Sveučilište u Zagrebu Grañevinski fakultet
Ana Šimović
ZIDOVI S OTVORIMA (ZAVRŠNI RAD)
Zagreb, 2008.
Sadržaj 1.
Uvod
2
2.
Kratki pregled dosadašnjih radova
4 5 5 6 7 8
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
Rješenje A. R. Ržanjicina ............................ .............................................. ................................. ......................... .......... Rješenje M. Tessiera ............................... ............................................... ................................ ................................ ................ Rad O. Wernera ............................... .............................................. ............................... .................................. ....................... ..... Rad R. Rosmana ............................... .............................................. ............................... .................................. ....................... ..... Rješenje V. Simovića .............................................................................
3.
Elastično težište
11 19
4.
Općenito o općoj metodi pomaka
21
5.
Štapni model zidova s otvorima
22
6.
Sile stanja prisilnih pomaka - matrica krutosti štapa
24
7.
Sile upetosti
33
3.1.
7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.
8.
Primjer 1. ............................ ............................................. ................................. .................................. ................................. .................
Sile upetosti za opterećenje koncentriranom silom paralelnom s osi štapa............................................................................................................ Sile upetosti za opterećenje koncentriranom silom okomitom na os štapa Sile upetosti za opterećenje kontinuiranom jednoliko raspodijeljenom silom................................ silom................................................ ................................ ............................... ................................. ............................ .......... Sile upetosti za opterećenje koncentriranim momentom........................... momentom........................... Dobivanje sila upetosti pomoću izraza iz priru čnika................................. Sile upetosti za opterećenje zadano samo na neizmjerno krutim dijelovima štapa................................. štapa................................................... ............................... ............................... ......................... .......
Sustav jednadžbi ravnoteže 8.1. 8.2. 8.3.
Prijelaz u globalni koordinatni sustav ............................ ............................................. ......................... ........ Jednadžbe ravnoteže čvorova ................................................................. Ukupne sile na krajevima elemenata ............................ ............................................. ......................... ........
35 37 40 44 46 47 48 48 50 52
9.
Numerički primjer
53
10.
Zaključak
61
Literatura
62
1
1. UVOD Zidovi su plošni elementi, odnosno, konstrukcijski elementi čija je jedna dimenzija, debljina, zanemarivo mala u odnosu na druge dvije. Oni su vertikalni konstrukcijski dijelovi objekta i raznolikih su funkcija. Moraju zadovoljiti odre ñenu namjenu te konstrukcijske i estetske zahtjeve. Pa tako, da bi zadovoljili potrebe prostora kojih zatvaraju, moraju udovoljiti brojnim zahtjevima. To je prije svega stabilnost, a potom zaštita od promjene temperature, vlage i zvuka, vatrosigurnost, trajnost, ekonomi čnost i estetski izgled. Mogu se dijeliti s više polazišta: prema konstrukcijskoj ulozi, prema namjeni ili zadaći koju imaju, tj. prema sposobnosti nošenja, prema obliku (strukturi), tlocrtnom razmještaju, gradivu od kojeg se izvode, visinskom položaju u zgradi, tehnologiji grañenja, vatrootpornosti... Prema obliku, a time i stati čkom tretmanu, razlikuju se niski i visoki zidovi te puni i zidovi s otvorima, a prema sposobnosti nošenja nosivi i nenosivi. Nosivi zidovi nose sebe i prenose sva druga predviñena (stalna i pokretna) opterećenja na temelje ili na druge konstrukcijske sustave, dok nenosivi nose samo sebe. U ovom će se radu govoriti o statičkom tretmanu nosivih zidova s otvorima. Zid s otvorima moguće je proračunavati na više načina, odnosno modelirajući više različitih numeričkih modela. Primjerice, za zid sa slike 1. prikazat ćemo četiri modela (slika 2.).
Slika 1.
Na slici 2.a. prikazan je zid s otvorima modeliran kao plošni element, tj. zid i greda smatraju se jednim plošnim elementom. Drugi model (slika 2.b.) sastoji se od zidova kao plošnih elemenata i greda kao štapnih elementa iznad otvora. Sli čan model sastoji se od zidova kao plošnih elemenata, ali su grede štapni elementi iznad otvora koji se nastavljaju cijelom dužinom zida (slika 2.c.). Zid s otvorima moguće je modelirati bez plošnih elemenata, tj. kao okvir gdje su zid i greda iznad otvora modelirani kao štapni elementi (slika 2.d.). Naravno da ni jedan model kojim pokušamo opisati stvarnu konstrukciju nije sasvim istinit ili točan, jer su parametri uglavnom idealizirani, neki namjerno ispušteni, a neki mogu biti i nepoznati. Zato inženjer u modeliranju nekog problema mora znati u kojim su granicama idealizirani pojedini utjecaji te u skladu s time znati procjeniti odstupanje modela, a time i točnost rezultata. 2
a.
b.
c.
d.
Slika 2.
U okviru ovog rada zid s otvorima modeliran je kao štapni sistem. Osnovni element zida ravni je štap promijenjive krutosti po duljini, a proračun se provoditi općom metodom pomaka. Osnovna je ideja opće metode pomaka ukratko opisana u četvrtom poglavlju. Matrica krutosti i sile upetosti za štap s apsolutno krutim dijelovima razlikuju se od istih za štap konstantne krutosti po duljini pa su zato one izvedene. Kako bi se olakšala integracija pri njihovom izvoñenju metodom sila, koristi se elasti čno težište opisano u drugom poglavlju. Pri proračunu matrice krutosti uzet je u obzir i utjecaj poprečne sile. Postavljene su jednadžbe ravnoteže analogne onima za štap konstantne krutosti po duljini. U prvom je poglavlju prikazan izbor radova u kojima se prikazuje klasični približni proračun zidova s otvorima i konstrukcija koji se sastoje od plošnih elemenata metodom sila direktno ili primjenom diferencijskih jednadžbi. U devetom je poglavlju riješen proračunski primjer upotrebom programskog sustava Mathematica , a dobiveni su rezultati usporeñeni s rezultatima primjera riješenog u knjizi [7].
3
2. KRATKI PREGLED DOSADAŠNJIH RADOVA U ovom kratkom izboru radova prema [7] predstavit će se klasična rješenja problema zidova s otvorima, odnosno rješenja dana u razdoblju prije primjene komjutora u grañevinskim proračunima. Ona su većinom utemeljena na metodi sila, budući da proračun zidova s otvorima klasičnom metodom sila daje najtočnije rješenje. Meñutim, velik broj linearnih algebarskih jednadžbi koje je potrebno riješiti čini taj način proračuna neprimjenjivim u praksi. Zbog toga su autori uvodili dodatne prihvatljive pretpostavke koje pojednostavljuju proračun te omogućavaju da se postigne zadovoljavajuća točnost. Pregled je djelomičan, budući da postoji mnogo veći broj autora koji su pisali o ovoj temi. Ovdje će se navesti radovi koji su predstavljali bitan doprinos rješavanju ovog problema, iako su neki od njih ve ć toliko zastarjeli da njihova primjena ne dolazi u obzir. Navest će se osnovne karakteristike tih radova, pretpostavke autora i rezultati do kojih su došli.
2.1. Rješenje A. R. Ržanjicina Obrañujući teoriju sastavljenih štapova A. R. Ržanjicin došao je do diferencijalnih jednadžbi koje ujedno predstavljaju rješenje problema proračuna zidova s otvorima. Za svoju teoriju sastavljenih štapova usvojio je osnovne pretpostavke: vrijede zakoni znanosti o otpornosti materijala: 1) zakon ravnih popre čnih presjeka, 2) naprezanje se smatra odreñenim ako su za dani poprečni presjek poznate unutarnje sile, 3) uzdužne se deformacije zanemaruju zbog svoje relativno male veli čine. Diferencijalna jednadžba koju je dobio za gredu sastavljenu od dva elementa potpuno je ista kao i jednadžba zida s jednim nizom otvora. Ta jednadžba, objavljena 1939., glasi T //
ε
= γ T + ∆ ,
pri čemu su T ...
posmična sila, ε ... koeficijent ovisan o vezi meñu elementima, γ ... koeficijent ovisan o geometrijskim veličinama, ∆ .... član ovisan o opterećenju.
Za zid s više nizova otvora vrijedi Ržanjicinovo op će rješenje za gredu sastavljanu od više elemenata pri čemu se dobiva sistem linearnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda. Njegovo je rješenje teorijski jednostavno, no za praktičan zidova s otvorima neprikladno zbog svoje glomaznosti. Ono glasi
4
T 1 //
ε 1 T 2 //
ε 2
= ∆11T1 + ∆12T1 + ... + ∆1nT n + ∆10 = ∆ 21T1 + ∆ 22T2 + ... + ∆ 2nT n + ∆ 20
⋮
⋮
//
T n
ε n
⋮
⋱
⋮
⋮
= ∆ n1T1 + ∆12T1 + ... + ∆ nnT n + ∆ n 0
gdje su T i ...
posmična sila u i-tom čvoru, ε i ... koeficijent ovisan o vezi izmeñu elemenata i-tog čvora, ∆ ik ... koeficijenti ovisni o geometrijskim veličinama, ∆ io ... članovi ovisni o opterećenju.
2.2. Rješenje M. Tessiera U radu Stabilnost visokih grañ evina na vjetar M. Tessier promatrao je zid oslabljen po sredini jednim nizom otvora rasporeñenih tako da čine simetričan sistem. Osnovne pretpostavke koje je pritom usvojio bile su: 1) To čke A i B u osima stupova koje se nalaze na istom nivou ostaju na istoj horizontali i nakon deformacije. Drugim riječima, zanemarena je (uzdužna) deformacija zbog uzdužnih sila. 2) Ravni presjeci okomiti na osi stupova ostaju ravni i okomiti na osi stupova i nakon deformacije. To jest, primijenjena je pretpostavka Bernoulli-Eulerove teorije. U tom se radu promatraju samo dva posebna slučaja veze stupova s nepopustljivim temeljima i to: potpuna upetost i zglobna veza. Na temelju navedenih pretpostavki, tražeći progibnu liniju polovine zida za opterećenje vjetrom, Tessier je došao do linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda //
EIz − 6 EI p
(l + b)2 ab 2
z= q( h− x) ,
pri čemu su z = y / ... x ... E ... I ... I p ... l ... b ... a ... h ... q ...
tangens kuta nagiba progibne linije, apscisa mjerena od podnožja, modul elastičnosti materijala zida, moment inercije stupa, moment inercije grede, širina stupa, duljina grede, udaljenost od osi do osi grede, visina zida, intenzitet horizontalnog opterećenja.
Rješenjem te diferencijalne jednadžbe dolazi se do jednadžbe progibne linije pomoću koje se odreñuju unutarnje sile u stupovima i gredama. 5
Posebnost ovog rada je u tome što je za izvod jednadžbe progibne linije korištena metoda pomaka dok je u ve ćini ostalih radova korištena metoda sila. Ovo rješenje nema praktično značenje za proračun zidova s otvorima, a glavni razlog tome su zanemarene uzdužne sile koje dovode do grešaka u rezultatima. Svejedno, rad je zna čajan, jer je jedan od prvih koji problem analizira na ovakav način.
2.3. Rad O. Wernera O. Werner radom Prorač unavanje višespratnih zgrada sa krutim pregradnim stijenama poopćava i proširuje rad M.Tessiera – analizira realniji i op ćenitiji slučaj od dva spomenuta posebna slučaja Tessiera. On razra ñuje općeniti slučaj elastične upetosti u temeljnu konstrukciju s mogućnošću nejednolikog slijeganja temelja pri čemu utjecaj uzdužnih sila na deformaciju stupova nije uzet u obzir. Izraz za prora čun simetričnog okvira s krutim zidovima je u // − γ Lu =
q EJ o
x + γ ∆ ,
gdje su u = y / ... x ...
γ ... L ... E ... ∆ ... q ...
tangens kuta nagiba progibne linije stupa, apcisa mjerena od vrha stupa prema dolje, koeficijent ovisan o geometrijskim karakteristikama konstrukcije, razmak izme ñu osi stupova, modul elastičnosti materijala konstrukcije, dvostruka vrijednost pomaka temelja, intenzitet horizontalnog jednoliko rasporeñenog po visini opterećenja stupa.
U radu se daje i rješenje za nesimetri čan okvir, s time da se koristi pretpostavka jednakosti pomaka za razdiobu momenata na stupove.
2.4. Rad R. Rosmana U radu R. Rosmana promatra se zid s jednim nizom otvora. Zid, kojem su stupovi spojeni gredama u diskretnim točno odreñenim točkama (slika 3.), za potrebe proračuna prevodi se u zid kod kojeg su stupovi kontinuirano spojeni po čitavoj visini. Tu zamišljenu vezu sačinjava niz lamela infinitezimalno male debljine upetih u stupove. Moment inercije tih tankih „lamela“ dobiva se redukcijom momenta inercije greda.
6
Slika 3.
Osnovne pretpostavke ove metode su: 1) Vrijedi Hookeov zakon, te naprezanja ne prelaze granicu proporcionalnosti. 2) Za poprečne presjeke stupova i greda vrijedi Navierova hipoteza o ravnim presjecima, tj. ravni presjeci i nakon deformacije ostaju ravni. Za presjek zida kao cjeline ova pretpostavka ne vrijedi. 3) U sredini greda su točke infleksije. Drugim riječima, u tom presjeku nema momenata savijanja. Male krutosti greda u odnosu na krutost stupova to omogućavaju. 4) U uzdužnom smjeru grede se smatraju apsolutno krutim. 5) Visine katova su jednake. 6) Moduli elastičnosti stupova i greda su jednaki. 7) Površine poprečnih presjeka i momenti inercije stupova i greda konstantni su uzduž visine zida. Osnovni sistem za proračun ovom metodom dobiva se presijecanjem niza lamela po sredini. Nepoznanica je uzdužna sila u stupu u presjeku x mjerenom od vrha zida. Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda do koje se dolazi postavljanjem uvjeta kontinuiteta glasi T // − α 2T = ψ Μ r , pri čemu su T ... Μ r ...
uzdužna sila u stupu u presjeku s apcisom x, moment savijanja od vanjskog opterećenja, α ,ψ ... koeficijenti ovisni o geometrijskim karakteristikama zida. Problem proračuna po ovoj metodi rješavanje je rubnih uvjeta. Takoñer, netočnosti u rezultatima koje nastaju zbog pretpostavke o kontinuiranoj vezi meñu stupovima, povećavaju se s povećanjem razmaka greda i smanjenjem broja etaža. Uz to, u gornjoj gredi dobiva se nešto veća sila od stvarne. Zbog tih razloga, ova metoda ne bi se smjela koristiti za zgrade s relativno malim brojem etaža (manje od sedam). 7
Praktičnu primjenu ove metode omogućavaju Tablice za brzo pronalaženje unutarnjih sila i progiba koje daju, za ono vrijeme, dovoljno to čne veličine za dimenzioniranje. U radu je dano i rješenje za simetri čan zid s dva niza otvora koje je vrlo sli čno rješenju za zid s jednim nizom otvora. Opisano rješenje za nesimetri čne zidove s dva ili više nizova otvora nije prihvatljivo jer suviše odstupa od stvarnog stanja.
2.5. Rješenje V. Simovića U poglavlju Prorač un zidova s otvorima primjenom diferencijskih jednadžbi knjige [7] V. Simović opisuje rješenje zida s jednim nizom otvora i rješenje zida s dva ili više nizova otvora. Ta se rješenja mogu primijeniti i na višeetažne simetri čne okvire s jednim rasponom, a uz uvjet da su kutovi zaokreta svih čvorova na istom nivou meñusobno jednaki i na okvire s više raspona. U svrhu pojednostavljenja ručnih proračuna uvedene su pretpostavke prihvatljive kod proračuna grañevinskih konstrukcija: - Osnovne pretpostavke teorije konstrukcija: - Materijal se ponaša po Hookeovom zakonu elastičnosti, a naprezanja su ispod granice proporcionalnosti. - Za stupove i grede vrijedi Navierova hipoteza o ravnim poprečnim presjecima. Ovu je hipotezu mogu će usvojiti budući da je visina zida višestuko veća od širine pojedinih stupova. - Dodatne pretpostavke prihvatljive za ovu vrstu konstrukcija: - U simetrali greda nalaze se točke infleksije, tj. momenti savijanja u toj točki jednaki su nuli. - Grede se smatraju apsolutno krutima u uzdužnom smjeru. - Geometrijske pretpostavke usvojene za odreñene odsječke visine: - Moduli elastičnosti materijala i debljine zidova su konstantni. - Grede su istih dimenzija i nalaze se na istim razmacima. - Širine otvora su iste. V. Simović započinje rad analizom zida s jednim nizom otvora. Pritom pretpostavlja konstantnima po cijeloj visini zida modul elastičnosti, debljine greda i debljinu stupova. Za te pretpostavke dobiveno rješenje služi kao op će rješenje za iste te, samo promjenjive veličine. Odabrani statički sistem zida (slika 4.) statički je neodreñen onoliko puta koliko ima greda. Poprečne sile u gredama su nepoznate, a uzdužne sile u stupovima čine grupne prekobrojne sile. Jednadžbe kontinuiteta čine tročlane linearne algebarske jednadžbe koje se svode na jednadžbe konačnih diferencija drugog reda čijim se rješenjem dobiva izraz za prekobrojnu veličinu, tj. opće rješenje sistema.
8
Slika 4.
Rješenje diferencijske jednadžbe sastoji se od homogenoga i partikularnog rješenja Xi = X i( h ) + X i( p ) = C1 r1i + C2 r2i + X i( p )
pri tom su korijeni karakteristične jednadžbe, C 1 , C 2 ... konstante (zavise o rubnim uvjetima). prekobrojna veličina (jednaka uzdužnoj sili u stupu): Ni X i ... r 1i , r 2i ...
= X i
.
Homogeno rješenje ovisi samo o geometrijskim karakteristikama konstrukcije, a partikularno rješenje ovisi o vanjskim djelovanjima na konstrukciju. Poprečna sila u i -toj gredi dobiva se kao razlika prekobrojnih veličina koje se preklapaju na toj gredi, tj. kao razlika uzdužnih sila gornjeg i donjeg polja uz gredu: Ti = X i − X i −1 .
Poljem se smatra područ je izmeñu dvije grede. Izraz za ukupni moment savijanja u nekom presjeku polja ( i ) glasi: Mi = Mxi − 2 l ⋅ Xi , pri čemu su M xi ...
2l ...
moment savijanja u nekom presjeku polja i od vanjskog opterećenja, razmak izme ñu osi stupova
Momenti u stupovima dobiju se dijeljenjem ukupnog momenta u presjeku u omjerima krutosti stupova, tj. prema 9
M xi1 = M xi 2 =
1I
∑
I
M =xi
I
M =xi
2I
∑
I
M0 −xi
I
0 −xi M
1I
∑
2I
∑
1I
2I lX , i
2I
2I lX . i
∑
∑
U knjizi su dana rješenja za razne tipove optere ćenja: koncentrirana sila u osi prve grede, kontinuirano jednoliko distribuirano opterećenje, linearno distribuirano promjenjivo opterećenje te koncentrirana sila u općem položaju. Takoñer, razmatrani su razli čiti geometrijski i rubni uvjeti: zid istih geometrijskih karakteristika po čitavoj duljini, zid promjenjive debljine po etažama, tj. u skokovima, zid s elastično popustljivim osloncima, zidovi s posebnim ležajnim konstrukcijama i zidovi s jačom gornjom gredom. Slično opisanom proračunu dobivaju se rješenja i za te slučajeve. Za sva rješenja postignuta je zadovoljavaju ća točnost sa stajališta odreñenja veličina potrebnih za dimenzioniranje, tj. točnost u okviru pretpostavaka teorija konstrukcija, a primjena postupka nije ograni čena brojem etaža, visinom zida niti razmakom greda, što ovu metodu čini primjenjivom u praksi. Primjenjivosti u prakti čnim proračunima potpomaže i veći broj numeričkih primjera riješenih u radu.
10
3. ELASTIČNO TEŽIŠTE U sljedećim poglavljima izvesti ćemo matricu krutosti štapa s apsolutno krutim dijelovima pri čemu ćemo koristiti elastično težište. Zbog toga ćemo ga ovdje opisati. Metoda sila jedna je od metoda rješavanja stati čki neodreñenih sistema. U prvom koraku proračuna metodom sila zadani se sistem zamišljenim raskidanjem veza pretvara u statički odreñen, koji nazivamo osnovni sistem. Raskinute veze zamjenjuju se silama (to jest parovima sila i momenata) koje odgovaraju silama koje su te veze prenosile. Sile i momente koje uvodimo umjesto raskinutih veza nazivamo prekobrojnim silama (statički neodreñenim veličinama ili prekobrojnim veličinama). Te sile moraju vratiti narušenu neprekinutost polja pomaka ili osigurati podudaranje pomaka na mjestima uklonjenih ležajeva sa stvarnim ležajnim uvjetima. Drugim rije čima, one moraju dovesti osnovni sistem u mehaničko stanje izvornog sistema. Vrijednosti prekobrojnih sila izračunavaju se iz uvjeta kompatibilnosti pomaka na mjestima raskinutih veza. U uvjetima kompatibilnosti pojavljuju se vrijednosti pomaka koji se proračunavaju metodom jedinične sile. Uvjet kompatibilnosti pomaka izražavamo jednadžbama kontinuiteta (jednadžbe neprekinutosti, odnosno jednadžbe kompatibilnosti pomaka). Sustav jednadžbi glasi
D⋅ X + ∆ = ∆ , pri čemu su
D ... matrica fleksibilnosti (popustljivosti) sistema, X ... vektor vrijednosti prekobrojnih sila, ∆ ... vektor vrijednosti pomaka hvatišta prekobrojnih sila X i po pravcima i u smislu njihova djelovanja, izazvanih zadanim optere ćenjem, ∆ ... vektor zadanih vrijednosti prisilnih pomaka hvatišta sila X i po pravcima i u smislu njihova djelovanja Izračunavanje elemenata matrice popustljivosti – vrijednosti poopćenih pomaka – relativno je jednostavan ako je sistem konstantnog poprečnog presjeka, a os sistema zadana analitičkim izrazom pogodnim za direktnu integraciju. Za sve ostale slu čajeve, kao npr. kada je sistem promjenjivog poprečnog presjeka ili je oblik sistema dobiven kao tlačna linija, proračun koeficijenta matrice fleksibilnosti postaje složeniji. Koeficijenti fleksibilnosti ovise o izboru osnovnog sistema, iz čega proizlazi da pogodnim odabirom osnovnog sistema možda možemo pojednostavniti taj prora čun. To ćemo pokušati utvrditi analizirajući tri puta statički neodreñen okvir (slika 5.).
11
Slika 5.
Za odabrani osnovni sistem (slika 5.) postavit ćemo jednadžbe kontinuiteta X1 ⋅ δ1,1 + X2 ⋅δ1,2 + X3 ⋅ δ1,3 + δ 1,0 = δ 1 , X + δ 2,0 = δ 2 , 1 ⋅ δ 2,1 + X 2 ⋅ δ 2,2 + X 3 ⋅ δ 2,3 X1 ⋅ δ 3,1 + X2 ⋅ δ 3,2 + X3 ⋅ δ 3,3 + δ 3,0 = δ 3 ,
ili, u matričnom zapisu δ1,1 δ1,2 δ1,3 X 1 δ 1,0 δ 1 δ δ δ δ ⋅ X + 2,3 2 2,0 = δ 2 . 2,1 2,2 δ 3,1 δ 3,2 δ 3,3 X 3 δ 3,0 δ 3
Pri tom su δ i, j ... koeficijenti matrice popustljivosti (koeficijenti popustljivost, koeficijenti
δ i ...
fleksibilnosti), i ∈ 1, n ... označava poopćeni pomak hvatišta sile X i po pravcu i u smislu njezina djelovanja, označava uzrok pomaka, j ... j ∈ 1, n ... označava poopćenu jediničnu silu u hvatištu, na pravcu i u smislu djelovanja sile X j , označava sva zadana djelovanja. j = 0 ... Predznak vrijednosti δ i, j daje smisao pomaka u odnosu na smisao djelovanja sile X i . Pozitivan predznak znači pomak u smislu djelovanja sile, a negativan pomak u smislu suprotnom djelovanju sile. zadana vrijednost prisilnog pomaka hvatišta sile X i po pravcu njezina djelovanja.
Radi jednostavnosti izraza pretpostavit ćemo da nema zadanih prisilnih pomaka, tj. ∆=0.
Zamislimo da u ravnini okvira postoji jedna to čka u kojoj su elementi matrice fleksibilnosti izvan glavne dijagonale jednaki nuli. Dakle, točka za koju vrijedi δ i, j = 0 za ∀ i ≠ j .
12
Ako u tu točku postavimo nepoznate prekobrojne sile X i , X 2 i X 3 , matrica fleksibilnosti bit će * δ1,1 δ1,2 δ1,3 δ 11 0 0 * 0 . D = δ 2,1 δ 2,2 δ 2,3 = 0 δ 22 δ 3,1 δ 3,2 δ 3,3 0 0 δ 33* Sada su jednadžbe neprekinutosti * * X 1 ⋅ δ1,1 + δ 1,0 = 0, * * + δ 2,0 = 0, X 2 ⋅ δ 2,2 * * + δ 3,0 = 0, X 3 ⋅ δ 3,3
a iz njih slijede jednostavni izrazi za prekobrojne sile X 1 = − X 2 = − X 3 = −
* δ 1,0 * δ 1,1 * δ 2,0 * δ 2,2 * δ 3,0 * δ 3,3
, , ,
ili, u matričnom obliku
X = −D-1 ⋅ ∆ , tj. 1 * δ 1,1 X 1 X 2 = − 0 X 3 0
0 1 * δ 2,2
0
0
δ * 1,0 * 0 ⋅ δ 2,0 . * δ 3,0 1 * δ 3,3
Vidimo da se sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice raspada na tri neovisne jednadžbe s po jednom nepoznanicom (ortogonalizacija matrice fleksibilnosti). Točka u kojoj nepoznate sile imaju pretpostavljeno svojstvo zove se centar elastič nog pomaka ili elastič no težište. Iako su različite od jednako označenih na osnovnom sistemu, sile u elastičnom težištu označuju se sa X 1 , X 2 i X 3 . * Dakle, svi izvandijagonalni koeficijenti matrice fleksibilnosti, tj. koeficijenti: δ 1,2 , * * * * * δ 2,1 , δ 1,3 , δ 3,1 , δ 2,3 i δ 3,2 u elastičnom težištu jednaki su nuli. Kinematički (fizikalno) gledano to ima odre ñeno značenje prikazano u tablici 1.
13
Tablica 1.
Koeficijent popustljivosti * δ 1,2
* δ1,2
* = δ 2,1
=0
* δ 1,2 =0 * δ 2,1 * δ 2,1 =0 * δ 1,3
* δ1,3
* = δ 3,1
=0
* δ 1,3 =0 * δ 3,1 * δ 3,1 =0 * δ 2,3
* δ 2,3
* = δ 3,2
=0
* δ 2,3 =0 * δ 3,2 * =0 δ 3,2
Kinematičko značenje pomak hvatišta sile X 1 po pravcu i u smislu njezina djelovanja uzrokovan djelovanjem sile X 2 sila X 2 ne izaziva pomak po pravcu i u smislu sile X 1 pomak hvatišta sile X 2 po pravcu i u smislu njezina djelovanja uzrokovan djelovanjem sile X 1 sila X 1 ne izaziva pomak po pravcu i u smislu sile X 2 pomak hvatišta sile X 1 po pravcu i u smislu njezina djelovanja uzrokovan djelovanjem momenta X 3 moment X 3 ne izaziva pomak po pravcu i u smislu sile X 1 zaokret osi u hvatištu sile X 3 uzrokovan djelovanjem sile X 1
sila X 1 ne izaziva zaokret u hvatištu sile X 3 pomak hvatišta sile X 2 po pravcu i u smislu njezina djelovanja uzrokovan djelovanjem momenta X 3 moment X 3 ne izaziva pomak po pravcu i u smjeru sile X 2
zaokret osi u hvatištu X 3 sile uzrokovan djelovanjem sile X 2
sila X 2 ne izaziva zaokret osi u hvatištu sile X 3
Imajući u vidu to kinematičko značenje možemo definirati elastič no težište kao točku pridruženu elastičnom sistemu (luku, okviru ili linijskom elementu) tako da sila koja u njoj djeluje ne izaziva zaokret pripadnog presjeka, a moment koji u njoj djeluje ne * * izaziva pomak. Definicija se temelji na kinemati čkom značenju izraza δ 2,3 = δ 3,2 = 0 stoga što je to razlika elasti čnog težišta u odnosu na bilo koju drugu točku sistema u koju možemo postaviti prekobrojne sile. Naime, za sistem sastavljen od ravnih štapova vrijedi * * * * δ1,2 = δ 2,1 = 0 i δ1,3 = δ 3,1 = 0 i za bilo koju drugu točku zbog neovisnosti uzdužnih i poprečnih djelovanja, odnosno, zbog toga što se pri djelovanju momenta ne javljaju * * uzdužne sile i/ili uzdužni pomaci i obrnuto. Za zakrivljene štapove koeficijenti δ 1,2 , δ 2,1 , * * δ 1,3 i δ 3,1 različiti su od nule u svim točkama osim u elastičnom težištu. Za potpuno odreñenje elastičnog težišta označenog točkom C potrebno je odrediti njegove koordinate ( xC , yC ) i kut što ga sila X 1 zatvara s koordinatnom osi x . Počet ćemo odreñivanjem koordinata elastičnog težišta iz kojeg se prekobrojne sile prenose na okvir preko zamišljenih štapova beskonačne krutosti (slika 6.). Uvest ćemo novi koordinatni sustav ( x, y ) s ishodištem u točki C . Vidimo da vrijedi x = x − xC
i
y = y − yC .
14
Slika 6.
Za odreñenje C ( xC , yC ) iskoristit ćemo jednadžbe j
* δ1,3
* = δ 3,1
=
m1 m3
∫ EI( s)ds = 0 , i j
m 2 m3
* * = δ 3,2 = ∫ δ 2,3
EI( s) i
ds = 0 ,
a za to su nam potrebni momentni dijagrami m1 , m2 i m3 . Dijagrami m1 i m2 prikazani su na slici 7. Pritom vrijednost momenata nisu nanošene okomito na osi elemenata, nego okomito na pravce djelovanja jediničnih sila. Iz dijagrama se vidi da izrazi za momente savijanja na okviru glase m1 = 1⋅ y , m 2 = 1⋅ x , m3 = 1 .
Slika 7. * * Odredimo xC koordinatu iz uvjeta δ 2,3 = δ 3,2 = 0:
∫ i
j
j
j
j
j
j
x − xc x x ds 1⋅ x ⋅1 ds = ∫ ds = ∫ ds = ∫ ds = ∫ ds − xC ∫ = 0. EI( s) EI s EI s EI s EI s EI s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i
m 2 m3
Slijedi j
∫ i
x
EI( s)
ds = xC
j
∫ EI( s)
ds
i
te 15
j
xC =
x
∫ EI( s)ds i
j
.
ds
∫ EI( s) i
* * Odredimo yC koordinatu iz uvjeta δ1,3 = δ 3,1 = 0:
∫ i
j
j
j
j
j
j
y − yc y y ds 1 ⋅ y ⋅1 ds = ∫ ds = ∫ ds = ∫ ds = ∫ ds − y C ∫ =0. EI( s) EI s EI s EI s EI s EI s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i
m1 m3
Slijedi j
∫ i
j
y
EI( s)
ds = yC
∫ EI( s)
ds
i
te j
yC =
y
∫ EI( s)ds i
j
.
ds
∫ EI( s) i
Kako bismo pojednostavnili izraze za koordinate elastičnog težišta definirat ćemo neke karakteristike. Njihove će oznake biti dg =
ds EI( s)
j
... j
∫
G = dg = i
element „teške linije“, ds
∫ EI( s) ...
duljina „teške linije“,
i
j
∫
SG ( y ) = x ⋅ dg = i j
∫
SG ( x) = y ⋅ dg = i
j
x
∫ EI( s)ds ... i j
y
∫ EI( s)ds ...
statički moment „teške linije“ oko osi y, statički moment „teške linije“ oko osi x.
i
Prema tim oznakama izrazi za koordinate su xC = yC =
SG ( y ) G SG ( x ) G
, .
Nadalje, potrebno je odrediti kut ψ – kut što ga sila X 1 zatvara sa osi x (slika 8.). Za njegovo odreñenje potrebni su nam dijagrami momenata savijanja m1 , m2 i m3 (slika 9.). 16
Slika 8.
Izrazi za momente savijanja glase m1 = 1⋅η , m2 = 1⋅ ξ , m3 = 1 .
Slika 9.
Takoñer, potrebno je primijetiti da vrijedi ( slika 10.) ξ = x cosψ + y sinψ , η = − x sinψ + y cosψ ,
odnosno, u matričnom zapisu ξ cosψ η = − sinψ
sinψ x . cosψ y
Slika 10.
17
* * Konačno, odredimo kut ψ pomoću jednadžbe δ1,2 = δ 1,2 = 0.
∫
j
m1 m2
ds =
( )s EI
i
∫ i
j
j
(− x sinψ + y cos ψ ) ⋅ ( x cosψ ds = ∫ EI( )s EI( )s i
η ⋅ξ
+ y sin ψ )
ds
1 y x xy = sin 2ψ − ∫ ds − ∫ ds + cos 2ψ ∫ ds = 0 . EI s EI s 2 ( ) ( ) i EI( s) i i j 2
j 2
j
Proizlazi da je j
tg 2ψ =
2∫
x y
EI( s) i
j
∫ i
x
2
EI( s)
ds = 0 j
ds −
y
2
.
∫ EI( s) ds i
Definirajmo još karakteristika „teške linije“ da pojednostavnimo izraz: j
∫ EI( s)
I ( )x=
G
i j
I ( )y=
G
2
y
x 2
∫ EI( s)
ds...
moment inercije „teške linije“ oko osi x ,
ds...
moment inercije „teške linije“ oko osi y ,
i
j
IG ( x, y) =
x y
∫ EI( s)
ds...
centrifugalni moment inercije „teške linije“ oko točke C .
i
Kut ψ odreñujemo izrazom IG ( x, y) 1 ψ = arctg . 2 I y − I x ( ) ( ) G G
Dijagonalni elementi matrice fleksibilnosti odreñuju se, takoñer, prema ranije izvedenim izrazima u koje uvrstimo pripadne karakteristike „teške linije“: j
δ11*
=
∫ i j
* δ 22
=
∫
i j
* δ 33
=
∫ i
m12 EI( s)
j
ds =
j
EI( s)
ds =
2
EI( s)
∫ EI( s)ds = I
G
(ξ ) = I G ( x)cos 2ψ + I G ( y )sin 2 ψ − I G ( x, y) sin 2ψ ,
(η ) = I G ( x)sin 2ψ + I G ( y )cos 2 ψ + I G ( x, y) sin 2ψ ,
i
m2 2 m3
η 2
ds =
ξ 2
∫ EI( s)ds = I i j
G
ds
∫ EI( s) = G , i
* * * dok se elementi vektora ∆ ( δ 1,0 , δ 2,0 i δ 3,0 ) odreñuju kao i kod ostalih sistema.
18
Za simetrične sisteme potpuno odreñenje elastičnog težišta pojednostavljuje se budući da treba odrediti samo koordinatu yC jer su xC = L / 2 i ψ = 0 . Korištenjem elastičnog težišta (centra elastičnog pomaka) pri proračunu višestruko neodreñenih nosača, može se posti ći da matrica fleksibilnosti nije puna. Time se ubrzava postupak inverzije matrice popustljivosti ili bilo koji iterativni postupak rješavanja jednadžbi kontinuiteta.
3.1. Primjer 1. Potrebno je odrediti elastično težište štapa sa slike 11.
Slika 11. Postupak:
Za početak odredimo duljinu „teške linije“. j
j
∫
G = dg = i
G=
∫ EI( s)
=
∑
i
e1 EI∞
G = 0+ G=
ds
s EI
+ s
EI
s EI
+
e2
Li , j EIi , j
,
,
EI∞
+ 0,
.
Zatim odredimo statičke momente „teške linije“ oko osi x i y . Statički moment oko osi x je j
∫
SG ( x) = y ⋅ dg = i
j
y
∫ EI( s)ds = 0 . i
19
Statički moment oko osi y je j
j
∫
SG ( y ) = x ⋅ dg = i
SG ( y ) = e1 ⋅
∫ EI( s)ds , i
e1 ∞
SG ( y ) = e1 ⋅
x
e1 ∞
+ (e1 + EI + (e1 + EI
SG ( y ) = 0 + (e1 + SG ( y ) = (e1 +
s
)⋅
s
s
2 s
2
s
)⋅
2 EI s
2 EI
)⋅ )⋅
s s
+ (e1 + s + EI
e2
+ (e1 + s + EI
e2
2 2
)⋅
e2 ∞
)⋅
e2 ∞
,
EI
,
EI
+0,
.
Konačno, odredimo koordinate elastičnog težišta (centra elastičnog pomaka): yC = yC =
SG ( x ) G
0
xC = xC =
s EI
yC = 0
SG ( y ) G (e1 + 2s ) ⋅ EI s
xC = e1 +
s EI
s
2
I ( x, y) x y 1 Očito je da je kut ψ = arctg G ds= 0 . = 0 , jer je IG ( x, y) = ∫ EI s ( ) 2 i IG ( y) − IG ( x) j
Rješenje:
C ( xC , y C ) ≡ C (e1 +
s
2
;0) .
20
4. OPĆENITO O OPĆOJ METODI POMAKA Metoda pomaka je metoda proračuna štapnih sistema u kojoj su nepoznanice vrijednosti pomaka odabranih točaka sistema. Odabrane točake sistema, kao npr. točke u kojima se sastaje više elemenata te to čke u kojima se dva gredna elementa sastaju pod nekim kutem nazivamo čvorovima. Oni mogu biti kruti, zglobni, kruto-zglobni... Ako je potrebno, čvorom se može proglasiti bilo koja točka sistema. Nepoznate vrijednosti pomaka su vrijednosti translacijskih i rotacijskih pomaka čvorova. Translacijske i rotacijske pomake čvorova jednim imenom možemo zvati poopćeni pomaci. Metodom pomaka mogu se prora čunavati statički neodreñeni, ali i odreñeni sistemi. Ona je općenitija metoda od metode sila te kao takva prikladnija za prora čun statički neodreñenih konstrukcija. Takoñer, relativno laka formalizacija op će metode pomaka razlog je zbog kojeg je ona algoritamska osnova ve ćine kompjutorskih programa za proračun štapnih konstrukcija. Proračun metodom pomaka provodi se na osnovnom sistemu. Osnovni sistem oblikuje se dodavanjem zamišljenih veza koje spriječavaju poopćene pomake tako da se zadani sistem u prvom koraku „raspada“ na niz me ñusobno neovisnih obostrano upetih greda. Zbog spriječenosti „slobodnih“ pomaka i zaokreta čvorova u dodanim se zamišljenim vezama, pri zadanim djelovanjima, pojavljuju reaktivne sile i momenti kojih u izvornome sistemu nema. Dio sila koje djeluju na čvorove tako se prenosi na podlogu, pa bez njih čvorovi, „izrežemo“ li ih iz sistema, ne će biti u ravnoteži. Tako polje pomaka osnovnog sistema odgovara tek jednom od mogućih stanja pomaka izvornog sistema. Kako bismo osnovni sistem doveli u mehaničko stanje u kojemu se nalazi izvorni sistem, njegove čvorove prisilno zaokrećemo i pomičemo po pravcima zamišljenih veza. Ti poopćeni pomaci moraju biti takvi da reakcije, koje se zbog njih javljaju u zamišljenim vezama, ponište reakcije izazvane zadanim djelovanjima, jer će tada na čvorove osnovnog sistema djelovati samo one sile koje djeluju na čvorove izvornog sistema. Njihove nepoznate vrijednosti možemo odrediti iz jednadži ravnoteže sila i momenata u čvorovima. Drugim riječima, uvjete is čezavanja reakcija u zamišljenim vezama izražavamo kao uvjete ravnoteže sila i momenata u čvorovima, a rješenja sustava jednadžbi ravnoteže su tražene vrijednosti poop ćenih pomaka čvorova. Dakle, proračun metodom pomaka možemo rastaviti na dva koraka. U prvome se koraku na osnovni sistem nanose zadana djelovanja (sile, slijeganja ležaja, temperaturne promjene...). Taj korak nazivamo stanje sprije čenih pomaka čvorova, a sile na krajevima svakog elementa koje se javljaju u tom stanju nazivamo silama stanja sprije čenih pomaka ili, jednostavnije, silama upetosti. U drugome koraku kojeg nazivamo stanje prisilnih pomaka, javljaju se sile stanja prisilnih pomaka. Superponiranjem sila u stanju spriječenih pomaka i sila u stanju prisilnih pomaka dobivamo ukupne sile na krajevima elementa, tj. ukupne poopćene sile kojima čvorovi djeluju na element. U sljedećim ćemo poglavljima zamisao metode pomaka matri čno formulirati. 21
5. ŠTAPNI MODEL ZIDA S OTVORIMA Kako bismo metodom pomaka proračunali zid s otvorima, zid kao plošni element trebamo „prevesti“ u štapni sistem (slika 12.). To ćemo učiniti tako što ćemo naći spojnice težišnih linija zidova koje će činiti proračunski model zida s otvorima. Presječnice težišnih linija proglasit ćemo čvorovima konstrukcije, a spojnice susjednih čvorova štapovima.
Slika 12.
Dakle, osnovni element zida s otvorima je ravni štap. Me ñutim, krutost štapa nije konstantna po duljini (slika 13.), već se on sastoji od apsolutno krutog i elasti čnog dijela. Apsolutno kruti dio ponaša se kao dio čvora, dok se elasti čni dio deformira pri djelovanju opterećenja i pomaka susjednih čvorova.
Slika 13.
Uvest ćemo oznake koje će nam olakšavati daljnju analizu ravninskih ravnih štapnih sistema u ravnini xy. Štapni element ozna čit ćemo sa (i, j ) pri čemu su i i j čvorovi, tj. par čvorova koji jednoznačno odreñuje element. Krajeve elementa ozna čit ćemo prema pripadnim čvorovima pa ćemo razlikovati kraj i i kraj j . Prema tome, sve statičke i kinematičke veličine na i -tom kraju elementa (i, j ) označavat ćemo parom indeksa i, j , a veličine na j -tom kraju parom j, i . Lokalni koordinatni sustav odabrat ćemo tako da čvor i leži u njegovu ishodištu i da se uzdužna os štapa poklapa s osi xloc . Sile na krajevima štapnog elementa smatraju se pozitivnima ako im se smisao djelovanja poklapa s orijentacijom odgovarajuće osi (slika 14.).
22
Slika 14.
Vrijednosti sila na kraju i izražene kao zbroj vrijednosti sila u stanju prisilnih pomaka ( ni , j , t i, j , mi, j ) i vrijednosti sila u stanju spriječenih pomaka ( N i , j , T i , j , M i, j ) glase Ni , j = ni , j + Ni , j , Ti , j = ti , j + T i , j , Mi , j = mi, j + Mi , j . Izrazi za vrijednost sila na kraju j analogni su Nj, i = nj, i + Nj ,i , T j, i = t j, i + T j ,i , M j, i = mj, i + M j ,i .
Prvi indeks uz oznaku sile na kraju štapa znači broj čvora koji na taj štap djeluje, a drugi indeks označava čvor na koji je vezan drugi kraj štapa.
23
6.
SILE STANJA PRISILNIH KRUTOSTI ŠTAPA
POMAKA
–
MATRICA
Izraze za sile stanja prisilnih pomaka izvesti ćemo metodom sila. Pritom ćemo koristiti elastično težište. Ono se nalazi na osi štapa, na udaljenosti xC = e1 + 2s od ishodišta lokalnog koordinatnog sustava ( primjer 1.). Postavljanjem (nepoznatih) prekobrojnih sila X 1 , X 2 i X 3 u elastično težište, dobivamo osnovni sustav sastavljen od dva konzolna štapa (slika 15.), a i znatno pojednostavljen proračun.
Slika 15.
Za tako odabrani osnovni sustav jednadžbe kompatibilnosti pomaka su * * δ δ1,1 0 0 X 1 δ 1,0 1 * * 0 δ 2,2 0 ⋅ X 2 + δ 2,0 = δ 2 , * 0 * 0 δ 3,3 X 3 δ 3,0 δ 3
ili, u kraćem obliku
D⋅ X + ∆ = 0 , T
jer je vektor ∆ = δ 1 δ 2 δ 3 jednak nuli. Elemente matrice fleksibilnosti u elastičnom težištu računamo integracijom u granicama od 0 do L . Pritom je na dijelovima štapa od 0 do e1 i od e1 + s do L vrijednost integrala jednaka nuli radi neizmjerne krutosti štapa ( I = ∞ i A = ∞ ), pa integraciju možemo provoditi u granicama od e1 do e1 + s . Unutarnje sile od sila u prekobrojnim vezama odreñene su izrazima ( slika 16.) n1 ( x) = 1 , t2 ( x) = −1 , m2 ( x) = x − xc , m3 ( x) = 1 .
24
Slika 16.
Izračunajmo vrijednosti dijagonalnih koeficijenata matrice fleksibilnosti: * δ 1,1
L
=
n1 ⋅ n1
∫
e1 + s
∫
dx =
EA
o
e1
n12 1⋅ s s , = ds = EA EA EA
L
e1 + s
2 m2 2 t2 ∫ e EI+ k GAds , 1
* δ 2,2
t ⋅t m ⋅m = ∫ 2 2 + k 2 2 dx = EI GA o
* δ 2,2
3 2 1 s s 2 s 1⋅ s s k ⋅s , = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + k = + EI 2 2 2 3 2 GA 12 EI GA
uz G ⋅ A =
E
2(1 +ν )
⋅
I ⋅12 h2
, pri čemu su
ν ... Poissonov koeficijent (konstanta materijala), k ...
bezdimenzionalni koeficijent koji ovisi samo o obliku poprečnog presjeka štapa; za pravokutni poprečni presjek k = 1,2 , E ... modul elastičnosti (Youngov modul), 25
modul pomika (Coulombov modul); G =
G ...
E
2(1 +ν )
,
moment inercije; za pravokutni poprečni presjek I z = I =
I ...
površina poprečnog presjeka;
A ...
b⋅h 3
A = b⋅ h =
12
⋅12
h2
=
I ⋅12 h2
b⋅h
12
3
,
,
slijedi: * δ 2,2
* δ 3,3
=
s
12 L
=
∫ o
3
2 2 s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 1, 2 ⋅ s ⋅ 2(1 +ν ) ⋅ h 2 , + = s⋅ EI EI EI 12 12
m3 ⋅ m3 EI
e1 + s
dx =
∫
m32
ds =
1⋅ s
= EI
EI
e1
s
.
EI
Matrica fleksibilnosti je * δ 1,1 0 * D = 0 δ 2,2 0 0
s 0 0 0 EA 2 2 s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 0 = 0 s⋅ 0 , 12 EI * δ 3,3 s 0 0 EI
pa je inverznu matricu matrici fleksibilnosti jednostavno dobiti 1 * δ 1,1 −1 D = 0 0
0 EA s
0 1 * δ 2,2
0
0 = 0 1 0 * δ 3,3
0
0
12 EI 0 . 2 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) EI 0 s
Vektori vrijednosti poopćenih pomaka na krajevima štapa isti su kao i kod štapova konstantne krutosti po cijeloj duljini. U skladu s prije uvedenim oznakama te prema slici T 17., vektor pomaka kraja i možemo napisati ui , j = ui , j wi, j ϕ i, j te vektor pomaka kraja
j
T
T
u j, i = u j, i w j, i ϕ j, i , odnosno, u(i , j ) = ui , j wi, j ϕi , j u j ,i w j, i ϕ j ,i .
26
Slika 17.
Za odreñenje vanjskih članova jednadžbi kontinuiteta, tj. vrijednosti poopćenih * * * pomaka δ 1,0 , δ 2,0 i δ 3,0 , poslužit će nam dijagram pomaka ( slika 18.).
Slika 18.
27
Prema dijagramu pomaka možemo pisati * * * δ1,0 (ui, j ) + δ 1,0 (u j ,i ) = ui, j − u j ,i , = δ1,0 * * * * * δ 2,0 (wi , j ) + δ 2,0 (ϕi , j ) + δ 2,0 (w j,i ) + δ 2,0 (ϕ j,i ) = wi, j + xc ⋅ϕ i, j − w j, i + ( L − xc ) ⋅ϕ j, i , = δ 2,0 * * * δ 3,0 (ϕi, j ) + δ 3,0 (ϕ j ,i ) = ϕ i, j − ϕ j ,i . = δ 3,0
Ili, isto u matri čnom zapisu * δ 1,0 1 0 * ∆ = δ 2,0 = 0 1 * δ 3,0 0 0
0
−1
0 0 −1 cx 1 0 0
ui , j w i , j 0 ϕ i , j . L− cx ⋅ u j ,i −1 w j ,i ϕ j ,i
Definirat ćemo prijenosnu matricu kao
TC = TiC TjC , to jest 1 0 0 TC = 0 1 xc 0 0 1
−1
0 0 0 −1 L − xc . 0 0 −1
Prijenosna matrica je matrica pomo ću koje pomake i sile iz elastičnog težišta „prenosimo“ na krajeve štapa, odnosno pomoću koje pomake i sile na krajevima štapa izražavamo kao funkcije pomaka i sila u elastičnom težištu. Sada možemo vektor vrijednosti poopćenih pomaka zapisat u kraćem obliku ∆ = TC ⋅ u( i , j ) .
Iz jednadžbi neprekinutosti ( D ⋅ X + ∆ = 0 ) možemo izraziti vektor prekobrojnih sila kao
X = −D−1 ⋅ ∆ , tj.
X = −D−1 ⋅ TC ⋅ u(i , j ) , ili EA s X 1 X = 2X = − 0 X 3 0
0 0 1 0 12 EI 0 ⋅ 0 1 2 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) 0 0 EI 0 s
0
−1
0 −1 c x 0 1 0 0
ui , j w 0 i, j ϕ i , j . −L c x⋅ u j ,i −1 w j ,i ϕ j ,i
28
Kada znamo izraze za vrijednosti prekobrojnih sila X 1 , X 2 i X 3 , vrijednosti sila na krajevima elementa lako je na ći iz uvjeta ravnoteže sila (slika 19.).
Slika 19.
Sile na kraju i : n
∑1 F ,
n
n
m=
∑1 F , m=
∑1 M
ni , j + X 1 = 0
ti , j + X 2 = 0
mi , j + X 2 ⋅ xc + X 3 = 0
ni , j = − X 1
ti , j = − X 2
mi , j = −( X 2 ⋅ xc + X 3 )
m x
=0
=0
m y
m=
Fm / i
=0
Formirat ćemo matricu ni , j 1 0 0 X 1 ti , j = − 0 1 0 ⋅ X 2 . mi , j 0 xc 1 X 3
Sile na kraju j : n
∑1 F ,
n
n
m=
∑1 F , m=
∑1 M
n j ,i − X 1 = 0
t j ,i − X 2 = 0
m
, j i+
X 2 ⋅ ( L − x )c − X 3 = 0
n j ,i = X 1
t j ,i = X 2
m
,j i =
X 2 ⋅ ( x c− L) + X 3
m x
=0
m y
=0
m=
Fm / j
=0
U matričnom zapisu n j ,i 1 0 0 X 1 1 0 ⋅ X 2 . t j ,i = 0 m 0 x − L 1 X c 3 ,j i
Ako sile s oba kraja štapnog elementa „stavimo“ u jedan vektor, dobit ćemo ni, j 1 0 0 t i , j 0 1 0 X 0 1. mi , j xc 1 ⋅ X 2 = − n − 1 0 0 j ,i X 3 0 t −1 0 j,i 0 L − xc −1 m j , i
29
Primijetimo da je matrica kojom množimo vektor prekobrojnih sila da bismo dobili sile na krajevima elementa, transponirana prijenosna matrica i ozna čimo vektor sila na krajevima štapa sa T f (i , j ) = ni, j ti, j mi, j n j,i t j,i m j,i . Iz toga slijedi jednostavan izraz
f(i, j ) = −TC T ⋅ X . Konačan izraz za vektor sila na krajevima štapnog elementa dobit ćemo uvrštavajući u izraz za vektor prekobrojnih sila u prethodan izraz, pa je
f(i, j ) = TCT ⋅ D−1 ⋅ TC ⋅ u(i, j ) . Kada se to raspiše, dobivamo 0 ni, j 1 t 1 i, j 0 mi , j 0 xc = 0 n , j i −1 t , 0j i −1 m j ,i 0 L − xc
0 EA 0 s 1 ⋅ 0 0 0 0 −1
0 0 1 0 12 EI 0 ⋅ 0 1 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) 0 0 EI 0 s
0 x
c
1
−1
0 0
ui , j w 0 i, j ϕ i , j , L− cx ⋅ u , ji −1 w ,i ϕ j ,i
0 −1 0
tj. s 0 ni , j t i, j 0 mi , j = n j ,i − t j ,i s m j ,i 0 0
0
EA
12 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) 12 EI ⋅ xc 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h2 ) 2
0
0 12EI EI ⋅ ( e1 + s/ 2) 2 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅h ) 12 EI⋅ cx2 EI + 2 s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h2 )
EA
12 − 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) 12 EI⋅ ( L− cx) 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h )
−
0 −
−
s
EI12
0 0 s
⋅EIc x
2 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅h )
+
s
12 EI⋅ ( L− cx) ⋅ EI cx 2 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h )
0 0
12 12EI EI ⋅ ( L− xc ) − 2 2 2 2 ui , j s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅h ) s ⋅ (s + 2, 4 ⋅(1 +ν ) ⋅h ) 12 EI⋅ cx 12 EI⋅ ( L− c x) ⋅ c x wi , j EI − − + s ⋅ (s2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅h2 ) s s ⋅ (s2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅h2 ) ϕ i , j ⋅ EA u j ,i 0 0 w j ,i 12 12 EI ⋅EI ( − Lc ) x ϕ j ,i − 2 2 2 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅h ) s ⋅(s + 2, 4 ⋅(1 +ν ) ⋅ h ) 12 EI⋅ ( L− cx) 12 EI⋅ ( L− cx)2EI − + 2 2 2 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅h ) s s ⋅ (s + 2, 4 ⋅(1 +ν ) ⋅h )
0
EA
0
Vidimo da su unutarnje sile u štapovima funkcije fizikalnih i geometrijskih karakteristika te poopćenih pomaka krajeva štapova, a oni su jednaki poop ćenim pomacima čvorova. Umnožak TCT ⋅ D−1 ⋅ TC predstavlja matricu krutosti izraženu u lokalnom koordinatnom sustavu
30
j
s 0 0 k ( i, j ) = − s 0 0
0
EA
0
12 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 ) 12 EI ⋅ c x 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) 0
12 EI
− ⋅EIc x
2
2
s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h EI s
+
12 EI ⋅ cx 2
s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h
2
0
)
0 −
−
EI12
2
s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h +
2
0
s ⋅EIc x
2
EI s
12 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 ) 12 EI ⋅ cx − 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) −
2
EA
12 − 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 ) 12 EI⋅ ( L− cx) s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 )
s
0
)
12 EI⋅ ( L− xc ) ⋅ xc s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 )
EA
12 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 ) 12 EI⋅ ( L− xc ) − s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 )
0
)
EA
0
2
0
12EI ⋅EI ( −Lc ) x s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 ) 12 EI ⋅ ( L − xc ) ⋅ xc EI − + 2 2 s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) 0 12 ( − L c ) x EI ⋅EI − s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 ) 12 EI⋅ ( L− xc )2 EI + 2 2 s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )
0
.
Uvrstimo li xC = e1 + s / 2 i L − xC = e2 + s / 2 , matrica krutosti je s 0 0 k (i , j ) = − s 0 0
0
EA
0
12 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 ) 12 EI⋅ ( 1e+ s/ 2) s ⋅ (s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 )
⋅ ( 1 +e / s2) 12EI EI 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 ) EI 12 EI⋅ ( 1e+ s/ 2)2 + s s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 )
2
0
EA
12 − 2 2 s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) 12 EI⋅ ( e2 + s/ 2) s ⋅ (s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 )
−
0 0
0
−
s
s
12EI EI ⋅ ( 1 +e / s2) − 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) 12 EI⋅ ( e1 + s/ 2) ⋅ ( e2 +EIs/ 2) + s s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 )
0 0
e / s2) ⋅( 2 + 12 12 EIEI − s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 ) s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2) 12 EI⋅ ( e1 + s/ 2) EI 12 EI⋅ ( e1 + s/ 2) ⋅ ( e2 + s/ 2) − − + s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 ) s s ⋅ ( s 2 + 2,4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 ) EA 0 0 12 e / s2) ⋅( 2 + 12 EI EI − 2 2 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) 12 EI⋅ ( e2 + s/ 2) 12 EI⋅ ( e2 + s/ 2)2 EI − + s ⋅ (s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 ) s s ⋅ (s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2) EA
0
0
.
Elementi lokalne matrice krutosti sadržavaju geometrijske i fizikalne karakteristike štapa i predstavljaju vrijednosti poopćenih sila na krajevima štapnog elementa izazvanih jediničnim poopćenim pomacima po pravcu u i smislu lokalnih koordinatnih osi. Prema tome, vektor vrijednosti sila na krajevima štapnog elemenata umnožak je lokalne matrice krutosti i vektora vrijednosti poopćenih pomaka krajeva elementa u smjerovima osi lokalnog koordinatnog sustava. „Prevedeno“: f(i , j ) = k (i , j ) ⋅ u (i , j ) . Za postavljenje jednadžbi ravnoteže pogodno je zapisati izraz kao: f (i , j ) k (i , j )i ,i i = f (i , j ) j k (i , j ) j ,i
k (i, j )i , j u(i, j )i ⋅ , k (i , j ) j , j u(i, j ) j
gdje su = ni, j
f (i, j )
= n j, i t j, i m j, i
u (i , j )
= ui , j
wi, j ϕ i, j
u (i , j )
= u j, i
w j, i ϕ j, i
i
j
i
j
ti, j
mi, j
T
f (i, j )
vektor vrijednosti sila na kraju i ,
T
T
T
vektor vrijednosti sila na kraju j , vektor vrijednosti poopćenih pomaka kraja i , vektor vrijednosti poopćenih pomaka kraja j .
31
Ovakvim rastavljanjem matrice krutosti na podmatrice dolazi do izražaja utjecaj pomaka krajeva na vrijednost sila na krajevima, pa je tako u(i , j )i u (i , j ) j
= k (i , j )i ,i
k (i , j ) , ⋅
= k (i , j ) j, i j
k (i , j ) , ⋅
f (i , j )
i
i j
i
f (i , j )
j j
u(i , j )i . u (i , j ) j
32
7. SILE UPETOSTI Opterećenja na štapnim elementima ulaze u jednadžbe ravnoteže u obliku poopćenih sila upetosti. Odreñivanje sila upetosti kod štapova koji imaju neizmjerno krute dijelove (štapni model zida s otvorima) razlikuje se od odre ñivanja sila za elastični štap konstantne krutosti po duljini. I sile stanja spriječenih pomaka (sile upetosti) odredit ćemo metodom sila, koristeći elastično težište. Osnovni sistem tako su konzole kao i kod odreñivanja sila stanja prisilnih pomaka. Prema tome, i elementi matrice fleksibilnosti su isti * δ 1,1 0 * D = 0 δ 2,2 0 0
s 0 EA 0 2 2 s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 0 = 0 s⋅ 12 EI * δ 3,3 0 0
0
0 . s EI
Već poznati izraz za prekobrojne sile dobiven iz jednadžbi neprekinutosti glasi X = − D−1 ⋅ ∆ ,
odnosno, 1 * δ 1,1 X = − 0 0
0 1 * δ 2,2
0
EA s δ * 1,0 * 0 ⋅ δ 2,0 = − 0 * δ 3,0 0 1 * δ 3,3
0
0
0
* δ 1,0 12 EI ⋅ δ * . 0 2 2 2,0 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) * δ 3,0 EI 0 s
Isti izraz zapisan u obliku niza jednadžbi daje jednostavne izraze za prekobrojne sile: X 1 = −
* δ 1,0 *
δ 1,1
,
*
X 2 = − X 3 = −
δ 2,0 * δ 2,2 * δ 3,0 * δ 3,3
, .
Budući da nam je matrica inverzna matrici fleksibilnosti ve ć poznata, potrebno je odrediti još samo vektor * * * T ∆ = δ1,0 δ 2,0 δ 3,0 , pa je vrijednost prekobrojnih sila jednostavno dobiti iz općeg izraza 33
X i = −
δ i*,0 δ i*,i
.
Nakon što se odrede izrazi za prekobrojne sile, sile upetosti nalazimo iz uvjeta ravnoteže štapa (slika 20.).
Slika 20.
Opterećenja za koja ćemo odreñivati sile upetosti su: koncentrirana sila u općem položaju, jednoliko raspodijeljena sila i koncentrirani moment. Pritom ćemo koncentriranu silu u općem položaju rastaviti na dvije komponente – komponentu paralelnu s osi štapa i komponentu okomitu na os štapa, te za svaku komponentu posebno, preglednosti radi, tražiti sile upetosti. Odreñene sile upetosti zapisat ćemo kao vektor vrijednosti sila upetosti T
f (i, j ) = Ni, j T i , j M i , j N j,i T j,i M j,i .
34
7.1. Sile upetosti za opterećenje koncentriranom silom paralelnom s osi štapa
Slika 21. * Vektor ∆ u potpunosti ćemo odredit nalaženjem samo „slobodnog“ člana δ 1,0 , jer * * su članovi δ 2,0 i δ 3,0 jednaki nuli.
Jednostavnom integracijom u granicama od e1 od e1 + s (slika 21.) dobivamo * δ 1,0
L
=
∫
* = δ 1,0
∫
dx =
EA
o
* = δ 1,0
e1 + s
0
N ⋅ n1
1
0
N ⋅ n1
ds ,
EA
e1
⋅ P x ⋅ ( a − e1 ) ⋅1 ,
EA P x ⋅ ( a − e1 ) EA
.
* Uvrštavajući koeficijent δ 1,0 u izraz za prekobrojnu silu dobivamo
X 1 = −
* δ 1,0 * δ 1,1
=−
P x ⋅ (a − e1 ) s
.
35
Očito je da su prekobrojne sile X 2 i X 3 jednake nuli. Sile upetosti N i , j i N j ,i na krajevima odreñujemo uvjeta ravnoteže ( slika 22.). Pritom je L = a + b = e1 + s + e2 , to jest s = a + b − e1 − e2 .
Slika 22.
Dakle, sile na kraju i (iz uvjeta ravnoteže „lijeve“ konzole): n
∑1 F ,
m x
=0
m=
Ni , j + X1 + P x = 0 Ni , j = − X1 − P x P ⋅ (b − e2 ) N i , j = − x s
sile na kraju n
∑1 F ,
m x
,
(iz uvjeta ravnoteže „desne“ konzole):
j
=0
m=
N j ,i − X 1 = 0 N j ,i = X 1 N j ,i = −
P x ⋅ ( a − e1 ) s
.
Sada je vektor sila upetosti za opterećenje uzdužnom koncentriranom silom
f (i , j )
b − e2 N i , j − Px ⋅ s T i , j 0 0 M i , j . = = N j ,i a − e1 − P x ⋅ s T j ,i 0 M j ,i 0
36
7.2. Sile upetosti za opterećenje koncentriranom silom okomitom na os štapa
Slika 23.
37
Odredimo „slobodne“ članove integracijom (slika 23.): * δ 2,0
L
= ∫ o
0
0
M ⋅ m2 EI
+k
dx = GA
T ⋅ t2
e1 + s
∫ e1
0
M ⋅ m2 EI
T ⋅ t2 0
+ k
ds
GA
1 1 k s a − e1 ) + ⋅ Py ⋅ (a − e1) ⋅1 ⋅ ⋅ P y ⋅ (a − e1 ) ⋅ (a − e1 ) ⋅ ( − EI GA 3 2 2 2 2, 4 ⋅ Py ⋅ (a − e1 ) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 P y ⋅ (a − e1 ) s a − e1
* δ 2,0 = * = δ 2,0
⋅( −
2
)+
2 EI 3
12
EI
i * δ 3,0
L
=
∫
e1 + s
0
M ⋅ m3
dx = EI
o
∫
0
M ⋅ m3
ds .
EI
e1
1 1 ⋅ ⋅ P y ⋅ (a − e1 ) ⋅ (a − e1 ) ⋅1 EI 2 P y ⋅ (a − e1 )2 * δ 3,0 = . 2 EI * δ 3,0 =
Prekobrojne sile su sada X 2 = − X 3 = −
* δ 2,0 * δ 2,2 * δ 3,0 * δ 3,3
=
2 P y ⋅ (a − e1 ) ⋅ (a − e1 ) ⋅ (2a − 2e1 − 3s ) − 2, 4 ⋅ (1+ ν ) ⋅ h
=−
2
s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h P y ⋅ (a − e1 ) 2
2s
2
)
,
.
Sile upetosti na krajevima slijede iz uvjeta ravnoteže ( slika 24.).
Slika 24.
Sile na kraju i dobivamo iz uvjeta ravnoteže „lijeve“ konzole: n
∑1 F ,
m y
=0
m=
T i , j + X 2 + P y = 0 T i , j = − X 2 − P y T i, j
(a − e1 ) ⋅ (a − e1 ) ⋅ (2a − 2e1 − 3s ) − 2, 4 ⋅ (1+ ν ) ⋅ h 2 = − P y ⋅ 1+ 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )
38
n
∑1 M
Fm / i
m=
=0
Mi , j + X2 ⋅ ( e1 +
s
2
) + X3 + P y ⋅ a = 0
M i , j = −( X2 ⋅ ( e1 +
s
2
) + X3 + P y ⋅ a)
(a − e ) 2 (a − e1 ) ⋅ (e1 + 2s ) ⋅ ( a − e1 ) ⋅(2a − 2e1 − 3s ) − 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 =M y ⋅ P 1 − − 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) 2 s
i, j
a sile na kraju
j
n
∑1 F ,
m y
, a
iz uvjeta ravnoteže „desne“ konzole: =0
m=
T j ,i − X 2 = 0 T j ,i = X 2
(a − e1 ) ⋅ (a − e1 ) ⋅ (2a − 2e1 − 3s ) − 2, 4 ⋅ (1+ ν ) ⋅ h 2 T j ,i = P y ⋅ s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 ) n
∑1 M m=
Fm / j
=0
M j ,i + X2 ⋅ ( e2 +
s
2
) − X3 = 0
M j ,i = X3 − X2 ⋅ ( e2 + M j ,i
s
)
2 (a − e ) 2 (a − e1 ) ⋅ (e2 + 2s ) ⋅ (a − e1 ) ⋅ (2a − 2e1 − 3s ) − 2, 4 ⋅ (1+ ν ) ⋅ h 2 . 1 = − P y + 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) 2s
Vektor sila upetosti za opterećenje poprečnom koncentriranom silom je
f (i , j )
0 (a − e1 ) ⋅ ( a − e1 ) ⋅ (2a − 2e1 − 3s) − 2, 4 ⋅(1 +ν ) ⋅h 2 − ⋅ + P 1 y 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) N i, j 2 s 2 (a − e1 ) ⋅ (e1 + 2 ) ⋅ ( a − e1 ) ⋅(2a − 2e1 − 3s) − 2, 4 ⋅(1 +ν ) ⋅h T i, j a − e1 ) ( − − a P y ⋅ 2 2 s s s h ⋅ + ⋅ + ⋅ ν 2 ( 2 , 4 (1 ) ) M i, j . = = 0 N j ,i T j ,i 2 − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ + ⋅ a e a e a e s h ( ) ( ) (2 2 3 ) 2, 4 (1 ) ν 1 1 1 P y ⋅ 2 2 M j ,i s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) 2 ( a − e ) 2 (a − e1 ) ⋅ (e2 + 2s ) ⋅ ( a − e1 ) ⋅(2 a − 2e1 − 3s ) − 2, 4 ⋅(1 +ν ) ⋅h 1 − P y + 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) 2s
39
7.3. Sile upetosti za opterećenje kontinuiranom jednoliko raspodijeljenom silom Odredimo vektor ∆ integracijom (slika 25.) pomoću teorema Vereščagina:
Slika 25.
40
* = δ 2,0
L
0 M 0 ⋅ m2 T ⋅ t2 +k dx = EI GA o
∫
e1 + s
∫
e1
0 M 0 ⋅ m2 T ⋅ t2 + k ds EI GA
* = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 q(b − a )2 ⋅ (b − a ) ⋅ s − (a − e ) − 1 ⋅ (b − a ) + 1 ⋅ 1 q(b − a )2 ⋅ (a − e ) ⋅ s − δ 2,0 1 4 1 2 EI 2 EI 3 2 2
a −e 1 + 2
1 ⋅ 1 ⋅(a − e ) ⋅ 1 q(b − a)(a − 2e +b ) − 1 q(b − a)2 ⋅ s − a−e1 + EI 1 2 1 2 2 2 3
* = q ⋅ (a − b) 2 ⋅ (a − e )2 (2a − 2e − 3s ) − 6 ⋅ (a − b )⋅ (a − e )⋅ (a − e − s ) + (a − b )2 ⋅ (3a + b − 2(2e + s ))− δ 2,0 { 1 1 1 1 1
24 EI −2,4 ⋅ (a + b − 2e1) ⋅ (1+ν ) ⋅ h2 }
i * δ 3,0
L
=
∫
e1 + s
0
M ⋅ m3
dx = EI
o
∫
0
M ⋅ m3
e1
ds
EI
2 2 * δ 3,0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 q (b − a ) ⋅ (b − a ) ⋅ 1+ 1 ⋅ 1 q (b − a ) ⋅ (a − e ) ⋅ 1+ 1 EI 3 2 EI 2 2 + 1 ⋅ 1 ⋅ (a − e ) ⋅ 1 q (b − a )(a − 2e + b ) − 1 q (b − a ) ⋅ 1 1 1 2 EI 2 2 * δ 3,0
(a − b) ⋅ (a + b )2 − 3e1 (a + b − e1 ) − ab . = −q ⋅ 6 EI
Prekobrojne sile su sada * δ 2,0 q ⋅ (a − b) 2 X 2 = − * = − ⋅ {2 ⋅ (a − e ) (2a − 2e − 3s) − 6 ⋅(a − b) ⋅( a − e ) ⋅(a − e − s) + 1 1 1 1 2 2 2s ⋅ (s + 2,4⋅ (1+ν )⋅ h ) δ 2,2
+(a − b)2 ⋅(3a + b − 2 ⋅(2e1 + s)) −2,4 ⋅(a +b −2e1) ⋅(1 +ν ) ⋅h2
X3 = −
* δ 3,0 * δ 3,3
=
q
6s
}
,
⋅ ( a − b) ⋅ ( a+ b) 2 − 3 e1 ( a+ b− e1 ) − ab .
Slika 26.
Sile na krajevima dobivamo iz uvjeta ravnoteže (slika 26.).
41
Sile na kraju i (iz uvjeta ravnoteže „lijeve“ konzole): n
∑1 F ,
=0
m y
m=
T i , j + X 2 + q y ⋅ ( b − a ) = 0 T i , j = − [ X 2 + q ⋅ (b − a )] 2 ⋅ (a − e1 ) 2 (2a − 2e1 − 3s ) − 6 ⋅ (a − b) ⋅ (a − e1 ) ⋅ (a − e1 − s ) + (a − b) 2 ⋅ (3a + b − 2(2e1 + s )) − 2, 4 ⋅ (a + b − 2e1) ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 + 1 2 s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h 2 )
T i , j = q ⋅ ( a − b) ⋅
n
∑1 M
Fm / i
=0
m=
M i , j + X2 ⋅ ( e1 +
s
2
) + X3 + P y ⋅ a = 0
M i , j = − X2 ⋅ ( e1 +
s
2
) + X3 + q⋅ ( b − a) ⋅ ( a +
b−a
2
)
2 2 2 s 1 (a + b) 2 − 3e1 (a + b − e1 ) − ab (e1 + 2 ) ⋅ 2⋅ (a − e1 ) (2a − 2e1 − 3 s) − 6 ⋅ (a − b ) ⋅ (a −e1 ) ⋅ (a −e1 − s ) + (a −b ) ⋅ (3a +b − 2(2e1 +s )) − 2, 4 ⋅ (a +b − 2e1 ) ⋅ (1 +ν ) ⋅h + Mi , j = q⋅ ( a − b) ⋅ ( a + b) − 2 2 6s 2s ⋅ (s + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h ) 2
Sile na kraju j (iz uvjeta ravnoteže „desne“ konzole): n
∑1 F ,
m y
=0
m=
T j ,i − X 2 = 0 T j ,i = X 2
T j ,i = q ⋅ (b − a ) ⋅ n
∑1 M
2⋅( a −e1 )2 (2 a − 2 e1 −3s ) −6⋅( a −b)⋅( a − e1 ) ⋅( a− e1 − s ) +( a − b) 2 ⋅(3 a + b−2(2 e1 + s)) − 2,4 ⋅( a+ b−2 e1 ) ⋅(1 +ν ) ⋅ h2 2 s⋅( s 2 + 2,4⋅(1+ν )⋅ h2 )
=0
Fm / j
m=
M j ,i + X2 ⋅ ( e2 +
s
2
) − X3 = 0
M j ,i = X3 − X2 ⋅ ( e2 +
s
2
)
( a + b) 2 − 3e (a + b − e ) − ab (e2 + 2s ) ⋅ 2⋅ (a − e1 )2 (2a − 2e1 − 3s ) − 6 ⋅ (a −b ) ⋅ (a − e1 ) ⋅ (a −e1 −s ) + (a −b )2 ⋅ (3a +b − 2(2e1 +s )) − 2, 4 ⋅ (a +b − 2e1 ) ⋅ (1 +ν ) ⋅h 2 1 1 + 6s 2s ⋅ (s2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h2 )
M j ,i = q⋅ ( a − b) ⋅
Vektor sila upetosti za opterećenje jednoliko raspodijeljenom silom je
f (i , j )
0 2 ⋅ (a − e1 )2 (2 a − 2 e1 − 3 s) − 6⋅ ( a − b) ⋅ ( a − e1 ) ⋅ ( a − e1 − s) + ( a − b) 2 ⋅ (3 a + b− 2(2 e1 + s)) − 2, 4 ⋅ ( a+ b− 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h2 q ⋅ ( a − b) ⋅ + 1 2 2 s s ν h 2 ( 2, 4 (1 ) ) ⋅ + ⋅ + ⋅ N i , j 2 2 2 s 2 T i , j q ⋅ (a − b) ⋅ 1 (a + b) − (a + b) − 3e1 ( a + b − e1 ) − ab + (e1 + 2 ) ⋅ 2⋅ ( a − e1 ) (2 a − 2e1 − 3 s) − 6 ⋅ ( a − b) ⋅ ( a − e1 ) ⋅ ( a − e1 − s) + ( a − b) ⋅ (3 a+ b− 2(2 e1 + s)) − 2, 4 ⋅ ( a+ b− 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 6s 2s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 +ν ) ⋅ h2 ) 2 M i , j = = N j ,i 0 T j ,i 2 ⋅ ( a − e1 ) 2 (2 a − 2e1 − 3 s) − 6⋅ ( a − b) ⋅ ( a − e1 ) ⋅( a − e1 − s) + ( a − b)2 ⋅ (3a + b − 2(2e1 + s)) − 2,4 ⋅ ( a + b − 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h2 q ⋅ (b − a) ⋅ 2 2 s s ν h 2 ( 2, 4 (1 ) ) ⋅ + ⋅ + ⋅ M j ,i 2 2 2 s 2 (a + b) − 3e1 ( a + b − e1 ) − ab (e2 + 2 ) ⋅ 2⋅ ( a − e1 ) (2 a − 2 e1 − 3 s) − 6 ⋅ ( a − b) ⋅ ( a − e1) ⋅ ( a − e1 − s) + ( a − b) ⋅ (3 a+ b− 2(2 e1 + s)) − 2,4 ⋅ ( a+ b− 2 e1 ) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h q a b ( ) ⋅ − ⋅ + 6s 2 s ⋅ ( s 2 + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h2 )
42
Za poseban slučaj, kada je a = e1 i b = e1 + s , tj. kada je opterećenje kontinuiranom jednoliko raspodijeljenom silom zadano po cijeloj duljini elastičnog dijela štapa (slika 27.),
Slika 27.
vektor sila upetosti je N 0 i j , 1 − q ⋅ s T i, j 2 M i, j − 1 q ⋅ s ⋅ (6e + s) . 1 = 12 f (i, j ) = 0 N j,i 1 T j,i − 2 q⋅s M j,i 1 q ⋅ s ⋅ (6e + s) 2 12
43
7.4. Sile upetosti za opterećenje koncentriranim momentom
Slika 28.
Odredimo „slobodne“ članove integracijom (slika 28.): * δ 20
L
= ∫ o 1
* = δ 20 * = δ 20
0
M ⋅ m2 EI
0
+k
dx = GA
T ⋅ t2
s
⋅ ( M ⋅ ( a − e1 )) ⋅ ( −
2 EI M ⋅ ( a − e1 ) ⋅ ( s + e1 − a)
e1 + s
∫ e1
a − e1
2
0
M ⋅ m2 EI
T ⋅ t2 0
+ k
ds
GA
)+0
2 EI
44
i * δ 30
L
=
∫
* = δ 30
dx = EI
o
* = δ 30
e1 + s
0
M ⋅ m3
1
∫
0
M ⋅ m3
ds
EI
e1
⋅ [ M ⋅ ( a − e1 )] ⋅1
EI M ⋅ ( a − e1 ) EI
.
Prekobrojne sile su sada *
X 2 = − X 3 = −
δ 2,0 * δ 2,2 * δ 3,0 * δ 3,3
=− =−
6 M ⋅ ( a − e1 ) ⋅ ( s + e1 − a) , 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) M ⋅ ( a − e1 ) s
.
Sile upetosti na krajevima slijede iz uvjeta ravnoteže ( slika 29.).
Slika 29.
Sile na kraju i : n
∑1 F ,
m y
=0
m=
T i, j + X 2 = 0 T i, j = − X 2 T i, j =
6 M ⋅ ( a − e1 ) ⋅ ( s + e1 − a) s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 )
n
∑1 M
m=
Fm / i
=0
Mi , j + X2 ⋅ ( e1 +
s
2
) + X3 + M = 0
Mi , j = −( X2 ⋅ ( e1 +
M i, j
s
)+ X
+ M)
3 2 6 ⋅ ( a − e1 ) ⋅ (e1 + 2s ) ⋅ (s + e1 − a ) (a − e1 ) = M + −1 2 2 ν ⋅ + ⋅ + ⋅ ( 2, 4 (1 ) ) s s h s
45
Sile na kraju j : n
∑1 F ,
m y
=0
m=
T j ,i − X 2 = 0 T j ,i = X 2 T j ,i = −
6 M ⋅ ( a − e1 ) ⋅ ( s + e1 − a) s ⋅ ( s 2 + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 )
n
∑ M
m=1
Fm / j
=0
M j ,i + X2 ⋅ ( e2 +
s
2
) − X3 = 0
M j ,i = X3 − X2 ⋅ ( e2 +
s
2
)
6 ⋅ ( a − e1 ) ⋅ (e2 + 2s ) ⋅ (s + e1 − a ) (a − e1 ) − M j ,i = M 2 2 ν ⋅ + ⋅ + ⋅ ( 2, 4 (1 ) ) s s h s
Sada je vektor sila upetosti za opterećenje koncentriranim momentom 0 6 M ⋅ ( a − e1 ) ⋅ ( s + e1 − a) 2 2 N i, j s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) T i, j 6 ⋅ ( a − e1 ) ⋅ (e1 + 2s ) ⋅ (s + e1 − a ) (a − e1 ) + −1 M 2 2 ν s ⋅ s + ⋅ + ⋅ h s ( 2, 4 (1 ) ) M i, j f (i , j) = = . 0 N j ,i 6 M ⋅ ( a − e1 ) ⋅ ( s + e1 − a) T j ,i − 2 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) M j ,i 6 ⋅ ( a − e1 ) ⋅ (e2 + 2s ) ⋅ (s + e1 − a ) (a − e1 ) − M s ⋅ (s 2 + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h 2 ) s
7.5. Dobivanje sila upetosti pomoću izraza iz priru čnika Sile upetosti moguće je dobiti i pomoću gotovih izraza iz priručnika1. Tako možemo dobiti sile upetosti za elastični dio štapa, odnosno sile upetosti na spoju s krutim dijelom štapa. Konačne sile na krajevima štapnog elementa dobiti ćemo iz uvjeta da opterećenje krutog dijela i dobivene sile upetosti za elastični dio suprotnog predznaka čine uravnotežen sustav (slika 30.). 1
U većini priručnika u izrazima za sile upetosti nije uzet u obzir utjecaj popre čne sile pa je mogu ća mala razlika u rezultatima u odnosu na rezultate dobivene prikazanim izrazima.
46
Slika 30.
7.6. Sile upetosti za opterećenje zadano samo na neizmjerno neizmjerno krutim dijelovima štapa Djeluje li opterećenje samo na krutim dijelovima štapnog elementa, sile upetosti su statički odreñene i jednake su reakcijama konzole ( slika 31.).
Slika 31.
47
8. SUSTAV JEDNADŽBI RAVNOTEŽE Jednadžbe ravnoteže čvorova formalno se izvode na isti način kao i kod standardnih štapnih sistema u kojima su štapovi konstantne krutosti po cijeloj duljini. Za to je potrebno sile na krajevima elementa izraziti u globalnom koordinatnom sustavu, budu ći da se jednadžbe ravnoteže postavljaju u smjerovima globalnog koordinatnog sustava, a i globalni koordinatni sustav služi nam za definiranje geometrije, te se u odnosu na njega mjere apsolutni pomaci točaka sistema.
8.1. Prijelaz u globalni koordinatni sustav sustav Dakle, vektor sila, vektor pomaka i matricu krutosti potrebno je transformirati iz lokalnog u globalni koordinatni sustav (slika 32.).
Slika 32. Kut izmeñu globalne osi x i lokalne osi xloc kut je α (i , j ) (slika 33.), a transformacija koordinata iz globalnog u lokalni koordinatni sustav rotacija je oko osi z ≡ zloc za kut α (i , j ) .
Slika 33. Matrica Ni , j
transformacije T Ti , j Mi, j glasi
sa
poretkom
r(i, j )
cos α (i , j ) = − s in α ( i , j ) 0
komponenata
koji
odgovara
vektoru
sin α (i, j ) 0 cos α ( i, j ) 0 . 0 1
48
Matrica za transformaciju vektora sila na krajevima štapnog elementa i vektora pomaka krajeva je 0 r (i , j ) R (i , j ) = , 0 r (i, j ) odnosno,
R (i , j )
cos α (i , j ) − sin α (i , j ) 0 = 0 0 0
sin α (i, j ) cos α (i, j ) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos α (i , j ) sin α (i , j ) 0 − si sin α (i , j ) cosα (i, j ) 0 0 0
0 0 0 . 0 0 1
Izraženi u lokalnom koordinatnom sustavu pomoću matrice za transformaciju sada su: vektor vrijednosti sila na krajevima štapa izazvanog pomacima krajeva
f(i , j ) = R (i , j ) ⋅ f (gi , j ) , vektor sila upetosti g
f (i , j ) = R (i , j ) ⋅ f (i , j ) , i vektor vrijednosti poopćenih pomaka krajeva
u(i , j ) = R (i , j ) ⋅ u (gi , j ) . Pri tom su komponente vektora
f (gi , j ) = fi,xj
f i y, j
mi , j
f jx,i
f jy,i
m j ,i
T
vrijednosti sila na krajevima u stanju prisilnih pomaka rastavljenih na komponente usporedne s osima globalnog koordinatnog sustava. Takoñer, tako su rastavljene i sile upetosti: g (i, j )
f
x = F i, j
y F i, j
M i, j
F
x j, i
F
y j, i
T
M j, i .
Vektor u(gi, j ) sadrži komponente pomaka krajeva po pravcima usporednima s globalnim osima. Naravno, pomaci krajeva štapnog elementa jednaki su pomacima čvorova, pa ako je
ui = ui wi ϕ i
T
(pod)vektor vrijednosti komponenata pomaka čvora i , a 49
u
j = u
j
w
j
ϕ j
T
(pod)vektor vrijednosti komponenata pomaka čvora j , vektor vrijednosti pomaka čvorova možemo napisati T ui, j = ui u j , te je u(gi, j ) = ui, j . Transformacija iz lokalnog u globalni koordinatni sustav dana je izrazima:
f(gi, j ) = R (−i1, j ) ⋅ f ( i, j ) , g
f (i, j ) = R (−i1, j ) ⋅ f (i, j ) , u(gi, j ) = R (−i1, j ) ⋅ u (i, j ) . Uvrstimo li u izraz f ( i , j ) = k ( i , j ) ⋅ u (i , j ) u(i , j ) = R (i , j ) ⋅ u (gi , j ) = R (i , j ) ⋅ ui , j dobivamo
izraze
f(i , j ) = R (i , j ) ⋅ f (gi , j )
i
R (i , j ) ⋅ f(gi , j ) = k (i , j ) ⋅ R (i , j ) ⋅ ui, j , odnosno, nakon množenja s lijeva sa R −(i1, j ) ,
f(gi , j ) = R −(i1, j ) ⋅ k (i , j ) ⋅ R (i , j ) ⋅ ui, j . Umnožak R (−i1, j ) ⋅ k (i , j ) ⋅ R (i , j ) predstavlja matricu krutosti elementa izraženu u globalnom koordinatnom sustavu, a označavamo je sa k (gi , j ) . Konačno možemo napisati (prevedeno u globalni koordinatni sustav)
f(gi , j ) = k (gi , j ) ⋅ ui, j , ili, f (gi , j ) k (gi , j )i ,i g i= g f (i , j ) j k (i , j ) j ,i
u ⋅ i . u j j j
k (gi , j ) , k (gi , j ) ,
i j
8.2. Jednadžbe ravnoteže čvorova Kada smo sve potrebne vektore preveli u globalni koordinatni sustav, možemo formirati jednadžbe ravnoteže. Promatramo neki čvor i . Na njega djeluju sile od priključenih elemenata, a mogu djelovati i zadane ili reaktivne koncentrirane sile i momenti izraženi vektorom T
pi = Pi x Pi y M i . 50
Vektor ukupnih vrijednosti sila na i -tome kraju štapnog elementa (i, j ) je g
ɵ f (i, j ) i =
u g k (gi, j ) , i + f (i , j ) . u j
k g ( i , j ) i ,i
i
i j
Formalni zapis uvjeta ravnoteže čvora i glasi −
∑
g
ɵ (i ,ei ) f ( i , j ) i
+ pi = 0 .
Budući da kraj i elementa (i, j ) djeluje na čvor i suprotno orijentiranim silama, g
njihove su vrijednosti komponente vektora −ɵf (i, j ) . Sumacija u zapisu uvjeta ravnoteže obavlja se, naravno, po svim elemenatima koji su priključeni u taj čvor. i
Matrična jednadžba uvjeta ravnoteže čvora sadrži tri jednadžbe koje izražavaju uvjete isčezavanja zbroja sila koje na čvor i djeluju u smjeru osi x , isčezavanje zbroja sila u smjeru osi y te isčezavanje zbroja momenata savijanja. Dakle, vrijedi g ∑ (i,ei ) k (i, j) i,i
k
g (i, j ) i, j
u i = −∑ ( i, e ) f (gi , j ) i + pi . i u j
Matrične jednadžbe potrebno je napisati redom za sve čvorove sistema. Tako dobivamo sustav Ku = q , pri čemu su
K ... matrica krutosti sa dijagonalnim blokovima K i.i = ∑ (i ,e )k (gi ,e ) , i vandijagonalnim blokovima (ako su čvorovi i i j povezani elementom (i, j) ) K i. j = k (gi, j ) , i K j ,i = k (gi, j ) , . u ... vektor koji sadrži nepoznate vrijednosti pomaka „slobodnih“ čvorova, ali i vrijednosti poznatih pomaka, a to su pomaci po pravcima ležajnih veza – spriječeni ili zadani pomaci ležajeva. T Vektor u = u1 u 2 ... un ima 3n komponenti, gdje je n broj čvorova sistema. q ... vektor koji sadrži sve zadane sile, reakcije i sile upetosti priključenih g elemenata, odnosno, qi = −∑ (i ,e ) f (i , j ) + pi . i
i j
i ii
j i
i
i
T
Vektor q = q1 q 2 ... qn ima 3n komponenti.
51
8.3. Ukupne sile na krajevima elemenata Zadatak cijelog proračuna metodom pomaka naći je vrijednosti sila na krajevima elemenata, odnosno naći vrijednosti unutarnjih sila. Te se vrijednosti izražavaju u lokalnom koordinatnom sustavu. Zbog toga je rješenje sustava
Ku = q , odnosno, vrijednosti komponenata pomaka čvorova u smjerovima osi globalnog koordinatnog sustava, potrebno izraziti u lokalnom koordinatnom sustavu kao
u ( i , j ) = R ( i , j ) ⋅ ui , j . Vrijednosti konačnih sila na krajevima elementa sadržava vektor ɵ f ( i , j ) = k ( i , j ) ⋅ u (i , j ) + f (i , j ) .
52
9. NUMERIČKI PRIMJER Zadatak za numerički primjer preuzet je iz primjera I.10 iz knjige [7]. Zadan je zid promjenjive visine sa dva niza otvora. Prvi niz sastoji se od 18, a drugi od 14 otvora jednakih dimenzija. Pretpostavljena je debljina zida 1,0 m. Zid je optere ćen jediničnom koncentriranom silom na vrhu. Sve potrebne dimenzije dane su na slici 34. Potrebno je odrediti vrijednosti unutrašnjih sila (M, T, N). Karakteristike materijala: modul elastičnosti: E = 3 ⋅107 kN / m2 , Poissonov koeficijent: ν = 0,25 .
Slika 34.
53
Postupak:
Za početak je potrebno odrediti proračunski model zida s otvorima. On se dobiva kao skup spojnica težišnih linija zidova (slika 35.).
Slika 35.
Na takav model možemo nanijeti optere ćenje (slika 36.).
Slika 36.
54
Presječnice težišnih linija čvorovi su konstrukcije, a spojnice susjednih čvorova štapovi. Njihove su oznake i dimenzije prikazane na slici 37. i u tablici 2.
Slika 37.
55
Tablica 2.
b = 1 [ m]
STUP 1
STUP 2
STUP 3
GREDE A
GREDE B
h [ m]
ŠTAPOVI
(1,2) (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), 5 (6,7), (7,8), (8,9), (9,10), (10,11), (11,12), (12,13), (13,14), (14,15), (15,16), (16,17), (17,18), (18,19) (20,21) (21,22), (22,23), (23,24), (24,25), (25,26), (26,27), 4 (27,28), (28,29), (29,30), (30,31), (31,32), (32,33), (33,34), (34,35), (35,36), (36,37), (37,38) (39,40) (40,41), (41,42), (42,43), 6 (43,44), (44,45), (45,46), (46,47), (47,48), (48,49), (49,50), (50,51), (51,52), (52,53) (21,40), (22,41), (23,42), (24,43), (25,44), (26,45), 0,6 (27,46), (28,47), (29,48), (30,49), (12,31), (13,32), (14,33), (15,34) (2,21), (3,22), (4,23), (5,24), (6,25), (7,26), (8,27), (9,28), (10,29), 0,6 (11,30), (12,31), (13,32), (14,33), (15,34), (16,35), (17,36), (18,37), (19,38)
e1
s
e2
L
[ m]
[ m]
[ m]
[ m]
0
2,4
0,3
2,7
0,3
2,4
0,3
3,0
0
2,4
0,3
2,7
0,3
2,4
0,3
3,0
0
2,4
0,3
2,7
0,3
2,4
0,3
3,0
2,5
2,0
2,0
6,5
2,0
2,0
3,0
7,0
Sve potrebno za proračun sada je navedeno. Proračun općom metodom pomaka izvršen je upotrebom programskog sustava Mathematica . U odnosu na proračun okvira sastavljenih od štapova konstantne krutosti po duljini, za ovaj je primjer bilo potrebno promijeniti samo matricu krutosti jer je opterećenje zadano u čvoru. Dobiveni su rezultati prikazani u matričnom obliku na sljedećoj stranici.
56
N1,2
T1,2
M1,2
N2,1
T2,1
M2,1
N2,3
T2,3
M2,3
N3,2
T3,2
M3,2
N3,4
T3,4
M3,4
N4,3
T4,3
M4,3
N4,5
T4,5
M4,5
N5,4
T5,4
M5,4
N5,6
T5,6
M5,6
N6,5
T6,5
M6,5
N6,7
T6,7
M6,7
N7,6
T7,6
M7,6
N7,8
T7,8
M7,8
N8,7
T8,7
M8,7
N8,9
T8,9
M8,9
N9,8
T9,8
M9,8
N9,10
T 9,10
M9,10
N 10,9
T 10,9
M10,9
N10,11
T10,11
M10,11
N11,10
T11,10
M11,10
N11,12
T11,12
M11,12
N12,11
T12,11
M12,11
N12,13
T12,13
M12,13
N13,12
T13,12
M13,12
N13,14
T13,14
M13,14
N14,13
T14,13
M14,13
N14,15
T14,15
M14,15
N15,14
T15,14
M15, 14
N15,16
T15,16
M15,16
N16,15
T16,15
M16,15
N16,17
T16,17
M16,17
N17,16
T17,16
M17,16
N17,18
T17,18
M17,18
N18,17
T18,17
M18,17
N18,19
T18,19
M18,19
N19,18
T19,18
M19,18
N20,21
T20,21
M20,21
N21,20
T21,20
M21,20
N21,22
T 21,22
M21,22
N22,21
T 22,21
M22,21
N22,23
T22,23
M22,23
N23,22
T23,22
M23,22
N23,24
T23,24
M23,24
N24,23
T24,23
M24,23
N24,25
T24,25
M24,25
N25,24
T25,24
M25,24
N25,26
T25,26
M25,26
N26,25
T26,25
M26,25
N26,27
T26,27
M26,27
N27,27
T27,27
M27,27
N 27,28
T27,28
M27,28
N 28,27
T28,27
M 28,27
N28,29
T28,29
M28,29
N29,28
T29,28
M29,28
N29,30
T29,30
M29,30
N30,29
T30,29
M30,29
N30,31
T30,31
M30,31
N31,30
T31,30
M31,30
N31,32
T31,32
M31,32
N32,31
T32,31
M32,31
N32,33 N33,34
T 32,33 T33,34
M32,33 M33,34
N33, 32 N34,33
T33,32 T34,33
M 33,32 M34,33
N34,35
T34,35
M34,35
N35,34
T35,34
M35,34
N35,36
T35,36
M35,36
N36,35
T36,35
M36,35
N36,37
T36,37
M36,37
N37,36
T37,36
M37,36
N37,38
T37,38
M37,38
N38,37
T38,37
M38,37
N39,40
T 39,40
M39,40
N4 0,39
T40,39
M 40,39
N40,41
T40,41
M40,41
N41,40
T41,40
M41,40
N41,42
T41,42
M41,42
N42,41
T42,41
M42,41
N42,43
T42,43
M42,43
N43,42
T43,42
M43,42
N43,44
T43,44
M43,44
N44,43
T44,43
M44,43
N44,45
T44,45
M44,45
N45,44
T45,44
M45,44
N 45,46
T45,46
M45,46
N 46,45
T46,45
M46,45
N46,47
T46,47
M46,47
N47,46
T47,46
M47,46
N47,48
T47,48
M47,48
N48,47
T48,47
M48,47
N48,49
T48,49
M48,49
N49,48
T49,48
M49,48
N49,50
T49,50
M49,50
N50,49
T50,49
M50,49
N50,51
T 50,51
M50,51
N51,50
T51,50
M 51,50
N51,52
T51,52
M51,52
N52,51
T52,51
M52,51
N52,53
T52,53
M52,53
N53,52
T53,52
M53,52
N2,21
T2,21
M2,21
N21,2
T21,2
M21,2
N3,22
T3,22
M3,22
N22,3
T22,3
M22,3
N4,23
T4,23
M4,23
N23,4
T23,4
M23,4
N5,24
T5,24
M5,24
N24,5
T24,5
M24,5
N6,25
T6,25
M6,25
N25,6
T25,6
M25,6
N7,26
T7,26
M7,26
N26,7
T26,7
M26,7
N8,27
T8,27
M8,27
N27,8
T27,8
M27,8
N9,28
T9,28
M9,28
N28,9
T28,9
M28,9
N10,29
T10,29
M10,29
N29,10
T29,10
M29,10
N11,30
T11,30
M11,30
N30,11
T30,11
M30,11
N 12, 31
T12,31
M12,31
N 31,12
T31,12
M31,12
N13,32 N14,33
T13,32 T14,33
M13,32 M14,33
N32,13 N33,14
T32,13 T33,14
M32,13 M33,14
N15,34
T15,34
M15,34
N34,15
T34,15
M34,15
N16,35
T16,35
M16,35
N35,16
T35,16
M35,16
N17,36
T17,36
M17,36
N36,17
T36,17
M36,17
N18,37
T18,37
M18,37
N37,18
T37,18
M37,18
N19,38
T 19,38
M19,38
N38,19
T38,19
M 38,19
N21,40
T21,40
M21,40
N40,21
T40,21
M40,21
N22,41
T22,41
M22,41
N41,22
T41,22
M41,22
N23,42
T23,42
M23,42
N42,23
T42,23
M42,23
N24,43
T24,43
M24,43
N43,24
T43,24
M43,24
N25,44
T25,44
M25,44
N44,25
T44,25
M44,25
N 26,45
T26,45
M 26,45
N 45,26 T 45,26
M 45,26
N27,46
T27,46
M27,46
N46,27
T46,27
M46,27
N28,47
T28,47
M28,47
N47,28
T47,28
M47,28
N29,48
T29,48
M29,48
N48,29
T48,29
M48,29
N30,49
T30,49
M30,49
N49,30
T49,30
M49,30
N31,50
T31,50
M31,50
N50,31
T50,31
M 50,31
N32,51
T32,51
M32,51
N51,32
T51,32
M51,32
N33,52
T33,52
M33,52
N52,33
T52,33
M52,33
N34,53
T34,53
M34,53
N53,34
T53,34
M53,34
=
0.278054 i − 3.21374 j j j 0.30322 − 3.15055 j j j j 0.297886 − 3.0397 j j j j 0.274804 − 2.90319 j j j j 2.75251 0.253477 − j j j j 2.59418 0.238893 − j j j j 0.228321 − 2.43237 j j j j 0.216838 − 2.27012 j j j j 0.198656 − 2.10972 j j j j 1.9 52 74 0.167409 − j j j j 1.7996 0.119486 − j j j j 0.0646443 − 1.64839 j j j j 0.0440182 − 1.49277 j j j j 0.135322 − 1.31904 j j j j 1.10614 0.376624 − j j j j 0. 84 426 3 0.505624 − j j j j 0.550788 − 0.559936 j j j j 0.641777 − 0.272878 j j j j 0.539829 − 0.0275771 j j j j 0. 00 90 24 62 0.436918 − j j j j 0. 01 04 25 6 0.372108 j j j j 0.0359285 0.364187 j j j j 0.0702429 0.377427 j j j j 0.114786 0.392379 j j j j 0.1 706 06 0.403946 j j j j 0.2 389 65 0.412369 j j j j 0.321512 0.418694 j j j j 0.420035 0.422677 j j j j 0.535711 0.419945 j j j j 0. 66 77 73 0.397765 j j j j 0.8 119 64 0.34057 j j j j 0.960318 0.29518 j j j j 1.10614 0.623376 j j j j 0.844263 0.494376 j j j j 0. 55 99 36 0.449212 j j j j 0.2 728 78 0.358223 j j j j 3.24131 0.182117 j j j j 3.15957 0.259862 j j j j 3.02927 0.330006 j j j j 2.86726 0.36101 j j j j 2. 68 227 0. 369096 j j j j 2.47939 0.368728 j j j j 2.26177 0.367734 j j j j 2.03116 0.370793 j j j j 1. 78 821 0.382651 j j j j 1. 53 271 0.409913 j j j j 1.26389 0.460568 j j j j 0.98062 0.537591 j j j j 0.680808 0.615412 j j j j 0.3 587 23 0.569498 j j j j 0.0251659 0.0631858 − j j j j − 0.00533381 − 0.110854 j j j j − 0.0230827 − 0.136508 j j j j − 0.0213262 − 0.150674 j j j j − 0.0145839 − 0.158337 j j j j − 0.0105728 − 0.161806 j j j j − 0.0114827 − 0.162251 j j j j − 0.0181821 − 0.160402 j j j j − 0.0312463 − 0.156977 j j j j − 0.0479233 − 0.153141 j j j j − 0.0548418 − 0.151206 j j j j − 0.0206261 − 0.155622 j j j j 0.0913035 − 0.173731 j j j j 0.241302 − 0.212899 j j j j 0.129 − 0.261878 j j j j 0.0451639 − 0.284327 j j j j 0.0909891 − 0.287058 j j j j 0.358223 − 0.272878 j j j j − 0.0777455 − 0.0817383 j j j j − 0.0701438 − 0.130305 j j j j − 0.0310035 − 0.162011 j j j j − 0.00808632 − 0.184988 j j j j 0.000368353 − 0.20288 j j j j 0.000993902 − 0.217626 j j j j − 0.0030598 − 0.23061 j j j j − 0.0118571 − 0.242949 j j j j − 0.0272629 − 0.2555 j j j j − 0.0506551 − 0.268817 j j j j − 0.0770222 − 0.283268 j j j j − 0.0778217 − 0.299813 j j j j 0.0459141 − 0.322085 j j − 0.358723 k 0.569498
3.41354
3.21374
2.8018
3.15055
2.28071
3.0397
1.86563
2.90319
1.56966
2.75251
1.36466
2.59418
1.21565
2.43237
1.09997
2.27012
1.0123
2.10972
0.967265
1.95274
1.00274
1.7996
1.17562
1.64839
1.52914
1.49277
2.00832
1.31904
2.34964
1.10614
2.13599
0.844263
1.61421
0.559936
0.967835
0.272878
3.21897
0.0275771
2.03052
0.00902462
1.44196
− 0.0104256 − 0.0359285 − 0.0702429 − 0.114786 − 0.170606 − 0.238965 − 0.321512 − 0.420035 − 0.535711 − 0.667773 − 0.811964 − 0.960318 − 1.10614 − 0.844263 − 0.559936 − 0.272878 − 3.24131 − 3.15957 − 3.02927 − 2.86726 − 2.68227 − 2.47939 − 2.26177 − 2.03116 − 1.78821 − 1.53271 − 1.26389 − 0.98062 − 0.680808 − 0.358723 − 0.0251659
1.21989 1.13253 1.08174 1.04051 1.00473 0.975021 0.953598 0.948522 0.989084 1.15947 1.62491 2.46045 1.3763 0.746206 0.25846 3.78902 3.57208 3.31442 2.97295 2.63058 2.33571 2.10107 1.92144 1.78207 1.65738 1.50412 1.25639 0.842721 0.28195
− 0.222429 − 0.388566 0.00533381 0.0230827 − 0.478577 0.0213262 − 0.528443 0.0145839 − 0.555435 0.0105728 − 0.567669 0.0114827 − 0.569276 0.0181821 − 0.562847 0.0312463 − 0.550934 0.0479233 − 0.537701 0.0548418 − 0.531344 0.0206261 − 0.547448 − 0.611235 − 0.0913035 − 0.747282 − 0.241302 − 0.91623 − 0.129 − 0.995088 − 0.0451639 − 1.00599 − 0.0909891 − 0.957495 − 0.358223 0.0777455 − 0.242759 0.0701438 − 0.390208 0.0310035 − 0.485523 − 0.554265 0.00808632 − 0.607741 − 0.000368353 − 0.651838 − 0.000993902 0.0030598 − 0.690692 0.0118571 − 0.727635 0.0272629 − 0.765243 0.0506551 − 0.805237 0.0770222 − 0.848904 0.0778217 − 0.899588 − 0.969127 − 0.0459141 − 1.08452 − 0.569498
− 0.278054 − 2.57937 y z z − 0.30322 − 1.89214 z z z z − 0.297886 − 1.38705 z z z z − 0.274804 − 1.04122 z z z z − 0.253477 − 0.809227 z z z z − 0.238893 − 0.647982 z z z z − 0.228321 − 0.530689 z z z z − 0.216838 − 0.449452 z z z z − 0.198656 − 0.416331 z z z z − 0.167409 − 0.465036 z z z z − 0.119486 − 0.644279 z z z z − 0.0646443 − 0.98169 z z z z − 0.0440182 − 1.39708 z z z z − 0.135322 − 1.60235 z z z z − 0.376624 − 1.21976 z z z z − 0.505624 − 0.619122 z z z z 0.0381524 z − 0.550788 z z z z 0.957495 − 0.641777 z z z − 0.539829 − 1.59948 z z z z − 0.436918 − 0.719766 z z z z − 0.372108 − 0.325639 z z z z − 0.364187 − 0.127326 z z z z − 0.377427 − 0.000247229 z z z z 0.0953962 z − 0.392379 z z z z 0.171323 − 0.403946 z z z z 0.23238 − 0.412369 z z z z 0.28106 − 0.418694 z z z z 0.314433 − 0.422677 z z z z 0.311314 − 0.419945 z z z z 0.204211 − 0.397765 z z z − 0.34057 − 0.137763 z z z z − 0.29518 − 0.739365 z z z z − 0.623376 − 0.590318 z z z z z 0.106834 − 0.494376 z z z z 0.601431 − 0.449212 z z z z 0.816209 − 0.358223 z z z − 0.182117 − 3.24267 z z z z − 0.259862 − 2.79249 z z z z z − 0.330006 − 2.3244 z z z − 0.36101 − 1.88992 z z z z − 0.369096 − 1.52329 z z z z − 0.368728 − 1.22952 z z z z − 0.367734 − 0.997865 z z z z − 0.370793 − 0.809065 z z z z − 0.382651 − 0.634123 z z z z − 0.409913 − 0.427642 z z z z − 0.460568 − 0.122419 z z z z z 0.356381 − 0.537591 z z z z 1.00352 − 0.615412 z z z z 1.42654 − 0.569498 z z z 0.0631858 − 0.188279 z z z z 0.110854 − 0.331988 z z z z 0.136508 − 0.408725 z z z z 0.150674 − 0.450937 z z z z 0.158337 − 0.473753 z z z z 0.161806 − 0.484072 z z z z 0.162251 − 0.485357 z z z z 0.160402 − 0.479767 z z z z 0.156977 − 0.469414 z z z z 0.153141 − 0.457718 z z z z 0.151206 − 0.451494 z z z z 0.155622 − 0.464096 z z z z 0.173731 − 0.518015 z z z z 0.212899 − 0.636564 z z z z 0.261878 − 0.785978 z z z z 0.284327 − 0.853039 z z z z 0.287058 − 0.859892 z z z z 0.272878 − 0.816209 z z z z 0.0817383 − 0.32941 z z z z 0.130305 − 0.521925 z z z z 0.162011 − 0.648553 z z z z 0.184988 − 0.740652 z z z z 0.20288 − 0.812416 z z z z 0.217626 − 0.871543 z z z z 0.23061 − 0.92358 z z z z 0.242949 − 0.97301 z z z z 0.2555 − 1.02326 z z z z 0.268817 − 1.07648 z z z z 0.283268 − 1.13397 z z z z z 0.299813 − 1.1991 z z z 0.322085 − 1.28547 z z z 0.358723 − 1.42654 {
57
Vrijednosti tako dobivenih poopćenih sila na krajevima elemenata uspore ñene su u tablicama 3., 4. i 5. s vrijednostima dobivenim primjenom diferencijskih jednadžbi. Relativne pogreške ε računate su prema izrazu ε =
MS FiOMP − F i, j ,j OMP F i , j
⋅100
[%] ,
pri čemu su F iOMP , j ... F i MS , j ...
apsolutne vrijednosti poopćenih sila dobivenih općom metodom pomaka, proračunom u programskom sustavu Mathematica , apsolutne vrijednosti poopćenih sila dobivenih primjenom diferencijskih jednadžbi, odnosno rezultati dobiveni u primjeru I.10 knjige [7].
Tablica 3. OMP
N i , j
N 2,1 = N 40,39 = N 6,5 = N 44,43 =
N 11,10 = N 49,48 = N 15,14 = N 53,52 = N 19,18 =
3,21374 3,24131 2,75251 2,68227 1,95274 1,53271 1,31904 0,358723 0,272878
N MS i, j
ε
3,14583 3,36524 2,64889 2,82387 1,72802 1,73472 1,20898 0,42996 0,25113
2,11 3,82 3,76 5,28 11,51 13,18 8,34 19,86 7,97
T i MS ,j
ε
0,071 0,076 0,176 0,196 0,182 0,259 0,142 0,386 0,251
12,37 7,02 11,16 3,39 18,84 3,65 18,26 7,60 8,02
Tablica 4. T i OMP ,j T 2,21 = T 21,40 = T 6,25 = T 25,44 = T 11,30 = T 30,49 = T 15,34 = T 34,53 = T 19,38 =
0,0631858 0,0817383 0,158337 0,20288 0,153141 0,268817 0,173731 0,358723 0,272878
58
Tablica 5.
∑ M ,
i j
M 1,2 = M 20,21 = M 39,40 = M 2,1 = M 21,20 = M 40,39 = M 5,6 = M 24,25 = M 43,44 = M 6,5 = M 25,24 = M 44,43 = M 10,11 = M 29,30 = M 48,49 = M 11,10 = M 30,29 = M 49,48 = M 14,15 = M 33,34 = M 52,53 = M 15,14 = M 34,33 = M 53,52 = M 18,19 = M 37,38 = M 19,18 = M 38,37 =
3,41354 3,21897 3,78902 - 2,57937 - 1,59948 - 3,24267 1,56966 1,13253 2,63058 - 0,809227 - 0,000247229 - 1,52329 0,967265 0,953598 1,65739 - 0,465036 0,314433 - 0,427642 2,00832 1,62491 0,28195 - 1,60235 - 0,739365 1,42654 0,967835 0,25846 0,957495 0,816209
∑ M ,
OMP i j
∑ M ,
MS i j
ε
10,42153
9,994
4,10
7,42152
6,994
5,76
5,33277
5,015
5,96
2,332764229
2,015
13,62
3,578253
3,625
1,31
0,578245
0,625
8,09
3,91518
4,080
4,21
0,915175
1,080
18,01
1,226295
1,368
11,56
1,773704
1,632
7,99
Razlike u rezultatima mogu se opravdati razli čitim modelima i različitim osnovnim sustavima. Takoñer, budući da se radi o relativno malim veli činama, posljedice zaokruživanja brojeva, posebice kod ručnog proračuna (knjiga [7]), mogu imati utjecaja. Kvalitativni dijagrami prikazani su na slici 38.
59
M
T
N
Slika 38.
60
10. ZAKLJUČAK U ovom je radu dana, ponajprije, teorijska osnova za prora čun zidova s otvorima, „prevedenih“ u štapni model, op ćom metodom pomaka. Na na čin prikazan u radu mogu se riješiti svi štapni modeli zidova s otvorima koji nemaju me ñusobno spojene čvorove apsolutno krutim štapovima, jer u tom slu čaju nije moguće formirati regularnu matricu krutosti takvog štapa. Razmjerno laka kompjutorska formalizacija metode pomaka omogućava primjenu ove metode i ovakvog modeliranja u praksi, iako se danas za prora čun grañevinskih konstrukcija najčešće upotrebljava metoda konačnih elemenata.
61
