co mpo nent e

r ea l

y

la

im aginaria.

255 de 362

mism a

tienen la

co mpo nent e

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10.4 Representación Gráfica de los números complejos

Los núm er os cartesiano s.

com plejos se

El eje

X se

re presentan

llama eje

en

rea l y

uno s

e jes

el Y, eje

im aginario . El número complejo a + b i se repre se nta:

1Por e l punto (a ,b) , que se llama su a fijo ,

z

2 Me diante un vec tor de or igen (0, 0) y ex tr emo (a , b).

256 de 362


Los afijos de lo s núm er os r ea les se sitúan sobre e l e je real, X. Y lo s imaginar io s so bre e l eje imaginario, Y.

257 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10.5 Operaciones de números complejos en la forma binómica Oper aciones de núm ero s com plejo s en la form a binó mica

Sum a y difer encia de número s co mplejo s

La

suma

y

dife re ncia

de

núme ros

complejos

se

realiza suma ndo y r esta ndo part es r eales entre sí y partes im aginarias entr e sí.

(a + bi) + (c + d i) = (a + c ) + (b + d) i

(a + bi) − (c + d i) = (a − c ) + (b − d) i

(5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2 i ) =

= (5 − 8 − 4 ) + (2 + 3 + 2 ) i = −7 + 7 i

M ultiplic ación de número s co mplejo s

El producto de lo s número s co mple jo s se realiza aplicando la pro piedad distributiva del producto respe cto de la suma y te niendo en cue nta que i 2 = −1 .

(a + bi) · (c + d i) = (ac − bd) + (a d + bc) i

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15 i + 4i − 6 i 2 = 10 − 11 i + 6 = 16 − 11i

258 de 362


División de número s co mplejo s

El co ciente de númer os complejos se hace ra cio na liza ndo el

denom inado r ;

esto

es,

multiplicando

numer ador

y

de no minado r por e l co njugado de éste.

10.6 Números complejos en forma polar

Módulo de un núm er o com plejo

El módulo de un núm er o com plejo es el mó dulo del vector determina do por el or igen de coor dena da s y su afijo. Se designa por |z|.

259 de 362


Argum ento de un núm er o com plejo

El argum ento de un número co mplejo es el ángulo que for ma el vec tor co n el eje real . Se de signa por arg(z ) .

.

Ex pr esió n de un número complejo en form a polar.

z = rα

|z | = r r es el mó dulo .

arg(z ) =

es el ar gument o .

Ejem plos

Pa sa r a la for ma po lar :

z = 260º

260 de 362


z = 2120º

z = 2240º

z = 2300º

z = 2

261 de 362


z = 20º

z = −2

z = 2180º

z = 2i

z = 290º

z = −2 i

262 de 362


z = 2270º

Pa sa r a la for ma binómica :

z = 2120º

Para pasar de la for ma po lar a la binó mica, te nemos que pasar e n pr imer lugar a la form a trigonométr ica :

r α = r (cos α + i sen α)

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

z =1 0 º = 1

z =1 1 8 0 º = − 1

z =1 9 0 º = i

z =1 2 7 0 º = − i

263 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10.7 Números complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos

Números com plejos iguales

Do s número s co mplejo s son iguales si tie ne n el m ismo módulo y e l mism o argum ento .

N úm ero s co mplejo s conjuga do s

Do s número s

co mplejo s son co njugados si

el m ismo mó dulo y el opuest os sus ar gument o .

N úm ero s co mplejo s opuesto s

264 de 362

tienen


Do s número s co mplejo s son opuest os si tienen e l mism o módulo y sus argum ento s se diferenc ia n en π ra dianes .

N úm ero s co mplejo s inversos

El inverso de por mó dulo

el

un núm er o

inverso

del

complejo no

módulo

y

por

nulo ,

tiene

ar gument o

su

opuesto .

10.8 Producto y cociente de complejos en forma polar M ultiplic ación de complejos en form a polar

La m ultiplic ac ión de

dos núm er os

com plejos es

otro número complejo tal que:

Su módulo es el product o de lo s mó dulo s.

Su argum ento es la sum a de los argum ento s.

6 4 5 ° · 3 1 5 ° = 18 6 0 °

Produc to por un co mplejo de módulo 1

Al m ultiplic ar un núm er o com plejo z = r α por 1 β se gir a z un ángulo β a lr ededor del origen.

265 de 362


rα · 1β = rα

+ β

División de complejos en form a polar

La divisió n de

do s número s

co mplejo s es

otr o número

com plejo tal que :

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argum ento es la difer encia de lo s ar gument os.

645° : 315° = 230°

266 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10.9 Potencia de complejos en forma polar Potencia de núm er o com plejo

La pot encia

enésima de número

com plejo es

otro número complejo tal que:

Su módulo es la pot encia n-ésim a del módulo.

Su argum ento es n vec es el argum ento da do .

(2 3 0 ° ) 4 = 16 1 2 0 °

Fó rmula de Moivr e

10.10 Raíz enésima de complejos en forma polar Ra íz de núm eros com plejo s

La ra íz

enésima de núm er o

com plejo es

otr o número

com plejo tal que :

Su módulo es la en ra íz enésima del mó dulo .

Su argum ento es:

267 de 362


k = 0 ,1 ,2 ,3 , … (n- 1)

268 de 362


269 de 362


10.11 Coordenadas cartesianas y polares

Co nver sió n de coo rdenadas polares a cart esianas

x = r · cos α

y = r · sen α

Ejem plos

2120º

1 0 º = (1, 0)

1 1 8 0 º = (−1, 0)

1 9 0 º = (0, 1)

270 de 362


1 2 7 0 º = − (0, −1)

Co nver sió n de coo rdenadas cart esianas a po lar es

Ejem plos

260º

271 de 362


2120º

2240º

2300º

(2, 0)

20º

272 de 362


(− 2, 0)

2180º

(0, 2)

290º

(0 , −2 )

2270º

273 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 10.12 Números complejos en forma trigonométrica

a + bi = r α = r (co s α + i sen α )

Binóm ic a

z = a + bi

Polar

z = rα

trigonom étr ic a

z = r (co s α + i sen α )

Pa sa r a la for ma po lar y trigonométr ica :

z = 260º

z = 2 · (cos 60º + i sen 60º )

274 de 362


z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

z = 2240º

z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)

275 de 362


z = 2300º

z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)

z = 2

z = 20º

z = 2 · (cos 0º + i sen 0º )

z = −2

z = 2180º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)

z = 2i

276 de 362


z = 290º

z = 2 · (cos 90º + i sen 90º )

z = −2 i

z = 2270º

z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)

Escr ibe e n for ma binó mica:

z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

277 de 362


z =1 0 º = 1

z =1 1 8 0 º = − 1

z =1 9 0 º = i

z =1 2 7 0 º = − i

10.13 Resumen Unida d imaginar ia

Se llama así al núme ro

y se designa por la le tr a i.

Número com plejo Al número a + b i le llamamos núme ro co mple jo e n

FORMA

BINÓMICA.

El número a se llama par te re al de l número complejo.

El

núme ro b se

llama

par te

imaginaria

de l

núme ro

co mple jo .

Si b

=

0 el

núme ro

complejo

se

reduce

a

un núm er o

real ya que a + 0 i = a. Si a = 0 el númer o co mple jo se re duce a bi, y se dice que es un

NÚMERO IMAGINARIO PURO.

El co njunto de todos núme ros complejos se de signa po r

278 de 362

.


Los

núme ro s

complejos a

+

b i y −a

−

b i se

−

b i se

llaman opuesto s .

Los

complejos z

=

a

+

bi y z =

a

llaman conjuga do s .

Do s

complejos

son iguales cuando

tie ne n la

m isma

com ponente r ea l y la mism a com po nent e ima gina ria.

Repr esenta ción gráfic a de lo s núm er os com plejos

Los

númer os

complejos

se

re pre sentan

en

uno s

e jes

cartesiano s. El eje X se llama eje rea l y el Y, eje imaginar io .

El punto (a,b) , se llama su

AFIJO,

Potenc ia s de la unidad ima gina ria

i0 = 1

i1 = i

i 2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Sum a y difer encia de número s co mplejo s

(a + bi) + (c + d i) = (a + c ) + (b + d) i

(a + bi) − (c + d i) = (a − c ) + (b − d) i

279 de 362


Produc to de número s co mplejo s

(a + bi) · (c + d i) = (ac− bd) + (a d + bc ) i

Coc ient e de número s co mplejos

N úm ero s co mplejo s en for ma po la r y trigonom étr ic a M Ó D U L O de

un

número

complejo

es

el

módulo

del

vector determina do por el or igen de coor dena da s y su afijo. Se designa por |z|.

A R G U M E N T O de un complejo es el á ngulo que fo rma el vector con el eje r eal . Se designa por ar g(z) .

|z | = r

arg(z ) =

z = rα

.

Binóm ic a

280 de 362

z = a + bi


Polar

z = rα

trigonom étr ic a

z = r (co s α + i sen α )

Números com plejos iguales, conjuga do s y opuesto s

Iguales

Co njugados

Opuest os

281 de 362


Pro ducto de co mplejo s en fo rma po la r

Pro ducto po r un com plejo de mó dulo 1

Al m ultiplic ar un núm er o com plejo z = r α por 1 β se gir a z un ángulo β a lr ededor del origen.

rα · 1β = rα

+ β

Coc ient e de complejo s en forma polar

Potenc ia de com plejos en for ma po lar

Fórm ula de Mo ivre

Raíz n-ésima de com plejos en form a polar

282 de 362


k = 0 ,1 ,2 ,3 , … (n- 1)

Ejercicios de números complejos 1 Calcular todas las raíces de la ecuación: x 6 + 1 = 0

2 Realiza las siguientes oper acio ne s:

1

2

3

4

3 Resuelve la siguie nte r aíz , expresando lo s re sultados en fo rma polar .

4Escribe una ecuació n de se gundo grado que tenga por solucio ne s 1 + 2i y su co njugado.

5C alcula

6 Calcula el valo r de

, dando e l resultado en fo rma polar .

, y repr ese nta los afijos de sus raíces

cúbicas.

7 Expr esa en for ma po lar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

283 de 362


8 Expr esa en funció n de cos α y sen α:

co s 5α y sen 5α

9 Escr ibe e n las for mas polar y tr igonométrica, los conjugados y lo s opue stos de:

14 + 4i

2−2 + 2i

10 C alcular to das las r aíce s de la ecuació n: x 5 + 32 = 0

11 Expre sa en función de co s α y se n α:

co s 3α y sen 3α

284 de 362


Ejerc ic io s resuelto s de número s co mplejos 1

Calcular todas las raíces de la ecuación: x 6 + 1 = 0

2

Realiz a las siguientes o per acio ne s:

1

2

285 de 362


3

4

286 de 362


3 Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.

4

Escr ibe

una

ecuación

de

segundo

so luciones 1 + 2i y su conjugado.

287 de 362

grado

que

tenga

po r


5

Calcula

,

dando

el

resultado

en

fo rma

po lar.

6

Calcula el valo r de

, y re pre senta lo s afijo s de sus

raíces cúbicas.

288 de 362


7

Expr esa en for ma polar y binó mica un co mple jo cuyo cubo sea:

289 de 362


8

Expr esa en funció n de cos α y sen α:

cos 5α y sen 5α

Bino mio de Newto n

290 de 362



9

Escr ibe

en

las

fo rmas

polar

co njugados y lo s o puesto s de :

14 + 4 i

2− 2 + 2i

291 de 362

y

tr igonométrica,

lo s


10

Calcular todas las raíces de la ecuación: x 5 + 32 = 0

11

Expr esa en funció n de cos α y sen α:

cos 3α y sen 3α

Bino mio de Newto n

292 de 362



293 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 11. Sucesiones y progresiones 11.1 Sucesiones 11.2 Operaciones con sucesiones 11.3 Límite de una sucesión 11.4 Tipos de sucesiones 11.5 Progresiones aritméticas 11.6 Progresiones geométricas 11.7 Determinación del término general de una sucesión 11.8 Resumen Ejercicios 1 Ejercicios 2 Ejercicios de sucesiones Ejercicios de progresiones aritméticas Ejercicios de progresiones geométricas

294 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 11.1 Sucesiones

Co nc epto de suc esió n

Se llama sucesión a un co njunto de númer os dispuesto s uno a continuación de o tro .

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n

3, 6 , 9 ,..., 3 n

Los núme ro s a 1 , a 2 , a 3 , ... ; se llaman tér mino s de la sucesión .

El subíndic e indica el lugar que el t érm ino oc upa e n la sucesión .

El término genera l es a n es un cr iter io que no s per mite de ter minar cualquier té rmino de la sucesión .

Det er mina ción de una suc esió n: Por el término genera l

a n = 2n-1

a 1 = 2 ·1 - 1 = 1

a 2 = 2 ·2 - 1 = 3

a 3 = 2 ·3 - 1 = 5

a 4 = 2 ·4 - 1 = 7

1, 3, 5, 7,..., 2n-1

295 de 362


No todas las suc esio nes t ienen tér mino genera l . Po r eje mplo , la suc esió n de los número s pr im os :

2, 3 , 5 , 7, 11 , 13 , 17, 19, 23 ,...

Por una ley de recurrenc ia

Los tér mino s se obtienen oper ando co n lo s a nterior es.

Escr ibir una sucesió n cuyo primer tér mino es 2 , sabie ndo que cada tér mino es e l cuadrado de l anter io r.

2, 4, 16, ...

Suce sión de Fibo nacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los

do s

pr imero s

tér mino s

so n

unos

obtienen sumando los dos tér mino s ante riores.

296 de 362

y

lo s

de más

se

Aritmética – 6.- Proporcionalidad Dadas las sucesio ne s a n y b n :

a n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n

b n = b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n

Suma de suc esio nes

(a n ) + (b n ) = (a n + b n )

(a n ) + (b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , ..., a n + b n )

Pro piedades

1 Asociativa:

(a n + b n ) + c n = a n + (b n + c

n

)

2 Conmutativa:

an + bn = bn + a

n

3 Elemento ne utro

(0 ) = (0, 0, 0, ...)

an + 0 = an

4 Suce sión o pue sta

(- a n ) = (- a 1 , -a 2 , -a 3 , ..., -a n )

a n + (- a n ) = 0

297 de 362


Difer encia de sucesiones

(a n ) - (b n ) = (a n - b n )

(a n ) - (b n ) = (a 1 - b 1 , a 2 - b 2 , a 3 - b 3 , ..., a n - b n )

Produc to de sucesiones

(a n ) · (b n ) = (a n · b n )

(a n ) · (b n ) = (a 1 · b 1 , a 2 · b 2 , a 3 · b 3 , ..., a n · b n )

Pro piedades

1 Asociativa:

(a n · b n ) · c

n

= a n · (b n · c

n

)

2 Conmutativa:

an · bn = bn · a

n

3 Elemento ne utro

(1 ) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4 Distributiva re spe cto a la suma

a n · (b n + c

n

) = an · bn + an · c

n

298 de 362


Sucesión inver sible

Una

suce sión

es

inver sible

o

inve rtible

si

to do s

sus

tér mino s so n distinto s de cero . Si la suce sión b n es inve rsible , su inve rsa es:

Coc ient e de sucesiones

Só lo

es

po sible

el

cocie nte

entre

do s

de no minado r e s inve rsible .

11.2 Operaciones con Sucesiones

Dadas las sucesio ne s a n y b n :

a n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n

b n = b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n

Suma de sucesiones (a n ) + (b n ) = (a n + b n )

299 de 362

suce siones

si

el


(a n ) + (b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , ..., a n + b n )

Pro piedades

1 Aso ciativa: (a n + b n ) + c n = a n + (b n + c

n

)

2 Co nmutativa: an + bn = bn + a

n

3 Ele me nto neutr o (0 ) = (0, 0, 0, ...)

an + 0 = an

4 Sucesió n opuesta (- a n ) = (- a 1 , -a 2 , -a 3 , ..., -a n )

a n + (- a n ) = 0

Diferencia de sucesiones (a n ) - (b n ) = (a n - b n )

(a n ) - (b n ) = (a 1 - b 1 , a 2 - b 2 , a 3 - b 3 , ..., a n - b n )

Producto de sucesiones (a n ) · (b n ) = (a n · b n )

300 de 362


(a n ) · (b n ) = (a 1 · b 1 , a 2 · b 2 , a 3 · b 3 , ..., a n · b n )

Pro piedades

1 Aso ciativa: (a n · b n ) · c

n

= a n · (b n · c

n

)

2 Co nmutativa: an · bn = bn · a

n

3 Ele me nto neutr o (1 ) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4 Distr ibutiva respecto a la suma a n · (b n + c

n

) = an · bn + an · c

n

Sucesión inversible Una

suce sión

es

inver sible

o

inve rtible

si

to do s

sus


301 de 362


Cociente de sucesiones Só lo

es

po sible

el

cocie nte

entre

do s

suce siones

si

el


11.3 Límite de una Sucesión

Idea intuitiva del límite de una sucesión El límite de una suc esió n es el núm er o al cual se van apro ximando lo s términos de una suce sión.

a1= 1

a 2 = 0.5

a 1 0 0 0 = 0.00 1

a1000

000

= 0.00 0001

El límite es 0.

302 de 362


a 1 = 0.5

a 2 = 0.66 66....

a 1 0 0 0 = 0.99 9000999001

a1000

000

= 0.99 9999000001

El límite es 1.

a1= 5

a2= 7

a 1 0 0 0 = 2 003

a1000

000

= 2 000 003

Ningún

núme ro

ser ía

el

límite

de

esta

suce sión, el lím it e es ∞ .

Límite finito de una sucesión Una

suce sión a n tiene

por lím it e

L si

y

sólo

si

para

cualquier a núme ro po sitivo ε que tomemo s, existe un término a k , a

partir

del

cual

todos

los

té rminos

de

a k cumple n que |a n −L | < ε .

La sucesió n a n = 1 /n tiene por límite 0 .

303 de 362

a n,

siguientes

a


Se

puede

de ter minar

a

partir

de

que

tér mino

de

la

suce sión, su distancia a 0 es menor que un número po sitivo (ε), por pe queño que éste sea.

Co mo

k>10

a

pa rtir

del

a 1 1 se

c um plirá

que

su

dist ancia a 0 es menor que 0.1.

Vamo s a de ter minar a partir de que té rmino la distancia a 0 es me no r que 0 .001.

A part ir del a 1 0 0 1 se cumplirá que su distancia a 0 es meno r que 0.001.

También

podemos

definir

el

límite

de

una

suce sión

sólo

si

me diante ent ornos :

Una

suce sión a n tiene

por lím it e

L si

y

para

cualquier entor no de L que tomemo s, por pe queño que sea su

304 de 362


radio ε, e xiste un tér mino de la suce sión, a partir del cual, los siguie nte s té rminos per te ne cen a dicho ento rno.

Límite infinito de una sucesión Una

sucesió n a n tie ne

to da M>0 e xiste

un

por lím it e

tér mino a k ,

a

par tir

+∞ cuando del

cual

todos

para lo s

tér mino s de a n , siguientes a a k cumple n que a n > M.

El límite de la sucesió n a n = n 2 es +∞.

1, 4 , 9 , 16, 25, 36 , 49 , ...

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada e s 100, por tanto a par tir de a 1 0 1 supe rar á a 10 000 .

a 1 0 1 = 101 2 = 10 201

Una suce sión a n tiene por límite −∞ cuando para to da N >0 e xiste un tér mino a k , a par tir de l cual to do s lo s tér mino s de a n , siguie nte s a a k cumplen que a n < −N.

305 de 362


Vamo s

a

compr obar

que

el límite de

la

suce sión a n =

−n 2 es −∞.

−1 , −4, −9, −16, −25 , −36 , −49 , ...

Si N = 10 000 , su r aíz cuadr ada es 100 , por tanto a partir de a 1 0 1 super ar á a −10 000 .

a 1 0 1 = −101 2 = −10 201 11.4 Tipos de Sucesiones Sucesiones co nver gent es

Las sucesiones

convergentes son

las

sucesio ne s

que

tienen límite finito .

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones diver gent es

Las sucesiones

diver gent es so n

que no tie ne n lím it e finit o . 306 de 362

las

suce siones


Límite = ∞

Sucesiones o sc ilantes

Las sucesiones

oscila nt es

no son co nver gent es ni divergentes .

Sus

tér mino s

alter nan

de mayor a menor o viceversa.

1, 0 , 3 , 0, 5 , 0 , 7, ...

Sucesiones a lternadas

Las sucesiones

alternada s son

aque llas

que alt er na n los signo s de sus tér mino s. Pue de n ser:

Co nver gent es

1, −1 , 0 .5 , −0 .5 , 0 .25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tanto los términos pares co mo los impare s tienen de límite 0.

Divergentes

1, 1 , 2 , 4, 3 , 9 , 4, 16 , 5 , 25, ...

Tanto s

lo s té rminos

pare s co mo

límite +∞.

307 de 362

los impar es

tie ne n de


Oscila nt es

−1 , 2, −3, 4 ,−5 , ..., (−1 ) n n

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes Se

dice

que

una sucesión

es

est rictam ente

creciente si ca da t érm ino es mayo r que el ant er io r .

an+1 > an

2, 5 , 8 , 11, 14, 17 ,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8 ; ...

Sucesiones crecientes Se dice que una suc esió n es creciente si cada t érm ino es ma yor o igual que el ant er io r .

an+1 ≥ an

2, 2 , 4, 4 , 8 , 8,...

308 de 362


2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4 ; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes Se

dice

que

una sucesión

es

est rictam ente

decr ec ient e si ca da t érm ino de la suc esió n es meno r que el ant er io r.

an+1 < an

1, 1 /2 , 1 /3, 1/4 , 1 /5 , 1 /6,...

1/2 < 1; 1 /3 < 1/2 ; 1 /4 < 1 /3; ...

Sucesiones decrecientes Se dice que una suc esió n es decreciente si c a da tér mino de la suc esió n es meno r o igua l que el a nterior.

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes Se

dice

que

una suc esió n es co nsta nt e si todos

tér mino s son igua les, a n = k.

an = an+1

5, 5 , 5 , 5, ...

309 de 362

su


Sucesiones acotadas inferiormente Una suc esió n está acot ada

infer io rm ente si todos

sus

tér mino s son mayores o igua les que un ciert o número K,que llamar emos cota infer io r de la sucesión .

an ≥ k

A la mayor de las cotas infer io res se le llama extr em o inferior o ínfimo .

Si el ínfim o de una sucesión es uno de sus tér mino s se le llama m ínim o.

Sucesiones acotadas superiormente Una suc esió n está acot ada

super io rm ente si

todos

sus

tér mino s son m enor es o igua les que un cier to núme ro K', que llamar emos cota super io r de la suc esió n .

a n ≤ k'

A la m enor de las cot as superior es se le llama ex tremo superior o supr em o.

Si e l supr em o de una sucesión es uno de sus tér mino s se llama má ximo .

310 de 362


Sucesiones acotadas Una sucesión se dice acota da si est á acota da superior e inferior ment e . Es de cir si hay un número k me nor o igual que todos los tér mino s de la suce sión y otro K' mayo r o igual que todos los tér mino s de la suce sión. Por lo que todos los tér mino s de la suc esió n está n compr endido s entr e k y K' .

k ≤ a n ≤ K'

Ejemplos de sucesiones a n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Es cre ciente .

Está aco tada infer io rme nte

Cotas infer iore s: 1 , 0, -1 , ...

El mínimo es 1 .

No está acotada supe riormente .

Dive rgente

b n = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

Es de cre ciente .

Está aco tada super ior me nte

311 de 362


Cotas superiore s: -1, 0, 1 , ...

El máximo es -1.

No está acotada infe rior mente .

Dive rgente

c n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+ 1 /n

Es de cre ciente .

Está aco tada super ior me nte

Cotas superiore s: 2, 3, 4 , ...

El máximo es 2.

Está aco tada infer io rme nte

Cotas infer iore s: 1 , 0, -1 , ...

El ínfimo es 1 .

Conver ge nte, límite = 1 .

d n = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1) n - 1 2 n

No es monótona.

312 de 362


No está acotada.

No es conver ge nte ni diver ge nte. 11.5 Progresiones aritméticas

Una pro gr esió n arit mética es una suc esió n de número s tales que ca da uno de ellos (sa lvo el primero) es igual al ant er io r má s un número fijo lla ma do difer encia que se represent a por d.

8, 3 , -2 , -7, -12 , ...

3 - 8 = -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

Término general de una progresión aritmética 1 Si co noc em os el 1 e r tér mino . a n = a 1 + (n - 1) · d

8, 3 , -2 , -7, -12 , ..

a n = 8 + (n- 1) (-5 ) = 8 -5 n +5 = = -5n + 13

313 de 362


2 Si

conocemo s

el

valo r

que

o cupa

cualquier otro

tér mino de la progresió n.

a n = a k + (n - k) · d

a 4 = -7 y d= -5

a n = -7+ (n - 4) · (- 5)= -7 -5 n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética Int er polar medios difer enciales o ar itm ét ico s entr e dos núm er os, es co nstruir una pro gresión aritm ét ica que tenga por extr em os lo s núm er os dados.

Se an

los extr em os

a

y

b,

y

el

núme ro

de medios a

inte rpolar m.

Inte rpolar tre s me dios ar itmé tico s e ntre 8 y -12.

8, 3, -2, -7 , -12 .

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética Se an a i y

a j do s

t érm inos

equidist antes

de

los

ex tremo s , se cumple que la suma de tér mino s equidista nt es es igual a la sum a de los ex tremo s .

314 de 362


ai + aj = a1 + an

a 3 + a n - 2 = a 2 + a n - 1 = ... = a 1 + a n

8, 3 , -2 , -7, -12 , ...

3 + (-7 ) = (-2) + (-2 ) = 8 + (- 12)

-4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Calcular

la

suma

de

los

pr imero s

5

tér mino s

de

la

pro gr esió n : 8, 3 , -2, -7, -12 , ...

Ejercicios y problemas resueltos progresiones aritméticas

315 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 11.6 Progresiones geométricas

Una progresión geométr ica es una sucesión en la que cada

término

se

obt iene

multiplic ando

al

a nterior

una

cantida d fija r, lla ma da raz ón.

Si tenemo s la sucesió n: 3 , 6 , 12, 24 , 48 , ...

6/3 = 2

12/6 = 2

24/1 2 = 2

48/2 4 = 2

r= 2.

Término general de una progresión geométrica 1 Si co noc em os el 1 e r tér mino . an = a1 · rn-1

3, 6 , 12 , 24, 48, ..

a n = 3· 2 n - 1 = 3· 2 n · 2 - 1 = (3/2)· 2 n

2 Si co noc em os el va lor que oc upa c ualquier otro tér mino de la pro gr esió n.

an = ak · rn-k 316 de 362


a 4 = 24, k=4 y r=2.

an = a4 · rn-4

a n = 24· 2 n - 4 = (24/16)· 2 n = (3/2) · 2 n

Interpolación de términos en una progresión geométrica Int er polar medios geo métricos o proporc ionales entr e dos núm er os, es co nstruir una pro gresión geom étr ic a que tenga por extr em os lo s núm er os dados.

Se an

los extr em os

a

y

b,

y

el

núme ro

de medios a

inte rpolar m.

Inte rpolar tre s me dios ge omé tr icos entre 3 y 48.

3,

6, 12, 24 ,

48.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular

la

suma

de

los

pr imero s

pro gr esió n: 3 , 6, 12 , 24 , 48, ...

317 de 362

5

tér mino s

de

la


Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular

la

suma

de

los

términos

de

la

pro gre sión

geo mé tr ica decrecie nte ilimitada:

Producto de dos términos equidistantes Se an a i y a j dos tér mino s equidistante s de lo s extre mo s, se cumple que el pro ducto de términos equidistantes e s igual al pro ducto de los extre mo s.

ai . aj = a1 . an

a 3 · a n - 2 = a 2 · a n - 1 = ... = a 1 · a n

3, 6 . 12 , 24, 48, ...

48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12

144 = 144 =144

318 de 362


Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Calcular

el pr oducto

de

lo s prime ro s 5

tér mino s de

la

pro gr esió n: 3 , 6, 12 , 24 , 48, ...

Ejercicios y problemas resueltos progresiones geométricas 11.7 Término general de un sucesión

Cálculo del término general de una sucesión 1 Co mpro bar

si

la sucesión es

aritmética .

8, 3 , -2 , -7, -12 , ...

3 - 8= -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

319 de 362

una progresión


a n = 8 + (n - 1) (-5 ) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2 Co mpro bar

si

la sucesión es

una progresión

geom étr ic a .

3, 6 , 12 , 24, 48, ...

6 / 3 = 2

12 / 6 = 2

24 / 12 = 2

48 / 24 = 2

r= 2.

a n = 3· 2

n-1

3 Co mpro bar

si

los

té rminos

de

la sucesión so n cuadr ado s per fecto s .

4, 9 , 16 , 25, 36, 49 , ...

2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6 2 , 7 2 , ...

Obser vamo s

que

las

base s

están

en pr ogr esió n

aritmética , sie ndo d = 1, y el exponente es co nstante.

b n = 2 + (n - 1 ) · 1 = 2 + n -1 = n+1

320 de 362


Por lo que el t érm ino gener al es:

a n = (n + 1) 2

También

nos

po de mos

encontr ar

con

suce siones

cuyos

tér mino s so n núme ro s pr óximos a cuadr ados per fe ctos.

5, 10 , 17 , 26, 37, 50 , ...

2 2 +1 , 3 2 +1, 4 2 +1, 5 2 +1, 6 2 +1 , 7 2 +1, ...

Hallamos el t érm ino gener al co mo vimos en e l e jemplo ante rior y le sumamos 1 .

a n = (n + 1)

2

+ 1

6, 11 , 18 , 27, 38, 51 , ...

2 2 +2 , 3 2 +2, 4 2 +1, 5 2 +2, 6 2 +2 , 7 2 +2, ...

a n = (n + 1) 2 + 2

3, 8 , 15 , 24, 35, 48 , ...

2 2 -1 , 3 2 -1 , 4 2 -1, 5 2 -1 , 6 2 -1 , 7 2 -1 , ...

a n = (n + 1) 2 - 1

2, 7 , 14 , 23, 34, 47 , ...

2 2 -2 , 3 2 -2 , 4 2 -2, 5 2 -2 , 6 2 -2 , 7 2 -2 , ...

a n = (n + 1)

2

- 2

321 de 362


4 Si

lo s

términos

de

la

suce sión cam bian

consecutiva ment e de signo .

Si los t érm inos impa res so n nega tivo s y los pares posit ivos: Multiplic amo s a n po r (-1) n .

-4, 9 , -16, 25, -36 , 49 , ...

a n = (-1) n (n + 1) 2

Si

lo s

t érm inos

im par es

so n

po sitivo s

y

los

par es

nega tivo s: Mult iplica mos a n por (-1) n - 1 .

4, -9 , 16 , -25, 36 , -49 , ...

a n = (-1) n - 1 (n + 1) 2

5 Si lo s términos de la suce sión so n frac cio na rios (no siendo una pro gre sión).

Se

c alcula

el

tér mino

gener al

deno mina dor por sepa ra do .

a n = b n /c

n

2/4 , 5 /9 , 8 /16, 11/25, 14/36 ,...

Tene mo s do s sucesio ne s:

2, 5 , 8 , 11, 14, ...

322 de 362

del

numera dor

y


4, 9 , 16 , 25, 36, ...

La

prime ra

es

una

pro gre sión

ar itmé tica

co n

d=

3,

la

segunda es una suce sión de cuadrado s perfecto s.

a n = (3n - 1)/(n + 1) 2 11.8 Resumen

Una suc esió n es un conjunt o de núm er os dispuest os uno a co ntinuac ió n de otro.

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n

Los núme ro s a 1 , a 2 , a 3 , ... ; se llaman tér mino s de la sucesión .

El subíndic e indica el lugar que el t érm ino oc upa en la suce sión.

El t érm ino genera l es a n es un criterio que nos per mit e determ inar c ua lquier término de la suc esió n.

Determinación de una sucesión: Por el término genera l

a n = 2n-1

Por una ley de recurrenc ia

Los tér mino s se obtienen oper ando co n lo s a nterior es.

323 de 362


Operaciones con sucesiones Dadas las sucesio ne s a n y b n :

a n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n

b n = b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n

Suma con sucesiones: (a n ) + (b n ) = (a n + b n )

(a n ) + (b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , ..., a n + b n )

Pro piedades

1 Aso ciativa: (a n + b n ) + c n = a n + (b n + c

n

)

2 Co nmutativa: an + bn = bn + a

n

3 Ele me nto neutr o (0 ) = (0, 0, 0, ..)

an + 0 = an

4 Sucesió n opuesta (- a n ) = (- a 1 , -a 2 , -a 3 , ..., -a n )

324 de 362


a n + (- a n ) = 0

Diferencia con sucesiones: (a n ) - (b n ) = (a n - b n )

(a n ) - (b n ) = (a 1 - b 1 , a 2 - b 2 , a 3 - b 3 , ..., a n - b n )

Producto con sucesiones: (a n ) · (b n ) = (a n · b n )

(a n ) · (b n ) = (a 1 · b 1 , a 2 · b 2 , a 3 · b 3 , ..., a n · b n )

Pro piedades

1 Aso ciativa: (a n · b n ) · c

n

= a n · (b n · c

n

)

2 Co nmutativa: an · bn = bn · a

n

3 Ele me nto neutr o (1 ) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4 Distr ibutiva respecto a la suma a n · (b n + c

n

) = an · bn + an · c

n

325 de 362


Sucesión inversible Una

suce sión

es

inver sible

o

inve rtible

si

to do s

sus


Cociente Só lo

es

po sible

el

cocie nte

entre

do s

suce siones

si

el


Límite de una sucesión Es el númer o al cual se van apr oximando lo s té rminos de una suce sión

Sucesiones co nver gent es

So n las que tie ne n límite .

326 de 362


Sucesiones diver gent es

So n las suce siones que no tienen límite finito.

Tipos de sucesiones Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes Se

dice

que

una

suce sión

es

estr ictame nte

crecie nte

si cada término es ma yor o igual que el ant er ior .

an+1 > an

Sucesiones crecientes Se dice que una suce sión es cre ciente si ca da término es mayor o igua l que el a nt er ior .

an+1 ≥ an

Sucesiones estrictamente decrecientes Se dice que una suce sión es estr ictame nte de cre ciente si cada término de la suc esió n es menor que el ant er ior .

an+1 < an

327 de 362


Sucesiones decrecientes Se dice que una suce sión es de cre ciente si c ada t érm ino de la suc esió n es meno r o igua l que el a nterior.

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes Se

dice

que

una

suce sión

es

co nstante

si todo s

su

tér mino s son igua les, a n = k.

an = an+1

Sucesiones acotadas inferiormente Una

sucesió n

está

aco tada

infer io rme nte

si todos

sus

tér mino s so n mayores o igua les que un c ierto número K, que llama remos

COTA INFERIOR

de la sucesión.

an ≥ k

A la ma yor de la s cota s infer io res se le llam a INFERIOR O ÍNFIMO

EXTREMO

.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus t érm inos se le llama

MÍNIMO.

Toda sucesió n aco tada infer ior me nte es crecie nte.

Sucesiones acotadas superiormente Una

suce sión

está

acotada

super ior me nte si

todo s

sus

tér mino s son meno res o iguales que un cierto número K', que llama remos

COTA SUPERIOR

de la sucesión.

a n ≤ k'

328 de 362


A la m enor de las cot as super io res se le llam a

EXTREMO

SUPERIOR O SUPREMO.

Si

el

supr em o

tér mino s se llama

Toda

de

una

sucesión

es

uno

de

sus

MÁXIMO.

suce sión

aco tada

supe riormente

es

mo nó to na

de cre ciente .

Sucesiones acotadas Una sucesión se dice acota da si est á acota da superior e inferior ment e . Es de cir si hay un número k me nor o igual que todos los tér mino s de la suce sión y otro K' mayo r o igual que todos los tér mino s de la suce sión. Por lo que todos los tér mino s de la suc esió n está n compr endido s entr e k y K' .

k ≤ a n ≤ K'

Progresiones aritméticas Una pro gr esió n arit mética es una suc esió n de número s tales que ca da uno de ellos (sa lvo el primero) es igual al ant er io r má s un número fijo lla ma do difer encia que se represent a por d.

Término general de una progresión aritmética 1 Si co noc em os el 1 e r tér mino . a n = a 1 + (n - 1) · d

2 Si

conocemo s

el

valo r

que

tér mino de la progresió n.

329 de 362

o cupa

cualquier otro


a n = a k + (n - k) · d

Interpolación de términos Int er polar medios difer enciales o ar itm ét ico s entr e dos núm er os, es co nstruir una pro gresión aritm ét ica que tenga por extr em os lo s núm er os dados.

Se an

los extr em os

a

y

b,

y

el

núme ro

de medios a

inte rpolar m.

Suma de términos equidistantes Se an a i y

a j do s

t érm inos

equidist antes

de

los

ex tremo s , se cumple que la suma de tér mino s equidista nt es es igual a la sum a de los ex tremo s .

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an

Suma de n términos consecutivos

Progresiones geométricas Una progresión geométr ica es una sucesión en la que cada

término

se

obt iene

multiplic ando

cantida d fija r, lla ma da raz ón.

330 de 362

al

a nterior

una


Término general de una progresión geométrica 1 Si co noc em os el 1 e r tér mino . an = a1 · rn-1

2 Si co noc em os el va lor que oc upa c ualquier otro tér mino de la pro gr esió n.

an = ak · rn-k

Interpolación de términos Int er polar medios geo métricos o proporc ionales entr e dos núm er os, es co nstruir una pro gresión geom étr ic a que tenga por extr em os lo s núm er os dados.

Suma de n términos consecutivos

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

331 de 362


Producto de dos términos equidistantes Se an a i y a j dos tér mino s equidistante s de lo s extre mo s, se cumple que el pro ducto de términos equidistantes e s igual al pro ducto de los extre mo s.

ai . aj = a1 . an

a 3 · a n - 2 = a 2 · a n - 1 = ... = a 1 · a n

Producto de n términos equidistantes

Término general de una sucesión 1 Co mpro bar si es una pr ogr esió n arit mética . 2 Co mpro bar si es una pr ogr esió n geométr ica . 3 Co mpro bar si los tér mino s son c ua dra dos perfec tos . También

nos

po de mos

encontr ar

con

suce siones

cuyos

tér mino s so n núme ro s pr óximos a cuadr ados per fe ctos.

4 Si

lo s

términos

de

la

suce sión cam bian

consecutiva ment e de signo .

Si los t érm inos impa res so n nega tivo s y los pares posit ivos: Multiplic amo s a n po r (-1) n .

Si

lo s

t érm inos

im par es

so n

po sitivo s

nega tivo s: Mult iplica mos a n por (-1) n - 1 .

332 de 362

y

los

par es


5 Si lo s términos de la suce sión so n frac cio na rios (no siendo una pro gre sión).

Se

c alcula

el

tér mino

gener al

del

numera dor

y

deno mina dor por sepa ra do .

Ejercicios resueltos de de sucesiones Ejercicios y problemas resueltos progresiones aritméticas Ejercicios y problemas resueltos progresiones geométricas

333 de 362

Aritmética – 6.- Proporcionalidad 11.9 Sucesiones y Progresiones. Ejercicios

1

H al l a r e l t é r m i no g e ne r al de l a s si gu i e nte s s uc e s i o ne s :

1

2

3 4

5

6 7

8

2 E s tu di a

l a m o n o t o n i a, l a c o n ve r ge nc i a o di ve rg e nc i a y l as c o t as

( s i e xi s t e n ) de l a s s i g u i e n te s s uc e s i o ne s :

1

2

3

334 de 362


3

E l p ri m e r t é r m i n o de un a p ro gr e s i ó n a ri tm é ti c a e s - 1 , y e l

dé c i m o q u i n to e s 27 . H al l a r l a di f e re nc i a y l a s um a de l o s qui nc e pr i m e ro s t é r m i n o s .

4

E l c u a rt o t é r m i n o de un a p ro gr e s i ó n ar i t m é ti c a e s 10 , y e l

s e x to e s 16 . E s c r i bi r l a pr o g e s i ó n.

5

E s c r i bi r tr e s m e di o s a rt m é ti c o s e nt re 3 y 2 3.

6

H al l ar l a s u m a de l o s qui nc e pr i m e ro s m úl ti pl o s d e 5 .

7

H al l ar l a s u m a de l o s qui nc e pr i m e ro s n úm e r o s ac ab ad o s e n 5 .

8

H al l ar l a s u m a de l o s qui nc e pr i m e ro s n úm e r o s pa re s m ayo re s

qu e 5 .

9El

1 e r t é r m i n o de u n a pr o g re s i ó n ge o m é tr i c a e s 3, y e l 8 º e s

38 4. H al l ar l a r az ó n , y l a s um a y e l p ro du c t o de l o s 8 pr i m e ro s té rm i n o s .

10

E l 2 º t é r m i n o de un a pr o g re s i ó n ge o m é tr i c a e s 6, y e l 5º e s

48 . E s c ri bi r l a pr o g e s i ó n .

11

I n t e r po l ar tr e s m e d i o s ge o m é tr i c o s e nt re 3 y 4 8.

12

E n c o n t ra r l a f r ac c i ó n ge n e r at ri z de 3 . 2 77 77 7 7. . .

13 H al l a r

l o s án gu l o s de un c u ad ri l á te ro c o n ve x o , s abi e nd o que

e s t án e n p ro gr e s i ó n ar i t m é t i c a, s i e n do d = 25 º.

14 E l

c at e t o

menor

de

un

tr i á ng ul o

r e c tá ng ul o

mide

8

cm.

C al c u l a l o s o tr o s do s , s a bi e n do que l o s l a do s de l tr i á ng ul o f o rm a n una pr o g re s i ó n a ri tm é ti c a .

335 de 362


1 Hallar e l té rmino general de las siguie nte s suce siones:

1 El numer ador es constante .

El deno minado r es una pr ogresió n ar itmé tica de d= 1.

2 El numer ador es una progresió n aritmética con una d= 1 .

El deno minado r es una pr ogresió n ar itmé tica con una d = 1.

3 En esta suce sión se han simplificado algunas fr acciones.

El numer ador es una progresió n aritmética con una d= 1 .


336 de 362


4 Si prescindimo s de l signo e s una pro gre sión ar itmé tica co n una d= 1 .

Por ser los tér mino s impar es los negativos multiplicamos por (-1 ) n .

5

Si prescindimo s de l signo, e l numer ador es una progresió n ar itmé tica co n una d= 1.


Por ser los té rminos par es lo s ne gativo s multiplicamos por (- 1) n + 1 .

6 Es una suce sión oscilante.

Los té rminos impar es forman pro gre sión aritmética co n una d= 1, si no tene mo s en cue nta lo s términos pare s. 337 de 362


El deno minado r de los tér mino s pares for man pro gre sión ar itmé tica co n una d= 1.

7

Si pre scindimos de l signo y del e xpone nte te ne mo s una pro gr esió n ar itmé tica co n una d= 1.

Por estar lo s té rminos al cuadr ado, tenemo s que ele var el tér mino gene ral al cuadr ado.


8

Es una suce sión oscilante.

El nume rador de los té rminos impar es for man pro gr esió n ar itmé tica con una d= 1, si no te nemos en cuenta lo s tér mino s pares.

338 de 362


Por estar lo s té rminos al cuadr ado, tenemo s que ele var el tér mino gene ral al cuadr ado.

El

pr imer

sumando

del

denominador

(pr escindiendo

de l

cuadrado ) e s una pro gre sión aritmética de d= 1 (sin co ntar los tér mino s pares).

El término general lo tenemos que ele var al cuadr ado y sumarle 3 .

Los tér mino s par es forman una suce sión co nstante.

2 Estudia la mo no to nia, la co nvergencia o dive rgencia y las co tas (si e xisten) de las siguientes sucesio ne s:

1 Monotonía

3, 4 /3 , 1 , 6/7 ,...

Es monotona est rictam ente dec reciente .

Límit e

a1= 3

339 de 362


a3= 1

a 1 0 0 0 = 0.50 12506253127

a1000

000

= 0.50 00012500006

El límite es 0.5

Sucesión co nver gent e

Cot as

Por ser decre ciente , 3 es una cota superior , el má ximo .

0.5 es una cot a inferior , el ínfimo o ext remo infer io r.

Por tanto la suce sión está acot ada .

0.5 < a

n

≤ 3

2 2, − 4 , 8 , − 16, ...

No es mo nóto na .

No es co nver gent e ni divergente .

No está ac otada.

3 No es mo nóto na .

340 de 362


Es co nver gent e porque el lím it e = 0.

Está aco tada super ior me nte, 1 es e l máximo .

Está aco tada infer io rme nte, -1 es e l mínimo .

Está ac otada.

−1 ≤a

≤ 1

n

3 El prime r tér mino de una pro gre sión ar itmé tica es -1 , y e l dé cimo quinto es 27 . Hallar la difer encia y la suma de lo s quince pr imero s términos.

a

1

= − 1;

a

n

= a

a

15

= 27 ;

+ (n - 1) · d

1

27= -1 + (15 -1) d;

28 = 14d;

d = 2

S= (-1 + 27 ) 15/2 = 195

4 El cuar to té rmino de una progresió n ar itmé tica es 10 , y el sexto es 16 . Escr ibir la pro ge sión.

a

4

a

= 10;

n

= a

k

a

6

= 16

+ (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d;

d= 3

341 de 362


a 1 = a 4 - 3d;

a 1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...

5 Escr ibir tre s me dios ar tméticos entr e 3 y 23.

a= 3 ,

b= 23 ;

d= (23 -3)/(3+1 ) = 5;

3, 8, 13, 18, 23 .

6 Hallar la suma de los quince prime ros múltiplo s de 5.

a 1 = 5;

a

n

= a

d= 5;

1

n = 15.

+ (n - 1) · d

a 1 5 = 5 + 14 · 5 = 75

S 1 5 = (5 + 75 )· 15 /2 = 600 .

342 de 362


7 Hallar la suma de los quince prime ros núme ros acabados en 5.

a 1 = 5;

d= 10 ;

n= 15.

a 1 5 = 5+ 14 ·10 = 145

S 1 5 = (5 + 145 )· 15 /2 = 1125

8 Hallar

la

suma

de

los

quince

prime ros

núme ros

pares

mayo res que 5.

a 1 = 6;

d= 2 ;

n= 15.

a 1 5 = 6 + 14 · 2 = 34

S 1 5 = (6 + 34) · 15 /2 = 300

9 El 1 e r tér mino de una pro gre sión geo mé tr ica es 3, y el 8º e s 384. Hallar la r azón, la suma y e l producto de lo s 8 pr imero s tér mino s.

a

1

= 3;

a

384 = 3 · r 8 - 1 ;

8

= 384;

r 7 = 128;

r7 = 27;

343 de 362

r= 2.


S 8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765

10 El 2º té rmino de una pro gre sión ge omé tr ica es 6 , y e l 5º es 48. Escr ibir la progesió n.

a 2 = 6;

a 5 = 48;

an = ak · r

n-k

48 = 6 r 5 - 2 ;

r3 = 8;

r = 2.

a 1 = a 2 / r; a 1 = 6/2 = 3

3, 6, 12, 24, 48, ...

11 Inte rpolar tre s me dios ge omé tr icos entre 3 y 48.

a = 3;

3,

b = 48 ;

6, 12, 24, 48

12

344 de 362


Enco ntrar la fracció n generatr iz de 3 .2777777 ...

3.27 77777...= 3 .2 + 0.0 7 + 0.007 + 0.0007 + ...

Tene mo s una pro gre sión ge omé tr ica de cre ciente ilimitada.

a 1 = 0.07

r= 0 .1 ;

3.2 + 0.07 / (1 - 0 .1) = 32/10 + 7/90 = 59/18

13 Hallar los ángulo s de un cuadriláte ro co nvexo, sabiendo que están en progresió n aritmética, siendo d= 25º .

La suma de lo s ángulos inter io res de un cuadriláter o es 360º.

360= ( a 1 + a 4 ) · 4 /2

a 4 = a 1 + 3 · 25

360= ( a 1 + a 1 + 3 · 25 ) · 4 /2

a 1 = 105/2 = 52º 30'

a 3 = 102º 30'

a 2 = 77º 30'

a 4 = 127º 30'

14 El cate to me nor de un tr iángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula

lo s o tro s do s, sabie ndo

que

for man una progre sión aritmética.

345 de 362

los lado s del triángulo


a 2 = 8 + d;

a 3 = 8 + 2d

(8 + 2 d) 2 = (8 + d) 2 + 64

Sucesiones y progresiones. Ejercicios 1

Hallar el tér mino ge ner al de las siguientes sucesio ne s:

1

2

3

2 Estudia

la mo no to nia, la co nvergencia o dive rgencia y las

co tas (si e xisten) de las siguientes sucesio ne s:

3 Hallar 4 Juan

la fracció n genar atriz de 0.18 181818...

ha compr ado 20 libro s, por e l 1º ha pagado 1€ , po r

el 2º 2 € , por el 3º 4 €, por e l 4º 8 € y aí suce sivame nte. Cuánto ha pagado por los libr os.

346 de 362


5 Calcula

tre s

núme ros

en

pr ogresió n

ar itmé tica,

que

suman 27 y sie ndo la suma de sus cuadrado s e s 511/2.

6

Uniendo los punto s me dios de lo s lados de un cuadrado

de lado l, se o btie ne otro, en e l que volve mo s a hacer la misma ope ración, y así se co ntinua indefinidamente . Calcular la suma de las áre as de los infinto s cuadr ados.

1 Hallar e l té rmino general de las siguie nte s suce siones:

1 Si

prescindimo s

de l

signo,

el

numer ador

es

una

P.

ar itmé tica co n una d= 2.



2 El numer ador es una progresió n aritmética con una d= 2 .

El deno minado r es una pr ogresió n geométrica co n una r= 2.

347 de 362


3 Si

prescindimo s

de l

signo,

el

numer ador

es

una

P.

ar itmé tica co n una d= 1.

El deno minado r es una pr ogresió n geométrica co n una r= 3.

Por ser los té rminos par es lo s ne gativo s multiplicamos por (- 1) n + 1 .

2 Estudia la mo no to nia, la co nvergencia o dive rgencia y las co tas (si e xisten) de la siguie ntes suce sión:

Monotonía

Es monotona est rictam ente cr ec ient e .

Límit e

a 1 = 0.5

a 3 = 0.66 66

348 de 362


a 1 0 0 0 = 0.99 9000999001

a1000

000

= 0.99 9999000001

El límite es 1

Suce sión co nver gente

Cot as

Está aco tada infer io rme nte. 1 /2 es e l mínimo.

Está aco tada super ior me nte. 1 supr emo.

Por tanto la suce sión está acotada.

0.5 ≤ a

n

< 1

3 Hallar la fracció n genar atriz de 0.18 181818...

0.18 181818...= 0 .18 + 0 .0018 + 0 .000018 + ...

Es una pro gre sión geo mé tr ica de crecie nte ilimitada.

a 1 = 0.18 ;

r= 0.01 ;

S= 0.18 /(1- 0 .01)= 2/11

4

349 de 362


Juan ha compr ado 20 libro s, por e l 1º ha pagado 1 €, por e l 2º 2 € , por el 3º 4 € , por el 4º 8 € y aí sucesivamente . C uánto ha pagado por los libro s.

a1= 1

r= 2 ;

n = 20 ;

S= (1 · 2 2 0 - 1 - 1) / (2 - 1 ) = 1048575 € .

5 Calcula tre s núme ros en pr ogresió n ar itmé tica, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrado s e s 511/2 .

Término centr al

1º

x - d

3º

x + d.

x

x − d + x + x + d = 27

x = 9

(9 − d) 2 + 81 + (9 + d) 2 = 511/2

d = ± 5 /2

13/2, 9, 23/2

23/2, 9, 13/2

6

350 de 362


Unie ndo los puntos me dios de lo s lado s de un cuadrado de lado l, se obtiene o tro cuadr ado, e n el que vo lvemos a hacer la misma o peración, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de lo s infinto s cuadr ados.

351 de 362


Ejercicios de progresiones aritméticas 1 El

cuar to té rmino de una progresió n ar itmé tica es 10 , y el

sexto es 16 . Escr ibir la pro ge sión.

2 Escr ibir

tre s me dios ar tméticos entr e 3 y 23.

3 Inte rpolar 4 El

tre s me dios ar itmé tico s e ntre 8 y -12.

prime r tér mino de una pro gre sión ar itmé tica es -1 , y e l

dé cimo quinto es 27 . Hallar la difer encia y la suma de lo s quince pr imero s términos.

5 Hallar

la suma de los quince prime ros múltiplo s de 5.

6 Hallar

la suma de los quince prime ros núme ros acabados

7 Hallar

la suma de los quince prime ros número s pares

en 5 .

mayo res que 5.

8 Hallar

lo s ángulo s de un cuadr iláter o co nvexo, sabie ndo

que están en progresió n aritmética, siendo d= 25º .

9 El Calcula

cate to me nor de un tr iángulo rectángulo mide 8 cm. lo s o tro s do s, sabie ndo

que



10 Calcula

tres

núme ros

en

pr ogresió n

aritmética,

suman 27 y sie ndo la suma de sus cuadrado s e s 511/2.

352 de 362

que


1 El cuar to té rmino de una progresió n ar itmé tica es 10 , y el sexto es 16 . Escr ibir la pro ge sión.

a

4

a

= 10;

n

= a

k

a

6

= 16

+ (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d;

d= 3

a 1 = a 4 - 3d;

a 1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...

2 Escr ibir tre s me dios ar tméticos entr e 3 y 23.

a= 3 ,

b= 23 ;

d= (23 -3)/(3+1 ) = 5;

3, 8, 13, 18, 23 .

3 Inte rpolar tre s me dios ar itmé tico s e ntre 8 y -12.

353 de 362


8, 3, -2, -7 , -12 .

4 El prime r tér mino de una pro gre sión ar itmé tica es -1 , y e l dé cimo quinto es 27 . Hallar la difer encia y la suma de lo s quince pr imero s términos.

a

1

= − 1;

a

n

= a

1

a

15

= 27 ;

+ (n - 1) · d

27= -1 + (15 -1) d;

28 = 14d;

d = 2

S= (-1 + 27 ) 15/2 = 195

5 Hallar la suma de los quince prime ros múltiplo s de 5.

a 1 = 5;

a

n

= a

d= 5;

1

n = 15.

+ (n - 1) · d

a 1 5 = 5 + 14 · 5 = 75

S 1 5 = (5 + 75 )· 15 /2 = 600 .

6 354 de 362


Hallar la suma de los quince prime ros núme ros acabados en 5.

a 1 = 5;

d= 10 ;

n= 15.

a 1 5 = 5+ 14 ·10 = 145

S 1 5 = (5 + 145 )· 15 /2 = 1125

7 Hallar

la

suma

de

los

quince

prime ros

núme ros

pares

mayo res que 5.

a 1 = 6;

d= 2 ;

n= 15.

a 1 5 = 6 + 14 · 2 = 34

S 1 5 = (6 + 34) · 15 /2 = 300

8 Hallar los ángulo s de un cuadriláte ro co nvexo, sabiendo que están en progresió n aritmética, siendo d= 25º .

La suma de lo s ángulos inter io res de un cuadriláter o es 360º.

360= ( a 1 + a 4 ) · 4 /2

a 4 = a 1 + 3 · 25

360= ( a 1 + a 1 + 3 · 25 ) · 4 /2

355 de 362


a 1 = 105/2 = 52º 30'

a 3 = 102º 30'

a 2 = 77º 30'

a 4 = 127º 30'

9 El cate to me nor de un tr iángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula

lo s o tro s do s, sabie ndo

que



a 2 = 8 + d;

a 3 = 8 + 2d

(8 + 2 d) 2 = (8 + d) 2 + 64

10 Calcula tre s núme ros en pr ogresió n ar itmé tica, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrado s e s 511/2 .

Término centr al

1º

x - d

3º

x + d.

x

x − d + x + x + d = 27

x = 9

356 de 362


(9 − d) 2 + 81 + (9 + d) 2 = 511/2

d = ± 5 /2

13/2, 9, 23/2

23/2, 9, 13/2

Ejercicios de progresiones geométricas 1 El

2º té rmino de una pro gre sión ge omé tr ica es 6 , y e l 5º

es 48 . Escr ibir la pro ge sión.

2 El

1 e r tér mino de una pro gre sión geo mé tr ica es 3, y el 8º

es 384 . Hallar la razó n, y la suma y e l pro ducto de los 8 pr imero s términos.

3 Inte rpolar 4 Calcular

tre s me dios ge omé tr icos entre 3 y 48.

la

suma

de

los

prime ros

5

términos

de

la

pro gr esió n : 3, 6 , 12 , 24, 48, ...

5 Calcular

la

suma

de

los

tér mino s

de

la

pro gre sión


6 Calcular

el pr oducto de lo s prime ro s 5 tér mino s de la

pro gr esió n: 3 , 6, 12 , 24 , 48, ...

7 Juan

ha compr ado 20 libro s, por e l 1º ha pagado 1€ , po r

el 2º 2 € , por el 3º 4 €, por e l 4º 8 € y aí suce sivame nte. Cuánto ha pagado por los libr os.

357 de 362


8

Uniendo los punto s me dios de lo s lados de un cuadrado

de lado l, se o btie ne otro, en e l que volve mo s a hacer la misma ope ración, y así se co ntinua indefinidamente . Calcular la suma de las áre as de los infinito s cuadrado s.

9 Hallar 10

la fracció n genar atriz de 0.18 181818...

Encontr ar la fr acción ge ner atriz de 3.27 77777...

1 El 2º té rmino de una pro gre sión ge omé tr ica es 6 , y e l 5º es 48. Escr ibir la progesió n.

a 2 = 6;

an = ak · r

a 5 = 48;

n-k

48 = 6 r 5 - 2 ;

r3 = 8;

r = 2.

a 1 = a 2 / r; a 1 = 6/2 = 3

3, 6, 12, 24, 48, ...

2 El 1 e r tér mino de una pro gre sión geo mé tr ica es 3, y el 8º e s 384. Hallar la r azón, y la suma y el pro ducto de los 8 prime ros tér mino s.

a

1

= 3;

a

8

= 384;

358 de 362


384 = 3 · r 8 - 1 ;

r 7 = 128;

r7 = 27;

r= 2.

S 8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765

3 Inte rpolar tre s me dios ge omé tr icos entre 3 y 48.

a = 3;

3,

b = 48 ;

6, 12, 24, 48

4 Calcular

la

suma

de

los

pr imero s

5

tér mino s

de

la

pro gr esió n : 3, 6 , 12 , 24, 48, ...

5 Calcular

la

suma

de

los

términos


359 de 362

de

la

pro gre sión


6 Calcular

el pr oducto

de

lo s prime ro s 5

tér mino s de

la

pro gr esió n: 3 , 6, 12 , 24 , 48, ...

7 Juan ha compr ado 20 libro s, por e l 1º ha pagado 1€ , por el 2º 2 € , por el 3º 4 € , por el 4º 8 € y aí sucesivamente . C uánto ha pagado por los libro s.

a1= 1

r= 2 ;

n = 20 ;

S= (1 · 2 2 0 - 1 - 1) / (2 - 1 ) = 1048575 € .

8 Unie ndo los puntos me dios de lo s lado s de un cuadrado de lado l, se obtiene o tro cuadr ado, e n el que vo lvemos a hacer la misma o peración, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de lo s infinito s cuadr ados.

360 de 362


9 Hallar la fracció n genar atriz de 0.18 181818...

0.18 181818...= 0 .18 + 0 .0018 + 0 .000018 + ...

Es una pro gre sión geo mé tr ica de crecie nte ilimitada.

a 1 = 0.18 ;

r= 0.01 ;

S= 0.18 /(1- 0 .01)= 2/11

10

361 de 362


Enco ntrar la fracció n generatr iz de 3 .2777777 ...

3.27 77777...= 3 .2 + 0.0 7 + 0.007 + 0.0007 + ...

Tene mo s una pro gre sión ge omé tr ica de cre ciente ilimitada.

a 1 = 0.07

r= 0 .1 ;

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18

362 de 362

01 MATEMATICAS - Aritmetica

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