YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT FAKÜLTESİ JEODEZİ VE FOTOGRAMETRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
YÜKSEKLİK ÖLÇMELERİ (DERS NOTLARI)
Doç. Dr. Halil ERKAYA Ölçme Tekniği Anabilim Dalı Öğretim Üyesi
İSTANBUL - 2006
İçindekiler
İÇİNDEKİLER
1.3. 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4.
YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ ……………………………………. Yükseklik Kavramı ………………………………………………. Yükseklik Sistemleri ……………………………………………. Bilimsel Yükseklikler ……………………………………………. Geopotansiyel Yükseklik ………………………………………. Dinamik Yükseklik ..……………………………………………. Ortometrik Yükseklik ……………………………………………. Pratik Yükseklikler ………………………………………………. Normal yükseklik …………………………………………….… Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik) Elipsoidal Yükseklik …………………………………………… Nivelman Ağları ………………………………………………….. Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA) ………………… Nivelman Ağlarının Derecelendirilmesi ……………………… Nivelman Kapanma Hataları …………………………………. Nivelman Ölçülerinin Değerlendirilmesi ……………………….
1 1 3 3 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 18 19
2.1. 2.1.1. 2.1.1.1. 2.1.1.2. 2.1.1.3. 2.1.1.4. 2.1.2. 2.1.2.1. 2.1.2.2. 2.1.2.3. 2.1.2.4. 2.1.2.5. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.3. 2.3.1. 2.3.2.
GEOMETRİK NİVELMAN …………………………………… Nivolar …………………………………………………………… İncelikleri Yönünden Nivelman Aletleri ………………………… Düşük İncelikli Nivolar (İnşaat Nivoları) ………………………. Orta İncelikli Nivolar …………………………………………… Yüksek İncelikli Nivolar …………………………………………. Çok Yüksek incelikli Nivolar ……………………………………. Yapıları Bakımından Nivelman Aletleri ……………………… Eğim Vidalı Nivolar ……………………………………………… Kompensatörlü (Otomatik) Nivolar …………………………… Sayısal (Elektronik Sayısal) Nivolar ………………………….. Lazer Nivoları ……………………………………………………. Optik Mikrometreli Nivolar ……………………………………… Nivelman Miraları ………………………………………………. Miraların Kontrolü ………………………………………………. Mira Altlıkları (Mira Pabucu, Mira Çarığı) ……………………. Nivoların Kontrolü ve Eksen Koşulları ………………………… Nivoların Yatay Gözlem Çizgisinin Yataylığının Kontrolü ….. Nivolarda Eksen Koşulları ………………………………………
20 20 23 24 24 24 24 25 25 26 28 30 32 33 34 35 36 36 36
1. 1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.1.1. 1.2.1.2. 1.2.1.3.
1.2.2 1.2.1.4. 1.2.1.5. 1.2.1.6.
2.
I
İçindekiler 2.3.2.1. 2.3.2.2. 2.4. 2.5. 2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 2.5.4. 2.6. 2.6.1. 2.6.2. 2.6.3. 2.7. 2.8. 2.8.1. 2.8.2. 2.8.3. 2.8.4. 2.8.4.1. 2.8.4.2. 2.8.4.3. 2.8.4.4. 2.9. 2.9.1. 2.9.2. 3.
Küresel düzeç ekseni, düşey eksene paralel olmalıdır …….. Nivelmanda Teme Koşul, Gözlem Ekseninin Yatay Olması ... Nivelman Noktalarının Tesisi …………………………………... Doğrultu (Hat) Nivelmanı ……………………………………… Açık Nivelman …………………………………………………… Dayalı Nivelman ………………………………………………… Kapalı Nivelman ………………………………………………... Gözlem Düzlemi Yüksekliğine Göre Nivelman ……………… Yüzey Nivelmanı ………………………………………………... Kareler Ağı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı ……………………. Işınsal (Kutupsal) Nivelman …………………………………… Hacim Hesabı …………………………………………………… Hassas Nivelman ………………………………………………. Kesit Nivelmanı ………………………………………………… Boy Kesit ………………………………………………………… En Kesit …………………………………………………………. Cross Yöntemine Göre Kesitlerle Alan Hesabı ……………… Kesitlerle Hacim Hesabı ……………………………………….. Kesitlerin İkisi de Dolgu ya da Yarma ………………………... Kesitlerin Biri Dolgu Diğeri Yarma …………………………… Kesitlerin Biri Dolgu ya da Yarma Diğeri Karışık …………… Kesitlerin İkisi de Karışık ………………………………………. Nivelmana Etki Eden Hatalar …………………………………. Düzenli (Sistematik) Hatalar …………………………………... Düzensiz (Tesadüfî) Hatalar ……………………………………
TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ ………………… 3.1. Düşey Açı ………………………………………………………... 3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası ………………………… 3.1.2. Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı …………………………………. 3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü .. 3.2.1. Kule Yüksekliği Ölçümü ………………………………………… 3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor ………………………………………….. 3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor ………………………………………. 3.2.2. Trigonometrik Nivelman ……………………………………….. 3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması ………………………………………………………..
II
37 37 40 40 41 42 43 43 45 46 47 49 50 52 52 54 57 57 57 58 59 60 61 61 64 65 65 66 67 68 69 69 70 72 73
İçindekiler 3.2.4. 3.3. 3.3.1. 3.4. 3.5.1.
Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman ……. Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi …. Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı … Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi ……………..
74 75 77 78 81
4.1. 4.1.2
TAKİMETRİ ………………………………………………..……. Takimetrik Alımın Yapılışı ……………………………………... Uzunlukların Optik Olarak Ölçülmesi ……………………….
82 83 84
4.
III
Yükseklik Sistemleri
1. BÖLÜM YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ 1.1. Yükseklik Kavramı Yeryüzünün şekli denilince, katı ve sıvı dünya kitlesinin atmosfer ile olan sınırı anlaşılır. Katı kısımlar girinti ve çıkıntılar nedeniyle düzgün bir yüzey değildir. Genel olarak yüzeyler, normalleri yardımıyla incelenebilir. Yeryüzü normalleri, ağırlık kuvveti doğrultusundadır. Ağırlık kuvvetinin doğrultusu uygulamada çekül doğrultusuyla gösterilir. Çekül doğrultusunun ölçmelerdeki rolü çok önemlidir. Ölçme aletlerinin düşey eksenleri çekül doğrultusuna göre düzenlenir (Ulsoy, 1977). Yeryüzündeki noktaların yüksekliklerini tanımlayabilmek için, bir başlangıç yüzeyi ve bu yüzeye dik doğrultuların saptanması gerekir. Yeryüzünde en kolay belirlenebilen doğrultular, çekül doğrultularıdır. Bilindiği gibi durgun bir sıvı yüzeyi çekül doğrultusuna diktir. Çekül doğrultuları da her noktada denge halindeki deniz yüzeyine diktir. Karaların altında da devam ettiği düşünülen denge halindeki deniz yüzeyi, başlangıç yüzeyi yani sıfır yükseltili yüzey olarak alınabilir ve bu yüzey Geoit olarak adlandırılmıştır. Buna göre yükseklik, yeryüzü noktalarının çekül doğrultusunda başlangıç yüzeyine yani geoide olan uzaklığıdır. Başlangıç yüzeyinin altında bulunan noktaların çekül doğrultusunda geoide olan uzaklıkları da derinlik olarak adlandırılır. Noktalar arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesi işine nivelman denilmektedir. Uygulamada kullanılan nivelman yöntemleri şunlardır: 1. Geometrik Nivelman: Geometrik nivelmanda, noktaların düşey doğrultuda yatay bir düzleme olan uzaklıkları ölçülmekte ve bu uzaklık farklarından iki nokta arasındaki yükseklik farkları elde edilmektedir. Nivelmanda incelik (doğruluk) genel olarak 1 km’lik nivelman yolunda gidiş-dönüş ölçü farklarından bulunan standart sapma değeri ile ifade edilmektedir. Geometrik nivelmanda incelik 1 km’de ±1mm ile ±20 mm arasındadır. Hassas nivelmanda ise incelik, 1 km’de ±0.2 mm ile ±0.5 mm arasındadır. 1
Yükseklik Sistemleri
Mira
Mira Nivelman düzlemi
∆h= HB - HA= geri-ileri= g-i ∆h= g - i
i
g B
∆h A
Şekil 1.1 Geometrik nivelman
Geometrik nivelman, her türlü mühendislik uygulamalarında ve teknik hizmetlerde kullanılır. Yüksek incelik istenen köprü, baraj vb. mühendislik yapılarında düşey yöndeki deformasyonların belirlenmesinde ve ülke birinci ve ikinci derece nivelman ağlarının ölçümünde hassas nivelman yöntemi kullanılır. 2. Trigonometrik Nivelman: Trigonometrik nivelmanda yükseklik farkları basit olarak, iki nokta arasındaki uzunluk ile düşey açıdan yararlanılarak elde edilmektedir. Bu yöntemde incelik 1 km’de ±1cm ile ±10 cm arasındadır. Trigonometrik nivelman, daha çok konum koordinatlarının elde edilmesi için oluşturulan jeodezik ağlarda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde, sağladığı incelik yeterli olduğu sürece mühendislik hizmetlerinde ve geometrik nivelmanın uygulanamadığı dağlık arazideki her türlü yükseklik ölçmesinde uygulanır. Z
h
i
B A
t
HB = HA + i + h – t h = S*cotZ HB = HA + i +S*cotZ – t
∆H
s Şekil 1.2 Trigonometrik nivelman
3. Barometrik Nivelman: Hava basıncı, deniz seviyesinden yukarılara doğru çıktıkça düşmektedir. Hava basıncı ölçülerek barometrik yükseklik elde edilmektedir. Barometrik nivelmanda iki nokta arasındaki yükseklik farkı ± 1-2 m incelikle bulunur. Barometrik nivelman yalnızca keşif işlerinde kullanılır. 4. Hidrostatik Nivelman: Fizikteki birleşik kaplar ilkesinden yararlanılarak geliştirilen hortumlu su düzeci denilen aletlerle, noktalar arasındaki yükseklik farkları ± 0.01 mm incelikle ölçülebilmektedir. Genel olarak hidrostatik nivelman, hortumlu su düzeçleri ile basit şantiye ölçmelerinde; hassas hortumlu su düzeçleri ile çok yüksek incelik gerektiren makine aplikasyonlarında ve kapalı yerlerde düşey yöndeki deformasyonların ölçülmesi işlerinde başarıyla kullanılmaktadır. 2
Yükseklik Sistemleri
1.2. Yükseklik Sistemleri Ülke nivelman ağlarının hesabında, önceleri durgun deniz yüzeyinin başlangıç olarak alınabileceği düşünülür; fakat bir çok ülkenin nivelman ağlarının birleştirilmesi ile elde edilen sonuçlar, bu kanının sarsılmasına neden olur. Örneğin, 1862’deki ölçümlere göre Atlantik seviyesi, Akdeniz seviyesinden 64 cm daha yüksek bulunur. Nivelman sonuçlarına normal ağırlık ivmesi ile ortometrik düzeltmeler getirilince iki seviye arasındaki farkın çok daha az olduğu görülür. Yapılan hesaplamalardan çeşitli deniz seviyeleri arasındaki farkın ölçü hataları içinde kaldığı kanaatine varılır. Böylece her ülkenin kendi nivelman ağının en yakın deniz seviyesine bağlanması gereği ortaya çıkar (Ulsoy, 1976). Geoit başlangıç olmak üzere, farklı yollardan gidilerek bir noktanın yüksekliği nivelmanla belirlense, sonuçların eşit olmadığı görülür. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları için nivelman sonuçları yola bağımlıdır. Yüksekliklerin açık ve kesin biçimde tanımlanması için yalnızca yükseklik farklarının ölçülmesi yeterli olmaz; nivelman yolları boyunca ağırlık (yerçekimi ivmesi) değerlerinin de ölçülmesi gerekir. Problemin çözümü için yükseklikler, ya potansiyel değerlerden dönüştürülür ya da ölçülen yükseklik farklarına bir düzeltme getirilerek elde edilir (Demirel, 1983). Geoidin denklemi, ağırlık kuvveti ve onun potansiyeli ile açıklanabilir. Kitle yoğunluğu sürekli olduğu sürece geoidin eğriliği de süreklidir. Yoğunluğun ani değişikliğe uğradığı yerlerde geoidin eğriliği de değişir. Geoidin yeryüzü noktalarına göre konumu kesin olarak bilinmediğinden yüksekliklerin belirlenmesi için çeşitli hipotezler ortaya atılmıştır. Yükseklikler, bilimsel yükseklikler ve pratik yükseklikler olarak sınıflandırılır.
1.2.1. Bilimsel Yükseklikler Yeryüzündeki herhangi bir noktanın geoide olan uzaklığı, noktadan geoide indirilen normal eğrisinin uzunluğu ile veya geoidden noktaya erişmek için kullanılacak iş veya potansiyel yöntemleri ile tanımlanabilir. Sıfır yükseltili yüzey olarak geoidin alındığı daha önceden belirtilmişti. Nokta yüksekliklerini çekül doğrultusunda ölçmek üzere sıfır yükseltili bir yüzey şöyle de tanımlanabilir: Bir m kütlesi yerçekimi kuvveti doğrultusunun ters yönünde, yeryüzünde bir A noktasından dh yüksekliğine çıkarılırsa dA işi yapılır. dA=m·g·dh
[gr·cm2·saniye-2]
(1.1)
3
Yükseklik Sistemleri Burada g, A noktasındaki yerçekimi ivmesi (ağırlık) ve dh, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farkıdır. m kütlesi yerçekimi kuvveti doğrultusuna dik yönde hareket ettirilirse hiçbir iş yapılmış olmaz. Çünkü dh=0 dır. O halde bir m kütlesinin üzerinde taşınmasıyla hiçbir iş yapılmayan yüzey sıfır yükseltili bir yüzeydir. Bu şekilde sonsuz sayıda yüzey bulunabilir ve bunlara nivo yüzeyi de denir. Geoit de bu nivo yüzeylerinden biridir. m kütlesi, bir nivo yüzeyinden başka bir nivo yüzeyine taşınırsa, hangi yoldan gidilirse gidilsin aynı iş yapılır. Örneğin, aşağıdaki şekilde D noktası, A noktasından geçen nivo yüzeyinde, C noktası da B noktasından geçen nivo yüzeyi üzerinde alınmıştır ve noktalar, BA, CD çekül doğrultuları üzerindedir. Bir m kütlesi önce ABC yoluyla A noktasından C noktasına, sonra da ADC yoluyla A noktasından C noktasına taşınsın. C
B g1
dh1 A
g2
dh2 D
ABC yolundan geçerken yapılan iş dA1=m·g1·dh1 ADC yolundan geçerken yapılan iş dA2=m·g2·dh2 dA1=dA2 olmalıdır. Bu durumda, m·g1·dh1= m·g2·dh2 g1·dh1= g2·dh2 olur.
Şekil 1.3 Nivo yüzeyleri Yeryüzünde yerçekimi ivmesi sabit olmayıp, coğrafi enlem ve yüksekliğe bağlıdır. Bir nivo yüzeyinin değişik noktalarında yerçekimi ivmeleri farklı yani g1≠g2 olduğundan dh1≠dh2 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyinin birbirine paralel olmadıklarını gösterir. Bu nedenle yüksekliklerin bulunmasında g nin göz önünde bulundurulması gerekir. Buna karşın sarkıtılan çekülün ipi, nivo yüzeylerine diktir ve bu ip bir doğru olmayıp uzay eğrisi olacaktır. Bu eğriye çekül eğrisi denir (Aydın, 1997). Yeryüzünün herhangi bir noktasındaki yerçekimi ivmesine bağlı olarak o noktanın potansiyeli W olan skaler bir büyüklük tanımlanmıştır. Nokta çekül doğrultusunun tersine yani yüksekliği artarak hareket ettirilirse potansiyeli azalır. Bu durumda iş ve potansiyel ters orantılı kavramlardır. İş ve potansiyel arasındaki ilişki -m·dW= dA
(1.2)
bağıntısıyla verilmektedir. Buna göre;
[
]
dA m ⋅ g ⋅ dh =− = −g ⋅ dh cm 2 ⋅ san −2 (1.3) m m olur. Bu durumda bir birim kütlenin kaldırılması ile yapılan iş, sayısal değer olarak kaybedilen potansiyele eşittir. İki nivo yüzeyi arasındaki potansiyel farkı sabit olduğundan, dW = −
− dW = g1 ⋅ dh1 = g 2 ⋅ dh2 = g i ⋅ dhi = C = Sabit
4
(1.4)
Yükseklik Sistemleri yazılır. Burada, dhi=0 olursa C=0 olur. Halbuki C≠0 olduğundan dhi≠0 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyi arasındaki yükseklik farkının sıfır olmadığını, yani nivo yüzeylerinin kesişmediğini gösterir. Bir nivo yüzeyinde birim kütlenin taşınması ile hiçbir iş yapılmadığına göre hiçbir potansiyel kaybı da olmaz. Yani bir nivo yüzeyinin her noktasında potansiyel değeri sabittir. Bu nedenle nivo yüzeylerine eş potansiyelli yüzeyler de denir. Sonsuz uzaklıkta bulunan bir noktanın potansiyeli sıfırdır. Bir birim kütlenin sonsuz uzaklıktan bir nivo yüzeyine taşınması ile açığa çıkarılan iş, sayısal değer olarak o nivo yüzeyindeki bir noktanın potansiyeline eşittir∗. Nivo yüzeyinin genel denklemi, W=C=Sabit biçiminde yazılabilir ve ancak seriye açılımla çözülür. Bu serinin küçük terimleri toplamı T ile gösterilirse W=U+T olur. W yerine potansiyeli U=C=sabit olan bir yüzey düşünülürse bu yüzeye nivo sferoidi denir. Nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi γ ile gösterilir ve buna normal ağırlık adı verilir. Nivo yüzeyi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan g hesap yoluyla bulunamadığı halde nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan γ, yani normal ağırlık hesap yoluyla bulunabilir. Yerçekimi ivmesi, coğrafi enleme ve yüksekliğe bağlıdır. Pi ve P noktaları arasındaki potansiyel farkı, dW=-gi·dhi idi. Bu eşitliğin her iki tarafının Pi noktasından P noktasına kadar integrali alınırsa, P
P
Pi
Pi
∫ dW = − ∫ g ⋅ dh = WP − WPi
Pratikte integral hesabı yerine bir toplam ile yetinilmesinden dolayı, P
P
Pi
Pi
WP − WPi = − ∫ g ⋅ dh = −∑ g i ⋅ dhi ∗
(1.5)
Potansiyel enerji, bir sistemi oluşturan bölümlerin birbirlerine göre konumlarına bağlı olan,
depolanmış durumdaki enerji. Potansiyel enerji tek bir cisme ya da parçacığa değil, bir sisteme özgü bir niteliktir. Örneğin, top ile Yer’den oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi bu iki cisim birbirlerinden uzaklaştırıldıkça artar. Topu yeryüzünden yukarı yükseltmek için yapılan iş, sistemin enerjisine eklenir ve kütle çekimser potansiyel enerji olarak depolanır. Yer’in yüzeyine yakın bölgelerde kütle çekimsel potansiyel enerji, cismin ağırlığı ile referans noktasına göre yüksekliği çarpılarak hesaplanır. Bağlı sistemlerde, örneğin elektronların çekirdeğin elektriksel çekim kuvvetiyle bağlı tutulmakta olduğu atomlarda, potansiyel enerji için sıfır referans noktası, çekirdeğin elektriksel çekim kuvvetinin algılanamayacak kadar küçüldüğü, çok uzaktaki bir noktadır. Bu durumda, bağlı elektronların potansiyel enerjisi negatiftir; çekirdeğin etkisinden tam kurtulmakta olan hareketsiz bir elektronun potansiyel enerjisi ise sıfırdır (AnaBritannica, cilt:18, s:139, 2000 Ana Yayıncılık A.Ş. İstanbul).
5
Yükseklik Sistemleri yazılır. γ0 herhangi bir enlemdeki normal ağırlık ivmesi olmak üzere yukarıdaki eşitliğin sağına (-γ0+γ0) eklenir ve eşitliğin her iki tarafı da γ0 ile bölünürse eşitlik bozulmaz. Böylece, WP − WPi
γ0
P
= −∫
g −γ0 +γ0
Pi
γ0
dh
eşitliği elde edilir. Başlangıç noktasından kalkarak yine başlangıç noktasına dönüldüğünde yukarıdaki eşitlik,
∫
g −γ0
γ0
dh + ∫ dh =
olur. Buradan da
∫
∫ dh ≠ 0
WA − WA
γ0
=0
olduğu görülür.
g − γ0 dh = − ∫ dh γ0
(1.6)
değerine nivelman halkasının (ilmiğinin) kapanması denir (Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976).
1.2.1.1.
Geopotansiyel Yükseklik (C)
dW = −g ⋅ dh P
P
0
0
∫ dW = − ∫ g ⋅ dh P
− ∫ g ⋅ dh = W0 − WP = CP
[kgal ⋅ m]
0
Şekil 1.4 Geopotansiyel yükseklik eşitliği ile tanımlanan CP sayısına P noktasının geopotansiyel yüksekliği (geopotansiyel sayısı) denilir. Burada, W0 geoidin, WP de yeryüzündeki bir P noktasının potansiyelini ifade etmektedir. Geopotansiyel yükseklik birimi kilogalmetre∗ olup aynı zamanda geopotansiyel birim (g.p.u) de kullanılmaktadır. C geopotansiyel sayı ve G ortalama gravite (ağırlık) yardımıyla yükseklik sistemleri,
H=
C G
(1.7)
genel formülü ile ifade edilmektedir. G yerine g , γ0 , γ , … gibi değerler verilerek değişik yükseklik sistemleri tanımlanır. Noktaların ya da noktalardan geçen nivo ∗
Gal: özellikle kütle çekimi ölçümlerinde kullanılan ivme birimidir. 1 gal, hareket hızında saniye karede
1 cm değişikliğe eşittir (1 gal =1 cm·san-2). 1 kilogalmetre, 450 enlemindeki deniz seviyesinde 1 kg lık bir kütleyi 1 metre yüksekliğe kaldırmak için gerekli işdir.
6
Yükseklik Sistemleri yüzeylerinin geoide göre durumlarını gösteren, geoit ile bu yüzeyler arasında kilogal·metre biriminde ifade edilen geopotansiyel yükseklikler, geometrik ya da pratik anlamda bir yükseklik olmayıp fiziksel anlamda büyüklüklerdir. P noktasının geopotansiyel yüksekliği; P0 dan P ‘ye olan geçki üzerinde belirli aralıklı noktalar arasındaki geopotansiyel yükseklik farkları (∆Ci) nın toplamıyla elde edilir. K
CP = ∑ ∆C i
∆C i = g i ⋅ dhi
,
i =1
(1.8)
dhi, iki nokta arasındaki geometrik nivelman ile bulunan yükseklik farkı, g i söz konusu iki yeryüzü noktası arasındaki ortalama gerçek gravitedir. Noktaların geopotansiyel yükseklikleri belirlendikten sonra istenen yükseklik sisteminde nokta yükseklikleri belirlenebilir. Ayrıca geometrik nivelman ölçülerine uygun düzeltmeler (ortometrik düzeltme, normal düzeltme, dinamik düzeltme) getirilerek; düzeltmeye karşılık gelen yükseklik sisteminde noktalar arasındaki yükseklik farkları doğrudan da elde edilebilir. Nivo yüzeylerinden her biri, geopotansiyel yüksekliklerin bir tek sayısal değeriyle bellidir. Geoidin potansiyel yüksekliği sıfıra eşittir. C geopotansiyel kotların hesaplanması için dağlık yörelerde her 0,5-1 km de, engebeli yerlerde 1-2 km de ve düz yerlerde de her 3-5 km de bir g ağırlık ivmesi ölçülür (Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). Geopotansiyel yükseklikler, 1 kgal’e bölünürse metre biriminde sayısal değeri değişmeyen bir büyüklük elde edilir. Geopotansiyel yükseklikleri metre biriminde düşünmek onların fiziksel niteliğini değiştirmez.
1.2.1.2.
Dinamik Yükseklik (HD)
Dinamik yükseklik, H =
C
γ0
eşitliği ile tanımlanır. γ0, herhangi bir enlemdeki normal
ağırlık ivmesidir. Pratikte 45° enleminde deniz seviyesindeki ivme değeri olan
γ045 = 980.6294 gal değeri kullanılır (Aydın, 1997). H =
C
γ0
eşitliği yardımıyla A ve B
noktaları arasındaki ∆H yükseklik farkı,
∆H =
1
γ0
(C B − C A ) =
1
γ0
B
1
B
∫ g ⋅ dh = γ ∫ ( g − γ A
0 A
0
B
B
A
A
+ γ 0 )dh = ∫ dh + ∫
g −γ0
γ0
dh
yazılır. Eşitliğin sağındaki ilk terim geometrik nivelmanla elde edilen yükseklik farkını, ikinci terim ise, B
B g − γ0 g − γ0 dh ≈ ∑ dh γ0 γ0 A A
vD = ∫
(1.9)
7
Yükseklik Sistemleri dinamik yükseklik düzeltmesini ifade eder. Aynı nivo yüzeyi üzerindeki noktaların dinamik yükseklikleri eşittir. Fiziksel boyutu olan geopotansiyel yükseklikler sabit bir sayı γ 45 ile bölünerek metrik boyutu olan dinamik yükseklikler elde edilir. Dinamik yüksekliklerin herhangi bir geometrik anlamı yoktur. Geometrik nivelman ölçülerine dinamik düzeltme getirilerek dinamik yükseklik farkları elde edilebilir. Ağırlık ivmesi*, ekvatordan kutuplara doğru 5 gal büyüklüğünde bir değişmeye uğradığından, yükseklik düzeltmeleri de büyük olabilir. Örneğin, ekvatorda 2000 metrelik yükseklik için,
γE − γ045 γ045
⋅ 2000 m =
978.049 − 980.6294 − 2.5804 ⋅ 2000 m = ⋅ 2000 m = −5.26 m 980.6294 980.6294
olur. Dinamik yükseklik düzeltmesi özellikle dağlık bölgelerde büyük değerlere ulaştığından, bu yükseklik sistemi uygulama açısından uygun değildir.
1.2.1.3.
Ortometrik Yükseklik (H)
Şekil 1.5 Ortometrik yükseklik Ortometrik yükseklik, Yeryüzündeki bir noktanın çekül eğrisi boyunca geoide olan uzaklığıdır ve g ortalama ağırlık ivmesi olmak üzere, H =
C eşitliği ile ifade edilir. g
Yeryüzündeki bir noktanın ortometrik yüksekliği doğrudan doğruya ölçülemez. Geoit üzerindeki bir A noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda elde edilen yükseklik farkı [∆h], nivelman yoluna ve dolayısıyla g yer çekimi ivmesine bağlıdır. Yine geoit üzerindeki diğer bir B noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda bulunan yükseklik farkı [∆h’] dır. Böylece C noktası için A dan ve B den farklı nivelman yükseklikleri bulunmuş olur. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları için C noktasının nivelmanla bulunan yükseklikleri [∆h] ve [∆h’], bu noktanın ortometrik yüksekliği olan H ‘ya eşit değildir. *
0
90
Normal ağırlık ivmesi, ekvatorda γ 0 = 978.049 gal ve kutupta γ 0 = 983.2213 gal dır.
8
Yükseklik Sistemleri
Yükselti (nivo) yüzeyleri paralel olmadıklarından aynı yükselti yüzeyi üzerindeki noktaların ortometrik yükseklikleri eşit değildir. Çekül eğrilerinin yeryüzü ile geoit arasında kalan noktalarında ağırlıkları ölçmek ya da belirlemek olanaksız olduğundan ortalama hesaplanabilir. Örneğin, Helmert’e göre;
g ortalama değerini ölçümle
ağırlık
ivmesi,
çeşitli
yollardan
g P = g P + 0.0424 ⋅ H [km ]
(1.10)
formülü ile hesaplanır (şekil 1.6). Burada gP, P yeryüzü noktasında ölçülen gravitedir.
Ortometrik Düzeltme (vo) : Ortometrik yükseklikler, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farklarına, bir düzeltme getirilerek bulunur. Deniz seviyesinden oldukça yüksek olan bölgelerde, kuzey-güney doğrultusunda bu düzeltmeler hissedilir derecede büyük değerlere ulaşabilir. Uygulamada ortometrik düzeltmelerin toplam nivelman boyu yerine, iki röper noktası arasındaki her parça için uygulanması uygundur. (Özgen, 1984). w=wP
P gP
B
A
h
2
hB , g B
hA , g A
h
B’
A’
w=w0
w=wP
w=w0
Şekil 1.6 Ortometrik düzeltme Şekildeki A ve B noktaları arasında yapılan geometrik nivelman sonucunda elde edilen
∑ ∆h
toplamına getirilecek düzeltmeyi hesaplamak için
∫ dh = 0
eşitliğinden
yararlanılır. Böylece, A′
B′
B
A
A
A′
B′
B
∫ g ⋅ dh + ∫ g ⋅ dh + ∫ g ⋅ dh + ∫ g ⋅ dh = 0
(1.11) B′
denklemi elde edilir. Aynı yükselti yüzeyi üzerinde,
∫ g ⋅ dh = 0 olduğundan,
A′ A
−∫
g −γ0 +γ0
γ0
A′
g −γ0 +γ0
B
dh + ∫
B′
γ0
B
dh − ∫
g −γ0 +γ0
γ0
A
dh = 0
ya da A
−∫
A′
g −γ0
γ0
B
dh − H A + ∫
B′
g −γ0
γ0
B
dh + H B − ∫
A
elde edilir. Buradan,
9
g −γ0
γ0
B
dh − ∑ ∆h = 0 A
Yükseklik Sistemleri B
B
A
A
H B = H A + ∑ ∆h + ∑
g −γ0
γ0
dh +
gA − γ0
γ0
HA −
gB − γ 0
γ0
HB
yazılarak, B
vD = ∑ A
g − γ0 g − γ0 g − γ0 dh + A HA − B HB γ0 γ0 γ0
düzeltmesi elde edilir.
(1.12)
(Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). Düzeltme miktarını
hesaplayabilmek için önce, çekül eğrisi boyunca A noktasındaki g A
ve B
noktasındaki g B ortalama ağırlık ivmesi, örneğin (1.10) ‘a göre hesaplanır.
Gerek geopotansiyel yükseklikler gerekse dinamik yükseklikler, hem düzeltmelerinin büyük olması hem de gerçek anlamda yükseklik ifade etmedikleri için teknik yükseklikler olarak kullanılmaya elverişli değillerdir. Ortometrik yüksekliklere getirilecek düzeltmeler de teknik nivelman sonuçlarının düzeltilmesini zorunlu kılacak kadar büyüktür.
1.2.2.
Pratik Yükseklikler
Teknik nivelman sonuçlarına düzeltme getirme zorunluluğunu ortadan kaldırmak amacıyla küçük düzeltmeli yükseklik sistemleri araştırılmış ve sonuçta pratik yüksekliklerin bir dizisi geliştirilmiştir. Araştırmalar, bu sistemlerin küçük ya da belli bir topografik yapıya uyan bölgelerde iyi sonuçlar verdiklerini, ama büyük ve dağlık ülkeler için uygun düşmediklerini göstermektedir. C : Geopotansiyel yükseklik H : Ortometrik yükseklik HN : Normal yükseklik HNO : Normal ortometrik yükseklik h : Elipsoidal yükseklik N : Geoit yüksekliği (N=h-H)
ζ : Kuazigeoit yüksekliği (ζ=h-HN)
Şekil 1.7 Yükseklik sistemlerinin başlangıç yüzeyleri ve çeşitli yükseklikler Molodenski tarafından 1945 de tanımlanan normal yükseklikler, teori ve uygulamanın gereksinimlerini karşılayacak niteliktedir. Değişik yükseklik sistemlerini karşılaştırmak amacıyla bazı nivelman poligonlarında yapılan incelemelerde normal yüksekliklere ilişkin düzeltmeler, ötekilere oranla küçük çıkmaktadır. Şekil 1.7 de, çeşitli yükseklik sistemlerinin başlangıç yüzeyleri ve bu yüzeylere göre tanımlanan yükseklikler görülmektedir.
10
Yükseklik Sistemleri
1.2.2.1.
Normal yükseklik (HN)
Yeryüzünün gerçek gravite alanının normal gravite alanı olduğu, yani W=U, g=γ, T=0 olduğu kabul edilsin. İşte bu varsayıma karşılık gelen ortometrik yüksekliklere normal yükseklik adı verilir ve H N =
C eşitliği ile ifade edilir. γ , çekül eğrisi boyunca olan γ
ortalama gravitedir ve iteratif olarak aşağıdaki eşitlikten çözülür.
γ = γ ⋅ [ 1 − (1 + f + m − 2 ⋅ f ⋅ sin 2 φ ) ⋅
HN HN 2 ) ] +( a a
ω2 ⋅ a ⋅ b m= kM
(1.13)
Burada γ, aynı ϕ enleminde elipsoit üzerindeki normal gravite, ϕ jeodezik enlem, f basıklık, ω Yerin açısal dönme hızı, a ve b elipsoidin büyük ve küçük yarı eksenleri, kM Newton çekim sabiti ile yerin kitlesinin çarpımıdır (Demir ve Cingöz). Elipsoit üzerinde ζ yükseklik anomalileri de çizilebilir. Bu yolla okyanuslar üzerinde geoitle özdeş olan bir yüzey elde edilir. Çünkü orada ζ = N olup diğer taraflarda da geoide çok yakındır. Bu yüzeye Molodenski tarafından kuazigeoit denmiştir. Normal yüksekliklerin başlangıç yüzeyi, okyanuslarda geoit ile çakışan, karalarda farklılık gösteren kuazigeoit (kogeoit) dir. Kuazigeoitte geoidin dış yüzeyindeki kütle ve bunun yerçekimi ivmesi üzerindeki etkisi dikkate alınmaz. Bununla beraber kuazigeoit bir nivo yüzeyi değildir ve hiçbir fiziksel anlamı da yoktur. Bu, geoide benzer bir yüzeye çağrışım yaptırır (Gürkan, 1984). Normal potansiyel U basit bir analitik fonksiyon olduğundan bu formüller kolaylıkla değerlendirilebilir. Fiziksel yeryüzündeki bir P noktasının belirli bir WP gerçek potansiyeli ve belirli bir UP normal potansiyeli vardır. Genel anlamda WP ≠ UP dir; fakat P den geçen çekül eğrisi üzerinde UQ=WP olan belirli bir Q noktası vardır. Bir başka deyişle, Q daki U normal potansiyeli P deki W gerçek potansiyele eşittir. P nin HN normal yüksekliği, aynen P nin geoit yüzünden olan ortometrik yüksekliği gibi, Q nun elipsoit yüzünden olan geometrik yüksekliğinden başka bir şey değildir (Gürkan, 1984). Başlangıç elipsoidi ile kuazigeoit arasındaki uzaklık, yükseklik anomalisi (kuazigeoit yüksekliği) ζ=h-HN olarak tanımlanır. Yüksek dağlık yerlerde kuazigeoit ile geoit arasındaki fark (uzaklık) yaklaşık 2 m yi bulur (Möser u.a. 2000). Elipsoitten HN yüksekliğinde olan noktalar, tellüroit adı verilen Yeryüzünün bir modelini oluştururlar. Şekil 1.8 den görüldüğü gibi P noktasının gerçek çekül eğrisi boyunca geoide olan uzaklığı ortometrik yükseklik, normal çekül eğrisi boyunca
11
Yükseklik Sistemleri kuazigeoide olan uzaklığı ise normal yüksekliktir. Ortometrik yükseklikler yer yoğunluğu ile ilgili bazı varsayımlara dayanmasına karşın, normal yükseklikler için herhangi bir varsayım söz konusu olmayıp her iki yükseklik sistemi tam diferansiyel ve tek anlamlıdır.
Şekil 1.8 Ortometrik ve normal yükseklik Dinamik ve ortometrik düzeltmeler gibi, ölçülen yükseklik farkları için de bir normal düzeltme vN vardır. g yerine γ ve H yerine HN konarak, B
vN = ∑ A
g − γ0 γ A − γ0 γ − γ0 + ⋅ H AN − B ⋅ H BN γ0 γ0 γ0
(1.14)
yazılabilir. Böylece, N ∆H AB = H BN − H AN = ∆h AB + v N
(1.15)
olur.
1.2.2.2. Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik) (HNO) Gerçek gravite değerinin bilinmediği durumlarda g i yerine ortalama normal gravite γi alınarak ∆Ci’ normal geopotansiyel yükseklik farkı elde edilmekte ve böylece normal geopotansiyel yükseklik (CP’) hesaplanmaktadır. K
CPı = ∑ ∆C iı i =1
,
∆C iı = γ i ⋅ dhi
12
(1.16)
Yükseklik Sistemleri Normal geopotansiyel yükseklikten normal ortometrik yükseklikler,
H
NO
CPı = G
,
H NO G = γ - 0.3086 ⋅ ( ) 2
(1.17)
eşitlikleriyle elde edilmektedir. Normal geopotansiyel yükseklikler, gerçek gravite alanına dayanmadığı için tam diferansiyel ve tek anlamlı değildir. Bunun anlamı, bir halkayı (lupu) oluşturan normal geopotansiyel yükseklik farklarının toplamı teorik olarak sıfır olmaz. Bu da bir yükseklik sisteminden beklenen temel özellikleri yansıtmamaktadır. Ölçülen geometrik yükseklik farklarına normal graviteden yararla normal ortometrik düzeltme getirilerek normal ortometrik yükseklik farkları elde edilebilmektedir. Normal ortometrik düzeltme (vNO);
v NO = 2H NO ⋅ α ⋅ sin 2φ [ 1 + ( α ⋅
2β ) ⋅ cos 2φ ] ∆φ α
(1.18)
eşitliği ile hesaplanır. Burada H NO ortalama yükseklik α ve β bilinen katsayılar, φ iki düşey kontrol noktasının ortalama enlemi, ∆φ ise aralarındaki enlem farkıdır. Türkiye'de mevcut yükseklikler Normal Ortometrik Yükseklik Sistemi’nde olup ölçülen yükseklik farkları; yukarıdaki eşitlikte α=0.002644 ve β=0.000007 (Hayford Elipsoidi) alınarak hesaplanan normal ortometrik düzeltme ile normal ortometrik yükseklik farklarına dönüştürülmüştür (Demir ve Cingöz). Normal ortometrik yükseklik, NN (“normal sıfır”) yüksekliği olarak da ifade edilir. Sıfır noktası olarak Ülkemizde Antalya Mareograf İstasyonundaki röper noktası alınmıştır. NN-başlangıç yüzeyi, bir elipsoit yüzeyidir. NN-yüzeyi, normal ağırlık ivmesinin etkisinin dikkate alındığı bir vNO normal ortometrik indirgemesiyle NN-yüksekliği belirlenerek elde edilir.
1.2.3.
Elipsoidal Yükseklik (h)
Uygulamada, geometrik nivelman ve gravite ölçülerine dayalı olarak hesaplanan ortometrik yükseklikler kullanılır. GPS ölçüleri ile üç boyutlu geosentrik bir koordinat sisteminde seçilen başlangıç elipsoidine göre elipsoidal yükseklik h, belirlenmekte olup elipsoidal yükseklik ile ortometrik yükseklik arasında, h=H+N
(1.19)
ilişkisi bulunur. Burada, H ortometrik yükseklik, h elipsoidal yükseklik ve N geoit yüksekliği (geoit ondülasyonunu) olup geoit ile elipsoit arasındaki uzaklıktır. Ortometrik yükseklik ve elipsoidal yükseklik arasındaki ilişkiler Şekil 1.9’da görülmektedir.
13
Yükseklik Sistemleri
Şekil 1.9 Elipsoidal yükseklik ve ortometrik yükseklik Elipsoidal yükseklikler, yerin çekim alanından tamamen bağımsızdır. Hâlihazırda komşu GPS noktaları arasındaki 4 ile 10 mm lik yükseklik inceliği, hassas nivelman noktalarının inceliğine yetişemez. Verilen elipsoide ilişkin GPS yükseklikleri ile ağırlık alanında nivelmanla belirlenmiş yüksekliklerin birlikte değerlendirilmesi için geoidin hassas bilgileri gereklidir. GPS gözlemlerinden türetilen ortometrik yükseklikler, elipsoidal ve geoit yükseklikleri arasındaki ilişkilerin hassasiyetine bağlıdır. Yükseklik belirlemesinin doğruluk istemlerine uygun yerel bir geoit kullanılırsa, mühendislik ölçmeleri için GPS yükseklikleri kullanılabilir.
1.3. Nivelman Ağları Yükseklikleri nivelman yoluyla belirlenmiş noktaların oluşturduğu ağlara nivelman ağları denir. Nivelman ağları değişik incelikle belirlenmiş nivelman geçkilerinden meydana gelir. Nivelman geçkileri, inceliklerine göre çeşitli derecelere ayrılır. I. ve II. derece nivelman ölçmeleri, genellikle ülke nivelman ağlarında ve deformasyon ölçmeleri gibi araştırma işlerinde uygulanır. Diğer derecelerdeki nivelman ölçmeleri, yol inşaatı, su işleri, şehir haritalarının yapımı, yüzey nivelmanı gibi bütün teknik işlerde uygulanır. 1.3.1. Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA)
Türkiye’de Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı ile ilgili çalışmalar 1935 yılında Antalya mareograf (deniz seviyesi ölçer) istasyonunun kurulması ile başlamıştır. Ana karayolları ve demiryolları boyunca 2.5–3 km de bir oluşturulan I. ve II. derece
14
Yükseklik Sistemleri nivelman noktaları arasındaki ölçmeler, Akdeniz, Karadeniz ve Eğe Denizindeki mareograf istasyonlarına bağlı olarak gidiş-dönüş yapılmıştır. I. derece nivelman halkasının çevresi 650–1400 km ve bunların kapanma hataları 10–15 cm’dir. II. derece nivelman noktaları, I. derece geçkilerin aralarını doldurmak ve bunları birbirine bağlamak amacı ile yapılmıştır. III. Derece nivelman noktaları sıklaştırma amacı ile yapılmışlardır. Ölçmeler Wild N3 ve 1988 ‘den itibaren Zeiss Ni 002 nivoları ile invar miralar kullanılarak yapılmıştır. 1955 yılında İstanbul Boğazı’ndan (860 m) ve Çanakkale Boğazı’ndan (1450 m) vadi geçiş nivelmanı ile karşı tarafa geçilmiştir (Şerbetçi, 1995). 1965 yılında ülke nivelman ağı için dengeleme çalışmalarında, mareograf istasyonları arasında çıkan bazı farklılıklar nedeniyle, Ülkenin ortasındaki bir noktaya mareograf istasyonlarından yükseklik taşınarak bunların ortalaması, ülke nivelman ağının başlangıç kotu olarak seçilmiştir (Şerbetçi 1992). Ancak ayrı bölgelerden yükseklik verilen ortak noktalarda önemli farklar olduğu görülerek bu uygulamadan vazgeçilmiştir. Mareograf istasyonları arasındaki yükseklik farklarından dolayı ülke nivelman ağına, Doğu Akdeniz Bölgesi hariç, Antalya Mareograf İstasyonunun 1936–1958 yılları arasındaki 22 yıllık gözlemlerinin aritmetik ortalaması alınarak ortalama deniz seviyesine göre yükseklik değeri verilmiştir. Dengeleme etütlerinde yerçekimi ölçülerinin önemi anlaşıldığından; I. ve II. derece noktalardan oluşan ülke temel nivelman ağının iyileştirilmesi ve uluslararası standartlara uygun duruma getirilmesi çalışmalarına hız verilmiş ve bu amaçla 1983 yılında eski mareograf istasyonları iptal edilerek bunların yerine başta Antalya, İzmir/Menteş, Bodrum ve Erdek’te olmak üzere yeni istasyonlar kurulmuştur. 158 tane I. derece ve 87 tane II. derece geometrik nivelman geçkisinin ilk faz ölçümleri 1970 yılına kadar yapılarak Düşey Kontrol Ağı tesis edilmiştir. Gravite ağı ile ilgili çalışmalar 1956 yılında başladığından 1970 yılına kadar düşey kontrol noktalarında gravite ölçülmemiştir. 1973 yılından itibaren ikinci faz geometrik nivelman ölçmeleri başlatılmıştır. Bu kapsamda günümüze kadar sürdürülen çalışmalarda daha önce tesis edilen geçki ölçümleri yenilenmiş, alt yapı nedeniyle tahrip olan geçkiler yerine yenileri, gerek duyulan yerlerde ise yeni geçkiler tesis edilmiş ve düşey kontrol noktalarında gravite ölçülmüştür. 1993 yılına kadar gerçekleştirilen ölçme çalışmaları ile 151 adet I. derece ve 39 adet II. derece geçki ölçümü yenilenmiş, 2 yeni II. derece geçki tesis edilerek ölçülmüştür. 1985–1992 yıllarında yapılan çalışmalarla, 1973–1991 yıllarında ölçümü yenilenen 151 adet I. derece ve 35 adet II. derece geçki ile 1970 yılından önce ölçülen 5 adet I. derece geçkinin, gravite değerleri ile birlikte ilk değerlendirmesi yapılarak Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı–1992 (TUDKA92) oluşturulmuştur. Ölçümü yenilenmemiş 52 II. derece geçki bu değerlendirmeye alınmamıştır (Demir ve Cingöz).
15
Yükseklik Sistemleri
TUDKA92 oluşturulurken dengeleme sonrası yapılan istatistik analizde, uyuşumsuz olduğu saptanan üç adet geçki değerlendirme dışı bırakılmıştır. Sonraki yıllarda, uyuşumsuz bulunan üç geçkiden iki tanesi (biri tamamen, diğerinin bir bölümü) ölçülmüştür. Ayrıca 1993 yılında dört eski ve iki yeni olmak üzere altı adet II. derece geçki ölçümü yapılmıştır. Diğer taraftan daha önce değerlendirme dışı bırakılan 52 adet II. derece geçkiden 44 ‘ünün ağa bağlantısı gerçekleştirilmiş ve bu geçkilerdeki noktaların tamamında gravite değerleri prediksiyonla kestirilmiştir. Ağa bağlantısı sağlanamayan diğer 8 adet eski II. derece geçki değerlendirme dışı tutulmuştur. Daha sonra tüm geçkilerdeki noktaların koordinatları (enlem ve boylam) 1/25000 ölçekli haritalardan sayısallaştırılarak elde edilmiş ve mevcut tüm veriler (gravite, enlem, boylam, geometrik yükseklik farkı, uzaklık) kontrol edilmiştir. Yukarıda sözü edilen kontrol işlemleri tamamlandıktan sonra, yapılan ek ölçülerin de katılımı ile TUDKA dengelemesi yeniden yapılarak, TUDKA99 oluşturulmuştur. Bu değerlendirmeye 1970 yılından sonra ölçülen 151 adet I. derece ve 41 adet II. derece ile 1970 yılından önce ölçülen 7 adet I. derece ve 44 adet II. derece geçki olmak üzere toplam 243 adet I. ve II. derece geçki dahil edilmiştir. TUDKA99 toplam 29316 km uzunluğunda, 243 geçki ve 25680 noktadan oluşan ağın dengelenmesiyle oluşturulmuştur.
Şekil 1.10 Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı-1999 (TUDKA-99) TUDKA99 için düşey datum Antalya mareograf istasyonunda 1936–1971 yıllarında elde edilen anlık deniz seviyesi ölçülerinin ortalamasıyla belirlenmiştir. Dengelemede ölçü olarak geopotansiyel yükseklikler alınmış ve tüm noktalarda geopotansiyel yükseklik, Helmert ortometrik yüksekliği ve
16
Yükseklik Sistemleri Molodenski normal yüksekliği hesaplanmıştır. Geopotansiyel yükseklik hesabında, düzenlenmiş Potsdam datumundaki gravite değerleri kullanılmıştır. Dengeleme sonucunda datuma bağlı nokta yüksekliklerinin duyarlılıkları 0.3 cm ile 9 cm arasında bulunmuştur.
TUDKA99’un sıklaştırılması amacıyla, TUDKA99'un I. ve II. derece noktalarına dayalı III. derece nivelman ağı (Ana Nivelman Ağı=ANA) oluşturulur. TUDKA99 noktaları geçki kontrolü yapılarak kullanılır. TUDKA99 noktalarına dayalı olarak daha önceden oluşturulan ağlardaki yüksek dereceli noktaları, dayanak noktası olarak almak için ilgili idarenin onayı alınır. Sıklaştırma alanında TUDKA99'un I. veya II. derece noktaları yoksa bu ağa bağlantıyı sağlayacak ‘bağlantı nivelmanı’ yapılır. Bağlantı nivelmanı, hassas geometrik nivelman veya GPS nivelmanı yöntemiyle yapılabilir. 1.3.2. Nivelman Ağlarının Derecelendirilmesi
15 Temmuz 2005’te Bakanlar Kurulu’nca onaylanarak yürürlüğe giren “Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliği”ne göre Türkiye Ulusal Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı ve bu ağa dayalı olarak oluşturulan düşey kontrol ağlarının derecelendirilmesi aşağıdaki gibidir: I. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Ülke Nivelman Ağı ve Noktaları II. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Ülke Nivelman Ağı ve Noktaları III. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: En çok 40 km uzunluğundaki luplarla üst dereceli ağlara dayalı sıklaştırma ağları ve noktaları. Ana Nivelman Ağı IV. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: I., II. ve III. Derece noktalara dayalı en çok 10 km uzunluğundaki luplarla (halkalarla) sıklaştırma ağı ve noktaları. Ara Nivelman Ağı V. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Poligon ve tamamlayıcı nivelman ağı ve noktaları Ana nivelman ağı, proje alanını kapsayacak şekilde, çevresi 40 km’yi aşmayan luplar biçiminde düzenlenir. Nivelman geçkileri hassas geometrik nivelman yapılabilecek yollar üzerindeki C3 ve daha yüksek dereceli noktalar ve poligon noktaları ile bölgede önceden tesis edilen nivelman ağlarının yüksek dereceli noktalarını içerecek şekilde seçilir. Geçki üzerindeki nokta sıklığı en çok 1.5 km olmalıdır. Seçimi yapılan noktalar için bir seçim kanavası düzenlenir. Seçim kanavası onaylandıktan sonra, yeni noktalar tesis edilir ve röperlenir. Ara nivelman ağı, başı ve sonu ana nivelman ağı noktalarına bağlı toplam uzunluğu 10 km'yi geçmeyen nivelman geçkileri veya en az iki ana nivelman noktasını içeren
17
Yükseklik Sistemleri ve toplam uzunluğu 10 km’yi geçmeyen luplar biçiminde plânlanır. Geçki üzerindeki nokta sıklığı 750 m -1000 m olmalıdır. Seçimi yapılan ana nivelman noktaları, seçim kanavasında gösterilir. Yardımcı nivelman noktaları, Proje alanı içinde, her dereceden nivelman noktalarının yoğunluğu yerleşim bölgelerinde ortalama 400–500 m aralıklarla ve diğer bölgelerde ortalama 700–800 m aralıklarla olmalıdır. Bu yoğunluğu yeterince sağlamak için yardımcı nivelman noktaları (RS) tesis edilir. Bu noktalar seçim kanavasında gösterilir.
Proje alanındaki yatay koordinatları hassas olarak belirlenmemiş nivelman noktalarının koordinatları ± 15 cm doğrulukta belirlenir. 1.3.3. Nivelman Kapanma Hataları Nivelman kapanma hataları, bağlantı nivelmanı, ana ve ara nivelman ağındaki yükseklik farklarının belirlenmesinde, gidiş-dönüş nivelmanı yapılır ve gidiş-dönüş
nivelmanıyla yükseklik farkının ± 1.5 mm/km veya daha iyi duyarlıkla belirleyebilen nivo ve miralar kullanılır. Yardımcı nivelman noktalarının yükseklikleri, ana ve ara nivelman noktalarına bağlı nivelman geçkilerinde gidiş-dönüş nivelmanı ile olabildiğince poligon noktalarından geçilerek belirlenir. Bu nivelmanda, gidiş-dönüş nivelmanıyla yükseklik farkını ± 2.5 mm/km veya daha iyi doğrulukla belirleyebilen nivo ve miralar kullanılır. Nivelman yolunun uzunluğu bağlantı noktaları arasındaki geometrik uzunluğun 2 katını geçemez. Gidiş – dönüş nivelmanında bulunan kapanma değeri (w),
Ana ve bağlantı nivelmanında
: w[ mm ] ≤ 12
S [km]
Ara nivelmanda
: w[ mm ] ≤ 15
S [km]
Yardımcı nivelmanda
: w [mm ] ≤ 20
S [km] + 0.0002 ∆H
olmalıdır. Burada S, km biriminde nivelman yolunun uzunluğu, ∆H iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır. Nivelman yolu üzerindeki ardışık noktalar arasında bu kontrol yapılır. Gidiş–dönüş yükseklik kapanmaları (wL),
Ana nivelmanda
farklarının
:
ortalamalarından
w L[mm] ≤ 15 L [km ]
18
hesaplanan
lup
Yükseklik Sistemleri
Ara nivelmanda
:
w L[mm ] ≤ 18 L [km ]
olmalıdır. Burada L, km biriminde nivelman lup uzunluğudur. 1.3.4. Nivelman Ölçülerinin Değerlendirilmesi
Ana, ara ve yardımcı nivelman ağı, ayrı ayrı veya birlikte uygun ağırlıklandırma ile gidiş-dönüş yükseklik ortalamaları ölçü ve bir nokta değişmez alınarak, zorlamasız veya serbest dengelenir ve uygun testlerle uyuşumsuz ölçüler ayıklanır. İstatistik güven düzeyi 1-α=0.95 alınmalıdır. Ağda uyuşumsuz ölçü kalmayıncaya kadar dengeleme, uyuşumsuz ölçü testi ve ölçü tekrarına devam edilir. TUDKA99 noktalarının, oluşturulan nivelman ağı ile uyuşumlu olup olmadığı test edilir ve uyuşumlu TUDKA99 noktalarının yükseklikleri değişmez alınarak, topluca veya ana, ara ve yardımcı nivelman ağları ayrı ayrı dengeleme ile bu ağlardaki noktaların Helmert ortometrik yükseklikleri hesaplanır. İstatistik güven düzeyi 1-α=0.95 alınmalıdır.
19
Geometrik Nivelman
2. BÖLÜM GEOMETRİK NİVELMAN Geometrik nivelmanda∗ noktalar arasındaki yükseklik farkları, bu noktaların yatay bir düzleme olan düşey uzaklıkları ölçülerek, bunların farkı alınmak suretiyle bulunur (Bakınız Şekil 1.1). Noktaların yatay düzlemden düşey doğrultudaki uzaklıklarını ölçmek için, noktalar üzerine düşey olarak mira tutulur ve nivelman düzleminin bu miraları kestiği yerde mira okumaları yapılır. Nivelmanla noktalar arasındaki yükseklik farkları ölçülür. Ölçülen yükseklik farkları, yüksekliği önceden belli olan noktaların yüksekliklerine eklenerek yeni noktaların yükseklikleri bulunur. Yöntemine uygun olarak tesis edilmiş, yapılan ölçme ve hesaplamalarla, yükseklikleri belirlenmiş olan noktalara nivelman noktası denilir.
2.1. Nivolar Nivelman aletlerinin esası, yatay bir gözlem düzlemini gerçekleştirecek bir düzenden ibarettir. Geometrik nivelmanda yatay bir gözlem düzlemi oluşturmak amacıyla genellikle nivo; noktaların yatay gözlem düzleminden olan uzaklığını ölçmek için de mira kullanılır. Nivoda yataylığı sağlamak için düzeç ve miradaki okumaları kolaylaştırmak için de dürbün kullanılır. Aleti istenilen yöne çevirmeye yarayan bir düşey ekseni ve yataylanması için de üçayak ile donatılmıştır. Nivolarda yatay düzlem, dürbünün optik ekseninin yataylanması ile sağlanır. Bir de aleti taşımaya yarayan sehpası vardır.
∗
Uygulamada “geometrik nivelman” yerine kısaca “nivelman” kavramı da kullanılmaktadır. 20
Geometrik Nivelman Nivolar alt ve üst yapı olmak üzere iki kısımdan oluşur. Alt yapıda düşey eksen ile üçayak bulunur. Ayrıca yatay az hareket ve yatay genel hareket vidaları vardır. Bazı nivolarda yatay hareket sürtünme esasına göre olduğundan yatay genel hareket vidaları yoktur. Üst yapı ise dürbün ve silindirsel (boru) düzeçten oluşur.
Dürbün: Basit bir dürbünün şematik kesiti Şekil 2.1 de görülmektedir. 1 objektifine giren ışınlar, görüntü düzleminde miranın ters bir görüntüsünü verir. Görüntü 4 oküleri yardımıyla önemli ölçüde büyütülür. Aynı görüntü düzleminde bir cam plaka üzerine kazınmış gözlem çizgileri vardır (Şekil 2.2). Dürbün oküleri, gözlem çizgileri net ve keskin görününceye kadar hareket ettirilir. Yatay ve düşey çizgilerin kesim noktası ile objektif merkezi dürbünün gözlem doğrultusunu oluşturur. Bazı nivolarda ters görüntüyü düz görüntü haline getirmek için 2 ile 3 arasına bir prizma sistemi yerleştirilir. 1
Objektif
2
3
Görüntü netleştirme merceği
4
Oküler Gözlem çizgileri
Şekil 2.1 Basit bir dürbünün şematik kesiti Mira üzerinde yapılacak okuma ve tahmin etme inceliği, dürbünün büyütme gücüne bağlıdır. Nivelman miraları genellikle santimetre bölümlü olduklarından milimetre bölümlerinin tahmin edilmesi gerekir. Bir A dürbünü, B dürbününün iki katı büyütüyorsa, A dürbünü ile milimetreler iki kat daha incelikli tahmin edilir. Bir dürbünün büyütmesi yaklaşık olarak objektif ve oküler odak uzaklıklarının oranına eşittir.
a) Normal nivolarda
b) Hassas nivolarda (kama şeklinde)
Şekil 2.2 Nivolarda kullanılan gözlem çizgileri
21
Geometrik Nivelman
Düzeçler: Nivoların kaba yataylanmasında küresel düzeç, hassas yataylanmasında da silindirsel (boru) düzeç kullanılır. Bir nivonun inceliği, silindirsel düzecin duyarlığı ve dürbünün büyütme gücüne bağlıdır. Düzeç duyarlığı ise silindirsel düzecin eğrilik yarıçapına bağlıdır. Şekilde değişik eğrilik yarıçaplı iki düzeç görülmektedir. Her iki düzecin bir uçlarının yataydan α miktarı kadar kaldırılması durumunda A düzecinin kabarcığı, eğrilik yarıçapının B den büyük olması nedeniyle, B düzecinin kabarcığından daha fazla miktarda hareket eder. Bu şekilde kabarcığın ortadan ayrılması daha iyi saptanır. 2a a
α 2R
α
α
α R B
A
Şekil 2.3 Düzeç duyarlığı Nivelman aletlerinde düzeç duyarlıkları, kabarcığın 2 milimetrelik bölümü kadar yer değiştirmesine karşılık olan açı büyüklüğü ile verilmektedir. Çakıştırma prizma sistemli düzeçler, bir koruyucu içinde olup dış etkenlerden ve güneş ışınlarından korunmaktadır.
2 mm = 0.4 mm 5 2 mm Çakıştırma prizma sisteminde, kabarcığının ortalanma inceliği = 0.05 mm dir. Açık bir skalada düzeç kabarcığının ortalanma inceliği
40
Kabarcığı ortalanmış açık skalalı düzeç Ayarlanmamış
Ayarlanmış
Düzeç kabarcığının prizma ile yansıtılması (çakıştırma prizma sistemli) Şekil 2.4 Düzeç kabarcığının ortalanması 22
Geometrik Nivelman Nivoların Kurulması ve Düzeçlenmesi: Işınsal (kutupsal) nivelman işlemi dışında nivoların belirli bir nokta üzerine merkezlendirilerek kurulması zorunluluğu olmadığından, nivolar kurulurken genellikle nokta üzerine merkezlendirme işlemi yapılmaz. Öncelikle nivoyu kullanan kişi (operatör), alet sehpasını boyuna göre açar ve sehpa tablası yaklaşık yatay olacak şekilde sehpayı kurar. Nivo kutusundan çıkartılır ve sehpanın üzerine yerleştirilerek alttan sehpaya vidalanır. Sehpa ayaklarına el ile (ayakla değil) bastırılarak sehpanın zemine iyice yerleşmesi sağlanır. Her iki yöndeki hareket alanını geniş tutabilmek için, düzeç ayak vidalarının yaklaşık olarak ortada olmasına dikkat edilir (düzeç ayak vidalarının bazıları çok aşağıda, bazıları da çok yukarıda olmamalıdır). Küresel düzeç, sehpa ayaklarıyla yaklaşık olarak; düzeç ayak vidalarıyla da tam olarak ortalanır. Silindirsel düzeç, önce iki düzeç ayağına paralel hale getirilir ve düzeç ayaklarının ikisi de içe veya dışa çevrilerek kabarcık ortalanır. Düzeç 90o döndürülerek kullanılmayan üçüncü ayak vidası ile kabarcık yine ortalanır. Kontrol amacıyla işlem tekrarlanır. Düzeçleme işlemi tamamlandıktan sonra, düzeç hatası yoksa alet ne tarafa çevrilirse çevrilsin kabarcık ortada kalır. Düzecin hatalı olup olmadığı düzeç kontrolüyle belirlenir. Düzeç Kontrolü: Nivo kurulup düzeçlendikten sonra silindirsel düzeç, iki düzeç ayağına paralel hale getirilir. Düzeç kabarcığı tam ortada olmalıdır. Düzeç 200g döndürülür; kabarcık ortada ise düzeçte hata yoktur; kabarcık ortadan kaymışsa, kayma miktarı hatanın iki katıdır. Bu kayma miktarının yarısı düzeç ayak vidaları yardımıyla, diğer yarısı da düzeç ayar vidası yardımıyla giderilir. Kontrol için işlem yinelenir. Ayar vidası
1.Durum Küresel düzeç
2.Durum
Silindirsel düzeç
Yataylanmış düzeç
Ayarlanmış düzeç
Şekil 2.5 Düzeçler ve düzeç hatasının giderilmesi
2.1.1 İncelikleri Yönünden Nivelman Aletleri Nivelman aletleri, sağladıkları incelik bakımından birbirlerinden farklıdırlar. Bu nedenle belirli işlerde istenilen inceliği sağlayacak olan çeşitli aletlere ihtiyaç duyulur. Nivelmanda incelik, 1 kilometrelik nivelman yolunda gidiş-dönüş ölçü farklarından 23
Geometrik Nivelman hesaplanan standart sapma (karesel ortalama hata) ile ifade edilmektedir. Nivelmanda incelik aşağıdaki koşullara bağlıdır (Möser, Müler, Schlemmer, Verner, 2000):
•
Alet ve sehpasına,
•
Mira bölümlendirmelerinin doğruluğuna ve mira altlığına,
•
Ölçme yöntemi ve ölçme sürecindeki sistematik hataların elimine edilmesine,
•
Çevre koşullarına (atmosferik, aydınlık, yeraltı).
Nivelman aletleri incelik yönünden 4 grupta ele alınabilir. 2.1.1.1 Düşük İncelikli Nivolar (İnşaat Nivoları) Bu nivolar genel olarak inşaat alanlarında, inşaat noktalarına kot verilmesinde, kısa bağlantı nivelmanında, basit enine ve boyuna kesit çıkarma işlerinde kullanılır. İnceliği ±10–20 mm, dürbün büyütmeleri 15–20 ve düzeç duyarlıkları 30”-60” dir. Yüzey nivelmanında kullanılabilmeleri için yatay açı bölüm daireleri vardır. 2.1.1.2 Orta İncelikli Nivolar Bu tür nivelman aletleri de genel olarak inşaat işleri ve yakın yerler arasında yeni nivelman noktalarının tesisi işlerinde kullanılır. Dürbün büyütmeleri 20-25, düzeç duyarlıkları 20”-30”, düzecin yataylama hatası 1”-3”, inceliği 5-10 mm arasındadır. 2.1.1.3 Yüksek İncelikli Nivolar Bu tür nivolar, III. Derece nivelman ölçümlerinde, yüzey nivelmanında, hacim hesapları için yapılan enine ve boyuna kesitlerin çıkarılmasında kullanılır. İnceliği ±1– 2 mm, dürbün büyütmeleri 25-30 ve düzeç duyarlıkları 10”-30” arasındadır. Düzeçleri genellikle çakıştırma prizma sistemlidir. Kompensatörlü nivolarda küresel düzeç duyarlığı 10’ civarındadır. Kompensatörün ortalama yataylama hatası ±0,5” kadardır. Bu gruptaki nivolar, eğim vidalı, kompensatörlü veya elektronik (sayısal) olabilir. Uygulamada, genellikle kompensatörlü ve elektronik nivolar kullanılır. Eğim vidalı nivoların kullanımı ise oldukça azalmıştır. 2.1.1.4 Çok Yüksek incelikli Nivolar Bu aletler I.ve II. derece nivelman ağlarının ölçümünde, köprü, baraj, vb. yapılardaki deformasyon ölçmelerinde kullanılır. İnceliği ≤0.5 mm, dürbün büyütmeleri 35–50 ve düzeç duyarlıkları 5”-10” arasındadır. Düzeçleri, çakıştırma prizma sistemli olup görüntüleri, genellikle okülere yansıtılır. Bu tip aletlerde yatay açı bölüm dairesi yoktur. Ölçmelerde çift bölümlü ve payandalı invar miralar kullanılır. Gözlem çizgileri kama şeklindedir. Düzlem paralel camlı mikrometre düzenleri vardır. Kompensatörlü olanlarda Kompensatörün hassasiyeti 0.2” dir. 24
Geometrik Nivelman
2.1.2. Yapıları Bakımından Nivelman Aletleri Nivelman aletleri, yatay bir ölçme düzlemi oluşturmak için geliştirilmiş aletlerdir. Bu yatay düzlem, her tarafa dönebilen dürbünün yatay duruma getirilmiş optik ekseni (gözlem ekseni) yardımıyla sağlanır. Dürbünün her yöne döndürülebilmesi bir düşey eksen yardımıyla, optik eksenin yatay duruma getirilmesi ise bir silindirsel düzeç yardımıyla ya da kompensatör sistemiyle olmaktadır. Günümüzde kullanılan nivolar, yapıları ve çalışma sistemleri açısından 4 grupta ele alınabilir*: 1. 2. 3. 4.
Eğim vidalı nivolar Kompensatörlü (otomatik) nivolar Sayısal (elektronik sayısal) nivolar Lazer nivoları
2.1.2.1. Eğim Vidalı Nivolar
Şekil 2.6 Eğim vidalı nivo Eğim vidalı nivolarda dürbün, bir eğim vidası yardımıyla bir miktar aşağı-yukarı hareket ettirilebilir. Aletin gözlem ekseni (NN), düzeç ekseni (DD), düşey ekseni (VV) ve küresel düzeç ekseni (KK) olmak üzere dört ekseni vardır. Silindirsel düzeç dürbünün yan tarafında olup, güneş ışınlarına karşı korunmalıdır. Düzeçler optik çakıştırmalı olup, görüntü oküler yanındaki büyütece yansıtılmıştır. Ölçüme başlamadan önce, alet küresel düzeç yardımıyla kabaca yataylanır. Her mira okumasından önce silindirsel düzecin kabarcığı eğim vidası yardımıyla ortalanır.
*
Günümüzde artık pek kullanılmayan sabit dürbünlü nivolarla, tersinir nivolar gruplandırmaya dahil
edilmemiştir. 25
Geometrik Nivelman 2.1.2.2. Kompensatörlü (Otomatik) Nivolar Kompensatörlü nivoların dürbünlerinde gözlem doğrultusunu otomatik olarak yatay duruma getiren düzenler bulunmaktadır. Bu aletlerde gözlem ekseninin otomatik olarak yataylanmasını sağlayan düzen; düzeç ve kompensatör sisteminden oluşmaktadır. Küresel düzeç değişik tip aletlerde 8’-15’ arasında bir yataylama inceliğine sahipse kompensatör otomatik olarak faaliyete geçer. Kompensatör yatay doğrultuyu sağlayan mekanik bir düzendir. Zeiss Ni 2 de kompensatör, sarkaç, prizma, salınım yapan bir ayna ve bir optik kamadan oluşur.
Şekil 2.7 Kompensatörün çalışma ilkesi Gözlem ekseni yataylanmış bir dürbünün, gözlem ekseninin uzantısı üzerinde bulunan bir noktadan gelen hedef ışınları, objektifin arka odak noktasında kesişirler. Doğru bir ayarlama yapıldığında gözlem çizgilerinin kesişme noktası, odak noktası ile çakışır. Eğer dürbün α kadar yukarı doğru eğikse, görüntü yine odak noktasında fakat s = f ⋅ α kadar yukarıda oluşur. Görüntü noktası, gözlem çizgilerinin kesişme noktasından yukarıdadır. Görüntüyü gözlem çizgilerinin kesişme noktasına indirmek için, noktadan gelen ışınlar odak noktasının önünde a uzaklıkta bulunan K noktasındaki ayna veya prizma sistemi ile f ⋅ α = a ⋅ β olacak şekilde β açısı kadar saptırılırlar. Zeiss Ni 2 de otomatik yataylamayı sağlayan kompensatör üç prizmadan oluşur. Kompensatörün iki kenar prizması sabit, ortadaki prizma ise hareketlidir. Orta prizma 4 tel ile dürbünün tavanına asılı olup, cisim yönünden gelen ışınları dürbünün eğik durumunda daima, gözlem çizgilerinin kesişme noktasına saptırır. Kompensatör (dolayısıyla kırılma noktası) gözlem çizgilerine yaklaştırılarak α ile β arasında istenilen oran sağlanabilir. Kompensatörlü nivolarda küresel düzeç kabarcığı ortalanınca kompensatör çalışır duruma gelir. İlk kompensatörlü nivo, 1950 yılında Carl-Zeiss Oberkochen firması tarafından üretilen Ni2 dir. Kompensatör olarak eklemli dörtgen kullanılmıştır. Kompensatörlü nivolarda çeşitli türde Kompensatör sistemleri kullanılmaktadır. 26
Geometrik Nivelman
Şekil 2.8 Zeiss Ni2 nivosu ve kompensatörü Kompensatörlü Nivolarda Ufuk Hatası α’ α α’
eksen
Düşey
eksen
Düşey
α
Şekil 2.9 Kompensatörlü nivolarda ufuk hatası Özellikle mekanik olarak çalışan kompensatörlerde, gözlem ekseninin yataylanmasında küçük hata kalıntıları varsa buna gözlem ekseninin ufuk hatası denir. Kompensatörlü bir nivoda ufuk hatası kompensatörün tipine, düşey eksenin eğimine ve objektif optik merkezinin düşey eksene olan uzaklığına bağlıdır. Eğer düşey eksen tam düşey durumda değilse, eğiklik derecesine göre gözlem ekseni tam yataylanamaz. Dürbün yataya göre α kadar eğikse, Kompensatör gözlem eksenini yataya göre α’ kadar yaklaştırır ve yatayla arada α-α’ kadar bir fark kalır. Dürbün, yukarı doğru eğikken bu fark da yukarı doğrudur; aşağıya doğru eğikse aynı fark aşağıya doğrudur. 5’ lık bir yataylama hatası, objektif optik merkezi ile düşey eksen arasındaki uzaklık 15 cm ise yükseklikte 0.4 mm kadar hata meydana getirebilir. Bu hata ileri ve geri okumalar farkı alınarak giderilemez. 27
Geometrik Nivelman 2.1.2.3. Sayısal (Elektronik Sayısal) Nivolar İlk sayısal nivo olan WILD NA2000, 1990 yılında Leica Firması tarafından üretilmiştir. Bu aletle, özel olarak yapılmış barkodlu bir miranın görüntüsü, sayısal görüntü işleme ve korelasyon yöntemine göre değerlendirilmektedir. Burada insan gözünün görevini, sıralı dedektörler üstlenmişti (Uzel, Gülal 1997). Sayısal nivo ile yapılan nivelman, verileri işleyen ve depolayan programlar ve kontrol hesaplamaları ile desteklenmiştir.
Netleştirme Konumu
Kayıt Birimi
Netleştirme Çözümü
A
Kompensatör Kontrolü
S Ekran
Barkod Görüntüsü
Sıralı Dedektör
Video Sinyali
Mikro İşlemci
Elektronik Okuyucu
Klavye Akü 500 mAh
Şekil 2.10 Sayısal nivoların çalışma ilkesi Sayısal nivoların yapısı, bir sayısal kamera ile bir Kompensatörlü nivonun kombinasyonu ilkesine dayanır. Sayısal nivolar, optik ve mekanik yapı elemanları bakımından normal nivolara benzer ve klasik optik nivo olarak da kullanılabilir. Sayısal nivo ile yükseklik ölçümlerinin yanı sıra, 1-2 cm incelikle mira ile nivo arasındaki uzunluklar da ölçülebilmektedir. Sayısal nivoların elektronik olarak çalışma ilkesi şekil 2.10 ‘da görülmektedir. Miranın üzerinde bulunan barkod çizgilerinin görüntüsü, bir sıralı dedektör (CCD kamera) üzerine yansır. 25 µm aralıklarla düzenlenmiş 256 ışık alıcılı fotodiyoddan oluşan sıralı dedektör, miranın üzerinde bulunan barkod çizgilerinin görüntüsünü analog bir video sinyaline dönüştürür. Bir elektronik okuyucu, bu video sinyalini güçlendirerek A/S (Analog/Sayısal) dönüştürücüsüne iletir. Ölçü verilerinin değerlendirilmesi, mikro işlemcide yapılır. Mira değerleri, elektro optik olarak üretilen miranın sayısal ölçü sinyaliyle referans sinyalinin korelasyon yöntemine göre karşılaştırılmasıyla elde edilir. Referans sinyali, ölçü sinyali ile aynı kurallara göre üretilir ve aletin görüntü işleme kısmında saklanır. Bu karşılaştırmayla, miradan elde edilen sinyalin miranın başlangıç noktasından ne kadar kaydığı saptanır (Uzel, Gülal, 1997). Nivo optiğinin açılım açısı, üretici firma verilerine göre 2o dir. Buna göre nivo ile alet arasındaki uzaklığa bağlı olarak farklı büyüklükteki mira kesitinin görüntüsü, dedektörler üzerine yansır. Sinyalin bar kodlu mira üzerinde taradığı bölge, alet ile 28
Geometrik Nivelman mira arasındaki uzaklığın bir fonksiyonu olduğundan, yüksekliklerin belirlenmesinde, ek olarak bu bilgiye de gereksinim duyulur. Miraya olan uzaklık, netleştirme
k s bağıntısı ile mikro işlemci tarafından hesaplanır. Burada, d netleştirme uzaklığı, k optik sabiti ve s netleştirme merceğinin durumunu gösterir. Bu uzaklık değeri, yükseklik ile birlikte ekranda sayısal olarak gösterilir veya kaydedici üniteye aktarılır (Uzel, Gülal, 1997). merceğinin konumuna göre yaklaşık olarak elde edilebilir. Bu uzaklık,
Mira
2°
d=
Mira
63 mm
3500 mm
Dedektör
0
1.8
100 m
Şekil 2.11 Dürbünün görüş alanı ve mira görüntüsü sınırları Sayısal nivoların geliştirilmesiyle ona uygun barkodlu miralar da üretilmiştir. Wild NA 3000 için önerilen miralar, GPCL3 mira tipidir. Bu miralar, 3.05 m boyunda, alüminyumdan yapılmış ve ortasından invar şerit geçen miralardır. İnvar şeridin genleşme katsayısı, 1 ppm/oC den küçüktür ve invar şeridin üzerine 5 cm eninde bar kod çizgileri işaretlenmiştir. Başka bir mira tipi ise, 1.35 m lik 3 parçadan oluşan GKLN4 tipi mika cinsi malzemeden yapılan miradır. Bunun genleşme katsayısı 10 ppm/oC den küçüktür. Bu tip miralar, daha az duyarlılıkla çalışan NA 2000 sayısal nivoları ile birlikte kullanılır. Barkodlu miraların arka yüzü, normal nivelmanda kullanılabilmeleri için, metrik birimde bölümlendirilmiştir. Sayısal nivolarda ölçme işlemi, aletin ölçüye hazır hale getirilmesinden sonra yaklaşık olarak 4 saniye süren 4 aşamadan oluşmaktadır. İlk aşamada miradan gelen sinyal, dedektör tarafından okunur ve kaydedilir. İkinci aşama olan kaba optimizasyonda, hedef yüksekliği ve yansıma ölçeği yaklaşık olarak belirlenir. İnce optimizasyon olan üçüncü aşamada mirada okunanın kesin değeri ve miraya olan uzaklık hesaplanır. Son aşamada ise elde edilen bu değerler ekranda gösterilerek kayıt birimi üzerine kaydedilir. Kayıt birimine kaydedilen bu ölçüler, daha sonraki değerlendirme işlemlerinde kullanılmak üzere bilgisayara aktarılabilir. Böylece arazide ölçümlerin yapılması, ölçülerin bilgisayara aktarılması, değerlendirilmesi ve 29
Geometrik Nivelman arşivlenmesine kadar uzanan bir otomasyon ağı kurulur. Sayısal nivolarda ölçme sonuçlarını etkileyen faktörler:
•
Yöneltme ve netleştirme doğruluğu
•
Atmosferik değişim, titreşim ve mira bölümlerinin etkisi
•
Aydınlatma
•
Gölgeleme, Miranın örtülmesi
olarak sıralanır. Sayısal nivolarla ölçüm yapabilmek için miranın %30 da fazlasının kapalı olmaması gerekir. 2.1.2.4. Lazer Nivoları Klasik jeodezik yöntemlere pasif gözlem ışınları egemendir. Yani gözlemci, hedefi dürbünün gözlem çizgileriyle çakıştırır. Lazer tekniği ile aktif hedef ışınlarının yararları ortaya çıkar. Özellikle üretim akışı içinde, yerinde doğrudan doğruya ölçmeyi sağlar. Mühendislik ölçmelerinde lazer ışınlarının yönlendirilmesi çok önemlidir. Görülebilir lazer ışınları bir doğrultu boyunca yayılır ve bunlar uygulamada nivelman için uygundur. Düşey yönlendirmede lazer çeküllemesi ele alınabilir. Lazer ışınları, silindirsel mercekler yardımıyla yelpazelenebilir ve böylece uzayda arzu edilen konumda düzlem oluşabilir. 1960’lı yılların sonlarına doğru, lazer ışınlarının özelliklerinden nivelmanda da yararlanmak üzere çalışmalar yoğunlaştırılmıştır. Bu çalışmaların sonucunda,
• • •
Fotoelektrik lazer nivosu Değiştirilmiş lazer nivosu Entegre merkezleme dedektörleri
geliştirilmiştir. Lazer nivoları, geometrik nivelmanda geri ve ileri okuma aralıklarını 50 metreden 100 metreye kadar çıkarmıştır (Uzel, 1984).
Şekil 2.12 Lazer nivolarının oluşturdukları doğrultu ve düzlemler. Günümüzde yararlanılan merkezleme dedektörleri, kısa mesafelerde lazer ışığının enerji merkezini büyük bir incelikle saptayabilmektedir. 100 metreden daha uzakta, merkezleme inceliği hızla düşmektedir. Dedektörler, bir referans çizgisi ile lazer ışık spotunun merkezi arasındaki aralığı 0.01 mm incelikle ölçebilir ve bunu sayısal olarak 30
Geometrik Nivelman verir. Bunun için klasik nivelmanda kullanılan miraya benzer özel biçimli bir mira kullanılır ve buna bir dedektör bağlanır (Şekil 2.13).
Şekil 2.13 Lazer nivosu ve mira üzerinde okuma Çekül Lazerleri, çekül hattı gerektiren işlerde örneğin, yüksek binalarda yüzey kaplamalarında, aks çıkılmasında, asansör boşluğu yapımında (ray aliymanında), kuyu açımında, yüksek baca yapımında vb. yerlerde büyük kolaylıklar sağlar. TOPCON PL-1 çekül lazeri ±3o aralığında kendi kendini düzeçleme özelliği bulunan aletle yukarıya doğru 100m ve daha fazla (ortamın aydınlığına bağlı olarak), aşağıya doğru ise 5 metrelik çekül doğrultusu oluşturur. Dönen Lazerler, 360o’lik bir açıda devamlı gözle görülebilir lazer ışını yayan bu aletler, yatay ve düşey uygulamalarda hatasız bir referans yüzeyi oluştururlar. Bina içi ve bina dışı uygulamalarda düşük maliyetli gözle görülebilir lazer ışını kullanılır. Maksimum görünebilirlik sağlamak için tarama özelliklidir. Yatay lazer hattı ve düşey çekül doğrultusu oluştururlar. Opsiyonel sensörler ile basit eğim seviyeleme mekanizmaları bulunur. Kullanım alanları: Düşey aliyman olarak;
•
Duvar yapımı,
•
Hareketli bölme (sürgülü kapı) yapımı,
•
Asansör rayı aliymanı,
•
Çevre duvarı
Yatay seviyeleme;
•
Asma tavan sistemleri ve asma giriş katı,
•
Mutfak dolaplarının, pencerelerin, yangın söndürme fıskiyelerinin vb. montaj işleri,
•
Eğimli tavan yapımında 31
Geometrik Nivelman •
Dört köşe yapma, Kaplama;
•
Konstrüksüyon montajı,
•
Bilgisayar döşeme montajı,
•
Çeşitli çekül hattı uygulamaları,
•
İlgili sensörlerin kullanımı ile 200m çaplı bir alanda eğim seviyeleme ve beton dökme işi, eğimli çatı ve eğimli duvar yapımı.
Kendini otomatik olarak düzeçleyip gözle görülür lazer ışını yayan dönerli lazerler, devamlı rotasyon halindeki lazer ışını, bir ışık düzlemi oluşturup yatay ve düşey aliyman işlerinde referans sağlarlar. Bu lazerler aynı zamanda aşağı ve yukarı doğrultuda çekül hattı oluşturur. Boru Hattı Lazerleri, Görülebilen kırmızı veya yeşil ışıklı, otomatik aliymanlı, eğim ve seviyeleme sistemli 3 ışınlı boru hattı lazerinde yatay ışın boru eğimini kontrol ederken, düşey ışın çekül hattı oluşturur. Otomatik merkezleme ve sıfırlama özelliği bulunur. Işın yanıp sönebilir, eğim ve hat için uzaktan kumandalı kilit sistemi, uzun mesafeden algılama ve uzaktan kumanda ile eğim girişi yapılabilir. Genel inşaat lazerleri, geleneksel optik seviyeleme yöntemleriyle karşılaştırıldığında kullanıcıya büyük yararlar sağlar.
•
İnşaat alanı seviyelemesi,
•
Temel kazıları ve beton dökümü,
•
Drenaj, peyzaj işlerinde,
•
Kazıların kontrolü,
•
Havuz, çit, avlu, kısaca optik seviyeleme yapılan her yerde
Kullanılabilir. Lazerler, iş gücünden %50 ye varan oranlarda tasarruf sağlar. Optik okuyucu ile rodu (çubuğu) tutan kişi arasındaki irtibatlaşma problemini ortadan kaldırır. İş yapımını hızlandırıp hataları azaltır. 2.1.2.5. Optik Mikrometreli Nivolar Yüksek incelikli nivelman aletlerinde gözle yapılan mm tahminleri yeterli değildir. Bu amaçla kullanılan nivolar, ek bir düzenle donatılmışlardır. Objektif önüne takılan paralel yüzlü cam plakanın hareket ettirilmesi ile hedef (gözlem) noktasından gelen ışınlar, bir mira bölümünün tamamı (genellikle 1 cm) kadar kendisine paralel olarak kayabilmektedir. Düzeç kabarcığı ortalanmış bir aletle, gözlem çizgileri ile miranın bir sonraki bölümü arasında kalan parçayı ölçmek mümkün olmaktadır. Gözlem doğrultusunun mira bölüm çizgisine kadar kaydırılması bir mikrometre vidasının döndürülmesi ile sağlanmaktadır. Mikrometre vidasının dönme miktarı, cam bir skala üzerine aktarılmakta ve skala üzerinde milimetreler, milimetrenin onda birleri 32
Geometrik Nivelman doğrudan doğruya okunabilmekte ve milimetrenin yüzde birleri de tahmin edilmektedir. Camın kalınlığı d, kırılma indisi n ve camın dönme açısı α ise, gözlem doğrultusunun kayma miktarı e =
n −1 ⋅ d ⋅ tan α dır. n
Şekil 2.14 Optik mikrometreli nivoların çalışma ilkesi ve mira üzerinde okuma
2.2. Nivelman Miraları Mira, noktaların nivelman düzleminden olan uzaklığını ölçmek için kullanılan, fırınlanmış ahşaptan ya da metalden yapılmış cetvellerdir. Bazı ahşap miralarda, eğilmeyi önlemek için miranın arka tarafına veya yan taraflarına destek parçaları eklenir. Miranın alt uç kısmına çelikten yapılmış bir parça eklenir. Miranın bölümlemesi bu levhanın alt kısmından başlar. Nivelman miraları tek parçalı, katlanabilir ya da sürgülü olabilirler. Uzaktan iyi seçilebilmeleri için 1 metrelik ara ile siyah-beyaz ve kırmızı-beyaz şeklinde bölümlendirilmiştir. Miralar, genellikle 4 m uzunluğunda ve cm bölümlüdür. 2 adet tutamağı olan miraların düşeyliğini sağlayabilmek için, bir küresel düzeçle donatılmışlardır.
Hassas nivelmanda
kullanılan miralar ise, 3 m boyunda tek parçalı olup 1 cm ya da yarım cm aralıklarla bölümlendirilmiştir. Bu miralar ahşaptan olup, bölümlendirmeler ahşap üzerine yerleştirilen invar şerit üzerine yapılmıştır ve tam düşey tutulabilmeleri için de payandalarla desteklenmiştir. Kullanılmadıkları zaman bir kutu içinde korunurlar.
33
Geometrik Nivelman
a) Normal mira
b) Hassas nivelman mirası ve payandası
Şekil 2.15 Nivelman miraları Nivelman miralarının boyları, sıcaklık ve nemin etkisiyle zamanla değişebilir. Bu nedenle miraların boyları sık sık bir normal metre ile ya da komparator aletiyle karşılaştırılarak kontrol edilmelidir. Ahşap miralar yaklaşık 10 oC lik bir sıcaklık değişiminde boyları 0.1- 0.2 mm kadar değişebildiği halde invar miralarda bu değişim ancak 0.04 mm kadardır. İnvar miraların bölümleri çizgi şeklindedir. Çizgi aralıkları 1 cm veya 0.5 cm olabilir. 2.2.1. Miraların Kontrolü Miralarda şu hatalar olabilir: 1. Düzeç Hatası: Düşey olarak duran miranın yanına bir çekül asılır ve mira çekülün ipine paralel olarak tutulur. Mira düzecinin kabarcığı ortada değilse düzeç hatası vardır. Bu hata düzeç ayar vidalarıyla giderilir.
34
Geometrik Nivelman 2. Bölümleme Hatası: Basit miralarda iyi bir cetvel ile, invar miralarda komparatorlar yardımıyla mira bölümleri kontrol edilebilir. Özenle yapılmış basit miralarda bölüm hatası ± 0.1 mm den, invar miralarda ise ± 0.03 mm den fazla olmamalıdır. 3. Bölüm Başlangıç Hatası: Bu hata bölümlemenin, miranın tam yere konulan ucundan başlamamasından ileri gelir. Bu hata geri ve ileri okumalarda etkisiz hale gelir. Ancak geri ve ileri okumalarda değişik miralar kullanılıyorsa bölüm başlangıç hatası, yükseklik farkına etki eder. Hatanın saptanması için farklı yükseklikte birkaç noktaya, örneğin bir merdivenin basamaklarına mira altlıkları konur ve iki mira ayrı ayrı tutularak nivo ile okumalar yapılır. Aynı noktalara ait okumalar arasındaki fark bölüm başlangıç hatasıdır. Çeşitli noktalar için bulunan hataların ortalaması alınarak hata miktarı belirlenir. Bu hatanın etkisini ortadan kaldırmak için, ölçmelere hangi mira ile başlanmışsa, ölçümler yine aynı mira ile bitirilmelidir. 4. Mira Tabanının Eğiklik Hatası: Mira tabanındaki çelik levhanın alt yüzeyinin mira bölüm çizgisine tam paralel olmamasından ileri gelir. Bu hatanın belirlenmesi için mira ucundaki çelik levha ortadan itibaren sağa ve sola doğru eşit parçalara bölünüp işaretlenir. Bir mira altlığına işaretlenen noktalar ayrı ayrı tutularak nivo ile okumalar yapılır. Okumalar arasında fark varsa hata var demektir. Hatanın etkisiz duruma getirilmesi için mira altlığı üzerine daima miranın ortası tutulmalıdır. 5. Katlanma Yeri Hatası: Kalitesiz miralarda görülen bir hatadır. Mira açıldığı zaman katlanan parçalar arasında hiç boşluk kalmamalıdır. Ayrıca katlanma noktasından ön ya da arkaya doğru kırılmamalıdır. 2.2.2. Mira Altlıkları (Mira Pabucu, Mira Çarığı) Sağlam olmayan zeminlerde ve hassasiyet aranan nivelman işlerinde, miraların çökmesini önlemek, geri ve ileri okumalarda mira döndürülürken yüksekliğin değişmemesi için kullanılan pik demirden yapılmış bir alettir. Ortasında küresel başlı bir çıkıntı vardır. Mira bu çıkıntıya tutulur. Ayrıca toprağa iyi gömülebilmesi için üç sivri ayağı vardır. Yumuşak zeminde üzerine basılarak toprağa sağlamca oturması sağlanır. Taşınmasını kolaylaştırmak amacıyla bir kulpu vardır. Şekil 2.16 Mira altlığı 35
Geometrik Nivelman
2.3. Nivoların Kontrolü ve Eksen Koşulları Nivolarla ölçmelere başlamadan önce nivoların, kontrol edilmeleri gerekir. Hatalı bir aletle yapılan ölçmelerin hiçbir işe yaramayacağı açıktır. Böyle bir durumla karşılaşmamak için nivoların belli aralıklarla kontrol edilmeleri gerekir. Aynı şekilde ilk defa kullanılacak aletlerin eski veya yeni olmasına bakılmaksızın kontrol edilmeleri gerekir. Eksen koşullarına geçmeden önce nivoların yatay gözlem çizgisinin yatay olup olmadığının kontrolünü ele alalım. 2.3.1. Nivoların Yatay Gözlem Çizgisinin Yataylığının Kontrolü Alet ayarlanarak düşey eksen tam düşey duruma getirildikten sonra yatay gözlem çizgisinin bir ucu, arazide net ve keskin görünen bir noktaya yöneltilir. Sonra dürbün yatay yönde yavaş yavaş döndürülerek yatay gözlem çizgisi üzerindeki noktanın, çizginin öteki ucuna kayması sağlanır. Eğer nokta, yatay çizgi üzerinden ayrılmadan hareket ediyorsa, yatay gözlem çizgisinin yatay olduğu anlaşılır. Eğer nokta, yatay gözlem çizgisinin diğer ucuna alındığında çizgiden ayrılmış ise ayrılma miktarı hatanın iki katıdır. Hata, gözlem çizgileri ayar vidası yardımıyla giderilir. Yatay gözlem çizgisinin yatay duruma getirilmesi genellikle yandaki ayar vidasının (3 numaralı) gevşetilerek gözlem çizgilerinin, kayma miktarının yarısı kadar döndürülmesiyle sağlanır. 1 ve 2 numaralı vidalar, gözlem çizgilerinin aşağı–yukarı kaydırılması içindir. Mira okumaları, gözlem çizgilerinin kesiştiği yerden yapılırsa bu hata etkisiz kalır. 1
d
2d
3
2
Şekil 2.17 Yatay gözlem çizgisinin yataylığının kontrolü 2.3.2. Nivolarda Eksen Koşulları V
K
DD : Silindirsel düzeç ekseni
D
D
N
N
V
NN : Gözlem(nişan, optik) ekseni VV : Düşey (asal) eksen KK : Küresel düzeç ekseni
K
Genel olarak bir nivoda 4 eksen bulunur ve bu eksenler arasında şu koşullar sağlanmalıdır: 36
Geometrik Nivelman 2.3.2.1. Küresel düzeç ekseni, düşey eksene paralel olmalıdır ( KK // VV ). Küresel düzeç, üçayak vidası ile ortalanır ve sonra nivo 200g döndürülür. Eğer kabarcık ortada ise küresel düzeç ekseninin düşey eksene paralel olduğu anlaşılır. Kabarcık kaymışsa, kayma miktarı hatanın iki katıdır. Hatanın yarısı üçayak vidaları yardımıyla, diğer yarısı da küresel düzecin ayar vidaları yardımıyla giderilir. 2.3.2.2. Nivolarda temel koşul, gözlem ekseninin yatay olmasıdır. Bu koşul, eğim vidalı nivolarda; gözlem ekseni, düzeç eksenine paralel olmalıdır (NN // DD) biçiminde ifade edilirken otomatik (kompensatörlü) nivolarda; gözlem ekseni, kompensatörün çalışma alanı içinde yatay olmalıdır biçiminde ifade edilir. Bu koşulun kontrolü ve sağlanması 3 şekilde yapılabilir: 1. Yöntem Mira
Mira c a1’
β
b1
e
e
β
c
β
a1 A
Mira
Mira
b1’
a2’
B
a2
A
b2’
b2 B
2-5m
60 ̴ 100 m
Şekil 2.18 Nivolarda gözlem ekseninin yataylığının kontrolü – 1. yöntem Kontrol edilecek alet, oldukça düz bir arazide aralarındaki uzaklık 60m ̴ 100m olan A ve B noktalarının ortasına kurulur. Alet ayarlandıktan sonra A ve B noktalarındaki miralara bakılarak a1′ , b1′ okumaları yapılır. Alet hatasız olsaydı a1 ve b1 değerlerinin okunması gerekirdi. A ve B noktalarındaki mira okumalarında yapılan hata miktarları birbirine eşittir. İki nokta arasındaki yükseklik farkı, ∆h = a1 − b1 = a1′ − c − (b1′ − c) = a1′ − c − b1′ + c = a1′ − b1′
ile hatasız olarak elde edilir. Alette hata olup olmadığını anlamak için B noktasının 2-5 m uzağına alet kurulur. A ve B noktalarındaki miralara bakılarak a 2′ ve b2′ okumaları yapılır. B noktası alete çok yakın olduğundan B noktasındaki hatasız kabul edilebilir yani b2 = b2′ alınır. Alet hatasız olsaydı, a 2 = b2 + ∆h = b2 + a1′ − b1′
okumasının yapılması gerekirdi. Hatanın giderilmesi için gözlem çizgileri, A noktasında a2 değeri okununcaya kadar kaydırılır. Gözlem çizgilerinin kaydırılması, 37
Geometrik Nivelman eğim vidalı nivolarda eğim vidası döndürülerek yapılır. Bu durumda silindirsel düzeç kabarcığı kayacaktır; kayan düzeç kabarcığı da düzeç ayar vidaları yardımıyla ortalanır. Kompensatörlü nivolarda gözlem çizgilerinin kaydırılması farklı aletlerde değişik şekillerde olabilir. Bazı aletlerde gözlem çizgileri kaydırılmak suretiyle, bazılarında objektifin önündeki prizmatik bir camın döndürülmesiyle, bazılarında ise Kompensatörün ayar vidası ile bazılarında da optik eksen üzerindeki bir prizmanın kaydırılmasıyla sağlanır. En iyisi, kontrol edilen nivonun kullanım kitapçığında belirtildiği şekilde gözlem çizgilerinin kaydırılmasıdır. Kontrol için işlem, değişik alet yüksekliklerinde tekrarlanır. 2. Yöntem Mira
Mira a’3
a’4 a4
a3
a’1
a’2
a1
a2
B
C
D
A
s
s
s
Şekil 2.19 Nivolarda gözlem ekseninin yataylığının kontrolü – 2. yöntem a4 - a1 = a3 - a2 a’3 den a’1 a’2 ye paralel çizilirse, bu paralel B mirasını a4 de keser. a4 = a’1 - a’2 + a’3 a4 - a’1 = a’3 - a’2 Örnek: a’1=1.998 a’3=1.456 a’2=0.890 a’4=2.574 a’1 - a’2=1.108 a’3 =1.456 a4 = a’1 - a’2 + a’3=2.564 Nivo D noktasında iken B noktasındaki mirada 2.564 değeri okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır.
38
Geometrik Nivelman 3.
Yöntem (Kukkamäki Yöntemi)
a’1 a1
d/2
d/2
d
2d
a’2 a2
s
A
s/2
s/2
b’1 b1 b’2 b2
B
Şekil 2.20 Nivolarda gözlem ekseninin yataylığının kontrolü – 3. yöntem
a1 − b1 = a 2 − b2 a1 − b1 = a1′ − a 2 = a 2′ − d b2 = b2′ − 2d
d d d d − (b1′ − ) = a1′ − − b1′ + = a1′ − b1′ 2 2 2 2
a 2 − b2 = a 2′ − d − (b2′ − 2d ) = a ′2 − d − b2′ + 2d = a ′2 − b2′ + d a1 − b1 = a 2 − b2 idi, a1′ − b1′ = a 2′ − b2′ + d ⇒ d = (a1′ − b1′ ) − (a 2′ − b2′ ) d nin bulunan bu değeri, yukarıda a2 ve b2 yi veren eşitliklerde yerine konulursa, a 2 = a 2′ − d = a 2′ − [(a1′ − b1′ ) − (a 2′ − b2′ )] b2 = b2′ − 2d = b2′ − 2 ⋅ [(a1′ − b1′ ) − (a ′2 − b2′ )) elde edilir. Örnek: a1′ = 1.837 b1′ = 1.425
a 2′ = 1.672 b2′ = 1.250
a1′ − b1′ = 0.412 a 2′ − b2′ = 0.422 d = (a1′ − b1′ ) − (a 2′ − b2′ ) = 0.412 − 0.422 = −0.010 a 2 = a 2′ − d = 1.672 − (−0.010) = 1.682 b2 = b2′ − 2d = 1.250 − (−0.020) = 1.270
A noktasındaki mirada a2=1.682 veya B noktasındaki mirada ise b2=1.270 değeri okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır. A veya B noktasındaki miraların birinde okunması gereken değere okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır; diğer noktada ise kontrol yapılır. 39
Geometrik Nivelman
2.4. Nivelman Noktalarının Tesisi Yerleşim alanları dışında (kırsal kesimde) ve sağlam bina, köprü gibi yapıların bulunmadığı durumlarda nivelman noktaları, şekil 2.21a daki biçim ve özelliklerde zemin tesisi olarak yapılır. Yerleşim alanlarında ise, binaların sağlam temel duvarlarına ya da kolonlarına, sağlam duvar ve yapıların uygun yerlerine şekil 2.21b deki biçim ve özelliklerde duvar tesisi olarak yapılır.
Şekil 2.21 a) Kırsal alanda nivelman zemin tesisi, b) Yerleşim alanında nivelman duvar tesisi
2.5. Doğrultu (Hat) Nivelmanı Bir geçki boyunca iki ya da daha fazla nokta arasındaki yükseklik farklarını belirlemeye yönelik olarak yapılan nivelmana doğrultu (hat) nivelmanı denilir. Yükseklik farkı belirlenecek A ve B noktaları birbirlerine yakın ve aralarında fazla yükseklik farkı yoksa yaklaşık her iki noktaya da eşit uzaklıkta ortada bir yere, alet bir kere kurularak bu iki nokta arasındaki yükseklik farkı belirlenir. A ve B noktalarında düşey olarak tutulan miralara bakılarak, nivonun gözlem çizgilerinden ortadaki yatay çizgiye rastlayan mira bölüm değerleri okunur. İşlem yönüne göre gerideki mirada yapılan okuma değerine, geri okuma (g), ilerideki mirada yapılan okuma değerine de ileri okuma (i) adı verilir. Bir noktada alet kaldırılmadan ikiden fazla mira okuması yapılmışsa, ilk okuma geri, son okuma ileri, aradaki tüm okumalar da orta okuma olarak adlandırılır.
40
Geometrik Nivelman
o2
g1
gA
i1
A
1
∆hA1 = ga - i1
iB
g4 i4
o3
∆h12 = g1 - o2 ∆h23 = o2 –o3
3
2
∆h34 = o3 – i4
B
4
∆h4B = g4 - iB [∆h]=[g]+[o]-[i]-[o]=[g]-[i]
A
1
2
3
4
B
Şekil 2.22 Orta okumalı doğrultu (hat) nivelmanı 2.5.1. Açık Nivelman Yüksekliği bilinen bir noktadan nivelman işlemine başlanır, fakat yüksekliği bilinen başka bir noktaya bağlanılmazsa bu tür nivelmana açık nivelman diyoruz. Açık nivelmanda yapılan ölçümün kontrolü olmadığı için nivelman ve poligon noktalarının yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılmaz. Örnek:
Gidiş Nivelmanı Mira Okumaları (m) Yükseklik Farkları (∆h) Nokta Geri Orta İleri + (m) A 1.815 1 2.372 0.817 0.998 2 1.783 1.561 0.811 3 2.563 2.158 0.375 4 1.218 1.345 [g]= 8.533 [i]= 5.754 3.154 -0.375 [i]= 5.754 -0.375 [g]-[ i]= 2.779 [∆h] = 2.779 m 41
Geometrik Nivelman
Nokta 4 3 2 1 A [g]= [i]= [g]-[ i]=
Dönüş Nivelmanı Mira Okumaları Yükseklik Farkları (m) ∆h Geri Orta İleri + (m) 1.361 1.879 2.702 1.341 2.124 1.502 0.377 1.543 2.932 0.808 2.546 1.003 6.907 [i]= 9.682 0.377 -3.152 9.682 3.152 -2.775 [∆h] = -2.775 m
Gidiş - Dönüş ortalamasıyla Kesin Yükseklikler Yükseklik Farkları (∆h) Nokta A 1 2 3 4
Gidiş 0.998 0.811 - 0.375 1.345
Dönüş 1.003 0.808 - 0.377 1.341
Yükseklik H
Ortalama
95.740 m 96.740 97.550 97.174 98.517
1.000 0.810 - 0.376 1.343
Gidiş – dönüş ölçüleriyle elde edilen yükseklik farklarının ortalaması alınırken, dönüş ölçüleriyle elde edilen yükseklik farklarının işareti ters alınır. 2.5.2. Dayalı Nivelman Yüksekliği bilinen bir noktadan nivelmana başlanır ve yüksekliği bilinen başka bir noktaya bağlanılır. Dayalı nivelmanda yapılan ölçümler kontrol edilebilir. Noktalar arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesinde en çok kullanılan yöntemdir. Mira Okumaları Yükseklik Farkları Yükseklik Kroki Uzunluk (m) H ve (∆h) (m) Geri Orta İleri (m) Açıklama + (m) +4 1.375 A 203.125 1 2.934 1.555 201.570 2 1.861 1.073 202.643 3 2.238+4 2.747 0.886 201.757 +4 4 1.657 1.915 0.327 202.084 5 2.545 0.884 201.200 0.995 1.550 B 202.750 [i] = 5.657 2.950 -3.325 [g] = 5.270 -0.375 [i] = 5.657 3.325 [g] - [i] = -0.387 [∆h] = -0.375 m HB -HA = - 0.375 Kapanma hatası = - 0.012 m = -12 mm
Nokta
42
Geometrik Nivelman 2.5.3. Kapalı Nivelman Bir noktadan nivelmana başlanır ve bir halka oluşturularak aynı noktaya bağlanılır. Kroki Mira Okumaları Yükseklik Farkları Yükseklik H ve (m) ∆h ( m ) Açıklama Geri Orta İleri + (m) 1.371+3 A 100.000 1 1.864 0.490 99.510 2 1.615+3 2.718 0.854 98.656 +2 3 1.399 0.985 0.633 99.289 4 2.078 0.677 98.612 0.690 1.388 A 100.000 [i] = 4.393 2.021 2.021 [g] = 4.385 0.000 [i] = 4.393 2.021 [g] - [i] = -0.008 [∆h] = 0.000 HB -HA = 0.000 Kapanma hatası = - 0.008 m = -8 mm
Nokta
Uzunluk (m)
2.5.4. Gözlem Düzlemi Yüksekliğine Göre Nivelman Gözlem düzlemi kotuna göre nivelman hesabı, orta okuma sayısı fazla olduğunda hesap kolaylığı sağlar. g4 gA
o1
1
A
o2
o3
o6
o7
o8
4
5
6
7
8
Şekil 2.23 Gözlem düzlemi yüksekliğine göre nivelman Nokta No A 1 2 3 4 5 6 7 8 B
Geri 2.146+2
2.695+2
Orta 2.062 1.854 1.250 2.443 2.321 2.056 1.875
[g] = 4.841 [i] = 2.639 [i] = 2.639 [g]-[i] = 2.202
iB
i4
3
2
o5
İleri
0.985-2
1.654-2
Gözlem Düzlemi Yüksekliği 102.148 m
Yükseklik H 100.000 m 100.086 100.294 100.898 101.165 103.862 m 101.419 101.541 101.806 101.987 102.210 m HB - HA = 2.210 m [g]-[i] = 2.202 Düzeltme miktarı 43
=+0.008 m = 8 mm
B
Geometrik Nivelman GİDİŞ NİVELMANI Mira Okumaları Yükseklik Farkları Yükseklik Ortalama Kroki Uzunluk (m) H Yükseklik ve (∆h) (m) Geri Orta İleri ( m ) ( m ) Açıklama + (m) Rs.285 12 0.524-2 72.568 72.568 15 - 16 0.460 3.806 3.284 P.1 13 - 17 0.520-2 2.844 2.384 66.900 66.900 20 - 16 0.646 2.968 2.450 8 - 21 0.455 2.972 2.326 P.2 7 - 10 0.559-2 2.263 1.808 60.316 60.310 15 - 12 0.459 3.313 2.756 20 - 18 0.789 3.089 2.630 P.3 16 - 25 0.504-2 2.589 1.800 53.130 53.124 18 - 20 0.218 3.622 3.120 15 - 16 0.840 2.780 2.562 -1 P.4 17 - 13 2.898 1.912 1.072 46.376 46.370 21 - 24 0.820 2.389 0.508 22 - 25 0.945 3.386 2.566 P.5 26 - 30 1.184-1 2.645 1.700 42.618 42.618 25 - 34 0.951 1.882 0.699 Rs.344 - 20 12.772 2.334 1.383 40.536 40.536 [L]= 587 m 42.794 44.794 0.508 -32.540 -32.032 [g]-[i]= -32.022 -32.540 m H344-H285 = -32.032 [|h|]=33.048 m [∆h] = -32.032 m Hata miktarı=+0.010m=10 mm Hoşgörü sınırı: d=0.02√ [L] +0.0003∗[|h|] =0.02√ 0.587 +0.0003 ∗ 33.048 =0.025 m =25 mm Hata miktarı < Hoşgörü sınırı (10 mm < 25 mm ) olduğu için hata dağıtımı yapılır. Nokta
DÖNÜŞ NİVELMANI Mira Okumaları Yükseklik Farkları Nokta Uzaklık (m) (∆h) (m) Geri Orta İleri + (m) Rs.344 2.492+2 1.900 1.102 1.392 P.5 1.576+2 1.211 0.689 3.211 1.840 0.262 2.209 0.751 2.460 P.4 2.224+3 0.660 1.549 3.527 0.420 1.807 2.832 0.655 2.872 P.3 2.482+3 0.757 2.075 3.274 0.572 1.913 3.032 0.441 2.833 P.2 3.253+3 0.592 2.440 2.662 0.465 2.791 2.262 0.633 2.029 +3 P.1 2.435 0.487 1.775 2.775 0.788 1.650 2.693 0.492 2.283 Rs.285 44.839 0.957 1.736 [g]= 12.823 12.823 32.294 0.262 [g]-[i] = 32.016 -0.262 H285-H344= 32.032 32.032 Hata miktarı =- 0.016 m =-16 mm 44
Yükseklik H (m) 40.536
Ortalama Yükseklik (m)
42.617 46.364 53.118 60.304 66.899
72.568 32.032m 32.016 +0.016 m =+16 mm
Kroki ve Açıklama
Geometrik Nivelman Poligon noktalarının yükseklikleri, genellikle iki nivelman noktasına dayalı olarak yapılan gidiş - dönüş nivelmanıyla belirlenir. Yukarıda böyle bir örnek görülmektedir. Ara nivelman noktalarının yükseklikleri aşağıdaki çizelgede görüldüğü gibi hesaplanabilir. Düzeltme değerleri, nivelman yolu uzunluğu ile orantılı olarak verilir.
Bilinen Nokta
Yeni Nokta
Nivelm. Def. No Say. No
NİVELMAN HESAP ÇİZELGESİ Rs.ler Ölçülen Yükseklik Farkları Arası ∆h Ortalama ∆h Mesafe Gidiş Dönüş + m
m
m
m
Yükseklik
m
Açıklama
m
Rs 5
122.514 Rs 12 Rs 21 Rs 14
Rs 2
G.13 D.29 G.14 D.26 G.18 D.32 G.16 D.34
13.878
+3
572
+13.874
+13.882
461
-21.613
-21.605
21.609+2 +3
136.395 114.788 695
-11.988
-11.982
880
+34.396
+34.388
11.985
102.806
2608
34.392+4 48.270 33.594
33.594
137.202 14.688 14.676
14.676
Düzeltme
+12 mm
81
121.349 88
83
G.1/7 D.2/16 G.1/8 D.2/7
-13.750
-13.756
13.753+3
-35.857
+2
107.599 -35.853
Ortalama 107.600
35.855 49.608
Düzeltme
82
71.746 -49.603 -49.608 + 5 mm
97.815 88
G.1/21 D.2/20
+9.783
+9.790
+9.786 107.601
2.6. Yüzey Nivelmanı İnşaat işleri, arazi tesviyesi, spor alanları gibi projelerin uygulanmasında, özellikle kazılacak ve doldurulacak toprak miktarlarının hesaplanması için arazinin eşyükseklik
45
Geometrik Nivelman eğrili planına ihtiyaç duyulur. Bunun için, arazinin topografik yapısı çok engebeli değilse ya kareler ağı yöntemiyle ya da ışınsal yöntemle yüzey nivelmanı yapılır. 2.6.1. Kareler Ağı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı
Şekil 2.24 Kareler ağı yöntemine göre yüzey nivelmanı krokisi Yüzey nivelmanı yapılacak arazide bir ölçü doğrusu belirlenir ve bu doğru üzerinde belirli aralıklarla, takeometre, nivo ya da prizmalarla dikler çıkılır. Sonra aynı işlem bu dikler üzerinde tekrarlanarak arazi karelere bölünür. Kareler ağı yönteminde karelerin kenar uzunluğu, arazinin topografik yapısı ve ihtiyaca göre 5–30 m arasında seçilebilir. Kare köşelerine ve kare kenarlarının arazi detaylarını kestiği noktalara kot verilir. Parselin çizimi için, kare uzantılarının arazi sınırını kestiği noktaya olan mesafelerden gerekli olanları çelik şerit ile ölçülür. Arazinin yakınındaki yüksekliği bilinen bir noktaya dayalı olarak nivelman yapılır. Plan çiziminde karelerin kesim noktasına, ölçülen yükseklik değerleri yazılır. Yükseklik değerlerinin metre ve alt birimlerini ayıran “.” işareti, aynı zamanda karelerin kesim noktası olacaktır.
46
Geometrik Nivelman Nokta Mira Okumaları No Geri Orta İleri +2 1.415 P1 1 1.618 2 1.871 3 1.999 4 2.365 5 2.583 6 2.612 7 2.649 8 2.670 9 2.720 10 2.656 11 2.343 12 2.019 13 1.871 14 1.637 15 1.592 16 1.817 17 1.968 18 2.045 19 2.375 +2 20 1.671 2.789 21 1.813 22 1.941 23 1.716 24 1.584 25 1.532 26 1.497 27 1.385 28 1.290 29 1.365 30 1.444 31 1.615 32 1.743 33 1.861 +2 34 1.714 1.957 2.650 P2 [g]= 4.800 [i]= 7.396 [i]= 7.396 [g]-[i]= -2.596 HP2-HP1 = -2.590
Gözlem Düzlemi Yüksekliği 74.320
Yükseklik H 72.903 m 72.702 72.449 72.321 71.955 71.737 71.708 71.671 71.650 71.600 71.664 71.977 72.301 72.449 72.683 72.728 72.503 72.352 72.275 71.945 73.204 71.531 71.391 71.263 71.488 71.620 71.672 71.707 71.819 71.914 71.839 71.760 71.589 71.461 71.343 71.247 72.963 70.313 HP2-HP1 = -2.590 [g]-[i] = -2.596
Düzeltme Miktarı= +0.006 m= +6 mm
Hata miktarı= -0.006 m = - 6 mm 2.6.2. Işınsal (Kutupsal) Nivelman Yatay açı bölüm dairesi bulunan nivelman aletleri ile yapılır. Nivelman aleti, ölçme alanındaki poligon noktası gibi konumu ve yüksekliği bilinen bir noktaya kurularak, 47
Geometrik Nivelman konumu ve yüksekliği bilinen başka 2 noktaya bakılarak mirada alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay açı okumaları yapılır. Ayrıca alet yüksekliği ölçülür. Işınsal nivelmanda mira okumaları cm biriminde yapılır. Yüzey nivelmanı yapılacak alanın kırık noktalarına, arazinin karakteristik noktalarına ve belli aralıklarla arazi taranarak mira tutulur. Bakılan tüm noktalarda miradaki alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay açı değerleri okunur. Üst-orta çizgi okuması farkı ile orta-alt çizgi okuması farkının birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca, bu iki farkın toplamı ile üst çizgi-alt çizgi okumaları farkının eşit olması gerekir. Üst-alt çizgi okumalarının cm birimindeki farkı, 100 ile çarpılarak alet ile mira arasındaki uzunluklar cm biriminde bulunur. Ya da başka bir deyişle, cm birimindeki üst çizgi-alt çizgi okumaları farkı, m biriminde aletle mira arasındaki uzunluğu verir. 2 5 3 1 P2
P3
P1
Şekil 2.25 Işınsal nivelman Mira DN
BN
Yatay Açı Okumaları g
P2
P1
0 .00
i = 1.55 m HP2=135.43 m 136.98 m
P3
248,50
1
46,75
2
85,60
3
112,40
144 181 218 198 243.4 288.8 316.8 338.3 359.8 90 115.5 141 205.2 221.0 236.8
Mira Farkları
Yatay Uzaklık
Yükseklik H
37 cm 37
74.0 m
135.17 m
45.4 45.4
90.8
134.55
21.5 21.5
43.0
133.60
25.5 25.5
51.0
135.82
15.8 15.8
31.6
134.77
Yatay açı ve uzunluklarla, bakılan noktaların konumları kutupsal olarak belirlenir. Alet kurulan noktanın yüksekliğine, alet yüksekliği eklenince aletin gözlem düzleminin yüksekliği elde edilir. Aletin gözleme düzleminin yüksekliğinden, orta çizgi okumaları (m biriminde) çıkartılırsa, bakılan noktanın yüksekliği m biriminde bulunur. 48
Geometrik Nivelman 2.6.3. Hacim Hesabı Yüzey nivelmanı yapılan yerde çoğunlukla bir kazı ya da dolgu işlemi vardır. Kazı veya dolgu miktarının (kazılacak ya da doldurulacak toprağın hacminin) bulunması kareler ağı yönteminde daha kolay olmaktadır. Oluşturulan her bir kare için, kare köşelerindeki kazı ya da dolgu yüksekliği hesaplanır; hacim hesabında ise bu kare köşelerindeki kazı ve dolgu yüksekliklerinin ortalaması alınmak suretiyle her kare için bir ortalama kazı ya da dolgu yüksekliği bulunur. Problem, tabanı ve tavanı kare, yüksekliği ortalama kazı ya da dolgu yüksekliği olan bir kare prizmanın hacminin bulunmasına dönüşür. Bu kare prizmanın hacmi, karenin alanı ile ortalama kazı veya dolgu yüksekliğinin çarpılması ile bulunur. Hâlbuki ışınsal nivelmanda ölçüm yapılan noktalar, kare veya dikdörtgen gibi alanı kolay hesaplanabilir bir geometrik şekil oluşturmadıkları için alan hesabında temel şekil olarak üçgen alınır. Hâlbuki bu üçgenlerin hiç bir elemanı doğrudan ölçülmemiştir. Dolayısıyla alan ve hacim hesabı direkt yapılamaz. Alan ve hacim hesabı için dolaylı yollara başvurulur. Örneğin, ölçülen tüm noktaların önce koordinatları, sonra da bu koordinatlardan üçgenlerin alanı bulunur veya yapılan ölçümlere göre ölçekli bir çizim yapılır ve oluşturulacak üçgenlerin kenarları grafik olarak ölçülerek alan hesabı yapılabilir. Daha sonra bu üçgenlerin ortalama kazı yüksekliği bulunarak üçgen prizmaların hacmi hesaplanır. Fakat burada işlemler oldukça uzun olmaktadır. Hesaplama işlemi bilgisayar yardımıyla bir programa dayalı olarak yapılmayacaksa yüzey nivelmanı için ışınsal nivelman tercih edilmemelidir. ÖRNEK: Şekildeki alan, 95.000 m yüksekliğine kadar kazılacaktır. Verilenler, P noktasının yüksekliği ve mira okumaları olduğuna göre kazı miktarını bulunuz. 1
10m
2
3 10m
I 8
10m
10m 7
IV 6
P
II
4
III
10m
5
Nokta P 1 2 3 4 5 6 7 8
Mira Okumaları Geri Orta İleri 2.345 1.954 2.312 2.564 1.988 1.999 1.492 2.550 2.300 1.640
49
Gözleme Düzlemi Kotu
102.345
102.852
Yükseklik H 100.000 100.391 100.033 99.781 100.357 100.853 100.302 100.552 101.212
Kazı Yüksekliği (h)
5.391 m 5.033 4.781 5.357 5.853 5.302 5.552 6.212
Geometrik Nivelman h + h 2 + h 7 + h8 5.391 + 5.033 + 5.552 + 6.212 22.188 = = = 5.547m hI = 1 4 4 4 h + h3 + h 4 + h 7 5.033 + 4.781 + 5.357 + 5.552 20.723 hII = 2 = = = 5.18075m 4 4 4 h + h5 + h 6 + h 7 5.357 + 5.853 + 5.302 + 5.552 22.064 hIII = 4 = = = 5.516m 4 4 4 h + h7 + h 8 5.302 + 5.552 + 6.212 17.066 hIV = 6 = = = 5.68867m 3 3 3
FI = FII = FIII = 10 ∗ 10 = 100m 2 FIV = 10 ∗ 10 / 2 = 50m 2 VI = FI ∗ hI = 5.547 ∗ 100 = 554.700m 3 VII = FII ∗ hII = 5.18075 ∗ 100 = 518.075m 3 VIII = FIII ∗ hIII = 5.516 ∗ 100 = 551.600m 3 VIV = FIV ∗ hIV = 5.68867 ∗ 50 = 284.433m 3 V = VToplam = VI + VII + VIII + VIV = 1908.808m 3
2.7. Hassas Nivelman Hassas nivelman, birinci ve ikinci derece ülke nivelman ağlarının ölçülmesinde, köprü, baraj, gökdelen gibi mühendislik yapıları ve yakın çevresindeki düşey yöndeki hareketlerin belirlenmesinde kullanılır. Hassas nivelmanda kullanılan nivoların dürbün büyütmeleri 40–50, silindirsel düzecin duyarlığı ya da kompensatörün çalışma duyarlığı 10” den az olmalıdır. Optik mikrometre düzeni bulunan nivolar kullanılır. Aletin sehpası sağlam ve tek parça (sürgüsüz) olmalıdır. Genellikle tek parçalı ve 3 m boyunda invar miralar kullanılır. Miraların çift bölümlü olanları yeğlenir. Hassas nivelmanda daima çift mira kullanılır. Miralar yarım santimetre ya da bir santimetre bölümlü olurlar. Miranın düşeyliği mira üzerindeki bir küresel düzeçle kontrol edilir ve miranın sallanmadan durması için mira destekleri kullanılır. Hassas nivelman mutlaka gidiş-dönüş olarak ve olanaklıysa farklı zamanlarda yapılmalıdır. Bu şekilde eşit atmosfer koşullarından doğabilecek düzenli hatalardan sakınılmış olunur. Hassas nivelmanda yüksek bir doğruluk elde etmek için ölçmeler sırasında şu hususlara dikkat etmek gerekir: 1. Alet, ölçme yaparken sallanmayacak şekilde kurulmalıdır. 2. Miralar, mutlaka mira altlıkları üzerine tutulmalıdır. 3. Aletle mira arasındaki uzaklık 35 metreden fazla olmamak üzere eşit olarak alınmalıdır. Geri ve ileri uzaklıklar arasındaki fark 0.50 metreden fazla olmamalıdır.
50
Geometrik Nivelman 4. Işığın kırılmasının (refraksiyonun) etkilerini önlemek amacıyla alet mümkün olduğunca yüksek kurulmalı ve gözlem ışını yerden en az 70 cm yüksekten geçmelidir. 5. Mira bölüm başlangıç hatasının etkisini önlemek amacıyla, ölçmeye hangi mira ile başlanmışsa o mira ile bitirilmelidir. Gidiş-dönüş ölçmelerine farklı miralarla başlanmalı. 6. Düzenli hataların etkisini azaltmak için gidiş ve dönüş ölçmeleri mutlaka aynı yol üzerinde yapılmalıdır. 7. Ölçmeler, bulutlu havalarda ya da sabah ve akşam saatlerinde yapılmalıdır. Hiçbir zaman güneşli havalarda ve öğle saatlerinde nivelman yapılmamalıdır. 8. Miralar daima mira payandaları ile desteklenmeli ve mira düzeci yardımıyla tam düşey durumda tutulmalıdır. 9. Her mira okumasında eğim vidası yardımıyla silindirsel düzeç, yeniden ve çok iyi ayarlanmalıdır. 10. Mira okumalarında önce gerideki mirada sol bölüm (gı), sonra ilerideki mirada sol bölüm (iı), daha sonra yine ilerdeki mirada sağ bölüm (iıı) ve son olarak da gerideki mirada sağ bölüm (gıı) okunur. 11. Otomatik (kompensatörlü) nivolarda ufuk hatasının etkisini azaltmak için daha dikkatli olunmalı ve alet sürekli aynı miraya doğru yöneltilerek küresel düzeç ortalanmalı ve ilk mira okuması hep aynı mirada yapılmalıdır (iı gı gıı iıı). 12. Ölçmeler ne kadar çabuk yapılırsa o kadar iyi sonuç alınır. 13. Miranın ucu ve mira altlığı daima temiz tutulmalıdır. Hassas nivelmanda hesap şu formüllere göre yapılır.
g ı − i ı = hı [hı ] + [hıı ] H B − H A = 2 g ıı − i ıı = hıı Kontroller ise,
[g ı ] − [i ı ] = [hı ] [g ıı ] − [i ıı ] = [hıı ] [hı ] − [hıı ] = [hı − hıı ] formüllerine göre yapılır. Bulunan değer mira bölümü birimindendir. Nivelmanda tek bölümlü mira kullanılmış ise geri ve ileri okumalar yapıldıktan sonra, aletin üçayağı oynatılmak suretiyle alet yüksekliği biraz değiştirilip ikinci bir okuma yapılarak çift bölümlü miralarla olduğu gibi ölçmeler yapılabilir.
51
Geometrik Nivelman
Nokta Mira Uzaklık No No
Bakılan Yön
gı iı (cm)
gı - iı = hı [hı] (cm)
A 1
1 2
34 m 34
g i
115.32 178.27
1 2
2 1
30 30
g i
193.86 177.41
2 3
1 2
32 32
g i
138.74 221.28
3 4
2 1
27 27
g i
193.11 200.24
4 5
1 2
25 25
g i
218.47 116.82
5 B
2 1
30 30 350
g i [g] [i] [g]-[i]=
167.45 136.54 1026.95 1030.56 -3.61
HB − H A =
[hı ] + [hıı ] = −
-62.95
16.45 -46.50 -82.54 -129.04 -7.13 -136.17 101.65 -34.52 30.91 -3.61
gıı iıı (cm) 448.83 511.79 527.33 510.89 472.26 554.77 526.62 533.73 551.99 450.34 500.95 470.05 3027.98 3031.57 -3.59
gıı - iıı = hıı [hıı] (cm)
f=hı-hıı [f]
-62.96
1
16.44 -46.52
1 2
-82.51 -129.03
-3 -1
-7.11 -136.14
-2 -3
101.65 -34.49
0 -3
30.90 -3.59
1 -2
3.61 + 3.59 = − 3.60 cm 2
2
2.8. Kesit Nivelmanı Yol, kanal, yüksek gerilim hattı vb. tesislerin yapımında arazinin boyuna ve enine kesitleri çıkarılır. Boy kesitler güzergâh yönünde, en kesitler de bu yöne dik doğrultuda çıkarılırlar. İşin amacına ve arazinin topografik yapısına göre, boy kesit için okumalar 20, 50 ya da 100 m de bir ve ayrıca eğimin değiştiği noktalarda yapılır. En kesitlerde ise eksen üzerinde, yolun sol ve sağ bitim noktalarında ve ayrıca eğimin değiştiği noktalarda okumalar yapılır. Uzaklıklar, çelik şerit metre ile ölçülürler. 2.8.1. Boy Kesit
Şekil 2.26 Boy kesit nivelman krokisi 52
Geometrik Nivelman Boy kesit nivelmanı Gözlem Mira Okumaları Yükseklik Düzlemi Kotu Nokta Uzaklık H Açıklama Geri Orta İleri +2 33 1.806 P6 124.808 m 123.000 m +2 A 41 - 35 3.125 2.594 125.341 122.214 +2 1+440 - 40 3.186 1.335 127.194 124.006 1+460 1.487 125.707 +2 1+480 1.306 0.696 127.806 126.498 1+500 2.545 125.261 1+513.25 2.740 125.066 +2 1+520 1.445 0.637 128.616 127.169 1+540 0.791 127.825 +2 1+560 34 2.865 1.979 129.504 126.637 +2 B 40 - 34 3.203 0.722 131.987 128.782 - 43 1.473 P19 130.514 m 16.936 9436 7.514 9.436 7.500 7.500 Düzeltme miktarı : 0.014 m = 14 mm
128 1/100
127 1/1000
126 125
1+480
1+500
1+513.25
1+520
1+540
1+560
126.20 125.261
126.49 125.066
126.63 127.169
127.07 127.825
127.50 126.637
1+460
125.77 126.498
Kırmızı Kot
125.33 125.707
Siyah Kot
124.90 124.006
Başlangıca uzaklıklar
1+440
Referans Kotu 124 m
Şekil 2.27 Boy kesit çizimi
53
Geometrik Nivelman
∆h
α
Eğim = m = tan α =
yükseklik farkı ∆h = yatay uzunluk s
s Önek : s AB = 120.00 m H A = 124.90 m m AB = ? H B = 127.50 m H − H A 127.50 − 124.90 2.60 m AB = tan α = B = = = 0.0216667 = %2.2 s AB 120.00 120.00
Aliyman şeklindeki kırmızı çizginin ilk (1+440 m) ve son (1+560) noktalarının yükseklikleri boy kesitten alınır. Yatay uzunlukla kırmızı çizginin eğiminin çarpımı ile iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanır. İlk noktaya göre hesaplanan yükseklik farkları, ilk nokta yüksekliğine eklenerek ara noktalardaki kırmızı kotlar elde edilir. ∆hi = m ⋅ s i ∆h1 = 0.0217 ⋅ 20 = 0.433 m
H1 + 460 = H1 + 440 + ∆h1 = 124.90 + 0.43 = 125.33 m ∆h2 = 0.0217 ⋅ 40 = 0.867 m
H1 + 480 = H1 + 440 + ∆h2 = 124.90 + 0.87 = 125.77 m 2.8.2. En Kesit En kesitler genellikle hacim hesapları için kullanılır. En kesit için yapılan yükseklik ve uzunluk ölçümleri genelikle bir kroki üzerine yazılır. Eğer nivonun bir kez kurulmasıyla tüm kesit noktaları ölçülemez ve alet ikinci bir kez daha kurulmuşsa, kroki buna göre düzenlenir. En kesitlerde yatay ve düşey ölçekler aynı ve genellikle de 1/100 ya da 1/200 alınır.
Şekil 2.28 En kesit nivelman krokisi 54
Geometrik Nivelman En Kesit Nivelmanı Ölçüm ve Hesap Çizelgesi Gözlem Düzlemi Yükseklik Yüksekliği H 124.408 124.797 124.705 127.650 126.498 129.169 126.575 127.297 127.784
Eksenden Mira Okumaları Uzaklık Geri Orta İleri 10.00 3.242 8.64 2.853 5.26 2.945 0.00 1.152 3.36 2.594 1.075 5.85 1.872 10.00 1.385
Açıklama Sol
Sağ
En kesitler, tip en kesite uygun olarak ölçü değerlerine göre çizilir. Aşağıdaki şekilde bir tip en kesit örneği görülmektedir. %2
0.000 0.000
126.498
124.705
Siyah Kot
%2
%2 −0.045 − 2.269
− 1.065 − 0.973 − 5.260 − 8.640 1.36 3.38 5.26
124.797
Uzaklık
4/1
124.408
124.000 m
− 1.120 − 10.000 − 1.362 − 10.000
−0.120 − 6.000
1.966 2.014 9.585 10.000
1/1 −0.120 6.000
3.36
2.49
− 0.870 6.750
4.15 127.784
1/100
0.805 3.360
0.728 0.000
1.527 5.850
127.297
1/100
Tip En Kesit
1/1
1/1
126.575
4/1
K.K. 125.77
%2
Şekil 2.29 En kesit çizimi
Şev eğimi =
s = cot α dh
Yarmada şev eğimi, zeminin cinsine göre değişik değerler alır. Dolguda şev eğimi, dolgunun h yüksekliğine göre değişir. Karayollarının kabul ettiği değerler:
h < 1.5 m için 4/1 1.5 ≤ h < 3.0 m için 3/1
3.0 ≤ h < 5.0 m için 2/1 h ≥ 5.0 m için 3/2 55
Geometrik Nivelman Arazi Eğimi ve Şev Eğimi Aynı Yönde x → x = s ⋅ ma s x+p Şevin eğimi (m ş ) = → x + p = s ⋅ mş → x = s ⋅ mş − p s s ⋅ ma = s ⋅ m ş − p Arazi eğimi (m a ) =
s x
ma mş
p
p = s ⋅ m ş − s ⋅ m a = s ⋅ (m ş − m a ) → s =
p m ş − ma
Arazi Eğimi ve Şev Eğimi Ters Yönde p−x → ma ⋅ s = p − x s x mş = → x = mş ⋅ s s ma =
mş s
x
p
ma
mş ⋅ s = p − ma ⋅ s → mş ⋅ s + ma ⋅ s = p
0.728 0.000 ma mş
− 1.065 − 5.260
− 0.045 − 2.269
1.633 1.527 6.750 5.850 ℓ k
x
- 0.120 6.000
s
ma
0.000 0.000
2.014 10.000
1.633 + x 6.750 + s
mş=1/1
mş - 0.870 6.750
2.014 − 1.527 = 0.11735 10.000 − 5.850
→ s=
p mş + ma
m ş = 0.02
x
1.966 s 9.585
p
ma =
→ x = p - ma ⋅ s
0.728 − ( −1.065) 1.793 = = 0.34087 5.260 5.260 0.728 0.728 p = = s= m ş − m a 0.02 − 0.34087 − 0.32087
ma =
s = 2.269 m x = m ş ⋅ s = 0.02 ⋅ 2.269 = 0.045 m
1 =1 1 k = 6.750 − 5.850 = 0.900 m mş =
l = 0.900 ⋅ 0.11735 = 0.106 m
1.527 + l = 1.527 + 0.106 = 1.633 m p = 1.633 - (-0.870) = 2.503 m s=
p 2.503 2.503 = = = 2.8353 m ş − m a 1 − 0.11735 0.88265
x = ma ⋅ s = 0.11735 ⋅ 2.8353 = 0.333 m x = s ⋅ mş − p = 2.835 − 2.503 = 0.332 m (kontrol) 1.633 + x = 1.633 + 0.333 = 1.966 m 6.750 + s = 6.750 + 2.835 = 9.585 m 56
Geometrik Nivelman 2.8.3. Cross Yöntemine Göre Kesitlerle Alan Hesabı 0.00 0.00
-0.15 -7.50
-0.15 7.50
I -1.25 -9.50 -1.40 -5.81 -0.15 -7.50
-1.28 10.20
-1.32 2.15 0.00 0.00 -0.15 7.50
II -1.27 -9.75
-1.22 -6.05
-1.36 1.95
-1.12 6.74
-1.23 10.12
Şekil 2.30 Kesitlerle alan hesabı Her hangi bir noktadan başlanarak saat ibresinin ters yönünde sırayla tüm koordinat değerleri yazıldıktan sonra, ilk noktanın koordinatları tekrar yazılır. + yönündeki okların çarpımlarının toplamından – yöndeki okların çarpımlarının toplamı çıkartılır.
h
+
x
-
2FI =
Saat ibresinin ters yönünde
0.00 − 0.15 − 1.25 − 1.40 − 1.32 − 1.28 − 0.15 0.00 = 0.00 − 7.50 − 9.50 − 5.81 2.15 10.20 7.50 0.00
2FI = 26.0622 − ( −17.3865 ) = 43.4487 2FII =
-
⇒ FI = 21.72435 m 2
0.00 − 0.15 − 1.27 − 1.22 − 1.36 − 1.12 − 1.23 -0.15 0.00 = 0.00 − 7.50 − 9.75 − 6.05 1.95 6.74 10.12 7.50 0.00
2FII = 17.6558 − ( −22.9588 ) = 40.6146
-
⇒ FII = 20.3073 m 2
2.8.4. Kesitlerle Hacim Hesabı 2.8.4.1.
Kesitlerin İkisi de Dolgu ya da Yarma
Yukarıda alanları hesaplanan kesitlerin ikisi de dolgudur ve aralarındaki uzaklık s=20 m olsun. Bu iki kesit arasındaki hacim (dolgu miktarı), FI + FII 21.72435 + 20.3073 ⋅s = ⋅ 20.00 = 21.015825 ⋅ 20.00 = 420.3165 m 3 2 2 olarak hesaplanır. V=
57
Geometrik Nivelman 2.8.4.2.
Kesitlerin Biri Dolgu Diğeri Yarma
Kesitin biri dolgu diğeri yarma ise, dolgudan yarmaya geçilen nokta bulunarak; dolgu ve yarma hacimleri ayrı ayrı hesaplanır. A
MN=s=İki kesit arasındaki uzaklık
Fd k k = = Fy l s−k
B Fy
D’ A’
k ⋅ Fy = s ⋅ Fd − k ⋅ Fd
D Fd C’
k ⋅ ( Fy + Fd ) = s ⋅ Fd
C
O
k=
B’ M
k
Fd
O
ℓ
0.00 0.00
-0.13 -6.50
0.90 -8.75
-0.88 -7.35
Fy
l =s−k
N
Dolgu hacmi = Vd =
Fd ⋅ k 2 Fy ⋅ l Yarma hacmi = Vy = 2
-0.13 6.70
Dolgu -1.05 -7.95
s ⋅ Fd Fy + Fd
-0.95 8.10
-1.15 4.10 1.04 -3.15
0.85 9.10
Yarma -0.13 -6.60
0.00 0.00
-0.13 6.75
-0.90 7.50
Yukarıda alanları hesaplanan kesitlerin birisi dolgu diğeri yarmadır ve aralarındaki uzaklık s=20 m olsun. Bu iki kesit arasındaki kazı ve dolgu miktarı, 2Fd =
0.00 − 0.13 − 1.05 − 1.15 − 0.95 − 0.13 0.00 0.00 − 6.50 − 7.95 4.10 8.10 6.70 0.00
Fd = 11.095 − ( −18.9515 ) = 29.971 → Fd = 14.9855 m 2 2Fy =
0.00 − 0.13 − 0.90 0.85 1.04 0.90 - 0.88 − 0.13 0.00 0.00 6.75 7.50 9.10 − 3.15 − 8.75 - 7.35 − 6.60 0.00
2Fy = 15.5845 − ( −21.7495 ) = 37.334 → Fy = 18.667 m 2 58
Geometrik Nivelman
k=
Fd ⋅ s 14.9855 ∗ 20.00 299.71 = = = 8.906 m Fd + Fy 14.9855 + 18.667 33.6525
l = s - k = 20.000 - 8.906 = 11.094 m Fd ∗ k 14.9855 ∗ 8.906 = = 66.730 m 3 dolgu miktarı 2 2 Fy ∗ l 18.667 ∗ 11.094 Vy = = = 103.546 m 3 kazı miktarı 2 2
Vd =
2.8.4.3.
Kesitlerin Biri Dolgu ya da Yarma Diğeri Karışık a 0.00 0.00
− 0.28 − 13.40
DOLGU Fd1
− 0.94 − 14.70
C
−0.08 3.85
DOLGU Fd3
B
0.45 6.20
0.00 0.00
− 0.29 − 13.50
−0.25 12.50
Fd2
D −1.06 3.85
− 1.42 − 8.95
− 1.05 − 14.22
A
−0.07 3.85
b
−1.34 − 9.75
−1.18 14.20
0.30 15.12
YARMA Fy −0.26 12.80
−1.12 13.56
a-b çizgisinin solunda kalan yerlerdeki hacim hesabı, kesitlerin her ikisinin de aynı olması durumuna göre; sağında kalan yerlerdeki hacim hesabı ise kesitlerden birinin dolgu, diğerinin yarma olması durumuna göre yapılır.
Fd1 ve Fd2 alanlarının hesabı için öncelikle C noktasının koordinat değerlerinin hesaplanması gerekir. − 0.25 − 0.00 − 0.25 = = −0.02 12.50 12.50 C noktasının eksene uzaklığı, D noktasının eksene uzaklığı olan 3.85 m değerine eşittir. C noktasının yüksekliği ve koordinat değerleri, m AB =
H C = H A + 3.85 ∗ m AB = 0.00 + 3.85 ∗ ( −0.02) = 0.00 − 0.077 = −0.077 m ≅ −0.08 m − 0.08 3.85 şeklinde bulunur. 59
Geometrik Nivelman 0.00 − 0.28 − 0.94 − 1.42 − 1.06 − 0.08 0.00 = 42.649 − 2.981 = 39.668 m 2 0.00 − 13.40 − 14.70 − 8.95 3.85 3.85 0.00
2Fd1 =
Fd1 = 19.834 m 2 2Fd2 =
− 0.08 − 1.06 − 1.18 − 0.25 − 0.08 = −13.174 − ( −31.0725 ) = 17.8985 m 2 3.85 3.85 14.20 12.50 3.85
Fd2 = 8.9492 m 2 2Fd3 =
0.00 − 0.29 − 1.05 − 1.34 − 0.07 0.00 = 33.9123 − 9.2023 = 24.71 m 2 0.00 − 13.50 − 14.22 − 9.75 3.85 0.00
Fd3 = 12.355 m 2 2Fy =
− 0.07 − 0.26 − 1.12 0.30 0.45 − 0.07 = −4.899 − ( −17.7635 ) = 12.8645 m 2 3.85 12.80 13.56 15.12 6.20 3.85
Fy = 6.43225 m 2 Fy
k Fd2
20.00 ⋅ Fd 2 20.00 ∗ 8.9492 = = 11.64 m Fd 2 + Fy 8.9492 + 6.43225
l = 20.00 − k = 20.00 − 11.64 = 8.36 m
O Fy
k=
ℓ
6.43225 ⋅ 8.36 = 26.89 m 3 Kazı miktarı 2 2 F +F 19.834 + 12.355 Vd1 = d1 d3 ⋅ 20.00 = ⋅ 20.00 = 321.89 m 3 2 2 Fd2 8.9492 V d2 = ⋅k = ⋅ 11.64 = 52.08 m 3 2 2 Vy =
⋅l =
Vd = Vd1 + Vd2 = 321.89 + 52.08 = 373.97 m 3 Toplam dolgu miktarı 2.8.4.4.
Kesitlerin İkisi de Karışık a
Her iki kesitin solunda ve sağında kalan alanlar aynı tür ise (yandaki şekilde olduğu gibi), sol ve sağ taraf için ayrı ayrı 1. durumda açıklandığı şekilde yarma ve dolgu hacimleri hesaplanır. Aksi takdirde 2. durumda açıklandığı şekilde hesap yapılır.
1+540 Fy1
Fd1 1+560 Fy2 Fd2
b
60
Geometrik Nivelman Örnek:
Fd1=6.14 m
2
Fd2=8.25 m
2
Fy1=13.48 m
2
Vd=?
Fy2=14.72 m
2
Vy=?
İki kesit arasındaki uzaklık=1560–1540=20 m
Fd 1 + Fd 2 6.14 + 8.25 ⋅s = ⋅ 20.00 = 143.90 m3 2 2 Fy 1 + Fy 2 13.48 + 14.72 Vy = ⋅s = ⋅ 20.00 = 282.00 m 3 2 2 Vd =
2.9. Nivelmana Etki Eden Hatalar 2.9.1. Düzenli (Sistematik) Hatalar 1. Küreselliğin (Yerin Eğriliğinin) Etkisi
si
gi = Geri okuma ii=İleri okuma
si’ dhi’
dhi
gi
ii dh
R
R 2 + s 2 = (R + dhi )2 R 2 + s 2 = R 2 + 2 ⋅ R ⋅ dhi + dhi2 Dünyanın yarıçapı R ve s uzaklığına göre, dhi çok küçük olduğundan
R
dh i2
ihmal
edilebilir. Bu durumda, dhi ≅
O
s2 2 ⋅R
olur. dh i = dh i' eşitliği sağlandığı anda hata giderilmiş olur. Bunun için de alet, miraların
ortasına kurulmalıdır (si=si’ olmalıdır). si nin bazı değerleri için bu hatanın etkisi hesaplanırsa, aşağıdaki çizelgede verilen değerler elde edilir. si dhi
50 m 0.2 mm
100 m 0.78 mm
250 m 4.9 mm
500 m 1.96 cm
1 km 7.85 cm
2. Gözlem Ekseninin Kırılması (Simetrik Kırılma) Gözlem ışını, geçtiği ortamın etkisiyle küçük bir sapmaya uğrar. Bu nedenle gözlem ışını, bir doğru olmayıp eğri olur. Bu eğrinin yarıçapı R’,
Rı =
R k
61
Geometrik Nivelman bağıntısı ile hesaplanır. Burada, R dünyanın yarıçapı, k ışığın kırılma katsayısıdır. Türkiye için ortalama kırılma katsayısı k=0.13 olarak alınır. Işığın kırılmasının her bir mira okumasına etkisi, küreselliğin etkisine benzer şekilde, s2
s2 s2 dhk = = = ⋅k 2 ⋅ Rı 2 ⋅ R 2R k
hesaplanır. Alet ortaya kurulmak suretiyle hatanın etkisi ortadan kaldırılabilir. Işığın kırılmasının etkisini azaltmak için gözlem ışınları, yerden en az 70 cm yüksekten geçmelidir. 3. Simetrik Olmayan Kırılma dhg
dhi B A
dhg≠dhi
Arazinin eğiminin fazla olduğu durumlarda, ışığın kırılması farklı ortamlarda olmakta ve bu hata ortaya çıkmaktadır. s2 ⋅ kg 2⋅R → dhg ≠ dhi s2 dhi = ⋅ k i 2⋅R dhg =
Bu hatanın etkisini azaltmak için, nivelman yolu, sabit eğimli arazi olarak seçilmemelidir. 4. Artık Eğim Hatası Bu hata düzeç kabarcığının iyi ortalanmamasından ileri gelir. Bundan dolayı ortaya çıkacak hatayı e ile gösterirsek, bunun geri ve ileri okumalara etkisi,
dhe g = s g ⋅ e dhe i = s i ⋅ e A düzeç duyarlığı olmak üzere, hata miktarı,
e
dhe s
dhe (mm ) = 10 − 4 ⋅ 3 ⋅ s i(m ) A cc
eşitliği ile verilmektedir. Hatanı giderilmesi için alet, iki miranın ortasına kurulmalıdır. Örnek: s = 50 m,
A = 25 cc olarak verildiğine göre dhe artık eğim hatasını hesaplayalım.
dhe (mm) = 10 − 4 ⋅ 3 ⋅ 50 (m) ⋅ 25 = 0.015 ⋅ 5 = 0.075 mm dhe = 0.075 mm 5 . Alet ve Miranın Yere Batmasının Etkisi Hatanın etkisini azaltmak için mira, mümkün olduğunca sabit ve sert zeminlere tutulmalı ve alet de sert zeminlere kurulmalıdır. 62
Geometrik Nivelman 6. Miranın Eğik Tutulmasından Doğan Hata
Mira dα kadar eğik tutulursa, okunması gereken değerden dr kadar fazla bir değer okunur. A da’ B Gözlem ekseni dr C da Mira
da' 2 = 2r ⋅ dr + dr 2 ABC üçgeninde → da' 2 = dr 2 + da 2
r r
OAB üçgeninde → r 2 + da' 2 = (r + dr ) 2
dr 2 + da 2 = 2r ⋅ dr + dr 2
dα
da 2 = 2r ⋅ dr
O
(1)
OCB üçgeninde → da = r ⋅ dα
da’nın bu değeri (1) eşitliğinde yerine konulursa, r 2 ⋅ dα 2 = 2r ⋅ dr → dr =
1 ⋅ r ⋅ dα 2 2
olur. Örnek 1: r=3.5 m, dα=1E için dr=? dr =
1 1 1o 1 1 ⋅ r ⋅ d α 2 = ⋅ 3 .5 ⋅ ( o ) 2 = ⋅ 3 .5 ⋅ ( ) 2 = 0.000533 m = 0.5 mm 2 2 2 57.2958 ρ
Örnek 2: r=3.5 m, dα=20.5 için dr=? dr =
1 1 2 o.5 1 2. 5 ⋅ r ⋅ d α 2 = ⋅ 3 .5 ⋅ ( o ) 2 = ⋅ 3 .5 ⋅ ( ) 2 = 0.0033 m = 3.3 mm 2 2 2 57 . 2958 ρ
Mira, dikkatlice dik tutulursa, mira eğikliğinin etkisi ihmal edilebilir. Bir mira, Çıplak gözle
±20.5 (=0.952 mm/m),
Çekülle
±10.5 (=0.343 mm/m),
Küresel düzeçle
±00.5 ∼10 (=0.038 ∼ 0.152 mm/m)
Küresel düzeç ve mira destekleri ile ±0E.1 (=0.002 mm/m) lik bir hata ile dik tutulabilir (Banger, 1981). 7. Paralaks Hatası
Düzece yandan bakılırsa kabarcık, p kadar kaymış görülür. n noktada hata, geri-ileri okumalarında çift etki göstereceğinden bu
p
Düzeç camı
Kabarcık ucu Düzeç kabarcığı
kaymanın
etkisi,
2p ⋅ s i ⋅ n
dir.
Hata
sistematiktir. Bu hatanın yok edilmesi için düzece tam karşıdan; kontrol için bir kere sağdan bir kere de soldan bakılmalıdır. 63
Geometrik Nivelman Eğer düzece, bazen sağdan bazen de soldan bakılırsa hata tesadüfidir. Bu durumda hata, 2p ⋅ s i ⋅ n = 2p ⋅ s i ⋅
S = p ⋅ 2s i ⋅ S olur. 2s i
2.9.2. Düzensiz (Tesadüfi) Hatalar
1. Mira bölümlerinin tesadüfi ortalama hatası, 2. Mira üzerinde tesadüfi ortalama okuma hatası, 3. Nivelman yolunun değişik eğimde olması dolayısıyla ışığın kırılmasının ortalama hatası, 4. Düzeçlemeden doğan ortalama hata, 5. Eşit olmayan hedef uzaklıklarından doğan ortalama hatalardır.
64
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
3. BÖLÜM TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ Yükseklikler genellikle geometrik nivelmanla belirlenir. Minare kule gibi yanına gidilemeyen ya da arazinin çok engebeli olduğu durumlarda ve geometrik nivelman inceliği istenmeyen işlerde, noktaların yükseklikleri trigonometrik nivelmanla belirlenir. Trigonometrik nivelman, daha çok nirengi noktaları ile takimetrik alımda ve total station benzeri elektronik aletlerle yapılan üç boyutlu kutupsal alımda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılır. Trigonometrik yükseklik belirlemesi için yüksekliği bilinen bir noktaya teodolit ya da total station kurularak, düşey açı okunur, alet yüksekliği ve işaret yüksekliği ölçülür. Ayrıca iki nokta arasındaki uzaklığın da bilinmesi veya ölçülmesi gerekir.
3.1. Düşey Açı Zenit (Başucu)
Z : Zenit (başucu) açısı α : Eğim açısı Z+α = 100g
P
Z Yatay Şekil 3.1 Düşey açı İki çeşit düşey açı vardır. Bunlar zenit (başucu) açısı ve eğim açısıdır. Teodolitlerde düşey açı ölçme düzenleri genellikle zenit açısı ölçülecek şekilde yapılmıştır. Düşey açı bölüm dairesi, daire merkezi yatay eksenle çakışacak şekilde ve düşey durumda dürbüne bağlanmıştır. Dürbün aşağı yukarı hareket ettirildiği zaman düşey açı bölüm dairesi de dürbünle birlikte hareket eder.
65
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası Düşey açı bir gösterge çizgisiyle okunuyorsa, optik eksen tam yatay durumda iken gösterge çizgisinin de tam 100 gradı göstermesi gerekir. Optik eksen yatay durumda iken düşey açı düzeci ayarlandığında gösterge çizgilerini birleştiren doğru ile bölüm dairesinin 100 ve 300 grad çizgileri çakışmıyorsa açı 100 gradtan biraz farklı olacaktır. Bu fazla ya da az okunan miktara gösterge hatası veya düşey kolimasyon hatası denir. Gösterge çizgilerinin yataylanması düşey açı düzeci yardımıyla veya kompensatörlerle otomatik olarak sağlanmaktadır. Gösterge hatası, ya optik eksen ile bölüm dairesinin 100g-300g çizgilerini birleştiren doğru, ya da düzeç ekseni ile gösterge ekseni birbirlerine paralel değilse oluşur. Şekilde birinci hata δ1, ikinci hata ise δ2 ile gösterilmiştir. Açı ölçümünde bu iki hatanın toplamı bir tek hata olarak görünür. Düşey kolimasyon hatası, düşey açı bölüm dairesinin zenit doğrultusundan kayıklığı olarak düşünülürse aşağıdaki şekilde gösterilebilir. Zenit (başucu)
δ 300 100
δ2 δ δ1
Z
α1
300
O
300
δ
100
200
P
0
P
0
0
O
Zenit
Zenit
α2
Z 100
200
α1= Z+δ Z =α1-δ
α2=400g - Z+δ Z =400g-(α2-δ)
Birinci dürbün durumu
İkinci dürbün durumu
200
Şekil 3.2 Düşey kolimasyon hatası α1+ α2 = 400g +2δ δ=( α1+ α2 - 400g) / 2 Eğer alet hatalı değilse dürbünün iki durumunda ölçülen zenit açılarının toplamı 400g olur. 400 gradtan fazla olan miktar, gösterge hatasının iki katıdır. Bunun yarısı α1 den çıkarılarak hatasız zenit açısı bulunur. Gösterge hatası her alet kurulan noktada ölçülen bütün açılar için yaklaşık olarak eşittir. Bir aletle iki dürbün durumunda yapılan ölçümlerle hatasız zenit açısı elde edilir. Hata büyük olursa hesapta zorluk yaratacağı ve bir dürbün durumunda yapılan ölçümler hatalı olacağından alet ayarlanarak bu hata giderilir. Alette hatanın giderilmesi şöyle yapılır: δ hata miktarı birinci dürbün durumunda okunan açıdan çıkarılarak hatasız zenit açısı Z bulunur. Z = α1 − δ
66
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Sonra alet birinci dürbün durumunda P noktasına yöneltilir ve mikrometre vidası ile okunması gereken Z açı değeri ayarlanır. Düşey açı bölüm dairesinin bölüm (taksimat) çizgileri, düşey açı düzeçleme vidası yardımıyla çakıştırılır ve kayan düzeç kabarcığı düzeç ayar vidası yardımıyla ortalanarak aletin hatası giderilmiş olur. Hata giderildikten sonra kontrol için işlem yinelenir. Örnek: α1=97g.6586 α2=302g.3458
α 1 + α 2 − 400 g
400.0044 − 400 0.0044 = = 0 g .0022 2 2 2 g g g Z = α 1 − δ = 97 .6586 − 0 .0022 = 97 .6564
δ=
=
3.1.2. Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı Düşey açı ölçümü genellikle refraksiyonun (ışığın kırılmasının) az olduğu öğle saatlerinde yapılmalıdır. Düşey açılar genellikle 2 silsile olarak ölçülürler. Bir silsile düşey açı ölçümü şöyle yapılır: Alet nokta üzerine kurulup düzeçlendikten sonra bir P noktasına yöneltilir ve yatay gözlem çizgisinin ortaya yakın bir yeri dürbünün düşey az hareket vidası yardımıyla noktaya tatbik edilir. Düşey açı düzeci yataylanır ve düşey açı okunur. Eğer alet otomatik ise yani gösterge çizgisinin yataylanması bir kompensatör yardımıyla otomatik olarak yapılıyorsa düzecin ayarlanmasına gerek yoktur. Dürbün ikinci duruma getirilir ve yatay gözlem çizgisi tekrar noktaya tatbik edilip, düzeç ayarlandıktan sonra düşey açı okunur. İkinci silsileye başlarken yatay açı ölçümündeki gibi başlangıç doğrultusunun kaydırılması söz konusu değildir. DN
BN
A
B
C
Silsile No 1
Dürbün Durumu I II
2
I II
1
I II
2
I II
Okunan Düşey Açı 95g.7718 304.2342 400.0060 95.7730 304.2350 400.0080 107.3641 292.6429 400.0070 107.3623 292.6431 400.0054
δ -30cc -30cc -40cc -40cc -35cc -35cc -27cc -27cc δort=-33
Z 400g-Z 95g.7688 304.2312 400.0000 95.7690 304.2310 400.0000 107.3606 292.6394 400.0000 107.3596 292.6404 400.0000
Ortalama Z 95g.7689
107.3601
vδ
Vδ2
-3
9
+7
49
+2
4
-6
36
Bir istasyonda s tane noktaya bakılarak n silsile düşey açı ölçülmüşse, ölçü sayısı n·s olur. 67
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
vδ i =
[δ i ] − δ
n ⋅s
mz = ± Mz = ±
mz = ±
i
= δ ort − δ i
[ v δ2 ]
Bir silsile ölçülen açının ortalama hatası
n ⋅ s −1 mz
n silsile ölçülen açının ortalama hatası
n [ v δ2 ]
98 = ± 5 cc .72 2 ⋅ 2 −1
=±
n ⋅ s −1 m 5.72 Mz = ± z = ± = ±4 cc .04 n 2
Bir silsile ölçülen bir açının ortalama hatası 2 silsile ölçülen bir açının ortalama hatası
Refraksiyon katsayısı, havanın sıcaklık derecesine, yoğunluğuna, rutubetine ve basıncına göre değişir. En büyük değişmeler sabah ve akşam saatlerinde, en küçük değişmeler öğle saatlerinde olmaktadır. Bu nedenle trigonometrik yükseklik ölçümünde düşey açı ölçümleri öğle saatlerinde yapılmalıdır. Bundan başka, yere ve su yüzeylerine yakın geçen ışınlar daha fazla kırıldıklarından, açı ölçümünde ışınların mümkün mertebe yere ve su yüzeyine yakın olmamasına dikkat edilmelidir. k değeri, Türkiye’nin çeşitli bölgeleri için Harita genel Komutanlığınca 1/200 000 ölçekli 27 pafta için hesaplanmış olan 27 değerin ortalaması alınarak 0.13 bulunmuştur. (C. Songu, Ölçme Bilgisi, ikinci Cilt, 1975).
3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü Z
D
h
t
Yatay
B
i
∆h
S
A Şekil 3.3 Trigonometrik nivelman Şekil 3.3 den, HB = HA + i + h – t h = S cotZ Yatay uzunluğa göre h = D cosZ Eğik uzunluğa göre yazılabilir. h’ın değeri yukarıdaki (3.1) eşitliğinde yerine konursa, HB = HA + i + S cotZ – t HB = HA + i + D cosZ – t 68
(3.1)
(3.2)
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
eşitlikleri elde edilir. İki nokta arasındaki yükseklik farkının trigonometrik olarak hesaplanabilmesi için, bu noktalardan birine teodolit kurularak, diğer noktadaki işarete bakılır ve düşey açı ile birlikte yatay ya da eğik uzunluk ölçülür. Ayrıca durulan noktada alet yüksekliği (yatay eksene kadar), bakılan noktada da işaret yüksekliği ölçülür. Yerin küreselliğinin ve refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi 250 metreye kadar uzunluklarda 1 cm nin altında kaldığı için bu iki faktörün etkisi, 250 metreye kadar olan uzunluklarda dikkate alınmaz. Trigonometrik yükseklik hesabında 250 metreye kadar olan uzunluklar, kısa mesafe olarak adlandırılır. 3.2.1. Kule Yüksekliği Ölçümü Kule Yüksekliği belirlemesi, alet kurulan nokta ile kule arasındaki S uzunluğunun doğrudan ölçülüp ölçülmemesine bağlı olarak iki şekilde ele alınır. 3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor T Z2
Z1
Bilinen: HA Ölçülen: Z1, Z2, S
h
İstenen: h = ?
i A
S
T’
Şekil 3.4 S uzunluğunun ölçülmesi durumunda kule yüksekliği hesabı h kule yüksekliği, şekilden de görüldüğü üzere h = HT - HT’ bağıntısı ile hesaplanır. Öncelikle verilenlere göre HT ve HT’ nün hesaplanması gerekir. HT = HA +i+ S cotZ1 HT’ = HA +i+ S cotZ2 h = HT – HT’ = S (cotZ1 – cotZ2) Örnek: Z1 = 95g.3674 S = 75.14 m g Z2 = 102 .1826 h=? h = S (cotZ1 – cotZ2) = 75.14 * (cot95.3674 – coot102.1826) = 8.0546 m h = 8.05 m Eğer kulenin tabanı olan T’ noktasının yüksekliği önceden biliniyorsa ya da geometrik nivelmanla belirlenmişse, trigonometrik olarak yalnızca kulenin tepesinin yüksekliğinin (HT) hesaplanması yeterlidir. Yine h=HT-HT’ bağıntısı kullanılarak h hesaplanır. Bu durumda Z2 nin ölçülmesine ihtiyaç yoktur; fakat i alet yüksekliğinin ölçülmesi gerekir. 69
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Örnek : Z = 93g.7853
S = 86.55 m
HA = 125.82 m
i = 1.50 m
HT’ = 127.39 m
h=?
HT = HA + i + S cotZ = 125.82 + 1.50 + 86.55 * cot93.7853 = 125.82 + 1.50 + 8.48 = 135.80 m h = HT – HT’ = 135.80 – 127.39 = 8.41 m 3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor a) Yatayda Oluşturulan iki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bilinenler Ölçülenler
: HA, HT’ yükseklikleri : Z düşey açısı
İstenen: h = ?
α, β, γ, δ yatay açıları a ve b kenarları T
B
Z
α
a β A
T’ A
γ b
S
T
S δ
C Şekil 3.5 Yatayda oluşturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekliği hesabı sinα sin(α + β) sinδ ATC → S = b ⋅ sin(γ + δ) ABT → S = a ⋅
Buradan ortalama S bulunur ve bu değerle de HT
yüksekliği hesaplanır. HT = HA + i + S ∗ cotZ h = HT – HT’ Örnek : a = 28.15 m
α = 75g.1428
b = 23.90 m
β = 67.3920
g
Z = 95 .1686
γ = 71.2675
i = 1.50 m
δ = 80.4750
HA = 101.00 m HT’=101.95 m
h=? 70
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
sinα = 33.162 m sin(α + β) sinδ S = b⋅ = 33.142 m sin( γ + δ ) S = a⋅
Sort = 33.152 m
HT = HA + 1.50 + S * cotZ = 101.00 + 1.50 + 33.152 * cot95g.1686 = = 101.00 + 1.50 + 2.52 = 105.02 m h = HT –HT’ = 105.02 -101.95 = 3.07 m b) Düşey Düzlemde Oluşturulan İki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bu yöntemde A, B ve T noktaları, aynı düşey düzlem içinde olacak şekilde seçilir. T
Bilinenler: HA, HB, HT’ Ölçülenler : d uzaklığı ia, ib alet yükseklikleri İstenen: h = ?
ZB
ZA
ZA, ZB düşey açıları
ib
ia
B
h T’
d e A Şekil 3.6 Düşey düzlemde iki üçgen oluşturulması
HT = HA + ia + (d + e) cotZA HT = HB + ib + e cotZB HA +ia + (d+e) cotZA = HB + ib + e cotZB e cotZA - e cotZB = HB + ib - HA - ia - d cotZA e=
H B − H A + i b − i a − d ⋅ cotZ A cotZ A − cotZ B
T noktasının yüksekliğinin incelikli olarak hesaplanabilmesi için şu noktalara dikkat edilmelidir: 1. B noktası, ZB açısı yaklaşık 50g olacak şekilde seçilmelidir. 2. d uzunluğu, kule yüksekliğinin yaklaşık iki katı olmalıdır. Bunun için de ZA, 80g civarında olur. 3. A noktasındaki zenit açısı ZA, ZB ye göre daha hassas ölçülmelidir. 4. d uzunluğu hassas bir şekilde ölçülmelidir. 5. Kulenin yüksekliği, A noktasındaki ölçümlere göre hesaplanmalıdır. B noktasındaki hesap kontrol için yapılmalıdır. Hesap : HT = HA + ia + (d+e) * cotZA Kontrol: HT = HB + ib + e * cotZB 6. A ve B noktalarının en uygun konumu, kulenin ayrı ayrı tarafında seçilmeleridir. 71
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Örnek: ZA= 82g.1694 ZB= 53g.4961 HA = 100.00 m HB = 102.15 m HT’ = 105.24 m
ia =1.55 m ib =1.42 m d = 42.76 m h=?
HT = H A + i a + (d + e) ⋅ cotZ A HT = H B + i b + e ⋅ cotZ B H A + i a + (d + e) ⋅ cotZ A = H B + i b + e ⋅ cotZ B e=
H B − H A + i b − i a − d ⋅ cotZ A 102.15 − 100.00 + 1.42 − 1.55 − 42.76 ⋅ cot82.1694 = cotZ A − cotZ B cot82.1694 − cot53.4961
− 10.2796382 2 = 16.903 m − 0.60814156 92 Hesap → HT = 100.00 + 1.55 + (42.76 + 16.90) ⋅ cot82.1694 = 118.712 m
e=
Kontrol → HT = 102.15 + 1.42 + 16.90 ⋅ cot53.4961 = 118.709 m h = HT − HT ′ = 118.71 − 105.24 = 13.47 m
3.2.2. Trigonometrik Nivelman
ZA
hA
ℓA
A
hB
ZB
ℓB ileri
geri sa
P
Bilinen
: HA
Ölçülenler: ZA, ZB, sa, sb, ℓA, ℓB İstenen
: HB = ?
B sb
Şekil 3.7 Trigonometrik nivelman Trigonometrik nivelmanla iki nokta arasındaki yükseklik farkının bulunmasında, geometrik nivelmandaki geri - ileri bağıntısından yararlanılır.
∆H AB = H B − H A = geri − ileri = ( l A − h A ) − ( l B − hB ) H B − H A = l A − s a ⋅ cotZ A − l B + s b ⋅ cotZ B H B = H A + s b ⋅ cotZ B − sa ⋅ cotZ A + l A − l B Yukarıdaki bağıntı∗, şu şekilde de elde edilebilir: Alet kurulan P noktasına göre, A ve B noktalarının yüksekliklerini veren bağıntılar yazılır ve sonra bu bağıntılardan HB -HA oluşturulur.
∗
Bu bağıntı çıkartılırken ZA ve ZB nin değerleri ne olursa olsun, ZA ve ZB nin 100g dan küçük, yani hA ve hB nin pozitif olduğu şekil 3.7 esas alınır. ZA ve ZB nin tüm değerleri için yukarıdaki eşitlik geçerlidir. 72
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
H B = H P + i + s b ⋅ cot Z B − l B H A = H P + i + sa ⋅ cot Z A − l A H B − H A = s b ⋅ cot Z B − s a ⋅ cot Z A + l A − l B H B = H A + s b ⋅ cot Z B − sa ⋅ cot Z A + l A − l B Örnek :
ZA
hB
ZB
ℓB
hA
ℓA A
P
141.72 m
B 121.17 m
Bilinen : HB=1000.00 m Ölçülenler : ZA=106g.1871 ZB=95g.3943 ℓA=1.20 m ℓB=3.46 m İstenen : HA = ?
ΔH AB = H B − H A = (l A − s a cot Z A ) − (l B − s b cot Z B ) H A = H B + s a cot Z A − s b cot Z B − l A + l B H A = 1000.00 + 141.72 cot 106.1871 − 121.17 cot 95.3943 − 1.20 + 3.46 H A = 1000.00 − 13.817 − 8.782 − 1.20 + 3.46 = 1000.00 − 20.339 = 979.661 m HA = 979.66 m 3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması Ölçülenler İstenen
ℓ
Z2 Z1
m
: Z1, Z2, i, t, l : ∆hAB=?
t
B
i A
s
∆hAB
Şekil 3.8 Uzunluk ölçülmeden yükseklik farkının hesaplanması s ⋅ cot Z1 = m + l ⇒ m = s ⋅ cot Z1 − l s ⋅ cot Z 2 = m s ⋅ cot Z1 − l = s ⋅ cot Z 2 s ⋅ (cot Z1 − cot Z 2 ) = l
s=
l cot Z1 − cot Z 2
∆h AB = H B − H A = s ⋅ cot Z1 + i − ( l + t ) ∆h AB = H B − H A = s ⋅ cot Z 2 + i − t
73
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Örnek:
ℓ
Z2 Z1
m
t
B
i
∆hAB
s
A s=
Ölçülenler :Z1=96g.7120 Z2 =97g.9122 İ= 1.50 m t=1.90 m ℓ= 2.00 m Bilinen : HA =101.50 m İstenen : HB=?
l 2.00 2.00 = = = 105.89 m cot Z1 − cot Z 2 cot 96.7120 − cot 97.9122 0.0188869
H B = H A + 1.50 + 105.89 ⋅ cot 96.7120 − 2.00 − 1.90 = 104.57 m H B = H A + 1.50 + 105.89 ⋅ cot 97.9122 − 1.90 = 104.57 m
3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik
Ölçülen büyüklükler, s uzunluğu, Z düşey açısı, i alet yüksekliği ve t işaret yüksekliği ile bunların ortalama hataları da ms, mz, mi, mt olmak üzere kısa uzunluklarda trigonometrik yükseklik ölçümündeki inceliği bulmak için, ∆hAB=HB -HA=s cotZ+i-t formülüne hata yayılma kanunu uygulanırsa; dh = cot Z ⋅ ds −
s sin 2 Z
m ∆2 h = cot 2 Z ⋅ ms2 +
dz + di − dt
s2 4
⋅
m z2
sin Z ρ
2
+ mi2 + mt2
elde edilir. Örnek :
m z = ±15
cc
m ∆2 h
= cot
2
Z ⋅ ms2
+
s2 4
⋅
m z2
sin Z ρ
2
+ mi2 + mt2
ms = ±15 mm
m ∆2 h = 5.644 + 5.834 + 4 + 4 = 19.478
mi = ±2 mm
m ∆h = ±4.4 mm
mt = ±2 mm
Z = 95 g ⇒ m ∆2 h = 1.3936 + 5.586 + 4 + 4 = 14.9796
s = 100 m
m ∆h = ±3.9 mm
Z = 90 g
Z = 99 g ⇒ m ∆2 h = 0.0555 + 5.5544 + 4 + 4 = 13.6099
m ∆h = ?
m ∆h = ±3.7 mm
74
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman Noktalar arasındaki uzaklık 250 metreden fazla ise, yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının (refraksiyonun) etkisi hesaba katılır. B F δ
A
γ 2
s
E C
R
hk
h
R = 6373394 m (Dünyanın yarıçapı), R’= R/k (Işın yayının yarıçapı), k = Kırılma (refraksiyon) katsayısı, hk = Yerin küreselliğinin etkisi, hr =Refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi, ∆H = A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkı,
hr
∆h
Z = 100g – α h = s * tan α = s * cot Z
R’
γ 2δ
O
O’ Şekil 3.9 Uzun mesafede trigonometrik nivelman γ hk γ = ⇒ hk = s ⋅ tan 2 2 s s AOC üçgeninde tan γ = R γ küçük açı olduğundan , s γ γ s ⇒ = tan = γ = tan γ = R 2 2 2R Bu değer (1) eşitliğinde yerine konulursa, AEC üçgeninde tan
(1)
s s2 = 2R 2R elde edilir. Işın yayı, bir daire yayı olarak alınabilir ve yarıçapı R‘ ile gösterilirse, ışığın kırılmasının etkisi de, yerin küreselliğinin etkisine benzetilerek hk = s ⋅
s2 s2 s2 ⋅ k hr = = = R 2R ′ 2R 2 k 75
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
yazılabilir. Şekilden görüldüğü gibi, küreselliğin etkisi daima (+),ışığın kırılmasının etkisi ise eksi daima (-) dir. Refraksiyon (kırılma) katsayısı verilmezse ya da bilinmiyorsa, ülkemizde k=0.13 ortalama değeri kullanılır. ∆H = h + hk − hr ∆H = s ⋅ cot Z + ∆H = s ⋅ cot Z +
s2 s2 ⋅ k − 2R 2R
(1 − k) ⋅ s 2 2R
Alet ve işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
(1 − k) 2 ⋅s + i −t 2R olarak elde edilir. Alet kurulan noktanın yüksekliği biliniyorsa, bakılan noktanın yüksekliği aşağıdaki eşitlik ile bulunur. ∆H = s ⋅ cot Z +
H B = H A + ∆H = H A + s ⋅ cot Z +
(1 − k ) 2 ⋅s + i −t 2R
Yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının etkisi k=0.13, R=6373394 m alınarak, belirli uzunluklar için hesaplanmış ve aşağıdaki çizelgede verilmiştir. si
50 m
hk
0.20 mm
hr Hk+hr
100 m
250 m
500 m
1 km
-0,03 mm
0.78 mm -0.10 mm
4.90 mm -0.64 mm
9.61 mm -2.54 mm
78,45 mm 10.20 mm
0.17 mm
0.68 mm
4.26 mm
7.07 mm
68.25 mm
Örnek 1:
HA = 2000.00 m HB = ?
94g.7215 3.10 m 1.50 B A
H B = H A + s ⋅ cot Z +
s=2462.36m
(1 − k ) 2 ⋅s + i −t 2R
(1 − 0.13 ) ⋅ ( 2462.36 ) 2 + 1.50 − 3.10 2 ⋅ 6373394 H B = 2000.00 + 204.634 + 0.414 + 1.50 − 3.10 = 2203.45 m H B = 2000.00 + 2462.36 ⋅ cot 94.7215 +
76
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Örnek 2:
103g.4715
ℓ2=1.85 m
g
92 .7524
B
ℓ1=1.50 m
A
i
C
sA=345.14 m HA=200.00 m
sB=762.94 m
R=6373 394 m
HB = ?
1−k 2 ⋅ sB − l 2 2R 1−k 2 ⋅ s A − l1 H A = H C + i + s A ⋅ cot Z A + 2R 1−k 2 2 H B − H A = s B ⋅ cot Z B − s A ⋅ cot Z A + ⋅ ( sB − sA ) + l1 − l 2 2R 1 − 0.13 = 762.94 ⋅ cot 92 g .7524 − 345.14 ⋅ cot 103 g .4715 + (762.94 2 − 345.14 2 ) + 1.50 − 1.85 2R H B − H A = 105.755 m → H B = H A + 105.755 m = 305.755 m H B = H C + i + s B ⋅ cot Z B +
Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi ZB
δ2
s' ZA
δ1
A β1
B β2
α s C
R
R' R' γ
O
Şekil 3.10 Işığın kırılma katsayısı k nın belirlenmesi
77
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
AOB üçgeninden
⇒ β1 + β 2 + γ = 200 g
(1)
β1 = 200 − (Z A + δ1 ) β 2 = 200 − (Z B + δ 2 ) Bu iki değer yukarıda (1) de yerlerine konulursa, 200 g − Z A − δ 1 + 200 − Z B − δ 2 + γ = 200
(2)
Z A + Z B + δ 1 + δ 2 = 200 + γ elde edilir. AB ışın yayı bir daire yayı olarak alınırsa, δ1= δ2 olur. İnceliğe bir etkisi olmadığından s’=s alınabilir. Bu durumda, δ1 = δ 2 =
s = 2 ⋅ R'
γ s s = ⋅k = k R 2R 2 2⋅ k
olur. Bu değerler (2) de yerlerine konulursa, Z A + Z B + k ⋅ γ = 200 g + γ Z A + Z B − 200 g = γ − k ⋅ γ = γ ⋅ (1 − k )
⇒1 − k =
Z A + Z B − 200 g γ
s ⋅ ρ değeri yerine radyan cinsinden karşılığı yazılırsa, R Z + Z B − 200 g R Z + Z B − 200 g 1−k = A → k =1− ⋅ A s s ρ ⋅ρ R γ=
3.4. Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı Günümüzde hesaplama araçlarının gelişmiş olması nedeniyle ZA ve ZB açıları; yaklaşık olarak değil kesin olarak hesaplanmalıdır. ZB ZA
β1
HA
β2
δ1
A
B
δ2
D
α γ/2 s
ZB
h C
R
∆ZA
L
HB ZA
∆ZB
Z’B
tB iB
DBA
Deniz yüzeyi
Z’A
γ
B
DAB
tA iA
O
s
A
Şekil 3.11 Karşılıklı gözlemlerle iki nokta arasındaki yükseklik farkının belirlenmesi 78
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Z’ : Ölçülen zenit açısı Z : İşaret tepesine indirgenmiş zenit açısı ∆ZA ve ∆ZB nin yaklaşık hesabı:
t −i ∆Z A = A A ⋅ ρ s t −i ∆Z B = B B ⋅ ρ s
Z A = Z' A + ∆Z A Z B = Z' B + ∆Z B
ZA ve ZB nin Kesin hesabı:
DAB ve DBA eğik uzunlukları ölçülmemiş ve s yatay uzunluğu verilmişse öncelikle bu eğik uzunluklar,
D AB =
s ' sin Z AB
;
DBA =
s ' sin Z BA
eşitlikleri ile hesaplanır. Sonra tanjant teoremine göre yazılan aşağıdaki eşitlikten ∆ZA hesaplanır. a + D AB a − D AB
tan
ΔZ A + (200 g − Z A' − ΔZ A )
200 g − Z A' 2 2 = = g ' ΔZ A − (200 − Z A − ΔZ A ) 2 ΔZ A − 200 g + Z A' tan tan 2 2 tan
tan
2 ΔZ A − 200 g + Z A' a − D AB 200 g − Z A' ⋅ tan = 2 a + D AB 2
⎛ a − D AB 2 ΔZ A − 200 g + Z A' 200 g − Z A' ⋅ tan = atn ⎜⎜ 2 2 ⎝ a + D AB
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ a − D AB 2 ΔZ A 200 g − Z A' 200 g − Z A' − = atn ⎜⎜ ⋅ tan 2 2 2 ⎝ a + D AB
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ a − D AB 200 g − Z A' ⋅ tan 2 ⎝ a + D AB
ΔZ A = atn⎜⎜
⎞ 200 g − Z A' ⎟+ ⎟ 2 ⎠
Benzer şekilde
⎞ 200 g − Z B' ⎟+ ⎟ 2 ⎠ yazılır. Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan, şekle göre ⎛ b − DBA 200 g − Z B' ΔZ B = atn⎜⎜ ⋅ tan 2 ⎝ b + DBA
Z AB = Z A' + ΔZ A Z BA = Z B' + ΔZ B 79
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
yazılarak ZA ve ZB hesaplanır. Tanjant teoremine göre OAB üçgeninden, ( R + HB ) − ( R + H A ) = ( R + H B ) + ( R +H A )
β − β2 tan 1 2 β1 + β2 tan 2
(1)
yazılabilir. β1 + β2 200 g − γ π γ = = − 2 2 2 2 β + β2 π γ γ tan 1 = tan( − ) = cot 2 2 2 2
β1 = 200 g − ( Z A +δ1 ) β2 = 200 g − ( Z B + δ 2 ) β1 − β 2 = 200 − Z A − δ1 − 200 + Z B + δ 2 = Z B + δ 2 − Z A − δ1 β −β Z + δ 2 − Z A − δ1 tan 1 2 = tan B 2 2 yazılabilir. β − β2 β + β2 değerleri, yukarıda (1) no lu eşitlikte yerlerine konulursa, ve tan 1 tan 1 2 2
Z +δ − Z A − δ1 tan B 2 HB − HA 2 = γ 2 R + HB + HA cot 2 olur. Buradan ∆hAB = HB - HA çekilirse,
Z + δ 2 − Z A − δ1 tan B 2 γ cot 2 H A + HB Z B +δ 2 −Z A − δ1 γ ∆H AB =H B −H A = 2 R ⋅ tan ⋅ (1 + ) ⋅ tan 2 2R 2
H + HB ∆H AB = H B − H A = 2 R ⋅ (1 + A )⋅ 2R
γ küçük açı olduğundan s γ 2 s tan = = 2 R 2R
⇒ 2R ⋅ tan
γ =s 2
yazılabilir. Öte yandan AB ışın yayı bir daire yayı olarak kabul edilirse δ1= δ2 olur. H A +H B = Hm 2 denilir ve A ile B noktalarındaki işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
Ayrıca,
80
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Hm Z − ZA ) ⋅ tan B + t A − tB R 2 şeklini alır. Noktalar arasındaki s uzaklığı ya da ortalama yükseklik Hm küçük ise parantez içindeki terim ihmal edilebilir. Bu durumda, ∆H AB =H B −H A = s ⋅ (1 +
Z − ZA ∆H AB =H B −H A = s ⋅ tan B + t A − tB (2) 2 olur. Formüldeki ZA ve ZB açıları işaret tepesine indirgenmiş zenit açılarıdır. A noktasının yüksekliği biliniyorsa, B noktasının yüksekliği; H B = H A + ∆H AB = H A + s ⋅ (1 +
Hm Z − ZA ) ⋅ tan B + t A − tB R 2
(3)
şeklinde yazılabilir. ∆H AB yükseklik farkı şu formülle de hesaplanabilir: işaret yükseklikleri dikkate
alınmadan A ve B noktaları arasındaki yükseklik farklar ∆HAB ve ∆hBA , ∆H AB = s ⋅ cot Z A ∆H BA = s ⋅ cot Z B
biçiminde yazılabilir. Bu iki değerin ortalaması alınmak suretiyle, ∆H AB + ( − ∆H BA ) ∆H AB − ∆H BA s ⋅ cot Z A − s ⋅ cot Z B cot Z A − cot Z B = = =s⋅ 2 2 2 2 elde edilir. İşaret yükseklikleri de dikkate alınırsa, ∆H AB =
cot Z A − cot Z B + t A − tB 2 Yatay uzunluk yerine eğik uzunluk kullanılırsa (4 ) numaralı eşitlik yerine, ∆H AB = H B − H A = s ⋅
(4)
cos Z A − cos ZB + t A − tB (5) 2 olur. (4) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçla, (2) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçlar aynıdır. İki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanırken, önce (2) veya (4) numaralı eşitliklerden birine göre aranan nokta yüksekliği hesaplanır ve daha sonra, (3) numaralı eşitlikten noktanın kesin yüksekliği elde edilir. ∆H AB = H B − H A = D ⋅
81
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi
Z’A ZB Z’B D’
Z’B a
Z’A
tA
∆ZA
tB
∆ZB
D”
ZA
b
D D
iB
ZA B
iA
D s
A
Şekil 3.12 Zenit açılarının zemin noktasına indirgenmesi Z’A, Z’B : Ölçülen zenit açıları, ZA, ZB : Zemin noktasına indirgenmiş zenit açıları, D’, D’’ : Ölçülen eğik uzunluklar, D : Zemin noktaları arasındaki eğik uzunluk, S : Zemin noktaları arasındaki yatay uzunluk, iA, iB : Alet yükseklikleri, tA, tB : İşaret yükseklikleri olmak üzere; a = tA-iB, b = tB-iA kısaltmaları ile ve uzun mesafede D′ ≅ D′′ ≅ D kabulüyle, ı s = D ⋅ sin Z A
→D =
s ı sinZ A
b b ′ ⋅ sin Z ′A = ⋅ sin 2 Z A s D a a ′ = ⋅ sin 2 Z B ′ Sin ∆Z B = ⋅ sin Z B s D ′ + ∆Z A ZA = ZA ′ + ∆Z B ZB = ZB Sin ∆Z A =
yazılır. Z = 90 g − 110 g arasında sinZ ≅ sin 2 Z ≅ 1 açılar olduğu da dikkate alınırsa; b b ⋅ρ = ⋅ρ D s a a ∆Z B = ⋅ ρ = ⋅ ρ D s ∆Z A =
yazılabilir. 82
alınabilir. ∆Z A ve ∆Z B nin küçük
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
ÖRNEKLER: 1- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılmıştır. Aşağıdaki verilere göre; a) k kırılma (refraksiyon) katsayısını hesaplayınız. b) HA=2500.00 m verildiğine göre, B noktasının yüksekliğini hesaplayınız.
ZA 103g.4116
4.50 m
ZB
ΔZB
ΔZA
96g.5373 5.00 m
1.50
1.40
A S= 4745.38 m
B
t −i 4.50 − 1.50 ΔZ A = A A ⋅ ρ = ⋅ 63.6620 = 0 g .0402 S 4745.38 t −i 5.00 − 1.40 ΔZ B = B B ⋅ ρ = ⋅ 63.6620 = 0 g .0483 S 4745.38
Z A = 103.4116 + ΔZ A = 103.4116 + 0.0402 = 103 g .4518 Z B = 96.5373 + ΔZ B = 96.5373 + 0.0483 = 96 g .5856
a) k = 1 −
6373394 0.0374 R Z A + Z B − 200 g R 103.4518 + 96.5856 − 200 ⋅ =1− ⋅ =1− ⋅ S ρ S 63.6620 4745.38 63.6620
k = 1 − 0.789 = 0.21
b) H B = H A + S ∗ tan
ZB − Z A + t A − tB 2
H B = H A + 44745 .38 ∗ tan
96.5856 − 103.4518 + 4.50 − 5.00 2
H B = 2500 .00 − 256 .1525 − 0.50 = 2243 .347 m
H B = H A + S ⋅ (1 + Hm =
Z − ZA Hm ) ∗ tan B + t A − tB 2 R
H A + H B 2500.00 + 2243.347 = = 2371.674 m 2 2
H B = 2500.00 + 4745.38 ⋅ (1 +
96.5856 − 103.4518 2371.674 + 4.50 − 5.00 = ) ∗ tan 2 6373394
H B = 2500 .00 − 256 .248 − 0.50 = 2243 .25 m
83
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
2- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HA=2000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma (refraksiyon) katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır).
106g.1836 1.46
93g.8849
ZA 0.55
ΔZB
ZB
ΔZA
1.54 m
A
0.35 S=4785.34 m
B
i −t 1.46 − 055 ΔZ A = A A ⋅ ρ = ⋅ 63.6620 = 0 g .0121 S 4785 .34 i −t 1.54 − 0.35 ΔZ B = B B ⋅ ρ = ⋅ 63.6620 = 0 g .0158 S 4785.34
Z A = 106.1836 − ΔZ A = 106.1836 − 0.0121 = 106 g .1715 Z B = 96.5373 − ΔZ B = 93.8849 − 0.0158 = 93 g .8691
a) k = 1 −
R 106.1715 + 93.8691 − 200 6373394 0.0406 R Z A + Z B − 200 g ⋅ =1− ⋅ =1− ⋅ ρ S 63.6620 4785.34 63.6620 S
k = 1 − 0.849 = 0.15
b) H B = H A + S ∗ tan
ZB − Z A + t A − tB 2
93.8691 − 106.1715 + 0.55 − 0.35 2 H B = 2000.00 − 463.817 + 0.20 = 1536.38 m H B = H A + 4785.34 ∗ tan
H B = H A + S ⋅ (1 +
Hm =
Hm Z − ZA + t A − tB ) ∗ tan B R 2
H A + H B 2000.00 + 1536.38 = = 1768.19 m 2 2
H B = 2000 .00 + 4785.34 ⋅ (1 +
1768.19 93.8691 − 106.1715 ) ∗ tan + 0.55 − 0.35 6373394 2
H B = 2000 .00 − 463 .946 + 0.20 = 1536 .25 m
84
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
3- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HB=3000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır). 108g.3685 1.60
91g.7007
0.45 A 1.50 m 0.65
S = 6666.66 m B
a) İşaret Tepesine İndirgenmiş Açılarla Çözüm
108g.3685 1.60
91g.7007
ZA 0.45
ΔZB
ΔZA
ZB 1.50 m
A
0.65 S=6666.66 m
B
iA − tA 1.60 − 0.45 ⋅ρ = ∗ 63.6620 = 0 g .0110 S 6666.66 i −t 1.50 − 0.65 ΔZ B = B B ⋅ ρ = ∗ 63.6620 = 0 g .0081 S 6666.66
ΔZ A =
Z A = Z A' − ΔZ A = 108.3685 − 0.0110 = 108 g .3575 Z B = Z B' − ΔZ B = 91.7007 − 0.0081 = 91 g .6926 Z A − ZB 108.3575 − 91.6926 + t B − t A = 6666.66 ∗ tan + 0.65 − 0.45 2 2 H A − H B = 877.588 + 0.65 − 0.45 = 877.788 m
ΔH BA = H A − H B = S ⋅ tan
H A = H B + 877 .788 = 3000 .00 + 877 .788 = 3877 .788 m Hm =
H A + H B 3877 .788 + 3000 .000 = = 3438 .89 m 2 2
Hm Z − ZB ) ⋅ tan A + tB − t A = R 2 3438.89 108.3575 − 91.6926 ) ∗ tan + 0.65 − 0.45 = 878.062 + 0.20 H A − H B = 6666.66 ∗ (1 + 2 6373394
H A − H B = S ⋅ (1 +
H A − H B = 878.262 m
→ H A = H B + 878.262 = 3000.000 + 878.262 = 3878.26 m
H A = 3878.26 m 85
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
k =1 −
R Z A + Z B − 200 g R 108.3575 + 91.6926 − 200 6373394 0.0501 ⋅ =1 − ⋅ =1 − ⋅ S ρ S 63.6620 6666 .66 63.6620
k = 1 − 0.75235 = 0.24765 ≅ 0.248 b) Zemin Noktasına İndirgenmiş Açılarla Çözüm a=1.50-0.45=1.05 108g.3685 1.60
0.45
ZA
∆ZA
91g.7007
b=1.60-0.65=0.95
∆ZB
A
1.50 m
ZB
0.65
S = 6666.66 m B
ΔZ A =
i A − tB 0.95 b 1.60 − 0.65 ⋅ρ = ⋅ρ = ⋅ 63.6620 = ⋅ 63.6620 = 0 g .0091 6666 .66 S S 6666 .66
ΔZ B =
iB − tA a 1.50 − 0.45 1.05 ⋅ρ = ⋅ρ = ⋅ 63.6620 = ⋅ 63.6620 = 0 g .0100 S S 6666 .66 6666 .66
b 0.95 ⋅ sin 2 Z A′ = ⋅ sin 2 108.3685 = 0.0001400519 398 → ΔZ A = 0 g .0089 S 6666.66 a 1.05 Sin ΔZ B = ⋅ sin 2 Z B′ = ⋅ sin 2 91.7007 = 0.0001548385 624 → ΔZ B = 0 g .0099 S 6666.66 Z A = Z A′ − ΔZ A = 108.3685 − 0.0089 = 108 g .3596
Sin ΔZ A =
Z B = Z B′ − ΔZ B = 91.7007 − 0.0099 = 91 g .6908 ΔH BA = H A − H B = S ⋅ tan
Z A − ZB 108.3596 − 91.6908 = 6666 .66 ∗ tan = 877.796 m 2 2
H A = H B + 877.796 = 3000.00 + 877.796 = 3877.796 m Hm =
H A + H B 3877.796 + 3000.000 = = 3438.90 m 2 2
H A − H B = S ⋅ (1 +
Hm Z − ZB 3438 .90 108.3596 − 91.6908 ) ⋅ tan A = 6666 .66 ∗ (1 + ) ∗ tan R 2 6373394 2
H A − H B = 878.270 m k =1 −
→ H A = H B + 878.270 = 3000.000 + 878.270 = 3878.27 m
R Z A + Z B − 200 g R 108.3596 + 91.6908 − 200 6373394 0.0504 ⋅ =1 − ⋅ =1 − ⋅ S ρ S 63.6620 6666.66 63.6620
k = 1 − 0.7569 = 0.2431 ≅ 0.243
86
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Elektronik Takeometrelerle Yapılan Karşılıklı Gözlemlerle Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Aralarındaki yükseklik farkı belirlenecek iki noktada da, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üzerine reflektör yerleştirilmiş birer elektronik takeometre (total station) olmalıdır. Bu iki noktada eş zamanlı karşılıklı gözlemlerle düşey açı ve eğik uzunluklar ölçülürse, iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanabilir. Elektronik takeometrenin yatay ekseni ile üzerindeki reflektör arasındaki a mesafesinin her alet için, bir kez incelikli olarak ölçülmesi yeterlidir. Daha sonra ölçüm anında yalnızca elektronik takeometrelerin yatay ekseninin zemindeki noktadan olan mesafesinin ölçülmesi yeterli olur. Düşey açı ölçümünde, yatay gözlem çizgisinin hedef levhasındaki > < işaretlerinin ortasına tatbik edilmesi yerinde olur. ZAB a
Z’AB
tA
ΔZB
L
ZBA a
ΔZA
DAB
DBA
iA
Z’BA
a
tB
iB
A S
B
Neper Formüllerine Göre Çözüm:
Yukarıdaki şekil ve notasyonlara göre Neper formüllerine göre, ∆Z A + ( 200 g − Z 'AB − ∆Z A ) 200 g − Z 'AB tan a + D AB 2 2 = = g ' a − D AB ∆Z A − ( 200 − Z AB − ∆Z A ) 2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB tan tan 2 2 tan
2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB a − D AB 200 g − Z 'AB tan = ⋅ tan 2 a + D AB 2
⎛ a − D AB 2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB 200 g − Z 'AB = atn ⎜⎜ ⋅ tan 2 2 ⎝ a + D AB
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ a − D AB 2 ∆Z A 200 g − Z 'AB 200 g − Z 'AB − = atn ⎜⎜ ⋅ tan 2 2 2 ⎝ a + D AB
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
87
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
⎛ a − D AB 200 g − Z 'AB ⋅ tan ∆Z A = atn⎜⎜ 2 ⎝ a + D AB
⎞ 200 g − Z 'AB ⎟+ ⎟ 2 ⎠
Benzer şekilde ' ⎛ a − DBA 200 g − Z BA ⋅ tan ∆Z B = atn⎜⎜ 2 ⎝ a + DBA
' ⎞ 200 g − Z BA ⎟+ ⎟ 2 ⎠
yazılır. Z AB = Z 'AB + ∆Z A ' Z BA = Z BA + ∆Z B
L AB sin Z 'AB
=
D AB sin Z AB
→ L AB = D AB ⋅
⎫ ⎪ ⎪ L AB + LBA ⎬ L= 2 ⎪ ⎪ ⎭
sinZ 'AB sinZ AB
' sinZ BA DBA = → LBA = DBA ⋅ ' sinZ BA sin Z BA sin Z BA L ∆H AB = ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B 2
LBA
Kosinüs Teoremine Göre Çözüm Bu çözüm yolunda düşey açının 100 grad civarında olması durumunda, a kenarının çok kısa olması nedeniyle ölçülerin formüllerde yerine konmasıyla anlamsız sonuçlara ulaşılabilmektedir. Bu nedenle düşey açının 100g civarında olduğu durumlarda Neper formüllerine göre çözüm yapılması daha doğru olacaktır.
∆H AB = H B − H A =
1 S ⋅ (cot Z AB − cot Z BA ) + t A − t B 2
Yatay uzunluğa göre
∆H AB = H B − H A =
1 L ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B 2
Eğik uzunluğa göre
⎫ L AB + LBA ⎪ ⎬ L= 2 ⎪ ⎭
2 − 2 ⋅ a ⋅ D AB ⋅ cos Z 'AB L AB = a 2 + D AB 2 ' − 2 ⋅ a ⋅ DBA ⋅ cos Z BA LBA = a 2 + DBA
Sinüs teoremine göre, sin Z AB sin Z 'AB = D AB L
→ sinZ AB =
D AB ⋅ sin Z 'AB L
D Z AB = arcsin( AB ⋅ sin Z 'AB ) L DBA ' Z BA = arcsin( ⋅ sin Z BA ) L ∆H AB =
L (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B 2 88
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Örnek: A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. Aşağıdaki verilere göre B noktasının yüksekliğini bulunuz. ' Z AB = 103 g .9388
D AB = 57.450 m
t A = 1.80 m
a = 0.22 m
' Z BA = 95 g .5718
DBA = 57.475 m
t B = 1.81 m
ΔH AB = ?
a) Neper formüllerine göre çözüm:
⎛ a − D AB 200 g − Z 'AB ⎜ ⋅ tan ∆Z A = atn⎜ 2 ⎝ a + D AB
⎞ 200 g − Z 'AB ⎟+ ⎟ 2 ⎠
200 g − 103.9388 ⎞ 200 g − 103.9388 ⎛ 0.22 − 57.450 ⎟⎟ + ⋅ tan = 0 g .24326 2 2 ⎝ 0.22 + 57.450 ⎠
ΔZ A = atn⎜
200 g − 95.5718 ⎞ 200 g − 95.5718 ⎛ 0.22 − 57.475 ⎟⎟ + ⋅ tan ΔZ B = atn⎜ = 0 g .24316 2 2 ⎝ 0.22 + 57.475 ⎠ ' Z AB = Z AB + ΔZ A = 103.9388 + 0.24326 = 104 g .18241 ' Z BA = Z BA + ΔZ B = 95.5718 + 0.24316 = 95 g .81496
⎫ sinZ 'AB sin103.938 8 = 57.450 ⋅ = 57.464 m ⎪ sinZ AB sin104.182 41 57.464 + 57.460 ⎪ = 57.462 m ⎬ L= ' 2 sinZ BA sin 95.5718 ⎪ LBA = DBA ⋅ = 57.475 ⋅ = 57.460 m ⎪ sinZ BA sin 95.81496 ⎭ L 57.462 ΔH AB = ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B = ⋅ (cos104 .18241 − cos 95.81496 ) + 1.80 − 1.81 2 2 ΔH AB = −3.783 m L AB = D AB ⋅
b) Kosinüs teoremine göre çözüm: ' 2 − 2 ⋅ a ⋅ D AB ⋅ cos Z AB = 0.22 2 + 57.450 2 − 2 ∗ 0.22 ∗ 57.450 ∗ cos103.9388 LAB = a 2 + D AB
LAB = 57.464 m ' 2 LBA = a 2 + DBA − 2 ⋅ a ⋅ DBA ⋅ cos Z BA = 0.22 2 + 57.475 2 − 2 ∗ 0.22 ∗ 57.475 ∗ cos 95.5718
LBA = 57.460 m L AB + LBA 57.464 + 57.460 = = 57.462 m 2 2 D 57.450 ' ) = arcsin( Z AB = arcsin( AB ⋅ sin Z AB ⋅ sin103.9388 ) = 104 g .1491 L 57.462 D 57.475 ' Z BA = arcsin( BA ⋅ sin Z BA ) = arcsin( = sin 95.5718 ) = 95 g .7823 L 57.462 L 57.462 ΔH AB = (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B = ⋅ (cos104 .1491 − cos 95.7823 ) + 1.80 − 1.81 = 2 2 ΔH AB = −3.783 m
L=
89
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Aralarındaki yüksek farkı belirlenecek olan A ve B gibi iki noktanın deniz seviyesinden yükseklikleri fazla değilse veya aralarındaki uzunluk çok büyük değilse, eş zamanlı karşılıklı gözlemlerden iki nokta arasındaki yükseklik farkı şu şekilde de belirlenebilir.
ZAB
tA
DAB
DBA
iA
ZBA tB iB
A S
B
1− k 2 D AB + i A − t B 2R 1− k 2 = DBA ⋅ cos Z B + DBA + i B − t A 2R
ΔH AB = D AB ⋅ cos Z A + ΔH BA
ΔH AB − ΔH BA = D AB ⋅ cos Z A +
1− k 2 1− k 2 D AB + i A − t B − DBA ⋅ cos Z B − DBA − i B + t A 2R 2R
1− k 2 1− k 2 D AB ≈ DBA 2R 2R ifadeleri birbirine eşit alınabilir. Bu durumda, ΔH AB − ΔH BA = D AB ⋅ cos Z A + i A − t B − DBA ⋅ cos Z B − i B + t A
olur. Ayrıca ΔH AB = − ΔH BA
olduğundan ΔH AB − ΔH BA = ΔH AB + ΔH AB = 2ΔH AB = D AB ⋅ cos Z A − DBA ⋅ cos Z B + i A − t B − i B + t A 2ΔH AB = D AB ⋅ cos Z A − DBA ⋅ cos Z B + (i A − i B ) + (t A − t B ) ΔH AB =
D AB ⋅ cos Z A − DBA ⋅ cos Z B (i A − i B ) + (t A − t B ) + 2 2
elde edilir.
90
Takimetri
4. BÖLÜM TAKİMETRİ Takimetri yönteminde bir noktanın yatay konumu ile yüksekliği birlikte belirlenir. Koordinatları ve yüksekliği bilinen bir noktaya (örneğin, poligon noktası) takeometre aleti kurularak ölçülecek noktaların konumları kutupsal koordinat yöntemine göre, yükseklikleri de trigonometrik olarak belirlenir. Kutupsal alım yönteminde, ölçülecek noktaların bilinen bir doğrultuyla yaptığı yatay açılar ve alet kurulan noktadan olan uzaklıkları optik olarak ölçülürler. Takimetri yöntemi, genel olarak yol ve demiryolu projelerinin yapımında, havai nakil hatları etütlerinde, konut, fabrika inşaatı alanlarında, yükseklik eğrili haritaların alımı işlerinde uygulanır.
Şekil 4.1 Takimetrik alım krokisi 82
Takimetri
4.1. Takimetrik Alımın Yapılışı Takimetri ekibi, 1 krokici, 1 operatör (takeometreyi kullanan), 1 yazıcı ve yeterince miracıdan oluşur. Ekibi, krokici yönlendirir. Takimetrik alım için operatör takeometreyi, konumu ve yüksekliği bilinen (genelde poligon) bir noktaya kurar ve alet yüksekliğini (aletin üzerine kurulduğu zemin noktası ile aletin yatay ekseni arasındaki düşey uzaklık) çelik şerit ya da mira ile ölçer. Öncelikle konumu ve yüksekliği bilinen başka bir noktaya bakılarak yatay ve düşey açı okumaları ile birlikte mira okumaları yapılır. Matematiksel olarak bilinen tek bir noktaya bakmak yeterlidir. Fakat kontrol amacıyla bilinen ikinci bir noktaya daha bakılarak aynı okumalar orada da yapılır. Yapılan okumaları, yazıcı takimetrik ölçüm çizelgesine kaydeder. Krokici, miracılarla birlikte ölçülecek yeri dolaşarak, detayı yerinde çizer ve miracılara, mirayı tutacakları yerleri gösterir. Her mira tutulan noktaya bir numara verilir ve ölçü krokisinde “x” işaretiyle (elektrik direği, sokak lambası vb. Özel gösterimi olan noktalar hariç) gösterilir. Kontrol amacıyla 10 noktada bir, yazıcı ile numaralar karşılaştırılır ve bir hata varsa düzeltilir. Nokta numarası, haritası yapılacak bölge için 1 den başlar ve birbirini izleyerek devam eder. Takimetrik olarak yollar, elektrik, telefon direkleri, büyük ağaçlar, duvar, dere, tepe, şev gibi arazinin karakteristik özellik gösteren yerleri ile yükseklik eğrilerinin çizimini sağlayacak şekilde belli aralıklarla mira tutularak arazi taranır. Bir poligon noktasından alınabilen tüm detayın ölçümleri yapılır. Alet (takeometre) bilinen başka bir noktaya kurularak aynı işlemler tekrarlanır. Noktaların numaralanması kaldığı yerden devam eder. Takeometre miraya yöneltilince, gözlem çizgilerinin alt çizgisi (küçük okuma değerin olduğu çizgi) mirada 100 cm değerine tatbik edilir. Eğer 100 değeri okunamıyorsa, 200 değerine, o da okunamıyorsa 300 değerine tatbik edilir. Onlar da görülemiyorsa özellikle ağaçlık bölgelerde desimetre başlangıçlarına da tatbik yapılabilir. Mira üzerinde alt, orta ve üst çizgi okumaları yapılır. Daha sonra yatay açı ve düşey açı okunur. Yazıcı, operatörün okuduğu değerleri takimetrik ölçü çizelgesine kaydeder. Yazıcı, orta-alt çizgi okuma farkı ile üst-orta çizgi okuma farkını alarak bunların birbirine eşit olup olmadığını kontrol eder. Eğer farklar, birbirine eşit değilse operatörü uyararak mira okumalarını yeniden yapmasını sağlar. Bu iki farkın toplamı, aynı zamanda üst çizgi - alt çizgi okuma farkına eşit olması gerekir. Miralar, nokta üzerine küresel düzeci yardımıyla düşey olarak tutulurlar.
83
Takimetri 4.1.2. Uzunlukların Optik Olarak Ölçülmesi : Yatay eksen
Mira
Objektif
p
Alt çizgi okuması
ℓ
δ
p
f
Üst çizgi okuması
D’
C
s Şekil 4.2 Uzunlukların optik olarak ölçülmesi
l p f = → D' = ⋅ l D' f p C =δ +f f S = D' +C = ⋅ l + C p f = k denilirse, p S = k ⋅l +C olur. Aletlerde C = 0 ve k = 100 dür. Bu durumda, S = k ⋅ l = 100 ⋅ l olur. Burada k=100 katsayısı, cm biriminde bulunan mira farklarının m birimine dönüştürülmesini sağlar. Yalnız bu formül, optik eksen yatay, yani miraya dik olduğu zaman geçerlidir. Hâlbuki eğimli arazide optik eksen miraya dik değildir. α
ℓ’ Üst çizgi
ℓ α
t
s’ h
Alt çizgi
B
Z α
S
i A
Şekil 10.3 Takimetrik alımda yatay uzunluğun ve yükseklik farkının belirlenmesi
84
Takimetri ℓN = ℓ cosα SN = C+ k ℓN = C+ k ℓ cosα S = SN cosα = C cosα + k ℓ cos2α cosα ≈cos2α alınabilir (C küçük bir değer ve cosα da 1 ‘e yakın). S = C cos2α +k ℓ cos2α = (c+k ℓ) cos2α C = 0 ise, yatay uzunluk, S = k ℓ cos2α = k ℓ sin2Z olur. h = S’ sinα = (c + k ℓ cosα) sinα = c sinα + k ℓ sinα cosα sinα ≈ sinα = cosα alınabilir. h = c sinα cosα + k ℓ sinα cosα = (C + k ℓ) sinα cosα h =½ (C+ k ℓ ) sin2α C = 0 ise, h = ½ k ℓ sin2α = ½ k ℓ sin2Z olur. Ya da S yatay uzunluğu bilindiğine göre h, h = S cotZ = S / tanZ şeklinde hesaplanabilir. Durulan noktadaki alet yüksekliği i, miradaki orta çizgi okuması (işaret yüksekliği) t ise, bakılan noktanın yüksekliği; HB = HA + i + h –t Ya da h yerine karşılığı yazılırsa, HB = HA + i + ½ k ℓ sin2Z – t HB = HA + i + S / tanZ – t formülleri ile bulunur. Örnek : DN
BN
Yatay Açı
Düşey Açı
P2 i=1.45
P1
0g.000
101g.380
P3
221.150
96.410
1
21.452
98.483
2
75.765
103.550
3
125.360
102.130
HP2=100.00
101.45
Mira Okuması
100 172.3 244.6 100 151.4 202.8 100 114 128 200 241.5 283 100 122.4 144.8
Orta-Alt Üst-Orta
Üst-Alt ℓ
Yatay Uzunluk
h
72.3 72.3
144.6
144.53 m
-3.134
96.59 m
51.4 51.4
102.8
102.47
5.785
105.72
14 14
28
27.98
0.667
100.98
41.5 41.5
83
82.74
-4.619
94..42
22.4 22.4
44.8
44.75
-1.498
98.73
85
Yükseklik H
Kaynaklar
KAYNAKLAR Aydın, Ö.
: Ölçme Bilgisi 2, Yıldız Teknik Üniversitesi Basım-Yayın Merkezi, Üniversite yayın no: YTÜ. İN. DN–97.0318, 1997.
Banger, G.
: Hassas Nivelmanda Hata Kaynakları. İ.Ü. Orman Fakültesi Dergisi, Seri A, 2/1981, Ayrı Baskı.
Baumann, E.
: Vermessungskunde, Lehr-und Übungsbuch für Ingenieure, Band I, ISBN 3-427-79041-x, Ferd. Dümmler Verlag. Bonn-1986.
Baumann, E.
:Vermessungskunde, Lehr-und Übungsbuch für Ingenieure, Band II, ISBN 3-427-79051-7, Ferd. Dümmler Verlag. Bonn-1985.
Demirel, H. Demir, C.; Cingöz, A.
: Harita ve Kadastro Mühendisliği, sayı:44, 1983 : Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA-99), http://www.hgk.mil.tr
Erbudak, M.
:Tuğluoğlu, A. : Fiziksel Geodezi. İDMMA yayınları Sayı:129, Özarkadaş Matbaası, İstanbul–1976.
Gürkan, O.
: Fiziksel Jeodezi, Weikkoa Heiskanen ve Helmut Moritz’den çeviri, Karadeniz Üniversitesi Basımevi, Trabzon–1984.
Heck, B.
: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung. 2. auflage, Herbert Wichmann Verlag, Heidelberg 1995.
Kahmen, H.
: Vermessungskunde I, Walter de Gruyter, Berlin . New York-1988.
Kahmen, H.
: Vermessungskunde III, Walter de Gruyter, Berlin . New York-1988.
Koç, İ.
:Ölçme Bilgisi I, ISBN 975-95964, İstanbul – 1988.
Möser, M.; : Handbuch Ingenieurgeodaesie, Grundlagen. Herbert Wichmann Müller, G.; Verlag, Heidelberg - 2000. Schlemmer, H.; Verner, H. Özbenli, E.; Tüdeş, T.
: Ölçme Bilgisi. Pratik Jeodezi. Matbaa Teknisyenleri Basımevi, İstanbul -1972.
Özgen, M.G.
: Topoğrafya (Ölçme Bilgisi), İstanbul -1984
Songu, C.
: Ölçme Bilgisi, İkinci cilt, Ankara -1975.
86
Kaynaklar Şerbetçi, M.
:Ülke Temel Jeodezik Ağın Tarihçesi, Nirengi, Nivelman ve Gravite Ağları, Harita ve Kadastro Mühendisliği 1992 sayı 72).
Şerbetçi, M.
: Türk Haritacılığı Tarihi s:65, Trabzon 1995
Ulsoy, E.
:Matematiksel Geodezi, İDMMA Yayınları Sayı:144, İstanbul 1977
Ulsoy, E.
:Ülke Jeodezi Ağları, Ders Notu, İTÜ Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği bölümü, Jeodezi Kürsüsü Yayınları No:2, İstanbul 1976.
Uzel, T. Örüklü, E.
: Mimarlık Ölçme Bilgisi, Klasik ve Fotogrametrik Yöntemler, Rölöve Çalışmaları. İDMMA Yayınları Sayı:140
Uzel, T. Gülal, E.
: Harita ve Kadastro Mühendisliği. Sayı:83, 1997.
Uzel, T.
:Jeodezik Amaçlı Elektromagnetik Ölçmeler C:II. YÜ, İstanbul-1984.
AnaBritannica, cilt:18, s:139, Ana Yayıncılık A.Ş. İstanbul, 2000. Açıklamalı-Örneklemeli Büyük Ölçekli Haritaların Yapım Yönetmeliği, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası –İstanbul Şubesi, 1992. Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliği, 2005
87
