หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น

หนวยการเรียนรูที่ 3

ระบบสมการเชิงเสน

มาตรฐานการเรียนรู มาตรฐาน ค 4.2 มาตรฐาน ค 6.1 มาตรฐาน ค 6.2 มาตรฐาน ค 6.3 มาตรฐาน ค 6.4 มาตรฐาน ค 6.5

: : : : : :

ขอ 3, 4 และ ขอ 5 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. อานและแปลความหมายของกราฟของ ระบบสมการเชิงเสนได 2. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรได 3. นําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไป ใชแกปญหาได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของ คําตอบที่ได

สาระการเรียนรู 3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 คาบ) 3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 คาบ) 3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 คาบ) พรอมหรือยัง ? ถาพรอมแลว ก็เริม่ เรียนแลวนะครับ

101

102

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3

อุนเครื่องกับชวนคิดคณิตศาสตร

จงใชวิธีการ +, −, ×, ÷, แตละขอตอไปนี้

และเลขยกกําลังเพื่อหาคําตอบของ

1) 5

6 7 3

เทากับ 24

2) 9

3 4 1


3) 1

2 3 5


หมายเหตุ จํานวนแตละจํานวนนําไปใชไดเพียงครั้งเดียวเทานั้น

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 3 ระบบสมการเชิงเสน

103

MATH Series

3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และแปล ความหมายกราฟของ ระบบสมการได 2. หาคําตอบของระบบสมการเชิงเสสองตัวแปรจากกราฟ ที่กําหนดใหได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร


104


ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใหนักเรียนพิจารณาผลไมสองอยางไดแก สมและมะมวง ซึ่งมีจํานวนผลรวมกันเปน 10 ผล ถามีสมอยู x ผลและมีมะมวงอยู y ผล จะเขียนสมการไดเปน ………………………… แลวนํามา เขียนในรูปตารางดังนี้ 1 9

x y

2 8

3

4

5

6

7

8

9

จากตาราง เมื่อนํามาเขียนเปนคูอันดับ จะได (1, 9), (2, 8), …………………………………………………………………………………. ซึ่งคูอันดับทุกคูขางตนเปนคําตอบของสมการ ………………………… เมื่อ x แทนจํานวน สม และ y แทนจํานวนมะมวง นอกจากจะเขียนในรูปคูอันดับแลว ยังสามารถนํามาเขียนกราฟแสดง ความสัมพันธไดดังนี้ Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

• •

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

จากกราฟ จะพบวา ถามีสม 1 ผล จะมีมะมวง ……… ผล และถามีสม ……… ผล จะมี มะมวง 5 ผล สมการ x + y = 10 เปนสมการเชิงเสนสองตัวแปร และคําตอบของสมการ x + y = 10 เปน คูอันดับของจํานวนเต็มบวกเทานั้น ลักษณะของกราฟจึงเปนจุดเรียงในแนวสวนของเสนตรง เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริงใด ๆ กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรดังกลาวจะเปน เสนตรง ดังนี้ ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


105

Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

นอกจากนี้นักเรียนเคยทราบมาแลววาสมการเชน x + 3y = 2, 2x – y = 4 และ 3x + 2y = 6 เปน สมการเชิงเสนสองตัวแปร ซึ่งรูปทั่วไปเปน Ax + By + C = 0 (*) เมื่อ x, y เปนตัวแปร และ A, B, C เปนคาคงตัว โดยที่ A ≠ 0 และ B ≠ 0 คูอันดับ (x, y) ที่สอดคลองกับสมการ (*) เรียกวา คําตอบของสมการ และกราฟแสดงคําตอบ ของสมการ Ax + By + C = 0 นี้ จะเปนเสนตรง ใหนักเรียนพิจารณาสมการตอไปนี้ x – 3y = 6 (1) 2x – 6y = 8 (2) ระบบที่ประกอบดวยสมการ (1) และสมการ (2) ขางตนเปนตัวอยางของระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร ให a, b, c, d, e และ f เปนจํานวนจริงที่ a, b ไมเปนศูนยพรอมกัน และ c, d ไมเปนเปน ศูนยพรอมกัน เรียกระบบที่ประกอบดวยสมการ ax + by = e cx + dy = f วา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มี x และ y เปนตัวแปร และกลาววา a และ c เปนสัมประสิทธิ์ของ x และ b และ d เปนสัมประสิทธิ์ของ y ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

106


นอกจากนี้คําตอบของระบบสมการ คือ คูอันดับ (x, y) ที่สอดคลองกับสมการทั้งสองของ ระบบสมการ หรือ คูอันดับ (x, y) ที่คา x และคา y ที่ทําใหสมการทั้งสองของระบบสมการเปนจริง ใหนักเรียนพิจารณาการหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรดวยการเขียนกราฟ ของแตละสมการบนระนาบโดยใชแกนคูเดียวกัน ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1

วิธีทํา

กําหนด x+y = 6 2x – y = 3 จงเขียนกราฟของสมการทั้งสอง ……………………… x y

(1) (2) ……………………… x y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายที่เปนคําตอบของสมการ x + y = 6 และมีคูอันดับ มากมายที่เปนคําตอบของสมการ 2x – y = 3 เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเปนเสนตรงสองเสนซึ่งตัดกันที่จุด ……………… เพียงจุด เดียว แสดงวามีคูอันดับเพียงคูเดียว คือ ……………… ที่เปนคําตอบของระบบสมการ ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบเพียงคําตอบเดียว คือ ……………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 3 ระบบสมการเชิงเสน ตัวอยางที่ 2


107

กําหนด x+y = 2 2x + 2y = 4 จงเขียนกราฟของสมการทั้งสอง ……………………… x y

(1) (2) ……………………… x y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายที่เปนคําตอบของสมการ x + y = 2 และมีคูอันดับ มากมายที่เปนคําตอบของสมการ 2x + 2y = 4 เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเปนเสนตรงสองเสนซึ่ง ……………… แสดงวามีคูอันดับ เพียงทุกคูที่เปนพิกัดของจุดบนเสนตรงที่ทับกันนี้ เปนคําตอบของระบบสมการ ใหนักเรียนยกตัวอยางคําตอบของระบบสมการมา 5 ตัวอยาง ……………………………………………………………………………………………….. ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบมากมายไมจํากัด คือ ………………


108 ตัวอยางที่ 3


สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 กําหนด y–x = 3 y = x+3 จงเขียนกราฟของสมการทั้งสอง ……………………… x y

(1) (2) ……………………… x y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายที่เปนคําตอบของสมการ y – x = 3 และมีคูอันดับ มากมายที่เปนคําตอบของสมการ y = x + 3 เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเปนเสนตรงสองเสนซึ่ง ……………… จึงไมมีคูอันดับใด เปนคําตอบของระบบสมการ ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงไมมีคําตอบ จากตั ว อย า งทั้ ง สามข า งต น จะพบว า ลั ก ษณะของคํ า ตอบของระบบสมการเชิ ง เส น ตัวแปรเดียว มีดังนี้ (1) ระบบสมการอาจมีเพียงคําตอบเดียว (2) ระบบสมการอาจมีหลายคําตอบ (3) ระบบสมการอาจไมมีคําตอบ ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


109

กิจกรรมที่ 3.1 : ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมายและการนําเสนอ 1. จงเขียนกราฟ แลวหาวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ มีคําตอบเดียว มีหลาย คําตอบ หรือไมมีคําตอบ 1) x + 2y = 4, 2x + 3y = 7 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ……………………… x y

x y

2) y + x = -2, 2y + 2x = -4 วิธีทํา ……………………… x y

ตอบ…………………………………………… ……………………… x y


110

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 3) x – 3y = 6, 2x – 6y = 8 วิธีทํา ……………………… x y

ตอบ…………………………………………… ……………………… x y

4) 2x + y = -3, 4x + 2y = -6 วิธีทํา ……………………… x y

ตอบ…………………………………………… ……………………… x y


หนวยการเรียนรูที่ 3 ระบบสมการเชิงเสน 5) 2y – x = 6, 2y = x – 4 วิธีทํา ……………………… x y

111 ตอบ…………………………………………… ……………………… x y

6) 2x – 3y – 14 = 0, 3x + 2y = 8 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ……………………… x x y y


112

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 2. จากกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ จงหาวาแตละระบบสมการมีคําตอบ หรือไม ในกรณีที่มีคําตอบใหระบุคําตอบนั้น 1) 6y + 4x = -12 3y + 2x = -6

ตอบ……………………………………………………………………………………… 2) 2x + y = 3 2x + y + 5 = 0

ตอบ………………………………………………………………………………………



113

3) x + 2y = 4 2x - 3y = 1

ตอบ……………………………………………………………………………………… 4) x+y=0

x–3=0

ตอบ………………………………………………………………………………………


114

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 5)

x + 2y = 4

y=x+5

ตอบ……………………………………………………………………………………… 6)

ตอบ……………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


115

MATH Series

3.2 การแกระบบสมการเชิงเสน

สองตัวแปร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากันได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร


116


การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ในชั้นมัธยมศึกปที่ 1 และชั้นมัธยมศึกปที่ 2 นักเรียนเคยไดเรียนเรื่องการแกสมการมาแลว ซึ่งการแกสมการเปนการหาคํ าตอบของสมการ ในทํานองเดีย วกัน การแกระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปรเปนการหาคําตอบของระบบสมการดวย การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร นอกจากจะใชกราฟแลว เราอาจหา คําตอบโดยใช สมบัติของการเทากัน ซึ่งไดแก………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยวิธีนี้ ในทางคณิตศาสตรถือวา เมื่อใช สมบัติดังกลาวแลวจะไดระบบสมการเชิงเสนใหมที่มีคําตอบเดียวกันกับคําตอบของระบบสมการ เชิงเสนที่โจทยกําหนดให หรือกลาววาระบบสมการทั้งสองสมมูลกัน

การแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคา การแกระบบสมการโดยการเขียนกราฟในบางครั้งอาจจะไดคําตอบที่ไมชัดเจน ดังนั้นจึง สามารถแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคา ซึ่งมีวิธีการดังนี้ 1) แกสมการโดยใหตัวแปรตัวหนึ่งอยูในรูปตัวแปรอีกตัวหนึ่ง (ถาเปนไปไมไดควรทําใน รูปเศษสวน) 2) แทนคาตัวแปรที่ไดจากขอ 1) ในสมการอีกสมการหนึ่ง ทําใหเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว 3) แกสมการที่ไดจากขอ 2) 4) แทนคาคําตอบที่ไดจากขอ 3) ลงในขอ 1) ก็จะไดคําตอบทั้งหมดของระบบสมการ ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา

จงแกระบบสมการ x + y = 16 และ y – x = 2 x + y = 16 y–x = 2 จาก (2) ในรูปตัวแปร x จะได y = 2 + x แทนคา y จาก (3) ในสมการ (1) จะได x + (2 + x) = 16 2x + 2 = 16 2x = 16 – 2 = 2x = ………… 2 x

=

(1) (2) (3)

…………

…………



117

แทนคา x = 7 ใน (3) จะได y = 7+2 = 9 ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได 7+9 = 16 9–7 = 2 ซึง่ เปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (7, 9) ตัวอยางที่ 2 วิธีทํา

จงแกระบบสมการ x – y = 6 และ 2x – y = 4 x–y = 6 (1) 2x – y = 4 (2) จาก (1) ในรูปตัวแปร y จะได x = 6 + y (3) แทนคา x จาก (3) ในสมการ (2) จะได 2(6 + y) – y = 4 12 + 2y – y = 4 12 + y = 4 y = ………… y = ………… แทนคา y = -8 ใน (3) จะได x = 6 + ………… = ………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………… = 16 ………………… = 4 ซึ่งเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ……………………


118


กิจกรรมที่ 3.2 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา และการเชื่อมโยง จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. x + y = 20 และ x – y = 4 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 2. x + y = 12 และ 2x – y = 3 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


119

3. 2x + y = 6 และ 3x + 4y = 4 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. x + 2y = 1 และ x – 2y = 5 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

120


การแกระบบสมการดวยวิธีการทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเทากัน นอกจากจะแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคาแลว ยังสามารถการแกระบบสมการดว ย วิธีการทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเทากัน ซึ่งมีวิธีการดังนี้ 1) เขียนสมการทั้งสองใหอยูในรูป Ax + By = C เมื่อ A, B, C เปนคาคงตัว 2) ถาจํานวนนั้นเปนเศษสวนหรือทศนิยมใหทําใหเปนจํานวนเต็ม โดยถาเปนเศษ จะตอง คูณดวย ค.ร.น. ของตัวสวน และถาเปนทศนิยม จะตองคูณดวย 10 หรือ 100 หรือ 1,000, … เพื่อทําให เปนจํานวนเต็ม 3) ทําสัมประสิทธิ์ของแตละตัวใหเทากัน โดยนําตัวเลขมาคูณตัวแปรแตละตัว 4) ทําสัมประสิทธิ์ของตัวแปรแตละตัวใหหมดไป โดยการบวกหรือลบสมการทั้งสอง 5) เมื่อแกสมการไดคําตอบของตัวแปรตัวหนึ่งแลว ใหนําคาของตัวแปรไปแทนในสมการ เพื่อไดคําตอบของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง ตัวอยางที่ 3 วิธีทํา

จงแกระบบสมการ 5x + 3y = 17 และ -5x + 2y = 3 5x + 3y = 17 (1) -5x + 2y = 3 (2) นําสมการ (1) + (2) จะได สมการ (1) + (2) หมายถึง นําจํานวนทีอ่ ยูขาง (5x + 3y) + (-5x + 2y) = 17 + 3 เดียวของเครื่องหมายเทากับของ (1) และ (2) มา 5y = 20 บวกกัน เพื่อทําใหสมการมี x เปนตัวแปรตัวเดียว ………… = ……………… แทนคา y = ………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซึ่งเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………



121

ตัวอยางที่ 4 วิธีทํา

จงแกระบบสมการ 3x + 3y = 15 และ 2x + 6y = 22 3x + 3y = 15 (1) 2x + 6y = 22 (2) นํา (1) × 2 จะได 6x + 6y = 30 (3) นําสมการ (3) – (2) จะได นํา (1) × 2 เพื่อทําให (6x + 6y) – (2x + 6y) = 30 – 22 สัมประสิทธิ์ของ y เทากัน ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซึ่งเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

ตัวอยางที่5 วิธีทํา

จงแกระบบสมการ 2x + 4y = 3 และ 3x + 6y = 8 2x + 4y = 3 (1) 3x + 6y = 8 (2) นํา (1) × 3 จะได 6x + 12y = 9 (3) นํา (2) × 2 จะได 6x + 12y = 16 (4) นําสมการ (3) – (4) จะได (6x + 12y) – (6x + 12y) = 30 – 22 ………………………… = ……………… ………………………… = ……………………………………………….. ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ


122



จงแกระบบสมการ x – 2y = -3 และ -3x + 6y = 9 x – 2y = -3 (1) -3x + 6y = 9 (2) นํา (2) ÷ (-3) จะได ……………… = ……………… (3) จะเห็นวาสมการ (3) ที่ไดจากสมการ (2) เปนสมการเดียวกับ (1) แสดงวา สมการ (1) และสมการ (2) มีคําตอบเปนอยางเดียวกันซึ่งมีมากมายไมจํากัด ดังนั้น จึงหาคูอันดับที่เปนคําตอบของระบบสมการนี้ไดจากสมการใดสมการหนึ่ง ดังนี้ จากสมการ (1) จะได 2y = x + 3 …………… = ……………… ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูปคือ ……………………


จงแกระบบสมการ -0.3x + 0.5y = -0.1 และ 0.01x – 0.4y = -0.8 -0.3x + 0.5y = -0.1 (1) 0.01x – 0.4y = -0.8 (2) นํา (1)×10 จะได ……………… = ……………… (3) นํา (2)×……… จะได x + 40y = -38 (4) นํา (4)×3 จะได ……………… = ……………… (5) นําสมการ (3) + (5) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซึ่งเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ……………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 3 ระบบสมการเชิงเสน ตัวอยางที่ 8 วิธีทํา

123

จงแกระบบสมการ 1 x + 2 y = 1 และ 3 x – 1 y = 2 2 3 4 3 1x+ 2y = 1 2 3 3x– 1y = 2 4 3 นํา (1)×…… จะได ……………… = ……………… ……………… = ………………

(1) (2) (3)

ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ…………

นํา (2)×…… จะได ……………… = ……………… ……………… = ………………

(4)

ค.ร.น. ของ 4 และ 3 คือ…………

นําสมการ (3) + (4) จะได ………………………… = ………………………………… ………………………… = ………………………………… ………………………… = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได ………………………… =

…………………………………

………………………… =

…………………………………

………………………… =

…………………………………

………………………… =

…………………………………

………………………… =

…………………………………

………………………… =

…………………………………

ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… =

…………………………………

………………………… =

………………………………… ซึ่งเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ……………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

124


กิจกรรมที่ 3.3 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา และการเชื่อมโยง จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. x + 3y = 7 และ -x + 4y = 7 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 2. x – 2y = 6 และ -x + 3y = -4 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


125

3. x + 7y = 8 และ 3x + 2y = 5 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. 3x – y = 7 และ 4x – 3y – 11 = 0 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

126


5. x + 2y – 1 = 0 และ 2x + 4y = 5 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 6. 4x – 3y = 12 และ x = 3 y + 3 4 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


127

7. 0.2x + 0.3y = 0.1 และ 0.03x – 0.01y = 0.07 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 3 x + 2 y = 14 8. และ 3 x – 1 y = 14 5 3 4 3 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

128


นักเรียนไดเรียนการแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคาและวิธีการทําใหสัมประสิทธิ์ของ ตัวแปรเทากันแลว นักเรียนจะเห็นวา จะใชวิธีการใดก็ได ซึ่งคําตอบของระบบสมการจะเทากัน แต การใชวิธีการแกระบบสมการที่เหมาะสมจะชวยทําใหหาคําตอบของระบบสมการไดรวดเร็ว ตัวอยางที่ 9 วิธีทํา

จงแกระบบสมการ 2x = 5y + 1 และ 24 – 7x = 3y 2x = 5y + 1 24 – 7x = 3y จากสมการ (1) จะได x = ……………… แทนคา x = ………… ในสมการ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา y = ………… ในสมการ (3) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

(1) (2) (3)

ซึ่งเปนจริง



129

กิจกรรมที่ 3.4 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา และการเชื่อมโยง จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. 11x + 8y = -12 และ 13x – 6y = 83 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 2. 2x + 3y = 1.6 และ 3x – 4y = 4.1 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

130


3. x + 7y = 8 และ 3x + 2y = 5 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. 2x – 3y = -9 และ 3(x – 1) = 5(y – 4) + 2 วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


131

MATH Series

3.3 โจทยสมการเชิ สมการเชิงเสนสองตัวแปร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหาได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน

1. 2. 3. 4. 5. 6.

มีความรับผิดชอบ มีความสนใจใฝรู มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย มีความเชื่อมั่นในตนเอง มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร


132


โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร การใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหานั้น เปนการแกปญหาเพื่อหาคําตอบ ของโจทยปญหาโดยจัดใหอยูในระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ซึ่งขั้นตอนการแกโจทยปญหาโดย ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนั้นมีขั้นตอนดังนี้ รูแลวหรือยัง??

ขั้นตอนการแกโจทยปญหาระบบสมการ มี 5 ขั้นตอนดังนี้

ขั้นที่ 1 อานและวิเคราะหโจทย เพื่อหาวา โจทยกําหนดอะไรมาให และใหหาอะไร ขั้นที่ 2 กําหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทยกําหนดใหหาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวของกับสิ่งที่โจทยใหหา ขั้นที่ 3 เขียนระบบสมการตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนด ขั้นที่ 4 แกระบบสมการเพื่อหาคําตอบที่โจทยตองการดวยวิธีการที่เหมาะสม ขั้นที่ 5 ตรวจสอบคําตอบที่ไดกับเงื่อนไขในโจทย ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา

ถาครึ่งหนึ่งของผลบวกของจํานวนสองจํานวนเปน 43 และสามเทาของจํานวนนอย มากกวาสองเทาของจํานวนมากอยู 23 จงหาจํานวนสองจํานวนนั้น ให x แทนจํานวนมาก และ y แทนจํานวนนอย ครึ่งหนึ่งของผลบวกของจํานวนสองจํานวนเปน 43 จะไดสมการเปน 1 (x + y) = 43 (1) 2 สามเทาของจํานวนนอยมากกวาสองเทาของจํานวนมากอยู 23 จะไดสมการเปน 3y – 2x = 23 (2) นํา (1)×2 จะได ……………… = ………………… (3) นํา (3)×2 จะได ……………… = ………………… (4) นําสมการ (2) + (4) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = ………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


ตรวจสอบ



133

…………………………………. = ………………………………… ถาจํานวนสองจํานวนนั้นคือ ……… และ ……… จะไดครึ่งหนึ่งของผลบวกเปน ………………………………………………………………………………………. และสามเทาของ ……… มากกวาสองเทาของ ……… อยูเทากับ ………………………………………………………………………………………. ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย ตอบ…………………………………………………… ในกระจาดใบหนึ่งมีจํานวนมะมวงและจํานวนสมรวมกันอยู 78 ผล ถาจํานวน มะมวงนอยกวาจํานวนสมอยู 24 ผล กระจาดใบนี้มีมะมวงและสมอยางละกี่ผล ให x แทนจํานวน………………และ y แทนจํานวน……………… จํานวนมะมวงและจํานวนสมรวมกันเทากับ 78 ผล จะไดสมการเปน ……………… = ………………… (1) จํานวนมะมวงนอยกวาจํานวนสมอยู 24 ผล จะไดสมการเปน ……………… = ………………… (2) จาก …… จะได ……………… = ………………… (3) แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… ถาจํานวนมะมวงเปน ……… ผลและจํานวนสม ……… ผล จะไดจํานวนมะมวง และจํานวนสมรวมกันเทากับ……………………………………………………….. และจํานวนมะมวงนอยกวาจํานวนสมอยูเทากับ……………………………………. ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย ตอบ…………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

134 ตัวอยางที่ 3 วิธีทํา


ตัวอยางที่ 4



ลวดหนามขดหนึ่งยาว 36 เมตร นําไปลอมรอบพื้นที่รูปสี่เหลี่ ยมผื นผ าที่มีด านกวาง สั้นกวาดานยาว 4 เมตร ไดพอดี จงหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผานี้ ใหพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา ยาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร ลวดหนามขดนี้ยาว 36 เมตร นําไปลอมรอบพื้นที่ รูปสี่เหลี่ยมผืนผาไดพอดี จะไดสมการเปน 2x + 2y = 36 (1) ดานกวางสั้นกวาดานยาว 4 เมตร จะไดสมการเปน ……………… = ………………… (2) นํา (1) ÷ 2 จะได ……………… = ………………… (3) นําสมการ (2) + (3) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… นําสมการ (3) – (2) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… ถาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผายาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร จะไดวาเมื่อนํา ลวดหนามขดหนึ่งนําไปลอมรอบพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผาจะยาวเทากับ ………………………………………………………………………………………. และดานกวางของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา สั้นกวาดานยาวเทากับ ………………………………………………………………………………………. ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย ตอบ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผายาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร ผสมแปงสาลีชนิดราคากิโลกรัมละ 4 บาท กับแปงมันชนิดราคากิโลกรัมละ 5.50 บาท จงหาวาจะตองใชอัตราสวนผสมของแปงสาลีตอแปงมันโดยน้ําหนักเปนเทาไร จึงจะขายแปงผสมในราคากิโลกรัมละ 6 บาทแลวยังไดกําไร 20 % สมมติวาซื้อแปงสาลี x กิโลกรัม คิดเปนเงิน 4x บาท ซื้อแปงมัน y กิโลกรัม คิดเปนเงิน 5.50y บาท ซื้อแปง x + y กิโลกรัม คิดเปนตนทุน 4x + 5.50y บาท ขายแปงผสมกิโลกรัมละ 6 บาท ไดกําไร 20 % หมายความวา



135

ถาขายไป 120 บาท ลงทุน

100 บาท 100×6 = 5 บาท ถาขายไป 6 บาท ลงทุน 120 ดังนั้นตนทุนของแปงผสมราคากิโลกรัมละ 5 บาท ตนทุนของแปงผสมคิดเปนเงิน 5(x + y) บาท ดังนั้น 4x + 5.50y = 5(x + y) 4x + 5.50y = 5x + 5y …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… ตรวจสอบ

ถาใชแปงสาลี ……… กิโลกรัม ผสมกับแปงมัน ……… กิโลกรัม จะมีตนทุนเปน ………………………………………………………………………………………. ถาขายแปงผสม 3 กิโลกรัม กิโลกรัมละ 6 บาท ไดเงิน…………………………บาท ขายแปงผสม 3 กิโลกรัม ไดกําไร……………………………………………….บาท คิดเปนกําไร………………………………………ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย ดังนั้น อัตราสวนผสมแปงสาลีตอแปงมันเปน 1 : 2 โดยน้ําหนัก ตอบ ………………

ตัวอยางที่ 5

พี่เคนมีเงิน 9,600 บาท เขาลงทุนสวนหนึ่งไดดอกเบี้ย 6% ตอป สวนที่เหลือลงทุน ไดดอกเบี้ย 8% ตอป ถาในหนึ่งปเขาไดดอกเบี้ยทั้งหมด 632 บาท จงหาวาเขาลงทุน แหงละเทาไร ให x เปนจํานวนเงินที่เขาลงทุนไดดอกเบี้ย 6% y เปนจํานวนเงินที่เขาลงทุนไดดอกเบี้ย 8% พี่เคนมีเงิน 9,600 บาท จะไดสมการเปน x + y = 9,600 (1) 6 x เขาลงทุนสวนหนึ่งไดดอกเบี้ย 6% ตอป คิดเปนเงิน บาท 100 8 x สวนที่เหลือลงทุนไดดอกเบี้ย 8% ตอป คิดเปนเงิน บาท 100



136



ถาในหนึ่งปเขาไดดอกเบี้ยทั้งหมด 632 บาท จะไดสมการเปน ………………………… = 632 (2) นํา (2)×100 จะได …………………… = ………………… (3) นํา (1)×……จะได 6x + 6y = 57,600 (4) นําสมการ (3) – (4) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ (1) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… พี่เคนลงทุน ………… บาท ที่ไดดอกเบี้ย 6% และลงทุน ………… บาท ที่ได ดอกเบี้ย 8% จะไดวาเขามีเงินเทากับ………………………………………………. เขาลงทุนสวนหนึ่งไดดอกเบี้ย 6% ตอป คิดเปนเงิน……………………………บาท สวนที่เหลือลงทุนไดดอกเบี้ย 8% ตอป คิดเปนเงิน…………………………….บาท ดังนั้น เขาไดดอกเบี้ยทั้งหมดเทากับ……………………………………………บาท ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย ตอบ พี่เคนลงทุน ………… บาท ที่ไดดอกเบี้ย 6% และลงทุน ………… บาท ที่ได ดอกเบี้ย 8%



137

กิจกรรมที่ 3.5 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา สื่อสาร นําเสนอ และเชื่อมโยง

1. ผลตางของจํานวนสองจํานวนเปน 16 ถาสามเทาของจํานวนมากเทากับเกาเทาของจํานวนนอย จงหาจํานวนทั้งสอง วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 2. ปานอยขายแอปเปล 2 ผลกับสาลี่ 3 ผล ในราคา 35 บาท แตถาลูกคาซื้อแอปเปล 3 ผลกับสาลี่ 6 ผล จะขายในราคา 60 บาท แอปเปลและสาลี่แตละผลราคาเทากัน ปานอยขายแอปเปลและสาลี่ราคา ผลละเทาไร วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

138


3. สวนดอกไมรูปสี่เหลี่ยมผืนผาแหงหนึ่งมีความยาวรอบรูปเทากับ 628 เมตร ถาความยาวของสวน ดอกไมยาวกวาดานกวาง 6 เมตร จงหาความกวางและความยาวของสวนดอกไมแหงนี้ วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. ตองผสมน้ําตาลทรายชนิดราคากิโลกรัมละ 12 บาท กับน้ําตาลทรายชนิดราคากิโลกรัมละ 14 บาท จงหาวาจะตองใชอัตราสวนผสมเปนเทาไร จึงจะขายน้ําตาลทรายผสมในราคากิโลกรัมละ 15 บาท แลวยังไดกําไร 20 % วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


139

5. พี่แบงกนําเงิน 880,000 บาท ไปลงทุนทํากิจการสองอยาง เมื่อสิ้นปไดกําไร 132,600 บาท ถาพี่ แบงกลงทุนกิจการอยางแรกไดกําไร 14% และลงทุนกิจการอยางที่สองไดกําไร 16% อยากทราบ วาพี่แบงกลงทุนกิจการแตละอยางไปเทาไร วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 6. นองฝนสะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมกันได 200 เหรียญ คิดเปนเงินรวมกัน 920 บาท อยากทราบวานองฝนมีเหรียญแตละชนิดอยางละกี่เหรียญ วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

140


ชวนคิดคณิตศาสตร กลอน…เจาปญหา ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู กาลครั้งหนึ่งมีพญายูงฝูงปกษา เกาะบัวตัวละใบทั่วอุบล บินใหมเกาะใหมใบละสอง จงแกโจทยประจักษอยาหมองมัว

บินรอนมาลงสระใหญในไพรสณฑ แลวบินวนเหลือหลามอยูสามตัว ใบบัวทองเหลือหนึ่งไมพึงทั่ว วาสระบัวมีนกกี่ตัว บัวกี่ใย

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………


หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น

Recommend Documents