Zbirka-zadataka-iz-matematike-za-4-razred-Adem-Huskić-2.pdf

Ij OperaCl1,t:' s komplcksnim brojevima u eksponencijalnom obliku:

,

+ ----- + ... -+ ~-- ::::: - - , n paran broJ.

1.188.* Dokazati da za n?: 2 vrijcdi 2 «1

V; =

> (n + 1)" ,

I DlJELJENJE:

("~", :::~ :::... '1 C,07 ' _ tada vflJcdl'

I!j;;?: n+.;j n + 1 .

I Akoje =,riF ,t,ada vfijedi: I Zaz=x+i)1 vriJ"edi' I

I

.

I 118Zivoll1 Euler-en'l]"" F

i

:I be'; II

I

~M([j!})

a = r·coscp

1"'-lIz1'

1

't'

r-irio'dl11 od z «I-argument od z

b = r-Sill(p

I~,

I

1/ -~---¥.;...-

..--..--..:>

I

!

b a

(1f. \ L

'IT

I

1 2'"

__

=

;:::=;

r·c
71:O~ 1", (c.OS(rl+i

siner), 72=

7.1£]= K'1 1"2 [COS(CI)1'+
STET'ENO'.rAN.lE: 1\1\0 jc z -= r (COS(P+ i Si!1Cp), 'tRda vrij6di

i Spcc\jalno, aka jt l'_='l,"t::lcb vrijcdi:

r~ (cos(p,~+i

sin(pJ. tad8 vrijccli:

+ i sin(
I

k=O,I, .. :,n-L

I

_ . ' ',,'

,COS:V+lsmy). .'

= cos J ~: Ism)"

I'"

10Ju JC jJ0Z11ili';;

pC'\d

e-::!

- , if

~

2

Odrcditi modul i glDvnu \-Tijcdllost arrmmCllta daton I-Oml)"."'S ". ' , '~I' , -' 'z:,<".,-",\',110g,)lOj3. .<1.) Z -b) z = -1 ' . --,_, , C)Z-,) L~,a) z,=] b) z:--.:.:2 ' c) z= 3; 2.3.a) z = -5i b) z= l+i c) z ,co. 2~2i ")1'"

~.

b) z=

i 2

I

~-

] -j

z= -.,

•

b)

4i z= --~

2+1

2.6.a) z=

:U~_

MNI:JZF;NJF ; DUELJEN,n::

x(

0 pre t"tloclna rclacij
sinz

2.7.a)

Akn jc

-C"

---L-

fohml!a, --

i

J;F;-;l

z = a+hi. ! Trigm10111ctl'ijsid ohlik komilie.ksl1og broja z: z ",,", r(cos(p+isincp).

Ekspoltencijaini otHk i\ompkksnog hroja z:

,-

z= -3

!

I:,~m'"i; ~,~ V;.~ ~;~i.,

~7-

tg(r=~·,·(ij~I~-;::;'~).1

I a x I /\jgcb~dski obiik komp!eksnog hl'Dja z:

=r;!

Z
,

ravni predstavljen je- rackom M(a, b).

,::,/1

(_,,~, __ ,x+ty_

.

I, Sj)ed·jillno.'ako . ,i,e:' x, -

THJGONOMETRUSKI I EKSPONENCUALNJ KOMI>L:U,~KSNOG RROJA G811SS~()VOj

i

,STEPENOVANJE 1 KOJUENOVANJE: Z

I< ompl*.szm hr0j z = a+bi u ~I'

I

Z, '2, =(IJ '1"2),,''',+<1,)'

.-----.'

IT

n

4

4

slJl~-"icos---

b)

z= 3sin 2TC_5fC()S_2.~ 7 7 J<,.

udreC.llll

a)

.

c)

z = -2+21 J3

c)

z= 4+31

z= sin~-ico;,!.~,-

8

8

z--=c 1-s1no:,,+,',r-_os'c',,_ rr'l ' . ri,'::::'-(0 i ,_.,! • \ 2j S\'C \T1Jl.'dnCd! ::1rgurncnt8 dmih komplcksnih broje,,/a:

z=-3

_

_ •• _

b)

,_.

b)

z= 1--]

c)

;= l+iJ]-

zn= rn (coSlltp+i"sinmr) .

(COS(P'F i s'in tp) 11

;:':;.

cos mp + f sin ncr , nEON sto

Ul<.1zivmno M(l.~-vre::.2~ formula ~' __ '__ "'~ __ '_____ ~ ___ .~~~~',.~ __

IS

19

2.29.a) 2+113 +i <3" -

d)

Izl>2, 0 «p <"-2

2. i 1. Dataje tacka z, = 3+4i. Odrediti skup tacaka u kompieksuoj ravui z, za koje vrijedi nejednakost Zl! <5. -

Iz -

c) z =-2+2iJ3

Iz-21=3

.

b) IZ-3il=2

5" b) - < argz<6 6

1I

1t

2.14.a) O
2.15. Akojez=x+yi i r=j;i +y? =consl. kojemskupukompleksne ravni pripadaju tacke z - 3 ? 2.16. Kojem skupu kompleksne ravni pdpadaju tackc Izl::::: 4? 2.17. Kojem skupu komplcksne ravni pdpadaju tacke

jzl:::;; 3 ?

2.18. Kojem skupu kompleksne ravni pripadaju tacke

Izl> 5?

2.19. Ako je Izl = 4 , kojem skupu kompieksne ravni pripadaju tacke 2 - z ?

2.20. Kojem skupu kompleksne ravni pripadaju tacke z, ako je 12i -

zl < 3?

Date kompleksne brojeve napisati u trigonometrijskom obliku: 2.21.a) z=3 b) z=-2 c) z=5i d) z=-4i 2.22.a) z = 3 + 3i b) z ~ c) z ~ 6 + 6i

n in

2.23.a) z= i

2

+-1131

b) z= - - - I

2.25.a) z=\+i

b)

z~

2 l-;

2.26.a) z=3COS~-3isin~

cJ

0)

b)

d) z=J3 +i

z- H-iJ3 .

it

.

it

b)

z=2+isin~

2.34.a)

8

8

12

12

Z=i-3(COS~-iSin%)

2.28.a)

z=1+COS-+1SlTI-

2it

. ' 2n

5

5

.

z =(1 + 2i)(I -i) i --1

z=

.'

n: 6

6

2+i

b)

n.n) 4 4

7l:

6

2

2( cOS-

Z=--

l-i

'+lS1n

235. Ako je z = r(cosqJ + isin
2.36. Akoje Izl = 1, dokazati daje z=-. z 037 . Ak'oJe . "",",

. .

. , . - 1- . lzracunah l-z

Z =COS

Napisati u algebarskom obliku date kompieksne brojeve: 2.38.a) z =2(cosn: + isinn) b) z=5 (cos2n +is1n2n) Z=

s(

2.40.a) z=

4(

2.39.a)

2.42.a)

Z=

2.43.a) z =

b) z=3 cos2+1SInT

J2(

I

3 +ISJn 3 )

cos n

2

[ 3n .. 3n]

n. n)

COSZ-+lSIn"2

.' n

I 1t .. 2.41.a) z = Illcos +1sm

z==sm~-lCOS-

z:= -2sin 2:. + 2i cos"::"-

2.27.a)

20

c) z=-3+4i

2

-213 -2i

2.33.a)

I

2.24.a) z ~ -Hi

d)

Z=Stn-+lSIn-.

c) Iz-l-il <;4

Odrediti skup taoaka z kompleksne ravni koje zadovoljavaju uslov: 1t n 3n 213a)aro-z=b)argz=n c) --
z=-J3-1

b)

\,

kompleksnom broju z, aka je:

b)

b)

cos-- i sin-

c)

(l+iJ3T 2.32.a) z = l-

2.12. Odrediti skup tacaka u kompieksnoj ravni koje odgovaraju a)

n S

n 5 z = 1+ cosa +i sina

1- (2+J3)i

2.30.a) z = 1- cosa +i sina 2.31.a) z= 2-2i

4

c) 1
b)

4

b) z =

n:l

4 _.,

b)

2rr)

2n COS-+IStn3

3

r (1T) +lSJn\-3" ( I] Ilcosl3 1<

2.44.a) z=14(cos45° +isin45°)

b)

{cos(-~)+isin(-~)]

z~ 9[cos(- ~ )+isin(-~)] 4( 3rr .' 3rr)

Z=

COS

4

+ISIn

4

b)

rc . • 1t Z=COS~~lsm~

b)

z=20(cos60" +isin60o)

3

3

2.45.a)

z =34(cos30" + isin30o)

b)

z =.J3 (cos1200 +isinI20o)

z = 15 (cos 150° + i sin 150°)

b)

z = 19(cos2100 +isin 210°)

b)

z=-s(COs~+isin~)

2.46.a)

b)

z = sinO', + icosa

Oarediti proizvod datih kompleksnih brojeva z, i Z2, ako je: 2.47.a) 1', = 5(cosI0" + i sinlOO), Z2 = 4( cos20° + i sjn200)

21

b) "~ 3(eos35° + i sin35°) , c) z] ~ 4( c0540° + i sin400) , 2A8.a) z] ~ 6(e05 i 5° + i sin 15°) , b) ~ 7( cos j 1° + i sin 11 0) , c) z) = 9(cos33° + i sin33°),

z,

2.49.a) b)

Zj =

fi(

3

n)

IT .' Cos8+1sm8~

2n . . 2n) z,= 6 (eos7+)slTI7' J

c)

.'

z) = 5(cos3 + i sin3)

2.50.a) z)

=

n'l

('IT .. 21 cos- + Ism,,6 6)

'I

n IT b) zl=3[cos--+isin~1 ~,8 8) f

n\ cos'::"+isin-· j 3 3)

7(00s55° + i sin55°) 2(cos20° + j sin200) Z2 = 3(cos25° + i sin25°) z, = 4(cos19° + i sinI9°) Z2 = 2(cos12° + i sin 12°)

z,

Z2=

z~

"

] = 21l

211:. . 2n:

b) Zt =COs-:;-+fsm--;-" ••

J

.2.52.a) z) = 2 (cos7 + i sin7) , b) z) = cos4 + i sin4 , c) z]=4(coslO+isinl0)

2.53.a)

b)

'7

8

..

TC \

+ 1 5111 -

7

!

COSU

Tj

8m

12

.' I = 51r cos ("j - -- + lsm.1( ~

L

J2(cosJ20o +isin1200).

\. 4/ \. ( n ! .. ( n

l

22 :::COS --'-l+lsm! -"-, 2) \. 2 £2 = 3 (cos 11 + i sin J 1)

5 (cos3 + i sin3) Z2 = i 1 (cos12 + i sin]2) Z2 =

J2 (c.osl50o +isin1S0o)

2 o 4(cosl50 +isin150o).-J2(cos210 D +isin21Oo)

S(eos(~30o)+ i5in(-300). 2(eos7So + isin 75")

Odrcditi kolicnik datih komplcksnih brnjeva 2:1 1 7:2, ako jc: z, ~ 2(C0380° + i sin80') 2.55.a) z, = 8(cos40° + i sin400), Z2 = 3(cos2S0 + i sin25°) b) Zj = I2(cos7S0 + i sin75°), Z2 = 2(cos5° .+ i sin5°) c) Zl = 4(coslSO + i sin 15°) , 2.56 .• ) Zl = 16(cos77° + i 8in77°), Z2 = 8(cos33° + i 5in33°) b) Zj = 28(cos65° + i sin65°) , Z2 = 7(cos35° + i sin35°) Z2 = 2S(cos80° + i sin800) e) Zl = 1OO(cos88° + i sin88°) , 2.S7.a) Zj

22

=

(31t .3711 cOS-_-+iS1TI-~)

41'

\)

5

ZJ=

z, ~ 3(coslSOo + isin ISOo) .

b) z] = cos 210° +isin210() ,

e) z,

~

22(oosI4+isinI4)

~

z,

HeeDs 7 + isin 7).

Uprostiti date izraze:

n . . . TI )

Sn .' 5n z = COS:"~+lsm­ , 24 24 2:2

2.58.a)

3n

2( cosS + i sln5)

. _. 3( 2:2 -

,,"

+.,;.1 sm~

(n .n)

21 cos-+isJn-- .

'\99

r

2.S9.a)

n .' n\ (CO$-+ISll1-IT .' TIlI

10 cos-+lsm-),3 \ 6 6

3

3)

n) ( 3n

. 3n)

b)

IT. 12( cos--I-ism.. : cos-+ism-

c)

SJf .. 5itl( n .. nl COS-'-/SH)- i ( cOs-·-/SI11----:--I·j 6 6)\ 6 6)

2.60.a)

2n .. n .. IT\ 16( COS-+1SHl--..- :L. ' cos--+Ism-I 1 3 ,3 3, 3;

4

4

\

4

4'

21t)i

(

3n

. 3ITI,;11( n '.

cos-+ism~

nl

b)

22

0)

. ( 5]'( . 5n\, ( rt . , 'it) 15 COs--ism-----:-i:3,lcos +lsm- ) 6 \. 6 6 ) 6

Odrediti proizvod datih brojeva: J3(cos30 D +isin30D),2.fi(cos60 o -I-isin60o)

2.54.a)

b)

3n 2 COS'---

8 = 3( cos -n:

Z2 =

('It

2.5I.a) z

~

Z2 =

4

cOS-+iSlll-)

4)

2

31t)

Ln 27T) 6 ( cos~3 + iSI!l 3'-)

311 .. 10(.cos --4-- + I SI11 4

<

2.61.a) 2

(cos::" + isil1~") 3

b)

3)

2.62.a) (1+;)(cosI50+i5i: 15°)

2/

0)

2(

IT)

.' cos Jt -I-lSIll-

4

4

(~J ~ i) (cos 20° + i sin 20° )

2.63.a)

(cos 40° +isin40")(3+3;.J:l) b)

(cosSOo +isinSOo)(S.J:l-5i)

2.64.a)

II +2isin~1(-2- 2i.J:l)

,IT I.K ) {J I-,+ism ..--)'( \iL--Lisln-----;-

\

0)

\2

3)

3 \

4

lzracunati stcpenc L\llllpleksnih brojeva (Moivre-ova formula): 2.65.a)

b)

,.11 )]2 r,'--l.Jl1l/cos 1\6' + 1sm 6'

C',

d)

I-(COS-+ism-)

~

211:

. 211: ]'

L 2,

9

9

c 1J5

23

[{COs~ +;sin ;4)T

2.66.a)

[{COS -"- +; sin -"-) 100 100

d)

[J3( "3"

P(cos11° +;sin110)]5

b)

(cos 4° +isin4O)15

[4(cosl00 +;sin100)]'

d)

[2(cosI5° + isin 15°)]' (1_i)12 c) (-1 + i)8

~ l2(Cos g +1Sm g )J 'IT

cJ 2.67.a) c)

r

b)

.'

it

2.68.a) (I + i)IO

b)

COS

g1 'Ak' 2.. oJe

1<1<)1' +1SlTI J 9

9

a)

=

4(COS SIT + i sin 57t 9 9

'J.

t

1< +iCOS nl) 3 3

2.72.a)

z = (2 + i) 2

2.73.a) z~(..fj+i)17 1t

.

2.74.a) Z=(-COSlO -islU

n

I" lO)

b)

(.5~5n) z=-\sm -ls lTI

b)

z=(coslOo +s;nl00),

b)

z

b)

6

6

=

Z=

l+i (Y""( l-=i)

n COS"4+

. .

ISlD

24

k+!

{2.

3,

aka je k djeljivo sa -1, aka k nije djeljiv sa 3

"k+2

+z-

=

I3,

lO,

aka je k + 1 djeljivo sa 3 . ako k + I nije djeljiv sa 3

4")

:)-27(

3

~)+ . =(-1)'2" cos 21;" .

2.84.a) z= 4 (cosl00 +isinl00)

b)

z= 8(cos500 +;5in500)

2.85.a) z~ 25(c05400 +i8i0400)

b)

z ~ 36(cos600 +isin60o)

2.86.a)

b) z~3lcos3+ism3

2.87.a)

b)

(

1C

(l.j.~i1-1J3\"J

2.78. Dokazat;jednakosti: a) cosh ~ COSX (J 6cos4x -20cos2x+5) 3 b) sinSx = sinx (5-1 Osinx-l Osin'" +5sin ,,+ Ilsin'x) 2n 2n 2.79.Akoje z=cos +isin ,dokazatidaje 1+z+z2=O. 3 3 2.80. * Primjenom MOlvre-ove i binomne formule dokazati:

1-{;J+9(

b) 1 + z

=::

dk ' 0 azatl' d aJe

Odrediti drugi korijen datog kompleksnog broja: 2.83.a) z~ 9 (cos 0° +isinOo) b) z~ 16(cos900 +;sin900)

Primjenom Moivre-ove i binomne formule dokazati: 2.75.a) cos2x = cos2x - sin2x b) sin2x = 2 sinx cosx 3 2.76.a) cos3x = 4cos 3x - 3cosx b) sin3x = 3sinx - 4sin x 2.77.a) cos4x = 8cos'x - 8cos'x + I b) sin4x ~ 2sin2x(1 - 2sin'x)

a)

Zk +Z2k

3

z,'

Napisati u algebarskoj [ormi dati kompleksni broj: b) Z::O:: 5 (COS1t + isinn) 2.70.a) z = 3(cosO + i sinO) Z=~ SlJl

3

Odrediti: b)

2.71.a)

2" .. 2" Z =COS---+lSIn-,

2.82* Dokazati iden!itete:

7rr .. 71<) 2.69. Dati su kompleksni brojevi z,. ",,2(COS~+lsm5 5 Z2

b)

21<

Z~5(COS 2n 5

. 21<)

I

+isin 21< 5 )

lzracunati vrijednosti datih korijena: o 2.8S.a) Vcos90() + isin90 f> b) V'c-os-6-0-::"-+-;-'si-n60-:C 2.89.a)

V8(cos300 +i8in300)

b) V27(cos12° +i5inI20)

2.90.a)

.Jl

b)

2.91.a)

ifi

c)

,r:9

b)

.J4 Vi

c)

2.92.a) l{:"i

b)

VI

c)

l!=l iJ8

2.93.a) ~

b)

~

cJ

2.94.a) ~

b)

if32

cJ Vi

b)

~

cJ tfi+i

b)

5

2.95.a) 2.96.a)

.J2 + 2i

v=s

(-ii2+2i)2 ] 6i l17

25

lzracunatj vrijcdnost izraza: 2.97.a)

(1 + ifi)

'0)

6

Dokazati da vrijede jednakosti:

(1[32+ 1\) " •

(Hfi]" 1-"

0)

(-1+I)3J' ( .. 1-1)31' 2 ) ~2 b)

l'-2-- +l.

2.11 La)

" J+I

2.98.a) 2.99.a)

( COS."l00

.' "0 0 ) g -lSID_J

(n4 . ). , - cos

+ I S1l1

IT \

4

2.100.a) (l+i)'O

2.10I.a)

l3\r IJ2l;' C

'J

I'C) I .~

-

)

b)

[J2 (c05600 + isin 60°)]6

b)

[

2(C05J50 0 +isinl50 0 )

b)

[J2(3-;J3)],

b)

r [ )3,1" 1)3 -.1.+1211

2.102.

[(sina + i cosrl.. )(sina - i cosa)]-!

2.103.a)

.Jl6i

I

2

b) i1~i6

2.104.a)

b) I

(cos3000+lsin300o , , 1 .' "~nod \ 1"+.t·1 0) OJ

2.10S.a)

.

2.106.a)

U--i)

b)

2

TO

)J

oJ

~4

+;Sin600)]~ lSc (cos1500 +;sinI50 °).11"

2.113. Rijesiti datu binomnujednacinu: a) xl·1 = 0 b)

'-1+f-,\411+3

1'--1

\ ]-; J.

x 5·32

Rijeslti date jednacine (po z ill x): 2.114.a) zJ+i=O 2.115.a) x2 +7ix·12 = 0 2.116.a) Z2+Z+ J = 0 2.117.a) 22+ (3+20z-7 + 171 = 0

0

=

~ 11.z i \',

0) x'+64=O

z3·i-l ~O

b) b) b) b)

2.118. *a) , - - ; =--1

x 2'-Slx.15

=0

z2·z+ 1 =0 2z2 +(5.I)z+6=0

0) (I-XI)'

\ J +2 i)

[27(cos600

d)

1/5 (00545° +;sin450)]' =-1251

b)

\ l+x!

~i,XER,x=?

Dati oinol11 rastaviti na fak1"orc: 5 L119.*a)x +1 by x7+1 c)x 9 +! 2.120. * Ako je z ma koji kompleksan broj i HEN, dokazati da vrijcdi jcdnaKost '11+1

z-

2.107.a)

n (

"I

2kn

2

+l=(z+l)TI z +2zcos--+1 . ~k~1 \. 2n + I )

2.12 ! . * Dokazati identitete: 11 211 COS--'COS--

a)

2n + ]

b)

211 + 1

. IT .2n .3n sm----SlD-- s m - 2n + I 211 + 1 211 + 1

b)

nrc

311

cos--· 2n + I

I 2"

·cos--~=-.

2n+ 1

·hn+

. nIT I Sln--=---.

2.'1+1

Y

2.122. * Razloziti na hlktore date binomc: a) Z,1 + I b) zg -I- 1

c) 2.108.a)

Date kompleksne brojeve predstaviti u eksponcncijalnom obliku z=r·e«JI, '~'7T <

b)

2.123.a) z = cosO -+ i sinO 2.109.a) 2.1IO.a)

26

)

n , . IT ']3 b) ( I+COS-+ISjJ1~ i \. 3 3)

(1+cosx+isinx)S

b) (1+sinx+lcosx)'

(

l

n

.. 1I \ '

l+cOs-~+lsm--

4

4;

2.124.a)

Z

=\(cos"6-nIT) 6

2.125.a) z=1 2.126.a) z=3

-I-IS1l1

IT

b)

Z=COST[

b)

z=51 COS-+ISJll'~'

+isinn

i

,

11:

I,

3

b) z= 2i b) z~ ·2

.'

1t

3

)

1I

c) z=cos-+isrn2 2 c)

Z=

4(

Clli

2n. '+ISJn 2n) ' 3

3

0) z = ·4i c) z= 31

27

2.129.a) z=3

( 3n COS

+1Sln

c) z= -2+2i c) 2.=-J3-i

b) z= l+i b) z= 1+,J3

2.127.a) z = 1 - i 2.128.a) z= -.fi+i.fi

n)

3

b) z = sina + (1-cosa)i

Date kompleksne brojeve napisati u algebarskom obliku: .. ,

:t_i

~

2.130.a) z =e 4 2.I31.a) z=e-

" e) z=e'J'

=e 2

b)

Z

b)

Z=e 6

,

3+:':.'

2.132.a) z =e 2+;r;i

b) z=e

2.133.a) z=e l + i

31 b) z = e4+

;

c) Z=e c) z=e c)

Z

2.135.*a) cos(l

2.136.a) c) 2.137.a) 2.138.a)

i)

b) sin(l + i)

0)

=e2 - i

1- cos2z

2

1+cos2z 2

b) cos Z 2 2.140. Koristeci Euler-avil formulu eXI =cosx+islnx, dokazati: 2 2 a) Osnovnu trigonometrijsku identicnost cos x+sin x = L b) Adicione teoreme: sin(x+y) = sinxcosy + cosx siny i cos(x+y) = cosx cosy -- sinx siny.

2.139.a) sin z

c) Formule za trigonometrijske funkcijc dvostrukog ugla: sin2x = 2 sinx COSX cos2x = cos2x - sin 2x.

28

Varijacije

I

I

V• ~ n(n-I)(1I-2) ... (n-k+I). . 1 • Uredena k-torka elemenata skupa A\ A= {a], 82, a3, ... , an}, pri cem~l se elementi mQgu 1 ponavljati, naziva se varijacija S pOllavlj.njem k-te kl.,e u 'kupu A (k.,;n).

I

BroJ .~arijaCua sa 'p.ol1avlj anj em k..:te klase od n eleri1e~ata o.znacavamo..sa 'V~ -k

c052i

Dokazati cia z.a svaki kompleksan broj z vrijedi: sin1z .+. cos2z = I b) cos2z = cos2 z - sin1 z sin2z = 2 sinz cosz b) sin(-z)=.-sinz c) tg(-z)=-tgz cos(-z) = cosz 3 b) cos3z = 4cos 3 z-3cosz sin3z = 3sinz - 4sin z 2

3.1.

od

4?i ;

Odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija: 2.l34.*a) cosi b) sini c) tgi

K 0 M BIN A TOR I K A

Defihicije'i broj varijacija: Uredena k:. torka razIi~itih elemenata skupa Ao:=. {ab a2, a3, ~ .. , -all} naziva se varijacija,bez ponavljanja k~te-klase u sk9.,pu A (.ksn j, Broj varijacija bez ponavljanja k-te klase n eiemenata oznacavamo sa 'Vnk i vrijedi:

-~.:::,;

-~, lrl

3.

___ ._.

.

Vn=n

i vrijedi:

-

•

'.

..:

~

Izracunati vrijednost i7Ia7....a: 3.l.a)

vi

3.2.a) V;+V;-V:

'.

, I

k

0) VI~

c)

Vllt

b) 3vi-2Vg+4V:

0)

llV;+15Vi-5Vj

d) vi

3.3. Dat je skup ad {A, B, C, D, E). Koliko ima varijacija druge klase (bez ponavljanja) od eiernenata,ovog skupa? Napisati sve ove varijacije. 3.4. Koliko ima varijacija trece k1ase (bez ponavIjanja) ad e1emenata skupa iz prethodnog zadatka? Napisati sve te varijacije. 3.5. Koliko se cetverocifrenih brojeva moze napisati pomo6u cifara 1, 2, 3, 4i 5? 3.6. Koliko se cetverocifrenih brojeva moZe napisati pomocu cifara 0, 1,2, 3 i 4? 3.7. Koliko se neparnih cetverocifrenih brojeva moZe napisati pomocu cifara 3,4, 5 i 7? 3.8. Koliko se parnih trocifrenih brojeva moze napisati pomo6u cifara 1,2,3,4i7? 3.9. Koliko se pamih petocitrenih brojeva moZe napisa!i pomo6u eifara 2,5,4,7 i 9? 3.10. Kaliko prirodnih brojeva mozemo napisati ciframa I, 2, 3 i 5 aka so dfre ne ponavljaju? 3.11. Zenicu sa Sarajevom svakodnevno povezuje 15 autobusa. Na koliko nacina se iz Zenice maze otputovati u Sarajevo i vratiti nazad u dva razlicita autabusa?

29

3 12. Od koliko razlicitih e1emena!a moze da so sastavi 420 varijacija druge klasc (bez ponavljanja) " 3 13, Koliko sc dvocifrcnjh brojeva moze napisati ciframa 1,2,3 i 5 (ako se cifrc mogu ponavljati)? Napisati tc brojeve. 3 ] 4. Koliko se trocifrenih brojeva 1110Z.C napisati ciframa J, 2, 3, 4 i 5 (ako se cifre mogu ponavljati)? 3 15. Koiiko so trocifrenih brojcva 11107.('. napisati ciframa 3,4,5,6, i 7 (ako se eifre mogu ponavljati)? 3 16. Koliko SE: petocifrenih brojeva moze napisati ciframa 3) 5, i 7 ? 3 .J7. Koliko se tctverocifrenih brojeva moze napisati ciframa 1,2,3,4 i 5 (ako se cifre mogu ponavljati)? 3 18. KoHko se razlicitih pctocifrenih brojeva moz.c napisati od prvih 8 cifnra ako se eifre no ponavljaju? 3 19. Koliko so razlicitih pC1'ocifrcnih hrojeva mOl,e napisa1i od prvih g cifara? 3.20. S-
postanskl1 markicu, Koliko je lTI(lrkiea razrnijenjcno? 3,2 j,

50 tlccnika u 50 gradov?t Europe vrscno jc dopisivanje raza:lcdnicama_ S\'aki n6en1'\\ je poslao ost8\im uccnicimJ po jednu ~ Kulik; hH:i rnzglednic.a su prenijelc europskc posiL:: 3.22. Na ko!ikc mHSinil sc U grupi od 10 osoba moz.c lzabrati troclano rukovodstvo? 3.21. Koliko sc moze sastaviti petocifrenih tclcfonskih brojev3 pod usloyoJ.1l da SlJ cifre u .,::~vakom telefonskom broju meL1usobno razlicltc. 3.24. Kolilw se moze SJst8viti sest.0cifrenih telcfonskih brojeva rod Llslovom da su cifrc II svakom tclefonskom broju medusobno razHcitc. 3.25. Na koliko nac,ina se maze od 10 k;~iiga poredati u poHel 7 knjiga? TZlllCOll

3.26. Na koliko nacina se moze od 10 knjiga poredati II polici 7 knjiga ako: 000 ' t)1] dC ' JC d nt! oda,Jfana " 1olJlga. a1 je oha\'ezno da u s\'akolll rcdanju b) se ohavezno u svako!Tl rcdanju morajl1 nab tri unaprijed odabrane , .. " KnJ!ge:' , .. ~ .. ,,~I. 'IN,:l. kr.J1iko nac.in8 se m07-1;;: ncl 10 knjiga .pored an t1 pobel f knJ!ga i1ko: J.L • a) m 11 rcdanju ne dn bude jednn odahrana knjign? b) sc olxrvezDc ni u jed nom n:dapju ne smiju na6i dvije unaprijed r)

odabrfll1C

3.28. !,-,]a koiiko TIDe·lna se mngll h;le!!"i cctid kocke. 7ft igru «jamb})? 329. U nrvorn razrcdl.l11CCnicl 12 prcorneta. Nfl koliko Dncina Sf,"u(~;->nicim8 HV}7.C nal,f8:viti J"Jspored Z[l ponedjeljak, akfl taua trcha 13;)

3.33. Koliko se razliCitih cetverocifrenih brojeva moze naplsati pomocli cifara 0, 1, 4, 5~ 8, 9, ako sc svaka cifra upotrijebi najvise jedanput? 3.34. Naplsati varijacije drugc klase s ponavljanjem od elemenata A, B, CiD. 3.35. Napisati varijacije trece klase s ponavljanjem od eicmenata A, B) CiD, 336. Abeceda ima 30 slov3. Kol1ko se najvise rijcci s tri slovs moze napisati u nasem jeziku? 337. Dvorana ima 5 ulaz.a/izlaza. Koliko mogucnostj postoji da posjctilac uce na jedan, a izadc nn drugL 3.38. Morzeova slova se sastojc oel od dva simbola (ta6k8 i erta). Ako se uzme da svako slovo ima twjviSe pel ovih simbola, koliko razlicitih s10\'3 Ima Morzeova az:buka? 339. Klavijatura muzickog instmmcnta se sastoji od Rg tipki. Kolil{o razlicitih lTIuzlC.kih !zraza sas1-a\i]jcnih od 6 nota mo~~cmo odsviral1 na ovom instrumcl11'u?

3..40. Koliko se razlici1ih sestoznacnih tclcfonskih br(~ieva 11107:0 talco da nijcdan broj ne pocinjc s nl.1jom? 3.4].* Koliko s~ uku]Jl1o brojcva manjih nd 10000 mo~~c nRpisali clfr~HriCl 2,3 is? 3.42, Ako Sf: registarskc tablice ()znac<.rvaju jcdnlnl od SCclCHl1 :;]01'8 izmcGu elva lrocif;enn broja. koliko se ukupno~moze rcgisl"roval'i 8uloillohila: 3A3. Na koliko razlicit.ih nacinJ 5C rnogu smjcstiti tri raznobojnC'. ImglicG U pet razlicilih kutij
Predu7,ec.(~

pr~j(rvilo

radnika? SC trinaest -parDva. Kolik~ «kolllDinacija>1- trcb8 uplatiti da hi igrac prognozc sigurno pogodio ~;ye rczultate? Ako je cUcna .Jcdnc «kombillrtcije>i 0,50 K]\.1 , koliko KM trcba uplatiti ;::3 slucaj sigurnog dohitk8? 3.46 Ko'd:.a Z(1 i!:::ru (sa brojc:vill1
3.45, Na tiketu sportske prognozc nataz!

b)

inwil1 (-) sat] (! nc l110gu imati blok Stltc)?

3.30. lJ u'druz.enlu Dd 45 limli 110. ko1iko nacina m01.C1110 izabrati prcdsjedniJea, zamjc';lika i sckre(-ara? 3.31. Od k;'liko clemenat8 se mo.ze napravjti 2450 varijacija dnlge klase (bez p01l3vljanja)? ." , l.12. Koliko Sf' cctverocifrenlh brqjcv3 djcljivih s 5 moze nnplsatl POlT10Ctl ci1~lra 0,1;- 3, 5. 7, ako sc iste cifrc ne ponavljaju?

30

.Ie raspisalo ogJas za ceiiri radna mjcsta. Na scdeser kandidata. Nn kolilw n3ciml se rno7:C' izvrsiti izbor

3.49.<1)

b)

3.50.a)

b)

vi + V~ -- vi

6652827

v~':~ -+- V ~\~~

'l;';+k

31

3.65. U skupu prir?dnih brojeva rijesitijednaCinu: 3.51.a)

Vk=~

3.52.a)

Vl~ . P lIJ- k = lOP9

Pn - k

n

b)

V; 'Pn - k =n!

b)

k VII

U skupu prirodnih brojeva rijesiti jednacine: b) V'x+2 ~ 6 3.53.a) v x, ~ 2 3.54.a) 4V:_ 3 3.55.a)

3.58.aJ

vLz

,,3 ~ 14V 3 Vlx x

3.56.a) V 7, -3 ..a 57 )

=;

,Tx-l X 7

v ,, ~3MT4 u, ,-2 "V' ~ V', 2",.,

V;::::: 20vLz

b)

V'n

~ XV,·I n

2

2

2

b)

V:~ =20":

c)

V:_ 2 =4V:_3

bJ

V,

c)

V'

b) -1

3.61.a) V,

~

9

-, V, ~ 1024 ~2

V~~2(x+l)

~

1<-2

l[

h)

b)

-·-2

20

cJ

"

~14v3

V; ~2.v:

V;

,

1

2

vl'_2:V;H~15:7 c) V::x~240 -3

V,

~

8

-, V,~83521 -3

c)

-,

V",16 -3

0) V{HI :V2,-! ~210:169

-2

3.63.a) V5+2 :V,-4 ~4:1 b) V2H :V',-5 ~17:1 3.64. U skupu prirodnih brojeva rijesiti nejednacine:

V,;, . 15 a) - - < - -

(x+Z)! (x-I)!

b)

18

l'n-l\1 < ("+1\I 2)

b)

3)

Izracunati vrijednost izraza: P, b) P, 3P, - P, !' 4 + P j 3.82.a) bJ P, PI

Permutacije

Dcfinicija i hroj permutacija: Varijaciju bez ponavljanja n-te klase od n -,eJemcmita nazivamo pcrmutacija bcz ponavljanja. Broj pcrUlUlacija od n elemenata oznacavamo sa PI! i VTijcdi: P n = nI. Varijacije -sa ponavljanjcm n-te klase od n _clemenata ,nazivamo p,ermutacije s POlUlvijanjem. Ako u permutaciji s ponavljanjem imamo jedan skup od kJ jednakih elemenata, drugi sirup od k2 jednakih elemenata, treCi sk'llp od k3' jednakih elemenata? :_' ,- kl ri shtp od k t jednakih elemenataJ pri cemu je kt+k2+k3+ ... +k! = 11, tada za broj penuutacija .. d'.L

vflJe

32

pkl'k2'k3 •.•.,kt

n

n!

1 6

(n + I)!

3.81.a)

3.2.

nt-en-I)!

(n+l)! <16. n(n -2)! 3.67. Na koliko nacina mozemo smjestiti 12 gostiju na 12 stolica? 3.68. Na koliko raz!icitih naeina mozerno smjestiti 5 knjiga na policu? 3.69. Ako 9 knjiga sllljestima najednu policu, u koliko slueajeva tfi od tih knjiga mogu bitijedna do druge? 3.70. Okrugli sto ima 12 oznaeenih IP.jesta. Na koliko naeina se moze smjestiti oko stoIa 6 mladi6a i 6 djevojaka tako da dvije osobe istog pola ne sjede jedna do druge. 3.71. Koliko permutacija ima skup elemcnata 1, 2, 3? Napisati sve permutacije tog skupa. 3.72. Napisati sve permutacije elemenata: a, b, c. 3,73. Napisati sve permutacije demenata: 1,3,7. 3.74. Na koliko naCina mozemo sastaviti spisak od 5 ucenika? 3,75. No koliko naoina mozemo smjestiti 10 odjeljenja u deset ucionica? 3.76. Na koliko nacina mozemo razmjestiti 25 ucenika odjeljenja na 25 stolica? 3.77. Koliko skup od elemenata 1,2,3,4 ima pennutacija? Napisati sve te permutacije. 3.78. Napisati sve permutacije elemenata 1,2,3,4,5. 3.79. Na koliko raz!icitih nacina 6 osoba moZe sjesti za okrugli sto pri cemu su sve stolice razlicite? 3.80. Koliko skup ima eiemenata ako je broj permutacija elemenata toga skupa nije veci od 800?

V;+l0 =110

V,_4 + VH + V,_, ~15V3

(2n+2)!. ~2J. (2n)!+ (2n + 1)1

3.66. U skupu prirodnih brojeva rijesiti nejednacinu

bJ

V;

3.60 .• )

k-J

=n' V n _ l

cJ cJ cJ

V2 +V4 b)-.".--' ~13

3.59.a)

. 3.62.a)

b)

a)

0)

c)

P4 4P9 + PH

P,

d)

P,

d)

.P20

-~ P!7

Rijesiti. date jednacine:

I

~.12

3.83.a)

Pn 3.84.a)

o

b) Pn ; !

5

(n+l)!~72

(n -I)!

~6

0)

Pll-l

b)

2VJ+6V2~p n n

IHI

cJ'

240

V11+3 '" . P~-k Vii.

P nno +s

-=15

n+4 . !£ n+4-k

. d'h ' .. ",' neJe . d"' V:;, 143 3.85. U s k upu pnro m b roJeva flJesltt naClllU: -' - -<0 . Pn+2 4Pn_l 3.86. Koliko ima permutacija od elemenata skupa {I, 2, 3, 4, 5} koje ne pocinju s 3?

-33

3.87. Koliko ima permutacija od elemenata skupa {2, 3, 4,5,6,7) koje ne pocinju ni sa 4 oi sa 5? 3.88. Koliko ima permutacija od elemenata skupa {3, 4, 5. 6. 7, 8, 9} koje sadrie grupu cifara (456) u datom poretku ? 3.89. Koliko ima permutacija od elemenata skupa {3, 4, 5, 6, 7, 8. 9) koje sadrZe grupu cifara (456) u bilo kojem poretku poretku ? 3.90. U koliko pennutacija ad elemenata skupa {4, 5, 6, 7, 8, 9} se elementi 5 i 8 nalaze na krajcvima ? 3.91. Broj permutacija ad n slova'odnosi se prema broju pennuta9ija od (n+2) slova kao 1:30. Odrediti n. 3.92. Broj permutacija od 11+2 slova vecije 72 puta od broja perrnutacija od n slova . Odrediti n. 3.93. Koja je po redu permutacija 2341 u leksikografski uredenorn nizu perrnutacija ad elemenata 1 2 3 4 ? 3.94. Kojaje po redu permutacija abdc u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata abc d ? 3.95. Kojaje po redu permutacija SOBA u leksikografski uredenom nizu pcrmutacija od elemenata (slova rijeCi) BOSA ? 3.96. Kojajc po redu permutaeija ARMEN u leksikografski ureaenom nizu permutacija od elemenata NERMA ? 3.97. Kojaje po\edu permutacija MOSKVA u Icksikografski uredenom nizu perrnutacija od elemenata SMOKY A? 3.98. Kojaje po redu pcrmutaeija TEMA u leksikografski ureaenom nizu permutacija od elemenata META? 3.99. Kojaje po redu permutacija ATOM u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemena!a TOMA ? 3.100. Kojaje po redu permutaeija TOMA u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata MA TO? 3. 101. "Koja je po redu permutacija TORBA u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata RABOT? 3.102. Kojaje poredu pennutaeija OSMAN u leksikografski ureaenom nizu permutaeija od clemena!a MASON? 3. I 03. Kojaje po redu pennu!aeija MERSAD u ieksikografski ureaenom nizu permutacija od eiernenata REMSAD? 3.104. Koja je po redu permutae\ja BOSNA u leksikografski urea en om nizu pennutacija od elemenata SOBNA? 3.105. Koja je P9 redu pcrrnutacija ISMAR u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata ASMIR? 3.106. lJ lekslkografski uredenol11 nizu permutacija od elemenata 1 2 3 4 odrediti desetu permutaciju. 3.107. U leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata abc d odrediti petnaestu permutaciju. 3.108. U leksikografski uredenom nizu permutaeija ad elemenata 1 2 3 4 5 odrediti pedesctu pennutaciju. 34

3.109. U Jeksikografski uredenom nizll pennutacija od elemenata APE)..., odrediti 5. permutaciju. 3.110. U leksikografski ured'enom nizu permutacija od elemenata ORME odrediti 13-u permutaciju. 3.111. U leksikografski ureaenom nizu permutaeija od clemena!a TEMA odrediti petnaestu permutacUu. 3.112. U leks;kografski uredenom nizu permutacija od clemenata abe d e odrediti sedamdesetu perrnutaciju. 3. J 13. U leksikografski uredenom nizu perrnutacija od elemenata ABNOS odrediti 42. permutaciju. 3.114. U leksikografski uredenom nizu perrnutacija od elemenata RINDA odrediti 73. permutaciju. 3.115. U leksikografski uredenom nizu permutacija ad elemenata NAIME odred;ti 65. permutaeiju. 3.116. U leksikografski uredenom nizll pcrmutacija od elemenata AEOPRU odred;ti 238. permutaciju. 3.117. U leksikografski ureaenom nizu permutaeija od elemenata IMETAK odrediti 601 . permutaciju. 3.118. U leksikografski ureaenom nizll perrnlltacija od elemenata KAZUTI odrediti 432. perrnutaciju. 3.119. U leksikografski ured'enom nizu permutacija od elemenata ABGElMT odrediti 4009. permutaciju. 3.120. Tri ucenika trcba da podnesu izvjestaje 0 nekom problemu. Na koliko nacina se moze odrediti redoslijed izlaganja? 3.121. Pet ljudi na nekom kongresll treba da podnesu referate. Na koliko naeina se m07£ odrediti redoslijed referenata? 3,122. Na kofiko se nacina za okrugli sto moze smjestiti pet djecaka i tri djevojcice t3k9 da dvije djevojciee ne sjede jedna do druge? 3.123. Koliko se razlicitih permutacija moze form irati od elemenata {2, 2, 2, 4, 4}? 3.124. Koliko se razlicitih permutacija moze form irati od elemenata, {a, a, b, c, c, c}? 3.125. Koliko se razlicitih permutacija moze formiratl od elemenata skupa {x, x, x, x, 3, 3,.1}? 3.126. Formirati sve permutacije s ponavljanjem od clemenata ABC, ako se elemenat A dva puta ponavlja. 3.127. Napisati svc raziicite permutacije od elcmenata skupa {a, a, a, b, b, b}. 3.128. Napisati sve razlicit-e permutacijc od elemenata skupa {2, 2, 4, 4, 4} . 3.129. KoIiko se moze napisati razlicitih permutacija od elemenata skupa {1,3,3,5,5,5,~ 7,7,7)? 3.130. Koliko se moze formirati permutacija od slova rijeci MAMA? 3.131. Koliko se moze form irati permutacija od slova rijeci SARAJEVO? 3,132, Koliko se moze form irati permutacija od slova rijeCi MATEMATIKA? <

>

35

3.133. Koliko se maze formirati permutacija ad slova rijeci ABRAKADABRA?

3.134. Koliko se moze formirati ttrijeci H od slova rijeci MATEMATIKA pri cemu se ni u jednoj rijeci ne pojavljuje dio AAA ? 3.135. Ko1iko se moZe fonnirali "rijeCi" od slova rijeci MATEMATIKA pri cemu se ni u jednoj rijeci ne pojavljuje dio MM ? 3.136. Koliko se maze napisati petocifrenih brojeva ciframa 4, 4, 3, 2, 2? 3.137. Koliko cetverocifrenih brojeva rnozerno napisati ciframa broja

3.3.

Kombinacije Svaki podskup od k raz~iCitih_elen'leriata skupa A = {a\,

Definicija i hi-oj .kombinaciJa:

a2, -'1.3, ••• , an } naZlvarrto l{Qmbinacija, bez ponavijanja k~te klase,od n ele,mena,ta (k:S: n).

Broj-kombinacija bez ponavtjanja k-te klase, od 'n el~meriata ~znacavamo sa, C~ I'vrijedi:

434531? 3.138. Koliko se pelocifrenih brojeva moze napisali ciframa 1,2,3,4,6 ako se sve cirre mogu ponavljati. 3.139. Na koliko nacina mozemo 8 bijelih sahovskih figura (2 topa, 2 skakaca, 2 lovea, kraija I kraO iell) postaviti oa prvi red sahovske ploce? 3.140. Grupu ad 10 ueenika treba podijeli!i na Iri manje grope od po 2,3 i 5 u6enika. Na koUko nacinrt se mogu formirati manje grupe ucenika? 3.14 \. Devet razlicitih knjiga treba zapakovali u tri poklona od po 2, 3 i 4 knjigc. 'Na koliko naclna se pokioni mogu formirati ?

3.142. Aka se sve permutacije od slova AAMM urede leksikografski, koja je po redu pcrmlltacija MAMA? 3.143. Aka se sve permutacijc od slova AKLOOV urede ieksikografski, kojaje po redu pcrmutacija OLOVKA? 3.144. Ako se sve permutacijc od slova AAEJORSV mede leksikografski,. 3.145. 3.146. 3.147. 3.148.

koja je po redu permutacija SARAJEVO? Aka se svo pennutacije ad 5lov. AEMORTTV urede lekslkografskl, kojaje po redu permutacija VATROMET? Ako se svo permutacije od slova AA I I KTTTSS urede leksikografski, kojaje po redu permutacija STATISTIKA? Ako so svo permutacije ad slova AAAEIKMMTT urede leksikografski, kojaje po redl! permutacija MATEMATlKA? Kojaje po redu perrnutacija ASTRONOMlJA od RASTONOMlJA

kao pocetne? 3.149. Odrediti 94-11 pernmtacijll od A F 1 I K Z kao pocetne permutacije. 3.150. Odrediti 41-u pcnnutaciju od AAAMM1{ lao pocctnc pertnutacije. 3.J 51. Odrediti 99262-u permutaciju od AAAEIKMMTT kao pocctnc permlltacije. 3.152. Odrediti j !975041-u permutaciju ad FORINMATIKi\ kao pocetne pcrmutacijc"

(.0)'

C' =.'.V.: =n(n-l)(n-2)···(u-+k+l) . • ~ ~ k'

se

S~aka k-to'rka_.elemenata skupa A = {at, a2 , a), .. " au }, pri cemu isti--element rnoz.e pojaviti Vlse puta, naZlVamo k()mbinacij;l s ponavljanjanjem k-te, klase od n eiemenata, _(k moze biti i vece od n).

3.! 53. Odrediti broj kombinacija bez ponavljanja cetvrte klase od 7

elernenaia. Izracunati vrijednosti datih izraza: 3.154.a)

C'4

3.155.a)

c'6 + Cil,

3.156.a) 3.157.a) 3.158.a)

d)

b) tOO

cio

, ,

11) 2C' -Co t

3C 100 + C 100 b) HC', -BC

ell , c 13lD ""'l3 T

C;P,

b) b)

v'5 c'

C'

Vs

P,

6 8

c'6 +c'6

,

C'

C' +-' P,

c)

C~2

c)

4C:I +2C:

c)

2C~C! +3C~

c)

cio + c~u

c)

3C' _ 2V; to

d)

C" IOU

--

-++~

3,159. Koliko pravihje odredeno sa 6 tacaka od kojih nikoje tri nisu kolinearne? ' 3.160. Koliko pravihje odrcdeno sa 10 tacaka od kojih nikoje trl nisu

kolinearne? 3.161. U ravnije dato n (n>2) taoaka od kojih nikoje lri nisu kolinearue.

Koliko je pravih odredeno ovim tackama? 3.162. U prostoruje dato n tacaka (n>3) od kojih nikoje cetiri tacke nisu kompianame, Koliko ravnije odredeno ovim tackama? 3.163. U koliko najvise taoaka se sijece sedam razlicitih pravih ?

36.

37

I

3.164. Odredjti braj svih dijagonala pravitnog: a) sestougJa b) osmougla c) dcsetougla. 3.165. Odrediti broj dijagonala pravilnog n-tougla. 3.166. Za ucenike u jednoj ucionici ima 36 stolica. U toj ueionici nalazi se odjeljenje sa 32 ucenika. Na koliko nacina razrednik tog odjeljenja moze razmjestiti ucenike? 3.167. U plesnoj dvorani nalazi se 12 djevojaka i 10 mladica. Na koliko razlicitih naeina se moze tbrmiratl 6 plesnih parova? 3.168. Najednoj utakmici susrelo se 15 poznanika i pri tom susretu se svaki sa svakirn rukovao. Koliko je ukupno bilo rukovanja? 3.169. Na jednom sastanku svaki prisutni se rukovao po jednom sa svakirn i pri tome je bilo ukupno 78 rUkovanja. Koliko je {judi prisustvovalo sastanku? 3.170. Na sastanku granskog sindikata tekstiinih radnika bilo je 45 prisutnih. Na koHko na6111a se moze izabrati petoelana grupa od prisutnih sindikalaca radi zastupanja kod poslodavaca? 3.171. lJ korpi za voce nalazi se 5 jabuka i '8 krusaka. Tz korpe prvo djccak uzimajabuku ili krusku, a zatim djevojcica uzimajabuku i krtlsku. U kojcm slucaju djevojcica ima vise mogncnosti izhora: ako djccak uzme jabuku iii ako izabere krusku? 3 171. Na sahovskom tumiru odigrano je 45 partija pri cemu je svaki ucesnik sa ostalim odigrao po jednu part\ju. Koliko.1c hilo ucesnika na turniru? 3 173. Ekoloska grupa od 15 ucenika 1.cJi da lzabere rukovodstvo od 3 uccnika: prcdsjednika, zamjenika prcdsjednika i sekretara. Na koliko razlicitih nacina se to moze uraditi? 3.174. Brqj kombinacija trece klase od 11 e1emenata pel puta je manji od broja kornbinacija cetvrte klase od n+2 elementa. Odrcditi n. 3.l75. U kosarkaskom skolskom klubu ima 15 igraea. Na koliko na6ina trener moze form irati ekipu koja ce poceti utakmicu? 3.176. Trener nogometnog kluba ima na raspolaganju 16 igraca i to 6 napadaca, 6 odbrambenih igraea, tri vczna igra6a i jednog vratara. Na koliko nac1na trener moze odrediti ekipu koja ce poceti utakmicu ako zeli da u ekipi budu tl'i napadaca, tri vezna igraca, cetiri odbrambena igraca 1 vratar? 3.177. Za pripremu maturskih ispita profesor je pripremlo 100 razlicitih zadataka. Koliko l'azli61tih listiea sa po trl zadatka jc mogu6e napraviti ad izabranih zadataka? 3.178. Za priprcmu maturskih ispitn iz engleskogjezika, profesor je u6enicima dao 50 pitanja. Na koliko razlicitih naCina u6enik moze od ovih pitanja izabrati t1'i pttanja? 3. ! 79. Za pripremu maturskih ispita iz matematikc, profcsor je ucenicima naveo 120 rnogucih zadataka. Na koliko razlicitih naCina ucenik maze od oVlh zadataka lzabrati njlh pet?

38

3.180. Grupu od 16 ucenika treba podijeliti na dva dijelo po6 i 10 ucenika. Na koliko razlicitih naCina se to moze uraditi? 3.181. Na koliko nacina mozerno podijeliti 15 ucenika u dvije grupe tako da jedna grupa ima 11, a druga 4 ucenika? 3.182. Odjeljenje ima 25 ucenika. Rukovodstvo odjeljenja sastoji se od predsjednika, sekretara i blagajnika. Na koliko naCina ovo odje\jenje moze izabrati svoje rukovodstvo? 3.183. Grupa od 15 ueenika novinara treba da odredi jednog glavnog urednika i pet urednika pojedinih rubrika u skolskim novinama. Na koliko nacinaje moguce izvrsiti izbor? 3.184. 1z grupe od 20 !judi treba izabrati podgrupu od 11 !judi tako da od dva poznata covjeka oba ne mogu biti u grupi. Na koliko nacina se moze izvrsiti izbor? 3 185. Jedan ucenik ima 6 knjiga jz lektire, a drugi 7. Na koliko natina OV1 lIceniei mogu razmijeniti po dvije knjige? 3.186. Dato je sest osnovnih boja: zutn, crvena, narandzasta, plava, zclena 1 ljubicasta. Koliko se kombinacija ovih boja moze dohiti ako se sastavljaju najmanje po dvije bqje? 3.187. Koliko postoji cetverocifrenih brojeva u cijcrn sastavu su razlicite cifre? izracunati vrijednosti datih izraza: b)

3.188.a)

e' e' e' c' C ~,,+7+8+9+10 0)

3.189 .• )

v n,- l ."- PI> --3.190.a) C ll - 2

b)

C!~+I\-i\

y'm +V~ V~

m 4 ·C m-5

"

:+

1

11

0)

P,

"

3.!91.a)

-

v

b)

C

I1

V

m

~~=-~ "D

P mN:

en . -~+~ Pm Y'm m 3 -

S v" '20'~e2100- V IS

p1.

3.192.

C~ + 2C! + 22C~ + 23 C ; + 24C~ + 25C~

3.!93.

C~ +2C:1 +22C~ +23C~ + .. _+2nC~

3.194.

l-C;I +C~

3.195.

e 2n + e'211 -I. e'2n + e~2n7 + ... + e 2n211 - 1

c)

(C;+TI :

V:+

n)

,.Pn

P2Jl

-c! +C: ~··C~ + ... +(-lYC:.

l

Dokaz.ati istinitost datih jednakosti: 3.196.a)

e's -.'l.c' - 7 7

3.197.3)

c: +C~I_'1 =C::~

3 . 198 .a)

b)

1 e n+2 • = e·+ e nn + en. n.d T 11·1-3

e"12 = 11 He"u

Ck+1

C

)

.+1

= n + 1. k +1

b)

+ C Hn + 2C'11 = e'+l C hI Jl n+2

b)

C 'n-2 + ek-2 11-2 + 2e'-' 11-2 = e' n

39

Rijesiti date sisteme jednacina: ~9.a)

_ C nk ) . Ck-1 ( ChI ___ 0-.-1 II 1 =k I ( C kII )2 _ Ck+1Ck 0+1 11-1

b) c~

)O.a)

+ 2C~+j + C~+2

::;;;;

k 3 C 11+3 +

3.222.a)

)1.

C: + 2C! + 3C~ + .•. + (n -l)C: = (n - 2)2 11 - 1 + 1

n.

C~ +2C! +3C; + ... +(n+l)C: =(n+2)211-1.

)3.

C~ + C!+i + C!+2 + ... + C!+k = C~+k+l .

)4. Odreditix akoje:a) C:-C;=O

b)

+

C~ = 455

5C; =Cx~2 c~~i

)9.a) 8C~:!1 =5C~;:2

3Cx.~1 - 2V: = x := sex-I b) 13CX+! h: 2H1

c) c'}

lSC; = 4C:+ 2

lO.a) 3C~:1 :=5C~~~!

b)

HC; = 24C':1

c)

V: + C'~'

2 + C' = 16 I La) C x-l x

b)

C:~~ + 2C;'1 = 7(x -1)

J7.a)

C; = 2"

)8.a) C~-2 + 2x = 9

i2.a)

b)

C::; = 23

b) C,.;,

cc , , '

-1

b)

<':3~1" C; 5

c)

b)

C;+l :V,., =11:50

i4.a) C ~;l :C;~!l =16:29

b)

CHI: V1:+1

b)

X

15.a)

=1:

2

-13

= 14"

A! + C~-2 = 14x

x-4

= 7: 15 C,,"-4 A 2C 3 -I- X x-I = 4 x+l

U skupu prirodnih brojeva rijditi nejednacine: 16.a)

C; < 6

17.a)

b)

C;+3 < 15

b)

c)

C~52 >C~5

0)

C.,., < 84(x - 3)!

c~:; < 21

b)

[9 .•)

C 'h > C'2%

b)

)

CHI os; 10

C 'l3
,.3

-6

C,

-3

3.232.a) C,

b) C,

3 1 :1 . = -:-: ~

-5

c)

C,

d)

-,

c) C"

d)

-3

CIO

-7

C,"

U skupu prirodnih brojeva rijesitijecinach}e: -2

C"=190 -3

c)

18.a)

!D.a)

2

b)

-2

3.233.a) o

=5 : 5 : 3 .

Izracunati vrijednosti datih izraza: -2

3.231.a) C,

3

-4 2C xx-I

C; =153

C; =66

c~:i: C~+l : C~:~

, {CY, =C'+'

3.229. U jednoj kutiji n.lazi se 5 crvenih i 8 zelenih kugtica. Na koliko nacina se od kuglica iZ,kutije moze izdvojiti 7 kuglica medu kojima su 3 crvene i 4 zelene? 3.230. Izracunatl kombinacije s ponavlJanjem trece klase od 7 elemenata.

12

-- 3

3 3 i3.a) C Jx+3 : C 2x+3 = 38: 13

c)

V~ =136

: : 1=3 : 4 : 8 . 3.226. Odrediti n i k ako vrijedi: . k/ k J k + 1) 3.227. Odrediti kombinacije prve, druge i treee klase (bez pon.vljanja) od pel slijedecih elemenata A, n, C, D, E. 3.228. Odrediti kombinacije prve, druge, trece i cetvrte klase (bez ponavljanja) od sest slijedeCih clemenat. A, n, C, D, E, F.

C~~~ = 55 V'x+l

, {CY, =CY+'

r:=272

(nJ (n+ll ("+1\

c)

)6.a) C~+I:= 50

= 351

b)

·· n .I k a k 3.225. Odred Itl 0 'Je: C' 11+2: C'+l 11+2: Ck+2 0+2

c', =C',

1 C xx+1 := 1 -

b) C;

{V: :V:+I =2:5 k =2'3 l C I I '·V'·I n •

c)

3.2.24. Odreditinikizuslova: C'~I :C~ :Ck;1 =2:3:4.

cJ cJ

= 21

k 1

{C " =C "+ b) V; =20

3.223. Odrediti n i k ako je:

U skupu prirodnih brojcva rijesiti jednacine:

)5.0) C;

k

k 2

= C~:;

C kn + 3C nk + 1 + 3C nk + 2 + C nk + 3

b)

k

{C " =C "+ 3.221.a) C; =153

3.234.a) C!+2 : C u .2 = 15: 7

-2

b)

C,,=,,+1.5

b)

Vn3~2: C u_2 = 36::;

-4

(x+l)!

c)

14_3_1'_<+_, <0 C '<+, __ 96 Px+3

b)

13 : 7 ,·l CHI C 2x+1: 2x <

41

--I'

~Inte;~l·'Ci-su-.n-eC'p-re--;k-:ic-;-Clni-s'Ck-llP-O-v-:i-ta-:c-akc"a-(b::--ro--;~-ev-aC')-na'brojn-o--;-_~-p-ra-v-:o-;-1.-::Po-s-to-:~C'e"s::lij-:·e--;d:-ec:C~i~-·

jntervali:

Otvoreni Zatvoreni

(a,b)={xla
[a,bJ~{xlasxs1o},

Poluotvoreni: [a, b) = {xl a s x < b); (-co.1oJ~{xlxsb)

4. SKUP REALNIH BROJF:;VA (R)

I

(-co, +co) =R.

I

(a, b] = {xl a < x s 1oj, [a,+ro)={xlx:2:a}.

,.1 1

Okoiina tacke: E okolina tacke aje otvoreni interval (a'-8, a+8).

is'kup realnih broJeva: R ~~, Q UJ (unUa skupa raci{)nainih i skupa iradonaJ~ih brojeva).

ApsoJutna VTijednost iIi modu! rea]nog ~:oja a ozna,cava se sa

I Odnos dva rea Ina broja H i b: , I. Dva ~'ealna b~~ja a i, b su jednaka ako i samo ako je njihova razli,ka jednaka nuli: I a ~ 10 ¢;> a - 10 ~ o.

i

.

Svo}stva apsolutnc vrijednosti rcainog bro.!.:ia""_______

a>1o ¢;>3-1o > O.

! 3. Renlan broja a manj[ .Ie od rcalnog broja h ako i samo aka je razlika a-b negativan bray a<1o ¢;> -'---'--_:.c. 3-10< O. _ _

IL - -... ___ ,_____

SVl!j~tva

I

1. (3=10. 1o~c) 2. (a ~o b. c = d)

I

3.

I

4.

I

5.

!

=>

(a=1o, c*O)

a+c = b+d

~>

(ac"'-1od. E.=!'.)

=>

n{~jednakosti

2. (a> b, 0 > d)~> 3. (3) h. c

I~I=~

(a> b)

:::3:.>

c

d

= 1o+c . a-c=1o-c) (ac=1oc. E.=!'.)

(a+c

c

c

J

fi b) 13 c) .f5 4.2. Na orojnaj osi odrediti date intervale realnih broje'lm: a) [-2.5] b) [A, I] c) [-3,2) 4J. Date realne brojeve napisati u decimalnolll obliku: 4 2 0) 5 ~ b) ~ 5 7 6 4.4. Date decirnalne brojeve napisati

a> c a+c > 10 'I- d a -0 > h· d ( so

1

0)

b)

a) 0,333133 .. 4.5. Dokazati da vrijedi

> bJ. E. = !'. ) c

d

"">

(a+c > b+e ,a-c> bee)

(a>1o. c> 0)

=>

(ac > be

E. >!'.

7.

(a>h, c <0)

=>

ac
-<-

c a

c b

)

I Svaki rea1cin bro} moze se "smjestiti''-u ticlm'pmvc,. Takvu pravu nazivamo brojna.prava iii 42

2.

odgovan.l datorn realnom brojn:'

6.

I brojna osa.

lalHallbl

4,1, Koristeci Pitngorinu 5* teoremu, na brojnoj pravq.i odrecliti tacku ko.1<1

rcaJnih brojeva:

=>

4. (a>h>O.c>d >0)

a=c

~>

~>

(a = 10 )

1. (a>1o, ti>c)

5.

L

_ _ _ _.-'-_ _ _ '

jcdnaimsti rcalni"'h"o"'r"o"i"ev"'.,,'c.....___________,

(a=b.c~d.cA)

Svojstva

~

a<:O

lar~

!2. Ret11an br'oja a vc6i .Ie od realnog-broja b ako i samo ako je razllka a-b pozitivan-broj:

I?I i definiSe ovako,:

3

2

2

-+- b .:2::

U

obliku razlomka:

0,9

c)

0,5234

2nb, a, bE R.

4.6. Dokazati cia vrijedi a +b:::: 21:J, , a, hE R. 4.7< Dokazati da za svaka ova realna broja a i b vrijcdi: 2 2 2 3 + b + c ?: ab -+- be + ea . 4.8. Ako so a i b oba pozltlvna iii aba negativna realna broja, dokazati cia ...,. . . k a b VfJjCU] neledna 'ost: - -+- -:::: 2. .. b a 4.9. Akoje a +b =1,dokazatidaje ~J2
2

I,,-cl

' 5* PIT AGORA (oko

570.~

lah-cl

500. prijc nove ere) ~ starogrcki fiiozof, osnivac pitagorcizma

43

4.12. Odrediti vrijednosti aritmeti6kih korijena:

J9

a)

b) J(-3)2

Odrediti sve vrijednosti realnog broja a , ako je: 4.13.a) lal~3 b) lal~-2

lal";3

4.14.a)

b)

lal;o2

5.

e)

lal~-a

c)

la-II,;]

d)

j(a-3)'-H lal+2"

Uprostiti dati izraz: 4.15.a) 4.16.a)

Fa' lal+a ~-

b)

j;;'

c) J(a-2)'

lal-a 2

c)

b) -

2l

al+a 2

2 4.17.0drediti (apsolutnu) vrijcdnost datog izraza:

a)

,-----;:--

d)

2

i Aka, vrijedj a,,+\ < a", za niz Jdlll: t

r--~

vx+2.Jx-l +,jx-2.jx··l, za x>2. 4.18. Skratiti dati razlomak:

I Niz

b)

4ala-31

02-5a+6 4.19" Naci sve vrijednosLi realnog broja a za koje vrijedi:

a)

la'l;'lal'

b)

la+21=la-11

c)

ala-41 a 2 -5a+4

Ix+21=3

0)

4.22.a) y=J:xl x

{Gil

l:J, ~a koJi vrijcdi

b)y=;':

Ixl

;: a", naziva se neopadajuCi, a niz {all

t:t' sa oso'binorh

a'HI:S:; CI", naZlVa se nerastuci J\lZ.

I Aka postoji broj M takav da vrijedi

Ix'-11=(x-l)(x+l)

I Za !liz

an -::;},,1 ,za svaki prirodan br()j n, kazemo daje niz s

I

I

{a" },~~,

,

ka2emo da je ogranicen ako postoje dva reaina broja m i M, takva d. za m

S;

-all :5

irt:

c)

_ Ixl+x

y-~-

x

5.1. Napisati prvih 6 clanova niza Ciji je opci clan a", ako je: a)

a n =n+3 b) Q/l=2n+l c) (5~c~)Odrediti cetvrti clan niza S OpCiHl c!anom a,," ako jc:

= n+2

Qn=5

a. = n-12 " n+5 5,3. Odrediti treei j cetvrti clan niza S opcim clanam a", ako je: a) a

n

a)

G"

b)

n

1 = ::n-I " ..

b)

a = - -"" " (-1)"n

"I

,

c) y= Ix+31

,-

c)

U"

(-Ii". n+l

=11' -3n+2

/S.4.",Napisati prvih pet clanova nizova zadatih formuIOIll_\ l+(-l)n a) a =~b) a =~,0) ;G =---~ n n2 + 1 . n n+2 '._.-,/ n 4

44

i

I opeim cl~Qm a", ogranicen odozgo. 1 Aka postoji broj in takav da vrijedi all ;:;: za svaki prirodan broj n, kazemo daje niz s . ! opeim clanam au, ogranicen odozdo. Brojeve M i m, aka postoje, nazivamo gornja i d~~ja I

l svakiprirogan brojn vrijedi:

lx-II

~11I~:i

_!

kazemo dllje monotonoopad~juci.

I gl~anica nila {all l:l .

c)

Nacrlati grafik date funkcije: b) y= 4.21.a) y= Ixl

{all}n:1 .-

In,

4.20. Rijesiti date jednacine: a)

Furikcija f: N -----* R naziva se brojni niz. Uobicajeno je da se fen) oznacav:a:sa- 3 11 i'

II Ako za niz s ~pcim clan'om a,1 vrijedi: a/HI> a,,-,'Za niz kazemo daje lllonotono rastuci.

r-~

b)

5.1. Pojam niza. Opci clan. Monotonost. Ogranicenost

naziva opCi Clan niza. Niz se ozn,atava i sa

vx+2.J~~ +vx-2~, za ]';x,;2,

2ala-21 aJ 02-5a+6

NIZOVI. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ. GRANICNA VRIJEDNOST NIZA. GEOMETRIJSKI RED

45

5.5.a)

an

n n!

c)

0::::-

a ~ (n-I)! Ii n+l

(5.6,/Neka je al ~ 4. Odrediti prvih 5 clanova niza ako vrije.di: ' .. ' a) all = an_I +3 b) an = an_l- I . ) " an i~"V~'

= 2an_1

-

2

5.7. Prvi clan nizaje a!=3, a nizje dat relacijom all == 2a,,_1 +5. Napisati prvih pet clanova ovog niza.

5.8.a) 5.9.a) 5.10.a) 5.1 La) 5.12.a) 5.13.a) 5.14.a) 5.15.a) 5.16.3) 5.17.a)

*

5.18. aJ

3

4

3,4.5,6,7, ... 1,3,5,7,9, ... 0,3,8,15,24, ... -3,2,7, 12,17,. 1,7,13,19, .. . 1,7,17,3], .. .

J:"2'

2

1 2

,3

4

n

all::;:;

1

2n -15n+9 Sll

]12

+1

b)

al,:;;;

b)

b)

af]

=-,

5.29.a) a = - - 17 2n

b)

2"

~-.,-

b)

2" +1

a"

c) ali

G"

c)

a

II

(

1 ),,+1 --

2

=3n 2 -56n

n

"

c)

~

+1 5+n 2

a =-!1

C~

a

2

ograniceni:

c)

= 3(-1)"

12+4n-n

c) an =3+5n--4n 2

n

5n+2

=

c) a,,=n 2 -5n-24

ali =5n 2 -45n+2

3

n2

a ::::-n n2 + 1

c) a"

-3n 2 + 1211 + 4

nizovi s clatim opeim clanom

5.28.a) G,,=5n-4

a"

6+nl

n 2 +3n

~~2--

n +2n+1

531. Dokazati daje nil. S opeim clanom all ograniCen ako je:

.

(]+!.)\, (1+!.)2, (l"J.Y, . . ~

c)

~--

Odrediti najmanji clan niza: b) ali =n 2 -8n+7 an =n 2 -611+8

5.30.a) a"

234 4.3' 6'4' 8.5'

I

a

Odrediti najveci clan niza: an =_n2 +4n+~ b) a" =_n2 +2n+3

Ispitati da Ii

, 3' 5' 7' 9' .

1

b)

5.25.a) a" =-2n2+8n+1

5.27.a)

b)

2' 3' 4' 5'· 1 .i. .i. .i. .i.

5.24 .•)

5.26.a)

Odrcditi opc; clan (0.,) niza: 1,2,3,4,5, .. . b) 2, 4, 6, 8, 10, .. . b) 1, 4, 9, 16.25.36, ... b) 4.7.10,13,16 ... . b) b) 8.13,18,23, .. . 2,4,8, 16,32, . b) 1 2

n 5.23.a) a =-_.n n+ 1

b)

4;

8

3' s' 9' 17· .. ·

a) 2 1 2 2- 17 , , 7' 15' 31'

b)

a"

n+2 n

~--

b)

n-l 2n+1

~---

a n

5.32.a)

Graficki, tackama on brojnoj osi, predstaviti nizove akoje:

a" ~n 5.20. Datje niz

b) S

( lY

11~,1

a" ~l"-2)

c)

a,,~n+1

(n .. 1)'

I

3n

S

opcim clanom

5.2I,a)

all ,::::;2n+3

5.22.a)

3n a ~-­ n 6n+5

46

b) b)

ai/

monotono rastuci/opadajuci, aka je:

an

~-2

a

~-~

n

c)

2n-l,

n(n -I) a ~-..2 r)

n

7-n

Aritmeticki niz (aritmeticka progresija)

Definicija: Niz an kod koga je razlika 3,.,+1 - all = d = canst. za svakf prirodan hroj ~ nazivamo aritineticki niz iii aritmeticka progresija. Konstantu d nazivamo razlika, aritrnetickog-niza. Opci clan aritmetickog nizaje: an = ar+(n-l)d .

opcim clanom a" ~~~. Odrediti:

a) ak Dokazati daje niz

S.2.

c)

2n-5

Sumaprvihnclanovaaritmetickognizaje:S~

Za k
a"

n(a, +a,,) _11 [" 1 d] . - LG)+ ( n-) 2 2 -

2

an = - n+l

47

Dati su prvi clan aj i razlika d aritmetickog niza. Napisi nekoliko clanova datog niza: 5.33.a) a,=4,d=2 b) a,=-3,d=4 c) a,=22,d=-1 5.34.a) a,=I,d=-3 b) a,=O,d=-2 c) .,=-12,d=-2

'5.35:a)

a,=1,d=2

a,=-3,d=4

b)

c)

a, =10, d=-1-.

2 Odrediti razliku aritmetickog niza ako je dato: r \5.36 .•) .,=12,a3=18 b) '4=6,.,=16 c) a,,=112,'40=199 ~ L:::~= 10,a3=8 b) a,=21,a,=9 c) aW=22,a30=2

~~ ,

5.42-11);3.4= -""'~"

7

.

~,a5=5

1

O} 3.2= -;-,U6=3

2

559.a)

prva tri clana niza. . ,}).....4:4 Odrediti osrni clan niza: 2, 5) 8, II, ,.. ~~drediti Lridescti clan niza: -3, -1, 1,3,5, ..

5.60.a)

4

8

5

5

) \~i3. Aritmeticki niz datje svojirn opeim cianom all = 3+3(n+ i). Odrediti

-v·__tf

<

- ~Dd re d"It! dvadesctl. clan ,. mza: . 4 ,-", 7 3, -, 5 .0. (;4 ). O.

22 (5.47') Poznati su trecl i sedmi clan aritmetiCkog niza: ~ prvi clan i razliku d niza.

~_o

3.3

Odrediti an ako je dato: b) <11= 10, d=3, n=15 5.43.a) a]= 5, d=l, n=13 1 n= 16 5.49.a) <11= lo,d=~,n=21 b ·) a·= -5 d=-_._ I

'i"S.50. r. \ 5.51. } .')

l

,

2'

2'

=5,

(17 =

14. Odrediti

al=~.d=3..n=21 3

3

Aritmeticki niz lma j 5 clanova. Prvi clan je 200, a razlika d = -5. Odrediti posljednji clan niza. Aritrneticki niz datje svojim prvim cianom i razlikom. Odrediti mlznaceni Clano ako jc: a) a, =3, d = 5, a7=? b) a, = 9, d = -2, ag=,! 0)

Qj

=2.,d=.!.,all=? 2 2

(5.521 Koj i clan niza 8, 5, 2, -1, -4, iznosi 206? ['S33. U aritmetickom nizuje =16, d = -2. Naci indeks onog clana ovog , 00.

Qj

'"' , nim, koji je jednak nuli. @Da lije broj 287 clan aritmetickog niza 1,5,9, ... ?

48

b)

Q,-a, =44} G 2 + G 4 ::::: 64

b)

a 2 +G,=10} G)·u 7 =21

b)

a, +a, =32} a 4 -a 1 =15 a,+a, =99} -a\ =-45

04

2O}

+a4 = G 2 'a3 =96

G,

51

5.61.a)

G,

+a, =15)

b)

=72 5.62. ·a) aj + a3+ a5= 24 ara2'a4 = 110 02 'G4

bJ

11}

a2+a, = a2 'G(j =13

a1 + a2+ as= I a3'at'aS = 15

5.63. Izracunaj zbir prvih 18 clanova niza: 3, 5, 7, 9, 11, ... 5.64.lzracunaj zbir prvih 14 clanova niza: -9, -4, 1,6, 11, ... 5.65. Odrediti zbirove brojeva: a) ) + 2 + 3 + 4 + ... + n b) 1+2+3+4+ ... +100 cJ 1+3+5+7+ ... +99 d) 2+4+6+8+ ... + 100

d =4, n=lO

c) al=

c)

a, +a4 =22} + as =- 34

a)

c) 36=--,alO=---

3

Prvi clan aritmetickog niza je a1 =2,"a drugi i tr~Ci sU,redom, kyadrati dva susjedna prirodna broja. Odrediti niz. Y\ \ )Q"" t.vi"d, L",557. Odrediti stoti clan aritmetickog niza kod kogaje as = H,a)8 = 26.

558.a)

Napisati pd prvih clanova aritmctickog niza ako je dato: 540'.a) a,=5,a2~8 b) .3=10,a,=13 0) a2~4,'4~1 ~.!,.a) as=15,[email protected]=5,3.7=8c)3.lIJ=8,a16=-4 -'\

g.

Odrediti aritmeticki niz ako je poznato:

Odrediti prvi clan aritmetickog niza ako je dato: 5.38.a) a2=18,d=8 b) a,=30,d=-3 cJ a,=80, d=7 0) a" = 50, d =-2 5.39.a) a3=t'B,d=-1 b) a6=-23,d=2

.

5.55. Naci deseti clan aritmetickog niza, ako su mu dati prvi i sedmi clan: . a l = 3, a 7 = 33.

Odrediti naznaceni zbir clanova aritmetickog niza ako je: 5.66.a) a, = 3, d = 2, S12 =? b) aJ = -4, d = 3, SJO~?

5.67.a) a,= -",d=2, S20='1 5

b) 3,=

1-, d='3., SlO~? 2 4 .

5.68. * Odrediti zbirove b) )2_ 2 2+ 3 2_.4 2 + ... +(_I)""'n2 a) 1-2+3--4+ ... +(-I)"·'n 5.69. Ako je a" = 109 i d = 5, odrediti S". 5.70. Ako je a 4 = 4 i aJO = 7, odrediti S47' 5,71. Napjsati prva tri clana aritmetickog niza ako je za svaki prirodan broj n zbirSn njegovih prvih n clanovajednak Sn ='4n 2 -3n. 5.72. Suma n cianova niza data je formulom Sn = 5n2 - 4n. Odrediti opCi clan an niza.

49

"I . dataJclormuorn . C I' S 11 =4-4·3" ,. 5.7. - - - - , Odre d"ltlOPCI 3 Sumancanovantza 3" clan an niza i napisati prva tri clana niza. 5.74. Suma n clanova niza dataje formulom Sn = 2n2 + 3n. Odrediti niz i '. dokazati da je aritrnotickL 5.75. Koliko clanova niza 1,4,7, 10, 13, .., treba sabrati da bi so dobio zhir 1520? 5.76. Koliko clanova niza 2,6, 10, J4, ... treba sabrati da bi se dobio '.. zbir 3528 ? 51fJt7.1(oliko clanova niza -10, -5, 0, 5, 10, ... treba sabrati da bi se dobio ,~bir J 5000 ? ~kO su brojevi x+l, 2x+3, 4x-l, tfi uzastopna
r2i-..

n

n

n

n

Izracunati n i Sn aritmetickog niza, aka je data: 5.~:'lt) a,~ 3, a"= 38, d = 5 b) a,= -5, a,,= 22, d = 3 . b) a,~ 0, a,= -20, d ~ -I . 5.84.a) a,= 40, a"= I, d ~ -3 Izra6unati d i Sn aritmetickog niza, aka je dato: 5.85.a) a,~ l,a,,~ 37, n = 19 b) a,= 2, a,= 60, n = 30.

n 586a) a= - ,n a= •• 1 I

2

2

,

n~

J2

6 14 b) a,= _._. a = -·,n=21. S,n ' S

lzracunati din aritmeticke progresije , aka je data: a,=3,a,,=51,S,~459 b) a,=1,a"=41,S"~23J 47 525 5J!Nli)a,~-2,a,~48,S,,=598 b) a,=6,a,,~ --2,S'~-2-

5.87.a) .

5.92.a)

a,~

5.93.a) 5.94.a)

Izracunati dian aritmeticke progresije , aka je dato: al~10,n~13,S,,~208 b) al=-15,n~12,S,,~J8 al~ 22, n ~ 16, S,,~ -128 b) a,~ 30, n ~ 10, S"~ -150

5.95.a)

Izracunati a1 i Sn aritmeti6ke progresije , aka je data: a"~ 50, d ~ I, n ~ 50 b) a"~ 53, d~ 2, n ~ 25 a,,~

5.96.a)

6, d

-58,

5.90.a)

,

a,~

4, d = -1, n=I4

11 2 '

b)a,~-

1 n=40. 4'

d~-

Izracunati an in, ako je dato: /~\ a,=-l,d=-I, 8,=-78. 5.ill.a) a,~ 1, d = 3, S"= J45

50

:(!»

S,,~

I,

d~

261

-3, n ~ 18

b)

a,,~

49 3 -2' d~-2' n ~ 22

Izracunati al i n aritrneticke pt:.~esjje, aka je data: (b) a,,~-8,d=-2,S"~'8. 5.97.a) a,,~22,d~2,S"~132 c."\

1

299

\Xk!I

2

2

5.9.:rtn.''lla.. ,,=12,d~-,S"~--

\ ..../

b) a"=-lS,d=-4,S,,=0.

Izracunati al i d aritmeticke progresije , aka je dato: 37 675 13 5.99~ a"=4' n ~ 30, s" = 4 b) a,,~ 2' n~ 36, S" ~ 171. In

VV.

5.IOOea)

,.

5

a,,~--·,n~16,S"=-IO

2

Izracunati

5.101.a)

b) a,,=-I,n=13,S"=13.

3n aritmeti6kog niz.a , aka je dato:

a1 1

d=5,n=8,S,~172

5.I~d=-10, n~ 11, S"~ 550

b)

1 2

d=-,n~28,S,~44I.

b) d = -8, n= 21, S, = -1008.

Rijesiti date jednacine: 5.103.a) 1+4+7+10+13+16+... +x=210 5.104.a) 1+7+13+ ... +x~280 x-I x-2 x-3 I 5.105. - - + - - + - - - + ... +-=3. x x x x

b) 3+7+1l+15+.,.+x~465 b) (x+1)+(x+4)+ ... +(x+28)~155

Napisati prva tri ciana aritmetickog niza za koji vrijedi:

a 2 + a6

5.106.a) Izracunati an i Sn, ako je dato: h) a,= -5, d = 3, n ~ 22 5.89.3) a,= 0, d ~ 2, n = 33

~

5.107.a) 5.108.a)

:

24}

b)

~-a5-~

5G 2 +4a;=30} 3a 7 -·2a, =15 a J + a 4 + a6

-

a3

+ as + a 7

:::::

=

3}

-6

Q

3

+ a3 :;:;:; _

6}

~-~-2

b)

3a3+loa4~6.1 Jla,-6a2

(

~-58)

33}

a 1 + a 4 + a 13 = b)_ GIS -all + a 2 -11

51

aj

5.1 09.a)

+a3 =12l al a2 a, = 28 I

+02

al +a3 +a5

b)

G2 G
= 01

= 192

J

al+a2+a3=~ 1 5.110*.a)

b) 3 G1

3

+a2 +a3

3

99r =-1 8)

5.111. * Tri broja su uzastopni clanovi aritmetickog niza. Njihov zbir je 2, a

zbir njihovih kvadrataje

~. Naci te brojeve.

9 5.112. * Zbif tri uzastopna Clana nekog rastuceg aritmetickog nizaje 3, a zbir njihovih kubovaje 4. O~rediti te clanove. 5.113. * Odrediti cetiri uzastopna neflarna broja ako je poznato da je zbir njihovih kvadrata za 48 veti ad zbira kvadrata parnih brojeva koji se nalaze izrnedu njih. 5.114. * Odnos Sllma prvih 13 i posljednjih 13 clanova aritrnetickog nizaje

5.129. Stranice pravouglog trougla su clanovi aritmetickog niza cUa je razlika d=3. Odrediti obim i povrliinu trougla.

5.130. Odrediti vrijednost od

. D 0 k-azatt. d a su .I b roJevl . . mza.

3 5.115. Odrediti sumu svih parnih dvocifrenih brojeva. 5.116. Odrediti sumu svih neparnih dvocifrenih brojeva. 5.117. U aritmetickim nizovima 17,21,25,29, ... i 16,21,26,31, ... ima jednakih clanova. Naci zbir prvih J 00 takvih clanova.

5.118. Peti clan aritmetickog nizaje 18, a suma n clanovajednakajc cetvrtini sume od 2n clanova. Odrediti niz. 5.119" Odrediti prirodan braj n kojijejednak sumi svih prirodnih brajeva koji su od njega manji. 5.120. Datje niz: 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4, ..... Odrediti opei clan niza. 5.121.* Odrediti SUffiU 1- 2 + 3 - 4 + ... + (-It·ln. 5. J 22. * Odrediti sumu 1": 22 + 3 2 _ 4 2 + <>. + (.,.l)"-l nl . 5.123. * Dokazati:Ako .Ie u aritmetickom nizu suma prvih n cianovajednaka n 2p, suma prvih k clanova k2p, tadaje suma prvih p Clanovajednaka p3. 5.124. lzmeau brojeva 2 i 20 umetnuti osarn brajeva tako da oni s datim brojevima obrazuju aritmeticki niz. 5.125. Izmeau brojeva 3 i 17 umetnuti sest brojeva tako da oni s datim brojevirna obrazuju aritmeticki niz. 5.126. Izmedu brojeva 11 i 22 umetnuti 10 brojeva tako da oni s datim brojevima obrazuju aritmetic.ki niz. 5.127. Izmcau brojeva 4 i 22 umetnuti 5 brojeva tako da oni s datim brojevima obrazuju aritmeticki niz. 5.128. lzmedu brojeva -3 i 31 umetnuti aritmeticki niz Ciji je prvi clan -3, a posljednji 31, tako daje suma svih clanova niza 252.

52

1 b+c

-~,

- J- , -1"1 - c anOVl. a+c a+b

aritmetickog niza. 5.133.* Aka su pozitivni brojevi a, b i c clanovi aritmetickog niza, dokazati

Jb I Fc ' Fc J Fa ' Fa 1 Jb

da su i brojevi

b+ c

c+ a

a+ b

clanovi aritmetickog

niz..a. 5.134. Ako je a!, jednakost:

a2) 33. "', all ,

2

~ . Odrediti braj clanova niza.

+ 2 1- x ,

bude aritmeticki. 5.13 L Ako je niz a, b, c aritmeticki, dokazati da kvadratna jednacina ax2+ 2bx+c;"O ima jedno rjesenje x = -1. 2 2 5.l32.* Neka su ~ b i c pozitivni brojevi i l, b , c chmovi aritmetickog

! , a odnos suma svih clanova osim prva tri i svih osim posljednja if! je

i+x

aritmeticki niz, dokazati da vrijedi

1

)

1

ala]

ala}

a}a4

---+-~+---+

5,135.* Neka su

1

n-[

... +---=--. an_Ian

ala

'l

uzastopni clanovi aritmetickog niza. s pozitivnirn 6lanovirna i razlikom d. Dokazati da vdied! : a l .G2 ' ...• a n

1

-~--~

~ + /;;;

+

'1

,fa; + ra;

+ +

I

. . Ira: + r.;::;.

--~-~-.

,Ja"~1 -/~~

= -_._--

d

5.136.* Neka su a p a2 , ••• ,a" uzastopni clanovi aritmetickog niza s pozitivnim clanovima. Dokazati daje za sve n;:: 2 : 1 [ J n-J

J

fa': +,fa; + ,fa; +,Ja; L

ra:

ra:

+ G,,_I + ,J a l + 5.137. Dokazati, aim za aritmeticki niz vrijedi Sm = Su, tadaje 8m+n = o. 5.138. Za aritmeticki niz poznato je a"'+11 = x i G",_n:;O; Y . Odrediti Om i 0,," 5.139.* Nekaje (all) aritmetiCki niz i Sk zbir knjegovih Clanova. Ako za nek 0 m .! n ( In

if

" . -1!!.. S = -m' am ~ 2m-l n )vaZl ? ' d0 k azatl. da .Ie ~.~ -. SrI

n~

~

all

2n ~ 1

5.140.* Neka su Sib S2n i S31b redom, sume prvih n, 2n i 3n clanova aritmetickog niz,;'l. Dokazati da vrijedi jednakost: S3n = 3(S2n-Sn)' 5.141. Proizvod prvog i treceg ciana aritrnetickog nizaje sinLa., a njihov kolicnikje tg 2 ~. Odrediti niz.

. 2 5 142. Za koju vrijednost varijable x su brojevi log2, log(2' -I), log(2'+3)

clanovi aritmetickog niza? 5.143. Duzine stranica jednog cetverougla su clanovi aritmetickog niza. Ispitati da Ii se u taj cetverougao moze upisati kruznica.

53

5.3. I

~aCi kolicnik geornetrijskog niza, ako rnu 5e drugi clan jednak 6,

Geometrijski niz (geometrijska progresija)

3

osrni 384.

Deftnicija: -Niz u'koihe je prvi clan tlj-:it:O i kod kogaje kolicriik svakog c1a11a, pocev od drogog, -j prethodnog sta]an broj {q),naziva se geometrijski niz (geometrijska progr~ija).

5.156. PosIJ'ednJ'i clan uiza

4 2

1

I

~5'5'-5'10)'"

.

1

JC a" =2560'

Od d't'l

.

re 11 )raJ

clanova niza. 5.157. Posl]' eduJ'i clim niza -3, -I, _.I. .... J' e __1_. Odrediti broi clanoy. niza.

Opci chm geometrijskog niza:

3'

6561

.'

SUIDa n cHmova geomettijskog niza:

I

SvojstV() cJanova geometrijskog niza: a/ =

an_k'an+k,

Odrediti naznaceni clan geometrijskog niza ako je data: b) a,=10,q=-3,a6~? 5.158.a) a,=3,q=2,a,=?

k < n.

5.1$~=I,q=Jc,a,o=? /

Datje pry! clan i kolicnik gcometrijskog niza. Napisati prvih nekoliko clano\'
a, =6, q

e

q

b) G, =-2,

2

~i

\\

5):(5.'1)

a, = 4. q'O -1

=16,

b)

"

q=4

a, :::; (), q = _.- ._21.1 q='-c", a, 4 ~

0)

Data su prva dva cIana geornetrijske progrcslje. Odredi prva cetiri njena clana: 5.146.0) 3, 6 b) 4.12 c) 10,100 5.147.a) 1,-4 b) 5,-10 c) -2,8, I

5.148.a) 1':3

b)

!

2

2

2' 3

c)

b) a,=-5,q=-.I.,&;=?

2

3

,s[~jijla9~131(]72,q~4,a,~? b) a5=-I,a12=I, q=? lTrtnTreci clan geometrijskog nizajeJi, a sestijeJ54. Odrediti cetvrd ~/ clan niza. 5.162. Odrediti broj 61anova n geometrijskog niza, ako je al=162 ,a,,=32.) Sn=422. 5.163. Dokazatl da je u geometrijskom nizu proizvod clanova jednako udaljenih od kr~ieva nizajednak proizvodu krajnjih clanova niza. S.164. Dokazati d~ je prolzvod n 6lanova geometrijskog niza a, aq, aq2, ... ,. , nVI-l)

aqn jednak 0'1. q

2

.

5.] 65 Tzmeoll brojeva 1 i 64 umetnuti 5 brojeva tako da sa datim cine jedan geometrijski niz. <

1

5'

~c.....

5

5.166.lzmedu brajcva 3 i 243 umetnuti 3 braja tako da sa datim cinejedau Data su dva susjedna {lana geometrUske progresije, Odredi kolicnik progresijc: c) as=80, a.:;= 160 5.149.3) a6= 32, a7= 64 bLa6~ 64, a7= 128

'6,;

5),",,~.a)

4

0 11

]

="5,0)2=5

til) L/

I oR='3'

2

Gq

=15

-,

·l-n

Data su dva susjedna clana geometrijskc progresije.

Odredi prvi Clan a ako jc: 5.15La} a4=16,aj=64 b) G]=8,a'1=32 c) llj= 7, U(j= 21 5.152. Dat je opsti clan geometrijskog niza. Odrediti pry! clan i kolicnik ovog niza, ako je: a)

5

al1=~;

1 1 ,

b)al1 =(--I);

c)

=(~lt·3

ai1~

7" 2" 5.153. Dokazati daje broj -128 jedan od clanova geomctrijskog niza oiji je prvi clan a l = ~ I, a koHcnik q=2, Odrediti indeks tog ciana? 5.154. Nacl pet! i osmi clan geometrijskog niza, ako muje drugj clanjednak

5,aseS'l0 ' f 6

54

5 =\6'

geometrijski niz.

5.167. Ako je aj, a2, a:" ... , an geometrUski niz, dokazati da vrijedi: (14 + a, + 00)2 ~ (a,+a,+a')('7+a8+a9)' 5.168. Kakva veza izmedu pozitivnih brojeva a, b i c postoji, ako su to, redom, k-ti, n-ti i p-ti clan istog gcometrijskog niza ? 5.169. Ako su x, y i z) redom, n-ti) p-ti i k-ti clan istc geometrtjske pragresije, dokazati da vrijedi jednakost: x p-k ozll-r = 1 . 5.170. Ako su am, alJj 3k, as clanov! iste geometrijskc progresije i ako jc m+n=k+s , dokazati da vrijedi : tllll·an= 3k'3s . 5.171. Izracunati zbir prvih 15 clanova datog niza: bJ 1,-2,4,-8,16, ... a) 1,2,4,8,16,... 5.172. lzracunati zbir prvih 20 clanova datog niza: 1 I 1 I 0) -]00,10, I, 10 a) ~'-2 '3'''' 222 !zracllnati zbir prvih sest clanova datog niza: 239 41025

5' 10'

40''''

b)

7' 7' 7'''' 55

5.174.a) 1,

/63 2' 2''''

b)

1,

j{, ~''''

Odrediti a,. i n geometrljskog niza ako je dato: 5.191.a) a~8,q~-1 ,S,,~8 b) a~5,q~-2,S"~215

5.175. Kolicnik geometrijskog nizaje q~2 i S7~635. Odrediti prvi clan niza. 5.176. Odrediti prvi clan at geometrijskog niza ako je dato:

aJ

q~3, 8 8 =6560

I

5.192.a)

5.193.a) q=2,n~5,a"~16

5.178. Suma drugog i cetvrtog ciana geometrijskog nizaje 30, a proizvod ovih clanovaje 144. Odrediti surnu prvih deset clanova ovog niza.

5.194.a) q~5 ,n~6,a"~ 625


(~.~~_}

q=3, S"=3280

=.1:.4'

5.180.a) al = 8, q

5.18!.a)

341

0_ "" - 32

b' a }

1

al

~1

,

5.182.a) q =

2"

1 2047 a,~ ~ 1024' S" ~ 1'024

q=.I:.

S _.1023 2'" /I - 512

1

-2"

10,

5.195.a) 8

3 a" = -128'

s"

1

5

b)

1 1 n~8 a"~-2 ' , 8

q~--

a 1 +a2

=6i

1 a2 +a=30 3 )

Q2-

b)

5.196.a)

b)

5.197.3)

b)

5.185.a)

Odrediti q i Sn geometrijskog niza aka je date: a~1,0~lO,a"=512 b) a~-3.n~6.a,,~·729 1

~

8, a" = 4

b)

a~ 16,q=-2.a,,~-96

5.198.a)

b)

5.199.a)

b)

5.200.a)

I

5.188.a)

Odrediti q i n geometrijskog niza aka je dato: a~2, .,,=32,S,,=62 b) a~3,a"~81.S"=120

F.I.. a 8]'

n

~-,!- S 6561'

n

=,.J.2.l.. 6561

b) a~32 a~~ S~341 '

11

8'

Odrediti an i Sn geometrijskog niza aka je dato: 1

5.189.a) a~2,n~8,q=2'

56

I b) a= 1000.n=6,q~IO

2

I

"

5.187.a)

391L a +a,'=90J

n

8

a,-a,=30J -' " a 2 +a.3 =

a 1 +a 2

101

::::9J =18l

a 4 -a 3 =300J

a1 +aZ +a3

=-l7'

2, a,'a3 ~1 J

a) +a2 +a3

., 11t

=J

al~·a1=24r al+a2+a3=131L

~+~+~=

a=-81,n=6,u,,=--;:;

a !=sl

Ql"a 4

3

a~4,q~2',a,,~4

5.186.a) a e, 32 ,n

2

1

J023 ~ 128

5.184.a)

b)

75

S"~-

2'

b) q~2 .n~6,a"~8

Odrediti n i Sn geometrijskog niza aka je datu: 5.183.a) a=1,q~3.a,,=81 b) a=3,q=2,a,,=384 1

1

q~-

Odrediti geometrijske nizove za koje vrijedi:

129

b) al=.24,Q=-±, S"

. 0) q ~

1

i Sn. Odrediti n ako je:

Kod geometrijskog niza odrediti a] in, ako je data: q=4,a,,~4096,S,,~5461 b) q=-5,a,,~78125.S"~65I04 1

a~

Odrediti a' i Sn geometrijskog niza aka je dato:

5.177. Kolicnik geometrijskog nizaje q=2 i Sto~3069. Odrediti deseti Clan niza.

Kod geometrijske progrcsije je poznato q,

b)

1023

Q=2'S,,='64

b)

a~3,q=-2,S,,=-63

b)

G,2+ a /=lOJ

5.201. Nekaje Spar suma parnih cianova, a Snep suma neparnih clanova geometrijskog niza. Dokazati da vrijedi: Spar = q,Snep" 5.202. Zbir prvih pet clanova geometrijskog niza je 1820, a kolicnikje q~3. Odrediti prvih 5 clanova niza. 5.20}, Dokazati daje svaki clan geometrijske progresije, pacey od drugog, geometrijska sredina svojih susjednih clanova. 5.204. Dokazati daje svaki clan geometrijske progresije geometrijska sredina c.lanova te progresije koji su od njegajednako udaljeni. 5.205. Cetiri broja su clanovi geometrijskog niza. Suma krajnjih clanova jednakaje ---49, a surna srednjihje 14. Odrediti niz. 5.206. Cetiri broja a, b, c i d Sil susjedni clanovi geometrijskog niza. Dokazati da vrijedijednakost: (a'+b'+c') (b2 +c2 +d 2) ~ (ab+bc+cd)2 .

57

5.207. Cetiri broja a, b, c i d su susjedni Clanovi geometrijskog niza. Dokazati da vdjed; jednakost: (a_c)2 + (b-cJ' + (b_d)2= (a-d)'. 5.208. Tri broja a, b i c su susjedni clanovi geometrijskog niza. Dokazati da vdjedi jednakost: (a+b+c) (a-b+c)= a 2+b'+c2 • 5.209. Prvi cian geometrijskog nizaje a, a posljednji (n-ti)je b. Odrcditi surnu n prvih clanova. 5.210. U geometrijskom nizu dato je a m+n= x j a.n-tJ= y. Odrediti am 1 an. 5.211. Kod geometrijskog niza s pozitivnim clanovima vrijedi: S2=4, S,=13. Odrediti Ss. 5.21 L Suma prva tri ciana geometrijskog nizaje 13, a njihov proizvodje 27. Odrediti niz. 5.213. Tri brqja fonniraju geometrijski niz. Zbir ovih brojevajc 21, a zbir njihovih reciprocnih vrijcdnosti jc

2.

12

Odreditj Dve brojcvc.

5.2 i 4. Ako je x+2, 3·"x, 7+x geometrijski niz, odreditl x i naplsati ovaj ni2:. 5.215. Aka je 3-2x, 2x+3, 3+x gcometrijski niz, odrediti x i napisati ovaj niz. 5.216. Proizvod tri prva clana geomctrijskog nizajednakje 64, a zbir kubova ovih clanova je 584. Odrediti ove clanovc. 5.217. Zbir trl prva clana geometrijskog nizajednak je 31, a zbir prvog 1 trecegje 26. Odrcditi ove cianove. 5.218. Odrediti geometrUski niz ako je poznato: O2

a)

+0(,,,,,341

0:,+07

""68~, H""?

b)

S" = 63 J 5.2 I 9, Odreditl sumu kvadrata geometrijskog niza ciji je prvi clan a 1 kolicnik q*l. 5.22(L Odrediti sumu kubova geometrijskog niza ciji je pry! clan a i kO!lcnik q*1. 5.221. Zbir prva cetiri claIla geometrUskog niza je 30, a zbir njihovih kvadrataje 340. Odrediti n!z. 5.222. Zhif prva tfi clana gcometrijskog nizaje 62, a zbir njihovih logaritamaje 3< Odrediti niz, 5.223. Raze cetiri logaritma istog broja su uzastopni clanovi geometrijskog niza tiji .Ie koHcnikjednak tom broju. Odrediti ove logaritrne ako je suma prva dvajednaka sumi preostala dva iogaritma. 5.224. ledna vrsta bakterija se razmnoZava diobom na dva dijela. Svakih poJa sata se vrsi dioba bakterije. Koliko bakterija nastane od jedne za 5 sati nesmetanog razmnozavanja? Koliko bakterija se razvije od jedne zajedan dan?

58

5.225. Ako su 81), S2n i 8 3n, redom, sume n, 2n j 3n pnrih clanova geometrijskog niza. Dokazati da vrijedi: Sn(S3n- S2n) = (8 211 - s1li.

5.226* Nekaje S" zbir prvih n clanova geometrijskog niza. Dokazati da je izraz

S,,~, -'8"

ftmkcija od kolicnika q posmatranog geometrijskog niza.

SIl-8,,_2

Izracunati zbirove u funkciji od prirodnog broja n: 5.227*a) Sn~1+3q+5q'+ ... +(211+1)q" b) S,,~J+2x+3x2+ ... +(I1+I)x" '] 4 n+1 b) S " ~1+~+--'-+ + 2" -5.228. *a) 21 2 J •.• 19 ''',+2 11+ 1 5 b) '-+5+-+18+ .. + - - - . 2 2 2

5.229.*a) 2 + 5 +1! + ... +(3 2"-] -1)

5.230. Izmedu brojcva 2 i 4096 intcrpolirati (umctnuti) deset brojcva taka da oni sa datim cine gcometrijsku progresiju. 5.231. Izmedu brojeva] i 27 interpolirati 2 broja tako da oni s datim (,ine geometrijsku progresiju.

~~ intcrpoiirati cetiri braja tako da oni s clatlrn

5.232. Izmedu broj'eva 64 i

16

"

Cine geometrijsku progresiju. 5.233. Izmedu 3 i 96 interpolirati geometrijski niz tako cia zbir cjelokupnog niza (zajedno sa 3 i 96) bude 189. 5.234. Tzmcdu svaka ova clan a gcometrijske progresije 1,2,4, 8, 16 interpoliraj dva nova ciana tako da cijela progresija bude geometrijska. NapiSi dobivenu progrcsiju. 50235. Tzmcdu svaka dva clana geometrijske progresije 1,5,25,125 interpoliraj tri nova clana tako da cijela progresUa bude geometrijska, NapiSi dobivenu progresiju. Odreditl sumu datog izraza: 5.236.*

(

X+

~.12 + ( Xl +- _~2 \,1 x) "

Ji.

/

2

+ ( x,3 + \.

~ \)2 -+, .-+(XII + X

+y,

'f::.

7 2 +ah"-+D 2) + ... + (fi , a +a n-1b +a "-'b - ( a+ I))+(a

5.237.*

Sn

5.238*

I 2 3 4 n S =-+-+-+-+ ... +--- nEN. 11 20 i 22 23 2"--1 '

5.239.*

1 + 11 + III + JJ11 + 11111 + ... + 111 ... 1

=.

x

±l, DEN.

Xl)

+,,.+b• II').

~

nj
59

5.4.

5.253, Prvi clan arilmelickog niza jednak je I, a suma devel prvih clanova je 369, prvi i deveti clan geometrijskog jednaki su prvom j devetom clanu aritmetickog niza. Odrediti sedmi clan geometrijskog ni7.a. 5.2540 Doka7.ati, aka su a, b i c u isto vrijeme peti, sedamnaesti i tridesetsedmi clan aritmetickog i geometrijskog niza, tada vrijedi:

Aritmeticki i geometrijski niz-kombinovani zadaci

5.240. Tri pozitivna broja su clanovi geometrijskog niza. Ako drugom broju dodamo 8, dobiju se tri clana aritmetickog niza. Aka sada trecem clanu aritmetickog niza dodamo 64, dobiju se tri clana geometrijskog niza. Odrediti ave brojeve. 5,24L Zbir tri broja, koji su uzastopni clanovi geomelrijskog niza,je 21, Aka treci broj umanjimo za 3, dobiju se tri uzastopna ciana aritmetickog niza, Odrediti ove brojeve. 5.242, Zbir tri broja, koji su uzaslopni clanovi arilmeticog niza,je 18, Aka prvi broj povecamo za 1, a treci za 2 , dobiju se tri uzastopna Clana geomctrijskog niza. Odrediti ave brojcve. 2 2 5.243. Dokazati: aka ab, b i c formiraju aritmeticki niz, tada b, c i 2b-a rOfmiraju geometrijski niz. 5.244. Od cetiri broja, prva tri su Cianovi geometrijskog, a posljednja tri aritmetickog niza. Suma krajujih brojevaje 21, a sum a srednjihje 18. Odrediti Dve brojeve. 5.245. Od cetid broja, prva tri su clanovi geometrijskog, a posljednja trl aritmetickog niza. Suma krajnjih brojevaje 32, a suma srednjihje 24. Odrediti ave brojeve. 5246, Trj pozitivna broja "iji je zbir 300, clanovi su aritmetickog niza, Ako najveci broj povecamo za 310, a najmanji za 10, dobiju se tfi clana geometrijskog niza. Odrediti Dve brojeve. 5247, Tri broja cijije zbir 21, clanovi su aritmetickog niza, Aka tim brojevima, redom, dadamo brojeve 1, !, 19, dobiju se Iri clana geometrijskog niza. Odrediti ove brojeve. 5.248. Tri broja cijije zbir 26, clanovi su geometrijskog niza. Ako tim brojevima, redom) dodamo brojevc 1,6,3, dobiju se tri clana aritmet.ickog niza. Odrediti ove brojevc. 5.249. Tri broja su clanovi geometrijskog niza. Ako tfeci broj umanjimo za 4, dobiju se tri 6lana aritmetickog niza. Ako sada drugi i tfeci clan dobivenog aritmetickog niza umanjimo za 1, dobije se novi geometrijski niz. Odrediti ove brojevc.

a b-cb,-aca-b = I , 5255, Ako a, b i c cine aritmeticki, a x, y i z geometrijski niz, dokazati da vrijedi jednakost: xb-cyc-a zu-b "'" 1 . 5,256, Ako su a, b i c pozilivni brojevi (i razliCili od I) clanovi geometrijskog niza i N ma koji pozitivan broj razli6it od 1, dokazati

1 1 "kog mza. ' cia su ----- -I . ... --"""-c'1 anOVl" antmetIc loga N' 10g b N' log, N

5.5.

Granicna vrijednost niza

~iz .k~~m~.daje ko~

i~a ~ranicnu v.r.i.J.'ecfuOSf 1l,.ikO za svaki poz;itivni

za au ..ve.rgent.• n. i da. broJ E, postoJlpnrodan broJ N(e), takoda Vrljedl:

la,,-·al<£

!

,zan>N(E),

Ako je a granicna,vrijednost niza s_opCim clanom atl' tada pisemo:, _

lim an=a . 11-++0:)

Ako je 0 granicna vrijcdnost niza

S

opCim _clanom all> tada pisemo:

i za niz kazemo da je llul_a-lliz iii beskonacno mala velicina. Ako su niiovi' a!i i, b;l konvergentni i ako je

lim an 11--++«:)

5.250. Tri broja cijije zbir 114 su clanovi gcometrijskog niza, odnosno, to su prvi, cetvrti i dvadcsel peti clan aritmetickog niza. Odrediti ove brojeve. 5.251. Tri broja su Clanovi geometrijskog niza. Aka drugi braj uvecamo za 2, dobiju se tri clana aritmetickog niza. Ako sada treei clan dobivcnog aritmetickog niza uve6amo za 9, dobije se novi geometrijski niz. Odrediti ove brojeve. 5.252. Tri broja su clanovi geomctrijskog niza. Treci od njihjednakje 12. Ako umjesto broja 12 uzmemo 9) dobiju se tri clana aritmetickog niza. Odrediti ove brojeve.

lim 0,;-;:;:0 /1-;'+0:)

I I

= a, 11-++«> Um lln-=::; b, tada-su

I konvergentni i nizovi an ± bu, au' bu, an : On, bn '* 0 "i, vrijedi: lim (aJ1'±b J= lim' an ± lim bn =a±b-,

i

!

11-++'"

I

Il-++'"

n-++'i'?

lim (an ·bn )= lim all' lim hI! =a·~

11-++""

l!-++
I

11-++00

I Teorema: Svald_monoton i ograoicen nizje konvergentan.

60

61

5.257. Pocev od kojeg ciana su svi clanovi datag niza manji ad 0.0001: a)

a =1- n+l

1 a""",y;-

b)"

n+5

G,,= n 2 +1

c)

n+2

5.258. Akoje 8=0,1, koliko clanova niza s opeim clanom a " nalazi u intervalu (1-8, HE)7

=

1

1-- se n

5.260.a)

1 n n+1

a"

=--.-~

n

b)

( 1)"

a = - - a=O ? n+ 1 • 11

a= 1;

b)

2 a" =5+·····. a=5;

b}

(-1)"

lim _n_

5.273.a)

11_).<1'

· a ~

'2'~7'~)'j I'1m

lim 2n+3 =2; 1l~.~
n+5

rllTI--= n+2 0 11 ..... -;·'"

n 2 +2

b) b)

r

3n--2

3

lim 3n - 2

:;:::2.

2n-l

2

,,~~ ~ = "4 Il--l-ro

2

b)

lim

7n +n+44 n

" ..... +'"

,

c)

r

n2+n

'V~~ ---;r =

1

.

7n-8 7 c) lllTI--=9n 9 r 5n'+2 5 7 c) 1m - - - = 2 +I H",· 3n 3 II ....... ""

1J ...

511+33 -5._"75 .a) I'l m x-t
I·

112 lrn-

I1-'1-ClJ

5.268.a)

. (-1)" hm - Il-t+oo n

. Hf

hm-11-'1-+'" n + T

5.269.a) lim 11·7+'"

62

2n2-n+15 2

n +lSn+l

. ( I)' b) 11m -iI-H''>:'

b)

rl m -3 II ..... +«;

b)

2

1 n

cos--·

2 rl mn-n --1>-+K<

5n 2 + 3

c)

. 1+(-1)" hm - - - -

11--1-+'"

17

c) lim (5+ n·->-+<-'

!Q) n

2"

c) l i m - "~411+1

a, = n+l .

1

·

11

2n+3

3-2n-4n 2

lIm ----.--1

IHN·

5-2n+3n

b)

4n 2 -16n+20 x-too 2n2 + 511 -70

b)

lim

2

(

J!.;

lim

,

- - . OciCLl'

4 +-.

1J ..... ""

@\ OJ

(3 I)

rl r n 3n+2 --

c)

5n +3n+l

n-'l-
~5 5

n'

W

4

11-'1-"'11

n +n

b)

'

+n·'-7

.. ~~'. "" (n~l~ 1)2 /5.278Ia" lim------2 11-'><£ 3n + 2n + 1

~

2"+2 +5"+2

5.279.a) lim ----::-\ )../

5.280.a) lim 5n lim

11>-->+<>.

C528~~0

_

3-Jn + [;i-~

lim

,r;;;--;s;, n

.

b)

b)

3

0

" ..... -+<>0

+ 5n + 1

II-~·"'"

.J.)

rI l l5n'-1 -,n~f;Cn-+9

02'/) Hm(n+I)' lim o-n b)

2" +5"

,,-Hoc

('i~/.28]a)\

KoristeCi definiciju granicne vrijednosti niza odl-editi: 5.267.a)

lim.1.:+:."

3

Koristeci definiciju granicne vrijednosti niza dokazati da vrijedi:

2

c)

+2

n-''''·l-n

2n+5 3n·' - 2n + 7

5.277.a) lim n+3 "..~~~ --;;- "" 1

b)

2n+3

vrijednost 4.

r

n2

11-'1-'"

--,-~~~--

tI-H".

VJ

n+ 1

a" =

Odrediti granicne vrijednasti datih nizova:

5.276.a)

. .. = 4n -- k onvergentan I. dalma gramcnu

b)

211+3

VJ

all =--,a=O.

2n+l 5.262. Za koje vrijednosti prirodnog broja n vrijedi nejednakost: a) 12n-I_2i<~ b) 12n~I_21<_I_ c) 1211 - 1 _ 21<_1_ n I 10 n 100 n 1000 all

n- +n+ 1

n

3n+l n+5

11

5.263. Dokazati da je niz

4n

=~,...::.:.­

c) a"

b

11+1 " .lore d d't' ' 5· 272 . D0 ka zatl. d" a.le n1Z a" ::;: - monoton . I ogramcen 1 i I'1m Gil

a,,=--,a=3 ?

Aka je c = 0,001, kolika clanava datag niza se nalazi izvan e-okoiine datog broja a: 5.261.a)

1 ", = - -

a)

a" =2+-, a= 2;

n

5.271. Dokazati da Sll navedeni nizovi beskonacno male veliCine:

datog broja a : 5.259.a)

1

G,,=-,-o

b)

= 0,01, koliko clanova datog niza sc nalazi U E-okolini

Ako je 8

5.270. Dokazati da su navedeni nizovl nula-nizovi (beskonacno male velicine):

I ,,'~

3,,·;-1 +4"+1

---~-.

3" +4"

n +2.,[,; +4 3 _ 2.,[,;

· .}n' .. 10

hm~-ll-)H,"-"

2n + 3

;-0---

lim

~'H_

if

/1'

+ 5n -I

b)

n+1 +3n'

_2112 +11+1 · 2114 5 ·283 .a) IlID 2] 4 .JJ "..... +'" 12-3n+n· +n· +n

5.284.a) lim ~(n + I)' - (n

-I):

V./H~ (n + 2)2 + (n-I)

b)

b)

·

'![,1-11+5

I,.....i<>:

3n+2

hm -'----. 5n5 +n3 +4n 2 -n+l lIm 3 5

,''''''_

1+11+411 +2n

211

1- 3n'>

J

' lim ( - -2+ - 2 .

!7--1-",,\2n+3

3n +1

63

· (n+I)' -(n-I)' 5.285.a) lim 4 4

vJ

n-H-oc'(n+l) +(n-l)

· 5.286.a) hm - -nl- n---7d:} (n + l)!-n!

. 2"-1 II m - 211 + 1

5.287.a)

.

nm(.Jn' +3n -n) 5.289.a) lim (.In' -2n+3 -n) 5.290. *a) iim(n+!'h -n') 5.29L*a) }._I~,

b) lim(Vl+n' "-He<:,,

. b) !1m /j-»C
2(n+l)

~=!.J'

2 + ... + +2 n- + I

I

bl )'

n+l

10

10

!O2

n

10"

2

n

n

3

n

10

3'"

b)

n(n+l)(n+2)

!,i~(~7~~~~: :~J

2

'0

•

(3n -5n+11)'

o.oOO.a) hm , l 2n +7n-5 11--""',\

5.301*a)

64

--j

lim ( n \" 3n+1

n-H«J

b) lim

(

IHOO

b)

n+lOO

n

3

n

fn-3

3

b) JI~ r (I 16n+3) ogz n+55

cJ lim(IOg, ,,--->~

50~' +n)

2n -66

Jn

2 +3 c) limln---

b) Hmln 26n-55 rHoc 13n + 11

3n

Il-t""

@

lim(I+~)" n

@ lim(l+~)" n

n"'-+«J

lim

(1- .!.)" n

~". (10)2"+1 (5.312)a) lim 1+~ n--","" n

'

( )

n-I . 11m - n"""'" n+5

5.313.a) I.lin (n+2)" --!1...-+w\n-l

t~~

n

1+;

I)"

r 0) limll+4n II .... ,,"'

n...."C
b)

lim(I-~)" n

(--;;;') lim 1- ..I~ "--¥YO(

n...."",

' lim (1+-7),n . @ n...."",,\ n b)

lim(_n )n" n I

11_,00

d"ttl:

( 1)5"

1~~~ll+~J

/I....,,'"

,I1EN.

c)

(,'"

(1)2 +-'2._ _ +_I)

Odreditl granicne vrijednosti:

!i;:H:;:-H

n+8) n-3

og-~

b)

J

. 64-Jn + 1 hm' I"--.,;;-II--'PL-

r 54n +lOn+8 "~V2n3-3n2+n+125

n...-+ctJ

10'

1O~

I I !

5.299.a)

lim 3 -::1'~s-

, . ( 1)" :::: e ,ore d

n·(n+l»)

2' 3 ,+ _+_+

,,-,,-~,

2·3·4

c)

Koristeci granicnu vrijednost hm 1+ -

uJ~+_l_+.J_+ ... +_l_i

5.298. Odrediti zbir: - - - + - - + ... + 1·2·3

lim44n2-2~:;:;

(n+ 1) + (n + 2) + ... + 2n

"~1.2 2·3 3·4

2

2n2 -5n+25

· I IOn+5 5.308.a) I1m o g - - iJ-W'

f 7 29 133 5"+2") . (4 10 1+3"J 5.297.a) jiml--+-+-+'''+---j b) lim ~+-" + ... + ....._,3 ,,_~w

/1"-*'"

2n2 +n~l

2n-l .i b) l'~l' --) 1m

/>,

JI-+w~

. l'l

5.307.a) lIm

.J3)

lim ( 1+5+9+ ... +(4n-3) -n

",'"\

c)

c)

8n +50

II-W:

18n 2 +n+36

5.306.a) lim

r:: + 1r:: +--,=+ I b) lim ,3 ... +--;;::, 1(0'"( ,,3 3;/3 3

<' A, . (1+3+5+...+(2n+l) ).29~} hmj .. '-......._~.....

-n)

bJ li01(-I-+ 11--}CQ n 2 +1

· 1+2+22 + ... +2" 5.294.a) Inn 2 n·">w 1+5+5 + ... +5"

1

b) lim' 27n+11

n-2

n ...... ro

Jl-~+a)

5.293.a)

,~~v

7 . ~4n+ .... _ 5.305.a) I1m

lim (VI+n +\/1-n)

b)

if;;

5.292.a)

~a\'

-,In)

,!!;;;, n( N-:;:J - n)

b)

VI+n-\/J-n

n3+ 2n +

H~

9,,2_7,,+6

"~-

11-7+'"

.

b) lim 3

5.304.a) lim 2 Mi-n

lim (.In+3

b)

JI--->+'"

_11+5

I1~OO

211 +3!1

n---+OO

"....,.-w,

5.303.a) lim 2 n

+ 3JJ+1

2

hm-"-~~

b)

fI-'W)

5.288.a)

211+1

n2+31l~

C) lim 100 ;;2:511 +55

2n 3 -311+4

(n -l)!+ n!

n--7<>:J

2n+l

b) lim 25 11 + 44

J1~CO

. 3n+(n-l)! I1m

b)

11+3

5.302.a) lim 2 !I-I

+

4

)M'

3n

''''''

) - -) ( +n+2 @.">oo C

.

1m

1

12

2n-I"" 0) l i m -( 11->«> 2n+l)

2n3+lln-9 )' n 3 _5n 2 +6n-4

lim ( 2 -n -+ l ) 0)n .hm (5n-4)" --3n+4 n-4+"" 7n+lO

n-'>+-<:
65

5.6.

5.330.a)

Beskonacni geometrijski red

~-

5.331.a) 1 +

[..' . . . . . . _:, :- .>-. _,,:_.:,

Za beskona.cni geometrijs.ki',recl VTiJ.>edi.: ' . a + aq + aq'+ aq3+ ... ~ -.-!'-, Iql
.

HJ~: +

+ .. ..

x+ x2 + x3 + ... ; Ixl < 1

5.333.a)

1 + t!lX + tg2x+ tg3x +•.• '1 i n b , xl<4'

b)

1 ~ tgx + tg x - tg x + ... ; Ixl <~. 2

3

a+b

(a2_b2)+(a+b)+~_+ ... , a-b>1

a-b

Napisati niz parcijalnih suma datog reda: 1 2

J

1 4

i

J

5

6

5.315.a)

1+2+3+4+5+...

b)

1+-+-+-+-+-+ ....

5.316.a)

l+~+Lt!+.~+.L+....

bJ

~+.:1+.'l+.4:+2+ ....

8

16

32

lal

3

5.334.

4

b)

13+1 13-1 313-5 Ji-I+ 13+1+313+5+···· a + a3+ a' + a 7 + ... ; < 1

5.332.a) 1 +sinx+sin'x+sin x+ ... ; Ixl*(Zk+l):".,kEZ. 2 b) 1 - CQSX + cos2x - cos 3x + cos4x - ... ; jxl* kn,k E Z.

5.314. Napisite beskonacne redove koji pripadaju beskonacnim nizovima: 1 1 1 1 a) 1,2,4,8,16, ... ,2",2"+ ,... b) 1, 3' 9' 27"""

2

b)

2

3

3

4

5

6

5.317. Kada kazemo da je red konvergentan? Sta je suma konvergentnog reda? 5.318. Koji red se naziva geometrijski red? 5.319. Ispitaj konvergenciju geometrijskog reda: 2 " 4 a+aq+aq +aq'+aq + ....

Odrediti beskonacne zbirove:

(2)' +3'l(I)' 4

21 5.335.a) 3+5''3+ 3 '4+ 5 'l'3 b)

2 5

4 25

I 2

8 125

1 4

I

2

16 625

+..

1 8

-+I+---+--"+·-~I·~~·-+ ...

1

2

1

2

5.336.a) 3+3"2+33'+37+35 +]6+'" 5.337.a)

1

1

3

4

6

9

24

45

-+-+~+-+

9 16 .... +~+... 96

225

I I 1 1 1 1 b) 2+---+-+-+---+ ..

3

52525 5.338. 18+10+6 +5 +2+-+-+-+-+-·L. 2 3 498 5.339. Za koje vrijednosti varijable xje izraz

5.320.a) 5.321.a) 5)2:1.a)

2

9

4

27

8

+.. ;

a +x + a--x +(~)3 +(~)S a>O. a+x la+x a+x beskonacni opadaju6i geometrijski red. Odrediti sumu ovog reda. 5.340. Odrediti zbir beskonacnog geometrijskog redaje S aka je prvi clan Q-X

a= 10. a kolicnik q=.I. 2 n r/ n b) -+-+--+ .. J 8 64

5.326.3) 532 . '7 .a,\

o._a+aJi+a+ .. '

/'1:2+1 1 I --+~~+ .. +. 1:2 .. 1 2-.fi 2

5.32Ka)

/'

."

2.fi

02

5.329.a) ,j" .. r::-' -~-e+ v2~

66

I

b)

3a+a1:2 +%a+ ....

b) 1:2.:'J._ i +1:2-J+ 1:2-1 1:2+1 .

~Zbir beskonacnog geometrijskog redaje S =-~, a prvi clan a~· I. Odrediti kolicnik q ovog reda. 5.342. Suma beskonacnog opadajuceg geometrijskog redaje 2], a prvi clan .je a=35. Odrediti kolicnik reda. 5.343. Zbir beskonacnog geometrijskog redaje S =4, a kolicnikjc ~. 2

Odrediti P!"i clan a reda .

b) (15 -2) ··(7 -415) +(1715 -Z2)- ...

3+2v2

67

Napisati beskonacni geometrijski red cijaje suma S: b)

5.344.a)

S=_5_

5.345.a)

S=_Il+x

o

2-x

5.359. * Vjerovamoea pogadanja cilja jednog strijelca je

S=_6_ 3-2x

5.346.a) S= x+1 b) S= 4x+2 • x- 2 3x-1 Suma beskonacnog opadajueeg geometrijskog reda je 243. a kolicnik

Odrediti granicnu vrijednost datih izraza: /

~a)

je q =.!.. Odrediti peti clan reda. 3

5.348. Suma beskonacnog geometrijskog redaje 9, a suma kvadrata ovog reda je

ll.!.. 2

5.36I.a)

Odrediti ovaj red.

5.349. Suma beskonacnog opadajuceg geometrijskog redaje 3, a suma

5.362.a)

kubova svih clanova ovog redaje 108 Odrediti ovaj red. 5350. Suma prvog i tre6eg cIana geometrijskog redaje 20, a smna drugog i pelog clana je 9. Odrediti sumu reda. 5.35 L Suma prvih pet clanova beskonacnog opadajuceg geometrijskog reda . --,asumare 1023 daje.). . '2 ad red·· . '1 da. It I druglcanre Je 32 5.352. Suma beskonacnog opadajuceg geometrijskog reduje 96, a razlika prvog i drugog olanaje 24. Odrediti red. 5353. Suma prva cetiri clana beskonacnog opadajuceg geometrijskog reda .

2.2

~2)2J2~2JL: ~3f;J3hJ3. .... ~2)2V2NJ2 .....

b) b) b)

~3)3J3bh. ... ~2)3J2~3,h .... f~3V3NJ3 . . .

5363. Rijesiti date jednacine:

<

13

je IS, a suma prvog i cetvrtog clanaje

strijelac

gada u cilj dok ga ne pogodi. Nekaje slucajna promjenljiva X braj utrosenih metaka do pogotka cilja. Odrediti : a) Raspodjelu vjerovamoea promjenljive x. b) Broj prosjecno utrosenih metaka do pogotka cilja.

4+x b)

~. Ovaj

S=_8_

puta veca od sume drugog i

treeeg. Odrediti sumo reda.

. ') • 3 . 2 a) 1+log2stnx+log2-smx+log2 smx+"'=3

c)

.23

3HX

+x

+.. :::::

r;;

3,,3

Primjenom beskonacnog geometrijskog reda slijede6e periodicne decimalne brojeve pretvorite U obicne razlomke: 5.364.a)

0,3

b)

0,51

c) 2,43

5.365.a)

0,25

b)

0,9

e) 0,435

b) 0,59

5.366.a) 0,325

e)

0,41435

5.354. Suma prvih 6 clanova beskonacnog geometrijskog redajednakaje 7...

5.367.a)

0,15542

b)

0,37261

e) 0,8371

od sume cijelog recla. Odrediti kolicnik ovog reda. 5.355. Prv! clan beskonacnog opadajuceg geometrijskog redaje a=l, a svaki clan je 3 puta veti od sume svih slijedecih clanova. Odrediti red. 5.356. Odrediti kolicnik beskonacnog opadaju6eg geometrijskog reda kod koga je svaki clan 4 puta veci ad sume svih slijedecih clanova. 5.357. Suma S, pet prvih clanova aritmetickog nizajednakaje !jesenju

5.368.a)

5,1542

b)

7,3726

e)

14,6472

c)

10,26128

8

jednacine 25

x 1 - :=

5-:- 3 ' a posljednji clan asJcdnakje sumi

l124 ' ··kog reda -+-+-+~+ es onacnog geometrljs .... bk 2 3 9 27 Odrediti aritmeticki niz. 5.358* Dut AB cijaje duzina 4 em podijeljenaje tackom C na dvajednaka dijela. Duz AC je tackom D podijeljena na jednake dijelova, zatim je duz CD tackorn E podijeljena na dva jednaka dijela i tako dalje. Odrediti rastojanje krajnje diabene tacke od tacke A.

68

b) -5,43374

5.369.a) 3,21635

Odrediti granicne vrijednosti:

5.370 .•)

( 1 I (-1)"-'! Iimi 1--+--... 11 1 7

IHOO\

5.371.a)

49

1-.!.J lim(I-.!.X 4 9

11-+00

"-"J

+---) 7

(-I" I I ... +_·)-.b) lim ( 1--+-1H

rl-...!...) n

b) lim(_I_+_I_+ ... +,_._I_) /I-H>' 1·2 2·3 n(n+l)

-

2

'\

n-+o:J~

3 9

3

5.372. Dokazali da vrijede jednakosti: ~

3 2

3 4

3 8

1 2

1 4

3--+---+ .. =1+-+-+ ...

69

5.384.

Odrediti SUlTIU S datog beskonacnog reda : S ~ 1 + 2a + 3a'+4a3+ 5a'+ ... + (n+1)a"+ ... , za

5.385.

I 2 3 4 n S:::O-+2"+3+4+"'+-;+'"

5.386.

S

5.387.

1 2 3 4 n s=-+-+-+-+ .. ·+-+··· 5 5' 53 5' 5"

<

19

1

1

1

I

1

1

... = l--+--~+ ... 18 5 25 125 8 64 512 5.374. U kvadrat stranice a upisanje drugi kvadrat (ciji su vrhovi sredista stranica datog kvadrata). U ovaj kvadrat upisanje novi, treci, kvadrat, u njega je takoder upisan kvadrat i tako redom. Odrediti sumu povrsina svih kvadrata. 5.375. U jednakostranicni trougao stranice a=9 ern spajanjem sredista stranica upisanje trougao, u njegaje oa isti nacio upisan trougao i tako dalje do beskonacnosti. Odrediti sumn povrsina svih tronglova. 5.376. Datjejednakostranicni trougao straniee a. Tezisniee ovog trougla odreduju drugi trougao, tezisnice ovog trougla odreduju l10vi trougao i tako dalje do beskonacnostL Odrediti sumu povrsina svih na opisani nacifl.-nastaIih trouglova. 5.377. Drjagonala kvadrataje d. Stranica a ovog kvadrataje dijagonala novog kvadratn, njegova stranicaje dijagonaia slijedeceg i tako dalje, do beskonacnostL Odrediti sumu povrsina svih, na opisani nacin, nas1:al1h kvadrata. 5.378. U kvadrat stranice a upisanje krug. U ovaj krug llPisanje novi kvadrat, u njega krug, u krug kvadrat i tako dalje, Odrcditi sumu povrsina svih krugova. 5.379, U jednakostranicni trougao stranice a upisanje krug.1J ovaj krug upisan je jednakostranicni trougao, u njega krug, u krug trougao i tako daije do beskonacnosti. Odrediti sumu povrsina svih krugova, 5.380. U loptn radijus. r upisan.je kocka. U ovu kocknje up!sana lopla. U loptu je upisana nova kocka i tako dalje, do beskonacnostL Odrediti sumu povrsina svih kocki i sumu povrsina svih lopti. 5.3 81, U kocku ivke a upisana je lopta. U ovu loptu je upisana kocka, U kockujc upisana nova lopta i tako daljc, do beskonacnosti. Odrediti Sllmu povrsina svih kocki i SUlllU povrsina svih lopti. b)

---+---~+

2 2 2 2 1 2 3 4

0:::

3

+)2+

lal <1

2

n

33+)4 + ... + y;+ .. ,

Odrediti granicne vrijednosti: 5.388. 5.389.

5.390. 5.391.

5.392.

lim

3

11

3

n

1+3+3 2 +3 + ... +3

-2

n--t]+5+5 +5 + ... +5

lim ( 13 +

H~\

~ + 3,/3Icc + 9,,3Icc + ... + 3~) .

,,3

. (2+4+6+8+ ... +211

hm

11--'' ' '\

.. (1'

n +1 22 3 2

11--t""'lnJ

n

2n+

1)

~--

.

2

IIln ---;;'-+~+3+"'+ 3

n

(n - \)2 . 5 'I

n

3

-r-). n

. (7 29 133 641 5" +2"\ lIm -+~+~" +~+, .. + ). 10 10 2 10"' 10 4 1]3

!/_).m

1

5.393.

I

1

1

'\

lim ( ~+--+--+ ... +----I. H~\1·2 2·3 3·4 n'(11+1))

5.382. Dat je beskonacni geometrijski red: 1 1 _]_ +_ - l - -_ _ _ + 2" + J (2' + 1)2 . (2' + I)' ... Odrediti x tako da sum. reda bude S ~ 16. 5.383. Datje beskonacni geometrijski red: logx+log'x+log3 x +log4x+ ...

;XEC~, 10)

Odredit! x tako da suma reda bude S = 3.

70

71

6.4, Ako je f(x) ~ J4x + 1 , odrediti frO), f(6), f(2), f(lJ), 6.5. Akoje f(x)=5-2Iog(x-I),odrediti f(2), f(lJ), f(20), f(lOI),

6.

6,6, Akojef(x)=x',odrediti f(b)-f(a) ; f(a+h)-f(a-h) ,

FUNKCIJA

b-a

6.1. Osobine funkcije. Oblast definisanosti (domena). Oblast vrijednosti (kodomena). Ogranicenost. Parnost (neparnost). Periodicnost. Znak i nule fnnkcije. Inverzna funkcija date fUl1kcije Defini"cije: Aka svakom eJementu skupa A, po nekom pravilu, pridruzimo tacna jedflll eIemenat skupa B, kazerno da imamo funkciju sa skupa A u_skup'B. (ovdje su.A i B _ podskupovi skupa realnih brojeva R). 's~up.; z~vemo d~mena (iIi oblast .definisanosti) fu*:c~je._Skup.~vih elemenata ii,B koji su pndruzclll e1ementnna skupa A naZlva se kodomena (Ill skup vruednosti) funkcije. funkcija sc maze zadati analitiCkim izrazcim (fonllulotn), tabelol11 , grat!cki. Ako je f pravilo kojim se elementima iz A pridru.zuju elementi u B, tada se koriste ozmlke f ':_',{t -+ B, pri cerriuje za sva,ko xEA, odgovarajuCI elemenaty =,f(X)EB.

I

Ogranicenost: Za funkciju -y ;;;; f(x), xEA, kazemo da je ogranicena ako postoji pozitivan broj M za koji vrijedi If(x)l:5 M za svako xEA,

I . . ! MOllotonost; Za funkciju y

r

0 f(x)=1J 2 ' I x + J,

l -x Odrediti

i funkCije.

=

za koji vrijedi prethodnajednakost naziva se osnovni.pcriod

ri: B --> A za kojuvrijedi fC\f(x)) = x, (Vx E A), koju zovemo inverzna funkcija I funkcije f.

72

c)

aka je x iracionalan i !xl:.:::: 1.

~ ~l ~1}

= X4

..

fen),

f(~}

5x' + 1 , Dokazati daje

r

f(~) + 31.::·:+:} t x+1

\ x )

f(

-±)

f(.t.)x J(:) , x

' fun k" 1) el]a . (x)= x' + 1 ,Do k azat!'d' aJe j .(:;: 6 ,I 0,Data]e

6,12,a) f(x) ~ 6,13,a) f(X)

H

= f() x,

2x, odrediti f(x).

=

x

f(-7)

f(x) = logx'

g(x) = x;

b)

g(x)=x;

b) I(x)=--

3

x-I

g(x) = 2logx; ,---c

rx::l

g(x)="x,,·j?

Odrediti oblast definisanosti (domenu) za slijede"e funkeije: 4

6,14,a) y = - ' 1 y= +4 Xl + x+ 1 6,16,a) y= -,-'-x- -x--6

6,17.a) y~\/x+l b) frO)

Ixl;;:: I.;

aka je x racionalan i

1(3),

x-I

Illverzll. I'uukcija: Ako je f: A --> B bijektivna funkcija, tada postoji [UJlkc'ija

6,1. Kako defillisemo fUllkciju f: A -+ B? 6.2. Kako zadajemo funkciju ? 6.3, Akojef(x)=3x+ll, odrediti: a) f(l)

aka je x

,

6,9, Data je funkcija I(x)

f(x + p) ~ f(x), za svako xEA. NajmanJi pozitivan broj P

f(~}

2

Ix! iracionalan i Ixl < 1;

[spitat; da Ii su jednake date funkcije:

fe-x) =- f(x) ,za sVako xE.A,

f(x), xEA, kazemo dajc_Inonotono rastuca,;a~ovrijedi , Xl < X2 => f(Kj) < f(Xl) ,.--za'xl, XiEA. Za'fimkciju y = [(x), xEA, katemo cia monotono opada, ako vrii.edi. Xl < X2 _:=> [(x) > f(Xl) , za xl> X2EA.P~.riodicn9st: ZaJunkciju' y = f(x), XEA, kaicmo daje, periodicna, ako postoji braj p*Q za koji. vrijedi:" .

1_

2-x I zracunatI: ' , 2I + ---. x 2+x 2

fe-x} = f(x) , za SVakOXEA. Za flmkciju y "'" [ex), xEA, kazemo daje n-eparna, .:iko' vrijedi _.

I

-

a) f(2) b) f(-I) e) f(a) d) fCa +1) 6.8. Funkcijaflx) zadanaje na slijede61 nacin: 2x + 1, aka je x racionalan i < 1;

6,11'* Ako je

Parnost Zi:funkciju y:"" [(x), xEA, kai:cmo daje parna, ako vrijedi

I

. ~.lunk" . ' 0 ata Je CIJa f() x:::: X , 67

2h

6,18.a)

y~Jx-3

x-3 b) y = x+5

oj

6 . b) y= -'-4x -

b) y=

b) b)

x+2

2x+5

y~-'-2X2

x

x 2 -9

-5x+6

y=V2x-5 y~.Jx' -4 _._ ••• ,e

c)

x 2 _4

c) c)

0)

y~

-lOx

x+6

x'-

y=Vx-z. x+l

J1.(); 3x ~ Xl 73

6.19.a)

y~

6.20.a)

y~,Jx+~

6.21:11) y~

II.

6.22,a)

I

6.24.a)

r"" \:J

b)

4x 2 +4x-3

y= log(x+l)

x y=log--

x -J y c. log(cosx) <--',\-\ JX 6.26.:!~) y = 2

6.25.a)

6.27.a) y

6.28.a) 6.29.a)

6.30.8) I)

1»;

x

6x 2 -8x+l

!

6.23.a)

b)

Vx+1

y=3

6.31.a) 632.:1)

=

cj' y ~ h +6x-x'

b) y ~ JX2 -x-6

Jx' -5x+6

);~

tg(x-2)

y=~+ff-9 y=

x' -4x-5 x+2

6.42.a) y

6x' + I Ix - I 1

b)

Y= log(I-2x)

b)

x- J y=iog--

b)

y

b)

y ::;;: 2

b)

3sinx y= 1+sin2x

x 1 y=arccos-2

b)

y:o:arcsin

+ Slog(4 .. '")

--r

2

x+5 y=x-2

c)

y=~-

5+4cosx 2-5x

x+3 c) y~2x-3-X2

G.4S.a)

Y;;;;;10g_,rl.-~sin3x\)

6.49*a)

b)

2

y=

15+2x-x 2 (x_I)'

y=ctgarcsinx

6.50.a)

J'=--'" 2

c)

y=Jsinx

6.S1.a)

)'

6.52.a)

y;:::;: arccos x

Y=log,(3-3.COS4xl

b)

-'

-8

c)

r:--

I-x b) Y= ,,2 -" x + arcsin---4

-]8·2' +32)

6.37.a)

b) b)

I(x)

' y= t~3 12-x --+.1 -x+l

.

3

"4

b)

y

II

y=~-.--

x2-4x-"5

y=-x+!

b)

)

18

0)

_3x 2 -5x--3

10

x +1 = arcsm x

y=

c)

b)

y = 2arcsin(x+ 1)

b)

Y=4arcco{x-±)

3x 2 +11x

b)

y

0)

y=log,_J(x -9)

x-Jx' -4

log,(7 -- 3x)

b)

b)

x b) v = - - .. 3+X2 b) y=cosx-3

2

x +1

= sinx+5

Odrediti intervale u kojima 111onotono opadajuce:

Stl

c)

x

Y=--,.

c) y

=

l+x sinx + cosx

date funkcije monotono rastucc, odnosno,

6.55.a)

y= 2x + 5

b) Y = -x + 3

c)

6.56.a)

y = -log2x + 3

b)

y=2):- 1

c)

3 x y =sin 2x

y=-

2

f(x)

~l~~

r--'.--~

arcsin(x --1) + ..J16 - x 2

3

1

y=~­

6.54.a) y

=1I1i" + 1) x-I

l(x)=log,(x-I)(x-2)(x+5)

6.53.a)

Vx+2

J2X2 -7x+3

74

b)

y

lspitati ogranicenost datih funkcija na skupu R:

cos2x

=

y = Ssinx + 12 cosx

10

c)

6.46*a) 6A7.a)

x

x-s (x) =~­

6.39.a) (x)

b)

X+l

9x+8)+Jx'-4x-32 ,

b)

y~J-x2+IOxc) y=J16+6x-x' y=Jx'+2x+I+Jx 2 -2x+i b) ~=Jx'-6x+9-,jx2-lOx+25 y = log (1- 3sinx) b) y = log(S + 2cos6x)

v4-3x-x 2

6.34.a) y=log(x'

c) y=3+2sinx

6 y= 5+sin3x

b) y=x'+2x+7

y~/-x2+x+2

>

V= x-l +?Jx-5+Jx2-10x+25 - x+2

6.35.a) y=iog(2

y=x-3

X6AS.a)

x+ J

X.

6sinx + 8cosx

6.44.a) y=5x'-8x+10

= log(sin x) 1e>g(>:-.lj

=

x+2

6.43.a)

Xl -2x~3

6.33.a) y = Jlog(x + 3)

6.38.a)

6.41.a)

sin x

x y = logQ - tgx)

x-5

3 y= 2-cos2x

y~

b) y = - - 1- cosx b) V"" arcsin3x

y=--.

+4

6.36.a)

~

Odrediti oblast vrijednosti sIijedecih funkcija: 6.40.a) y=sinx b) y=cosx

I(x)

a[ccos( 5 - x)

flog, (x' - 25) -11

Ispitati ogranicenost datih funkcija u datom intervalu skupa R: I 6.57.3) Y = x 2+3 ,(0,2) b) V = ~- (-1 1).

-

6.58.a)

y

21

x -4x+3

,(1,3)

b)

y =

x 2 -1 ' 3x

,

, (-1,4).

+5

Ispitati parnost, odnosno neparnost, sl1jedeCih funkcija: 6.59.a) f(x) = x'-5 b) y;= cosx c)

f(x)

=

tgx

75

b) f(x)~x3-3x b), y~5sin'x ,k b)J v=x+sin~ -- ~/ \''''

6.60.a) fix) ~ X4_ 8x' + II ~f(x)~x3-5x+3

'- (6.6~ja)

y+I-3

~) f(x)~J4-x'

c)

f(x)

~ ~

8xsinxv._. sin2x+cosx

@

aX + a-x Y ~ ----2 f(x) ~ x+tgx

6.68.a) f(x)~3x2 .V;:-5sinx

~

,

1

a --, a'

@)f(x)~logx2 x-5

f(x)~log-

x+5

x

b)

a -a

-x

f(xJ~--~-

b)

2 fix) - tg3x + cos4x

b)

J"'() X

~

3"IXI- 10e -,'-3

Dokazati da su slijede6e funkcije periodicnc i odrediti njihove osnovne periode: 3x 6.69.a) f(x) = sin5x b) f(x) ~ cos6x 0) f(x) ~ tg4 b) f(x) ~ cos3x + cos4x c) [(x) = sin2x+cos5x 6.70.a) f(x) = sin2x + sin3x . x . . x x 6.71.a) f(x ) ~smx+sm'b) f (x) = Slll- + cos -- +tgx . 2 4 2 6.72.a) y ~ sin 21tx 6.73.a) f(x) ~ sin6x + tg4x 6.74.a) f(x)

b)

i ~ sine ax + b)

~ 2 sin 2x + cos.:'C + tg 3x 3

3

4

Funkcije date u implicitnom, napisati u. ekspIicitnom obliku: 6.g0.a) 3x + 4y - 11 ~ 0 b) 3x + 2xy - 4y - 1 ~ 0 6.81.a) 3 sinx + 2xy·+ x-y +8 = 0 b) x2 + 3xy-y+8x+2 ~ 0

V>/

f(x)~Jx+x'

b)

Ct>:§)l) Y~V(x-I)"+V(x+l)'

6.67.a)

f(x) fix)

.'

~ Y~lxl-2x2

6.66.a)

f(x)~sinx

c) c) c)

c) y ~ sin 4 x tg3x + cos4x . 5x 4x 5x

a, bE R ~

b)

[(x)

b)

f(x)~-3s1116--2cos3+ctg7

Skicirati grafik date funkcije: 6.82.a) y~x+3 b) y ~ 2x + 1 6.83.a) y~ -x + 2 b) Y ~ -2x - 4 6.84.a) Y~lxl b) Y~lx-ll 6.85.a) Y=X2 b) y ~ x 2 _ 4 6.86.a) y~x2 - 3x-4 b) y ~ x' - 4x-2 6.87.a) y~2' b) Y~ 3' 6.88.a) y ~ logx b) y ~ log(x-2) 6.89.a) y = sinx b) y= sin2x Date su tlll1kcije x = get) i y 6.90.a) xdl+7,y~2x-·5 6.91.a) x~t2+1, y~sinx+2 Date su fitnkcije f(x)

=j{x). Odrediti slozenu funkciju y ~ 1'(g(1.»: b) x~2t-l, y=(x+l)2_3. b) x~e4+2, y~lnx-I

~ I-x, g(x)~ _1_, hex) ~~,x E R\ {I}. Odrediti:

6.92.a)

fof

I-x b) !Log

6.93.a)

fog

b)

6.94.a) (fog)oh Odrediti [(x) ako je dato: 6.95.a) f(x+l) ~ x-2 6.96.a)

Dokazati cia sIijedece funkcije nisu periodicne: 6.75.a) y~x+sinx b) y~cosx2 cJ ttx)~sinx2

r(.~}6X+3 ,2

c)

hoh

gof

c)

foh

b) fo(goh)

cj

fo(hoh)

b) 1'(2x) ~ 4x- 1 b) ( x-I\

cJ [(x') ~ 9x cJ / x+11_3 x x

f

jX+YI J \

b) Y=

6.77.a) y "'" sinx

b)

y

~

x+5 -3 log(x+5)

Odrediti aule i znak datih funkcija: x 2 +4x~21 x-2 6.78.a) Y= +3x-4 b) Y= 1+x2 6.79.a)

Y~(X2 --5x+6)e~

b)

c) 0)

-25 6.98.a) 6.99.a) x+3

c)

y~ I-x'

cJ

y ~ Vr(x-+-3-)~2(-x---I)

y~2x

+3

f(x)~2x+5

6.100.a) f(x) ~ x 3 6.I01.a) y:;:; 2

X

6.102.a) y=rx~3·

76

-3-)~8x+2

r

'l

3)

f(x)+f(y) 2

Dataje funkcija y ~ f(x). Odrediti njenu inverznu funkciju Y~' koordinatnom sistemu skicirati njihove grafike:

x 2 --7x+12 y~(x+4)·5'-2

X-I

6.97.* Odrediti sve funkcije f: Z --+ R za koje vrijedi:

Odrediti nule date funkcijc: 6.76.a) Y ~ 2x-6

c) y~x-4 c) Y ~ -3x + 5 c) y ~lx+31 c) Y ~ x' + I c) y ~ _x2 +2x +8 cJ y=2"-1 c) y ~ 10g(x +2) c) y = COSX

0) Y~ -3x + 8

0)

b) f(x)~x' +5

oj

2x+5 x*3 c) x-3 b) y::::: 31'+2 0)

b)

f(x)~--,

b) y~-2±J4-x

0)

f(x)~

y

y

~

r'cx) i

u

x+3

Y~--

2x+5 f(x) ~ 2-'

~

4-x', O';x,;2

log, (x -1)

-1±JI+4x 2

77

6.103.a)

y=x 2 --16

b) y:::=3X2 +x-4

c)

eX: +e--X: b) y==---

6.104.a) y'"log(x+5)-2

c)

2

Izracunati granicne vrijednosti datih funkcija: . Xl -J r 3x+5 b) 1 m - c) hm---):---J.22x-3 .\"-->-2 4x + 7 Hl 2X2 -11

y:::::x2-3x-~

2x

Y=--, l+x~

~

rl m 4x+3 --

~~

lim( x -3x+1 +1)

2 x ......o

6.107.a)

6.2. Granicna vrijednost funkcije

Ako je

jfCx) - Ai > M,

za Ix -

b)

~~~~f(x) =

6. I 08.a)

rl l l5x+ 1 l-2x + 2

x---Jo3

lim cosx

b)

"

sillx

1im

2x

>:-).n;

>:""'T

Defirticija gran'iene vrijednosti funkcije: Neka je funkCija y = f(x) definisana U okolini tacke a (pri' cemu u samoj tacki x = a ne mora biti definis8na). Broj A nazivamo granicna vrijednost funkcije y = rex) kada x---+ a, ako Za proizvoljno, rna kako maleno, 8>0 , postoji hroj D(S) > 0, tako da vrijedi If(x)-A!
GOl11ju nejednakost, najcesce, zapisujemo ovako:

x-4

' l-co. sx Il m - - X--">O sin'; x

b) lim sinx:-sina .\"4a cosx - cosa

. l-sinx Il m - - , "-f:::' cos x

b) lim~!lX-lga x"-)-a x-a

(~) rl mx-5 - - - D\-!~ 2 \-,-

c)

x -61

!---j.8

lim (sinx - 2cosx)

x-}-o

t---X)i

sm

c)

lim

4

r...,.~ cos 2 X _}. 2

6.109.a)

,

c)

cos2x

lim

J2

cosx--

A.

2

0\ < (} ,gdje.ie M rna koji pozitivan broj, tada pisemo

c)

. x2-2x+21 hm-----X-}Q x2+2x+7

c)

lim 8+~-~) r...,.",\ x 2 ,.x

lim/ex) = +00 i za fnnkciju Y'-"f(x) kazemo daje beskonacl1o veiika velicina kada x-+ a, "-;'0

Ako je 1imf(x);;;o; 0 za funkciju y=f(x) kaicmo daje beskonacno mahi velicina kada x-+ a x-+"

Ako jc >.: < a i x-+ a , tada koristimo oznaku x-+ a -- 0 ( "x teli ka a sa lijeve straneH) , ako je x > a i x---+ a , tada koristimo oznaku X--j- a + 0 ( "x tezi ka a sa desne stram:") Brojevi f(a~O) lim lex) i f(a+O) = lim f(x) nazivaju se, redom, lijeva i desna granicna

r-c

'0(Vi

4

\

,..-;:

· !) • _,_ XX-c --_11""",+:-', x + 2 6.1 12.a) I1m arcsm

x...,. H()

(

b)

2

lim .

x r:------

<-.o,}S-x--JS+x

00-.

r-+II-0

x-----J.Il·I{)

vrijednost funkcije y

= t~x)

6.113.a)

u tacki x = a,

rlm

-3

b)

x-+ 0·-0 X

rlIn

O'Jo.l\ Da bi u tacki x

a postojala granicna vrijednost, mora vrijediti jednakost: lim I(x) = lim I(x). r-+a-O

6.114.a) lim 2-'

b)

X_)_H~'

O\.!(\,,\'

6.115.a)

X-HI+U

pm logJx

Ako funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju granicne vrijednosti karla x---+ a, tada vrijedi:

J)

2) 3)

lim[f(x) ± g(x)l= liml(x) ± limg(x) . r-+-
r-----J.a

hI

x-HI

)'-40

Iim((x)

(x)

6.1 I 8.a)

.

iim~--=.!:::2:-"--,akoJe

limg(x)FO,

x--)-(/

X->(I

lim g(x)

g(x)

6.119.a)

X-----J.a

Neke va7."ne granicne vrijednosti:

a)

Hm >:-+0

sinx

x

78

lim(l + x)" =e

,~o

-3x 2

x+2

iim-,x· .- 4

,·--.2-tfi

x 2 +5x+6 )"-.-3 x+3 3 3 2 --'--- 2 lim'x " x , X ,

11m-~--­

!..

=1

b)

I

c)

lim >:-,3

@7® lim x2-2x+l x -x

.~-)-{J

iim[r(x). g(x)]= limf(x)·lim g(x). y -)a

e~

x 2 _0

d)

(e=2,71828 ... ) · In(i+x) 1 Il m - - - = r40

X

e)

aX -1 lim--=Ina r-40

X

6. I 20.a)

~

(Ir

0) c)

lim log2 x

c)

x----'>o+o

3

x

+x

x--).ct)x 4 _3x 2 +1

rnn-3 x40 X

lim 2" lim log] x

,

"4+",,

-

fiit) lim x', -16 ~ x-)--42x + 8x .QJD lim x(x+4) <~

-3

5(x' -16)

b)

.. x'-6x nm-,-x->ox--2x

b)

" 3x - x 2 ~'-+3 x-3

Ill11--' 3

b) lim x -3x+2

-2x-6

x-}--2 "-"

16.12 .a)l lim

b)

x

lim 2

x----l-+«:

1:-')+00

3 .-

.~->o+o

X-----J.!

(~. ~}

(x_I)2

" 2x2_4x+2 I1m >:-.1 3x-3

79

l-sin~-

Sin(x - "-)

6.188. *a)

lim

3 H.:: 1- 2cosx

,

b) liI1l ----.£ x--.,.n

n-x

.,,' e'

..J,-,-I-,-+.:.s",in",x_-..c.J"I_--,s:.::in.:.:x.:.: Ilffi-

c)

,,--)0

Pri kakvoj promjeni varijable x slijedece funkcije ce biti beskonacno male vchctn . 2 6.204.a) f(x)~x-2 b) f(x)~x'-9 c) f(x)~x-3x+2 6.20S.a) f(x) ~ 1- cosx b) f(x) ~ sinx + casx c) 11X) ~ log,(x-2)

X

lim cos::'· cos:: . cos ~ ..... cos ~ 2 4 8 2" cosx·cos2x-cos3x· ·cosnx-I lim ....

6.189*a)

x--+

b)

Pri kakvoj promjeni varijable x slijedece funkcije ce biti beskonacn o velike velicine: 6.206 .•) f(x)=x+3 b) f(x) = x' - 25 cJ f(x) = -x'+3x

<:C

X-'J.O

.

6.190.a)

,

6.207.a)

"-,;",-,3+

6.19La)!~,,!(J +~r

*** b)

G41) lim (1 +.3.)" '---~

4-5'

c ) Inn

tl3D '--Y

3x

X-'>-oo

lim(I--"--)' 4x

c) lirnll+-

,.~">",

x-,;ro

X--J>

X

I-x

b)

0

lim(1 + 2x)' x"-)

c)

0

lim (1- 4x)

I

y

. (x+ 1 '\2x+l

C):~!lx_2j

I

b) lim(2X+3 V+2 to)

x-,"W\ 2x +! j

c)

lim !n.Q+ Inx)

c)

X

x--),o

lm==......:c=

sin3x-sinx 6.197*a) l ,,--->0 In(1 + x) '

6.198.a)

6.199*a)

eX -1

lim'--

x-+O

X

b)

lim( xarCSin-"--) x+l

c)

7" -1 lim---

c)

x_·}(j

x

e-2r -1

6.200. 'a) lim - .._.,,-">0

'

6.20 I *a) I nn

X

(.' ~ - ~ 4)' X,)X ,

x--+"\X

2

-3x+5

lim(l -1- X3)c/g1 x

x-,o

lim--HOin(l +xt)

(X'+X+1 b} .. 11m 2 ~-';oo

c)

x +x 1

lim"--=-x

Y I

limx" ",--->0

lim(l+sin1tx{,gm c)

x---+ 0

X--++«J

x--).-oo

KOSA ASIMPTOTA: Prava \ y - kx + n je kosa asimptota grafika funkcije Y ~ [(:X) , a!cojc lim [J(x)-(kx+n)]=O ,odnosno,a!coje

!

x----+±w

x k = lim fe ), n = lim [t(x)-kx). x--+ ±"" x x----+ ±co

c lim (J+tg2.j;)';;;; x----+O+O I

6.203*.a)

=

y=b

" >=-...r-.,,-

x'~x~l)

limx";ux

{J

l
. 10" _7 x luu-2- -

x ...... 0

x----+!

b)

x--+

I

"

I

b)

x--+ a

funkcije II vrstc. llOR1ZONTALNA ASIMPTOTA: Prava y b lie horizontalna a.siI1lptota grafi];:a funkcije y=l(x), ako 50 lim f(x) = b iIi lim fex) ~ b .

X

5,

b)

ver;ik-;'/'-;;;~simpIQtll---====r' ~' l

VERTIKALNA ASIMPTOTA: Gratik funkcve y = [(x) ima akoje lim f(x).= +lY) iii lim f(x) = -00. U ovom slncaju (acka x = aje laCka prekl

lim (2x + 3)/g'::

.--+0

c) f(x) ~2' +3"' c) f(x) = log(x-2)

Asimptote fuukcije

7

x-+c.(I

c)

X

lim sin2x In(l + x) l- ...... il

X'"+e<\

lirn 8e'-1 _l 1"-,0

6.202*a)

b)

Y'

lim(l + -"-3x)

x->O

6.3.

x

HD

b)J~!(l + x\

tgx

X

I

6.193.a) lim(l+x)'

~ 2'

~

x 2 -1 c) f(x)=-x 2 ~16

b) f(x)~x;ll x -1 b) f(x) ~4-' b) f(x) ~ ctgx

+8

( If

x--+oo

X--4-oJ

J"

2

x~4

6.208.a) f(x) 6.209.a) f(x)

1--)

iim(l + "-)' X

c) lim (

x

f(x)~--

c)

x

I

. Horizontalna asimptota

L-....------'-----'~b'-----:-_~

lim (Inx)" x-~+""

85

84

Odrediti prira'taj ,;y ~ ,;f(x) funkeije aka je data x i ,;x: 6.220. y ~ 3x za x ~ 2 i ,;X ~ 1 . 6.221. f(x) ~ x 2 -2x +2, za x ~ 5 i ,;X ~ 2. 6.222. y~Fx, zax~ 1,44 i ';x~0,25.

Odrediti asimptote sIijedecih funkcija: 6.21 ) ~

e") 6.212.a)

6.213.a)

I

y~-

bl

x-2

4 x·

®

y::::I---:;-

b)

y~

y

-3x+4 x-3

x y~-­ x-I

@ @

2

x +1

y~--

x

y

x+7 y=-2x x'

y~-

x+l

2

6.223 .. Odrediti prira'taj funkeije y ~ x + X +1 pri promjeni argumenta sa Xl = 2, na Xl '= 2,5.

2x4+x3+ 1 x

3

Ll.x ~ 0,2. x 6.225. Dataje funkeija l(x) ~?;fi; . Odrediti M(x), ako je x ~ 1 i,;x ~ 0,2. 6.226. Odrediti prirastaj ,;P povrsine kvadrata straniee a ~ 10 em, za L\a ~ 2 em.

6.224. Dataje funkeija lex)

2x2 +9x-5

@14~ 6.215~~

x-5

Y""--2x+6

x'

b)

Y""'--

/

Xl

+1 -~!"' '

4x~ x J Y = 2- - -

.

3

6.216.a) 6.217.a)

x 2x2 _g

y

b)

b)

x

y~.jx'

6.219.a)

I-lnx Y=--· 1+ Inx

y

x _x_l x

x l +6x_5

6.2HLa)

Odrediti prirastaj L\y = L\f(x) date funkei]e u opoem slucaju: b) y=x2+1 c) y=2X2_X+5 6.227.a) y ~ 3x + 2 b) f(x) ~ sinx c) f(x) = tgx 6.228.a) f(x) ~ 3'

x +4 2

y~--

_.j

b)

y y~

~.!.. Odrediti M(x), aka je x ~ I i

6.229.a)

xl-5x+4

v=

x+l x-J

b)

----

2x+1

y= "_j~

c)

"

3x

y~log--

x+l

x-1

x' -1

b)

Y=

2x+3

-,-

x +1

6.5,

I-x + 4arcrg-~ l+;r

Newekidnost funkcije

rnefinicij~'d: Za furtkciju y = f(x) kazemo da-je neprekidna u tacki X'''"a, ako je graniCim L vrijednost limf(x) jednaka vrijednosti funkcije za x=a, tj. ako je limf(x)""" f(a). ;'--><1

Prirasta,i argumenta i prirastaj funkcije Zn. ful:kc!ju y f(x) r~zJika dvije vrUednosti argumenta xli X2 iz njene domenc, naziva se I pnrasblJ argumenta I oznacava sai1x, to znaci daje X2 - Xl "~- !lx.

I 'II

Razlika dviju vrijednosti funkcije YI

. oznacava sa ~'iy iIi ,6.f(x),

~j.

vrijedi:

=

I

fIX ·-~o

I Ako je u tacki x=a naJ11sen uslov neprekidnosti, kaiemo da funkcija u toj tacki ima prckid. Definicija 3: Za funkciju y = f(x) kazemo daje neprekidna u intervaJu (a, b) ako jc ana neprekidna u svakoj tacki log intervala.

Odrediti tacke prekida date funkcije:

f(xl) i Y2 = f(x:;) naziva sc prirastaj funkcije i

6.230.a)

1 lex) =.-~

6.231.a)

y=-

b)

y=---.

6.232.a)

y=

4-x -9

b)

y=

X,

x

3

x-6

6.233.a) lex) ~..#x -I) x-

86

b)

lex)

c)

y

x+3

L\y

Y1 ~....... f:ii"i::'1!'L .. ,.,"...,... ~

.T-)'/

Definicija 2: Za funkciju y = f(x) kUZemo da je neprekidna u tacki x=a, ako je 11 toj tacki definisana i ako beskonacno rnalom prirastaju argumenta odgovara beskonacno mali pri'rastaj funkcije, tj. ako je lim ly(x) = O.

5x+6

2;;

x+5 x 2 +x+ 1 -2x+ 1 b)

0) lex)

2x (x-3)(x-7) x+5

(x -l)(x + 3) x 2 -3x +6x+9

x 2 -8x+ 15 (2x-5)(x+ 10)(3 -2x)

87

fu'v

lim

6.122.a)

<

<.

Xl

X-l-5

/

-8x+15 -25

b)

· x-I 1Im-.x--)Ix~-l

,'----.-"

I"1m, x2-7x+IO

61 . "3 _.a )

H5X-

3x 2 _x_6

!G\ l'

!...!l))

-9x+20

1m

H-~

, 6x

1-

+ lOx+4

6.124@

@lim ~"I 2

6.125.a)

b)

6.126.a)

X-JoO

. (x-4)(x-2) I1m 4x2+x+2

b)

x--)m

6.127.a)

. x r.-;cHo,,1+2x -I

2x'+x+6 Hoo(x-l)(x+12)

6.143.a) I1m

. lOx-.Jx' -11 3x

6.144.a) lim ~6

lim

b) hm--:':':""""':":"

tbJ" lim ~ :- ~ \!:!J}

6.128.a)

6.J3~ lim(._I_x-3

6_

't.VX--)'3

6.131.~

9

2_)

lim(_1_ _ _ .<---)1

x-I

b)

x 2 _1

. (2x 2 ,-4x-24 6.132.3) lIm =.,...':'::""::":' 2

I

'

J . (2+llX+3.X2 .X+I Ilin -x2+x+l 2 ..-x/J

~-->-4\

6.133.a)

.

x -16

4-x

X---"7-2

b)

X--->-OO

/ vJ 1.6.134~) !~'i(

l-Ji+x )

6.131@ ,I\,!,~( x -~) 6.136.a) lim (x+.Jx' -7x I ,,--'-'-4> •

)

6.137.a) lim (Jl+x' X4H
6.138.a) lim ( .'(--)+0:0\

-xl )

.Jx +a_.[;l).

6.139.a),li,rpJ .Jx+ / ; -..Ix)

80

. hm

x+2

I x2-2x+4

,,----,-, -1

-324\ -)

<--

!~~( ~ -.J2)

b)

lim(x-.Jx'+5xl

X--)+""

)

x~~:,(X+Jx2 +54X)

b)

,

6J50.a) 6.151.a)

6.152.a)

lim 1+2cosx cos 2x -+ 1

,

~.~::_

lim sin2x -cos2x -1

,

x-:.~

COsx--smx

H'

. } .. ,jx-2

hm-'-~' 2

lim HI

b) b)

x -121

fx-s

lim

0)

,ja+5x -,ja-5x 2x b)

x 2 -81

H'I-,j6-x

x+1

..Ix - 2

H43--J2x+l

lim

c)

1'-}!2

.Jx+4-4 x-12

x+2..1x -3 x-sf; +4

r1m

,~",j3+x

lim X-}1t+O

3x ...)3-x

..11+003; sinx

l-cos4x """'01-cos8x

b) lim b)

rm~ (sinx --,--tg 'x)

,

X--'>~

b)

lim

cos

X

,jx-b-,ja-b

:\:-.(1

6.153.a)

b)

E'!'.( ~-.JX+12)

6.154.a)

b)

,~( Jx+Jx+..Ix -..Ix)

6.155.*a)

® x~!( ~1+x2 -x) b)

cos x x_.~ sinx+ Jsin 1 x+cosx

~'-->'" 4x -5x+6 x+lO 2

3x+3

6.149.a) lim

x +8

(5X' -3x -8 4x -3)

b)

b)

, ;.;:.3_+..:2:::x_--_,j"'xc..+=2 6.148.a) I· Im-

!~"lC~2 - )~8)

· ( --+ 2 b)I1m

x+l

,jx+7 -4

oj lim

x--~-! 2-.JX2 +x+4

-,-.J3_,_·2__X,--_1

1"--)-1

E-1

x...,.11

3- ..Ix

x----'-' G

lim

cJ

lim '~'4-,j2x-2

b) lim

6.147.a) I1m

;1

x-J";;

Im~--

x-2 6.146.a) lim----X-l-2 .Jx+7 ~,3

2

~, 2,Jx-l

r

b) lim

x'-4II_x

6.129.a)

b)

cJ

H" x-a

- ) [.l i ll-..Ix l-6. 14o.a

jx

x--).+oo

x+3-3

X-lob

b)

x

X-l>j

rI n 1 4x-I --x--'>

. x'-..Ix

hm-----

c)

}i'!'A.Jx' +2 -x) r

x2_9

lITl~

,j3x-3 ..Ix -Jx-3-J3 b) lim .Jx' -9 H3

x~,

81

cos:! x

. sin x b) 11m

6.156_a) lim .:-""'-';'3

,

X",,"~

1+sin x

x-t~

*

" sin 2 x-sin 2 a II m - - - - -

6.157.a)

' sinx - cosx I1m x-~:; tgx - ctgx

b)

sin(x - a)

.HlI

(;~;~)'\ lim 4x+8 ~~H-2

x ,r;:--

. vW-I

hm

r-} 0

\. i/(;-;;y - 1

h)

llTI-

X

3Ci 2,r:+ I 6.163.*a) lim _'1_XA_'_-= v x

lim_· __x__ r-,oVx+l-1

(x-I)' . x,/x-aFa I ml a> 0 ,/x-Fa' -

h)

b)

. .J1+-';-1 I1 D 1 - - - -

x-'()Vl+x -I

.. sinmx

Ilm·--y--}O

. x

Iim _ _ 3 X

'--...._

Y-Ht

. '3

b) lim 5111 x---).

0

x

2

x

b) lim--2 " ...... 0 x2

HO

lim(nSin'n::')

6.172.a) lim('!'tg :::)\ ,,--->0 X 2

c ) 11m

_ x-a sm-··

b) lim

x

6.177.a)

c) I1m x.,,>::'

"

sin 3x

lim~~~2x+(g2x x--+O xsinx sin xcosx - ff0 Xl sinx

. sin(x+h)-sin(x-h) hm h-+O h

b)

lim

b)

. I-cosx 6. J 80.a) hm--··----HOx(~x+1 -I)

· VS-x-l I Irn---_-'~4J5=x -1

b)

lim-;;,r=-, m,nE N

Vx-l

x-.;.j

'!Jx-l

.

sinx mx '

b) lim \-cos5x X00

x2

b) lim Igx-sinx x-w x3

b) Iim(2' X--->

oc-

.sin~) 2-"

b)

· sin(l- x) b) 1I f f i - - x-,)

1tX

. (x- 3n)

c)

x~~ 0

sm f3x

X

' arcsin x JIm--H' x , l-cos2x c) llln X-40 xsin x

c)

lim(rctg2x) \'--+0

c) lim I-cos] x ,-->0 xsin xcosx

x---->-~

0

' sin 5x + sin 3x II m - - - - )(->0

c)

6.183.*a) lim of;

fx+i6-4 sin5x c) limx+arcsinx ,-.-. () x + 2tgx

';-;;-1

c) lim cos;>; + ctgx x-+~ , 11: - 2x

x+1 · b) 1I m - - x--+-I

IT cos~-x

sm

tgax A Inn -:-~d---'

lim

2a,

2

:<--+0

2

·

SIn x

a-ox TIX 1 lim ( sin- tg~J

6.181.3) I,·m sin~x . :--.!2 x~} --I ;::0 -+ I 6.182*.) lim ( x -I ) f g X----1- 1 2

Il1n--.m-:tO

1+ xsinx - cos2x . ,

x-.a

sin x 6.179.a) lim -r~~;;;;;''';:--­ )(->0 +xsinx-cosx

. x(tgx -l}

b)

x--+O

6.J78.a) l i m - - - - -

c)

cosh

.

sin4x

X--+()3-J2x+9

Ho,Jx+2-fi

X'--){)

c,\

X

tgx

11 .......0

x--}a

x-;'°l_~

2

tg5x

sin 2 ~

6.170.a) lim l-cosx

82

x

. ?

6.169.a) lim 5111_:::'

6.171.a)

2

x-.-ry,O

X--40

sin 5x 6.168.a) II I n - x-, Ii sin 2x

6.175.a) I 1m

iim~-l

X-).O

b) nm-·"

tg 2x - tg 2 a X-HI tg(x-a)

.

, cos2x-cos2a b) I1m

sin3x

.

c)

c)

X

(b).'lim

..

6.167.a)

x x-;'°'!J2x+l-1

6.176.a) lim c)

<

x--+O~_J

2

lim

. x x sm-cos-

SlnX-)O

c)

c)

H"

~~)

fgx-l

' sin4x c) II f f i - - -

b) lim arctg8x X-0-0 4x

2

HI

r--''''-''''\

,

.~->o

6.162_ *3) lim v.;:-I y-,~ I -1

6.164. *a)

. sinx -sin a 6.174.a) I1m .• -} a x-a

hm '~O\h+x -V3x+2

b)

v23+x-3

X-JoO

c) lim sinx-cosx

x

X

)(-}o

~-l

.

b)

. x-4 6.160*a) hm,c 6.161*a)

coSX-COS5 ,

6.173.a) I 1m

x._~~

, x -x-2 hm 3 x--+··-l X +1

x->°'VS-x -\l8+x

XA4

'

c) lim sinx x-J.°I-Jl+sinx

2

+8

6.159_a) lim

- COsx

cos 2x

I-2eosx

3

,

x 2 _4

lim sin3x

c)

b) hm--X----1-2 1t cos_ox 4

X-Ht

sin 2x

x

x-sinx 6.184.*a) lim ........ _ ;r--+", 1-5x

6.185. *3)

,.

sinx

11m

--2-

cos--'

x--+n;

X --1t ,~

b)

X

X----1-T<

. n(x+l) c) hm cos ~---

b) lim~-2 . sm-x-smu \1m 2 2 X---+Ct:

V-;+l

x---)--l

• 2

x-(x

R

' a E ~,a

,,0 " -

1- 1(2

6.186,*a) lim sinx-cosx x--+:: 1t -4x

b) lim cosx x...,::,1t --2x ,

Ijm( x -'::"Itgx 2;

_ tgnx Iun . - -

4

6. J 87.*a)

,

H~\

b)

. I' co52x oj I m - ); ___}~1t -4x

,

-~-.-1x+2

83

6.234.a)

2 x +4 f(x) = - o x" -4

3 f(x)=cosx

b)

6.235. Funkcija f(x) zadanaje na slijedeci naCin:

f(x)

=

°·x,

za x < 0,

za

,

-x- +4x-2,

O~x
za 1:::;; x < 3,

1

4-x,

za x.:2: 3.

7.

Da lije ova funkcija neprekidna?

~

6.236. Dokazali da za x

=

4 funkcUa f(x)

=

"37 , D 0I"azatl. d a za x 6 ,L

=

6' ~fun k" 'CIJa ,f( x)

x' -36 = -

Tablica izvooa elementarnih funkcija. U svim tackama, U kojima su odgovarajuce funkcije definisane vaii:

ima prekid.

x-4

x-6

DIFERENCIJALNI RACUN

(aX)' =axlna, (a>O,a-:f::-l);

c' = 0 ,( c - konstanta);

. 1ma prek'd I .

(x"

>' =a x u ' 1 , (0: E R);

(eX)' = c'

Dokazati daje data funkcija neprekidna u datoj tacki: 6.238.a) y

= x',

za x

=0

b)

6.239.a) y = 2' u tacki F3.

b)

- - (a>O,a*l) xIna'

f(x)·= sin" u tacki "-

,

3

3x

J' = I + Xl

U

~

(slax)

t l acT '1 x= .

, I (lnx) =-;

cosx:

x

,

b)

6.240.a) f(x) = x'o2x+ I u tacki x = I. 6.24 I. a) lex) =

(2X--1, x:S;1

t

1,

x> 1

f(x)= l+cos2x utackix="-. cosx

v

u tacki x=]

'x f()

b)

4

x' - 4 x·- 2

"k'

(tgx)

2

=--~utaC·IX=-.

b) y= cos2x

6.246.a) y = logx

b)

x

c) y=N~2 2X2

x+5

Dodefinisati datu funkciju u datoj tacki, taka da se dobijc neprekidna funkcija:

f(x)=~'_-9, x~3. x-3

sinx

6.248.a)

f(x)

6.249.a)

f(x),~

88

= ---;-,

x

= O.

x-3 ,x=3. vx"' -1-2

b)

f(x)=~:+:,,2x+l, x~.]

b)

f(x)

b)

f(x)

x+l

.Jl+x-~ 4x

2-~ sin2x

,x = O.

x=O.

(arccos x)

1

, (arelg x) -

-1+x2

sm x

,

.

1 ' ! + x'

(arcclgx) = - - ..

.

>

7.1. Srednja promjena fnnkcije. Srednja i trenutna brzina I

-3

c) y = 2- - ' x +4

y=--

,

!

~--; cos 2 X

(clgx) =--.--; 2

Dokazati daje data funkcija neprekidna u rna kojoj tacki iz domene: 6.242.a) f(x) = c, C E R b) [(x) = x c) [(x) = sinx 6.243.a) y=3x-5 b) y=2x+ I c) y=x'-5 6.244 .• ) f(x) = cosx b) fIx) = In" c) f(x) = e'

6.247.a)

,

,

6.245.a) y = x2 . 2x

,

(arcsin x)

(cosx) =-sinx;

l&)I naziva

Za funkciju y =: f(x), odnos prirastaja Ay funkcije i prirastaja argumenta.6.x ( fly

I

se srednja promjena funkcije. Neka se tacka krece po zakonu s =- set). Tada se srcdnja brzina tacke u imervalu od tl do t2 nalazi po formuIi: v" ~ s(I,)-s(t,) t2 -t l Trenutna brzina tacke u trenutku to> nalazi se po formuli: 8(I,)-S(lI) v(t o ) = 11m vsr::::' hm .

I I II _

_

.

/--)-10

.'

ir--)-/I

12

~tl

89

7,1. Odrediti srednju prornjenu funkcije y = 3x2-5 pri prorujeni argurnenta x od XI= 2 do X2= 2,5. 7.2, Odrediti srednju prornjenu funkcije y = 2x2+5x pri promjeni argumenta x

od X, ~ 3 do x, ~ 4. 7.3, Odrediti srednju promjenu funkcije y = sinx pri promjeni argumenta x od Jt

XI

=-

do x 2

Jt

=-.

6 2 7.4. Odrediti brzinu promjene date funkcije u datoj tack;: a)

y~3x-2.x~3.

b)

7.3. Osnovna pravila za izvode. (Pravila deriviranja) Za izvode vrijede slijedeca pravila: C' "'" 0 (lzvod rna koje konstante jednak je nulL) Xl = 1 . ( Izvod argurnentajednakjejedinici.) (Xli)' = nxll- 1 , nER. Ako

Sli

fig diferencijabilne funkcije u tacki x i C-konstanta, tada yazi:

2

y~-, x~-2

(f(x) ± g(x)/ = ['(x) ± g'(x);

x

7.5. Tacka se krece po zakonu set) ~ t' + 21:'-10 (tje u sekundama. a s u rnetrima). Odrediti srednju brzinu tacke za vrijeme 2:£ t ~ 4. 7.6. Tijelo so krece po zakonu set) ~ 2t 3 - 31'+ 5. Odrediti srednju brzinu u inteTvalu 0 s: t ::;: 3 i trenutnu brzinn u trenutku t = to, 7.7. Odrcditi srednju brzinu kretanja tacke koja se krecc po zakonu set) = 12_31 u vrcmcnskom razmaku od tJ = 1 do t2 = 4.

8.2. f'rvi izvod (prva derivacija) fllnkcije. Opel metod odredivanja izvoda (derivadje)

(l(x)· g(x»'

(l(x) \ 19(x) ;

~ {'(x)· g(x) + [(x)· g'(x);

~ ['(x)

[g(x)]'

b)

DCfinkija--prvog izvoda (derivacije): Za funkciju y = fex) definlsc se prvi izvod iii prva derivacija y' = rex) na slijedeCi naCin: &

.<\;;"-l-O

ill:

7.2r';~a-) y

7.8.a)

Po dcfiniciji, odrcditi prv) izvod (derivaciju) date funkcije: }' = ) ( b) y=2x+5 c) y=3x-l

7.9.a)

y=

to)

'7.10.a) y=

+3x

y~

+3

b) y=x2-2x

c)

y~

-5

c)

y~

+4x + 6

y ~ 6 - lx'

b)

y = -.Ix' + 3x + J I

c)

3 ' y=-x" -8x-J6 0

'7.12/~) y=x]+2

b)

}' = x" +X2 +x

c)

y

7.13,,~)' )' = x' , orA"

b)

c) y

y=!c

b)

y=x 5 a

7.11.~)

\7.14.a) '-::-~

x

15~ y~E

7.16.a) y~ sin x 7.17.8) y ~ cos x

90

b) b) b)

y~-

x

y=£-3 y = 2 sinx y= cos3x

=

" =x 3 -

3x 2 + 2x + 1

x" , 11 prirodan broj.

-5

0)

y=

c) c) c)

y=J2x-5 y

(g(x)" 0);

y=u

c)

ll

nEZ

,

Koristeci, u prcthodnim z.adacima dokazana, pravila deriviranja, odred1ti prv! izvod datih flll1kcija: b) y= llx+17 0) y~2x' 7.20,") y~5x

y'O" lim lIy ~ lim f(x+ffi)- f(x). 8."-+0

u

y=v

'-1

I

•

Date su dvije neprekidne funkcije y = u(x) i Y = vex). Koristeci definkiju izvoda (derivacUc)" odrcditi izvod (dcrivacUu) 51ijedecih funkcija: 7.18.a) y=u+v b) y=u~v c) y=ku,k-kon~tanl'a 7.19,3)

L

g(x)- f(x) :i(x)

= 3sin2x

y= a cos2x.

= 6x_x 2

7.22.:if fCx) Y=

= - t2x2 + 23

I

+

7

3

b)

-4x' -98

y = 5x-4 _3x- 6 + TR

7.25':cca)

FE

7.28.a)

729.a)

2

0)

+ 5bx 3- n

y=E + ) ; +O,lx y~(x-3)(2x+15)

V y= x

iO

,

1

--

FV y ~ 5 ''17 + 77V645

c)

J'~

--Jx

c) b)

,

,

-

y=4x 2 +6x -8x;:

b) y=3E+5x

'Z.26:hr- y=6';jx'

y = 3ax!1+1

y=4x 3 +~X2 +44

b) b)

6~

3

y = _8x -I- 12x +200]

,

7.24:3)

727.a)

6

c)

2

y=--x n+l

,,+1

3

+-'X

11-1

n-j

=3Vt +lJI-~

b)

y

b)

y ~ (x2-3x+8)(x'+4x2-6)

lfi

91

~,... >./ <1,,;>O,a)

y = (2x' _3)(2x 3 -I)

b)

Y=( 2X 3 +rx) (~ -17)

7.5.

Izvod (derivacija) iogaritamske funkcije '

",.4("'-

...•• 1 7,31:a) Y=-

b)

,73:i,~)

b)

x

x+5

Y=---

x-I

I x'

c)

2x+t 3x-5

c)

V=--

'

y~--

x' y= x+i

Qog" _

x 2 +1

x) ~_l_", xIna

, I (lnx) =-;

(a> O,a;< I);

x

y~--

x 2 -3

7.33.a) 7.34.a)

y=3x 2 +S ,x=2~ y = X4 - 4x' -x. x = 0;

b)

y=-5x]+2x-5, x=-1.

b)

y ~ 2x' -2x' + 66, x =1.

Odrediti derivaciju (izvod) datih funkcija: 7.42 ,a) y =!ogax, a>O,a * 1, 7.43.a) y = In (5x) b) y = In (x-3) 7.44.a) y=ln(3x-IS) b) y = In (4x'-3x-ll) 4 7.4S.a) y:= Inx b) y=(lnx)4

7.3S.a)

I(x) ~ 3x(x ,-llx' + 88), x =1

b)

(Xl=V;' x,eS.

7.46.a) y = ,fIn x

b) y=12+ln2 x

cJ

y=lnx ._, 1

7.47.a) y=In 2 x 2

b) y = In (3 + Inx)

c)

y =x 2 1nx-2x

7.48.a) y ~ iog,(x' -x)

b) y = IOg( x +

0)

y=log(2+3x')

7.49.a) y=.xlogx

I-Inx bJ y = - - ; I + lux

Odrediti vrijednost prvog izvoda date funkcUe u datoj tacki:

5

7.4.

Izvod (derivadja) slozene funkdje

i Ako lC' [u~lkcija

y = f(x) diferencijabilna u tacki x, a [unkclja z = g(y) diferencijabilna

LL

tacki

I

I y~ [(X),tadajeSIOZenafUnkCijaz~g(f(X)=(gof)(X)

I

I difercncijabilna u tacki x i ,vrijcdi: I (gon (x)=g'(Y2J(:~~g'(f(X))f'(x).

1

tj. z>z>y',

J

7.50.a) y = In( x ,.

7.6.

Ji+ x' )

0)

b) y=lnx, c) Y = xln3x c) y = log(X2_2x+3)

rx)

0)

y=ln(lnx) x+l

t+

(3 +-Vj,-, y=in _a x~

3X2

c) y=Iog - " ,

6

X6

i -- 3x

)

lzvod (derivacija) eksponencijalne funkcije

Odrediti izvod (derivaciju) datih slozenih funkcija:

7.36.a)

y~(Sx+3)]

b)

y=(x' _7)5

c)

y=(3x' +5x-19)'

7.37.a)

y~,J5x

b)

y~4!i~'2x-X2

cJ

y~J(x--l)(5-2x)

7.38.a)

y=;j(2+3x)'

7.39.a)

y = (x-

7.40.a)

v ,

b)

y_-_I__ '-(I_x')4 b)

0)

y=)3,,4x'

y=(x+I)'./2x-1

7.S1.a)

Odrediti izvod (derivaciju) date funkcije: y =- aX, a > 0, a*- 1 , b) y:= eX

7.52.a)

y =- e- x

b)

y:::: e h

7.53.a)

Fk

b)

y

b)

Y=--

e'- +e7.S4.a) Y = - -

=

7.41.a)

,j3x

2x-l

y=--

~

b) b)

2

7.S5.a)

y = e (2x'-IY

7.56.a) 7.57 .•)

y

=a

y

~

6

:<+4

log, 5

5

..r;:;+4

y:::: e 2

cJ

y

c)

y=10 21'+3

cJ

Y~·--.

e:" _e-- X

X

= fh _ 1_

+

c)

2

b)

y=(e 5X - 1 1)3

1'

= e-2X+11 e-" -e--' e'" +e-- x

eh

+ e--2-~

c)

y=----

b)

y:::: 12&X 2 -1\

cJ

y = 44J --J;-

b)

y = iog x 10

cJ

y:::: logNl 7

cJ

y=in-,x- + 1

c)

y:::: aYe"

2

x

92

7.S8.a)

I 2 +e y:::=n-2-e-"

b)

y

7.S9.a)

y=e-"(x'

b)

y:=exlnx

+6x+6)

~

In(xe- X + e- X )

e"

93

Izvod (derivacija) inverzne funkcije. lzvod funkcija koje su inverzne trigoDometrijskim funkcijam a

7.8.

7.7.

1

Izvod (derivacija) trigonometrijskih funkcija

~-Sinx---~

~(SiflX)'~COSX; •

1

(tgx) ~-2~; cos x ----'- ------~

I Neka su funkcije f: A --7 B i

(co.sx).' , 1 (elgx) ~---.-,-. sm x

u tacki Xo E A , odnosno Yo

I Xo i /'(x o)

,,~--,---

I- L : B 4

A, (A,B c R) uzajamno inverzne'i neprekidne

= I( xo) E B . Ako je funkcija f diferencijabilna u

c;t 0, tadaje i funkcija

r'

diferencijabilna u tacki Yo i va;:i: ._1

J

'

(f ) (Yo) = -;::;---()'

_~__________~________________~j~X~O~________________

Odrcditi izvod (derivaciju) datih funkcija: b) y = ctg x 7.60.a) y =. tg x v = x + sinx y = x SII1X 4·4rI·: , bJ Y= x 3 ctgx 7.(>2.a) Y = x"COSx

br

a)

763a)

)1=

2cosx

l'f

765:;\)

y'::;;;: eX Sill X

{66~) y = sin3x

= e-~ctgx

c)

y

c)

y = ;g6 x

=

cos5x

y=4sin x

7.69.a) 7.70_a)

y y

b) b)

y

7.71.a)

Y~COs(2X -~)

7.74. *aJ V = Jcos-.Jx

3

x - sin x cos x y ~ 2x - 4sin3x clg( 4x + I)

tg7x

1 gx v=-cos ~

.

8

2

b) y=-'-----8

c) y=tg'x-3x

b)

Y=S111

c)

Y=

b)

y=lntg3x

c)

y:;::: In cos 4x

.

, x-cos, x

1 } x (3_ cos 2 x-)-) b) y=-cos-

15

7.76*.a)

y:::::x 1nxcosx

b)

7.77.a)

Y = 2'"''

b)

94

0)

~

1 Ixl<1) . (arcsin x) =~,(

cJ

y =

::,;;;;;;sin 3x

sin x

y:::.: xeX(sin x - cosx) + eX cosx'

(lxl
vI-x -J

,

1

(arccig x) -

- 1+X2

1 +X2

Odrediti izvod (derivaciju) date funkcije 7.78.a) y=arcsmx 7.79.3) y = arc tg x 7.80.a) y = arc sin3x 7.81.3) y = arc sin6x'

U

ohlastima u kqjima su definisanc: b) y=arccosx b) y = arcctg x b) y = arccos5x b) y = arccos(x-2)' 2x

7.82.a)

y

= arctg5x2

b)

y= aretg]

7.83.a)

y = arcctg3x3

b)

y=arcctg~

7.84.a)

x y;;:;:; arcsin-

b)

7,85,")

x v=arcfg. b

b)/

7.86.a)

y = x - arctgx

b) y=xarecos3

cJ

y~~

b) y~e'[;arccos[;

c)

y --

!ncos--~·

. 1+ sin x Y=---l··m 2 cos x cosx

y:= 3 1gr - 1

x--l

~- ~---, 2

(arccosx)'

,]1- x'

(arctg x)'

=

b) 2

y~---

y

b)

y= tgIn x

cJ

b)

y:;::: 55in 3 2x

7.72.a) 7.73.3)

1 +51n x 1- cosx 1 + cosx

y=xe x +sinx

7.68.a)

= xsin 3x +cos 3x

y == xl. _ COSX l-cosx Y=---

oj

y~::'COS2X

y

tg2x

· y=e'• +e Xsmx

b)

sin x + 3 cos x = 3tgx - 2ctg x

=

Ili

y=sin x

=

cJ

y=x~tgx

.,,)

cos x l-sinx

7.67.a)

2

y

y~--

y

7.64 .•( y = e"'tp::

0)

,

------J

b

x+l

7.87*a) y = x sinx arctgx 7.SS.a) y

= arc sin(3x)

4

y = arcsin3ax

c)

y = arccos(l-2x)

i+x y=arctg--

c)

y=arctg 2x

l-x

x

b)

y~arcsin.[;?,

x:?:O

arcsmx

x arcsin x e'

c)

95

7.9.

Logaritamski izvod (derivacija) funkcije

Akoje funkcijay

~

f( x ) pozitivna i diterencijabilna u tacki x, tada je i

slo zena funkcija z ~ in f(x) diferencijabiina u toj tacki x, pri cemu je [lnf(x»), = [,(x) . f(x) Odrediti izvod date funkeije: 7.89.a)

y"",x"

7.90.a)

y

b)

= (sin x)'gX

bJ

y = y

X1~

=x

afCS "'"

eJ

y=(x + 1)'"

c)

Y=

xlnx

7.103.a)

y = 1- e,;n'3" cos 2 3x

7.104.a)

y = In( sin

7.105.a)

y = arcsin

7.106.a)

y=ln

7.107.a) 7.108.a)

b)

rx). tgj'; - j';

sinx __ .Jl+sin 2 x

b)

N+2x x+1

b)

Mjesoviti zadad

izvodll (derivaciji) funkcija

0

Odrediti prvi izvod slijed(:,,¢ih funkcija:

7.91.a)

y=(3-2x)5

b)

y=(4-·2x-x 3 )'

7.92.a)

y=.J,;2~3x

b)

y=~

7.93.a)

f(x)=£-

b)

. f(x)=

J2;-+!

f(x) = In(e" + I) + 2arctge 3, 2

f(x) =sin (cos (tgJx»

2 -2x2 + 1

7.94.a)

f(x) = (x' - 6x + 7)3

b)

f(x)=(x' _3)-4

7.95.a)

y = (x' + 6).j x' - 3

b)

+1)' Y= (a+x)" -a-x

7.96.a)

b)

7.97.a)

b)

7.98.a)

y=3·S 2X +3e 4x

7.99.a)

y=lgln£ x[

2x

•

y=e

7.1 0 La)

I Y = arcctgx--

7.102.a)

y:::;: arctg

96

y:::::: 2 x "-2!ux

e)

Y = In'(2x+3)

c) y=lnx·e 2x _2e"

7.100.a)

'\fl~e

y=w

+arcsme x

I"~ x

x

b)

y = InctgV:Z;;

b)

y = x] arccos x -Jl-xl

y = cosln 2 3x

c)

arctgx

x

y=~--ln-r~-"

,,1 -+

II

Xl

b)

14 1 21_2 y=-lg x+-tg x+-sm 3x

b)

y=VI+x.,r;:;3

423

datoj tack;:

7.109.a)

f(x)=4x+3,f'(3)=?

b) f(x)=x 2 -x, f'(0)='1

7.110.a)

f(x)=x'-ll,f'j-I)=?

b) f(x)=x 3 +8x,./'(-2)=?

7.ll1.a)

I(x)=4x -3x+78, /,(-1)=7

7.1 12.a)

f(x)~.Jx'+3+~,

2

b)

f(x)=sin2x,

f'(~)=?

7.113.a) f(x)=(x 2 -2).r;'+I, l'(J3)=?

2 --x, Jro(o 3 b) f( x ) =cus , ,.:..-n)=? 3 x b) fIx) /'(f3) =?

7.114.a) fIx) = e" Inx', /,(1) = 7

b) fex)=..r;;ln 2 x. /'(1)=7

7.115.a) f(x) = (x + IJlrclge,h. /'(0) = 7

b)

x+1

E-

I .Jl+x'-1 Y= n .JI+x' +1 x I} y=intg-+cosx+-cos x 2 3

x

Odrediti lzvod date funkcijc

7.111.

b)

( J

smx Y= l+cosx

Rijesiti jednacinu f'(K) 3 7.116.a) f(x)=x +3x2+3x+30 3 7.117.a) f(x)=12x +18x',7x+3 7.118.a) f(x) =

7 -119 .a) f() x

/,(0)='1

1.,

2

I( x) =arCSIn--, . x-I x

.f'(5)=?

= 0 ako je dato:

1'; (x-2)

=-sm~

1-Jx2+i"'

.

x-stnx-lO

7.120.a) f(x)=3cosx+4sinx-3x

b)

b) b)

[(x) = x3 _6)(2+ 12x, 15 [(x)=2x3 +x2,8x+7

b)

f(x)=3x-x' x+2

b)

f(x)=cosx-2sin'x+5

f(x)=J2(sinx-.cosx)·-sin 2 x-x

r-:--:;- + 4 arcstn. Fx

b)

y=v4x-x~

b)

y=arctgl-X

2

I+x

97

Koristeei L'HospitaJ-ovo pravilo, odrediti granicne vrijednosti:

7.11.

Izvod (derivacija) impiicitno zadane funkcije

7.133.a)

5x 4 ~4X2

lim

3

Jed~aciria F(x, y}:= 'O'i?dreduJe funkpiju y - y(x). Prvi iz~od, na ovaJ naCitl,zadane funk,cije, otire'duje se-tako 'StOBe deriviraju obje stninejednacine i tako se dobije novajednacina s rtepoznatom y', Ii ave jedna,cine odredi se y'.

7.134.a) 7.135.a)

Odrediti prvi izvod (y\J implicitno zadanih funkc~ja:

7.121.a) 7.122.a) 7.123.a) 7.124.a) 7.125.a) 7.126.a) 7.127.a)

2x+3y+7=O y2= lOx ,,2+/=25 x 2 _4/= 16 ,,'+xy+4y'= 16 Xl +y'-8xy=O c'lJ'+! _x

3

b) b) b) b) b) b)

-l:::::o

b)

5x-12v+14=O y'-6x':O x2 +4/=8 4y'-5x=O e'~X

Xl

7. 136.a) 7.137.a)

7.129.*

X4

7.130.*

x 2 siny + / cos x - 3x- 2y + 16 = 0

_6x

/

7.138.a)

-y+2xy=O

e'~

l' 'IT 1m

,-,~. occ

2arctgx

-

v'

2

~+L=I a2 b 2

7. 139.a)

l' I-cos3x Irn---:Hoi-cos5x

rIme"

b)

_~..,.+"" X4

lim(n -x)lg=

x siny + y sinx

=

7.141.a)

0

%izjednaCine x'siny - easy + cos2y = O.

7.142.a)

lim (sin x) x

l"~>O

I

=

7.13.

0

i ako postoji lim x_.a

rex) . tada vrijedi: g'(x) .

lim f(x) = lim F(.t). H a g(x) l'-to g!(x) . l'1m. f() , oJc x Ak

x----'>a

lim l(x) x';''''g(x)

=

lim Xc-h'

I

b)

lim (n:

,

"_ 2x) cosx

b)

f· 1 'hmll--.-) , .... 0 x e-1

b)

In(x-·I)

hm--H' ctgnx I-cosx lim

.

b)

Y->

I'1 0x-sinx 1----

c)

x'

X.... 0

lim(3X+ 2'

r

b)

Xl

x«

limx-"'''' el"

e)

rIm---x"""x+e"

lirnxlnx

e)

lim Xl lnx

x .... 0

HO

lim (tgX)3COSX

limx"

e)

,

,

limX~(cos2x)3

x-,O

, lim x

cJ

lim(-I-- -~2 xsin x x ) lim(l-e

lim

J -

x

H'

i

c)

2X

)clgx

c)

x-+ 0

,

X4

eX-l

hm-0 sin 2x

c)

_HO

lim (ctgx . arcsin x)

lox -

"4«>

->"-+0

jim - - - '1) H!lX-l 'I

lnx

lim(xctgnx) X-}Q

(

x-+"'~

5\' 1+-)

lim(tg2x)Sill2x

e)

X

X---40

Izvod (derivacija) viseg reda

Definicija izvoda viSeg reda:

L 7.144.a)

g!{X)

rex) . g!(x)

6* Guillaume Franyois Antoine de i'HospitaJ (1661 -1704.) ~ francuski matematicar

rex) = (f'/ (x); f"'"')(x) = (/"l) ,(x) ,

(n E N). .----'------'----

. 3 },"".Y

-8Rx-444

I ,

b)

y:= 2x 5 +llxl -2000

y=sm"x

b) b)

2 l , y=-x -7x +667 5 y = cos x y=ln 2 x

7.148.a) y = cos2x

0)

y=3e h

b)

Y=-x 2 -4

7.145.a) 7.146.a) 7.147.3)

7. 149.a)

98

r1m

c)

Odrediti drugi izvod date funkcije:

l'tmg(x .) =00 1a . kopOStOjl.. l'Im-' f'(x) '. .. d'1: -.-,taaavrl]e x-to

Inx lim x->01+3Iosinx .

x

HO

x-+ --

x-+o

L'Hospital '-ovo pravilo za odredivanje vrijednosti izraza oblika ro i Q (kao i ~o, roo, I",'" ..-w)

=lim g(x) = 0 x,-"a

b)

2

H_

x->" "

c)

HO

H-

7.143.a)

Ako jelirn (x)

b)

HO

7.140.a)

b)

w

b)

if;;:-1

r1m sin - 6x -

eX_e-l'

Im--In(x+ I)

2

7.J31.*a) xY_yX =0

7.12.

b)

-e

x--tn

+9y4 -5x' + 15y' -20 = 0

7.132. Odrediti y' za x =

x +lnx-1

lim ,,--)- I

r

.~o

+e Y +xy=O

7.128.*a) x y ' +y'lnx-4=O 2

b)

-x

HO

y=--x +335x+2000 4 y= sm x . 3

x-I

y=-x+ 1

b)

x

99

7.150.a)

y

~ J:. x '(2Inx -3)

1 " 2 3X y=---xStn..)x--cos 9 27

b)

4

Odrediti treci izvod date funkcije: 7, ISLa) y=2X5~4x3 7.l52.a; y = sin2x 2X 7.153.a) y = e 7.154.a)

7.155.a) 7.! 56.a)

1

y=_!n 2 x 2

Odrcditi n-ti izvod date funkcije: y = cosX

,v =

5" + 5'~X

G

2

b) b) b)

y=_x +5x y ~ cos5x y = In(x+ I)

b)

y=

b) b)

y= aX

7.166.a)

y = sin 5x 3

7.167.a)

y~-In-·

1

x~5

10

x+5

y

b)

y=x(lnx-3)

c) y~ln~16-x' y =arctge h "

oj

7.168. Za funkciju y ~ x' odrediti dy i i\y U opcem siuc'\iu, a zatim odrediti njihove vrijcdnosti pri prornjeni vrijednosti varijable x od 2 do 1,9K 7.169. Za funkciju y = x 3- 4x2 + 60 odrediti dy, a zatim izracunati pribliznu vrijednost 6.y pri promjeni vrijednosti varijable x od 3 do 3,01.

3~

Odrediti pribliznu vrijednost dale fimkcijc ako je: 7.170.a) y=x'-x, 7.ax~2,OI b) y=x3 _x'_I, za x= 1,02.

y =ekr

7.17La) tg46° 7. J 72.a) arcsinO,51

7.14.

1+cos2x sin2x

b)

b)

.J5r5

b) arooosO,98

c)

Vi5,8

0)

arctg 1,03

Difen.mdjal flllikcije. Geometrijsko znacelije

y

il\

7.15. Geometrijsko znacenje pl'vog izvoda. Tangellta i nOl'maia na grafik ftmkcije. Primjena prvog izvoda geornetriji i fizici

Dikrencijal funkcijey = f(x):

1~

by ... ...........................c;A'C............

dy=y'dx.

9

:_dy

y-~

dx'

o

I Geometrijski, dilerencijal funkcije

I Vrljedi:

7.157.a) 7.158.a) 7.1S9.a) 7.160.a) 7.161.a)

Ily ~

oy .

,

y = cos2x 2x

y= e y = (3x.2),

7.162.a) y=(x -2x+5)' 7.163.a) 2x-3y+ 1;=0 7.164.a) y = arctgx

100

2x

y~--

x-I

I

I I ... I

__ _

"_Yo~ _ _l_{x-x) f'.(Xo) * 0.

0)

y

= cosx

c)

y

=,r;

c) oj 0)

y::::: e 5x y = In(2x·5)

+5

c)

b) x 2 +2;/ = 8 b) y = arcsinx

cJ c)

y::":; In(sinx) x 2 _6y2= 12 y = arccosx

c)

x 2 -1 Y=--

b) Y = tg'x )x-I b) y=a b) y = (6x + J)4 b)

b)

y=Jx

2

x+3 2x - 5

y=--

Y = (5_6x)3

x

__

-- J

f'(xrJ \:

Ilko je s ~ set) zakon puta, tada je yet)

~ovo ubrzanje.

Odrcditi diferencijai date funkcije y=2x.-+7 b) y = sinx b) y=a,x;3 y = 15x 5

2

7.165.a)

CB, a prirastaj je Ily =' CD.

y = rex) u tacki x je dy

JednaCina tangente na krivu y - [(x) u tacki M(Xo, Yo) ima oblik; Y - yo~ f'(xo)(x-xu). JednaCina normale na krivu y = [(x) u tacki M(xo, Yo) ima obUk:

r

I

x+.6.x

x

!R

1)

_'

~ s'(t) b.rzina tijela, a a(t.)~V'(t.)

s"(Q,

,

2

7.173. Napisati jednacinu tangente na grafik funkcije f(x) = x - 4 u tack! s apscisom x = 3. 7.174. Napisatijednacinu tangente i nonnale- na grafik funkcije f(x) = x 2+5x+3 u tacki s apscisom x = -2. 7.175. U kojoj tacki grafika funkcije t~X)=X2 -2x ima tangentu paralelnu s x-osom? 7.176. Odrediti ugao nagiba tangentc na grafik funkcije f(x) = x 2-2x+5 u tacki s apscisom x= 1. 2 7.177> U kojoj iacki tangenta l1a parabolu f(x) = x -4x+3 s x-osom gradi ugao od 45'? 3 7.178. Odrediti jednacine tangenata na krivu y = x - 4x povucenih u tackama njenog presjeka s x-osom

101

7.179. Odrediti tacku na grafiku funkcije y=lnx u kojoj je tangenta paralelna s pravom y = x- \. 7.180. Pod kojim uglovima date krive presijecaju X-asU: a) y = sin x na mjestima Xu :::: 0 i Xl =1t

b)

Y

•

=

1[

cosx na lTIJestu x =-'. 2

J.IS\' Odrediti jednacinu Gednadzbu) tangente na krivu y = 2x' + x - 5 u njen~j

ima oblik x,x + y,y = 1 a2 b2 • 7.198. Tacka se krece pravolinijski po zakonu set) = 4t'+ t'-3 (s- put u metrima, t-vrijeme u sekundama). Odrediti brzinu i ubrzanje tacke u momentu t = 4. 7.199. Tacka se krece pravolinijski po zakonu set) = lOr' +41' + 51. Odrediti brzi~u i ubrzanje tacke nakon dvije sekunde.

·· I0 se kr' .. k''I po zakonu set) = 7 .200 . T IJe ece pravo l'mIJS

15 +- _[2. 4 3 2 Odrediti vrijeme nakon kojegje brzina tijelajednaka nuli.

tacki s apscisom x=2. 7.182. Odreditijednacine tangenata na datu krivu (krivulju): 3

y = x + x 2 u tackama

Xl::::

-1 i

X

2

s y-OSOtn. 7.184. Date su timkeije y = x' i y = 2x + 4. Odrediti jednacine tangenata na grafike datih funkcija u njihovaj presjecnoj tacki i ugao izmedu njih.

,

=

.j2; i

y=

~ . Odrediti jednacine tangenata na

2 grafike datih funkcija u njihovim presjecnim tackama. x+5 .. . 7.186. Pod kojim uglom (kutom) k nva y ~ x-2 preslJeca: a) x-osu .

b)

y~osu

7.189. 7.190. 7,]91. 7.192. 7. J 93. 7.194.

c) pravu y

= x+5

7,195.

I

? x U tacki M( -2, y>O) elipse x' + 4y2 - 8 = 0 odrediti jednacinu tangente i normaie. Na kruzniei x' +y' = 25 odrediti tacke u kojima su tangente paralelne s pravom 3x + 4y - 4 = O. Odrediti jednacinu tangente na grafik funkeije y = x' + x' c.ij i jo koeficijent pravea k=8. Pod kojirn uglom se sijeku linije odredencjednaCinama x 2 +y =25 i x2 _;? =77 2 Odrediti ugao izmedu par;bola y = & - x i y = Xl 2 Odrediti ugao izmedu krivih x + = 5 i y2 = 4x, Odrediti jednacinu tangente j normaJe paraboie = 2px u njem~j ta6ki T(xl, y,). Odrediti jednacinu tangente i nonnale na krivu odredenu jednacinom x'+2xy'+3y' =6 u tackiM(I,-I).

l

gdje je va pocetna brzina, a g ubrzanje Zemljine teze. Odrediti brzinu tijeJa u trenutku t, a zatirn izracunati visinu na koju se podiglo tijelo od pocetka penjanja, ako je Vo= 90 m/s. 7.202. Tijelo se krece pravolini.iski po zakonu set) = 3t' - 18t' + 11. Poslije koliko vremenaje ubrzanje tijelajednako nuli? 7.203. Brzina v ta6ke koja se krece pravolinijski dataje izrazom vet) = e+5t-2. Odrediti ubrzanje tacke 1.1 momentu t = 3 s. 7.204. Tijdo se krece po x-osi po zakonu x(t) = 1. + Kojom brzinol11 se OVO tijelo

e.

7.187. Pod kojim uglom (kutom) se sljeku parabolay=fx i hiperbola y = 7.188.

,

7.201. Tijelo kojeje baceno vertikalno uvis krece se po zakonu set) = Yo! _ ~,

z = O.

7.183. Odrediti jednaCine tangente i normale krive y = e' u presjecnoj tacki

7.185. Date su funkcijc y

(4 8 [3 ___

udaljava od tacke A(O, I) u Irenulku 1=_1 ? 2 7.205. Rastojanje tijela koje se krece po x-osi, od tacke A( O~ 1)~ mijcnja se po zakonu s(l) = t + 2. Odrediti brzinu li.iela za t=1. 7.206. Tijelo mase 20 kg krece se pravolinijski po zakonn set) = 3t'+t+4. Odrediti kinelickn energiju tijela (mv'l2) nakon 5 sekundi od pocetka kretanja. 7.207.

+.J2), a astr; ugao 45°. Odrediti visinu

Obim pravouglog trapeza je 4( 1

trapeza tako da njegova povrsina bude najveca. 7.208. Dijagonale konveksnog cetverougla s~jeku se pod pravim uglom i imaju sumu duzina jednaku 10. Odrediti maksimalnu povrsinu ovog cetverougla.

l

.

7.196. Odrediti jednacinu tangente i normale na h'perbolu

x?

v2

9 - 'g = I

u tacki

M(-9, y
102

103

7.16.2. Odreilivanje ekstrema funkcije

7.16.

Ispitivanje funkcija primjenom izvoda

7.16.1.

Odreilivanje intervala monotonostifunkcije

1) 2) 3) 4)

Postupak rjesavanja svih zadataka ovog tipa je slijedeci: Odrediti definiciono podrucje (domenu) date funkcije 7 Odrediti prvi izvod date funkcije, a zatim odrediti tacke U kojimaje prvi izvod I jednak nuli. Tacke u kojimaje prvi izvod nula, domenu funkcije Sli podijelile u intervale. Potrebno je odrediti znak prvog izvoda u svakom od tih intervala. ~lli U ouim intervalima u kojimaje y' > 0 funkcijaje rastuca, a u intervalima u kojimaje y' < 0, funkcijaje opadaju6a.

I I

Odrediti intervale monotonosti datih funkcija: b) y~-4x'+ 16x-45 b) y ~ 30x'· 45x +22 7.211.a) y=x4+4x-56 b) y=2x 3 -15x2 +36x+91 1 3 - x 3 +5x2 - 88 721208) b) Y"" 3x<4 + 8x - I2x + 45 3 72090a) y~2x2-12x+ 11 702100") y - -,,' + 20x-IS

y~

70213oa)

Y = r;;1~4~~'2·

72140a)

y~-

2 x

xJ2

y=sinx-~-

72150a)

2

o

-,'

702160a)

y~e

7.217.a)

" '1 Y~Xll+vx )

7.218.a) 702190a)

Xl

+1

}!:::-.-~~.

.

y

x 2 -4

~ cos( 2X+~)

Vx

J

+3x 2 -4

Definicija: Za funkciju y = f(x) definisanu u intervalu [a, b], kazemo da u tacki Xo ima maksimum (minimum) ako vrijedi: ftx)::; f(xo), za svako x iz intervala [a, b], odnosno, ([(x);,c f(xo), za svako x iz intervala [a, b]). Navedena definic~ia se odnosi na apsolutni maksimum, odnosno minimum funkcije u intervalu [a, b]. Ako prethodnu definiciju ogranicimo na okolinu tacke Xc iz intervala [a, bJ, tada kazerno da se radi 0 relativnom maksirnllmu, odnosno relativnom minimumu. Ekstreme (minimum i maksimum) li.mkcije y=f(x), pomocll izvoda odi-edujemo na slijedeCi nacin: i) Odredimo tackc u kojimaje prvi izvodjednak nuli (rijesimo jednaCinu f'(x) = 0). 2) Za svaku lacleu U kojoj je prvi izvod nula (stacionama tacka) ispitamo: da Ii pri "prolazu" kroz tacku pry! izvod mijenja znak ili ne mijenja. U prvom slucaju lJ toj iacld funkcija y=irx) ima ekstremnu vrUednost, au dmgom slucaju u toj tacki nije ekstremna vrijednost tunkcije. Ako pri prolasku kroz stacionarnu tackll prvi izvod mijenja znak i prelazi iz pozitivnog u negativni, tada ftmkcija II toj tacki dostize maksimul11, u prolivnolll slucaju funkcija u toj tacki ima minimum. Napomena: U lJ tackama u kojimaje prYi izvod fbnkcijejednak null f'(xo}%'O, ekstrem.i Be mogu ispitati i pomocu drugog izvoda oa slijedeCi nacin: aka je f"(xo) < 0, onda funkcija y=flx) za X=Xo ima maksinrum, ako je f'(xo) > 0, onda funkcija y=f(x) za X=Xo hna minimum. 2) Ako funkcija nema (prvi) izvocl u nekoj tack!, potrebno je ispitati znak prvog I' izvoda u lijeyoj i dcsnoj okolini te tacke, pa na osnoYU toga zakljuCiti da Ii jc u toj tacki niinimum ill maksi~.num (ili nije oi jedno ad toga). ___ ~ __ ~_.J

I I I I I

b)

y=

b)

y=4X2 -,2!nx

b)

y

= cos2x-x

702200a) 722La)

b)

Y

~(x-3)eX

7.222.a)

y ~ 6x Y ~ x'o + 3x y ~ x' . 2x'· 2x'

b)

y ~ In(x2 - 3x + 5)

7,2~~§1

y::::(x···-4)e

0

Odrediti ckstrcmc (ndnimum i maksimum) datih funkcija:

b) b)

x 2 -16 x

y=---

b)

x

/<'"

/1»

,

,.,'

/

J;J!2:5.,a{

y •• (2x + 1)

702260a)

Y= V=

.-

4(-::- 2)

3x 1 +4x+4 +x+i x-2

Y ~ 3i' . 6x + 11 y ~ x 4 32x y ~ ·4x' +3x' + 36x + 5

~}

7.:;24.~)/ y~x+J4-x

y=SI11X-COSX-X

7* Domenu funkcije treba odrediti na pocetku ma kakvog ispitivanja !unkcijc

b) b)

/

7227oa)

104

,,2

~~

0

J'""xe

x

=xlnx

2x

y = o~ lnx

1

c) c)

y=-'<--x' 4

5~2x V=-'--~

~

2 +X2

7.16.3. Odreilivanje intervala konveksnosti (konkavnosti) funkcije 1- Intervale u kojimaje funkcija y ~ f(x) konveksna iii konkavna odredujemo na slijedeci nacin: 1) -RijeSitijednacinu f" (x) = 0 2) RjesenjajednaCine f"(x)=O domenu funkcije su podijeliia na intervale. U svakom od tih intervala treba odrediti znak od f"(x). Tamo gdje je f'\x) < 0, funkcija y=f(x)je konveksna, a gdje je f"(x) > 0, funkcija y ~ f(x) je konkavna.

7.16.5.

Ispitati date funkcije i skicirati njihov grafik:

<

7.240. y=x 3 -9x'+23x-15 7.242. y=2x 3 +X2 ~13x+6

7.230.a) 7.231.a) 7.2.32.3) 7.233.a)

7.248.

Xl -4 y=-----

7.250_

y=

7252.

J) Odredimo tacke u kojimaje drugi jzvod nula (rijesirnojednacinu f"(x)= 0) 2} Za svaku tacku u kojoj je drugi izvod nula ispitamo: da Ii pri "prolazu" kroz tacku drugi izvod mijenja znak ili ne mijenja. U prvom slucaju ta tacka je prevojna tacka funkcije y=f(x), a u drugom siucaju u to) tacki nije prevojna

tacka funkcije. Odrediti prcvojne tacke date funkcije: ,

2

y=4x -3x

,

y

~

= x,'!- + 3x, - 5x - 6 3

x 2 y=--.-x

~ 3 2 7.237.a)y = x - 12x + 54x - 50 --.,~

,/

7.239.a)

106

2x Xl +2 y=-Xl --9

y

x ="--:-9

, :}

y~.1.x3 -3x'

I

7.258.

l(x) =

7.260.

lex) "

7.262.

.

J:3 V-"x-1 x}

r -

\xJ~

+8

In -x -

x-2

= (x-3).Jx

7.264.

l(x)

7.266.

l(x)=sin1x-x uintervalu (0,11)

y=x 3

7.241.

~3X2

+2

3

2

7.243.

y=2x _3x -13x+l1

7.245.

y=x4

7.247.

x' y=x-3

7.249. 7.251.

~4X3--t;9

x'

.

y=-Xl ~ 1 x x 2 +1

V=-'-

.

x 2 ~x~6

7.253.

y=--,---

7,255.

y=x--

7.257.

)I=-In-

7.259.

f(x)=2x-3i[;;'

7.26l.

lex) =';2-x

x-2 4

.Jx

x

2

2

3r::-,

7.263 . lex) =E'rx

.Jx

7.265.

[(x) =e2x~xl

7.267.

f(x)=1I+~inx

+8x-12

3 5x -)/· / b y=, .+

bY' y

= x', 8x3 + 24x'

b)

y=if(;':'s)5 -34

b)

'y=e~x +3

x +

y=xe -2,.

.,

_bY' y=X -2x' +IOx b)-

y=x+

2

7.256. lex) = (x' - 4x + 3)e'

~:~vojne tacke funkcije y "'~ f(x) pomocu izvoda odrcdujemo na slijedeci nacin:

7.238.a)

x (x+ 1)(x-3)

x

7.16.4. Odretlivanje prevojnih tai'akafunkcije

7.236.'1)'

~8X2 + 8

7.246. y=~x4+2x2+3

7.254.

I

= X4

7.244. Y

Odrediti intervale konveksnosti (konkavnosti) date funkcije ako je: Y=X2 b) y=_x2 +5 c) y=x'+4x-5 • 3 2 ' 2 y=x -9x b) y=-x'+12x y = x' -27x' + 42x b) y = x 3 - 6x' + 6 3 2 y=x'-2x -12x +24x+8 b) y=x' +6x'+2x-6 2 Y = x' + 5x - 6 b) y = x Inx y=xe• h) Y=c)

7.228.a) 7.229.a)

Crtanje grafikafunkcije

,

107

f~=lgx+C, 2

XIII

IX

f~=-Clgx+C , 2

XIV

x.

f

Xl

J dr

VIII

8.

I NT E G R AL NI

RAe U N

Neodredeni integrali

8.1.

s.u.

OSlIovlle !ormllie illtegrirallja. Neposredllo illtegrirallje

I Za fllnkciju y ~ F(x) kazemo daje primitivna funkcija flmkcije y ~ f(x) u intervalu I I

la, bl,

{

SIll X

x

arcsin +C

r arelg +C

'l'i"x'

==l

-arcctg+C

XVI

,

2

--=Inlg -+- +c, fdr IC
XV

JI-x' = . -arccosx+C'

= Inl,g::1 +C ,

.Jx +- a 2

Ncposredno izracunati date neodredene integra Ie:

flex) ax . Prerna navcdcnom, vrijedi:

I

m
___ .o.sno~/na sVOjstVil neodredenog int~~ia: f1) Neodredeni integral difcrei1Cijala neke funkcije jednak ~je-t-oJC"7f''CmC'1'-cjC'i!:------;

plus ma koja konstanta:

relf(x) d\: = I(x) + C .

-

d ff(X) dt = f(x)dx. 3

Neodredeni integral afgebarske sume iunkcijajednakje aIgebarskoj ) SlUl1i neodredenih integrala tih funkcija:

SUe x ) + g(x)- hex)]dx = ff(x)dr+ Jg(x)dx ,. fh(X)dt . 14)

I

.i I I

Konstantni faktor podintcgralnogizraza moze se iZVllCi ispred znaka

~leodredenog intcgrala;

I

fk f(x)dx

5) Akoje lfC0)dx=:F(x)+C i

I

'

I

funk.cija, tadil vrijedi

0:;:

kJf(x)ciX.

I

u=l~(x)makojad'iierencijabilna

I i

fI(l!) du ~ P(u) +c . Tabllca oSll.ovnih integrala: ..

r··'-----~·-··-·-····--·--

!

fdx~x+C,

-~

11+1

II

m i

fe"ax=e ',c +

)

[x"J>;=_x_+ C ,(n*-l); 11 + 1

v

fdr.~lnixl+C,

VI

fcos xcb;:=sinx+C,

XlI

f·..dx,

J

x

'

~ JSinxd'(=~cosx+C,

108

lV

faxd'(=~.--+C In a '

J

l~x

=

~ 1,,1 + xl+ C 1-x

0)

ISx"dr

f~

c)

I6dr

c)

fdr

Je2x3 + x - 5)dx

c)

l(x' +x-I)dx

J'::'~_+4X-l dx

c)

f2x3-~+1O dx

8.2.a)

b)

8.3.a)

JXdr {xli dr

b)

Jx'dr fx dr

8.4.a)

J4xw::

b)

lsx'dr

8.5.a)

jx'-\-[Y

0)

8.6.a)

Ix"dr

b)

8.7.a)

r-

8.8.a)

jex' ··3x)dx

b)

8.9.a)

r-7-

b)

8.10.a)

fE'dr

~.'~".J

8.11.a)

l

8.12.a)

5dx

b)

Xii

5

dx

b)

J( x...} x +- .',f;-' J x ) d/ f;}xdr_ r

X

b)

b)

2

8.13.a)

(_I +~.41dr "Vx ~ X

8.14.a)

J4'

S.15.a)

j2e'd<

1

2

f

b)

1

I

~,-.~

c)

J7dr fx 5dr 'Bdr IX J2x dr

Jd<

2) DifertllCijal neodrellenog integrala jednakje podinlegralnom izrazu:

I

J3dr

8. La)

fl(x)dr=F(X)+c,

I_J~gJ.e je C

t

dr

f dr

.

I

1

Xl

sm x

ako u svakoj tacki tog intervala vrijedi F'(,) ~ f(x), odnosno, dF(x) = f(x)dx. Skup svih primitivnih funkcija funkcije y=f(x) naziva sc neodredeni integta! i oznacava sa

i

1

J~ =lnlx+N +«I+c, +a

X

COS

d<

5'-2

c) cJ

t5

c)

4x-' ,b:

r

d 7< x

x'

7

x'

Xl4

2

X'

vx c) JVxdr f'''dr x' r; 'j';\ J(5X\/x.2Y)dr c) ~x,x+X) pdr J dr c) j4G

t,

4.f:

vx

(x ?r' -Fx2x + ,rx' Jdx

c)

b)

JUdr

c)

b)

f(4a' + I)dx

c)

b)

)

x2

dx

X;lX

] "x + \Ix' Fx leix x /,

\ "IlX

r~

IX+ 1x " --d

x

109

kZ !!

8.16.a)

fee" + 2")dx

b)

8.17.a)

f4sinxdx

b)

8.18.a)

f(2sinx-5)dx

b)

8.19.a) 8.20.a)

f3C~2 f~1_x2 2 cb:

8.22.a)

1,- -1+ - -5) dx

~u'

sin 2 x

f(x' +~3 +x' _x 7 ) dxb)

8.25. a)

f6X2 . . X+2 -----d>c

8.29.a)

8.32.a)

8.33.a)

-3cb:,

c)

d (3X) _

c)

~1-9x' 3

Integracija metodom zamjene promjenljive

•

Akojeje y

~1

J.f(x)cb:

J

~

f(x) i x· x(u), tada vrijedi:

ff(u)x'CU)du

2 :

+

L~~,

f

d(5x) 1+ 25x 2

8.34.a) JCx+2)' dx

b)

8.35.a) f(7-3x)'dx

b) IC5x-2)3dx

8.36.a) J(2 + 3x)' dx

b)

fx +5 dx x2 + 1

~OS2 x

c)

fs· e' dx

8.38.a)

f;lx-4 cb:

b)

N(x-a)3 dx

c)

8.39.a)

J

dx, \/(2-3x)'

b)

f2\142 - 3 cb:

c) N(3x+I)'dx

8.40.a)

fX'~5X' + J cb:

b)

Jx' J(x 5 _1)3 dx

c)

b)

Jsin cos2x

f f~in 2.'( + ~!.~~os x. tg'2 X dx

b)

Jctg xdx

dx b)

J(5e" +4sinx)dx

2

b)

j(2+x)x l.1xdx

J,/!;;' -~l- x -

2

b)

cb:

2

J

cb: cos2x + sin 2 x

n

~ 3x' cb:

x

r \

2X )2

-

x

3

dx

0)

f4 + C~g2X dx

0)

J

0)

sin 2 x

J4xsin2 x+3 sin 2 x

r+- e:+, 510

~

r x

Jx -I (~ c) 0)

5

4

[ - - - ,- d x

cos 2 x

JVX~4

J

2

3x dY + 2x 3 '

Vi fsin

b) fcos xsin xdx

c)

8.42.a)

J7cos6xdx-

b) fSin 3 xcosxdx

c) fcos? xsinxdx

8.43.3)

J-J3sinx-l cosxdr

b) j:JI-cosxsinxdx

c)

J cosxdx

8.44.a)

J

b) it&' cb:

c)

Jctgxdx

b) Jcrg7Xdx

c)

8.45.a) 8.46.a) 8.47.a) 8.48.a)

3 si nx dx cosx

f 4xd J J3+cos Jcosncb:px f sinedt tg

-r

sin2xdx 2

.

b)

x

b)

J2-sinx

r x Jtg 3' cb:

r ncb:

c)

sin 2 px

b) feast dt

8.49.a) fcost(l + sin t) dr

xcosxd'(

c) J3sin5xdx

cos 2 2x

¥

2+3cosl

7

J cb:

b)

2

2

110

y'dy 5 y 3 +3

JSin xcosxdx

X

f3 -Sees] x dx

f

8.4 I. a)

cos x

3 - 4 COS}x dx cos 2 x

•

p+cos x·dx 1+cos2x

X2

;dY

c)

2

b)

(2--X~1' I

jSin x+ 6 dx

xx ,S1l1 "2+ cos) "2 ' cb: c)

f2Vx

Je

e

~.,

z3 +4

2

dy

1(2_z 3 )'

c)

b)

2 xeDs x

3z 2 dz

f>

ft,jf:;J dt

Jx

2

dx

b)

2

+lO dx Xl + 1

t r

c)

3x-5

f z dz

0)

x

c) J\/(2x 3 +I)'x'dx

8.37.a)

' S(X , +3)'dx 2

c) N(4x+I)'dx

f(7 + 3z)'dz

f(3x' +4cosx)dx

2

x dx

fF(u)dU.

c)

b)

3

) dx

----:J; - x'

J3 2: -".

~

Uvodenjem zamjene promjenljive, izracunati date integrale:

+ 3x' - 2x - 8)dx

c)

xeDSX

8.3I.a)

c)

dx

.~

8.30.3)

jsin2X dx 2cosx -3cb: 4cos 2 x

b) r+3~+x3

5

fSin2

c)

b) S(x' + 2x -I)dx

2

8.28.a)

f(4sinx + cosx}tr

8.1.2.

2

4

8.24.a)

8.27.a)

f(;3 -cosx)dx

I( 4x

I(Sx -7x" + 3)dx

X

c)

b)

8.23.a)

r

f3cosxdx

b)

b)

J~.~

8.26.a)

fe"" d(2x + 3)

X

8.2l.a)

cos~· x

c)

J2S~1 J~l-x' I_

b)

X

1\

](5' - 3e" + I)dx

f

sin 4 t

sin/cost dl

~1+sjn2t

c)

c)

fx

2

sin3x J d'C

J cost dt (2 - sin fJI +oost dt

I)'

III

S.SO.a) fSin 1 t dl

b)

fcos

b)

~5cosf-Sin3Zf

8.51.a)

\ f3COS (z"2 + 2)dz

8.52.a)

f6e"

8.53.a)

J2~~

b)

J2,1x

b)

8.54.a)

B.S5.a) 8.56.a)

8.57.a) 8.S8.a)

B.GS.a)

8.66.a)

112

Jxe-x'dx

c)

Jte Pdt fe· cosxdx

f""'jf'~

fSi:;x

b) jxsin(x' -I)dz

f sinxdx

JJX2=;; xdy

dz

. lIx dv•

"cos4x+l dx

[+

I

Cl,

Jx,h-Indz,

c) x

J31+

e

3x

c)

b) f2Z~

c)

fxInx

c)

b)

2

--,----dl ...f[- + 1

b) v'dz 3-x'

J +z-

stn--smXSll1-

Jctgx -'lgx

0)

b)

tin x dz J~ v x.

0)

hJx

JI + 2z

J.

0)

J

b)

f~L~lnt dt

Jr 1xdY + x' ,. e"dx 1+ e1x

b)

+ cos 2 X

t 3dz

8.M.a)

c)

0)

.J5 __ 7x 2

8.63.a)

fece: I dz

,

i ""

8.1.3.

2

b)

b)

b)

dz

fctg(-3n--2xlcoS4_Wb: 4 ) 2dx c)

8.67.a)

L+e rx

2

2X

dz

J I +X6

JJtl+tdl SFxl+xdz

g,69.a) 8.70.a)

. l ~

__ J.~ Slil~;~_

cos(2x - 2" )ctgl x -

x2

b)

3dz 25 +X2

b)

fl+~x2

J

S.71.a)

&.72.a)

f:~~l dx

r 2x+3 - ---ax.

8.74.a)

"~

r

j21-3 dl I' - 31 , dl

f--,dz . x --

~a-

8.73.a)

cosxdx ""II-sinx

t'~a" J~,

f ~a2

e'"dx

J4

-·-dz

l_x 2

f5_~xi dx -2)(x+3)

JX2+~+10 x

8.75.(1) 8.76.a)

2 '3 gX

c)

dl 4+(2

c)

b)

fX2~5

oj

b)

L2~9

c)

b) 0) b) b) b) b)

8.77.a)

b)

8.78 .•)

b)

1(1+ Inl)

, ax 1--.-lJ-5x

1 5n) -r cos 2XJdX

fh·

JX2~4

x

f _4x dz fJa'~x'

J!-:--:-::-

J

Jcos'(1-2x)

Integralioblika:

Izracunati date integrale:

8.68.a)

g.GO.a) J~~

8. 62.a)

cos x

Jer\dx

dz

b)

2

c) J2-3~inx dx c)

bH

Je:~

,

8.61.a)

c) JCOS2t dt 1+sin2t

i dt

b) J18e-o,

dz

e F dz

0

8.59.a)

2

8.79 .• )

J IOdz

lOdl (' + 100

Jx2~6 JX2~25

f1-9x 2dz

J9 - 4x'

c)

dx . 16-25x'

fX2+~_2

0)

JX2_~~2·

r

0)

r dx

~

Xl

dz -8x+20

f~~l

fJ4~X' JJ4-~5X2 J,14~X'

b)

f,)4+dz25x'

J,1x' +~X+5

b)

fJ6X~X'

dx

J

cJ

lOO_x1

Jr== '/1 + x

,

2

8.80.a)

J

JX2~36

2

r

r

~ Xl

dx

-lOx+9

0)

r'dz

c)

J-~-

4+x 6

J9-x'

c) 0) c) c)

fJ81-16x' dz J,/9~X' f,11 +~lX' r

dz

J,14+5x':' 4x'

.4

113

8.1.4.

Ponekiid je moguce' racunanje jednog integrala svestj na racunanje drugog, jednostavnijeg. U tu svrhu kofisti'se formula:

I

I

JudV:::: UV~ jvdU. 8.8I.a)

fxexdx

b)

8.82.a) 8.83.a)

c)

f1n'lxldx

Jarcsinxdx

b)

farccosxdx

c)

Jarctgxdx

fxsinxdx

b)

fxcosxdx

c)

f(x + 2)sinxdx

2

c)

JXlnxdx

x

Jc- cosxdx

8.84.a)

fxarctgx dx

b)

fx cosxd\':

8.85.a)

Jx e dY

b)

fe sin xdx

c)

8.86.3)

fsin

b)

Jcos

C',

8.87.a)

f,n

b)

J~x2d~

2

2

xdx

xdy

8.89.a)

JH+a fx e dx

8.90.a)

Jfa' ~x2dx

8.88.a)

2

d\

5 x1

b) b)

b)

2

xd,

0)

3)

h

h

/J

b

c

fJ(x)dx = JJ(x)dx + f/(x)dY,

4)

flifNdx =k ff(X)dX

b

51/(x)+ g(x)}ir =' ff(X)dx + fg(x)dx

2)

cda,b]

fSinFxdx

Neposretino izraCllnavanje otireilenog integrala

,

, 8.96.a)

x'

Ixdx

b)

,

f(3x - 2)dx

b)

"2 8.98.a)

fSin

1

Ix'dx

X

d,

b)

J(2x-x')dx o

I

S(x' ~ 2x + 3)dx

b)

o

S

}il1(X+~)dx

~5

, C)

ffx _. 3)' dx

b)

fCO{X+~)dx -;

j1~-,

o\.1+x-

4

+ e')dx

c)

3

G

8.100.a)

o JC5X+X2)dx

C)

6

8.99.3)

,f~

C)

2

3

8.97.a)

farCfgJ2x~ ldx

8.91. Brloina pravolinijskog kretanja tacke mijenja se po zakonu v ~ 41:'-3t+1. Odrediti loakon kretanja. 8.92. Brzina pravolinijskog kretanja tacke mUcnja se po zakonu v = 3t2 +2. , Odrediti zakon kretanja s ako tacka za vrijeme t = 2 s prede put od 100 rn. 8.93. Ubrzanje pravolinijskog kretanja lacke je a = -4t+1 6 (m/s'). U momentu t=1 brzina tacke je v = 16 mis, a predeni putje s = 25 m. Odrediti: a) Zakon promjene brzine v, b) Zakon promjene puta s. c) Ubrzanje, brzinu i predcni put tacke u rnomentu t = 4 s. d) Odrediti vrijcmc t u kojem je brzina kretanja tacke najveca, 2 8.94. Dataje funkcija f(x) = cos x. Odrediti primitivnu funkciju ciji grafik

,f(cosx+sinx)dx o 5

JC2x + I)' dx

0)

)(1- 2x)' d.x

~I

1

" 8.10J.a)

rex)

b)

'dx

tin

o

2

c) X

M( ~,~ ).

8.95. Dataje fimkcija f(x) = x. Odrediti primitivnu funkciju F(x) ciji grafik ima tangentu y = x-I.

114

- b

8.2.1.

dx

8.1.5. Neke primjene neodredellog integrala

prolazi tackom

a

Ii

b

"

if(x)dx=- J/(x)dx

1)

V

c) c)

b

xdx

IBiD In x th: 2

Osnovne osobine odrcocno lute rala:

sin 2 x

fW'::-;;dx

2

= F(x)L = F(b) ~ F(a) 8'.

J

c)

fJa +x dY

b

t

cos 2 x sarcsin x dx

x

Odredeni integral u intervalu fa, bJ neprekidne funkcije y = f(x) nazivamo prirastaj F(b)-F(a) rna kqje primitivne ful1keije y = F(x) od-date funkcije, tj.

fJ(x)dx

f1nlxl dx

2 x

Odredeni integral

8.2.

Metoda parcijalne integracije

8*

Nuvcdcna formula je poznata pod nazivom Newton-Leibniz-ova formula Isaac Newton (1643 - J 727.) .- englcskl fizlcar i matematicar; Leibniz Gottfried Wilhelm (1646- J 716.) -- njemacki filazof, matematicar, fizicar, pravnik. historicar, .

115

8.2.2.

lzracunavanje otireilenog integrala metotiom zamjene 3

fC3x-I)' dy

8.102.a)

4

f(5X~ 2)3

b)

1

,

,

8.1 G3.a)

fSin2xdx

,

6

C)

,

[. x

J3m"2 cb:

,

6

" cJ

fCOS3xd'C

,

b)

fcos~ch:

,

c)

~2'

6

8.2.3.

f~

gJ4-2x

JSinxc!x 4 :) cos X

b)

8.116. Y ~ x 2·I Y 2 = 8x.

2

8.118.

2

x~3, y~2x. y~--,..

(1 3\ Tl'2'4)'

(

J"P'

,

}!=~x2 +2

" tangentorn parabole u tackt

8.120. Odrediti povrsinu figure omeoenu parabolom y koje pro)aze tackom A(O, -4). ') 8.121. Odrediti povrsinu kruga radijusa!. ~ 2 2 2 8.122. Odrediti povrsinu clipse b x + a'y' = a b-.

, c)

i

x' 2 , y = 2x_x pravom 8.119. Odrediti povrsinu figure omedenu parabolom

" I JCOSl3X~~ J d" 6

Y ~x2

8.117. y=x.y=

rr ) dx sinl4x-2

6

,

4

8.) 05.a)

J( , ,

3

, 8.104.a)

J!J4x -ldx 81)5 .'

~

b)

Kolikaje Dovrs;na figure koju zatvaraju date lin;je : 2 5' I, 2 • 8.114. y=X + I Y=2x~+2 8.1\3. y:=4_x i y=O

C .

smx

= x2 i njenim tangentanla


>

~g

8.2.5. Primjena oareilellog integra/a na izracunavllnje za,.""mitu oar/nog lijeio

Metoda pa1'c{jlline integradje U oareilenom integralu

Zanremma obrtnog tijc1a koje nastajc obrtanjem krivolinijskog trapeza ogranitenog, lit .. , , " - ,.' ' 1· llJan)· y ~ [ex), x == a, x= b, (b > a) okc x-ese, dobtJe se po formu 1: it 1

8. 106.a)

farcSinxdx

b)

"Jarccosxdx

6

,

8.107.a)

Jxcosxdx o

far-ergx dx

J

-1

,

,

1

b)

fxarcfgx dx

J

cJ

fXlnxdx

8.109. lzracunati povrsinu figure koja je omedena lillijama y::::: Xl

y "', x .

8.110. Izracunati povrsinu figure koja je omeuena iinijom y = (x ._. 2)2 i koordinatnim osama . X T ],

y:::; (x _1)2.

8.112. Izracunajte povrsinu figure omedenu linijama: y:::;. 2x - 1, Y = -x 2+2x+3.'

ll6

!

~ _________________~~~a____________~_______

~J

.-------------~-~----~~--~~~ i Ako se krivolinljSk.i trapez. x ,cp(y), C, Y--:-,d (d> C),

ogran!~en li~ijama, =

I

8.2.4. Primjena otlredenog integrala na izracunal'anje povrsine ravnih figura !Lj08. Izracunaj1e povrsinu figure ome
I

V=n; f[f(x)]'dx.

,

8.! 11. Izracunajle povrsinu tigure omcdenu iinijama: y:=

I

h

1

c)

y~ose,

Y,-

obrc~l

njegova zapremina se dobljc po formult: d

V

=TC

H'I'(V)l' a:V

8.123. Odrediti zanrcminu obrtnog tijela koje nastajc' rolacijom figure Ollran['~. " , "~ll!" krivom y=sinx i x-osom u intervalu [0, n}, oko x-ose. ~ 8.124. Odrediti zapreminu obrtnog tijela kaje nastaje rotacijom krivolinijskog trapeza ogranicenog linijama xy=2, x=l, x=2, y=o, ako X-Ose, '" 8.125. Odrediti zapreminu obrtnog tijela kojc nastaje rotacijom figure odredene .. ) x I. Y = X? ,0 k'0 x-ose. I ·IilIJama y-= 8.126, Odrediti zapreminu obrtnog t~jeia koje nastaje rotacijom figure odredene linijama y = x? ,Y = 0 i y = 4 t oka y-osc. 8.l27. Odrediti zapreminu obrtnog tijela kaje nastaje rotacijom figure odreoene linijama y:::;. x, x = 0 , y = 2 i y:= 5 , ako y-ose.

l!7

8. J28. Odrediti zapreminu obrtnog·tijela koje nastaje rotaeijom figure odredene . .. x2 • xJ lmlJama Y=2 I Y=g,oko x-ese. 2

8.2.8. Primjena odredenog integrala Ita izracullavanje rada slie

l

8.129. Odrediti zapremine eJipsoida kQji nastaju rotacijom elipse 4x + = 4 oko x-ose, a zatim aka y-ose. 8.130.* ~d:.edltj zapremin~ obrtllo~ tijela kQje nastaje rotacij?fl1 figure omedene lmlJama y = 4x-x , y = 0 1 X = 2 ,oko x-Gse, a zahm oko y-ose.

lAko s~-s-ila,nlij~~ja po ~konu y ~ ~:(x), i pomjera'tac~

Itesilera~unapofo~uli:

I

8.2.6. Primjena odredenog integrala na izracunavanje ohrtne povriiine

ad

,4= Jf(i)dx. -,- '_ '_ ',-, :,-

' -

x -- XI dox

Xz-, tada se Tad

"--',-:''--

~

I

I

8.J40. Sila F ~ 6 N ,astegne oprugu za 0,08 m. Koliki rad je izvrsila ova slla? 8.141. Sila F = ] 0 N rastegne oprugu za 1,2 cm. Odrediti izvrsen rad ove sileo g.142. Odredit1 fad koji je potrebno izvrsiti pri rastezanju opruge za 3 em} ako jc za rastezanje ove opruge za 6 em potrebna sila od 30 N. islegli oprngu za 3 em potrebno je izvrsiti rad od J 6 J. Za R. I 43. Da koiiko ce se istegnuti posmatrana opruga ako se izvrsi rad od 144 J? 8.144. Za sabijanje opruge za 0,05 m potrebno je izvrsiti rad od 25 J. Koliki ~ad·je potrebno izvrsiti da bi istu oprugu sabili za 0,1 m?

Ako bkkrlve y = f{x); (a"::;; x :S;'b), rotira aka x-ose, povrgina nastaJe obrtne povrsi izracunava so po fommli: ;,

P, ~ 21l fyjl + (y')' dx

bi

8< 131. Odrediti ve1icinu obrtne povriiine koja nastaje rotacijom linije y "" x od x=O, do x = 5 oko x-osc (omotac kupe). 8, 132. Odrediti velicinu obrtne povrsine koja nastaje rotacijom !inije y ~- 3x

od x = 2 do x = 6 oko x-ase (omotac krnje kupe). 8.133. Odrediti veiicinu obrtne povrsine kQja nastaje rotacijom linije y = x~ od x = 0 do x

=!

oka x-ose 2 8.134. Odrediti povrsinu lopte radijusa r . 8.135. Odrediti povrsinu elipsoida koji nastaju rotacijom dipse 4x 2 + y2 == 4 oko x-ose~ a zatim oko y-ose , <

8.2.7. Prin!ie/la odrei/e/log i/ltegra/a /lO izracunavaltje preael10g pula

I

Ako jo brzinakretanja tackedata zakonom v ~ tIt), tada se predeni put u

Ltefvaluvremena od t, d:t, facuna po iOfmuii: s

~ Jf(r)dl.

I

8.136. Brzina kretanja tacke mtjenja se po zakonu v = 3t2 -2t+5 (m/s). Odrediti predeni put nakon 10 sekondi od pocetka kretanja. 2 8.137. Brzina kretanja tacke mijenja se po zakonu v ~ 61 , 41 (m!g). Odrediti predeni put u drug()i seknndi i predoni put u petoj sekundi. 8.138. Brzina kretanja tacke mUcnja se po zakonu v = 24t - 6t2 (m/s). Odrediti predeni put od pocetka kretal~a do zaustavljanja.· 8.139. Brzina padanja tijela je \=9,8t (m!s). Odrediti predeni put za prvih J 0 seknndi.

llS

119

" RJESENJA,UPUTE,REZULTATI 1. MATEMATICKA INDUKCIJA. BINOMNA FORMULA 1.1. Matematicka indukcija !.l.a)

41~4·3·2·1~24

~5A·3·2·1~5-4!~120

b) 5!

1.2.a) 9! ~ 9.8.7!~72 b) 21 7t

71

l.3.a) 51 + 61

b) 7! - 51 0)

1.4.a)

1.6.a) c)

d) 40320

c) 6

d) 132

+ 6·5! = 7·5! =7·120 ~ 840 7·6·5! - 51 ~ 42·51 - 5! = 41·51

~5!

~

121+11!-I01~12·11·IO!+II·IO!-I01~(l2·11+!1-1)I01=142.·IO!

n-'~!'.Jn-I)!~(n_l)1

n (11+1)1 L5.a) (n -I)! 0)

c) 5040

b) (n-I)!

n (11+I)n(n-I)I._(n+I)/_.

b)

(n-1)!

c)

(211+1)! (2n-I)!

(n-3)1

(2n+])(2n .. I)I~2n+1 (211 ])1

_n_!_=n(n-l)(n-2)! --n(n-I). (n-2)' (11-2)1

1

n+l-l (11+1)1

n I l 1'1+3+1 n+4 b) --+--=----~--. (n+3)! (n+3)! (n+3)! (11+3)!

- - - - = - ......... = - -

n' (n+I)!

5·4·3! .(11+1)n(n-I)I~20. n(n+1) 3!(n-l)1

5 ! . (11+1)! 11(11+1) 3!(n-1)1 61

I.7·(,;=-2X~_3)

(n+I)!

r

1 (n+I)! ·Lln+I)(n-4)· 5!(n-5)1

1

l1(n-I)! 12(n-4)!3!f

~ (n2~:n-3)[5!(I;-:)!(n-5)! 3(n~~)!4!]= 6! ---(11-2)(n-3)

3n! -5n!

6·5!

-2nl

3·51(n-·4)1

(n-2)(n-3)

3·51(11-4)!

-12n! 3(n- 2)(n-3)(n-4)! l.8.a)

1.9.a) 1.1 O.a) b)

1.11.a)

-4nl -4n(n-I)(n--2)! --. (11-2)! (n-2)1

7!+I5.~~()I(7+1) =6!

8 (n + I)!

8 (n + 1)· 11!

n!

n!

---~ '= - - - - - . "'"

I 1 n-·l ----""-...

(n-I)!

n'

n!

b)

/1-J

n+l~l

n!

(n+l)!

(n + 5)! n!

b)

n(n-I)·(n-2)!

- ---- = - -

(n+l)!

J3!-I.J!.~ 1l!(13.12-1)~1!.~~55~l!l

155 n!

n+I

411(n ··1).

155 n·(n-l)!

155

(n-l)!"1';-=1)!~n 1

--n·(n-·2)1

n -c--:c---:---:-c - - - - - - . - (n+l)·n·(n-l)1

(n+l)·(n--l)1

(n+5)(n +4)(n + 3)(n+ 2)(n+ I)n! ~(n+ 5)(n +4Xn+ 3)(n+ 2)(11+ 1) n! 121

(n-3)

(n-3)(n-4)(n-5)1

1

_ _ _ _ 00_

= 110

(n + 2)1

n!

'" (n+2)(n+I)=110 '" n'+311-108=0 => n=9.

~_= 20nl

b)

(n-5)!

'" (n-3)(n-4)=20 '"

(n-3)!

(x + 1)1 = 42 (x--I)I b) x = 5 x!- (x -I)! .1S.n) ~-'-,~"-:::;::-(x+l)! 6

1.13.a)

(x+l)x=42

¢.'

'"

x(x+!)= 6(x-l) x 12x il) -(x-4)! (x-2)!

'" '"

(n-=3~<12


17.a)

b)

--"-'- > 2() ¢> n(n-I»2() (n - 2)!

-~~

=>

'"

0

'" ~c:> W

1

0'-311-18<0

w

n -n .. 20
=>

!l-5n-6
~='!

n--2"

nE{4,5}.

=>

l.

n-2

~---~·-=-.:;5 ~

<:=:>

11(11-1)(11-2)(n-3)'\ '<5 (11-3)!4!)-

.-

-

l1(n--l)_

-----:::::,5

¢:>

n 2-n-JO:$O

x

= 4, x =

- 2k -1) '" (-I)'(-k -1) = (-1)'+'(k+ I).

'~7,+i'7 + ... ,,(k' " +.2k-l)

k(2k'+9k+l) .

L,

6

Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1.

=

k(2k :9k+I)+[(k+l)'+2(k+I)_

=

k(2k'+9k+l)+6(k'+4k+2)

2k3+ 9k 2+k+6k2+24k+12

6

6

5 , x = 6,

. I(aza P(I) . Z ' ' ,1(1 + I) • . " led ,. IS anlJenom n = 1,naI aZlIno ! = ~~ ) sto le, oew: ' no, tacno. 2 . ~

Pretpostavimo sada da je P(n) tacno za proizvoljan prirodan broj k :?: 1, ~i. neka je tacna jednakost:

~ k(k +2.

H)' Ie + H)'+1(2k + I) =(-1)' [k + (-I)(2k + 1)] =

2

. L19.a) Nekaje Pen) : 1 +2+ .. +11 =~' n EN. Prov]erimo, prvo, tacnost

Odavde slijedi daje

2

1+2+ ... +k+(k+I)~ k(k+1) +(k+l) = k(k+l)+2(~+I) _, (k+l)k+2)

122

=

(-I)'k+(-l)'+'[2k+2-1]=

2 + 7 + 17 + ... + (k' + 2k -1) + [(k + I)' + 2(k + I) -I}

31

=> n(n+l)

1+2+ ... + k

= (-I)'k+(-I)'+1[2(k+I)-I]~

Dakie, jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svako prirodno n. c) .1ednakost vrijedi ?-a n= 1. Pretpostavimo da jednakost vrijedi za n = k:?: 1,

4!

411(11-1)(11--2)

= k;, I, tj. neka je

-1 +3 - 5 + 7 - ... + (_·1)' (2k -I) =(-1)' k

lI(n --1)(11 - 2) \) 0; 5

--'c_ .(Sni'I_=-_12(n - 2) n-2 4!

6

Uz gornju pretpostavku dokazimo tacnostjednakosti za n = k+L Zaistaje: -1 +3 --5 + 7 - ..,f,{_l)k (2k --1)4"" (_1/"+1 [2(k + 1) 1]=

nE(6, 7, 8, 9, ... }.

10>5

(11+1)(11-·3)!4!

2 (k+I)(k+2)(k+3)

6

= (_I)k (k

2)(11-3)'

6

= k(k+I)(k+2)+3(k-I-I)(k+2)

I1E{3, 4, 5}.

~>

(n+IL_.. l1(n-I)! 11+1 (n-3)'4' 12(11-3)(n-4)!21)

(5(n+I)I1(n-I)(11

k(k+l)(k+2) + (k+I)(k+2) ~

2

b) Ako je n= 1 jed11akost vrijedi. Neka jednakost vruedi za n

'" '"

--=I=·l"-"-.' n-2

2

=> x= 6.

nE{l1, 12, 13, 14,15, ... }.

18.

6

1+3+6+ ... +k(k+1) + (k+I)(k+2)

6

x= 2, x =3. =

k(k+I)(k+2)

Dokazimo da, uz gornju pretpostavku, jednakost vrijed! i za n = k+ 1:

x-I (x + I)x

1+3+6+ ... + k("+I)

2

b) x=3

x'-5x-6

(11-2)(0-3) < 12

obliku

a to je tvraenje Pen), za n ~ k+ I. Dokazali smo daje za svaki prirodan broj Ie istinita implikacija P(k) "'" P(k + I). Posto smo provjerili daje P(I) taeno, metodom matematicke indukcije smo dokazali daje P(n) tacno za sve prirodne brojeve. 1.20.a) Ako uzmemo da je n = 1, uvjeravamo se dajednakost vrijedi. Pretpostavimo dajednakost vrijedi z.a n = kLl, tj. neka vrijedi:

'" x'+x-42=O => x=6.

(x-2)(x-3) = ! 2

(11-3)'

(n- 4)!

=> n = 8.

'"

I 6. a ) .0=-_1)-' < 2() '" (n-I )(n-2) < 20 b)

n' -7n-8=0

1.14.a) )( = 9. (x-I)(x-I)1 .. =(x + I)x(x-I)I 6 x'-5x+6 = 0

~-~

U

, 2' k ( )_ (k+I)Kk+I)+lJ 1+ + ... + + k+l 2 )

(n-5)!

(n--5)1

1.12.a)

sto mozemo Disati

=(n-3)(n-4)

2 2 2

k(2k':9k+l)+(k'+4k+2)=

21e' + 15k' + 25k + 12

6

= (kt 1)[ 2ee +

6

2"+ 1)+'9k+ lOt i~_~2.hCl::,:l)' +9(k+ 1)+ I] 6

-

6

.

lednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. 1.21.b) Ako uzmemo daje n~l, uvjeravamo se dajed11akost vrijedi. Pretpostavirno daje jednakost istinita za n = k;, I, tj. neka vrijedi: k(k + 1)(2k + 7) I· 3 + 2·4 + 3·5 + ... + k(k + 2)

6

123

",jl Dokazirno sada istinitostjednakosti za n = k+ j, I· 3 + 2·4 + 3·5 L . + k(k + 2) + (k + l)(k + 3) =(k+l) [

k(k + 1)(2k + 7)

6

k(lk + 7) k ) ] 1) k(2k + 7) + 6(k-!' 3) 6 +( +3 =(k+ 6 =

(k

+

+ (k + 1)(k + 3) ~

1) 2k' + 13k + 18 6

(k+l)(2k+9)(h2) = (k+l)(k+2)[2(k+I)+7]

6

k(ie + I)' + (k + 1)(3k + 4) = (k+ I) [k(l( + 1)+ (3k + 4)]= (k + I)(k' + k + 3k + 4) =

= (k+l)(k'+4k+4)=(k+I)(k+2)'. Vidllno dajednakost vrijedi i za n = k+ 1 sto znaci da vrijedi za svaki prtrodan broj. 1.22.a) Neposrednom provjerom utvrdujclllo da jednakost vrijedi za n = J. Dokazimo da uz prestpostavku dajectnakost vrijedi za n = k~l, vrijedi i za n = k+1. Dakle, prctpostavkaje da vrijedi:

C*)

.

.

(k + 1)[k(2" + 1) + 6(k + 1)] (Ic + 1)(2k2+k +6k-!' 6)

1.2.3. Uvrstavanjem vrijednosti n=l u datu relaciju dobije se istinitajcdnakost. Pretpostavimo dajednakost vrijl.;~di za n = k>-l. Neka, dakle, vrijedi: k(k + 1)(k + 2)(k + 3) I· 2·3 +2·3·4 L.+ k(k + I)(k -I 2) 4 Dokazimo da jednakost vrijedi Z3 n = k+ 1. 1·2·3 +2·3 ·4+...+k(k+ I)(k + 2)+(k + !)(k +2)(k +3) =

- k(k +J)(k + 2)(k +3) + (k +)1(+.;..1(+ JO(, ")(' 3)-4 = k(k + I)(k + l)(k + 3) + 4(k + l)(k + 2)(k + 3) (Ic + I)(k + 2)(k + 3)(~+ 4) 4 4 Vidimo dajednakost vrUedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svako prirodno fl.. 1.24. Neposrednom provjerom utvrClujemo dajednakost vrijedi za n=l i 72

1.2 ' +2·3' +3.4 2 + ... +(k-Ilk'

, ,2 ' 2 k(k + J)(2k ,-1) ,'} 1-+2-+3 + ... +k-+(k+l) =. +(k+1J-=

DokaZimo istinitost jednakosti za n ~

6 6 6 (Ic + 1)(21<'+4" + 3" ., 6) l'e .+ I) [2k(k + 2) + 3(k + 2)] (k + l)kk+ 1) + 1][2(" + 1),. 1] 6 6 6 Stu znacl dajednakost vrijcdi i za n = k+ 1. DakJe, jednakost vrijedi za sve prirodne brujcvc. c) Neposrcdnom provjerom utvrdujemo dajednakost vrijedi za n=l. Prctpostavimo da je jednakost tacna za 11 = k:2: j, tj. ncka vrijedi: 2' +43 + 63 + ... +(2k)' ~ 2e(k + I)'. Dokazimo istinitostjednakosti za n. = k+l. 2 3 +4 3 + 6 3 L.+ (2k)3 + [2(k + i)]' ~ 2k'(k + I)' + [2(k + I)], =

124

~

n=2. Pretpostavimo dajednakosL vrijedi za n = k;;::2, tj. nekaje:

o

Koris!ec! (*), dalje vrijed;:

(k + I)' [2k2 + 8(k +

+3k-l)+30(k+l)~1

Vidimo dajednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n.

Dokazimo tacnost jednakosti za n = k+ 1.

IJ} 2(k + 1)'(k' + 4k + 4) ~ 2(k + I)'(k + 2)' .

Vidimo daje sa nasorn pretpDstavkorn dajednakost vrijedi za n=k, jednakost istinita i za n = k+l, paje istinita za svaki prirodan broj.

(k+l) [k(2k+ 1)(3k'

-

1·4+2· 7 +3 ·10+ ... +k(3k + I) +(k + I) [3(k + 1)+ I]=k(k + I)' +(k + I) [1(k + 1)+ I] =

Ic(k + 1)(2k-!' 1) + 6(k + 1)'

k(k + 1)(2k + 1)(3k' +3k -1) + 30(k + I)' 30

30

1·4+2·7 +3·10+...+k(3k+ I) =k(k + 1)'.

6

4 1" + 2' +3 + ... + k' + (k +1 )' -- le(k + 1)(2k + 1)(3k' +3k -I) + (k + 1)'30

_ (k + l)[Ck + 1) + 1)][ 2(k + I) + 1)] [3(k+ I)' +3(k+ 1)-1]

Dve vrijednosti za n dobiva se: 1· 4 = 1(1 + 1)2 <::> 4:;:: 4 , Znaci dajcdnakost vrijedi za n = J. Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k?:l. Neka, dakle, vrijcdi:

l' + 2' + 3' + ... + k'k(k+l)(2k+1) ~ 6

'~

~

6

Dakie) posrnatranajednakostje lstinita i za n = k+l, paje istinita za svaki prirodan braj n. c) Provjerimo da Ii jednakost vrijedi za n = 1. Neposrednim uvrstavanjem

=

d) Jednakost vrijedi za n = 1. Pretpostavimo da jednakost vr(jedi za n = k. Onda vrijedi:

,

·2-+2·3

le(k' -1)(3k + 2) 12

= k+ 1:

'+3·4~+ 0 ... +(k-l)'c+k(k+1) .,

Ie(k' - 1)(3" + 2) + 12k(k + 1)'

2

2

_.

k(k -1)(3k+2l " +Ie(k+l) 12

=

k(k + I)[(k -1)(3k+ 2) + 12(k + I)L

12

~ "-(k+I)()k' -3~ +2k-2+12k+12) 12

12 k(k+l)(3k' +11k+lO) =

12

IcCk + l)(k + 2)(3" + 5) _ (lc+ I)(k' + k)(3k + 5) _ (k+ I) [(Ie + l)2 -1][3(k+ 1)+ 2] 12 12 .12 . Dakle, jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. 1.25. lednakost vrijedi za n= 1. Pretpostavimo daje jednakost istinita za n = 1<2:1, to jest neka vrijedi 1+ 2 + 22 + ... + 2H = 2k -I. Koristeci oVU pretpostavku dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1 : 1+2+21 + ... +2 k -- 1 +2K =2k _1+2k =2.2 k _1=2k+1 -1.

125

Vidimo dajednakost vrijedi i za n = k+l, paje tacna za svaki prirodan broj n. 1.26. Ocito je da jedl1akost vrijedi za n= I. Neka jednakost vrijedi za n = k2: I: 12 _22 + 3 2 _4 2 + ... +(-.I)k-! k2

= (_I)k-I k(k+ I)

:;:'

.

2 4' + ... + (-1)'-1 k' +(-I)'(k + 1)2 = (-_I)k-: k(k+ 1) + (-I)' (k + 1)2= 2 =

Hf-I(k + 1)

= (-·I)k-I(k + 1)

[~+ (-I)(k

1-"- -IJ

+lJ] =

[~-

(_I)k-l(k + 1)

=H)'(k+ 1)

ir-I] =

riL + + IJ. k

1) L 2 2 Vidimo dajednakost vrijedi i za n = k+ I, pa vrijedi za svaki prirodan broj n.

1.27. Jednakost vrijedi za n=l. (Provjeri!) Pretpostavimo dajednakost vrijedi za k 1

k a + -1. 2 1 -+ a+ a + .. + a = - - - , a -;I:. 1. Dokazuno sada 0-1 da jednakost vrijcdi i za n = k+ 1 :

n

= k:2:1, tj. neka vrijedi:

V'

ak+I

-1

--- +a --

a k +1 -1 + a k + 2 _ a k + i

~.-

a-I

Dakle, jednakost vrijedi i za

11

k+l

a--I a k + 2 -1 ""'--'--, a:;t:l. a-I

3k' +4k+ I

(3k + 1)(3k + 4)

(3k + 1)(3k + 4)

a k+ l ~ 1 + a k+ 1(a_1)

= - - - - -...

--~=

a-I

= k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan braj n,

1·2

+ - - + -_.- + ... + 2·3

3·4

k'(k+l)

+-

(k+I)·(k+2)

=- - + -:-:---::--::-,-k+I

(k+I)·(k+2)

k(k+2)+1 (k+l)2 k+1 k+1 =--= (I<+I)·(k+2) (k+l)'(k+2) k+2 (k+])+1 Kako tvrdnja vr!jedi 1 za n = k+ 1, to Dna vrijedi 7.Ai sve prirodnc brojevc. ~------

1.29.a) Provjerom za n=l uvjeravamo se daje jcdnakost tacna. Pretpos1.avimo da je jednakost istinlta za n = k:2:], odnosno neka vrijedi: 1 I I I k - ++ -.- -+ •.. +---._--_._----- = - 1 . 4 4·7 7· 10 (3k -. 2) (3k + I) 3k + 1 Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ I : I I I + + 1 I _____ __ + _= 0

--L_+~

1·4' 4·7

126

=

7·10

...

(3k-2)(3k+l)

l3(k+I)-2]13(k+1)+I]

k 1 k 1 3" + 1 + [3(k+ 1)-2H1(k + 1)+ I t 3" + + (3k + 1-).-(3-k,-'4-)

i

+I

3k(k+ I)+(k + I) (3k + 1)(3k + 4)

(3k + 1)(3k + 4)

k +1 .k+l _3k+4 3(k+I)+1 DakJe, jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa .Ie tacna za svaki prirodan broj n. c) Neposrednom provjcrom utvrdujemo dajednakost vrijedi za n=1. Neka jednakost vrijedi za n ~ k2:1: 1 1 I I k .---+-+~--+ ... -+ -----4·5 5·6 6·7 (k+3)(k+4) 4(k+4) (3k + 1)(k + I)

DokaZimo istinitost jednakosti za n = k+l: 1 1 ] I - + . _ + - + ... +-_._--+ 4·5 5·6 6·7 (k+3)("·,·4) (k+4)(k+5) 1

k

1

+-----~

4(k+4)

(k+4)(k·,S)

,,2

+5k+4 (k+l)(k+4) k+1 k(k+5)+4 ._---4(k + 4)(k + 5) 4(k + 4)(k+5) 4(k +4)(k + 5) = 4[(k~ I) +4]' Jednakost vr~lcdj j za n = k+l, pa vrUedi za svaki prirodan broj.

1.30. Jednakost vrijcdi za n=1. (Provjeri!). Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k2: I, ~j neka vrijedi: 13 2k' + 2k + 1 k(2k + 3) 5 - + - + ... +---.--~---. ]·2 2·3 k(I<+I) k+1 Uz navedenu pretpostavku, dokazimo da jednakost vrijedi i za n = k+-1 : 5 ,13 . 2k' + 2k + 1 2(k + 1)' + 2(k + I) + ~ ~ -

1.28,a) Neposrednom provjerom utvrdujemo da tvrdnja vrijedi za n=l. Neka tvrdnja vrijedi za 11 = k2: I. Dokazimo istinitost tvrdnje za n = k+ 1. I I I 1 I k

-

3k + 3k + k

(3k + 1)(3k + 4)

Dokazimo 1stin1tost jednakosti za n = k+ 1. 12 _ 22 +3'

2

k(3k+4)+1

T

-

1·2

2·3

_ k(2k+3)

- -

+

k+l

+ ..

<

""j"'

k(k+l)

+ --'---:-c'--=c'--c::-'(k+l)(k+2)

2(k+1)'+2(k+I)+1 _ k(2k+3) ._-- - -----+ (k+l)(k+2)

2k'+4k+2+2k+2+J~

k+l

-

(k+1)(k+2)

2k 2 +3k

2k~+6k+5

(Ie + 2)(2k 1+ 3k) + 2k2 + 6k + 5

k+1

(k+l)(k+2)

(k+ 1)(k+2)

=--_.+

3

2k +3e + 4"" +6k+ 2k" + ~"~~.= 2k +9~2 + 12k + 5 _ (k+1)(1<+2) (k+I)(k+2) 3

2k' +2k' +71<' +7k+5k+5

2k'(k.:"I)+7k(k+1)+5(k+1)

(In 1)(k + 2)

(k + 1)(k + 2)

~ (2k'+7k+5).(k+l)

2k'+7k·I·5

2k'+2k+5k+5

(k+1)l2u..+:.12+31

(k+I)(k+2) k+2 (k+l)+1 (k+l)+1 Vidimo dajednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj

11.

1.31.a) Neposrednom provjerom vidimo da tvrdnja vrijedi za n = 1. Ako pretpostavimo da tvrdl1ja vrijedi za 11'= k?l, tada moz.emo pisati: 12 2' 32 k' (1<+1)2 - + - + - + ... + ''+ 1·3 3·5 5·7 (2k-I)(2k+l) (2k+l)·(2k+3)

127

--"-c-"c'

(k + 1)(2k' + 5k + 2)

2(2k+ 1)

2(2k + I), (2k + 3)

k(k+1) +, ____:--'::--"-=--:-(k+l)' (lk + I), (2k + 3)

("+I)(k+2)

~- 2(2k+3)

(k+ I)(k + 2)(2k+ I) = 2(2k + I), (2k + 3)

(k+I)Kk+I)+I] " "' '"'' 2(2k+ 1)+ I ' sto znae. d. tvrdnJa vflJedll za n = k+L

Vidimo da posmatrana jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan brqj 11. 134, Neposrednim uvrstavanjem n=1 utvrdujemo dajednakost vrijedi za n= 1, Pretpostavimo da jednakost vrijedi za n = 1<21, ij, neka vrijedi: 2 --+

Dakle, tvrdnja vrijedi za svc prirodne brojeve, b) Jednakost vrijedi za o=L Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k2:1, tj. neka vrijedi: 14 24 k4 ,,_,_ k(k +I)(k-' +k+ I) _+_+"'+,_, ____ J.3 3,5 (2k -1)(2k + 1) 6(2k + 1) Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1. 14 2' k' (k+l)4 --+--+ ... + + . = 1,3 3,5 (2k-l)(2k+l) [2(k+l)-1][2(k+I)+I] 2

k(k + 1)(k + Ie + 1) _,

__ k(k + 1)(2k + 3)( k' + k + 1) + 6(k + I)' _ , (2k + 1)(2k + 3) 6(2" + 1)(2k + 3)

6(2k + 1)

2+1

+ 1)(2k + 3)

1) [21e' + Ilk' +23k' + 21k+61 6(2k + 1)(2k + 3)

,(k + 1)(2k + 1)(k + 51c' +9k + 6) ~ (Ie + l)(k + 2)(k' 3

6(2k + .1)(2k + 3)

2

22

2+1 +-

22

_

+ 3k+ 3) =

2k

2k+1

2K

k+~=2 + 2hl

2k+l

2(k+2)--k-1 2k+1 2k+1

k (k+!)'

(k+l)2(k+2)'

=

128

+i+ 2

2k +1

2kit

Zk'i

+1 =2- 2 2" -1 +- 22.(

2k +11

~=

2k+J(22k+l)_2k+I(22k_l)_

2k+l

=2------

k

k

-

(2' _1)(22 +1)

+1

2

Vidimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1, pa je istinita za svaki prirodan broj LJ5.a) Ako n =1 uvrstimo u dati izraz vidimo da se dobije tacnajednakost 1 1

6

2,3,4

B.

6

3-4-5

I =2------(k+J)'(k+2)' ~k+l)+I]"

1 1 1 --+--+,--,,-+"'+ 1,2,3

2,3,4

_ 111

3,4,5

l

1

111

1 k(k+l)(k+2)

1 k(k+I)(k+2)

2L2

1 lj. (k+ 1)(k +2) ,

+---~-

(k+I)(k+2)(k+3)

.,,:1'---_ _

. (Ie + I)(k + 2) - 2 + _, 4(k+ 1)(k+2)

•

(k+l)2

~ 2 (k+2)' -[2(k+l)+ It2 Ie' +4k+4-2k-3 =2 (k+ I)'(k + 2)' (k + 1)2(k + 2)' (k+I)2

Zk

+1 + ... + 2 2k - 1

,- 2L2 - (Ie + I)(k + 2i J+ (Ie + 1)(k + 2)(k + 3) 1 (k+l)(k+2)(k+3)

3

lednakostje istinita Z,-1. Il = k+ 1, paje istinita i za svaki prirodan broj Il. 1.33. Neposrednom provjerom utvrdujemo dajednakost vrijedi L'1 n=l. Pretpostavimo daje jcdnakost tacna za n = k?:l, ~j. neka vrijedi: 3 5 7 21e + 1 1 1 + -+ -- + ~+ ... +-----.-=2 --4 36 144 k 2 (k+l)2 (k+l)' ' Dokazimo istinitostjcdnakosti za n = k+ 1. 1+~+2.+~L,+ 22"+1. +_2(k+J2~~2 ___1_+ 2(k+I)+1

= 2

-1

22

Dokazimo da jcdnakost vrijcdi i za n = k+ 1:

,

= 2- 2k+".-k-l =2- k+3

144

24

2k+l

1,2,3

~+~+2+" +-,,-+k~=2_k+2

36

+1

-

_1_+,_1_+ ___·_,_+,,,+

i dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1.

4

2

Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k?l, tj. neka vrijedi:

! .32. Jcdnakost vrijedi za n=l. Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k>-l: I 2 3 k =2 __ k 1-2 2+ + 22 + ... + 2L

22

23

+1 +-

- 2---,-+ 2' -1

6(2k + 3)

6 [2(k+l)+1]

22

2 +1

Dokazimo da je pqsmatrana jednakost tacna i za n = k+ 1.

~(k + l)(k + 2) [~+ 1)' + (Ie -I 1) + 1.1

2

+1

23 2k 2k+l +""',-+ ... +-,-,-:=;2--,. --. 2

(Ie + 1)4

~ (k+l)f k(2k + 3)(k' +k -+~l)+~k +lil (k' 6(2k

22

(k+I)2(k+2)'

k' +2k+1 (k + 1)'(k + 2)'

k +6k'+9k+4 4(k

k' + 3k

,+ _ _ _.:c-_ 4(k+ 1)(k+ 2) (k+l)(k + 2)(k +3)

k3+6k'+llk+6-2k-2 4(k + I)(k + 2)(k +3)

+ I)(k + 2)(k + 3)

e +6k' +11"+6

2k+2

4(k + I)(k + 2)(k + 3)

4(k + 1)(k + 2)(k + 3)

= __ ~_2(k+JL __ = 4

4(k

+ J)(k+ 2)(k + 3)

~ ~ __ ,,_1~ -lJ ~ ___l _ _ l 4

2(k + 2)(k+3) -2L2

(k+2)(k+3)j'

Dakle, jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa je istinita za svaki prirodan broj n. b) 1) Neposrednom provjerom utvrdujemo da jednakost vrijedi za n~ I, 2) Pretpostavirno dajednakost vrijedi za n = ~l. tj. neka vrijedi:

1 J I 1,2,3,4 + 2,3,4,5 +",+ k(k +1)(k+2)(k +3) Dokazimo sada da jednakost vrijedi i za n=k+ 1:

1[1 6

'3

1

]

(k+I)(k+2)(k+3) ,

129

I

~---+

1·2·3·4

2·3·4·5

+ ... +

+.-

k(k+l)(f+2)(k+3)

-

(k+l)(k+2)(k+3)(k+4)-

~ H~- (k+I)(k~2)(k+3)]+ (k+l)(k+2)~k+3)(k+4)

tacna za neki pflfodan broj n = k ::::1, tj. neka je tacno: 1-1!+2·2!+ ... +k·k!=(k+I)!-I.

~ 1 (k+l)(k+2)(k+3)-6 +cc-~-c--.::..l~~_

3 6(k + 1)(k + 2)(k + 3)

~

Tadaje 1·1!+2· 2!+ ... + k· k'+(k + I)· (Ie + I)!= (k + I) !-I +(k + 1)-(k + I)!= = (Ie + I)!{k + I +1)-1 = (k + 1)!(k+2)-1 =(k+2)!-1 sto znaci da je tada tVrdnja tacna i za n = k+ 1, pa je tacna za sve prirodne brojeve. 1.38_ Jednakost vrijedi za n = 1. Pretpostavimo dajednakost vrijedi za

(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)

.!.lr (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) - 6(k + 4) + 181 = 6(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)

3

_1[1

6(k+4)-18

J

]

-36- 6(k+l)(k+2)(k+3)(k+4) ~ _III 6(k+4-3) ] ]rll 6(k+l) ] -3L6- 6(k+I)(k+2)(k+3)(k+4) ~3 6- 6(k+ 1)(k+2)(k+3)(k +4) ~ ~~I.!._ 3,6

1 (k+ 2)(k+3)(k +4)

]~.!.[.!._ 3 6

I

(k+l+I)(k+I+2)(k+l+3) .

1

1

a(a+l)

(a+I)(a+2)

+

1 1 k

(a+2)(a+3)

+ ... +

'---~----

(a+k-l)(a+k)

a(a+k)

Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1: I

1

a(a+l)

(a+l)(a+2)

----+ ~

. +

1 (a+2)(a+3)

_k:.._+_ a(a+k)

(a+k)(a+k+l)

+ ... +

I

-+--,--"---

(a+k-l)(a+k)

k(a+k+l)+a a(a+k)(a+k+l)

(a+k)(o+k+l)

ak+k(k+l)+a. a(a+k)(a+k+l)

a(k+I)+k(k+l) (a + k)(k+ I) = __ ~_ a(a+k)(a+k+l) a(a+k)(a+k+l) a(a+k+l) Vidimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan br~j n. b) 1) Provjerom za n=1 utvrdujemo dajednakost vrijedi. 2) Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k::::], tj. neka vrijedi:

~

1 ~--+

l+a

2

1+

4

8

2k

+---+~-+

1+a 4

l+a H

I

2k-!-1

+--~--+--~-:-C ••.

1+a 2*

a"-l

1--

Dokazimo da jednakost vrijedi i za n = k+ I: I

2

4

8

~-+--+--+--+. 4 2

l+a

130

1+0

l+a

l""!""J

2k 2kLJ 1 +--+--=I+a 2!

l-'-a 2"1

a~l

2k + i

2hl +-~=

1-

1+a 2

k+1

3 7 15 ... +--=2 2' - i !-, +2k~ I) . 1+-+-+-+

n=::::1: k

2 4 8 2'-' Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1. 3715

2k_1

Zk'';_l

Ik

2hl_l

l+-+~+-+ .. '+~k-' +--,-=2- +2Q,-1)+--,-=

r 2 1 2 + k2 k +1 __ ')k+1 + 2k + 1 -1 +2k-2+----=·, ~

2

]

Dakle, jednakost vrijedi j za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan br~j n. 1.36.a) Jednakost vrijedi za n = 1. Pretpostavimo dajednakost vrUedi za n=k;o::l;

---+

Vidimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. 1.37. Za n=l irnamo j·I!:=: 2!-1, odnosno 1=1. Pretpostavimo daje tvrdnja

= 2

=

1 k -

4

1 1 2 k-<] 2k + (

8

')hl .""

2k

=r

k

2 1+ k2k+1

2k

+2k"",i·-(k+I'+2(k-l+l).

lednakost vrijedi i za n = k+l, paje istinita za syaki prirodan broj Il. 1.39.a) Ako uzmemo daje n=l. dobije se 7'-1~6 stoje djeljivo sa 6. Pretpostavimo dajc izraz Tl_l djeljiy sa 6 za n=k~ 1, tj. neka vrijedi: 7n _1 = 6m, mEZ. Dokazimo da je izmz 711_1 djeljiv sa 6 i 7.2 n=k+ 1. 7'+1_1 ~ 7·7k_1 = 7(7k_1) + 6 ~ 7·6m+6 = 6(7m+1). Kako je 7m+ I mEZ_ to je izraz 7"-1 djeljiv sa 6 i za n = Ie+ 1, paje djeljiv za svaki prirodan broj. t) Neposrednom provjerom utvrdujemo da je izraz n] -n djeljiv sa 3 za n~ 1. Pretpostavimo daje n3 _n djeljivo sa 3 za n=k:?: 1, tj. neka vrijedi: k'-k ~ 3q, qEZ. Dokazimo daje izraz 11 3 _11 djeljiv sa 3 i za n = k+ 1. 2 (k+ 1)' _ (k+ I) = k ' +3k 2 +3k+ 1 -k- 1 = (k'_k) +3k +3k ~ 2 2 = 3q + 3(k +k) ~ 3(g+ k +k) . VicHrt:1O da jc izraz 11' -11 djeljiv sa 3 ! za 11 = k+ 1, pa je djeljiv :.3 3 za svaki prirodan bro.1 n. c) Za 11 = 1 vrijednost iZf3za jc 48 sto jc djeljivo s 48. Pretpostavimo da je izraz in-1_l djeljivsa48z.a 11=k~l,tj.nekavrijedi: 7 2k"i_l = 48rn, mEZ.

Dokazimo daje izraz 72n-!_1 djeJjiv sa 48 za n=k+l. 2k 2k 7'(k+!r 1-I = 72k+2-' -1 = 7272k-'_1 = 49·7 -'_ 49+48 = 49(7 -' -I )+48 = = 48m+48 = 48(m+ 1). Dakle, izraz 7'"-1 -I je djeljiv sa 48 i za n = k+ 1, paje dje\jiv sa 48 za svaki prirodan broj n.

131

7.S2(k+!)-!+23(k;.J)+1

1.40.a) Rclacija v ..ijed! za n = 1 jer je 12 djeljivo sa 6. Neka relacija vrijedi 3 za n = k21, U. nekaje k +llk = 6q, gEZ. Dokazimo da relacija vrijedi i za n = k+ L (k+ 1)"+ 11 (k+ I) = k 3 +3k'+3k+ 1+ Ilk+ II = (k3+ II k)+3k(k+ 1)+ 12 = = 6q+3k(k+I)+12, qEZ. Kako je svaki od tri dobUena sabirka djeljiv sa sest, to je i cijeli izraz djeljiv sa 6. Dakle, relacija vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj.

c)

tj. nekaje: 7·S 2k +12·6 k =19m, mEZ. Dokazimo djeljivost izraza sa 19 za n==k+ 1: 7.5 2 (",) + 12. 6k + 1 = 7 .5 2 ·5" + 12·6·6' = 25(7· 5k + 12.6 k ) k

= 25 ·19m -19 ·12· 6 = 19(25m -12· 6

= (k+1)'

=>

=(k' +5k) + 3k(k + 1)+6 = 61r1 + 3k(k + 1)+ 6. DobiE smo sumu od tri sabirka u kojoj je treci sabirak 6. Prvi sabirakje djeljiv s 6 po pretpostavci, a drugi sabirak je proizvod broja 3 i dva uzastopna cijela broja. Kako.ie od dva uzastopna cijela brojajedan sigurno djeljiv sa 2, to jc i drugi sabirak djeijiv sa 3·2, odnosno sa 6. Daklc cijeli izrazje djeljiv sa 6. To znaci daje A(n) djeljlvo sa 6 za svaki prirodan broj n.

Kako je 5 m + 78·1 IJk-f!

0

Vidimo clajc i f(k+1) djeljiv sa 3, ,to znaci da su svi brojevij(n) djeljivi s J. b) Akojen=l,tadaje: 7.52-'+2 3 "=35+16=51= 17·3. 7 5 2no1 + 2"rr"! d'JeJlvsal I" 7 za n= k :2:1,tJ.nekavrijedi: N e"aJClzraz· k .. 3k 1 7·5"·1+2 + = 17'q, qEZ. Dokazimo istinitost relacije za n:::; k+ 1. 0

E

Z ; to je dati izraz djeljiv sa 17 i za n=k+ 1,

paje djeljiv sa tim brojem za svaki pdrodan braj. 3 b) Za n;;;;:l vrijednost datog izraza je 7 3 + 8 = 343 + 512 = 855 = 15·57, sto zna6 daje djeljiv sa 57. Pretpostavimo daje dati izraz djcljiv sa 57 za n=k::::l, ij. neka vrijedi:

7 k + 2 +8 21;+1 =57·m, mEZ. DokaZimo daje dati izrazdjeljiv sa 57 i za n=k+1. Zaistaje: 7k + I+ 1 + 82(k+I)+! ::;:; 7 .:1h2 + g2k+1 .8 2 = 7. (7k+2 + 82k+!) + 57·821:+1 = = 7'.S7m+S7.g 2k+l

J1

~ 5/(")-3 2'+' =3(5111_2"'), Sm-2'+! EZ.

).

005.17111+17.78.11",1 =17(5m+78"11 3k + I ).

1.4 La) Oznacimo fen) = 5" + 2 -!-i • Treba dokazali daje za svaki prorodan broj n, iZfaz f{n) djeijiv s brojem 3. Za n=O imamo daje itO) =5° +2').: =3, dakie f(O) je djeljivo s 3. Pretpostavimo daje l{n) djeijiv s 3 za n = k:?;O, tj. nekaje f(k) = 3m, mEZ, Posmatrajmo broj f(k+ 1): f(k+l)=Sk+J +2 k +1-;1 ;=5.5 11 +2·2 hl =5(/t k j_··2 k ·,.J)+2.2 k .
22&·6' =

Dokaz.imo daje dati izraz djcljiv sa 17 i za n=1<.+ 1. Zaistaje: S/;·dd + 113(i,.d)d:::o5 .Sk+3 + 1(' .11 31:+1 = S(Skt3 + 11 3k ;-I)+ 1326-! 1·'1 I'1i

A(k+ I) .

+5(k + l)=k' +3k 2 +3k+ 1 +5k+5 =

__

Sk+3 +11 3k +1 =17m, mEZ"

mEZ. A(k+l)

k

Dakle, izrazje dje1jiv sa 19 i za n~k+l, paje djeljiv sa 19 za svaki prirodan broj. 1.42.a) Za n= I vrijednost datog izraza je S4 + 1 t4 = 625 + l4641 = 15266 == 17·898, §to znaci daje posmatrani izraz djcljiv sa 17 za n=l. Pretpostavimo daje posmatrani izraz djeljiv sa 17 za n=k::::::l, tj. l1eka vrijedL

Provjera: A(l) = 6, paje izraz djeJjiv sa 6 za n=l. Pretpostavka: Nekaje izraz A(n) djeijiv sa 6 za n=k, tj. llekaje A(k)=6m, Dokazimo istinitost Illlplikacije A(k)

=

= 17.q-17·2 3k ,1 =I70(q_2 3k+ I), qEZ. 3 Kakoje q_2 k-+! cijeli broj, toje izraz 7·S 2n·!+2311+! djeljiv sa 17 i za n=k+l, paje djeljiv sa tim brojem za svaki prirodan broj. c) Uvrstavanjem vrijednosti n=1 u dati izraz, dobijamo 247, a kako je 247=19·13, to je tvrdnja tacna za n= 1. Pretpostavimo da je dati izraz djeljiv sa 19 za n=k?: I,

b) Neposrednom provjerom utvrdujemo daje relacija 30lns - n istinita za n=l. Pretpostavimo da ova relacija vrijedi za n = k::2:1, tj. neka vrijedi: ,,5_k = 30'1, qEZ. Dokazimo da n;~lacija vrijedi i za n = k+ 1. (k+1)'-(k+l) = k5 +5k'+IOk3 +IOk'+5k+l_k_l = = (k5 .k)+5k(k3+2k'+2k+ I) =. 30q+5k(k+ 1)(k2+k+ 1), CJEZ. Kako .Ie proizvod k(k+ I )(k'+k+ I) za svako k djeljiv sa 6, 10je i cijdl izraz djeljiv sa 30, pajc relacija istinita i za n = k+L ' . A" N 1 CK.:lJe . (11) = rr' 5 + n.

= 7 .S2.S2k-l+2 3·2 3k+ 1= 25(7 .S2k.l+ 23k+l) - 17·23kH

C)

=57(7m+S2k+I).

Kako je 7m +- gUll E Z , to jc dati izraz djeljiv sa 57 i za n=k+ 1, pa je djeljiv sa 57 za svaki prirodan broj n. Ako je n=l vrijednost datog izrazaje 64, pa tvrdnja vrijedi za n=l. Pretpostavimo tacnost tvrdnjc za n = k?l, tj. neka vdjedi: 3 2k ·) -8k-9=64q, qEZ. Dokaiimo istinitost tvrdnje za n=k+ 1. 3'(k,l} 2 -8(k + 1) - 9 = (9·3"" --12k -81)+64k+ 64 =

= 9(3"+2 _ 8k -

9) + 64(k + I) = 9 64q+64(k + I) = 64(9q +k + I) 0

0

Kako je 9q+k+ 1 cijeli broj, to je posmatrani izraz djeijiv sa 64 i za n=k+l, pa je djeijiv sa 64 za ml! koji prirodan broj no

133 132

1.43.b) Uvrstavanjem n~1 u dati izmz dobijamo 33 sto je djeljivo sa II. Neka je izraz djeljiv sa II za n = leI, tj. neka vrijedi: 30' +4'(3' -2')-I=llq, qEZ. (*) Dokazimo djeljivost izraza sa I I za n = k+ 1. 30k+1 + 4k+1(3'.' _2'+1)_1 =30 ·30' + 4· 4'( 3 ·3' -2.2') -I = =30·

~O' +4'(3' -2 k )-1}18.4'3' ~-22·4'2k +29~

(')

=30· I lq - 18·12' -II· 2 4' + 29 =1 I (30q-2·4')+ 29 -I 8.12' . Treba dokazati daje izraz 29-18·12 k djeljiv sa II za svaki prirodan broj.

Za k =1 dobijamo broj -I 87, stoje -17·1 I. Dokalimo da je izraz 29 -18 "12' djeljiv sa 11 za k+ 1, ako je djeljiv za k: 29-18·12,+1 =29-18·1212' =29-18.(1+11)12'+1 =

=(29-18 ·12k+1)-11·18 ·12 k

22k+1 -ge +3k-2 ::;:54m, mE Z. Pod ov~m pretpostavkom dokazimo istinitost tvrdqjc"zo n=k+l )2(k+1 H 9(k 1 2k I +1)'+3(k+1)-2~4·2 ~+ -9(k'+2k+li+3k+i=

4

22k+l

-ge -i8k --9+3k+ I =4·2

2k

,1

pr01~v~d d,:'a .u.zastop?a,~ije1a br~ja, pajejedan ad njih sigurno panm ((ljeUlv sa 2). Otu,aa.le clJeh 1zraz c1.JCIjIV sa 54 J za n=k+ 1, pa je djeljiv sa 54 za svaki prirodan brc~J n. b) Ako .Ie n= J, vrijednost datog izraza je 51, pa je djeljiv sa 17 Pretpostavimo daje dati izraz djeljiv sa 17 za n= le I, lj. nck. vr(jedi: 6 2k +- 19 k _,2 k + 1 =:; 17q, q EZ. Dokazimo istinitost tvrdnje za 11 = k+-!. 6 2 (k+l)+19 k -tI_2(1i;1}-1 :;::36.6 2.\' +19.J(/

_).')k-+I=

= 36·621: +36·J91.: '-36·2k~I-·17·19k +34.2,""-1 = 19' - L "k+I) - 17 ·19' ( ' ' +2·2 k.1 )=36.17q--17.(19'. +2,2'+1).

. +,

(6 2k

k

Kako .Ie (19 +- 2, 2k+l) E Z , to .Ie posmatrani pa je djeljiv sa 17 za svuki prirodan broj n.

iZTaz

c!jeUiv sa 17 j za n = k+ 1.

1.45.a) Za n= 1 vrijednost datog izraza je 34 .5 2 .- 35 .2 2 =:; 1053, sto je djeljivo sa 1053. Pretpostavimo da je dati izraz djeUiv sa 1053 za n = k? 1, tj. n~ka vrijedi: 3 2h2 .5 2 1.: _3 3k + 2 ·2 2k ::;::: 1053m, mE Z. Dokazimo istinitost tvrdnje za n ~ k+ 1. 32(k+!)r2 . 52(k->·1} _ Y(HI),2 .2 2(1;+1):0: 9. 32/;'~2 .25. 5 2k

= 225 134

2k

3

-'-2.

3k 2

S2k -108 . 3

+

·2

2k

:::-:

Vidimo daje posmatrani izraz djeljiv sa 1053 i za n = k+l, paje djeljiv sa tim brojem za svaki prirodan broj n, b) Uputa: Koristi matematicku indukciju j cinjenicu "broj je djeljiv sa 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3". 1.46.a) Ako je n =1 izrazje djeljiv sa 9. Neka relacija vrijedi za n~ leI, to jest, nekaje k·4'" -(k+I).4' +1=9q, qEL Dokaiimo da relacija djeljivosti vrijedi i za n ~ k+ 1: (k+ 1)·4(k+l)-d -(k + 1+ 1)·4k+l + 1:::: 4k ·4k+1 +4k+2 -4(k +1)·4 k _4 k+1+1 =: = 4k·4k+1 -4(k+J).4k +4+4·4k~I_4k+1

225· 3

2k 2

+ .

52k

_

225. yk-<-2

-3

=

4(k· 4k+1 -(Ie + 1)· 4k + 1)+ 3·4'+1 -3 ~ 4·9q + 3( 4k+1 - I) =4·9q + 3( 4· 4' -I). Kako je 4k+l_1 uvijek djeijivo sa 3 (Dokazi!), to je posmatrani izraz djeJjiv sa 9 i za n=k+ 1, paje djeljiv za sve prirodnc brojeve. I A7.a) Ako uzmemo daje n~ I, vrijednost izraza je 25 (paje djeijiv sa 25). Neka je 1zmz 2"-+l . 3" + 51'1 - 4 djeljiv sa 25 za n=k:? 1, odnosno, neka vrijedi: 2k+1 3 k +5k - 4 = 25q, q E Z . Dokaiimo djeljivost datog izraza sa 25 i za n:;;:;; k+ 1: k 1 k 2(k-l},1 .3#11 + 5(k +- 1)-4 -:;: 6·2 + ·3 +-5k +1::= 6 ·2k+1 ·3" +30k -24- 25k+25= <

--36e + 12k-S + 27k2 _ 27k =

~ 4· (22k+1 -9k' +3k -2)+ 27k(k -1) 4~ 54m+ 27·2'1 ,q E Z ,jerje k(k-l)

= 36 ~

= 225·I053m+I053·3" ·2" =I053.(225m+3" .22k ).

=

Kako jc prvi.sabjrak djdjiv sa 11 po pretpostavci, to je posijedl,ji izraz djeljiv sa II. Dakle, tvrdnja ovog zal1atkaje dokazana za sve priroone brojeve n. 1.44.a) Za n=l tvrdnja je tacna. Pretpostavimo da .Ie tvrdnja" tacna za n ,;;c k;;:: L tj. neka vrijedi:

.=

~ 225.(3"+,'.5" __ 3"+2.2") +117·9·33k·2"~

_

. 22k

27. 3 Jk <-2 .4. 21k =

+ J 17 .3 H'",:',. 22k =

= 6·(2k+1· 3' +5k-4)-25(k-I)=6·25q-25(k':I). Vidimo da je posmatrani izraz dje\jiv sa 25 j za n = k+- 1, pajc djeljiv za svaki prirodan broj. 1,48.a) Ako je n~ i, vrijednost izraza je 391 ~ 17·23 , odakle so vidi daje djeljiv sa 17. Neka je izraz djeljiv sa 17 za n = k2> 1, odnosno, neka vr\jedi: 25k +J +S k ·3k+2 =17m,mEZ.

Dokazimo djeljivost izraza sa 17 i za n = k+ 1: 25(k+l)+3 +- Sk+!. 3(k+J)+2 = 32. 25k + 3 + 15. Sk ·3 k + 2 = =

32. 2 5k +} + 32 . Sk ·3 k + 2 -17· Sk 3k + 1 <

= 32 . (2 5k + 3 + Sk . 3k + 2 ) -17

5". 3k+ 2

~ 32.17m-17.5' ·3"+2 =17(32m-5' ·3 k + 2 ).

Dakle, posmatrani Izraz je djeljiv sa 17 i za n = k+ 1, paje djeljiv sa 17 za svaki prirodan broj 11. 1,49.a) Neposredno sc vidl da je izraz djeljiv sa a-b za n=1. Neka je a" -h" djeljivo sa a-b za n = k?J, dokazimo daje izraz a" -b" djeljiv sa a-b i za n=k+l; Kakoje a"'-b'+1 =(a-b)(a' +a'-lb+a'-2b' + ... +b'), loje a" -b" djeljiv sa a-b j za n = k+ I, pa reiacija vrijedi za svaki prirodan broj n. b) Za n=1 dati izraz ima oblik v a'-a = a(a'-l) = a(a'_1)(a2+1) = a(a-1)(a+I)(a2+1). Za a~1 vrijednost izrazaje 0 sto je djeljivo sa 30. Ako a nije nula, tada je (a-1)a(a+l) proizvod tri uzastopna cijela broja ad kojihje barjedan djeljiv s 2 i 135

Daklc, tvrdnja vrijedi i 7-'1 n = 4(k+I), pa vrijedi za svak! prirodan broj k, jedan djeljiv s 3, paje ovaj proizvod djeljiv sa 6. Faktor a'+ 1 je za svaka cijela a* I djeljiv s 5, paje cijeli izraz djeljiv s 6·5~30. To maci da vrijedi a 5_a = 30 q, qEZ. Pretpostavimo daje dati izrazdjeljiv s 30 za n = k:?:l, ti. neka vrijedi: a 4k+l

-

a

= 30 111, m

E

Z.

odnosno za n =' 4k. 111. d't' -I ) Z ~ 0 imamo .- + - > - , pa Je tvr l1Ja acna. I .).a a n 3 4 2 .. Pretpostavimo daje tvrdnja tacna za prirodan broj nz2 i dokazimo da va:h I za n+ 1:

Dakaza!i daje dati izmzdjeljiv s 30 i za n= k+L a 4(I.:+l);-1 _a=a4a4k'.1_a=a4(a4k+l_a)+a5 -a=30m+30q=30(m+q).

Dalde, izrazje djeIjiv s 30 i za n=k+ I, pa je djeljiv s 30 za svaki prirodan broj n. LSO.a) Aka je n=2 vrijednost datog izrazaje 48, pa tvrdnja vrijedi za n=2. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi 7.2- paran bro] koji je veci od 2, n = 2k, tj. oeka vrijedi: (2k)' +20·2k = 8k(k'+5) =48q, qEZ. Dakazirno istinitos! tvrdnje za n = 2(k+ 1).

(2k+2)3+20.(2k+2)=8(1c'+3k'+3k+I+5k+5)

=

21

~ 8 (k + Sk) + 8(3ir' + 3k + 6) = 48q + 24(k' + k + 2) = 48q + 24[k(k + 1) + Kaka je proizvod k(k+ 1) uvijek paran braj, to je 1zraz k(k+ I )+2 djeljiv sa 2, pa je zbir 48q + 24[k(k+l}+-2] djeijiy S3 48. Ovo znaci dajc posnatrani izraz djcijiv sa 48 i za n = 2(k+l), pa je djcljiv sa tim brojem za svaki parni prirodni broj 11. b) Izrazje djeljiv sa 512 akoje n::=1. Nekaje n=2k+1. Tad8. (mamo: 3

1 1 1 1 =-+------>2 2n+l 2n+2 2 c)

Z. = 1 J'c 2.+!+2.=~> 1. Neka nejednakost vrijedi za n=k, tj. nekaje: ,an 23412 ,

-1)-«2k +3)' -I) = ((2k +3)' --I)«(2k +3)' -1)-

- ((2k + 3)2 -1)«2k +3)2 + 1)(2k + 3)' -1)«2k +3)4 + 1)=

1

1

=l'k-:;j+/c+2+-/<+3+k+4+"'+-3k+3k+rJ

-I

1

1

=

lOOq

+ 7 4k + 1 + 7 4k +2

+7

4k 3 +

+ 74k+4 = lOOq + 74k(7

= IOOq+7'" ·2800=IOO(Q+28.7 4k ).

136

+ 72

+

73

+ 74)=

3k+2

I

1

3k+3

3k+4

2

1

1

1

9 2 3 1 I 1 -<---16 3 4

E2k + 3)' .; l}(k + 1)2(k + 2) [lk +3)' + 1][2k + 3)' + 1]=

-16(k + IJ(k + 2)«(2k + 3)' + I)(k + I)(k + 2)«2" +3}' + 1)«2k + 3)' + 1). Kako je proizvod (1-::+ J)(k+-2)(k+ 1)(k+2) uvijck djcljiv sa 4, a svaki od prcostala tri fal(tora jc paran broj, to jc posljcdnji izraz djeIjiv sa 16·4·8 = 512. c) Za k=J vrijcJi: 7 + 7 2 + 7 3 + 7''1 ;: ;:. 2800 0-"'-1 00,28. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za 11 = 4k, gdje je k2:1 : 7+7'+7'+7'+ ... +7" =lOO'q, qEN, Dokazimo istinitost tvrdnjc za n = 4(k+ 1): 7 + 72 + 73 + 74 + ... + 7'1k + 74k+1 + 7 4h- 2 + 7 4k +3 + 741:+4 =

k+t

-<---

4) [(2k + 3/ + 1]c2k+ 2) [2k +4J[(2k + 3)' + 1][(lk +3)' + 1]=

-2(k + 1)2(k + 2)

1

---, 1----+--+--,-+-,~=1+ I >,. , k+1 3k+2 3k+3 3k+4 3(k-lIl\3k+2)(3k+4) Vidimo da nejednakost vrijedi i za n=k+]. pa vrijedi za svaki prirodan braj n, 1.52.a) i b) Sabiranjem donjih tacnih nejednakosti I ' -
- [(2k + 3) -IIe2k + 3) + 1)((2k + 3)' + I) [(2k+ 3)2 -I ][c2k+ 3)2 + I ]ce2k + 3)' + I)'

=(2k + 2)(2"

1

_' _+ __ + __ + ... +--+--> 1. k + 1 Ie + 2 Ie + 3 3k 3k + 1 Dokazimo istinitosl nejednakosti za n = k+ 1: 1 I, 1 +~+_I_+_-l-+ __ I_+-l_c, -k+2 +1:+3 '/;'+4 +... 3k 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 (1 1 1 I 1 1 \ __ ,_~+_1__ +_1_+_1_> J

(2k + I)" - (2k + I)' -(2k + I)' + I = 512q, qc:Z. DokELzimo da je izraz djeljiv sa 512 za n = 2(k+ l)+ 1. (2k+3)12 -(2k+3)8 -(2k+3)' +1=

= (2k + 3)'«(2k + 3)'

11 11111 j 1_ -n-+-2 +-n-+-3'+ ,.+ 2n +-2-n-+-1 +-2n-+-2 >2--n-+-1 +-2-11-+-1 +-2,-,-+-2-

1 n2

-<'--~'

dobije se',

1

I

1

4

9

16

~-+-+-+

,

l.S3.a) NckajeA(n):

1

..

~n-l

n

j i + - < l·~-
I

1,-

,11+12+ fj+«'+7n>-VIJ.

Provjerimo tacnost nejednakosti za n=2: A(?)' _1 +_1

-,f1

12

=12+1>I+l=~=.Fi

12

12 12

r::

=>

,,2+1

'-?

~>-..J2,

-v2

137

Ncka vrijedi: A(k):

.

~+ ~ + ~ + ... + ~ > Jk

vI

v2

v3

vk A ( k) => A(k + 1)

Dokazimo istinitost implikacije:

II!

~

1

1

Jl+ J'i+ ... + .Ji+ Jk+i·>,Jk+ Jk+l~

Mnozenjem nejednakosti (0) i (H) dobije se:

Jk. Jk+I+ 1 Jk+I>

(,Jk;l)'

k+] .fk+l. Jk+1 Jk+ 1 Kako je implikacija istinita, to je navedena nejednakost dokazana za svaku vrijednost prirodnog broja 11 (> 1)_ 1.54.a) Nejednakost vrijedi za n=3. Pretpostavimo da nejednakost vrijedi za 11 = k:::::3, tj. neka vrijedi: 2k > k + 3. Dokazimo istinitost nejednakosti za n=k+ 1 2k~' = 2 ·2' > 2 ·(Ir +3) = 2k+6 = (Ir +1)+ 3 +k +2 > (k + 1)+3_ Daklc, nt;iednakostvrijedi i za n~:; k+l, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. b) Ako je n = 3, nejednakostje istinita. Pretpostavimo da nejednakost vrijedi za n = k2::3, tj. neka vrijed!: 2k < Dokazimo da posmatrana nejednakost vdjedi i za n = k+ J,

2'+1 > (Ic + 1)3 ,

sto znaci da nejednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n:2: 10. b) Zadatak se Jjesava analogno kao pod a). 1.57.a) Za n=1, ncjednakost oeito vrijedi. Neka nejednakost vrijedi za n=k:2:1, tj. neka vrijedi: a k ? b k Dokazimo istinitost nejednakosti za n=k+ l. a> b =>' a k > b k => ak+ 1 > ab k > bbk = bk+: . Vidimo da nejednakost vrijedi i za l1=k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj. b) Neposrednom provjerom vidimo da tvrdnja vrijedi za n=4,jer je 24>l6. Neka tvrdnja "rijed! za

11

= k?:4, tj. nekaje k!> 2k . Tada vrijedi:

k

(k+l)!=(k+l)k! >(l+l)k! =2·k! >2·2 >2k+l

<

J .58.a)

sto znaci dajc tvrdnja tacna za svaki prirodan braj n. Nejcdnakost vrijedi 7-,,1 n = 3,jerjc i' = 8 > () = 3! k(k.,!.]

Pretpos1(IViJ1l0 da ncjednakost vrijedi za n = k:':::3, tj. nekajc 2 Dokaz.imo istinitos1 d(ltc ncjednakosti za n = k+].

e.

2(k+ 1) 2k+ 1 0. Pretpostavimo da nejednakost vrUedi za 11 k~O, tj. neka vrijedi 2k > k. Dokazimo da nejednakost vrijedi i za n = k+ I: 2k+ 1 = 2·2' > 2·k = k+k ;;: k+ 1 . Dakle, nejednakost 211 > n vrijedi i za n=k+ I, pa vrUedi za sve prirodne brojeve i nulu. =::;

b) Za 11=5 irnamo 2 5 > 52 , odnosno, 32> 25, sto je taeno. Pretpostavimo daje 2" >)12, 71l 11;;:::5. Tadaje:

=2.2

2>

138

11

(k+l)'

k

3

("")

(k+l~~ 2

~'(k-~:D 2

=2-

kQ<"-1) 2k

kl/,-I)

')---i-+~ =2~-2k>2k·k!>(k-1·1)k!=(k+J)t.

Daklc, ncjednakost vr~jedi za svaki prirodan broj n. b) Ncposrcdnom prO\~jero111 utvrdujemo da nejcdnakost vrijcdi za n =2 .

(

Ii'

\

k)

Pretl)Ostavimo da ,je nc]' ednakost istinita za n = k::::2, ~j. nelen je I 2 ~ ~ I > k ,

Dokazimo istinitost ncjcdnakosti za (

I )'"

12--\

> 2 . n 2 = n 2 + 112 > n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 . Dakle, nejednakost vrijedl i 7.a n+ J, pa zakljucujcmo da vrijedi za svaki prirodan broj (veci od 4). .56.a) Za n=10je 2'0 =1024 > 1000 =10', pa nejednakostvrijedi za n=10 . Prctpostavimo da nejednakost vrijedi za n=k;;:: 10.1], neka je: ~>~ , (0) Dokazimo lstinitost nejednakosti za n=k+ 1. . .¥. \r, K1)3 +. .. . . PosmatraJlno kollCl11k k 3 ' ! stepenuJmo bmom u broJl1Iku: 211+1

2

> k!.

2

k+1

(

i" (

\

k+1/ \

1

11

= k+ 1.

I(

I \k 2k + 2 -I

""r2---1i2-~- >i2-~1

-Jic-'

k+1/

\.

k)

k+1

>k

2k ~ 1

k+l

-k_:!_

2k' +k +k)+(k+I)I-(k' -k::..12=k+l + Ie' >1c-I-l_ Ie+l Ie-II 1e+1" Jcr Je lzraz ](2_k_1>0 za k;;:::2. Daklc, ncjcdnakost vrijedi j z.a n=l\+ 1, paje istinita za svaki prirodan broj 1122. 2 1.59. Ako lC n=2, tada vrijedi (J +x/=l +~Y+-Y'. Ako je X:;i:O, tad a jc x > 0, paje' (l+X)2> 1+2x-, Prctpostavirno da nejednakosl vrijedi za n = k?2, ~j. neka je (l+x)k=l+kx. Dokazimo is1initost neiednakosti 73 n = k+ 1. (I+X)k+' = (l+x)(1 +x{ > (1 "'"xl(! +kx) ~ H kx+x+kx' ~ 1+(k+ l)x + kx' Kakoje kx 2 > 0, tojc (l+x)H > 1+(k+l)x. paje nejednakost istinita i za n=k+I. Dak1c, nejednakost vrijedi za svc prirodnc brojevc vete od 1. (Dokazana nejednakost nazi-va se liernoullli 9_ je\'3 nejcdnakost). 9* Porodica BernouJli-jc;'ihjc if. Njcmackc dosclila u Svicarsku. Ii tri gcncracije ovc pnrodicc hiio jc OSilm istaknU1ih mal'cmaticma Koji su svojim rado\'ima doprinijc1j i uticali n<1 n1zvoj nilUKc. nc sarno mill"cmiltike, u cije!oj Euror!

139

k'

16 24 1,60.a) Neposrednom provjerom vidimo da tvrdnja vrijedi za n=2,jer je - < - . 3 4

. vflJe .. d'1 za n Neka tvrdnJa

=k '22, ' tJ. ne k' aJe

(Ie + 2)(2(k + 1)!

(k + 2)(2k + 2)(2k + 1)(2k)!

4k"'(Ck+l)!)'

4 k +'(k+l)'(k!)'

(I< + 2)(2k + 2)(2k + I) 4' >.. 4 k "'(k+I)' k+! =

k (2k)! T a d~lje: . -4 < --'-,

k+l

(k + 2)(2k + 2)(2k + 1) (2k)! 4k+'(k+I)2

(I< + 2)(2k + 1)

2k' + Sk + 2

2(k+I)2

2k' +4k+2

.--- > (k!)'

Ovim smo dokazali da za svako 11?6, vrijedi b) Nejednakost vrijedi za n = 1, n:::;;, 2,

(211)'

ncjednakost --~- < ~-+ vrijedi i za n=k+ 1, pa vrijedi za svald prirodatl broj n. n+ 1 (n!)'

0) Neposrednim lIvrstavanjem vryednosti lF2, utvrduiemo daje ncjednakosl tacna. Prctpostavimo da nejednakast vrijedi za 11 = K:?:2, tj, neka vrijedi: 4k (2k)1 (2k )!(2k + 1) - - < - - ,odnosno, k 2 >1, 2k+1 (k!)' 4 (k!) Dokazimo istinitost nejcdnakosti za 'n=k+ L (2(k + ]»!(2(k + I) + I)", (2k + 2)1(2k + 3) _ (2k + 2)(2k + 1)(2k )!(2k-i 3) _, 0'+')«k+])!)' '4'4 k (k+l)k!), "---4:4'(k+l)2(k!)'''----

4

-----_. 4 k (k!)'

(2k

+ 2)(2k + 3)

>

(Ie + 1)(2k + 3)

4(k+l)'

2(k+l)'

2k + 3 _ 2(k + I)

+ 1 __

:::: - - - - -- --_."'--2(k+l) 2(k+l)

2(k+J)+~1__ =1+ ] >1. 2(1, + 1) 2(k + 1) 2(i< + 1) . (2(k + I»)! 4(h') (2(k+I»!(2(k+J)+1) to Je - - - - - ~ -;---"'-----" pa (.) + , ) '} . > 1 , ((Ic+])!)"• 4 ,,' lCk+])! ' posmatrana nejeunakost vrijcdi i za n~:;::k--i-l, sto znaci da vrijedi Zil svaki prirodan braj

Kako

.

1::::

n>l. 1.6La) Za n=6 ncjcdnakosti su tacnejer je 729 > 720 > 64, Pretpostavimo da nejednakosti vrijede za n;;-'" k?6, tj. neka vrijcdi

1"\.2; I

"

> k!

>

1"-). 1.3 (

2 )

140

k +

2k

1

=Vr+l)k!=(k+l)l.

11 =

y' (% ) " > nt > ( %).

(

3. Pretpostavimo da je nejednakost

za n = k+l.

(k+I)!=(k+l)k! <: (k+I)Jki' ~J(k+])2k'

<:

~~(k+l)(k+l)k'

<:

Ju, + I)(k + I)' = J(k + 1)'+' .

Vidimo da nejednakost vrijedi i za n = le+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj 11. L62. Neka je n ,,~ 2. Uvrstavanjem u datu nejednakost dobije se 2(/+b 2 ) :::;:(02+1/)+(a 2 +6 2) >(a 2 +b L) +2ab=(a+b)2,

pa nejednakost vrijedi za n=2. Pretpostavimo da je nejednakost istinita za n:::;; i22, tj. neka vrijedi:

2k-l(a k +b k ) > (a+b)k. Dokazimo istinitost nejednakosti za n :;;;: k+ I. = 2. 2k"( a'" +1/") > 2k-' (a" + bk )(a+ b»(a+ b)k (a +b) =(a+ b)k,"

i'>H (a kd +b k"')

Dukle, nejednakosl vrijed; i za n=k+ I, pa vrijedi za svo prirodne brojeve n>L i.63. Neka je n =1, T ada vrijedi (coset + isina)1 : ; :; coset + i sinO', , sio je istinita jednakost. Pretpostavirno da jednakost vrijedi za_ n=k~ 1, tj. neka je (cosO'. +isino~./ ::;;:;coska +isinka. Dokazimo istinitost jednakosti za n =-.:: k+ 1" :=

(casu + isinO'. ) (coscx. + isina. / =

= (cosa +isina)(cosna + isin 11a..) = =

Ii' (I:..":~) = (Ie +!L. "--":~ > 21e' k

2)),

3

i5t111ita za n = k2: 1, tj. neka je k!:2.f11 . Dokazimo istinitost nejednakosti

(coso: + isina.l+ t

• k

Dokazimo istinitost nejcdnakosti za l1=k+ 1.

(l k + 1\k+' =

k~l

= (,,-)k k+l<

Dokazi U ovom dijelu koristenu nejednakost (k + l)k < 3 kk , k> 1.

Iz (k:- 2)(2(k + 1)! > 1 slijed! (2(k + 1»)1 > _, 4 >' , sto znuci da 4°'«(lc+I)!)' ((kd)!)' (k+I)+!

+ 1)

(k+])' k+1 <3.'" k+l 3k 3 3k 3 1

k

__ (2k)!(2k

k+l)k+' =(k+IJ'(k+lj ( 3 I. 3 \ 3)

< k!-

(2k' + 4k + 2) + k = I + ___ k__ > 1 . 2k2 + 4k + 2 2k2 + 4k + 2

4"

2

Ovdje je koristena nejednakost (k + 1)' > 2k' • k> 1. ( Pokusajte, za vjezbu

dokazati ovu nejednakostl ) Dokazimo, sada, za n = k+ 1, drugu nejednakost.

(k!)'

-~7":-.-:--':'T---'-

= -T.(k+l»(k+l)k!=(k+l)!.

2

2"

+I= 2

(cosa cosna -sinO'. sinna) + i(sinu cosna + cosa sin na) =

= cos(n + 1)<:< + i sin(n + 1)<:< . DakJe, jednakost vrijedi i za n = k+], pa vrijedi za svaki prirodan broj. 141

•

(1.<

•

sm~sma

1.64. Za n=l tvrdnja je tacna, jer je sin a =

--=--. Pretpostavimo da je . a 8m-

2 T ada je . (n+1Ja . na sm . smsin a +sin 2a + ... +sin nO'. +sin(n+ 1)x 2 ~-- +sin(n+ l)ct = tvrdnja tacna za prirodan broj n.

,-~ -,~-,

.a

Vidimo da jednakost vrijedi i za n= k+ I, pa je istinita za svaki prirodan broj n. 1.66. Jednakost vrijedi za n= I. Neka jednakost vrijedi za n = kd, ti. neka vriiedi (k + 1Ja . ka cos 'sm-cosu + cos 2a + ... + cos ka 2 2 , a 21n, IE Z . :0;:

Sll1-~

cos

2 ~-,-~

. (n + l)a

5m-

. ka

·510-

2 + cos(k + 1)0: ~

2 .a Sln-2

+ lJa cos "'--,:-'-(n

+ ?~ sm . a 2 2 2 . (n + lJa sm ---2" .. (. no. . ri (n + lJa) --~'--_ sm--+2sm-cos ' :::: .a ~ 2 2 2 sm2

--~'----'=-

. (n+i)a s m - - - ( . n0..

(k + 1)0:

cos a + cos2a + ... + coska + cos(k + 1)a =

. (n + lJa . na sm - .. sm --

'*

. a

sm --. 2 Dokaiimo da jednakost vrijedi i za n = k+ J :

(k + l)a . ka . a cos ....--._-. sm-.. + 5111 - . cos(k + I),x

2

2

2

. (n+2)a.

8m - - + 8m . .'c--:=:.c

. ._a 2 2 sm 2 1.65. Jednakostje istinita za 11=l. Pretpostavimo da jednakost vrijedi

7.,3

n = k?:-l, tj. neka vrijedi:

.. " . s~'b smx + sm3x + sm5x + ... + sm(2k- l)x = -.---. smx Dokazimo istinitost jednakosti za n=k+ 1. • 2 b sinx + sin3x + sin5x + ... + sin(2k-l)x + sin(2k+ l)x = ~ + sin(2k+ l)x smx

sin 2 lex + sin(2k + 1)xsin x

sin' b+ ~[cos(2b)-cos(2b + 2xJ]

smx

sin x

L

. (3a + ,~.\ . a

Sill ----

2

ItU. ) _.

J

5m-

2

2sin~ 2

3a +ka+·-·a -+ka-3a a

2cos-2-~5in-2---- 2 2 2

2sin~2

2a+ka . a+ka

COS---SlO---

2

2 .a

sm--2

(k+2)a . (k+ 1)a _ _-,,-2~ 2

cos -_._. __ ." --- ."' sm --".~"--,,

. a 2 Kako jednak05t vrijedi i za n=k+ 1, to je ona istinita za svaki prirodan broj n. [,67. Ako je ll=l neposrednim uvrstavanjem dobije se tacna iedllakost. Pretpostavimo dajedllakost vrijedi za n = k
7 ' ~.smx

2sinx sin\k + J)x +sin'(k ~l.-:

2sinx 142

2sin'(k+ l)x ----2sinx

sin'(k + l)x

sin x

143

cosx + cos2x + cos3x + ... + cos(2k ~ l)x

sin2kx

= --,-

2k sin ~ 2 Pod navedenom pretpostavkom. dokazimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1. x x x x x x cos-cos --cos-3 cos-' .... cos-' cos-2 22 2 24 2k 2k + 1

2

Dokazimo istinitost jednakosti za n=k+ L sin 2kx

cosx + cos2x + cos3x -+ '" + cos(2k-l)+cos(2k+l)=·--,- + cos(2k + l)x 2smx

=

sin 2kx + 2'~ ~in(2k + 2)x +sine -2kx)] 2 =

sin 2kx + 2 sin x cos(2k + l)x 2 sin x sin2kx + sin 2(k + l)x - sin 2kx

sin2(k + l)x

2sinx

2sinx

2sin x

.

i]

Vidimo dajednakost vrijedi i za n=k+l, paje istinita za svaki prirodan broj n. 1.68, Uvrstavanjem vrijednosti n=l uvjeravamo se dajednakost vrijedi. Nekajednakost vrijc'ili za n = 121, tv jest, nekaje: ;) 'I 2, k sinka·cos(k+lJa cos a +. (;05- g...x, + ... + cos KU = -- + ' . 2 2sino:. Dokazimo istinitost jednukosti z,a n = k·+ 1, ),

cos· a

+ cos~" '"i.£L

2 "

+ .. + COS key. -+ <

k

sinku'cos(k+l):x

2

Lsma

2 COS· (k

sinx

x x x X X cos-cos-cos-cos..... cos3

2smx

+ 1) ('I

r x

2

2'

2'

. x smxcos---

smxcos-~

2' sin

2'

2'

.

x

.sin x

smxcos~-

sin2(:;+~')

):0:(2:+') 2+sin 2:;' k 1

k

2 2sin(2:+'

Dakle,jednakost vrijedi i za n=k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n, 1.70. Nekaje n=1. Tada imamo: 2 sin a . cos a . cos 2a 2 sin 2rt cos 'kt sin 4a cosa·cos2a

4sina

4 sin a,

2sina Jednakost, dakle, vrijedi za 0=1.

Nekajednakost vrijedi za n=k, tj. neka vrijedi:

')

= -+---;::'-,-'-"-+cos'(k+l)a=

=

__ k 2

- -+

k

~+

sinZk+la

cosa·cos2a.cos4a·cos8a· ... ·cos2ka =

sin lea' cos(k + I) ((, + 2sina cos'(k + I) a

".

.

=

2sina = !5... -+ ~_~~k -+ l)a&in lea + 2sina cos(k + l)a.]= 2 . 2sinu cos(k+lja~inka+sjn(k((-I-2a)-sinkaLk cos(k+ljasin(ka+2a)

--.+

2sina

2

=

2sina

_ k+l ~ ~in(2k+3ja +sinaJ-sina _ cos(k + lja sinC ko_ ., lac ) - --+ _._--2 2 2sinu 2 2 2sin(( k+l sin(2k+3)a-sina k+! 2sin(k+!)acos(k+2)(( +----4si~~~---= "-2-+"4sina 2 _ k + I sin(A + l)a cos(1e + 2)a

k

= --{---+

- --+-

._-

2 2sina ' Vidimo da jcdnakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijcdi za svaki prirodan broj n. 1.69. Ako je 0=1 uvrstavanjem u desnu starnujednakosti dobije se: . sin x

2 sin x cos ~ 2 2

. x 2 Sin -~

" . x L. sm --

--- =----2

:;: ;: cos -".x sio znaci da jednakost vrijedi za n= 1. 2'

2

Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = kLl, to jest, neka vrijedi:

144

.

Dokazimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1.

2

._.

2k +! sina.

1.7L Provjerirno da Jijednakost vrijedi za n=1.

cosx cos2x ctgx-ctg2x=-.-- , smx sm2x 2cos 2 x-cos 2 x+sin 2 x

2cosxcosx-cos2x 2sinxcosx

2

2

2

2cos x-(cos x-sin x) sin2x

=

cos 2 x+sin2 x

= ------ = -_.

sin2x sin2x sin2x Vidimo dajednakost vrijedi za n=l. Pretpostavimo dajejednakost istinita za n=lG::l, tj. neka vrijedi: I _1_ + _J_ + _J_ + ... + ___ =ctgx_ctg2, x. sin2x sin4x sin8x sinZkx DokaZimo istinitost jednakosti za n=k+ 1. 1 1 1 1 1 k

-,--+-,--+-,--+ ... +-,--,-+, k+l =ctgx-ctg2 x+. k+l sm2x sm4x sm8x 5m2 x sm2 x sm2 x

cos2'x

1

= ctgx----+ sin2kx sin2k+!x

cos2'x ctgx----+ sin2kx

1 sin2(2 k x)

= 145

cos2 k X

1

sin2k x

2sin(2 kxl eos(2k xl

= ctgx----+

==:

=ctgx

2eos'(2' x)- cos'(2' xl -sin'(2 kx)

ctgx

sin 2(2' xl

I .73. J ednakos! vrijedi za n = I . Pretpostavimo da jednakost vrijedi za n = k, Ij. neka vrijedi jednakost:

2cos2kxcos2kx-l 2sin(Z' x) eos(2 k x) ctgx

eos'(2' x) - sin '( Z' x) k

sin2(2 x)

_ c052(2' x) cOS(2'+1 x) - ctgxctgx . k-t ==:ctgx-ctg(2k+1 X )_ sin2(2 k x) sm(2 + xl Vidimo da jednakost vrijedi i za n = k+], pa je istinita za svaki prirodan broj n. 1.72. AIm je n = 0, uvrstavanjem u izraz na desnoj strani date jednakosti dobije se:

ctgx _ 2ctg2x = c~sx _ 2 c~s2x

= c~sx

sm2x smx 2 cos x - cos 2 X + sin 2 x sin xcosx

stnX

2

2( cos x- sin I x)

I x l( x x)

x

i

1

= 2k+1

I

2 Dokazimo istlnitost jednakosti i za n = k+ 1. sina +sin(a + x) + sin(a + 2x)+ ... +sin~ +(k-l)x}sin(a +/ex)=

. /ex . ( a+--x k-J) sm---·sm

clg-.-

\

21<:+1 )

2k+1 2ctg 2k +tg 2"+1

b

=

2(-2k~- I)

2

x 2sin-

x

2

-2ctg2x=

2k+l

X '\

- - . -.------ -

21e+!

x ctg-k 1 " 2

2ctg2x = -

I

2k+l

x

. cig -_. - 2ctg2x . k 2

2

. x sm2

. x

2Cfg2x

ct g

2

sm-

2sin~

2sin':

2

2

a-=-a-kx-= a--::+a+kt+= -sin-2-- ..-,------~-sin 2 2

. -kx-x . 2a+kx -SJn-·--sm--·

. x SUl-2

. x sm-"" 2

______~2~

1

2

.H=(~-a -yx)-co{~+a:. kilx)]+Hcos(~-a-kx)-eo{~+a+"')]

1

.

. /ex . (a+--x k-l) +sm~sm(a+kx) . x . Sill-sm

2

x sm2

2Cfg2(-"--}lg ..~ + 1 2k+l _ 2k+l -2ctg2x = Z;:;]'·-··----x - -..--2cIg2x= cto--

I

or x ) 1 2clg"\2'+1 +--x-

==:

~

x

SIn--

tgx+ -tg- +-/u_+_lg_+ ... + - t g - + --tg-= 2 2 4b 4 8 8 2k 2k 2k+t 2 k+ 1

= 2k ctg 2k -2ctg2x+ 2k+l tg 2k+l

2

o

--"--"'---=--' + sinea + /ex)

2sinxcosx sin 2 x sin x . =--=/gx. sm xcosx cosx

Ixl

2

sina +sin(a +x)+sin(a + 2x)+ ... +sint< +(k-l)x]

2

DakIe,jednakost vrijedi za n=O. Pretposlavimo dajejednakost istinita za n = k;o,O, tj. nekaje: lxlxlx Ixl x Igx +2 1g 2 +'4tg"4+iilgii+"'+ytgy = yctg y -2ctg 2x. Dokazimo istinitost jednakosti za n=k+ 1. Ixlxix

. /ex . ( a+--xl k-J '\

sm~sm

2

2

2

. (k+l)x . ( «+2 /ex) sm---sm 2 . x sm2 Sada vidimo da posmatrana jednakost vrijedi i za n =: k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj o.

+!

+

Vidimo da pod pretpostavkom da jednakost vrijedi za n=k, ona vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n.

146

147

1.2.

Binomna formula

1.74. Ako je n = I, tada vrijedi

(a+b)'=(~}' + (:}l-lb = a+b.

b)

(a+b)'

=(~}3bO +(~}2bJ +(~}Jb2 +(~}Ob3 =«' + 3a'b+3ab2+b3.

c)

(a-b)'

=(~}3bO _(~}'bJ +(~}b2 _(!}Ob' =«'-3a2b+3ab' _b3.

l

=(~}, +G}' +(~y +G),+(~} +GJ=

1.76.a) (a+l) ,

Pretposlavimo dajednakost vrijedi za n=lel, Ij. nekaje:

(a+b)' =(~}k +(~)ak"b+(~)a'-'b' +q+(k~Ja b'" +(~}k. DokaZimo istinitost jednakosti za n=k+ 1. U dokazu cerna koristiti osobinu zbira binomnih koeficijenata

=

b)

(a· I)

= (~}, _(~}, +(~},

6

~ a'

n 1= (n+mI). (Dokazite ovu reiaciju!) lm) m-l) (a+b)k+1 =(a+b)(a+b)' =. (n \ (

b) [(~)ak +(~}k"b +(~ )o'-'b r(kl (k\ (k) (k ) = al~ 0l' +ll jak"b+ \2 a"'b' +q.+ k-I a b '=(0

2

+

/k'] k

+lk )b

+

c) (2+x),

)a,+, + (k+II" la + (k+n)a b + k+l) a,.,b + ... 1),2 \3 '. (k + I) '+1 + (k+ 1'\lab~ , k ) k+l h . H,

(I

3

D

Vidimo da binomna formula vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. 1.75 .• ) (a+b)'

148

=(~}2bO +(~}Jb' +G}Ob' =a' +2ab +b' .

= (~}6+(~}5X+G}4X7+(:}JXJ+(:}JX'+(:}~+(:}6

=

= 64+192x+240x'+160x3+60x'+12x'+x'. (

1,4

1.78.a) la+-;;) 0)

1.79.a)

=a

(1+;)'

=

(l-iJ'=8i

0)

(i·31'

b)

c) 1.8 La) b)

2 4 1 +4a +6+;:;+;:;<

b)

(1::=)' r;; 1+\/2 =41+29v2.

(~H~}+(~}' +(~y{:}4 +(:}, +(:}"

b)

1.80.a)

4

(J3- .1)' = 8 ( 26-15,/3')

k

o

=(~}5 +G}'3 +(~}33' +(~}'33 +(~}2' + [!), = = x 5 + 15x4 + 90x3 + 270x' + 80x + 32

3

k+ll

_60' +15a' -20a' +15a2 -60+1.

3

H

=(

_(~} +(:) =

=(~}, +(;}'2+(~}222 +(~} 2+(:}, ~a' +Sa' +240' +320+16

b) (x+3)'

+b[(~)a' +(: )a"'b +(~ }Hb' +"'+(k ~ I} b +l:}k] = =(~)a'+1 +(: )akb +(~ )a"'b2+"'+(k~ l}'b'" +l: }b' + +l~ )akb + (~)a"'b' +G )oHb3+ q'+lk ~ I} b' +(~ },+' = =(~}k+' +[(~)+(~)}'b+[(~ )+(~)]a"'b' +[(;)+ (~) }"'b +q. +[(~)+ (k ~ I)]ab +l:}k.l=

+(!)'

1-+-7x+21x2+35x3+35x4+21x5+7x6+x7.

=

I.77.a) (a.2)'

_(;y

GH~}+G}' +Gr +(:}' +G}' +G}' +G}7~

c) (l+x)7=

k, ++ (k~ I) b. +(~}' ]= H

a 5 +5a 4 +10a 3 +10a 2 +5a+1.

= (~}, +G}4(-3)+(~}3(-3)2

=

·8;

+G}'c-3

)3 +

+ (:} H)' +G}-3)5 = 12+316i. 7 3 5 (a+i)7 = (a .2I a +35a ·7a)+( 7a'-35a'+2Ia'-I);. (a+2i)' = (a'- 40a3+80a)+(1Oa'.80a'+32)i. (l.2i)' =1-16i·112+448;+ 1120-2240i·1792+1024i+256 = ·527-784; (x'+2a)' = x J'+12axJO+60a'x'+160a3x'+240a'x'+192a'x2+64a' (a' .b')'= a l2 ·6a JOb'+ 15a8 b'-20a'b'+ 15a'b8.6a'b JO +b 12

149

c) L82.a)

(3a2_2y)' ~729a12-2916aJOy+4860a&y' -4320a'y'+.2160a4y'-576a'y5+64y' .

(Va + Vb)7 ~ +

+l~}if:t)'Vb +G}if:t)5(Vb)' +G}if:t)4(Vb)3 +

(if:t)'

(:}Va)l(Vbl' G}Va)2(Vb)' (:)Va (Vb)' +

+

a'Va + 7a'l[i; + 21aVa b' + 35ablJa 35abVb + 21bVa'b b) ( Va Vb)' ~ a lJa -7a'ljb 21aVa b' -35abif:t + ~

2

+

2

0)

( Vx +

2

[~}Vb)' ~

+ 7b

2

+ 35abVb - 21bVa 2 b 2 + 7b'Va -

ifYy

3

2

x + 9x ·Vx2y + 36x

=

Va +h2l[b .

2

+

o·

+

b' Vb .

.V;;"2 + 84x y + 126xy.Vx y +

2

2

2

+126xy·R + 84xy2 +36y2·Vx2y +9yZ.Vxy2 +yJ. 1.83.a)

J '\" _ 1

6.

15

20

15

(,

1

a

i

+ Vb)

~

5

b5

5b 4

2

lOab'

10a'b

~ ai,f;! + l.Iab + ifi1

r---6

')1')

')

(va+b +va-b)'~(a+b)' +6(a+b)-"a- -b' +15(a+h),(a-h)+

b)

(fa+Fa+b)4

0)

(N-=!+1)4

~

2

a'+4(a 2 -I)Ja'-1+6(a'--I)+4fa'_I=

(501 50 50 TI='l Ix = x ,

T,=

T.=(100)!(_ 'l O,w)!()() =3)00 a100,

(100') -99.5=500.399a99 T,~ \ I /3a)

l

~235a35

30 _f 29J a·2 '9 ~30a·2 29 , 1.86.a) ~130--

l

(50\

1 )Ix

T2~ r

35

49

~ SOx

49

1(2a)" .(-h)=-35

\i /

T 31 --(, 30Ja0230 _-2311 130

,

l2

1000

i

l3) 10'

10'

1 + 41·0,0004 + S2()·0,000000 16 + 10660·0,000000000064 +... 1+ 0,0164 + 0,0001312 + 0,00000068224 + ... '" 1,017 1.90. 1,0005"",1,001 3

4

(12) i12) 15 (12 ) 225 (12) 3375 (12115 1.9L 0,85 ~(1-0,15) - 0 -,I -100'\210000- 3 1000000+ 4)10'-'" 12

12_

~

1-12·0.15+66·0,0225-220·0,003375+495·0,00050625 -... = 1-1,8+1,485-0,7425+0,25059-0,0601+0,0105-... '" 0,143 b) 1,0015 c) 1,0003 1.92.a) 1039,37 ~

7a2+4a2~_6"

T,j3:)\2a)35

W.

a +4aJa(a+b)+6a(a+h)+4(a+b)Ja(a+b)+(a+b)2

0)

=

41\ (411 4 (41) 16 . (41) 64 ( 0)+ . i ) 10000 +lz iQ8+l3 10" +...

a5

if:! + v;;r; + bifi1

+

3

50'

\12

41 4 )'" ~ I ,0004 ~ (1+0,0004)41~ (~ 1+ 10000

1.89.

2 •

2 2 + 20 (0 ·-b' ).,]a' _b + 15(a + b)(a _b)2 +6(a _b)2 JCa + b)(o - b) +(a -

150

4 --J

12 .1. 88 . LOOS ~ (I +0008)"= 1+ • , ( 1000

+ 220·0,000000512 + ... ~1+0,096+0,004224+0,000112640+ ... '" 1,1.

lV;; (b

c)

1.87.a) I ,024 ~ (l+0,02)'~1 +4.0,02+6.0,02'+4'0,023 +1'0,024 = ~ 1+0,08+0,0024+0,000032+0,00000016 = 1,08243216. b) 0,99' ~ (1-0,0 I )5~1_5·0,01+ 10·0,01'-10·0,01 '+5.0,0 14 _0,0 I' ~ 1-0,05+0,001·0,0000 I +0,00000005-0,000000000 1 ~ = 1,00100005-0,0500 I 00001 ~0,9509900499. c) 1,01 6 ~(1+0,01)6 ~ 1+6·0,01+15·0,01'+20.0,01'+ + 15.0,0]'+6.0,01 5+0,01 6 ~I ,061520 15060 1.

0)

c)

-c

1

~l·12\(l12\)_8_/12J.24_JI2i 512 + ... ~ 1+12.0,008 + 66.0,000064+

lVa - Vb) - a' -~ffh aVail --;;b+ bVa b - bi,Fab + b

b)

T26~G:)c2a)I'(7h)25 ~52·725ab25, T27~G:}7b)" z7"b26

%

(I

1.SS.a)

c)

-l-+~ ~ 1_+_4_+_ 6 +~_+_1_ ,Va Vb) aVa aVb Va'b 2 bVa bVb

b)

1.84.a)

TI9=(::}.(-I)"ZI9X,

I __

r

1',oz(::}O(-l)I9 Z_

b)

1 0'

1'1-

."". \

c;)' =(EI)4~(4)J4\J2+l~4)2_(4)\J2+(414= 0 ~I) 2 ~3 4)

'1/2.

= 1- 4 J2 + 12 - 8 J2 + 4 = 17 - 12 J2 '" 17-12·1,4142", 0,029 . 0 3003a 5 x 'O • 1.95. T, = [17 3 262440x'

(:~}5XIO ~

1.94.

T"

=

1.96.

T"

~ (~) a

2"a 34 b

5

_(23 \

(

J2

r~

1.97. 1;5 a 23_14(.1.)14 . 14 a

J

}3 7~

ll2a

s

J2

~ (23J a 9a-14 = (23J a-5 . 14

14

151

(103) lSI a" (f3 )51 ,

T",,",,= 152~

c)

_ 3-l _(103)" 51 52 3'a

T"",",, T 5.

_ _(171 a" 8 j2 9(a)' '2 = (17) 8 ·2a ,T,,""ji-T = (17) 9 2.(a)' '2 = (17) "2 _ _ (15) _(IS) a b' T,"",,,,,-1 _ _(15)8 a,(b1 b b) T,,,,,,,,,,-1,7 a ,(b)' 7 '4" 4) = (15)a' 8 "4' 4 _ _(13)6 a (3 a )= (13\)6 ·729a , T,""'"j,=T8=- (131" c) T,"""j,-·T,7 j2187a"a-j,;' 8

!.l06.a) 1""'"j,-T9 -

\.99.a)

_

IO

9

8

b)

14

c)

6

3

8

17

T''''"j'= T,= (9)a' bVb = 126a' bVb

1.1 07.a) T"""" = 1,= 126a' bfa,

1.100.a)

b) T"",,,,=T4=

UOl.a)

-'f 6c') l'sred"j;~

G}ib' -

U02.a)

T'COd"j'~T'=C86}'X-4

cJ

T,,,'"j'~ T1G=G~}Ja

,5

= 35ab'Va, T,re,",,=T5=(:}b'Vb'

=35ab'.Vb'

Tsredllj ,= Ti= 14784a ,

29568' a 1013 -Va"',

1.108. Iz datog uvjeta dobije se:

!.J03.a)

8

9-

(n! = 66

n'-n-12 = 0

¢O

\2)

=>

n = 12.

6 6 Srednji clan je sedmi i vrijedi: T, = (1:]( a -I .I~) [- ax-~ J ~ 924 x~ . l.\09. lz datog uvjeta dobije sc: n = 12.

T'''4'"'~16=C50nnrx)' =8064x- .,ix

aJ T3=

(I~)(arar[a-{r =66a '4

c) 18=

C;)(a.ra)'[a-~r =C;)=66a

3

l.llO. Tk"

4

=c:nr' 2k IS -

Ox)'

-C:}l5k

x"-15 3' .

(15)

a)

X

= x3

=> 2k-15=3

=> 2k = 18

=>

k= 9.

,,9 23 .

b)

X 2k - 1S = Xi

=> 2k-15 = 7

=> 2k=22

~>

k=IJ.

(IS}'3"

c)

X

2k IS - = X 13

=> 2k-15

=

13 => 2k= 28

=>

k= 14.

d

,

llJ

30 _3

14

.

•

l.ll1.a) Opsti clan II razvoju datog binoma irna oblik T

4+1

=

(15)xl5-Jl~ L x2 )

"k

(15)XI5-' -" (15) k k =

.15-3k

x

.

Prema tome, clan ne sadrzi x, aka i sarno ako je 15 - 3k = 0, tj. k = 5.

152

153

To

Dakle, sesti clan b) Cetvrti clan.

cJ Tk+l

=(~2)(

J:

=

r

en

2(18-k) +~=IO 3 3

=>

ne sadrii x .

k (-4 =H)k(~2)( rx)

. 3k2 -12 V I'd'trno da u s I" ucaJu kad a Je - = 0,

Tk+l

k-12 Xk =(_l)k(~}3k;12

k=6.

=>

1.118.

. peti clan. c'I an ne sadrzi. x, a to Je 9-k

36-2k+k = 30

=>

1.120.

k

2-"4=0 => k=6.

=>

1.122.

=lk(22) -

2(22-'1/, .1(22-1<

(J

a}

(8) ·17

1.113. Kakojc T",-,

.\. k /

2

__ .~\k

(

(8\

=i k-3)'b I , k'

·1-3b 21 1

\.

/

8-k_~ 2 2,to,naosnOVll

2 2 Trazeni Cianje peti i vrijedi T 5 = 70·81 = 5670.

(

.115. Kako je T k+ 1 =

C:lx,

T,= i141- x .2 =439296x 7

7

to se, koristeCi dati llvjet, dobije k = 11,

(19J,X

1.117.

154

ll)

i

T H = ,k ·a

1.125. T,

IH k 2 2 b ,

k= 1,

T,=

(18) .'!!"-c (lk18)(lX'jn18-k(l!' l-X') =lk x 3

(19)

II

k )

'0

4

7

,,"

(18) =

,,'_11_210 = 0

¢;)

l'I3) 1I =( n-12 \),toJ'e 11

Q

n-12=3

~>

n = 15.

~>

11=]5.

1.126.

'l

(n\)1 + I(n\)')

(n\

1+

1

O)~.

,_

46

(l1iJnJ'2 =153

ll)

l

Tk41

¢:;>

¢;)

:)x~i~ .x- ~[:)x ,;4_4 ~(:)x "~I~. 4

lk

1+n+

n(n--l)

2

= 46

2

¢;;>

112+11-306=0

~(n) ,-r;,:k) .. ~

3

(111IX0 => 2(n-kJ --=0 k X 5 X 6 =1 k \k) 5 6 Trazeni clan je trinaesti i vrijedi: T 13 = 6188. 1.128. Prema datom uslovu

Clan koji

n-16 = 0, odnosno, n=16. = (n) x 0 ) paJe. -3-

T k+ l =

.'~C~)+k

k Hl'x'

.

ne sadrZl x lma obhk

.

1.127.

•

1 \1::. I. 2 17' =19a'.fj;.

k

(_I)k

(;)~ 105

~(:}~)"-4 .(;)4 =(

\7/

pa je trazeni clan razvoja dvanaesti clan i vriJ'edi T ,,= . . . - III 1.116.

k=12.

10)

x 14 -' ·2' , to iz datog uvjeta mora biti 14-k = 7 ,

pa je k - 7. Znaci osmi clan sadrii x 7 i vrijedi

=>

~ __ (15\ 10 10 Rezultatn=l),lll=l 13 =3003·3 .

k = 4.

J

141

1.114. Kako je T'+I= k

w

("l)j, "1, 3 ,12j

.124. Kakoje,

\. J

. ,. da vrlJe .. d'1: 8 -k - -k "" 0 datog uVJeta, zakl'JucuJcmo

3k 4

3(22-k)--~21

~>

4

1.123. lz datog uvjeta dobije se:

=> Ie = 5. T6= 252. _8_-="_

l-"'-

(22\ 'I Ib-. Trazenf clanje trinaesti i vrUedi: TJJ~I ~12 )

20-2k 2k => -3--" -- 3 = 0

~

~b

=> 264-12k-3k = 84

T7= 5005. 2()--2k 2k

5

Vrijed;:(~): [;1) = II: 2

¢;)

n '+n-90 = 0 => n=9.

~>

\1=17.

=>

k~12.

n(n-I):n=II:2

2

155

n-l

11

2

2

n = 12.

~

--=-

,

T.

k+1

12·11·10·9 a ------'.-'...,. = 495a 4 X- 2 . 4·3·2·]

_(12)

-(12-')

Tk + t ~

,.,

X (;Ix) k Traz:eni clan je T 9 = 495.

_(12) -(IH)+% X \k

-I

=>

=

0

=>

1.135. * Uputa: 211 +240

1.136.

4(l0-k)

k

3

2

=>

6

k= 4.

= 2~n

=>

(

a+l

I

2

,

\.a 2 _a 3 +1

[~)+(;)+(~)=79 ~ 2n

=>

=> k=8.

1.130. Prema datorn uslovuje:

~

2

3

1.134. * Rezultat: T, = 35a .

n=12

12+k+"-=O 2

10) a '(10-') (_I)' a _~ (k

ReZllltat: T., ::::: 2100'" .

x

n2 _ 7n - 60

=

1 +n+ n(n-i) = 79 2 n' + n -156 = 0 =>

+n(n-1) 156 =

n= 12. a

15

a''J"

' +I r a~ +-1--,\ a'

28'

I

;::;0

3-{!2-k)_ 28k

12)a 4(P-k) (k --6~· l-\k~ clan ne sadrZi u, mora biti -3 3

=

15

28k =0 15

'

adakle so dobije k = 5.

Dakle sesti clan ne saddi a i vrijedi 1.131.

(

n11) (n-d +

n \ +[ n

I

n-2) =79 => log x

3 !ogx+2

:00:

log 10 => (31ogx+2) logx = I => 31og 2 x+2Iogx_l= 0

=> logx = -1, logx = ~

=>

x=

~ x= ViO. 10 '

1.138.

x = -1. 10 8 --·xx (10)

1.139. 1.133.

(~H;)=35

~

2

n -n-2=0

=>

8

n=IO. ~

450x

8+-'--510g x 10,2

log x

8+-~---SIOg.{

= 450

4 8+---51ogx =

156

4 log.<

X510gr

°

X

~

logx

;:::;::

1

51og'x - 8logx - 4

X

-- 450

8+-~-Slogx log x

::::x o

=0 157

-->

0 Iogx =-5 2 Iogx = -,

=>

x=IOO, x=_l_ l,/iOi) . 1.146.

1.1

40

.

T =(7)(10IOg'!x)4(_I_)3 =35·I0 4l0g ,!X . ( _ \__ 4 3 1 10gFo __ \ IOtog X

T ~l

=>

]

5+-~

log ..

'1' x=1000 II

=>

(12) k (.-I)'x4

,'-(I2-k}-'"

X=

,4

1

5

5k

4

8

-(12-k)--=O

2)

¢'>

15-4k=k-30

5k=45

¢'>

•

v

<

1.144. Rezultat: lrazemclanJcT4 =

(7)

l3/

(n)+( n )+(n-2 n )-22 (2n')2~(H)2'(H)+(4ni)2iH)r'("')=135. In n--l , lz prvog uvjeta so dobije:

(n\)+( n )+( n )~22 In n-1 \n-2

~

Uvrstavanjem dobijene vrUednosti za n u drugi dati uv:jet, dobije se:

+, =135

Y

2-2 2·'+2'=9·2x ~ 2.(2.,)2- 9 ' 2"+4=0. i rjesavanjern kvadratne jednacine po t, dobije se t!=4 i

Uvodenjem srnjene 2

7

t2= ~, pa za odredivanje vrijednosti varijable x imama clvije eksponencijaine

-,

7

T", = -l~5) b-' .

jednacine ito: 2 x

~ s =300 .

= t

=4

2

~

x=2 4-~

•

3n - 1120

=

0

=>

4

Traten; clan]eT" =

15·2 +·2 4 4 8------~4

a

a

-

a

4-.,

=240

4-x

(")x·- (z! _, , ,0

=8,

~

2)X-- Y -==6,

x'-4x+4 = 0

=> x = 2.

(z)

3 x~- 2y)- =1.

Nepoznate varijable dobijemo rjesavanjem sljedeecg sistema:

-8(35-k) - 3k = 72 =

x

1.150. Za date clanove vrijedi:

l·35ih,." (35)3 -"b'-6545 '''b' 32J

4--~-

n = 35.

' ''[12-,(15-'fr,-, k3k a.

1

.

15·2H1 +15·r x

k=9.

35 _2(35_k) -4 -'-35 = ( k) b] b a '= k J b .

koriste6i dati uvjet, dobije se: 2 k -·-(35-k)+-=6

158

5

n

\.1)

3

n=10.

1.148.* Prema datim uvjetimaje:

L149.

J.l45. [n)ti=187 K ak 0 ]'e T k+l

¢'>

"

Dakle, deseti clan sadri; a ; b na isti eksponent i vrijedi:

3

=>

1 Fo'

6

v

k=8.

~ 2<+1+2'<+'=9 ;·2' ~

.1..5-4~=k-30

,

~

2

~

(~}'T~')+(~}'2'("')=135 ~ 6

.

logx=3 iii logx= -..:..

=>

-,(I..:coge.:x'----'2"-)('-I<--')g'-:x:---_3c.:)('--lo-"'g_x_-~4) -_ Iogx- 2 6 a2 => lo x - 7logx + 6 = 0 (, => x"= J 0'. . _7" 5 6 15x 2 =_ ¢:> x7 =3 6• Rezultat:x=37 9

==>

g

T8= C;}-1)7 =-(J;)=_792. 1.147·1("):("1=14:3 ~ 11'·5n-50=0

3 2logx= 5+-logx

21og2x - 510gx - 3 = 0

=>

~(I2'k)(-I)x k -'" 8 =

X4

TraZeni clanje

3

lOllog .. ::::: 10

k (12)

Koriste6idatizahtiev,dobijese:

J0 2 !ogx =I05 10 1ogx

lO\oP

=>

=

3

I l02!ogx . - - = 100000

c=>

J3 =3500000

2

0 +0_156 = 0 => n = 12.

k=32. .

159

x' =8 z(z

_1)xo-, y'

z(z-I)x'y' =12x' (

=6

z(z ... I)(z - 2)x·-3 y3

¢;>

x' =8 8z(z -l)y' = 12x' 8z(z -1)(z -

z(z-1)(z-2)x'y3 =6x 3

x'

)

I)y = 3

1

=8

x'

) ~ 12

6x'

= 3x'

12x'(z-2)y=6x 3 J

1

x' =8

x' =8 => 2z(z -l)y' = 3x'r

x' =8

I 1

-

I

2(z-2)y=x

=>

3(lI-k)

(

sabirka ito:

1.152.

2

= 2, Y = 3, Z =

-~'= (~)-'"'" 3

. ..."

sredivanja,koeficijentuzx'je: Li57.

5.

¢:>

-51ogJ~

2'=3

3

n --log2 = -Slog} 2·log3

'

Peti clanje T5 = 1.153.

g,

¢;>

!'. = log3 . log2 10

log2 log3

C:) (V2J(.- ~r

¢;>

!'. = I 10

¢;>

n=lO.

.,

-X")'

(9),

l'

(9)

+ 3 (x'-x)'+ 4 (x

2

_X3 )'+ ...

3(~)+(:)=252+!26=378.

a

Oil

=

=(l~J _(\O}x_ x5)+C;)cX_X5)' _(130)(x - x')' + (I:}x_ x5)' _(ISO}x_ X5)5 + ..

(~)=(~)+44

¢;>

n2-3n-88=0

=>

(10) 1

(lOj ; ; ; 10 --

~)

,5

10·9·8·7·6 ;;:; I0 5!

1.158.a) Opci (k+l)-i clan binomnog razvojaje Tk +,

=(~}f:l)8 =81,

7;

T7 = (!}f:l)' =84

i

7;

160

[91

~ 252 = ~242

.

=(~}f:l)8-". Da bi clan bio

cijeli broj, eksponent 8-k mora da bude paran. To znaci da za prirodan broj k vrj' . kE {O, 2, 4, 6, 8} i da postoji pet "Ianova u razvoju datog binoma kOji su Jeu,: . . T ' . 'I . cDel, bfOJevL _razem c anOVl su:

=210.

::a:a:o~i;:;ios~~:m::t dobije so n = 9. Traieni clanje sedmi

1.154. Premadatomuslovuje

(12)0 + (12) l2 2-3=1+396= 397 .

(l_x+x5)10=~_(x-x5)r

Koeficijent uz x 5 je:

2

log2

X

1z navedenog razvoja vidimo cia ce se x 5 pojaviti u drugom i sestom clanu.

-5-3 iog) 2

10

2 \.

8 Anaiizirajuci gornje Clanove zakljucujemo da ce se x pojavltl pnlikoru kuh,' . . binoma u cetvrtom cIanu 1. k'0d stcpenovanJ3 . b'moma u petom clanu. 'Nra'va k <

n

3

",

(\2XX2 + 32,)2> U konacnom razlaganju trinorna

i

(91

[;}0-3 y3=1080.

Rjesavanjem posljednjeg sistema dobije se: x

!'-= log3 .10 2

eiJ

xsenecepoJavltluc.anu:

x: zy ::::; 240x, yz:::: 6x + y, 3x = 2y .

¢;>

2

X)

Xl)

(91 1 2 l (!+X'-X )9=lo)\Jj(X'-x)+ 2jCx

Transformacijama II jednacinama sistema, daUe se dobija: x~ zy:;;;; 240x, yz - y "" 6x, Z2 y 2 - 3 zy 2 + 2y2 = 27x 2 , odnosno,

= log3

+x' +2..f jlI2)+(12)(x, +J,1+(12)(x, +J,)' +(12Xx' +2.)' + 0 1 2 x 3 \ x

1.156. Prema binomnoj formuli,dobije se:

l~}"y=240, l~}o-'y2 =720,

2

I

Iz gornjeg razlaganja trinoma vidimo da se x ne pojavljttie u dva

x=2,y= l,z=3.

J

l3

T4= (11) -= 163 •

.155. Koriste6i binomnu forrnulu,dobije se:

J

1.151. U puta: lz datih uvjeta dobije se .istem:

log2

4k = 0, odakle se dobije k = 3.

\ 0

=>

(II)

3(II-k),4k x -')k = k x , , to mora biti

Dakle, cetvrtl. c'I an. ne sad'" rZl x I vqJ"ed'1

Z(Z-1)=6(Z-2)'f 2(z·-2)v=x I

=>

C)ll-k(

2

;

.

5z' -23z+24=Or 2(z-2)y=x

l

J

1 f

=8

2z(z -l)y'

(11) .

Kakoje Tk+,= k lxyX

n=l1.

=G}f:iJ' (!}f:i)O

=756,

T9 =

Ts = (:}f:l)4 =630,

=1.

161

k =(I:}13-k(VS)k =(I:}2'H .5~. Da

b) Opci (k+I)-i clan binomnog razvojaje T +,

bi clan bio cijeli broj, prirodan broj k mora da bude djeljiv sa 3. To znaoi da za k vrijedi: kE{O, 3, 6, 9, ida postoji pet clanova u razvoju datog binoma koji su cijeii brojevi. Trazeni clanov! su:

12)

T

I

c)

=(13\" =2') 0 I , )

T

'4

=(13)2' 0'5 ' T =(13)2)5) 3 6 7

OpCi clan binomnog razvoja je

Tk+l

=

l'

,to

=(13\f+5) 9

k 3"'" ·2 ' (10]

2

2

•

i T

13

=[13}.5+. 12

Da bi clan bio cijeli brqi,

prirodan broj k mora cta bude paran. To znaoi da za k vrijedi: kE (0, 2, 4, 6, 8, 10) i da postoji sest cijeiih clanova u razvoju datog binoma. Trazeni clanovi su:

=(1013) =3" T, =(10)3+ ·2 =7290, =(10)3)2) =108(10\), \0; 2 4 ,4 1~=(~})2J=72C:J, 1'+=[1:}2'=4f:) i r,,=(:~})=32 T,

!.159.a)

1k+, = (

181 l8-k

,13

3

Ie;

=(18 10" =3', T, =162(18), \ 0) 6

~

l

(20\ b) Kako je 1;+, '" k

jS

2G-k

3

=36(18] 12

i

1;9

~

=(lI8)2 18 =8.

r

bude djeljiv sa 5, a razlika 20-k sa trio To znaCi da za k vrijedi: kE{5, 20} ida postoje sarno dva ciana u razvqju datog binoma koji su cijeli brojevi. Trazeni cianovi su:

Tj24\13"2'=36f24)\

" ll4

c) Kako je

Tk+1

4

mora da bude djeUiv sa 3 i sa 4, odnosno, k mora biti djeljivo sa 12. To znaci da za k vrijedi: kE{O, 12,24,36,48,60,71,84,96) ida posloji devet clanova u razvoju datog binoma koji su cijeli brQjevi. Odredi te clanove! 1,160. Primjenom binomne formule dobUe se: (I+EJ

+(I-J2)" ~[~)+(;'}/2 +(;}+(;)(F)' +.+(:)(F)" +

+(~)-(~)J2+(~}-(;)(F)' + ... +(-1)"(:} ~2 162

T,~r51J.5.3=150

razvoju datog bjnoma je Tk --. 1

\2 (IlJ ,,:, =l 5 3 k

3

k 1 •

lz navcdenog

izraza vidi sc da clan nije iracionalan ako jc k paran broj i l1-k djeljivo sa 3. To znacl da postoje same d~a clana koji nisu iracionalni i to Sli treCi i deveti clan, (11' T,,,=1 j5 ·3'=165·5·81=66825. ~8

T jll)5'3 =55·125·3=20625, ~l

l2

(17)5

6

k

127

\k

iracionaini.

-l kJ'

.. 'I . '[. c) 0'pClcanJc k+1-

1:

'

to su svi clanovi u binomnog razvoja

(14' !±:I£ ~!"

g

..... 2

.L.

~lI4)'5-S-3i = (

\

'H 6

6

0+1

1.1 63.a)

17_=~

I I

k

\. k

c)

l14

.) Opci 61an u

. 7'k+1 = b) Kako]e ~ (100\J''''''' ·2', da bi clan razvoja bio cijeli broj, prirodan braj k

(V3 + if2124 ) je Jl24,) (sJ3)2H (if2Y = r2413 24~k 2~ . k ) ,k )

Opci clan u razvoju binoma

Da bi clan razvoja biD raciona!an, prirod.n braj k (ks24) mora biti djelji~ sa 7 i izraz 24-k treba da bude djeljiv sa 5. Oba uvjela su zadovolJena ako .I.e kJO I". Dakle, u razvoju datog binoma same je petnaesti clan racionaJan 1 VrlJCdl

] .162.a)

"

je

Da bi 61an razvoja bio racionalan, prirodan broj k (k~5) ~10ra biti paran i izraz 5-k treba da bude djeljiv sa 3. Oba uvjeta su zadovoljcna ako Je k ~ 2: . Dakle, u razvoju datog binoma same je tre6i clan racionalan 1vrlJedl 5\ T, = )3.2=60. .' ,2

J

.2 5 , da bi clan bio cijeii broj, prirodan broj k mora da

5

(!J3'+h )

Tk+I~(~)(V3r( F)' =(~)/t2i

k, I

.2', da bi clan bio cijeli br'lj, prirodan broj k

7:,)

•

1.161.* a) Opci clan u razvoju binoma

T

mora da bude djeljiv sa 6. To znaoi da za k vrijedi: kE{0,6, 12, 18) ida posloje cetiri cijeJa 6iana u razvoju datog binoma. Trazeni clanovi su:

T,

to je navedeni zbir cijeli broj.

b)

1',

Kako je

Kako ce se navedenim zbrajanjem svi clanovi sa iracionalnim brojevima ponistiti,

60

b)

. ' Racionalan clan J'e sedml clan fazvoJa

(14\)5'3] 6"

= 405405.

c) 3125,56250,105000,42000,3600,32

36C;; "'

.. c'I an u razvoJu . b'1110 rna 1. 164 .3 ) 0 PCI

(Vx _'1[;)"

je

« k(<:J/)k ~ (21) k 21~k _~ T,+, (21)(,,)21k ~x (-I) (\Ix k (-I) x 0

)"

=

X.

163

Da bi clan razvoja bio racionalan (xje racionalan broj), prirodan broj k (k~21) mora biti djeljiv sa 9 i izraz 21-k treba da bude djeljiv sa 6. Oba uvjeta su zadovoljena ako je k=9. Daklc, u razvoju datog binoma sarno je deseti clan racionalan i vrijedi

lio = (~I} _1)9 x'x = _(~I) x 3 • (

rIOO)fltf3) IOO(l/41)" , 0

je

,48

77) )'H Hl(\ix)",Ie =("7) 27-1e 7;,+; = (~,(~ : H)kx x9 . Da bi clan razvoja bio racionalan (xje racionalan broj), prirodan broj k (k:S;25) mora biti djeljiv sa 9 i izraz 27-k treba da bude djeljiv sa 6. Oba uvjeta su zadovoljena ako k=9. Dakle, tJ razvoju dUlog binol113 samo je deseti clan rae ion alan i vrijedi (77\ (77\ 7'0 = 1-1) =x .

100-A:

2

7

,

14')

~9=\1:

x

6

i:.

3 4 , vidimo da jc clan racionalan za

~24-k ~.

1~9900 ¢'k

n~2

2)

,

n--n-9900~O =>l1~IOO.

~lOOll·4r;-\.iOO-k( J~4 \' ~II(IOO\I 3 Opei clan razvojaje Il ,j.)1 ·v5;1 \ PJ. )1 -

(501( ld ,;2 )

4

, ,-k) Clanovi razvoja su raclonalni pod uvjetom da su eksponenti

,

'~96

'84

Tk

>Tk _l ,Tk >Tk +!, odnosno, k +l.

(50)(

r;;

Ik-I

>lk-1l,,2)

50!..fi ¢;>

50' >---,

k!(50-k)!

(1<--1)!(50-k+1)!

k«51-k)..fi

,·, . d ruge nCJc . d nacme .. db" 2893 I'JcsavanJcm 0 IJC se k> sofi r::: -1 >:.::!,. v2 +1 Sada nije teSko zakljuCiti da je k = 29, pa je trideseti clan u razvoju datog binoma

l29

) · ' · ·I VflJe · · d'1: T30= (50)( ''11'2 ,")29 ( po b·momnoJ. Clormu I1 ·naJvec! b) Uputa: Analogno kao u zadatku pod a) dobije se k < I02fi co 45,85 + fi

J3

Otuda jc

4(25-01)

b) ~

,3

k> IOl,!2 +

-J3 '" 44,40. fi

k~ 45. Najveci clanje. T46 ~ (1045I)(5)"(f21" ~ (10 Ii 3"2 / 45)

22

..fi .

1.169. Rezultat: (l+2)6= 3'1.170.a) Nekaje (2x+ 1)7:::: aox7+ ajx6+ a2x5+ a3x4+ U4X3+ a5x2+ a6x+ a7 Ako uzmemo daje x = 1, dobije sc: ao+ aj+ a2+ aj+ a4+ as+ a6+a7 = (2+ 1)7=3 7. b) au+ a1+ a2+ a3+' .. + alS+aI6= (4+2)16= 6 16 c) ao+ a\+ a2+ a3+ ....+ a20+a21 = (1_3)21 = (-2i l = _221.

1.1 71.a)

100 -Ie 1. -::;k pnro . d UI. b roJCVI. . . 'I'() znac, ,. da mora b"It! 100 - 1( = 4 m --

4 5 k = 3p, (k, pEN). Dalje se dobijc: lOO-3p=4m ¢;> l00-4m~3p

l 36)

(100).3'4" [10°)'3'4," (100)'3.4'"

'~72

najveci clan. Tada vrijedi

,-"k

\~

164

'

RijeSimo pnru nejednacinu sistema.

2 54, Clan je racionalni ako je k djcljiv sa 4.

. (In, (n')'= ( n) ,toJ02 2

24

1;7:::;l3~Jx5<

}",fetiu prirodnim brojevima izmedu 0 i 124 postoje 32 bruja koji su djdjivi sa 4, pa jc toliko racionalnih clanova II razvoju datog binoma, b) U razvoju binol1la ima 26 racionalnih clanova. c) U razvoju datog binoma poslOjc samo dva racion
'

/4)'

,

kE{X \ x=4m., lllEZ, mS:25}, pa postoji 26 racionalnih Clanova u razvoju datog binoma. b) Postoji 6 racionalnih clanova u razvoju datog binorna. c) Postoje samo dva (17. i 73.) racionalna clana u razvoju datog binoma.

(124) 166.a) Kako je 7:+1 = l k 3

~ 12

\.9

'\.9/

1e)2 (

'

-)4

, [-I'

100\

Tk

325 (IOOj'. 3"4' (1001).3'"4" ( I001.3"4"

(50)(f2)' >(k50-)(If2,k-1 , (50)(f2)k >( k50+)(12"l \k \) lk 1)

6

165. *a) Kako je Tk+l=

'60

l.168.a) Nekaje

k

c) RezulLat: kE{O) 18,36}, 7;o;;;x

=

.

(100).3D4() (1001).3104'"

, 27

l Vx -~)

b) OpCi clan u razvoju binoma

Iz poslj~dnje jednacine zakljucujemo da izraz 25-rn mora biti djeljiv sa 3. Ovo znaci dajemE{1,4, 7,10,13,16, 19,22, 25}.Kakojek=100-4m,tovrijedi kE (0, 12,24,36,48,60,72, 84,96}. Racionalnih clanova u razvoju naseg binoma ima 9 i oni s1.1:

(11)II! _k.(k-I)!(II-k+I)! n!(n-k+l) lk -- k!(;;--k)l(nl (

I

n n! n! lktlk-l{ k!(n-k)! + (k-I)!(n-k+1)!

(n ) n-k+1 ~k-I ' - - k n!(n-k+ 1)+11!k k!(n+l-k)!

=(11+ 1) k

3p .

165

~

l.172.a)

n11+(n-1)+ (n-l)~n-2) +. . +lJ~

~ n[(n~I)+(n~I)+(n~I)+ ... +(:=:)] ~n.2"-I.

b)

1. dobijemo o~ (1-1)" ~(~)-(~ )+(~) -(;)+ . . + (-1)"(:),

U73.a)

(x+ y)"

1.177.a) i b) Aka u razvoju binoma

stavimo x ~ I, y~-

a iz ove jednakosti sl1jedi

("1+( n)/ln4;J+.. ~ (")\1 +(n)+lf n)+ ... ,0) ,2 3 5

b)

Kako je zbir brqjeva koji stoje na lijevoj i desnoj strani posljednje jednakosti jednak 211 , to je svaki od njihjednak polovini od 211 , odnosno, 2 11 - 1.

fn 1.178. . (nOJ1+ 3(/1I; + 5l 2)+ 7(~jJ1+ ... + (211 + I)(n)" ~ = l/ n)+( n) + (n \) +"'/l"1+ 2(/) +

o

\1

\)

1

11;

4(")+ . . +2n(n) = 2 ,n

~ 2" +2[(;')+ 2(;)++ n(:)] ~ 2" +211 2,,-1 ~ 2" +11 2" ~.(f1 +1)2". 1.179.a) Ncposrednim koristenjem binomne formule dobije se:

b)

USO.

(1+2)" ~(~)+2(~)+22(~)+ . . +2"(:)~3" (~)+{~)+3t)+ . . +3t)~(1+3)" ~4" (~J -2( ~) + 3(;J-.. + (_1),,-1 n(:) ~ 11 ~

[ ~ n[( n; l( ~

~

~

J .176.a)

Aka u razvoju binoma (x + yf stavimo

x

=

y = 1, dobijamo

2" ~(l+I)" ~(~)+(~} . +(:J. b)

GJ+2G}3[;)+.+n(:)~11+n(I1-1)+ n(n-I;(11-2) +... +n~

n(n -1)(n - 2) ... + (-1)" 2 (n-l)(n-2) 1)+ 2 ... +(-1) "J

~ n _ n(n _ I) + n I-(n

f1

1.181.

(") _

o

1 2- ) - ...

2 I

3 2

_. .

+(-1)"(: =:)] ~ n(1-1)" ,~ n· 0~ O.

n+1 (n)n = ~ I_-,,-+n(n-l) n(n-l)(n-2) + ... +(_1)"_1_=

-~l(n) + ~(n) 2

166

IHn

+ (-I)" __ ~ __

6

24

n+ 1

167

-(n+l)+ (n+l)n 2

n+ 1

=-

+

(/1+I)n(/1-I) 6

(n+l)n(n-I)(n-2) 24

... +(_I)"J~. _

+

n~I[I-(n;I)+(n;lt;l)f;I)_+(-I)"(:::}.I]=

=

(~) [;t.+ (:)

+ US2. (nl+ 1.0; 2 3

r

1

=1+':+ n(n-I) + ... 2

11+1

(n+l)n

l

3

(n+l)n(n-l)

=-~ Cn+l)+-~~+

0)

2

1)

+~I_=

+ (11+

'I

+ ... +1,= J n+l)

\ 0

n+l

4(3)

_ 11 2

n(n--I). n(n-1)(11-2)

~- .. -

-

T

- - _ . _ - _ .•••

3!

= ~1_[(n + I)n 11+1 2!

_

-- n+ILl

2

=

1

(Il + 1)11(11 -1) + (11 + [) 11 (11 -1)(11 - 2) 3! 4!

2

r

1 ,,+, '-l(l-I) n+1

-~

=

(;,)

0

1

(;,) {;) {;). n(:)

U84.

(~r

(~)

+

11

o·

11+1

1

1 [ 11"+"1

I)

n n+i

= - O-··I+(n+l) = - .

l1(n-l)

(n \

I

n

n(I1+1)

2

2

2lo)

t68

3 I

4 2

11+2 n

2)

I

(n+ (n+l)(n+2)l 2

2)+~

1

+~=2+ 2"-\/ n

<0,

n+ I

3

+ 2 n(n-l) + ... + 211+l = 2! 3! n+1

221'1

1

-:>

._'

-I

!

I

\

/

"

2

3

n+l

...l

_1_r("+ 1)+ in +11+2,(n + 11+ 22(n+ n +... +2""( 11+ li-l' n+ 111]= 11+ll 0 l I) l 2) 3 ) \.11+1) 0 )

11 n(n--I)(n'-2) n(I1··1)(I1--2)(11-3)(11-4) "_ + .- + ~~-,-. ,-".-,---- + ... + - nt 3!n! 5!n! n!

=

-

=

n\)'+ ... +r YJI J.'l'H(n' l +r ~3) \11-d n

( 1\" 1.188. l!+;;)

k+ 1.185. Kaleo je - 1= . I(11 + ,10 mozemo pisati: k+2 k) (n+l)(n+2)\k+2

.I.(ni +.I.(nj\.I.(/)+ . . +_I_fln)

+1 .

(11+1)(11+2) J1

\5

n1

I

n21H!

] 3JHI _l = ~(3"+'··I)=-.-... n+1 11+1 1 1 1 1 !.IS7. -_._--+ + - - - - + ... +~-= 3!(11-3)! 5!(n-5)! (n-l)!

n

+ ... +;;=

= 11+(n-1)+(n-2)+ ... +2+1= ····(n+l)

t] =

(11-1)!

n(n-l)(11-2)

T+C-:-I) =-;+-n-.-+~-~(11-1)

+

...!-[2l(n +II -+ 22(n +1)+ 2/l n+1)+ ... +2'' /l" + 1)"1 = n+l

".,(n+lIl _

\ 4

(/+1\)+.) (n+ll]

n +! _ 2/10-2

2-(11+1)n 2 (11+1)n(n-l) 2""'1~-l2(n+I)+-+ + ... + 11 + 1 21 3! J

=

r+1) 1l+1Jr

3

frn + 2)2

1 I

=

=_I [(n+ It(n+ 1)+(/+ 1) __ (n+ 1\)/"+ 1\)_ ... +(_1)".'(/+ 1)_lf'n+ 11)+(n+ 11]= n+1 \ 0)

1 (11+1)(n+2)

,-

n +1

-( 3 ) \ 4

=

I l' 1~

~-~--

.

11+2

[r11+2)2''+'-(1 +1)"+2 +1] =

(n

+ (-I)"·' _

Ir(n+l) (11+11 1'11+11

1

1 (n + 1)(11 + 2)

l 186 in] "i.. 2" \f) + 2] 2) . . lO)' 2 3'

11)

4!

=

n+l

I.(n) __3I[n2)I+.I.( n1-+ {_I)'" ("1= 2 \1

1.183.

'\.n+2

1)~n+2) [-(n~2J_(n;2)-(";l(n;2)_··_(::~Hn~2)]=

n+l

3

11

1 [(n+2\)+in+2)+i/+2\)+ ... +(n+2{n+2)]+ (n+I)(n+2) 1 "C 2 \. 3 \n+2

n+lL 2 3 =~1 [(n+11+(n+ll+(n+l)' +(n+l)+ ... +(n+11_(n+l)]=~ n+l

)+ ... +(11 +21 +21)_(n +2)lJ =

n+ 2)+3(" +2)\ -l/11 +21 \ 2 3 3

n

=.

n+l

n+l

ror +i '_( (11+1)(n+2lL"C j I

2

= _~I~[(1-1r' -1J=-~I~.(O-I)=~I~. n+l

11+1 (n+21= _ _L_[(l/+2)+2(/+2)+ ... +CI1+I)(I+.2)]= (n+l)(11+2)\11+2) (11+1)(11+2) 2 3 \,n+2

__2_(

(n+l)(n+2)~

n

+2t

(11\

=lo)+

=-'-.2"" = 2"·'. n(

nt

("JI ;:;+l2)I1'+ (11\ 3 -;?+ ... =I+l+ 211' +.. > 1+1=2 1

I

(/) I

I

Kakoje (n) .!...= _ _ n_! _ . .J..=LI1(I1-1)(n-2); ....Cn-k,l) k 11k k!(n-k)! n' k! n to vrijedi :

<-'-, k!

3 )

169

~(n)+(n)~+(n)J,+(n)J,+'''+l'n)~ ( l+~)" n lo I n 2 n 3 n n nil

< I

2.

2

2.1.a)

Izl =1,'1'=0

b) Izl = 1,'1'="

2.2.a)

Izl = I, q> = ~

b)

2.3 .a)

I,zl =5 ' (D=-. . 2

2.4.a)

z=-=-,=-3i=3 i i"

1-~

< H1

+.!c+.!c+ ... +.!c$2+~+~+ . . +_1_. =2+L_-,,2'-c"·_1 2! 3! n! 2 2' 2"" 2 1-~

=2+1 __1_=3 __1_ <3. 2 '1 - 1 2 11 - 1 1.189. Prema prethodnom zadalku je (1 + nejednakost ( 1 (n + 1)/1 ----
II"

-1-;;)

~

J

< 3, pa za n?J vrijedi

TRIGONOMETRIJSKI I EKSPONENCIJALNI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA

< n , odnosno, W

(n+1Y
¢)

(n + 1)11 < n

ll

+

1

(n + 1Y < n 11-1 , pa vrijedi: l

<:;>

n(lI~ V(11 + IY

~

VH 1V----:-

'n/

< II V!+!J nlHl

~=

(cos~+ism3 " . 3n)

H

2

=>

2

2

. ~

2

4

(

2n

.. 21t1

\

3

3 /

'

4

=>

JIC 2

Izl=2v'2,q>=-~

1~11=3, arg~=3n2

.

i

I

I+i = ~Q+i)= n(ca;':+iSin") =>

1-

J2 g z=4 IIz =2,ar Izl=4, amz= 2n3 IT

~

n Argz ='1' =--. 2

2.5.,,)

4i 2+i

4 5

.

b)

z=-=-+21.

c)

z=4+3i.

b)

170

3 3i

z=-2+2h/}=4Icos~+lsm'-J

2.6.a)

I

c)

c)

vn-j-l
c) Izi =3 '1'=

n

z=

nil

1. I 90. Prema prethodnom zadatku je

Izl =2,'1'=0

b) nl1+I>(n+lr_

cJ Izl=3,q>=O

Izl=5,

4.Js

jz[ = -5-' Igq>

5

5

=2' 'P = arelg 2'

3 3 Ig'p =-, 'I' =arclg-. 4 4

Z= sin'::-icos2:.= coS(-JIC)+iSin(-'::'-') izj=J " Tm=_~4' 4 4 4 4" 7n IIz, =1, q> =8

171

d) To jeskup taeaka prvog kvadranta bez taoaka kruga K(O, 0, 2). 2.1 L Trazeni skup tacakaje kruznica sa centrom u tacki (3, 4) i radijusom 5. Ovu kruznicu ozemo oznaciti ovako k(3, 4, 5),

x 2.12.a) k(2, 0, 3)

b) k(O, 3, 2)

Y,

~d{~~~)~t{%~(~~)]~t&{% ~~+~J~tg(~+~) 2.8.a)

arg(~3) ~

n+2krr, kE"Z

®

2 =>

)

x

b)

c) arg(1 -I-i J3-) = ~ +2!ot:, kEZ, 6 2.9.'1) Trazeni skup tacakajejedinicni krug s centrom u koordinatnom po~ctku. b) Krug k(O, 0, 3) c) Kruzni prsten kao na slici.

2.13.a) Trazeniskuptacakajepoluprava y=x\ Y b) Trazeni skup tacakaje poluprava y = 0, x::;; o. c) TraZeni skup tacakaje pray! ugao sa kracima y = x) x;?:O i Y = -x, x.::;;o. 2.14.a) . Ugao b) Ugao c) y

11:

2.10. Trazeni skup tacakaje dio a)

oznacen na slici 1.10.a)

c)

b)

y

2.15. 2.16, 2.17. 2. j S.

0< argz<6 Trazeni skup tacakaje krumica radijusa r s centrom u ta6ki (-3, 0). Trazeni skup tacaka je kruznica radijusa r = 4 ciji je centar tacka (0,0). Trazcni skup tacakaje krug radijusa r = 3 tijije ccntar tacka (U,O). Trazeni skup tacakajc sImp svih tacaka ravni izuzev tacaka kruga radijusa r = 5 ciji je tentar tacka (0,0). Trazeni simp tacakaje kruznic. radijusa 1""4 cijije centar tacka (2,0). Trazeni skup unutrasnjih tacaka kruga radijusa 1'=} cijije centar tacka (0,2).

2.19. 2.20. 2.2 La) z ~ 3(cosO+isinO) ~5

-I

x

n,.. ) c). z = 5(cos-· -rlsm 1t ~ 2 2

b) z = 2(cos11:+isin11:)

d)

z~

"( 3" +" 3". . coslSln-) 2 2

I 172

173

2.22.a)

Arg(3+3i) = "'-, Izl = 3.fi , z = 3+3i = 3.fi[COS -'" + isin -",]. 4 4 4

b)

Arg( 12 -i12) = -"'-, Izl=2, z =12 -i12 =lcos(-"'-)+isinl

c)

Z=6+6i=612[COs"'-+isin"'-]. L 4 4

2.23.a)

L

4

Z

4

-"'-I].

2.28.a)

,4;

= i' +~. = -2 = 2(cos1800 + i5InI800). I

b) z= j4+i3+ i 2+i+l = l-i-l+i+j =3=3(cosOo+isinOo). c) z = I +cos40o + isin400 = 1+cos 220o - sin2200 + iS1n400 =

= 2cos'200 + 21 sln20"cos200 = 2 cos200(cos200+1 sln20"). 3 2.24.a) Arg(-I+i)= ,lzl=12,z=-J+i=12[cos3; +isin

;l

3;

b)

(13 J ·'1 Argl2-"2i/

1 13 1. l~ =-6"'IZ=1'Z=2-21=cos-6" +Ism--ti.

1t) .. ( n)

1t,

c) z=·3+4i = 5(cosI26DS2'+isinI260S2').

r::: ( IT .• IT I COS~-t'Ism-) \ 4 4/ n . n\ c) z= 2( cos-+islll-1 3 3)

2.25.a)

Z=-.)LI 2

2.26.a)

c) c)

.n . n [.(

= cos

2.27.a)

n). ( n)J =

z=-2sm-+2lcoS-=2 8mi 2n - - +ICOS 21t - 12 12 \ 12 12 1r i l .. (·3} -3JcISIn

(n

l

cos

~ -isin ~ = Jcos' ~ +sin' ~ -(cos ~ +isin ~ )=cos~ +isin 7; . ~ -+2Ism-cosa .' ex a = 2 2 2

"30) " = l-cos 2 -a .t-. .3 Z -- I - casa + .I sma 2

_ .:: a _ "

a

ex, _

.

a [.

Ci

+Stn~

.

a'1

. oJ

(IT

a) . ( " 'I

-2sm -;;+21sm-cos---2sm- sm-+lcos~J:::::::2sm-lcosl-'-- +islI1 ~_~ . k 22 222 222 22J b) z]+co"'O\! +'1 "ma S· ,M ..... =

~a. 2 Ci (X ex 2 CX ex a = J +cos-·_·-sm --+ 2"ISI11-cos-=2cos -+2isil1-C05-~

2COS~[COS~+isin~J.

2.3I.a) Arg(2-2i) =

j"

2

2

2

2

2

2·2

-~ ,Izl~ 212, Z ~ 2-2i :2J"2[CO{ -~ )+isin( _~_)].

b)

b) Arg(-13-i): _Sn ,lzl=2 z=--fi-i:2[cos(_sntisin(_STI)1 6'

174

6)

6

j" 175

_ 1 cos
cos
2.36. Nekaje z ~ x+iy. Tadaje ;

= x- iy i

1r ] lcos(-
r

Izl ~ Jx' + y'

= 1, odnosno,

+ yZ = 1 . Dalje vrijedi: x-iy x-iy x-iy .z x+ yi (x + iy)(x-iy) x' + y2 I 1 1- coscp + isin