หน่วยการเรียนรู้ที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ

หนวยการเรียนรูที่ 5

ความเทากันทุกประการ

มาตรฐานการเรียนรู มาตรฐาน ค 3.2 มาตรฐาน ค 6.1 มาตรฐาน ค 6.2 มาตรฐาน ค 6.3 มาตรฐาน ค 6.4 มาตรฐาน ค 6.5

: : : : : :

ผลการเรียนรูท ี่คาดหวัง

1. ระบุ ด า นและมุ ม คู ที่ มี ข นาดเท า กั น ของรู ป ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 สามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการได 2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ ขอ 1 กันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 3. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ กันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ ขอ 1

4. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ กันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ 5. ใชสมบัติของความเทากันทุกประการของรูป สามเหลี่ยมในการใหเหตุผลและแกปญหาได

สาระการเรียนรู 5.1 ความเทากันทุกประการ (3 คาบ) 5.2 ความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยม สองรูปที่เทากันทุกประการ (8 คาบ) 5.3 การนําไปใช (3 คาบ) พรอมหรือยัง ? ถาพรอมแลว ก็เริม่ เรียนแลวนะครับ 137

138

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2

MATH

5.1 ความเทากันทุกประการ

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิตได 2. ตรวจสอบวารูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการได 3. บอกความเท า กั น ทุ ก ประการของส ว นของเส น ตรงและความเท า กั น ทุกประการของมุมได 4. บอกสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมได 5. ระบุ ด า นคู ที่ ย าวเท า กั น และมุ ม คู ที่ มี ข นาดเท า กั น ของรู ป สามเหลี่ ย ม สองรูปที่เทากันทุกประการได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. 2. 3. 4. 5. 6.

การคิดคํานวณ การแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ การเชื่อมโยง ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน ความคิดริเริ่มสรางสรรค 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 5 ความเทากันทุกประการ

139

ความเทากันทุกประการ ชวยผมทํากิจกรรมหนอย ใหนักเรียนใชกระดาษลอกลายลอกรูปตอไปนี้ แลวเคลื่อนที่ไปซอนทับเพื่อหาวารูปใดที่ทับ กันไดสนิท 3

2

1

8 12

4

11

6

5

10

9

7

20

18

13

14

17

16

15 19

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

140

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 จากกิจกรรมขางตน สามารถสรุปเปนนิยามดังนี้

บทนิยาม

รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่ง ไดสนิท

พิจารณารูปตอไปนี้ A

B

เมื่อเคลื่อนที่รูปเรขาคณิต A ไปทับกับรูปเรขาคณิต B ไดสนิท จะไดวารูปเรขาคณิต A และ รูปเรขาคณิต B เทากันทุกประการ จะใชสัญลักษณ ≅ แสดงความเทากันทุกประการ ดังนั้น รูป A เทากันทุกประการกับรูป B จะเขียนวา รูป A ≅ รูป B อานวา รูป A เทากันทุกประการกับรูป B หรือ รูป A และรูป B เทากันทุกประการ

ความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง เมื่อกําหนด AB และ CD ที่ AB = CD ดังรูป A

B

C

D

ถาใชกระดาษลอกลาย ลอก AB แลวนําไปทับ CD ใหจดุ A ทับจุด C เนื่องจาก AB = CD จะไดจุด B ทับจุด D ดังนั้น AB และ CD ทับกันสนิท นั่นคือ ถา AB = CD แลว AB ≅ CD ในทางกลับกัน ถากําหนด AB ≅ CD ดังรูป A

B

C

D

จากบทนิยามของความเทากันทุกประการจะสามารถเคลื่อนที่ AB ทับ CD ไดสนิท จะได AB และ CD ยาวเทากัน นั่นคือ ถา AB ≅ CD แลว AB = CD สรุป ถา AB ≅ CD แลว AB = CD ถา AB = CD แลว AB ≅ CD ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


141

โดยทั่วไปความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง เปนไปตามสมบัติดังนี้ สวนของเสนตรงสองเสนเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ สวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นยาวเทากัน

ความเทากันทุกประการของมุม ˆ และ CED ˆ m(CED) ˆ ดังรูป ˆ ที่ m(AOB)= กําหนด AOB A O

C B

E

D

ˆ แลวนําไปทับ CED ˆ ใหจดุ O ทับจุด E ถาใชกระดาษลอกลายลอก AOB JJJG JJJG JJG JJG ˆ m(CED) ˆ จะได OB OA ทับ EC เนื่องจาก m(AOB)= ทับ ED ˆ และ CED ˆ ทับกันสนิท ดังนั้น AOB ˆ ≅ CED ˆ m(CED) ˆ ˆ แลว AOB นั่นคือ ถา m(AOB)= ˆ ≅ CED ˆ ดังรูป ในทางกลับกัน ถา AOB A O

C B

E

D

ˆ ทับ CED ˆ ไดสนิท จากบทนิยามของความเทากันทุกประการจะสามารถเคลื่อนที่ AOB ˆ m(CED) ˆ จะได m(AOB)= ˆ ≅ CED ˆ m(CED) ˆ ˆ แลว m(AOB)= นั้นคือ ถา AOB ˆ ≅ CED ˆ m(CED) ˆ และ ˆ แลว m(AOB)= สรุป ถา AOB ˆ ≅ CED ˆ m(CED) ˆ ˆ แลว AOB ถา m(AOB)= โดยทั่วไปความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง เปนไปตามสมบัติดังนี้ มุมสองมุมเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ มุมทัง้ สองมุมนั้นมีขนาดเทากัน ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

142


ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิตที่กลาวมานั้น เปนไปตามสมบัติของความเทากัน ทุกประการดังนี้ รู ป เรขาคณิ ต สองรู ป เท า กั น ทุ ก ประการ ก็ ต อ เมื่ อ รู ป เรขาคณิ ต ทั้ ง สองรู ป นั้ น มี รู ป ร า ง เหมือนกันและมีขนาดเทากัน นอกจากนี้ยังมีสมบัติอื่น ๆ ของความเทากันทุกประการ ซึ่งสามารถสรุปเปนสมบัติความ เทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต A, B และ C ใด ๆ ดังนี้ 1. สมบัติสะทอน : รูป A ≅ รูป A 2. สมบัติสมมาตร : ถารูป A ≅ รูป B แลวรูป B ≅ รูป A 3. สมบัติถา ยทอด : ถารูป A ≅ รูป B และรูป B ≅ รูป C แลวรูป A ≅ รูป C ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา

วงกลมสองวงมีรัศมียาวเทากัน จะเทากันทุกประการหรือไมจงอธิบาย กําหนดวงกลมสองวงที่มีจุด ………… และจุด ………… เปนจุดศูนยกลางและมี รัศมียาวเทากันเปน ………… หนวย ดังรูป

เนื่องจากวงกลม ………… และวงกลม ………… มีรูปรางเหมือนกันและมีรัศมียาว เทากันเปน ………… หนวย ดังนั้นวงกลม ……… และวงกลม ……… จึงมีรูปรางเหมือนกันและมีขนาดเทากัน นั่นคือ ………………………………………………………………



143

รู ป สามเหลี่ ย มหน า จั่ว สองรู ปมี ค วามยาวรอบรูป เท ากั น จะเท ากั น ทุ ก ประการ หรือไม จงอธิบาย กําหนด …………… และ …………… เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ใหแตละคูมีความ ยาวของดานตามที่กําหนดไวดังรูป

ตัวอยางที่ 2 วิธีทํา

จะเห็นวารูปสามเหลี่ยมหนาจั่วทั้งสองรูป มีความยาวรอบรูป ……… หนวย เทากัน แตมีรูปรางตางกัน ดังนั้น……………………………………………………………………………… นั่นคือ……………………………………………………………………………… กิจกรรมที่ 5.1 : ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมาย และนําเสนอ 1. จงใชกระดาษลอกลายลอกรูปแลวนําไปซอนกันเพื่อหาวารูปใดบางเทากันทุกประการ และใช สัญลักษณ ≅ ในการเขียนคําตอบ A

B

B

D

F

E I

H

J

G K

M L

N O

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

144


2. ใหนักเรียนพิจารณาความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง โดยทํากิจกรรมและตอบคําถาม ตอไปนี้ 1) สรางสวนของเสนตรงสองเสนใหยาวเทากัน

2) ใชกระดาษลอกลายลอกสวนของเสนตรงเสนหนึ่งแลวนําไปซอนกับสวนของเสนตรงอีก เสนหนึ่งโดยใหจุดปลายจุดหนึ่งทับกัน ทับกันสนิทหรือไม ตอบ………………………………………………………………………………………… 3) ใหนักเรียนทดลองทําเชนเดียวกับขอ 1 และ ขอ 2 กับสวนของเสนตรงอีกสองคูผลที่ไดเปน อยางไร

ตอบ………………………………………………………………………………………… 4) นักเรียนคิดวา ถามีสวนของเสนตรงสองเสนยาวเทากัน สวนของเสนตรงทั้งสองเสนนี้จะยาว เทากันทุกประการหรือไม ตอบ………………………………………………………………………………………… 5) นักเรียนคิดวา ถามีสวนของเสนตรงทั้งสองเสนที่เทากันทุกประการ สวนของเสนตรงทั้งสอง จะยาวเทากัน หรือไม ตอบ………………………………………………………………………………………… 2. ใหนักเรียนพิจารณาความเทากันทุกประการของมุม โดยทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ กําหนด BAC มีขนาด 60 องศา และ EDF มีขนาด 60 องศาดังรูป



145 JJJG

1) ใชกระดาษลอกลายลอก BAC แลวนําไปซอนทับกับ EDF ใหจุด A ทับจุด D และ AC ทับ JJJG JJG JJJG DF สังเกตวา AB ทับ DE ไดสนิทหรือไม ตอบ………………………………………………………………………………………… 2) จะสรุปวา BAC ทับ EDF สนิทไดหรือไมเพราะเหตุใด ตอบ………………………………………………………………………………………… 3) นักเรียนคิดวา ถามุมสองมุมมีขนาดเทากัน มุมทั้งสองนี้ จะเทากันทุกประการหรือไม ตอบ………………………………………………………………………………………… 4) นักเรียนคิดวา ถามุมสองมุมเทากันทุกประการ มุมทั้งสองนี้จะมีขนาดเทากันหรือไม ตอบ…………………………………………………………………………………………

ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ทบทวนความรูพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยม 1. รูปสามเหลี่ยม คือ รูปเหลีย่ มที่มีดาน ………… ดาน

2. ชนิดของรูปสามเหลี่ยมแบงตามลักษณะของมุม

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

รูปสามเหลี่ยมมุมปาน

3. ชนิดของรูปสามเหลี่ยมแบงตามลักษณะของดาน

รูปสามเหลี่ยมดานเทา

รูปสามเหลี่ยมหนาจัว่

รูปสามเหลี่ยมดานไมเทา


146

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม DEF ซึ่งเทากันทุกประการ ดังรูปตอไปนี้ A D

B

C

F

E

เมื่อตรวจสอบความยาวของดานคูที่สมนัยกัน จะไดวา ตอบ………………………………………………………………………………………… เมื่อตรวจสอบของมุมที่คูที่สมนัยกัน จะไดวา ตอบ………………………………………………………………………………………… สรุปเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สมนัยกันดังนี้ ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ แลวดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่สมนัยกันของ รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม DEF มีดานคูที่สมนัยกันยาวเทากันคือ AB = DE, BC = EF และ CA = FD ˆ Fˆ ดังรูป ˆ B= ˆ E,ˆ C= และมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากันคือ Aˆ = D, A

B

C

เมื่อตรวจสอบโดยการเคลื่อนที่ +ABC ใหทับกับ +DEF จะไดวารูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูป ทับกันไดสนิท นั่นคือ ……………………………………… สรุปเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สมนัยกันดังนี้ ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่สมนัยกัน มีขนาดเทากันเปนคู ๆ แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ



147

สรุป สมบัติความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ดังนี้ รูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่สมนัยกัน ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ รูปสามเหลี่ยม ABC เทากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม DEF ดังรูป A D

ตัวอยางที่ 3

B

C

F

E

จากรูปมุมคูที่สมนัยกันและดานคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากันดังนี้ AB = DF Aˆ = Dˆ …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… เขียนแสดงความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไดดังนี้

+ABC ≅+DEF กิจกรรมที่ 5.2 : ทักษะการใหเหตุผล สื่อสาร สื่อความหมาย และการเชื่อมโยง 1. รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแตละขอตอไปนี้เทากันทุกประการ จงเขียนดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่ สมนัยกัน Z A 1) …………………………………… …………………………………… B X C Y …………………………………… Q 2) …………………………………… P R …………………………………… …………………………………… S


148


3)

P

M

4)

…………………………………… …………………………………… ……………………………………

N

O

X O

B

A Y

…………………………………… …………………………………… ……………………………………

2. ในแตละขอตอไปนี้เขียนแสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ โดยเขียนตัวอักษรเรียง ตามลําดับของมุมคูที่สมนัยกันและดานคูที่สมนัยกัน จงเขียนดานคูที่ยาวเทากันและมุมคูที่มีขนาด เทากัน พรอมทั้งวาดรูปดวย 1) +ABC ≅+EDF …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 2) +TOP ≅+GUN …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 3) +BIG ≅+BOY …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 4) +CAT ≅+RAT …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………



149

5.2 ความสัมพันธของรูปสามเหลีย่ ม สองรูปทีเท ่ เทากันทุกประการ

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการได 1.1 บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ความสัมพันธกันแบบ ดาน-มุม-ดาน เทากันทุกประการ 1.2 บอกรู ป สามเหลี่ ย มสองรู ป ที่ มี ค วามสั ม พั น ธ กั น แบบ มุ ม -ด า น-มุ ม เทากันทุกประการ 1.3 บอกรูป สามเหลี่ ย มสองรูป ที่ มีค วามสั ม พัน ธ กัน แบบ ด าน-ด าน-ด า น เทากันทุกประการ 2. ใหเหตุผลแสดงความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

150


รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน ถา รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (ด.ม.ด.) กลาวคือ มี ดานยาวเทากันสองคู และมุมในระหวางดานคูที่มียาวเทากันมีขนาดเทากัน แลวรูปสามเหลียมสอง รูปนั้นเทากันทุกประการ นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้ C

B จากรูป

E

AB = DE (ดานคูที่ยาวเทากันคูที่ 1) ˆ (มุมในระหวางดานคูที่มียาวเทากันมีขนาดเทากัน) ˆ = DEF ABC BC = EF (ดานคูที่ยาวเทากันคูที่ 2) Δ ABC ≅ Δ DEF เพราะมีความสัมพันธกันแบบดาน – มุม – ดาน

ดังนั้น ตัวอยางที่ 1

กําหนดให AD = CB และ DAC = BCA จงหาวารูปสามเหลี่ยม ADC และรูป สามเหลี่ยม CBA เทากันทุกประการแบบดาน – มุม – ดานหรือไม

วิธีทํา

จากรูป

ดังนั้น

AD = CB ˆ = BCA ˆ DAC AC = AC Δ ADC ≅ Δ CBA

(ดาน) (มุม) (ดาน)


หนวยการเรียนรูที่ 5 ความเทากันทุกประการ ตัวอยางที่ 2

151

ˆ = DEF ˆ แลว Δ ABC ≅ Δ DEF ถารูปตอไปนี้มี AB = DE, AC = DF และ ABC หรือไม เพราะเหตุใด

A ไมเทากัน เพราะมุมที่มีขนาดเทากันไมใชมุมในระหวางดานที่ยาวเทากัน ตัวอยางที่ 3

กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ R เปนจุดกึ่งกลางของ AB แลวรูป สามเหลี่ยม ADR และรูปสามเหลี่ยม BCR เทากันทุกประการหรือไม เพราะเหตุใด

ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ R เปนจุดกึ่งกลางของ AB ΔADR ≅ ΔBCR

กําหนดให ตองการพิสูจนวา พิสูจน 1. 2. 3. 4.

ขอความที่พิสจู น AD = BC DAR = CBR = 90๐ AR = BR ΔADR ≅ ΔBCR

เหตุผล 1. ดานของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยอมยาวเทากัน (ดาน) 2. มุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยอมมีขนาดเทากัน (มุม) 3. กําหนดให R เปนจุดกึ่งกลางของ AB (ดาน) 4. จากขอ 1, 2 และ 3 (ด.ม.ด.)


152 ตัวอยางที่ 4

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 กําหนดให AD = CB และ DAC = BCA จงแสดงวารูปสามเหลี่ยม ADC และ รูปสามเหลี่ยม CBA เทากันทุกประการ

B ………………………………………………… …………………………………………………


ขอความที่พิสจู น AD = BC …………………… …………………… ΔADC ≅ ΔCBA

เหตุผล 1. กําหนดให 2. …………………………………………. 3. …………………………………………. 4. จากขอ 1, 2 และ 3 (ด.ม.ด.)

กิจกรรมที่ 5.3 : ทักษะการใหเหตุผล การสื่อสาร สื่อความหมาย และเชื่อมโยง 1. กําหนดให AB = DB และ ABC = DBC จงพิสูจนวา AC = DC ………………………………………………… …………………………………………………

กําหนดให ตองการพิสูจนวา พิสูจน 1. 2. 3. 4. 5.

ขอความที่พิสจู น AB = DB …………………… BC = BC …………………… ……………………

1. 2. 3. 4. 5.

เหตุผล กําหนดให (ดาน) …………………………………………. ดานรวม (ดาน) …………………………………………. จากขอ 4 ΔABC ≅ ΔDBC



153

A

2.

กําหนดให ABC = ABD และ BC = BD จงพิสูจนวา ΔABC ≅ ΔABD

………………………………………………… …………………………………………………


ขอความที่พิสจู น ……………………… ……………………… ……………………… ………………………

1. 2. 3. 4.

เหตุผล กําหนดให (ดาน) กําหนดให (มุม) ……………………………………………… ………………………………………………

3. ˆ ˆ = BAD กําหนดให BC = AD และ ABC จงพิสูจนวา AC = BD

………………………………………………… …………………………………………………


ขอความที่พิสจู น BC = AD ……………………… ……………………… ……………………… ………………………

1. 2. 3. 4. 5.

เหตุผล กําหนดให (ดาน) ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………


154


4. กําหนดใหสี่เหลี่ยมจัตุรัส KLMN มี NL เปน เสนทแยงมุมจงพิสูจนวา ΔNKL ≅ ΔLMN

กําหนดให ตองการพิสูจนวา พิสูจน

………………………………………………… ………………………………………………… ขอความที่พิสจู น 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ………………………

1. 2. 3. 4.

เหตุผล ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………

5. กําหนดใหสี่เหลี่ยม ABCD มี BD และ AC แบงครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด P ˆ = CDP ˆ จงพิสูจนวา AB = CD และ ABP กําหนดให ตองการพิสูจนวา พิสูจน

………………………………………………… ………………………………………………… ขอความที่พิสจู น 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ……………………… 6. ………………………

1. 2. 3. 4. 5. 6.

เหตุผล ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………



155

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม ถา รูปสามเหลี่ยมสองรูปใดมีความสัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (ม.ด.ม.) กลาวคือ มี มุมที่มีขนาดเทากันสองคู และดานซึ่งเปนแขนรวมของมุมทั้งสองยาวเทากัน แลวรูปสามเหลี่ยม สองรูปนั้นเทากันทุกประการ นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้ C

D จากรูป


วิธีทํา

ˆ (มุม) ˆ = DEF ABC AB = DE (ดาน) ˆ = FDE ˆ (มุม) CAB Δ ABC ≅ Δ DEF เพราะมีความสัมพันธกันแบบมุม – ดาน – มุม ˆ แลวรูปสามเหลี่ยม ˆ , MP = NQ และ MPO ˆ = ONQ ˆ = NQO กําหนดให OMP OMP และรูปสามเหลี่ยม ONQ เทากันทุกประการแบบ มุม – ดาน – มุม หรือไม

ˆ (มุม) ˆ = ONQ OMP ……………………………………………… ……………………………………………… ดังนั้น ………………………………………………………………………………………

จากรูป


156


1.

ˆ = BAC ˆ และ ABE ˆ = ABC ˆ กําหนดให BAE แลว ΔABE ≅ ΔABC หรือไม จงใหเหตุผล กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา …………………………………………………

C พิสูจน 1. 2. 3. 4.

ขอความที่พิสจู น ˆ = BAC ˆ BAE …………………… …………………… ……………………

เหตุผล 1. กําหนดให (มุม) 2. …………………………………………. 3. …………………………………………. 4. ………………………………………….

2.

ˆ = CBO ˆ และ AO = BO กําหนดให DAO จงอธิบายวาเพราะเหตุใด DA = CB

O


………………………………………………… ………………………………………………… ขอความที่พิสจู น 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ………………………

เหตุผล 1. 2. 3. 4.

กําหนดให กําหนดให ……………………………………………… ………………………………………………



157

3.

ˆ และ AB = AC ˆ = ACD กําหนดให ABE จงอธิบายวา เพราะเหตุใดรูปสามเหลี่ยม ABE และรูปสามเหลี่ยม ACD จึงเทากันทุกประการ

………………………………………………… …………………………………………………


ขอความที่พิสจู น ˆ ˆ = ACD ABE ……………………… ……………………… ………………………

1. 2. 3. 4.

เหตุผล กําหนดให (มุม) ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………

4. กําหนดใหรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD และ ˆ = BAE ˆ จงพิสูจนวา AF = AE DAF

………………………………………………… …………………………………………………


ขอความที่พิสจู น ……………………… ……………………… ……………………… ……………………… ………………………

1. 2. 3. 4. 5.

เหตุผล ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………


158


รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน ถา รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (ด.ด.ด.) กลาวคือ มี ดานยาวเทากันสามคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้ C C

D จากรูป


AB = DE (ดาน) BC = EF (ดาน) CA = FD (ดาน) Δ ABC ≅ Δ DEF เพราะมีความสัมพันธกันแบบดาน – ดาน – ดาน กําหนดให MP = MN และ PQ = NQ จงหาวารูปสามเหลี่ยม PMQ และ รูปสามเหลี่ยม NMQ เทากันทุกประการแบบ ดาน-ดาน-ดาน หรือไม

Q วิธีทํา

จากรูป

MP = MN (ดาน) ……………………………………………… ……………………………………………… ดังนั้น ………………………………………………………………………………………



159

กําหนดให USEA และ UTEA มี SE = TE และ SA = TA จงพิสูจนวา USEA ≅UTEA ˆ ˆ = TEA และ SEA กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา …………………………………………………

1.

A

พิสูจน 1. 2. 3. 4. 5.

ขอความที่พิสจู น SE = TE …………………… …………………… …………………… ……………………

1. 2. 3. 4. 5.

เหตุผล กําหนดให (ดาน) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ………………………………………….

2. กําหนดให AC = BD และ BC = AD ˆ = DBA ˆ จงพิสูจนวา ACB


………………………………………………… ………………………………………………… ขอความที่พิสจู น 1. AC = BD 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ………………………

เหตุผล 1. 2. 3. 4.

กําหนดให กําหนดให ……………………………………………… ………………………………………………


160

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 3.


กําหนดให UABC และ UCDA มี AB = CD ˆ = CDA ˆ และ BC = DA จงพิสูจนวา ABC ˆ = CAD ˆ และ ACB ………………………………………………… ………………………………………………… ขอความที่พิสจู น 1. AB = CD 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ………………………

1. 2. 3. 4. 5.

เหตุผล กําหนดให (ดาน) ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………

4. กําหนดให AT = AN, CT = MN และ AC = AM ˆ = MAN ˆ จงพิสูจนวา CAT


………………………………………………… ………………………………………………… ขอความที่พิสจู น 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ………………………

เหตุผล 1. ……………………………………………… 2. ……………………………………………… 3. ……………………………………………… 4. ……………………………………………… 5. ………………………………………………



161

5.3 การนําไปใช

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วได 2. นําสมบัติความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มี ความสั ม พั น ธ กั น แบบใดแบบหนึ่ ง คื อ ด า น – มุ ม – ด า น, มุม – ดาน – มุม และ ดาน – ดาน – ดาน ไปใชในการอางอิงการ พิสูจนและแกปญหาได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

162


การนําไปใช รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีบทนิยามดังนี้ บทนิยาม

รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีดานสองดานยาวเทากัน

นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้ จากรูป UABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี …………… เรียก BC วา ……… เรียก ˆ วา ………………… ˆ และ ACB ABC ˆ วา ………………… ที่มี AB เรียก BAC และ AC เปนดานประกอบมุมยอด …………… กิจกรรมที่ 5.6 : ทักษะการใหเหตุผล การสื่อสาร สื่อความหมาย และเชื่อมโยง 1. กําหนดให UABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี AB = AC และ AD เปนเสนแบงครึ่งมุมยอด BAC ที่ลากจากจุด A พบฐาน BC ที่จุด D ดังรูป ใหนกั เรียนตอบคําถามตอไปนี้ 1) UABC ≅UACD หรือไม เพราะเหตุใด …………………………………………………………… ˆ หรือไม เพราะเหตุใด ˆ = ACD 2) ABD …………………………………………………………… 3) BD = CD หรือไม เพราะเหตุใด ……………………………………………………………………………………………… ˆ = ADC ˆ หรือไม เพราะเหตุใด 4) ADB ……………………………………………………………………………………………… ˆ + ADC ˆ = BDC ˆ หรือไม 5) ADB ……………………………………………………………………………………………… ˆ กับขนาดของ ADC ˆ เทากับกี่องศา เพราะเหตุใด 6) ผลบวกของขนาดของ ADB ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


163

ˆ มีขนาดกี่องศา เพราะเหตุใด 7) ADB ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 8) AD ตั้งฉากกับ BC หรือไม เพราะเหตุใด ……………………………………………………………………………………………… 2. กําหนดให UABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี AB = AC, AD แบงครึ่ง BC ที่จุด D ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ 1) UABD ≅UACD หรือไม เพราะเหตุใด …………………………………………………………… ˆ หรือไม เพราะเหตุใด ˆ = CAD 2) BAD …………………………………………………………… 3) AD ตั้งฉากกับ BC หรือไม เพราะเหตุใด …………………………………………………………… ……………………………………………………………

ขอผมสรุปหนอยนะครับ จากิจกรรมขางตนเปนไปตาม สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และสามารถนําไปอางอิงได ดังนี้ 1) เสนแบงครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จะแบงรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วออกเปน รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ 2) มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน 3) เสนแบงครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จะแบงครึ่งฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 4) เสนแบงครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จะตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 5) เสนที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมาแบงครึ่งฐาน จะแบงครึ่งมุมยอดของ รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 6) เสนที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมาแบงครึ่งฐาน จะตั้งฉากกับฐานของ รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

164


จากรูป กําหนดให AC ตัดกับ DB ที่จุด O ทําให AO = DO และ CO = BO จงพิสูจนวา ˆ ˆ = DCO 1) ABO ˆ ˆ = DCB 2) ABC AC ตัดกับ DB ที่จุด O ทําให AO = DO กําหนดให และ CO = BO ˆ ตองการพิสูจนวา 1) ABˆ O = DCO ˆ 2) ABˆ C = DCB พิสูจน พิจารณาUABO และ UDCO AO = DO ………………………………………… ……………………… ( ถ า เ ส น ต ร ง ส อ ง เ ส น ตั ด กั น แ ล ว มุมตรงขามมีขนาดเทากัน) BO = CO ………………………………………… จะได ……………………… (ด.ม.ด.) ˆ ˆ = DCO ดังนั้น ABO ………………………………………… ………………………………………… เนื่องจาก BO = CO จะได UBOC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ………………………………………… ˆ ˆ = OCB ดังนั้น OBC ………………………………………… จะได …………………………… (สมบัติของการเทากัน) ˆ ˆ = DCB นั่นคือ ABC ตัวอยางที่ 1

ตัวอยางที่ 2

ˆ และพิสูจนวาผลการสรางเปนจริง จงสรางเสนแบงครึ่งมุมของ ABC

B กําหนดให …………………………………...…………………………………... ตองการสราง …………………………………...…………………………………... ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


165 JJJG

JJG

1. ใชจุด B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด BA และ BC ที่ จุด M และจุด N ตามลําดับ 2. ใชจุด M และจุด N เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทากัน เขียนสวนโคงใหตัดกัน ˆ ที่จุด O ภายใน ABC JJJG JJJG ˆ 3. ลาก BO จะได BO เปนเสนแบงครึ่งมุมของ ABC JJJG ตองการพิสูจนวา ………………………… (จากการสรางตองใหเหตุผลวา BO เปนเสน ˆ ซึ่งตองพิสูจนใหได แบงครึ่งมุมของ ABC ˆ = CBO ˆ ) กอนวา ABO วิธีสราง

พิสูจน

ลาก MO และ NO พิจารณา UBOM และ UBON 1. ………………………… (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน) 2. ………………………… (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน) JJJG 3. ………………………… ( BO เปนดานรวม) 4. ………………………… (ด.ด.ด.) 5. ………………………… (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) JJJG ˆ นั่นคือ BO เปนเสนแบงครึ่งมุมของ ABC


166


กิจกรรมที่ 5.7 : ทักษะการใหเหตุผล การนําเสนอ การเชื่อมโยง และความคิดสรางสรรค 1. รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีความยาวรอบรูป 36 เซนติเมตร มีดานหนึ่งยาว 10 เซนติเมตร จงหาความ ยาวของดานที่เหลือ (แนะ ใหวาดรูปประกอบ)

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 2. มุมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด 52 องศา จงหาขนาดของมุมที่เหลือ (แนะ ใหวาดรูป ประกอบ)

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3. UABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา จงพิสูจนวา มุมภายในแตละมุมของรูปสามเหลี่ยมดานเทามี ขนาดเทากัน …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


167

4. จากรูป กําหนดให AC = AD มุมแตละคูตอไปนี้มีขนาดเทากันหรือไม เพราะเหตุใด ˆ และ GDE ˆ 1) FCB …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… G …………………………………………………………… …………………………………………………………… ˆ และ EDA ˆ 2) BCA …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 5. D

ˆ = CBD ˆ และ จากรูป กําหนดให ABD ˆ = CDB ˆ = 90๐ ADB จงพิสูจนวา UABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………


168


ชวนคิดคณิตศาสตร ทําอยางไรดี?? ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู 1. ปญหานี้ดูงาย ๆ แตตองใชจินตนาการสักเล็กนอย จากรูปที่กําหนดให จงใชสวนของ เสนตรงสองเสนแบงรูปดานลางนี้ออกเปน 3 รูปที่เทากันทุกประการ

2. ปญหานี้ก็เชนกันดูเหมือนจะงาย ๆ แตตองใชจินตนาการสักเล็กนอย จากรูปที่กําหนดให จงแบงออกเปน 4 รูปที่เทากันทุกประการ โดยการลากเสนตรงเพียง 4 เสนเทานั้น


หน่วยการเรียนรู้ที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ

Recommend Documents