Zbirka-Zadataka-Iz-Oet-2-Doc.pdf

1

S A D R Ţ A J : 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Osnovni pojmovi o naizmeničnim strujama ………………………….……..................... strana 3. 1.1. Dobijanje naizmeničnih veličina ………………………………………………………...…….3 1.2. Osnovni parametri naizmeničnih veličina…………………………………………………...…3 ZADACI……………………………………………………………………………………………..7. Predstavljanje naizmeničnih veličina………………………………………………………….….12 2.1. Analitičko ( trenutno ) predstavljanje naizmeničnih veličina……………………………….....12 2.2. Grafička ( vremensko ) predstavljanje naizmeničnih veličina……………………………....…12 2.3. Fazorsko ( vektorsko ) predstavljanje naizmeničnih veličina……………………………….....12 2.4. Kompleksno predstavljanje naizmeničnih veličina…………………………………………….13 Osnovne računske operacije sa kompleksnim brojem……………………………………….....14 ZADACI……………………………………………………………………………………………...16. Otpori u kolu naizmenične struje…………………………………………………………………..18 3.1. Kolo sa savršenim termogenim ( aktivnim ) otporom…………………………………………..18 3.2. Kolo sa savršenim kalemom ( induktivnim otporom )………………………………………….18 3.3. Kolo sa savršenim kondenzatorom ( kapacitivnim otporom )…………………………………..18 ZADACI……………………………………………………………………………………………..20 Vezivanje otpora u kolu naizmenične struje……………………………………………………....24 4.1. Redna veza……………………………………………………………………………………..24 4.1.1. Redna veza RLC…………………………………………………………………...…24 4.1.2. Redna veza RL………………………………………………………………………..25 4.1.3. Redna veza RC…………………………………………………………………....…..25 4.2. Paralelna veza ………………………………………………………………………………....26 4.2.1. Paralelna veza RLC…………………………………………………………………..26 4.2.2. Paralelna veza RL…………………………………………………………………….27 4.2.3. Paralelna veza RC…………………………………………………………………….27 4.2.4. Paralelna veza RL i RC………………………………………………………………28 4.2.5. Mešovita veza………………………………………………………………………...28 ZADACI……………………………………………………………………………………………..29 Ekvivalentne veze…………………………………………………………………………………….53 5.1. Pretvaranje redne veze RLC u paralelnu vezu GB……………………………………………...53 5.2. Pretvaranje paralelne veze GB ( RLC ) u rednu vezu RX………………………………………53 5.3. Metode transformacije…………………………………………………………………………..54 5.3.1. Pretvaranje impedansi vezanih u trougao u vezu u zvezdu…………………………54 5.3.2. Pretvaranje impedansi vezanih u zvezdu u vezu u trougao…………………………54 ZADACI……………………………………………………………………………………………..55 Snaga u kolu naizmenične struje........................................................................................................59 6.1. Trenutna i srednja vrednost snage.................................................................................................59 6.2. Snaga u kolu sa savršenim aktivnim otporom ( R )......................................................................59 6.3. Snaga u kolu sa savršenim kalemom ( L )....................................................................................60 6.4. Snaga u kolu sa savršenim kondenzatorom ( C ) .........................................................................61 6.5. Snaga u kolu naizmenične struje na impedansi Z.........................................................................63 6.5.1. Redna veza RLC ( XL  XC ) Analitička, grafička, fazorska i kompleksna analiza.....................................................63 6.5.2. Redna veza RLC ( XL  XC ) Analitička, grafička, fazorska i kompleksna analiza.....................................................65 6.6. Faktor snage..................................................................................................................................66 6.7. Podešavanje prijemnika za maksimalnu aktivnu snagu generatora..............................................68 ZADACI...............................................................................................................................................69 Rezonantna i antirezonantna kola.................................................................................... .....strana 82 7.1. Rezonantno kolo..........................................................................................................................82 7.1.1. Karakteristične krive kod rezonantnih kola......................................................................84 7.1.2. Faktor dobrote i faktor prigušenja kod rezonantnih kola..................................................85 7.1.3. Propusni opseg kod rezonantnih kola................................................................................85 7.1.4. Tanges gubitaka........................................................................................................... .......86 7.2. Antirezonantno kolo...................................................................................................... ...............87 Realno antirezonantno kolo................................................................................................... .......88 ZADACI..................................................................................................................................... ....... 90

V. Pajčin: Osnove elektrotehnike II ( Priručnik sa zbirkom zadataka )

2

8. Induktivno spregnuta kola.................................................................................................................100 8.1. Koeficijent samoinduktivnosti i meĎusobne induktivnosti.........................................................100 8.2. Analiza induktivno spregnutih kola........................................................................................... .100 ZADACI.............................................................................................................................................102 9. Mostovi za naizmeničnu struju...........................................................................................................111 ZADACI....................................................................................................................... ......................112 10. Sloţena kola..........................................................................................................................................116 10.1. Definicija električnih kola..........................................................................................................116 10.2. Metode za rešavanje sloţenih kola.............................................................................................116 10.2.1. Metoda Kirhofovih pravila...........................................................................................116 10.2.2. Metoda konturnih struja...............................................................................................116 10.2.3. Metoda zajedničkog napona.........................................................................................116 10.2.4. Metoda superpozicije............................................................................................... ....116 10.2.5. Metoda Tevenena ( ekvivalentni naponski generator )................................................116 10.2.6. Metoda Nortona ( ekvivalentni strujni generator ).......................................................116 ZADACI.................................................................................................................................. ...........117 11. Transformatori.................................................................................................................................... 133 11.1. Zadaci i podela transformatora............................................................................................... ... 133 11.2. Idealni transformatori.................................................................................................................113 11.3. Redukovanje veličina kod transformatora..................................................................................136 11.3.1. Redukovanje sekundarnog napona na primarnu vrednost.........................................136 11.3.2. Redukovanje sekundarne struje na primarnu vrednost..............................................136 11.3.3. Redukovanje sekundarnog otpora ( impedanse ) na primarnu vrednost....................136 11.4. Realni transformatori sa gvozdenom jezgrom ...........................................................................137 Ekvivalentna šema realnog transformatora...........................................................................138 11.5. Transformatori u linearnom reţimu rada ( vazdušni transformatori ) .......................................138 Autotransformatori........................................................................................................... .....139 11.6. Stepen korisnog dejstva transformatora................................................................................ .....139 ZADACI.............................................................................................................................................140 12. Polifazni sistemi ..................................................................................................................................144 12.1. Osnovni pojmovi o polifaznim sistemima .................................................................................144 12.2. Dvofazni sistem.............................................................................................................. ............145 12.3. Trofazni sistem...........................................................................................................................146 12.3.1. Vezivanje namotaja trofaznih generatora .................................................................147 Vezivanje namotaja trofaznih generatora u zvezdu......................................... 147 Vezivanje namotaja trofaznih generatora u trougao......................................... 149 12.3.2 Vezivanje ( trofaznih ) prijemnika na trofazni generator ......................................... 150 - Veza prijemnika u zvezdu..................................................................................150 - Veza prijemnika u trougao.................................................................................152 Snaga trofaznih prijemnika i trofaznih generatora.......................................................................153 - Snaga trofaznih prijemnika i trofaznih generatora vezanih u zvezdu................153 - Snaga trofaznih prijemnika i trofaznih generatora vezanih u trougao...............154 ZADACI....................................................................................................................... ......................155 REŠENJA...........................................................................................................................................169 DODATAK - OBRTNO MAGNETNO POLJE ...............................................................................331. - RAZNI ZADACI ( sa školskih, regionalnih i republičkih takmičenja ) ....................341.


3

NAIZMENIČNE STRUJE 1. OSNOVNI POJMOVI O NAIZMENIČNIM STRUJAMA Naizmenične struje su vremenski promenljive, tj. sa promenom vremena menja im se i vrednost, i smer. Ove promene se periodično ponavljaju, najčešće u istim vremenskim intervalima ,pa se zbog toga i nazivaju periodične naizmenične struje. Ove promene mogu biti proste ( pravougaone, trouglaste, testeraste, trapezne, sinusne… ), te se i nazivaju prostoperiodične naizmenične veličene ( napon, struja, ems .. ) i sloţene koje se nazivaju sloţene periodične naizmenične veličine. 1.1. DOBIJANJE NAIZMENIČNIH VELIČINA ( ems, napona, struje ) O A 

O

Sl.1.

Sl.1. a)

Sl.1. b)

Rotiranjem navojka u magnetnom polju indukcije B ( sa jednim parom polova ), sl.1.a, konstantnom brzinom u njemu će se indukovati ems e, koja će kroz navojak proterati struju i, ako je električno kolo zatvoreno. Indukovana ems e, kao i struja i će se postepeno menjati, kao što je prikazano na sl.1b. Kada navojak preĎe geometrijski ugao od 2 rad ( 360 ). ems e i struja i će napraviti jednu potpunu promenu, koja je u ovom slučaju sinusnog karaktera. Indukovana ems e je po Faradejevom zakonu jednaka e =  d / dt. Fluks kroz navojak iznosi:  = B  S = BS cos  = m cos . Kako je ugaona brzina  =   t   = t, odnosno,  = m cos t. Koristeći višu matematiku ( izvodi ), sledi: d / dt = dm cos t / dt =  m sin t. Konačno, indukovana ems u navojku je e = d / dt =  m sin t = Em sin t. Maksimalna vrednost ( amplituda ) indukovane ems po navojku iznosi: Em =  m V , a za kalem sa N navojaka: Em = N m V. Dakle, magnetni fluks po navojku se menja po kosinusu, dok indukovana ems po sinusu. To znači da će indukovana ems kasniti za svojim fluksom za 90 ( 2 rad ). U praksi se koriste najčešće prostoperiodične naizmenične struje sinusnog oblika ( sl.1.b ). Naizmenične struje su mnogo ekonomičnije od jednosmernih ( moguć prenos na veće udaljenosti, zbog upotrebe transformatora, jednostavniji rad električnih motora, itd. ), pa su zbog toga u mnogo većoj upotrebi od jednosmernih. 1.2. OSNOVNI PARAMETRI NAIZMENIČNIH VELIČINA 1. Trenutna vrednost. To je ona vrednost naizmenične veličine koja odgovara datom trenutku posmatranja. Iz slike 1.b moţe se izvesti zaključak da takvih vrednosti ima beskonačno, tj. onoliko koliko uzmemo različitih trenutaka. Ove vrednosti se označavaju malim latiničnim slovima ( simbol njihove promenljivosti ). Dakle, struja je označena sa i, napon sa u, ems sa e itd. 2. Maksimalna vrednost ( Amplituda ). Ovo je najveća vrednost koju moţe dostići naizmenična veličina. Ona se obeleţava velikim latiničnim slovima sa indeksom m ( struja sa Im, napon sa Um, ems sa Em itd. ). Vidimo da u toku jedne potpune promene ( navojak preĎe 360) ove vrednosti se jave dva puta, ali sa suprotnim predznacima ( To je momenat kada aktivni deo navoja seče magnetne linije pod 90 ). 3. Ugaona brzina ( kruţna učestanost ). Ugaona brzina je preĎeni ugao u jedinici vremena ( sekundi ). Kod ugaone brzine treba razlikovati geometrijsku ( mehaničku ) ugaonu brzinu  od električne . Mehanička ugaona brzina govori o brzini okretanja navojka ( Sl.1. a ), dok električna ugaona brzina govori o brzini promene


4 električne veličine ( sl.1. b ). Ako se navojak rotira u magnetnom polju sa jednim parom polova ( p = 1 ) tada će se u navojku indukovana ems promeniti po zakonu sinusoide, tj nastaje jedna oscilacija ( sinusoida ) za preĎeni geometrijski ugao od 2 rad. U ovom slučaju mehanički ugao i električni su meĎusobno jednaki ( sinusoida obuhvata ugao od 2 rad ). Ako bi isti taj navojak obrtali u magnetnom polju sa dva para polova ( p = 2 ), tada bi svaki od aktivnih delova navojka pri mehaničkom obrtanju od 2 rad dva puta naišao ispod N pola ( pozitivni maksimum ) i dva puta ispod S pola ( negativni maksimum ). U ovom slučaju nastaju dva oscilacije ( sinusoide ), što će reći da je ovde električni ugao dva puta veći od mehaničkog. Konačno, ako se navojak obrće u magnetnom polju sa p pari polova sledi zaključak: e, = pm gde je m… mehanički ( geometrijski ) ugao, a e… električni ugao. Kako su ugaone brzine: mehanička  = m / t, odnosno električna  = e / t, sledi:  = p. Za našu struku je bitna električna ugaona brzina, samim tim i električni ugao, pa se samo one i uzimaju za ozbiljno razmatranje. Zbog jednostavnosti pridev  elektri;ni  se i ne koristi. Dakle, električna ugaona brzina se naziva ugaonom brzinom ( kruţnom učestanošću ) i obeleţava se sa . Ona iznosi:  =   t  rad / s 

gde je  … električni ugao čija je jedinica radijan.

4.Frekvencija ( učestanost ). Frekvencija je broj ponavljanja ( oscilacija ) u jedinici vremena ( 1 s ). Obeleţava se sa f, a jedinica je herc Hz. Za jedan par polova frekvencija će odgovarati broju obrtaja navojka ( Sl.1). Kod nas bi se navojak trebao u 1 s obrnuti 50 puta, jer je naša industrijska frekvencija jednaka 50 Hz. U Koreji, Japanu, SAD-u industrijska frekvencija iznosi 60 Hz. To znači da se kod njih navojak toliko puta obrne u magnetnom polju sa jednim parom polova. Ako je par polova jednak p, toliko puta će biti više oscilacija u jedinici vremena. Iz navedenih konstatacija sledi zaključak da je frekvencija f direktno srazmerna brzini obrtanja navojka ( kalema ) n i broju pari polova p. Dakle, f = np Hz Navedeni izraz vaţi ako je brzina obrtanja kalema n u broju obrtaja po sekundi ob/s. Kako se za n uglavnom koristi jedinica ob/min, predhodni izraz prelazi u sledeći oblik:  ob   ob  np f  n  p   n  p 60s   60 Hz .  min    te sledi, np 60f ob ; n . f min 60Hz p





Da bi frekvencija indukovane ems bila konstantna rotor generatora mora da se obrće konstantnom brzinom. Brzina obrtanja generatora ( p = 1 ) koji napajaju našu mreţu iznosi 3 000 ob/min ( f = 50 Hz ). Generatori u avio saobraćaju rade pri frekvencijama od 400 Hz, u ţeleznici 15; 25 i 50 Hz, u telefoniji od 300 do 5 000 Hz i u radio tehnici od 104 do 1010 Hz. 5.Period(a). To je vreme u kojem traje potpuna promena naizmenične veličine ( jedna oscilacija ). Označava se sa T, a jedinica je s ( sekund ). Perioda i frekvencija su meĎusobno obrnuto proporcionalne, pa slede relacije: f

1 Hz   T  1 s T f

Ugaona brzina naizmenične veličine za jednu oscilaciju ( t = T ,  = 2 rad ) iznosi:  = /t = 2/T = 2f.  = 2f rad/s 6. Faza, fazna razlika i početna faza. Ako na istu osovinicu pored jednog navojka prema sl.1. mehanički pričvrstimo još dva navojka, kao na sl.2. a), tako da je drugi prostorno pomeren za ugao 2 unapred ( prednjači ), a treći za ugao 3 unazad ( kasni ), tada će se u svakom od navojaka indukovati pojedinačna ems. Kako je oscilacija kod prvog navojka sinusoida ( sl.1 ) čije je početno vreme t = 0, indukovana ems e1 u njemu iznosi e1 = Em sin  = Em sin t. Za drugi navojak e2 = Em sin ( t + 2 ), odnosno treći e3 = Em sin ( t  3 ), sl.2.b).


5

a)

b)

Sl.2. Uglovi 2 i 3 se nazivaju početni uglovi ( početne faze ), jer su to uglovi sa kojima se počima posmatranje prostoperiodične naizmenične veličine e2, odnosno e3 ( t = 0 s ). Naravno i ems e1 ima svoj početni ugao, koji u ovom slučaju iznosi 0, tj. 1 = 0 ( za t = 0  e1 = Em sin 0 = 0 ). Kako je  = t, za prvu fazu ( fazu e1 ) mo\emo dati ugao predstaviti u obliku t = t + 0 = t + 1. ovaj ugao t naziva se fazni ugao ( faza ) prve faze. Fazni ugao ( faza ) druge faze je t + 2, odnosno tre’e t  3. Fazna razlika je razlika izme]u dveju faza. Fazna razlika izme]u druge I tre’e faze je t + 2  ( t  3 )  23 = 2 + 3. Dakle, fazna razlika je razlika izme]u po;etnih uglova. 7. Srednja vrednost naizmenične veličine Naizmenična veličina sinusnog oblika u jednoj periodi ima dva polutalasa istih vrednosti ali suprotnih predznaka. Zbog toga je srednja vrednost naizmeničnih veličina u jednoj periodi jednaka nuli. U praksi se negativni talas često ispravlja u pozitivni ( nastaje struja jednog smera ), pa je u ovom slučaju srednja vrednost naizmenične struje za celu periodu jednaka srednjoj vrednosti naizmenične struje za polovinu periode. Iz navedenih razloga srednja vrednost naizmenične struje računa se za vreme polovine periode ( T/2 ) i ona se obeleţava velikim latiničnim slovima sa indeksom s. Pravc sa visinom koja odgovara nekoj jednosmernoj struji, čija je vrednost jednaka IS, pravi jedan pravougaonik čija je površina jednaka površini koju čini naizmenična struja i u vremenu T/2 ( polovina sinusoide ), prema sl.3. Kako je površina pravougaonika jednaka IST/2 As, ta površina predstavlja odreĎenu količinu naelektrisanja. Pošto su površine izjednačene, sledi, jednosmerna struja IS stvara istu količinu naelektrisanja kao i naizmenična struja i u vremenskom intervalu T/2 ( poluperiodi ).

Sl.3.

Srednja vrednost naizmenične struje je ona vrednost sa kojom bi vrednošću jednosmerna struja ostvarila istu količinu naelektrisanja u vremenskom intervalu od T/2. Dakle,površina pravougaonika je Q = IST/2 , odnosno, površina polovine sinusoide ( viša matematika ) je; T

Q~ =

2

 idt = 0

T

T/2

 cos t  I m sin tdt = I m     = ( Im/2f) cos 2fT/2  (  cos 2f0) = 2Im/. 0    0 2



Koristeći računske operacije iz više matematike ( integralni račun ), srednje vrednosti naizmenične veličine iznosi:

IS 

2



I m  0,637  I m ; U S 

2



Um

;

ES 

2



Em

Efektivna vrednost naizmenične struje. Efektivna vrednost naizmenične struje je ona vrednost sa kojom bi jednosmerna struja istog inteziteta ostvarila istu količinu naelektrisanja prolazeći kroz neki otpornik. Kako se u praksi ova energija i najviše koristi značaj efektivne vrednosti je veoma velik. Zbog toga te vrednosti se obeleţavaju velikim latiničnim slovima, bez ikakvih indeksa ( U, I, E … ). .


6

Kvadriranjem naizmenične struje i, nastaje njen kvadrat, koji iznosi i2 = Im2 sin2 t , prema sl.4. Vidimo da je struja i2  0, [to znači da će i toplotna energija biti stalno pozitivna ( ne zavisi od smera struje i ). Povucimo pravac tako da on čini jedan pravougaonik čija je površina jednaka površini koju zatvara kvadrat struje ( i2 ) u vremenskom periodu T. Ove površine pomnoţene sa električnim otporom prijemnika predstavljaju njegovu toplotnu energiju. Dakle,toplotna energija razvijena jednosmernom strujom iznosi W = RI2T

Sl.4.

Naizmenična struja i prolazeći kroz isti taj otpornik R će ostvariti istu količinu toplotne energije ( jednake površine ), koja će iznositi W~ = RTIm2/2. Kako su povr[ine jednake ( W = W~ )  RTI2 = RTIm2/2  I2 = Im2/2. Konačno,

I

Im

U 

2

Um

E

2

Em 2

Koristeći višu matematiku dobiju se ista rešenja ( izjednačavajući toplotne energije, tj. površine ). Postupak je sledeći: T

I2RT =

i

2

Rdt , Rešenjem navedenog integrala nastaju rešenja efektivnih vrednosti, koja su već data.

0

Merni instrumenti su redovito izbaţdareni, tako da mere efektivnu vrednost naizmenične struje. Koeficijent oblika je odnos izmeĎu efektivne i srednje vrednosti naizmenične struje. On iznosi : Kod prostoperiodičnog sinusnog oblika on iznosi 1,11. Svi navedeni parametri se u vidu rezimea mogu predstaviti na sledeći način:

maksimalna vrednost

ugaona brzina ( kruţna učestanost )

trenutna vrednost

početni ugao 

i = Im sin ( 2  f  t   )  frekvencija ( učestanost )

fazni ugao ( faza )


k = I/IS

7

ZADACI: 1.1. Kolika je maksimalna vrednost prostoperiodične struje, ako je njena trenutna vrednost jednaka 12 A, a fazni ugao ( faza ) 30 ? 1.2. Maksimalna vrednost ems je 85 V, a njena frekvencija 100 Hz. Kolika je trenutna vrednost ems nakon vremena t = 1 ms od njenog prolaska kroz nulu ? 1.3. Odrediti vreme u kojem je trenutna vrednost naizmenične struje dva puta manja od njene efektivne vrednosti, ako je ona data izrazom i = I m sin 314 t. 1.4. U kojem je trenutku naizmenična struja za i = Im sin 314 t ?

2 puta manja od maksimalne, ako je njen izraz

1.5. Kolika je trenutna vrednost naizmenične struje i = 10 2 sin ( t + 4 ) u trenutku t = T/8 ? 1.6. Odrediti trenutnu vrednost naizmenične struje u trenutku t = T/4 čiji je izraz i = 15

2 sin ( t + /4 ).

1.7. U kojem će trenutku napon u = 100 cos ( t  /4 ) biti jednak nuli ? 1.8. Koliko je frekvencija dvopolne mašine ( generatora ), ako joj se rotor obrće brzinom n = 3 000 ob/min ? 1.9. Koliki je broj pari polova mašine sa 1000 obrtaja u minuti, ako je njena frekvencija 50 Hz ? 1.10. Koliki je broj obrtaja šestopolnog generatora ako je učestalost struje 50 Hz ? 1.11. Rotor sinhronog generatora ima 300 ob/min . Generator je konstruisan za frekvenciju f = 50 Hz. Koliko treba pari polova da ima navedeni generator ? 1.12. U kojem će trenutku trenutna vrednost naizmenične struje biti jednaka njenoj srednjoj vrednosti, ako je njena maksimalna vrednost jednaka 26 A, a frekvencija 50 Hz ? 1.13. Odrediti trenutak u kojem će naizmenična struja biti jednaka efektivnoj u predhodnom zadatku ? 1.14. Koliki je fazni ugao pri kojem je trenutna vrednost naizmenične struje jednaka efektivnoj vrednosti ? 1.15. Koliku frekvenciju ima generator koji rotira brzinom n = 1 000 ob/min, a ima tri para polova ( p = 3 ) ? 1.16. Kojom brzinom treba da se obrće rotor sinhronog generatora koji je predviĎen za frekvenciju f = 1 000 Hz, a ima šest pari polova ( p = 6 ) ? 1.17. Magnetni fluks elektromagneta ima maksimalnu vrednost m = 2102 Wb. Ako taj elektromagnet rotira unutar kalema sa N = 400 navojaka brzinom od 3 000 min1, odrediti izraz za trenutnu vrednost ems e. 1.18. Naizmenična struja ima efektivnu vrednost I = 20 A i frekvenciju f = 50 Hz. Vreme se počima meriti od trenutka kada struja raste od nule. Odrediti trenutak t1 odnosno t2 kada su trenutne vrednosti tih struja jednake i1 = 16 A i i2 =  20 A. 1.19. Naizmenični ( sinusni ) napon ima efektivnu vrednost U = 2 V. Vreme jedne periode je T = 10 4 s. U času kada se počinje meriti vreme napon ima trenutnu vrednost uo = 1,41 V. Odrediti izraz za napon u ( t ) . Koju će trenutnu vrednost taj napon ostvariti u trenutku t = 105 s ?


8

1.20. iA Ako naizmenična struja ima oblik kao na sl.1.20, odrediti njenu maksimalnu, efektivnu i srednju vrednost struje. Rešenja prokomentarisati.

50

ts  50

T Sl.1.20.

1.21. Kalem pravougaonog oblika obrće se konstantnom brzinom od 3 000 ob/min = min1 u magnetnom polju sa jednim parom polova magnetne indukcije 1,59 T. Površina rama je 0,1 m2. Na ramu se nalaze dva navojka. Naći najveću jačinu indukovane ems u kalemu. 1.22. Odrediti vremenski razmak izmeĎu pojave maksimalnih vrednosti napona koji se manjaju po zakonima: u1 = U1m sin ( t + 15 ) i u2 = U2m sin ( t  30 ), ako je učestanost f = 50 Hz. 1.23. U električnom kolu protiče prostoperiodična naizmenična struja čija je efektivna vrednost I = 6 A, učestanosti f = 50 Hz i početnog ugla  = 0. Kolika je količina elektriciteta q protekla kroz to kolo u toku prve polovine periode ? 1.24.

Koji je odnos izmeĎu efektivnih vrednosti struja i1 i i2 prikazanih na sl.1.24, ako je: b = a2

i i1 b a

i2 = a sin t

t

T Sl.1.24. 1.25. Odrediti maksimalnu vrednost napona ako se on menja po zakonu u = U m sin ( t + /6 ), ako je njegova trenutna vrednost u početku ( t = 0 ) u = 200 V. 1.26. Rotor hidrogeneratora ( p = 1 ) obrće se brzinom n = 62,5 ob/min. Učestanost ems generatora iznosi f =50 Hz. Koliki će ugao preći rotor da bi ems napravila jednu poluperiodu ? 1.27. Pravougli kalem duţine 10 cm i širine 4 cm, sastavljen od 1 000 navojaka obrće se oko svoje osovinice brzinom od 3 000 ob/min u homogenom magnetnom polju indukcije B = 0,8 T. Kako glasi izraz po kojem se odreĎuje trenutna vrednost ems i kolika je njena ugaona brzina ?


9

1.28. i A

Na slici 7 je prikazana vremenska zavisnost prostoperiodično promenljive struje . Odrediti: a) njenu srednju vrednost b) njenu efektivnu vrednost c) koeficijent oblika k ( odnos izmeĎu efektivne i srednje vrednosti )

8 6 4 2 t

T/4

T Sl.1.28.

1.29. U električnom kolu ( čvoru ) poznati su podaci dveju struja, i to: frekvencija f = 50 Hz, efektivna 2 /2 mA i početni ugao ( faza ) 1 = 0, zatim maksimalna vrednost struje i2

vrednost struje i1 I1 =

I2m = 2 mA i nepoznati početni ugao 2 koji je veći od nule ( 2  0 ). a) odrediti početni ugao struje i2 ako se zna da su nakon vremenskog intervala od 15 ms obe struje jednake. b) Kolika je bila vrednost struje i2 na samom početku ( t = 0 ) ? 1.30.

n  b



N

Sl.1.30.

B

Namotaj sastavljen od N pravougaonih navojaka, prema sl.1.30, stranice a i b, nalazi se u homogenom magnetnom polju i okreće se stalnom brzinom od n oko svoje duţe ose, koja zatvara prav ugao sa vektorom magnetne indukcije B, prema sl.8. Pojavu posmatramo od trenutka kada je površina kalema zaklapala ugao  sa vektorom B. Odrediti: a) izraz za trenutnu vrednost indukovane ems e u namotaju; b) maksimalnu vrednost Em, efektivnu vrednost E, učestanost f i početnu fazu  indukovane ems e; c) vrednost indukovane ems e kada se namotaj okrene za ugao 1 od početnog poloţaja. Brojni podaci : N = 100 nav.; a = 10 cm; b = 5 cm;  = /3 rad, n = 1 000 ob/min; B = 0,2 T; 1 = /6 rad.

1.31. Elektromotorne sile e1 i e2 dvaju generatora date su u sledećim izrazima: e1 = 60 sin ( 628t + /3 ): e2 = 40 sin ( 628t  /9 ) V. Za obe elektromotorne sile odrediti sve parametre naizmenične struje i nacrtati njihov grafikon ( sinusoide ). 1.32. Naizmenična ems e1 data je sledećim izrazom: e1 = E1m sin ( t + 1 ) V. Odrediti: a) izraz za ems e2 koja ima istu maksimalnu vrednost i istu učestanost kao e1, a fazna razlika izmeĎu e1 i e2 je 12: b) izraz za ems e3 koja ima istu učestanost kao e1 , maksimalnu vrednost dvostruko manju od e1 a vremenski pomak izmeĎu e1 i e3 je t13. Brojni podaci: E1m = 282 V; 1=  20; 12 =  80; f = 50 Hz; t13 = 5/3 ms.


10

1.33. i1 A

i3A

i2 A

3 2

2

1

1

5 0

1

2

3

t s

4

ts 1

T

2

3

4

t s

5 o

T Sl.1.33.

Za periodične struje i1 ( t ) , i2 ( t ) i i3( t ) prema sl.1.33. odrediti srednje i efektivne vrednosti struja. 1.34. u V

Za napon čiji je talasni oblik predstavljen na slici 1.34. odrediti srednju i efektivnu vrednost napona.

100

0,2 0,1

0,4 0,3

t s

T Sl.1.34. 1.35. Izrazi za intezitet dva napona, prema istom referentnom smeru, su: u = Um sin ( 100 t + 60 ) i u = Um cos ( 100  120 ). Koliki je vremenski pomak izmeĎu ovih napona ? 1.36. Prostoperiodična struja efektivne vrednosti I = 40 2 mA i učestanosti f = 400 Hz ima u trenutku odreĎenom sa t1 = 1,25 ms od početnog trenutka intezitet i1 =  40 mA i smanjuje se po intezitetu ( raste u suprotnom smeru ). Napisati izraz za intezitet ove struje i nacrtati grafički ( vremenski ) dijagram. 1.37. Intezitet struje jedne grane, prema referentnom smeru i početnom trenutku, je dat izrazom: i1 = 60 2 sin (  t   3 ) mA. Struja druge grane, i2, je prostoperiodične kruţne učestanosti  i dva puta manje efektivne vrednosti od efektivne vrednosti struje i1. Napisati izraz za intezitet struje i2 ako ona: a) fazno prednjači struji i1 za 35, b) fazno kasni ( zaostaje ) za strujom i1 za 32, i c) nalazi se u protivfazi ( opoziciji ) sa strujom i1.


11

1.38. Ako su maksimalne vrednosti prema sl.1.38. meĎusobno jednake ( Im1 = Im2 ) odrediti kakav je odnos izmeĎu: a) efektivnih vrednosti struja ( I1/I2 ), b) srednjih vrednosti struja ( IS1/IS2 )?

i

Im1 t

Im2 t

T Sl.1.38.

1.39. Ako se magnetni fluks kroz kalem, koji sadrţi N = 100 navojaka, menja po zakonu:  = 2103 sin 100 t Wb, odrediti izraz po kojem zakonu se menja indukovana ems e u kalemu. 1.40. Prostoperiodični napon ima vrednost uo = 3 V za to = 0 i u1 = 3 V za t1 = T/4. Kolika je efektivna vrednost navedenog napona i kolika mu je početna faza ? 1.41. Kolika je vrednost naizmeničnog napona gradske mreţe U = 220 V, f = 50 Hz nakon 1/300 sekunde, posle njegove maksimalne vrednosti ?


12

2. PREDSTAVLJANJE NAIZMENIČNIH VELIČINA Naizmenične veličine moţemo predstaviti na sledeće načine: 2.1. Analitički ( trenutno ), 2.2. Grafički ( vremenski ), 2.3. Vektorski ( fazorski ) i 2.4. Kompleksno 2.1. ANALITIČKO PREDSTAVLJANJE NAIZMENIČNIH VELIČINA Ovim načinom predstavljanja daje se trenutna vrednost naizmenične veličine koja je u funkciji sa vremenom. Izrazi su i ( t ) = f ( t ); u ( t ) = f ( t ); e ( t ) = f ( t ) itd. Kako su ovo trenutne vrednosti koje zavise od vremena ( trenutka ) t logičan je njih naziv predstavljanja  trenutno . Ovaj način predstavljanja prikazuje sve parametre naizmenične struje. Očito je da smo to već koristili ne vodeći računa kako se on naziva. 2.2. GRAFIČKO ( VREMENSKO ) PREDSTAVLJANJE NAIZMENIČNIH VELIČINA Ovo predstavljanje je tzv. dijagramsko predstavljanje ( sl.5.b ), jer se naizmenična veličina prikazuje u vidu jedne oscilacije ( sinusoide ). Ovim načinom predstavljanja jasno se vide sledeće vrednosti: a) trenutne vrednosti naizmeničnih veličina u bilo kojem trenutku, b) maksimalna vrednost, c) početna faza ( ugao ) i c) vreme trajanja perioda T. I ovaj način predstavljanja smo do sada koristili ne vodeći računa o nazivu. 2.3. VEKTORSKO ( FAZORSKO ) PREDSTAVLJANJE Predhodna dva načina predstavljanja su u odreĎenim slučajevima nepraktična ( kod sabiranja, oduzimanja… više naizmeničnih veličina ). Iz toga razloga su pronaĎene alternative pomoću kojih se te operacije svode na jednostavniji oblik. Jedna od tih alternativa je vektorsko ( fazorsko ) predstavljanje ( sl.5a ). Fazor je u stvari jedna naizmenična veličina predstavljena simbolčno pomoću obrtnog vektora, čime je analiza električnih kola postala jednostavnija. Dogovorom je usvojen pozitivan smer obrtanja fazora ako se on obrće suprotno od smera kazaljke na satu. Vektori predstavljaju odreĎene sile koje su statične ( imaju pravac smer i intezitet ), kao npr. mehaničke sile F, vektor magnetne indukcije B itd. Usled obrtanja navoja u magnetnom polju u navoju se indukuje ems e koja menja svoj pravac, smer i intezitet. Ovu promenu moţemo prikazati simbolično jednim vektorom koji se u stvari naziva fazorom. Dakle, fazor je naizmenična veličina predstavljena u obliku vektora. Ovaj način predstavljanja u sebi sadrţi sledeće parametre: a) intezitet koji predstavlja vrednost naizmenične veličine ( najčešće efektivnu, mada moţe i srednju ili maksimalnu ). Ova vrednost se često naziva fazom. b) početni ugao ( pravac i smer fazora ) naizmenične veličine ( faze ). Kako svi navedeni načini predstavljanja govore o istoj električnoj veličini logično je da izmeĎu njih postoji logična povezanost, tj. sa jednog oblika lako se prelazi na drugi i obrnuto. U matematici sinusoida se konstruiše pomoću obrtanja poluprečnika ( fazora ). Prenošenjem svih tačaka koje opisuje vrh fazora ( poluprečnika ) na vremenski dijagram ( izjednačavajući uglove ) kruţnica se transformiše u jednu sinusoidu , što je prikazano na slici 5.

a)

b) Sl.5.


13 Početni poloţaj fazora OA simbolično predstavlja maksimalnu vrednost naizmenične struje I m. Prems sl.5. početni ugao jednak je nuli pa je fazor poklopljen sa x osom. To znači da je x osa ( apscisa ) referentna osa koja se naziva faznom osom. Ako je fazor u faznoj osi ( naizmenična veličina startuje sa nulom ) tada i sinusoida startuje sa nulom. Svako pomeranje vektora OA ( fazora I m ) menja ugao t, a samim tim menja i trenutnu vrednost struje i.  BC  OB  sin t 1  I m sin t 1 Kada je fazor Im prešao ugao t1  sin t1 = BC OB Vidimo da će projekcija fazora Im po ordinati ( y osi ) predstavljati trenutnu vrednost naizmenične struje. Početak fazora moţe biti bilo koji ( ne samo iz fazne ose ). U ovom slučaju fazni ugao fazora je t + , a analitički izraz naizmenične veličine iznosi i = Im sin ( t +  ), što je prikazano na sl.6.

Sl. 6. Prema sl.5 i sl.6 krugovi su crtani zbog grafičkog dijagrama ( sinusoida ), radi lakšeg objašnjenja. U praksi se oni ne crtaju, pogotovo kada se crta samo jedan dijagram. Fazori se simbolično predstavljaju crticom iznad ( po novon ispod ) velikog latiničnog slova ( simbol efektivne, srednje ili maksimalne vrednosti ). Dakle, U; I; E; ( US; IS; ES; Um; Im; Em … ) 2.4. PREDSTAVLJANJE NAIZMENIČNIH VELIČINA KOMPLEKSNIM BROJEM Kompleksni broj je broj koji čini zbir realnog i imaginarnog broja. Imaginarni broj je negativni broj pod korenom. Da bi on postao pozitivan mnoţi se sa  1. Na ovaj način se vadi koren iz pozitivnog broja i rešenje se mnoţi sa  1 . Ova vrednost predstavlja imaginarnu jedinicu koja se obeleţava sa j. Dakle, j=  1 . U matematici umesto j koristi se oznaka i. Jasno je da zbog analitičkog izraza struje i u elektrotehnici to nije praktično. Ako sa a obeleţimo realni deo kompleksnog broja a sa b imaginarni deo kompleksnog broja, tada će kompleksni broj ( obeleţimo ga sa Z ) biti jednak: Z = a + jb. Često se koriste konjugovano kompleksni brojevi, a to je kompleksni broj kojem se promeni predznak ispred j. Dakle, konjugovano kompleksni broj (oznaka Z ) predhodnom kompleksnom broju je: Z a  jb. Grafičko predstavljanje kompleksnog broja imaginarna osa

j

Z  0

j Sl.7.

 a

jb

+

realna osa

Prema sl.7 na realnoj osi ( apscisi ) nalaze se realni brojevi, a na imaginarnoj osi ( ordinati ) su imaginarni brojevi.Na osnovu ovih brojeva moţe se kompleksni broj Z napisati u obliku: Z = a +jb , koji se naziva algebarski oblik kompleksnog broja. Vidimo da kompleksni broj sa svojim projekcijama čini jedan pravougli trougao iz kojeg sledi: Z =  Z  = a 2  b 2 što predstavlja modul kompl. broja. Ugao  se naziva argumentom kompleksnog broja i on se moţe odrediti pomoću tangesa ( cos  ili sin  ): b b tg     arctg a a


14 Kako je ( sl.7) cos  = a/Z, odnosno sin  = b/Z  a = Z cos , b = Z sin  , te se algebarski oblik kompleksnog broja moţe predstaviti u obliku: Z = Z ( cos  + j sin  ) , koji se naziva trigonometrijski oblik kompleksnog broja. U matematici je poznat tzv. Ojlerov broj ej koji je jednak : ej = cos  + j sin , pa se trigonometrijski oblik kompleksnog broja lako transformiše u Ojlerov oblik koji se još naziva i eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Dakle, eksponencijalni oblik kompleksnog broja, za sl.7, iznosi: Z = Z ej Pored navedenih oblika kompleksnog broja moţe se koristiti oblik: Z = Z  , koji se naziva konvencionalni oblik kompleksnog broja ( oblik modula i argumenta ). U praksi se uglavnom koriste predhodna tri ( algebarski, trigonometrijski i eksponencijalni ) , jer konvencionalni oblik je identičan eksponencijalnom obliku pa je njihova primena ista. Da se primetiti da je simbol kompleksnog broja isti kao i fazora, što je i logično, jer se svaki vektor moţe razloţiti na komponente ( po x i y osi ) koje formiraju pravougli trougao ( isto kao i kompleksni broj ). To znači da se svaki vektor moţe simbolično predstaviti kompleksnim brojem i obrnuto. Izvesne razlike koje postoje sa stanovišta naše struke nisu značajna. Već je konstantovano da se naizmenične veličine mogu predstaviti vektorom ( fazor ), a samim tim i kompleksnim brojem. Svi ovi načini predstavljanja naizmeničnih veličina ( analitički, fazorski, grafički i kompleksno ) su meĎusobno povezani ( jer govore o istoj veličini ). Zbog toga je dovoljno imati naizmeničnu veličinu u jednom obliku. Naravno iz tog oblika prelazi se u svaki drugi, poštujući odreĎena pravila. Koristi se uvek onaj oblik koji je najracionalniji ( najjednostavniji ).

OSNOVNE RAČUNSKE OPERACIJE SA NAIZMENIČNIM VELIČINAMA SABIRANJE I ODUZIMANJE a) Sabiranje i oduzimanje u analitičkom obliku Da bi se naizmenične veličine mogle sabrati analitički treba poznavati trigonometrijski račun. Taj postupak je dosta sloţen, a kako postoje jednostavnija rešenja, tada se u ovom obliku retko sabiraju i oduzimaju naizmenične veličine. Za znatiţeljnije neka pogledaju rešenje zadataka 2.4. b) Sabiranje i oduzimanje u grafičkom obliku Kada se nacrtaju grafikoni ( dve ili više oscilacija ), tada se jednostavno sve trenutne vrednosti na dijagramu meĎusobno saberu, odnosno oduzmu. Tačnost dijagrama ( grafika ) zavisi od broja različitih vremena, tj. trenutnih vrednosti koje smo uzeli za proračun. I ovaj način je nepraktičan, pa se zbog mogućnosti boljeg rešenja koristi druga metoda. Način primene ove metode pogledati u rešenju zadataka 2.4. i 2.20. c) Sabiranje i oduzimanje u fazorskom obliku Postoje dve mogućnosti sabiranja fazora: 1. metoda kosinusne teoreme 2. metoda razlagajućih komponenti ( po x i y osi ) Metoda kosinusne teoreme

  I

I1 1

I1





I2 2

Sl.8.

Iz kosinusne teoreme intezitet ( modul ) fazora I2, sl.8 je: I = I12 + I22  2 I1 I2 cos . Ugao  odredimo iz fazora I1 i I2, tj. iz njihovih početnih uglova . Dakle,  = 180   = 180  ( 1  2 ). Iz kosinusne teoreme: I12 = I2 + I22  2 I I2 cos  odredimo ugao , a nakon toga ugao  jer je :  = 2 + . Ugao  se moţe odrediti i na drugi način ( sinusna teorema, razlaganje fazora I na komponente … ). Nakon rešenja I i  dobijenu naizmeničnu veličinu moţemo predstaviti fazorski, po potrebi i analitički i grafički. 2


15

Metoda razlaganja fazora Razlaganjem fazora I1, I2 i I, prema sl.9, nastaju pravougli trouglovi iz kojih sledi zaključak da je: I cos  = I1 cos 1 + I2 cos 2, odnosno, I sin  = I1 sin 1 + I2 sin 2. Intezitet rezultantnog fazora po Pitagori iznosi:

I1 sin 1

I

I1

I sin 

1 2 

I2

I2 cos 2

I2 sin 2 I1 cos 1

I cos 

fazna osa

Sl.9.

2 2 I  I cos   I sin  , Početni ugao fazora I iz pravouglog trougla iznosi: I sin  I sin  tg     arctg I cos  I cos  Na osnovu modula struje I i ugla ( argumenta )  ovu naizmeničnu veličinu ( fazor ) lako je predstaviti u svim ostalim oblicima ( analitički, grafički i kompleksno. Postupak je isti i kod više naizmeničnih veličina.

d) Sabiranje i oduzimanjenaizmeničnih veličina u kompleksnom broju Prilikom sabiranja i oduzimanja kompleksnih brojeva jednostavno saberemo sve realne brojeve posebno a to isto uradimo i sa imaginarnim brojevima. Ukupni zbir daje rešenje rezultantnog kompleksnog broja. Sabirati i oduzimati kompleksne brojeve možemo samo u algebarskom obliku..Naravno, ovo rešenje moţemo predstaviti u svim preostalim oblicima. Mnoţenje i deljenje kompleksnog broja Kompleksne brojeve možemo množiti i deliti u svim oblicima, ali najpraktičniji su algebarski i eksponencijalni oblik. Iz tog razloga sledi njihovo objašnjenje na jednom primeru. Ako pretpostavimo da su data dva fazora u algebarskom obliku kompleksnog broja, i to: U = 80 + j 60 i I = 4  j 3 , odrediti: a) njihov proizvod i b) njihov količnik Rešenje: Ako algebarski oblik pretvorimo u eksponencijalni, navedeni fazori imaju slede izraze: U = 100ej 36,87, odnosno I = 5ej 36,87. a) S = UI = ( 80 + j 60 ) ( 4  j 3 ) = 320 + j 240  j 240  j2 180 = 500 + j 0 = 500. ili S = UI = 100ej 36,87 5e j 36,87 = 1005e j 36,87 + (  36,87 ) = 500ej 0 = 500.

80  j60 4  j3   5,6  j19,2  Z = 20ej 73,47, jer je: 4  j3 4  j3 19,2 Z  5,6 2  19,2 2  20 , odnosno   arctg  73,47O ; 5,6

b) Z = U / I =

100  e j36,87  20  e j36,8736,87  20  e j73, 47 . 5  e  j36,87 Vidimo da je rešenje isto, što znači da se koristi onaj oblik koji je jednostavniji ( najčešće onaj oblik u kojem su dati fazori. Iz jednog oblika lako se transformišemo u drugi, a samim tim moţemo naizmeničnu veličinu predstaviti u svim ostalim oblicima. Kompleksni broj je nemoguće izbeći kod rešavanja sloţenih naizmeničnih kola, pa iz tog razloga sve njegove računske operacije moraju nam biti poznate. ili Z =


16

ZADACI: 2.1. Struja i1 = 10 sin ( t + /4 ) prednjači struji i2 za ugao 3/4. Napisati analitički izraz za struju i2 ako je njena maksimalna vrednost jednaka I m2 = 5 A. 2.2. Struju i = 10 sin ( t + /4 ) predstaviti fazorski, grafički i kompleksno u svim oblicima. 2.3. Datu struju u kompleksnom obliku I = 10 + j 10 napisati analitički. 2.4. Odrediti zbir struja i1 i i2 na sve načine ( analitički, grafički, fazorski i kompleksno ) ako je i1 = 5 sin ( t + /4 ) a i2 = 5 cos ( t + /4 ). 2.5. Sabrati struje I1 = I, I2 = Iej 2/3 i

I3 = Iej 4/3.

2.6. Sabrati struje i1 = 10 sin ( t + /3 ) i I2 =  j 52. 2.7. Ako su promene ems dvaju generatora vrši po zakonima e 1 = 200 sin ( 314t + 10 ) V i e2 = 300 sin ( 314 t  35 ) V, odrediti analitički izraz za promenu napona na priključnicama redne veze ovih generatora ( padovi napona zanemarljivi ). Nacrtati fazorski dijagram. 2.8. 0 3/4

I1

f.o.

I2

Struje i1 i i2 su prikasane fazorima na slici 2.8. Ako su efektivne vrednosti ( faze ) tih struja I1 = 3 2 A i I2 = 2 A, odrediti analitički izraz za struju io koja je jednaka io = i1  i2.

Sl.2.8. 2.9. Za date struje i1 = 10 sin ( t + /3 )  i i2 = 10 cos ( t + /3 )  odrediti njihovu razliku io = i1  i2. Nacrtati fazorski i grafički dijagram. 2.10. U jednom čvoru nalaze se tri grane. Referentni smer struja uzet je od čvora. U dve grane poznate su jačine struja i one iznose: i1 = 10 cos 25 t i i2 = 5 cos ( 25 t  45 ), koje ulaze u dati čvor. Izračunati jačinu struje u trećoj grani na sve načine ( analitički, grafički, fazorski i kompleksno ). 2.11. Na napon izvora U = 220 V priključena su dva potrošača. Na prvom potrošaču izmeren je napon U1 = 175 V, koji je za 1 = 60 fazno pomeren u odnosu na napon izvora U. Koliki je pad napona na drugom potrošaču U2 i koliki je njegov fazni pomak 2 u odnosu na napon izvora U ako su potrošači u rednoj vezi. Zadatak rešiti fazorski i kompleksno. 2.12. C

U1

D

U2

A

U3

Data su tri kalema vezana prema slici 2.12. IzmeĎu odgovarajućih tačaka na slici treba odrediti napone UBA i UCD. Naponi U1 = U2 = U3 = 100 V meĎusobno su pomereni unazad za uglove  = 60 ( 12 =  60, 23 =  60 ). Zadatak rešiti fazorski i kompleksno.

B Sl.2.12.

2.13. Kroz tri potrošača, koji su paralelno priključeni na naizmenični napon, protiču struje i1 = 2 sin t, i2 = 3 sin ( t  30 ) i i3 = sin ( t + 45 ). Odrediti ukupnu struju u kolu fazorskom i kompleksnom metodom. 2.14. Dva redno spojena generatora proizvode napone 240 i 200 V, koji su meĎusobno fazno pomereni za 25. Odrediti ukupan napon, ako su naponi pojedinačnih generatora istih frekvencija. 2.15. Kroz dve paralelne grane protiču struje I1 = 8ej 0 A i I2 = 6ej 30 A. Kolika je ukupna struja ?


17 2.16. Kroz dve paralelne grane prolaze struje I1 = 5e j 60 A i I2 = I2ej . Odrediti struju I2, ako je ukupna struja I = 5ej 3652 A. 2.17. Date su ems e1 = 10 sin ( 314 t  60 ), e2 = 20 sin 314 t, e3 = 10 sin ( 314 t + 30 ), e4 = 15 sin ( 314 t + 90 ) i e5 = 25 cos ( 314 t + 120 ). Odrediti kolika je ukupna ems e, ako je ona jednaka zbiru svih pojedinačnih ( e = e1 + e2 + e3 + e4 + e5 ). Zadatak rešiti vektorskom ( fazorskom ) i kompleksnom metodom. Kolike su ems u samom startu i šta potvrĎuju dobijena rešenja ? 2.18. Izračunati razliku dvaju napona U1 = U2 = 120 V ako je njihova fazna razlika  = /3 rad. Kolika je početna faza rezultantnog napona ? 2.19. Dva generatora, istog smera delovanja, naizmeničnih ems e1 i e2 jednakih učestanosti vezani su na red. Ako su poznati izrazi za ems e1 i za rezultantnu silu ems e, odrediti izraz ems e1. Brojni podaci: e1 = 50 sin t V; e = 30 sin ( t  /6 ). 2.20. Četiri ems, koje imaju isti smer delovanja ( pozitivan ) date su izrazima: e1 = 10 sin t V; e2 = 8 sin ( t + /3 ) V; e3 = 4 sin ( t  /6 ) V; e4 = 6 sin ( t + 3/4 ) V. Ako ems deluju u rednoj vezi istovremeno ( pozitivni smer ) odrediti rezultantnu silu e. 2.21. Za predhodni zadatak odrediti trenutne vrednosti svih ems u momentu kada je t = T/3. Objasniti na datom zadatku drugi Kirhofov zakon ( na koje vrednosti i kako se on primenjuje ). 2.22. Dva pozitivno vezana generatora ( istog smera delovanja ) daju ems e 1 = 141 sin ( 314 t + 30 ) i e2 = 200 cos ( 314 t  30 ). a) U kojem trenutku će napon na krajevima kola biti jednak nuli ( pad napona zanemariti ) ? b) Kolike su vrednosti ems e1 i e2 kada je u = Um ? c) U kojem trenutku je e1 = 0 ? Kolike su u tom slučaju vrednosti e2 i u ? 2.23. A2 A1 A3

Ako ampermetri prema slici 2.23. pokazuju vrednost I1 = I2 = I3 = 10 A ( efektivnu ), kolike su bile trenutne vrednosti na druga dva ampermetra ako je u prvom bila jednaka i1 = 10 A. Objasniti primenu prvog Kirhofovog zakona ( na koje vrednosti i kako se primenjuje? ).

Sl.2.23. 2.24. Ako su kod redne veze prijemnika pojedinačni padovi napona u1 = 25 sin t i u2 = 25 cos ( t  30 ), kolika je efektivna vrednost ukupnog napona ovog kola ? Primeniti metodu koja daje najbrţe rešenje. 2.25. I3

I1 

I2

Ako su kompleksni izrazi za struje prema slici 2.25: I1 = ( 20 + j 30 ) mA i I2 = ( 80  j 30 ) mA. a) Odrediti efektivnu vrednost struje I3 i njenu početnu fazu. b) Kolika će biti srednja a kolika efektivna vrednost struje I3 ako se u toj grani nalazi dioda idealnih karakteristika

Sl.2.25.

2.26. Dat je analitički izraz za ems e  

220 2

cost  60 . Kako glasi kompleksni izraz E ?


18

3. OTPORI U KOLU NAIZMENIČNE STRUJE 3.1. KOLO SA SAVRŠENIM TERMOGENIM ( AKTIVNIM ) OTPOROM Ovaj otpor se javlja kod potrošača kod kojih se el. energija pretvara u toplotnu ( Dţulov zakon ) bez povratne reakcije, pa se on još naziva aktivni otpornik. Pored Dţulova zakona na njemu se primenjuje i Omov zakon. Simbol i način veze je dat na slici 10. Dakle, W = I2Rt, odnosno I = U/R, dok je R = l/S ( poznato iz elektrokinetike  jednosmerna struja ).

R

o

i +

u

o

Sl.10.

Kako je naizmenična struja promenljiva, sledi i = u/R. Ako za napon izvora uzmemo da mu je početni ugao jednak nuli, tj u = Um sin t  i = ( Um sin t )/R = ( Um/R ) sin t = Im sin t. U kolu sa savršenim termogenim otporom ( induktivni i kapacitivni jednak nuli ) napon i struja su meĎusobno u fazi ( početni uglovi jednaki ). ( Za u = Um sin t  i = Im sin t ). To znači da se na fazorskom dijagramu ta dva fazora meĎusobno poklapaju.

I

U

fazna osa

Sl.10.

Sa fazorskog dijagrama, sl.10. lako je preći na grafički kao što je te fazore lako predstaviti i kompleksno. Iz izraza za trenutnu vrednost struje i i napona u sledi Im = Um/R  U I  A  ( Omov zakon za jednosmernu struju ) R

3.2 KOLO SA SAVRŠENIM INDUKTIVNIM OTPOROM ( SAVRŠEN KALEM )

i

Induktivnost kalema, prema sl. 12, L iznosi : L = N2 = N2S/l H. Ako pretpostavimo da je kalem savršen ( nema druga dva otpora ), tada će u kalemu da se indukuje ems samoindukcije eL koja će biti jednaka naponu u ali suprotnog smera ( Lencov zakon ). Indukovana ems samoindukcije iznosi: eL =  Nd/dt =  Ldi/dt, pa sledi: u =  eL = Ldi/dt. Za i = Im sin t  di/dt = Im cos t ( viša matematika: dif. račun ).

L + eL

+

u Sl.12.

Dakle, primenjujući prvi izvod , sledi: u = LIm cos t = ImL cos t = Um cos t = Um sin ( t + /2 ). U

I Sl.11.

f.o.

Na osnovu analitičkih izraza za napon u = U m sin ( t + /2 ) i struju i = Im sin t, sledi zaključak: Kod savršenog L kola napon prednjači struji za /2, vremenski za T/4. Fazorski dijagram za savršeno L kolo je prikazan na sl.11. Sa ovog dijagrama, po potrebi, lako se prelazi na grafički ( vremenski ), kao i na kompleksni broj. U U Iz Um = ImL  U = IL  L  m   x L  Im I

xL = L 

gde je xL induktivni otpor a L induktivnost kalema. Indukovana ems samoindukcije iznosi eL =  u =  Um sin ( t + /2 ) = Em sin ( t  /2 ), jer su fazori U i EL u protufazi ( opoziciji ), tj. pomereni za  rad ( 180 ).


19 3.3. KOLO SA SAVRŠENIM KAPACITIVNIM OTPOROM ( KONDENZATOROM )

+ +

Kada se kondenzator naĎe u kolu jednosmerne struje njegov otpor ( kapacitivni ) je beskonačan ( prekid kola ). U kolu naizmenične struje, slika 14, kondenzator je provodan ( otpor je relativno mali ). To se objašnjava time što će se kondenzator pri naizmeničnom naponu naizmenično puniti ( napon raste ) odnosno prazniti ( napon opada ). Dakle, kroz kolo protiče naizmenična struja, jer se kondenzator naizmenično puni i prazni. Kapacitet kondenzatora iznosi: S C  ε F d

C

i

eC u Sl.14.

Kada se kondenzator naĎe u kolu jednosmerne struje njegov otpor ( kapacitivni ) je beskonačan ( prekid kola ). U kolu naizmenične struje kondenzator je provodan ( otpor je relativno mali ). To se objašnjava time što će se kondenzator pri naizmeničnom naponu naizmenično puniti ( napon raste ) odnosno prazniti ( napon opada ). Dakle, kroz kolo protiče naizmenična struja, jer se kondenzator naizmenično puni i prazni. Kapacitet kondenzatora iznosi: C = S/d F. Zbog promenljivog napona količina naelektrisanja u kondenzaturu se menja, pa je: q = Cu, odnosno dq = duC. Kako je Q = It  dq = idt  idt = Cdu  i = Cdu/dt. Za napon u = Um sin t  du/dt = Um cos t ( viša matematika – izvodi )  = CUm cos t. Dakle, za u = Um sin t  i =UmC cos t = Im cos t = Im sin ( t + /2 ). Sledi, kod savršenog kondenzatora ( induktivni i termogeni otpor jednak je nuli ) struja prednjači naponu fazno za /2 rad ( 90 ), odnosno vremenski prednjači za T/4. Fazorski dijagram za savršeno C kolo dat je na sl.12. Sa ovog dijagrama lako je preći na sve ostale načine predstavljanja naizmeničnih veličina ( struja, napon izvora, napon kondenzatora, otpor .. ). Iz Im = UmC  I = UC  C = I/U  U/I = 1/C = xC Dakle, 1  xC  C

I

U Sl.12.

f.o.

gde je: xC..kapacitivni otpor kondenzatora ili reaktancija ( kapacitivna ), a C… kapacitet kondenzatora.

Kapacitivni otpor u kolu naizmenične struje javlja se samo dok u kolu teče električna struja. Tokom punjenja kondenzatora ( napon u raste ka maksimalnoj vrednosti ), u kondenzatoru se javlja kontraelektromotorna sila eC. Ova kontraelektromotorna sila se suprostavlja punjenju kondenzatora, pa je ona jednaka naponu izvora, ali suprotnog smera. Ems eC je u stvari napon kondenzatora, jer kada otklonimo napon izvora u na kondenzatoru ostaje ems eC. Ems ec je kontraelektromotorna sila kada se kondenzator puni, a kada se on prazni ems e C preuzima ulogu ems. Ako je napon u = Um sin t  eC =  u =  Um sin t = ECm sin ( t   ). Napon na kondenzatoru iznosi: UC = EC = I xC.


20

ZADACI: 3.1.1. Odrediti trenutnu vrednost napona na koji je priključen otpor otpornosti R = 44  u trenutku t = T/3 ako kroz otpornik protiče struja i = 10 2 sin 314 t. 3.1.2. Otpornik R = 20 2  priključen je na napon u = 120 sin t. Odrediti struju I i nacrtati fazorski dijagram napona i struje. 3.1.3. Odrediti trenutnu vrednost struje ako je u savršenom R kolu otpornost R = 10 , a napon u = 20 2 sin 314 t za t = T/4. 3.1.4. Napisati analitički izraz za struju i koja protiče pod dejstvom napona U = (100 2 + j100 2 ) V ako je kolo savršeno termogeno, čija otpornost iznosi R = 20 . 3.1.5.

R1

Za dato kolo na sl.3.1.5. napisati analitički izraz za sve struje koje prolaze kroz otpornike R1, R2 i R3.

R3 R2

Brojni podaci: R1 = 75 ; R2 = 50 ; R3 = 20  i u = 200 2 sin t.

U

o

o

Sl.3.1.5.

3.1.6. R1 o

R2

+

+ R3

U1

o U2

o

Dato je kolo prema slici 3.1.6, gde je u1 = 100 sin t, u2 = 120 sin t, R1 = R2 = 20  i R3 = 5 . Odrediti struje u otpornicima R1, R2 i R3.

o Sl.3.1.6.

3.1.7. Savršeno R kolo priključeno je na napon u = 282 sin 461t. Ako ampermetar meri struju I = 14,1 A koliki je otpor R u kolu . Otpornost R predstaviti kompleksno u svim oblicima. 3.1.8.

R2 R1

R4 R3

A

o u

Dato je kolo prema sl.26. Šta pokazuje ampermetar, ako on meri efektivnu vrednost ? Nacrtati fazorski i grafički dijagram napona i struja. Brojni podaci : R1 = 10 ; R2 = 0 ; R3 = 40 ; R4 = 5 ; u = 300 sin t.

o

Sl.26. 3.1.9. Napon na krajevima otpornosti priključene na naizmenični napon je u = 70 2 cos t. Ako ampermetar uključen u kolo pokazuje struju I =

2 A, kolika je otpornost R ( savršeno R kolo ) ?

3.1.10. Mereći napon na termogenom otporu od R = 50 , pri proticanju naizmenične struje čija je frekvencija 50 Hz , voltmetar je pokazao 120 V. Napisati analitički izraz za jačinu struje uz pretpostavku da je početni ugao jednak 30.


21 3.1.11. Zadatak 3.1.9. rešiti kompleksno i rešenje napisati u svim oblicima kompleksnog broja. 3.1.12.

i3 u



i1

R i2

R

Sl.3.1.12.

R

Tri jednaka aktivna otpornika vezana su paralelno sa diodama ( usmeračama ), kao na slici 3.1.12, i priključena su na naizmenični napon izraza: u = 100 sin 314 t V. Ako je vrednost aktivnog otpornika R = 10 , odrediti: a ) izraze za trenutne vrednosti struja i1, i2 i i3; b ) efektivne vrednosti struja I1, I2 i I3


22 3.2.1. Kroz kalem induktivnosti L = 10 mH protiče struja i = 10 sin ( 314 t  /2 ). Odrediti izraz za indukovanu ems samoindukcije eL. 3.2.2. Odrediti induktivnost L kalema kroz koji protiče struja i = 20 sin 314 t ako je maksimalna vrednost indukovane ems samoindukcije EmL = 6,28 V. 3.2.3. Analitički izraz napona na kalemu je: u = 20 cos ( t + /4 ). Napisati analitički izraz za jačinu struje i ako je kruţna učestanost  = 500 rad/s a induktivnost L = 200 H. 3.2.4. Napisati analitički izraz za struju i u kolu sa savršenim kalemom ako je u = 100 sin t, induktivnost L = 5 mH i kruţna učestanost  = 100 rad/s. 3.2.5. Indiktivni navoj L = 10 mH ( savršeno L kolo ) priključen je na napon U = 62,8 V. Ako je struja u kolu I = 20 A, odrediti njenu učestanost f. 3.2.6. Induktivni otpor savršenog navoja iznosi XL1 = 78  pri učestanosti f1 = 500 Hz. Pri kojoj će učestanosti f2 induktivni otpor iznositi XL2 = 120  ? 3.2.7. Savršeni kalem induktivnosti L = 50 mH priključen je na napon izvora efektivne vrednosti 100 V učestanosti 50 Hz. Ako napon nakon vremena t = T/6 opadne na nulu, odrediti kolika je struja u tom trenutku ? U kojem trenutku će ta struja biti jednaka nuli ? 3.2.8. Savršeni kalem induktivnosti L = 200 mH priključen je na izvor naizmeničnog napona čija je efektivna vrednost U = 100 V. Odrediti struja u kolu , ako je učestanost kola: a) f = 30 Hz; b) f = 500 Hz. 3.2.9. Kroz kalem zanemarljivog termogenog otpora teče struja čija je maksimalna vrednost I m = 10 A. Odrediti induktivnost kalema ako je napon na krajevima kalema dat izrazom u = 160 sin 314 t. 3.2.10. Kroz kalem induktivnog otpora XL = 500  teče naizmenična struja frekvencije f = 1 000 Hz. Odrediti maksimalnu vrednost naizmenične struje Im i induktivnost kalema L ako je efektivna vrednost napona na njegovim krajevima U = 100 V. Termogeni otpor kalema zanrmarljiv. 3.2.11. Dva savršena kalema imaju induktivnosti L1 = 400 mH i L2 = 200 mH. Odrediti ukupnu struju kola ako je napon na koji se kalemovi priključe U = 80 V , frekvencije f = 60 Hz, i to; a) kalemi redno vezani ; b) kalemi paralelno vezani. Nacrtati fazorski i grafički dijagram. 3.2.12. Koliki je induktivni otpor, kompleksno napisan, u zadatku 3.2.9. ? 3.2.13. Kako glasi kompleksni izraz za predhodni zadatak ako se maksimalna vrednost napona poveća dva puta a frekvencija smanji dva puta ( u = 320 sin 157 t ; Im = 10 )? 3.2.14. Napisati u kompleksnom obliku pojedinačnu otpornost kalemova, kao i ukupnu otpornost za zadatak 3.2.11. Da li i kako navedeni izrazi, koji predstavljaju otpornost kola, zavise od analitičkog izraza napona u ? 3.2.15. Idealni kalem induktivnosti L = 0,2 H priključen je u kolo jednosmerne struje I = 3 A. Kolika je efektivna vrednost napona na krajevima ovog kalema? Rešenje prokomentarisati.


23 3.3.1. Koliki je kapacitet kondenzatora koji se nalazi u kolu naizmenične struje kroz koji protiče struja od I = 5 A, ako je napon na njemu u = 160 2 sin 100 t ? 3.3.2. Nacrtati vektorski dijagram napona i struje za kolo sa kondenzatorom ako je njegov kapacitet C = 80 F a priključeni napon u = 125 2 cos ( 100 + /4 ) V. 3.3.3. Na naizmenični napon u = 282 sin 100t priključen je kondenzator C = 40 F. Kolika je struja koja protiče kroz kondenzator ? 3.3.4. Kondenzator je priključen na napon U = 128 V frekvencije f = 50 Hz. Koliki je kapacitet kondenzatora C ako je struja u kondenzatoru I = 0,2 A ? 3.3.5. Kondenzator kapaciteta C =30 F priključen je na izvor naizmenične struje. Efektivna vrednost napona iznosi 400 V, a frekvencija je 50 Hz. Odrediti: a) reaktansu kondenzatora ( kapacitivni otpor ) XC; b) efektivnu vrednost struje u kolu. Rešenja napisati u kompleksnom broju ( svi oblici ). 3.3.6. Kondenzator kapaciteta C = 318 F vezan je na izvor napona u = 100 2 sin ( 314 t  /6 ). Odrediti: a) struju u kolu; b) kapacitivnu otpornost pri frekvenciji f = 500 Hz: c) struju pri f = 500 Hz, i istom naponu. Sva rešenja napisati u kompleksnom broju. Da li reaktansa, kompleksno , zavisi od napona U i struje I ? 3.3.7. Kondenzator kapaciteta 50 F priključen je na izvor naizmeničnog napona frekvencije 1 KHz. Kolika je maksimalna vrednost jačine struje u kolu ako je efektivna vrednost napona na pločama kondenzatora 20 V ? 3.3.8. Dva kondenzatora, jedan od 50 F, a drugi od 10 F, vezana su u kolo naizmenične struje: a) redno; b) paralelno. Uporediti kapacitivni otpor redne i paralelne veze ovih kondenzatora. Frekvencija je 50 Hz. Napisati kapacitivne otpore ( pojedinačno i ukupno ) u kompleksnom broju ( svi oblici ). 3.3.9. Otpornik otpornosti R = 100  priključen je na izvor prostoperiodičnog napona efektivne vrednosti 100 V. Na isti izvor priključena su paralelno i jedan kondenzator i kalem ( savršeni ). Izračunati kapacitivnost kondenzatora C i nduktivnost kalema L kroz koje će proticati struja iste efektivne vrednosti kao i kroz otpornik R. Učestanost izvora je : a) 50 Hz; b) 1 KHz; c) 1 MHz i d) 1 GHz. 3.3.10. U predhodnom zadatku napisati u kompleksnom broju termogeni otpornik R, kapacitivni X C i induktivni XL. Da li ova rešenja zavise od kompleksnog oblika napona U i struje I ? Dati potreban komentar. 3.3.11. Kondenzator je priključen na generator naizmenične ems promenljive frekvencije. Koliki je odnos efektivnih struja ( I1/I2 ) koje protiču kroz kondenzator pri frekvencijama f1 = 10 KHz i f2 = 1 KHz ? 3.3.12. Kroz kondenzator čiji je razmak izmeĎu ploča d = 2 mm, protiče naizmenična struja efektivne vrednosti I = 2 A. Koliki treba da bude razmak ploča da bi efektivna vrednost struje iznosila I 1 = 4 A ? Napon i frekvencija na kondenzatoru su konstantni. 3.3.13.  D1

C 



U C

 D2



U kolu naizmenične struje, prikazanom na slici 3.3.13, nalaze se dva kondenzatora, jednakih kapacitivnosti C i dve diode idealnih karaktiristika. Kruţna učestanost napona izvora je . Kolika je: a) ekvivalentna kapacitivnost kola, b) impedansa kola ? Rešenja obrazloţiti !

Sl.3.3.13.


24

4. V E Z A O T P O R A U KOLU NAIZMENIČNE STRUJE 4.1. R E D N A V E Z A 4.1.1. REDNA VEZA R, L I C

I

R

L

UR

UL

UC

U

o

Kod redne veze R, L i C, sl.10, struja I je zajednička ( za sva tri otpora ) pa će mo u odnosu na nju posmatrati napone u kolu. Radi jednostavnosti početni ugao za struju neka bude jednak nuli, pa je njen analitički izraz i = Im sin t. Analitički izrazi za padove napona na R , L i C su: uR = URm sin t, uL = ULm sin ( t + /2 ) i uC = UCm sin ( t  /2 ). Iz ovih analitičkih izraza lako se prelazi na preostale načine predstavljanja ( fazorski, grafički i kompleksno ). Efektivne vrednosi pojedinačnih padova napona su UR = RI; UL = XLI i UC = XCI. Ako pretpostavimo da je XLXC  ULUC, fazorski dijagram će biti kao na slici 11.

C

o

Sl.10.

UL

Kako su UL i UC istog pravca i suprotnog smera, njihov vektorski zbir daje rezultantu čija je vrednost jednaka: UX = UL  UC. Ukupni napon, prema drugom Kirhofovom zakonu jednak je: U = UR + UL + UC = UR + UX ; odnosno: u = uR + uL + uC = uR + uX. Iz fazorskog dijagrama ( sl.11. ) vidimo da su kod redne veze R,L i C naponi U, UR i UX stranice pravouglog trougla, pa se ovaj dijagram i naziva trougao napona . Iz trougla napona sledi:

UL UC

U

UX

 UR

U  U R  U L  U C   U R  U X

I

2

2

2

2

Kada je XL  XC    0, što znači da napon prednjači struji za ugao  ( za i = Im sin t  u = Um sin ( t +  ) ).

UC Sl.11.



Za XL  XC  UL  UC  UX  0    0 (kao na sl.12 ).

UR

Sledi konačan zaključak, kod redne veze R, L i C fazni pomak izmeĎu napona u i struje i iznosi za ugao  (  90    90 ), i to:  kada prevladava induktivno opterećenje ( XL  XC ) ugao   0.  kada prevladava kapacitivno opterećenje ( XC  XL ) ugao   0. Za analitički izraz struje i = Im sin t  u = Um sin ( t   ). Predznak + za XL  XC, a  za XC  XL.

UX

U

Sl.12.





 I R 2  X L  X C   I R 2  X 2 Ako ukupni napon U podelimo sa strujom I dobije se ukupna otpornost kola ( Omov zakon ), pa sledi: U 2 Z  Z  R 2  X L  X C   R 2  X 2 I Deleći trougao napona sa I dobije se trougao otpora, prikazan na sl.13. ( Slika13. a) je za XL  XC, a 13. b) za XL  XC. X = XL XC Iz trougla otpora izračuna se fazni ugao , koji iznosi: Z X R  R   arctg  arccos ; R Z  R Iz fazorskih dijagrama ( trougao napona i trougao otpora ) X Prelazi se na kompleksni broj, pa za trougao otpora sledi: Z a) Z = R + j ( XL  XC ) = R + j X  Z = Ze j , gde je b) Sl.13. Z… prividni otpor kola ( ukupni ) ili impedansa. Kako je U  U R  U L  U C 2

2

2

IR2  IXL  IXC 2

2


25 Impedansa Z u kolu naizmenične struje je isto što i otpornost R u kolu jednosmerne struje. To znači da će struja u rednom R,L i C kolu biti jednaka: U U I I . Z Z 4.1.2. REDNA VEZA R I L Ako kod redne veze R, L i C doĎe do proboja kondenzatora ( X C = 0 ), tada nastaje redna veza R i L.

U

Uz pretpostavku da je struja u faznoj osi trougao napona je kao na slici 14. Analitički izrazi za struju i napone su: i = I m sin t ; uR = URm sin t ; uL = ULm sin (t + /2 ) ; u = Um sin ( t +  ). Kompleksno: I = Ie j 0; UR = URe j 0; UL = ULe j/2; U = Ue j .

UL

 UR

I

Dakle, napon U fazno prednjači struji I za ugao  ( 0    /2 ).

Sl.14. Deleći trougao napona sa strujom I nastaje trougao otpora koji je prikazan na slici 15.

Z

Kako je trougao otpora sličan trouglu napona, uglovi su ostali isti, te sledi: X   arctg L . R Ugao  se moţe izračunati i iz trougla napona, ali je sigurniji postupak preko trougla otpora. Trougao otpora je uvek kao na sl.15, dok trougao napona kompletno rotira, jer su naponi obrtni vektori.

XL

R Sl.15.

Impedansa kola iznosi: Z  R 2  X L ; kompleksno: Z = R + jXL  Z = Ze j . 2

Struja u kolu je: I 

U U ; odnosno kompleksno: I  . Z Z

4.1.3. REDNA VEZA R I C Ako je kod redne veze R,L i C induktivni otpor XL = 0, nastaje redna veza R i C. Impedansa kola je: j

2 Z  R 2  X C ; kompleksno: Z  R  jX C  Z  Z  e  .

U U ; kompleksno: I  . Z Z Za struju data analitički: i = Im sin t  uR = URm sin t; uC = UCm sin ( t  /2 ); u = Um sin ( t   ). Dakle,kod redne veze R i C napon fazno kasni u odnosu na struju za ugao . Na osnovu analitičkih podataka sve napone i struju moţemo predstaviti fazorski, grafički i kompleksno. Fazorski dijagram je prikazan na slici 16.a), i on ujedno predstavlja trougao napona. Deleći trougao napona sa strujom I nastaje trougao otpora, koji je predstavljen na slici 16.b).

Struja u kolu je: I 



Trougao napona UR

I

=

I

 U

UC

a)

Trougao otpora 



R XC

Z

b) Sl.16.

Fazni pomak izmeĎu U i I redovito se odreĎuje iz trougla otpora , i on iznosi:   arctg

XC R  arccos R Z

Naponi UR, UC i U su jednaki: UR = IR; UC= IXC; U = IZ. ( Omov z.)


26 Ako u rednoj vezi R,L i C ostane samo jedan otpor ( druga dva su jednaka nuli ), tada dolazi do savršenog slučaja. Savršeno R kolo ima samo termogeni otpor R ( X L = 0 i XC = 0 ). Savršeno L kolo ima samo induktivni otpor XL ( R = 0 i XC = 0 ). Savršeno C kolo ima samo kapacitivni otpor X C ( R = 0 i XL = 0 ). Ove otpornosti u kompleksnom obliku imaju slede’ izraze: 1) savršeno R kolo : ZR = R  ZR =ZRej 0 = Rej 0. 2) savršeno L kolo : ZL = jXL = jL  ZL = ZLej 90 = XLej 90 = Lej 90. 3) savršeno C kolo : ZC =  jXC =  j (1/C)  ZC = ZCe j 90 = XCe j 90. Ako otpore u kolu naizmenične struje predstavimo kompleksno, tada svi proračuni u kolima naizmenične struje postaju isti kao i u kolima jednosmerne struje. To znači da se na isti način primenjuju svi zakini, na isti način se rešavaju i prosta i sloţena kola. Razlika je samo u tome što umesto otpora R ( kolo jednosmerne struje ) sada primenjujemo impedansu Z, ali u kompleksnob obliku ( zbog računskih operacija: R, X L i XC ). Na osnovu navedenog se vidi koliki je značaj kompleksnog računa u kolima naizmenične struje.

4.2. P A R A L E L N A V E Z A

4.2.1. PARALELNA VEZA RLC Ako je napon, koji je zajednički za sve grane, prema sl.17. dat analitički :u = Um sin t  iR = IRm sin t; iL = ILm sin ( t  /2 ); iC = ICm sin ( t + /2 ); i= ? Kompleksno: U = Uej0; IR = IRej0; IL = ILe j 90; IC = ICej 90 Struje po granama su: U U U IR   UG ; I L   UB L ; I C   UB C . R XL XC Na osnovu efektivnih vrednosti struja i početnih uglova sledi fazorski dijagram, koji je prikazan na sl.18. Na sl.18.a) je za slučaj kada je IL  IC ( XL  XC  BL  BC ), dok sl.18.b) je za slučaj kada je IL  IC ( XL  XC  BL  BC ).

R IR IL IC

XL XC

I U

o

o

Sl.17.

IC

IC IL I

IC

IX

IC IL IR

 IR



U

IX

IL

U

I

IL

a)

b)

Sl.18. Ukupna struja, prema prvom Kirhofovom zakonu jednaka je zbiru pojedinačnih,(kompleksno, ili vektorski ): I = IR + IL + IC; ili analiti;ki: i = iR + iL + iC. Kako su struje IL i IC u opoziciji, njihova rezultanta je jednaka: IX = IC + IL, odnosno IX = IC  IL. Aktivna ( realna ) komponenta struje IR i reaktivna ( imaginarna ) IX sa ukupnom strujom I čine jedan pravougli trougao ( sl.18.a. ili sl.18.b. ). Iz tog pravouglog trougla sledi da je ukupna struja jednaka:

I  I R  I C  I L   2

2

UG2  UBC  UBL 2

 U G 2  BC  BL   U G 2  B2  UY  2


27

U 1 I    Y  Y  G 2  BC  BL 2 = G 2  B 2 , gde je: I Z U Y… prividna provodnost kola, koja se još naziva ADMITANSA; G… aktivna ( termogena) provodnost, koja se još naziva KONDUKTANSA; BL... induktivna ( reaktivna ) provodnost, koja se još naziva SUSCEPTANSA; BC…kapacitivna ( reaktivna ) provodnost, koja se još naziva SUSCEPTANSA; B = BL BC… ukupna ( ekvivalentna ) reaktivna provodnost, tj SUSCEPTANSA. Jedinica za sve navedene provodnosti je S ( simens ).

Kako je Z 

Izraz Y  G 2  B 2 predstavlja Pitagorinu teoremu,a to znači da admitansa Y u sebi sadrţi aktivnu G i reaktivnu B provodnost. Trougao provodnosti ( Y = I/U ) nastaje tako što se trougao struja podeliti sa U. Struje su srazmerne sa admitansama, samim tim i trougao admitansi je identičan sa trouglom struja. Na taj način nastaju trouglovi provodnosti, slika19. a) i b). Sl. 19.a) odgovara sl. 18.a), a sl. 19.b) odgovara sl.18.b). Trougao provodnosti Y

B = B C  BL

 G



G B = B C  BL

Y b)

a) Sl.19.

Iz trougla provodnosti moţe se zaključiti da će ugao biti pozitivan kada je B L  BC, a samim tim ukupna struja će prednjačiti naponu ( sl.18.a.). Kako je kod redne veze R,L i C struja prednjačila za X L  XC, sledi da je trougao otpora obrnut u odnosu na trougao provodnosti. Postupak proračuna je isti, ali kod odreĎivanja ugla  treba imati u vidu da je on kod trougla provodnosti isti kao i kod trougla otpornosti ali suprotnog predznaka. B On se odreĎuje iz relacije:    arctg G ( voditi raČuna o predznaku, tj. on je suprotnog predznaka pa se uzima  ) NAPOMENA: Vektorski dijagram struja, odnosno, provodnosti kod paralelne veze otpora je identičan vektorskom dijagramu napona i otpora kod redne veze otpora, ali sa suprotnim predznakom ugla . Ukupnu provodnost kola moţemo napisati kompleksno: Y = G + j ( BC  BL )  Y = Ye  j  . Impedansa kola je Z = 1/Y, kompleksno Z = 1 / Y = ( 1/Y )e j  = Ze j . Ovaj kompleksni prikaz potvrĎuje da je ugao  kod trougla otpora isti kao i kod trougla provodnosti, ali suprotnog smera. Ukupnu struju u kolu moţemo odrediti na sledeće načine: 1) pomoću admitanse: I = UY; 2) pomoću pojedinačnih struja ( prvi Kirhofov zakon ): I = IR + IL + IC; 3) pomoću impedanse ( koju najčešće moramo izračunati kompleksnim brojem ): I = U/Z. Kompleksni račun daje veću sigurnost pa je njegova primena najčešća. Za sl. 17 admitansa kola kompleksno je: 1 1 1 1 1 1 1 Y        G  jB L  jB C  G  jBC  B L  . Z Z1 Z 2 Z3 R jX L  jX C Treba uočiti da se reaktivne komponente admitanse i impedanse razlikuju u predznaku ( Z2 = jXL  Y2 =  jBL; Z3 =  jXC  Y3 = jBC; što potvrĎuje da je ugao  kod trougla admitanse i impedanse suprotnih predznaka ). 4.2.2.PARALELNA VEZA R I L Kod ove veze nema grane sa kondenzatorom , pa je trougao struja i provodnosti sličan kao na sl.18.b) odnosno 19.b). Admitansa kola je Y = G  jBL  I = IR + IL  I = IR  IL; I = UY; I1 = UY1; I2 = UY2 . 4.2.3. PARALELNA VEZA R I C Postupak je isti kao kod paralelne veze R i L. Razlika je u tome što će sada umesto I L biti struja IC, a samim tim trougao struja i provodnosti je prema slici 18.a), odnosno 19.a).


28

4.2.4. PARALELNA VEZA RL I RC.

R1

Prema slici 20. struje po granama iznose: I1 = U/Z1 = UY1; I2 = U/Z2 = UY2; I = U/Z = UY. Odnosno, I = I1 + I2; gde je I1 = UY1, I2 = UY2. 1 1 1 Kako je:    Y  Y1  Y 2 . Z Z1 Z 2

L

A 

I1 I2

C

R2

 B

Y1 

I

Y1  G 1  jB L ; G 1 

U

o

R  jX L R X 1  1  2 1 2 j 2 L 2 R 1  jX L R 1  jX L R 1  X L R1  X L

o

Y2 

Sl.20.

R1 R1  X L 2

2

; BL 

XL R1  X L 2

2

X X R R 1  22  j C2  G 2  22 ; B C  C2 R 2  jX C Z 2 Z2 Z2 Z2

Impedansu moţemo odrediti na dva načina: 1 1) preko admitanse: Z  ; Y

Z1  Z 2 . Z1  Z 2 Uglove 1, 2 i  izračunamo iz trougla otpora ili trougla provodnosti, i oni iznose: R X X . 1  arctg L ;  2  arctg C ;   arctg R2 R1 Z Na osnovu navedenih izraza sve struje kao i svi naponi mogu da se predstave: analitički, fazorski, grafički i kompleksno. Fazorski dijagram je najpraktičniji, pa je on predstavljen na sl.40. 2) preko pojedinačnih impedansi:

B

I2

UR2 2 1

I UC

 U

I1

UL UR1 A Sl.21.

Z

U = UR1 + UL = UR2 + UC  u = uR1 + uL = uR2 + uC; UR1 = I1R1; UL = I1XL; UR2 = I2R2; UC = I2XC2. Napon izmeĎu tačaka A i B, prema II Kirh. zakonu iznosi: UAB  UR1 + UR2 = 0  UAB = UR1  UR2 . Tačke A i B se nalaze na kruţnici čiji je prečnik jednak U, jer su jedino u tom slučaju fazori UR2 i UC, odnosno UR1 i UL meĎusobno normalni. Ukupna struja moţe da prednjači u odnosu na napon za ugao  ( kao na sl.21 ), a to će se dogoditi kada je ekvivalentna reaktansa negativna ( prevladava kapacitivno opterećenje ). Obrnuto, kada prevladava induktivno opterećenje ( u ekvivalentnom spoju ) struja će da kasni za naponom za ugao .

4.2.5. MEŠOVITA VEZA RLC Na isti način se rešavaju i sve ostale kombinacije ( jer sl.27 moţemo smatrati i mešovitom vezom ). Kada se koristi kompleksni račun, tada se sva naizmenična kola ( i prosta i sloţena ) rešavaju kao i jednosmerna, sa jedinom razlikom što otpornik R ( jednosmerna kola ) zamenjujemo impedansom Z ( naizmenična kola ). Admitansa Y ( naizmenična kola ) ima ulogu provodnosti G ( jednosmerna kola ). NAPOMENA! Bez obzira kakvo je kolo ekvivalentna impedansa, kao i ekvivalentna admitansa daje jedan pravougli trougao. Ako je u pitanju impedansa, trougao predstavlja ekvivalentnu rednu vezu R e i Xe ( Z = Re + j Xe ). Ako se radi o admitansi, trougao predstavlja paralelnu vezu ekvivalentnog G i B ( Y = Ge + j B ). IMPEDANSA = REZISTANSA + J REAKTANSA ( Z = R + j X ); ADMITANSA = KONDUKTANSA + J SUSCEPTANSA ( Y = G + j B ).


29

ZADACI: 4.1.1. Redna veza R,L i C priključena je na napon U = 120e j o . Ako je R = 10 ; L = 20 mH; C = 1`mF i f = 50 Hz, odrediti analitički izraz za struju i. 4.1.2. Kroz rednu vezu R = 10 , XL = 10  i XC = 20  protiče struja I = 15 + j 8 A. Odrediti UR, UL, UC, U, UR, UL, UC i U i nacrtati fazorski dijagram napona i struje. 4.1.3. U kolu redne veze R,L i C priključeni napon iznosi U = 120 + j 40 V, a otpori R = 10 , XC = 6 . Koliki je XL da bi ugao  iznosio  = /4 ? Nacrtati fazorski i kompleksni dijagram napona. 4.1.4. Odrediti kruţnu učestanost  i kapacitivnost C za rednu vezu R, L, C tako da ugao  bude jednak /3, ako je R = 20 3 , L = 90 mH a XL tri puta veći od XC. 4.1.5. Nacrtati vektorski dijagram struje i napona za redno kolo L i C ako je X L = 3XC, I = 2 A i napon u = 141 sin t. 4.1.6. Dva kondenzatora vezana su redno sa dva otpora. Nacrtati fazorski dijagram napona ako je R1 = 10 , R2 50 , C1 = 20 F, C2 = 10 F, napon U = 200 V i  = 1 875 rad/s. 4.1.7. Impedanse Z1 = 5  j 3; Z2 = 3  j 5 i Z3 = 7  j 12 vezane su redno na napon u = 1 000 sin ( t + /3 ). Kako glasi analitički izraz za struju i. 4.1.8. Redna veza dva otpora i dva kondenzatora priključena je na napon U = 220 V učestanosti  = 1 000 rad/s. Naći Z, Z, I,  i nacrtati fazorski dijagram napona i struje za R1 = R2 = 10 3  i C1 = C2 = 100 F. 4.1.9. Redna veza dva kalema sa otporima: prvi R1 = 20 , XL1 = 40 ; i drugi R2 = 40 , XL2 = 20 ; priključena je na napon u = 400 sin 100 t. Odrediti struju I, ugao , induktivnosti L1 i L2. 4.1.10. Redna veza dva kalema sa otporima R1 = 10 , XL1 = 30  i R2 = 20 , XL2 = 10  priključena je na napon u = 200 2 sin 314 t. Odrediti Z1, Z2, Z, I, L1 i L2. 4.1.11. Nacrtati vektorski dijagram napona i struje kod redne veze dva kalema otpora R1 = 24 , XL1 = 12 ; i R2 = 0, XL2 = 20  koji su priključeni na napon u = 200 2 sin t. 4.1.12. Data je redna veza R i L u kolu naizmenične struje kroz koje protiče struja i = 2 2 sin 100 t, pri naponu na kalemu uL = 60 2 cos 100 t. Ako je R = 40  odrediti induktivnost L , ukupni napon u i uR. 4.1.13. Kalem termogenog otpora R = 10  i induktivnosti L = 0,15 H spojen je redno sa kondenzatorom kapaciteta C = 20 F i priključen je na napon U = 220 V frekvencije f = 50 Hz. Odrediti impedansu kola i struju u kolu. Kako će se promeniti struja u kolu ako doĎe do proboja kondenzatora ( odstraniti C ) ? 4.1.14. Odrediti učestanost pri kojoj će redna veza kalema L = 2 H i R = 50  sa kondenzatorom C = 1 F imati impedansu od 77,4 . 4.1.15. Napon prostog kola iznosi U = 60  j 40 V, a impedansa Z = 2 + j 1 . Kolika je struja, njena početna faza i fazna razlika izmeĎu napona i struje. 4.1.16. Dva kalema: prvi R1 = 5 , XL1 = 21  i drugi R2 = 3 , XL2 = 10  ; otpornik R3 = 4  i kondenzator XC = 15  vezani su na red. Kolika je ukupna impedansa kola. Impedansu napisati kompleksno. 4.1.17. Odrediti jačinu struje u rednom RL kolu kada je na njegovim krajevima napon u = 100 cos 314 t V ako je R = 100 , a L = 70 mH. 4.1.18. Na krajevima rednog RLC kola napon iznosi u = 220 cos 314 t V. Ako je R = 1 K, C = 1 F a L = 10 mH, izračunati jačinu struje u kolu.


30

4.1.19. U nekom kolu nalazi se redno vezan termogeni otpor R i induktivnost L. Ako su padovi napona na njima UR = 120 V i UL = 160 V sa strujom I = 40 A odrediti ukupni napon kola U i otpore R i X L. 4.1.20. U kolu naizmenične struje frekvencije f = 50 Hz redno su vezani termogeni otpornik R1 = 4  i kalem sa termogenim otporom RL i induktivnošću L. Merenjem je ustanovljeno da su padovi napona na otporniku R1 UR1 = 56 V, a na kalemu UL = 148 V. Ukupni napon kola je U = 168 V. Kolika je struja I, termogeni otpornik kalema RL, induktivnost L i ugao . 4.1.21. U jednom kolu na napon stezaljki U = 100 V vezani su na red otpor R = 10 , i induktivnost L sa svojim termogenim otporom RL impedanse ZL = 12 . Kroz kolo teče struja I = 6 A, a frekvencija mreţe je f = 50 Hz. Koji pad napona UX vlada na stezaljkam prigušnice i koliki su RL i L ? Napisati izraz za struju i. 4.1.22. Koliki induktivni otpor treba staviti na red sa nekim termogenim ( aktivnim ) potrošačem R = 10  da bi na njemu vladao pad napona UR = 160 V kod napona stezaljki U = 250 ? Rezultate proveriti fazorski. 4.1.23. Neki potrošač kod napona U = 110 V uzima struju I = 20 A uz cos  = 0,55 ( induktivno ). Koliki je aktivni otpornik R a koliki reaktivni XL ovog potrošača? 4.1.24. Izvor napona U = 10 V priključen je na rednu vezu otpora R i kondenzatora C. Napon na otporu je UR = 2 V kod struje I = 10 mA i frekvencije f = 0,5 MHz. Koliki su R i C? 4.1.25. U nekom kolu cos  = 0,8 ( kapacitivno ). Ako se u kolo veţe redno C2 = 2 F kolo ima cos 2 = 0,6. Frekvencija kola je f =5 000/ s1. Koliki su R i C1 toga kola? 4.1.26. U nekom kolu koje je priključeno na napon U = 200 V priključena je prigušnica sa unutrašnjim otporom RL redno sa kondenzatorom kapaciteta C. Merenjem je ustanovljen napon na prigušnici U L = 440 V i pad napona na kondenzatoru UC = 320 V. Treba odrediti fazni ugao  ovoga kola te aktivnu komponentu napona UR i reaktivnu komponentu napona na prigušnici UXL. 4.1.27. U nekom kolu nalazi se impedansa Z = 40  sa cos  = 0,6 ( induktivno ). Koliki kapacitivni otpor XC treba vezati na red sa ovom impedansom da bi se ostvario cos 1 = 0,8 ? Kolika je vrednost novonastale impedanse Z1 i koliki je termogeni otpor kola R ? Rezultate proveriti fazorskim dijagramom. 4.1.28. Na izvor napona u = 4 2 sin 2 000 t V redno su vezani kalem otpora RL = 10  i induktivnosti L = 10 mH i kondenzator kapaciteta C = 20 F. Napisati izraz za pad napona uL koji deluje na krajevima kalema. 4.1.29. Kolo sadrţi rednu vezu R, L i C. Pri odreĎenoj frekvenciji induktivni otpor je X L = 20 . Ako je termogeni otpor R = 10 , koliki mora da bude kapacitivni otpor XC da bi u kolu bio fazni pomak  =  /4. 4.1.30. Kod kojih će učestanosti redna veza R = 40 , L = 10 H i C = 10 F imati impedansu Z = 50  ? 4.1.31. Kroz rednu vezu termogenog otpora R = 10  i kalema induktivnosti L = 10 mH teče struja i = 1,5 sin 1 000 t. Odrediti izraz za napon u na koji je priključena ova veza. 4.1.32. Redna veza aktivnog otpora R i induktiviteta L priključena je napon u = 150 sin ( 500 t + 10 ). Odrediti vrednosti za aktivni otpor R i induktivitet L, ako kroz ovu vezu teče struja i = 3 sin ( 500 t  35 ). 4.1.33. Kroz rednu vezu R = 10  i C = 10 F teče struja i = 5 cos 5 000 t. Kako glasi izraz za napon u ? 4.1.34. Za rednu vezu RLC poznato je R = 670 , L = 8 H , C = 4 F i f = 50 Hz. Koliki je napon mreţe ( kola ) ako napon na kondenzatoru iznosi UC = 100 V. 4.1.35. Za jedan prijemnik zna se da je aktivni otpor R jednak kapacitivnom otporu kondenzatora X C. Ako su izrazi za napon i struju toga prijemnika: i = 25 sin ( 314 t  28 ); u = 100 sin ( 314 t + 17 ), odrediti R,L i C.


31 4.1.36. Prigušnica sa termogenim otporom RL = 300  i induktivnim XL = 400  vezana je redno sa kondenzatorom kapacitivnog otpora XC = 100 . Ako na krajevima prigušnice deluje napon UL = 50 V, kolika je vrednost ukupnog napona U ? 4.1.37. U rednom RLC kolu u kojem prevladava induktivno opterećenje poznat je ukupni napon U = 50 V, napon na otporniku R UR = 30 V i napon na kondenzatoru UC = 20 V. Koliki je napon na krajevima savršenog kalema UL? 4.1.38. Impedansa redne veze otpornosti R = 4  i savršene prigušnice L pri frekvenciji f = 50 Hz iznosi Z = 5 . Kolika je impedansa te veze pri f1 = 200 Hz ? 4.1.39. Kada kalem priključimo na jednosmerni napon U1 = 120 V, struja iznosi I1 = 20 A, a kada se priključi na naizmenični napon U2 = 220 V učestanosti f = 50 Hz, struja iznosi I2 = 28,2 A. Kolika je induktivnost kalema ? 4.1.40. R

+ 

Za deo kola prema sl.4.1.40. poznato je: uLC = 8 2 sin ( t  /2 ) V; R = 6 k; XL = 2 k; a) Odrediti XC, za koje je cos  = 0,6 (factor snage ). b) Nacrtati fazorski dijagram. c) Naći trenutnu vrednost napona u

uLC

i o

XC

XL

+

u

o

Sl.4.1.40. 4.1.41. U rednom RLC kolu napon i struja se menjaju po zakonu: u = 353,5 cos ( 3 000 t  10 ) V; i = 12,5 cos ( 3 000 t  55 ) A. Ako je induktivnost kola L = 0,01 H, odrediti termogenu otpornost R i kapacitet kondenzatora C. 4.1.42. Otpornik otpornosti R = 10 , savršeni kalem induktivnosti L = 50 mH i kondenzator kapaciteta C = 100 F vezani su na red i priključeni na naizmenični napon U = ( 176 + j 132 ) V. Odrediti maksimalnu i efektivnu vrednost indukovane ems samoindukcije u datom kolu. 4.1.43. Kalem termogenog otpora R=10  uključen je u kolo naizmenične struje frekvencije f = 50 Hz. Odrediti koeficijent samoindukcije ( induktivnost ) L kalema ako je fazna razlika izmeĎu napona i struje /3. 4.1.44. C

L

o

1 2

u

Kondenzator od 500 F, kalem induktivnosti 0,1 H, zanemarljivog termogenog otpora i otpornik R vezani su na izvor naizmenične struje frekvencije 50 Hz prema sl.4.1.44. Strujno kolo se uspostavlja stavljanjem prekidača u poloţaj 1 ili 2. Kolika treba da bude vrednost otpora R, da bi jačina struje kroz njega kada je prekidač u poloţaju 1 bila dva puta veća od jačine struje kada je prekidač u poloţaju 2.

R

o

Sl.4.1.44. 4.1.45. Efektivna vrednost ems naizmenične struje je 100 V, a kruţna učestanost 500 rad/s. Sa izvorom je vezan na red otpornik od 3 , kondenzator od 50 F i kalem zanemarljivog termogenog otpora čija se induktivnost menja od 10 mH do 80 mH. Maksimalna vrednost napona na pločama kondenzatora ne sme da preĎe vrednost od 1 200 V. a) Kolika je efektivna vrednost struje koja sme da se propusti kroz kolo ? b) Kolika je tada induktivnost kalema ?


32 4.1.46. Kolika je efektivna vrednost naizmenične struje kroz kalem koji ima termogenu otpornost 2 , a induktivnost 1 H ako je efektivna vrednost napona 220 V a frekvencija 50 Hz ? Šta će biti sa efektivnom vrednošću struje ako se ne menjajući uslove u kolu redno kalemu priključi kondenzator kapaciteta 10 F ? 4.1.47. Kondenzator nepoznatog kapaciteta C, kalem induktivnosti 5 mH zanemarljiva termogenog otpora i otpornik otpora 20  vezani su redno i priključeni na naizmenični izvor ems e = 10 cos 100 t V. Jačina struje u kolu je i = Im cos 100 t. Naći amplitudu ( maksim. vrednost ) napona na pločama kondenzatora U Cm. 4.1.48. U rednom LC kolu induktivnost je 10 mH, a kapacitivnost 1 F. Kolika će biti impedansa kola ako je frekvencija naizmenične struje dva puta veća od frekvencije pri kojoj su struja u kolu i napon na krajevima kola u fazi ? 4.1.49. Redno vezani otpornik od 20 , kalem od 15 mH i kondenzator od 5 F priključeni su na naizmenični napon. Kolika je frekvencija toga napona ako je impedansa kola 100  ? Termogeni otpor kalema zanemarljiv. 4.1.50. Kroz redno RLC kolo protiče struja efektivne vrednosti 5 A. Kolo je priključeno na efektivni napon od 90 V. Ako je aktivni otpor 9 , odrediti faznu razliku izmeĎu struje i napona. 4.1.51. Kalem i kondenzator vezani su redno i priključeni na izvor naizmenične struje. Jačina struje u kolu menja se po zakonu i = 2 sin 100 t A , a napon u = 40 sin ( 100 t + 45 ) V. Koliki je aktivni otpor kola ? 4.1.52. Deo strujnog kola čine termogeni otpornik od 500  i kalem induktivnosti 0,5 H ( RL = 0 ), koji su vezani redno. Kroz kolo protiče struja i = 0,5 sin t A. Odrediti frekvenciju naizmenične struje ako je amplituda napona ( maksimalna vrednost ) na otporniku tri puta veća nego na kalemu. Koliki je napon na krajevima datog kola posle 612,3 ms od trenutka uključivanja ? 4.1.53. U rednom RLC kolu naizmenični napon na krajevima kola ima efektivnu vrednost 100 V. Pri frekvenciji f1 = 50 Hz i f3 = 100 Hz efektivna vrednost jačine struje je ista i iznosi 10 A. Pri nekoj frekvenciji f2 efektivna vrednost struje je maksimalna i iznosi Imax = 20 A. Odrediti R, L, C i f2. 4.1.54. Kondenzator kapaciteta 10 F i otpornik od 200  vezani su redno i priključeni na gradsku mreţu napona 100 V frekvencije 60 Hz. Pri raspadu energetskog sistema došlo je do poremećaja u napajanju potrošača, usled čega je napon gradske mreţe opao za 10%, a frekvencija se smanjila za 5%. Koliko se procentualno promenila jačina struje u datom kolu ? 4.1.55. Za krajeve kola, sl.4.1.55, priključen je izvor naizmeničnog napona efektivne vrednosti 120 V i frekvencije 330 Hz. Kapacitet kondenzatora je podešen tako da je struja koju pokazuje ampermetar ista pri otvorenom i zatvorenom prekidaču i iznosi 4 A. Koliki su induktivnost L i termogeni otpor RL kalema ako je kondenzator podešen na 10F ?

C

L;RL

A o



o

Sl.4.1.55. 4.1.56. I

R1 U1

R2

C

U5

U4 U2

Za deo kola prostoperiodične naizmenične struje prikazanog na slici 4.1.56. poznato je: U1 = 20 V; U2 = 25 V; U3 = 40 V. a) Nacrtati fazorski dijagram napona b) Koliki je fazni pomak izmeĎu struje I i napona U2 2 ?

U3 Sl.4.1.56.


33

4.1.57. R1 + o

A 

C

R2 B  +

U1

+

L U2

U

o

Za deo kola prostoperiodične naizmenične struje, prema sl.4.1.57, poznato je: R1 = 60 ; XC = 80 ; U1 = 9 V; U2 = 4,5 V. Ako napon U1 fazno zaostaje za naponom U2 za ugao /2, odrditi: a) efektivnu vrednost napona U; b) efektivnu vrednost napona UAB koji vlada izmeĎu tačaka A i B.

Sl.4.1.57. 4.1.58. Z1

1 

Z2

2 

Dva prijemnika vezana su na red, sl.4.1.58, i priključena u kolo prostoperiodične naizmenične struje. Za odreĎenu učestanost naizmenične struje impedanse su jednake, i iznose: Z1 = Z2 = 100 . Napon U21 fazno zaostaje za naponom U23 za ugao , a struja I fazno prednjači naponu U23 za ugao /3. Kolika je ukupna impedansa kola Z13 ?

3 

I Sl.4.1.58.

4.1.59. Prigušnica termogenog otpora R i induktivnosti L redno je vezana sa kondenzatoron kapaciteta C. Ako je napon na prigušnici (na rednoj vezi RL) URL = 80 V i njegova početna faza RL = 30, a na kondenzatoru UC = 40 V odrediti: a) trenutne vrednosti napona uR, uL, uC i u; b) efektivne vrednosti UR, UL i U; c) fazorski dijagram. Za početnu fazu struje I uzeti nulu. 4.1.60. R1

R2

1 

XL

2 

Za deo kola na slici 4.1.60 odrediti otpor R1 tako da napon U12 fazno prednjači ukupnom naponu U za ugao /6.

U12 +

Brojni podaci: R2 = 5 ; XL = 15 .

U Sl.4.1.60.

4.1.61. U rednom RC kolu struja ima vrednost I1 = 0,1 A, pri f1 = 800 Hz, a vrednost I2 = 0,08 A pri f2 = 400 Hz. U oba slučaja efektivna vrednost napona na krajevima kola iznosi U = 20 V. Odrediti R i C. 4.1.62. Prigušnica termogenog otpora RL i induktivnosti L redno je vezana sa kondenzatorom kapaciteta C. Poznato je: kapacitivna otpornost kondenzatora XC = 1 k i efektivne vrednosti prostoperiodičnih napona na prigušnici URL = 20 V( napon na rednoj vezi RL ) i kondenzatoru UC = 10 V, frekvencije f = 138 kHz. Napon na kondenzatoru UC fazno kasni u odnosu na napon na prigušnica URL za 150. Izračunati: a) parametre R, L i C; b) efektivnu vrednost ukupnog napona U. 4.1.63. R

C1

L

C2

I o

U Sl.4.1.63.

o

U kolu prema slici 4.1.63 poznato je: R = 100 ; L = 10 mH; C1 = 0,1 F;  = 105 rad/s. Ako je fazni pomak izmeĎu napona U i struje I ugao , izračunati: a) kapacitet C2 za koji je  = /4; b) kapacitet C2 za koji je  =  /4; c) kapacitet C2 pri kojem je struja I u kolu maksimalna.


34

4.1.64. Kada se prijemnik nepoznate impedanse Z priključi na naizmenični napon u = 20

2 sin ( t + 40 ),

u njemu se uspostavi naizmenična struja i = 5 2 sin ( t  20 ). Odrediti: a) faznu razliku izmeĎu napona i struje, odnosno karakter prijemnika; b) impedansu, aktivnu i reaktivnu otpornost prijemnika; c) fazorski dijagram napona i struje. 4.1.65. Otpornik otpornosti R, kalem induktivnosti L i kondenzator kapaciteta C, vezani su na red i priključeni na nepoznati naizmenični napon u. Ako je poznat izraz za trenutnu vrednost naizmenične struje i = I 2 sin ( t +  ), odrediti: a) impedansu i admitansu kola; b) fazorski dijagram napona i struje u kolu; c) izraze ( analitičke ) za trenutne vrednosti napona uR, uL, uC i u. Brojni podaci: R = 15 ; L = 80 mH; C = 30 F;  = 500 s1; I = 2 A;  = 90. 4.1.66. Otpornik otpornosti R i kalem induktivnosti L vezani su na red i priključeni na naizmenični napon efektivne vrednosti U. Pri učestanosti f1, efektivna vrednost struje u kolu je I1, a pri učestanosti f2, struja u kolu je I2. Odrediti otpornost R i induktivnost L. Brojni podaci: U = 220 V; f1 = 40 Hz; f2 = 80 Hz; I1 = 39,4 A; I2 = 31,2 A. 4.1.67. Kada se kalem nepoznate otpornosti R i nepoznate induktivnosti L priključi na naizmenični napon efektivne vrednosti U, učestanosti f, u kalemu se uspostavi struja efektivne vrednosti I. Ako se u ovako obrazovano kolo na red sa kalemom veţe otpornik otpornosti R 1, efektivna vrednost struje u kolu opadne na I1. Odrediti nepoznatu otpornost R i induktivnost kalema L. Brojni podaci: U = 230 V; f = 50 Hz; I = 5 A; R1 = 20 ; I1 = 4 A. 4.1.68. Za normalni rad termogenog prijemnika potrebno je obezbediti na njegovim krajevima efektivni napon U i efektivnu struju I. Odrediti kapacitet C kondenzatora koji je potrebno vezati na red sa prijemnikom, da bi on normalno radio priključenjem ove redne veze na naizmenični napon U 1, učestanosti f. Brojni podaci: U = 50 V; I = 0,2 A; U1 = 110 V; f = 50 Hz. 4.1.69. Dva prijemnika impedansi Z1 i Z2 vezani su na red i priključeni na nepoznati naizmenični napon U. Poznate su efektivne vrednosti napona U1 i U2 koji deluju na krajevima pojedinačnih prijemnika. Sem toga, napon U1 fazno prednjači za 1, dok napon U2 fazno zaostaje za 2, u odnosu na struju u kolu. Odrediti: a) fazor napona na koji su prijemnici priključeni U; b) fazni pomak izmeĎu ukupnog napon i struje u kolu. Brojni podaci: U1 = 150 V; 1 = 30; U2 = 180 V; 2 = 50. 4.1.70. Kroz dve impedanse vezane na red priključene na naizmenični napon U = ( 35,25 + j 35,25 ) V protiče struja I = ( 2,41  j 0,65 ) A. Ako je vrednost prve impedanse Z1 = ( 5 + j 8 ) , odrediti vrednost druge impedanse Z2. 4.1.71. C

R

+ o

U mreţi, prema slici 4.1.70, kapacitivni otpornik se menja od nule do beskonačnosti. Nacrtati fazorski dijagram ( kruţni dijagram ) napona i struje.

U

o

Sl.4.1.70.

Brojni podaci: U = 100 V; R = 10 ; razmera 1cm  20 V  2,5 A.

4.1.72. R I o

+

L

U

o

U mreţi prikazanoj na slici 4.1.72. idealna induktivnost se menja od nule do beskonačnosti. Kakav oblik ima dijagram ( kruţni ) napona i struje. Dijagram nacrtati i prokomentarisati.

Sl.4.1.72.


35

4.1.73. C

R

U kolu, prikazanom na slici 4.1.73, termogeni otpornik se menja od nule do beskonačnosti. Kakav će oblik imati vektorski ( kriţni ) dijagram struje i napona ?

I o

+

U

o

Sl.4.1.73. 4.1.74. R

L

U kolu, prikazanom na slici 4.1.74, redno su vezani kalem savršene induktivnost i termogeni otpornik R, koji se menja od nule do beskonačnosti. Kakav oblik ima vektorski dijagram struje i napona ?

I o

+

U

o

Sl.4.1.74. 4.1.75. Kalem ( bez jezgra ) priključen je na prostoperiodični napon u = 100 sin 2 000 t V. Intezitet struje u kalemu je dat izrazom i = 25 sin ( 2 000 t  60 ) A. Odrediti izraz za intezitet struje ako se kruţna učestanost priključenog napona smanji za dva puta. 4.1.76. Kalem induktivnosti L = 10 mH vezan je na red sa elementom nepoznatih karakteristika i ova redna veza je priključena na prostoperiodični napon u = 50 sin ( 5 000 t + 60 ) V. Izraz za intezitet struje u ovom kolu je i = 0,25 sin ( 5 000 t + 150 ) A ( sa usaglašenim referentnim smerovima ). Odrediti koji je element vezan na red sa kalemom i koje su njegove karakteristika. 4.1.77. k

L

U kolu prikazanom na sl.4.1.77. generator prostoperoidične struje ima efektivnu vrednost struje I i kruţnu učestanost . Induktivnost kalema je L, a otpornost termogenog otpornika R. Odrediti kapacitet kondenzatora C tako da efektivna vrednost napona na krajevima strujnog generatora bude ista pri otvorenom i zatvorenom kontaktoru k ( prekidaču ).

C

I,  R

Sl.4.1.77. 4.1.78. R

C

QC

U

o+

Redna veza termogenog otpornika otpornosti R = 10 k kondenzatora kapacitivnosti C = 2 F uključena je u kolo prostoperiodične struje kruţne učestanosti  = 100 rad/s . Kondenzator je opterećen količinom naelektrisanja QC = ( 0,2 + j 0,6 ) mC, prema referentnom smeru označenom na slici.4.1.78. Odrediti izraz za napon U ( kompleksno ) na krajevima ove redne veze.

o

Sl.4.1.78. 4.1.79. 2  R1 1o

+

L

3 

4  R2

U

C o5

Za deo kola prostoperiodične struje, prema sl.4.1.79, dato je: R1 = 2 ; XC = 12 ; U24 = 8 V; I = 1,4 A, a napon U24 fazno prednjači struji I za 24 = 45. Odrediti efektivnu vrednost ukupnog napona U.

Sl.4.1.79.


36

4.1.80. Kod redne veze RLC kola poznato je: ukupni napon U = 20 V; pad napona na R U R = 16 V i pad napona na L UL = 18 V. Kolika je efektivna vrednost pada napona na kondenzatoru i koliki je fazni pomak izmeĎu napiona U i struje I ? 4.1.81. R1 +

o

R2

UR1

+

+

C

Za kolo prostoperiodične naizmenične struje prikazano na sl.4.1.81. poznato je: U = 10 V; U1 = 5 V; U2 = 6 V. Odrediti efektivnu vrednost napona izmeĎu krajeva termogenog otpornika R2 UR2 i efektivnu vrednost napona na krajevima kondenzatora UC.

U2

U, f

o

Sl.4.1.81. 4.1.82. Idealni kondenzator redno je vezan sa idealnim termogenim otpornikom i ova veza je priključena na jednosmerni napon U = 141 V. Ako je R = 10  i C = 100 F , odrediti struju kola i napone na ovim otporima UR i UC. Rešenje prokomentarisati. 4.1.83. Dve impedanse induktivnog karaktera, Z1 i Z2, vezane su redno, i njihova ekvivalentna impedansa iznosi Z = ( 12 + j 5 ) . Za elemente ovog kola poznato je: R1 = 5 , XL2 = 2 , L1 = 3 mH. Veza je priključena na prostoperiodični naizmenični napon efektivne vrednosti U = 260 V. Kolika je kruţna učestanost priključenog napona ? 4.1.84. Redna veza savršenog kalema i termogenog otpornika priključena je na jednosmerni napon U = 100 V. Ako je R = 10 i L = 50 mH, odrediti struju u kolu i napone na R i L ( UR i UL ). Rešenje prokomentarisati. 4.1.85. Savršeni kalem ( bez Fe jezgra ) i termogeni otpornik se nalaze u rednoj vezi, koja je priključena na stalan naizmenični napon stalne frekvencije. Kako će se promeniti naponi na R i L ( poveća ili smanji ) ako u kalem ubacimo feromagnetno jezgro ? Rešenje postupno obrazloţiti. 4.1.86. Redna veza RL priključena je na konstantan naizmenični napon promenljive frekvencije. Kako će se promeniti napon na otporniku R ako povećavamo vrekvenciju f ? Rešenje obrazloţiti. 4.1.87. R1 a) o

I1 +

o

I2 +



V1 U

R2 b)



XC1

XL1



o

Za kolo prema slici 4.1.87. a) i b) poznate su sledeće brojne vrednosti: U = 220 V; R1 = R2 = 6 ; XL1 = 10 ; XC1 = 2 ; XL2 = 100 ; XC2 = 92 . Kakav je odnos izmeĎu pokazivanja voltmetara V1 i V2 ?

XC2

XL2

V2 U

 o

Sl.4.1.87.


37

4.1.88. +

o

XL +

+ UL

U

R



R



R



UA

Objasniti kako se menjaju naponi UL i UA u kolu prema slici 4.1.88, pri pregorevanju jedne od sijalica? Napon U je konstantan.

o Sl.4.1.88. 4.1.89. Ako kalem koji ima istu termogenu i induktivnu otpornost ( R = X L ) priključimo na naizmenični napon U u njemu se uspostavi struje efektivne vrednosti I = 10 A. Kolika će biti struja u istom tom kalemu ako se on priključi na jednosmerni napon iste vrednsti kao i efektivna vrednost naizmeničnog napona U? 4.1.90. Ako su napon i struja prijemnika date izrazima: u = 100 sin ( t + 17 ) i i = 25 sin ( t  28 ), odrediti u kojem su odnosu aktivna i reaktivna otpornost prijemnika. 4.1.91. U rednom RLC kolu poznati su naponu UR = 50 V, UL = 100 V i UC = 60 V; frekvenciju f = 50 Hz. U kolu je pri ukupnom prostoperiodičnom naponu efektivne vrednosti U uspostavljena struja I = 5 A. Odrediti za koju vrednost napona U vrednost struje ostaje nepromenjena ako se frekvencija poveća za dva puta? 4.1.92. L

R

i +



Za kolo prostoperiodične struje, prikazano na slici4.1.92, poznato je: I = 0,1 A;  = 106 s1; L = 10 H i R = 1 k. Izračunati trenutnu vrednost elektromotorne sile idealnog naponskog generatora kada je jačina struje u kolu jednaka nuli i nalazi se u fazi porasta ( nakon nulte vrednosti )

e;

Sl.4.1.92. 4.1.93. Prijemnik nepoznate impedanse priključen je na prostoperiodični napon efektivne vrednosti U = 100 V. U trenutku kada je napon maksimalan, jačina struje prijemnika je i(t1) = 10 mA i opada, a u trenutku kada je jačina struje maksimalna, napon je u(t2) = 100 V. Referentni smerovi napona i struje su usaglašeni. Izračunati impedansu prijemnika i napisati je kompleksno. 4.1.94. Kada se torusni kalem, termogene otpornosti R = 11 priključi na izvor naizmenične struje, napona U = 210 V i frekvencije f = 50 Hz, kroz njega protiče struja jačine I = 3,5 A. a) Odrediti induktivnost kalema; b) Kolika bi struja proticala kroz polovinu ovog kalema ako bi se ona priključila na isti električni izvor ?


38 4.2.1. Termogeni otpornik R = 2 , kalem induktivnog otpora XL = 2  i kondenzator kapacitivnog otpora XC = 1  vezani su paralelno ipriključeni na napon efektivne vrednosti U = 20 2 V. Odrediti: a) pojedinačne impedanse po granama Z1, Z2, Z3 i predstaviti ih kompleksno Z1, Z2, Z3; b) pojedinačne admitanse po granama Y1, Y2, Y3 i predstaviti ih kompleksno Y1, Y2, Y3; c) Ukupnu impedansu Z i admitansu Y i predstaviti ih kompleksno Z i Y. d) Sve struje u kolu: I1, I2, I3 i I i nacrtati fazorski dijagram napona i struja. e) Fazni pomak  izmeĎu ukupnog napona U i ukupne struje I. 4.2.2. R1;L



R2

Za kolo na slici 4.2.2 odrediti ukupnu admitansu ako je: R1 = 2 ; L = 1 mH; R2 = 29/27 ; C = 6 800/29 F i  = 5 000 rad/s.



C

U

o

o

Sl.4.2.2 4.2.3. Z1

Z2

Z3

Za kolo prema slici 4.2.3 odrediti ukupnu impedansu i ukupnu admitansa ako je: Z1 = Z2 = Z3 = ( 6 + j 9 ) . oB

oA Sl.4.2.3.

4.2.4. Admitanse Y1 = ( 0,09 + j 0,03 ) S i Y2 = ( 0,06 + j 0,02 ) S vezane su paralelno i priključene na prostoperiodični naizmenični napon efektivne vrednosti U = 100 10 V kruţne frekvencije  = 1 000 rad/s. Izračunati: R1; R2; C1; C2; I1; I2 i I. 4.2.5. Impedanse Z1 = ( 10 + j 10 )  i Z2 vezane su paralelno i kroz njih protiču struje I1 = ( 12 + j 5 ) A i I2 = 10 A. Odrediti impedansu Z2 i nacrtati fazorski dijagram napona i struja. 4.2.6. Kroz dve paralelne grane protiču struje I1 = ( 4 + j 2 ) A i I2 = ( 5 + j 4 ) A pri naponu na granama U = ( 60 + j 80 ) V. Odrediti koje elemente u sebi sadrţe grane i nacrtati fazorski dijagram napona i struja. 4.2.7. Kolika je ukupna impedansa kola u kojem su vezane tri paralelne admitanse vrednosti: Y1 = ( 0,5  j 0,5 ) S , Y2 = ( 0,2  j 0,3 ) S i Y3 = ( 0,3  j 0,2 ) S ? 4.2.8. Poznat je modul ukupne impedanse Z paralelno vezanih impedansi Z1 = R1  j X1 i Z2 = R2  j X2 koji iznosi Z = 1,3 2 . Ako je R1 = X2 = R i R2 = X1 = R + 1, odrediti Z1 i Z2. 4.2.9. Kod paralelne veze termogenog otpora R i kondenzatora kapacitivnog otpora XC = 2 R moduo impedanse iznosi Z = 8 5 . Ako je kruţna učestanost  = 500 rad/s, koliko iznosi R i C ? 4.2.10. Termogeni otpor R = 2,5  i kondenzator kapaciteta C = 300 nF paralelno su vezani i priključeni na napon U = 10 mV, kruţne učestanosti  = 106 rad/s. Kolika je struja I u datom kolu ? 4.2.11. Kolika je ekvivalentna impedansa dveju paralelnih grana čije su impedanse po granama jednake: Z1 = ( 1  j 0,5 )  i Z2 = ( 1 + j 0,5 )  ?


39 4.2.12. Dva kalema vezana su paralelno i priključena na prostoperiodični naizmenični napon efektivne vrednosti U = 120 V. Ako je za prvi kalem R1 = 6 , XL1 = 5  a za drugi R2 = 3 , XL2 = 8  , odrediti struje po granama kao i ukupnu struju kola. Koliki je fazni pomak izmeĎu napona i ukupne struje u kolu ? 4.2.13. Dve paralelne grane, čije su impedanse Z1 = ( 9  j 15 )  i Z2 = ( 12  j 10 )  priključene su na naizmenični napon U = 100 V. Odrediti sve struje u kolu, kao i faznu razliku izmeĎu njih i napona U. 4.2.14. Dve paralelne grane sadrţe sledeće parametre: prva R1 = 80  , L = 190 mH; a druga R2 = 260  , C = 21 F. Ako su grane priključene na prostoperiodični napon U = 120 V, frekvencije f = 50 Hz, odrediti sve struje u kolu i faktor snage u kola. 4.2.15. R1

XL1

I1 I2 R2 I3 I

Dati su podaci za kolo prema sl.4.2.15. i oni iznose: R1 = 1 , XL1 = 4 ; R2 = 8 , XL2 = 10 , XC2 = 2 ; R3 = 6 ; XC3 = 7  i U = 120 V. Izračunati sve struje u kolu ( I1, I2, I3 i I ), kao i njihov fazni pomak u odnosu na napon U.

XC2

XL2

XC3

R3 U

o

o

Sl.4.2.15. 4.2.16. Kada se na krajeve jednog električnog kola priključi prostoperiodični naizmenični napon koji je dat izrazom ( kompleksno ) U = ( 10 + j 10 ) V, u kolu se uspostavi naizmenična struja koja iznosi I = ( 5 + j 3 ) A. Odrediti impedansu i admitansu kola.. 4.2.17. Na krajevima prijemnika impedanse Z = ( 2 + j 4 )  deluje naizmenični napon U = ( 20 + j 10 ) V. Odrediti: a) admitansu kola i nacrtati trougao provodnosti, b) struju u kolu i nacrtati trougao struje ( kolika je aktivna a kolika reaktivna komponenta struje ? ). c) nacrtati trougao impedanse, admitanse i trougao napona i prokomentarisati sve navedene trouglove. 4.2.18. Z1

Impedanse triju prijemnika vezane su kao na slici 4.2.18 i priključene na naizmenični napon učestanosti f = 100 Hz. Ako prvi prijemnik sadrţi R1 = 14  i L1 = 0,5 H; a drugi R2 = 6  i C2 = 10 F; i na kraju treći C3 = 5 F, odrediti ekvivalentnu impedansu i admitansu kola ( izmeĎu tačaka A i B ). Umesto kola prema sl.4.2.18. nacrtati ekvivalentnu sliku i naznačiti vrednosti (parametre ) na njoj.

Z2 Z3

o B

Ao Sl.4.2.18.

4.2.19. Na izvor napona U vezani su kondenzatori kapaciteta C. Treba odrediti kako se menja otpor kola ako se kondenzatori veţu: a) redno; b) paralelno, i to 1; 2 ... do n kondemzatora istog kapaciteta. 4.2.20. Jedno kolo sadrţi R i L elemente u paralelnoj vezi čija je ekvivalentna provodnost ( admitansa ) jednaka Y = 0,05 S, uz cos  = 0,6.Odrediti sve struje u ovom kolu, kao i induktivnost L ako je napon na ovim elementima U = 100 V, a frekvencija f = 50 Hz. 4.2.21. Na izvor napona U = 60 V vezan je paralelno termogeni otpora R = 4  i kondenzator kapacitetivnog otpora XC = 3 . Odrediti sve struje u kolu, i napisati sve impedanse i sve admitanse u kolu ( pojedinačno po granama i ukupnu ). Koliki je fazni pomak izmeĎu napona U i struje I ?


40 4.2.22. Dva prijemnika sa impedansama Z1 = 22ej15  i Z2 = 14ej36 vezana su paralelno. Kolika je ukupna impedansa i admitansa u kolu. 4.2.23. Paralelna veza termogenog otpora i induktiviteta ima ukupnu admitansu Y = 0,05 S i cos  = 0,6. Kolike su provodnosti po granama i kolika je ukupna strija ako se veza priključi na napon U = 220 V ? 4.2.24. Paralelna veza kalema induktivnosti L = 0,1 mH ( zanemarljivog termogenog otpora ) i kondenzatora kapaciteta C = 200 pF priključena je na napon U = 200 V, frekvencije f = 1 MHz. Odrediti sve struje u kolu, kao i ekvivalentnu impedansu kola. 4.2.25. Napisati izraz za ukupnu struju paralelne veze kalema induktivnosti L = 50 mH i kondenzatora kapaciteta C = 0,67 F, ako je ona priključena na naizmenični napon u = 200 sin 5 000 t V. 4.2.26. Na mreţu napona U = 240 V i frekvencije f = 50 Hz spojeni su paralelno termogeni otpornik otpora R = 16 , kalem induktivnosti L = 38,22 mH ( zanemarljivog termogenog otpora ) i kondenzator kapaciteta C = 159,24 F. Odrediti sve struje u kolu. 4.2.27. Paralelna veza termogenog otpornika otpora R = 300 , kalema induktivnosti L = 0,5 H i kapaciteta C = 10 F priključena je na napon u = 100 sin 1 000 t. Napisati analitički izraz za ukupnu struju u kolu i odrediti impedansu kola. 4.2.28. Paralelna veza aktivne provodnosti G = 0,2 S; reaktivne induktivne provodnosti B L = 4 S i reaktivne kapacitivne provodnosti BC = 5 S priključena je na napon mreţe U = 10 V. Kolika je ukupna struje ove veze ? 4.2.29. Paralelna veza termogenog otpora R1 = 120  i kalema, čiji termogeni otpor iznosi RL = 40  a induktivni XL = 31,4  , priključena je na naizmenični napon U. Odrediti ukupnu struju I, te struju I1 koja protiče kroz termogeni otpornik R1, ako kroz kalem protiče struja inteziteta I2 = 4 A. 4.2.30. V

I2

Koju će struji izmeriti ampermetar, prema sl.4.2.30, ako voltmetar meri UV = 22,5 V; a vrednost otpora iznose: R1 = 2,5 ; XL = 1 ; R2 = 1,5  i XC = 1,5  ?

R2

XC

R1

I

XL

A o

U

o

Sl.4.2.30. 4.2.31. Tri prijemnika sa podacima: R1 = 24  i XL1 = 32  ( prvi ); R2 = 40  i XL2 = 30  ( drugi ) i R3 = 7  i XL3 = 24  ( treći ) vezana su paralelno i priključena na naizmenični napon U = 220 V. Odrediti: a) struje pojedinačnih prijemnika I1, I2 i I3, b) fazne pomake izmeĎu struja I1, I2 i I3 i napona U. c) Ukupnu struju I i fazni pomak izmeĎu nje i napona U. 4.2.32. Na naizmenični napon U = 20ej50 V priključen je prijemnik nepoznate impedanse Z. Ako je u prijemniku uspostavljena struja i = 5 2 sin ( t  10 ) A, odrediti parametre nepoznate impedanse Z i napisati je kompleksno.


41

4.2.33. XC

Kolo sa slike 4.2.33, kod kojeg je R = XC, priključeno je na naizmenični napon efektivne vrednosti U. Ako je pre zatvaranja prekidača ampermetar pokazivao jačinu struje I, koliku će pokazivati struju I1 nakon zatvaranja prekidača ?

A

R

U Sl.4.2.33. 4.2.34. Za fazorski dijagram prema slici 4.2.34. nacrtati odgovarajuću električnu šemu

U I1 I2

I Sl.4.2.34.

4.2.35. Dva prijemnika poznatih provodnosti vezana su paralelno. Ako je aktivna provodnost prvog prijemnika G1 = 0,2 mS i reaktivna ( kapacitivna ) B C1 = 1 mS; odnosno aktivna provodnost drugog prijemnika G2 = 0,6 ms i reaktivna ( induktivna ) B L2 = 0,4 mS, odrediti: a) admitansu paralelne veze prijemnika, b) faznu razliku izmeĎu napona na paralelnoj vezi ( U ) i ukupne struje ( I ). 4.2.36. Na paralelnoj RL vezi priključen je napon, koji se menja po zakonu: u = 100 sin ( 1 000 t + 50 ) V. Ako je R = 5  a L = 20 mH odrediti izraz za ukupnu struju u kolu i fazni pomak izmeĎu nje i napona U. 4.2.37. Izračunati admitansu, konduktansu i susceptansu kola kod kojeg je rezistansa X = 10  vezana redno sa induktorom čiji je koeficijent samoindukcije L = 0,1 H, ako je frekvencija f = 50 Hz. 4.2.38. Admitansa kola naizmenične struje iznosi Y = ( 0,05  j 0,08 ) S. Odrediti rezistansu i induktivnu reaktansu kola ako su ta dva elementa vezana: a) paralelno; b) redno. Nacrtati fazorski dijagram napona i struja za oba slučaja. 4.2.39. R1

XL

U kolu prikazanom na slici 4.2.39 voltimetar pokazuje efektivnu vrednost napona UV = 45 V. Šta će pokazati ampermetar ako je: R1 = 5 ; XL = 2 ; R2 = 3  i XC = 3  ?

XC

R2 A V o

U

o

Sl.4.2.39. 4.2.40. Tri impedanse Z1, Z2 i Z3 vezane su paralelno i priključene su na napon mreţe U = 50ej60 V. Ako je ukupna struja kola I =31,5ej24 A a impedanse Z2 = 10  i Z3 = ( 4 + j 3 ) , odrediti vrednost impedanse Z1.


42 4.2.41. Termogeni otpornik i savršeni kalem su paralelno vezani i priključeni na naizmenični napon. Njihove otpornosti iznose: R = 60  i XL = 80 . a) Koliki je ukupni otpor veze? b) Koliki će biti otpor veze ako se termogeni otpornik zameni kondenzatorom čija je kapacitivna otpornost jednaka termogenoj ? 4.2.42. C A

Izračunati ekvivalentnu impedansu izmeĎu tačaka A i D za kolo prema slici 4.2.42. ako su tačke B i E : a) kratko spojene b) otvorene

B L

Brojni podaci: C = 1 F; L = 30 mH; f = 1 000 Hz.

C D

E Sl.4.2.42.

4.2.43. R

Kako će se promeniti napon na kondenzatoru, na slici 4.2.43. posle zatvaranja prekidača P, pod uslovom da se priključeni napon nije promenio ? Šta se dogodilo sa naponom na otporniku R ? Odgovor argumentovano obrazloţiti.

P R o

+

C U

o

Sl.4.2.43. 4.2.44. L;R ( Z ) Induktivni prijemnik, čija je induktivnost L = 50 mH i impedansa Z = 22 , priključen je na mreţu kao na slici 4.2.44. Odrediti kapacitivnost kondenzatora koji treba vezati paralelno da bi struja u glavnom vodu I ( ukupna struja ) bila u fazi sa naponom.

C I o

P

+

U;f

o

Sl.4.2.44. 4.2.45. R2

o

I +

XL

I2

+

I1

R1

UL

U

o

Za kolo na slici 4.2.45 dati su sledeći podaci: R1 = 10 ; XL = 5 ; UL = 10 V. Napon UL fazno prednjači naponu U za  = 45. Odrediti: a) efektivnu vrednost struja I1, I2, I i napona UR2 i U; b) nacrtati fazorski dijagram napona i struja.

Sl.4.2.45. 4.2.46. Prijemnik koji sadrţi rednu vezu R i L elemente ima fazni pomak izmeĎu napona U i struje I od  = 53,13 ( cos  = 0,6 ). Koliki će biti cos  ( faktor snage ) prijemnika koji se sastoji od istih elemenata, ali u paralelnoj vezi ?


43

4.2.47. R1

XL

Za kolo na slici 4.2.47. odrediti nepoznate otpore R1 i XL, tako da je  = /4, ako je poznato: R1 = 2 XL; Z2 = ( 10 + j 20 ) .

Z2

Sl.4.2.47. 4.2.48. +

I

R2 X2

R1 X1

U;f C2

Tri kalema poznatih aktivnih i reaktivnih otpornosti i dva kondenzatora poznatih kapaciteta C1 i C2 vezani su u kolo prema sl.4.2.48. Ako se kolo priključi na naizmenični napon efektivne vrednosti U i učestanosti f, odrediti efektivnu vrednost ukupne struje I.

R3 X3

C1

Brojni podaci: U = 220 V; f = 50 Hz; R1 = 12 ; X1 = 12 ; R2 = 2 ; X2 = 6 ; R3 = 3 ; X3 = 5 ; C1 = 300 F; C2 = 200 F.

Sl.4.2.48. 4.2.49. o

+

+ C

U

R1 R2

o

UC

Dva termogena otpornika R1 i R2 i kondenzator kapaciteta C vezani su u kolo prema sl.4.2.49. i priključeni na nepoznati naizmenični napon. Ako je poznat izraz za trenutnu vrednost napona na krajevima kondenzatora uC, u odnosu na prikazani pozitivni smer, odrediti: a) ekvivalentnu impedansu kola, b) izraze za trenutne vrednosti svih struja u kolu ( i1, i2, i ), kao i za ukupni napon u. Brojni podaci: uC = 192 2 sin t V; R1 = 50; R2 = 28 ; XC = 96 .

Sl.4.2.49.

4.2.50. Kalem otpornosti RL i induktivnosti L i kondenzator nepoznatog kapaciteta C, vezani su paralelno i priključeni na naizmenični napon učestanosti f. Odrediti kapacitet C tako da ukupna struja kola bude u fazi sa priključenim naponom. Brojni podaci: RL = 5 ; L = 100 mH; f = 50 Hz. 4.2.51. Tri prijemnika vezana su paralelno i priključena na naizmenični napon, koji je dat kompleksnim izrazom U = ( ( 25 + j 43,3 ) V. Poznati su kompleksni izrazi za ukupnu struju u kolu I = ( 28,76 + j 12,6 ) A i za impedanse Z1 = ( 2 + j 2 )  i Z2 = 10 . Odrediti kompleksni izraz za impedansu trećeg prijemnika Z3. 4.2.52. C

L

Ao

oB R

R

Dva otpornika otpornosti R, kalem induktivnosti L i kondenzator kapaciteta C vezani su kao na slici 4.2.52. Odrediti otpornost R tako da ekvivalentna impedansa izmeĎu tačaka A i B ne zavisi od učestanosti.

Sl.4.2.52. 4.2.53. Kalem induktivnosti L i termogenog otpora RL i kondenzator kapaciteta C paralelno su vezani i priključeni na naizmenični napon efektivne vrednosti U, početne faze  i promenljive učestanosti f. Odrediti: a) Učestanost f pri kojoj su napon U i ukupna struja I u fazi; b) Kompleksne izraze za sve struje u kolu ( I1, I2 i I ). Brojni podaci: L = 1 H; C = 0,25F; RL = 400 ; U = 100 V;  = 0.


44

4.2.54. R

L

Za kolo prikazano na sl.4.2.54. pri učestanosti f poznato je R = XL = XC = 2 . Odrediti impedansu i admitansu kola za učestanosti: a) f1 = f/2; b) f2 = f i c) f3 = 2 f. Nacrtati trougao otpora i trougao provodnosti za sva tri slučaja..

C

Z;Y

o

o

Sl.4.2.54.

4.2.55. R2

R1

B 

 A

C

Kolo, prikazano na sl.4.2.55, priključeno je na naizmenični napon U = 10 V. Naći napon izmeĎu tačaka A i B i nacrtati potpuni fazorski dijagram napona i struja.

L

Brojni podaci: R1 = R2 = 2 ; XL = XC = 2 .

U

o

o

Sl.4.2.55. 4.2.56. Efektivna vrednost prostoperiodičnog napona izmeĎu krajeva jednog prijemnika iznosi U = 200 V, a efektivna vrednost prostoperiodične struje je I = 0,1 A. Struja fazno prednjači naponu za 30, pri čemu su referentni smerovi napona i struje usaglašeni ( isti početak ). Odrediti: a) impedansu, aktivnu i reaktivnu otpornost prijemnika; b) admitansu, aktivnu i reaktivnu provodnost prijemnika. 4.2.57. Kalem induktivnosti L i kondenzator kapaciteta C vezani su paralelno i priključeni na prostoperiodični napon čija se učestanost moţe menjati. Predstaviti grafički u funkciji kruţne učestanosti: a) reaktivnu provodnost i admitansu ove paralelne veze; b) reaktivnu otpornost i impedansu ove paralelne veze; c) faznu razliku izmeĎu ukupne struje ( napojne grane ) i priključenog napona na ovoj paralelnoj vezi. 4.2.58. C2

L2

I2

Za kolo prema sl.4.2.58. poznata je aktivna i reaktivna otpornost prve grane R1 = 400  i X1 = 300 , efektivne vrednosti struja I1 = 10 mA i I2 = 20 mA, a struja I1 fazno prednjači struji I2 za  = 60. Odrediti efektivnu vrednost napona izmeĎu tačaka A i B.

 A

I1 +

R2

C1

R1

o

B 

U

o

Sl.4.2.58.


45

4.2.59. C

L

Za kolo prostoperiodične struje prikazano na sl.4.2.59. dato je: U = 220 V;  = 104 s1; L = 20 mH. Odrediti R i C tako da maksimalna vrednost ukupne struje bude jednaka Im = 0,44 A i da ona fazno prednjači naponu U za ugao 45.

R I o

U;f

+

o

Sl.4.2.59.

4.2.60. R3 ; X3



o

R2

L2

R1

C1

I +

Za kolo prema sl.4.2.60. poznato je: U = 100 V; f = 50 Hz; R1 = 10 ; C1 = 318 F; R2 = 20 ; L2 = 64 mH; I = 10 A;  = 0 ( fazni pomak izmeĎu U i I ). Kolika je aktivna i reaktivna otpornost trećeg prijemnika ( R3 i X3 ) ?



U;f

o

Sl.4.2.60. 4.2.61. R2  I o

XL

I2

UL

+

I1

R1

+

U

Za deo kola prostoperiodične struje prikazanog na slici 4.2.61. poznato je: R1 = 10 ; XL = 2 ; UL = 4,5 V; a napon UL fazno prednjači naponu U za ugao  = 6340. Izračunati efektivnu vrednost ukupne struje I.



o

Sl.4.2.61. 4.2.62. Termogeni otpornik otpornosti R, kalem induktivnosti L i kondenzator kapacitivnosti C vezani su meĎusobno paralelno i priključeni su na prostoperiodični napon U. Ako su poznate efektivne vrednosti struja: ukupna struja I = 10 mA; struja kroz termogenu otpornost I R = 6 mA i struja kondenzatora IC = 25 mA. Kolika je efektivna vrednost struje u grani sa kalemom IL ? 4.2.63. R2

N 

C

Za kolo prema sl.4.2.63. poznato je: U = 100 V; I1 = 20 A; I2 = 10 A; I = 10 5 A; R1 = 3 . Odrediti: a) efektivne vrednosti sviju padova napona i napon izmeĎu tačaka M i N, b) Otpornosti R2, XL i XC, i c) Ukupnu aktivnu i reaktivnu otpornost kola.

I2 R1 I I1 o+

 M

L

U

o

Sl.4.2.63.


46

4.2.64. Induktivni prijemnik, induktivnosti L = 50 mH i impedanse Z = 20  priključen je na naizmenični napon U prema slici 4.2.64. Odrediti kapacitivnost kondenzatora C koju treba vezati paralelno prijemniku tako da ukupna struja I u napojnom vodu bude u fazi sa naponom U. Koliki je cos  ove paralelne veze ?

C

P

Z

I + o

U;f

o

Sl.4.2.64. 4.2.65. Otpornik otpornosti R vezan je paralelno sa jednim prijemnikom nepoznatih karakteristika. Ova paralelna veza je priključena na prostoperiodični napon u = 120 sin ( 4 000 t  30 ) V. Ukupna struja ( struja napojne grane ) je i = 6 sin ( 4 000 t + 30 ) A, pri čemu su referentni smerovi usaglašeni. Odrediti otpornost R i parametre ( otpore ) prijemnika. 4.2.66. Realan kalem vezan je paralelno sa idealnim kondenzatorom i priključen je na prostoperiodični napon efektivne vrednosti U = 150 mV. Pri odreĎenoj učestanosti napona, impedansa kola iznosi Z L = 20 , cos L = 0,8 , a kapacitivna otpornost XC = 12 . Kolika je efektivna vrednost ukupne struje u kolu i kolika je fazna razlika izmeĎu nje i napona U ? 4.2.67. Reaktansa prijemnika je X = 100  a susceptansa B =  1 mS. Kolika je impedansa prijemnika ? 4.2.68. I1

I 

Za dati fazorski dijagram prema sl.4.2.68. nacrtati odgovarajuću šemu električnog kola.

I1

I2

U

Sl.4.2.68. 4.2.69. R1

L1

o +

a

b



A1

A2

i1 R2

i2

u

i4

i3 C4

C2

L3



o

U kolu, prema sl.4.2.69, prvi ampermetar pokazuje nulu. Koju struju pokazuje drugi ampermetar, ako elementi u kolu imaju sledeće podatke: U = 100 V; f = 50 Hz ; R1 = 50 ; L1 = 0,1 H; R2 = 50 ; C2 = 101,5 F; L3 = 0,2 H; .

d

c

Sl.4.2.69. 4.2.70. R1 o

L

+ I

U;f

R2

C

U kolu prostoperiodične struje, prikazanom na sl.4.2.70, poznato je: U = 50 V; R1 = 5 ; R2 = 6 ; L = 300 H i C = 250 F. Odrediti: a) učestanost f pri kojoj je struja I u fazi sa naponom U; b) struju I kada je ispunjen uslov pod a)

o Sl.4.2.70.


47

4.2.71. R2

P Dato kolo, prema sl.4.2.71, priključeno je na napon U = 100 e j /4. Fazni pomak izmeĎu U i I je  = /4 rad. Merenjem je ustanovljeno da je efektivna vrednost struje kroz kalem tri puta veća od efektivne vrednosti struje kroz kondenzator za R1 = 20  i  = 1 000 rad/s. a) Nacrtati fazorski dijagram napona i struja. b) Odrediti kapacitet kondenzatora C i induktivnost kalema L. c) Šta će se dogoditi sa faznim pomakom  ako se uključi prekidač P ?

C

L R1 i u

o

o

Sl.4.2.71. 4.2.72. R2

XL

Za kolo prema sl.4.2.72, poznato je da napon na kalemu UL fazno prednjači naponu U za ugao  = 60. Ako je R1 = 100 ; XL = 2  i UL = 4,5 V, a) nacrtati fazorski dijagram napona i struja b) izračunati fazni pomak izmeĎu U i I2 ( 2 ) c) izračunati ukupnu struju I

i2 R1

o

i +

u

o

Sl.4.2.72. 4.2.73. Paralelna veza RLC ( sl.4.2.71. bez R2 ) priključena je na naizmenični napon dat izrazom u = 169,2 sin 314 t V. Napisati izraz za ukupnu struju i u kolu ako je: R = 12 ; XL = 6  i XC = 12 . 4.2.74. R A2 A1

Kolo na sl.4.2.74. priključeno je na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 25 V. Šta će pokazivati ampermetri A1, A2 i A3 ( koji mere efektivne vrednosti struja ) ako je: R = 5 , XL = 5  i XC = 2,5 .

XC A3 U

o

o

Sl.4.2.74. 4.2.75. X1

Za kolo, prema sl.4.2.75, poznati su sledeći podaci: U = 100 V; f = 50 Hz; R = 10 ; X1 = 20 ; X2 = 10  i X3 = 10 . Koliko iznosi kapacitivna otpornost X4, ako su napon U i struja I meĎusobno u fazi ?

X3 R

X2

o

I +

X4

U

o

Sl.4.2.75.


48

4.2.76. R

Kolo na sl.4.2.76. priključeno je na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 380 V, učestanosti f = 50 Hz. Pri otvorenom prekidaču struja iznosi I = 24 A, a fazni pomak izmeĎu napona i struje je  = /6. Nakon zatvaranja prekidača napon i struja kola ( ukupna struja ) su u fazi, odnosno  = 0. Koliki je kapacitet kondenzatora C?

L C

P U

o

o

Sl.4.2.76. 4.2.77.

R  3 3  XL2 = a

XL1 = a

+ U4

A +

U5 o



+

B

XC = 2a

U

U kolu sa slike 4.2.77. napon U5 fazno kasni za naponom U4 za ugao 120. Odrediti: a) vrednost konstante a u omima, b) fazni pomak izmeĎu napona U i ukupne struje I c) Nacrtati fazorski dijagram napona i struja.

o

Sl.4.2.77. 4.2.78.

Na sl.4.2.78. data je mešovita veza impedansi ( otpora ), koje su priključene na napon mreţe U = 220e j o V. a) Izračunati struje I, I1 i I2 , kao i napone na svakoj od impedansi U1, U2 i U3. b) Nacrtati odgovarajući dijagram struja i napona ( Razmera 1 cm  0,5 A  20 V ).

UAB Z1

I A I1 I

2

Z3

B 

Z2

Brojni podaci: Z1 = ( 20 + j 25,12 ) , Z2 = ( 2  j 31,83 )  i Z3 = ( 5  j 159,16 ) 

U Sl.4.2.78.

4.2.79.

R1 R2

a C

b

Kolo prema slici 4.2.79. priključeno je na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 16 V. a) Kolika je vrednost otpornika R2 da bi ukupna struja imala intezitet od I = 5 A ? b) Koliki je fazni pomak  izmeĎu napona U i struje I ? c) Nacrtati fazorski dijagram napona i struja. Brojni podaci: R1 = 3 ; XC = 4 .

Sl.4.2.79. 4.2.80. C A 

L

B

C R

Na mešovitu vezu RLC, prema sl.4.2.80 priključen je naizmenični napon u = 240 cos 103 t V. a) Izračunati sve napone i struje u kolu b) Fazni pomak  izmeĎu ukupnog napona i ukupne struje. c) Nacrtati potpuni fazorski dijagram napona i struja. Brojni podaci: L = 0,2 H; C = 5 F; R = 100 .

U Sl.4.2.80.


49

4.2.81. R1 XC

R

A 

XL1

E  I1

B

C XC2

R2

 D

Brojni podaci: R = 2 ; XC = 3 ; R1 = 3 ; XL1 = 4 ; R2 = 4 ; XC2 = 3 .

Sl.4.2.81.

4.2.82.

G2;B2 G1;B1

1

o

2 I3

3

R4;X4

4

R3;X3

I +

Za kolo prema sl.4.2.91, poznata je struja koja prolazi kroz L1 i R1 i ona iznosi I1 = 2 A. Odrediti: a) sve padove napona i napon izmeĎu tačaka D i E, b) preostale struje u kolu. c) Nacrtati potpuni fazorski dijagram napona i struja

U

o

Sl.4.2.82.

Četiri prijemnika su vezana kao na slici 4.2.82. i priključena su u kolo prostoperiodične struje. Ako je struja trećeg prijemnika I3 = 5 mA uz sledeće parametre: G1 = 0,2 mS; B1 =  0,1 mS; G2 = 0,1 mS; B2 =  0,3 mS; R3 = 1 k; X3 =  1 k; R4 = 6 k; i X4 =  3 k. Odrediti: a) efektivnu vrednost napona izmeĎu tačaka 1 i 4, b) faznu razliku izmeĎu napona U14 i struje I.

4.2.83. C 1o

2 

+

R2 X2

X1

U;f

Za kolo prostoperiodične struje, prema sl.4.2.83, poznato je: X1 =  400 ; C = 0,5 F; L = 30 mH; R2 = 400 ; X2 = 400 ; I2 = 50 mA; i U21 = 10 V. Kolika je efektivna vrednost napona U ?

I2

L

 3

4o

Sl.4.2.83. 4.2.84. X3 k

R1

R2 o

Za kolo prostoperiodične struje prikazano na sl.4.2.84. poznato je: U = 220 V; R1 = 2 ; R2 = 12 ; X2 = 16  i X3 =  20 . Prekidač k je prvo bio otvoren, a zatim se zatvori. Odrediti za koliko je promenjena ( porasla ) efektivna vrednost struje prvog prijemnika ?

+

X2

U;f

o

Sl.4.2.84. 4.2.85. L 4

1 R

o

+

U kolu prostoperiodične struje , prema sl.4.2.85, kapacitivnost C se menja u granicama:

L

3 U;

1

3 R R 3 Odrediti promenu ( porast ) efektivne vrednosti napona izmeĎu tačaka 3 i 4 U34. od C min 

2 C

do C max 

o

Sl.4.2.85.


50

4.2.86. I1 U1

U5

90 U

U4

U2 I

U3

Na sl.4.2.86. je prikazan fazorski dijagram napona i struja jednog naizmeničnog kola prostoperiodične struje. Nacrtati odgovarajuću šemu tog kola.

I2

U45 90

I2 Sl.4.2.86. 4.2.87. Z1

A

R2

XL

R3

XC

B

I1

C

Sl.4.2.87.

Za kolo prema sl.4.2.87, poznati su sledeći podaci: R2 = 6 ; R3 = 4 ; XL = 8 ; XC = 18 . Efektivna vrednost struje prijemnika impedanse Z1 iznosi I1 = 5 A, a njena početna faza je 1 =  3652 u odnosu na označeni smer ( zadati početni trenutak vaţi za celo kolo ). Izračunati struje I1, I2 i I3 i nacrtati njihov fazorski dijagram u razmeri 1 cm  1 A.

4.2.88. C

R

R

A

+

 E

2R

C

Na kojoj frekvenciji f će u kolu, prema sl.4.2.88, napon izmeĎu tačaka A i B iznositi UAB = ( 1 + j 1 ) V, ako je E = ( 6 + j 6 ) V, R = 1 k i C = 1 nF ?

R B

Sl.4.2.88.

4.2.89.

C1

C2 +

I +

R1

U

U2 R2

Odrediti parametre R1, R2 i C1 u kolu, prikazanom prema sl.4.2.90, ako je poznato da je napon U2 u fazi sa naponom napajanja U i da je pet puta manji od njega. Brojni podaci: R1 + R2 = 1 M i C2 = 10 pF.

Sl.4.2.90.


51

4.2.90. +

R

+

 E

R

C

U

U kolu prostoperiodične struje, prema slici 4.2.90, dato je: E = 2 V, R = 2 k i C = 1 F. Ako se kruţna učestanost  menja, skicirati zavisnost efektivne vrednosti napona U od .

Sl.4.2.90. 4.2.91.

R X1

Ig

+

X2

UL

U kolu prostoperiodične struje, prikazanom na slici 4.2.91, poznato je: Ig = 2 mA; R = 200  i X2 = 100 . Napon kalema je u fazi sa strujom generatora. Kolika je reaktansa X1 ?

Sl.4.2.91. 4.2.92. iL U kolu prostoperiodične struje, prema slici 4.2.92, poznato je:

L

R = 100 3 ; L = 300  i iR = 20 6 cos ( t + /3 ) mA. Nacrtati fazorski dijagram struja i odrediti početnu fazu ( početni ugao ) struje ig.

iR R Ig

C

Sl.4.2.92. 4.2.93.

1  XL

+

 E

3

XC 4

R

R

Za kolo prostoperiodične struje, prikazano na slici 4.2.93, poznato je: E = 100 V i R = XL = 200 . a) Nacrtati fazorski dijagram napona. b) Kolika je otpornost kondenzatora XC da bi efektivna vrednost napona u34 bila maksimalna ? c) Kolika je ta efektivna vrednost napona U34 ? d) Kolika je pri tome fazna razlika izmeĎu napona u34 i u12 ?

 2 Sl.4.2.93.


52

4.2.94. U prostoperiodičnom kolu naizmenične struje, prikazanom na slici 4.2.94, poznato je IS = 2 mA, R = 200  i X2 = 100 . Napon kalema je u fazi sa strujom generatora. Koliko iznosi reaktansa X1 ?

IL R IS

X1 X2

UL

Sl.4.2.94.


53

5. EKVIVALENTNE VEZE Rešavajući paralelnu vezu otpora preko admitansi, mi smo u stvari tu vezu sveli na jednu aktivnu i jednu reaktivnu provodnost ( konduktansu i susceptansu ). U ovom slučaju ekvivalentna admitansa je jednaka: Y = G + j ( BC  BL ) = G  j B. Na osnovu ovih podataka ( G i B ) moţe se nacrtati trougao provodnosti ( sl.36 ). Kako je Z = 1/Y, sledi da se paralelna veza G i B moţe pretvoriti u rednu vezu R i X ,jer ekvivalentna impedansa u sebi sadrţi aktivnu i reaktivnu otpornost ( rezistansu i reaktansu ). Ekvivalentna impedansa je uvek jednaka Z = R + j ( XL  XC ) = R  j X, bez obzira kakva je veza. To praktično znači da je u jednom slučaju ekvivalentno kolo u paralelnoj vezi ( kada se radi sa admitansom ), a u drugom slučaju u rednoj vezi ( kada se radi sa impedansom ). I u jednom i u drugom slučaju ukupna struja ( ekvivalentna ) mora ostati ista, kao i fazni pomak izmeĎu nje i napona, što čini osnovni uslov ekvivalentnosti ta dva spoja. 5.1. PRETVARANJE REDNE VEZE RLC U PARALELNU VEZU GB G (R) a) R

b)

XC

XL

G (R)

c)

 BL (XL)

BC (XC)

Sl.22. Kako je kod redne veze RLC kola iz trougla otpora i provodnosti ( sl.22. ) cos  

R G  , odnosno Z Y

X B R R R X X X   G Y 2  2 ; B Y 2  2 . Z Y Z Z Z R  X2 Z R  X2 Dakle, ako rednu vezu RLC pretvorimo u paralelnu vezu G i B, tada umesto otpora R, X L i XC nastaju novi otpori u paralelnoj vezi R ( R = 1/G ) i X ( X = 1/B ). Sledi: Z2 R 2  X 2 Z2 R 2  X 2 , odnosno X '  R'    R R X X Za XL  XC redna veza RLC se transformiše u paralelnu G i B L vezu ( Z = R + j X  Y = G  j BL ), sl.22. b) a za XC  XL redna veza RLC se pretvara u paralelnu vezu G i BC ( Z = R  j XC  Y = G + j BC ), sl.22.c). sin  

5.2. PRETVARANJE PARALELNE VEZE RLC ( G B L BC ) U REDNU VEZU R X G (R)

a)



BL (XL)

b)



c) R



XL

R

XC

BC (XC)

Sl.23. G R B X  , odnosno sin    . Y Z Y Z Na osnovu navedenih izraza izvedu se relacije za odreĎivanje parametara u rednoj vezi ( R i X ). G G G B B B R Z 2  2 ; odnosno X  Z  2  2 Y Y Y G  B2 Y G  B2 Za BL  BC ( Y = G  j B ) paralelna veza G B L BC ( R XLXC ), sl.23. a ) se transformiše u rednu vezu R i X L ( Z = R + j XL ), sl.23. b); a za BL  BC u rednu vezu R i XC, što je prikazano na sl.23. c).

Iz trougla provodnosti i otpora sledi: cos  

NAPOMENA! Navedena pretvaranja se mogu izvršiti i kompleksnim rešavanjem impedanse i admitanse. Ako se pretvara redna veza RLC u paralelnu GB vezu, toj vezi pronaći kompleksnu admitansu Y, a samim tim tako nastaju parametri G i B. Kod pretvaranja paralelne veze GB LBC u rednu vezu RLC samo kompleksno izračunamo impedansu Z čime smo i odredili parametre R i XL ili R i XC ( redna veza ).


54

5.3. METODA TRANSFORMACIJE ( Pretvaranje veze u trougao u zvezdu i obrnuto ) Impedanse vezane u trougao mogu se zamenuti ekvivalentnim spojem vezanim u zvezdu, i obrnuto. Prilikom ove transformacije ( pretvaranja ) napon izmeĎu tačaka na koje su vezane impedanse mora ostati isti, samim tim i struja koju povlače ove impedanse mora ostati ista. Pored toga fazni pomak izmeĎu navedenih napona i struja mora ostati nepromenjen ( što je bilo i kod predhodnih ekvivaklentnih spojeva ). Način transformacije je isti kao i kod otpornika R ( kod kola sa jednosmernom strujom ). Razlika je u tome što se umesto otpornika sada koristi impedansa Z u kompleksnom obliku. 5.3.1. PRETVARANJE IMPEDANSI VEZANIH U TROUGAO U VEZU U ZVEZDU ZAC

C 

C

ZBC

ZC



 ZAB

A

ZB

ZA

B

a)





B

A Sl.24.

b)

Prilikom pretvaranja impedansi vezanih u trougao u impedanse vezane u zvezdu poznate su vrednosti impedansi u trouglu ZAB, ZBC i ZAC ( Sl.24.a ) a traţe se vrednosti ekvivalentnih impedansi vezanih u zvezdu ZA, ZB i ZC ( Sl.24.b ). Poštujući uslove ekvivalentne povezanosti slede izrazi na osnovu kojih se rešavaju nepoznate impedanse vezane u zvezdu:

ZA 

Z AB  Z AC Z AB  Z BC  Z AC

;

ZB 

Z AB  Z BC Z AB  Z BC  Z AC

;

ZC 

Z BC  Z AC Z AB  Z BC  Z AC

Ako impedanse zamenimo admitansama, vrede sledeći izrazi:

Y A  Y AB  Y AC 

Y AB  Y AC ; Y BC

Y B  Y AB  Y BC 

Y AB  Y BC Y  Y AC ; Y C  Y BC  Y AC  BC Y AC Y AB

. 5.3.2. PRETVARANJE IMPEDANSI VEZANIH U ZVEZDU U VEZU U TROUGAO Kod ovoga pretvaranja postupak je isti kao i prilikom pretvaranja trougla u zvezdu. Sada su poznate impedanse vezane u zvezdu ( ZA, ZB i ZC ),sl.24.b, a traţe se ekvivalentne impedanse vezane u trougao ( ZAB, ZBC i ZAC ), sl.24.a.: Konačna rešenja impedansi vezanih u trougao, poštujući ekvivalentnost veze, iznose:

Z AB  Z A  Z B 

ZB ZC Z A ZC Z A ZB ; Z BC  Z B  Z C  ; Z AC  Z A  Z C  ZC ZA ZB

Zamenom impedansi sa admitansama nastaju sledeći izrazi:

Y AB 

Y A Y B ; Y A Y B YC

Y BC 

Y B Y C ; YA

Y AC 

Y A Y C YB


55

ZADACI: 5.1. Za jedno kolo poznata je admitansa, koja iznosi Y = ( 0,2  j 0,1 ) S. Nacrtati odgovarajuću šemu za datu impedansu i na njoj odrediti vrednosti odgovarajućih otpora. Da li se ova veza moţe transformisati u drugu vezu (ako je bila redna u paralelnu, ili obrnuto )? Ako moţe koliki će biti otpori kod transformisane veze ? 5.2. Otpornik R = 10  i kondenzator kapaciteta C = 15,9 nF vezani su paralelno. Koliki bi bili parametri ekvivalentne redne veze ako je učestanost f = 1 MHz ? 5.3. Rednu vezu termogenog otpora R = 6  i kalema induktivnog otpora XL = 8  pretvoriti u odgovarajuću paralelnu vezu. Koliko iznose G, BL, R i XL u paralelnoj vezi ? 5.4. Električno kolo sastoji se od impedanse čija je vrednost Z = 30  i cos  = 0,2. Odrediti parametre impedanse RL, XL, GL i BL i to : a) RL i XL su redno vezani ; b) b) RL i XL su paralelno vezani. Na koji način se moţe povećati cos  na cos  = 0,8 ? Koliko je u tom slučaju GL , BL , R i X ? 5.5. Redna veza termogenog otpora i kondenzatora treba da se pretvori u ekvivalentnu paralelnu vezu. Odrediti parametre Rp i Cp paralelne veze, ako su poznati parametri redne veze RR = 200 K , CR = 450 pF i frekvencija f = 2 KHz. 5.6. i o

+ u

Prema sl.112 dat je jedan RLC prijemnik nepoznatih parametara. Ako se prijemnik priključi na prostoperiodični naizmenični napon dat izrazom u = 123 sin 5 000 t V on povlači struju koja iznosi i = 12,3 sin ( 5 000 t + 60 ) mA.

RLC

o Sl.112.

a) Prikazati ovaj prijemnik, pri zadanoj frekvenciji, jednom paralelnom vezom. Odrediti parametre ove veze. b) Prikazati prijemnik jednom rednom vezom i izračunati parametre ove veze. c) U slučaju redne veze, odrediti induktivnost kalema odnosno kapacitivnost kondenzatora koji vezan redno sa datom vezom, prouzrokuje da struja I i napon U budu u fazi. d) U slučaju paralelne veze, odrediti induktivnost kalema odnosno kapacitet kondenzatora, koji vezan paralelno sa datom vezom, prouzrokuje da napon U i struja I budu u fazi. 5.7. Na paralelno RL kolo priključen je prostoperiodični napon U = 60 V, frekvencije f = 50 Hz. Otpornost termogenog otpornika je R = 20 , a induktivnost kalema L = 47,8 mH. Odrediti: a) struje u paralelnim granama i ukupnu, b) impedansu odgovarajućeg ekvivalentnog prijemnika sastavljenog od redne veze otpornika i kalema. 5.8. L23

C23

o3

L31

C31

L12 o2

Datu vezu u trougao induktiviteta i kapaciteta , prema sl.5.8, pretvoriti u ekvivalentnu vezu u zvezdu. Koliki su parametri ekvivalentne veze ako je: L12 = 20 mH; L23 = L31 = 10 mH; C23 = C31 = 1,5 F i f = 795,8 Hz.

1 o Sl.5.8.

5.9. Tri jednake impedanse ZT = ( 15  j 15 )  vezane su u trougao. Pretvoriti ovu vezu u zvezdu i odrediti kolika je impedansa ekvivalentne veze ( zvezde ) ?


56

5.10.

Z12

1

4

Z23 Z31

Odrediti ekvivalentnu impedansu izmeĎu tačaka 1 i 4 , prema sl.5.10, ako je: Z12 = ( 5 + j 3 ) ; Z23 = ( 2 + j 2 ) ; Z31 = ( 3 + j 2 ) ; Z24 = ( 10 + j 6 )  i Z43 = ( 6 + j 4 ) . ( PREPORUKA! Trougaonu vezu 1-2-3 predhodno pretvoriti u zvezdu.)

Z34

2 

Z43

 3 Sl.5.10.

5.11. Z1

Z3

A 

C

Pet prijemnika poznatih impedansi vezani su prema sl.5.11. Odrediti ekvivalentnu impedansu i admitansu kola: a) izmeĎu tačaka A i B, b) izmeĎu tačaka C i D

D  Z2

Brojni podaci: Z1 = Z2 = Z5 = ( 6 + j 12 ) ; Z3 = Z4 = ( 4 + j 6 ) .

B Z4

Sl.5.11.

5.12. R1

A

L2

C4

R4

 B

I +

Za dato kolo ( most ) prema sl.5.12, naći ukupnu struju I, i to: a) transformacijom trougla R1, L3 i C5 u zvezdu, b) transformacijom zvezde R1, R2L2 i C5 u trougao.

D

C5 L3

o

R2

C 

U

Brojni podaci: R1 = 5 ; X2 = 6 ; R2 = 2,2 ; X3 = 3 ; R4 = 6 ; X4 = 3 ; X5 = 3 ; U = 53,64 V. o

Sl.5.12.

5.13.

Z1

Z3

C 

I1 A

I5

B

Z5

I2 I

Brojni podaci: Z2 = 2 ; Z3 = 5 ; Z4 =  j 40 .

 D

Z2 +



U kolu prema sl.5.13, koje predstavlja Vitstonov most, poznate su sve impedanse sem Z1. Kolika je impedansa Z1 da bi most bio u ravnoteţi ( I5 = 0 )?

Z4 E

Sl.5.13.


57

5.14. R1

R2

B 

A

C R3

o

L3

R4

I

 D

+

U;f

L4

o

Za dati most, prema slici 5.14, uspostavljena je ravnoteţa ( indikator pokazuje nulu ) sa sledećim vrednostima parametara: R1 = 10 ; R2 = 50 ; R3 = 2 ; L3 = 0,2 H; U = 100 V; f = 50 Hz. Odrediti: a) vrednosti R4 i L4, b) ukupnu struju I.

Sl.5.14. 5.15. R1

R2

R3

R4

L4

C4

Za dati most, prema sl.5.15, uspostavljena je ravnoteţa ( kroz indikator ne teče struja ) pri sledećim vrednostima: R1 = 300 ; R2 = 150 ; R3 = 10 ; L = 25 mH; C = 400 pF. Odrediti nepoznatu otpornost R4 , kao i učestanost izvora f.

 E;f Sl.5.15. 5.16. R1

R2 Za most prema slici 5.16. ( Vinov most ) pri uspostavljenoj ravnoteţi, odrediti: a) učestanost izvora, b) struje u svim granama c) obrazloţiti kako se dolazi do ravnoteţe mosta

R4 R3

C3 C4



U; f

Brojni podaci: R1 = 100 ; R2 = R3 = R4 = 80 ; C3 = C4 = 4 F; U = 240 V.



Sl.5.16. 5.17. Z1

R3

R2

R4

Za uravnoteţeni most, prema slici 5.17. odrediti elemente impedanse Z1. Kolike će biti struje u granama mosta ako se on priključi na naizmenični napon U = 100 V?

L4 Brojni podaci: R2 = 6 ; R3 = 2 ; R4 = 2 ; L4 = 10 mH; f = 50 Hz.

o U;f

o

Sl.5.17.


58

5.18. Z2

Z1 I1 Z5 Z3

Z4 + Z

E

U kolu prikazanom na sl.5.18. ( most ) poznate su impedanse: Z1 = ( 10 + j 80 ) ; Z2 = Z3 = 40 ; Z = ( 50 + j 60 ) i efektivna vrednost ems priključenog generatora E = 154 V. Odrediti: a) nepoznatu impedansu Z4, ako impedansa Z5 nema nikakvog uticaja na struju I1 ( most u ravnoteţi ) b) struje u svim granama, c) fazorski dijagram napona i struja,

 Sl.5.18.


59

6. S N A G A I E N E R G I J A U K O L U N A I Z M E N I Č N E S T R U J E 6.1. TRENUTNA I SREDNJA VREDNOST SNAGE Naizmenična struja prolazeći kroz neki prijemnik vrši odreĎeni rad, što je već pomenuto prilikom odreĎivanja efektivne vrednosti naizmenične struje. Ako je prijemnik priključen na na naizmenični napon u kroz njega protiče struja i i u svakom trenutku na njemu vlada snaga snaga p, koja iznosi: p = u i. Navedeni izraz predstavlja trenutnu vrednost snage. Kako se vrednosti napona i struje menjaju i po intezitetu i po smeru, sledi da će i snaga naizmenične struje biti na isti način promenljiva. Za pozitivni smer snage kaţemo da je to ona snaga koju izvor daje potrošaču, dok će negativna snaga biti ona koju potrošač daje izvoru. Energija ( rad ) je proizvod snage i vremena, te će trenutna vrednost snage u vremenu od jedne periode predstavljati energiju potrošača. Matematički ( viša matematika ) to je dato izrazom: T

A   uidt , 0

pri čemu je A... električni rad ( energija ) koji se u potrošaču za vreme jedne periode pretvori u neki drugi vid energije ( toplotna, magnetna, elektrostatička... ). Energija, koja se u potrošaču troši u nepovratnom procesu ( toplota ) nastaje na osnovu srednje vrednosti snage. Srednja vrednost snage u jednoj periodi, samim tim i za sve ostale periode iznosi: T

P

1 uidt . T 0

Srednja vrednost naizmenične snage naziva se aktivnom snagom i ona predstavlja brzini pri kojoj se električna energija pretvara u toplotnu ( P = WJ /t ). 6.2. SNAGA U KOLU SA SAVRŠENIM OTPOROM R R

o

=0

I

i

U u

fo

o Sl.25.

Kako su napon i struja u fazi moţemo ih analitički ( trenutno ) predstaviti izrazima: u = Um sin t, odnosno i = Im sin t. Za ove izraze fazorski dijagram napona i struje je kao na slici 25. Izraz za trenutnu vrednost snage je p = u i = Um sin t Im sin t = UmIm sin2 t = 2UI sin2 t. 1 Kako je sin 2   1  cos 2   2

p = UI 1  cos 2t ).


60 Grafički ( vremenski ) dijagram snage je prikazan na sl.26. .

Sl.26. Snaga na termogenom otporniku R osciluje od vrednosti P min = 0 do vrednosti Pmax = UmIm sa učestanošću 2f ( duplo većom od napona i struje ). Iz slike 26 se vidi da je snaga kod otpora R uvek pozitivna, što znači da on stalno prima energiju od izvora ( izuzimajući nulte vrednosti ). Ako povučemo jedan pravac paralelno sa vremenskom osom tako da on maksimalnu vrednost P max deli na polovinu nastaje jedan pravougaonik čija je površina jednaka površini trenutne vrednosti snage u jednoj periodi. Površina pravougaonika ( oscilacije p u periodi ) je jednaka PT i ona predsravlja električnu energiju koja se nepovratno pretvara u toplotu na otporniku R. Snaga pri kojoj ovaj proces nastaje naziva se aktivnom snagom i ona je jednaka: P = Pmax/ 2 = UmIm/2 = 2UI/2 = UI. Dakle, aktivna snaga je jednaka srednjoj vrednosti snage, i ona iznosi: P = U I W , a jedinica je vat. Koristeći Omov zakon ( U = IR ) navedeni izraz se moţe predstaviti P = I2R W . 6.3. SNAGA U KOLU SA SAVRŠENIM KALEMOM U

 = 90

L ; XL 

+ eL

i + o

I f.o.

o EL Sl.27.

Ako je savršeni kalem ( R = 0 ) induktivnosti L priključen na napon u = Um sin  t + /2  = Um cos t, tada će kroz kalem da protiče struja koja je fazno pomerena unazad za /2 u odnosu na napon, i ona je data izrazom i = Im sin t. Na osnovu ovih analitičkhi izraza nastaje fazorski dijagram koji je prikazan na sl.27. Trenutna snaga iznosi 1 p  U m cos t  I m sin t  U m I m sin t cos t  2UI  sin 2t  UI sin 2t 2 ( sin 2 = 2 sin  cos   sin t cos t = sin 2t / 2 ).

Sl.28.


61 Na sl.28 dat je grafički dijagram trenutnih vrednosti napona struje i snage za ovaj slučaj. Vidimo da trenutna vrednost snage oscilira dvostrukom frekvencijom u odnosu na napon i struju ( f S = 2f ). Šrafirana površina ispod krive p i vremenske ose predstavlja električni rad ( energiju ). Kako su šrafirane površine iznad i ispod vremenske ose za jednu periodu simetrične sledi da će srednja vrednost energije a samim tim i snage u ovom slučaju biti jednaka nuli. To se moţe matematički dokazati ( viša matematika ) izrazom T



1 pL  p L dt  0 T0

Kako je energija u prvoj i trećoj četvrtini periode pozitivna ovu energiju daje generator. Energija generatora se u ovim četvrtinama periode pretvara u energiju magnetnog polja kalema. U drugoj i četvrtoj četvrtini periode energija je negativna, što znači da se sada magnetna energija kalema vraća u električnu energiju generatora. U ovom delu periode kalem se ponaša kao izvor, dok je generator preuzeo ulogu potrošača. Ukupni rad kojeg obavlja generator je jednak nuli. Dakle, kod savršenog kalema ( nema Dţulovih gubitaka ) energetski proces izmeĎu generatora i kalema se odvija tako što će se ove dve energije ( električna energija izvora i magnetna energija kalema ) stalno pretvarati jedna u drugu u jednakim vremenskim intervalima ( na osnovu zakona o odrţavanju energije ). Trenutna vrednost energije magnetnog polja iznosi

Li 2 LI m sin 2 t LI 2 1  cos 2t    2 2 2 Ukupna magnetna energija kalema predstavlja, srednju vrednost magnetne energije za T/4. Ona je ista kao i za celu periodu T. Moţe se odrediti pomoću površine koju čini ¼ sinusoide za vreme od T/4 ( odnosno površini aproksimiranog pravougaonika za T/4 ). Matematički je to jednako: 2

wL 

WL 

1 2 LI m  LI 2 J  2

gde je: - WL ..... magnetna energija sa kojom raspolaţe kalem - L ........ induktivnost kalema - Im ....... amplituda ( maksimalna vrednost ) struje koja protiče kroz kalem. Iz grafičkog dijagrama ( sl.28 ) se vidi da je maksimalna vrednost ( amplituda trenutne snage ) jednaka proizvodu efektivnih vrednosti napona i struje. Dakle, QL = UI VAR Ova vrednost snage ( QL ) se naziva reaktivnom snagom kalema i njena je jedinica voltamper reaktivni. Reaktivna snaga kalema je jednaka maksimalnoj brzini pri kojoj se električna energija pretvara u magnetnu. Kako je U = IXL  QL = UI = IXLI = I2XL.

6.4. SNAGA U KOLU SA SAVRŠENIM KONDENZATOROM I

i u

 =  90

f.o.

C u Sl.29.

Fazorski dijagram napona i struje kod savršenog kondenzatora je dat na sl.29. Zbog faznog pomaka izmeĎu napona i struje od  =  90 (  /2 ), njihove trenutne vrednosti su: u = Um sin ( t  /2 ) =  Um cos t ; i = Im sin t. Trenutna snaga je pC = ui =  Um cos t Im sin t =  UmIm sin t cos t =  2UI sin 2t / 2 =  UI sin 2t.


62 Grafički dijagram napona, struje i snage za savršeni kondenzator ( bez dţulovih gubitaka ) dat je na sl.30.

Sl.30. Trenutna vrednost snage, slično kao i kod savršenog kalema oscilira dvostrukom frekvencijom u odnosu na napon i struju. U prvoj i trećoj četvrtini periode energija ( samim tim i snaga ) je negativna, dok je u drugoj i četvrtoj četvrtini pozitivna. To znači da se u prvoj i trećoj četvrtini kondenzator ponaša kao izvor, dok je generator preuzeo ulogu potrošača. U drugoj i četvrtoj četvrtini su uloge izmenjene. Kako su ove površine, koje ujedno čine električnu energiju, iznad i ispod vremenske ose iste u jednoj periodi ( naravno i za više perioda ), sledi da je srednja vrednost električne energije kod savršenog kondenzatora, koji je priključen na naizmenični generator, jednaka nuli. To isto vaţi i za snagu na kondenzaturu. Matematički se to dokazuje integralnim računom ( viša matematika ) T

PC 



1 p C dt  0 T0

energija u istim vremenskim intervalima osciluje tako što se u jednom momentu energija generatora ( 2 i 4 četvrtina T ) pretvara u energiju kondenzatora, da bi nakon toga energija kondenzatora se vraćala ( reaktivirala ) u električnu energiju izvora ( 1 i 3 četvrtina T ). Trenutna vrednost energije kondenzatora ( električnog polja kondenzatora ) je 2 2 Cu 2 CU m cos t CU 2 1  cos 2t  , wC    CU 2 cos 2 t  2 2 2 1 jer je: cos 2   1  cos 2  . 2 Ukupna energija električnog polja sa kojom raspolaţe kondenzator, slično energiji kalema, jednaka je: WC 

1 2 U m C  U 2 CJ  2

gde je: - WC..... energija kondenzatora ( energija električnog polja kondenzatora ), - Um .... maksimalna vrednost ( amplituda ) napona na kondenzatoru ( izvora ), - C ....... kapacitat kondenzatora. Amplituda ( maksimalna vrednost snage ) je QC = UI VAR i naziva se reaktivnom kapacitivnom snagom, a jedinica je voltamper reaktivni. Reaktivna snaga na kondenzatoru , koja predstavlja brzinu kojom se električna energija izvora pretvara u energiju kondenzatora,se moţe dati i u sledećom izrazu QC = UI = IXCI = I2XC VAR


63 6.5. SNAGA U KOLU NAIZMENIČNE STRUJE NA IMPEDANSI

6.5.1. Redna veza RLC ( za XL  XC ) 1. Analitička analiza Ako pretpostavimo da se impedansa sastoji od redne veze RLC elemenata kod koje pravladava induktivno opterećenje ( XL  XC ), tada sledi fazorski dijagram napona i struje prema sl.31. Isti dijagram nastaje kod redne veze RL. Kako napon fazno prednjači u odnosu na struju za ugao , izrazi za trenutne vrednosti napona i struje, uz pretpostavku da je struja u faznoj osi , iznose: U UX i = Im sin t ; u = Um sin ( t +  ). Da bi se kod redne veze RLC mogla snaga analitički predstaviti, iz  trigonometrije treba poznavati sledeće relacije: I f.o. sin (    ) = sin cos  cos sin ; sin2  = ( 1  cos 2 ) / 2 ; 2 sin cos = sin 2 ; sin sin = cos(   )  cos( +  ) / 2 ; Sl.31. cos cos =  cos(   ) + cos( +  ) / 2. Izraz za trenutnu vrednost snage, za ovaj slučaj, iznosi: Pz = ui = UmIm sin t sin ( t +  ) = 2UI sin t sin ( t +  ) = 2UI sin t ( sin t cos  + cos t sin  )  Pz = 2UI ( cos  sin2 t + sin  sin t cos t ) = 2UI  cos  ( 1  cos 2t ) / 2 + sin  (sin 2t ) / 2   Pz = UI ( cos   cos  cos 2t + sin  sin 2t )  Pz = UI cos    cos ( 2t   ) + cos ( 2t +  ) / 2 +  cos ( 2t   )  cos ( 2t +  ) / 2   Pz = UI cos   cos ( 2t   ) / 2  cos ( 2t +  ) / 2 + cos ( 2t   ) / 2  cos ( 2t +  ) / 2   Pz = UI  cos   cos ( 2t +  ). Dakle, konačni izraz za trenutnu vrednost snage kod redne veze RLC, za slučaj kada je X L  XC je:

pz = UI cos   UI cos ( 2t +  ). 2. Grafička analiza ( vremenski dijagram ) Grafički ( vremenski ) dijagram za trenutnu vrednost snage dat je prema sl.32

Sl.32. . Zbog faznog pomaka  izmeĎu napona i struje, poluperiodi trenutnih vrednosti energija ( snaga ) nisu simetrični u odnosu na faznu osu, pa je srednja vrednost snage sada različita od nule ( veća ). Matematički se dobije da je srednja vrednost snage jednaka T

P



1 UI pdt  T0 T

T

 cos   cos2t  dt  IU cos  0


64 Ova srednja vrednost snage predstavlja snagu koja omogućava da se električna energija izvora nepovratno pretvara u toplotnu energiju na prijemniku. Ova se snaga naziva aktivnom i ona je jednaka: P  UI cos   UI

R U  IR  I 2 R Z Z

W

Dakle, aktivna snaga je jednaka proizvodu aktivnog otpornika R i struje na kvadrat ( Dţulov zakon ). Identično tome, reaktivna snaga je jednaka proizvodu reaktivnog otpornika X i struje na kvadrat, tj: Q = I2X = I2 ( XL  XC ) = QL  QC = IIX = UXI = UI sin   VAR . Ukupna reaktivna snaga jednaka je razlici reaktivne snage na kalemu ( Q L ) reaktivne snage na kondenzatoru ( QC) Proizvod napona i struje ( amplituda snage ) predstavlja ukupnu snagu kola koja se naziva prividnom snagom. Ona je jednaka

S = UI = IZI = I2Z VA. a njena jedinica se naziva voltamper. Aktivnu i reaktivnu snagu moţemo izraziti preko prividne, i one iznose: P = UI cos  = S cos , Q = UI sin  = S sin .

3. Fazorska analiza Ako trougao otpora kod redne veze pomnoţimo sa I 2, odnosno napona sa I, nastaje trougao snaga, koji je sličan trouglu otpora ( napona ). Na taj način nastaje trougao snaga koji je prikazan na sl.33. Prividna snaga, koristeći Pitagorinu teoremu, jednaka je 2 S  P 2  Q L  Q C   P 2  Q 2 , gde je ukupna reaktivna snaga jednaka razlici reaktivnih snaga na kalemu i na kondenzatoru, tj Q = QL  QC. Fazni ugao  se moţe odrediti preko kosinusa ili tangesa P Q P Q cos    arctg ; tg     arccos S P S P

QL QC S

Q

 P Sl.33.

4. Kompleksna analiza Za trougao snaga, kod redne veze RLC, pri čemu je XL  XC ( sl.33 ) prividna snaga u kompleksnom obliku jednaka je

S = P + j ( QL  QC ) = P + j Q Snagu u kompleksnom broju moţemo dobiti proizvodom napona i struje u kompleksnom broju, s tim što jedan od ova dva broja mora biti konjugovano kompleksan ( najčešće se za to uzima struja ).

S = UI Razlog zbog kojeg se jedna veličina uzima konjugovano kompleksnom je taj što se na taj način dobije isti ugao  ( i brojčano i predznakom ) kao iz trougla napona ili trougla otpora. Konjugovani kompleksni broj je isti u svemu sa kompleksnim brojem, sa jedinom razlikom što se menja predznak ispred imaginarnog dela kompleksnog broja ( za kompleksni broj, Z = a + j b, konjugovani kompleksni broj je Z = ( a  j b ).


65

6.5.2. Redna veza RLC ( XL  XC ) 1. Analitička analiza

I 

UR

f.o. UX

U Sl.34.

Ako pretpostavimo da je početni ugao za struju jednak nuli ( I je u faznoj osi ), tada fazorski dijagram napona i struje ima izgled kao što je prikazano na sl.34. Dijagram, samim tim i ceo postupak, je isti i za rednu vezu RC. Izrazi za trenutne vrednosti napona u i struje i su, prema sl.34: u = Um sin ( t   ) , i = Im sin t.

Trenutna vrednost snage kod redne veze RC kola ( odnosno redne veze RLC kola sa prevladavanjem klapacitivnog opterećenja ) iznosi pz = Umsin ( t   ) Imsin t = 2UI ( sin t cos   cos t sin  ) sin t pz = 2UI ( sin2 t cos   sin t cos t sin  ) = 2UI  ( 1  cos 2t ) / 2 cos    ( sin 2t ) / 2 sin    pz = UI ( cos   cos 2t cos   sin 2t sin  )  pz = UI  cos    cos ( 2t   ) + cos ( 2t +  ) / 2   cos ( 2t   )  cos ( 2t +  ) / 2   Konačni izraz za trenutnu vrednost snage, za ovaj slučaj je:

pz = UI  cos   cos ( 2t   )  = UI cos   UI cos ( 2t   ). 2. Grafička analiza ( vremenski dijagram ) Grafički dijagram snage za rednu vezu RLC, pri XL  XC , dat je na sl.35.

Sl.35. Srednja vrednost snage je ista kao i kod predhodnog slučaja ( XL  XC ), tj.

P = UI cos  = I2R

W

Ova srednja vrednost snage omogučuje proces nepovratnog pretvaranja električne energije izvora u toplotnu energiju potrošača Reaktivna snaga iznosi

Q = UI sin = I2X = I2 ( XL  XC ) = QL  QC  VAR 

Pri ovoj snazi električna energija se pretvara u energije kalema i energiju kondenzatora , koje se ponovo vraćaju u električnu energiju ( energije se reaktivira ). Ukupna reaktivna snaga ( samim tim i energija ) jednaka


66 je razlici reaktivnih snaga na kalemu i na kondenzatoru. Ove energije u električnom kolu u istim vremenskim intervalima oscilatorno se smenjuju, odnosno pretvaraju, povratno, jedna u drugu. Zbog toga se ona i naziva reaktivnom energijom. Na kraju ostaje prividna snaga, koja je ista kao i za predhodni slučaj, i ona iznosi

S = UI = I2Z  VA  3. Fazorska analiza Mnoţeći trougao napona sa strujom I, ili trougao otpora sa I 2, nastaje trougao snaga koji je prikazan na sl.36. QL

Q QC

 S

I

P Q

QL

Dijagram je sličan kao i kod XL  XC. Ralika je samo u tome što je kod XC  XL i QC  QL, pa je trougao pomeren ka dole ( ugao   0 ). Koristeći pravougli trougao sledi: 2 S  P 2  Q L  Q C   P 2  Q 2 , odnosno

  arccos

P Q  arctg S P

Sl.36.

4. Kompleksna analiza Ako kompleksni broj prilagodimo fazorskom dijagramu prema sl.36, sledi

S = P + j ( QL  QC ) = P  j Q. Kako je QC  QL ukupna reaktivna snaga Q je negativna ( kompleksno predstavljena ), tj. prevladava kapacitivno opterećenje. Isti trougao snaga će se dobiti kada se kompleksno pomnoţe napon U i konjugovano kompleksna struja I

S = UI

6.6. FAKTOR SNAGE Odnos izmeĎu aktivne i prividne snage naziva se faktorom snage. On se dobije iz trougla snaga ( sl.33 i 36 ), i njegova vrednost jednaka je cos  

P S

Faktor snage se kreće od nule ( savršeno reaktivno opterećenje ) pa sve do jedinice ( savršeno aktivno opterećenje ). Faktor snage u energetici zauzima veoma bitan značaj, jer se iz njega moţe videti racionalnost korišćenja električnih mašina i prenosnih vodova. Od električnih mašina se traţi što veći faktor snage, jer se u tom slučaju za istu snagu iz mreţe uzima manja vrednost struje, čime su manji gubici kako u vodovima tako i u generatoru ( P = I2R ). To znači da faktor snage ujedno govori koliki je stepen iskorišćenosti generatora. Veliki sistemi koji su opterećeni velikim brojem motora imaju mali faktor snage. To je zbog toga što se kod motora javlja znatna induktivnost ( magnetno polje  magnetna energija ). Kod ovakvih slučajeva redovito se veštački popravlja faktor snage.


67

Popravak faktora snage Kako je aktivna snaga P = UIcos  moţe se konstatovati da ona pored struje I i napona U zavisi od faktora snage cos . Najveća aktivna snaga se dobija kada je cos  = 1 , tj. kada su napon i struja u fazi ( savršeno R ). P Iz P = UIcos   I U cos  Navedeni izraz govori da je struja obrnuto srazmerna sa faktorom snage. Kako nam je cilj da struja u prenosnim vodovima bude što manja ( zbog gubitaka ) od prijemnika se zahteva što veći faktor snage. Zbog toga se kod motora, kod kojih je faktor snage mali ( velika induktivnost ) povećava faktor snage. To se postiţe tako što se motoru doda jedan kondenzator ( sl.37 ). R

IZ



M

o

IZ

C

IC

I



L ; XL



IC



C ; XC 

I

+

U

o

o

+

U

o

Sl.37. Ako na napon mreţe U priključimo električni motor, zbog njegove impedanse Z = R + j XL = R + j L, struja koja prolazi kroz motor IZ će fazno kasniti za naponom za ugao . Zbog same konstrukcije motora ovaj fazni pomak je nemoguće izbeći. Sve što se moţe postići kod motora je da njegova induktivnost bude što manja u odnosu na termogenost, čime se povećava faktor snage a samim tim i aktivna snaga. Ovo nam daje samo malu mogućnost podešavanja. Pored faznog pomaka izmeĎu struje motora IZ i napona U veoma je bitan i fazni pomak izmeĎu struje mreţe I i napona U. Zbog toga se paralelno motoru veţe jedan kondenzator, čija je kapacitivnost predhodno odreĎena. ( Kod redne veze C smanjuje se impedansa, što bi povećalo struju prijemnika, tj. mreţe ). Fazorski dijagram struja i napona za kolo prema sl.37 dat je na sl.38. Ukupna struja mreţe jednaka je I = IZ + IC.

IC I

U



f.o.

Struja kondenzatora iznosi: I C 

IC Iz

a motora: Sl.38.

IZ 

I U  C  U  C  C XC U

U Z

Ako faktor snage treba povećati na 1 ( napon U i struja I su u fazi ), pa je: IC = Iz sin   CU = ( U/Z )( L/Z )  CU = LU/Z2 

C

L L  Z 2 R 2   2 L2

Navedena relacija daje vrednost kapaciteta pri kojem su napon i struja mreţe u fazi. Samim tim i vrednost ukupne struje mreţe sada se smanjila na iznos I. Struja motora je ostala nepromenjena. Dakle, paralelnim vezivanjem kondenzatora na motor, smanjuje se ukupna struja mreţe, a ujedno povećava faktor snage. Što se motora tiče uslovi njegovoga rada su ostali isti. Ovaj način popravka faktora snage se isključivo i koristi, jer smanjenjem ukupne struje u vodovima se smanjuju Dţulovi gubici, a motor normalno radi, kao i bez kondenzatora. Rasterećenjem mreţe rasterećen je i generator. U praksi se faktor snage popravlja do 0,9, kao što je prikazano na sl.39, jer za veće vrednosti potrebni su jači kapaciteti kondenzatora a to znatno poskupljuje njihovu izradu. Sa stanovišta efikasnosti faktor snage iznad 0,8 smatra se zadovoljavajućim.


68

Iz fazorskog dijagrama, struja kondenzatora je jednaka: IC = IZsin 1  Isin 2  CU = Izsin1  Isin2 

IC U

1  2

f.o.

C

Isin2 I IC Izsin1

Iz

Sl.39.

I z sin 1  I sin  2 U

gde je: - IZ... struja prijemnika ( motora) - I......struja mreţe ( ukupna struja ) - 1....fazni pomak izmeĎu U i I na početku ( U i I Z ) - 2....fazni pomak izmaĎu napona U i I ( struje mreţe ) nakon obavljenog popravka faktora snage - C.... kapacitet kondenzatora koji ostvaruje faktor snage cos 2

6.7. PODEŠAVANJE PRIJEMNIKA ZA MAKSIMALNU AKTIVNU SNAGU GENERATORA Kod jednosmernih generatora maksimalna snaga koju generator daje nastaje kada se otpori prijemnika i generatora izjednače ( usaglase ). Ovo se moţe dokazati praktičnim ogledom ili matematički (viša matematika). I ZG Z

+ 

E

Dakle, kod jednosmernog generatora pri R = Rg generator daje maksimalnu korisnu snagu. Slično tome, kod naizmeničnih generatora, sl.40, maksimalna snaga koju generator daje nastaje kada su impedanse prijemnika i generatora izjednačene ( po modulu ), tj. kada je ZG = Z. Pored ovoga uslova potrebno je da su fazni pomaci istog iznosa ali suprotnog predznaka,tj.  =  G . Ova dva uslova ( 1. Z = ZG i 2.  =  G ) mogu se spojiti u jedan, a to je:

Sl.40.

Z = ZG.

ZAKLJUČAK! Kada su impedanse prijemnika i generatora međusobno konjugovano kompleksne tada generator daje maksimalnu aktivnu snagu. Kako su impedanse konjugovano kompleksne ukupna impedansa kola jednaka je zbiru aktivnih otpora Z = R + R = 2R ( Z = Z + ZG = R + j X + RG  jX = 2R ). Ukupna impedansa je najmanja, što struju povećeva na najveću vrednost ( naponska rezonansa ), a to dovodi do najveće aktivne snage kola, koja iznosi:

Pmax  I 2 R 

E2

R  R 2

R

E2 4R


69

ZADACI: 6.1. Kalem induktivnosti L = 0,2 H i otpor otpornosti R = 6  priključen je na napon U = 200 V i učestanosti f = 50 Hz. Odrediti aktivnu reaktivnu i prividnu snagu kalema. Nacrtati trougao snaga. 6.2. Za rednu vezu RL odrediti aktivnu reaktivnu i prividnu snagu , ako je u = 282 sin ( 1000t + 60 ), i = Im sin 1000t i R = 40 3 . Kolika je induktivnost kalema ? 6.3. Impedansa Z = 5 + j 12 priključena je na napon u = 130 2 sin 314t. Kolika je aktivna snaga P i faktor snage cos  impedanse ? 6.4. Redna veza RC priključena je na napon U =  60 + j 80 V. Aktivna snaga je P = 400 W pri cos  = 0,4. Kolika je struja kola I i otpornost R ? 6.5. Redna veza R = 30  i XC = 40  priključena je na napon u = 282 sin 200t. Naći I,C,P,Q,S i cos . 6.6. Dva otpornika i dva kondenzatora vezana su redno. Odrediti P;Q i S ako je R 1 = 10 , R2 = 5 , C1 = 10 F, C2 = 150 F, U = 250 V i učestanost f = 16 000 / 3 Hz. 6.7. Kod redne veze LC odrediti I;P;Q;S i cos  ako je L = 20 mH, C = 30 F, U = 520 V i f = 500 Hz. 6.8. Redna veza LC , L = 0,2 H i C = 250 F priključena je na napon u = 400 2 sin 200t. Odrediti P;Q i S. 6.9. Redna veza RLC priključena je na napon U = 200 V kruţne učestanosti  = 1 000 rad/s. Odrediti aktivnu snagu P i faktor snage cos , ako je R = 10  , L = 10 mH i C = 50 F. Nacrtati trougao snaga. 6.10. Ako je na jednom prijemniku napon u = 220 2 sin t i struja i = 20 cos t, odrediti aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu kola. Nacrtati odgovarajući trougao snaga. 6.11. Za jedno kolo poznati su izrazi za struju i napon: i = 10 2 sin ( t + /3 ) i u = 50 2 sin t. Odrediti sve snage u kolu i nacrtati njihov fazorski ( vektorski ) i vremenski ( grafički ) dijagram. 6.12. Izračunati snagu koju uzima monofazni motor iz mreţe ako su podaci za motor: U = 220 V, I = 10 A, cos  = 0,9 i stepen korisnosti motora  = 0,8. 6.13. Koliku struju uzima iz mreţe monofazni motor od snage 368 W ako je priključen na napon 220 V pri cos  = 0,75 i  = 0,87 ? 6.14. Ako kroz prijemnik koji je priključen na napon U = 100 + j 50 V protiče struja I = 10 + j 20 A izračunati aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu. Koliki su i koji su parametri prijemnika ( R i X ) ? 6.15. Struja u nekom kolu je I = 80  j 60 A a aktivna snaga je P = 5 KW pri cos  = 0,8. Odrediti koliki je napon na tom kolu ? 6.16. Industrijsko postrojenje mesečno troši aktivnu energiju od W J = 86 000 KWh i reaktivnu WL = 84 500 VARh. Kolikom reaktivnom energijom, i na koji način, treba kompenzirati postrojenje da bi se postigao faktor snage od 0,9 ako je postrojenje u pogonu 280 sati mesečno ? 6.17. Na mreţu su paralelno priključena dva jednofazna motora čija zajednička snaga iznosi 1,8 KW, a zajednički faktor snage 0,8. Jedan motor ima snagu P 1 = 980 W i faktor snage 0,74. Koliki je faktor snage drugog motora ? 6.18. Niz RLC priključen je na napon U = 180 V, f = 500 Hz. U nizu je struja I = 50 mA, a na kondenzatoru pad napona UC = 120 V. Uz ove uslove prividna snaga S je dva puta veća od reaktivne snage Q. Sračunati R,L i C u ovom nizu.


70 6.19. Sijalicu snage 25 W i napona 24 V treba priključiti na 250 V, f = 50 Hz preko kondenzatora. Sračunati kapacitet kondenzatora i njegov napon. 6.20. Kroz prijemnik, prividne snage S = 150 VA i faktor snage cos  = 0,6 , protiče struja jačine I = 2,5 A. Kolika je admitansa datog prijemnika ? 6.21. Motor čija je impedansa Z = ( 6 + j 8 )  priključen je na napon U = ( 100 + j 100 ) V, frekvencije f = 50 Hz. Odrediti: a) faktor snage motora, b) kapacitet kondenzatora C koji treba paralelno vezati sa motorom da bi faktor snage bio 1 ( cos 1 = 1 ). 6.22. Na napon u = 220 2 sin t V priključen je termogeni otpornik R = 10 . Kolika je srednja snaga otpornika i nacrtati grafički ( vremenski ) dijagram srednje snage p(t). O kojoj se snazi radi ? 6.23. Napona u = 141 sin 314t V vlada na potrošaču kroz koji protiče struja i = 2,28 sin ( 314t  /4 ) A. Kolika je srednja snaga P toga potrošača ? 6.24. Neko kolo sastoji se od redne veze otpora R = 10  i induktivnog otpora XL = 30 . Kolom protiče struja I = 10 A. Koliki je faktor snage cos , aktivna snaga P, reaktivna snaga Q i priključeni napon U ? 6.25. Za koji se iznos QL treba smanjiti induktivna reaktivna snaga da bi potrošač sa S = 100 KVA uz cos  = 0,75 ( ind. ) kod iste struje radio sa cos  = 0,9 ? Kolike su aktivne snage P i P za oba slučaja ? 6.26. Neki je motor opterećen konstantnim mehaničkim teretom snage P = 22 KW. Motor ima konstantni napon na stezaljkama U = 220 V, a njegov faktor snage iznosi cos  = 0,64 ( ind. ). Na izvor je vezan preko voda otpor RV = 0,1 . Odrediti gubitak snage na vodu PV . Koliki bi bio taj gubitak PV kada bi cos  porastao na cos  = 0,8 ( ind. ), uz pretpostavku da je napon na stezaljkama ostao isti ? 6.27. Dve prigušnice vezane su redno i kroz njih protiče struja I = 1 A. Pad napona na prvoj prigušnici je U1 = 3,7 V, a na drugoj U2 = 15 V. Reaktivne snage tih prigušnica su Q1 = 3 VAR i Q2 = 9 VAR. Treba odrediti ukupnu aktivnu snagu P ovoga kola , prividne snage prigušnica S 1 i S2, ukupnu prividnu snagu S, cos  mreţe i induktivne otpore prigušnice X1 i X2 kao i ukupni napon izvora U . 6.28. Neku mreţu napaja generator snage P1 = 3 MW i cos 1 = 0,7 ( ind ) Ako snaga mreţe poraste na Pm = 5 MW, treba odrediti koliku bi snagu P 2 i cos 2 trebao imati paralelno vezani generator da bi ukupni cos  = 0,8 ( ind ) ? 6.29. R3

C

R2

L

Tri potrošača paralelno su priključena na naizmenični napon U = 230 V, prema slici 6.29. Prvi potrošač uzima iz mreţe aktivnu snagu P1 = 4,6 KW uz faktor snage cos 1 = 1, drugi potrošač uzima prividnu snagu S2 = 11,5 KVA radeći uz faktor snage cos 2 = 0,62 ( ind ), a treći potrošač uzima aktivnu snagu P3 = 5 ,52 KW uz faktor snage cos 3 = 0,8 ( kap ). Odrediti: a) prividne snage u kompleksnom izrazu S1, S2 i S3. koje potrošači uzimaju iz mreţe, b) ukupnu prividnu, aktivnu i raektivnu snagu kola.

I3

I2

R1

I1

I + o

U

o

Sl.6.29. 6.30. Impedanse Z1 = ( 10 + j 20 ) i Z2 = ( 10  j 20 ) vezane su paralelno na napon U = 100e j 45 V. Odrediti aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu sistema. 6.31. Na izvor naizmeničnog napona U = 200 V, f = 50 Hz, priključen je kalem induktivnosti L = 0,1 H. Odrediti maksimalnu energiju koja u jednom trenutku moţe biti sadrţana u magnetnom polju kalema.


71

6.32. Kalem termogene otpornosti RL = 40  i induktivnosti L = 30 mH vezan je paralelno sa kondenzatorom kapaciteta C = 25 F. Ako je veza priključena na naizmenični napon U = ( 100 + j 100 ) V, kruţne učestanosti  = 1 000 rad/s, kolika je aktivna snaga kola ? 6.33. R

XL

U mreţi prostoperiodične struje prikazanoj na slici 6.33, poznato je IS = 2 mA, R = 200  i XL = 100 . Napon na kalemu je u fazi sa strujom strujnog generatora. Odrediti reaktansu kondenzatora XC. Kolika je prividna snaga strujnog generatora SSg (u kompleksnom obliku ) ?

UL XC

IS Sl.6.33. 6.34. R1

2 o

R2

L

U13

1o

o 3

Sl.6.34.

U kolu naiymenične struje, prema sl.6.34, poznato je U13 = 145 V, U12 = 100 V, U23 = 100 V, f = 50 Hz. Aktivna snaga prijemnika otpornosti R2 je PR2 = 5 W. Odrediti: a) efektivnu vrednost napona na kalemu U L; b) efektivnu vrednost struje I; c) induktivnost L i otpornost R2

6.35. 4

o

3

U

6

Za električno kolo, prema sl.6.35, u kojem su odnosu aktivna i reaktivna snaga pre i posle zatvaranja prekidača P ?

P o

Sl.6.35. 6.36. Kojom energijom raspolaţe kondenzator kapaciteta C = 80 F ako je on priključen na napon u = 380 2 sin 314 t V ? 6.37. Redna veze RLC priključena je na napon U = 100 V. Otpori iznose R = 10 , XL = 4 , XC = 8 . Kako će se promeniti aktivna i reaktivna snaga kola ako doĎe do proboja kondenzatora ( XC = 0 ) ? 6.38. Kalem otpornosti RL = 8  i XL = 40  priključen je na naizmenični napon U = 220 V, f = 50 Hz. a) Odrediti koliki kapacitet treba paralelno vezati kalemu, da bi faktor snage kola bio maksimalan (cos  = 1 )? b) Kolika je promena ukupne struje ( struja mreţe ) nakon uključenja kondenzatora ? 6.39. Za kolo naizmenične struje koje se sastoji od paralelne veze R i X L odrediti odnos R / XL pri kojem je odnos izmeĎu aktivne i reaktivne snage P / Q = 3 / 4 .


72

6.40. R

L

C

Kolo na sl.6.40. priključeno je na naizmenični napon U = 380 V, f = 50 Hz. Pri otvorenom prekidaču I = 24 A a cos 1 = 3 / 2. Odrediti kapacitet kondenzatora C ako je posle zatvaranja prekidača faktor snage postao maksimalan ( cos 2 = 1 ).

P U

o

o

Sl.6.40. 6.41.    W + 

Realan kondenzator, prema sl.6.41, parametara R = 10  i C = 318 F, priključen je na napon u = 10 sin ( 628t  60 ) V. Odrediti vrednost L kalema kojeg treba vezati na red kondenzatoru, da bi vatmetar pokazao najveću snagu. Kolika je ta snaga?

R

U

C

Sl.6.41. 6.42.  W

 +

C1

C2

Kako se manja pokazivanje instrumenata na sl.6.42. ( povećava ili smanjuke )? pri: a) kratkom spoju otpora R, b) proboju kondenzatora C2

A

U R Sl.6.42.

6.43. Prijemnik raspolaţe sa kompleksnom snagom S = ( 10  j 20 ) KVA uz efektivnu vrednost napona U = 100 V. Koji reaktivni element treba vezati paralelno prijemniku da bi se dobio maksimalni faktor snage i kolika je vrednost toga elementa ? 6.44. o +

R1

R2

U

Naći pokazivanje vatmetra priključenog prema sl.6.44, ako je napon na ulazu U = 100 V, a parametri kola su: R1 = 10 , R2 = 20 , XL = 40 , i XC = 20 .

  W  

XL

o XC Sl.6.44. 6.45. 

R1



R2

o

+



Idealni voltmetri pokazuju, prema slici 6.45, U = 103 V, i U1 = U2 = 10 V. Ako je R1 = 2 , kolika je reaktivna snaga kola ?

V2

V1 

XL

V



U

o

Sl.6.45.


73 6.46. Potrošač otpornosti R i kondenzator kapacitivnosti C vezani su na red i priključeni na generator naizmeničnog napona koji se menja po zakonu u = 400 sin 5 000 t V. Ako je trenutna vrednost struje u kolu i = 0,5 sin ( 5 000 t + 30 ) A, odrediti: a) kapacitivnost C kondenzatora i otpornost R, b) aktivnu i reaktivnu snagu potrošača. 6.47. Za kolo naizmenične struje koje se sastoji iz generatora naizmeničnog napona čija je trenutne vrednost u = 212 cos ( t + /6 ) V i impedanse Z = ( 3 + j 3 3 )  odrediti: a) trenutnu vrednost struje u kolu, b) aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu kola. 6.48. Na generator naizmenične struje ems E i unutrašnje impedansa Zg = Rg + j Xg redno je vezan potrošač impedanse Z = R + j X . a ) kakva veza mora postojati izmeĎu aktivnih i reaktivnih otpornosti da bi generator dao maksimalnu snagu potrošaču ? b) koliki je stepen iskorišćenja pod a) 6.49. Dve impedanse Z1 = ( 3 + j 4 )  i Z2 = 10 vezane su paralelno i priključene na naizmenični napon. Ako je ukupna aktivna snaga kola P = 1 100 W, odrediti pojedinačne aktivne snage po prijemniku i ukupnu struju kola. 6.50. Kod redne veze RL poznati su sledeći podaci: I = 24 A, U = 120 V, P = 1 730 W i f = 50 Hz. Kolika je otpornost R i induktivnost L ? 6.51. Kolo naizmenične struje sastoji se iz dva redno vezana elementa. Snaga kola iznosi 940 W, a faktor snage cos  = 0,707. Na krajevima kola vlada napon koji se menja po zakonu u = 99 sin ( 6 000t + 30 ). Poznato je takoĎe da struja fazno prednjači naponu za 45. Koji su to parametri elementa i koliko oni iznose ? 6.52. XL

R C

o

Na naizmenični napon efektivne vrednosti U i učestanosti f, sl.6.52, priključen je prijemnik preko napojnog voda duţine l. Provodnici voda su od bakra, a površina preseka im je S. Reaktivna otpornost voda je zanemarljiva. Aktivna otpornost prijemnika je R, a reaktivna je X. Za krajeve prijemnika vezan je, preko prekidača P, kondenzator kapaciteta C.

P U;f

o

Sl.6.52. a) Odrediti faktor snage u napojnom vodu pre i posle zatvaranja prekidača P b) Za koliko se promeni snaga gubitaka u napojnom vodu ( toplotni gubici ) kada se zatvori prekidač P ? Brojni podaci: l = 100 m; S = 35 mm2; Cu = 0,0175 mm2/m; R = 1,7 ; X = 1,4 ; U = 230 V; f = 50 Hz; C = 300 F. 6.53. Generator naizmenične struje efektivne vrednosti napona U = 120 V i učestanosti f = 50 Hz, napaja jedan ureĎaj za zavarivanje čija je impedansa ZZ = ( 4 + j 3 ) , električnu peć snage Pp = 15 KW i jedan motor snage PM = 60 KW čiji je faktor snage cos M = 0,8. Sva tri opterećenja vezana su paralelno na generator. Odrediti kapacitivnost kondenzatora koji je paralelno vezan sa datim opterećenjima pod uslovom da faktor snage ukupnog opterećenja generatora bude maksimalan ( jednak jedinici ). 6.54. U rednoj vezi RLC ukupni napon ima efektivnu vrednost U = 120 V učestanosti f = 50 Hz. Struja od I = 2,4 A u kolu razvija aktivnu snagu od P = 200 W. Ako je X L = 2XC odrediti R, L i C u kolu. 6.55. Kalem induktivnosti L = 3,59 mH i termogeni otpornik otpornosti R = 12  vezani su redno sa kondenzatorom kapacitivnosti C i priključeni na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 12 V, frekvencije f = 600 Hz. Odrediti kapacitet kondenzatora tako da aktivna snaga u kolu bude za 30% veća od reaktivne snage. Kolika je impedansa i aktivna snaga ? Termogeni otpor kalema je zanemarljiv.


74 6.56. Realni kalem i kondenzator vezani su redno i priključeni na izvor naizmenične struje. Jačina struje u kolu menja se po zakonu i = 2 sin 100 t A, a napon u = 40 sin ( 100 t + /4 ) V. a) Koliki je aktivni otpor kalema ?, b) Kolika količina toplote se oslobodi na kalemu za vreme od 5 minuta ? 6.57. Sijalica snage P = 20 W , koja moţe da izdrţi napon efektivne vrednosti od U S = 120 V, priključiti na napon efektivne vrednosti U = 220 V, frekvencije f = 50 Hz. Koliki je kapacitet kondenzatora C kojeg veţemo redno sa sijalicom da bi ona maksimalno svetlila ? Kolika je induktivnost kalema kojim menjamo kondenzator. 6.58. o U = 220 V; f = 50 Hz o

Na mreţu naizmenične struje napona U = 220 V frekvencije f = 50 Hz, preko realne prigušnice aktivnog otpora RL = 2  i induktivnosti L = 0,1 H priključena je grupa sijalica jednog stana, kao na slici 6.58. a) Koliki je napon na sijalicama u stanu ako one troše ukupnu struju I = 4 A ? b) Koliku će aktivnu snagu trošiti prigušnica ako je jedna od sijalica u kratkom spoju ? c) Na koji način će sijalice trošiti maksimalnu snagu i kolika je ta snaga ? Odgovor detaljno obrazloţiti.

 

RL; L

   

Sl.6.58. 6.59. U rednom RLC kolu poznato je: impedansa kola Z = ( 3 + j

3 ) , napon na otporniku R UR = 6 V,

XL = 2 3  i početna faza za napon U  =  /3 rad. Odrediti aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu . 6.60. R3 R1

o

X1

X3

U kolu, prema sl.16.50, poznato je: R1 = 2 , X1 = 26 , X2 = 10 , R3 = 10 , X3 = 10 . Ukupna aktivna snaga kola je P = 1,2 KW. Odrediti sve struje u kolu

I3 I2

I1 +

X2

U

o

Sl.6.60. 6.61.

R2 I2

o A

I

C o B

I1

Za kolo prostoperiodične struje, prikazanog na sl.6.61, poznato je: R = 20 k, I = 10 mA, I1 = 6 mA i I2 = 5 mA. Kolika je aktivna snaga P2 na prijemniku otpornosti R2 ?

R Sl.6.61. 6.62. Za kolo prema sl.6.61. ( predhodni zadatak ) poznato je: R = 20 K, I1 = 6 mA, I2 = 5 mA. Ako je aktivna snaga prijemnika otpornosti R2, P2 = 390 mW, kolika je ukupna struja I u kolu ? 6.63.

I2 Z

 U;f

I1 Z1

Sl.6.63.

  

Redna veza sijalica istih snaga PS = 100 W pri istom naponu US = 100 V priključena je na napon 100 V, frekvencije f = 50 Hz, prema slici 6.63. Broj sijalica koje su redno povezane ne utiču na struju I2. a) Kakvi elementi treba da budu u impedansama Z i Z1 a da struja koja kroz njih teče ne zavisi od broja sijalica ? b) Izračunati sve elemente impedansi Z i Z1, a da one rade u normalnom reţimu rada ( US = 100 V i PS = 100 W ).


75

6.64. i2 A 

R1;X1

i1 + o

L

B C i3

U1

+

Impedansa Z1 nepoznatih parametara vezana je u kolo prema sl.6.64. Ako je poznato: U1 = 144 V, I2 = 1 A, I3 = 3 A i aktivna snaga celoga kola P = 160 W, kolika je aktivna i reaktivna otpornost impedanse Z1 ?

D

U

o

6.64.

6.65. Odrediti efektivnu vrednost napona U, na koji je priključeno kolo prema slici 6.65. Poznato je: Z1 = ( 20 + j 140 ) , P2 = 600 W, P3 = 1 000 W, cos 2 = cos 3 = 0,8 ( 2 = 3  0 ) i ukupna aktivna snaga kola P = 2 000 W.

Z2

Z1

Z3 o

U

o

Sl.6.65. 6.66. Za kolo prema slici 6.65. ( predhodni zadatak ) dato je: Z1 = ( 600  j 800 ) , Z2 = ( 300  j 400 ) , Z3 = ( 200 + j 200 )  i aktivna snaga trećeg prijemnika P3 = 2 W. Odrediti: a) efektivnu vrednost priključenog napona, b) faktor snage celog kola. 6.67. Prijemnik nepoznate impedanse Z = ( R + j X )  priključen je na generator naizmenične ems E i unutrašnje impedanse ( otpornosti ) Zg = ( Rg + j Xg ) . Odrediti: a) impedansu prijemnika, odnosno njegovu aktivnu i reaktivnu otpornost, pri kojoj je aktivna snaga na prijemniku maksimalna, b) aktivnu snagu prijemnika i njegov faktor snage. Brojni podaci: E = 20 V; Zg = ( 2 + j 4 ) . 6.68. RL prijemnik čiji faktor snage iznosi cos  = 0,866 priključen je na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 240 V, frekvencije f = 40 Hz. Efektivna vrednost struje u prijemniku je IL = 5 A. Paralelno prijemniku vezati kondenzator kapaciteta C čija vrednost ostvaruje maksimalni faktor snage ( cos 1 = 1 ). Odrediti vrednost kapaciteta C i ukupnu struju I ( struja u dovodnom vodu ) nakon vezivanja kondenzatora. 6.69. Prijemnik induktivnog karaktera ( RL ) priključen je na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 200 V,frekvencije f = 50 Hz. Ako je efektivna vrednost struje prijemnika I = 20 A i aktivna snaga P = 2 000 W, odrediti: a) faktor snage prijemnika cos , b) kapacitet kondenzatora C koji se paralelno veţe na prijemnik sa ciljem da se ostvari novi faktor snage ( poboljšan ) od cos  = 0,9 ( ind ). 6.70. Motor za naizmeničnu struju ukupne snage P = 2 KW i faktora snage cos  = 0,8 priključen je na napon, predviĎen za rad motora, od U = 500 V, frekvencije f = 50 Hz. Odrediti kapacitivnost kondenzatora koji treba priključiti paralelno motoru tako da ukupan faktor snage sistema bude maksimalan ( cos  = 1 ). 6.71. Odrediti elemente prijemnika koji se sastoji iz paralelne veze otpornika R i reaktanse X, da bi snaga na njemu bila maksimalna. Prijemnik je priključen na generator naizmenične ems E = 2 V unutrašnje impedanse Zg = ( 10  j 20 ) . Kolika je maksimalna snaga prijemnika ( aktivna ) ? 6.72. U otporniku otpornosti R = 2 K uspostavljena je prostoperiodična struja efektivne vrednosti I = 5 mA, učestanosti f = 400 Hz i početne faze  = /6 radijana. Odredi trenutnu snagu koju prima otpornik ( analitički izraz ) i prikazati je grafički uz odgovarajuće objašnjenje.


76

6.73. U kalemu induktivnosti L = 20 mH, zanematljive termogene otpornosti, uspostavljena je prostoperiodična struja efektivne vrednosti I = 10 mA, kruţne učestanosti  = 104 s1 i početne faze  = 60. Odrediti: a) trenutnu snagu koju prima kalem i predstaviti je grafički uz potreban komentar, b) energiju magnetnog polja kalema. 6.74. Na pločama kondenzatora kapaciteta C = 100 nF priključen je prostoperiodični napon efektivne vrednosti U = 1,2 V, kruţne učestanosti  = 105 s1 i početne faze  = /4 rad. Odrediti: a) trenutnu snagu koju prima kondenzator i predstaviti je grafički uz potrebno objašnjenje, b) energiju kondenzatora ( elektrostatičku energiju ). 6.75. Idealni kondsenzator vezan je na red sa realnim kalemom bez F e jezgra, a zatim je ova veza priključena na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 120 V. Odrediti faktor snage ove redne veze, ako je efektivna vrednost napona na krajevima kalema UL = 136 V, a na kraju kondenzatora UC = 50 V. 6.76. Dva prijemnika vezana su na red i priključena na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 200 V. Poznati su: reaktivna snaga celog kola Qe =  5 VAR (kap), reaktivna snaga prvog prijemnika Q1 =  2,5 VAR ( kap ), impedansa drugoga prijemnika Z2 = 5 k i reaktivna provodnost drugog prijemnika B 2 = 0,4 mS. Odrediti aktivne i reaktivne otpornosti oba prijemnika. 6.77. IzmeĎu krajeva redne veze dva prijemnika priključen je prostoperiodični napon. Poznati su: aktivna snaga celog kola Pe = 5 W, reaktivna provodnost celog kola B e =  1,25104 S, reaktivna snaga drugog prijemnika Q2 =  2,5 VAR, reaktivna otpornost drugog prijemnika X 2 =  2 k i impedansa prvog prijemnika Z1 = 3 5 k. Odrediti aktivnu otpornost prvog prijemnika R1 i aktivnu otpornost drugog prijemnika R2. 6.78. Dva prijemnika su vezana paralelno i priključena na prostoperiodični napon. Poznati su sledeći podaci: aktivna snaga prvog prijemnika P1 = 100 W, efektivna vrednost struje drugog prijemnika I 2 = 1 A, faktor snage drugog prijemnika cos 2 = 0,8, efektivna vrednost struje napojne grane ( ukupne ) I = 1,5 A i faktor snage paralelne veze prijemnika cos  = 0,9. Drugi prijemnik, a i paralelna veza oba prijemnika, su pod navedenim okolnostima, preteţno insduktivni. Odrediti: a) efektivnu vrednost struje prvog prijemnika, b) faktor snage prvog prijemnika i c) efektivnu vrednost priključenog napona. 6.79. Dva prijemnika su vezana paralelno i priključena na strujni generator prostoperiodične struje. Prvi prijemnik je preteţno induktivan, a drugi preteţno kapacitivan. Faktor snage prvog prijemnika je cos  = 0,8 , a faktor snage drugog prijemnika je cos  = 0,9. Efektivna vrednost struje prvog prijemnika je tri puta manja od efektivne vrednosti struje drugog prijemnika. Koliki je faktor snage celog kola, i kakvog je karaktera kolo ? 6.80. R2

X2 Za naizmenično prostoperiodično kolo, prema sl.6.80, poznato je: efektivna vrednost priključenog napona U = 50 V i efektivne vrednosti svih struja po granama I = 1 A, I1 = 1 A i I2 = 1 A. Kolika je aktivna i reaktivna snaga celoga kola ?

I2 X1 I o

+

I1 U

o

Sl.6.80.


77

6.81. o

Dva prijemnika su vezana paralelno, prema sl.6.81, i priključena na prostoperiodični napon. Poznati su podaci: aktivna i reaktivna otpornost drugog prijemnika je R2 = 300  i X2 = 400 , reaktivna snaga prvog prijemnika Q1 =  135 mVAr, reaktivna snaga kola Qe = 225 mVAr i efektivna vrednost struje napojne

I + R2 X2

R1 X1

U;f

grane I = 15 5 mA. Odrediti aktivnu i reaktivnu otpornost prvog prijemnika.

o Sl.6.81. 6.82.

Z2 Za kolo prikazano na sl.6.82 poznato je: aktivna i reaktivna otpornost prvog prijemnika R1 = 5 k i X1 = 10 k, aktivna i reaktivna snaga celog kola P = 5,6 W i Q =  0,8 VAr, a struja I2 fazno prednjači naponu U za 45. Odrediti efektivne vrednosti struja svih grana.

I2 R1; X1 I

I1

o

+

U

o

Sl.6.82. 6.83. 2  Z1 I1 I3 1

Z2 Z3

3

I Sl.6.83.

Tri prijemnika vezana su kao na slici 6.83. i uključena u kolo prostoperiodične struje. Poznati su: aktivna i reaktivna otpornost prvog prijemnika R1 = 3 k i X1 = 6 k, impedansa drugog prijemnika Z2 = 2,24 k, impedansa trećeg prijemnika Z3 = 8,46 k, odnos aktivnih snaga paralalno vezanih grana P12  1,5 a napon U12 fazno prednjači naponu U23 za ugao P3  = 12640. Odrediti faznu razliku izmeĎu napona U13 i struje I.

6.84. +

U1

+

S1 I +

U2 S2

U

Dva prijemnika su redno vezana, a zatim uključena u kolo prostoperiodične struje, kao na sl. 6.84. Pri datim okolnostima prividne snage pojedinačnih prijemnika su: S1 = 1 VA i S2 = 7 VA. Napon U1 fazno prednjači struji za /4, a napon U2 fazno zaostaje za strujom I za /4. Kolika je prividna snaga celog kola ?

Sl.6.84. 6.85. Realni induktivni prijemnik ( RL ) je priključen na prostoperiodični napon efektivne vrednosti U = 220 V frekvencije f = 50 Hz. Aktivna snaga prijemnika je P = 1 KW uz faktor snage cos RL = 0,6. Paralelno ovom prijemniku se doda jedan kondenzator sa ciljem da se faktor snage kola poveća na cos  = 0,9. Odrediti vrednost kapaciteta C ( sl.6.40.). 6.86. Realni induktivni prijemnik ( RL), induktivnosti L = 50 mH i impedanse Z = 20  priključen je napojnim vodom na naizmenični napon U. Datom prijemniku paralelno dodati kondenzator kapaciteta C. Pri kojoj će kapacitivnosti kondenzatora struja u napojnom vodu I i priključeni napon U biti u fazi ? Koliki je faktor snage ove paralelne veze ? 6.87. Induktivni kalem induktivnosti L = 1 H priključen je na izvor prostoperiodičnog napona efektivne vrednosti U = 220 V, učestanosti f = 50 Hz. Izračunati maksimalnu energiju koja u jednom trenutku moţe biti sadrţana u magnetnom polju kalema.


78

6.88. Kondenzator kapaciteta C = 1 F priključen je na prostoperiodični napon efektivne vrednosti U = 10 KV. Izračunati maksimalnu energiju koja se u jednom trenutku moţe sadrţati u kondenzatoru. Kolika je površina ploča navedenog kondenzatora ako je kao dielektrik upotrebljen vazduh ? 6.89. Idealni naponski generator prostoperiodičnog napona u = Um cos t priključen je na idealni kalem induktivnosti L. Izračunati aktivnu i reaktivnu snagu generatora i kalema. Objasniti kako se odvija energetski proces izmeĎu generatora i kalema. 6.90. Kondenzator kapacitivnosti C i otpornik otpornosti R vezani su paralelno na izvor prostoperiodičnog napona ugaone učestanosti , pri kojoj je RC = 1. Ako je srednja snaga gubitaka u dovodnim provodnicima jednaka P kada je priključen samo otpornik, koliki su ti gubici kada je priključen i kondenzator. Pretpostaviti da se uticaj voda na jačinu struje u oba slučaja moţe zanemariti. 6.91. Idealni kalem i kondenzator vezani su na red i priključeni na prostoperiodični napon u = 20 sin 10 5 t V . Ako je napon na kalemu uL = 10 cos ( t + /2 ) V, a maksimalna trenutna energija kondenzatora iznosi WCm = 450 J, odrediti kolika je induktivnost kalema ? 6.92. Redna veza otpornika otpornosti R = 10 k i kalema induktivnosti L = 1 mH priključena je na idealni naponski generator elektromotorne sile e = 100 cos ( 104 t + /4 ). Kolika je elektromotorna sila u trenutku u kojem je energija kondenzatora maksimalna ? 6.93. Redna veza otpornika otpornosti R = 1 k i kondenzatora kapacitivnosti C = 1 nF priključena je na idealni naponski generator čija je efektivna vrednost ems E = 1 V i kruţne učestanosti  = 106 rad/s. Kolika je trenutna vrednost ems kada je jačina struje otpornika jednaka nuli ? 6.94. Otpornik otpornosti R = 1 , savršeni kalem induktivne otpornosti X L = 10  i savršeni kondenzator kapacitivne otpornosti XC = 5  vezani su na red i priključeni na naponski generator elektromotorne sile efektivne vrednosti E = 5 V i unutrašnje kompleksne otpornosti Zg = ( 4  j 5 ) . Odrediti trenutnu snagu otpornika otpornosti R u trenutku kada je napon kondenzatora maksimalan i kada je on jednak nuli. 6.95. Trenutni napon i trenutna jačina struje prijemnika su: u = 30 sin ( t + /3 ) V i i = 6 cos ( t  /3 ) A. Referentni smerovi napona i struje su usaglašeni. Odrediti: a) srednju snagu, b) reaktivnu snagu, c) konduktansu , d) susceptansu prijemnika i e) odrediti karakter prijemnika. 6.96.

R

1 

2 ig

L1

L2

C

3

U kolu prostoperiodične struje, prema slici 6.96, poznato je: Ig = ( 1  j 1 ) A;  = 107 rad/s; R = 10 ; L1 = 1 H; L2 = 2 H i C = 5 nF. Izračunati: a) aktivnu , reaktivnu i prividnu snagu i predstaviti ih kompleksno; b) trenutnu snagu idealnog strujnog generatora.

Sl.6.96. 6.97.

R 

+ E

C

U kolu prostoperiodične struje, prikazanom na slici 6.97, poznata je kompleksna prividna snaga idealnog naponskog generatora SE = ( 60  j 80 ) VA, kruţna učestanost  = 104 rad/s i otpornost otpornika R = 15 . Izračunati efektivnu vrednost elektromotorne sile generatora i kapacitivnost kondenzatora.

Sl.6.97.


79

6.98. R L

ig

e +

U kolu prostoperiodične struje, prema datoj slici 6.98, dato je: ig = 2 cos t A, e = 4 sin t V, R = 1  i L = 2 . Izračunati kompleksne prividne snage idealnih generatora.

Sl.6.98. 6.99. Z1

Dva prijemnika su vezana na red i priključena na prostoperiodični napon efektivne vrednosti U = 100 V, kao što je prikazano na slici 6.99. Pri tome je aktivna snaga redne veze Pe = 60 W, reaktivna snaga prvog prijemnika Q1 =  30 VAR ( kap. ), faktor snage prvog prijemnika cos 1 = 0,8; efektivna vrednost napona prvog prijemnika U1 = 50 V, a drugi prijemnik je preteţno kapacitivan. Izračunati kompleksne impedanse oba prijemnika.

Z2

U1 U

o

o

Sl.6.99. 6.100. 1 L1

R1

+

Ig

C

L2

UC R2 2

U kolu prostoperiodične struje, prikazanom na slici 6.100, poznato je: Ig = 3 A; f = 50 Hz; R1 = 2 ; R2 = 20 ; L1 = 50 mH i L2 = 100 mH. Izračunati kapacitivnost kondenzatora C tako da napon kondenzatora UC bude u fazi sa strujom generatora. Kolika je tada kompleksna prividna snaga idealnog strujnog generatora ?

Sl.6.100. 6.101. Z1 I12

2 

Z2

Y3

1 I + o

3

U

U kolu naizmenične struje, prikazanom na sl. 6.101, poznato je : Y3 = ( 20  j 50 ) mS; Z2 = ( 6  j 8 )  i U = (  6 + j 8 ) V. Ukupna aktivna snaga prvog i drugog prijemnika je P 12 = 4 W, a efektivna vrednost struje paralelne veze ( ukupna struja ) iznosi I = 1 A. Struja I12 kasni za naponom U. Odrediti kompleksnu impedansu prvog prijemnika.

o

Sl.6.101. 6.102.

Z1

1  Ig

2  Y2

Y3  3

Za kolo prostoperiodične struje sa slike 6.102, dati su sledeći podaci: 1 Z1 = ( 25 + j 45 ) ; U23 =  ( 11 + j 7 ) V; B3 = S; G2 = 10 mS; 85 ukupna reaktivna snaga sva tri prijemnika Qe = 3,2 VAR i Ig = 0,2 A. Izračunati kompleksni napon U13 i kompleksnu impedansu drugog prijemnika.

Sl.6.102.


80

6.103. R2;L2;C2

Dva prijemnika poznatih karakteristika R1 = 60 ; L1 = 10 mH; C1 = 5 F; R2 = 5 ; L2 = 2 mH i C2 = 2,5 F i prijemnik otpornosti R3 = 15  i nepoznate induktivnosti L3 vezani su kao na sl. 6.103. i priključeni na idealni naponski generator prostoperiodične ems, maksimalne vrednosti Em = 40 V, učestanosti f. Aktivna snaga drugog prijemnika je P2 = 5 W, reaktivna snaga trećeg prijemnika je Q3 = 40 VAR, a struja I2 fazno kasni za ems E.Odrediti: a) Impedansu prvog prijemnika, b) Aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu kola, c) Impedansu kola ako se učestanost smanji dva puta ( f = f/2), d) Priraštaje aktivne i reaktivne snage koje razvija generator kada se učestanost generatora smanji dva puta ( f = f/2 ) .

R3;L3

I2 R1;L1;C1 I1 E;f + Sl.6.103.. 6.104. R1;L1 o

+ I1 U

I3

 I2

R2 L2

R3 C3



o

Tri prijemnika su vezana prema datoj slici 6.104. i priključena na prostoperiodični napon. Pod ovim okolnostima kompleksna impedansa prvog prijemnika je Z1 = ( 125 + j 375 ) , odnos kompleksnih struja drugog i trećeg prijemnika je I2 : I3 = 0,6 j 0,8 ; aktivna i reaktivna snaga drugog prijemnika je P 2 = 0,7 W i Q2 = 0,1 VAR i efektivna vrednost struje prvog prijemnika je I1 = 40 a) b) c)

Sl.6.104.

2 mA početne faze 1 =  45. Odrediti: Ukupnu impedansu prijemnika Ukupnu impedansu prijemnika ako se učestanost udvostruči, Kompleksni izraz za jačinu struje prvog prijemnika kada se učestanost napona udvostruči ( f = f/2 )

6.105. Preteţno induktivan prijemnik, srednjesnage P = 48 KW i faktora snage cos  = 0,6 priključen je na prostoperiodični napon efektivne vrednosti U = 1 KV, učestanosti f = 50 Hz. Kolika treba da bude kapacitivnost kondenzatora priključenog paralelno ovom prijemniku da bi se faktor snage popravio na cos  = 0,8 ? Koliko ima rešenja , koje je od rešenja praktičnije i zašto ? 6.106. Generator ems e = 20 cos 106 t V, unutrašnje impedanse Zg = ( 5  j 20 ) , priključen je na prijemnik. Kolika treba da bude impedansa prijemnika ZP da bi srednja snaga prijemnika bila maksimalna i kolika je ta snaga ? 6.107. 

U kolu prostoperiodične naizmenične struje, prema slici 6.107, nalaze se dva termogena otpornika, jednakih otpornosti R = 2 k i dioda D idealnih karakteristika. Efektivna vrednost napona električnog izvora je U = 220 V. Kolika se količina toplote oslobodi u otpornicima za vreme t = 10 minuta.

D

 U

R

R 

Sl.6.107. 6.108.

R1

 D

U 

R2

R3

Prema slici 6.108, prikazano je kolo prostoperiodične naizmenične struje, u kojem su otpornosti otpornika jednake: R1 = 10 , R2 = 20 , R3 = 15 , dok je napon na izvoru U = 10 V. Kolika je snaga električne struje u otpornicima otpornosti R 2 i R3 ?

 Sl.6.108.


81 6.109. Redno LC kolo ima rezonantnu frekvenciju 10 kHz. Ako je C = 250 F a maksimalna struja u kolu Im = 5 mA, koliko iznosi ukupna energija ovog kola? 6.110. Dva idealna kalema, istih induktivnosti, vezana su paralelno i priključena na naizmenični napon efektivne vrednosti U a zatim redno i priključena na naizmenični napon efektivne vrednosti U/2. Koliko iznosi odnos reaktivnih snaga paralelne ( Qp ) i redne ( Qr ) veze ivih kalema ? 6.111. U jednom trenutku u LC kolu tri četvrtine ukupne energije kola nalazi se u magnetnom polju kalema. Ako je u slučaju rezonanse struja kalema I, koliko iznosi struja I 1 u posmatranom trenutku.


82

7. REZONANTNO I ANTIREZONANTNO KOLO 7.1. REZONANTNO KOLO Kod redne veze termogenog otpornika otpornosti R, kalema induktivnosti L i kondenzatora kapacitivnosti C, koji su priključeni na naizmenični napon kruţne učestanosti , moţe doći do posebnog slučaja kada su reaktivni otpori kalema i kondenzatora izjednačeni ( L = 1/C ). U ovom slučaju ukupna reaktansa kola je jednaka nuli ( X = XL  XC = 0 ), pa je impedansa kola jednaka termogenom otporu ( Z = R ). Zbog toga u kolu će da teče maksimalna vrednost struje ( Io = U/Z = U/R ), koja će biti u fazi sa priključenim naponom kola (  = 0 ). Naponi na kalemu i kondenzatoru su meĎusobno jednaki ( jednake reaktanse ), pa se uva dva napona zbog suprotnih predznaka meĎusobno poništavaju, te oni ne utiču na struju u kolu. Za ovakav slučaj kaţe se da je nastupila rezonansa. Struja pri rezonansi iznosi: U U Io   Z R Kako je struja pri rezonansi maksimalna, sledi da i naponi na reaktivnim otporima ( kalem i kondenzator ) mogu dostići vrlo velike vrednosti ( i do nekoliko stotina puta veće vrednosti od priključenog napona ), pa se zbog toga ova pojava još naziva i naponskom rezonansom. Umesto navedinih naziva još se koristi i naziv redna rezonansa, jer se ona javlja kod rednog RLC kola, kao i fazna rezonansa. Dakle, uslov nastanka naponske ( fazne ) rezonanse je:

o L 

1 o C

Iz navedenog uslova rezonanse slede relacije koje odreĎuju vrednosti kruţne frekvencije o i frekvencije fo, pri kojima dolazi do rezonanse:

o 

1 LC

i

fo 

1 2 LC

Navedene jednačine se nazivaju Tomsonovim jednačinama ( obrascima ). Ovu frekvenciju fo nazivamo još i sopstvenom ( prirodnom ) frekvencijom rezonantnog kola. Kako napon izvora koji se dovodi na rezonantno kolo ima svoju frekvenciju f , tada će ove dve vrekvencije da se izjednače ( f = fo ). To znači da je izvor svojom frekvencijom f prinudno doveo do rezonanse, jer je sopstvena frekvencija kola sada jednaka frekvenciji napona na izvoru. Ovakve oscilacije se još nazivaju prinudne oscilacije. Rezonansa igra veoma vaţnu ulogu u elektrotehnici. U energetici ( kola sa velikim strujama ) ona je nepoţeljna, jer su njene posledice: pregorevanje otpornika R i kalema L, kao i proboj kondenzatora C. Ove posledice se javljaju zbog povećane struje pri rezonansi, čije povećanje moţe biti nekoliko stotina puta. U radiotehnici rezonansa se veštački stvara, čime se mogu izdvojiti razni signali na različitim učestanostima izjednačavajući f i fo. Samim tim se eliminišu ostali slabiji signali koji se nalaze na drugim frekvencijama Kako su vrednosti struja vrlo male neće doći do navedenih posledica kao u energetici. Fazorski dijagram napona i struje u rezonantnom kolu prikazan je na slici 41. UL U=UR =0

I

f.o.

Pojedinačni naponi na elementima iznose: UR = IoR; UL = IoXL = Io L i UC = IoXC = Io/C. Ako je otpornost R vrlo mala, tada je struja u rezonantnom kolu vrlo velika ( Io = U/R ), što kao posledicu ima vrlo velike napone na reaktansama ( UL i UC ).

UC Sl.41.


83

UL

I f.o. UC Sl.42.

Kod redne veze savršenog kalema i kondenzatora ( R = 0), ako doĎe do rezonanse ( f = fo ) , u tom slučaju rezonantna struja je beskonačna ( Io = U/0 =  ), što u praksi predstavlja kratku vezu. Fazorski dijagram za ovaj slučaj je dat na slici 42. Naponi UL i UC su meĎusobno jednaki i iznose: UL = UC = IL = I/C. U ovom slučaju struja u kolu osciluje usled napona UL i UC, pa je u ovom slučaju ukupni napon izvora nebitan. On je, zbog pojave rezonanse, bez uticaja, odnosno jednak nuli ( U = UR = IR ), a na struju u kolu će da deluju reaktivni naponi UL i UC

Dakle, ako je kod redne veze LC induktivni otpor jednak kapacitivnom ( L = 1/ C ), prema slici 43, tada će ukupni otpor biti jednak nuli ,odnosno, struja je maksimalna ( kratka veza ), i ona iznosi: I = U L/XL = UC/XC. Fazorski dijagram za ovo kolo je dat na slici 42. Napon izvora ( ems e ) je doveo do punjenja kondenzatora, koji se nakon toga naizmenično prazni i puni, posle toga izvor nema nikakvog uticaja, jer je došlo do pojave rezonanse ( f = f o ). Zbog toga umesto izvora u daljem objašnjenju moţemo uzeti kratku vezu ( što to praktično i jeste ako se radi o idealnom naponskom generatoru ). Grafički dijagram struje u rezonantnom ( oscilatornom ) LC kolu je dat na slici 44. C

L eL

eC 

eL,eC,i eC

eL

i

e

t

Sl.43. T Sl.44. Napunjeni kondenzator ( eC = ECm ), koji raspolaţe energijom kondenzatora W C = UCmQ/2 = UCm2C/2, preuzima ulogu izvora, te se on prazni preko prigušnice L ( prva četvrtina periode ). Energija kondenzatora se pretvara u magnetnu energiju kalema, koja iznosi WL = LIm2/2. Kada se kondenzator prazni eC opada sa maksimalne vrednosti na nulu, dok će struja da raste od nule ka maksimalnoj vrednosti , i imaju isti smer (e C ima ulogu ems ). Istovremeno indukovana ems samoindukcije e L se suprostavlja praţnjenju kondenzatora ( prenosu energije kondenzatora na kalem ), pa je ova ems suprotnog smera u odnosu na struju. Kalem je u ovom slučaju potrošač. Kada se sva energija kondenzatora prenese na magnetnu energiju kalema ( kondenzator ispraţnjen ), tada indukovana ems samoindukcije preuzima ulogu izvora, te su e L i struja i istog smera.Usled toga, u drugoj četvrtini periode indukovana ems samoindukcije eL raste od nule do maksimalne vrednosti, dok struja opada sa maksimalne vrednosti na nulu. U ovom slučaju kondenzator se puni, tj. e C raste od nule do maksimalne vrednosti, ali sa suprotnim polovima na pločama ( eC se suprostavlja prolasku struje, jer je kondenzator potrošač. Kada je kondenzator, ponovo, napunjen ( magnetna energija preneta na energiju kondenzatora ) on ponovo preuzima ulogu izvora, ali sa suprotnim smerom praţnjenja ( struja menja svoj smer ). Dakle, u trećoj četvrtini periode kondenzator se ponovo prazni i proces praţnjenja je isti kao u prvoj četvrtini, ali suprotnih smerova. Nakon toga, kada se kondenzator isprazni, kalem preuzima ulogu izvora, pa u četvrtoj četvrtini periode e L i struja i imaju isti smer, gde ems samoindukcije raste ka maksimalnoj vrednosti, dok struja opada ka nuli. Očito je da će ovaj proces pretvaranja energije kondenzatora u magnetnu energiju kalema, i obrnuto, kod savršenih LC elemenata trajati beskonačno, što je i logično zbog zakona o odrţanju energije ( energija je neuništiva ). Ovo pretvaranje energije nastaje u istim vremenskim intervalima, a samim tim i struja će da oscilira pri vlastitoj, tj. rezonantnoj frekvenciji LC kola ( fo ). Ovakve oscilacije se nazivaju slobodne oscilacije a frekvencija oscilovanja odreĎuje se navedenim Tomsonovim obrascem. Kod realnih oscilatornih kola ( kola koja sadrţe i otpornik R ) javlja se i toplotna energija ( I 2Rt ) usled čega energije kalema i kondenzatora se postepeno ( prigušeno ) pretvore u toplotnu energiju. Zbog toga se ovakve oscilacije nazivaju prigušene oscilacije. Iz svega navedenog se moţe zaključiti da pri rezonansi izvor daje nepovratno energiju samo termogenim otpornicima, dok kod reaktivnih otpornika nema nikakve razmene energija izmeĎu izvora i ovih otpornika.


84

7.1.1. KARAKTERISTIČNE KRIVE KOD REZONANTNOG KOLA Na slici 45 je dat grafički dijagram koji predstavlja zavisnost R; X L; XC; Z i I u odnosu na frekvenciju f. R;XL;XC;Z ; I A XL = f ( f ) I=f(f)

Z=f(f)

R=f(f) XC = f ( f )



fo

f Hz

Sl.45. Iz karakteristike, prema slici, se vidi da će impedansa kola da se smanjuje od beskonačne vrednosti ka Z o ( Zo = R ) sa porastom frekvencije od nule do rezonantne frekvencije fo. Usled toga struja raste od nule do maksimalne vrednosti Io ( rezonantna struja ). Daljim povećanjem frekvencije od fo do beskonačnosti raste i impedansa od Zo ka beskonačnoj vrednosti ( raste reaktansa ka beskonačnosti ). Struja će u ovom slučaju da opada sa Io ka nuli. Ako je rezonansa nastupila kod RLC kola, tada će u kolu doći do tzv. prigušenih oscilacija ( napon izvora isključen ). Ako je napon izvora uključen tada će doći do razmene energije izmeĎu izvora i otpornika R ( dakle toplotne energije ). Ovu toplotnu energiju stalno nadoknaĎuje izvor svojom električnom energijom. Ako se izvor odstrani, zbog kalema ( magnetne energije ) i kondenzatora ( elektrostatičke energije ) doći će do uzajamnog pretvaranja energija. Ovo pretvaranje će trajati izvesno vreme u kojem će se obe ove energije da pretvore u toplotnu, nakon čega je u kolu struja pala na nulu (prigušeno oscilovanje ). Ako je oscilovanje energija nastalo kod savršenih LC elemenata ( R = 0 ), tada će oscilacije trajati beskonačno, jer se energija ne gubi ( smenjuje se magnetna sa elektrostatičkom ). U ovom slučaju kalem i kondenzator naizmenično preuzimaju uloge kako izvora tako i potrošača. Prema Tomsonovom obrascu, do rezonanse dolazi 1 1 kada je:  o L   o  o C LC Ukupna impedansa kola ( potrošača ) je ustvari jednaka otporu kalema ( kada je on potrošač ) odnosno otporu kondenzatora ( kada je on potrošač ), te je:

Z o  o L 

1

L

LC

Zo 

L C

Ovaj izraz predstavlja impedansu oscilatornog kola, koja se još naziva karakterističnom impedansom kola.


85 7.1.2. FAKTOR DOBROTE REZONANTNOG KOLA I FAKTOR PRIGUŠENJA Kod rezonantnih kola impedansa kola je vrlo mala. Što je ta impedansa manja, odnosno što je termogeni otpornik kola manji ( Z = R ) kolo je bolje, a ujedno su reaktivni naponi U L i UC veći ( UL = UC = IL= I/C ). Obično se kod ovih kola i ne stavlja termogena otpornost, jer se ona nalazi u kalemu i kondenzatoru. Kako se na otporniku R javlja toplota koja u stvari pretstavlja gubitak energije ( toplota je nepovratna ) logično je da će i ovi gubici biti manji što je otpornost R, samim tim I rezonantno kolo biti bolje. Faktor dobrote rezonantnog kola, koji se obeleţava sa Q, predstavlja odnos izmeĎu jednog od reaktivnih napona ( UL ili UC ) i priključenog napona. Dakle,

Q

UL UC  U U

Umesto navedene relacije, iz koje se daje definicija faktora dobrote, on se moţe odrediti i iz sledećih jednačina: I I o L oC  L 1 Q   Q o  IR IR R R o C Pošto su gubici kod kondenzatora mnogo manji od gubitaka kod kalema ( oko 100 puta ) uglavnom se govori o faktoru dobrote kalema umesto celog rezonantnog kola. Kod običnih rezonantnih kola ( obični kalem ) faktor dobrote iznosi oko nekoliko desetina ili stotina, dok kod specijalnih kola ( specijalno izvedeni kalemi – velika induktivnost ) faktor dobrote dostiţe vrednost i do nekoliko hiljada. Faktor dobrote nema jedinicu, jer je to realan broj koji govori o odnosu dveju veličina istih jedinica. Rezonantno kolo, osim ranije spomenutih primena, moţe se koristiti i kao naponski pojačavač, što je prikazano na slici 46. o

UC

Kako je Q = UC/U  UC = QU, pa je napon na kondenzatoru pojačan za Q puta. Ovo se koristi kod antena. Na antenu se dovede napon U ( izmeĎu antene i mase ). U anteni je ugraĎen LC element, pa se na kalemu indukuje ems samoindukcije. Zbog rezonanse izmeĎu kalema i kondenzatora, nevezano na izvor, dolazi do oscilatornog kola, samim tim na kalemu i kondenzatoru nastaje pojačani napon ( jači signal ) za vrednost faktora dobrote Q. Ovaj pojačani napon se dalje vodi na pojačavač.

o

L U



C

Sl.46. Faktor prigušenja d je recipročna vrednost faktoru dobrote, pa je:

d

1 Q

7.1.3. PROPUSNI OPSEG REZONANTNOG KOLA Propusni opseg rezonantnog kola je ukupni spektar učestanosti oko rezonantne ( od 1 do 2 prema sl.47 ) pri kojima struja kroz kolo nije manja od 0,707Io ( ili Io /

2 ), gde je Io struja kroz kolo pri kojem nastaje

rezonansa ( najveća vrednost struje ). Kako u propusnom opsegu struja moţe maksimalno da opadne za 2 puta, sledi da snaga u propusnom opsegu moţe da padne maksimalno na polovinu u odnosu na maksimalnu vrednost ( P = I2R ). Ovaj odnos snaga ( 1:2 ) je i uzeta kao parametar prema kojem se odabira propusni opseg. Prema tome, propusni opseg je jednak: 2 = 2  1


86

Na slici 47 vidi se da je propusni opseg veći, tj. kriva šira ukoliko je faktor dobrote manji i obrnuto. Ovo govori da izmeĎu širine propusnog opsega i faktora dobrote rezonantnog kola postoji uska povezanost. Odnos izmeĎu propusnog opsega i rezonantne frekvencije je obrnuto proporcionalan sa faktorom dobrote, pa je:

I/Io 1 

0,707

 2

1

o

2 1  o Q 2



Ukoliko je faktor dobrote kola veći, propusni opseg je manji pa se moţe reći da je kolo selektivnije, tj. vrši bolje razdvajanje ( manji uticaj signala izvan ovog opsega ).

Sl.47.

7.1.4.

TANGENS GUBITAK

Kod visokih frekvencija u dielektrikumu kondenzatora gubici postaju znatno veći, samim tim oni utiču na ekvivalentnu otpornost rezonantnog kola, kao I na faktor dobrote kola. Usled naizmeničnog napona polarizacija dielektrika vrši se zavisno sa frekvencijom naizmeničnog napona, tj. sa naizmeničnom promenom smera. Da bi se obavila polaruzacija dielektrika treba da se utroši odreĎeni iznos energije. Ovaj iznos energije predstavlja gubitak ( gubitak energije u dielektrikumu ). Sa porastom frekvencije te promene smera polarizacije su brţe, pa je gubitak energije veći. Ako je dielektrikum od vakuuma, nema polarizacije ( nema materije ) te nema ni gubitaka. U odnosu na priključeni napon, kroz idealni kondenzator ( R = 0 ) protiče struja koja mu prednjači za /2. . Kod realnog kondenzatora pored ove struje protiče i struja koja pokriva gubitke u dielektrikumu. Kako su to gubici koji se javljaju u vidu toplote ( Dţulovi gubici ), tada je ova struja gubitaka u fazi sa naponom kondenzatora. Zbog togao se kondenzator moţe šematski predstaviti kao paralelno vezan idealni kondenzator sa otpornikom velike otpornosti ( zbog male struje gubitaka – aktivna komponenta ), kao što je prikazano na slici 48 b. o I o IC IC IR IC 

u o

R

u

C

o a)



I

IR b)

U c)

Sl.48. a) kondenzator sa gubicima, b) ekvivalentna šema kondenzatora, c) fazorski dijagram Što je struja gubitaka manja, kondenzator je bolji, pa se faktor dobrote kondenzatora definiše kao odnos izmeĎu struje gubitaka ( IR ), tj. struje otpornika R i struje idealnog kondenzatora ( IC ). Odnos IR/IC predstavlja, prema fazorskom dijagramu na slici 48 c, tangens ugla za koji struja realnog kondenzatora odstupa od struje idealnog kondenzatora. U Dakle, X IR R tg    C  U IC R XC

tg 

1 RC

Tansens gubitaka, tg  je mera za dobrotu dielektrika.


87

7.2. ANTIREZONANTNO KOLO Ako u kolu imamo paralelnu vezu idealnog kalema i idealnog kondenzatora, kao na slici 49, tada će ekvivalentna admitansa kola biti jednaka: Y = j ( BC  BL ) = 1 / Z ; gde je BL = 1 / XL = 1 / L, odnosno BC = 1 / XC = C. U slučaju da su otpornosti, samim tim i provodnosti po granama jednake, sledi da će i struje biti jednake, te nastaje fazorski dijagram koji je predstavljen na slici 50. I

IC IL

IC

L

U

C

f.o.

U IL

Sl.49.

Sl.50.

Uz pretpostavku da je L = 1 / C ( BL = BC  IL = IC ) ekvivalentna provodnost celog kola je jednaka nuli, odnosno impedansa kola je beskonačna. Usled toga ukupna struja u kolu je jednaka nuli. Kako je ova pojava sasvim suprotna od rezonanse ( kada je struja bila najveća ) ona se i naziva antirezonansa. Umesto antirezonanse koristi se i termin zaptivno kolo, jer kroz ovo kolo ne protiče struja ( ukupna struja ). Kako su prisutne struje IL i IC sledi da će unutar sistema LC teći struja koja je rezultat smenjivanja energija kalema i kondenzatora. To znači da će u ovom delu kola doći do oscilovanja energija ( struje ). Ovo se odnosi samo na idealni slučaj, kod kojeg nema gubitka energije ( toplotne energije ), već se magnetna energija kalema i energija kondenzatora meĎusobno pretvaraju jedna u drugu ( kao i kod rezonantnih kola ), što nije slučaj kod realnih kola. Pretpostavimo da pored idealnog kondenzatora i kalema imamo i otpornik R u paralelnoj vezi, kao na sl.51. Ako je BL = BC  Y = G = 1/R  Z = R  I = IR = UG = U / R. Fazorski dijagram za kolo prema slici 51 je dat na slici 52. R IR

IL

L

 IL

 I = IR

C

U I

IC o U Sl.51.

o

IC Sl.52.

Vidimo da je kod paralelne veze idealnih RLC elemenata ukupna struja jednaka struji I R, koja je u fazi sa naponom. Ovo se dogaĎa kada je ispunjen isti uslov kao i kod redne ( naponske )rezonanse, tj. kada je: 1 B L  B C odnosno  C , L te se zbog toga za ovaj slučaj kaţe da je došlo do strujne ( paralelne ) rezonanse ( tj. antirezonanse ). Dakle, strujna rezonansa je isto što i antirezonansa, jer je u pitanju različit naziv za istu pojavu. Osnovno je, za razliku od naponske rezonanse ( koja se često zove samo rezonansom ) što će kod antirezonanse struja u kolu biti najmanja ( povećava se impedansa ).


88

REALNO ANTIREZONANTNO KOLO

R1

I2

L

I2 sin 2

I1 I2 I

2

C

R2

I

1

U I1 sin 1

U I1 Sl.53.

Sl.54.

Za realno antirezonansno kolo prema slici 53 odgovara fazorski dijagram na slici 54. Kako je kod antirezonanse , kod realnog kola, struja u fazi sa naponom ( vidi dijagram 52 ) sledi da će se to dogoditi u onom slučaju kada se reaktivne komponente struja izjednače. U tom slučaju ostaju samo aktivne komponente koje su u fazi sa naponom. To se moţe jednostavno dokazati kompleksnim predstavljanjem struje, gde je: I1 = I1cos1  j I1 sin 1, odnosno I2 = I2 cos 2 + j I2 sin 2. Kako je I = I1 + I2 = I1 cos 1 + I2 cos 2 + j ( I2 sin 2  I1 sin 1 ). Ako je I1 sin 1 = I2 sin 2, otpada imaginarni deo ukupne struje, te ostaje samo realni deo koji je ujedno u fazi sa naponom, što znači došlo je do strujne rezonanse ( antirezonanse ). Uslov antirezonanse kod realnog kola, prema slici 53 je: 1 U L U C L 1    I1 sin 1 = I2 sin 2    2 2 Z1 Z1 Z2 Z2 Z1 CZ 2 Rešenjem ove jednačine, dobije se kruţna učestanost pri kojoj nastaje antirezonansa, koja je jednaka:

o 

LC



L C  L  C

R1  2

1

R2

2

1 LC

R1  Zo

2

R 2  Zo

2

2



2

,

L karakteristična impedansa kod idealnog oscilatornog kola. C Jednačinu za kruţnu frekvenciju pri kojoj dolazi do antirezonanse moţemo izvesti preko admitanse. To se izvodi tako što se imaginarni deo admitanse ( jB ) izjednači sa nulom, jer su samo u tome slučaju napon i struja u fazi, tj. došlo je do antirezonanse. Pojedinačne admitanse po granama za sliku 53 su: 1 R1 R2 L Y 1  G 1  jB L  2  j 2 i Y 2  G 2  jB C  2  j C2 Z1 Z1 Z2 Z2 Ukupna admitansa kola iznosi:  1    R1 R2  L Y  Y 1  Y 2  2  2  j C2  2   Z2 Z1 Z2 Z1      Antirezonansa nastaje kada je  = 0 a to će nastati kada je susceptansa jednaka nuli, tj. kada je: 2 R1  L 1 1 L C   o   2 2 2 L CZ2 Z1 LC R2  C gde je Zo =

Pojavom antirezonanse struja iz izvora je minimalna i u fazi je sa naponom izvora ( impedansa je vrlo velika).


89 Iz izraza za kruţnu frekvenciju pri kojoj nastaje antirezonansa mogu se javiti sledeća rešenja: 1 1. Ako je R1 = R2   o  , tj. strujna rezonansa nastaje pri istoj frekvenciji kao i naponska.; LC R1 = R2 = 0 , isti je slučaj kao i pod 1 s tom razlikom da je struja izvora jednaka nuli.

2.

R1  L 2

3.

R2

2

L

C

 0 ( realan )

C

a) R1  L/C i R22  L/C ; b) R12  L/C i R22  L/C ..... u ovim slučajevima dolazi do antirezonanse. 2

R1  L 2

4.

R2

2

L

C  0 ( imaginarno rešenje )

C a) R1  L/C i R22  L/C; b) R12  L/C i R22  L/C .... nema rešenja za o a samim tim ni antirezonanse. 2

L

. U ovom slučaju antirezonansa ne zavisi od frekvencije pa se ona javlja kod svih C frekvencija tj. nepredviĎeno. U LC elementima oscilira struja, dok je struja izvora jednaka nuli. 5. R1 = R2 =

U praksi je vrlo često termogeni otpor kalema ( R1 ) mnogo veći od termogenog otpora kondenzatora ( R2 ), pa se u tom slučaju otpornik R2 moţe zanemariti. U tom slučaju sledi ( R1 = R ): 1 R L R L   Y  Y1  Y 2  2  j 2  j C2  2  j C  2  2 2 2 2 R  L R  L  Z1 Z1 Z2  Uslov antirezonanse je kada je imaginarni deo jednak nuli, te je: L L C  2   R 2  2 L2 2 2 C R  L Dakle, kada doĎe do antirezonanse admitansa ima samo realni deo ( konduktansu ), pa sledi: R R RC 1 L Y o  Yo  2    Zo   L L Yo RC R   2 L2 C Ukupna struja kola ( antirezonantna struja ) iznosi:

I o  U  Yo 

Z

o



U Zo

Iz izraza za impedansu ( Zo = L/RC ) se vidi da će impedansa biti veća što je otpornost R manja. Ako je R = 0 impedansa postaje beskonačna, samim tim i antirezonantna struja je jednaka nuli. To znači da u ovom slučaju LC kolo ne propušta ukupnu struju kola. Ova pojava je iskorišćena kod električnih filtera, kao i u prijemnoj tehnici, gde je pri antirezonantnoj frekvenciji impedansa maksimalna ( kod savršenih elemenata beskonačna ), a samim tim struja vrlo mala ( kod savršenih elemenata jednaka nuli ). Na ovaj način se kroz kolo propušta struja samo odreĎene frekvencije. Na slici 55 je dat grafički dijagram na kojem se vidi zavisnost impedanse kruţne frekvencije.

Sl.55.


90

ZADACI: 7.1.1. Redno RLC kolo priključeno je na napon U = 100 V učestanosti f = 50 Hz. Ako su poznati parametri kola R = 4  i L = 0,5 H, a kapacitet kondenzatora C se moţe menjati. Odrediti: a) kapacitet kondenzatora u slučaju kada doĎe do rezonanse ( redna rezonansa ) i b) napon na kalemu i kondenzatoru pri uslovu pod tačkom a). 7.1.2. U rednom kolu su na izvor efektivnog napona U = 100 V vezani savršeni kalem induktivnosti L = 5 mH, termogeni otpornik otpornosti R = 10  i dva kondenzatora. Kapacitet jednog od kondenzatora je C1 = 100 F. Odrediti kapacitet drugog kondenzatora ako je u kolu struja dostigla svoju maksimalnu vrednost pri frekvenciji od fo = 300 Hz. Kolika je efektivna vrednost te struje? 7.1.3. Redno RLC kolo priključeno je na napon efektivne vrednosti U = 200 V. Na frekvenciji f o = 50 Hz javlja se rezonansa i u tom slučaju efektivna vrednost struje u kolu iznosi I o = 0,314 A, a efektivna vrednost napona na krajevima kondenzatora UCo = 300 V. Odrediti vrednosti parametara RL i C. 7.1.4. Kalem induktivnosti L i termogene otpornosti RL= 50  vezan je redno sa kondenzatorom kapaciteta C. Pri merenju impedanse ove veze utvrĎeno je da je ona najmanja na frekvenciji f o = 1 kHz. Naći induktivnost kalema i kapacitet kondenzatora ako je pri frekvenciji f = 4 kHz impedansa kola bila jednaka Z = 130. 7.1.5. U kolu naizmenične satruje frekvencije f = 100 Hz redno su vezani termogeni otpornik R = 10 , savršeni kalem induktivnosti L = 0,5 H i kondenzator čija se kapacitivnost moţe menjati promenom rastojanja izmeĎu ploča kondenzatora. Ako je rastojanje meĎu pločama 1 mm, kapacitet kondenzatora iznosi C = 20 F. Za koliko treba promeniti rastojanje meĎu pločama da bi struja u kolu bila maksimalna ? Koliki je odnos izmeĎu tih struja ( pre i posle promene rastojanja ) ? 7.1.6. U rednom LC kolu ( RL = 0 ) induktivnost je L = 10 mH, a kapacitivnost C = 1 F. Kolika će biti impedansa kola pri frekvenciji naizmenične struje koja je dva puta veća od frekvencije pri kojoj bi došlo do rezonanse? 7.1.7. Na rednu vezu RLC priključen je napon u = 2 sin t V. Odrediti trenutnu vrednost napona na kondenzatoru pri rezonantnoj frekvencijia, koja iznosi fo = 100 kHz, ako je termogeni otpornik R = 3 , a induktivnost savršenog kalema L = 1 mH. 7.1.8. U kolu su redno vezani kalem termogene otpornosti RL = 20  i induktivnosti L = 169103 H i kondenzator kapaciteta C = 0,15 F. a) Na kojoj frekvenciji će doći do rezonanse? b) Koliki sme pri rezonansi da bude napon izvora ako kondenzator moţe da izdrţi maksimalni napon od Uc = 2000 V? c) Kolika je jačina struje koja protiče kroz kolo pri naponu izvora izračunat pod b) i rezonantnoj frekvenciji? d) Koliki je napon na krajevima kalema pri rezonansi ( kalem sadrţi i termogenu otpornost R L )? 7.1.9. Redno RLC kolo sa podacima R = 10 , L = 20 mH i C = 507,2 F spoeno je na napon U = 220 V. Pri kojoj frekvenciji će doći do rezonanse? Kolika je struja, a koliki naponi na kalemu i kondenzatoru pri rezonantnoj frekvenciji ? 7.1.10. Odrediti najveću struju u rednom RLC kolu ako je U = 10 V, R = 20 , L = 300 mH, i C = 100 F. Pri kojoj učestanosti se to javlja ? 7.1.11. Kod redne veze RLC odrediti R, L i I tako da napon na kalemu pri rezonantnoj frekvenciji bude dva puta veći od priključenog napona. Brojni podaci: C = 20 F; U = 200 V i fo = 50 Hz.


91

7.1.12. o R

R R

U

C

Za kolo na slici 7.1.12. odrediti L i C i napon na kondenzatoru ako je u kolu došlo do rezonanse. Brojni podaci: R = 20 ; XL = 1 ;  = 100 rad/s i U = 300 V.

L o Sl.7.1.12. 7.1.13. U kolu redne veze RLC došlo je do rezonanse. Odrediti vrednost otpora R ako je L = 10 mH, C = 20 F, U = 200 V i UL = 5 000 V. 7.1.14. Za rednu vezu RLC odrediti kapacitet kondenzatora C tako da u kolu nastane rezonansa. Kolika će biti u tom slučaju struja u kolu ? Brojni podaci: U = 200 V; L = 400 mH; R = 20  i XL = 40 . 7.1.15. Za rednu RLC vezu naći odnos struje pri rezonantnoj frekvenciji i frekvenciji koja je četiri puta veća od rezonantne, ako je R = 10 , L = 10 mH i C = 100 F. 7.1.16. Koliki je odnos frekvencija pri rezonansi i frekvencije kada je struja struje ako je R = 10 , L = 2 mH i C = 20 F.

5 puta manja od rezonantne

7.1.17. Odrediti učestalost sopstvenih oscilacija i karakterističnu impedansu oscilatornog kola čiji su parametri: C = 5 F i L = 5 mH. 7.1.18.

C1

C2

L

Odrediti periodu i učestalost slobodnih oscilacija oscilatornog kola prikazanog na slici 7.1.18, ako su poznati parametri: C1 = 50 pF; C2 = 10 pF i L = 10 mH.

. Sl.7.1.18. 7.1.19. Rezonantna učestalost rednog oscilatornog kola je fo = 1 000 kHz, a faktor dobrote kola Q = 16. Odrediti vrednosti elemenata ovog oscilatornog kola ako je vrednost karakteristične impedanse Z o = 3 k. 7.1.20. Oscilatorno kolo je sastavljeno od kalema induktivnosti L = 0,2 H , kondenzatora C = 5 F i otpora otpornosti R = 10 . Odrediti učestalost pri kojoj dolazi do rezonanse i faktor dobrote oscilatornog kola. 7.1.21. Izračunati kapacitet kondenzatora oscilatornog kola ako kalem tog oscilatornog kola ima induktivnost L = 100 mH, a granične učestalosti propusnog opsega su: donja f1 = 1 000 kHz a gornja f2 = 2 000 kHz. 7.1.22. Oscilatorno kolo kojeg čine kalem induktivnosti L = 100 mH i kondenzator kapaciteta C = 50 pF ima širina propusnog opsega 2 = 115 kHz. Kolike je rezonantna i granična učestalost ovog oscilatornog kola ? 7.1.23. Parametri jednog oscilatornog kola su: C = 300 pF, L = 300 H i R = 10 . Kolika je širina propusnog opsega ovog oscilatornog kola ? 7.1.24. Odrediti vrednost termogenog otpornika R i induktivnost L u rednoj vezi RLC u kojoj je vrednost kapaciteta C = 20 F, ako je pri rezonantnoj frekvenciji fo = 50 Hz napon na reaktivnom otporniku dva puta veći od ukupnog napona.


92

7.1.25.

1 R o U13 o

L

2 o

  3

Data je redna veza RLC, prema slici 7.1.25, koja se koristi kao delitelj napona. Dato je R = 1 , L = 2 mH i C = 1 nF. Odrediti područje frekvencije za koje je pad napona na priključnicama 2–3 U23 manji od napona U13 . Treba odrediti da li su frekvencije više ili niţe od rezonantne frekvencije fo i kolika je fo ?

C o 3

Sl.7.1.25. 7.1.26. U nekom rednom spoju RLC, čija je učestanost fo = 1 MHz, pad napona na otporu R = 0,1  UR odnosi se prema padovima napona UL i UC na induktivitetu odnosno kapacitetu u slučaju rezonanse kao 1:100 ( faktor dobrote Q = 100 ). Koliki su L i C toga kola ? 7.1.27. Koliki sme biti termogeni otpornik rezonantnog kola da bi faktor dobrote kola bio Q = 100 ako je L = 10 H i C = 160 pF ? Kolika je frekvencija rezonanse fo i koliki je napon U na stezaljkama toga kola ako kod rezonanse kolom teče struja Io = 1 mA? 7.1.28. R XL

U kolu prema slici 7.1.28. treba odrediti koliki mora da bude induktivni otpor XL da bi kolo bilo u rezonansi (  = 0 ). Brojni podaci: R = 200  i XC = 400 .

XC

o U o Sl.7.1.28. 7.1.29. XC

XL

R1

o

R2

U

Dato je kolo prema slici 7.1.29. Poznato je: L = 1 mH, R1 = 500  i C = 2 nF. Odrediti otpornost R2 ako je u kolu nastala rezonansa pri kruţnoj učestanosti o = 106 rad/s. Koliki je rezonantni otpor kola Zo ?

o

Sl.7.1.29. 7.1.30. Dato je idealno rezonantno kolo koje sadrţi kalem induktivnosti L = 0,1 H i kondenzator kapacitivnosti C = 0,4 F. a) Za koliko će se promeniti rezonantna učestanost ako se kondenzatoru paralelno priključi termogeni otpornik otpornosti R = 1 k ? b) Za koje vrednosti otpornosti priključenog termogenog otpornika kolo ne moţe da se dovede u rezonansu ?


93

7.1.31. R

Generator prostoperiodičnog napona efektivne vrednosti U i kruţne učestanosti  koja moţe da se menja, čini redno RLC kolo, kao na slici 7.1.31. Odrediti: a) izraz za kruţnu učestanost pri kojoj dolazi do rezonanse i b) izraz za energiju magnetnog polja kalema i energiju električnog polja kondenzatora pri rezonansi i grafički ih predstaviti u funkciji vremena.

C

L

U; Sl.7.1.31.

7.1.32. Oscilatorno RLC kolo, kao na slici 7.1.31 ( predhodni zadatak ), ima sledeće podatke: L = 0,2 mH, C = 300 pF i propusni opseg 2fo = 14 kHz. Odrediti: a) faktor dobrote kola, b) mimimalnu impedansu kola, c) impedansu kola na učestanosti koja je za 30 kHz veća od rezonantne učestanosti, d) koliko je puta rezonantna struja veća od struje na učestanosti koja je za 30 kHz veća od rezonantne učestanosti ? 7.1.33. C R1

L R2

U kolu prema slici 7.1.33. odrediti izraze za: a) kruţnu učestanost pri rezonansi kola i b) struju u kalemu pri rezonantnoj učestanosti o Brojni podaci: R1 = 100 ; R2 = 200 ; L = 2 mH, C = 10 F; U = 100 V.

U; Sl.7.1.33. 7.1.34. L R1

C

Za kolo prema slici 7.1.34. odrediti: a) Rezonantnu kruţnu učestanost, b) struju kondenzatora pri rezonansi.

R2 U;

Brojni podaci: R1 = 5 ; R2 = 6 ; L = 300 H; C = 250 F i U = 50 V.

Sl.7.1.34. 7.1.35. Redno RLC kolo je priključeno na napon U = 1 V. Ako je pri rezonansi ( fazna rezonansa ) napon na kondenzatoru UC = 50 V, odrediti: a) faktor dobrote kalema Q i struju kola Io ako je karakteristična impedansa LC ćelije ZC = 2,5 k, b) promenu faznog pomaka izmeĎu napona napajanja i struje , ako je pri istoj frekvenciji napona izvora kapacitet kondenzatora povećan za 60%. 7.1.36. Redno RLC kolo priključeno je na naizmenični napon efektivne vrednosti U, promenljive učestanosti. Kada se učestanost izvora podesi na frekvenciju f1 ili f2 efektivna vrednost struje u kolu iznosi I, a kada se podesi na rezonantnu učestanost, efektivna vrednost struje je I. Odrediti vrednosti paramatara kola ( R, L i C ). Brojni podaci: U = 200 V; f1 = 50 Hz; f2 = 100 Hz; I = 4 A; i I = 5 A. 7.1.37. Otpornik otpornosti R, kondenzator kapacitivnosti C i kalem nepoznate induktivnosti L vezani su redno i priključeni na naizmenični napon u = 10 2 sin ( t + 90 ) V. Odrediti: a) nepoznatu induktivnost kalema L pri kojoj će efektivna vrednost struje u kolu biti maksimalna, b) učestanost pri kojoj će efektivna vrednost struje u kolu opasti za 50% u odnosu na maksimalnu vrednost i c) izraze za trenutne vrednosti struja u kolu za oba slučaja. Brojni podaci: R = 10 ; C = 5 F;  = 10 000 rad/s.


94

7.1.38. Kalem otpornosti RL i induktivnosti L i kondenzator kapaciteta C vezani su na red i priključeni na naizmenični napon efektivne vrednosti U. Kada u kolu nastupi rezonansa, napon na krajevima kondenzatora ima efektivnu vrednost UC. Kolika je, u tom slučaju,efektivna vrednost napona na krajevima realnog kalema? Brojni podaci: U = 40 V; UC = 150 V. 7.1.39. C R1

U kolu prema slici 7.1.39. odrediti izraze za: a) kruţnu učestanost pri rezonansi kola i b) struju otpornika R1 pri rezonantnoj učestanosti o

L R2

Brojni podaci: R1 = 5 ; R2 = 6 ; L = 0,3 mH, C = 250 F; U = 50 V.

U; Sl.7.1.39.

7.1.40. o C U

L

R

Ako je R = 10 , L = 10 mH i  = 1000 rad/s, prema slici 7.1.40, koliko iznosi kapacitet kondenzatora C da bi kolo bilo u rezonansi ?

o Sl.7.1.40. 7.1.41. 1 o

2 o C

E

WC

L

Na predhodno napunjeni kondenzator ( prekidač u poloţaju 1 ), prema slici 7.1.41, veţe se kalem ( prekidač prebaci u poloţej 2 ). Kroz LC kolo će da teče naizmenična struja, koja će da osciluje oko sopstvene kruţne učestanosti. I = f ( o ). Izvesti izraz za ovu kruţnu učestanost ( Tomsonov obrazac ).

Sl.7.1.41.


95 7.2.1. Radi ostvarenja antirezonanse ( strujne rezonanse ) treba kalemu čiji je termogeni otpor jednak RL = 1 500  a induktivnost L = 0,85 H paralelno priključiti kondenzator. Odrediti kapacitet toga kondenzatora ako je napon izvora na koji je ovo kolo priključeno 500 Hz. 7.2.2. Za paralelno oscilatorno kolo treba odrediti sve struje, otpornost kola pri antirezonansi ako je kolo priključeno na generator napona U. Brojni podaci: U = 110 V; C = 400 pF; L = 400 mH i R L = 10  ( otpor kalema ). 7.2.3. N

Q

C1

R1

L1

R2

L2

M C2 P

o  U o

Za dato kolo na slici 7.2.3. izračunati vrednosti elemenata L1, C1, L2 kao i ukupnu induktivnost L i kapacitivnost C prikazanog oscilatornog kola. Brojni podaci: antirezonantna frekvencija kola fo = 1 200 kHz; rezonantna frekvencija grane MN f1o = 1 750 kHz; rezonantna frekvencija grane PQ f2o = 650 kHz i C = 220 pF.

Sl.7.2.3. 7.2.4. o U

R

C

L

o Sl.7.2.4.

Termogeni otpornik otpornosti R ,savršeni kalem induktivnosti L i kondenzator kapacitivnosti C vezani su paralelno i priključeni na napon izvora U frekvencije f, prema slici 7.2.4.. Odrediti: a) kompleksnu admitansu kola, b) rezonantnu frekvenciju kola, c) izraz za odreĎivanje ukupne jačine struje I za dato kolo, d) izraz za jačinu struje kola ako doĎe do antirezonanse.Kolika će biti ta struja ( veća, manja .. ) u odnosu na struju pod tačkom c?

7.2.5. U kolu kao u predhodnom zadatku efektivna vrednost napona na izvoru je U = 10 V. Odrediti efektivne vrednosti jačina struja IR, IL i kapacitet kondenzatora ako je efektivna vrednost ukupne struje I = 10 A. Otpornik ima otpornost R = 10 , idealni kalem ima induktivnost L = 50 mH. Frekvencija izvora je f = 50 Hz. 7.2.6. C

R

R

L

Dokazati da je impedansa kola prikazanog na slici 7.2.6. L nezavisna od frekvencije ako je R 2  . C Kolika je vrednost impedanse kola ako su elementi kola jednaki: L = 20 mH i C = 100 F.

Sl.7.2.6.

7.2.7. R

L C

Antirezonantno kolo, prema slici 7.2.7., sastoji se od kalema induktivnosti L = 200 H i omske otpornosti R = 20  i kondenzatora promenljive kapacitivnosti vezanog paralelno sa kalemom. Odrediti kapacitivnost kondenzatora ako je frekvencija napona na izvoru pri kojem je došlo do antirezonanse jednaka fo = 1 000 kHz.

Sl.7.2.7.. 7.2.8. Na napon U = 10 V priključena je paralelna kombinacija termogenog otpornika R = 100 , induktivnost L = 20 mH i kapacitivnost C = 20 nF. Treba odrediti ukupnu struju kola I o u slučaju antirezonanse, frekvenciju fo pri kojoj se javlja struja Io i struje po granama IR, IL i IC.


96

7.2.9. R o

I1

L o

C

Kolika je otpornost paralelnog oscilatornog kola prema slici 7.2.9, ako je L = 10 F, C = 250 pF i R = 2 

I2 U Sl.7.2.9. 7.2.10. Koliki je pad napona Uo , prema slici 7.2.9. ( predhodni zadatak ), na paralelnom antirezonantnom kolu u kojem je L = 100 H, C = 500 pF i R = 1 , ako kolo uzima iz mreţe struju Io = 0,2 mA ? 7.2.11. Kolo prema slici 7.2.9. ( zadatak 7.2.9. ) priključeno je na izvor prostoperiodičnog napona. Parametri kola su: R = 200 , L = 250 H i C = 1 nF. Odrediti: a) frekvenciju pri kojoj u kolu dolazi do strujne rezonanse ( antirezonanse ) f o i admitansu kola u tom slučaju, b) Za koju frekvenciju impedansa kola ima kapacitivni karakter ( XC  XL )? c) Za koju frekvenciju impedansa kola ima induktivni karakter? 7.2.12. Otpornik R = 100 k induktivnost L =100 H i kapacitivnost C = 200 pF vezani su paralelno. Odrediti: a) kompleksnu admitansu kola pri kruţnoj učestanosti  = 1,5106 rad/s b) rezonantnu frekvenciju kola, c) faktor dobrote Q. 7.2.13. Paralelna veza otpornika otpornosti R = 10 , kalema induktivnosti L = 100 H i kondenzatora kapacitivnosti C = 100 F priključena je na izvor napona U = 10ej0 V , promenljive frekvencije. Odrediti struje pojedinačnih grana kao i ukupnu struju za: a)  = 0,8o; b)  = o; c)  = 1,25o. 7.2.14. o R2

R1

L

C

Za kolo prema slici 7.2.14. poznati su parametri kola: R1 = 8  , L = 1,2 mH i R2 = 8,34 . Kondenzator je promenljivog kapaciteta. Kolika će biti kapacitivnost kondenzatora da bi kolo bilo u strujnoj rezonansi ( antirezonansi ) ako je kruţna frekvencija kolo o = 5 000 rad/s?

o Sl.7.2.14. 7.2.15. Ako u predhodnom zadatku, slika 7.2.14, umesto promenljivog kapaciteta imamo promenljivu induktivnost, odrediti pri kojoj će induktivnosti doći do strujne rezonanse ( antirezonanse). Brojni podaci: R1 = 2 ; R2 = 5 ; C = 20 F i o = 5 000 rad/s. 7.2.16.

L1

L2

Za kolo prikazano na slici 7.2.16. izračunati: a) rezonantnu kruţnu frekvenciju i b) antirezonantnu kruţnu frekvemciju. Brojni podaci: L1 = 1 H; L2 = 2 H; C1 = 1 F i C2 = 2 F .

C1

C3 Sl.7.2.16.


97

7.2.17. i

R1

+  u

i2

U kolu prema slici 7.2.17. poznato je:

R2

i1

u = 24 2 sin ( 2 000 t  45 ) V, R1 = R2 = 2  i XC = 2 . Ako je kolo u antirezonansi ( strujnoj rezonansi ) odrediti induktivnost kalema L, sve struje u kolu u analitičkom izrazu ( i, i1 i i2 ) i aktivnu snagu kola P.

L

XC Sl.7.2.17.

7.2.18. Kalem otpornosti R i induktivnosti L i kondenzator nepoznatog kapaciteta C, vezani su paralelno i priključeni na naizmenični napon učestanosti f. Odrediti kapacitet C tako da ukupna struja kola bude u fazi sa priključenim naponom. Brojni podaci: R = 5 ; L = 100 mH; f = 50 Hz. 7.2.19. Kalem otpornosti RL i induktivnosti L i kondenzator kapacitivnosti C vezani su paralelno i priključeni na naizmenični napon efektivne vrednosti U, početne faze  i promenljive učestanosti f. Odrediti: a) učestanost f pri kojoj su napon U i ukupna struja I kola u fazi, b) kompleksne izraze za struje po granama, kao i ukupnu struju kola. c) Nacrtati fazorski dijagram struja u kolu. Brojni podaci: L = 1 H; C = 250 nF; RL = 400 ; U = 100 V;  = 0. 7.2.20. R1

Dva otpornika R1 i R2, kalem induktivnosti L i kondenzator kapaciteta C, vezani su prema slici 7.2.20. i priključeni na napon efektivne vrednosti U, promenljive učestanosti f. Odrediti: a) učestanost pri kojoj nastupa antirezonansa, b) kompleksne izraze za struje u kolu, c) fazorski dijagram struja.

L

I1 C

I2 R2 I o

+

U

o

Sl.7.2.20.

Brojni podaci: R1 = 200 ; R2 = 300 ; L = 20 mH; C = 2 F; U = 100 V.

7.2.21. Redna veza kalema induktivnosti L = 100 mH i kondenzatora kapacitivnosti C = 10 F priključena je na naizmenični napon u = 200 cos 103 t V, prema slici 7.2.21. Dielektrik kondenzatora je loš, tako da mu je tg  = 0,5. Odrediti sve napone, struje i snage na svim elementima kola i nacrtati potpuni fazorski dijagram napona i struja.

C

L

tg  u

o

o

Sl.7.2.21.

7.2.22. o

L1

R1

R2

L2

C2

Kolo, prikazano na slici 7.2.22, priključeno je na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 150 V. Odrediti: a) sve struje i padove napona u kolu, b) faktor dobrote kola ( faktor Q ), c) Nacrtati potpuni fazorski dijagram napona i struja.

C1 Brojni podaci: R1 = XL1 = XC1 = 50 ;

o

R2 = XL2 = XC2 = 100 .

Sl.7.2.22.


98

7.2.23. R1

C1

L1

R2

Izračunati rezonantne i antirezonantne učestanosti za kolo prema slici 7.2.23. Brojni podaci: R1 = R2 = 2,5 ; L1 = 20 mH; L2 = 30 mH; C1 = 200 pF; C2 = 300 pF

C2

L2

o A

o B Sl.7.2.23.

7.2.24. C

L

Na kojim je kruţnim učestanostima, prema slici 7.2.24: a) impedansa jednaka nuli, b) admitansa jednaka nuli ?

C

o

o Sl.7.2.24.

7.2.25. 2C

Odrediti sve kruţne učestanosti pri kojima je ulazna ( ukupna ) admitansa kola prema slici 7.2.25 jednaka nuli.

o

L C

C

2L

o

2

Sl.7.2.25. 7.2.26.

R

Za kolo prikazano na slici 7.2.26. odrediti: a) kruţnu učestanost pri kojoj dolazi do antirezonanse b) efektivne vrednosti struja po granama pri antirezonansi.

o C

U;

L

o Sl.7.2.26. 7.2.27. R2

C

R1

L

E

Rg

+

U kolu prikazanom na slici 7.2.27, poznato je: E = 100 V; Rg = 50 ; R1 = 2 ; R2 = 1 ; i L = 3 H. Učestanost pri kojoj nastupa antirezonansa u kolu je fo = 500 kHz. Odrediti: a) nepoznatu kapacitivnost kondenzatora C, b) aktivnu snagu koju generator daje kolu pri frekvenciji na kojoj je došlo do antirezonanse u kolu.

Sl.7.2.27.


99

7.2.28. L

C

L

U kolu prikazanom na slici 7.2.28. učestanost prostoperiodičnog napona se moţe menjati. Odrediti: a) Kruţnu učestanost pri kojoj u kolu nastaje rezonansa ( naponska rezonansa ) b) Kruţnu učestanost pri kojoj u kolu nastaje antirezonansa ( strujna rezonansa ).

o U;

C

L

C

o Sl.7.2.28. 7.2.29. R1

XL

R2

XC

Odrediti kapacitet kondenzatora C pod uslovom da se kolo prikazano na slici 7.2.29. nalazi u antirezonansi pri kruţnoj učestanosti . Brojni podaci: R1 = 8 ; XL = 6 ; R2 0 8,34 ;  = 5 000 rad/s.

o

o Sl.7.2.29.

7.2.30. R1

L

R2

C

Za kolo prikazano na slici 7.2.30, odrediti pri kojoj će induktivnosti L doći do antirezonanse ( strujne rezonanse ), ako je kruţna frekvencija jednaka .

o

Brojni podaci: R1 = 2 ; R2 = 5 ; XC = 10 ;  = 5 000 rad/s.

o Sl.7.2.30.

7.2.31. Koja kriva, prikazana na slici 7.2.31, predstavlja zavisnost impedanse paralelnog oscilatornog kola u funkciji kruţne učestanosti ( Z = f () ), ako je aktivna otpornost jednaka nuli ( R = 0 ). Tačan odgovor zaokruţiti i prokomentarisati. a)

Z

Z

0

o



0

d)

c)

b)

Z

o



0

Z

o



0


o



100

8. INDUKTIVNO SPREGNUTA KOLA Dva kalema, u neposrednoj blizini, pored vlastite induktivnosti raspolaţu i sa meĎusobnom induktivnošću. Kako je ova meĎusobna sprega ostvarena magnetnim poljem ( meĎusobnom induktivnošću ), za ovakvo kolo kaţemo da je induktivno spregnuto kolo. To znači da je usled ove meĎusobne induktivnosti u svakom od ovih kalemova došlo do odreĎene promene energije ( povećava se ili se smanjuje ). 8.1. KOEFICIJENT INDUKTIVNOSTI I MEĐUSOBNE INDUKTIVNOSTI Induktivnost kalema je definisana količnikom sopstvenog fluksa i struje koji ga stvara.  d Dale, L  , odnosno L  I di Iz navedenih izraza fluks u kalemu je jednak:   LI ( konstantan ) ili d  Ldi ( promenljivi fluks ). 11

Ukupni fluksevi, kao što se vidi na sl.56, jednak je: za prvu konturu :  1  L 1 I 1  L 21I 2 ,

12

I1

a za drugu:  2  L 2 I 2  L 12I 1 , gde je: - L1I1... fluks kojeg stvara prva kontura svojom strujom I1, - L2I2... fluks kojeg stvara druga kontura svojom strujom I 2, - L12I1... deo fluksa prve konture koji prolazi kroz drugu konturu, a stvara ga struja prve konture, - L21I2... deo fluksa druge konture koji prolazi kroz prvu konturu, a stvara ga struja druge konture.

I2 22 21 Sl.56.

Uzajamne induktivnosti, koja se još nazivaju i koeficijentom uzajamne induktivnosti, su meĎusobno jednake, pa sledi:   d d L12  L 21 L m  12  21 , odnosno L12  L 21  L m  12  21 ( dinamička induktivnost ). I1 I2 di 1 di 2 Uzajamna induktivnost Lm zavisi od pojedinačnih induktivnosti L1 i L2 i od koeficijenta sprege k ( poloţaja kontura ). Ona iznosi: Lm Lm  k L1L 2  k L1L 2 8.2. ANALIZA INDUKTIVNO SPREGNUTIH KOLA Kod induktivno spregnutih kola ( kalemova ), zbog meĎusobne induktivnosti izmeĎu kalemova ekvivalentna induktivnost svakog od tih kalemova se menja ( povećava ili smanjuje ). To znači da se usled toga menja i induktivni otpor tih kalemova. Induktivnost će se povećati ako se fluksevi kalemova podrţavaju ( istog smera ), a smanjuje ako se fluksevi suprostavljaju ( fluksevi suprotnih smerova). Da bi se znalo da li se fluksevi sabiraju ili oduzimaju pored svakog kalema zvezdicom je obeleţen smer fluksa. Pored smera fluksa bitan je i smer struje. Ako obe struje napajanja ( I 1 i I2 ) istovremene ulaze ili izlaze u priključke kalemova označene zvezdicom, fluksevi se sabiraju ( sl 57.a i c ), pa je meĎusobna induktivnost pozitivna ( Zm = jLm ). Ako samo jedna struja ulazi u obeleţeni priključak kalema ( druga u neobeleţeni kraj kalema ) fluksevi se oduzimaju, meĎusobna induktivnost negativnaje, pa je Zm =  jLm ( sl.57 b i d ). Ovi smerovi struja i flukseva, prikazani na sl. 57,omogućuje nam odreĎivanje ekvivalentne induktivnosti kola. I1



 Lm

Zm = jLm a)

I2

I1





I2

I1

Lm

I2

 Lm

 Zm = jLm

Zm = jLm b)

c)

I1



I2

Lm  Zm = jLm d)

Sl.57.


101

o

I1

R1

R2

 L1

I2

+ R3

Lm

I

II

 L2

U

C

I3

o

Ako su, prema slici 58, poznati svi navedeni parametri kao i ukupni napon U, struje po granama odreĎujemo iz sistema jednačina, čiji broj odgovara broju struja ( nepoznatih ). Jednačine postavljamo na osnovu Kirhofovih pravila, vodeći računa da se one moraju pisati u kompleksnom broju. Reaktivni otpori kalemova i kondenzatora iznose: XL1 = L1; XL2 = L2; XC = 1/C i Xm = Lm.

Sl.58. Na osnovu zvezdica vidimo da su fluksevi istog smera ( potpomaţu se ) pa će ekvivalentna induktivnost po kalemovima da se poveća, a samim tim povećava se i ekvivalentni induktivni otpor po kalemovima. Primenjujući Kirhofova pravila, za kolo prema sl. 215, slede jednačine, čiji broj odgovara broju grana ( struja ): I1 = I2 + I3 ………………………………………………….. ( 1 ) U  R1 I1  jXL1 I1  jXm I3  R3 I3  jXL2 I3  jXm I1 = 0 …. ( 2 ) … prva kontura  R2 I2  (  jXC ) I2 + jXL2 I3 + jXm I1 + R3 I3 = 0 …………. ( 3 ) … druga kontura. Rešenjem ovih jednačina dobiju se rešenja nepoznatih struja I 1, I2 i I3. Na isti način se rešavaju i ostala kola, kao i sloţena kola, pri čemu se mogu primeniti razne metode (konturne struje, metoda Tevenena …). Ako napon U podelimo sa strujom I1 ( ukupna struja ) dobije se ekvivalentna impedansa kola, koja iznosi: U Ze   R e  jX e . Iz ekvivalentne impedanse izračuna se i ekvivalentna induktivnost kola Le ( Xe = Le ). I1 Induktivno spregnuto kolo sa jednim izvorom ( bez galvnaske veze )

o

I1

R1

Za kolo prema slici 59, sledi sistem jednačina, koristeći drugo Kirhofovo pravilo: U  I1R1  I1 jXL1 + I2 jXm + I2 jXC = 0 i 0 + I2R2 + I2 jXL2  I1 jXm  I1 jXC = 0.

R2 Lm

+ L1

U

L2

C1

I2

Navedene jednačine se mogu predstaviti i u sledećem obliku: U = I1 Z1 + I2 Zm  U = I1( R1 + jXL  jXC )  I2 jXm. 0 = I2 Z2 + I1 Zm  0 = I2( R2  jXC )  I1 jXm; gde je Zm = jXm =  jLm.

C2

o Sl.59.

Kako je struja I2 nastala usled indukcije ( izmeĎu kalemova postoji samo magnetna veza – nema galvanske veze ), ova struja, po Lencovom pravilu, će svojim fluksom da se suprostavi fluksu prvog kalema. Dakle, fluksevi se meĎusobno oduzimaju, što znači da je rezultantni fluks umanjen, a samim tim je manja i ekvivalentna induktivnost. U kompleksnom obliku, za navedeno kolo, induktivni otpor usled uzajamne induktivnosti ( Xm ) se ponaša suprotno u odnosu na induktivni otpor usled samoindukcije ( X L ). Induktivno spregnuta kola sa dva ( i više ) izvora R1

R2 Lm  L1

+ E1 I1

+ E2

L2

C1



Sl.60.

C2 I2

Prema slici 60, koristeći drugo Kirhofovo pravilo, slede dve jednačine sa dve nepoznate ( nepoznate I1 i I2 ). Kako se fluksevi kalemova meĎusobno jedan drugom suprostavljaju, sledi da će induktivni otpor po kalemovima da se smanji.Na osnovu navedenog nastaju jednačine: E1 = I1 Z1 + I2 Zm  E1 = I1( R1 + jXL1  jXC2 )  I2 jXm E2 = I2 Z2 + I1 Zm  E2 = I2( R2 + jXL2  jXC2 )  I1 jXm gde je Zm =  jXm =  jLm


102

ZADACI: 8.1. R1

Na slici 8.1, prikazana su dva induktivno spregnuta kola prostoperiodične naizmenične struje. a) Napisati kompleksne jednačine po Kirhofovim pravilima za data spregnuta kola. b) Odrediti kompleksne izraze za struje spregnutih kola. c) Odrediti izraz za kompleksnu ulaznu impedansu spregnutih kola ( sa primarne strane ).

R2 

+ U;f C1

k

L1

L2 C2

 Sl.8.1.

8.2. R1

L1

o

Izračunati ulaznu ( ekvivalentnu ) impedansu kola prema slici 8.2, ako su poznati sledeći podaci: U = U = 10 V;  = 2 000 rad/s; R1 = 15 ; R2 = 25 ; L1 = 5 mH; L2 = 7 mH i k = 0,676.

 I

U: R2

L2

o



Sl.8.2. 8.3. +  E

 L

k ZP

L 

Izračunati aktivnu snagu prijemnika u induktivno spregnutom kolu prostoperiodične struje, prikazanom na slici 8.3. Brojni podaci: E = 10 V; L = 1 ; k = 1; i ZP = ( 1  j1 ) .

Sl.8.3. 8.4.  L1

 L2

k



+ E

IS

U induktivno spregnutom kolu prostoperiodične naizmenične struje prikazanom na slici 8.4. poznato je: IS = 0,2 A; L1 = 20 ; L2 = 50  i E = j10 V. Izračunati efektivnu vrednost napona idealnog strujnog generatora.

Sl.8.4. 8.5. o Le 



k

L

L

L

Izračunati ekvivalentnu induktivnost induktivno spregnutog kola, prikazanog na slici 8.5, ako je L = 1 mH i k = 1.

 o Sl.8.5.


103

8.6. L1

o

Efektivna vrednost napona na koji je priključena redna veza induktivno spregnutih kalemova, na slici 8.6, je U = 10 V, a kruţna učestanost  = 104 rad/s. Pri ovoj učestanosti reaktanse kalemopva iznose XL1 = 100  i XL2 = 64 . Koeficijent sprege je k = 1. Kolika je efektivna vrednost napona na drugom kalemu U 2 ?

 k

U

L2

o



U2 Sl.8.6. 8.7. o



Izračunati ekvivalentnu induktivnost paralelne veze dva induktivno spregnuta kalema prikazana na slici 8.7.

k =1 

o Sl.8.7. 8.8. Odrediti ekvivalentnu induktivnost izmeĎu tačaka 1 i 2 za induktivno spregnuto kolo ( mreţu ) prikazano na sl. 8.8.

L  k

Brojni podaci: L = 4 mH; k = 0,5.

L  1o

o2 Sl.8.8.

8.9. 

k

L

IS

L

L



Za induktivno spregnuto kolo prema slici 8.9. izračunati prividnu snagu koju daje strujni generator. Brojni podaci:

IS = 0,2 A; L = 20  i k = 1.

Sl.8.9. 8.10. o I1

L



Le 

L I2

Izračunati ekvivalentnu induktivnost mreţe kalemova prema slici 8.10.

k =1 L 

o Sl.8.10.


104

8.11. L

o 

Izračunati ekvivalentnu induktivnost mreţe kalemova prema slici 8.11.

k =1 L

L 

L o

Sl.8.11. 8.12. k 

Dva kalema induktivnosti L1 = 4 mH i L2 = 1 mH i koeficijenta sprege k = 1, prikazana na slici 8.12, treba vezati na red tako da ekvivalentna induktivnost bude a) maksimalna, i b) minimalna. Nacrtati te dve veze i izračunati kolika je ekvivalentna induktivnost u oba slučaja.

 L1

L2

o A

o B

o C

o D

Sl.8.12. 8.13. o 

+ I

L1 I1

U

Odrediti ulaznu impedansu za induktivno spregnuto kolo prostoperiodične struje prikazanog na slici 8.13.

Lm L2 I2

C1

Brojni podaci: L1 = L2 = 5 ; 1/C1 = 10 ; 1/C2 = 3  i k = 0,2.

 C2

o Sl.8.13. 8.14.  +  U

L1 I



I2 I1

L2

U kolu prema slici 8.14. treba odrediti struje I, I 1 i I2, kao i pad napona UZ na impedansi Z: Z

Brojni podaci: L1 = 3 ; L2 = 9 ; Lm = 1 ; Z = j16  i U = 100 V.

Sl.8.14.

8.15. L1  A  I + L2  U

I2 I1

R1 B

U kolu prema slici 8.15. odrediti struje I, I1 i I2, kao i pad napona UZ na impedansi Z. Z

Brojni podaci: U = 700 V; Z = ( 40  j85 ) ; L1 = 15 ; L2 = 45; Lm = 5  i R1 = 50.

Sl.8.15.


105

8.16. 1/C

L



U kolu prema slici 8.16. odrediti struje I, I1 i I2.

1

I



I2

L2

+  U

I1

R3

Brojni podaci: U = 204 V; R1 = 2 ; R2 = 2 ; R3 = 31,5 ; L1 = 8 ; L2 = 16 ; Lm = 4  i 1/C = 34,5 .

R2 R1

Sl.8.16. 8.17. R1 I1

Na slici 8.17. su data dva induktivno spregnuta kola. Poznati su sledeći parametri: XL1 = 13,5 ; XL2 = 15 ; Xm = Lm = 5 ; R1 = 8,5 ; R2 = 5 ; XC2 = 10  i kompleksna prividna snaga generatora S = 2 200 VA. Odrediti: a) reaktansu XC2 b) komlesni napon izvora U.

R2 

+

Lm

 L2

L1

U C1

I2 C2

Sl.8.17. 8.18. Za spregnuto kolo prikazano na slici 8.18. odrediti struje i ulaznu impedansu i nacrtati kompletan fazorski dijagram struja i napona.

o R1 U L1

k R2

L2

Brojni podaci: R1 = R2 = 1 ; XL1 = XL2 = 2 ; k = 0,5 i U = 10 V.

o Sl.8.18. 8.19. R1

R2

o k L1

U o

L2

I1

C I2

Sl.8.19.

Kroz drugi kalem spregnutog kola, prikazanog na slici 8.19, protiče kompleksna struja efektivne vrednosti I2 = 2 A. Odrediti struju I1 koja protiče kroz prvi kalem, ukupni napon U na koji je kolo priključeno i nacrtati kompletan fazorski dijagram napona i struja. Brojni podaci: L1 = L2 = 5 ; R1 = 2 ; R2 = 3 ; 1/C = 2  i k = 0,6.

8.20. C +  E1

L1

  k

L2

Sl.8.20.

+  E2

Dva kola, sa generatorima elektromotornih sila E1 i E2 su induktivno spregnuta, kao na slici 8.20. Ako je koeficijent sprege k = 0,5 , odrediti: a) aktivnu i reaktivnu snagu oba generatora, b) Nacrtati potpuni fazorski dijagram napona i struja. Brojni podaci: E1 = 10ej V; E2 = 10ej/2 V; XL1 = XL2 = 2 ; XC = 3 .


106

8.21. o

 k

L1



Za induktivno spregnuto, kolo prikazano na slici 8.21, odrediti sve struje u kolu.

L2

Brojni podaci: XL1 = XL2 = 2 ; XC1 = 2 ; R = 1 ; k = 0,5; E = 10 V.

E C

R

o Sl.8.21.

8.22. R1 

+ U

R2

Na slici 8.22. prikazana su dva induktivno spregnuta kola prostoperiodične naizmenične struje. Odrediti: a) ulaznu impedansu kola, b) kompleksnu snagu kola.

C2

Brojni podaci: R1 = 6 ; XL1 = 10 , XC1 = 20 ; R2 = 4 ; XL2 = 15 ; XC2 = 20 ; k = 0,3; U = 100 V.

k

L1

L2

C1

 Sl.8.22.

8.23. 2C2 Za dato kolo ( dvopol ), prikazano na slici 8.23, odrediti vrednost kapacitivne reaktanse XC2 tako da ulazna impedansa bude jednaka Zul = j 7 .

o  k

L1

Zul

L2 Brojni podaci: L1 = L2 = 5 ; k = 0,2

 o 2C2 Sl.8.23. 8.24. R 

L1

E

Za dato kolo, na slici 8.24, odrediti pri kojem će koeficijentu meĎusobne induktivnosti struja generatora biti jednaka nuli, ako je struja drugog kola ( sekundarnog ) jednaka I2 = j2 A.

Lm L2

C2

C1

Brojni podaci: L1 = L2 = 2 ; 1/C1 = 1/C2 = 1 ; R = 1 ; E = 1 V.

Sl.8.24.


107

8.25. Induktivno spregnuto kolo prema slici 8.25. priključeno je na napon efektivne vrednosti U = 100 V, učestanosti f = 50 Hz. Kada su kalemovi povezani u istom smeru ( fluksevi se sabiraju ) izmerena je struja efektivne vrednosti I1 = 2 A, pri čemu je aktivna snaga kola jednaka P1 = 100 W. Kada se jedan kalem ( drugi ) kontra spoji merena struja je jednaka I2 = 2,5 A. Odrediti R2 , L2 , Lm ( M ) i k.

R1 o 

()

L1

U;f

L2 

R2

o

Brojni podaci: R1 = 10 ; L1 = 50 mH. Sl.8.25.

8.26. Xm 

o

U induktivno spregnutom kolu, prema slici 8.26, odrediti reaktansu XC2.

 XL1

I1

XC1

U

XL2

I3

I2 XC2

Brojni podaci: U = j10 V; I2 = 4 A; Xm = 1 ; XL1 = XL2 = 2 ; XC1 = 1 .

o Sl.8.26. 8.27. A  I1

I2

R1 k



I;

R2

L1

 L2

Za induktivno spregnuta dva kola, prikazana na sl.8.27, odrediti: a) kompleksne struje paralelno vezanih grana, b) kompleksni napon na krajevima strujnog generatora i c) kompleksnu ulaznu impedansu kola.

 B Sl.8.27. 8.28. o

+

I

I2 R1

I1 U;



Lm

L1

R2  L2

U kolu prostoperiodične struje prikazanom na sl.8.28 poznato je: U = 13 V; R1 = 20 ; L1 = 40 ; R2 = 20 ; L2 = 60  i Lm = 40 . a) Odrediti kompleksne izraze za struje svih grana kola i b) Nacrtati fazorski dijagram napona i struja datog kola.

o Sl.8.28.


108

8.29.

+

R1

1  U;  5

L1

2 

L m  L 2  4

R2

Za kolo prikazano na slici 8.29. odrediti: a) kompleksni izraz za struju u kolu, b) kompleksne izraze za napone na krajevima svih elemenata u kolu i c) nacrtati fazorski dijagram napona.

3

Brojni podaci: U = 16 V;  = 104 rad/s; R1 = 10 ; R2 = 30 ; L1 = 4 mH; L2 = 6 mH i Lm = 3 mH.

Sl.8.29. 8.30. 1 o

L

 +

I



Lm

U

Za kolo prostoperiodične struje prema slici 8.30. odrediti: a) kompleksne struje, b) kompleksne napone na svim elementima kola i c) nacrtati fazorski dijagra napona i struja.

2  I2 R

I1

L

Brojni podaci: U = 24 V; XL = 40 ; R = 10 ; k = 0,5.

 3

o Sl.8.30. 8.31.

IS

k

 L1

 L2

+ E

Za kolo prostoperiodične struje, prikazano na slici 8.31, odrediti: a) efektivnu vrednost struje naponskog generatora i b) efektivnu vrednost napona na krajevima strujnog generatora. Brojni podaci: E = j 5 V; Ig = 0,2 A; XL1 = 20 ; XL2 = 50 ; Xm = 10 .

Sl.8.31. 8.32.

Za induktivno spregnuto kolo, prikazano na slici 8.32. poznato je: iS = 2 sin 103 t ; R1 = R2 = 10 ; XL1 = XL2 = 10 ; XC2 = 10  i k = 0,6.

R1 IS

L1

Lm Odrediti: a) meĎusobnu induktivnost ovih kola u oba slučaja i b) napon strujnog generatora US i prividnu snagu koju daje strujni generator S

R2 L2 C2 Sl.8.32.

8.33. +

o

 I1

L1

Lm U I2

 L2

Dva induktivno spregnuta kalema induktivnosti L1 i L2 vezana su na red, kao na slici 8.33 . Koeficijent sprege je k. Kalem induktivnosti L2 je kratko spojen. Naći ekvivalentnu induktivnost kola ( ulazna induktivnost ). Brojni podaci: L1 = 500 mH; k = 0,5.

o Sl.8.33.


109

8.34. o

 I1

Za kolo prikazano na slici 8.34. odrediti ulaznu impedansu induktivno spregnutog kola

L1

U

Brojni podaci: L1 = L2 = 2 ; Lm = 1 ; Z3 =  j3 .

 I3 L2

I2

Z3

o Sl.8.34.

8.35. o



+

L1

I1

Na slici 8.35. prikazano je prostoperiodično kolo naizmenične struje. Kolika je kompleksna ulazna impedansa kola?



k L2

U

C

Brojni podaci: L1 = 9 mH; L2 = 4 mH; k = 4; C = 5 F;  = 104 rad/s.

o Sl. 8.35. 8.36. R1 o

R2

+

 Lm 

I1

I2 L2

L1 U;f

Za kolo prostoperiodične struje, prikazanog na slici 8.36, odrediti kompleksnu impedansu Z tako da struja otpornika R2 bude jednaka nuli. Brojni podaci: L1 = 9 mH; L2 = 4 mH; k = 0,5;  = 103 rad/s

I o Sl. 8.36. 8.37. o

+ U;f



k

C L1

 L2

Odrediti izraz za kompleksnu admitansu kola prostoperiodične struje prikazanog na slici 8.37. Kolika je kruţna učestanost antirezonanse u ovom slučaju?

o Sl. 8.37.


110

8.38. L2



Lm

Odrediti izraz za kruţnu učestanost, za kolo prikazano na sl. 8.38, pri kojoj će doći do pojave antirezonanse ( strujne rezonanse ).

C

 L1 o

+

U;

o

Sl. 8.38.

8.39.

+  E

I1

 L1

Lm

Z1

 I2 L2 Z2

Izračunati jačinu struje u obe konture induktivno spregnutih kola prema slici 8.39. Brojni podaci: E = 1 V; Z1 = ( 10  j5 ) ; L1 = 2 mH; L2 = 5 mH; Z2 = ( 5 + j5 ) ; f = 1 kHz; Lm = 3 mH, ( Lm se najčešće obeleţava sa M ).

Sl. 8.39.


111

9. MOSTOVI ZA NAIZMENIČNU STRUJU Mostovi za naizmeničnu struju su analogni mostovima za jednosmernu struju. Razlika je u tome što je otpornost kod jednosmernih mostova zamenjena impedansom kod naizmeničnih mostova . Most za naizmeničnu struju, kao i za jednosmernu, se sastoji od četiri grane i dve dijagonale. U granama mosta se vezane impedanse, u jednoj dijagonali mosta je priključen izvor, dok je u drugoj dijagonali indikator nule ( naizmenični galvanometar ). Električna šema naizmeničnog mosta je prikazana na slici 61. Z1

C 

A

Z2 B

N Z3

 D U



Sl.61.

Z4

Primena metode mostova je vrlo velika u mernoj tehnici, a naročito kod najpreciznijih merenja. To su tzv. nulte metode, čiji se princip rada svodi na ravnoteţu mosta ( u jednoj dijagonali struja je jednaka nuli ). To će se dogoditi kada su tačke C i D, prema slici 257, na istom potencijalu, Uslov ravnoteţe mosto je, po analogiji na jednosmerni most, kada je: Z1 Z 3  Z1Z4 = Z2Z3.  Z2 Z4 Ako pretpostavimo da impedanse sadrţe aktivnu i reaktivnu otpornost, tada je njihov kompleksni izraz jednak: Z1 = R1 + jX1; Z2 = R2 + jX2; Z3 = R3 + jX3 i Z4 = R4 + jX4.

( R1 + jX1 )( R4 + jX4 ) = ( R2 + jX2 )( R3 + jX3 )  R1R4 + jR1X4 + jR4X1  X1X4 = R2R3 + jR2X3 + jR3X2  X2X3  Izjednačavanjem realnih, kao i imaginarnih delova kompleksne jednačine, nastaju sledeće dve jednačine, koje ujedno i preddsravljaju uslov ravnoteţe mosta: R1R4  X1X4 = R2R3  X2X3 ……………… ( 1 ) R1X4 + R4X1 = R2X3 + R3X2 ……………… ( 2 ) Kako obe jednačine moraju biti zadovoljene, da bi most bio u ravnoteţi, tada se dovoĎenje mosta u ravnoteţi izvodi sa dva promenljiva otpora ( najčešće je jedan aktivan a drugi reaktivan ). Jedan otpornik sreĎuje jednu jednačinu a drugi drugu. Promene moraju biti postepene i naizmenične sve dok indikator nule ne pokaţe nulu. Ovi mostovi se koriste za merenje induktivnosti, kapacitivnostii frekvencije ( svih parametara koji se nalaze u impedansi ), i to kod onih merenja gde se traţi veća preciznost. Termogena otpornost se moţe izmeriti mostom za jednosmernu struju, koji je znatno jednostavniji za dovoĎenje mosta u ravnoteţu, pa se on kod naizmeničnog mosta tretira kao usputna pojava ( uz navedene parametre moţe se izmeriti i termogena otpornost ). Za različita meranja različite su i varijante mosta koji imaju i različite nazive. Najpoznatiji mostovi za naizmeničnu struju su: Maksvelov i Maksvel  Vinov ( za induktivnost ), Vinov i Šeringov ( za kapacitet ) , rezonantni i Vin  Robinsonov most ( za frekvenciju ), itd. Pri rešavanju zadataka kod mostova treba imati u vidu to da su moguće samo dve varijante: 1) most nije u ravnoteţi i 2) most je u ravnoteţi. Kod prve varijante ako indikator nule ima neku otpornost ( ili je umesto njega peta impedansa ) tada su impedanse vezane u trougao, odnosno zvezdu, pa se rešenje zadatka traţi metodom transformacije, ili pak pomoću sloţenih kola ( metoda Tevenena ). Ova varijanta zbog kompleksnog računa je dosta sloţena. Druga varijanta je znatno jednostavnija. U ovom slučaju ( most u ravnoteţi ) tačke C i D su na istom potencijalu ( sl. 61 ), pa se indikator nule, kao i svaka impedansa koja se naĎe umesto njega moţe izbaciti iz kola. Na isti način umesto indikatora nule moţe se uzeti i kratka veza. Na ovaj način lako se rešava ukupna impedansa kola, samim tim i struja u kolu. Pri ovom proračunu koristiti se i jednačina koja je ujedno i uslov ravnoteţe mosta.


112

ZADACI: 9.1. Z1

Z2

I1

I2 I5

Z5

Z3

Z4

I3

I

Naizmenični Vitstonov most, prema slici 9.1, je uravnoteţen. Odrediti: a) nepoznata impedansa Z1 b) sve struje u mostu. Brojni podaci: Z2 = 5 ; Z3 = 2  i Z4 = j40 ; Z5 = j10 ; E = 100 V.

I4 

E

Sl.9.1. 9.2. R1

R3

A

R2

C 

L3

R4

 D

L2

U; f

o

B

Za naizmenični most prikazan na slici 9.2. uspostavljena je ravnoteţa mosta sa sledećim vrednostima elemenata: R1 = 10 ; R2 = 50 ; R3 = 2 ; L3 = 0,2 H; U = 100 V i f = 50 Hz. Odrediti: a) vrednosti elemenata R4 i L4 i b) ukupnu struju kola.

o

Sl.9.2. 9.3. R1

A

R3

R2

C 

B

Za naizmenični most ( Vin Robinsonov most ), prikazan na slici 9.3, uspostavljena je ravnoteţa mosta. Odrediti: a) učestanost izvora, b) struje treće i četvrte grane i c) snagu na otporniku R3.

o

Brojni podaci: R1 = 160 ; R2 = R3 = R4 = 80 ; C3 = C4 = 4 F; U = 240 V.

R4

C3  D

C4 U; f

o

Sl.9.3. 9.4. R2 R1

C  C2

R5 A

R3;L3

 D U; f Sl.9.4.

R4

B

Za naizmenični most, prema slici 9.4, uspostavlja se ravnoteţa mosta promenom otpornika R2 i kondenzatora kapaciteta C2. Ako je most u ravnoteţi pri R2 = 100  i C = 1 F, odrediti: a) induktivnost L3 i otpornost realnog kalema R3, b) struja u instrumentu ( indikatoru nule ) ako nakon ravnoteţe mosta zamenimo treću i četvrtu granu mosta. Brojni podaci: R1 = 10 ; R4 = R5 = 20 ; U = 220 V; f = 50 Hz.


113

9.5. R1

R2

R3

R4

C4

L4 

Za most, prema slici 9.5, uspostavljena je ravnoteţa pri sledećim vrednostima elemenata: R1 = 300 ; R2 = 150 ; R3 = 10 ; C = 400 pF; L = 25 mH. Kolika je nepoznata otpornost R4 i frekvenciju izvora f ?

E; f

Sl.9.5. 9.6. Z1

R2

R3

R4

Za uravnoteţeni most, prema slici 9.6, odrediti parametre impedanse Z1. Ako je napon izvora U = 100 V, odrediti ukupnu struju. L4 Brojni podaci: R2 = 6 ; R3 = R4 = 2 ; L4 = 10 mH; U = 100 V; f = 50 Hz.

o U; f o Sl.9.6.

9.7. R1

R2

C

L2

C5 A

R4

L3

C4 B

Za dati most, prema sl. 9.7, odrediti ukupnu struju I. Zadatak rešiti metodom transformacije. Brojni podaci: R1 = 5 ; R2 = 2,2 ; L2 = 6 ; L3 = 3 ; R4 = 6 ; 1/C4 = 6 ; 1/C5 = 3 ; U = 53,64 V.

D I



U

Sl.9.7.

9.8.

A R3

R4

Rx

R

Lx

L R1

R2

Vitstonov most za naizmeničnu struju, prema slici 9.8, dovesti u ravnoteţu ( podešavanjem dvaju klizača. Zašto? ). Odrediti vrednosti elemenata: R1, R2, R3 i R4, kada je uspostavljena ravnoteţa mosta.. Brojni podaci: Lx = 30 ; Rx = 10 ; L = 20 ; R = 10 ; R3 + R4 = 30 ; R1 + R2 = 100 .

B  Sl.9.8.


114

9.9. R C

R

R3

C

Odrediti pri kojoj će kruţnoj učestanosti  naizmenični most ( Vin Robinsonov ), prema slici 9.9, biti u ravnoteţi.

R4

Brojni podaci: R = 10 k; C = 100 nF; R3 = 500 ; R4 = 250 .

 Sl.9.9. 9.10. R1

R2

Lx

Odrediti nepoznatu induktivnost Lx, ako je naizmenični most ( Maksvel Vinov ), prema slici 9.10, uravnoteţen. Brojni podaci: R1 = 500 ; R2 = 400 ; R3 = 5 000 ; R4 = 4 000 ; C = 10 nF.

C4 R3 R4  Sl.9.10. 9.11. C1

Odrediti izraze po kojima se računa nepoznata induktivnost Lx i otpornost Rx, za naizmenični most prema slici 9.11.

R2 R1 0 R3

Lx



Rx

E; 

Sl.9.11. 9.12. Odrediti izraze za nepoznatu induktivnost Lx i otpornost Rx , za predhodni zadatak ( sl.9.11 ) uz pretpostavku da su R1 i C1 umesto paralelne veze, redno vezani. 9.13. Za naizmenični most prema slici 9.10, ( zadatak 9.10. ) odrediti izraze po kojima se odreĎuje induktivnost L i otpornost R1 realnog kalema. Objasniti kako se postiţe ravnoteţa mosta? Koji od poznatih elemenata traba da je promenljiv i koliko ih je da bi se most najlakše doveo u ravnoteţu ?


115

9.14. Cx

Rx

R2

R4 C3 C4 U

Naizmenični most ( Šeringov ), prema slici 9.14, koristi se za merenje kapacitivnosti Cx i redne otpornosti Rx. Izvesti izraze po kojima se odreĎuje traţena kapacitivnost i otpornost ako se pretpostavi da su preostali podaci sa slike poznati. Koja od dva elemenata u mostu treba da budu promenljiva ( najbolja varijanat ) ? Da li nepoznata kapacitivnost Cx zavisi od učestanosti ?



Sl.9.14.

9.15. LX

RX

R3

R2

R4

C4

Za naizmenični Vitstonov most, koji se koristi za merenje induktivnosti ( Hejov most ), prema slici 9.15, iz uslova za ravnoteţu mosta izvesti izraze za nepoznatu induktivnost LX i otpornost RX. Svi preostali parametri prikazani na slici se smatraju poznatim.

U;  Sl.9.15.


116

10. SLOŢENA ELEKTRIČNA KOLA 10.1. DEFINICIJA ELEKTRIČNIH KOLA Kola jednosmerne i kola naizmenične struje se razlikuju samo po vrsti otpora i izvoru napajanja, te je definicija električnih kola ista za naizmeničnu i za jednosmernu struju. U koloma naizmenične struje kao ekvivalentna otpornost koristi se impedansa Z, dok je u kolima jednosmerne struje prisutan samo otpornik R ( koji odgovara aktivnom otporu u kolu naizmenične struje ). Zbog toga će sledeće definicije da se odnose na naizmenična kola, što će biti naglašeno sa impedansom, kao i na jednosmerna kola , što će biti naglašeno otpornikom navedenim u zagradi. Prosta kola su ona kola koja sadrţe impedanse ( otpornike ) u rednoj i paralelnoj vezi, priključene na izvor napajanja ( ako je više izvora oni su u rednoj vezi ). Ovakva kola se rešavaju Omovim zakonom, gde se umesto navedenih impedansi (otpornika ) traţi ekvivalentna impedansa ( otpornost ). Sloţena kola su ona kola koja u paralelnim granama pored impedanse ( otpornika ) sadrţe i izvor napajanja. Ako je sloţeno kolo vrlo veliko ( veliki broj kontura ), vizuelno izgleda na mreţu ( veliki broj malih polja), pa se zbog toga za ova kolo često koristi termin električna mreţa. Ako mreţa sadrţi zamo impedanse ( otpornike ) naziva se pasivnom električnom mreţom, a ako sadrţi i generatore ( naponske ili strujne ) naziva se aktivnom električnom mreţom. Čvor je mesto u kolu gde se spajaju tri ili više grana ( provodnika ). Grana je elemenat ili redna veza elemenata spojena izmeĎu dva čvora. Kontura je bilo koji zatvoreni put od elemenata ( otpori, izvori ) i provodnika u električnom kolu. Sloţeno kolo moţe da sadrţi vrlo veliki broj zatvorenih kontura. Kontura moţe da sadrţi nezavisnu i zajedničku granu. Nezavisna grana je ona grana koja pripada samo jednoj konturu, a zavisna grana ( zajednička ) je ona grana koja pripada većem broju kontura ( dve ili više ). Graf je električna šema kola u kojoj su izostavljeni elementi kola. Graf sadrţi linije i čvorove pomoću kojih se predstavlja geometrijska struktura električne šeme. Umesto impedansi ( otpornika ) i izvora u šemi su ucrtane linije, na osnovu kojih se uprošćeno vide sve konture. Na osnovu grafa mogu se piostaviti sve jednačine, po svim metodama, a samim tim i jednostavnije doći do rešenja zadatka. 10.2. METODE ZA REŠAVANJE SLOŢENIH KOLA Za rešavanje sloţenih naizmeničnih kola ( mreţa ) koriste se sledeće metode: 10.2.1. Metoda Kirhofovih pravila; 10.2.2. Metoda konturnih struja; 10.2.3. Metoda zajedničkog napona; 10.2.4. Metoda superpozicije; 10.2.5. Metoda Tevenena ( ekvivalentni naponski generator ); 10.2.6. Metoda Nortona ( ekvivalentni strujni generator ). Sve metode za rešavanje mreţa ( sloţenih kola ) jednosmerne struje opisane u Osnovama elektrotehnike I mogu se u istom obliku primeniti i pri rešavanju mreţa naizmenične struje. Jedina je razlika što se sve veličine u naizmeničnim mreţama moraju izraziti u kompleksnom računu, ili pak vektorski. Kako je kompleksni račun u sistemu više jednačina vrlo sloţen, kod naizmeničnih sloţenih kola je vrlo bitno da se odabere prava metoda ( najjednostavnija ), kako bi i lakše rešili zadatak. To znači da je u kolima naizmenične struje, za razliku od jednosmerne, presudni cilj da je broj sistema jednačina što manji. Zbog navedenih razloga kod naizmeničnih mreţa najčešće se koriste sledeće metode: Metoda konturnih struja, metoda Tevenena, metoda zajedničkog napona. Koja će se metoda primeniti zavisi od više faktora ( broj kontura, broj traţenih nepoznatih veličina, poznavanje date metode, itd. ). Sva upustva za metode rešavanja sloţenih kola se nalaze u prvoj zbirci ( ZBIRKA IZ OSNOVA ELEKTROTEHNIKE I ).


117

ZADACI : 10.1.1. A  Z2

Z1 Z3

+



+



E1

Koristeći metodu Kirhofovih pravila odrediti struje po granama, prema slici 10.1.1; ako je dato: E1 = 100 V; E2 = j100 V; Z1 =  j2 ; Z2 = j5  i Z3 = 5 .

E2

 B Sl.10.1.1.

10.1.2.

Z1

Z2

Z3

+

+





E1

E2

Za kolo prema slici 10.1.2. odrediti sve struje u granama. Zadatak rešiti metodom Kirhofovih pravila. Brojni podaci: E1 = 100 V; E2 =  j50 V; Z1 = Z2 = ( 1 + j4 ) ; Z3 =  j3 .

Sl.10.1.2. 10.1.3. +



Metodom Kirhofovih pravila odrediti struje po granama, za prostoperiodično sloţeno kolo prema slici 10.1.3.

+

Z2



E1

E2

Z3 Z1 I1

Z4

I3

Brojni podaci: Z1 = ( 2 +j2 ) ; Z2 =  j2 ; Z3 = ( 4 + j3 ) ; Z4 = j3 ; e1 = 14,1 sin ( t  /4 ) V; E1 = E2 i e2 prednjači e1 za /2.

I2

Sl.10.1.3..

10.1.4.

Z1 IS

Z2

+



E

Za prostoperiodično sloţeno kolo, prema slici 10.1.4; odrediti: a) sve struje po granama, b) aktivnu snagu strujnog i naponskog generatora. Brojni podaci: IS = ( 0,7 + j1,4 ) A; E = ( 15 + j5 ) V; Z1 = ( 10  j30 )  i Z2 = ( 30 + j20 ) .

Sl.10.1.4.


118

10.1.5. A  Z1

+



E1

Z2

+



Z3

I3

U kolu prikazanom na slici 10.1.5, odrediti: a) efektivnu vrednost struje I3 u prijemniku impedanse Z3 i b) faznu razliku izmeĎu ems E2 i struje I3. E2 Brojni podaci: Z1 = ( 30 + j30 ) ; Z2 = 50 ; Z3 = ( 20 + j100 ) ; E1 = ( 100  j100 ) V; E2 = ( 100 + j100 ) V;

 B Sl.10.1.5. . 10.1.6.

I1

Za kolo prikazano na sl. 10.1.6 odrediti kompleksne jačine struja I1 i I2, kao i kompleksne snage svih impedansi i svih generatora.

L2

R Brojni podaci: R = 10 ; L2 = L3 = 31,83 mH; C2 = 159,16 F; f = 50 Hz; E1 = 10 V; E2 = ( 20  j10 ) V; IS = ( 0,6  j0,2 ) A.

R C2

L3

I2 +



+

E1



E2

Zadatak rešiti metodom Kirhofovih pravila. Proveriti da li je zadovoljena teorema o odrţavanju kompleksne snage u kolu.

IS

Sl.10.1.6.

10.1.7. L1

L2



e2

R1

R3

+

U kolu prema sl. 10.1.7, primenom Kirhofovih pravila, odrediti kompleksne struje u svim granama i proveriti zakon ( teoremu ) o odrţanju kompleksne snage u kolu.

+

R2



C

Brojni podaci: e1

e1 = 10 2 sin ( t  /4 ) V; e2 = 50 2 sin t V; L1 = 200 mH; L2 = 300 mH; R1 = 8 ; R2 = 20 ; R3 = 50 ; C = 100 F i  = 314 rad/s.

Sl.10.1.7.

10.1.8. R

L



R 2

L

+ e2

C R

C

+



e1

U kolu prema slici 10.1.8, koristeći metodu Kirhofovih pravila, odrediti izraze za trenutne vrednosti struja u svim granama, Brojni podaci: R = 40 ; L = 160 mH; C = 100 pF i e1 = 10 2 sin 500 t V; e2 = 20 2 cos 500 t V.

Sl.10.1.8.


119

10.1.9. R2

R1

U kolu na slici 10.1.9. odrediti kompleksne vrednosti za : elektromotornu silu naponskog generatora E, svih struja ( IS, IL i IC ) i svih snaga u kolu ( SE; SIs, PR1, PR2, QL i QC ), koristeći metodu Kirhofovih pravila.

C

iS

L Brojni podaci: R1 = 100 ; R2 = 80 ; L = 95,54 mH; C = 31,847 H;

+

e = 220 2 sin 314 t V i iS = 2 2 sin ( 314 t  /2 ) A.

e Sl.10.1.9.

10.1.10.



+ Z1

E

Z2

A 2

Z3

B 

C

Brojni podaci: E = ( 13 + j9 ) V; IS = j0,5 A; Z1 = ( 100 + j100 ) ; Z2 = ( 70 +j10 ) ; Z3 = ( 30  j10 ) ; Z4 =  j20 ; Z5 = 40 .

IS Z4

Z5

 D

U sloţenom kolu prostoperiodične struje, prikazanom na slici 10.1.10. odrediti: a) kompleksne izraze za sve struje u kolu; b) kompleksni izraz za napon na krajevima strujnog generatora.

Sl.10.1.10. 10.1.11. Za kolo prikazano na slici 10.1.11, odrediti: a) kompleksne izraze za struje u svim granama i b) kompleksne izraze za napone UBC i UCD.

B  Z1



Z2

+



Z3

E1

+ A

Z4

 C

E2

D

Z5

Brojni podaci: E1 = ( 20 + j20 ) V; E2 = ( 10 + j10 ) V; Z1 = ( 1  j3 ) k; Z2 = ( 1 + j2 ) k; Z3 = ( 4  j2 ) k; Z4 = ( 5 + j5 ) k; i Z5 = ( 15 + j5 ) k.

Sl.10.1.11.

10.1.12. 1  Z1

Za sloţeno kolo prostoperiodične naiymenične struje, prema slici 10.1.12, odrediti kompleksne izraze za struje u svim granama:



Brojni podaci: E1 = j2 V; E4 = j1 V; IS = ( 0,1 + j0,1 ) A; Z1 = j5 ; Z2 = 10 ; Z4 = ( 4  j7 ) ; Z5 = ( 3 + j4 ) .

Z5

Z2

+



IS

2 

E1

E4  3

Z4

+

Sl.10.1.12.


120

10.1.13. Z1 + E1

Z5

Za prostoperiodično kolo, prema sl. 10.1.13, odrediti sve struje u granama.

Z2 +





Z4

Z3

E2

Brojni podaci: E1 = 50 V; E2 = j50 V; Z1 = 5 ; Z2 = 2 ; Z3 = j2 ; Z4 =  j2 ; Z5 = 4 . Zadatak rešiti metodom Kirhofovih pravila.

Sl.10.1.13.

10.1.14.



A + 

C3

U mreţi ( sloţenom kolu ), prikazanom na sl. 10.1.14. izračunati jačinu struja u svim granama koristeći metodu Kirhofovih pravila.

E1 R2

L1

R4 IS5

 B

Brojni podaci: L1 = 0,1 H; R2 = 30 ; C3 = 100 F; R4 = 10 ; f = 50 Hz; E1 = 50 ej 0 V; IS5 = ( 0,2  j0,1 ) A.

Sl.10.1.14.

10.1..15. A  Z2 Z1

I3 Z3

IS



+

 B

E

Metodom Kirhofovih pravila odrediti struju I 3 u grani izmeĎu tačaka A i B, prema slici 10.1.15. Brojni podaci: IS = j0,1 A; E = 10 V; Z1 = j63 ; Z2 =  j32 ; Z3 = 30 .

Sl.10.1.15.

10.1.16. Z1

+ E1



Z3

A 

I3

I1 Z2

I2  B

Za sloţeno prostoperiodično kolo, prema slici 10.1.16 , odrediti elektromotornu silu E2. Zadatak rešiti metodom Kirhofovih pravila.

+



E2

Brojni podaci: E1 = 5 V; I2 = 2 A; Z1 = 10 ; Z2 = ( 2 + j2 )  i Z3 = ( 3 + j6 ) .

Sl.10.1.16.


121

10.1.17. 2  Z2

1

Z6



Z3

E6

+ 4

Z1

Za sloţeno kolo, prema slici 10.1.17, odrediti: a) kompleksne izraze struja za sve grane; b) kompleksne prividne snage koje daju generatori.

Z3

 5

Z4

3 IS

Brojni podaci: E6 = j20 V; IS = ( 250 + j100 ) mA; Z1 = ( 200 + j150 ) ; Z2 = ( 25 + j100 ) ; Z3 =  j150 ; Z4 = 100 ; Z5 =  j50  i Z6 = j50 .

Sl.10.1.17. 10.1.18. Za prostoperiodično kolo, prikazano na slici 10.1.18, metodom Kirhofovih pravila,odrediti aktivnu i reaktivnu snagu prijemnika.

+ E IS

ZP Z

Brojni podaci: IS = ( 0,9  j1,8 ) A; E = ( 14  j2 ) V; Z = ( 10 + j20 ) ; ZP = ( 90  j20 ) .

Sl.10.1.18.


122 10.2.1. Rešiti zadatak 10.1.1 metodom konturnih struja. 10.2.2 Rešiti zadatak 10.1.2 metodom konturnih struja. 10.2.3 Rešiti zadatak 10.1.3. metodom konturnih struja. 10.2.4. Zadatak 10.1.13 rešiti metodom konturnih struja. 10.2.5.

L2

R1

C2

+



L3



+

E1



E2

R3

E3

+

Za kolo prema slici 10.2.5. odrediti: a) sve struje u granama: b) snage generatora ems E3 i prijemnika otpornosti R1, Brojni podaci: R1 = R3 = 10 ; L2 = L3 = 32 mH; C2 = 160 F; f = 50 Hz; E1 = 10 V; E2 = ( 20  j10 ) V; E3 =  10 V. Zadatak rešiti metodom konturnih struja.

Sl.10.2.5.

10.2.6.

+

+



Za kolo, prikazano na slici 10.2.6, odrediti: a) struju koja protiče kroz impedansu Z3 b) aktivnu snagu u kolu.

Z2

Z1

E1



Z2

E2

Brojni podaci: E1 = 10ej /2 V; E2 = 10 V; Z1 = j5 ; Z2 = 5 ; Z3 = j2 .

Sl.10.2.6.

10.2.7. C1

+



E1

R1

a I

E3

+



+



E2

L

Za kolo prema slici 10.2.7. odrediti kompleksnu struju I u grani ab ( R3C2 ) primenom metode konturnih struja.

R3 C2 b

Brojni podaci: E1 = ( 10 + j10 ) V; E2 = 5 V; E3 = j10 V; R1 = R2 = 10 ; R3 = 3 ; XC1 = 10 ; XC2 = 4 ; XL = 5 .

R2

Sl.10.2.7.


123

10.2.8. Z1

U kolu prema slici 10.2.8. primenom metode konturne struje odrediti kompleksne vrednosti svih struja u granama.

Z2

A 

+

+





Z3

E1

E2

 B

Brojni podaci: E1 = ( 10  j10 ) V; E2 = j50 V; Z1 = ( 200  j400 ) ; Z2 = ( 200 + j600 ) ; Z3 = j400 .

Sl.10.2.8. 10.2.9. Z1

E1

+

Izračunati kompleksne izraze svih struha u granama za sloţeno prostoperiodično kolo prikazano na slici 10.2.9. Zadatak rešiti metodom konturnih struja.

E3

Z2

+

Brojni podaci: E1 = ( 20 + j20 ) V; E3 = 80 V; E5 = j40 V; Z1 = ( 400  j200 ) ; Z2 = j200 ; Z4 = j100 ; Z5 = ( 300  j100 ); Z6 = ( 100 + j100 ) .

Z4

E5 +

Z6

Z5

Sl.10.2.9.

10.2.10. +

Z3

E1

Z6 Z5

Z2

Z1 IS

Za kolo prostoperiodične struje, prema slici 10.2.10, metodom konturnih struja odrediti kompleksnu prividnu snagu koju razvije strujni generator. + E6

Z4

E5 +

Brojni podaci: E1 = ( 50  j50 ) V; E5 = 100 V; E6 = j200 V; IS = ( 160  j480 ) mA; Z1 = ( 50  j50 ); Z2 = j100 ; Z3 = ( 150  j200 ) ; Z4 = ( 150  j100 ) ; Z5 = j50 ; Z6 = 100.

Sl.10.2.10. 10.2.11. Rešiti zadatak 10.1.17. metodom konturnih struja 10.2.12. Zadatak 10.1.7. rešiti metodom konturnih struja. 10.2.13. Zadatak 10.1.14. rešiti metodom konturnih struja. 10.2.14. 5

A Izračunati kompleksne vrednosti struja u svim granama sloţenog kola prema sl.10.2.14 i napisati izraze za trenutne vrednosti tih struja. Ugaona učestanost je 314 rad/s.

+ 5

j

10e V

+

10 

j0

10e V

(1j1) A Zadatak rešiti metodom konturnih struja.

B Sl.10.2.14.


124

10.3.1. Zadatak 10.2.6. rešiti metodom zajedničkog napona ( metoda čvorova ). 10.3.2. Rešiti zadatak 10.2.8. metodom zajedničkog napona ( metoda čvorova ). 10.3.3. A 

U kolu, prema slici 10.3.3, metodom čvorova ( zajedničkog napona ) odrediti pad napona U3 na impedansi Z3. Z2

Z1 +

 E1

Brojni podaci: E1 = 25 V; E2 = 15 V; Z1 = 5 ; Z2 =  j5 ; Z3 = ( 3  j1 ) .

Z3

+

 E2  B Sl.10.3.3.

10.3.4. Ako su brojni podaci za predhodni zadatak ( slika 10.3.3. ): E1 = 20 V; E2 = j5 V; Z1 = 6 ; Z2 =  j4 ; i Z3 = j8 , metodom zajedničkog napona, odrediti: a) kompleksni izraz za struju I2 b) kompleksni izraz za napon U3 koji deluje na impedansi Z3 i faznu razliku izmeĎu ovog napona i ems E2 . 10.3.5. Zadatak 10.1.6. rešiti metodom zajedničkog napona. 10.3.6. Zadatak 10.1.7. rešiti metodom zajedničkog napona. 10.3.7.

A 

Primenom metode zajedničkog napona izmeĎu čvorova A i B ( metoda čvorova ) odrediti kompleksne struje svih grana u sloţenom kolu prikazanom prema slici 10.3.7.

+ E1

Z3 Z4

Z1

Brojni podaci: E1 = j12 V; E3 = j34 V; IS = ( 40 + j120 ) mA; Z1 = ( 200 + j200 ) ; Z3 = 100  i Z4 = ( 30  j40 ) .

IS E3 +  B Sl.10.3.7.

10.3.8. A  E3

Z3

+

Z4

E1

Z7

Z5

+ E2 Z2

C

+

Z1

Z6

Za kolo prikazano na slici 10.3.8. odrediti UCB izmeĎu tačaka C i B, koristeći metodu zajedničkog napona. Brojni podaci: E1 = 20 V; E2 = ( 6 + j0,2 ) V; E3 = ( 2 + j2 ) V; Z1 = ( 12 + j2 ) ; Z2 = ( 8 + j10 ) ; Z3 = ( 10  j12 ) ; Z4 = ( 6 + j6 ) ; Z5 =  j30 ; Z6 = j30 ; Z7 = 12 .

 B Sl.10.3.8.


125

10.3.9. A  I1 +

Z2

Z1

Odrediti sve struje u sloţenom kolu prikazanom na slici 10.3.9, primenjujući metodu zajedničkog napona.

I2 +

Z3

I3

E1

E2

Brojni podaci: E1 = 100 V; E2 =  j50 V; Z1 = Z2 = ( 1 + j4 ) ; Z3 =  j3 .

 B Sl.10.3.9. 10.3.10. A  Z4

Z1 Z3

+ E1

Metodom zajedničkog napona odrediti struje u svim granama sloţenog prostoperiodičnog kola prikazanog na slici 10.3.10.

Z2

+

 B Sl.10.3.10.

E2

Brojni podaci: e1 = 14,1 sin ( t  /4 ) V; e2 = 14,1 sin ( t + /4 ) V; Z1 = ( 2 + j2 ) ; Z2 =  j2 ; Z3 = ( 4 + j3 ) ; Z4 =  j3 .

10.3.11. Zadatak 10.1.8. rešiti metodom zajedničkog napona ( metodom čvorova ). 10.3.12. Z1

+ E1

Z3

A 

I3

I1

+

Z2

I2

E2

Za sloţeno prostoperiodično kolo, prikazano na slici 10.3.12, poznato je: E1 = 5 V; I2 = 2 A; Z1 = 10 ; Z2 = ( 2 + j2 ) ; Z3 = ( 3 + j6 ) . Odrediti elektromotorn silu E2. Zadatak rešiti koristeći metodu zajedničkog napona.

 B Sl.10.3.12. 10.3.13. Zadatak 10.1.14. rešiti metodom zajedničkog napona. 10.3.14. Zadatak 10.2.14. rešiti metodom zajedničkog napona. 10.3.15. Zadatak 10.1.18. rešiti metodom zajedničkog napona.


126 10.4.1. Zadatak 10.1.13 rešiti metodom superpozicije. 10.4.2. Zadatak 10.2.6. rešiti metodom superpozicije. 10.4.3. Metodom superpozicije rešiti zadatak 10.2.8. 10.4.4. Metodom superpozicije rešiti zadatak 10.3.3. 10.4.5. Metodom superpozicije rešiti zadatak 10.3.9. 10.4.6. Rešiti zadatak 10.3.10 metodom superpozicije. 10.4.7. Rešiti zadatak 10.2.9. metodom superpozicije. 10.4.8. Rešiti zadatak 10.2.5. metodom superpozicije. 10.4.9. Zadatak 10.1.11. rešiti metodom superpozicije. 10.4.10. Zadatak 10.1.8. rešiti metodom superpozicije.


127 10.5.1. Odrediti struju I5 koja protiče kroz impedansu Z5 u zadatku 10.1.13. metodom Tevenena. 10.5.2. Zadatak 10.2.7. rešiti koristeći metodu Tevenena. 10.5.3. Izračunati kompleksnu prividnu snagu koju razvije naponski generator u zadatku 10.1.17 koristeći metodu Tevenena. 10.5.4. Zadatak 10.3.4 rešiti Tevenenovom metodom. 10.5.5. Zadatak 10.3.8. rešiti Tevenenovom metodom 10.5.6.

XC R1 +

+



E1



E2

A +

 E

R2

Za sloţeno prostoperiodično kolo, prikazano na slici 10.5.6, odrediti prividnu snagu na generatoru ems E. Zadatak rešiti koristeći metodu Tevenena. Brojni podaci: XL = XC = 1 ; R1 = R2 = 1 ; E1 = ( 2 + j2 ) V; E2 = ( 1 + j2 ) V; E = j2 V.

XL B Sl.10.5.6. 10.5.7. A

XC2

R3

B +

 E3

R1

R2

Za sloţeno prostoperiodično kolo, prikazano na slici 10.5.7, odrediti struju koja protiče kroz savršeni kalem otpornosti XL. Zadatak rešiti metodom Tevenena.

XC1

 E1

 E2

XL

+

+ D

C

Brojni podaci: E1 = ( 10 + j10 ) V; E2 = 5 V; E3 = j10 V; R1 = R2 = 10 ; R3 = 3 ; XC1 = 10 ; XC2 = 4 ; XL = 5 .

Sl.10.5.7. 10.5.8. Z1

I5

+

 E1

Z2

Z5

Z3

Za sloţeno prostoperiodično kolo, prema slici 10.5.8, odrediti struju I3 koristeći metodu Tevenena. +

Z4

 E2

Brojni podaci: E1 = 50 V; E2 = j50 V; Z1 = 5 ; Z2 = 2 ; Z3 = j2 ; Z4 = j2  i Z5 = 4 .

Sl.10.5.8.


128

10.5.9. B  Z1

Za kolo ( most ), prema slici 10.5.9, odrediti struju I3 koja protiče kroz impedansu Z3. Zadatak rešiti koristeći metodu Tevenena.

Z4

A

D

Z3 Z2

 C +

Brojni podaci: E = 20 V; Z1 = 50 ; Z2 = 21 ; Z3 = ( 30 + j40 ) ; Z4 = ( 30 + j60 ) ; Z5 = ( 12 + j24 ) .

Z5



E Sl.10.5.9. 10.5.10.

XC

R1 IS

Za kolo prostoperiodične struje, prema slici 10.5.10, poznato je: IS = j100 mA; R1 = 50 ; R2 = 150 ; XL = 250 ; XC = 50 ; R = 25  i X = 50 . B

A

Koristeći metodu Tevenena odrediti struju koja prolazi kroz impedansu čiji su parametari R i X ( grana vezana izmeĎu čvorova A i B ).

R;X XL

R2

Sl.10.5.10. 10.5.11.

Z1

A +

B

Z4

 E

Zp

Z2

 C

Primenom Tevenenove teoreme odrediti struju prijemnika impedanse Zp u prostoperiodičnom kolu prikazanom na slici 10.5.11. Brojni podaci: E = ( 30  j10 ) V; Z1 = Z2 = 1 000 ; Z3 = Z4 = j500  i Zp = ( 100  j300 ).

Z3

 D

Sl.10.5.11. 10.5.12. +

Z1

E1 B 

A Z2

+ C

Z3

E3 Z5

IS Z4

E5  D

+

U sloţenom kolu prostoperiodične struje, prikazanom na slici 10.5.12, odrediti kompleksnu prividnu snagu strujnog generatora. Zadatak rešiti koristeći Tevenenovu teoremu. Brojni podaci: E1 = ( 10 + j20 ) V; E3 = ( 3  j11 ) V; E5 = ( 3 + j11 ) V; IS = j0,5 A; Z1 = ( 100 + j100 ) ; Z2 = ( 70 + j10 ) ; Z3 = ( 30  j10 ) ; Z4 = j20  i Z5 = 40 .

Sl.10.5.12.


129

10.5.13.

XL1

Za kolo prostoperiodične struje ( most ), prikazano na slici 10.5.13, primenom Tevenenove teoreme odrediti struju u grani sa otpornikom R.

XC1 R

XC2

o

Brojni podaci: U = 100 V; XL1 = 60 ; XC1 = 40 ; XC2 = 50 ; XL2 = 50  i R = 100 .

XL2

U

+

o Sl.10.5.13.

10.5.14. oA + E2

Z1 IS

Odrediti parametre ekvivalentnog Tevenenovog generatora, u odnosu na tačke A i B, za sloţeno prostoperiodično kolo, prema slici 10.5.14.

Z3

Brojni podaci: E1 = 10 V; E2 = 15 V; Z1 = 5 ; Z2 = 4 ; Z3 = 1 ; IS = 0,5 A.

+ Z2

E1

oB Sl.10.5.14. 10.5.15.

Za kolo na slici 10.5.15, Tevenenovom teoremom, odrediti vrednosti otpornika R4 i R5 tako da ukupna snaga koja se razvija na njima bude maksimalna. Poznato je da je snaga koja se razvija na otporniku R4 četiri puta veća od snage koja se razvija na otporniku R5

A  R1

+

R3

+

E1

E2

R5

R4  B

Brojni podaci: E1 = 12 V; E2 = 4 V; R1 = 160 ; R3 = 320 .

Sl.10.5.15. 10.5.16.

C



L

R e +

A



C B

i

IS R

R

U kolu, prema slici 10.5.16, koristeći Tevenenovu teoremu, odrediti kompleksnu snagu naponskog generatora, amplitudu ( maksimalnu vrednost ) ems E m, kao i amplitudu struje Im koja prolazi tom granom. Brojni podaci: iS = 60 sin (104t + /4) mA; e = Em sin (104t + /2) V; i = Im sin 104t mA; R = 200 ; L = 40 mH; C = 3/8 F.

2L



D Sl.10.5.16.


130

10.5.17. ZL

A  ZP

E R

+

Z1

IS 

B

ZC

Koristeći Tevenenovu teoremu odrediti vrednost impedanse ZP, prema slici 10.5.17, tako da aktivna snaga na njoj bude maksimalna. Za takav slučaj, odrediti kompleksnu aktivnu i reaktivnu snagu na impedansi ZP. Brojni podaci: E = ( 10  j10 ) V; IS = ( 1 + j1 A; Z1 = ( 5 + j5 ) ; ZL = j5 ; R = 10 ; ZC = j20 

Sl.10.5.17. 10.5.18. Za kola, predstavljeno na slici 10.5.18, primenom Tevenenove teoreme odrediti kompleksnu struju kroz kalem L.

+ e1

R L

A

B

Brojni podaci: e1 = 10 sim t V; e2 = 10 cos t V; R = 2 ; XL = 1 ; XC = 2 .

+ e2

C

Sl.10.5.18. 10.5.19. A  Z1

Z2

A

B

Z5 Z3

+

Brojni podaci: E = 10 V; Z1 = ( 15 + j20 ) ; Z2 = j25 ; Z3 = j10 ; Z4 = 40 ; Z5 = ( 100 j 100 ) .

Z4

 D E

Koristeći Tevenenovu teoremu odrediti struju I5 u dijagonali neuravnoteţenog Vitstonovog mosta, prema slici 10.5.19.



Sl.10.5.19. 10.5.20. oA Z1

Z3

+

 E

Z2

oB Sl.10.5.20.

U kolu prikazanom na slici 10.5.20, koristeći Tevenenovu teoremu, odrediti: a) Ekvivalentni Tevenenov generator u odnosu na tačke AiB b) Kompleksni izraz za impedansu prijemnika Zp, koji se veţe izmeĎu tačaka A i B, tako da aktivna snaga kola bude maksimalna, kao i iznos te snage P . Brojni podaci: E = 20 V; Z1 = ( 2 + j4 ) ; Z2 = ( 3  j4 ) ; Z3 = ( 2 + j10 ) .


131

10.5.21. oA

U kolu, prikazanom na slici 10.5.21, odrediti ekvivalentni naponski ( Tevenenov ) generator u odnosu na tačke A i B.

Z2 Z1

IS

Z3 Brojni podaci: IS = ( 4,3 + j2,5 ) A; Z1 = ( 5 + j5 ) ; Z2 = 10 ; Z3 = ( 5 + j5 ) .

oB Sl.10.5.21.

10.5.22. Primenom Tevenenove teoreme odrediti nepoznatu impedansu Z5, za kolo prikazano na slici 10.5.22; ako se zna da je kompleksni izraz za struju I5 = ( 50 + j50 ) mA. Brojni podaci: Z1 = 10 ; Z2 = ( 5 + j5 ) ; Z3 = ( 0,4 + j2 ) ; Z4 = 2 ; Z6 = 3 ; Z7 = 5 ; E1 = 5 V; E2 = ( 2 + j2 ) V; E3 = 0,4 V; E4 = ( 1,5  j0,5 ) V; IS = ( 2 + j2 ) A. A I5  +  E2

Z1

C  Z5

+

 E4 Z6

Z2

 E1 +

 B

IS

Z4 Z3

+  E3

 D

Z7

Sl.10.5.22. 10.5.23. ZP

B

I Z4

Z1

D 

Primenom Tevenenove teoreme odrediti struju I, za prostoperiodično sloţeno kolo prikazano na slici 10.5.23. Z2 Z3

Brojni podaci: Z1 = Z2 = 10 ; Z3 = Z4 = j5 ; E = ( 30  j10 ) V.

E A

+

C

Sl.10.5.23.


132 10.6.1. Odrediti parametre Nortonovog ( strujnog ) generatora za zadatak 10.5.14. u odnosu na tačke A i B. 10.6.2.

A 

Za sloţeno kolo, prema slici 10.6.2, odrediti struju I 3 koja protiče kroz impedansu Z3. Zadatak rešiti Nortonovom teoremom.

Z2

Z1

Z3 +

+

 E1

Brojni podaci: E1 = 25 V; E2 = 15 V; Z1 = 5 ; Z2 = j5 ; Z3 = ( 3  j1 ) 

 E2  B Sl.10.6.2

10.6.3. Kolika treba da bude impedansa Z3 u predhodnom zadatku ( zad. 10.6.2. ) da bi na njoj aktivna snaga bila maksimalna. Koliko će u tom slučaju iznositi aktivna snaga P 3 ? 10.6.4. Odrediti ekvivalentni strujni ( Nortonov ) generator u odnosu na tačke A i B za zadatak 10.5.21. 10.6.5.

Z1

Z2

Koristeći Nortonovu teoremu, u kolu prema sl. 10.6.5, odrediti napon izmeĎu tačaka A i B, UAB i jačinu struje I4.

A

+ Z3

E

Z4

I4

Brojni podaci: E = 100 V; Z1 = ( 20  j100 ) ; Z2 = ( 30 + j2 ) ; Z3 = 200 ; Z4 = ( 10 + j10 ) .

B Sl.10.6.5. 10.6.6. XC1

R2 oA

+ E2

R1 +

XL

 E1

R3

Koju vrednost impedanse ima prijemnik ZP, koji je priključen na tačke A i B, prema sl.10.6.6. Kolika je aktivna snaga na prijemniku ? Zadatak rešiti metodom Nortona.

ZP

XC2 oB

Brojni podaci: E1 = ( 100  j150 ) V; E2 = ( 50 + j100 ) V; R1 = 10 ; R2 = R3 = 20 ; XC1 = XC2 = 10 ; XL = 10 .

Sl.10.6.6. 10.6.7. Rešiti zadatak 10.5.6 Nortonovom teoremom. 10.6.8. Rešiti zadatak 10.5.9, Nortonovom teoremom. 10.6.9. Zadatak 10.5.10. rešiti metodom nortona. 10.6.10. Zadatak 10.5.13. rešiti Nortonovom teoremom. 10.6.11. Zadatak 10.5.15. rešiti ortonovom teoremom. 10.6.12. Nortonovom teoremom rešiti zadatak 10.5.18. 10.6.13. Nortonovom teoremom rešiti zadatak 10.5.19.


133

11. TRANSFORMATORI 11.1. ZADATAK I PODELA TRANSFORMATORA Transformatori pretvaraju ( transformišu ) naizmenične veličine ( smanjuju ili povećavaju ) sa jedne vrednosti na drugu. Transformatori se dele na više vrsta. Tako nastaje podela na: energetske transformatore, autotransformatore, merne transformatore, specijalni transformatori ( transformatori za zavarivanje, ispitni transformatori, itd. ). Prema prenosnom sistemu transformatori se dele na: jednofazne i trofazne, a prema vrsti hlaĎenja na: vazdušne i uljne. Osnovni delovi svih transformatora su: namotaj ( bakarna ţica ) i jezgro ( gvoţĎe ). Namotaj transformatora se sastoji iz dva ( ponekad i tri ) električno odvojena kalema. Jedan namotaj ( kalem ) čini primar transformatora, a drugi sekundar. Primaru se dovodi energija, dok se sa sekundara odvodi energija. Princip rada transformatora se zasniva na zakonu meĎusobne induktivnosti. Moţe se reći da su transformatori poseban slučaj induktivno spregnutih kola sa maksimalnim koeficijentom sprege ( transformatori sa gvozdenim jezgriom). Na osnovu transformatora električna energija se moţe preneti na vrlo velike udaljenosti. To se postiţe tako što se energija prenosi pri vrlo velikim naponima, tj. malim strujama, pa su Dţulovi gubici na prenosnim provodnicima veoma mali ( I2R ). Korišćenje električne energije se obavlja pri niskim naponima ( 110 – 500 V) , bezbednim i za aparate, kao i za ţiva bića. To znači da su za prenos električne energije potrebna bar dva transformatora, i to: prvi koji će povećati napon ( smanjiti struju ) i drugi koji će smanjiti napon na ţeljenu vrednost ( napon na koji se priključuju potrošači ).

11.2. IDEALNI TRANSFORMATOR



Io U1

N2

N1

Sl.62.

Idealni transformator, sl.62, ima zanemarljive termogene otpornosti ( nema toplotnoh gubitaka ) u oba kalema, kao i zanemarljive magnetne gubitke ( nema magnetnog rasipanja ). Priključenjem primara transformatora na naizmenični napon U1, dok je sekundar otvoren, kroz primarni namotaj N 1 protiče naizmenična struja Io ( efektivna vrednost ) koja će stvoriti promenljivi magnetni fluks . Ovaj fluks  prolaze kroz gvozdenu jezgru, tj. kroz oba namotaja, i pri tome u njima indukuje ems, i to: u primaru ems samoindukcije E 1 i u sekundaru ems uzajamne indukcije E2.

Kako se transformator sastoji od zatvorenog feromagnetnog ( gvozdenog ) jezgra rasipni fluks se moţe zanemariti. Zbog velike magnetne permeabilnosti gvoţĎa i maksimalne induktivne povezanosti, oba kalema poseduju značajnu induktivnost ( L = N2 = N2S/l ). Pošto transformatori rade sa promenljivim magnetnim fluksom, da bi se smanjili gubici usled vrtloţnih struja, gvozdeno jezgro se gradi od tankih limova meĎusobno izolovanih ( kod niskih učestanosti ) ili od gvozdenog praha ( kod visokih učestanosti ). Za smanjenje gubitaka usled histerezisa, za jezgro se uzima materijal sa što uţom histereznom petljom ( transformatorski lim ). Na ovaj način su sprečena magnetna rasipanja, a istovremeno su izbegnuta značajnija zagrevanja. Kod idealnih transformatora ovih rasipanja nema, što je u praksi nemoguće ostvariti. Imajući u vidu da je induktivnost primarnog i sekundarnog namotaja vrlo velika, a struja Io vrlo mala pri otvorenom sekundarnom namotaju zanemarljivi su svi gore navedeni gubici. Na taj način se moţe konstatovati da se ovi namotaji transformatora ponašaju kao savršena induktivna opterećenja. To znači da će struja Io kasniti u odnosu na svoj napon U1 za /2. Pod dejstvom ove struje, koja se još naziva i strujom magnećenja, javlja se magnetni fluks , koji je u fazi sa njom. Usled ovog promenljivog fluksa  nastaju indukovane ems E1 i E2 koje kasne za svojim fluksom za /2. Prema drugom Kirhofovom zakonu ( u1 + e1 = 0 ), indukovana ems E1 odrţava ravnoteţu dovodnom naponu U1 ( E1 =  U1 ), te su E1 i U1 u opoziciji, što je prikazano na slici 63. Indikovana ems sekundara E2 u stvari predstavlja napon U2, jer pri otvorenom sekundaru nema pada napona na njemu, pa je: E 2 = U2


134

Promenljivi fluks  će indukovana ems u primaru i sekundaru, gde je: d V. e1   N1 dt d V. e 2  N 2 dt Odnos ems, prema gornjim izrazima je: e1 N 1  e2 N2 Kod prostoperiodičnih veličina ovaj odnos se moţe preneti i na njihove efektivne vrednosti, pa je: E1 N1  . E2 N2 Kako je kod idealnih transformatora U1 = E1 i U2 = E2, predhodni izraz moţe da se odnosi i na napone, pa je:

U1



Io

U2=E2

E1 Sl.63.

U1 N1  m U2 N2

Odnos izmeĎu primarnog i sekundarnog broja navojaka, naziva se odnosom transformacije ili odnos preobraţaja i obelweţava se sa m. Ako pretpostavimo da je analitički izraz za fluks  = mcos t, analitički izrazi za indukovane ems su: d m cos t d e1   N 1  N1  N 1   m sin t  E m1 sin tV , dt dt d m cos t d e 2  N 2  N 2  N 2   m sin t  E m 2 sin tV . dt dt Maksimalne vrednosti indukovanih elektromotornih sila iznose: E1m = N1m i E2 = N2m. Efektivne vrednosti indukovanih ems su: N  m N 1  2f   m 2 E 1  2  N 1  m  E 1  1    f  N 1   m  4,44  f  N 1   m , 2 2 2 N  m E 2 2  N 2  m  E 1  1  4,44  f  N 2   m 2 E1 = 4,44fN1m 1



I1=I1+Io o

2



U1

E2 = 4,44fN2m

i

I2

U2 

o

Z

Ako se sekundar optereti, priključi neka impedansa Z ( sl.64. ), tada će kroz namotaje sekundara proticati struja I2, koja iznosi I2 = U2/Z. Pod dejstvom ove struje nastaje fluks 2, koji se sada suprostavlja predhodnom fluksu  ( kod praznog hoda ). Fluks 2 dodatno indukuje struju I1 u primarnom namotaju ( uzajamna indukcija ), koja će svojim dodatnim fluksom 1 poništiti fluks 2. Na taj način ukupni fluks ostaje nepromenjen, tj. jednak predhodnom fluksu  ( prazan hod ).

Sl.64. Kako su fluksevi, prema Kap Hopkinsonovom zakonu, srazmerni magnetopobudnim silama ( magnetnim naponima ), koje iznose M = NI, magnetopobudna sila sekundara mora biti jednaka dodatnoj magnetopobudnoj primara.


135

Dakle, N1I1 = N2I2. Ove dve magnetomotorne ( magnetopobudne ) sile su suprotnih smerova, pa one i stvaraju svoje flukseve 1 i 2, koji se poništavaju. Iz izraza za magnetomotorne sile primara ( dodatna sila ) i sekundara, sledi: I1 N 2 I N 1   k   2  1  m. I 2 N1 m I1 N 2 Odnos izmeĎu struje primara ( struje koju dodatno prouzrokuje sekundarna struja ) i struje sekundara je jednak recipročnoj vrednosti odnosa transformacije. Ukupna struja primara, pri opterećenom sekundaru, iznosi I1 = I1 + Io, gde je struja I1 naknadno povučena struja iz mreţe kada se optereti sekundar. Ako pretpostavimo da je impedansa Z2 RL karaktera, tada će struja I2 da kasni za svojim naponom za ugao . Proizvod struje I2 i broja navojaka N2 je jednak proizvodu struje I1 i broja navojaka N1. Ova dva vektora N2I2 i N1I1 su meĎusobno jednaki i pomereni za 180 ( u opoziciji su ). Na osnovu svega navedenog nastaje fazorski dijagram opterećenog idealnog transfoermatora, koji je prikazan na slici 65. Struja praznog hoda je vrlo mala u odnosu na struju koju transformator povlači iz mreţe kada se on normalno optereti na sekundaru ( I1  Io ), pa se u praksi moţe uzeti da je I1  I1. U1

N1I1 I1 I1

 

Io

I2 U2=E2 N2I2 E1



Iz izraza U1/U2 = N1/N2 i I2/I1 = N1/N2, sledi: U1 I 2   U 1 I1  U 2 I 2  S1  S 2 . U 2 I1 Ako celu jednačinu pomnoţimo sa faktorom snage cos, umesto prividnih snaga dobiju se aktivne snage, pa je: P1 U1I1cos  = U2I2cos   P1 = P2. Kod idealnih transformatora, snaga primara je jednaka snazi sekundara. Zbog toga su transformatori električne mašine koje električnu energiju jednog napona pretvaraju u električnu energiju drugog napona. Kod realnog transformatora snaga sekundara će biti manja od snage primara za sve gubitke koji nastaju idući od primara ka sekundaru. Transformatori su mašine koje rade sa vrlo velikim stepenom korisnog dejstva, čak do 99 %.

Sl.65.


136 11. 3. REDUKOVANJE VELIČINA KOD TRANSFORMATORA Kako su kod transformatora razlike izmeĎu primarnih i sekundarnih veličina vrlo velike ( više stotina, pa i hiljada puta ), da bi se mogle istovremeno nacrtati i primarne i sekundarne veličine, one se predhodno moraju svesti ( redukovati ) na vrednosti pogodne za crtanje. To se postiţe na dva načina. Jedan način je svoĎenje primarnih veličina na sekundarne, a drugi način je obrnut. Redovito se sekundarne veličine redukuju na primarne veličine.

11.3.1. REDUKOVANJE SEKUNDARNOG NAPONA NA PRIMARNU VREDNOST Iz izraza:

E1 N1   E 1  mE 2  E 2 ' E2 N2 U1 N1   U 1  mU 2  U 2 ' U2 N2 Dakle, E2 i U1 su redukovane ( uvećane ili smanjene ) sekundarne veličine, koje su na ovaj način svedene na vrednost primarnih veličina. Kada sekundarne napone ili ems svodimo na primar, tada ih samo pomnoţimo sa odnosom transformacije m. Pri svoĎenju primara na sekundar, tada bi primarne veličine delile sa odnosom transformacije m.

11.3.2. REDUKOVANJE SEKUNDARNE STRUJE NA PRIMARNU VREDNOST Iz izraza:

I1 N 2 N I   I1  2 I 2  2  kI 2  I 2 ' . I 2 N1 N1 m gde je I2 sekundarna struja redukovana na primarnu. Kod redukovanja sekundarne struje na primarnu vrednost, njenu vrednost ( sekundarnu struju ) podelimo sa odnosom transformacije m.

11.3.3. REDUKOVANJE SEKUNDARNIH OTPORA ( IMPEDANSE ) NA PRIMARNU VREDNOST Redukovana impedansa sekundara, prema Omovom zakonu, iznosi: U ' mU 2 Z2 '  2   m2Z2. I2 I2 ' m Na isti način se dobije i za aktivni i reaktivni ( induktivni ) otpor, pa je: R2 = m2R2, odnosno X2 = m2X2, gde su Z2, R2 i X2 redukovane sekundarne veličine ( impedansa, aktivni i reaktivni otpor ) na primar.


137

11.4. REALNI TRANSFORMATOR SA GVOZDENOM JEZGROM Idealni transformatori su oni kod kojih su ispunjeni sledeći uslovi: 1) R1 = R2 = 0; ( tj. Z11 = jL1 i Z22 = jL2 ); 2) M= L 1  L 2 ;

( tj. koeficijent induktivne sprege k = 1 ) i

3) L1 i L2   ( tj. i primar i sekundar imaju vrlo velik broj zavojaka, pa fluks u jezgri teţi ka nuli ). Jasno je da se navedeni uslovi ne mogu ostvariti, što znači da u praksi imamo realne transformatore. Realni transformatori su oni kod kojih nisu ispunjeni uslovi za idealni transformator. Cilj je kod svih transformatora da su im navedena tri uslova pribliţno zadovoljena ( R1 i R2 što manje a k , L1 i L2 što veće ). Električna šema realnog transformatora, sa gvozdenom jezgrom, data je na slici 66. 

I 1

I2 

o

r1 r2

 U1 o

U2

Zp



Sl.66.

Prema slici su: - ...... rezultantni fluks, koji indukuje ems u primaru i sekundaru E1 i E2; - r1, r2... ...rasipni fluksevi primara i sekundara, koji stvaraju induktivne padove napona Ur1 i Ur2 - I1, I2 .... struje opterećenja primara i sekundara - I1R1 i I2R2 aktivni padovi napona UR1 i UR2 - Zp ...... impedansa potrošača. - Z1 i Z2....... impedanse primara i sekundara.

Koristeći drugi Kirhofov zakon nastaju sledeće jednačine - za primar: U1 + E1  I1R1  I1jX1 = 0  U1 = E1 + I1(R1 + jX1 ), - za sekundar: E2  U2  I2R2  I2jX2 = 0  U2 = E2  I2( R2 + jX2 ) = E2  I2Z2. Na osnovu navedenih jednačina nastaje fazorski dijagram koji je prikazan na slici 67. Prema fazorskom dijagramu aktivne komponente padova napona kako na primaru, tako i na sekundaru, u fazi su sa svojom strujom. To znači da je vektor ( fazor ) I1R1 paralelan sa I1, a fazor I2R2 sa I2. Induktivni padovi napona I1X1 i I2X2 prednjače svojim strujama I1, odnosno I2 za /2. Fazni pomak izmeĎu struje I1 i napona U1 iznosi 1, gde struja kasni za naponom za navedeni ugao. Ugao 2 čini fazno zaostajanje struje I2 u odnosu na U2. Ove fazne uglove odredimo iz impedanse Z1 i Z2. U1

jI1X1

I1R1 E1

I2

1

Io

I1

IFe I 2 U2 I2



Pri crtanju fazorskog dijagrama redovito se sekundarne veličine svedu ( redukuju ) na primarne. Kod realnog transformatora struja praznog hoda Io se sastoji iz dve komponente, i to: - I ..... struja magnetiziranja, pa je ona u fazi sa fluksom  kojeg stvara i - IFe ..... struja gubitaka u gvoţĎu ( vrtloţne struje i histereza ). Ova komponenta struje stvara u gvoţĎu, prema Dţulovom zakonu, toplotne gubitke, pa je ona normalna na struju magnećenja. Struja praznog hoda je jednaka: Io = I + IFe 

I o  I   I Fe 2

2

I2R2 jI2X2

Redovito je I  IFe  Io  I, što je i cilj ( to se ostvaruje specijalnim trafolimovima ).

E2 Sl.67.


138 EKVIVALENTNA ŠEMA REALNOG TRANSFORMATORA Na slici 68 je data električna šema realnog transformatora sa redukovanim sekundarnim veličinama. Pomoću ove šeme mogu se objasniti sva fizička dešavanja u transformatoru, nezavisno od njegovog stepena opterećenja. E1 = E2

I1 o

+ U1

I2 +

Z2

Z1 Zo

Zo

o

o

U2

o

Io

Z1 U1

o

IFe

o

Z2

RFe Xo

U 2

I

o

o

a)

E1 = E2

b)

Sl.68. a) električna šema realnog transformatora; b) nadomesna ( ekvivalentna ) šema realnog transformatora Prema slici je: - Z1 ...... impedansa primarnog namotaja N1 ( Z1 = R1 + jX1 ) - Z2 ..... redukovana impedansa sekundarnog namotaja na primar N 2 ( Z2 = R2 + jX2 ) - RFe .... ekvivalentni ( nadomesni ) otpor gubitaka u gvoţĎu - Xo ..... ekvivalentni induktivni otpor sa odgovarajućom meĎusobnom induktivnošću ( Xo = Lmm ).

11.5. TRANSFORMATORI U LINEARNOM REŢIMU RADA ( VAZDUŠNI ) Transformatori velikih snaga zbog različitog opterećenja feromagnetne jezgre, jezgra ima različitu magnetnu permeabilnost, što dovodi do toga da se pri promeni opterećenja ( jačine struje ) menja i magnetna provodnost, odnosno induktivnost namotaja. Kod takvih transformatora proračun je dosta oteţen, pa se raznim aproksimacijama nastoji rad svesti na radni linearni reţim. Vazdušni transformatori ( poneki i merni koji koriste kao komponente elektronske ureĎaje ) rade u lionearnom reţimu rada ( magnetna permeabilnost konstantna, dakle, induktivnost ne zavisi od opterećenja ). Na slici 69 prikazan je transformator i njegova električna šema. Referentni smerovi za napon i struju primara su kao da je primar prijemnik ( on uzima energiju ) a za napon i struju sekundara kao da je on generator ( sekundar daje energiju ). I1 I1

I2 2 o + U2

1o + U1 1o

o 2

1o

I2 M

+

R1

U1

Zp





R2

L2

L1

o + U2

Zp o

1o b)

a) Sl.69. a) transformator i b) električna šema

Pošto su primar i sekundar induktivno povezani dolazi do meĎusobne induktivnosti, koja je takvog smera da im se fluksevi meĎusobno suprostavljaju. Zbog toga su zvezdice postavljene tako da je meĎusobna induktivnost Lm negativna, tj. Lm  0 ( umesto Lm često se uzima oznaka M ).


139 Na osnovu električne šeme transformatora i induktivno spregnutih kola, koristeći drugi Kirhofov zakon, dolazimo do osnovnih jednačina transformatora: U1 – I1Z11 + I2Z12 = 0  U1 = I1Z11 – I2Z12 U2 + I2Z22  I1Z21 = 0  U2 = I1Z21 – I2Z22 , gde je U2 = I2Zp U ovim jednačinama transformatora je: Z11 = R1 + jL1; Z22 = R2 + jL2 i Z12 = Z21 = Zm = jLm ( Zm = jM ), Zp je impedansa potrošača koja se veţe na sekundar transformatora. Navedene relacije se mogu koristiti kod svih vrsta transformatora sa linearnim reţimom rada ( transformatori bez magnetne jezgre, autotransformator , specijalni realni transformatori koji se svode na idealni transfo itd.).

AUTOTRANSFORMATORI R1 1o

1o

I1

I1 N1

U1



+

+

Lm I2

N I1 – I2

1 o

+ N2

U1

o2

I2 

+

o2

L2

U2

U2

I1I2

o 2 a)

L1

R2

1o

o 2 b)

Sl.70. a) autotransformator; b) električna šema autotransformatora Autotransformatori su poseban oblik transformatora sa jednim namotajem ( štedni transformator ) I kliznim kontaktom, kao što je prikazano na slici 70. Koristeći električnu šemu jednačine autotransformatora imaju sledeće jednačine: U1 = I1 ( R1 + jL1 ) + ( I1  I2 )( R2 + jL2 ) + ( I1  I2 )jLm + I1jLm ………(1) i U2 = ( I1  I2 ) ( R2 + jL2 ) + I1jLm …………………………………...………(2) Treba imati na umu da se usled meĎusobne induktivnosti fluksevi potpomaţu ( sabiraju ) jer su struje u namotajima N1 i N2 ( I1 i I1 – I2 ) istog smera. Dakle, L12 = L21 = Lm  0, pa se pad napona na namotaju usled induktivnosti, kao i meĎusobne induktivnosti sabira. SreĎivanjem predhodnih jednačina dobije se: U1 =  R1 + R2 + j ( L1 + L2 + 2Lm )I1   R2 + j( L2 + Lm )I2 ............... (1) U2 =  R2 + j( L2 + Lm )I1  ( R2 + jL2 )I2 .................................................(2). 11.6. STEPEN KORISNOG DEJSTVA TRANSFORMATORA Stepen korisnog dejstva je odnos izmeĎu predane i primljene snage. Ako primljenu snagu obeleţimo sa P 1 a predanu sa P2, stepen korisnosti iznosi: P P2 P2 ,  2   P1 P2  Pg P2  PCu  PFe gde je Pg ukupna snaga gubitaka koji se sastoje od toplotnih gubitaka P Cu u namotajima usled aktivne otpornosti ( Dţulovi gubici ) i gubitaka u jezgri P Fe ( vrtloţna struja i histerezis ). Stepen korisnosti kod transformatora je vrlo velik. On iznosi od 95 do 99 %.


140

ZADACI: 11.1. Primar nekog transformatora ima 1 000 navojaka tanke ţice, a sekundar 25 navojaka. a) Koliki je napon na krajevima sekundara ako se primar priključi na gradsku mreţu napona 220 V, ako su gubici u transformatoru zanemarljivi ( idealan transformator ) b) Ako je jačina struje u primaru 1 A, kolika je struja sekundara. 11.2. Na koliki napon treba priključiti primar transformatora električnog zvona ako na sekundaru ima 20 puta manje navojaka nego na primaru? Za rad zvona potreban je napon od 6 V. Transformator je idealan. 11.3. Odrediti snagu sekundara transformatora koji ima 1 500 navojaka na primaru, a 50 navojaka na sekundaru. Primar je priključen na naizmenični napon od 120 V, pri čemu kroz sekundar protiče struja od 20 A. Stepen korisnog dejstva ovog transformatora iznosi 0,8 ( cos 1 = cos2 = 1 ). 11.4. Odrediti stepen korisnog dejstva transformatora ako je primar priključen na napon od 220 V, pri čemu kroz njega protiče struja od 2 A. Kroz sekundar protiče struja od 18 A, a napon na njegovim krajevima je 18 V. Faktor snage primara jednak faktoru snage sekundara ( cos 1 = cos 2 = cos  ). 11.5. Kada se primar transformatora priključi na naizmenični izvor, na krajevima sekundara pojavi se napon od 13,2 V, a kada se na isti izvor priključi sekundar na krajevima primara se pojavi napon od 120 V. Odrediti odnos broja namotaja primara i sekundara. Gubici su zanemarljivi. 11.6. Transformator je upotrebljen za prenošenje električne snage ( energije ) na daljinu. Primar je vezan u električno kolo centrale, a za sekundar su vezani provodnici dalekovoda. Koliko puta će se smanjiti gubici električne snage zbog zagrevanja ţica dalekovoda ako se napon na sekundaru poveće hiljadu puta? U oba slučaje se prenosi ista vrednost snage ( cos 1 = cos 2 = 1 ). 11.7. Pomoću transformatora se sniţava naizmenični napon od U1 = 220 V na U2 = 4 V (cos 1 = cos 2 = 1 ). a) Odrediti odnos transformacije m b) Kada se na sekundar priključi sijalica, u kom odnosu stoje jačine struja primara i sekundara ako je stepen korisnog dejstva transformatora: 1) 100 % ( 1 ) i 2) 75 % ( 0,75 )? 11.8. Kolika je efektivna vrednost jačine struje I1 u primaru idealnog transformatora i I2 u sekundaru ako je on priključen na napon od 3 000 V? Odnos broja navojaka primara i sekundara se odnosi: N 1:N2 = 150:11, a transformator troši prividnu snagu od 10 kVA. 11.9. Da bi se odredio broj navojaka u primaru i sekundaru nekog idealnog transformatora koji napon od 220 V smanjuje na 20 V, namota se na sekundaru dodatnih 10 navojaka i pri tome izmeri na krajevima sekundara napon od 22 V. Odrediti broj navojaka u primaru i sekundaru. 11.10. Primar idealnog transformatora sadrţi 100 navojaka i priključen je na napon 200 V čija je frekvencija 50 Hz. Sekundar transformatora ima 800 navojaka. Krajevi sekundara spojeni su sa kolom koje čine redno vezani kondenzator od 2 F i kalem. Ukupni termogeni otpor sekundara je 100 , a ukupna induktivnost 3 H. Kolika je jačina efektivne struje u sekundaru? 11.11. Električna snaga se prenosi na daljinu tako što se u elektrani pomoću transformatora poveća napon nekoliko hiljada puta i tako se struja visokog napona prenosi dalekovodima do potrošača, gde postoji drugi transformator koji sniţava napon na potrebnu vrednost. Ako je snaga koju razvija elektrana 6 kW, a napon na sekundaru prvog transformatora 20 kV, i ako se električna snaga prenosi bakarnim provodnicima na rastojanje 50 km, koliko navojaka treba da ima sekundar drugog transformatora? Broj navojaka primara drugog transformatora je 4 000 , a napon na njegovom sekundaru treba da je 200 V. Poprečni presek provodnika od bakra je 0,5 cm 2, a specifična el. otpornost Cu = 0,0178 mm2/m. Gubici u transformatoru su zanemarljivi ( idealni transformatori ) i oni rade u praznom hodu. 11.12. Gubici snage u transformatoru su 8 %. Ako je primarni kalem priključen na napon od 150 V, kroz njega protiče struja jačine od 2 A. Koliki je napon na sekundaru ako kroz potrošač protiče struja od 0,1 A ( cos 1 = cos 2 )?


141 11.13. Idealni transformator od 200 kVA, napona 6 600 / 400 V i učestanosti 50 Hz, ima 80 navojaka na sekundaru. Odrediti: a) primarnu i sekundarnu struja; b) broj primarnih navojaka; c) maksimalni fluks transformatora. 11.14. Idealni transformator ima izlaznu snagu 100 kVa, sekundarni napon 400 V, broj navojaka na primaru 200, broj navojaka na sekundaru 40. Odrediti: a) napon primara; b) primarnu i sekundarnu struju pri nominalnom opterećenju; c) sekundarnu struju pri opterećenju od 50 kW sa faktorom snage cos 2 = 0,8. 11.15. A 

o I1

U1

I2

N1 B  N2 U 2

o

 C

Z

Na slici 11.15 prikazan je jedan autotransformator sa sledećim podacima: U1 = 127 V; U2 = 100 V; I2 = 10 A; N1 = 240 navojaka. Ako se uzme u obzir da se struja praznog hoda Io moţe zanemariti, odrediti: a) struju koju autotransformator uzima iz mreţe; b) broj navojaka sekundara N2; c) presek namotaja izmeĎu tačaka A i B i tačaka B i C ako je dozvoljena gustina struje u provodnicima J = 2 A/mm2 .

Sl.11.15. 11.16. Sekundarni napon kod idealnog autotransformatora je U 2 = 1,25 U1. Prenosni odnos je m = 0,8. Kolika je snaga ovoga transformatora u odnosu na snagu transformatora sa odvojenim navojima primara i sekundara ? 11.17. Transformator sadrţi na primarnoj strani 400 navojaka, a na sekundarnoj 1 000 navojaka. Poprečni presek gvoţĎa jezgra sa izolacijom limova iznosi S = 63 cm2. Ako su primarni navojci priključeni na napon u = 705 sin 314 t V, odrediti: a) najveću vrednost magnetne indukcije u gvoţĎu jezgra, ako na izolaciju i magnetno rasipanje otpada 5 %; b) sekundarni napon. 11.18. Primarna strana iealnog transformatora ima N1 = 620 navojaka, graĎena je za napon U1 = 220 V. Odrediti: a) broj navojaka sekundara za napone na sekundaru U2 = 3; 5 i 8 V, b) struju primara ako je struja sekundara I2 = 1; 0,8 i 0,4 A, c) prividnau snagu S ako je korisnost  = 1, a frekvencija f = 50 Hz , d) presek jezgra ako je Bm = 1 T. 11.19. Odrediti broj navojaka primara i sekundara za iealni transformator sa sledećim podacima: a) U1 = 220 V; U2 = 42 V; SFe = 80 cm2; Bm = 0,9 T; I2 = 20 A; f = 50 Hz; b) U1 = 300 V; U2 = 60 V; SFe = 105 cm2; Bm = 0,82 T; I2 = 50 A; f = 50 Hz; c) U1 = 500 V; U2 = 110 V; SFe = 130 cm2; Bm = 0,8 T; I2 = 90 A; f = 50 Hz; d) U1 = 750 V; U2 = 220 V; SFe = 150 cm2; Bm = 0,75 T; I2 = 130 A; f = 50 Hz. 11.20. Odrediti struje i prividnu snagu primara transformatora za predhodni zadatak. 11.21. Idealni transformator sa vazdušnom jezgrom ima induktivnost primara L1 = 6 mH, odnos transformacije m = 3 i koeficijent induktivne povezanosti k = 0,1. Kolika je induktivnost drugog kalema L2 i uzajamna induktivnost obaju kalemova Lm ?


142

11.22. Neki transformator ima na primaru N1 = 200 navojaka, a na sekundaru N2 = 50 navojaka. Primar transformatora je priključen na napon U1 = 100 V, a sekundar je opterećen termogenim otpornikom R = 1 . Otpor transformatorskih namotaja i gubici u gvoţĎu su zanemarljivi. Odrediti U 2, I1, I2 i magnetni fluks m ako je frekvencija mreţe f = 50 Hz. 11.23. Idealni transformator ima zadatak da podesi otpor potrošača od R = 5  na unutrašnji otpor izvora koji iznosi Ri = 5 000 . Treba odrediti koliki prenosni odnos transformacije m treba da ima ovaj transformator i koliki je broj navojaka na sekundaru N2 ako je broj navojaka na primaru N1 = 2 000. 11.24. Za podizanje napona neke mreţe od U1 = 4 700 V na U2 = 5 000 V potreban je autotransformator ( transformator u štednoj vezi ). Odrediti za koju snagu S treba biti dimenzioniran ovaj transformator ako je S 2 = 2 000 kVA? 11.25. Autotransformator ima na primaru N1 = 500 navojaka, a na sekundaru N2 = 550 navojaka. Koliki će se dobiti napon na sekundaru U2 ako bi se na primar priključio napon U = 200 V ? Za koliku snagu P treba dimenzionirati transformator da bi se dobila snaga na sekundaru P2 = 10 kW ? 11.26. Transformator sa vazdušnom jezgrom priključen je na napon U 1 = 5 V kruţne učestanosti  = 8106 rad/s. Navoji transformatora imaju podatke: L1 = 4 mH, L2 = 8 mH, Lm = 1 mH, R1 = 50 , R2 = 80 . Na sekundaru je priključen potrošač čija je otpornost jednaka R = 200 k. Izračunati napon na sekundaru U2, struju primara i sekundara I1 i I2 . 11.27. Transformator sa vazdušnom jezgrom ima primarni namotaj sa induktivitetom L 1 = 3 mH, sekundarni sa L2 = 4 mH, a faktor induktivne povezanosti je k = 0,06. Otpori namotaja su R 1 = 60  i R2 = 100 . Sekundarni namotaj se optereti prijemnikom čija je impedansa Z = ( 2 000 + j500 ) , a kruţna učestanost mreţe je  = 5 000 rad/s. Odrediti meĎusobnu induktivnost Lm ( M ) i odnos izmeĎu struja I1/I2 i napona U1/U2. 11.28. Napisati izraz za trenutnu vrednost indukovane ems e1, primara realnog transformatora , ako je poznat broj navojaka N = 500 i izraz za promenu magnetnog fluksa  = 4 sin ( 314t + 23 ) mWb. 11.29. Primar idealnog transformatora sa N1 = 500 navojaka priključen je na napon u1 = 222 2 sin 314t V. Odrediti trenutnu vrednost izraza za magnetni fluks zanemarujući termogenu otpornost kalema i magnetno rasipanje. 11.30. Sa ciljem pribliţnog odreĎivanja odnosa transformacije izvršena su dva merenja primarnog i sekundarnog napona pri RL opterećenju. Pri prvom merenju je impedansa potrošača tri puta manja od impedanse pri drugom merenju. Kako se odnose odnosi transformacije, ako je m = U1/U2 a m = U1/U2? 11.31. Zaokruţiti za koju vrednost, od ponuĎenih vrednosti, impedanse potrošača Z najtačnije odgovara I N sledeća relacija: 1  2 , gde je Zn nominalna vrednost impedanse potrošača. I 2 N1 a) Z = Zn b) Z = 2Zn c) Z = Zn/2 d) Z = 0 e) Z =  Odgovor obrazloţiti. 11.32. Zaokruţiti za koju vrednost, od ponuĎenih vrednosti, impedanse potrošača Z najtačnije odgovara U1 N sledeća relacija:  1 , gde je Zn nominalna vrednost impedanse potrošača. Odgovor obrazloţiti. U2 N2 a) Z = Zn b) Z = 2Zn c) Z = Zn/2 d) Z = 0 e) Z = 


143 11.33. Nactrati ekvivalentnu električnu šemu realnog transformatora sa gvozdenom jezgrom i objasniti sve elemente na toj šemi. 11.34. Koji se od parametara na nadomesnoj električnoj šemi, prema slici 11.33, menja sa promenom frekvencije f na primaru transformatora, uz nepromenjeni primarni napon? R1 +

o

R2

L1 Io

I1 U1

L2

RFe IFe

E

o+

I2 U2

Lo I o

o Sl.11.34.

11.35. Nacrtati fazorski dijagram za realni transformator sa gvozdenom jezgrom, čija je nadomesna šema data na slici 11.34. 11.36. Kako se manja fazni pomak izmeĎu struje i napona na primaru transformatora, ako se jezgro transformatora, koja je napravljena od transformatorskih limova, zameni punim jezgrom od istog materijala? 11.37. Gubici transformatora u praznom hodu su jednaki: a) gubicima u namotajima transformatora b) gubicima zbog histereze i vrtloţnih struja u jezgri transformatora ( gvoţĎu ) c) gubicima zbog magnetnog rasipanja i vrtloţnih struja u jezgri d) gubicima zbog histereze i zagrevanja primarnog kalema e) gubicima zbog rasipanja i aktivnog otpora oba namotaja. Tačno rešenje zaokruţiti. 11.38. Gubici transformatora u reţimu kratkog spoja jednaki su: a) gubicima u namotajima transformatora ( oba ) b) gubicima zbog histereze i vrtloţnih struja u jezgri transformatora c) gubicima zbog histereze i zagrevanja primarnog namotaja transformatora d) gubicima zbog magnetnog rasipanja i vrtloţnih struja u jezgri e) gubicima zbog rasipanja i aktivnom otporu u namotajima ( oba namotaja ) Tačno rešenje zaokruţiti. 11.39. Transformator je radio u nominalnom reţimu rada. Ako se nakon toga otpor potrošača poveća tri puta, kako će se promeniti gubici u gvoţĎu PFe i gubici i bakru ( namotaju transformatora ) P Cu? 11.40. Snagu koju uzima transformator u reţimu kratkog spoja troši se uglavnom na: a) zagrevanje namotaja b) zagrevanje jezgre zbog vrtloţnih struja i histereze c) zagrevanje sekundarnog namotaja i na gubitke zbog vrtloţnih struja d) zagrevanje primarnog namotaja i na gubitke zbog vrtloţnih struja e) gubitke u rasipnim induktivnostima Tačno rešenje zaokruţiti.


144

12. P O L I F A Z N I – V I Š E F A Z N I S I S T E M 12.1. O S N O V N I POJMOVI O POLIFAZNOM SISTEMU Sva kola do sada rešavana imala su generatore u kojima se indukovala samo jedna elektromotorna sila. Takvi generatori se mogu nazvati jednofaznim ( monofaznim ) generatorima. Ovi generatori sadrţe jedan navoj u kojem se rotira magnetno polje. Usled promene magnetnog polja po navojku, u njemu se indukuje ems, kao što je objašnjeno prema slici 1 ( vidi: Dobijanje naizmenične struje ). Ako se u istom promenljivom magnetnom polju naĎe više električno odvojenih navoja, sa odreĎenim prostornim pomakom, kao na slici 2, u svakom od tih navojaka se indukuje po jedna ems. Na taj način nastaje više elektromotornih sila istih učestanosti, ali sa odreĎenim faznim pomakom. Ovakav sistem, u kojem nastaje više ems istih učestanosti različitih faznih uglova ( sa faznim pomakom ), naziva se višefazni ili polifazni sistem. Kako na krajeve takvih generatora moţemo priključiti električna kola, tada je broj tih kola jednak broju ems, tj. broju faza višefaznog sistema. Polifazni sistem, u odnosu na monofazni sistem je u sledećoj prednosti: 1. Sa polifaznim sistemom se moţe obrazovati obrtno magnetno polje, 2. Konstantna snaga 3. Manji broj prenosnih provodnika. Rotor elektromotora obrće obrntno magnetno polje statora, što znači da motori rade zahvaljujući polifaznom sistemu ( Teslinom obrtnom magnetnom polju ). Zahvaljujući faznom pomaku izmeĎu ems ( napona ), snaga kod polifaznog sistema je konstantna, što nije slučaj kod jednofaznog sistema, gde se snaga vremenski menjala ( oscilatorno ). Obe ove navedene prednosti su vrlo značajne sa stanovišta rada motora. Manji broj provodnika sa višefaznim sistemom je omogućen time što se kao nulti provodnik uzima samo jedan ( zajednički ) provodnik, a ponekad se on moţe u potpunosti izbeći ( kod simetričnih sistema ). Na ovaj način se, pored uštede materijala, smanjuju Dţulovi gubici na prenosnim provodnicima. Usled navedenih prednosti višefaznog sistema u odnosu na jednofazni, višefazni sistem je skoro u potpunosti potisnuo jednofazni sistem iz upotrebe. U praksi se od višefaznih sistema uglavnom koriste dvofazni i trofazni sistem. Dvofazni sistem ima primenu kod servomotora u automatici i tehnici regulacije, dok trofazni sistem se isključivo koristi u energetici ( prenos energije na velike udaljenosti, rad trofaznih elektromotora ). POLIFAZNI GENERATOR

N

A

B

 C   M

UA + +UAB +UBC + UCM + UB

UAC +

UMC

+

Sl.71. Polifazni generator je šematski prikazan na slici 71. Priključci generatora, obeleţeni sa A, B, ....., M, nazivaju se faze ( fazni provodnici ), a uzemljeni priključak, koji je obeleţen sa N, naziva se nula ( nulti provodnik ). Učestanost napona izmeĎu svih faza i neutralnog provodnika je ista. Naponi obeleţeni sa U A, UB, ....., UM, nazivaju se fazni naponi, a naponi obeleţeni sa UAB, UAC, UMC, itd. nazivaju se meĎufazni naponi. Praktično, u elektrotehnici, sem dvofaznog sistema) se koriste polifazni generatori kod kojih je fazna razlika izmeĎu faznih napona ista, i iznosi 2/m ( m je broj faza ), a amplitude svih tih faza su jednake.


145

12.2. D V O F A Z N I S I S T E M Ako se dva namotaja prostorno pomerena za /2, kao što je prikazano na slici 72, obrću ugaonom brzinom  u magnetnom polju, u namotajima će se indukovati ems koje su fazno pomerene za /2. Isto će se dogoditi ako se obrće magnetno polje a nomotaji su u stanju mirovanja. Namotaji 1 i 2 mogu biti električno povezani ( redna veza ), a i ne moraju, što ne utiče na iznos pojedinačnih indukovanih ems u njima. Oba namotaja su mehanički povezana, pa se rotiranjem jednog namotaja rotira i drugi istom ugaonom brzinom. Ako si i brojevi navojaka isti, tada će i amplitude indukovanih ems bite iste. Iznos indukovanih ems, po navojima iznosi: e1 = Emsin t i e2 = Emsin (t + /2 ) = Emcos t

A 1  N

S

2 B

Sl.72.

Na slici 73 a dat je vremenski indukovanih ems u zavisnosti od ugaone brzine. Svaki od ovih namotaja moţemo posmatrati posebno, kao jednofazni generator. U jednom generatoru se indukuje ems e1 a u drugom e2. Vremenski pomak izmeĎu ovih ems je uvek isti, i on u ovom slučaju iznosi T/4, gde ems e 2 prednjači ems e1. Fazni pomak, prikazan na slici 73 b, iznosi /2.

e

E2m

e2

E1m

E2

e1

t

E1

f.o.

T a) vremenski ( grafički ) dijagram ems

b) fazorski dijagram ems Sl.73.

Priključenjem potrošača na krajeve ovih namotaja, usled ems e 1 i e2 kroz potrošače će proticati struje i1 i i2 čiji se smer poklapa sa smerom ems.  e2 e1

B  +

i2

R

io = i1 + i2

 R

i1

A + Sl.74.

Ako su namotaji električno odvojeni, tada je svaki od tih namotaja u prostom kolu sa potrošačem, pa nastaju takva dva električno odvojena kola. U praksi se namotaji najčešće redno veţu, pa je jedna tačka ( spojno mesto ) zajednička. Na ovaj način umesto četiri provodnika potrebna su tri, što je prikazano na slici 74. Kroz zajednički provodnik će proticati ukupna struja, koja je jednaka pojedinačnih struja.


146 Kod vektorskog predstavljanja ems E1 i E2 vrlo je bitno da se predhodno znaju početci i krajevi namotaja. Početke obeleţavamo štampanim slovima ( A, B,C, ..., N ), a krajeve sa malim slovima ( x,y,z, ...,n ). Smerovi ems, kod crtanja fazorskog dijagrama, u praksi se uvek uzimaju da su ka početku navoja ( ka A, B, C ..). Tako nastaje fazorski dijagram, prema slici 75, koji je već dat na slici 73 b. Primenom drugog Kirhofovog zakona, prema slici 74, sledi: EAB  E1 + E2 = 0  E = EAB = E1  E2.. Za jednake efektivne vrednosti ems E1 i E2, tada je efektivna vrednost napona izmeĎu tačaka A i B ( navoja na početku ) jednaka:

E2

E1 

2 2 E  E1  E 2  2  E1 . Ems ( napon ), izmeĎu dveju faza naziva se meĎufazna ems ( napon ). Vidimo da je meĎufazni napon veći od faznog napona ( napon na

f.o. E

krajevima jedne faze ) za 2 puta. To znači da će i struja kroz prijemnik koji se priključi na meĎufazni napon biti veća od struje

E2

prijemnika koji se priključi na fazni napon za 2 puta. Analitički izraz za ems E ( meĎufazni napon ) je: e = Em sin ( t  /4 )

Sl.75.

Dakle, dvofaznim sistemom, imamo mogućnost korišćenja faznog i meĎufaznog napona gde je meĎufazni napon veći od faznog za 2 puta. Dvofazni sistem još omogućuje i stvaranje obrtnog magnetnog polja na osnovu kojeg rade naizmenični motori ( Zahvaljujući našem naučniku Nikoli Tesli ).

12.3. T R O F A Z N I S I S T E M Trofazni sistem stvara trofazni generator, koji se sastoji od tri namotaja smeštena po obimu statora, sa prostornim pomakom od 2/3. Rotor, koji je u stvari magnet ( stalni ili elektromagnet ) se obrće u prostorno pomerenim namotajima i u njima indukuje ems koje su fazno pomerene za 2/3. Uprošćena slika trofaznog sinhronog generatora je data na slici 76 a. Slika 76 b predstavlja samo namotaje čiji su početci obeleţeni slovima A, B i C, a krajevi sa x, y i z. C o

yo 

xo

S

EC

oB 

 zo

N





oA



oC

z

x y

o A EA





EB o B

a)

b) Sl.76.

Obrtanjem rotora (magnetnog polja ) u namotajima A-x, B-y i C-z se indukuju ems eA, eB i eC, koje su prikazane grafički ( vremenski ) na slici 77 a. Na osnovu vremenskog dijagrama, kao i na osnovu poloţaja namotaja u obrtnom magnetnom polju prikazan je i fazorski dijagram na slici 77 b. Očito je da su vektori ems fazno pomereni za 2/3, kao i prostorni pomak namotaja. Na osnovu ove konstatacije moţe se fazorski dijagram elektromotornih sila predstaviti isto kao i namotaji, tj. pravac vektora ems je isti kao i pravac namotaja. Smer tih vektora se poklapa sa smerom početka namotaja ( ka priključcima A, B i C ).


147

eA

eB

eC

EAm

ECm ECm

EBm

t

EAm

f.o.

EBm T a)

b) Sl.77.

Analitički izrazi za indukovane ems po navojima su: eA = EAm sin t = Em sin t; eB = EBm sin ( t  2/3 ) = Em sin ( t  2/3 ) i eC = ECm sin ( t  4/3 ) = Em cos ( t + 2/3 ) jer je EAm = EBm = ECm = Em. Lako se moţe uočiti, bez posebnog dokazivanja ( izvoĎenja ), sa vremenskog dijagrama da je: eA + eB + eC = 0, a sa fazorskog: EA + EB + EC = 0. 12.3.1. VEZIVANJE NAMOTAJA TROFAZNIH GENERATORA Trofazni generator bi mogao imati šest priključaka, vezanih za parove krajeva namotaja. Na ove priključke, pomoću šest provodnika bise mogli vezati razni potrošači. U praksi se, umesto šest priključaka, generatori izvode sa tri ili četiri priključka, čime se povećava ušteda u materijalu ( linijskim provodnicima ). To se postiţe tako što se namotaji generatora veţu u zvezdu ili trougao ( petlju ). 12.3.1.1. Veza namotaja trofaznih generatora u zvezdu Najčešća veza namotaja trofaznih generatora je u zvezdu, što je prikazano na slici 78 a. Zajednička tačka sva tri namotaja označava se sa N ( ili 0 ), i naziva se neutralna tačka ili zvezdište, i uvek se uzemljuje. Ovako povezani generator ima četiri provodnika ( priključka ). Provodnik koji spaja zvezdište naziva se nulti provodnik ( neutralni provodnik ) ili ponekad samo ,, nula . Tri provodnika koji su vezani za neuzemljene krajeve namotaja nazivaju se fazni provodnici, ili ponekad ,, faze . Usvojene oznake kod nas za faze su A, B i C, pri čemu se smatra da napon faze A prednjači naponu faze B za 2/3, a naponu faze C za 4/3. Zvezdište je uzemljeno, te su sve tačke nultog provodnika u svakom trenutku na potencijalu Zemlje, uz pretpostavku da kroz nulti provodnik ne teče struja ( simetrično opterećenje ). Ako generator radi u praznom hodu ( potrošači nisu uključeni ), u namotajima generatora nema struje, samim tim nema ni pada napona na namotajima generatora. Zbog toga je napon na krajevima svakog od namotaja jednak ems posmatranog namotaja. Napon na krajevima svake faze naziva se fazni napon, pa tako imamo tri fazna napona koji su fazno pomereni za 2/3, i to UA, UB i UC. Fazorski dijagram faznih napona je dat na slici 78 b. Redovito se u faznu osu postavi napon U A, pa je fazna osa normala na dosadašnji način njenog predstavljanja. Ništa se neće promeniti ako se kompletan dijagram zarotira za /2 u desno, čime će se fazna osa i napon UA naći u horizontali ( dosadašnji način predstavljanja ).


148

Ao

+

+

UA

UAB

o1 f.o.

+ EA

EA

N

Co

o N (0)

+ UB EB +

+ EC

o B

UCA +

UC

2/3 2/3

o2

2/3 EC

UBC

EB

+ o3

+

b)

a) Sl.78.

Osim faznih napona, tj. napona izmeĎu faznih provodnika i neutralnog provodnika, postoje i meĎufazni ( linijski ) naponi. MeĎufazni naponi su naponi izmeĎu dve faze, a to su U AB, UBC i UCA. Koristeći drugi Kirhofov zakon, prema slici 78 a, linijski naponi iznose: UAB = UA  UB; UBC = UB  UC i UCA = UC  UA

UB

f.o.

UAB /6

UA UBC UC

UC UB UA

Na osnovu navedenih jednačina moţe se nacrtati fazorski dijagram, koji je prikazan na slici 79. Iz fazorskog dijagrama se jasno vidi da su efektivne vrednosti meĎufaznih napona meĎusobno jednake i fazno pomerene za 2/3. Efektivna vrednost faznih napona najčešće se obeleţava sa Uf a meĎufaznih sa U ( bez indeksa ). Koristeći fazorski dijagram lako se mogi svi naponi predstaviti kompleksno, pa je: UA = Ufej0 ; UB = Ufej 120 ; UC = Uf ej 240 ; UAB = Uej 30 ; UBC = Uej 90 ; UCA = Uej 210 . Iz jednakokrakog trougla U 3 ( cos 30 o  2  U 2  U f cos 30 o  U f  ), Uf 2 sledi:

UCA

Sl.79.

U=

3  Uf

Dakle, kod veze trofaznih generatora u zvezdu, meĎufazni napon je veći od faznog za 3 puta. Ako na generator priključimo potrošač, kroz fazne provodnike će teći struje, koja će biti jednaka struji odgovarajućeg namotaja. To znači da su, kod veze namotaja u zvezdu, linijske i fazne struje meĎusobno jednake. U = 3  Uf

i

I = If


149

12.3.1.2. Vezivanje namotaja trifaznih generatora u trougao Ova je veza, kod generatora, vrlo retka. Razlog je taj što kod ove veze nema neutralnog provodnika, pa ovaj sistem nema nulu. Šema po kojoj se namotaji generatora veţu u zvezdu data je na slici 80. I3 C IC

EB IB

Kod veze namotaja generatora u trougao fazni naponi generatora su ujedno i meĎufazni, pa je ( u praznom hodu ): UAB = EA; UBC = EB i UCA = EC. Ako generator vezan u trougao opteretimo simetričnim trofaznim potrošačem, tada će kroz namotaje generatora proticati fazne struje IA, IB i IC, a kroz linijske provodnike struje I1, I2 i I3. Fazne struje su istog smera kao i ems a linijske su ka potrošaču ( jer se radi o generatoru ). Koristeći prvi Kirhofov zakon, sledi:

+ +

UCA

EC

UBC

+

B

+ EA

IA

I1

 A + UAB

I2

+

I1 = IA  IC ; I2 = IB  IA i I3 = IC  IB.

Sl.80.

Na osnovu veze generatora, prema slici 80, sledi fazorski dijagram struja, koji je prikazan na slici 81. IC

I1

IA /6 I3 IB

IB IC I2 IA

Sl.81. Fazne struje se obeleţavaju sa If, a linijske sa I ( IA = IB = IC = If ; I1 = I2 = I3 = I), pa je prema fazorskom dijagramu na slici 81: I=

3 If

Dakle, kod veze navoja generatora u trougao, uz pretpostavku da su faze podjednako opterećene ( simetričan sistem ) linijske struje su veće od faznih za

I=

3 If

3 puta, dok su linijski i fazni naponi meĎusobno jednaki.

i

U = Uf


150

12.3.2. VEZIVANJE ( TROFAZNIH ) PRIJEMNIKA NA TROFAZNE GENERATORE Namotaji trofaznog generatora su redovito vezani u zvezdu. Ako to nije slučaj, vezu namotaja trofaznih generatora iz trougla pretvori u zvezdu, te na taj način namotaji generatora su opet vezani u zvezdu. Zbog toga, bez obzira na vezu prijemnika, namotaje trofaznih generatora tretirati kao da su vezani u zvezdu. Trofazni prijemnici, ili grupa više jednofaznih prijemnika, na generator se mogu vezati u zvezdu i trougao. Veza prijemnika u zvezdu Veza prijemnika u zvezdu prikazana je na slici 82.

EA

0

EB

EC

A 

Zp1

A 

Z1

Zgb

B 

Zp2

B 

Z2 I2

Zgc

C 

Zp3

C 

Z3

N 

Zo

N 

+

+

+

I1

Zga

I3

 0

Io

Sl.82. Ako je sistem nesimetričan, što je redovito slučaj, tada se ovakva kola rešavaju sloţenim metodama ( konturne struje ili zajedničkim naponom ). Kod nesimetričnog sistema ( različita opterećenja faza ) izmeĎu zvezdišta 0 i 0, deluje napon Uo koji iznosi:

U o  U o 'o 

EA  YA  EB  YB  EC  YC

YA  YB  YC  Yo gde su YA, YB i YC ukupne admitanse faznih provodnika,a Yo admitansa nultog provodnika. Ove admitanse iznose: 1 YA  ; Z ga  Z p1  Z1 YB 

1 ; Z gb  Z p 2  Z 2

YC 

1 ; Z gc  Z p 2  Z 3

Yo 

1 Zo

Ako sistem nema nultog provodnika, tada je provodnost Yo = 0, jer je Zo = , pa je i struja Io = 0. Impedanse namotaja generatora su redovito jednake, pa se moţe uzeti da je Zga = Zgb = Zgc = Zg. Isti je slučaj i sa impedansama faznih provodnika gde je Zp1 = Zp2 = Zp3 = Zp. Primenjujući drugi Kirhofov zakon, za prvu granu,sledi: Uo + I1Z1 + I1Zp1 + I1Zga  EA = 0  I1( Z1 + Zp1 + Zga ) = EA  Uo. Na isti način se postave jednačine i za druga dva fazna provodnika. Iz ovih jednačina odrede se sve struje u kolu, i one iznose:


151

I1  I2  I3  Io 

EA  Uo Z ga  Z p1  Z1

 E A  U o   Y A ;

EB  Uo

 E B  U o   Y A ;

Z gb  Z p 2  Z 2 EC  Uo Z gc  Z p 3  Z 3

 E C  U o   Y C ;

Uo

 Uo Yo Zo Struju u nultom provodniku moţemo odrediti primenom prvog Kirhofovog zakona, gde je: Io = I1 + I2 + I3 Napon na prijemniku iznosi: UA = I1Z1; UB = I2Z2 i UC = I3Z3 Na isti način se odrede i svi ostali padovi napona ( kako na faznim provodnicima tako i na otporu generatora ). Ako je sistem simetriča, nema napona Uo, nema ni struje Io, pa su struje po fazama jednake: EA I1  ; Zg  Zp  Z

I2  I3 

EB Zg  Zp  Z

;

EC Zg  Zp  Z

Kako je EA = EB = EC = E , sledi:

I1  I 2  I 3  I 

E , Zu

gde je Zu = Zg + Zp + Z Fazorski dijagram napona i struja za vezu prijemnika u zvezdu dat je na slici 83. Slika 83 a predstavlja dijagram kod nesimetričnog sistema, a slika 83 b kod simetričnog sistema. ( Karakter prijemnika je RL.) EA

EA I1

I1

1

Io I3

1 I3

3

2

EC

3

2

EB EC

I2 a)

EB

I2

b) Sl83.

Da bi struja u nultom provodniku bila jednaka nuli, sistem bio simetričan, fazne struje I1, I2 i I3 moraju biti jednake i fazno pomerene za 120 ( Io = I1 + I2 + I3 ). To će se dogoditi kada su ispunjena sledeća dva uslova: 1. 2.

Impedanse prijemnika meĎusobno jednake: Z1 = Z2 = Z3 i Fazni pomaci izmeĎu struja i faznih napona jednaki: 1 = 2 = 3.

a to se u stvaru svodi na uslov:

Z1 = Z2 = Z3.


152

Veza prijemnika u trougao Veza prijemnika u trougao je data na slici 84. Zga

A 

+ EA

B 

+ EB

Zp2

IY Zgc

C 

+

I1 IAB

IX Zgb

N

Zp1

I2

A  Z1  B

IBC Zp3

EC

I3

IZ

Z2

Z3 ICA

 C

Sl.84. Ovakva kola, ako je sistem nesimetričan, rešavaju se metodom konturnih struja. Za datu vezu odgovaraju sledeće tri jednačine ( tri konture ): EA  EB = IX( Zga + Zp1 + Z1 + Zp2 + Zgb )  IY( Zgb + Zp2 )  IZZ1 ............... ( 1 ) EB  EC = IY( Zgb + Zp2 + Z2 + Zp3 + Zgc )  IX( Zg2 + Zp2 )  IZZ2 ................ ( 2 ) 0 = IZ( Z1 + Z2 + Z3 )  IXZ1  IYZ2 ............................................................... ( 3 ) Rešenjem ovih jednačina dobiju se rešenja konturnih struja, koje rešavaju sve struje u sistemu, gde je: I1 = IX; I2 = IY  IX; I3 = IY; IAB = IX  IZ, IBC = IY  IZ; ICA = IZ U praksi se umesto ems EA, EB i EC često daju meĎufazni naponi ( napon mreţe ). Kako su to naponi izmeĎu tačaka A, B i C ( idealni naponski generatori – Rga = Rgb = Rgc = 0 ), predhodne jednačine glase: UAB = IX( Zp1 + Z1 + Zp2 )  IYZp2  IZZ1 ......................... ( 1 ) UBC = IY( Zp2 + Z2 + Zp3 )  IXZp2  IZZ2 ......................... ( 2 ) 0 = IZ( Z1 + Z2 + Z3 )  IXZ1  IYZ2 .................................. ( 3 ) Ako je sistem simetričan, a pad napona na linijskim provodnicima i generatoru zanemarljiv, tada je napon na trofaznim prijemnicima jednak meĎufaznom naponu generatora ( mreţe ), tj. UAB = UAB = EA 3 ; UBC = UBC = EB 3 ; UCA = UCA = EB 3 , pa je struja prijemnika jednaka: U ' U ' U ' U' I AB '  I BC '  I CA '  I'  AB  BC  CA  Z1 Z2 Z3 Z ICA Na slici 85 dat je fazorski dijagram struja za I1 trofazni simetrični potrošač vezan u truogao. Struje potrošača su IAB, IBC i ICA. Koristeći prvi IAB kirhofov zakon, za kolo prema slici 84, sledi: I1 + ICA = IAB  I1 = IAB  ICA; I2 + IAB = IBC  I2 = IBC  IAB I3 I3 + IBC = ICA  I3 = ICA  IBC IBC IBC ICA Ako je sistem simetričan, IAB = IBC = ICA = I, tada je I1 = I2 = I3 = I, odnosno linijsk struja I je veća od struje potrošača I za Dakle,

3 puta.

I=

3 I

I2 Sl.85.


IAB

153

12.3.3. SNAGA TROFAZNIH GENERATORA I TROFAZNIH PRIJEMNIKA Trofazni generatori, kao i prijemnici, su u stvari tri jednofazna generatora , odnosno prijemnika, koji su povezani ili u zvezdu ili u trougao. To znači da se pri računanju snage proračun izvodi isto kao u jednofaznom sistemu, pa se ukupna snaga dobije zbirom pojedinačnih snaga, tj. snaga po fazama. Snaga trofaznih generatora i trofaznih prijemnika vezanih u zvezdu Kako su indukovane ems po fazi, prema slici 82, EA, EB i EC, a struje koje prolaze tim fazama ( ujedno i linijske struje ) I1, I2 i I3, snaga koju proizvodi trofazni generator iznosi: Aktivna snaga: Pg = Pg1 + Pg2 + Pg3 = EAI1cos A + EBI2cos B + ECI3cos C; Reaktivna snaga: Qg = Qg1 + Qg2 + Qg3 = EAI1sin A + EBI2sin B + ECI3sin C Prividna snaga: Sg = Sg1 + Sg2 + Sg3 = EAI1 + EBI2 + ECI3 Ako je sistem simetričan ( EA = EB = EC = E; I1 = I2 = I3 = I; A = B = C = g ), aktivna, reaktivna i prividna snaga iznosi: Pg = 3EI cosg W; Qg = 3EI sin g VAr i Sg = 3EI VA. Ako umesto ems generatora uvrstimo meĎufazne napone, gde je U AB = UBC = UCA = U = E 3 navedeni izrazi za snage glasi: U Pg  3   I cos  g  3UI cos  g W , 3 U Qg  3  I sin  g  3UI sin  g VAr , 3 U Sg  3  I  3UIVA . 3 gde je: U .. linijski ( meĎufazni ) napon; I ... linijska struja i g... fayni pomak izmeĎu E i I. Na isti način se dobije snaga trofaznih prijemnika, gde je, Aktivna snaga prijemnika: P = P1 + P2 + P3 = UAI1 cos 1 + UBI2 cos 2 + UCI3 cos 3; Reaktivna snaga prijemnika: Q = Q1 + Q2 + Q3 = UAI1 sin 1 + UBI2 sin 2 + UCI3 sin 3 i Prividna snaga prijemnika: S = S1 + S2 + S3 = UAI1 + UBI2 + UCI3 Kada je sistem simetričan ( UA = UB = UC = Uf; I1 = I2 = I3 = I; 1 = 2 = 3 =  ) , aktivna, reaktivna i prividna snaga trofaznog prijemnika je: P  3U f I cos   3UI cos W,

Q  3U f I sin   3UI sin VAr ,

S  3U f I  3UIVA 

gde je: - UA, UB; UC... fazni naponi na prijemniku ( impedansama Z1, Z2 i Z3 ), - U .... meĎufazni napon - 1, 2, 3.... fazni pomak izmeĎu struja i napona na prijemniku ( U A i I1 ... )


154

Snaga trofaznih generatora i trofaznoh prijemnika vezanih u trougao Postupnim izvoĎenjem snage trofaznih generatora i trofaznih prijemnika dolazimo do istih relacija ( izraza ) po kojima se odreĎuje snaga sistema. Kod ove veze, vidi sliku 84, meĎufazni naponi na prijemniku su jednaki faznim naponima. Kod simetričnog sistema U = Uf, a linijska struja je veća od fazne struje prijemnika za 3 puta. Pošto su relacije univerzalne, bez obzira na način veze prijemnika snaga kod trofaznih generatora iznosi: Aktivna snaga: Pg = Pg1 + Pg2 + Pg3 = EAI1cos A + EBI2cos B + ECI3cos C; Reaktivna snaga: Qg = Qg1 + Qg2 + Qg3 = EAI1sin A + EBI2sin B + ECI3sin C Prividna snaga: Sg = Sg1 + Sg2 + Sg3 = EAI1 + EBI2 + ECI3 Ako je sistem simetričan ( EA = EB = EC = E; I1 = I2 = I3 = I; A = B = C = g ), aktivna, reaktivna i prividna snaga iznosi: Pg  3EI cos  g  3UI cos  g W , Q g  3EI sin  g  3UI sin  g VAr , S g  3EI  3UIVA .

gde je: - U .. linijski ( meĎufazni ) napon; - I ... linijska struja i - g... fazni pomak izmeĎu E i I. Na isti način se dobije snaga trofaznih prijemnika, gde je, Aktivna snaga prijemnika: P = P1 + P2 + P3 = UAI1 cos 1 + UBI2 cos 2 + UCI3 cos 3; Reaktivna snaga prijemnika: Q = Q1 + Q2 + Q3 = UAI1 sin 1 + UBI2 sin 2 + UCI3 sin 3 Prividna snaga prijemnika: S = S1 + S2 + S3 = UAI1 + UBI2 + UCI3 Kada je sistem simetričan ( UA = UB = UC = Uf; I1 = I2 = I3 = I; 1 = 2 = 3 =  ) , aktivna, reaktivna i prividna snaga trofaznog prijemnika je:

P  3U f I cos   3UI cos W,

Q  3U f I sin   3UI sin VAr ,

S  3U f I  3UIVA 

gde je: - UA, UB; UC... fazni naponi na prijemniku ( impedansama Z1, Z2 i Z3 ), - U .... meĎufazni napon - 1, 2, 3.... fazni pomak izmeĎu struja i napona na prijemniku ( U A i I1 ... )


155

ZADACI: 12.1. Fazni naponi dvofaznog sistema iznose u1 = 100 2 sin t V i u2 = 200 2 sin (t  /2 ) V. Ako faze opteretimo sa R1 = R2 = 10 , odrediti fazne struje sistema i nacrtati fazorski dijagram napona i struja. 12.2. Naponi dvofaznog sistema su u1 = 200 2 sin t V i u2 = 200 2 sin (t  /2 ) V, a opterećenja faza Z1 = Z2 = ( 10 + j10 ) . Nacrtati fazorski dijagram napona i struja. 12.3. Na linijski ( meĎufazni ) napon dvofaznog sistema čiji fazni naponi iznose u1 = 300 2 sin t V i u2 = 300 2 sin (t  /2 ) V priključen je potrošač Z = ( 20 + j10 ) . Odrediti linijske i fazne struje i nacrtati fazorski dijagram napona i struja. 12.4. Naponi dvofaznog sistema su u1 = 100 2 sin t V i u2 = 100 2 sin (t  /2 ) V, a struje su i1 = 10 2 sin ( t  /3 ) A i i2 = 10 2 sin (t  5/6 ) . Odrediti aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu i nacrtati vektorski dijagram snaga. 12.5. Kod dvofaznog sistema fazni naponi su U1 = 200 V, i U2 = j200 V, a opterećenja Z1 = j10  i Z2 = 10 . Odrediti sve snage sistema ( P;Q i S ). 12.6. Opterećenje Z = ( 20  j20 3 )  priključeno je na linijski napon u12 = 282 sin ( t  /4 ). Odrediti snage sistema P, Q i S. 12.7. Nacrtati grafički ( vremenski ) dijagram snaga p1, p2 i p ako su fazni naponi i fazne struje date izrazima u1 = 100 sin t V , u2 = 100 sin (t  /2 ) V, i1 = 5 sin ( t  /6 ) A i i2 = 5 sin (t  /2 ) . 12.8. Opterećenja faza kod dvofaznog sistema su Z1 = 50  i Z2 = ( 30 + j40 ) , a odgovarajuće struje su I1 = 4  i I2 = ( 3,2  j2,4 ) A. Odrediti fazne napone U1 i U2, i aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu sistema. 12.9. Aktivna snaga dvofaznog sistema je P = 2 kW pri cos  = 0,8. Ako kroz kolo protiče struja od I = 20 A odrediti fazni napon generatora. 12.10. Kod dvofaznog sistema je Z1 = j2  i Z2 = j2 . Ako je Io = I1 + I2 = ( 5 + j5 )  i fazni napon u1 = 100 2 sin t V, odrediti napon u2, struje I1 i I2 i nacrtati fazorski dijagram napona i struja. 12.11. Impedansa Z = R + jX priključena je na linijski napon dvofaznog sistema. Reaktivna snaga u kolu je Q = 2 000 VAr pri faznom naponu Uf = 125 2 V učestanosti f = 50 Hz i faktora snage cos  = 0,6. Koliki kondenzator treba vezati paralelno sa impedansom Z da bi se reaktivna snaga smanjila na 1 500 VAr ? 12.12. Izračunati odnos efektivnih vrednosti linijskih ( meĎufaznih ) i faznih napona kod dvofaznog, trofaznog, šestofaznog , dvanaestofaznog i osamnaestofaznog trofaznog simetričnog sistema. 12.13. Otpori R1 = R2 = R3 = 50  vezani su u zvezdu. Ako je linijska struja sistema I = 3  odrediti fazne i linijske napone. 12.14. Tri jednaka prijemnika Z1 = Z2 = Z3 = ( 5 + j15 )  vezana su u zvezdu na linijski napon U = 390 V. Koliki je fazni napon i fazna struja sistema ? 12.15. Trofazni motor vezan je u trougao i priključen na mreţu linijskog napona U = 380 V i uzima faznu struju If = 50 A. Odrediti sve snage motora ako je njegov faktor snage cos  = 0,8. 12.16. Trofazni motor spojen je u zvezdu i priključen je na linijski napon U = 400 V. Reaktivna snaga motora je Q = 8 000 VAr, a fazna struja motora je If = 15 A. Kolike su prividna i aktivna snaga motora ?


156 12.17. Tri impedanse Z1 = Z2 = Z3 = R + jX , vezane su u truogao i priključene na meĎufazni ( linijski ) napon U = 200 3 V. Odrediti aktivnu snagu ovog prijemnika ako je linijska struja I = 15 A, a fazni pomak izmeĎu faznog napona i fazne struje  = /4. 12.18. Kada trofazni motor priključuimo na mreţu 380/220 V, linijskim vodovima protiče struja I = 85 A uz faktor snage cos  = 0,83. Koliko je vremenski uključem motor u pogon ako on razvije rad ( energiju ) od W = 450 kWh ? 12.19. Na linijskim vodovima A i B priključen je kondenzator od C = 200 F, pri čemu je struja za 15 A veća nego kod priključka na vodove B i N ( 0 ). Koliki je napon mreţe ako je frekvencija f = 50 Hz ? 12.20. Trofazna mreţa opterećena je motorom od P = 100 kW koji radi sa stepenom korisnosti  = 91 % i ima faktor snage cos  = 0,8. Linijski napon mreţe je U = 5 kV. Treba odrediti faznu struju generatora If koji je vezan u zvezdu. 12.21.  

G

M



C

C

C

Trofazna mreţa linijskih napona 3  380 V frekvencije f = 50 Hz daje energiju industrijskom pogonu koji ima snagu P = 500 kW pri faktoru snage cos  = 0,6 ( ind. ). Da bi se povećao faktor snage na cos 1 = 0,8 na mreţu su priključene tri jednake kondenzatorske baterije vezane u zvezdu, prema slici 12.21. Odrediti linijsku struju mreţe I pre uključenja kondenzatorskih baterija i linijsku struju I1 nakon uključenja kondenzatora. Koliki je pojedinačni kapacitet svake od baterije ?



Sl.12.21. 12.22. Trofazni generator ima ems po fazi E = 5 200 V, a vezan je u zvezdu. Impedansa namotaja generatora iznosi Zg = ( 0,4 + j0,5) . Na generator je priključen trofazni elektromotor sa vezom u zvezdu impedanse po fazi Zm = ( 15,6 + j11,5) . Odrediti struju po fazama I, napon na krajevima generatora U, faktor snage mreţe cos , snagu motora Pm i gubitak snage u generatoru Pg. 12.23. Trofazni motor ima pod opterećenjem snagu P = 25 kW uz cos m = 0,75. Linijski napon na priključnicama motora vezanog u zvezdu iznosi U m = 1 200 V. Motor je vezan na generator preko vodova impedanse Zv = ( 2 + j4 ) . Treba odrediti struju mreţe I, struju motora Im, linijski ( meĎufazni ) napon generatora Ug i stepen korisnosti  mreţe. 12.24. Odrediti prividnu snagu trofazne mreţe S i faktor snage cos  na koju su priključena dva motora sa snagama P1 = 10 kW sa cos 1 = 0,6 induktivno i P2 = 9 kW sa cos 2 = 0,8 kapacitivno. Kolika je struja mreţe I, struje motora I1 i I2 ako je napon mreţe U = 1 kV ( meĎufazni ) ? 12.25. A

Šta pokazuje idealni voltmetar, prema slici 12.25, ako se on veţe redno na vezu trofaznih namotaja generatora u trougao? Efektivne vrednosti ems su jednake i iznose EA = EB = EC = 220 V. pomerene za 120. Rešenje prokomentarisati.

+ EC +

EA 

C EB

 + B

V

Sl.12.25.


157

12.26. Ao

A1 Z

Z

Šta pokazuje ampermetar A2, prema slici 12.26, ako ampermetar A1 pokazuje struju 34,6 A ? Impedanse Z su vezane u trougao i priključene na trofaznu mreţu. Ampermetri su idealni.



Na simetričnu trofaznu mreţu priključen je potrošač prema slici 12.27. Šta će pokazati idealni ampermetar ako je meĎufazni ( linijski ) napon mreţe jednak U = 100 V ?

Bo Z

A2 Co Sl.12.26. 12.27. A Z

Z

 Z



Sl.12.27. 12.28. Šta će pokazati voltmetar ako ampermetar pokazuje 17,3 A, prema slici 12.28 ? Ampermetar i voltmetar su idealni.

A  Z

Z

 Z

V



Sl.12.28. 12.29. Ao

A

UAB 

Bo UCA UBC

U mreţi, prema slici 12.29, meĎufazni naponi su prostoperiodični i simetrični i iznose UAB = UBC = UCA = U = 380 V. Ako su svi potrošači meĎusobno jednaki i iznose Z = 10 , šta će izmeriti idealni ampermetar ?

Co

 Sl.12.29.


158 12.30. Kako će se promeniti linijska struja, ako se simetrični trofazni prijemnik, vezan u zvezdu, bez nultog voda, prespoji u trougao ? Linijski naponi mreţe se ne nemenjaju i čine simetričan sistem. 12.31. Kako će se promeniti aktivna snaga, ako se simetričan potrošač, vezan u zvezdu bez nule, prespoji u trougao, uz iste linijske napone ( simetričan sistem ) ? 12.32. Data su dva simetrična potrošača, od kojih je jedan vezan u trougao a drugi u zvezdu. Potrošači se sastoje od jednakih termogenih otpora i priključeni su na trofazni generator. Koji je odnos ozmeĎu linijskih struja kod veze u trougao i linijskih struja kod veze u zvezdu ( I t / Iz ) ? 12.33. Dva simetrična potrošača od kojih je jedan vezan u trougao a drugi u zvezdu priključena su na trofazni generator. Linijske struje potrošača su meĎusobno jednake. Ako potrošač koji je vezan u trougao ima impedansu Zt = 15 , odrediti impedansu potrošača vezanog u zvezdu Zz. 12.34. Impedanse dvaju simetričnih trofaznih potrošača su jednake i iznose Z. Prvi potrošač je vezan u trougao, a drugi u zvezdu, pri čemu su oba priključena na isti izvor napona U. Kolika je linijska struja I, koristeći parametre U i I. ? 12.35. XL A XL

XC

Na trofaznu mreţu, prikazanoj na slici 12.35, priključen je simetričan sistem linijskih napona UAB = UBC = UCA = U = 220 V. Šta će pokazati idealni ampermetar, ako su reaktivne otpornosti XL = 10  i XC = 60  ?

XC XC

XL Sl.12.35. 12.36. j10

Trofazna simetrična mreţa, prema sl.12.36, priključena je na simetričan sistem linijskih napona UAB = UBC = UCA = 380 V. Aktivni otpori prenosnih vodova se mogu zanemariti. Šta će pokazati idealni ampermetar ? Brojni podaci su navedeni na slici.

A j90

j10

j90 j90

j10 Sl.12.36. 12.37.

Simetričan trofazni potrošač se napaja iz trofazne mreţe, prema slici 12.37. Voltmetar ampermetar i jednofazni vatmetar pokazuju sledeće vrednosti

A  Z

UV = 127 V, IA = 4 3 A i PW = 508 W. Kojeg je karaktera impedansa Z ?

Z

 V *

* W

Z

Sl.12.37.



1. aktivnog; 2. aktivno – reaktivnog ( XL  XC ) 3. aktivno – reaktivnog ( XL  XC ) 4. induktivno reaktivnog 5. kapacitivno reaktivnog


159

12.38. Z

* W *

Ao

Z



Bo

Simetričan trofazni potrošač se napaja iz trofazne mreţe, prema slici 12.38. Kojeg je karaktera impedansa Z ako vatmetar pokazuje nulu ? Uz objašnjenje zaokruţiti tačno rešenje.

Z



Co



1. aktivnog; 2. aktivno – reaktivnog ( XL  XC ) 3. aktivno – reaktivnog ( XL  XC ) 4. induktivno reaktivnog 5. kapacitivno reaktivnog NAPOMENA! Zvezdica na vatmetru govori o početku strujnog odnosno naponskog namotaja.

Sl.12.38.

12.39. Ao

Z

A

* * W

Bo

Z



V Z

Simetričan trofazni potrošač se napaja iz trofazne mreţe, prema slici 12.39. Voltmetar i ampermrtar pokazuju: UV = 380 V, IA = 3 A. Šta će pokazati vatmetar ako je impedansa Z savršeno termogena ? Zvezdice na vatmetru pokazuju ulaz ( početak namotaja ).

Co Sl.12.39. 12.40. Z

Šta će pokazati idealni vatmetar, prema sl. 12.40, ako je meĎufazni napon jednak U = 380 V? Uz komentar zaokruţiti jedan od ponuĎenih odgovora:

Ao

Z Bo

Z Co

V

 1.

380 V,

2.

380 / 3 V,

3. 4. 5.

380 3 V, nulu beskonačnu vrednost

Sl.12.40. 12.41. Trofazni generator ima snagu P = 20 kW, linijski napon generatora U = 200 V i gubitak snage na linijskim provodnicima od 5 %. Kiliki su fazni naponi simetričnog trofaznog prijemnika ako je on vezan u zvezdu ? 12.42. Trofazni asinhroni motor priključen je na trofaznu mreţu, zanemarljivih impedansi na linijskim provodnicima, simetričnih linijskih napona, efektivnih vrednosti U = 220 V i učestanosti f = 50 Hz. Ako su aktivna snaga i faktor snage P = 3 kW i cos  = 0,8 , odrediti kapacitivnost kondenzatora koju terba uključiti na elektromotor tako da se faktor snage simetrične mreţe ( voda ) poveća na cos  = 0,9.


160 12.43. Trofazni asinhroni motor, čiji su namotaji vezani u trougao priključen je na simetričnu trofaznu mreţu. Poznat je linijski napon U, učestanost f, aktivna snaga P i faktor snage motora cos . Odrediti kapacitete kondenzatora koje treba vezati paralelno sa motorom da bi se faktor snage maksimalno povećao, ako su: a) kondenzatori vezani u trougao i b) kondenzatori vezani u zvezdu. Brojni podaci: U = 380 V; f = 50 Hz; P = 36 kW; cos  = 0,8; cos 1 = 1. 12.44. Ao

 4

V

 5

 1

Z

Trofazni simetrični prijemnik je vezan u trougao, prema slici 12.44, i priključen je na mreţu linijskog napona čija je efektivna vrednost jednaka U = 380. Odrediti vrednost koju pokazuje idealni voltmetar ( prekid linijskog voda A ).

Z

2

Bo

Z

3



Co Sl.12.44. 12.45. Napon na krajevima prijemnika vezanog u trougau, prema slici 12.45, iznosi 120 V. Aktivne otpornosti svakog od linijskog provodnika iznosi RV = 1 , a reaktivna ( induktivna ) XV = 2 . Ako je aktivna otpornost prijemnika je R = 6  a reaktivna X = 9 , odrediti koliki su naponi na početku linija ( linijski naponi ) ? Ao

RV

XV R

RV Bo

XV

X

A B R

RV

R

X

X

C

XV

Co Sl.12.45. 12.46. Simetričan trofazni prijemnik vezan u zvezdu impedansi Z = ( 10 + j2 )  priključen je preko trofaznog voda impedansi provodnika ZV = ( 0,5 + j0,8 )  na trofazni generator vezan u zvezdu, efektivne vrednosti ems E = 220 V i unutrašnje impedanse namotaja ZG = ( 0,1 + j2 ) . Izračunati fazne struje sistema, meĎufazne napone prijemnika, aktivnu i reaktivnu snagu prijemnika i aktivnu i reaktivnu snagu generatora. 12.47. Rešiti predhodni zadatak ako je prijemnik vezan u trougao. 12.48. Dva prijemnika koji se sastoji od trougla i zvezde, priključeni su za iste tačke trofazne mreţe i linijskim provodnicima impedansi ZV = ( 1 + j2 )  su priključeni na simetričan trofazni generator efektivne vrednosti ems namotaja E = 350 V. Ako su mpedanse prijemnika : kod trougla Zt = ( 10 + j2 )  i kod zvezde Zz = ( 15  j3 ) , zračunati meĎufazni napon prijemnika, aktivnu i reaktivnu snagu prijemnika i pad napona od generatora do prijemnika. Impedanse namotaja generatora zanemariti. 12.49. Kako će se promeniti aktivna snaga trofaznom simetričnom prijemniku, koji je vezan u zvezdu, ako ga prespojimo u trougao i priključimo na isti napon mreţe ?


161 12.50. Dva trofazna simetrična prijemnika priključena su na istu trofaznu mreţu. Prvi prijemnik je povezan u trougao i njgova impedansa po fazi iznosi Zt = 12 . Kolika bi bila impedansa drugog prijemnika Zz, ako su linijske struje za oba prijemnika jednake ? 12.51. Dva simetrična trofazna prijemnika, spojena u zvezdu, priključena su na trofaznu mreţu faznih napona Uf1 = 220ej0 V, Uf2 = 220ej120 V i Uf3 = 220ej240 V, vidi sliku 12.29 ( zad. 12.29 ). Odrediti sve fazne i linijske struje i nacrtati fazorski dijagram napona i struja su mpedanse po fazi prvog prijemnika Z = 30ej0 , a drugog Z = 30ej30 . 12.52.

Šta pokazuje vatmetar kod simetričnog trofaznog potrošača, koji se napaja iz mreţe, prema slici 12.52 ? Zaokruţiti jedno od rešenja uz objašnjenje.

* * W

Ao

TROF. POTR OŠAČ

Bo 

1. 2. 3.



Co

4. 5.

SL.12.52.

trećinu ukupne aktivne snage potrošača ( P/3 ) ukupnu reaktivnu snagu potrošača ( Q ) Q 3 trećinu ukupne reaktivne snage potrošača ( Q/3 ) P 3

12.53. * Ao W *

Za merenje aktivne snage napravljena je veštačka nula, kao na slici 12.53. Ako je otpor naponskog kalema vatmetra RVW = 10 k a otpor R = 30 k, koliko iznosi otpor r ? Uz rešenje zadatka dati potrebno objašnjenje.

TROF. POTR OŠAČ

Bo Co R

r

R  Sl.12.53.

12.54. Ao

*  W1 * *  W2 *

Bo Co



TROF. POTR OŠAČ

Koja i kako se moţe izračunati snaga trofaznog sistema, prema slici 12.54 ? Odgovor detaljno obrazloţiti.

 Sl.12.54.


162

12.55. Ao

*

TROF. POTR OŠAČ

B o Co

Pomoću vatmetra, vezanog prema slici 12.55, moţe se izmeriti jedna od sledećih snaga: 1. reaktivna snaga simetričnog trofaznog sistema 2. aktivna snaga simetričnog trofaznog sistema 3. reaktivna snaga simetričnog trofaznog sistema 4. aktivna snaga nesimetričnog trofaznog sistema 5. prividna snaga simetričnog trofaznog sistema 6. nijedna

* W



Odgovor obrazloţiti.

Sl.12.55.

12.56. Kroz faze trofaznog generatora spojenog u zvezdu sa nultim vodom protiču struje I1 = 20 A, I2 = 15 A i I3 = 10 A koje su fazno pomerene za 2/3. Izračunati struju nultog voda. 12.57. Trofaznom generatoru meĎufaznih napona U12 = U23 = U31 = 380 V prva faza je opterećena sa Z1 = 10  , druga sa Z2 = ( 10 + j10 ) , a treća je neopterećena ( Z3 =  ). Odrediti struju nultog voda. 12.58. Aktivni otpornik, kalem i kondenzator vezani su u zvezdu. Odrediti fazne struje sistema ako je efektivna vrednost struje nultog voda Io = ( 4  4 3 )  i ako je Z1 = Z2 = Z3 i Zo = 0 . 12.59. Trofazni simetrični sistem linijskog napona U = 200 V napoja prijemnik vezan u traugao čije su impedanse Z1 = 8 , Z2 = ( 10 + j10 3 )  i Z3 = ( 10  j10 3 ) . Odrediti fazne i linijske struje. 12.60.

IA

Z

Ao

IB

Z

IC

Z



Bo

Co

Poznat je linijski napon U i impedansa simetričnog trofaznog potrošača Z , prema sl. 12.60. Preko navedenih parametara izraziti linijske struje IA, IB i IC nakon pregorevanja osigurača na vodu C.

V Sl.12.60. Fazne struje simetričnog trofaznog potrošača vezanog u trougao, prema slici 12.61, iznose If = 12 A. Kolike će biti fazne i linijske struje, kada pregori osigurač na vodu A ?

12.61. Ao  Z

IAB Bo

Z ICA

 IBC

Z



Co Sl.12.61.


163

12.62. V

Trofazna mreţa koja napaja simetrični trofazni potrošač vezan u trougao, prema slici 12.62, ima linijski napon U 380 V. Šta će pokazati idealni voltmetar nakon pregorevanja osigurača na vodu C ?

Ao  

Bo

UAB

UCA UBC 

Co Sl.12.62. 12.63. Z Ao Z

Bo



Z Co 0o

Kako će se promeniti fazne struje u simetričnom trofaznom potrošaču, vezanom u zvezdu sa nultim provodnikom, prema slici 12.63, kada doĎe do prekida voda A ? Potrošač se napaja simetričnim naponom mreţe. Pad napona na nultom provodniku zanemarljiv. Pre prekida voda linijska struja je bila I = 10 A.

Sl.12.63.

12.64. Poznat je linijski napon simetrične trofazne mreţe U, koji napaja simetrično trofazno opterećenje vezano u zvezdu, prema slici 12.64. Koliki će biti napon na fazi B ako se faza C kratko spoji ( uključi prekidač ). Zaokruţiti ponuĎeno tačno rešenje uz objašnjenje.

Ao UA 

Bo UB

1. UB = U;

Co

2. UB = 2U; 3. UB = U/ 3 ;

4. UB = U/2;

UC

5. UB =

3 U.

Sl.12.64. 12.65. Z Ao V Bo

o



o

Co Sl.12.65.

Šta pokazuje voltmetar, priključen na simetrični trofazni potrošač, prikazan na slici 12.65, ako je linijski napon mreţe U, a vod B prekinut? Zakoruţiti jedno od ponuĎenih rešenja, uz potrebno objašnjenje.

Z

1.

nulu;

Z

2. 3.

U/ 3 U

4. 5.

3 U/2 U/2


164 12.66. Trofazna mreţa radila je u simetričnom reţimu. Potrošač je vezan u zvezdu bez nultog voda. Nakon prekida faze A naponi UB i UC će se: 1. 2. 3. 4.

povećati za 3 puta, biti jednaki polovini linijskih napona, biti jednaki linijskim naponima, ostato nepromenjeni

5. smanjiti se za 3 . Zakkruţiti tačno rešenje uz potrebno objašnjenje. 12.67. Na trofaznu mreţu linijskog napona U = 3  380 V priključen je simetrični trofazni potrošač impedanse Z = 5ej36,87 , koji se prvo veţe u zvezdu a zatim u trougao, prema slici 12.67 ( a i b ). Odrediti linijske struje IA, IB i IC, kao i snagu sistema, ako doĎe do prekida faze B ( pregori osigurač ). Z

Ao

Ao

Z Z



Bo

Bo



Z



 Z

Z Co

Co b)

a) Sl.12.67.

12.68. Impedanse Z1 = Z2 = Z3 = ( 10 + j10 )  vezane su u zvezdu ( vidi sliku 12.67. a ). Ako je istovremeno došlo do kratkog spoja impedanse Z1 i prekida drugog faznog provodnika ( napojnog voda B ) odrediti, nakon navedenog kvara, struje u sistemu ? 12.69. Tri otpornika, po 30 spojena su u zvezdu ( slika 12.67.a ) i priključena na fazni napon Uf = 240 V. Odrediti struju u otporima, kao i promenu struja kada doĎe do prekida trećeg napojnog voda ( provodnik C ). 12.70. Na meĎufazni napon od 420 V priključena su tri otpora od po 30  vezana u zvezdu. Odrediti: a) fazne i linijske struje sistema b) fazne i linijske struje sistema nakon prekida trećeg voda ( vod C ) 12.71. Analizirati posledice koje nastaju kada kod trofaznog prijemnika vezanog u trougao ( slika 12.67.b ) doĎe do pregorevanja jedne faze ( prve ). Kolike su struje pre i posle pregorevanja faze, ako je meĎufazni napon U = 400 V a R1 = R2 = R3 = 40 ? 12.72. Analizirati posledice koje nastaju kada kod trofaznog prijemnika vezanog u trougao doĎe do prekida jedne faze ( prve ). Kolike su struje pre i posle prekida faze, ako je meĎufazni ( linijski ) napon U = 400 V a Z1 = Z2 = Z3 = ( 10 + j10 3 ) ? 12.73. Tri otpora od po 20  vezana su u zvezdu i priključena na linijski napon U = 380 V. Šta će se dogoditi sa strujama u sistemu ako umesto otpornika R1 nastane kratka veza, a nulti provodnik ne postoji? 12.74. Tri impedanse Z1, Z2 = ( 10 + j10 )  i Z3 = ( 10  j10 ) vezane su u zvezdu i priključene na linijski napon U = 380 V. Kolike su struje u sistemu ako je impedansa Z1 u kratkoj vezi ( Z1 = 0 )? 12.75. Otpornici R1 = R2 = 10  i R3 = 5  vezani su u zvezdu i priključeni na linijski napon U = 380 V. Odrediti: a) napon Uo izmeĎu zvezdišta generatora i prijemnika ako je sistem bez nultog voda i b) napone i struje trofaznog prijemnika i nacrtati fazorski dijagram napona i struja prijemnika. 12.76. Odrediti napon Uo izmeĎu zvezdišta trofaznog generatora i prijemnika ako su opterećenja po fazama R1 = 20 , R2 = 30 , R3 = 40  a linijski napon iznosi U = 220 3 V. Sistem nema nulti provodnik.


165

12.77. Prijemnik vezan u zvezdu, bez nultog voda, čija su opterećenja po fazama Z1 = 10 , Z2 = j10  i Z3 = j10  priključen je na linijski napon U = 300 3 V. Naći fazne napone i struje prijemniku. 12.78. Otpornici R1 = 10 , R2 = 40  i R3 = 20  vezani su u zvezdu bez nultog voda i priključeni na napon mreţe 380/220 V. Odrediti aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu po fazama i ukupne snage sistema. 12.79. Izračunati sve snage trofaznog sistema kada su opterećenja vezana u zvezdu i priključena na linijski napon, bez nultog voda, U = 100 3 V, ako je Z1 = 10 , Z2 = ( 10 + j10 )  i Z3 = ( 10  j10 ) . 12.80. Odrediti struju nultog voda, zanemarljive impedanse, I o ako je fazni napon na prijemniku, koji je vezan u zvezdu, Uf = 100 V a aktivne snage pojedinačnih faza prijemnika su P 1 = 1,3 kW, P2 = 1,2 kW i P3 = 1,8 kW pri faktorima snaga cos 1 = 1, cos 2 = 0,8 i cos 3 = 0,7. 12.81. Tri impedanse Z1 = 10 , Z2 = j10  i Z3 = j10  vezane su u trougao. Pretvoriti ovu vezu u ekvivalentnu vezu u zvezdu. Kolike su impedanse ekvivalentne veze u zvezdi ? 12.82. Otpornici R1 = 10 , R2 = 20  i R3 = 40  vezani su u zvezdu. Ovu vezu pretvoriti u ekvivalentnu vezu u trougao. Kolike su otpornosti ekvivalentne veze u trouglu ? 12.83. Trofazni potrošač impedansi Z1 = ( 2 + j4 ) , Z2 = j5  i Z3 = j5  vezan je u zvezdu sa nultim provodnikom i priključen na mreţu linijskog napona U = 220 V. Ako je otpor nultog provodnika i faznih provodnika ( linija ) jednak i iznosi Ro = R = 1 , odrediti sve struje sistema ( I1, I2, I3 i Io ), fazne napone potrošača ( Uf1, Uf2 i Uf3 ), snagu potrošača i snagu gubitaka na linijskim provodnicima ( P, P1, P2, P3, Po ) i ukupnu aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu izvora ( mreţe ) Pg , Qg i Sg . 12.84. Ao

Ro

A 

R1

Ro

B 

R1

Bo

Ro Co

0

Brjni podaci: Ro = 5  i R1 = 20 .

R1

 C

Na mreţu meĎufaznih napona U = 380 V spojen je simetričan trofazni potrošač spojen u zvezdu, prema slici 12.84. IzmeĎu tačaka B i C došlo je do kratkog spoja. Odrediti struje u kolu ( IA, IB i IC ), nakon kratkog spoja, i napon izmeĎu dvaju zvezdišta Uo ( generatora i potrošača ).

Sl.12.84. 12.85. 1o

2o

3o

R

I1



I2

R



I3

L



Dve sijalice istih otpornosti R ( iste jačine ) i jedan kalem induktivnosti L vezani su u zvezdu, prema slici 12.85. Obrazloţiti način kako se moţe ustanoviti redosled faza koristeći navedeni nesimetrični trofazni prijemnik ( R, R i L ).

Sl.12.85. 12.86. Da li se odreĎivanje redosleda faza kod simetričnog trofaznog sistema moţe izvesti ako je umesto kalema na slici 12.85 vezan kondenzator kapacitivnosti C ? Odgovor obrazloţiti.


166

12.87. R



1o

Zbog odreĎivanja redosleda faza simetričnog trofaznog sistema načinjena je veza dve jednake sijalice i kondenzator, kao na slici 12.87. Ova se veza priključi na trofazni napon čiji se redosled faza ispituje. Koji je redosled faza za dati trofazni sistem ?

C 2o R



3o

Brojni podaci: R = XC

Sl.12.87. 12.88. Za odreĎivanja redosleda faza simetričnog trofaznog sistema načinjena je veza dve jednake sijalice i kalem, vezani kao na slici 12.88. Odrediti odnos struja kroz sijalice priključene na linijske provodnike 1 i 2.

R



1o

L

2o

Brojni podaci: R = 1 ; XL = 1  U12 = U23 = U31 = U = 10 V.

R



3o

Sl.12.88. 12.89. Ao UAB

UCA

Bo



X1

X3

 X2

UBC



Tri induktivna otpornika X1 = 10 , X2 = 8  i X3 = 6  vezana su u trougao , prema slici 12.89, i priključena na trofaznu simetričnu mreţu linijskog napona U = 400 V. Odrediti fazne i linijske struje i nacrtati fazorski dijagram napona i struja.

Co Sl.12.89. 12.90. Ao UAB Bo

IA UCA IB



IAB 

R IBC

XL

UBC Co

IC

XC ICA 

Aktivni otpor R = 20 , induktivni XL = 20  i kapacitivni XC = 20  vezani su u trougao i priključeni na simetričnu trofaznu mreţu, prema slici 12.90. Ako su linijski naponi UAB = 400ej90 V, UBC = 400ej30 V i UCA = 400ej150 V, odrediti fazne i linijske struje i nacrtati fazorski dijagram napona i struja.

Sl.12.90.


167 12.91. Na trofazni sistem sa tri voda, linijskog napona U = 380 V, priključeni su simetrični trofazni potrošači, prema slici 12.91. Odrediti linijske struje na glavnim vodovima, ako je: ZA = ( 2,31 + j2,31 ) ; ZB = ( 20 + j25 ) ; ZC = ( 1 + j1 )  i ZD = ( 57 + j42 ) . 

1o ZA

ZC

 ZD

ZD 

2o

 ZC

ZA

ZD





3o ZA

ZC ZB

ZB

ZB  Sl.12.91.

12.92. 

1o



2o



3o



0o I1

I2

R

I3

XL

Io

XC 

Na trofaznu mreţu sa četiri voda linijskog napona U = 380 V priključen je trofazni potrošač, koji se sastoji od tri impedanse Z1 = R = 20 ; Z2 = jXL = j20  i Z3 = jXC = j20 , spojenih u zvezdu, prema slici 12.92. Ako zanemarimo impedanse svih vodova, odrediti: a) linijske struje I1, I2, I3 i struju koja teče nultim vodom Io b) otpornost R prve faze pri kojoj će struja nultog voda biti jednaka nuli. c) Nacrtati fazorski dijagram za oba slučaja.

Sl.12.92. 12.93. Aktivni otpor R = 20 , induktivni otpor XL = 20  i kapacitivni otpor XC = 20  vezani su u zvezdu bez nultog voda, prema slici 12.92 ( nula u prekidu ) i priključeni na linijski napon U = 240 3 V. Odrediti fazne napone potrošača i linijske struje, a zatim nacrtati fazorski dijagram napona. 12.94.

Z1

I1

1o

Na trofaznu mreţu sa četiri provodnika linijskih

U12 2o U23 3o 0o

I2

Z2

I3

Z3

U31

Io



napona U = 254 3 V priključen je potrošač, koji se sastoji od tri impedanse Z1 = ( 16 + j12 ) , Z2 = ( 14  j21 )  i Z3 = 25  vezane u zvezdu, prema sl. 12.94. Uz pretpostavku da se impedanse linijskih provodnika, kao i nultog voda, mogu zanemariti, odrediti: a) linijske struje I1, I2, I3 i struju nultog voda Io b) aktivnu snagu pojedinačnih faza i c) Nacrtati fazorski dijagram napona i struja.

Sl.12.94.


168

12.95. Tri impedanse Z1 = 10ej0 , Z2 = 20ej60  i Z3 = 20ej60  vezane su u zvezdu, prema slici 12.95, i priključene na trofazni sistem sa četiri voda linijskih napona U = 380 V. Impedansa nultog provodnika iznosi Zo = 60ej0 . 1o

I1

Z1

I2

Z2

U12 2o U23

U31 I3

3o Uf3

Zo

0o

Z3

Odrediti struju Io koja protiče kroz nulti provodnik, b) Odrediti struju Io, ako impedanse Z2 i Z3 zamenu svoja mesta c) Odrediti struju Io pod tačkom b) uz pretpostavku da je impedansa Zo zanemarljiva ( Zo = 0 ) i nacrtati odgovarajući fazorski dijagram napona i struja. a)

 0

Io

Sl.12.95.

12.96. Tri impedanse Z1 = 40ej36,87 , Z2 = 25ej0  i Z3 = 20ej53,13  vezane su u zvezdu i priključene na trofazni sistem sa tri voda linijskih napona U = 220 3 V. a) Odrediti napon Uo izmeĎu zvezdišta generatora i zvezdišta potrošača, fazne napone potrošača i linijske struje. b) Odrediti sve veličine pod a), uz pretpostavku da se nul tačke generatora i potrošača poveţe nultim vodom impedanse Zo = 0,8 . Nacrtati odgovarajuće fazorske dijagrame napona i struja ( i za a i za b ). 12.97. Rešiti zadatak 12.92, uz sledeće pretpostavke: a) nulti vod je u prekidu, b) admitansa nultog voda iznosi Yo = 0,45 S. Nacrtati odgovarajuće fazorske dijagrame napona i struja ( za obe tačke ). 12.98. Nesimetrični trofazni prijemnik vezan u zvezdu, impedansi Z1 = 10 , Z2 = ( 15 + j5 )  i Z3 = ( 20  j4 ) , vezan je vodovima zanemarljive impedanse na simetrični trofazni generator, koji je vezan u zvezdu. Ako je fazni napon generatora ( mreţe ) Uf = 220 V, izračunati sve struje u vodovima i struju nultog provodnika, kao i sve snage prijemnika. Impedanse namotaja generatora su zanemarljive. 12.99. Rešiti predhodni zadatak uz pretpostavku da sistem nema nulti provodnik ( nula u prekidu ). 12.100. Koliki je zbir trenutnih ( analitičkih izraza ) elektromotornih sila trofaznog simetričnog generatora ako je on vezan a ) u trougao; b) u zvezdu ? 12.101. Simetričan trofazni, preteţno kapacitivni, prijemnik impedanse Z = 300  i faktora snage cos  = 0,8 , priključen je na simetričan trofazni generator, čiji su namotaji vezani u zvezdu. Ako je efektivna vrednost ems generatora po fazama ( namotaju ) jednaka E = 10 kV, odrediti vrednosti aktivne i reaktivne snage sistema. 12.102. Simetričan trofazni prijemnik, faktora snage cos  = 1, priključen je na idealni simetrični trofazni generator. I prijemnik i generator su vezani u zvezdu bez nultog voda. Ako je aktivna snaga prijemnika bez jedne faze( npr. na fazi C isključen prekidoč ) P = 6 kW, kolika će biti aktivna snaga prijemnika kada je uključena i treća faza ( uključen prekidač na fazi C ) ? 12.103. Trofazni simetrični prijemnik vezan u trougao, priključen je na simetričan trofazni generator vezan u zvezdu. Ako je ems generatora po fazi ( namotaju ) E = 1 kV a impedansa prijemnika Z = R = 900 , odrediti promenu snage na prijemniku kada doĎe do prekida jedne faze ( voda B ).


169

REŠENJA: 1.1. ----- i = Im sin   12 = Im sin 30  12 = 0,5 Im  Im = 12 / 0,5 = 24 A; 1.2. ----- 49,9 V; 1.3. ----I 1 1 0,3625  I 2 sin 314t  sin 314t   314t  arcsin  0,3625rad  t   0,00115s  1,15ms 2 314 2 2 2 2 1.4. -----

Im 2

 I m sin 314 t  sin 314 t = 0,707  314 t =  / 4  t =

1.5. ----- 14.1 A;

3,14 1   0,0025s = 2,5 ms; 4  314 400

1.6. ----- 15 A;

1.7. ----- 0 = 100 cos ( t  /4 )  cos ( t  /4 ) = 0  t  /4 = arc cos 0 = /2  t = /2 + /4 2 2   3 3 t   t  T; T 4 4 8 1.8. ----- 50 Hz; 1.10. ----- n 

1.9. ----- p = 3;





60  f 60  50   500 ob  500 min1. min p 6

1.11. ----- p = 20; 1.15. ----- f = 50 Hz;

1.12. ----- t = 2,2 ms;

1.13. ----- t = 2,5 ms;

1.14. ----- t = 45;

1.16. ----- n = 10 000 min1;

1.17. ----- Em = Nm = 2

np 30001   m  6,28   2 10 2  6,28V  e = 6,28 sin ( 314 t  /2 ) V; 60 60

1.18. ----- t1 = 1,918 ms, t2 = 12,5 ms; 1.19. ----- u = 2 2 sin ( 2ft +  )  2  2 2 sin ( 2t / T +  )  sin ( 62800 t +  ) = 0,5 Kako se vreme počinje meriti sa t = 0 s, sledi: sin  = 0,5   = arc sin 0,5 = 30 = /6 rad. Analitički izraz za dati napon je u = 2 2 sin ( 62 800 t + /6 ) V. Za t = 105 s  u = 2 2 sin ( 62 800105 + 3,14/6 ) = 2,82 sin ( 0,628 + 0,523 ) = 2,820,913 = 2,575 V. 1.20. ----- Im = 50 A, I2  (02 + 102 + 202 + 302 + 402 + 502 ) / 6 = 5500/6 =916,67  I  30,28 A, IS = 25 A; 1.21. ----- Em = N = N2fBS = 22

np 3000 1,59  0,1  4     0,159  200    0,159  99,9V . 60 60

1.22. ----- Fazna razlika izmeĎu napona iznosi ( t + 15 )  ( t  30 ) = 45  t : T = 45 : 360  t = 0,125T = 0,125 / f = 0,125 / 50 = 0,0025 s = 2,5 ms; 1.23. ----- Im = 6 2  8,485A , IS = q  IS 

2I m 1  5,405A , T   0,02s  , f 

T  5,405  0,01  0,005405C ; 2

1.24. ----- I1 = 2 I2;

1.25. ----- Um = 400 V;

1.26. -----  = 345;

1.27. ----- e = 1 004,8 sin 314t,  = 314 rad/s;


170

1.28. ----- a ) IS = 2 A, b) I = 4 A, c) k = I / I S = 2 ; 1.29. ----- a) i1 = sin  t; i2 = sin 3/2 =

2 sin (  t + 2 )  sin 25015103 =

2 sin ( 3/2 +2 )  1 =

2 sin ( 25015103 + 2 )

2 sin ( 3/2 + 2 )  sin ( 3/2 + 2 ) =

1



2

2  2

Slede dva rešenja. Prvo: 3/2 + 2 = 5/4  2 = 5/4  6/4 =/4 i drugo: 3/2 +2 = 7/4  2 = /4, b) i2 =

2 sin ( t  /4 )  Prvo rešenje je i2o = 1 mA, a drugo i2o =  1 mA;

1.30. ----- a) Magnetni fluks kalema, u odnosu na pozitivni smer, prema slici smer kazaljke na satu iznosi:  = m cos ( t +  ) = BS cos ( t +  ) = Bab cos ( t +  ) = 0,20,10,05 cos ( t +  ) = 103 cos ( t +  ) . 2  n Kruţna učestanost kalema je   2f   104,6 rad/s. Kako je Em = Nm = 100104,6103 = 10,46 V 60 pa izraz za ndukovanu ems glasi : e = Em sin ( t +  ) = 10,46 sin ( 104,6 t + 30 ) V. NAPOMENA! Imati u vidu da je pozitivni smer smer kazaljke na satu i da fluks  prednjači ems e za /2. b ) Em = 10,46 V, E = 7,39 V, f = 16,6 Hz,  = 30, c ) Kada se kalem pomeri za ugao 1 u odnosu od početnog poloţaja, njegov početni ugao je sada 1 + /6, pa izraz za indukovanu ems e1 glasi: e1 = 10,46 sin ( t + 1 + /6 ) = 10,46 sin ( 1 + /6 ) = 9,06 V. 1.31. ----- E1m = 60 V, E2m = 40 V, E1 = 42,3 V, E2 = 28,2 V, 1 = /3, 2 =  /9,  = 4/9,  = 628 rad/s, 4  4 9  T  10  2,2 ms ( vremenski pomak ), f = 100 Hz, T = 10 ms, t12 : T =  : 2  t12 = 2 18 e1 ; e 2

E1m

e1 E2m

t e2

T

1.32. ----- a) e2 = 282 sin ( t + /3 ) V, b) t13:T = 13:360  t  360 5 13 = 13  t 13  360 f  10 3  360 50  30o T 3



e3 = 141 sin ( t  50 ) V.

1.33. ----- I1s = ( 3+ 0+0+0 )/4 = 0,75 A, I2s = ( 1+1+1+0 )/4 = 0,75 A i I3S = 0 A I12 = ( 9+0+0+0 )/4 =2,25  I1 = 1,5 A, I22 = (1+1+1+0)/4 = 0,75  I2 = 3/2 A i I3 = 5 A. 1.34. ----- US = 50 V ( za T/2 ), US = 0 ( za T ); U2  (02 + 102 + 202 + .. + 1002 ) / 11  U  59,16 V


171 1.35. ----- tK : T =  60  (  120 )  : 360  tK = T/2 = 1/2f = 2/2 = /100 = 0,01 s. 1.36. ---- 40 = 80 sin ( 24001,25103 +  )   0,5 = sin (  +  )  (  +  ) = arc sin ( 5 ) Slede dva rešenja. Prvo:  + 1 =  /6  1 =  7/6 = 5/6 i drugo:  + 2 =   + /6  2 = /6 . Analitički izraz za struju pri prvom rešenju glasi: i = 80 sin ( 800t + 5/6 ) mA, a za drugo rešenje: i = 80 sin ( 800t + /6 ) mA. Na grafiku se vidi ( tačka A ) da je kod drugog rešenja struja u negativnom porastu ( raste od 40 mA ka negativnom maksimumu, tj. ka  80 mA), matematički broj opada, pa se za rešenje zadatka uzimo ovo drugo rešenje. NAPOMENA! Ako se pretpostavi da je znak minus samo znak suprotnog smera struje, tada bi se moglo uzeti za rešenje zadatka prvo rešenje, jer ta struja raste u suprotnom smeru od trenutka t 1. Dakle, gledano matematički, rešenje je: i = 80 sin ( 800t + /6 )   = /6 a u realnosti rešenje je: i = 80 sin ( 800t + 5/6 )   = 5/6. i mA 80 i

i

Im

Im



2

t1

t  A

40

T

1.37. ----- a) i2 = 60 2 sin ( t + 4/15 ) mA; b) i2 = 30 2 sin ( t + /6 ) mA; c) i2 = 30 2 sin ( t + 2/3 ) mA; 1.38. ----- a) I1 / I2 = 1, b) IS1 / IS2 = 0; 1.40. -----

Um 

Um =

1.39. ----- Em = Nm = 20 V  e = 20 sin ( 100t  90 ) V;

3 = Um sin ( to +  ) = Um sin  ; 3 = Um sin ( t1 +  ) = Um sin ( 90 +  ) 

3 3   sin  sin 90  

3 sin ( 90 +  ) = 3 sin  

U 3 3   3,46V  U  m  sin 30 o 0,5 2

3 0,5 2



3 0,5 2



sin  sin  3 =   tg   = 30. 3 sin 90   cos  3 2  6 V ; 0,5  2

1.41. ----- u = 2201,41 sin ( 314t + /2 ) = 2201,41 sin ( 314/300 + 1,57 ) = 155,45 V.


172 2.1. ---- i2 = 5 sin ( t + /4  3/4 ) = 5 sin ( t  /2 ) = 5 cos t ; 2.2. ----- I = 5 2  e

j

4

A  = 5 + j 5

A; Vremenski ( grafički ) dijagram

Fazorski dijagram i A 10 5 2

i

Im

Im

I 

/4

2 t

f.o.

T

2.3. ---- i = 20 sin ( t + /4 ); 2.4. ---Analitičko sabiranje : i = i1 + i2 = 5 sin ( t + /4 ) + 5 cos ( t + /4 ) = 5 sin ( t + /4 ) + 5 sin ( t + /4 + /2 )  i = 5 sin ( t + /4 ) + 5 sin ( t + 3/4 ).     cos Kako je: sin   sin  = 2 sin  2 2 t    t  3 t    t  3  4 4  cos 4 4  10 sin 2t   cos 2  10 sin t   cos    i  5  2 sin 2 4 2 2 2 2



i=







  



2 10 sin t    5 2 sin t    5 2 cos t ; 2 2 2 Grafičko sabiranje:

Fazorsko sabiranje: i1; i2; i A 5 2 Im

5 

0

i

I1m

I1m

I2m

Im

i2

i1 

I2m 2

0

t

f.o.

T


173

Kompleksno sabiranje: Im1 = 5  e Im2 = 5  e

j

5 2    5 2  A   I1   5  j 5 A  ; j  5 cos  j sin  =    2  2 4 4  2 2 

4

j3 

3 3    5 2 5 2   A   I 2    5  j 5 A  ;  5 cos  j sin j   4 4   2 2  2   2

4

 rad. 2 Na ovom zadatku se lako uočava da je fazorsko i kompleksno sabiranje najjednostavnije, pa se ova dva načina najčešće i koriste. Nedostatak analitičkog proračuna je uslov dobrog poznavanje trigonometrije, a grafičkog sloţenost crtanja grafika. I  I 1  I 2  j5A   I  5A   I m  5 2 A    

2.5. ----- I3 = Iej4/3 = Iej2/3 ; I = I + Icos ( 2/3) + j sin ( 2/3 ) + Icos 2/3 + j sin 2/3 = 0 ;  3  5 2  j5 2    1 ;  2  2   463  j17, 25o 2.7. ----- U = ; u = 463 sin ( 314t  1715 ); e 2 10 U1

2.6. ----- I =

17,25

f.o.

35 U

U2

U2 2.8. ----- io = 2 17 sin ( t + 14  ); 2.9. ----Io  Io 

10     10      3  10  3 1     10  1 j    j   cos  j sin   cos    j sin        3 3 2  2   3 2  2 2  3 2 2 2 2 2 5

j

5 3



5 3

5

j

2

 3,535  j6,125  6,125  j3,535  9,66  j2,59  I o  9,66 2  2,59 2  10A 

2 2 2 o 2,59  o  arctg  arctg0,268  15 o  i o  10 2 sin t  15 o A   I o  10  e j15 A  9,66 Čitaocu se ostavlja da nacrta fazorski i grafički dijagram, na osnovu dobijenih podataka.





2.10. ----- i1 = 10 sin ( 25t + 90 ); i2 = 5 sin ( 25t  45 + 90 ) = 5 sin ( 25t + 45 )  I1 = 7,05( cos 90 + jsin 90 ) = j7,05; I2 = 3,536( cos 45 + jsin 45 ) = 2,5 + j2,5; I3 = I1 + I2 = j7,05 + 2,5 + j2,5 = 2,5 + j9,55  I3 10 ; 3 = arct (9,55/2,5)  75  i3 = 14,1 sin ( 25t + 75 ), I3 = 10e j 75 ; Čitataocu se preporučuje da rešenje zadatka proveri analitičkim, fazorskim i grafičkim načinom. 2.11. ----U1 60 2

U2

Ako pretpostavimo da je napon U u faznoj osi, sledi: U = U1 + U2  U2 = U  U1 = 220  175( cos 60 + jsin 60 ) U2 = 220  87,5  j151,55 = 132,5  j151,55  U2 = 201,3 V ; 2 =  48,84.

U

U2


174 2.12. ----- UBA = 100 V, UCD = 173 V, BA = 60, CD =  30; 2.14. ----- U = 429,6 V;

2.15. ----- I = 13,53e j 1248 A;

2.17. ----- e = 12,1 sin ( 314t  5,5 );

2.13. ----- i = 6,8 sin ( t + 5,5 ) A;

2.16. ----- I2 = 7,48e j 7824 A;

2.18. ----- U1 = 120 e j 0 V , U2 = 120 e j 60 V , U = 120 e  j 60 V;

2.19. ----- e2 = e  e1 = 28,3 sin ( t + 0,558 ) V  NAPOMENA! (t + 0,558) u radijanima ; 2.20. ----- e = 16,09 sin ( t + 34,74 ) V; 2.21. ----- t = 120, e1 = 8,66 V, e2 = 0 V, e3 = 4 V, e4 =  5,796 V, e = 6,866 V. Iz navedenih podataka sledi e = e1 + e2 + e3 + e4, što potvrĎuje drugi Kirhofov zakon ( kao i tačnost rešenja zadatka ); 2.22. ----- a) e = e1+ e2 = 0  141 sin ( 314t + 30 ) =  200 cos ( 314t  30 ). Koristeći izraze sin (  +  ) = sin  cos  + sin  cos  i cos (    ) = cos  cos  + sin  sin   tg 314t =  1,097   =  47,65. Kako vreme traje od nule ( t  0 ), tada se ovom negativnom vremenu doda T/2 ( ili u uglu 180 )  36050t =  47,65 + 180  t = 0,00735 s = 7,35 ms. Čitaocu se preporučuje da ovo vreme izračuna preko analitičkog izraza za ukupnu ems e  E = E1 + E2  e = 0 = 233,172 sin ( 314t + 47,57 ).  t = 7,35 ms  i proveri tačnost rešenja ( primenom drugog Kirhofovog zakona ), b) E1 = 100 e j 30, E2 = 141 e j 60, U = 328,6 e j 47,62, t = 42,39, e1 = 134,39 V, e2 = 195,34 V, u = 328,6 V. c) t = 150  t = 8,33 ms, e2 = u =  100 V. Drugi Kirhofov zakon se primenjuje na trenutne vrednosti. 2.23. ----- I2 = Ie j 0 = 10 e j 0 A, I3 = Ie j 120 = 10 e j 120. Ova dva vektora sa svojim zbirom daje vektor I1 koji je jednak I1 = Ie j 60 = 10e j 60, jer sva tri vektora čine jedan jednakostranični trougao. Za i1 = 10 A  t + 60 = 90  t = 30, i2 = 5 A, i3 = 5 A, što potvrĎuje prvi Kirh. Zakon 2.24. ----- U1 = U e j 0, U2 = Ue j 60 , U = U1 + U2  U = 3 U, U = U1  U2  U = U; 2.25. ----- a) I3 = 602 mA,  = 3/4; b) Dioda propušta samo jedan smer struje, pa će zbog toga efektivna vrednost struje ( na kvadrat ) kroz diodu biti dva puta manja od efektivne vrednosti struje bez diode (na kvadrat). Napomena! Efektivna vrednost struje se dobije iz srednje vrednosti kvadrata struje ( toplota ). Dakle, I2 = I2/2  I = I/ 2 = 60 2 / 2 = 60 mA; Kako se srednja vrednost računa za polovinu periode, ona je ista sa ili bez diode i iznosi IS = 240/ mA; 2.26. ----- E = 110 e  j 150 V;


175

3.1.1. ----- u = 2206 V;

3.1.2. ----- I = 3 A;

3.1.3. ----- i = 202 A;

3.1.4. ---- i = 102 sin (t + /4);

3.1.5. ----- I = 42 sin t; 3.1.6. ----R1

R2

+ I1 U1 R3

I2

+

I3

U2

U1  I1R1  I3R3 = 0  100/1,41  20I1  5I3 = 0 …… (1) U2  I2R2  I3R3 = 0  140/1,41  20I2  5I3 = 0 ……. (2) I3 = I1 + I2 ……………………………………………………………….….. (3) 100  20Im1  5( Im1 + Im2 ) = 0  100  25Im1  5Im2 ……..(1) 140  20Im2 5( Im1 + Im2 ) = 0  140  5Im1  25Im2 … …. (2)  500 + 125Im1 + 25Im2 = 0 140  5Im1  25Im2 = 0 360 + 120Im1 = 0  Im1 = 3; Im2 = 5; Im3 = 8

i1 = 3 sint; i2 = 5 sin t; i3 = 8 sin t. 3.1.7. ----- R = 14,1 , R = 14,1e j 0  , f = 73,41 Hz; 3.1.8. ----- Re = R1 + R2 = 15 ; I = U/Re  Im = Um/Re = 300/15 = 20 A  I = 14,1 A; u;i Um

u Im t

I U

f.o.

i

T

3.1.9. ----- R = 35 2 ; 3.1.10. ----- i = 3,38 sin ( 314 t + 30 ) A;

3.1.11. ----- ZR = R = 49,35 , ZR = 49,35e j 0 ;

3.1.12.. ----- a) i1 = i2 = 10 sin 314 t ( samo pozitivne poluperiode); i3 =  10 sin 314 t  ( negativna poluperioda je Grecovim spojem dioda pretvorena u pozitivnu poluperiodu. b) I3 = 10/2 = 7.07 A ( isto kao i bez dioda ) I12 = I22 = ( Im2/2 ) /2 = ( 100/2 )/2 = 25  I1 = I2 5 A ( druga polovina poluperiode je jednaka nuli, pa je I m2/2 deljeno sa 2, jer je površina koju stvara i1 ( odnosno i2 ) dva puta manja od površine koju čini struja i3 u vremenskom intervalu T.


176 3.2.1. ----- eL = 31,4 sin t;

3.2.2. ----- L = 1 mH;

3.2.4. ----- i = 200 sin ( 100t  /2 );

3.2.3. ----- i = 200 sin ( 500t  /4 );

3.2.5. ----- f = 50 Hz;

3.2.6. ----- XL1 = 1L  L = XL1/1 = 78/2500; XL2 = 2 f2L  f 2 

X L2  2  L

120  769,23Hz . 78 2  2  500

3.2.7. ----- u = Umsin ( t + u )  0 = 100 2 sin ( 2/6 + u )  sin ( /3 + u ) = 0  /3 + u = 0  u = /3  u = 141 sin ( 314t  /3 ) ; i = Im sin ( t  /3  /2 ) = Imsin ( t  150 ) ; Im = Um / L = 6,37 2 ; za t = T/6  i = 6,37 2 sin ( 60  150 ) =  Im =  6,37 2 A, 2,618 io = 0 = Im sin ( t  5/6 )  sin ( 314t 2,618 ) = 0  314t  2,618 = 0  t '   0,00834 s. 314 Struja će biti jednaka nuli u trenutku t = 0,00834 s = 8,34 ms; 3.2.8. ----- a ) I = 2,65 A, b ) I = 0,159 A;

3.2.9. ----- L = 51 mH;

3.2.10. ----- Im = 0,28 A, L = 80 mH;

3.2.11. ----- XL1 = 600,4 = 48  ; XL2 = 2600,2 = 24  a) XLe = XL1 + XL2 = 72 ; I = U / XLe = 80 / 72 = 0,354 A, u;i Um Im

U /2

t

f.o.

I T/4 T b) I1 = U/ XL1 = 80/48 = 0,531 ; I2 = U/XL2 = 80/24 = 1,062 ; I = I1 + I2 = 1,593 A; Na slici je dato rešenje fazorskog dijagrama, uzimajući napon u faznoj osi ( početni ugao nula ). Čitaocu nije problem da na osnovu fazorskog dijagrama nacrta vremenski ( grafički ). Čitaocu se preporučuje da nacrta novi fazorski dijagram u kojem će u faznu osu postavi struje I 1, I2 i I, pa na osnovu takvog fazorskog dijagrama da nacrta vremenski. U f.o. I1 I2 I 3.2.12. ----- ZL = j XL = j 16 ;

3.2.13. ----- ZL = j XL = j 32 ;

3.2.14. ----- a) ZL1 = j 150,72 , ZL2 = j 75,36 , XL je srazmerno sa f; 3.2.15. ----- U = 0 ( U = IXL = 30 = 0 ), jer je induktivni otpor kod jednosmerne struje jednak nuli.


177 3.3.1. ---- C = 312,5 F; 3.3.3. ---- I = 0,8 A;

3.3.2. -----napon je pomeren u odnosu na f.o. za 3/4, a struja ( 3/4 + /2 ) 225;

3.3.4. ----- C = 5F;

3.3.5. ----- a ) XC = 106,2 , b) I = 3,77 A; Ako uzmemo da je početni ugao za napon 0 ( U = 400 V )  a) ZC = j106,2 = 106,2  cos (/2 ) + j sin (/2 ) = 106,2ej/2 ; b) I = j3,77 = 3,77 ( cos /2 + jsin /2 ) = 3,77ej/2 . Rešenja kompleksnih brojeva su data redosledom: algebarski, trigonometrijski i eksponencijalni oblik. 3.3.6. ----- a) i = 14,1 sin ( 314t + /3 ), b) XC = 1 , c) i = 141 sin ( 3 140t + /3 ); I = 10ej/3 = 5 + j8,66 ; ZC = 10ej/2 = j10 ; ZC = 1ej/2 = j1 ; I = 100ej/3 = 50 + j86,6 Reaktansa ne zavisi od napona i struje, jer je u svim varijantama kod savršenog C kola fazni pomak izmeĎu U U  j 1  j napona i struje jednak /2, pa je: Z C    e 2  X C  e 2   jX C   j I I C 3.3.7. ----- Im = 8,85 A; 3.3.8. ----- XC1 = 1/C1 = 63,69 ; XC2 = 1/C2 = 318,47 a) Zr = XC1 + XC2 = 382,16 , Zr =  j 382,16 , X X 63,69  318,47 b) b) Z p  C1 C 2   53,08 ; Zp =  j53,08 , X C1  X C2 63,69  318,47

Z r 382,47   7,2 Zp 53,08 3.3.9. ----- L = 1/C = 100   ( f = 50 Hz ): L = 0,318 H, C = 31,8 F. ( U nema uticaja na R, XL i XC ); Čitaocu nije problem da naĎe rešenja za preostale tačke. 3.3.10. ----- ZR = 100  = 100 e j 0 , ZL = j 100  = 100 e j 90 , ZC =  j 100  = 100 e  j 90 ; Kako ovi otpori predstavljaju fizičke veličine koje ne zavise od napona i struje, sledi da će ove vrednosti biti uvek ovakve. Napon i struja su u finkciji sa R, XL i XC a samim tim i njihov kompleksni izraz će zavisiti od ZR, ZL i ZC.

3.3.11. -----

U 1 I1 X1 X 2 2f 2 f 1      10 ; 1 I2 U X1 f2 2f 1 X2

3.3.12. -----

1 S I1 C d1 d X   C  1    2  d1 = 1 mm; 1 I X1 C2  S d1 C1 d1

3.3.13. -----

 U



C1 C2

D1 

 D2



D1

+

C1  U +

U C2 a)

D2 b)

Kada je naizmenični izvor sa + polom prema gore, kao na slici a), tada je dioda D1 propusna a D2 nepropusna. U ovom slučaju se kolo zatvara preko kondenzatora C2 ( C1 čini prekid kola, jer je otpor diode D1 jednak nuli ). Kada se na izvoru promene polovi; kao na slici b), tada je dioda D2 propusna ( kratka veza ), dok je D1 nepropusna. Kolo se u ovom slučaju zatvara preko kondenzatora C 1( nepropusna dioda ima beskonačan otpor). Iz svega navedenog sledi da je u ovom kolu ukupni kapacitet jednak pojedinačnom, jer je: C = C 1 = C2. a) Ce = C, b) Ze = 1 / C.


178 4.1.1. ----- i = 112 sin ( t  1713 ); 4.1.2. ----- Z = 10  j 10 , UR = 150 + j 80 V, UL =  80 + j 150 V, UC = 160  j 300 V, U = 230  j 70 V; 4.1.3. ----- tg  = X/R  X = XL  XC = Rtg /4 = 10  XL = 10 + XC = 16 . U 120  j40 I   8  j4A . Z 10  j10 Kompleksni dijagram Fazorski dijagram j

U UX 

U 120 8

f.o. UR I

j40 j4

Realna osa

I

4.1.4. ----- tg  = X/R  X = Rtg  = 20 3  tg60 o  20 3  3  60 X = XL  XC = 3XC  XC = 60  XC = 30 ; XL = 90 ; XL = L   = XL/L = 1 000 rad/s, C = 33,3 F; 4.1.5. ----- Z = j 2XC, Z = U/I = 50 , UL = 150 V, UC = 50 V. Struja kasni za naponom za /2.  10 6  1 1  10 6     10  50  j   4.1.6. ----- Z  R 1  R 2   j  1875 20 187510   60  j26,67  53,33   C1 C 2    Z = 60  j 80   Z = 100 , I = U/I = 2 A, UR1 = IR1 = 20 V, UR2 = 100 V, UC1 = 106,6 V, UC2 = 53,3 V.

UR1

UR



f.o.

UR2

UC2

UC1 U

UC

UC

4.1.7. ----- i = 40 sin ( t + 113 );

4.1.8. ----- Z = 203  j 20 , Z = 40 , I = 5,5 A,  =  /6;

4.1.9. ----- I = 3,33 A, L1 = 0,4 H, L2 = 0,2 H; 4.1.10. ----- Z1 = 10 + j 30 , Z2 = 20 + j 10 , Z = 30 + j 40 , I = 4 A, L1 = 95,4 mH, L2 = 31,8 mH;


179 4.1.11. ----- Z = ( R1 + R2 ) + j ( XL1 + XL2 ) = 24 + j32  Z = 40 ; I = U/Z = 5 A;  = arc tg X/R = arc tg 32/24 = 53  i = 52 sin ( t  53 );

UL2

UL1

U 

f.o

UL2 UL

UR

UL1

I 4.1.12. ----- u = 1002 sin ( 100t + 3652 ), L = 0,3 H; 4.1.13. ----- Z = 112,5 , I = 1,96 A, Z = 48,1 , struja se poveća na I = 4,57 A; 4.1.14. ----- X  X L  X C  Z 2  R 2  77,4 2  50 2  59,1 f = 115 Hz;

L 

1 1 1  59,1 / C  2 L   59,1   2 L  59,1    0  22  59,1  106  0 C C C



59,1  59,12  4  2   10 6

  59,1 

3492,81  8000000 59,1  2829   2 22 4 4 10 6 59,1  2829  722 rad Kako je frekvencija f  0  1    s 4  = 2f  f = /2 = 115 Hz. 1 

 

4.1.15. ----- I = 32,25 A,  =  60,  = 2615; 4.1.16. ----- Z = ( R1 + R2 + R3 ) + j ( XL1 + XL2  XC ) = ( 12 + j16 )   Z = 20ej 537; Z = 20 . 4.1.17. ----- i = 0,977 sin ( 314t + 77,6 ) A;

4.1.18. ----- i = 22 sin ( 314t + 5,7 ) mA;

4.1.19. ----- U = 200 V, R = 3 , XL = 4 ; 4.1.20. -----

Iz kosinusne teoreme ( prema fazorskom dijagramu ), sledi: U2 = UR12 + UX2  2UR1UX cos ( 180  L )  U2 = UR12 + UX2 + 2UR1UX cos L  2 2 U 2  U R1  U X 1682  56 2  1482 cos  L    0,192  2 U R1 U X 2  56 148

U UL

UX

 L  78,9 o

UL = UXsin L = 148sin 78,9 = 145,24 V

L

 UR1

U RE  U R1  U RL  U 2  U L  1682  145,24 2  84,42V 2

URL

I

cos  

U RE

U

 0,503    59,83o

I = UR1/ R1 = 56/4 = 14 ; URL = URE  UR1 = 28,42 V; RL = URL/I = 28,42/14 = 2,03 ; XL = UL/I = 145,24/14 = 10,37 ; L = XL/2f = 10,37/314 = 0,03304 H = 33,04 mH.


180

4.1.21. -----

Iz kosinusne teoreme, UX2 = U2 + UR2  2UUR cos , odredimo cos , koji iznosi: U2  UR  UX U 2  (IR) 2  (IZ L ) 2 100 2  60 2  72 2   2UU R 2UIR 2 100  60 2

U

UX

UL

cos  

2

cos   0,701    45,47 o



UX = IZL = 72 V; UL = Usin  = 71,28 V  XL = UL/I = 71,28/6 = 11,88 ; L = XL/ = 0,0378 H = 37,8 mH UR + URL = Ucos  = 70,1 V  URL = 70,1  IR = 10,1 V RL = URL/I = 1,68 .

L URL

UR

i = 6 2 sin ( 314t 45,47 ) A;

Analitički izraz za struju je: 4.1.22. ----U (Z)

UL ( XL)



Iz trougla napona ( otpora ), sledi: R U 160 R 10 cos    R   0,64  Z    15,625 Z U 250 cos  0,64 X L  Z 2  R 2  15,6252  10 2  12,006.

UR (R)

4.1.23. ----- R = 3,025 , XL = 4,59 ;

X 4.1.25. ----- tg1  C!  R 1 tg 2 

C 2e 1   R R  C 2 e

tg 2  C1  C 2  

1

4.1.24. ----- R = 200 , C = 328 pF;

C1 1 ;  R R  C1

C  C2 1  1  C1  C 2 RC 1 C 2 R  C1  C 2

 tg 2  C  C2 tg 2 1 1  1,33    1 tg1  C1  C 2  C 2  C1  C 2   1  2  1  1,57F C 2 RC 1 C2 tg1  0,75   tg1 

1 = arc coc (0,8) = 36,87; 2 = arc cos (0,6) = 53,13; Kada C1 uvrstimo u prvu jednačinu dobije se otpornost R, koja iznosi: 1 1 10 6 R    84,93 . 4 10000 C 1 tg1 1 , 1775  10 6 2 1,57 10  0,75 2 4.1.26. ----UXL

Da bi se zadatak mogao rešiti predhodno treba nacrtati fazorski dijagram. Iz kosinusne teoreme, UL2 = U2 + UC2  2UUC cos , sledi: 2 2 U2  UC  UL 2002  3202  4402 cos     0,4    113,58 o 2UU C 2  200  320

UC UL U

  UX

 UR UC

I

 = 180   = 66,42;  +  = 90   = 90   = 23,58. UR = Ucos  = 200cos 23,58 = 183,3 V; UX = U sin  = 200 sin 23,58 = 80 V; UX = UXL + UC  UXL = UX + UC = 400 V.

Čitalac lako moţe proveriti rešenje fazorskim dijagramom, koristeći odgovarajuću razmeru (npr. 1 cm = 50 V).


181

4.1.27. ----Iz trougla otpora, prema slici, sledi: R = Z cos  = 400,6 = 24 . Z1 = R/cos 1 = 24/0,8 = 30 .

XC Z Z1



1

X

X  X L  X C  Z1  R 2  302  242  18.

XL

2

XL = Z sin  = 400,8 = 32 . XC = XL  X = 14 .

R

4.1.28. ----- uL = 7,98 2 sin ( 2 000t + 63,3 ) V; 4.1.29. ----R 10 Z   10 2  cos  2

2 X  Z  R  10  Za  = /4  X = XL  XC1 = 10  XC1 = XL  10 = 10 ; a za  =  /4  X = XL  XC2 =  10  XC2 = XL + 10 = 30 . 2

2

4.1.30. ----- Ako prevladava induktivno opterećenje ( XL  XC ) sledi 1 X  X L  X C  L   Z 2  R 2  30 C 1 10 5 10   30  10    30 /   10 2  30  10 5  0    10 10  6

1 



30  30 2  4 10   10 5

  30  2000

2 2 10 20 Kako je frekvencija f  0   = 2030/20 = 101,5 rad/s  f = /2 = 16,16 Hz.

Ako prevladava kapacitivno opterećenje, tada je X = XL  XC =  10 , pa sledi:





 30  30 2  4 10   10 5 10 5  30  2000  30  10 2  30  10 5  0   1    2  2 10 20 1970   98,5 rad  f   15,68Hz . s 20 2

10 

 

4.1.31. ----- u = 15 2 sin ( 1 000t + 45 );

4.1.32. ----- R = 35,35 , L = 70,7 mH;

4.1.33. ----- u = 111,8 sin ( 5 000t + 26,6 ) V; 4.1.35. -----

Z  R

X

4.1.34. ----- U = 231,4e j 1420 V;

 = u  i = 17  ( 28 ) = 45. 100 U 2 Z   4.; 25 I 2

R  X C  X  Z cos 45o  4 

2 1 1  2 2   C    1129,3F. 2 X C 314  2 2

X L  X C  2 2   X L  2 2  X C  4 2   L 

4.1.36. ----- U = 30 2 V;

4.1.37. ----- UL = 60 V;

XL 4 2   17,96mH.  314

4.1.38. ----- Z1 = 4 10 ;


182

4.1.39. ----U 1 120 U 220   6  Z  2   5,5 2   I1 20 I2 20 2 X 4,95 X L  Z 2  R 2  4,95  L  L   15,76mH.  314 R

4.1.40. ----a) Z = R/cos  = 10 k; X  Z 2  R 2  8k; X = XL XC = 8 k. Kako je XL = 2 k, a apsolutna vrednost ukupne reaktanse iznosi 8 k, sledi da je XC  XL  X = XL  XC =  8  XC = XL + 8 = 10 k. b)

UL 

I

UR

ULC = 8ej/2 V; I = ULC/X = 8/8103 = 103  = 1 mA; U kompleksnom obliku struja je jednaka: I = 1ej0 mA, jer prevladava kapacitivno opterećenje. Padovi napona na R L i C iznose: UR = IR = 6 V; UL = IXL = 2 V; UC = IXC = 10 V. Iz faktora snage cos  = 0,6   = 53,13 ( XL  XC ). Ukupni napon iznosi: U = IZ = 10 V, a u kompleksnom obliku: U = 10ej53,13 V.

f.o.

U UC

ULC

c) u = 10 2 sin ( t  53,13 ) V ; 4.1.41. -----  = u  i = 55  10 = 45  tg  = X/R = 1

Z = U/I = Um/Im = 28,28 = 20 2  R 2  X 2  2R 2  R 2  R  X  20  Iz uslova X = L  1/C = 20  30000,01 = 20 + 1/3000C 10 = 1/3000C  C = 1/300010 = 33,33F. 4.1.42. ----- Em = 255,9 V, E = 182,12 V;

4.1.43. ----- L = 55 mH;

4.1.44. ----- Z2 = 2 Z1

1 1    R 2   2 L2  4 R 2  2 2   2  C  C   1 R 2  3142  0,01  4R 2   985,96  40,57  3R 2  R  17,75. 2 6 2 314  500 10 R 2   2 L2  2 R 2 

2





4.1.45. ----- a) UC = UCm/ 2  851,1V 

I

UC  U C  C  851,1  500  50 10  6  21,28A ; 1 C 2

E 100 1  1 1002    R 2   L    R 2  4,7 2  3 2  3,62   L  I 21,28 C  C 21,282  500L1= 43,62  L1 = 0,08724 H , što je nemoguće jer je Lmax = 0,08 H. Zbog toga se za reaktansu uzima negativno rešenje ( XC  XL ), pa sledi: 500L2 40 =  3,62  500 L2 = 36,38  L2 = 0,07276 H = 72,76 mH. b) Z 

4.1.46. ----- I = 0,7 A ( samo kalem ), I = 45 A ( sa kondenzatorom );

4.1.47. ----- Umc = 785 mV;

4.1.48. ----- Z = L  1/C; Zo = oL  1/oC;  = 2o. Da bi napon bio u fazi sa strujom ( o = 0 ) mora 1 1 1    4  10 4 rad . doći do pojave rezonanse, tj: oL = 1/oC = 0   o  s 3 6 10 LC 10 10 10

 

 = 2104 rad/s  Z = 210410103  1/2104106 = 200  50 = 150 .


183

4.1.49. ----- f1 = 1,3 KHz, f2 = 260 Hz;

4.1.50. -----  = /3 rad;

4.1.51. ----- R = 14,14 ;

4.1.52. ----- UR = 3UL  IR = 3IL  R = 3L  L = R/3 = 500/3   = 500/3L = 333,33 rad/s f = /2 = 53,08 Hz, tg = L/R = 0,33   = 18,43 = 0,319 rad. 2

 500  Um = ImZ = 0,5 5002     263,52 ;  3  u = 263,52 sin ( 333,330,6123+ 0,319 ) = 263,52(0,214) =  56,34 V. 4.1.53. ----- Z1 = Z3 = U/I = 10 ; Z2 = U/I2 = 100/20 = 5  2

  1  1  1 1   10  1 L    R 2   3 L  R   1 L   3 L    1 C  3 C  1 C 3 C   Ovaj obrazac vaţi samo u apsolutnom iznosu ( jedna reaktansa je pozitivna a druga negativna ). Kako je porastom frekvencije došlo do porasta induktivnog otpora a smenjenja kapacitivnog, sledi da je kod impedanse Z1 pravladavao kapacitivni otpor, a kod impedanse Z3 je prevladavao induktivni otpor ( 3  1 ). To u kompleksnom obliku iznosi: Z1 = R  jX1, odnosno Z3 = R + jX3. Iz navedenog razloga predhodni izraz je jednak: 2

 1  1 1 1 1  1  3  1 1   L 3  1      3 L    1 L      L1   3   L    1 C  3 C C  1  3  C 1  3 1  3 C 

1 1   L  C  5,07 10 6 . 2    50  2    3,14 100C 197192C Kako je struja maksimalna pri rezonansi, na frekvenciji f2 sledi: R = Z2 = 5 .  ! 1 1 1000 2      444,44  f 2  2  70,77Hz . 3 6 2,25 2 2,25 10 LC 5,07 10 L

X  Z1  R 2  102  5 2  8,66. 2

1 1 1  8,66  314L   8,66  L   0,0276; 2  50  C 314C 3142 C 1 1 0,0064 0,00159  1  2 100  L   8,66  200    0,0276   8,66   17,333   8,66  2 2 100  C C C  314 C  200  C 2  50  L 

0,0054  17,333C  0,00159  8,66C  0,00478  25,993C  C  183,9 10  6 F  183,9F; L

1  0,0276  0,0552  0,0276  0,0276H   27,6mH. 314 183,9 10  6 2

4.1.54. ----2

1  1  2 Z  R2    200   C  2    60 10 10 6





2

 332,32 ; I 

U  0,301A  ; Z

U = 0,9U = 90 V; f = 0,95f = 57 Hz; 2

2

   1  2 Z'  R 2     2002  279,36 2  343,57 ;   200   6 2  f '  C 2   57  10  10     U' 90 I'    0,262A ; Z' 343,57 I' 0,262   0,87  I'  0,87  I I 0,301 Dakle, I = 0,87I ( 87% od struje I ). To znači da je struja opala za 13 %.


184

4.1.55. ----- Pre uključenja prekidača P: Z1  R 2  X L 2 , a posle uključenja: Z 2  R 2  X L  X C 2 Kako je I1 = I2  Z1=Z2  R2 + XL2=R2 + ( XL  XC )2   XL =  ( XL  XC )  XC = 2XL; 1 1 XC    48,25; C 2    330 10 10  6 X X 24,13 X L  C  24,13  L  L   0,01164H  11,64mH; 2  2    330 U 120 2 2 Z1    30  R  Z1  X L  30 2  24,132  17,83. I 4 4.1.56. ----- a)

b)

U1

f.o.

U5

 U2

U3 = U1 + U2 ; U2 = U5 + U4; Iz kosinusne teoreme: U32 = U12 + U22  2U1U2 cos ( 180   )  U32 = U12 + U22 + 2U1U2 coa  U 2  U 12  U 22 cos   3  0,575    54,9 o . 2U 1 U 2

U4

U3

4.1.57. ----- a) U = U1 + U2 ; Ako napon U2 postavimo u faznu osu, sledi: U2 = U2 = 4,5 V;

4,5 2  9 2  10V 

U1 = 9ej90 = 9cos(90) + jsin(90) = j9 V; U = (4,5 – j9 ) V  U = b) U AB  I  R 2  X C2 ; 2

I

U1 R 1  jX C

Z2 

U2 I

 72  j54mA  I  90mA

 40  j30  R 2  40  U AB  90 10 3  40 2  80 2  8V 

4.1.58. ----- U21 =  U12

Iz fazorskog dijagrama se vidi da su naponi U12 i U23 meĎusobno u fazi. Kako su to naponi koji deluju na impedansama Z1 i Z2, koje su istih vrednosti, sledi da su i ovi naponi istih inteziteta. Oba napona fazno su pomerena unazad u odnosu na struj I ( kasne ) za ugao /3. pa se impedanse mogu napisati kompleksno u obliku:

U21 21 2 =1

U23

I U12

Z1 = Z2 = 100ej60 = 100cos(60) + j sin(60)  1 3  Z1  Z 2  100  j  50  j50 3   2 2  

Z e  Z13 Z e  Z13

   Z  Z  2Z  100  j100 3    100  100 3   10000  30000  200. 1

2

2

1

2


185 4.1.59. ----- Da bi zadatak lakše rešili prvo nacrtamo fazorski dijagram ( pod c ). Iz dijagrama se reše traţeni podaci pod tačkama a i b UR = UABcos AB = 80cos 30 = 40 3 V; UL = UABsin AB = 80sin 30 = 40 V. Kako je UL = UC, dolazi do rezonanse, tj ova dva pada napona se poništavaju, pa je ukupni napon U jednak naponu UR, i on je u fazi sa strujom I. Na osnovu fazorskog dijagrama, analitički izrazi za traţene napone iznose:

UAB AB UR = U

UL I





u = uR = 40 6 sin t V; uL = 40 2 sin t  90 o V;

UC



u C  40 2 sin t  90

o

 V.

4.1.60. ----- R1 = 11,7 ; 4.1.61. ----- 1 = 2f1 = 2800 = 1600 rad/s; 2 = 2f2 = 2400 = 800 rad/s Z1 = U/I1 = 200 ; Z2 = U/I2 = 250  Z12 = R2 + XC12  R2 + (1/1C)2 = 40000 ..... ( 1 ) Z22 = R2 + XC22  R2 + (1/2C)2 = 62500 .......( 2

1  40000 25266187,27C 2 1 R2   62500 6316546,82C 2 Rešenjem sistema dveju jednačina sa dve nepoznate dobiju se rešenja: C = 2,297 F i R = 180 . R2 

4.1.62. ----a)

URL UL 

ZRL

XL



60 UR

I

R

UC I = UC/XC = 10/1000 =102  = 10 mA; ZRL = URL/I = 20/0,01 = 2 k; Iz trougla otpora sledi: R = ZRLcos 60 = 1 k; XL = ZRLsin 60 L = XL/2f = 1,73/866,64 =2 mH; C = 1/XC = 1,15 nF.

3 k ;

b) U = URL + UC = 20 ( cos 60 + j sin 60 ) + 10  cos ( 90 ) + j sin ( 90 ) = 20 0,5  j0,866  j10  U = 10 + j 7,3  U  10 2  7,3 2  12,4V 


186

4.1.63. ----a)

Z

 = /4 X = R = 100 ; X = XL  XC ; XL = L = 1000  XC1 = 1/C1 = 1/1050,1106 = 100  XC = XL  X = 900 ; XC = XC1 + XC2  XC2 = XC  XC1 = 900  100 = 800 . XC2 = 1/C2  C2 = 1/XC2 = 12,5109 F = 12,5 nF.

X

 R

b) Za  = /4, trougao je isti kao pod a) ali je oboren prema dole ( X C  XL ). U ovom slučaju je: X =  R =  100   XL  XC =  100  XC = XL + 100 = 1100 . XC = XC1 + XC2  XC2 = XC  XC1 = 1100  100 = 1000   C2 = 1/XC2 = 1/105103 = 108 = 10109 F = 10 nF. c) struja je maksimalna pri pojavi rezonanse (  = 0 ). Ovo nastaje pri uslovu: X L = XC = 1000   XC1 + XC2 = 1000  XC2 = 1000  100 = 900  C2 = 1/XC2 = 1/105900 = 11,11109 F = 11,11 nF. 4.1.64. ----- a)  = 60 ( RL prij. ), b) Z = 4 , R = 2 , XL = 3,46 , 4.1.65. ----- a) Z = 30,6 e  j 6040 , Y = 32,7 e j 6040 mS, b) faz dijagram crtati u razmeri: 1 cm = 10 V. c) uR = 302 sin ( 500t + /2 ) V, uL = 802 sin ( 500t +  ) V, uC = 133,42 sin 500t V, u = 61,22 sin ( 500t + 2920 ) V ; 4.1.66. ----- R = 5 , L = 10 mH; 2

U U 2 Z1     3306,25 4.67. ----- Z 2     2116 I    I1  2 2 2 2 2 2 Z = R + (L) =  R + 314 L = 2116 ...................................( 2 ) ; Z12 = ( R + R1 ) 2 + (L)2  ( 20 + R )2 + 3142 L2 = 3306,25 .... ( 1 ) R2  3142L2 = 2116 ....................( 1 ) 2 R +40 R + 400 + 3142 L2 = 3306,25 .............. ( 2 ) 2

40R + 400 = 1190,25  R = 19,76 ; L = 4.1.68. ----- R = U/I = 250 ; Z =

C

2116  19,76 2  41,54  L  132,3 mH;

R 2  XC  2

U1  550  X C  550 2  250 2  489,9; I

1 1   6,5 10 6 F  6,5F. 2f  X C 314  489,9

4.1.69. -----

a) Primenom kosinusne teoreme ukupni napon iznosi: 2 2 U 2  U 1  U 2  2U 1 U 2 cos 100o 

U1 100

U 2  1502  1802  2 150 180  cos 100o  22500  32400  9377

1 2 

I U

U2

U  213,36V . Ukupni napon se moţe rešiti i razlaganjem pojedinačnih napona na komponente ( kompleksnom metodom ) b)  = 1  2 = 20.


187 4.1.70. ----- Z2 = ( 5 + j 9,3 ) ;

1 U 100     Z  R 2  X C2  X C    I    0A     . C Z  2 U ovom slučaju struja je najmanja ( jednaka nuli ) jer je impedansa u kolu najveća ( beskonačna ). Kako je impedansa kapacitivna struja prednjači naponu za /2 ( teoretsko objašnjenje ). Sa povećenjem kapaciteta C, kapacitivni otpor se smanjuje, pa se smanjuje i impedansa kola, što dovodi do porasta struje I. Struja je maksimalna kada je impedansa najmanja, a to se dogaĎa kada je C =   XC = 0. U ovom slučaju impedansa je : Z = R = 10  , a struja Im = U/Z = 10 A, i ona je u fazi sa naponom (  = 0 ). Na osnovu ovih podataka, kao i mnogih drugih proizvoljno uzetih moţe se konstruisati fazorski ( kruţni ) dijagram. Spajanjem svih tih vrednosti ( vrhova fazora struje I ) nastaje jedan polukrug. Tačke koje se nalaze na polukrugu istovremeno odreĎuju vrednost struje, kao i ugla  koji odgovaraju za tu poziciju. Umesto spajanja beskonačnih tačaka za različite vrednosti kapaciteta dovoljno je odrediti maksimalnu vrednost struje i karakter opterećenja. 4.1.71. ---- Za C = 0  X C 

Na osnovu navedenih podataka jednostavno se nacrta kruţni dijagram, kao na slici. Koristeći predloţenu razmeru duţina fazora U iznosi 5 cm, a poluprečnik polukruga je 2 cm.

I 

o

Im

U

4.1.72. ---U

Im  I

Porastom L od nule do beskonačnosti struja pada sa Im ( XL = L ) na nulu. Ona fazno kasni u odnosu na napon U za ugao . Za L = 0  Z = R, pa je struja u fazi sa naponom i ona je maksimalna ( I = Im ). Za XL =   Z = XL =   I = 0, pa je  = /2. To dovodi do kruţnog dijagrama prikazanog na slici.

4.1.73. ---- Porastom otpora od nule do beskonačnosti struja pada sa Im na nulu. Kada je struja jednaka nuli ona je u fazi sa naponom ( savršeno R kolo ). Kada je struja najveća, tj iznosi I m , ( R = 0 ), tada ona prednjači naponu za /2 ( Z = XC ). Na osnovu navedenog nastaje sledeći kruţni dijagram: Im I 

U

4.1.74. ---

Im

U

I

4.1.75. ----- i = 37,8 sin ( 1 000t  41 );

Struja opada sa Im na nulu i ona u početku fazno kasni u odnosu na napon za 90. Padom struje ( povećava se otpornost R ) smanjuje se i fazni pomak  ( ka nuli ). Na osnovu ovog zaključka sledi kruţni ( fazorski ) dijagram.

4.1.76. ----- Z =  j 200  , C = 0,8 F ( kondenzator );

4.1.77. ----- C = 1/22L;


188

4.1.78. ----Q 0,2  j0,610 3  100  j300V; U C  C 2 10  6 U 100  j300 1 1 XC    5000  I  C    0,06  j0,02A   60  j20mA 6 C 100  2 10 ZC  j5000 U  Z  I  10000 j5000   0,06  j0,02   500  j500V. 4.1.79. ----- U = UR1 + UL + UR2 + UC  U = U24 + UR1 + UC = U24 + UR1C U24

UR1C = I( R1  jXC ) = 2,8  j16,8 ) V; UL

2  4 2 V ; 2 UL = U24 sin 45 = 4 2 V . UR2 = U24cos 45 = 8 

24

UR2

UR1 

I U=

UR1C

2,8  j16,8  4 2  j4 2  8,46  j11,14V  U  8,46 2  11,14 2  14V

U

UC UR1C

4.1.80. ----- UC = 30 V,  =  37; 4.1.81. ----U1 



UR2 2

Iz kosinusne teoreme: U2 = U12 + U22  2U1U2 cos  

I

UC U2

U

U 1  U 2  U 2 25  36  100   0,65    130,54 o . 2U 1 U 2 256 2

cos  

2

 2  180o  130,54 o  49,46 o

2 =  49,46o, jer se radi o RC opterećenju. UR2 = U2cos 2 = 60,65 = 3,9 V; UC = U2sin 2 = 60,76=4,56 V. 4.1.82. ----- Kako je otpor kondenzatora u kolu jednosmerne struje beskonačan ( prekid kola ) u kolu nema struje. Zbog toga na otporniku R nema napona ( pada napona ). Napon izvora je na ovaj način jednak naponu na kondenzatoru, jer su ploče kondenzatora na istom potencijalu na kojem se nalaze polovi izvora. Dakle, UR = 0 V, UC = 141 V; 4.1.83. ----- Z  12 2  5 2  13  I 

U 260   20A;  = 1 000 rad/s; Z 13

Re = R1 + R2 = 12   R2 = 7 . XLe = XL1 + XL2 = 5   XL1 = 3 ; XL1 = L1   = XL1/L1 = 3/3103 = 1000  rad/s .


189 4.1.84. ---- Kako je u kolu jednosmerne struje induktivni otpor jednak nuli ( X L = 2f = 20 = 0 )  Z = R I = U/R = 10 A, UR = 100 V, UL = 0 V; 4.1.85. ----- Ubacivanjem feromagnetnog jezgra povećava se magnetna permeabilnost ( magnetna propustljivost ) , što dovodi do povećanja induktivnosti kalema a samim tim povećeva se i induktivni otpor S kalema. Navedene konstatacije su očite iz sledećih relacija: L  N 2    N 2  H  ; XL = L. l Povećenjem induktivnog otpora povećava se i ekvivalentna impedansa kola prema relaciji Z  R 2  X L 2 Da je kolo savršeno induktivno impedansa bi se srazmerno menjala promenom X L. Kako impedansa pored XL ima i otpornost R tada će porast ekvivalentne impedanse biti nešto manji od porasta induktivnog otpora. To se lako moţe dokazati brojčanim primerom.Povećena impedansa ( nešto manjeg inteziteta od povećanja induktivnog otpora ) dovodi do smanjenja struje u kolu. Struja se smanjuje obrnuto srazmerno sa impedansom kola ( I = U/Z ). Napon na kalemu iznosi U L = IXL. Usled većeg povećanja induktivnog otpora od smanjenja struje, napon na kalemu UL raste. Otpornik R je konstantan ( ne zavisi od feromagnetne jezgre ), pa će napon na njemu U R da opada, jer je ubacivanjem jezgra struja u kolu opala ( UR = IR ). 4.1.86. ---- UR se smanji; 4.1.87. ----- X1 = X2, X1 = XL1  XC1 = 8 , X2 = XL2  XC2 = 8 , struje su iste, pa je UAB1 = UAB2; 4.1.88. ----- Isključenjem jedne sijalice ukupna impedansa kola se povećava ( dve paralelne sijalice imaju veću otpornost od tri ). To dovodi do smanjuja struje, pa UL opada ( UL = IXL, jer je XL = lonst. ). Iz relacije U  U R  U L  U R  U 2  U L , se vidi da će sa padom UL, odnosno isključenjem sijalice, porasti napon UR, jer je napon U konstantan. 2

2

4.1.89. ----- I = 14,1 A;

2

4.1.90. ----- R = X;

4.1.91. ----- R = UR/I = 10 ; XL = L = UL/I = 20   L = 20/314 = 63,69 mH; XC = 1/C = UC/I = 12   C = 1/12314 = 265,4 F ; Z  R 2  X L  X C   12,81. 2

XL1 = 1L = 62863,69103 = 40 ; XC1 = 1/1C = 1/628265,4106 = 6 ;

Z1  R 2  X L1  X C1   10 2  34 2  35,44. 2

U = IZ1 = 535,44 = 177,2 V. 4.1.92.----- Uz pretpostavku da je početni ugao za struju jednak nuli, sledi: i = I m sin t = 0,12 sin 106t  za t = 0 i trenutna vrednost struji i = 0 A. Kako je e = uL + uR = uL + iR = uL + 0 = uL  e = ULm sin ( t + /2 ) = ULm cos t = ULm = LIm = 106101060,1 2 = 2 = 1,414 V. 4.1.93. ----- Iz podataka za trenutne vrednosti struje i napona se vidi da struja prednjači naponu ( u trenutku t 1 struja je već opadala ka nuli, dok će napon od ovog trenutka, tj. nakon svog maksimuma, da opada ka nuli.. ) Ako usvojimo da je početna faza struje jednaka 90 izrazi za struju i napon su: U U i = (  90    0 ) 2 sin t  90  2 cos t , odnosno u = U 2 cos t   ) ; Z Z U trenutku t2 ( t2 = 0 ) kada je struja maksimalna ( i = Im ) napon iznosi 100 V, pa je :





u(t2) = U 2 cos   100 = 100 2 cos    = 45. Kada je napon maksimalan  100 2 = 100 2 cos ( t1  45 )  t1 = 45 , struja iznosi: i = Im cos t1  10 = Im cos 45 = Im Impedansa kola je: Z =

2 2

 Im =

10  2

 10 2  I = 10 mA.

2

U 100   10  103  = 10 K. I 10  10 3


190 Kako prevladava kapacitivno opterećenje ova impedansa se moţe predstaviti kompleksno:  2 2   j  j45 Z  Ze  10  e  10 cos  45  j sin  45  10 j  5 2  j 2 K.  2 2  

 









 



4.1.94.----- a) Z = U/I = R 2  L2  L  0,2 H. b) Kako je L = N2  L1 = N12 = ( N/2 )2 = L/4. Dakle induktivnost će se smanjiti 4 puta. 2 Z1  10 2  314  0,05  I1 = U/Z1 = 13,5 A.


191 4.2.1. ----- a) Z1 = 2 , Z2 = j 2 , Z3 =  j 1 , b) Y1 = 1 / Z1 = 0,5 S, Y2 = 1 / Z2 =  j 0,5 S, Y3 = 1 / Z3 = j 1 S;

c) Y = Y1 + Y2 + Y3 = ( 0,5 + j0,5 ) S  Y  0,5 2  0,5 2  0,5 2 S ; Z = 1 / Y =( 1  j 1 ) 

Z  11  12  2  ; Y = 0,5 + j 0,5 S;

d) I1 = U Y1 = 10 2 A, I2 = U Y2 =  j 10 2 A, I3 = U Y3= j 20 2 A, I =I1 + I2 + I3 = 10 2 + j 10 2  I  200  200  20A ; I3 I I3  I1

e) tg 

1  1   = arctg (1) =  45 ( kapacitivno ) 1

4.2.3. ----- Z = ( 2 + j 3 ) ;

4.2.2. ----- Y = ( 1 + j 1) S;

G1 Y1

f.o

I2

I2

4.2.4. ----- R 1 

U

2



0,09  10 ; 0,09  0,032 2

R2 

G2 2 2

Y



0,06  15; 0,06  0,02 2 2

B 1 0,03 10 1 1  C21     C1    3  10  4  300  10  6 F  300F; 10 C1 Y1 0,009 3 X C1 1000  3 B 1 0,02 1 1   C22   5  C 2    0,2  10 3  200  10  6 F  200F; C 2 Y2 0,004 X C 2 1000  5

X C1  X C2

Y  Y 1  Y 2  0,15  j0,05S  Y  0,15 2  0,05 2  0,025  0,158S  I  U  Y  0,025 100 10  50A; I 1  U  Y1  100 10  0,009  30A,

I 2  U  Y2  100 10  0,004  20A. 4.2.5. ----- Z2 = 7 + j 17 ; 4.2.6. ------ Z1 = 20 + j 10, Z2 = 15,12 + j 3,9 ( R1 = 20 , XL1 = 10 , R2 = 15,12 , XL2 = 3,9  ); 4.2.7. ----- Z = 0,5 + j 0,5 , Z = 0,5 2 ;


192

4.2.8. ----Z Z R  jX 1  R 2  jX 2  R 1 R 2  jR 1 X 2  jR 2 X 1  X 1 X 2 Z 1 2  1   Z1  Z 2 R 1  jX 1  R 2  jX 2 R 1  R 2  jX 1  X 2 

Z Z Z

R 1 R 2  X 1 X 2  jR 1 X 2  R 2 X 1  R  R  1  R  1  R  jR  R  R  1  R  1   R 1  R 2  jX 1  X 2  R  R  1  jR  1  R 

















 j R 2  R 2  2R  1  j 2R 2  2R  1  j 2R 2  2R  1  j 2R 2  2R  1  1  j     2R  1  j2R  1 2R  1 1  j 2R  1  1  j 1  j 2R  1  j  j2R



  2R  1 1  1 

  2R

 j 2R 2  2R  1  2R 2  2R  1 2

2

Z  R e  jX e  R e  X e  R e  X e 

 2R  1 2R 2  2R  1 j  4R  2 4R  2 2

2R 2  2R  1 4R  2

Z  R e  X e  2R e  R e 2  R e  2

2

2

Z 2



1,3 2

 1,3 

2

2R 2  2R  1  1,3  2R 2  2R  1  1,3  4R  2   2R 2  3,2R  1,6  0 4R  2 3,2  3,2 2  4  2   1,6 

3,2  4,8  22 4 Kako je otpornik R uvek veći od nule, sledi samo jedno rešenje, koje iznosi R = 2   R1 = X2 = 2 ; R2 = X1 = 3 ; Z1 = ( 2  j 3 )  ; Z2 = ( 3  j 2 )  ; R1  2

4.2.9. ----- R = 20 , C = 50 F;

4.2.10. ----- I = 5 A;

4.2.11. ----- Z = 0,625 ;

4.2.12.----- I1 = 15,4 A, I2 = 14 A, I = 28 A,  = 54; 4.2.13. ----- I1 = 5,7 A, I2 = 6,41 A, I = 11,95 A,  =  49; 4.2.14. ----- I1 = 1,2 A, I2 = 0,4 A, I = 1,4 A,  = 21,7; 4.2.15. ----- I1 = 29 A, I2 = 10,6 A, I3 =13 A, I = 34,3 A,  = 48; 4.2.16. ----- Z = ( 2,35 + j 0,58 ) , Y = ( 0,4  j 0,1 ) S; 4.2.17. ----- a) Y = ( 0,1  j 0,2 ) S, b) I = ( 4  j 3 ) A, Ia = 2,23 A, Ir = 4,47 A; 4.2.18. ----- Z = ( 12,8  j 129,2 ) ; 4.2.19. ----- a) Kod redne veze kondenzatora ekvivalentni kapacitet opada , prema relaciji, 1 1 1 1 1 1 n , pa će ekvivalentni kapacitivni otpor XCe da raste ( XCe = 1/Ce )         C e C C1 C 2 Cn C XCe = ( n + 1 ) XC, b) Kod paralelne veze kondenzatora ekvivalentni kapacitet raste Ce = C + C1 + C2 + …. + Cn  X Ce = ( n + 1 )C te će ekvivalentna kapacitivna otpornost da opada, prema relaciji: X Ce  C XCe . n 1 4.2.20. ----- IR = 3 A, IL = 4 A, I = 5 A, L = 79,6 mH; 4.2.21. ----- I = 25 A, IR = 15 A, IC = 20 A, G = 0,25 S, BC = 0,333 S, Y = 0,417 S,  =  53,13; 4.2.22. ----- Z = 8,7e j 2750 , Y = 0,115e  j 2750 S; 4.2.23. ----- G = 0,03 S, BL = 0,04 S, IR = 6,6e j 0 A, IL = 8,8e  j 90 A, I = 11e  j 538 A; 4.2.24. ----- IL =  j 318 mA, IC = j 251 mA, I =  j 67 mA, Z = j 2 985 ;


193

4.2.25. ----- i = 4,12 sin ( 5 000t + 90 ) A; 4.2.26. ----- IR = 15 A, IL =  j 20 A, IC = j 12 A, I = ( ( 15  j 8 ) A; 4.2.27. ----- i = 0,87 sin ( 1 000t + 67,3 ) A, Z = 115e  j 67,3 ; 4.2.29. ----- I = 5,43e j 119 A, I1 = 1,69e j 388 A;

4.2.28. ----- I = 10,2e j 7841 A;

4.2.30. ----- I = 22,4 A;

4.2.31. ----- a) I1 = ( 3,3  j 4,4 ) A, I2 = ( 3,52  j 2,64 ) A, I3 = ( 2,46  j 8,45 ) A b) 1 538, 2 = 3652, 3 = 7344; c) I = ( 9,28  j 15,49 ) A,  = 594; 4.2.32. ----- Z = ( 2 + j 23 )  ( ind. karaktera );

4.2.33. ----- I1 = 2 I;

4.2.34. ----- paralelna veza R i L ( Z1 = R, Z2 = XL ); 4.2.35. ----- a ) Y = Y1 + Y2 = G1 + jB1 + G2  jB2 = 0,2 + j1 + 0,6  j0,4 = 0,8 + j0,6 ) mS  2 2 Y  G e  B e  0,8 2  0,6 2  1mS Y = 1 mS,

b)  =  arctg

Be 0,6  arctg  37 o . Ge 0,8

4.2.36. ----- i = 20,6 sin ( 1 000t + 35,95 ) A,  =  14,05; 4.2.37. ----- Z = R + jXL = R + jL = 10 + j3140,1 = ( 10 + j31,4 )   Z  R 2  X L  33. 2

1 1   0,0303S , Z 33 R 10 konduktansa: G  2  2  0,009S, Z 33 X L 31,4 a susceptansa: B L  2  2  0,029S. Z 33 Admitansa kola je: Y 

4.2.38. ----- a) Kod paralelne veze ukupna admitansa iznosi: Y = G  jBL = ( 0,05  j0,08 ) S  G = 0,05 S; BL = 0,08 S. Iz konduktanse G i susceptanse BL se izračuna rezistansa R ( aktivna otpornost ) i 1 1 1 1 induktivna reaktansa XL. Rezistansa je: R     12,5.  20 , a reaktansa: X L  B 0 , 08 G 0,05 L IR UL  U f.o. U f.o. UL I IL UR I Sl.4.2.38. a)

Sl.4.2.38. b)

1 1   5,62  j8,99. Y 0,05  j0,08 Sledi da je kod redne veze: R = 5,62 , XL = 8,99 ; Na slici 4.2.38. a) je nacrtan fazorski dijagram kod paralelne veze, dok je na slici 4.2.38. b) fazorski dijagram kod redne veze. b ) Kod redne veze je: Z 

4.2.39. ----- I = 22,4 A;


194 4.2.40. ---- Z1 = ( 2 + j 2 )  = 2 e j 45 ; 4.2.41. ----- a) Za = ( 38,4 + j 28,8 ) , Za = 48, b ) Zb =  j 240 , Zb = 240 ; 4.2.42. ----- a) Z =  j 1 234 , b) Z = j 28 ; 4.2.43. ----- Prekidač P otvoren: U  UR  UC  Z  R 2  XC  I  2

2

2

U ; UR = IR; UC = IXC. Z

Prekidač P zatvoren:

Re 

R2 U 2  X C  Z'  Z  I'   I'  I  U C '  I' X C  U C '  U C 4 Z'

R 2 2  Z'  R e  X C  2

U R '  U 2  U C '2  U R '  U R Uključenjem P ukupna impedansa se smanjuje, struja povećava, napon na kondenzatoru povećava, dok se napon na otporniku R smanjuje ( jer se ovaj otpor više smanjio od povećanja struje ). 4.2.44. ----R  jX L    jX C  X L  X C  jRX C   R  jX L  X C  Z   2 R  jX L  X C  R 2  X L  X C  Z Z

RX L X C  jR 2 X C  jX L X C X L  X C   RX C X L  X C  R 2  X L  X C 

RX L X C  RX C X L  X C  R 2  X L  X C 

j

2



R 2 X C  X L X C X L  X C  R 2  X L  X C 

2

Kako je  = 0  R2XC + XLXC ( XL  XC ) = 0  R2 + XL2  XLXC = 0 Umesto R2 + XL2 uvrstimo Z2, pa sledi: Z2  XLXC = 0  Z2 1 Z2 L 50 10 3 XC    C 2   103,3 10 6 F  103,3F, XL C L Z 22 2

cos   1. Zadatak se mogao rešiti pomoću karakteristične impedanse ( oscilatorna kola ), koja je jednaka Z C 

L C

( što će biti raĎeno u sledećim oblastima ).

UL U 10  L    j2A  I 2  2A. jX L jX L j5 Iz uslova zadatka, UL fazno prednjači naponu za /4, sledi da će fazni pomak izmeĎu napona U i struje I iznositi  = /4 ( UL fazno prednjači struji I za /2 ). Na osnovu navedenog sledi da je UL = UR2 = 10 V, odnosno U = 4.2.45. ----- a) I 2 

U R 2  U L  10 2 V ; 2

2

 

o







o U 10 2  e  j45 U 10 2 I1    2 A   I 1    2  e  j45  2 cos  45 o  j sin  45 o  1  j1A . R1 10 R1 10

I  I 1  I 2  1  j3A   I  12  3 2  10 A .

b)

UL



f.o.

I1 I2 UR2

U

UR2

I


195 4.2.46. ----- R1 = 2 ; 4.2.47. ----Z Z R  jX 1  10  j20 2X 1  jX 1  10  j20 j50X 1 2X 1  10  jX 1  20 Z 1 2  1    Z1  Z 2 R 1  jX 1  10  j20 2X 1  jX 1  10  j20 2X 1  102  X 1  202 50X 1  1000X 1

100X 1  500X 1

2

Z

2X 1  102  X 1  202

2

j

2X 1  102  X 1  202

Iz uslova  = /4 ( tg  = Xe/Re = 1 ), sledi da da su realni i imaginarni delovi kompleksne impedanse meĎusobno jednaki ( rezistansa Re = reaktansi Xe ). To znači da je: 50X12 + 1000X1 = 100X12 + 500X1  50X12 = 500X1  X1 = 10 ; R1 = 20 . Kompleksna impedansa Z1 je: Z1 = ( 20 + j 10 ) .  Z1  20 2  10 2  10 5 . 4.2.48. ----- I = 28,95 A; 4.2.49. ----- a) Z = 40 e  j 2250 , b) u = 200 2 sin ( t + 16,26 ) V, i1 = 4 2 sin ( t + 16,26 ) A, i2 = 2 2 sin ( t + 90 ) A, i = 5 2 sin ( t + 39,1 ) A; 4.2.50. ----Ukupna struja je jednaka: I = IR + IL + IC. Struja I će biti u fazi sa naponom U samo onda kada se struje IL i IC meĎusobno izjednače. U tom slučaju sledi da je I = IR i ukupna struja će biti u fazi sa naponom, što se vidi na fazorskom dijagramu. Uslov pri kojem će doći do ove pojave ( pojava antirezonanse ) je: IL = IC  UL/XL = UC/XC  XL = XC  L = 1/C  1 1 C 2   101,4 10 6 F  101,4F. 2  L 314  0,1

IC IR

U

IL

4.2.51. ----- Z3 = ( 4 + j 3 ) ; 4.2.52. -----

Z

R   jX C  R  jX L  jRX C  R  jX C  jRX L  R  jX L      2 2 R  jX C R  jX L R 2  XC R 2  XL

2  RX C 2   R 2XL R 2 X C  RX L    j    2 2  R2 X 2 R2 X 2   R2 X 2 R2 X 2  R 2  XC R 2  XL C L  L C    Za f = 0 HZ (  = 0 )  Z = R, a za f =   Z = R Ukupna impedansa je, uz navedeni uslov, na svim frekvencijama jednaka termogenom otporniku R . Ako je frekvencija f = 0, kalem je u kratkoj vezi ( XL = 0 ) , a kondenzator ima beskonačan otpor ( prekid grane ). Na beskonačnoj frekvenciji kondenzator je u kratkoj vezi ( X C = 0 ) a kalem ima beskonačan otpor ). Ista otpornost mora biti i na drugim frekvencijama. Usled navedene činjenice, sledi da je imaginarni deo impedanse jednak nuli, te je: R 2XC R 2XL 2 2 2 2   0  R 2  XL  XC  R 2  XC  XL  R 2XC  XL XC  R 2XL  XLXC  2 2 2 2 R  XL R  XC

RX C  jR 2 X C 2

Z

RX L  jR 2 X L 2









R 2 X C  X L   X L X C X C  X L   R 2  X L X C  L  R L

C



1 L   C C

 59,161.

Isto se rešenje dobije i realnim delom impedanse, gde je: Z  R 

RX C

2

R  XC 2

2



RX L

2

R  XL 2

2

R

L  50. C

Čitaocu se preporučuje da proveri tačnost zadatka na proizvoljno uzetim frekvencijama ( npr.  = 100 rad/s ).


196 4.2.53. ----- a) f = 312 Hz, b) IL = ( 0,01  j 0,049 ) A, IC = j 0,049 A, I = 0,01 A; 4.2.54. ----- a) Z = ( 2,64  j 0,3 ) , Y = ( 0,4 + j 0,05 ) S, b) Z = ( 2  j 2 ) , Y = ( 0,25 + j 0,25 ) S, c) Z = ( 0,154  j 1,23 ) , Y = ( 0,1 + j 0,8 ) S; 4.2.55. ----- UAB + I1R1  I2R2 = 0  UAB = I2R2  I1R1 U 10 I1    2,5  j2,5A, R 1  jX L 2  j2

I2 

U 10   2,5  j2,5A  R 2  jX C 2  j2

U AB  2,5  j2,5  2  2,5  j2,5  2  5  j5  5  j5  j10V. Ukupna struja kola iznosi: I = I1 + I2 = 2,5  j2,5 + 2,5 + j2,5 = 5 A. UR2 I2

A  UAB

I

Čitaocu se preporučuje da fazorski dijagram nactra u razmeri 1 cm = 1 A = 1 V.

UC

U

f.o.

UL

I1 UR1  B

4.2.56. ----- a) Z = ( 1,73  j 1 ) K , b) Y = ( 0,43 + j 0,25 ) mS; 4.2.57. ----- a) 1 YC   ZC a) Y L 

1 j

1 C

 jC  jB C  B C  CS;

1 1 1 1 S   j   jB L  B L  ZL jL L L

1  1  Y  Y C  Y L  j C   BC  BL  B   jB C  B L   Y  C   L  L   Grafički dijagram reaktivne provodnosti i admitanse dat je na slici 4.2.57. a.

Sl.4.2.57.a)


197

b) Impedansa ove paralelne veze i njena ukupna reaktivna otpornost iznosi: 1 1 1 L L L L Z    j 2 j  jX  X  ZX . 2 2 2 2 Y 1  LC  1  LC  1 1   LC 1   LC   1   LC j C   j L  L  Grafički dijagram zavisnosti reaktivne otpornosti i mpedanse u funkciji sa kruţnom učestanošću dat je na slici 4.2.57.b.

Sl.4.2.57.b) c) I = IL + IC  I =  IL  IC  Za L  1/C  IL  IC, pa je ukupna struja istog smera kao IL ( veća struja ) . U ovom slučaju struja kasni za naponom za ugao /2. Za L  1/C  IL  IC, pa je struja I istog smera kao i IC, što znači da će struja I sada da prednjači naponu za /2. Sumirajući navedene konstatacije, sledi:  1  0 2 LC  =  1  2 LC Grafički dijagram je dat na slici 4.2.57.c. 

 = f()

1



LC Sl.4.2.57.c. 4.2.58. ----- Impedansa prve grane je: Z  R 1  X1  400  3002  500. 2

2

Efektivna vrednost ukupnog napona ( napon na krajevima prve grane ) je: U = Z 1I1 = 50010103 = 5 V. U 5   250. Impedansa druge grane je: Z 2  I 2 20 10 3 X  300  36,87 o . Iz impedanse Z1 sledi: 1  arctg 1  arctg R1 400 Sledi, da će struja I1 da prednjači naponu U za 36,87o. Ako pretpostavimo da je napon U u faznoj osi tada su njihovi kompleksni izrazi jednaki: U = 5ej0 V, odnosno I1 = 10ej36,87 = 10( cos 36,87 + j36,87 ) = ( 8 + j6 ) mA.


198

Kako struja I2 fazno zaostaje za strujom I1 za 60, njen početni ugao iznosi: I2 = I1  60 = 36,87  60 =  23,13. Kompleksni izraz za struju I2 je: I2 = 20ej23,13 = 20cos(23,13) + jsin(23,13) = ( 18,39  j7,86 ) mA. Očito je da struja u udnosu na napon ( faznu osu ) kasni za 23,13, pa je impednasa Z2 kompleksno jednaka: Z2 = Z2ej2 = 250ej23,13 = 250( cos 23,13 + jsin 23,13 ) = ( 230 +j98,2 )   R2 = 230 . Prema drugom Kirhofovom zakonu, sledi jednačina: UAB  I1(jX1 )+ I2R2 = 0  UAB =  I2R2  I1jX1  UAB =  ( 18,39  j7,86 )103230  ( 8 + j6 )103  j300 =  4,23 + j1,81 j2,4 + 1,8 = ( 2,43  j0,59 ) V. Efektivna vrednost napona izmeĎu tačaka A i B je: U AB  4.2.59. -----

 2,432   0,592

 2,5V.

Očito je, sa fazorskog dijagrama, da su struje u paralelnim granama meĎusobno jednake ( jednakokraki pravougli trougao ). Iz uslova zadatka sledi da je: 0,44

I IX

I  IR  IX  IR 2  IR  IX  2

 IR

2

I



2

2  0,22A. 2

XL = L = 1042010-3 = 200 . UL = IXXL = 0,22200 = 44 V.

U

Kako je ukupnu napon na LC grani jednak: U =  UL  UC  = UX  UC = 220 + UL = 264 V , jer u ovoj grani prevladava kapacitivno opterećenje ( XC  XL  UC  UL ). U IX 1 0,22 XC   C C  4  83,3 10 9 F  83,3nF. C I X   U C 10  264 Termogeni otpornik u prvoj grani je jednak: U 220 R   1000. I R 0,22 4.2.60. ----- R3 = 0, X3 = 11 , X3=  24,3 ; 4.2.61. ----- Za dati deo kola sledi: I = I1 + I2; U = UR1 = UR2 + UL. Ako pretpostavimo da je ukupni napon u faznoj osi ( U = Uej0 ), tada se dobije sledeći fazorski dijagram napona i struja:

I1

U=UR1



UL 2

UR2

f.o. I2

I2

I1

Iz dijagrama se vidi da je  + 2 = 90, pa je : 2 = 90   = 90  6340 = 2620. UL 4,5 Kako je, prema fazorskom dijagramu, sin 2 = UL/U  U    10V. sin 1 sin 26 o 20' Efektivne vrednosti struja u paralelnim granama su: I1 = U/R1 = 10/10 = 1 ; I2 = U/Z2 = UL/XL = 4,5/2 = 2,25 . Primenom kosinusne teoreme, izračunamo ukupnu struju I I2 = I12 + I22  2I1I2 cos   I2 = I12 + I22 + 2I1I2 cos 2  I2 = 12 + 2,252 + 212,25cos2620 = 1 + 5,0625 + 4,50,896 = 10,096  I = 3,177 A.


199

4.2.62. ----IC

IC

IL IC

I

IX IR IR

IL

f.o. I

IX IL

a) b) Iz fazorskog dijagrama struja se vidi da imamo dva rešenja ( slika a i slika b ). Za oba rešenja je ukupna reaktivna vrednost struje IX jednaka:

I X  I 2  I R  10 2  6 2  8mA . 2

Prvo rešenje, prema slici a, iznosi: I L = IC  IX = 17 mA, a drugo rešenje, prema slici b, je: IL = IX + IC = 33 mA. 4.2.63. ----- Za kolo iz ovog zadatka odgovara fazorski dijagram napona i struja, dat na slici, gde je za napon U uzeto da je početni ugao jednak nuli ( nalazi se u faznoj osi ). M UR2 I2

1

UC

UMN

2

U



f.o.

UL I

UR1

I2

N I1

a) Impedansa grane sa kalemom je: Z1 = U/I1 = 5 ,

R1  arccos 0,6  53,13o . Z1 Primenom kosinusne teoreme ( I22 = I12 + I2  2I1I cos ( 1   ) moţe se izračunati fazni pomak izmeĎu struja I1 i ukupne struje I. On je jednak: pa je fazni pomak izmeĎu napona U i struje I1 jednak: 1  arccos





2

I1  I 2  I 2 20 2  10 5  10 2 800 2 2 5      1    26,57 o . 2I 1 I 5 2  20 10 5 400 5 5  = 1  26,57 = 53,13  26,57 = 26,56. Identično tome ( I12 = I2 + I22  2II2 cos ( 2 +  ), odredimo ugao 2 + , gde je: 2 2 I 2  I 2  I1 500  100  400 200 1 5 cos 2          2    63,43o . 2II 2 5 2 10 5 10 200 5 5 cos1   

2

2

2 = 63,43   = 63,43  26,56 = 36,87 ( kapacitivno ). Iz trougla napona sledi: cos 1 = UR1/U  UR1 = Ucos 1 = 1000,6 = 60 V, Odnosno sin 1 = UL/U  UL = Usin 1 = 1000,8 = 80 V. Na isti način iz drugog trougla napona ( druga grana ) odredimo napone U R2 i UC, gde je: UR2 = Ucos 2 = 1000,8 = 80 V, UC = Usin 2 = 1000,6 = 60 V. Napon izmeĎu tačaka M i N moţemo odrediti iz trougla napona U R2, UMN i UR1, koristeći kosinusnu teoremu. 2 2 2 U MN  U R1  U R 2  2U R1 U R 2 cos1   2   60 2  80 2  2  60  80  cos53,13  36,87  3600  6400  U MN  100V .


200 b) R2 = UR2/I2 = (0/10 = 8 ; XC = UC/I2 = 60/10 = 6 ; XL = UL/I1 = 80/20 = 4 .

c) Z = U/I = 100/10 5 =2 5 . Iz trougla otpora odredimo aktivnu i reaktivnu otpornost celog kola, koja iznosi: R = Z cos  = 2 5 cos 26,56 = 4 ; X = Zsin  = 2 5 sin 26,56 = 2 . 4.2.64. -----

Struja prijemnika ( K isključeno ) iznosi: IZ = U/Z . Iz uslova zadatka ( I u fazi sa U ), fazorski dijagram struja čine jedan pravougli trougao u kojem je ( sin Z = IC/IZ ): IC = IZsin Z  U U L L L 50 10 3    C  C 2   125 10  6 F  125F. 1 Z Z Z Z 20 2 C

I Z

U IC

IZ

Kako je  = 0  cos = 1 ( cos 0 = 1 ). 4.2.65. -----

Fazni pomak izmeĎu napona i struje iznosi:  = U  I =  30  30 =  60 ( kapac ). Iz fazorskog dijagrama ( trougla struja ), sledi: I = IR + IC. Kako je ovo pravougli trougao, struja kroz kalem iznosi:

I I

U

IC 

f.o.

IR = I cos  =

IR

6 2

 cos 60 o 

3



2

a kroz kondenyator: I C  I sin  

U

3 2 A, 2 6

sin 60 o 

2

6 2



3 3 6 A.  2 2

120 U 120  2 2    40, IR 3 2 3 2 2 2 120 U 120  2 80 80 40 40 3 2 .       a kapacitivna otpornost: X C  IC 3 6 3 6  2 3 12 2 3 3 2

Termogena otpornost je: R 

Kapacitet kondenzatora iznosi: C 

1  X C

1 4000

40



3  0,108310  4  10,83 10  6 F  10,83F. 16 10 4

3 4.2.66. ----IC

I IX  L

IA U IL

f.o.

L = arc cos 0,8 = 36,87. Struja kroz kalem je: IL = U/ZL = 150/20 = 7,5 mA, a kroz kondenzator . IC = U/XC = 150/12 = 12,5 mA. Kompleksni izraz ovih struja je: IL = 7,5ej36,87 = 7,5cos (36,87) + jsin (36,87 ) = ( 6  j4,5 )mA; IC = 12,5ej90 = 12,5( cos 90 + j sin 90 ) = j12,5 mA. Ukupna struja u kolu je: I = IL + IC = 6  j4,5 + j12,5 = 6 + j8  I = 10 mA. Iz trougla struja ( I = IA + jIX ) odredimo ugao , koji predstavlja fazni pomak izmeĎu napona U i struje I: I 8   arctg X  arctg  53,13o ( kapacitivno ). IA 6


201 4.2.67. ----- Z = 10010 ;

4.2.68. ----- Paralelna veza R i C ( Z1 =  j XC, Z2 = R );

4.2.69. ----- Kako prvi ampermetar pokazuje struju jednaku nuli, sledi: I1 = I2, odnosno Uad = Ubc = I1Z2. U bc I Z Struja koju pokazuje drugi ampermetar iznosi: I 3   1 2 , jL 3 jL 3 gde je:  1  1   50  j Z 2   R 2  j  50  j31,4 ,  C 2  50 101,5 10  6 2   Z1  R 1  jL 1   50  j2  50  0,1  50  j31,4  Struje I1 i I3 su jednake: U 100 I1    1A, Z1  Z 2 50  j31,4  50  j31,4

I3 

50  j31,41 j2  50  0,2

  0,5  j0,8A.

Drugi ampermetar pokazuje struju koja je jednaka: I 3 

 0,52   0,82

 0,943A.

4.2.70. ----- a) Ukupna impedansa kola iznosi:

1   R R 2  j  j 2 R2  C  C  R  jL  j Z  R 1  jL   R 1  jL   1 1 R 2 C  j1 R 2 C  j1 R2  j C C 2 R R C  j1 R C R2 Z  R 1  jL  j 2 2 2 2 2  R 1  jL  j 2 2 2 2   2 2 2 R 2  C 1 R 2  C 1 R 2  C 1 2     R2   j L  R 2 C . Z  R1  2 2  R 2  2 C 2  1   R 2  2 C 2  1  

Kako je u uslovu zadatka napon u fazi sa strujom, sledi da je impedansa kola jednaka samo realnom delu ( imaginarni deo impedanse jednak je nuli ). To će se ostvariti kada je: R 2 C 2

L 

R 2 2 C 2 1 2

2

L

R2 C R 2 2 C 2  1

R2 C R CL 2  R 2 2 C 2  2  L L 2

 R 2 2 C 2 1  2

2

R2 CL 9000  30010 6  666,67  5,385  1 6 2  250 10  6  300 10  6   666 , 67 R 2C L 6  250 10  6 300 10  6 300 10  6  3590   3590 rad  f    571,68Hz . s 2 6,28 b) Ukupna impedansa, pri navedenom uslovu, jednaka je: R2 6 6 6 Z  R1   5 2  5  5  5,2. 2 2 2 2 2 12 28,999  1 29,999 6  3590  250 10  1 R 2  C 1 

1

2

 

Struja I u kolu je: U 50 I   9,615A. Z 5,2


202 4.2.71. ----- a) Iz uslova zadatka se vidi da je ukupna struja u faznoj osi ( kasni za naponom za /4 ). Kako se struje u kalemu i kondenzatoru meĎusobno oduzimaju ( vektorski sabiraju ), gde je I L = 3IC, ova njihova rezultanta mora biti po intezitetu jednaka sa strujom otpornika R1 IR1 kako bi ukupna struja načinila jednakokraki pravougli trougao ( IR1 je normalno na IX, a I = IR1 + IX, gde je IX = IL  IC ). Početni uglovi za struje u kolu su: - za IR1: /4 8 u fazi sa U ); - za IL:  /4 ( kasni za U za /2 ); - za IC: 3/4 ( prednjači U za /2 ); - za I: 0 ( kasni za U za /4 ) Efektivne vrednosti navedenih struja su: IR1 = U/R1 = 100/20 = 5 A, IX  IR1 i IX = IR1 = 5 A ( kako bi struja I bila u faznoj osi ), I=IR1 2  5 2 A , IL IC = IX = 5 A  3IC  IC = 5  IC = 2,5 A, IL = 7,5 A. Ukupna struja I u kompleksnom obliku jednaka je: I = IR1 + IL + IC = 5 A. U IR1 /4

IC

I

f.o.

IX IC IL b)

X L  L 

U U 100 L   0,013333H  13,333mH; IL I L 1000 7,5

I I 1 U 2,5   C  C  C  C   25 10 6 F  25F. C I C U U 1000100 c) Zatvaranjem prekidača P smanjuje se termogena otpornost R ( povećava aktivna provodnost G ). Dakle, sada otpori R1 i R2 čine rezultantni otpor R ( R = R1R2/(R1+R2 ) kroz koji će proteći veća struja IR. Ova nova struja IR, koja je u fazi sa naponom U, pomera rezultantnu struju iznad fazne ose ( videti fazorski dijagram ). To znači da fazni pomak izmeĎu struje I i napona U nije više /4, nego je on sada manji od ove vrednosti. Zaključak je, uključenjem prekidača P doći će do smanjenja faznog ugla . XC 

4.2.72. ----- b) 2 = 30, c) I = 2,328 A;

4.2.73. ----- i = 20 sin ( 314t  45 );

4.2.74. ----- I1 = 10 A, I2 = 7,07 A, I3 = 7,07 A; 4.2.76. ----IC I



IC

U

f.o.

U IC



1 C

C

IC U



Pre uključivanja prekidača struja kola I fazno kasni za naponom za ugao . Nakon uključenja prekidača struja I će biti u fazi sa naponom U kada se struja kondenzatora IC poništi ( izjednači ) sa reaktivnom komponentom struje I ( IX = Isin). Dakle, I = I + IC = Icos (30) + jsin (30) +j IC 

3 1  j ) +jIC = 12 3  j12 +jIC  2 2 IC = 12 A, jer I ima samo realnu vrednost (  = 0 ).

I = 24(

I XC 

4.2.75. ----- X4 = 20 ;

12 2  50  380

 100,57  10  6 F  100,57F.


203

4.2.77. ----- Prema drugom Kirhofovom zakonu je: U + U5  UC = 0  U = UC  U5 ( gde je plus pol za UC u tački A ) . U praksi je plus pol i za napon U5 sa leve strane, jer se napon kalema suprostavlja naponu izvora, pa će mo u zadatku umesto napona U5 računati sa naponom U5. Da bi zadatak lakše rešili predhodno se nacrta fazorski dijagram. Iz datih podataka se vidi da ukupna struja fazno kasni za naponom U5 za /2 ( to su podaci vezani za savršeni kalem induktivne otpornosti X L1 ). Ako ovu ukupnu struju I postavimo u faznu osu tada će napon U5 imati početni ugao /2 ( napon U5 /2 ). Početni ugao za napon U4 je /6 ( napon U4 prednjači naponu U5 za 2/3 ). Struja I1 koja prolazi kroz kalem induktivne otpornosti XL2 kasni za naponom U4 za /2, te ona ima početni ugao od /3. Grana RXL2 ima dva pada napona ( UR i U4 ) čiji je vektorski ( kompleksni ) zbir jednak naponu na paralelnoj vezi U AB. Obaj napon na paralelnoj vezi je ujedno I napon na kondenzatoru, pa sledi: UC = UAB = UR + U4 ( tačka A na većem potencijalu od tačke B) Kako je UR u fazi sa I1 a U4 fazno prednjači za /2, napon UAB ima početni ugao AB koji ujedno predstavlja fazni pomak izmeĎu struje I i napona U AB. Ugao AB moţe da bude i pozitivan i negativan, jer se u paralelnom delu kola nalaze svi pasivni elementi ( R;L i C ). Pretpostavimo da je ugao AB negativan ( I prednjači naponu UAB), pa će u tom slučaju napon UAB imati početni ugao koji iznosi:  /3  AB  0. Struja I2 ( struja kondenzatora ) će fazno prednjačiti u odnosu na napon U C za /2, pa će i početni ugao za struju I2 biti jednak: AB + /2. Koristeći navedene činjenice nastaje fazorski dijagram napona i struja, prikazan na slici: c) Sledeći vektori su meĎusobno normalni: U5  I; U4  I1; UAB  I2. I2 U5

U4 /6 AB

U I

U5

f.o.

/3

U5

UAB

I1

U4

UR a) Impedansa i napon izmeĎu tačaka A i B za dato kolo je:

Z AB 

3



3  ja   j2a 

3 3  ja  j2a







2a 2  j6 3a 3 3  ja

U AB  Z1  I1  3 3  ja  I1 Kompleksni izraz za struju I1 je:

I1 = I1ej/3.


204

Ukupna struja u kolu jednaka je: U 3 3  ja  I 1 3 3  ja  3 3  ja 27  a 2  2a 2  j6 3a I  AB   I1  I1  Z AB 4a 4  36  3a 2 2a 2  j6 3a 2a 2  j6 3a









3 3  ja I

54a 2  j162 3a  2a 4  j6 3a 3



4a  a  27 2

2







 

 





 2a 2 a 2  27 a 2  27 I1   2 2  j6 3a 2 2 4a  a  27  4a  a  27



  I 1  



1 1 3 3      3 3   1 3  3 3 3 9      1 I  j  I 1 cos    j sin       j  j  I1    j j  I1  2       2a    3  2a   2 2  4 4a 4a   3   2  4 3 3 3  1 9  I    I 1  j  I    4 4a   4a  Kako je početni ugao za struju I jednak nuli, sledi da ona ima samo realnu vrednost. Dakle, imaginarna vrednost struje I je jednaka nuli, a to će se dogoditi kada je ispunjen sledeći uslov:

3 3 3   0 / 4a  3 3  3a  a  3. 4a 4 Konstanta a ima vrednost od 3  ( a = 3  ). b) Ako umesto konstante a uvrstimo 3 , dobije se ukupna impedansa celog kola, koja iznosi:

Z  j3  Z  j3 

2  3 2  j6 3  3 3 3  j3

 j3 

18  j18 3 3 3  j3

 j3 

18  j18 3  3

  j3  54

3  j3

32  3  32

3  j54  j54  3  54 3  36

108 3  j54  162  j3  3 3  j3  3 3. 36

Kako ukupna impedansa ima samo realnu vrednost ( Z = 3 3  ), sledi da je ukupni napon U u fazi sa strujom. Fazni ugao  = 0 . 4.2.78. ----- I = 1,23 e j 7421 A, I1 = 1,71 e j 454 A, I2 = 1,72 e j14246 A, UAB = U1 = U2 = ( 30 + j 45,6 ) V = 54,77 e j 5622 V, U3 = ( 189,6  j 45,6 ) V; 4.2.79. ----- R2 = 0,93  ,  = 25,84 ( kap. ); 4.2.80. ----- a) I = ( 0,6  j 1,2 ) A, IR =  j 1,2 A, IC = 0,6 A, UBC =  j 120 V, b)  = 63,43 ( ind. ); 4.2.81. ----- a) UBC = ( 6 + j 8 ) V, UAB = ( 10  j 2 ) V, U = ( 16 + j 6 ) V, UDE = ( 6  j 8 ) V, b) I2 = j 2 A, I = ( 2 + j 2 ) A, 4.2.82. ----- a) Impedansa trećeg prijemnika je: Z 3  R 3  X 3  2 k, 2

2

pa je efektivna vrednost napona izmeĎu tačaka 2 i 3 jednaka: U23 = I3Z3 = 5 2 V . Aktivna i reaktivna provodnost trećeg prijemnika ( konduktansa i susceptansa ) je: G3 = R3/Z32 = 0,5 mS i B3 = X3/Z32 = 0,5 mS. Aktivna i reaktivna provodnost paralelne veze iznosi: G23 = G2 + G3 = 0,6 mS I B23 = B2 + B3 = 0,2 mS. Admitansa paralelno vezanih grana je: Y23  G 23  B 23  0,2 10mS. Efektivna vrednost struje prvog i četvrtog prijemnika ( ukupne struje ) je: 2

2

I = I12 = I34 = U23/Z23 = U23Y23 = 2 5 mA. Aktivnu i reaktivnu otpornost moţemo izračunati iz izraza: R R 2 2 G 1  2 1 2  R 1  X1  1 , G1 R 1  X1

B1 

X1 R 1  X1 2

 R 1  X1  2

2

2

X1 B1


205

R 1 X1 B   X1  1 R 1  G 1 B1 G1 R1  2

B1

2

G1

2

R1  2

 B2 R1  R 1 1  1 2  G G1 1 

2 2  1 G B G1 1 0,2   1 2 1 R1   R1    4k 2 2 2  G1 G 0,2  0,12 10 3 G1 G 1  B1 1 





B1 B R 1  2 1 2  2k. G1 G 1  B1 Aktivna I reaktivna otpornost celog kola je: R = R1 + R23 + R4 = 11,5 k i X = X1 + X23 + X4 =  1,5 k. Impedansa kola je: X2 

Z  R 2  X 2  11,6k. Efektivna vrednost ukupnog napona ( napon izmeĎu tačaka 1 i 4 ) je: U = IZ = 52 V.

b) Fazna razlika izmeĎu napona U i struje I je: X   arctg  7 o 26'. R 4.2.83. ----- Napon izmeĎu tačaka 2 i 3 ( na paralelnoj vezi ) je: U 23  I 2 Z 2  50 10 3  400 2  4002  20 2 V .

Struja kondenzatora čija je otporanost X1 iznosi: I 1 

U 23 20 2   50 2 mA. X1 400

Ako je početni ugao za napon U23 23 = 0  U23 = 20 2  e j0 V  ; I1 = 50 2 ej90 mA ; I2 = I2ej23 mA. o 400  23  arctg  45o  I 2  50  e  j45 mA. 400 Ukupna struja kola je: I  I 1  I 2  50 2  cos 90 o  j sin 90 o  50  cos  45 o  j sin  45 o  j50 2  25 2  j25 2  25 2  j25 2







 









I  25 2  j25 2 mA  I  50mA

Kapacitivni otpor kondenzatora C iznosi: X C 

U12 10   200. I 50 10 3

 

1 1   10 4 rad . s X C  C 200  0,5 10 6 Induktivni otpor kalema je: XL = L = 300 . Kompleksni izrazi za napone na L i C iznose: Kruţna učestanost je:  

  25

 2 10



 2 V.

U12 = UC = I(jXC) = 25 2  j25 2 10 3   j200  5 2  j5 2 V  i 3



U 34  U L  I  jX L 2  j25  j300  7,5 2  j7,5 Ukupni napon kola ( napon izmeĎu tačaka 1 i 4 ) jednak je zbiru svih padova napona, pa je:





U  U 14  U 12  U 23  U 34  5 2  j5 2  20 2  7,5 2  j7,5 2  17,5 2  j2,5 2 V.

Efektivna vrednost ukupnog napona je: U 

17,5 2   2,5 2  2

2

 25V.

4.2.84. ----- I1 =  3,78 A;


206 4.2.85. ----- Rešenje zadatka leţi u analizi fazorskog dijagrama, koji je prikazan na slici: 3 

U13  3

U13

U32 U34

1 UL = U14

U34  4

U32 U



UL = U14

2

f.o.

Pošto su oba kalema u rednoj vezi kroz njih protiče ista jačina struje, pa će na njima da bude isti napon U L koji iznosi: UL = U/2, jer je U = UL + UL = 2UL  U = 2UL. Kroz kranu 12 ( RC ) protiče struja I12 koja na otporniku R i kondenzatoru C stvara padove napona U R i UC. Ukupni napon je jednak: U = U13 + U32. Napon U13 je u fazi sa strujom I12, dok napon U32 kasni u odnosu na struju I12 za 90. Promenom kondenzatora C menja se impedansa grane 12 što menja i struju I12. To dovodi i do promene napona U13, odnosno U32. Ukupni napon je stalan i on je uvek jednak: U = U13 + U32. Za C = C tačka 3 će doći u poziciju 3, a za C = C tačka 3 dolazi u poziciju 3. Ova tačka 3 će u svim varijantama biti na krugu, jer je samo u tom slučaju U 13  U32. Napon U34 je jednak poluprečniku kruga, jer on spaja tačke 3 i 4. Kako je ovaj poluprečnik isti za sve vrednosti kondenzatora ( i za tačku 3 i za tačku 3, kao i za sve ostale ), očito je da je ovaj napon jednak: U34 = U/2 = UL. Dakle, efektivna vrednost napona U34 ne zavisi od kapacitivnosti kondenzatora, pa priraštaj efektivne vrednosti napona U34 iznosi: U34 = U34  U34 = 0  U34 = U34  U34 = 0. 4.2.86. ----- Kako je I = I1 + I2 kolo sadrţi dve paralelno vezane impedanse Z1 i Z2. Kroz impedansu Z1 protiče struja I1 koja stvara dva pada napona U1 I U2. Napon U1 je u fazi sa I1, što znači da se radi o otporniku R1, dok U2 kasni za I1 za 90, pa on vlada na savršenom kondenzatoru. Impedansa Z1 kompleksno jednaka je: Z1 = R1  jXC1 ( redna veza R1 i C1 ). Struja I2 prolazeći kroz impedansu Z2 stvara tri pada napona, i to: U3 koji je u fazi sa I2 ( otpor R2 ), U4 koji prednjači struji I2 za 90 ( kalem L ) i U5 koji kasni u odnosu na struju I2 za 90 ( kondenzator C2 ). Sledi, impedansa Z2 sadrţi rednu vezu R2 L i C2 . Njen kompleksni izraz je: Z2= R2 + j( XL  XC2 ). Električna šema za dato kolo prikazana je na slici: U5 I2 C2

 I o

+

I1

U4

U3

L

R2 U2

U1 R1

C1 U

o


207 4.2.87. ----- I1 = 5ej3652 = 5 cos (3652) + jsin (3652) = ( 4  j3 ) A. Z2 = R2 + jXL = ( 6 + j8 ) ; Z3 = R3  jXC = ( 4  j18 ) . 6  j8 4  j18  4  j3 24  j108  j32  144  62,6  j18,2V. UBC = IZ23 = 4  j3 6  j8  4  j18 10  j10

I2 

U AB

I3 

U AB

Z2 Z3



o 62,6  j18,2  6,1  2,3  j6,1A  I 2  6,52A,  2  arctg  69,34 o  I 2  6,52  e  j69,34 A, 6  j8 2,3



o 62,6  j18,2 3,1  1,7  j3,1A  I 3  3,54A,  2  arctg  61,26 o  I 3  3,54  e j61, 26 A, 4  j18 1,7

I3

f.o. I

I2

4.2.88. ----- Celo kolo se moţe predstaviti ekvivalentnim kolom prema slici: R

C Z1

+



Co

Z2

E

gde je Z2 = ZCD 

D

2R

C

R

Do

gde je:

Z1  R  j

1 C

1   R R  j  j  C R   C   jR  Z2   1 RC  j1 RC  j1 1  jRC  Rj C C (Otpornik 2R i redna veza R + R su paralelno vezani pa daju ukupni aktivni otpor izmeĎu tačaka CD R CD = R.) Napon izmeĎu tačaka A i B je: U U U AB  I AB R  CD  R  CD , 2R 2 Napon izmeĎu tačaka C i D je: E E ER R U CD  2U AB  I  Z 2   Z2     1 R 1 Z1  Z 2 1  jRC Rj  R  jR 2 C  j 1 R  R C 1  jRC C 6  1  j1  R

 1    2  3R  j R 2 C     6R  C  1  1     2  3R  j R 2 C  3 R  j  R C     C  C    1  1 1 1  2 j2 R 2 C    2  2 2    2f     0  R C  C  C RC R C  1 1 f   159,23 10 3 Hz   159,23kHz. 2RC 2 10 3 10 9 2U AB 

ER

 2  1  j1 


208

4.2.89. ---- 1  R  R 1    j j 1 C1  jR 1 R1  C1  Z1     ; 1 R 1 C1  j1 R 1 C1  j1 1  jR 1 C1 R1  j C1 C1

R2 1  jR 2 C 2 Kako su naponi: U = ( Z1 + Z2 )I; U2 = Z2 I, sledi: Z  Z 2 I U  1  5  Z 1  Z 2  5Z 2  Z 1  4 Z 2  U2 Z2 I

Z2 

R1 R2 4  R 1  jR 1 R 2 C 2  4R 2  j4R 1 R 2 C1 1  jR 1 C1 1  jR 2 C 2 Izjednačavajući realne delove kompleksne jednačine sa leve I desne strane jednačine sledi: R 1 = 4R2 Iz uslova zadatka R1 + R2 = 1 M  4R2 + R2 = 1 M  R2 = 200 k; R1 = 800 k. Na isti način se izjednače imaginarni delovi jednačine, pa je: R1R2 C2 = 4R1R2 C1  C2 = 4C1  C C 1  2  2,5pF. 4 4.2.90. ----U V

1



0,79

0

1000

U I

2  j4 5

2000

3000  s1

Za  = 0  XC =   Z = 2R  E = U + U  U = E/2 = 1 V. Za  =   XC = 0 ( kratka veza ) pa je i napon U = 0 V. Za  = 1000 s1  XC = 106/10001 = 103  = 1 K 2  (  j1)  j 22  j1 2  j4 Z  2  2  2  2,4  j 0,8 2 2 2  j1 5 2 1 2 2 Z  2,4  0,8  2,53K  I  E = 0,79 mA  Z

3 3 3 3  10  I  0,4  j 0,8  10  U  0,79  10  0,4 2  0,8 2  10  0,79 V.

4.2.91. ----- Kako su napon kalema UL i struja strujnog generatora Ig u fazi, sledi da će struja kalema I L fazno



zaostajati za strujom Ig za 90 ( jer toliko zaostaje za UL ), pa je:  I   I  g 2 L Ako struju strujnog generatora Ig postavimo u faznu osu, tada će ona u kompleksnom obliku imati samo realni deo. U tom slučaju struja IL u kompleksnom obliku ima imaginarni deo, i to negativno rešenje, jer kasni za I g za 90 .  jX1  R  jX 2 Ig   jX1  R  jX 2  jX1 U Dakle, Ig = 2103 A, a I L    Ig R  jX 2 R  jX 2 R  j X 2  X1  jX1 IL   2  10 3 . Da bi struja IL kompleksno bila šavršeno ( samo ) imaginarna, tada otpori X 1 i R  j X 2  X1 X2 moraju biti meĎusobno jednaki ( suprotnih predznaka ). To znači da je X 1 = X2 = 100 . U ovom slučaju struja IL iznosi:  j100  j0,2 IL   2  103    j0,001   j103 , što potvrĎuje tačnost rešenja. 200  j100  100 200 Rešenje zadatka je X1 = 100 . ( Kompleksno  j 100 ).














209

4.2.92. ----20 6  10

3

 100 3  6 V. 2 IR i UR ( odnosno UL, jer je UR = UL ) su u fazi, dok će IL da kasni za navedenim naponima za /2. Kako je IL = UL / L = 6 / 300 = 0,02 A = 20 mA, sledi izraz za trenutnu vrednost struje I L, koji glasi:

UR = UL = IRR =

iL = ILm cos ( t  /3  /2 ) = 20 2 cos ( t  /6 ) mA. Ako izraze za trenutne vrednosti struja IR i IL prenesemo na sinusnu funkciju, tada oni imaju sledeći oblik: iR = 20 6 sin ( t + 150 ), odnosno iL = 20 2 sin ( t + 60 ). U kompleksnom obliku ove struje su jednake: 20 6 j150 j150 IR  e  20 3  e  20 3  cos150  j sin 150  30  j10 3 2



I L  20  e

j 60



 3     10  j10 3 .  20  cos 60  j sin 60  20   0,5  j  2  





Ukupna struja, tj. struja idealnog strujnog generatora iznosi:

I g  I R  I L  30  j10 3  10  j10 3  20  j 20 3  I g  400  400  3  40 Početna faza ( početni ugao ) struje ig je: 20 3 tg g    3   g  60 . Kako je ovo ugao u drugom kvadrantu, tada je struje Ig u odnosu na  20 faznu osu pomerena za ugao Ig = 180  60 = 120, pa je izraz za trenutnu vrednost struje ig jednak: ig = 40 2 sin ( t + 120 ) mA.

Ig

IL

IR

120

60 f.o.

150

4.2.93. ----a)

B;4 

A U42

C U14 E = U12

2

U13 U32

U34

1

Fazori U32 i U13 su istog inteziteta, jer su oni jednaki: U32 = IRLR = U13 = IRLZL = E/2, i oni čine sa elektromotornom silom E jednakokraki pravougli trougao. Ako oko elektromotorne sile opišemo jedan krug, čiji je prečnik jednak intezitetu ems E, tada će pravci koje povučemo sa bilo koje tačke sa kruga na krajeve prečnika E zatvarati pravi ugao. Kako nije poznat kapacitet C, samim tim nepoznata je kapacitivna otpornost, pa se zbog toga fazori U14 i U42 ne mogu nacrtati ( ovi naponi nisu poznati ). Jedino se zna ta tačka 4 mora biti na površini opisanog kruga ( u tačkama A, B, C ... itd. ).

3 b) Tačka 4, koja se nalazi na površini opisanog kruga, nalazi se u tački B, jer će samo u tom slučaju rastojanje izmeĎu tačaka 3 i 4 biti najveće, i ono će biti jednako prečniku kruga. Usled toga sledi da je: U24 = U14 = IRCR = IRCXC  XC = R = 200 . c) Kako je U34 prečnik kruga, sledi da je: U34 = E = 100 V. d) Fazna razlika izmeĎu U34 i U12 iznosi  /2, što se vidi sa fazorskog dijagrama.


210

4.2.94. ---UL IL IL

IS

f.o.

Struja IL fazno kasni za naponom UL ( odnosno strujom IS ), što znači da će ova struja predstavljena kompleksno imati samo imaginarnu komponentu ( početni ugao IL = /2 ). jX 1  R 2  jX 2   IS jX 1  R 2  jX 2 jX 1 U IL     IS R 2  jX 2 R 2  jX 2 R 2  jX 1  jX 2

Da bi struja IL imala samo imaginarnu vrednost mora biti ispunjen uslov: X1 + X2 = 0  X1 =  X2 = 100 .  j100 IL   2   j1mA  IL = 1 mA. 200  j100  j100


211 5.1. ----- Kolo se sastoji od paralelne veze G i BL gde je: G = 0,2 S, BL = 0,1 S. Čitaocu nije problem da tu vezu i nacrta. Admitanse paralelne veze kompleksno moţemo napisati: Y1 = G = 0,2 S i Y2 = jBL = j1 S. Kako su impedanse paralelne veze: Z1 = R = 1/Y1 = 1/G i Z2 = jXL = 1/Y2 = 1/BL  R = 1/0,2 = 5  I XL = 1/0,1 = 10  . Ovu paralelnu vezu moţemo pretvoriti u rednu. Ukupna impedansa kola je ujedno i impedansa transformisane redne veze koja iznosi: Z Z 0,2  j0,1 1 1 Ze  1 2     4  j2  R '  4  X L '  2. Z1  Z 2 Y 0,2  j0,1 0,2 2  0,12 Pretvaranjem paralelne veze RL ( R = 5  i XL = 10  ) u rednu RL vezu dobije se: R = 4  i XL = 2 . 5.2. ----- R1 = 5 , C1 = 31,8 nF; 5.3. ----- Z = R + jXL = ( 6 + j8 )   Y = 1/Z = ( 0,06 – j 0,08 ) S  G = 0,06 S, BL = 0,08 S, R = 1/G = 1/0,06 = 16,7 , XL = 1/BL = 1/0,08 = 12,5 ; 5.4. ----- a) R = Z cos  = 6 , XL = Z sin  = 29,39   Y = 1/Z  R 6 G 2   0,00667S  R '  1 / G  150 900 Z X 29,39 B L  2L   0,0327S  X L '  1 / B L  30,62. 900 Z b) Ako impedanse Z1 = R = 6  i Z2 = jXL = j29,39 veţemo paralelno dobiju se admitanse koje iznose: Y1 = 1/Z1 = 1/6 = 0,167 S i Y2 = 1/Z2 =  j0,034 S. Ukupna admitansa je: Yp = Y1 + Y2 = ( 0,167  j0,034 ) S  Gp = 0,167 S, BLp = 0,034 S. Za cos  = 0,8  tg  = 0,75 (  = 36,87 ) Kako je tg () = B/G  B = G tg ( )  Bp = Gptg () =0,167 ( 0,75 ) =  0,125 S  Bp = Bx + BLp Kako jeBp BLp a oba su negativna, tj induktivna, pa sledi da se induktivna provodnost treba povećati. To će se postići samo dodavanjem jednog kalema paralelno celoj vezi čija je admitansa jednaka: BxL = 0,125  0,034 =0,091 S. Induktivni otpor dodate admitanse je: XL = 1/BxL = 10,99 . Navedeni uslov ( cos  = 0,8 ) se moţe ostvariti i dodavanjem kondenzatora. U ovom slučaju kondenzator se veţe redno sa postojećim kalemom. Ukupni reaktivni otpor treba da je isti, a on iznosi: X = 1/Bp = 1/0,125 = 8 . Kako je XL = 29,39   XL  XC = 8  XC = XL  8 = 21,39 . Čitaocu se preporučuje da proveri tačnost ovog rešenja. 5.5. ----- Rp = 0,357 M, Cp = 197 pF; 5.6. ----- a)

12,3 10 3 I Y  U

2 123

 e j60

 e j0

1 3  mS   0,1 10 3  e j60  0,1 10 3 cos 60 o  j sin 60 o  0,1  j 2 2  





2 G

0,1 0,1 mS; B C  0,1 3 10 3 S  0,1 3 S. 10 3 S  2 2 2 2 G (R)

BC (XC)

R = 1/G = 1/0,05103 = 103/0,05 =20103  = 20 k; XC = 1/BC = 1/0,0866103 = 11,547103  = 11,547 k. 1 1 C   17,32 10 9 F  17,32nF. X C 500011,547 103


212

b)

123 j0 e U 2 Z   10 4  e  j60   10 4  cos 60  j sin  60  5  j5 3 k  5  5 3 10 3   I 12,3 3 j60 10  e 2 1 1 R  5k; X C  5 3 k  C    23,09 10 9 F  23,09nF. 3 3 X C 5 10  5 3 10 Čitaocu nije problem da nacrta rednu vezu RC.









c) Da bi struja pod tačkom b bila u fazi sa naponom rednoj vezi RC treba dodati na red kalem čija je otpornost jednaka otpornosti kondenzatora ( XL = XC  Z = R ). Dakle, XL = 5 3 k  L = XL/ = 5 3 103/5103 =

3 H.

d) Da bi struja bila u fazi sa naponom kod paralelne veze RC ( pod tačkom a ), tada se na tu vezu mora dodati paralelno jedan kalem kroz koji će proticati ista struja kao i kroz kondenzator. U tom slučaju je ukupna struja jednaka struji kroz aktivni otpor ( I = IR + IC + IL = IR ). X 11,547 103 IC = IL  XC = XL = 11,547103   L  L   2,3094H.  5 103 Čitaocu nije problem da nacrta ovu vezu, kao i da proveri tačnost rešenja zadatka. 5.7. ----- a) IR = 3 A, IL = 4 A, I = 5 A, b) Z = ( 7,2 + j 9,6 ) , R = 7,2 , XL = 9,6 ; 5.8. ----- impedanse u trouglu su jednake: Z12 = j 100 , Z23 =  j 83,3 , Z31 = j 83,3 , Pretvaranjem trougla impedansi u zvezdu, sledi: Z12  Z 31 j100   j83,3 8330 125,1 125,1 Z1     j125,1  jL 1  L 1    0,025H   25mH, Z12  Z 23  Z 31 j100  j83,3  j83,3  j66,6  5000

Z2 

Z12  Z 23 Z12  Z 23  Z 31



j100   j83,3 125,1  j125,1  jL 2  L 2   25mH,  j66,6 

Z 23  Z 31  j83,3  j83,3   j104,2   j 1  C  1  1,919 10 6 F  1,919F.  Z12  Z 23  Z 31  j66,6 C  104,2 Crtanje veze za impedanse Z1, Z2 i Z3 je prepušteno čitaocu.

Z3 

5.9. ----- Zy = ( 5  j 5 ) ; 5.10. -----

Z12

Z24

2 

Z2

Z2 1

Z1

 0 Z3  3

Z31

 4

Z23



 1

Z1

Z24

0

 Z3

Z43

 2

 3

4

Z43

Pretvarajući impedanse Z12, Z23 i Z31, koje su vezane u trougao u mpedanse Z1, Z2 i Z3 sa vezom u zvezdu, sledi: Z12  Z 31 5  j3 3  j2  5  j3 3  j2  1,503  j0,856; Z1   Z12  Z 23  Z 31 5  j3  2  j2  3  j2 10  j7

Z2  Z3 

Z12  Z 23 Z12  Z 23  Z 31 Z 23  Z 31 Z12  Z 23  Z 31



5  j3 2  j2  1,02  j0,885;



2  j2 3  j2  0,606  j0,58.

10  j7

10  j7


213

Ukupna impedansa kola je: Z  Z 24  Z 3  Z 43  11,02  j6,885 6,606  j4,58  Z  Z1  Z 04  Z1  2  1,503  j0,865  Z 2  Z 24  Z 3  Z 43 17,626  j11,465

Z  5,636  j3,611  Z  6,694    arctg

o 3,611  32,65o  Z  6,694  e j32,65 . 5,636

5.11. ----- a) ZAB = ( 2,7 + j 4,82 ) , ZCD = ( 5 + j 9 ) ;

5.12. ----- a) L3 = 0,2 mH, b) I5 = 5,782 A;

5.13. ----- Vitstonov most će biti u ravnoteţi kada su tačke C i D na istom potencijalu ( U CD = 0  I5 = 0 ). Kako je prema drugom Kirhofovom zakonu: UCD + I1Z1  I2Z2 = 0  0 + I1Z1  I2Z2 = 0  I1Z1 = I2Z2. Na isti način se dobije da je: I3Z3 = I4Z4. Prema tome, most će biti u ravnoteţi kada je: I1Z1 = I2Z2 i I3Z3 = I4Z4. Istovremeno su i struje: I1 = I3, odnosno I2 = I4, jer je struja I5 = 0. Deobom navedenih jednačina dobije se opšti uslov ravnoteţe Vitstonovog mosta: I 1 Z1 I 2 Z 2 Z Z   1  2  Z1  Z 4  Z 2  Z 3 I 3 Z3 I 4 Z 4 Z3 Z 4

Z1 Z 2   Z1  Z 4  Z 2  Z 3 Z3 Z 4

….. uslov ravnoteţe mosta.

Iz uslova ravnoteţe mosta sledi: Z 25 Z1  2 Z 3   j0,25. Z4  j40 5.14. ----- a) R4 = 10 , L4 = 1 H, b) I = ( 1,66  j 0,265 ) A; 5.15. ----- Iz uslova ravnoteţe: Z1Z4 = Z2Z3  R1 R4 + j( L  1/C ) = R2R3  R1R4 + jR4( L  1/C ) = R2R3, dobiju se dve jednačine: R1R4 = R2R3 ...... ( 1 ) i L = 1/C ...... ( 2 ) Ove dve jednačine ( nastale zbog izjednačavanja realnih delova kao i imaginarnih kompleksne jednačine) čine uslov ravnoteţe Vitstonovog mosta za naizmeničnu struju: Iz prve jednačine je: R4 = R2R3/R1 = 15010/30 = 5 , a iz druge: 1 1 1 1 2   22 2f 2  f     50,35510 3 Hz   50,355kHz. LC 2 LC 2 0,025 400 10 12 2 10 10  6 5.16. ----- a) Z1 = R1 = 2R2 ; Z2 = R2 ; R3 = R4 = R; C3 = C4 = C; Z 3  R 3  j

 1 R 4    j  C 4 Z4  1 R4  j C 4

  

1 1 R j ; C 3 C

R R C   jR  .  RC  j1 RC  j1 1  jRC C j

R 1  1     R 2 R  j   2R   R  j   1  jRC   1  jRC C  C    1 1 1 1 2R  R  j  jR 2 C  R  j  jR 2 C   2  2 2     2f  C C RC R C 1 1 f   497,6Hz . 2RC 6,28  80  4 10  6 Z 1  Z 4  Z 2  Z 3  2R 2 


214

b)

U 240   1A. R 1  R 2 160  80 Zbog ravnoteţe mosta, mora biti zadovoljen uslov: Z1I1 = Z3I3 , pa je: Z 160 160 160 I 3  I 4  1 I1  1    1  j1A. 1 1 Z3 80  j80 80  j 80  j C 6,28  497,6  4 10 6 Ukupna struja kola je: I = I1 + I3 = 1 + 1 + j1 = ( 2 + j1 ) . I1  I 2 

c) Kako je, pri datim podacima ( R1 = 2R2; R3 = R4 = R; C3 = C4 = C ), uslov ravnoteţe: 1 ( samo jedna jednačina )  RC most se dovodi u ravnoteţu promenom otpora R ili promenom kondenzatora C. Pošto je R3 = R4 = R, treba istovremeno menjati oba otpora kako bi njihovi otpori u svakom trenutku bili jednaki. Isti je slučaj ako se most dovodi u ravnoteţu promenom kondenzatora C ( C3 i C4 se istovremeno menjaju ). Kako je to ostvareno kod otpornika vidi se iz same slike. Na sličan način se to radi i sa promenom kapaciteta kondenzatora. R3

R4 5.17. ----- Z1 = ( 1,7  j 2,7 ) , R1 = 1,7 , C1 = 1,175 mF, I = ( 27  j 8 ) A, I = 28,3 A; 5.18. ----- a) Iz uslova ravnoteţe mosta sledi: Z Z 40  40 Z4  2 3   2,462  j19,692. Z1 10  j80 Kako je pri ravnoteţi mosta struja u impedansi Z5 jednaka nuli, tada se impedansa Z5 moţe isključiti iz kola ( beskonačan otpor ) ili umesto nje uspostavimo kratku vezu ( otpor jednak nuli ). Uzima se ona varijanta koja jednostavnije rešava zadatak. Ako Z5 isključimo iz kola, ukupna impedansa kola je:

Ze 

Z1  Z 2  Z 3  Z 4  Z1  Z 2  Z 3  Z 4

Z

10  j80  40 40  2,462  j19,692  50  j60  3698,46  j2412,36  50  j60  50  j80  42,462  j19,692

Z e  90  j60. a) Struje u kolu iznose: E 154 I   1,185  j0,79A; Z e 90  j60

92,462  j60,308

I1  I 2 

U E  I  Z 154  1,185  j0,79  50  j60 47,385  j31, ,59      0,018  j0,603A; Z1  Z 2 Z1  Z 2 10  j80  40 50  j80

I3  I4 

U 47,385  j31,59   1,202  j0,186A; Z 3  Z 4 40  2,462  j19,692

I 5  0A. c) Fazorski dijagram napona i struja se ostavlja čitaocu da sam nacrta, čime će proveriti tačnost rešenja zadatka ( Preporučuje se razmera: 1 cm = 5 A = 10 V ).


215

6.1. ----- P = 41,6 W, Q = 515 VAR, S = 520 VA; 6.2. -----  = U  I = 60  0 = 60; cos = R/Z  Z = R/cos = 40 3 /0,5 = 80 3  ; 2

 2,5 3    40 3  6,25  3  40 3  250 3 W; I = U/Z = 200/80 3 = 2,5 3 /3 A; P = I R =   3  9 3   2

S = UI = 2002,5 3 /3 =

500 3 VA; 3 2

2

 500 3   250 3      Q  S P    3   3      2

2

Q  L  I 2  L 

Q  I 2

250  2,5 3   1000   3   

2



250000 3  62500 3  9

562500  250VAr . 9

250 250  3   0,12H  120mH. 6,25  3 6250 1000 9

6.3. ----- P = 500 W, cos  = 0,384; 6.4. ----- I = 10 A, R = 4 ; 6.5. ----- C = 125 F, I = 4 A, P = 480 W, Q = 640 VAR, S = 800 VA, cos  = 0,6; 6.6. ----- P = 1 500 W, Q = 2 000 VAR, S = 2 5000 VA; 6.7. ----- I = 10 A, P = 0 W, Q = 5 200 VAR, S = 5 200 VA, cos  = 0; 6.8. ----- P = 0 W, Q = 8 000 VAR, S = 8 000 VA;

6.9. ----- P = 2 000 W, cos  = 2/2;

6.10. ----- P = 0 W, Q = 2 200 2 VAR, S = 2 200 2 VA; 6.11. ----- P = 250 W, Q = 250 3 VAR, S = 500 VA; 6.12. -----  

PK UI cos  UI cos  220 10  0,9   PU    2475W. PU PU  0,8

6.13. ----- I = 2 A; 6.14. ----- P = 2 000 W, Q = 1 500 VAR, S = 2 500 VA, R = 4 , XC = 5 ;

6.15. ----- U = 62,5 V;

6.16. ----Q Q  t WL 84500 tg      0,9826    44,5 o  cos   0,713; P P  t WJ 86000

W WL 84500 86000   301,786KVAr ; P  J   307,143KW ; t 280 t 280 Q' cos '  0,9  '  25,84  tg'  0,484  tg'   Q'  Ptg'  307,143 0,484  148,756KVAr . P Q

Da bi se kompenzirala reaktivna snaga od 301,786 KVAr ( kalem ), ovom kolu se dodaje kondenzator na kojem će se javiti ukupna reaktivna snaga od: QC = Q  Q = 301,786  148,756 = 153,03 KVAr. Kompenzirana reaktivna energija ( oduzeta kondenzatorom ) iznosi: WC = QCt = 153,03280 = 42848,4 KVArh.


216 6.17. ----- Aktivna snaga drugog motora je: P2 = P  P1 = 1,8  0,98 = 0,82 kW. Ukupna reaktivna snaga se dobije iz izraza: tg  = Q/P  Q = Ptg .  = arc cos 0,8 = 36,87  Q = 1,8tg 36,87 = 1,35 kVAr. Kako je faktor snage prvog motora cos1 = 0,74  1 = 42,27  tg 1 = 0,909 , pa je reaktivna snaga prvog motora: Q1 = P1tg1 = 0,980,909 = 0,891 kVAr. Reaktivna snaga drugog motora je: Q2 = Q  Q1 = 1,35  0,891 = 0,459 kVAr. tg 2 = Q2/P2 = 0,459/0,82 = 0,56  2 = 29,24  cos 2 = 0,873. 6.18. ----- S = UI = 9 VA, Q = S/2 = 4,5VAr, P  S 2  Q 2  81  20,25  7,79W . P = RI2  Aktivni otpornik je :R = P/I2 = 7,79/0,052 = 3 117,7 , Kapacitivni otpor kondenzatora iznosi: XC =1/C = UC/I = 2400  , pa je kapacitet kondenzatora : C = 1/XC = 1/23,145002400 = 133109 F = 133 nF. Ukupni reaktivni otpor ( reaktansa ) je: X = XL  XC = Q/I2 = 4,5/0,052 = 1800 . Induktivni otpor kalema je: XL = L = X + XC = 1800 + 2400 = 4200 , a induktivnost kalema: L = XL/ = 1,34 H. 6.19. ----- Struja sijalice je IS = PS/US = 25/24 = 1,042 A. Ako sijalicu priključimo preko kondenzatora na napon U = 250 V, kroz sijalicu će proticati srednja vrednost naizmenične struje ( koja se dobije iz količine naelektrisanja ). Kako se kondenzator naizmenično puni, odnosno prazni preko sijalice, na njemu je prisutan napon od 250 V ( kada je kondenzator potpuno pun  IC = 0, pa na njemu vlada napon od 250 V). Kako će kroz sijalicu proticati srednja vrednost naizmenične struje koja iznosi IS = 1,042 A , njena maksimalna i efektivna vrednost je: I  2I I IS  m  I m  S  1,635A  I  m  1,16A. U kolu je sada prisutan samo kapacitivni otpor  2 2 kondenzatora, jer termogeni otpor sijalice čini samo kratku vezu ( otpor sijalice je zanemarljiv u odnosu na otpor kondenzatora  napon UC = U ), pa je kapacitet kondenzatora jednak: U 1 I 1,16 XC   C C   14,77510 6 F  14,775F. C I U C  250  314 6.20. ----- Y = ( 0,035  j 0,047 ) S; 6.21. ----- a) Z  R 2  X 2  6 2  8 2  10  cos  

R 6   0,6. cos  = 0,6 Z 10

b) 6  j8  jX C  8X C  j6X C  6  j8  X C  48X C  j36X C  j64X C  64X C  j8X C 2  6X C 2 Z1      2 6  j8  jX C 6  j8  X C  6  j8  X C  6 2  8  X C 

6X C  16X C 2

Z1 

8X C  100X C 2

j

 cos 1 

R1  Z1  R 1 Z1

36  8  X C  36  8  X C  Kako kompleksna impedansa ima samo realnu komponentu, sledi: 8XC2  100XC = 0  8XC2 = 100XC  XC = 12,5 . Kapacitet kondenzatora je: 1 1 1 XC  C   254,78 10 6 F  254,78F. C X C 314 12,5 Čitaocu se preporučuje da proveri tačnost rešenja. 2

2

6.22. ----- P = UI = U2/R = 2202/10 = 4 840 W; Sa vremenskog dijagrama, prema slici, vidimo da je srednja vrednost naizmenične snage jednaka polovini maksimalne snage. Ova srednja vrednost naizmenične snage predstavlja aktivnu snagu u kolu naizmenične struje, jer se u ovom kolu i nalazi samo aktivni otpornik R. Dakle, srednja vrednost naizmenične snage, kod savršenog kola, je: P = Pm/2 = UmIm/2 = U 2 I 2 /2 = UI = 4 840 W. Ova snaga je uvek veća od nule, zbog I2R ( u pojedinim trenutcima P = 0 ) i ona se naziva aktivnom snagom.


217

UV PW 9680 p 400

Pm

4840 200

PS

Um

u

ts

200 400 T

6.23. ----- P = 141,4 W; 6.24. ----- cos  = 0,316, P = 1 000 W, Q = 3 000 VAR, U = 315,9 V; 6.25. ----- cos  = P/S  P = Scos = 1000,75 = 75 kW; Q = Ssin  = 1000,6614 = 66,14 kVAr; S = UI = UI = S = 100 kVA, jer su napon i struja jednaki za oba slučaja. P = Scos  = 1000,9 = 90 kW; Q = Ssin  = 1000,4359 = 43,59 kVAr; QL = Q  Q = 22,55 kVAr. 6.26. ----- S = P/cos  = 25/0,64 = 34,375 kVA; I = S/U = 34375/220 = 156,25 A; PV = I2RV = 156,2520,1 = 2 441,4 kW. S = P/cos  = 22/0,8 = 27,5 kVA, jer je P=P. I = S/U = 125 A; PV = I2RV = 12520,1 = 1 561 W. 6.27. ----- Ukupna reaktivna snaga prigušnica je: Q = Q1 + Q2 = 12 VAr; Pojedinačne prividne snage prigušnice su: S1 = U1I = 3,7 VA; S2 = U2I = 15 VA. Aktivne snage prigušnice iznse: P1  S1  Q 1  3,7 2  3 3  2,166W ; 2

2

P2  S 2  Q 2  15 2  9 2  12W . 2

2

Ukupna aktivna snaga je: P = P1 + P2 = 14,166 W.

Ukupna prividna snaga prigušnica je: S  P 2  Q 2  14,1662  12 2  18,565VA . Faktor snage kola ( obeju prigušnica ) je: cos  = P/S = 14,166/18,565 = 0,763. Induktivne otpore prigušnica odredimo iz izraza za reaktivnu snagu ( Q = I 2X ), i oni iznose. XL1 = Q1/I2 = 3  i XL2 = Q2/I2 = 9 . Napon izvora je: U = S/I = 18,565/1 = 18,565 V. 6.28. ----- Kako je snaga mreţe jednaka: Pm = P1 + P2 = 5 MW, aktivna snaga drugog paralelno vezanog generatora je: P 2 = Pm  P1 = 5  3 = 2 MW. Reaktivna snaga prvog generatora je ( tg  = Q/P ) je: Q1 = P1tg 1 = 3tg 45 = 3 kVAr. Ukupna reaktivna snaga kola je: Q = Ptg  = 5tg 36,87 = 3,75 kVAr, Reaktivna snaga drugog generatora je: Q2 = Q  Q1 = 3,75  3 = 0,75 kVAr. Fazni pomak izmeĎu napona i struje kod drugog generatora je: 2 = arc tg Q2/P2 = arc tg 0,75/2 = 20,56. Faktor snage ( cos 2 ) drugog generatora iznosi: cos 2 = 0,936 ( induktivno ).


218 6.29. ----- a) cos  = P/S  S1 = P1/cos 1 = 4,6 kVA  S1 = P1 = 4,6 kVA, S2 = S2( cos 1 + jsin 2 ) = 11,5( 0,62 +j0,784 ) = ( 7,13 + j 9,02 ) kVA, S3 = S3( cos 3 – jsin 3 ) = 6,9( 0,8 – j0,6 ) = ( 5,52  j 4.14 ) kVA, b) S = S1 + S2 + S3 = ( 17,25 + j4,88 ) kVA  P = 17,25 kW; Q = 4,88 kVAr, S  P 2  Q 2  17,25 2  4,88 2  17,927kVA .

6.30. ----- P = 400 W, Q = 0 VAR, S = 400 VA; 6.31. ----- Im = Um/L =

2 U/L = 282/3140,1 = 8,98 A; WLm = LIm2/2 WLmax = 0,18,982/2 = 4,033 J.

6.32. ----- XC = 1/C = 40 ; XL = L = 30 , Z1 = RL + jXL = ( 40 + j30 ) , Z2 = –jXC = j40 . Z Z 40  j30  j40  37,65  j30,59A  Z  48,51 Z 1 2  Z1  Z 2 40  j30  j40

U 1002  100 2   2,92A . Z 48,51 Aktivna snaga kola je: P = I2Re = 2,92237,65 = 319,99 W; I

6.33. ----- Zadatak se najjednostavnije moţe rešiti koristeći fazorski dijagram. Pri crtanju fazorskog dijagrama pretpostavimo da je struja koja prolazi kroz rednu vezu RL u faznoj osi. U tom slučaju je sa strujom I RL napon UR u fazi, a napon UL fazno prednjači struji IRL za 90. Struja IS je u fazi sa UL, pa su ovi vektori paralelni ( početni ogao im iznosi 90 ). Struja kondenzatora IC fazno prednjači svom naponu U (napon na paralelnoj vezi) za 90. IRL IS

IC

U 



RL

UL UR

IRL

f.o.

Napon U će fazno da prednjači struji IRL za ugao RL, koji iznosi: R R 200  RL  arccos  arccos  arccoc  arccos 0,894  29,57 o . 2 2 2 2 Z RL 200  100 R X L

Pošto je IS  IRL   + RL = 90   = 90  RL = 60,43, gde je  fazni pomak izmeĎu IS i U. Zbog toga što je IC  U   +  = 90   = RL = 29,57. Iz pravouglog trougla struja IS, IRL i IC ( IS = IRL + IC ), odredimo struje IC i IRL, gde je: I I 2 10 3 cos   S  I C  S   2,24 10 3 A  2,24mA, IC cos  0,894

sin  

I RL  I RL  I C  sin   2,24 10 3  sin 29,57 o  10 3 A  1mA IC

Napon na paralelnoj vezi kondenzatora i RL je: U  I RL  Z RL  10 3 200 2  100 2  223,6110 3 V . Kapacitivna otpornost kondenzatora je: XC = U/IC = 223,6110-3/2,2410-3  100 . Kompleksna snaga strujnog generatora je: SSg = UIS; gde je: U = 223,61( cos29,57 + jsin29,57 ) 103 = ( 200 + j110,35 )103 V; IS = j2103 A  IS = j2103 A. SSg = ( 200 + j110,35 )103 ( j2103 ) = ( 0,22  j 0,4 )103 VA = ( 0,22 – j0,4 ) mVA.


219

6.34. -----

Pri crtanju fazorskog dijagrama postavimo struju I u faznu osu. Napon U12 je u fazi sa strujom I, dok će napon U23 prednjačiti struji I za ugao 23. Ako ovaj napon U23 razloţimo na njegove komponente UR2 i UL ( kateta pravouglog trougla ), nastaju naponi UR2 i UL. Napon UR2 je u fazi sa I, što će reći da se radi o naponu na termogenom otporniku R2, dok UL prednjači struji I za 90, a to znači da je to napon na savršenom kalemu L.

U13 UL U23 23 UR2

U12

I

a) Iz fazorskog dijagrama sledi:

U 13  U 12  U R 2   U L  U 12  U 23 cos  23   U 23 sin 2  23  2

2

2

2

2

U 13  U 12  2U 12 U 23 cos  23  U 23 cos 2  23  U 23 sin 2  23  2

2

2

2

U 13  U 12  2U 12 U 23 cos  23  U 23 cos  23  sin  23   U 12  U 23  2U 12 U 23 cos  23  2

2

2

2

U 13  U 12  U 23 1452  1002  1002   0,05125   23  87,06 o 2U 12 U 23 2 100 100 2

cos  23 

2

2

2

U R 2  U 23 cos  23  100  0,05125  5,125V ,

U L  U 23 sin  23  100  0,99869  99,869V . b) I=PR2/UR2 = 5/5,125 = 0,976 . c) R2 = UR2/I = 5,125/0,976 = 5,251 ; XL = L = UL/I = 99,869/0,976 = 102,325   L = XL/ = 102,325/314 = 0,326 H = 326 mH. 6.35. ----- Impedansa pre zatvaranja prekidača je iznosila: Z = 4 + j3 , a posle zatvaranja Z = 4 – j3 Kako su moduli impadanse isti ista je i struja u kolu. Pored modula impedansi, isti su i moduli aktivne i reaktivne otpornosti. Usled toga, ostale su iste i aktivne snage, odnosno reaktivne. Dakle, P i Q je konstantno. 6.36. ----- WC QUm/2 = 2U2C/2 = 380280106 = 11,5 J NAPOMENA: Kondenzator se puni sve dok napon izvora raste, tj. dok on ne dostigne maksimalnu vrednost. Zbog toga se kod energije kondenzatora za napon uzima Um ( količinu naelektrisanja na pločama kondenzatora stvara maksimalni napon ). 6.37. ----- snage su ostale nepromenjene; 6.38. ----- a ) L= XL/ = 40 / 314 = 0,127 H. Primenom formule ( videti Popravak faktora snage ), po kojoj se računa kapacitet paralelno vezanog kondenzatora, kojim se maksimalno popravlja faktor snage ( cos  = 1 ), kapacitet kondenzatora iznosi: L L 0,127 C 2  2   76,56 10 6 F  76,56F. 2 64  1600 Z1 R  XL b) Impedansa pre uključenja prekidača je iznosila: Z1  R 2  X L  40,792 , 2

a posle zatvaranja prekidača ( XC = 1/C = 1/31476,56106 = 41,598  ): R  jX L   jX C  8  j40  j41,598 Z2    208. R  jX L  jX C 8  j40  j41,598 Odnos izmeĎu struja iznosi: U I1 Z Z 208  1  2   5,1 U I2 Z1 40,792 Z2


220

6.39. ----2

U   R R

2

I R P  R  Q IL2XL  U   XL

2

  X L 

U2 X R Q 4  R2  L    R X P 3 U L XL

6.40. ----- C = 100 F; 6.41. ----- Kako vatmetar meri aktivnu snagu P ( P = RI2 ) on će pokazati najveću snagu kada se u kolu ostvari najveća struja. T o će se dogoditi kod najmanje impedanse Z ( I = U/Z ), a ona je najmanja kod rezonanse, tj. kada je L = 1/C  L = 1/2C = 7,97 mH. 2

 10    2   2 2 U U 100 U  2 2    5W . Vatmetar će izmeriti snagu koja iznosi: P  I R    R  2 R  R 10 2 10 R Z

6.42. ----- a ) Z = j(XC1 + XC2 ) = jXC; P = I2Re = 0 ( Re = 0 ); I = U/Z ; Z = X. Kako je impedansa Z opala, struja u kolu će da raste. Dakle, P W = 0 W, IA raste; b) Uz pretpostavku da je XC2 = 0 ( kratka veza ) impedansa će ponovo da opadne. To dovodi do porasta struje, koja povećava aktivnu snagu na otporniku R. Odgovor na dato pitanje je: P W raste, IA raste; Ako nakon proboja kondenzatora doĎe do prekida kola ( što se u praksi takoĎe dogaĎa ), tada je struja u kolu jednaka nuli, pa će i vatmetar i ampermetar sada pokazivati nulu.

S 10  j20   0,1  j0,2kA  I  0,1  j0,2kA  100  j200A. U 100 Očito je, iz kompleksnog izraza za napon i struju, da struja prednjači naponu. To znači da se kolo sastoji od redne veze RC. Da bi struja bila u fazi sa naponom njena reaktivna komponenta treba da se poništi. To će se dogoditi ako rednoj vezi RC paralelno dodamo kalem kroz koji će da protiče struja I L = 200 A ( IL = -j200 A ). Kako je IL = U/XL  XL = U/IL = 100/200 = 0,5 . 6.43. ----- S  UI  I  *

*

6.44. ----- PW = UWIW cosW. R  jX C  jX L 20  j20 j40  10  40  50  I  U  100  2A. Z  R1  2  10  R 2  jX C  jX L 20  j20  j40 Z 50 Napon na kalemu ( paralelnoj vezi kalema i R2 i XC je: R  jX C  jX L UL  I 2  2  40  80V. R 2  jX C  jX L Struja koja prolazi kroz vatmetar je ujedno i struja koja prolazi kroz otpore R2 i XC, pa je ona jednaka: UL o 80 IW    2  j2A  I W  2 2  2 2  2 2 A  I W  2 2  e j45 . R 2  jX C 20  j20 Napon na vatmetru ( primenom II Kirhofovog zakona ) je: UW = IR1 + IWR2 = 210 + ( 2 + j2 )20 = 20 + 40 + j40 = ( 60 + j40 ) V  UW = 72,11; tg Uw = 40/60  Uw = 33,69  UW = 72,11ej33,69. Fazni pomak izmeĎu napona na vatmetru UW i struje vatmetra IW je jednak razlici njihovih početnih uglova: W = Uw  Iw = 33,69  45 = 11,31. Vatmetar će pokazivati aktivnu snagu, koja iznosi: PW = UWIWcosW = 72,112,82cos(11,31) = 199,4 W.


221

6.45. ----

U

U2

 2



Primenom kosinusne teoreme, ili razlaganjem napona U2 na njegove komponente, odredimo ugao 2. On je jednak: 2 2 U 2  U1  U 2 cos  2   0,5   2  60 o . 2U 1 U 2

I

U1

Struja u kolu iznosi: I = U1/R1 = 10/2 = 5 . Vidimo iz fazorskog dijagrama da naponi čine jedan jednakokraki trougao u kojem su uglovi jednaki:  = 180  2 = 120  2 +  = 180   = 30. Reaktivna snaga kola je: Q = Uisin  = 10 3 5sin 30 = 25 3 VAr. 6.46. ----- a) R = 694,2 , C = 0,53 F, b) P = 87 W, Q = 50,4 VAR; 6.47. ----- a) i = 212/6 sin ( t + 60 ) A, b) P = 1,87 KW, Q = 3,22 KVAR, S = 3,77 KVA; 6.48. ----- a) Aktivna snaga koju daje generator potrošaču će biti maksimalna kada se javi rezonansa u celom kolu ( struja je tada maksimalna ), i kada se izjednače termogeni otpori generatora sa otporom potrošača. Usled prvog uslova struja u kolu je maksimalna, pa je i aktivna snaga maksimalna. Drugi uslov je poznat iz OET1, gde pri izjednačavanju otpora generatora sa otporom potrošača ( prilagoĎavanje otpora maksimalnoj snazi generatora ) generator daje maksimalnu snagu. Prvi uslov će se postići kada je: Xg =  X, pa je Ze = Rg + R ( uslov rezonanse). Dakle, reaktivni otpori su meĎusobno jednaki, s tim da je jedan induktivan a drugi kapacitivan. Drugi uslov je: Rg = R. Oba ova uslova su sadrţana u izjednačavanju impedansi u kompleksnom obliku na sledeći način: Zg = Z Aktivna snaga koju maksimalno daje generator, pri navedenim uslovima iznositi: 2

2 2  E   E   R   E   R  E W;  R  P  I 2 R     Rg  R  4R  2R   Ze    b)  = P/P = 0,5 ( 50 % ), jer je ukupna aktivna snaga koju proizvodi generator jednaka: P = P + Pg = 2P. 2

6.49. ----3  j410  2,973  j2,162  R  2,973; X  2,162; Z  2,9732  2,1622  3,676. Z e e 3  j4  10 Ukupna struja ( P = I2Re ) je : I2 = P/Re = 1 100/2,973 = 370  I = 19,235 . Napon na celoj vezi iznosi: U = IZ = 19,2353,676 = 70,71V. Struje po granama su: I1 = U/Z1 = 70,71/5 = 14,14 i I2 = U/Z2 = 7,071 . Pojedinačne snage za svaki od otpornika iznose: P3 = I123 = 600 W; QL = I124 = 800 VAr i P10 = I2210 = 500 W. 6.50. ----- R = 3 , L = 12,7 mH; 6.51. ----- R = 2,6 , XC = 2,6  ( C = 64,1 F ); 6.52.----- RV = l/S = 0,05 ; XC = 1/C = 10,616 . Pre zatvaranja prekidača:

Z  R V  R  jX  1,75  j1,4  Z  2,241  cos  

R 1,75   0,781 Z 2,241


222

a posle zatvaranja: R  jX   jX C  1,7  j1,4  j10,616  0,05  14,862  j18,047  2,231 j1,21  Z'  R V   0,05  R  jX  jX C 1,7  j1,4  j10,616 1,7  j9,216

Z  2,538; R e '  2,231; X e '  1,21  cos ' 

2,231  0,879. 2,538 Ukupna struja u prvom slučaju je: I = U/Z = 102,63 A, a u drugom slučaju: I = U/Z = 90,62 . Snaga gubitaka u napojnom vodu, kada je prekidač isključen je: PV = I2RV = 526,67 W, A kada je uključen je: PV = I2RV = 90,6220,05 = 410,62. Promena snage gubitaka u napojnom vodu je: PV = PV  PV = 116,05 W. 6.53.----- Admitanse po granama su: 1 1 Y1    0,16  j0,12S; Z1 4  j3 2

 U  P U2 15000   R 2  P2  I 2 R 2    U 2 G 2  Y 2  G 2  22   1,042S; R R U 1202 2  2 P3 S U 60 75000 S 3  UI 3  U   U 2 Y3    75kVA   Y3  32   5,208S   3  36,87 o  Z3 cos  3 0,8 U 1202 2

 







Y 3  5,208  e  j36,87  5,208 cos  36,87 o  j sin  36,87 o  5,2080,8  j0,6  4,167  j3,125S. Ukupna admitansa kola ( pre uključenja kondenzatora ) je: Y123 = Y1 + Y2 + Y3 = 0,16  j0,12+1,042 + 4,167 – j3,125 = ( 5,369 – j3,245 ) S. Ukupna admitansa nakon uključenja kondenzatora iznosi: Y = Y123 + YC = 5,369 – j3,245 + jBC = 5,369 + j ( BC – 3,245 ) S. Kako ukupna admitansa nakon uključenja kondenzatora ima samo realnu vrednost ( cos  = 1 ), sledi: 3,245 3,245 BC = 1/XC = C = 3,245  C    10,3310 3 F  10,33mF.  314 o

6.54. ----- Z = U/I = 120/2,4 = 50 ; P = I2R  R = P/I2 = 200/2,42 = 34,72 

Z  R 2  2X C  X C   R 2  X C  X C  Z 2  R 2  35,98  C  2

2

1  88,52 10 6 F  88,52F; XC

XL = 2XC = 71,96   L = XL/ = 0,229 H = 229 mH. 6.55. ----- P = 1,3Q  I2R = 1,3 I2X  R = 1,3 X  X = R/1,3 = 9,23   Z = 15,14   I = U/Z = 0,79 ; P = I2 R = 7,54 W. XL = L = 13,527 ; XL  XC = 9,23  XC1 = XL  9,23 = 4,297 ; XC2 = XL + 9,23 = 22,757   C1 = 1/XC1 = 61,762 F i drugo rešenje: C2 = 1/XC2 = 11,662F. Napomena! Postoje dva rešenja zbog toga što ekvivalentna reaktivna otpornost moţe biti induktivnog i kapacitivnog karaktera. Prvo rešenje odgovara kada je XL  XC, a drugo kada je XL  XC. 6.56. ----- a ) Pošto napon prednjači struji za 45 (  = 45  ) aktivni i reaktivni otpor su jednaki, tj. R = X = XL – XC, gde je XL  XC. Impedansa kola je: Z = U/I = 20   Z  R 2  X 2  R 2  R  X  10 2  . 2

 2   10 2  5  60  6000 2 J   6 2 kJ . b) W = I Rt =    2 2


223 6.57. ----- Maksimalna struja sijalice je: I = P/U = 20/120 = 0,167 , jer ona ima samo termogeni otpor. Otpor sijalice ( termogeni ) je: R = U/I = 720  Ako sijalicu priključimo na napon U = 220 V, njena impedansa, pri maksimalnoj struji, iznosi: Z = U/I = 1 320 . Kapacitivni otpor kondenzatora je: X C  Z 2  R 2  1106,35. Kapacitet kondenzatora je: C = 1/XC = 2,879 F. Ako umesto kondenzatora ubacimo kalem, njgov induktivni otpor mora biti jednak otporu kondenzatora, pa je: XL = L = XC = 1106,35  L = 3,523 H. 6.58. ----- a)

Napon na kalemu je:

U L  I  Z L  I  R 2  L  4  2 2  31,4 2  125,85V. Iz fazorskog dijagrama se vidi da jefazni pomak izmeĎu napona na kalemu UL i struje I jednak: L  L  arctg  86,36 o RL 2

UL

U

UXL

UXL

L US

URL

I

Ako napon na kalemu razloţimo na njegove komponente, odnosno predstavimo ga kompleksno, sledi: UL = ULej86,36 = 125,86 ( cos 86,36 + jsin 86,36 ) = ( 7,99 + j125,61 ) V  URL = 7,99 V; UXL = 125,61 V. Naponi URL + US, UXL I U čine pravougli trougao ( vidi dijagram ), pa je:

U RL  U S  U 2  U XL  2202  125,612  180,62  U S  180,62  7,99  172,63V. b) Kada je bilo koja sijalica u kratkom spoju, otpor sijalica je jednak nuli (R S = 0 ), pa je snaga prigušnice: 2

2

2

 U   220   R L   P'  I' 2 R L     2  97,78W . Z  31,46   L c) Sijalice će koristiti maksimalnu snagu kada se usaglase impedanse: ZS = ZL = ( 2 – j31,4 ) . Dakle, sijalice bi trebale da imaju termogenu otpornost od R = 2  i kapacitivnu od XC = 31,4 . To se postiţe tako što se sijalicama na red dodaje kondenzator otpornosti 31,4  i ukupnim termogenim otporom sijalica od 2 . Ukupna impedansa kola je, u ovom slučaju : ZU = ZS + ZL = 2RL = 4  ( došlo je do rezonanse ). Ukupna aktivna snaga koju koriste sijalice, a toliki su i Dţulovi gubici na prigušnici, iznosi: 2

 U  220   R S '   P'  I' 2 R S '     2  6050W .  Z 4    U Treba imati u vidu da će i na kalemu da se gubi snaga od 6050 W ( zagrevanje kalema ). Zbog toga presek kalema mora biti dovoljno velik da on nebi pregoreo ( Treba da izdrţi jačinu struje od I = U/Z U = 55 A). Preporučuje se čitaocu da uporedi opterećenje prigušnice pod tačkama b i c i da na osnovu toga izvuče potreban odgovor, da li je ovaj reţim rada prihvatljiv. 2

6.59. ----- P = 12 W, Q = 43 VAR, S = 13,86 VA;

6.60. ----- I1 = 10 A, I2 = 102 A, I3 = 10 A;

6.61. ----I I1

IC

1

 I2

IR

U

Na osnovu fazorskog dijagrama sledi: IC2 = I12 – IR2 = I2 – ( I2 + IR )2  I12 – IR2 = I2 – ( I22 +2I2IR + IR2 )  I12 – IR2 – I2 + I22 + IR2 =  2I2IR  2 2 I 2  I1  I 2 10 2  6 2  5 2 IR    3,9mA. 2I 2 25

Napon na paralelnoj vezi iznosi : U = IRR = 3,910-320103 = 78 V. Otpornost otpornika R2 je: R2 = U/I2 = 78/5103 = 15 600  = 15,6 k. Aktivna snaga prijemnika otpornosti R2 je: P2 = I22R2 = (5103)215,6103 = 390103 W = 390 mW.


224

6.62. ----I I1

IC

1

 I2

IR

Struja kondenzatora IC =

U

Na osnovu fazorskog dijagrama, koji je isti kao i u predhodnom zadatku, sledi: R2 = P2/I22 = 0,39/(5103)2 = 15,6 k. Napon na paralelnoj vezi je: U = I2R2 = 156005103 = 78 V. Struja u otporniku otpornosti R je: IR = U/R = 78/20103 = 3,9103  = 3,9 mA.

I1  I R  6 2  3,9 2  4,56mA. 2

2

Ukupna struja kola je:

I

I 2  I R 2  I C 2



5  3,92  4,562

 10mA.

6.63. ----- a ) Ukupni napon ( napon izvora ) je. U = ZI + nRSI2 = Z( I1 + I2 ) + nRS I2 …. (1) nRsI 2 nR2I2 = I1Z1  I1  ...........2 Z1 Uvrštavanjem druge jednačine u prvu, sledi:  nR s I 2   nR s Z  U U  Z  I 2   nR s I 2    Z  nR s   I 2  nR Z Z Z s 1 1      Z  nR s Z1 Struja I2 ne zavisi od broja sijalica samo ako je

nR S Z Z  nR s  0   1  0  Z   Z1 . Z1 Z1

Vidimo da je pri ovom uslovu ( Z =  Z1 ), struja I2 jednaka: I 2 

U , Z

gde je Z kalem a Z1 kondenzator ( jednakih otpornosti ) b) PS = USIS  IS = I2 = PS/US = 1 . Uz navedeni uslov: I2= U/Z  Z = L = U/I2 = 100 , Z1 = 1/C = 100   L = 318 mH, C = 31,8 F; Čitaocu se preporučuje da proveri tačnost rešenja za nekoliko primera ( sijalica u kratkom spoju, jedna sijalica, tri sijalice... ) i na osnovu dobijenog rešenja izvići odreĎeni zaključak. 6.64. ----I3 I2 I1

U I2

f.o.

Iz fazorskog dijagrama se vidi da je: I1 = I2 + I3  I1 =I3 – I2= 2 . Kako u celom kolu imamo od aktivnih otpora samo R1, tada je ukupna aktivna snaga kola ujedno snaga na ovom otporniku, a ona iznosi: P = I12R1 . Aktivna otpornost R1 je : R1 = P/I12 = 160/22 = 40 . Impedansa Z1 je: Z1 = U1/I1 = 144/2 = 72 . Reaktivna otpornost X1 je: X1 =  Z1  R 1  59,87. Postoje dva rešenja, zbog kvadratne jednačine. Prvo rešenje je XL1 = 59,87 , a drugo XC1 = 59,87 . 2

2


225 6.65. ----- Ukupna aktivna snaga kloa je jednaka zbiru svih pojedinačnih snaga ( P = P 1 + P2 + P3 ), pa je aktivna snaga prve impedanse jednaka: P1 = P – P2 – P3 = 400 W. 2 = 3 = 36,87 ( ind.)  tg 2 = tg 3 = 0,75. Kako je, iz trougla snaga, tg  = Q/P  Q1 = P1 tg 1 = 400140/20 = 2 800 VAr; Q2 = P2 tg 2 = 6000,75 = 450 VAr i Q3 = P3 tg 3 = 1 0000,75 = 750 VAr U = 1 000 V; Ukupna reaktivna snaga kola je ( sve impedanse su induktivnog karaktera ): Q = Q1 + Q2 + Q3 = 4 000 VAr. Ukupna prividna snaga kola je: S  P 2  Q 2  20002  40002  4 10 6  16 10 6  20 10 3  2 10 3 5 VA  . Kako je P1 = I12R1, pa je ukupna struja u kolu :

P1  R1

I  I1 

400  20  2 5 A . 20

Efektivna vrednost ukupnog napona u kolu iznosi ( S = UI ): U

S 2 10 3 5   1000V . I 2 5

6.66. ----- a ) U = 120,86 V, b) cos  = 0,757. 6.67. ----- a) Z = Zg* = ( 2  j 4 )   R = 2 , XC = 4 , 2

2

E 2 20 2 E  E    50W  , jer je Z = Zg + Z = 2R; b) Pmax  I 2 R     R    R  4R 4  2  Z  2R  cos = R/Z = 0,447;

6.68. ----IC

L

I =I La

IL

U ILx

f.o.

Struja I će biti u fazi sa naponom U ( cos  = 1 ) kada se reaktivna komponenta struje IL ( ILx ) izjednači sa strijom kondenzatora.IC. L = arc cos 0,866 = 30. U tom slučaju sledi: I = IL + IC = ILa – jILx + jIC; za ILx = IC  I = I1a   = 0. Kako je IC = U/XC = UC, a IX = IL sin L 

C

IC I  sin  L 5  sin 30 o  L   41,47 10 6 F  41,47F. U U 2  40  240

Struja napojne grane ( ukupna struja ) nakon vezivanja kondenzatora je: I = ILcos L = 50,866 = 4,33 .


226 6.69. ----- a) S = UI = 4 000 VA  cos  = P/S = 2 000/4 000 = 0,5. b) Iz fazorskog dijagrama odredimo aktivnu i reaktivnu komponentu struja I ( Ia i Ix ). One iznose: IC Ia = I cos  = 200,5 = 10 , Ix = I sin  = 17,32 . Ia U Aktivna komponenta struje Ia je ista i za struju I kao i  za ukupnu struju I nakon uključenja kondenzatora. I f.o. x  Ukupna struja kola nakon uključenja kondenzatora je: I I 10 Ix I'  a   11,11A. IC cos ' 0,9 I Reaktivna komponenta struje I ( Ix) je: Ix = I sin  = 11,110,436 = 4,843 . Struja kondenzatora je: IC = Ix  Ix = 17,32 – 4,843 = 12,477 . Kako je IC = U/XC = UC, sledi da je kapacitet paralelno vezanog kondenzatora ( kojim se postiţe faktor snage cos  = 0,9 ) jednak: I 12,477 C C   198,68 10 6 F  198,68F. U 314  200 Napomena! Zadatak se mogao rešiti direktnom primenom obrasca po kojem se računa kapacitet kondenzatora sa ciljem popravka faktora snage. Videti teoretski deo Popravak faktora snage. 6.70. ----- Zadatak se rešava isto kao i zadatak 6.68. Konačne rešenje je: C = 19 F ; 6.71. ----- Maksimalna snaga prijemnika se javlja kada je Z = Zg* = ( 10 + j20 )   Ze = 2Ri = 20. Kada bi prijemnik imao rednu vezu aktivnog i reaktivnog otpora ti otpori bi bili jednaki: Rp = 10 , XP = 20  ( ind. karaktera ) Maksimalna snaga prijemnika je: Pmax = I2Rp = E2/4Ri = 4/40 = 0,1 W, ); Kako se impedansa prijemnika sastoji od paralelne veze otpornika otpornosti R i reaktanse otpornosti X, sledi: R  jX R  jX jR 2 X  RX 2 RX 2 R 2X Z    2 j 2  10  j20  2 2 2 R  jX R  jX R X R X R  X2









RX 2  10  RX 2  10 R 2  X 2 ...........1 R 2  X2 R 2X  20  R 2 X  20 R 2  X 2 ..........2  R 2  X2 Ako prvu jednačinu pomnoţimo sa ( 2), sledi: 2RX2 =  20( R2 + X2 ) …….. (1) R2X = 20( R2 + X2 ) ……….. (2) 2RX2 + R2X = 0  R2X = 2RX2  R = 2X  4X2X = 20( 4X2 + X2 )  4X3 = 100X2  X = 25   R = 50 . Prijemnik se sastoji od paralelne veze otpornika R = 50  i kalema induktivnog otpora XL = 25 . 6.72. ----- Analitički izraz za struju i napon u kolu je: i = 5 2 sin ( 800 t + /6 ) mA i U = IR = 10 V  u = 10 2 sin ( 800 + /6 ) V. Analitički izraz za snagu u kolu je: pR = ui = Umsin ( t +  ) Im sin ( t +  ) = Um Im sin2 ( t +  ) = UmImsin (2t + ) /2  pR = UI  1  cos 2 ( t +  )  = 50  1  cos ( 1 600t + /3 ) mW. Napomena! Pogledati teoretsko objašnjenje Snaga u kolu naizmenične struje u R kolu. Na grafičkom dijagramu je predstavljena struja, napon i snaga.


227

u ; i ; pR

PRm pR Um Im

i

u

P

t

TP Tu = Ti

Iz analitičkog izraza i grafičkog dijagrama za snagu moţe se izvući sledeći zaključak: 1) Snaga koju prima savršeni termogeni otpornik je uvek pozitivna ( P R  0 ) i ona se menja od PRmin = 0 do Pm = UmIm = 2UI = 100 mW. Iz ovog proizlazi da se u termogenom otporniku električna energija nepovratno pretvara u toplotu. Ovo je nepovratni proces, jer energija odlazi iz kola. 2) Učestanost snage termogenog otpornika je dva puta veća od učestanosti napona i struje otpornika, pa je i period snage termogenog otpornika dva puta manji od perioda struje i napona: fP = 2f = 2800/2 = 800 Hz i Tp = T/2 = 1/fp = 1/800 s. Srednja vrednost snage termogenog otpornika u toku jedne periode struje otpornika ( dve periode snage ) jednaka je: PS = Pmax/2 = UmIm/2 = UI = 50 W. Ova srednja vrednost naizmenične snage PS , kod termogenog otpornika, naziva se aktivnom snagom P, i ona se moţe predstaviti i Dţulovin zakonom: P = P S = RI2 = RII = UI W. 6.73. ----- a) Analitički izraz za struju i napon je: i = Im sin ( t + ) = 10 2 sin ( 104 t + /3 ) mA i u = Um sin ( t + /3 + /2 ) = IXL 2 sin (t + 5/6 ) = LI 2 sin ( 104 t + 5/6 )  u = 2 2 sin ( 104 t + 5/6 ) = 2 2 cos ( 104 t + /3 ) V. Trenutna snaga, njen analitički izraz, je : pL = ui = Um sin ( t + /3 + /2 )Im sin ( t + /3 ) = Um cos ( t + /3 )Im sin ( t + /3 )  1  1   2      p L  U m I m  sin 2 t    2 U 2I  sin 2 t    UI sin 2 t    20 sin  2 10 4 t  mW. 2 3 2 3 3 3      Iz ovog analitičkog izraza za snagu u savršenom kalemu mogu se izvući sledeći zaključci: 1) Maksimalna vrednost snage je: PLmax = UI = 20 mW. 2) Kruţna učestanost snage kalema je dva puta veća od učestanosti struje i napona kalema, pa je: pl = 2 = 2104 rad/s. 3) Srednja vrednost snage kalema je jednaka nuli, što se vidi sa grafičkog dijagrama. Ova srednja vrednost snage je ujedno i aktivna snaga, koja je kod savršenog kalema jednaka nuli: P = PS = 0. Navedene konstatacije se potvrĎuju i na grafičkom ( vremenskom ) dijagramu, prikazanom na slici.


228

iL;uL;pL;wL

WLm

wL iL

ILm

PLm

pL

uL

Um

t

Tw = Tp Tu = Ti

b) Energija magnetnog polja je: 2

    L  I m sin  t   2 3  LI Li 2   LI 2        wL    m sin 2  t    1  cos 2 t    2 2 2 3 2  3     2    w L  10  6  1  cos 2 10 4 t  J . 3    Iz ovog izraza se vidi da magnetna energija kalema ima dva puta veću kruţnu učestanost od učestanosti struje i napona, i da se enewrgija menja od Wmin = 0 do Wmax = Li2 = 2106 J. Iz grafičkog dijagrama, kao i analitičkog izraza, se moţe zaključiti da energija kalemu dolazi kada struja raste u svom apsolutnom iznosu ( bez obzira na smer ). Kada struja raste od nule ka maksimalnoj vrednosti ( apsolutni iznos ), tada će izvor svoju električnu energiju pretvoriti u magnetnu energiju kalema. Energija dolazi kalemu kada je struja u porastu. U ovim intervalima, kada je energija u porastu, snaga koju prima kalem je uvek pozitivna, jer su napon i struja u ovim intrevalima istog smera. Pri tom će snaga promenuti sve svoje vrednosti ( raste od nule do maksimalne vrednosti i pada do nule ). Energija kalema je maksimalna u trenutcima u kojima je struja kalema maksimalna ( po apsolutnoj vrednosti ). Kada je energija kalema ( struja ) maksimalna napon kalema je jednak nuli. Kada struja po apsolutnoj vrednosti opada od maksimalne vrednosti do nule opada i magnetna energija kalema, što znači da će se predhodno primljena energija kalema trošiti, odnosno, ponovo se vraća izvoru ( magnetna energija kalema se pretvara u električnu ). U ovim intervalima napon raste od nule ka maksimalnoj vrednosti. Snaga koju kalem prima u ovim intervalima je negativna, jer su smerovi napona i struje suprotni. I u ovom intervalu snaga promeni sve svoje vrednosti ( kao i kod pozitivnog poluperioda ). Kada je struja kalema jednaka nuli, tada je i energija kalema jednaka nuli, dok je napon na krajevima kalema maksimalan po svojoj apsolutnoj vrednosti. Iz navedenog se moţe zaključiti da pri prostoperiodičnoj naizmeničnoj struji, energija osciluje : iz izvora ( električne ) prelazi u magnetnu energiju, a zatim se sva iz magnetne ( magnetnog polja ) vraća u električnu ( izvoru  ostatku kola ). Kako se ovde radi o povratnom procesu, sledi da je ukupna aktivna snaga kalema jednaka nuli, što se vidi iz grafičkog dijagrama. Ova aktivna snaga se moţće izračunati i matematički ( viša matematika ), gde je: PL 

1 T

T

 0

p L dt 

1 T

T

 UI sin 2t   dt  0 0


229

6.74. ----- a) Analitički izrazi za napon i struju su: u = 1,2 2 sin ( 105 t + /4 ) V; I = U/XC = CU = 1051001091,2 = 12103  = 12 mA  i = 12 2 sin ( 105 t + /4 + /2 ) = 12 2 cos ( 105 t + /4 ) mA. Trenutna snaga ( analitički izraz ) koju prima kondenzator je: pC = ui = Um sin ( t +  )Im cos ( t +  ) = UI sin 2 ( t +  )  pC = 14,4 sin 2 ( 105 + /4 ) = 14,4 sin ( 2105 + /2 ) mW. Maksimalna snaga koju prima kondenzator iznosi: PCm = UI = 14.4 mW. Kruţna učestanost snage je dva puta veća od učestanosti napona, jer je: pc = 2u = 2105 rad/s. Aktivna snaga generatora je jednaka nulu, što se vidi iz grafičkog dijagrama. Aktivnu snagu moţemo dobiti matemetičkim putem ( viša matematika ), gde je: 1 P= T

T

p

C

dt  0

0

b) Energija električnog polja kondenzatora je: 1 1 1 1 1 2 2 w C  C  u 2  CU m sin t     CU m sin 2 t     C  2U 2  1  cos 2t     2 2 2 2 2 2 U C 1  cos 2t     7,2 10 8 1  cos 2 105 t   J. wC  2 2    Energija kondenzatora ( električnog polja ) se menja u granicama od: WCmin = 0 do WCmax = 14,4108 J. Na osnovu analitičkih izraza za napon, struju, snagu i energiju kondenzatora dobije se sledeći grafički ( vremenski ) dijagram: u;i;pC;wC

WCm

wC

Um

u pC

i

Im

PCm t

Tp = Tw Tu = Ti

Kondenzator prima energiju od izvora u onim intervalima u kojima napon po svojim apsolutnim vrednostima raste od nule do maksimalne vrednosti ( struja opada po apsolutnoj vrednosti sa maksimalne vrednosti na nulu ). Snaga koju prima kondenzator u ovin intervalima je pozitivna, jer su napon i struja istog predznaka.


230

Energija kondenzatora je maksimalna kada je napon na kondenzatoru postigao svoju maksimalnu vrednost ( po apsolutnom iznosu ). Struja kondenzatora je u tom trenutku jednaka nuli, jer je kondenzator dostigao maksimalno opterećenje ( maksimalno napunjen ). Kada doĎe do pada napona po svojoj apsolutnoj vrednosti ( od maksimalne vrednosti ka nuli ) energija kondenzatora ( elektrostatička energija ) se vraća nazad u električnu, tj kondenzator vraća energiju izvoru. Struja kondenzatora, u ovim intervalima, raste po apsolutnom iznosu od nule do maksimalne vrednosti ( dolazi do praţnjenja kondenzatora – rasterećenja ). U ovim intervalima je snaga kondenzatora negativna, jer su napon i struja suprotnih predznaka. Energija kondenzatora opada sa maksimalne vrednosti na nulu kada i napon opada sa maksimalne vrednosti na nulu ( u i w su u fazi ). Navedena analiza dovodi do zaključka da se, pri prostoperiodičnim naizmeničnim strujama odvija povratni proces ( kao i kod L kola ). Energija oscilira: Iz izvora se prenosi ( pretvara ) u energiju kondenzatora, a zatim se sva iz kondenzatora vraća u energiju izvora ( električnu ). Aktivna snaga kondenzatora je srednja snaga kondenzatora nastala u vremenskom intervalu T ( jednoj periodi ). Ova snaga je jednaka nuli, što se vidi sa dijagrama. Iz analitičkog izraza za energiju U2C 1  cos 2t    wC  2 U2C U2C U2C U2C wC   cos2t  2  2t  2    w C    U 2 C  WCm 2 2 2 2 Iz ovog izraza se vidi da je maksimalna energija kondenzatora jednaka: WCm = U2C 6.75. ----- Da bi se zadatak lakše rešio predhodno nacrtati fazorski dijagram, koji je predstavljen na slici. Koristeći kosinusnu teoremu odredimo ugao : U2 = UL2 + UC2  2ULUC cos   2 2 U  U C  U 2 1362  50 2  1002 cos   L   0,809  2U L U C 2 136  50

 UL UC

UL

U

L



Ux URL

I

UC

  36 o   L    90 o   L  54 o Napon na realnom kalemu sadrţi aktivnu ( termogenu ) i reaktivnu ( induktivnu ) komponentu, koje iznose: UR = UL cos L = 80 V i UL = UL sin L = 110 V. Traţeni cos  se odredi iz fazorskog dijagrama i on iznosi: U cos   RL  0,8 U

6.76. ----- Q1 = Q2 = 2,5 VAr (oba kap. ) , jer je Q = Q1 + Q2 = 5 Var; Q1 = I2X1, Q2 = I2X2. Očito je da su reaktivni otpori ( kapacitivni ) za oba prijemnika jednaki. Oni iznose: B2 = XC/Z22  XC = X1 = X2 = B2Z22 = 2 k. Aktivni otpor R2 je: 2 2 R 2  Z 2  X 2  1k ; Struju u kolu izračunamo iz reaktivne snage drugog prijemnika, gde je:

Q2  X2I2  I 

Q2  X2

2,5  0,00125  0,0354A   35,4mA; 2 10 3

Ukupna impedansa kola je: U 200 Z   5,66  5,66k; I 35,4 10 3 Kako je:

Z  R 1  R 2   X1  X 2   R 1  R 2  Z 2  X1  X 2   5,662  4 2  4k. pa je aktivni otpornik prvog prijemnika jednak: R1 = 4 – R1 = 3 k. 2

2

2


231 6.77. ----- Drugi prijemnik je kapacitivnog karaktera ( Q2  0 ), dok je prvi prijemnik induktivnog karaktera , jer je ukupna reaktivna provodnost B2  0 ( pravladava induktivno opterećenje ). ( B2  ). Struju u kolu odredimo na osnovu reaktivne snage drugog prijemnika, gde je: Q 2 = I2X2  Q2  35,4 10 3 A   35,4mA. X2

I

Ukupni aktivni otpor celog kola je: Re = Pe/I2 = 4 k. Prividna snaga prvog prijemnika je: S1 = I2Z1 = 3,75 5 VA. Trougao provodnosti prvog prijemnika, kao i ukupnog kola, je kao na slici: Ge

Ukupni reaktivni otpornik celog kola je: X = XL – XC , gde je X  0. Odnos izmeĎu ukupne reaktivne provodnosti i otpornosti je: X Be  2  X  Be Z 2 Z

 Be

Y

Ukupna impedansa kola je: Z  R 1  R 2   X L  X C   4  X L  2 k U kompleksnom obliku impedansa celog kola je: Z = 4 + j ( XL – 2 ) k. Ukupna admitansa kola u kompleksnom obliku je: R X 2 X 4 mS. Y  G e  jB e  2e  j 2  2 j 2 L 2 2 Z Z 4  X L  2 4  X L  2 Sledi: X L  2 10 3 2 Be   1,25 10  4  X L  2 10 3  1,25 10  4 16 10 6  X L  4 10 3 X L  4 10 6  3 2 3 2 4 10  X L  2 10 2



 

2

2







1,25 10 4 X L  1,5X L  4500  0  2

1,5  1,5 2  4 1,25 10  4  4500

1,5  2,25  2,25

 6000. 2 1,25 10 2 1,25 10  4 Kako nam kvadratna jednačina daje samo jedno rešenje ( XL1 = XL2 = XL ), induktivna otpornost prvog prijemnika iznosi: XL = X1 = 6 000  = 6 k. X L1  

4

2

Iz impedanse prvog prijemnika



( Z1  R 1  X L  3 5  R 1  X L  45 ), sledi aktivna otpornost 2

2

2

2

prvog prijemnika, koja iznosi: R12 = 45 – 62 = 9  R1 = 3 k. Aktivna optornost drugog prijemnika je: R2 = Re – R1 = 1 k. 6.78. ….. a) I2 1

2 = arc cos 0,8 = 36,87  = arc cos 0,9 = 25,84

I  I1

U

Struja prvog prijemnika je ( I = I1 + I2 ): I1 = I – I2 = 1,5(cos25,84 + jsin 25,84 ) - 1(cos 36,87 + jsin 36,87 ) = ( 0,55 + j0,054 )   I12 = 0,552 + 0,0542  I1 = 0,5526 . 0,55 b) cos 1   0,995  1  5,56 o 0,5526 c) Napon prvog prijemnika je ( P 1 = UI1cos1 = 100 W ): P1 100 U   181,87V I 1  cos 1 0,5526 0,995


232

6.79. ----I2 = 3I1

2



1

I U

1 = arc cos 0,8 = 36,87 ( induktivno ) 2 = arc cos 0,9 = 25,84 ( kapacitivno  2 =  25,84 ). I1 = I1e-j36,87 = I1  cos (36,87) + jsin (36,87)  I1 = ( 0,8 – j0,6 )I1; I2 = I2ej25,84 = 3I1ej25,84, jer je I2 = 3I1  I2 = I2(cos 25,84 + jsin 25,84) = ( 0,9 + j0,436)3I1

I1 Ukupna struja u kolu je: I = I1 + I2 = ( 0,8 – j0,6 )I1 + ( 0,9 + j0,436 )3I1 = ( 3,5 + j0,708 )I1. Fazni pomak struje u odnosu na faznu osu ( napon ) je: 0,708I1 tg   0,202    11,44 o (kapac). 3,5I1 Faktor snage kola je: cos  = cos(11,44) = 0,98. 6.80. ----I1  U  1 =  90 ( struja prednjači naponu za /2 ). Kako su sve struje jednake, a ukupna struja je jednaka: I = I1 + I2 , sledi, da vektori ovih struja čine jedan jednakostranični trougao. Na osnovu ove činjenice očito je da je ugao  = 30 ( 1   = 60 ). Aktivna snaga kola je:

I1 60

1

I  2

P = UI cos  = 501cos (30 ) = 25 3 W. Reaktivna snaga kloa je: Q = UI sin  = 501sin (30 ) = 25 VAr .. kapac.

U I2

6.81. ----- Reaktivna snaga drugog prijemnika je ( Qe = Q1 + Q2 ): Q2 = Qe – Q1 = 360 mVAr. Prvi prijemnik je kapacitivnog karaktera, dok je drugi induktivnog karaktera. Kako je Q2 = I22X2, efektivna vrednost struje drugog prijemnika iznosi: I2 

Q2  X2

360 10 3  0,03A   30mA. 400

Impedansa drugog prijemnika je:

Z 2  R 2 X 2  500. 2

2

Efektivna vrednost priključenog napona je: U = U1 = U2 = I2Z2 = 15 V. Prividna snaga kola je: S = UI = 225 5 mVA .

Aktivna snaga kola je: Pe  S 2  Q e  450mW. 2

Kako je Pe = P1 + P2, aktivna snaga drugog prijemnika iznosi: P 1 = Pe – P2 = 180 mW.  U Iz izraza za aktivnu I reaktivnu snagu: P1  I 1 R 1    R1 aktivna i reaktivna provodnost prvog prijemnika je: P G 1  12  0,8mS, U Q B1   12  0,6mS. U 2

2

 U2 U2 2  R 1   U 2 G 1  Q1  I1 X 1   U 2 B1 R1 X1 

Admitansa i impedansa prvog prijemnika je: Y1  G1  B1  1mS i Z = 1/Y = 1 k. 2

2

Iz kompleksnog izraza za admitansu prvog prijemnika: Y 1  G 1  jB1 

R1 2

j

X1 2

Z1 Z1 aktivna i reaktivna otpornost prvog prijemnika je: R1 = G1Z1 = 800  i X1 =  B1Z12 = 600  ( kap ).


233

6.82. ----- Trougao snaga i provodnosti za celo kolo prikazan je prema slici Ye Pe



Be

 Ge

 = 

Qe

Se

Kako je celo kolo kapacitivno ( Qe  0 )  Se = Pe  jQe , Ze = Re  jXe i Ye = Ge + jBe. Q  0,8  1 Struja I fazno prednjači naponu U za ugao:   arctg e  arctg  arctg    8,13o . Pe 5,6  7 Be B Be B  Ge  e   e  7B e o 1 Ge tg tg8,13 7 Konduktansa i susceptansa ( aktivna i reaktivna provodnost ) prvog prijemnika je: R 5 10 3 5 10 3 5 10 3 G 1  12     0,04 10 3 S  0,04mS, 6 6 6 3 2 3 2 25  10  100  10 125  10 Z1 5 10  10 10

Iz trougla provodnosti konduktansa je: tg 



 X1

 



 10 10  0,08 10 3 S  0,04mSinduktivno. 6 125  10 Z1 Admitansa prvog prijemnika je: B1 

2

3





 



Y1  G 1  B1  0,04 10 3  0,08 10 3  0,04 2  0,082 10 3  0,08910 3 S  0,089mS. Ukupna aktivna i reaktivna provodnost je: Ge = G 1 + G 2 i Be = B1 + B2. Be 1 B  B2 1 Kako je tg    1   G 1  G 2  7B1  B 2  . Ge 7 G1  G 2 7 Pošto struja I2 prednjači naponu U za 45 kod drugog prijemnika aktivna i reaktivna otpornost, kao i provodnost, je jednaka ( tg  = X2/R2 = 1 ), pa je: B 2 = G2 Dalje sledi da je: G1 + G2 = 7(B1 + G2 )  0,04103 + G2 = 7(0,08103 + G2 )  0,04103 + 0,56103 = 6G2, aktivna i reaktivna provodnost drugog prijemnika ( koji je kapacitivan ): G2 = B2 = 0,1103 S = 0,1 mS. 2

2

2

2

Admitansa drugog prijemnika je: Y2  G 2  B 2  0,1 2 103 S  0,1 2 mS. Aktivna i reaktivna provodnost celog kola je: Ge = G1 + G2 = 0,04103 + 0,1103 = 0,14103 S = 0,14 mS i Be = B1 + B2 = 0,08103 + 0,1103 = 0,02103 S = 0,02 mS. 2

2

Admitansa celog kola je: Y  G e  B e  0,142  0,02 2 10 3  0,02 10 3  2 104 S  0,1 2 mS. 2

2

U2  U 2G e , Re pa je efektivna vrednoast priključenog napona: Aktivna snaga celog kola je: Pe  I 2 R e 

U

Pe  Ge

5,6  200V . 0,14 10 3

Efektivne vrednosti struja po granama su: II = UY1 = 2000,089103 = 17,8103 A = 17,8 mA, I2 = UY2 = 2000,1 2 10-3 = 20 2 103  = 20 2 mA. a ukupna struja kola je: I = UY = 2000,1 2 103 = 20 2 103  = 20 2 m.


234

X1 6  arctg  63o 20' ind. R1 2 Ako za napon U23 uzmemo da mu je početni ugao jednak nuli ( nalazi se u faznoj osi ), tada se dobije fazorski dijagram prikazan na slici: 6.83. ----- Fazni pomak izmeĎu napona U12 i struje I1 je: 1  arctg

U12

UL1

I1

UR1 2

1

U23

12640

Struja I1 će fazno da kasni za naponom U12 ( napon na Z1 ) za ugao 1 = 6320. Istovremeno će ova struja da prednjači naponu U23 ( napon na Z2 ) za ugao: 2 = 12640  6340  2 = 6320. Očito je da je impedansa Z1 induktivnog karaktera, a impedansa Z2 kapacitivnog. Impedansa drugog prijemnika u kompleksnom obliku je: Z2 = Z2ej2 = 2,24 cos ( 6320) + jsin (6320)  Z2 = ( 1  j2 )k .  R1 = 1 k i X1 = 2 k.

Ukupna impedansa prve grane iznosi:

Z12 = Z1 + Z2 = 3 + j6 + 1 – j2 = ( 4 + j4 ) k  Z12 = 4 2 k, R12 = X12 = 4 k; 12 = 45 ( ind.). Iz uslova zadatka sledi: 2

 U 13    R 12  Z12 

2

2

Z P12 I R R 8,46 2 4  1,5  1 2 12   1,5  3 2  12  1,5    1,5  1,5R 3  8,946  6k. 2 2 P3 R R I3 R 3 Z12 3 3  U 13  4 2    Z  R3  3  Reaktivna otpornost impedanse Z3 je:

 

X 3   Z 3  R 3  6k. 2

2

Postoje dva rešenja, i to: X3 = 6 k ( ind. ) i X3 = 6 k ( kap.). Za prvo rešenje ukupna impedansa u kolu je: Z  Z 2  Z 3 ' 3  j6  1  j2 6  j6 4  j4 6  j6 Z'  1    2,4  j2,4k. Z1  Z 2  Z 3 ' 3  j6  1  j2  6  j6 10  j10 Fazna razlika izmeĎu struje I ( ukupna struja ) i napona U13 ( ukupni napon napon na paralelnoj vezi ) je: 2,4 '  arctg  45o ind.. 2,4 a drugo rešenje je: Z  Z 2  Z 3 ' ' 4  j4 6  j6 Z' '  1   4,62  j0,92k. Z1  Z 2  Z 3 ' ' 4  j4  6  j6 Fazni pomak izmeĎu napona U13 i struje I iznosi: 0,92 ' '  arc  arctg0,199  11,26 o ind.. 4,62

6.84. -----

Na fazorskom dijagramu je očito da su fazne razlike izmeĎu struje i pojedinih napona: 1 = 45 ( ind.) i 2 = 45 ( kap.). Kako je S1 = U1I = 1 VA i S2 = U2I = 7  S1/S2 = U1/U2 = 1/7  U2 =7U1. Aktivne snage prijemnika su:

U1

1 2

P1 = S1cos1 = 0,5 2 W i I

P2 = S2 cos 2 = 3,5 2 W Reaktivne snage prijemnika su: Q1 = S1 sin 1 = 0,5 2 VAr  i

U2

Q2 = S2 sin 2 =  3,5 2 VAr .


235

Prividne snage prijemnika u kompleksnom obliku iznose:

  3,5

 2 VA .

S1  P1  jQ 1  0,5 2  j0,5 2 VA ,

S 2  P2  jQ 2 Ukupna prividna snaga celog kola iznosi:





2  j3,5

   

S  S1  S 2  4 2  j3 2 VA   S  4 2  3 2  50  5 2 VA . Dakle, ukupna aktivna, reaktivna i prividna snaga u celom kolu je: 2

2

P = 4 2 W,

aktivna:

reaktivna: Q = 4 2 VAr ( kap. karaktera ) i prividna:

S = 5 2 VA.

6.85. ----I 2 1

IC2

IRLa U

RL I IRLx

IC1

IRL

Fazni pomak izmeĎu napona U i struje IRL iznosi: RL = arc cos 0,6 = 53,13. Kako je aktivna snaga jednaka P = UIRLcosRL, struja IRL iznosi: P 1000 I RL    7,58A. U cos  RL 220  0,6 Ako struju IRL, prema fazorskom dijagramu, razloţimo na njene komponente IRla i IRLx one iznose: IRla = IRLcosRL = 7,580,6 = 4,548 . IRLx = IRLsin RL = 7,580,8 = 6,064 .

Vezivanjem kondenzatora paralelno na prijemnik RL fazni pomak izmeĎu ukupne struje I i napona U iznosi:  = arc cos 0,9 = 25,84. Ovaj fazni pomak moţe biti i pozitivan 1 ( prevladava ind. opterećenje ) i negativan 2 ( kap. opterećenje ). Iz izraza: I I tg1  RLx C 1  I RLx  I C 1  I RLa  tg1 I RLa

tg 2 

I C 2  I RLx

 I C 2  I RLx  I RLa  tg 2 I RLa izračunamo struje koje prolaze kroz kondenzator kapaciteta C. One iznose: IC1 = IRlx  IRLatg 1 = 6,064 – 4,548tg 25,84 = 6,064 – 2,203 = 3,861  i IC2 = IRLx + IRLatg 2 = 6,064 + 2,203 = 8,267 . U  C  U , kapacitet kondenzatora iznosi: Kako je struja kondenzatora jednaka I C  1 C I C1 3,861 C1    55,89 10  6 F  55,89F, U 314  220 I 8,267 C 2  C2   119,67 10  6 F  119,67F. U 314  220 Pošto se ostvari ista ukupna struja I ( isto opterećenje mreţe ) i sa C 1 i sa C2 logično je da se sa stanovišta praktičnosti uzima ona varijanta koja je ekonomičnija. To je varijanta sa C1 = 55,89 F, jer je ovaj kondenzator zbog manje kapacitivnosti i manjih dimenzija u odnosu na C2.


236

6.86. ----I = IRLa RL IRLx

IC

Iz fazorskog dijagrama, prema slici, sledi: I I U L U  L sin  RL  RLx  C  I C  I RL  sin  RL    . I RL I RL Z Z Z2

U

Kako je I C 

IRL

U  U  C , dobije s 1 C

Kapacitivnost kondenzatora sa kojim se ostvari da su napon U i struja I u fazi iznosi: L C  2  12510 6 F  125F. Z Faktor snage kola, nakon vezivanja kondenzatora, je: cos  = 1. 6.87. -----

 

LI L I 2 Li 2 wL   WL max  m  2 2 2 2

6.88. -----



2

2

U2 220 2  U   LI 2  L     0,491J .   2f 2 L 3142 1  2fL 



C Um 2 C U 2 Cu 2  WC max    CU 2  10 6  10 103  100J. 2 2 2 Da bi se ostvario kondenzator od 1 F, površina njegovih ploča mora da bude najmanja ( C = S/d ): 10 103 U 10 6  C Cd 3 10 6  10 103  376,5 m 2 . E  S    3  8,854 8,854 10 12 Očito je da je kondenzator sa ovolikom površinom praktično vrlo teško ostvariti. Napomena! Dielektrična čvrstoća vazduha iznosi E m = 3 kV/mm = 3106 V/m. 2

wC 





 

6.89. ----- i = Im cos ( t  /2 ) = Im sin t, p = ui = ( UmIm/2 ) sin 2t = UI sin 2t . Aktivna snaga i generatora i kalema je P = 0, a reaktivna snaga generatora jednaka je reaktivnoj snazi kalema, i ona iznosi Q = UI = U2/L. Iz izraza p = UI sin 2t, vidi se da kalem prima energiju od generatora u trenutcima kada jačina struje raste po apsolutnoj vrednosti, a da vraća energiju generatoru kada ta apsolutna vrednost struje opada ( snaga kalema negativna ). Lako se uočava da je reaktivna snaga kalema jednaka amplitudi trenutne snage. Dakle, ovde reaktivna energija oscilira izmeĎu generatora i kalema. Čitaocu se ostavlja da to osciliranje u potpunosti razjasni. 6.90. ---- I = U/R ( bez C ). Kako je R = 1/C ( RC = 1 )  I1 = U 2 /R, kada je priključen R i C. Snaga gubitaka u napojnom vodu, kada je priključen i kondenzator iznosi P 1 = I12R = 2U2/R = 2P. Da li je, i zašto, aktivna snaga paralelne veze otpornika i kondenzatora veća od samog otpornika ? 6.91. ---- ( u = uL + uC )  uC = u  uL = 20 sin 105t  10 cos ( 105 t + /2 )  uC = 20 sin 105 t  10 sin ( 105 t + /2 + /2 ) = 20 sin 105 t + 10 sin 105 t = 30 sin 105 t V. Dakle, UCm = 30 V. Maksimalna trenutna energija kondenzatora je: 2 Wcm 1 2 Wcm  U cm  C  C   106 F = 1 F. 2 2 U cm 3 10 te je XC = 1/C = 10 .  I = UC / XC = A  XL = UL / I =  = L  3 2 L=

XL





100 100  10 6 H  H . 3 3


237

2  X L  10 2  ; Im = Em/Z = 5 2 A.  wL = WLm = Li2/2; tg  = XL/R = 1   = 45.

6.92. ----- WLm = Im2L/2 ; XL = L = 10 ; Z  Kako je za i = Im

R

2

i = Im cos ( t + 45  45 ) = 5 2 cos t  i = Im za t = 0 ili 180 (  rad ) U ovom trenutku ( kada je struja jednaka nuli ) ems iznosi: e = 100 cos ( 0 + /4 ) = 50 2 , odnosno e = 100 cos (  + /4 ) =  50 2 . Dakle, krajnje rešenje je e =  50 2 V. 6.93. ----- XC = 1/C = 103 . Kako je R = XC   =  /4. i = iR = Im sin t = 0  t = 0 ili  rad. E = Em sin ( t  /4 ) = Rešenje je e =  1 V.

2 sin (  /4 ) =  1 V; odnosno e = 100 sin (   /4 ) =  1 V.

6.94. ----- Impedansa prijemnika je ZP = R + j ( XL  XC ) = 1 + j 5. Ekvivalentna impedansa kola je Ze = Zg + ZP = 5 , pa je struja u kolu: I = E/Ze = 1 A. Napon na kondenzatoru ( efektivna vrednost ) iznosi UC = XCI = 5 V. Ako struju u kolu postavimo u faznu osu ( početni ugao jednak nuli ), njen analitički izraz je: i = I m sin t. U ovom slučaju napon na kondenzatoru kasni za /2, pa je njegov analitički izraz: uC = UCm sin ( t  /2 ) =  UCmcos t.. Za t = 0  uC =  UCm ( ili za  =  rad  uC = UCm ). U ovim trenutcima struja je jednaka nuli ( i = 0 ), pa je i trenutna snaga na otporniku R jednaka nuli ( p = i2r = 0 W ). U trenutku kada je napon na kondenzatoru jednak nuli ( t = /2 ) struja ima maksimalnu vrednost, i ona iznosi i = Im = ona iznosi: p = i2R = 2 W. 6.95.----- u = 30 sin ( t + 60 )



2 A. U ovom trenutku nastaje maksimalna snaga na otporniku i

U 

30

e

j 60



30

2

i = 6 sin ( t + 30 )  I 

6

e

2

S U I



j 30



6 2

2

cos 60  j sin 60   15  j 15 2

cos 30  j sin 30   3

3

 j

2

3 2

3 2

 15 15 3   3 3 3     45 3  j 45  j   j  2   2 2 2    







Kako je S = P + j Q  a) P = 45 3 W; b) Q = 45 VAR. Iz P = I2R  R = P/I2 = 2,5 3 ; odnosno Q = I2X  X = Q/I2 = 2,5 . Iz izraza za snagu vidi se da prevladava induktivno opterećenje ( Q  0 ), pa sledi da je XL = X = 2,5 . Iz impedanse Z = R + j XL = 2,5 3 + j 2,5  Z2 = 6,253 + 6,25 = 25. c) Konduktansa iznosi: G = R/Z2 = 0,1 3 S, odnosno d) susceptansa BL = XL/Z2 = 0,1 S. e) Prevladava induktivno opterećenje. L L 1 1 20 2   20 . 6.96. ----- L12  1 2  H  ; XL12 = L12 = ; XC = 7 L1  L 2 3 C 10  5  10 9 3 jX L12   jX C  Ze  R   10  j10  ; I = Ig = 2 A. jX L12  jX C

2 2 a) P = I2R = 20 W; b) Q = I2X = 20 VAR; c) S = P + jQ = ( 20 + j 20 ) VA d) S  20  20  20 2 VA. e) Kako je R = X = 10    = 45 ( ind. ); U13 = IZ13 = Struja strujnog generatora ima sledeći analitički izraz: i =

2  10 2  20 V.





2  2 sin t  45

  2 sin t  45  , a napon 

( ukupni ) izmeĎu tačaka 1 i 3: u13 = U13m sin ( t  45 + 45 ) = 20 2 sin t. Analitički izraz ( trenutna vrednost ) za snagu idealnog strujnog generatora ( snaga koju generator daje kolu ) je: p = igu13 = 2 sin ( t  45 )  20 2 sin t = 40 2 sin t sin ( t  /4 ) W.


238

P

6.97. ----- P = I2R  I =

= 2 A. S =

60

2

R

E = S/I = 50 V; Z = E/I = 25 ;

XC

6.98. -----

 Z 2  R 2  20   C 

1

X C



1 20  10

4

 5  10 6 F = 5 F.

ig = 2 cos t = 2 sin ( t + /2 ) A ;  Ig = j 2 A;

+ UIg

 80 2 = 100 VA ( prevladava kap. opt. )

IE

R Ig

IL

e = 4 sin t V  E = 2 2 V.

L

E +

UIg  IgR + E = 0  UIg = IgR  E = j 2  2 2 ; SIg = UIgIg =   2 2  j 2 j 2 = ( 2 + j 4 ) VA.

IL =

E j L



2 2 j2

  j 2 A;

IE

 Ig  IL  0

SE = EI = 0 . 6.99. ----- cos 1 = 0,8  1 = 36,87  sin 1 = 0,6 ( kap. ) ; sin  = Q/S  S1 = Q/sin 1 = 50 VA. P1 = S1cos 1 = 40 W; Pe = P1 + P2  P2 = Pe  P1 = 20 W. Kako je S1 = P1  j Q1 = ( 40  j 30 ) VA; S1 = U1I1  I1 = S1 / U1 = 1 A ( I1 = I2 = 1 A ). Ako pretpostavimo da je struja u faznoj osi ( početni ugao jednak nuli ), tada je njen kompleksni izraz jednak: I = 1ej0 = 1 A. Napon U1, zbog prevladavanja kapacitivnosti će da kasni za strujom, pa je njegov kompleksni U izraz jednak: U1 = 50e j 36,87  U1 = ( 40  j 30 ) V  Z1 = 1 = ( 40  j 30 ) . I P2 = R2I2  R2 = P2 / I2 = 20 ; Se = UI = 100 VA  Qe = S 2  P 2 =  80 VAR ( kap. ) Kako je Qe = Q1 + Q2  Q2 = Qe  Q1 =  50 VAR ( znak  govori samo o tome da se radi o kap. opt. ). Iz Q2 = I2X2  X2 = Q2 / I2 = 50  ( kap. ). Kompleksne impedanse obaju prijemnika su: Z1 = ( 40  j 30 ) , odnosno Z2 = ( ( 20  j 50 ) . 6.100. ----- Admitansa paralelne veze je Y12 = YC + YR2L2 = j BC + GR2 – j BL2 BC = 1/XC ; GR2 = R2 / ( R22 + XL22 ) = 0,0144 S ; BL = XL / ( R22 + XL22 ) = 0,0227 S   1  Y 12  0,0144  j  0,0227 S.  XC  Da bi ukupna struja ( struja strujnog generatora Ig ) bila u fazi sa naponom UC, tada paralelna veza ( C i R2, L2 ) mora biti savršeno termogena ( UC = U12 ). To znači da je imaginarni deo admitanse ( susceptansa ) jednak nule, te je: 1 / XC = 0,0227  XC = 44,053 . C = 1 / C = 72,29 F. Kako je Y12 = 0,0144  Z12 = 1 / Y12 = 69,44   Ze = Z1 + Z12 = ( 71,44 + j 15,7 ) ; SIg = ZeIg2 = ( 643 + j 141,3 ) VA.


239

6.101. ----- Efektivna vrednost napona je U  6 2  8 2  10 V.  I3 = UY3 = 10 20 2  50 2 = 0,54 A. 1 1 Z3 =   6,9  j17,2   R3 = 6,9 , X3 = 17,24  ( ind. ). Y 3 20  j5010 3 P3 = I32R3 = 2 W; Q3 = I32X3 = 5 VAR. Ukupna aktivna snaga kola je: Pe = P12 + P3 = I2Re = 6 W  Re = Pe / I2 = 6 . Ukupna prividna snaga kola je: Se = UI = 10 VA. Ukupna reaktivna snaga kola je: Q e  Se 2  Pe 2  8 VAR. Kako je Qe = XeI2  Xe = Qe / I2 = 8 . Iz izraza Ze = Re  j Xe = 6  j 8  Ge = R / Ze2 = 0,06 S, Be = Xe / Ze2 = 0,08 S. Ukupna admitansa kola iznosi: Y = ( 60  j 60 )103 S. Kako je Y = Y12 + Y3  Y12 = Y  Y3 =  60  j 80    20  j 50  = 40 + j ( 50  80 )  G12 = 40 mS, B12 = 130 mS ili  30 mS. Kako je ova grana preteţno induktivna, tada je B 12  0 pa otpada prvo rešenje ( pozitivno ), što znači da je B12 =  mS. Dakle, rešenje ukupne admitanse glasi: Y =  60  j 80  mS  Z = ( 6 + j 8 ) . Kako je Y12 = ( 40  j 30 ) mS  Y 12  40 2  30 2 = 50 mS.

1 1 = ( 16 + j 12 ) .  Y 12 40  j30 10 3 Iz impedanse, Z12 = Z1 + Z2  Z1 = Z12  Z2  Z1 = ( 10 + j 20 ) . Z12 =

6.102. ----- Qe = Ig2Xe  Xe = Qe / Ig2 = 80  ( ind. ); Y2 = G2  j B2 = ( 0,01  j B2 ) S ; Y3 = G3 + j B3 = ( G3 + j

1 ) S. 85

Q1 = Ig2X1 = 0,2245 = 1,8 VAR ( ind. ); Kako je Q = Q1 + Q23  Q23 = Q  Q1 = 3,2  1,8 = 1,4 VAR (ind ). 1 1 Y23 = Y2 + Y3 = 0,01  j B2 + G3 + j = ( 0,01 + G3 ) + j (  B2 ). 85 85 I Ig = U23Y23  Y23 = g U = 0,2 = 0,0153 S. 23 112  7 2 Q23 = Ig2X23  X23 = Q23 / Ig2 = 35  ; Z23 = U23 / Ig = 65,19 . Iz Z 23  R 23  X 23  R 23  Z 23  X 23 = 55 . 2

2

2

2

Dakle, Z23 = ( 55 + j 35 )  ( prevladava induktivno opterećenje: Q23  0 ). R X G 23  232 = 0,0129  S ; B 23  232 = 0,0082 S  Y23 = ( 0,0129  0,0082 ) S. Z 23 Z 23

1  B 2 =  0,0082   B2 =  0,02 S. Očito je da 85 B2 mora biti negativnog predznaka kako bi konačno rešenje ( susceptansa B 23 ) bilo negativno tj kako bi prevladavalo induktivno opterećenje . Dakle, B 2 =  0,02 S Admitanse paralelnih grana iznose kompleksno: Y2 = ( G2  jB2 ) = ( 0,01  j 0,02 ) S, odnosno Y3 = ( G3 + jB3 ) = ( 0,0029 + j 0,01176 ) S. 1 1 Kompleksna impedansa druge grane iznosi: Z 2    20  j40 . Y 2 0,01  j0,02 Kako je G23 = G2 + G3  G3 = G23  G2 = 0,0029 S ;

Ukupna kompleksna struja iznosi: I  I g 

U 23 Z 23

U 23  Y 23   0,2 A.

Ukupna kompleksna impedansa iznosi: Z = Z1 + Z23 = ( 80 + j 80 ) . Konačno, kompleksni napon izmeĎu tačaka 1 i 3 ( ukupni napon kola, tj. napon strujnog generatora ) jednak je: U13 = IZ =  0,2( 80 + j 80 ) =  ( 16 + j 16 ) V.


240

P2 Q E = 1 A; Q3 = I22X3  X3 = 32 = 40 ; Z23 = = 20 2 . R2 I I2 2

6.103. ----- P2 = I22R2  I 2 

Z23 = R23 + jX23  X 23  Z 232  R 232  20  ( X23  0, jer prevladava ind. opt. ) Z23 = 20 + j 20 Z23 = Z2 + Z3 = 5 + j ( XL2  XC2 ) + 15 + j 40 = 20 + j ( 40 + L  L2 2 + 20  1/C = 0  21032 + 20  1 / 2,5106 = 0 

 2  400  4  2 10 3 10 1 

6

2,5

2  2 10 3

2

1 1 )  40 + L  = 20  C C



 20  60 . Kako je frekvencija uvek pozitivna ( f  0 ), ostaje samo 4 10 3

20  60 10 3 = 104 rad/s 4 Iz reaktivne otpornosti X3 = L3  L3 = X3/ = 4 mH. a) Impedansa prvog prijemnika iznosi: Z1 = 60 + j ( L1  1/C1 ) = ( 60 + j 80 ) .. prevladava ind. opterećenje.  Z1 = 100 .

jedno rešenje, koje iznosi:  =

I1 = E / Z1 = 0,2 2 . b) Aktivna snaga na impedansi Z1 je P1 = I12R1 = 4,8 W, a reaktivna Q1 = I1X1 = 6,4 VAR. Kako je Z23 = ( 20 + j 20 )   P23 = I22R23 = 20 W, odnosno Q23 = I22X23 = 20 VAR. Ukupna aktivna snaga svih potrošača je P = P1 + P23 = 24,8 W a reaktivna Q = Q1 + Q23 = 26,4 VAR. Ukupna prividna snaga iznosi S = 24,8 2  26,4 2 = 36,22 VA. c) Za f = f/2   = /2 = 5103 rad/s. Impedanse sa ovom frekvencijom iznose:   1  1  = ( 60 + j 10 )  ; Z 2 '  R 2  j ' L 2  Z1 '  R 1  j ' L 1   ' C  ' C2 1   

  = ( 5  j 70 )  ; 

Z 3 '  R 3  j' L 3 = ( 15 + j 20 ) ; Z23 = Z2 + Z3 = ( 20  j 50 ) ; Z' 

Z1 'Z 23 '

 ( 31  j 19,5 )   Z'  312  19,5 2 = 36,62 ; I = E/Z = 0,77 A. Z1 ' Z 23 ' Sada su snage u kolu, Aktivna: P = I2Re = 0,77231 = 18,49 W, a reaktivna: Q = I2Xe = 0,77219,5 =  11,56 VAR ( prevladava kap. pterećenje ). Promene ( priraštaji ) ovih snaga su: - za aktivnu: P = P  P =  6,31 W, što znači da se aktivna snaga smanjila za 6,31 W. - za reaktivnu: Q = Q  Q =  11,56  26,4 =  37,96 VAR. Dakle, reaktivna snaga je sa vrednosti Q = 26,4 ( ind. opterećenja ) pala na vrednost  11,56 ( kap. opterećenje ) što predstavlja razliku ( pad ) od 37,96 VAR-a.

6.104. ----- I2 = ( 0,6  j 0,8 )I3 ; I1 = 40 2 e j 45 mA = ( 40  j 40 ) mA ; 40  j40 I1 = I2 + I3 = ( 0,6  j 0,8 )I3 + I3 = ( 1,6  j 0,8 )I3  I 3   30  j10 mA. 1,6  j0,8 I2 = ( 0,6  j 0,8 )( 30  j 10 ) = ( 10  j 30 ) mA  I 2  10 2  30 2  10 10 mA. P2 = I22R2  R 2 

P2 I2

2



0,7

10 10 10  3

2

 700 ; Q2 = I22X2  X2 =

Q2 I2

2



0,1

10 10 10 

Z2 = ( 700 + j 100 ) ; U23 = I2Z2 = ( 10  j 30 )103( 700 + j 100 ) = ( 10  j 20 ) V. U 10  j20 Z 3  23   500  j500 ; I3 30  j1010 3

700  j100 500  j500  500  j250 .  125  j375  Z 2  Z3 700  j100  500  j500 b) Za f = 2f (  = 2 )  XL1 = L1 = 2L1 = 2XL1 = 2375 = 750   Z1 = ( R1 + j XL1 ) = ( 125 + j 750 ) ; XL2 = L2 = 2L2 = 2XL2 = 2100 = 200   Z2 = ( R2 + j XL2 ) = ( 700 + j 200 ) ; a) Z  Z1 

Z 2  Z3


3

2

 100 .

241

X 1 1 500   C3   250   Z3 = ( R3  j XC3 ) = ( 500 – j 250 ) . ' C 2C 2 2 Z 'Z ' 700  j200 500  j250  460  j701,47 . Z'  Z1 ' 2 3  125  j750  Z 2 ' Z 3 ' 700  j200  500  j250 U I 1 ' Z' Z 500  j250     U Z' 460  j701,47 I1 Z 500  j250 500  j250 I1 '   I1   40  j4010 3  9,64  j36,4410 3 A = ( 9,64 – j 36,44 ) mA. 460  j701,47 460  j701,47

XC3 =

6.105. ----- cos  = 0,6   = 53,13  sin  = 0,8; cos  = 0,8   = 36,87  sin  = 0,6. P 48 S 80 103 P   80 KVA ; I    80 A. cos    S  cos  0,6 U S 1103 Paralelnim vezivanjem kondenzatora na RL prijemnik, kroz kondenzator teče struja I C, koja fazno prednjači naponu za /2, pa se ukupna struja kola povećava za struju kondenzatora, i ona iznosi : I = I + IC. I1 ( I2 )

IC2



o

U

o

IC1 ( IC2 )

R L

I



IC1

I2

C

2 

IC2

IX2 U

1

IX1

I1 I

IC1

IX

Struju I koja protiče kroz RL prijemnik, kako pre vezivanja kondenzatora, tako i nakon njegovog uključenja, moţemo razloţiti na aktivnu i reaktivnu komponentu: Aktivna komponenta ( koja je u fazi sa naponom ) iznosi : I a = I cos = 150,72 A, dok je reaktivna komponenta ( kasni za naponom za /2 ) jednaka : IX = I sin  = 200,96 A. Ia 150,72 Iz vektorskog dijagrama sledi: Ia = I1 cos  ( ili Ia = I2 cos  )  I1 = I2 =   188,4 A. cos ' 0,8 I ' Kako je sin '  X1  IX1 = I1 sin  = 188,4 0,6 = 113,04 A. I1 ' Sa vektorskog dijagrama se vidi da postoje dva rešenja ( I C1 i IC2 ). Prvo rešenje: IC1 = IX  IX1 = 87,92 A I drugo rešenje: IC2 = IX + IX2 = 314 A. U U   C  C  U . Iz relacije: I C  1 XC C Slede dva rešenja za kapacitet kondenzatora, sa kojim se ostvaruje faktor snage od cos  = 0,8, i to: I I 87,92 314 C1  C1   280106 F = 280 F, I C 2  C2   10 3 F = 1 000 F. 3 U 31410 U 314103 U svakom slučaju koristi se samo prva varijanta, jer se sa njom ostvaruje isti faktor snage kao i sa drugom, dok je ekonomski efekat mnogo povoljniji . Što je kapacitet kondenzatora manji, manje su mu dimenzije ( manja zapremina ), pa je takav kondenzator i praktičnije ( prostorno ) i jeftiniji. Dakle, konačno rešenje je: C = C1 = 280 .


242

6.106. ----- E = j 10 2 V ; Zg = ( 5  j 20 ) . Srednja snaga ( aktivna ) je maksimalna kada je struja u kolu najveća ( impedansa najmanja ), a to će se dogotiti kada se reaktanse meĎusobno ponište ( ukupni reaktivni otpor jednak nuli ). To praktično znači da se impedansa generatora i konjugovano kompleksna impedansa prijemnika, u ovom slučaju, meĎusobno izjednače. Dakle, ZP = Zg = ( 5 + j 20 ) . Sada je ekvivalentna impedansa kola: Ze = Zg + Zp = 5  j 20 +5 + j 20 = 10 . E E j10 2    j 2 A  I = 2 . Očito je, da je struja u ovom Struja u kolu iznosi: I  Z g  Z P 2R 10 slučaju fazi sa ems E ( naponska rezonansa ). Snaga na prijemniku ( maksimalna ) je P = I 2R = 25 = 10 W.

6.107. ----- Kada je dioda propusna ( pozitivna poluperioda ), otpori grana su isti pa je efektivna vrednost struje za obe grane jednak , i one iznose: U 220 I1  I 2    0,11 A. R 2 103 U drugoj polovini periode ( negativna poluperioda ) grana u kojoj se nalazi dioda je nepropusna ( prekid ), pa je ukupni otpor kola Re = R. Struja koja prolazi kroz otpor bez diode ima istu efektivnu vrednost kao i kod pozitivnog talasa, pa je I1 = U / R = 0,11 A, što je ujedno i ukupna struja kola ( Ie = I1 = 0,11 A ). Efektivna vrednost struje u drugoj grani ( sa diodom ) jednak je nuli. Dakle, efektivna vrednost struje u otporniku bez diode za celu periodu je I 1 = 0,11 A ( isto kao i za polovinu ), I  0 0,11 2 dok za otpornik sa diodom je: I d  2   I d  0,0778 A. 2 2 NAPOMENA! Efektivna vrednost struje na kvadrat je srednja vrednost naizmenične struje na kvadratna ( jer kvadrat struje stvara Dţulovu toplotu ). Količina toplote koju stvara efektivna vrednost struje I1 u otporniku bez diode je: P1 = I12R t = 0,11221031060 = 14 520 J, a u otporniku sa diodom: P2 = Id2Rt = 0,0778221031060 = 7 260 W. Ukupna toplota u kolu je: P = P1 + P2 = 21 780 W. 6.108. ----- Kada je dioda propusna ( pozitivna polovina vala ), otpor kola iznosi: R R R e  R 1  2 3  18,57 . R2  R3 Efektivne vrednosti struja u otpornicima su ( za prvu polovinu periode ): U I  R 23 0,539  8,57 U U = 0,539 A, I R 2  23  = 0,231 A i IR3 = 23  0,308 A. I R1  I   Re R2 R2 20 R3 U drugoj polovini periode ( negativan val ) dioda je nepropusna te je otpor R3 = , a ekvivalentni otpor kola sada iznosi: Re = R1 + R2. U 10 1 Efektivne vrednosti struja u ovom periodu su: IR1 = IR2 =   A, a I3 = 0 A. R e ' 30 3 Kako se efektivna vrednost računa za celu periodu, ekvivalentne efektivne vretnosti iznose: 2 I  I R1 ' 2 0,29052 0,11111 2 I R1E  R1   0,20082  I R1E  0,4481A ; 2 2 2 I  I R 2 ' 2 0,05336 0,11111 2 I R 2E  R 2   0,082235 I R 2E  0,2868A i 2 2 2 I  0 0,3082 2 I R 3E  R 3   0,0474  I R 3E  0,2178A . 2 2 Snaga na otporniku R2 iznosi: P2 = IR2E2R2 = 0,286820 = 1,645 W, a na otporniku R3: PR3 = IR3E2R3 = 0,047415 = 0,711 W.


243

6.109. -----





2

5 10 3 1 1 XL 2 1 XC 1 1 2 2 2 LIm  Im   Im   2 Im   2 2 2 o 2 o 2 o C 2  2   10 10 3  250 10  6 125 125 W  2 10 12 J   2 pJ.   W  Wmax 





6.110. ----- Xp = X/2; Xr = 2X; Qp = U2/Xp; Qr = (U/2)2/Xr = U2/4Xr ; Qp/Qr = 4Xr/Xp = 42X/(X/2 ) = 16. 6.111. ----- Wmax = LIm2/2 = LI2/2; W1 = W3/4  W1 = LI12/2 

3 LI 2 1 3 3 2 2   LI1  I1  I 2  I1  I. 4 2 2 4 2


244 7.1.1. ----- a) Iz o2 = 1/LC  C = 1 / o2L = 1 / 31420,5 = 20,28 F; b) I = U/R = 25 A; UL = UC = IoL = 253140,5 = 3 925 V. 7.1.2. ----- XL = XCe = oL = 23005103 = 9,42 ; Ce = 1/oXce = 1/23009,42 = 56,35106 F  Ce = C1C2/(C1+C2)  56,35(100+C2) = 100C2  C2 = 129,1 F; I = U/R = 10 A. 7.1.3. ----- Zo = R = U/Io = 637 ; XC = 1/oC = UC/Io = 300/0,314 = 955,4  C = 1/oXC = 3,33 F; L = XL/o = 955,4/314 = 3,04 H. 7.1.4. ----- Zo = 50 ; XL = XC  C = 1/o2L; Z2 = R2 + ( L  1/C )2  ( L  1/C )2 = 1302 502  L  1/C = 120  24103L  o2L /24103 = 120  L( 25,12103  42106/24103 ) = 120  L( 25 120 1 570 ) = 120  L = 5,09103 H = 5,09 mH; C = 1/421065,09103 = 4,98106 F = 4,98 F. 7.1.5. ----- C = 1/o2L = 1/62820,5 = 5,07 F; C = S/d; C = S/d; C/C = d/d  d = Cd/C = 201/5,07  d = 3,94 mm; d = d  d = 3,94  1 = 2,94 mm. Dakle treba povećati rastojanje za 2,94 mm. Io/I = Z/R = 23,46. 1 7.1.6. -----  o  = 104 rad/s; XLo = XCo = oL = 100 ; Zo = XLo  XCo = 0; LC  = 2o = 2104 rad/s; XL = L = 200 ; XC = 1/C = 50 ; Z = XL  XC = 150  ( prevladava ind. opt. ) 7.1.7. ----- XLo = XCo = 2foL = 628 ; C = 1/2foXCo = 2,535 nF; Io = U/R = 2/3 = 0,47 A; UCo = IoXCo = 296,04 V  uCo = 296,042 sin ( t  /2 ), jer UC kasni za strujom Io za T/4 ( /2 ). 7.1.8. ----- a) fo = 1 000 Hz; b) XL = XC = oL = 1 061,32 ; UC / U = XC / R  U = UCR / XC = 37,69 V; c) Io = U/R = 1,88 A; d) U L  I o  R L  o L  UC  2 000 V ( RL XL pa se RL moţe zanemariti ). 2

2

7.1.9. ----- o = 314 rad/s ( fo = 50 Hz ); Io = 22 A; UL = UC = oLIo = 136,16 V; 7.1.10. ----- Io = 10 A; o = 180 rad/s; 7.1.11. ----- XL = XC 0 2R = 1/oC = 160 ; R = 80 ; L = 10 mH; I = 2,5 A. 7.1.12. ----- Zo = Re = R + RR /( R + R) = 30 ; Io = U/Re = 10 A; XC = 1 ; C = 10 mF.

UC = 10 V; L = 10 mH;

7.1.13. ----- o = 2 236,07 rad/s; Io = UL/oL = 223,607; R = U/Io = 0,9 . 7.1.14. ----- C = 250 F; Io = 10 A. 2

7.1.15. ----- o = 1 000 rad/s;  = 4o = 4 000 rad/s; Zo = R = 10 ; Z =

1   R 2   L   =38,3 ; C  

U Io Zo Z 38,8     3,88 . U I Zo 10 Z U U  5  Z = 5 R  Z2 = R2 + ( XL  XC )2  XL  XC = 2R = 20 ; R Z L  1/C = 20  2L  20  1/C = 0  2103 2  20   1/20106 = 0  2103 2  20  50 000 = 0

7.1.16. ----- Io =

1  2

5I 

20  400  4  2 10 3  5 10 4 20  400  400 20  28,28    12070 Hz ( drugo rešenje otpada, jer je f 3 2  2 10 4 10 3 4 10 3

 0 ). o 

1 LC



1 3

2 10  20 10

6



1 4 10

8



1  5000 Hz. 2 10  4


245

o 5000   0,414  12070 7.1.17. ----- fo = 100 kHz; Zo = 10 10 ; 7.1.18. ----- Ce = C1+C2 = 60 pF; o2 = 1/LCe  o = 1,291106 rad/s ; fo = o/2 = 205,6 kHz; To = 1/fo = 4,86106 s. 7.1.19. ----- Zo = 3 k; R = Zo/Q = 187,5 ; Lo = Zo/o = 477 H; Co = 1/oZo = 477 pF; 7.1.20. ----- fo 159,2 Hz; Q = oL /R = 159,26,280,2/10 = 20. 7.1.21. ----- Širina propusnog opsega je: 2fo = f2o  f1o = 1 MHz  fo = 0,5 MHz; fo = f1o + fo = 1,5 MHz. Iz fo = 1/2 LC  C = 1 / ( 2fo )2L = 145 pF. 7.1.22. ----- fo = 2,25 MHz; f1 = fo  fo = 2 250  115/2 = 2 249,943 KHz; f2 = fo + fo = 2 250,05 KHz. 7.1.23. -----

   2 1 R 10   2  o  o    33333,333  2f o  o  5307,86Hz  .  o L L 300 10  6 o Q Q 2 R

7.1.24. ----- XC = 1/oC = 159,2 ; UL = UC = IoXL = IoXC = 2U = 2UR = 440 V; Io = UC/XC = 2,76 A; R = U/Io = 220/2,76 = 79,7 ; L = XL/o = 159,2/314 = 507 mH. 7.1.25. ----- fo = 123 kHz; U23/U13   IXC  IZ  Xc  Z  XC2  R2 + ( XL XC )2   R2 + XL2  2XLXC + XC2  2XLXC  XL2  R  2L/C  2L2  R  2L/C  R  2L2    ( 2L/C  R ) / L2  2  ( 4106  1 )/4106    1999,99994103  f = /2  318,47 kHz. XC2 2

7.1.26. ----- Q = XL/R  XL = QR = 10 ; L = XL/o = 1,59 H; C = 1/o2L = 15,9 nF 7.1.27. ----- Zo = oL = 1/ oC =

(karakteristična impedansa samo za LC) =250 ; Q = oL/R  C R = oL/Q = 2,5 ; U = IoR = 2,5 mV; o = 250/L = 25106 rad/s  fo = 3,98 MHz.

L

R   jX C   160  j80 R  jX C Ukupna impedansa je jednaka: Zo = Z RC +jXL = 160  j80 + jXL = 160 + j ( XL  60 )  XL = 80 . 7.1.28. ----- Paralelnu vezu R i XC pretvoriti u rednu vezu R i XC. Z RC 

7.1.29. ----- Paralelnu vezu R1 i XL pretvoriti u rednu vezu : Z1 

R 1  jX L 500 j1000   400  j200 . R 1  jX L 500  j100

Isto tako paralelnu vezu R2 i XC pretvoriti u rednu , pa sledi: 2 2 R   jX C   j500R 2  j500R 2  R 2  j500 250000 j500R 2 500R 2 25 10 4 Z2  2      j 2 2 2 2 R 2  jX C R 2  j500 R 2  5002 R 2  250000 R 2  25 10 4 R 2  25 10 4 . Ukupna impedansa je jednaka: 2   25 10 4  200  500R 2  Z o  Z1  Z 2  400  j200  400   j 2 2 4 4   R 2  25 10 R 2  25 10   Kako je kod rezonanse reaktansa jednaka nuli , sledi: 2 500R 2  200  500R22 = 200R22 + 50106  300R22 = 50106  R2 = 408,25 . 2 4 R 2  25 10 Ako uvrstimo R2 u realni deo impedanse sledi: Zo = 400 + 25104( 408,252 + 25104 ) = 644,8 .


246 7.1.30. ----- o = 5 000 rad/s a) Da bi kolo bilo u rezonansi njegova ekvivalentna reaktansa mora biti jednaka nuli. Impedansa kola iznosi: 1 R  ( j ) 2   o ' C R   o ' L   o ' RC   L( 1 + o2R2C2 ) = RC2  Z o '  j o ' L    j 2 2   1     1   ' RC 1   ' RC o o   Rj o ' C

1 R 2C  L  4330rad / s . RC L Rezonantna kruţna učestanost se smanjila za iz:nos:  = o  o = 670 rad/s  f = fo  fo = 106,7 Hz. b) Rezonantna kruţna učestanost postoji sve dok je vrednost pod korenom u predhodnom izrazu pozitivna ( diskriminanta  = 0 ). Ako je ta vrednost negativna rešenja su imaginarna ( diskriminanta  0 ), što znači da takva kruţna učestanost ne postoji ( nema realnog rešenja ). o ' 

L  500 . C

Dakle, ( R2C  L ) / L  0  R2C  L  0  R2C  L  R2  L/C  R  7.1.31. ----- a)  o 

1

;

LC

1 2 1 2 Li  LI m sin 2  o t 2 2 WC = QUC/2 = UC2C/2; UC = IXC = I/oC ; uC = UCmsin ( ot  /2 ) = UCmcos ot  2 I 1 1  1 1  2 2 2 w C  Cu C  C  U cm sin 2   o t    CU cm cos 2  o t  C  m2 2 cos 2  o t . 2 2 2 2 2 o C 

b) Zo = R; I = U/R; i = Im sin ot; WL = LI2/2  w L 

wC 

Im

2

cos 2  o t . Kako je  o L 

1 1 1 2  L  2  w C  LI m cos 2  o t 2 o C o C

2 o C Ukupna energija je jednaka: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 w  w L  w C  LI m sin 2  o t  LI m cos 2  o t  LI m sin 2  o t  cos 2  o t  LI m  CU m . 2 2 2 2 2 Dakle, ukupna energija električnog i magnetnog polja jednaka je pojedinačnim energijama, koje su meĎusobno jednaka. Ovo potvrĎuje dokaz o odrţanju energija. Ove dve energije ( magnetna i električnog polja ) se meĎusobno pretvaraju jedna u drugu, što se vidi i na grafičkom dijagramu. 2





wL; wC wL

wC

t /2

0



3/2

2

2 o 1 2f o 1 f 650    Q o   46,43kHz .  Q f Q 2  f 14 2 LC o o o b) Zo = R; Q = oL/R  Zo = oL/Q = 65010320,2103/46,43 = 17,58 . 7.1.32. ----- a) f o 

1

 650kHz ;

  1  1  2 3 3 Z  R 2   2fL    17,58  2650  30 10  0,2 10  3 12  2  fC 2650  30 10  300 10     Z = 76,4 . Z Z U U I d) I o  ; I  ; o   I o  I  4,34I . I R R R Z 2

c)


2

247

1   R 2  j  2   R2  C  L  R 2 C    R1   j  7.1.33. ----- a) Z = R1 + j L + 2  1 1  R 2 C   1  R 2 C   R2  j C 2 R2 C R2 1 1 2 L   0  o  odnosno, Zo  R1   2 2 2 2 2 2 LC R 2 2 C 2 1  o R 2 C 1  o R 2 C o2 = 49,75106  o = 7 053,37 rad/s; fo = o/2 = 1 123,15 Hz. b) Z o  100 

200 200 U  100   101,01  I o   0,99A . 4 2 12 198 Zo 1  49,25 10  4 10 10 10 6

7.1.34. ----- a) Z  R 1  j Uslov rezonanse je: 2  o LR 2 R 2  o L 2

2

2



R  jL 1  2 C R 2  jL

1 0 o C



o 

 o L2 R 2 2

b) Z o  R 1 

R 2  o L 2



2

2

 5,2

Z  R1 

 LR 2 2 1    j  2 2 2 2 2  C   L  R2  L

 2 L2 R 2 R2

2

 rad   3713,91  .  s  R 2 LC  L R2

2

2



IC = I o 

U 50   9,615A. Z o 5,2

Z UC L Z C U   R  C  50  I o   0,02A   20mA.  50 Q  R R R Q U X ZC 1 1 2500 b) C = 1,6C   XC '  C   1,6    1562,5 X C ' X C 1,6 1,6  C 1,6 X' X L  X C ' 2500  1562,5  = 0; tg'     18,75   = 87;  =    =  = 87. R R 50 7.1.35. ----- a) Q 

7.1.36. ----- R = 40 ; L = 95,5 mH; C = 53 F . 7.1.37. ----- a) L = 2 mH; b) f1 = 2 430 Hz; f2 = 1 047 Hz; c) i = 2 sin ( t +  ) ; i1 = 0,52 sin ( 15 250 t + /3 ) ;

i2 = 0,52 sin ( 6 575 t + 2/3 ) .

7.1.38. ----- Realni kalem sadrţi otpornost RL i induktivnost L, a samim tim i napon na krajevima kalema iznosi U L e  U R  U L  402  1502  155,25V , jer je UL = UC = 150 V, a UR = U = 40 V. 2

2

7.1.39. ----- a) o = 3 590 rad/s;

b) Io = 9,615 A. ( Videti zadatak 7.1.33. )

7.1.40. ----- C = 200 F. 7.1.41. ----- Napunjeni kondenzator raspolaţe sa energijom: W C = Em2C/2 = E2C/2 ( jer je E = Em ). Priključenjem kalema energija kondenzatora prelazi u magnetnu energiju kalema, gde je W L = WC. Magnetna energija je jednaka: WL = LIm2/2  LIm2/2 = E2C/2  LIm2 = E2C. Kako je Im = Em/XL  LE2 / XL2 = E2C  L/C = XL2  L/C  1 o2L2 = L/C  o2 = 1/LC   o  LC ( Napomena! Kod energije uvek se radi sa maksimalnim vrednostima, jer LC elemente opterećuje  puni maksimalna vrednost naizmenične struje ).


248

  o L 0 j  o C  2 2 2  R L   o L  ZL ZL  L 0,85 0,85 0,85     9 10 8 F  90nF . 2 2 2 2 2 2250000  9859600  0 , 7225 9373561 1500  3140  0 , 85  o L

7.2.1. ----- o = 2fo = 3 140 rad/s;  Y 

C RL

2

7.2.2. ----- f o 

1 2 LC

RL

2

j

o L 2

 j o C 

 400 kHz; XL = XC  1 000 ; IC = IL = U/XC = 0,11 A; Kada doĎe do

antirezonanse admitansa ima samo realni deo ( konduktansu ) koja iznosi: Yo  Zo =

RC , pa je impedansa jednaka: L

L  100k ; Ukupna struja u napojnoj grani iznosi : Io = U/Zo = 110/100103 = 1,1103 A = 1,1 mA. CR

1  L2C2 L2 = 270 H; Usled oscilovanja ( nastala je antirezonansa ) L1 i L2, kao i C1 i C2 se u oscilatornom kolu nalaze u rednoj vezi, pa je L = L1 + L2; odnosno C = C1C2/(C1+C2); Kako je o2 = 1/LC  C1  C 2 1 1 1 2 2 ; 1o   L1  o   2 C1  C 2 L 1  C1 L1  L 2  C1C 2 1o  C1 L1  L 2  C1  C 2 C1  C 2 2  o    1    L 2  C1 C 2   2 C  1  1o    2 1 753610 3    270 10 6   C1  220 10 12  C1  220 10 12  C1 = 48,61012 F = 48,6 pF; 3 1099010  C1  1 C = 40 pF; L1   17510 6 F  175F  L = L1 + L2 = 445 F. 2 1o C1 7.2.3. ----- o = 2fo = 7 536103 rad/s; 1o = 10 990103 rad/s; 2o = 4 082103 rad/s;  2o  2





1   7.2.4. ----- a) Y  G  j C   ; b)  o  L  

1 LC

; fo 

1 2 LC

2

  2 2   U U U   2 2   U  1    2fC  1  = UY. c) I  I R  I C  I L        L  2fL  R  1 R     C  c) Ako doĎe do antirezonanse, gde je IL = IC, sledi da će ukupna struja kola biti jednaka struji kroz termogeni otpornik, jer se IL i IC meĎusobno poništavaju ( isti inteziteti pravac a suprotni smerovi ). Dakle, I = IR = U/R. 2

7.2.5. ----- IR = 1 A; IL = 0,637 A; C = 3,37 mF.

L 1 0 C  7.2.6. ----- Analizirajući izraz  o   o  sledi da je rešenje neodefinisano, L LC R 2  LC 0 C jer se dve nule ne mogu deliti. Kako nema rešenja tada je evidentno da frekvencija nema nikakvog uticaja na impedansu kola, a samim tim ovo je kolo u antirezonansi ( specijalan slučaj ). Dakle, za ovaj slučaj ( R = L/C ) kaţemo da je kolo u antirezonansi na svim frekvencijama, jer ukupna impedansa kola ne zavisi od frekvencije ( impedansa kola će imati samo termogenu otpornost – realan član ). U unutrašnjosti kola dolazi do oscilovanja reaktivnih struja, tako što će kalem prilikom punjenja kondenzatora davati energiju a nakon toga se kondenzator prazni preko kalema vraćajući mu reaktivnu energiju. Ova reaktivna struja, samim tim i energija ne opterećuje izvor. 1

R2 


249

Zo 

R  jX L  R  jX C  R  jX L  R  jX C

 709,2rad / s  XL = oL = 14,1 ; XC = 1/oC = 14,1 ;

1

Kada je R1 = R2 = R   o 

LC

L  200 R 2  X2 C    14,1 , jer je XL = XC = X = 14,1 . 2R L 2 C

L  200  14,1 C Vidimo iz kompleksnog rešenja impedanse da ona sadrţi samo realnu vrednost, pri navedenim uslovima ,što potvrĎuje predhodne tvrdnje da je kolo u antirezonansi (  = 0 ) a samim tim na impedansu kola frekvencija nema nikakvog uticaja ( antirezonansa je prisutna na svim frekvencijama ). Impedansu kola smo mogli kraće odrediti pomoći izraza Z o 

7.2.7. ----- Y o 

R

R  L  2

2

j

L

R  L  2

2

 j C 

R

R  L  2

2

Zbog  = 0 ( uslov antirezonanse )  L L 200 10 6 C  2 C 2  2 2 R  L  R  L  400  2  3,14 10 6  200 10  6 12 C = 125,1610 F = 125,16 pF.



1

7.2.8. ----- f o 

2 LC Io = IR = U / R = 100 mA.

 L  j C  2 L 2 R  



2



   

200 10 6 200 10 6   2 1577936 400  1256

 7,96kHz ; XC = XL = oL =1 000 ; ILo = ICo = U / XL = 10 mA;

7.2.9. ----- Yo = RC/L ( samo realni član kompleksne admitanse  konduktansa )  Zo = L/RC = 20 k; 7.2.10. ----- Zo = L/RC = 200 k; U = IoZo = 0,2103200103 = 40 V. 7.2.11. ----- a) Y 

R

R  L  2

2

j

L

R  L  2

2

 j C 

R

R  L  2

2

 L  j C  2 L 2 R  

   

Uslov strujne rezonanse je da je admitansa kola minimalna ( impedansa maksimalna ), tj da je njena reaktivna provodnost ( susceptansa ) jednaka nuli. Dakle,

R

Yo 

; C

L

 o 

 1 R2   1,83 10 6 rad / s  f o  o  292kHz . LC L2 2

R 2  L  R 2   o L b) Da bi prevladavala kapacitivna otpornost ( XC  XL  BC  BL ) susceptansa ( reaktivna provodnost ) mora biti pozitivna, tj. veća od nule  Y = G + j ( BC  BL ) . Sledi,

C

2

L

 

2

1 R2   1,83 10 6 rad / s  f  292 kHz. LC L2

R 2  L  c) Da bi impedansa kola imala induktivni karakter, susceptansa kola je negativna ( reaktansa pozitivna ). Kako je to suprotno od stavke pod b, sledi: f  292 kHz. 2

1  1   j / 2 mS ,  j C    0,01  j6,47mS  6,47 10 R  L  1 R b) f o  c) Q   1125kHz ;  R   o C  141,4.  2 LC oL

7.2.12. ----- a) Y 


250

7.2.13. ----- o 

1

 

 10 4 rad

s LC a)  = 0,8o = 8 000 rad/s; XL = L = 0,8 ; XC = 1/C = 1,25 ; U U U I R   1A ; I L    j12,5A ; I C   j8A ; I  I R  I L  I C  1  j4,5A. R jX L  jX C b)  = o = 104 rad/s; XL = XC = oL = 1 ; IR = U/R = I = 1 A; IL = IC = U/XL = 10 A. c)  = 12 500 rad/s; XL = 1,25 ; XC = 0,8 ; IR = 1 A; IL = j8 A; IC = j12,5 A; I = ( 1 + j4,5 ) A.  XC XC 8 8,34 6  6   j    0 2 2 2 2  69,5  X  100 69,5  X C 100 100 69,5  X C C   XC2  16,7XC + 69,5 = 0  XC(1/2) = ( 16,7  0 ) / 2 = 8,35   C = 1/oXC = 24106 F = 24 F.

7.2.14. ----- XL = 6 ; Y 

   10  X L  0   125 4  X L 2 4  XL  XL2  12,5XL + 4 = 0  XL1 = 12,17  i XL2 = 0,33   L1 = oXL1 = 2,434 mH i L2 = oXL2 = 66 H. 2

7.2.15. ----- XC = 10 ; Y 

2



 10 XL 5  j   125  125 4  X L 2

 C1  2 L 1 C1  1 1    j 7.2.16. ----- Z1  j L1   Y1   j 2 ;  C  C  L 1 C1  1 1  1   1 Z1  j L 2  C 2 

 2 L 2 C 2 1 C 2   j  Y2  j 2 . C 2  L 2 C 2 1    C1 C 2    2 Ukupna impedansa kola iznosi: Y  Y 1  Y 2   j 2    L 1 C1  1  L 2 C 2  1  C1  2 L 2 C 2  1  C 2  2 L1 C1  1 . Y  j  2 L 1 C1  1   2 L 2 C 2  1 Kod rezonanse admitansa kola je maksimalna ( Y =  ), odnosno impedansa je najmanja ( Z = 0 ). Kako kolo sadrţi savršene LC elemente impedansa, kao i admitansa ima samo imaginarni deo ( reaktansu, odnosno susceptansu ). Dakle, kod rezonanse admitansa je beskonačna ( Z = 0  struja maksimalna ), a to će se dogoditi ako je u imeniocu nula, pa sledi: ( 2L1C1  1 )( 2L2C2  1 ) = 0  o12L1C1  1 = 0; i o22L2C2  1 = 0  o1 = 1 000 rad/s i o2 = 500 rad/s.

 

 







Antirezonansa će nastati kada je admitansa jednaka nuli ( impedansa beskonačna  ukupna struja kola će biti jednaka nuli ). To će se dogoditi kada je brojilac kod admitanse jednak nuli. Dakle, C1( 2L2C2  1 ) + C2( 2L1C1  1 ) = 0  3o = 0 rad/s; C1(4o2L2C2  1 ) + C2( 4o2L1C1  1 ) = 0  4o2 C1C2L2  C1 + 4o2C1C2L1  C2 = 0  C1  C 2 2  4o    4o  707,11 rad/s. C1 C 2  L1  L 2  7.2.17. ----2 R  jX C  jX L R X X  R 2 X L X L  X C  R 2 X L  X L X C X L  X C  Z  R1  2  R 1  2 L C2  j 2 2 2 R 2  jX L  X C  R 2  X L  X C  R 2  X L  X C  Strujna rezonansa će nastati kada je susceptansa jednaka nuli, odnosno, kada je: 2 R R22XL  XLXC XL  XC ) = 0  X L  2  X C = 4   L = XL/ = 2 mH. XC

Zo  R1 

R 2 X L X C  R 2 X L X L  X C  R 2  X L  X C  2

2

 6

U = 24e j 45 = 24 cos (45) + j sin (45) = 12 2  j 12 2


251

j45

U 24  e    4  e  j45 = 4 ( 2/2  j 2/2 ) = 22  j 22  i = 4 2 sin ( 2 000 t  45 ) . Zo 6  e j0 UL = U  IR1 = 122  j 122  ( 22  j 22 )2 = 122  j 122  42 + j 42 = 82  j 82  UL = 16e j 45 UL 16  e  j45 I1    4 2  e j0  i1 = 8 sin 2 000 t . Z R 2C 2 2  e  j45 I

16  e  j45  4  e  j135  i2 = 42 sin ( 2 000 t  135 ) . ZL 4  e j90 S = UI =  122  j 122 )( 22 + j 22 ) = 48 + j 48  j 48 + 48 = 96 = P + j Q  P = 96 W. I2 

UL



7.2.18. ----- C = 100 F. b) IL = ( 0,01  j0,049 ) A; IC = j 0,049 A; I = 0,01 .

7.2.19. ----- a) f = 312 Hz;

7.2.20. ----- a) f = 493 Hz; b) I1 = ( 0,45 j 0,14 ) ; I2 = ( 0,25 + j 0,14 ) ; I = 0,7 . 7.2.21. ----- a) Kroz kondenzator protiče aktivna i reaktivna komponenta struje pa se provodnost dielektrika moţe predstaviti paralelnom otpornošću R ( vidi sliku 178 ). U Ia 1 1 1 tg   R   R   200 . I x U C R  C Ctg 0,5  0.01 Rednu vezu LC sada moţemo zamenuti ekvivalentnom mešovitom vezom RLC, kao na slici: C A 

L

B

D R

o

o

XL = L = 100 ; XC = 1/C = 100   Z = ( 40 + j20 )   I = U/Z = ( 4  j 2 ) A. Napon na kondenzatoru je: UBD = U  IjXL =  j 400 V. Struja kondenzatora iznosi: IC = UBD/j100 = 4 A. a otpornika R ( dielektrika ): IR = UBD/R =  j 2 A.

Snage su jednake: SL = jXLI2/2 = j 1000 VA; SBD = UBDI/2 = ( 400  j 800 ) VA; a na pojedinačnim delovima kola: QL = SL = 1000 VAR; QC =  800 VAR ( kap. ); PR = 400 W. U

IC f.o.

 IR

UL

I

UBD

7.2.22. ----- Zbog XL2 = XC2 u paralelnoj grani je došlo do antirezonanse, pa je ovaj deo kola beskonačne impedanse, tj. Z2 = . U kolu ostaju elementi R1, R2, XL1 i XL2, koji su redno povezani. Kako je XL1 = XL2 u ovom rednom kolu dolazi do rezonanse ( nap. rezonanse), pa je impedansa kola jednaka: Z = R1 + R2 = 150 . a) ukupna struja u kolu je: I = U/Z = 1 A; Napon na paralelnoj vezi R2L2C2 iznosi: U2 = IR2 = 100 V. Struja kroz L2 je: IL2 = U2/jXL2 = 100/j100 =  j 1 A. Struja kroz kondenzator C2 iznosi: IC2 = U2/j XC2 = 100/ j100 = = j 1 A. Naponi na preostalim ( rednim ) elementima su: UL1 = IjXL1 = j 50 V; UC1 = I(jXC1 ) =  j50 V; UR1 = IR1 = 50 V.


252

b) faktor dobrote iznosi: Q = XL/Re = 50 / ( 50 + 100 ) = 1/ 3 . c) UR1

UL1

UR2 = UL2 = UC2

IC2 UR1

UC1

UR2 = UL2 = UC2 U

I

f.o.

IL2 UC1

7.2.23. ---- Rezonanse po granama nastaju kada su ispunjeni sledeći uslovi: 1 1 za prvu granu: o1 L1  ; i za drugu granu:  o 2 L 2  . o2 C 2 o1C1

 o1 

1 L 1 C1

 s  f

 5  105 rad

o1

= 79,58 kHz;  o 2 

1

 s  f

 3,33 10 5 rad

L2C2

o2

= 53,07  kHz.

Kruţna učestanost pri kojoj dolazi do antirezonanse ( strujne rezonanse ) je ( zbog R 1 = R2 ): L 2 R1  1 1 C  ao    . L 2 LC R  LC 2 C Pojavom antirezonanse elementi R1,L1,C1,R2,L2 i C2 čine oscilatorno kolo. Da nema R1 i R2 oscilacije bi bile idealne, tj. ovo oscilatorno kolo bi radilo tako da ono nema nikakvog uticaja na struju izvora ( ukupna struja kola bi bila jednaka nuli ). To znači da struja izvora, koja je u fazi sa ukupnim naponom, pokriva samo Dţulove gubitke na otporima R1 i R2 i ona ima najmanju vrednost. Kako su elementi u oscilatornom kolu u rednoj vezi, sledi da je ekvivalentna induktivnost jednaka: L = L1 + L2 = 50 mH, a kapacitivnost: C C C  1 2  120pF . C1  C 2 Antirezonantna kruţna učestanost iznoai: 1  ao   4,08 10 5 rad s 3 12 50 10 120 10

 

 fao = ao/2 = 64,994 kHz.

7.2.24. ----- a) Kompleksna impedansa kola je jednaka: 1   1   L 1 L 1  jL  j  j    C   C   C 2 C 2 C 2 C 2 Z   j   jX 1 1 2 2   jL  j j L  j L   C C C C  

Impedansa je jednaka nuli, kada je brojilac jednak nuli, tj. kada je: i kada je imenilac jednak beskonačno, tj. L 

L 1   1  C 2 C 2

1 LC

2    2  . C


 0 .

253

2 L  1 1 1  C . j j Kompleksna admitansa je jadnaka: Y   L 1 Z  jX X  C 2 C 2 2 L 1 Dakle, admitansa je jednaka nuli kada je: L   0 i kada  2 2  C C  C 2 , odnosno 4  . LC 1 i 2 predstavljaju rezonantne kruţne učestanosti, dok 3 i 4 antirezonantne kruţne učestanosti.

Sledi: 3 

7.2.25. ----- Na antirezonantnoj frekvenciji ukupna struja kola je jednaka nuli ( najmanja ), jer je oscilatorno kolo idealno ( nema aktivnog otpornika R ). Admitansa oscilatornog kola, tj. antirezonantnog kola ( C, C i L/2 ) iznosi: C  2 LC  2  2C 1 1 2C Yo  Y2  Y3  0    0  jC  j 2 0 j  1  LC  2  2 LC  2  L 1  j j   C  2 C 



Yo  j







C  2 LC  4  jB  0  2 LC  2

Kako je admitansa jednaka nuli, jer je ona jednaka susceptansi ( nema R ), sledi, na osnovu izraza za admitansu kola: 1) C  2 LC  4  0 2)  2 LC  2   . Rešenjem ovih jednačina dobiju se sledeća tri rešenja: 2 1 = 0;  2  i 3  . Ovo su ujedno antirezonantne kruţne učestanosti. LC Čitaocu se preporučuje da odredi rezonantne kruţne učestanosti.









1 1 ( kruţna učestanost pri kojoj dolazi do antirezonanse ).  0  o  L LC b) Efektivne vrednosti struja po granama iznosi:

7.2.26. ----- a) Y o  jC  j

IR = 0; IL = IC = U/oL = UC = U/ZC; gde je Z C 

7.2.27. ----- a) Y o 

R1

1 C

R2

j = G + JB = G . 1 1 2 R  2 2 C 2 2 C 2 Kako je kod antirezonanse susceptansa ( imaginarni deo admitanse ) jednak nuli, sledi: 1 L C L 2 2 C  2   2  CR 1  C 2 L2  R 2  2 C 2 L  L  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R 2  C 1 R1   L R 2  C 1 R1   L R 1   2 L2 2

j

L

L . C

R 1   2 L2 2



R2  2

2 C 2 2 2 R 2  2 LC 2  R 1   2 L2 C  L  0  1(2500103)2 3106 C2  ( 4 + 425002106321012 ) C + 3106 = 0. 29,58106 C2  92,74 C + 3106 = 0 



C1 



92,74  92,74 2  4  29,58 10 6  3 10 6

2  29,58 10 C1 = 3,086 F; C2 = 0,03262 F = 32,57 nF. 2

6



92,74  8600,1  354,96 59,48 10

6



92,74  90,8  59,48 10 6

b) Za C1 = 3,086 F  XL = L = 31401033106 = 9,42 ; XC =1/C1 = 1/31401033,086106 = 0,1032 ;


254

Z  Rg 

R 1  jX L  R 2  jX C  R 1  jX L  R 2  jX C

 50 

2  j9,42 1  j0,1032  50 + 0,989 –j 0,0005 2  j9,42  1  j0,1032

 Z = Zo  51 .

E 100   1,96A  P = Io2Re = 1,9620,989 = 3,84 W. Zo 51 Za C2 = 32,57 nF  XC = 1/C2 = 1/314010332,57109 = 9,78   2  j9,42 1  j9,78  50  31,33 –j 0,38  Z = Z   81,33  Z'  50  o 2  j9,42  1  j9,78 Io = E/Zo = 100/81,33 = 1,23 A  P = Io2Re = 1,23231,33 = 47,37 W. Io

7.2.28. ----L

2C  C 2  C 2C  C 3  1   jL   jL  j C e  L  3 2 LC e  2  Z  jL  j 1 2 2 LC e  1 jL  jL  j C e Ce 

L

L

Ce





a) Z = jX  Zo = j 0 ( X = 0 )  L( 32LCe  2 ) = 0  o1 = 0; o22 = 2/3LCe   o 2  2

2  o2  2 3L  C 3

1 LC

( 22LCe  1 )    o3  . Admitansa za dato kolo iznosi: Y 

e)

2 2 LC e  1 1  j   jB Z L  3 2 LC e  2





Kako je kod admitanse B = 0  22LCe  1 = 0   o 4 

1



2LC e

1 2 2L  C 3



1 2

3 LC

i

L( 32LCe  2 )    o5  .  8   XC 8,34 6    j   7.2.29. ----- Y   .  100 69,5  X 2   69,5  X 2 100  C  C    Kako je susceptansa jednaka nuli,kod antirezonanse, sledi: XC 6 2   X C  4,17  0,06X C  6XC2  100 XC + 417 = 0 2 100 69,5  X C

XC1  2

100  10000 4  6  417 100  0   X C1  X C 2  X C  8,33  C = 1/XC = 24 F. 26 12

 XL 2 5   10  j  7.2.30. ----- Y    4  X 2 125   125 4  X 2 L L   

   10  X L  10X L 2  40  125X L  125 4  X L 2 

12,5  156,25  16 12,5  11,843   2 2 XL1 = 12,17   L1 = XL1/ = 2,43 mH; XL2 = 0,3285   L2 = 0,3285/5000 = 65,7 H. XL2  12,5 XL + 4 = 0  X L 1  2

7.2.31. ----- Tačan odgovor je pod c, jer pri pojavi antirezonanse ( savršeno LC kolo ) impedansa kola postaje beskonačna ( ukupna struja u kolu je jednaka nuli ). Struja je prisutna samu u oscilatornom kolu, tj. na LC elementima, koja naizmenično oscilira ne opterećujući izvor.


255 8.1. ----- a) U = I1 Z1 + I2 Zm …………. ( 1 ) 0 = I2 Z2 + I1 Zm …………. ( 2 ) gde je Z1 = R1 + jL1  j 1/C1; Z2 = R2 + jL2  j 1/C2 ; Zm =  jLm ( predznak minus je zbog toga što se fluksevi meĎusobno suprostavljaju ); L m  k L 1 L 2 .

Zm I1 Z2 Uvrštavanjem struje I2 u prvu jednačinu, slede rešenja: UZ 2 Z m U , odnosno I 2  I1  2 2 Z1 Z 2  Zm Z1 Z 2  Zm c) Ulazna impedansa je jednaka količniku ulaznog ( ukupnog ) napona i ulazne ( ukupne )struje. Z2 U Dakle, Z ul  .  I1 Z1 Z 2  Zm 2 b) Iz druge jednačine sledi: I 2  

8.2. ----- Z ul = ( 40 + j 40 ) ; 8.3. ----- E = I1 Z1 + I2 Zm



10 = I1 jL1  I2 jLm ................. ( 1 )

0 = I2 Z2 + I1 Zm



0 = I2 ( jL2 + ZP )  I1 jLm ....... ( 2 );

Lm = k L 1  L 2 = 1.

Rešenjem sistema jednačina ( dve jednačine sa dve nepoznate ) slede rešenja struja : I1 = (  5  j5 )  i I2 = ( 5  j5 )   I2 = 52   P = I22R = ( 52 )21 = 50 W. 8.4. ----- E  jL2 I2  jLm I1 = 0  j10  j50 I2  j100,2 = 0  I2 = 0,16 . US  jL1 I1  jLm I2 = 0  US = jL1 I1 + jLm I2 = j200,2 + j10 I2 = j4 + j1,6 = j5,6  US = 5,6 V. 8.5. ----- U = I1 jL  I2 jLm ........ ( 1 ); 0 = I2 ( jL + jL )  I1 jLm ...... ( 2 ); gde je Lm = k L  L = L; U = jL ( I1  I2 ), a iz druge jednačine sledi I1 jL = 2 I2 jL  I2 = I1/2 U = jL ( I1  I1/2 )  U = I1 jL/2  U / I1 = jL/2 = jLe  1 L e  L  0,5mH. 2 8.6. ----- U  jL1 I + jLm I  jL2 I + jLm I = 0, gde je L m  k L 1  L 2  80. U = j I ( L1 + L2  2Lm )  10 = j4 I  I = 10/j4 =  j2,5 . U2 = I ( jL2  jLm ) =  j40 V  U2 = 40 V. 8.7. ----- Kako su iste induktivnosti i uzajamne induktivnosti, iste su i otpornosti paralelnih grana, pa su i struje u tim granama jednake. Dakle, I1 = I2 , dok je ukupna struja jednaka: I = I1 + I2. Lm  k LL  L.

U = jL I1 + jLm I2  jLe I = jL2 I1  Le = L ( I = 2I1 ). 8.8. ----- Zatvarajući konturu preko kratke veze, prema drugom Kirhofovom pravilu sledi jednačina: U  jL I + jLm I1 = 0 ….. ( 1 ); jL I1  jLm I = 0 ……. ( 2 ). L k LL Iz druge jednačine sledi: I1  m I  I  0,5I . L L U = jL I  jLm I1 = jL I  0,5jLm I = jL I  0,5j0,5L I = I ( jL  0,25jL ) = I j0,75L U Z ul   jL e  j  0,75L  Le = 0,75 L = 3 mH. I 8.9. ----- Z m  L m  k L  L  L  Z1  Zm =  j Zm =  jL. 0 = I2 Z2 + I1 Zm  0 = j2L I2  jL I1  I1 + 2 I2  I2 = I1/2 = 0,1 A. US = I1 jL  I2 jLm = jL ( I1  I2 ) = j20( 0,2  0,1 ) = j2 V. S = UI1 = j2 0,2 = j0,4 VA.


256

8.10. ----- U = I1 jL  I2 jLm …… ( 1 ); 0 = I2 jL  I1 jLm ………… ( 2 ); Lm = L, a iz druge jednačine I1 = I2. Uvrštavanjem struje I2 u prvu jednačinu sledi rešenje: U = jL I1  U Z e  jL e   jL  Le = L I1 8.11. ----- k = 1; L = Lm; U  jL I1 + jLm I2  jL I2 + jLm I1  jL I1 = 0  U = jL ( I1  I2 + I2  I1 + I1 ) = jL I1  U Z ul  jL e   jL  Le = L. I1 8.12. ----- L m  k L 1 L 2  2mH a) Kratko spojene tačke B i C, a za izvode koriste se tačke A i D: b) Kratko spojene tačke B i D, a za izvode koriste se tačke A i C:

Le = L1 + L2 + 2Lm = 9 mH. Le = L1 + L2  2Lm = 1 mH.

8.13. ------ L m  k L 1 L 2  L m  k L 1 L 2  0,2 5  5  1 U = I1 ( jL1  j1/C1)  I2 jLm ………………………………… ( 1 ) I1 ( jL1  j1/C1 )  I2 jLm = I2 ( jL2  j1/C2 )  I1 jLm ….. ( 2 ) I = I1 + I2 …………………………………………………………..( 3 )  I2 = I  I1 Iz druge jednačine sledi: I1 ( j5  j10 )  I2 j1 = I2 ( j5  j3 )  I1 j1   j4 I1 = j3 I2  I1 =  0,75 I2. Kada uvrstimo I1 u prvu jednačinu, sledi: U = 0,75I2 ( j5  j10 )  I2 j1 = j2,75I2  I2 =  j U/2,75 I =  0,75 I2 + I2 = 0,25 I2 = 0,25(j U/,75 )  2,75/(j0,25) = U/I = Zul  Zul = j 11 . 8.14. ----- I = I1 + I2 …………………………………. ( 1 ) U = jL1 I + jLm I1 + jL2 I1 + jLm I …. ( 2 ) jL2 I1 + jLm I = ZI2 …………………… ( 3 ) Rešenjem navedenog sistema jednačina, slede vrednosti struja po granama: I =  j10 ; I1 = j6 ; I2 = j4 . Napon na impedansi iznosi: UZ = ZI2 = 64 V. 8.15. ----- I = I1 + I2 ……………………………………….…( 1 ) U = jL1 I  jLm I1 + jL2 I1  jLm I + R1 I …… ( 2 ) jL2 I1  jLm I = ZI2 …………………………….. ( 2 ) 700 = ( I1 + I2 )( 50 + j10 ) + j40 I1  700 = ( 50 + j50 )I1 + ( 50 + j10 )I2 0 = ( I1 + I2 )j5  j45 I1 + 40 I2  j85 I2  0 =  j40 I1 + ( 40  j80 )I2  I1 = ( 2 j1 )I2 700 = ( 50 + j50 )( 2 I2  j I2 ) + ( 50 + j10 )I2  I2 = j5 A. I2 = j5 ; I1 = ( 5  j10 ) ; I = ( 5  j5 ) ; UZ = I.2Z = j5( 40  j85 ) = ( 425 + j 200 ) V. 8.16. ----- I = I1 + I2 ………………………………………………... ( 1 ) U = jL1 I  jLm I1 + jL2 I1  jLm I + R2 I1 + R1 I ……. ( 2 ) R2 I1 + jL2 I1  jLm I = ( R3  j1/C )I2 …………………( 3 ) 204 = ( 2 + j4 )I + ( 2 + j12 )I1 ( 2 + j16 )I1 j4 I = ( 31,5  j34,5 )(I  I1 )

 

204 = ( 2 + j4 )I + ( 2 + j12 )I1 ( 233,5  j18,5 ) I1 = ( 31,5  j30,5 )I.

I1 = ( 1,106  j0,28 )I 204 = ( 2 + j4 )I + ( 1,106  j0,28 )I(2 + j12 ) = ( 7,572 + j16,712 )I  I = ( 4,589  j10,128 ) . Konačna rešenja iznose: I = ( 4,589  j10,128 ) ; I1 = ( 2,24  j12,486 )  i I2 = ( 2,349 + j2,358 ) .


257

  1 8.17. ----- a) U   R 1  j L 1   C1     1 0   R 2  j L 2   C 2  







U  R 1  j L 1  jX C1 I 1 

  I 1  jL m I 2  

 jL m I 1  I 2  jL m I 1  I 2    1  R 2  j L 2  C 2 

  

 j L m  2

2  2 L m I 1  I 1  R 1  jX L1  jX C1   R 2  jX L 2  jX C 2  1    R 2  j L 2  C 2  

   

2

Xm U  R 1  jX L1  jX C1   11  j11  jX C1 . I1 R 2  jX L 2  jX C 2 Kako je prividna snaga jednaka aktivnoj, sledi da je napon u fazi sa strujom, odnosno ekvivalentna impedansa ima samo aktivnu komponentu (  = 0 ). Dakle, Z ul = 11   XC1 = 11 . Z ul 

b) P = S = 2 200 W  P = I12Rul  I12 = 2 200/11 = 200  I1 = I1 = 102 A. U = I1 Zul = 10211 = 1102 V. ( U i I1 su u fazi ). 8.18. ----- Z m   jX m   jL m   jk L 1 L 2   jk L 1 L 2   j  0,5  2  2   j1 . U = I1 Z1 + I2 Zm  10 = ( 1 + j2 ) I1  j1I2 ………………….... ( 1 ) 0 = I2 Z2 + I1 Zm  0 = ( 1 + j2 )I2  j1I1  I1 = ( 2  j1 )I2 …. ( 2 ) 10 = ( 1 + j2 )( 2  j1 )I2  j I2  10 = ( 4 + j3 )I2  jI2 = ( 4 + j2 )I2  I2 = ( 2  j1 ) A; I1 = ( 3  j4 ) A. Zul = U / I1 = 10 / ( 3  j4 ) = ( 1,2 + j1,6 ) . U21 = jLm I1

UL1 UL2

UR2



U12 = jLm I2

U

f.o.



UR1

I2 I1


258 8.19. ----- Zm =  jLm = j3 ; U = I1 Z1 + I2 Zm  U = ( 2 + j5 )I1  j3 I2 …………….. ( 1 ) 0 = I2 Z2 + I1 Zm  ( 3 +j3 ) I2 = j3 I1 ………………….. ( 2 ) ( 3 + j3 )2 = j3 I1  I1 = ( ( 2 j2 ) . U = ( 2 + j5 )( 2  j2 )  j6 = 14 + j6  j6 = 14 V, UR1 = R1 I1 = ( 4 +j4 ) V; UL1 = jL1 I1 = ( 10 + j10 ) V; Um1 =  jL1 I2 =  j6 V; UR2 = R2 I2 = 6 V; UL2 = jL2 I2 = j 10 V; Um2 =  jLm I1 = ( 6  j6 ) V; UC = (  j/1C )I2 =  j4 V. UL2 UC UL1 Um2

Um1 U

f.o.

UR1 I1 8.20. ----- E1 = I1 Z1 + I2 Zm ……… ( 1 ) E2 = I2 Z2 + I1 Zm ……… ( 2 ) Gde je :

E1 =  10 V; E2 = j 10 V; Z1 = j ( XL1  XC1 ) =  j1  ; Z2 = jXL2 = j2 ; Z m  jk L 1  L 2  j1. Rešenjem navedenog sistema jednačina dobiju se etruje u kolima, koje iznose: E Z  E 2 Z m 10  j20 E Z E Z A i I 2  2 1 1 2m  10  j10 A. I1  1 2  2 3 3 Z1 Z 2  Z m Z1 Z 2  Z m a) Kompleksne snage na generatorima iznose: 10  j20 100 200 S1 = E1I1 =  10  VA  i S2  E 2 I   j10  10  j10  100  j 200 VA .  j 3 3 3 3 3 3 P1 =  100/3 W; Q1 =  100/3 VAr; P2 = 100/3 W ; Q2 = 200/3 VAr. Kako je aktivna snaga prvog generatora negativna, on se ponaša kao potrošač ( troši energiju ). Aktivna snaga koju daje drugi generator jednaka je aktivnoj snayi koju troši prvi generator. To je logično, jer je kolo sastavljeno od savršenih reaktivnih elemenata. b) UL1 = I1 jXL1 = ( 40 + j 20 )/3 V; UC = I1(jXC ) = (20  j 10 ) V ; Um1 = I2 Zm = (10 + j 10 )/3 V; UL2 = I2 jXL2 = (20 + j20 )/3 V; Um2 = I1 Zm = ( 20 + j10 )/3 V. Na osnovu ovih podataka nije teško nacrtati fazorski dijagram, što se ostavlja da to uradi čitalac. 8.21. ----- E = I1 Z1 + I2 Zm ......... ( 1 ) E = I2 Z2 + I1 Zm ......... ( 2 ) gde je: Z1 = j ( XL1  XC ) = 0 ; Z2 = R + jXL2 = ( 1 + j2 ) ; Zm = jk X L1  X L 2 = j1 . Uvrštavanjem ovih vrednosti u navedene jednačine slede rešenja struja u induktivno spregnutom kolu, koja iznose: I1 = ( 10 + j10 ) A; I2 =  j10 A; I = I1 + I2 = 10 A. 8.22. ----- a) U = I1 Z1 + I2 Zm ..... ( 1 ) 0 = I2 Z2 + I1 Zm ....... ( 2 )  I 2  

Zm I1 Z2

 Z Z  Zm2   ; gde je: I1  I1  1 2   Z2 Z 2   Z1 = R1 + j ( XL1  XC1 ) = ( 6  j10 ) ; Z2 = R2 + j ( XL2  XC2 ) = ( 4  j5 ) ; U  I 1 Z1 

Zm

2

Z m   jk X L1 X L 2   j  0,3 150   j3,67 .


259 U Z1 Z 2  Z m 6  j10 4  j5   j3,672  7,32  j8,35.   I1 Z2 4  j5 2

Z ul 

U 100   5,94  j6,77A. Z ul 7,32  j8,35 S = UI = 100( 5,94 – j6,77 ) = ( 594 – j677 ) VA.

b) I1 

8.23. ----- Umesto dva redno vezana kondenzatora kapaciteta 2C2 moţemo uzeti ekvivalentni kondenzator 2C 2  2C 2 kapaciteta C e   C 2 ; Z1 = jL1 = j5 ; Z2 = j( L2  1/Ce ); Zm =  j7 . 2C 2  2C 2 U = I1 Z1 + I2 Zm ...... ( 1 ) ; U = I2 Z2 + I1 Zm ........ ( 2 ) i I = I1 + I2 ......... ( 3 ). Iz prve jednačine sledi: U  I 2 Zm U  I1 Z m ; a iz druge: . I1  I2  Z1 Z2 2 U  I1 Z m U Z 2  U Z m  I1 Z m U Zm 2 Z2 Z2 U Z 2  U Z m  I1 Z m Z2  Zm I1     I1  U. 2 Z1 Z1 Z1 Z 2 Z1 Z 2  Z m

U I2 

Z2  Zm Z1 Z 2  Z m

2

UZ m

Z2

I  I1  I 2 

 Z Z  Zm 2 U1  2 m 2  Z1 Z 2  Z m   Z2

Z 2  Z m  Z1  Z m Z1 Z 2  Z m

Z Z  Zm U Z ul   1 2 I Z1  Z 2  2Z m 2

2

U

   

Z1  Z 2  2 Z m Z1 Z 2  Z m

j5  Z 2   j1

2

Z1 Z 2  Z m  Z 2 Z m  Z m 2

Z2

2



Z1  Z m 

Z Z 1

2

 Zm

2

U

U

2

j5  Z 2  2   j1

Z1 Z 2  Z m

U

2

  j7 

j5  Z 2  1 Z 2  j7

  j7  1  j5  Z 2   j7  Z 2  49 

Z2 =  j4   Z2 = XL2  XC =  4  XC = XL2 + 4 = 9 . Dakle, ukupni kapacitivni otpor druge grane iznosi 9 . Kako su u toj grani vezana dva kondenzatora na red njihove pojedinačne otpornosti iznose po 4,5 . 8.24. ----- U = I1 Z1 + I2 Zm  1 = 0Z1 + j2Zm  Zm =  j0,5  Zm = 0,5 . Z m  L m  k L 1  L 2  0,5

k

L m L 1  L 2

 0,25.

8.25. ----- Ukupna aktivna snaga kola iznosi: P = I2( R1 + R2 ) , te je R1 + R2 = P/I2 = 100/4 = 25  R2 = 25  R1 = 15 . Kada su kalemovi vezani u istom smeru ( fluksevi se sabiraju ) ukupna impedansa kola iznosi. Z1 = R1 + R2 + jL1 + jLm + jL2 + jLm = R1 + R2 + j( L1 + L2 + 2Lm )  U 2 2 Z1  R 1  R 2   L1  L 2  2L m    50 I1 2 2 L1  L 2  2L m  Z1  R 1  R 2   2500  225  43,2 . a kada su kalemovi povezani suprotno ( fluksevi se oduzimaju), tada je ukupna impedansa kola: U 100 2 2 Z2 = ( R1 + R2 ) + j ( L1 + L2  2Lm )  Z 2  R 1  R 2   L1  L 2  2L m  =   40 . I 2 2,5



L1  L 2  2L m  Z 2  R 1  R 2   31,3 . 2

2

3140,05 + 314L2 +628Lm = 43,2 ........... ( 1 ) 3140,05 + 314L2  628 Lm = 31,3 ......... ( 2 )


260 31,4 + 628 L2 = 73,5  L2 =0,067 H = 67 mH. 628 Lm = 43,2  15,7  3140,067 = 27,5  21,04 = 6,46  Lm = 0.01 H = 10 mH. Lm 0,01 0,01 k    0,17. L1 L 2 0,05  0,067 0,058 8.26. ----- I1 = I2 + I3  I3 = I1  I2 ..................................... ( 1 ) U = jXL1 I1 + jXm I2  jXC1 I3 .................................. ( 2 ) 0 = jXm I1 + jXL2 I2  jXC2 I2 + jXC1 I3 .................... ( 3 ). Zamenom prve jednačine u druge dve nastaju jednačine: U = jXL1 I1 + j Xm I2  jXC1 ( I1  I2 )  j10 = j1 I1 + j2 I2 ................... ... ( 1 ) 0 = jXm I1 + j ( XL2  XC2 ) I2 + jXC1 ( I1  I2 )  0 = j2 I1 + j( 1  XC2 ) I2 ........... ( 2 ). Iz jednačine 1 sledi rešenje struje I1, koja iznosi: I1 = 2 A. Zamenom struje I1 u jednačinu 2 sledi: 0 = j4 + j4 ( 1  XC2 ), te je rešenje reaktanse XC2 = 2 . 8.27. ----- a) I = I1 + I2  I2 = I  I1 …. ( 1 ) jL1 I1 + jLm I2 + R2 I2  R2 I2  jL2 I2  jLm I1 = 0 …. ( 2 ) Uvrštavanjem prve jednačine u drugu, te daljim sreĎivanjem nastale jednačine, slede izrazi za jačine struja po granama: Z1  Zm R 2  jL 2   jL m I1  I  I1  I R 1  jL1   R 2  jL 2   2 jL m Z 1  Z 2  2Z m Z1  Z m R 1  jL1   jL m I2  I  I2  I. R 1  jL1   R 2  jL 2   2 jL m Z 1  Z 2  2Z m Gde je: Z1 = R1 + j L1, Z2 = R2 + jL2, Zm = jLm

( L m  k L 1 L 2 ).

b) US  R1 I1  jL1 I1  jLm I2 = 0  US = Z1 I1 + Zm I2. Zamenom kompleksnih izraza za struje sledi: Z1 Z 2  Zm I , gde je US = UAB. Z 1  Z 2  2Z m 2

US 

c) Z ul 

US I

Z1 Z 2  Zm Z 1  Z 2  2Z m 2



8.28. ----- a) Koristeći jednačine iz predhodnog zadatka ( veza – šema je ista ) slede rešenja za struje: I1 = (100  j150) = 180,3ej56,3 mA; I2 = (25  j125 ) = 127,5ej101,3 mA; I = (75  j275 ) = 285ej74,7 mA.. b) jLmI2 R2I2

R1I1

jL1I1 jL2I2

I2 I1

U jLmI1

f.o.

Poloţaj fazora u odnosu na struje je: jL1I1  I1; jL2I2  I2; jLmI1  I1 ; jLmI2  I2; R1I1 u fazi sa I1, a R2I2 u fazi sa I2

I I2


261 8.29. ----- a) U  R1 I  jL1 I + jLm I  jL2 I +jLm I  R2 I = 0 . Kako nije data nijedna početna faza, pa se za napon U moţe usvojiti U = 16 V. Rešenjem navedene jednačine kompleksni izraz za struju iznosi: I = 0,2  j0,2 . b) U12 = I R1 = 2  j2 V; U23 = jL1I  jLm I = 2 + j2 V; U34 = jL2 I  jLm I = 6 + j6 V i U45 = I R2 = 6  j6 V. c) U34

U45 U

U23

U12

f.o.

I 8.30. ----- a) Primenom Kirhofovih pravila, za dato kolo odgovaraju sledeće jednačine: I = I1 + I2 .......................................................... ( 1 ) U  jL I  jLm I1  jL I1  jLm I = 0 ........ ( 2 ) i R I2  jL I1  jLm I = 0 ...................................( 3 ); gde je Lm = kL  Xm = Lm = k L = 0,540 = 20 . Rešenjem navedenog sistema jednačina, slede rešenja struja, koja iznose: I1 = (  0,3 + j0,1 ) = 0,316ej59 ; I2 = ( 0,6  j0,6 ) = 0,845ej45 ; I = ( 0,3  j0,5 ) = 0,583ej59 . b) U12 = I jL + I1 jLm = 18 + j6 V; U23 = I2 R = 6  j 6 V. c) jLI jLmI1 U12

I1 

U23



U

f.o.

U23 jLI1 jLmI1

I I1

I2

8.31. ----- a) E  jL2 I2  jLm IS = 0  j5 = j50 I2 + j2  I2 = 0,06   I2 = 0,06 . b) US  jL1 IS  jLm I2 = 0  US = jL1 IS + jLm I2 = j4,6 V  US = 4,6 V. 8.32. ----- L1 = L2 = XL/ = 10103 H  Lm = kL = 6103 H US  ( R1 + jL1 )IS + jLm I2 = 0 ......... ( 1 ) ; gde je IS = 1 A. ( R2 +jL2  j1/C )I2  jLm I1 = 0 ...... ( 2 )  I2 = j0,6 . US = ( 13,6 + j 10 ) V  S1 = USIS = ( 13,6 + j 10 ) VA. 8.33. ----- U = jL1 I1 + jLm I2 …. ……………… ……….. ( 1 ) idući kratkom vezom; jL2 I2 + jLm I1 = 0 …………………………….( 2 )  I2 =  I1 Lm/L2 U = j ( I1 L1  I1 Lm2/L2 ) = jI1 ( L1  Lm2/L2 )   k 2 L1 L 2  U   j L 1  k 2 L 1  j 0,5  0,5 2  0,5  j0,5  0,125  j0,375 . Z ul   jL e  j L 1   I1 L 2  









Ekvivalentna induktivnost iznosi: Le = 0,375 H = 375 mH.


262

8.34. ----- U = jL1 I1 + jLm I2 + jX3 I3 = 0  U = j2 I1 + j I2  j3 I3 = 0 ............... ( 1 ) jL2 I2 + jLm I1 = jX3 I3  j2 I2 + j1 I1 =  j3 I3 ...................... ( 2 ) I1 = I2 + I3 ......................................... ( 3 ).  jU  3I1 Iz prve jednačine sledi: I 2  , 3  jU  3I 1 3I 1  j2 U  6I 1  I1  2 3I  j2U I1  2I 2 3 3   1 a iz druge : I 3  = . 3 3 9 3 Uvrštavanjem struja I2 i I3 u treću jednačinu sledi:  jU  3I1 j2U  3I1  j3U  9I1  j2U  3I1  jU  6I1 1 2 5 1 I1       j U  I1  I1   j U 3 9 9 9 9 3 3 9 1 I1   j U . 15 U U  j15 . Ulazna impedansa je jednaka : Z ul   1 I1 j U 15 8.35. ----- U  ( j90 + j29 )I1  ( j40 + j30 )I2 = 0 .......... ( 1 ) ( j30 + j20 )I1  ( j20  j40 )I2 = 0 ------------- ( 2 ) U =  j55 I1 U Z ul    j55 . I1 8.36. ----- Z ul   jk L1 L 2  j3   jX c   j

 I2 =  2,5 I1 .

1 1 1 C   333,33F. C X C 3 103

8.37. ----+

I I 1



I2 L1

C

U



U = I1(  j1/C )  I1 = jCU U = jL1 I2  jLm I3 0 = jL2 I3  jLm I2  I3 = I2Lm/L2 U = jL1 I2  jLm( I2 Lm/L2 ) = j( L1  Lm2 /L2 )I2 I = I1 + I2  I2 = I  I1

I3 L2

U = j( I  I1 )( L1  Lm2 /L2 ) = j( I  jCU )( L1  Lm2/L2 ) = jI ( L1  Lm2/L2 ) + 2CU ( L1  Lm2/L2 )  U ( 1  2CL1 + 2CLm2/L2 ) = jI ( L1  Lm2/L2 )  2 1   2 CL 1   2 C L m   L2 I 1  C  . Y ul    j 2  2 U L 1 1  k    L  m  j L 1  L 2   Kako je kod antirezonanse susceptansa jednaka nuli ( B = 0 ), sledi 1 1  o  o C  2 o L1 1  k L 1C 1  k 2













8.38. ----- I = I1 + I2 ............................................................................... ( 1 ) U = ( jL1  j 1/C )I1  jLm I2 = jL2 I2  jLm I1 ........... ( 2 ) I1( jL1 + jLm  j 1/C ) = I2( jL2 + jLm )  L 2  L m I1  I2 1 L 1   L m C     L 2  L m  L   L 2 m U  jL 2 I 2  jL m I 1  jL 2 I 2  jL m I 2  jI 2  L 2  Lm  1 1   L 1  L 1   L m   C C  


263

I2 

U      L   L 2 m j L 2  Lm  1   L 1   L m   C  

U

 j

     L   L 2 m  L 2  Lm  1   L 1   L m   C   1   L m  L 2  L m  L 1  L 2  L m C I  I1  I 2  I2  I2  I2  1 1  L 1   L m L 2   L m  C C  1 L 2  L 1   2L m U  C I  j  1   L 2   L m    L   L C 2 m  L 2  Lm  1   L 2   L m    C  

I  j U

L1  L 2 

     

1  2L m C

= jB L2  2 L 2 L m  2 L 2  2 L m C Kako je kod antirezonanse susceptansa jednaka nuli ( B = 0 ), sledi: L1 + L2  1/C + 2Lm = 0 /  2( L1 + L2 + 2Lm )  1/C = 0  1 . o  C L 1  L 2  2k L 1 L 2

 2 L1 L 2 





8.39. ----- Zm =  jLm = j1033103 =  j3 ; Z1u = Z1 + jL1 = ( 10  j5 ) + j1032103 = ( 10  j3 ) ; Z2u = Z2 + jL2 = ( 5 + j5 ) + j1035103 = ( 5 + j10 ) . E = I1 Z1u + I2 Zm ...... ( 1 ) 0 = I2 Z2u + I1 Zm ...... ( 2 ) . SreĎivanjem ovih jednačina slede izrazi za odreĎivanje struja ( videti rešenje zadatka 8.1. ), koje iznose: Z 2u  E 5  j101 5  j10 I1     0,0855  j0,0307A  85,5  j30,7 mA i 2 2 10  j3 5  j10   j3 89  j85 Z1u  Z 2 u  Z m

I2 

Z m  E Z1u  Z 2 u  Z m

2



j3  0,0168  j0,0176A  16,8  j17,6mA. 89  j85


264

9.1. ----- a) Z1 

Z3 Z4

Z2 

b) I1  I 2 

2  5  j0,25  j40

E 100   19,9501 j0,9975A ; I1 = I2 = 19,975 A; Z1  Z 2 5  j0,25

E 100   0,1247  j2,4938A ; I3 = I4 = 2,4969 A; I5 = 0 ( most u ravnoteţi ) Z 3  Z 4 2  j40 I = I1 + I3 = 20,0748 +j1,4963; I = 20,1305 A. U U 9.2. ----- a) R4 = 10 ; L4 = 1 H; b) I  I1  I 3    1,66  j0,265A. R 1  R 2 R 3  jL 3  R 4  jL 4 I3  I4 

9.3. ---- Z1 = R1;

Z2 = R2; Z 3  R 3  j

1 ; C 3

 1  R  R 4    j j 4  C C 4  jR 4 R4 4   Z4     1 R 4 C 4  j1 R 4 C 4  j1 1  jR 4 C 4 R4  j C 4 C 4 a) Uslov ravnoteţe mosta je:  R4 1   Z1 Z 4  Z 2 Z 3  R 1  R 2   R 3  j  1  jR C .  C 3  4 4  Uvrštavanjem vrednosti elemenata u navedenu jednačinu slede rešenja:  = 1/RC = 3 140 rad/s  f = 500 Hz.

U  1A . Da bi most bio u ravnoteţi ( tačke C i D moraju biti na istom potencijalu ), tj. R1  R 2 Z mora biti zadovoljen uslov: I1 Z1 = I3 Z3  I 3  1 I 3  1  j1A . Z3 c) P3 = I32R3 = ( 12 + 12 )160 = 160  W. b) I1 = I2 =

R2 ( Maksvel Vinov most ): 1  jR 2 C 2 R1R4 + jR1R4R2 C2 = R2R3 + jR2L3  R1R4 = R2R3 ...... ( 1 ) i L3 = R1R4C4 ....... ( 2 ). a) R3 = R1R4/R2 = 1020 / 100 = 2 ; L3 = 1020 1106 = 0,2103 H = 0,2 mH. b) Zamenom treće i četvrte grane, most nije više u ravnoteţi, pa će zbog otpora instrumenta u kolu biti prisutno pet impedansi, koje su vezane u trougao, odnosno zvezdu. Zadatak se dalje moţe rešiti metodom transformacije jednog trougla u zvezdu, ili pak metodom Tevenena. U ovakvim slučajevima je metoda Tevenena najpogodnija metoda, pa se ona najčešće i koristi. Dakle, izbacimo dijagonalu CD i odredimo napon na tim tačkama ( napon Tevenena ). 9.4. ----- Iz uslova ravnotrţe Z1 Z4 = Z2 Z3  R1R4 = R 3  jL 3 

Z1 I 1 I 2

Z3

C   D

Z2

Z4

Z1 = R1 = 10 ; Z2 = R2/(1 +jR2C2) = (100  j3,14) ; Z3 = R4 = 20 ; Z4 = (R3 + jL3) = (2 + j0,0628) . U 220 I1 '    2  j0,057A ; Z1  Z 2 10  100  j3,14

I2 ' 

U 220   10  j0,285A Z 3  Z 4 20  2  j0,0628

UCD + I1 Z1  I2 Z3 = 0  UT = UCD = I2 Z3  I1 Z1 = ( 10  j0,285 )20  ( 2 + j0,057 )10 = ( 180  j5,13 ) V. Impedansa Tevenena ( izmeĎu tačaka CD  gde je isključena dijagonala ) iznosi: Z Z Z Z 10  100  j3,14 20  2  j0,0628 ZT  1 2  3 4    10,92  j0,021 Z1  Z 2 Z 3  Z 4 10  100  j3,14 20  2  j0,0628


265

Struja koja prolazi kroz instrument nakon zamene treće i četvrte grane iznosi: UT 180  j5,13 I5    5,82  j0,16A  Z T  Z 5 10,92  j0,021 20

C ZT

+ 

I5 Z5

UT

I 5  5,82 2  0,16 2 = 5,822 A

D

9.5. ----- Z1 Z4 = Z2 Z3  R1 R4 + j(L4  1/C4 ) = R2R3  R1R4 = R2R3 … ( 1 ); L4 = 1/C4… ( 2 ). R R 1 1   50Hz  . Iz prve jednačine sledi: R 4  2 3  5 , a iz druge: f  R1 2 L 4 C 4 6,28  0,025  400 10 12 9.6. ----- Z1 Z4 = Z2 Z3  Z1 = Z2 Z3 / Z4 = 63 / ( 2 + j3,14 ) = ( 1,7  j 2,7 ) . Elementi prve impedanse su otpornik otpornosti R1 = 1,7  i kondenzator kapacitivne otpornosti Xc = 2,7 , odnosno kapacitivnosti: C1 = 1 / XC1 = 1 / 3142,7 = 1,175103 F = 1 175 F. Ukupna struja iznosi: U U 100 100 I  I1  I 2      27  j8A  I = 28,3 A. Z1  Z 2 Z 3  Z 4 1,7  j2,7  6 2  2  j3,14 9.7. ----ZC ZA

A

ZD I

C   D

Z2

Z4

B

Trougao ACD transformisati u zvezdu, pri čemu nastaju impedanse: R 1  jL 3 5  j3 ZA    j3 1 5 R 1  jL 3  j C 3   5   j3 j3   j3 ZC    j3 ; Z D   1,8. 5 5

Ukupna impedansa kola iznosi: Z  Z 2  Z D  Z 4   j3  2,2  j6 1,8  6  j3  j3  2,2  j3 7,8  j3  2,616  j4,68. Zu  ZA  C  j3  ZC  Z2  ZD  Z4  j3  2,2  j6  1,8  6  j3 10 Ukupna struja je: U 53,64 I   4,88  j8,73A. Z e 2,616  j4,68 9.8. ----- ( Rx + R3 ) / ( R + R4 ) = R1 / R2 ……. ( 1 ); Lx / L = R1 / R2 …….. ( 2 ). Zbog dve jednačine ( uslov ravnoteţe mosta ) da bi se most doveo u ravnoteţu naizmenično se moraju pomerati oba klizača. Iz druge jednačine, sledi: R1 / R2 = 30 / 20 = 1,5  R1 = 1,5 R2 R1 + R2 = 100  1,5 R2 + R2 = 100  R2 = 40 ; R1 = 60 . R3 + R4 = 30  R3 = 30  R4. ( 10 + 30  R4 ) / ( 10 + R4 ) = 1,5  40  R4 = 15 + 1,5 R4  25 = 2,5 R4  R4 = 10 ; R3 = 20 . Dakle, rešenja su sledeća: R1 = 60 ; R2 = 40 ; R3 = 20  i R4 = 10 . 9.9. ----- Z1 = R  j 1/C; Z2 = R / ( 1 + jRC ), vidi zadatak 9.2; Z3 = R3; Z4 = R4; Z1 Z4 = Z2 Z3  ( R  j1 / C )R4 = R3R / ( 1 + jRC )  ( RR4  jR4 / C )( 1 + jRC ) = RR3  RR4 + j R2R4 C  jR4 / C +R4RC / C = RR3  2RR4 = RR3 …… ( 1 ); R2C = 1/ C……. ( 2 ). 1 1 105 Iz prve jednačine sledi. R3 = 2R4, a iz druge    4   1000 rad . s RC 10 100 10 9 10 2

 

9.10. ----- Z1 Z4 = Z2 Z3  ( R1 + jLx )R4 / ( 1 + jR4C4 ) = R2R3  R1R4 + jR4 Lx = R2R3 + jR2R3R4 C4 R1R4 = R2R3 …… ( 1 ); Lx = R2R3C4 ….. ( 2 ). Lx = 4005 00010109 = 20103 H = 20 mH.


266

9.11. ----- R1 / ( 1 + jR1C1 )( RX + jLX ) = R2 R3  R1RX + jR1 LX = R2R3 + jR2R3R1 C1  RX = R2R3 / R4 …. ( 1 ); LX = R2R3 C1 ……. ( 2 ). 9.12. ….. ( R1  j 1/C1 )( RX + jLX ) = R2R3  R1RX + jR1LX – jRX /C1 + LX / C1 = R2R3  R1RX + LX / C1 = R2R3 …… ( 1 ); R1LX = RX /C1 …….. ( 2 ) Iz druge jednačine RX = R12LXC1 uvrstimo u prvu, pa sledi: R12 2LXC1 + LX / C1 = R2R3  LX ( R12 2C1 + 1 / C1 ) = R2R3  LX( R12 2C12 + 1 ) / C1 = R2R3  2 R 1 R 2 R 3  2 C1 R 2 R 3 C1 R  ; . LX  X 2 2 2 1  R 12  2 C1 1  R 1  2 C1 9.13. ----- Z1 Z4 = Z2 Z3  RX = R2 R3 / R4 …… ( 1 ); LX = R2R3C4 …….. ( 2 ). Da bi se most doveo u ravnoteţu moraju se menjati dva otpora. Jedan otpor ima zadatak da sreĎuje jednu jednačinu a drugi drugu. Promene su naizmenične i postepene sve dok indikator nule ne pokaţe nulu ( most uravnoteţen ). Najjednostavnija varijanta je da su promenljivi R4 i C4, gde R4 sreĎuje na prvu jednačinu a C4 drugu. 9.14. ----- Z1 Z4 = Z2 Z3  ( Rx – j1/Cx )R4 / ( 1 +jR4C4 ) = R2(  j1/C3 )  RxR4  jR4/Cx =  jR2/C3 + R2R4 C4/C3  Rx = R2C4/C3 …. ( 1 ); R4/Cx = R2/C3 …… ( 2 ), odnosno: C R R x  4 R 2 ….. ( 1 ) ; C x  4 C 3 …….. ( 2 ) C3 R2 Da bi zadovoljili obe jednačine ( uslov ravnoteţe mosta ) naizmenično menjati R4 i C4 ( C4 za prvu jednačinu a R4 za drugu ). Moguća je i varijanta C3 i C4 ali je ona nešto nepovoljnija, jer C3 ima istovremeno uticaja na obe jednačine, a samim tim i teţe će se ispuniti uslov ravnoteţe mosta. Kako ni u jednoj jednačini ( uslov ravnoteţe mosta ) nema učestanosti, sledi da jednačine ne zavise od frekvencije ( odgovaraju na svim frekvencijama ). Dakle, Cx ne zavisi od učestanosti naizmeničnog izvora. 9.15. ---- R L 1    R 2 R 3  R X R 4  j X  jR 4 L X  X  R 2 R 3 Z1 Z 4  Z 2 Z 3  R X  jL X    R 4  j  C  C C4 4  4  L R R X R 4  X  R 2 R 3 ……… ( 1 ); R 4 L X  X ……….. ( 2 ). ( uslovi ravnoteţe mosta ). C4 C 4 2 Iz druge jednačine RX = R4 C4LX uvrstimo u prvu jednačinu, pa sledi: R42 2C4LX + LX /C4 = R2R3  LX( R42 2C4 + LX /C4 ) = R2R3  2 R 2 R 3 R 4 2 C 4 R 2 R 3C4 R  ; odnosno . LX  X 2 2 2 2 R 4 2 C 4  1 R 4 2 C 4  1


267

10.1.1. ----A  I1

I

II

I3

čvor A: I1 = I2 + I3 ........................... ( 1 ) kontura I: E1  Z1 I1  Z3 I3 = 0 .......... ( 2 ) kontura II:  Z2 I2  E2 + Z3 I3 = 0 ......... ( 3 )

I2

100 + j2( I2 + I3 )  5 I3 = 0  j2 I2 = ( 5  j2 )I3 – 100  I2 =  j2,5 I3  I3 + j50 j5 (  j2,5 I3  I3 + j50 )  j100 + 5 I3 = 0   12,5I3 + j5I3 + 250  j100 + 5I3 = 0  (  7,5 + j5 )I3 = 250 + j100  I3 = 29,23 + j6,15 ) A; I2 = (  13,85  j29,23 ) A; I1 = ( 15,38  j23,08 ) A. 10.1.2. -----

I

I1

I3

I1 + I2 = I3 ..... ( 1 ) E1  Z1 I1  Z3 I3 = 0 ..... ( 2 ) Z3 I3 + Z2 I2  E2 = 0 ...... ( 3 )

II

I2

100  ( 1 + j4 )I1 + j3( I1 + I2 ) = 0  j3 ( I1 + I2 ) + ( 1 + j4 ) I2 + j50 = 0

100  I1  j4I1 + j3I1 + j3I2 = 0  j3I2 =  100 + ( 1 + j1 ) I1  I2 = j100/3 + ( 1/3  j1/3 ) I1  j3I1  j3( j1/3 + 1/3 I1  j1/3 I1 ) + ( 1 + j4 )( j100/3 + 1/3 I1  j1/3 I1 ) + j50 = 0  j3I1 + 100  jI1  I1 + j100/3 + 1/3 I1  j1/3 I1  400/3 + j4/3 I1 + 4/3 I1 + j50 = 0 ( 2/3  j3 ) I1 = 100/3  j250/3  ( 2  j9 ) I1 = 100  j250  ( 28,823 + j4,706 ) A I2 = j100/3 + ( 1/3  j1/3 ) ( 28,824 + j4,706 ) = ( 11,177 + j25,294 ) A; I 3 = I1 + I2 = ( 40 + j30 ) A. 10.1.3. ----- I1 = ( 2,988  j2,466 ) A; I2 = (  3,07 + j1,99 ) A; I3 = (  0,082  j0,476 ) A. Videti rešenje zadatka 10.2.3. 10.1.4. ----- a)

IS

I

I1

II

I2

I2 = IS + I1 = 0,7 + j1,4 + I1 .............................................................. 1 E  Z1 I1  Z2 I2 = 0  15 + j5 = ( 10  j30 ) I1 + ( 30 + j20 ) I2 ....2 15 + j5 = 10 I1  j30 I1 + ( 30 + j20 ) ( 0,7 + j1,4 + I1 )  15 + j5 = 10 I1  j30 I1 + 21 + j42 + 30 I1 + j14  28 + j20 I1  22  j51 = ( 40  j10 ) I1  I1 = ( 0,818  j1,071 ) A.

I2 = 0,7 + j1,4 + 0,818  j1,071 = ( 1,518 + j0,329 ) A. b) US + Z1 I1  E = 0  US = E  Z1 I1 = 15 + j5  ( 10  j30 ) ( 0,818  j1,071 ) = 15 + j5 + 23,95 + j35,25  US = ( 38,95 + j40,25 ) SE = EI1* = ( 15 + j5 ) ( 0,818 + j1,071 ) = ( 6,915 + j20,155 ) VA  PE = 6,915 W. SIs = USIS* = ( 38,95 + j40,25 ) ( 0,7  j1,4 ) = ( 83,629  j26,383 ) VA  PIs = 83,629 W. 10.1.5. ----- a) I3 = 0,5 A;

b) 23 =  1266

10.1.6. -----

I1

I

I2

II

IS

Z1 =R = 10 ; Z2 = j ( L  1/C ) = j ( 10  20 ) =  j10 ; Z3 = R + jL = ( 10 + j10 ) . I1 + I2 = IS  I1 = 0,6  j0,2  I2 ...... ( 1 ); E1  Z1 I1 + Z2 I2  E2 = 0......................( 2 ). 10  10( 0,6  j0,2  I2 ) + (  j10 )I2  20 + j10 = 0

16  j12  1,4  j0,2A . 10  j10 I1 = 0,6  j0,2  1,4  j0,2 = (  0,8  j 0,4 ) A  I12 = 0,82 + 0,42 = 0,8; I22 = 1,42 + 0,22 = 2.  10 + j10  6 + j2 + 10 I2  j10 I2 = 0  I 2 


268

Kompleksne snage na pasivnim elementima ( otporima ) su: SZ1 = I12 Z1 = 0,810 = 8 VA  SZ1 = PR1 = 8 W , Q1 = 0 Var ; SZ2 = I22 Z2 = 2( j10 ) =  j20 VA  P2 = 0 W, QL2 = I22L2 = 20 Var, QC2 = I221/C = 40 Var . SZ3 = IS2 Z3 = ( 0,62 + 0,22 )( 10 + j10 ) = ( 4 + j4 ) VA  P3 = 4 W, Q3 = QL3 = 4 Var . Kompleksne snage na naponskim generatorima su: SE1 = E1I1 = 10(  0,8 + j0,4 ) = (  8 + j4 )VA, ( PE1 =  8 W  ovaj generator je potrošač ); SE2 = E2I2 = ( 20  j10 ) ( 1,4  j0,2 ) = ( 26  j18 ) VA, ( PE2 = 26 W  izvor ), a na strujnom generatoru: SIs = USIS; Iz druge konture E1  I1 R1  ISR3  IS jL3 + US = 0  US = E1 + I1 R1 + IS( R3 + jL3 ) =  10 V  SIs = 10( 0,6 + j0,2 ) = (  6  j2 ) VA ( I strujni generator se ponaša kao potrošač , jer je PS =  6 W ). Ukupna snaga generatora je:  Sg = SE1 + SE2 + SIs =  8 + j4 + 26  j18  6  j2 = ( 12  j16 ) VA. Ukupna snaga svih otpora ( pasivnih elemenata ) je:  SZ = SZ1 + SZ2 + SZ3 = 8  j20 + 4 + j4 = ( 12  j16 ) VA. Ovim je potvrĎen zakon ( teorema) o odrţanju energija ( snaga ), jer je  Sg =  SZ. 10.1.7. -----

I2

Z1 = R1 + jL1 = ( 8 + j62,8 ) ; Z2 = R2 + jL2 = ( 20 + j94,2 ) ; Z3 = R3  j1/C = ( 50  j31,85 ) ; E1 = 50 V; E2 = ( 7,071  j7,071 ) V. I3

I

II

I1

I1 = I2 + I3 ...................................... ( 1 )  E2 + I2 Z2  I3 Z3 = 0................... ( 2 ) I3 Z3 + I1 Z1  E1 = 0 ..................... ( 3 )

Rešenjem datog sistema jednačina nastaju i rešenja struja po granama, koja iznose: I1 =  ( 0,155 + j0,394 ) A; I2 = ( 0,132  j0,328 ) A; I3 =  ( 0,287 + j0,066 ) A. Kompleksne snage po generatorima iznose: SE1 = E1I1 = ( 1,689 + j3,886 ) VA; SE2 = E2I2 = ( 6,58 + j16,41 ) VA   SE = ( 8,269 + j20,26 ) VA. Kompleksne snage po impedansama iznose: SZ1 = I12 Z1 = ( 1,43 + j11,23 ) VA; SZ2 = I22 Z2 = ( 2,49 + j11,74 ) VA; SZ3 = I32 Z3 = ( 4,32  j2,75 ) VA.  SZ = SZ1 + SZ2 + SZ3 = ( 8,265 + j20,26 ) VA, što potvrĎuje zakon o odrţanju snaga (  SE =  SZ ). 10.1.8. -----

I2

I

I3

Z1 = R/2 = 20 ; Z2 = R + R + j ( L  1/C ) = 80 + j ( 80  20 )  Z2 = ( 80 + j60 ) ; Z3 = j ( L  1/C ) = j60 . E1 = 10 V; E2 = j20 V.

II

I1 I2 = I1 + I3 ............................................... ( 1 ) E2  I2 Z2  I3 Z3 = 0 ............................... ( 2 ) I3 Z3  I1 Z1  E1 = 0 ............................... ( 3 )

Rešenja navedenog sistema jednačina su: I1 = ( 0,08335  j0,30101 ) A; I2 = ( 0,0172 + j0,1618 ) A; I3 = (  0,1005 + j0,1392 ) A. Čitaocu se preporučuje da proveri zakon o odrţanju energije ( kompleksne snage ), što je ujedno i potvrda o tačnosti ( ili netačnosti ) navedenih rešenja. 10.1.9. -----

IS

I

I2

II

I1

Z1 = R1 + jL = ( 100 + j30 ) ; Z2 =  j1/C =  j100 ; Z3 = R2 = 80 ; IS =  j2 A; E = 220 V. I2 = I1 + IS = I1  j2 .................................. ( 1 ) Kontura II:  I2 Z2  I1 Z1 + E = 0........... ( 2 )

( I1 – j2 )(j100 )  I1( 100 + j30 ) + 220 = 0  j100 I1 + 200  100 I1  j30 I1 + 220 = 0 420 I1 ( 100 + j70 ) = 420  I1( 100  j70 ) = 420  I1   2,82  j1,97A . 100  j70 I2 = 2,82 + j1,97  j2 = ( 2,82  j0,03 ) . I12 = 2,822 + 1,972 = 11,83; I22 = 2,822 + 0,032 = 7,95; IS2 = 22 = 4.




269

Snage na impedansama ( pasivnim elementima ) su: SZ1 = I12Z1 = 11,83( 100 + j30 ) = ( 1183 + j354,9 ) VA; SZ2 = I22 Z2 = 7,95(j100) = j795 VA; SZ3 = IS2 Z3 = 480 = 320 W. Snaga na naponskom generatoru je: SE = EI1 = 220( 2,82  j1,97 ) = ( 620,4  j433,4 ) VA, a na strujnom SIs = USIS. US odredimo iz prve konture: US + IS Z3 + I2 Z2 = 0  US = ISZ3 + I2 Z2 = j280 + ( 2,82  j0,03 )(j100 ) US = ( 3  j442 ) V  SIs = ( 3  j442 )j2 = ( 884  j6 ) VA. Ukupna snaga oba generatora je:  SG = SE + SIs = ( 1 504,4  j439,4 ) VA, a impedansi:  SZ = SZ1 + SZ2 + SZ3 = ( 1503  j440,1 ) VA, što potvrĎuje zakon o odrţanju snaga u kolu. 10.1.10. ----- a)

A: I2 + I4 = I1 ...........................................................( 1 ) B: I2 + I3 + IS = 0  I2 + I3 = j0,5 ...................... ( 2 ) D: I5 + IS = I4  I5  I4 = j0,5 ............................. ( 3 )

I1

I I : E  Z1I1  Z2 I2 + Z3I3 = 0 ................................... ( 4 ) II: E  Z1I1  Z4I4  Z5I5 = 0..................................... ( 5 )

I3

I2 I4

II

IS

I5

Rešenjem navedenih 5 jedn. sa 5 nepoznatih slede rešenja: I1 = ( 0,11 + j0,07 ) A; I2 = ( 0,04  j0,24 ) A; I3 = ( 0,04  j0,26 ) A; I4 = ( 0,07 + j0,31 ) A; I5 = ( 0,07  j0,19 ) A.

b) Kompleksni izraz za napon na krajevima struijnog generatora je: US + Z3I3 + Z5I5 = 0  US = ( 1 + j15 ) V. 10.1.11. ----I1

I3 I6

a) Struje po granama iznose: I1 = ( 2 + j6 ) mA; I2 = ( 4 + j2 ) mA; I3 = ( 2 – j4 ) mA; I4 = ( 3 + j1 ) mA; I5 = ( 1 + j1 ) mA; I6 = ( 1 + j5 ) mA.

I2 I4

b) Kompleksni izrazi za napone su: U3 = UBC = j20 V; U4 = UCD = ( 10 + j20 ) V. I5

10.1.12. ----I1

IS

1 

2

II I

I2 I5  3

III

I4

čvor 1: čvor 2: kontura I: kontura II: kontura III:

I1 = I2 + IS ……………….…( 1 ) IS = I4 + I5 ………………….( 2 ) E1  Z1 I1  Z2 I2 = 0 …….... ( 3 ) Z2 I2 + US  Z5 I5 = 0 ………( 4 ) E4  Z4 I4 + Z5 I5 = 0 ……… ( 5 )

Kako su u kolu nepoznate četiri struje ( I1, I2, I4 i I5 ) za njihovo rešenje potrebno je postaviti četiri linearne jednačine sa četiri nepoznate. Dakle, jedna jednačina je suvišna, pa četvrtu jednačinu moţemo izbaciti. Iz jednačine ( 1 ): I2 = I1  0,1  j0,1 . Uvrštavanjem ove vrednosti u treću jednačinu dobije se rešenje struje I1, koja iznosi : I1 = ( 0,2 + j0,2 ) A  I2 = ( 0,1 + j0,1 ) A. Iz druge jednačine sledi: I4 = 0,1 + j0,1  I5. Uvrštenjem struje I4 u jednačinu ( 5 ) sledi rešenje struje I5, koja je jednaka: I5 = ( 0,2  j0,1 ) A.  I4 = (  0,1 + j0,2 ) A. Dakle, konačna rešenja struja po granama iznose: I1 = ( 0,2 + j0,2 ) A; I2 = ( 0,1 + j0,1 ) A; I4 = (  0,1 + j0,2 ) A; I5 = ( 0,2  j0,1 ) A.


270

10.1.13. ----A  I

I1

B 

I5 II

I3

III

I4

 C

čvor A: čvor B: kontura I: kontura II: kontura III:

I2

 C    

I1 + I3 + I4 + I2 = 0 50  5 I1 + j2 I3 = 0  j2 I3  4 ( I1 + I3 )  j2 I4 = 0 j2 I4 + 2 I2  j50 = 0 /: (2 )

I1 +  5 I1  4 I1

I1 + I3 = I5 .................................... ( 1 ) I5 + I4 + I2 = 0 .............................. ( 2 ) E1  Z1 I1 + Z3 I3 = 0 .................... ( 3 )  Z3 I3  Z5 I5 + Z4 I4 = 0 ............. ( 4 )  Z4 I4 + Z2 I2  E2 = 0 ................ ( 5 )

+ I3 + I4 = 0………..…... ( 1 ) + j2 I3 =  50 ……..… ( 2 )  ( 4 + j2 ) I3 + 2 I4 = 0.…………..( 3 )  I2  j I4 =  j25 ……... ( 4 ) I2

( 1 i 4 ): I1 + I3 + ( 1 + j1 ) I4 = j2 ………………. ( 1a ). Iz 2  I1 = 10 + j0,4 I3 Daljim sreĎivanjem sistema jednačina dolazi se do rešenja struja po granama: I1 = ( 8,5  j4,72 ) A; I2 = (  10,38 + j11,32 ) A; I3 = ( 11,8 + j3,78 ) A; I4 = ( 13, 68  j10,38 ) A; I5 = ( 3,3  j0,94 ) A. Iz ovog rešenja zadatka se moţe izvući zaključak da se Kirhofova pravila u praksi retko koriste kod većeg broja jednačina ( više od tri ). Cilj ovog zadatka i jeste da se vidi koliki je problem ako se on rešava neodgovarajućom metodom. Čitalac treba da prerpozna za svaki zadatak najoptimalniju metodu sa kojom se rešava svaki zadatak. 10.1.14. ----A  I1

I

I2

I3

II

A: B: I: II:

B 

I4

III

IS5

I1  I2 I3 = 0 .................................. ( 1 ) I3 + IS5 = I4 ..................................... ( 2 ) jL1 I1 + E1  R2 I2 = 0 ..................( 3 ) R2 I2  ( j 1/C ) I3  R4 I4 = 0 ..... ( 4 )

I1  I2  I3 = 0 .................................. ( 1 ) I3  I4 = IS5 = 0,2 + j0,1.................( 2 ) j31,4 I1 + 50  30 I2 = 0...................( 3 ) 30 I2 + j31,85 I3  10 I4 = 0................( 4 )

 C

Pomnoţimo prvu jednačinu sa j31,4 i udruţimo je sa trećom  j31,4 I1  j31,4 I2  j31,4 I3 = 0 j31,4 I1  30 I2 = 50  ( 30 + j31,4 ) I2  j31,4 I3 = 50 …………… ( 1 ) Iz jed 2  I4 = I3 + IS5 = I3 + 0,2  j0,1. Ovu vrednost uvrstimo u jednačinu 4 pa sledi: 30 I2 + j31,85 I3  10 ( I3 + 0,2  j0,1 ) = 0  30 I2 + ( 10 + j31,85 ) I3  2 + j1 = 0 ………. ( 4 ) 30 I2 + ( 10 + j31,85 ) I3 = 2  j1 ….. ( 4 ) /  ( 30 + j31,4 )  ( 30 + j31,4 ) I2  j31,4 I3 = 50 ……. ( 1 ) /  30  ( 1300 + j300,5 ) I3 =  1408,6 + j32,8  I3 = ( 1,023  j0,262 ) A. Daljim rešavanjem nastaju sledeća rešenja struja po granama: I1 = ( 1,153  j1,469 ) A; I2 = ( 0,13  j1,207 ) A i I4 = ( 1,223  j0,362 ) A. 10.1.15. ----- I3 = ( 0,262  j272 ) A. 10.1.16. ----- I1 = I2 + I3 = 2 + I3 …. ( 1 ); E1  Z1 I1  Z2 I2 = 0 …… ( 2 ); Z2 I2  Z3 I3  E2 = 0 …. ( 3 ). 5  10( 2 + I3 )  ( 2 + j2 )2 = 0  5  20  10 I3  4  j4 = 0  19  j4 = 10 I3  I3 = ( 1,9  j0,4 ) A. I1 = ( 0,1  j0,4 ) A. Iz jedn.3.  E2 = Z2 I2  Z3 I3 = ( 2 + j2 )2  ( 3 + j6 )( 1,9  j0,4 ) = 4 + j4  ( 3,3  j12,6 ) = ( 7,3 + j16,6 ) V.


271

10.1.17. ----I2 I 1

I5

2  I6

I3

 4 III

II I4

3

čvor 1: IS = I2 + I3  I3 = 0,25 + j0,1  I2........ ( 1 ) čvor 2 : I2 = I5 + I6 .............................................. ( 2 ) čvor 3 : I5 + I4 = IS  I4 = 0,25 + j0,1  I5 ..........( 3 ) kontura I :  Z2 I2  Z6 I6 + E6 + Z3 I3 = 0 ...... ..( 4 ) kontura II :  E6 + Z6 I6  Z5 I5 + Z4 I4 = 0 ........ ( 5 ) kontura III : US  Z1 IS  Z3 I3  Z4 I4 = 0 ......... ( 6 )

IS a) Iz jedn. 1,2 i 4  Iz jedn. 3 i 5 

 ( 25+ j100 )(I5 + I6 )  j50I6 + j20 + (  j150 )( 0,25 + j0,1  I5  I6 ) = 0  j20 + j50I6  (  j50 )I5 + 100( 0,25 + j0,1  I5 ) = 0

 25I5  j100I5  25I6  j100I6  j50I6 + j20  j37,5 + 15 + j150I5 + j 150I6 = 0 ……. ( 1 )  j20 + j50I6 + j50I5 + 25 + j10  100I5 = 0 …………………………………………... ( 2 ) (  25 + j50 )I5  25 I6 = 15 +j17,5 ………………. ( 1 ) (  100 + j50 )I5 + j50I6 = 25 + j10 ……………….. ( 2 ) Iz jedn. 1  I6 = (  1 + j2 )I5 + 0,6  j0,7 . Ovu vrednost uvrstimo u jedn. 2, pa sledi: (  100 + j50 )I5 + j50(  I5 + j2I5 + 0,6  j0,7 ) =  25 + j10   100I5 + j50I5  j50I5  100I5 + j30 + 35 =  25 + j10   200I5 =  60  j20  I5 = 0,3 + j0,1. Daljim uvrštavanjem dobiju se konačna rešenja struja po granama: I2 = ( 400  j100 ) mA; I3 = (  150 + j200 ) mA; I4 =  50 mA; I5 = ( 300 + j100 ) mA; I6 = ( 100  j200 ) mA. b) Iz 6 jednačine sledi: US = ( 200 + j150 )( 0,25 + j0,1 )  j150(  0,15 + j0,2 ) + 100(  0,05 )  US = 35 +j57,5 + 30 + j22,5  5 = ( 60 + j80 ) V. SE = EI6 = j20( 0,1 + j0,2 ) = (  4 + j2 ) VA. SIs = USIS = ( 60 + j80 )( 0,25  j0,1 ) = ( 23 + j14 ) VA. 10.1.18.

IS + IP = I  I = 0,9  j1,8 + IP .. ... ( 1 ) IZ + E  IPZP = 0 ..... ....................( 2 )

IS

IP I

 ( 0,9  j1,8 + IP )( 10 + j20 ) + 14 –j2  IP( 90  j20 ) = 0  9 + j18  10 IP  j18  36  j20 IP + 14  j2  90 IP + j20 IP = 0 31  j2 = IP  100  IP = (  0,31 – j0,02 ) 

Aktivna snaga prijemnika iznosi: P =IP2RP = ( 0,312 + 0,022 )90 = 0,09690 = 8,64 W, A reaktivna: Q = IP2X = 0,096(20 ) = 1,92 VAr ( kapacitivnog karaktera ).


272

10.2.1. -----

I1

I3

IA

I2

IB

E1 = ( Z1 + Z3 ) IA  Z3 IB ........ ( 1 )  E2 = ( Z2 + Z3 ) IB  Z3 IA ...... ( 2 ) 100 = (  j2 + 5 ) IA  5 IB  IB = (  j0,4 +1 )IA  20  j100 = ( j5 + 5 )IB  5 IA   j100 = ( 5 + j5 )( 1  j0,4 ) IA  20   5 IA   j100 = 5IA  j2IA  100 + j5IA + 2IA  j100  5IA

100 = ( 2 + j3 )IA  IA = ( 15,38  j23,08 ) A; IB = ( 1  j0,4 )( 15,38  j23,08 )  20 = (  13,85  j29,23 ) A. Struje po granama iznose: I1 = IA = ( 15,38  j23,08 ) A; I2 = IB = (  13,85  j29,23 ) A; I3 = IA  IB = ( 29,23 + j6,15 ) A. 10.2.2. -----

I1

E1 = ( Z1 + Z3 ) IA  Z3 IB  100 = ( 1 + j1 ) IA + j3 IB.... ( 1 )  E2 =( Z2 + Z3 ) IB  Z3 IA  j50 = ( 1 + j1 ) IB + j3 IA.....( 2 ) I3 IB

IA

Iz prve jednačine: IB =  j100/3 + j1/3 IA  1/3 IA j50 = ( 1 + j1 )(  j100/3 + j1/3 IA  1/3 IA ) + j3 IA  j50 =  j100/3 + j1/3 IA  1/3 IA + 100/3  1/3 IA  j1/3 IA + j3 IA

I2

( 2/3  j3 ) IA = 100/3  j250/3  ( 2  j9 ) IA = 100  j250  IA = ( 28,823 + j4,706 ) A. IB =  j100/3 + (  1/3 + j1/3 )( 28,823 + j4,706 ) = (  11.177  j25,294 ). Struje po granama iznose: I1 = IA = ( 28,823 + j4,706 ) A; I2 =  IB = ( 11,177 + j25,294 ) A; I3 = IA  IB = ( 40 + j30 ) A. 10.2.3. ----E1 = 10ej45  E1 = 10 ( cos (45) + jsin (45)); E2 = 10ej45  E2 = 10 ( cos 45 + j sin 45 );



I3 I B

IA I1



E 1  (5 2  j5 2 )V  ; E 2  5 2  j5 2 V  .

E1 = ( Z1 + Z2 + Z3 ) IA  Z3 IB ......... ( 1 )  E2 = ( Z3 + Z4 ) IB  Z3 IA ...............( 2 )

I2

7,07  j7,07 = ( 2 + j2  j2 + 4 + j3 ) IA  ( 4 + j3 ) IB  7,07  j7,07 = ( 6 + j3 ) IA  ( 4 + j3 ) IB … ( 1 )  7,07  j7,07 = ( 4 + j3  j3 ) IB  ( 4 + j3 ) IA   7,07  j7,07 =  ( 4 + j3 ) IA + 4 IB …….…. ( 2 ) Pomnoţimo prvu jednačinu sa 4 a drugu sa ( 4 + j3 ), kako bi se konturna struja I B poništola ( 7,07  j7,07 ) 4 = ( 6 + j3 )4 IA  ( 4 +j3 )4 IB ( 7,07  j7,07 )( 4 + j3 ) =  ( 4 + j3 ) ( 4 + j3 ) IA + ( 4 +j3 )4 IB 28,28  j28,28  7,07  j49,49 = 24 IA + j12 IA  ( 16 IA + j24 IA  9 IA )  21,21  j77,77 = ( 17  j12 ) IA  IA = ( 2,988  j2,466 ) ; IB = 7,07  j7,07 + ( 4 + j3 ) ( 2,988  j2,466 ) / 4 = ( 7,07  j7,07 + 19,349  j0,898 ) / 4 = ( 3,07  j1,992 ). Struje po granama iznose: I1 = IA = ( ( 2,988  j2,466 ) A; I2 =  IB = ( 3,07 + j1,992 ) A; I3 = IA  IB = (  0,082  j0,476 ) A. 10.2.4. ----A 

I1

IA

I5 IB

I3  C

B 

I4  C

IC

I2

E1 = ( Z1 + Z3 ) IA  Z3 IB .................................... ( 1 ) 0 = ( Z3 + Z5 + Z4 ) IB  Z3 IA  Z4 IC.... ............ ( 2 )  E2 = ( Z4 + Z2 ) IC  Z4 IB = 0 ............................. ( 3 ) 50 = ( 5 + j2 ) IA  j2 IB ........................... ( 1 ) 0 =  j2 IA + 4 IB + j2 IC .............. ( 2 )  j50 = j2 IB + ( 2  j2 ) IC........ ( 3 )

Iz treće jednačine sledi. IB = ( 1 + j1 ) IC  25




273 50 = ( 5 + j2 ) IA  j2( IC + jIC  25 )  50  j50 = ( 5 + j2 ) IA + ( 2  j2 ) IC....... ( 1 ) 0 =  j2 IA + 4 ( IC + j IC  25 ) + j2 IC  100 =  j2 IA + ( 4 + j6 ) ................. ( 2 ) Iz jednačine 2  IA = ( 3  j2 ) IC + j50. Struju IA uvrstimo u jednačinu 1: 50  j50 = ( j50 + 3 IC  j2 IC ) ( 5 + j2 ) + ( 2  j2 ) IC  IC = ( 10,38  j11,32 ) A; IA = ( 8,5  j4,72 ) A; IB = (  3,3  j0,94 ) A. Struje po granama iznose: I1 = IA = ( 8,5  j4,72 ) A; I2 =  IC = (  10,38 + j11,32 ) A; I3 = IB  IA = (  11,8 + j3,78 ) A; I4 = IC  IB = ( 13,68  j10,38 ) A; I5 = IB =  ( 3,3 + 0,94 ) A. 10.2.5. ----- a)

I1

IA

E1  E2 = ( R1 + jL2  j1/C2 ) IA  ( jL2  j1/C2 ) IB E2 + E3 = ( R3 + jL2 + jL3  j1/C2 ) IB  ( jL2  j1/C2 ) IA

I2

IB

 10 + j10 = ( 10 + j10  j20 ) IA  ( j10  j20 ) IB 10  j10 = ( 10 + j10 + j10  j20 ) IB  ( j10  j20 ) IA

I3

 10 + j10 = ( 10  j10 ) IA + j10 IB ........ ( 1 ) 10  j10 = j10 IA + 10 IB ....... ( 2 ) Ako pomnoţimo drugu jednačinu sa imaginarnom jedinicom (  j ) nastaje sistem jednačina:  10 + j10 = 10 IA  j10 IA + j10 IB…... ( 1 )  j10  10 = 10 IA  j10 IB ….. ( 2 )  20 = ( 20  j10 ) IA  IA = ( 0,4  j0,4 ); IB = ( 0,6  j0,2 ). Struje po granama iznose: I1 = IA = (  0,8  j0,4 ) A; I2 = IB  IA = ( 1 + j0,2 ) A; I3 = IB = ( 0,6  j0,2 ) A. b) SE3 = E3 I3* =  10( 0,6 + j0,2 ) = (  6  j2 ) VA  PE3 =  6 W; QE3 =  2 VAR. Dakle, ovaj generator troši energiju ( negativna snaga ), odnosno, on se ponaša kao potrošač. PR1 = I12 R1 = ( 0,82 + 0,42 )10 = ( 0,64 + 0,16 )10 = 8 W. 10.2.6. ----a) I1

IA

I3 I B

I2

j10 = j3 IA + j2 IB .................. ( 1 ) / 2 10 = ( 5  j2 ) IB + j2 IA ...... ( 2 ) / ( 3 ) j20 = j6 IA + j4 IB ................................ ( 1 ) 30 = j6 IA + ( 15 + j6 ) IB ............... ( 2 )

30 + j20 = ( 15 + j10 ) IB  IB = ( 30 + j20 ) / ( 15 + j10 ) =( 0,769  j1,846 ) A. 10 (5  j2 )( 0,769  j1,846 ) = j2 IA  IA = 10 + 7,538 + j7,692 ) / j2 = ( 3,846 + j1,231 ) A. I3 = IA  IB = ( 4,615 + j3,077 ) A b) I2 =  IB = ( 0,769 + j1,846 )  I2 = 2 A  P = R I22 = 20 W ( aktivna snaga je prisutna samo na aktivnom otporniku, koji se nalazi samo u impedansi Z2 ( Z2 = R = 5  ). 10.2.7. ----- I = ( 0,8 + j0,6 ) A. 10.2.8. ----- I1 = ( 100  j60 ) mA; I2 = ( 5 + j25 ) mA;

I3 =  ( 105  j35 ) mA ( svi smerovi ka tačci A ).


274

10.2.9. ----I1 I5

I2

E1 + E3 = ( Z1 + Z2 ) IA  Z2 IB ……………… ( 1 ) E5 = ( Z2 + Z4 + Z5 )IB  Z2 IA  Z4 IC .……… ( 2 ) E3 = ( Z4 + Z6 ) IC  Z4 IB……………………. ( 3 )

IA I3

IB

I4

IC

100  j20 = 400 IA  j200 IB ……………... ( 1 ) j40 =  j200 IA + 300 IB + j100 IC ……… ( 2 ) 80 = j100 IB + 100 IC ……...…. ( 3 )

I6

Rešenjem navedenog sistema jednačina slede rešenja konturnih struja: IA = ( 160  j40 ) mA; IB = ( 20 + j180 ) mA; IC = ( 620  j20 ) mA. Struje po granama su: I1 = IA = ( 160  j40 ) mA; I2 = IB  IA = ( 140 + j220 ) mA; I3 = IA  IC = ( 780  j20 ) mA; I4 = IB  IC = ( 640 + j200 ) mA; I5 =  IB = ( 20  j180 ) mA; I6 =  IC = ( 620 + j20 ) mA. 10.2.10. -----

IA = IS = ( 0,16  j0,48 ) A; E5 = ( Z2 + Z3 + Z4 + Z5 ) IB  Z2 IA  Z5 IC .............. ( 1 ) E6  E5 = ( Z5 + Z6 ) IC  Z5 IB .....................................( 2 ); I2

IA

IB

IC

148 + j16 = ( 300  j500 ) IB  j50 IC / ( 100 + j50 ) 100 + j200 =  j50 IB + ( 100 + j50 ) IC / j50 14 000 + j9 000 = 37 500 IB  j50( 100 + j50 ) IC 10 000  j5 000 = 2 500 IB + j50( 100 + j50 ) IC

IS

IB = ( 0,1 + j0,1 ) A, I2 = IA IB = 0,16  j0,48  0,1  j0,1 = ( 0,06  j0,58 ) A = ( 60  j580 ) mA. US  Z1 IS + E1  Z2 I2 = 0  US = Z1 IS + Z2 I2  E1 = ( 0,16  j0,48 )( 50  j50 ) + ( 0,06  j0,58 )j100  50 + j50 = ( 8 + j24 ) V. SS = US IS = ( 8 + j24 )( 50  j50 ) = 12,8 VA. Sledi da strujni generator radi kao potrošač koji troši snagu ( aktivnu ) od 12,8 W. 10.2.11. ----- a)

I2

IA

I5

I6 IB

I3

I4 IS

E = ( Z2 + Z6 + Z3 )IA  Z6 IB  Z3( 0,25 + j0,1 ) …..…...( 1 )  E = ( Z4 + Z5 + Z6 )IB  Z6 IA  Z4( 0,25 + j0,1 ) ……… ( 2 ) Treća jednačina nije potrebna, jer je IC = IS = ( 0,25 + j0,1 ) Rešenjem navedenih dveju linearnih jednačina sa dve nepoznate, slede rešenja konturnih struja: IA = ( 0,4  j0,1 ) A; IB = ( 0,3 + j0,1 ). Struje po granama iznose: I2 = IA = ( 400  j100 ) mA; I3 = IC  IA = (  150 + j200 ) mA; I4 = IC  IB =  50 mA; I5 = IB = ( 300 + j100 ) mA; I6 = IA  IB = ( 100  j200 ) mA.

b) SE = (  4 + j2 ) VA; SIs = ( 23 + j14 ) VA.

Vidi rešenje zadatka 10.1.17.

10.2.12. ----L1 = 62,8 ; L2 = 94,2 ; 1/C = 31,85 ; I1

IA

I2

IB

I3

 E2 = ( Z2 + Z3 ) IA  Z3 IB……… ( 1 )  E1 = ( Z1 + Z3 ) IB  Z3 IA ……... ( 2 )

50 = ( 70 +62,35 ) IA  ( 50  j31,85 ) IB /  ( 50  j31,85 ) 7,071 + j7,071 =  ( 50  j31,85 ) IA + ( 58 + j30,95 ) IB /  ( 70 + j62,35 )


275 2 500 + j1592,5 = ( 70 + j62,35 ) ( 50  j31,85 ) IA  ( 1 485,58  j3 185 ) IB .............. ( 1 ) 935,85 + j54,09 =  ( 70 + j62,35 ) ( 50  j31,85 ) IA + ( 2 130,27 + j5 782,8 ) IB......... ( 2 ) 3 435,85 + j1 646,59 = ( 644,69 + j8 967,8 ) IB  IB = ( 0,155 + j0,394 ) A; IA = (  0,132 + j0,328 ) A. Struje po granama iznose: I1 = IB =  ( 0,155 + j0,394 ) A; I2 = IA = ( 0,132  j0,328 ) A; I3 = IA  IB = ( 0,287  j0,066 ) A. Kompleksne snage generatora su: SE1 = E1 I1 = ( 1,689 + j3,886 ) VA; SE2 = E2 I2 = ( 6,58 + j16,41 ) VA; SZ1 = Z1 I12 = ( 1,43 + j11,23 ) Var; SZ2 = Z2 I22 = ( 2,49 + j11,74 ) Var; SZ3 = Z3 I32 = ( 4,32  j2,75 ) Var. Čitaocu se ostavlja da proveri zakon o odrţanju energija. 10.2.13. ----- I1 = ( 1,153  j1,469 ) A; I2 = ( 0,13  j1,207 ) A; I3 = ( ( 1,023  j0,262 ) A; I4 = ( 1,223  j0,362 ) A. 10.2.14. ----I1 = ( 0,2  j1,4 ) A; I2 = ( 1,6 + j2,8 ) A; I3 = ( 0,8  j0,4 ) A; I1

I2

I3

Čitaocu se ostavlja da izračuna preostali deo zadatka


276 10.3.1. ----- Videti rešenja u zadatku 10.2.6. 10.3.2. A 

I1

I2

U AB

I3  B

I1  I2 

E 1  U AB Z1 E 2  U AB

I3  

Z2 U AB Z3



10  j10  14  j42  0,1  j0,06A 200  j400





10  j10 j50  200  j400 200  j600    14  j42V 1 1 1 1 1 1     Z1 Z 2 Z 3 200  j400 200  j600 j400 E1 E 2  Z1 Z 2

j50  14  j42  0,005  j0,025A 200  j600

14  j42   0,105  j0,035A . j400

10.3.3. ----- U3 = 10 V  U3 = 10 V.

E1

10.3.4. ----- U AB

E2

j5 20  6  j4  U3    8  j6V 1 1 1 1 1 1     Z1 Z 2 Z 3 6  j4 j8 Z1



Z2

E 2  U AB

j5  8  j6  8  j11     2,75  j2  2,75  j2A . Z2  j4  j4 Dakle,zbog predznaka «  » stvarni smer struje je od tačke B ka tački A ( suprotan u odnosu na pretpostavljeni ). b) UAB = ( 8  j6 )  AB = arc tg (6/8) =  3652 Fazna razlika izmeĎu napona UAB i ems E2 je:  = AB  2 = 3652  90 = 12652. a) I 2 

10.3.5. ----- Videti rešenje zadatka 10.1.6. 10.3.6. ----- Videti rešenje zadatka 10.1.7. 10.3.7. ----A 

I1

IS

I3  B

I4

I1 + I4  IS  I3 = 0 ; UAB  E1 + I1Z1 = 0 UAB + E3  I3Z3 = 0 UAB + I4Z4 = 0  E 1  U AB E  IS  3 Z1

 I1 = ( E1  UAB )/Z1;  I3 = ( E3 + UAB )/Z3; I4 =  UAB/Z4  U AB U AB  0 Z3 Z4

E1



E3

 IS  1 E3 Z1 Z 3 E1 1 1    U AB   IS   U AB     4  j8V .  1 1 1 Z1 Z3  Z1 Z 3 Z 4    Z1 Z 3 Z 4

Struje po granama, vodeći računa o usvojenim smerovima uznose:


277

j12  4  j8 4  j4   j0,02A   j20mA. 200  j200 200  j200  j34  4  j8 4  j26 I3    0,04  j0,26A   40  j260mA. 100 100 4  j8 I4     0,08  j0,16A    80  j160mA  80  j160mA. 30  j40 I1 

10.3.8. ----A 

+

Z1

E3

+

I2

Z3 E1

U AB  I2 

C

Z2

 B

Z7

Impedanse Z5 i Z6 čine kratku vezu ( Z5 + Z6 = 0 ), pa je sloţeno kolo predstavljeno novom ( jednostavnijom) slikom. Napon izmeĎu tačaka A i B iznosI: E E1 2  j2 20  3  Z1  Z 2 Z 7 12  j2  8  j10 12 U AB   1 1 1 1 1 1     Z1  Z 2 Z 3 Z 7 12  j2  8  j10 10  j12 12

0,735  j0,441 0,167  j0,167 0,568  j0,608   2,815  j4,249V . 0,037  j0,022  0,041 j0,049  0,083 0,161 j0,027

E 3  U AB Z7



 2  j2  2,815  j4,249  4,815  j2,249    0,401 j0,187A 12 12

U CB  I 2 Z 7  0  U CB  I 2 Z 7  0,401 j0,187 12  4,815  j2,249V

10.3.9. ----- I1 = ( 28,823 + j4,706 ) A; I2 = ( 11,177 + j25,294 ) A; I3 =  ( 40 + j30 ) A. 10.3.10. ----- I1 = ( 2,988  j2,466 ) A; I2 = ( 3,07 + j1,99 ) A; I3 = ( 0,082 + j0,476 ) A. Data rešenja odgovaraju smeru struje od tačke B ka tačci A ( sve struje ulaze u čvor A ). 10.3.11. A  I3

I2

E1

I1

U AB

 B

I1  I2 

E 1  U AB Z1 E 2  U AB

I3  

Z2 U AB Z3

 

E2

j20 10  20 80  j60    8,333  j6,0202V 1 1 1 1 1 1     Z 1 Z2 Z3 20 80  j60 j60 Z1



Z2

10  8,333  j6,0202 2  0,0835  j0,30101A  I1  0,08352  0,301012  0,0975 20 j20  8,333  j6,0202 2  0,0172  j0,1618A  I 2  0,0265 80  j60

  0,1005  j0,1392A  I 3  0,0294. 2

SZ1 = Z1 I12 = 200,0975 = 1,95 VA; SZ2 = Z2 I22 = ( 80 + j60 )0,0265 = ( 2,12 + j1,59 ) VA; SZ3 = Z3 I32 = j600,0294 = j1,764 VA. SE1 = E1I1 = 10( 0,08335 + j0,301) = ( 0,8335 + j3,01 ) VA; SE2 = E2I2 = j20( 0,0172  j0,1618 ) = ( 3,236 + j0,344 ) VA.  Sg = SE1 + SE2 = ( 4,0695 + j3,354 ) VA;  SZ = SZ1 + SZ2 + SZ3 = ( 4,07 + j3,354 ) VA   Sg =  SZ.


278

10.3.12. ----- UAB = I2Z2 = 2( 2 + j2 ) = ( 4 + j4 ) V; E  U AB 5  4  j4 I1  1   0,1  j0,4A I1  I 2  I 3 I 3  I1  I 2  0,1  j0,4  2  1,9  j0,4A Z1 10

U AB  I 3 Z 3  E 2  0  E 2  U AB  I 3 Z1 3  4  j4  1,9  j0,4 3  j6  4  j4  3,3  j12,6  7,3  j16,6V.

10.3.13. ----- Videti rešenje zadatka 10.1.14 10.3.14. ----A  I1

I2

I3

IS

 B

U AB

10 10   1  j1 5  j5 j5 1  j1  j2  1  j1 2     4  j8V  1 1 1 0,1  j0,1  j0,2  j0,1 0,1  j0,2   5  j5 j5  j10

10  4  j8 6  j8    0,2  j0,4 A  5  j5 5  j5  10  4  j8  14  j8 I2     1,6  j2,8A  j5 j5  4  j8 I3   0,8  j0,4 A   j10 I1 

10.3.15. ----- P = 8,64 W; Q = 1,92 Var.


279

10.4.1. ----I5

A  Z1 + E1

I1

B 

Z5

Z2 Z1

+



Z4

Z3 I1

I3

I4

 C

 I2

E2

Z5

E1



Z5

I5 Z3

Z4

Z3

Z4

I4

I3

I 4

+



Z1 A 

B Z2  I2

A 

I3  C

B 

I5

I1

Z2 +



E2

 C

a

I2

b

Za sliku a: Z Z 2   j2 Z 24 '  2 4   1  j1 ; Z524 = Z5 + Z24 = ( 5  j1 ) . Z2  Z4 2  j2 Z 3524' 

Z 3  Z 524 ' Z 3  Z 524 '



j2  5  j1  (0,77  j1,85) ; Z = Z1 + Z3524 = ( 5,77 + j1,85 ) . j2  5  j1

E1 50   7,86  j2,52A ; UAB = E1  I1Z1 = 50  ( 7,86  j2,52 )5 = ( 10,7 + j12,6 ) V. Z' 5,77  j1,85 U ' 10,7  j12,6 I 3 '  AB   6,3  j5,35 ; I5 = I1  I3 = ( 1,56 + j2,83 ) . Z3 j2 U BC '  I 5 'Z 24 '  1,56  j2,83 1  j1  (4,39  j1,27V ; I1 ' 

I2 ' 

U BC ' Z2



U ' 4,39  j1,27 4,39  j1,27  (2,195  j0,635A ; I 4 '  BC    0,635  j2,195A . 2 Z4  j2

Za sliku b: Z Z 5  j2 Z13 "  1 3   0,69  j1,72 ; Z135 = Z13 + Z5 = ( 4,69 + j1,72 ) ; Z1  Z 3 5  j2 Z "Z 4,69  j1,72  j2  0,85  j1,95 ; Z = Z + Z = ( 2,85  j1,95 ) . Z1354"  135 4  1354 2 Z135" Z 4 4,69  j1,72  j2

I2"

E2 j50    8,18  j11,95A ; UBC = E2  Z2 I2 = j50  ( 8,18 + j11,95) = (16,36 + j26,1) V. Z" 2,85  j1,95

16,36  j26,1   13,05  j8,18A ; I5 = I2  I4 = ( 4,87 + j3,77 ) . Z4  j2 U13 = Z13I5 = ( 0,69 + j1,72 )( 4,87 + j3,77 ) = (  3,124 + j10,978 ) U "  3,124  j10,978 U "  3,124  j10,978 I 1 "  13   (0,625  j2,196)A ; I 3 "  13   5,489  j1,562A . Z1 5 Z3 j2 Konačno, struje po granama iznose: I1 = I1  I1 = 7,86  j2,52  (  0,6248 + j2,1955 ) = ( 8,4848  j4,7155 ) ; I2 = I2  I2 =  8,18 + j11,95  ( 2,195 + j0,635 ) = (  10,375 + j11,315 ) . I3 =  ( I3+ I3 ) =  ( 6,3  j5,35 + 5,49 + j1,56 ) =  ( 11,79  j3,79 ) . I4 =  ( I4  I4 ) =  (  0,635 + j2,195  13,05 + j8,18 =  (  13,69 + j10,38 ) , I5 = I5  I5 = 1,56 + j2,83  ( 4,87 + j3,77 ) =  ( 3,31 + j0,94 ) . I4"

U BC "




280

10.4.2. ----- a)

I1 I2

+ I1

I3



I2

E1

I3

I2

I1

a) Za sliku a:

Z2  Z3

Z' 

Z 2  Z3

 Z1 

I2

b)

5   j2  j5  0,67  j3,276  5  j2

j10  2,93  j0,599 A  Z' 0,67  j3,276 U 23 '  I 1 'Z 23  2,93  j0,599   0,67  j1,724   2,996  j4,65  ,

I1 ' 

E1

I2 ' 

U 23 '

I3 ' 

U 23 '



Z2 Z3



2,996  j4,65  0,56  j0,93A , 5



2,996  j4,65  2,325  j1,498 A.  j2

Za sliku b:

Z" 

Z1  Z 3 Z1  Z 3

 Z2 

j5   j2  10    5   5  j  j5  j2 3 

E2 10 30    1,385  j0,923A  Z" 15  j10 15  j10 3 U 13 "  I 2 "Z 13  1,385  j0,923   j3,333  3,077  j4,615V ,

I2"

I1 " 

U 13 "

I3"

U 13 "

Z1 Z3



3,077  j4,615   0,923  j0,615A , j5



3,077  j4,615  2,308  j1,539A.  j2

Struje po granama iznose: I1 = I1  I1 = 2,93 + j0,599 + 0,923 + j0,615 = ( 3,853 + j1,214 ) A; I2 = I2  I2 = 1,385 + j0,923  0,56 + j0,93 = ( 0,825 + j1,853 ) A; I3 =  ( I3 + I3 ) =  ( 2,325 + j1,498 + 2,308 + j1,539 ) =  ( 4.633 + j3,037 ) A. b) Aktivna snaga je prisutna samo na termogenom otporniku, i ona oznosi: P = I22R = ( 0,8252 + 1,8532 )5 = 10 W.


+ E2

281

10.4.3. -----

a)

b)

I1 I1

I2

I3



I3

+

I2

I2 I1

I3

E1

Za sliku a: Z Z 200  j600 j400  200  j400  230,77  j153,85 ; Z'  2 3  Z1  Z 2  Z3 200  j600  j400

10  j10  0,05  j0,01A. Z' 230,77  j153,85 U AB '  U 2 '  U 3 '  Z 23 'I 1 '  30,77  j246,15  0,05  j0,01  4  j12V

I1 ' 

E1

I2 ' 

U2 '

I3 ' 

U3 '



Z2 Z3



4  j12  0,02A ; 200  j600



4  j12  0,03  j0,01A  j400

Za sliku b: Z Z 200  j400 j400  1000  j1000. Z"  Z 2  1 3  200  j600  Z1  Z 3 200  j400  j400

j50  0,025  j0,025A , Z" 1000  j1000 U AB "  Z13  I 2 "  800  j400  0,025  j0,025  10  j30V ,

I2"

E2

I1 " 

U AB "



Z1



10  j30   0,05  j0,05A , 200  j400

10  j30  0,075  j0,025A  Z3 j400 Struje po granama iznose ( prva slika ): I1 = I1  I1 = 0,05  j0,01 + 0,05  j0,05 = ( 0,1  j0,06 ) A; I2 = I2  I2 = 0,025 + j0,025  0,02 = ( 0,005 + j0,025 ) A; I3 =  ( I3 + I3 ) =  ( 0,03  j0,01 + 0,075  j0,025 ) = (  0,105 + j0,035 ) A. I3" 

U AB "



10.4.4. ----- Videti rešenje zadatka 10.3.3. 10.4.5. ----- Videti rešenje zadatka 10.3.9. 10.4.6. ----- Videti rešenje zadatka 10.3.10. 10.4.7. ----- Videti rešenje zadatka 10.2.9. 10.4.8. ----- Videti rešenje zadatka 10.2.5. 10.4.9. ----- Videti rešenje zadatka 10.1.11. 10.4.10. ----- Videti rešenje zadatka 10.1.8.


+ E2

282

10.5.1. I5 A 

B 

Z1 + E1

A

Z5

Z2

Z1 +

+





Z4

Z3

E2



E1



I1

B Z5

Z3

Z2 Z4

I2

+



E2

E1 E2 j50 50   8,62  j3,45A ; I2 '     12,56  j12,56A ; Z1  Z 3 5  j2 Z 2  Z 4 2  j2 Z Z Z Z 5  j2 2   j2 Z T  Z AB  1 3  2 4    0,69  j1,72  1  j1  1,69  j0,72. Z1  Z 3 Z 2  Z 4 5  j2 2  j2 ( Prilikom odreĎivanja ZT umesto ems E1 i E2 uspostavlja se kratka veza ). UAB  Z3 I1 + Z4 I2 = 0  ET = UAB = Z3 I1  Z4 I2 = j2( 8,62  j3,45 )  ( j2 )( 12,56 + j12,56 ) ET = ( 18,1  j7,76 ) =  ( 18,1 + j7,76 ) V. I1 ' 

I5

Da je tačka B uzeta za veći potencijal ( što u stvarnosti i jeste ) bilo bi: UBA =  UAB = ( 18,1 + j7,76 ) V, što ne utiče natačnost rešenja zadatka ( u tom slučaju + pol ems ET je spojen na tačku B ).

B

A Z5 ZT

Konačno, struja kroz impedansu Z5, poštujući usvojeni smer, iznosi: ET  18,1  j7,76  18,1  j7,76 I5      3,3  j0,95A. Z T  Z 5 1,69  j0,72  4 5,69  j0,72

+



ET

I 5  3,3 2  0,95 2  3,43A 

10.5.2.

I' 

I a

I" 

E1 10  j10   j1A  R 1  jX C1 10  j10 E2  E3 R 2  jX L



5  j10   j1A , 10  j5

U ab '  E T  E T  R 1 I' E 1  E 3  jX L I"  0 

ET b

E T  10  j10  j10  10  j1  j5   j1   5  j10V . ZT 

I

R 1   jX C1  R 2  jX L 10   j10 10  j5     5  j5  2  j4  7  j1. R 1  jX C1 R 2  jX L 10  j10 10  j5

a +

I

R3

ET

I

ET  5  j10  5  j10     0,8  j0,6A. Z T  R 3  jX C2 7  j1  3  j4 10  j5

C2 b 10.5.3. ----- SE6 = E6I6 = ( 4 + j2 ) VA.


283

10.5.4. ----- a) Izbacivanjem druge grane iz kola nastaje novo kolo u kojem je struja: I'  I

A 

20  1,2  j1,6A 6  j8 U AB  E T  I'Z 3  12,8  j9,6V

I' 

Z1 Z3

+

E1 Z1  Z 3

ZT 

E1  B

Z1  Z 3 Z1  Z 3



6  j8  3,84  j2,88 6  j8

Vezivanjem isključene grane na Tevenenov ( naponski ) generator, nastaje prosto kolo, prema slici: A  Iz ovog kola sledi struja I2 koja iznosi: + E  E2 12,8  j9,6  j5 12,8  j4,6 I2  T    2,75  j2A ZT Z T  Z 2 3,84  j2,88  j4 3,84  j1,12 I2 + Z2 ET  B b) UAB  E2  I2Z2 = 0  UAB = E2 + I2Z2 = j5 + ( 2,75 + j2 )(j4 ) = j5  j11 + 8 = ( 8  j6 ) V. Početni ugao za napon UAB iznosi AB = arc tg (6/8 ) = 3652. a za ems E2 početni ugao je 2 = 90. Fazna razlika izmeĎu napona UAB i ems E2 je:  = AB  2 = 3652  90 = 12652. 4.5.5. ----- Zbog kratke veze koju čine impedanse Z5 i Z6 ( Z5 + Z6 = 0 ) dato kolo se moţe predstaviti jednostavnijom šemom, kao na slici: A 

+

Z1

C

E3

+

Z3

E1

Z7

 B

Z2

Isključenjem E3 i impedanse Z7 ostaje prosto kolo sa ems E1 i redno vezanim impedansama Z1, Z2 i Z3, pa je struja u takvom kolu jednaka: E1 20 20 2 I'     A  Z1  Z 2  Z 3 12  j2  8  j10  10  j12 30 3 U AB  E T  I'Z 3 

Otpor Tevenenovog generatora iznosi: Z T  A  ZT +

E3

+

C

2  10  j12  6,667  j8V  3

Z 3  Z1  Z 2  Z1  Z 2  Z 3 ET  E3



10  j12 12  j2  8  j10  11,5  j4 . 10  j12  12  j2  8  j10

6,667  j8  2  j2 8,667  j6   0,4  j0,187A 11,5  j4  12 23,5  j4

I

I

Z7

U CB  I  Z 7  4,81  j2,25V 

ZT  Z7



ET B


284

10.5.6. ----XC

E1  E2 = IA( jXC + R1 + jXL )  IBjXL ..... ( 1 ) E2 = IB( jXL + R2 )  IAjXL .......................... ( 2 )

IA +

+

E1

1 = IA  jIB  IA = 1 + jIB .......... ( 1 ) 1 + j2 = ( 1 + j1 )IB  jIA ................ ( 2 )

A R1

E2 IB

1+j2 = IB + jIB  j( 1 + jIB) = IB + jIB  j1 + IB  IB( 2+j1 ) = 1 + j3  IB = ( 1 + j1 ) A IA = 1 + j (1 + j1 ) = 1 + j1  1  IA = j1 A.

R2

XL

UAB  IAR1  IBR2 = 0  UAB = IAR1 + IBR2  UAB = ET = j1 + 1 + j1  ET = ( 1 + j2 ) V.

B

Z T  Z AB

 R 2  jX L    R 1    jX C   R 2  jX L     R 2  jX L    R 1   jX C  R 2  jX L 

 j1    1   j1 1  j 1 0,5  j0,5  1  j1  (0,6  j0,8) .    0,5  j0,5  1  j1  j1    1  j1  1  j1 

A I

I

ZT

+

ZT



1  j2  j2  0,6  j0,8A. 0,6  j0,8

S  E  I  j2  0,6  j0,8  1,6  j1,2VA   S  2VA . 

E

+

ET  E

ET B 10.5.7. ----A R3  R1

XC1

XC2

B 

I

R2

E1

E2 +

 C

 D

+

U CA

E1 E2 10  j10 5   R 1 R 2  R 3  jX C 2 10 13  j4    1 1 1 1 1 1     R 1  jX C1 R 2  R 3  jX C 2 10  j10 13  j4

U CA 

1  j1  0,351 j0,108 1,351 j1,108   8,333  j0,538V  0,1  j0,1  0,07  j0,022 0,17  j0,122

E 2  U CA 5  8,333  j0,538  3,333  j0,538  E   0,223  j0,11  0,223  j0,11A . R 2  R 3  jX C 2 13  j4 13  j4 UBD  IR2 + E2 = 0  ET = UBD =  E2 + IR2 = 5  ( 0,223 + j0,11 )10 = ( 7,23  j1,1 ) V.  R 1   jX C1   10   j10   R 3  jX C 2   R 2   3  j4 10  R  jX 10  j 10 5  j5  3  j410  80  j90  C1  1    ZT    R 1   jX C1  10   j10 5  j5  3  j4  10 18  j9  3  j4  10  R 3  jX C 2  R 2 10  j10 R 1  jX C1 I' 

Z T  Z BD  5,556  j2,222


285

B  + E3

ET

IL 

+ ZT

IL

ET  E3 Z T  jX L



 7,23  j1,1  j10  7,23  j11,1    1,84  j1,078A. 5,556  j2,222  j5 5,556  j2,778

XL  D

10.5.8. ----- ET = (18,104  j7,76 ) V; ZT = ( 1,69 + j0,724 ) ; I5 = ET / ( ZT + Z5 ) = (3,302 – j0,944 ) A. 10.5.9. ----- ET = UAC  UAB = ( 0,324  j0,054 ) V; ZT = Z1Z4 / ( Z1 + Z4 ) + Z2Z5 / ( Z2 + Z5 )  ZT = ( 42,259 + j21,357 ) ; I3 = ET / ( ZT + Z3 ) = ( 2,237  j2,647 )103 A = ( 2,237  j2,647 ) mA. 10.5.10. ----I 1 ' R 1  U AB ' I' 2  jX C   0  E T  U AB '  I 1 ' R 1  jX C I 2 '

R 1  jX L  R 2  jX C 

R 1  jX L  R 2  jX C I1 '  R 1  jX L I2 ' 

 IS 

R 2  jX C 150  j50  IS   j100  50  j25mA. R 1  R 2  jX L  X C  200  j200

R 1  jX L 50  j250  IS   j100   50  j75mA. R 1  R 2  jX L  X C  200  j200

E T  0,05  j0,025  50   0,05  j0,075  j50  2,5  j1,25  j2,5  3,75  1,25  j1,25V R  jX C  R 2  jX L  50  j50 150  j250 20000 j5000 ZT  1    62,5  j37,5 . R 1  jX C  R 2  jX L 50  j50  150  j250 200  j200 ( NAPOMENA! Kod odreĎivanja unutrašnjeg otpora Tevenenovog generatora umesto strujnih generatora pravi se prekid grane  beskonačan otpor te grane. Kako je unutrašnji otpor strujnog generatora paralelno vezan sa strujnim generatorom, otpor strujnog generatora iz paralelne veze ostaje prisutan u kolu. Kod naponskog pri računanju otpora Tevenenovog generatora umesto ems pravi se kratka veza. ) ET 1,25  j1,25 I  I AB    0,016  j0,012A  16  j12mA, Z T  Z 62,5  j37,5  25  j50 sa smerom od tačke A ka tački B. 10.5.11. ----- Parametri Tevenenovog generatora su: ET = UBD = ( 10 + j30 ) V i ZT = ZAB = ( 400 + j800 ) . ET Kompleksna struja prijemnika je: I P  I BD   20  j40mA ( smer od tačke B ka D ). ZT  ZP 10.5.12. ----- Isključenjem strujnog generatora izmeĎu tačaka B i D za iste tačke se dobiju paramatri Tevenenovog generatora koji iznose: ET = UBD = ( 2  j1 ) V i ZT = ZBD = ( 32  j6 ) . B + ZT US

+

IS

ET

Napon na strujnom generatoru odredimo pomoću II Kirh. Zakona: US  ISZT  ET = 0  US = ET + IS ZT = 2 – j1 + j0,5( 32  j6 )  US = ( 1 + j15 ) V. Kompleksna prividna snaga strujnog generatora iznosi: SIs = USIS = ( 1 + j15 )(j0,5 ) = ( 7,5  j0,5 ) VA

D


286

10.5.13. ----- Kompleksna impedansa Tevenenovog generatora je: jX L1   jX C1  jX L 2   jX C2  j60   j40 j50   j50 2400 2500 ZT         j120     jX L1  jX C1 jX L 2  jX C 2 j60  j40 j50  j50 j20 0 I elektromotorna sila Tevenenovog generatora je beskonačna: E T = . Kako su parametri Tevenenovog generatora beskonačni, sledi da se ovom metodom ovaj zadatak ne moţe rešiti. Čitaocu se preporučuje da zadatak reši metodom konturnih struja. Konačno rešenje zadatka je: IR = j2 A ( sa smerom odozgo ka dole ). 10.5.14. ----- Metodom zajedničkog napona moţemo odrediti napon na zajedničkim krajevima sve tri grane. On iznosi: E1 E 2 10 15   IS   0,5 Z1 Z 2 2  3,75  0,5 6,25 U  5 4    13,889V 1 1 1 1 1 0,2  0,25 0,45    Z1 Z 2 Z 3 5 4 Ekvivalentna impedansa na krajevima ovih grana je ( ems naponskih generatora kratko spojene a strujni generator u prekidu): Z Z 5  4 20 . Z 1 2   Z1  Z 2 5  4 9 oA

oA Z3 Z

ZT  +

+

ET

U oB

oB

ET = U  13,889 V , jer na otporniku R3 nema pada napona ( kolo je otvoreno ) ZT = Z + Z3 = 20 / 9 + 1 = 29 / 9  3,222  . 10.5.15. ----- P4 = I42R4 = R4U452/R42 = U452/R4 ; P5 = I52R5 = U452/R5 2 U 45 R P4 R4   5  4  R 5  4R 4 2 P5 R4 U 45

R5 R4 R5 4R 4 4   R 4  0,8R 4 R4  R5 5R 4 5 2

R 45 

Ako isključimo otpore R4 i R5 tada će otpor Tevenenovog generatora izmeĎu tih tačaka ( A i B ) iznositi: Z T  R T  R 3  320 . Maksimalna snaga nastaje pri uslovu: ZP = Z  RP = RT = 320 . R45 = 0,8R4 = 320   R4 = 400 ; R5 = 1 600 .


287

10.5.16. ----- IS = ( 30 + j30 ) mA = ( 0,03 + j0,03 ) A; Isključenjem grane AB ( naponskog generatora i kondenzatora C ) dobiju se parametri Tevenenovog generatora, koji oznose: ET = ( 10 +j6 ) V; ZT = ( 400/3 + j800/3 ) ; XC =1/C = 8106/1043 = 800/3 . Kada vratimo isključenu granu kroz koju protiče struja I ( koja ostaje nepromenjena ), dobije se kolo prema slici: A

B

+ ZT

E

Iz datih podataka se vidi da je ems E u kompleksnom obliku jednaka imaginarnom delu, dok je struja I jednaka realnom delu, te je: E = jE; I = I  10 +j ( E  6 ) = 400I/3 + j0 

XC I

+

E  ET = ( ZT  jXC )I  E +10  j6 = ( 400/3 + j800/3 j800/3 )I

ET

Izjednačavanjem realnog i imaginarnog dela jednačina, sledi: 10 = 400I/3  I = 0,075 A = 75 mA ( realni deo jednačine ); E  6 = 0  E = 6 V ( imaginarni deo jednačine ) Amplitude ( maksimalne vrednosti ) iznose: Ems za naponski generator Em = 1,41E = 8,46 V, a za struju te grane Im = 1,41I = 105,75 mA. Kompleksna snaga naponskog generatora je: S = EI = j60,075 = j0,45 VA. 10.5.17. ----- Isključenjem ZP izmeĎu tačaka A i B, slede parametri Tevenenovog generatora, koji iznose: ZT = ZAB = ( 3,47 + j1,86 )  i ET =UAB ( 9,02 + j1,88 ) V. Maksimalna snaga na prijemniku nastaje kada je: ZP = ZT = ( 3,47  j1,86 ) . Struja prijemnika, uz navedeni uslov, iznosi: IP = ET / ( ZT + ZP ) = ( 9,02 + j1,88 )/23,47 = ( 1,3 + j0,27 ) . Kompleksna snaga prijemnika je: SP =IP2ZP = ( 6,01  j3,11 ) VA  P 6,01 W; Q = 3,11 VAR ( kap. ). 10.5.18. ----- E1 = 7,09 V; E2 = j7,09 V. Pri isključenju kalema u kolu je prisutna struja: I = ( E1 + E2 ) / ( R  jXC ) = (7,09 + j7,09) / (2  j2) = j3,545 A. UAB + E1  IR = 0  ET =  E1 + IR = 7,09 + j3,5452 = ( 7,09 + j7,09 ) V. R   jX C   j4 ZT    1  j1. R  jX C 2  j2

IL 

ET  7,09  j7,09    7,09  j7,09A Z T  jX L 1  j1  j1

10.5.19. ----- I5 = ICD = ( 1,58 + j0,27 ) A, sa smerom od tačke C ka D. 10.5.20. ----- a) ET = UAB = ( 12  j16 ) V; ZT = ZAB = ( 6,4 + j10,8 ) ; b) ZP = ZT = ( 6,4  j10,8 ) ; P = 15,6 W. 10.5.21. ----- ET = UAB = ( 0,65 + j11,15 ) V; ZT = ZAB = ( 4 + j3 ) . 10.5.22. ----- Pretvoriti strijni generator u naponski: ES = ISZ6 = ( 6 + j6 ) V; ZS = Z6 = 3 . Parametri Tevenenovog generatora za tačke A i C su: ET = UCA = ( 3,6  j1 ) =  ( 3,6 + j1 ) V  UAC = ( 3,6 + j1 ) V; ZT = ZAC = ( 6 + j4 ) . Kako je tačka A na većem potencijalu od tačke Csledi da struja I5 neći imati naznačeni smer, već suprotan. To isto vaţi i za ems ET, koja je suprotnog smera od naznačenog ( negativni predznak ). U rešenje zadatka smer struje nije bitan, te uz pretpostavku da si ti smerovi suprotni od naznačenih, sledi: Z5

Ao

ZT

I5

+ ET

oC

Z5 + ZT = ET / I5 = ( 3,6 – j1 ) / ( 0,05 + j0,05 ) = ( 46 + j26 ). Z5 = 46 + j26  6  j4 = ( 52 + j22 ). Ovo rešenje je nemoguće jer termogena otpornost mora biti pozitivna. To potvrĎuje predhodnu pretpostavku da je ems ET suprotnog smera, a samim tim i struja I5 moţe imati samo suprotan smer.

Ako promenimo smer struje I5 ( tačka A na većem potencijalu od tačke C ), tada je ET = ( 3,6 + j1 )  Z5 = ET / I5  ZT = ( 3,6 + j1 )/( 0,05 + j0,05 )  6  j4 = 46  j26  6  j4 = ( 40 j30 ) . 10.5.23. ----- ET = UBD = ( 10 + j30 )V; ZT = ZBD = ( 4 + j8 ) ; I = ET / ( ZT + ZP ) = ( 2 + j4 ) A.


288

10.6.1. ----oA

Naponski generator ( Tevenenov ) se pretvara u strujni ( Nortonov ) koristeći poznata pravila o pretvaranju ( formule ):

ZN

IN

IN 

oB

E T 13,889   4,311A ; odnosno ZN = ZT = 3,222 . ZT 3,222

10.6.2. ----A 

A Z1

I

Z2 I

+

IN 

+

E1

E2 B

I' 

E1 Z1



ZN

IN

Z3

 B

E 25 15  5A,....I"  2   j3A 5 Z 2  j5

I N  I'I"  5  j3A Z Z 5   j5 ZN  1 2   2,5  j2,5. Z1  Z 2 5  j5 U 3  U AB  I N  I3 

U3 Z3



Z N  Z3 Z N  Z3

 5  j3 

2,5  j2,5 3  j1  5  j3 2,5  j2,5  3  j1

5  j10  10V 5,5  j3,5

10  3  j1A 3  j1

10.6.3. ----- Ako Nortonov generator pretvorimo u Tevenenov, sledi: ZT = ZN = ( 2,5  j2,5 ) . Maksimalna snaga se javlja kada je: Z3 = ZT = ( 2,5 + j2,5 ) . Kako je ET = INZN = ( 3 + j1 )( 2,5  j2,5 ) = ( 10  j5 ) V. I3 = ET / ( ZT + Z3 ) = ( 10  j5 ) / 5 = ( 2  j1 ) . Aktivna snaga na impedansi Z3 je: P3 = I32R3 = ( 22 + 12 )2,5 = 12,5 W. 10.6.4. ----- IN = ( 1,234 + j1,862 ) A; ZN = ( 4 + j3 ) . 10.6.5. ----Z1 +

Z2

I E

Z3

Z' 

A IN B

Z2  Z3 Z2  Z3

 Z1 

30  j2  200  20  j100  46,1  j98,488 30  j2  200

E 100 I'    0,390  j0,833A  Z' 46,1  j98,488 6000  j400 U 23 '  I'Z 23  0,390  j0,833   8,916  j22,328V  230  j2


289

IN  I2 

U 23 ' Z2

Z N  Z AB ' 



8,916  j22,328  0,345  j0,721A 30  j2

Z1  Z 3 Z1  Z 3

 Z2  A

I4 IN

ZN

Z4 B

20  j100 200  30  j2  4000  j20000  30  j2  79,315  j66,493. 20  j100  200

220  j100

U AB  I N 

ZN  Z4 ZN  Z4

 0,345  j0,721 

79,315  j66,493 10  j10  79,315  j66,493  10  j10

1458,08  j128,22  0,345  j0,721  11,013  j8,400  89,315  j56,483   2,257  j10,838V

U AB  0,345  j0,721  U AB I4 

U AB Z4



 2,257  j10,838  0,429  j0,655A. 10  j10

10.6.6. ----- IN = (3  j1) A; ZN = (14  j2)   ET = INZN = (40  j20) V; ZT = ZN = (14  j2) . Impedansa prijemnika iznosi: ZP = ZT = ( 14 + j2 )  ; Struja prijemnika je: IP = ET / ( ZP + ZT ) = ( 40  j20 ) / 28 = ( 1,429  j0,714 ) . Aktivna snaga prijemnika je: P = IP2RP = ( 1,4292 + 0,7142 )14 = 35,726 W. 10.6.7. ----- Vidi rešenje zadatka 10.5.6; 10.6.9. ----- Vidi rešenje zadatka 10.5.10; 10.6.11. ----- Vidi rešenje zadatka 10.5.15;

10.6.8. ----- Vidi rešenje zadatka 10.5.9; 10.6.10. ----- Vidi rešenje zadatka 10.5.13; 10.6.12. ----- Vidi rešenje zadatka 10.5.18.

10.6.13. ----- Vidi rešenje zadatka 10.5.19.


290 11.1. ----- a) U1:U2 = N1 : N2  U2 = 5,5 V; b) I2 : I1 = N1:N2  I2 = 40 A. 11.2. ----- U1 = mU2 = 206 = 120 V; 11.3. ---- m= N1/N2 = 30; I2/I1 = m  I1 = I2 /m= 20/30 = 2/3 A; P1 = U1I1cos 1 = U1I1 = 1202/3 = 80 W; P2 = U2I2cos 2 = U2I2;  = P2/P1  P2 = P1 = 800,8 = 64 W. 11.4. ---- P1 = U1I1cs  ; P2 = U2I2cos ;  = P2/P1 = U2I2/U1I1 = 324/440 = 0,7364 ( 73,64 % ). 11.5. ---- U1/U2 = N1/N2 = m  U1 = mU2 = 13,2m . Kada se na sekundar priključi primarni napon , tada je odnos transformacije: U2/U1 = N2/N1, gde sekundar poprima ulogu primara a primar ulogu sekundara. Dakle, primarni napon je sada U2 i on je: U2 = mU2 = 13,2m, a sekundarni napon (napon na primaru) je U1 = 120 V. Sledi, m = N1/N2 = U1/U2 = 120/13,2m  m2 = 120/13,2 = 9,09  m = 3. 11.6. ------ U1:U2 = N1:N2  U2 = U1/m = 1000U1  m = 0,001. Kako je I2:I1 = N1:N2 = U1:U2  I2 = mI1 = 103I1, što znači da će se sekundarna struja smanjiti hiljadu puta. Dţulovi gubici na dalekovodu su rezultat sekundarne struje, koja je ujedno struja dalekovoda, i oni iznose: Pd = I22Rd = ( 0,001I1 )2Rd = 106I12Rd = 106P. Dakle smanjenjem sekundarne struje za hiljadu puta smanjuju se Dţulovi gubici na dalekovodu za miliom puta ( Rd je otpor dalekovodne ţice ). 11.7. ----- a) m = U1/U2 = 55; b) 1) P1 = U1I1cos 1 = P2 = U2I2cos 2  I2/I1 = U1/U2 = 55  I1/I2 = 1/55 = 0,0182; 2)  = P2/P1  U2I2/U1I1 = 0,75  I2/I1 = 0,75U1/U2  I1/I2 = U2/U10,75 = 1/0,75m  I1/I2 = 1/0,7555 = 1/41,25 = 0,024. 11.8. ----- S1 = U1I1  I1 = S1/U1 = 10/3 ; I2/I1 = N1/N2  I2 = I1N1/N2 = 45,45 . 11.9. ----- odnos preobraţaja transformatora je m = U1/U2 = 11. Kada na sekundar dodamo 10 navojaka nastaje novi odnos transformacije koji iznosi m = U1/U2 = 220/22 = 10. Napon primara je, kod prve varijente m = 11, a kod druge m = 11  N1/N2 = 10 i N1/(N2+10) = 10  N1 = 11N2 = 10(N2 + 10 )  11N2 = 10N2 + 100  N2 = 100 navojaka i N1 = mN2 = 1 100 navojaka. 11.10. ----- m = N1/N2 = 0,125; U1/U2 = m  U2 = U1/m = 1 600 V. Reaktivni otpori na sekundaru transformatora iynose: XL = L = 3143 = 942  i XC = 1/C = 106/3145 = 639,94  . Ukupna impedansa sekundara je:

Z  R 2  X L  X C   321,03 . Struja na sekundaru je: I2 = U2/Z = 1 600/321,03 = 4,98 . 2

11.11. ----- Na primaru drugog transformatora deluje sekundarni napon prvog transformatora umanjen za pad napona na dalekovodu. Dakle, U1 = U2  U. Kada transformatori rade u praznom hodu, tj na sekundar drugog transformatora nije priključen potrošač, tada se ukupna energija elektrane os 6 kW troši na Dţulove gubitke na dalekovodima. Kako su ovi gubici na dalekovodu jednaki: Pd = Id2Rd  Id 

P  Rd

P  2l  S

6 10 3  2  50 10 3 0,0178 0,5 10 2

6 10 3  0,5 10 2  0,017810 5

3  12,98A . 0,0178

Ova struja na dalekovodu je i struja sekundara prvog transformatora i struja primara drugog transformatora. Dakle, I2 = Id = I1 = 12,98  Napon na primaru drugog transformatora je: U1 = U2  U = 20 000  IdRd = 20 000  12,982l/s = 20 000  12,980,0178250 000/50 = 19 537,9 V. Kako je odnos transformacije kod drugog transformatora: N 1/N2 = U1/U2, broj navojaka sekundara na drugom transformatoru iznosi: U " 200 N 2 "  2 N1 "   4000  40,95  41navojak. U1 " 19537,9


291

11.12. ----- P1 = U1I1cos 1; P2 = U2I2 cos 2 . P P  0,08P1 0,92P1 Kako je   2  1   0,92  P2  0,92P1  U 2 I 2 cos  2  0,92U 1 I1 cos 1 , P1 P1 P1 napon na sekundaru transformatora je: 0,92  U 1 I1 0,92 150 2 U2    2760V. I2 0,1 gde je struja potrošača ujedno i struja na sekundaru transformatora. 11.13. ----- a) m = 66/4 = 16,5; S1 = U1I1 = 200103  I1 = 200103/6 600 = 30,3 A; I2 = mI1 = 500 . b) N1 = mN2 = 1320 navojaka c) E1 = U1 = 4,44fN1m  m = U1/4,44fN1 = 6 600 / 4,44501 320 = 0,0225 Wb. 11.14. ----- a) m = 5; U1 = mU2 = 2 000 V; b) S1 = U1I1  I1 = S1/U1 = 100 000 / 2 000 = 50 ; I2 = mI1 = 250 ; c) P2 = U2I2cos2  I2 = P2 / U2cos 2 = 50 000 / 4000,8 = 156,25 . 11.15. ----- a) m = 1,27; I1 = I2/m = 10 / 1,27 = 7,87 ; b) N2 = N1/m = 188,98  189 navojaka c) SAB = I1 / J = 7,87 / 2 = 3,935 mm2 ; SBC = ( I1  I2 ) / J = ( 10  7,87 ) / 2 = 1,065 mm2. 11.16. -----

Snaga primara kod autotransformatora je: P1A = U1 ( I1 – I2 ) = U1( I1 – mI1 ) = U1I1 – 0,8U1I1 = 0,2U1I1.

I2 U2–U1 I1

U2 I1–I2

N1 U1

Ako odvojimo primar od sekundara, tada će snaga primara biti jednaka P1 = U1I1. Kako je snaga primara kod autotransformatora P 1A = 0,2U1I1  P1A = 0,2P1. Snaga transformatora, kod idealnih transformatora, je jednaka snazi primara, odnosno snazi sekundara ( P 1 = P2 ). Snaga kod autotransformatora, za navedeni primer, iznosi 20% u odnosu na snagu kada namotaje razdvojimo primarni i sekundarni namotaj.

11.17. ------ a) E1  U1 = 4,44fN1m  m = E1/4,44fN1 = 500/4,4450400 = 0,00563 Wb. Ovo je fluks bez rasipanja, tj. fluks koji indukuje ems e 1 i e2. Kako se na rasipanje izgubi 5 % fluksa, ukupni rezultantni fluks je: rm = m + 0,05m = 1,05m = 0,005912 Wb. Ukupna rezultantna magnetna indukcija ( amplituda ) iznosi: Brm = rm/S = 0,005912 / 63104 = 0,938 T. b) m = N1 / N2 = 400 / 1000 = 0,4; U1 /U 2  N1 / N2  U2  U1/m = 500 / 0,4  1 250 V. 11.18. ----a) U1/U2 = N1/N2  N2 = N1U2/U1  N2 = 6203/220 = 8,45  8 navojaka; 14 i 23 navojka; b) I1N1 = I2N2  I1 = I2N2/N1  I1 = 18/620 = 0,013 A; 0,814/620 = 0,018 A; 0,423/620 = 0,015 A; c) S1 = S2 = U1I1  S1 = 2200,013 = 2,86 VA; 2200,018 = 3,96 VA; 2200,015 = 4,8 VA; d) E1 = U1 = 4,44N1fm = 4,44N1fBmSFe  SFe = U1/4,44fN1Bm = 220/4,44506201 = 16 cm2. 11.19. ----- E1 = U1 = 4,44N1fBmSFe  N1 = U1/4,44fBmSFe a) N1 = 220/4,4450801040,9 = 138 nav, U1/U2 = N1/N2  N2 = U2N1/U1 = 42138/220 = 26 nav. c) N1 = 300/4,44501051040,82 = 157 navojaka; N2 = U2N1/U1 = 60157/300 = 31 navojka, d) N1 = 217 navojaka; N2 = 48 navojaka, e) N1 = 300 navojaka; N2 = 88 navojaka. NAPOMENA! Broj navojaka se uvek zaokruţuje sa celim brojem.


292

11.20. ----- S1 = S2 = S = U1I1 = U2I2 a) S = U2I2 = 4220 = 840 VA; S1 = U1I1  I1 = S1/U1 = 840/220 = 3,82 A; b) S = U2I2 = 6050 = 3 000 VA; I1 = S1/U1 = 10 A; c) S = U2I2 = 11090 = 9 900 VA; I1 = S1/U1 = 9 900/500 = 19,8 A; d) S = U2I2 = 220130 = 28 600 VA; I1 = S1/U1 = 28 600/750 = 38,13 A. 11.21. -----

U1 Z1 L1 L1 I U I Kako je    1  1  2  m m  m2  m  U2 Z 2 L 2 L 2 U 2 I1 I2 Induktivnost sekundarnog kalema je: L2 = L1/m2 = 6/9 = 0,667 mH. MeĎusobna induktivnost je: L m  M  k  L1  L 2  0,1 6 

Z1  Z2

L1 L2

2  0,2mH. 3

11.22. ----Odnos transformacije je: m = N1/N2 = 200/50 = 4. Napon na sekundaru iznosi ( m = U1/U2 ) : U2 = U1/m = 25 V. Struja sekundara je: I2 = U2/R = 25 A. Primarna struja ( m = I2/I1 ) je: I1 = I2/m = 25/4 = 6,25 . Magnetni fluks m sledi iz izraza za indukovanu ems primara, ili sekundara, gde je: E1 = U1  4,44fN1m, pa sledi: U1 m   2,25mWb. 4,44  f  N 1 11.23. -----

U1 Z1 R 1 I UI   1  1 2  m2 U2 Z2 R 2 U 2 I1 I2 Odnos transformacvije je: m

R1  31,623 R2

Sekundarni broj navojaka ( m = N1/N2 ) je: N2 = N1/m = 63,25. Kako se za broj navojaka uvek uzima celi broj, sledida je N2 = 63 navojka. 11.24. ----I2 o

I1 N2

o U1 o

N1

U2

I o

Struja sekundara je: I2 = S2/U2 = 2000103/5000 = 400 . Odnos transformacije je: m = U1/U2 = 0,94. Struja primara iznosi: I1 = I2/m = 400/0,94 = 425,53 . Kroz primarni namotaj, koji je ujedno i zajednički namotaj, protiče struja ( I1 = I2 + I ) I, koja iznosi: I = I1  I2 = 25,23 . Snaga na koju je dimenzionisan transformator je jednaka proizvodu napona na primarnom namotaju i struje koja protiče kriz primarni namotaj, pa je: S = S1 = U1I = 470025,53 = 120 000 VA = 120 kVA.


293 11.25. ----- Odnos transformacije je: m = N1/N2 = 0,909, pa je električna šema ovog autotransformatora ista kao i u predhodnom zadatku, što znači da je i način njegovog rešenja isti ( N2  N1 ). Primarni napon je U1 = U = 200 V. Napon na sekundaru jednak: U2 = U1/m = 220 V. Struja sekundara je: I2 = P2/U2 = 10 000/220 = 45,45 . Primarna struja je I1 = I2/m = 50 A. Kroz primarni namotaj ( zajednički ) N1 protiče struja I, koja iznosi: I = I1  I2 = 4,55 . Snaga za koju je transformator dimenzionisan je: P = P1 = U1I = 2004,55 = 910 VA. 11.26. -----

1o + U1

I1

I1

I2 2 o + U2 o 2

1o

1o

+

U1

Z

I2 M R1



 L2

L1

R2

o + U2

Z o

1o b)

a) a) transformator i b) električna šema

Primar i sekundar su induktivno povezani, pa dolazi do meĎusobne induktivnosti, koja je takvog smera da im se fluksevi meĎusobno suprostavljaju. Zbog toga su zvezdice uvek postavljene tako da je meĎusobna induktivnost Lm negativna, tj. Lm  0 ( umesto Lm često se uzima oznaka M ). Na osnovu električne šeme transformatora i induktivno spregnutih kola, dolazimo do osnovnih jednačina transformatora: U1 – I1Z11 + I2Z12 = 0  U1 = I1Z11 – I2Z12 ........... ( 1 ) U2 + I2Z22  I1Z21 = 0  U2 = I1Z21 – I2Z22 ............. ( 2 ) ; U2 = I2Z gde je: Z11 = R1 + jL1; Z22 = R2 + jL2 i Z12 = Z21 = Zm = jLm ( Zm = jM ). Napon na sekundaru iznosi: U2 = I2Z , Kako je impedansa prijemnika Z ( Z = R ) priključena na sekundar sledi ( iz druge jednačine ): I2Z = I1jLm  I2( R2 + jL2 )  I20,2106 = I1j81060,001  I2( 80 + j81060,008 )  I2( 200 000 + 80 + j64 000 ) = jI18 000  200080 j64000 I1  I 2  8  j25,01I 2 . j8000 Zamenom ovih struja u prvu jednačinu, sledi: U1 = ( 8  j25,01 )I2( R1 + jL1 )  jI2Lm  Uz pretpostavku da je napon mreţe u faznoj osi ( početni ugao jednak nuli ), navedena jednačina iznosi: 5 = I2( 8 + j25,01)( 50 + j81060,004 )  jI281060,001  5 = I2 ( 800 720 + j254 749,5 )  j I2 8 000  5 = I2( 800 720 + j254 749,5  j8 000 )  5 = I2( 800 720 + j246 749,5 )  I2 = (5,70  j1,76 )106  = ( 5,70  1,76 ) A. Efektivna vrednost sekundarne struje iznosi: I2 = 5,97 . Primarna struja je jednaka: I1 = ( 8  j25,01 )(5,70  j1,76 )106 = ( 1,58  j156,64 )106  = ( 1,58  j156,64 ) , pa je njena efektivna vrednost jednaka: I1 = 156,65 . Napon na sekundaru je: U2 = I2Z = ( 5,70  j1,76 )1060,2106 = ( 1,14  j0,352 ) V, a njegova efektivna vrednost je jednaka : U2 = 1,193 V.


294

11.27. ----Osnovne jednačine kod realnog transformatora, prema električnoj šemi prikazanoj u predhodnom zadatku su: U1 = I1Z11  I2Z12 ...... ( 1 ) U2 = I1Z21  I2Z22 ....... ( 2 ), gde je U2 = I2Z MeĎusobna induktivnost iznosi Lm = M = L12 = L21 = k L 1 L 2  0,2076mH , pa je:

Z12 = Z21 = jLm = j51030,2076103 = j1,038 . Uvrštavanjem ove vrednosti u drugu jednačinu sledi: U2 = I2Z = I1Z12  I2( R2 + jL2 )  I2( Z + R2 + jL2 ) = I1jLm  I2( 2 000 + j500 + 100 + j20 ) = I1j1,038  I2(2 100 + j520 ) = I1j1,038  I1 = ( 2 100 + j520 )I2 / j1,038 = ( 500,96  j2 023,12 )I2. Odnos izmeĎu primarne i sekundarne struje, u kompleksnom obliku, iznosi: I1 / I2 = ( 500,96  j2 023,12 ). Apsolutna vrednost ovog odnosa je: I1  500,96 2  2023,12 2  2084,22 . I2 Ovaj odnos moţemo odrediti i proizvoljnim uzimanjem vrednosti primarnog napona, npr. U 1 = 100 V ( U1 = 100 V ). U ovom slučaju prva jednačina glasi: U1 = ( 500,96  j2 023,12 )I2( R1 + jL1 )  I2jLm  100 = ( 500,96  j2 023,12 )( 60 + j15 )I2 – I2j1,038  100 = ( 60 404,4  j113 872,28 )I2  j1,038 I2  100 = ( 60 404,4  j113 873,32 ) I2  I2 = ( 363,54 + j685,33 )106. Primarna vrednost struje je: I1 = ( 500,96  j2 023,12 )( 363,54  685,33 )106 = ( 1,569  j0,392 ) . Efektivne vrednosti primarne i sekundarne struje su: I1 = 1,617  i I2 = 775,78106 , a njihov odnos je: I1/I2 = 1,617/775,78106 = 2084,65 ( što je isto kao i kod prve varijante ) Primarni napon je: U1 = ( 60 404,4  j113 873,32 ) I2 a sekundarni: U2 = I2Z = ( 2 000 + j500 ) I2. Odnos ozmeĎu primarnog i sekundarnog napona je: U 1 60404,4  j113873,32 I 2   15,029  j60,694 . 2000  j500 I 2 U2 Ovaj odnos u apsolutnom ( realnom ) iznosu je jednak: U1  15,0292  60,6942  62,53 . U2 Čitaocu se preporučuje da ovaj odnos odredi na osnovu proizvoljno uzete vrednosti primarnog napona. Objasniti ovu mogućnost, koja je nastala u ovom zadatku, da su primarna struja i primarni napon veći od sekundarne struje, odnosno napona. 11.28. ----I1jL1 U1

I1R1 E1

I1

m

E1

E1 = 4,4450N1m = 4,44505004103 = 444 V. Fluks  prednjači indukovanim ems E1 i E2 za 90. Za primar transformatora vaţi sledeća jednačina: U1  I1Z1  ( E1 ) = 0  U1 = E1 + I1Z1  U1 = E1 + I1( R1 + jL1 ). Kod idealnog transformatora sledi da je: U1 = E1, što znači da će indukovana ems primara e1 sa primarnim naponom u1 odrţavati protuteţu. Zbog toga se u praksi, kod postavljanja jednačina transformatora na primarnoj strani, umesto ems e1 koristi njena suprotna vrednost ( e1 ). Ova vrednost ems ( e1 ) prednjačiti svom fluksu za 90. Izraz za trenutnu vrednost ems primara je: ( e1 ) = e1 = 444 2 sin ( 314t + 113 ), ili e1 = 444 2 sin ( 314t  67 ).

E2


295 11.29. ----- E1 = U1 = 222 = 4,44fN1m = 4,4450500m  m = 222/222500 = 0,002 Wb = 2 mWb. Pošto se, zbog jednačina na primaru transformatora, za indukovanu ems e1 redovito uzima da prednjači svom fluksu  za 90 ( u stvarnosti je to obrnuto, vidi fazorski dijagram u predhodnom zadatku ), analitički izraz za magnetni fluks glasi:  = 2 sin ( 314t  90 ) mWb. 11.30. -----

m

U1 I Z I Z Z  1 1  m 2  1  m2  1  m  U 2 I2 Z2 I1 Z 2 Z2

m' 

U1 '  U2 ,

Z1 Z2

Z1 ' Z2 '

Kako je Z1 = Z1 a Z2 = Z2/3  Z2 = 3Z2 

m  m'

Z1 Z2



Z1 ' Z2 '

Z1 Z2 Z1 3Z 2



Z1  3Z 2  3. Z1  Z 2

Dakle, odnos transformacije je kod prvog merenja, gde je opterećenje sekundara bilo manje, veće od odnosa transformacije kod drugog merenja za pribliţno 3 puta ( m = 3 m ). Čitaocu se ostavlja mogućnost da doĎe do zaključka kako i zbog čega se menja odnos transformacije pri promeni opterećenja transformatora. 11.31. ----- Kako je kod idealnog transformatora: m

I2 N  1  I1 N 2

Z1 , gde je: Z2

Z1 impedansa primara transformatora, a Z2 impedansa sekundarnog namotaja transformatora. Da bi navedena relacija bila što tačnija, impedanse transformatora trebaju ostati nepromenjene. Kako se na sekundar transformatora veţe impedansa Z njena vrednost treba da je jednaka Z = 0 ( sekundar u kratkom spoju ), a samim tim i impedanse primara i sekundara transformatora ostaju nepromenjene. Ova konstatacija se odnosi samo na struje, dok bi kod napona rešenje bilo drugačije. Dakle, rešenje je pod tačkom d) Z = 0. 11.32. ----- Kod idealnih transformatora je ( U1 = E1 a U2 = E2 ): E U m 1  1 E2 U2 Napon na sekundaru transformatora U2 će biti jednak ems E2 samo u praznom hodu, tj. kada nema padova napona na sekundaru. To će se dogoditi pri beskonačnom otporu sekundara ( potrošača ), jer je struja I 2 jednaka nuli, a samim tim i nema padova napona na namotajima sekundara. Rešenje je pod tačkom e) Z = . 11.33. ----R1 o + I1 U1

o

Gde je, prema slici:

R2

L1

L2

Io RFe IFe

E

o+

I2 U2

Lo I o

R1... aktivni otpor namotaja N1 L1.... induktivnost namotaja N1 R2 ....aktivni otpor namotaja N2 L2......induktivnost namotaja N2 RFe....ekvivalentni ( nadomesni ) otpor gubitaka u gvoţĎu Lo.....ekvivalentna induktivnost sa odgovarajućom meĎusobnom induktivnošću ( Lo = mLm = mM)


296 11.34. ----- L1, L2, R1 i R2 ne zavise od frekvencije f ( L = N2 ). Promenom frekvencije f menjaju se gubici u gvoţĎu ( magnetna histereza i vrtloţni gubici ), a to znači da se menja parametar R Fe, koji i predstavlja gubitke u gvoţĎu ( grejanje jezgra ). Povećanjem frekvencije povećavaju se i ovi gubici. 11.35. -----

U1

jI1X1

I1R1 E1

I2

1

Io

I1

IFe I 2 U2 I2



Pri crtanju fazorskog dijagrama redovito se sekundarne veličine svedu ( redukuju ) na primarne. Kod realnog transformatora struja praznog hoda Io se sastoji iz dve komponente, i to: - I ..... struja magnetiziranja, pa je ona u fazi sa fluksom  kojeg stvara i - IFe ..... struja gubitaka u gvoţĎu ( vrtloţne struje i histereza ). Ova komponenta struje stvara u gvoţĎu, prema Dţulovom zakonu, toplotne gubitke, pa je ona normalna na struju magnećenja. Struja praznog hoda je jednaka: Io = I + IFe 

I o  I   I Fe 2

2

I2R2 jI2X2

Redovito je I  IFe  Io  I, što je i cilj ( to se ostvaruje specijalnim trafolimovima ).

E2 Sl.6.

11.36. ----- Zamenom transformatorskih limova punim materijalom istog materijala, smanjuje se otpornost tog materijala pa se povećava vrtloţna struja. To dovdi do toga da se povećava struja gubitaka u gvoţĎu I Fe. Povećanjem struje IFe ( vidi fazorski dijagram u rešenju predhodnog zadatka ) povećava se i struja Io i ujedno smanjuje njen fazni pomak u odnosu na struju I1 ( i napon U1 ). Ovo povećanje struje Io i smanjenje faznog pomaka u odnosu na I1 dovodi do toga da se po povećava i struja primara I1 i istovremeno smanjuje njen fazni pomak u odnosu na primarni napon U1. Dakle, zamenom transformatorskih limova sa punim materijalom istog preseka i istog materijala smanjuje fazni napon izmeĎu napona i struje na primaru ( mreţe ). 11.37. ----- Odgovor je pod tačkom b) Gubici kod praznog hoda transformatora su gubici usled histereze i vrtloţnih struja, koji nastaju u jezgri transformatora ( gvoţĎu ). 11.38. ----- Gubici transformatora u reţimu kratkog spoja su jednaki gubicima u namotajima primara i sekundara transformatora. Odgovor je pod a) 11.39. ----- Povećenjem opterećenja transformatora povećavaju se samo Dţulovi gubici na namotajima transformatora ( vidi rešenje predhodnog zadatka ). Gubici u gvoţĎu su isti i u reţimu praznog hoda i u reţima kratkog spoja, samim tim i u nominalnom reţimu rada. Povećanjem otpora potrošača tri puta, smanjuje se struja sekundara tri puta. Kako su otpori u bakru ( namotaju primara i sekundara ) ostali nepromenjeni, tada će po Dţulovom zakonu gubici u bakru da se smanje za 3 2. Povećenjem opterećenja na sekundaru za tri puta Dţulovi gubici u bakru se smanje za devet puta, pa sledi: PFe  PFe i PCu  PCu/9. gde su PFe i PCu gubici nakon povećanja opterećenja, a P Fe i PCu gubici u nominalnom reţimu rada. 11.40. ----- Snaga koju uzima transformator u reţimu kratkog spoja uglavnom se troši na zagrevanje primarnog i sekundarnog namotaja. Rešenje odgovora je pod a)


297

12.1. ----I1

U1

f.o.

U1 = 100ej0 V; U2 = 200ej90 V; U = U1 + U2 = ( 100  j200 ) V  I1 = U1/R1 = 10  I1 = 10ej0 ; I2 = U2/R2 = 20  I2 = 20ej90 ; I = I1 + I2 = ( 10  j20 ) A.

I

I2

U

U2

12.2. ----U1

I2

f.o.

U1 = 200ej0 V; U2 = 200ej90 V; U = U1 + U2 = ( 200  j200 ) V  U = 200 2 ej45 V; Z1 = Z2 = Z = 10ej45 ;

I1

I1 = U/Z1 = 200ej0/10 2 ej45 = 10 2 ej45 ;

I U2

I2 = U/Z2 = 200ej90/ 2 10ej45 = 10 2 ej135 A; I = I1 + I2 = ( 10  j10 ) + (  10  j10 ) =  j20  I = 20ej90 .

U

12.3. ----U1 = 300ej0 V; U2 = 300ej90 V

f.o.

U1

U12 = ( 300  j300 ) = 300 2 ej45 V. Z= 21,7

U2

Z = 100 5 ej26,7 . Pošto je impedansa Z priključena na linijski napon U12 nju protiče struja koja iznosi:

U12

I

100 2 + 200 2 = 100 5 [Ω ].

I = U12/Z = 300 2 ej45/100 5 ej26,7  I = 1,9ej71,7 .

12.4. ----U1 = 100 V; U2 = j100 V; U = ( 100  j100 ) V; I1 = ( 5  j5 3 ) A; I2 = ( 5 3  j5 ) A;

S2

S1 = U1I1 = 100(5 + j5 3 ) = (500 + j500 3 );

Q2

S2 = U2I2 = j100(5 3 + j5) = (500 + j500 3 )

S P1

S1

Q

S = S1 + S2 = ( 1 000 + j1 000 3 ) VA  P = 1 000 W; Q = 1 000 3 VAr ; S = 2 000 VA.

Q1 P2

P1 P

f.o.

12.5. ----- P = 4 kW; Q = 4 kAr; S = 4 2 kVA. 12.6. ----- P = 500 W; Q = 500 3 Var; S = 1 000 VA.


298 12.7. ----- Analitički izrazi za napone, struje i snage glase: u1 = 100 sin t; u2 = 100 sin ( t  /2 ) = 100 cos t; i1 = 5 sin ( t  /6 ); i2 = 5 sin ( t  /2 ) = 5 cos t i p1 = u1i1 = 500 sin t sin ( t  /6 ); p2 = u2i2 = 500 (cos t )2; p = p1 + p2. Predstavljajući ove veličine grafički ( vremenski ) dobije se grafik koji je prikazan na slici u1;u2;i1;i2 p1;p2;p3

p

p2 u1

u2 p1

i1 t

i2

Tp Tu ( Ti ) 12.8. ----- U1 = 200 V; U2 = j200 V; I2 = (3,2  j2,4 ); P1 = 800 W; Q1 = 0; S1 = P1 = 800 VA ; S2 = U2I2 = j200(3,2 + j2,4 ) = ( 480 + j620 ); S = S1 + S2 = ( 1280 + j620 ) VA  P = 1 280 W; Q = 620 VAr; S = 1422,25 VA. 12.9. ----- Uf = 62,5 V. 12.10. ----- U2 = j10 V; u2 = 10 2 cos t V; I1 = j5 A; I2 = 5 A. Na osnovu efektivnih vrednosti napona i struja i početnih uglova čitaocu nije problem da sam nacrta fazorski dijagram napona i struja. 12.11. ----- MeĎufazni ( linijski ) napon iznosi U12 = Uf 2 = 250 V. Za cos  = 0,6  sin  = 0,8. Kako je sin  = Q/S  S = Q/sin  = 2 000/0,8 = 2 500 VA; P = Scos  = 2 5000,6 = 1 500 W. Struja koja protiče impedansom Z iznosi I = S/U12 = 2 500/250 = 10 , a impedansa Z = U/I = 250/10 = 25 . C = 25,5 F. Aktivnu i reaktivnu otpornost odredimo iz aktivne i reaktivne snage gde je: P = I2R  R = P/I2 = 1 500/100 = 15 ; Q = I2X  X = Q/I2 = 2 000/100 = 20 . Paralelnim priključenjem kondenzatora na impedansu Z ( RL karaktera ) na kondenzatoru se javlja reaktivna snaga QC. Pošto je ukupna reaktivna snaga sada jednaka: Q = Q + QC  1 500 = 2 000 + QC  QC =  500 VAr  QC = 500 VAr. Iz izraza za reaktivnu snagu na kondenzatoru ( QC = IC2XC )  U2 U2 U 2 2502 QC  Xc   XC    125Ω 2 XC QC 500 XC Kapacitet kondenzatora iznosi: 1 1 = 25,48 F. C= = ωX C 314 125


299

12.12. ----- Za dvofazni sistem fazni pomak izmeĎu faznih napona je 90 ( fazori pod 90 ), pa je meĎufazni napon U = Uf 2 . Dakle odnos izmeĎu meĎufaznog i faznog napona je U/Uf = 2 ; Za trofazni sistem fazni pomak izmeĎu faznih napona iznosi 120, pa je njihova fazorska razlika jednaka meĎufaznom naponu koji je za 3 puta veći od faznog napona. Dakle, za n=3  U/Uf = 3 , gde je n broj faza. Za n = 6 ( šestofazni sistem ), fazni pomak izmeĎu faznih napona je 60, pa je meĎufazni napon jednak faznom, jer fazorska razlika faznih napona daje fazor čiji je vektor jednak faznim naponima ( jednakostranični trougao) . Kod šestofaznog sistema U/Uf = 1. Za n = 12 , fazni pomak izmeĎu faznih napona iznosi 30, kao na slici Ako fazne napone predstavimo kompleksno, sledi: Uf1 = Ufej0 = Uf i Uf2 = Ufej30 . MeĎufazni napon je jednak fazorskoj razlici faznih napona, tj. U = Uf1  Uf2. Umesto kompleksnog računa , meĎufazni napon moţemo jednostavnije izračunati koristeći kosinusnu teoremu na jednakokraki trougao, gde je: U2 = Uf12 + Uf22  2Uf1Uf2 cos 30 = 2Uf121  cos 30 

U 30

30 Uf1 Uf2

U2 = 2Uf12 ( 1  3 /2 )  U2/Uf12 = 2( 1  3 /2 )  U/Uf =

2 1

3 2 3  2  2  3  0,27  0,52. 2 2

Dakle, odnos izmeĎu meĎufaznog i faznog napona kod dvanaestofaznog sistema iznosi U/U f = 0,52. Za n = 18   = 360/18 = 20. Na isti način kao i kod dvanaestofaznog sistema odredimo meĎufazni napon. Koristeći kosinusnu teoremu, sledi: U2 = Uf12 + Uf22  2Uf1Uf2 cos  = 2Uf2 ( 1  cos 20 ) = 0,121Uf2  U2/Uf2 = 0,121  U/Uf = 0,347. Na sličan način se odreĎuje i odnos kod svih ostalih sistema. 12.13. ----- Uf = 150 V; U = 150 3 V.

12.14. ----- U f =

U 3

= 130 3 [V ] ; I f = I =

Uf = Z

130 3 5 2 + 15 2

=

130 3 250

=

130 3 5 10

=

130 30 = 2,6 30 [A ]. 5 10

12.15. ----- I  I f 3  50 3A;S  3UI  3  380  50 3  57kVA ; P = S cos  = 570,8 = 45,6 kW; Q = S sin  = 570,6 = 34,2 kVAr; 12.16. ----- S = 3Uf  If = 340015 = 18 kVA ; P2 = S2  Q2  P = 16,1 kW; 12.17. -----  = 45  X = R , Z =R 2 ; cos  = sin  = 12.18. ----- W = Pt =

2 ; S= 2

3UI  3  200 3 15  9kVA  ; P = S cos  = 9

2 = 4,5 2 [kW]. 2

3UI cos   t  450 000 = 1,73380850,83t  t = 9,66 h

12.19. ----- XC = 1/C = 1/314200106 = 15,8 ; Struja kondenzatora, kada je on vezan na meĎufazni napon UAB iznosi:  3 3U BO U U 1  0,73 I CAB  AB   I CBO  15  BO  15  U BO     15  U BO  15    XC XC XC XC  XC XC  15  X C 15 15,8 U BO    324,7V   U AB  3  324,7  562V . 0,73 0,73 Gde je UAB meĎufazni ( linijski ) napon, a UBO napon faze B ( napon izmeĎu faze B i nule ).


300 12.20. ----- Korisna snaga motora je P, a ukupna snaga koju motor prima, tj. mreţa daje je P m, pa je stepen korisnosti  = P/Pm. Dalje sledi: P P 100   Pm    109,89kW. Pm  0,91

Pm  3UI cos   I 

Pm 3U cos 



109,89 10 3 3  5 10 3  0,8

 15,88A

12.21. Pre uključenja kondenzatora prividna i reaktivna snaga mreţe je iznosila ( cos  = P/S ): S = P/cos  = 500 / 0,6 = 833,33 kVA; Q  S 2  P 2  666,67kVAr  . Struja mreţe je iznosila ( S =

3UI ):

833,33 10 3

  1267,62A. 3U 3  380 Uključenjem kondenzatora na njima se javlja reaktivna snaga ( kapacitivna ), koja će sa reaktivnom snagom pogona predstavljati ukupnu reaktivnu snagu sistema ( mreţe ). Treba imati u vidu da su ove dve reaktivne snage suprotnih predznaka, pa se one oduzimaju ( kod pogona je induktivno opterećenje, a kod kondenzatora kapacitivno ). Aktivna snaga sistema ostaje nepromenjena, jer kondenzatori ne utiču na aktivnu snagu ( pri povećanju faktora snage kod prijemnika se ne menja ni napon ni struja, a samim tim na njemu ostaje ista snaga ). Kako je aktivna snaga pogona pri uključenju kondenzatora P = 500 kW uz faktor snage cos  = 0,8 prividna snaga sistema ( mreţe ) je: S1 = P / cos 1 = 500 / 0,8 = 625 kVA. I

S

Ukupna reaktivna snaga sistema je: Q1  S1  P 2  375kVAr  . Iz izraza za ukupnu reaktivnu snagu sistema odredimo i linijsku struju nakon uključenja kondenzatora, gde je: 2

Q1 = 3 UI1 sin 1  375103 = 1,73380I1sin 36,87 = 394,44I1  I1 = 950,7 . Kako je Q1 = Q + ( QC )  QC = Q  Q1 = 666,67  375 = 291,67 kVAr. Dakle, reaktivna snaga na kondenzatorskoj bateriji je QC = 291,67 kVAr. Koristeći izraz za reaktivnu snagu na kondenzatorima izračunamo pojedinačni kapacitet kondenzatora, jer je : 2

2

2 2  U  U  3U C 3U C 2 2   CU 2  Q C  3  I C  X C  3 C   X C    3CU C  3C  1 X X C  C  3 C QC 291,67 10 3 C   3,716 10 3 F  3,716mF  3716F. U 2 314  5002

12.22. ----- Struje po fazama, koje su ujedno i linijske struje iznose: Ug 5200 5200 I1     208  j156  I 1  I 2  I 3  I  I f  260A. Z g  Z m 0,4  j0,5  15,6  j11,5 16  j12 Napon na stezaljkama generatora je ujedno i napon na motoru ( zanemarljivi padovi napona na linijskim vodovima ), pa je: Uf = Um = IZm = 260 15,6 2  11,5 2  5038,97V  . Faktor snage mreţe odredimo iz ukupne impedanse ( Z = Zg + Zm = 16 +j12 ), pa je: 12 cos    0,8    36,87 o . 16 Aktivna snaga motora je: P = 3I2Rm = 3260215,6 = 3 163,68 kW. Snaga gubitaka u generatoru je: Pg = 3I2Rg = 326020,4 = 81 120 W = 81,12 kW.


301 12.23. ----- Kako je opterećenje simetrično, a motor je vezan u zvezdu, linijske i fazne struje su jednake. Struju odredimo iz aktivne snage sistema ( P = 3U m I cos  ), i ona iznosi: I = Im 16,06 . Dţulovi gubici ( aktivna snaga ) na vodovima iznosi: PV = 3I2RV = 316,0622 = 1 547,54 W. Generator daje ukupnu aktivnu snagu koja iznosi: Pg = P + P2 = 25 000 + 1 547,54 = 26 547,54 W. Snaga, koju daje generator, iznosi: Pg =

3 U g I cos .

Da bi odredili ukupni faktor snage mreţe potrebno je poznavati ukupnu impedansu ( motora i vodova ). Aktivnu otpornost motora odredimo iz aktivne snage ( P = 3I2Rm ), pa je Rm = P/3I2 = 32,31 , Iz faktora snage motora odredimo i reaktivnu otpornost ( m = arc cos 0,75 = 41,41), jer je: tg m = Xm/Rm. Reaktivna otpornost ( induktivna ) motora iznosi: X m = Rmtg m = 28,49 . Ukupna impedansa sistema je ( po fazi ): Z = ZV + Zm = 2 + j4 + 32,31 + j28,49 = ( 34,31 + j32,49 )   Zu = 47,25. Ukupni faktor snage mreţe je: coc  = Ru / Zu = 34,31 / 47,25 = 0,726. Linijski napon generatora jednak je: Pg 26547,54 Ug    1316,12V 3I cos  3 16,06  0,726 Stepen iskorišćenja je: P 25000    0,9417  94,17% . Pg 26547,54 12.24. ----Prividna snaga motora je: prvog S1 = P1/cos 1 = 16,667 kVA, i drugog S2 = P2/cos 2 = 11,25 kVA. Reaktivne snage motora su: prvog Q1 = S1 sin 1 = 16,6670,8 = 13,3336 kVAr, a drugog Q2 = S2 sin 2 = 11,250,6 = 6,75 kVAr ( kap ). Prividne snage motora u kompleksnom obliku iznose: S1 = P1 + jQ1 = ( 10 + j13,3336 ) kVA i S2 = P2  jQ2 = ( 9  j6,75 ) kVA. Ukupna prividna snaga mreţe je: S = S1 + S2 = ( 19 + j6,5836 ) kVA  S = 20,1 kVA. Faktor snage mreţe je: cos  = Pm / S = 19 / 20,1 = 0,945. Struja mreţe je ( S =

3UI ) :

I = S / 1,73U = 11,62  Struje motora su: I1 = S1 / 1,73U = 16667 / 1,731000 = 9,63 A; I2 = S2 / 1,73U = 11250 / 1,731000 = 6,5 A. 12.25. ----- U  EA  EC  EB = 0  U = EA + EB + EC = 0  U = 0, jer su vektori EA, EB i EC istog intezitata a sa faznim pomakom od 2/3 ( vektorski zbir jednak nulu ). 12.26. ----- I2 = I1/ 3 = 20 A; 12.27. ----- If = U/Z = 100/10 = 10 A; I = If 3 = 10 3 A; 12.28. ----- If = I/ 3 = 10 A = U/Z  U = Uf = IfZ = 1010 = 100 V; 12.29. ----- 22 A; 12.30. ----- I   I f  3 

U f U U 3 U 3   3  f  3  3 fY  3I Y ( I = 3IY ); poveća se 3 puta; Z Z Z Z

12.31. ----- poveća se tri puta;


302 12.33. ----- 5 ;

12.32. ----- I1/I2 = 3;

12.34. ----- Ako vezu otpora iz trougla pretvorimo u zvezdu, impedanse nove zvezde iznose: Z = Z1Z2/ ( Z1 + Z2 + Z3 ) = Z2 / 3Z = Z/3 . Kako su pojedinačne faze obeju zvezda priključene na isti napon, one su u paralelnoj vezi. Sledi da je ekvivalentna impedansa cele veze ( nove zvezde ) jednaka: Ze = Z  Z / ( Z + Z ) = ( Z Z/3 ) / ( Z + Z/3 ) = ( Z2/3 ) / ( 4Z/3 ) = 3Z2 / 12Z = Z/4 . Fazni napon kod novonastale zvezde je Ufe = U/ 3 , a fazna struja, koja je ujedno i linijska struja iznosi:  1  U  3   ; I = Ufe/Ze = ( U/ 3 ) / Z/4 = 4U/ 3 Z  I    3  Z

12.35. ----- Pretvaranjem veze kondenzatora iz trougla u vezu u zvezdu dobiju se kapacitivni otpori XC = XC/3 = 20 . Kako su ovi otpori redno vezani sa induktivnim otporima, impedansa po fazi iznosi: Z = jXL  jXC = j10   Z = 10 . Fazni napon generatora ( mreţe ) je: Uf = U / 3 =220 / 3 = 127,2 V. Fazna, odnosno linijska struja sistema je: If = I = Uf/Z = 127,2/10 = 12,72 A. 12.36. ----- Trouglasta veza induktivnih otpora pretvorena u zvezdastu vezi ima otpore X L = XL/3 = 30 . Ukupna impedansa po fazi je: Z = j10 + j30 = j40   Z = 40 . Ampermetar će meriti: I = If = Uf / Z = 220/40 = 5,5 A; 12.37. ----- Fazni napon je Uf = U = 127 V, a fazna struja If = I / 3 = 4 A. Prividna snaga po fazi je: S = UfIf = 508 VA. Kako i vatmetar meri snagu P = 508 W sledi da je potrošač savršeno termogen ( cos  = P/S = 1   = 0 ). Odgovor je pod 1) savršeno termogen ( aktivan ) potrošač 12.38. ----UA IA w UBC UC

UB

UC

Na merenje vatmetra utiče njegov napon UW , struja IW i fazni pomak izmeĎu napona i struje vatmetra w . Vatmetar pokazuje ( meri ) aktivnu snagu, koja iznosi: P = UWIW cos w. Kako je napon na vatmetru jednak meĎufaznom naponu UBC ( UW = UBC ) a struja je jednaka linijskoj struji IA, sledi da su napon vatmetra UBC i struja vatmetra IA fazno pomereni za 90, tj. cos w = 0. To će se dogoditi kada je IA u fazi sa UA, odnosno kada je potrošač savršeno termogen. Odgovor je pod 1) savršeno termogen potrošač.

12.39. ----UC UAC UA IA

A w

UC

IB=Iw UB

Vatmetar je priključen na meĎufazni napon U AC ( UAC = UA  UC ). Pošto je potrošač savršeno aktivan, fazne struje i fazni naponi su u fazi.Fazna struja vatmetra je IB i ona je u fazi sa naponom UB. Fazne i linijske struje su jednake i iznose 3 A. Dakle, Uw = UAC, a Iw = IB. Iz fazorskog dijagrama je očito da je fazni pomak izmeĎu napona vatmetra i struje vatmetra w = 90. Vatmetar meri aktivnu snagu, koja na njemu deluje, i ona je jednaka: Pw = UwIw cos w = UACIAcos w  P = 38030 = 0 W. Odgovor je nula.


303

12.40. ----UA ZA



Ao

+

UA UV Bo

+ +

V

UBC

UC 

Co

+

ZC

Idealni voltmetar ( RV =  ), prekida fazu B, pa u njoj nema struje IB. Usled toga druge dve impedanse ZA i ZC su redno vezane i na njima vlada linijski napon U, koji sada predstavlja jednofazni sistem. Na impedansama ZA i ZC deluje napon UA = UC = UCA / 2 = ( UC  UA ) / 2. Prema drugom Kirhofovom zakonu, sledi: UBC  UV + UC = 0  UV = UBC + UC = UBC + UCA/2 . Ako postavimo meĎufazni napon UBC u faznu osu, sledi: UBC = Uej0, tada će meĎufazni napon UCA kasniti za 2/3 u odnosu na UBC, te je UCA = Uej120.

UC

Dakle, napon koji pokazuje voltmetar iznosi:

 3  U    0,5  j  2  3 U  cos 120  j sin  120 3  U V  U BC  U C '  U  cos 0  j sin 0    U  U j U 2 2 4 4 2

2 3 12 3 3  3   3  9 UV   U  U    U 2  U U  U   16 4 2 4   4   16 16  Voltmetar će pokazivati napon, koji iznosi:

UV 

12.41. ----- Uf =

190 3 3

3 U. 2

V;

12.42. ----- Ako pretpostavimo da je motor, čiji namotaj ima RL opterećenje, vezan u zvezdu, tada se i kondenzatori kojima se povećava faktor snage veţu u zvezdu, kao što je prikazano na slici.

Ao

R



R



Bo



Co

0

 = arc cos 0,8 = 36,87  = arc cos 0,9 = 25,84 sin  = 0,6; sin  = 0,436.

R

0 Svaka pojedinačna impedansa motora je paralelno vezana sa jednim kondenzatorom pa su im fazni naponi jednaki. Usled toga, svaka od ivih faza predstavlja jednofazni sistem. Način na koji se povećava faktor snage kod trofaznog sistema je potpuno isti kao i kod jednofaznog sistema.


304

 9,87A . 3U cos  3  220  0,8 Pošto se vezivanjem kondenzatora aktivna snaga ne menja, a menja se ukupna struja I ( smanjuje se ), tada iz izraza za aktivnu snagu, nakon priključenja kondenzatora izračunamo struju I, koja je jednaka: P 3000 P = 3UI' cos '  I'    8,77A. 3U cos ' 3  220  0,9 Iz aktivne snage P =

P

3UI cos   I 



3000

Kako je ( vidi popravak faktora snage, str.68. ) I sin   I' sin ' 9,87  0,6  8,77  0,436  C  52,57 10 6 F  52,57F. C 220 U 314  3 Ako je motor spojen u trougao, tada se i kondenzatori veţu u trougao, kako bi im fazni naponi bili jednaki. U ovom slučaju kapacitet kondenzatora odredimo jednostavnim pretvaranjem veze kondenzatora iz zvezde u vezu kondenzatora u trougao. Kapacitet je kod veze u trougao jednak: C = C/3 = 17,52 F. Čitaocu se preporučuje da ovaj zadatak reši sa vezom namotaja motora u trougao. 12.43. ----- a) Veza motora u trougao ( RL namotaja ) prikazana je prema slici. Da bi se datom motoru povećao faktor snage, paralelno Rl impedansama ( motoru ) spojimo kondenzatore kapaciteta C. To znači da su i kondenzatori vezani na isti način kao i motor ( u trougao ). Kako su ovde meĎufazni i fazni namotaji jednaki, sledi da je na svim impedansama isti napon, koji je jednak naponu mreţe ( linijski napon ). Na taj način popravak faktora snage tretiramo na isti način kao kod jednofaznog sistema. Ao

R

R

Bo R

Co Kako je aktivna snaga sistema ( motora ) ista i pre i posle uključenja kondenzatora, tj. P =

I

P 3U cos 



36000 3  380  0,84

3UI cos  , sledi:

 64,94A.

Fazna struja motora je: If = I/ 3 = 37,53 A. Aktivnu otpornost namotaja motora odredimo iz izraza za aktivnu snagu: P = 3I f2R, pa je: P 36000 R   8,52. 2 3  37,532 3I f Iz cos  = 0,84   = 32,86  sin  = 0,543  tg  = 0,646, odredimo i reaktivnu otpornost namotaja: tg  = X/R  X = Rtg  = 5,5 . Impedansa namotaja motora iznosi: Z  R 2  X 2  10,14. Da bi faktor snage po fazama bio maksimalan, struja kondenzatora treba da se poništi sa reaktivnom komponentom fazne struje namotaja motora, tj. IC = Ifcos   UC = Ifsin  


305

I f  sin  37,53 0,543   170,79 10 6 F  170,79F.  U 314 380

C

b) Ako je motor vezan u zvezdu i kondenzatori se veţu u zvezdu. Linijska i fazna struja je jednaka i ona iznosi: P 36000 I f '  I'    64,94A. 3U cos  3  380  0,84 Fazni napon je: Uf = U/ 3 = 220 V. Kapacitet kondenzatora odredimo pomoću predhodne relacije: I' sin  64,94  0,543 C'    510,46 10 6 F  510,46F.  U f ' 314  220 Čitaocu se preporučuje da zadatak reši prostim pretvaranjem veze kondenzatora iz trougla u zvezdu. ( Da li je kapacitet kod veze u zvezdu veći za tri puta od veze u trougao, kod simetričnog sistema : C = 3C). 12.44. ----A o+  + UAB Bo



V UV

Z1 +



+

Z3

 +

UBC/2

UBC/2

UBC 

UBC Z2

Co

Vezivanjem idealnog voltmetra na linijski provodnik A, prema slici, ova linija se ponaša kao da je u prekidu ( IA = 0 ). Usled toga su impedanse Z1 i Z3 redno vezane i priključene su na meĎufazni napon UBC. Impedansa Z2 je paralelno vezana sa Z1 i Z3, a samim tim sve tri impedanse su vezane na meĎufazni napon UBC. Na taj način je trofazni prijemnik postao monofazni, čiji je napon jednak U. Pošto su impedanse meĎusobno jednake, na impedansama Z1 i Z3 deluje napon UBC/2.

Koristeći drugi Kirhofov zakon sledi jednačina: UAB  UV + UBC/2 = 0  UV = UAB + UBC/2. Ako meĎufazni napon UAB postavimo u faznu osu, sledi kompleksni izraz za meĎufazne napone: UAB = Uej0 = 330ej0 = 380( cos 0 + jsin 0 ) = 380 V; UBC = Uej120 = U cos ( 120 ) + jsin (120 ) = 380( 0,5  j 3 ) = ( 190  j190 3 ) V  2 UBC/2 = (  95 – j95 3 ) V  UBC/2 = ( U/4  jU 3 /4 ) . Napon na voltmetru, u kompleksnom obliku iznosi: UV = UAB + UBC/2 = 380 – 95 – j95 3 = ( 285 – j95 3 ) V. Efektivna vrednost napona, koju meri voltmetar jednaka je:



U V  2852  95 3



2

 2852  952  3 

3  952  952  3 





952  3 2  3  95 12  95  3  4  190 3V.

12.45. ----- Fazna struja je If =U/ Z = 120/ 6 2  9 2 = 11,09 A. Linijska struja je: I = If 3 = 19,19 A. Ako impedanse iz trougla transformišemo u zvezdu, dobiju se impedanse, koje su jednake: Zy = Z/3 = ( 2 + j3 ) , Ekvivalentna impedansa po fazama je: ZA = ZB = ZC = Z = Zv + Zy = ( 1 + j2 ) + ( 2 + j3 ) = ( 3 + j5 )   Z = Fazni napon na početku linije je: Uf = IZ = 19,195,83 = 111,88 V,

3 2  5 2 = 5,83 .

MeĎufazni napon na početku linije iznosi: U = Uf 3 = 193,78 V;


306 12.46. ----- Ukupna impedansa po fazi iznosi: ZA = ZB = ZC = Z + ZV + Zg = ( 10,6 + j4,8 )   Z = 11,64 .Kako je Uf = E, efektivna vrednost faznih struja iznosi: If = Uf/Z = 18,9 A; Fazni napon na prijemniku je Uf = IfZp = 192,74 V, a meĎufazni U = 3 Uf = 333,44 V. Aktivna snaga trofaznog prijemnika je P = 3If2R = 318,9210 = 10,716 kW, Reaktivna snaga prijemnika Q = 3If2X = 318,922 = 2,143 kVAr, Aktivna snaga trofaznog generatora je Pg = 3If2Re = 318,9210,6 = 11,359 kW a reaktivna Qg = 3If2Xe = 318,924,8 = 5,144 kVAr. 12.47. ----- Zadatak se najlakše rešava transformacijom veze iz trougla u vezu u zvezdu. Prilikom te transformacije napon i struja na linijskim vodovima mora ostati ista ( ostaje i snaga trofaznog sistema nepromenjena ). Impedanse prijemnika sa vezom u zvezdu iznose: Z1  Z 2 Z2 Z Zz    Zz = Zt/3 = ( 3,33 + j0,67 ) . Z1  Z 2  Z 3 3Z 3 Ukupna impedansa po fazi iznosi Ze = Zz + ZV + Zg = ( 3,93 + j3,47 )   Ze = 5,24 . Fazna struja, koja je ujedno jednaka linijskoj je ( kod zvezde ) I f = I = Uf/Ze = 220/5,24 = 41,98 A. Linijska struja je ista bilo da je prijemnik vezan u zvezdu ili u trougao, jer kod transformacije impedansi ukupna struja mora ostati nepromenjena. Zbog toga će, kod veze prijemnika u trougao njegova fazna struja biti Ι jednaka: If = = 24,27 . 3 Aktivna snaga prijemnika je: P = 3If2R = 324,27210 = 17,671 kW a reaktivna: Q = 3If2X = 324,2722 = 3,534 kVAr. Aktivna snaga generatora ( ukupna snaga sistema ) je: Pg = 3I2Re = 341,9823,93 = 20,778 kW a reaktivna: Qg = 3I2Xe = 341,9823,47 = 18,355 kVAr. 12.48. ----- Impedanse iz trougla transformisati u zvezdu. Vrednost tih impedansi u novonastaloj zvezdi su: .Zz = Zt/3 = ( 10/3 + j2/3 ) . Kako su sada dva prijemnika spojena u zvezdu, sledi da su njihove impedanse po fazama u paralelnoj vezi. Obe zvezde moţemo zamenuti jednom ekvivalentnom zvezdom čija impedansa iznosi: Ζ Ζ ' Ζ ez  z z '  Zez = ( 2,79 + j0,355 )   Zez = 2,81 . Ζz  Ζz Ukupna impedansa sistema je: Zu = Zez + ZV = ( 3,79 + j2,355 )  Zu = 4,462 . Kako je napon na namotajima generatora ujedno njegov fazni napon struje po fazama iznose: I = Uf/Zez = 350/4,462 = 78,44 A. Fazni napon na prijemniku koji je vezan u ekvivalentnu zvezdu ( obe zvezde ) iznosi: Ufz = IZez = 78,442,81 = 220,04 V. MeĎufazni napon ekvivalentne zvezde, koji je ujedno i fazni napon prijemnika vezanog u trougao, odnosno linijski napon prijemnika vezanog u zvezdu, iznosi: Up = Ufz 3 = 381,3 V; Aktivna snaga obaju prijemnika je: P = 3I2Rez = 378,4422,79 = 51 499,2 W , a reaktivna Q = 3I2Xe = 378,4420,355 = 6 552,8 Var. Gubitak faznog napona od generatora do prijemnika predstavlja pad napona na linijskim provodnicima, i on iznosi: U = IZv = 78,44 12 + 2 2 = 175,4 V.


307

12.49. ----- Aktivna snaga prijemnika vezanog u trougao je: Pt = 3UfIfcos  = a snaga prijemnika vezanog u zvezdu iznosi:

3 UI cos  ,

Pz = UfIfcos  = 3 UI cos . MeĎufazni napon je napon mreţe pa je on isti i za zvezdu i za trougao, tj U = U. Isto tako i faktor snage je isti, cos  = cos , jer se radi o istim impedansama koje se u jednom slučaju vezane u trougao a u drugom u zvezdu. Linijska struja ( struja mreţe ) kod veze prijemnika u trougao je: I = 3 If = 3 Uf/Z = 3 U/Z , jer je kod trougla Uf = U. Linijska struja kod zvezde je ujedno i fazna struja, pa je: I = If = Uf/Z = U/ 3 Z = U/ 3 Z. Odnos izmeĎu liniskih struja kada je prijemnik vezan, prvo u trougao a zatim u zvezdu iznosi: I/I =( 3 U/Z ) / (U/ 3 Z ) = 3  I = 3 I. Ovo dokazuje, da se linijska struja kod prijemnika koji je vezan u zvezdu nakon njegovog prespajanja u trougao poveća za tri puta. Kako se u ovom slučaju menja samo struja, sledi da će i aktivna snaga nakon prespajanja prijemnika da se poveća tri puta, tj. Pt = 3 Pz, što se lako dokazuje zamenom linijskih struja. 12.50. ----- Da bi linijske struje bile jednake, impedanse zvezde trebaju da su tri puta manje od impedansi trougla. Linijska struja kod zvezde je tri puta manja od linijske struje kod trougla za iste impedanse I z = I/3, što je dokazano u predhodnom zadatku. Rešenj zadatka je: Z2 = 4 . Čitaocu se preporučuje da to i dokaţe ( videti rešenje predhodnog zadatka ). 12.51. ----I1 Ao + UAB

A

I2 Bo + UBC Co

 I1 

UCA +

I1

Z

I2

Z

I2 I3 I3 Z

Z

 I3

Pojedinačne fazne struje prijemnika, koje su za njih i linijske struje, iznose: za prvi prijemnik: I1 = I2 = I3 = U/Z = 7,33 A a za drugi: I1 = I2 = I3 = U/Z = 220/20 = 11 A.

Z

 Z

 Prvi prijemnik je savršeni termogen pa su fazne struje u fazi sa svojim naponima. Kompleksni izrazi tih struja su: I1 = 7,33; I2 = 7,33ej120 = ( 3,66  j6,35 ) A; I3 = 7,33ej240 = 7,33ej120 = ( 3,66 + j6,35 ) A. Drugi prijemnik je RL karaktera, što znači da će fazne struje kasniti za faznim naponima za 30. Njihov kompleksni izraz je: I1 = 11ej30 = ( 9,53  j5,50 ) A; I2 = 11ej150 = ( 9,53  j5,50 ) A; I3 = 11ej270 = 11ej90 = j11 A. Ukupnu linijsku struju mreţe dobijemo kompleksnim sabiranjem pojedinačnih struja prijemnika, pa je: I1 = I1 + I1 = ( 16,86  j5,5 )  I1 = 17,7ej18,1 ; I2 = I2 + I2 = ( 13,2  j11,85 )  I2 = 17,7ej138,1 ; I3 = I3 + I3 = ( 3,67 + j17,35 )  I3 = 17,7ej258,1  = 17,7ej101,9 . Na osnovu ovih podataka dobije se fazorski dijagram, koji je prikazan na slici:


308

I3

I3

U3 I3 I1

U1 f.o. I1 I1

I2 I2 I2

U2

12.52. ----UA IA 

w UBC

UC

UB

UC

Vatmetar meri aktivnu snagu, koja iznosi: Pw = UwIw cos w , gde je Uw = UBC = U... napon na vatmetru ( sistem sim. ) Iw = IA = I...struja vatmetra ( sim. istem ) i w = 90   ... fazni pomak izmeĎu napona vatmetra Uw i struje na vatmetru Iw. Ako je potrošač savršeno aktivan, sledi:  = 0  w = 90  Pw = 0, Ako je potrošač savršeno reaktivan ( ind.)  = 90  w = 0  Pw = Pmax = Q, što znači da u ovom slučaju vatmetar meri reaktivnu snagu.

Kako je, kod simetričnog trofaznog sistema w = 90   ( vidi faz. dijagram ), pokazivanje vatmetra je: Pw = UI cos ( 90  ) = Uisin  Mnoţeći snagu koju pokazuje vatmetar sa 3 dobije se ukupna reaktivna snaga trofaznog simetričnog sistema, jer je: Q Q  3Pw  3UIsiVAr    Pw  UI sin  3 1 Vatmetar će, prema datoj šemi vezivanja, meriti reaktivne snage trofaznog simetričnog sistema. 3 12.53. ----- Da bi zvezdište trofaznog potrošača bilo na nultom potencijalu ( sistem bio simetričan ) trebaju biti ispunjena sledeća dva uslova: 1) impedanse po fazama jednake ( Z1 = Z2 = Z3 = Z ) 2) fazni pomak izmeĎu faznih napona i faznih struja jednak ( 1 = 2 = 3 =  ). Oba navedena uslova će biti zadovoljena ako je r = 20 .


309

12.54. -----

Kod simetričnog trofaznog sistema je: A = B = C = ; IA = IB = IC = I; UAC = UBC = U. U ovom slučaju će vatmetri meriti: prvi: Pw1 = UACIA cos w1 = UI cos (   30 ) i drugi: Pw2 = UBCIB cos w2 = UI cos (  + 30 ).

UC

UA

UAC A 30

UC

w1

IA UBC

30 w2 B UB

UC

Ako saberime snage koje mere vatmetri, sledi: Pw1 + Pw2 = UI cos (  + 30 ) + UI cos (   30 ) = UI cos cos 30  sin  sin 30 + cos  cos 30 + sin  sin 30   Pw1 + Pw2 = 2UI cos 30 cos  = 2 Pw1 + Pw2 =

IB

3 UI cos   2

3 UI cos 

Kako izraz Pw1 + Pw2 = 3 UI cos  predstavlja aktivnu snagu trofaznog simetričnog sistema, sledi da će vatmetri , vezani prema datoj slici, meriti ukupnu aktivnu snagu trofaznog sistema. Dakle, sabiranjem snaga koju mere pojedinačni vatmetri dobije se ukupna aktivna snaga trofaznog sistema. P = PW1  PW2 ( predznak + je za ista skretanja kazaljke, a  za suprotna skretanja ) NAPOMENA! Navedeni vatmetri mogu da mere i ukupnu reaktivnu snagu, koja je jednaka: Q = Preporučuje se čitaocu da to proveri 12.55. ----- reaktivnu snagu simetričnog trofaznog potrošača: Q =

3 PW1  PW 2  .

3 PW. Vidi rešenje zadatka 12.52.

12.56. ----- I1 = 20ej0 = 20 ; I2 = 15ej120 = ( 15/2  j15 3 /2 ); I3 = 10ej240 = ( 5 + j5 3 /2 ); Io = I1 + I2 + I3 = ( 15/2  j5 3 /2 )  Io = 5 3 A. 12.57. ----Ao

Bo

0o

I1

Z1 = R

Fazni naponi su: Uf1 = Uf2 = U/ 3 =220 V Fazne struje iznose: I1 = Uf1/Z1 = 220ej0 / 10ej0 = 22ej0 ;

I2

Z2

I2 = Uf2 / Z2 = 220ej120/10 2 ej45 = 11 2 e165  I2 = ( 10,263 + j0,737 ) . I3 = 0 , jer je treći provodnik u prekidu.

Io

Struja nultog voda je: Io = I1 + I2 + I3 = ( 11,737 + j0,737 )  Io = 11,76 .


310

12.58. ----Ako je početni ugao za napon Uf1 jednak nuli, sledi: Uf1 = Ufej0; Uf2 = Ufej120; Uf3 = Ufej120. Fazne struje, koje su ujedno jednake linijskim, su: I1 = If1 = Uf1/Z1 = Ufej0/Zej0 = ( Uf/Z ) = Ifej0; I2 = If2 = Uf2/Z2 = Ufej120/Zej90 = ( Uf/Z )ej210 = Ifej210; I3 = If3 = Uf3/Z3 = Ufej120/Zej90 = ( Uf/Z )ej210 = Ifej210.

f.o. Uf1 If1= I1

Struja u nultom vodu iznosi: Io = I1 + I2 + I3 = Ifej0 + Ifej210 + Ifej210  Uf3

Io

I2

4( 1  3 ) = If  3 If/2  j0,5If  3 If/2 + j0,5If 

Uf2

I3

4( 1  3 ) = If 

3 If = If( 1  3 )  Io = 4 A.

Zadatak se moţe rešiti i grafički, što se vidi i na fazorskom dijagramu

12.59. ----Ao+ UAB Bo +

Uf2 = UBC = Uej120 = 200ej120 = (100  j100 3 ) V,

A IA



UCA IB

UBC Co

Fazni naponi, u kompleksnom obliku, iznose: Uf1 = UAB = Uej0 = 200ej0 = 200 V,

+



If1

Z1

If2

Z3 If3 Z2



Uf3 = UCA = Uej240 = 200ej240 = (100 + j100 3 ) V. Fazne struje iznose: U 200 I f1  f1   25A , Z1 8 If 2 

Uf2

If3 

Uf3

IC

Z2 Z3

 

100  j100 3 10  j10 3  100  j100 3 10  j10 3

 10A 

 10A .

Koristeći prvi Kirhofov zakon, linijske struje su jednake: IA = If1  If3 = 25  (10 ) = 35  , IB = If2  If1 = 10  25 = 35  i IC = If3  If2 = 10  (10 ) = 0 . 12.60. ----- Pregorevanjem osigurača na vodu C druge dve impedanse dolaze na meĎufazni napon U. Kako je u ovom slučaju došlo do prostog kola, sa jednim izvorom U i dve redno vezane impedanse, sledi da su struje u tim impedansama jednake: U U IA  IB   , Z  Z 2Z sa tim da je jedna od ovih struja suprotnog smera ( jedna ide ka početku faze, a druga ka njenom kraju, tj. obe struje čine jednu jedinstvenu struju ). Fazna struja IC je jednaka nuli. 12.61. ----- Pregorevanjem osigurača na fazi A na meĎufaznom naponu UBC priključena je paralelna veza ZBC i ( ZAB + ZCA ). Kako se meĎufazni napon nije promenuo za impedansu ZBC, struja IBC je ostala ista, tj. IBC =12 A. Pošto su preostale dve impedanse sada u rednoj vezi i priključene na isti meĎufazni napon, sledi da je njihova struja sada duplo manja od struje IBC ( impedansa duplo veća ), pa je: IAB = ICA = IBC / 2 = 6 A. 12.62. ----- Nakon pregorevanja osigurača na vodu C meĎufazni napon UAB iznosi: UAB = U = UBC + UCA  UV = UCA = U / 2. Voltmetar meri duplo manji napon od linijskog, nakon pregorevanja navedenog osigurača, tj: U V = U/2.


311 12.63. ----- IA = 0, jer je linija A u prekidu. Pošto su druge dve faze ostale na istom faznom naponu ( zbog nultog provodnika ) te su struje tih faza ostale iste kao i pre prekida linije A. Dakle, I B = IC = I. 12.64. ----- Pre kratke veze na fazi C meĎufazni napon izmeĎu faza B i C je iznosio: UBC = UB  UC. Nakon kratke veze, fazni napon UC je jednak nuli ( UC = 0 ), te je fazni napon UB postao jednak meĎufaznom napon izmeĎu tačaka B i C ( UBC = UB = U ). Odgovor glasi: Fazni napon UB, nakon kratke veze faze B, jednak je meĎufaznom naponu U. 12.65. ----- Prekidom faze B impedanse ZA i ZC su u rednoj vezi i priključene su na meĎufazni napon U. Kompletna veza iz trofaznog sistema postaje jednofazna, pa se napon U u ovom slučaju razdeljuje na dve jednake polovine ( ZA = ZC  UA = UC; U = UA + UC ), pa je UA = UC = U/2. 12.66. ----- Smanjuje se za polovinu. Vidi rešenje predhodnog zadatka Tačan odgovor je pod tačkom 2) 12.67. ----a) IB = 0. Nakon prekida faze B mreţa postaje jednofazna u kojoj su dve impedanse redno vezane i priključene na linijski napon U = 380 V. Zbog toga su struje u preostale dve faze meĎusobno jednake i iznose: U 380 IA  IB    38A. Z  Z 10 Ukupna aktivna snaga iznosi: P = UI cos  = 38038cos 36,87 = 11 551,985 W b) Prekidom linijskog provodnika B na impedansama deluje linijski napon U i ceo sistem prelazi u jednofazni, kao na slici. IA

I1

Pojedinačne impedanse su : Z1 = Z2 = Z3 = Z = 5( cos 36,87 + jsin 36,87 ) = ( 4 + j3 ) . Z23 = Z2 + Z3 = ( 8 + j6 )  Z23 = 10 . Fazne struje u kolu iznose: U 380 380 I f 1  I1     76A Z1 5 43  32

Z

Ao I23 Z

U Bo

Z

Co

I f 2  I f 3  I 23 

IC

U 380   38A. Z 23 10

Ukupna impedansa kola je: Z Z 4  j3 8  j6  2,667  j2  Z  3,334 Z e  1 23  e Z1  Z 23 4  j3  8  j6 Ukupna struja kola je u stvari linijska struja IA i IC, te one iznose: U 380 IA  IC  I    113,977A , IB = 0 . Z e 3,334 Aktivna snaga celog sistema je: P = I2Re = 113,97722,667 = 34 646,472 W. 12.68. ----Z1 Ao

Bo

IA IA Z2 IB



Nakon navedenih kvarova, impedansa Z3 dolazi na meĎufazni ( linijski ) napon UCA = U. Kako je došlo da jednofaznog sistema ( Z2 isključena a Z1 = 0 ) sa naponom U, u sistemu su vrednosti struja jednake: Uf 3 Uf U IA ' = IC ' = = = 3 = 3I A Z3 Z Z IB = 0.

Z3 Co

V

IC

Struje IA i IB su se nakon nastalog kvara povećale za

3 puta, dok je struja IB pala na nulu.


312 12.69. ----- Pre prekida trećeg voda ( linija C ), struje su bile jednake: Uf 240 IA = IB = IC = I = = = 8[A] Z 30 Nakon prekida jedne linije ( voda C, vidu sliku u predhodnom zadatku ), impedanse Z 1 i Z2 su redno vezane i priključene su na meĎufazni napon UBC. Struje sistema sada iznose: U 240 3 = = 4 3[A], a struja trećeg voda je IC = 0 . Z1 + Z 2 60 Nakon nastalog kvara došlo je do promene struja koje po vodovima iznose: IA ' = IB ' =

IA = IA  IA = 8  4 3 = 4 ( 2  3 ) = 1,07 , IB = IB  IB = 8  4 3 = 1,07 A i IC = IC  IC = 8  0 = 8 . 12.70. ----a) I f 1 = I f 2 = I f 3 = I f =

Uf 420 = = 14[A]⇒I1 = I 2 = I 3 = I f 3 = 14 3[A]. Z 30

b) A IA

Ao+ UAB



UCA

Bo +

IB

Nakon prekida voda C impedanse Z2 i Z3 su redno vezane i sa impedansom Z1 su paralelno spojene. Ceo sistem je prešao u jednofazni sistem čiji je napon jednak meĎufaznom naponu U AB. Fazne struje iznose: U 420 I f1 ' = = = 14[A]; Z1 30



If1

Z1

If3

If2

UBC

Z3 Z2



+

Co

If 2 ' = If 3 ' =

IC

U 420 = = 7[A] Z 2 + Z3 60

Pošto su sve impedanse priključene na jednofazni napon U AB, smer faznih struja uzimamo od većeg potencijala ka manjem, tj. Od tačke B ka tački A. Zbog toga su struje I f2 i If3 suprotnog smera od naznačenog, pa je: If2 = If3 = 7 . Linijske struje sistema, nakon prekida voda C, iznose: IA = If1  If3 = 14  ( 7) = 21  IB = If2  If1 = 7  14 = 21  i IC = 0, jer je vod C u prekidu. Napomena! Sve impedanse su savršeno termogene, pa su i sve struje u fazi sa naponom UAB. Iz tog razloga ovde se linijske struje dobiju bez kompleksnog računa ( kao da je napon U AB jednosmernog karaktera ). 12.71. ---Ao+ UAB Bo +

A IA



UCA IB



UBC Co

Pre pregorevanja prve faze, fazne struje su bile jednake: Uf 400 I f1 = I f 2 = I f 3 = I f = = = 10[A] Z 40 Linijska struja je bila jednaka:

+ IC

Z3

If1 If2

If3 Z2



IA = IB = IC = I = If 3 = 10 3 . Nakon prekida prve faze, fazne struje druge i treće faze su ostale iste ( isto U i Z ), pa je: If1 = 0 ; If2 = 10 ; If3 = 10 A Ove struje su u fazi sa svojim naponima , i u kompleksnom obliku one iznose: If2 = 10ej120 A i If3 = 10ej240 .

Linijske struje su jednake: IA =  If3 = 10 cos (240 ) + j sin (240 ) = 10(0,5 + j 3 /2 ) = ( 5  j5 3 )   IA = 10 , IB = If2 = 10cos (120 ) + jsin (120 ) = 10(0,5  j5 3 ) = (5  j5 3 )   IB = 10 ,


313 IC = If3  If2 = 10 cos (240 ) + j sin (240 )  10cos (120 ) + jsin (120 )  IC = 10(0,5 + j 3 /2 )  10(0,5  j5 3 ) = (5 + j5 3 )  + ( 5 + j5 3 ) = j10 3  IC = 10 3 . Na osnovu dobijenih rešenja moţe se konstatovati da je došlo do smanjenja linijskih struja na vodovima A i B za 3 puta, dok su sve ostale struje ( If2, If3 i IC ) ostale iste. To znači da je rad, kako prijemnika tako i generatora bezbedan. 12.72. ----- Pre prekida faze je: If1 = If2 = If3 = If = 20 A; IA = IB = IC = 20 3 . Nakon pregorevanja jedne impedanse ( Z1 ), fazne struje iznose: If1 = 0; If2 = If3 = 20 . Linijske struje, nakon prekida Z1 iznose: IA = IB = 20 ; IC = IC = 20 3 . Rešenje ovog zadatka je potpuno identično predhodnom ( Gde je zaključak: Linijske struje vodova sa kojih je isključena impedansa se smanji za

3 puta, dok je na preostalom vodu ostala ista vrednost linijske struje ).

12.73. ----- Pre kratke veze struje su bile jednake: If1 = If2 = If3 = IA = IB = IC = Uf/Z = 220/20 = 11 . Nakon kratke veze nastaje sledeća slika R Struje na preostalim otporima, na kojima vlada napon od Ao + 380 V, iznose: IA UAB I  = I  = 380/20 = 220 3 /20 = 11 3 . B

R Bo UCA + Co



IB

( R2 i R3 ) se povećala za 3 ( zbog povećanja napona ). IB je u fazi sa UAB, a IC sa UCA ( savršeno R ). Usled toga ove dve struje u kompleksnom obliku iznose:

R V

C

Dakle, zbog kratke veze R1 struje u preostalim otporima

IB = 11 3 ej0, jer je: UAB + IBR = 0  IB = UAB/R;

IC

IC = 11 3 ej240 = 11 3 (0,5 + j 3 /2 )

Sl Struja u vodu A, nakon kratke veze R1, iznosi ( IA + IB + IC = 0 ): IA = IB  IC =  (11 3 )  11 3 (0,5 + j 3 /2 ) = 11 3 + 5,5 3  j16,5 = ( 16,5 3  j16,5)

I A '  16,5 2  3  16,5 2  33 A U vodu na kojem je došlo do kratke veze struja se povećala na 33 A ( I A = 11 A ), a to znači da se ova struja povećala za tri puta ( IA = 3 IA ). Usled ovako povećanih struja moţe doći do pregorevanja osigurača na linijskim vodovima, što bi dovelo do prekida tih vodova. Najugroţeniji je osigurač na vodu A, što nije predmet rešenja ovog zadatka. 12.74. -----

R

Ao + UAB

Z2

Bo

IB

UCA + Co

Uf2 = UAB = 380ej0 = 380 V;

IA

Z3 V

IC



Uf3 = UCA = 380ej240 = 380( 0,5 + j 3 /2 ). Struje vodova B i C su: U 380 I B   f1   19  j19   19  j19A, Z 2 10  j10

IC 

Uf3 Z3



 190  j330   26  j7 A 10  j10

Struja voda A je:

Sl IA = IB  IC = 19  j19  ( 26 + j7 ) = ( 45  j26 ) . Efektivne vrednosti struja iznose:

I A = 45 2 + 26 2 = 51,97[A], I B = 19 2 + 19 2 = 19 2 = 26,87[A] I C = 26 2 + 7 2 = 725 = 26,93[A]


314

12.75. ----- a) Ao + UAB

R1

Uf = U/ 3 = 220 V Fazni naponi u kompleksnom obliku iznose: Uf1 = 220ej0 = 220 V,

R2

Uf2 = 220ej120 = 220(0,5  j 3 /2 ) = ( 110  j190 ) V,

IA

Bo



IB

UCA

Uf3 = 220ej240 = 220(0,5 + j 3 /2 ) = ( 110 + j190 ) V. Admitanse sistema su: Y1 = 1/Z1 = 0,1 S; Y2 = 1/Z2 = 0,1 S; Y3 = 1/Z3 = 0,2S.

R2

+ Co

V

Napon Uo je:

Uo  Uo 

IC

Sl U f 1 Y1  U f 2 Y 2  U f 3 Y 3



Y1  Y 2  Y 3

220  0,1  110  j190  0,1  110  j190  0,2  0,1  0,1  0,2

22  11  j19  22  j38  11  j19    27,5  j47,5V  U o  54,89e j120,1 V. 0,4 0,4

b) Fazni naponi na prijemniku iznose: Uf1p = Uf1  Uo = 220 + 27,5  j47,5 = ( 247,5  j47,5 ) V, Uf2p = Uf2  Uo = ( 82,5  j237,5 ) V, Uf3p = Uf3  Uo = ( 82,5 + j142,5 ) V. U eksponencijalnom obliku, naponi prijemnika su: Uf1p = 252,21ej10,9 V; Uf2p = 251,42e-j109,2 V i Uf3p = 164,66ej120,1 V. Struje sistema su: I1 = Uf1p/Z1 = 25,221ej10,9 , I2 = Uf2p/Z2 = 25,142ej109,2  i I3 = Uf3p/Z3 = 32,932ej120,1 . Na osnovu ovih podataka prikazan je kompletan fazorski dijagram napona i struja na sledećoj slici. Uf1 Uf3 Uo

U12 Uf3p

U31

Uf2

I3 Uo

Uf1 Uo

I1

f.o.

Uf1p I2

Uf2 Uf2p Uo U23 Uf3


315

12.76. -----

U f 1  220  e j0  220V ,

U f 2  220  e  j120   110  j190,

U f 3  220  e  j240  220  e j120   110  j190V , Y1 

1 1   0,05S, Z1 20

Y2 

1 1   0,033S Z 2 30

Y3 

1 1   0,025S Z 3 40

Uo 

U f 1 Y1  U f 2 Y 2  U f 3 Y 3 Y1  Y 2  Y 3



220  0,05   110  j190  0,033   110  j190  0,025  0,05  0,033  0,025

11  3,67  j6,33  2,75  j4,75 4,58  j1,58   42,41 j14,63  U o  44,86e  j19 V . 0,108 0,108 Čitaocu se preporučuje da odredi fazne napone prijemnika, struje triofaznog sistema i da nacrta fazorski dijagram napona i struja prijemnika. Uo 

12.77. ----- U = 300 3 [V ] ; Uf = 300 V; Uf1 = 300 V; Uf2 = ( 150  j150 3 ) V; Uf3 = (150 + j150 3 ) V, U f1 U f 2 U f 3 300  150  j150 3  150  j150 3     Z Z2 Z3 10 j10  j10 30  j15  15 3  j15  15 3 Uo  1    1 1 1 1 1 1 0,1  j0,1  j0,1     Z1 Z 2 Z 3 10 j10  j10









30  30 3 30 1  3   300 3  1  219,6V 0,1 0,1 Fazni naponi na prijemniku iznose:

Uo 

Uf1p = 300 + 219,6 = 519,6 V; Uf2p = ( 69,6  j150 3 ) V; Uf3p = ( 69,6 + j150 3 ) V. Uf1p = 519,6 V; Uf2p = Uf3p = 269 V. Fazne struje prijemnika, koje su jednake strujama dovodnih vodova mreţe, su: I1 = Uf1p/Z1 = 51,96 ; I2 = Uf2p/Z2 = 26,9 A; I3 = Uf3p/Z3 = 26,9 . 12.78. ----

U f1 Uo 

Uo 



Uf 2



Uf3

Z1 Z2 Z3 1 1 1   Z1 Z 2 Z 3

220  e j0 220  e  j120 220  e  j240   22  5,5   0,5  j0,866  11  0,5  j0,866 10 40 20    1 1 1 4 1 2   10 40 20 40

40  22  2,75  j4,763  5,5  j9,526  5,71 13,75  j4,763  72,80  j27,20V   U o  93,93V . 7

Fazni naponi na prijemniku iznose: Uf1p = Uf1  Uo = 220  72,8  j27,2 = ( 147,2  j27,2 ) V  Uf1p = 149,69 V; Uf2p = Uf2  Uo = 110  j190,52  72,8  j27,2 = ( 182,8  j217,72 ) V  Uf2p = 284,28 V; Uf3p = Uf3  Uo = 110 + j190,52  72,8  j27,2 = ( 182,8 + j163,32 ) V  Uf3p = 245,13 V. Fazne struje ( efektivne vrednosti ) su jednake: If1 = Uf1p/R1 = 14,969 ; If2 = Uf2p/R2 = 7,107  i If3 = Uf3p/R3 = 12,257 A. Aktivna snaga po fazi iznosi: P1 = Uf1pIf1 = 2 195,8 W; P2 = Uf2pIf2 = 2 020,38 W i P3 = Uf3pIf3 = 3 004,56 W. Ukupna aktivna snaga sistema je: P = P1 + P2 + P3 = 7 220,74 W. Ukupna reaktivna snaga je Q = 0 ( potrošač savršeno termogen ), a prividna : S = P = 7 220,74 VA.


316

12.79. ----U f 1 U f 2 U f 3 100  e j0 100  e  j120 100  e  j240  50  j86,6  50  j86,6     10   Z1 Z2 Z3 10 10  j10 10  j10 10  j10 10  j10 Uo     1 1 1 1 1 1 0,1  0,05  j0,05  0,05  j0,05     Z1 Z 2 Z 3 10 10  j10 10  j10 Uo 

10  6,83  j1,83  6,83  j1,83  18,3V   U o  18,33V . 0,2

Fazni naponi na prijemniku su: Uf1p = Uf1  Uo = 100 + 18,3 = 118,3 V  Uf1p = 118,3 V; Uf2p = Uf2  Uo = 50  j86,3 + 18,3 = ( 31,7  j86,8 ) V  Uf2p = 92,22 V i Uf3p = Uf3  Uo = 50 + j86,3 + 18,3 = ( 31,7 + j86,6 ) V  Uf3p = 92,22 V. Efektivne vrednosti faznih ( linijskih ) struja iznose: I1 = Uf1p/Z1 = 11,83 A; I2 = Uf2p/Z2 = 92,22/14,1 = 6,54 A ( ind. ) i I3 = Uf3p/Z3 = 92,22/14,1 = 6,54 A ( kap. ). Aktivna snaga po fazama je: P1 = I12R1 = 11,83210 = 1 399,49 W; P2 = I22R2 = 6,54210 = 427,72 W i P3 = I32R3 = 6,54210 = 427,72 W. Reaktivna snaga po fazama je: Q1 = I12X1 = 0; Q2 = I22X2 = 6,54210 = 427,72 VAr ( ind. ) i Q3 = I32X3 =  427,72 VAr ( kap. ). Ukupna aktivna snaga trofaznog sistema je: P = P1 + P2 + P3 = 2 254,92 W, a reaktivna: Q = Q1 + Q2 + Q3 = 0 + 427,72  427,72 = 0 VAr. Ukupna prividna snaga sistema je:

S  P 2  Q 2  2254,92VA. 12.80. ----- Ako je nulti vod zanemarljive impedanse ( Zo = 0  Yo =  ), tada je napon izmeĎi zvezdišta generatora i prijemnika jednak nuli ( Uo = 0 ). Usled toga fazni naponi generatora i fazni naponi prijemnika su meĎusobno jednaki ( Uf1p = Uf1; Uf2p = Uf2 i Uf3p = Uf ). Pošto su pojedinačne aktivne snage po fazama: P1 = Uf1I1 cos 1; P2 = Uf2I2 cos 2 i P3 = Uf3I3 cos 3, struje sistema iznose: I1 = P1/Uf1cos 1 = 1 300/1001 = 13 ; I2 = P2/Uf2 cos 2 = 1 200/1000,8 = 15  i I3 = P3/Uf3 cos 3 = 1 800/1000,7 = 25,71 . Fazni pomak ( ugao ) izmeĎu faznih napona i struja iznosi: 1 = arc cos 1 = 0; 2 = arc cos 0,8 = 36,87 i 3 = arc cos 0,7 = 45,57. Kompleksni izrazi za struje sistema su: I1 = 13ej0; I2 = 15ej(12036,87) = 15ej156,87 i I3 = 25,71ej(24045,57) = 25,71e-j285,57 = 25,71ej74,43. Struja povratnog; nultog; voda je: Io = I1 + I2 + I3 = 13ej0 + 15ej156,87 + 25,71ej74,43  Io = 13( cos 0 + jsin 0 ) + 15cos (156,87 ) + jsin (156,87 ) + 25,71(cos 74,43 + jsin 74,43)  Io = 13  13,79  j5,89 + 6,9 + j24,77 = ( 6,11 + j18,88 )   Io = 19,84 . 12.81. -----

Z12  Z 23  Z 31 

Z1  Z 2 Z1  Z 2  Z 3 Z2  Z3 Z1  Z 2  Z 3 Z 3  Z1 Z1  Z 2  Z 3



10  j10  j10Ω; 10  j10  j10



j10   j10  10Ω, 10  j10  j10



 j10 10   j10Ω. 10  j10  j10


317

12.82. -----

Z1  Z 2

Z12  Z1  Z 2 

Z3

Z 23  Z 2  Z 3  Z 31  Z 3  Z1 

Z 2  Z3 Z1 Z 3  Z1 Z2

 10  20 

10  20  Z12  R 12  35Ω; 40

 20  40   40  10 

20  40  Z 23  R 23  140Ω, 10

40 10  Z 31  R 31  70Ω. 20

12.83. ----- Fazni naponi generatora su Ufg = U/ 3 = 127,17 V. Admitanse linijskih provodnika zajedno sa admitansama potrošača iznose: 1 1 Y1    0,12  j0,16S Z 1  R 1 2  j4  1

Y2 

1 1   0,038  j0,192S Z 2  R 2  j5  1

Y3 

1 1   0,038  j0,192S Z 3  R 3 j5  1

Yo 

1 1   1S. Ro 1

Napon izmeĎu dvaju zvezdišta je: U fg1  Y 1  U fg 2  Y 2  U fg 3  Y 3 Uo   Y1  Y 2  Y 3  Y o

127,17  e j0  0,12  j0,16  127,17  e  j120  0,038  j0,192  127,17  e j120  0,038  j0,192  0,12  j0,16  0,038  j0,192  0,038  j0,192  1 15,260  j20,347  18,729  j16,393  18,729  j16,393 52,718  j20,347 Uo    45,540  j10,920V 1,196  j0,16 1,196  j0,16 Struje su jednake: I 1  U f g1  U o  Y 1  127,17  45,54  j10,92  0,12  j0,16  11,543  j11,750A  I 1  16,47A Uo 

I2

  U 

f g2

  U  Y o



2

  63,585  j110,132  45,54  j10,92  0,038  j0,192  14,902  j24,722A

I 3  U fg 3  U o  Y 3   63,585  j110,132  45,54  j10,92  0,038  j0,192  19,095  j25,552A I 2  28,866A; I 3  31,899A

I o  U o Y o  45,54  j10,92A  I o  I 1  I 2  I 3  I o  46,831A. Fazni naponi potrošača iznose: U1 = I1Z1 = 16,474,472 = 73,656 V; U2 = I2Z2 = 28,8665 = 143,33 V i U3 = I3Z3 = 31,8995 = 159,495 V. Aktivne snage potrošača su: P1 = I12R1 = 16,4722 = 545,523 W; P2 = 0 i P3 = 0  P = P1 + P2 + P3 = 545,523 W. Reaktivna snaga potrošača je: Q1 = I12X1 16,4724 = 1 085,044 VAr; Q2 = I22X2 = 28,8662(5 ) = 4 166,230 VAr ( kap. ) i Q3 = I32X3 = 31,89925 = 5 087,731 VAr  Q = Q1 + Q2 + Q3 = 2 006,545 VAr. Snage gubitaka na prenosnim vodovima ( Dţulovi gubici ) iznose: P1 = I12R1 = 271,261 W; P2 = I22R2 = 833,246 W; P3 = I32R3 = 1 017,546 W i Po = Io2Ro = 2 193,143 W  P = P1 + P2 + P3 + Po = 4 315,196 W. Generator daje ukupnu snagu ( mreţi i potrošaču ) koja iznosi aktivna: Pg = P + P = 545,523 + 4 315,196 = 4 860,719 W ; reaktivna: Qg = Q = 2 006,545 W i prividna:

S g  Pg  Q g  5258,594VA . 2

2


318

12.84. ----- Fazni naponi generetora ( mreţe ) iznose U A = UB = UC = Uf = U/ 3 = 220 V. Ro

A 

A 

R

0

+ U

UA

R Ro

B + 

N +

 B;C

UB UC

Z B  Z C  R o  5;

Ro

C 

R

UA = 220ej0 = 220 V; UB = 220e j120 = ( 110  j190,53 ) V; UC = 220e j240 = ( 110 + j190,53 ) V; R Z A  R o  R 1  1  35; 2 1 YA   0,029S; ZA

YB  YC 

1  0,2S; Ro

Kratkim spojem tačaka B i C dolazi do novog zvezdišta prijemnika a to je tačka B, odnosno C. Napon izmeĎu tačaka N i B ( napon izmeĎu zvezdišta generatora i prijemnika ) je: U Y  U B Y B  U C Y C 220  0,029  110  j190,53  0,2  110  j190,53  0,2 U o  U NB'  A A  YA  YB  YC 0,029  0,2  0,2

6,38  22  j38,11  22  j38,11 37,62   87,69V 0,429 0,429 Struje po granama, nakon kratke veze, iznose: IA = ( EA  Uo )YA = ( 220 + 87,69 ) 0,029 = 8,92   IA = 8,92 ; IB = ( EB  Uo )YA = ( 110  j190,53 + 87,69 )0,2 = (  4,46  j38,11 )   IB = 38,37 ; IC = ( EC  Uo )YC = ( 110 + j190,53 + 87,69 )0,2 = (  4,46 + j38,11 )   IC = 38,37 . Uo 

12.85. -----

R

I1

1o + U12

 IX R

I2

2o + U23

 IY

I3

3o



L

Ako pretpostavimo da nam je redosled faza U1, U2, U3, tada ove fazne napone moţemo kompleksno predstaviti: U1 = Ufej0 = Uf ; U2 = Ufej2/3 = Ufcos(120) + jsin(120)  U2 = Uf/2  jUf 3 /2 ; U3 = Ufej4/3 = Ufcos(240) + jsin(240)  U3 = Uf/2 + jUf 3 /2.

Napon Uo iznosi:

  3  3  U f Y1    0,5  j U f  Y2    0,5  j U f  jY3    2  2  U1 Y1  U 2 Y 2  U 3 Y 3   Uo    Y1  Y 2  Y 3 Y1  Y2  jY3

U f Y1 1  0,5  j0,866  j0,5  0,866 Y1  Y2  jY3 Ako su otpornosti po fazama jednake, tada su i provodnosti meĎusobno jednake. Dakle, za R1 = R2 = X3  Y1 = Y2 = Y3 = Y, pa je napon Uo jednak: U Y1,366  j0,366 1,366  j0,366 Uo  f  U f  0,62  j0,13U f Y2  j1 2  j1 Fazni naponi na sijalicama iznose: Uo 

U1 = U1  Uo = ( 0,38 – j0,13 )Uf

 U1 ' 

0,38U f 2  0,13U f 2

 0,4U f

U2 = U2  Uo = ( 0,5  j0,866 )Uf  ( 0,62 + j0,13 )Uf = ( 1,12  j0,996 ) 

U 2 '  1,12U f   0,996U f   1,5U f Struje koje protiču kroz sijalice iznose: I1 = U1/R, odnosno I2 = U2/R, pa je: 2

2


319

1,5U f I2 R  1,5  3,75  I  3,75I .  2 1 I1 0,4U f 0,4 R Sijalica S2 će za 3,75 puta jače da svetli od sijalice S1, pod uslovom da je redosled faza ovakav kako smo pretpostavili. Ako sijalica S1 jače svetli od sijalice S2, tada je redosled faza inverzan (npr. U1, U3, U2 ). Napomena! Na ovaj način se moţe ustanoviti samo redosled faza, a ne faze. Redosled faza moţe biti U 1, U2, U3 ( U2, U3, U1 ili U3, U1, U2 ). Navedeni redosled je jedna varijanta. Druga varijanta je kada se zamene bilo koje dve faze. Zadatak se moţe rešiti i metodom konturnih struja. MeĎufazni naponi su jednaki: 2

2  3   3 U f   U f 3. U12 = U1  U2 = Uf + Uf/2 + j Uf 3 /2 = 3Uf/2 + j 3 Uf/2  U 12   U f     2   2 

U23 = U2  U3 =Uf/2  jUf 3 /2 +Uf/2  jUf 3 /2 = jUf 3

 U23 = Uf 3 .

U31 = U3  U1 = Uf/2 + jUf 3 /2  Uf = 3Uf/2 + j Uf 3 /2

 U31 = Uf 3 .

U12 = Ix( R + R)  IyR U23 = Iy( R + jX )  IxR Za R = X, sledi: 3Uf/2 + j 3 Uf/2 = 2RIX  RIy jUf 3 = Iy( R + jX )  IxR /2 3Uf/2 + j 3 Uf/2 = 2RIX  RIy j2Uf 3 = 2 IxR + ( 2R + j2X )Iy 1,5Uf + j0,866Uf  j3,46Uf = Iy(R + 2R +j2R )  I y 

IX 

I y R  jR   j1,73U f R

U 1,5  j2,598 U f  f  0,74  j1,12, R 1  j2 R

Uf  0,74  j1,12 R 1  j1  j1,73U f U 0,38  j1,86  j1,73 U  R  f  f 0,38  j0,13 R R R

Struje sijalica iznose: I1  I X 

Uf U 0,38  j0,13  I1   0,38 f R R 

I2  Iy  IX 

2

U      0,13 f R  

Uf U  1,12  j0,99  I 2  1,12 f R R 

2

2

0,4 U f  ;   R 

U      0,99 f R  

2

1,5U f    R 

1,5U f I2 R  1,5  3,75. Kako je:  I 1 0,4U f 0,4 R Sijalica S2 jače sija od sijalice S1 za 3,75 puta, ako je dobro odreĎen redosled faza. U protivnom redosled faza je suprotan ( U1, U3, U2 ).


320 12.86. ----- Da. Postupak je potpuno isti, sa tom razlikom što se omesto impedanse Z3 = jX, odnosno admitanse Y3 = jY, u predhodnom zadatku, sada koristi impedansa Z3 = jX, tj. admitansa Y3 = jY. U ovom slučaju će sijalica S2 jače da svetli od sijalice S1 ( I2  I1 ) ako napon U1 fazno kasni za naponom U2 ( suprotno od predhodne varijante ). Ovo je logično, jer će kod kondenzatora struja da prednjači svom naponu, dok je kod kalema ona kasnila. To znači da je: Za I2  I1 redosled faza sledeći: U2, U1; U3 ili U1; U3; U2 ili U3; U2; U1. Za I1  I2 redosled faza je suprotan ( zamenjene bilo koje dve faze ). Čitaocu se ostavlja mogućnost da to proveri. 12.87. ----1o + U12 2o + U23

Ako pretpostavimo da napon U12 prednjači naponu U23 ( redosled faza je U12, U23, U31, odnosno U1, U2, U3 ), tada njihov kompleksni izraz moţe da glasi: U12 = Uej0 = U, U23 = Uej120 = 0,5U  j0,866U.

R

I1

 IA C IB

3o I3

Primenom metode konturnih struja, slede jednačine: U12 = IA( R  jX )  IB(jX ) U23 = IB( R  jX )  IA(jX )

R



Zamenom kapacitivnog otpora aktivnim ( R = X ), sledi: U =IA( R  jR ) + IBjR  U = IAR( 1  j1 ) + jIBR 0,5U  j0,866U = IB( R  jR ) + IAjR  0,5U  j0,866U = jIAR + IBR( 1  j1 ) Drugu jednačinu pomnoţimo sa j(1  j1 ), tj sa ( 1 + j1 ) U = IAR( 1  j1 ) + jIBR U(0,5  j0,866 )(1 + j1 ) = IAR( 1  j1 ) + IBR( 1  j1 )( 1+ j1 ) U = IAR( 1  j1 ) + jIBR 0,366U  j1,366U = IAR( 1 j1 ) + IBR( 1 + 1 ) ( 1,366  j1,366 )U = IBR( j1 + 2 ) I B 

U 1,366  j1,366 U  0,273  j0,820 R 2  j1 R

U U  jR  0,273  j0,820 U  jR  I B U 1  j0,273  0,820 U 0,180  j0273 U R IA      0,227  j0,047 R 1  j1 R 1  j1 R 1  j1 R 1  j1 R Struje u sijalicama iznose: U U I 1  I A  0,227  j0,047  I 1  0,232 R R U U I 3  I B   0,273  j0,820  I 3  0,864 R R Odnos izmeĎu struje I3 i I1 je: U 0,864 I3 R  0,864  3,72  I  3,72I  3 1 U 0,232 I1 0,232 R Ako smo dobro odabrali redosled faza ( U1, U2, U3, odnosno U12, U23, U31), tada će sijalica sa strujom I3 da svetli 3,72 puta jače od sijalice sa strujom I1. U protivnom, kod inverznog redosleda faza i jačina svetlosti će biti suprotna. Ako otpornost kondenzatora nije jednaka otpornosti aktivnog otpora, ovaj odnos izmeĎu struja I 3 i I1 će biti nešto izmenjen. Taj odnos je, bez obzira kolika je kapacitivna otpornost kondenzatora, uvek veći od jedinice, a to ynači da će sijalica treće faze uvek jače da svetli od sijalice prve faze za navedeni redosled faza ( napon U 1 prednjači naponu U2 ).Ove se otpornosti izjednačuju samo zbog lakšeg dokaza.


321

12.88. ----1o

Metodom konturnih struje, gde je IA = I1 a IB = I3, postavimo sledeće jednačine: U12 = I1( 1 + j1 )  (I3 )j1 U23 = I3( 1+ j1 )  I1j1

R

I1

 IA L

2o IB 3o

Uz pretpostavku da napon U12 prednjači naponu U23, sledi: 10 = I1( 1 + j1 ) + jI3 ..................................... ( 1 ) 10( 0,5  j0,866 ) =jI1  I3( 1 + j1 )………..( 2 )

R

I3



Kada pomnoţimo prvu jednačinu sa ( j ), sledi: j10 = I1( 1  j1 ) + I3  I3 = j10  I1( 1  j1 ) Uvrštavanjem struje I3 iz prve jednačine u drugu dobije se: 5  j8,66 = jI1  j10  I1( 1  j1 )( 1+ j1 )  5  j8,66 = jI1   j10 + 10  I1( 1 + 1 )  5  j8,66 = jI1 + j10  10 + 2I1  5  j18,66 = I1( 2  j1 ) 5  j18,66 I1   5,732  j6,464  I 1  8,639A 2  j1 I 3   j10  5,732  j6,464  1  j1   j10   0,732  j12,169  0,732  j2,169  I 3  2,289A Pošto je I 1 8,639   3,77  I 1  3,77  I 3 I 3 2,289 sijalica sa strujom I1 će za 3,77 puta jače da svetli od sijalice sa strujom I 3, uz pretpostavku da smo dobro odredili redosled faza. U protivnom, ako sijalica sa strujom I 3 jače svatli od sijalice sa strujom I1 redosled faza je suprotan, tj. napon U1 kasni za naponom U2 ( u ovom slučaju redosled faza bi bio: U2, U1, U3 ). 12.89. ----Ao + UAB Bo + UBC Co

Fazne struje su: U 400  e j90 I f1  f1   40  e j0 A ; j90 Z1 10  e

IA

UCA IB



+



If1 X1

X3 If3

If2

X2



IC

If 2 

Uf2

If 3 

Uf3

Z2 Z3

 

400  e  j30 8e

j90

400  e  j150 6  e j90

 50  e  j120 A ;  66,67  e  j240 A .

MeĎufazne struje su: IA = If1  If3 = 40( cos 0 + jsin 0 )  40 cos (240) + jsin (240)  = 40 + 33,33  j57,33  IA = ( 73,33  j57,33 )  = 93e-j38 ; IB = If2  If1 = 50cos (120) + jsin (120)  40cos 0  jsin 0  = 25  j43,33  40 = (65  j43,33 )  IB = 78,1ej146,3  j20 = ( 10  j37,3 )  = 38,6e-j105  i IC = If3  If2 = 66,67cos(240) + jsin(240)  50cos(120) + jsin(120)  IC = 33,33 + j57,33 + 25 + j43,33 + 10 + j17,3 = ( 8,33 + j100,66 )  = 100,9ej94,7 . Fazorski dijagram: UAB

If2 I3 If3

If1

UCA

IB If1

If2

If3 IA

UBC


322

12.90. ----Ao + UAB

Fazne struje iznose: IA

UCA IB



IAB 

Bo + UBC + IC Co

R IBC

XC ICA

XL



I AB 

U AB

I BC 

U BC

I CA 

U CA

Z AB Z BC Z CA

  

400  e j90 20  e j0

 20  e j90  j20A ,

400  e  j30

 20  e  j120   10  j17,3A ;

20  e j90 400  e  j150 20  e

 20  e  j60  10  j17,3A .

 j90

MeĎufazne struje su: IA = IAB  ICA = j20  10 + j17,3 = ( 10 + j37,3 ) A = 38,6ej105 ; IB = IBC  IAB = 10  j17,3  j20 = ( 10  j37,3 )  = 38,6e-j105  IC = ICA  IBC = 10  j17,3 + 10 + j17,3 = 20  = 20ej0 .

i

Fazorski dijagram: ICA

UAB

IA IAB

IC f.o.

IBC IBC

UCA

ICA UBC

IAB

I2

12.91. ----- Impedanse ZD iz trougla pretvoriti u zvezdi, pa je: ZD  ZD Z ZE   D  19  j14Ω. ZD  ZD  ZD 3 Impedanse ZC i ZE su sada redno vezane, pa je njihova ukupna impedansa jednaka: ZCE = ZC + ZE = ( 20 + j15 ) . Impedanse ZCE su paralelno vezane sa impedansama ZB pa je njihova ekvivalentna impedansa po fazi jednaka: Z Z 20  j15 20  j25  10,31 j9,69Ω. Z BCE  CE B  Z CE  Z B 20  j15  20  j25 Impedanse ZBCE i impedanse ZA su redno vezane pa je ukupna impedansa sistema po fazama jednaka: Z = ZA + ZBCE = ( 12,62 + j12 ) = 17,41ej43,5 . Ukupna linijska ( fazna ) struja sistema je: U 220  e j0 I1  f 1   12,63  e  j43,5  9,13  j8,68A ; Z1 17,41 e j43,5 I2 

Uf2

I3 

Uf3

Z2

 

220  e  j120 17,41 e j43,5 220  e  j240

 12,63  e  j163,5   12,11  j3,58A ;  12,63  e  j283,5  12,63  e j76,5  2,96  j12,28A .

Z3 17,41 e Čitaocu se ostavlja mogućnost da odredi pojedinačne fazne i linijske struje po prijemnicima. j43,5


323

12.92. ----- a) I1 

U f1

I2 

Uf 2

I3 

Uf3

Z1 Z2 Z3

  

Uf1

220  e

j90

20  e j0

 11 e j90  j11A;

220  e  j30 20  e j90 220  e  j150 20  e  j90

I1

 11 e  j120   5,5  j9,53A;

f.o.  11 e  j60  5,5  j9,53A,

Uf2

I2

Io

I3

Uf2

I1

I o  I1  I 2  I 3   j8,06  8,06  e  j90 A

I2 b) I1 + I2 + I3 = 0  I1 =  ( I1 +I2 ) =  ( 5,5  j9,53 + 5,5  j9,53 ) = j19,06 = 19,06ej90 . Kako je I1 = Uf1/Z1  U 220  e j90 Z1 '  f 1   11,54  e j0  11,54Ω  Z1 '  R 1 '  11,54Ω. I1 19,06  e j90 Čitaocu nije problem da sam nacrta fazorski dijagram za ovaj slučaj. 12.93. ----Fazni naponi generatora ( mreţe ) u kompleksnom obliku su: Uf1 = 240ej0 = 240 V; Uf2 = 240e-j120 = (120  j207,84 ) V; Kompleksne admitanse po fazama iznose: 1 1 Y1    0,05  e j0  0,05S; Z1 20  e j0

Uf3 = 240e-j240 = (120 + j207,84 ) V.

1 1   0,05  e  j90   j0,05S, Z 2 20  e j90 1 1 Y3    0,05  e j90  j0,05S. Z 3 20  e  j90 Napon izmeĎu dvaju zvezdičta Uo iznosi: U Y  U 2 Y 2  U 3 Y 3 240  0,05  120  j207,84   j0,05  120  j207,84  j0,05 Uo  1 1   175,7V Y1  Y 2  Y 3 0,05  j0,05  j0,05 Fazni naponi na prijemniku su: Uf1p = Uf1  Uo = 240 + 175,7 = 415,7 V; Uf2p = Uf2  Uo = 120  207,84 + 175,7 = ( 57,7  j207,84 ) = 215,7e-j74,5 V i Uf3p = Uf3  Uo = 120 + j207,84 + 175,7 = ( 57,7 + j207,84 ) = 215,7ej74,5. Fazne, tj. linijske struje sistema su: I1 = Uf1pY1 = 20,78ej0 ; I2 = Uf2pY2 = 10,79e-j154,5  i I3 = Uf3pY3 = 10,79ej164,5 . Y2 

Fazorski dijagram napona i struja: Uo

Uf3

Uf3p

I3 Uo

Uf2

Uf1p I1

I2

Uf1

Uo

Uf2p Uo


324 12.94. ----- Uo = 0 ( Yo =  ) , pa su fazni naponi genertaora ( mreţe ) jednaki faznim naponima potrošača. Struje po fazama su: U 254  e j0 254 I1  f 1    10,16  j7,62A   12,7  e j36,87 A ; Z1 16  j12 16  j12 I2 

U f 2 254  e  j120   4,47  j9,04A   10,08e j63,67 A ; Z2 14  j21

I3 

U f 3 254  e j240    5,08  j8,8A   10,16  e j240 A  Z3 25

Io  I1  I 2  I3  9,55  j7,86A   12,39  e j39,5 A .

Aktivne snage po fazama su: P1 = I12R1 = 12,7216 = 2 581 W; P2 = I22R2 = 10,08214 = 1 420 W i P3 = I32R3 = 10,16225 = 2 581 W. Fazorski dijagram napona i struja: Uf3

I3 Uf1 I1 I2

Io I3

Uf2

I1

12.95. ----a) Fazni naponi generatora ( mreţe ) u kompleksnom obliku su: Uf1 = 220ej0 = 220 V; Uf2 = 220e-j120 = (110  j190 ) V; Uf3 = 220e-j240 = (110 + j190 ) V. Kompleksne admitanse po fazama iznose: 1 1 Y1    0,1  e j0  0,05S; Z1 10  e j0

1 1   0,05  e  j60  0,025  j0,0433S, j 60 Z 2 20  e 1 1 Y3    0,05  e j60  0,025  j0,0433S; Z 3 20  e  j60 Y2 

1 1   0,0167  e j0  0,0167S Z o 60  e j0 Napon izmeĎu dvaju zvezdičta Uo iznosi: U Y  U 2 Y 2  U 3 Y 3 220  e j0 0,1  e j0  220  e  j120  0,05  e  j60  220  e  j240  0,05  e j60 Uo  1 1   Y1  Y 2  Y 3  Y o 0,1  0,025  j0,0433 0,025  j0,0433 0,0167 Yo 

22  e j0  12  e  j180  12  e  j180 22  e j0  22  e  j180 22  cos0  jsin0  cos 180  jsin 180    0,1667 0,1667 0,1667 22  1  j0  1  j0 Uo  0 0,1667 Struja u nultom ( povratnom ) vodu je: Io = UoYo = 0 . Uo 


325 Zamenom impedansi Z2 i Z3 nastaju sledeće vrednosti impedansi, odnosno admitansi: 1 1 Z1 '  Z1  10  e j0 Ω   Y 1 '    0,1  e j0  0,05S; Z1 ' 10  e j0

c)

Z 2 '  Z 3  20  e  j60 Ω   Y 2 ' 

1 1   0,05  e j60  0,025  j0,0433S,  j 60 Z 2 ' 20  e 1 1 Z 3 '  Z 2  20  e j60 Ω   Y 3 '    0,05  e  j60  0,025  j0,0433S; Z 3 ' 20  e j60 1 1   0,0167  e j0  0,0167S Z o 60  e j0 Napon izmeĎu dvaju zvezdičta Uo iznosi: U Y ' U 2 Y 2 ' U 3 Y 3 ' 220  e j0 0,1  e j0  220  e  j120  0,05  e j60  220  e  j240  0,05  e  j60 Uo ' 1 1   Y 1 ' Y 2 '  Y 3 ' Y o 0,1  0,025  j0,0433  0,025  j0,0433  0,0167 Yo 

22  e j0  12  e  j60  12  e  j300 22  e j0  12  e  j60  12  e j60   0,1667 0,1667 22  12cos 60  jsin 60  12  cos60  jsin60 22  12  2  cos60 34 Uo '    198V 0,1667 0,1667 0,1667 Struja u povratnom vodu sada iznosi: Io = UoYo = 198ej00,0167ej0 = 3,3ej0 = 3,3 A. Uo '

c) Pošto je napon Uo = 0, fazni naponi generatora i potrošača su jednaki, pa su struje sistema: I1 = Uf1Y1 = 220ej00,1ej0 = 22ej0 = 22 ; I2 = Uf2Y2 = 220ej1200,05ej60 = 11ej60  i I3 = Uf3Y3 = 220ej1200,05ej60 = 11ej60  . Struja nultog voda je: Io = I1 + I2 + I3 = 22 + 11(cos(60) + jsin(60)) + 11( cos 60 + jsin 60 ) = 22 + 112cos 60 = 33 . Čitaocu nije teško da sam nacrta odgovarajući fazorski dijagram, koristeći napon i struju potrošača u eksponencijalnom obliku. 12.96. ----a) Admitanse po vodovima su: 1 1 Z1  40  e j36,87 Ω   Y 1    0,025  e  j36,87  0,02  j0,015S; Z1 40  e j36,87

Z 2  25  e j0 Ω   Y 2 

1 1   0,04  e j0  0,04S, Z 2 25  e j0 1 1 Z 3  20  e  j53,13 Ω   Y 3    0,05  e j53,13  0,03  j0,04S. Z 3 20  e  j53,13 Napon izmeĎu dvaju zvezdičta Uo iznosi:

Uo 

U 1 Y 1 ' U 2 Y 2 ' U 3 Y 3 ' Y1  Y 2  Y 3



220  e j0 0,025  e  j36,87  220  e  j120  0,04  e j0  220  e  j240  0,05  e j53,13  0,02  j0,015  0,04  0,03  j0,04

 10,94  j9,61   140,4  j67,8V  155,9  e  j154,3 V. 0,09  j0,025 Fazni naponi na potrošaču iznose: Uf1p = Uf1  Uo = ( 360,4 + j67,8 ) V = 366,7ej10,7 V; Uf2p = Uf2  Uo = ( 30,4  j123,2 ) V = 126,9ej76,1 V; Uf3p = Uf3  Uo = ( 30,4 + j258,8 ) V = 260,6ej83,3 V.

Uo 

Struje sistema su: I1 = Uf1pY1 = ( 8,225  j4,05 )  = 9,168ej26,2  ; I2 = Uf2pY2 = ( 1,216  j4,928 )  = 5,076ej76,1  i I3 = Uf3pY3 = (9,44 + j8,98 )  = 13,029ej136,4 .


326

Fazorski dijagram: Uo Uf3p Uf3

I3 Uf1p Uo Uf1

Uo I3

I2

I1

Uf2p Uf2

Uo

b)

Uo '

U1 Y1  U 2 Y 2  U 3 Y 3 Y1  Y 2  Y 3  Y o



220  e j0 0,025  e  j36,87  220  e  j120  0,04  e j0  220  e  j240  0,05  e j53,13  0,02  j0,015  0,04  0,03  j0,04  1,25

 10,94  j9,61   8,295  j7,017V  10,865  e  j139,8 V. 1,34  j0,025 Fazni naponi na potrošaču iznose: Uf1p = Uf1  Uo = ( 228,295 + j7,017 ) V = 228,4ej1,8 V; Uf2p = Uf2  Uo = ( 101,705  j183,983 ) V = 210,22ej118,9 V; Uf3p = Uf3  Uo = ( 101,705 + j198,017 ) V = 222,61ej117,2 V.

Uo '

Struje sistema su: I1 = Uf1pY1 = ( 4,671  j3,284 )  = 5,71ej35,1  ; I2 = Uf2pY2 = ( 4,068  j7,359 )  = 8,409ej118,9  i I3 = Uf3pY3 = (10,972 + j1,872 )  = 11,131ej170,3 . Io = UoYo = (10,369  j8,771 )  = 13,581ej139,8 A. Fazorski dijagram: Uo Uf3

Uf3p

I3

Uf1p Uo

I 2

I1 Io

I1 Uf2

Uf1

Uo

I2 Uf2p

Uo


327

12.97. ----a) U f1



Uf 2



Uf3

Z1 Z2 Z3 j11   5,5  j9,53  5,5  j9,53    j161,2V  161,2  e  j90 V. 1 1 1 0,05  j0,05  j0,05   Z1 Z 2 Z 3 Fazni naponi na potrošaču iznose: Uf1p = Uf1  Uo = j381,2 V = 381,2ej90 V; Uf2p = Uf2  Uo = ( 190,5 + j51,2 ) V = 197ej15 V; Uf3p = Uf3  Uo = ( 190,5 + j51,2 ) V = 197,3ej165 V. Uo 

Struje sistema su: U f 1p I1   j19,06A   19,06  e j90 A , Z1 I2  I3 

U f 2p Z2 U f 3p Z3

 2,56  j9,53A   9,86  e  j75 A ,   2,56  j9,53A   9,86  e  j105 A .

Fazorski dijagram napona i struja prijemnika: Uo Uf1p Uf1 I1 Uf2p

Uf3p Uo

Uo I3

I2

Uf3

Uf2 Uo

b) U f1

Uo '



Uf 2



Uf3

Z1 Z2 Z3 j11   5,5  j9,53  5,5  j9,53    j16,1V  16,1 e  j90 V. 1 1 1 1 0,05  j0,05  j0,05  0,45    Z1 Z 2 Z 3 Z o

Fazni naponi na potrošaču iznose: Uf1p = Uf1  Uo = j236,1 V = 236,1ej90 V; Uf2p = Uf2  Uo = ( 190,5  j93,9 ) V = 212,4ej26,2 V; Uf3p = Uf3  Uo = ( 190,5 93,9 ) V = 212,4ej153,8 V.


328

Struje sistema su: U f 1p ' I1 '   j11,805A   11,805  e j90 A , Z1

I2 ' I3'

U f 2p ' Z2 U f 3p ' Z3

  4,695  j9,525A   10,62  e  j116,3 A,  4,695  j9,525A   10,62  e  j63,7 A .

I o  U o 'Y o   j7,245A   7,245  e  j90 A . Fazorski dijagram napona i struja Uf1p

Uo Uf1 I1

Uo

0 Uf3p Uo

0

I2

Io I3

Uf3

Uf2p Uf2

I3

Uo

I1

12.98. ----- Kako su impedanse vodova, kao i nultog voda, zanemarljive ( admitansa beskonačna ), napon Uo je jednak nuli. Zbog toga su fazni naponi prijemnika jednaki faznim naponima generatora. Struje prijemnika, koje su ujedno i linijske struje sistema iznose: U 220  e j0 I1  f 1   22  e j0  22A ; Z1 10  e j0 I2 

Uf 2 220  e j120   13,92  e j138,43   10,41  j9,24A ; Z2 15,81 e j18,43

I3 

Uf 3 220  e j240   10,78  e j228,69   7,12  j8,097A , Z3 20,4  e j11,31

Io  I1  I2  I3  22  10,41  j9,24  7,12  j8,097  4,47  j1,143  4,61 e j14,34 A .

Aktivna snaga prijemnika je: P = P1 + P2 + P3 = I12R1 + I22R2 + I32R3 = 22210 + 13,92215 + 10,78220 = 10 070,664 W  10 kW Reaktivna snaga prijemnika je: Q = Q1 + Q2 + Q3 = I12X1 + I22X2 + I32X3 = 2220 + 13,9225 + 10,782(4 )  Q = 968,83  464,83 = 504 kVAr. Prividna snaga sistema je:

S  P 2  Q 2  10070,662  5042  10083,26VA.


329

12.99. ----U f1 U f 2 U f 3 220  e j0 220  e  j120 220  e j120     j0  j138,43 Z Z2 Z3  10,78  e j131,31 10  e j0 15,81 e j18,43 20,4  e  j11,31 22  e  13,92  e Uo  1    1 1 1 1 1 1 0,1  0,06  j0,02  0,048  j0,0096     Z1 Z 2 Z 3 10 15  j5 20  j4 22  10,41  j9,24  7,12  j8,097 4,47  j1,143 0,9298  j0,0465  j0,2377  0,0119 0,9417  j0,1912     0,208  j0,0104 0,208  j0,0104 0,04337 0,04337 U o  21,71  j4,41V Fazni naponi na potrošaču iznose: Uf1p = Uf1  Uo = ( 198,29 + j4,41 ) V = 198,34 ej1,27 V Uf2p = Uf2  Uo = ( 131,71  j186,12 ) V = 228,01ej125,29 V; Uf3p = Uf3  Uo = ( 131,71 + j194,94 ) V = 235,26ej123,96 V. Uo 

Struje sistema su: I1  I2  I3 

U f 1p Z1 Uf 2p Z2 U f 3p Z3



198,34  e j1,27  19,834  e j1,27  19,83  j0,44A ; 10  e j0



228,01 e  j125,29  14,42  e  j144,32   11,71  j8,53A ; 15,81 e j18,43



235,26  e j123,96  11,53  e j135,27   8,19  j8,11A , 20,4  e  j11,31

Io  I1  I 2  I3  0

Aktivna snaga prijemnika je: P = P1 + P2 + P3 = I12R1 + I22R2 + I32R3 = 19,834210 + 14,42215 + 11,53220 = 9 711,75 W, Reaktivna snaga prijemnika je: Q = Q1 + Q2 + Q3 = I12X1 + I22X2 + I32X3 = 19,83420 + 14,4225 + 11,532(4 ) = 507,92 kVAr Prividna snaga sistema je:

S  P 2  Q 2  9711,752  507,922  9725,02VA. 12.100. ----- Pošto je Uf1 + Uf2 + Uf3 = 0 ( E1 + E2 + E3 = 0 ) veza navoja generatora u zvezdu ili trougao. Zašto?

 e1 + e2 + e3 = 0, bez obzira da li je

12.101. ----- Pošto je prijemnik vezan u trougao, a generator u zvezdu, efektivna vrednost faznog napona prijemnika je: U fp  U  3  E  10 3 kV , gde je U efektivna vrednost linijskog napona ( meĎufazni napon ). Prividna snaga prijemnika je: S = 3UfIf = 3UfUf/Z = 3Uf2/Z = 31001063/300 = 3106 VA = 3 MVA. Aktivna snaga prijemnika je: P = Scos  = 30,8 = 2,4 MW. Reaktivna snaga prijemnika je:

Q   S2  P 2  32  2,4 2  1,8M VAr ( predznak    je zbog kapacitivnog karaktera opterećenja ) 12.102. Kada je jedna faza u prekidu, struja jedne grane prijemnika ne postoji. Efektivna vrednost napona redne veze druge dve grane prijemnika je U 12  3E ( vidi rešenje zadatka 12.60.). Kako se radi o čisto aktivnom prijemniku ( cos  = 1 ), njegova aktivna snaga je jednaka: 2

2 2  3E    2R  3E  6kW  E  4. P  I12 2  R 12    2R  2R R   Nakon zatvaranja prekinute faze ( prekidača ) aktivna snaga sistema je:


330

2

E2 E P'  3  I 2 R  3     R  3   3  4  12kW. R R Dakle, uspostavljanjem treće faze snaga prijemnika se povećala za dva puta.

12.103. ----- Snaga prijemnika sa zatvorenim prekidačom ( sa sve tri faze ) iznosi: 2

2 2 2  3E    R  3  3E  9E  10kW  E  10 P  3 If 2  R  3   R  R R R 9   Prekidom faze ( prekidač se otvori ) nastaje paralelna veza dvaju otpora, i to 2R i R ( gde je 2R u stvari redna veza dva otpora R. Vidi rešenje zadatka 12.61. ). Efektivna vrednost napona na paralelnoj vezi je: U p  3E .

Aktivna snaga prijemnika sada iznosi:

 Up Rp    Rp 

2

 

2 2 2  U 2   R p  p  3E  3E  9  E  9  10  5kW. P'  I p  2R  R 2 Rp 2 R 2 9  R 2R  R 3 Traţena promena snage na prijemniku iznosi: P = P  P = 5  10 = 5 KW. Snaga je, nakon prekida jedna faze, smanjena za dva puta. 2


331

ДОДАТАК ОБРТНО МАГНЕТНО ПОЉЕ Тесла као проналазач. Откриће трофазног магнетног поља. Никола Тесла се родио у Лици, у селу Смиљану код Госпића 10. 07. 1856 године. Његов отац Милутин Тесла био је српски свештеник у Смиљану а касније прота у Госпићу. Милутин је био одличан беседник, филозоф и писац и располагао је са великом библиотеком коју је Никола још као дете много користио. Тесла је у својој страсти за читањем ишао толико далеко, да му је отац због нежног здравља често забрањивао да чита. Али кад све то није помогло сакривали су испред њега свећу и закључавали библиотеку. Ова страст за учењем и читањем постајала је све јача, тако да је као студент технике у Грацу био у стању да ради дневно 18 до 20 сати. За време рада у Америци у лабораторијама било је код њега обично радно време 16 до 18 сати дневно, а врло је често читаве дане и ноћи проводио у непрекидном раду без одмора. Умерен живот, уздржавање од свих врста штетних уживања, учинили су га толико издржљивим да се Тесла у дубокој старости осећао као млад и здрав. Непрекидни рад и читање у младим годинама пробудили су у њему интерес за природне науке и за технику и Тесла је имао да издржи велику борбу док није остварио свој циљ. Отац и мајка су хтели да им син буде свештеник. Мајка му је била такође из старе свештеничке фамилије, а у то време свештеници су били врло цењени и образовани људи. Тесла би вероватно и морао поћи путем, који му је отац одредио, да се нису касније десили извесни догађаји, који су били од директног утицаја на његов даљи живот. Теслина мајка такође је била врло даровита жена. Њу је Тесла много ценио и волео.Тесла је свој проналазалчки таленат наследио од мајке која је исто тако била даровита жена. Као проналазач Тесла је располагао огромном имагинацијом и институцијом и великим богатством мисли и идеја. Његов научни рад се сасвим разликује од обичног и уобичајеног на пољу технике и проналазака. И ако је читаве деценије проводио у експериментисању ипак ниједан његов проналазак није резултат експеримента, већ дугог претходног размишљања. Све што је учинио остварио је прво у својим мислима, логички развијајући мисао једну за другом док не дође тако до готовог дела, које тек тада ексериментално провери и остварује. Тако Тесла ствара прво скице, развија затим поједине делове и најзад ствара из свега тога конструктивну целину. Овај начин проналажења и научног стварања без цртежа и планова без експеримената и модела јединствен је у историји технике. Ово показује велику моћ размишљања, памћења и логике. Тиме се потврђује да је Тесла не само проналазач већ уметник и филозоф. Прво његово велико откриће, обртно магнетно поље показује најбоље начин Теслиног рада. Као студент технике у Грацу 1878. године имао је Тесла први пут прилике да види у раду једну једносмерну динамо машину. Тесла је при раду са овом машином увидео њене велике недостатке. У то време употребљаване су једносмерне динамо машине за производњу струје за осветљење као и за рад мотора. Пренос енергије помоћу ових машина био је ограничен на мале количине и даљине. Даљине од неколико километара чиниле су цео пренос врло неретабилним. Динамо машине са наизменичном струјом биле су неупотребљиве, јер није постојао погодан мотор за овакве струје. На пренос великих количина електричне енергије на веће даљине није се могло ни помишљати. Проблем је био електромотор за наизменичну струју. Тесли је било јасно да је проналазак оваквог мотора једно велико дело, јер би се са њим електрична енергија могла преносити на веће даљине.Велике водене снаге стајале су неискориштене и требало је смислити начин како их искористити ради добробити читавог човечанства. Разговор младог студента Тесле са познатим професором Пешлом тада није дао резултате, јер му је Пешл објаснио да је немогуће решити проблем мотора наизменичних струја. Комутатор и четкице су били по мишљењу Пешловом битни део сваког електромотора. Теслине мисли су биле изазване овим великим проблемом, и он је од тог времена почео да га испитује. Увидео је да у целом дотадашњем систему има много нелогичности. Грамова динамо машина (машина за једносмерну струју) произвофи магнетно поље, које делује стално у исто смеру. Кроз то поље креће се прстенаста арматура (навој) у којој се производи наизменична струја. Ова се струја помоћу комутатора претвара у једносмерну струју, одводи се у мотор исте конструкције, као и динамо машина, и тамо се преко комутатора претвара поново у наизменмичну струју, да би се у мотору претворила у механички рад. При оваквом претварању енергије, дакле, имамо двоструку комутацију, прво у динамо машини из наизменичне струје у једносмерну, и друго у мотору из једносмерне у наизменичну. Природа мора да је оставила могућност да се ова двострука трансформација избегне, само људи нису били дотле у стању да ове тајне природе открију. Овакво откриће претстаљало би читаву револуцију појмова и


332 индустрије, јер би омогућило пренос енергије на веће даљине. Тесла је у својим мислима конструисао разне моторе, али се они нису могли окретати. Због тога је он све те моторе у својим мислима један по један одбацивао. Тесла је из дана у дан био обузет овим мислима по који пут му је изгледало да је дошао до решења али коначна анализа би потврдила да није био на правом путу. 1881. године Тесла је напустио правац којим се до тада кретао и пошао је новим путем. Он је у мислима конструсиао динамомашину у којој су се магнетни полови окретали а арматура (навој) била непомична. Непокретна арматура била је снабдевена са калемима и у њој је требало да се окреће магнетно точак. У арматури мотора требало је распоредити калеме тако, да се изазове деловање магнетног поља не у једном правцу већ у обртном смеру. Дакле то што је наука сматрала за немогуће Тесла је био при самом циљу решења. Прогрес је међутим био тежак. Ма како размештао калеме мотора, наизменична струја у калемима мотора стварала је наизменично магнетно поље, које је осциловало исто онако као што се наизменична струја мењала у генератору. Обртања магнетног поља није било. Тесла је почео са једним патром калема и ишао је даље, пробао је са два и са више пари. Обртање код једног пара није могуће. Код два пара калема ствар је могућа, али није задовољавајућа. Ако ове калеме вежемо тако, да кроз њих пролази иста струја, ствара се такође пулзирајуће (лево-десно) поље. Овакво поље није обртно што значи и није решење за наизменични мотор. Решење је било све ближе и ближе. У почетку 1882. године Тесла је констатовао да ће мотор са два пара калема дати обртно магнетно поље, ако кроз сваки пар калемова протекну две посебне струје, које су у извесном временском помаку, тако да у једном пару струја има своју максималну вредност, док је у другом пару калема струја једнака нули.На овај начин, док једна струја постепено расте од нуле до максималне вредности друга треба да пада са максималне вредности на нулу. На тај начин је у арматури мотора добио магнетно поље обртног смера. То је било велико откриће на основу којег је био могућ пренос електричне енергије на веће удаљености. Тесла је за даљих пет година борбе и рада ово откриће успео да усаврши и спроведе у дело. То је постигао помоћу три пара калема кроз које протичу независне струје са временским помаком Т/3. Овим је остварено трофазно обртно магнетно поље, које ротира у једном смеру константном јачином. Ово трофазно обртно магнетно поље се још назива и Теслино поље. Теслино откриће обртног магнетног поља без сумње је једно од највећих дела генија људског. Његов циљ, био је вредан десетогодишње борбе и напора јер без обртног магнетног поља данас се не може ни замислити нормалан живот. Теслин рад се није задржао само на овоме али оно што је циљ овог рада завршава се на овоме. Поседује преко сто званично признатих патената а много више необјављених и преузетих.


333 ПУЛЗИРАЈУЋЕ МАГНЕТНО ПОЉЕ



статор Ако на статору електричне машине ( генератор, електромотор) имамо два навоја са просторним помаком од 90, као на слици 1, тада ће сваки од тих навоја стварати своје магнетно поље индукције B. Смер магнетног поља одредимо правилом десне руке, које гласи: Обухватимо навој тако да нам савијени прсти показују смер струје, док ће испружени палац показати смер магнетног поља у центру навоја.

b2 

 i2

b1

 i1

ротор

Сл .1

Наизменичне струје i1 односно i2 стварају магнетна поља индукције b1 и b2. Струје i1 и i2 су временски променљиве, мењају се по смеру и по интензитету, најчешће по синусној функцији. Везивањем навоја на ред, кроз њих протиче иста струја (i1 = i2 = i) па ће ова струја стварати магнетнa пољa b1 и b2 која су нормална на површину одговарајућег навоја (b1 на S1 a b2 нa S2), што је приказано на слици 2. i1;i2

i1 = i2

I1m =I2m

t t2

t1

to

t3

t7

t6

t5

t4

t8

Т

b2=0 b1=0

b2

b2 b b1

Bm b1

b2

b

b2

b1

b

b1

b2 b

b2 b1

b

b1

Сл.2 Пошто су струје сразмерне са магнетном индукцијом, порастом струје од 0 до максималне вредности (од to дo t2), магнетне индукције b1 и b2 се повећавају од нуле до максималне вредности. Резултантна магнетна индукција је једнака векторском збиру појединачних индукција ( B  B1  B 2 ). На тај начин се резулантна индукција креће од нуле до максимума (вектор B не мења свој правац). Пад струје од максималне вредности ка нули повлачи за собом и пад резултантне магнетне индукције (од t2 до t4) по истом правцу.


334 Даљим порастом струје са промењеним смером (од t4 до t6) повећава се и магнетна индукција али у супротном смеру. Тиме се добије резултантно магнетно поље истог интензитета као у периоду од t0 до t2 али супротног смера. Падом струје са максималне вредности на нулу (од t6 до t8) опада и резултантна магнетна индукција са максималне вредности на нулу. Иста струја која пролазећи кроз два просторно померена намотаја под углом од деведесет степени ствараће резултантно магнетно поље које ће се мењати по смеру и интензитету, али не по правцу. Такво магнетно поље се назива пулзирајуће магнетно поље (ово поље није обртно). ДВОФАЗНО ОБРТНО МАГНЕТНО ПОЉЕ i1,i2 i1 i2

t t1

to

t2

t3

t4

t5

t6

t8

t7

т b2=b b2=0

b2

b b

b2=0

b2

b1

b1=0

b1

b1 b1=b

b2=0 b1

b1=b

b1=b b

b2

b2=b

b2

b

Сл.3. Пропуштањем наизменичних струја i1 и i2 са временским помаком од Т/4 (фазни помак од /2) кроз калемове који су просторно померени за угао од /2 настаје обртно магнетно поље. Услови обртања овог магнетног поља су: 1. просторни помак између калемова (најчешће од /2) 2. временски помак између струја (најчешће од Т/4). Начин добијања овог магнетног поља је представљено на слици број 3. Струје i1 и i2 са датим временским помаком (i2 касни за струјом i1 за Т/4) пролазећи кроз намотаје N1 и N2 (према слици 1) ствара обртно магнетно поље чији је смер обртања супротан од смера казаљке на сату. Ако се жели добити смер обртања казаљки на сату потребно је променити смер струје само у једном калему. Ако се у оваквом магнетном пољу налази један стални магнет који је смештен на осовиници тада ће стални магнет настојати да се помера у истом смеру као и обртно магнетно поље (јер се ради о два магнетна поља која настоје да направе једно заједничко). На овом принципу раде једнофазни асинхрони мотори. Ротор тог мотора на себи има намотаје у којима се индукује струја (проводници ротора се налазе у променљивом магнетном пољу), па ће индукована струја имати своје магнетно поље, а самим тим ротор се понаша као стални магнет. На статору се налазе калемови N1 и N2 кроз које се пропусти струја i1 и i2 са временским помаком од Т/4. На тај начин намотаји статора (арматура) мотора стварају магнетно обртно поље у којем долази до обртања ротора. Ови мотори, тзв. једнофазни асинхрони мотори су нашли велику примену у пракси (машине за прање рубља, мешалице за бетон, косилице, разни млинови итд.).


335 Фазни помак између струја се може остварити на следећи начин: 1. помоћу две различите фазе (двофазни мотори) 2. помоћу једне фазе (једнофазни мотори). Код једнофазних мотора да би се добио временски помак између струја i2 и i1 карактер оптерећења тих калемова је такав они стварају фазни помак од приближно /2 (најбоље је када је тај помак /2). То се постиже тако што се на један калем (помоћни) спаја кондензатор, па он на тај начин има претежно капацитативно оптерећење, док главни (радни) намотај располаже са RL оптерећењем. Тако постижемо одговарајући фазни помак између струја у радном и помоћном намотају, што доводи до стварања обртног магнетног поља. Код свих мотора те врсте улога кондензатора је та да покрене мотор (оствари обртно магнетно поље), а након тога он се редовито искључује.

ТРОФАЗНО ОБРТНО МАГНЕТНО ПОЉЕ Истичући основни значај наизменичне струје које јој дају предност у производњи, преносу и примени у односу на једносмерну струју, две су наизразитије, а то су могућности: 1.трансформација 2.стварање обртног магнетног поља. Обртно магнетно поље могуће је остварити вишефазним наизменичним струјама (двофазним, трофазним...). У овом случају размотрити ћемо стварање трофазног обртног магнетног поља трофазном струјом, која чини основу електроенергетског система. За стварање обртног магнетног поља трофазном струјом потребна су три једнака намотаја (калема) који су постављени по обиму статора, међусобно померени за по 120 степени (2/3 rad), као што је приказано на слици 4б. Крајеви намотаја могу бити спојени на један од познатих начина  звезда или троугао (сл. 4а- веза у зваезду).

а)

б) Сл. 4.

Прикључењем трофазних намотаја на напон трофазне мреже, кроз проводнике ће потећи наизменичне струје које су међусобно фазно померене за 120 степени а временски за Т/3. Аналитички изрази за струје су (I1m = I2m = I3m = Im): i1 = Im sin t i2 = Im sin (t - 2/3) i3 = Im sin (t - 4/3)


336 Из аналитичког ( временског ) израза се види да је наизменична струја у функцији са временом t и да је она различита ( промењива ) са променом времена посматрања. За тачно одређено време и наизменична струја је тачно одређена ( синусна функција ), па се због тога вредности струја i1, i2 i i3 назибају тренутним вредностима ( i = f(t) ). Векторски и графички дијаграм наведених струја је дат на слици 5. Векторски ( фазорски ) дијаграм представља три обртна вектора који ротирају угаоном брзином  у смеру супротном од смера казаљке на сату. Угао између ових вектора ( фазора ) представља фазни угао који уједно и говори колики је фазни помак између фазора ( наизменичних струја векторски представљени ). Дакле, фазни помак између струја I1, I2 i I3 je 120 ( слика 5а ). Временски дијаграм представља наизменичну струју која се временски мења ( осцилира ) по синусној функцији. Због тога је временски дијаграм дат у облику трију синусоида које су временски померене за Т/3 ( сл. 5б ). Фазорски и временски дијаграм говоре о истим вредностима, те су ова два дијаграма међусобно повезана. Због тога је довољно нацртати један од њих, на основу којег се може нацртати, по потреби, и други. Редовито се црта фазорски дијаграм, на основу којег се, ако је то потребно, нацрта временски дијаграм. i1,i2,i3 i1

I3 120 120

i2

I1

i3

t

120

I2 T/3 T а) векторски дијаграм

б) графички (временски) дијаграм Сл.5.

За позитивни смер струја у намотајима (сл.4) узет је смер који иде од почетка намотаја (A,B,C) ка њиховим крајевима (x,y,z), а супротан смер је негативан. На слици 5б. Дат је развијени дијаграм тренутних вредности трофазних струја, од којих свака у свом намотају ствара непокретно магнетно поље (пулзирајуће). Међутим, смер и величина магнетног флукса () сваке струје пулзирати ће у средишту припадајућег намотаја, по правцу нормалном на раван навоја, између вредности +m и -m (управо онако како се мења јачина струје која и ствара овај флукс), што је објашњено код пулзирајућег магнетног поља. Према томе, магнетни флукс, самим тим и магнетна индукција (B = /S) ће имати исти облик промене и фазну једнакост са струјом која га производи, па је: у kалему А  x ( i1 )  b1 = Bm sin t, у калему   y ( i2 )  b2 = Bm sin ( t  2/3 ) и у калему C  z ( i3 )  b3 = Bm sin ( t  4/3 ). Треба нагласити да су фазори ( вектори ) који представлјају наизменичну струју обртни ( обртни вектори трансформисани у временском дијаграму дају осцилацију – синусоиду ), смера супротног од казаљке на сату, што није случај са магнетном индукцијом. Резултат овога је, да је у сваком тренутку векторски збир струја, као и тренутни, једнак нули ( I1  I 2  I 3  0 , односно i1 + i2 + i3 = 0 ). За разлику од струја, векторски збир магнетних индикција представља укупно магнетно поље, које ће имати одређену вредност ( није једнако нули ). Дакле, трофазна наизменична струја са међусобним фазним помаком од 2 /3 радијана, протичући кроз три калема ( навоја ), који су просторно померени за угао од 2/3 радијана, ствара у сваком тренутку резултантно магнетно поље чија се магнетна оса обрће по обиму статора угаоном брзином  ( брзином струје напајања ).


337 Обртно магнетно поље је представљено графички уз помоћ временског дијаграма трофазних струја за време од једне периоде Т, према слици 6. На слици 6 назначени су, за одабране тренутке посматрања струја (t0, t1,t2,t3,t4,t5,t6), одговарајуће вредности струја и магнетне индукције које те струје стварају у одређеном навоју. Према Амперовом правилу (правило десне руке: Савијене прсте поставимо у смеру струје, док ће палац одређивати смер магнетног поља), смерови магнетног поља у центру навоја су нормални на саму површину навоја. i1,i2,i3

i1

i3

i2

t to

t1

t2

t4

t3

t6

t5

T/3 T

B

B1

B1

B2

B1

B3 B

B3

B3

B2

B3

B2

B2 B

B1

B1

B2

B

B1

B1

B2

B1

B3 B B3

B2

B3

B3

B2

B2 B1

B B3

B

Сл. 6 У тренутку t0 струја i1 у навоју A-x једнака је нули, а струја i2 у навоју B-y има негативан смер, док је струја i3 у навоју C-z позитивног смера. Ове струје стварају следеће вредности магнетних индукција: b1 = 0 ( i1 = 0 ), b2 =  B2 ( i2  = 0 ) i b3 = B3 ( i3  0 ). Предтсављајући у одговарајућој размери магнетну индукцију B2 и B3 у облику вектора те њиховим векторским сабирањем добије се резултантна магнетна индукција B (резултантно магнетно поље). На слици се види да је у тренутку t0 резултантна магнетна индукција у истој равни са првим навојем (A-x) и да је вектор резултантног поља усмерен ка крају тога навоја (x), (види сл. 4). У тренутку t1: i1 = I1 ( I1  0 )  b1 = B1 ( B1  0 ); i2 = I2 ( I2  0 )  b2 = B2 ( B2  0 ) i i3 = 0  b3 = 0.


B2

338 Векторским сабиранјем В1, В2 и В3 у тренутку t1, добије се резултантни вектор који представлја укупну магнетну индукцију ових навоја. Видимо да се правац вектора укупне магнетне индукције В поклапа са правцом трећег навоја а његов смер је ка крају тога навоја ( z ). У тренутку t2: i1 = I1 ( I1  0 )  b1 = B1; i2 = 0  b2 = 0; i3 = I3 ( I3  0 )  b3 = B3. Векторским сабирањем појединачних вектора магнетне индукције у тренутку t2 настаје резултантни вектор В, који даје укупну магнетну индукцију. Правац укупне магнетне индукције се поклапа са положајем другог навоја B-y, а са смером ка његовом крају ( y ). У тренутку t3: i1 = 0  b1 = 0; i2 = I2  b2 = B2; i3 = I3  b3 = B3. У овом тренутку ( t3 ) резултантни вектор В је истог правца као и први навој А- x, са смером ка почетку навоја ( А ) што је супротног смера у односу на почетни тренутак t0 ( b2 и b3 су супротних смерова у односу на почетак ). У тренутку t4 ( i3 = 0  b3 = 0; i2 = I2  b2 = B2 i i3 = I3  b3 = B3 ), резултантна магнетна индукција В је на истом правцу као и трећи навој C-z, са смером ка његовом почетку ( C ). На исти начин се одреди резултантна магнетна индукција В за остале тренутке ( t 5, t6.... ). Ова времена се могу и другачије одабрати, али због једноставнијег објашњења времена су одабрана тако да је у том тренутку једна од струја једнака нули. У том случају резултантна магнетна индукција има исти правац као и положај тога навоја у којем је струја једнака нули ( што потврђују сви ти резултантни вектори у датим тренутцима ). Са слике 6 уочавамо да је резултантна магнетна индукција B остварена трофазном струјом, конастантне вредности (B = const.) и да се обрће, у простору, у смеру казаљке на сату, угаоном брзином која је једнака угаоној брзини наизменичне струје . Смер обртања резултантног магнетног поља зависи од редоследа фаза (тј. ових струја). Заменом редоследа фаза RST мења се и смер обртања магнетног поља. Обртно магнетно поље је једно од најзначајнијих открића нашег научника Николе Тесле, па се оно често и назива теслиним пољем. Теслино поље чини основу рада синхроних и асинхроних мотора који су такође Теслино откриће. Ако поставимо магнет на осовину у шупљину статора (слика 4), где је остварено обртно магнетно поље, магнет ће након покретања у смеру магнетног поља наставитити обртање брзином обртног магнетног поља. У овом случају обртање магнета (ротора) има синхрону ( исту) брзину у односу на обртно магнетно поље произведено у статору, па се због тога овакви мотори називају синхрони мотори. Међутим, ако у шупљину статора, поставимо уместо магнета ротор са проводницима по његовом обиму, обртно магнетно поље, услед пресецања проводника ротора у проводницима индукује ems (струју). Како су проводници ротора кратко спојени кроз њих ће индукована електромоторна сила протерати струју, а узајамно деловање магнетних поља ових струја и обртног магнетног поља проузрокује електромагнетну силу F, која покреће ротор у смеру обртања вектора обртног магнетног поља. Да би обртно магнетно поље индуковало струју у проводницима ротора, брзина обртања ротора је увек мања од брзине обртног магнетног поља статора а то је разлог да се ови мотори, поред назива индукциони називају још и асинхрони мотори. Ротор асинхроног мотора најчешће се изводи са кратко спојеним бакарним шипкама. Бакарне шипке ротора повезују се са обе стране бакарним прстеновима (кратка веза), па тако ротор поприма облик кавеза па се због тога овакви ротори називају кавезни ротори (слика 7.)

Сл. 7


339 Индукциони асинхрони мотори са кавезним ротором имају наједноставнију израду због чега су веома економични и поуздани у раду. Изглед индукционог асинхроног мотора са кавезним ротором (статор и ротор) дат је на слици 8 (у пресеку).

Сл. 8. Трофазно обртно магнетно поње ( Теслино поње ) је искоришћено за рад трофазних синхроних и асинхроних мотора. Трофазни генератори су исте конструкције као и трофазни мотори. Улоге су им инверзне. Мотори троше енергију ( претварају електричну у механичку ) коју даје извор ( генератор ), док генератори производе електричну енергију на основу неке неелектричне енергије ( светлосна, механичка, топлотна, хемијска ). Трофазни генератори се састоје од: 1. статора, који садржи три калема који су просторно померена за 120 и 2. ротора (магнета) којег обрће нека неелектрична енергија ( вода, пара.. ). Услед обртања ротора ( магнета ) у намотајима статора се индукују емс е1, е2 и е3, које су временски померене за Т/3. На тај начин прикључењем трофазног мотора на мрежу ( генератор ) кроз трофазне намотаје мотора протичу струје које су временски померене за Т/3, што је чини први услов за стварање обртног магнетног поља. (Други услов је просторни помак између навоја од 120 ).


340


341

RAZNI ZADACI ( SA ŠKOLSKIH, REGIONALNIH I REPUBLIČKIH TAKMIČENJA )

1. Kalem ima induktivnost L = 15,9 H. Nacrtati zavisnost induktivnog otpora i struje od frekvencije f ( XL = f(f) i I = f(f) ), ako je efektivna vrednost napona U = 100 V. ( Školsko takmičemje « Mihajlo Pupin » N. Sad; 2002. )

2. Trenutna snaga koju prima idealni kalem je pL = 20 sin ( 2106 t + 120 ) mW, a napon Um = 2 2 V. Napisati analitički ( vremenski ) izraz za struju kalema. ( Školsko takmičenje « Nikola Tesla » Beograd; 1998. )

3. XL

R

Za koliko će se puta povećati struja u kolu prema slici, nakon zatvaranja prekidača. Nakon dokaza zaokruţiti jedno od tačnih ( ponuĎenih ) rešenja.

P XC

R

Brojni podaci: R = X L = XC

I

U;f

PonuĎena rešenja: a) poveća se 2 puta; b) poveća se 4 puta; c) smanji se 2 puta; d) smanji se 4 puta; e) neko drugo rešenje. ( Školsko takmičenje « Nikola Tesla » Beograd; 1998. ) 4. Dve grane su paralelno vezane . Jedna sadrţi R1 i XL a druga R2 i XC , pri čemu su sve otpornosti jednake 2 , na frekvenciji od 50 Hz. Kako se menja aktivna provodnost kola G = G 1 + G2 ako se frekvencija poveća dva puta? PonuĎena rešenja: a) poveća se 2 puta; b) smanji se 2 puta; c) ne menja se; d) neko drugo rešenje. ( Školsko takmičenje « Nikola Tesla » Beograd; 1998. )

5. C 

A  Z2

IE +

IK

ZK

Z1  D

E

Z3

B



ZE

Pri otvorenom prekidaču poznate su struje IK = IE = 4 mA. Kolika će biti struja IK nakon zatvaranja prekidača P? Brojne vrednosti: E = ( 40 + j40 ) V; ZE = 10 k; ZK = j10 k.

  P ( Školsko takmičenje « Nikola Tesla » Beograd; 1998. )


342

6. o

Pri kojem će odnosu provodnosti u kolu sa slike napon U prednjačiti struji I ? Uz detaljno obrazloţenje zaokruţiti tačno rešenje.

I

U

L

C

PonuĎena rešenja: a) BL  BC; b) BC  BL c) BL = BC d) neko drugo rešenje.

o ( Školsko takmičenje « Nikola Tesla » Beograd; 1998. ) 7. Ako je u rednoj vezi itpornika R = 10  i kondenzatora na učestanosti f = 500 Hz fazna razlika napona i struje jednaka  =  45, odrediti učestanost f na kojoj će pri istom naponu struja biti dva puta manja nego na f. ( Školsko takmičenje « Nikola Tesla » Beograd; 1998. )

8. B 

Ao

D 

XL

R1

XC

o o

R2

P

U kolu sa slike poznati su otpornost R1 = 100  i induktivnost L = 0,01 H. Pri zatvorenom prekidaču napon UAF = 30 V, a pri otvorenom nastupa rezonansa, a napon UAB = 10 V i UAD = 10 5 V. Odrediti struju pri rezonansi Io i kapacitet kondenzatora.

Fo ( Školsko takmičenje « Nikola Tesla » Beograd; 1998. )

9. R1

I1

XL I2

Odrediti R i XL sa slike ako je poznato: I = 30 A; I1 = 15 A; I2 = 18 A; R1 = 4 .

R

I

( Školsko takmičenje « Nikola Tesla » Beograd; 1998. ) 10. Naći kompleksnu amplitudu prostoperiodičnog napona:

u = 10 sin ( t + 60 ) V.

( Školsko takmičenje, Bačka Palanka; 2002 ) 11. Pri kojem faznom uglu je trenutna vrednost naizmenične struje brojno jednaka efektivnoj vrednosti ? ( Školsko takmičenje, Bačka Palanka; 2002 )


343

12. Z1 1o

o3 Z2

Za kolo prostoperiodične struje, prema slici, poznato je Z1 = XL = 100  i Z2 = XC = 50 . Odrediti kompleksnu impedansu izmeĎu tačaka 1 i 2 kada su tačke 3 i 4 kratko spojene.

Z2

2o

o4 Z1 ( Školsko takmičenje, Bačka Palanka; 2002 )

13. Induktivni kalem priključen je na idealni naponski generator prostoperiodičnog napona. Ako je trenutna snaga kalema negativna, kalem: a) Prima energiju od generatora, b) Vraća energiju generatoru c) I prima i vraća, što zavisi od induktivnosti kalema, d) Nije moguće dati odgovor. Uz potreban komentar, zaokruţiti tačno rešenje. Napomena ! Negativan odgovor povlači i negativan broj poena. ( Deveto republičko takmičenje; 2003 ) 14. Šta predstavljaju granice propusnog opsega kod rednog rezonantnog kola ? PonuĎena rešenja: a) Učestanosti pri kojima se propušta jačina struje koja nije manja za

2 od rezonantne struje. b) Učestanosti pri kojima je jačina struje u kolu 2 puta veća od struje pri rezonansi. c) Učestanosti pri kojima se propušta struja od njene srednje vrednosti do maksimalne. d) Učestanost pri kojoj se propuštaju jačine struja veće od efektivnih.

Uz komentar zaokruţiti tačno rešenje, uz napomenu da negativan odgovor nosi i negativne bodove. ( Deveto republičko takmičenje; 2003 ) 15. Elektirčno oscilatorno kolo sastoji se od kalema i kondenzatora. Ako se kapacitivnost kondenzatora poveća četiri puta a induktivnost kalema ostene ista, kako će se promeniti period oscilovanja oscilatornog kola ? ( Deveto republičko takmičenje; 2003 )

16. Z2

Nepoznata impedansa Z1 vezana je redno sa paralelnom vezom impedansi Z2 i Z3, prema slici, i kolo je priključeno na napon U = 4 V. Odrediti impedamsu Z1, ako su poznati sledeći podaci:

Z1 Z3

I1 o

U

o

Ze = 4e-j30; P2 = 0 W; Q2 = 1 VAr; P3 = 3 W; i Q3 = 0 VAr. Napomena! Ze je ukupna impedansa kola, a P i Q su aktivna odnosno reaktivna snaga odgovarajućih impedansi.

( Deveto republičko takmičenje; 2003 )


344

17. Po otvaranju prekidača P, u kolu prostoperiodične struje ( vidi sliku ), struja kroz impedansu Z 2 se poveća u naznačenom smeru za I2 = 2 mA. Odrediti kolika je vrednost ems E, ako je: Z1 = ( 2 + j3 ) k; Z2 = j5 k; Z3 = ( 4 – j4 ) k; Z4 = Z5 = 5 k; IS = 8 mA i E1 = ( 3 + j2 ) V. +

Z1

E1

Z5 Z2

Z4

o Po

+ E

IS I2

Z3

( Deveto republičko takmičenje; 2003 )

18. E1

E2 +

+ Z3

A

Z1 I1

Z2

 B

Za električno kolo, prema slici, odrediti efektivnu vrednost struje I1, ako je dato: E1 = ( 2  j2 ) V; E2 = ( 6 + j2 ) V; Z1 = j1 ; Z2 = 2  ; Z3 = j2 ; IS = 1 A.

IS ( Deveto republičko takmičenje; 2003 ) 19. Promenljivi otpornik i idealni kalem vezani su na red u kolo naizmenične struje učestanosti . Napon fazno prednjači u odnosu na struju za 60. Ako se otpornost poveća za R za koliko se mora promeniti induktivnost L da bi fazni pomak ostao nepromenjen? ( Deveto regionalno takmičenje; 2003. )


345

REŠENJA ZADATAKA ( sa školskih, regionalnih i republičkih takmičenja ):

1. ----Za f = 0  XL = 0; I = ; Za f = 50 Hz  XL = 31415,7 = 4 930 ; I = 0,02 A = 20 mA. Za f = 100 Hz  XL = 9 860 ; I = 0,01 A = 10 mA Za f =   XL = ; I = 0.

XL

ImA I = f(f)

9 860 20

XL = f(f)

4 930 10 0

50

100

fHz

2. ----- Kako je kod savršenog kalema ( vidi snagu kod L kola ): pL = ui = Um cos t Im sin t = UI sin 2t , sledi: UI = 20103  I = 20103/U = 10 mA; 2 = 2106   = 106 rad/s  i = 10 2 sin ( 106 t + 120 ) mA. 3. ----- Kada je P isključeno: R  jX   R  jX  R 2  X 2 2R 2 Z   R, R  jX  R  jX 2R 2R a kada je uključen: R   jX  R  jX  jRX  R  jX  jRX  R  jX   jR 2 X  RX 2  jR 2 X  RX 2 Z'      R. R  jX R  jX R  jX   R  jX  R  jX   R  jX  R 2  X2 Kako je impedansa ista i pri uključenom i isključenom prekidaču ( Z = Z ), sledi da će struja ostati ista. Dakle, tačan odgovor je pod tačkom e) 4. ----- Pri f = 2f  XL = 2XL = 4 ; XC = XC/2 = 1 . Na frekvenciji f = 50 Hz  R 2 R2 G1  2 1 2   0,25S  G 2   0,25S  G = G1 + G2 = 0,5 S. 2 4  4 R1  X L R 2  XC2 Na frekvenciji f = 2f =100 Hz: R 2 R2 2 G1 '  2 1 2   0,1S  G 2 '    0,4S.  G = G1 + G2 = 0,5 . 2 2 4  16 4 1 R1  X L ' R 2  XC' Ukupna aktivna provodnost kola je ostala ista ( G = G = 0,5 S ). Tačan odgovor je pod c) 5. -----

I2

C 

A 

Z2

IE +

IK

ZK

Z1 I1  D

E

Z3

I3 B



ZE

Kada je P isključen, sledi: UAB  E + IEZE = 0  UAB = E  IE ZE  UAB = ( 40 + j40 )  410310103 = j40 V. UCD = IK ZK = 410-3j10103 = j40 V. UAB + UAC  UCD = 0  UAC = UCD  UAB = 0. I2 = I1 + IK = 0, jer je I2 = UAC/Z2 = 0/Z2 = 0. Sledi da je I1 =  IK = 4 mA. U j40 Z1  CD    j10 103 Ω   j10kΩ. 3 I1  4 10

  P Kako je ZK = j10 k ( kalem ) a Z1 = j10 k ( kond. ), izmeĎu ove dve impedanse dolazi do oscilatornog kola ( I2 = 0 ). Za čvor A je : IE = I3 + I2  I3 = IE = 4 mA.


346

U AB

 j10 10 3 Ω  j10kΩ. I3 4 10 3 Uključenjem prekidača, sledi: UAB = E = ( 40 + j40 ) V U ' 40  j40 I 3 '  AB   4  j4 10 3 A  4  j4mA. 3 Z3 j10 10 Z3 



j40

Zbog antirezonanse( oscilatornog kola ) na impedansama Z1 i ZK nema struje I2 ( UAC = 0 ), pa je napon UCD = UAB = E = ( 40 + j40 ) V. Struja na impedansi ZK, nakon uključenja P, sada iznosi: U ' 40  j40 I K  CD   4  j4 10 3 A  4  j4mA. 3 ZK j10 10 6. ----I = IL + IC; I = IL  IC. Napon U će prednjačiti struji I ako je IL  IC. U IL   U  BL XL U IC   U  BC XC Ako je BL  BC  IL  IC   = 90, tj. napon prednjači struji. Od ponuĎenih rešenja tačno je rešenje pod b.

IC

f.o.

U I IL

IC

7. ----- tg  = XC/R = 1  XC = R = 10   C = 1/2fXC = 1/314010 = 31,85106 F = 31,85 F. Na frekvenciji f = 500 Hz impedansa iznosi: Z  R 2  X C 2  10 2 Ω . U I Z' 1 1  Z   2  Z'  2  Z  20 2 Ω  X C '  Z' 2 R 2  10 7   f'  188,97Hz . I' U Z 2πf 'C 2π  X C  C Z' I i Z su struja, odnosno impedansa na frekvenciji f.

8. -----

Pri otvorenom prekidaču ( rezonansi ) U12 = UAF = 30 V. U ' 10 I o  AB   0,1A R1 100 U 30 R 12  R 1  R 2  12   300Ω  R 2  200Ω. Io 0,1

U12 R12 Io o A

XL UAF

XC o B

U AD ' 10 5   100 5  R 1 2  X L 2  Io 0,1 X L  Z AD 2  R 1 2  50000 10000  200Ω Z AD 

 

X L 200   20000 rad s . L 0,01 1 1 Kako je XL = XC   200  C   25010 9 F  250nF. ωo  C 20000 200

X L  ωo L  ωo 


347

9. -----

I1

2 2

IL

I2 = I12 + I22  2I1I2 cos  

U

I1 2  I 2 2  I 2 15 2  18 2  30 2   0,65  2I 1 I 2 2 15 18  = 130,5  + 2 = 180  2 = 49,5 cos 2 = IR/I2  IR = I2 cos 2 = 180,65 = 11,7 A. IL = I2 sin 2 = 180,76 = 13,68 . cosα 

I I2  IR

I1

Otpornosti R i XL iznose: U I1 R 1 15  4 R    5,13Ω; IR IR 11,7

XL 

U 15  4   4,39Ω. I L 13,68





1 3   5  j5 3 V . 10. ----- Um = 10ej60 = 10( cos 60 + jsin 60 ) = 10    j 2  2

11. ----- i  I 

Im 2

 I m sinωt  sinωt 



1 2 π  ωt  arcsin  arcsin  45 o  rad. 2 4 2 2

1

12. ---Z1 1o

o3 Z2

Z1

Z2 

2o

1o

Z2

Z1 3;4 

Z2

o2

o4 Z1

Na osnovu ekvivalentne šeme, impedansa izmeĎu tačaka 1 i 2 iznosi: Z Z Z Z j100   j50  j5000 5000  j Z12  1 2  1 2  2   2   2  2   j100   j200Ω. Z1  Z 2 Z1  Z 2 j100  j50 j50  j 50 13. ----- Rešenje je pod b) Vraća energiju generatoru. Za komentar videti objašnjenje snage kod savršenog kalema.

14. ----- Tačan odgovor je pod a) Učestanost pri kojoj se propuštaju struje koje nisu manje od

Io 2

Komentar pronaći u Propusnom opsegu ( oscilatorna kola ).


.

348

1

15. ----- ω o 

1

 ωo ' 

1





1 1 ω   o, 2 LC 2

LC L' C' L  4C 1 1 1 2π fo   To    To f o ωo ωo 2π 1 1 1 2π 2π 2π fo '  To '      2  2  To To ' f o ' ωo ' ωo ' ωo ωo 2π 2 Perioda oscilovanja će se povećati dva puta.

16. ----- S2 = P2 + jQ2 = j1 VA ; S3 = P3 + jQ3 =

3 VA 

 3 U 4 1 I1    1  e j30  cos30  j sin30    j A   j 30  Ze 4  e 2   2



2



 3   1 2   I1    1A .  2   2   



 3 1 S e  U  I 1*  4    j   2 3  j2 VA   2 2   S e  S1  S 2  S 3  S1  S e  S 2  S 3  2 3  j2  j1  3 

 3  j3 

P1 =

3 W; Q1 = 3 Var ( kap. )

Q 3 P1 3   3 Ω ; Q1  I1 2 X C  X C  21   3Ω. 1 1 I1 I1 2 Kompleksna impedansa Z1 je: Z1  3  j3 Ω.

P1  I1 2 R 1  R 1 





17. ----- Napomena! Ako je na idealni strujni generator redno vezan otpornik ( impedansa Z 5 ) njegova otpornost nema uticaja na struju tog generatora ( struja je ista ), pa se on moţe isključiti iz kola ( Z5 = 0 ). Na isti način kod paralelne veze idealnog naponskog generatora sa otpornikom ( impedansa Z 4 ), napon na krajevima generatora ne zavisi od otpornosti paralelno vezanog otpora, pa se on moţe isključiti iz kola (Z4 = ). Na osnovu navedene konstatacije dobije se ekvivalentn šeme, prikazane na slikama( P uklj. i P isključeno ). P uključeno A

+ E1 Z2 IS

Ako je prekidač uključen, napon izmeĎu tačaka A i B je jednak nuli ( ems E nema uticaja na ostatak kola ). Na osnovu drugog Kirhovog zakona sledi: IZ1  E1  I2Z2  IZ3 = 0; I2 = IS + I  E 1  I S Z 2  E1  I'Z1  Z 2  Z 3   I S Z 2  I'  Z1  Z 2  Z 3

Z1 I

I2

Z3

B

P isključeno + E1 IS

I

Z1

+

o Po

Z2 I2

A 

Z3

E

 B

ΔI 2  I 2 ''I 2 '  I S  I''I S  I'  I''I' 

Kada je P isključen ( UAB = E ), pa sledi jednačina ( drugi Kirhofov zakon ): E  IZ1  E1  I2 Z2  IZ3 = 0; I2 = IS + I  E  E1 = I( Z1 + Z2 + Z3 ) + ISZ2  E  E1  I S Z 2 I''  Z1  Z 2  Z 3

E  E1  I S Z 2 Z1  Z 2  Z 3



E 1  I S Z 2 Z1  Z 2  Z 3



E  Z1  Z 2  Z 3

E = I2( Z1 + Z2 + Z3 ) = 2103( 2 + j3 + j5 + 4 – j4 )103 = 2( 6 + j4 ) = ( 12 + j8 ) V.


349

18. ----E1

E2 +

+ I23

I2

Z3

A +

Z2

 B

Koristeći Tevenenovu teoremu, prema ekvivalentnim šemama, sledi: E2 + I23Z3 + I23Z2 = 0  E 2 6  j2 I 23 '    1  j2A ; Z 2  Z 3 2  j2 UAB + E1 + I23Z3 = 0  UAB = E1  I23Z3  UAB = 2 + j2  ( 1  j2 )j2 = 2 + j2  j2  4 = 2 V. ET = UAB = 2 V.

IS

Z T  Z AB 

Z3 A

Z1

B

I1 

I1 ZT



2  j2  1  j1Ω. 2  j2

Z2

B

A

Z 2  Z3 Z 2  Z3

ET

ET Z T  Z1



2  2A  I1  2A. 1  j1  j1

+

19. ----ωL  tg60  3  ωL  3R R Pre povećanja otpornosti R impedansa kola je iznosila: Z = R + jL, a nakon povećanja otpornosti R: Z = ( R + R ) + j( L + L ) = ( R + R ) + j( L + L ). Iz uslova zadatka ( tg  = tg  = 3 ), sledi: ωL ωL  ΔL  LΔR   ωLR  ωLΔR  ωLR  ωΔLR  ωLΔR  ωΔLR  ΔL  . R R  ΔR R tgφ 

Kako je

ωL L 3 , predhodni izraz se moţe dati preko kruţne učestanosti  i on glasi:  3  R R ω ΔL 

L 3 ΔR  ΔR R ω


Zbirka-Zadataka-Iz-Oet-2-Doc.pdf

Recommend Documents