zbirka_prijemni_etf.pdf

MATEMATIKA

Mek Me kić Edis di s

Zbirka Zbirka rijeˇ rijeˇseni senih h zadat zadataka aka iz elementarne matematike

juli, 2013 godine.

MATEMATIKA Zbirka je prvenstveno namijenjena maturantima za pripremu prijemnih ispita na Fakultetu elektrotehnike Univerziteta u Tuzli, kao i za druge fakultete na kojima se kvalifikacioni kvalifikacioni ispit polaˇ p olaˇze ze iz matematike. matematike. Naravno zbirku mogu koristiti i ostali o stali uˇcenici cenici kako kako bi ˇsto sto bolje bol je savladali savlad ali gradivo iz nastavnog n astavnog predmeta matematika. Zbirka Zbirka sadrˇ sadrˇzi zi sve sve zadatke zadatke sa kvalifik kvalifikacion acionih ih ispita ispita na Fakultetu akultetu elekelektrotehnike Univerziteta u Tuzli u periodu od 2000 do 2012 godine. Strogo je zabranjeno svako kopiranje bez saglasnosti autora. Svjestan ˇcinjenice cinjenice da postoje posto je odredeni o dredeni propusti u pisanju ove zbirke, unaprijed se zahvaljujem svim paˇzljivim zljivim ˇcitaocima citao cima na argumentiranim argumentiran im primjedbama za unapredenje sadrˇzaja zaja ove ove zbirke. Sve prijedloge i sugestije slati na mail adrese: [email protected] ili ili [email protected] .

2

Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor

Sadrˇ za j

1 Algebarski izrazi

3

1.1 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2 Oper peracije sa racionalnim izrazima . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Step eni i korijeni

3 5 14

2.1 2.1 Oper peracije sa stepen penima i korijenima . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Inverzna funkcija. Komp ozicija funkcija

21

3.1 3.1 Inv Inverzn erznaa fun funk kcija cija.. Kompoz Kompozic icij ijaa funk funkci cija ja . . . . . . . . . . . . . 21 4 Linearne Linearn e jednaˇ cine cine i nejednaˇ neje dnaˇ cine. cine. Sistemi linearnih lin earnih jednaˇ je dnaˇ cina cina 23

4.1 4.1 Line Linear arne ne jedn jednaaˇcine c ine i neje nejedn dnaaˇcine c ine . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 4.2 Sistemi linearn arnih jednaˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Jednaˇ Jednaˇcine cine i nejedna nejednaˇˇcine cine sa apsolutni apsolutnim m vrijednos vrijednostima tima . . . . . . 37 5 Kvadratn Kvadratne e jednaˇ jednaˇ cine cine i nejednaˇ nejednaˇ cine. cine. Kvadratn Kvadratna a funkcija funkcija

70

5.1 Kvadratne jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.2 Kvadratne nejednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6 Iracionalne jednaˇ cine i nejednaˇ cine

90

6.1 Iracionalne jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2 6.2 Iracional onaln ne nejednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7 Eksponencijalne jednaˇ cine i nejednaˇ cine

107

7.1 7.1 Ekspon ponencijaln alne jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 107 7.2 7.2 Ekspon sponeencij ncijal aln ne neje nejed dnaˇ naˇcine ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 115

1

ˇ SADR ZAJ

MATEMATIKA

8 Lo Loga gari ritm tmi. i. Lo Loga gari rita tams msk ke jedn jedna aˇ cine c ine i neje nejedn dna aˇ cine c ine

117 11 7

8.1 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8.2 8.2 Logar ogariitamske jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 119 8.3 8.3 Logar ogariitamske nejednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 128 9 Trigonometrija

140

9.1 Svodenje na prvi kvadrant . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Trigonom rigonometr etrijs ijsk ke funkc funkcije ije polovin polovinee i dvostru dvostruko kogg ugla. ugla. cione formule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 9.3 Trigo rigon nome ometri trijsk jske jed jednaˇ naˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 9.4 Trigo rigono nome metr trij ijsk skee neje nejedn dnaaˇcine c ine . . . . . . . . . . . . . . . 10 Skup komplesknih bro jeva

. . . . AdiAdi. . . . . . . . . . . .

14 140 14 1 42 144 144 169 169 175

10.1 10.1 Opera peraccije ije sa kom kompl pleeksni snim br brojev ojevima ima . . . . . . . . . . . . . . 175 175 10.2 Modu odul kompleksnog broja oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 181 11 Planimetrija i stereometrija

185

11.1 Planimetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11.2 Stereometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 207 12 Analitiˇ cka geometrija

212

12.1 Prava u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 212 13 Aritmetiˇ cki i geometrijski niz

217

13.1 Aritmetiˇcki niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 217 13.2 Geometrijski niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2


Poglavlje Poglavlje 1

Algebarski izrazi

1.1 1.1

Polino linom mi

Primjer 1.1.1 Za koju vrijednost parametra a ´ ce po polilino nom m P ( a će P (x) = x3

4x + ax

− 12 biti 12 biti djeljiv polinomom Q(x) = x − 3 bez ostatka?

2

−x −

Rjeˇsenj se nje: e: Teorem 1.1.1 Polinom P ( P (x) je djeljiv polinomom Q( Q (x) = x

ako je P ( 0. P (α) = 0.

− α ako i samo

U naˇ naˇsem se m sluˇ sl uˇca ca ju α ju α = 3, pa imamo P (3) P (3) = 27

− 9 − 12 + 3a 3a − 12 = 0 ⇒ 3a 3 a = 6 ⇒ a = a = 2. ♦

Primjer 1.1.2 Za koju vrijednost parametra a ´ ce po polilino nom m P ( a će P (x) = x 3 + x2 +

x + ax

− 18 biti 18 biti djeljiv polinomom Q polinomom Q((x) = x − 2 bez ostatka?

Rjeˇsenj se nje: e: U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju α = 2, pa imamo

2a P (2) P (2) = 8 + 4 + 2 + 2a

− 18 = 0 ⇒ 2a 2 a = 4 ⇒ a = a = 2. ♦


ax2

2

− x + 2 biti 2 biti djeljiv polinomom Q( 2 bez ostatka? Q (x) = x − 3x + 2 bez 3

3

− 2x +

1.1. POLINO POLINOMI MI

MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: Ako rastavimo polinom Q(x) dobit do bit ćemo cem o Q(x) = (x

pa u ovom sluˇcaju ca ju moˇzemo zemo uzeti α = 1 ili α = 2. Sada imamo P (1) P (1) = 1

− 1)(x 1)(x − 2), 2),

− 2 + a − 1 + 2 = 0 ⇒ a = a = 0. ♦


3x2 + x + a biti djeljiv polinomom Q(x) = x 2 + 2x 2x + 1 bez 1 bez ostatka?

3

−x −

Rjeˇsenj se nje: e: Ako rastavimo polinom Q(x) dobi do bitt ćemo cem o Q(x) = (x + 1) 1 )2 , pa u

−1. Sada imamo P ( P (−1) = 1 + 1 − 3 − 1 + a = 0 ⇒ a = a = 2.

ovom sluˇcaju ca ju moˇzemo zem o uzeti uze ti α α =

♦ Primjer 1.1.5 Dijeljenjem polinoma x x 4 + 2x3

2

− 8x − 17x 17x − 10 sa 10 sa polinomom

2x + 1 dob dobije ije se kol koliˇ iˇcnik cnik Q(x) i ostatak R(x). Izraˇcunati cuna ti zbir kva kvadrata drata x2 + 2x rjeˇ rj eˇsenj se njaa jedna jed naˇˇcina ci na R(x) = 0 i Q(x) = 0. 0. Rjeˇsenj se nje: e: Ako podijelimo date polinome dobijamo

(x4 + 2x 2x3 8x2 17x 17x 10) : (x2 + 2x 2x + 1) = x 2 2x3 + x2 x4 + 2x 9x2 17x 17x 10 2 9x 18x 18x 9 (x 1)

− − − −9 − − − − − − − Dakle Dak le koliˇcnik cnik je Q je Q((x) = x − 9, a ostatak R(x) = x − 1. Ako sada sad a rijeˇsimo simo 2

date dat e jednaˇ j ednaˇcine cine dobija dob ijamo mo

Q(x) = 0

2

⇔ x − 9 = 0 ⇒ x = 3, x = −3, 1

2

odnosno R(x) = 0 Sada Sad a je traˇzeni zeni zbir

⇔ x − 1 = 0 ⇒ x = x = 1.

32 + ( 3)2 + 12 = 19. 19.

−

♦

Primjer 1.1.6 Dijeljenjem polinoma x x 4 + 2x3

2

− 3x

−

+ 5x 17 sa 17 sa polinomom 2x + 1 dob dobije ije se kol koliˇ iˇcnik cnik Q(x) i ostatak R(x). Izraˇcunati cuna ti zbir kva kvadrata drata x + 2x rjeˇ rj eˇsenj se njaa jedna jed naˇˇcina ci na R(x) = 0 i Q(x) = 0. 0. 2

4


1.2. OPERACIJE OPERACIJE SA RACI RACIONALN ONALNIM IM IZRAZIMA IZRAZIMA

MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: Ako podijelimo date polinome dobijamo

(x4 + 2x 2x3 3x2 + 5x 5x 17) : (x2 + 2x 2x + 1) = x2 2x3 + x2 x4 + 2x 4x2 + 5x 5x 17 2 4x 8x 4 (13x (13x 13)

− − −4 − − − − − − Dakle Da kle koliˇ kol iˇcnik cni k je j e Q( ostatak R((x) = 13x 13x − 13. 13. Ako sada sa da rijeˇ rij eˇsimo sim o Q(x) = x − 4, a ostatak R 2

date dat e jednaˇ j ednaˇcine cine dobija dob ijamo mo

Q(x) = 0

2

⇔ x − 4 = 0 ⇒ x = 2, x = −2, 1

2

odnosno

⇔ 13x 13x − 13 = 0 ⇒ x = x = 1.

R(x) = 0 Sada Sad a je traˇzeni zeni zbir

22 + ( 2)2 + 12 = 9. 9.

−

1.2 1.2

♦

Opera Operaci cije je sa sa raci racion onal alni nim m izra izrazi zima ma

Primjer 1.2.1 Izra Izraˇˇcuna cu nati ti 1 2

−2

     − 3 : 16

1 8+ 3

1 + 25

1 2

=

Rjeˇsenj se nje: e:

3 : 16

=

1 2

−2

1 2

−2

        − −   −    −   −  9

8+

1 3

1 + 16 25 25

·

+

1 2

1 25

1 2

1 2

−2

=

=

25 16 25

3 25 1 : + 16 3 25

1 2

·

−2

1 2

=

1 4

1 2

1 2

=

−2

= 16. 16 .

♦ Primjer 1.2.2 Izra Izraˇˇcuna cu nati ti

−4

1 4

     − 3 : 16

1 8+ 3

1 + 25

5

1

=



MATEMATIKA


−4

1 4

−4

1 4

          − − − 3 : 16

1 8+ 3

1 + 25

1

25 16 25

=

1

·

1 2

=

1

−4

= 16

♦ Primjer 1.2.3 Pojednostaviti izraz

x2

2

2

− y − xy − y xy xy − x

=

2


x2

2

2

2

2

2

2

2

2

− y − xy − y = x − y − xy − y = (x − y )(y )(y − x) − (xy − y )y = xy xy − x xy x(y − x) xy( xy (y − x) x y − x − y + y x − xy + y x y−x x (y − x) x = = = = xy( xy(y − x) xy( xy (y − x) xy( xy (y − x) y ♦ 2

2

3

3

2

2

3

2

3

2

Primjer 1.2.4 Pojednostaviti izraz



x2

2

2

− y − xy − y xy xy − x

2



:

x = y




=



x2

2

2

 

2

2

2



− y − xy − y : x = x − y − xy − y : x = xy xy − x y xy x(y − x) y (x − y )(y )(y − x) − (xy − y )y x = : = xy( xy (y − x) y x y − x − y + y x − xy + y x x y−x x x y : = : = · = 1. xy( xy (y − x) y xy( xy(y − x) y y x ♦ 2

2

3

3



2

2

2

2

2

3

2

 



3






 ·

b a + b + c

1 1 + a b+c 6



: b = b =



MATEMATIKA


4a2

−

2a 10ab 10ab + + 25b 25b2

1 2a + 5b 5b

−

−

4a2 + 10ab 10ab = 8a3 + 125b 125b3


2a 1 4a2 + 10ab 10ab = 4a2 10ab 10ab + + 25b 25b2 2a + 5b 5b 8a3 + 125b 125b3 4a2 + 10ab 10ab 4a2 + 10ab 10ab 25b 25b2 4a2 10ab 10ab (4a (4a2 10ab 10ab + 25b 25b2 ) = = = (2a (2a + 5b 5b)(4a )(4a2 10ab 10ab + 25b 25b2 ) (2a (2a + 5b 5b)(4a )(4a2 10ab 10ab + + 25b 25b2 )

−

−

−

− − −

−

−

−

−

−1

=

−

2a + 5b 5b


9a2

−

3a 12ab 12ab + + 16b 16b2

1 3a + 4b 4b

−

−

9a2 + 12ab 12ab = 27a 27a3 + 64b 64b3


3a 1 9a2 + 12ab 12ab = 9a2 12ab 12ab + + 16b 16b2 3a + 4b 4b 27a 27a3 + 64b 64b3 9a2 + 12ab 12ab 9a2 + 12ab 12ab 16b 16b2 9a2 12ab 12ab (9a (9a2 12ab 12ab + 16b 16b2 ) = = = (3a (3a + 4b 4b)(9a )(9a2 12ab 12ab + 16b 16b2 ) (3a (3a + 4b 4b)(9a )(9a2 12ab 12ab + + 16b 16b2 )

−

−

−

− − − =

−

−

−1

3a + 4b 4b

−

−

−

.




4x 4x + 3y 3y

3y

− 3y − 4x −

24xy 24xy 16x 16x2 9y 2

−



: 4x + 3y 3y

−

48xy 48xy 4x + 3y 3y



=




4x 3y + 4x + 3y 3y 4x 3y

− − (4x (4x −

=

16x 16x2

24xy 24xy 3y )(4x )(4x + 3y 3y ) 2



: 4x + 3y 3y

−

48xy 48xy 4x + 3y 3y



=

2

− 12xy 12xy + + 12xy 12 xy + + 9y 9 y − 24xy 24xy (4x (4x + 3y 3y ) − 48xy 48xy : = (4x (4x − 3y )(4x )(4x + 3y 3y ) 4x + 3y 3y 8



MATEMATIKA

16x 16x2 24xy 24xy + + 9y 9y2 4x + 3y 3y (4x (4x 3y )(4x )(4x + 3y 3y ) 16x 16x + 24xy 24xy + + 9y 9y2

− · = − − 48xy 48xy 16x 16x − 24xy 24xy + + 9y 9y 4x + 3y 3y 1 · = = . (4x (4x − 3y )(4x )(4x + 3y 3y ) 16x 16x − 24xy 24xy + + 9y 9y 4x − 3y =

2

2

2

♦




2x 2x + 5y 5y

5y

− 5y − 2x −

20xy 20xy 4x2 25y 25y 2

−



: 2x + 5y 5y

−

40xy 40xy 2x + 5y 5y



=




2x 5y + 2x + 5y 5y 2x 5y

− − (2x (2x −

20xy 20xy 5y )(2x )(2x + 5y 5y )

4x2



: 2x + 5y 5y

2

−

40xy 40xy 2x + 5y 5y



2

− 10xy 10xy + + 10xy 10 xy + + 25y 25 y − 20xy 20xy (2x (2x + 5y 5y ) − 40xy 40xy = : = (2x (2x − 5y )(2x )(2x + 5y 5y ) 2x + 5y 5y 4x − 20xy 20xy + + 25y 25 y 2x + 5y 5y 1 = = . · (2x (2x − 5y )(2x )(2x + 5y 5y ) 4x − 20xy 20xy + + 25y 25 y 2x − 5y 2

=

2

2

2

♦


a2

−

a a+1

− a +1 1 − a 2+a 1 = 3


a

2

−

a a+1

−

1 a+1

−

2a 1 a2 + a a2 + a 1 2a = = . 3 2 (a + 1)(a 1)(a a +1 a + 1) a+1

−

−

− −

−


a2

−

1 a + a+1 a+1

9

−

a 2 + 1 = a3 + 1



MATEMATIKA


a2

−

1 a + a + 1 a + 1

−

a 2 + 1 a2 + a + a2 a + 1 a2 = (a + 1)(a 1)(a2 a + 1) a3 + 1

−

− −1 =

−

a2 . a3 + 1


a a

−1

+

4a 4 a2 a 1 + = 1 a3 a2 + a + 1

− −


4a 4 a2 a3

3

2

2

− a + 1 = a + a + a − 4a + a + a − 1 = − −1 a +a+1 (a − 1)(a 1)(a + a + 1) a−1 3a − 1 2a + a − 1 a − 3a + 3a a − a − 2a + 2a = = = (a − 1)(a 1)(a + a + 1) (a − 1)(a 1)(a + a + 1) 1)(a − 2a + 1) (a − 1) a (a − 1) − 2a(a − 1) + a − 1 (a − 1)(a = = = . (a − 1)(a 1)(a + a + 1) (a − 1)(a 1)(a + a + 1) a + a + 1 a

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

♦


−

1 x 3 + 3x + 9 x 3 x2 + 3x

3x 3 x + 2x 2x2 = x3 27

− − −

Rjeˇsenj se nje: e: 2

−

=

x2

2

2

2

3x + 2x 2x (x − 3) + x + 3x 3x + 9 − 3x − 2x − = − − 3)(x 3)(x + 3x 3x + 9) (x − 3)(x 3)(x + 3x 3x + 9) 3x + 9 − 3x − 2x − 6x + 9 + x + 3x −6x + 18 −6 = = (x − 3)(x 3)(x + 3x 3x + 9) (x − 3)(x 3)(x + 3x 3x + 9) 3x + 9 x + 3x ♦

1 x 3 + 3x + 9 x 3 (x x2 + 3x

2

2

2

2

2

2

2




a+

9 a

−6



12 a2

− 3a − 9 − 10

a 6a + a2



=


=


MATEMATIKA




a+

9 a

−6



a2





− 6a + 9 12 − a = − a − 3a 9 − a−6 a(a − 3) (a − 3) (a − 3) 12a 12 a − 36 − a a−6 6−a · = =− = . a−6 a(a − 3) a a ♦ 12

a 6a + a2

2

2

2



=

2

2


a3 b−1 a−1 b3 ab−1 + a−1 b

−

·

a2

−b

ab

2



−1

=


a3 b−1 a−1 b3 ab−1 + a−1 b

−

·

a2

2

−b

ab

=

(a2



−1

a3 b 3 a = b a b (a + b a

−

2

2

− b )(a )(a

a4

4

−b

ab = ab · = · − bab)(a )(a + b) )(a + b) a + b (a − b)(a

+ b2 )

a2 + b2

2

2

ab

= ab. · (a − bab)(a )(a + b)

♦

Primjer 1.2.19 Pojednostaviti izraz 2

(x−1 y 2 + x3 y −4 ) = 2y −3 + x4 y −9 x−4 y 3 + 2y Rjeˇsenj se nje: e: 2

2

(x−1 y 2 + x3 y −4 ) (x(x−2 y 2 + x2 y −4)) = −1 −4 4 = 2y −3 + x4 y −9 2y −2 + x4 y −8 ) x−4 y 3 + 2y y (x y + 2y 2

x2 (x−2 y 2 + x2 y −4 ) = −1 −2 2 = x 2 y. 2 − 4 2 y (x y + x y )

♦ 11



MATEMATIKA

Primjer 1.2.20 Pojednostaviti izraz 2

(y 3 + x4 y −2) = 2x2 + x6 y −5 x−2 y 5 + 2x Rjeˇsenj se nje: e: 2

2

(y 3 + x4 y −2 ) (x(y 3 x−1 + x3 y −2 )) = −1 −2 6 = 2x2 + x6 y −5 2x2 + x6 y −4 ) x−2 y 5 + 2x y (x y + 2x 2

x2 (y 3 x−1 + x3 y −2 ) = −1 −1 3 = x 2 y. 3 2 2 − y (x y + x y )


2a 4b b + 2ab a2 4b2 ab 2b2 = a2 + 2ab a 2 4b2 2 1 a2 4b2

− − − − −− −


2ab( 4 ab2 ab( 2 b) ab(a 2b) + 4ab ab(a + 2b 2a 4b b + 2 b)(a )(a 2b) ab( ab(a + 2b 2ab a2 4b2 ab 2b2 = a2 + 2ab = 2 2 2 2 4b 2 4b 4 b2 + 2 a a a2 + 4b 1 (a 2b)(a )(a + 2b 2b) a2 4b2

− − − − −− − a b − 2ab = 2

−

−

2

2ab

=

−

−

− −

−

−

ab( ab(a 2b) a 2b = . 2ab 2


− xx−+3yy : 3x + y −3 x−y

1

 

1

y 1+ x

−

12

x y + 1 y x y + x y 1 x y x

−

−

 

=




x 3y 1 x+y : 3x + y 3 x y

MATEMATIKA

x y − − + 1 1 y x y − y + x y = − 1+ 1− x x y x − − 3y x + y − x + 3y x +y 1 1 x+y xy = : x + y − x − y + = 3x + y − 3x + 3y 3y x −y x x x−y xy x−y x x x +y − = : + = )(x + y ) x+y x + y x − y (x − y )(x ( x − y )(x )(x + y ) x − y x − xy − x − xy + xy + x + y x − y (x · = : = = 1. 1. (x − y )(x )(x + y ) x + y x + y x − 2xy + xy + y 2



2

 

2

 

 

2

2

2

2

2

13

2



2

2

 

2

♦



Stepeni i korijeni

2.1 2.1

Opera Operaci cije je sa sa stepen stepenim ima a i kor korij ijen enim ima a




3b + 10 b + 5



−2:

1

− b +5 5 =




3b + 10 b + 5

−2:

 1

−

5 = b + 5 =



− − 10 :

3b + 10 2b b+5



−

b+5 5 = b+5



b b : = 1. 1. b+5 b+5

♦




2a + 3 a+3

−1:

 1

− a +3 3 =




2a + 3 a+3

  − −    1:

=

1

a : a+3

3 = a + 3

− −3 :

2a + 3 a a + 3

a = a+3

14



−

a+3 3 = a+3

a a : = 1. 1. a+3 a+3

♦

MATEMATIKA

2.1. OPERACIJE OPERACIJE SA STEPE STEPENIMA NIMA I KORIJEN KORIJENIMA IMA

4

Primjer 2.1.19 Izra Izraˇˇcuna cu nati ti

 √  ·  √  3

6

6

9

a

3

4

=

9

a


4

 √  ·  √  3

6

6

9

a

3

a

√

18

=

9

√

18

·

a36

√ √ · a

a36 = a2

2

= a2 .

♦

 · √  · √  √ ·

Primjer 2.1.20 Izra Izraˇˇcuna cu nati ti Rjeˇsenj se nje: e:

3

4

x2

3

4

x2 3

x3 =

4

x3 =

x8 x3 =


3

3

3

x

x3 =

x2

x =

2

3

x =

4

3

x

√ 6

7

x7 = x 6 .

♦

4


11

x11 = x 12 .

♦

 ·√  ·√  √ √ ·


√

12

2

 √   √  3

6

6

:

a9

3

a9

=


 √   √  3

6

a

9

:

6

3

9

a

2

=

√

18

36

a

:

√

18

a18 = a2 : a = a = a. a.

♦

20



Inv Inverzna funkcija. funkcija. Kompozicija funkcija

3.1

Inv Inverzna erzna funk funkcija. cija. Kompozi Kompozicij cija a funk funkcij cija a

Primjer 3.1.1 Date su funkcije f ( f (x) = 4x

1)]. f [ f [g −1 (−1)].

− 3 i g(x) = 2 − 3x. I zraˇˇcuna cu nati ti x. Izra

Rjeˇsenj se nje: e: Prvo trebamo odrediti inverznu funkciju funkcije g( g (x). U tu svrhu

imamo x = 2

− 3g− (x) ⇔ g − (x) = 2 −3 x ⇒ g − (−1) = 2 +3 1 = 1.1 . = f (1) (1) = 4 − 3 = 1. 1. f [ f [g − (−1)] = f 1

1

1

1


1)]. f [ f [g −1 (−1)].

♦

− 2 i g(x) = 1 − 2x. I zraˇˇcuna cu nati ti x. Izra

Rjeˇsenj se nje: e: Prvo trebamo odrediti inverznu funkciju funkcije g( g (x). U tu svrhu

imamo x = 1

− 2g− (x) ⇔ g − (x) = 1 −2 x ⇒ g − (−1) = 1 +2 1 = 1.1 . = f (1) (1) = 3 − 2 = 1. 1. f [ f [g − (−1)] = f 1

1

1

1


(1)]. f [ f [g −1 (2)] i f [ f [g −1 (1)]. 21

♦

− 1 i g(x) = 2 − x. Izraˇˇcuna cu nati ti x. Izra

MATEMATIKA 3.1. INVERZNA INVERZNA FUNKCIJA. FUNKCIJA. KOMPOZI KOMPOZICIJA CIJA FUNKCIJA FUNKCIJA Rjeˇsenj se nje: e: Prvo trebamo odrediti inverznu funkciju funkcije g( g (x). U tu svrhu

imamo x = 2

− g− (x) ⇔ g − (x) = 2 − x ⇒ g − (2) = 2 − 2 = 0 i g− (1) = 2 − 1 = 1.1 . = f (0) (0) = 0 − 1 = −1 i f [ f [ f [g − (2)] = f f [g − (1)] = 2 − 1 = 1. ♦ 1

1

1

1

1

1


◦

◦ ◦

(g f )(1) )(1). f )(1) i (f g )(1).

− 1 i g(x) = 2xx+ +11 . Izra Izraˇˇcuna cu nati ti


◦

(g f )(1) = g((f (1)) = g(2 (2 f )(1) = g f (1)) = g

◦ ◦

(f g )(1) = f = f ((g (1)) = f = f

1+1 2 − 1) = g(1) = . g (1) = 2+1 3

   1+1 2+1

22

= f

2 3

=2

· 23 − 1 = 13 . ♦



Line Linear arne ne jedn jednaˇ aˇ cine cine i nejedn nejednaˇ aˇ cine. cin e. Sistemi Sistemi linearn linearnih ih jednaˇ cina cina

4.1

Linearne Line arne jednaˇ je dnaˇ cine cine i nejedn ne jednaˇ aˇ cine cine

Primjer 4.1.1 Rij R ijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu Rjeˇsenj se nje: e:

7 x2

−1

+

x2

−

8 49 9x = 3 . 2x + 1 x x2 x + 1

− − −

− − − − − −  ⇒   ⇒ x = −1 7 8 49 − 9x + = (x − 1) (x + 1) (x − 1)(x 1)(x + 1) (x − 1) (x − 1) (x + 1) 7(x 7(x − 1) + 8(x 8(x + 1) = 49 − 9x 7x + 8x 8x + 9x 9x = 49 + 7 − 8 ⇒ 24x 24 x = 48 ⇒ x = x = 2. ♦ 7

8 49 9x = x2 1 x2 2x + 1 x3 x2 x + 1 Definicio Defin iciono no podruˇ po druˇcje cje jednaˇ jedn aˇcine cine je x je x 1 = 0 x = 1 i x + x + 1 = 0 +

2

2



2

Primjer 4.1.2 U kojem ko jem odnosu treba pomijeˇ pomi jeˇsati 5% sati 5% i i 50% otopinu 50% otopinu neke ma-

terije da bi se dobila 25% otopina? 25% otopina? Rjeˇsenj se nje: e:

⇔ 0, 0 , 05x 05x + 0, 0, 5y = 0, 25(x 25(x + y ) ⇔ x 0, 25 0, 05x 05x + 0, 0, 5y = 0, 25x 25x + 0, 0, 25y 25y ⇔ 0, 0 , 2x = 0, 25y 25y ⇒ = ⇒ 0, 2 y 5%x 5%x + 50%y 50%y = 25%(x 25%(x + y )

23

ˇ ˇ 4.1. LINEA LINEARNE RNE JEDNA JEDNACINE I NEJEDNACINE

25 x = 100 20 y 100

MATEMATIKA

5 ⇒ xy = 25 = . 20 4

♦ Primjer 4.1.3 U kojem odnosu treba treba pomijeˇsati sati 10% i 50% otopinu neke

materije da bi se dobila 25% otopina? 25% otopina? Rjeˇsenj se nje: e:

10%x 10%x + 50%y 50%y = 25%(x 25%(x + y )

⇔ 0, 0 , 1x + 0, 0, 5y = 0, 25(x 25(x + y ) ⇔

x 0, 25 ⇔ 0, ⇒ 0 , 15x 15x = 0, 25y 25y ⇒ = 0, 15 y

0, 1x + 0, 0, 5y = 0, 25x 25x + 0, 0, 25y 25y 25 x = 100 15 y 100

5 ⇒ xy = 25 = . 15 3

♦ Primjer 4.1.4 Ako se jedan broj doda brojniku i oduzme od nazivnika ra-

zlomka

7 dobije se broj 5. Koji je to broj? 11


7+x =5 11 x

−

48 ⇔ 7 + x = 5(11 − x) ⇔ x + 5x = 55 − 7 ⇔ x = = 8. x + 5x x = 6

Traˇzeni zen i bro j je x je x = = 8.

♦ Primjer 4.1.5 Ako se jedan broj doda brojniku i oduzme od nazivnika ra-

zlomka



7+x =2 11 x

−

15 ⇔ 7 + x = 2(11 − x) ⇔ x + 2x = 22 − 7 ⇔ x = = 5. x + 2x x = 3

♦

Traˇzeni zen i bro j je x je x = = 5. 24



MATEMATIKA

Primjer 4.1.6 Ako se jedan broj doda brojniku i oduzme od nazivnika ra-

zlomka



17 + x =7 15 x

−

88 ⇔ 17 + x = 7(15 − x) ⇔ x + 7x 7x = 105 − 17 ⇔ x = = 11. 11. x = 8

♦

Traˇzeni zen i bro j je x je x = = 11. 11.

Primjer 4.1.7 Izraˇ cunati cunati broj stranica mnogougla m nogougla kod kojeg k ojeg je broj dijagodij ago-

nala sedam puta veći ci od broja stranica. Rjeˇsenj se nje: e: Broj dijagonala mnogougla od n od n stranica strani ca raˇcunamo cunamo po formuli

D(n) =

n(n

− 3) .

2

Pa imamo D(n) = 7n

⇔ n(n2− 3) = 7n ⇔ n −2 3 = 7 ⇔ n − 3 = 14 ⇔ n = 17. n = 17. ♦

Primjer 4.1.8 Izraˇ cunati cunati broj stranica mnogougla m nogougla kod kojeg k ojeg je broj dijagodij ago-

nala osam puta veći ci od broja stranica. Rjeˇsenj se nje: e: Broj dijagonala mnogougla od n od n stranica strani ca raˇcunamo cunamo po formuli

D(n) =

n(n

− 3) .

2

Pa imamo D(n) = 8n

⇔ n(n2− 3) = 8n ⇔ n −2 3 = 8 ⇔ n − 3 = 16 ⇔ n = 19. n = 19. ♦

Primjer 4.1.9 Rijeˇ Rijeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu

− ≥ 1. − 1.

3x 1 4 x


− ≥ 1 ⇔ 3x − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ 3x − 1 − 4 + x ≥ 0 ⇔ 4x − 5 ≥ 0 − 4−x 4−x 4−x 5 4x − 5 = 0 ⇔ x = = 0 ⇔ x  = 4. x = i 4 − x  4

3x 1 4 x

25



MATEMATIKA

5 4

4 +∞ −∞ 5x − 4 − 0 + + 4−x + +0 − 4x − 5 − + − 4−x

Odnos Odn osno no rjeˇ rj eˇsenje sen je nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je x

∈ 

5 ,4 . 4

Primjer 4.1.10 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu

♦

2x + 1 x 1

3 . − ≥ 3.


2x + 1 x 1

2x + 1 2x + 1 − 3x + 3 −x + 4 ≥ 0 ≥ − ≥ 3 ⇔ 3 ≥ 0 ⇔ 0 ⇔ − x−1 x−1 x−1 −x + 4 = 0 ⇔ x = = 0 ⇔ x  = 1. 1. x = 4 i x − 1 

−∞

1

4 + + +0 0+ +

−x + 4 x−1 − −x + 4 − x−1 Odnos Odn osno no rjeˇ rj eˇsenje sen je nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je x

2x + 1 x + 1

−

+

−

∈ (1, (1 , 4] .

Primjer 4.1.11 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu Rjeˇsenj se nje: e:

∞ −

2x + 1 x + 1

−

♦ ≥ 1. 1 .

+1 2x + 1 + x − 1 3x ≥ 1 ⇔ −2xx + − ≥ 1 ≥ 0 ⇔ 0 ⇔ −x + 1 −x + 1 ≥ 0 1 3x = 0 ⇔ x = = 0 ⇔ x  = 1. x = 0 i − x + 1  26



−∞

− −

3x x+1 3x x + 1


MATEMATIKA

0 1 + 0+ + + +0

∞ − −

− −

+

[0 , 1) . ∈ [0,

Primjer 4.1.12 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu (x

♦

− 4)(x 4)(x + 3) < 3) < 0 0..


x

− 4 = 0 ⇔ x = x = 4 i x + x + 3 = 0 ⇔ x = x = −3 −∞ −3 4 +∞ − −0 + x−4 −0 + + x + 3 (x − 4)(x 4)(x + 3) + − +


∈ (−3, 4) .

Primjer 4.1.13 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu (2x (2x Rjeˇsenj se nje: e:

2x

♦

− 3)(1 − 4x) > 0 > 0..

3 1 − 3 = 0 ⇔ x = x = i 1 − 4x = 0 ⇔ x = x = 2 4

27


ˇ 4.2. SISTEM SISTEMII LINEARN LINEARNIH IH JEDNA JEDNACINA

1 4

MATEMATIKA

3 2 + 0+

−∞ ∞ − − 2x − 3 1 − 4x +0 − − (2x (2x − 3)(1 − 4x) − + − Odnos Odn osno no rjeˇ rj eˇsenje sen je nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je x

4.2

  ∈

1 3 , . 4 2

♦

Sistemi linearnih jednaˇ jednaˇ cina cina

Primjer 4.2.1 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti sist sistem em jedna jed naˇˇcina ci na

x + y = 1 2x + y = 1

−

−

Rjeˇsenj se nje: e: Ako prvu jednaˇ jedn aˇcinu cinu pomnoˇ po mnoˇzimo zimo sa ( 1) dobijamo

−x − y

= 2x + y =

−1 −1 −

Nako sabiranja jednaˇcina cina sistema dobijamo x = 2, te ako ovu vrijednost uvrstimo u jednu od o d jednaˇ cina cina sistema dobijamo y = 3. Dakle Dakl e rjeˇsenje senj e sistema je (x, (x, y ) = ( 2, 3). 3).

−

♦

Primjer 4.2.2 Izraˇ Iz raˇcunat cun atii zbir zbi r rjeˇsenja sen ja sistem sis temaa jednaˇ jedn aˇcina cin a

6 4 = x + y x y 5 7 + = x + y x y

− − −

Rjeˇsenj se nje: e: Ako uvedemo smjenu

6u

− 103 − 23 12

1 1 = u i = v dobijamo x+y x y

− 4v

=

5u + 7v 7v = 28

− −

10 3 23 12

 

− ·7 ·4



42u 42u

28v − 28v

=

20u 20u + 28v 28v =

MATEMATIKA

− 703 − 233

Nako sabiran s abiranja ja jednaˇcina cina sistema dobijamo dobija mo 62u 62u =

1 − 933 ⇔ 62u 62u = −31 ⇒ u = u = − . 2

Nakon uvrˇstavanja stavanj a u jednu j ednu od jednaˇ jedn aˇcina cina dobija dob ijamo mo

−6 − 4v = − 10 ⇔ −4v = − 10 + 3 ⇔ −4v = − 1 ⇒ v = v = 2

3

3

3

1 . 12

Sada imamo 1 = u x + y 1 = v x y

−

odnosno 1 1 = 2 x+y 1 1 = 12 x y

−

−

ˇsto sto je ekvivalentno ekvival entno sa

−

2 x+y = x y = 12

−

⇒

− ⇒ −7. Pa je rjeˇsenje senj e sistema sist ema − ♦

odavde je 2x 2x = 10 x = 5 i 5 + y = 2 y = (x, y ) = (5, (5, 7). 7). Te Te je zbir zbi r rjeˇsenja sen ja x + y = 2.

−

Primjer 4.2.3 Izraˇ Iz raˇcunat cun atii zbir zbi r rjeˇsenja sen ja sistem sis temaa jednaˇ jedn aˇcina cin a

7 3 = x + y x y 4 5 + = x + y x y

− − −

29

− 195 − 32 Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor



7u

MATEMATIKA


− 3v

=

4u + 5v 5v = 35u 35u

− 15v 15v

19 5 3 2

 −  − ·

− ·5 3

−19 − 92

=

12u 12u + 15v 15v = Nako sabiran s abiranja ja jednaˇcina cina sistema dobijamo dobija mo 47u 47u =

1 − 472 ⇔ 94u 94u = −47 ⇒ u = u = − . 2

Nakon uvrˇstavanja stavanj a u jednu j ednu od jednaˇ jedn aˇcina cina dobija dob ijamo mo

−4 + 5v 3 3 1 5v = − ⇔ 5v 5 v = − + 2 ⇔ 5v 5 v = ⇒ v = v = 2

2

2

2

1 . 10

Sada imamo 1 = u x + y 1 = v x y

−

odnosno 1 1 = 2 x+y 1 1 = 10 x y

−

−

ˇsto sto je ekvivalentno ekvival entno sa 2 x+y = x y = 10

−

−

⇒

− ⇒ −6. Pa je rjeˇsenje senj e sistema sist ema − ♦

odavde je 2x 2x = 8 x = 4 i 4 + y = 2 y= (x, y ) = (4, (4, 6). 6). Te Te je zbir zbi r rjeˇsenja sen ja x + y = 2.

−

30



MATEMATIKA

Primjer 4.2.4 Izraˇ Iz raˇcunat cun atii proizv proi zvod od rjeˇsenja sen ja sistem sis temaa jednaˇ jedn aˇcina cin a

3 2 + = 1 x y 5 3 + = 1 x y 1 1 Rjeˇsenj se nje: e: Ako uvedemo smjenu = u i u i = v dobijamo x y

−

3u + 2v 2v =

 − · · − 1

5u + 3v 3v = 1

−

9u + 6v 6v = 10u 10u 6v =

−

Nako sabiran s abiranja ja jednaˇcina cina sistema dobijamo dobija mo

3

( 2)

−3 −2

−u = −5 ⇔ u = u = 5. Nakon uvrˇstavanja stavanj a u jednu j ednu od jednaˇ jedn aˇcina cina dobija dob ijamo mo 15 + 2v 2v =

−16 = −8. 2 v = −1 − 15 ⇔ 2v 2 v = −16 ⇒ v = v = −1 ⇔ 2v 2

Sada imamo 1 = u x 1 = v y odnosno 1 = 5 x 1 = 8 y

−

ˇsto sto je ekvivalentno ekvival entno sa x = y = Pa je j e rjeˇ rj eˇsenje senj e siste s istema ma (x, y ) =

 − 1 , 5

1 5

− 18

1 Te je j e pro p roizvo izvod d rjeˇ r jeˇsenja sen ja x y = . Te 8

31

·

− 401 . ♦



MATEMATIKA


3 2 + = 4 x y 6 5 + = 1 x y Rjeˇsenj se nje: e: Ako uvedemo smjenu

1 1 = u i u i = v dobijamo x y

3u + 2v 2v = 4 6u + 5v 5v = 1

· −

−6u − 4v

( 2)

−

= 8 6u + 5v 5v = 1

Nako sabiranja jednaˇ cina cina sistema dobijamo v = jednu od jednaˇ cina cina dobijamo 3u

−7. Nakon Nako n uvrˇstavanja stavanja u

18 − 14 = 4 ⇔ 3u 3 u = 4 + 14 ⇔ 3u 3 u = 18 ⇒ u = = 6. u = 3

Sada imamo 1 = u x 1 = v y odnosno 1 = 6 x 1 = 7 y

−

ˇsto sto je ekvivalentno ekvival entno sa x = y = Pa je j e rjeˇ rj eˇsenje senj e siste s istema ma (x, y ) =

 − 1 , 6

1 6

− 17

1 Te je j e pro p roizvo izvod d rjeˇ r jeˇsenja sen ja x y = . Te 7

32

·

− 421 . ♦



MATEMATIKA


3 7 8 + = 5 x+y x y 1 10 + = 3 x+y x y 1 1 Rjeˇsenj se nje: e: Ako uvedemo smjenu = u i = v dobijamo x+y x y 8 3u + 7v 7v = 5 10 v = 3 3 u + 10v

− −

−

−

−

 − ·

−

3u + 7v 7v =

−3u + 30v 30v

=

8 5

−9

Nako sabiran s abiranja ja jednaˇcina cina sistema dobijamo dobija mo 37 1 37v 37v = v = v = . 5 5 Nakon uvrˇstavanja stavanj a u jednu j ednu od jednaˇ jedn aˇcina cina dobija dob ijamo mo 10 1 0 = 3 u u = 1 u = u = 1. 5 Sada imamo 1 = u x + y 1 = v x y

− ⇔

− −

odnosno

−

− ⇔−

− ⇔

−

1 = 1 x+y 1 1 = 5 x y ˇsto sto je ekvivalentno ekvival entno sa

−

−

x+y = 1 5 x y =

− − odavde je 2x 2x = −4 ⇒ x = + y = 1 ⇒ y = 3. Pa je rjeˇsenje senj e sistema sist ema x = −2 i −2 + y ♦ (x, y ) = (−2, 3). 3). Te je proizvod proi zvod rjeˇsenja senj a x · y = −6. 33



MATEMATIKA


2 5 + = 1 x + y x y 3 4 11 = 5 x+y x y

−

− − − −



2u + 5v 5v =

−3u − 4v

=

−  − · · 1

3

11 5

2

6u + 15v 15v =

−6u − 8v

−3 22 5

=

Nako sabiran s abiranja ja jednaˇcina cina sistema dobijamo dobija mo 7 1 7v = v = v = . 5 5 Nakon uvrˇstavanja stavanj a u jednu j ednu od jednaˇ jedn aˇcina cina dobija dob ijamo mo 1 2u + 5 = 1 2u 2 u = 2 u = u = 5 Sada imamo 1 = u x + y 1 = v x y

⇔

·

− ⇔

− ⇔

−1.

−

odnosno

1 = 1 x+y 1 1 = 5 x y

−

ˇsto sto je ekvivalentno ekvival entno sa

−

−

1 x+y = x y = 5

−

⇒

− ⇒ − · −

odavde je 2x 2x = 4 senj e sistema sist ema x = 2 i 2 + y = 1 y = 3. Pa je rjeˇsenje (x, y ) = (2, (2, 3). 3). Te je proizvod proi zvod rjeˇsenja senj a x y = 6.

−

34

♦



MATEMATIKA

Primjer 4.2.8 Zbir cifara dvocifrenog broja je 8 je 8.. Ako cifre zamijene mjesta

dobije se broj koji je za pet manji od polovine datog broja. Koji je to broj? Rjeˇsenj se nje: e: Svaki dvocifr dvo cifren en bro j moˇzemo zemo predstavi pred staviti ti na sljede´ slje deći ci naˇcin cin

10x + y. xy = xy = 10x Neka je xy je xy dati broj na osnovu uslova zadatka imamo x + y = 8 xy yx = 2

−5

ˇsto sto je ekvivalentno ekvival entno sa x+y = 8 10x 10x + y 10y 10y + x = 2

⇒

 − · 5

2

−

x + y = 8 y = y = 8 x 20y 20y + 2x 2 x = 10x 10x + y 10

−

Nakon uvrˇstavanja stavanj a u drugu drug u jednaˇ je dnaˇcinu cinu sistema sist ema dobijam dob ijamoo

− x) + 2x 2 x = 10x 10x + 8 − x − 10 ⇔ −27x 27x = −162 ⇒ x = x = 6. Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo dobijam o y = 8 − x = 8 − 6 = 2, te je traˇzeni zen i ♦ broj 62. 62. 20(8

Primjer 4.2.9 Zbir cifara dvocifrenog broja je 9 je 9.. Ako cifre zamijene mjesta

dobije se broj broj koji je za tri veći ci od trećine cine datog broja. Koji je to broj? Rjeˇsenj se nje: e: Neka je xy je xy dati broj na osnovu uslova zadatka imamo

x + y = 9 xy +3 yx = 3 ˇsto sto je ekvivalentno ekvival entno sa x + y = 9 10x 10x + y 10y 10y + x = +3 3 35

·

3



⇒

MATEMATIKA

−

x + y = 9 y = y = 9 x 30y 30y + 3x 3 x = 10x 10x + y + 9 Nakon uvrˇstavanja stavanj a u drugu drug u jednaˇ je dnaˇcinu cinu sistema sist ema dobijam dob ijamoo

− x) + 3x 3 x = 10x 10x + 9 − x + 9 ⇔ −36x 36x = −252 ⇒ x = x = 7. Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo dobijam o y = 8 − x = 9 − 7 = 2, te je traˇzeni zen i ♦ broj 72. 72. 30(9

Primjer 4.2.10 Dvije D vije vrste v rste ˇcelika celika imaju: prva 5% prva 5%,, a druga 40% 40 % nikla. Ko-

140 tona liko treba treba spojiti prve i druge vrste ˇcelika celika da bi se dobilo 140 to na ˇcelika cel ika sa 30% nikla. 30% nikla. Rjeˇsenj se nje: e: Oznaˇ Ozn aˇcimo ci mo sa x i y prvu i drugu vrstu ˇcelika celika redom. Na osnovu

uslova zadatka imamo

·

5%x 5%x + 40%y 40%y = 30% 140 x + y = 14 0 odnosno

· ⇒

0, 05x 05x + 0, 0, 40y 40y = 0, 3 140 x + y = 140 y = y = 140

−x 0, 05x 05x + 0, 0, 4(140 − x) = 42 ⇔ −0, 35x 35x = −14 ⇒ x = 40. x = 40. A ako uvrstimo u smjenu y = 140 − x = 140 − 40 = 100. 100. Dakle, treba spojiti 40t 40t prve vrste i 100t 100t druge dr uge vrste vrst e ˇcelika. celi ka.

♦

Primjer 4.2.11 Dvije D vije vrste v rste ˇcelika celika imaju: prva 5% prva 5%,, a druga 25% 25 % nikla. Ko-

liko treba treba spojiti prve i druge vrste ˇcelika celika da bi se dobilo 140 to 140 tona na ˇcelika cel ika sa 20% nikla. 20% nikla. Rjeˇsenj se nje: e: Oznaˇ Ozn aˇcimo ci mo sa x i y prvu i drugu vrstu ˇcelika celika redom. Na osnovu

uslova zadatka imamo

·

5%x 5%x + 25%y 25%y = 20% 140 x + y = 14 0 odnosno

· ⇒ −x 0, 05x 05x + 0, 0, 25(140 − x) = 28 ⇔ −0, 2x = −7 ⇒ x = 35. x = 35. A ako uvrstimo u smjenu y = 140 − x = 140 − 35 = 105. 105. 0, 05x 05x + 0, 0, 25y 25y = 0, 2 140 x + y = 140 y = y = 140

Dakle, treba spojiti 35t 35t prve vrste i 105t 105t druge dr uge vrste vrst e ˇcelika. celi ka. 36

♦


ˇ ˇ 4.3. 4.3. JEDN JEDNA ACINE I NEJEDNA CINE SA APSOLUTNIM

VRIJEDNOSTIMA

4.3

MATEMATIKA

Jednaˇ Jedn aˇ cine cine i nejednaˇ nejed naˇ cine cine sa apsolutnim apsolu tnim vri jednostima



|x| = −x,x, xx ≥< 0 0



Primjer 4.3.1 Izraˇ I zraˇcuna cu nati ti zbir zb ir rjeˇ rjeˇsenj se njaa jedna jed naˇˇcine ci ne x2 Rjeˇsenj se nje: e:

x2



− 2x − 2|x| = 4.

− 2x = 0 ⇔ x( x (x − 2) = 0 ⇔ x = x = 0 i x − 2 = 0 ⇒ x = x = 2. 2

x

−∞

− 2x x

∞

0 2 + +0 0 + 0+ +

−

−

Datu Da tu jednaˇ jed naˇcinu cinu rjeˇsavamo savam o u sljede´ slj edeća ca tri sluˇ sl uˇcaja ca ja::

∈ (−∞, 0] imamo 2x = 4 ⇔ x = 4 ⇒ x = 2 ∈ 0]. x − 2x + 2x / ( −∞, 0] i x = −2 ∈ ( −∞, 0]. U ovom sluˇcaju ca ju jedino jedi no rjeˇsenje senj e je x je x = = −2. 2. Za x Za x ∈ (0, (0 , 2] imamo −(x − 2x) − 2x = 4 ⇔ x = −4 ⇒ x = −2i ∈/ R i x = 2i ∈/ R. 1. Za x Za x 2

2

1

2

2

2

1

2

U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju jednaˇ jed naˇcina cin a nema nem a rjeˇsenja sen ja..

∈ (2, (2 , +∞) imamo √ (2, +∞) x − 2x − 2x = 4 ⇔ x − 4x − 4 = 0 ⇒ x = 2 − 2 2 ∈ / (2, √ i x = 2 + 2 2 ∈ (2, (2 , +∞). √

3. Za x Za x

2

2

1

2

U ovom sluˇcaju ca ju jedino jedi no rjeˇsenje senj e je x je x = = 2 + 2 2. Dakle, Dak le, zbir rjeˇsenja senj a jednaˇ jedn aˇcine cine je

−2 + 2 + 2

√

√

2 = 2 2.

♦ 37



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA



Primjer 4.3.2 Izraˇ I zraˇcuna cu nati ti zbir zb ir rjeˇ rjeˇsenj se njaa jedna jed naˇˇcine ci ne x2 Rjeˇsenj se nje: e:

x2



− 3x − 3|x| = 9.

− 3x = 0 ⇔ x( x (x − 3) = 0 ⇔ x = x = 0 i x − 3 = 0 ⇒ x = x = 3. 2

x

−∞

− 3x x

∞

0 3 + +0 0 + 0+ +

−

−

Datu Da tu jednaˇ jed naˇcinu cinu rjeˇsavamo savam o u sljede´ slj edeća ca tri sluˇ sl uˇcaja ca ja::

∈ (−∞, 0] imamo 3x = 9 ⇔ x = 9 ⇒ x = 3 ∈ 0]. x − 3x + 3x / ( −∞, 0] i x = −3 ∈ ( −∞, 0]. U ovom sluˇcaju ca ju jedino jedi no rjeˇsenje senj e je x je x = = −3. 2. Za x Za x ∈ (0, (0 , 3] imamo −(x − 3x) − 3x = 9 ⇔ x = −9 ⇒ x = −3i ∈/ R i x = 3i ∈/ R. 1. Za x Za x 2

2

1

2

2

2

1

2


∈ (3, (3 , +∞) imamo √ (3, +∞) x − 3x − 3x = 9 ⇔ x − 6x − 9 = 0 ⇒ x = 3 − 3 2 ∈ / (3, √ i x = 3 + 3 2 ∈ (3, (3 , +∞). √

3. Za x Za x

2

2

1

2

U ovom sluˇcaju ca ju jedino jedi no rjeˇsenje senj e je x je x = = 3 + 3 2. Dakle, Dak le, zbir rjeˇsenja senj a jednaˇ jedn aˇcine cine je

−3 + 3 + 3

√

√

2 = 3 2.

♦ | | | − |1 − x| = 10. 10.

Primjer 4.3.3 Odrediti Odredi ti broj rjeˇsenja se nja jednaˇ jedn aˇcine cin e x Rjeˇsenj se nje: e:

1 i

− x = 0 ⇔ x = x = 1 x = 0. 38



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

−∞ 0 1 +∞ −0 + + x 1 − x + +0 − Datu Da tu jednaˇ jed naˇcinu cinu rjeˇsavamo savam o u sljede´ slj edeća ca tri sluˇ sl uˇcaja ca ja::

∈ (−∞, 0] imamo −x − (1 − x) = 10 ⇔ −x − 1 + x = 10 ⇔ −1 = 10 nemog nem ogu´ uće. ce.

1. Za x Za x

U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju jednaˇ jed naˇcina cin a nema nem a rjeˇsenja sen ja.. 2. Za x Za x

∈ (0, (0 , 1] imamo 11 ∈/ (0, (0 , 1]. 1]. x − (1 − x) = 10 ⇔ x − 1 + x = 10 ⇒ x = x = 2


∈ (1, (1 , +∞) imamo nem ogu´ uće. ce. x + 1 − x = 10 ⇔ 1 = 10 nemog


♦

Dakle Da kle,, jednaˇ jed naˇcine cin e nema nem a rjeˇsenja sen ja..

| | | | − x| = 10. 10.

Primjer 4.3.4 Odrediti Odredi ti broj rjeˇsenja se nja jednaˇ jedn aˇcine cin e x + 1 Rjeˇsenj se nje: e:

1 i

x = 1 − x = 0 ⇔ x = x = 0.

−∞ 0 1 +∞ −0 + + x 1 − x + +0 − Datu Da tu jednaˇ jed naˇcinu cinu rjeˇsavamo savam o u sljede´ slj edeća ca tri sluˇ sl uˇcaja ca ja:: 39



VRIJEDNOSTIMA

1. Za x Za x

MATEMATIKA

∈ (−∞, 0] imamo 9 −x + 1 − x = 10 ⇔ −2x = 9 ⇔ x = 0]. x = − ∈ ( −∞, 0]. 2

U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju rjeˇsenje sen je jednaˇ jed naˇcine cin e je x = x = 2. Za x Za x

− 92 .

∈ (0, (0 , 1] imamo x + 1

− x = 10 ⇔ 1 = 10 nemog nem ogu´ uće. ce.


(1 , +∞) imamo ∈ (1, 11 ∈ (1, 2 x = 11 ⇔ x = (1 , +∞). x − (1 − x) = 10 ⇔ 2x x = 2

U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju rjeˇsenje sen je jednaˇ jed naˇcine cin e je x = x =

11 . 2

♦

Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcine cine ima dva rjeˇsenja. senj a.

 −

1 7x Primjer 4.3.5 Rijeˇ Rijeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 2x + 1

 ≤

1. 1 .

Rjeˇsenj se nje: e: Data nejednaˇ neje dnaˇcina cina je ekvivalentna ekvi valentna sistemu sist emu nejednaˇ nejed naˇcina cina

− ≤ 1 i 1 − 7x ≥ −1. 2x + 1

1 7x 2x + 1 (1)

− ≤ 1 ⇔ 1 − 7x − 1 ≤ 0 ⇔ −9x ≤ 0 2x + 1 2x + 1 1 −9x = 0 ⇔ x = = 0 ⇔ x  =− . x = 0, 2x + 1  2

1 7x 2x + 1

1 − −∞ 2

0 + + +0 0+ +

−9x 2x + 1 − −9x − 2x + 1 40

−

+

∞

− Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor


VRIJEDNOSTIMA

R1 : x (2)

  ∈ −∞ − ∪ 1 2

,

∞

[0, [0, + ) .

− ≥ −1 ⇔ 1 − 7x + 1 ≥ 0 ⇔ 2 − 5x ≥ 0 2x + 1 2x + 1

1 7x 2x + 1 2

2 − 5x = 0 ⇔ x = x = , 5

− −

2 5 + + +0 0+ +

− −

R2 : x Konaˇ Ko naˇcno cn o rjeˇ rj eˇsenj senjee je R je R = = R R 1

 ⇔ x = − 12 .

2x + 1 = 0

1 − −∞ 2

2 5x 2x + 1 2 5x 2x + 1

−∞

MATEMATIKA

−

∞

−

+

  ∈ −

1 2 , . 2 5

∩R

2

∞

+

− 12 R : x

2 5

0

∈  0,

 − 

2 . 5

1 5x Primjer 4.3.6 Rijeˇ Rijeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 3x + 1 41

♦

 ≤ 

1. 1 .



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA


− ≤ 1 i 1 − 5x ≥ −1. 3x + 1

1 5x 3x + 1 (1)

− ≤ 1 ⇔ 1 − 5x − 1 ≤ 0 ⇔ −8x ≤ 0 3x + 1 3x + 1

1 5x 3x + 1

−8x = 0 ⇔ x = x = 0,

 ⇔ x = − 13 .

3x + 1 = 0

1 − −∞ 3

0 + + +0 0+ +

−8x 3x + 1 − −8x − 3x + 1

R1 : x (2)

∞

−

+

−

  ∈ −∞ − ∪ 1 3

,

[0, [0, + ) .

∞

− ≥ −1 ⇔ 1 − 5x + 1 ≥ 0 ⇔ 2 − 2x ≥ 0 3x + 1 3x + 1

1 5x 3x + 1 2

− 2x = 0 ⇔ x = x = 1,

− −

 ⇔ x = − 13 .

3x + 1 = 0

1 − −∞ 3

2 2x 3x + 1 2 2x 3x + 1

1 + + +0 0+ +

− −

42

−

+

∞

− Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor


VRIJEDNOSTIMA


−∞

MATEMATIKA

  ∈ −

1 ,1 . 3

∩R

2

∞

+

− 13

0

1

∈

[0 , 1] . R : x [0,

♦

 −


 ≤

1. 1 .


1 3x 2x + 1

− ≤ 1 i 1 − 3x ≥ −1. 2x + 1

(1)

− ≤ 1 ⇔ 1 − 3x − 1 ≤ 0 ⇔ −5x ≤ 0 2x + 1 2x + 1

1 3x 2x + 1

x = 0, −5x = 0 ⇔ x =

 ⇔ x = − 12 .

2x + 1 = 0

1 − −∞ 2

0 + + +0 0+ +

−5x 2x + 1 − −5x − 2x + 1

43

−

+

∞

−



VRIJEDNOSTIMA

R1 : x (2)

  ∈ −∞ − ∪ ,

1 2

∞

[0, [0, + ) .

− ≥ −1 ⇔ 1 − 3x + 1 ≥ 0 ⇔ 2 − x ≥ 0 2x + 1 2x + 1

1 3x 2x + 1 2

 ⇔ x = − 12 .

− x = 0 ⇔ x = x = 2,

− −

2 + + +0 0+ +

− −


2x + 1 = 0

1 − −∞ 2

2 x 2x + 1 2 x 2x + 1

−∞

MATEMATIKA

−

∞

−

+

  ∈ −

1 ,2 . 2

∩R

2

∞

+

− 12

0

2

[0 , 2] . R : x [0,

∈

 −


44

♦

 ≤

1. 1 .



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA


− ≤ 1 i 1 − 4x ≥ −1. 3x + 1

1 4x 3x + 1 (1)

− ≤ 1 ⇔ 1 − 4x − 1 ≤ 0 ⇔ −7x ≤ 0 3x + 1 3x + 1

1 4x 3x + 1

−7x = 0 ⇔ x = x = 0,

 ⇔ x = − 13 .

3x + 1 = 0

1 − −∞ 3

0 + + +0 0+ +

−7x 3x + 1 − −7x − 3x + 1

R1 : x (2)

−

+

∞

−

  ∈ −∞ − ∪ ,

1 3

∞

[0, [0, + ) .

− ≥ −1 ⇔ 1 − 4x + 1 ≥ 0 ⇔ 2 − x ≥ 0 3x + 1 3x + 1

1 4x 3x + 1 2

− x = 0 ⇔ x = x = 2,

− −

 ⇔ x = − 13 .

3x + 1 = 0

1 − −∞ 3

2 x 3x + 1 2 x 3x + 1

2 + + +0 0+ +

− −

45

−

+

∞

−



VRIJEDNOSTIMA


−∞

MATEMATIKA

  ∈ −

1 ,2 . 3

∩R

2

∞

+

− 13

0

2

∈

[0 , 2] . R : x [0,

♦





− ≤ 1. 1 .

2 x Primjer 4.3.9 Rijeˇ Rijeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 3x + 1


2 x 3x + 1

− ≤ 1 i 2 − x ≥ −1. 3x + 1

(1)

− ≤ 1 ⇔ 2 − x − 1 ≤ 0 ⇔ 1 − 4x ≤ 0 3x + 1 3x + 1

2 x 3x + 1 1

1 x = , − 4x = 0 ⇔ x = 4

− −

 ⇔ x = − 13 .

3x + 1 = 0

1 − −∞ 3

1 4x 3x + 1 1 4x 3x + 1

1 4 + + +0 0+ +

− −

46

−

+

∞

−



VRIJEDNOSTIMA

R1 : x (2)

MATEMATIKA

    ∈ −∞ − ∪ ∞ ,

1 3

1 ,+ 4

.

− ≥ −1 ⇔ 2 − x + 1 ≥ 0 ⇔ 3 + 2x 2x ≥ 0 3x + 1 3x + 1

2 x 3x + 1

3 + 2x 2x = 0

3 ⇔ x = x = − , 2

 ⇔ x = − 13 .

3x + 1 = 0

3 1 − − −∞ 2 3 +∞ 3 + 2x 2x − 0 + + 3x + 1 − − 0 + 3 + 2x 2x + − + 3x + 1


−∞

    ∈ −∞ − ∪ − ∞ 3 2

,

1 ,+ 3

.

∩R

2

∞

+

− 32 − 13 R : x

1 4

    ∈ −∞ − ∪ ∞ ,

3 2

 

1 ,+ 4

♦

− ≤ 1. 1 .

1 x Primjer 4.3.10 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 2x + 3 47

 

.



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA


− ≤ 1 i 1 − x ≥ −1. 2x + 3

1 x 2x + 3 (1)

− ≤ 1 ⇔ 1 − x − 1 ≤ 0 ⇔ −2 − 3x ≤ 0 2x + 3 2x + 3

1 x 2x + 3

2 −2 − 3x = 0 ⇔ x = x = − , 3

 ⇔ x = − 32 .

2x + 3 = 0

3 2 − −∞ 2 − 3 +∞ −2 − 3x + + 0 − −0 + + 2x + 3 −2 − 3x − + − 2x + 3

R1 : x (2)

    ∈ −∞ − ∪ − ∞ ,

3 2

2 ,+ 3

.

− ≥ −1 ⇔ 1 − x + 1 ≥ 0 ⇔ 4 + x ≥ 0 2x + 3 2x + 3

1 x 2x + 3

4 + x = 0

⇔ x = x = −4,

 ⇔ x = − 32 .

2x + 3 = 0

3 − −∞ −4 2 +∞ 4+ x −0 + + 2x + 3 − − 0 + 4+x + − + 2x + 3

48



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

∈ −∞, −4]

R2 : x ( Konaˇ Ko naˇcno cn o rjeˇ rj eˇsenj senjee je R je R = = R R 1

  ∪ − ∞ 3 ,+ 2

.

∩R

2

−∞

∞

+

−4 − 32 R : x (

∈ −∞, −4]


− 23

∪ − ∞ 2 ,+ 3

  ≥ − x + 2 x 1

.

♦

2. 2 .


x + 2 x 1

x + 2 ≥ ≤ −2. 2 ili − x−1

(1)

4−x x + 2 ≥ ⇔ − ≥ 0 2 ≥ 0 ⇔ − x−1 x−1 − ⇔ x = = 0 ⇔ x  = 1. x = 4, x − 1 

x + 2 2 x 1 4 x = 0

−∞ 1 4 +∞ 4 − x + +0 − x−1 −0 + + 4−x − + − x−1 ∈

(1 , 4] . R1 : x (1,

49



VRIJEDNOSTIMA

(2)

MATEMATIKA

x+2 x+2 2 + 2 0 x 1 x 1 3x = 0 x = x = 0, x 1 = 0

3x ≤ − ⇔ ≤ ⇔ ≤ 0 − − x−1 ⇔ −  ⇔ x = 1.

−∞ 0 1 +∞ −0 + + 3x x − 1 − −0 + 3x + − + x−1 ∈

[0 , 1) . R2 : x [0, Konaˇ Ko naˇcno cn o rjeˇ rj eˇsenj senjee je R je R = = R R 1

∪R

2

∈

[0 , 1) R : x [0,

∪ (1, (1, 4] . ♦


 −  ≤ x 3 x+1

1 . 2


− ≤ 1 i x − 3 ≥ −1 . 2 x+1 2

x 3 x + 1 (1)

− ≤ 1 ⇔ x − 3 − 1 ≤ 0 ⇔ x − 7 ≤ 0 2 2(x 2(x + 1) x+1 2 = 0 ⇔ x  = −1. x − 7 = 0 ⇔ x = x = 7, x + 1 

x 3 x + 1

−∞ −1 7 +∞ − −0 + x−7 2(x 2(x + 1) − 0 + + x−7 + − + 2(x 2(x + 1) 50



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

∈−

R1 : x ( 1, 7] . (2)

− ≥ − 1 ⇔ x − 3 + 1 ≥ 0 ⇔ 3x − 5 ≥ 0 2 2(x 2(x + 1) x + 1 2

x 3 x + 1 3x

5 − 5 = 0 ⇔ x = x = , 3

 ⇔ x = −1.

x + 1 = 0 5 1 3+ 0 + 0+ +

−∞ − 3x − 5 − − 2(x 2(x + 1) − 3x − 5 + − 2(x 2(x + 1)

∈ −∞, −1)

R2 : x ( Konaˇ Ko naˇcno cn o rjeˇ rj eˇsenj senjee je R je R = = R R 1

∞

+

∪ ∞ 5 ,+ 3

.

∩R

2

+

−∞

5 3

−1 R : x

∞

7

∈ 

5 ,7 . 3

|

♦ |

Primjer 4.3.13 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 2x + 1 + x

≥ 6. 6 .


51



VRIJEDNOSTIMA

(1) Za 2x 2x + 1

MATEMATIKA

≥ 0 ⇔ x ≥ − 12 imamo 2x + 1 + x

5 ≥ 6 ⇔ 3x 3 x ≥ 5 ⇔ x ≥ . 3

Rjeˇsenje senj e nejednaˇ nejed naˇcine cine u ovom sluˇcaju ca ju je presjek pres jek dobijena dobi jena dva rjeˇsenja senja 5 tj. x . 3

≥

(2) Za 2x 2x + 1 < 1 < 0 0

⇔ x < − 12 imamo −(2x (2x + 1) + x ≥ 6 ⇔ −x ≥ 7 ⇔ x ≤ −7.

Rjeˇsenje senj e nejednaˇ nejed naˇcine cine u ovom sluˇcaju ca ju je presjek pres jek dobijena dobi jena dva rjeˇsenja senja tj. x 7.

≤−

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je x

≥

5 ili x 3

≤ −7 tj. x ∈ (−∞, −7]

∪ ∞ 5 ,+ 3

.

♦ | − 5| − 2x ≤ 7. 7 .

Primjer 4.3.14 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 4x Rjeˇsenj se nje: e:

(1) Za 4x 4x

− 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 54 imamo 4x − 5 − 2x ≤ 7 ⇔ 2x 2 x ≤ 12 ⇔ x ≤ 6. 6 .

Rjeˇsenje senj e nejednaˇ nejed naˇcine cine u ovom sluˇcaju ca ju je presjek pres jek dobijena dobi jena dva rjeˇsenja senja 5 tj. x ,6 . 4

∈ 

(2) Za 4x 4x

5 − 5 < 0 < 0 ⇔ x < imamo 4 1 −(4x (4x − 5) − 2x ≤ 7 ⇔ −6x ≤ 2 ⇔ x ≥ − . 3

Rjeˇsenje senj e nejednaˇ nejed naˇcine cine u ovom sluˇcaju ca ju je presjek pres jek dobijena dobi jena dva rjeˇsenja senja 1 5 1 5 tj. x < x , . 3 4 3 4

− ≤

⇔

∈ − 

52



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je x

∈ 

5 ili x , 6 ili x 4

∈ −  1 5 , 3 4

tj. x

∈ −  ∪   ⇔ ∈ −  1 5 , 3 4

5 ,6 4

1 ,6 . 3

x

♦



Primjer 4.3.15 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu x2 Rjeˇsenj se nje: e:



x2



− 4x + 3 2



1 . < 1.

− 4x + 3 < 1 ⇔ −1 < x − 4x + 3 < 3 < 1 1 − 4x + 2 < 0√ rjeˇsenja (1) x − 4x + 3 < 1 ⇔ x √ senj a odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne jednaˇcine cine su x = 2 − 2 i x = 2 + 2. 2

2

1

2

y

2

− √ 2

2+

√ 2

x

Rjeˇsenje sen je nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e u ovom sluˇcaju ca ju je : x R1 : x

∈ (2 −

√

2, 2 +

√

2). 2).

(2) x2 4x + 3 > 3 > 1 x 2 4x + 4 > 4 > 0 0 rjeˇ rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇcine cine su x1 = 2 i x 2 = 2.

−

− ⇔ −

53



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

y

x 2

Rjeˇsenje sen je nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e u ovom sluˇcaju ca ju je R1 : x (

(2, +∞). ∈ −∞, 2) ∪ (2,

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ neje dnaˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj. = R 1 R2 , R = R

∩

−∞

∞

+ 2

R : x (2

∈ −

− √ 2

√ 2, 2)



2

(2, 2 + ∪ (2,

Primjer 4.3.16 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu x2 + 2x 2x Rjeˇsenj se nje: e:



2x x2 + 2x



2

√ 2

√ 2). 2). ♦



−3

4 . < 4.

⇔ −4 < x + 2x 2x − 3 < 4 < 4 (1) x + 2x 2 x − 3 < 4 ⇔ x + √ 2x 2 x − 7 < 0 rjeˇsenja senj a odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne √ jednaˇcine cine su x = −1 − 2 2 i x = −1 + 2 2. 2

−3

2+

2

1

< 4

2

54



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

y

−1 − 2√ 2

−1 + 2√ 2

x

Rjeˇsenje sen je nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e u ovom sluˇcaju ca ju je

∈ − −2

R1 : x ( 1 (2) x2 + 2x 2x 3 > 4 jednaˇcine cine su x1 =

−

√

−

√

2, 1 + 2 2). 2).

2

− ⇔ x + 2x 2x + 1 > 1 > 0 0 rjeˇ rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne −1 i x = −1. 2

y

x

−1

Rjeˇsenje sen je nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e u ovom sluˇcaju ca ju je : x R1 : x

∈ (−∞, −1) ∪ (−1, +∞). 55



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ nejed naˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj. = R 1 R2 , R = R

∩

−∞

∞

+

−1 − 2√ 2 −1 −1 + 2√ 2 √ √ 2). ∈ − − 2 2, −1) ∪ (−1, −1 + 2 2).

R : x ( 1

Primjer 4.3.17 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 2 x + 2

|





2

0 . | − x − x − 6 ≥ 0.


x + 2 = 0

♦

2

⇔ x = x = −2, x − x − 6 = 0 ⇒ x = −2 i x = 3. x2

1

2

−∞ −2 3 +∞ −0 + + x + 2 − x−6 +0 −0 +

Datu Da tu nejedn nej ednaˇ aˇcinu cinu rjeˇsavamo savam o u sljed sl jede´ eća ca tri sluˇ slu ˇcaja ca ja::

∈ (−∞, −2] imamo −2(x 2(x+2)− x − x − 6 ≥ 0 ⇔ −2x−4−x +x+6 ≥ 0 ⇔ x +x−2 ≤ 0. 0 . Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −2 i x = 1.

1. Za x Za x



2

2



2

1

2

y

x

−2

1

56



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA


∈−

1]. x [ 2, 1]. Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je p olazn ol aznee neje n ejedna dnaˇˇcine cin e je presje pre sjek k 1], odnosno R odnosno R 1 : x : x = = 2, tj. x x ( , 2] i x [ 2, 1],

∈ −∞ − ∈ − − ∈ {−2}. 2. Za x Za x ∈ ( −2, 3] imamo 2(x 2(x +2)+ x − x − 6 ≥ 0 ⇔ 2x 2 x + 4 + x − x − 6 ≥ 0 ⇔ x + x − 2 ≥ 0. 0 . Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −2 i x = 1.



2

2



2

1

2

y

x

−2

1


∈ −∞, −2] ∪ [1, [1, +∞).

x (

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je p olazn ol aznee neje n ejedna dnaˇˇcine cin e je presje pre sjek k [1, + ), odnosno R odnosno R 2 : x [1, [1 , 3]. 3]. x ( 2, 3] i x ( , 2] [1,

∈− ∈ −∞ − ∪ ∞ ∈ 3. Za x Za x ∈ (3, (3 , +∞) imamo 2(x 2(x +2) − x − x − 6 ≥ 0 ⇔ 2x 2 x +4 − x + x +6 ≥ 0 ⇔ x − 3x − 10 ≤ 0. 0 . Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −2 i x = 5.



2

2



2

1

57

2



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

y

x

−2

5

Rjeˇsenje sen je nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e u ovom sluˇcaju ca ju je 5]. x [ 2, 5].

∈−

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je p olazn ol aznee neje n ejedna dnaˇˇcine cin e je presje pre sjek k (3 , + ) i x [ 2, 5], 5], odnosno R3 : x : x (3, (3 , 5]. 5]. x (3,

∈

∞

∈−

∈ Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je R = R = R R ∪ R ∪ R tj. : x ∈ {2} ∪ [1, [1, 3] ∪ (3, (3, 5] ⇔ x ∈ {2} ∪ [1, [1, 5]. 5]. R : x 1

2

3

♦



Primjer 4.3.18 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu x2 Rjeˇsenj se nje: e:

x2



− x − 6 − 2|x + 2| ≤ 0. 0 .

− x − 6 = 0 ⇒ x = −2 i x = 3, x + 2 = 0 ⇔ x = x = −2, . 1

x2

2

−∞ −2 3 +∞ −x−6 +0 −0 + −0 + + x + 2

Datu Da tu nejedn nej ednaˇ aˇcinu cinu rjeˇsavamo savam o u sljed sl jede´ eća ca tri sluˇ slu ˇcaja ca ja:: 58



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

∈ (−∞, −2] imamo (x + 2) ≤ 0 ⇔ x − x − 6 + 2x + 4 ≤ 0 ⇔ x + x − 2 ≤ 0. 0 . x − x − 6 + 2 (x Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −2 i x = 1.

1. Za x Za x 2

2

2

1

2

y

x

−2

1


∈−

1]. x [ 2, 1]. Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je p olazn ol aznee neje n ejedna dnaˇˇcine cin e je presje pre sjek k 1], odnosno R odnosno R 1 : x : x = = 2, tj. x x ( , 2] i x [ 2, 1],

∈ −∞ − ∈ − − ∈ {−2}. 2. Za x Za x ∈ ( −2, 3] imamo −(x − x − 6) − 2(x 2(x +2) ≤ 0 ⇔ −x + x +6 − 2x − 4 ≤ 0 ⇔ x + x − 2 ≥ 0. 0 . Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −2 i x = 1. 2

2

2

1

59

2



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

y

x

−2

1


∈ −∞, −2] ∪ [1, [1, +∞).

x (

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je p olazn ol aznee neje n ejedna dnaˇˇcine cin e je presje pre sjek k [1, + ), odnosno R odnosno R 2 : x [1, [1 , 3]. 3]. x ( 2, 3] i x ( , 2] [1,

∈− ∈ −∞ − ∪ ∞ ∈ 3. Za x Za x ∈ (3, (3 , +∞) imamo 2(x + 2) ≤ 0 ⇔ x − x − 6 − 2x − 4 ≤ 0 ⇔ x − 3x − 10 ≤ 0. 0 . x − x − 6 − 2(x Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −2 i x = 5. 2

2

2

1

60

2



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

y

x

−2

5


∈−

5]. x [ 2, 5]. Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je p olazn ol aznee neje n ejedna dnaˇˇcine cin e je presje pre sjek k (3 , + ) i x [ 2, 5], 5], odnosno R3 : x : x (3, (3 , 5]. 5]. x (3,

∈

∞

∈−

∈ Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je R = R = R R ∪ R ∪ R tj. : x ∈ {−2} ∪ [1, [1, 3] ∪ (3, (3, 5] ⇔ x ∈ {−2} ∪ [1, [1, 5]. 5]. R : x 1

2

3

♦ |

| ||

Primjer 4.3.19 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu x + 2 + x < 4 < 4.. Rjeˇsenj se nje: e:

x+2=0

⇔ x = x = −2, x = 0.

−∞ − −∞ −2 0 +∞ x + 2 − 0 + + − −0 + x Datu Da tu nejedn nej ednaˇ aˇcinu cinu rjeˇsavamo savam o u sljed sl jede´ eća ca tri sluˇ slu ˇcaja ca ja:: 61



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

∈ (−∞, −2] imamo: −(x + 2) − x < 4 ⇔ −x − 2 − x < 4 ⇔ −2x < 6 ⇔ x > −3. Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x ∈ ( −∞, −2] i x > −3 tj. 2]. R : x ∈ (−3, −2].

1. Za x Za x

1

∈ (−2, 0] imamo: 2 < 4 4 uvijek uvij ek taˇcno cno tj. x ∈ ( −∞, +∞). x + 2 − x < 4 ⇔ x + 2 − x < 4 ⇔ 2 < Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presj pr esjek ek x i x ∈ ( −∞, +∞) x ∈ ( −2, 0] i x tj. 0]. R : x ∈ ( −2, 0]. 3. Za x Za x ∈ (0, (0 , +∞) imamo: 2 x < 2 ⇔ x < 1. 1 . x + 2 + x < 4 ⇔ 2x Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x ∈ (0, (0 , +∞) i x < 1 tj. (0 , 1). 1). R : x ∈ (0, Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je R = R = R R ∪ R ∪ R tj. : x ∈ ( −3, −2] ∪ (−2, 0] ∪ (0, (0, 1) ⇔ x ∈ ( −3, 1). 1). R : x ♦ 2. Za x Za x

2

3

1

2

3

| − 2| + |x| < 4 < 4..

Primjer 4.3.20 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu x Rjeˇsenj se nje: e:

x

− 2 = 0 ⇔ x = x = 2, x = 0. −∞ 0 2 +∞ x−2 − −0+ −0+ + x

Datu Da tu nejedn nej ednaˇ aˇcinu cinu rjeˇsavamo savam o u sljed sl jede´ eća ca tri sluˇ slu ˇcaja ca ja::

62



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

∈ (−∞, 0] imamo: −(x − 2) − x < 4 ⇔ −x + 2 − x < 4 ⇔ −2x < 2 ⇔ x > −1. Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x ∈ ( −∞, 0] i x > −1 tj. 0]. R : x ∈ ( −1, 0].

1. Za x Za x

1

∈ (0, (0 , 2] imamo: −(x−2)+x 2)+x < 4 ⇔ −x+2+x +2+x < 4 ⇔ 2 < 2 < 4 4 uvijek uvij ek taˇcno cno tj. x ∈ ( −∞, +∞). Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇ slu ˇcaju ca ju je presj pr esjek ek x (0 , 2] i x ∈ ( −∞, +∞) x ∈ (0, tj. : x ∈ (0, (0 , 2]. 2]. R : x 3. Za x Za x ∈ (2, (2 , +∞) imamo: 2 x < 6 ⇔ x < 3. 3 . x − 2 + x < 4 ⇔ 2x Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x ∈ (2, (2 , +∞) i x < 3 tj. (2 , 3). 3). R : x ∈ (2, Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je R = R = R R ∪ R ∪ R tj. : x ∈ ( −1, 0] ∪ (0, (0, 2] ∪ (2, (2, 3) ⇔ x ∈ ( −1, 3). 3). R : x ♦ 2. Za x Za x

2

3

1

2

3

Primjer 4.3.21 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu x + 1 > 2 > 2x x2 .

|

|


1. Za x Za x + + 1

≥ 0 odnosno za x za x ≥ −1 imamo: 1 1 > 2 2x 2 x − x − 1 < 0 x + 1 > x ⇔ 2x < 0 ⇒ x = − i x = 1 2 2

2

1

63

2



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

y

1

− 12

x

  ∈ −

1 ,1 . 2

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x R1 : x 2. Za x Za x + + 1 < 1 < 0 0 odnosno za x za x < 2

≥ −1 i x

  ∈ −

1 , 1 tj. 2

  ∈ −

1 ,1 . 2

−1 imamo: 2

−x − 1 > 2 2 x > 2x x ⇔ 2x

+ x + 1 < 1 < 0 0

⇒ x , x ∈/ R. 1

2

y

x 64

∈∅ Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor


VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x < : x R2¸ : x

∈ ∅.

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je R = R = R R 1 : x R : x

−1 i x ∈ ∅ tj.

∪R

2

tj.

  ∈ −

1 ,1 . 2

♦ 2

| − 1| > 2 > 2x x.

Primjer 4.3.22 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu x Rjeˇsenj se nje: e:

1. Za x Za x

− 1 ≥ 0 odnosno za x za x ≥ 1 imamo: 2 x − x + 1 < 1 < 0 0 ⇒ x , x ∈ x − 1 > 2 > 2x x ⇔ 2x / R. 2

2

1

2

y

x

∈ ∅.

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x : x R1 : x 2. Za x Za x

≥ 1 i x ∈ ∅ tj.

∈ ∅.

− 1 < 0 za x < 1 imamo: < 0 odnosno za x 1 −x + 1 > 1 > 2 2x 2 x + x − 1 < 0 x ⇔ 2x < 0 ⇒ x = i x = −1. 2 2

2

1

65

2



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

y

−1

1 2

x

  ∈ − 1,

1 . 2

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x < 1 i x R2 : x

1,

1 2

tj.

  ∈ − 1,

1 . 2

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je R = R = R R 1 : x R : x

  ∈ −

∪R

2

tj.

  ∈ − 1,

1 . 2

♦ Primjer 4.3.23 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu Rjeˇsenj se nje: e:

1. Za x Za x

|x − 2| ≥ 1. 1 . 2x − 8 x + 2x 2

− 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 imamo: −x − x + 6 ≥ 0, x−2 x−2 ≥ − 1 ⇔ 1 ≥ 0 ⇔ 0 , 2x − 8 2x − 8 2x − 8 x + 2x x + 2x x + 2x −x − x + 6 = 0 ⇒ x = −3, x = 2, 2x − 8  = 0 ⇒ x  = −4, x  = 2. x + 2x 2

2

2

2

2

2

66

1

2

1

2



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

−∞ −4 −3 2 +∞ −x − x + 6 − − 0 + 0 − 2x − 8 + 0 − − 0 + x + 2x −x − x + 6 − + − − 2x − 8 x + 2x 2

2

2

2

x ( 4, 3]

∈− −

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x : x R1 : x

≥ 2 i x ∈ (−4, −3] tj.

∈ ∅.

− 2 < 0 < 0 ⇔ x < 2 imamo: −x + 2 ≥ 1 ⇔ −x + 2 − 1 ≥ 0 ⇔ −x − 3x + 10 ≥ 0, 0 , 2x − 8 2x − 8 2x − 8 x + 2x x + 2x x + 2x −x − 3x + 10 ⇒ x = −5, x = 2, 2x − 8  = 0 ⇒ x  = −4, x  = 2. x + 2x

2. Za x Za x

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

−∞ −5 −4 2 +∞ −x − 3x + 10 − 0 + + 0 − 2x − 8 + +0 −0 + x + 2x −x − 3x + 10 − + − − 2x − 8 x + 2x 2

2

2

2

∈− −

x [ 5, 4) Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x < 2 i x 4). ∈ [−5, −4). Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je R = R = R R ∪ R : x ∈ [ −5, −4). 4). R : x

∈ [−5, −4) tj.

R2 : x

1

2

tj.

♦ 67



VRIJEDNOSTIMA


x2


MATEMATIKA

|x − 2| ≥ 1. 1 . + 3x 3x − 10

− 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 imamo: −x − 2x + 8 ≥ 0, x−2 x−2 ≥ − 1 ⇔ 1 ≥ 0 ⇔ 0 , 3x − 10 3x − 10 3x − 10 x + 3x x + 3x x + 3x −x − 2x + 8 = 0 ⇒ x = −4, x = 2, 3x − 10  = 0 ⇒ x  = −5, x  = 2. 2. x + 3x

1. Za x Za x

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

−∞ −5 −4 2 +∞ −x − 2x + 8 − − 0 + 0 − 3x − 10 + 0 − − 0 + x + 3x −x − 2x + 8 − + − − 3x − 10 x + 3x 2

2

2

2

∈− −

x [ 5, 4) Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x : x R1 : x 2. Za x Za x

≥ 2 i x ∈ [−5, −4) tj.

∈ ∅.

< 0 ⇔ x < 2 imamo: − 2 < 0 −x + 2 ≥ 1 ⇔ −x + 2 − 1 ≥ 0 ⇔ −x − 4x + 12 ≥ 0, 0 , + 3x 3x − 10 3x − 10 3x − 10 x + 3x x + 3x −x − 4x + 12 = 0 ⇒ x = −6, x = 2, 3x − 10  = 0 ⇒ x  = −5, x  = 2. 2. x + 3x 2

x2

2

2

2

1

2

1

2

2

−∞ −6 −5 2 +∞ −x − 4x + 12 − 0 + + 0 − 3 x − 10 + +0 −0 + x + 3x −x − 4x + 12 − + − − 3x − 10 x + 3x 2

2

2

2

68



VRIJEDNOSTIMA

MATEMATIKA

∈− −

x [ 6, 5) Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k x < 2 i x R2 : x

∈ [−6, −5) tj.

∈ [−6, −5). 5).

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je R = R = R R 1

∪R

2

tj.

∈− −

: x [ 6, 5). 5). R : x

♦

69



Kvadrat Kvadratne ne jedn jednaˇ aˇ cine cine i neje nejedn dnaˇ aˇ cine cine.. Kvadrat Kvadratna na funkcija

5.1

Kvadratne Kvadratne jednaˇ cine cine

Primjer 5.1.1 Odrediti Od rediti broj realnih realni h rjeˇsenja se nja jednaˇ jedn aˇcine cin e

x2 x2

− 4 −

4 4x2 + 16 = 4 . 16 x2 + 4 x

−

Rjeˇsenj se nje: e: Definicion Defini cionoo podruˇ po druˇcje cje (domen) (do men) date dat e jednaˇ je dnaˇcine cine je

x2

− 4 = 0 ⇔ (x ( x − 2)(x 2)(x + 2)  = 0 ⇔ x  =2ix = −2.

Data jednaˇcina cina je ekvivalentna sa x2 2

x

− 4 −

4 4x2 + 16 = 2 (x 4)(x 4)(x2 + 4) x2 + 4

−

x2 (x2 + 4) odnosno x2 (x2

2

2

− 4(x 4(x − 4) = 4x 4x

− 4) = 0 ⇒ x

2

=0

⇒ x

·

+ 16

1,2

(x2 4

2

− 4)(x 4)(x 2

⇔ x − 4x

+ 4)

=0

= 0( dvostruka nula)

i x2

− 4 = 0 ⇒ x

2

=4

⇒ x = 2 i x = −2 1

ali ovo nije rjeˇ rjeˇsenje senje zbog domena jednaˇ cine. cine. rjeˇ jeˇsen se nja x1 = 0 i x 2 = 0. 70

2

Dakle, jednaˇ cina cina ima dva

♦

ˇ 5.1. KVADRA KVADRATNE TNE JEDNA JEDNACINE

MATEMATIKA

Primjer 5.1.2 Za koje vrijednosti realnog parametra k rjeˇsenja sen ja kva kvadrat dratne ne

jednaˇ jednaˇcine cine 3x 3 x2

1 − kx + 0 zadovoljavaju uslov x kx + 1 = 0 zadovoljavaju x + x = . 3 2 1

2 2

Rjeˇsenj se nje: e: Vietove formule

− ab i x · x

x1 + x2 =

1

c = . a

2

Dati Da ti uslov usl ov moˇzemo zem o napi na pisa sati ti na sljede´ slj edeći ci naˇcin cin 1 1 2 x1 x2 + x22 2x1 x2 = x 21 + 2x 3 3 Nakon primjene Vietovih formula imamo x21 + x22 =

⇔

−

(x1 + x2 )

2

−

1 2x1 x2 = 3

Iz jednaˇ jedn aˇcine cine je a = 3, b = dobijenu dob ijenu jednaˇ jedn aˇcinu cinu imamo ima mo 2

− −  − k 3

1 ⇔ (x ( x + x ) − 2x x = . 3

b a

2

2

· ac = 13 .

2

  ⇔ − −

2

1

1 2

−k i c = 1, te ako ove vrijednosti uvrstimo u

1 1 2 = 3 3

·

⇔

k2 =1 9

⇔ k

2

=9

⇒ k = 3 i k = −3. 1

2

♦ Primjer 5.1.3 Odrediti vrijednosti realnog parametra k parametra k tako tako da zbir kvadrata

rjeˇsenja sen ja kva kvadrat dratne ne jednaˇ jedn aˇcine ci ne 3 3x x2 + kx

− 5 = 0 iznosi 133 .

Rjeˇsenj se nje: e: Prema uslovu zadatka imamo x21 + x + x22 =

napi na pisa sati ti na sljed sl jede´ eći ci naˇcin cin 13 13 2 x1 x2 + x22 2x1 x2 = x 21 + 2x 3 3 Nakon primjene Vietovih formula imamo x21 + x22 =

⇔

−

(x1 + x2 )

2

−

13 2x1 x2 = 3

Iz jednaˇ jedn aˇcine cine je a = 3, b = k i c = dobijenu dob ijenu jednaˇ jedn aˇcinu cinu imamo ima mo 2

−  − k 3

−5 = 13 ⇔ k 2· 3

3

13 ⇔ (x ( x + x ) − 2x x = . 3 1

2

  ⇔ − − b a

13 usl ov moˇzemo zem o . Ovaj uslov 3

2

2

2

1 2

· ac = 133 .

−5, te ako ove vrijednosti uvrstimo u

2

9

=1

⇔ k

2

=9

⇒ k = 3 i k = −3. 1

2

♦ 71



MATEMATIKA

Primjer 5.1.4 Odrediti vrijednosti realnog parametra k parametra k tako tako da zbir kvadrata

rjeˇsenja sen ja kva kvadrat dratne ne jednaˇ jedn aˇcine ci ne 2 2x x2 + kx

− 3 = 0 iznosi 7.

Rjeˇsenj se nje: e: Prema uslovu zadatka imamo x21 + x + x22 = 7. Ovaj Ova j uslov moˇzemo zemo

napi na pisa sati ti na sljed sl jede´ eći ci naˇcin cin x21 + x22 = 7

2 1

2 2

2

⇔ x + 2x 2 x x + x − 2x x = 7 ⇔ (x ( x + x ) − 2x x = 7. 1 2

1 2

1

2

2

· ac = 7.

1 2

Nakon primjene Vietovih formula imamo (x1 + x2 )

2

− 2x x = 7 1 2

Iz jednaˇ jedn aˇcine cine je a = 2, b = k i c = dobijenu dob ijenu jednaˇ jedn aˇcinu cinu imamo ima mo 2

−  − k 2

−3 = 7 ⇔ k 2· 2

2

  ⇔ − − b a

−3, te ako ove vrijednosti uvrstimo u

2

=4

4

⇔ k

2

= 16

⇒ k = 4 i k = −4. 1

2

♦ Primjer 5.1.5 Za koje vrijednosti realnog parametra m rjeˇsenja sen ja kva kvadrat dratne ne

jednaˇ jednaˇcine cine x x 2

− (m −





1 1 2)x 2)x + m + 1 = 0 zadovoljavaju uslov + 2 . < 2. x1 x2






1 1 + < 2 x1 x2

 ⇔

ako iskoristimo Vietove formule imamo: x1 + x2 =



x1 + x2 2 , < 2, x1 x2

·

− ab = − −(m1− 2) = m − 2,

c m+1 = = m + 1. 1. 1 a Nakon uvrˇstavanja stavanja u dati uslov imamo

·

x1 x2 =

(1)





x1 + x2 < 2 x1 x2

−

·

m 2 < 2 m+1

 ⇔



m 2 < 2 m + 1

−

⇔ mm +− 12 < 2 i mm +− 12 > −2.

−m − 4 < 0, ⇔ mm −+ 12 − 2 < 0 0 , < 0 ⇔ m+1 = 0 ⇒ m  = −1 m = −4, m + 1  −m − 4 = 0 ⇒ m = 72



MATEMATIKA

−∞ −4 −1 +∞ −m − 4 + 0 − − − −0 + m + 1 −m − 4 − + − m + 1

∈ −∞, −4) ∪ (−1, +∞). 3m m−2 m−2 + 2 > 0 0 , > −2 ⇔ > 0 ⇔ > 0, m+1 m + 1 m + 1 3m = 0 ⇒ m = = 0 ⇒ m  = −1 m = 0, m + 1  R1 : m (

(2)

−∞ −1 0 +∞ − −0 + 3m m + 1 − 0 + + 3m + − + m + 1 ∈ −∞, −1) ∪ (0, (0, +∞).

R2 : m ( Konaˇ Ko naˇcno cn o rjeˇ rj eˇsenj senjee je R je R = = R R 1

∩R

2

−∞

∞

+

−4

−1 : m R : m

0

∈ (−∞, −4) ∪ (0, (0, +∞). ♦

Primjer 5.1.6 Za koje vrijednosti realnog parametra m rjeˇsenja sen ja kva kvadrat dratne ne

jednaˇ jednaˇcine cine x (2m + 2)x 2)x + m = 0 zadovoljavaju uslov x 2 + (2m

73

1 1 + 3 . < 3. x21 x22



MATEMATIKA


1 1 + 2 < 3 2 x1 x2

⇔

x21 + x22 < 3 x21 x22

·

⇔

(x1 + x2 )2 2x1 x2 < 3 (x1 x2 )2

·

−

·

ako iskoristimo Vietove formule imamo:

− ab = − 2m1 + 2 = −2m − 2,

x1 + x2 =

c m = = m. 1 a Nakon uvrˇstavanja stavanja u dati uslov imamo x1 x2 =

·

(x1 + x2 )2 2x1 x2 < 3 (x1 x2 )2

·

2

−

·

2

⇔ − −m2) − 2m < 3 ⇔ ( 2m

2

+ 8m 8m + 4 2m 3m2 6m + 4 m2 + 6m 0 < < 0 m2 m2 Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su m su m1 = 3

⇔ 4m

−

−

⇔

2

⇔ m + 6m + 4 < 0 < 0.. − −√ 5, m = −3+ √ 5. 2

y

m

−3 − √ 5

−3 + √ 5

Konaˇ Ko naˇcno cn o rjeˇ rj eˇsenj senjee neje nejedn dnaˇ aˇcine ci ne je : m R : m

∈ (−3 −

√

−

5, 3 +

√

5). 5).

♦ Primjer 5.1.7 Ako su korijeni kvadratne funkcije f ( (rjeˇ eˇsenj se nja a f (x) = x 2 +bx+ bx+c (rj

jednaˇ jednaˇcine cine f ( f (x) = 0) x1,2 =

5

± 3√ 2 . Izraˇ I zraˇcunati cuna ti njenu njen u vrijednost vrij ednost u taˇcki cki 0. 6

74



MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: Primjenom Vietovih formula dobijamo

√ − 3 2 10 5 = −b ⇒ b = x + x = − ⇔ b = − = − . 6 6 3 √ √ 5+3 2 5−3 2 25 − 9 · 2 7 c = c ⇒ c = = . · x · x = ⇔ c = 6 6 36 36 a 1

1

2

√

5 + 3 2 5 + 6

b a

2

Dakle, data funkcija je f ( f (x) = x2

− 53 x + 367 ,

te je njena vrijednost vrijednos t u taˇcki cki 0 f (0) f (0) =

7 . 36

♦ Primjer 5.1.8 Ako su korijeni kvadratne funkcije f ( (rjeˇ eˇsenj se nja a f (x) = x 2 +bx+ bx+c (rj

jednaˇ jednaˇcine cine f ( f (x) = 0) x1,2 =

5

± 2√ 3 . Izraˇ I zraˇcunati cuna ti njenu njen u vrijednost vrij ednost u taˇcki cki 0. 6

Rjeˇsenj se nje: e: Primjenom Vietovih formula dobijamo

√ − 2 3 10 5 = −b ⇒ b = x + x = − ⇔ b = − = − . 6 6 3 √ √ 5+2 3 5−2 3 25 − 4 · 3 13 c · = c ⇒ c = = . x · x = ⇔ c = 6 6 36 36 a 1

1

2

√

5 + 2 3 5 + 6

b a

2

Dakle, data funkcija je f ( f (x) = x2

− 53 x + 13 , 36

te je njena vrijednost vrijednos t u taˇcki cki 0 f (0) f (0) =

13 . 36

♦ Primjer 5.1.9 Odrediti vrijednost realnog parametra m tako m tako da zbir kvadrata

rjeˇ rj eˇsenj se njaa jedna jed naˇˇcine ci ne x x 2

− mx + 0 iznosi 12. 12. mx + 2 = 0 iznosi 75



MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: Prema uslovu zadatka imamo x21 + x + x22 = 12. 12. Ovaj Ova j uslov moˇzemo zemo


2 1

2 2

⇔ x + 2x 2 x x + x − 2x x 1 2

1 2

= 12

2

⇔ (x ( x + x ) − 2x x = 12. 12. 1

2

1 2

Nakon primjene Vietovih formula imamo 2

  ⇔ − −

c − 2x x = 12 2 · = 12. 12. a Iz jednaˇ jedn aˇcine cine je a = 1, b = −m i c = 2, te ako ove vrijednosti uvrstimo u 2

(x1 + x2 )

b a

1 2

dobijenu dob ijenu jednaˇ jedn aˇcinu cinu imamo ima mo 2

− −  − m 1

2

· 21 = 12 ⇔ m − 4 = 12 ⇔ m 2

2

= 16 16

⇒ m = 4 i m = −4. ♦ 1

2

Primjer 5.1.10 Odrediti vrijednost realnog parametra m tako m tako da zbir kvadrata

rjeˇ rj eˇsenj se njaa jedna jed naˇˇcine ci ne x 0 iznosi 3. x 2 + mx + mx + 3 = 0 iznosi Rjeˇsenj se nje: e: Prema uslovu zadatka imamo x21 + x + x22 = 3. Ovaj Ova j uslov moˇzemo zemo


2 1

2 2

2

⇔ x + 2x 2 x x + x − 2x x = 3 ⇔ (x ( x + x ) − 2x x = 3. 1 2

1 2

1

2

2

· ac = 3.

1 2

Nakon primjene Vietovih formula imamo (x1 + x2 )

2

− 2x x = 3 1 2

2

  ⇔ − − b a

Iz jednaˇ jedn aˇcine cine je a = 1, b = m i c = 3, te ako ove vrijednosti uvrstimo u dobijenu dob ijenu jednaˇ jedn aˇcinu cinu imamo ima mo m 1

2

−  −

2

· 31 = 3 ⇔ m − 6 = 3 ⇔ m 2

2

=9

⇒ m = 3 i m = −3. 1

2

♦

Primjer 5.1.11 Izraˇ Iz raˇcunati cun ati sumu sum u rjeˇsenja sen ja kvad kv adrate rate jednaˇ jedn aˇcine ci ne

x2

5

− 2ax + ax + a − 5 = 0.

Rjeˇsenj se nje: e: Na osnovu Vietove formule imamo

x1 + x2 =

− ab = − −12a = 2a. 2 a. ♦ 76


ˇ 5.2. KVADRA KVADRATNE TNE NEJEDNA NEJEDNACINE

MATEMATIKA

Primjer 5.1.12 Izraˇ Iz raˇcunati cun ati sumu sum u rjeˇsenja sen ja kvad kv adrate rate jednaˇ jedn aˇcine ci ne

x2

5

− 2ax − a

+ 5 = 0. 0.

Rjeˇsenj se nje: e: Na osnovu Vietove formule imamo

x1 + x2 =

− ab = − −12a = 2a. 2 a. ♦

5.2

Kvadratne Kvadratne nejednaˇ cine cine

3x + 6 x2 + 3x Primjer 5.2.1 Rij Rijeˇ eˇsi si nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 2x 1

−

x2

3x + 6 ≤ 2−x + . 1


3x + 6 x2 + 3x 2x 1

−

⇔ ⇔

2

2

2

3x + 6 3x + 6 x − 3x + 6 x + 3x ≤ x 2−x + ⇔ − 2x + 1 ≤ 0 ⇔ 1 2x − 1

(x2 + 3x 3x + 6)(2x 6)(2x + 1) (x2 3x + 6)(2x 6)(2x (2x (2x 1)(2x 1)(2x + 1)

−

−

−

2x3 + x2 + 6x 6x2 + 3x 3x + 12x 12x + 6 (2x (2x3 x2 (2x (2x 1)(2x 1)(2x + 1)

−

−

2

− − 6x

− 1) ≤ 0 ⇔

+ 3x 3x + 12x 12x

− 6) ≤ 0 ⇔

6x2 + 6 + x2 + 6x 6x2 + 6 14x 14x2 + 12 7x2 + 6 x2 + 6x 0 0 0 4x2 1 4x2 1 4x2 1 Kako je izraz 7x 7x2 + 6 uvijek pozitivan tj. 7x 7 x2 + 6 > 6 > 0 0 za sve x sve x R, to mora biti 1 1 4x2 1 < 0 (2 x + 1)(2x 1)(2x 1) < 1) < 0 0 x < 0 (2x , . 2 2

⇔

≤ ⇔

−

−

⇔

−

− ≤ ⇔

⇔

∈

− ≤

  ∈ −

y

− 12

1 2

77



2x + 4 x2 + 2x Primjer 5.2.2 Rijeˇ Rijeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu 3x 1

−


2x + 4 x2 + 2x 3x 1

2

⇔

x2

≤ 3−x2+x 1+ 4 .

2

♦

2

2x + 4 x − 2x + 4 x − 2x + 4 x + 2x ≤ ⇔ − 3x + 1 ≤ 0 ⇔ − 3x + 1 3x − 1 2x + 4)(3x 4)(3x + 1) − (x − 2x + 4)(3x 4)(3x − 1) ⇔ (x + 2x ≤ 0 ⇔ (3x (3x − 1)(3x 1)(3x + 1) + x + 6x 6x + 2x 2x + 12x 12x + 4 − (3x (3x − x − 6x + 2x 2x + 12x 12x − 4) ≤ 0 ⇔ (3x (3x − 1)(3x 1)(3x + 1) 2

3x3

MATEMATIKA

2

2

2

⇔

3

2x2 + 8 (3x (3x 1)(3x 1)(3x + 1)

−

≤ 0 ⇔

2

x2 + 4 (3x (3x 1)(3x 1)(3x + 1)

≤ 0. 0 . + 4 > 0 za sve x ∈ R, to mora −

Kako je izraz x2 + 4 uvijek pozitivan tj. x2 biti (3x (3x

2

− 1)(3x 1)(3x + 1) < 1) < 0 0 ⇔ x

  ∈ −

1 1 , . 3 3

y

− 13

1 3

♦ Primjer 5.2.3 Za koje vrijednosti parametra p parametra p kvadrat kva dratna na jednaˇ jedn aˇcina cin a

( p

2

− 3)x 3)x − 8 px + ne ma realn realnih ih rjeˇsenja? senj a? px + p p − 3 = 0 nema

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadrat K vadratna na jednaˇ jedn aˇcina cina ax 2 + bx + senja ako bx + c = 0 nema realnih rjeˇsenja

je D = b = b 2 4ac < 0. 0 . U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju a = p = p uvrˇstavanja stavanja dobijam dobi jamoo

−

D < 0

− 3, b = −8 p i = p − 3, nakon p i c = p

2

2

2

⇔ (−8 p) 3) < 0 0 ⇔ 64 p 64 p − 4( p − 6 p + 9) < 9) < 0 0 p) − 4( p − 3)( p − 3) <

odnosno 60 p2 + 24 p 24 p

2

− 36 < 36 < 0 0 ⇔ 5 p 5 p 78

+ 2 p 2 p

− 3 < 0 < 0..



MATEMATIKA

3 Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratn tnee jednaˇ jed naˇcine cin e su p1 = 1 i p2 = , da bi smo 5 rijeˇsili sil i nejednaˇ nejed naˇcinu cinu treba treb a nacrtat nacr tat grafik gra fik odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne funkcije funkci je

−

y

p 3 5

−1

sa grafika vidimo da je funkcija negativna za p za p (

  −∞ − ∪ ∞   ∈ − 3 ,+ 5

, 1)

je p je p

1,

  ∈ − 1,

3 za p , a pozitivna za p 5

∈

Dak le, rjeˇsenje sen je o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e . Dakle,

3 . 5

♦

Primjer 5.2.4 Za koje vrijednosti parametra p parametra p kvadrat kva dratna na jednaˇ jedn aˇcina cin a

( p

2

− 5)x 5)x − 6 px + ne ma realn realnih ih rjeˇsenja? senj a? px + p p − 5 = 0 nema

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadrat K vadratna na jednaˇ jedn aˇcina cina ax 2 + bx + senja ako bx + c = 0 nema realnih rjeˇsenja

je D = b = b 2 4ac < 0. 0 . U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju a = p = p uvrˇstavanja stavanja dobijam dobi jamoo

−

D < 0

2

= p − 5, nakon p i c = p − 5, b = −6 p i 2

2

⇔ (−6 p) 5)( p − 5) < 5) < 0 0 ⇔ 36 p 36 p − 4( p − 10 p 10 p + 25) < 25) < 0 0 p) − 4( p − 5)( p

odnosno 32 p 32 p2 + 40 p 40 p

− 100 < 100 < 0 0 ⇔ 8 p 8 p

2

− 25 < 25 < 0 0.. 5 5 = − i p = , da bi smo 2 4

+ 10 p 10 p

Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadrat kvadr atne ne jednaˇ jed naˇcine cin e su p1 2 rijeˇsili sil i nejednaˇ nejed naˇcinu cinu treba treb a nacrtat nacr tat grafik gra fik odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne funkcije funkci je 79



MATEMATIKA

y

p

− 52

5 4

sa grafika vidimo da je funkcija negativna za p za p za p

    ∈ −∞ − ∪ ∞   ∈ − 5 2

,

nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je p je p

5 ,+ 4 5 5 , . 2 4

  ∈ −

5 5 , , a pozitivna 2 4

Dakl e, rjeˇsenje senj e odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne . Dakle,

♦


( p

2

− 4)x 4)x − 2 px + 5 p = = 0 ima realna i razliˇ razl iˇcita cit a rjeˇsenja se nja? ? px + 5 p

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadrat Kvadr atna na jednaˇ jed naˇcina cin a ax2 + bx+ im a rea r ealna lna i razl r azliˇ iˇcita cit a rjeˇ r jeˇsenja sen ja bx+ c = 0 ima

ako je D je D = b = b2 4ac > 0 ca ju a = p > 0.. U ovom sluˇcaju a = p uvrˇstavanja stavanja dobijam dobi jamoo

−

D > 0

− 4, b = −2 p i p i c = c = 5 p, nakon p, nakon

2

2

⇔ (−2 p) 4 p − 20 p 20 p(( p − 4) > 4) > 0 0 p) − 4( p − 4)5 p > 0 ⇔ 4 p

odnosno 4 p2

2

− 20 p 20 p

+ 80 p 80 p > 0

2

⇔ −16 p 16 p



2

− ⇔ p − 5 p < 0. 0 .

+ 80 p 80 p > 0 : ( 16)

Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su p1 = 0 i p2 = 5, da bi smo rijeˇsili sil i nejednaˇ nejed naˇcinu cinu treba treb a nacrtat nacr tat grafik gra fik odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne funkcije funkci je

80



MATEMATIKA

y

p

0

5

∈

sa grafika vidimo da je funkcija negativna za p (0, (0, 5) , a pozitivna za (5, + ) . Dakle, Dak le, rjeˇsenje sen je o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e p ( , 0) (5, je p je p (0, (0 , 5) .

∈ −∞ ∪ ∈

∞

♦


( p

2

4)x − 2 px + 5 p = = 0 ima konjugovano − 4)x konjugov ano kompleksna komple ksna rjeˇsenja? senja? px + 5 p

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadrat Kvadr atna na jedn j ednaˇ aˇcina cin a ax2 +bx+ konjugovano kompleksna kompleksna bx+c = 0 ima konjugovano

rjeˇ rj eˇsenja sen ja ako je D je D = = b 0 . U ovom sluˇ slu ˇcaju ca ju a = p b2 4ac < 0. a = p nakon uvrˇstavanja stavanja dobija dob ijamo mo

−

D > 0

2

− 4, b = −2 p i = 5 p, p i c c =

2

⇔ (−2 p) 4 p − 20 p 20 p(( p − 4) < 4) < 0 0 p) − 4( p − 4)5 p < 0 ⇔ 4 p

odnosno 4 p2

2

− 20 p 20 p

+ 80 p 80 p < 0

2

⇔ −16 p 16 p



2

− ⇔ p − 5 p > 0. 0 .

+ 80 p 80 p < 0 : ( 16)

Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su p1 = 0 i p2 = 5, da bi smo rijeˇsili sil i nejednaˇ nejed naˇcinu cinu treba treb a nacrtat nacr tat grafik gra fik odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne funkcije funkci je

81


5.3. KVADRA KVADRATNA TNA FUNKCI FUNKCIJA JA

MATEMATIKA

y

p

0

5

∈

sa grafika vidimo da je funkcija negativna za p (0, (0, 5) , a pozitivna za (5, + ) . Dakle, Dak le, rjeˇsenje sen je o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e p ( , 0) (5, je p je p ( (5, + ) . , 0) (5,

∈ −∞ ∪ ∞ ∈ −∞ ∪ ∞

5.3 5.3

♦

Kvad Kvadra ratn tna a funk funkci cija ja

Primjer 5.3.1 Za koje vrijednosti realnog parametra k kvadratna funkcija

f ( f (x) = (2

2

− k)x

+ 4kx 4kx + + 4 je 4 je uvijek pozitivna?

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadratna funkcija funkcija f f ((x) = ax2 + bx + c je uvijek pozitivna ako je

0 . U naˇ naˇsem se m sluˇ sl uˇcaju ca ju a = 2 a > 0 i D < 0. a = predhodne nejednakosti dobijamo a > 0

− k, b = 4k i c = c = 4, te ako uvrstimo u

⇔ 2 − k > 0 ⇔ k < 2

i 2

2

2

⇔ b − 4ac < 0 ⇔ 16k 16 k − 16(2 − k ) < 0 16 k + 16k 16k − 32 < 32 < 0 0.. < 0 ⇔ 16k Rjeˇsenja senja odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne jednaˇ jedn aˇcine cine su k = −2 i k = 1, da bi smo odredili odr edili rjeˇsenje senje kvadratne nejednaˇcine cine moramo nacrtati grafik funkcije 16k + 16k 16k − 32 f ( f (k) = 16k D < 0

1

2

2

82



MATEMATIKA

y

k

−2

1

Sa grafik grafikaa vidimo vidimo da je funkc funkcija ija negati negativna vna za k rjeˇsenje senje dobija dob ijamo mo kao presj p resjek ek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a

∈ (−2, 1) . Ko Konaˇ na ˇcno cn o

−∞

∞

+

−2 Dakle Da kle,, konaˇ kon aˇcno cno rjeˇsenje sen je je k je k

1

2

∈ (−2, 1). 1).

♦


f ( f (x) = (k

2

− 3)x 3)x

+ 2kx 2kx

− 4 je uvijek negativna?

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadratna funkcija f ( je uvijek negativna ako f (x) = ax 2 + bx + bx + c c je

− 3, b = 2k i c = −4, te ako

je a < 0 i D < 0. U naˇsem sem sluˇ sl uˇcaju ca ju su a = k uvrstimo u predhodne nejednakosti dobijamo a < 0

⇔ k − 3 < 0 < 0 ⇔ k < 3

i D < 0

2

⇔ b − 4ac < 0 4 k < 0 ⇔ 4k

2

+ 16(k 16(k 83

− 3) < 3) < 0 0 ⇔ 4k 4 k

2

+ 16k 16k

− 48 < 48 < 0 0..



MATEMATIKA

−

Rjeˇsenja senja odgovara od govaraju´ juće ce kvadratne kvadra tne jednaˇ jedn aˇcine cine su k1 = 6 i k2 = 2, da bi smo odredili odr edili rjeˇsenje senje kvadratne nejednaˇcine cine moramo nacrtati grafik funkcije 2 4 k + 16k 16k 48 f ( f (k) = 4k

−

y

k

−6

2

Sa grafik grafikaa vidimo vidimo da je funkc funkcija ija negati negativn vnaa za k rjeˇsenje senje dobija dob ijamo mo kao presj p resjek ek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a

∈ (−6, 2) . Ko Konaˇ na ˇcno cn o

−∞

∞

+

−6 Dakle Da kle,, konaˇ kon aˇcno cno rjeˇsenje sen je je k je k

2

∈ (−6, 2). 2). 84

3

♦ Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor


MATEMATIKA


f ( f (x) =

2

−x

+ 4x 4x

− k je uvijek negativna?

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadratna funkcija funkcija f ( f (x) = ax2 + bx + c je uvijek negativna ako je

0 . U naˇsem se m sluˇ sl uˇcaju ca ju su a = a < 0 i D < 0. u predhodne nejednakosti dobijamo a < 0

−1, b = 4 i c = −k, te k, te ako uvrstimo

⇔ −1 < 0 sto je taˇcno cno za sve vrijedno vrij ednosti sti k tj. k ∈ ( −∞, +∞) < 0 ˇsto

i 2

2

⇔ b − 4ac < 0 ⇔ 4 − 4k < 0 ⇔ 16 − 4k < 0 ⇔ k > 4. 4 . Dakle Da kle,, konaˇ kon aˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je je k je k > 4 ⇔ k ∈ (4, (4 , +∞). D < 0

♦


4x f ( f (x) = x 2 + 4x

− k je uvijek pozitivna?

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadratna funkcija funkcija f f ((x) = ax2 + bx + c je uvijek pozitivna ako je

0 . U naˇsem se m sluˇ sl uˇcaju ca ju su a = 1, b = 4 i c = a > 0 i D < 0. predhodne nejednakosti dobijamo a > 0

−k, te k, te ako uvrstimo u

⇔ 1 > 1 > 0 0 ˇsto sto je taˇcno cno za sve vrijedno vrij ednosti sti k tj. k ∈ ( −∞, +∞)

i 2

⇔ b − 4ac < 0 ⇔ 4

2

⇔ 16 + 4k 4k < 0 ⇔ k < −4. ♦ Dakle Da kle,, konaˇ kon aˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je je k je k < −4 ⇔ k ∈ ( −∞, −4). 4). D < 0

+ 4k 4k < 0

Primjer 5.3.5 Odrediti vrijednosti parametra p i tako da kvadratna funkcija p i q q tako

= x 2 + px + q postiˇ po stiˇze ze minim mi nimum um 4 za x = y = x

− −

−1.

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadratna Kvadra tna funkcija funkci ja postiˇ po stiˇze ze minimum mini mum u taˇcki T cki T ((x0 , y0 ),

x0 = U naˇ naˇsem se m sluˇ sl uˇca ca ju x ju x 0 =

4ac b2 4= 4a

−

−

4ac b2 b i y 0 = . 2a 4a

−

−1, y = −4, a = 1, b = p = p i i c = c = q. q. Pa imamo −1 = − 2ba ⇔ p = p = 2, 0

− ⇔ −16 = 4q 4q − p ⇔ −16 = 4q 4q − 4 ⇔ q = = −3. 2

♦ 85



MATEMATIKA

Primjer 5.3.6 Odrediti vrijednosti parametra p i tako da kvadratna funkcija p i q q tako

= x 2 + px + q postiˇ po stiˇze ze minim mi nimum um 0 za x = 1. y = x Rjeˇsenj se nje: e: Kvadratna Kvadra tna funkcija funkci ja postiˇ po stiˇze ze minimum mini mum u taˇcki T cki T ((x0 , y0 ),

x0 =

−

4ac b2 b i y 0 = . 2a 4a

−

U naˇ naˇsem se m sluˇ sl uˇca ca ju x ju x 0 = 1, y0 = 0, a = 1, b = p = p i i c = c = q. q. Pa imamo 1=

− 2ba ⇔ p = p = −2,

4ac b2 0= 4a

− ⇔ 0 = 4q 4 q − p ⇔ 0 = 4q − 4 ⇔ q = = 1. 2

♦ Primjer 5.3.7 Odrediti vrijednosti parametra p i tako da kvadratna funkcija p i q q tako

y =

2

−x

+ px + pos tiˇze ze maksi ma ksimum mum 4 za x = px + q postiˇ

−1.

Rjeˇsenj se nje: e: Kvadratna Kvadra tna funkcija funkci ja postiˇ po stiˇze ze maksimum maks imum u taˇcki T cki T ((x0 , y0 ), 2

− 2ba i y = 4ac4−a b . = −1, y = 4, a = −1, b = p = p i i c = c = q. q. Pa imamo x0 =

U naˇ naˇsem se m sluˇ sl uˇca ca ju x ju x 0

0

0

−1 = − 2ba ⇔ p = p = −2, 4ac b2 4= 4a

− ⇔ −16 = 4q 4q − p ⇔ −16 = 4q 4q − 4 ⇔ q = = −3. 2

♦ Primjer 5.3.8 Za koje realne vrijednosti x vrijednosti x kvadratna funkcija

f ( f (x) =

2

−x

+ 5x 5x

− 3 postiˇ postiˇze ze vrij vr ijedn ednos osti ti ve´ veće ce od 1.

Rjeˇsenj se nje: e: Po uslovu uslov u zadatka zad atka trebamo treb amo rijeˇsiti siti nejednaˇ nejed naˇcinu cinu

f ( f (x) > 1 > 1

2

⇔ −x

+ 5x 5x

2

− 3 > 1 > 1 ⇔ −x

+ 5x 5x

− 4 > 0 > 0

Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x1 = 1 i x2 = 4, da bi smo rijeˇsili sil i nejed n ejednaˇ naˇcinu cinu trebamo treb amo nacrtat nacr tatii grafi g rafik k funkcije fu nkcije f ( 5x 4 f (x) = x2 + 5x

−

86

−



MATEMATIKA

y

x

1

Dakle, Dak le, rjeˇsenje senj e kvadratne kvadra tne nejednaˇ nejed naˇcine cine

4

2

−x

+ 5x 5x

− 4 > 0 je x ∈ (1, (1, 4). 4). ♦ > 0 je x

Primjer 5.3.9 Za koje realne vrijednosti x vrijednosti x kvadratna funkcija

f ( f (x) =

2

−x

+ 4x 4x

− 2 postiˇ postiˇze ze vrij vr ijedn ednos osti ti ve´ veće ce od 1.

Rjeˇsenj se nje: e: Po uslovu uslov u zadatka zad atka trebamo treb amo rijeˇsiti siti nejednaˇ nejed naˇcinu cinu

f ( f (x) > 1 > 1

2

⇔ −x

+ 4x 4x

2

− 2 > 1 > 1 ⇔ −x

+ 4x 4x

− 3 > 0 > 0

Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x1 = 1 i x2 = 3, da bi smo rijeˇsili sil i nejed n ejednaˇ naˇcinu cinu trebamo treb amo nacrtat nacr tatii grafi g rafik k funkcije fu nkcije f ( 4x 3 f (x) = x2 + 4x

−

−

y

x

1

87

3



Dakle, Dak le, rjeˇsenje senj e kvadratne kvadra tne nejednaˇ nejed naˇcine cine

2

−x

MATEMATIKA + 4x 4x

− 3 > 0 je x ∈ (1, (1, 3). 3). ♦ > 0 je x

Primjer 5.3.10 Tjeme parabole f ( je taˇ ta ˇcka ck a ( 1, 0). 0). Ako f (x) = ax2 + bx + bx + c c je

−

parabola prola prolazi zi taˇckom cko m (2, (2, 18) izraˇ 18) izraˇcunati cuna ti vrijednost vrij ednost parametra c. Rjeˇsenj se nje: e: Tjeme parab par abole ole je taˇcka T cka T ((x0 , y0 ),

x0 =

−

4ac b2 b i y 0 = . 2a 4a

−

U naˇsem se m sluˇ sl uˇcaju ca ju je

−1 ⇔ −1 = − 2ba ⇔ b = b = 2a, 4ac − b 4 ac − b = 0. y = 0 ⇔ 0 = ⇔ 4ac x0 =

2

2

0

4a Kako parabola parab ola prolazi taˇckom ckom (2, (2, 18), 18), to vrijedi 18 = a 22 + b 2 + c

·

·

4 a + 2b 2b + c = 18. 18. ⇔ 4a

Dakle, Dakle, imamo b = 2a 4ac b2 = 0 4a + 2b 2b + c = 18

−

Rjeˇsenja senja posljedeneg pos ljedeneg sistema jednaˇcina cina su (a,b,c) (2, 4, 2). 2). Odnosno vria,b,c) = (2, jednost parametra c parametra c = = 2.

♦

Primjer 5.3.11 Tjeme parabole f ( je taˇ ta ˇcka ck a ( 2, 0). 0). Ako f (x) = ax2 + bx + bx + c c je

−

parabola prola prolazi zi taˇckom cko m (2, (2, 16) izraˇ 16) izraˇcunati cuna ti vrijednost vrij ednost parametra c. Rjeˇsenj se nje: e: Tjeme parab par abole ole je taˇcka T cka T ((x0 , y0 ),

x0 =

−

4ac b2 b i y 0 = . 2a 4a

−

U naˇsem se m sluˇ sl uˇcaju ca ju je

−2 ⇔ −2 = − 2ba ⇔ b = b = 4a, 4ac − b ⇔ 4ac 4 ac − b = 0. y = 0 ⇔ 0 = x0 =

2

0

2

4a

88



MATEMATIKA

Kako parabola parab ola prolazi taˇckom ckom (2, (2, 18), 18), to vrijedi 16 = a 22 + b 2 + c

·

·

⇔ 4a 4 a + 2b 2b + c = 16. 16.

Dakle, Dakle, imamo b = 4a 4ac b2 = 0 4a + 2b 2b + c = 16

−

Rjeˇsenja senja posljedeneg pos ljedeneg sistema jednaˇcina cina su (a,b,c) (1, 4, 4). 4). Odnosno vria,b,c) = (1, jednost parametra c parametra c je c je c = = 4.

♦

89



Iraci Iracion onal alne ne jedn jednaˇ aˇ cine cine i nejednaˇ cine

6.1

Iracionalne jednaˇ jednaˇ cine cine

Primjer 6.1.1 Rij R ijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu

− √ 4 − 25x 25x

2

2

x

= 5. 5.

Rjeˇsenj se nje: e: Definicion Defini cionoo podruˇ po druˇcje cje (D.P) (D. P) date dat e jednaˇ j ednaˇcine cine je



0, 4 x = 0,

2

− 25x 25x ≥ 0 ⇔ (2 − 5x)(2 + 5x 5x) ≥ 0 2 − −∞ 5

− −

2 5 + + +0 0+ +

2 5x 2 + 5x 5x 2 5x 2 + 5x 5x

x 2 2

−

√ 4

− −

−

+

−

∈ − 

2 2 , . 5 5

− √ 4 − 25x 25x

2

x

25x − 25x

2

∞

= 5x

⇔ 90

=5

√ 4

·

x

25x − 25x

2

=2

− 5x

ˇ 6.1. IRACIO IRACIONAL NALNE NE JEDNA JEDNACINE

MATEMATIKA

Da bi smo kvadrirali kvadriral i dobijenu dobi jenu jednaˇcinu cinu moramo mora mo postaviti p ostaviti do datni uslov u slov D.P. 2 tj. 2 5x 0 x . 5

− ≥ ⇔ ≤ √ 4 − 25x 25x = 2 − 5x ⇔ 4 − 25x 25x = (2 − 5x) ⇔ 4 − 25x 25x = 4 − 20x 20x + 25x 25x ⇔ 50x 50 x − 20x 20x = 0 ⇔ 10x 10 x(5x (5x − 2) = 0 ⇔ 2 x = 0 ∈ / D.P. i D.P. i 5x − 2 = 0 ⇒ x = x = ∈ D.P. 5



2

2

2

2

2

2

2

♦ Primjer 6.1.2 Rij R ijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu

− √ 9 − 16x 16x

3

2

x

= 4. 4.

Rjeˇsenj se nje: e: Definicion Defini cionoo podruˇ po druˇcje cje (D.P) (D. P) date dat e jednaˇ j ednaˇcine cine je



0, 9 x = 0,

2

− 16x 16x ≥ 0 ⇔ (3 − 4x)(3 + 4x 4x) ≥ 0 3 − −∞ 4

− −

3 4 + + +0 0+ +

3 4x 3 + 4x 4x 3 4x 3 + 4x 4x

− −

3

−

√

9

−

+

∈ − 

3 3 , . 4 4

x 3

−

16x − √ 9 − 16x

2

x

2

− 16x 16x

∞

= 4x

⇔

=4

√

9

·

x 2

− 16x 16x

=3

− 4x

Da bi smo kvadrirali kvadriral i dobijenu dobi jenu jednaˇcinu cinu moramo mora mo postaviti p ostaviti do datni uslov u slov D.P. 3 tj. 3 4x 0 x . 4

− ≥ ⇔ ≤ √ 9 16x − 16x

2

=3

2

⇔

− 4x

9

91

2

16x − 16x

= (3

2

− 4x) ⇔



9

2

− 16x 16x

2

MATEMATIKA

2

− 24x 24x + 16x 16x ⇔ 32x 32 x − 24x 24x = 0 ⇔ 8x 8 x(4x (4x − 3) = 0 ⇔ 3 x = 0 ∈ / D.P. i D.P. i 4x − 3 = 0 ⇒ x = x = ∈ D.P. 4

=9


√

x2 + 3


√

− 2x + 3 = 0 x + 3 = 2x 2x − 3 3 D.P. 2x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 √ 2x − 3 ⇔ x + 3 = (2x (2 x − 3) ⇔ x + 3 = 2x + 3 = 4x 4x − 12x 12x + 9 ⇔ 3x 12x + 6 = 0 ⇔ x − 4x + 2 = 0 ⇒ √ 3x − 12x √ ⇒ x = 2 − 2 ∈/ D.P. D.P.,, x = 2 + 2 ∈ D.P. x2 + 3

2



2

x2

− 2x + 3 = 0.0. √ ⇔

2

2

2

2

2

2

1

2

♦


√

− √ 5x + 10 = 1.1. Rjeˇsenj se nje: e: D.P. 12x 12x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 i 5x + 10 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2. √ √ √ √ ⇔ 12x 12x − 5x + 10 = 1 ⇔ 12x 12x = 5x + 10 + 1 √ √ 12x 12x = 5x + 10 + 2 5x + 10 + 1 ⇔ 2 5x + 10 = 7x 7x − 11 11 ⇔ 2√ 5x + 10 = 7x 7x − 11 ; 7x − 11 ≥ 0 ⇒ x ≥ 7 4(5x 4(5x + 10) = 49x 49x − 154x 154x + 121 ⇔ 49x 49 x − 174x 174x + 81 = 0 √ 154 ± 154 − 4 · 49 · 121 27 ⇒ ∈/ D.P., x = 3 ∈ D.P. x = x = 2 · 49 49 12x 12x



2



2

2

2

2

1,2

1

2

Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcina cina ima jedno jedn o realno real no rjeˇsenje senj e x = 3.

♦


√ x + 7 − √ 2x = 1. 92



MATEMATIKA

≥ 0 ⇒ x ≥ −7 i 2x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. 0 . √ x + 7 − √ 2x = 1 ⇔ √ x + 7 = √ 2x + 1 ⇔ √ √ 2x + 2 2x + 1 ⇔ 2 2x = 6 − x ⇔ x + 7 = 2x √ 2 2x = 6 − x ; 6 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 6 4 · 2x = 36 − 12x 12x + x ⇔ x − 20x 20x + 36 = 0 √ 20 ± 20 − 4 · 36 ⇒ x = 2 ∈ D.P. i = D.P. i x = 18 ∈ / D.P. 2

Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x + + 7

2





2

2

2

2

x1,2

1

2


♦


√ x + 2 + √ x + 7 = 5.5. ≥ 0 ⇒ x ≥ −2 i x + x + 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ −7. √ x + 2 + √ x + 7 = 5 ⇔ x + 2)(x + 7) + x + 7 = 25 x + 2 + 2 (x + 2)(x √ √ 2 x + 9x 9x + 14 = 16 − 2x ⇔ x + 9x 9x + 14 = 8 − x √ 9x + 14 = 8 − x ; 8 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 8 x + 9x 9x + 14 = 64 − 16x 16x + x ⇔ 25x 25 x = 50 ⇒ x = x + 9x x = 2 ∈ D.P.




2

2



2



2

2

2

2


♦


√ x + 4 + √ x + 11 = 7.7. ≥ 0 ⇒ x ≥ −4 i x + 11. x + 11 ≥ 0 ⇒ x ≥ −11. √ x + 4 + √ x + 11 = 7 ⇔ x + 4 + 2 (x + 4)(x 4)(x + 11) + x + 11 = 49 √ √ 2 x + 15x 15x + 44 = 34 − 2x ⇔ x + 15x 15x + 44 = 17 − x √ 15x + 44 = 17 − x ; 17 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 17 x + 15x 15x + 44 = 289 − 34x 34x + x ⇔ 49x 49 x = 245 ⇒ x = x + 15x x = 5 ∈ D.P.


2



2

2

2



2



2

2

Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcina cina ima jedno jedn o realno real no rjeˇsenje senj e x = 5. 93

♦


ˇ 6.2. IRACIONA IRACIONALNE LNE NEJEDNA NEJEDNACINE

MATEMATIKA


−√ − √ √  0 vrijedi za svako x ∈ R. Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x ≥ 0 i 1 + x = 1 x 1 x + = 4. 4. 1+ x 2

Ako iskoristimo formulu za razliku kvadrata imamo x

− 1 = √ x − 1 = ( √ x − 1)(√ x + 1), 1) , 2

te nakon uvrˇstavanja stavanja u jednaˇ jedn aˇcinu cinu slijedi slij edi

√ − 1)(√ x + 1) 1 − √ x √ √ 1 − x √ + = 4 ⇔ x−1+ =4 ·2 1+ x 2 2 √ √ √ 2 x − 2 + 1 − x = 8 ⇔ x = 9 ⇒ x = 81. x = 81.

( x



Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcina cina ima jedno jedn o realno real no rjeˇsenje senj e x = 81. 81.

♦


−√ x − 1 + √ x = 5. 2 − x √ Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x ≥ 0 i 1 − x  = 0 ⇒ x  = 1. 1. 1 1

Ako iskoristimo formulu za razliku kvadrata imamo 1

− x = 1 − √ x

2

= (1

− √ x)(1 + √ x),

te nakon uvrˇstavanja stavanja u jednaˇ jedn aˇcinu cinu slijedi slij edi (1

− √ x)(1√ + √ x) − 1 + √ x = 5 ⇔ 1 + √ x − 1 + √ x = 5 · 2 2 2 1− x √ √ √ 2 + 2 x − 1 − x = 10 ⇔ x = 9 ⇒ x = 81. x = 81.



Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcina cina ima jedno jedn o realno real no rjeˇsenje senj e x = 81. 81.

6.2

♦

Iracionalne nejednaˇ nejednaˇ cine cine

Teorem 6.2.1 Za Z a nejednaˇ nejedn aˇcinu cinu obl oblika ika



f ( f (x)

vrijedi



f ( f (x)

≤ g( g (x)

≤ g( g (x)

 ⇔ 94

f ( f (x) g (x) f ( f (x)

≥ 0 ≥ 0 ≤ (g ( g (x))

2



MATEMATIKA

Teorem 6.2.2 Za Z a nejednaˇ nejedn aˇcinu cinu obl oblika ika

  ⇔

≥ g( g (x) f ( f (x) ≥ 0 ∨ f ( f (x)



f ( f (x)

≥ g( g (x)

g (x) < 0 < 0



f ( f (x) g (x)

2

≥ (g ( g (x)) ≥ 0



Primjer 6.2.1 Odrediti O drediti broj cjelobrojn cjel obrojnih ih realn realnih ih rjeˇsenja senj a nejednaˇ nejedn aˇcine cine

√ 1

− 4x ≥ 1 − 5x. 2

Rjeˇsenj se nje: e: Na osnovu Teorema 6.2.2 imamo:

√ 1

 ⇔



2

2

− 4x ≥ 0 ∨ 1 − 4x ≥ (1 − 5x) − 4x ≥ 1 − 5x − 5x < 0 1 − 5x ≥ 0 1 1 (1) 1 − 4x ≥ 0 ⇔ (1 − 2x)(1 + 2x 2 x) ≥ 0 ⇒ x = − i x = . 2 2 2

1 1

2

1

2



2

y

x

−

x 1

− 5x < 0 ⇔ x > 15 .

1 2

1 2

∈ − 

1 1 , . 2 2

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇsenje sen je u ovom sluˇcaju ca ju je presje pre sjek k dobij do bijeni enih h rjeˇsenja sen ja

−∞

∞

+

− 12

1 5

95

1 2



: x R1 : x (2) 1

2

2

MATEMATIKA

  ∈

1 1 , . 5 2

2

2

2

− 4x ≥ (1 − 5x) ⇔ 1 − 4x ≥ 1 − 10x 10x + 25 2 5x ⇔ 29x 29x − 10x 10x ≤ 0

10 Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x 1 = 0 i x 2 = . 29 y

x 10 29

0

x 1

− 5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 15 .

3

∈  0,

10 . 29


−∞

∞

+ 1 5

0

R2 : x

10 29

∈  0,

1 . 5

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je = R1 R = R

∪ R ⇔ x 2

∈  ∪   ⇔ ∈   0,

1 5

Dakle, jednio cjelobro jno rjeˇsenje senje je x = x = 0. 96

1 1 , 5 2

x

0,

1 . 2

♦ Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor


MATEMATIKA

Primjer 6.2.2 Odrediti O drediti broj cjelobrojn cjel obrojnih ih realn realnih ih rjeˇsenja senj a nejednaˇ nejedn aˇcine cine

√

1

− 9x ≥ 1 − 4x. 2


√ 1 − 9x ≥ 1 − 4x ⇔ 2

(1) 1



1 1

2

− 9x ≥ 0 ∨ − 4x < 0



1 1

2

− 9x ≥ (1 − 4x) − 4x ≥ 0

2



1 1 − 9x ≥ 0 ⇔ (1 − 3x)(1 + 3x 3 x) ≥ 0 ⇒ x = − i x = . 3 3 2

1

2

y

x

−

x 1

− 4x < 0 ⇔ x > 14 .

1 3

1 3

∈ − 

1 1 , . 3 3


−∞

∞

+

− 13

1 4

: x R1 : x

1 3

  ∈

97

1 1 , . 4 3 Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor


(2) 1

2

2

MATEMATIKA

2

2

2

− 9x 9 x ≥ (1 − 4x 4 x) ⇔ 1 − 9x 9 x ≥ 1 − 8x 8 x + 16x 16x ⇔ 25x 25x − 8x 8 x ≤ 0

8 Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x 1 = 0 i x 2 = . 25 y

x 8 25

0

x 1

− 4x ≥ 0 ⇔ x ≤ 14 .

∈  0,

8 . 25


−∞

∞

+ 1 4

0

R2 : x

8 25

∈  0,

1 . 4


∪ R ⇔ x 2

∈  ∪   ⇔ ∈   0,

1 4

1 1 , 4 3

x

0,

1 . 3

♦

Dakle, jednio cjelobro jno rjeˇsenje senje je x = x = 0. Primjer 6.2.3 Rijeˇ Rijeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu

√ 4x + 10 < 10 < 2 2x 1. x + 1. 98



MATEMATIKA


√ 4x + 10 < 10 < 2 2x x+1

 ⇔

4x + 10 0 2x + 1 > 1 > 0 0 4x + 10 < 10 < (2 (2x x + 1)2

≥

1 1 > 0 0 ⇒ x > − ≥ 0 ⇒ x ≥ − 104 ⇒ x ≥ − 52 i 2x + 1 > 2 4x + 10 < 10 < (2 (2x 4 x + 10 < 10 < 4 4x 4x + 1 ⇔ 4x 4 x − 9 > 0 x + 1) ⇔ 4x x + 4x > 0.. 3 Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = − i x 2 4x + 10

2

2

2

1

2

y

3 = . 2

x

−

x

3 2

3 2

    ∈ −∞ − ∪ ∞ 3 2

,

3 ,+ 2

.

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ nejed naˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a

−∞

∞

+

− 52 − 32 − 12 : x R : x

3 2

  ∈ ∞ 3 ,+ 2

99

. Mr.s r.sci. Edis dis Mekić, prof profeesor sor


MATEMATIKA

♦ Primjer 6.2.4 Rijeˇ Rijeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu

√ x + 7 < 7 < x + 1. 1. Rjeˇsenj se nje: e: Na osnovu Teorema 6.2.1 imamo:

√ x + 7 < 7 < x + 1 ≥ ⇒ ≥− ⇔

 ⇔

⇒

≥

x + 7 0 1 > 0 0 x + 1 > 7 < ( (x x + 7 < x + 1)2

−

7 i x + 1 > 0 0 x > 1 x + 7 0 x x + 1 > 2 2 rjeˇsenj se njaa o dgovar dg ovaraa juće ce x + 7 < ( < (x x + 1) x + 7 < x + 2x + 1 x2 + x 6 > 0 > 0,, rjeˇ kvadratne kvadra tne jednaˇ jedn aˇcine cine su x su x 1 = 3 i x 2 = 2. 2.

−

⇔

−

y

x

−3

2

∈ −∞, −3) ∪ (2, (2, +∞) .

x (

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ nejed naˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a

−∞

∞

+

−7 −3 −1

2

100 100

Mr.s Mr.sci ci.. Edis Edis Meki Meki´ć, c , prof profes esor or


: x R : x

MATEMATIKA

∈ (2, (2 , +∞) . ♦


√ 2x + 14 > 14 > x + 3. 3. Rjeˇsenj se nje: e: Na osnovu Teorema 6.2.2 imamo:

√ 2x + 14 > 14 > x + 3 ⇔



≥ ∨

2x + 14 0 3 < 0 0 x + 3 <



2x + 14 > 14 > ( (x x + 3) 2 x + 3 0

≥ (1) 2x 2x + 14 ≥ 0 ⇔ 2x 2 x ≥ −14 ⇔ x ≥ −7 i x + 3 < 0 0 ⇔ x < −3. x + 3 <




+

−∞

∞

−7

−3 : x R1 : x

(2) 2x 2x + 14 > 14 > ( (x x + 3) 2

∈ [−7, −3) .

⇔ 2x 2 x + 14 > 14 > x

2

+ 6x 6x + 9

⇔ x

2

+ 4x 4x

Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x 1 = y

− 5 < 0 < 0..

−5 i x = 1. 2

x 1

−5

101 101



MATEMATIKA

∈−

x ( 5, 1) . x + 3

≥ 0 ⇔ x ≥ −3.


−∞

∞

+

−5

−3

1

∈−

R2 : x [ 3, 1) . Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je = R 1 R = R

∪ R ⇔ x ∈ [−7, −3) ∪ [−3, 1) ⇔ x ∈ [−7, 1) . 2


√ 2x − 1 < x + 2.2. Rjeˇsenj se nje: e: Na osnovu Teorema 6.2.1 imamo:

√ 2x − 1 < x + 2

 ⇔

− ≥ −

2x 1 0 2 > 0 0 x + 2 > 2x 1 < ( < (x x + 2)2

− 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 12 , x + 2 > 2 > 0 0 ⇒ x > −2 2x − 1 < (x + 2) ⇔ 2x − 1 < x + 4x 4 x + 4 ⇔ x + 2x + 5 > 0, rjeˇ rj eˇsen se nja o dgovara dg ovara juće ce kvadr k vadrat atne ne jedn j ednaˇ aˇcine cin e su x = −1 − 2i i x = −1 + 2i. 2 i. 2x

2

2

2

1

102 102

2



MATEMATIKA

y

x

x (

∈ −∞, +∞) .

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ neje dnaˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a

−∞

∞

+

−2

1 2

: x R : x

∈ ∞ 1 ,+ 2

.

♦


√ 2x + 1 > 1 > x − 1. Rjeˇsenj se nje: e: Na osnovu Teorema 6.2.2 imamo:

√ 2x + 1 > 1 > x − 1 ⇔



2x + 1 0 x 1 < 0 < 0

≥ ∨ − 103 103



2x + 1 > 1 > ( (x x x 1 0

− ≥

2

− 1)





(1) 2x 2x + 1

MATEMATIKA

1 ≥ 0 ⇔ 2x 2 x ≥ −1 ⇔ x ≥ − i x − 1 < 0 1 . < 0 ⇔ x < 1. 2


−∞

∞

+

− 12

1

∈ − 

1 ,1 . 2

R1 : x (2) 2x 2x + 1 > 1 > ( (x x

2

2

2

− 1) ⇔ 2x 2 x + 1 > 1 > x − 2x + 1 ⇔ x − 4x < 0 < 0

Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x 1 = 0 i x 2 = 4. 4. y

x

4

0

∈

(0 , 4) . x (0, i x

− 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. 1 .


−∞

+ 0 104 104

1

4

∞



: x R2 : x

MATEMATIKA

∈ [1, [1 , 4) .

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je pola po lazne zne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je = R 1 R = R

∪ R ⇔ x 2

∈ −  ∪ 1 ,1 2

⇔ x

[1, [1, 4)

∈ − 

1 ,4 . 2


√ 2x − 1 > x − 8. Rjeˇsenj se nje: e: Na osnovu Teorema 6.2.2 imamo:

√ 2x − 1 > x − 8 ⇔ (1) 2x 2x



− ≥ ∨ −

2x 1 0 x 8 < 0 < 0



− − ≥

2x 1 > ( > (x x x 8 0

2

− 8)



1 2 x ≥ 1 ⇔ x ≥ i x − 8 < 0 8 . − 1 ≥ 0 ⇔ 2x < 0 ⇔ x < 8. 2


−∞

∞

+ 1 2

8

: x R1 : x (2) 2x 2x

2

∈ 

2

1 ,8 . 2 2

− 1 > ( 2 x − 1 > x − 16x 16x + 64 ⇔ x − 18x 18x + 65 < 65 < 0 0 > (x x − 8) ⇔ 2x

Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x 1 = 5 i x 2 = 13. 13 .

105 105



MATEMATIKA

y

x

13

5

∈

(5 , 13) . x (5, i x

− 8 ≥ 0 ⇔ x ≥ 8. 8 .


−∞

+ 5

: x R2 : x

8

13

∞

[8 , 13) . ∈ [8,


∪ R ⇔ x 2

∈  ∪ 1 ,8 2

[8, [8, 13)

⇔ x

∈ 

1 , 13 . 2

♦

106 106



Eksp Eks ponenci onencijal jalne ne jednaˇ jednaˇ cine cin e i nejednaˇ cine

7.1

Eksponencijalne jednaˇ jednaˇ cine cine

Primjer 7.1.1 Izraˇ Iz raˇcunat cun atii zbir zbi r kva kvadrat drataa rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine ci ne

3 9x−1 = 4 3x

· − 9.

·


x

9 3 · 9 − = 4 · 3x − 9 ⇔ 3 · = 4 · 3x − 9 ⇔ x 1

9

9x = 4 3x 9 3 9 x = 12 3x 27 3 (3x )2 12 3x + 27 = 0, 0, smjena 3x = t

 − ·

· − ·

t2

⇔

· − ⇔ ⇔ √ 12 ± 144 − 108 12t + 27 = 0 ⇒ t = − 12t ⇒ 2 1,2

t1 = 3 i t 2 = 9. Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo dobija mo 3x = t 1

x

3x

x

⇔ 3 = t ⇔ 3 2

=3

⇒ x = 1, = 9 ⇒ x = 2. 1

1

Dakle, Dak le, zbir kvadrata kvadra ta rjeˇsenja senj a jednaˇ jedn aˇcine cine je

x21 + x22 = 12 + 22 = 5.

♦ 107

ˇ 7.1. EKSPONENC EKSPONENCIJALNE IJALNE JEDNACINE

MATEMATIKA


4x−1 = 3 2x

· − 8.


4x − x 4 =3·2 −8⇔ = 3 · 2x − 8

·

x 1

4

4x = 12 2x

t2

x

x

4

⇔ x

· − 32 ⇔ 4 − 12 · √ 2 + 32 = 0, 0, smjena 2 = t 12 ± 144 − 128 12t + 32 = 0 ⇒ t = − 12t ⇒ t = 4 i t = 8. 2 1,2

1

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo dobija mo 2x = t 1

x

2x

x

⇔ 2 = t ⇔ 2 2

=4

⇒ x = 2, = 8 ⇒ x = 3. 1 3


13 . x21 + x22 = 22 + 32 = 13.

♦ Primjer 7.1.3 Izraˇ Iz raˇcunat cun atii zbir zbi r kva kvadrat drataa rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine ci ne

3x+1 Rjeˇsenj se nje: e:

3x+1 smjena: 3x = t 3t

− 10 + 3 1−

− 10 + 3 1−

x 1

−

=0

3 10 + = 0 t

t1,2 =

10

⇔ 3 · 3 − 10 + 33 x

x

· ⇔ t

3t 3 t2

=0

− 10t 10t + 3 = 0

± √ 100 − 36 ⇒ t = 1 i t = 3.

6 Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo dobija mo

1

3

2

⇔ 3 = 13 ⇒ x = −1, = t ⇔ 3 = 3 ⇒ x = 1.

3x = t 1 3x

= 0. 0.

x 1

x

2

1

x

2


2. x21 + x22 = ( 1)2 + 12 = 2.

−

♦ 108 108



MATEMATIKA



2x+2

− 17 + 2 1−

= 0. 0.

x 2

− 17 + 2 1−

x 2

=0

⇔ 2 · 2 − 17 + 24 2

x

x

=0

smjena: 2x = t 4t

−

4 17 + = 0 t 17

t1,2 =

· ⇔ t

4t 4 t2

± √ 289 − 64 ⇒ t = 1 i t = 4. 1

8 Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo dobija mo 2x = t 1

1 4

2

4

⇒ 2 = 2− ⇒ x = −2, = t ⇔ 2 = 4 ⇒ x = 2.

⇔ 2 2x

− 17t 17t + 4 = 0

x

=

2

x

x

2

1

2


8. x21 + x22 = ( 2)2 + 22 = 8.

−

♦ Primjer 7.1.5 Odrediti Odredi ti realno realn o rjeˇsenje sen je jednaˇ jedn aˇcine cin e

23x−2

−8 − −4 x 1

3x−4 2

= 4. 4.


2 −

3x 2

8x 4

−8 −

x 1

3x−4 2

−4 √ −

=4

⇔

23x 4

8 x 8

− −

√

43x−4 = 4

⇔

8 x 8x 8 x 23x 2 3 4 x ( 2 ) =4 =4 16 8 4 8 16 4 8x 2 8x 8x = 64 8 x = 64 x = x = 2.

− − · − · −

⇔ − − ⇔ ⇒

·

♦

Primjer 7.1.6 Odrediti Odredi ti broj rjeˇsenja se nja jednaˇ jedn aˇcine cin e

3

4x2 +10x−3 2

·5

2x2 +3

= 27 0,5 5−5x+6

·

koja pripadaju skupu prirodnih brojeva. 109 109



MATEMATIKA


3

4x2 +10x−3 2

·5 3

2x2 +3

= 270,5 5−5x+6

·

4x2 +10x−3 2

3 3

3 2

4x2 +10x−6 2

 1 3

5−5x+6 = 2x2 +3 5

⇔ 3

⇔ 3

2 = 5−2x −5x+3

−2x2−5x+3

4x2 +10x−3−3 2

⇔ 3

2 = 5 −2x −5x+3

2

2

−2x − 5x + 3 = 0 ⇔ 2x 2 x

+ 5x 5x

4x2 +10x−3 2

2x2 +3

·5

1

= (33 ) 2 5−5x+6

2 = 5 −5x+6−2x −3

·

⇔

⇔

2x2 +5x +5x 3

− = 5 −2x2 −5x+3 ⇔

⇔ 15−

2x2 5x+3

−

= 1 = 150

− 3 = 0 ⇒ x = −3 ∈/ N, x = 12 ∈/ N. 1

2

Dakle, jednaˇcina cina nema rjeˇsenja senja koja pripada ju skupu prirodnih priro dnih brojeva. bro jeva.

♦

Primjer 7.1.7 Odrediti Odredi ti broj rjeˇsenja se nja jednaˇ jedn aˇcine cin e

3

4x2 −2x−3 2

x2 +3

·5

= 27 0,5 5

·

x

+9 2

koja pripadaju skupu prirodnih brojeva. Rjeˇsenj se nje: e:

3

4x2 −2x−3 2

x2 +3

·5

+9 2

·5 ⇔

3

4x2 −2x−3 2 3

32

x

+9

5 2 = x2+3 5

⇔

−x2−3 ⇔ 32x2 −x−3 = 5 −2 22+ +3 ⇔ −1 −2x2+x+3 √ 3 2 2 (3−1 )−2x +x+3 = ( 5)−2x +x+3 ⇔ √ =1 ⇔ 3

4x2 −2x−3−3 2

= 27

0,5

x

=5

x

+9 2

x

  5

2

−2x

+ x + 3 = 0

2

⇔ 2x 2 x − x − 3 = 0 ⇒ x x1 =

1,2

=

1

x

± √ 1 + 24 ⇒ 4

−1 ∈/ N i x = 32 ∈/ N. 2

Dakle, jednaˇcina cina nema rjeˇsenja senja koja pripada ju skupu prirodnih priro dnih brojeva. bro jeva.

♦


34x + 32x = 20. 20.

110 110



MATEMATIKA


34x + 32x = 20 Smejna: 32x = t,

⇔ (3

2x 2

) + 32x

− 20 = 0

√ − 1 ± 1 + 80 + t − 20 = 0 ⇒ t = ⇒ t = −5 i t 2

t2

1,2

1

2

= 4. 4.

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu imamo: 32x = t 1

32x

2x

⇔ 3 = −5 Nema Nem a rjeˇsenja sen ja.. = t ⇔ 3 = 4 ⇔ log 3 = log 4 ⇔ 2x 2 x = log 4 ⇔ 2x = log 2 ⇔ 2x 2 x = 2 log 2 ⇔ x = 2. x = log 2. 2

2x

2x

3

3

3

2

3

3

3


24x + 22x = 90. 90. Rjeˇsenj se nje: e:

24x + 22x = 90 Smejna: 22x = t, t2

⇔ (2

2x 2

) + 22x

− 90 = 0

√ 1 ± 1 + 360 − ⇒ t = −10 i t = 9. + t − 90 = 0 ⇒ t = 2 1,2

1

2


22x

2x

⇔ 2 = −10 Nema rjeˇsenja. senj a. = t ⇔ 2 = 9 ⇔ log 2 = log 9 ⇔ 2x 2 x = log 9 ⇔ 2x = log 3 ⇔ 2x 2 x = 2 log 3 ⇔ x = 3. x = log 3. 2

2x

2x

2

2

2

2

2

2

2

♦ Primjer 7.1.10 Od Odrediti rediti broj rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine ci ne

9|3x−1| = 38x−2

111 111



Rjeˇsenj se nje: e: Za 3x

1 3

− 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ ⇔ x

9|3x−1| = 38x−2

∈ ∞ 1 ,+ 3

MATEMATIKA

imamo:

⇔ 9 − = 3 − ⇔ 3 − = 3 − ⇔ 1 6x − 2 = 8x − 2 ⇒ x = x = 0 ∈ / , +∞ . 3

Za 3x

− 1 < 0 < 0 ⇔

1 x < 3

3x 1

⇔ x

8x 2

6x 2

 

  ∈ −∞ ,

9|3x−1| = 38x−2

8x 2

1 imamo: 3

⇔ 9− = 3 − ⇔ 3− = 3 − ⇔ 2 1 −6x + 2 = 8x 8x − 2 ⇒ 14x 14 x = 4 ⇒ x = x = ∈ −∞, . 7 3 3x+1

8x 2

6x+2

8x 2

 

2 Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcina cina ima jedno jedn o rjeˇsenje senje x = . 7

♦

Primjer 7.1.11 Od Odrediti rediti broj rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine ci ne

9|3x+1| = 38x+2 Rjeˇsenj se nje: e: Za 3x + 1

1 3

≥ 0 ⇔ x ≥ − ⇔ x

9|3x+1| = 38x+2

3x+1

1 ,+ 3

= 38x+2

6x+2

imamo: 8x+2

⇔ 3 = 3 ⇔ 1 6x + 2 = 8x 8x + 2 ⇒ x = x = 0 ∈ − , +∞ . 3

Za 3x + 1 < 1 < 0 0

1 3

⇔ 9

∈ − ∞

⇔ x < − ⇔ x

9|3x+1| = 38x+2

  ∈ −∞ − ,





1 imamo: 3

⇔ 9− − = 3 ⇔ 3− − = 3 ⇔ 2 1 −6x − 2 = 8x 8 x + 2 ⇒ 14x 14x = −4 ⇒ x = x = − ∈ / −∞, − 7 3 3x 1

8x+2

6x 2

8x+2



Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcina cina ima jedno jedn o rjeˇsenje senje x = 0.



.

♦

Primjer 7.1.12 Od Odrediti rediti kub rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine cin e

· √

3x 3 9 3x+1 = . 3x+1 9 112 112



Rjeˇsenj se nje: e: x

3

x+1

2

3

x

3x+1

x

2

x

x

33 3

MATEMATIKA

√ 3 3 · 3 3 ·3 ⇔ ⇔ = = 9 3 ·3 9 3 2 · = 3 ⇔ 3 = 3 ⇒ x = x = . 3 3

· √ 9 3



2 3

x

 2 3

3

Dakle, Dak le, kub rjeˇsenja senj a jednaˇ jedn aˇcine cine je x je x =

3

=

8 . 27

♦

Primjer 7.1.13 Rij Rijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu

· √

2x 3 4 2x+1 = . 2x+1 2 Rjeˇsenj se nje: e:

√ 2 2 2 · 2 2 ·2 ⇔ ⇔ = = 2 2 2 ·2 2 √ 2 1 = 2 ⇔ 3 = 2 − ⇒ x = x = − 2 3 x

· √ 4 3

x+1

x+1 3

3

x

x

2

x

2

x

2 3

x

1

♦ Primjer 7.1.14 Rij Rijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu

3

x

+1 x

·  1 3

x+1

= 1.



Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x = 0. 0.

3 3

x

+1 x

x

+1 x

x+1

·  1 3

=1

x

+1

⇔ 3 · 3− − x

x 1

=1

⇔

−x−1 = 30 ⇔ x + 1 − x − 1 = 0 ⇔ x + x + 1 − x2 − x = 0 ⇔ x2

−

x 1=0

⇒ x = −1 i x = 1. 1

2


2

x

+1 x

·  1 2

x+1

113 113

= 1. Mr.s Mr.sci ci.. Edis Edis Meki Meki´ć, c , prof profes esor or




MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x = 0. 0.

2 2

x

+1 x

x

+1 x

x+1

·  1 2

=1

x

+1

⇔ 2 · 2− − x

x 1

=1

⇔

−x−1 = 20 ⇔ x + 1 − x − 1 = 0 ⇔ x + x + 1 − x2 − x = 0 ⇔ 2

x

−

x 1=0

⇒ x = −1 i x = 1. 1

2

♦


24x

− 18 · 2

2x

=

−81. 81.


24x

− 18 · 2

2x

=

−81 ⇔ (2

2x 2

)

− 18 · 2

2x

+ 81 = 0

Smjena: 22x = t 2

t

− 18t 18t + 81 = 0 ⇒ t

1,2

=

18

± √ 324 − 324 ⇒ t = t = t = 9. 1

2

2


⇔ 2

2x

=9

2x

⇔ log 2 2

= log2 32

⇔ 2x 2 x = 2 log 3 ⇒ x = 3. x = log 3. 2

2


36x

− 16 · 3

3x

=

64. −64.


36x

− 16 · 3

3x

=

−64 ⇔ (3

3x 2

)

− 16 · 3

3x

+ 64 = 0

Smjena: 33x = t t2

− 16t 16t + 64 = 0 ⇒ t

1,2

=

16

± √ 256 − 256 ⇒ t = t = t = 8. 1

2

2


⇔ 3

3x

=8

3x

⇔ log 3 3

= log3 23

⇔ 3x 3 x = 3 log 2 ⇒ x = 2. x = log 2. 3

3

♦ 114 114


ˇ 7.2. EKSPONENC EKSPONENCIJALNE IJALNE NEJEDNA NEJEDNACINE

MATEMATIKA


2 3x+1

·

−4·3 −

x 2

= 45. 45.


·

x+1

2 3

x

− 4 · 3 − = 45 ⇔ 6 · 3x − 4 · 3 = 45 x 2

9

54 3x

9

⇔

⇔ 50 · 3 = 405 ⇔ 3 = 81 ⇔ 10 81 = log 81 − log 10 = 4 − log 10. 10. 10 x

· −4·3 x = log3

·

x

= 405

3

x

3

3



x 1

= 1. x

3

x+1

− 6 · 3 − = 1 ⇔ 3 · 3x − 6 · 3 = 1 ⇔ x 1

3 3x

· −2·3

7.2

−6·3 −

x

⇔ 3

=1

x

=1

⇔

3 x = x = 0.

♦

Eksponencijalne nejednaˇ nejednaˇ cine cine

Primjer 7.2.1 Rijeˇ Rijeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu +0,5 +0,5 3x+0, + 3x−0,5 > 4 x+0,

−2

−.

2x 1


3 3

x



+0,5 x+0,

+3 −

1 2

x 0,5

> 4

+0,5 x+0,

3

x+ 21

1 1 + 3 − 2 > 4 x+ 2

x

⇔ 3 √ 3 + √ 1 3

1 2

4 3

> 4

x

3 2

x

3

3 3 > 2 x 4 4 3 x

√

115 115

3 4

4 x 2

− ⇔ √ 4 1 > 4 −2 ⇔ √ 3 3 ⇔ > 8

  − ⇔     √    ⇔   ⇔

1 1 3 + 3− 2 > 4 x 4 2

x

−2 −

2x 1

x



x



Logaritmi. Logaritmi. Logaritamsk Logaritamske e jednaˇ cine cine i nejednaˇ nejednaˇ cine cine

8.1 8.1

Loga Lo gar ritm itmi


2log100 256 + log

3 192

3 − 2log 147 − 2log

2log100 256 + log

3 192

100

49 =


=2

3 − 2log 147 − 2log

log256 1 + log log100 64

100

49 =

log 49 − 2log 491 − 2 log = log100

log log 256 256 log log 49 + log log 1 log64 2(lo 2(logg 1 log log 49) 49) 2 = 2 2 = log256 log log 64 + 2 log log 49 log log 49 = log log 28 log26 + log49 = =2

−

−

= 8log 8log 2

−

−

−

−

−

log 2 + log log 49 = 2 log log 2 + log 49 = − 6 log = log 4 + log log 49 = log(4 log(4 · 49) = log log 196 196.

♦ Primjer 8.1.2 Izra Izraˇˇcuna cu nati ti

4log100 81 + 2 log log

4 3 + 2 log log + 3 log log100 625 = 108 75 117

8.1. LOGARI LOGARITMI TMI

MATEMATIKA


4log100 81 + 2 log log

4 3 + 2 log log + 3 log log100 625 = 108 75

log log 81 1 1 log log 625 + 2 log log + 2 log log + 3 = log log 100 100 27 25 log log 100 log log 81 log log 625 =4 + 2(lo 2(logg 1 log log 27) 27) + 2(lo 2(logg 1 log 25) + 3 = 2 2 3 3 = 2 log 81 2log27 2log25+ log log 625 625 = 2 log log 34 2log33 2log25+ log log 252 = 2 2 3 = 8log 8log 3 6log3 2 log log 25 + 2 log log 25 = 2 log 3 + log log 25 = 2 = log 9 + log log 25 = log(9 log(9 25) = log log 225 225. =4

−

−

−

−

−

−

−

−

·

·

♦


5 log 3 81 + 3 log log 1 16 2 4

− log

2

1 1 + log 1 = 3 27 32


5 log 3 81 + 3 log 1 16 2 4

− log

2

1 1 5 + log 1 = 4 + 3 ( 4) 3 27 32 4

=5

·

· − − (−5) + 3 =

− 12 + 5 + 3 = 1.1 .

♦


53−log5 25 + 32−log3 3

−2 −

4 2 log log25 5

=


53−log5 25 + 32−log3 3

−2 − =5+3−2

4 2log25 5 3

= 53−2 + 32−1

=8

4 21 2

−2 −

=

− 8 = 0. ♦

118 118


ˇ 8.2. LOGARIT LOGARITAMSKE JEDNACINE

8.2

MATEMATIKA

Logaritamske jednaˇ cine cine

Primjer 8.2.1 Izraˇ I zraˇcunat cun atii zbir zbi r kva kvadrat drataa realnih realni h rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine ci ne


− +1

x 1

5·2 log3 4 − + 5 = 1 + log 3



x 1



3

− +1

.

x 1

5·2 log3 4 − + 5 = 1 + log3 x 1

   ⇔    ·

3 4x−1 + 5 = 1 + log 3(5 2x−1 + 1)

⇔

· − log 3 ⇔ ⇔ log 4 − + 5 = log (5 2 − + 1) ⇔ 4 − + 5 = 5 · 2 − + 1 ⇔ ⇔ 44 + 5 = 5 · 22 + 1 · 4 ⇔ 4 − 10 · 2 + 16 = 0 Smjena: 2 = t ⇒ √ 10 ± 100 − 64 ⇒ t = 2 i t = 8. 10t + 16 = 0 ⇒ t = t − 10t log 3 x 1

3

x 1

3

x 1

x 1

3

x

x



x

2

x

1,2

x

1

2

2


x

2x

x

⇔ 2 = t ⇔ 2 2

⇒ x = 1, = 8 ⇒ x = 3. =2

1

2

Dakle, Dak le, zbir kvadrata kvadra ta rjeˇsenja senj a jednaˇ jedn aˇcine cine je 10 . x21 + x22 = 1 + 9 = 10.

♦ Primjer 8.2.2 Izraˇ I zraˇcunat cun atii zbir zbi r kva kvadrat drataa realnih realni h rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine ci ne

log2 9x−1 + 7 = 2 + log 2 3x−1 + 1 .






log2 9x−1 + 7 = 2 + log2 3x−1 + 1



⇔





9x−1 + 7 log 2 x−1 =2 3 +1

⇔





log 2 9x−1 + 7

⇔ 

log2 3x−1 + 1 = 2

− 

9x−1 + 7 9x−1 + 7 2 =2 =4 3x−1 + 1 3x−1 + 1 9x 3 x 9 x−1 + 7 = 4(3 x−1 + 1) + 7 = 4 +4 9 9 3

⇔

⇔

119 119

⇔

·

·

⇔



⇔



x

⇔ 9 − 12 · 3

Smjena: 3x = t t2

12t + 27 = 0 ⇒ t − 12t

1,2

12

=

x

+ 27 = 0

MATEMATIKA

⇔

± √ 144 − 108 ⇒ t = 3 i t = 9. 1

2

2


x

3x

x

⇔ 3 = t ⇔ 3 2

⇒ x = 1, = 9 ⇒ x = 2. =3

1

1

Dakle, Dak le, zbir kvadrata kvadra ta rjeˇsenja senj a jednaˇ jedn aˇcine cine je 5. x21 + x22 = 1 + 4 = 5.

♦ Primjer 8.2.3 Izraˇ Iz raˇcunat cun atii proizv proi zvod od realnih realni h rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine cin e

3 9log x

− 28 · 3

3 9log x

− 28 · 3

·

log x

+ 9 = 0. 0.

log x

+9=0


·

⇔ ∈

∞

D.P. x D.P. x > 0 x (0, (0 , + ). log x Smjena: 3 = t 3t2

− 28t 28t + 9 = 0 ⇒ t

1,2

=

± √ 784 − 108 ⇒ t = 1 i t = 9.

28

1

6

3

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu imamo: 3log x = t 1

⇔ 3

3log x = t 2

log x

⇔ 3

=

log x

1 3

⇔ log x = −1 ⇒ x = 101 , 1

=9

⇔ log x = 2 ⇒ x = 100. 100. 2

Dakle, Dak le, proizvo pro izvod d realnih real nih rjeˇsenja senj a jednaˇ j ednaˇcine cine je

·

x1 x2 =

1 100 = 10. 10. 10

·

♦ 120 120



MATEMATIKA

Primjer 8.2.4 Izraˇ Iz raˇcunat cun atii proizv proi zvod od realnih realni h rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine cin e

2 4log x

− 17 · 2

3 9log x

− 28 · 3

·

log x

+ 8 = 0. 0.

log x

+9=0


⇔ ∈

∞

·

D.P. x D.P. x > 0 x (0, (0 , + ). log x Smjena: 2 = t 2t2

− 17t 17t + 8 = 0 ⇒ t

1,2

=

17

± √ 289 − 64 ⇒ t = 1 i t = 8. 1

4

2

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu imamo: 1 1 2log x = t 1 2 log x = log x = 1 x 1 = , 2 10 2log x = t 2 2 log x = 8 log x = 3 x 2 = 1000. 1000.

⇔ ⇔

⇔ ⇔

− ⇒ ⇒

Dakle, Dak le, proizvo pro izvod d realnih real nih rjeˇsenja senj a jednaˇ j ednaˇcine cine je 1 1000 = 100. 100. x1 x2 = 10

·

·


log 1 log4 (x2 3

Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x 2

− 5) = −1.

2

5) > 0 0 > 0 i log (x − 5) > − 5 > 0 4

(1) x2 5 > 0 R jeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x1 = > 0 Rjeˇ x2 = 5.

− √

−√ 5 i

y

√ 5

−√ 5

121 121

x



MATEMATIKA

√ √ D.P : x ∈ ( −∞, − 5) ∪ ( 5, +∞). (2) log (x − 5) > 5) > 0 0 ⇔ x − 5 > 1 > 1 ⇔ x − 6 > 0 > 0 √ √ Rjeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = − 6 i x = 6. 1

4

2

2

2

1

2

y

x

√ 6

−√ 6

√ √ ∈ −∞, − 6) ∪ ( 6, +∞).

D.P 2 : x (

Konaˇ Kon aˇcno cno definicio defin iciono no podruˇ po druˇcje cje date dat e jednaˇ jedn aˇcine cine je D.P. je D.P. = = D.P D.P 1

−∞

−√ 6 −√ 5

∩ D.P

2

∞

+

√ 5 √ 6

√ √ ∈ (−∞, − 6) ∪ ( 6, +∞). − 1 ⇔ log log (x − 5) = −1 ⇔ log (x − 5) = 3 log (x − 5) = 3 ⇔ x − 5 = 4 ⇔ x = 69 ⇒ √ √ x = − 69 ∈ D.P. i D.P. i x = 69 ∈ D.P. D.P. : D.P. : x x 2

1 3

2

4

4

2

2

3

2



1

4

1

2

Dakle, proizvod realnih rjeˇsenja senja date jednaˇcine cine je:

·

x1 x2 =

√ √ − 69 · 69 = −69. 69. 122 122



MATEMATIKA


log9 log 1 2


− 60 > 60 > 0 0 i log

1 x

2

−

1 = . 60 2

1

1 2

x2

− 60 > 0

(1) x2 60 > 60 > 0 0 Rjeˇ R jeˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x 1 = i x 2 = 60. 60.

− √

y

√ 60

−√ 60

x

√ √ 60, +∞). x ∈ ( −∞, − 60) ∪ ( 60,

D.P 1 :

0

⇔

1 ⇔ < < 1 ⇔ x − 60 x − 60 x − 60 −x + 61 < 0 ⇔ x −1 60 − 1 < 0 < 0 ⇔ x − 60 √ √ −x + 61 = 0 ⇒ x = ± 61, 61, i x − 60  = 0 ⇒ x  = ± 60

(2) log 1 2

1

−√ 60

2

1

> 0

1 2

2

2

2

2

2

2

2

1,2

1,2

√ √ √ √ −∞ − 61 − 60 60 61 +∞ x2 + 61 0 + + +0 2 + +0 0 + + x + 60 2 x + 61 + + x2 + 60

− −

− −

123 123

− −

− −



D.P 2 : x

 √  √ ∈ −∞ − ∪− 61

,

(

MATEMATIKA

√

60, 60, 60)

∪(

√

Konaˇ Kon aˇcno cno definicio defin iciono no podruˇ po druˇcje cje date dat e jednaˇ jedn aˇcine cine je D.P. je D.P. = = D.P D.P 1

−∞

∞

61, 61, + ).

∩ D.P

2

∞

+

−√ 61 −√ 60

 √  √ ∈ −∞ − ∪

D.P. : D.P. : x x 2

1 2

x2

61

,

1

1 2

∞

( 61, 61, + ).

x2

=

⇔ log

1

1

⇔ − 60 x − 60 1 1 1 1 1 ⇔ =3 ⇔ = = ⇔ − 60 2 x − 60 x − 60 8 x − 60 = 8 ⇔ x = 68 ⇒ √ √ x = − 68 ∈ D.P. i D.P. i x = 68 ∈ D.P.

log9 log 1

⇔ log

√ 60 √ 61

2

2

2

1

1 2

2



=92

3

2

2

Dakle, proizvod realnih rjeˇsenja senja date jednaˇcine cine je: x1 x2 =

·

√ √ 68. − 68 · 68 = −68. ♦

Primjer 8.2.7 Broj realnih realni h rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine cin e

log 2 + log 4x−2 + 9 = 1 + log 2x−2 + 1 .










log 2 + log log 4x−2 + 9 = log 10 + log 2x−2 + 1

⇔ log log 2





⇔    ⇔       ⇔ · · ⇔

4x−2 + 9 = log log 10 2x−2 + 1



⇔ 4 −

x 2

2 4x−2 + 9 = 10 1 0 2x−2 + 1

4x 2 x + 9 = 5 +5 16 4 20 2x + 64 = 0, 0, smjena: 2x = t,

+ 9 = 5 2x−2 + 1 x



:2

⇔

16

⇔ 4 − ·

124 124



t2

− 20t 20t + 64 = 0 ⇒ t

20

=

1,2

MATEMATIKA

± √ 400 − 256 ⇒ t = 4 i t = 16. 16. 1

2

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo: dobija mo: 2x = t 1 2x

x

⇔ 2 = 4 ⇒ x = 2, = t ⇔ 2 = 16 ⇒ x = 4. 4. 1

x

2

2

♦

Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcina cina ima dva realna real na rjeˇsenja. senj a.

Primjer 8.2.8 Broj realnih realni h rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine cin e

log(9x

x

− 1) = 1 + log log (3 − 1) . Rjeˇsenj se nje: e: D.P. 9 − 1 > 0 0 . > 0 ⇔ 9 > 1 ⇔ x > 0 i 3 − 1 > 0 > 0 ⇔ 3 > 1 ⇔ x > 0. Dakle (0 , +∞). D.P. x ∈ (0, log log (9 − 1) = 1 + log (3 − 1) ⇔ log log (9 − 1) = log 10 + log log (3 − 1) ⇔ log log (9 − 1) = log log 10 (3 − 1) ⇔ 9 − 1 = 10 10 (3 − 1) ⇔ ⇔ 9 − 10 · 3 + 9 =√ 0,0, smjena 3 = t 10 ± 100 − 36 10t + 9 = 0 ⇒ t = ⇒ t = 1 i t = 9. t − 10t 2 x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

x

x

1,2

1

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo: dobija mo: 3x = t 1

x

⇔ 3 = 1 ⇒ x = 0 ∈/ D.P., = t ⇔ 3 = 9 ⇒ x = 2 ∈ D.P.

3x

1

x

2

2

♦

Dakle, Dak le, jednaˇ jedn aˇcina cina ima jedno jedn o realno real no rjeˇsenje. senj e. Primjer 8.2.9 Rij R ijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu

− log 4x 4x + log x = 3. Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x > 0 ⇔ x ∈ (0, (0 , +∞). log 2x 2x log 4x 4x − log 2x 2x − log 4x 4x + log x = 3 ⇔ + log log 32 log 8 log32 2x 2x

8

2

2

32

8

2

2

2

⇔

2

x = 3

2

⇔

log2 2x 2x log2 4x 4x +log2 x = 3 15 3 log log2 2x 2x 5log2 4x 4x+15 +15 log2 x = 45 5 3 3(log2 2 + log 2 x) 5(log2 4 + log 2 x) + 15 15 log log2 x = 45

− ⇔

−

·

⇔

−

⇔ 3(1 + log x) − 5(2 + log x) + 15 15 log log x = 45 ⇔ 13log ⇔ log x = 52 ⇔ log x = 4 ⇒ x = 1 6. x = 2 = 16 13 2

2

2

2

⇔

x = 52

⇔

⇔

4

2

2

♦ 125 125



MATEMATIKA


log16 x + log4 x + log2 x = 7.

⇔ x ∈ (0, (0 , +∞). log x log lo g x + + log x + log x = 7 ⇔ log 16 log 4

Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x > 0

log16 x + log4

2

2

2

2

⇔

2

x = 7

2

⇔

log2 x log 2 x + + log2 x = 7 4 log 2 x + 2 log log2 x + 4 log log2 x = 28 4 2 7 log2 x = 28 log 2 x = 4 x = 16. x = 24 = 16.

·

⇔

⇔

⇔

⇒

⇔ ♦


2 log 1 x = log 1 27 2 2 3 Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x > 0

2 log 1 x = log 1 2 2 3

⇔ log

1 2

⇔ x ∈ (0, (0 , +∞). 27 − log 18 ⇔ log 1 2

x = log 1 9 2

− log

1 2

18

− log

1 2

18. 18.

2

1 2

⇔ log

x = log 1 27 3 2

1 2

x = log 1 2

− log

9 18

1 2

18

⇔

1 ⇒ x = x = . 2


2 log 1 x = log 1 27 3 3 3 Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x > 0

2 log 1 x = log 1 3 3 3

⇔ log

1 3

⇔ x ∈ (0, (0 , +∞). 27 − log 18 ⇔ log 1 3

x = log 1 9 3

− log

1 3

18

− log

1 3

18. 18.

2

1 3

⇔ log

x = log 1 27 3 3

1 3

x = log 1 3

− log

9 18

1 3

18

⇔

1 ⇒ x = x = . 2

♦ Primjer 8.2.13 Izraˇ I zraˇcuna cu nati ti pro proiz izvod vod rjeˇ rj eˇsenj se njaa jedna jed naˇˇcine ci ne



xlog

√ x

126 126

= 10. 10. Mr.s Mr.sci ci.. Edis Edis Meki Meki´ć, c , prof profes esor or





MATEMATIKA

⇔ x ∈ (0, (0 , +∞).

log

x

√ x

= 10

2

⇔

x

log

√ x



⇔

= 100 log

√ ⇔ log x = log100 ⇔ log √ x log x = 2 ⇔ log x log x = 2 ⇔ ⇔ 12 log x = 2 ⇔ log x = 4 ⇔ log x = 2 i log log x = −2 log x = 2 ⇒ x = 10 = 100, 100, 1 log x = −2 ⇒ x = 10− = . 100 log

x

2

1 2

2

2

1

2

2

Dakle, Dak le, proizvo pro izvod d rjeˇsenja senj a jednaˇ jedn aˇcine cine je 1 · 100 = 1.

·

x1 x2 = 100

♦ Primjer 8.2.14 Izraˇ I zraˇcuna cu nati ti pro proiz izvod vod rjeˇ rj eˇsenj se njaa jedna jed naˇˇcine ci ne

√ log x

 x

 √ √

=

10. 10.

⇔ x ∈ (0, (0 , +∞). √ √ √ √ √ = 10 ⇔ x = 10 log ⇔ x √ ⇔ log √ x log x = log 10 ⇔ 12 log x log x = 12 log log 10 ⇔ ⇔ log x = 1 ⇒ log x = 1 i log log x = −1 log x = 1 ⇒ x = 10, 10, 1 log x = −1 ⇒ x = 10− = . 10




log



x

log



x

2

1

1

2

Dakle, Dak le, proizvo pro izvod d rjeˇsenja senj a jednaˇ jedn aˇcine cine je

·

x1 x2 = 10

· 101 = 1. ♦

127 127


ˇ 8.3. LOGARIT LOGARITAMSKE NEJEDNA NEJEDNACINE

8.3

MATEMATIKA

Logaritamske Logaritamske nejednaˇ cine cine


log 1 (3x (3x 2

Rjeˇsenj se nje: e: D.P. 3x 3x

log 1 (3x (3x 2

− 1 > 0 > 0 ⇔

1 x > 3

− 1) > 1) > 0 0..

  ⇔ ∈ ∞ ⇔ − x

Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je je presj pr esjek ek x >

.

3x 3 x

1 < 1 < 1

0

1 2

− 1) > 1) > 0 0 ⇔ 3x 3 x − 1 <

1 ,+ 3

⇔ x < 23 .

1 2 i x < , tj. 3 3

R : x

  ∈

1 2 , . 3 3


log 1

1

− 2x ≥ 0. 0 . 4

4

− 2x > 0 ⇔ x < 12 . 1 − 2x 1 − 2x 1 3 ≥ ≤ ⇔ 0 ⇔ 1 − 2x ≤ 4 ⇔ x ≥ − . 4 4 4 2

Rjeˇsenj se nje: e: D.P: 1

0

log 1 4



Konaˇ Ko naˇcno cno rjeˇ rj eˇsenje sen je je presj pr esjek ek x <

1 ix 2

R : x

≥ − 32 , tj.

∈ − 

3 1 , . 2 2


log 1 (x2 2


− x) ≥ −1.

− x > 0

Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x 1 = 0 i x 2 = 1, 128 128



MATEMATIKA

y

x

1

0

Dakle, Dak le, rjeˇsenje senj e kvadratne kvadra tne nejednaˇ nejed naˇcine cine je

∈ −∞, 0) ∪ (1, (1, +∞).

x ( 2

2

2

⇔ x − x − 2 ≤ 0. 0 . Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −1 i x = 2, log 1 (x 2

− x) ≥ −1 ⇔ x − x

1 1 − 2

  ≤

1

2

y

x

2

−1

Dakle, Dak le, rjeˇsenje senj e kvadratne kvadra tne nejednaˇ nejed naˇcine cine je 2]. x [ 1, 2].

∈−

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ neje dnaˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj. x [ 1, 0)

∈−

(1, 2]. 2]. ∪ (1,


log 1 (x2 3

− 2x) ≥ −1. 129 129




MATEMATIKA

− 2x > 0

Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x 1 = 0 i x 2 = 2, y

x

2

0


∈ −∞, 0) ∪ (2, (2, +∞).

x ( 2

2

1 3

−1

2

⇔ x − 2x − 3 ≤ 0. 0 . Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −1 i x = 3, log 1 (x 3

− 2x) ≥ −1 ⇔ x − 2x

  ≤

1

2

y

x 3

−1

Dakle, Dak le, rjeˇsenje senj e kvadratne kvadra tne nejednaˇ nejed naˇcine cine je 3]. x [ 1, 3].

∈−

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ neje dnaˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj.

∈−

x [ 1, 0)

∪ (2, (2, 3]. 3]. ♦

130 130



MATEMATIKA


log3 (x2 Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x 2

− 2x) ≤ 1. 1 .

− 2x > 0


x

2

0


∈ −∞, 0) ∪ (2, (2, +∞). log (x − 2x) ≤ 1 ⇔ x − 2x ≤ 3 ⇔ x − 2x − 3 ≤ 0. 0 . Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −1 i x = 3, x (

2

2

1

2

3

1

2

y

x 3

−1


∈−

3]. x [ 1, 3]. Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ neje dnaˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj.

∈−

x [ 1, 0)

∪ (2, (2, 3]. 3]. ♦

131 131



MATEMATIKA


log2 (x2 Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x 2

− 2x) ≤ 3. 3 .

− 2x > 0


x

2

0


∈ −∞, 0) ∪ (2, (2, +∞). log (x − 2x) ≤ 3 ⇔ x − 2x ≤ 2 ⇔ x − 2x − 8 ≤ 0. 0 . Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −2 i x = 4, x (

2

2

3

2

2

1

2

y

x 4

−2


∈−

4]. x [ 2, 4]. Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ neje dnaˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj.

∈−

x [ 2, 0)

∪ (2, (2, 4]. 4]. ♦

132 132



MATEMATIKA


log 1 (x2 3


− 4x + 3) ≥ −1.

− 4x + 3 > 3 > 0 0


x

3

1


∈ −∞, 1) ∪ (3, (3, +∞).

x ( 2

log 1 (x 3

2

  ≤

− 4x + 3) ≥ −1 ⇔ x − 4x + 3 ⇔ x − 4x + 3 ≤ 3 ⇔ x − 4x ≤ 0 2

2

1 3

−1

⇔


x 0

4


∈

[0 , 4]. 4]. x [0, 133 133



MATEMATIKA

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ nejed naˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj.

∈

[0 , 1) x [0,

∪ (3, (3, 4]. 4]. ♦


log 1 2

− ≥ 0. 0 .

2x 3 x2 + 3

2x 3 Rjeˇsenj se nje: e: D.P. 2 > 0 x +3

  ∈ ∞

3 x > 2

⇒ 2x ⇔ x 32 , + . 2 x − 3 > 0 > 0 ⇒ 2x − 3 2x − 3 1 2x − 3 ≥ ≤ ⇔ ≤ 1 ⇔ log 0 ⇔ 2 x +3 x +3 x +3 ⇔ 2xx +− 33 −1 ≤ 0 ⇔ 2x −x3 −+x3 − 3 ≤ 0 ⇒ −x +2x +2x−6 ≤ 0 ⇔ x −2x+6 ≥ 0. 0 . √ √ Rjeˇ Rj eˇsenje sen je o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratn tnee jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = 1 − i 5 i x = 1 + i 5. −

0

1 2

2



2

2

2

2

2

2

2

1

2

y

x


∈ −∞, +∞).

x (

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ nejed naˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj. x

  ∈ ∞ 3 ,+ 2

134 134

.

♦ Mr.s Mr.sci ci.. Edis Edis Meki Meki´ć, c , prof profes esor or


MATEMATIKA


log 1 3

−

3x 1 Rjeˇsenj se nje: e: D.P. 2 > 0 x +2

− ≥ 0. 0 .

3x 1 x2 + 2

⇒ 3x 3 x − 1 > 0 > 0 ⇒

− ≥ 0 ⇔ 3x − 1 ≤ x +2

3x 1 log 1 2 3 x +2

2

1 x > 3 0

⇔ 1 3

⇔ x

  ∈ ∞ 1 ,+ 3

.

− ≤ 1 ⇔

3x 1 x2 + 2

2

⇔ − − ≤ 0 ⇔ 3x −x1 −+x2 − 2 ≤ 0 ⇒ −x +3x +3x−3 ≤ 0 ⇔ x −3x+3 ≥ 0. 0 . √ √ 3−i 3 3+i 3 Rjeˇ Rj eˇsenje sen je o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratn tnee jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = i x = . 3x 1 1 x2 + 2

2

2

2

1

2

2

2

y

x

Dakle, Dak le, rjeˇsenje senj e kvadratne kvadra tne nejednaˇ nejed naˇcine cine je x (

∈ −∞, +∞).

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ nejed naˇcine cine je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj. x

  ∈ ∞ 1 ,+ 3

.

♦ 135 135



MATEMATIKA

Primjer 8.3.10 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu log 1 x

x

2

> x.

Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x > 0. 0 . log 1 x

x

2

>x

⇔ log

log 1 x

x

1 2

  ⇔ log 1 x 2

< log 1 x

2

2

2

< log 1 x;

1 2

1 2

x < log 1 x

smjena: log log 1 x = t = t

2

t2 < t

⇔ log x · log 2

2

⇔

⇒

2

⇔ t − t < 0 y

x 0

∈

(0 , 1) t (0,

1

⇔ 0 < 0 < t < 1. 1 .

Nakon uvrˇstavanja stavanja smjene dobijamo: dobijam o:

⇔ log

0 < log < log 1 x < 1 2

1 2

log 1 x < 1. 1 . x > 0 i log 2

⇔ x < 1, 1 , 1 x < 1 ⇔ x > . 2

log 1 x > 0 2

log 1 2

Dakle Da kle,, konaˇ kon aˇcno cno rjeˇsenje sen je pola po lazne zne jednaˇ jed naˇcine cin e je x

  ∈

1 ,1 . 2

♦ Primjer 8.3.11 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu log 1 x

x

3

> x.

136 136



MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x > 0. 0 . log 1 x

x

3

>x

⇔ log

log 1 x

x

1 3

  ⇔ log 1 x 3

< log 1 x

3

3

2

< log 1 x;

1 3

1 3

x < log 1 x

smjena: log log 1 x = t = t

3

t2 < t

⇔ log x · log 3

3

⇔

⇒

2

⇔ t − t < 0 y

x 0

∈

(0 , 1) t (0,

1

⇔ 0 < 0 < t < 1. 1 .

Nakon uvrˇstavanja stavanja smjene dobijamo: dobijam o:

⇔ log

0 < log < log 1 x < 1 3

1 3

log 1 x < 1. 1 . x > 0 i log 3

⇔ x < 1, 1 , 1 x < 1 ⇔ x > . 3

log 1 x > 0 3

log 1 3

Dakle Da kle,, konaˇ kon aˇcno cno rjeˇsenje sen je pola po lazne zne jednaˇ jed naˇcine cin e je x

  ∈

1 ,1 . 3

♦ Primjer 8.3.12 Rijeˇ Ri jeˇsiti si ti nejed ne jedna naˇˇcinu ci nu

≤ 1 − log(x log(x − 1). 1). Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x + + 2 > 2 > 0 0 ⇔ x > −2 i x − 1 > 0 > 0 ⇔ x > 1 log(x log(x + 2)

137 137



−∞

MATEMATIKA

∞

+ -2

1

(1 , + ). D.P. x (1,

∈ ∞ log(x log(x + 2) ≤ 1 − log(x log(x − 1) ⇔ log(x log(x + 2) + log(x log(x − 1) ≤ 1 ⇔ ⇔ log(x log(x + 2)(x 2)(x − 1) ≤ 1 ⇔ x + x − 2 ≤ 10 ⇔ x + x − 12 ≤ 0. 0 . Rjeˇ Rj eˇsenja sen ja o dgovara dg ovara juće ce kvadra kvad ratne tne jednaˇ jed naˇcine cin e su x su x = −4 i x = 3. 2

2

1

2

y

x

−4

3

∈−

Rjeˇ Rj eˇsenje sen je kvadra kvad ratne tne nejedn nej ednaˇ aˇcine cin e je x [ 4, 3]. 3]. Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senj e je presjek pres jek ovog rjeˇsenja senj a sa definicio defin icionim nim podruˇ po druˇcjem cjem tj.

−∞

+

−4

1

: x R : x

3

∈ (1, (1 , 3]. 3].

∞

♦


log(x log(x

1 − 1) − log(x log(x + 2) ≤ log . 2 138 138



Rjeˇsenj se nje: e: D.P. x D.P. x

+ -2

∞

1

∈

∞ ⇔

(1 , + ). D.P. x (1, 1 1 x 1 log(x log(x 1) log(x log(x + 2) log log log 2 2 x + 2 2x 2 x 2 x 1 1 x 1 1 0 0 2 2(x 2(x + 2) x+2 x+2 2 x 4 0 2x + 4 4 = 0 x = 2 x + 4 = 0 x = 2. x = 4, 2x

− ≤ ⇔ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − − ≤ ⇔ ⇔ − ≤ ⇒  ⇒ − − −

−

MATEMATIKA

− 1 > 0 2 > 0 0 ⇔ x > −2 > 0 ⇔ x > 1 i x + x + 2 >

−∞

x

≤

−∞ −2 4 +∞ x − 4 − −0 + 2x + 4 − 0 + + x−2 + − + 2x + 4 ∈−

Rjeˇ Rj eˇsenj senjee neje nejedn dnaˇ aˇcine ci ne je x [ 2, 4]. 4]. Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senj e je presjek pres jek ovog rjeˇsenja senj a sa definicio defin icionim nim podruˇ po druˇcjem cjem tj.

−∞

∞

+

−2

1

: x R : x

4

∈ (1, (1 , 4]. 4]. ♦ 139 139



Trigonometrija

9.1 9.1

Svod Svoden enje je na prvi prvi kvad kvadra ran nt

Trigonometrijske rigono metrijske funkcije su period p eriodiˇ iˇcne cne pa vrijedi vr ijedi sin(α sin(α + 2kπ 2kπ)) = sin α, cos(α cos(α + 2kπ 2kπ)) = cos α, tg( tg (α + kπ) kπ ) = tgα, tgα, ctg ctg(α + kπ) kπ ) = ctgα. Za 0

≤ α ≤ π2 vrijedi: sin(π sin(π − α) = sin α, sin(π sin(π + α) = − sin α, sin(2π sin(2π − α) = − sin α, cos(π cos(π − α) = − cos α, cos(π cos(π + α) = − cos α, cos(2π cos(2π − α) = cos α.

Primjer 9.1.1 Izra Izraˇˇcuna cu nati ti 5π sin 32π tg cos cos 1000 1000◦ 4 = . sin 170◦ ctg 53π cos( 2π) sin

 

· − · · − ·

Rjeˇsenj se nje: e: Kako vrijedi:

sin tg

−  5π 4

=

−tg

3π 3 π = sin270◦ = 2

  5π 4

=

−1.

◦

◦

◦

sin sin 225 sin(180 + 45 ) − cos − = = cos 225◦ cos(180◦ + 45 ◦)

√ 2 ◦ − sin45 = − √ 2 = −1. =− 2 − cos cos 45◦ 2

cos cos 1000 1000◦ = cos(2 360◦ + 280◦) = cos 280 280◦ = cos(360◦

·

140

− 80◦) = cos cos 80◦ .

9.2. TRIGONOMETR TRIGONOMETRIJSKE IJSKE FUNKCIJE FUNKCIJE POLOVINE POLOVINE I DV DVOSTR OSTRUKO UKOG G

UGLA. ADICIONE FORMULE.

9.2

MATEMATIKA

Trigonomet rigonometrijs rijske ke funkcije funkcije polovine polovine i dvo dvostruk strukog og ugla. ugla. Adicione Adicione formule. formule.

Primjer 9.2.1 Pojednostavi izraz

x + y 2 Rjeˇsenj se nje: e: Ako iskoristimo formule cos2

sin2

1 α = 2

− sin x −2 y = 2

− cos α i cos α 1 + cos α cos = , 2

2

2

2

imamo: cos(x + y ) 1 cos(x cos(x y ) x + x + y x y 1 + cos(x sin2 = = 2 2 2 2 1 + cos(x cos(x + y ) 1 + cos(x cos(x y ) cos(x cos(x + y ) + cos(x cos(x y ) = = . 2 2 Sada nakon primjene adicionih formula cos2

−

−

− −

−

−

−

−

± β ) = sin α cos β ± sin β cos β cos α, cos(α cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β, sin(α sin(α

imamo:

−

−

cos(x + y ) + cos(x cos(x y ) x + y x y cos(x sin2 = = 2 2 2 cos x cos y sin x sin y + cos x cos y + sin x sin y = = cos x cos y. 2 cos2

−

−

♦ Primjer 9.2.2 Pojednostavi izraz

sin2

x + x + y 2

− sin x −2 y = 2


−

−

− − − −

−

1 cos(x cos(x + y ) 1 cos(x cos(x y ) x + x + y x y sin2 = = 2 2 2 2 1 cos(x cos(x + y ) 1 + cos(x cos(x y ) cos(x cos(x y ) cos(x cos(x + y ) = = = 2 2 cos x cos y + sin x sin y cos x cos y + sin x sin y = = sin x sin y. 2 sin2

−

−

−

−

−

♦ 142 142


9.2. TRIGONOMETR TRIGONOMETRIJSKE IJSKE FUNKCIJE FUNKCIJE POLOVINE POLOVINE I DV DVOSTR OSTRUKO UKOG G

UGLA. ADICIONE FORMULE.

MATEMATIKA

Primjer 9.2.3 Ako je

cos2x cos2x = 2 sin sin x. cos x + sin x Izraˇ zra ˇcuna cu nati ti tg2 tg 2x. Rjeˇsenj se nje: e:

cos2x cos2x = 2sin x cos x + sin x

⇔

cos2 x sin2 x = 2sin x cos x + sin x

−

⇔

sin x)(cos x + sin x) = 2 sin sin x ⇔⇔ cos x − sin x = 2 sin sin x ⇔ ⇔ (cos x −cos x + sin x ⇔ cos x = 3 sin sin x. sin2x sin2x 2sin x cos x 2sin x · 3sin x = = = tg2 tg 2x = cos2x cos2x cos x − sin x (3sin x) − sin x 2

2

2

2

6sin2 x 6sin2 x 6 3 = = = = . 4 9sin2 x sin2 x 8sin2 x 8

−


♦

cos2x cos2x = sin x. cos x + sin x

Izraˇ zra ˇcuna cu nati ti tg2 tg 2x. Rjeˇsenj se nje: e:

cos2x cos2x = sin x cos x + sin x

⇔

cos2 x sin2 x = sin x cos x + sin x

−

⇔

sin x)(cos x + sin x) ⇔ (cos x −cos = sin x ⇔⇔ cos x − sin x = sin x ⇔ x + sin x sin x. ⇔ cos x = 2 sin sin2x sin2x 2sin x cos x 2sin x · 2sin x = = = tg2 tg 2x = cos2x cos2x cos x − sin x (2sin x) − sin x 2

2

2

2

4sin2 x 4sin2 x 4 = = = . 4sin2 x sin2 x 3sin2 x 3

−

♦

Primjer 9.2.5 Izra Izraˇˇcuna cu nati ti co coss 15◦ =

143 143


ˇ 9.3. TRIGONOMETR TRIGONOMETRIJSKE IJSKE JEDNACINE

MATEMATIKA


cos15◦ = cos(45◦

− 30◦) = cos cos 45◦ · cos cos 30◦ + sin sin 45◦ · sin sin 30◦ = √ 2 √ 3 √ 2 1 √ 6 √ 2 √ 6 + √ 2 · 2 + 2 ·2= 4 + 4 = 4 . = 2 ♦

Primjer 9.2.6 Izra Izraˇˇcuna cu nati ti si sin n 15◦ = Rjeˇsenj se nje: e:

sin15◦ = sin(45◦

− 30◦) = sin sin 45◦ · cos cos 30◦ − cos cos 45◦ · sin sin 30◦ = √ 2 √ 3 √ 2 1 √ 6 √ 2 √ 6 − √ 2 · 2 − 2 ·2= 4 − 4 = 4 . = 2 ♦

9.3

Trigonometrijske rigonomet rijske jednaˇ cine cine

Primjer 9.3.1 Rij R ijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu cos x = 0 za 2π < x < 3 < 3π. π. Rjeˇsenj se nje: e: sin 1 R1

cos

−1

1

−1 R

2

π + 2kπ 2kπ k 2 3π + 2kπ 2kπ k R2 : x = 2

∈ Z

R1 : x =

∈ Z,

144 144



odnosno R : x =

MATEMATIKA

π + kπ k 2

π (2 π, 3π) . x = ∈ / (2π, ⇒ x = 2 5π π ∈ (2π, Za k Za k = 1 ⇒ x = 2π = (2 π, 3π) . x = + 2π 2 2 9π π ∈/ (2π, Za k Za k = 1 ⇒ x = (2 π, 3π) . x = + 2 · 2π = 2 2

∈ Z.

Za k Za k = 0

Dakle, jedino rjeˇsenje senje koje pripada intervalu (2π, (2 π, 3π) je x je x = = Primjer 9.3.2 Rij R ijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu sin x =

5π . 2

♦

7π . 2

♦

−1 za 3π < x < 4 < 4π. π.

Rjeˇsenj se nje: e: sin 1

cos

−1

1

−1

R : x =

R

3π + 2kπ 2kπ k 2

∈ Z.

3π ⇒ x = ∈/ (3π, (3 π, 4π) . x = 2 3π 7π ∈ (3π, Za k Za k = 1 ⇒ x = + 2π 2π = (3 π, 4π) . x = 2 2 3π 11π 11π ∈/ (3π, Za k Za k = 1 ⇒ x = + 2 · 2π = (3 π, 4π) . x = 2 2 Za k Za k = 0

Dakle, jedino rjeˇsenje senje koje pripada intervalu (3π, (3 π, 4π) je x je x = =

Primjer 9.3.3 Odrediti x ako je sin sin x = Rjeˇsenj se nje: e: sin x =

√ 2

√ 2

−2

i cos x =

√ 2 2

.

−2

145 145



MATEMATIKA

sin 1

cos

−1

1 R1

R2

−1

cos x =

√ 2

5π π = + 2kπ 2kπ k 4 4 7π π = + 2kπ 2kπ k R2 : x = 2π 4 4 = π + + R1 : x = π

∈ Z,

−

∈ Z.

2 sin 1 R1 cos

−1

1 R2

−1

R1 : x = R2 : x = 2π Dakle, Dak le, rjeˇsenje senj e je x = x =

−

π + 2kπ 2kπ k Z, 4 7π π = + 2kπ 2kπ k 4 4

∈

∈ Z.

7π + 2kπ 2kπ k 4

∈ Z.

Primjer 9.3.4 Odrediti x ako je sin sin x =

146 146

♦ −

√

1 3 i cos x = . 2 2 Mr.s Mr.sci ci.. Edis Edis Meki Meki´ć, c , prof profes esor or


Rjeˇsenj se nje: e: sin x =

MATEMATIKA

− 12 sin 1

cos

−1

1

R1

R2

−1

= π + + R1 : x = π R2 : x = 2π cos x =

√ 3

7π π = + 2kπ 2kπ k 6 6

∈ Z,

11π π + 2kπ 2kπ k ∈ Z, ili x ili x = = − + 2kπ 2kπ k ∈ Z. − π6 = 11π 6 6

2 sin 1 R1 cos

−1

1 R2

−1

R1 : x = R2 : x = 2π

π + 2kπ 2kπ k 6

∈ Z,

11π π − π6 = 11π + 2kπ 2kπ k ∈ Z, ili x ili x = = − + 2kπ 2kπ k ∈ Z. 6 6

Dakle, Dak le, rjeˇsenje senj e je x = x =

11π 11π + 2kπ 2kπ k 6

π ∈ Z, ili x ili x = = − + 2kπ 2kπ k ∈ Z. 6 147 147

♦



MATEMATIKA


2sin2 x

− 5cos x + 1 = 0,0,

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu. Rjeˇsenj se nje: e:

2sin2 x

2

− 5cos x + 1 = 0 ⇔ 2(1 − cos x) − 5cos x + 1 = 0 ⇔ ⇔ 2 − 2cos x − 5cos x + 1 = 0 ⇔ 2 cos x + 5 cos cos x − 3 = 0 2

2

Smjena: cos x = t = t 2t2

√ − 5 ± 25 + 24 1 ⇒ + 5t 5t − 3 = 0 ⇒ t = t = −3 i t = . 4 2 1,2

1

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo: dobija mo:

⇔ cos x = −3, nema rjeˇsenja senj a jer je − 1 ≤ cos x ≤ 1, 1 , 1 cos x = t = t ⇔ cos x = , 2

cos x = t = t 1

2

sin 1

R1

cos

−1

1

−1

R2

π + 2kπ 2kπ k Z, 3 5π π = + 2kπ 2kπ.. R2 : x = 2π 3 3 π Rjeˇsenje senje koje pripada pripad a prvom p rvom kvadrantu je x = x = . 3

∈

R1 : x =

−

148 148

♦



MATEMATIKA


2cos2 x

− 7sin x + 2 = 0,0,

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu. Rjeˇsenj se nje: e:

2cos2 x

2

− 7sin x + 2 = 0 ⇔ 2(1 − sin x) − 7sin x + 2 = 0 ⇔ ⇔ 2 − 2sin x − 7sin x + 2 = 0 ⇔ 2 sin x + 7 sin sin x − 4 = 0. 2

2

Smjena: sin x = t = t 2t2

√ − 7 ± 49 + 32 1 ⇒ + 7t 7t − 4 = 0 ⇒ t = t = −4 i t = . 4 2 1,2

1

2


⇔ sin x = −4, nema rjeˇsenja senj a jer je − 1 ≤ sin x ≤ 1, 1 , 1 sin x = t = t ⇔ sin x = , 2

sin x = t = t 1

2

sin 1 R2

R1 cos

−1

1

−1 π + 2kπ 2kπ k Z, 6 5π π = π = + 2kπ 2kπ.. R2 : x = π 6 6 π Rjeˇsenje senje koje pripada pripad a prvom p rvom kvadrantu je x = x = . 6

∈

R1 : x =

−

149 149

♦



MATEMATIKA


sin2 x

sin 2x − sin + 2 sin sin x − 2cos x = 0. 2


sin2x 2sin x cos x +2sin x−2cos x = 0 ⇔ sin x− +2 sin sin x−2cos x = 0 − sin2x 2 2 ⇔ sin x − sin x cos x + 2 sin sin x − 2cos x = 0 ⇔ ⇔ sin x(sin x − cos x) + 2(sin x − cos x) = 0 ⇔ ⇔ (sin x − cos x)(sin x + 2) = 0 ⇔ sin x − cos x = 0 i sin x + 2 = 0. 0. π sin x − cos x = 0 ⇔ sin x = cos x ⇔ tgx tg x = 1 ⇒ x = x = + kπ, k ∈ Z, 4 sin x + 2 = 0 ⇔ sin x = −2, nema n ema rjeˇsenja senj a jer je − 1 ≤ sin x ≤ 1. 1 . ♦

sin2 x

2

2


cos2 x +

sin2x sin2x 2

− 2sin x − 2cos x = 0.


− − ⇔ cos x+ 2sin x2 cos x −2sin x−2cos x = 0 ⇔ ⇔ cos x + sin x cos x − 2sin x − 2cos x = 0 ⇔ ⇔ cos x(cos x + sin x) − 2(sin x + cos x) = 0 ⇔ ⇔ (cos x − 2)(sin x + cos x) = 0 cos x − 2 = 0 ⇔ cos x = 2 nema rjeˇsenja senja jer je − 1 ≤ cos x ≤ 1, 1 , sin x + cos x = 0 ⇔ sin x = − cos x ⇔ 7π π π + kπ k ∈ Z ili x ili x = − + kπ k ∈ Z. tgx = tgx = −1 ⇒ x = x = 2π − = 4 4 4 ♦

cos2 x+

sin2x sin2x 2sin x 2cos x = 0 2

2

2

150 150



MATEMATIKA


− 5sin x − cos2x cos2x = 0,

3

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu. Rjeˇsenj se nje: e: 2

2

− 5sin x − cos2x cos2x = 0 ⇔ 3 − 5sin x − (cos x − sin x) = 0 ⇔ ⇔ 3 − 5sin x − cos x + sin x = 0 ⇔ 3 − 5sin x − (1 − sin x)+sin x = 0 ⇔ ⇔ 3 − 5sin x − 1 + sin x + sin x = 0 ⇔ 2 sin x − 5sin x + 2 = 0 3

2

2

2

2

2

2

2

Smjena: sin x = t, = t, 2t2

− 5t + 2 = 0 ⇒ t

1,2

=

5

± √ 25 − 16 ⇒ t = 2 i t = 1 . 1

4

2

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo: dobija mo: sin x = t = t1

⇔ sin x = 2, nema n ema rjeˇsenja senj a jer je − 1 ≤ sin x ≤ 1, 1 , 1 sin x = t = t ⇔ sin x = , 2 2

sin 1 R2

R1 cos

−1

1

−1 π + 2kπ 2kπ k Z, 6 5π π = π = + 2kπ 2kπ.. R2 : x = π 6 6 π Rjeˇsenje senje koje pripada pripad a prvom p rvom kvadrantu je x = x = . 6

∈

R1 : x =

−

151 151

♦



MATEMATIKA


cos2x cos2x + 3 cos cos x

− 1 = 0,

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu. Rjeˇsenj se nje: e: 2

2

⇔ cos x−(1−cos

2

2

− 1 = 0 ⇔ cos x − sin x + 3 cos cos x − 1 = 0 ⇔ x)+3cos x − 1 = 0 ⇔ cos x − 1+cos x +3cos x − 1 = 0 ⇔ ⇔ 2 cos x + 3 cos cos x − 2 = 0

cos2x cos2x + 3 cos cos x

2

2

2

Smjena: cos x = t = t 2t2

√ − 3 ± 9 + 16 1 + 3t 3t − 2 = 0 ⇒ t = ⇒ t = −2 i t = . 4 2 1,2

1

2


⇔ cos x = −2, nema rjeˇsenja senj a jer je − 1 ≤ cos x ≤ 1, 1 , 1 cos x = t = t ⇔ cos x = , 2

cos x = t = t 1

2

sin 1

R1

cos

−1

1

−1

R2

π + 2kπ 2kπ k Z, 3 5π π = + 2kπ 2kπ.. R2 : x = 2π 3 3 π Rjeˇsenje senje koje pripada pripad a prvom p rvom kvadrantu je x = x = . 3

∈

R1 : x =

−

152 152

♦



MATEMATIKA

Primjer 9.3.11 Izraˇ Iz raˇcunati cun ati zbir zbi r svih svi h rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine cin e 2x

4cos

+2

1 cos cos 2x 2

4

− 5 = 0,

koja pripadaju [0, [0, 2π]. Rjeˇsenj se nje: e: 2x

4cos

⇔ 4

cos2 x

+2

cos2 x

4

− 5 = 0 ⇔ 4

1

+2 4

⇔ 4

1 cos cos 2x 2

cos2 x−(1− (1−cos2 x) 2

+2

1

√ 4

2cos2 x

2x

+2

− 5 = 0 ⇔ 4

− − 5 = 0 ⇔ 4 cos2 x

4

+

4cos2 x

1 4

cos2 x−sin2 x 2

cos2 x

cos2 x

1

⇔ 4 Smjena: 4cos

cos2 x

+2 +2

−5=0⇔ 1

4

2cos2 x−1 2

2 22cos2 x

−5=0⇔

− 5 = 0 ⇔

− 5 = 0

= t,

t+

4 t

2

− 5 = 0 ⇔ t − 5t + 4 = 0 ⇒ t = 1 i t = 4. 1

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo: dobija mo: 2x

4cos

⇔ 4

= t 1

cos2 x

=1

⇒ cos

2

x = 0

⇒ cos x = 0

sin 1

R

cos

−1

1

−1

R : x = 2x

4cos

⇔ 4

= t 2

cos2 x

=4

π + kπ k 2

⇒ cos

2

∈ Z. x = 1 ⇒ cos x = −1 i cos x = 1.

153 153



MATEMATIKA

sin 1

R

R cos

−1

1

−1

∈ Z.

R : x = 0 + kπ = kπ = k kπ π k Dakle Da kle,, rjeˇsenja sen ja jednaˇ jed naˇcine cin e su x =

π + kπ k 2

∈ Z i x = x = k kπ π k ∈ Z.

Za k Za k = 0 imamo:

π [0, [0 , 2π ]. 2 [0 , 2π]. x = 0 [0,

x =

Za k Za k = 1 imamo: x =

x =

−1 imamo:

3π π + π = [0, [0 , 2π]. 2 2 = π [0, [0 , 2π]. x = π

∈

∈


Za k Za k =

∈ ∈

5π π + 2π 2π = [0 , 2π]. / [0, 2 2 [0 , 2π]. x = 2π [0,

∈

∈ −π ∈/ [0, π [0 , 2π]. x = − π = 2 x =

2 [0 , 2π]. π / [0,

− ∈

Za ostale vrijednosti k rjeˇsenja senj a su izvan intervala interval a [0, [0 , 2π]. Dakle, zbir svih rjeˇ rjeˇsenja senja koja pripadaju intervalu intervalu [0, [0, 2π] je 3π 3 π π +0+ + π + 2π 2 π = 5π. 2 2

♦ 154 154



MATEMATIKA

Primjer 9.3.12 Izraˇ Iz raˇcunati cun ati zbir zbi r svih svi h rjeˇsenja sen ja jednaˇ jedn aˇcine cin e 2x

4sin

cos cos 2x 2

·

+2 4

− 5 = 0,

koja pripadaju [0, [0, 2π]. Rjeˇsenj se nje: e: 2x

4sin sin2 x

⇔ 4 ⇔ 4

· √ 4

cos cos 2x 2

cos2 x−sin2 x 2

sin2 x

− 5 = 0 ⇔ 4 + 2 · 4 −5=0⇔ − +2· − 5 = 0 ⇔ 4 + 2 · 2 − − 5 = 0 ⇔ − − 5 = 0 ⇔ 4 + 2 · 2 − − 5 = 0 ⇔ +2·2 − ⇔ 4 + 2 · 2 2 − 5 = 0 ⇔ 4 + 4 4 − 5 = 0 +2 4

sin2 x

cos2 x sin2 x

sin2 x

1 sin2 x sin2 x

cos2 x sin2 x

sin2 x

sin2 x

1 2sin2 x

sin2 x

2sin2 x

Smjena: 4sin

2x

sin2 x

= t

t+

4 t

2

− 5 = 0 ⇔ t − 5t + 4 = 0 ⇒ t = 1 i t = 4. 1

2


4sin

⇔ 4

= t 1

sin2 x

=1

⇒ sin

2

x = 0

⇒ sin x = 0

sin 1

R cos

−1

1

−1

R : x = 0 + kπ k 4sin

2x

⇔ 4

= t 2

sin2 x

=4

⇒ sin

2

= kπ x = k π k

∈ Z. x = 1 ⇒ sin x = −1 i sin x = 1.

∈ Z ⇔

155 155



MATEMATIKA

sin 1

R

cos

−1

1

−1

R : x =

R

π + kπ k 2

∈ Z.

Dakle Da kle,, rjeˇsenja sen ja jednaˇ jed naˇcine cin e su π ∈ Z i x = x = + kπ k ∈ Z. 2

= kπ x = k π k Za k Za k = 0 imamo:

∈ ∈

[0 , 2π]. x = 0 [0, π [0, [0 , 2π ]. x = 2 Za k Za k = 1 imamo:

∈

= π [0, [0 , 2π]. x = π 3π π [0, [0 , 2π]. x = + π = 2 2

∈


∈

[0 , 2π]. x = 2π [0, 5π π 2π = [0 , 2π]. x = + 2π / [0, 2 2

∈

Za k Za k =

−1 imamo:

− ∈ − − ∈

[0 , 2π]. x = π / [0, π π [0 , 2π]. x = π = / [0, 2 2 Za ostale vrijednosti k vrijednosti k rjeˇsenja senj a su izvan intervala interval a [0, [0 , 2π]. Dakle, zbir svih rjeˇ rjeˇsenja senja koja pripadaju intervalu intervalu [0, [0, 2π] je 0+

3π 3 π π + π + + 2π 2π = 5π. 2 2

♦ 156 156



MATEMATIKA


2cos2 x

− 7cos x + 3 = 0,0,

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada intervalu interval u (0, (0, π). Rjeˇsenj se nje: e: Smena cos x = t, = t,

2cos2 x t1,2

2

− 7cos x + 3 = 0 ⇒ 2t 2 t − 7t + 3 = 0 ⇒ √ 7 ± 49 − 24 ⇒ t = 1 i t = 3. =

4 Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo dobija mo

1

2

2

⇔ cos x = 12

cos x = t = t1

sin 1

R1

cos

−1

1

−1

R2

π + 2kπ 2kπ k Z, 3 5π π + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k R2 : x = 2π 3 3 cos x = t = t 2 cos x = 3 nema rjeˇsenja senja jer je 1

∈

R1 : x =

−

∈ Z. 1 . − ≤ cos x ≤ 1.

⇔

Dakle, rjeˇsenje senje jednaˇcine cine koje pripada pripad a intervalu (0, (0 , π) je x =

π . 3

♦


2cos2 x

− 7cos x − 4 = 0,

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada intervalu interval u (0, (0, π). 157 157



MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: Smena cos x = t, = t,

2cos2 x t1,2

2

− 7cos x − 4 = 0 ⇒ 2t 2 t − 7t − 4 = 0 ⇒ √ 7 ± 49 + 32 1 ⇒ = t = − i t = 4. 4 2 1

2

Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo dobija mo

⇔ cos x = − 12

cos x = t = t 1

sin R1

1

cos

−1

1

R2

−1

2π − π3 + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k ∈ Z, 3 4π π = π + + + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k ∈ Z. R : x = π 3 3 cos x = t = t ⇔ cos x = 4, nema n ema rjeˇsenja senja jer je − 1 ≤ cos x ≤ 1. 1 . = π R1 : x = π 2

2

Dakle, rjeˇsenje senje jednaˇcine cine koje pripada pripad a intervalu (0, (0 , π) je x =

2π . 3

♦


cos7x cos7x + 2 sin 5x sin2x sin2x = 0. Rjeˇsenj se nje: e: Ako iskoristimo formulu

1 sin x sin y = (cos(x (cos(x 2

− y) − cos(x cos(x + y )) ,

imamo: 1 ⇔ cos cos 7x + 2 · (cos(5x (cos(5x − 2x) − cos(5x cos(5x + 2x 2x)) = 0 2 ⇔ cos cos 7x + cos cos 3x − cos7x cos7x = 0 ⇔ cos cos 3x = 0

cos7x cos7x +2sin5x +2sin5x sin2x sin2x = 0

158 158



MATEMATIKA

sin 1

R

cos

−1

1

−1

R : 3x =

π + kπ k 2

π ∈ Z ⇒ x = x = + kπ k ∈ Z. 6


sin3x sin3x sin5x sin5x = sin sin 4x sin6x sin6x = 0. Rjeˇsenj se nje: e: Ako iskoristimo formulu


− y) − cos(x cos(x + y )) ,

imamo:

⇔

sin3x sin3x sin5x sin5x = sin sin 4x sin6x sin6x = 0 1 1 (cos(3x (cos(3x 5x) cos(3x cos(3x + 5x 5x)) = (cos(4x (cos(4x 6x) cos(4x cos(4x + 6x 6x)) 2 2 cos( 2x) cos(8x cos(8x) = cos( 2x) cos(10x cos(10x) cos cos 10x 10x cos8x cos8x = 0.

⇔ ⇔

− − − −

Ako sada primijenimo formulu cos x

− −

− − ⇔ −

⇔

− cos y = −2sin x +2 y sin x −2 y

imamo: cos10x cos10x

10x 10 x + 8x 8x 10x 10x − 8x − cos8x cos8x = 0 ⇔ −2sin sin =0 ⇔ 2 2

18x 2x 2 x ⇔ −2sin 18x sin = 0 ⇔ sin sin 9x sin x = 0 ⇒ 2 2 ⇒ sin sin 9x = 0 i sin x = 0. 159 159



MATEMATIKA

sin 1

R cos

−1

1

−1

∈ Z ⇔

R : 9x = 0 + k π , k

x =

kπ , k 9

∈ Z. ♦


sin2x sin2x sin4x sin4x = sin sin 5x sin7x sin7x = 0. Rjeˇsenj se nje: e: Ako iskoristimo formulu


− y) − cos(x cos(x + y )) ,

imamo:

⇔

sin2x sin2x sin4x sin4x = sin sin 5x sin7x sin7x = 0 1 1 (cos(2x (cos(2x 4x) cos(2x cos(2x + 4x 4x)) = (cos(5x (cos(5x 7x) cos(5x cos(5x + 7x 7x)) 2 2 cos( 2x) cos(6x cos(6x) = cos( 2x) cos(12x cos(12x) cos cos 12x 12x cos6x cos6x = 0.

⇔ ⇔

− − − −

Ako sada primijenimo formulu cos x

− −

− − ⇔ −

⇔

− cos y = −2sin x +2 y sin x −2 y

imamo: cos12x cos12x

12x 12 x + 6x 6x 12x 12x − 6x − cos6x cos6x = 0 ⇔ −2sin sin =0 ⇔ 2 2

18 x 6x 6 x ⇔ −2sin 18x sin = 0 ⇔ sin sin 9x sin3x sin3x = 0 ⇒ 2 2 ⇒ sin sin 9x = 0 i sin 3x = 0. 160 160



MATEMATIKA

sin 1

R cos

−1

1

−1

∈ Z ⇔

R : 9x = 0 + k π , k

x =

kπ , k 9

∈ Z. ♦


1 + cos x = 3, 1 cos x

−

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu.

− cos x = 0 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = kπ k π k ∈ Z. 1 + cos x = 3 ⇔ 1 + cos x = 3(1 − cos x) ⇔ 1 − cos x

Rjeˇsenj se nje: e: D.P. 1

⇔ 1 + cos x = 3 − 3cos x ⇔ 4 cos x = 2 ⇔ cos x = 12 sin 1

R1

cos

−1

1

−1

161 161

R2



MATEMATIKA

π + 2kπ 2kπ k Z, 3 5π π + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k R2 : x = 2π 3 3 π Dakle, rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu je x = x = . 3

∈

R1 : x =

−

∈ Z. ♦


1 + sin x = 3, 3, 1 sin x

−

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu. Rjeˇsenj se nje: e: D.P. 1

− sin x = 0 ⇒ sin x = 1 ⇒ x = kπ2 k ∈ Z.

1 + sin x =3 1 sin x

−

⇔ 1 + sin x = 3(1 − sin x) ⇔

⇔ 1 + sin x = 3 − 3sin x ⇔ 4 sin x = 2 ⇔ sin x = 12 sin 1 R2

R1 cos

−1

1

−1 π + 2kπ 2kπ k Z, 6 5π π = π + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k R2 : x = π 6 6 π Dakle, rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu je x = x = . 6

∈

R1 : x =

−

∈ Z.

162 162

♦



MATEMATIKA

Primjer 9.3.20 Rij Rijeˇ eˇsiti si ti jedna jed naˇˇcinu ci nu 2x

2 4sin

·

−3·4

cos2 x

+ 2 = 0, 0,

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu. Rjeˇsenj se nje: e: 2x

cos2 x

sin2 x

1 sin2 x

· − 3 · 4 + 2 = 0 ⇔ 2 · 4 − 3 · 4 − ⇔ 2 · 4 − 3 · 4 4 + 2 = 0 ⇔ 2 · 4 − 4 12

2 4sin

sin2 x

sin2 x

sin2 x

Smjena: 4sin

2x

sin2 x

+2=0

⇔

+ 2 = 0. 0.

= t,

· − 12t + 2 = 0 ⇔ 2t 2 t + 2t 2t − 12 = 0 ⇔ t + t − 6 = 0 √ − 1 ± 1 + 24 ⇒ t = −3 i t = 2. t = 2 2

2 t

2

1,2

1

2


4sin

2x

4sin

= t 1

⇔ 4

sin2 x

=

nem a rjeˇsenja sen ja.. −3 nema = t ⇔ 4 = 2 ⇔ 2 = 2 ⇔ 2 sin x = 1 ⇒ √ √ 2 1 2 sin x = ⇒ sin x = i sin x = − 2 2 2 sin2 x

2

2 sin sin2 x

2

2

sin x =

√ 2 2

sin 1 R2

R1 cos

−1

1

−1

163 163



−

MATEMATIKA

π + 2kπ 2kπ k Z, 4 3π π + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k 4 4

∈

R1 : x = = π R2 : x = π

∈ Z.

π Dakle, rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu je x = x = . sin x = 4

√ 2

−2

sin 1

cos

−1

1

R4

R3

−1

R3 : x = 2π

7π − π4 + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k ∈ Z, 4

5π π + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k Z. 4 4 U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju nema rjeˇsenja senja koja pripada ju prvom kvadrantu. = π + + R4 : x = π

∈

♦


4sin

2x

2 x+1

+ 2 4cos

·

= 18, 18,

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu. Rjeˇsenj se nje: e: 2x

4sin

⇔ 4 Smjena: 4sin

2x

+ 2 4cos

·

sin2 x

2 x+1

= 18 18

+ 8 41−sin

·

2x

⇔ 4

= 18

sin2 x

⇔ 4

+ 2 4cos

·

sin2 x

+8

2x

· 4 = 18 ⇔

·44

sin2 x

= 18

= t, t+

32 = 18 t

2

⇔ t − 18t 18t + 32 = 0 164 164



t1,2 =

18

2x

⇔ 4

= t 1

sin2 sin x =

√ 2

MATEMATIKA

± √ 324 − 128 ⇒ t = 2 i t = 16. 16.

2 Nakon uvrˇstavanja stavanja u smjenu dobijamo: dobija mo: 4sin

sin2 x

2 sin sin2 x

2

2

⇔ 2 sin x = 1 ⇒ √ 2 √ 2 1 i sin x = − x = ⇒ sin x = 2 2 2 =2

⇔ 2

1

=2

2 sin 1 R2

R1 cos

−1

1

−1 π + 2kπ 2kπ k Z, 4 3π π = π + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k R2 : x = π 4 4 π Rjeˇsenje senje koje pripada pripad a prvom p rvom kvadrantu je x = x = . 4 2 sin x = 2 R1 : x =

∈

−

−

∈ Z.

√

sin 1

cos

−1

1

R4

R3

−1 165 165



R3 : x = 2π

MATEMATIKA

7π − π4 + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k ∈ Z, 4

5π π + 2kπ 2kπ = = + 2kπ 2kπ k Z. 4 4 U ovom sluˇ sl uˇcaju ca ju nema rjeˇsenja senja koja pripada ju prvom kvadrantu.

∈

= π + + R4 : x = π

2x

4sin

sin2 x

sin2 x

2

2

⇔ 4 = 16 ⇔ 4 = 4 ⇔ sin x = 2 ⇒ √ sin x = ± 2, nema rjeˇsenja senj a jer je − 1 ≤ sin x ≤ 1. 1 . = t 2

Dakle, jedino rjeˇsenje senje koje pripada prvom kvadrantu je x je x =

π . 4

♦


√ sin x + 3cos x = 1. Rjeˇsenj se nje: e:

sin x +

⇔

√

3cos x = 1

sin π3 sin x + cos x = 1 cos π3

·

⇔ sin x + tg π3 · cos x = 1 ⇔

⇔ sin x · cos π3 + sin π3 · cos x = cos π3 = 12 .

Ako sada iskoristimo formulu

·

sin(x sin(x + y ) = sin x cos y + sin y cos x, imamo:

1 π π sin x cos + sin cos x = 3 3 2

·

·

⇔ sin

π 3

  x+

=

1 2

sin 1 R2

R1 cos

−1

1

−1

166 166



MATEMATIKA

π π π = + 2kπ 2kπ x = + 2kπ 2kπ k x = 3 6 6 π π π + 2kπ 2kπ x = 2kπ k R2 : x + = π x = + 2kπ 3 6 2 R1 : x +

−

⇒ − ⇒

∈ Z. ∈ Z. ♦


√ 3sin x − cos x = √ 2. Rjeˇsenj se nje: e:

√

√ √ − cos x = 2 ⇔ tg π3 · sin x − cos x = 2 ⇔ √ 2 √ √ π π π · sin x − cos x = 2 ⇔ sin 3 · sin x − cos 3 · cos x = 2cos 3 = 2 . 3sin x

⇔

sin π3 cos π3

Ako sada iskoristimo formulu

·

cos(x cos(x + y ) = cos x cos y imamo: π cos cos x 3

·

−

π sin sin x = 3

·

√ 2

− sin x sin y,

−2 ⇔

π cos x + 3

 

=

√ 2

−2

sin 1 R1 cos

−1

1

R2

−1 5π ⇒ x = + 2kπ 2kπ k ∈ Z. x = 12 11π 11π ⇒ x = + 2kπ 2kπ k ∈ Z. x = 12

π π = π + 2kπ 2kπ 3 4 π π 2kπ R2 : x + = π + π + + 2kπ 3 4 R1 : x +

−

♦ 167 167



MATEMATIKA


1 sin x cos x = , 4 a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada intervalu interval u (0, (0, π). Rjeˇsenj se nje: e: Ako iskoristimo formulu

sin2x sin2x = 2 sin sin x cos x, imamo: sin x cos x =

1 4

⇔ 2 sin x cos x = 24 ⇔

1 ⇔ sin sin 2x = . 2 sin 1 R2

R1 cos

−1

1

−1 π π + 2kπ 2kπ x = x = + kπ k Z, 6 12 5π π = π + 2kπ 2kπ x = + kπ k Z. R2 : 2x = π x = 6 12 5π π Dakle, rjeˇsenja senja koja pripada ju intervalu i ntervalu (0, (0 , π) su x = i x = x = . 12 12

⇒

R1 : 2x =

−

∈

⇒

∈

♦


sin x cos x =

− 14 ,

a zatim odr odrediti editi rjeˇsenje senje koje pripada intervalu interval u (0, (0, π).

168 168


ˇ 9.4. TRIGONOMETR TRIGONOMETRIJSKE IJSKE NEJEDNA NEJEDNACINE

MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: Ako iskoristimo formulu

sin2x sin2x = 2 sin sin x cos x, imamo: sin x cos x =

− 14 ⇔ 2 sin x cos x = − 24 ⇔ 1 sin 2x = − . ⇔ sin 2 sin 1

cos

−1

1

R1

R2

−1

= π + + R1 : 2x = π R2 : 2x = 2π

−

π + 2kπ 2kπ 6 π + 2kπ 2kπ 6

7π ⇒ x = + kπ k ∈ Z, x = 12 11π 11π + kπ k ∈ Z. ⇒ x = x = 12

Dakle, rjeˇsenja senja koja pripada ju intervalu i ntervalu (0, (0 , π) su x =

9.4

7π 11π 11π i x = x = . 12 12

♦

Trigonometrijske rigonomet rijske nejednaˇ cine cine


2cos x

− √ 2sin2x 2sin2x ≤ 0

∈

za x [0, [0 , 2π]. Rjeˇsenj se nje: e:

√ √ − 2sin2x 2sin2x ≤ 0 ⇔ 2 cosx os x − 2 · 2sin x cos x ≤ 0 ⇔ √ ≤ 0 ≥ 0 cos x√ cos x√ ⇔ 2 cosx os x(1− 2·sin x) ≤ 0 ⇔ ili 1 − 2 · sin x ≥ 0 1 − 2 · sin x ≤ 0 2cos x





169 169



(1) cos x

MATEMATIKA

≤ 0 sin 1

cos

−1

1

−1

R1 : x

√ 2 √ 1 − 2 · sin x ≥ 0 ⇔ sin x ≤

∈ 

3 π π 3π , . 2 2

2

sin 1

cos

−1

1

−1

 − ∪  ⇔  ∪ 

R2 : x = π

π , 2π 4

0,

π 4

x = x =

3π , 2π 4

0,

π . 4

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senj e u ovom sluˇcaju ca ju je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj. R : x (2) cos x

∈ 

3π 3π 3 π , . 4 2

≥ 0 170 170



MATEMATIKA

sin 1

cos

−1

1

−1

R1 : x

∈  ∪  

√ 2 √ 1 − 2 · sin x ≤ 0 ⇔ sin x ≥

3π , 2π 2

0,

π . 2

2

sin 1

cos

−1

1

−1

  ∈  ∈  ∪  

3 π π 3π , . 4 4 Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senj e u ovom sluˇcaju ca ju je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj. π π R : x , . 4 2 R2 : x =

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ nejed naˇcine cine je unija uni ja dobijen dob ijenih ih tj. x

3π 3π 3 π , . 4 2

π π , 4 2

171 171

♦



MATEMATIKA


2sin x +

√

2sin2x 2sin2x

≤ 0

∈

za x [0, [0 , 2π]. Rjeˇsenj se nje: e:

√ ≤ 0 ⇔ 2 sinx in x + 2 · 2sin x cos x ≤ 0 ⇔ √ ≤ 0 ≥ 0 sin x√ sin x√ sin x(1+ 2·cos x) ≤ 0 ⇔ ili ⇔ 2 sin 1 + 2 · cos x ≥ 0 1 + 2 · cos x ≤ 0 (1) sin x ≤ 0 2sin x +

√

2sin2x 2sin2x





sin 1

cos

−1

1

−1

[ π, 2π] . R1 : x [π,

√ 2 √ 1 + 2 · cos x ≥ 0 ⇔ cos x ≥ −

∈

2

sin 1

cos

−1

1

−1 172 172



MATEMATIKA

     − ⇔ ∪ ∈ 

5π 3π 3 π π π 0, π 0, R2 : x = π + , 2π , x = x = , 2π . 4 4 4 4 Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senj e u ovom sluˇcaju ca ju je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj.



∪

R : x (2) sin x

5π , 2π . 4

≥ 0 sin 1

cos

−1

1

−1

∈

[0 , π] . R1 : x [0, 1+

√ 2 · cos x ≤ 0 ⇔ cos x ≤ −

√ 2 2

sin 1

cos

−1

1

−1

 − ⇔  

R2 : x = π

π ,π 4

173 173

x = x =

3π ,π . 4



MATEMATIKA

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senj e u ovom sluˇcaju ca ju je presjek pres jek dobijen dob ijenih ih rjeˇsenja senj a tj. R : x

∈ 

3π ,π . 4

Konaˇ Kon aˇcno cno rjeˇsenje senje polaz po lazne ne nejednaˇ nejed naˇcine cine je unija uni ja dobijen dob ijenih ih tj. x

∈  ∪   3π ,π 4

5π , 2π . 4

♦

174 174



Skup komplesknih brojeva

10.1 10 .1

Opera Operaci cije je sa sa kom kompl plek eksn snim im brojev brojevim ima a


√ −

1+i 3 = z = 1 i odrediti Re Re((z ) + I m(z ) = Rjeˇsenj se nje: e:

√ −

√ √ √ − · − √ √ √ √ 1 + i + i 3 − 3 1 − 3 + i(1 + 3) = = ,⇒ 1 − (−1) 2 √ √ 1− 3 1+ 3 ⇒ Re i I m(z ) = Re((z ) = . 2 2 √ √ 1 − 3 1 + 3 2 + = = 1. Re((z ) + I m(z ) = Re

1 + i 3 1 + i 3 1 + i 1 + i + i 3 + i2 3 = = = = z = 1 i 1 i 1+i 1 i2

2

2

2

♦ Primjer 10.1.2 Ako je

= z = odrediti Re Re((z )

− I m(z ) =

1

−√ i 1−i 3

175

10.1. OPERACIJE OPERACIJE SA KOMPLE KOMPLEKSNIM KSNIM BROJEVIM BROJEVIMA A

MATEMATIKA

Primjer 10.1.5 Odrediti vrijednost parametra a tako a tako da imaginarni dio kom-

pleksnog broja

a 2i 2 i + , 2+i 3+i

−

= z =

−

−− 11 . 10

iznosi


− · − i + 2 − i · 3 − i = −i 3+i 3−i 2a − ai − 4i + 2i 2i 6 − 2i − 3i + i 2a − 2 − ai − 4i 5 − 5i = + = + = 4−i 9−i 5 10 −2a − 13 4a − 4 − 2ai − 8i + 5 − 5i 4a + 1 = = +i = z =

−

−

a 2i 2 i a 2i 2 + = 2+i 3+i 2+i 2 2

2

2

2

10

10

10

−2a − 13 . 4a + 1 ⇒ Re i I m(z ) = Re((z ) = 10 10 Na osnovu uslova zadatka imamo I m(z ) =

−2a − 13 = − 11 ⇔ −2a − 13 = −11 ⇒ a = − 11 ⇔ a = −1. 10 10 10 ♦

Primjer 10.1.6 Odrediti vrijednost parametra a parametra a tako tako da realni dio komplek-

snog broja

−

1 ai i + 1+i i

= z = iznosi

11 . 10

− 1, −2


− 1 = 1 − ai · 1 − i + i − 1 · i + i + 2 − 2 1 + i 1 − i i − 2 i + 2 = 1 − i − ai + ai 2i − i − 2 1 − a − i − ai −3 + i i + 2i = + = + 1−i 2 −5 = i −4 −5a − 7 ⇒ 5 − 5a − 5i − 5ai + 6 − 2i 11 − 5a = = +i 10 10 10 11 − 5a −5a − 7 . ⇒ Re i I m(z ) = Re((z ) = = z =

1 ai i + 1+i i

−

2

2

2

2

10

10

177 177


10.2. MODUL KOMPLEKS KOMPLEKSNOG NOG BROJ BROJA A

10.2 10 .2

MATEMATIKA

Modul Modul kom ompl plek eksn snog og broja broja

Modul kompleksnog broja z broja z = = x + iy je x +

|z | =

  | | | |

x2 + y 2 .

Za modul kompleksnog broja vrijedi



z 1 z 1 = , z 2 z 2

|z · z | = |z | · |z |. 1

2

1

2

Primjer 10.2.1 Odrediti modul kompleksnog broja

√ − √

1 i 2 = 5+i 2 Rjeˇsenj se nje: e:

|z | =

 

√ 2 √ + 2

2

1+

52

2

√ 3 = √ = 27

  3 = 27

1 1 = . 9 3

♦


√ − √

5 i 2 = 1+i 2 Rjeˇsenj se nje: e:

|z | =

√ 2 √ 1+ 2

 

52 +

2

2

√ 27 = √ = 3



27 = 3

√

9 = 3. 3.

♦


√ 3 − i√ 3

cos cos 15◦ + i sin sin 15◦

181 181

=



MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja z broja z = x + x + iy je

| |·

= z (cos ϕ + i sin ϕ) , z = I m(z ) . Re((z ) Re Dakle modul komple kompleksnog ksnog broja cos 15◦ + i sin15◦ je 1. Pa imamo

| |

gdje je z modul kompleksnog broja i tgϕ = tgϕ =

|z | =

 √ √

√ 3

2

2

3 + 1

=

√

6.

♦ Primjer 10.2.4 Odrediti modul kompleksnog broja

√ 3 + i√ 3 cos cos 75◦ + i sin sin 75◦ Rjeˇsenj se nje: e:

z =

||

 √ √

√ 3

2

=

2

3 + 1

=

√ 6

.

♦ Primjer 10.2.5 Odrediti modul kompleksnog broja

z = ako je z 1 =

1 + 6i 6i + z 1 , z 1 i

−

4 i. −1 + 4i.


= z =

−

1 + 6i 6 i + z 1 1 + 6i 6i 1 + 4i 4i = = 1 + 4i 4i i z 1 i

· −−11 −− 33ii =

10i 10i 1 + 3i 3i

− − − − −10i −10i 10i − 30i 30i 10i + 30 −10i 10i + 30 = = = = −i + 3. 3. 1 − 9i 1+9 10 |z | = |3 − i| = √ 3 + 1 = √ 10. 10. 2

2

2

♦ 182 182



MATEMATIKA


= z = ako je z 1 =

−

1 + i 2z 1 , 3 + z 1

−2 + 3i. 3 i.


= z =

−

− − − · − 3i = − − 3i −10 − 20i 5 − 15i 15i − 5i + 15i 15i 20i = = = −1 − 2i. 1 − 9i 10 √ √ |z | = | − 1 − 2i| = 1 + 4 = 5.

1 + i 2z 1 1 + i 2( 2 + 3i 3 i) 5 5i 1 = = 3 + z 1 3 2 + 3i 3i 1 + 3i 3i 1 2

2

♦ Primjer 10.2.7 Odrediti kompleksan broj z koji zado zadovol voljava java jednaˇcinu cinu

|z | + z = = 3 − 4i. Rjeˇsenj se nje: e: Neka je z je z = = x + iy, tada x + iy, tada je |z | = x + y . |z | + z = = 3 − 4i ⇔ x + y + x + iy = iy = 3 − 4i ⇔



2



2

2

2



x2 + y 2 + x = 3 4 y =

− √ x + 16 + x = 3 √ x + 16 = 3 x, 3 x 0, ⇔ − − ≥ 0, x ≤ 3 7 6 x = −7 ⇒ x = x + 16 = 9 − 6x + x ⇔ 6x x = − . 6 2

2

2

2

Dakle, kompleksan brooj je z = =

− 76 − 4i.

♦

Primjer 10.2.8 Odrediti kompleksan broj z koji zado zadovol voljava java jednaˇcinu cinu

|z | − z = = 4 + 3i. 3 i.

183 183



| |

Rjeˇsenj se nje: e: Neka je z je z = = x + iy, tada x + iy, tada je z =

|z | − z = = 4 + 3i 3i



 ⇔

x2 + y 2

x2 + y 2

√

x2 + 9

− x = 4 ⇔



x2 + y 2 .

− x − iy = 3i ⇔ iy = 4 + 3i

= 4 = 3

−x −y √

MATEMATIKA

⇒ y = −3

≥ 0, 0 , x ≥ −4 7 ⇔ 8x 8 x = −7 ⇒ x = x = − . 8

x2 + 9 = 4 + x, 4 + x

8 x + x2 x2 + 9 = 16 + 8x Dakle, kompleksan broj je z je z =

− 78 − 3i.

♦


2z z , 1 + z

−

−3 + i. Rjeˇsenj se nje: e: z = = −3 − i. z = −3 + i ⇒ z = 2z − z 2(−3 + i) − (−3 − i) −3 + 3i 3 i −2 − i = = −2 + i · −2 − i = 1 + z 1−3+i 6 + 3i 3 i − 6i − 3i 9 − 3i 9 3i 3 i = = = − . 4−i 5 5 5

ako je z = =

2

2

Dakle, modul kompleksnog broja je

|z | =

      − 9 5

2

+

3 5

2

=

81 9 + = 25 25



90 = 25

√ 90 5

√

3 10 = . 5

♦

184 184



Planimetrija i stereometrija

11.1 11 .1

Plan Planim imet etri rija ja

Primjer 11.1.1 Osnovica jednakokrakog trougla je 3 cm i cm i njen naspramni

ugao je 30◦ . Izraˇ Izraˇcuna cu nati ti pov povrˇ rˇsinu si nu tro troug ugla la.. Rjeˇsenj se nje: e:

C 30◦ h α A

β a = 3 cm

B

Kod jednak jednakokr okrak akog og trougl trouglaa uglov uglovii na osnov osnovici ici su jedna jednaki ki tj. α = β. Na osnovu teoreme o zbiru unutraˇ unutraˇsnjih snjih uglova uglova u trouglu imamo: 150◦ ◦ ◦ 2α + 30 = 180 ⇒ α = = 75◦ . α = 2

Na osnovu definicije trigonometrijskih funkcija u pravouglom trouglu imamo tgα = tgα =

⇔

h a 2

2h ⇔ tg75 tg 75◦ = 3

⇔

sin sin 75◦ 2h = cos75◦ 3

⇔

2h sin(30◦ + 45 ◦ ) sin30◦ cos cos 45◦ + cos cos 30◦ sin sin 45◦ = = 3 cos(30◦ + 45 ◦ ) cos30◦ cos cos 45◦ sin30◦ sin sin 45◦

−

185

⇔

11.1. 11.1.

PLANIM PLANIMETR ETRIJA IJA

√

MATEMATIKA

√ ⇒ √ √

c( 3 + 3) = 3 + 3 c = c = 2. 2 2 3 c 3 = = 3. a = b = b = a a = 2 2 2 c b = = = 1. 2 2 Dakle, povrˇsina sina pravouglog trougla je

⇔

√

⇒

ab P = 2

⇒ P =

√ 3 2

.

♦ Primjer 11.1.4 Izraˇ cunati cunati povrˇsinu sinu pravouglog trougla ako je obim O =

2(3 +

√ 3) cm a cm a uglovi α = 30◦ i β = 60 ◦ .


B 60◦

30◦ C

A

c ⇔ 12 = ac ⇒ a = a = , 2 √ √ 3 b b c 3 sin β = ⇔ = ⇒ b = b = . 2 2 c c sin α =

a c

Kako je = a + + b + c O = a

⇔

√

c c 3 + + c = 2(3 + 2 2

√

√

3)

⇔

√

3c c 3 + 3c = 2(3 + 2

√

3)

⇔

√ ⇒ √ √

c( 3 + 3) = 2(3 + 3) c = c = 4. 2 4 3 c 3 = = 2 3. a = b = b = a a = 2 2

⇔

√

⇒

188 188


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

4 c = = 2. 2 2 Dakle, povrˇsina sina pravouglog trougla je b =

ab P = 2

⇒

√ ·

√

2 3 = 2 3. P = 2

♦ Primjer 11.1.5 U jednakokraki trougao stranica a = 18 i b = 15 upisan 15 upisan je

kvadrat. kva drat. Izraˇcunati cuna ti duˇzinu zinu stranice kvad kvadrata. rata. Rjeˇsenj se nje: e:

C

D

b E

x

a

A Kako Kako vrijedi vrijedi ∢BAC = kracima) to je trougao sliˇ sl iˇcnosti cno sti imam im amo: o:

B

(uglovi sa paralelnim paralelnim EDC, ∢ABC = ∢DEC DE C (uglovi s liˇcan can trougl tro uglu u DEC. Na osnovu osn ovu uoˇcene cene ABC ABC sliˇ

∢

△

△

a h = . x h x Visinu jednakokrakog trougla raˇcunamo cunamo po formuli

−

h = Sada je

   − 2

b

a 2

2

=

√ 225 − 81 = 12. 12.

18 12 36 = 12x 12 x = 18(12 − x) ⇒ x = ⇔ ⇔ x = . 12 − x 5 − x

a h = x h x

♦ 189 189


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

Primjer 11.1.6 U jednakokraki trougao stranica a = 10 i b = 13 upisan 13 upisan je

kvadrat. kva drat. Izraˇcunati cuna ti duˇzinu zinu stranice kvad kvadrata. rata. Rjeˇsenj se nje: e:

C

D

b E

x

a

A Kako Kako vrijedi vrijedi ∢BAC = kracima) to je trougao sliˇ sl iˇcnosti cno sti imam im amo: o:

B

(uglovi sa paralelnim paralelnim EDC, ∢ABC = ∢DEC DE C (uglovi s liˇcan can trougl tro uglu u DEC. Na osnovu osn ovu uoˇcene cene ABC ABC sliˇ

∢

△

△

a h = . x h x Visinu jednakokrakog trougla raˇcunamo cunamo po formuli

−

h = Sada je

   − 2

b

a 2

2

=

√ 169 − 25 = 12. 12.

10 12 60 ⇔ ⇔ = 12x 12 x = 10(12 − x) ⇒ x = x = . 12 − x 11 x −

a h = x h x

♦ Primjer 11.1.7 U pravougli trougao sa katetama a = 2 i b = 4 upisan je

kva drat ko kvadrat koji ji sa trouglo t rouglom m ima zajednick zaj ednickii pravi ugao. ug ao. Izraˇcunati cuna ti duˇzinu zinu stranice upisanog kvadrata. Rjeˇsenj se nje: e:

190 190


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

B a

−x

E

F

C

x

D

A

Kako Kako vrijedi vrijedi ∢BAC = ∢BEF, ∢ABC = ∢EB F (uglovi sa paralelnim paralelnim F (uglovi kracima) to je trougao ABC can troug tro uglu lu EBF. Na osnovu osn ovu uoˇcene cene ABC sliˇcan sliˇ sl iˇcnosti cno sti imam im amo: o: 4 2 4 b a = = 4(2 x) = 2x 2 x x = x = . 3 x a x x 2 x

△

△

− ⇔

− ⇔

−

⇒

♦

Primjer 11.1.8 U pravougli trougao sa katetama a = 2 i b = 3 upisan je

kva drat ko kvadrat koji ji sa trouglo t rouglom m ima zajednick zaj ednickii pravi ugao. ug ao. Izraˇcunati cuna ti duˇzinu zinu stranice upisanog kvadrata. Rjeˇsenj se nje: e:

B a

−x

E

F

C

x

D

A

Kako Kako vrijedi vrijedi ∢BAC = ∢BEF, ∢ABC = ∢EB F (uglovi sa paralelnim paralelnim F (uglovi kracima) to je trougao ABC can troug tro uglu lu EBF. Na osnovu osn ovu uoˇcene cene ABC sliˇcan sliˇ sl iˇcnosti cno sti imam im amo: o: 3 2 6 b a = = 3(2 x) = 2x 2 x x = x = . 5 x a x x 2 x

△

− ⇔

△

− ⇔

191 191

−

⇒

♦ Mr.s Mr.sci ci.. Edis Edis Meki Meki´ć, c , prof profes esor or

11.1. 11.1.


MATEMATIKA

Primjer 11.1.9 U krug kru g polup po lupreˇ reˇcnika cni ka r = 6 cm upisan upi san je pravilni ˇsestougao. sestougao . r =

Izraˇ Iz raˇcuna cu nati ti pov povrˇ rˇsinu si nu ˇsest se stou ougl gla. a. Rjeˇsenj se nje: e: Stranica pravilnog ˇsestougla sestougla jednaka jednaka je polupreˇcniku cniku kruga, tj.

= r = 6. Pravilan Pravil an ˇsestouga sesto ugaoo se sato sat o ji od ˇsest sest jednakost jedn akostran raniˇ iˇcnih cnih trouglova. trou glova. a = r Dakle, 62 3 a 2 3 =6 = 54 3. P = 6 4 4

·

√

√

·

√

♦ Primjer 11.1.10 Oko pravouglog trougla je opisana kruˇ znica znica polupreˇ cnika cnika

cuna ti katete kate te pravouglog pravou glog r = 5 cm. Ako je obim trougla O = 24 cm, izraˇcunati trougla. Rjeˇsenj se nje: e:

B

O

C

A

Polupreˇcnik cnik opisane opisan e kruˇznice znice pravouglog trougla trougl a jednak je polovini pol ovini hipotenuze, hipo tenuze, tj. c 10. r = c = c = 2r c = c = 10. 2 Dalje imamo:

⇒

= a + b + c O = a

⇒

⇔ a + b + 10 = 24 ⇔ a + 14. a + b = 14.

Na osnovu osnovu Pitagorine Pitagorine teoreme imamo: c2 = a2 + b2

⇔ a

2

⇒

+ b2 = 100. 100.

a + b = 14 a = a = 14 a2 + b2 = 100 192 192

−b


11.1. 11.1.


2

+ b2 = 100

2

2

2

⇔ 196 − 28b 28b + b + b = 100 ⇔ 2b 2 b − 28b 28b + 96 = 0 ⇒ ⇒ b = 6 i b = 8 ⇒ a = 8 i a = 6. ♦ Dakle, katete pravouglog trougla su 6 i 8 cm. (14

− b)

MATEMATIKA

1

2

1

2

Primjer 11.1.11 Oko pravouglog trougla je opisana kruˇ znica znica polupreˇ cnika cnika

cuna ti kat katete ete pravouglog pravou glog r = 6, 5 cm. cm. Ako je obim trougla O = 30 cm, cm, izraˇcunati trougla. Rjeˇsenj se nje: e:

B

O

C

A

Polupreˇcnik cnik opisane opisan e kruˇznice znice pravouglog trougla trougl a jednak je polovini pol ovini hipotenuze, hipo tenuze, tj. c 13. r = c = c = 2r c = c = 13. 2 Dalje imamo:

⇒

= a + b + c O = a

⇒

⇔ a + b + 13 = 30 ⇔ a + 17. a + b = 17.

Na osnovu osnovu Pitagorine Pitagorine teoreme imamo: c2 = a2 + b2

⇔ a

2

+ b2 = 169. 169.

⇒

a + b = 17 a = a = 17 a2 + b2 = 169 (17

− b)

2

+ b2 = 169

34b + b ⇔ 289 − 34b

⇒ b = 5 i b 1

2

= 12

2

−b

+ b2 = 169

2

2 b − 34b 34b + 120 120 = 0 ⇒ ⇔ 2b

⇒ a = 12 i a = 5. 1

Dakle, katete pravouglog trougla su 5 i 12 cm. 193 193

2

♦


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

Primjer 11.1.12 Iz I z kruˇzne zne ploˇce ce izrezan izreza n je jednakostran jednak ostraniˇ iˇcni cni trougao trouga o makmak -

simalne povrˇ sine. sine. Stranica trougla je 2 m. I zraˇcunati cun ati povrˇsinu sin u otpa otpatka tka? ? m. Izraˇ Rjeˇsenj se nje: e:

B

O

C

A

Visina jednakostraniˇ jednakostra niˇcnog cnog trougla trougl a je

√

√ √

a 3 2 3 = = h = 2 2

3.

Polupreˇ Polup reˇcnik cnik opisan opi sanee kruˇznice znice kod jednakost jedn akostran raniˇ iˇcnog cnog trougla trou gla je

√

2 2 3 r = h = . 3 3 Povrˇ Povrˇsinu si nu otpa ot patka tka raˇcuna cu namo mo na slje sl jede´ deći ci naˇ naˇcin: ci n: = P k P o = P

2

− P = r = r π − t

√

a 2 3 4

P o =

⇒⇒ P = o

4 π 3

−

 √  2 3 3

2

π

−

√

22 3 4

⇒

√

3 m 2 .

♦ Primjer 11.1.13 Iz kruˇ k ruˇzne zn e pl ploˇ oˇce ce polu polupre preˇˇcnik cn ika a 1 m 1 m i izrezan zrezan je jednakostraniˇ jednak ostraniˇcni

trougao trouga o maksima mak simalne lne povrˇsine. sine . Izraˇcunati cuna ti povrˇsinu sinu otpatka? otpatk a? Rjeˇsenj se nje: e:

194 194


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

B

O

C

A

Polupreˇ Polup reˇcnik cnik opisan opi sanee kruˇznice znice kod jednakost jedn akostran raniˇ iˇcnog cnog trougla trou gla je r =

2 h 3

3 ⇔ 1 = 23 h ⇒ h = h = . 2

Visina jednakostraniˇ jednakostra niˇcnog cnog trougla trougl a je

√

a 3 h = 2

⇔

√

3 a 3 = 2 2

⇒ a = a =

√

3.

Povrˇ Povrˇsinu si nu otpa ot patka tka raˇcuna cu namo mo na slje sl jede´ deći ci naˇ naˇcin: ci n: = P k P o = P

2

− P = r = r π − t

√

a 2 3 4

2

⇒⇒ P = 1 π − √ 3 3 = π − P = π m. 4 o

√ √

( 3)2 3 4

⇒

2

o

♦ Primjer 11.1.14 Stranica romba je 9 9 cm, a zina dijagonala dijago nala romba je cm, a zbir duˇzina

25 cm. Iz raˇcuna cu nati ti pov povrˇ rˇsinu si nu romba. rom ba. cm. Izraˇ Rjeˇsenj se nje: e: Po uslovu zadatka imamo

d1 + d2 = 25

⇒ d = 25 − d . 2

1

A kako se dijagonale romba sijeku pod pravim uglom i polove se, to je 2

a =

2

2

2

    ⇔    d1 2

+

d2 2

d1 2

195 195

+

d2 2

2

= 81. 81.


11.1. 11.1.


2

 



2

d21 (25 d1 )2 + = 81 4 4

− ⇔ ⇔ 2 ⇔ d + 625 − 50d 50d + d = 324 ⇔ 2d 2 d − 50d 50d + 301 = 0 ⇒ √ √ 25 − 23 25 + 23 ⇒ d = 2 i d = 2 . Iz d = 25 − d ⇒ √ √ √ √ 25 − 23 25 + 23 25 + 23 25 − 23 = i d = 25 25 − = ⇒ d = 25 − . d1 2

+

25

−d

MATEMATIKA

1

2 1

1

= 81

2 1

2 1

11

2

1

12

1

21

2

22

2

2

2

Dakle, dijagonale romba su d1 =

25

− √ 23 i d = 25 + √ 23 , 2

2

2

te je povrˇsina sina romba 25 P =

·

d1 d2 = 2

− √ 23 · 25 + √ 23 2

2

2

=

625

− 23 = 301 .

4

2

♦ Primjer 11.1.15 Stranica romba je 9 cm, cm, a jedna dijagonala romba je za

2 cm duˇ za od druge dru ge.. Izraˇ Iz raˇcunati cun ati povrˇsinu sin u romba. romba . cm duˇza Rjeˇsenj se nje: e: Po uslovu zadatka imamo

= d 1 + 2. 2. d2 = d A kako se dijagonale romba sijeku pod pravim uglom i polove se, to je 2

2

2

    ⇔       ⇔ d1 2

2

a =

2

d1 2

+

2 1

+

d1 + 2 2

2 1

d2 2

d1 2

2

= 81

d2 2

+

2 1

11

12

1

2

= 81. 81.

( d1 + 2) 2 d21 (d + = 81 81 4 4

⇔ − 320 √ = 0 ⇒

⇔ d + d + 4d 4 d + 4 = 324 ⇔ 2d 2 d + 4d 4d √ 161 < 0 0 i d = −1 + ⇒ d = −1 − 161 < √ dakle d = −1 + 161. 161. Iz d = d = d + 2 imamo √ √ 161. d = 2 − 1 + 161 = 1 + 161. 1

2

1

161, 161,

1

2

196 196


11.1. 11.1.


Povrˇsina sin a romba ro mba je

·

MATEMATIKA

− √ 161) · (1 + √ 161) = 161 − 1 = 160 = 40. 40.

( 1+ d1 d2 = P = 2

2

4

4

♦ Primjer 11.1.16 Izracunati Izracu nati povrˇsinu sinu trapeza ˇcije cije su kraća ca osnovica osno vica i kraci

duˇzine 2 cm, a za osnovica sa kracima zaklapa 2 puta manji ugao od ugla cm, a duˇza izmedu kra´ ce ce osnovice i kraka. Rjeˇsenj se nje: e:

D

C

c

h

A x

E x B

β Po uslovu zadatka je c je c = = 2, b = d = d = = 2 cm c m i α = 2 Iz

⇒ β = β = 2α.

2α + 2β 2β = = 360◦

= 180◦ ⇒ α + 2 α = 180◦ ⇒ α = ⇒ α + α + β = α + 2α α = 60◦ . = 120◦ . β = 2α ⇒ β = Iz trougla B trougla B C E imamo imamo √ 3 √ h h sin α = ⇔ sin sin 60◦ = ⇒ h = = 3. h = 2 2 2 b cos α =

1 x x cos cos 60◦ = x = x = 2 = 1. 2 2 b = c + 2x 2x = 2 + 2 = 4. 4. a = c

⇔

⇒

Sada je povrˇsina sina trapeza trap eza 4+2 a+c P = h = 2 2

·

·

√

√

3 = 3 3.

♦ 197 197


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

Primjer 11.1.17 Izracunati Izracu nati povrˇsinu sinu trapeza ˇcije cije su kraća ca osnovica osno vica i kraci

duˇzine 2 cm, a za osnovica sa kracima zaklapa 3 puta manji ugao od ugla cm, a duˇza izmedu kra´ ce ce osnovice i kraka. Rjeˇsenj se nje: e:

D

C

c

h

A x

E x B

β Po uslovu zadatka je c je c = = 2, b = d = d = = 2 cm c m i α = 3 Iz

⇒ β = β = 3α.

2α + 2β 2β = = 360◦

⇒ α + = 180◦ ⇒ α + 3 α = 180◦ ⇒ α = α + β = α + 3α α = 45◦ . = 135◦ . β = 3α ⇒ β =

Iz trougla B trougla B C E imamo imamo sin α =

h b

h ⇔ sin sin 45◦ = ⇒ h = h = 2 2

x cos α = b

⇔

x cos cos 45◦ = 2

⇒ x = x = 2 √

√ 2 √ 2

=

2.

√ 2 √ 2

=

2.

= c + + 2x 2x = 2 + 2 2. a = c Sada je povrˇsina sina trapeza trap eza

√

2+2 2+2 a+c P = h = 2 2

·

·

√

2 = (2 +

√ √ √ 2) · 2 = 2 2 + 2. 2. ♦

198 198


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

Primjer 11.1.18 Jedna kateta pravouglog trougla je b = 5, a druga je podi-

jeljena taˇckom ckom M M tako da je C M = 1, a BM = x. Ako je AB + BM B M = + C M i zraˇ aˇcuna un ati duˇzinu zi nu duˇzi x = B = BM. AC + M izr M. Rjeˇsenj se nje: e:

B x M

C

A

⇒

Iz AB + + x = b + 1 AB + B BM M = AC + C M c + x Primjenom Pitagorine teoreme imamo c2 = a2 + b2 36

⇒ c

2

2

− 12x 12x + x

= (x + 1)2 + 52 = x 2

⇒ c + x + x = 6 ⇒ c = 6 − x. 2

2

⇒ (6 − x) = x + 2x 2x + 1 + 25 ⇔ 10 5 + 2x 2x + 26 ⇔ −14x 14x = −10 ⇒ x = = . x = 14 7 ♦

Primjer 11.1.19 Jedna kateta pravouglog trougla je b = 3, a druga je podi-

jeljena taˇckom ckom M M tako da je C M = 2, a BM = x. Ako je AB + BM B M = + C M i zraˇ aˇcuna un ati duˇzinu zi nu duˇzi x = B = BM. AC + M izr M. Rjeˇsenj se nje: e:

B x M

C

A 199 199


11.1. 11.1.


⇒

MATEMATIKA

Iz AB + + x = b + 2 AB + B BM M = AC + C M c + x Primjenom Pitagorine teoreme imamo c2 = a2 + b2 25

⇒ c 2

− 10x 10x + x

2

= (x ( x + 2)2 + 32

= x 2 + 4x 4x + 13

⇒ c + x + x = 5 ⇒ c = 5 − x.

⇒ (5 − x)

2

= x 2 + 4x 4x + 4 + 9

⇔

12 6 ⇔ −14x 14x = −12 ⇒ x = = . x = 14 7

♦ Primjer 11.1.20 Tri kruˇ znice znice koje se dodiruju imaju srediˇ srediˇsta sta u vrhovima vrhovim a

pravo uglog trougla ˇcije pravouglog cije su duˇzine zine kat kateta eta 3 i 4. Izraˇ Izraˇcuna cu nati ti najv na jve´ eći ci po polu lupre preˇˇcnik cn ik jedne od kruˇ kruˇznica. znica. Rjeˇsenj se nje: e:

B

C

A

Kako Kako date kruˇ kruˇznice znice imaju centre centre u vrhovima vrhovima trougla trougla i joˇ joˇs se dodiruju dodiruju to vrijedi: = c. r1 + r2 = 4, r1 + r3 = 3 i r 2 + r3 = c. Primjenom Pitagorine teoreme dobijamo c2 = 32 + 42

⇔ (r (r + r ) 2

3

2

= 25

⇔ r + r = 5. 2

3

Formira jmo sada sistem jednaˇcina cina r1 + r2 = 4 r1 + r3 = 3 r2 + r3 = 5

200 200


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

Ako oduzmemo o duzmemo prve dvije dvi je jednaˇ jed naˇcine cine dobijamo dobijam o r2

− r = 1, 3

te ako ovu dobijenu dob ijenu jednaˇ jedn aˇcinu cinu saberemo sab eremo sa trećom com dobit dobi t ćemo cemo 2r2 = 6

−

⇒ r = 3. 2

−

Odnosno r Odnosno r 1 = 4 r2 = 1 i r3 = 5 r2 = 2. Dakle Da kle,, najve´ na jveći ci polu po lupreˇ preˇcnik cni k je r 2 = 3.

♦

Primjer 11.1.21 Tri kruˇ znice znice koje se dodiruju imaju srediˇ srediˇsta sta u vrhovima vrhovim a

pravo uglog trougla ˇcije pravouglog cije su duˇzine zine kat kateta eta 6 i 8. Izraˇ Izraˇcuna cu nati ti najv na jve´ eći ci po polu lupre preˇˇcnik cn ik jedne od kruˇ kruˇznica. znica. Rjeˇsenj se nje: e:

B

C

A

Kako Kako date kruˇ kruˇznice znice imaju centre centre u vrhovima vrhovima trougla trougla i joˇ joˇs se dodiruju dodiruju to vrijedi: = c. r1 + r2 = 8, r1 + r3 = 6 i r 2 + r3 = c. Primjenom Pitagorine teoreme dobijamo c2 = 62 + 82

2

⇔ (r ( r + r ) 2

3

= 100

⇔ r + r = 10. 10. 2

3

Formira jmo sada sistem jednaˇcina cina r1 + r2 = 8 r1 + r3 = 6 r2 + r3 = 10 201 201


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

Ako oduzmemo o duzmemo prve dvije dvi je jednaˇ jed naˇcine cine dobijamo dobijam o r2

− r = 2, 3

te ako ovu dobijenu dob ijenu jednaˇ jedn aˇcinu cinu saberemo sab eremo sa trećom com dobit dobi t ćemo cemo 2r2 = 12

−

⇒ r = 6. 2

−

Odnosno r Odnosno r 1 = 8 r2 = 2 i r3 = 10 r2 = 4. Dakle Da kle,, najve´ na jveći ci polu po lupreˇ preˇcnik cni k je r 2 = 6.

♦

Primjer 11.1.22 Taˇ cka cka dodira kruˇznice znice upisane u pravougli trougao dijeli

jednu katetu na dijelove duˇzine zine 3 i 5. Izraˇcunat cun atii duˇ d uˇzina zin a hipoten hipo tenuze uze trougla troug la.. Rjeˇsenj se nje: e:

B P M C

N

A

8. a = 3 + 5 = 8. 3 , BM = BP C M = CN C N = 3, B P = 5 i AN = AP = x. Iz Pitagorine Pitagorine teoreme imamo c2 = a 2 + b2

2

⇔ (5 + x)

= 64 + (x + 3)2

⇔ 25 25 + 10x = 64 64 + 6x + 9 ⇒ x = 12. x = 12.

Dakle duˇzina zina hipotenuze hipo tenuze je 17 . c = 5 + x = 5 + 12 = 17.

♦ Primjer 11.1.23 Taˇ cka cka dodira kruˇznice znice upisane u pravougli trougao dijeli

jednu katetu na dijelove duˇzine zine 3 i 4. Izraˇcunat cun atii duˇ d uˇzina zin a hipoten hipo tenuze uze trougla troug la.. 202 202


11.1. 11.1.


MATEMATIKA


B P M C

N

A

7. a = 3 + 4 = 7. 3 , BM = BP C M = CN C N = 3, B P = 4 i AN = AP = x. Iz Pitagorine Pitagorine teoreme imamo c2 = a 2 + b2

⇔ (4 + x)

2

= 49 + (x ( x + 3)2

8x = 49 + 6x 6x + 9 ⇒ x = 21. ⇔ 16 + 8x x = 21.

Dakle duˇzina zina hipotenuze hipo tenuze je 25 . c = 4 + x = 4 + 21 = 25.

♦ Primjer 11.1.24 Kvadratu Kvad ratu ˇcija cija je duˇzina zina stranice a = 25, 25, upisa upisana na je i

opisana kruˇ kruˇznica. znica. Kako se odnosi obim i povr povrˇˇsina sina upisane prema obimu i povrˇ pov rˇsini si ni opis op isan anee kruˇ kr uˇznice zn ice? ? Rjeˇsenj se nje: e:

C

B

D

A

203 203


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

25 a Polup Pol upreˇ reˇcnik cni k upisa up isane ne kruˇznice zni ce je r je ru = = , a polu po lupreˇ preˇcnik cni k opis o pisan anee kruˇ k ruˇznice zni ce 2 2 je d a 2 25 2 = ro = = . 2 2 2 Obim upisane kruˇznice znice je

√

√

25π, Ou = 2ru π = 25π, a opisane

√

Oo = 2ro π = 25 2π. Odnos obima je

√

25π 25π 1 2 Ou = = = . 2 Oo 25 2π 2 Povrˇsina sin a upisa up isane ne kruˇznice zni ce je

√

√

= r u2 π = 625π, 625π, P u = r a opisane = r o2 π = 1250π. 1250π. P o = r A odnos odn os povrˇsina sina je

625π 625π 1 P u = = . 1250π 1250π 2 P o

♦ Primjer 11.1.25 Ako se s e obim o bim kvad kvadrata rata pove´ pov eća ca 4 puta, 4 puta, kol koliko iko puta se pove´ pov eća ca

njegov nj egovaa povrˇsina. sin a. Rjeˇsenj se nje: e:

⇔ 4a 4 a = 4 · 4a ⇔ a = 4a.

O1 = 4O

1

1

= a21 = 16a 16a2 . P = a2 , P 1 = a Dakle Da kle,, p ovrˇsina si na se p oveća ca 16a 16a2 P 1 = 2 = 16 puta. puta. P a

♦ Primjer 11.1.26 Ako se povrˇ sina sina kva kvadrata drata poveća ca 4 puta, koliko puta se

poveća ca njegov obim. obi m. 204 204


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: 2 1

2

⇔ a = 4 · a ⇔ a = 2a. ⇔

P 1 = 4P

1

O = 4a, O1 = 4a1 = 8a. Dakle, Dak le, obim obi m se poveća ca

8a O1 = = 2 puta. 4a O

♦ Primjer 11.1.27 Hipotenuza pravouglog trougla podijeljena je na 3 3 jednaka

dijela. Djeliˇ Djeliˇstima stima su povuˇ povuˇcene cene par paralele alele s jednom jednom katetom. Kako se odnose povrˇ sine sine nastalih dijelova dijelov a trougla? Rjeˇsenj se nje: e:

B F

P 1

E

P 2

D

G P 3

C

△

A

△

△

Trouglovi ABC, GBD I cni, jer imaj im aju u uglove ug love sa paraleln p aralelnim im GBD I F BE su BE su sliˇcni, kracima krac ima.. Na osnovu o snovu uoˇcene cene sliˇcnosti cnos ti imamo: ima mo: 2 2 ⇔ b : = a : : a ⇒ DG = b : D DG G = a DG = b 3 3

: DG = = a b : DG a : : B BD D i

1 1 b : E EF F = a : a : a ⇒ E F = b. ⇔ b : ⇔ 3 3 1 1 b· a ab 3 3

: EF b : E F = a : a : B BE E

P 1 =

=

2

18

.

2 2 ab DG D G BD ab 3 b 3 a = P 3 = 2 2 2 2 5ab ab 4ab P 3 = P 3 = . 2 18 18

−

·

−

−

·

⇒

⇒

205 205


11.1. 11.1.


MATEMATIKA

5 ab ab 3ab ab − P − P = ab2 − 5ab − − ⇒ = . P = 18 18 18 6

= P P 2 = P

1

3

2

Odnos nastalih nastal ih povrˇsina sina je ab ab 1 P 2 3 P 1 = 18 = i = 6 = . 5ab ab 3 P 3 5 P 2 6 18 Dakle, vrijedi : P 2 : P 3 = 1 : 3 : 5. 5. P 1 : P

♦ Primjer 11.1.28 Kateta pravouglog trougla podijeljena je na 3 jednaka di-

jela. Djeliˇ Djeliˇstima stima su povuˇcene cene paralele paralele sa hipotenuzom. hipotenuzom. Kako se odnose povrˇ povrˇ sine sine nastalih dijelova trougla? Rjeˇsenj se nje: e:

B E D

P 3 P 2 P 1

C

F

G

A

Trouglovi ABC, GEC I F DC su su sliˇ s liˇcni, cni, jer ima ju uglove ug love sa paralelnim pa ralelnim kracima krac ima.. Na osnovu o snovu uoˇcene cene sliˇcnosti cnos ti imamo: ima mo:

△

△

△

1 1 ⇔ b : b : C C F = a : a : a ⇒ C F = b 3 3

: C F = a : b : C a : C C D i

2 2 ⇔ b : ⇔ = a : : a ⇒ C G = b. b : C C G = a 3 3

: C G = a = a : : C b : C C E

1 1 b a 3 3 = ab . P 1 = 2 18

·

206 206


11.2. STEREOMETR STEREOMETRIJA IJA

MATEMATIKA

2 2 b a ab C G C E ab 3 3 = P 3 = 2 2 2 2 5ab ab 4ab P 3 = P 3 = . 2 18 18 5 ab ab 3ab ab ab 5ab = P P 1 P 3 = = . P 2 = P P 2 = 2 18 18 18 6 Odnos nastalih nastal ih povrˇsina sina je

·

−

−

−

− − −

·

⇒

⇒

−

− ⇒

ab ab 1 P 2 3 P 1 = 18 = i = 6 = . 5ab ab 3 P 3 5 P 2 6 18 Dakle, vrijedi : P 2 : P 3 = 1 : 3 : 5. 5. P 1 : P

♦ 11.2 11 .2

Ster Stereo eome metr trij ija a

Primjer 11.2.1 Ako se duˇ zina zina ivice kocke poveća ca za 3 cm, sin a joj jo j se cm, povrˇsina

poveca 4 puta. Koliko puta se poveća ca zapremina zap remina kocke? Rjeˇsenj se nje: e:

= a + 3, 3, P 1 = 4P, P 1 = 6a21, P = 6a2 . a1 = a 2 1

2

2

⇔ a + 6a +9 = 4a 4a

2

2

2

⇔ ⇔ 6a 6 a = 4 · 6a ⇔ (a ( a + 3) = 4a ⇔ ⇔ 3a 3 a − 6a − 9 = 0 ⇔ a − 2a − 3 = 0 ⇒ a = a = 3 ⇒ a = 6.

P 1 = 4P

2

2

1

2 7, V 1 = (a1 )3 = 6 3 = 216. 216. V = a3 = 27

Dakle, Dak le, zapremin zapr eminaa se pove´ p oveća ca 216 V 1 = = 8 puta. 27 V

♦ Primjer 11.2.2 Ako se duˇ zina zina ivice kocke poveća ca za 2 cm, sin a joj jo j se cm, povrˇsina

poveca 4 puta. Koliko puta se poveća ca zapremina zap remina kocke?

207 207



MATEMATIKA


= a + 2, 2, P 1 = 4P, P 1 = 6a21, P = 6a2 . a1 = a 2 1

2

2

2

⇔ 6a ⇔ 6 a = 4 · 6a ⇔ (a ( a + 2) = 4a ⇔ ⇔ a + 4a 4a + 4 = 4a 4a ⇔ 3a 3 a − 4a − 4 = 0 ⇒ a = a = 2 ⇒ a = 4. P 1 = 4P

2

2

2

1

64. V = a3 = 8, V 1 = (a1 )3 = 4 3 = 64.

Dakle, Dak le, zapremin zapr eminaa se pove´ p oveća ca 64 V 1 = = 8 puta. 8 V

♦ Primjer 11.2.3 Baza kvadra kvadra je kvadrat. kvadrat. Zapremina Zapremina kvadra kvadra jednaka jednaka je 8, a

visina 4. Izraˇ Izraˇcuna cunati ti pov povrˇ rˇsina si na kvad kv adra. ra. Rjeˇsenj se nje: e: 2

· ⇔ ⇔ 8 = a · 4 ⇒√ a

V = B H

2

2 B + M = 2a2 + 4aH 4aH = 2( 2)2 P = 2B

√

⇒ a = a = 2. √ √ + 4 2 · 4 = 4 + 16 2.

=2

♦

Primjer 11.2.4 Baza kvadra je kvadrat. Zapremina kvadra jednaka je 12, 12 , a

visina 4. Izraˇ Izraˇcuna cunati ti pov povrˇ rˇsina si na kvad kv adra. ra. Rjeˇsenj se nje: e: 2

· ⇔ ⇔ 12 = a · 4 ⇒ a √

V = B H

2

2 B + M = 2a2 + 4aH 4aH = 2( 3)2 P = 2B

√ ⇒ a = a = 3. √ √ + 4 2 · 4 = 6 + 16 3. =3

♦

Primjer 11.2.5 Ravan paralelna osi pravog valjka sijeˇ ce ce ga tako da od kruga krug a

osnove odsijeca odsijeca odsjeˇcak cak kome odgovara centralni ugao od 120 120 ◦ . Ako je visina valjka 10 10 cm, a rastojanje ravni od ose valjka 2 2 cm, izraˇ iz raˇcuna cu nati ti pov povrˇ rˇsinu sinu pre press jeka. Rjeˇsenj se nje: e: Presjek Presje k ˇciju ciju povrˇsinu sinu treba treb a izraˇcunati cuna ti je pravougao pravou gaonik nik ˇcije cije su

stranice visina valjka valjka i preˇ p reˇcnik cnik baze, tj. 2 rH. P = 2rH. Baza datog valjka valjka prikazana pri kazana je na sljede´ s ljedećoj co j slici sl ici 208 208



MATEMATIKA

O 2

A

B

120 12 0◦ ◦ = 30 ◦ . ∢BAO = BAO = 90 − sin sin 30◦ =

2 r

⇔

2 1 2 = 2 r

⇔ r = r = 4.

Te je povrˇsina sina presjeka pres jeka 2 rH = 2 4 10 = 80 cm 80 cm 2 . P = 2rH

· ·

♦ Primjer 11.2.6 Ravan paralelna osi pravog valjka sijeˇ ce ce ga tako da od kruga krug a

osnove odsijeca odsijeca odsjeˇcak cak kome odgovara centralni ugao od od 60 60◦ . Ako je visina valjka 10 10 cm, a rastojanje ravni od ose valjka 2 2 cm, izraˇ iz raˇcuna cu nati ti pov povrˇ rˇsinu sinu pre press jeka. Rjeˇsenj se nje: e: Presjek Presje k ˇciju ciju povrˇsinu sinu treba treb a izraˇcunati cuna ti je pravougao pravou gaonik nik ˇcije cije su

stranice visina valjka valjka i preˇ p reˇcnik cnik baze, tj. 2 rH. P = 2rH. Baza datog valjka valjka prikazana pri kazana je na sljede´ s ljedećoj co j slici sl ici

O 2 B

A

209 209



BAO = BAO = 90◦

∢

2 sin60◦ = r

⇔

√ 3

− 602

2 = 2 r

⇔

MATEMATIKA

◦

= 60◦ .

√

4 4 3 = r = r = . 3 3

√

Te je povrˇsina sina presjeka pres jeka

√

√

4 3 80 3 10 = P = 2rH = 2 cm2 . 3 3

·

·

♦ Primjer 11.2.7 Izvodnica uspravne kupe je s = 10 cm, a cm, a visina H = 8 cm.

Izraˇ Iz raˇcunati cun ati povrˇsinu sin u i zaprem za preminu inu kupe. kupe . Rjeˇsenj se nje: e:

s

H

r

Primjenom Pitagorine teoreme imamo r 2 = s 2

2

− H ⇔ r

2

= 100

− 64 ⇒ r = r = 6.

Povrˇsina sin a kupe kup e je 96 π. P = B + B + M = r 2 π + r sπ = sπ = r rπ π(r + s) = 6π(6 + 10) = 96π.

·

A zapremina

36π 8 BH r 2 π H 36π = = = 96π. 96 π. V = 3 3 3

·

·

♦ 210 210



MATEMATIKA

Primjer 11.2.8 Izvodnica uspravne kupe je s = 10 cm, a cm, a visina H = 6 cm.

Izraˇ Iz raˇcunati cun ati povrˇsinu sin u i zaprem za preminu inu kupe. kupe . Rjeˇsenj se nje: e:

s

H

r

Primjenom Pitagorine teoreme imamo r 2 = s 2

2

− H ⇔ r

2

= 100

− 36 ⇒ r = r = 8.

Povrˇsina sin a kupe kup e je 144π. P = B + B + M = r 2 π + r sπ = sπ = rπ rπ((r + s) = 8π(8 + 10) = 144π.

·

A zapremina V =

64π 6 BH r2 π H 64π = = = 128π. 128π. 3 3 3

·

·

♦

211 211



Anal Analiitiˇ cka cka geom geomet etri rija ja

12.1 12 .1

Pra Prava u ravn ravnii

Primjer 12.1.1 Izraˇcunati cuna ti rastojanje rastoja nje taˇcke cke presjeka presje ka pravih 3x

i x + 4y 4y = 9 od koordinatnog koordina tnog poˇcetka. cetk a.

−y−1 = 0

Rjeˇsenj se nje: e: Taˇ cku cku presjeka pres jeka dobija dob ijamo mo kao rjeˇsenje senj e sistema sist ema

3x

−y −1

·

= 0/ 4 4y = 9 x + 4y

12x 12x

− 4y − 4

= 0 4y = 9 x + 4y

−

12x 12x 4y = 4 4y = 9 x + 4y

⇒ 13x 13 x = 13 ⇒ x = x = 1.

Iz druge jednaˇcine cine sistema imamo 4y = 9 x + 4y

⇒ 1 + 4y 4 y = 9 ⇒ 4y 4 y = 8 ⇒ y = 2.

Dakle, taˇcka cka presjeka pravih je A je A(1 (1,, 2). 2). Udaljen Uda ljenost ost izmedu izme du taˇcaka caka A(x1 , y1) i B (x2 , y2) raˇ r aˇcuna cu namo mo na slje sl jede de´ći ci naˇ na ˇcin: ci n: d(A, B ) =



(x2

−x ) 1

2

+ (y ( y2

−y ) . 1

2

U naˇsem sem sluˇcaju ca ju taˇcke cke ˇciju cij u udal ud aljen jenost ost treba tr ebamo mo raˇcunati cun ati su O su O(0 (0,, 0) i A(1 2), A (1,, 2), te je udaljenost d(O, A) =

 − (1

0)2 + (2

212

√ − 0) = √ 1 + 4 = 5. 2

♦

12.1. PRAV PRAVA U RAVNI RAVNI

MATEMATIKA

Primjer 12.1.2 Izraˇcunati cuna ti rastojanje rastoja nje taˇcke cke presjeka presje ka pravih 2x + y + y

i x

− 2y = 1 od koordinatnog koordina tnog poˇcetka. cetk a.

−7 = 0


− −

·

2x + y 7 = 0/ 2 x 2y = 1 4x + 2y 2y x

− 14 − 2y

= 0 = 1

4x + 2y 2y = 14 x 2y = 1

−

⇒ 5x 5 x = 15 ⇒ x = x = 3.

Iz druge jednaˇcine cine sistema imamo x

− 2y = 1 ⇒ 3 − 2y = 1 ⇒ 2y 2 y = 2 ⇒ y = y = 1.




(x2

−x ) 1

2

+ (y ( y2

−y ) . 1

2


 − (3

0)2 + (1

√ − 0) = √ 9 + 1 = 10. 10. 2

♦

Primjer 12.1.3 Izraˇcunati cuna ti rastojanje rastoja nje taˇcke cke presjeka presje ka pravih x + y

x

− y = 2 od koordinatnog koordina tnog poˇcetka. cetk a.

− 5 = 9 i


x + y x

−5 −y

= 9 = 2

x + y = 14 x y = 2

−

213 213



MATEMATIKA

⇒ 2x 2 x = 16 ⇒ x = x = 8.


− y = 2 ⇒ 8 − y = 2 ⇒ y = y = 8 − 2 ⇒ y = y = 6.




(x2

−x )

2

1

+ (y ( y2

−y ) . 1

2


 − (8

0)2 + (6

√ 10 − 0) = √ 64 + 36 = 100 = 10. . 2

♦

Primjer 12.1.4 Izraˇcunati cuna ti rastojanje rastoja nje taˇcke cke presjeka presje ka pravih x + y

x

− y = 1 od koordinatnog koordina tnog poˇcetka. cetk a.

− 2 = 5 i


x + y x

−2 −y

= 5 = 1

x + y = 7 x y = 1

−

2 x = 8 ⇒ x = x = 4. ⇒ 2x


− y = 1 ⇒ 4 − y = 1 ⇒ y = y = 4 − 1 ⇒ y = y = 3.

Dakle, taˇcka cka presjeka pravih je A je A(4 (4,, 3). 3). Udaljenost izmedu izmedu taˇ ta ˇcaka ca ka A(x1 , y1) i B (x2 , y2) raˇ r aˇcuna cu namo mo na slje sl jede de´ći ci naˇ na ˇcin: ci n: d(A, B ) =



(x2

−x )

2

1

+ (y ( y2

−y ) . 1

2


 − (4

0)2 + (3

√ − 0) = √ 16 + 9 = 25 = 5.5. 2

♦ 214 214



MATEMATIKA

Primjer 12.1.5 Koordina Koord inatni tni poˇcetak cet ak i taˇcke ck e u koj k ojima ima prav prava a 8x 8 x +7y +7 y

sijeˇce x e x i y osu os u ˇcine cin e trougao troug ao.. Izraˇ Iz raˇcunat cun atii povrˇsinu sin u trougla troug la..

−56 = 0


y 8

x 7

Presjek date prave sa x osom os om raˇcunam cun amoo tako ta ko ˇsto st o rijeˇ ri jeˇsimo si mo sistem sis tem 8x + 7y 7y

− 56

= 0 y = 0

8x = 56

⇒ x = x = 7.

A presjek sa y oso o som m raˇcunam cun amoo tako ta ko ˇsto rijeˇ ri jeˇsimo si mo siste si stem m 8x + 7y 7y

− 56

= 0 x = 0

7y = 56

⇒ y = y = 8.

Kako je dobijeni trougao pravougli sa katetama a katetama a = = 7 i b = po vrˇsina si na b = 8, to je povrˇ P =

·

ab 7 8 = = 28. 28. 2 2

♦ Primjer 12.1.6 Koordina Koord inatni tni poˇcetak cet ak i taˇcke ck e u koj k ojima ima prav prava a 7x 7 x +8y +8 y

sijeˇce x e x i y osu os u ˇcine cin e trougao troug ao.. Izraˇ Iz raˇcunat cun atii povrˇsinu sin u trougla troug la..

−56 = 0


215 215



MATEMATIKA

y 7

x 8

Presjek date prave sa x osom os om raˇcunam cun amoo tako ta ko ˇsto st o rijeˇ ri jeˇsimo si mo sistem sis tem 7x + 8y 8y

− 56

= 0 y = 0

7x = 56

⇒ x = x = 8.

A presjek sa y oso o som m raˇcunam cun amoo tako ta ko ˇsto rijeˇ ri jeˇsimo si mo siste si stem m 7x + 8y 8y

− 56

= 0 x = 0

8y = 56

⇒ y = y = 7.

Kako je dobijeni trougao pravougli sa katetama a katetama a = = 8 i b = po vrˇsina si na b = 7, to je povrˇ P =

·

ab 8 7 = = 28. 28. 2 2

♦

216 216



Aritmet Aritmetiˇ iˇ cki cki i geometr geometrijs ijski ki niz

13.1

Aritmetiˇ Aritmetiˇ cki cki niz

Definicija 13.1.1 Aritmet Ari tmetiˇ iˇcki cki niz je niz n iz brojeva b rojeva ( (a an )n∈N kod kojeg je razlika

svaka dva susjedna ˇclana clana konstantna konstantn a vrijednost, vri jednost, tj. an+1

= d − a = d n

( n

∀ ∈ N).

Broj d Broj d nazivamo diferencijom niza. Ako je d > 0 niz je rastući, ci, ako je d < 0 niz je opadajući ci i ako je d = 0 niz je konstantan. konstantan. Aritmetiˇ Arit metiˇcki cki niz (an)n∈N, sa prvim prv im ˇclano cla nom m a 1 i diferencijom d ima ima opˇsti st i ˇclan cl an,, koji glasi: = a1 + (n ( n 1) d. an = a

− ·

Zbir prvih n prvih n ˇclanova clan ova aritmetiˇ arit metiˇckog ckog niza dat je formulom formu lom S n =

n n (a1 + an) ili S n = (2a (2a1 + (n (n 2 2

− 1) · d).

Primjer 13.1.1 Odrediti sumu prvih 20 ˇ 20 ˇclan cl anov ovaa aritm ar itmeti etiˇˇckog ckog niza ni za kod kojeg ko jeg

1 je prvi ˇclan clan 4, a diferencija . 2

Rjeˇsenj se nje: e: Na osnov osnovu u formu formule le za zbir zbir prvih prvih n ˇclanova cla nova artm ar tmetiˇ etiˇckog ckog niza ni za

traˇ tr aˇzena zen a suma su ma je

·

20 2 4 + (20 S 20 20 = 2

−

   · ·

1 1) 2

= 10

8+

19 2

= 175. 175.

♦ 217

ˇ ARITME ARITMETI TI CKI NIZ

13.1. 13.1.

MATEMATIKA

Primjer 13.1.2 Izraˇ cunai cunai zbir svih neparnih neparnih prirodnih prirodnih brojeva brojeva manjih od

2000. 2000. Rjeˇsenj se nje: e: Treb Trebam amoo izraˇ izr aˇcunat cun atii sljede´ slj edeći ci zbir zbi r

1 + 3 + 5 + ... + 1999. ... + 1997 + 1999. Ovo je suma prvih n ˇclanova clan ova aritmetiˇ arit metiˇckog ckog niza ˇcija cija je diferenci dife rencija ja (razlika) (ra zlika) pr vi ˇcla cl an a 1 = 1 i posljednji a posljednji a n = 1999. 1999. Iz d = 2, prvi = a1 + (n an = a

1)d ⇒ 1999 1999 = 1 + (n − 1)2 ⇒ 1999 − 1 = 2n − 2 ⇒ n = 1000. n = 1000. − 1)d

Sada je traˇzeni zeni zbir (suma) S =

n (a1 + an ) 2

(1 + 1999) ⇒ S = = 500 · 2000 = 1000000. 1000000. ⇒ S = 1000 2

♦ Primjer 13.1.3 Izraˇ cunai cunai zbir svih neparnih neparnih prirodnih prirodnih brojeva brojeva manjih od

1000. 1000. Rjeˇsenj se nje: e: Treb Trebam amoo izraˇ izr aˇcunat cun atii sljede´ slj edeći ci zbir zbi r

1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999. 999. Ovo je suma prvih n ˇclanova clan ova aritmetiˇ arit metiˇckog ckog niza ˇcija cija je diferenci dife rencija ja (razlika) (ra zlika) pr vi ˇcla cl an a 1 = 1 i posljednji a posljednji a n = 999. 999. Iz d = 2, prvi = a1 + (n (n an = a

− 1)d 1)d ⇒ 999 = 1 + (n ( n − 1)2 ⇒ 999 − 1 = 2n 2 n − 2 ⇒ n = 500. n = 500.

Sada je traˇzeni zeni zbir (suma) S =

n (a1 + an) 2

(1 + 999) ⇒ S = = 250 · 1000 = 250000. 250000. ⇒ S = 500 2

♦ Primjer 13.1.4 Na viˇ v iˇse se osoba o soba treba podijeliti podijeliti neku sumu novca n ovca tako da prva

osoba dobije 80 KM, 80 KM, a svaka svak a sljedeća ca po 4 KM manje. Ako posljednja osoba 28 KM, koliko je bilo osoba i kolika je suma novca podijeljena? dobije 28 KM,

218 218


13.1. 13.1.


MATEMATIKA

Rjeˇsenj se nje: e: Iz zadatka zada tka jasno jasn o je da traˇzeni zeni iznosi izno si ˇcine cine opada opa daju´ jući ci aritmetiˇ ari tmetiˇcki cki

−

niz ˇcija cija je diferencija d = 4. Takode, iz zadatka je an = 28, 28, pri pr i ˇcemu cemu je n broj osoba i a1 = 80. 80. Sada Sad a je na osnovu osn ovu formule formu le za opˇsti sti ˇclan clan aritmetiˇ arit metiˇckog ckog niza imamo = a1 + (n (n an = a

− 1) · d ⇔ 28 = 80 − 4(n 4(n − 1) ⇒ n = 14. n = 14.

Dakle, broj osoba je 14, 14, a podijeljena po dijeljena suma novce novce je zbir prvih 14 ˇclanova clanova niza, odnosno S 14 14 =

14 (2 80 + (14 2

·

− 1) · (−4)) = 756. 756. ♦

Primjer 13.1.5 U nekom pre preduze´ duzeću cu je u razdoblju od 1983 do do 1990 godine 1990 godine

proizvedeno 53544 autom automobi obila. la. Koliko Koliko je automo automobil bilaa proiz proizve veden denoo u u 1985 i i 1990 godini godini ako se u tom razd azdobl oblju ju proiz proizvo vodnj dnjaa automo automobil bilaa konsta konstantn ntnoo pove´ćava pove ca vala la za 798 a 798 autom utomobil obilaa godiˇsnje? snje ? Rjeˇsenj se nje: e: Obiljeˇ Obiljeˇzimo zimo broj proizvedenih proizvedenih automobila u 1983 godini sa a1 , u

1984 sa a sa a 2 , ... , u 1990 sa a sa a 8 . Iz zadatka imamo da je S je S 8 = 53544. 53544. Iz zadatka vidimo da broj proizvedenih proizvedenih automobila predstavlja predstavlja aritmetiˇcki cki niz ˇcija cija je diferencije d diferencije d = 798. 798. Iz formule za sumu prvih n ˇclanova cla nova niza dobijam dob ijamoo 8 (2a (2a1 + 7 798) 8a 8 a1 = 31200 2 Dalje, Dal je, iz formule formu le za opˇsti sti ˇclan clan niza imamo ima mo S 8 =

·

⇒

⇒ a = 3900. 3900. 1

= a1 + 2d 2 d = 5496, 5496, a3 = a broj proizvedenih automobila u 1985 godini, a = a1 + 7d 7 d = 9486, 9486, a8 = a

♦

broj proizvedenih automobila u 1990 godini.

Primjer 13.1.6 Izraˇ cunati cunati nepoznate nepoznate elemente plana uvoza i izvoza nekog

preduze´ preduz eća ca za petogodiˇ petogod iˇsnje snj e razdob razd oblj ljee prema prem a sljede´ sl jedećoj co j tabel t abeli i Godin dina 1 2 3 4 5 Ukupno

Izvo Izvozz

Uvoz voz

· 15 · · 30 ·

· 8 · · ·

219 219

55 Mr.s Mr.sci ci.. Edis Edis Meki Meki´ć, c , prof profes esor or

13.1. 13.1.


MATEMATIKA

Predvida Pre dvida se da će ce izvoz i uvoz rasti svake godine za konstantan iznos. Rjeˇsenj se nje: e: Izvoz: Obiljeˇ Obil jeˇzimo zimo godiˇ go diˇsnje snje izvoze redom redo m sa s a a 1 , a2 , a3 , a4 i a 5 . Iz

tabele vidimo da je a2 = 15 i a5 = 30, 30, a po uslovu zadatka takode znamo da godiˇ go diˇsnji snji izvozi predstavl pred stavlja jaju ju aritmet ari tmetiˇ iˇcki cki niz. Iz formule formu le za opˇsti sti ˇclan clan niza imamo: a2 a3 a4 a5

= = = =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− −

Iz posljednje pos ljednje jednaˇcine cine slijedi

30 = 15 + 3d 3d Sada je a1 = 15

− 5 = 10, 10,

−

= a 2 d = 15 d, a1 + d a1 = a 2 d a 3 = 15 d + 2d 2d = 15 + d, a1 + 2d 2d, a3 + d a4 = 15 + d + d = 15 + 2d, 2 d + d = 15 + 3d. 3 d. a4 + d a5 = 15 + 2d

⇒ d = d = 5.

15, a3 = 15 + 5 = 20, 20, a4 = 15 + 2d 2d = 25. 25. a2 = 15,

Uvoz: Obiljeˇzimo zimo godiˇ god iˇsnje snje uvoze redom sa a1 , a2 , a3 , a4 i a5 . Iz tabele vidimo da je a je a2 = 8 i S 5 = 55, 55 , a po uslovu zadatka za datka takode znamo da godiˇ g odiˇsnji snji uvozi predstavlja ju aritmetiˇcki cki niz. Iz formule za opˇsti sti ˇclan clan niza imamo: = a1 + d + d a2 = a

⇔ 8 = a + d, 1

a iz formule za sumu prvih n prvih n ˇclanova clan ova niza imamo ima mo 5 5 (2a1 + 4d 4 d) 55 = (2a (2a1 + 4d 4 d) a1 + 2d 2 d = 11. 11. S 5 = (2a 2 2 Dakle, Dak le, dobili dob ili smo sljede´ slje deći ci sistem sist em jednaˇ jedn aˇcina cina

⇔

⇔

a1 + d = 8 2 d = 11, 11, a1 + 2d ˇcija ci ja su rjeˇ rj eˇsenj se njaa d = 3 i a 1 = 5. Odavde je 8 , a3 = 11, 11, a4 = 14, 14, a5 = 17. 17. a2 = 8, Data tabela sada ima oblik Godi Godina na 1 2 3 4 5 Ukupno

Izv Izvoz Uvoz Uvoz 10 5 15 8 20 11 25 14 30 17 100 55

♦ 220 220


13.2. 13.2.

GEOMET GEOMETRIJ RIJSKI SKI NIZ NIZ

13.2 13 .2

MATEMATIKA

Geom Geomet etri rijs jski ki niz niz

Definicija 13.2.1 Geometrijski Geometrijski niz je niz brojeva (a (an)n∈N kod kojeg ko jeg je j e kol k oliˇ iˇcnik cn ik

svaka dva susjedna ˇclana clana konstantna konstantn a vrijednost vri jednost tj. an+1 = q. an

∀ ∈ N)

( n

Broj q naziva se koliˇ koliˇcnik cnik geometrijsk g eometrijskog og niza. Za q > 1 niz je monotono q naziva rastući, ci, a za 0 < q < 1 niz je monotono opadajući. ci. Dok za q < 0 nije monoton, na primjer 2, 2, 4, 8, 16,... 16,... gdje je q = 2 < 0. Za q q = 1 niz je konstantan, na primjer 3, 3, 3, 3, 3,... gdje je q = = 1. ,... gdje je q Geometrijski Geometri jski niz sa prvim ˇclanom a clanom a 1 i koliˇ kol iˇcniko cn ikom m q im ima opˇsti ˇcla cl an

−

−

−

= a1 q n−1 an = a

·

Zbir prvih n prvih n ˇclanova clan ova geomet ge ometrijs rijskog kog niza raˇcuna cuna se po formuli formu li q n = a1 S n = a q

−1 −1

 

1. q = 1.

| |

Ako je (a (an )n∈N geometrijski g eometrijski niz sa koliˇcnikom cnikom q < 1 < 1,, tada je suma tog niza = S =

∞



an =

n=1

a1 1

− q .

ˇ i poziti Primjer 13.2.1 Cetiri Cetir pozitivna vna broja broja ˇcine cine geometr geometrijski ijski niz. Ako Ako je prvi 200, a treći veći ci od drugog drug og za 200, ci od ˇcetv ce tvrt rtog og za 8, odrediti odrediti drugi i tre´ ci ci broj u nizu. Rjeˇsenj se nje: e: Opˇ sti sti ˇclan clan geometri geo metrijskog jskog niza dat je formulom formu lom

= a1 q n−1 . an = a

·

a1 = a2 + 200 a3 = a4 + 8

· ⇒ a = 1200 = 1 − q q  a · q = a · q + 8 200 ⇒ 1200 · · q + 8 ⇔ 200 · q = 200 · q + 8(1 − q ) ⇔ q = − q 1 − q + 200 a1 = a1 q +

1 2

2

1

3

1

3

2

221 221

3


13.2. 13.2.


3

MATEMATIKA

2

2

⇔ 200 · q − 200 · q − 8q + + 8 = 0 ⇔ 200q 200 q · (q − 1) − 8(q 8(q − 1) = 0 ⇔ 1 1 ⇔ (q ( q − 1)(200q 1)(200q − 8) = 0 ⇒ q = 1 i 200q 200 q − 8 = 0 ⇒ q = , q = − , 5 5 2

2

1

2

3

zbog pozitivnosti pozi tivnosti ˇclanova clanova niza q 3 ne uzimamo kao rjeˇsenje, senje, a zbog uslova uslova n emoˇzemo zem o uzeti uze ti kao rjeˇsenje. sen je. q = 1 i q 1 nemoˇ 1 Dakle Dak le jedin j edinoo rjeˇsenje senj e je j e q = = , 5

 

a1 =

200 200 = 1 1 q 1 5

−

−

⇒ a = 200 = 250. 250. 4 1

5

Drugi Dru gi ˇclan clan niza je

·

= a1 q = = 250 a2 = a

· 15 = 50, 50, ♦

a tre´ reći ci ˇcla cl an je 2

·

= a1 q = 250 a3 = a

2

·  1 5

= 250

· 251 = 10. 10.

Primjer 13.2.2 Kako glasi geometrijski niz kod koga je:

(a)

a3 + a4 = 180 a5 + a6 = 1620

− −

a5 a7

(b)

a3 = 180 a5 = 144

Rjeˇsenj se nje: e: (a) Kako je a je a 4 = a = a3 g, a5 = a = a 3 q 2 i a 6 = a = a 3 q 3 , to je

·

a3 + a4 = 180 a5 + a6 = 1620 odnosno

·

·

· ·

+ a3 q = 180 a3 2 a3 q + a3 q 3 = 1620

⇔

·

· ·

+ a3 q = 180 a3 q (a3 + a3 q ) = 1620 2

·

Iz posljedenje pos ljedenje dvije jednaˇcine cine imamo q 2 = 9

⇒ q

1,2

=

(13.1)

±3.

−3 u prvu jednaˇcinu cinu sistema sis tema (13.1) imamo 90. a + a · (−3) = 180 ⇒ a = −90. Kako je a = a · q 30, a kako je a = a · q, 10. q to je a = 30, q , to je a = −10. Odnosno, Odnosno , traˇzeni zeni niz glasi (−10, 10, 30, 30, −90, 90, 270, 270, −810, 810, 2430,... 2430,...)).

Ako uvrstimo q uvrstimo q 1 =

3

3

2

3

3

2

2

1

1

Ako uvrstimo q uvrstimo q 2 = 3 u prvu jednaˇ cinu cinu sistema (13.1) imamo

·

a3 + a3 3 = 180 222 222

⇒ a = 45. 45. 3


13.2. 13.2.


MATEMATIKA

·

·

Kako je a je a 3 = a = a 2 q to to je a je a 2 = 15, 15, a kako je a je a 2 = a = a1 q, to je a 1 = 5. Odnosno, q, to je a traˇzeni zeni niz glasi gla si (5, (5, 15, 15, 45, 45, 135, 135, 405, 405, 1215,... 1215,...)). 2 (b) Kako je a je a 5 = a = a3 g i a 7 = a = a3 q 4 to je

− −

a5 a7

·

·

a3 = 36 a5 = 144

⇔

odnosno

a3 q 2 q 2 (a3 q 2

·

· ·

a3 q 2 a3 q 4

· ·

− −

− −

= 36 a3 2 a3 q = 144

·

a3 = 36 a3 ) = 144

(13.2)

Iz posljedenje pos ljedenje dvije jednaˇcine cine imamo q 2 = 4

⇒ q

1,2

±2.

=

−2 u prvu jednaˇcinu cinu sistema sis tema (13.2) imamo 12. a · (−2) − a = 36 ⇒ a = 12. Kako je a je a = a · q to to je a je a = −6, a kako je a je a = a = a · q, to je a = 3. Odnosno, q, to je a traˇzeni zeni niz glasi gla si (3, (3, −6, 12, 12, −24, 24, 48, 48, −96, 96, 192,... 192,...)).

Ako uvrstimo q uvrstimo q 1 =

2

3

3

2

3

3

2

2

1

1

Ako uvrstimo q uvrstimo q 2 = 2 u prvu jednaˇ cinu cinu sistema (13.2) imamo a3 22

12. · − a = 36 ⇒ a = 12. · q to to je a je a = 6, a kako je a je a = a = a · q, to je a q, to je a 3

3

Kako je a3 = a = a2 2 2 traˇzeni zeni niz glasi gla si (3, (3, 6, 12, 12, 24, 24, 48, 48, 96, 96, 192,... 192,...)).

1

1

= 3. 3 . Odnosno,

♦

Primjer 13.2.3 Stranice trougla ˇ ciji ciji je obim 152 cm ˇ cine geometrijsk geomet rijskii niz. cm ˇcine

Izraˇcunati cuna ti stranice trougla ako je razlika razlik a najduˇ naj duˇze ze i najkra´ najk raće ce stranice 40 cm. Rjeˇsenj se nje: e: Po uslovu zadatka je a + b + b + + c 152, gdje su a, b i c starnice c = 152,

trougla. Takode je i = a q, c = b = b q, c = a = a q 2 , i c b = a

·

·

·

− a = 40. 40.

Na osnovu formule za sumu prvih n ˇclanova cla nova niza niz a je q 3 = a a + b + c = a q Iz c

− 1 = 152. − 1 152.

(13.3)

− a = 40 imamo da je a · q − a = 40 ⇒ a( a(q − 1) = 40 2

2

223 223


13.2. 13.2.


odnosno

40

a =

q 2 Zamijenimo li (13.4) u (13.3) dobijamo 40

MATEMATIKA

− 1.

q 3 1 q

(13.4)

− 1 = 152 ⇔ 40(q 40( q + q + + 1) = 152(q 152(q − 1). 1). · −1 q − 8 3 Rjeˇsenja senja poslje po sljednje dnje kvadratne kvadra tne jednaˇ jedn aˇcine cine su q = − i q = , prvo prvo rjeˇ rj eˇsenj se njee 7 2 2

2

2

1

2

ne uzimamo u obzir jer se dobiju negativne vrijednosti za a, b i c. Dakle, 3 = . Iz (13.4) slijedi q = 2 40 = 32 3 2. a = 9 1 4 Ostale Osta le stranice stra nice trougl tro uglaa raˇ r aˇcunamo cuna mo kao drugi dr ugi odnosn od nosnoo tre´ t reći ci ˇclan cla n geome g eometrij trijskog skog niza 3 9 = a q = = 32 = 48, 48, c = a = a q 2 = 32 = 72. 72. b = a 2 4 Dakle stranice trougla su a su a = = 32 32 cm, b = 48 cm i c = 72 cm. b = 48 cm c = 72 cm.

−

·

·

·

·

♦

Primjer 13.2.4 Izraˇ Iz raˇcunati cun ati nepoz n epozna nate te ele e lemen mente te pla p lana na izvo i zvoza za za z a ˇcetve ce tverogodoˇ rogodoˇsnje snj e

razdoblje Godi Godina na 1 2 3 4 Ukupno

Izvo Izvoz z

· · · ·

60

ako se predpostavlja predpostavlja da će ce izvoz izvo z konstantno konsta ntno rasti dva d va puta u odnosu na prethodnu godinu. Rjeˇsenj se nje: e: Obiljeˇ Obi ljeˇzimo zim o godiˇ go diˇsnje snj e izvoze izvo ze sa a1, a2, a3 i a4 . Po uslovu zadatka

oni predstavlja ju geometrijsk g eometrijskii niz sa koliˇcnikom cnikom q = 2, a suma prva 4 ˇclana clan a tog niza je S je S 4 = 60. 60. Pa je = a1 q, a3 = a = a1 q 2 , a4 = a = a1 q 3 . a2 = a

·

·

·

Na osnovu formule za sumu prvih n ˇclanova cla nova niza niz a imamo ima mo q 4 = a1 S 4 = a q

4

· −−11 ⇔ 60 = a · 22 −−11 ⇒ a = 4. 1

224 224

1


13.2. 13.2.


MATEMATIKA

Odnosno,

·

·

= 4 2 = 8, a2 = a1 q =

= a1 q 2 = 4 4 = 16, 16, a3 = a

·

·

= a1 q 3 = 4 8 = 32. 32. a4 = a

·

·

Traˇzeni zeni plan pla n izvoza moˇzemo zemo predstavi pred staviti ti tabelo tab elom m Godin Godinaa 1 2 3 4 Ukupno

Izv Izvoz 4 8 16 32 60

♦

225 225


zbirka_prijemni_etf.pdf

Recommend Documents