Ley de Inducción Magnética Dr.. Ing. Dr Ing . Edilberto Edilb erto Vásquez Díaz UNIVERSIDAD DE PIURA 2013- I
Conocimientos previos
dB dt
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Experimento de Faraday Michael Faraday, (22 de septiembre de 1791, 25 de agosto de 1867) La Ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente Ley de Faraday) se basa en los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831 y establece que el voltaje indu cido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde:
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Situaciones en los que aparece la fem inducida
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Situaciones en los que aparece la fem inducida
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Flujo magnético •
Para B constante:
B . A
BA cos •
A B
S
En general:
B d A S •
•
Si θ es agudo, cos θ es positivo: el flujo es positivo Si θ es obtuso, cos θ es negativo: el flujo es negativo
•
Unidad SI: weber;
•
1 Wb = 1 Tm2
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Ley de Faraday •
La fem inducida es en una espira cerrada es igual al negativo de la relación de cambio del flujo magnético con respecto al tiempo a través de la espira.
e: es la
B: es el flujo magnético a
r
B(t)
fuerza electromotriz inducida. través
del área A
d B e dt
d BA cos dt
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d B E d s dt
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d BA cos dt 7
Dirección de la fem inducida (Ley de Lenz) •
•
Heinrich Friedrich Emil Lenz (12 de febrero de 1804 - 10 de febrero de 1865) . Formuló la Ley de Lenz en 1833
La corriente inducida electromagnéticamente en un circuito aparece siempre con un sentido tal que el campo magnético que produce tiende a oponerse a la variación del flujo magnético que atraviesa dicho circuito. (Ley de Lenz)
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Magnitud y dirección de la fem inducida •
Se coloca una bobina de alambre de cobre de 500 espiras circulares de 4,00 cm de radio entre los polos de un gran electroimán, donde el campo magnético es uniforme y forma un ángulo de 60º con el plano de la bobina. El campo disminuye a razón de 0,200 T/s. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fem inducida?
d dB A cos30º dt dt d 0, 200 T / s (0, 00503 m 2 )(0,866) dt 8, 71 104 Wb / s
e N
d
dt 0,453V
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(500)( 8, 71104Wb / s )
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Generador I: alternador simple •
Se hace girar una espira rectangular con rapidez angular ω constante en torno al eje mostrado. El campo magnético B es constante. En t = 0 s, φ = 0. ¿Cuál es la expresión de la fem inducida?
B BA cos t e
d B dt
BA sen t
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Inducción
Fuerza electromotriz de movimiento Supongamos una varilla conductora que se desliza a lo largo de dos conductores que están unidos a una resistencia.
I
El flujo magnético varía porque el área que encierra el circuito también lo hace. B·A B l x d dx Bl Bl v dt dt
Como
e
d m dt
El módulo de la fem inducida será e Bl v
Fem de movimiento es toda fem inducida por el movimiento relativo de un campo magnético y un segmento de corriente.
¿Cuál es el efecto de la aparición de esta corriente inducida?
El campo magnético ejerce una fuerza magnética sobre la varilla que se opone al movimiento
I
Fm
El resultado es que si impulsamos la varilla con una cierta velocidad hacia la derecha y luego se deja en libertad, la fuerza magnética que aparece sobre la varilla tiende a frenarla hasta detenerla. Para mantener la velocidad constante de la varilla, un agente externo debe ejercer una fuerza igual y opuesta a la fuerza magnética.
Trabajo y potencia en un generador de conductor corredizo •
I
Potencia disipada e
BLv
R
R 2
Pdisipada •
BLv 2 I R R R
I
F B
v
Potencia desarrollada por la fuerza
F ap
F ILB
I
P ap
F ap v ( IlB )v P ap
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B 2l 2v 2 R Yuri Milachay
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Hacer los ejercicios 16, 18, 28, 36, 37 y 38 del capítulo 28 del libro Física para la Ciencia y la Tecnología , de Tipler
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Mutuainductancia la corriente I1 que pasa por la espira circular 1 produce un campo magnético B1 y cierta cantidad de líneas de éste campo magnético enlazan a la espira circular 2. Por lo tanto, se define a la constante denominada INDUCTANCIA MUTUA M21 como la razón entre el flujo ligado mutuo (el flujo del campo magnético B1 que enlazan a la espira 2 denominado 21) y la corriente que genera el campo magnético B1, I1.
M 21
21 I 1
M 21
N 2 21 I 1
Mutuainductancia la corriente I2 que pasa por la espira circular 2 produce un campo magnético B2 y cierta cantidad de líneas de éste campo magnético enlaza a la espira circular 1. Por lo tanto, se define a la constante denominada INDUCTANCIA MUTUA M12 como la razón entre el número de enlaces mutuos (el flujo del campo magnético B2 que en laza a la espira 1 denominado 12) y la corriente que genera el campo magnético, I2.
M 12
12 I 2
M 12
N 1 12 I 2
La unidad SI de la mutuainductancia es el henry o henrio y está representado por la letra H y equivale a: 1 H = 1 Wb / A
Mutuainductancia Si la corriente I 1 que pasa por la bobina 1 es variable en el tiempo, entonces inducirá en la bobina 2 una FEM e21 dada por la Ley de Faraday
e 21 N 2 M 21
N 2 21 I 1
d 21 dt
N 2 21
e 21 M 21
M 21 I 1
dI 1 dt
Mutuainductancia
e12 M 12
dI 2 dt
Muchas veces la presencia de la inductancia mutua en los circuitos puede presentarse como un problema, por eso se necesita que tenga un valor muy pequeño. Esto se logra por ejemplo colocando las dos bobinas muy separadas o con sus planos perpendiculares entre sí. Para el caso de corrientes lineales, una opción es el de apantallar los cables conductores (una pantalla metálica, que puede ser un cilindro, adquiere las FEM inducidas y la corriente es llevada a tierra) o trenzarlos, de este modo se elimina el área entre ellos y po r lo tanto no hay flujo magnético.
La Autoinductancia Se define AUTOINDUCTANCIA como la razón entre el número de enlaces propios (el flujo del campo magnético B1 que enlaza al circuito, denominado 11) y la corriente que pasa por el circuito.
M 11
11 I 1
La FEM autoinducida, siguiendo el razonamiento empleado en el caso de la inductancia mutua:
M 11
e 11
N 111 I 1
M 11
dI 1 dt
La Inductancia La inductancia para un circuito viene a ser la suma de las inductancias mutuas y de la inductancia propia. Para el caso que se ha estado estudiando hasta el momento, la inductancia en el circuito 1 (bobina 1) sería
L1
M 11 M 12
Para el caso del circuito 2 (bobina 2), la inductancia sería:
L2
M 22 M 21
Para un caso general, donde se tenga un sistema de n corrientes, la inductancia del circuito i sería:
Li
M ii
n
M
ij
j 1, i j
La Inductancia Por lo tanto las FEM inducidas serán
e i
M ii
dI i dt
n
dI j
j 1, i j
dt
Mij
Si únicamente se tiene un circuito, la inductancia será igual al valor de la autoinductancia y la FEM inducida sólo dependerá de la variación de la corriente i que circula en el circuito
e L La fuerza electromotriz inducida Si la corriente aumenta, es positiva y se opone a la corriente. Si la corriente disminuye, es negativa y actúa en el mismo sentido de la corriente. En consecuencia siempre actúa en un sentido que se opone a la variación de la corriente como se esquematiza
dI dt
La Inductancia i a
b
Si la corriente es constante, di / dt 0 , entonces e 0 , V ab cortocircuito como se muestra en la figura
0 con lo cual el inductor está en
Si la corriente es creciente, di / dt 0 , entonces , e 0 se opone a la corriente i con lo cual debe ir de b a a, significa que a es el terminal con mayor potencial y por lo tanto V ab 0 Si la corriente es decreciente, di / dt 0 , entonces , e 0 va a favor de la corriente i por lo tanto debe ir de a a b, lo que significa que b es el terminal con mayor potencial y por lo tanto V ab 0
V ab = 0
V ab > 0
i constante a
(a)
i decreciente
i creciente b
e = 0
V ab < 0
a +
e
(b)
b
a
-
-
b
e
(c)
+
V ab
e L
di dt
Inductancia de un soleniode
Li
M ii
n
M ij
L1
j 1, i j
B nI 1
N
L1
M 11
N 111 I 1
nl
M11
N nI1 A I 1
n lA 2
Circuitos RL Un circuito RL está formado por una resistencia y un solenoide o bobina.
V RI L (dI / dt ) Cuando cerramos S1 y abrimos S2, la fem inducida en la bobina impide la que corriente en el circuito aumente de forma brusca, de forma que sigue la ley I (t )
L
L R
: Constante de tiempo inductiva
V
R
1
e
t / L
Una vez alcanzada la corriente estacionaria con S1 cerrado, cerramos S 2 y abrimos S1, para eliminar los efectos de la batería. En este caso, el circuito está formado por una resistencia y una bobina por las que, en t = 0, circula una corriente Io I t dI R dt I L o I 0
RI L (dI / dt ) 0
t/ I( t ) I o e L
Energía magnética Una bobina o un solenoide almacena energía magnética de la misma forma que un condensador almacena energía eléctrica.
Ecuación de un circuito RL V
I R L
dI dt
Multiplicando por I en ambos miembros, obtenemos una ecuación en términos de potencia V I
I 2
Potencia suministrada por la batería
R
L I
dI dt
Potencia almacenada en la bobina
Potencia disipada en R por efecto Joule
Energía almacenada en la bobina : UB dU B dt
L I
dI dt
dU B
L I dI
La energía total almacenada se obtiene integrando U B
dU
B
I
L I dI
U B
0
1
L I
2
2
Densidad de energía: Energía magnética por unidad de volumen
Cantidad de energía almacenada en una inductancia con la geometría de ésta al definir una densidad de energía magnética como la razón entre la energía magnética almacenada por unidad de volumen
1 u
U B V
2
LI 2 V
