หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ระบบจำนวนเต็ม

หนวยการเรียนรูที่ 2

ระบบจํานวนเต็ม

มาตรฐานการเรียนรู มาตรฐาน ค 1.1 มาตรฐาน ค 1.2 มาตรฐาน ค 1.4 มาตรฐาน ค 6.1 มาตรฐาน ค 6.2 มาตรฐาน ค 6.3 มาตรฐาน ค 6.4 มาตรฐาน ค 6.5

: : : : : : : :

ผลการเรียนรูท ี่คาดหวัง

ขอ 1 ขอ 1, 3 และ 4 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1

1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได 2. เปรียบเทียบจํานวนเต็มได 3. บวก ลบ คูณ และหารจํานวนเต็มได 4. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการบวก การลบ การคูณและการหารจํานวนเต็ม พรอม ทั้งบอกความสัมพันธของการ ดําเนินการได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของ คําตอบที่ได

สาระการเรียนรู 2.1 จํานวนเต็ม (2 ชั่วโมง) 2.2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม (2 ชั่วโมง) 2.3 สมบัติของจํานวนเต็ม (3 ชั่วโมง) 2.4 การบวก การลบ การคูณ และการหาร จํานวนเต็ม (10 ชั่วโมง) พรอมหรือยัง ? ถาพรอมแลว ก็เริม่ เรียนแลวนะครับ 35

36

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1

MATH Series

2.1 จํานวนเต็ม

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได 2. ระบุจํานวนตามเงื่อนไขที่กําหนดได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การระบุหรือยกตัวอยาง และอธิบายลักษณะของจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได 2. การคิดคํานวณ 3. การแกปญหา 4. การใหเหตุผล 5. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 6. การเชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ ได 7. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 2 ระบบจํานวนเต็ม

37

จํานวนเต็ม (Integer) หนวยการเรียนรูที่ผานมา นักเรียนไดรูจักจํานวนนับแลว หรือเรียกจํานวนนับอีกอยางหนึ่งวา จํานวนเต็มบวก ซึ่งไดแก 1, 2, 3, 4, 5, . . . พิจารณาเสนจํานวนตอไปนี้ -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

จะพบวาจํานวนที่อยูบนเสนจํานวนแบงออกเปน …… กลุม คือ …………………………… ………………………………………………………………………………………………………… แผนผังแสดงความสัมพันธของ จํานวนเต็ม ซึ่งประกอบดวย จํานวนเต็มบวก ศูนย และจํานวนเต็มลบ จํานวนเต็ม

จํานวนเต็มลบ (Negative integer)

ศูนย (Zero)

จํานวนเต็มบวก (Positive integer)

จากแผนภาพขางตน จะไดวา จํานวนเต็มประกอบดวย จํานวนเต็มบวก ไดแก 1, 2, 3, 4, 5, … ศูนย ไดแก 0 จํานวนเต็มลบ ไดแก -1, -2, -3, -4, -5, … ดังนั้นเมื่อกลาวถึง จํานวนเต็ม จะหมายถึง จํานวนเต็มบวก หรือศูนย หรือจํานวนเต็มลบ ซึ่ง เขียนแสดงจํานวนเต็มทั้งหมดโดยใชเสนจํานวน (Number line) ดังนี้ -5

รูหรือไม

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

จํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่สามารถเขียนไดโดยใชตัวเลขสองตัว (หามใชเลข 0 มากกวาหนึ่งตัว)


38


กิจกรรมที่ 2.1 : ทักษะการใหเหตุผล สื่อความหมาย และการนําเสนอ 1. จงเติมเครื่องหมาย / ลงในชองวางตอไปนี้ใหถูกตอง พรองทั้งบอกชนิดของจํานวนเต็มดวย จํานวน

จํานวนเต็ม เปน ไมเปน

ชนิดของจํานวนเต็ม (จํานวนเต็มบวก ศูนย และจํานวนเต็มลบ)

1) 2) 3) 4)

0 300 -56 -6.8 5) - 402 6) - 35 6 1,000 7) 20 13 8) 190 9) -201.0101... 10) - 1080 9 2. จงเลือกจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ จากจํานวนในแตละขอตอไปนี้ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

จํานวน -4, -3, 0, 0.5, 1, 5 1 1 3 40 10 , -1, - 10 , 3, - 10 , 4 2, -0.5, 3, - 13 , -4, 14 -3, -2, -1, 0, 1, 2 -27, -7, 13, 993 , 53 500 68, - 132 11 , -0.104, 5 , -101 192, 30.5, - 753 , - 10.4 2 , 201 2,000 - 104 4 , 100 , 709, -1,010, -2,001

จํานวนเต็มบวก

จํานวนเต็มลบ

9) -3, 7, 31, -1, 5, -2, 0

10) -6, 9, -10, 29, -17, - 95 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


39

จํานวนเต็มลบ จากการพยากรณอากาศแสดงอุณหภูมิของอากาศในประเทศยุโรปในเดือนมกราคมของป หนึ่งพบวา อุณหภูมิของประเทศเดนมารก -25 ๐F อุณหภูมิของประเทศสวิตเซอรแลนด -20 ๐F อุณหภูมิของประเทศฝรั่งเศส -18 ๐F อุณหภูมิของประเทศอังกฤษ -15 ๐F นักเรียนจะพบวา -25, -20, -18 และ -15 เปนจํานวนเต็มที่มีเครื่องมหายลบอยูขางหนา นักเรียนเขาใจความหมายของจํานวนเหลานี้หรือไม ? ……………………………………… จงพิจารณาเสนจํานวนตอไปนี้ 5–8 5–7 5–6 5–5 5–4 5–3 5–2 5–1 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

จากเสนจํานวนจะเห็นผลตางของจํานวนสองจํานวน ดังนี้ 5–1=4 5–5=0 5–2=3 5 – 6 = -1 5–3=2 5 – 7 = -2 5–4=1 5 – 8 = -3 เรียกจํานวน -1, -2, -3 วา จํานวนเต็มลบ -1 อานวา ลบหนึ่ง -2 อานวา ลบสอง -3 อานวา ลบสาม


40

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 นักเรียนจะสังเกตเห็นวา

เมื่ อตั วตั้ง น อยกว า ตั วลบ ผลลัพ ธที่ไ ดจะเปน จํานวนลบเสมอ และเมื่อตัวลบเพิ่มขึ้น คําตอบที่ไดจะมีคาลดลงเรื่อย ๆ เรียกวา จํานวนลบ หรือจํานวนเต็มลบ ตัวอยางที่ 1

วิธีทํา

จงเขียนจํานวนสี่จํานวน โดยกําหนดเงื่อนไขดังตอไปนี้ 1) ตอจาก -3 โดยเพิ่มทีละ 2 2) ตอจาก -7 โดยลดทีละ 3 1) พิจารณาเสนจํานวน

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-14

-12

-10

-8

-6

จํานวนที่ตองการคือ -1, 1, 3, 2 2) พิจารณาเสนจํานวน -22

-20

-18

-16

จํานวนที่ตองการคือ -10, -13, -16, -19 ตัวอยางที่ 2


จงบอกเงื่อนไขและเขียนจํานวนหาจํานวนตามเงื่อนไขของจํานวนที่กําหนดไวใน แตละขอ 1) 5, 2, -1, . . . 2) -1, -3, -5, . . . 3) 0, -6, -12, . . . 4) -10, -6, -2, . . . 1) ลดทีละ 3 และจํานวนที่ตองการคือ -4, -7, -10, -13, -16 2) ลดทีละ 2 และจํานวนที่ตองการคือ -7, -9, -11, -13, -15 3) ลดทีละ 6 และจํานวนที่ตองการคือ -18, -24, -30, -36, -42 4) เพิ่มทีละ 4 และจํานวนที่ตองการคือ 2, 6, 10, 14, 18



41

กิจกรรมที่ 2.2 : ทักษะการใหเหตุผล สื่อความหมาย และการนําเสนอ 1. จงเติมจํานวนเต็มในรูปแบบเดียวกันสามจํานวนตามลําดับตอจากจํานวนทีกําหนดให จํานวนเต็ม เพิ่มทีละ ลดทีละ คําตอบที่ตองการ 1) -2, -4, -6, … 2 2) -1, -3, -5, … 2 3) -2, 0, 2, … 2 4) -3, -6, -9, … 3 5) -4, -1, 2, … 3 6) -2, -7, -12, … 5 7) -6, -5, -4, … 1 8) 5, 1, -3, … 4 9) 6, 2, -2, … 4 10) 1, -4, -9 5 2. จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) จงเขียนจํานวนหาจํานวน ตอจาก 0 โดยลดทีละ 3 ………………………………………………………………………………………... 2) จงเขียนจํานวนหาจํานวน ตอจาก -1 โดยลดทีละ 2 ………………………………………………………………………………………... 3) จงเขียนจํานวนหาจํานวน ตอจาก -15 โดยเพิ่มทีละ 3 ………………………………………………………………………………………... 4) จงเขียนจํานวนหกจํานวน ตอจาก -6 โดยเพิ่มทีละ 4 ………………………………………………………………………………………... 3. จงเขียนจํานวนสี่จํานวน ที่นับตอจากจํานวนที่กําหนดใหตอไปนี้ โดยพิจารณาตามเงื่อนไขที่ กําหนด 1) 0, -3, -6 2) 5, 2, -1, -4 ………………………………………………………………………………………... 3) -10, -30, -50 4) 60, 20, -20, -60 ………………………………………………………………………………………... 5) 100, 50, 0, -50 6) 742, 640, 538, 436 ………………………………………………………………………………………... ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

42


MATH Series

2.2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ นวน ม

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. เปรียบเทียบจํานวนเต็มไดถูกตอง ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การอธิบายเกี่ยวกับการเปรียบเทียบจํานวนเต็มได 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ ได 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร



43

การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม นักเรียนพิจารณาจํานวนบนเสนจํานวนและสังเกตจํานวนที่แตกตางกันบนเสนจํานวน -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1) จํานวนที่อยูทางขวามือของศูนยแตกตางกับจํานวนที่อยูทางซายมืออยางไร …………………………………………………………………………………………... 2) ถานําจํานวนบนเสนจํานวนมาเขียนเรียงลําดับจากซาย (-4) ไปขวา (4) จํานวนเพิ่มขึ้น หรือลดลงอยางไร …………………………………………………………………………………………... สรุปลักษณะของจํานวนบนเสนจํานวน ดังนี้ จํา นวนที่ อยู ท างขวามื อ จะมากกว า จํ า นวนเต็ มที่ อ ยูท างซ า ยมือ เสมอ ดั ง นั้น บนเส น จํานวน จํานวนเต็มลบที่อยูทางขวามือจะมากกวาจํานวนเต็มลบที่อยูทางซายมือ หรือจํานวนเต็ม ลบที่อยูทางซายมือบนเสนจํานวนจะนอยกวาจํานวนเต็มลบที่อยูทางขวามือบนเสนจํานวน ตัวอยางที่ 1

จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหถูกตอง 1) 5 มากกวา 3 ใชสัญลักษณ 2) -6 นอยกวา -5 ใชสัญลักษณ 3) -1 .............. 0 ใชสัญลักษณ 4) -80 .............. -40 ใชสัญลักษณ 5) -100 .............. -60 ใชสัญลักษณ 6) -1 .............. -7 ใชสัญลักษณ 7) 2 .............. -2 ใชสัญลักษณ 8) -3,000 .............. -280 ใชสัญลักษณ 9) -20 .............. -200 ใชสัญลักษณ 10) -150 .............. -160 ใชสัญลักษณ

..........5.>.3............ ..........-6.<.-5.......... ............................... ............................... ............................... ............................... ............................... ............................... ............................... ...............................


44


กิจกรรมที่ 2.3 : ทักษะการใหเหตุผลและการเชื่องโยง 1. จงเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากนอยไปหามาก 1) -15, -21, -18, 1, -13 …………………………………………………………. 2) 10, 2, -22, -98, -17 …………………………………………………………. 3) -100, -300, 230, -50, -20 …………………………………………………………. 4) -120, -320, -220, 110, -20 …………………………………………………………. 5) 1,000, -400, -29, 680, -373 …………………………………………………………. 2. จงเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากมากไปหานอย 1) -7, 4, -13, 0, -36 …………………………………………………………. 2) -20, -270, -120, -240, -1 …………………………………………………………. 3) -11, 70, -18, -450, 50 …………………………………………………………. 4) -200, -250, 5, -150, 100 …………………………………………………………. 5) 90, -9, -2,460, 4321, -835 …………………………………………………………. 3. จงเติมเครื่องหมาย > และ < เพื่อทําใหประโยคตอไปนี้เปนจริง 1) 6 .............. -5 2) -42 .............. -35 3) -8 .............. 9 4) -87 .............. -97 5) -17 .............. 19 6) -45 .............. -54 7) 0 .............. -6 8) -301 .............. -103 9) -9 .............. -13 10) 100 .............. 101 4. สถานีโทรทัศนชอง 55 รายงานสภาพอากาศประจําวันของ 5 จังหวัดทางภาคเหนือโดยวัด อุณหภูมิที่ยอดเขาของจังหวัดตาง ๆ ไดดังนี้ จังหวัดลําพูน 5 องศาเซลเซียส จังหวัดเชียงใหม -3 องศาเซลเซียส จังหวัดแพร -1 องศาเซลเซียส จังหวัดเชียงราย -7 องศาเซลเซียส จังหวัดแมฮองสอน -5 องศาเซลเซียส 1) จังหวัดใดมีสภาพอากาศหนาวนอยที่สุด …………………………………… 2) จังหวัดใดมีสภาพอากาศหนาวมากที่สุด …………………………………… 3) จังหวัดใดมีสภาพอากาศอบอุนที่สุด …………………………………… 4) จงเรียงชื่อของจังหวัดตาง ๆ จากจังหวัดที่มีอากาศอบอุนไปยังจังหวัดที่มีอากาศอบอุน นอยที่สุด …………………………………………………………………………



45

MATH Series

2.3 สมบัติของจํานวนเต็ม

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกสมบัติของจํานวนเต็มได 2. ใชสมบัติของจํานวนเต็มในการแกปญหาได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การอธิบายเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนเต็มได 2. การแสดงวิธีการใชสมบัติของจํานวนเต็มในการแกปญหาได 3. การแกปญหาและการใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ ได 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร


46


สมบัติของจํานวนเต็ม 1. ประโยคทางคณิตศาสตร รูไว ใชวา

ตัวอยางที่ 1


ประโยคทางคณิตศาสตรสามารถเปนไดทั้งจริงและเท็จขึ้นอยูกับคาความ จริงของประโยคนั้นหรือการกําหนดคาของตัวแปรที่ แทนลงในประโยค ในบาง ประโยคจะมีคาบางคาที่ยังไมสามารถระบุได ทางคณิตศาสตรจะใหคาเหลานั้นแทน ดวยตัวแปร นิยมใชภาอังกฤษ จงพิจารณาประโยคตอไปนี้ a–1<5 ในที่นี้ตัวแปรคือ a แทนคา a = 3 จะได 3 – 1 < 5 2<5 ดังนั้น a – 1 < 5 เปนจริง เมื่อ a = 3 แทนคา a = 9 จะได 9 – 1 < 5 8<5 ดังนั้น a – 1 < 5 เปนเท็จ เมื่อ a = 9 จงพิจารณาประโยคตอไปนี้ ประโยค

1. 28 – 3 = 25 2. 5 – a = 2 3. x – 7 = 8 4. c + 5 = 8 5. 20 – a = 15 6. n – 9 = 13 7. 2d + 6 = 9 8. 40 – 6 = 34 9. 3a + 2 = 8 10. 2y – 1 = 3

เปนจริง

เปนเท็จ

ตัวแปร

คาของตัวแปร

a

3 10 2 5 4 1 1 2

ประโยค จริง / /

เท็จ



47

2. สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคที่ 1 20 + 60 = 80 ประโยคที่ 2 60 + 20 = 80 1) ลักษณะของประโยคทั้งสองมีความแตกตางกันอยางไร …………………………………………………………………………………………... 2) คําตอบของประโยคทั้งสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………... นักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการบวกขางตนวาเปน……………………………………… เมื่อ a และ b แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว a + b = b + a เรียกวา………………….………………………… ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคที่ 1 (10 + 20) + 60 = 30 + 60 = 90 ประโยคที่ 2 10 + (20 + 60) = 10 + 80 = 90 1) ลักษณะของประโยคทั้งสองมีความแตกตางกันอยางไร …………………………………………………………………………………………... 2) คําตอบของประโยคทั้งสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………... นักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการบวกขางตนวาเปน……………………………………… เมื่อ a และ b แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว (a + b) + c = a + (b + c) เรียกวา………………….…………………………… ตัวอยางที่ 3


จงหาจํานวนที่แทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง 1) 20 + a = 3 + 20 2) (15 + x) + 28 = y + (37 + 28) 1) 20 + a = 3 + 20 ดังนั้น a = 3 2) (15 + x) + 28 = y + (37 + 28) ดังนั้น x = 37 และ y = 15 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

48


จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหสมบูรณ ประโยคที่เปนจริง จํานวนที่แทนตัวแปร สมบัติของจํานวนเต็ม สมบัติการสลับที่สําหรับการบวก 1. m + 6 = 6 + 8 2. 11 + 25 = n + 11 3. 4 + (p + 27) = (q + 14) + r p = ……, q =……, r = …… 4. (a + 100) + 990 = 405 + (x + y) a = ……, x = ……, y = …… 5. (37 + 91) + 86 = c + (37 + d) c = ……, d = …… ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคที่ 1 10 × 20 = 200 ประโยคที่ 2 20 × 10 = 200 1) ลักษณะของประโยคทั้งสองมีความแตกตางกันอยางไร …………………………………………………………………………………………... 2) ผลคูณของประโยคทั้งสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………... นักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการคูณขางตนวาเปน……………………………………… เมื่อ a และ b แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว a × b = b × a เรียกวา………………….………………………… ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคที่ 1 (10 × 20) × 60 = 200 × 60 = 12,000 ประโยคที่ 2 10 × (20 × 60) = 10 × 1,200 = 12,000 1) ลักษณะของประโยคทั้งสองมีความแตกตางกันอยางไร …………………………………………………………………………………………... 2) ผลคูณของประโยคทั้งสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………... 3) การนําวงเล็บมาแบงกลุมทําใหมีผลตอผลลัพธของการคูณหรือไม …………………………………………………………………………………………...



49

นักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการคูณขางตนวาเปน……………………………………… เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว (a × b) × c = a × (b × c) เรียกวา………………….…………………………… ตัวอยางที่ 4


จงหาจํานวนที่แทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง = 30 × 25 1) 25 × a 2) (16 × b) × 22 = 22 × (16 × 20) = 30 × 25 1) 25 × a ดังนั้น a = 30 2) (16 × b) × 22 = 22 × (16 × 20) ดังนั้น b = 20

จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหสมบูรณ ประโยคที่เปนจริง 1. 112 × a = 53 × 112 2. (72 × b) × 81 = c × (72 × 63) 3. (44 × 25) × 90 = m × (25 × n) 4. (83 × y) × 69 = z × (57 × 69) 5. 37 × (56 × p) = (q × 71) × 37

จํานวนที่แทนตัวแปร

สมบัติของจํานวนเต็ม สมบัติการสลับที่สําหรับการคูณ

b = ……, c = …… m = ……, n = …… y = ……, z = …… p = ……, q = ……

ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคที่ 1 10 × (20 + 60) = 10 × 80 = 800 ประโยคที่ 2 (10 × 20) + (10 × 60) = 200 + 600 = 800 1) ลักษณะของประโยคทั้งสองมีความแตกตางกันอยางไร …………………………………………………………………………………………... 2) ผลลัพธของประโยคทั้งสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………... นักเรียนชวยกันสรุปลักษณะความสัมพันธของจํานวนเต็มวาเปน…………………………… ……………………………………… เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว a × (b + c) = (a × b) + (a × c) และ (b + c ) × a = (b × a) + (c × a) เรียกวา………………….……………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

50 ตัวอยางที่ 5


ตัวอยางที่ 6 วิธีทํา

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 จงหาจํานวนที่แทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง 1) m × (50 + 39) = (11 × 50) + (11 × n) 2) x × (36 + 67) = (29 × y) + (z × 67) 1) m × (50 + 39) = (11 × 50) + (11 × n) ดังนั้น m = 11 และ n = 39 2) x × (36 + 67) = (29 × y) + (z × 67) ดังนั้น x = 29, y= 36 และ z = 29 จงตรวจดูวา 8 × (10 – 3) = (8 × 10) – (8 × 3) เปนจริงหรือไม 8 × (10 – 3) = 8 × 7 = 56 และ (8 × 10) – (8 × 3) = 80 – 47 = 56 ดังนั้น 8 × (10 – 3) = (8 × 10) – (8 × 3) เปนจริง

จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหสมบูรณ 1) 13 × (26 + 45) = (……… × 26) + (13 × ………) 2) (57 + 82) × 64 = (57 × ………) + (……… × 64) 3) 93 × 102 = ……… × (100 + ………) = (……… × ………) + (93 × ………) = ……… + ……… = ……… 4) 99 × 76 = (100 – ………) × 76 = (………× 76) – (………× 76) = ……… – ……… = ……… 5) 112 × 998 = 112 × (……… – ………) = (……… × ………) – (……… × ………) = ……… – ……… = ………



51

สรุปสมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม รูไว ใชวา

การบวก

การคูณ

สมบัติการสลับที่ (Commutative property) เมื่อ a และ b แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว เมื่อ a และ b แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว a+b=b+a a× b=b× a สมบัติการเปลีย่ นหมู (Associative property) เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว (a + b) + c = a + (b + c) แลว (a × b) × c = a × (b × c) สมบัติการแจกแจง (Distributive property) เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (b + c ) × a = (b × a) + (c × a)

กิจกรรมที่ 2.4 : ทักษะการใหเหตุผลและการสื่อสารทางคณิตศาสตร 1. จงหาจํานวนทีแ่ ทนตัวแปร แลวทําใหประโยคเปนจริง 1) x + 10 = 10 + (-31) ; x = ……………………………… 2) y × 15 = 17 × 15 ; y = ……………………………… 3) (2 + 3) + 5 = z + (3 + 5) ; z = ……………………………… 4) (9 × 8) × 7 = 9 × (a × 7) ; a = ……………………………… 5) 12 × [(-2) + 7] = [a × (-2)] + [12 × b] ; a = …………… , b = …………… 2. จงเติมจํานวนหรือตัวแปรลงในชองวางโดยทําใหประโยคเปนจริงสําหรับทุกๆคาของตัวแปร 1) (-5) + (………+ 9) = [(-5) + 5] + 9 2) 9 × (8 × ………) = (………× ………)× 5 3) a × (19 + 5) = (a × ………) + (a × ………) 4) 9 × (………+………+………) = 9 × 522 5) [5 + (-3) + 2] × ……… = (………× 6) + [(-3) × 6] + (………× 6) ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

52

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 3. จงตรวจดูวาประโยคตอไปนีข้ อใดเปนจริง (9) และประโยคในขอใดเปนเท็จ (8) ………………1) (8 + 5) × 2 = (8 × 2) + (5 × 2) ………………2) (12 – 6) × 4 = (12 × 4) – (12 × 4) ………………3) 7 × (3 + 9) = (7 + 3) × (7 + 9) ………………4) 28 – (16 – 7) = (28 – 16) – 7 ………………5) 15 × (20 – 5) = (15 × 20) – (15 × 5) ………………6) (-4) × (13 + 7) = [(-4) × 13)] + [(-4) × 7) ………………7) [(-9) – 7] – 18 = (-9) – [7 – 18] ………………8) [45 ÷ 15] ÷ 3 = 45 ÷ (15 ÷ 3) ………………9) (21 ÷ 7) + (14 ÷ 7) = (21 + 14) ÷ 7 ………………10) (a × b) × c = (a × c) + (b × c)

สมบัติของศูนยและหนึ่ง 1. สมบัติของศูนย รูไว ใชวา

ศูนย (0) ไมใชจํานวนนับ และ 0 เปนจํานวนคู ศูนยแทนความไมมี เชน ในกลองเปลาใบนี้ไมมีสิ่งของอะไรอยูเลย ศูนยแทนอุณหภูมิที่น้ํากลายเปนน้ําแข็ง ซึ่งเรียกวา จุดเยือกแข็ง แตศูนยที่อยูในจํานวนตาง ๆ จะแสดงคาประจําหลัก เชน 20 202 2,000 4,050 ซึ่งศูนยเหลานี้มีความหมาย

พิจารณาประโยคตอไปนี้ (1) 3 + 0 = 3 (2) 8 – 0 = 8 (3) 5 × 0 = 0 (4) 0 ÷ 9 = 0 1. จํานวนนับบวกศูนยมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………... 2. จํานวนนับลบศูนยมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………... 3. จํานวนนับคูณศูนยมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………... 4. ศูนยหารดวยจํานวนนับมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………... ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


53

พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ (1) 2+0 = 2 0+2 = 2 ดังนั้น 2 + 0 = 0 + 2 = 2 จะเห็นวา จํานวนใด ๆ บวกกับ 0 จะไดจํานวนนั้น จึงสรุปไดวา เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ แลว a + 0 = 0 + a = a เรียกวา 0 วา เอกลักษณการบวก (2)

9×0 = 0 0×9 = 0 ดังนั้น 9 × 0 = 0 × 9 = 0 จะเห็นวา จํานวนใด ๆ คูณกับ 0 จะได 0 จึงสรุปไดวา เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0

(3)

0 ÷ 10 = 100 = 0 0 =0 0 ÷ 255 = 255

ดังนั้น 9 × 0 = 0 × 9 = 0 จะเห็นวา 0 หารดวยจํานวนใด ๆ ที่ไมใช 0 จะได 0 จึงสรุปไดวา เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ แลว 0 ÷ a = 0a = 0, a ≠ 0 (4)

1) 15 × 0 = 0 2) 0 × 8 = 0 3) 0 × 0 = 0 จะเห็นวา ถาผลคูณของจํานวนสองจํานวนใด ๆ เทากับ 0 จํานวนใดจํานวนหนึ่งอยางนอย หนึ่งจํานวนตองเปน 0 จึงสรุปไดวา เมื่อ a และ b แทนจํานวนใด ๆ ถา a × b = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0


54


รูไว ใชวา

ศูนยเปนตัวหารไมไดหรือไมใชศูนยเปนตัวหาร เนื่องจากผลหารนั้นหา คาไมได เพราะการที่ตัวหารเปนศูนยไดผลลัพธเปน 2 กรณี 1. ให 03 = 1 ดังนั้น 3 = 0 × 1 = 0 ซึ่งเปนเท็จ และ 03 = 3 ดังนั้น 3 = 0 × 3 = 0 ซึ่งเปนเท็จ 2. ให 00 = 1 ดังนั้น 0 = 0 × 1 = 0 ซึ่งเปนจริง และ 00 = 3 ดังนั้น 0 = 0 × 3 = 0 ซึ่งเปนจริง จะเห็นไดวา เมื่อตัวหารเปนศูนยและตัวตั้งเปนจํานวนใด ๆ คําตอบที่ได เปนทั้งจริงและเท็จ จึงสรุปไดวา ผลหารนั้น หาคาไมได

2. สมบัติของหนึ่ง รูไว ใชวา หนึ่ง (1) เปนจํานวนนับที่นอยที่สุด พิจารณาประโยคตอไปนี้ (1) 11 × 1 = 11 1 × 11 = 11 (2) 55 × 1 = 55 1 × 55 = 55 1) จํานวนใด ๆ คูณกับหนึ่งมีผลลัพธมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………... 2) จํานวนใด ๆ เมื่อคูณกับหนึ่งแลวผลลัพธจะไดเทากับจํานวนนับนั้นเสมอหรือไม …………………………………………………………………………………………... ใหนักเรียนพิจารณาประโยคทางคณิตศาสตรวาเปนประโยคเปนจริงหรือเปนเท็จ ดังนี้ 1) 33 ÷ 1 = 33 หรือ 33 1 = 33 2) (-22) ÷ 1 = -22 หรือ -22 1 = -22 3) 99 99 = 1



55

ชวยคนหาคําตอบใหหนอยนะ 1) จํานวนใด ๆ เมื่อหารดวยหนึ่งผลลัพธทีไดมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………... 2) จํานวนใด ๆ เมื่อหารดวยหนึ่งแลวผลลัพธจะไดเทากับจํานวนนั้นเสมอหรือไม …………………………………………………………………………………………... 3) จํานวนใด ๆ ที่เทากันสองจํานวนหารกัน ผลลัพธจะไดเทากับหนึ่งเสมอหรือไม …………………………………………………………………………………………...

สรุป

1) เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ แลว a × 1 = 1 เอกลักษณการคูณ (Multiplicative identity) 2) เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ แลว 1a = a

×

a = a เรียกวา 1 วา

3) เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใช 0 แลว a ÷ a = 1

กิจกรรมที่ 2.5 : ทักษะการใหเหตุผล 1. จงหาผลลัพธ 1) 0 + (-5) 3) (-7) – 0 5) 0 × (-1)

= …………………… = …………………… = ……………………

2) 101 + 0 4) 1 × 0 6) 0 ÷ 1

= …………………… = …………………… = ……………………

2. จงหาคาของ a ที่ทําใหประโยคตอไปนี้เปนจริง 1) (a + 2)(a + 3) = 0 2) (a – 3)(a + 5) = 0 3) (a + 1)(a – 1) = 0

; ; ;

a = …………………… a = …………………… a = ……………………

3. จงหาผลลัพธ 1) 3) 5) 7)

1 × 15 (-11) × 1 -a × 1 -6 1 9) (a × b) ÷ 1

= = = =

…………………… …………………… …………………… ……………………

= ……………………

2) 4) 6) 8)

1 × (-1) = …………………… 1×a = …………………… (-a) ÷ 1 = …………………… -4 = …………………… -4 10) (-a) × b ÷ 1 = …………………


56


MATH Series

2.4 การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและลักษณะของคาสัมบูรณและจํานวนตรงขามได 2. หาคาของคาสัมบูรณและจํานวนตรงขามได 3. บวก ลบ คูณ และหารจํานวนเต็มได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการบวก การลบ การคูณและการหาร จํานวนเต็ม พรอมทั้งบอกความสัมพันธของการดําเนินการได 2. การคิดคํานวณ 3. การแกปญหา 4. การใหเหตุผล 5. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 6. การเชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ ได 7. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร



57

1. คาสัมบูรณและจํานวนตรงขาม 1.1 คาสัมบูรณ (Absolute value) พิจารณาเสนจํานวนตอไปนี้

-5

1) 2) 3) 4)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

ระยะหางของจํานวนเต็มบนเสนจํานวนเทากันหรือไม -5 อยูหางจาก 0 อยูเทาใด 5 อยูหางจาก 0 อยูเทาใด ระยะหางของ -5 และ 5 อยูหางจาก 0 เทากันหรือไม

3

4

5

……………………… ……………………… ……………………… ………………………

จากขางตนจะพบวา 5 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 5 หนวย -5 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 5 หนวย ระยะที่เทากันนี้ คือ คาสัมบูรณของ 5 และ -5 กลาวไดวา คาสัมบูรณของ 5 เทากับ 5 คาสัมบูรณของ -5 เทากับ 5 จะเห็นวา คาสัมบูรณของ 5 และ -5 เหมือนกัน จึงสรุปไดวา คาสัมบูรณของจํานวนใด ๆ เทากับระยะที่จํานวนนัน้ อยูหา งจาก 0 บนเสนจํานวน 1) จงบอกคาสัมบูรณจากเสนจํานวนตอไปนี้

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

4

6

8

10

จากรูป คาสัมบูรณของ…………เทากับ………… คาสัมบูรณของ…………เทากับ………… -10

-8

-6

-4

-2

0

2

จากรูป คาสัมบูรณของ…………เทากับ………… คาสัมบูรณของ…………เทากับ………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

58

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 2) จงแสดงคาสัมบูรณตอไปนี้บนเสนจํานวน คาสัมบูรณของ 1 และ -1 คาสัมบูรณของ -6 และ 6

1.2 สัญลักษณของคาสัมบูรณ คาสัมบูรณของจํานวนใด ๆ เทากับระยะที่จํานวนนั้นอยูหางจาก 0 บนเสนจํานวน โดยมี สัญลักษณคือ และเมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ จะได ⎧⎪ a, a > 0 ⎪⎪ a = ⎪⎨ 0, a = 0 ⎪⎪ ⎪-a, a < 0 ⎪⎩

พิจารณาเสนจํานวนตอไปนี้

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

5 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 5 หนวย คาสัมบูรณของ 5 เทากับ 5 ใชสัญลักษณ 5 5 อานวา คาสัมบูรณของ 5 มีคาเทากับ 5 -5 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 5 หนวย คาสัมบูรณของ -5 เทากับ 5 ใชสัญลักษณ -5 -5 อานวา คาสัมบูรณของ -5 มีคาเทากับ 5 ดังนั้น 5 = -5 = 5 รูไว ใชวา

เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ จะได ⎧⎪ a, a > 0 ⎪⎪ a = ⎪⎨ 0, a = 0 ⎪⎪ ⎪⎪⎩-a, a < 0

ตัวอยางเชน ถา a = -3 จะไดวา a = -2 = -(-2) = 2 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


59

1.3 จํานวนตรงขาม (Inverse number) นักเรียนรูหรือไมวา “จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบบนเสนจํานวนที่มีคา สัมบูรณเทากันจะอยูคนละขางของศูนย (0) และอยูหางจาก 0 เปนระยะเทากัน” ………………… พิจารณาตัวอยางตอไปนี้

-9

-7

-5

-3

-1

0

1

3

5

7

9

จากเสนจํานวนขางตน ทําใหทราบวา จํานวนเต็มบวก 9 และจํานวนเต็มลบ -9 จํานวนเต็มทั้งสองจํานวนมีคาสัมบูรณเทากัน ซึ่ง อยูคนละขางของ 0 และอยูหางจาก 0 เปนระยะ 9 หนวยเทากัน ในกรณีเชนนี้ จะเรียก -9 เปนจํานวนตรงขามของ 9 จะเรียก 9 เปนจํานวนตรงขามของ 9 โดยทั่วไป กลาวไดวา ถา a เปนจํานวนเต็มใด ๆ จํานวนตรงขามของ a มีเพียงจํานวนเดียว เขียนแทนดวย -a รูไว ใชวา

1. จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนมีจํานวนตรงขาม 2. จํานวนเต็มลบทุกจํานวนมีจํานวนตรงขาม 3. สําหรับ 0 จะมี 0 เปนจํานวนตรงขามของ 0


จํานวนตรงขามของ 5 คือ -5 จํานวนตรงขามของ -5 คือ -(-5) แตเนื่องจาก จํานวนตรงขามของ -5 คือ 5 ดังนั้น -(-5) = 5


จํานวนตรงขามของ จํานวนตรงขามของ จํานวนตรงขามของ จํานวนตรงขามของ จํานวนตรงขามของ

-1 คือ -(-1) = 1 -2 คือ -(-2) = 2 -19 คือ ………………… 25 คือ ………………… 0 คือ -0 = ………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

60


จากตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 ทําใหไดขอสรุปอีกอยาง ดังนี้ ถา a เปนจํานวนเต็มใด ๆ จํานวนตรงขามของ -a คือ a ซึ่งเขียนแทนดวย -(-a) = a

กิจกรรมที่ 2.6 : ทักษะการสื่อสาร การนําเสนอและการเชื่อมโยง 1. จงเติมคําตอบลงในชองวางในขอตอไปนี้ 1) คาสัมบูรณของ 0 เทากับ ……………… 2) คาสัมบูรณของ -7 เทากับ ………… 3) คาสัมบูรณของ 11 เทากับ ……………… 4) คาสัมบูรณของ -15 เทากับ ……… 6) -28 เทากับ …………… 5) 41 เทากับ ……………… 2. จงเติมคําตอบลงในชองวางในขอตอไปนี้ 1) คาสัมบูรณของ 19 และ -19 ตางเทากับ ……………… 2) คาสัมบูรณของ………………และ -40 ตางเทากับ 40 3) คาสัมบูรณของ………………และ………………ตางเทากับ 180 4) 135 เปนคาสัมบูรณของ……………… และ ……………… 5) ………………เปนคาสัมบูรณของ………………และ -397 3. จงเติมคําวา “มากกวา” “นอยกวา” หรือ “เทากับ” ลงในชองวางเพื่อทําใหประโยคตอไปนี้ เปนจริง 1) คาสัมบูรณของ -50 ……………… คาสัมบูรณของ -102 2) คาสัมบูรณของ 134 ……………… คาสัมบูรณของ -134 3) คาสัมบูรณของ -110 ……………… คาสัมบูรณของ 90 4) -30 ……………… -35 5) -91 ……………… 19 4. จงเติมคําตอบลงในชองวางในขอตอไปนี้ 1) จํานวนตรงขามของ -11 คือ ……………… 2) จํานวนตรงขามของ 240 คือ ……………… 3) จํานวนตรงขามของ -370 คือ ……………… 4) จํานวนตรงขามของ 560 คือ ……………… 5) จํานวนตรงขามของ -2,810 คือ ……………… 5. จงเติมคําตอบลงในชองวางในขอตอไปนี้ 1) -(-15) = ……………… 2) -(-37) = ……………… 3) -(-43) = ……………… 4) -(-59) = ……………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


61

2. การบวกจํานวนเต็ม 2.1 การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก พิจารณาการบวกตอไปนี้ 3+4 = F

-1 0 1 2 3 4 5 6 8 9 7 การบวกขางตนเปนการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน โดยเริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวาถึง 3 เมื่อบวกดวย 4 ใหนับเพิ่มไปทางขวา 4 หนวย ซึ่งจะไปสิ้นสุดที่ 7 จะได 7 เปนผลบวกของ 3 กับ 4 ดังนั้น 3 + 4 = 7

สรุปไวใช หลักการใชเสนจํานวน ถาเปนการบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก 7. เริ่มตนที่ 0 8. เคลือ่ นไปทางขวาเปนระยะที่เทากับจํานวนแรก 9. ณ ตําแหนงในขอ 2. ใหเคลื่อนไปทางขวาอีกครั้งเปนระยะที่เทากับอีก จํานวนหนึ่ง ถึงจุดที่แทนจํานวนใด จํานวนนั้นเปนคําตอบ พิจารณาการบวกจํานวนเต็มโดยใชคาสัมบูรณ ดังนี้ ตัวอยางที่ 3 10 + 12 = F วิธีทํา คาสัมบูรณของ 10 หรือ 10 = 10 คาสัมบูรณของ 12 หรือ 12 = 12 = 10 + 12 = 22 เพราะฉะนั้น 10 + 12 ดังนั้น 10 + 12 = 22 ตัวอยางที่ 4 17 + 33 = F วิธีทํา คาสัมบูรณของ 17 = ……………… คาสัมบูรณของ 33 = ……………… เพราะฉะนั้น 17 + 33 = ……………… ดังนั้น ………………………………


62


สรุปไวใช

การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณ ของจํานวนเต็มบวกทั้งสองมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก

2.2 การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ พิจารณาการบวกตอไปนี้ (-3) + (-4) = F

-1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 การบวกขางตนเปนการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน โดยเริ่มตนที่ 0 นับไปทางซายถึง -3 เมื่อบวกดวย -4 ใหนับลดไปทางซาย 4 หนวย ซึ่งจะไปสิ้นสุดที่ -7 จะได -7 เปนผลบวกของ -3 กับ -4 ดังนั้น (-3) + (-4) = -7

สรุปไวใช หลักการใชเสนจํานวน ถาเปนการบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ 4. เริ่มตนที่ 0 5. เคลือ่ นไปทางซายเปนระยะที่เทากับคาสัมบูรณของจํานวนแรก 6. ณ ตําแหนงในขอ 2. ใหเคลื่อนไปทางซายอีกครั้งเปนระยะที่เทากับ คาสัมบูรณอีก จํา นวนหนึ่ง ถึงจุดที่แ ทนจํา นวนใด จํา นวนนั้น เปน คําตอบ (-2) + (-5) = F


-9

วิธีการ

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 1. เริ่มตนที่ 0 2. เคลื่อนไปทางซายเปนระยะที่เทากับคาสัมบูรณของ -2 3. จาก -2 นับลดไปทางซายมือเทากับคาสัมบูรณของ -5 (5 หนวย) คือตําแหนง -7 ดังนั้น (-2) + (-5) = -7 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


63

พิจารณาการบวกจํานวนเต็มโดยใชคาสัมบูรณ ดังนี้ ตัวอยางที่ 6 (-15) + (-20) = F วิธีทํา คาสัมบูรณของ -15 หรือ -15 = 15 คาสัมบูรณของ -20 หรือ -20 = 20 = 15 + 20 = 35 เพราะฉะนั้น -15 + -20 แตผลลัพธที่ไดตองเปนจํานวนลบ ดังนั้น (-15) + (-20) = -35 ตัวอยางที่ 7 (-19) + (-21) = F วิธีทํา คาสัมบูรณของ ……………… = ……………… คาสัมบูรณของ ……………… = ……………… เพราะฉะนั้น ……………… = ……………… แตผลลัพธที่ไดตองเปนจํานวนลบ ดังนั้น ………………………………………………


การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณของ จํานวนเต็มบวกทั้งสองมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ กิจกรรมที่ 2.7 : ทักษะการใหเหตุผลและการสื่อสาร

1. จงหาผลบวกตอไปนี้ 1) (-6) + (-3) = F

-9

-8 -7 -6 -5 -4 ดังนั้น (-6) + (-3) = …………… 2+6 = F

-3

-2

-1

0

1

-1

0 1 2 3 4 ดังนั้น 2 + 6 = ……………

5

6

7

8

9

2)


64


3)

(-4) + (-4) = F

-9

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ดังนั้น (-4) + (-4) = …………… 2. จงหาผลบวกตอไปนี้ 1) 17 + 23 = …………… 2) 23 + 17 = …………… 3) (-4) + (-6) = …………… 4) (-6) + (-4) = …………… 5) (-8) + (-9) = …………… 6) (-9) + (-8) = …………… 7) (-20) + (-10) = …………… 8) (-10) + (-20) = …………… 9) (-54) + (-46) = …………… 10) (-46) + (-54) = …………… จากผลลัพธที่ไดในขอ 3) ถึงขอ 10) การบวกจํานวนเต็มลบนาจะมีสมบัติ………………... ……………………………………… 3. จงหาผลลัพธโดยบวกสองจํานวนที่อยูในวงเล็บใหญกอน 1) 5 + [2 + 8] =…………………… 2) [5 + 2] + 8 =……………. =…………………… =……………. 3) (-4) + [(-6) + (-3)] =…………………… 4) [(-4) + (-6)] + (-3) =……………. =…………………… =……………. 5) (-3) + [(-7) + (-9)] =…………………… 6) [(-3) + (-7)] + (-9) =……………. =…………………… =……………. 7) [(-2) + (-10)] + (-5) =…………………… 8) (-2) + [(-10) + (-5)] =……………. =…………………… =……………. 9) [(-7) + (-12)] + (-8) =…………………… 10) (-7) + [(-12) + (-8)] =……………. =…………………… =……………. 4. จงหาจํานวนเต็มที่แทน x แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง 1) x + (-4) = -8 ; x = …………………… 2) x + (-7) = -15 ; x = …………………… 3) x + (-11) = -23 ; x = …………………… 4) x + (-16) = -38 ; x = …………………… 5) x + (-29) = -59 ; x = …………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


65

2. การบวกจํานวนเต็ม (ตอ) 2.3 การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบและการบวกจํานวนเต็มลบดวย จํานวนเต็มบวก การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ในกรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา พิจารณาการบวกตอไปนี้ 6 + (-4) = F

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 การบวกขางตนเปนการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน โดยเริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวาถึง 6 เมื่อบวกดวย -4 ใหนับลดไปทางซาย 4 หนวย ซึ่งจะไปสิ้นสุดที่ 2 จะได 2 เปนผลบวกของ 6 กับ -4 ดังนั้น 6 + (-4) = 2

สรุปไวใช หลักการใชเสนจํานวน ถาเปนการบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ 1. เริ่มตนที่ 0 2. เคลือ่ นไปทางขวาเปนระยะที่เทากับคาสัมบูรณของจํานวนแรก 3. ณ ตํ า แหน ง ในข อ 2. ให เ คลื่ อ นไปทางซ า ยเป น ระยะที่ เ ท า กั บ ค า สัมบูรณอีกจํานวนหนึ่ง ถึงจุดที่แทนจํานวนใด จํานวนนั้นเปนคําตอบ 9 + (-8) = F


-1

วิธีการ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1. เริ่มตนที่ ………… 2. เคลื่อนไปทางขวาเปนระยะที่เทากับคาสัมบูรณของ………… 3. จาก……นับลดไปทางซายมือเทากับคาสัมบูรณของ……ซึ่งจะไปสิ้นสุดที่……... ดังนั้น 9 + (-8) = ……………. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

66


พิจารณาการบวกจํานวนเต็มโดยใชคาสัมบูรณ ดังนี้ ตัวอยางที่ 9 13 + (-9) = F วิธีทํา คาสัมบูรณของ 13 หรือ 13 = 13 = 9 คาสัมบูรณของ -9 หรือ -9 นําคาสัมบูรณที่มากกวาเปนตัวตั้งแลวลบดวยคาสัมบูรณที่นอยกวา = 13 – 9 = 4 ได 13 – -9 แตผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น 13 + (-9) = 4 ตัวอยางที่ 10 39 + (-12) = F วิธีทํา คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… นําคาสัมบูรณที่มากกวาเปนตัวตั้งแลวลบดวยคาสัมบูรณที่นอยกวา ได ……………………………………………………………… แตผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น ……………………………………………………………… การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ในกรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา พิจารณาการบวกตอไปนี้ ตัวอยางที่ 11 (-4) + 7 = F

-5 วิธีการ


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1. เริ่มตนที่ 0 2. เคลื่อนไปทางซายเปนระยะที่เทากับคาสัมบูรณของ -4 3. จาก -4 นับเพิ่มไปทางขวามือเทากับคาสัมบูรณของ 7 ซึ่งจะไปสิ้นสุดที่ 3 ดังนั้น (-4) + 7 = 3 (-4) + 7 = F คาสัมบูรณของ -4 = 4 คาสัมบูรณของ 7 = 7 นําคาสัมบูรณที่มากกวาเปนตัวตั้งแลวลบดวยคาสัมบูรณที่นอยกวา ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


67

ได 7 – -4 = 7–4 = 3 แตผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา เชนเดียวกับ การหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน ดังนั้น (-4) + 7 = 3 (-12) + 16 = F คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… นําคาสัมบูรณที่มากกวาเปนตัวตั้งแลวลบดวยคาสัมบูรณที่นอยกวา ได ……………………………………………………………… แตผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น ………………………………………………………………


การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบหรือการบวกจํานวน เต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ในกรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา


ให นํ า ค า สั ม บู ร ณ ข องจํ า นวนที่ ม ากกว า เป น ตั ว ตั้ ง แล ว ลบด ว ยค า สั ม บู ร ณ ข อง จํานวนที่นอยกวา ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ในกรณีที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา พิจารณาการบวกตอไปนี้ ตัวอยางที่ 14 4 + (-8) = F


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1. เริ่มตนที่ 0 2. เคลื่อนไปทางขวาเปนระยะที่เทากับคาสัมบูรณของ -4 3. จาก 4 นับลดไปทางซายมือเทากับคาสัมบูรณของ -8 ซึ่งจะไปสิ้นสุดที่ -4 ดังนั้น 4 + (-8) = -4


68


4 + (-8) = F คาสัมบูรณของ 4 หรือ 4 คาสัมบูรณของ -8 หรือ -8


= 4 = 8

นําคาสัมบูรณที่มากกวาเปนตัวตั้งแลวลบดวยคาสัมบูรณที่นอยกวา = 8–4 = 4 ได -8 – 4 แตผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา เชนเดียวกับ การหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน ดังนั้น 4 + (-8) = -4 9 + (-12) = F คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… นําคาสัมบูรณที่มากกวาเปนตัวตั้งแลวลบดวยคาสัมบูรณที่นอยกวา ได ……………………………………………………………… แตผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น ………………………………………………………………


การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ในกรณีที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา พิจารณาการบวกตอไปนี้ ตัวอยางที่ 17 (-5) + 4 = F


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1. เริ่มตนที่ 0 2. เคลื่อนไปทางซายเปนระยะที่เทากับคาสัมบูรณของ -5 3. จาก -5 นับเพิ่มไปทางขวามือเทากับคาสัมบูรณของ 4 ซึ่งจะไปสิ้นสุดที่ -1 ดังนั้น (-5) + 4 = -1


หนวยการเรียนรูที่ 2 ระบบจํานวนเต็ม ตัวอยางที่ 18 วิธีทํา



69

(-5) + 4 = F คาสัมบูรณของ -5 = 4 คาสัมบูรณของ 4 = 8 นําคาสัมบูรณที่มากกวาเปนตัวตั้งแลวลบดวยคาสัมบูรณที่นอยกวา = 5–4 = 1 ได -5 – 4 แตผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา เชนเดียวกับ การหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน ดังนั้น (-5) + 4 = -1 (-12) + 9 = F คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… นําคาสัมบูรณที่มากกวาเปนตัวตั้งแลวลบดวยคาสัมบูรณที่นอยกวา ได ……………………………………………………………… แตผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น ………………………………………………………………

การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบหรือการบวกจํานวน เต็ม ลบดวยจํ านวนเต็ม บวก ในกรณี ที่จํ า นวนเต็ มลบมี คาสั มบู รณ ม ากกว า ให นํ า ค า สั ม บู ร ณ ข องจํ า นวนที่ ม ากกว า เป น ตั ว ตั้ ง แล ว ลบด ว ยค า สั ม บู ร ณ ข อง จํานวนที่นอยกวา ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ

สงสัยไหมครับ ? ถาเปนการบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ในกรณีที่ จํานวนเต็มทั้งสองมีคาสัมบูรณเทากัน จะเกิดอะไรขึ้น ชวยตอบหนอยนะครับ ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

70


สรุปอีกครั้ง การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบหรือการบวก จํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ในกรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนที่มากกวาเปน ตัวตั้ง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนที่นอยกวา ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก ในกรณีที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนที่มากกวาเปน ตัวตั้ง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนที่นอยกวา ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ

กิจกรรมที่ 2.8 : ทักษะการใหเหตุผลและการสื่อสาร 1. จงหาผลบวก 1) 35 + (-18) = …………………………………………………….. 2) (-18) + 35 = …………………………………………………….. 3) (-36) + 34 = …………………………………………………….. 4) 34 + (-36) = …………………………………………………….. 5) (-39) + 16 = …………………………………………………….. 6) 16 + (-39) = …………………………………………………….. 7) (-57) + 74 = …………………………………………………….. 8) 74 + (-57) = …………………………………………………….. 9) (-100) + 16 = …………………………………………………….. 10) (-16) + (-100) = …………………………………………………….. 2. จงหาผลบวก 1) [(-15) + 7] + (-3) = …………………………………………………….. 2) (-15) + [7 + (-3)] = …………………………………………………….. 3) [12 + (-12)] + (-8) = …………………………………………………….. 4) 12 + [(-12) + (-8)] = …………………………………………………….. 5) [100 + (-64)] + (-36) = …………………………………………………….. 6) 100 + [(-64) + (-36)] = …………………………………………………….. 3. จงหาจํานวนเต็มสามจํานวนที่บวกกันแลวมีคําตอบเปนจํานวนตอไปนี้ 1) 6 ตอบ ……………………………………………………………… 2) -9 ตอบ ……………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


71

3. การลบจํานวนเต็ม 3.1 การลบจํานวนเต็มโดยใชเสนจํานวน ใหนักเรียนพิจารณาการลบจํานวนเต็มตอไปนี้ 1) การลบจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก 9–4=5

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

7

8

9

10

11

12

13

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

2) การลบจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ 9 – (-4) = 13

0

1

2

3

4

5

3) การลบจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก (-9) – 4 = -13

-13 -12 -11 -10

-9

-8

4) การลบจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ (-9) – (-4) = -5

-13 -12 -11 -10

-9

-8


72


3.2 การลบจํานวนเต็มโดยใชจํานวนตรงขาม พิจารณาการลบจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ สัมพันธกับการบวกจํานวนเต็มบวกกับ จํานวนเต็มบวก ตอไปนี้ 5 – (-3)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 7 – (-4)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5+3

0 7+4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 พิจารณาความสัมพันธของการลบจํานวนเต็มและการบวกจํานวนเต็มดังแสดงไวขางตน จะ

เห็นวา การลบจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ 5 – (-3) = 8 จะได 5 – (-3) = 7 – (-4) = 11 จะได 7 – (-4) =

หรือ

# a – (-b) a–b

= =

การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก 5+3=8 5+3 7 + 4 = 11 7+4

# a+b a + (-b)



73

นั่นก็คือ การลบของจํานวนสองจํานวนสองจํานวนใดๆ จะเทากับจํานวนที่เปนตัวตั้ง บวกกับจํานวนตรงขามที่เปนตัวลบ

สมบัติของการลบจํานวนเต็ม ถา a และ b เปนจํานวนใด ๆ a – b = a + (-b) ตัวอยางที่ 20




1) 4 – 2

= = 2) 2 – 4 = = 3) (-4) – 2 = = 4) (-4) – (-2) = = 5) 4 – (-2) = = จงหาผลลบ 5 – 12 5 – 12 = = ตอบ -7 จงหาผลลบ (-5) – 12 (-5) – 12 = = ตอบ …………… จงหาผลลบ 5 – (-12) 5 – (-12) = = ตอบ ……………

4 + จํานวนตรงขามของ 2 4 + (-2) 2 + จํานวนตรงขามของ 4 2 + (-4) (-4) + จํานวนตรงขามของ………… …………………… (-4) + จํานวนตรงขามของ………… …………………… ………………………………………… …………………… 5 + (-12) -7

(-5) + (-12) ……………

5 + …………… ……………


74 ตัวอยางที่ 24 วิธีทํา


จงหาผลลบ (-5) – (-12) (-5) – (-12) = = ตอบ ……………

…………… ……………

กิจกรรมที่ 2.9 : ทักษะการใหเหตุผลและการสื่อสาร 1. จงเขียนการลบตอไปนี้ในรูปการบวกของจํานวนตรงขาม 1) (-3) – 5 = ………………… 2) 3) (-13) – (-7) = ………………… 4) 5) 10 – 13 = ………………… 6) 7) 0 – 23 = ………………… 8) 9) (-19) – (-19) = ………………… 10)

4 – (-16) = ………………… (-63) – (-28) = ………………… 1 – 18 = ………………… 0 – (-18) = ………………… (-40) – 6 = …………………

2. จงหาผลลบ 1) (-3) – 5 = ………………… 3) (-13) – (-7) = ………………… 5) 10 – 13 = ………………… 7) 0 – 23 = ………………… 9) (-19) – (-19) = …………………

4 – (-16) = ………………… (-63) – (-28) = ………………… 1 – 18 = ………………… 0 – (-18) = ………………… (-40) – 6 = …………………

2) 4) 6) 8) 10)

3. จงหาจํานวนเต็มที่แทน x แลวทําใหประโยคเปนจริง 1) (-4) – x = -10 ; x = ………… 2) x – 12 = 10 ; x = ………… 3) (-5) – x = -20 ; x = ………… 4) (-46) – (-35) = x ; x = ……… 5) 80 – x = 40 ; x = ………… 6) (-17) – x = 30 ; x = ………… 7) -(-26) – x = 50 ; x = ………… 8) x – (-8) = 26 ; x = ………… 9) 50 – (-50) = x ; x = ………… 10) (-50) – (-50) = x ; x = ………… 4. จงหาผลลบ 1) (-10) + {(-13) – (-9)} = …………………………………………………….. 2) {(-4) – (-8)} + (-11) = …………………………………………………….. 3) 19 – (-25) + (-7) = …………………………………………………….. 4) (-12) – (-6) – 18 = …………………………………………………….. 5) {15 + (-11) – (-6)} + (-25) = ……………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


75

5. จงหาคาของ 1) (a + b) – c (a + b) – c

2) a + (b – c) a + (b – c)

3) a – (b – c) a – (b – c)

เมื่อ = = = เมื่อ = = = เมื่อ = = =

a = -5, b = -21, c = -18 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. a = 14, b = -32, c = -50 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. a = -100, b = 54, c = -45 …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………..

4. การคูณจํานวนเต็ม 4.1 การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก คือการคูณจํานวนนับดวยจํานวนนับ ดังตัวอยาง 1) 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12 3 × 4 = 4 × 3 มีสมบัติการสลับที่การคูณ ดังนั้น 3 × 4 = 4 × 3 = 12 2) 4 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 4 × 7 = 7 × 4 มีสมบัติการสลับที่การคูณ ดังนั้น 4 × 7 = 7 × 4 = 28 จะเห็นวา

การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก ตัวอยางที่ 25

1) 2) 3) 4)

6×9 7×8 8×9 9×8

= = = =

54 ……………… ……………… ……………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

76


4.2 การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบหรือการคูณจํานวนเต็มลบดวย จํานวนเต็มบวก การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ สามารถหาผลคูณโดยใชความหมายของการคูณ และการบวกจํานวนเต็มลบ ดังตัวอยาง 5 × (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -15 หรือ 5 × (-3) = (-3) × 5 (สมบัติการสลับที่การคูณ) = (-5) + (-5) + (-5) = -(5 + 5 + 5) = -(5 × 3) = -15 ดังนั้น 5 × (-3) = (-3) × 5 = -(5 × 3) = -15 จะพบวา 5 × (-3) = -( 5 × -3 ) = -(5 × 3) = -15 และ (-5) × 3 = -( -5 × 3 ) = -(5 × 3) = -15

สรุปไวใช การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ หรือ การคูณจํานวนเต็มลบ ดวยจํานวนเต็มบวก มีหลักการดังนี้ 1. ใหหาคาสัมบูรณของจํานวนเต็มทั้งสอง 2. ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มทั้งสองมาคูณกัน 3. ผลลัพธที่ไดในขอ 2 ใหตอบเปนจํานวนเต็มลบ จากขอสรูปขางตน อาจกลาวอีกอยางไดวา การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ หรือ การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ


หนวยการเรียนรูที่ 2 ระบบจํานวนเต็ม ตัวอยางที่ 26

1)

(-6) × 9

2)

7 × (-8)

3)

(-15) × 3

4)

19 × (-2)

5)

(-12) × 9

77

= = = = = = = = = = = =

-( -6 × 9 ) -(6 × 9) -54 ……………… ……………… ……………… -(15 × 3) -45 ……………… ……………… ……………… ………………

4.3 การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ (-3) × (-4) = , เนื่องจาก (-4) + 4 = 0 (จํานวนตรงขามบวกกันเทากับศูนย) นํา (-3) คูณทั้งสองขาง จะได (-3) × [(-4) + 4] = (-3) × 0 [(-3) × (-4)] + [(-3) × 4] = 0 (สมบัติการแจกแจง) [(-3) × (-4)] + (-12) =0 นํา 12 มาบวกทั้งสองขาง จะได [(-3) × (-4)] + (-12) + 12 = 0 + 12 [(-3) × (-4)] + 0 = 0 + 12 (จํานวนตรงขามบวกกันเทากับศูนย) (-3) × (-4) = 12 ดั้งนั้น (-3) × (-4) = 12 หรือ (-3) × (-4) = -3 × -4 = 3 × 4 = 12


78


สรุปไวใช การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ มีหลักการดังนี้ 1. ใหหาคาสัมบูรณของจํานวนเต็มทั้งสอง 2. ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มทั้งสองมาคูณกัน 3. ผลลัพธที่ไดในขอ 2 ใหตอบเปนจํานวนเต็มบวก จากขอสรูปขางตน อาจกลาวอีกอยางไดวา การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ จะได ผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ ตัวอยางที่ 27

1)

(-6) × (-9)

2)

(-7) × (-8)

3)

(-15) × (-3)

4)

(-19) × (-2)

5)

(-12) × (-9)

= = = = = = = = = = = =

-6 × -9 6×9 54 ……………… ……………… ……………… 15 × 3 45 ……………… ……………… ……………… ………………

ขอสังเกตที่ไมควรมองขาม การคูณจํานวนเต็มสองจํานวนใด ๆ 1. จํานวนที่มีเครื่องหมาย เหมือนกัน คูณกัน ไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก 2 × 5 = 10 ตัวอยาง (-2) × (-5) = 10 2. จํานวนที่มีเครื่องหมาย ตางกัน คูณกัน ไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ 2 × (-5) = -10 ตัวอยาง (-2) × 5 = -10 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


79

กิจกรรมที่ 2.10 : ทักษะการใหเหตุผล การสื่อสารและการเชื่อมโยง 1. จงหาคูณ 1) 9 × 12 = ………………… 3) 13 × (-8) = ………………… 5) (-25) × 25 = ………………… 7) 0 × 1250 = ………………… 9) (-1) × (-1) = ………………… 11) 9 × 12 = ………………… 13) 7 × (-11) = ………………… 15) (-20) × 3 = ………………… 17) (-13) × (-12) = ………………… 19) (-14) × 14 = …………………

2) 4) 6) 8) 10) 12) 14) 16) 18) 20)

2. จงหาผลลัพธ 1) 2 × (3 + 7) = ……………………………… = ……………………………… 3) (-4) × (5 + 6) = ……………………………… = ……………………………… 5) 3 × {(-2) + 7} = ……………………………… = ……………………………… 7) (-2) × {4 + (-9)} = ……………………………… = ……………………………… 9) (-3) × {(-1) + (-11)} = ……………………………… = ………………………………

2) (2 × 3) + (2 × 7) = ……………………………… = ……………………………… 4) {(-4) × 5} + {(-4) × 6} = ……………………………… = ……………………………… 6) {3 × (-2)} + (3 × 7) = ……………………………… = ……………………………… 8) {(-2) × 7) + {(-2) × (-9)} = ……………………………… = ……………………………… 10) {(-3) × (-1)} + {(-3) × (-11)} = ……………………………… = ………………………………

(-11) × 7 = ………………… (-20) × (-12) = ………………… (-400) × 10 = ………………… (-214) × 0 = ………………… (-2) × 1 = ………………… 12 × 9 = ………………… (-11) × 7 = ………………… 3 × (-20) = ………………… (-12) × (-13) = ………………… 14 × (-14) = …………………


80


3. จงหาจํานวนเต็มที่แทน y แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง 1) y × 6 = -12 ; y = ………… 2) 3) (-2) × y = 6 ; y = ………… 4) 5) y × 1 = -1 ; y = ………… 6) 7) 7 × (-10) × y = -70 ; y = ………… 8) 9) (-1) × y × (-1) = y ; y = ………… 10)

5 × y = -5 ; y = …………… (-1) × y = 1 ; y = ……………. 100 × y = -200 ; y = ………… (-1) × y = 2 ; y = …………. (-5) × y × (-5) = -125 ; y = ……….

5. การหารจํานวนเต็ม การหารจํานวนเต็มดวยจํานวนเต็มอาจเปนการหารลงตัวหรือเปนการหารไมลงตัวก็ได แตใน หัวขอนี้จะกลาวถึงเฉพาะการหารจํานวนเต็มดวยจํานวนเต็มที่เปนการหารลงตัว ซึ่งมีผลหารเปน จํานวนเต็มและเศษเปน 0 การหารจํานวนเต็มดวยจํานวนเต็มที่เปนการหารลงตัว อาศัยการคูณตามขอตกลงดังนี้ ตัวตั้ง = ผลหาร ตัวหาร จะไดวา

ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตัง้

พิจารณา

96 12 12 × 8

จะไดวา

=

8

=

96

ในทางคณิตศาสตร อาจเขียน a ÷ b ดวย ab ตัวอยางที่ 28 จงหาผลหาร -16 4 -16 วิธีทํา ให = a 4 จะได เนื่องจาก ดังนั้น นั่นคือ

4 ×a 4 × (-4) a -16 4

= = = =

-16 -16 -4 -4

อีกวิธีที่นาสน -16 = 4 × (-4) -16 = 4 ×(-4) 4 4 = -4


หนวยการเรียนรูที่ 2 ระบบจํานวนเต็ม ตัวอยางที่ 29 วิธีทํา


81

จงหาผลหาร 16 -4

16 -4 จะได (-4)× ……… เนื่องจาก (-4)×(-4) ดังนั้น ……… 16 นั่นคือ -4 จงหาผลหาร -16 -4 -16 ให -4 จะได (-4)× ……… เนื่องจาก …………… ดังนั้น ……… -16 นั่นคือ -4

ให

=

………

= = = =

16 16 ……… ………

=

………

= = = =

-16 16 ……… ………

อีกวิธีที่นาสน 16 = (-4) × (-4) 16 = (-4)×(-4) -4 -4 = -4

อีกวิธีที่นาสน -16 = 4 × (-4) -16 = 4 ×(-4) -4 -4 =4

หลักในการหารจํานวนเต็ม มีดังนี้ 1) การหารจํานวนเต็ม เมื่อตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคู ผลลัพธที่ ไดเปนจํานวนเต็มบวก เชน 108 12 = 9

2) การหารจํานวนเต็ม เมื่อตัวตั้งหรือตัวหารตัวใดตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มลบ โดยที่จํานวนอีกจํานวนหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวก ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็ม 12 ลบ เชน -144 12 = -12 และ -12 = -1 3) การหารจํานวนเต็ม เมื่อตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มลบทั้งคู ผลลัพธที่ ไดเปนจํานวนเต็มบวก เชน -49 -7 = 7


จงหาผลหารของ 50 -5 เนื่องจาก 50 50 -5 ดังนั้น 50 -5 = -10

= = =

(-5) × (-10) (-5)×(-10) -5 -10


82




จงหาผลหารของ -50 5 เนื่องจาก -50 -50 5

= =

= ดังนั้น 50 -5 = ……………… จงหาผลหารของ -50 -5 เนื่องจาก -50 = -50 = -5

= ดังนั้น 50 -5 =………………

5 × ……… 5×............ 5 ………………

……………… ……………… ………………

กิจกรรมที่ 2.11 : ทักษะการใหเหตุผล การสื่อสารและการเชื่อมโยง 1. จงหาผลหาร โดยแสดงวิธีทํา 1) 48 ÷ (-4) …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… 3) 108 ÷ 9 …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… 5) (-1) ÷ (-1) …………………………………… …………………………………… …………………………………… ……………………………………

2) (-96) ÷ 3 …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… 4) 0 ÷ (-2) …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… 6) (-132) ÷ (-11) …………………………………… …………………………………… …………………………………… ……………………………………



83

2. จงหาผลหาร 1) 12 ÷ (-2) = …………………… 2) 48 ÷ (-4) = …………………… 3) 36 ÷ (-6) = …………………… 4) 64 ÷ (-8) = …………………… 5) 110 ÷ (-10) = …………………… 6) (-72) ÷ 8 = …………………… 7) (-56) ÷ 7 = …………………… 8) (-54) ÷ 6 = …………………… 9) (-75) ÷ 5 = …………………… 10) (-124) ÷ 4 = …………………… 11) (-12) ÷ (-2) = …………………… 12) (-10) ÷ (-5) = …………………… 13) (-16) ÷ (-4) = …………………… 14) (-48) ÷ (-6) = …………………… 15) {48 ÷ (-6)} ÷ (-2) = ………………… 16) 48 ÷ {(-6) ÷ (-2) = ………………… 17) {45 ÷ (-3)} ÷ (-3) = ………………… 18) (-45) ÷ {3 ÷ (-3)} = ………………… 19) {(-64) ÷ 8} ÷ {(-8) ÷ (-4)} = …………………… 3. จงหาจํานวนเต็มที่แทน z แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง 1) z ÷ (-3) = 4 ; z = ……………. 2) 15 ÷ z = -5 ; z = ……………. 3) (-16) ÷ z = -4 ; z = ……………. 4) z ÷ 1 = 12 ; z = ……………. 5) (-32) ÷ z = 1 ; z = ……………. 6) [(-64) ÷ 8] ÷ z = 2 ; z = ……………. 7) [45 ÷ (-3)] ÷ (-5) = z ; z = ……………. 8) [(-72) ÷ (-9)] ÷ 2 = z ; z = ……………. 9) z ÷ [(-7) ÷ 7] = -5 ; z = ……………. 10) 20 ÷ [8 ÷ (-z)] = -5 ; z = ……………. 4. นุชไปตลาดกับแมและแมตองการซื้อขาวสาร 12 ถุง ราคาถุงละ 55 บาท แมถามนุชวาแมตอง จายเงินกี่บาท ถานุชตองคิดคําตอบในใจ นุชจะมีวิธีคิดอยางรวดเร็วไดอยางไร จงอธิบาย …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

84


ชวนคิดคณิตศาสตร ทําไมไมใช 0 เปนตัวหาร ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู 1. กําหนดให 00 = a ถาเขียนประโยคนี้ใหอยูในรูปการคูณ จะเขียนไดอยางไร ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2. จงหาคา a ที่ทําให 0 × a = 0 เปนจริง ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3. คา a ที่หาไดในขอ 2 มีมากกวาหนึ่งคาหรือไม ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 4. ถาให a เปนคําตอบของ 00 จะหาคา a ที่แนนอนไดหรือไม เพราะเหตุใด

………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 5. จงหาคําตอบของ 05 โดยใชวิธีการหาคา y ที่ 0 × y = 5

………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 6. มีคําตอบของ 05 หรือไม เพราะเหตุใด

………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 7. การหารจํานวนใด ๆ ดวย 0 เกิดปญหาอยางไรบาง ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


85

6. บทสรุปสงทาย 1. การบวกจํานวนเต็ม

1.1 การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มบวก ทั้งสองมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก 1.2 การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มบวก ทั้งสองมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก 1.3 การบวกจํ า นวนเต็ ม บวกด ว ยจํ า นวนเต็ ม ลบ หรื อ การบวกจํ า นวนเต็ ม ลบด ว ย จํานวนเต็มบวก 1) ในกรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวน ที่มากกวาเปนตัวตั้ง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนที่นอยกวา ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็ม บวก 2) ในกรณีที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนที่ มากกวาเปนตัวตั้ง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนที่นอยกวา ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ 2. การลบจํานวนเต็ม ใหใชสมบัติที่วา ถา a และ b เปนจํานวนใด ๆ แลว

a – b = a + (-b)


86


ชวนคิดคณิตศาสตร สามเหลี่ยมกลปะทะวงลอกล ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู 1. สามเหลี่ยมกล

1. จงเติม -7, -5, -3, -1, 1 และ 3 ลงในชองสี่เหลี่ยมโดยไมซ้ํากันเพื่อทําใหผลบวกของ จํานวนเต็มสามจํานวนที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน มีผลบวกเทากันทั้งสามแนว 2. ตรวจสอบกับเพื่อน ๆ วาไดคําตอบเหมือนกันหรือไม

2. วงลอกล

จงเติม -6, -3, 0, 3, 6, 9 และ 12 ลงใน โดยไมซ้ํากัน เพื่อทําใหผลบวกของจํานวนเต็มสาม จํานวนที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน มีผลบวกเทากันทั้งสามแนว ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


87

ชวนคิดคณิตศาสตร ปริศนาจํานวนเต็ม ภาค 1 ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู ขอตกลง ใหนักเรียนเติมจํานวนเต็มใน F ใหถูกตอง เมื่อกําหนดใหจํานวนที่อยูในสดมภที่ หนึ่งเปนตัวตั้ง และจํานวนที่อยูในแถวที่หนึ่งเปนตัวบวก หรือตัวลบ

+

0

-3

4

5

5

2

9

-1 -1

-4 -3

-

3 -2

5 -1

-6

1 -4 -1

-1

-5


88


6. บทสรุปสงทาย (ตอ) 3. การคูณจํานวนเต็ม 3.1 การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก 3.2 การคู ณ จํ า นวนเต็ ม บวกด ว ยจํ า นวนเต็ ม ลบ หรื อ การคู ณ จํ า นวนเต็ ม ลบด ว ย จํานวนเต็มบวก จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ 3.3 การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก 4. การหารจํานวนเต็ม มีหลักการดังนี้ 4.1 การหารจํานวนเต็ม เมื่อตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคู ผลลัพธที่ไดเปน จํานวนเต็มบวก 4.2 การหารจํานวนเต็ม เมื่อตัวตั้งหรือตัวหารตัวใดตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มลบ โดยที่ จํานวนอีกจํานวนหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวก ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ 4.3 การหารจํานวนเต็ม เมื่อตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มลบทั้งคู ผลลัพธที่ไดเปน จํานวนเต็มบวก

**รูแลวหรือยัง?** เมื่อโจทยมีวงเล็บตองทําตามลําดับความสําคัญดังนี้ คือ วงเล็บเล็ก วงเล็บ ปกกา และวงเล็บใหญ



89

ชวนคิดคณิตศาสตร ปริศนาจํานวนเต็ม ภาค 2 ตอนจบ ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู ขอตกลง ใหนักเรียนเติมจํานวนเต็มใน F ใหถูกตอง เมื่อกําหนดใหจํานวนที่อยูในสดมภที่ หนึ่งเปนตัวตั้ง และจํานวนที่อยูในแถวที่หนึ่งเปนตัวคูณ หรือตัวหาร ×

-3

4

-9

8

-8

-12 35

-14

6

÷

2

12 2

-2

-4

1 8 -2 2


หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ระบบจำนวนเต็ม

Recommend Documents