. calculo integral felicitas morales alvarez

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Cálculo integral para cursos con enfoque por competencias

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Felicitas Morales Álvarez Doctora en Matemática Educativa Centro de Investigación y de Estudios Avanzados-IPN (CINVESTAV-IPN) Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzcalll Ｈｔｅｓｃｾ＠

Revisión técnica María del consuelo Macias González Academia de Ciencias Básicas Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzca/R (TESCIJ Enrique Martínez Negrete DlviSlón de Ingeniería en Sistemas Computacionales Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán tzca/O (TESCI) Gabrlela lópez Ballesteros Maestra en Matemática Educativa

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Duosdecatalog:aciónbibliogdfica

MOllALl!S ÁLVAllEZ, FEÚCJTAS

Oi/"1Jllo •urr-JJltllTI ntl'WICOlf oif'.- 1'0' "'*'JfdmdCI

Airo.era cdki6o

PBARSON IIDUCAOON, M6xico, 2014 ISBN: ￁ｲｾＮ｡Ｚ＠

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ti.útmláticu

Rirm4to: 2 t x 27 cm

P.ljjj...,: 212

Dirooción Ocncral: Oim:ción Eclucocióo Superior:

Pbilip de la Vega Mario Contreras

Edit0
Glbriela López Ballesteros e-mail: [email protected] Fdipe Hemindez Carruco

Editor de D
Juan Silverio Amandi Zárate Marisa de Anta

PRIMERA l!DICIÓN, 2014

D.R.02014 por Peanonl!ducación de Mérico, S.A. de C.V. Adacomulco soo. s• piso Industrial Atoro SJS 19 Naucalpan de Juárcz, Estodo de Mé>:ico Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Re¡. Núm. 1031 11.esmbién Ja autOrización del editor o de sus representantes.

ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-ó07·32-2242-6 978-ó07-32-2243-3 ISBN E-CHAPTllR: 978-ó07-32-2244--0

ISBN E-BOOK:

[mprcso c:n México. Mntl!IÍ in MaiaJ.

1 234567890- 17 161514

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Prólogo El contenido de este libro me hace recordar el pasado, cuando la autora era una sencilla estudiante de ingeniería física, quien dedicaba gran parte de su tiempo disponíble a prepararse para obtener lo mejor de cada clase y aprender de la experiencia académica de sus profesores y compaJ\eros. Esto era cvi· dente no solo en la disciplina que eUa mostraba para estudiar, sino en la ''OCación con la cual impartfa asesorías. La aplicación del conocimiento en su etapa de ingeniero y la experiencia en un posgrado de docencia se ven plasmadas en este libro por la peculiar manera de plantear, explicar, resolver y aplicar d conocimiento del cálculo integral. El objetivo de los temas expuestos en las dos primeras unidades es que el alumno con conocimien· tos básicos de matemáticas pueda comenzar la asimilación de te0rcmas elementales, definiciones y propiedades del cálculo integral. Más adelante, en la tercera unidad, este material aterriza los conocimientos expuestos para motivar y guiar al lector en la aplicación de las herramientas matemáticas a la solución de problemas reales de ingeniería, algo que eo muchos cursos de educación superior se olvida. La última urúdad complementa los temas de la parle integral para representar funciones matemáticas, las cuales constituyen la base para la solución de problemas complejos . .De esta manera, el esfuea.o y el compromiso manifestados en este trabajo definen un camino en d proceso de ･ｮｳｾ｡ｺＭｰｲ､ｩｪＬ＠ con el ánimo de promover el interés de los estudiantes por las matemáticas, particularmente en el estigmatizado tema del cálculo. Doctor Ernesto Rodrigo Vá74uez Cerón Coordinador de la Licenciatura en Ingeniería Física Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco

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Presentación La integración de nuevas propuestas y enfoques educativos en Jos programas de esrudío del nivel superior, como es el caso del enfoque por competencias, implica un reto importante para los profesores: díscllar estrategias que ayuden a los estudíantes a obtener conocimientos, habilidades, aptitudes y actitudes que fortalezcan sus procesos de aprendizaje. Ese díscfto de estrategias tiene el objetivo de ayudar a los alumnos para que, al tenninar sus estudios, puedan incorporarse en forma más eficiente al sector iroductivo, contando con un nivel de desempeño que corresponda con las alias demandas competitivas de las organizaciones actuales. Para apoyar la practica docente y provocar la reflexión de los esrudíantes en los cursos de cálculo integral, cuyos programas adoptan el enfoque por competencias, hemos creado este libro, el cual cuenta con las herramientas requeridas por los planes de estudío actuales. Por sus características, el libro puede utili1.arse como texto en un curso de cálculo integral basa· do en este enfoque, porque cuenta con los siguientes elementos: actividades de trabajo; actividades integradoras para la práctica constante y la integración de los conocimientos; referencias al uso de la tecnología, cuyo propósito es lograr la comprensión de los conceptos matemáticos; ejercicios resueltos y problemas de aplicación en contextos reales. Asimismo, ofrece una secuencia apropiada de ejercicios para la conformación de un portafolio que integrará las evidencias generadas durante el desarrollo de las competencias y permitirá determinar el grado de avance de los esrudíantes. También presenta cues· tionamieotos metacognitivos con los que el alumno podrá Uevar pleno control de la forma en que está logrando el aprendizaje.

Características del enfoque por competencias incorporadas en este libro La competencia profesional es un saber hacercomplejo que exige conocimientos, habilidades, aptitudes y actitudes que garanticen un ejercicio profesional y responsable que se aproxime a la excelencia. Esta competencia, que se moviliza y desarrolla co.ntinuarnente, se encuentra en la estructura mental de cada indíviduo; es parte de su acervo y de su capital como ser humano. Pero lo importante no es la posesión de una competencia, sino el uso que se haga de ella, ya que el estudíante debe saber integrar, movili7.ar y transferir un conjunto de recursos en un contexto con la finalidad de realizar detenninada tarea o enfrentar problemas especfficos. Por eso, en cada unidad se proponen dífercotes ejercicios y actividades que permiten al alumno optimiz.ar sus recursos. Aunado a lo anterior, es necesario que el aprendízaje sea relevante, signillcativo, aplicable y que los medios que se utilicen para lograrlo sean atractivos. Por eso se proponen actividades destacadas y significativas que el estudiante podrá aplicar tanto en su proceso de formación cscolari1.ada como en la vida real. El enfoque por competencias pretende que el alumno transite desde los niveles receptivos hasta los autónomos, para crear una metodología personal que le pennita alcan:rar el éxito en su formación. Por ello, se abordan los aspectos propios del cálculo integral con una visión que permite al usuario incorpo· rar los saberes a través de la práctica constante. La finalidad es que, ante cualquier problema, sea capaz. de identificar, comprender y explicar su contexto para resolverlo con los conocimientos adquiridos. De esta forma, el estudíante estará en condíciones de proponer y enfrentar nuevos problemas.

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.tll Presentación

En el enfoque por competencias se destaca la capacidad de aprender a aprender, lo cual se entiende como la capacidad pam reconocer los propios procesos de aprendizaje, •'aloror Ja necesidad de inlegrar permamm1emen1e con<>cimienios y habilidades, y asf lograr auJonomfa en el desarrollo de nuevas compe1encias. Gracias a la capacidad de aprender a aprender, es posible actuali1.ar de manera continua los conocimientos y las habilidades. Por ello, en este libro se promueve el aprender a aprender

con secuencias de ejercicios donde se integran los conocimientos previos; llegará el momento en que d alumno logre resolverlos de forma autónoma.

Secciones del libro Este texto está estructurado CQn secciones que ofrecen elementos para el aprendimje tanto desde el punto de visra disciplinario del cálculo integral como desde el enfoque por competencias. A continuación describiremos las más sobresalientes. Competencias. Al inicio de cada unidad se dcscnl>co tanto las competencias por desarrollar como las actividades de aprendimje, las habilidades y las actitudes que pennitirán al estudiante incorporarlas a su acervo. Se listan también las competencias con las que deberá contar el estudiante antes del estudio de los temas de cada unidad. Organizador grifico. Es un diagrama donde se expresan las relaciones entre los conceptos que se tratarán en la unidad, de tal manera que se adquiera una visión global de los conceptos que se revisarán, para una mejor comprensión del contenido. Antecedentes. Al inicio de cada unidad se ofrecen algunos ejemplos reales de la aplicación de los conceptos que se presentarán y que ponen de manifiesto la relevancia social, económica o científica del estudio de los temas.

Desarrollo teórico. En seguida se presenta el desarrollo de los ternas apoyados por una selección de ejemplos resueltos, gráficas y otros recursos visuales; todos se seleccionaron con gran cuidado para lograr una mejor comprensión de los CQnceptos. Portafolio de evidencias. Consiste en una secuencia adecuada de ejercicios para la conformación de un portafolio donde se integrarán las evidencias de los logros alcan1.ados durante el desarrollo de las competencias. Preguntas de reflexión. A lo largo del texto se incluyen interrogatorios mctaCQgnitivos (es decir, preguntas rcfcrcntcS al dominio y la regulación que tiene el sujeto de sus propios procesos cognoscitivos), con la finalidad de que el usuario reconotta la forma como está logrando el aprendizaje. Actividades de aprendizaje. Son actividades desarrolladas con el objetivo de señalar alguna noción importante y necesaria para el desarrollo de los subsecuentes conceptos. Actividades de trabajo. En cada sección se solicita la realización de actividades que refuerzan la incorporación de los saberes con base en una práctica conslante. Actividades integradoras. Al final de cada unidad se presentan actividades de trabajo relacionados CQn todas las secciones, con el propósito de que el alumno retome los conceptos estudiados y continúe con la práctica de integración de los conocimientos para reforzar lo aprendido.

www.freelibros.org lijemplos de aplicación. Es un conjunto de ejemplos que plantean situaciones reales de diferentes campos del conocimiento, cuya solución requiere del dominio de las competencias por desarrollar.

Presentaci6n lx

Autoevaluación. Esui sección se encuentra al final de cada unidad. Ofrece al estudiante la OpOr· tunidad de identificar los aspectos qoe resuelve con facilidad y aquellos que requieren mayor atención y estudio.

Recursos en linea En la página web de este libro están disp0nibles para descarga el Manual tú soluciones para el profesor y las Sugerencias didácticas, ambos desarrollados por la autora para el uso exclusivo de profesores que

adop1en el libro como texto en sus cursos de cálculo integral. También encontrará las respuesUIS de las actividades de trabajo e integradoras, y de las auroevaluacioncs, del libro.

Para tener acceso a estos recursos, visite la página: www.pearsonenespanol.com/morales

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Agradecimientos Oran parte de es1e libro fue escrita de manera paralela a mi labor como doccmc e investigadora del Departamenlo de Investigación y Desarrollo Tecnológico, adscrila a la división de lngenieria en Sislemas Compuiacionales del Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán lzcalli; por eso, deseo agradecera la inslitución por proporcioruume el ambien1e adecuado de trabajo y la fueme de inspiración que hi7.o posible el desarrollo del presente libro. 8 polencial de este trabajo dependerá en mucho de la efectividad en la prcscoiación de sus 1emas y el desarrollo de sus ejercicios. La exposición de muchos de ellos, y en especial el lema de sólidos de revolución, fue posible gracias a la discusión colaborativa y acertada verificación de los ejercicios de aplicación, reali2ada por J. Alfredo Lópcz Badillo. E'n esia obra se quiso hacer especial énfasis en la importancia de la visualización, es decir, en el papel que los aspectos gráfico y geoméll'ico desempeñan en la interiori1.ación de conceptos, teoremas y demosll'aciones; para lograrlo, usamos diversas 1tcnicas y software de graficación que nos permitiera presentar la información adecuada y pnecisa por es1udiar. Ello fue posible gracias a la colaboración permanente de Eric Y. Chavarrfa Rojas. Agradezco iambién a aquellas personas que, de manera incondicional, estuvieron al pendien1e de la elaboración y evolución de mi trabajo. P. Morales Álvarez Cuautitlán 17.calli, Esiado de México \l::rano, 2013 .

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Contenido UNIDAD 1 Teorema fundamental del cálculo

1

Antecedentes 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 1.2 Notación sumatoria 1.3 Sumas de Riemann 1.4 Definición de integral definida 1.5 Teorema de existencia 1.6 Propiedades de la integral definida 1.7 Función primitiva 1.8 Teorema fundamental del cálculo 1.9 Cálculo de integrales definidas 1.10 Integrales impropias Actividad integradora de la unidad t Contexto histórico: Isaac Newton y Gottfried Leibniz Autoevaluaci6n de la unidad 1

4 5 8 13 17 24 25 29 30 35 39 47 48 49

UNIDAD 2 Integral indefinida y métodos de integración

51

Antecedentes 2.1 Definición de integrales indefinidas 2.2 Propiedades de la integral indefinida 2.3 Cálculo de integrales indefinidas o técnicas de integración

54 55 59 61

2.3.1

2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.S

2.3.6

Directas (integrales directas) Integrales con cambio de variable Integración indefinida por partes Integrales de funciones trigonométricas Jntegraci6n por sustitución trigonométrica Integración de funciones racionales por el método de fracciones parciales

Actividad integradora de la unidad 2 Contexto histórico: Isaac Newton y la serie del binomio Autoevaluación de la unidad 2

61

65 72 76

85 92 104

io7 io8

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xll Contenido

o _,, 9_ licaciones de la intefil:_al_ _ _ _1-'-

UNIDAD 3 Antecedentes 3.1

3.2

3.4

3.5

u3

Áreas 3.1.1 3.1.2 3.1.3

3.3

112

Área bajo la gráfica de una función Teorema del valor medio para integrales Área entre gráficas de funciones

135

3.5.4

168

UNIDAD 4

Crecimiento poblacional

Series

Antecedentes 4.1 4.2

4.3

4.4 4.5

4.6 4.7

117 124

Longitud de curvas Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución 3.3.1 Método de discos 3.3.2 Método de anillos Cálculo de centroides de regiones planas Otras aplicaciones 3.5.1 Integración numérica 3.5.2 Circuitos electromagnéticos 3.5.3 Decaimiento radiactivo

Actividad integradora de la urudad 3 Contexto histórico: Cálculo de Newton del número ?T Autoevaluación de la urudad 3

Ｍｾ＠

113

Definición de serie 4.1 .1 Serie infinita Serie numérica y convergencia 4.2.1 Prueba de la ra7.Óll o criterio de D'Alembert 4.2 .2 Prueba de la raíz o criterio de Cauchy Series de potencias Radio de convergencia Serie de Taylor Representación de funciones mediante la serie de Taylor Cálculo de integrales de funciones expresadas como series de potencia

Actividad integradora de la urudad 4 Contexto histórico: El cálculo de Leibniz Autoevaluación de la unidad 4 Apéndices Respuestas de las actividades de trabajo e integradoras indice anal!tico

143 143 147

153 161 161

164 166

171 175 176

177 180 181 184 186 187 188 191 193 196 198

202 205

207 208

www.freelibros.org 209 225

253

flundamental cálculo

E

1problema esencial del cálculo integral consiste en estimar, de manera sencil la, áreas de superficies debajo de la gráfica de funciones. una gran variedad de conceptos se describen como el producto de dos variables, por ejemplo: trabajo como fuerza por distancia; fuel78 como el producto de la presión por el área; masa como densidad por unidad de volumen. Si cada uno de los factores que componen el concepto se asocia con cada uno de los ejes coordenados, el producto se define en el plano como un área susceptible de calcularse a través de una integral, y esto es posible gracias al estudio del teorema fundamental del cálculo.

Contenido Medición aproximada de figuras amorfas Notación sumatoria Sumas de Rlemann Definición de integral definida 1.5 Teorema de existencia

1.1 1.2 1.3 1.4

1.6 Propiedades de la Integral definida 1.7 Función primitiva 1.8 Teorema fundamental del cálculo 1.9 Cálculo de Integrales definidas 1..10 Integrales Impropias

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COMPETENCIAS POR DESARROLLAR COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

• Contextualizar el concepto de integral definida. • Visualizar la relación entre cálculo diferencial y cálculo integral. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

• Se propone realizar las prácticas sugeridas en cada Inciso. • Para una colección de funciones simples, construir la primitiva a partir de la definición. • calcular integrales definidas diversas y asociar cada integral con su interpretación geométrica. • Verificar el teorema fundamental del cálculo con pares de funciones e igualdades. • Realizar algunas de las lecturas recomendadas. HABILIDADES Y ACTITUDES

• Refuerzo de habilidades para graficar diferentes tipos de funciones. • Desarrollo de habilidades para Interpretar g¡áficas en términos de áreas. • Desarrollo de habilidades para modelar problemas de ingenieña a través del cálculo integral.

COMPETENCIAS PREVIAS

Para un mejor aprovechamiento de este curso, es recomendable verificar que el estudiante cuente con las siguientes competencias: • • • • • • • •

Uso eficiente de ta calculadora, respetando la jerarquía de operaciones. Evaluar funciones trascendentes. Despejar el argumento de una función. Dominar el álgebra de funciones racionales, así como de expresiones con potencias y radicales. Identificar, graficar y derivar funciones y sus Inversas. Manejar identidades trigonométricas. Identificar, graficar y derivar funciones exponenciales y logañtmicas. Uso de software para construir g¡áficas de funciones (Winplot, Derive, Padoman, Grap, Origin, Mapte, etcétera).

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ORGANIZADOR GRÁFICO DE LA UNIDAD 1

Teorema

fundamental del ｾｬ｣ｵ ｬｯ＠

Medición aproxlmada de figuras amorfas (áreas)

1

Cálculo de áreas limitadas por el plano

Notación sumatoria Definición de Integral definida Teorema de existencia Propiedades de la integral definida

Teorema fundamental del cálculo

Función primitiva

Cálculo de la Integral definida

Integrales impropias

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Antecedentes A decir ''crdad, Leibniz y Newton, padres del cálculo iofioitesimal, no fueron los primeros que abordaron los problemas que vamos a analizar, ya que veinte siglos antes los griegos. como Eudoxo y Arquímedes, usaron métodos muy parecidos a Jos actuales para el cálculo de tangentes y s11perjicie,s. Incluso hay quienes piensan que no llegaron al descubrimiento del cálculo debido a dos razones: su temor al infinito y a que no contaban con un 1 lenguaje propio para el efecto, como Jo es el álgebra. No fue sino hasta el siglo xvo que se abordaron estos dos proy=r blemas: por un lado se desarrolló el método general para obtener la derivada de cualquier función, y, por otro, se dio importancia a la relación entre la derivada y la integral. A esta relación hoy la conocemos como teorema fi1náamenJol del cálculo. Este teorema dice que derivar o calcular tangentes e integrar o calcular supcdicies son operaciones inversas una de la Gira. Newton se dio cuenta de esto utili7.ando una de las invenciones de Pierre de Fermat, quien habla desarrollado una fórmula de solua ción para el cálculo de superficies de toda una familia uniparamélrica de curvas. En concreto, lo que vio es que el área bajo las curvas de la forma y=)(' desdex = Ohastax= a viene dada por la expresión: y

,,....., . En la figura se puede apreciar un ejemplo.

n+ l

s

El área de la superficie sombreada es, según la fórmula obte· nida por Fermat, a'/ 3. Newton, en sus investigaciones acerca de cómo es el univel$0, concluyó que es dinillnico, esto es, algo en constante cambio. Su pensamiento especuló con variables que cambiaban con el tiempo. A las variables las llamó ftuenies; a sus velocidades de cambio, fluxiones. Lo que Newton quena saber era el ritmo en el que cambian las variables físicas a medida que pasa el tiempo. E'sta forma de pensar en cómo cambia el mundo le llevó a abordar los problemas desde dos puntos de vista distintos: desde el enfoque matemático, vefa las curvas como relaciones entre las variables de una función; en cambio, desde el punto de vista físico, observaba las curvas como expresiones de movímicntos. A través de esias perspectivas descubrió que el problema de la tangente y el problema de la velocidad eran en realidad uno mismo. Newton no solo abordó el problema de la velocidad de cambio de una variable respecto de otra o, lo que es lo mismo, la derivada, sino que ｴ｡ｭ｢ｩｾｮ＠ resolvió el problema inverso, pues calculó fluentes de fiwciones; es decir, calculó el comportamiento de una variable cuando se conoce su velocidad de cambio, lo que es equivalente a obtener una función primitiva. Newton consiguió antidcdvar la familia de funciones y = X'. Averiguó que las primitivas corrcs-

www.freelibros.org x..+ 1

pondientes son las funciones de la forma y = - - . n+I

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 5

Newton, al obtenerlas, las relacionó inmediatamente con la solución de Fermar para el cálculo de superficies de curvas de la forma y = x". Al encontrar esta conexión y, aunque nunca dio una demostración formal, se convenció de que calcular primitivas y superficies eran en realidad operaciones idénticas. Y dado que calcular una primitiva es lo inverso a obtener una función derivada, determinó que el cálculo de tangentes y superficies son problemas inversos. Esto fue muy importante para la época, ya que Newton habla desarrolJado métodos para derivar casi cualquier cosa; entonces, el problema de la superficie se pod!a resolver mediante cálculos de primitiva y no solo de un tipo en particular, sino de una inimaginable colección de ellas. La verdadera importancia del trabajo de Newton radica en el hecho de que se estableció una nueva conexión entre conceptos hasta entonces separados: la tangeme y la superficie.

Conceptos previos En muchos problemas de cálculo aplicados a la ingeniería, primero debemos encontrar, a partir de algunos datos, las expresiones matemáticas de las funciones cuyos valores óptimos se quieren conocer. Imagine la siguiente situación bipotétiea: desea construir una caja cuadrada abierta por arriba, del mayor volumen posible; para ello cuenta con una hoja cuadrada de metal a la cual deben cortarse cuadrados iguales de las esquinas y doblar hacia arriba el metal para formar las caras laterales. La pregunta es: ¿cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? (Véase figura l.l)

l u

1 Observando la figura 1.1, vemos que a es cl valor de un lado del cuadrado y que x es la distancia que se debe calcular, por ello, la función que rep=ta al volumen en términos de la distancia por encontrar será: V (x) =(a -2r) 2 x

Ecuación ( l)

o bien, V (x) = a 2x - 4a.t 2 + 4x3

Sabemos que una función encontrará su punto crítico, ya sea máximo o mínimo, cuando el valor de su primera derivada sea nulo, lo cual nos dicta la condición de máximo volumen. As!, el valor crítico de V(x) se encontrará cuando V'(x) = O; es

www.freelibros.org decir.

V'(x) = a 2 -Sax

+ 12r'

6

UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Entonces: al-8ax+J2x2 = 0 o bien (a - 6x)(a - 2x) = 0, locualsigni6caque:(a - 6x)=0 o (a - 2.r)=O; .

p0r tanto, 1os puntos e rfneos son: x =

a ;¡a y x = 2.

En este punto la pregunta es: ¿qué valor debemos elegir para encontrar el volumen máximo? Para rcsolveda, observamos que de V(x) =(a - 2x)2x,

si

ｸ］ｾ＿＠

ｶＨｾ｝］｡ x=

ｾ］ｽ＠

Ｍ ＲｾｦＨ｝］ｯ＠ ｶＨｾ｝＠

］｛｡ＭＲｾｦ＠

｛ｾ｝］＠

Ｒ ｾ｡ Ｇ＠

:. El valor que estamos buscando será x = ｾﾷ＠ Es decir, la caja construida tendrá un volumen máximo cuando las esquinas se corten a un sexto del lado del cuadrado y dicho \'O lumen será igual a:

ｖ ］ｾ｡＾＠

27 Conteste y debata con sus compañeros las siguientes preguntas y entreguen una condusión por escrito.

Activ i da d de a pre n d i zaje 1 . 1

l. ¿Cuál es el significado fi'sico de elegir el valor dex como la mitad de la longitud del lado del cuadrado? 2. ¿Cuál esel papel que juega el cálculo de la primera derivada en la solución del problema? La actividad de aprendizaje 1.1 tiene como objetivo ser una prueba de diag-

nóstico que le permita al estudiante contestar los siguientes cuestionamientos:

Preguntas de reflexi ón

• ¿Soy capaz de ''traducir" un problema matemático al lenguaje cotidiano? ¿Soy capaz de reflexionar un problema con sllficieote profundidad para transformado en un modelo matemático? • ¿Comprendo el concep10 de variables dependientes e independientes? ¿Comprendo claramente Ja interpretación geométrica de Ja primera derivada de una función?

www.freelibros.org ¿Comprendo el concepto de optimización de una función?

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 7

Actividad de aprendizaje 1.2

Mediante el método que estime conveniente, calcule el área aproximada de las figuras amoñas, en a) cm2 y b) mm2.

FP•1.2b

O!Mervaclón: Copie las figuras I.2a y l.2b y dibujclas en una superficie independiente. Después, realice lo siguiente: e) Por equipos debatan y expliquen de manera exhaustiva los procedimientos usados en el cálculo de las áreas correspondientes. d) Proponga una cota superior y una inferior para las áreas de ambas figuras.

Estrategias para calcular el área aproximada defiguras amorfas Las diferentes "técnicas" usadas por los estudiantes para calcular el área aproximada de uoa figura amorfa dan cuenta de sus concepciones y conocimientos previos. Oc esta manera, por experiencia observamos que en la solución de la actividad de aprendizaje 1.2 aparecen dos constantes: •

La figura l.2aevoca en el estudiante la necesidad de un marco referencial, ya que en general se tiende a dividir la superficie en figuras ya conocidas, tales como los cuadrados. Para ello, se usa, como punto de partida, la hoja de papel sobre la cual

se dibuja la imagen, es decir, el alumno empica medios ffsicos para abstraer el concepto intangible que le ocupa. La figura l. 2b, cuyos bordes son a prop6siro líneas recias, induce constantemente en el estudiante la práctica de dividirla en la figura geomécóca por excelencia: el

triángulo. A partir de él, calcula el área aproximada deseada.

www.freelibros.org Eilta actividad permite al estudiante la heurística, que lo induce a usar sus conocimientos intuitivos del cálculo de áreas y superficies, lo que a la postre lo estimula a reOexionar sobre los siguientes puntos:

ｾ

8

UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Preguntas de reflexión

ｯｴ｡｣

ｬ ￳ｮ＠

• ¿Coaozco el concepto de .irca y sus unidades de medida?

¿Recuerdo las fórmulas básícas de cálculo de .ircas, como cuadrados. trián· gulos, rectángulos y circunfercocias7 • ¿Reconozco los elementos geom6trlcos que caracterizan una figura geométrica, como son perímetro, apotema, bases, alturas, vénices. aristas y caras? • ¿Reconozco las relaciones algebraicas entre los diferentes elementos geométricos?

sumatoria Act i vidad de aprendizaje 1.3

Calcule, por el método que estime conveniente, el llrea de la siguiente figura limitada por el plano canesiaoo. y

y

Fl!Pn 1.3b

R. . . 1.3o

Deba111 con sus compailcros cuál fue el método más adecuado para calcular el valor de las áreas indicadas. Expliquen por qué fue el más adecuado.

Si intentamos definir el área de regiones especiales, tales como las que se representan en las figuras l.3a y l.3b necesitaríamos establecer algunas consideraciones de forma. Así, dibujando nuevamente la 6gura l.3a, obtenemos la figura 1.4.

• Observarnos que está limitada por el eje x horizontal; las verticales por (a, O) y (b, 0) y por la gráfica de una fuociónf(x) tal que: f(x) ｾ ｏ＠ \lx E ¡a, b)

J(x)

www.freelibros.org (a,O)

(b,0)

1.2

Notación sumatoria 9

Conviene denotar esta región como R(f, a, b). Observemos también que esta región contiene dentro de s( diferentes figuras geomélricas (como lriángulos, rectángulos y otras figuras amorfas) o puede dividirse en esas figuras; sin embargo, por simplicidad dividiremos el intervalo [a, b] en algunos subintervalos. l'Qr ejemplo, si dividimos [a, b] en cuatro subintervalos, tendríamos que definirlos (l'éase figura 1.5)

" Jtr)

Si quisiéramos calcular IBs áreas de estos cuatro rectángulos formados por la división, también tendrlamos necesariamente que obsen'llr que, sobre los subintervalos, Ja función presenta un valor máximo M y un valor mínimo m.

f',;x)

M

m

ｾ

Ｑ ＮＸ＠

Si m1 es el valor mínimo del primer subintervalo y M1 el valor máximo del mismo (en consecuencia, m2 será el valor mínimo del segundo subintcrvalo y M2 el máxin10, etcétera) y si S1, s,. S:i y S4 representan las áreas de los cuatro subintervalos respectivos, existirán dos maneras de calcular el área aproximada de R(f, a, b) mediante la fórmula de área ya conocida: usando el valor mínimo m o el valor máximo M. Así,

www.freelibros.org SM

= m 1(x1 -x0 )+ 111z(x2 -x 1) +m3 (x3 -x,)+ m.(x, -x3 )

10 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

represeora el área de los rectángulos que están dcnlJO de

R(¡,a ,b), en ranto que:

Reprcscnra el llrca de los rectángulos que quedan fuera de que:

R(f, a, b)

Observemos

S.,< RyR
Definición 1.

Toda colección finita de puntos que se encuentran contenidos den1ro del intervalo [a, b). donde a < b, recibe el nombre de partición del intervalo.

Podemos fácilmente numerar o nombrar los elementos de la partición como lo hicimos en el desarrollo anterior; así

a=x., , x, ,... x,_, , x, y donde

m1 =Valor inferior de la función

si

Xr-1

$ x $ X;

M1 = Valor superior de la función

si

X t-1

$ X $ X;.

Usando esto podemos reescribir Sm y S¡,¡.

Definición 2.

La suma inferior de /para una partición cualquiera p = [:to. x1.... x. I del inter-

valo [a, bJ es

,_,

S,,. = 'tm1(x1 -x;_1)

E.cuación (2)

La suma superior de la/para una partición cualquiera p (x0, x 1, ••• x,) del ín· tervalo [a, b] es

S,, = tM,(;c ,_,

1-

x 1_ 1)

Ecuación (3)

A la forma de cscn1>ir una expresión que contiene sumas se le denomina notación sumatoria, y esa es la razón de usar la letra griega sigma.

www.freelibros.org Lecra griega sigma

U

Notac.ión sumatoria U

Po r tafo li o de ev i de nci as 1

Discuta con sus compalleros y concluya por escrito sobre los sigu ientes aspectos: a) ¿Qué significado tiene para el cálculo del valor del área de la región R(J, a, b) el hecho de quefesté acotada en [a, b]? b) ¿Si P1 y P, son dos particiones cualesquiera de [a, b] es posible que: ｓＢｾＬＮ＿＠

Estime ｓｾ＠

y S., para el área de la región R(f, O, 5) con:

a) cinco rectángulos de aproxímacióo, si f(x) = 25- x 2 b) diez. rectángulos de aproxímación y

a) /(0) = 25

f(I)= 25 - 1=24 f(2) = 25-4 = 2 1

/(3) = 25-9 = 16

!(4)=25- 16=9 f(5) =0

s

Partición def para cinco subintcrvalos P = ( I, 2,3,4, 5) [O, I] [1, 2] [2, 3] ('3, 4) [4, 5]

Según la definición 2: M 1 = /(0)=25 M 2 = /(1) =24

M, =/(2)=21

•

V(x; - x1_ 1) = 1

s., = 25 + 24 + 21 + 16 + 9 = 95

M , = /(3)= 16 M, = /(4) = 9 rn1 = /(1) = 24 "'2

= /(2) = 2 1

m3 = /(3)= 16

V(x1 - x 1_ 1)

=1

s .. =24 +21+ 16 +9 = 70

www.freelibros.org m, = /(4) = 9

m, = /(5)= o

12 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

b) Para IOsubintervalos R(f, 0,S)con /(x) = 25-x1

p = {Xo,···

X10 }

los subintervalos

ｬ Ｐ ﾷ ｾ ｬ ﾷｈ＠ 1l· l1·%l·I% ·2l·f2·il·

1%· J.l ｩｬﾷｉｾ＠

1

3 3

Ｔ

•

1

ｊＮｬ Ｔ ｾﾷ ｬ ﾷ ｬ ｩﾷ＠

5

/(¡<)

Así

' M1 = /(0)

X

Mi

=1H)

M• =

1(%)

M1 = /(3)

］ＯＨ

ｾＩ＠

M , = /{I)

M,

M. =/(%)

M9 = f(4)

M , = /(2)

Mlo =

Ａ ｛ｾＩ＠

10

Su = Í:M 1(x; - X;- l), coox,= x1 . • . x 10 i• l

s., = Mf(O) +Ｑ｛ｾＩＫ＠ = Ahora

ｾ｛ＱＷＸＮＵ｝＠

/(1)

+1(%)+ /(2)+ 1[%)+/(3)+ Ｑ｛ｾＩＫ＠

/(4)+ 1(i)J

= 89.375

s"' =

10

Lm;(x¡ -

X¡- 1)

con.t;=Xl• "'l, ... .t,o

i• I

""' = /(3) ,,,,, = /(1)

m,

m, = 1

ffl ,.

m, = / (2)

m, = f(4) ,,., = 1rnJ

'"• =

ln10

= 1 (%)

como \l(x1 - x1_ 1 )

Cl esta partición

= 112

1 Sm = 2(153.75] = 76.875

www.freelibros.org 1(f)

= /(5)

ｾ＠

1.3 Somas de Rlemann 13

Obserwcióo: P.n el ejacido para d caso a), oonsidcramos S., < S"' lo mismo que para clcasob);sioanb:ugo,paraelcasoa),S" - s.= 2.'iypu:aelcasob) s,, -s. = 12.5. Portafolio de evidencias 2 Debata con sus compa5eros la siguiente pregunta: ¿qué sucederá con la diferencia (S., -s. ) si se aumenta el mlmero de subintervalos? a) Entreguen su argumentación y conclusión por escrito.

s" -s,. para cinco y

b) Busquen y propongan una función y calculen diez subintervalos.

Sumas de Rlemann De las actividades anteriores observamos que tenernos una partición cualquiera P de n elementos p = {xo ... x. ) del intervalo (a , bJ y que para cada i elegimos un punto localizado entre [x,_, , J.

x,

•

s. 5 L f(x, Xx, -

x,_,) 5 S,v

Ecuación {4)

l• I

La suma

• L:1<. ,_, .,>«·- x,_,)

Ecuación (5)

recibe el nombre de suma de Riemman de una función/por una partición P. La representación geométrica de la ecuación (4) puede verse en la figura 1.9. y ｾ

Ｉ＠

..,... 1.9

La suma de Riernman (ecuación 4} representaría el ID-ca tO!al de los n rectángulos correspondientes a la partición P, que se encuentran contenidos por encima y por debajo de f (x). Otra conclusión que se deriva de la ecuación (4) consiste en que, cuantos más sean los elementos de la P, las bases de los rectángulos serán lo suficientemente estrechas para que s. :::: S" y, a su vez, el valortotal de la ecuación (4) arrojará el valor del área de la región R.

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14 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

La figura l.10 muestra la gráfica de una funciónf, cuyos valores pueden ser dados a partir de la imagen. Utilice cinco rectángulos para encontrar un valor aproximado del área debajo de f(.x) en el intervalo [0, 15].

SOLUCIÓN

Los subintervalos serán: [O, 3], (3, 6], [6, 9], (9, 12], (12. 15].

x, = 1.5 Si se elige: x2 = 4.5 X) =

7.5

x, = 10.5 x, = 13.5

Área de la región =

' 1)(x1 - x,_,) L:J(x

...

\f(x, - x,_,) = 3

X¡,

x,_, E (0, 15]

A= 3(J(l.5) + !(4.5) + J(7.S)+ f(IO.S) + !(13.5)) A = 3(47.S] = 142.5 CONCLUSIÓN

Suponiendo que una función f sea continua o esté definida en todo punto de un intervalo [a. b) dividido en n subi.ntervalos de la forma (x, - x 1_,)

www.freelibros.org F.cuación (6)

será el área de la región limitada por dicha función J, sus correspondientes verticales co [a, b) y el eje horizontal.

1.3 Somas de Rlemann 15

ｾ･ｭｰｬｯ＠

3 Derennine la suma de Riemann definida en el intervalo [-2, 2] para.f(x) =x'- - 4 para muy grande (n - oo} •

11

y

SOLUCIÓN

•

Se sabe que: lím l:JC<1}Ax1 •-OO i-1

donde tu1

］ｾｹ＠

n

x1 =

-2+i!u1 = ＭＲＫｾｩ＠

n

Recuérdese también que

't,; = n(n+ l } _ ,_,

t¡> =

2 11

2

n(n +

2

2

2

IX2n + I} _ n 3 + n1 + !!.

l

6

l•l

+!!..

326

l

• 4 ) - 4 =4(L:4• ( -i+ 16 16 ;1 ) - E4 • ¿¡cx,}lu,= -4E• ([-2+-i 2 n ,_,

; .1

=

ｾｴＴ

n ;.1

Ｍ ｾｴ

ｬ Ｖ＠ ｩ Ｋ ｾｴｬ＠

n ;- 1 n

n

n

i•I

n

ｪＲ Ｍ ｾｴＴ＠

n

］Ｍ

n ,_,

n

1• 1

ｾｴｩ

n

i• l

n

11

Ｋｾ

;. 1

ｴｬｾｩＧ＠

n r- 1 "

64 • 64 • 64("2 "} +, 64(113 112 "} =-,L:;+,¿;2=-2 -+- + -+11 1.., n ,_, n 2 2 n 3 2 6 Uevando el límite cuando n - oo; se obtiene

•-oot lún

i•I

f(x1}Ax1 =

(

32+64 64 - 10.6u2 llm - 32 - - +32- +64-2 ) = - 32+-=

!f-
n

3

n

6n

3

Portafolio de evidencias 3 Debatan, comcntco y propongan una nomenclatura o simbología que permita definir a partir de la ecuación (4), cuando n tienda a un valor muy grande (n

-+

oo} .

Debatan grupalmente para responder lo siguiente: a) ﾿ ｾ￩＠ tipode funciones ticncla propiedad deque todas,. es igual a s,,1 b} ¿Qué tipo de funciones tiene la propiedad de que rodas las sumas inferiores sean iguales1

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18 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Act iv i dad de trabajo 1 . 1

1. Evalúe la suma de Ricmann paraf(x) = 3 - x2cn (0, 2] con cinco intervalos tomando los puntos de la derecha como puntos muestro y explique geométricamente su resultado. 2. En la siguiente tabla se proporcionan los valores de una función obtenida por medíos experimentales; utilícelos para estimar el valor del área de la función f en [O, 6] tomando los puntos medios y teniendo como dato que la función es decreciente.

X

fl.x)

o

9.3

l

9.0

2

8,3

3

6.5

4

2.3

5

-7.6

6

- I0.5

3. Utilice un software para graficar la función f (x) = e,>, y: a) Estime el valor del á rea debajo de esta gráfica en [- 2, 2] con cuatro rectángulos de aproximación, y

b) oon ocho rectángulos y romando los puntos medios. c) Esquematice la curva usando el software y los rectángulos de aproximacíón.

Preguntas de reflexión

• ¿Comprendo el concepto de partición de un intervalo? • ¿Soy capaz de calcular a partir de partlciones de un subintcrvalo el área bajo la curva de alguna función? • ¿Entiendo el significado geométrico de que P.

-+

oo?

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1.4 Definici6n de integral definida 17

Definición de Integral _ de_fl_n_ld_a_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Si definimos llx1 = (x1 - x,_1}, la ecuación (4) puede cxpn:sarsc como:

cuya interpretación geométrica será Ja de la suma de las medidas de las áreas de Jos rectángulos que están sobre el eje x y contenidas en la curva/(x). Notemos, en este caso, que dicha definición no se restringe a UD valor necesariamente positivo de/(x). Asl,/(x) podría tener llllllbién valores negativos en la función.

En este caso. la región total debajo de la curva/(x) será: 11-t

R=

s,+ s,+ s,

Observamos, sin embargo, que f(x) toma valores positivos en S2 • Es decir, se conside· ra queS 1 y S3 son regiones negativas que deben sustraerse debido a que no están bajo la curva, sino sobre la curva de la función f(x}. En general si existe UD número infinito de particiones para UD intervalo cualquicr:a [a, b] y si/está definida en dicho intervalo, podemos definir a la ecuación (6) como: Ecuación (7) A la ecuación (7) se le conoce como integral definida de la función en el intervalo [a, b], donde el límite del lado derecho existe y /es continúa en el intervalo definido.

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18 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

E.o la ecuación (7) a f (x)dx se le conoce como integrando o argumento de la integral, mientras que a y b son el límite superior y el límite inferior, respectivamente, y al símbolo "f" se le conoce como el símbolo de integración, el cual es scmcjanl.e a una "s" muy alargada que mantiene presente el origen del concepto observado en las ecuaciones (1) y (2). Si / (x) es integrable, scgán la definición de la ecuación (6)

1•

Sm :$

y entonces

Ejemplo 4

f.• f(¡c)dx :$ s,, V P E (a.,b]

F.cuación (8)

J.• f (x)dx será una propiedad y tendrá un valor único.

,.

Suponga que f(x) = C V x E' (a,b)

Si P = {x0 ,x1 , ... x. ) es una partición cualquiera de [a,b]

m1 = M 1 = C de manera que:

ｳ ｾ＠ =

• E ,... C(x, - ..,_,) = C(b -

s,. = tc"°, ,_, -

a)

x,_,)= C(b - a)

Para este caso particular, !odas las sumas inferiores y superiores son iguales s,. = s., = C(b - a)

Usando la ecuación (7) podemos decir que: si f(x) = C 11111t /es integrable sobre [a, b) y que

J.•f =

C(b - a)

www.freelibros.org Observación: Esta integral asigna al rectángulo el valor del área ya conocida tal y como se observa en la figura 1.12.

1.4 Definici6n de integral definida 19

y Jlx) s

e

i

o =xo

,._,

.., .,

:

X

b= X.

Esta observación nos permite Cllpresar el siguiente criterio de integrabilidad.

Criterio

Si f esro aeotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre (a, b] - 'h >O otisteuna partición Pde [a,b]tal que s,.. - Sm
Scaj(x) = xcncl intervalo [0,b]eon b >0. Si P = lx.,x,, ... x. lcn la prutición do [0,b]

1•

Sm =

m1 =x1.

,

y

M 1 =x1

• ¿x,_,(x; - .t;.1)

·-· •

S,, = 2:x1(x1 - x1• 1) ¡,.¡

= x1(r1-xo)+x2(Xi-X1)+

+x.(x. -x-1)

.f.x)

o

•1-1

JC¡

b

www.freelibros.org Para particiones P. = fx 0 ,x1, ... x.J en n subintervalos iguales, la longitud de cada intervalo (x, - x1• 1) será siempre É-, de manera que: n

20 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo = 0

Xo

b x1= -

n

2b ib x2 = - ... en general,x1 = n n $""

•

,_,

= L:xi-1 (X¡ -

X;-1)

• (i - l)b b

b2

•

=I:-·-n =2I:(i - l) ;.1 n n ;.1 Sabemos que ta sumatoria

tj = 1+ 2 + 3 + ... + n = n(n:

I) se puede rccsctlbir

J•I

como S,. si hacemos (i - 1) = j S,. = b2 (n - IXn) _ b 2 • n - 1

n2

2

2

n

Tambi6n s., =

• I:x G>- -x 1. 1

1

1

• ib b

)= I:- ·- = '-' n n

1_ 1

n(fl + 1) b 2

n + J b2

·-;= n

2

n

·-

2

b2 2 b2 Observación: Sin es muy grande (n -+ oo), S,. = Su - - y S,,-S,. - · b' 2 n 2 = - , lo cual significa que cuanio mayor sea n, más pequeña será In diferencia; o

"

bien, S,, = S,. puede ser tan pequeña como se quiera, pero siempre existirá soto un ,aJor por cada propiedad. Asl, 'In:

bl

s_ < - < s.. - - 2 - m

111•

Usando la ecuación (7) tenemos que:

J:

JG<)dx

en estos casos:

•! =-b'

J.•

2

2

Observamos también que esta forma asigna el valor b al ttiángulo rectángulo cuya base es by nltura b. 2 Si a =Oyb = b

i•

se cumple que:

www.freelibros.org f ••f = b22 - ª22

1.4 Definici6n de integral definida

2j.

y

o

b

¡;

A=-

2

Rgon1.1A

Po r tatollo de evidencias 4

Debatan en equipos la comprobación de la expresión anterior

li' - a' - para a,. O. 2 2

J:

f =

Ejemplo 6 Analicemos un tercer caso aumentando el grado de la variable. Sea /(,r) = x2 y sea P = {x0 ,x1 ... x,)unapa11icióndel intervalo [O,b). Ｂｾ＠

y

= f(x, _,) = C>-1-1)2

M1 =

y

/(r1) = x'f

Eligiendo una partición P (n pa11es iguales), de forma tal que: j X;= -

·b n

CalculandoSm = :t(x,_,) 2(x, -x,_,) l•I

3

b' b = 3b ¿_,(i-I)' ..... = "" ¿_,(i-1)2 2·1_.

n n n ;,..1

Haciendo (i - IJ' = j2 y recordando que 12 + ···+ k2 =

.!.k(k + IX2k + 1)

www.freelibros.org 6

22 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Calculamos: t>2b IJ'• . - =-, tJ n n ,·. 1

s.,= ¿;x,2 (x1 - .r,_1)= ¿;;2 2 •

•

i•I

l'-.t

b 1 ¿;;• =··n(n + 1)(2n+ 1) n 6

Observemos que sin tiende a un valor muy grande (n

3

-+ oo)

1•

b3 s'" = 3-

Usando nuevamente la ecuación (7) tenemos que:

• b3 J. 1 = 3.donde [0, b]esel intervalo [a,b]cona = O. • b' .1=3. J. 0

I!ll>I!!..1. ............ .............................................................................................• Rxlemos resumir los resultados de los tres ejemplos anteriores como sigue: J.•1 = C(b-a) sí 1(x)=C'Vx

f ••1 - b'2 - a'2 f••1 - b'3 - a'3

si'

1(x) = x'lx

si·

1(x) = x' 'Vx

Notamos o concluimos a partir de la tabla resullante que

Es decir, tiene el mismo significado de esta forma también: Además, sí 1 = 1(x), puede utili;mrsc cual· quier letra para denotar a la variable x, ya que el símbolodxcarece de significado por sí solo.

www.freelibros.org Así,

J.• 1(x)dx =

J:

1(y)dy =J.•1(w) dw

P.cuación (9)

1.4 Definici6n de integral definida 23

Lo anterior señala que la manera de simbolizar la variable dentro de la función es simplemente una ooiación o una manera de decir quef(x) tomará ese valor Vx. 1

Ejemplo de apllcac lón

U11a empresa a111omotriz. después de observar 400 unidades tk prod11cció11, de1em1i· ro que el tiempo de mano de obro req11erido después de ensamblar la unidad (x + 1)

es de:

f(x) = 500x- •1'2

Con base en esa información, calcule las horas requeridas para producir 500 unidades adicionales. SOLUCIÓN

Como la ecuación fl,r) = 5oox-"1 determina el tiempo de mano de obra de ensamble de la unidad (x + 1), se tcndrá que resolver Ja integral de f(x) y definirla de 400 hasta 900 unidades, ya que se solicitan las horas para producir 500 unidades adicionales. Por ello:

J::

J::

5oox-"2dx = 500

500...-•ndx

Aplicamos la antiderivada y tenemos 500

T·HJ+•

= ＵＰＨＲｻￍｸＩｉｾ＠

2 = 1000(;/900)- ;/400 = 10000 horas

Portafolio de evidencias 5

a) Ilscutan grupalmente para encolllrar una expresión equivalente a:

J•+<.., f(x -c)dx

J.• J

b) Por equipos de trabajo, demuestren que x' dx = b' 14 consideran· 0 don particiones del intervalo [O, b) c) De la misma manera demuestren que • x• dx = b 5 15 0

Preguntas de reflex ión

• ¿Soy ca¡>ll de generalizar un resuliado a partir de las observaciones? •

¿Soy ca¡>ll de inducir un resultado una vez que he entendido el comporta· miento y las características del mismo?

www.freelibros.org • ¿Soy ca¡>ll de concluir matemáticamente a panir de la observación y el registro de datos alfanuméricos y de definiciones y teoremas?

24 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

mll.!_eorema de existencia En la exposición previa a esta sección pudimos observar que para el cálculo de las áreas correspondientes bajo la curva necesitamos conocer, primero, la función que genera dicha curva, esto es, un determinado intervalo [a, b] que se trabaja sobre una partición P = (4... x.}. y que cuanto mayor sea la partidón (n .... oo) podemos aproximamos más a un número común. Dicho número recibe el nombre de integral de la función f. EstaS condiciones permiten establecer el siguiente: Teorema

Si fes acotada sobre [a, b]-> fes integrable sobre [a<-+ b] Ve> O 3 una partición P de [a, b] tal que: S.,(f,P)-S.(f, P)
Más aün, nos podemos preguntar entonces: si una función continua en [a,!>], ¿será también integrable en el intervalo? Para que esto sucediera, necesitaría existir una partición P de [a, b] V E > O tal que s.,(/, P)-Sm(f, P) < e; también como suponemos que/es continua en [a,b], existe un mímero 6 > O tal que Vx ,yE [a, b], si

lx- y1<6

1 f(,x)-J(y) I < ｾ＠

En cuyo caso tendríamos que elegir una partición P

que el valor absoluto de la partición! X¡ E's decir, 1 f(x) - f(y) 1<

-

e 2(b - a)

= (x0 , .•• x,}, donde se cumplirá

x,_, 1< 6 para cualquier i de la partición.

VxE [x,_1 , x1)

E

2(b - a)

e < - E- Vi M-- m1 < ' - 2(b-a) b-a

ｾ ｲ＠

...

tanto, S,,(f, P)-S.(f, P) = t (Mr E • ¿:c., - x,_,) =-b-a

ｮｾ ＩＨＺ｣Ｌ＠

-x,_,)

l• I

e = - - · b - a =E (b-a) La demostración anterior garantiza la interpretación necesaria

para saber que:

J:

Si fes continua en [a, b], y si fes integrable sobre [a, b] entonces existe una funciónFdefinídasobre [a. b]dela fonna F(,x) =

f.

www.freelibros.org A la conclusión anterior se le conoce como teorema de existencia.

1.6 Propiedades de la integral definida 25

Portafolio de evidencias 6 IXsarrolle adecuadamente las siguientes actividades e intégrelas a su portafolio de evidencias. l. ReaHce un mapa cognitivo que muestre los elementos geométricos y alge-

braicos que permitieron establecer la definición de integral definida como:

.tdx J a

2. Bo la definición anterior se usa

.

L:tcx,.>a•, 11-co;.1

= lím

J.' f(x) en lugar de Ｎ ｾＧＡｴＮｦＨｸ

Ｑ Ｉ＠

y se usa

dx en lugar de t.x1• Organice en un mapa comparativo las caroctedsticas e implicaciones de esta nueva notación. 3. Por dltimo, organice y relacione en una matriz de i.nducción los siguientes

elementos: Método de cálculo de una figura sin forma definída •

Cálculo de áreas con forma definida

•

Cálculo del área bajo la curva de una función cualquiera

•

Swna de áreas rectangulares

•

SwnasdcRicmann

•

Definición de integral

Propiedades de la Integral definida Considerando la notación usada en el teorema de existencia y el resumen de nuestros hallazgos concentrados en la tabla 1, podemos concluir algunos aspectos o propiedades de la integral, como son los siguienres: a)

J.' f = C(b - o)

si

IV:>= e

V x E [a, bJ, es decir,

J.' e dx = C(b-a) Esto nos dice que la integral de una función constante f(x) = e es igual a la constante multiplicada por la longitud del intervalo, esta interpretación geométrica se puede ver en la figura 1.12. Con C > O y a< b obtenemos Ja fórmula para el cálculo del área de un rectángulo. b) La integral de/está definida como límtf(x,Xx,-x,_,) , escriblrá como: ..-oo t•t

J'¡+g

se

0

www.freelibros.org J.'t +g

28

UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

=J..

[f(x) + g(,r)]dx

=

"

11

;.a

;.i

lím [Lf(x, )(.K, -x,_,)+ LK
11-00

J f(x)dx+ J g(x)dx b

-x1.1ll =

b

a

o

Esta propiedad indica que la integral de una suma es la suma de las integrales si la observamos en términos de área donde/y gson positivos. La interpretación geométrica sería el área debajo de/más el área bajo la función g (véase figura l.16). y

ｾＯＫｧ＠

g

Fflpra1i6

e) Usando a) y b), tenemos que

J•Cf(x')dx = lím [tct(,r )(,r -x a

11-00 /•I

=e

1

1

1• 1) ]

J:

t(x')dx

La integral de una función multiplicada por una constante es la constante multiplicada por la integral de la función. d) De la misma manera

Jf - g se escnl>e como:

J :lf<.xl-g(x)]dx = J.•[/(xl]dx+[-g(x)]dx

Usando b) y e)

J.•

f(x)dx-

-J:

J:

g(K)d:c

Esto también puede interpretarse como una suma de áreas en cuyo caso

www.freelibros.org g(x)d:c rt-O debe interpretarSecomo un área negativa sino como una que

debe restarse al área debajo de f (x) •

1.6 Propiedades de la integral definida 21

e) Sea b E [a,c] de la forma a < b
J.'

f(x)dx =J.• f(x)dx+

J.' f(x')dx

Geométricamente: y

e

b

Q

Flgloft1.17

f) Finalmente también podemos observar que si f(x) es una función positi-

ｶ｡Ｈｾ＠

0) en [a, b] ｾｊＮ

ｾ＠

J:

f(x)dx

＠

f(x)dx ;<: O. Sif(x)

ｾ＠

g(x), para una x E [a, b]

:<:J.•g(x)dx.

Si f(x) se encuentra contenido entre dos valores tal que

m s; f(x) :5 M Vx E [a, b]

"* m(b-a) :5 J.' Jf.x)dx :5 M (b -

a)

Tabla resumen de tas prop i edades de la Integral defin i da

J:

f(x)dx = - J." f(x)dx

Si a= b

f.' J(x')dx

J: J:

=O

Cdx = C(b - a)

"* con e cualquier constante

ff(x)+ g(x)ldx =

J:

f{.x)dx +J.• g(x)dx

f.' e Jl;c)dx =ef.'J(x)dx f."IJ(x)-g(.r)]dx=

J:

ve constante

f(x)dx-J." g(x)dx

www.freelibros.org Además:

J.' f{.x)dx= J.• f(x)dx+ J.' f(x)dx sibE[a,c)

28 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

También: Si ｦＨｸＩｾ＠

*J.• f(x')dx ｾｏ＠ en [a,b] * J.' J(;<)dx ｾｊＮＧ＠

Oen [a,b)

Si J(;r) ｾｧＨｸＩ＠

Si m5f(x)5M lfxE[a,b]

*

g(x')dx

J.' f(x')dx 5M(b-a)

m(b-a)5

Ejemplo llust.r allvo 1

d]

Si f(x ) = x es una función continua e integrable en el intervalo !e, y g(x) = k es una función constante continua e integrable en k, obtenga la composición

J)J' (f(x)+ g(x)')dx)dx SOLUCIÓN

J.'[k(d-c)+(d; _ｾｬ､ｸ＠

kJ.'cd-c)dx+ｊＮ Ｇ Ｈ､ＺＭｾｊｸ＠ R = k(d - cXc - a) +[di

-e'}

2

(e- o)

Portafo l io de evidencias 7 Debatan primero en equipos y después de manera grupal la solución de la sig1.1iente expresión y su posible interpretación geométrica. Deben entregar por escrito su argumentación.

J:
Actividad de trabajo 1.2 1. Uúlicc la definición y las propiedades de la Integral definida para evaluar: a) J.' (1 + 2x)dx

J. (3-x )dx c) J,' :c'dx 2

2

d) J.'o + 3x + 5x')dx

J:'

(5 + 2x2 )dx

www.freelibros.org b)

e)

t)

J:,

(1 + (9 - x' )')dx

-

1.7 fUnclón prlmltlva 29

2. Pruebe que

3. Pruebe que

J.• xdx = (bl - a l)/2.

J:

4. SJ sabemos que 5, Si

J

8

2

x 2dx = (b 3 - a 3 )/3.

J.'• x'

>dx = 843., ¿cuánto vale

312

f(x)dx = 1.7 y

5

J.r•y

312

dy?

,l•f(x)dx = 2.5, encuentre J.' f(x)dx.

6. Verifique las siguientes desigualdades sin evaluar las incegrales (explique y justifique su respuesta):

a)

J.•"sen' x dx 5 J.'"sen x dx 2

0

0

• ¿Entiendo las propiedades de la integral definida de una función, corno aquellas que me permitirán las manipulaciones algebraicas de la integral?

Preguntas de reflexión

• ¿Reconozco la integral definida como un operador lineal? • ¿Conozco el significado de operador lineal?

Función prfmltlva Por las conclusiones dadas en los apartados anteriores y el debate de la práctica, sabemos que si f(x)dx es integrable, entonces la función continua F(x)

=J.•

f (x)dx

representa el valor de dicha integral en el intervalo [a. b] y aderM.s F (x) será derivable. Dicho de otra forma:

Teorema'

Si/es continua en [a, b1 la función F(x) definida como: F(x) =

J.' f(x)dx

V x E (a, b]

es continua y derivable en (a, b) y además F'(x) = f(x).

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30 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Este rcsulmdo se conoce como el primer teorema fundamcnUll del cálculo. o bien, como Ja primer parte del teorema fundamenUll del cálculo.2 En general, no es sencillo expresar cuándo una función es derivada de otra expresión; sin embargo, cuando fes continua.fes la derivada de alguna función. F(x)

=J.'f

Como corolario a este problema, y atendiendo a la tabla 1 de resulmdos, si fes continua en [a ,b]yf = g1,para alguna función g f = g(b)-g(a). De la primera parte del teorema fundamental del cálculo, tenemos que:

:!> J.•

F(x) =

Definición 3 .

J: f

F' =

f = g' sobre [a, b]

En general, cuando una función/satisface que F' =¡,recibe el nombre de primitiva dc/; cn estc caso F(x) f.

=J.'

mD_ Teorema fundamental del cálculo Actividad de aprend i zaje 1 . 4

Grafique las funciones y = x 2 , y' = 2x alineadas y siguiendo el patrón que se muestra.

A partir del análisis de la gráfica propuesta, complete las siguientes mblas:

2

www.freelibros.org ' este lccren:'ll se IXlnoce como turd:lm.:iul debido• qui:<=O!Vene una oon.cxi.ón din:x::Ui ere:rc d cilculo dm::rcmc:iiil y d i.nt.l, vúco como poeuos ＱｾＧＤＨＮ＠

F.$to pennkl6 al dleu&o COlt\-ettlt$0 eo 111'1 in61odo IÍ$lcm.i1lco..

1.8 Teorema fundamenral del cálculo 31

y 6 ------ --- -------- --4

-------- -----

2

2

X

3

Área debajo de y' = 2.r, donde ....... o

y(x)

o 1

2 3 4

5

a) Escriba lo que se concluye a partir de las observaciones de los resultados obtenidos.

Repita el ejercicio considerando ahora las funciones y = 2x, y' = 2. b} Intercambie puntos de vista con su compallero aocrca de las semejanzas o diferencias en las conclusiones de ambos ejercicios. c) En caso de que la respuesta sea afirmativa, aplique la conclusión u otro par de funciones. d} !!$criba un enunciado general usando f(x); f'(x).

Analizando el corolario de la se<;eión anterior F(x) = sobre [a,b] , 3 un número Ctal que F = g + C

J:

f ｾ＠

F' = f = g'

www.freelibros.org 1u•

F(a} = g(a) + C

si

F(a} =O

111•

g(a) =-C.

32 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Así, F(x) = g(x)- g(a)

lo cual se cumple para x = b m•

f.• J = F(b) = g(b) - g(a) F.ste resuhado se conoce como segundo teorema fundamental del cálculo o segunda pane del teorema fundamental. Turnando nuevamente como referencia la tabla (1) de concentrado de algunas áreas, vemos lo que ya antes habíamos obtenido:

J:

como=

xdx

b; - a;

o bl

a'

como = - - 3 3

ｅ ｪ ｾ ｭｰｬｯ＠

7 Si n es un nómero N, análogamente podríamos decir que si

x-+•

g(x) = (n + I)

g'(x) = x• de forma que: b"+I

a"'+l

f• x"dx=----n+I n+I b

con n "'-1 y a, b positivos

Finalmente podemos resumir o unir las dos panes del teorema fundamental del cálculo como: Seafcontinua en [a, b] l. Si F(x) = 2.

J:

f(t)dt

•

F '(x) = f(x)

J.' f(x)dx = F(b) - F(a), con

Fcualquicrantidcrivada de f:es decir,

F' =J

www.freelibros.org Reescribiendo la pane 1, tenemos que:

f'

d -F(x) = -d f(t)dt = f(x) dx dx •

1.8 Teorema fundamenral del cálculo 33 Esto es, si integramos fy luego derivamos el resultado, obtenemos nuevamente la función original f. Como F'(x) = f(x) I'* podemos reescribir la parte 2 como:

f.•F (x')dx = F(b)- F(a) 1

lo cual afirma que si tomamos una función P, la derivamos y luego integramos el resultado, regresamos a la función original F, pero F(b)- F (a), la cual ya habíamos comprobado con la tabla 1.

Obsernción: Lo anterior afirma que la derivación y la integración son procesos fundamentales inversos entre sf.

Ejemplo 8 Encuentre una funciónfy un nómero a tales que:

6+

f •' ｦｾＩ＠ r

dJ = 2,/X

usando la derivada y la integral como operadores inversos. SOLUCIÓN

, f(t )

J• -,2d t = 2JX-6 Derivamos:

!!....[J ' f(t2 ) dr]= !!....¡2.JX - 6] dx

•

dx

1

Usando la primera parte del teorema fundamental y derivando el lado derecho: f(x)

7 Como

=

1

.JX

1•

31

f(x) = x '

J.•F(x)dx = F(b)-F(a), segón la partc2 del teorema, 3

6+ o

J:,-

1n d1

, ,2

J -,dr = 2./X • 1

= 2-[X -6, la cual podemos expresar como:

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34 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

:. ª' = 3 1

a=9 P.lra que la expresión dada sea una igualdad, debemos escribirla como:

6+

J:,-

11

= 2.JX

2d,

Activ i dad de t r abajo 1.3

l . Realice un esquema del área que representan las siguientes funciones y encuentre g' aplicando la primera parte del teorema fundamental del cálculo. a)

g(y)

=J.'

1 1 dt

e)

b)

g(x) =

d)

g(x) =

J: , J

(! +cos 2J)d1 1 - - dy

- 1y+ y'

2. Evalóe las siguientes integrales usando la primera parte del teorema funda-

mental del cálculo. a)

J,•-2x1 dx 1

b)

f-•xｾ､ｸ＠ 3

e)

f'

Jo x>dx 5

3. Encuentre un intervalo en el cual la curva sea cóncava hacia arriba en: F(x) =

J:

sen t dt

4. Una empresa que vende tecnología compra un software cuyo valor es V. El sistema se depreciará a razón de f(t) y acumulará costos en un tiempo t medido en meses. La empresa desea dctcaninar el tiempo óptimo de vida del sistema. Obtenga una función c(t) que represente los costos al tiempo 1.

Preguntas de reflexlón

• ¿Reconozco que la derivada y la integral son procesos inversos uno del otro? • ¿Reconozco de qut manera el teorema fundamental del cáleulo diferencial se relaciona con el cálculo integral? • ¿Puedo hacer el ejercicio de abstracción necesario para pasar de una pane del teorema fundamental a la otra?

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ｾ

L9 Cilculo de integrales definidas 35

ｃ￡ ｬ ｣ ｵｬ ｯ＠ de Integrales definidas El teorema fundameotal del cálculo muestra todo un potencial, en especial cuando aplica a modelos físicos; sin embargo, se hace necesaria una notación más conve· nientc para la segunda parte del teorema si deseamos aplicarlo a modelos flsicos o de ingeniería. Tradicionalmente una fdx denota una antiderivada de/; esto es:

J

Jf (x)dx = F(x) significa que F'(x) = f(x) . Asf, por ejemplo, si F'(x) = x 2 , escribimos

Sin embargo, observamos que:

Con base en este patrón, podemos considerar que una integral es una familia completa de funciones \fe e R; es decir. habrá una antideri· vada para cada constante.

J:

Observación: Así, habrá que distinguir entre la notación f(x)dx, que denota una integral definida entre dos valores o definida en un

intcn•alo (a, b], y cuyo resultado será un valor único o especifico y ...

Jf(x)dx = F(x), que denota la antiderivada de f. la que comfuuneme se

conoce como inugral indefinida para remarcar su generalidad. Una convención importante que debe subrayarse en la notación de integral es que la letra que aparece después de la d (diferencial) debe ser la misma con la que se expresa la variable. Por ejemplo:

las dos partes del teorema fundamental del cálculo y la propiedad de la integral y la derivada de ser operadores invcl$-Os nos permiten comprobar algunas fórmulas derivando simplemente las funciones indicadas en el argumento, como las que se

www.freelibros.org muestran en la siguiente tabla.

38 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

!!-ll!!1'..ｾ＠ .......................................................................................................... .

Jadx = ax x "'+' Jx"dx = --,n n +I

Je-0sxdx =-senx

;é

Jseclxdx=tgx

1

Jsecx tgx dx = secx

ｊ ｾ､ｸ］ｬｮ＠

= arctgx ! __!!!.___ l +x2 Jｾ､ｸ＠ 1- x = arcser

Jsen xdx = - cosx Je'dx =e'

2

Ejemplo 9 1. Utilice la parte dos del teorema fundamental del cálculo para ene-0ntrar la deriva1 da de la fu nción g(¡•) = - dx 1 l+x 2

J."-

SOLUCIÓN

g'(µ,) =

.dx!!..[J.•-1+x1- dxl 2

1

I 1 ,. . g(µ,)= l +µl

V I' "" - 1

Ejemplo 10 Evalúe las siguientes integrales usando el teorema fundamental del cálculo y las pro· piedades de la integral descritas en el inciso 1.6 y la tabla 2. a)

J'_,x•dx

SOLUCIÓN

s x' 3' (- 1)' 243 1 I x'dx= - 1:, = - - - - =- +_,

5

5

5

5

244

4

5

= - = 485 5 b)

J.'o +3y-y )dy. 2

Usando propiedades,

www.freelibros.org ¡;dy+ J;3ydy-J.'1dy = J.'dy+3J.'ydy-J.'y2dy =

L9 Cilculo de integrales definidas

37

=[4 - 0J +i [42 - 0J - t[4' -0]

= 2jl = 6,66667

Ejemplo 11 Calcule la integral de f(x) = x' -4 sobre [-2, 2], utilizando el teorema fundamcolal de cálculo. SOLUCIÓN

Una antiderivada de f(x) = x 2 - 4 es F(x) = ; - 4x; luego, pore.I segundo teorema fundamental del cálculo, tenemos

f =

_2 c.2- 4)dx= 2

F(2) - F(- 2)=

(•:r)-(-•+'24) = Ｍ ｾ

Ｍｩ［＠

(<2)' - 4(2)l- ¡(-2)' - - - 4(- 2)l= (ª 3- 8)- (-8 3 + 8) 3 3

= Ｍ ｾ＠

= -10.6

Ejemplo 12 Calcule

J_:cosx dx 2

SOLUCIÓN

J_: eosx dx = [sen xJL:, =(seo ＲＱＧＩＭＨｳ･ｮ＼ '1

•2

Ｍｾ＾Ｉ＠

= (0)-(-1) = 1

Ejemplo 13 Encuentre

J."'•JI+ cos 4x dx

SOLUCIÓN

1 2 '· especllicamente 1+ cos 2 v = Usando la 'ldenu'dad cos 2 v = + cos • , m.. 2 1 2cos v •• tenemos:

J."J I+ cos4x

dx =

J:;. J2cos2 2x dx = J:' J2Jcos 2x dx = J2J"lcos 2xfdx 2

www.freelibros.org =J2 J..,cos2xdx =J2

0

[seº 2x ]I: · = 2

v'2

H-o]=ｾ＠

38 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Observación: En el ejercicio anterior se consideró leos 2xl = cos 2x porque x E

[O,:¡.¡. y en este dominio Ja función cos 2x es positiva, pero eso no sería posible si los lúnites de integración fueran O y"•:. Ja función cos 2x tomada valores positivos y negativos.

Po rtafol io de ev idencias 8

J:

=J.•

f(x)dx f(a+b-x)dx argumentando algebraicamente y haciendo una interpretación goomérrica. Discutan por equipos el procedímicnto de comprobación. Demuestre que:

l.

Activ idad de trabajo 1.4 Utilizando la tabla 2 de esta sección y el teorema fundamental del cálculo, evalúe las siguientes integrales: a)

d) g)

J: cos4x dx J'-3(2 - x)'dt J.3

CÚ'

o 2x + 3

b) e) h)

J.'x«4 + x')' )dx

J,:tsen J.• J3 + 2x dx I di

e) f)

J.' 2x((x + 3) )cú J.' 1f 2

COS

2

X CÚ'

2. Fncuentre el área de la superficie acotada por las siguientes curvas y rectas: a)

y = tg IJ en [ O, ,Y.; 1f]

b)

l, y= e 2 en ｛ ｾＱｦ

e)

y =scclJ + tglJen

d)

Ｌ＠

,Vi"']

[o. ,Y.; "J y = C, sen O+ C1cos IJen [o, ,Vi "]

3. Utilice un software de graficación que le permita evaluar geométricamente el área total lintltada por las curvas; justifique y expLique sus resultados. a)

y = a [sen 20+cos 20)

b) y = 3+cos30

www.freelibros.org c) y = cos30-2 coso

ｾ

1.10 Integrales impropias 39

Preguntas de refl exión

• ¿Entiendo el papel que juega la geometría en la evolución del cálcul.o integral como una herramienta? • ¿Razono respecto a la infonnacióo que la gráfica de una función me puede proporcionar?

Portafolio de ev idencias 9

Realice e integre adecuadamente las siguientes actividades a su portafolio de evidencias: J. Organice en un mapa cognitivo las propiedades y caractedsticas de la integral definida de acuerdo con sus implicaciones geométricas.

2 Relacione en un mapa conceptual los orígenes históricos del cálculo integral, así como los elementos que subsisten en la matemática y que llevaron al establecimiento del teorema fundamental del cálculo.

Observación: Puede incluir en este mapa conceptual aquellos elementos que

crea evidentes, pero también trate de incluir los elementos o las conclusiones que considcce implícitos. Para ello puede ayudarse de algunas de las siguientes lecturas sugeridas o elaborar previamente un ejercicio de indagación histórica que le pcnnita argumentar los elementos del mapa conceptual.

Lecturas sugeridas Smith, O.E. ( 1959). A Sourr:< of Book in Mothematics (vol. 2). New York: D. Smith

Do\ler.

Boyer, Carl ( 1959). New York, Cap. V.

Th< Hist0ry of The Calculus and its Cone
Kline. M. (1972). M(JJhemtnicat Thought from Anci
ｴ ･ ｧｲ｡ｬ

ｳ＠ ･

Impropias Hasta esta sección hemos revisado y establecido todas las caraeterlsticas y propiedades de la integral definida. Podemos destacar como conclusión que una integro/ definida es una función de sus limites. Estos últimos los hemos supuesto como finitos; sin cmbasgo, existen algunos casos donde no se cumple esta caraetcristica, pues los límites de integración son in.finitos. Es conveniente para su manejo eliminar la restricción usando las siguientes definiciones.

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40 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Definición 4.

Una integral que tiene la forma:

f

..
41

1lm

t.--<:i0

J.
impropia con lími1e superior infinito.

Definición 5.

J:

Una integral que tiene la forma:

.!!!:'.. J.'

rp(x)dx se designa como tp(x)dx si el lúnite 3. Se le denomina integral impropia con límite inferior infinito.

Ejemplo 14 1. Determine si existe

J:

00

<- l

con r

x'dx

SOLUCIÓN

］ｾ｛ｊＮＧ＠

= J,"" x' dx

］ｾ｛Ｚﾷｩｲ＠

x'dxl

. lb•+• ,.....

= l í m - - - -1

._ r+ 1

1

Consideraciones sobre el limite: a) Cuando r < -1, e.I segundo ténnino de la expresión siempre es igual a 1. b) Cuando r < - 1, el exponente del primer término es siempre <0; por lo tanto, cuando b

oo, cst·c ｾ＠

ｾ＠

O

1

b-+' Asl: lím [-- 1 = - 1 r+I

•-oo

• si• 2. Determtnc

J,""x'dx3 yes=-1

J,"°-X1 dx cJUSte. . 1

SOLUCIÓN

J,

00

1

2.dx= lím lJ.'2.dxj= lím[ln X

b-o:i

1 X

b-oo

xJI:

www.freelibros.org = ._... lún[lnb-lnl] = ._... llm[lnb]

:. 'jÍ Cuando I> - oo el limite incrementa inconmesurablemente.

1.10 Integrales impropias 41

ｾ･ｭｰｬｯ＠

15 Detel1lline si

J."' ｾ＠

existe y en su caso obtenga el valor.

SOLUCIÓN

dx ,-; = lím J..e-· J, ., "é tr-c:o

2

O

-· e

dx = IJm [- :U ')

e-oo

Q

= lfm[- 2e ...b> - (-:U-o>)]= lím(- 2e-· >-(- 2)]=0+2=2 b-oo

ｾ＠

Ejemplo 16 Evable la siguiente integral: SOLUCIÓN

J,

dx

00

1

1 X

ｾ＠

2x2 - I

J..

dx • xJ2x2 -1

ｾ＠

x·Jzx2 - 1 -

J."'

lím

._.,

J.•J'fi2xJ2x {2dx = lím [are sec( .J2x)JI: -I ....., 1

1

= lfm arc9'c..J2 b-srcsec(..J2}= ..,Í2 lím ｡ｲ｣ｳ･ＨｯＩＭｾ＠

.....

.....,

4

= ｾＭＮＺＧ＠ 2

4

= .:'4.:

Ejemplo 17 . s1. Detenrune

Jº -;r.:-

SOLUCIÓN

1

Ｍｾ

. y obtenga su valor. dx CJUSte

Ｕ･Ｇ＠

1 -1d x = llm Jº--dx= - 1 lfm Jºe-·• dx = 1- lfm (- 4e- · •)e Jo -ilse> ·-iJs.,x ｾ＠ .__,., • ｾ＠ .__,., -oo

00

-4

•

-4

Ｍｾ＠

= - Um (1 - e • ] =-(1 - oo)=oo

ｾＭ

Ｍ

ｾ＠

Ejemplo 18 Evahle la siguiente integral: SOLUCIÓN

J'-
2

x dx +9)2

x__ dx = lím J'
dx =

1 lrm[ 2 o-oo 2(x +9)

I'

www.freelibros.org -oo(x2

2

•-<»

•

•

42 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Ej emplo 19 Detennine la convergencia o divergencia de la siguiente integral:

1 J.•x-2 - dx 2

-

SOLUCIÓN

1- dx = Um J.' -1- dx J.o'-x-2 .._, o x-2

= 11m[tnlx - 21t = llm[lnlb - 2j - lnl0 - 2j) = - oo - ln 2= - oo b-2

0-2

La integral diverge.

Ejemplo 20 Considere

J.'o (x -dx1)-, ., y determine la convergencia en el intervalo correspondiente.

SOLUCIÓN

_ _ J.' J.o3_tJx (x - 1)23 ﾺＨｸ

dx Ｍ ＩＱ ｾＳ＠

+

J.3(x -dx1)"1 - UmJ,. dx + UmJ,' dx ....,, o (x - 1) 2> •-• • (x - 1)'> 1

La integral converge en 3(1 + Vi.) .

Po r taf olio de ev idencias 10

..

Debamn grupalmenle el significado geoméltico (véase figura 1.18) de que 1 - dx ;! (no existe).

J.

1

X

www.freelibros.org Escriba su conclusión y ejemplifique con otra función de comportamiento similar.

1.10 Integrales impropias 43

Existe otro tipo de integrales impropias que abarcan los casos donde la función por integrar es discontinua en valores específicos de la ''3riable dentro de los llmites de integración. Consideramos en esta secdón dos casos por definir.

Oefl nlclón 6. Si a < b y e> O, cuando la función está definida o es continua \/los valores de x excepto x = a, entonces,

J."•

<¡i.,x)dx = lím

Definición 7 .

-o

J.•

o+«


Si a< b y e > O, cuando la función está definida o es continua\/ los valores de x excepto x = b, entonces,

J..•

tp(x)dx

= lím ｊＮＧ ｾ＠ c-oo a


Ejemplo 2 1

Calcule

J;o•dx-x'

SOLUCIÓN

Se observa primero quex no está definida enx = O; es decir, está en el Umite inferior, por tanto

-;: = lím l'dx -;: = lím ¡-1¡• J;Ox•dx 1-0e x

･ Ｍｵ

ｸ

ｾ＠

1

= ,lfm(1+ -}. ....., e

.! no puede definirse en cero, no hay límite y:. la imegral J.' tti; ;5 (no existe). e

• x

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44 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

Ejemplo Ilustrativo 2

Calcule

,.( dx )' J.o x-a

SOLUCIÓN

Se observa que (

r'·

dx

)' es una función continua, 'r/x excepto x = a. Expresamos: x-a

J o (x - a)' ｾｯ

lím

r•-<

ｊ ｯ＠

dx

(x - a)'

+um ｾ

r'"

dx Ｍ ｡ＩＧ＠

ｊ ｡ＫｲＨｸ

-1- 1•-< +lím-[ -1 J'ª lím [-x-a o x - a o..-, = lím( -1 .!.)+1fm((2a-1 ,_. (a-e-a) a -a) = lím(.!._.!.J+ lím(.=!._.!_) 1--0 e a r-Oa r

=

1--0

r-0

ｾ＠

1 )

a+ r-a

Nuevamente se observa que cuando e _, O y r _, O los IJmites no existen y, por mnto, la integral no existe.

Ejemplo 22 Con la ayuda del software obtenga la gráfica de la función y= sen(x) I oos(x) y mencione todas sus características geométricas. SOLUCIÓN

Con la ayuda de un software para graficar, se obtiene lo siguiente:

!I!!'--------

. . . . . . ..

"

F.... 1.18

CONCLUSIÓN

www.freelibros.org Se observa una función de tipo espejo con eje asimétrico en el origen, con peciodos de indeterminación de dos en dos que van en el dominio del lado negativo de la función hasta el origen de -oo a oo y de manera contraria al lado dcrcclio de la función a partir del origen y cuyos periodos van de -oo a oo.

1.10 Integrales impropias 45

Porta f olio de evidencias 11

1

1. Elija un software que le permita graficar la función f(x) = (x _ a)2 • Interprete cl resultado del ejemplo anterior geométricamente; discutan grupalmente su argumento.

Es importante que el estudiante renga experiencia en la utilización de software para construir gráficas y poder hacer un análi.sis más específico sobre ellas. Para esto se recomiendan los siguientes paquetes de software: Winplot, Derive, Padowan Grap, Origin, Maple, etcétera. 2. Se tiene una plataforma para saltos acrobáticos de estructura de acero, como se muestra en la figura 1.19a. Si se sabe que las curvas son del tipo y = x2 y que en la parte superior tiene un metro de calle y cuatro metros de alto, realice lo que se indica en cada situación: a) Intercambie puntos de vista con sus compalleros sobre cómo debería ser la curva en la plataforma si se desea que los acróbatas adquieran mayor aceleración en el descenso. b) Con la curva sugerida calcule el área de los muros que soportarán la plataforma si se quieren construir de concreto bidráulico (véase figura l. 19b).

e) ¿Cuál será el área de los muros si se desea construir una réplica exacta de la de estructura de acero en concreto hidráulico (con y = x2)7 (Véase figura l.l 9c). d) Analice sus resultados y reflexione acerca de lo observado y discutido en ambos incisos.

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46 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

-

4m

tm

A

11

8

Activ i dad de trabajo 1.5

1. Verifique cada uoa de las siguientes integrales usando al mismo tiempo alguna herramienta geométrica: a) b)

e)

J. .. a2 + o

dx t>2x 2

f....-...､ｸ 2..

?r

-

2ab

］ ｾ＠

xl

J.o ..fx l -al

dx = 2.39 a2

2. Supoaiendo que /(x)
J

00

0

f(x)dx exisre,

demuestre que si O $ g(x) $/(x) para toda x
J g(x) "' 0

también existe.

3, Detennine si existe la in1cgral J.oo_L_ dx.

o l+x'

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Actividad integradora unidad 1 47

Actividad integradora de la unidad 1 1. Oetermine la ecuación de la recta tangente a f(X) = 2 +

QOSX

J:i

2 dl

2. Determine si la función y es o no solución de la ecuación y' + 2xY = 1

3. Calcule los límites siguientes

a)

Ｌｾ Ｎ Ｈｾ Ｍ ｳ｣ｾｏＩ＠

b) lfm

.r-oo

e' +x

X+ Jnx

4. Encuentre g(x) si t g(0)= - 2 y g(x)= -d dx

J-3X- d.x x2

+1

J.' (1+scn(scn1)) dt

5. Encuentre f'(O) paraf(x) =

6. Calcule la integral siguiente

... e'd.x

J.o

1+•"

l

........

7. Calcule e l límite siguiente: lím (1 + x);

8.

Derive f(I) =

J'csenx)"""' ' +tan [ In;) 0

9. Calcule la integral

J.

.(J3i +x»r

1

dx

X

1O. Calcule los límites a) lím aretan x

2

...-oo x sen x

www.freelibros.org b) lím ln(x +e') ,__,

X

48 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

11. Resuelva la ecuación: 2 ln 2 + ln(x2 -1) = ln(4x- l)

·-·

'

12. Calcule el límite siguiente: limx•- • 13. Calcule las siguientes integrales a)

J.' Ji+4.JX dx ' .JX ' 4x -5 J.•(2x +J5)dx 2

b)

14. Calcule

J:'scn 4xdx 2

15. Encuentre el área de la región bordeada por las gráficas de /{.;e) mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.

= x2, x = O, x = 2 y el eje x

16. Encuentre el área de la región bordeada por las gráficas de/(.;e) = (x - 1)2 + 2, x = - 1, x = 2 y d eje x mediante la b
Tf Contexto histórico Isaac Newton Se le considera el padre del cálculo infinitesimal y de la ffsica clásica. Sus dos principales obras son Philosophiae N<1111ralis principia 111atlrema1ica (1687) y Op1icks (1707). Una de sus mayores contribuciones fue la introducción de un método: las leyes se obtienen generalizando por medio de la inducción y el análisis matemático, de los ･ｾｰｲｩｭｮｴｯｳ＠ o fenómenos sistemáticos, y todo ello da forma a la base confiable del conocimiento. La mecánica de Newton y su desarrollo matemático dio origen a lo que hoy conocemos de la flsica moderna. Se destaca su definición del espacio y el tiempo como conceptos absolutos, aspectos que formaron parte de sus discusiones con Leibniz. Los conceptos de Newton prevalecieron en la flsica basta la llegada de la tcorla de la relatividad de Einstein.

Gottfried Leibniz También se considera el padre del cálculo infinitesimal, ya que contribuyó con la resolución de los problemas para determinar los mhimos y los mínimos,

además de tas tangentes; esto dentro del cálculo diferencial. Respecto del cálculo integral resolvió el problema de la curva cuya subtangente es constante. También scllaló los principios del cálculo infinitesimal, además de que resolvió el problema de la isócrona y de algunos otros problemas en la mecánica, con la utilización de ecuaciones diferenciales. A Leibniz se le debe el nombre de cálculo difcrencfal e integral, así como la invención de los símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual). Thni>ién aeó la rotación de las derivadas dx/dy y la de las integrales J.

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Autoevaluación de la unidad 1 49

•

Autoevaluación de la unidad 1 l. Responda correctamente las siguientes preguntas:

a) ¡J!.n qué consiste y cómo se expresa el teorema fundamental del cálculo? b) ¿Cuál es el significado de que el teorema fundamental del cálculo se exprese eo dos panes?

c) ¿Es correcto afumar que el teorema fundamental del cálculo determina la manera de encontrar antiderivadas de una función? Il. Utilice la parte del teorema que considere pertinente para encontrar las derivadas de las siguientes funciones:

J."' sen dt F(x) = sen(J scn(J scn dt)dy) F(x)= J.• x dt (1 + 12 + sen 2r) 3 1

a) P(x) = b)

e)

' 0

0

'

3

t

DI. Para cada una de las siguiemes funciones F(x) =f(x).

f

si F(x ) =

J.' f, se11ale en qué puntos

x es

a) f(x) = 0 six 51,f(x) = 1, six = 1 b) f(x) =0 six • l,f(x) = 1, six= 1

lV. Encuentre la func.ión continuaf. tal que:

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L

as dos partes del teorema fundamental del cálculo y la propiedad que presenta la integral y la derivada como operadores inversos son las herramientas matemáticas más poderosas que se crearon en el slgJo xv1. El estudio de las Integrales requiere, sin embargo, una larg¡i prepara· ción que proveerá al estudiante de un instrumento de gran valor para construir nuevas funciones. El mayor mérito del cálculo de Integrales es el de ser un algoritmo general aplicable a todas las expresiones analiticas, el cual se basa en que los procesos del cálculo de tangentes (derivada) y cuadraturas (integrales) son inversos uno del otro.

Contenido 2.1 Definición de Integrales Indefinidas 2.2 Propiedades de la integral indefinida 2.3 Cálculo de Integrales Indefinidas o técnicas de Integración 2.3.1 Directas (integrales directas) 2.3.2 Integrales con cambio de variable 2.3.3 Integración indefinida por partes

2.3.4

Integrales de funciones trigonométricas 2.3.5 Integración por sustitución trigonométrica 2.3.6 Integración de funciones racionales por el método de tracciones parciales

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COMPETENCIAS POR DESARROLLAR COMPETENCIAS ESPEC ÍFICAS

• Discernir cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y emplearlo. • Determinar una función primitiva. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

• Utilizar las propiedades de linealidad de la Integral indefinida para obtener la primitiva de otras funciones. • Resolver integrales que requieran modificación o interpretación para adecuarlas a una fórmula . • Ante un grupo de integrales por resolver, seleccionar el método más adecuado segtln la función integrando y resolver la Integral aplicando el método. HABILIDADES Y ACTITUDES

• Encontrar una función f(x) cuya diferencial se conoce. • Reconocer y usar la diferencial y la integral como operadores inversos. • Dada una función, encontrar una familia primitiva.

COMPETENCIAS PREVIAS

Para un mejor aprovechamiento de este curso, es recomendable verificar que el estudiante cuente con las siguientes competencias: • Conocimiento y manejo de operaciones mutuamente Inversas como suma y resta, multiplicación y división, o elevar a una potencia y extraer raíz. • Dada una función encontrar su diferencial. • Reconocimiento de que la integral y la diferencial son operadores Inversos. • Conocimiento y manejo de relaciones elementales entre funciones trigonométricas. • Conocimiento y manejo de las propiedades de logaritmos naturales y de base 10. • Habilidad para integrar formas elementales y ordinarias de funciones.

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ORGANIZADOR GRÁFICO DE LA UNIDAD 2

Definición

Propiedades de la integral indefinida Cálculo algebraico de integrales Indefinidas

1ntecra1 definida

Directas

. Cálculo numérico de integrales indefinidas

Con cambio de variable

Trigonométricas

Aplicaciones de las Integrales indefinidas

1

•

1

Simpson

J

Por partes

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Antecedentes Entre los trabajos más importantes de Newton, destacan los desarrollos en serie de potencias, en particular el desarrollo del binomio, los algoritmos para encontrar rafees de ecuaciones, la relación inversa aitre diferaiciación e inl.egración, y d concepto de ftueorcs y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Por su parte, Leibniz se centró en el desarrollo de un lenguaje metódico para representar conceptos fundamentales del pensamiento humano y la manera de cambiar estos símbolos para llegar a conceptos más elaborados. El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los artículos que publicó en el Acta Entditor11m y algunos manuscritos donde estudia la cuadratura de curvas y desarrolla el cálculo diferencial e integral desde su perspectiva. Una de las caractedsticas fundamentales de sus escritos es el establecimiento de las reglas para la manipulación de los sCmbolos •f y "tf', Jo cual refleja su idea y búsqueda de una simbología que representara conceptos e ideas del pensamiento de forma que los razonamientos y argumentos se pudieran escribir y seguir mediante fórmulas. El cáJc.ulo de Leibniz es, en gran medida, un algoribno para describir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes mediante fórmulas. Por otro lado, las ideas fundamentales que maneja son la relación entre las sumas de sucesiones con las diferencias de sus consecutivos (véase capítulo 4) y el llamado triángulo característico. Dos artículos del Acta de Ernditorum escritos por Leibniz; los de 1684 y 1686, fueron leídos por los hermanos Bernoulli (Jakob y Johan). Ambos entendieron e interpretaron los sCmbolos y conceptos de Leibniz y publicaron algunos artfeulos al respecto, en los cuales resolvían problemas con el nuevo cálculo de Leibniz, el cual probaba todo su potencial. Entre los problemas más destacados está el de la isócrona, la catenaria, la tractriz, la isócrona paracéntrica, también llamada braquistocrona. Jakon Bemoulli lanzó el desaffo en 1690 de hallar la curva que formarla una cadena suspendida por sus extremos.

www.freelibros.org Re... :u. Grabado origiool de la poblicacióo de Leibni• ( 1961), El tuUaz.go re enoomar cs:ta curva (auc:rwia) fue uno de los prime.ros

éxi1os p.00.doo del cillculo.

ｾ

2.1 Definición de integrales indefinidas 55

ｄ･ｦｩｮ

｣ｩ￳

ｮ＠ de Integrales Indefinidas La definición de integrales indefinidas se analizó en el inciso 1.4 de este libro aJ señalar que el teorema fundamental del cálculo (TFC) muestra todo su potencial aplicado a problemas f!sicos; sin embargo, es ncccsarlo introducir una notación más con\•eniente. Asl, por ejemplo, si una f(x) denota una antiderivada de/; es decir:

J

Jf(x')dx = F(x)

significa que F 1(x ) = f(x)

El problema sería que, dada una diferencial de una función, se halledieha función. La función así encontrada se llama integral de la expresión dada y aJ procedimiento de encontrarla se Je conocerá como integración. Esta operación se indica con el símbolo f y se Ice: "integral de" y la diferencial "d" indica a la variable de integración en:

11 •

Jf(x)dx = F(x) d Jf(x')dx = dF(x) f(x) = F '(x),

1•

puesto que la diferenciación y la integración son operaciones inversas.

Asl, por ejemplo, observábamos que si f(x) = x'

J

1

d x 1 dx = x ya que dx

3

(x'3 ) =

x 1 ("tase tabla l)

Pero también veríamos que

ｾＨ［＠

+•)=x2 +2)=x ［Ｈｾ＠

+c)=x'

ｾＨ［＠

Definición 1

2

CONCLUSIÓN

La integral no solo nos da la primitiva de una función,

sino que se puede considerar como una familia completa de primitivas o funciones que fueron derivadas \ICeR. Esto nos dice que existe una antiderivada o in1egral para cada constante e, a la cual llamaremos en adelante constante de integración.

Debido a que C E R, si una función diferencial tiene integral, cuenta también onn una infinidad de integrales

Jd(F(x)dx) = F{x)+c.Comoesdcsconocidaoindcñnidaa F(x)+C,selc

www.freelibros.org denomina la integral indefinida de/(;<)

56 UNIDAD 2 Integral indefinkla y métodos de integración

m •

Esta definición y el análisis anterior nos llevan dir:ccto al siguiente resultado: si tienen la misma derivada. Esw dos funciones difteo:cn entre si por una constante funcionessonalgunaf(x) y g(x)cuyaderivadacomón es 0(x), y F(x) = f(x) - g(x). F'(x) = .!!.[J(x) - g(x)) = 0(x) - 0(x) =O dx

Pero según el teorema del valor med.io, F'(x + t. x) = F(x + Ax) - F(x) Ax

O [Por hipótesis en este caso)

F(x + Ax)-F(x) = O, F(x + t.x) = F(x) ,

lo cual significa que la función de diferenciaf(x) - g(x) no cambia al incrementar x 121 solo una constante; es decir, f(x) - g(x) difieren en una constante C. Esto '1nicamente podría determinarse si conociéramos las expresiones para f(x) - g(x) e integramos en algún intervalo. De esta forma, el criterio que se debe seguir para verificar una integral es que: la diferencial de la integral será igual a la expresión diferencial dada. Observación: Calcular una derivada de alguna función dada proporcionará siempre una fórmula para integrar. Por ejemplo: Si F(x) = lo J l-x1 ; F1(x)=+-

X - 1

J_x x-_l dx=ln J l - x 2

2

+e

Es decir, podríamos calcular la integral de alguna función F si sabemos que tal F' = f, ya que una función continua siempre tiene primitiva. Pero en esta unidad se intentará encontrar primitivas o integrales de funciones que puedan expresarse en términos de funciones ya conocidas, tales como funciones trigonométricas, logarftmicas o exponenciales. Una función como esta recibe el nombre de función elemental, la cual puede observarse mediante suma, o:csta, multiplicación. división o composición a partir de las funciones racionales, trigonométricas y sus inversas. Cabe aclarar que no siempre es posible encontrar primitivas clcrncntalcs y que no existe una regla general que pueda aplicarse aun cuando se sepa que la integral de una expresión diferencial dada existe, ya que tal vez resulte difícil obtenerla en términos de funciones elementales. Así pues. la integración será un procedimiemo basado en ensayos, notaciones. abreviaciones y conv121ciones destinados a fucilitar el proceso o cálculo de primitivas. En ttnninos de las funciones elementales, tal esfuerm se imensifica si consideramos que algunas funciones que precisamos integrar modelarán algún fenómeno f!sicoen pnrticular. Por esa razón los métodos para integrar más plausfüles son, o se convienen en, teoremas muy imponantes, por lo que es recomendable tenedos siempre presentes, sobre todo, partiendo de los métodos básicos que permiten expresar las integrales en términos de otras funciones. Así, un buen comienzo seria contar con una lista de las integrales inmediataS (aquellas que obtenemos siniplemente derivando).

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2.1 Definición de integrales indefinidas 5 7

I!!!Ji!!..ｾ＠ .......................................................................................................... .

f dx =x+C Jx"dx=--+c n+l f ｾ､ｸ］ｬｮＫｃ＠ f e'dx=e'+C Jsenx dx = -cosx +e

J cscxctgx dx=-cscx+C

x"'+I

J1gx dx= - lncosx + c

Jctgx dx = lo scnx+C J secx dx = ln(SOCX +tg X)+ C

Jcscx dr=ln(cscx - ctgx)+C X -1 arc1g-+c

Jcosx dx=senx+C J

a

dx

a x-a

- = - ln- - +c. conx' > a J-x ,--a' 2a x+a

a' dx = a' +e lna

1

1 a+x ln--+c.oonx2 < a 1 2a a-x

-

J sec2xdx=tgx+c

Jcsc'xdx =-ctgx+c J secx tgx dx = secx +e

2

ｊ

Ｍ［］

､ｸ ］ｾ＠ = are sen !!.. +e Ja2 -x1 a dx

J Jx 2 ±a2

- ln(x+ Jx'±a')+c

Por supuesto, el estudiante debe ser capaz de comprobar sin ningún problema los

resultados anteriores.

Ejemplo 1

!(x+Jx'+a'} F'(x) = ｾＭＬＮ］ﾭ x + Jx' +a2

J+

X

x2 +a'

x+,/x'+a'

Jx' +a' + x

Tal como lo expresa la tabla:

www.freelibros.org J Jx'dx+a' - ln(x+.Jx'+a')+c

58 UNIDAD 2 Integral indefullila y métodos de integración

Portalollo de evidencias 1 y

Rcin2.2

La interior es la gráfica de una función!cuya antiderivada es F; como sabemos que F(O) = 3 dibuje una gráfica aproximada de F.

Demuestre que

lncx. •

Jdx = lnx+c, pero ｴ｡ｭ｢ｩｾｮ＠

puede expresarse como:

X

La antiderivada o integral se verifica al calcular la derivada de la respuesta;

pero también puede apoyarse gráficamente. Obtenga la gráfica de la función f(x) = .!. y su antiderivada F(x) = lnx + C ó F(x) =In ex. X

Describa el comportamiento de ambos gráficos en su intervalo dado y anote las conclusiones que le pennitan realiU1r dicha comprobación.

Actividad de trabajo 2 . 1

1. Verifique las fórmulas de la tabla 1 usando derivación.

2. Encuentre por integración el área de la rcg!_ón limitada por la recta y = l, el eje de las ordenadas y la curva y= .Jx usando el siguiente método: escribiendo x como función de y. Explique su resultado. 3. La velocidad de una partícula (dada en

está dada por la función:

v(1) = 2t-6 en

'is) y que se mueve en línea recta [0,3]

Encuentre el desplazamiento y la distancia recorrida por la partícula en el intervalo dado.

'%2

4. La aceleración ca y la velocidad inicial de una partlcula que se mueve m línca recta se da a continuación: 0(1)=1 + 6

v(o)=3 re[0,10]

www.freelibros.org Encuentre la velocidad en el instante t y la distancia recorri.da durante [ll, 10].

2.2

s.

Preguntas de reflexión

Propiedades de la integral indefinida 59

Encuentre la integral indefinida, en su caso, de las siguientes funciones: a)

JJx' dx

g)

b)

J Jzx+ldx

h) Í,Y;.csc2 0d0

e)

J x/idx

d)

Jssdx

e)

j cscO tg(I d(J

t)

f ｾ､ｸ＠

f l/X dx

ｾＧ＠

i) j)

J.'(fr - Jr )dr J.• 3x 2 +2x+l dx X

1

• ¿Entiendo la düerencia que existe entre integral deflllida e indefinida1 • ¿Entiendo la integral como un operador inverso a un operador düercncial? • ¿Comprendo la importancia del uso de la notación en el cálculo integral? • ¿Al obtener la primitiva de una función. soy capaz de distinguir qué parte

del teorema fundamental del cálculo estoy aplicando?

• ¿Entiendo el concepto y la función de la constante de integración? • ¿Soy capaz de obtener una constante cualquiera de integración a partir de la ootiderivada de una función?

_,;¡- Propiedades de la Integral Indefinida Como hemos remarcado, las dos partes del teorema fundamental establecen una conexión entre las antiderivadas y las integrales definidas. Debido a esra relación, la notación o

Jf(x) dx se usa para denotar una integral indefinida. As!, el símbolo Jf

Jf(x) dx significa una primitiva de/oel conjunto de todas ellas. f J(¡c) dx = F(x)

significa

F'(;c) = f (x )

la utilidad del teorema fundamemal puede verse mejor si contamos coa una lista de

www.freelibros.org las antiderivadas más generales. A estas las llamamos integrales inmediatas y son aquellas que ya listamos ea la rabia 1, las cuales pueden verificarse por simple derivación.

60 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Es importante resolver en este punto dos fónnulas generales, en algunos casos Uamadas también teoremas, y que surgen como consecuencia de la derivación.

Jf(x)d:c + Jg(x)dx Jc /(x)dx= eJf(x)dx

j(f(x) + g(.x))d:c=

EstaS nos dicen que primero hay que encontrar la antiderivada o primiti"11 de una suma de funcionesf{x) y luego sumarla a la antiderivada deg(x). Dicho de otra manera: la integral (primitiva) de una suma será igual a la suma de las integrales o (primitivas).

Thmbién la antiderivada de una función /(x) multiplicada por una constante será equivalente a encontrar la primitiva de la función y después multiplicarla por dicha consiaotc. En resumen: la integral de una constante multiplicada por una función es igual a Ja constante

por la integral de la función. Estas dos formulaciones se conocen como las propiedades más importantes de la integral indefinida y le asignan a esta el carácter de un operador lineal, al igual que su operador inverso, la derivada. las formulaciones anteriores se cumplirán siempre y cuando /(x) y g(x) sean integrables, o bien, teog;m una primitiva propiamente dicha. Pero en esta unidad nuestro objetivo es convertir el proceso de búsqueda de primiti\'llS en algo tan mecá· nico para el estudiante como sea posible. Esto, en el contexto del cálculo integral, se logrará recurriendo principalmente a algunos procedimientos de integración que los matemáticos han ido acumulando a través del desarrollo de esta herramienta poderosa y que se conoce también como "técnicas de integración".

Portafol i o de ev i dencias 2

2cx-x' para toda e > O. Grafique para algunos valores de e, l. sea /(x ) e3 f(x) y observe las áreas encerradas entre las funciones y el eje x. Debatan en equipos y reporten por escrito sus observaciones y conclusiones acerca de cómo están relacionadas las rcspecti"11S áreas gralicadas y la forma de la gráfica. 1

21id1. Escriba cada paso y

www.freelibros.org 2. Calcule el siguiente lfmite: Um,_0 .!.J.'{1-tg método que utilizó para resolverlo.

X O

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 61

Pregunta s de refl exl ón

• ¿Entiendo el concepto de p:imitiva de una función? • ¿Entiendo el proceso de integral como un operador? • ¿Puedo decir cuáles son las dos principales propiedades de la integral indefinida? • ¿Entiendo el significado de que la integral sea un operador lineal?

- -Cálculo de Integrales Indefinidas o técnicas de Integración Hemos decidido llamar a este inciso "técnicas de integración'', debido a que a continuación desarrollamos un conjunto de saberes y anificios (procedimientos o técnicas) que nos permitan obtener las primitlvas deseadas en ｴｾｲｮｩｯｳ＠ de funciones. Esto, al igual que en cualquier técnica, requiere destreza algebraica e ingenio. Algunas de las técnicas desarrolladas han nacido de la prueba y el error, y han mejorado con la práctica; además, cada estudiante le imprimirá su acervo personal o partlcular.

2.3.1 Directas (integrales directas) La íntegración se considerará entonces a partlr de este punto como un procedimiento esencialmente de ensayos. Por ello, para facilitar el trabajo, es conveniente que el alumno elabore o adquiera una tabla de integrales ya conocidas (como las que se presentan en la tabla 2 de esta unidad). Esta tabla de integrales inmediatas permitirá realizar alguna integración ónicameote de la comparación de la expresión diferencial que se desea obtener, con alguna en la tabla. Si se encuentra escrita. entonces ya conocemos la integral. Si no es as!, probaremos algunas manipulaciones algebraicas pira reducirla a una de las fórmulas de las tablas. La tabla 2 se elaboró reescribiendo la 1, pero incluyendo las propiedades o fórmulas de la íntegral indefinida y algunas otras ínmediatas.

Ja.!>la...2. ..ｬｮ Ｎ ｾＦＧＡｬﾷ

ﾷｾ

ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷﾷﾷ ﾷﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ

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ﾷ ﾷ＠ ·······················-

J die +dy+dg= J tlx + J dy+ J dg

(1)

J seo x tlx = -<:<>sx +e

{7)

J cf(x) dx = eJ f(x) tlx

{2)

J cosx tlx = sen x +e

(8)

J dx = x+c

(3)

Ja' tlx = ..!!_+ c

(9)

(4)

J sec2 x tlx = tgx+c

(10)

(5)

J csc2x tlx = -ctgx +c

{11)

Jx"dx = --+c x"+' n+ I

J

ｾ､ｸ］

ｬ ｮｸＫ｣＠

loa

www.freelibros.org J e'dx = e'+c

(6)

62 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

J cscxctgxdx= - cscx+c

{12)

J

dx

J tg.rd< = - In cosx +e

(13)

J ctgxdt = - In sen x+c

(14)

J

J sec1:dt= ln {secx + tgx)+c

(15)

J cscxdt=ln(cscx - ctgx)+c

(16)

(

X

- arctg- +c

a

(17)

a 1 In x-a +e, conx1 > d'- (18) ｸＱｾ｡Ｒ＠ 2a x+a 1 lna+x e, conx 1 < a1 {19) J ｡ Ｒ ｾｸ Ｒ＠ 2a --+ a-x J d< = arcsen -X +e (20) ../d'- -x2 a x1+a1

Ejemplo 2 l. Encuentre

Jx d<. 1

SOLUCIÓN

Usando la entrada (4) de la tabla 2 con n = 7, se obtiene:

2. Encuentre

J1x' dx.

SOLUCIÓN

Usando las entradas (2) y (4) de la tabla, ｴ｡ｭ｢ｩｾｮ＠

con n= 7, se obtieoe:

i

J1x 1 dx=1 J x1 d<= x" +e 3. Encuentre

J(1

Xl

+ 5x2 )dx.

SOLUCIÓN

Usando las entradas (1), (2) y (4) de la tabla se obtiene:

f (1x1 +5x2 )ct<= J1x 2 d<+ J 5x 2 dx= =1Jx' d<+5 Jx•ct.

=2 x" Ｋｾ＠ 8

3

x 3 +e

www.freelibros.org 4. Encuentre

J (ax" +bxm)dx.

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 63 SOLUCIÓN

J

J

f(ax" +bxm)dx =a x•dx+b xmdx bx•+• -+e m+I

a.t11 +1

=- -+n+I

En algunos casos hay que hacer previamente manipulaciones algebraicas en el argu·

mento de Ja integral para que coincida con alguna de las entradas de la tabla.

Ejemplo 3 l. Calcule

d/ I ifí.

SOLUCIÓN

R.eexpresando el argumento de la integral

Jt:.=J!!;,.= f 1-Y.. d1 "''

¡ ."J

Ja cual se puede comparar con la entrada {4) de la tabla con n = -

111• 2. Calcule

YJ

J 1J;= Jr-Y.. dt=ir'h +c

J..{y(5y- 4}dy.

SOLUCIÓN

Reexpresando

J ./Y(5y - 4)dy= J (syY>- 4yY. )dy =5J yY. dy-4f yY. dy =2yY> -! yr, +c 3

3. Encuentre

Jx' +3xx +2dx.

SOLUCIÓN

Simplificando el argumento de la integral o integr:mdo.

x•

www.freelibros.org = - + 3x+2lnx+C 4

Esta integral se obtu\'O ucilizando simultáneamente las entradas ( 1), (2), (3), (4) y (5) de la tabla.

64 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

l. Obtenga

JＨ｡

ｾ＠ +1%)' dt

cona=Cte.

SOLUCIÓN

Se desarrolla primero el cuadrado del binomio:

"'*

(a!3+1%)' =a%+2a>'>1Ys +1Y> F.sta forma del binomio permitirá usar la entrada ( 1):

2. Obtenga

x'

f --dx. x+2

SOLUCIÓN

ｾ］ｸｬ＠

-2x2 +4x-8+___!!_ (Realizando la divísión) x+2

x+2 J

Ｒ ｸｾ

､ｸ］＠

J x't1x-2J x1 d.x+4J xdx-8J dx+16J x! 2 =x' 4

3. Obtenga

Ｍ ｾｸＧＫＲ

3

Ｍ ＸｸＫＱＶｮＨ

Ｋ ＲＩＫｃ＠

Jl+cosO dO .

SOLUCIÓN

1-cosO {l+coso)(l-cosO)

l+cosO

Ｒ

1-cosO 1- cos'O

Multiplicar por una unidad (mismo valor en el numerador que en d denominador) es un truco alge-

braico muy recurrente

-a;s O (usando la identidad trigonométrica sen sen O

1

=

20

scn

20

+ cos21J = 1)

cosO (separando el argumento) sen O·sen O

= csc20 - ese Ocot O. Entonces,

www.freelibros.org dO f l+cosO

Jcsc20d0 -JcscOcotOdO=-ctgO+csco+c

(usando las entradas (10) y (13) de Ja tabla).

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 65

4. Obtenga

Jｸｾｳﾷ＠

SOLUCIÓN

Por simple observación se tiene que ldx es la diferencial de x, pero también la de x + 5; de manera tal que si toda la expresión (x + 5) fuera una nueva variable, por ejemplo 11 = x + S, 1u• ｾｴ･＠

J..!!=_ podría expresarse como: J du. x+5 u sencillo cambio de variable permite usar de manera directa la entrada (5) de

la tabla. Entonces,

In(x+5)+c J..!!=_= x+S

pero u=x+5 J-=lnu+c; "

d1'

2.3.2 Integrales con cambio de variable El cambio de variable reali7.ado en el ejemplo 4 es, como veremos a continuación, muy útil y susceptible de repetirse en algunas otras expresiones del integrando.

Ejemplo 5

= J z(a2 +b2z2)U 2b dz 2b

(Se utiliza aqul la multiplicación por una unidad tir la diferencial]

d(a1

+

,).{ b2z2

r . = 2bz dz)

Si a1 +b2 z2 fueraunanuevavariableu

211

2b

que, a su vez, permitirá compar·

11•

las operaciones principales en este ejemplo se realizaron con el objetivo de complew el valor de la diferencial del argumento de la integral, lo que fue posible gracias a que este contenía ya la variable z multiplicando el radical. Es importante resaltar que la manipulac.ión algebraica solo agregó valores constantes. El uso de esta técnica puede sistematizarse como una fórmula que se basa prin· cipalmeote en el siguiente teorema:

www.freelibros.org

68 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Teorema

Sify g son funciones continuas 111•

F(g(x)) = J [F(g(x))· g'(x))d.:c.

Ese teorema, a su vez, se deriva de la regla de la cadena para derivación. A este caso se Uama regla de la cadena para integración, la cual nos dice que si F'(g(.:c)) es una función compuesta en g(.:c),

(J·g)(.:c) 111•

F'(g(.:c))=J(g(.:c))

scgúnd T.F.C.

Scgán la regla de la cadena,

!

[F(g(.:c))j = F'(g(.:c))g'(x)

n•

f(g(x))= F'(g(.:c))g'(x) = J(g(.:c))g'(.:c)

Como F(g(.:c))= J f (g(.:c))d.:c 111•

F(g(.:c)) = J J(g(.:c)) g'(.:c)d.:c

Como dice el teorema, la principal dificullad de aplicar la regla de la cadena por integración consiste en poder reconocer dentro del integrando tanto a J(g(.:c)) como a g' (x) , y esta habilidad se logra con la práctica.

Ejemplo 6 l. Encuentre

Jz(a' Ｋ｢Ｇｺｾ＠

dz.

SOLUCIÓN

De hecho se ba retomado el ejemplo anterior, donde es posible reconocer que d

J(g(z))= a2 + b'z2 y, por tanto, g'(z)= - (a2 + b2 z2 }= 2b 2z; como en el argudz mento ya existe z, solo se completa la diferencial pero si se altera el valor de Ja expresión. De esta forma, se multiplica por 1 la expresión y se multiplica f(g(z)) = Ｑ ｾ＠

111..

J

b: 2 b 2z2(a2 Ｋ｢ Ｇ ｺ Ｇｽｾ＠ 1 = - 2-

b 2

dz =

Jf(g(z))g'(z)dz

1 f f (u)d11 = - -JuY> du 2 2b

］ ＭＱｾ＠ 2b'

u'1 j+c

www.freelibros.org 4

2 = .2...¡a + b'z' 8b2

J"í +e

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 67

Uaa manera abreviada de aplicar la regla de la cadena para la integración con· siste en sustítuír g(x) por una nueva variable u (o cualquíer otra) y sustítuír g'(;<)dx por du. Estas sustituciones tienen que identificarse en el integrando. En el ejemplo ante· rior, el argumento de la integn¡J es:

¡

Obtenernos dz =

ｾ＠

Jz(ll +b 2

du =2b'z'dz

z y sustituimos estos hallazgos en el integrando: 2

=J•' Ｑ ｾ

Ｒ

ｺ Ｉ ｾ ､ｺ＠

］Ｍ

2b' 4

］ ｾ｛｡Ｇ＠

8b1

Ｑ

ＭＱｾ＠

ｾ］Ｍ

2b2

uY>J+c +b 1z1

t

Ｑ

Ｍ

2!>2

Ju"du= 1/

regrcsandoa 11=ll'+b'z'

]% +e

Esta t6cnica de sustituciones ahorra los pasos intermedios que supone la aplicación del teorema y es también la razón por la que a este método se le conoce como de sus1ituci6n.

Ejemplo 7 l. Obtenga SOLUCt ÓH

J

ian x dx.

sen-,entonces x reescn'b'irnos: e.omo sabemosque tanx = cosx

scox

Jianxdx= J--dx cosx

=Jse¡fx Ｎｾ＠ u - sirox =

ｊｾＢ＠

Sea 11 =cosx d11 =-senxdx

､ｸ］ｾ＠

Se sustituyen es· tos resultados en la integn¡J

-senx

=-lnu+C

= ln{cosx)- 1 +C = lnsecx + C El resultado puede verificarse en la entrada (14) de la tabla 2.

www.freelibros.org 2. Encuentre

J(Ja-Ji)' Ji di, donde a es una conswnie.

68 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

SOLUCIÓN

Sea

u= (Jü - Ji )=(a}1_,Y, ) d11= - .!.1Yz d1 2

dt= - 21Yz du Sustituyendo en el integrando:

ｊＨ ｊ ｾ ｊｩ ＧＩ ､ｴ ］＠

J 5r(-z ;X'du}=-2Ju3du 1

=-.!. u'+c =--(Jü- Ji)' +e 2

3. Obtenga

J

(sen x )'cosxdx.

SOLUCIÓN

Sea u=seox du = cosxdx

ｊｲ ｾ

dx = _!!!!_ cosx

4. Obtenga

-2

ＨｾＩ

］＠

J u'd11

• e =.!!..+ 4

sen'x

=--+e 4

J

baJ• dz,

SOLUCIÓN

Sea u=3z

Jba'' dz = f;Ja"du

du =3z

=- -

b a• +C (Según la entrada 3 In 11 (6) de la tabla 2).

ba3•

du

dz =-3

=-+e 3 lna

Observación: El mélodo de sustitución es muy ótil siempre y cuando se tenga presente la derivada de las funciones básicas; esto facilita al reconocimiento de g(x) y g' (,<). Pn algunas ocasiones. el factor g1(x) no es evidente o simplemente no aparece; en ese caso, lo más comón es probar si la manipulación algebraica nos permite obtener una sustitución adecuada.

Ejemplo 8

www.freelibros.org l. Obtenga

JJbdx. 1-e"'

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 69

SOLUCIÓN

En este caso, conviene elegir todo el denominador para sustituirlo por otra variable. Por !arito,

Sea u = J 1-e2• u2 = 1-e21 e l.r = 1-ul

Para obtener dx, se debe conocer la expresión para x; ast, x = In Ji -ú' dx =

Sustituyendo en el integrando:

e" dx = - ｊ J.,¡lr:--o.: - e"

ｾ＠

u

-u du .,¡J -u2 ¡;---;;

·

ｾ＠ 11

.,¡J - u2

du

=-Jdu= - u + C

Asf,

J Jbdx ］ 1-e""

=- JI- e" + e ｾ

Ｋ･＠

Este resultado puede comprobarse mediante derivación.

dx

Observación: Los casos de integración por sustitución se facilitan mucho si se apli· can artificios para expresar x en expresiones de otra variable u, y en funciones de du, pero esto no siempre simplifica la expresión, aunque si la integración.

Ejemplo 9 l. Obtenga

JJ J- z dz 2

SOLUCIÓN

Como se observa en este caso, g '(z) tampoco aparece en el integrando, al menos no de manera evidente. El artiñcio algebraico consiste en sustituir z

por una expresión más fácil de manipular.

Asf, se propone z = sen u dz = cos 11 du

JJ J- z' dt. = J(l - sen u)Y'cos udu. 2

Se sabe que: sen2 0+ cos20 = 1

www.freelibros.org JＨｬＭｳ･ｮ

Pero 2cos2 u= l+cos2u

Ｒ

ｵＩ ｾ ｣ｯｳＱ＠

du=

Jcos u du 2

70 UNIDAD 2 Integral indefinkla y métodos de integración

Por ianto:

J cos'11 du=±J(J+cos2u)du=±J du +±Jcos2udu 1 2 1

1 4

= -11 + -scn2u + C =

2

1

arc senz + ¡scn2(arc sen z)+ e

= .!.are sen z + .!.z.Jl- t 2 +e 2

4

Observación: En casos como estos, la sustitución no proporcionará una expresión algebraica más simple, pero sí integrable, que es nuestro tema en esta unidad.

2. O>tenga

J

3x2 - 51

d:x. v/x3 -51x+23

SOLUCIÓN

Puede hacerse un cambio de variable de la forma u = x' - 5lx + 23; de esia manera, la diferencial de uestará dada por du = (3x3 - 51 )d:x. Luego,

J,/x - 5lx + 23 d:x --J.!!!. Jü 3x2 -51

1

1

=

1

J11>du =Zu>+c=2Jü+c

= 2J x3 - 5lx + 23+C Observodón: Después de introducir el cambio de variable. la solución de ta integral debe estar expresada en 1érminos de la variable original. 3. O>tenga

1x2

J4x +2 d:x. 3

SOLUCIÓN

Se hace u = 4x' + 2, de esta forma, la diferencial de 11 está dada por d11 = 12.t2d:x. En el integrando se multiplica por 12 y divide enll'e 12, para obtener la diferencial dll. Luego

'

1x2

J 4x3 +2

tbc= -7

12

J

12x 2 d:x= -7 J -1du= -7 ln lu l+ C 4x3 +2 12 u 12

= 2.ln l4x 3 + 21 +C

www.freelibros.org 12

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 71

4. Obtenga ｪＨｸ

Ｓ ＭｴＩｾＸｸＲ＠

dx.

SOLUCIÓN

Sea u= Sx-2.x", du= (8 - 8x')dx = - 8(x' - l)d.c. Luego, multiplicando ｰｯｲＨｾＩ＠ dividiendo entre (-8) el integrando para obtener d11, se tiene:

5.

Obtenga

y

3x 2 - x

J 3x+2 dx.

SOLUCIÓN

3x1 -x Primero se divide la fracción impropia y se obtiene 3x + 2 Luego.

2 x-1+--. 3x + 2

- x dt =J[x - 1+- 2- )dx=Jxdx-Jtdx+J- 2- dx J 3x' 3x+2 3x+2 3x+2 2 En J - -dx hacemos u=3x+2 ..... du=3dx, después, 3x+2 - 2-dx = ｾｊＭ J 3x+2 3 La integral solicitada será

Ｒ

Ｍ､ｸ＠

3x + 2

=!J.!.d11 = !1n l 11 I 3

u

3

3x 2 - x x' 2 J 3x+2 dx = -2 - x +-3 In l 3x + 2 I+c.

Ob$ervacl6n: Debemos aclarar que al dividir una fracción impropia (grado del nu· mcrador mayor o igual que el grado del denominador) con la intención de obtener una fracción propia, no siempre nos resultará una expresión fácil de resolver. Sin Clllbargo, podemos hacer el intento. 6. Calcule

J xJx-ldx.

SOLUCIÓN

Hacemos

u= x -1 ..... d11 =

dt, además, x =

11 +

1. Sustituyendo, se tiene

J xJx - ldx= j(u + t)Jüd11= J(u%+ ,,Yi)du

www.freelibros.org =

2 ,,

2 31

5

3

-1112 +-1112 +C=

2 S/ 2 31 -(x- t)n +-(x-1)" +e

5

3

72 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

2.3.3 Integración indefinida por partes Usando también los teoremas y las fórmulas de derivación, como es el caso de la derivada de un producto, podemos deducir uno de los teoremas más ótiles para el cálculo de integrales, llamado integración por partes.

Teorema

Si J''7<) y g'(x) son funciones continuas, entonces

Jf'1<)g'(x) = f(x)g(x)- Jf'(x)g(x)dx Como se dijo, este teorema en particular proviene de la fórmula para calcular la derivada de un producto de funcionesf(x) y g(x): Si H(x)=f(x)·g(;t) • como

1.. Integrando

H'(x}=f'(x)g(x)+f(x')g'(x), lo cual podemos escribir (j(x)g(x>)' = f'(x)g(.x)+ f(x)g'(x) f(x)g'(x) =[f(x)g(x)]- f'(x"}g(t)

Jf(x)g'(x)dx= f lfix)8(x)j'dx- Jf'(x)g(x)dx = f(x) g(x)dx- Jf'(x)g(x)dx

111•

Nuevamente, y como en el caso de la técnica de sustitución, debemos elegir de manera adecuada de f(x) y g1(x) en el integrando o argumento de la integral para aplicar este método, porque la integración por partes es conveniente cuando la función por integrar puede expresarse como el producto de una función/(cuya derivada es más simple que la misma función) por otra función g' que sea fácil de in1egrar.

Ejemplo 10 l. Encuentre

Jxe"' dx.

SOLUCIÓN

Se elige /(x) =x y g'(x) = e"'dx segón el teorema. Asl, / (;<}= 1 y g(;t)= Je"" dx :. g(x)= ｾ･ＢＧＮ＠ 1

J xe"' dx ］ｾ･ＢＧＭＡ［＠ Je"' dx 1 =-e"' --e'"+ e a a'

www.freelibros.org X

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 73

Es ímponante rcsalrar que la integración por panes puede aplicarse más de una vez en un mismo proceso de integración, en caso de ser necesario, como se observa a continuación en el siguiente ejemplo.

2. Encuentre

Jx ' e""

dx.

SOLUCIÓN

Siseelige f(x)=x, g'(x)=xe"'. entoneessetieneque J'(,;c)= I g(,;c)= que es exactamente la integral del ejemplo anterior: xe"' a

Jxe""dx,

ez.i

sGt>=- - -+ c. a'

Por ranto,

J

x'e"' -xe"" - J -dx+ xe"' Je"' x1 e"" dx=---dx 1

á'

a

x' e"'

xt!"'

x'e"'

2xe"'

xe""

ti"

a ti"

a

=-a-- -a'l. - -a l +-al +-a.1 +e 2e"'

=-----+-+e a á' a'

ti"( x' -2x -+ -2)+ c a a

=-

a1

Otro artificio o procedimiento muy recurrente en la integración por panes consiste en elegir alguna g(x) como la unidad, ya que esto siempre se puede hacer si se incluyedxpara conocer g(x). 3. Obtenga

JIn xdx. J1nxdx = lnx- J

ｾｸ､＠

= lnx-x +C SOLUCIÓN

Se elige /(x} = In x g'(x)= ldx

1

1 x

f (x)=g(x)=x

Como la función In x siempre se integrará de esta fonna, es conveniente observar la necesidad de una nueva integración por panes cuando la encontramos multiplicada por alguna otra variable. En ese caso será conveniente elegir una nueva

www.freelibros.org g'(x).

74 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

4. Obtenga

Jx lnxdx.

SOLUCIÓN 1 1 f (x) = -

Seaf(.x)= ln z

z

1

g (x) = xdx

g(x)=

x 2 1nx xlnxdx= - - 2

J

11. .

Jxdx

= -

=ｸ

J 1 xt Ｎｸ

-1J

Ｇ ｾｸ＠

.t1ln X

.tl

2

4

ﾷ ｾ＠

xdx

= - - -- +C

2

Otro procedimiento recurrente en la integración por partes muy ótil, y que conviene tener en cuenta, es el de "reciclar" la función a integrar; en algunos casos llamamos a estaS integrales ucíclicas". S. Obtenga

Jｾｉｮ＠

zdx.

SOLUCIÓN

Jｾ＠

Sea f (x) =In z

l

ln zdt.= (lnz)' -

z

Jｾｉｮ＠

zdz

z

Obs&vese que estos ténninos son

iguales. Tratando a la igualdad como una expresión algebraica se obtiene:

En algunas ocasiones la integral "cíclica" no se presenta tan rápidamente, pues

harán falta algunos cálculos más para llegar a ese caso.

6. Obtenga

Je'sen

xdx.

SOLUCIÓN

Sea f (.x) =e'

1•

g ' (x) = sen xdx

Je'senx

f'(.x) = e' g(x) =

J Je'

senxdx = -cosx

www.freelibros.org dx = - e'cosx +

cosxdx

( •)

Aira resolver esta segunda integral nuevamente se propone:

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 75

f(;c) =e' g'(;c)=cosxd:c

'º*

f'(x) =e' g(x)=senx

J e'cos x d:c = e'sen x-Je' sen x d:c

Sustituyendo en (*): Je'seox d:c=-e'cosx+e'senx-J e'senx d:c

J

2 e'SCn X d;c = e' SCD X -e'COSX + C

'ª*

J e'senx d:c =e' Ｈｳ｣ｮｾＭｯｸＩＫｃ＠

La integración por cambio de variable (o sustitución) y método de integración por panes constituyen los métodos más básicos e importantes que deben mecanizarse. Sin embargo, como notamos en los ejemplos anteriores, una integración exitosa depende en mucho de la destreza algebraica del estudiante y de un conocimiento de las identidades trigonométricas, pero también de los procedimientos y trucos algebraicos de los que puedan valerse. La ventaja de ambos métodos radica en que juntos abarcan una gran cantidad de integrales que puedan obtenerse, incluyendo aquellas que como pudimos notar también poseen diferenciales con productos, logaritmos, funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales. En los subsecuentes incisos veremos algunos otros métodos y procedimientos que también podrán aplicarse en algunos casos interesantes.

Portafolio de evidencias 3 1. Reúnanse en equipos y debatan con sus compalkros las si guieotes cuestio-

nes:

La derivación de

ｊ ･Ｂｾ＠

esf(;c)= ｾ＠

(senx - cosx), pero f(;c) =

ｾ＠

(sen x -cos x) + C también sería una primitiva para cualquier valor de C. ¿Cuál es el significado de C y de dónde proviene? ¿Cuál es el significado de la siguiente ecuación?

Realice un debate y compare sus argumentos con los de sus compalleros. Entregue por escrito sus argumentos junto con los cálculos que fundamen13Jl su conclusión. 2. Suponga quef" es continua y que J : [J(x)+ f"(x)]senx d:c = 2.

www.freelibros.org Si sabemos que¡(,.)= 1, calculej'(O).

78 UNIDAD 2

Integral indefullila y métodos de integración Act iv i dad de trabajo 2.2

J. En los siguientes ejercicios, evalúe la integral y verifique sus respuestas mediante derivación. a)

J xe.,, dx

b) J r2sen5rdr e)

J ln61d1

d)

f 3cos3tdl

e) J

f)

J

g)

J (tnz)2dz

313' dt

z

b) J senrln(cosr}dr

i)

J x"senxdx

ze' (z + t)' dz

2. En los siguientes ejercicios, calcule el valor exacto de la integral definida.

J.22x23' dx

d} J :scn JXdx

b)

¡:, ln(t

e) J !.' zcot z ·ese zdz

e)

J;' Jiln 1d1

3)

+ 3)dt

,.

•

f)

J.'x e' dx 3

3. Ejercicio cognitivo: describa la técnica de integración por partes, incluyen· do aquellas observaciones que utiliza para elegir las variables/(x) y g(x).

2.3.4 Integrales de funciones trigonométricas Unos de los integrandos más importantes por considerar, ya que es muy frceucnte encontrarlos, son aquellos que contienen funciones trigonométricas. El método más general consiste en transformar o sustituir el integrante por medio de identidades o reducciones trigonométricas relativamente sencillas. Para cllo es conveniente rceor· dar las identidades más básicas: scn'x+cos'x= 1 cos2x = cos2x-sen 2x

cos2x = cos'x -(1- cos'x) = cos2x+cos2x -1 = 2cos2x - t

www.freelibros.org También cos2x =(l - sen'x)- sen2x

= 1- 2scn2x

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 77

De aquí se deduce que 2 oosx -

l+ros2.r 2

y

J-cos1 x sen2x= - - 2

Los resultados anteriores pueden ser útiles en los casos donde haya integrales de la fonna;

Jsen.wxcos•xdx,

para m, n E N+

Sin embargo, hay que hacer una pequci\a diferencia. Si tenemos

Jsen•xdt

o

Jcos•x
coo n, m

pai,

podemos usar las identidades obtenidas arriba, en potencias de dos, por ejemplo:

y desarrollar el binomio para separarlo y estimar su primitiva. F.n cambio, cuando n y m son impares, usaremos la forma sen2x + cos2.r = 1; por ejemplo:

Jscn30d0 = Jseno sen 0d0 = Jsen0(1-ros 0)d0 = JscnOdO- JsenOoos'OdO 2

2

Es decir; una ve:i sustituido y desarrollado el integrando, contendrá térmi.nos de Ja fonna sen Ocos 20. Así, una integral con la forma que inicialmente queríamos,

Jsen• x coS"' x

dt, se irata de la misma manera para /11 y n impar.

Ej em plo 11 l. Obtenga

Jsen 0cos'Od0. 2

SOLUCIÓN

sen 20oos 30 = sen 20cos'Oros0

= sen2o(t - sen20)oosO

'*

Jsen'Ocos'Od IJ

= sen'O- sen 4 0cos0

Jsen fkos0 dO- Jsen'O·cosOdO

www.freelibros.org =

1

En ambos casos se puede hacer el mismo cambio de variable. Asl, sea u = sen IJ .

78 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Jseo21JcoslJdlJ= Jｵ

du=+coslldO

､ｏ］ｾ＠

Ｒ

ｾ＠

du ｾ］ＳＫｃ＠

u'

= sen'll + e 3

coso

- -L d11 u' sen'OcosOdO = 11•,,.,,.o--= -+C J J;OÍ() 5

J

= sen'll +e 5

. Jsen•Ocos30d0= sen' O + seo' O+e

.. 2. Obreoga

3

5

Jsen' (ax)cos(ax)d:c

SOLUCIÓN

11=sen(ax) du = acos (ax)d:c d:c =

1 ,,.

du

= --+e a 4

acos(ax)

En esre ejemplo se nota cómo no fue necesario usar alguna identidad trigooométrica, ya que fue suficiente con el cambio de variable que permiriera usar la entrada (4) de la tabla.

3, Una integral trigonométrica muy recurrente e importante es:

Jｾｸ＠

d:c

o bien,

Jsecx d:c

SOLUCIÓN CO$X

cosx ,,.

Ｍｾ

cos2 x

Jcosx

_ l _ dx =

cosx

1- sen2

Ｍ

1 [ cosx cosx ) Ｍ +--2 l + senx 1- senx

.!.J cosx .tt+.!.J cosx dx 2 l+senx 2 1-scnx

Resolviendo por separado las integrales del lado derecho: 1

2

Jl+scnx cosx dx

Sean u = l+scnx du = cosxdt

ｾｊ＠

cosx ､ｴ］

l+seox

ＮＡ ｊ ｾ 2

u

ﾷ ｾ

cosx

］ ＮＡ ｬｮｵ 2

Ｋ ｃ＠

www.freelibros.org ､ｴ ］ ｾ＠

cosx

1

= 1n(l + senx}+c

2

2.3 CAlcuJo de integrales inde6nidas o técnicas de integración 79

También

.!.J cosx dx 2 1-senx

Scau = l -scnx

J-cosx 1 - -dx= --1¡cosx - - · -du-= --lou +C

1

du= - cosxdx

2

1-scnx

2

11

cosx

2

1

dx = -5!!!_ - cosx

=--ln{l-senx)+c 2

Sustituyendo estos resultados en la expresión 1 + senx) -.!.tn(l-senx)+ e Jcosx-dx = .!.1n(1 2 2

= In,jt+senx-ln,)1-senx +e = .!.1n( 1+ SCOXJ + c 2 1-senx 2

= .!.ln(l+senx .1 + senx] = .!.1n((t + senx) )+c 2 l - scox l + senx 2 1- sen' x 1

= 1n((1+ senx)' )' 1n(l+senx)+c cos2x cos2 x =

tn(--+ 1

cosx

scnx] = ln{secx+ tgx)+c cosx

:.J-cosx-dx = ln(sccx+tgx). 1

El resultado se puede verificar por derivación.

Podríamos decir que las integrales lrigonométricas implicarán siempre operadores algebraicas para reducir las expresiones iniciales que contienen también productos de potencias de funciones trigonométricas. Según los ejemplos anteriores, y en un esfuerzo por generalizar, podríamos distinguir los siguientes casos.

ＺｲＱ

ｾ Ｑ ＱＡ＠ ..＠ｾ ..ｾ｜ｬＩ

Ｎｾ

ｾ＠ ................. .......................................................... ..... .. .

Caso l lmegrales que contienen las fonnas

Jsen•x dx con

Usamos la sustitución sen2 x = l-cos2x

11 e

N• y, además, n es par.

scn•xdx = (sen•"'x)(sen x)dx

Joos"xdx con n e N• y, además,

y también

www.freelibros.org 11 es

par.

Usamos la sustitución cos•x dx = (cos- 1x )( cos x)dx; además, cos' x = l-sen2x.

80 UNIDAD 2

Integral indefullila y métodos de integración

Caso Il. Integrales que contienen potencias de senos y cosenos

Jscn"x

(X)S""x dx

Si n EN+ y n es impar

sen"- 1xoos"'x(sen x) Adcmássen2x= l-cos1 x

SCll" xcos"'x =

Jsen"x cos•xdx

SimeN+ ymespar

sen" xcos•x =sen" x cos•- 1x (cos x) Ademáscos1 x = l-scn 2 x Caso ID. Integrales de la fonna

Jsen"xdx, Jcos"xdr, Jsen"cos"'xdx,

conrn,neN• pares.

Usamos sen•xctr=(sen2x)'Jl yademássen1 x

1- cos2x 2

• ( V'f2 I-oos2x. Tamb1én cos•x dx = cos2x 1 dx , con cos2x -

2

•

m

Usamos sen" xcos'"x dx = (sco2x}i (oos1 x}2 conscn 1x=

1-cos 2x

2

J +oos 2x ycos 2x - - - - -

2

Los casos no contemplados en la tabla anterior pertenecen evidentemente a las funáones trigonométricas faltantes. Así, generalizando la reducción con identidades, resumimos que: Caso IV

J

tg"xdx

Sustituir

tg•xdJ: = tg"- 2 x tg2 x dx

J

cot• xdx

usando t.ix =sec1 x - 1 Sustituir cot" x dx = cot"- 1 xcot2 x dx usando cot2 x = csc 2 x-1.

Caso V

J

SCC'xdx

sec"xdx = sec"-2 x(sec2x)

Jcsc'xdx

Sustituir usando sec2 x = tg2x + 1 Sustituir

www.freelibros.org cse"x = CSC"-2x(csc' x)

Además, usar csc1x=cot 2x+ t.

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 81

Caso VI

Jtg'xsec"'xdt , oon

m EN+ par.

Sustituir tg•xsec"' x dx por tg"xsec•- 2 x{sec2x
Joot•x csc•x dx, con m EN+ par.

Además, sec2x = tglx+ l.

2 1 co111 xcsc•- x{csc x).

Sostituir cot"xcsc•x por

Además, csc2x = cot2 x + l. Caso VD

J

tg' x seC"'x dx,

con

11 EN+

impar.

Hacer tg•x sec•x = rg•-•x sec-•x(secx tgx} Considerando que tg2x = sec1 x - 1 .

J001• x ese- x dx, con n E N+ impar.

Hacer 001•x csc•x dx = 001•-1 x csc•-1x(cscx ootx). Considerando que 0012x = (csc2x -

J),

Ejemplo 12 l. Obtenga

Jsen'aOdO.

SOLUCIÓN

Antes de proceder a elegir alguno de los casos generalizados, se simplifica la expresión mediante un pequedo cambio de variable.

Sea z = aO

1• J

scn'aOdO =

ｾｊ＠

sen'z dz

tiz =adO

Ahora, se observa que el integrando de la función pertenece al caso ID de la tabla 3 con n EN+ y nes par.

Se propone sen'.= sen 2z ·seo 2 z = (sen 2z)'

www.freelibros.org 1t1•

］ ＨＱＭｾｳＲＢｦ＠

82 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Así,

J sen'aO dO= ; J sen'z

､ｺ ］ ［ ｊ Ｈｬ Ｍ ｾｳＲｸＩＧ＠

=

ｾ ｪ Ｈ ｊ ＭＲ｣ｯｳｺＫ

Ｒ

=

ｾ＠ (J dz - 2J ｣ｯｳｾ＠

l ( z - sen2z + = 4a

=-

1

4a

dz

Ｒｺｽ､＠

dz + J ros2 2z dz)

J + cos4z dz) 2 l

(z-sen2z + .!.dz + .!.sen4z) + C 2 8

zsen2zz 1, =----+-+-sen z+C petoz=aO 4a

8a

4a

32a

= ¡rO _ sen2a0 + ¡tO +-'- sen 4aO+c 4tl 4a 8d 32a =

2. Obtenga SOLUCIÓN

Sea z=ax dz = adz

Jsen tilld0=¡0 3

4

sen 2a0 4a

+

sen 4a0 2a + c. 3

Jsen ax cos ax dx. 2

2

1•

m = n, E N-+ y n es par; nuevamente estamos en el caso Ill. por lo tanto, se propone

¡1- cos 2z)(l+ cos 2 sen2 zcosz= 2 2

］ﾡＨＱ Así,

Ｍ ｣ｯｳ Ｒ

2z)

ｾＩＮ＠

Jsen ax cos ax dx = ±(¡Jdz-¡ Jcos 2z dz) 2

1

1

=

ｾ Ｈ ｺＭｾ

ｪ ＨｬＫ｣ｯｳＴｺＩ､＠ 1

=_!_ _ _ I (z+--sen4z)+c 4a Sa 32a

Peroz = ox

1•

ax ax 1 = - - - - -sen4ax + C 4a

2 2 .·. J sen Cll' cos ax dx = .!.x 8

Sa

32a

sen4ax +c.

www.freelibros.org 3. Obtenga

Jsen•x cos xdx. 1

32a

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 83 SOLUCIÓN

Como m = 4 y n = 3, ambos N+ . pero al menos uno impar, se ubica en el caso Il de la tabla 3. Se propone sen'xcos'x = sen'xcos2x(cosx)

= sea 4x{I - sen 2x)cosx

= (scn4x -scn"x )cosx" = sco 4x - cos:c- scn 6 xcosx Así,

Jsen x oos x Jsen 4

3

4

dx =

Cambio de variable:

.x

cosx dx -

Jscn xcosxdK 6

dz =cosxdx ,.

dx- - Jz cosx -dzf z cosx -cosx cosx Jz'tk - Jz tk

dx=...!!L

---+c.

4

z = scnx

cosx

Como z = senx, 4. Obtenga

f

6

6

z.s

z1

5

7

scn 5x scn7x sen•x cos'x dx = - - - --+c. 5 7

Joot'O di.

SOLUCIÓN

Se integra con cot41/ con n = 4 E N+ y por caso IV. Asf,

cot'O = cot211 cot'O

Jcot'OdO = Jcot' O

e&:.20d0-

Jcot 0dtl 2

=cot'O{csc'0 - 1}

=-cot'O - j (csc'O - l}dO

= cot'O ese' ti - cot'll

=-

cot'O -+ cotO + ll +C 3

Observación: Haciendo u =cot8 y sabiendo que : (cor9) = c:sc1 8. 9

Portafolio de ev idencias 4

Una manera diferente (a la del texto} de expresar

1 - d:c se consigue proJ-cosx

igi y, aunque se hace necesaria una

www.freelibros.org poniendo una sustitución de la forma / =

manipulación algebraica, esta se puede expresar como:

84 UNIDAD 2 Integral indefullila y métodos de integración

cou

J-

1

+rg2 " " 1-rg!2 =lnlrg(-+-]]· 1

"

dx=ln [

2

4

Se dice que esta llltima expresión fue la primera que se obtuvo para el valor de la integral de secx y se debe a un suceso histórico con tablas náuticas que equivalían a integrales definidas de la secante. Al editarse las primeras tablas de logaóuuos de tangentes, se observó la correspondencia, pero quedó sin explicación hasta la invención del cálculo. • Con las técnicas de integración aprendidas, intence llegar a la expresión arriba indicada. Realice un pequeño trabajo de investigación que le permita explicar la relación entre las tablas logarítmicas y la función trigonométrica tangente, y onnteste lo siguiente: ¡yor qué el cálculo de dichas tablas náuticas se presenta como equivalente al cálculo de áreas (integrales definidas)?

Actividad de trabajo 2.3

l. Encuentre el valor de cada una de las siguientes integrales y compruebe sus resultados mediante derivación.

a)

J sen 2 xcos'xdx

b)

J (scn20 - scn50) dO

c)

d) e) 1)

g)

J cos 50d0

f (cosi+3cos2z) di

h)

f !JSl!nSO cos'S8 dO

J sen• l!..co.i l!..do 2 2

i)

J r¡¡'.ÍX dx

j)

Jｳ･｣ｾｬｮｸＩ＠

2

Jscn3xS
J;

2. Dcduu:a una fórmula general que le permita calcular 3. Determine una expresión para 4. l!valQc

JcotOc.,;"OdO.

dx

J="OdO.

Jserr'Ocos' dO utifuando tres métodos diferentes:

a) Separando cos'O = cos'O coso b) Separando Sl!n 20 = sen'o sen O

www.freelibros.org e) Aplicando scn20 = 2sen0cos0.

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 85

5. Demuestre cada una de las siguientes integrales: a)

Jrg' Od8= 2rg'8+ lncoso+c

b)

f ""'OdO cos'll

.!.tg>o+ e

d)

J(";;:f ､ｸ

ｾＭ ｾ ｬ ｣ｲｧ｡ｯＫｫｴＧｪ

e)

ｪＨｲｧ｡ｏ

a)

J:''

3

Ｍ｣ｧ｡ｏｪＧ､ｯｾ＠

Ｋ ｣＠ ..!...[rg2a0+ ag 2a0]+ ｾｬｮｳ･ＲＢＰＫｃ＠

24 a 6. Calcule el valor exacto de cada uoa de las siguientes integrales: sen38cosSOd8

b) J.% 7sec4 20d0 ｾ＠

e)

J:'sen :r0cos 1r0d0 4

4

2.3.5 Integracíón por sustitución trigonométrica Al inicio de esta unidad estudiamos la técnica de integración por cambio de variable, también llamado de sustitución debido a que lirccalmcntc sustituimos una opcrac ión generalmente más compleja por otra que simplificará el integrando. En esta sección analizaremos únicamente los tres casos más conocidos de sustitución de una expresión algebraica por otra que conduce a integrales trigonométricas. Nuevamente lo haremos analizando casos.

Caso 1

Si el integrando contiene una expresión de la forma proponemos "= aseni; por taJltO, J al - .Y.z. = ｊ｡ＱＭ

Ejemplo 13

｡ Ｑ

ｾ ｮ Ｑ

Ja' -x1,

con a> O,

Ｎｩ＠ = aco.s.i y dx = acoszdz

www.freelibros.org l. Obtenga

J(a2-xdx 2)y,l .

88 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

SOLUCIÓN

Se propone "= asenz; dx = acosidi

J

cosi

ｙｾ＠

dz

a(t -sen1 z

=

f a{coslz)r2 cos.z ., di = af di = ai+C

=

.i =

X

arc:sena

Como sem ］ｾＮ＠

esto se puede representar en un triangulo rectángulo como sigue, a que de hecho se corresponde con Ja entrada (20) de Ja tabla 2, sección 2. 3. 1.

b

Ja• -x' F.... 2.3

:.J .Ja'-x' dx - arcsen! . a Caso 11

FJ argumento de Ja integral contiene expteSioocs algebraicas de Ja forma Ja1 + x1 , con a>O, as! que proponemos: X=

atgz

dx = asec'zdz; Ja'+x' =Ja'+ a'tg'z = aJI + tg'i = asecz

J

Ejemplo 14 Obtenga

JJx' +bdx.

SOLUCIÓN

Jb igz Hit Jx' + b = Jb sec z dx = Jb .ec2zdz

Se propone x =

www.freelibros.org

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 87

Pero gráficamente tan z =

-j¡; es X

r:w,. .. 2 ...

Caso 111

El argumento de la integral contiene expresiones algebraicas de la fonna

Jx>- a2

a>O, así que proponemos:

con

x = a soez;

Ejemplo 15

J. En el caso de la siguiente integral

JJh -in (x + Jx' -a')+ C , utilice la x l- al

sustitución trigonométrica adecuada para comprobarla. SOLUCION

Por el tipo de integrando, se propone una sustitución de Ja fonna x = ascci:

dx= asecz rg zdz y Así,

J.Jxidx_

Fbro, sec.i ］ ｾ

0i

-

Jx'-a' = atg•

Jasecztgzdx - JS4czd:; (lo cual se obruvo en el e¡emplo) . atg .t

= ln (,..,z+ tgz)+C a

Ｎ ｯ＠ bien., cos.t = x

a

www.freelibros.org •

88 UNIDAD 2 Integral indefinkla y métodos de integración

:.J.rh ］ x' - a' =

｢｛ｾ

a

Ｋ＠

,¡;c;¡j+c a

ln(;(x+Jx>+a' J)+c

1n(.;)+1n(x+Jr' +a> )+e = 1n(x+ Jx• +a>)+e

=

Observación:

ＱｮＨｾＩ＠

se fusionó con C para obtener otra e indefinida

Al respecto de este tipo de sustirución. podrlamos observar que se cea.liza con el propósito de deshacernos del radical que aparece en el integrando, usando las funciones e identidades trigonométricas. Aunque también es una sustitución de la fonoa x = g(t) donde convertimos una variable en una función de otra nueva, más fácil de integrar. Luego tendremos que regresar de la función a la variable para expresarla ya integrada Debido a esta característica, también se le conoce como sustitución inversa, y tiene aplicaciones muy interesantes. A continuación mostraremos algunas.

Ejemplo de la tractrlz En el apartado Antecedentes mencionábamos que el potencial del cálculo se vio probado en la solución de problemas tales como el de la ttactriz (del latln tractum, que significa "arrastrar"), la cual en algunos escritos se denomina hundelmrve ('1a curva del perro", en alemán). Se dice que el problema fue formulado por Claude Perrault a Leibniz (aunque de manera no matemática) en Par!s en 1670. Le planteaba lo siguiente: puso sobre la mesa su reloj de bolsillo, lo arrastró con la cadena procurando que su extremo se moviera sobre una línea recta y preguntó a Leibniz por la curva descrita por el reloj. Leibniz, Ruygens y Bemoulli establecieron exhaustivamente esta curva aplicando los elementos del recién naciente cálculo de los infinitésimos. Una característica esencial de la tractriz es el hecho de que en cada punto su tangente coincide con la recta (AP) (véase figura 2.6), la cual, unida al reloj, es siempre tangent.e a la trayectoria de este. Por ello, también se ha denominado a la traariz como curva equitangencial, para indicar que el segmento de recta tangente entre la curva y el eje x es de longitud constante. p

J (0,a)

A www.freelibros.org Fflpn2.6

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 89

Si denominamos ese valor consuu11e como a, y queremos obtener Ja siguiente ccun· ción que describe la curva de la tractriz., aplicamos el siguiente procedimiento: SOLUCIÓN

Sea P(:r,y) un punto sobre la curva y sea x el ángulo de inclinación de la tractriz en el P (véase figura 2.6). Cómo oc•= 1'- oc: sen('lf- (l() = sen'1t'COS OC-COS1r -sen oc

=-sencx

Así, sen(w- oc ) = -seo oc; pero sen(lf- oc)+! a

seo oc= -y y tan oc= a

Ja'-yl - y ; por tanto, la variación de dicha tangente en fun·

ción de xestará representada como: dx dx

- =

_,, . o bien dx Ja'-y'

Ja'-r dy. -y

lnregrando, X =

=

-J,p::::ii dy -y

-a(Jｳ･ｾ＼＠

-

y resolviendo por sustitución proponemos

Jsenzdz)=-a(Jcsczdz-Jsenzd•)

= -a(ln(c:sct -ctgi:)+cosz) regresando, la sustitución Lnversa es:

= aln[

a+ 7]-Ja'-y'

donde y o a, cuando x = O.

Ejemplo 16

www.freelibros.org El siguiente ejemplo es un problema típico de geometría analítica combinada con cálculo integral, donde queremos determinar el área total encerrada por una elipse.

90 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

SOLUCIÓN y

-·

La ecuación de la elipse es: (a. b)

,...

--1"-----+--"'--"'--+-- x

o

(a. O)

caso y:

y' = t - x ' bl a1

-b

yl

- + -=I • ' b1 Despejando alguna de las variables; en este

y

2

=(1-::)b'=["' ｾｲＢＩ

｢ Ｇ＠ =＠ｾ (.r - x

2

)

y = '!...J.r - x' a

La simetría de la elipse permite simplificar el cálculo del área debajo de la curva con-

siderando solo el primer cuadrnnte para después multiplicar por 4 dicho resultado. El problema es encontrare! área bajo y = '!_ .Ja' - x' en {O,a].

111•

a

A.si, A, = '!..J.' .J.r - x' dx. Usando sustitución trigonométrica para resolver la intea o gral (caso I), proponemos: x=asen: .Ja•-x• = acosz dx -= acos t

］ ｾｊＮﾷ＠

A,

ｾ＠

a'cos zdt = ｾ｛

Ｎｲ ｛ｩｦ＠

(1-coslt)dz]J

1;([•+isen2zJI:)

Esta evaluación se simplifica si combinamos los limites de integración, asf ¡o, "] 111• A,

ab[" +o-Ol=aJnr =-:;-.Portanlo,eláreatotal Ar=4A1 ;A 1 =4 (ªb?fl=ah?<. 4 2 4

Portafol i o de ev i dencias 5

1. Realice una pequeña investigación his1órica y reporte por escrilO el papel fundamental que dejó la solución de la braquislrOcOna y la tractriz en el establecimiento del cálculo. 2.

Suponga que usled se encuentra en un muelle mientras jala un bote medíante una cuerda de 15 metros de longitud, de modo que el bote se despla28 sobre una tractrlz (véase figura 2.7). Considere que inicialmente usted estaba en el origen y el bote en el punto (0. 15) sobre el eje y.

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2.3 CAlcuJo de integrales inde6nidas o técnicas de integración 91.

a) ¿Cuánto habrá caminado usted cuando el bote se encuentre a 12 metros del muelle? b) Proponga una imagen y una gráfica que representen dicho movimiento.

,,.,_ 2.7

Activ idad de trabajo 2.4

1. En los siguientes ejercicios, demuestre las igualdades.

b)

J JＨｸＱＫＸＩ

e)

dx Ji[ e JxJlS-x' 5 ° s+Jls-x> +

a)

d)

e)

"

dx

sJs -x'

(5 -x>¡%

x1

ｾＲ＠

d

X

+e

V+s+ln(x+ Jx2 +8}+C 8

l

X

ｊ ｾ＠ t' ､ｊ ］ｾ＠ dy Jy2Jy2-7

1

｡ｲ｣ＢＧｮｾ

4

Ｋ ｃ＠

JN 7y +e

2. Obtenga las siguientes integrales usando la susútución trigonométrica sugerida: a) b)

Jx' J9-x dx; x=3senU JJ:+ 9 dx;x=3tg0 JＬ ｊ Ｔ ｾ＠ +9 ; "=ª rgz (será necesario una sustitución previa) 2

www.freelibros.org e)

92 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

3. EY816e las siguientes integrales a)

J'J1 t3 J 11 -1 dt

J,'

1)

1

1

dt J9-t2

b)

12.Jj

dt

g)

c)

J.' z' J.• +4ck

h)

J' 3 dt

d)

f.\J9 - z dz

i)

J'J•'+ .!' 9dz

o

1J

Ji& - 1•

2

J' J.•+ 16 d< 1

•

J4-

t ,

12

1

e) J:':íO'J4 - 90'd0 4. Utilice la técnica de sustitución trigonométrica para demostrar que: a)

J

b)

JJO'+a'

dO

JO'+ •' dO

1n(o+JO'+a2) +c senh-

1

ｻｾ｝Ｋ･＠

S. Una varilla cargada, de longitud L, produce un campo eléctrico en el punto p(.a,b), que está dado por e(P) = ·

J-•

L ...

)\b

4mr0 (x' + b2 )

3

,

2

donde >. es la

densidad de carga por unidad de longitud en la varilla y €o es la pcnnisividad de espacio vacfo. Evalde la integral con la finalidad de determinar una cxpr:csión para el campo eléctrico.

2.3.6 Integración de funciones racionales por el método de fracciones parciales Una función racional es aquella que contiene solo elementos racionales, de manera que una fracción racional será aquella cuyo numerador y denominador sean solo funciones racionales enteras, donde la variable no esté afectada con exponentes positivos, negativos o frace.ionarios. Si el grado del numerador es igual o mayor que el del denominador, la fracción puede reducirse a una expresión de este tipo. efectuando la división algebraica.

Ejemplo 17 1. Si se divide el polinomio

www.freelibros.org (3.t2 + 2x - 8) entre (;e + 2).

2.3 C!lculo de integrales inde6nidas o técnicas de integ...,i6n 93

3

La forma x '

+ 2x -

x+ 2

8 expresara llJlJl función donde el numerador y el deoomi·

nador son funciones racionales, y cuyo resultado es 2

3x

+ 2x-8 = Jx- 4

x+ 2

Se obtiene una expresión símplificada y cierta, ya que (x +2)(3x-4) = 3x2 + 2x-8 . 2.

Definición 2

x• 16 - - = x, -2x2 + 4x-8 + - - . x+2 x+ 2

En general. una función o fracción racional de la forma F(x) = P(x), donde G(x)

ｐｾ Ｉ＠ y G(x) son p0linomios, puede expresarse como una suma de fracciones más sencilla, siempre que el grado de P sea menor que el grado de G. Esta función racional se Uama impropia.

Cuando encontramos una función ímpropía como argumento de una integral, debe· mos simplificarla mediante fa división larga cocresp0ndicnte hasta obtener un residuo R(x), de forma tal que el grado de ese residuo sea inferior al grado del denominador; esto es: F(x) = P(x) = S(x) + R(x ) G(x) G(x)

En el ejemplo (17), punto I, F(x) = Jx' + 2x - S pOdemos aficrnar que: x+l

P(x) = 3x2 + 2"'-8 G(x)= x+2 S(x)= 3x- 4 R(x) = 0 En el punto 2, en cambio:

P(x)= x4 G{x)=x+2

ｸＩ ｓＨ

］ Ｎｾ＠

- 2x2 +4x - 8

R(x) = 16

En términos generales, aunque no es más simple, el resultado anterior se expresa en

el siguiente teorema.

Teorema

Si n es el grado de un polinomio P(x) y m es el grado de un polinomio G(x) ial que:

www.freelibros.org P(x)= .r' + a._,.r'- 1 +···+ <\) C(x) = xm + b._,xm- 1+···+ /Jo

94 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Este teorema expresa la descomposición en fracciones simples o racionales de otra fracción necesariamente impropia, ya que n < m. El toorcma fundamental del algebra nos dice que siempre es posible encontrar una expresión oomo la que aparece arriba; sin embargo, es más fácil de observarlo en la práctica y con casos particulares. Con el fin de sintetizar los resultados del teorema anterior, enunciamos a continuación los cuatro casos más comunes que podemos encontrar.

..4-........................................................................................................... ＺＡＧｾｬ￩＠

Caso l. l!l denominador puede expresarse como un producto de factores, todos de primer grado y ninguno se repite. Se asigna a cada factor no repelido una constante A, tal que:

R(x) C(x) donde A 1 , A2

, •••

A K son constantes por determinar.

Caso n. Los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten. En este caso, a todo factor de primer grado repetido n veces, corresponde una suma den ftaccioocs parciales de la forma (x- a)" A,

ｾ＠

A,.

--'---+ +···+ - -. (x - a) {x- 11)" (x - 11¡--' donde A1 , A2 ,

...

A. son constantes por determinar.

Caso lil. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno se repite. Entonces, a cada factor no repetido de segundo grado de la forma .x' + Px + q oorrcsponde una fracción parcial como: A1 x + Az

www.freelibros.org x2+ Px + q '

donde

A,

y A2 son constantes por determinar.

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 95

Caso rv. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten. Entonces, a cada factor repetido a veces como (x1 + Px + q)" corresponde una suma de fracción parcial de la fonna:

A1x+A1 + A,x+A. + .. ·+ A._1x+A. , (x> + Px+q)' (x>+Px+qr' (x> + Px+q) donde

ｾ ｪ･ｭｰｬｯ＠

A, , A1 •.• A,

son constantes por determinar.

18 l. Compruebe que

4x-2 2x dx = ln(x{x-2)] +e Jx' -x2(x-1) 2

SOLUCIÓN

Al trabajar el integrando, se observa que P(x) = 4x - 2 es de grado uno, menor que el grado de G(x) = x'-x 1 -2x, que es de grado tres. :. ｾＺｬ＠

es una fracc.ión impro-

4 2 pia. Así, en x' "'; , el denominador también puede expresarse como: - . - 2x

x(x - l)(x - 2). Los factores del denominador son: x, (x-1), (x-2).

Así,

ｾＭ

4x-2 Ｍ x'-x1-2x

A1 X

A

A,

1 +-+- - . (x-1) ("-2)

Como esta expresión es una igualdad, se sabe que: 4x -2 = A, (x -t)(x -2)+ A1x(x-2)+ A,x(x-1) 4x -2=x1 (A, +A,+ A,)+x(A, -2.4, +A,) <2A, Entonces, A1 + A2 + A1 = O

A1 - 2A2 +A,=+4 -2A 1 =-2.

Resolviendo las ecuaciones simultáneas mediante sustitución hacia atrás (aunque puede resolverse por el método que prefiero), se obtiene:

A1 = 1, A1 = -2

y A,

=l.

De modo que:

4.• - 2 x' - x1 - 2x

1 2 1 ----+--. x x- 1 x- 2

www.freelibros.org Entonces, la integral se puede expresar como

4x_-_2_Jx = J.!.i1x- r-2-dx+f-1-dx J__ x1-x1-2x "-! x-2 X

•

!NI

UNIDAD 2 Integral indefinkla y métodos de integración

= b1 x- 2 ln(x-t )+ ln(x - 2)+ C = In x - ln(x - lf + ln{x- 2) + C = In[

x

(x-1)2

)+ 1n(x- 2)+ C

= ln[" (x- ; )J+ c (x - 1) 2. En una reacción química se combina una sustancia S 1 con otra susrancia S2 para fonnar otra Sde manera que la ley de cohesión de masas es aplicable; es decir, la lasa de reacción de Ses proporcional al producto de S 1 y S 2, que no han reaccionado aún. Si inicialmente se tienen 6 gramos de la sustancia S1 y 4 gramos de la sustancia S,para fonnar 1 gramo de la sustancia S, ¿cuántos gramos de la sustancia S1 se formarán en un tiempo de 1O minutos? SOLUCIÓN

u

ley de acción de masas dice que dx = k(a- x)(b - x ). Si a= 6 yb = 4 , dt

:. = k(6- x)(4 - x).

Jk dt = J(6 _ ｸｾＨ ＠Ｔ _ x) . . kt = JA, - - dx +JA - -dx Al resolver la 111tegral 6- x 4- x

Separando variables se obtiene

2

A,(4 -x)+ A1 (6 - x)=1 - x(A1 + A2)= 0 ｾ＠ 4A 1 + 6A2 = 1 ｾ＠

A1 =-A2

4A 1 + 6(-A1) = 1 -2A, =1

y

Cuando t • O,

6 4

3 2

3 _,., 6-x c -2 4-x ·

. . C = - = - y -e

OJando bao pasado 4 min se ha formado 1 g de la sustancia, es decir, x= l

cuando t = 4.

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2.3 C!lculo de integrales inde6nidas o técnicas de integ...,i6n 97

Hemos cubierto los cuatro casos de fracciones parciales que podemos obtener al reducir el cociente de dos funciones racionales enteras, y visto que toda función racional cuyo denominador se puede descomponer en factores reales de primer y segundo grados se establece el siguiente:

Teorema

La integral de toda función racional cuyo denominador es posible descomp<>oer 0:1 factores reales de pdmer y segundo graoos puedi! hallruse y expresarse en

términos de funciones algebraicas, logarítmicas y trigonométricas inversas; es

decir, en ttrminos de las funciones elementales.

ｾ＠ a todo ello, todavía nos flllta considerar los casos donde una diferencial binomia no puede integrarse o reducirse por los métodos de integración dados. En particular queremos mencionar el caso de las diferenciales binomias cuya reducción solo puede lograrse a través de las formas de reducción. A conúnuación daremos las cuatro principales fórmulas de reducción, cuya demostración podrá consultarse en el apéndice C.

Reducción de diferenciales binomias: a)

b)

Jx"'(a+b x" )l'dx

x...+'(a+bx")' np+m+ 1 anp Jx"' (a+bx•)"'' dx np+m+l

c)

(a+hx•)"''

;rm+ 1

Jx•(a+bX"Ydx = - -!-- ,...-''--

(m+1)a

_ _ (np+n+m+l)j·x•... (a+bx"Y dx (m+l)a

x-•1 (a+ b :x• )'*' n(p+ l)a

www.freelibros.org =+ trp+ n+m+ljx-(a+bx"r' dx n(p+l)a

98 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración No es necesario que estaS reducciones se aprendan de memoria e incluso, para efectos prácticos de tt!cnicas de integración, uunpoco es necesario saber cómo deducirlas. Sin embargo. es muy importante saber cómo usar cada una, cuándo y cómo ¡¡plicarlas, una cuestión que se logra únicamente con la práctica. Observación: También es importante observar que las fórmulas de cualquier tipo son generales pero no e>
Ejemplo 19 l. Obtenga

, dx. J(xx' +4x' + 2) 2

SOLUCIÓN

Se observa que en esta función racional su denominador está en términos cuadráticos, Jos cuales se repiten; entonces, se debe expresar cl integrando como indica el caso IV.

Se quitan denominadores:

Igualando los coeficientes a las mismas potencias de x. se obtiene el sistema: A1 + 2A2 + 4A3 = 0 81 + 481 = 0 A2 +4A, = 4 282 +4& +B. =0 B, =0

Ba = ll, = 8 3 = 0 A1 =-4

A1=0 A, =l

A3 = 1

Así,

x -+4x - d x =-4 J x dx+ J- -x d x J-(x1+2f (x1+2)' x1+2 1

1

= .!.tn(x1+2)-(

2

,1 )+c.

x- + 2

Se usó un pequeño cambio de variable con u=(x' + 2). 2. Obtenga

Jx'( ++1x +) 3 dx. x1

1

www.freelibros.org SOLUCIÓN

Nuevamente se observa un caso de ténninos cuadráticos en el denominador que se repiten (caso IV). Puede entonces expresarse como:

2.3 C!lculo de integrales inde6nidas o técnicas de integ...,i6n 99

.r'+x+3

A,x+B. + A1 x+B,

(x2 +1)' -(x2 +1)'

{x 1 +1)

Se quitan denominadores:

.r' +x+3 = A1x+ 81 +(A2x+ Bi)(x' + t) Se obtiene el sistema:

A1 +A1 = l B, =0

=l lli+ll, = 3.

A2

A!il,

Jx'+x+3 dx - J 3 dx J x dx (x' +l J - (x'+1)' (x1 + 1) ·

Utiliumdo la formula (l) de reducción de diferenciales binomias se tiene que

La primera integral de este término se obtiene de la entrada ( 18) de la tabla 2, y la segunda mediante un sencillo cambio de variable, y luego usando la entrada (5) de la misma tabla.

aragx +C.

3. Obtenga

J-

cosy 1

y + seny - 6

dy.

SOLUCIÓN

Sea u == sen)' => du = cos y dy, entonces

cosy dy-J d11 Jscn'y+scn y- 6 - u' + u - 6

1 (u+3)(u -2)

ｾ

Ｋ＠

B _ A(u - 2) + B(u + 3) ｾ

u+3 u-1

ｬ＠ = A(u - 2)+ B(u + 3)

(u+3)(u - 1)

l

u = -3--> l = A(-5) + 8 (0)--> A = -5 11 =

2

--+

1 l = A(O) + 8 (5) .... A = -

5

de donde:

www.freelibros.org 1 ---= -1 + l . (it+ 3)(11 - 2) S(u + 3) S(u - 2)

100 UNIDAD 2

Integral indefinida y métodos de integración

cos y dy = .!.J[-=!... + _l_l Jsen y+seny - 6 S 11+3 u - 2

Luego

2

= .!_(lnlu +

S

ｾ＠

du

2

+ ln!11 -2j) + C = .!.1nl" - 1 + C S u+3

Jsen y+cosysen y - 6 dy-.!.1nlseny-21+c - S sen y+ 3 · ' x3- I 4. Obtenga J.• 4x, - x dx. 2

SOLUCIÓN

l[

1 .!.x- I 1 1 x-4 x-4 J 1 ¡+ x(4x2 - 1) = ¡+¡· x(2x - IX2x + 1) =¡ +x(2x - 1)(2x+1)

x3-I 4x' - x

x- 4 = ｾ＠ _ _ B_ + _ e _ = _A'(2x _ - --'IX"-2x ---' +_1,,_ )B_:x('-2_x "" +_l)'--+_ c.. ___,,(2x _ ----"'1) x(2x- 1)(2x-1) x 2x-1 2x- 1 .x(2x- IX2.r+ll Igualando numeradores, x - 4 = A(2x - 1)(2x + I) + Bx(2x + I) + Cx(2x - I). Primer procedimiento

x =0 .... 0 - 4= A(- 1)(1) + 8(0)(1) + C(0)(- 1) ..,. A= 4 --4 = A(0)(2)+ 8 [') - (2)+C (' - ] (0)--+ B = - x = ---+ 1 1 7 2

2

x = _.!. ....

2

2

2

2

_.!.2 _4 = A(-2)(0)- o(-.!.) coi+ c(-.!.)c-2¡ .... e= _2. 2 2 2

Luego,

x-4 x(2x - 1)(2x - 1)

4+ X

7 2(2x - 1)

9 2(2x - 1)

Segundo procedimiento

En x-4 = A(2x-1)(2.r + 1) + Bx(2x- 1)+ Cx(2x- 1) se tiene

x - 4 = (4A + 28 + 2C)x2 + (8 - C)x - A, lo que resulta

4A+2B+2C=0} ａ］ｾＷＯ＠ B-C=I B-

12

www.freelibros.org A =4

C=-Y2·

2.3 CAiculo de integrales indeñnidas o tl!cnicas de integración 101

Luego,

+ x- 4 ) dx J.'4xx' -- 1x dx =J.'• .!.[t 4 x(2x - 1)(2x+ 4 7 9 ) -J.' .!.[1+ 4 2(2x - 1) 2(2x+ 1) t

3

l)

1

= .!.(x + 21nlxl-2.tn12x- ｾＭ 4 4 =

dx

X

ｾｴｮＱＲｸ＠ 4

ＫｾｊｉＧ＠

1

!.(4x+ 161nlxl - 7Jnj2x - ll - 91nl2x + tl)I' 16

1

1

= - (12+ 16ln3-71n5-91n7 -4-16lnl+ ?ln l + 9ln3) 16 =

1

16

(8 +251n3 - 7 1n5- 91n7 - 9lnl)

Observación: Cuando hay factores lineales, el procedimiento más rápido es e.I primero; en cambio, si se tienen factores cuadráticos el procedimiento recomendado es el segundo. En algunos casos, para poder hallar los valores de las constantes se pueden combinar ambos procedimientos. finalmente y como el estudiante ya pudo observar, la integración como proceso ofrece más retos cognitivos que los de la derivación, debido principalmente a que la técnica de integración adecuada no siempre aparece inmediatamente o de manera oovia en el integrando.

Elementos para alcanzar la competencia Hasta aquf hemos concentrado las principales técnicas para resolver los problemas del tema de esta unidad, pero la elección se deja a la pericia que el estudiante haya logrado o pueda lograr con la práctica. Y aunque no seria posible dar reglas o pasos a seguir, podrimnos mencionar algunos consejos que serán de utilidad a un estudiante interesado seriamente en adquirir habilidades de integración. ｾｲ＠ supuesto, el requisito para emplear estos procedimientos es el conocimiento y Ja familiaridad con las tablas básicas & integración que en esta unidad llamamos "integrales inmediatas'' y que pueden verificarse por derivación (concentradas en Ja tabla 2). Si no se consigue resolver alguna integral propuesta con estaS tablas, entonces: 1. Intentaremos simplificar el argumento de la integral usando manipuladón alge-

braica o identidades trigonométricas; por supuesto, estamOs hablando de aquellas simplificaciones que permitan al integrando parecerse en todo lo posible a las funciones expresadas de manera directa en las tablas. 2. Otro procedimiento consiste en proponer una sustitudón o un cambio de variable, con el mismo objetivo de convertir el integrando a una forma ya conocida en las tablas.

www.freelibros.org 3. Una estrategia más que también resulta úlll es la de clasificar al integrando por su forma; esto es, si contiene funciones trigonométricas, potencias de senos o cosenos, funciones racionales, o radicales. Con base en esto, se compara la ex.presión oon los casos vistos a lo largo de la unidad.

102 UNIDAD 2

Integral indefinida y métodos de integración

4. Si a pesar de los pasos anteriores no se ha obtenido una respuesta, pruebe con otro método o intente simplificar algebraicamente el integrando preparándolo pora un nuevo método, ya que es importante destacar que en algunas ocasiones ctiste más de una forma de obtener el valor de una integral. Observación: F.s posible que el estudiante sepa que no todas las funciones pueden

integrase, ya que hasta esto momento solo hemos trabajado polinomios, funciones racionales, potencias, exponenciales trigonométricas, etcétera; es decir, todas las elementales y sus operaciones, y hemos sintetizado los métodos generales; pero en el teorema fundamental del cálculo. Si es una función elemental, siempre podemos obtener también elemental, lo que no garanti7.a que lo sea, es decir que tambien sea racional.

Portafolio de ev i dencias 6

Realice una investigación que le permita saber si existen algunos tipos de sustituciones diferentes a las que estudió en esta unidad. Escriba un reporte de esa investigación. Si bien en la tabla de integrales directaS aparecen algunas que no se justificaron a lo largo del texto, consideramos que se explicaron las técnicas suficientes pora justificar su evaluación. En particular demuescre que: •

du

f u' - 0' f ﾪ Ｑ ｾ＠

...

1n["-ª)+c u+a 1n["-ª)+c 2a 11+a

_1

2a

_1

Sugerencia: Utilice el método de fracciones parciales o reducción, o ambos, en aiso de ser necesario para simplificar el integrando.

Preguntas de reflexión

• ¿Entiendo que el proceso de integración es un tema de suma importancia que me permitirá resolver modelos matemáticos que represcnran situaciones ffsicas7 • ¿Comprendo que en algunas ocasiones será preciso el cálculo de integrales, en condiciones donde no sea posible consultar una tabla? • ¿Entiendo que los métodos más utilizados de integración son resultado de leOrernas muy importantes apl.icables a funciones elementales y algunas rn.1s generales? • ¿Comprendo que para resolver una integral no inmediata necesho usar diferentes técnicas, donde la principal herramienta para elegir será el análisis, el razonamiento y la observación del integrando, y que también debo emplear como elemento principal la simplificación algebraica?

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2.3 CAiculo de integrales indeñnidas o tl!cnicas de integración 1 03

Act i v i dad de trabaj o 2.5

l. Fn los siguientes problemas. verifique las integraciones.

a)

J(x-l)(x (x'+ "l dx=ln(x-l)+arorgx+C + 1)

b)

J(x2x'- 2Xx -8x-8 dx = 21n("1+ 4)+c + 4) x- 2

e)

J-z•4-1-dz = 1n{zz+- •J1 - 2 arctg z+C

el)

J[x +x+4x+5

e)

J,' (Sf + 4l d = 3 In 4 y3+4y y

2

2

3

1

1 ) dx = arcrg(x +2)-

1 2

x +4x+5

+C

1

las integrales indicadas intentando pre2. En los siguientes ejercicios, ｣ｶ｡ｬｵｾ＠ viamente la división del numerador y eJ denominador. d)

J

b)

Jr1+4 d + 41 Jz'-z' +z-1 dz

e)

j

e)

J sec2x(sec2 x + 1) dx

f)

a)

3

I

z'+z

tg'x+ 1

2 21 +31+2 dt 13 +412 +61+ 4

e'' dO (e"+ 1)

J2x +5x 3x dx +3 4

1

3. Verifique algebraicamente el valor de las siguientes integrales definidas; utilice un sistema computacional para comprobar sus resultados. a)

J.'o (1+2)(15t 2 + 1) di = 0.667

b)

3 dx=2. 171 J.'o (x2x'+x+ + 1Xx1 + 1)

c)

J,' Sx' - 4x dx = 1.522 J

x• -16

3 1 d) J.2(z +2z +bz+8) dz

o

(z2+ 4)2

= .257

www.freelibros.org e)

2 J.'o (r1 412 + ' d1 = 0.592 + 1)(1 + 1)'

104 UNIDAD 2

Integral indefinida y métodos de integración

4. Intente evaluar las siguiemes integrales mediante el método que considere conveniente.

Jx>lnx dx

a)

Jmxdx

b)

Jx

d)

J xlnxdx

e)

J x' lnx dx

f)

C.on base en sus resultados, dé una posible respuesta para

2

lnx

dx

e)

Jx•lnxdx 5. Dé una expresión para

J(t+aｾ＠ t+b)"

6. Evaldc por el medio que crea adecuado la siguiente integral.

J

(1 + lnx) J I + (x In x) 1

dx

7. Utilice las fórmulas de reducción de diferenciales binomias para reducir (sin resolver) las siguientes integrales.

,,

a)

J

b)

J

e)

J x2 Ja2 -

,/1 - 11

di

z'

Ja•+ z' dz x2

dx

d)

J

e)

J (y2 +a')'• dy

f)

J

z'

Jiaz - z1 t

dt

dt

3

(a2 +11 )'1

Actividad integradora de la unidad 2 l. En los siguientes incisos, calcule la integral de la función
,,3 J. /(x) = l-x + $

+1

5. /(x) =

e' + .,-•

2

2. /(x) =

3 -4 + ,,.. +x

6. f(x) =

3. / (x) =

｣ｯｳＧ

7. /(x) = x>t? + x'

X


ｻｾＩ＠

sen x l + seox

www.freelibros.org 4 . /(x) = 1+seo x

cos1x

x'

X

8.f(x)= - -

x+4

2.3 CAiculo de integrales indeñnidas o tl!cnicas de integración 105 2

9. /(x) = (1 + x)2

l l. f(x) = 1+ cos :e l +cos 2x

x(I + x 2 ) 2

IO. f(x)= 3sen 5x - 2cot5x sen 5x

Il.

En los siguienies incisos, calcule la integral de cada función. l. /(.:e)= x.Jx - l

2. f(x) =e Je + 4x 2 + 2 + 8x,/e + 4x2 + 2

3. f(x) = x(83''+')

7. f(x) =

ＲｚＳｾＫＱ＠

sen

4. f(x) = 5z+2

8. f(x) = (secx + tgx)2

5. f(x) =(a' - b')2 a'b'

9 . /(<)= sec<+secz tg 'l.

2

tgz

1

6. f(x) = cos(6x + 1)

m.

l

1 (8x- 1)

10. f(x) = - -- -- - sen2(2x+ l)cos' (2x + 1)

Encueni:re lreS maneras diferentes de integrar.

f 2 senO coso dO Concluya con respecto a sus resultados.

rv.

Eval6e las siguientes integrales. l.

J senOnx ｾ＠

J

J1oos' Ji

9

J(t + l)j('l.dz+ 1)

tg /r1y dy

10 .

X

2 J scnJi d1 ·

3. 4.

4d.:c

8.

9) + 1 cos(ln+ 9) dx

J

Jcos hx e'+ sen hx dx

.

Jｾｨｹ､＠ 7 J dx · J6 - 6x

ＫｾＩ＠

2 -

1

J251 +di101 +3 2

1. J../60-0 dO

l

2

12. f 13.

6.

ＱＶＭＴＨｸ

1

Ｓｹｊｾ

Ｍ Ｑ＠

f 51n(ln t) dt

www.freelibros.org 1

2

14.

In t

J16+8<+t d'l.

2

106 UNIDAD 2 Integral indeñnida y métodos de integración

(:!!.,

V. Fncuentre la curva definida que pasa por y = y(x) y el punto 6], si la pcodieme en cualquier punto (x,y)estádada por 2x2 +cos.r. 2

VI. La razón de cambio de la velocidad de un móvil en uo tiempo iw:eleración instantánea en el tiempo 0(1), en el tiempo 1.

1(!!... v(1}] se define como la di

a) Si la aceleración es constante a(1) = a en cualquier tiempo 1, defina la velocidad >{1) en cualquier tiempo 1, dado que v0 es la velocidad al tiempo / = O. b) Con base eo las mismas condiciones que el inciso a), calcule la disrancia y(1) recorrida por un móvil eo cualquier tiempo. VIT. Cilcule las siguientes integrales, usando el método que considere conveniente.

l.

1:

X

arctgx dx

2. J x2cosxdx

J," cos x dx '2 5

10.

4. J: e" scnxdx

11. ｊ ｾＧｬ＠

5. J

12.

x'

dx

6. ¡x+scn x dx l+cos x

x'd x 7. J - 2 l+x

3 sen-dx x -•3cos6 X

f cot 0 dO 13. f tg'O dO 14.

6

15.

9. J sen'x dx

3. J (3 + x - 3x 2)e-• dt

J¡ -x•

J", c. Jti,O sec 0 dO 16. f ig'Oscc' OdO

8. J x aragJx2 -2 dx

3

17.

j

tg;Osec' OdO

18.

j

cot'O <:$C0d6

19.

j sec• O=' OdO

20. J tg2oscco dO

j scc'OdO

VID. E'•ahle las siguientes integrales. l.

J,'•(x + aXx+b) dx

6.

ｊｉ

2.

¡-·_. x(xdx+

7.

f (x' - 8x

3.

¡•1'+1+1 di 2 t' + t

1)2

-

ｾ＠

- - dx

x1 l+x

2 )dx

4. ¡x'+2x+ I dx (x' + 1)2

www.freelibros.org 5.

J

x'-6 x• +6x2 +8 dx

2.3 CAicuio de integrales indefinidas o técnicas de integración 107

rr

...::t...

Contexto histórico Isaac Newton y la serie del binomio La serie del binomío fue descubierta por Newton en el invierno de 1664. Apareció expuesta en dos carras: la conocida como Epístola prior (junio de 1676) y otra, Uamada Epístola posterior (octu bre de 1676). La segunda la mandó al secretario de la Royal Society of London para que se la enviara a Leibinz. Newton obser\'Ó que el conocido desarrollo

D'EANALYSI rcr f1JUll1 0nD Ndn1Cf1) Ttm1iM(Um

,...,..,.,. , . _ . . . -•,. . . .,. ,. . . M ,.. ,.,.. •• ｬ ｎ

ｬ

ｾ

ｉ ｔａ

ｓＮ＠

¡...., ,_ ,.,.,,.. ........... ｾ＠

, . nl•( tor•,

ｾＮＬＴＱ

Ｈ

lSI'

...ＮＭｾＺｲ＠

.... ｾ

(a+ x)• +a•+ !!."•- 1 x ＫＭｮＨＬ｟

ﾭ

1

,.. ,.,,..... ＬＮｾ＠ ,Jttf.-r-Ｎ｟ｴ＠ W.-"'

+ a·"-2 x l +···+ x"

•

..

ｃＮＬ｟ｾ＠

.. ｾ･ｩＮ＠ ... ..... ｾ＠ . . . l•i& t-a

Ｍ ｟ｉｾ Ｉ＠

I· 2

Se puede generalizar para exponentes fraccionarios a= pi q como una suma infinita.

.e •

,.,. ,... ,.,.,,,,,TJI 'i.."''''""

(a+ x)" +a• + -a""' "' 1

'" , ...-.,1• ,.. ..

•

..

1

••

+oc (oc - 1) a""'x' ... 1-z

Newton haUó este resultado cuando intentaba esrudiar la cuadratura del clroulo y= ( J- x2} 112 • Comparó las fórmulas para y= (1 -xl)º,y = (t-x2)112,y = (1 - x2)2'2,y = ( 1- x2fl2,y = (1 -x2)412. De la primera, tercera, quinta, etcétera, se pueden hallar sus cuadraturas entre O y x, ya que son sumas de cuadraturas de términos en X' ya conocidas. De esta forma: Is cuadratura de Is cuadratura de la cuadratura de Is cuadratura de la cuadratura de

y = (1y = (1y = ( 1y = (1y = (1-

x2)º es

X

x2)'12 es

x - l/3x3

x - 213.l3+1/5 x5 x-3/3x3 + 3/5 x5 + in x1 x - 4/3.l3 + 615 x'- 4n x' + 1/9.:9

x2)412 es x2)612 es x2)812 es

Examinando los coeficientes de estas expresiones, Newton obscr\'Ó que los denominadores que aparecen son los impares 1, 3, S, 7, ... ;mientras que los numeradores son sucesivamente {11, (1, I}, {I, 2, I}, {! , 3, 3, !}, {I, 4, 6, 4, !}, etcétera, que son los números combinatorios que aparecen en el triángulo aritmético de Pascal, cuya fila n está formada por : 1

,n,

n(n - 1) {n - l){n - 2) 1·2 ,n 1·2·3

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108 UNIDAD 2

•

Integral indefinida y métodos de integración

Autoevaluación de la unidad 2 1. Compruebe la siguiente igualdad, explicando el método de integración usado.

J(lnx) dx = x(ln x) -2x lnx• 2x + C 2

2

2. Suponiendo que 11 > 1 y que n es un número natural, deduzca la fórmula de reducción. 1 xoosx+ -11-11 sen"- xdx Jscn"xd::c = --;-scn"1

11

2

3. Utilice la fórmula del inciso anterior para reducir.

4. Resuelva la integral del punto anterior ubicándola en alguno de los casos descritos en la unidad y compare sus resultados. Concluya sobre estos. 5. Utilice la sustitución trigonométrica z = 2scc0 para evaluar de manera exacta y explique por qué no podría usar otra sustitución.

1 J'' 4- z

2

dz

6. Suponga que una panícula se mueve a lo largo de una línea recta, de forma tal que su velocidad en mis está determinada por la función v(t) =

1+ 3 . 1 +31+2 2

Calcule la distancia recorrida desde hasta

vn.

1

= o hasta 1 = 4.

Evalúe la siguiente integral, explicando la técnica utili7.ada, así como el criterio de selección de variables.

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ir.itegr.al

Y

a en la unidad 1 introdujimos la noción de integral para encontrar el área debajo de la curva de una función; sin embargo, la utilidad y aplicabilidad de esta herramienta (potenciada y reforzada por las di· versas técnicas de Integración) van más allá, tal como en el cálculo de volúmenes, longitudes, áreas entre diferentes funciones y el eje x, así como su uso en física al estudiar conceptos como trabajo, movimiento, electricidad, mawietlsmo y termodinámica. Por otro lado, y debido a que el concepto de integral nace de un cálculo numérico, muchas integrales que modelan sistemas físicos no pueden resolverse analíticamente; pero siempre pueden resolverse numéricamente utilizando la tecnología. Así veremos también la integración numérica como parte de las aplicaciones en esta unidad.

3.1 Áreas 3.1.1 Área bajo la gráfica de una

función 3.1.2 Teorema del valor medio para integrales 3.1.3 Área entre gráficas de funciones 3.2 Longitudes de curvas 3.3 Cálculo de volumen de sólido de revolución

3.3.1 Método de discos 3.3.2 Método de anillos 3.4 Cálculo de centroides de reglones

planas 3.5 Otras aplicaciones 3.5.1 Integración numérica 3.5.2 Circuitos electromagnéticos 3.5.3 Decaimiento radiactivo 3.5.4 Crecimiento poblaclonal

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COMPETENCIAS POR DESARROLLAR COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

• Interpretar enunciados de problemas para construir la función que al ser integrada da la solución. • Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitudes de curvas y volúmenes de sólidos de revolución. • Reconocer el cálculo integral en la Ingeniería. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

• • • •

Plantear la integral que resuelve el cálculo del área delimitada por una función. Calcular y graficar el área entre funciones . Usar software para graficar funciones menos conocidas. Recopilar expresiones matemáticas en las que aparezcan integrales en problemas de ingeniería, identificando las variables físicas involucradas. • Elaborar enunciados inéditos de problemas de aplicaciones de la integral.

HABILIDADES Y ACTITUDES

• Desarrollo de habilidades para interpretación de líneas y curvas. • Habilidades de interpretación de líneas y curvas en movimiento. • Desarrollo de habilidades para combinar creatividad y razonamiento que le permitan modelar y construir formas y figuras, ya sea de manera virtual o física. • Modelación matemática de problemas físicos y reales usando integración.

COMPETENCIAS PREVIAS

• • • •

Uso de software de graficación. Conocimiento de alg¡Jn lenguaje de programación. Conocimiento de las principales técnicas de integración. Principios elementales de modelación matemática.

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ORGANIZADOR GRÁFICO DE LA UNIDAD 3

Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución

Cálculo de centroides

•C'- .i.•---

1

................

•

,....,. ,.. ----...-.·· ,,,... ... .,....---...-.··

s• f1•

'4.IM1 1t t:;\11

...

Áreas bajo la gráfica de una función Jtx)

y

1r

1••

1•• ,.. ,,.,

o(,1. ) ' """"'"

•t.

ApllcaclonM de la Integral

s=

J.' J•+(:J'dx

Integración numérica

1

y

Áreas entre gráficas de funciones y

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Antecedentes El método de fluxiones Newton dio a conocer su obra De Analysi en 1669, que fue publicada después en latín en 1711. Este documento contiene lJls ideas esenciales del cálculo ncwtoniano. Su texto com=ba ofreciendo lJls reglas para calcular cuadraturas; la primera de cuas dice:

.

-

Regla I Si aX • =y; Edt

...

a -·-x • 111 +n

= AreaeABD

Más tarde en ese mismo tratado proporcionó un procedimiento pata hallar la ordenada de una curva cuya cuadratura está dada. El proceso es interesante, ya que AN .i\ .L.. Y S l S puede verse el papel inverso que juegan la difetc0ciación y la integración. Newton dio luego otra versión de su cálculo en Me1/rodus f"Jiuior1'1n el Seri.eru1n lnfinilonun, que fue escrita en 1671 y publicada en 1736. · .--:: .Ｔ Ｚ ｾＭ Newton concibió las cantidades matemáticas como . •..1.,.....-:_...,._.___ e l movimiento continuo de un punto que traza una curＭ ｾ Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ ﾷＭ .... ...,...,.._.,.. _ ,,"'!11 ,.__,,........... va. Cada una de estas cantidades variables que aparecen (x, y ...,) son/fuentes y sus velocidades, designadas por i, j .. ., son fluxiones. La parte infinitesimal pcquena en la que un fluente se incrementa por unidad infinitesimal de tiempo es O, ,;11, el momento del fluente. El problema fundamental es, dada una relación entre ftuentes, ballar la relación entre sus fluxiones, y recíprocamente, dada una relación entre fluxiones encontrar la relación correspondiente entre ftuentes. La relación entre fluxiones. a partir de los ftuentes, es fácil de hallar, ya que si la relación entre fluentes es por ejemplo y = f(x), en un pequeño intervalo de riempo O, x se incrementa ax + Q:i, y y se

..

-

incrementa ay+ oy, y al ser y + Oj= f(x +
------..

y= f(x+Oi)- j(x)

o

Al ser el incremento infinitamente pcquefto, se cancelan los t6nninos que contienen Oy aparece la relación entre fluxiones buscada. Por ejemplo, para y = x3, obtenemos:

. (x+Oi)'-x' y-

o

3x'i0-3.U2 0'+0' Q

-

,. ., , 3X x+ 3XX 0 + 0

Luego, elimina los términos que contienen O, ya que "se les supone infiniiamcntc pequeños". Al rcafuar esto, queda:

www.freelibros.org j = 3.?.ty; pormnto, la relación entre fluxiones

･ｳ ｾ＠

X

= 3.?.

La misma técnica funciona cuando y(x) es un polinomio en x.

3.1 Áreas 113

En los demás casos Newton utiliza su binomio; por ejemplo, para y= JI+ x , . Ji+(x+iO) -Jl- x . . ,,-;-:-: x x'Ydesarrollado por el bmoDllo Pv l +x = 1-----···

o

.

2 8 Después de sustituir, simplificar y dividir eotre O, aparece l.. como una serie infinita. X

Newton aplica tambi6n su método al caso de una curvaf(x, y) = O. Da por becbo el caso de la cúbica x3 - ax2 + axy - y3 = O. Para hallar la relación ei1re Buxiones, sustituye xpor x + .iO y por y+ yO. Esto se resuelve como: (x + .i0)3 - a(x

+ .iO)l + a(x + xO)(y + yO) -

(y + y0)3 = O.

Después de operar y simplificar restando las relaciones x3 - ax2 + axy - y3 = O, cancela los términos 02 y 01 por ser despreciables frente a O, y divide entre O para obtener 3x2.i- 2ax.i:+ ayx+ axy- 3.f.¡i= O, de donde resulta la relación de Ouxiooes

l.

3x' - 2ax+ay 3y' -ax x Newton especitic6 las diflcultades de (notación) de rigor de estos conceptos y posrerionnente refinó su ioteipretación en De Q11adrawra cun •arwn, esenio en 1676 y !"blieado en 1704. En él habla de iíltimas proporciones (1dtima1e redios) diciendo: ''Por llltima proporción de cantidades evanescentes debemos entender el cociente de eslas cantidades no ames de que desvaneuan, ni después, pero tal corno van desvaneciendo". De manera intuitiva, Newton cxp:esa Jo que conocemos como definición de derivada en térmioos de un lúnile. esto es: J'(x) = lim J(x+h)- f(x) . .....

h

El proceso ioverso, ballar Ja relación entre fluentes a partir de sus Ouxiones o resolver ecuaciones diferenciales, es más complejo y no siempre funciona. Newton dio como primer ejemplo 3x2.i - 2ati+ ayx+ ax.Y - 31.Y= o, que es el reciproco del caso anterior, oonde obtuvo x3 - ax2 + axy - y3 = O invirtiendo el pro-

oeso.

Áreas A lo largo del desarrollo de las unidades anteriores, hemos hecho énfusis en considerar que Ja inlcgnil o el proceso de integración es una oixración inversa a la derivación. Este 6nfasis persigue un propclsito metodológico u operacional: permitirros "manipular" mejor el ]:ll)OCSO de integración y adquirir las técnicas necesarias para obtener integrales. Sin ･ｭ｢ｾｯＬ＠ el origen de la integral es Ja suma iterada (recordemos el sigoilicado de su símbolo j ) de áreas. Por dJo, aJú es donde eslá su mayor aplicabilidad y utilidad.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función E.a Ja primera unidad vimos cómo enconcrar la mejor manera de calcular áreas de regiones planas, dividiendo el iniervalo de interés en n regiones rectangulares de longitud tu y sumando el área de los n rccL4ngulos; asl, el área cs1aria dada por

www.freelibros.org •

lím l:J(x, )( Li ,x1 ) si el límite 3.

#-00

i-1

114 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

Pero, además, si fes una función continua en [a, b] y f'0) ｾ ｏ＠ 11 x E fa, b] y sea R la región limilada por la curva y = f(x), el eje de las x y las rectas x =a, x = b. P.ntonces, la medida A del área de la región R esla dada por

•

A = lím 2:f(x 1}tu, .. -oo i•I

Pero lím Í::f(x,}tu, = W-00

¡•f (x) dx

11•

1•

•

(•J

lo anterior signiJica que si fes continua en [a, b] y f(x) ｾｏ＠ 11 E [a, b], integral definida se interpreta geomélricamente como la medida de la región R.

la

Así, y

Y • j\x)

a ｆｾＳＮＱ＠

Pero, además del teorema fundamental del cálculo, sabemos que

J.' f(x )dx =

F(b )- F (a1 donde F(x) es la antiderivada de la función f(x) de la fonna F'(x) = f (x). Podemos afinnar que: A = F(b)- F(a)

Ejemplo 1

J'

J. Calculeelvalorde laregiónplana bajolagráficade f (x )= J 4-x' dx encl intervalo [- 2, 2). _, SOLUCIÓN

Trawmos la gráfica de la función, la cual, como se puede ver, es un semicírculo con ccnrro en el origen y de radío 2. Para encontrar la respues1a al problema, se utilizó un software llamado "Geogebra", cuyo procedimiento requiere indicar la sinraxis de la función dada. Por ello, es necesario intrOducir la sintaxis COn'ecta en el cuadro de texto "Enlrnda ". Se utiliw el siguiente comando: Integral! < Función>, , < Valor Ftnal de x>], que sei!ala que se deberá ingresar una función, junto con los valores inicial y final de x. Así, la sintaxis se convirtió a: ln1egral[sqrt(4·x"2), ·2, 2). Lo anterior nos señala que se va a ingresar una integral, utilizando la misma palabra "Integral", que hace referencia al símbolo f. Después, se abre [ ] para indicar que dentrO habrá una función con sus respectivos límites. Se

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3.1 Áreafl 115

utilizó el comando "sqrt(parámcttos)" para mandar Uamar la raíz que contendrán los ténninos dentro de eUa 4 - x2

• '

J4 - x2 . Con";' se separó cada uno

4

de los intervalos - 2,2. Al final se cierra el corchete que se abrió después de indicar el operador o comando de la integral. En la figura 3.2 se puede apreciar que la región está limitada por/(;<), el eje de las x, también se observa que x

' 0

_, _,

= 2yx = -2.

o

l

•

-l

El área de esta región circular será

A

ae6.28

=f _,' J4 - x 2dx

1 1 A=J' +i2 arcscn'5..I' _, J4-x dx=15..J4-x 2 2 _,

= (2arcsen(l)-2arcsen(-1))= 2rr Otra manera de ver el cálculo de esta área es observando que/(x} da una semicircunferencia de radio r = 2. Como sabemos que el área de un círculo es= rrr2, el área de: la región se puede expresar como: l

A = -7rr2 coor = 2 2

A

1 =2,,., =2"(2)'

que fue también el resultado de la integral. 2. Determine el valor exacto del área de la región limitada por/(x) = (2x + 1)2 en d intervalo (-1, 2]. SOlUCION y

" 10

www.freelibros.org ｴＭＫｾ

- 15 -3

-u

ｴＭＫＺ

- 2 - 1.J; - 1

ＬＮ

ＢＧＱＭｾＫｴ

- o,s o

Fil... 8.3

o..5

1

Ｑｾ＠

ｬＡＮＫ

?.

u

ｸ＠

118 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral

La gráfica def(x)(l'éase figura 3.3) muestra una parábola con centro en

valor del área requerida será: A=

J'- · (2x+

I)' dx

(-.!.,o) El 2

=..!_(2x+ 1)'¡:_, = ..!_((5)' -(-1)3 ) = 21 6

6

3. Dc1ecmine el valor exacto del área de Ja región bajo Ja curvaf(x) = cos x dx en el intervalo [ - '!f, '!f] SOLUCIÓN

-

. .'

...o

n • 3000

o

-0.5

-·

- 1.5

En este caso el área total es igual a cero, debido a que se tiene igual porción de Ja región por debajo de la curva cos x y por encima, de manera que su valor del área total

es cero.

Para ajustar el cjcxa los parámetros de '!ten el plano, se le dara clic derecho sobre el eje a modificar/ VLSta gralica .. . : En este caso se modificará el eje".<''; para lograrlo, se elige la pestaña "EjcX"/Gradacionesl" y se elige la opción deseada. Para este ejemplo se selecciona la primera opción. Después es ncecsario ir a la opción "unidad" y elegir"·

..... ,_

._, _

---

Ar == J_-.. cos :e dx = sen xi :._ Ar = sen 11 - sen(-it) = O

Para la tabulación del eje, en este caso, hay que cerrar la ventana. Para gralicar la fonciónj{x) = cosx dx
13 •

a= 1t

• b= Ｍ ｾ＠

l"" -

www.freelibros.org Después se deberá utilizar una herramienta Uamada ''Deslizador'', que se encuentra ubicada en el área de objetos. Esta pennite modular las particiones o sumas de Jos rcclángulos bajo Ja curva. Luego, se debe dar clic en el plano para seleccionar el "deslizador". Enseguida se abrirá una ventana. El siguiente paso cotLSiste en selec-

3.1 Áreafl U7

cionar los parámctrOS adecuados; el primero de ellos debe ser un valor "entero". En la opción "nombre" se deberá seleccionar el valor para eslc. Se ｲｾｭｩ･ｮ､｡＠ elegir W1 nombre corto, o una variable. En este caso se le llamará "n". Una vez nombrado, señalamos los parámetros en la pestaña INTERVALO. Estos parámetros son: •

Mín. = l

• Máx. = 2600 (nómero de particiones) • Incremento = J Una vez hechas todas las configuraciones anteriores, se procede a ingresar la suma debajo de la curva de la siguiente forma (en la caja de texto "Entrada"):

ｾ

ｉｮ ｦ･ｲｩｯＨＮ＼＾ｾ＠

Código que indica la sUUXt inferior

Valor de los iricrvalos y del dc::sliutdor

ltdica la funckSn

Una vez realizados todos estos procedimientos, se obtiene la gráfica, por lo que se puede comprobar la solución de forma visual.

3.1.2 Teorema del valor medio para integrales Una parte importante de las propiedades de la integral, que no abordamos en la primera unidad, es el 1corcma del valor medio para el caso de integración, el cual será necesario entender para avanzar en las siguientes aplicaciones de la integral.

Teorema

Si/y gson funciones integrales en un intervalo cerrado [a, b] y si .flx) ｾ＠ g(x) Vx E [a, b],

J.• f(x)dx ｾｊＮ＠

111•

g(x)dx

y

ｾＩ＠

g(x)

www.freelibros.org x=a

x=b

118 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

La 6gur:a 3.5 puede ilustrnr el significado del te0rema anterior, donde se expresa que si para cualquier valor en un intervalo de una función f se cumple que f(x) > g(x) 111• el valor de las áreas respectivas seguirá la misma conducta, es decir, el área debajo de la gráfica deg(x) en el mismo intervalo, como se aprecia en la figura mencionada. Ahora analicemos solo la gráfica de algunafcootinua en un intervalo [a, b], donde podemos fácilmente locali7.ar el valor mínimo absoluto, al cual llamaremos m, y el valor máximo absoluto M(en el intervalo) (wfase figura 3.6).

)'

l

u

•

• ••••••••••

1.

- l- -1 "----'-l. a

(b - • )

b

FIJpra 3.6

Chmo sabemos, J.• f(x)dx proporcionará el valor del área limitada (o bajo f(;c)), el eje Xy el intervalo [a., b]. Observamos que en la figura 3.6 se forman dos rectángulos, uno que con base (b - a) y altura m, y otro con base (b - a), pero altura M. Con base en lo anterior, podemos asegurar que: m(b - a) < M(b - a)

Pero como sabemos que CSUIS dos cantidades son en realidad áreas de los rectángulos mayor y menor 1. . bablando en términos de áreas tenemos el siguiente teorema.

Teorema

Si la función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y si m y M son, respectivamente, los valores de la función en el mínimo absoluto y en el máximo absoluto del intervalo, de forma que se cumple: m $f(x) $ M \fx E [a, b]

*

m(b-a) $ J.• f(x)dx$ M(b -a)

www.freelibros.org El teorema anterior nos permitirá estimar un intervalo que contenga algún valor específico de la integral por ser determinado.

3.1 Áreafl 119

ｾ･ｭｰｬｯ＠

2 l. Estime un imcrvalo cerrado que contenga el valor de

J_',J 2+ x dx.

SOLUCIÓN

f(x)= J2 +x Al calcular los valores en los extremos del intervalo, se obtiene: .f(- 1) = 1 - m; (b - a) = 1 - (- 1) =2 .f(I) =

..fS =

M

,•

JO

8

• •

ＭｴＫ

'

ＭｴＫｩｾＮＬｲ

- 16- 14- l'2 - IO - l - 6 .,.4 - 2

ＭｩＮｸ＠

O 2

4

6

8

10 l2 14 l6

l'lgum 8.7

Entonces, 1(b - a)S ｊ

ｺＺ［

ｾＬ＠ J2+x S ../3(b -

a)

ｊ ｾＬ＠ J2+x :::;2../3

Por tanto. el intervalo cerrado [2.2../3] contiene el valor dado de la integral definida. Para comprobar esto, se procede a graficarlo en el software ya antes utilizado. Cabe mencionar que ya no se hará referencia a los términos de los objetos utiljzados para graficar ejemplos anteriores. Se ingresa la función / (x) = Jz+x de la siguiente fonna:f(x) = sqr1(2 + x), para tr.uar la línea. Después se ingresa la integral

J' J2 +

www.freelibros.org -1

x dx siguiendo este patrón: lntegral[sqrt(2 + x). 1, -1], donde se indican

los 2 intervalos (1, - 1], para dibujar el valor contenido de la misma integral y el cual se representa en la figura del ejemplo como la parte sombreada.

120 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

2. Calcule un inrervalo cerrado que conrenga el valor de la inregral

,., J-, cos x dx.

SOLUCIÓN

(b-a)=( + ;)=,,. 2 ;

f (x)=cosxdx,

ＱＨＭ［Ｉ］ｾ

］ ＰＮＵ＠

iH,,.l=-H=o.125 0. 125Tr $

f ,, cosxdx $ 0.5,,. :i.)

-r

El intervalo buscado será: (0.1251', 0.511]. Com-0 ya se ha venido realizando, se escribirá en "En!rada" la siguiente instrucáóo: ln!egral[cos(x), 2"13, -

1113). Esta representa f

2., cosxdx , que bace referen-

-71 2 áa a la parte sombreada, la cual está delimitada por los puntos - y )"· Después,

se procede a ingresar la función del cos de la siguiente forma: f(x) = cos(x). la cual representa la misma área sombreada y grafica su función. y

I

_,

ｾ＠

//

El estudio de búsqueda de intervalos de acotaciones pennite preguntamos un poco el caso contrario o inverso, esto es, si tenemos una función/(x) ｾｏ＠ Vx E[a, b), donde

J:

f(x ) proporciona el área de la región limitada por/(x) y las rectas.:c = a y

www.freelibros.org x = b, ¿podemos encon1tar un valor C E [a, b] tal que el área del rectángulo C(b - a)

esté contenida? La respuesta a esta pregunta está en el siguicn!e teorema.

3.1 Áreafl

Teorema

Si la función fes continua en el intervalo ocrrado [a, b) CE [a. b] tal que

1,2j.

'* 3 un número

J.•J(x)dx = J(C)(b-a) Este teorema, mejor conocido como el teorema de valor medio para integrales. no proporciona un método para obtener C, pero afirma que dicho valor 3. También el valordeJ( C) proporcionado por el tcor:cma representa en realidad un val.oc promedio de la función en el intervalo. En otros términos, es una generalización de la media aritmética de un conjunto finito de valores de la función; esto es, !flt1l. /lt1)... .. fltn)J. o bien:

t i(x,) ""'

n

, lo cual representa la media aritmética den números.

b- a Es decir, n = Cu E'n el límite, o cuando n toma valores muy grandes, y si el límite 3,

lfm t.f(x,)

J.•J(x)dx

. .... b - a

Definición 1

b- o

Si/es una función integrable en el intervalo cerrado [a, b] de/en [a, b]cs:

J:

'* e1 valor promedio

f(x)dx b-a

Ejemplo 3

J

l. Si _, x dx = l, 2 cal cu le el valor promedio de la función identidad en el intervalo (- 1, 2) y determine también el valor de donde se obtiene el valor promedio (Vp). 1

SOLUCIÓN 2

f-

xdx 1

3 -

15

3

3

www.freelibros.org (Vp)=

(2+1)

/(0.5) = 0.5

=l.= - · = 0.5

122 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

2. Para la medio.

J.'x 2

0

d:c, calcu le el valor de C que satisfaga el rcorema del valor

SOLUCIÓN

f.' x'

d:c = /(CX2 - O)

= 2/(C); pero ,.

J.' 0

X 2 d:c "' 2.666

2/(C) = 2.666 /(C) = 1.333

Así, C2 = 1.333

e= J 1.333 = 1.1541

:. J.' x' d:c = /(1. 1547)(2) 3. Calcule el valor promedio de la función / (x) = ｾ＠

X

en el inlervalo (1 , r]. Si A es

el valor promedio dereoninado, calcule lím A. ｾ＠

SOLUCIÓN

ScaA = valor promedio de la función /(x)= J. X

A

J.'- 1 dx ｾＱＺ＠ ' xi

(r - 1)

111• lím A = ｾ＠

ｾ

4. Compruebe si la desigualdad

valor medio.

(r - 1)

111•

-(;-1) (r - 1)

r

lím..!_ = 0. ｲ＠

J.'--#.--:$!. es cie11a usando el teorema del o x +4 2

SOLUCIÓN

/(C)(2)$ 0.5 J.'-#-= +4 O

X

1• /C) $ 0.25, lo cual se cumple V C E [O, 2] 1• cierta).

la igualdad se cumple (es

Ejemplo de aplica ción del teorema del valor med io para Integrales

www.freelibros.org Un cuerpo cae desde la posición de reposo y recorre uoa dis!llncia s antes de Uegar al suelo. Si la única fuerza que act11a es la de la gravedad g, a) demuesrre que el valor promedio de In ve.Jocidad expresada como una función de la distancia, mientras

3.1 Áreafl 123

recorre esta distancia es .!. ,j2gS pies por segundo y que la velocidad promedio es 3 dos terceras partes de la velocidad final. SOLUCIÓN

De acuerdo con las leyes de la física de un cuerpo en caída libre, la velocidad final del cuerpo será V¡ = V0 + gr, donde V0(veloc.idad inicial) = O, ya que el cuerpo

parte del reposo v1 = gr; además, la distancia recorrida es S = Expresando 1 en términos de S: 1 =

H,

i

gr2 •

y sustiruyendo en V¡:

Seg11n el teorema del valor promedio, el cuerpo se desplaza una distancia S 11• V¡ promedio =

J.' .fiiS ds s

1

tgs

:t

3

2 =

·-(2gS) 2 = - v 2gS 3 3

Portafolio de ev idencias 1

• Describa la interpretación geométrica del teorema de valor medio para integrales; de ser necesario, invente ua ejemplo para ilustrarlo. • Si una función fes integrable en un intervalo [a,!>], ¿cuál es el significado del valor promedio? Explíquc con sus propias palabras. • Invente un ejemplo que muestre cómo se calcularla el valor promedio de la fuociónfeo dicho intervalo. • Con sus propias palabras y paso a paso, describa cómo calcularía el valor del área de una región plana acotada por y = f (x ), el eje xy y las recias x = a y x = b usando integración. • Explique también qué condiciones le pondría a la función anterior.

Actividad de trabajo 3. 1

l. a) Obtenga el valor promedio de la función f definida por / (x) =

en el intervalo

[o.¡] sabiendo que J scc' x " 0

sec2x

dx = l.

b) Determine también el valor medio C en el que ocurre el valor promedio, describiendo la interpretación geométrica de los resultados. 2. CalcuJe con aproximación de centésimas el valor de C que satisfaga el teorema del valor medio en las siguientes integrales.

www.freelibros.org a)

J.' x2 +4x+Sdx 1

b)

1 J'-, -dx -•x +s

12.4 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral

c)

J.

d)

J'

5,

6

Ｒ ｾ Ｓ＠

-05

cotx dx

x' dx

3.1.3 Área entre gráficas de funciones Como el titulo lo indica, en este apartado vamos a analizar algún tn
y

gG<)

_... A•)

.' . '' '

''

Ｍ＼ｾ

o

X

ＭＫ＠

b

'* La suma de Riemann de los n rectángulos será: • L:(!(x1 )-g(x,))6x* 11* d valor aproximado del área A i• I

A=

t....(!(

x1) - g( x1) ) 6 x : por supuesto el valor de A será más preciso cuanto

mayor sea el ndmero de rectángulos que consideremos. Así,

www.freelibros.org A= lím t(f(x1) - g(x, ))6x

•-oo i • I

O bien, podemos definir en términos de la notación integral,

3.1 Áreafl 125

Definición 2

El área de la región limitada por las funciones continuasf(Jr) y g(Jr) en el intervalo cerrado [a, b] y doodef(Jr) ｾ＠ g(Jr) \f x E [a, b] estará definida por

A= J.•(f(x)-g(x))dx

Ejemplo 4 1. Encuentre el área de la región limitada entre la curva y = $x y la recta y = x - 9. SOLUCIÓN

Para otccncr la gráfica de la función, interesan los pumos de intcrseeción de las curvas

y=J'fi yy=x-9

$x = x-9 2

(x-9) -3x =O 1 10

y=x - 9

8 6

• 1

..

-_,· -· -·

16

ｾＭＸＮＱＰ＠

Esto se cumple cuando x=l5.98""16

x=5.0I R<5.

www.freelibros.org Los puntos de intersección apro>dmados son: (5, -4), (16, 7). Observando los rectángulos dibujados, se puede apreciar que son diferentes en A 1 y en A 2• Esto sigoili.ca que será necesario dividir el área entre curvas en dos seccio-

126 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

aes, de acuerdo con la forma de los r<:CWngulos que contienen, es decir, el área total de la sección que se está buscando Ar; entonces,

Ar=A 1 +A2 Y por lo tanto se necesitará encontrar una integral que represente A1 y otra que represente A2; así,

J.' (3x)'z dx, ya que esta sección únicamente se encuentra con y= ,/3;.

A, = 2

• R<25.82 2 'l'l = 2(2./3(5)'') [3.f3x·

A,= 2

2

0

Además:

Ar= 25,82 + 44,4R: 70,22u2

O' +addw: En general, es más recomendable encontrar una sola int.cgral para el área toral y no dos como en este caso; una manera de hacerlo es cambiar la posición de los rectángulos, ya que también se podrian sumar de manera horizontal, como se muestra en Ja 6gura 3.11. Sin embargo, esta nueva manera de sumar rectángulos supondrá cambiar los límites de integración y tomar un intervalo comprendido en el eje x. Así, el elemento base del rectángulo estará en el eje vertical y la altura dependerá de la curva y=x - 9. También es importante notar que con el cambio de límites (ejes), la recta y =x - 9 s iempre estará por encima de y= Ex.pero para que esto se pueda establecer tanto algcbraicamente como geométricamente se tendrán que expresar las funciones en términos de la variable independiente; as(:

7 .............. ......... . . . .. ..... .

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3.1 Áreafl 127

y=x - 9 11• x=y + 9 y= J3X x

］ｾ ﾷ Ｌｹ｡＠

que A= J:,((y+9)-[Y: ))dy

' l ]I _. J,[y+9- 3,.)dy = (i2 - 9y- 9/

A= _,

= (49.389) - (- 20.88) "'70.269112

Se observa que esta manera de integrar el á.rea es más simple, ya que solo se necesitó una expresión para la iniegral y el valor del área es muy similar en ambos casos.

Elementos para alc•mmr la competencia E.ste sencillo y clásico ejemplo (aunque no simple) de cálculo de áreas entre curvas nos induce a una pausa para hacer una síntesis y descripción del método que pennita al estudiante extraer los elementos más importantes que requiere la competencia de estimación de áreas entre curvas: l. Grafieación o bosquejo de las funciones en un mismo eje coordenado.

2. Determinación de los puntos de intersección de las curvas. 3. Elección por inspección por la curva mayor Vx E intervalo. 4. Elección del rectángulo típico de aproximación.

S. Elección correcta de los lfmites de integración. En todo caso, unos de los elementos más importantes para aprender a calcular áreas de regiones entre curvas son el raumamíento y la pericia para elegir de manera correcta los parámetros y las técnicas de solución de integrales vistos en la unidad 2. El ejemplo anterior se puede resolver de dos maneras debido a que 3 áreas se pueden calcular mejor considerando x como función de y. Sí una región por deter· minar está limitada por la curva f(x) y, pero se puede expresar como x = /(y) y g(x) = y, que a su vez puede expresarse como x = g(y), donde 3 también y = C; y = d, Vf y g continuas en [e, d). Así, ahora debernos expresar

=

x • g(y)

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128 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

A= i Paraf(y)

'(!(y)-g(y))tty

g(y), V yE[c, d]. ｾ＠

y

.l\t)=y ｾＭＬＮＺ［＠

g(x) a Y

A = J.' (J(x)-g(x))dx Paraf(x) ｾ＠

g(x) VyE[a, b].

Ejemplo 5 Determine el área de la región acotada por las curvas dadas: l

4

Y=-x+3. )'= --x+3 3'

x=-2

J

x=I

SOLUCIÓN

Se observa que la región está dada por la forma:

A= J.'(¡(x)-g(x)}dx A=

ｊ ｾ Ｑ Ｈ Ｍｸ Ｋ Ｓ ｽ ＭＨｾｸＫｦ｝Ｉ､＠

J 2 5) (

www.freelibros.org i 1 5 J' .1 A= _,I ( --x+ -3 dx= --x 3 3 +-3 x _, =6u

3.1 Áreafl 129

o

b) E'ncuentre el área de la región limitada por las siguientes curvas:

y = 2x+4, y= x- 1, y = -2y y= 2 SOLUCIÓN

Se despeja la variable x:

Luego,

A= f,'(J(y) - g(y))dy= ｲ =ｌ ＺＨｾ Ｋ ＳＩ､ｹ］ＨＺ＠

ＺＨｹ

Ｋ ｬ Ｉ Ｍ Ｈｾｹ

Ｍ ＲＩ､ｹ＠

+3yL=l211

2

l

....

..................... . ｾ＠

o

_,

3

www.freelibros.org e) Calcule el área de la región comprendida entre las siguientes rcctaS: X-

2y = - 5,

X

+ y = 4, 2x - y = 5

130 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

SOLUCIÓN

Sean

l 1:x-2y= -5, /.,i:x +y = 4, ú,,: 2x-y = 5. Para realizar el gráfico encontramos los puntos de intersección entre las rectas, resolviendo los sistemas de ecuaciones:

L,:x-2y= - 5 L,:x+y= 4 Asf: L, n Li = (1, 3), L,

L,:x-2y= - 5 L,:2x-y = 5

n ú,, = (5, 5), Li n

ú,,

L,:x+y=4 L,:2x-y= 5

=(3, 1)

F...•3.i8

Se resolverá el problema por los dos métodos. Método l: lntegroción con respecto ax

Se consideran dos regiones y

L,

Ｚ ｦＨｸＩ］ｾ

L, :g(x)= 4-

ＫＥＮ＠

x,

L, :h(x)=2x-5

A = Área de R, + Área de R2 A = J,' (J(x)-g(x))dx+

Luego:

ａ］ｾ

ｊＮ Ｇ｣ ｸ Ｍ ｊ Ｉ､ｸＫｾ

2•

J,' (f(x)- h(x))dx

ｦＬ ＧＨＭｸ

2 l

ＫｳＩ､ｸ］ｾＨ

Ｇ＠ Ｍ ｸｲ Ｋ ｾＨ 2 Ｍ 2ｸＧ＠ +sxJ'

22

3

www.freelibros.org = 3+3 =

6111•

3.1 Áreafl 131

Rgln3.H

Método 2: Integración con respecto a¡ Se consideran dos regiones y

1

s

L,:/(y}=2y-5, L,:g(y}= 4-y, L,:h(y)= 2y+2 A = Área de R, + Área de R2

A= f,'(h(y}- g(y}) dy+

3J,'

J,'{h{y)-/(y))dy

3J.'

3¡

l JI' 3¡y2

Luego: A= {5-y)dy + (y- l)dy = - 5y-- +---y 2> 2• 2 2,22

J' 1

=3+3= 6u 2

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132 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

e} Calcule el área comprendida entre las curvas: x = yl, x = 2 - yl. SOlUCIÓN

Se encuentran los puntos de intersección entre las curvas

y2 = 2 -1-+ 2y2 = 2-+ y = ±1; luego, lospumosson(l, l} y(J, -1). C.Omo la región es simétrica con respecto al ejex, entonces:

' • o.s

- 0.5

' Fil're3.19

d) Evahle el área comprendida entre tas curvas: y= x:'

- t2x, y = x2.

SOWCIÓN

Se grafica la curva y = x:' - 12x, hallando puntos críticos, máximos y mínimos. y 1 =112 - 12 = 3(.r + 2)(.r - 2}

=o

x = - 2 -+ punto máximo: ( - 2, 16} x = 2 -+ punto mínimo: (2, -16)

Se calculan los puntos de intersección entre las curvas:

x3 - 12x= x2 -+ x3 - x2 - l2x = 0 -+ x(x - 4)(x + 3) =0 x = -3-+ A(-3, 9)

x = 4 -+ 8(4, 16} x = 0-+(0,0}

Luego:

,r

www.freelibros.org ,lº ¡, ,

1 • , 1 1 • A = (-x -6x --x + -x --x + 6x 4 3 _, 3 4

99 160 937 , =-+-=-11 4 3 12

3.1 Áreafl 133

...

'

Rguro 3.20

e) Calcule el área comprendida entre las curvas y = x3, y= 2x, y = x. SOLUCIÓN

Intersecciones:

2x = x' --> x{x 2 -2} = 0--> x = O y x = ±J'i.-->(0,0), (±J'i. ±2J'i.}

x3 =x-> x{.<2 - 1) = 0 ->x= Oyx =± 1 ->(0,0), (±1, ± 1) A= 2J Jí (2x-x')dx-2 J.'(x-x3 )dx 0

A = 2(x2 _.!.x•)Ji-2(.!.x• _.!.x•)' 4

•

2

4

o

］ 2ｾｵ Ｇ＠

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134 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral f)

Evalué el área limitada entre las curvas y= hu y y.=ln2x.

SOlUCIÓN

lnlcrsccción:

lnx = ln2 x -+ la x( I - lnx) = 0 -+ ln x = 0 y ln x= 1 -+x = 1 yx = e -+ (1,0) , (e, 1)

A= J,' (1nx - ln 2x)dx= J,' 1nx11x - J,' 10 2xdx Seglln J,' 1nxdx=e ln e - e - (lnl - l) = l. Se resuelve la segunda in1egral por partes: 2

u = ln x-+ du = 2 { ､ｶ ］

､ｸｾｶ ］

ｾｸ＠

dx}

ｸ＠

J.' ln xdx = x ln x - 2 J,' 1nxdx=(x In' x)l'. - 2= e - 2 2

Luego, A

=1 -

2

•

+ 2 =(3 -

e) ,.2,

2

"'

- o.s

º"o

o

J

y • lnt"

•

Fip.3.22

Portafolio de ev i dencia s 2

• Se desea encontrar el área de la región lim.itada por las curvas y-

J ; ; y= x' - x. Exprese la ecuación de los puntosdc intersección.

x +I Utilice un software de programación que le permita graficar y obtener geométricamente los puntos de intersección.

• Calcule de manera aproximada el área de la región entre curvas. Desde su conocimiento de calcular áreas entre gráficas utilizando algoritmos de integración, mencione en qué circunstancias es más conveniente utilizar elementos rectangulares verticales del área y clemenlos rectangulares lx>rizontales de área Entregue por escrito su generalización.

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3.2 Longlrud de curvas 135

Act ividad de trabajo 3 . 2

1. Determine el área exacta de la región descrita: a) La región acoUlda por las tres curvas y = x2, x = y3; x +y = 2. b) Laregiónacotadaporlascurvas.f(x)=x2 - 7x + 10,gCJ)= .!. (4x - 8) 1 3 y h(x) =J (4x -20). c) La región acorada por y = sctix, y = 1 y el eje y. d) La región acorada por y = tg2x, el eje x y la recta x =

Preguntas de refle xió n

¡".

• ¿Soy capaz de calcular el valor exacto de una región plana? • ¿Entiendo que existen algunas circunstancias en las que no es posible calcu· lar de manera exacta las áreas? ¿Comprendo la necesidad del uso de la tecnología para apoyar el alcance de las competencias correspondientes? • ¡floy capaz de visuafuar las regiones y secciones de áreas torales? • ¿Manejo diestramente algiln lenguaje de programación o software? • ¿Soy capaz de calcular los puntos de intersección entre curvas?

Longitud de curvas Imagine que desea medir un segmento de curva y que para ello cuenta únicamente oon los elementos esrandarizados que conocemos (reglas, cscalúnetros, ftcxómctros, etc.), todos ellos segmentos rectilíneos que se toman como unidades de medida. Un método aproximado podría ser hacer coincidir nuestra unidad de medida con el objetivo por medir; sin embargo, parece imposible o poco aproximado. Un ｭｾｴｯ､＠ alternativo y más exacto requerirá un procedimiento más detallado, que consiste en dividir el área en un determinado número de partes ( véase figura 3.23).

8

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138 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral Evidentemente, cuanto más pequei'los y numerosos sean los segmentos (ab, be, cd , de, etcétera), mayor será la aproximación langi111d

Definición 3

AB ,., ab + bc+Cd+de+ ...

l.Jl longitud de un arco de curva se define como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el nómero de divisiones tiende a ser muy grande (- oo). al mismo tiempo que cada segmento de la poligonal tiende a ser muy peque/lo

(->0).

El método y la definición dados se aplican también a la longitud de área de una curva plana, cuya función está determinada o es conocida; de hecho, es más sencilla yn que lo podemos expresar de forma analítica.

Ejemplo 6 l. Sea y = .f(.x)una curva en el eje coordenado. Encuentre la longitud de un arco que va de un punto P a un punto Q. SOLUCIÓN

Se toma un m1mero n cualquiera de puntos sobre la curva y trazando cuerdas para unir los puntos (véase figura 3.24) y se analiza solo un segmento.

Q

ｾ＠

. ...¡.'.............;ily ' ' ' l :

Piｾ＠ ••

'

•

b

X¡

X

'

X¡ +

f:u

,___ /!u - - - - - <

Flp1t 3.24

El punto P 1 tiene coordenadas (x1, y 1) . El punto P2 tiene coordenadas (x 1 + Ax, y 1 + Ay). La longitud o distancia entre los puntos será: 2

P.P2 = J(Ax) + (Ay)'= (Ax}

(Ax)' +(Ay}2 (Ax)-

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3.2 Longl rud de curvas 137

Por la figura y el cálculo diferencial, se sabe que:

ｾ＠

= J'(x), conx 1 < x <(xi + ó.x)

P,P2 =Ji +(¡'(x))'. El resultado representa la loogirud de la curva. De la misma forma,

P,P, =ax Ji+[l'(x)j' P,P, =ax Ji+[f'(x)f Longírud del ｮｾｩｭｯ＠

segmento

m• Longirudtotal = & J1+ (/'(x)} +&Ji+(J'(x1 ) )' + ·.. 2

O bien,

= 2:(1+ f'(x;)'}'1 & f-.1

Tambi6n, 2

Longírud del arco= J.'(1+ (¡' (x))

f

2

dx

fste resultado es, de hecho, un teorema que puede expresarse asf:

Teorema

Sifyf' son funciones continuas en un intervalo [a, b], la longitud de arco de la curvaf(x} = )1 desde un punto (a,f(a)) hasta otro (b ,f(b)) , puede expresarse como: l=

J.' J1+ (/(x))'

dx

Al igual que en el caso del cálculo de áreas entre curvas, en algunas ocasiones es conveniente empicar y como variable independiente a fin de obtener una simpliflca. ción. En este caso:

dy dx

= - 1-

dx dy

llllt dx = x'dy

Sustituyendo cstaS observaciones y cambiando los limites correspondientes al eje, 'i/ y E[c,d). x = g'(y):

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138 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral

Ejemplo 7 Determine la longitud de la curva. y = ln(cosx), con x ･｛

ｯＮｾｊ＠

SOLUCIÓN

dy 1 d 1 - senx - = - - - [cosx]=- -(-scnx) = - -= tgx

dx

dx

COS X

COS X

r:r

Así;

L

=J."[1+1g'xJ'

2

dx

COSX

= tg'x

=

(Se sabe que 1 + tg2x scc2x, por identidades trigonométricas)

r » ..¡w; ,,.... r» 2 xdx= J o sccxdx

= Jo

= ln(sccx+ tgx )[: 3

=(ＱｮＨｳ｣ｾＫ＠ ｴ｡ｮｾＩ

ｊ Ｍ ＨＱｮｳ｣ｏＫ＠

tan O)}

= In ( J3 +2}- ln (I}

= ln(3.732) ｾ＠

l.316

•

' ' '

'

_,

www.freelibros.org P.lra trazar la gráfica en el software que ya se ha venido utilizando, es necesario ingresar la siguiente instrucción en la caja de texto "Entrada": f(x) = log(cos(x)), donde '1og" hace referencia al logaritmo natural "In" .

3.2 Longlrud de curvas 139

ｾ･ｭｰｬｯ＠

8 l. E!ncucotrc la longitud dela curva

y (s.21J3).

1 l1 entre los puntos (2,2.J6) y=-j{x'+2)

SOLUCIÓN

Para gralicar se introduce el siguiente comando en la caja de texto "Entrada" g(x) =

ｾＨｸＧ＠

+ 2)' 2 • Asl se obtendrá la gráfica.

: =

ｾｈＨｸＧＫＲｊ

￭ Ｉ］ｩＨｸＧＫＲｴ

Ｈ ＲｸＩ＠

=xJx2 +2 11

'º

•8

-·

_,

-2

I* =>(!!l..)' =(Jx +2)' =x' (x'+2). 1

dx,

Sustituyendo en l :

J:

L=J,' Ji+x'(x'+2)dx= J(x2 +1)2 dx

www.freelibros.org =

J,'(x'+l}dx =[ｾ＠ +xJI'. =52.33

140 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral

Ejemplo de la ｣｡ｴ･ｮｲｾ＠

La siguiente figura muestra un cable que pende en la fonna de catenaria enire dos postes separados 300 ft y el punto más bajo del cable está a 200 fi del sucio. Los ejes

coordenados se eligen de modo que el origen esté a la mitad entre las bases de los dos postes (véase figura 3.27) sobre el eje x y el eje y, y contenga el punto más bajo del cable. Una ecuación de la catenaria es: y = 200cos hL::a) Calcule la longitud del cable entre los dos puntos.

SOLUCIÓN

Como y = ＲＰ｣ｯｳ

ｨＨ

Ｒ ｾＩ＠ 1

= senh(_!!_) dxdy = 200(-200 senh(...!__)) 200 200

(ZJ' ］

ｳ･ｮｨ Ｇ ＨＲｾｬ＠ ｌ ］ Ｒｦ Ｐ ＢﾰＨＱＫｳ･ｮｨ

Ｇ Ｈ Ｒ ｾＩ＠

1 2

::0)J' dx 1

dx = J."º(cosh'(

2

2J"º cosh(...!__)dx = 4-00(senh(...!__J)I"º _,,. 200 200 • =

4-00(Wl/1 ＨｾＩＭｳ･ｮｨＲ＠

= 400(senh

(f)-senh (O))"' 328.92 ft

Debido a que

www.freelibros.org e0 - e0 2

Ysenh (0)= - - = 0

3.2 Longlrud de curvas 141

Observadón: Para resolver este in1ercsante problema, se utilizan las siguientes

identidades:

coshx' - senh'x= 1

Ejemp lo de la cardlol de La cardiodc 1 es una curva epicicloide. Su nombre proviene de su forma, muy similar a un corazón. Es una curva considerada clásica que se forma a partir de la trayectoria seguida por un punto montado sobre una circunferencia de radio 'l ,al girar sobre otra de r 2. Su característica principal es que la raz6n 'i / = l.

/ r,

Uaa manera de expresar su función en coordenadas polares está dada por. 6=a(I + cos8)

Intentaremos encontrar el perímetro de esta curva: Como 6 = a(I

+ cosO) '* 6'= -asene

Además, esta curva se reproduce por debajo del cjex. Si calculamos el perímetro desde Ohasta .,, y luego multiplicamos por dos, obtenemos la longitud de curva total.

Así, / =

f.' (6 + (sen0}2 )

1 '

2

dO

J.' (a'(I + cose)' + a 'sen' o)

I= 2

1 '

dO

= 2a f '(2+2cosO)', dO = 2a f ' 2cos!!. Jo Jo 2

=8a((;-Hº-(-?61]°

www.freelibros.org 1

Véale el apélldi" O,

142 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral Observación: Usamos las siguientes identidades:

o cos-

l + cos0 = --2 2 sai2" =0 sen 0=0

Portafolio de ev i dencias 3

Intercambie puntos de vista con sus compañeros sobre el método utili-

zado para determinar la longitud de curva de una función f cualquiera y

qué opción sugerirían para dicbo cálculo. Presente sus conclusiones por escrito. • Invente un ejemplo donde utilice la forma del teorema en términos de y oomo variable independiente • El teorema que establece Ja longitud de área de una curva puede expresarse

como: S(x)=

J.' ｾ Ｑ Ｋ

ＨＡＧＱ

Ｉ ＩＧ＠

dr.

Calcule utili.zando el teorema fundamental del cálculo S'(x) o en términos de diferenciales ds y obtenga una expresión para ds.

Act i vi dad de trabajo 3.3

1. Obtenga Ja longitud de la curva 9y2 = 4 i2 desde el oágcn hasta el punto

(3. 2J3).

2. Obtenga la longitud del segmento de recta y = 2x desde el punto (1, 3) hasia el punto (2, 6), empicando las dos formas del teorema de longitud de curva.

3. Determine la longitud de área de la curva y = lncscx donde x = .!." 1 6 hasta X = -"· 2

4. Si / (x) =

J:

Jcost dt , determine la longitud de área de la gráfica de

/dcsdeel puntodondcx = Ohasta x =

ｾ＿ｲＨｵｴｩｬ｣＠

teorema fundamen-

ial del cálculo p1ra obtener/'{x)). 5. Encuentre Ja longitud de área de la gráfica 9XZ (J3, 1) al punto (2./6, 2).

= (jl + 2>3 del punto

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ｾ

3.3 Cálculo de vohlmenes de sólidos de revolucl6n :1.43

Preguntas de reflexión

• ¿Entiendo la definición de longítud de un arco? • ¿Comprendo que dadas las medidas estándar de longítud no existen instrumentos físicos que mepennitan medir curvas cualesquiera? • ¿Entiendo el papel de la integral en un cálculo difer:cnle a aquel de obtención de área? • ¿Me queda clara la parte del !COrcma fundamental del cálculo que me permite usar la integral para ealcular longitudes?

｣ｵｬ

ｯ＠ de volúmenes de sólidos de revoluclón Una de las aplicaciones más difundidas de la integral es la que supone calcular por medios geométricos el valor de algunos 1ipos de sólidos, en particular aquellos que se definen como cilindros recios (sólidos limitados por rcgíoncs planas), debido a que de esta manera se facilita su cálculo. De alguna forma el procedimienlo es similar a las regiones planas limitadas por rectas que ya hemos estudiado.

3.3.1 Método de discos Si el área dela base de un cilindro recio esA y su altura h,entonces su volu.men estará detenninado por: V = Ah Se utiliwrá esta conocida fórmula para obtener un método que nos permita calcular el volumen de un sólido cuyas regiones de acoiación pueden ser áreas de cualquier tipo y que es perpendicular a un eje. Por ello, si un sólido S cualquiera está entre dos planos perpendiculares al eje de las x y definido en algún intervalo de a hasia by sea A{,t) el área de la sección plana de S perpendicular al eje x se requiere que A sea continua en el intervalo. Entonces si obtenemos una partición del intervalo cerrado será como sigue:

a =xo ¡X= x; - X;- 1• Si elegimos un valor dentro de cada uno de los subintervalos y construimos cilindros rectos con alturas !:>¡X, tendremos un elemento infinitesimal de volumen, determinado por: !:>1V = A(w1)!:>.;<

donde w1,cs el valorclegido que penenece al i-ésirno inlervalo. Deesia forma, la suma de Riemann de los n elementos de volumen se expresa como:

www.freelibros.org Esta suma representa la aproximación del total de volumen, y nuevamente notamos que cuanto más pcquclla sea la partición o mayor sea el valor de n, esra aproximación se aceteará eada vez más al volumen real del sólido así generado. Por ello, podemos definir V como el limite de la suma de Riemann:

144 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

Como decíamos que estucliarcmos casos muy particulares, comenzaremos esra explicación ejemplificando los conceptos con la siguiente actividad de aprenclizaje.

Ac ti vida d de aprend izaje 3 . 1

Suponga que tenemos una función f(x) como la que se muestra en la figura 3.29. Observe que es muy parecida a la mitad de un fruto de pera. Ahora imaginemos que se puede obtener el área cerrada entre la función y el eje de las x, ya que f(x) es una función continua. También observarnos que si esra sección cerrada gira sobre el eje x, generarla un cuerpo sólido (en este caso, qui7.á como el de una pera real), y si se hiciera girar solo la curva tendríamos un cuerpo hueco (••éase figura 3.29). y

y

y ft.x)

Ｍ

ｸ ｾ＠ Fl¡pra 3.29

www.freelibros.org Aboca imaginemos que cortamos en rodajas verticales el sólido de revolución; tendremos algo muy parecido a la figura 3.30.

3.3 Cálculo de vohlmenes de sólidos de revolucl6n y

:1.45

/W

Rc1n3.30

Observe que tenemos cilindros concéntricos al eje de las x. Entonces, iinaginemos ahora que el grosor de cada disco es infinitamente pequeno, como lo belll0$ hecho en otros casos del cálculo infinitesimal; en consecuencia, si aislamos uno de estos cilindros infiniiesimales, tenemos la figura 3.31. y

11

dx

Rco.n3.31

En esta figura se observa que los discos, o mejor dicho cilindros infinitesimales, son de altura y variable que estará determinada por f(x) de un ancho infinitesimal dx; entonces, el volumen del sólido de revolución quedará determinado por la suma dcl volumen de cada uno de los cilindros infinitesimales que lo fonnan.

Y como la alluray depende siempre def(;c), entonces tenemos: Vcttl""'°lnlloidlma!

= -nf(x)2dx

Por lo ｡ｯｴ･ｲｩｾ＠ el volumen total del sólido de revolución estará determinado de la siguiente manera:

Expresando la ecuación anterior en términos del teorema fundamental dcl cálculo, tenemos:

• , J.•

www.freelibros.org vtdlldodo.,,-olu
=

7rf(x}

dx.

146 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral

Ejempl_o_9__ Considere unaf(x)= Ji, con límites dex = 3 ax= 9. a) ¿Cuál es el valor del volumen del sólido de revolución si/(x) gira sobre el

ejex7 SOLUCIÓN

•

,

v.,, = J,, " (Ji¡- dx; entonces:

vto, = -x1 " 19 2

l

Utilizando Graph se obtiene la gráfica de /(x) =

- ·- ----e---

Ji;y se tiene

______,-

" "

•

o.- ,...---

-

..

tl

,,.-_+-..,,. .....ｾＬ｟ＮＭ＠ . , .•t

u

·'

..

•

..

1

.....ＮＭｾＬ｟＠

it

•

' '

t

1

••

Obsérvese con atención el área sombreada, pues es la que genera el sólido de n:>·olución entre estos límites. Utilizando winplot se obtiene el sólido de revolución de esta función; así (véase figura 3.33):

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3.3 Cálculo de vohlments de s6Udos de revolución 147

-

. ... ·-

-

-

o. ·- -

Ulof

ｾ＠

FIC... a.as

Esta gráfica da una idea muy clara del sólido de revolución que se ha calculado.

3.3.2 Método de anHlos Para hacer el planteamiento del método de solución, lo haremos utilil.ando las funciones f (x ) = .fX y f(x )=x1•

..........,...... ""' ...... .......c:a ,

-·


"llil ilt(•O:

"

.. •• ., I

/

/

/

.. .. ..

"

"

"

.. º"'

••l-n'

Con la ayuda de Graph, obtenemos la región donde las dos funciones se intersecan en Jos puntos x = O y x = l(talcs puntos se determinan de forma analítica igualaodo las funciones) y tenemos:

www.freelibros.org JX =x'

148 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral E'levando en ambos lados de la igualdad al cuadrado tenemos

x=:I' Igualamos a cero y nos queda

x - X'=O Factorizando x x(l-x3} = 0 ncs:

De la simple observación, obtenemos los valores donde se intersecan las funciox=Oyx=I.

Ahora determinemos un valor x¡ en cualquier punto dentro del intervalo (0, 1) y lo proyectamos en las imágenes de cada una de las funciones, de tal manera que tenemos:

!!.,:e =

ۥ- El<- 1

Observe que al girar sobre el eje x para generar el sólido de revolución se construye un anillo oomo se muestra en la figura, y haciendo el análisis infinitesimal, tendríamos rebanadas de anillos oon un huc:oo concéntrico, de tal forma que el volumen estará dado por.

./t<) =

sqrt (<)

Fflpro 3.35

Observe en la figura 3.35 que el radio del cilindro hueoo será xl, el radio exterior

del anillo estará determinado por ./X y el grosor del anillo infinitesimal estará dado por !!.,;e= €t 1. De este análisis podemos determinar el cálculo para el volumen

e,_

de nuestro sólido de revolución. Aplicando la fórmula geométrica para determinar el volumen de un cilindro:

= Tt ｾｨ

Ｎ＠

www.freelibros.org VáHndN

lllra nuestro cilindro infinitesimal tenemos: V'6Hwk4i....imal

= (1U'f!.¡,X)- (Tt;/'f!.,:c).

3.3 Cákulo de vohlmenes de sólidos de revolucl6n :1.49

Factorizamos tos términos comunes y nos queda Valiido ioJinktáma! = 'lt(X - x")A,x

Observe con detenimiento que este cálculo solo com:sponde a una rebanada del total de nuestro sólido de revolución. Por ello, cuantas más rebanadas sean y ÁJ¡X "'O, lograremos un cálculo más aproximado, por lo que aplicaremos lo siguiente:

Aplicando la visión leibniciana del teorema fundamental del cálculo:

J:'(x-x')dx

v.t611do=1r

Ejemplo 10 Para la sección comprendida entre las CU1Vas y = e"+ 1, y = ln(x2 + 1), .x = 1 y x = O. ¿cuál será el volumen del sólido de revolución formado al girar alrededor del eje y (véase figura 3.36)7

'

y a ln(,r' + 1)

"

..

www.freelibros.org SOLUCIÓN

Obsérvese en la figura 3.36 cómo se forma el área entre las curvas dadas. Ahora, si se hace girar alrededor del eje y:

150 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral

y • ln(K' + l) u

u

Observe Ja figura 3.37 y verá que se forman capas eilíndticas. Así, de acuer· do con Ja relación de los diámetros determinados por las funciones y = e"- + I,

y= Jn(x2 + 1), y resolviendo de manera analítica, tenemos: 2

V"""º= 27'J.' x(e" +1-ln{x' +

J.'

i))dt

2

V"'""'= 27' xe' +x-x ln{x' + t)dt 2

V"""º =27TJ.'(xe"

J.

1

+x)dt - 21r xln(x'+ l)tú

Note que se han separado las integrales, a fin de resolver la primera parte de manera directa; en cambio, la segunda se resolverá por partes. Entonces, la primera parte queda:

l'

2

J.o

V"""'= 27' (-1 e" +-1x1 - 27T 1xln(x' + t)tb: 2

2

o

Integrando por partes Ja segunda parte, se obtiene:

±x' ln{x' + ＱＩＭｾｸ Ｇ＠

+ &1n(x' + l );

por tanto,

v,.,;,,, = 2,.(.!.¿ +.!.x 2 J -27T(.!.x2 1n(x' + 1)-.!.x' +.!.1n(x' + 1¡1' 1

2

2

2

o

2

2

2

ｾ Ｎ＠

v,.,;,,, = tr(e+21n2+ 1) Ej emplo 11

www.freelibros.org Si un sólido S es cortado por planos perpendiculares al eje x, genera secciones 1ransve rsales circulares con diámetro extendido entre c.urvas y= x2; y = 8 - x2•

3.3 Cálculo de vohlmenes de sólidos de revolucl6n 151

Determine el volumen del sólido comprendido entre los puntos de intersección de las curvas. SOLUCIÓN

Intersección:

8 - x' =

x2 ..... 2x2 - 8 =o ..... 2(x2 - 4) =o

:e = ±2, puntos de intersección (-2, 4), (2, 4) V= J_:A(:c)d:c,doodeA(x) = ..i1

r=

8-x2-:c2 4-:c'; luego, V=,,.J'(4-:c')' d:c _, 2

s + 16;c)I' = -512 11'u 3 3 _, 15 f ,(4- 8 +16)d:c=11'( -51:c' --:c

V=11'

1

1

-2

,• 6

' 3

'

1

o

_, _,

o

Ejemplo 12 Determine el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje :e la región limilada por las curvas y = x' + 1, :e =O y la tangente a la primera curva en :e= 1. SOLUCIÓN

Usaremos el m6todo de los anillos; así,

www.freelibros.org /(:e)= 2:c, ¡'(I)= 2 = m1 ...., intelSCCCión: y-2 =2(:c- l)...., y= 2:c

152 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

• l

(l. 2)

-2

-1

_,

2

Portafolio de ev id encias 4 Una aplicación de los ccniroidcs a volúmenes de revolución fue expresado por el teorema denominado teorema de Pappus, en honor al matemático griego P:lpuus de Alejandría. El teorema dice: Si una región plana se hace girar alrededor de una rccra del plano que no cona la región, entonces la medida del volumen del sólido de revolución generado es igual al producto de la medida del área de la región y la medida de la distancia recorrida por el ccntroidc de la región.

Con base en el teorema anterior, haga lo siguiente: Realice una pequeila indagación histórica sobre el contexto en el que se generó este teorema.

Debata con sus compaJ!eros de clase y entregue por escrito su interpretación del teorema. Trace un diagrama que le pennita ilustrarlo. • Invente o busque un ejemplo de aplicación para este teorema. Ac tiv i dad de

trabajo 3.4

l. El volumen de un sólido cuya base es un círculo x2 + y2 = 16x, sabiendo que la sección determinada por un plano perpendicular al eje x es un rectángulo de igual al doble de la distancia del origen plano de la sección.

www.freelibros.org 2. E'ncuentre el volumen de un sólido cuya base es la región del primer cuadrante limitada por la recta 4 x + 5 y = 20, con los ejes de coordenadas xy,

-

3.4 Cálculo de c:entrotdes de reglones pl31l"5 153 sabiendo que la sección determinada en el plano perpendicular al eje x es un semicirculo. 3. Determine el volumen de un cono circular cuyo radio es r y cuya altura esh. 4. Determine el volumen del sólido generado al girar la región acotada por x = yl y x = y + 6, alrededor del eje y.

5. Sea la región limitada por la curva y = xe' con y = O, x = 1 del eje x. Determine el volumen del sólido generado.

Preguntas de reflexión

• ¿Entiendo la importancia del uso de la tecnología para visualizar algunas funciones? • ¿Manejo alglln software de gralicación que me pennita corroborar mis cálculos analíticos? • ¿Entiendo las aplicaciones ｭｾ＠

directas de la integración?

• ¿Soy capaz de "imaginar" cómo gira una curva con respecto a alglln eje y qué figura se construye? • ¿Conozco los priocipales comandos y parámetros que hacen variar los mé· IOdos gráficos?

Cálculo de centroldes de reglones planas Consideremos una región plana física; por ejemplo, una lámina delgada de papel u hojalata, a la cual le exigimos que sea homogénea. es decir, que tenga una densidad superficial consiante (igual en cada punto). Imagine que marcamos diferentes puntos sobre dicha lámina y ubicamos par· lfculas de una masa m pertenecientes a la lámina. El objetivo principal de esta sección será el de encontrar el punto de equilibrio horí1.ontal; esto es, el punto donde s i fijáramos la lámina sobre el poste vertical se mantendría sin movimiento (11éase figura 3.40).

...

.

www.freelibros.org

154

UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral Aira tal efecto, imaginemos que la lámina o placa tiene un espcSOr despreciable y que se encuentra sobre una varilla vertical de masa nula.

Definición 4

de masa es el punto (,t, y) donde la lámina eslá en equilibrio.

El ｾｲｵｯ＠

i•

Suponemos que la partícula m que se encuentra en el punto (.ti. y 1) y la partícula <.ti. y2) .. . ; entonces, la n-ésima partícula m; está en (.ti. y1). La masa total de la lámina será la suma de todas las partículas de forma tal que: Mlótai = 1n 1 + ""2 + ni3 + ···"'"'o bien,

x m2 en

M=

• ¿:m,

-+

ecuación de la masa total

i-1

E'.I momento de masa de cada partícula, esto es, el valor de 14 ｩｾｭ｡＠ ron respecto a su posición se expresa como: ｭ Ｑ ｸ Ｑ Ｌｾ Ｑ＠ ... m,.x, 11•

Definición 5

partícula

El momento de masa para un sistema se define como la suma de los momentos de masa de todas las partículas. Asl, M 0 == m1x1 +111?X2 +· ·· +n1.,.x11

M0 == tm;X; ,_,

Los momentos de masa tendrán por definición unidades de masa por distancia (kg • m), (sl11g · ft). etcétera.

E'.I momento de masa de la i-ésima partícula con respecto al eje y es m1x1 y el momento de masa con respecto al eje xes 111¡<1 (>'éase figura 3.41). J X,

l'l I

x,

• n11

M , = m1x1 + m1x 2 + · ··+1n".t"

.,.,""

M1

ｉｾ ﾷ＠

x,

t,m,x i-1

1

M x = "'1Y1+tttzY1+ ··· + 11111Y11

..,

X

...

=

•

M, = Í:m,Y;

y, • In.¡

FpaS.41

www.freelibros.org Por tanto, el centro de masa del sistema de n partículas ubiesdo en (x, y) será

M

M

.

x = .:.:.:.L; y=-', donde M = masa total definida. M M

3.4

Cálculo de c:entrotdes de reglones pl31l"5 155

Ag... 3A2

El puato (x,y) así encoatrado se iatcrprcta como aquel tal que si la masa total se concentrara ahl, ese punto tendría los mismos momentos que el sistema total /; es decir:

M

M1 =xM M y= M, 1_. M, = yM M

Como x =

:.J. •

>

Los momentos M, M,sc interpretan también como una medida de la tendencia a "girar» del sistema laminar (véase figura 3.42).

Ejemplo 13 l. Calcule los momentos y el n:spectho centro de masa de un sistema que posee tres parúculas cuyas masas son: 3, 7 y 2 kg, respectivamente, ubicadas en los puntos (2, 3), (-l,4)y (0, 2). SOLUCIÓN

m, =3 m2 = 7

m1 = 2

m •

M =3+7+2= 12 M,=3(2)+7(- 1)+2(0)=-1 M 1 =3(3)+7(4)+ 2(2) = 41

-1

(

1)

Así, x = -4 1, y = - . El centro de masa, estará en 3-5 , - - . 12 12 12 12 Los conceptos de masa, momentos de masa y centro de masa se pueden sintctí2ar y establecer formalmente con todas sus restricciones de la manera siguiente.

Definición 6

Considere una lámina homogénea cuya densidad superficial permanece constante y es igual a Y.,. Jdlogramos por metro cuadrado, la cual está limitada por la curva y= /(;e), el ejex y las rcctaSx = a; x = b. Suponiendo quef(x) es continua en [a, b) y, además./(x) ｾ＠ 0\1 x E [a, b),

www.freelibros.org ¡ •f(x)dx.

M = lfm t/if(m;)ó.1x = k l\r-0 1- 1

"

156 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

Se determinará la masa total de la lámina as! definida también, si

Mr[*%,J

es el momenro de masa de la lámina con respecto al ejex, y M,(.kg · m] es el momento de masa de la lámina con respecto al eje y. 2

¡•• (f(x)}

Um °L,kmd(m1)&1 = k M1 = Ai'-0 ,_.

J xf(x)dx

Mx = lím

t


i 1 -kf(m 1 )l:i.1x=-k

2

•

2

dx

b

•

: . Si (X, y) son los centros de masa, entonces: X= M1 ; y= M, ,

M

M

Justificación: Suponemos que la lámina o plaea por examinar tiene una región definida por la gráfica de una función y = f(X), el intervalo es [a, b] y el eje coordenado x como se muestra en Ja figura 3.43. y

y • Jl.z)

Ｍ＼ｦｾＮＬ

Ｎ ｾＬ｢ＧＭＫｘ＠

l•

1:

I

X

Fpa3."3

El intervalo [a, b] estará dividido en subintcrvalos de tamaño&. Si pes la densidad unifonne de la plaea m• la masa del i-ésimo rectángulo será pf(xlJ& y su momento (masa con respecto a la posición) estará dado por masa por distancia. A$f:

m1 = x,(pf(x,)&) = px¡f(x,)& AJ sumar estos momentos, se obtendrá lo dado en la definición anterior. De manera similar, el momento con respecto al eje x m, (p/(x,)&)t f(x,) = pt(f(x,))2 &, como muestra también la definición dada. Una ventaja de usar un modelo geométrico para expresar un problema físico consiste en que su estudio se facilita con el uso del análisis; de esta manera podemos observar que la masa de la plaea se expresa también como el producto de su densidad

www.freelibros.org J:

ppor su área A m = pA = p

f(x)dx.

3.4

Cálculo de c:entroldes de reglones pl31l"5 157

Asl, al calcular la posición del ccntr0 de masa, comúnmente llamada cemroide, tenemos

J'x

J'

M ¡I f(x) dx x f (x) dr x = -1..= • ］ ］ ﾷｾＭ Ｍ M ¡l f(x)dx f(x)dx

J.

;J.' i V
J:

M,

M

y

¡l

J. J.••z.Vf t

J.' f (x )dx

f(x) dr

t1x

La inrer¡;o-etación fisica de esle resultado geométrico analítico es la siguiente; '1a posición del eentroide no dependerá de la densidad de la lámina". Por tanto, estos resulta· dos pueden aplicarse no solo a láminas sino también a regiones planas cualesquiera con:

x= -1 A

J..• x/(x )dx

y=-1 J.' -1(/(x)2 )dx A

• 2

Ejemplo 14 l . Dc1ermineel centra de masa de la lámina limitnda por una parábola 2y2 = 18 - lx y el eje vcrtlcal, si la densidad supcdicial en cualquier punto es J6 - x . SOLUCIÓN

2y" = 18 - 3.r

3 y2 =9--x 2

y=J9- ix Ingresamos en el cuadro de texto "Entrada" los siguientes comandos para formar la figura:

• 2y"2 = 18 - 3x

y

•

_,

11 =

• Sqrt(6-x)

70

• Agregamos un deslizador

X

o o o

o

Enteros Mínimo a 1

Máximo a criterio del usuario Incremento 1

Nombre del deslizador • &cribimos la siguiente función p1ra manipular el dcslizador y as( poder vo: el área de los limi· 1eS ya anleS mencionados: Suma lnferior[c, O, 6, n] o

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158 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

A= J.o• (9 -

=J. u

3 1 - x ) 2 dx 2

••

(l 2

2 - -

3

o

· 1·

211 2 du = - - ·, 3 1 0

3 2

Sea u = 9--x

3

du =--dx 2 2 dx = - -du 3

4 = - -(0 - 27) = 12

9

Ahora, resolvieodo la integral por partes tenemos:

］ ｛ ＲＭ 12 ｾｸ｛Ｙ9 ＭＡ 2 ｸＩ

Ｓ Ｑ＠

+.!.[9-!x) '')I• 45 2 o

=ii{o+:5 (243>) "" 3.6 - 1 (24)(3)

= - -(0 - 9 1 )"" 1.725 : . B centroide estará localizado en el punto (3.6, 1.125) aproximadamente.

2. &tcuentrc el ocatro.idc de la rc¡>jón limilada por la parábola y= x2 y la recta y = 4. SOLUCIÓN 1

A=2f:(4-x2 }dx =

2(4x- ix' JI:

ｳ Ｒ Ｈ ｳ Ｍ ｾ Ｉ ｳ ＲＨＧＺｊ

］＠

32 3

www.freelibros.org ＫＭｾＮＬ＼Ｇｩ＾

-4

-3

-'Z

-1

z

)

"

＠

A=32 3

3.4 Cálculo de centroldes de reglones pl"""5 159

x=AJ:x(4 - x ) dx =A J.\4x - x')dx 2

ｬ Ｚ＠ =A[OJ=O ］ａＨＲｸＧＭｾｬ

y=Í..!.J.'[t6-x' j d% =!.(16x- x'

At•

A

S

1' 0

=.!.(32_ 32)=2-(128]=2.4 A

5

32

5

FJ centroide está en (O, 2.4).

Para la construcción de la gráfi.ca es necesario seguir lo siguientes pasos: l. Escriba la función y = y"2 para construir la parábola en la caja de texto "Entrada". 2. Escriba y = 4.

3. Defina los 2 puntos de intersección con la herramienta Inserción de dos objetos, que se encuentra ubicada en el área de objetos (segunda pesta.i!a. cuarto objeto).

4. Declare al punto A como: interseca (g,/]. Aquí le decimos al programa ''Interseca el punto A entre las dos funcionesg y f'.

.n

5. Declare de la misma manera el punto B: interseca(g•

6. Escriba la siguiente sintaxis para el área: lntegral(g,f, .x(A), .x(B))

Elementos conceptuales para alcanzar la competencia Como ocurrió en las actividades anteriores de aplicaciones de la integral, observamos que, pese a encontrar un método generalizado, cada ejercicio dado es único y representa un reto conceptual para el estudiante, quien tendrá que poner a prueba tanto su conocimiento algebraico previo como su ra1.0namiento y capacidad analítica Queremos resaltar que es imposible encontrar un método que abarque todos los casos posibles; sin embargo, en eso consiste precisamente Ja belleza del proceso de aprendi1.aje: en que cada ejercicio o problema resuelto nos aporta algo cognitivamen· te hablando. Esta fonna del desarrollo del pensamiento está plasmada, aunque de forma sutil, en cada teorema o definición. Por ejemplo, el siguiente:

Teorema

Si una recta es ao eje de simetría de la región plarra R1 región está sobre esa recta.

•

el centroide de la

El enunciado anterior no es otra cosa que el resultado comprobado de una serie de obscrVacioncs que al final se consolidaron como teoremas. Pero nada cstA concluido, así que en esta labor de soluciones y aprendizaje, alln hay mucho camino por descubrir.

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180 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral Portafo li o de e v i den cias 5

Para poder detenninar la masa total g momento total y certroide, supusimos a la lámina objeto de esrudio con una densidad superficial homogénea. ¿Cómo determinaría usted Ja masa total de una barra si la densidad lineal varía a lo laigp de la misma? Justifique por escrito su respuesta. Invente un ejemplo que ilustre su resultado. Determine un método analítico que le permita encontrar el centro de masa para este caso.

Act i v i dad de t r abaj o 3.5

1. Tres partículas cuyas masas son 5, 2 y 8 kg están ubicadas en Jos puntos (-1, 3), (2. - 1) y (5, 2), respectivamente. Determine el centro de masa del sistema si la distancia se mide en metros. 2. La longitud de una barra es de 8 pulgadas y su densidad lineal en un punto ubicado ax pulgadas del extremo izquierdo es 2../x + 1 slogs por pulgada. Calcule la masa total y el centro de masa.

3. Determine el centroide de la región limitada por las fronteras indicadas: a) La parábola x = 2y - y2 y el eje y. b) La parábola y2 = 4x, el eje y y la recta y = 4. e) Las rectas y= 2x

Preg unta s de re f lexlón

+ l,x +y = 7 yx = 8.

• ¿Entiendo el concepto de superficie laminar de espesor despreciable? • ¿Soy capaz de describir el concepto de momento de masa para una partícula e interpretarlo físicamente? ¿Entiendo el momento de masa como dependiente de la posición que una determinada partícula guarda respecto a algtln eje? ¿Comprendo la importancia del cálculo del centro de masa o centroidc para la modelación matemática?

• ¿Entiendo la transferencia del modelo matemático para un sistema ffsico a términos geométricos? • ¿Me quedan claros cu41es son los elementos, restricciones y condiciones que perotlten usar el cálculo de ceotroides de una placa a una región plana limitada por diferentes funciones?

www.freelibros.org • ¿Puedo ubicar, sin problemas, las técnicas de integración que se usan en cada ejemplo para resolver las integrales?

ｾ

3.5 Otras apllcaclones 161

ｏｴｲ｡ｳ＠

apllcaclones Si bien hasta aqul hemos visto la mayorfade las aplicaciones clásicas de la integral, el análisis de ellas no fue ni por mucho exhaustivo, pues únicamente las utilizamos para ilustrar algunas regiones particulares. Es decir, podrfan incluirse mucbas más, ya que el banco de regiones (áreas, longitudes, \'Olómenes, etc.) susceptibles de calcularse consiste en las cuestiones, tos fenómenos o problemas reales, cuya modelación o solución implica alguna técnica de integración, es decir, las aplicaciones a cualquier campo de la ingenierfa. Para ilustrar este punto, analiraremos a continuación una serie de ejemplos de aplicación de la integral en diversos contextos de ingeniería.

3.5.1 Integración numérica El estudio de técnicas de integración que realiramos en la unidad nos asegura la evaluación de una gama muy grande de integran. Podrfamos decir que con el uso adecuado de estas y las tablas de integración estaríamos en la posibilidad de evaluar casi cualquier integrando y expresarlo en términos de funciones elementales; sin em· bargo, existen funciones imposibles de expresar en estos térnúnos o donde es muy dificil encontrar el valor exacto (si es una integral definida). Algunos ejemplos de esias integrales son:

J.-·' E$tos casos suceden si las integrales surgen precisamente de alguna situación experimental o modelación real en cuya situación es más urgente conocer su valor en un rango específico de valores. El método más inmediato, que analizamos al principio de la unidad 1, es el de las sumas de Riemann. Tal método efectivamc.nll: sirve como aproximación, ya que elegimos algún número n de subintervalos entendiendo que cuando n - oo, la aprol<Í· mación mejora. Podemos sintetizar lo anterior como sigue: A=

J.• f(x)dx.,,é..xf(x,)+óxf(x,,)+ ... +t:uf(x,) 1

.,, t:u{¡(xi) + f(x,)+ ... + f(x, ))

www.freelibros.org b- a n

donde t:u = - -

y x,, x,. .. .,x. serán los valores de la función en los pun·

tos medios de cada intervalo [Xi- i. x¡].

182

UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral Algunos autores prefieren llamar a este método el de la regla del punto medio. Ahora si consideramos, no el punto medio, sino los valores de la suma de los diferentes rectángulos ("tase figura) por la i7.quierda o por la derecha (suma inferior y como superior). calculamos un promedio de ambos valores; asf: A=

m • J•

•f(x)dx J• ＺＮ［ＭＨｓｾ＠

1

+ S,,)

2

1 f(x)dx "' - Ax{f(Xo)+ 2f(x, )+ ... + 2f(x._,) + f(x.)) • 2

(b - a)

donde Ax = - - yx1 = a+iAx. n

' Por esta razón algunos autores llamao a este método regla del trapecio (sin embargo, esencialmente hablamos de lo mismo: cálculo de áreas a través de la suma de rectángulos)

Fl¡pn 3MI

O' widda: Evidentemente, el cálculo de sumas se va haciendo reiteradamente conforme n crece. Hacer una actividad de este tipo manualmente podría llegar a complicarse mucho: por tanto, el uso de software o de herramientas computacionales juega un papel esencial en el éxito de estos cálculos. Al mismo tiempo, la actividad de programación proporciona al estucliante un contexto cliferente al algebraico y geoméuico, donde puede graficar el concepto de integral como una suma iterada de áreas con un fin específico.

Ejemplo 15 1. Calcule d valor ap!Qximado de la integral

(utilice la regla del trapecio).

SO LUCIÓN

i•

J!!!..x en d intcrValo [ 1, 3], con n = 4

www.freelibros.org 1 f(x) = - ; sin = 4 X

3-1 2 1 Ax = - - = - = -:.; 0.5

4

4

2

3.5 Otras apllcaclones 163

1 • J.'!:!.= .!.(0.5){!(1) + 2/(1.5) + 2/(2.0) + 2/(2.5) + 2/(3.0)) 2 1 X

2 + -2 + - 1 ) "'1.1166. = -0.5(1- + 22- + (1.5) 2.0 2.5 3.0 2 1 2. Se va a reali.7.ar el mismo cálculo, pero incrementando el valor den = 8. Por lo tanto.

3- 1 2 1 !:u = -s- = s = ¡ = 0.25

!.'!!:!_ = ｾＨｉ＠

+ 2/(1.25)+ 2/(1.5)+ 2/(1 .75)+ 2/(2)+ 2/(2.25} .

2

1 X

+2/(25) + 2/(2.75) + 2/(3)) =

ＰＮＱＲＵＨＫＭ

Ｒ

ＭＫ｟Ａｾ＠

1.25

1.5

1.75

2

ｾＫ｟ＡＭ

Ｒ

2.25

2.5

ＭＫＮＡＩＬ＠

2.75

3

1.103206

Como el lector podrá apreciar, esta integral no representa problema alguno para obtenerse. Así,

J.'tt2:. = ln xI'= ln3-lnl = ln3"<1.098 1 X

1

El análisis de la diferencia entre el valor de la integral obtenida por el teorema fundamental y por métodos numéricos puede realiurse fácilmente, observando la discrepancia de resultados (E):

__.--e = 1.098 -

1.103206 = - 0.004593--.__ . "'- . . ｾｯｲ＠ de la_ "',. discrepancia \lilor obtenido con la ｾｯｲ＠ obtenido con nuestra técnica de integración mejor aproximación n = 8

Discrepancia

/

E = -0.004593 l'l>r supuesto, entenderemos que cuanto menor sea el error en términos de valor absoluto, mejor aproximación obtendremos. De esta manera, la discrepancia E será una medida de la fidelidad de nuestro cálculo y será decisión del usuario mejorarlo o conformarse con lo obtenido de acuerdo con los objetivos de su trabajo. También encontraremos que algunos matemáticos prefieren llamar a la discrepancia E(error) y el valor que nos interesa cuando IEI - O(se aproxima).

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164 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral Portafo l io de ev i den cia s 6

• Invente un ejemplo de aplicación o bu$que una integral que sea necesario c\llluar por integración num&ica. Calcule los parámetros que crea convenientes usando la regla del trapecio y la regla del punto medio. Haga una estimación de la descripción en ambos casos y concluya al respecto de la efectividad de los métodos.

O' ,_.., Puede ayudarse de algón programa. (Escriba un reporte en este caso).

3.5.2 Circuitos electromagnéticos Considere el siguiente circuiro magnético con dos devanados mostrado en la figura 3.48.

;,

-

·····-

Con dos devanados Ni. N1 y circuito con entrehierro g. Observe que la dirección del Oujo ¡f¡ de corriente i e í2 se ha detenninado de tal fonna que se genere en la misma dirección.

-

;,

-···.

+

+

: ..................................• Fflpra3A7

Segón la teoría electromagnética, la fuerza dectromntriz Fscr:á detemúoada por el mismo número de vueltas de los devanados y sus corrientes i de la siguienre manera:

El circuiro electromagnético tiene permeabilidad µ, longitud media de nucleo 1, y área de sección transver· sal A,(con mlcleo magnético).

u

fuerza electromotriz (o voltaje) en el devanado µ1 será:

En rénninos de la inductancia propia y mutua tenemos que: ｾ＠

= L,, i, + L12 i1 donde

1 - 1' v¡ "' µoA,, va1-

g

y ｾＲＭ

1

-

N 1N2 µoA. --

g

www.freelibros.org ),¡ = Ni¡f¡ = N1N1 µoA. i, + N:f /JOA. í2

g

g

3.5 Otras apllcaclones 165

donde L

&JZI

. = N 1N 2 -l'oA, -l1 g

Si recordamos que el efecto inductivo de un devanado deriva de sus propiedades electromagnéticas, entonces sabemos que el vollaje estará detenninado por la diferencial de la comente respecto al tiempo {hablando de energía altema). Así, di e = L-. di

Considerando esto, e = L di + i dL (regla de la cadena} dt

dt

El lector observará que cuando existe más de un devanado, el voltaje se dctcnninará por la interacción entre ellos. En consecuencia, ｾ＠ d>. e=N-=dt dt.

. d e1 rucwto . = 1 . d>. • . será p = 1e La potenc111 -. dt

Si t.w es el cambio en la energla almacenada en el circuito desde el tiempo inicial

11 hasta 12 , es decir, en el

t.w =

intervalo (1 1• tiJ

J:' p dJ (el cambio de la potencia en 6w =

el

tiempo)

). !,¡,,"' id>. = !,¡,,.. -d>. L

1 2 L(>., ->.). 2 Esto se aplicará para cualquier valor de 1 haciendo

Resolviendo la integ¡al: t.w =

F

>.

>.1 =O.

L.

I

=:u:>.'=2•' ,

Esta fórmula, así obtenida, descn'bc una expresión que pennitirá calcular la encrgfa en el circuito electromagnético en términos de la corriente y la induelancia.

Ejemplo 16

｟Ｌｾ＠

..---··----·-····--·--.'

Loogitudde medida del núcico le

'-"-",tt Lo'1gitud

entre hierro

www.freelibros.org ｾＸ

Ｎ ＴＸ＠

186 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

1. Calcule la energía almacenada en un circuito elcctr0magnético p0r el que circula una corriente i = 0.8 A y con una inductancia de 0.6 H (henrys). SOLUCIÓN w

=

Ｐ Ｖ＠

ｾ

(0.8)2 ""0.192 J Goules).

2. Calcule para este mismo problema la diferencia de potencial >.. SOLUCIÓN

1 Como w = - .l. 2 1• >. = ../2lw = .,12(0.6)(0.192) ""0.230 4V 2L De hecho. este ejemplo de aplicación abre la puerta para hacer una observación pertinente: hasta este momento, todas las aplícaciones de la integral estaban basadas ea el cálculo de áreas; sin embargo, ca la integral que se usa en el establecimiento de la fóanula de la energfa (o cambio en la energfa del circuito electromagnético que acabamos de analizar) no aparece el concepto o noción de área implícita en el cálculo, aunque usamos integtación. Esla se cfectola con el propósilo de obtener la eoergfa generada o exci1ada por el cambio en la corrienle con respecto al tiempo (ra7.6n); es decir la parte fundamental fue encontrar la primitiva o antiderivada que expresará la energfa. Es decir, si bien la motivación que genera la aparición de la integtal en el ambiente matemático fue la bósqueda de áreas, la integral oo necesariamente dice cómo definir dichas áreas, aunque puede calcularlas. Ell uso más importante de la integral está establecido en el teorema fundamental del cálculo, el cual dice que el proceso de integración suministra una función (primitiva) F(x) tal que F'(x ) = f(x). l'J TFC establece que esta sencilla ecuación (o igualdad) tendrá una solución si fes continua y abre una gama impresionante de posibilidades de aplícaciones 11oicamente observando que dF - = f(x) dx

Ecuación ( 1)

Los ejemplos de aplicación que iremos exponiendo a continuación utilizan precisamente esta perspectiva del teorema.

3.5.3 Decaimiento radiactivo Suponga que se tiene cierta cantidad de una sustancia radiactiva. La cantidad de material S (sustancia) cambia con el paso del tiempo; es una función de S(t). Se sabe por las características de estos materiales, que con el paso del tiempo sufren una desintegtación, también Uamada decaimiento del material (lo cual no signi6ca que la sustancia desaparezca, sino que su configuración atómica cambia y deja de ser radiactiva). Experimentalmente se ha conehúdo que en cualquier tiempo t ｾ＠ O, la rapidez de cambio de S(t) es directamente proporcional a la cantidad de material presente. Esto es:

!

www.freelibros.org !!_S(J) oc S(t) dt

(Símbolo de proporcionalidad)

3.5 Otras apllcaclones 167 Si k es la consiantc de proporcionalidad determinada expcrimcn1almcn1e,

1•

dS(t) = kS(t). Como hablamos de un decaimiento o decrccimícnto dS(t) < O, dJ dJ pero S(t) siempre es > O 111• se concluye que k < O (aunque esta es una conclusión solo considerando que k
to quedará como:

1•

!!._ = kS dJ

El lector podrá comprobar esia ecuación con la ecuación (1) (excepto por k, que, por lo demás, solo es una constante). E'J teorema fundamental del cálculo nos facilitará resolver esta expresión en tér· minos de S{1}. Así, expresando:

dS -=kdt

s

e integrando

Id: =

f *d'

lnS = kl+C S = tft+C ="'.,e=

S(1) = Ct!'

e Ecuación (2)

e

(donde es la constante de integración y puede determinarse por medio de las condiciones del problema). Un dato común por saber será el de la cantidad inicial de mateóal. Si llamamos a es1e dato S0 {cantidad de sustancia en t = 0) y sustituimos en la ecuación (2): S{O) = So So = ce!l\0> C = So

Así. S(I)

=So•"

Ecuación (3)

Expresión que rcprcsaiia la cantidad de sustancia radiactiva en función del ticmpc2.

Ejemplo 17 l. Por hallazgos arqueológicos se encontraron unos huesos fósiles de animal. El análisis químico detectó que cada hueso contenía una centésima parte de "C (carbono 14) radiactivo. Determine la antigüedad aproximada de los huesos encontrados. 2

www.freelibros.org libl'M)Cfte de las aplicaciones en fonoao electrdaiooq11e se tneuen.lrllll Nl 2 Este aldlJsis fue at:tailo y ｾｵｭｩ､ｯ＠ 11 pqim http1/canek. uam.nu/ (el Jeaor podr6 cooonuarademá.s aCuoa.sotru ooosick:rac:ioDCa aOOre la vida media desustancias raciactivu).

168 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral SOLUCIÓN 14

C es un isótopo radiactivo ｰｾ｣ｮｴ･＠ en todos los cuerpos orgánicos. Cuando estos mueren, decae ese elemento de fonna que si se sabe cuánto carbono ha perdido, se podrá tener una idea del 1 aproximado que ha pasado. El elemento

C tiene una vida media de 5600 allos.

14

S(t) = kS(t), con S(O) = S0

S(5600) ］

ｾｓｯ＠

(vida media)

S(t) = Soe" S(5600) =

y ｴ｡ｭ｢ｩｾｮ＠

.!.s0 2

S(5600) = So ｾＶＰＩ＠

igualando

-1 Ji( = Ji(e•
i=

e•C3600>

1•

5600k =

ＱｮＨｾＩ＠

k = -lnZ = -0.000723776

5600

lgualmcnce, Despejando 1.

ｾＮＲＳＷＶｲＡＰ

1= _

Ｍ

ＩＱ＠

1 100

=-

- lnlOO

0

_23776.rlo-•) ,.,37,205.68allos.

3.5.4 Crecimiento poblacional El modelo de Malthus predice que una población crecerá exponencialmente con el tiempo, si la especie considerada dispone de todos los medios para vivir, como espacio, aire, alimento. En esas condiciones su crecimiento será de tipo exponencial, pero si los recursos escasean, entonces habrá competencias para acceder a ellos (peleas, guerras, cte.), por lo que la raron de crecimiento no será la misma. Por esta razón, el modelo de Malthus se llama de crecimiento irrestricto, mientras que el modelo presentado a continuación se denomina de crecimiento con ｾｴｲｩ｣￭ｯｮ･ｳＮ＠ El modelo llamado de crecimiento logístico fue introducido por Pierre Franc;ois Verhulst en 1838 y supone que la raz6n de crecimiento es proporcional tanto a la población misma como a la cantidad íaltante para llegar a la máxima población susientable. Dicho modelo se escribe como:

www.freelibros.org dpdi = rp(1 -.e.) K

Ecuación (4)

3.5 Otras apllcaclones 1 69

En este modelo, res la razón de cn:cimiento intrínseco, K es la capacidad sustentable, que es el máximo valor que puede tener p. BI valor de r depende solo de la especie considerada. mientras que K depende ranto de la especie como del medio ambiente en donde se desarrolla esta y es el máximo valor posible en este ambiente.

Observamos que p -

O•1-.e."' l. K

y d; - o

Sip - Kn11t(1-;)"' o

E'n consecuencia, In población p(t) = La solución de la ecuación (4) es:

e (consiantc).

K p(t)= - , -

-

ce"

K

+1

Ejemplo 18 l. Utilizando el modelo logístico con capacidad sustentable K = 100 x 1<>9 una población mundial (humana) de 5 x 109 en 1986 y una razón de crecimiento de 2% anual, realice una predicción de la población mundial al allo 20 t O. ¿Cuándo alcanzará la población un valor de 32 x 109? SOLUCIÓN

K = 100

X

1<>9 p(t) =

Po=S x 109

LOO

1+(1005-5)[º·°'' 100

r= 0.02

= ---,..,.-

1+ 19e-O.l-•

' K - 100

Po=S

...... 3.49

www.freelibros.org En 2010, 1= 24

10•

p(24) =

100 _. .. "'7838904588 habitantes 1+19" .

170 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral X (09 en r1 a determinar:

la población scni de 32

l. . ( 11 )-

p

-

IOO 1 + l 9e-
32

100 = 32 + 60ae-o.°''• e-<>.cn., = 68

608

--0.02r, =

r1 =

Ｑｮｌｾｬ＠ ｉｮＨｾＧ＠

::l!QQ1"' 109.5334 al!os. -0.02

Esto significa que a mediados del 2095, si las tendencias se mantienen. la población será de 32 X 1O?. Po rtafo l io de ev iden c ias 7 Solucione la ecuación

J [1-dp P J = rr + C para p(r). p

O'

K

widcia: Utilice el método de fracciones parciales. Describa, con sus propias palabras, cuáles son las aplicaciones más cornu-

ocs de la integral. 2

Determine, en una disertación escrita, las diferencias fundamentales de la aplicación de la integral como técnica para cálculo de regiones y la aplicación de la integral corno una antiderivada de una función.

3

Busque y comparta con sus compañeros otro ejemplo de rnodelación matemática de un problema ffsico que requiera integración.

Ac ti vidad de trabajo 3 . 6 1. En el siguiente problema, determine la ecuación que modela la situación si: La población de una comunidad aumenta con una rapidez proporcional a sí misma. Si la población inicial es de 2000 y aumenta 10% en 5 años:

a) ¿Cuál será la población en raños? b) ¿Qué porcentaje habrá aumentado en 10 allos? e) ¿Cuántos años deben transcurrir para que la población sea de 20000 personas?

www.freelibros.org waidu: Suponga el crecimiento poblacional directamente proO' porcional a la población actual.

ActMdacl Integradora unidad 3 171

2. Si una sustancia radiactha se descompone 5% en 50 al'los: a) ¿Qué porcentaje habrá al final de 500 años?,

b) ¿Y después de 1000 al'los? c) ¿Cuál es la vida media de esta sustancia? 3. Si la vida media de una sustancia radiactiva es de 1800 aftos: a) ¿Qué porcentaje estará presente al final de 100 años? b) ¿En cuántos aftos quedará 10% de la sustancia? 4. Se sabe que un material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 mg de material y, después de dos aftos, se observa que 5% de

la masa original se desintegró, determine:

a) Una expresión para la masa al momento 1. b) El ciempo necesario para que se desintegre el 10% de Ja masa original

Actividad integradora de la unidad 3 l. En los siguientes incisos determine el área de la región acotada por las curvas dadas: l. y=x 3 -4x

y=O 2. y = 3. y

ﾱｾ＠

y su asíntota 1

(2x+ 0 2 desdex =O, x = 1

4. y= -x1 +4x-3 y las rectas tangentes a yen (0, -3) y (4, -3) 5. y = x' + 3x 2 +2 y

= x> + 6x2 -

25

1

6. f(x) = - 2- -, y= 0, X= 0, X= ..fj X +3

www.freelibros.org 7 . y= 4x - x 2

y =8x-2x2

172 UNIDAD 3 Aplicaciones de la Integral

e' 8. y= - -, y= O en el íntervalo [O, oo) I+ e' 9. x=r 3 -x y=-2 JO. y= lnx

y=e'

x=I x= e

II. Si A1 es el área de la región encerrada por la curva f (x) = 4x - x 2 y el eje x, y Az es el área de la región encerrada por las curvas f (x) = 4x - x 2 y y= mx sabiendo que

d valor de m. y = mxcon m = 2.

ｾ＠

A1

= 8, encuentre

ID. SeaR1 1aregiónlinútadapor J(x)=cos2 x yelejex,yseaR2la regiónaco1adapor g(x)= ycl cjcx. Dctcnnlnc el valor de a,si ambas regiones tienen la misma área en

¡o. -;J.

ｾ＠

IV. A(r)CS el área de la región limitada por las curvas y = 1, y= tg/1x, . x = O, x = r. Encuentra tfm A(r ) . .._,,. V. Fn los siguientes íncisos detennlne la longitud de las curvas dadas: l. f(x) =

3x•+s 30.i'

x' 1 2. y= 10 + 6x3 'x E {I, 2)

3. y= ln(sen x), x E

ｉｾﾷ＠

ｾ ｝＠

x2 1 4. y= ---ln x x E[l 2) 2 4 ' .

x' 1 ,. X E [I, 2) 5. y= - + 8

4x

6. y= ln(cos2x), x E

7. y=

¡o. ¡¡

J.' J 1+7+ 1dl,con1 E [l,4)

www.freelibros.org x3 1 8. y= ---lox xE (l 3) 3

4

'

1

ActMdad Integradora unidad 3 173

x' 1 10. y= - + - , conx E (l, 4] 12 X VI. En los siguientes incisos, encuentte el volumen del sólido obtenido por las acciones descrhas: 1. Determine el volumen de una esfera S de radio R, mediante el método que prefiera.

2. Una región está determinada por el segmento de recta que une el origen de coordenadas con el punto (a, b), la recta y= by el eje y,y gira alrededor del eje y. Halle el volumen del cono generado.

3. La región acotada por la curvax = 6 el volumen del sólido de revolución.

r y la rectax = Ogira alrededor del ejex. Calcule

4. Un círculo de radio R gira alrededor de una de sus tangentes verticales. Encuentre el volumen del sólido que genera. 5. Sea R la región limitada por las eurvasx = 6- 2r y x= 4y2. Encuentre el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la región R de la recta y = - 2. 6. Determine el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta x = 2 la región ocotada por la curva y = 1 - x2 y la recta y= O. 7. Encuentte el volumen del sólido formado al girar alrededor de la recta x =-2 la región ocotada por y = x y; y = x3.

=-r (y + 3) y x = 2y gira alrededor de la recta y = 1.

8. La región acotada por las curvas x Oüculc el valor del sólido generado.

9. ¿Cuál es el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por las curvas y= cosx, y = senx entre x = Oy x = n/4, a) alrededor de x = nl2 y b) alrededor del cjex?

10. Clllcule el volumen del sólido generado al girar la región que queda debajo de y= 1 +sen x, sobre el ejex, entrex =O y x = 2n a) alrededor del eje yy b) alrededor del eje x.

VII. Calcule el área, los momentos de inercia y el producto de inercia de la sección triangular que se muestra a continuación:

h

www.freelibros.org -4"---------'---x b

174

UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral VIII. Calcule el área y los momentos de inercia de la sección circular que se

muestra a conúnuación.

IX. Deduz..ca si las funciones dadas son la solución de la correspondiente ecua-

ción diferencial; l. y = (cosx)ln(cosx) +seo x para y"+ y = secx. i

ri

i

1

2. y = e-• Jo e' dt +ce-• para y'+ 2y = l.

3. y = e- •(A sen2x + Bcos2x), con A, 8 = con&antes, para

Y'+ 2y'+ 5y = o.

5. y = orcsenx para ( 1- x1)y" -xy' =o.

X. Si y•(1) = (

Preguntas de reflexión

- 1

1+11)1

,

1T

; y (O)= - y y(I} = tr, encuentre y(t}.

8

¿Entiendo el concepto de elemento diferencial? Ciando veo la notación d1, ¿entiendo su significado geométrico y el significado que toma en la ecuación

J.' f(t)dt = F(x)?

¿Comprendo la relación que tiene el teorema fundamental del cálcu.lo en las aplicaciones a la ingenieóa vistas en esta unidad? ¿Entiendo el significado de variación o razón de cambio y su proceso inverso?

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Cálculo de Newton del nfunero "

IT

175

Contexto histórico: Cálculo de Newton del número 7C

El cálculo del número"· que realizó Newton, apareció en Metlwdus jfuxionarium et serienim infinironim

en 1671. Newton considet6 la circunferencia de ceniro

ＨｾＮ＠

o) yradio i: (x-ir + y =¡;además, 2

cxpl'C$Ó la función en términos dexy usó el desarrollo del binomio: 1

[

3

[

y=x 2 - -x 'l - -x 2 8

....

_,

-3

,l15p

2-- x 2- -x '- -

-·

16

120

á •

o

71

256

x 1 - ...

,.28

o

2

'

•

También calculó el área debajo de la curva e integró término a término: Is

23

1 1

1 ,

511

A(x)=-x'--x ' - - x ' - - x ' - - x ' -... 3 5 28 72 704 Para x =

.!.,4 el área de la región ADB es: área (ADB) = 21

601

5 3584

368664

14411792

... ｾ＠ 0.0766773729

Geométricamente:

área (ADB} = área (ACD}- área ( DBC}

Luego, observó en los lados del triángulo BCD que el ángulo en Ces de área (A CD} =

ｾ＠

área (ACD) =

ｩｻＢＨｾｊＧ＠

%.

área (sc.micúculo}

J= ｾ＠

J3) J3

. área del uiángulo (BCD} = -1 (BCXBD} = -1{-1) [=2 2 4 4 32

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178 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

Luego, igualó los valores para esta área:

-" -J3 -= 24

32

o.016n3nos

y portanto,

7r =

24[0.0767737208 +

!)=

3.141607904 ...

Newton utilizó en su documento 20 términos del binomio para llegar a calcular ,. con dieciséis decimales correctos.

O Autoevaluación de la unidad 3 J. Calcule por el método que prefiera el valor de las siguientes integrales:

J.•Ji+JX3JX dx

ｊ Ｍ Ｔ ｟ｩＧ

Ｍ ｟［ｾ

(2x+ 1}5

1

､ｸ＠

IT. Calcule el área de la región ljrnitada por las curvas: y = (x - 1)2, y= (x - 5)2 y la recta)'= O. ID. Calcule el volumen del sólido obtenido al gitar alrededor de la recta y= - 1 la región del plano limitada por las curvas: y = x + 2, y y= 2- x 2 • IV.

Deterrnine la longitud de la curva y =

V. Calcule el siguiente lúnite:

ｾﾷ＠ + 4: 1

con 1 $ x $ 2.

+e')

,lím _ ln(x X

VI. Despeje el valor de x de la siguiente ecuación: ln(2x + 1) + ln(2x) = 6

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L

a solución de un polinomio o función polinómica como "función elemental" es el objetivo final de esta unidad. Entre la comunidad matemática, la manera más empleada es mediante un método que se llama aproxlmac/6n; sin embargo y antes de llegar al estudio de este método, que por lo demás arroja muchos resultados teóricos i"" portantes, el lector tiene que familiarizarse con algunos antecedentes que lo preparen para tal efecto. Por eso, esta unidad empieza con la "presentación" del concepto de sucesiones; después aborda el de series numéricas y pruebas de convergencia, para finalizar alcanzando la competencia específica de representar funciones polinómicas mediante series de Taylor. Todo esto permitirá el cálculo correspondiente de lnte11)"ación de dichas funciones.

Contenido 4.1 Definición de serie 4.1.1 Serie infinita 4.2 Serie numérica y convergencia 4.2.1 Prueba de la ra.i:ón o criterio de D'Alembert 2.2 Prueba de la raíz o criterio de Cauchy

4.3 Series de potencias 4.4 Radio de convergencia 4.5 Serie de Taylor 4.6 Representación de funciones mediante la serle de Taylor 4.7 Cálculo de lntel1)"ales de funciones expresadas como series de potencia

L: www.freelibros.org ｾ＠

COMPETENCIAS POR DESARROLLAR COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

• • • •

Desarrollar series finitas e infinitas en diferentes contextos. Detenninar la convergencia de una serie infinita. Usar el teorema de Taylor para representar una función en series de potencia. Calcular el valor de la integral de una función representada en una serie de potencia mediante el polinomio de Taylor.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

• Formalizar el concepto de series finitas e infinitas. • Contextualizar el concepto de serie y el concepto de convergencia a través de: La búsqueda de series en distintos campos de las ciencias e ingeniería. · Intercambio de los resultados de la búsqueda. · Representación de funciones usando software matemático. • Resolver integrales que requieran aproximarse o representarse mediante series de Taylor. HABILIDADES V ACTITUDES

• • • •

Habilidades para encontrar patrones o secuencias. Habilidades para encontrar convergencias. Habilidades de razonamiento lógico y numérico. Destreza para encontrar (lmag)nar) el valor de una aproximación Infinita a un valor finito.

COMPETENCIAS PREVIAS

• Conocimiento de algún software matemático. • Conocimiento elementales de aritmética. • conocimiento de técnicas de Integración algebraica y numérica.

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ORGANIZADOR GRÁFICO DE LA UNIDAD 4

Numérica

Convergencia

1

Serles

f..spi.ml equ.ia.ngu.lar

De potencias

Prueba de razón

l

Prueba de la raíz

íi

1 l ____________,_. Series deTaylor

Radio de convergencia

Representacl ón n de funciones

B

Integración de f(x) aproximada por series

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Antecedentes Sumas y diferencias Cuando Leibniz tenía 26 allos de edad conoció en París a Huygens, quien le planteó el problema de

sumar Jos inversos de Jos números triangulares. Estos son: l

1

1

1

1

2

-+-+-+-+-+··+ + ··· n(n+l) 1 3 6 JO 15 Leibniz observó que cada ténnino se puede descomponer como: 2

n(n+ 1)

2(nn+ 1 l I)

Leibniz consideraba suma y diferencias de sucesiones de números. Observó, por ejemplo, que si ｾＮ｡Ｌ＠ "2 ... y la sucesión de diferencias d1, d2 . . . d., donde d; =a; - a1_ 1

se considera la sucesión

a.

entonces: d 1 +"2 +· .. +d.= (a1 -ao)+(a, -u1)+ .. ·+(a. -a-1) = a. -a0 Es decir, la suma de las diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el llltimo y el primer término de la sucesión original, por ejemplo:

1+3+ 5+7 + 9+11+ ... O, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... ,n2

Sus primeras diferencias son: l, 3, 5, 7, 9, l l,. . .,2n- I ya que ;• -(i -1)2 = 2i-I. Luego se sigue que la suma de los n primeros números impares es n2

1+3+5+ .. ·+(2n-I)= n 2 Leibniz utilizó este método en otros casos, por ejemplo, en relación con la serie geométrica

1, q, q2 , ... q• . En este caso, obtuvo:

tq"=-•-,

...

1-q

si

lql
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4.1 Definición de serie 1B1

- . i _oe11nlclónde serte Con mucha frecuencia en cálculo trabajamos con secuencias de números. cada uno de los cuales se puede obiener a partir del que le antecede mediante alguna regla o ley detennínada. Las secuencias de este típo suelen llamarse progresiones, o más comúnmente, sucesiones. C\Jando el número de términos de la progresión tiene valor conocido o determinado, la progresión se Uamajir1ila; por el contrario, cuando presenta un número ilimitado de términos, se llama injinüa. A los ténninos de uno sucesión se es Llama elementos y un ténnino generalizado se denomina elemento n·ésimo de la sucesión. 1 Ejemplo de la segunda paradoja de Zenón La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre Aquiles y una tortuga a lo

que se le dio una ventaja inicial. 'Zenón proponía que Aquiles nunca podría rebasarla debido a que, siendo:

{a.}= Los puntos o posiciones de Aquiles

,.

={a¡, ai, a3 ... a.) (b.) =Los puntos o posiciones de la tortuga en la carrera = (b1, bi, b3, ... b. )

Cuando Aquiles arranca en el punto a 1 la tortuga arranca en b 1 (posición adelantada) y cuando a2 = b 1 la tortuga ya estará en b,, etcétera. {o,,)

ª'

•i

{b,,}

a, ...

b,, .•.

Evidentemente, las posiciones de cada uno de los integrantes de esta singular carrera formarán sucesiones diferentes; sin embargo, lo que se debe hacer notar es que el espacio que ambos competidores recorrerán será el mismo y determinado. Por lo tanto, hablamos de series finitas; así, cuanto mayor sean, más se aproxima Ja meta M. Lo anterior, en términos matemáticos, se expresa como:

lím,,_,,, a,. = M

y que:

Como M = M 111• si 3 un punto en el que Aquiles alcanzará a la tortuga.1 Ejemplo de la sucesión de Flbonaccl

Una famosa sucesión descubierta por Fibonacci (1175-1250 aproximadamente), un matemático del siglo x1u, está relacionada con un problema donde un hombre aísla a una pareja de conejos y se pregunta; "¿Cuántos pares de conejos se generan a partir

www.freelibros.org 1 Encl siglo v a.c., el filósofo griego Zcnón de Elea propuso cuat.ro problcims. ｣ｯｮｩｾ＠ paraoo;a oo Zenón" qU<> oooafiaban algunas ideos oo «pockl en la época.

como "'La

182 UNIDAD 4

Serles

del par original durante un ailo, si se C011$idcra que cada pareja engendra al mes un nuevo par de conejos que se convierten en productores al segundo mes de vida'l". SOLUCIÓN

la solución a la pregunta se plantea suponiendo que después del primer mes, el par original dará a luz otro par, por lo que habrá dos pares; después del segundo mes habrá un par más, mientras la primera camada crece. Así hay tres pares. Después del tercer mes, cada par adulto dará a luz otro par, entonces habrá cinco pares. Después del cuarto mes, cada uoo de los tres pares adultos dará a luz otro par, por lo que habrá ocho pares. Después del quinto mes habrá un par joven de cada uno de los cinco pares adultos, más tres pares jóvenes, para dar en total trc:co pares (véase figura 4.1). Si se elige uo mes cualquiera a partir del tercero, el mimero de pares adultos será igual a la suma de los pares adultos de los meses atrás. La secuencia de adultos será 1, 1, 2, 3, 5, 8,. .. Fibonacci encontró que la secuencia de pares jóvenes es exactamente la misma con diferencia de uo mes, es decir:

o, J, l,2, 3,5, 8 ... la sucesión en la cual cada cifra (a partir de la tercera) puede encontrarse sumando las dos cifras anteriores fue llamada n1cesi611 de Fibo110cci por un matemático francés en el siglo xrx. Las sucesiones que pueden expresarse mediante una relación matemática se llaman recursivas; así, esta sucesión fue la primera recursiva conocida en Europa. CONCLUSIÓN

El númeroº• de parejas nacidas en el n-
F'-"'" 4.1

Los dos casos anteriores son ejemplos de sucesiones cuyos elementos se encuentran mediante una regla o ley de suma. Sin embargo, existen en general dos tipos de sucesiones. EstaS son:

www.freelibros.org Definición 1

Una sucesi6n aritmética es una sucesión de números relacionados, de tal manera que cada uoo, después del primero, se puede obtener del que le precede s1tm01UÜJ a este una cantidad fija llamada diferencia.

4.1 Definición de serie 1B3 Una sucesión o progresión geomilrica es una sucesión de nómeros relacionados entre sf, de tal manera que cada uno, dcsputs del primero, se puede obtener del anterior mullipücaniW a este por una cantidad fija llamada razón.

Definición 2

1

Ejemplo de factorial

Una expresión comlln en algunos módulos matemáticos es 11!, cuya ooraeión significa que si: n! = 1=1 n! 1 x 2 2 n! = l x 2 x 3 = 6 n! = 1 X 2 X 3 X 4 = 24

n= 1 n =2 n= 3 n=4

=

=

Son los elementos de una sucesión geométrica. El cálculo se interesa por las sucesiones infinitas y la manera de calcular su expresión matemática, a la cual en adelante se le llamará función de la sucesión. de manera que siempre puedan conocerse sus elementos. La pregunta que surge de manera inmediata es: ¿Si 3 algón valor l al cual la sucesión tiende a llegar? Es el caso del ejemplo de la paradoja de Z.Cnón; en ral si!uaeión decimos que la sucesión es con,•ergente, y en caso contrario se dice que es divergente. Teorema

SI lfm f(n) = l con f(n) definida V n E z+ f(n) es convergente.

Ejemplo de convergencia

l. Sea la sucesión cuya función de sucesión está dada por {

11

+ 1 }·

2n - 1

a. Determine si es convergente o divergente. b. Calcule los primeros cinco elementos. SOLUCIÓN

J(n)={n+I} 2n-I

lún f(n) = lím

•-

n+ 1 =

-oo 2n - 1

1+.!.

ｾＫＮＡ＠

11 = lím ..lL....!L = lím--

• -oo 2n

_ ..!_

n :. lím f(n) =

n

•-2- . !.

.!.2

.!. 2

n

www.freelibros.org 11:-o:l

ｻ ｾ 2n-I ｽ＠ = {1. 2, ｾＮ＠ 3 ｾ 5 Ｎ＠ ｾ＠ 7 ...}

184 UNIDAD 4

Serles

4.1.l Serie infinita El papel que juega ･ｬ｣ｯｮｾｰｴ､＠ límite en el cálculo del ｶ｡ｬｯｲｮｾｩｭ＠ de la sucesión es de gran importancia cuando se trata de representación de funciones como sumas infinitas; por ello otro, factor importante que estudia el cálculo es el de la suma asociada a una sucesión particular; es decir: Sean {a1, a 2, •• • a.) los elementos de una sucesión. La suma infinita asociada será: a, +a2+ ... +att En general a partir de la sucesión (a.} se puede formar una nueva sucesión, de forma !al que:

S1 =a 1 S2= 01+02 S3=

S. =

m •A Definición 3

ª' +ai + OJ a1

+

02

+

UJ +

la sucesión (

... +

ª•

s.J obtenida de esta forma se le llama serie infinita; en general:

Si (a.J es una sucesión y s. se define como

s.=a, +a2 + ...

+ an -+ slt

es una sucesión de sumas denominada serie inli nita:

Y los 01, a2, .. . son los elementos de la serie. También:

Definición 4

Si lfm.-S. 3 y es igual a alglln valor • u serie es convergente; si 11m..... s.3 u serie es divergente yno tieo.e suma

1•

Ejemplo de la tercera paradoja de Zen6n

1. Un hombre parado en un cuarto no puede caminar hasta la pared. Para que esto suceda primero, avanzarla la mirad de la distancia, a continuación la mirad de la distancia restante, después la mitad del resto del camino, después la mitad de lo que queda ... y asf puede continuar este proceso hasta el infinito.

www.freelibros.org o

1 2

1 4

1 8 16

4.1 Definición de serie 185

Un dato que si sabemos es que, a pesar de que el proceso puede ser infinito, el hombre sf llegará a la pared. Así, Ja distancia total se puede expresar como: 1

1

1

1

1

-+-+ - +-+ .. ·+-+· .. = I 2 4 8 16 2•

s, = -2J ... o.s 1 1 S2 = 2+:¡'"0.75

En ténninos de la definición

1 1 s, = -1+ -+,.,0.875

2

4

8

1

1

1

1

s. =1+¡+8+16""º·9375

Infinita serie convergente

Portafolio de evidencias 1

l. A continuación se proporcionan algunas reglas que definen sucesiones; clasifique cada una y obtenga sus cuatro primeros elementos. a) Empezando con 1, 2, 3, cada número siguiente resulta de sumar los tres anteriores. b) El e-
Act i v i dad de trabajo 4 . 1

1. En los siguientes incisos: a) Determine si la sucesión es convc:gente o divergente. b) Obtenga los cinco primeros elementos de la sucesión. l.

2.

{n2+¡ } 3n -n {2n:,+l} 2

｛ｾ ｽ＠

4.

5.

ｻｾＺｽ＠

6.

[(il;}

7.

{Jn+ 1-

./2ñ}

www.freelibros.org 3.

｛ｾ ｽ＠

186 UNIDAD 4 Serles

2. Utilice algün software (especifique) y:

n: J.

a) Justifique si la sucesión siguiente es convergente: {

3

b) Determine los primeros cuatr0 elementos de la serie. 3.

Preguntas de reflex ión

Determine si la serie infinita es corwergente o divergente: Obtenga la serie a)

ｾＨＵｮ

e)

L

Ｋ ｬｾＳｮ

Ｍ ＲＩ＠

2n+l n1 (n + 1) 2

ｾＳ

b) l.,

Ｌ｟

Ｌ＠

... . 2"

d)

ｾｲｮ＠

¿Culll es la dífercncia conceptual entre sucesión y serie? • ¿Comprendo el concepto de serie infi nita? • ¿Conceptualmente me queda claro que una suma infinita tiene un ''alor de convergencia? • ¿Entiendo el concepto de convergencia y divergencia? • ¿Comprendo la importancia del estudio de series en cálculo?

--®= · = 1 Serte numérica y convergencia Dada una serie numérica infinita, vimos que tenemos dos opciones. En un primer caso, como no podlamos encontrar la suma divergente, entonces no esperarnos ballar nlgún valor o decimos que "no 3" es el valor asignado. En el segundo caso, observarnos que con la convergencia podemos encontrar más áreas de oportunidad; estos son los casos más importantes que analila el cálculo. De lo anterior, se deduce que es importante contar con un criterio que nos permita saber si la serie converge a algún valor o no. En general podemos observar, con respecto a las series, que si {S.} siempre aumenta conforme 11 aumenta, pero que estos incrementos no llegan a ser mayores que algún número fijo definido U, entonces, lún,,_,.. S. = U

[Se dice que tiene una cota superior]

Si por el contrario, s. siempre disminuye conformen aumenta. y sin llegar nunca a ser menor que algún numero U 1• [Se dice que tiene una cota inferior]

www.freelibros.org Algunas veces es posible determinar si una serie dada es convergente, por simple inspección de sus elementos comparándola término a término con otra serie ya conocida

(•-rilerio de com¡J(Jraci6n).

4.2 Ser1e numérica y convergencia 1B7

En consecuencia, si

tenemos que:

Además, sabemos que Hm._,. s. = 8 ya que s.< 8 y s. ｾ ｳＮ

Ｍ＾＠

s. < B.

l'llr lo tanto, s. es convergente a un nómero no mayor que B. Por un razonamiento similar podemos concluir acerca de la divergencia (criterio de divergencia).

Si s.= a1 + a1 + a3 + ... + ª• y s.=b 1 + b? + b3 + ... + b•. Además sabemos queS.esdivergentey que los elementos de S., no son nunca menores que s•. .... s. también es divergente. Sin embargo como estos criterios no son concluyentes, se hace necesario el estudio de otras pruebas más exactas o fáciles de aplicar como veremos a conlinuación. 4.2.1

Prueba de la razón o criterio de D'Alembert

Sea la serie geométrica (suma de términos de una progresión geométrica) infinita

a + ar + ar2 + ...

+ at" + at"+ 1 + ...

cuya nuón [véase definición 2 de esta unidad] de dos términos consecutivos es r. Se sabe que esta serie es convergente cuando lrl< 1, y divergente para otros valores, =? aplicamos el siguiente teorema:

Teorema

Sea

00

¿:u.

""'

una serie para la cual cada

u."' Oy sean u. y u.+1 dos términos

consecutivos de la serie y sean también

u

6 = --.!±!. Razón de D' Alembert

u.

11•

Cuando ICm,,_,.181< l la serie es convergente

Hm.-.. 181 > l la serie es divergente Hm.-.. 181 = 1 no hay cótcrio (la prueba falla) Este criterio propone que para determinar la convergencia de una serie no es suficiente que la nuón de la misma sea menor que la unidad, sino que el límite de la razón lo sea.

www.freelibros.org

188 UNIDAD 4

Serles

Ejemplo 1 Dttennine, por medio de la prueba de la razón, si las siguientes series son converｾｮｴ･ｳ＠ o divergentes. t.

Ec-1)'*';

SOLUCIÓN

(-1)•+• n

u• -- ""---'--] 3"

(-l)- 1(n+I)

n+I

3n

3n

1 +11 1+lím 161 = llm -" - = lím --11. = .11-00 •-oo1 311 •"""CIO 3

2.

1 1 3; como - 3<1 :.

"" 3' Ec-1J·--. , .., n

La serie converge

SOLUCIÓN

3• u. =(- 1)"1 n

u,.., =(-1),...'-(n_+_I)-' 311+1

Serie divergente 3.

f•• J

111•

(- 1)•+'3"1n1

ó

(-1)'3'(n+ 1)2

- 3n 2

(n + 1)2

lún 161= lún 1 -3n' = lún .,..., n2 +2n+I ...... ｉ Ｋ ｾ

o-oo

con 3 >

-3 -1-31=3 Ｋ ｾ＠

1 n1 1 ó: acuerdo con el teorema => serie divergente. n

(-1)• 3rl

r

SOLUCIÓN

u, ］ＨＭＱＩＧｾ＠ U•+I = (-1)•+•

Ｑｾ Ｑ ］Ｑ Ｑ Ｍ Ｑ ］＠

11•

3n 1

3(n + I)

0

(-1)'+'3n (- 1)'3(n+l)

-n n+I

1-n

• 1-" 1= llm --1- = lím V) lún .-.. ,_,. n + I .-oo 1+.!. n

1 No hay criterio

4.2.2 Prueba de la ra1z o criterio de Cauchy

www.freelibros.org Como el criterio de la razón se basó en observar y calcular el límite de l&I valor absoluto de la razón de O' Alembcrt, se dice que es un criterio de convergencia absoluta. Sin embargo, cllisúrán muchos casos para los que el limite de dicho cociente = 1, por

4.2 Ser1e numérica y convergencia 1B9

Jo que no tendríamos criterio para decidir acerca de la convergencia. Un criterio que en este caso resulta de mucha utilidad y que además tiene gran relevancia teórica es el llamado pri1ef)a de ta rofz. Esta se establece en el siguiente teorema:

Teorema

ｾ＠

Sea

s.= ¿:u. una serie infinita, donde vu. E s., vu. E s., u. =Oy sean ••l

1

ó =IU.I; Y sean

Cuando lfm,,_... l&I < 1 la serie es absolutamente convergente lfm..- 1111 > 1 o Hm._$ l&I =

+ oo la serie es divergente

lím,,...,m llil = 1 oo puede concluírse acerca de Ja convergencia con este criterio.

Ejemplo 2 1. Determine si la siguiente serie es convergente o divergente usando la prueba de la raíz.

'°'(1)" .3• .!. . L.J SOLUCIÓN

Se observa que esta serie es precisamente aquella donde falló la prueba de la razón.

u =(-1)"...!... •

lfm ó

"-00

3"

=lím 1-!J31 =1-.3!.I= .3!. < 1:. 1'-00

Ó=l(- 1)·

ｾ ｉ ［＠

1

la serie es absolutamente convergente

Elementos para alcanzar la competencia Rasta esta sección hemos orientado al lector para que desarrolle los criterios básicos que le pcnttitan determinar si una serie en particular puede converger de manera absoluta a su valor. Decimos orientado, porque, como en muchos conceplos en cálculo, no se puede dar al lector más que pautaS de ra2:0namiento y observación. A continuación intentaremos resumir los elementos necesarios para determinar la convergencia.

• Primero debe determinarse la convergencia sobre el ｮｾｳ nera que si lfm,._$ U• = O ,. la serie diverge, pero si

ｩ ｭｯ＠

elemento U,, de ma-

• ICm.-$ U,= O, no hay criterio y debemos analizar la serie para hacerla corresponder con algún caso. En consecuencia,:

·-· www.freelibros.org i.

Una serie geométrica

f:ao•-1 converge si lól < l; dívcrge si ＱＶｾ＠

190 UNIDAD 4 Serles

ü. Una serie de la forma

f; ....!... ••ln P

üi.

convei:ge si p > I; diverge si p :5 1

_,

Una serie alternante de la forma f)-1)•+ 1a. converge si

ª•+'
lfm

ª•

> O

ª• =0.

Pero si aun con estos criterios no 3 información y si tenemos una serie cualquiera

"2:,U.

se aplica el criterio de la razón o criterio de la rafz.

- 1

Portalo l lo d e e v iden cias 2

La sucesión de Fíbonacci representada de una manera gráfica permite construir

la siguiente curva.

• Reprodu1.ca este diseño a una escala mayor y aaadiendo si es posible más cuadrados. Realice una búsqueda bibliográfica que le permita describir y reproducir de la misma manera la espiral deAtquúnedes y la espiral logarítmica. Mencione los usos de esas espirales en discnos arquitectónicos o naturales. Investigue en qué consiste cl criterio de la integral para convergencia de series. Reporte sus resultados por escrito.

Act i v i dad de trabaj o 4 . 2

1. Analice las siguientes series y determine respecto a su convergencia expli-

cando su conclusión: 1

1 2

1

3

1 2 3

n!

a) - + - ·- + - ·- ·- + .. ·+ - - - " - - 3 3 5 3 5 7 3·5·7 .... ·(2n+I) b)

5

7

3+32 +32 +3,+ ...

www.freelibros.org 551 5- 3 +-+ 5' ... e) -+-+ 1

2!

3!

4!

ｾ

4.3 Serles de potencias 191

2. Octenninc en los siguientes ejeo:cicios si la serie convexge o diverge. 2

a) I:[(-1} +(-11•1]

f)

b) f;n-1 _ n+ I 0

g) f:<- ll"+1_ n_ •·• ln(n)

e)

h)

ｾ＠

"'""

d)

f:(_!_+_!_) · - · 4• 3"

f:<- 1)" n + 1

·-· ｾ＠

n'

n•

I: ,..1 n!

L_n_

i)

ｴ ,.. , ＼ ＭＱＩＢ

ＢＧ ｾ＠ n

ｾＩ＠

j)

ｦＺ＼ＭｬＢ 111•1

Ｋ ＧｾｉＺ＠

ｾ＠

,. 1.Jn+2

e) ｴＧｮ 11• 1

n

/l.

¿Entiendo el papel que juega el concepto de límite e.o el cálculo de una suma de los elementos de una sucesión?

Pregunta s de refl exi ón

• ¿Comprendo el papel que ､･ｳｰｾ｡＠ criterios de convergencia?

el concepto de límite en los difcren!CS

• ¿Entiendo la diferencia que existe entre el cálculo de la suma de la serie y la estimación de su límite? • ¿Puedo detenninar sin problema la función serie y la función sucesiva a partir de algunos elementos dados? • ¿Puedo detenninar cuándo una serie converge y cuándo diverge? • ¿Entiendo 1.a diferencia entre una serie geométrica y una serie aritmética?

• ¿Comprendo los conceptos de razón y diferencia?

･ｳ＠

de potencias Una serie que tiene la forma particular:

t10+ t11x + t13X'+a:ix3+ ... (1) con ao, a 1, a2 ••• a.,, coeficientes constantes e independientes de la variable x, ｳ･｣ｯｾ＠ nocc como una serie de po1encit1 en x. Una serie de potencia es especial porque dada una serie de este tipo pueden suceder tres cosas:

sea convergente \fx.

a) ｾ･＠

www.freelibros.org b)

ｾ･＠

no sea convergente para ninglin valor de x, excepto para x = O.

c) Puede converger solo para algunos valores de x "'O y divergir para los restantes.

192 UNIDAD 4

Serles

Con un comp0namicnto tan singular, es obvio que merezca un análisis minucio-

so que nos permita determinar sus caraetedsticas y geoerafuaciooes. ｾｮ｣ｩ｡［＠

Utilizamos el criterio de la razón para determinar primero los valores de converes decir, nos interesa el caso cuando

lim._,. ¡a¡ -

Asl, lim

n-oo

3

(º•••) = L. Intentaremos determinar cuándo se cumple esta condición. an

El término u.de (1):

El término

u.,., de (l)es: 6

lfm Ó=

"-co

a,.x"

a,.

lím ｲ ｾ＠ a,. xi; pero el Va!Or del limite

n--oo

= x llm

11-00

｛ ｾ a,. ｝Ｚ＠

Tunemos que: Um._.., 8 =

sí lim

n-oo

DO depende de X

!2.±.!. = t a,.

xt

i. Si t = O, la serie será convergente lfx. ü. Si l "' O, la serie será convergente cuando (xe) < 1 es decir,

ｾＺ＠


[definiéndose así un illlerva/o de co11veigencio]. üi. ( 1) Será di>ergente para cualquier valor fuera de este intervalo.

Ejemplo 3 1. Determine el intervalo de convergencia para la siguiente serie:

2"x"

s.= E

..

SOLUCIÓN

u

"

2'*1x•+• n3•(-1)•+1 ----(n + 1)3...1 (- 1).+1 2•x•

,

2" x• =(- l )•+I _ _

n3

11

C- l)'*' n3'

(j = -- - -

6

_ - 2xn

3(n + 1)

Así:

limlól= lím1

·- -

- 2xn

, _,, 3(n + 1)

ｬ ］ｾ

3

ｬｸ ｬｭ＠

n 1 · - ;;+JI

www.freelibros.org 2

1

2

lfm = -lxl = -lxl 3 _ .. 1+.!. 3 n

4.4 Radio de convergencia 193

Por tanto:

-i i 1• -%
3

< x < %Es el in1CrValo de convergencia

3

Radio de convergencia «>

•ad6& La expresión (1) también puede representarse como ¿:a.x• si en esta expresión x se sustituye por x = O -•

O'

«>

L:a.x• = a0

·-·

• ·•

toda serie de potencias converge para x

=O.

Ahora suponemos que la serie converge para alglln valor de x que Uamaremos r. Con r"' O, la serie será absolwameme convergente lf x tal que lxl < ¡.'l. Si además

1• Ea. «>

no hay un valor de x para el cual la serie diverge x• es absolutamente convergente Vx = x'. •· • Pero si la serie es convergente para alglln x x' con x' ,.., Oy divergente parax x" con lx" 1> Jx'l la serie es divergente lf x tal que lxl > lx"I. Por tanto, x'' es una acotación del intervalo de convergencia de lxl para los que la serie es absolutamente convergente. Por tanto, decimos que dicho intervalo tiene una cota superior (que en realidad es el número t ya calculado). A esta cota superior se le conoce como rodio de convergencia de la serie. & importante señalar que también puede usarse el criterio de la ra(z para calcular el intervalo de convergencia.

=

1•

=

1. Determine el intervalo y radio de convergencia de la siguiente serie de potencias .

...

...,.. x• a) 2...., n + 1 SOLUCIÓN

x• n+ 1

U = -

•

x.. +i

u,.,..,= - n+2

x•••

n+ I n+ I ó=--·--=--x n + 2 x• n+ 2 llm 1 61 =

11-
n+I

lxl'*-oo lfm -n + 2

www.freelibros.org

194 UNIDAD 4

Serles

Así, el intervalo de convergencia será: -1

1

jij < x <¡¡¡•O bien, -!
f!!:. -.i

n2

SOLUCIÓN

21f.x" U,,= - , -

n

U.,+1

lím

--

ｉｾ＠

1

= 12.rl lím n' 1 - l2xl lím 2 1 - 2lxl •-oo (n+I) •-oo l +-+-

n n'

Por tanto, - 2
x'" u= • -2nl xlC-+1)

u•+' - - I)! - 2(n+

é=

x22'1!

(2n+2)!

xi

-----(2n+ 1)(2n +2) 1

IJm é = l-'. ll Jím - O ·•-oo(2n+IX2n+2) = lx1 l(O) :. la serie converge V.r.

Portafolio de evidencias 3 1. Se cuenta que, desde muy temprana edad, C.F. Gauss fue considerado un prodigio matemático; pues a la edad de tres anos conigió a su padre una cuenta y a los diez años resolvió para su profesor el valor exacto ele sumar las cifras de 1 al 100. esto es: 1+2+3+ ... + 100. a) Realice una btlsqueda bibliográfica que le permita conocer la historia completa. b) F.xprese matemáticamente la solución de Gauss y explfquela.

www.freelibros.org c) Ilustre como crea conveniente la información recopilada y reporte por escrito.

4.4 Radio de convergencia 195

2. Pruebe el ｭｾｴｯ､＠

de Oauss para evaluar las siguientes series:

a) 2 + 4 + 6 + ... + 76 + 78 + 80

b) 1+3+5+7+ ... + 25 + 27 + 29 + 31 3, Existe una historia que asegura que el inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo por el primer cuadro del mblcro, dos

para el segundo, cuall'O por el tercero, etc., hasla completar los 64 cuadros del tablero.

Al analizar esm petición se observó que en el ｶｩｧｾｭｯ＠ cuadro el ntlmero de granos había llegado a más de 1 millón, y para el cuadro 64 habría excedido la producción total de granos de trigo de la comarca. La expresión matemática de esta serie de números fue estudiada y tiene numerosas aplicaciones. a) Realice una pequeña investig¡ición bibliográfica sobre este asunto y encuentre la expresión de la serie. b) Comparta un ejemplo de aplicación que haya encontrado en su revisión. e) Busque, comparta y debam con sus companeros oll'O problema del

mismo tipo.

4. Demuestre que si el radio de coo-ergencia de la serie de potencias

¿:u.x• es R, entonces el radio de convergencia de la serie de poten•'"' cia 2'.;u.x1• es JR . ｾ＠

...

Activ i dad de trabajo 4 .3

l . Utilice algún software de graJicación que le peonita comprobar lo siguiente: 1

a) La función serie f(x) = - - converge lxl
1 b) Utilice el inciso a para comprobar lo mismo si /(x) = - - .

1+2x

2. Determine los intervalos y radios de convergencia de las siguientes

series de potencia:

e)

f; lnn(x-5)" n+l

www.freelibros.org ,,..1

f)

tn!x" poJ

n"'

196 UNIDAD 4 Serles

3. Deccnnine Jos intervalos y radios de convergencia de las siguicoces series de potencia: a)

Preguntas de refl exlón

1 1 1--x + -21x - -3!x + ...

10

100

1000

• ¿Entiendo cuál es la forma general de una .serie de potencias? • ¿Comprendo por qué puedo expresar una serie como una función serie? ¿Sé lo que significa encontrar el intervalo de convergencia para una serie de pocencia? • ¿Entiendo la diferencia que 3 en la función serie entre los valores den y los valores de x? • ¿Comprendo qué variable independiente eslá contenida en el intervalo de convergencia? • ¿Entiendo el concepto de radio de convergencia para una función en series de potencia? • ¿Comprendo el oooccpto de serie infinilll? • ¿Comprendo Ja importancia del estudio de series en cálculo?

mEI_ Serie de Taylor 6 estudio de las series de potencia es especialmente importante en el cálculo. debido a que ayudar a expresar o determinar los valores de funciones de tipo logarítmico, exponencial o trigonométrico en cérminos de uno o varios polinomios, usados a su vez para sustituir a la función y realizar los cálculos acerca de un valor especifico. Se pueden emplear diferentes métodos para aproximar una función/(,%) mediante polinomios; pero las más destacadas series de potencia son de la forma:

En este caso, fes una función que tiene derivadas de orden n en x = a; esta serie recibe el nombre de serie de Tayl or para una función/ en el punco a. Por supuesto. no se cumple necesaria111.en1e que

www.freelibros.org f(x) =

f !'(a) (x- a)• . ; pcrof(x) puede usar este polinomio para aproximarse J.O

n!

a la función a través del siguiente teorema.

4 .5 Serle de Taylor 197

Teorema

Scaf(;c) una función tal que sus derivadas 3 y son continuas en [a, b]. Además,

f"""'(x) 31/ x E {a1). Entonces 3 zen (a) tal que:

f(x) = f(a)+ f'(a) (x -a)+ J"(a) (x-a) 2 + ···+ f"(a)(x-ar J! 2! n!

Conz E (a. x)

A la ecuación (1) también se le conoce como fórmula de Taylor para aproximaciones polinomiales; sin embargo, y como dijimos, es una "aproximación'", es decir: f(x) "'Serie Existe una "diferencia'" que nos permite que "' se convierta en =;dicha diferencia se conoce como "residuo". ya que la ecuación (igualdad) se cumplirá solo si este residuo del que hablamos es muy pequeno. fudcmos r=(x-a)• n I! 2! n!

yR,,(x) =

¡ 1Jo+•>(z)

(n+l)!

(x-a)'+'

&:Ilación (2)

l!cuación(3)

A la ecuación (2) se le denomina polinomio de Taywr de n-ésimo grado de la funciónf(x). Es cerca dex =a, y (3) representará esa diferencia o residuo mencionado. Se le conoce como forma de Lagrange del residuo. Por supuesto, la mejor aproximación ocurrirá cuando ,_., lím R, (x) =O. Un caso panicular también muy esrudiado

es cuando consideramos unu aproximación para a= O, en cuyo caso ( 1) se escribe:

f(x) = p, (x)

+ R, (x)

Donde:

Ecuación (4)

www.freelibros.org R (x) = r • '(z) x"+'

Ecuación (5) • n+ l A la forma (4) se le conoce como polinomio de Maclauri11 de n-ésimo grado para unu función fy no es más que un caso pal1icular del polinomio de Taylor.

198 UNIDAD 4

Serles

Asl, la serie infinita

f,r
representará enton= una funciónf(x) para

aquellos valores dex para los cuales el residuo= O; y esto solo sucederá en el límite; esto es, cuando el número de términos de la serie aumente infinitamente.

oidla:

O' •

Si la serie es convergente para valores dexpara los que lún,._. R.(x)"" O, la serie no representara af(x)para esos valotes de x.

•

En general, se determina el intervalo de convergencia de la serie, por ser más sencillo que determinar valores de x. lím R. (x) =O.

•

sin embargo, casos donde ambos intervalos, el de convergencia y el del residuo =O son iguales.

•

Cuando los valores de alguna función y sus derivadas alrededor de un punto x =a se conocen, podemos empicar la serie de potencia de Taylor (y sus casos particu-

ｂｾｩｳｴ･ｮ

.....

Ｌ＠

lares) para encontrar el valor de dicba función en valores cercanos a x = a. A dicho procedimiento se le llama desarrollo, representación o aproximación de la fanción f(x) alrededor (o en Ja vecindad) dex =a.

EJe'!'plo 5 l. Desarrolle la funciónf (.t) al rededor dex = 1 SOLUCIÓN

J(x) = lnx

f{l)=O

1

J'(x)=X

- 1 f"(x)=-

x'

f'(I) = 1

,.

2 f'•(x)= -

J 111(1) = 2

x' -6

J"' ( I) = -6

J''(x)=4 X

f(x) = lnx

J"(I) = - 1

1•

f(x) = P. (x) + R, (x)

a=I

(- 1) 2 p.(x) =o+ l(x-l)+-(x-1)' +--(x-1) 3 +

(-6)

(x-1)4

www.freelibros.org 2

p(x) = x- 1_.!.(x-1)' ＫｾＨｸＭＱＩ

2

1·2·3

6

Ｓ

ＭＮＡＨｸＱＩＴ＠

4

1·2·3·4 +···

4.6 Representación
Asl, podemos aproximar la función/(.<} como: lnx = x-1-.!.(x-1)1 +.!.(x- 1)3 -.!.(x-1)4 + ·· 2 3 4

º'

¡iÚ(I&

• En realidad, la aproximación que calcularemos se va haciendo más cxac1a conforme el número de términos aumente, en cuyo caso siempre es importante con1ar

con alguna herramienta tecnológica que apoye nuestros resultados. • En el ejemplo que se acaba de dCSSlTOUar, la serie se compone de la suma de los polinomios. PI (x) =X - 1

1 p,(x) =x- l --(x-1)'

2

1 1 1>.1(x) = x - 1--(x - 1)1 +-(x - 1)'

2

3

p.(x) = x - 1- .!.{x - 1)1 +.!.cx - 1)3 - .!.{x - 1)'

2

3

4

Si se grafica cada p, (x) con la ayuda de alg6o software en el mismo sistema coordenado, se podrán visualiz.ar las aproximaciones (véase figura 4.2):

.. P.11. •)'\l(larll(l4 • 9ttflait lltilil:uoaoe Geogdn. ｾｯＬＭＮ＠ lo li(l!llJ$ ﾷｾ ｉ､ｯ＠ n:efuoandoaoces, ｩｬｃｾｖｗ＠ todos lot

ccmudc.-. C9 11 e+. ､ｾ＠ tn.10 cntnlda.

·-

-

<' .. ..,

...

,. •.

·· -·•

.......

Ffl... 4.2

Obsérvese que en valores cercanos x = 1, conforme aumentan, la aproximación mejora [se asemeja a y = In (x)]. Por ejemplo, dos valores cercanos a 1 podrian ser:

x = 0.6 o x = 0.8. Para comparar se llena la siguiente labia: n

tn(0.6)

t

--0.51002

- 0.4

O.ll002

2

--0.51002

0.03082

3

--0.51002

- 0.48 --0.50133

4

--0.51002

--0.50773

0.00300

a.<0.6)

Un(G,6) - p.(o.6)1

www.freelibros.org 0.00049

200 UNIDAD 4

Serles

Ya que:

p¡(0.6) = 0.6 - 1 = ｾＮＴ＠

(Jl(0.6) = 0.6- J-.!.(0.6-1)2 = -0.48 2

1

1

2

3

1

1

1

2

3

4

p,(0.6)=0.6-1- - (0.6-1)2 +-(0.6 - 1)3 = - 0.50133 p.(0.6) =0.6 - 1- -(0.6 - 1)2 +-(0.6 - 1)' - -(0.6 - 1)' = - 0.50773 O>scrvc cómo la diferencia ln(0.6) - p.(0.6) .se va acercando a Oconfoanc n aumenta. Parax =0.8

p,(0.8) = 0.8 - 1 = ｾＮＲ＠

112co.s> = o.8- 1- .!.co.8-1) 2= -0.22 2

p,(0.8) = o.8- 1-.!.co.8-1)2 + .!.co.8- ll' = -0.228 2

3

1 2

1 3

2

]

1 4

•

p,(0.8)=0.8 - 1--(0.8 - 1) + - (0.8 - 1) --(0.8 - 1) = - 0.2284

n

ln(0.8)

1

- 0.22314

--0.2

-0.02314 --0.00314

•.10.81

llnl0.81 - "-"·"''

2

-0.22314

-0.2

3

-0.22314

--0.228

0.00486

4

-0.22314

--0.2284

0.00526

De la forma de Lagninge para el residuo .se tiene: R (x) "

f"+'>(z) n(+ I)!

(x- ar+' · ..

Si utiliuunos PJ (x) para la aproximación, obtenemos -6 -6 -6 R3 (x)=-x'=-=-=0.25. 4 x 4!

4!

24

As!,

In x = P.l (x) - 0.25

www.freelibros.org Existe otra forma que expresa el residuo de la fórmula de Taylor. Se deja al lector el análisis de ln conveniencia de usar uno u otro .según la función. El teorema dado a continuación .se llama f6mwla imegral del residuo de Taylor.

4.6 Representación
Teorema

Sea/una función cuyas primeras derivadas 3 y soo continuas en [a, x]; cntonces/(x) = p,, (x) + R. (x), donde p.(x) es el polinomio de Taylor de grado n y R. (x)es R. (x) =

ｾ＠

f(x-t)'

n.

r•+1>(t)d1

Portafolio de evidencias 4

1. lnlente dcmosuar la equivalencia de la obtención del residuo mediante la forma de Lagrange y mediante la fóanula de la integral usando el teorema fundamental del cálculo (TFC). Sugerencia; Integre por partes. 2.

Demuestre que los términos del polinomio de Maclaurin de grado n de una función ímpar contienen solo potencias ímparcs de x y que los

términos del polinomio de Maclaurin de grado n de una función par contienen solo potencias pares en x. 3. Intercambie puntos de vista con sus compallcros acerca de la siguiente pregunta: ¿qué elementos iofluycn en la elección de a? Escriba su condusión al respecto y ejemplifique su respuesta para alguna función de su elección.

Actividad de trabajo 4.4

1.

Verifique el siguiente desaaollo de la serie de Taylor

1 e'=•ª [ l +(x-a) + (x-a)' + (x-a)' + ···: 2!

3!

2

2.

x x x3 ln(a +x)= lna+ - - - 1 + - 3 + ··· a 2a 3a

3.

cos (a+ A)

4.

(x+ a)"

5.

Determine el polinomio de Maclaurin del grado indicado para la función y obtenga el residuo con la forma de Lagrange: a) / ( x) = (1 +x)%

1

b) f(x)=- -

grado 5

e) / (x) = J l-2x

grado 4

x+1

6.

grado 4

Determine el polinomio de Taylor del grado indicado:

www.freelibros.org a) f(A) =In (x+ 3)

a = l grado3

b) f(.t) = In COS X

1 a= - 1'

3

grado3

202 UNIDAD 4

Serles

7.

Utilice el polinomio de Thylor de tercer grado de f(i'¡ = In 005 x en

a=.!.,,. para calcular el valor aprollimado del cos 43º. Calcule tam-

4 bién la ellactitud (el error} de su cálculo.

• ¿Entiendo el concepto de aproJtimación de una función?

Preg unta s de refl exión

• ¿Comprendo por qué las aproximaciones de funciones se basan en series de potencia? • ¿Entiendo la aproximación como un m6todo numérico? ¿Me queda clara la relevancia del uso de la tecnología?

mP Cálculo de Integrales de funciones expresadas como series de potencia Una vez obtenida la serie de potencia de alguna funciónf(x}, es posible obtener otras

series a partir de su integración e incluso a partir de su derivación.

Recordemos que si es posible encontrar el intervalo de convergencia y el radio de convergencia de una serie, aseguramos rant>ién que es derivable en el ｩｮｴ･ｲｶ｡ｬｯ｛ Ｍ ｾ＠ (j. Adcmás,ftambién senl integrable en dicho intervalo (-l. {) y la integral se obtendrá al integrar la serie de potencias tinniM a tinnino segón el siguiente teorema.

Teorema

f:O.x•

.. -·

Si

es una serie de porencias cuyo radio de convergencia es l > O,

L na,x•·• también tiene a l como su radio de convergencia.

·-·

Observemos que este teorema establece el intervalo y radio de convergencia para la

..

serie derivada término a ténníno. De la misma manera, si

-·

les el radio de convergencia de ¿a,x• y t> O, la

serie ¿n(n - l)a,x--2 tiene a l como radio de convergencia; así, generalizando: si

't,a,,x• se define comof(x}

·-·

1•

f(x) =

f:O.x•

·-·

Y f'(x} =

'f,na,,x•-•

·-·

dondef'(x) tendal a !también como radio de convergencia. Adcmás,f(x} scnl integrable en el intervalo cerrado (-l. !) y la integral de la función serief(x) se evaluará integrando cada ténníno:

www.freelibros.org si f(x)

=ta.x• ,..,

1 • J.'o f(t)dt = ...r:on+l ｾｸ

Ｋ＠

Eeuacíón (6)

Cálculo de Integrales de funciones ""J'resadas como serles de potencia 203

4.7

6 ｾ･ｭｰｬｯ＠

l. Obtenga una representación en serie de potencias de la siguienle integral

J' _!!!_ 4-1 2

SOLUCIÓN

Según elTFC OC> f(x)=l: - l -14-t

m • f 'l

dt = ln(4 - I)

4-/

Desarrollando por la fócmula de Thylor alrededor de x = 2, tenemos que: f(x) = ln (4 - x); f(2) =In 2

- 1 ; 4-x

f'(2) =

f'(x)= -

-1

-2

¡111(2) = - 2

(4 - x)>'

23

-6 2'

-6

/ '"(x)= -

f"'(x)=--; (4 - x) 11. .

2

/"(2) = - 1 2'

J"(x) - (4 - x)2; ¡m(x)

=-!.

1 ln(4 - x) = ln2 - 2(x - 2) -

1 2 6 (x - 2) (x - 2) - 2' (x - 2) + ··· 3123 2122 41

l " 1 1 2 2·3 = ln2 --(x-2 (x-2)3 (x-2) • ··· 1 --(x-2) 2 2·22 1·2·3·23 1·2·3·4·2'

( x-2)2 - - 2 , (x-2) ' - -6-(x-2)' ··· = ln2--l(x-2)- -12 2·21 3 .2 4 ·2' En general, y como estamos integrando a partir de dos,

f

,f(t)dt = ¿_, ｾＨｸＭＲＩ＠

2

M• l

n•2"

Además, U = (x-2)"

"

n· 2"

ó= (x-2)n 2(n+ 1)

(x - 2r+• U•+I = ｾ ｮ Ｍ Ｒｾ ＬＮ ＭＬ

lím 161= l(x-2)n1 =1x-21 ｟ 2(11 + 1) 2 •-«>

www.freelibros.org lím

. ......

a-oo

lím

ｮ ｟ ］ｉｾ＠ +1

11n

2 1

:.El radio de convergencia t = 2yel intervalo de convergencia de la scrie(-2, 2).

204 UNIDAD 4

Serles

2. Obtenga la rcpl'C$Clltación en serie de potencia de la integral y determine el radio de convergencia

J.o'- +4 dt

- -. 12

SOLUCIÓN

J.'

/(n} = ' t - l ". 0n2 + 4

o

f(n)

1 X = -arctg-

2

2

Desarrollando en serie de Taylor en x = O, obtenemos:

fl' (x') 2 (- (ｾ＠ )'•-• ( 2=(2)- -3-+-5-- ···+ +... x

arctg

x

l)• • l

2(n - l)

Portafo lio de evidencias 5 1. Debata con sus oompafleros y ooncluya por escrito la importancia de la derivación e int<:gración de las series de potencia. 2. Investigue en su disciplina un ejemplo de aplicación de las integrales de series de potencia. 3. Utilice algiln software de graticación que le permita analizar el valor de la integral parn/(x) = ln (4 - x) y para el polinomio p,(x) obtenido en el ejemplo.

Activ idad de trabajo 4.5 l. E'n los siguientes ejercicios demuestre que la serie de potencias es una solución de la ecuación expresada: a)

.. 2•

y= E - x• ; dy - 2y=0 dx

-o n !

www.freelibros.org ..

b) y= Í)-

....

1)'

2•

1

n. x2• +1

(211 + l}!

d 2y

-

dx2

dy +x- + y= O dx

Actividad Integradora unldacl 4 205

2. Obtenga una representación en serie de potencia de las siguientes integJ11les y de su radio de convergencia. a)

J.'

! dx

e'dt

b)

Ío' l+x3

3. Desarrolle el polinomio de Tuylor de grado treS alrededor de x= Opara la función f(i) = sen K +ros x. Utilice su resultado para aproximar el valor de sen(0.05) + ros(0.05) .

Preguntas de refl exión

Al final de esta unidad, •

¿Entiendo la relación de un método que me permita expresar funciones en términos de otras más elementales?

• ¡,Comprendo que el teorema fundamental del cálculo sigue siendo relevante en el cálculo de representaciones en series de potencia, y qué papel juega? • Dada una función representada en sedes de potencia, ¿puedo derivada o integrarla? • ¿Puedo identificar el tipo de funciones que puedo representar o aproximar mediante polinomios? • ¡,Me pregunto si existen
Actividad integradora de la unidad 4 l. Utilice la expansión en series de potencia para romprobar la siguiente identidad.

tÍ' = co.s x+ .&enx.

n.

Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series. l.

2•

-,,2 x•

3.

2•

- x"

3" ü + I 5. Tnx

www.freelibros.org 2. ,J;;,x•

n!

4. In n x" n

206 UNIDAD 4 Senes

III. Desarrolle en serie de potencias las siguientes funciones:

l.

2x 2 -3 (x-2) 2

+x - 2x2)

9+x'

10. ln{Ji +x1 )

3. (8 +x)3

7. cos2 x seox.

11 . ln(1 +X) 1-x

4. cos1 x

8. ( 1 +x)e.,.

12. cos1 3x

1

Encuentre el radio e intervalo de convergencia de las siguientes series: I,

oo

X4-I

,..1

4n

¿)- 1)" -

f: xl" •· • n(3n3. f 2"(11-I) 2.

l)

.... i

v.

9. (J+x')2

6, (1 +e")3

2. ln(l

rv.

1

X

5.

2

n

+ 11

X

.+I

Sea f(x) =JI+x. a) Calcule el polinomio de Thylorde cuarto grado paraf(x) en x = O. b) Aproxime el valor ,/1.04 usando el polinomio encontrado. e)

Estime el error.

VI. Estime los siguientes valores con un polinomio de Taylor de grado 4 y estime el error de aproximación: 1

1

l.

J4!i

3. lo ( 1.1)

2.

.¡so

4. cos 50º

5. (1.04); 6. sen (0.3)

VII. Eo los siguientcS incisos determine lo que se pide: 1. EJ polinomio de Maelaurin de cuarto grado para la función f(x) = ln(2x + 1). 2. El polinomio de Tuylor de cuarto grado para la función f(t) = ...!!'..__ en a"'.!. . 1-1 2 3. Emplee el polinomio de Maclaurin de grado 5 para 1- f!" para calcular:

J. • ｴＭ･

O

Ｍｾ＠

- -dx X

4. El polinomio de Maclaurin de grado 4 para cos x y utilfcelo para aproximar:

www.freelibros.org • cosx dx J.·Tx

S. El polinomio de Maclaurin de f (x) = ln(2 + x) con n = 4 y la forma del residuo.

Sembl32a 207

rr

...::t...

Contexto histórico

El cálculo de Leibniz Leibniz aplica la geometría a sus observaciones de que las sucesiones y sus diferencias consecutivas son ¡xocesos inversos el uno del otro. Considere una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes u,, Uz ... Y" y

o

A

Suponiendo que la dislallcia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma Yt + yz + Y3 + ... +y. es una aproximación de la cuadratura de la curw, mientras que la diferencia entre dos sucesivas y da aproxima· dameote la pendiente de su tangente. Además, cuanto más pequella sea la unidad elegida, mejor será la aproximación. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente pequena, entonces las aproximaciones serian exaetas. la cuadratura serla igual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente serla igual a la diferencia de las ordenadas. De esta forma y por su analogía con las sucesiones numéricas, Leibniz observa que la determinación de cuadrantes y cl cálculo de tangentes son operaciones inversas una de la otra. Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dy es la diferencia infini. tesimal de dos ordenadas consecutivas, dx la diferencia de dos abscisas consecutivas y l ydx representa la suma de los pequcilos rectángulos infinitesimales g dx. De esta forma, cl teorema fundamental del cálculo aparece como evidente. Esto es, para ballar el área debajo de una curva con ordenadas y, debemos encontrar una curva de ordenadas zde· tal manera que : = y. en cuyo caso es también

J y dx = z.

En la primera notación de sus manuscritos, Leibniz escribe ornn· t =y, donde omn es omnia, que en latín signillca suma, y donde t son diferencia. Con ello empieza a desarrollar un cálculo y la expresión simplemente significa que la suma de las primeras diferencias de una sucesi6n que ero.pieza por Oes igual al óltimo término. Después irá cambiando su notación y escribirá la anterior relación como f dy = y, que usamos actualmente. El signo integral .fno es más que una S alargada que significa suma.

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208 UNIDAD 4

•

Serles

Autoevaluación de la unidad 4 l. Explique, con sus propias palabras, qué diferencia existe entre una progresión, una sucesión y una serie.

U. Deñna, con sus propías palabras, una serie de potencia. llI. Dé algún ejemplo de serie geométrica y de serie aritmética. Iv. En término sencillos, explique qué significa el radio de convergencia de una serie. V. Describa el método de la ralz para obtener el intervalo de convergencia de una serie y utillcelo para encontrar los intervalos de las series siguientes: x i.

o L:<-1>' 2; 2)

ｾＨｮＡ

"" x"

Ｉ Ｇ＠

VI. Onenga el polinomio de Tuylor de la siguieotdmción: f (x ); x -H ｾ･｣｢ｲ＠

de ｡ ｾ＠ 9, grado 4.

Vll. Obtenga una representación en serie de potencia de la integral y determine su radio de convergencia. GraJique su respuesta.

J.

di

z

o

12

+ 16

www.freelibros.org

Demostración geométJfca del teorema fundamental del cálculo F(x} =J.' f(t)tb

VxE [a,b

continua en [a,ó]-->F1(x)=f(x). ｾｦ･ｳ＠

Queremos demostrar que F'(x} = f(x), es decir, que: ) Irm4--0 F(x+h)- F(x) - /{X.

Ahorn, si F(x) •

J: "

f(t)d1

.... J• f(t)d1 y F(x+h) - F(x) - •... f(t) dt - f •' f(t)dt f F(x+h) =

=

J:

f(t)dt +

-i'··f(t)dl.

Í,,.../(t)tb -

J:

f(x)tb

Además. si lo si¡uicnie ¡¡46ca representa a /(x):

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210 Apéndice A

cuando h >O, f(x) lendrá una altura m y f(x +Ir) una altura M, donde m < M para algiin x 1 E (x,x + h] _,, mh ｾ ｊ fＮ＠ ' ""' f(t)dt ｾ＠ Mh [csuunos comparando árcasJ

Gráficaroenle:

h

h

lllh

•.

h

r ....• J, f(t)dt

Mh

mh < F(x+h) - F(x) < _ Mh.

-

/1

El teorema condiciona, además, que/sea continua en x -+Si inlcnuunos que \ºCZ más pequella, h-+ 0. Asf,

sea cada

lím•- o mh = Um._. Mh = f(x) ..._ ¡· F(x+h)-F(x) 11..,.. 1m.--o

Ir

F'(x)

= f(x) que era lo que deseábamos demostrar.

m

waddal

f(x),

La demostración se realiza suponiendo que h > O; sin embargo, es necesario pregunmroos qu6 sucede cuando h < OVeamos:

..... f(t)dt ｾ＠

Si h < 0-+ m(-h) ｾ ｊ Ｇ＠

111•

M (-h), ya que x 1 E[x+h1x]

F(x+h) - F(x) =

f . .... f(t)dt= - f'•+• f(t)dt X

o bien, mir ?. F(x + h) - F(x) ?. M ·h

www.freelibros.org x + (- h)

X

Apéndice A 2U

Peroh <0

1• m$F(x+h)-F(x)$M

La desigualdad no se altera y, por tanto, al calcular el ICmite, el resultado tampoco se altera. O' o-'611 ! Al desarrollar la demostración, variamos el lfmite superior de la función; esto es, nos desplazamos de x _, x + h, ya que partimos de: F(x) =

J:

f(t)dt.

Sin embargo, también podrlamos desarrollar la demostración variando el límite ioferior: F(x) =

J:

f(x)dt

En este caso, F(x)

=J.•

f(x)dl -

J:

f(x)dt

o bien, F'(x)= -f(x) cuandox
J:

f(x)dt

F'(x) =-[-/(x)] = f(x) Asf, queda dcmostracb quecuaodoj(x) es continua en todos los punios del intervalo [a, b]. la función F(x)es derivable en todo el intervalo y, por tanto, siempre se.cumple que:

1

F (x) = f(x)

Con la notación introducida por Leibniz, podemos escribir

f'

-d f(x)dl = f(x) dx •

www.freelibros.org Esto significa que primero debemos realizar el proceso de integrarj(x) en los lfmites dados y, al derivar lo obtenido, debemos encontrar la función f. Lo anterior reafirma d carácter invcrw de la integral y la derivada.

212 Apéndice A

w.W.3 Otra manera de expresar F(x) = f(x) es:

O'

d -F(x) = f(x) [al usar nuevamente la notación de Leibniz, convenimos d.x que F(x) =y].

dy f(x). Aquí lo que cambia al introducir esta expresión es la interpretación, pues d.x en realidad esta es una ecuación que m<>de/a una función que varia (derivada) con ｲ･ｳｾｯ＠ a otra vaáable (x). Por eUo, la pregunta serla: ¿cómo podríamos obtener el estado inicial de la variable dado que sabemos que llegó aft.x)? La respuesta es que ya sabemos que derivar es un proceso contrario a integrar tal función, por lo que estarla determinado por

Y= Jf(x)d.x, !al como indica el teorema fundamental.

Esta manera de ver el teorema fundamental del cálculo (Tf'C) ofrece, en particular, más aplicaciones a la ingeniería, ya que un modelo matemático es la descripción de un fenómeno fisico en términos de una o más ecuaciones. Con frecuencia, los modelos describen el fenómeno en su paso por el tiempo. En tal caso, solucionar el modelo sería equivalente a expresar el estado del fenómeno en cualquier momento o instante. Para valores adecuados del tiempo 1, podríamos conocer el comportamiento del sistema en el pasado, presente o futuro. Por ello, si suponemos que es una propiedad de algún sistema que varia con el tiempo, ¿cómo podríamos obtener el estado de y en cualquier 1, si está representada por: dy = f(1) [aplicando el proceso inverso) dt y=

f f(r)dl

Esta forma de ver el TFC nos brinda la primera y más básica ecuación diferencial de una función que varía en términos de otra y de sus relaciones con esta.

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Deducción de las fórmulas de reducción para diferenciales blnomlas En general, las fónm1/as de reducción aparecen en todas las tablas de intcgración o

que contienen integrales. Aun cuando el lector conozca cómo utilizar esas tablas, es conveniente que también sepa cuál es el procedimiento mediante el cual se obtuvieron. El método al cual hacemos referencia es el de int.cgración por partes, que puede re· ducirse a la siguiente fórmula:

Judv

=

uv-

Judv

Caso A Ecuación ( 1)

Sea u= x•· •+• y

dv =(a+bx")Px""'dx Ecuación (2)

du =(m-n+ l)x•-•tJx

Si se efectúa un cambio de variable,

-

1

J z•dz

www.freelibros.org ］Ｍｾ

b11

z'*'

bn(p+ 1)

(a+bx•Y*' tm(p+ 1)

Ecuación (3)

214 Apéndice B

Al intcgrnr Ja ecuación {1) por panes:

J

]-J

x" (t1 + bx")'a..c..--·••)((a + bx" )p+ 1 bn(p+I}

(a + bx• y+' .(111 - n+ l)x•- dt bn(p+ l)

ºJ..-· (t1 + bn·r·· dx

= x•-•+•(t1 + bx" )'+' - (111 - n+ bn(p+ 1) bn(p+ 1)

Ecuación (4)

También podemos observar que:

J x •-"(a +bn•)'+' = x""""(t1+bx• Y (a+bx') =ax•-• (a +bx• )' +bx•-..-•-(a+bx")' =ax• -• (a +bx'l' +bx•(a+bx" f. Sustituyendo este resultado en la ecuación (4), obtenemos:

J x• (a+bx" )' dx -

x•-•+•(a+bx•)' ( ) bn p+I

a (m - n + 1)

bn( p+ l}

Jx"_,, (a+ bx" )' dx

1>(111 - n + l) j x" (a+ bx" l' dx.

bn(p+ 1)

En esta última fórmula se observa que tanto el primer término del lado izquierdo de la ecuación como el 11ltimo del lado derecho se repiten IY. . podemos unirlos: (

l)]J..- (a + bx•)' dx x•-+• (a + bx' r a(m- n+ l) J

¡ + (m - n +

n(p+ l)

bn(p+I }

bn ( p + l )

X

_. (a+ bX ,IP / u... J -

Asl.

• -•+•( + b •) ( + I) x• (a+bx')' dx - x a x a lll - n J x•-"(a+bx• )' dx. b(np+ m+I) b(np+m+ I)

J

CasoB

J xm(a + bx'J' dx Est.O puede expresarse en factores: 1

J x"(a+ bx" )' dx = J x•(a+ bx"Y- (a+ bx• )dx =af x" (a + bx"Y-' dx +bf x-+• (a+ bx"),....' dx.

www.freelibros.org Si se aplica el resultado del caso [AJ al último término de esta expresión, cambiando m por 111 + n y sustituyendo p por p - n, se obtiene:

Apéndice B 215

bfx..+•(a+ bx" f"' dx

x•+l (a+ bx•Y np+m+l

a (m+ l) Jx•(a+ bx"f"1 dx. 111p+m+l

Al suslituir en la expresión anterior. resulta que:

J

x"'+. (o+bx'Y' dx = oJx" (o+ bx" f" 1 dx+r'* - '(_o_+_b_x_''_f np+m + l

0 111 1 < + > Jx•(o+bx"Y'-' dx 111p+ m+ 1

=[a + o(111 + I) )Jx• (a+ bx•Y-' dx + x•- •(a+ bx•'f np+111 + l np+m+l J

x"'(o +bx• )' dx

anp Jx"'(o+bx"f-1 dx+ _...+• (o+bx' )' . np+ m + l np+m + l

Cuando se aplica esta fónnula, el valor de pdisminuye en una unidad. Evidentemente, esta fónnula fallará cuando np + m + 1 = O,

En el caso [AJ se obtuvo:

ｊ

ｸＢＧ ｾＨｯＫ

｢ｸＢ

Ｉｐ ､ｸ Ｋ ｸＢＧ ＭＮＫｊＨ

ｯ Ｋ ｢ｸＢ

ｹＫ Ｑ＠

(np + 111+l)b

_ (m- n+l)b Jx ....... (o+ bx' f dx. (np+m+l)o

Al despejar J x"'""(o+bx' )' dx:

J

x--• (a + f>x• )' dx = xm-.+I (a+bx" r' ((np + m + l}b)- ((np+ m + l)b)J x • (a+ bx• )' tfx (np + m+l)b (m-n + l)o (m-n+l)o x•-...+1 (a +bxll

rl

a (m-n + l)

Si m=m + n

i•

(np+m + l)bf x"' (a+bx" Y' dx. (m-n + l)a

(np+111 + n+ l)b Jx"+« (a +bx•Y dx. a (m+I) Asf, cada vez que haya un caso donde se aplique la íorma e, se debe susútuir m por m + n. Desde luego. debe coosidcrallie que cuando m + 1 = O, la fórmula fallara. Caso O

En el caso fBI se obluvo:

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218 Apéndice B

Al despejar

f x• (a+ bx")

p- 1

dx

(J.t"' (a+bx• )' dx )-(np+ m+ 1)[x•••(a+ bx" J' J

= np+m + 1

anp

J

np+m+ I ｸｾＨ｡ anp

Se reemplaza p por p

anp

Ｋ ｢ｸＩＧ＠

dx

np+ m+ I

x•••(a+bx• )' anp

+ 1,

La fórmula fallará cuando p + 1 =O, o bien, cuando p = - 1.

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Coordenadas polares y ecuaciones polares El sistema coordenado con el que hasta el momento hemos trabajado es el sistema cartesiano; sin embargo, en el capítulo 3 se analizaron también algunas curvas cuya ecuación se encontraba representada en un sistema coordenado diferente, llamado sistema de coordenadas polares. El estudiante podría, sin ningún problema, pasar de un sistema a otro mediante sus respectivas equivalencias. Por esa razón, el objetivo de este apéndice es mostrar cómo puede realizarse dicha 1ransformaci6n. En el sistema cartesiano generalmente hay dos coordenadas que nos permiten ubicar un punto cncl plano, de manera que (véase la figura 1) si quisiéramos representar el punto (x, y) en dicho plano, bastar(a con conocer esos valores y ubicar en el eje de las abscisas y en el eje de las ordenadas.

(.\', Ｌ ｾﾷ

..............

Ｐｲ､｣ｬＧＱ｡＠

ｾ＠

¡

Ab$cisa

y

X

Otra manera de ubicar dicho punto (x, y) en el plano serfa conocer el valor de la distancia que hay en línea recta desde el origen hasta el punto y también el ángulo que dicha línea recta forma con el eje de las abscisas (»éase la figura 2).

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218 Apéndice

e .V

¡t,x,y)

ex

o

Las coordenadas polares se basan precisamente en esa distancia dirigida en relación con un punto fijo, y en la medida del ángulo con respecto al punto fijo y su recta asociada. El punto fijo se denomina punto u origen, y Ja recta fija se Uaota recta polar o eje polar.

E'n consecuencia. si pes cualquier punto del plano diferente del origen, ex es la medida en radianes del ángulo xOp, y S es Ja distancia desde el origen O hasta el punto plOfl = 6 ,el conjunto de valores totales de coordenadas polares de un punto p estará dado por 5 y ex.o bien, (5, ex). (El ánguloxOpes positivo cuando se mide en sentido antihorario, y negativo cuando se mide en sentido horario). Es muy común encontrar el ángulo medido en radianes; entonces, si acoramos el ángulo ex en [O. 211], p tendtá un dnico conjunto que representa sus coordenadas polares. Sin embargo, esta observación se hace si un ángulo no está acotado entre [O, 21t). De esta manera, un punto particular podría estar representado mediante un nlhnero ilimitado de pares ordenados (véase la figuro 3).

"

3 _ _+ X ,c_-1._;;._

__5,.

o

3 y ¡l.x,y)

Cuando deseamos conocer la equivalencia

r

ex

o

de coordenadas cartesianas a coo«lenadas

polares. es necesario expresar un sistema en tbminos de o« ros de acuerdo con el siguiente análisis.

www.freelibros.org . .... 3

Sea p un punto cualquiera en el plano cartesiano en particular en el primer cuadrante.

Apéndice C 219

Si (6. 0<) es la representación en ooolllenadas p0larcs,

r2 = x2 + y2 r= Jx' + y2

=IOpj.

Además, cos oc = .:!:;sen oc = l . r

r

Así, x=rcos oc;y=rsen0< y

Y

sen oc:

X

COSOC

- = --=tgoc.

Sistema carteslano

Sistema de coordenadas polares

r' =x' + y2 =IOPI

X

x=rcosoc

y=rsenoc

y

tg oc=l X

Una ecuación en coordenadas polares se representa por:

Ejem plo 1 r

2

=3cos20.

Obtenga la ecuación equivalente en ooordenadas p0lares. SOLUCIÓN

cos20 = cos 2 0-scn20 cos 20= t - 2sen28

111•

r 2 = 3[cos 2 0-sen20)

x2 oos' O= -

Pero x = rcosO

r'

sen2 O= L

y = rscnO

,2

. . r' = 3x2 _ 3y' r'2

r'

=3x2 -

Pero r2 =

r1

3y2.

x' - y (x' + l )' = 3(x 2 + y 2 ) . _ (x' + y')'

www.freelibros.org 3

- (x' +r )"

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Uso de la tecnología para Integración numérica Como se vio en la unidad 3, ejemplo 15, las técnicas de integración nos aseguran la evaluación de una gama muy amplia de intcgrandos. Sin embargo, a vcccs se requiere el uso de algún lenguaje de programación que nos facilite resolver este tipo de técnicas. Retomemos algunos ejemplos de dicha unidad:

Ejem ｰｩ ｾ＠

ｊｾ＠

en el intervalo [I, 3) con n =4 (utilizando la regla del trapecio)

Vamos a realizar el mismo cálculo, solo que incrementando el valor den = 8; es decir,

Jｾ＠

en el intervalo [l, 3) con n = 8.

Se mostrará al estudiante un pequeño código que facilita la resolución de estos dos ejemplos, aunque puntualizamos que dicho programa solo puede resolver integrales de este tipo, esto es, cuando la función de x sea =

Jｾ＠

y siempre

que los límites sean:

www.freelibros.org • llmlle superior > O

• límite inferior > O

222 Apéndice D

A esto se le conoce como restricciones o parámetros.

El programa fue elaborado, compilado y ejecutado en el software "Borlan C++".

#include /*Librería para printf(), scanJO*/ #include /*Librería para getch(),clrscr()*/ #include /*Librería para exit()*/ float f(float x); /*Declaración de la funciónj(x) como Hotanle, ya que requiere decimales*/ int n; /*Declaramos las variables globales por utilizar*/ float a,b,area; void main(float a,float b,iot n,float arca) /*Nos regresa los valores contenido dentro de los cuales son los parámetros a utilizar*/ ( /*comienzo del programa•/ float x; /*Declaramos el resto de las variables por utilizar*/ Hoat h; Hoat su=
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Apofndkle D 223

for(x=a+h;x
} /*F'm de todos Jos procedimientos*/ /*Función por integrar*/ 6oat f(float x) retum 1.0/x; /*La función declarada es igual a j(x) dependiendo el ejercicio */

J

dx. Aquí podemos modificar

x

}

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22.4 Apéndice D

ｾ｣ｭｯｳ＠

Una vez capturado y compilado el programa, se ingresaron los datos del ejemplo l. corroborar que el resultado es el mismo al que se presentó en la unidad 2.

Capturados los daros del ejemplo 2, tambitn podemos eonfu:mar que el resultado obtenido es igual al que se presentó en la unidad 2, lo cual nos indica que este código es funcional, siempre y cuando respete los parámetros antes indicados.

Lo anterior es solo un ejemplo de cómo se puede utilizar algún software de pro-

gramación para acortar el algoritmo numérico para encontrar el área de la sección indicada. Aunque el uso de ese tipo de software tiene sus limitantes, debido a que sería necesario un programa para cada función dada (sobre todo si dicha función representa un modelo matemático susceptible de estudiarse y probarse varias veces), este podría ser el método más idóneo y es, de heeho, el principio de la simulación computaciooal.

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UNIDADl Actividad de trabajo 1.1

10

l. 2

3

173 · 10 •

1

3. a) "'2"¡ + 2"¡ b) 28.971 Actividad de trabajo 1. 2 b)

l. a) 30

104 3

5.

5

ó

31

3

e) 53 3

d) -

4. ＸＴｾ＠

ｾ＠

e) -

5

f) 663

3

422

5

4 5

www.freelibros.org 6. a) Se cumple la de5i¡ualdad b) Se cumple la de5i¡ualdad

226 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

Actividad de trabajo 1.3

l. a) y2,

b) y2 sen y,

2. a) 0.8958,

2

b)

1 d) - x-x2

c) 1 + cos2x, 2

1215 '

c) -

7

3. (1<,21')

ll'{J(.<)+g(.<})dx

4. C(r)=l

•

1Actividad de trabajo 1.4

2..

(12),

º·

g) 0.5493,

l. a) 4sen t)

2. a) ln,,Í2,

21925

b) 14291 28'

d) 2604,

c) - 3 - ·

e) 0.301 17,

b) 17.6328

b) 1.4246,

c)

ln(2+J2).

d)

e, + Ci

3. a) y = a(sen 20+ cos 20)

y

'

' •

/'

'

..... V

Ｈ｜ _, ｾ＠

º' \ .. -·_,

(\

' • '

' •

t•

11

' "

." "

IS

19

....

...

-6

_,

...

•

www.freelibros.org

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 227

b) y=3+cos20 1

•

ｾＭ ＮｐＴ

Ｍ ｔＴＭｬｾｊＮＬ

Ｍ ｊ＠

ＭｲＺｾ

_, f i

l

4.S6

8JIOlll2U14

Ｋ

ｸ＠

... e) y=cos311-2cos0 y

'

•

'

_, ...

_,

... Actividad de trabajo 1.5

www.freelibros.org ,,.

3. Sr existe, 2

228 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

Actividad Integradora de la unidad 1 l.

ｊＧＨｸＩ］･

ｾ Ｇ｣ｯｳｸ

2.

sr es solución

3. a) O,

b)

J:r"dl

Ｍ ｳ･ｮｸ＠ 00

4. g") = 1n.JCK' + 1) 1 -2

5. 6, No existe

7. 8. (sen 1)"""tg(la 1)

9. 25 b) no existe

10. a) O,

3 2

11. x= -

12. 1 13. a) 14.

±<21-sJS),

b) 1-JS

-" 8

8 15. 3

16. 9

UNIDAD2 1Actividad de trabajo 2 .1 1

2. 3

3. 12 -61, en

5. al x3+c

bl

1'

(O, 3), D(¡) = -9

ｾＨＲＮｴ

Ｋ ｬ ＩＧｩＫ

e) lo(secO + tgO) + C

3

｣＠

1490

4. - +61+3. - m 2 3 e)

l) In ./i+c

2 !

- x•+c 5

g)

5 !

d) tn./i+c

- x•+c

www.freelibros.org h) 2J3 3

10- 2,/5

i)--3

j) 14.02

6

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 229

[ Actividad de trabajo 2.2 .uh-

e·"

l. a) - - -+e 2 4

b) - 12cos51+2tsen51+2cos51 +e 5 S' 53 e)

1 In 61 - 1

+e

d) sen31+C e)

ｾＫ･＠

z+I 13*1

3'

t) - - - -+e Jn3 (ln3)' g) (ln d' +e

3

h) cosr(l-ln(cosr))+c i) -x2 cosx+2xscnx+2cosx+C

2. a) -21.267 b) 5.3642 c)

27.9944

d) 1.9487 e) -0.4586 t) 246.463 Actividad de trabajo 2.3 1 21

l. a) - - cos1x+C 1

10

1

5

b) -- cos'211- - cos'50+- sen 20 cos 50- - cos 20 sen 50+C 6 15 58 58

c)

19

9

1

12

6

2 z+¡ sm 2 z+¡¡ sen 4 z+ 5 sen z cos 2z+ 5

d) _ ｟Ａｳ･

12

ｮ Ｇ ｾ＠ oos Q_ J...0+2- ｳ･ｮｾＫ 2

16

2

32

2

ＮＡ＠ ｳ･ｯ 3

oos z sa:i 2z +e

ｳ ｾ＠ cos ｾＫ･＠ 2

2

www.freelibros.org 2

3

e) - sen 3x cos2x-- cos3x scn2x +C 5 5

230 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

l) _ .!_sen' z cosz + 2- sen'

2

g)

s1 cos

24

4

(/

z cos z+2- z- 2- sen 2z+C 18

36

4 8 senll+i5 oos 1 (/ sen u+ sen ll +C

15

3 ! b) - sen' 511 +C 10 i) 1g2./X -1n sec .¡;+e

1 j) -

3

1 2. - n-1

1

sec1 (1nx)tg(lnx)+ - sec(lnx)tg(ln x)+C 3

sec•-2(1 tg IJ + n- 2 Jsec•-20 n-1

dlJ

3. -cs
6

12

cos•o+c

.:!. sen 40 cos 20+_!_ sen•o+c 6

12

6. a) 0.05177 b) 7.45768 e)

3 128

Actividad de trabajo 2.4 3. a) 0.0974 b)

40 3

e) 10.3 d) 9 e) 0.05267 f) 0.389

g) 2.95 h) 0.974

i) 0.9277

www.freelibros.org 5.

1..-a b2 J(L -a)2+b2

"

+ b2 J a2 +b2

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 231

[ Actividad de trabajo 2.5

2. a)

ｌｯ｛ ｾ＠

)-i arctg ｾ＠

d) 2 ln(I + 2) - an:tg(t + 1) + C e)

e2'+l _ ln Je21 +1 +C 2 3 2

2 3

f) - - ln(xl +I)-- ln(2xl+3) +C

3. a) 0.667 b) 2.171

e) J.522

d) 0.257

e) 0.592

4. a) xlnx-x + e

xi x2 ln x- - +c 2 4

b) -

xl

x3

3

9

x4

x4

4

16

x6

x6

e) -lnx--+c

d)

- ln x--+c

e)

-

f)

- - ln x-

ln x--+c 6 36 x"+l

Xll+J

(n + 1)

(11+ 1)1

+e

1 1 S. - - - In (1+a)+-- In (1 - b)+C (b-a) (a-b)

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232 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

7 a)

,. J1 - 12 +4 5

5

J '(1 1

.!

b)

z2 (a2 +z2 >2

2

3

l

ｾＢ＠

e) x(a

3 2 1 -

)Ja+

,,.=.!,,, 2

- 1

a

J

Jx (a1 - x1);

1

l

d)

l

z(a2 + z2 )1dz

2 -

1

z(2a-z )• +!J z(2a-z2)2dz 3

3

7

e) .)'()'1 ;a2)2

Jf
f)

ª

/ '( 1

+ 1')ª 2 7

3

3 a>J1(a2+12)ZdJ

Actividad lnteg1adora de la unidad 2

1.1.

ｾＫＶＤｸｃ＠

1.2.

4(x¡+1)+"; + e

1.3.

- +- senx+C 2 2 1gx + secx+ e

L4.

X

J

1

1.5.

- (r - r•)+c 2

1.6.

- ln (cosx+ l) + C

l.7.

<' + ln x +

1.8.

lnx + 21g-1x + C

e

1.9. x - ln(x + 4)' + C 1.10.

-3

5

2 cos5x+ cscsx+C

5

www.freelibros.org 1

I. l l. z tgx +x+C

Respueslas de las acti'\>idadcs de trabajo e integradoras 233

2

2

ｾ＠

ｾ＠

Il. l.

-(:c-1)2 --(x- IP +e 5 3

Il.2.

-(e• +4x2 +2)• +e

Il.3.

1 ..,} ---+e 6 la 8

2 3

ｾ＠

[s" 2

II.4.

1 3{6]' S In 6-ln5+C

25

í!!I ｟￭ｾ ｲ＠

Il.5.

fil..=!iL. - 2x+C

II.6.

6

Il.7.

J6ar=cx+C

Il.8.

2tgx-x+2sccx+C

II.9.

In cscz - cot z+ sccz +e

In a-lnb

l

sen(6x+ l)+C

1

l 2

l 2

Il.10. -1g(2x + l)--001(2z +i)+C

m.1. a) scn16+ e

1

e) --cos 2x+C 2

b) Todos los resultados son equivalentes. N.I. N.2.

2

!

scn•(lnx+9)+C

3

4

Jcos.Ji

+e

N.3.

y-tghy+C

N.4.

x+C

IV.5.

l ¡tghx+C

IV.6.

2arctge'+C

www.freelibros.org N.7.

1

76 orcsecx+C

234 Rcspcicstas de las actividades de trabajo e integradoras

2x+3 2 arcsen-- + e 2

N.8. N.9. ｡ｲ｣ｳｬｺＫｾ＠

(5x + 1)

1

N.IO.

s./2 arctg ,J2 +

e

0-3 N.1 1. arcsen--+C 3

N.12. '?:.arcrgJy'- 1+ e 9

ｾ＠

N.13.

2

ln2 (ln 1)+ e

1 N.14. ---+e (4+z) 2 1 y=-r'+seox+5--1T' 3 12

v. VI.

a) V(t) =Yo + Vot + at, at'

b) y(t) = );>+ Vot +2,

1<: o 1<:o

VII. l.

9.2694

VII.2.

x2 senx + 2(x cosx - sen x) + C

VII.3.

e-• (3x2 + 5x + 3) +

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11.8595

VJI.5.

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e

2 Ｒｾ＠ P+C 1-x --(1-x 3

x(cscx - cotx) + e -x 1 VU.7. + - arctgx + C 2 2(1+x ) 2 VII.6.

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x• ｾ＠ -arclg 2

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ｾＨｸＭｳ･ｯ＠

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www.freelibros.org Yil.10.

VU.1 1.

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Respueslas de las acti'\>idadcs de trabajo e integradoras 235

-cot20 1 VII.12. - - - -InlsenOl+C 4 2

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VII.13. --tgO+O+c 3

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VIII.3.

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VID.4.

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VIII.6.

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www.freelibros.org VID.7.

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3

236 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

UNIDAD 3 1Actividad de trabajo 3.1 l. a)

2.

4

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b) arccos

a) 3-1316,

ｾ＠

b) 1.2733,

c) -0.7614,

d) 1.8566,

e) 1.5330

Actividad de trabajo 3.2

l. a)

7

6"' y=x2, y=x113, y= 2-x

y Jl.)•;t"l M•.r"Cl/J) - - -

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b) 14.2283111

y=x2-7x+ 10 y= ( l /3)(4x - 8) y= (l/3)(4x - 20)

www.freelibros.org

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 237 1

e) 0.5707ul

, y=senx y=l

l

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www.freelibros.org

238 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s d) 0.21461?

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Actividad de trabajo 3 .3

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1Actividad de trabajo 3.5 l.

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www.freelibros.org 3. a) (

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 239 1

f(y) = 2y-y2

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www.freelibros.org

240 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

y =2x + 1 y=? - x x=8

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1Actividad de trabajo 3 .6 1

l. a) 2000 ¿i.oo..

b) 2000

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b) 35.84%

3. a) 96.22%

b) 5980.74 aaos

4. a) 100 e-0.<12...,

e) 115. 13 aaos

c) 675.58 aaos

b) "'4. 11 aaos

Actividad Integradora de la unidad 3

l. l. 8u2

www.freelibros.org

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 24.t 1

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www.freelibros.org

242 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

1 3. -3 u1

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32

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www.freelibros.org

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 243

5. I08u2

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6. 0.453u2

y = 1/ (x2 + 3)y= 0,x= Oi X =

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www.freelibros.org

244 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

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www.freelibros.org _,

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Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 245

9. 2.3807u2

y = 3 - x,x =r y

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www.freelibros.org

248 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

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8 V. l. 99.219 y = (3x8 + 5)/30x' y

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3. 0.7676 y = ln(scn x) J'W• l#(.ld.l)

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www.freelibros.org /

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 247

4. 1.6733 y= (x2/2)- (114) In x

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2A8 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

7.

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www.freelibros.org 9.

31

6

Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 249

y = [(2/ 3)(x2fl)J - [( 112)(x1/2)J

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www.freelibros.org 2

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e) (reos 9, r sen 8)

250 Respuestas de las actividades de tmbajo e integradom.s

UNIDAD4 Actividad de trabajo 4 .1

2. Divergente.

l. l. Convergente 4. Convergente

S. Convergente

7. Convergente 2. a) Di vergcnte

6. Convergente

{14'5'2'7"'' 4 3 16 }

b)

3. a) Convergente a O e) Convergente

3. Convergente

b) Divergente

d) Di,oergente

1Actividad de trabajo 4 .2 l. a) Convergente

b) Divergente

c) Convergente

2. a) Convergente

b) Divergente

c) Convergente

l) Convergente

g) Divergente

e) Convergente h) Divcrgente

d) Divergente

j) Convergente

i) Convergente

1Actividad de trabajo 4 .3 2. a) - 1
b) - 2
e= I d)

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3. a) - oo
b) - 2
Actividad de trabajo 4 .4 ｾ＠

3. oos (a+ x) = cos 2a alrededor de x = a = oos 2a-{x+a)seo 4.

Ｒ｡Ｍｾ｣ｯｳ＠

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www.freelibros.org 5.

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Rc.spucstas de las acti\o-icladcs de trabajo e intq;radoras 251.

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Actividad de trabajo 4.5 2. a)

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Actividad Integradora de la unidad 4

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2. Divergente

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2.xel-1, 1] 1 x2

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b) 1.02 VL l. 0.4612

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www.freelibros.org 2. 7.071

4. 0.643

6. 0.295

252 Rcspcicstas de las actividades de trabajo e integradoras

3. a)

b)

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A Aplicación(es) a sistemas oompuiaclonales, integración ｮｵｾ｣｡Ｎ＠ 161 de Ja integral, 109 Aproximación, J77 Área(s), 112 bajo la gráfica de una función, 11 3 entre gráficas de funciones, 124

e Cálculo, 1 de ccntroides de regiones planas. 153 de integrales. 35 de funciones. 202 indefinidas o ｴｾｮｩ｣｡ｳ＠ de inte¡¡rnción. 61 del volumen de un sólido, 143. 147 de te\'Olución, 143 primer teorema íundamental del. 30 te0rcma(s) fundnmcntal(es) del, 1, 55 Cambio de variable. integrales con. 65 Cardioide, 141 CalaUlria, 140 Caucby. criterio de, 188 CentrO de 1113S8, 154 Ccotroidc(s), 159 de rcgioDCS planas. cálculo de. 153 Circuitos electromagnéticos, 164 Comparación, criterio de, 186 Comttgeoeia. 183 de la serie. radio de. 193 intcrvalodc, 192 radio de. 193 serie numbica y, 186

Occimiento poblacional, modelo logístico, 168 Criterio(s) de Caucby, 188 deoomparación, 186 de D' Alcmbcrt, 186 Cwva(s) del perro, 88 longitud de, 135 arco de, 136

D D' Alcmbcrt, criterio de, 186 Decaúniento radiactivo, 166 Definición de serie, 181 Denominador. 94 Dlfercocias y sumas, 180

E Elipse. ecuación de la, 90 f.cllllción de la elipse, 90 Existencia, teorema de, 24

F Factorial. 183

Fiboll3CCi, sucesión de, J 81 Figuras amorfas, medición aproximada

de. s. 7. 57

Finita, 181 Ruentes, 4, 112 Ruxiones. 4, 112 Forma de Lagrange del residuo, 197 Fónnula intcgml del residuo de Taylor, 200

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254 (ndlce analftlco

Función(es) área bajo la gráfica de una, 113 entre gráficas de, 124 de la sucesión, 183 de limites de integal definida, 39 elemeatal, 56 integtal de la, 24 mediante la serie de Taylor, representación de, 198 primitiva, 29 racional, 92 trigonométricas, integrales de, 76

G Geogebra, software, 114 Gráfica de una función, área bajo la. 113 Gtaph, 146

H Hundekurve, 88

I Infinita, 181 Integración con respecto ax, 130 ay, 131 de funciones racionales, 92 indefinida por partes, 72 munérica, aplicaciones a sistemas computacionales, 161 por sustitución trigonométrica, 85 Integal(es), 60, 115 aplicaciones de la, 109 cálculo de, 35 cíclicas, 74 con cambio de variable, 65 de la(s) función(es), 24 trigonométricas, 76 defiruda, 11. 35 función de sus limites, 39 propiedades de la, 25 directas, 6 1 impropias, 39 indefinida(s), 55 métodos de integración c, 51 propiedades de las, 59

inmediaras, 59 primitiva, 60 teorema. 97 del valor medio para, 117, 122 trigonométrica, 78 [ntervalo, 10 de convcrgeacia, 192

L Umite de la suma de los lados de la poligonal, 136 Longitud de curvas, 135 de un arco de curva, 136

M Maclaurin, polinomio de, 197 Mallhus, modelo de, 168 Masa centrO de, 154 DX>mcnlo de, 154 Medición aproximada de figuras amorfas, 5, 1, 51 Método(s) de Ouxiones, 112 de fracciones parciales. 92 de integación e integral indcfiruda, 51 de los anillos, 147 de rebanado de discos, 143 Modelo de Mallhus, 168 logístico, crecimiento poblaeional, 168 Momento de masa, 154

N Notación sumatoria, 10

p Paradoja de Zenón segunda, 181 tercera, 184 Partes, integración indefinida por, 72 lbro, curva del, 88 El:>ünomio, 93 de Maclaurin, 197 de Tuylor, 191 El:>tencias, series de, 191 Primer tc0rema fundamental del cálculo, 30

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Indice analltlco 255

Primítiva,30 Progresión aritmética, 183 geométrica, 183 Propiedades de la integral definida, 25 indefinida, 59 Prueba de la ｲ｡ＡＱｾ＠ 188, 189 de la razón, 186

R Radio de convergencia, 193 de la serie, 193 Raíz, prueba de la, 188 Razón, 183 prueba de la, 186 Reciclar, 74 Regiones planas, cálculo de ccntroides de, 153 Regla del trapecio, 162 Representación de funciones mediante la serie de Taylor, 198 Residuo de Taylor, fórmula integral del, 200 forma de Lagrange del, 197 Revolución, cálculo de voh1menes de sólidos de, 143 Riemann, suma de, l 24

s Segunda paradoja de Zenón, 181 Serie(s), 177 depotencia(s), 191, 202 de Taylor, 196 representación de funciones mediante la, 198 definición de, l 8 l infinita, l 84 numérica y convergencia, 186 radio de convergencia de la, 193 Sigma, 10 Sólidos de revolución, cálculo de voldmenes de, 143 Sucesión aritmética, 182 de Pibonacci, 181 función de la, l 83

geométrica, 183 Suma(s), 13 de Riemann, 13, 16, 124 y diferencias, l 80 Supedicie(s), 4, 5 y tangente, 4, 5 Sustitución, 67

T Tangente(s), 4, 5 y superficie, 4, 5 Taylor fórmula integral del residuo de, 200 pnlinomío de, 197 representación de funciones mediante la serie de, 198 serie de, 196 Técnica(s) de integración, 61 de sustitución, 67 Toorema(s), 24, 29, 72 de existencia, 24 de integral, 97 del valor medio para integrales, 117, 122 fundamental(es) de cálculo, 1, 3, 4, 30, 55 Tercera Paradoja de Zenón, 184 Tractriz, 88 Trapecio, regla del, 162 Trigonométrica, integración por sustitución, 85

V \hlor medio para integrales, teorema del, l 17, 122 V..riable, integrales con cambio de, 65 Volúmenes de sólidos de revolución, cálculo de, 143

w Winplot, l 46

z Zenón segunda paradoja de, 181 tercera paradoja de, 184

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la integración de nuevas propuestas y enfoques educativos en los programas de estudio del nivel superior pone como reto a los profesores diseñar estrategias que ayuden a los estudiantes a fomentar conocimientos. hablll· dades, aptitudes y actitudes que fortalezcan sus procesos de aprendlzaje. Ql/cufo Integral para ｣ｵｾ＠ con enfoque por oompetencJas se desarrolló para apoyar la práctica docente y motivar la reflexión de los estudiantes en los cursos de esta disciplina. El texto es Ideal para U1Jli?atse en un curso con el enfoque por competencias, ya que cuenta con las herramientas requeridas para estos programas, entre las que sobresalen: Actividad es de trabajo y aetlvldades Integradoras para

la prácilca constante y la consolidación de los conocimientos. Problemas de ap lícacf6n en contextos reates.

Ejerci cios par a la conformación de un portafolio que integre las evidencias generadas d urante el desarrollo de las competencias. Cuestionamfentos metacognltlvos con los que el estudiante puede reconocer cómo está logrando el aprendizaje. Este libro resultará un elemento de gran ayuda tanto para tos estudiantes que hayan ctirsado un semestre de cálculo diferencial en el nivel superior, como para los profesores que Impartan esta materia. Consulte los recursos disponibles para este libro en:

www.pear$onenespañol.com/morales

ISBN 978-607-32-2242-6

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