ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ SUPER!!! (ΓΙΑ ΦΟΙΤΗΤΕΣ)!

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ – ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

Απλή συνάρτηση f(x)

Σύνθετη συνάρτηση f(g(x))

Απλή συνάρτηση f(x)

Σύνθετη συνάρτηση f(g(x))

(x)′ = 1, (A)′ = 0 A ∈ R

[Af(x)]′ = Af ′(x)

∫ dx = x + c

∫ Af(x) dx = A ∫ f(x) dx

(x α )′ = αx α -1

[f α (x)]′ = α[f( x ) ]α −1 ⋅ f ′(x)

( x )′ =

α∈R

1

[ f ( x ) ]′ =

2 x

1

′ 1 1 1   = (x − )′ = − 2 x x

′  1  1   = − ⋅ f ′(x) 2 f ( x ) f (x)  

(e x )′ = e x

[e ]′= e f (x)

(α x )′ = α x ⋅ ℓnα

(ℓnx)′ =

f (x )

α ≠1> 0

[α ]′= α

x>0

[ln f (x )] ′=

1 , x

f (x)

α

∫

⋅ f ′(x)

2 f (x)

dx

α

f ′(x)

1

∫ x dx = − x + c

∫f

∫ e dx = e

∫e

2

x

f ′( x )lnα

∫

αx dx =

x

+c

αx +c ℓnα

∫

2

(x)

f (x)

dx = −

1 +c f (x)

f ′( x )dx = ef ( x ) + c

α f ( x )f ′( x )dx =

αf ( x ) +c ℓnα

f ′( x )

1

1 f ′( x ) f (x )

f α +1(x)

∫ f (x)f ′(x)dx = α + 1 + c f ′(x) ∫ f (x) dx = 2 f (x) + c

α ≠ -1

= 2 x +c

x

1

f ′( x )

f (x)

x α +1

∫ x dx = α + 1 + c

∫ x dx = ℓn | x | +c

∫ f (x) dx = ℓn | f (x) | +c

(sinx)′ = cosx

[sin f ( x )]′ = f ′( x ) cos f ( x )

∫ cosxdx = sinx + c

∫ f ′(x) cos f (x)dx = sin f (x) + c

(cosx)′ = −sinx

[cos f ( x )]′ = −f ′(x ) sin f ( x )

∫ sinxdx = − cos x + c

∫ f ′(x) sin f (x)dx = − cos f (x) + c

[tan f (x )] ′=

∫ cos x = tanx + c

(tanx)′ =

(cotx)′ =

1 cos2 x −1

[cotf(x)] ′=

sin 2 x 1

(arcsinx)′ =

1− x (arccosx)′ =

2

−1 1− x

(arctanx) =

2

1 1+ x

2

1

−1 sin 2f(x)

[arcsin f (x )] ′= [arccosf(x)] ′= [arctanf(x)] ′=

1 − f (x) f ′(x)

2

1 − f (x) 1 2

1 + f (x)

f ′(x)

(sinhx)′ = coshx

[sinhf(x)] ′= f ′(x)coshf(x)

(coshx)′ = sinhx

[coshf(x)] ′= f ′(x)sinhf(x)

∫ ∫

dx x2 + α

= ℓn | x + x 2 + α | +c

α 2 − x 2 dx =

α∈ R

x α2 x α2 − x2 + arcsin  + c 2 2 α

∫x

dx 1− x

∫ ∫x

2

dx 1− x dx 2

+1

2

=

1 x-α ℓn +c 2α x+α

−α

2

∫

x 2 + α 2 dx =

dx = tan f ( x ) + c

2

= arcsinx + c

∫

= −arccosx + c

∫

∫ (α

f ′( x ) 1 − f 2 (x) f ′( x ) 1 − f 2 (x) f ′(x)

∫ 1+ f

= arctanx + c

∫ coshxdx = sinhx + c ∫ sinhxdx = coshx + c

dx 2

∫

f (x)

∫ sin f(x)dx = −cotf(x) + c

2

f ′( x )

2

f ′(x)

dx

∫ sin x = −cotx + c

1

−1

∫ cos

2

f ′(x)

2

f ′( x )

dx

f ′( x )

cos2 f ( x )

2

(x)

dx = arcsin f (x ) + c

dx = −arccosf ( x ) + c

dx = arctanf(x) + c

∫ f ′(x)coshf(x)dx = sinh f(x) + c ∫f ′(x)sinhf (x)dx = coshf(x)+ c dx 2

2 3/2

+x )

=

1 sin[arctanx/α] + c α

x 2 α2   x + α2 + ℓn  x + x 2 + α 2  + c 2 2  

Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης (Κανόνας Αλυσίδας)

Η έννοια της παραγώγου

Ας είναι η σύνθετη συνάρτηση y=f(g(x)). ∆ηλαδή για την τιµή του x=xο βρίσκουµε την g(xo)=u και στη συνέχεια την y=f(u)=f(g(xo)). π.χ. για την y=(x2+3x)5 έχουµε: u=g(x)=x2 +3x και f(u)=u5=g5(x). Σύνθεση είναι η εξαγωγή του τελικού αποτελέσµατος βήµα – βήµα από τη µια µεταβλητή στην άλλη. x → u → y Σχηµατικά έχουµε :

Ας είναι η συνάρτηση y = f(x) µε γραφική παράσταση του σχήµατος και τα σηµεία της Α (x, f(x)) και Β (x + h, f(x + h) ). Η τέµνουσα ευθεία ΑΒ, έχει κλίση (εφαπτοµένη της γωνίας β) :

tanβ =

BΓ f(x + h) - f(x) = ΑΓ h

Όταν το h γίνεται σχεδόν µηδέν (h → 0 ) , τότε το x+h πάει να ταυτιστεί µε το x, το σηµείο Β της καµπύλης µε το Α και η τέµνουσα ευθεία µε την εφαπτοµένη της καµπύλης. Αυτή η διαδικασία περιγράφεται µε το όριο, που µας δίνει την έννοια της παραγώγου στη θέση x : f ′( x ) = ℓim

h →0

f (x + h) − f (x) h

µε

f ′(x) = tanθ

Η παράγωγος της y=f(g(x)) είναι ίση µε το γινόµενο των παραγώγων των συναρτήσεων της σύνθεσης:

dy d du d d = f(u) = f (u ) g( x ) dx du dx du dx

Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης Έστω η συνάρτηση y=f(x), αν λύσουµε την εξίσωση ως προς x θεωρώντας το y γνωστό προκύπτει η αντίστροφη x=f -1 (y). Από f -1 [f(x)]=x µε τον κανόνα της αλυσίδας η παράγωγος είναι : d −1 d dx [f ( y)] ⋅ f (x) = dy dx dx

⇒

[f −1( y)]′ =

1 ′ f (x)

Συµβολισµοί της παραγώγου για την συνάρτηση y=f(x): y′(x) =

dy df ( x ) d = f ′( x ) = = f (x) dx dx dx

Η παραγώγιση της f ΄(x) ως προς x, δίνει την δεύτερη παράγωγο:

f ′′(x) =

d 2f(x) dx 2

=

d2 dx 2

f (x)

f ′′′(x) = f (3) ( x ) =

Όµοια η τρίτη παράγωγος είναι:

d3f(x) dx 3

κ.ο.κ.

Ερµηνεία της παραγώγου • •

•

Η ταχύτητα – ρυθµός µεταβολής του διαστήµατος s(t) στη µονάδα του χρόνου είναι η παράγωγος ως προς το χρόνο: s′(t) = υ(t) Η επιτάχυνση γ(t) είναι η µεταβολή της ταχύτητας στη µονάδα του χρόνου: υ ′(t) = γ(t) ή γ(t) = s ′′(t) (δεύτερη παράγωγος) ∆ηλαδή µε την παράγωγο δίνουµε τον ρυθµό – ταχύτητα µεταβολής ενός µεγέθους ως προς τον παράγοντα που τον καθορίζει. Γεωµετρικά η f ′(x) δίνει την κλίση της εφαπτοµένης ευθείας,

Μονοτονία Συνάρτησης Ας είναι η συνάρτηση y = f(x) µε Π.Ο. το Α ⊆ R . Για την εύρεση και των διαστηµάτων που είναι αύξουσα ή φθίνουσα κάνουµε τα εξής : 1ο) Βρίσκουµε την πρώτη παράγωγο f΄(x) και τα σηµεία µηδενισµού της (ρίζες ), από την λύση της εξίσωσης f΄(x)=0. Θυµίζουµε ότι µια ρίζα xο (f΄(xo)=0), µπορεί να είναι σταθµός που αλλάζει πρόσηµο η παράσταση της f΄(x). 2o)  Στο διάστηµα ∆ του Π.Ο. που η f΄(x)>0 η συνάρτηση f(x) είναι γνήσια αύξουσα. ∆ηλαδή αν x1f(x2). Αν µεγαλώνει η µεταβλητή x τότε, µικραίνει το αποτέλεσµα f(x). Ακρότατα Συνάρτησης Ας είναι µια ρίζα xο της πρώτης παραγώγου µε f΄(xo)=0 : α) Όταν για x0 και για x>xo ⇒ f΄(x)<0 τότε, στο σηµείο (θέση) xο έχουµε τοπικό µέγιστο το f(xo) (βλ. σχήµα). β) Όταν για xxo ⇒ f΄(x)>0 τότε, στο σηµείο (θέση) xο έχουµε τοπικό ελάχιστο το f(xo) (βλ. σχήµα).

tanθ = f ′(x) . Εξίσωση εφαπτόµενης ευθείας Στο σηµείο Α (x 0 , f ( x 0 ) ) της καµπύλης y = f ( x ) , η εφαπτόµενη ευθεία

έχει κλίση tanω = f ′(x ο ) και το τυχαίο σηµείο της (x , y ) ικανοποιεί την εξίσωση:

y - f(x o ) x − x0

= f ′(x o )

ή

y = f(x o ) + f ′( x o )(x − x o )

f (xo ) Α( x o , f ( x o ))

xo

f ′( x o ) = tan ω

Κριτήριο 2ης παραγώγου για Ακρότατα Εξετάσουµε αν στο xo (ρίζα της f΄(xo)=0) έχουµε τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο µε την 2η παράγωγο στο xο δηλαδή : f΄΄(xο). α) Όταν στη θέση xo µε f΄(xo)=0 προκύπτει f΄΄(xο)<0, τότε στο xο έχουµε τοπικό µέγιστο την τιµή y=f(xo). β) Όταν στη θέση xo µε f΄(xo)=0 προκύπτει f΄΄(xο)>0, τότε στο xο έχουµε τοπικό ελάχιστο την τιµή y=f(xo).