หนวยการเรียนรูที่ 1
อัตราสวนและรอยละ
มาตรฐานการเรียนรู มาตรฐาน ค 1.1 มาตรฐาน ค 6.1 มาตรฐาน ค 6.2 มาตรฐาน ค 6.3 มาตรฐาน ค 6.4 มาตรฐาน ค 6.5
: : : : : :
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
ขอ 3 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1
1. ใชความรูเกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละในสถานการณ ตาง ๆ รวมทั้งแกปญหาเกี่ยวกับ ความนาจะเปนได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผล ของคําตอบที่ได
สาระการเรียนรู 1.1 1.2 1.3 1,4
อัตราสวนและอัตราสวนที่เทากัน (4 คาบ) อัตราสวนของจํานวนหลาย ๆ จํานวน (3 คาบ) สัดสวน (4 คาบ) รอยละ (5 คาบ)
พรอมหรือยัง ? ถาพรอมแลว ก็เริม่ เรียนแลวนะครับ
1
2
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 MATH Series
1.1 อัตราสวนและ และอัอัตราสวนที่เทากัน
จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. เขียนอัตราสวนแทนการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่ กําหนดใหได 2. หาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหได 3. ตรวจสอบวาอัตราสวนที่กําหนดใหเปนอัตราสวนที่เทากันหรือไม 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
3
อัตราสวนและอัตราสวนที่เทากัน 1. อัตราสวน ใหนกั เรียนพิจารณาขอความตอไปนี้ “นักเรียนหอง ม.2 มีนักเรียนหญิง………คน มีนักเรียนชาย………คน ซึ่งครู 1 คน ดูแล นักเรียนทั้งหมด………คน” ซึ่งเปนการเปรียบเทียบจํานวนครูกับนักเรียน ในตลาดนัดวันอาทิตย เราอาจไดยินพอคารองขายของวา “ของใชทุกอยาง 10 บาท” ซึ่ง เปนการเปรียบเทียบปริมาณของใชกับราคา จากขอความขางตนแสดงเปนตัวอยางการใช “อัตราสวน (Ratio)” ในชีวิตประจําวัน
สรุป อั ต ราส ว นเป น ความสั ม พั น ธ ที่ แ สดงการเปรี ย บเที ย บปริ ม าณสอง ปริมาณซึ่งอาจมีหนวยเดียวกันหรือตางหนวยกันก็ได กําหนดให a และ b แทนจํานวนสิ่งของที่ตองการนํามาเปรียบเทียบ เขียนแทนอัตราสวน a ตอ b ดวย a : b หรือ ab สัญลักษณ a : b หรือ ab อานวา a ตอ b เรียกจํานวน a ในอัตราสวน a : b วา จํานวนแรก หรือ จํานวนที่หนึ่ง เรียกจํานวน b ในอัตราสวน a : b วา จํานวนหลัง หรือ จํานวนที่สอง ตําแหนงของจํานวนในแตละอัตราสวนมีความสําคัญ กลาวคืออัตราสวน a : b ไมใช อัตราสวนเดียวกับอัตราสวน b : a ยกเวน a = b เชนอัตราสวนของปริมาณครู 1 คนตอการดูแล นักเรียน 25 คน เปน 1 : 25 ไมใชอัตราสวนเดียวกับ 25 : 1 ทั้งนี้เพราะอัตราสวน 1 : 25 หมายความวา ปริมาณครู 1 คน ดูแลนักเรียน 25 คน ในขณะที่ 25 : 1 หมายถึงปริมาณครู 25 คน ดูแลนักเรียน 1 คน การเขียนอัตราสวน มี 2 ลักษณะ ดังนี้ 1. การเปรียบเทียบปริมาณสิ่งของที่มีหนวยเดียวกัน การเขียนอัตราสวนไมตองใสหนวย กํากับ เชน อัตราสวนของจํานวนนักเรียนตอจํานวนครู เปน 25 : 1 หรืออัตราสวนของจํานวนครูตอ จํานวนนักเรียน เปน 1 : 25 2. การเปรียบเทียบปริมาณสิ่งของที่มีหนวยตางกัน การเขียนอัตราสวนตองใสหนวยกํากับ ดวย เชน อัตราสวนของจํานวนไขไกเปนฟองตอราคาเปนบาท เปน 10 : 25 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
4
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
กิจกรรมที่ 1.1 : ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมายและการนําเสนอ 1. จงเขียนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบจํานวนของสิ่งของตาง ๆ ในแตละขอตอไปนี้
1) จํานวนหนังสือตอจํานวนแผนดิสเก็ต 2) จํานวนหนังสือตอจํานวนซองจดหมาย 3) จํานวนหนังสือตอจํานวนนาฬิกา 4) จํานวนแผนดิสเก็ตตอจํานวนซองจดหมาย 5) จํานวนแผนดิสเก็ตตอจํานวนนาฬิกา 6) จํานวนซองจดหมายตอจํานวนนาฬิกา 7) จํานวนนาฬิกาตอจํานวนหนังสือ 8) จํานวนซองจดหมายตอจํานวนแผนดิสเก็ต 9) จํานวนนาฬิกาตอจํานวนซองจดหมาย 10) จํานวนซองจดหมายตอจํานวนหนังสือ 2. จงเขียนอัตราสวนจากขอความตอไปนี้ 1) กีรติขับรถไปตลาดระยะทาง 75 กิโลเมตร ใชเวลา 1 ชั่วโมง 2) กฤตพจนรับจางดายหญาวันละ 120 บาท 3) จีราภรณซื้อดอกกลวยไม 41 ชอ แมคาคิดเงิน 200 บาท 4) จุฑามาศทําน้ําเชื่อมใชน้ําตาล 3 กิโลกรัม ผสมน้ํา 2 ลิตร 5) คมสันขับรถดวยความเร็ว 100 กิโลเมตรตอชั่วโมง 6) ครู 2 คนดูแลนักเรียน 55 คน 7) นักเรียนใชคอมพิวเตอรเครื่องละ 4 คน 8) ราคาทองคําวันนี้บาทละ 12,000 บาท 9) อัตราการเตนของหัวใจมนุษยเปน 72 ครั้งตอนาที 10) ระยะในแผนที่ 1 เซนติเมตร แทนระยะทางจริง 50 กิโลเมตร
¦¦¦¦ ¦¦¦¦ ¦¦ ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ………………….. ตอบ…………………..
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
5
3. ชางปูกระเบื้องใชกระเบื้องสีขาวและสีดําปูพื้นหองดังแผนภาพ จงเขียนอัตราสวนตอไปนี้ 1) อั ต ราส ว นของจํ า นวนกระเบื้ อ งสี ข าวต อ จํานวนกระเบื้องสีดํา ตอบ………………………………………… 2) อั ต ราส ว นของจํ า นวนกระเบื้ อ งสี ข าวต อ จํานวนกระเบื้องทั้งหมด ตอบ………………………………………… 4. ใหนักเรียนไปหาขอมูลของโรงเรียนจันประภัสสรอนุสรณเกี่ยวกับจํานวนครูผูสอนแยกชาย หญิง จํานวนนักการภารโรง และจํานวนนักเรียนแยกชายหญิง แลวเขียนอัตราสวนแสดง การเปรียบเทียบจํานวนคนประเภทตาง ๆ ตอไปนี้ 1) ครูชายตอครูหญิง ตอบ……………………………… … 2) นักเรียนชายตอนักเรียนหญิง ตอบ………………………………… 3) ครูทั้งหมดตอนักเรียนทั้งหมด ตอบ………………………………… 4) ครูทั้งหมดตอนักการภารโรงทั้งหมด ตอบ………………………………… 5) นักเรียนทั้งหมดตอนักการภารโรงทั้งหมด ตอบ………………………………… 2. อัตราสวนที่เทากัน ใหนักเรียนพิจารณาขอความตอไปนี้ แมของจักรินทรใหจักรินทรไปซื้อสมจากตลาดนัด จักรินทรซื้อสมมา 3 ผลราคา 10 บาท จากขอความดังกลาว สามารถเขียนในรูปอัตราสวน เปน……………… นักเรียนคิดวา ถาจักรินทรตองการซื้อสมตามจํานวนที่กําหนดในตาราง แลวราคาสมจะ เปนอยางไร จํานวนสม (ผล) ราคา ( บาท )
3 10
6
9
12
15
จากตารางสามารถเขียนเปนอัตราสวนไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
6
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
จะเห็นวาอัตราสวนเหลานี้ ไดมาจากการซื้อสมในราคาเดียวกัน คือสม 3 ผลราคา 10 บาท และกลาววาอัตราสวนเหลานี้เปนอัตราสวนที่เทากัน ซึ่งเขียนไดดังนี้ …………………………………………………………………………………………… หรือ…………………………………………………………………………………………………… การหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดให เมื่อพิจารณาอัตราสวนที่เทากันของอัตราสวนสมตอราคา คือ 3 : 10 หรือ 103 ดังนี้ คูณดวยจํานวนเดียวกัน 3 3× 2 6 10 = 10 × 2 = 20 3 = 3× 3 = 9 10 10 ×3 30 3 3× 4 10 = 10 × 4 = …………… 3 10 = ……… = ……………
หารดวยจํานวนเดียวกัน 6 6÷2 3 20 = 20 ÷ 2 = 10 9 = 9÷3 = 3 30 30 ÷ 3 10 12 = 9 ÷ 3 = …………… 40 30 ÷ 3 15 = ……… = …………… 50
จากความเกี่ยวของกันของอัตราสวนดังกลาวกับอัตราสวน 3 : 10 เปนไปตามหลักการหา อัตราสวนที่เทากัน ดังนี้ 1. หลักการคูณ อั ต ราส ว นใดเมื่ อ คู ณ แต ล ะจํ า นวนด ว ยจํ า นวน เดี ย วกั น โดยที่ จํ า นวนนั้ น ไม เ ท า กั บ ศู น ย อั ต ราส ว นใหม ที่ ไ ด จะเทากับอัตราสวนเดิม 2. หลักการหาร อัตราสวนใดเมื่อหารแตละจํานวนดวยจํานวน เดียวกัน โดยที่จํานวนนั้นไมเทากับศูนย อัตราสวนใหม ที่ไดจะเทากับอัตราสวนเดิม
จากหลักการหาอัตราสวนที่เทากัน สามารถเขียนเปนสัญลักษณเพื่อความเขาใจดังนี้ ถากําหนด อัตราสวน a : b และ c เปนจํานวนใด ๆ ที่ไมเทากับศูนย แลวจะไดวา a = a×c 1. หลักการคูณ b b×c 2. หลักการหาร
a = a÷c b b÷c
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา
7
จงหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 3 : 8 มาอีก 2 อัตราสวนโดยใชหลักการคูณ 3 : 8 เขียนแทนดวย 83 จะได 3 3× 2 6 8 = 8× 2 = 16 3 8 = ……… = ……………
ดังนั้น อัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 3 : 8 คือ…………………………………… ตัวอยางที่ 2 วิธีทํา
จงหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 24 : 36 มาอีก 2 อัตราสวนโดยใชหลักการหาร 24 : 36 เขียนแทนดวย …………… จะได 24 = 24 ÷ 2 = …………… 36 36 ÷ 2 24 = ……… = …………… 36 ดังนั้น อัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 24 : 36 คือ…………………………………
ตัวอยางที่ 3 วิธีทํา
จงหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 15 : 20 มาอีก 2 อัตราสวน 15 : 20 เขียนแทนดวย …………… จะได 15 = ……… = …………… 20 15 = ……… = …………… 20 ดังนั้น อัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 15 : 20 คือ…………………………………
การตรวจสอบการเทากันของอัตราสวน สามารถใชหลักการตรวจสอบไดดังนี้ 1. การตรวจสอบโดยใชการคูณไขว ถาตองการตรวจสอบอัตราสวน 103 กับ 206 วาเทากันหรือไม สามารถนําอัตราสวนทั้ง สองมาคูณไขวกันไดดังนี้ 3 6 10 20 พิจารณาการคูณของจํานวนแตละคูตามลูกศร ซึ่งเรียกวา ผลคูณไขว (Cross product) ถาผล คูณไขวเทากันแสดงวาอัตราสวนทั้งคูเทากัน แตถาผลคูณไขวไมเทากันแสดงวาอัตราสวนทั้งคูไม เทากัน ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
8
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 เนื่องจาก 3×20 = 60 และ 6×10 = 60 จะได 3×20 = 6×10 = 60 ดังนั้น อัตราสวน 103 กับ 260 เปนอัตราสวนเทากัน
โดยทั่วไปกลาวไดวาการตรวจสอบการเทากันของอัตราสวน ab และ dc โดยใชการคูณไขว a c b d แลวพิจารณาผลคูณไขวของอัตราสวน ab และ dc ตามหลักการดังนี้
1. ถา a×d = b×c แลว 2. ถา a×d
≠ b×c
แลว
a=c b d a ≠ c b d
จากหลักการขางตน ทําใหไดขอสรุปตอไปอีกวา ถา ab = dc แลว a×d = b×c
ตัวอยางที่ 4
วิธีทํา
จงตรวจสอบวาอัตราสวนตอไปนี้วาเทากันหรือไม 1) 95 กับ 20 36 3 12 2) 7 กับ 26 5 20 1) จากการคูณไขว 9 36 จะได และ จะได ดังนั้น
5×36 9×20 3×36 5 9
= = = =
180 180 9×200 20 36
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ 2) จากการคูณไขว จะได และ จะได ดังนั้น
9 3 12 7 26 3×26 = …………… 7×12 = …………… ………………………… …………………………
2. การตรวจสอบโดยใชการทอนเปนอัตราสวนอยางต่ํา ถาตองการตรวจสอบอัตราสวน 69 กับ 14 21 วาเทากันหรือไม ใหนําอัตราสวนทั้งสองมา ทอนเปนอัตราสวนอยางต่ํา ดังนี้ 6 = 6÷3 = 2 9 9÷3 3 14 = 14 ÷ 7 = 2 21 21 ÷ 7 3 พิจารณาจากอัตราสวนอยางต่ําของทั้งอัตราสวน จะพบวา 69 กับ 14 21 มีอัตราสวนอยางต่ํา เทากัน แสดงวาอัตราสวน 69 กับ 14 21 เปนอัตราสวนเทากัน แต ถาพิ จ ารณาแล วพ บวาอั ตราสว นอยางต่ํ าของสองอัตราสว นใด ๆ ไม เ ทากัน แสดงวา อัตราสวนที่นํามาเปรียบเทียบไมเทากัน ตัวอยางที่ 5 อัตราสวน 156 กับ 10 25 เทากันหรือไม 6 6÷3 2 วิธีทํา 15 = 15 ÷ 3 = 5 10 = 10 ÷ 5 = 2 25 25 ÷ 5 5 ดังนั้น อัตราสวน 165 กับ 10 25 เปนอัตราสวนเทากัน กิจกรรมที่ 1.2 : ทักษะการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสารและการเชื่อมโยง 1. จงหาอัตราสวนอีก 3 อัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหตอไปนี้ 1)
4 : 5
ตอบ………………………………………………………
2)
2 : 3
ตอบ………………………………………………………
3)
5 : 12
ตอบ………………………………………………………
4)
24 : 48
ตอบ………………………………………………………
5)
72 : 56
ตอบ……………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
10
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 2. จงหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหตอไปนี้อีกขอละ 2 อัตราสวน และบอก เหตุผลดวยวาใชหลักการคูณหรือหลักการหาร 1 , 2 , 3 ,… 1) ตอบ……………………ใชหลักการ…………… 2 4 6 4 , 8 , 12 ,… 2) ตอบ……………………ใชหลักการ…………… 3 6 9 3 , 6 , 9 ,… 3) ตอบ……………………ใชหลักการ…………… 5 9 15 120 , 60 , 30 ,… 4) ตอบ……………………ใชหลักการ…………… 80 40 20 5) 2187 : 729, 729 : 243, 243 : 81,… ตอบ……………………ใชหลักการ…………… 3. จงใสเครื่องหมาย = หรือ ≠ ระหวางอัตราสวนที่กําหนดใหในแตละขอเพื่อใหไดประโยค ที่เปนจริง และบอกเหตุผล เพราะวา ผลคูณไขวเทากัน a) 7 : 9 …… 14 : 18 b) 6 : 9 …… 5 : 10 เพราะวา อัตราสวนอยางต่ําไมเทากัน 1) 2 : 3 …… 24 : 36 เพราะวา………………………………………… 2) 11 : 3 …… 99 : 28 เพราะวา………………………………………… เพราะวา………………………………………… 3) 8 : 21 …… 16 : 64 7 56 เพราะวา………………………………………… 4) 8 …… 64 120 …… 3 เพราะวา………………………………………… 5) 150 4 27 …… 36 6) เพราะวา………………………………………… 33 44 4. จุฬารัตนซื้อกระดาษสําหรับทํารายงานจากรานคาแหงหนึ่งมา 25 แผน ราคา 15 บาท เมื่อ มาทํ า รายงาน บั ง เอิ ญ กระดาษหมดพอดี จุฬ ารัต นจึ ง ไปซื้ อเพิ่ม เติ ม จากร า นค าหนา บ า น 5 บาท ไดกระดาษมา 10 แผน ราคากระดาษทั้งสองรานนี้เทากันหรือไม เพราะเหตุใด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...
อยากสูงตองเขยง อยากเปนคนเกงตองขยัน ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
11
MATH
1.2 อัตราสวนของจํานวน หลาย ๆ จํานวน
Series
จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 4. เขียนอัตราสวนของจํานวนหลาย ๆ จํานวน แทนการ เปรียบเทียบปริมาณหลายปริมาณที่กําหนดใหได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 7. การคิดคํานวณ 8. การแกปญหา 9. การใหเหตุผล 10. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 11. การเชื่อมโยง 12. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 7. มีความรับผิดชอบ 8. มีความสนใจใฝรู 9. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 10. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 11. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 12. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
12
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
อัตราสวนของจํานวนหลาย ๆ จํานวน ใหนกั เรียนพิจารณาอัตราสวนตอไปนี้ จํานวนนักเรียนชายตอจํานวนนักเรียนหญิง เปน 13 : 12 จํานวนนักเรียนหญิงตอจํานวนครู เปน 12 : 2 จํานวนครูตอจํานวนนักการภารโรง เปน 2 : 3 นอกจากการเขียนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบจํานวนของบุคคลขางตนนี้ทีละคู เรายัง สามารถเขียนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบของจํานวนของบุคคลทั้งหมดไดดังนี้ อัตราสวนของจํานวนนักเรียนชายตอจํานวนนักเรียนหญิงตอจํานวนครูตอจํานวนนักการ ภารโรง เปน 13 : 12 : 2 : 3 อัตราสวนเชนนี้เรียกวาอัตราสวนของจํานวนหลาย ๆ จํานวน พิจารณาอัตราสวนตอไปนี้แลวตอบคําถาม “จํานวนเงินของชาคริตตอจํานวนเงินของชานน เปน 7 : 9 และจํานวนเงินของชานนตอ จํานวนเงินของณัฐวุฒิ เปน 27 : 18” 1. อัตราสวน 7 : 9 เทากับ 21 : 27 หรือไม ตอบ……………………………………………………………………………………… 2. จํานวนเงินของชาคริตตอจํานวนเงินของชานน เปน 21 : 27 หรือไม ตอบ……………………………………………………………………………………… 3. ใหนักเรียนเขียนอัตราสวนของจํานวนเงินของชาคริตตอจํานวนเงินของชานนตอจํานวน เงินของณัฐวุฒิ ตอบ………………………………………………………………………………………
จากการตอบคําถามขางตนนักเรียนสังเกตเห็นหรือไมวา “เมื่อมีอัตราส วนสอง อัตราสวนใด ๆ ที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณสิ่งของสามสิ่งเปนคู ๆ สามารถเขียนอัตราสวน ของจํ านวนหลาย ๆ จํานวนจากอัตราสวนนั้น โดยทําปริมาณของสิ่งที่ เปน ตัวรวมของสอง อัตราสวนใหเปนปริมาณที่เทากันโดยใชหลักการหาอัตราสวนที่เทากัน”
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ ตัวอยางที่ 1
วิธีทํา
ตัวอยางที่ 2
วิธีทํา
13
รานขายไขไกแหงหนึ่งขายไขเปด ไขไก และไขนกกระทา โดยที่จํานวนไขเปดตอ จํานวนไขไกเปน 3 : 4 จํานวนไขไกตอจํานวนไขนกกระทาเปน 3 : 2 จงเขียน อัตราสวนของจํานวนไขนกกระทาตอจํานวนไขไกตอจํานวนไขเปดของรานนี้ อัตราสวนของจํานวนไขเปดตอจํานวนไขไกเปน 3 : 4 = 3 × 3 : 4 × 3 = 9 : 12 อัตราสวนของจํานวนไขไกตอจํานวนไขนกกระทาเปน 3 : 2 = 3 × 4 : 2 × 4 = 12 : 8 ดังนั้น จํานวนไขเปดตอจํานวนไขไกตอ จํานวนไขนกกระทา เปน 9 : 12 : 8 หอประชุมแหงหนึ่งมีอัตราสวนของความกวางตอความยาวเปน 5 : 7 และความสูง ตอความยาว 3 : 8 จงเขียนอัตราสวนของความกวางตอความยาวตอความสูงและ อัตราสวนของความกวางตอความสูงของหอประชุมนี้ อัตราสวนของความกวางตอความยาวเปน 5 : 7 อัตราสวนของความสูงตอความยาวเปน 3 : 8 นั่นคือ อัตราสวนของความยาวตอความสูงเปน 8 : 3 จะได อัตราสวนของความกวางตอความยาวเปน 5 : 7 = ……………………………………… จะได อัตราสวนของความยาวตอความสูงเปน 8 : 3 = ……………………………………… ดังนั้น อัตราสวนของความกวางตอความยาวตอความสูง เปน……………………… ตอบ อัตราสวนของความกวางตอความยาวตอความสูง เปน…………………… และอัตราสวนของความกวางตอความสูง เปน……………………
รูไว ใชวา
การเปลี่ ย นจากอั ต ราส ว นที ล ะคู ไ ปเป น อั ต ราส ว นของจํ า นวนหลาย ๆ จํานวน วิธ นที่ปรากฏในอัตราสวนทีละคู เฉพาะในสวนที่เปนตัวรวม ไดเลย 3. ถาจํานวนเหลานั้นไมเทากัน ใหทําใหเทากันกอนโดยเทากับ ค.ร.น. ของ จํานวนเหลานั้น โดยใชหลักการคูณ เมื่อเทากันแลวจึงเขียนอัตราสวนของจํานวน หลาย ๆ จํานวนได ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
14 ตัวอยางที่ 3 วิธีทํา
ตัวอยางที่ 4
วิธีทํา
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีอัตราสวนของความยาวของดานทั้งสามเปน 3 : 5 : 7 ถา ดานที่สั้นที่สุดยาว 6 เซนติเมตร จงหาความยาวรอบรูป จากอัตราสวนของความยาวของดานทั้งสามเปน 3 : 5 : 7 ในอัตราสวนที่กําหนดให มี 3 เป น ความยาวของด า นที่ สั้ น ที่ สุ ด ถ า ต อ งการให ด า นที่ สั้ น ที่ สุ ด ยาวเป น 6 เซนติเมตร จะตองนํา 2 มาคูณทุกจํานวนในอัตราสวนนี้ จะได 3 : 5 : 7 = 3 × 2 : 5 × 2 : 7 × 2 = 6 : 10 : 14 ดังนั้นความยาวรอบรูปเทากับ………………………………………เซนติเมตร ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่ง มีอัตราสวนของความยาวของดานตาง ดังนี้ AB : BC = 4 : 3, BC : CD = 2 : 5, DA : CD = 3 : 2 จงหาอัตราสวนของความยาวของดานในขอตอไปนี้ 1) AB : BC : CD 2) BC : CD : DA 3) AB : BC : CD : DA 4) AB : ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม ABCD 1) เนื่องจาก AB : BC = 4 : 3 และ BC : CD = 2 : 5 ค.ร.น. ของ 3 และ 2 เทากับ 6 ดังนั้น AB : BC = 4 : 3 = 4 × 2 : 3 × 2 = 8 : 6 BC : CD = 2 : 5 = 2 × 3 : 5 × 3 = 6 : 15 ดังนั้น AB : BC : CD เทากับ 8 : 6 : 15 2) เนื่องจาก BC : CD = ………………… และ CD : DA = ………………… ค.ร.น. ของ……………………………………ดังนั้น BC : CD = …………………………………… CD : DA = …………………………………… ดังนั้น BC : CD : DA เทากับ………………………………… 3) จากขอ 1) จะไดวา AB : BC : CD = 8 : 6 : 15 และ CD : DA = 2 : 3 ค.ร.น. ของ……………………………………ดังนั้น AB : BC : CD = …………………………………… CD : DA = …………………………………… ดังนั้น AB : BC : CD : DA เทากับ………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
15
4) จากขอ 3) จะไดวา AB : ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม ABCD = ………………………………… = …………………………………
กิจกรรมที่ 1.3 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสารและการเชื่อมโยง 1. แมแบงเงินจํานวนหนึ่งใหดนยา นพรัตน และนูรีตา โดยใหอัตราสวนของจํานวนเงินที่ดนยา นพรัตน และนูรีตา ไดรับเปน 3 : 4 : 5 ตามลําดับ จงหาอัตราสวนตอไปนี้ 1) จํานวนเงินที่ดนยาไดรับตอจํานวนเงินที่นพรัตนไดรับ ตอบ…………………… 2) จํานวนเงินที่บาวไดรับตอจํานวนเงินที่นพรัตนดรับ ตอบ…………………… 3) จํานวนเงินที่ดนยาไดรับตอจํานวนเงินที่นูรีตาไดรับ ตอบ…………………… 4) จํานวนเงินที่พงศไดรับตอจํานวนเงินที่ดนยาไดรับตอจํานวนเงินที่นูรีตาไดรับ ตอบ…………………… 5) จํานวนเงินที่ดนยาไดรับตอจํานวนเงินทั้งหมด ตอบ…………………… 2. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่ง มีอัตราสวนของความยาวของดานตาง ดังนี้ AB : BC = 4 : 3, BC : CD = 2 : 1, DA : CD = 1 : 3 จงหาอัตราสวนของความยาวของดานในขอตอไปนี้ 1) AB : BC : CD 2) BC : CD : DA 3) AB : BC : CD : DA 4) ความยาว BC ตอความยาวรอบรูป …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
16
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 3. อัตราสวนของอายุนิธิเดชตออายุของประสิทธิ์ เปน 4 : 3 อัตราสวนของอายุประสิทธิ์ตออายุ ของพงศกรเปน 6 : 7 1) จงหาอัตราสวนของอายุของแตละคนตอไปนี้ (1) นิธิเดชตอประสิทธิ์ตอพงศกร (2) นิธิเดชตอพงศกร (3) พงศกรตอนิธิเดชตอประสิทธิ์ 2) ถาประสิทธิ์มีอายุ 18 ป จงหาอายุของนิธิเดชและอายุของพงศกร …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 4. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง มีอัตราสวนของขนาดของมุมทั้งสามเปน 3 : 4 : 2 จงหาวามุมที่มี ขนาดใหญที่สุดโตกวามุมที่มีขนาดเล็กที่สุดกี่องศา …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
17
MATH Series
1.3 สัดสวน
จุดประสงคการเรียนรู ียนสามารถ รในสัดสวนที่กําหนดใหได 2. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสัดสวนได ําตอบที่ได
ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน
สื่อความหมาย และการนําเสนอ 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค
ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน
ีระเบียบวินัย ยางเปนระบบ อ วิ ช า
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
18
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
สัดสวน (Proportion) นักเรียนไดรูจักอัตราสวนที่เทากันแลว เชน 3:4 = 9 : 12 5 20 = 9 36
แตละประโยคขางตนแสดงการเทากันของอัตราสวนสองอัตราสวน ในทางคณิตศาสตร ประโยคที่แสดงการเทากันของอัตราสวนสองอัตราสวนเรียกวา สัดสวน แลวใหนักเรียนฝกอาน สัดสวน เชน อานวา 5 ตอ 9 เทากับ 20 ตอ 36 สัดสวน 95 = 20 36 สัดสวน x9 = 27 อานวา 9 ตอ x เทากับ 27 ตอ 25 25 สัดสวน ab = dc อานวา a ตอ b เทากับ c ตอ d ในกรณีที่สัดสวนมีตัวแปรไมทราบคาอยูดวย เราสามารถหาจํานวนที่แทนตัวแปรนั้นได โดย การหาอัตราสวนที่เทากันซึ่งใชหลักการคูณ หรือหลักการหาร หรือหลักการคูณไขว ดังตัวอยาง ตอไปนี้ การหาคาตัวแปรในสัดสวนโดยใชหลักการคูณ หรือหลักการหาร ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ a ในสัดสวน 25 = 40a วิธีทํา ใชหลักการคูณ 2 = 2 ×8 = 16 เนื่องจาก 5 5×8 40 a 16 จะได 40 = 40 ดังนั้น คาของ a เปน 16 ตัวอยางที่ 2 วิธีทํา
จงหาคาของ c ในสัดสวน 18 : 42 = 3 : c ใชหลักการหาร เนื่องจาก ……………………………………………………… จะได
………………………………………………………
ดังนั้น คาของ c เปน…………………………………………………
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
19
การหาคาตัวแปรในสัดสวนโดยใชหลักการคูณไขว ตามที่ทราบมาแลว ตัวอยางที่ 3 วิธีทํา
ถา ab = dc แลว a×d = b×c m จงหาคาของ m ในสัดสวน 23 = 144 ใชหลักการคูณไขว นั่นคือ 3 × m = 2 × 144 จะได m = 2 ×3144
m = ……………………… ดังนั้น คาของ m เปน……………………………
ตัวอยางที่ 4 วิธีทํา
จงหาคาของ a ในสัดสวน 8 : a = 2 : 5 ใชหลักการคูณไขว นั่นคือ ……………………………………………………… จะได
……………………………………………………… ………………………………………………………
ดังนั้น คาของ m เปน…………………………… การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสัดสวน เราสามารถนํา ความรู เ กี่ย ว กั บสั ด ส ว นไปช ว ยในการแก โ จทยป ญหาที่ เ กี่ ย วขอ งกั บ เรื่ อ ง สัดสวนได ขอใหนักเรียนสังเกตวิธีการแกโจทยปญหาในตัวอยางตอไปนี้วามีลําดับขั้นตอนอยางไร กอนที่จะสรุปเปนวิธีการทั่ว ๆ ไป ตัวอยางที่ 5
วิธีทํา
ในการสอบวิชาคณิตศาสตรครั้งหนึ่งผลปรากฏวา อัตราสวนของคะแนนที่สุขุมได ตอคะแนนที่ศศิวิมลไดเทากับ 4 : 7 ถาสุขุมสอบได 56 คะแนน ศศิวิมลสอบไดกี่ คะแนน x คะแนน ใหศศิวิมลสอบวิชาคณิตศาสตรครั้งนี้ได ถาสุขุมสอบได 56 คะแนน อัตราสวนของคะแนนที่สุขุมไดตอคะแนนที่ศศิวิมลไดเทากับ 56 x จากโจทย อัตราสวนของคะแนนที่สุขุมไดตอคะแนนที่ศศิวิมลไดเทากับ 47 ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
20
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 56 x 7 × 56 จะได 4×x = 7×56 x = 4 = 98 ดังนั้น ศศิวิมลสอบวิชาคณิตศาสตรครั้งนี้ได 98
เขียนสัดสวนไดดังนี้
4 7
=
คะแนน
พิจารณาการแกโจทยปญหาขางตน สามารถสรุปขั้นตอนการแกโจทยปญหาสัดสวนไดดังนี้ 1) กําหนดตัวแปรแทนจํานวนที่โจทยตองการหา เชน x 2) เขียนสัดสวนแสดงการเทากันของอัตราสวนที่กําหนดใหและอัตราสวนใหม โดยให ลําดับของสิ่งที่เปรียบเทียบกันในแตละอัตราสวนเปนลําดับเดียวกัน ดังตัวอยางที่ 1 คะแนนของอนันต 4 7
=
56 x
คะแนนของเจตนิพัทธ 3) หาคาตัวแปรโดยใชผลคูณไขว และแกสมการ ตัวอยางที่ 6
วิธีทํา
ลําปางเปนแมคาขายผลไม ซื้อมะมวงมาขาย 370 ผล และซื้อแตงโมมาจํานวนหนึ่ง คิดแลวเขาซื้อมะมวงตอแตงโมเปนอัตราสวน 5 : 2 จงหาวาเขาซื้อแตงโมมาทั้งหมด กี่ผล x ผล ใหลําปางซื้อแตงโมมา ลําปางซื้อมะมวงมาขาย 370 ผล นั่นคือลําปางซื้อมะมวงตอแตงโมเปน 370 : x จากโจทยลําปางซื้อมะมวงตอแตงโม เปนอัตราสวน 5:2 เขียนสัดสวนไดดังนี้ ……………………………………………………… จะได ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ดังนั้น ลําปางซื้อแตงโมมาจํานวน………………ผล
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ ตัวอยางที่ 7 วิธีทํา
21
ในเวลา 15 นาที สุทธิโรจนขับรถไปในระยะทาง 22 กม. ถาสุทธิโรจนขับรถดวย ความเร็วสม่ําเสมอตลอด สุทธิโรจนขับรถดวยความเร็วเทาไร อัตราความเร็วนิยมคิดเปนกิโลเมตรตอชั่วโมง ใหสุทธิโรจนขับรถดวยความเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมงหรือ x กิโลเมตรตอ 60 นาที ในเวลา 15 นาที สุทธิโรจนขับรถไดระยะทาง 22 กิโลเมตร เขียนสัดสวนไดดังนี้ ……………………………………………………… จะได ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ดังนั้น สุทธิโรจนขับรถดวยความเร็ว…………………กิโลเมตรตอชั่วโมง
กิจกรรมที่ 1.4 : ทักษะการแกปญหา นําเสนอและการสื่อสาร 1. จงหาคาของตัวแปรในสัดสวนที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ 12 = 27 n = 18 1) 2) 8 p 5 30 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 21 = 7 7 = d 3) 4) 24 k 12 30 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… x = 4 m = 3.2 5) 6) 20 5 15 5
……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
22
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 1 = 5 4.8 = 3 7) 8) a 16 8 m ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2 6 c−5 = 7 15 = 10) 9) 8 18 5 x
……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………
กิจกรรมที่ 1.5 : ทักษะการแกปญหา การสื่อสาร การนําเสนอ และ การเชื่อมโยง 1. รูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีอัตราสวนของความกวางตอความยาวเปน 5 : 8 ถาดานกวางยาว 60 เซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่เทาไร 1) โจทยกําหนดสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 2) โจทยตองการหาสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 3) กําหนดตัวแปรแทนสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 4) สัดสวนที่ไดเปนอยางไร ……………………………………………………………………………………………… 5) แสดงวิธีการหาคาตัวแปรในสัดสวน ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
23
6) ความกวางรูปสี่เหลี่ยมยาว = …………………………………………………………… ความยาวรูปสี่เหลี่ยมยาว = …………………………………………………………… พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม = …………………………………………………………… 2. เครื่องบินลําหนึ่งบินดวยความเร็ว 550 กิโลเมตร ในเวลา 1 ชั่วโมง ถาเครื่องบินลํานี้ใช เวลาบินนาน 8 ชั่วโมง จะบินไดไกลเปนระยะทางเทาใด 1) โจทยกําหนดสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 2) โจทยตองการหาสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 3) กําหนดตัวแปรแทนสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 4) สัดสวนที่ไดเปนอยางไร ……………………………………………………………………………………………… 5) แสดงวิธีการหาคาตัวแปรในสัดสวน ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 6) ระยะทางที่เครื่องบินบินไดในเวลา 8 ชั่วโมง ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3. แอปเปล 15 ผล ราคา 345 บาท ถาซื้อแอปเปล 64 ผล จะตองจายเงินเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
24
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
4. โรงพยาบาลแหงหนึ่ง โดยเฉลี่ยมีจํานวนพยาบาลตอจํานวนผูปวยเทากับ 5 : 37 ถามีผูปวย 629 คน โรงพยาบาลแหงนี้จะมีพยาบาลดูแลกี่คน ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 5. จํานวนนักเรียนของโรงเรียน จ.ป. ตอจํานวนนักเรียนโรงเรียน ว.ส. เปน 1 : 5 ถาจํานวน นักเรียนโรงเรียน จ.ป. มี 4,500 คน จงหาจํานวนนักเรียนโรงเรียน ว.ส. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 6. โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียนทั้งหมด 3,300 คน มีจํานวนนักเรียนหญิงตอจํานวนนักเรียนชาย คิดเปนอัตราสวน 4 : 7 จงหาวามีนักเรียนหญิงกี่คน และนักเรียนชายกี่คน ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
25
1.4
1. 2. 3. 4. 5.
การคิดคํานวณ การแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ การเชื่อมโยง
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
26
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
รอยละ (Percent) ในชีวิตประจําวันของนักเรียนมักจะเคยไดยินหรือพบคําวา “รอยละ” หรือ “เปอรเซ็นต” อยู เสมอ ๆ เชน ธนาคารแหงหนึ่งใหดอกเบี้ยรอยละ 8.5 ตอป และสินคาลดราคาจากราคาปกติ 50% เปนตน นักเรียนเคยทราบมาแลววาคําวา “รอยละ” มีความหมายตอรอยหรือสวนรอยมาจากคําใน ภาษาอังกฤษวา Percent หรือใชสัญลักษณเปน % แทนก็ได คําวา รอยละหรือเปอรเซ็นต (%) เปน อัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่งกับ 100 เชน 75 รอยละ 75 หรือ 75% แทนดวย 75 : 100 หรือ 100 48 รอยละ 48 หรือ 48% แทนดวย 48 : 100 หรือ 100 การเขียนอัตราสวนใหอยูในรูปรอยละ การเขียนอัตราสวนใดใหอยูในรูปรอยละ จะตองเขียนอัตราสวนนั้นใหอยูในรูปที่มีจํานวน หลังของอัตราสวนเปน 100 แลวจะไดจํานวนแรกของอัตราสวนเปนคาของรอยละที่ตองการ ดัง ตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 วิธีทํา
ตัวอยางที่ 2 วิธีทํา
จงเขียนอัตราสวนตอไปนี้ใหอยูในรูปรอยละ 7 3 1 4 2) 5 3) 4 4) 25 1) 10 7 7 ×10 70 1) 10 = 10 ×10 = 100 = 70% 3 3 × 20 60 2) 5 = 5 × 20 = 100 = 60% 1 3) 4 = ………………………………………………… 4 4) 25 = ………………………………………………… จงเขียนอัตราสวนตอไปนี้ใหอยูในรูปรอยละ 74 87 85 155 1) 200 2) 300 3) 500 4) 1000 74 74 ÷ 2 37 1) 200 = 200 ÷ 2 = 100 = 37% 87 87 ÷ 3 29 2) 300 = 300 ÷ 3 = 100 = 29% 85 3) 500 = ………………………………………………… 155 4) 1000 = ………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
27
การเขียนรอยละใหอยูในรูปอัตราสวน ในทางกลับกัน เราสามารถการเขียนรอยละใหอยูในรูปอัตราสวนได โดยเขียนอัตราสวนที่มี จํานวนแรกเปนคาของรอยละ และจํานวนหลังเปน 100 a รอยละ a หรือ a% เขียนในรูปอัตราสวนไดวา a : 100 หรือ 100 ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 3 วิธีทํา
จงเขียนรอยละตอไปนี้ใหอยูในรูปอัตราสวน 1) รอยละ 45 2) รอยละ 25.5 3) 34% 4) 3.5% 45 9 1) รอยละ 45 = 100 = 20 2) รอยละ 25.5 = ………………………………………………… 34 17 3) 34% = 100 = 50 4) 3.5% = …………………………………………………
1. จงเขียนอัตราสวนตอไปนี้ใหอยูในรูปรอยละ 45 45 × 2 90 = 1) 50 50 × 2 = 100 = 90% 8 2) 25 = …………………………………………………………………….. 4 3) 10 = …………………………………………………………………….. 13 = …………………………………………………………………….. 4) 4 11 5) 20 = …………………………………………………………………….. 65 6) 200 = …………………………………………………………………….. 99 7) 300 = …………………………………………………………………….. 8 = …………………………………………………………………….. 8) 5 9)
3:4
= ……………………………………………………………………..
10)
9 : 20 = ……………………………………………………………………..
11)
51 : 300 = ……………………………………………………………………..
12)
80 : 500 = …………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
28
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
2. จงเขียนรอยละตอไปนี้ใหอยูในรูปอัตราสวน 1) 15 %
ตอบ……………………
2) 7 %
ตอบ…………………
3) 60%
ตอบ……………………
4) 130 %
ตอบ…………………
5) 420 %
ตอบ……………………
6) 350 %
ตอบ…………………
7) 1 %
ตอบ……………………
8) 5.5 %
ตอบ…………………
9) 12.5 %
ตอบ……………………
10) 0.68 %
ตอบ…………………
การคํานวณเกี่ยวกับรอยละ
ตอไปนี้จะเปนการนําความรูเรื่องสัดสวนมาใชคํานวณเกี่ยวกับรอยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลักษณะ ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 4
50% ของ 300 มีคาเทาไร
แนวคิด
50% ของ 300 มีคาเทาไร หมายความวา ถามี 50 สวนใน 100 สวน แลวจะมีกี่ สวนใน 300 สวน
วิธีทํา
ใหมี t สวนใน 300 สวน
t 50 = 300 100 จะได t × 100 = 50 × 300 50 × 300 t = 100 t = 150 ดังนั้น 50% ของ 300 มีคาเทากับ 150
เขียนสัดสวนไดดังนี้
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
29
ตัวอยางที่ 5
25 เปนกี่เปอรเซ็นตของ 500
แนวคิด
25 เปนกี่เปอรเซ็นตของ 500 หมายความวา ถามี 25 สวนใน 500 สวน แลวจะมี กี่สวนใน 100 สวน
วิธีทํา
ให 25 เปน a% ของ 500 25 a เขียนสัดสวนไดดังนี้ 500 = 100 จะได 25 × 100 = a × 500 a = …………………… a = …………………… ดังนั้น 25 เปน 5% ของ 500
ตัวอยางที่ 6
60 เปน 15% ของจํานวนใด
แนวคิด
60 เปน 15% ของจํานวนใด หมายความวา ถามี 15 สวนใน 100 สวน แลวจะมี 60 สวนในกีส่ วน
วิธีทํา
ให 60 เปน 15% ของ m 60 15 เขียนสัดสวนไดดังนี้ m = 100 จะได
………………………………………… ………………………………………… …………………………………………
ดังนั้น 60 เปน 15% ของ………………………………
1. จงหาผลลัพธในแตละขอตอไปนี้ 1) 25% ของ 325 เทากับเทาไร 2) 150 % ของ 90 เทากับเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
30
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
3) รอยละ 0.1 ของ 48 เทากับเทาไร 4) 0.2 เปนกี่เปอรเซ็นตของ 5 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 5) 40 เปนกี่เปอรเซ็นตของ 160 6) 1.2 เปนรอยละเทาใดของ 6 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 7) 18 เปน 40% ของจํานวนใด 8) 1 เปนรอยละ 2 ของจํานวนใด ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 9) 0.7 เปน 35% ของจํานวนใด 10) 4.2 เปนรอยละ 70 % ของจํานวนใด ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
31
การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับรอยละ
ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางโจทยปญหาและวิธีการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับรอยละ โดยใช สัดสวน ดังนี้ ตัวอยางที่ 7 วิธีทํา
ตัวอยางที่ 8 วิธีทํา
นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 มีทั้งหมด 500 คน เปนนักเรียนชาย 300 คน จํานวน นักเรียนหญิงคิดเปนรอยละเทาใดของจํานวนนักเรียนทั้งหมด จํานวนนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 ทั้งหมดมี 500 คน เปนนักเรียนชาย 300 คน จะไดวามีนักเรียนหญิง 500 – 300 = 200 คน ใหจํานวนนักเรียนหญิงคิดเปนรอยละ x ของนักเรียนทั้งหมด x 200 เขียนสัดสวนไดดังนี้ 100 = 500 จะได x × 500 = 100 × 200 100 × 200 x = 500 x = 40 ดังนั้น นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 เปนนักเรียนหญิงรอยละ 40 ตอบ รอยละ 40 โรงงานแหงหนึ่งมีคนงานทั้งหมด 150 คน ไมมาทํางาน 8% มีคนงานไมมาทํางาน กี่คน ใหจํานวนคนงานไมมาทํางานเปน y คน อัตราสวนของจํานวนคนงานไมมาทํางานตอจํานวนคนงานทั้งหมดเปน…………… อัตราสวนดังกลาวคิดเปน 8% = ………………………… เขียนสัดสวนไดดังนี้ ………………………… จะได
………………………… ………………………… …………………………
ดังนั้น มีคนงานไมมาทํางาน…………คน ตอบ…………………………
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
32 ตัวอยางที่ 9 วิธีทํา
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
ในการสอบประจําภาคนักเรียนทั้งหมด 280 คน เขาหองสอบ 238 คน นักเรียน ขาดสอบกี่เปอรเซ็นต นักเรียนทั้งหมด 280 คน เขาหองสอบ 238 คน แสดงวามีนักเรียนขาดสอบ 280 – 238 = 42 คน ใหมีนักเรียนขาดสอบเปน m% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด m 42 เขียนสัดสวนไดดังนี้ 100 = 280 จะได
………………………… ………………………… …………………………
ดังนั้นมีนักเรียนขาดสอบ……………………เปอรเซ็นตของจํานวนนักเรียนทั้งหมด ตอบ…………………เปอรเซ็นต ตัวอยางที่ 10
วิธีทํา
สุ นิ ด าได รั บ เงิ น ค า นายหน า จากการขายที่ ดิ น แปลงหนึ่ ง เป น เงิ น 45,000 บาท ถาเจาของที่ดินใหคานายหนา 5% ของราคาที่ดิน อยากทราบวาที่ดินแปลงนี้ราคา เทาไร ใหที่ดินแปลงนี้ราคา x บาท คานายหนาจากการขายที่ดินแปลงหนึ่งเปนเงิน 45,000 บาท เจาของที่ดินใหคานายหนาคิดเปน 5% = ………………………… 45000 เขียนสัดสวนไดดังนี้ x = ……………………… จะได ………………………… ………………………… ………………………… ดังนั้น ที่ดินแปลงนี้ราคา…………………บาท ตอบ…………………บาท
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
33
1. ตูเย็นหลังหนึ่งติดราคาขายไว 9,600 บาท ถาซื้อเงินสดทางรานจะลดให 10% อยากทราบ วาถาลูกคาซื้อดวยเงินสดทางรานจะขายไปในราคาเทาไร 1) โจทยกําหนดสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 2) โจทยตองการหาสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 3) กําหนดตัวแปรแทนสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 4) เขียนสัดสวนแสดงการเปรียบเทียบไดอยางไร ……………………………………………………………………………………………… 5) แสดงวิธีการหาคาตัวแปรในสัดสวน ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 6) ซื้อดวยเงินสดทางรานจะขายไปในราคาเทาไร ……………………………………………………………………………………………… 2. โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียน 900 คน นักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัมมีอยู 45 คน จงหาวา จํานวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเปนกี่เปอรเซ็นตของจํานวนนักเรียนทั้งหมด 1) โจทยกําหนดสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 2) โจทยตองการหาสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 3) กําหนดตัวแปรแทนสิ่งใด ……………………………………………………………………………………………… 4) เขียนสัดสวนแสดงการเปรียบเทียบไดอยางไร ……………………………………………………………………………………………… 5) แสดงวิธีการหาคาตัวแปรในสัดสวน ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
34
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 6) ซื้อดวยเงินสดทางรานจะขายไปในราคาเทาไร ……………………………………………………………………………………………… 3. ในหมูบานจันทรัตนมีคนอาศัยอยู 1,500 คน มี 75% ของจํานวนคนทั้งหมดที่อยูใน หมูบานนี้ทํางานเกษตรกรรม จงหาจํานวนคนที่ทํางานเกษตรกรรมในหมูบานนี้ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4. สุภาพรซื้อสวนยางแปลงหนึ่ง จายเงินมัดจําไป 30,000 บาท คิดเปน 30% ของราคาที่ดิน แปลงนี้ จงหาวาสวนยางแปลงนี้ราคาเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
35
5. บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงานทั้งหมด 2,100 คน เปนชาย 45% ในจํานวนนี้จบการศึกษาสูงกวา ปริญญาตรี 20% จงหาวา 1) มีพนักงานหญิงทั้งหมดกี่คน 2) บริษัทแหงนี้มีพนักงานชายจบการศึกษาสูงกวาปริญญาตรีกี่คน ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
36
สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2
ความอวนเปนภาวะที่มีการสะสมไขมันตามสวนต าง ๆ ของรางกายมากกวาปกติ (ปกติ รางกายมีไขมันสะสมประมาณรอยละ 20) ความอวนเปนสาเหตุของโรคหลายชนิด ถาปลอยให รางกายอวนหรือน้ําหนักมากเกินไปก็จะมีความเสี่ยงสูงตอการเปนโรคตาง ๆ เชน ขอกระดูกเสื่อม ทํา ใหปวดหัวเขา ปวดสะโพก ระบบหายใจขัดของ ไขมันในเลือดสูง ความดันโลหิตสูง โรคเบาหวาน โรคมะเร็ง ฯลฯ ดังนั้น จึงมีการหาดัชนีบงชี้เพื่อประเมินความอวนโดยใชอัตราสวน ดังนี้
ตัวอยาง
อาจารยครรชิต หนัก 55 กิโลกรัม สูง 160 เซนติเมตรหรือ……………เมตร ดัชนีมวลกาย = ………………………………… = ………………………………… = ………………………………… เนื่องจากนิยมเขียนเฉพาะจํานวนแรกของอัตราสวนที่เปนดัชนีมวลกาย ดังนั้น ดัชนีมวลกายของอาจารยครรชิตประมาณ…………………………
ดัชนีมวลกาย มีผลตอสุขภาพ ดังตารางตอไปนี้ ดัชนีมวลกาย ต่ํากวา 18.5 18.5 – 24.9 25.0 – 29.9 30.0 – 34.9 มากกวา 35.0
สภาวะความอวน น้ําหนักนอยหรือผอม น้ําหนักพอเหมาะ น้ําหนักมากเกินไป อวน อวนมาก
ความเสี่ยงตอการเปนโรค ปานกลาง – สูง ปกติ – ต่ํา เพื่อขึ้นจากปกติ ปานกลาง รุนแรง – รุนแรงมาก
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3
หนวยการเรียนรูที่ 1 อัตราสวนและรอยละ
37
เมื่อเทียบดัชนีมวลกายในตาราง อาจารยครรชิตมีน้ําหนัก…………………………………… ความเสี่ยงตอการเปนโรคอยูเกณฑ……………………………………… ใหนักเรียนชั่งน้ําหนักและวัดสวนสูงของนักเรียนเอง แลวนํามาหาดัชนีมวลกายพรอมทั้ง นํามาเปรียบเทียบหาสภาวะความอวนและตรวจสอบความเสี่ยงตอการเกิดโรค ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………
ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3