ALGEBRĂ clasa a XI-a 1.Permutări Nr.crt. Teorie 1. Permutare 1 2 3 = …
2. 3.
Exemple ∈
,
= 1, , i=1, Numărul permutărilor este | | = !. Compunerea/ înmulţirea permutărilor ( ,∙) este grup 1) înmulţirea este asociativă, 2) e este element neutru, 3) orice permutare este inversabilă. Permutarea identică este 1 2 3 = … ∈ . 1 2 3
4.
5.
Ordinul permutării este cel mai mic număr natural k, pentru care = .
Numărul inversiunilor, notat ( ) este suma inversiunilor permutării. Perechea ordonată ( , ), 1 ≤ < ≤ se numeşte o inversiune a lui 1 2 = . . . . ∈ dacă
>
.
=
1 3
2 3 4 5 4 2
5 ∈ 1
| | = 5! = 120, adică sunt 120 de permutări formate cu numerele 1, 2, 3, 4, 5. 1 2 3 4 1 2 3 4 Fie = şi = . 3 1 4 2 2 4 3 1 Calculaţi și . Înmulţirea se face de la dreapta la stânga, adică pornim de la a doua permutare: lui 1 îi corespunde 2 şi lui 2 din prima permutare îi corespunde 1, deci la produs sub 1 pun 1, astfel 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 = = , 3 1 4 2 2 4 3 1 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 = = . 2 4 3 1 3 1 4 2 3 2 1 4 Observaţie: Înmulţirea permutărilor, în general, nu este comutativă, adică ≠ . 1 2 3 4 Fie = . Aflați ordinul permutării. 3 1 4 2 Calculăm 1 2 3 4 1 2 3 4 = ∙ = = 3 1 4 2 3 1 4 2 1 2 3 4 ≠ , 4 3 2 1 Calculăm 1 2 3 4 1 2 3 4 = ∙ = = 4 3 2 1 3 1 4 2 1 2 3 4 ≠ , 2 4 1 3 Calculăm 1 2 3 4 1 2 3 4 = ∙ = = 2 4 1 3 3 1 4 2 1 2 3 4 = , 1 2 3 4 Atunci ordinul permutării este 4. 1 2 3 4 1 2 3 4 Fie = şi = . 3 1 4 2 2 4 3 1 Calculaţi ( ) și ( ). ( ) =2+0+1 =3 ca 3 de pe linia a doua sunt mai mici două numere după el, ca 1 nu este niciunul, iar ca 4 doar un element. ( )= 1+2+1 = 4
Profesor Mirela-Gabriela Blaga 1
6.
7.
1 2 3 4 1 şi = 3 1 4 2 2 Aflaţi semnul permutărilor.
Semnul/ signatura permutării ( ) = (−1) ( ) Interpretare: ( ) = (−1) . = +1 → este permutare pară ( ) = (−1) . = −1 → este permutare impară
Fie =
( ) = (−1) = −1, adică este permutare impară, ( ) = (−1) = +1 şi este permutare pară.
Proprietăţi ( )= ( )∙ ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) Inversa unei permutări Proprietăţi ∙ = =
Fie = Aflaţi
∙
9.
Transpoziţia 1 2 ( , )= 1 2
…
Proprietăţi ( , )=( , ) (, ) = (, ) =(, ) ( , ) = −1 Numărul de transpoziţii este
1 2 3 4 1 şi = 3 1 4 2 2 și .
2 3 4 . 4 3 1
Pentru inversă citim permutarea de pe linia a doua înspre prima linie şi obţinem 1 2 3 4 = , 2 4 1 3 1 2 3 4 = . 4 1 3 2 Scriem transpoziţia (2,5) din . (2,5) = 1 2 3 4 5 6 1 5 3 4 2 6
Pentru rezolvarea ecuaţiei ∙ = înmulţim la stânga cu şi obţinem = ∙ . 8.
2 3 4 . 4 3 1
.
Pentru mulţimea = 3.
numărul transpoziţiilor este
1 2 Acestea sunt (1,2) = 2 1 1 2 3 (1,3) = , (2,3) = 3 2 1
3 , 3 1 2 3 . 1 3 2
10. Permutări-Bacalaureat 1.Se consideră permutarea 1 2 3 4 5 = ∈ . 3 1 2 5 4 a)Să se calculeze . b)Să se rezolve ecuaţia = , ∈ . a)Calculăm , , , şi = , apoi împărţim 2014 la 6, adică 2014=6∙335+4, atunci = . b)Calculăm ( ) = 2 + 0 + 0 + 1 = 3, atunci ( ) = (−1) = −1 → este permutare impară, iar ( ) = +1 → este permutare pară, de unde obţinem că ecuaţia = nu are soluţie. Profesor Mirela-Gabriela Blaga 2
2.Se consideră permutarea
=
a)Să se calculeze . b)Să se rezolve ecuaţia
1 3
∙
= ,
a)
2 3 ∈ 1 2 ∈
.
.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 = = 3 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = = = 2 3 1 3 1 2 1 2 3
b)Atunci 2014=3∙671+1, adică = şi ecuaţia devine ∙ = . Varianta1.Înmulţim ecuaţia la stânga cu şi 1 2 3 obţinem = = . 2 3 1 Varianta2.Înmulţim ecuaţia la stânga cu şi 1 2 3 obţinem = = . 2 3 1 1 2 3 4 5 ∈ şi 2 3 4 5 1 mulţimea = { | ∈ ℕ∗ }. a)Să se determine numărul inversiunilor lui . b)Să se determine numărul elementelor mulţimii A. c)Să se arate că toate elementele mulţimii A sunt permutări pare. 3.Fie permutarea
=
a) ( ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 b)Calculăm 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 = 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = ∙ = 3 4 5 1 2 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 = 4 5 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = ∙ = 4 5 1 2 3 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 = 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = ∙ = 5 1 2 3 4 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 = = 1 2 3 4 5 Mulţimea A este formată din permutările , , , , , adică mulţimea A are 5 elemente. =
∙
=
1 2
c)La a) am calculat ( ) = 4 atunci este permutare pară, ( ) = 2 + 2 + 2 + 0 = 6 → este permutare pară, ( ) = 3 + 3 + 0 + 0 = 6 → este permutare pară, ( ) = 4 + 0 + 0 + 0 = 4→ este permutare pară şi ( ) = 0 atunci este permutare pară. Profesor Mirela-Gabriela Blaga 3
11. Aplicaţii 1 1)Fie permutările = 3 1 2 3 4 5 = . 2 5 3 1 4 Să se determine: , , 2)Să se rezolve ecuaţia 1 2 3 4 5 = 3 6 2 4 1 1 2 3 4 5 = 5 3 1 6 4 1 2 3 4 5 = 4 5 1 3 6
2 5
3 4 4 2
5 şi 1
, ( ),
.
= , unde 6 , 5 6 şi 2 6 . 2
3)a.Să se scrie permutarea
=
1 4
2 3
3 4 ca 2 1
produs de transpoziţii. b.Să se determine n dacă numărul transpoziţiilor de grad n este 55. 4)Să se determine numărul de inversiuni şi signatura permutării 1 2 3 +1 +2 2 = … … . 2 4 6 2 1 3 2 −1
Profesor Mirela-Gabriela Blaga 4
