หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 พื้นที่และปริมาตร

หนวยการเรียนรูที่ 1

พื้นทีผิ่ ผวิ และปริมาตร ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

มาตรฐานการเรียนรู มาตรฐาน ค 2.1 มาตรฐาน ค 2.3 มาตรฐาน ค 3.1 มาตรฐาน ค 6.1 มาตรฐาน ค 6.2 มาตรฐาน ค 6.3 มาตรฐาน ค 6.4 มาตรฐาน ค 6.5

: : : : : : : :

ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1

1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมได 2. หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลมได 3. หาพื้นที่ผิวของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลมได 4. ใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่ผิว และปริมาตร แกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบ ที่ได

สาระการเรียนรู 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

พื้นที่และปริมาตร (2 คาบ) พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม (3 คาบ) พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก (3 คาบ) พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด (3 คาบ) พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย (3 คาบ) พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม (3 คาบ)

พรอมหรือยัง ? ถาพรอมแลว ก็เริม่ เรียนแลวนะครับ 1

2

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3

1.1 พื้นทีแ่ ละปริมาตร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. อธิบายเกี่ยวกับความหมายและลักษณะของพื้นที่และปริมาตรได 2. แสดงการคิดคํานวณเกี่ยวกับพื้นที่และปริมาตรได 3. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับพื้นที่และปริมาตร และนําหลักการ ไปประยุกตใชในชีวิตประจําวัน

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร

3

พื้นที่และปริมาตร พื้นที่ นักเรียนเคยเรียนเรื่องพื้นที่มาแลว สําหรับการหาพื้นที่ผิวของรูปตาง ๆ นั้นมีประโยชนมาก ในชีวิตประจําวัน พื้นที่มีหนวยวัดเปนตารางหนวย ตัวอยางเชน พื้นที่ 1 ตารางหนวย หมายถึง พื้นที่ภายในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีดานยาวดานละ 1 หนวย 1 หนวย 1 หนวย

หนวยของพื้นที่ “ตารางหนวย” หรือ “หนวย2” จะเปนอะไรนั้นขึ้นอยูกับหนวยการวัดความ ยาวดาน เชน 1 วา 1 นิ้ว

1 ซม.

1 นิ้ว

1 ซม. 1 ตารางเซนติเมตร

1 วา

1 ตารางนิ้ว

1 ตารางวา

หนวยการวัดพื้นที่ที่นิยมใชกัน คือ หนวยวัดพื้นที่ในระบบเมตริก ไดแก ตารางเซนติเมตร ตารางเมตร ตารางกิโลเมตร และหนวยวัดพื้นที่ในระบบมาตราไทย ไดแก ตารางวา งาน และไร ซึ่ง จะใชหนวยใดจะตองเลือกใชใหเหมาะสมกับขนาดของพื้นที่ที่วัด หนวยการวัดพื้นที่ที่สําคัญ ซึ่งนักเรียนควรรูจักมีดังนี้ หนวยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริก 1 ตารางเซนติเมตร เทากับ 100 ตารางมิลลิเมตร ……… ตารางเมตร เทากับ 10,000 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ ……… ตารางเมตร


4

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทย 100 4 400

ตารางวา งาน ตารางวา

เทากับ 1 งาน เทากับ ……… ไร เทากับ ……… ไร

หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก 1 ตารางวา ……… งาน 1 ไร ……… กิโลเมตร

เทากับ 4 ตารางเมตร เทากับ 400 ตารางเมตร เทากับ ……… ตารางเมตร เทากับ 625 ไร

นักเรียนเคยเรียนการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตตาง ๆ มาแลว ใหนักเรียนชวยกันเขียนสูตรการ หาพื้นที่ของรูปตอไปนี้ รูปเรขาคณิต

สูตรการหาพืน้ ที่ 1 ×ฐาน× สูง 2

1. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม 2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดานเทา 3. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผา 5. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน 6. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู 7. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว 8. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน 9. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ 10. พื้นที่รูปวงกลม 11. พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา



5

กิจกรรมที่ 1.1 : ทักษะการสื่อสาร การนําเสนอ และการเชื่อมโยง จงหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตตอไปนี้ 1) พื้นที่ของ F ABDC โดยที่เสนทแยงมุมเทากับ 4 เซนติเมตร A B …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… D C …………………………………………………………… 2) พื้นที่ของ U PQR R …………………………………………………………… 13 ซม. …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Q 9 ซม. S P …………………………………………………………… 20 ซม. 3) พื้นที่ของรูป ABCDE D

E 3 ซม. A

20 ซม. 4 ซม.

B

…………………………………………………………… …………………………………………………………… C…………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

4) พื้นที่ของรูป ABCDEF B …………………………………………………………… A …………………………………………………………… 2 ซม. …………………………………………………………… 3 ซม. D …………………………………………………………… 2 ซม. C …………………………………………………………… F 2 ซม. E


6

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 5) พื้นที่ของ U ABC A 4 ซม. F 12 ซม.

B C

9 ซม.

E D

…………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

ปริมาตร รู ป เรขาคณิ ต ต า ง ๆ ได แ ก ทรงกระบอก กรวย หรื อ ทรงสี่ เ หลี่ ย มมุ ม ฉากเป น รู ป เรขาคณิต……………………… สามารถหาความจุหรือปริมาตรได เราใชหนวยการวัดปริมาตรของ รูปเรขาคณิตสามมิติมีหนวยเปน……………………หรือ หนวย3 ตามหนวยของความยาวที่ใชใน สถานการณนั้น

ทรงกระบอก

กรวย

ทรงกลม

ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ลูกบาศกหนวย หมายถึง ความจุของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความ สูง 1 หนวยเทากัน เชน

1 ซม. 1 ซม.

1 ซม.

1 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายถึง ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มี ความกว า ง ความยาว และความสู ง เป น 1 เซนติ เ มตร เทากัน



7

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากหาไดจากสูตร ดังนี้ สูง ยาว กวาง สูตร ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ความกวาง×ความยาว×ความสูง หรือ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = พื้นที่ฐาน×ความสูง หนวยการวัดปริมาตร จากที่กลาวมาแลว หนวยของปริมาตรคือลูกบาศกหนวย จะใชหนวยใดขึ้นอยูกับหนวยวัด ความกวาง ความยาว ความสูงของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากนั้น ๆ ซึ่งจะใชหนวยการวัดปริมาตรในระบบ เมตริก ซึ่งนักเรียนควรรูจักมีดังนี้ หนวยการวัดปริมาตรในระบบเมตริก ……… ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกเมตร 1 ลูกบาศกเซนติเมตร ……… ลิตร 1 ลิตร ……… ลิตร

เทากับ เทากับ เทากับ เทากับ เทากับ เทากับ

1,000 1,000,000 ……… 1,000 ……… 1,000

ลูกบาศกมิลลิเมตร ลูกบาศกเซนติเมตร มิลลิเมตร มิลลิเมตร ลูกบาศกเซนติเมตร ลูกบาศกเมตร

ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ จงเปลี่ยนหนวยปริมาตรตอไปนี้ ใหมีหนวยเปนลิตร 1. ปริมาตร 5,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ………………………ลิตร 2. ปริมาตร 18,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ………………………ลิตร 3. ปริมาตร 7,000 มิลลิลิตร เทากับ………………………ลิตร 4. ปริมาตร 45,000 มิลลิลิตร เทากับ………………………ลิตร 5. ปริมาตร 2 ลูกบาศกเมตร เทากับ………………………ลิตร


8

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 จงเปลี่ยนหนวยปริมาตรตอไปนี้ ใหมีหนวยเปนลูกบาศกเซนติเมตร 1. ปริมาตร 3,700 มิลลิลิตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร 2. ปริมาตร 4 ลิตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร 3. ปริมาตร 7 ลูกบาศกเมตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร 4. ปริมาตร 3.7 ลิตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร 5. ปริมาตร 0.25 ลูกบาศกเมตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร กิจกรรมที่ 1.2 : ทักษะการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสารและการเชื่อมโยง 1. จงหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตตอไปนี้ 1)

5 ม. 12 ม.

………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

9 ม. 2)

10 ซม.

………………………………………………… 2.5 ซม. ………………………………………………… ………………………………………………… 6 ซม. …………………………………………………

2. มีน้ํามันอยูในถังฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 30 เซนติเมตร สูง 55 เซนติเมตร เต็มถัง ถา แบงน้ํามันใสขวด ๆ ละ 0.5 ลิตร จะไดทั้งหมดกี่ขวด ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

อยากสูงตองเขยง อยากเปนคนเกงตองขยัน ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


9

MATH

1.2 พื้นทีผ่ ิวและปริมาตรของปริซึม

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. อธิบายเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม 2. หาพื้นที่และปริมาตรของปริซึม 3. นําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมไปใชแกปญหาใน สถานการณตาง ๆ ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได



10


พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม พิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติตอไปนี้ ซึ่งเปนตัวอยางของทรงสามมิติที่ เรียกวา ปริซึม

ดานขาง ฐานหรือหนาตัด ปริซึมสี่เหลี่ยม

ปริซึมสามเหลี่ยม

ดานขาง ฐานหรือหนาตัด ปริซึมหาเหลี่ยม

ปริซึมหกเหลี่ยม

ดานขาง ฐานหรือหนาตัด ปริซึมแปดเหลี่ยม จากตัวอยางของปริซึมขางตน จะพบวาปริซึมมีลักษณะรวมกันดังนี้ 1. ฐานหรือหนาตัดหัวทายของรูปดหลี่ยมตาง ๆ ที่เทากันทุกประการและอยูในระนาบที่ ขนานกัน 2. ดานขางทุกดาน เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ซึ่งความกวางของดานขางยาวเทากับดานแตละ ดานของฐาน และความยาวของดานขางเทากับความสูงของปริซึมนั้น ๆ 3. การเรียกชื่อปริซึม จะเรียกตามลักษณะของรูปเหลี่ยมที่เปนฐานหรือหนาตัดหัวทายของ ปริซึมนั้น เชน ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 11 ฐานเปนสี่เหลี่ยม ฐานเปนสามเหลี่ยม ฐานเปนหาเหลี่ยม ฐานเปนหกเหลี่ยม

เรียกวา เรียกวา เรียกวา เรียกวา

ปริซึมสี่เหลี่ยม ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมหาเหลี่ยม ปริซึมหกเหลี่ยม

เปนตน

ในทางคณิตศาสตร ปริซึมมีลักษณะดังนี้ ปริซึม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเปนรูปเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ ฐานทั้งสองอยูบนระนาบที่ขนานกัน และดานขางแตละดานเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

พื้นที่ผิวของปริซึม การหาพื้นที่ผิวของปริซึม ทําไดโดยการหาพื้นที่ของดานทุกดานของปริซึมแลวนํามารวมกัน หรือคลี่ปริซึมออกเปนรูปเรขาคณิตสองมิติจากนั้นก็คํานวณหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิต สองมิตินั้น แตละรูป แลวนําพื้นที่ผิวทุกรูปมารวมกันเปนพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมรูปนั้น พื้นที่ผิวของปริซึม ประกอบดวย 1. พื้นที่ฐานดานบนและดานลาง ฐานดานบนและดานลางของปริซึม จะเปนรูปเหลี่ยมตามที่ กําหนด ซึ่งตองมีพื้นที่เทากัน ดังนั้น พื้นที่ฐานดานบนและดานลาง เทากับ 2 เทาของพื้นที่ฐาน 2. พื้นที่ผิวขาง ผิวขางของปริซึมจะเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จะมีจํานวนกี่รูปขึ้นอยูกับวาฐาน ของปริซึมเปนรูปกี่เหลี่ยม เชน ถาฐานของปริซึมเปนรูปสามเหลี่ยม จะมีผิวขางเปนรูปสี่เหลี่ยมมุม ฉาก 3 รูป เปนตน ดังนั้น พื้นที่ผิวขาง เทากับ ความยาวของเสนรอบฐาน×ความสูงของปริซึม ฐานบน

ฐานบน

ผิวขาง 3 ดาน

ผิวขาง 6 ดาน

ฐานลาง

ฐานลาง


12

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 ดังนั้นการหาพื้นที่ผิวของปริซึม สามารถหาไดโดยใชสูตร ดังนี้

พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ฐานดานบนและดานลาง + พื้นที่ผิวขาง = 2 เทาของพื้นที่ฐาน + (ความยาวของเสนรอบฐาน×ความสูงของปริซึม) ตัวอยางที่ 1

จงหาพื้ น ที่ ผิ ว ข า งและพื้ น ที่ ผิ ว ของปริ ซึ ม สี่ เ หลี่ ย มจั ตุ รั ส ที่ มี ฐ านยาวด า นละ 5 เซนติเมตร ความสูง 10 เซนติเมตร 5 เซนติเมตร 10 เซนติเมตร

วิธีทํา

จากพื้นที่ผิวขางของปริซึม

= = = = = = = =

และจากพื้นที่ผิวของปริซึม

ตัวอยางที่ 2

ความยาวของเสนรอบฐาน×ความสูง (5 + 5 + 5 + 5)×10 20×10 200 ตารางเซนติเมตร 2(พื้นที่ฐาน) + พื้นที่ผิวขาง 2(5×5) + 200 50 + 200 250 ตารางเซนติเมตร

จากรูป จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมดังกลาว 20 8


จากพื้นที่ผิวขางของปริซึม

12

9 = = = =

ความยาวของเสนรอบฐาน×ความสูง (8 + 9 + 12)×20 ……………… ……………… ตารางหนวย


หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 13 และจากพื้นที่ผิวของปริซึม

ตัวอยางที่ 3 วิธีทํา

= = = =

2(พื้นที่ฐาน) + พื้นที่ผิวขาง ……………………………… ……………………………… ……………… ตารางหนวย

พื้นที่ผิวขางของปริซึมลูกบาศกเปน 196 ตารางเซนติเมตร ความยาวของดานของ ปริซึมลูกบาศกเปนเทาไร เนื่องจากพื้นที่ผิวขางของปริซึมลูกบาศก = 4×(ดาน×ดาน) 196 = 4×(ดาน×ดาน) 196 = ดาน×ดาน 4 …… = ดาน×ดาน …… = ดาน ดังนั้น ความยาวของดานของปริซึมลูกบาศก คือ…………เซนติเมตร

กิจกรรมที่ 1.3 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสารและการนําเสนอ 1. จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมตอไปนี้ 1) 3 ฟุต 4 ฟุต 6 ฟุต ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

14

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 2) 18 6

10

8

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3)

4 ซม.

5 ซม.

3 ซม. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2. พื้นที่ผิวของปริซึมเปน 210 ตารางเซนติเมตร ฐานของปริซึมเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาว ดานละ 5 เซนติเมตร ความสูงของปริซึมเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 15 3. พื้นที่ผิวของปริซึมเปน 2,500 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวขางทั้งหมดเปน 2,000 ตาราง เซนติเมตร พื้นที่ฐานของปริซึมเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4. พื้ น ที่ ผิ ว ของปริ ซึ ม ลู ก บาศก เ ป น 150 ตารางเซนติ เ มตร ความยาวของด า นของปริ ซึ ม ลูกบาศกเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 5. ความยาวรอบรูปของฐานของปริซึมฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสเปน 12 เซนติเมตร ความสูงเปน 6 เซนติเมตร พื้นที่ผิวขางเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

16


ปริมาตรของปริซึม พิจารณารูปตอไปนี้ 4 ซม. 3 ซม. 2 ซม. จากรูป จะเห็นวาเปนปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยม ความกวาง 2 หนวย ความยาว 3 หนวย ความสูง 4 หนวย จะได ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยม

จากตัวอยางขางตนจะพบวา ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยม

= = =

ความกวาง×ความยาว×ความสูง 2×3×4 24 ลูกบาศกหนวย

= = =

ความกวาง×ความยาว×ความสูง (ความกวาง×ความยาว)×ความสูง พื้นที่ฐาน×ความสูง

ดังนั้น ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน×ความสูง ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา

ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผามีความกวาง 3 หนวย ความยาว 4 หนวย และความสูง 12 หนวย จงหาปริมาตรของสี่เหลี่ยมนี้ ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยม = พื้นที่ฐาน×ความสูง = ……………………… = ……………………… 12 หนวย 4 หนวย

3 หนวย


หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 17 ตัวอยางที่ 2 วิธีทํา


ปริซึมฐานสามเหลี่ยม มีปริมาตร 60 ลูกบาศกเมตร ความสูง 15 เมตร พื้นที่ฐาน เปนเทาไร ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยม = พื้นที่ฐาน×ความสูง …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… จงหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยม ซึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีความยาวเสน คูขนานเทากับ 5 นิ้วและ 8 นิ้ว ตามลําดับ และสูง 4 นิ้ว เมื่อปริซึมแทงนี้สูง 12 นิ้ว …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

กิจกรรมที่ 1.4 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสาร นําเสนอและการเชื่อมโยง 1. จากรูป จงเติมคําตอบลงในตาราง ที่

พื้นที่ฐาน (ตารางหนวย)

รูปปริซึม

ปริมาตรของปริซึม (ลูกบาศกหนวย)

3

1

7 4 4

2 8

6

7

3 5

3


18


ที่

พื้นที่ฐาน (ตารางหนวย)

รูปปริซึม

ปริมาตรของปริซึม (ลูกบาศกหนวย)

3

4

10 5

12

5 20

8

2. จงหาปริมาตรของปริซึม ซึ่งมีพื้นที่ฐานเปน 24 ตารางเซนติเมตร ความสูงเปน 8 เซนติเมตร …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3. ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู มีความสูง 25 เซนติเมตร ความยาวฐานคูขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูเปน 30 เซนติเมตรและ 90 เซนติเมตร ตามลําดับ ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู 15 เซนติเมตร ปริมาตรของปริซึมนี้เปนเทาไร …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 19 4. ถังน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีฐานยาวดานละ 18 เซนติเมตรและสูง 22 เซนติเมตร ถาเอาน้ําใส ในถังสูง 11 เซนติเมตร ปริมาตรของน้ําในถังเปนเทาใด …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 5. ถาอากาศ 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 0.008 กรัม จงหาน้ําหนักอากาศซึ่งอยูในหองยาว 26 เมตร กวาง 16.8 เมตร และสูง 5.5 เมตร …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 6. กลองบรรจุน้ําผลไมทรงสี่เหลี่ยมมุมมีความจุ 1 ลิตร ถาฐานกลองมีความยาว 8 เซนติเมตร และความกวาง 6.25 เซนติเมตร จงหาความสูงของกลองใบนี้ …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………


20


1.3 พื้นทีผ่ ิวและปริมาตรของ ทรงกระบอก จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. อธิบายเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก 2. หาพื้นที่และปริมาตรของทรงกระบอก 3. นํ า ความรู เ กี่ ย วกั บ พื้ น ที่ ผิ ว และปริ ม าตรของทรงกระบอกไป ใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได



หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 21

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก ทรงกระบอกเป น รู ป เรขาคณิ ต สามมิ ติ ที่ มี รู ป ร า งคล า ยกระบอกไม ไ ผ ที่ ตั ด ท อ น ใน ชีวิตประจําวันของเรามีหลายสิ่งที่มีคําวากระบอกอยูในชื่อเพื่อบงบอกใหรูวามีสวนเกี่ยวของกับ ทรงกระบอก เชน……………………………………………………………………………………… นอกจากนี้ ร อบ ๆ ตั ว เรายั ง มี สิ่ ง ของอี ก หลายสิ่ ง ที่ มี ส ว นประกอบที่ มี ลั ก ษณะเป น ทรงกระบอก เชน…………………………………………………………………………………………………….. รูปขางลางนี้เปนรูปของทรงกระบอกและสวนตาง ๆ ของทรงกระบอก ฐานหรือหนาตัด แกน สวนสูง ฐานหรือหนาตัด ทรงกระบอกตรง

ทรงกระบอกเอียง

ในทางคณิตศาสตร ทรงกระบอกมีลักษณะดังนี้ ทรงกระบอก คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเปนวงกลมที่เทากัน ทุกประการ และอยูในระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดทรงสามมิตินี้ดวยระนาบที่ขนานกันกับฐาน แลวจะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากันทุกประการกับฐานเสมอ

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก กอนที่จะหาการหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก ใหนักเรียนทํากิจกรรมตอไปนี้ โดยเตรียมวัสดุ อุปกรณดังนี้ กระปองทรงกระบอก กระดาษ กรรไกร วิธีการ 1. ใหนํากระปองทรงกระบอกวางบนกระดาษ แลวลากเสนรอบฐานบนกระดาษดังกลาว จากนั้นใชกรรไกรตัดเปนวงกลม 2. วัดความสูงของกระปองทรงกระบอก แลวตัดกระดาษใหมีความสูงเทากับกระปอง ทรงกระบอก จากนั้นนํากระดาษที่ตัดไปพันรอบกระปองทรงกระบอกใหริมจดกันพอดี คลี่กระดาษ ออกมา จะไดรูปสี่เหลี่ยมผืนผา 3. กระดาษที่ไดมาประกอบเปนทรงกระบอก ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

22


วาดภาพประกอบจากการทํากิจกรรม

จากกิจกรรมขางตนจะไดพื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก เปนดังนี้ พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก

= =

……………………………………………… ………………………………………………

และพื้นที่ฐานของทรงกระบอก เปนดังนี้ พื้นที่ฐานของทรงกระบอก

=

………………………………………………

ดังนั้นการหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก สามารถหาไดโดยใชสูตร ดังนี้ พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

เมื่อ


= พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐานทั้งสอง = ……………………………………………… = ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………

ทรงกระบอกตัน มีเสนผานศูนยกลาง 7 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ ผิวขางของทรงกระบอกนี้ (กําหนด π ≈ 22 ) 7 จากพื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก = 2 π rh ≈ 2 × 22 × 7 × 20 7 2 ≈ ………………… ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอกนี้ประมาณ …………… ตารางเซนติเมตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 23 ตัวอยางที่ 2 วิธีทํา



ทรงกระบอกยาว 30 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลางยาว 14 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกนี้ (กําหนด π ≈ 22 ) 7 จากสูตรพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่หนาตัด พื้นที่ผิวขาง = 2 π rh ≈ 2 × 22 × 14 × 20 7 2 ≈ ………………… ตารางเซนติเมตร 2 พื้นที่ฐานทั้งสอง = 2πr ≈ ………………… ≈ ………………… ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมด = ………………… = ………………… ตารางเซนติเมตร ทรงกระบอกอันหนึ่งมีความสูงและรัศมีที่ฐานยาวเทากัน ถาทรงกระบอกนี้มีพื้นที่ ผิ ว ทั้ ง หมด 154 ตารางเซนติ เ มตร รั ศ มี ข องฐานเท า กั บ กี่ เ ซนติ เ มตร (กําหนด π ≈ 22 ) 7 จากโจทย ความสูงและรัศมีที่ฐานยาวเทากัน และมีพื้นที่ผิวทั้งหมด 154 ตร.ซม. จากสูตรพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน = 2 π rh + 2 π r2 ≈ ………………………………………. ≈ ………………………………………. ≈ ………………………………………. …………… ≈ ………………………………………. …………… ≈ ………………………………………. ≈ ………………………………………. ≈ ………………………………………. …………… ≈ ………………………………………. ดังนั้น รัศมีของฐาน ประมาณ ………………… เซนติเมตร


24

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3 กิจกรรมที่ 1.5 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสาร นําเสนอและเชื่อมโยงความรู 1. จากรูป จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกนี้ (กําหนด π ≈ 22 ) 7 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 20 นิ้ว …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 14 นิ้ว …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2. ทรงกระบอกสูง 8 เซนติเมตร มีรัศมีของฐาน 5 เซนติเมตร พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก เปนเทาไร (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3. ทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลางของฐานยาว 18 เซนติเมตร พื้นที่ผิวขาง ของทรงกระบอกเปนเทาไร (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 25 4. ทรงกระบอกสูง 16 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลางของฐานยาว 5 เซนติเมตร พื้นที่ผิวขางและ พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกเปนเทาไร (กําหนด π ≈ 22 ) 7 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 5. ทรงกระบอกตัน มีพื้นที่ทั้งหมด 440 ตารางฟุต และมีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 7 ฟุต จงหาพื้นที่ฐานทั้งสอง พื้นที่ผิวขางและสวนสูงของทรงกระบอกนี้ (กําหนด π ≈ 22 ) 7 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

อยากสูงตองเขยง อยากเปนคนเกงตองขยัน


26


ปริมาตรของทรงกระบอก

h r ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา



ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่วงกลม × สูง = π r2 × h

= π r2h เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทนความสูงของทรงกระบอก

กระปองนมสูง 4.4 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลาง 2.1 เซนติเมตร บรรจุนมเต็ม กระปองมีปริมาตรเทาไร (กําหนด π ≈ 3.14) ปริมาตรของกระปองนม = π r2h 2 ≈ 3.14 × ( 2.1 ) × 4.4 2 ≈ ………………… ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น กระปองบรรจุนมไดประมาณ…………………ลูกบาศกเซนติเมตร ถังน้ําทรงกระบอก มีรัศมี 7 เมตร สูง 20 เมตร ใสน้ําไวเพียงครึ่งถัง จงหาปริมาตร ของน้ําในถัง (กําหนด π ≈ 22 ) 7 ปริมาตรถังทรงกระบอก = π r2h 7 เมตร ≈ ………………… 20 เมตร ≈ ………………… ดังนั้น ปริมาตรของน้ําครึ่งถังประมาณ ……………………………… ลูกบาศกเมตร แกวน้ําดื่มทรงกระบอกใบหนึ่งมีพื้นที่ผิวขาง 90 π ตารางเซนติเมตร มีพื้นที่ฐาน 16 π ตารางเซนติเมตร จงหาปริมาตรของแกวน้ําดื่มใบนี้ เนื่องจาก ปริมาตรทรงกระบอก = π r2h (1) หารัศมี (r) และความสูง (h) จาก พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก = …………………………… ………………… = …………………………… ………………… = …………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


พื้นที่ฐานของทรงกระบอก = …………………………… ………………… = …………………………… ………………… = …………………………… ………………… = …………………………… ………………… = …………………………… รัศมีของทรงกระบอกเทากับ…………………เซนติเมตร แทน r ดวย …………… และ h ดวย …………… ในสมการ (1) จะได ปริมาตรทรงกระบอก = …………………………… = …………………………… ดังนั้น ปริมาตรของแกวน้ําดื่มใบนี้เทากับ………………………………………… กิจกรรมที่ 1.6 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสาร นําเสนอและเชื่อมโยงความรู

1. จากรูป จงหาปริมาตรของทรงกระบอก (กําหนด π ≈ 22 ) 7 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 42 นิ้ว …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 21 นิ้ว …………………………………………………………… 2. แกวน้ําทรงกระบอกใบหนึ่งวัดเสนผานศูนยกลางภายในได 8 เซนติเมตร แกวน้ําลึก 10 เซนติเมตร จะจุน้ําไดเทาไร (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

28


3. ทรงกระบอกตันรูปหนึ่งมีพื้นที่ผิวขาง 360 ตารางเซนติเมตร เสนผานศูนยกลางฐานยาว 14 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของทรงกระบอกรูปนี้เทากับเทาไร (กําหนด π ≈ 22 ) 7 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4. ถังน้ําทรงกระบอกมีปริมาตร 1,540 ลูกบาศกเมตร เสนผานศูนยกลางฐานยาว 7 เมตร ถังน้ํานี้ มีความสูงเทาไร (กําหนด π ≈ 22 ) 7 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 5. นําแทงหินมาเรียงเปนทรงกระบอกสูง 27 ฟุต เสนผานศูนยกลางยาว 2.5 ฟุต ถาหิน 1 ลูกบาศกฟุตหนัก 154 ปอนด น้ําหนักของแทงหินทั้งหมดที่นํามาเรียงเปนเทาไร (1 ลูกบาศก ฟุตหนัก เทากับ 154 ปอนด) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


1.4 พื้นทีผ่ ิวและปริมาตรของ พีระมิด จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. อธิบายเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด 2. หาพื้นที่และปริมาตรของพีระมิด 3. นําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดไปใชแกปญหาใน สถานการณตาง ๆ ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได



30


พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด โดยทั่ ว ไปเมื่อ กล า วถึ ง คํ าว า พี ระมิ ด เรามั ก นึ ก ถึ ง และเขา ใจว า พี ร ะมิ ด จะตอ งมี ฐ านเป น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเชนเดียวกับฐานของพีระมิดในประเทศอียิปตเสมอ แตในทางคณิตศาสตรแลวฐาน ของพีระมิดไมจําเปนตองเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็ได รูปขางลางนี้เปนรูปของพีระมิดและสวนตาง ๆ ของพีระมิด ยอด สัน สวนสูงเอียง

หนา

สวนสูงของพีระมิด ฐาน

ในทางคณิตศาสตร พีระมิดมีลักษณะดังนี้ พีระมิด คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ ไมอยูบนระนาบเดียวกันกับฐาน และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดรวมกันที่ยอดแหลมนั้น

ในทางคณิตศาสตร พีระมิดตรง คือ พีระมิดที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมดานเทามุมเทา และมีสัน ทุกสันยาวเทากัน สวนสูงของพีระมิดตรงจะตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยูหางจากจุดยอดของรูปเหลี่ยมที่ เปนฐาน เปนระยะเทากัน การเรียกชื่อพีระมิด จะเรียกตามลักษณะของรูปเหลี่ยมที่เปนฐานของพีระมิดนั้น เชน ฐานเปนสี่เหลี่ยมจัตุรัส เรียกวา พีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ฐานเปนหกเหลี่ยม เรียกวา พีระมิดหกเหลี่ยม ฐานเปนแปดเหลี่ยม เรียกวา พีระมิดแปดเหลี่ยม เปนตน

พื้นที่ผิวของพีระมิด การหาพื้นที่ผิวของพีระมิด ทําไดโดยการหาพื้นที่ของดานทุกดานของพีระมิดแลวนํามา รวมกันหรือคลี่พีระมิดออกเปนรูปเรขาคณิตสองมิติ จากนั้นก็คํานวณหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิต สองมิตินั้นแตละรูป แลวนําพื้นที่ผิวทุกรูปมารวมกันเปนพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดรูปนั้น



พื้นที่ผิวของพีระมิด ประกอบดวย 1. พื้นที่ฐาน ฐานของพีระมิด จะเปนรูปเหลี่ยมตามที่กําหนด 2. พื้นที่ผิวขาง ผิวขางของพีระมิดจะเปนรูปสามเหลี่ยม จะมีจํานวนกี่รูปขึ้นอยูกับวาฐาน ของพีระมิดเปนรูปกี่เหลี่ยม เชน ถาฐานของพีระมิดเปนรูปสามเหลี่ยม จะมีผิวขางเปนรูปสามเหลี่ยม 3 รูป เปนตน ดังนั้น ดังนั้นการหาพื้นที่ผิวของพีระมิด สามารถหาไดโดยใชสูตร ดังนี้ พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผวิ ขาง ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวดานละ 18 เซนติเมตร พีระมิดสูงเอียง 15 เซนติเมตร จงหาความสูงของพีระมิด ให OX เปนความสูงของพีระมิด เนื่องจาก +OXY เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได O OY2 = OX2 + XY2 ดังนั้น OX2


=

OY2 – XY2

= 152 – 92 D = ………………… C = ………………… X Y = ………………… เซนติเมตร B A ดังนั้น ความสูงของพีระมิด ………………… เซนติเมตร พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวดานละ 40 เซนติเมตร สันยาว 29 เซนติเมตร จงหาความสูง และสูงเอียงของพีระมิด ให MX เปนความสูงของพีระมิด และ XY เปนสูงเอียง เนื่องจากแตละหนาเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วใน +BXC จะมี XY เปนความสูง โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได X = XY2 + YC2 XC2 ดังนั้น XY2

A

=

YC2 – XC2

= 292 – 202 = ………………… D = ………………… C = ………………… เซนติเมตร M Y ดังนั้น สูงเอียงของพีระมิด ………………… เซนติเมตร B ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

32


เนื่องจาก XM เปนความสูงของพีระมิด โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได XY2 = XM2 + MY2 XM2

= XY2 – MY2 = ………………… = ………………… = ………………… เซนติเมตร ดังนั้น ความสูงของพีระมิด ………………… เซนติเมตร

ฉะนั้น


จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวดานละ 24 เซนติเมตร และสวนสูงยาว 9 เซนติเมตร ให OX เปนความสูงของพีระมิด เนื่องจาก +OXY เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได O OY2 = OX2 + XY2 D A

X

B

Y

C

= = =

92 + 122 ………………… ………………… เซนติเมตร

เนื่องจาก พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีสี่หนา แตละหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ เทากัน ฉะนั้น พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = 4 × ( 1 × ฐาน × สูง) 2 = 4 × ( 1 × 24 × ………) 2 = ………………… ตร.ซม. และ พื้นที่ฐานของพีระมิด = ดาน × ดาน = ………………… = ………………… ตร.ซม. จากสูตร พื้นที่ผิวของพีระมิดฐาน = …………………………………………… ดังนั้น พื้นที่ผิวของพีระมิด ………………… ตารางเซนติเมตร


หนวยการเรียนรูที่ 1 พื้นที่ผวิ และปริมาตร 33 กิจกรรมที่ 1.7 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสาร นําเสนอและเชื่อมโยงความรู

1. จงหาความยาวของสูงเอียงของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวดานละ 42 เซนติเมตร และมีสันยาว 29 เซนติเมตร ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 2. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวดานละ 18 เซนติเมตร มีสูงเอียงยาว 15 เซนติเมตร จงหาความสูงของพีระมิด ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..


34


3. จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวดานละ 24 เซนติเมตร มีสันยาว 20 เซนติเมตร ……………………………………………………………………. X ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. D C ……………………………………………………………………. M Y ……………………………………………………………………. B A ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. พีระมิดฐานสามเหลี่ยมดานเทา ซึ่งมีดานยาวดานละ 10 เซนติเมตร มีสูงเอียงยาว 10 เซนติเมตร จงหาสันและพื้นที่ผิวขางของพีระมิด ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


ปริมาตรของพีระมิด การหาปริมาตรของพีระมิด ทําไดโดยใชสูตรดังนี้ ปริมาตรของพีระมิด = 1 × พื้นที่ฐาน × สูง 3

เนื่องจากเราทราบมาแลววา ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง ดังนั้นความสัมพันธระหวางปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึม โดยที่พีระมิดและ ปริซึมจะตองมีพื้นที่ฐานและความสูงเทากัน เปนดังนี้ ปริมาตรของพีระมิด = 1 × พื้นที่ฐาน × สูง 3 1 = ของปริมาตรของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานและความสูงเทากัน 3 ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา


พีระมิดแกวฐานสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 3 นิ้ว ยาว 4 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว ปริมาตรของ พีระมิดนี้เปนเทาใด 1 × พื้นที่ฐาน × สูง เนื่องจาก ปริมาตรของพีระมิด = 3 1 ดังนั้นปริมาตรของพีระมิด = × ………………… × …………… 3 = ………………… ลูกบาศกนิ้ว นั่นคือ ปริมาตรของพีระมิด ………………… ลูกบาศกนิ้ว จงหาปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งวัดโดยรอบยาวะ 88 เมตร และ พีระมิดสูง 15 เมตร ใหฐานของพีระมิดยาวดานละ x เมตร จะได 4x = 88 ดังนั้น x = ………… 1 × พื้นที่ฐาน × สูง เนื่องจาก ปริมาตรของพีระมิด = 3 1 × ………………… × …………… ดังนั้นปริมาตรของพีระมิด = 3 = ………………… ลูกบาศกเมตร นั่นคือ ปริมาตรของพีระมิด ………………… ลูกบาศกนิ้ว


36



พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผามีปริมาตรเปน 2,535 ลูกบาศกเมตร มีดานกวางยาว 13 เมตร และมีสวนสูงยาว 10 เมตร จงหาดานยาวของพีระมิดรูปนี้ เนื่องจาก พื้นที่ฐานของพีระมิด = กวาง × ยาว 1 × พื้นที่ฐาน × สูง และ ปริมาตรของพีระมิด = 3 1 × (กวาง × ยาว) × สูง ฉะนั้น ปริมาตรของพีระมิด = 3 ………………… = …………………………………….. ………………… = …………………………………….. ………………… = …………………………………….. ………………… = …………………………………….. ………………… = …………………………………….. ดังนั้น ดานยาวของพีระมิดรูปนี้ยาว ………………… ตารางเซนติเมตร กิจกรรมที่ 1.8 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสาร นําเสนอและเชื่อมโยงความรู

1. กําหนดสวนตาง ๆ ของพีระมิดเปนรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทา ดังตาราง จงเติมขนาดของ สวนตาง ๆ ที่ยังไมไดระบุในชองวางใหถูกตอง พื้นที่ฐาน ปริมาตร ความยาวของฐาน สูง พีระมิด (ซม.) (ซม.) (ซม.3) (ซม.2) 1) ฐานสามเหลี่ยม 10 43.3 9 2) ฐานสี่เหลี่ยม 8.2 10.5 3) ฐานหาเหลี่ยม 7.3 91.65 641.6 4) ฐานสี่เหลี่ยม 64 320 5) ฐานหกเหลี่ยม 6 7.5 2. จงหาปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวดานละ 15 เซนติเมตร และมี สูงตรง 45 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


3. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา ซึ่งมีดานกวางยาว 12 เมตร มีสูงตรงยาว 15 เซนติเมตร และมี ปริมาตร 540 ลูกบาศกเมตร จงหาดานยาวของพีระมิด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสผืนผา ซึ่งมีปริมาตร 1,280 ลูกบาศกเมตร สูง 15 เมตร จะมีพื้นที่ผิว ทั้งหมดเทากับกี่ตารางเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

38


5. พีระมิดฐานสามเหลี่ยมดานเทา ซึ่งมีความยาวดานละ 10 นิ้ว มีสวนสูง 15 นิ้ว และสันยาว 20 นิ้ว จงหา พื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวขาง พื้นที่ผิวทั้งหมด และปริมาตรของพีระมิด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



1.5 พื้นทีผ่ ิวและปริมาตรของ กรวย จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. อธิบายเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย 2. หาพื้นที่และปริมาตรของกรวย 3. นําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวยไปใชแกปญหาใน สถานการณตาง ๆ ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได



40


พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย สิ่ ง ต า ง ๆ ที่ ส ว นประกอบมี ลั ก ษณะเป น กรวย ส ว นใหญ เ ป น สิ่ ง ที่ ม นุ ษ ย ส ร า งขึ้ น เชน…………………………………………………………………………………………………….. นอกจากนี้กรวยยังเปนขนมชนิดหนึ่งทําจากแปงขาวเจา กะทิ และน้ําตาลปบ บรรจุอยูในกรวยใบตอง รูปขางลางนี้เปนรูปของกรวยและสวนตาง ๆ ของกรวย ยอด สวนสูงเอียง แกน สวนสูง ฐาน

กรวยตรง

กรวยเอียง

ในทางคณิตศาสตร กรวยมีลักษณะดังนี้ พีระมิด คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติที่มีฐานเปนวงกลม มียอดแหลมที่ไมอยู บนระนาบเดียวกันกับฐาน และเสนที่อยูตอกันระหวางจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบฐานเปนสวน ของเสนตรง

พื้นที่ผิวของกรวย การหาพื้นที่ผิวของกรวย อาจทําการทดลอง โดยเตรียมวัสดุอุปกรณดังนี้ กระดาษ กรรไกร วิธีการ

1. สรางกรวยกระดาษ 2. ตัดกรวยกระดาษตามแนวสูงแลวคลี่ออก วาดรูป



จากกระดาษที่ ค ลี่ เ ป น ด า นข า งของกรวย เมื่ อ คลี่ ก ระดาษและจะมี ลั ก ษณะเป น รูป …………………………………… พื้นที่ของรูป …………………………………… นี้เรียกวา พื้นที่ผิวขางของกรวย และผลบวกของพื้นที่ผิวขางกับพื้นที่ฐาน เรียกวา พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวย หรือ พื้นที่ผิวของกรวย ยอด สวนสูง/สูงตรง (h)

ฐานรูปวงกลม

สวนสูงเอียง ( A ) รัศมีของฐาน (r)

เราสามารถหา พื้นที่ผิวขางของกรวย ที่มีสูงเอียงยาว A หนวยและมีรัศมีที่ฐานยาว r หนวย จากฐานของกรวยเปนรูปวงกลม จะได พื้นที่ฐานของกรวย = π r2 และ พื้นที่ผิวขางของกรวย = π r A ดังนั้นการหาพื้นที่ผิวของกรวย สามารถหาไดโดยใชสูตร ดังนี้ พื้นที่ผิวของกรวย = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวขาง = π r2 + π r A = π r(r + A ) เมื่อ r แทนความยาวรัศมีของฐานกรวยและ A แทนความยาวของสูงเอียงของกรวย ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา

จงหาพื้นที่ผิวของกรวยอันหนึ่ง ซึ่งมีรัศมี 6 นิ้ว และสูง 8 นิ้ว (กําหนด π ≈ 22 ) 7 วาดรูปประกอบ หา A จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได A2 = h2 + r2 = ………………… A = ………………… h=8 ดังนั้น ……… = ………………… r=6


42


π r(r + A ) 22 × 6 × (6 + ………) ≈ 7 ≈ ………………… ตารางนิ้ว ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวยประมาณ ………………… ตารางนิ้ว และ พื้นที่ผิวของกรวย


=

กระโจมพักแรมลูกเสือมีลักษณะเปนกรวยสูง 2.4 เมตร ฐานกระโจมมีรัศมี 0.7 เมตร ผาที่ใชทํากระโจมหลังนี้มีพื้นที่กี่ตารางเมตร (ไมตองคิดสวนที่เกยกัน) วาดรูปประกอบ หา A จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได A2 = h2 + r2 A = ………………… h = 2.4 = ………………… r = 0.7 = ………………… ดังนั้น ……… = ………………… π r(r + A ) ≈ ………………… ≈ ………………… ตารางเมตร ดังนั้น ตองใชผาทํากระโจมประมาณ ………………… ตารางเมตร

และ พื้นที่ผิวของกรวย


=

กรวยกลมอันหนึ่งมีสูงเอียงยาว 16 เซนติเมตร มีพื้นที่ผิวขางเปนสี่เทาของพื้นที่ฐาน แลวกรวยนี้มีขนาดเสนผานศูนยกลางของฐานเทากับเทาใด โจทย พื้นที่ผิวขางเปนสี่เทาของพื้นที่ฐาน นั่นคือ π r A = 4 π r2 เมื่อ r แทนความยาวรัศมีของฐานกรวย และจากโจทย A = 16 จะได π r(16) = 4 π r2 ………………… = ………………… ………………… = ………………… ………………… = ………………… ดังนั้น เสนผานศูนยกลางของฐานกรวยเทากับ ………………… เซนติเมตร



1. กรวยสังกะสีอันหนึ่งมีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 20 เซนติเมตร และสูงเอียงยาว 15 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวขางของกรวย (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. 2. กรวยอันหนึ่งมีสูงตรง 12 เซนติเมตร และมีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 20 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ฐานของกรวย (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. 3. กรวยอันหนึ่งมีสูงเอียง 18 เมตร และมีรัศมีของฐานยาว 8 เมตร จงหาพื้นที่ผิวของกรวย (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

44


4. กรวยอันหนึ่งมีสูงเอียง 13 นิ้ว และสูงตรง 12 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวของกรวย ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 5. พื้นที่ฐานของกรวยเปน 144 π ตาราฟุต และมีความสูง 5 ฟุต จงหาพื้นที่ผิวของกรวย ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



ปริมาตรของกรวย นักเรียนเคยทราบความสัมพันธระหวางปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึมโดยที่ พีระมิดและปริซึมจะตองมีพื้นที่ฐานและความสูงเทากันมาแลว การหาปริมาตรของกรวย ก็สัมพันธกับปริมาตรทรงกระบอกในทํานองเดียวกัน กลาวคือ ปริมาตรของกรวย = 1 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีพื้นที่ฐานและความสูง 3 เทากัน ดังนั้นการหาปริมาตรของกรวย ทําไดโดยใชสูตรดังนี้ ปริมาตรของพีระมิด = 1 × พื้นที่ฐาน × สูง 3 1 = π r2h 3 เมื่อ r แทนความยาวรัศมีของฐานกรวยและ A แทนความยาวของสูงเอียงของกรวย ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา


กรวยกระดาษสําหรับใสน้ําดื่มสูงประมาณ 9.4 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลางของ ปากกรวยยาว 7 เซนติเมตร กรวยใบนี้จุน้ําไดเทาไร (กําหนด π ≈ 3.14) 1 × พื้นที่ฐาน × สูง เนื่องจาก ปริมาตรของกรวย = 3 1 × ………………… × …………… ดังนั้น ปริมาตรของกรวยกระดาษ = 3 ≈ ………………… ≈ ………………… ลูกบาศกเซนติเมตร นั่นคือ กรวยใบนี้จุน้ําไดประมาณ………………… ลูกบาศกเซนติเมตร กรวยอันหนึ่งสูง 12 นิ้ว มีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 5 ฟุต 10 นิ้ว จงหาปริมาตร ของกรวย (กําหนด π ≈ 3.14) จากโจทยจะได รัศมีของฐานกรวยยาว = ………………………………………… เนื่องจาก ปริมาตรของกรวย = ………………………………………… จะได ปริมาตรของกรวย ≈ ………………………………………… ≈ ………………………………………… ดังนั้น ปริมาตรของกรวยประมาณ ………………… ลูกบาศกนิ้ว


46



กรวยใบตองจํานวน 150 ชิ้น ใสขนมกลวยได 1,100 ลูกบาศกเซนติเมตร และกรวย ใบตองสูง 7 เซนติเมตร จงหาวาเสนผานศูนยกลางของฐานกรวยใบนี้จะยาวเทาใด กรวยใบตอง 150 ชิ้น ใสขนมกลวยได 1,100 ลูกบาศกเซนติเมตร กรวยใบตอง 1 ชิ้น ใสขนมกลวยได …………… ลูกบาศกเซนติเมตร 1 × พื้นที่ฐาน × สูง เนื่องจาก ปริมาตรของกรวย = 3 และ พื้นที่ฐานของกรวย = …………… 1 × …………… × 7 จะได ………………… = 3 ≈ …………………………………….. ดังนั้น ………………… ≈ …………………………………….. ≈ …………………………………….. จะได ………………… ≈ …………………………………….. ดังนั้น เสนผานศูนยกลางของฐานกรวยใบนี้จะยาวประมาณ ………… เซนติเมตร กิจกรรมที่ 1.10 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสาร นําเสนอและเชื่อมโยงความรู

1. กระโจมของชาวอินเดียแดงเผาหนึ่งมีลักษณะเปนกรวยสูง 3.25 ฐานของกระโจมรัศมียาว 1.75 เมตร ปริมาตรของกระโจมเปนเทาใด ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. 2. ความสูงของกรวยเปน 12 นิ้ว มีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 4 นิ้ว ปริมาตรของกรวยนี้เปน เทาใด ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


3. จงหาความสูงของกรวยอันหนึ่ง ซึ่งมีปริมาตร 88 ลูกบาศกนิ้ว และมีรัศมีของฐานยาว 2 นิ้ว ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. จงหาความสูงของกรวยอันหนึ่ง ซึ่งมีปริมาตร 48 π ลูกบาศกเซนติเมตร และมีเสนผาน ศูนยกลางของฐานยาว 8 เซนติเมตร ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 5. จงหาความสูงของกรวยอันหนึ่ง ซึ่งมีปริมาตร 264 ลูกบาศกฟุต และมีสวนสูงยาว 28 ฟุต แลว เสนผานศูนยกลางของฐานกรวยยาวเทาใด ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

48


1.6 พื้นทีผ่ ิวและปริมาตรของ ทรงกลม จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. อธิบายเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม 2. หาพื้นที่และปริมาตรของทรงกลม 3. นําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลมไปใชแกปญหา ในสถานการณตาง ๆ ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได




พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม ทรงกลมเปนรูปเรขาคณิตสามมิติอีกชนิดหนึ่งที่นักเรียนอาจไดพบเห็นไดจากสวนประกอบ ของสิ่งที่มนุษยสรางขึ้น เชน ………………………………………………………………………… นอกจากนี้กรวยยังเปนขนมชนิดหนึ่งทําจากแปงขาวเจา กะทิ และน้ําตาลปบ บรรจุอยูในกรวยใบตอง รูปขางลางนี้เปนรูปของทรงกลมและสวนตาง ๆ ของทรงกลม เสนผานศูนยกลางของวงกลม

ผิวโคงเรียบ

จุดศูนยกลาง

วงกลม ในทางคณิตศาสตร ทรงกลมมีลักษณะดังนี้

ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติที่มีผิวโคงเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโคง อยูหางจากจุดคงที่จุดหนึ่งเปนระยะทางเทากัน จุดคงที่นั้นเรียกวา เสนผานศูนยกลางของทรงกลม และระยะทางที่เทากันนั้นเรียกวา รัศมีของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม เราสามารถหา พื้นที่ผิวขางของทรงกลม โดยมีรัศมีของทรงกลมยาว r หนวย ไดดังนี้ พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 π r2 เมื่อ r แทนความยาวรัศมีของทรงกลม

เนื่องจากเราทราบวา

พื้นที่ของรูปวงกลม

=

π r2

และ พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 π r2 ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 × พื้นที่ฐานของรูปวงกลม นั่ น คื อ พื้ น ที่ ผิ ว ของทรงกลมเป น สี่ เ ท า ของพื้ น ที่ ข องรู ป วงกลมที่ มี รั ศ มี เ ท า กั บ รั ศ มี ข อง ทรงกลมนั้น ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

50 ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา




ทรงกลมซึ่งมีรัศมียาว 35 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวเทาใด (กําหนด π ≈ 22 ) 7 2 เนื่องจาก พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 π r เมื่อ r เปนรัศมีของทรงกลม จะได พื้นที่ผิวของทรงกลม ≈ …………………………… ≈ …………………………… ≈ …………………………… ตร.ซม. ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกลมประมาณ ………………… ตารางเซนติเมตร ถาเสนผานศูนยกลางของลูกโลกจําลองอันหนึ่งเทากับ 12,640 นิ้ว แลวความยาวของ เสนศูนยสูตรของลูกโลกจําลอง และพื้นที่ผิวของลูกโลกจําลองเปนเทาใด หารัศมีของลูกโลกจําลอง (r) = 12,640 2 = ………………… นิ้ว ความยาวของเสนศูนยสูตรของลูกโลกจําลอง = 2πr ≈ ………………… ≈ ………………… นิ้ว ดังนั้น พื้นที่ผิวของลูกโลกจําลอง = …………………………… ≈ …………………………… ≈ …………………………… ตารางนิ้ว ลูกบอลสองลูกมีรัศมียาว 4 เซนติเมตรและ 5 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวตางกันเทาใด เนื่องจาก พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 π r2 เมื่อ r เปนรัศมีของทรงกลม ลูกบอลที่มีรัศมียาว 4 เซนติเมตร จะมี พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 π (……)2 ≈ ………………… ดังนั้น ลูกบอลที่มีรัศมียาว 4 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวของทรงกลม………ตร.ซม. ลูกบอลที่มีรัศมียาว 5 เซนติเมตร จะมี พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 π (……)2 ≈ ………………… ดังนั้น ลูกบอลที่มีรัศมียาว 5 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวของทรงกลม………ตร.ซม. เพราะฉะนั้น พื้นที่ผิวของลูกบอลทั้งสองตางกัน ……………………………………………….ตารางเซนติเมตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


1. จงหาพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 2. จงหาพื้นที่ผิวของลูกฟุตบอลซึ่งมีเสนผานศูนยกลางยาว 28 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 3. ถาทําขันโลหะรูปครึ่งทรงกลม ขนาดเสนผานศูนยกลางยาว 14 นิ้ว แลวพื้นที่ผิวของโลหะใช ทําขันเปนเทาใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

52


4. ลูกเหล็กทรงกลมมีพื้นที่ผิว 154 ตารางเซนติเมตร จะมีรัศมียาวเทาใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 5. ลูกบอลสองลูกมีรัศมียาว 4 เซนติเมตรและ 5 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวตางกันเทาใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



ปริมาตรของทรงกลม การหาปริมาตรของทรง ทําไดโดยใชสูตรดังนี้ ปริมาตรของทรงกลม = 4 π r3 3 เมื่อ r แทนความยาวรัศมีของทรงกลม ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา

ลูกทรงกลมลูกหนึ่งมีพื้นที่ผิว 154 ตารางนิ้ว จงหาปริมาตรของทรงกลมนี้ เนื่องจาก พื้นที่ผิวของทรงกลม = …………………………… ≈ …………………………… ดังนั้น ………………… ………………… ≈ …………………………… ………………… ≈ …………………………… ………………… ≈ …………………………… เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม = …………………………… ดังนั้น ปริมาตรของทรงกลม ≈ …………………………… ≈ …………………………… ≈ …………………………… นั่นคือ กรวยใบนี้จุน้ําไดประมาณ………………… ลูกบาศกนิ้ว


ถาจะหลอลูกเปตองเหล็กที่มีเสนผานศูนยกลางยาว 8 เซนติเมตร จํานวน 12 ลูก จะตองใชเหล็กในการหลอเทาใด (กําหนด π ≈ 3.14) ลูกเปตองเปนทรงกลม มีรัศมียาว = ………………………… เซนติเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม = …………………………… จะได ปริมาตรของทรงกลม ≈ …………………………… ≈ …………………………… ดังนั้น การหลอลูกเปตอง จํานวน 12 ลูก จะตองใชเหล็ก ≈ …………………………… ≈ …………………… ลูกบาศกเซนติเมตร



54




รถบรรทุ ก ก า ซชนิ ด หนึ่ ง มี ถั ง บรรจุ เ ป น ทรงกลมสองลู ก ที่ มี ข นาดเท า กั น และมี ปริมาตรรวมกันเปน 67 ลูกบาศกเมตร จงหาความยาวของเสนผานศูนยกลางภายใน ของถังแตละลูก (กําหนด π ≈ 3.14) ถังบรรจุทรงกลมแตละลูกมีปริมาตร = …………………………… ลูกบาศกเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม = …………………………… ≈ จะได ………………… …………………………… ≈ …………………………………….. ดังนั้น ………………… ≈ …………………………………….. ≈ …………………………………….. ≈ …………………………………….. ≈ …………………………………….. จะได ………………… นั่นคือ เสนผานศูนยกลางภายในของถังยาวประมาณ ……………………… เมตร กิจกรรมที่ 1.12 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสาร นําเสนอและเชื่อมโยงความรู

1. ลูกทุมน้ําหนักเหล็กทรงกลมลูกหนึ่ง มีเสนผานศูนยกลางยาว 18 เซนติเมตร ลูกทุมน้ําหนักนี้ มีปริมาตรเทาใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 2. จงหาปริมาตรของทรงกลม ซึ่งมีพื้นที่ผิว 196 π ตารางนิ้ว ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


3. จงหาเสนผานศูนยกลางของทรงกลมลูกหนึ่ง ซึ่งมีปริมาตรประมาณ 904.32 ลูกบาศกเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. ถาจะหลอลูกทุมน้ําหนักเหล็กทรงกลมที่มีเสนผานศูนยกลางยาว 22 เซนติเมตร จํานวน 10 ลูก จะตองใชเหล็กในการหลอเทาใด (กําหนด π = 3.14) ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 5. กอนไอศกรีมมีลักษณะเปนทรงกลม ไอศกรีมชนิดเดียวกันสองกรวย กรวยแรกมีไอศกรีม 2 ลูก แตละลูกมีรัศมี 2.5 เซนติเมตร กรวยที่รวยใดมีไอศกรีมมากกวากัน ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

56


ชวนคิดคณิตศาสตร ลูกบาศกชวยทรงกลม ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู ลูกบาศกมีปริมาตร 729 ลูกบาศกเซนติเมตร แนบอยูภายในทรงกลม ดังรูป จงหาความยาว ของรัศมีของทรงกลมนี้ (ใหตอบเปนจํานวนเต็ม)

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………


หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 พื้นที่และปริมาตร

Recommend Documents