หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เลขยกกำลัง

หนวยการเรียนรูที่ 3

เลขยกกําลัง

มาตรฐานการเรียนรู มาตรฐาน ค 1.1 มาตรฐาน ค 1.2 มาตรฐาน ค 6.1 มาตรฐาน ค 6.2 มาตรฐาน ค 6.3 มาตรฐาน ค 6.4 มาตรฐาน ค 6.5

: : : : : : :

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. เขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปน จํานวนเต็มแทนจํานวนที่กําหนดใหได 2. คูณและหารของเลขยกกําลังที่มีฐาน เดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มได 3. ใชเลขยกกําลังในการเขียนแสดงจํานวน ในรูปของสัญกรณวิทยาศาสตร (Scientific notation) ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของ คําตอบที่ได

ขอ 4 ขอ 1, 3 และ 4 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1

สาระการเรียนรู 3.1 ความหมายของเลขยกกําลัง (3 ชั่วโมง) 3.2 การคูณเลขยกกําลัง (3 ชั่วโมง) 3.3 การหารเลขยกกําลัง (3 ชั่วโมง) 3.4 การนําเลขยกกําลังไปใช (3 ชั่วโมง)

พรอมหรือยัง ? ถาพรอมแลว ก็เริม่ เรียนแลวนะครับ 91

92

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1

MATH Series

3.1 ความหมายของเลขยกกําลัง

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายของเลขยกกําลังได 2. เขียนจํานวนที่กําหนดใหในรูปของเลขยกกําลังได 3. เขียนจํานวนแทนเลขยกกําลังที่กําหนดใหได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การใชความหมายของเลขยกกําลังในการเขียนเลขยกกําลังใหอยูใน รู ป ที่ กํ า หนดให แ ละเขี ย นผลคู ณ ที่ กํ า หนดให ใ ห อ ยู ใ นรู ป ของ เลขยกกําลังไดถูกตอง 2. การแสดงลําดับขั้นตอนในการคํานวณหาคาของเลขยกกําลังได ถูกตอง 3. การคิดคํานวณ 4. การแกปญหาและการใหเหตุผล 5. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 6. การเชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ ได 7. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 3 เลขยกกําลัง

93

ความหมายของเลขยกกําลัง โดยปกติแลวในชีวิตประจําวันของเรา ใชตัวเลขเขียนเปนสัญลักษณแทนจํานวนในการเขียน จํานวนที่มีคามาก เชน ประชากรไทยโดยประมาณมีจํานวนหกสิบหาลานคน ซึ่งเขียนเปนสัญลักษณ คือ 65,000,000 คน ซึ่งเปนตัวเลขที่เขียนไดลําบากและไมงายในการนําไปใชคิดคํานวณ การใช สัญลักษณที่ใชแทนการเขียนจํานวนที่แสดงคามาก ๆ เพื่อสะดวกในการเขียน ในทางคณิตศาสตร จึง มีสัญลักษณที่เขียนแทนจํานวนสิ่งของตาง ๆ ที่มีคามาก ๆ ไดในรูปของเลขยกกําลัง (Power) เชน 10,000,000,000 = 10× 10× 10× 10× 10× 10× 10× 10× 10× 10 = 1010 เรียก 1010 วาเลขยกกําลัง อานวา สิบยกกําลังสิบ 2048 = 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 = 211 เรียก 211 วา เลขยกกําลัง ที่มี 2 เรียก 211 วาเลขยกกําลัง อานวา สองยกกําลังสิบเอ็ด เปน ฐาน และ 11 เปนเลขชี้กําลัง

กิจกรรมที่ 3.1 : ทักษะการใหเหตุผล สื่อความหมาย และการนําเสนอ อุปกรณ ผูเลน วิธีเลน

ผูชนะ

ลูกเตา 2 ลูก และเครื่องคิดเลข 1 เครื่อง 3 คน ผูเลนแตละคน ทําตามขั้นตอนดังนี้ 1. โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน โดยไมมอง 2. เขียนรูปของเลขยกกําลังลงในตารางที่กําหนดให โดยมีขอตกลงกันเองวาลูกเตา ลูกใดแสดงจํานวนของฐาน และลูกเตาลูกใดแสดงจํานวนของเลขชี้กําลัง 3. กดเครื่องคิดเลขเพื่อแสดงจํานวนที่เปนคําตอบแลวเขียนลงในตาราง 4. โยนลูกเตารอบละ 3 ครั้ง แลวจึงเปลี่ยนผูเลน คือ ผูเลนตามขั้นตอนไดถูกตอง ทั้ง 3 ครั้งที่โยนลูกเตา

ตัวอยาง ขั้นตอนที่ 1

ขั้นตอนที่ 2

3

2

ขั้นตอนที่ 3

23 = 2×2×2 =8


94


ลําดับที่ ตัวอยาง

ฐาน 2

เลขชี้กําลัง 3

เขียนเลขยกกําลัง 23

คําตอบจากเครื่องคิดเลข 8

1 2 3 4 5 ชวยบอกหนอย : ไดรับความรูอยางไรบาง? ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ชวยอีกที : เติมใหหนอยนะ เลขยกกําลัง

ฐาน

54

5

เลขชี้ กําลัง 4

เขียนเลขยกกําลัง ในรูปการคูณ 5× 5× 5× 5

จํานวนตัวของฐาน ที่ตองนํามาคูณกัน 4

(-3)3 -33 ( 43 )5 ( -12 )2 a5

3 -1 2

a× a× a× a × a

a3 an สรุป

3 a

3 a × a × a × a × ... × a

n ตัว

ถา a เปนจํานวนใด ๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a กําลัง n” เขียนแทนดวย an มีความหมายดังนี้ an = a × a × a × a × . . . × a

n ตัว เรียก an วา เลขยกกําลัง ที่มี a เปนฐาน (Base) และ n เปนเลขชี้กําลัง (Exponent) ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


95

สัญลักษณ 34 อานวา “สามยกกําลังสี่” หรือ “สามกําลังสี่” หรือ “กําลังสี่ของสาม”

จากสรุป

34 แทน 3× 3× 3× 3 34 มี 3 เปนฐาน และ มี 4 เปนเลขชี้กําลัง

กิจกรรมที่ 3.2 : ทักษะการใหเหตุผล สื่อความหมาย และการนําเสนอ 1. จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหถูกตอง เลขยกกําลัง 1) 34

ฐาน 3


เขียนเลขยกกําลังในรูปการคูณ 3× 3× 3× 3

2) (-2)5 3) ( 23 )3 4) ( -13 )2 5) (0.3)2

6) (-0.2)4 7) (2× 5)3 8) (0.5)8 9) a4 10) (ab)3 2. จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหถูกตอง 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

จํานวนที่กําหนด 5× 5× 5× 5 7× 7× 7× 7× 7× 7 4×4×4 5 5 5 0.7× 0.7× 0.7× 0.7 (-22)× (-22)× (-22) a× a× a× a× a× a ab× ab× ab (-3a)× (-3a)× (-3a)× (-3a)

เลขยกกําลัง 54

ฐาน 5



96


การหาคาของเลขยกกําลัง เลขยกกําลังที่เขียนแทนจํานวนตาง ๆ สามารถหาคาของเลขยกกําลังได ดังนี้ 1. การหาคาของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเต็มบวก ตัวอยางที่ 1

เลขยกกําลังที่กําหนดใหตอไปนี้ใชแทนจํานวนใด 2) 26 3) 14 1) 63

วิธีทํา

1) 63 2) 26 3) 14

= = = = = =

6× 6× 6 216 … × … × …× … × … × … ………………………… ………………………… …………………………

2. การหาคาของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเต็มลบ ตัวอยางที่ 2

เลขยกกําลังที่กําหนดใหตอไปนี้ใชแทนจํานวนใด 1) (-5)3 2) -53 3) (-1)4 4) -14


1) (-5)3 = = 2) -53 = = 3) (-1)4 = = 4) -14 = =

ขอสังเกต

ความแตกตางระหวาง (-1)4 กับ -14

(-5)× (-5)× (-5) -125 -(5× 5× 5) -125 (-1)× (-1)× (-1)× (-1) …………… -(1× 1× 1× 1) ……………

(-1)4 ฐานของเลขยกกําลังเปนจํานวนลบ มีคาเทากับ 1 -14 เปนจํานวนตรงขามของ 14

มีคาเทากับ -1

ดังนั้น (-1)4 ≠ -14 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


97

ตัวอยางที่ 3

เลขยกกําลังที่กําหนดใหตอไปนี้ใชแทนจํานวนใด 2) (-2)3 3) (-2)4 4) (-2)5 1) (-2)2


1) (-2)2 = = 2) (-2)3 = = 3) (-2)4 = = 4) (-2)5 = =

(-2)× (-2) 4 (-2)× (-2)× (-2) -8 ……………………………… ……………………………… ……………………………… ………………………………

ขอสังเกตจากตัวอยางที่ 3 1. เลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเต็มลบ ถาเลขชี้กําลังเปนจํานวนคู จะไดผลลัพธของ เลขยกกําลังเปนจํานวนบวก (-2)2 = 4, (-2)4 = 16 2. เลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเต็มลบ ถาเลขชี้กําลังเปนจํานวนคี่ จะไดผลลัพธของ เลขยกกําลังเปนจํานวนลบ = -8, (-2)5 = -32 (-2)3 3. การหาคาของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนเศษสวนหรือทศนิยม ตัวอยางที่ 4 วิธีทํา

เลขยกกําลังที่กําหนดใหตอไปนี้ใชแทนจํานวนใด 3 2) ( -12 )3 3) -23 4) (1.2)2 1) ( 43 )3 1) ( 43 )3 = ( 43 )× ( 43 )× ( 43 ) 27 = 64 2) ( -12 )3 = ( -12 )× ( -12 )× ( -12 ) =

3 3) -23 = =

5) (0.2)3

……………………………… ……………………………… ………………………………


98

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 4) (1.2)2 = = 5) (0.2)3 = =

(1.2)× (1.2) ……………………………… ……………………………… ………………………………

กิจกรรมที่ 3.3 : ทักษะการคิดคํานวณ และการนําเสนอ 1. จงหาคาของเลขยกกําลังตอไปนี้ 1) 23 = ………………………… = ………………………… 3) 53 = ………………………… = ………………………… 5) (0.3)3 = ………………………… = ………………………… 7) (-2.5)3 = ………………………… = ………………………… 9) (-0.7)3 = ………………………… = ………………………… 11) (- 23 )2 = …………………………

= …………………………

2) -23 = ………………………… = ………………………… 4) -53 = ………………………… = ………………………… 6) (-1.2)2 = ………………………… = ………………………… 8) -0.73 = ………………………… = ………………………… 10) ( 23 )2 = …………………………

= ………………………… 12) ( 14 )2 = ………………………… = …………………………

2. ถากําหนดให x = 2, y = -3 และ z = 0.1 จงหาคาของจํานวนตอไปนี้ 1) x3 = ………………………… = ………………………… 3) (-z)3 = ………………………… = ………………………… 5) (xz)2 = ………………………… = ………………………… 7) (x + y)2 = ………………………… = …………………………

2) y2 = ………………………… = ………………………… 4) (x + z)3 = ………………………… = ………………………… 6) x2z2 = ………………………… = ………………………… 8) x2 + y2 = ………………………… = …………………………



99

การเขียนจํานวนใหอยูในรูปเลขยกกําลัง เมื่อตองการการเขียนจํานวนใหอยูในรูปเลขยกกําลัง ทําไดโดยใชการแยกตัวประกอบหรือ จํานวนนั้นใหอยูในรูปการคูณของจํานวนที่ซ้ํา ๆ กัน ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 5 จงเขียน 16 ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังมากกวา 1 วิธีที่ 1 16 = 2× 2× 2× 2 = 24 วิธีที่ 2 16 = 4× 4 = 42 วิธีที่ 3 16 = (-2)× (-2)× (-2)× (-2) = (-2)4 วิธีที่ 4 16 = (-4)× (-4) = (-4)2 ตัวอยางที่ 6 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของเลขยกกําลัง 1) 64 2) 243 3) -256 วิธีทํา 1) 64 = 2× 2× 2× 2× 2× 2 = 26 2) 243 = 3× ………………… = …………………… 3) -256 = -(4× ………………………) = ……………………. หรือ = -(2× ……………………………….) = ……………………. จากตั ว อ ย า งข า ง ต น จะพบว า จํ า นวนบางจํ า น วนอาจเขี ย นเป น เลขยกกํ า ลั ง ที่ มี ฐ านเป น จํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเต็มลบ และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 ไดมากกวา 1 แบบ จํานวนทศนิยมและเศษสวนก็สามารถเขียนในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มที่ มากกวา 1 ได โดยอาศัยความรูเรื่องการคูณของจํานวนทศนิยมและเศษสวน ดังตัวอยางตอไปนี้


100


ตัวอยางที่ 7 วิธีทํา


จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของเลขยกกําลัง 1) 0.01 2) -0.625 3) 1.25 1) 0.01 = 0.1× 0.1 = (0.1)2 2) -0.625 = -(……× ……× ……) = …………………… 3) 1.25 = …………………… = …………………… จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของเลขยกกําลัง 8 0.25 2) - 27 3) 0.36 1) 14 1 1×1 1) = 4 2 2 = ( 12 )2 8 = -(……× ……× ……) 2) - 27 = …………………… 0.25 3) 0.36 = ………× ………… =

……………………

กิจกรรมที่ 3.4 : ทักษะการคิดคํานวณ และการนําเสนอ 1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของเลขยกกําลัง โดยมีฐานเปนจํานวนเฉพาะ 1) 25 = ………………………… = ………………………… 3) -121 = ………………………… = ………………………… 5) -0.125 = ………………………… = ………………………… 7) 169 = ………………………… = …………………………

2) 81 = ………………………… = ………………………… 4) 125 = ………………………… = ………………………… 6) 2.25 = ………………………… = ………………………… 81 = ………………………… 8) - 256

= …………………………



101

2. จงเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังมากกวา 1 แทนจํานวนตอไปนี้ 1) 343 = ………………………… = ………………………… 3) -100 = ………………………… = ………………………… 5) 0.49 = ………………………… = ………………………… 7) 0.0001 = ………………………… = ………………………… 9) 1,000,000 = ………………………… = …………………………

2) -128 = ………………………… = ………………………… 4) 1.25 = ………………………… = ………………………… 8 = ………………………… 6) 25

= ………………………… 8) 0.027 = ………………………… = ………………………… 10) 1024 = ………………………… = …………………………

กิจกรรมที่ 3.5 : ทักษะการแกปญหา

ปญหานาคิด

แจกทอง รานขายรถแหงหนึ่ง แจกทองหนึ่งบาท มูลคา 13,000 บาท สําหรับผูที่ทายน้ําหนักของรถได ถูกตองดวยคําถามดังนี้ “รถ 4 คันนี้มีน้ําหนักเทากัน ถาน้ําหนักของรถคันหนึ่งยกกําลังสองแลวลบดวยน้ําหนักรถอีก 2 คัน ซึ่งหารกันอยู น้ําหนักจะเปน 80 กิโลกรัม รถแตละคันหนักกี่กิโลกรัม” ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

102


MATH Series

3.2 การ

จุดประสงคการเรียนรู

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน

1. มีความรับผิดชอบ



103

การคูณเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก พิจารณาตารางแสดงการคูณของเลขยกกําลังที่ใชเขียนแทนจํานวนตาง ๆ ดังนี้ การคูณของ เลขยกกําลัง 23× 22

เขียนการคูณของเลขยกกําลัง โดยใชบทนิยาม (2× 2× 2)× (2× 2)

(-5)3× (-5) [(-5)× (-5)× (-5)]× (-5) 72× 74 (7× 7)× (7× 7× 7×7)

ผลคูณ

เขียนเลขชี้กําลังของ ผลคูณในรูปการบวก

25

23 + 2

(-5)4 76

a2× a3

(a× a)× (a× a× a)

a5

a4× a2

(a× a× a× a)× (a× a)

a6

#

am× an

#

#

(a× a× a× …× a)× (a× a× …× a)

m ตัว n ตัว

am + n

#

am + n

จากตารางขางตน พบขอที่นาสังเกตของผลคูณของเลขยกกําลัง ดังนี้ 1. ผลคูณของเลขยกกําลังมีฐานเทากัน 2. ฐานของผลคูณของเลขยกกําลัง เทากับฐานของเลขยกกําลังที่มีฐานเทากัน 3. เลขชี้กําลังของผลคูณของเลขยกกําลัง เทากับผลบวกของเลขชี้กําลังของเลขยกกําลังที่ นํามาคูณกัน นั่นคือถาฐานของเลขชี้กําลังที่คูณกันเปนจํานวนเดียวกันแลวผลคูณที่ไดสามารถเขียนอยูใน รูปเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเต็มเดิม และเลขชี้กําลังหาไดจากการบวกเลขชี้กําลังของตัวตั้งกับ เลขชี้กําลังของตัวคูณ การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไป ตามสมบัติของการคูณเลขยกกําลัง ดังนี้ ถา a เปนจํานวนใด ๆ และ m และ n เปนจํานวนเต็มบวก แลว am × an = am + n


104 ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 จงหาคาของ 1) 23× 22

1) 23× 22

2) 33× 32

3) (-4)2× 25

4) 32× (-9)4

เนื่องจากเลขฐานทั้งสองจํานวนเทากัน จะได

23× 22

2) 33× 32

=

23 + 2

=

25

เนื่องจากเลขฐานทั้งสองจํานวนเทากัน จะได

33× 32

= …………………… = …………………… 3) (-4)2× 25 เนื่ อ งจากเลขฐานทั้ ง สองจํ า นวนไม เ ท า กั น ทํ า เลขฐานทั้ ง สอง จํานวนใหเทากันไดดังนี้ 42× 25 = (……× ……)× 25 =

(2× ……………………)× 25

(เลขฐานทั้งสองจํานวนเทากัน) = ………× 25 = …………………… = …………………… 4) 32× (-9)4 เนื่ อ งจากเลขฐานทั้ ง สองจํ า นวนไม เ ท า กั น ทํ า เลขฐานทั้ ง สอง จํานวนใหเทากันไดดังนี้ 32× (-9)4 = 32× (……………………) =

32× (……………………)

= = =

32× …………………… (เลขฐานทั้งสองจํานวนเทากัน) …………………… ……………………


จงหาคาของ a2b3× a3b

วิธีทํา (1)

a2b3× a3b

= = = =

(a× a× b× b× b)×(a× a× a× b) (a× a× a× a× a)× (b× b× b× b) …………………………………… …………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 3 เลขยกกําลัง วิธีทํา (2)

a2b3× a3b

105 =

a2× b3× a3× b

= = =

a2× a3× b3× b …………………… ……………………


จงหาคาของ (m4× m5)× (m8× m2)


(m4× m5)× (m8× m2)

=

(m4 + 5)× (m8 + 2)

= =

m9× m10 ………………

กิจกรรมที่ 3.6 : ทักษะการคิดคํานวณ และการนําเสนอ 1. จงหาผลคูณของเลขยกกําลังตอไปนี้ 1) 22× 23 = …………………………

2) 35× 38 = …………………………..

3) 8× 89 = …………………………

4) 73× (-7)8 = ………………………..

5) (-2)6× (-2)7 = …………………………

6) (1.2)4× (1.2)3 = …………………... 7) (0.01)2× (0.01)3 = ………………………… 8) (0.5)4× ( 12 )2 = …………………… 10) 125× 53 = ……………………….. 9) 92× 27 = ………………………… 2. จงเขียนผลคูณของจํานวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปของเลขยกกําลัง 1) 2× 23× 24 = …………………………………………………………… 2) (-3)2× 33× (-3)4

=

……………………………………………………………

3) 8× 23× (-2)4

=

……………………………………………………………

4) 5× 25× (-5)4

=

……………………………………………………………

5) 75× 72× 49

=

……………………………………………………………

6) (0.008)× (0.2)3× (-0.2)4 = 7) ( -23 )2× ( 23 )3× ( -23 )4 = 3. จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1) (3a5b3)(5a2b) =

…………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

2) (4m2n3)(2m4n9)

=

…………………………………………………………….

3) x4(xy)(x2y3)

=

……………………………………………………………. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

106


MATH Series

3.3 การหารเลขยก

2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได



107

การหารเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก ในทํานองเดียวกับการคูณเลขยกกําลัง เราสามารถหาผลหารของเลขยกกําลังซึ่งมีตัวหารไม เทากับศูนยได การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนย มีเลขชี้กําลังเปน m จํานวนเต็ม ในรูปของ a n จะพิจารณาเปน 3 กรณี ดังนี้ a กรณีที่ 1 เมื่อ m และ n เปนจํานวนเต็มบวกซึ่ง m > n และ a ≠ 0 การหารของ เขียนการหารของเลขยกกําลัง โดยใชบทนิยาม เลขยกกําลัง 5 2×2×2×2×2 2 2×2×2 23 7 3× 3× 3× 3× 3× 3× 3 3 2 3× 3 3 6 a×a×a ×a ×a ×a a 3 a ×a ×a a #

am an

#

m ตัว

a × a × a ×...× a a × a × a ×...× a

n ตัว

ผลหาร

เขียนเลขชี้กําลังของ ผลหารในรูปการลบ

2× 2 = 22

25 – 3

#

a× a× a× … × a

m – n ตัว

#

am – n

จากตารางขางตนจะพบวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิม และเลขชี้กําลัง เท า กั บ เลขชี้ กํ า ลั ง ของตั ว ตั้ ง ลบด ว ยเลขชี้ กํ า ลั ง ของตั ว หาร ซึ่ ง เป น ไปตามสมบั ติ ข องการหาร เลขยกกําลัง ดังนี้ สรุป

ตัวอยางที่ 1 วิธีทำ

ถา a เปนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย และ m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง m > n แลว am = am – n an 4 จงหาคาของ 93 9 94 = 94 – 3 3 9 = 91 = 9


108 ตัวอยางที่ 2 วิธีทำ ตัวอยางที่ 3 วิธีทำ

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 7 จงหาคาของ (-5)2 (-5) 7 (-5) = ………………………… (-5)2 = ………………………… 2 จงหาคาของ (0.008)4 (0.2) เนื่องจาก 0.008 = (0.2)3

(0.008)2 = 0.008× 0.008 = ………………………… = ………………………… (0.008)2 = ………………………… ดังนั้น (0.2)4 = ………………………… = ………………………… กรณีที่ 2 เมื่อ m และ n เปนจํานวนเต็มบวกซึ่ง m < n และ a ≠ 0 2 พิจารณาการหาคา 26 2 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลัง จะได 22 2×2 = 6 × × ×2×2×2 2 2 2 2 1 = 2×2×2×2 22 1 = (1) 6 2 24 am ถาใชสูตร = am – n จะได an 22 = 22 – 6 6 2 = 2– 4 (2) เนื่องจาก (1) = (2) ดังนั้น 1 = 2– 4 24 ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยาม a– n ดังนี้ สรุป บทนิยาม ถา a เปนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย และ n เปนจํานวนเต็มบวก a– n = 1n a จะได


หนวยการเรียนรูที่ 3 เลขยกกําลัง ตัวอยางที่ 4 วิธีทํา

จงหาคาของ 10 1) 218 2 10 1) 218 = 2 = = 5 2) (0.3)9 = (0.3) = = 4 = 3) a6 a = =

109

5 2) (0.3)9 (0.3) 210 – 18

4 3) a6 a

2– 8 1 28 …………………………

………………………… ………………………… …………………………

………………………… ………………………… 4 2 ตัวอยางที่ 5 จงหาคาของ 3 ×10 3 3 4 2 3 × 3 = 34+2 วิธีทํา 310 310 = ………………………… = 36 – 10 = ………………………… = 14 3 = ………………………… กรณีที่ 3 เมื่อ m และ n เปนจํานวนเต็มบวกซึ่ง m = n และ a ≠ 0 5 พิจารณาการหาคา 5 55

ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลัง จะได 25 2×2×2×2×2 = 5 2×2×2×2×2 2 = 1 am = ถาใชสูตร am – n จะได n a 25 = 25 – 5 = 20 5 2

(1) (2)


110


เนื่องจาก (1) = (2) ดังนั้น 20 = 1 ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยาม a0 ดังนี้ ถา a เปนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย แลว a0 = 1

บทนิยาม


จงหาคาของ 2 24 × 22 = 26 = = = =

4 × 22

26 24+2 วิธีทํา 26 ………………………… 26 – 6 ………………………… ………………………… 15 ตัวอยางที่ 7 จงหาคาของ 6 a 9 a ×a 15 a วิธีทํา = ………………………… a6 × a9 = ………………………… = ………………………… = ………………………… จากการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและฐานไมเทากับศูนย มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม บวกที่กลาวมาแลวทั้งสามกรณีเปนไปตามสมบัติของการหารเลขยกกําลัง ดังนี้

สรุปไวใช

ถา a เปนจํานวนใด ๆ โดยที่ a ≠ 0 และ m, n เปนจํานวนเต็มบวก แลว am = am – n an am = am – n 1. ถา m > n แลว an am = 1 2. ถา m < n แลว an am-n และ a– n = 1n a 0 3. ถา m = n แลว a =1 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


111


จงหาคาของ 28× 22× 2-4


28× 22× 2-4

= = =


จงหาคาของ 5 54 × 52 = 58 = = =

28× 22× 14 2 210 24 26

4 × 52

58 …………………………

………………………… ………………………… …………………………

กิจกรรมที่ 3.7 : ทักษะการคิดคํานวณ และการนําเสนอ 1. จงหาผลหารของเลขยกกําลังตอไปนี้โดยใหเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก 7 8 2) 73 = ………………………… 1) 23 = ………………………… 2 7 4 6 4) (-4)4 = ………………………… 3) 58 = ………………………… 5 (-4) 5 15 (-11) (1.5) = ………………………… 6) = ………………………… 5) (-11)9 (1.5)15 8 ( 45 )4 7) 4 = ………………………… 8) (3.9)9 = ………………………… (3.9) ( 5 )3 2 3 4 10) 2 5 3 = ……………………… 9) 4 ×4 4 = ………………………… 4 5 ×5 2. จงเขียนจํานวนขอตอไปนี้ใหเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก 2) (-4)-2 = ………………………… 1) 7-3 = ………………………… 3) 5-5 = …………………………

4) (0.5)-1 = …………………………

5) (1.9)-5 = ………………………… 7) ( 23 )-4 = ………………………… 9) a-2 = …………………………

6) (-3)-3 = ………………………… 8) (- 12 )-1 = ………………………… 10) (-a)-2 = …………………………


112


3. จงทําใหเปนผลสําเร็จโดยใหเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก 1) 2) 3) 4)

x2 y2 xy 2

=

…………………………………………………

ab3 a2 b

=

…………………………………………………

=

…………………………………………………

16a8 b4 2a3 b

=

…………………………………………………

=

…………………………………………………

-14m 3 n5 -2mn5

=

…………………………………………………

=

…………………………………………………

=

…………………………………………………

คําชี้แจง ใหนักเรียนลากเสนเชื่อมระหวางจุดที่มีเลขยกกําลังทางขวาของปกผีเสื้อกับจุดทางซายของ ปกผีเสื้อที่มีความหมายเหมือนกัน จากนั้นใหระบายสีภาพผีเสื้อใหสวยงาม



113

MATH Series

3.4 การ นําเลขยกกําลังไปใช การนํ

1. เขี ย นจํ า นวนที่ มี ค า มาก ๆ หรื อ ค า น อ ย ๆ ให อ ยู ใ นรู ป สั ญ กรณ วิทยาศาสตร 2. หาจํานวนที่เทากับจํานวนที่อยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การแสดงวิธีการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยู ในรูปสัญกรณ วิทยาศาสตรไดถูกตอง 2. การแสดงวิธีการเขียนจํานวนที่มีคานอย ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณ วิทยาศาสตรไดถูกตอง 3. การคิดคํานวณ 4. การแกปญหาและการใหเหตุผล 5. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 6. การเชื่อมโยง 7. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร


114


การนําเลขยกกําลังไปใช ในการเขียนตัวเลขแทนจํานวนตาง ในกรณีที่จํานวนมีคามาก ๆ เชน 5,970,000,000,000,000 หรือจํานวนที่มีคานอย ๆ เชน 0.0000000000001 การเขียนตัวเลขแทนจํานวนเหลานี้จะยืดยาวไม สะดวกและไมงายในการเขียนและการอาน เราอาจใชเลขยกกําลังเขียนแทนจํานวนตาง ๆ ที่มีคา มาก ๆ หรือมีคานอย ๆ ได การเขียนเลขยกกําลังแทนจํานวนที่มีคามาก ๆ หรือมีคานอย ๆ เหลานี้ นิยมเขียนในรูปของ A×10 n เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม ซึ่งเรียกวา การเขียนจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร (Scientific notation)

การเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร พิจารณาการเขียนจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรตอไปนี้ 1)

9,000,000

2)

23,500,000

3)

= = = = = =

9× 1,000,000 9× 10× 10× 10× 10× 10× 10 9× 106 235× 100,000 235× 10× 10× 10× 10× 10 235× 105

=

(2.35× 100)× 105

=

(2.35× 102)× 105

= 840,000,000,000 = = = = =

2.35× 107 84× 10,000,000,000 ……………………… ……………………… ……………………… ………………………


หนวยการเรียนรูที่ 3 เลขยกกําลัง ตัวอยางที่ 1


115

จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร 1) 5,970,000,000,000 2) 562,300,000 3) 6,376,000 1) 5,970,000,000,000 = 597× 1010 = ขอสังเกต

5.97× 102× 1010

= 5.97× 1012 5,970,000,000,000 = 5,970,000,000,000.0

เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซาย 12 ตําแหนง ดังนั้น 5,970,000,000,000 = 5.97× 1012 สังเกตเลขชี้กําลัง เปน 12 2) 562,300,000


= = = 562,300,000 =

5,623× 105 ……………………… ……………………… 562,300,000.0

เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซาย……ตําแหนง ดังนั้น 562,300,000 = …………………… สังเกตเลขชี้กําลัง เปน…… 3) 6,376,000


= 6,376× 103 = ……………………… = ……………………… 6,376,000 = 6,376,000.0

เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซาย……ตําแหนง ดังนั้น 6,376,000 = …………………… สังเกตเลขชี้กําลัง เปน ……


116



เสนผานศูนยกลางของดวงอาทิตยยาวประมาณ 1,400,000 กิโลเมตร จงเขียนจํานวน ดังกลาวใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร เสนผานศูนยกลางของดวงอาทิตยยาวประมาณ 1,400,000 กิโลเมตร 5 ≈ 14× 10 กิโลเมตร ≈ …………………… กิโลเมตร ≈ …………………… กิโลเมตร ดังนั้น เสนผานศูนยกลางของดวงอาทิตยยาวประมาณ……………… กิโลเมตร


สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปนี้แทนจํานวนใด 1) 2.03× 108 2) 0.5× 1010 3) 1.4× 1015


1) 2.03× 108 2) 0.5× 1010 3) 1.4× 1015

= = = = = =

2.03× 10,000,000 203,000,000 0.5× 10,000,000,000 …………………………………… 1.4× 1,000,000,000,000,000 ……………………………………

1. จงเขียนจํานวนในแตละตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร 1) 5,280 2) 488,000 = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… 3) 28,300,000 4) 2,764,000,000,000 = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = ……………………………………



117

5) 890,000,000,000,000 6) 38× 105 = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… 8) 231,000× 1020 7) 4,500× 105 = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… 2. จงเขียนจํานวนในแตละตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร 1) โลกมีรูปรางใกลเคียงกับทรงกลมและรัศมียาวประมาณ 6,380,000 เมตร ………………………………………………………………………………………... 2) เสนผานศูนยกลางของดวงอาทิตยยาวประมาณ 1,400,000 กิโลเมตร ………………………………………………………………………………………... 3) แสงมีความเร็วประมาณ 30,000,000 เมตรตอวินาที ………………………………………………………………………………………... 4) ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางประมาณ 113,000,000 เมตร และอยูหางจากดวงอาทิตย ประมาณ 1,430,000,000 กิโลเมตร ………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………... 3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปนี้แทนจํานวนใด 1) 4× 105 2) 3.8× 106 = …………………………………… = …………………………………… 4) 8.257× 104 3) 1.45× 109 = …………………………………… = …………………………………… 5) 5.06× 109 6) 6.05× 1011 = …………………………………… = ……………………………………


118


การเขียนจํานวนที่มีคานอย ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร พิจารณาการเขียนจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรตอไปนี้ 1) 0.0009 = 9× 0.0001 1 = 9× 10,000 = 9 × 14 10 = 9× 10– 4 2) 0.000052 = 5.2× 0.00001 1 = 5.2× 100,000 =

……………………………………

= …………………………………… 3) 0.000000000000367 = 3.67× 0.0000000000001 = ……………………………………



=

……………………………………

=

……………………………………

จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร 1) 0.0008 2) 0.000063 3) 0.00000096 1) 0.0008 = 8× 0.0001 1 = 8× 10,000 = 8× 14 10 = 8× 10– 4 ขอสังเกต 0.0008 = 0.0008 ดังนั้น 0.0008 = 8× 10– 4

เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา 4 ตําแหนง สังเกตเลขชี้กําลัง เปน -4



2) 0.000063


119

= 6.3× 0.00001 = ……………………… = ……………………… = ……………………… 0.000063 = 0.000063 เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา……ตําแหนง

ดังนั้น 0.000063 = …………………… 3) 0.00000096


= = = = 0.00000096 =

สังเกตเลขชี้กําลัง เปน……

……………………… ……………………… ……………………… ……………………… 0.00000096 เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา……ตําแหนง

ดังนั้น 0.00000096 = …………………



สังเกตเลขชี้กําลัง เปน ……

เ ส น ผ า น ศู น ย ก ล า ง นิ ว เ ค ลี ย ส อ ะ ต อ ม ข อ ง ไ ฮ โ ด ร เ จ น วั ด ไ ด ป ร ะ ม า ณ 0.0000000000001 เซนติ เ มตร จงเขี ย นจํ า นวนดั ง กล า วให อ ยู ใ นรู ป สั ญ กรณ วิทยาศาสตร ความยาวเสนผานศูนยกลางนิวเคลียสอะตอมของไฮโดรเจนวัดไดประมาณ 1 เซนติเมตร 1× 10,000,000,000,000 0.0000000000001 เซนติเมตร ≈ ≈ 1× 113 เซนติเมตร 10 ≈ ……………………… เซนติเมตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

120



เชื้อไวรัสที่ทําใหเกิดโรคหวัดแตละตัวยาวประมาณ 5× 10– 7 เมตร ถาไวรัสชนิดนี้ เรียงตอกันเปนสายยาว 6× 10– 3 เมตร จงหาวามีไวรัสอยูประมาณกี่ตัว


ไวรัสเรียงตอกันเปนสายยาว 6× 10– 3 เมตร ถาไวรัสแตละตัวยาวประมาณ 5× 10– 7 เมตร 6×10-3 = 6×107 จะมีไวรัสที่เรียงตอกันอยูประมาณ 5×10-7 5×103 6 = 60 ×103 5×10

เมตร เมตร

= ………………

เมตร

= ………………

เมตร

ดังนั้น จะมีไวรัสที่เรียงตอกันอยูประมาณ………………ตัว

กิจกรรมที่ 3.10 : ทักษะการสื่อความหมายและการนําเสนอ 1. จงเขียนจํานวนในแตละตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร 1) 0.001 2) 0.0025 = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… 3) 0.000000009 4) 0.000000145 = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… 5) 0.0000000008 6) 0.0074× 102 = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = …………………………………… = ……………………………………



121

2. จงเขียนจํานวนในแตละตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร 1) แมลงที่เล็กที่สุดยาวประมาณ 0.003 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………. 2) แบคทีเรียขนาดใหญยาวประมาณ 0.0003 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………. 3) ไวรัสมีความยาวเฉลี่ยประมาณ 0.000000915 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………. 4) อะตอมของออกซิเจนมีรศั มีประมาณ 0.000000000066 เมตร ……………………………………………………………………………………………. 5) คลื่นรังสีคอสมิกยาวประมาณ 0.0000000000000000003 เมตร ……………………………………………………………………………………………. 3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปนี้แทนจํานวนใด 1) 5× 10-4 1.2) 9× 10-6 = …………………………………… = …………………………………… 1.4) 6.82× 10-7 3) 1.2× 10-5 = …………………………………… = …………………………………… 1.6) 8.9× 10-9 5) 5.413× 10-7 = …………………………………… = …………………………………… 4. จงจับคูขอที่มีคาเทากัน โดยใหนําตัวอักษรทางขวามือมาใสหนาขอทางซายมือ …………… 1) 230 a. 2.3× 10-3 …………… …………… ……………

2) 23.01 3) 23,300,000 4) 0.0023

b. c. d.

2.34× 104 2.301× 10 2.3× 10-1

……………

5) 0.000234

e.

2.301× 102

……………

6) 0.023× 105

f.

2.3× 103

……………

7) 23.400× 103

g.

2.3× 102

……………

8) 0.00230× 102

h.

2.34× 10-4

i.

2.33× 102

j.

2.33× 107


122


ชวนคิดคณิตศาสตร 1 อสงไขย มีคาเทาไรนะ ชวยบอกหนอย

ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู ตามมาตรวัดโบราณของไทย เมื่อนึกถึงจํานวนที่มีคามาก ๆ จะนึกถึงหนวย โกฏิและอสงไขย คนเกาแกมักจะพูดกันเปรย ๆ วา “โกรธกันนานเปนโกฏิป” หรือในหนังสือวรรณคดีของไทย เรื่อง กามนิต ก็มีการกลาวถึงกามนิตวา “จะไดขึ้นไปเสวยสุขบนสรวงสรรคนานนับหลายโกฏิป” 1 โกฏิ เทากับ 10 ลาน 1 อสงไขย เทากับ โกฏิปยกกําลังยี่สิบ แลว 1 อสงไขย เทากับกี่ลาน ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….



123

ชวนคิดคณิตศาสตร รูปอะไร ใครรูบาง ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู คําชี้แจง ใหนักเรียนหาคําตอบจากโจทยที่กําหนดให จากนั้นก็ใหแรเงาจํานวนที่เปนคําตอบใหครบ ทุกจํานวนในชองตาราง เชน ถาไดคําตอบเปน 7 ใหแรเงาในชองที่มีเลข 7 ทุกชอง โจทย

1. (-1)2 + 15 + (-1)3 + 10 + (-1)10 = ………………………… 2 4 4 2. (0.5) ×(0.5)5 × 2 = ………………………… (0.5) 3. (52 – 32)(23 + 42)0 = ………………………… 2 2 -1 4. 3 ×-32 ×3 เลขชี้กําลังของคําตอบที่ไดคือ………………………… 2 ×3 5. ผลคูณของ 7,000,000 และ 103 มีศูนยทั้งหมดกี่ตัว………………………… 6. กําหนดให a2 = b2 และ b ≠ 0 ถานํา a2 ÷ b2 คําตอบที่ไดคือ………………………… 0 13 13 4 4 4 4 5 2

2 0 14 7 3 3 3 3 2

2 20 0 7 6 6 6 3 2

2 11 11 20 11 0 12 11 19 0 7 7 12 9 9 9 7 13 9 7 7 13 9 7 9 9 2 13 13

11 20 19 14 4 4 12 12 11

11 20 19 12 8 4 4 4 11

7 6 6 6 8 8 8 8 11

7 19 19 13 15 20 20 20 11

7 7 10 19 14 10 6 14 14 11 14 14 11 3 13 1516 3 13 10 3 13 10 3 3 10 13 13 12

0 12 0 0 16 16 16 16 12

12 0 12 12 16 11 11 11 11

4 1 1 2 16 16 16 16 11

4 19 6 2 15 15 15 15 11

4 19 6 7 5 15

4 18 2 7 5 5 15 5 5 5 5 0 0

2 2 18 15 4 4 7 7 0

คําตอบที่เกิดจากการแรเงาคือ……………………………………………………


หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เลขยกกำลัง

Recommend Documents