ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 Κρούσεις και Σχετικές Κινήσεις

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

y

 V

 Vy m1

 1



 Vx

x

 2

m2

επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com

1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 5-1) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τη μελέτη των κρούσεων στερεών σωμάτων και με το φαινόμενο Doppler. Η δομή του κεφαλαίου (που βρίσκεται εντός της ύλης των πανελληνίων εξετάσεων) περιλαμβάνει τις ακόλουθες ενότητες: 5-2) ΚΡΟΥΣΕΙΣ 5-3) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ 5-4) ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΛΛΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΗΣ ΜΑΖΑΣ 5-9) ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER Στο εγχειρίδιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρία του σχολικού βιβλίου καθώς και η επέκταση αυτής για την πλήρη προετοιμασία που απαιτούν οι πανελλήνιες εξετάσεις. Ως εκ τούτου αποδεικνύονται (μέσω των βασικών σχέσεων του σχολικού βιβλίου) και άλλες χρήσιμες σχέσεις. Όμως χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή διότι όσες σχέσεις δεν περιέχονται στο σχολικό βιβλίο (και παρέχεται η απόδειξή τους στο εγχειρίδιο αυτό) πρέπει να αποδεικνύονται για να χρησιμοποιηθούν στις πανελλήνιες εξετάσεις!!!


2

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 5-2) ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Με τον όρο κρούση στη μηχανική εννοούμε τη σύγκρουση δύο σωμάτων που κινούνται το ένα σε σχέση με το άλλο. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κρούση ανάμεσα σε δύο μπάλες μπιλιάρδου.

Χαρακτηριστικά του φαινομένου της κρούσης:  Έχει πολύ μικρή χρονική διάρκεια.  Κατά τη διάρκεια της επαφής των δύο σωμάτων αναπτύσσονται πολύ ισχυρές δυνάμεις. Οι δυνάμεις αυτές: 1. Έχουν σχέση δράσης-αντίδρασης. 2. Το μέτρο τους μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της κρούσης. 3. Είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερες από άλλες εξωτερικές δυνάμεις, όπως οι βαρυτικές, οι οποίες μπορεί να ασκούνται ταυτόχρονα στα δύο σώματα κατά τη διάρκεια της κρούσης.

Η έννοια της κρούσης έχει επεκταθεί και στο μικρόκοσμο όπου συμπεριλαμβάνει και φαινόμενα όπου τα ΄΄συγκρουόμενα΄΄ σωματίδια δεν έρχονται σε επαφή. Για παράδειγμα όταν ένα σωματίδιο α (πυρήνας He) κινείται προς ένα άλλο πυρήνα (Π), οι αλληλεπιδράσεις τους, που είναι πολύ ασθενείς όταν βρίσκονται μακριά, γίνονται πολύ ισχυρές όταν τα σωματίδια πλησιάσουν με αποτέλεσμα την απότομη αλλαγή στην κινητική τους κατάσταση. Η χρονική διάρκεια μεταβολής της κινητικής τους κατάστασης είναι πολύ μικρή. Αν μπορούσαμε να κινηματογραφήσουμε το φαινόμενο θα βλέπαμε ότι μοιάζει με τη σύγκρουση δύο σωμάτων, μόνο που εδώ τα σώματα δεν έρχονται σε επαφή. Ονομάζουμε, λοιπόν, κρούση και κάθε φαινόμενο του μικρόκοσμου, στο οποίο τα ΄΄συγκρουόμενα ΄΄ σωματίδια, αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. Το φαινόμενο αυτό στη σύγχρονη φυσική ονομάζεται και σκέδαση. Είδη κρούσης Ανάλογα με τη διεύθυνση που κινούνται τα σώματα πριν συγκρουστούν οι κρούσεις διακρίνονται σε κεντρικές, έκκεντρες και πλάγιες. Κεντρική, (ή μετωπική) ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Αν τα σώματα που συγκρούονται είναι σφαίρες και η κρούση τους είναι κεντρική, οι ταχύτητές τους μετά την κρούση θα βρίσκονται επίσης στην ίδια (αρχική) διεύθυνση όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:


3


Κεντρική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών. Έκκεντρη, ονομάζεται η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες, όπως στο παρακάτω σχήμα: Έκκεντρη κρούση

Στην έκκεντρη κρούση, επειδή οι δυνάμεις που αναπτύσσονται έχουν διαφορετική διεύθυνση από αυτή που έχουν οι ταχύτητες των δύο σημάτων, τα σώματα μετά την κρούση κινούνται σε διαφορετικές διευθύνσεις. Πλάγια ονομάζεται η κρούση αν οι ταχύτητες των σωμάτων βρίσκονται σε τυχαίες διευθύνσεις.

Πλάγια κρούση

Στην πλάγια κρούση, οι ταχύτητες των δύο σωμάτων έχουν διαφορετικές διευθύνσεις και μετά την κρούση. Η διατήρηση της ορμής στις κρούσεις Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμενο που διαρκεί πολύ λίγο χρόνο, οι ωθήσεις των εξωτερικών δυνάμεων – αν υπάρχουν - είναι αμελητέες κατά τη διάρκεια της κρούσης. Το σύστημα των σωμάτων που συγκρούονται μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο, για τη χρονική διάρκεια της κρούσης, επομένως η ορμή του συστήματος διατηρείται. Επομένως: Η ορμή ενός συστήματος σωμάτων, κατά τη διάρκεια της κρούσης, διατηρείται.





Αν p η ορμή του συστήματος αμέσως πριν την κρούση και p  ά η ορμή του συστήματος αμέσως μετά την κρούση, ισχύει:

  p = p  ά Σημείωση: Ένα σύστημα σωμάτων ονομάζεται μονωμένο, όταν δεν ασκούνται σ’ αυτό εξωτερικές δυνάμεις ή, αν ασκούνται, έχουν συνισταμένη μηδέν.


4

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Η ενέργεια στις κρούσεις Κατά τη σύγκρουση δύο σωμάτων ένα μέρος της μηχανικής τους ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα. Στην ιδανική περίπτωση που η μηχανική ενέργεια των σωμάτων δε μεταβάλλεται με την κρούση, η κρούση ονομάζεται ελαστική. Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμενο αμελητέας χρονικής διάρκειας, η δυναμική ενέργεια των σωμάτων -που εξαρτάται από τη θέση τους στο χώρο- δε μεταβάλλεται. Επομένως : Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων. Στην ελαστική κρούση, η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος διατυπώνεται με την παρακάτω σχέση:

K ( )  K ( )  K1  K 2  K1  K 2 Στο μακρόκοσμο η ελαστική κρούση αποτελεί μια εξιδανίκευση. Προσεγγιστικά ελαστική μπορεί να θεωρηθεί η κρούση ανάμεσα σε δύο πολύ σκληρά σώματα, όπως ανάμεσα σε δύο μπάλες του μπιλιάρδου. Στο μικρόκοσμο όμως έχουμε κρούσεις απολύτως ελαστικές όπως αυτή που περιγράψαμε προηγουμένως ανάμεσα στο σωμάτιο α και τον πυρήνα. Η κρούση στην οποία δε διατηρείται η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος, λέγεται ανελαστική. Επομένως: Ανελαστική, ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα. Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι εκείνη που οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων – στη δημιουργία συσσωματώματος. Αυτή η κρούση ονομάζεται πλαστική. Στην ανελαστική κρούση, η αρχή διατήρησης της ενέργειας του συστήματος διατυπώνεται με την παρακάτω σχέση:

K ( )  K (  ά )  E . όπου E . είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος, η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα. Προφανώς δεν ισχύει η διατήρηση της μηχανικής (κινητικής) ενέργειας, αφού

K ( )  K (  ά )


5


ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ 5-3) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ





Δύο σφαίρες  1 και  2 με μάζες m1 και m 2 κινούνται με ταχύτητες  1 και  2 , όπως στο σχήμα. Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά και μετά την κρούση έχουν   ταχύτητες  1 και  2 . Εάν γνωρίζουμε τις ταχύτητες των σφαιρών πριν την κρούση και τις μάζες τους μπορούμε να υπολογίσουμε τις ταχύτητές τους μετά την κρούση με εφαρμογή της διατήρησης της ορμής και διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Πριν την κρούση

 1

( )



2

m1

m2

Μετά την κρούση

  1 m1

( )   2

m2

Θεωρούμε σαν θετική την αρχική κατεύθυνση των ταχυτήτων των δύο σφαιρών (πριν την κρούση). Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής:



Θεωρούμε p1 την ορμή του σώματος μάζας m1 πριν την κρούση,

 p 2 την ορμή του σώματος μάζας m 2 πριν την κρούση,  p1 την ορμή του σώματος μάζας m1 μετά την κρούση,  p 2 την ορμή του σώματος μάζας m 2 μετά την κρούση,

Άρα,

    p1  p2  p1  p2  p1  p2  p1  p2  m11  m2 2  m11  m2 2  m11  m11  m2 2  m2 2  m1 1  1   m2  2   2  (1) Επειδή η κρούση είναι ελαστική ισχύει η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας. Άρα:

  (  )    ( )  1   2   1   2


6


1 1 1 1 1 1 m112  m2 22  m11 2  m2 2 2  m112  m2 22   m11 2  m2 2 2   2 2 2 2 2 2 m112  m2 22  m112  m2 22  m112  m112  m2 22  m2 22 

m1 12  12   m2  22   22   m1 1  1 1  1   m2  2   2  2   2 

(2)

Αν διαιρέσουμε τις δύο σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη, παίρνουμε: m1 1  1  m2  2   2  1 1   1  1   2   2 (3)   m1 1  1 1  1  m2  2   2  2   2  1  1  2   2

Σημειώσεις: Α) Προφανώς ισχύει: 1  1 και  2   2 γιατί σε κάθε σώμα κατά τη διάρκεια της κρούσης ασκείται δύναμη με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται η ορμή και η ταχύτητά του. Β) Η σχέση 1  1   2   2 μπορεί να γραφεί 1   2  (1   2 ) . Δηλαδή στην ελαστική κρούση δύο σφαιρών η σχετική ταχύτητα αλλάζει πρόσημο, αλλά διατηρεί το μέτρο της. Δηλαδή οι σφαίρες μετά την κρούση θα απομακρύνονται με την ίδια κατά μέτρο σχετική ταχύτητα με την οποία πλησίαζαν πριν την κρούση. Λύνοντας τη σχέση (3) ως προς  2 :

1  1   2   2   2  1  1   2 (4) Και αντικαθιστώντας τη σχέση (4) στην (1) προκύπτει:

m1 1  1   m2  2   2   m1 1  1   m2 1  1   2    2  

m1 1  1   m2 1  1   2   2   m1 1  1   m2 1  1  2 2   m11  m11  m21  m21  2m2 2  m11  m21  2m2 2  m11  m21 

m1  m2 1  2m2 2  m1  m2 1  1 

2m 2 m  m2 2  1 1 (5) m1  m2 m1  m2

Λύνοντας τη σχέση (3) ως προς  1 :

1  1   2   2  1   2   2  1 (6) Και αντικαθιστώντας τη σχέση (6) στην (1) προκύπτει:

m1 1  1   m2  2   2   m1 1   2   2  1   m2  2   2  


7


m1 1   2   2  1   m2  2   2   m11  m1 2  m1 2  m11  m2 2  m2 2  m11  m1 2  m11  m2 2  m2 2  m1 2  2m11  m2  m1  2  m2  m1  2   2 

2m1 m  m1 1  2  2 (7) m1  m2 m1  m2

Σημείωση: Κατά τον υπολογισμό των ταχυτήτων των σφαιρών υποθέσαμε ότι οι σφαίρες μετά την κρούση συνεχίζουν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Αν μετά τις πράξεις προκύψει αρνητική τιμή για την  1 θα συμπεράνουμε ότι η  1 άλλαξε φορά κίνησης μετά την κρούση. Ειδικές περιπτώσεις Α. Οι δύο σφαίρες  1 και  2 έχουν ίσες μάζες m1  m2  m Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις (5) και (7) παίρνουν τη μορφή

1 

2m 2 m  m2 2m 2m mm 2   2  1   2 1  1  2  1 1  1  mm 2m mm m1  m2 m1  m2

 2 

2m1 m  m1 2m 2m mm 1  1   2  1  2   2  1  2  2   2  mm 2m mm m1  m2 m1  m2

Δηλαδή, κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών, που έχουν ίσες μάζες, οι σφαίρες ανταλλάσσουν τις ταχύτητές τους. Β. Η σφαίρα  2 είναι ακίνητη πριν την κρούση  2  0 Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις (5) και (7) παίρνουν τη μορφή

1 

0

2m 2 m  m2 m  m2 2  1 1  1  1 1 m1  m2 m1  m2 m1  m2 0

2m1 m  m1 2m1  2  1  2  2   2  1 m1  m2 m1  m2 m1  m2

Όταν οι δύο σφαίρες έχουν ίσες μάζες ( m1  m2  m ) και η σφαίρα  2 είναι ακίνητη πριν την κρούση  2  0 , τότε οι παραπάνω σχέσεις γίνονται:

1 

m1  m2 mm 1  1  0 1  1  m m m1  m2

 2 

2m1 2m 2m 1   2  1   2  1 1   2  mm 2m m1  m2


8

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Δηλαδή, όταν η σφαίρα  2 είναι ακίνητη πριν την κρούση, οι δύο σφαίρες ανταλλάσσουν τις ταχύτητές τους, με αποτέλεσμα η σφαίρα  1 να σταματήσει, μεταφέροντας όλη της κινητική της ενέργεια στη σφαίρα  2 , που αρχικά ηρεμούσε.

Παρατηρήσεις: Όταν η κρούση δύο σφαιρών  1 και  2 είναι κεντρική και ελαστική, τότε: Α) Κατά τη διάρκεια της κρούσης δε μεταβάλλεται η βαρυτική δυναμική ενέργεια των σωμάτων του συστήματος. Β) Η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών διατηρείται. Γ) Η ορμή κάθε σφαίρας μεταβάλλεται. Δ) Η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σφαιρών διατηρείται. Ε) Η κινητική ενέργεια κάθε σφαίρας μεταβάλλεται. ΣΤ) Ισχύει αλγεβρικά η σχέση 1  1   2   2 Ζ) Ισχύει η σχέση K (1)  K ( 2) . Δηλαδή η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας  1 είναι αντίθετη από τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας  2 .





Η) Ισχύει διανυσματικά η σχέση p(1)  p( 2) . Δηλαδή η μεταβολή της ορμής της σφαίρας

1 είναι αντίθετη από τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας  2 . Μεθοδολογία ασκήσεων σε προβλήματα κεντρικής ελαστικής κρούσης Εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής Εφαρμόζουμε τη σχέση m11  m2 2  m11  m2 2 . Για να τη γράψουμε σωστά ακολουθούμε τα εξής βήματα: Α) Σχεδιάζουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων των σωμάτων πριν και μετά την κρούση. Β) Επιλέγουμε αυθαίρετα μια θετική φορά πάνω στην ευθεία κίνησης των δύο σωμάτων. Γ) Θέτουμε το πρόσημο (+) στις ταχύτητες που έχουν θετική φορά και το πρόσημο (-) σ΄ αυτές που έχουν αρνητική φορά. Όταν δε γνωρίζουμε τη φορά της ταχύτητας ενός σώματος, πριν η μετά την κρούση, θεωρούμε ότι το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά. Αν μετά τους υπολογισμούς βρούμε ότι η ταχύτητα του σώματος είναι θετική, αυτό θα σημαίνει ότι όντως κινείται κατά τη θετική φορά. Αν βρούμε ότι η ταχύτητα του σώματος είναι αρνητική, τότε το σώμα κινείται κατά την αρνητική φορά. Σημείωση: Σε μια κεντρική ελαστική κρούση η ορμή που μεταφέρεται από τη σφαίρα  1 στη σφαίρα  2 είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας  2 . Εφαρμογή της διατήρησης της κινητικής ενέργειας Για γρήγορους υπολογισμούς αντί για την αρχή διατήρηση της ενέργειας εφαρμόζουμε απευθείας τη σχέση 1  1   2   2 . (Όμως πρέπει να αποδεικνύουμε τη σχέση αυτή στην επίσημη παρουσίαση της λύσης μιας άσκησης, ιδιαίτερα στις πανελλήνιες εξετάσεις).


9

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Σημείωση: Σε μια κεντρική ελαστική κρούση η κινητική ενέργεια που μεταφέρεται από τη σφαίρα  1 στη σφαίρα  2 είναι ίση με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας

2 . Υπολογισμός δυναμικής ενέργειας μέγιστης ελαστικής παραμόρφωσης Όταν δύο σφαίρες  1 και  2 συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, τότε κάποια στιγμή t , κατά τη διάρκεια της επαφής , οι ταχύτητες των δύο σφαιρών γίνονται ίσες (ίδια κατεύθυνση,



ίδιο μέτρο) και η παραμόρφωση των δύο σφαιρών γίνεται μέγιστη. Έστω V η ταχύτητα κάθε σφαίρας και U max η μέγιστη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης των δύο σφαιρών τη χρονική στιγμή t . Ισχύουν οι σχέσεις

  p ( )  p (t )  m11  m2 2  m1V  m2V  m11  m2 2  m1  m2 V 

V

m1 1  m2 2 m1  m2

K ( )  K (  ά )  U max  1 m112  1 m2 22  1 m1V 2  1 m2V 2  U max  2

2

2

2

1 1 1 1 1 1 m112  m2 22  m1  m2 V 2  U max  U max  m112  m2 22  m1  m2 V 2 2 2 2 2 2 2

ΠΛΑΓΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ Όταν η κρούση δύο σφαιρών  1 και  2 είναι πλάγια, τότε τα διανύσματα των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση έχουν διαφορετικές διευθύνσεις, ενώ μετά την κρούση έχουν επίσης διαφορετικές διευθύνσεις (πλάγια ελαστική κρούση). Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: A) Σχεδιάζουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων που συγκρούονται πριν και μετά την κρούση. Β) Αναλύουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων σε δύο κάθετους άξονες x και y . Η επιλογή των αξόνων γίνεται έτσι ώστε να χρειάζονται ανάλυση σε άξονες οι λιγότερες δυνατές ταχύτητες. Γ) Εφαρμόζουμε τη αρχή διατήρησης της ορμής σε κάθε άξονα ξεχωριστά:

 p x , (  ά )   p p ( )  p (  ά )   x , ( )

  p y , ( )  p y , (  ά )

Δ) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας K  ( )  K  (  ά )


10

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 5-4) ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΛΛΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΗΣ ΜΑΖΑΣ Α) Κάθετη ελαστική κρούση με τον τοίχο Στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα σώμα  2 πολύ μεγάλης μάζας m 2 το οποίο είναι ακίνητο (  2  0 ) και μία σφαίρα 1 , μάζας m1 , με ταχύτητα μέτρου  1 (ισχύει

m2  m1 ). Επομένως: m2  m1  m1  m2 m2 m  m2 Άρα 1  1   1  1  1  m1  m2 1 m1  m2 m2

m1  1  0 m2

m1 1 m2 0 1 1  1  1  m1 0 1 1 m2

1  1 m m1 2 1 m2 m2 20 2m1 1  1   2  1   2   2  1    2  m1 m1  m2 0 1 m1  m2 1 m2 m2 2

 2  0 Δηλαδή η σφαίρα μικρής μάζας ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτήν που είχε πριν την κρούση. Το σώμα μεγάλης μάζας παραμένει πρακτικά ακίνητο. Σύμφωνα με τα παραπάνω όταν μια σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και κάθετα στην επιφάνεια ενός τοίχου ή στο δάπεδο ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς.

Β) Πλάγια ελαστική κρούση με τοίχο Στην περίπτωση που η σφαίρα προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε έναν τοίχο αναλύουμε την ταχύτητά της σε δύο  συνιστώσες, τη μία (  x ) κάθετη στον τοίχο και την άλλη



(  y ) παράλληλη με αυτόν όπως στο διπλανό σχήμα. Σύμφωνα με τα παραπάνω η κάθετη στον τοίχο συνιστώσα της ταχύτητας θα αλλάξει φορά και θα διατηρήσει το μέτρο της ( x   x ). H δύναμη που ασκείται στη σφαίρα κατά την κρούση είναι κάθετη στον τοίχο, άρα η y συνιστώσα της ταχύτητας δε μεταβάλλεται (  y   y ).


11

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Το μέτρο της ταχύτητας μετά την κρούση είναι

    x2   y2     (  x ) 2   y2      x2   y2      δηλαδή το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας δε μεταβάλλεται. Εναλλακτική απόδειξη: Η κρούση είναι ελαστική. Επομένως η κινητική ενέργεια της σφαίρα διατηρείται. Άρα:

1 1 K  K  ά  m 2  m 2      2 2 Αν π και α οι γωνίες που σχηματίζουν η  και η   , αντίστοιχα, με την κάθετη στον τοίχο ισχύει:

 

y 

και

a 

 y 

Όμως  y   y και     , οπότε  =a    a Δηλαδή η γωνία πρόσπτωσης  της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης a .


12


ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ: ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ Α) Κεντρική ανελαστική κρούση δύο σωμάτων Δύο σφαίρες  1 και  2 με μάζες m1 και m 2 κινούνται





πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες  1 και  2 . Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και μετά την κρούση κινούνται   στην ίδια αρχική ευθεία με ταχύτητες  1 και  2 , όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Από τη διατήρηση της ορμής έχουμε:

      p ( )  p (  ά )  p1  p2  p1  p2 

m11  m2 2  m11  m2 2 Από τη διατήρηση της ενέργειας έχουμε:

K ( )  K (  ά )  E   E . 

1 1 1 1 m112  m2 22  m11 2  m2 2 2  E   2 2 2 2

1 1 1 1 m112  m2 22  m11 2  m2 2 2 2 2 2 2

όπου E  είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος.

Β) Κεντρική πλαστική κρούση δύο σωμάτων Δύο σώματα  1 και  2 με μάζες m1 και m 2 κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες

   1 και  2 . Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά και μετά την κρούση το 

συσσωμάτωμα κινείται με ταχύτητα V , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση. Πριν την κρούση

 2

( ) 

1 m2


m1

 V

( )

  m1  m2


13

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Αν γνωρίζουμε τις μάζες των δύο σωμάτων και τις ταχύτητές τους πριν την κρούση, τότε



μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο V της ταχύτητας του συσσωματώματος και την απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος K , η οποία γίνεται θερμότητα μετά την κρούση. Από την αρχή διατήρησης της ορμής έχουμε:

     p ( )  p (  ά )  p1  p2  p  m11  m2 2  (m1  m2 )V  V

m11  m2 2 m1  m2

Από την αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας έχουμε:

K ( )  K (  ά )  E   E . 

1 1 1 m112  m2 22  (m1  m2 )V 2  E   2 2 2

1 1 1 m112  m2 22  (m1  m2 )V 2 2 2 2

όπου E  είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την πλαστική κρούση. Παρατηρήσεις: Όταν η κρούση δύο σωμάτων  1 και  2 είναι μετωπική και πλαστική, τότε: Α) Η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται. Β) Η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων δεν διατηρείται. Γ) Τα δύο σώματα παθαίνουν μόνιμες παραμορφώσεις. Δ) Τα δύο σώματα μετά την κρούση κινούνται μαζί, ενωμένα σ’ ένα συσσωμάτωμα. Ε) Η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση E   K   K  ά . ΣΤ) Το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση υπολογίζεται από τη σχέση:

%  

 K  ά K   K  ά E  100%  %   1  100%  %    K K  K   


 100%  

14

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Γ) Πλάγια πλαστική κρούση δύο σωμάτων Όταν η κρούση δύο σφαιρών  1 και  2 είναι πλάγια, τότε τα διανύσματα των ταχυτήτων των σφαιρών πριν την κρούση έχουν διαφορετικές διευθύνσεις, ενώ μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει επίσης διαφορετική διευθύνση. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: A) Σχεδιάζουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων που συγκρούονται πριν και μετά την κρούση. Β) Αναλύουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων σε δύο κάθετους άξονες x και y . Η επιλογή των αξόνων γίνεται έτσι ώστε να χρειάζονται ανάλυση σε άξονες οι λιγότερες δυνατές ταχύτητες. Γ) Εφαρμόζουμε τη αρχή διατήρησης της ορμής σε κάθε άξονα ξεχωριστά:

 p x , (  ά )   p p ( )  p (  ά )   x , ( )

  p y , ( )  p y , (  ά )

Δ) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας

K ( )  K (  ά )  E  όπου E  είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την κρούση. Παράδειγμα πλάγιας πλαστικής κρούσης:





Δύο σφαίρες με μάζες m1 και m2 κινούνται στο οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες  1 και  2 κάθετες μεταξύ τους, και συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογίσετε: α) την κοινή τους ταχύτητα μετά την κρούση. β) την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος. ΛΥΣΗ y

 V

 Vy m1

 1



 Vx

x

 2

m2


15


α) Οι δύο σφαίρες συγκρούονται και δημιουργείται συσσωμάτωμα (πλαστική κρούση) με μάζα m1  m2 . Η ταχύτητα του συσσωματώματος έχει μέτρο V και άγνωστη κατεύθυνση

 

όπως φαίνεται στο σχήμα. Για το λόγο αυτό την αναλύουμε σε 2 συνιστώσες V x ,V y . Επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κίνηση του συσσωματώματος προκύπτει από την  επαλληλία μίας οριζόντιας κίνησης με ταχύτητα V x και μίας κατακόρυφης κίνησης με



ταχύτητα V y . Η ορμή του συστήματος σωμάτων διατηρείται τόσο στον άξονα x όσο και στον άξονα y . Η διανυσματική σχέση της αρχής διατήρησης της ορμής ανάγεται σε δύο αλγεβρικές. Μία για τον άξονα x και μία για τον άξονα y . Άρα,

 p x (  )  p x ( )   p   p     p y (  )  p y (  ) Ασχολούμαστε με καθεμιά από τις εξισώσεις ξεχωριστά: Αρχή διατήρησης της ορμής στον άξονα x :

p x    p x   m11  m1  m2 Vx  V x 

m11 m1  m2

p y    p y    m2 2  m1  m2 V y  V y 

m2 2 m1  m2

Άρα το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος V θα είναι:

V 2  Vx2  V y2  V  Vx2  V y2 Η κατεύθυνση της ταχύτητας του συσσωματώματος προκύπτει από την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα της με τον οριζόντιο άξονα x . Άρα,  

Vy Vx

β) Η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση ισούται με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σωμάτων μάζας m1 και m2.

  

1 1 m112  m2 22 2 2


16

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Η κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση ισούται με την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μάζας m1  m2 .

  

1 m1  m2 V 2 2

Άρα η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος λόγω της κρούσης είναι:

  .          . 

1 1 1 m112  m2 22  m1  m2 V 2 2 2 2

Αναγνώριση του είδους μιας κρούσης Α) Αν η κινητική ενέργεια διατηρείται, τότε η κρούση είναι ελαστική. Β) Αν η κινητική ενέργεια δε διατηρείται και τα σώματα κινούνται χωριστά μετά την κρούση, τότε η κρούση είναι ανελαστική. Γ) Αν η κινητική ενέργεια δε διατηρείται και μετά την κρούση προκύπτει συσσωμάτωμα, τότε η κρούση είναι πλαστική. Δ) Αν για τις ταχύτητες, πριν και μετά την κρούση, ισχύει η σχέση: 1  1   2   2 Τότε η κρούση είναι κεντρική και ελαστική.


17

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α) ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Όταν ένα σώμα  1 , το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, συγκρούεται σε κάποιο σημείο της τροχιάς του με άλλο σώμα  2 , τότε ορισμένα χαρακτηριστικά μεγέθη της ταλάντωσης ( όπως το πλάτος, η γωνιακή συχνότητα κ.τ.λ.) μεταβάλλονται. Αυτό οφείλεται στη μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης (ελαστική κρούση) ή της ενέργειας της ταλάντωσης και του ταλαντούμενου σώματος (πλαστική κρούση). Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Α. Κρούσεις σε οριζόντιο επίπεδο: Δεν αλλάζει η θέση ισορροπίας του ταλαντούμενου σώματος. Στις περιπτώσεις αυτές η θέση ισορροπίας ταυτίζεται με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. α) Κεντρική ελαστική κρούση Πριν την κρούση x

K

 

Στην περίπτωση αυτή μπορεί να αλλάξει μόνο το πλάτος  της ταλάντωσης. Έστω ότι η σύγκρουση των δύο σωμάτων συμβαίνει τη χρονική στιγμή t , όταν το ταλαντούμενο σώμα έχει απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας και κινείται με ταχύτητα   , όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αμέσως μετά την κρούση το σώμα  αποκτά μία νέα ταχύτητα   και το πλάτος της ταλάντωσης αλλάζει. Για να βρούμε το νέο πλάτος   της ταλάντωσης, εργαζόμαστε ως εξής:

 1



..



Μετά την κρούση x



..

 



Α) Υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας του ταλαντούμενου σώματος, είτε από τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης:

K  U  U max 

1 1 1 m 2  kx 2  k 2  ….      2  x 2  2 2 2

Είτε από την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή t , δηλαδή:

   t    Β) Υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας   του ταλαντούμενου σώματος αμέσως μετά την κρούση, εφαρμόζοντας κατά περίπτωση μία από τις γνωστές σχέσεις της κεντρικής ελαστικής κρούσης.


18

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Γ) Υπολογίζουμε το νέο πλάτος   της ταλάντωσης με τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης μετά την κρούση:

  K   U  U max

 2 

m  2  kx 2 k

1 1 1 m  2  kx 2  k  2  m 2  kx 2  k  2  2 2 2

m  2

   2 

k

 x 2   

m  2 k

 x2

Σημειώσεις: Α) Από τη στιγμή όπου η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης δεν αλλάζει, η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας αμέσως πριν και αμέσως μετά από την κρούση θα είναι η ίδια (δηλαδή x ). Β) Η περίοδος και η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης δεν αλλάζουν, διότι δεν αλλάζει ούτε η μάζα του ταλαντούμενου σώματος ούτε η σταθερά επαναφοράς, δηλαδή η σταθερά του ελατηρίου:

m (εξαρτάται μόνο από τη μάζα του ταλαντούμενου K σώματος και τη σταθερά επαναφοράς) Περίοδος ταλάντωσης:   2

2   

Γωνιακή συχνότητα:  

2

 

1

 

m m k k τη μάζα του ταλαντούμενου σώματος και τη σταθερά επαναφοράς) 2

k (εξαρτάται μόνο από m

β) Κεντρική πλαστική κρούση Πριν την κρούση x

K

  m1



m2

1 

..



Μετά την κρούση x



..

 

m1  m2




Στην περίπτωση αλλάζει τόσο το πλάτος  όσο και η γωνιακή συχνότητα  της ταλάντωσης. Έστω ότι η σύγκρουση των δύο σωμάτων συμβαίνει τη χρονική στιγμή t , όταν το ταλαντούμενο σώμα έχει απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας και κινείται με ταχύτητα   , όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα που σχηματίζεται  αποκτά μία νέα ταχύτητα   και το πλάτος και η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης αλλάζουν. Για να βρούμε το νέο πλάτος   της ταλάντωσης, εργαζόμαστε ως εξής:

19

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Α) Υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας του ταλαντούμενου σώματος, είτε από τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης:


1 1 1 m 2  kx 2  k 2  ….      2  x 2  2 2 2


   t    Β) Υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας V του ταλαντούμενου συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, εφαρμόζοντας την αρχή διατήρηση της ορμής στην περίπτωση πλαστικής κρούσης. Γ) Υπολογίζουμε το νέο πλάτος   της ταλάντωσης με τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης μετά την κρούση:

  K   U  U max

 2 

1 m1  m2 V 2  1 kx 2  1 k 2  m1  m2 V 2  kx2  k2  2 2 2

m1  m2 V 2  kx 2 k

   2 

m1  m2 V 2 k

 x 2   

m1  m2 V 2 k

 x2

Σημειώσεις: Α) Από τη στιγμή όπου η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης δεν αλλάζει, η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας αμέσως πριν και αμέσως μετά από την κρούση θα είναι η ίδια (δηλαδή x ). Β) Η περίοδος και η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης αλλάζουν, διότι αλλάζει η μάζα του ταλαντούμενου σώματος:

m1 K m1  m2 Περίοδος ταλάντωσης μετά την κρούση:    2 K Περίοδος ταλάντωσης πριν την κρούση:   2

Γωνιακή συχνότητα πριν την κρούση:



2   

2 2

m1 k



1 m1 k



k m1

Γωνιακή συχνότητα μετά την κρούση:

 

2    

2 2

m1  m2 k

  

1 m1  m2 k


  

k m1  m2

20

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Β. Κρούσεις στις οποίες αλλάζει η θέση ισορροπίας του ταλαντούμενου σώματος. Για να αλλάζει η θέση ισορροπίας του ταλαντούμενου σώματος πρέπει να ικανοποιούνται οι 2 παρακάτω συνθήκες: 1) Το ταλαντούμενο σώμα ταλαντώνεται σε κατακόρυφη διεύθυνση (σώμα δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου) ή σε διεύθυνση που σχηματίζει γωνία με την οριζόντια διεύθυνση (σώμα πάνω σε πλάγιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ελατηρίου που βρίσκεται πάνω στο επίπεδο) και 2) και η κρούση είναι πλαστική. Στην περίπτωση αυτή αλλάζει τόσο η γωνιακή συχνότητα  όσο και το πλάτος  της ταλάντωσης. Η νέα γωνιακή συχνότητα δίνεται από τη k σχέση:    . m1  m2 Έστω ότι η σύγκρουση των δύο σωμάτων συμβαίνει τη χρονική στιγμή t , όταν το  ταλαντούμενο σώμα έχει απομάκρυνση x και κινείται με ταχύτητα  . Για να βρούμε το νέο πλάτος   της ταλάντωσης, εργαζόμαστε ως εξής: Α) Υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας του ταλαντούμενου σώματος, είτε από τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης:


1 1 1 m 2  kx 2  k 2  ….      2  x 2  2 2 2


   t    Β) Υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας V του ταλαντούμενου συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ορμής στην περίπτωση πλαστικής κρούσης.

l0 l Αρχική Θ.Ι.

.

l   l

 F m1

x  w1

l 

x m1

m2

 1  2

 V

x

 F

Τελική Θ.Ι.

 w

Σημείωση: x  απομάκρυνση του σώματος μάζας m1 (τη στιγμή της κρούσης) από την αρχική Θ.Ι.


21

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com x   απομάκρυνση συσσωματώματος μάζας m1  m2 (τη στιγμή της κρούσης) από την τελική Θ.Ι. Γ) Υπολογίζουμε την κατακόρυφη απόσταση της αρχικής και της τελικής θέσης ισορροπίας εφαρμόζοντας τις αντίστοιχες συνθήκες ισορροπίας. Αρχική θέση ισορροπίας του σώματος  1 :  mg F  0  F  m1 g  0  kl  m1 g  l  1 k

(1)

Τελική θέση ισορροπίας του συσσωματώματος:  ( m  m2 ) g (2) F   0  F  (m1  m2 ) g  0  kl   (m1  m2 ) g  l   1 k

Αφαιρούμε τις (1) και (2) κατά μέλη: l   l 

(m1  m2 ) g m1 g m 2 g   k k k

(3)

Δ) Στη συνέχεια βρίσκουμε την απομάκρυνση x  του συσσωματώματος από την τελική θέση ισορροπίας του. Από το σχήμα έχουμε: x   l   l   x (4)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση (4) προκύπτει:

x 

m2 g x k

Ε) Το νέο πλάτος της ταλάντωσης υπολογίζεται με τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης μετά την κρούση:

  K U  U max

 2 

1 1 1 k  2  (m1  m2 )V 2  kx  2  k 2  (m1  m2 )V 2  kx 2  2 2 2

(m1  m2 )V 2  kx  2 (m1  m2 )V 2 (m1  m2 )V 2  kx  2     x 2    k k k


22

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Β) ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Όταν σε μία κρούση ένα από τα δύο συγκρουόμενα σώματα μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό ή νοητό άξονα, πριν η μετά την κρούση, τότε δεν εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής, αλλά την αρχή διατήρησης της στροφορμής, ως προς τον άξονα περιστροφής. Ας δούμε τα παρακάτω παραδείγματα: Α) Σημείο Ο

 l

l

 

 

Πριν την κρούση


Έστω βλήμα μάζας m που κινείται με  ταχύτητα  και συγκρούεται με αρχικά ακίνητη ράβδο μάζας M που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας (σημείο Ο). Μετά την κρούση το βήμα συνεχίζει την οριζόντια πορεία του εξερχόμενο από τη ράβδο με  ταχύτητα   και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι:

1 I (  )  Ml 2 3

  1 L  L ά  ml  I ( )  m l  ml  Ml 2  m l 3

Β) Σημείο Ο

 l

l

 

Πριν την κρούση

Έστω βλήμα μάζας m που κινείται με  ταχύτητα  και συγκρούεται με αρχικά ακίνητη ράβδο μάζας M που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας (σημείο Ο). Το βλήμα σφηνώνεται στη ράβδο και το συσσωμάτωμα περιστρέφεται. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι:

1 I (  )  Ml 2 3 Μετά την κρούση

Η ροπή αδράνειας του συσσωματώματος ως προς τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο είναι: 1 I  (  )  I    ml 2  Ml 2  ml 2 3   L  L ά  ml  I  ( )  ml   1 Ml 2  ml 2  3 


23

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 5-9) ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER Εάν καθόμαστε ακίνητοι στην αποβάθρα ενός σταθμού την ώρα που πλησιάζει ένα τρένο κινούμενο με σταθερή ταχύτητα, ακούμε τον ήχο της σειρήνας του οξύτερο (μεγαλύτερης συχνότητας), από ό, τι όταν το τρένο απομακρύνεται από εμάς, αφού μας έχει προσπεράσει. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός είναι σ’ όλη τη διάρκεια της κίνησης σταθερή. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβανόμαστε όταν το τρένο μάς πλησιάζει είναι μεγαλύτερη από αυτήν που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός. Αντίθετα η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβανόμαστε όταν το τρένο απομακρύνεται είναι μικρότερη από αυτήν που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός. Φαινόμενο Doppler λέγεται το φαινόμενο κατά το οποίο, όταν ένας παρατηρητής και μία πηγή κυμάτων βρίσκονται σε σχετική κίνηση μεταξύ τους, τότε η συχνότητα του κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δεν είναι η ίδια με αυτήν που εκπέμπει η πηγή. Για λόγους απλότητας θα εξεταστεί η μερική περίπτωση όπου πηγή και παρατηρητής κινούνται ομαλά πάνω στην ίδια ευθεία, δηλαδή τα διανύσματα της ταχύτητας της πηγής   (  s ) και της ταχύτητας του παρατηρητή (  ) είναι συγγραμικά.





Ως θετική φορά για τα διανύσματα  s και   θα θεωρούμε τα φορά από την πηγή S προς τον παρατηρητή Α. . Σημειώσεις: Α) Το φαινόμενο Doppler παρατηρείται σε όλα τα αρμονικά κύματα, τόσο τα μηχανικά όσο και τα ηλεκτρομαγνητικά. (Θα ασχοληθούμε μόνο με μηχανικά ηχητικά κύματα) Β) Την ταχύτητα διάδοσης του ήχου της θεωρούμε πάντα θετική. Ακίνητη πηγή - ακίνητος παρατηρητής Μία ακίνητη ως προς το μέσον διάδοσης (αέρας) πηγή S που εκπέμπει ήχο συχνότητας f s δημιουργεί γύρω της ένα σφαιρικό ηχητικό κύμα που διαδίδεται με ταχύτητα μέτρου  . Ισχύει

fs 

 όπου  το μήκος κύματος του ήχου που 

εκπέμπει η πηγή. Στο σχήμα βλέπουμε ένα στιγμιότυπο του κύματος. Οι ομόκεντρες περιφέρειες παριστάνουν τα διαδοχικά μέγιστα του κύματος για μία δεδομένη στιγμή και απέχουν μεταξύ τους ένα μήκος κύματος  .

Ένας παρατηρητής Α που είναι επίσης ακίνητος ως προς τον αέρα μετρώντας τα μέγιστα που φτάνουν σ’ αυτόν στη μονάδα του χρόνου υπολογίζει τη συχνότητα του ήχου f A όπως την αντιλαμβάνεται αυτός. Όμως όσα μέγιστα παράγει η πηγή στη μονάδα του χρόνου τόσα πάλι στη μονάδα του χρόνου φτάνουν στον παρατηρητή, άρα


24


f  fs 

 

Ακίνητη πηγή - κινούμενος παρατηρητής Α. Ο παρατηρητής πλησιάζει Ο παρατηρητής Α πλησιάζει προς την ακίνητη  ηχητική πηγή με ταχύτητα   . Τώρα στον παρατηρητή φτάνουν περισσότερα μέγιστα στη μονάδα του χρόνου από όσα παράγει στον ίδιο χρόνο η πηγή. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον παρατηρητή θα είναι     . Επομένως, η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής θα είναι f  

  (1) 

f   συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής   το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του ήχου ως προς τον αέρα.    το μέτρο της ταχύτητας του παρατηρητή ως προς την πηγή   το μήκος κύματος του ηχητικού κύματος που παράγεται από την πηγή. Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει:

    fs   



fs

(2)


f 

    / fs

f 

  fs 

Επειδή       ο παρατηρητής ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας (οξύτερο) από αυτή που παράγει η πηγή ( f   f s ). Σημείωση: Ο παρατηρητής μετράει ακριβώς το ίδιο μήκος κύματος  σαν να ήταν ακίνητος αλλά βλέπει τα μέγιστα του κύματος να τον προσπερνούν πιο γρήγορα. Β. Ο παρατηρητής απομακρύνεται Θεωρούμε τώρα ότι ο παρατηρητής Α απομακρύνεται από τη ακίνητη ηχητική πηγή με  ταχύτητα   . Τώρα στη μονάδα του χρόνου φθάνουν στον παρατηρητή λιγότερα μέγιστα του κύματος από αυτά που παράγει η πηγή στον ίδιο χρόνο, αφού το μέτρο της ταχύτητας με την οποίο διαδίδεται ο ήχος ως προς τον παρατηρητή είναι        .


25


Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής θα είναι f  

f   συχνότητα

Α

υΑ

    που

(1) αντιλαμβάνεται

ο

παρατηρητής   το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του ήχου ως προς τον αέρα.    το μέτρο της ταχύτητας του παρατηρητή ως προς την πηγή   το μήκος κύματος του ηχητικού κύματος που παράγεται από την πηγή.

Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει:

    fs   



fs

(2)


f 

     / fs

f 

   fs 

Επειδή       ο παρατηρητής ακούει ήχο μικρότερης συχνότητας (βαρύτερο) από αυτή που παράγει η πηγή ( f   f s ). Σημείωση: Ο παρατηρητής μετράει ακριβώς το ίδιο μήκος κύματος  σαν να ήταν ακίνητος αλλά βλέπει τα μέγιστα του κύματος να τον προσπερνούν πιο αργά. Συνδέοντας τις δύο περιπτώσεις κίνησης του παρατηρητή σε μία σχέση έχουμε:

f 

  fs 

Κινούμενος παρατηρητήςακίνητη πηγή

Όπου το (+) ισχύει όταν ο παρατηρητής πλησιάζει προς την ακίνητη πηγή και το (-) όταν απομακρύνεται από αυτήν.


26

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Κινούμενη πηγή - ακίνητος παρατηρητής Α. Η πηγή πλησιάζει Υποθέτουμε τώρα ότι η πηγή κινείται ισοταχώς  με ταχύτητα  s πλησιάζοντας τον ακίνητο παρατηρητή Α. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον αέρα θα είναι πάλι υ γιατί η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται μόνο από το μέσον διάδοσης. Το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής μικραίνει γιατί η πηγή ακολουθεί τα κύματα με αποτέλεσμα τα μέγιστα να πλησιάζουν μεταξύ τους.

Επεξήγηση Ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων που φτάνουν σ’ αυτόν. Ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα στην εκπομπή δύο μεγίστων είναι μία περίοδος (Τ). Αν τη στιγμή t η πηγή εκπέμπει ένα μέγιστο τη στιγμή t   το μέγιστο θα έχει πλησιάσει τον παρατηρητή κατά λ αλλά και η πηγή θα τον έχει πλησιάσει κατά x s   s   . Τότε εκπέμπεται από την πηγή το επόμενο μέγιστο. Η απόσταση ανάμεσα στα δύο διαδοχικά μέγιστα είναι   x s     s  . Αυτή την απόσταση αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος ο παρατηρητής. Επομένως     x s     s  (1) Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει:

    fs   

 fs

(2)

Επίσης Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει: fs 

1 1   fs

(3)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) στην (1) προκύπτει:

     s     

 fs



s fs

  

  s fs

(4)

Άρα επειδή η ταχύτητα διάδοσης του ήχου  παραμένει αμετάβλητη, η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι:

f 

 

(5)



27


f 

      f s  f     f    s     s 

fs

Επειδή      s προκύπτει ότι η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μεγαλύτερη από αυτήν που εκπέμπει η πηγή ( f   f s ). Σημείωση: Σε κάθε περίπτωση κινούμενης πηγής το  είναι το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει η πηγή όταν είναι ακίνητη. Β. Η πηγή απομακρύνεται Στην περίπτωση που η πηγή απομακρύνεται από  τον παρατηρητή με σταθερή ταχύτητα  s , το μήκος κύματος που φθάνει στον παρατηρητή αυξάνει κατά x s   s   , δηλαδή:

    x s       s  (1) Αυτή την απόσταση αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος ο παρατηρητής. Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει:

    fs   



(2)

fs

Επίσης Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει: fs 

1 1   fs

(3)

Επομένως      s T   

 fs



s fs

  

 s fs

(4)

Άρα επειδή η ταχύτητα διάδοσης του ήχου  παραμένει αμετάβλητη, η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι:

f 

 

(5)


f 

      f s  f     f   s    s 

fs


28

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Επειδή      s προκύπτει ότι η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μικρότερη από αυτήν που εκπέμπει η πηγή ( f   f s ). Συνδέοντας τις δύο περιπτώσεις κίνησης της πηγής σε μία σχέση έχουμε:

  f     s

  f s 

Ακίνητος παρατηρητήςκινούμενη πηγή

Όπου το (-) ισχύει όταν η πηγή πλησιάζει προς τον παρατηρητή και το (+) όταν απομακρύνεται από αυτόν. Γενικός Τύπος Εάν κινούνται τόσο η πηγή όσο και ο παρατηρητής σε σχέση με το μέσον διάδοσης τότε η σχέση που δίνει την συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι:

   f       s

  f s 

Συμπέρασμα: Ο παρατηρητής ακούει ήχο με συχνότητα μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής όταν η μεταξύ τους απόσταση μειώνεται και με συχνότητα μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής όταν η απόστασή τους μεγαλώνει.

Σημειώσεις: Α) Ένας παρατηρητής που μετακινείται μαζί με την πηγή (π.χ. ο μηχανοδηγός ενός τραίνου) αντιλαμβάνεται συχνότητα f  ίση με τη συχνότητα εκπομπής f s της πηγής, δηλαδή: f  = f s . Β) Όταν ένας παρατηρητής και μία πηγή κινούνται σε παράλληλες τροχιές, προς την ίδια κατεύθυνση ή προς αντίθετες κατευθύνσεις, τότε τη στιγμή που διασταυρώνονται, η συχνότητα f  που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι ίση με τη συχνότητα f s της πηγής, δηλαδή: f  = f s .

Όρια των ακουστών ήχων Ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται μόνο ήχους που οι συχνότητές τους περιλαμβάνονται μεταξύ f min  16Hz και f max  20.000Hz . Οι ήχοι που έχουν συχνότητα μικρότερη από 16Hz ονομάζονται υπόηχοι ενώ οι ήχοι με συχνότητα μεγαλύτερη από 20.000Hz ονομάζονται υπέρηχοι.


29

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ Α) Η σχέση της χρονικής διάρκειας του ήχου που εκπέμπει μια πηγή με τη χρονική διάρκεια του ήχου που ακούει ο παρατηρητής Στο φαινόμενο Doppler δεν έχουμε μόνο αλλαγή στη συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής, αλλά και στη χρονική διάρκεια του ήχου που ακούει. Προφανώς, ο αριθμός των κυμάτων N s που εκπέμπει η πηγή είναι ίσος με τον αριθμό των κυμάτων N  που φθάνουν στον παρατηρητή. Η συχνότητα f s είναι ο αριθμός των κυμάτων που εκπέμπει η πηγή σε ορισμένο χρόνο, προς το χρόνο αυτό. Δηλαδή:

fs 

Ns  N s  f s  t s t s

(1)

Επίσης η συχνότητα f  είναι ο αριθμός των κυμάτων που φθάνουν στον παρατηρητή σε ορισμένο χρόνο, προς το χρόνο αυτό. Δηλαδή

f 

N  N   f   t  t 

(2)

Προφανώς N   N s , άρα λόγω των (1), (2)

f   t   f s  t s  t  

fs t s f

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι όταν ο παρατηρητής και η πηγή δε βρίσκονται σε σχετική κίνηση μεταξύ τους, τότε είναι f   f s  t   t s . Β) Το φαινόμενο Doppler και η μεταβαλλόμενη κίνηση Όταν η κίνηση της πηγής του ήχου ή του παρατηρητή δεν είναι ομαλή, αλλά μεταβαλλόμενη, τότε και η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δεν είναι σταθερή, αλλά μεταβάλλεται με το χρόνο. Β.α) Όταν ο παρατηρητής εκτελεί μεταβαλλόμενη κίνηση Στην περίπτωση αυτή, η στιγμιαία συχνότητα f  (t ) του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής τη χρονική στιγμή t βρίσκεται από τον αντίστοιχο τύπο του φαινομένου Doppler αρκεί ως ταχύτητα του παρατηρητή να θεωρήσουμε την ταχύτητά του   (t ) τη χρονική στιγμή t . Άρα θα έχουμε: f  ( t ) 

   (t ) fs 


30

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Β.β) Όταν η πηγή εκτελεί μεταβαλλόμενη κίνηση Στην περίπτωση αυτή, η στιγμιαία συχνότητα f  (t ) του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής τη χρονική στιγμή t βρίσκεται από τον αντίστοιχο τύπο του φαινομένου Doppler αρκεί ως ταχύτητα της πηγής να μην θεωρήσουμε την ταχύτητα  S (t ) τη χρονική στιγμή t , αλλά την ταχύτητα  S (t ) την προγενέστερη χρονική στιγμή t  που η πηγή εξέπεμψε τον ήχο, τον οποίο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής τη χρονική στιγμή t .

      S (t ) 

Άρα θα έχουμε: f  ( t )  

  fs  

Αν η κίνηση της πηγής είναι ομαλά μεταβαλλόμενη, τότε για τον υπολογισμό της ταχύτητας  S (t) , μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις της κινηματικής:

   0  t και x   0 t  1 t 2 2

Γ) Το φαινόμενο Doppler όταν η πηγή του ήχου ή ο παρατηρητής δεν κινούνται πάνω στην ευθεία που συνδέει την πηγή με τον παρατηρητή Στην περίπτωση αυτή η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής μεταβάλλεται με το χρόνο. 1. Όταν η πηγή κινείται   S( y) S

 S



  S ( x) 



Όταν η πηγή κινείται με ταχύτητα  s που δε βρίσκεται πάνω στην ευθεία πηγής-παρατηρητή, τότε η γωνία που  σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας s με την ευθεία

S που ενώνει την πηγή με τον παρατηρητή συνεχώς μεταβάλλεται, με αποτέλεσμα η συνιστώσα της   ταχύτητας  s , δηλαδή η  s ( x ) στη διεύθυνση της SA και αυτή συνεχώς να μεταβάλλεται.

Θέση παρατηρητή



Όπως βλέπουμε από το παραπάνω σχήμα το μέτρο της συνιστώσας  s ( x ) ισούται με:

 

 s( x )   s ( x )   S ( x ) S     s( x) 

Επομένως: f A( t )  

    f s  f (t )         s  

  f s 

f  (t )  στιγμιαία συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής τη χρονική στιγμή t


31

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Η συχνότητα μεταβάλλεται με το χρόνο διότι η γωνία θ και συνεπώς το  μεταβάλλεται με το χρόνο, δηλαδή κατά την κίνηση της πηγής ως προς τον παρατηρητή. 2. Όταν ο παρατηρητής κινείται





 ( y )



  

  ( x )

S

Θέση παρατηρητή

Όταν ο παρατηρητής κινείται με ταχύτητα   που δε βρίσκεται πάνω στην ευθεία πηγήςπαρατηρητή, τότε η γωνία που σχηματίζει το  διάνυσμα της ταχύτητας   με την ευθεία S που ενώνει την πηγή με τον παρατηρητή συνεχώς μεταβάλλεται, με αποτέλεσμα η συνιστώσα της   ταχύτητας   , δηλαδή η   ( x ) στη διεύθυνση της

S και αυτή συνεχώς να μεταβάλλεται. 

Όπως βλέπουμε από το παραπάνω σχήμα το μέτρο της συνιστώσας   ( x ) ισούται με:

 

 ( x)    ( x )    ( x ) 

Επομένως: f  ( t ) 

    fs 

f  (t )  στιγμιαία συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής τη χρονική στιγμή t Η συχνότητα μεταβάλλεται με το χρόνο διότι η γωνία θ και συνεπώς το  μεταβάλλεται με το χρόνο, δηλαδή κατά την κίνηση του παρατηρητή ως προς την πηγή. Δ) Ανάκλαση ηχητικών κυμάτων σε επίπεδη επιφάνεια Όταν ένα ηχητικό κύμα ανακλάται πάνω σε μια ακίνητη επίπεδη επιφάνεια, τότε η μελέτη του προβλήματος περιλαμβάνει δύο βήματα. 1) Η επιφάνεια θεωρείται ως ακίνητος παρατηρητής. Ο ήχος της πηγής φθάνει στην επιφάνεια με συχνότητα: α) στην περίπτωση που η πηγή πλησιάζει την επιφάνεια:

f1 

 f   s s

β) στην περίπτωση που η πηγή απομακρύνεται από την επιφάνεια:

f1 

 f  s s


32

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 2) H επιφάνεια ανακλά τον ήχο και ο ανακλώμενος ήχος έχει την ίδια συχνότητα f 1 με τον ήχο που φθάνει στην επιφάνεια (επειδή ο αριθμός των κυμάτων που προσπίπτουν στην επιφάνεια στη μονάδα του χρόνου ισούται με τον αριθμό των κυμάτων που ανακλώνται στον ίδιο χρόνο. Δηλαδή η επιφάνεια γίνεται ακίνητη πηγή του ήχου συχνότητας f 1 . Ε) Ηχητικά Διακροτήματα Θα εξετάσουμε κάτω από ποιες συνθήκες ο ήχος μίας πηγής και ανακλώμενος ήχος από επίπεδη επιφάνεια δημιουργούν διακροτήματα για έναν παρατηρητή. 1. Ο παρατηρητής Α είναι ακίνητος μεταξύ της πηγής και της επιφάνειας. Η πηγή κινείται ως προς τον παρατηρητή. Άρα ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο από την πηγή καθώς και ήχο από την ανάκλαση στην επιφάνεια.  S

Πηγή

Θέση παρατηρητή (Α)

Ακίνητη επιφάνεια

Ο ακίνητος παρατηρητής Α ακούει από την ακίνητη πηγή (επιφάνεια) ήχο συχνότητας f 1 και από την πηγή S που πλησιάζει προς αυτόν ήχο συχνότητας

f2 

 f  s s

Όπως προαναφέραμε η επιφάνεια ανακλά τον ήχο και ο ανακλώμενος ήχος έχει την ίδια συχνότητα με τον ήχο που φθάνει στην επιφάνεια. Άρα σε κάθε χρονική στιγμή ισχύει f1  f 2 . Επομένως οι δύο ήχοι δεν μπορούν να δώσουν διακροτήματα. 2. Ο παρατηρητής Α είναι ακίνητος πίσω από την πηγή. Η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή. Άρα ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο από την πηγή καθώς και ήχο από την ανάκλαση στην επιφάνεια.

 S

Θέση παρατηρητή (Α)

Ακίνητη επιφάνεια Πηγή

(υποθετικός παρατηρητής)

Εάν θεωρήσουμε την επιφάνεια σαν ακίνητο υποθετικό παρατηρητή τότε η συχνότητα που θα αντιλαμβάνεται ο ‘υποθετικός παρατηρητής’ θα είναι:

f 1 

 f   s s

,καθώς η πηγή πλησιάζει προς αυτόν.


33

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Όπως προαναφέραμε η επιφάνεια ανακλά τον ήχο και ο ανακλώμενος ήχος έχει την ίδια συχνότητα με τον ήχο που φθάνει στην επιφάνεια. Άρα ο πραγματικός παρατηρητής στη θέση Α ακούει ήχο από την ανάκλαση συχνότητας:

f 1  f 1 

 f   s s

Επίσης ο παρατηρητής ακούει ήχο απευθείας από την πηγή S που απομακρύνεται από αυτόν ήχο συχνότητας:

f2 

 f  s s

Οι δύο ήχοι μπορούν να δώσουν διακροτήματα με συχνότητα f  | f1  f 2 | , με την προϋπόθεση ότι:

f1  f 2 

  fs  f  1  1    s  S S   s   S

   S     S  2 S  0   S  0 , δηλαδή  S   . 3. Ο παρατηρητής Α κινείται μαζί με την πηγή (π.χ. μέσα σε περιπολικό με ανοιχτή σειρήνα) Ο κινούμενος μαζί με την πηγή παρατηρητής ακούει απευθείας από την πηγή, ως προς την οποία δεν κινείται, ήχο συχνότητας f s .  S

Η πηγή και ο παρατηρητής

Ακίνητη επιφάνεια

κινούνται μαζί.

(υποθετικός παρατηρητής και υποθετική πηγή ήχου)

Εάν θεωρήσουμε την επιφάνεια σαν ακίνητο υποθετικό παρατηρητή τότε η συχνότητα που θα αντιλαμβάνεται ο ‘υποθετικός παρατηρητής’ θα είναι:

f 1 

 f   s s

,καθώς η πηγή πλησιάζει προς αυτόν. Όπως προαναφέραμε η επιφάνεια ανακλά τον ήχο και ο ανακλώμενος ήχος έχει την ίδια συχνότητα με τον ήχο που φθάνει στην επιφάνεια. Άρα η ακίνητη επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί ‘υποθετική πηγή ήχου’ συχνότητας: f 1  f 1 

 f (1)   s s

Ο πραγματικός παρατηρητής μέσα στο όχημα πλησιάζει την υποθετική πηγή ήχου. Άρα η συχνότητα του ήχου που ακούει θα είναι:

f2 

 S f 1 (2) 


34


Αντικαθιστώντας τη σχέση (1) στη (2) προκύπτει:

f2 

 S   S  S fS  f2  f f1  f 2     S   S S 

Οι δύο ήχοι μπορούν να δώσουν διακροτήματα με συχνότητα f  | f 2  f s | , με την προϋπόθεση ότι:

f2  fS 

 S f s  f S   S  1   s   s

   S     S  2 S  0   S  0 , δηλαδή  S   . Παρατηρήσεις: Το φαινόμενο Doppler ισχύει για κάθε μορφής κύμανση ακόμη και για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως το φως. Το φαινόμενο Doppler δίνει αισθητά αποτελέσματα μόνο αν οι πηγές του φωτός ή οι παρατηρητές κινούνται με ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός. Παρατηρώντας το φως που εκπέμπει ένα άστρο βλέπουμε ότι τα μήκη κύματος που εκπέμπονται από τα στοιχεία του άστρου είναι διαφοροποιημένα σε σχέση με τα μήκη κύματος που εκπέμπουν τα ίδια στοιχεία πάνω στη Γη. Από τη διαφοροποίηση αυτή, που οφείλεται στο φαινόμενο Doppler, βγάζουμε συμπεράσματα για την ταχύτητα με την οποία κινείται το άστρο σε σχέση με τη Γη. Η αστυνομία είναι εφοδιασμένη με συσκευές ραντάρ που ελέγχουν τις ταχύτητες των οχημάτων. Το ραντάρ, ακίνητο ως προς το δρόμο, εκπέμπει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα το οποίο ανακλάται πάνω στο διερχόμενο όχημα. Το κύμα επιστρέφει στο ραντάρ με συχνότητα ελαφρά διαφορετική μια και η πηγή του (το όχημα) κινείται σε σχέση με τον παρατηρητή (ραντάρ). Από τη διαφορά της συχνότητας ανάμεσα στο κύμα που εκπέμπεται και αυτό που επιστρέφει η συσκευή υπολογίζει την ταχύτητα του οχήματος.


35

ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 Κρούσεις και Σχετικές Κινήσεις

Recommend Documents