Yupana Digital Jennylee Dayan Murillo Zambrana Ingeniería de Sistemas, UDABOL La Paz, Bolivia
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Abstract —
La cult cultur ura a INCA INCA,, fue fue una una de las las cult cultur uras as más más desarrolladas en esta área del continente americano, habiendo logrado muchos avances que mejoraban y facilitaban su vida, entre estos grandes avances avances se encuentra la YUPANA; la cual es una herramienta herramienta que los Incas usaban para realizar realizar cálculos cálculos matemáticos, siendo de gran ayuda, por ejemplo, en los censos, al realizar cobros, etc. En si la YUPANA era el semejante de la calculadora de nuestros tiempos.
cómo usar la YUPANA, YUPANA, sino que historiadores y antropólogos han formado diferentes conclusiones sobre su uso.
En base a este gran desarrollo Inca y a estudios de arqueólogos reconocidos reconocidos,, se presenta presenta la YUPANA YUPANA Digital, Digital, una aplicación aplicación interactiva para que los niños aprendan las cuatro operaciones básicas de la matemática.
I. I NTRODUCCIÓN NTRODUCCIÓN En la antigü antigüeda edad, d, en el Imper Imperio io INCA, INCA, los cálcul cálculos os matemáticos eran realizados mediante una herramienta muy sencilla sencilla y eficaz, eficaz, denominada denominada actualmente actualmente como YUPANA que en quechua significa “contar o contador”.
Fig. 1 Dibujo de Guaman Poma de Ayala y una YUPANA
En nuestr nuestroo país país actua actualme lmente nte las escuel escuelas as y colegi colegios os util utiliz izan an el Ábac Ábacoo para para la ense enseña ñanz nzaa de los los cálc cálcul ulos os A. Propuesta decimal de Charles Wiener (1877) Cada piso de la YUPANA eleva diez veces; de manera que matemá matemátic ticos os básico básicos; s; entre entre estos estos tenemo tenemoss la suma, suma, resta, resta, multiplicación y división, pero poco a poco, al igual que en el un grano o piedrecilla en una división indicaba un valor que país hermano del Perú, se empieza a utilizar la YUPANA, podía ser diez o cien veces mayor que el de otra división. para la enseñanza de estos cálculos, quedando demostrado que Esto, inicialmente, fue aceptado por los historiadores, pero es un método igualmente eficaz y dándole el valor agregado luego el mismo Wiener modificó su propuesta por otra y en de cultivar nuestra propia cultura en los niños. consecuencia se dejó de lado. II. LA YUPANA DE LOS I NCAS NCAS B. Propuesta de Henry Wassén (1931) y difundida por Hyatt La YUPANA es conocida como el ábaco Inca, y servía Verrill (1945) como como el comp comple leme ment ntoo del del Quip Quipu; u; con con la YUPA YUPANA NA los los El investigador investigador sostenía que en este instrumento instrumento el valor valor matemáticos incas podían sumar, restar, multiplicar y dividir, numeral se expresaba verticalmente y según una progresión antes de poner esta información numérica en los Quipus. En la Fig. 1 se muestra muestra un dibujo dibujo del cronista cronista Guaman Guaman Poma de decimal que iba de 1 a 10 000. Ayal Ayala, a, la YUPA YUPANA NA apar aparec ecee al lado lado del del Khipukamayoc El cálculo cálculo se hacía horizontalme horizontalmente, nte, empleándose empleándose una (encargad (encargadoo de las estadísticas estadísticas en el imperio Inca) como otra progresión de 5, 15, 30. herramienta matemática. William Burns Glynn (ingeniero textil) dio el nombre de YUPANA a la tabla de cálculo de los Incas, basado en que YUPAY (vocablo quechua) significa contar. Con la invasión española, mucha de la información sobre la matemática Inca y el uso de los Quipus y la YUPANA fue perdida. perdida. Por esta razón, no hay consenso sobre exactame exactamente nte
C. Propuesta exponencial de Nicolino De Pasquale (2003)
Habla de un sistema de base 40, lo cual no deja de ser interesante si tenemos en cuenta que los Mayas se basaron en una base de 20 y que la cosmovisión inca, estaba basado en el númer númeroo cuatro cuatro:: Los cuatro cuatro suyos: suyos: Antisu Antisuyo, yo, Collas Collasuyo uyo,, Chinchaysuyo y Contisuyo.
III. FORMAS DE USO DE LA YUPANA A. Operatoria Exponencial
La YUPANA es girada en posición horizontal de la siguiente forma: …
La idea del ingeniero Nicolino De Pasquale, profesor de un instituto técnico de Pescara, es realmente interesante.
Centena
Decena
102
101
Unidad
Las representaciones numéricas en la YUPANA no son unívocas, por lo que una misma cantidad puede representarse de maneras diversas. Todos los números comprendidos entre 1 y 39, se representan posicionando piezas numéricas en los espacios de la tabla YUPANA de la manera siguiente. Casillero 2 Casillero 3 y 1 Fig. 2 Dos maneras de representar el número 4.
Para los primeros 39 números, la manera de representarlos corresponde con la serie de Fibonacci, donde el número siguiente es igual a la suma de los anteriores. Luego, y del mismo modo que en Mesoamérica los números se harían en filas superiores, de modo que para indicar un número natural cualquiera se efectúa usando una base que en este caso es base 40, y esto lleva a la forma bidimensional de la YUPANA esquematizada en la siguiente figura: TABLA I VALOR DE CASILLEROS
ooooo ooooo ooooo
ooo ooo ooo
oo oo oo
8000 200 5
o o o
4800 120 3
402 (40000,14400,6400,1600) 401 (1000, 360, 160, 40) 400 (25,9,4,1)
3200 80 2
1600 40 1
104
103
100
Fig. 4 Valor por columna en la operación decimal.
La primera fila es para la “memoria”, y las otras para ubicar las semillas que ayudan a contar. Cada columna tiene un valor múltiplo de 10, y cada círculo tiene un valor de uno multiplicado por el valor de su columna. Siempre se llena la YUPANA de abajo hacia arriba, y cada vez que se llenan los diez círculos de una columna, los barre y se coloca una semilla en la memoria. Esta después se mueve hasta la siguiente columna, Fig. 4.
Fig. 5 Representación de números en la Yupana, operatoria decimal
IV. LAS OPERACIONES BÁSICAS CON LA YUPANA A. La Suma
Se representa el primer número en la YUPANA y el segundo arriba con semillas. Por ejemplo si sumamos 328 + 124., colocamos las semillas en la YUPANA para representar 328, con una semilla arriba de la columna de centenas, dos arriba de las decenas y cuatro arriba de las unidades, representamos el segundo número 124. De estas añadimos todas las que sean posibles, hasta llenar una columna de diez, luego borramos y transferimos a la columna siguiente.
Fig. 3 Valor de cada pieza.
Se trata por lo tanto de una representación de cantidades donde la notación posicional se desarrolla en columnas y la progresión exponencial en filas, cosa que también se da en las culturas mesoamericanas, mientras que el cero es simplemente la ausencia material del grano o pieza numérica. B. Operatoria Decimal
La YUPANA ha sido estandarizada como una herramienta pedagógica en las escuelas de Perú, mediante el método de operación decimal.
Fig. 6 Suma con la Yupana, 328 + 124 = 452.
B. La Resta
Empezamos con el primer número representado en la YUPANA, y el segundo arriba. Ahora, necesitamos sacar de cada columna de la YUPANA tantas semillas como hay
arriba. Ejemplo: 525 – 127, vemos que en este caso las semillas no son suficientes.
Así al dividir 7862 entre 581. El resultado que vamos a obtener es 13. Observemos el divisor: Se compone de 3 cifras y es menor que el numero compuesto por las tres primeras cifras del dividendo. Se comienza entonces quitando 581 de 786. De lo que quede se restará de nuevo 581 hasta que no se pueda más. De lo anterior se deduce que el cociente tendrá dos cifras o sea que constará de unidades y decenas. Se comienza empleando la columna de las decenas de una Yupana auxiliar anotando en ella, de uno en uno, las veces que 581 es restado de 786. Cuando ya no sea posible efectuar nuevas restas, se considera la siguiente cifra del dividendo, el 2, procediendo a calcular la cifra de las unidades correspondiente al cociente.
Fig. 8 Resta con la Yupana, 525 – 127 = 398.
Tomamos una semilla de la siguiente columna que las tiene (centenas), y añadimos diez a la anterior (decenas), repetimos esto sacando una semilla de las decenas y añadiendo diez a las unidades, así ya tenemos suficientes semillas para restar las que faltaban. C. La Multiplicación
Fig. 11 División con la Yupana, 7862 - 581 = 2052.
Para realizar la multiplicación colocamos el multiplicando en una columna fuera de la Yupana, al lado del margen vertical izquierdo, y el multiplicador en la parte superior fuera de la Yupana, ejemplo 254 x 137.
Fig. 9 Representación del multiplicando y multiplicador.
Fig. 12 División con la Yupana, 7862 / 581 = 13.
V. IMPLEMENTACIÓN Se realizan multiplicaciones uno a uno por ejemplo 7 x 4 = La implementación de la “YUPANA DIGITAL” se realizó en 28, el cual se anota 8 en las unidades y se lleva 2 a la siguiente Visual Basic.Net 2005 Express Edition, dando al niño o columna, y de la misma forma se prosigue con todos los números. Una vez terminadas todas las multiplicaciones se usuario una manera didáctica de aprender estas operaciones básicas, al mismo tiempo que se entretiene jugando. procede a simplificar el resultado que se tiene. La “YUPANA DIGITAL” consta de: A. Algo de Historia
Un video donde el niño podrá aprender cómo los Incas utilizaban la YUPANA (operatoria exponencial), además de conocer de esta forma, más acerca de la cultura Inca. Fig. 10 Multiplicación con la Yupana, 254 x 137 = 34798.
B. Modo Clase D. La División
En este el niño tendrá que superar niveles para llegar a ser Al efectuar una división practicamos la sustracción. Ya un EXPERTO! en la realización de las cuatro operaciones que esta consiste en encontrar el número de veces que está básicas, cada nuevo nivel tiene un tutorial, el cual enseña al contenido un número en otro. El número de restas no es tan niño como realizar la operación pertinente. grande como inicialmente parece.
Los números mostrados en las operaciones son generados VI. CONCLUSIONES aleatoriamente, en rangos de 1-99, 100-999, 1000-9999, Al desarrollar un proyecto basado en la ciencia ancestral, 10000-99999, dependiendo del nivel de avance del niño. pude darme cuenta que nuestros ancestros, en este caso particular la cultura “Inca”, tuvo un avance espectacular ya El nivel de avance se mide por la operación realizada; que estos desarrollaron bastantes técnicas para simplificar su siendo lo más básico el aprender a representar números en la vida, mas aun encontrándose ubicados en una zona no muy YUPANA, seguido por aprender a sumar, restar, multiplicar y favorecedora, para el desarrollo de la agricultura y fauna. por último dividir. Además dentro de cada operación los niveles se miden por la cantidad de dígitos que utilice el niño Entre estos avances científicos y que ayudaban en su vida desde la decena, hasta la decena de mil. diaria se encontraba la YUPANA. C. Sumar, Restar, Multiplicar y Dividir
Cada uno de estos brindará la opción de acceder directamente a los ejercicios de suma resta, multiplicación y división, respectivamente, para la práctica inmediata y mejora del nivel del niño.
La “YUPANA DIGITAL” brinda la posibilidad de que todos los niños en edad de aprendizaje escolar puedan aprender jugando sencilla y didácticamente, de manera que para ellos este proceso no sea complicado o tedioso, sino en cambio, sea una forma natural y bonita para que ellos por su propio interés aprendan a realizar las cuatro operaciones básicas.
R EFERENCIAS [1] Matemática Andina, [Online]. Disponible: http://matematicaandina.wordpress.com/la-yupana/
[2] Yupana, [Online]. Disponible: http://www.comfama.com/contenidos/bdd/7838/yupana.pdf
[3] Sistema de Numeración, [Online]. Disponible: http://www.angelfire.com/planet/lindadro/numeracion.html
[4] IV Coloquio Internacional, Enseñanza de las matemáticas, 2009, Universidad Católica del Péru, [Online]. Disponible: http://www.pucp.edu.pe/irem/publicaciones_archivos/Actas-2009.pdf
[5] Yupana Dinámica, Carlos A. Hernandez Garcia, [Online]. Disponible: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Yupana_dinamica.pdf
Fig. 13 Yupana Digital, Menú.
[6] Instrumentos Prehispánicos de Cálculo, Diego Pareja, [Online]. Disponible: http://matematicas.uis.edu.co/integracion/rinthtml/volumen/vol4%281%291986/vol4i86-art3.pdf
[7] La Yupana o ábaco peruano, un elemento del patrimonio cultural en la clase de matemáticas, María Elena Saenz, [Online]. Disponible: file:///C:/Documents%20and%20Settings/Jenny/Desktop/7mo %20sem/Estructuras%20conceptuales/YUPANAcd/HTML/blog-post.html
[8] Quipus y Yupanas, [Online]. Disponible: http://quipusyyupanas.blogspot.com/
[9] Abaco Inca, [Online]. Disponible: http://www.encyclopediawebsite.com/disc/entries/abacus.doc
[10] Yupana Historia, [Online]. Disponible: http://historia.mforos.com/720862/7791212-yupana/
Fig. 14 Yupana Digital, Suma.